Universidad Politcnica SalesianaINGENIERA MECNICA
AUTOMOTRIZTRABAJO INTEGRADOR DE:ECUACIONES
DIFERENCIALESAMORTIGUACIN DE UNA MOTOCICLETA APLICANDO
LAPLACE.Fecha: 31 de julio del 2014Integrantes: Ordoez Wilson Reyes
Nilo Villa Diego
1. TEMA: Amortiguacin de una motocicleta aplicando Laplace.
2. OBJETIVOS:
Determinar la solucin de la ecuacin diferencial de nuestro
problema planteado desarrollndola a travs de la transformada de la
place. demostrar que al utilizar el mtodo de la trasformada de
Laplace del ejercicio planteado se puede llegar al mismo resultado
que al utilizar (otros mtodos), donde podemos apreciar que es mucha
ms fcil realizar. El objetivo es transformar la ecuacin diferencial
compleja a una solucin donde pueda ser obtenida con mayor
facilidad. Por lo tanto aplicaremos tambin la transformada inversa
de Laplace para recuperar las soluciones de los problemas
originales.
3. MARCO TEORICO
HistoriaPierre Simn Mrquez de Laplace (1749-1827) matemtico y
astrnomo francs. Sus principales campos de inters fueron la Mecnica
Celeste, o movimiento planetario, la teora de probabilidades, y el
progreso personal. Prueba de sus talentos sonMecnico Celeste, el
principal legado de esta publicacin reside en el desarrollo de la
teora de potencial, con implicaciones de largo alcance en ramas de
la Fsica que van desde la gravitacin, la mecnica de fluidos, el
magnetismo y la fsica atmica.Thorie Analytique des Probabilits que
se considera la ms grande contribucin a esa parte de las
matemticas. Como ancdota, el libro inicia con palabras que ms o
menos dicen "En el fondo, la teora de probabilidades no es sino el
sentido comn reducido a clculos", puede ser que s, pero las 700
pginas que le siguen a esas palabras son un anlisis intrincado, en
el cual usa a discrecin la transformada de Laplace, las funciones
generatrices, y muchas otras tcnicas no triviales.Tras la Revolucin
Francesa, el talento poltico y la ambicin de Laplace alcanzaron su
cenit; Laplace se adaptaba demasiado fcilmente cambiando sus
principios; yendo y viniendo entre lo republicano y monrquico
emergiendo siempre con una mejor posicin y un nuevo ttulo.La ayuda
prestada a los jvenes talentos cientficos fue un gran acierto;
entre esos jvenes se encuentran: el qumico Gay-Lussac, el
naturalista Humboldt, el fsico Poisson, y al joven Cauchy, que
estara destinado a convertirse en uno de los artfices principales
de las matemticas del siglo XIX
Transformada de Laplace.La Transformada de Laplace es una tcnica
Matemtica que forma parte de ciertas transformadas integrales como
la transformada de Fourier, la transformada de Hilbert, y la
transformada de Mellin entre otras. Estas transformadas estn
definidas por medio de una integral impropia y cambian una funcin
en una variable de entrada en otra funcin en otra variable. La
transformada de Laplace puede ser usada para resolver Ecuaciones
Diferenciales Lineales y Ecuaciones Integrales. Aunque se pueden
resolver algn tipo de ED con coeficientes variables, en general se
aplica a problemas con coeficientes constantes. Un requisito
adicional es el conocimiento de las condiciones iniciales a la
misma ED. Su mayor ventaja sale a relucir cuando la funcin en la
variable independiente que aparece en la ED es una funcin
seccionada. Cuando se resuelven ED usando la tcnica de la
transformada, se cambia una ecuacin diferencial en un problema
algebraico. La metodologa consiste en aplicar la transformada a la
ED y posteriormente usar las propiedades de la transformada. El
problema de ahora consiste en encontrar una funcin en la variable
independiente tenga una cierta expresin como transformada.
(Transformada de Laplace y sus propiedades, 2010) Definicin de la
Transformada Sea f una funcin definida para ,la transformada de
Laplace de f(t) se define como cuando tal integral converge.
Notas1. La letra s representa una nueva variable, que para el
proceso de integracin se considera constante2. La transformada de
Laplace convierte una funcin en t en una funcin en la variable s 3.
Condiciones para la existencia de la transformada de una funcin: 1.
