-
APLICACIONES DE ECUACIONES
1. (Ingresos mensuales) Una vendedora gana un salario base
de$600 por mes ms una comisin del 10% de las ventas
que haga. Descubre que en promedio, le toma 1
horas realizar ventas por un valor de $100. Cuntas horas
deber
trabajar en promedio cada mes para que sus ingresos sean de
$2000? SOLUCIN: DATOS: Salario base (S) = $600
1
h se vende $100
x = ? I = $2000 Hallamos las ventas que realiza por hora:
1
h = $100
h = $100
Despejamos h:
h =
h =
El ingreso de la vendedora esta dado de la siguiente manera: I =
S + 10%x
10% =
Reemplazamos datos conocidos:
2000 = 600 +
x
2000 = 600 +
x
Simplificamos:
2000 = 600 +
x
Despejamos x:
x =
x =
x = 210 Conclusin 1: La vendedora deber trabajar en promedio
cada mes 210 horas para que sus ingresos sean de $2000. Ahora
llevamos a das laborales las 210 h aplicando una regla de 3
simple:
1dl 8h x 210h 210hdl = 8hx
x =
x = 26.25dl
x = 26
dl
x = 26 + 2h Conclusin 2: La vendedora deber trabajar en promedio
cada mes 26dl ms dos horas para que sus ingresos sean de $2000.
-
2. (Utilidades) Un comerciante de ganado compr 1000 reses a $150
cada una. Vendi 400 de ellas obteniendo el 25%. A qu precio deber
vender las restantes 600 si la utilidad promedio del lote completo
ha ser de del 30%?
SOLUCIN:
DATOS:
Total invertido: 1000 X $150 = $150000
Utilidad total (UT): $150000 X 30% = $45000
Vendi 400 con utilidad del 25%. Hallamos primero el valor de las
400 reses:
400 X $150 = $60000, entonces:
Utilidad de las 400 reses (U400):
60000 X 25%= $15000
Nos piden a qu precio debemos vender las restantes 600 reses
(PV600), pero primero tenemos que hallar cunto costaron y sumarlo
con la utilidad de las mismas y dividirlo entre 600:
600 X $150 = $90000
Hallamos la utilidad de las 600 reses (U600) restando la
utilidad de las 1000 (UT) reses menos la utilidad de las 400 reses
(U400):
U600 = UT U400
U600 = $45000 - $15000
U600 = $30000, entonces:
PV600 = $90000 + $30000/600
PV600 = $120000/600
PV600 = $200
CONCLUSIN:
El comerciante debe vender las restantes 600 reses a $200 cada
una para poder tener una utilidad promedio de lote completo de
30%.
-
3. (Inversiones ) La seora Cordero va a invertir $70000. Ella
quiere recibir un ingreso anual de $5000. Puede invertir sus fondos
en bonos de gobierno a un 6% o, con un riesgo mayor, al 8.5% en los
bonos hipotecarios. Cmo debera invertir su dinero de tal manera que
minimice los riesgos y obtenga $5000?
SOLUCIN:
DATOS:
Capital (C) =$70000
6% = 0.06 (%1) $70000 $5000 8% = 0.085 (%2)
Aplicamos la ecuacin de Inversin Capital:
x%1 + (C x) %2 = I Sea x lo que se invirti al 6%.
Entonces:
0.06x + (70000 x) 0.085 = 5000
Resolvemos:
0.06x + 5950 0.085x = 5000
-0.025x+ 5950 = 5000
x 38000
Se hace una inferencia de prueba:
$38000 x 0.06 = $2280 $32000 x 0.085 = $2720 $70000 $5000
CONCLUSIN:
Para minimizar los riesgos y obtener una ganancia de $5000 la
Sra. Cordero debe invertir:
$38000 en bonos de gobierno y
$32000 en bonos hipotecarios
-
4. (Problema de mezclas) Una compaa vitivincola requiere
producir 10000 de jerez encabezando vino blanco, que tiene
contenido de alcohol del 10% con brandy, el cual tiene un contenido
de alcohol de 35% por volumen. El jerez debe tener un contenido de
alcohol del 15%. Determine las cantidades de vino blanco y de
Brandy que deben mezclarse para obtener el resultado deseado.
SOLUCIN:
DATOS:
C = 10000
10% de vino blanco = 0.1 (%1) 10000 de jerez I 35% de brandy =
0.35 (%2)
I es igual a la cantidad de jerez por 15%:
I = 10000 x 15%
I = 10000 x 0.15
I = 1500
Aplicamos la ecuacin de Inversin Capital:
x%1 + (C x) %2 = I Sea x la cantidad de vino blanco. Resolvemos:
0.1x + (10000 x) 0.35 = 1500
0.1x + 3500 0.35x =1500 -0.25x + 3500 = 1500
Se hace una inferencia de prueba:
8000 x 0.1 = 800 2000 x 0.35 = 700 10000 1500
CONCLUSIN: La mezcla debe contener 8000 de vino blanco y 2000 de
brandy para obtener 10000 de jerez con un contenido de 15% volumen
de alcohol.
-
5. 6.) (Decisin sobre fijacin de precios) La cmara de comercio
del huevo del estado de Columbia, que regula el precio de venta de
ste, sabe por experiencia que si fija en P dlares, el precio de la
docena de huevos, el nmero de docenas de huevo vendidas a la semana
ser de x millones. Donde P=2-x. Su ingreso semanal total seria
entonces I=xP=x (2-x) millones de dlares. El costo industrial de
producir x millones de docenas de huevos por semana esta dado por
C=0.25+0.5x millones dedolares. Qu precio del huevo debera fijar la
cmara de comercio para asegurar una utilidad semanal de 0.25
millones de dlares?
SOLUCIN:
DATOS:
P = 2 x I = xP entonces I= x (2 x) C = 0.25 + 0.5x U = 0.25
Nota: Cantidades decimales estn dadas en millones de dlares.
Aplicamos frmula de utilidades:
U = I C Reemplazamos y Resolvemos:
0.25 = x (2 x) (0.25 + 0.5x) 0.25 = 2x x2 0.25 0.5x 0.25 = 1.5x
x2 0.25; igualamos a cero para obtener una ecuacin cuadrtica: x2
1.5x + 0.25 + 0.25 = 0 x2 1.5x + 0.5 = 0 Identificamos los valores
respectivos en la ecuacin cuadrtica: a2 + bx + c = 0; donde: a = 1
b = -1.5 c = 0.5 Entonces encontramos las races para x:
Entonces hallamos X1
X1
; reemplazamos los
valores respectivos:
X1=
X1=
X1=
X1=
X1=
X1= 1 Ahora hallamos C que es el costo de