De orden exponencial2. Continua a trozos (Transformada de Laplace y
sus propiedades, 2010) Definicin de la Transformada Inversa La
Transformada inversa de una funcin en s, digamos F(s) es una funcin
de t cuya transformada es precisamente F(s), es decir
si es que acaso Esta definicin obliga a que se cumpla:
y
Vibracin mecnica.Los sistemas mecnicos de traslacin pueden ser
usados para modelar muchas situaciones e involucran tres elementos
bsicos: masas, resortes y amortiguadores, cuyas unidades de medida
son, respectivamente, Kg, N/m y Ns/m. En este caso slo tendremos en
nuestro sistema masas y resortes.Las variables asociadas son el
desplazamiento x(t) (medido en metros) y la fuerza F(t) (medida en
Newton). A continuacin se muestra una representacin grfica del
sistema mencionado. Figura 1Suponiendo que estamos tratando con
resortes ideales (esto es, suponiendo que se comportan
linealmente), las relaciones entre las fuerzas y los
desplazamientos en el tiempo t son:
Usando estas relaciones llegamos a las ecuaciones del sistema,
las que pueden ser analizadas utilizando las tcnicas de la
transformada de Laplace.Ley de Hooke Supongamos que un resorte se
suspende verticalmente de un soporte rgido y luego se fija una masa
m, a su extremo libre por supuesto la cantidad de alargamiento o
elongacin del resorte depende de la masa con pesos diferentes
alargamiento el resorte en cantidades diferentes.Por la ley de
Hooke, el resorte mismo ejerce una fuerza de restitucin, F, opuesta
a la direccin del alargamiento y proporcional a la cantidad de
alargamiento (s). En concreto, F = Ks, donde k es una constante de
proporcionalidad llamada constante del resorte. Aunque las masas
con distintos pesos estiran un resorte en cantidades distintas,
este esta caracterizado esencialmente por su nmero kSegunda ley de
Newton Despus de unir una masa M a un resorte, sta lo estira una
longitud s y llega a una posicin de equilibrio, en la que su peso,
W, est equilibrado por la fuerza de restauracin ks. Recurdese que
el peso se define por W = mg, donde la masa se expresa en slug,
kilogramos o gramos respetivamente Como se indica en la figura
2(b),
Figura2La condicin de equilibrio es mg = ks o mg - ks = 0. Si la
masa se desplaza una distancia x respecto de su posicin de
equilibrio, la fuerza de restitucin del resorte es k(x + s).
Suponiendo que no hay fuerzas de retardo que acten sobre el sistema
y que la masa se mueve libre de otras fuerzas externas (movimiento
libre), entonces podemos igualar la segunda ley de Newton con la
fuerza neta, o resultante, de la fuerza restauradora y el peso:
Ecuacion1El signo negativo de la ecuacin indica que la fuerza de
restitucin del resorte acta en la direccin opuesta del movimiento.
Adems, podemos adoptar la convencin que los desplazamientos medidos
abajo de la posicin de equilibrio son positivos.Movimiento libre no
amortiguadoSi dividimos la ecuacin (1) por la masa m, obtendremos
la ecuacin diferencial de segundo orden d^2 x/dt^2 + (k/m) x =0,
sea
Ecuacion2Donde w^2= k/m. Se dice que la ecuacin (2) describe el
movimiento armnico simple o movimiento libre no amortiguado. Dos
condiciones iniciales obvias asociadas con (2) son x(0) = 0, la
cantidad de desplazamiento inicial, y x(0) = 0, la velocidad
inicial de la masa. Por ejemplo, si x> 0, , x1 < 0, la masa
parte de un punto abajo de la posicin de equilibrio con una
velocidad hacia arriba. Si x (0) = 0, se dice que la masa se libera
al partir del reposo.Ecuacin del movimiento para resolver la
ecuacin (2) observemos que las soluciones de la ecuacin auxiliar
m^2+w^2=0 son los nmeros complejos m1= wi, m2 = -wi As la solucin
general de (2) es
Ecuacion3El periodo de las vibraciones libres que describe (3)
es T = 2 /w el numero T representa el tiempo (medidos en segundos
que tarda una masa en generar un ciclo de movimiento). Un ciclo es
una oscilacin completa la frecuencia de movimiento f=1/w w/2 es el
nmero de ciclos completado cada segundo como w tambin se conoce
como la frecuencia natural del sistema.Sistemas resorte/masa
movimiento libre amortiguamiento El concepto del movimiento armnico
libre es un poco irreal porque el movimiento que describe la
ecuacin (1) supone que no hay fuerzas de retardo que actan sobre la
masa en movimiento. A menos que la masa est colgada en un vaco
perfecto, cuando menos habr una fuerza de resistencia debida al
medio que rodea al objeto. Ecuacin de movimiento libre amortiguado
En mecnica se considera que las fuerzas de amortiguamiento que
actan sobre un cuerpo son proporcionales a alguna potencia de la
velocidad instantnea. En particular, supondremos en el resto de la
descripcin que esta fuerza est expresada por un mltiplo constante
de dx/dt Cuando no hay otras fuerzas externas aplicadas al sistema,
se sigue por la segunda ley de Newton:
Figura3
Ecuacion4Donde es una constante de amortiguamiento positiva y el
signo negativo es consecuencia del hecho de que la fuerza
amortiguadora acta en direccin opuesta a la del movimiento.Al
dividir la ecuacin (5) por la masa m, la ecuacin diferencial del
movimiento amortiguado libre es d^2 x/dt^2 + (/m)dx/dt + (k/m)
x=0
Ecuacion5
El smbolo 2 se usa solo para conveniencia algebraica porque la
ecuacin auxiliar es m + las races correspondientes son entonces m1=
, m2= Ahora podemos distinguir tres casos posiblesCASO I; Aqu, se
dice que el sistema est sobre amortiguado porque el coeficiente de
amortiguamiento , es grande comparado con la constante de resorte,
k. La solucin correspondiente es x (t) = c1+ c2Caso II Se dice que
el sistema est crticamente amortiguado puesto que cualquier pequea
disminucin de la fuerza de amortiguamiento originara un movimiento
oscilatorio. La solucin general de la ecuacin (ll)X (t) = c1+ c2tX
(t)= (c1+c2t)Caso III En ste caso se dice que el sistema est sub
amortiguado porque el coeficiente de amortiguamiento es pequeo en
comparacin con la constante del resorte. Ahora las races m1 y m2
son complejas:m1= m2= As que la ecuacin general es x(t) = + c2
sen)Sistema Resorte / Masa Movimiento Forzado Ecuacin diferencial
del movimiento forzado con amortiguamiento ahora tomaremos en
cuenta una fuerza externa, f (t), que acta sobre una masa
oscilatoria en un resorte por ejemplo, f (t) podra representar una
fuerza de impulsin que causara un movimiento oscilatorio vertical
del soporte del resorte. La inclusin de y(t) en la formulacin de la
segunda ley de Newton da la ecuacin diferencial del movimiento
forzado:
Ecucacion6Dividiendo la ecuacin entre m se obtiene
Ecuacion6
Figura4Donde F(t) =f(t)/m y, al igual que en la seccin anterior,
2 = /m, = K/m. Para resolver esta ecuacin no homognea tenemos el
mtodo de los coeficientes indeterminados o el de la variacin de
parmetros.Ecuaciones diferenciales del movimiento forzado sin
amortiguamientoCuando se ejerce una fuerza peridica y no existe
fuerza de amortiguamiento, no hay parte transitoria en la solucin
de un problema. Veremos tambin que si se ejerce una fuerza peridica
cuya frecuencia es igual o casi igual a la de las vibraciones no
amortiguadas libres, se puede originar un grave problema en un
sistema mecnico oscilatorio
Ecuacion6DesarrolloAmortiguador de una motocicleta Un
amortiguador de una motocicleta de 200 kg de masa se somete a una
velocidad inicial de 1.5m /seg debida a un bache. La constante de
amortiguamiento es de 550 N-s/m, y la rigidez 2350N/m.
a) Exprese todas las leyes de la Fsica mecnica a partir de las
cuales pueda elaborar un modelo matemtico que describa el
movimiento de la masa. Considere el desplazamiento metros y el
tiempo en segundos.
En nuestro trabajo integrador nos hemos podido plantear nuestro
modelo matemtico por medio de la transformada de Laplace donde
hemos planteado El planteamiento que nos podido formular por medio
de la transformada de Laplace es la siguiente ecuacin:
b) Encuentre la solucin de dicho problema con valores iniciales.
Identifique el trmino correspondiente al estado transitorio (rgimen
transitorio) y al estado estable (estado estacionario).
En nuestro planteamiento de condiciones iniciales nos podemos
dar cuenta que el ejercicio implcitamente nos proporciona las
condiciones iniciales donde esto debemos aplicar como condiciones
iniciales en la ecuacin de la transformada de Laplace donde nos da
los siguientes datos.
Donde podemos interpretar estos datos como cuando el tiempo es
cero el hay un desplazamiento cero y tambin parte el resorte del
reposo con una velocidad de 1.5 m/seg, donde tenemos que reemplazar
en la ecuacin de nuestro modelo matemtico pero ahora tenemos que
resolver por medio de la transformada de Laplace.
Donde por medio de los conocimientos recibidos en la clase con
la ayuda de las tablas procedemos a resolver la ecuacin donde esta
nos queda de la siguiente manera.
c) Grafique la solucin con escalas adecuadas (tiempos no
negativos) aplicando software matemtico.En la siguiente grafica
podemos apreciar nuestro modelo matemtico que describe la
amortiguacin de la motocicleta cmo se comporta en tiempo donde esto
podemos decir la descripcin del resorte con la masa que est
sometido.
aqu describe nuestro modelo matemtico que describe la
amortiguacin de la moto su comportamiento en el tiempo que es la de
color rojo.La grafica de color naranja describe la velocidad de
nuestro modelo matemtico donde aqu podemos verificar la velocidad
mxima que puede estar sometida.
Fuente: autorFuente: autor
Fuente: autor
Fuente: autorEn esta figura podemos ver la primera parte de
nuestra ecuacin la parte del exponencial.
Fuente: autorObservaremos el desplazamiento de la masa respecto
al tiempo como tambin la velocidad y su periodo.
d) Analizar con las grficas, tabla de valores y realizar clculos
matemticos para determinar lo siguiente : La respuesta del
desplazamiento. El perodo de vibracin amortiguada. El
desplazamiento mximo de la masa y el instante en que se produce. La
velocidad mxima La velocidad inicial mnima que produce un
desplazamiento mximo de 250 mm
Desplazamiento mximo de la masa en el instante en que se
produce
ty
0.200.21
0.100.13
0.050.037
0.50.247
0.30.25
1.3-0.06
20
2.32.3
dezplasamiento
Velocidad mxima.
tv
0.101.29
0.200.768
1-45
20.115
30.030
0.340.11
La velocidad inicial mnima que produce un desplazamiento mximo
de 250 mmy (0) = - 0.66m/sEl perodo de vibracin
amortiguada.T=1.833//
CONCLUSIONES La utilizacin de la transformada de Laplace
facilita notablemente la resolucin de ecuaciones diferenciales de
cualquier orden (en este caso de orden uno), posibilitando un
anlisis rpido y certero de cualquier sistema fsico que se presente
en el estudio de diversas ramas de la Ingeniera.
Las transformadas de Laplace son muy tiles y mucho ms sencillas,
para resolver ecuaciones diferenciales lineales, por ello se pueden
aplicar en cualquier materia en la que haya que resolver dichas
ecuaciones, como en nuestro caso, para encontrar la solucin de
dicho problema con valores iniciales, nos result ms fcil
realizarlo, al utilizar el mtodo de Laplace.
La utilizacin de la transformada de Laplace facilita
notablemente la resolucin de ecuaciones diferenciales de cualquier
orden (en este caso de orden uno), posibilitando un anlisis rpido y
certero de cualquier sistema fsico que se presente en el estudio de
diversas ramas de la Ingeniera.
Anexos
Clculo de la ecuacin, para la solucin de nuestro sistema
planteado, utilizando la transformada de Laplace.
C.I.
Reemplazando las condiciones iniciales en la ecuacin quedara lo
siguiente:
El periodo de la ecuacion.
BibliografaNagle, R. K. (2005). Transformada de Laplace. En R.
K. Nagle, Ecuaciones Diferenciales y Problemas con Valores en la
Frontera 4 edicin (pgs. 347-414). Mxico: Pearson Educacin.Zill, D.
G. (2009). Transformada de Laplace. En D. G. Zill, Ecuaciones
Direnciales con problemas con valores en la frontera 7ma Edicin
(pgs. 255-292). Mxico: Cengage Learning Editores. (2010).
TRANSFORMADA DE LAPLACE. TRANSFORMADA DE LAPLACE. Obtenido de
http://www.mty.itesm.mx/etie/deptos/m/ma-841/laplace/home.htm
ordoez, reyes, villa18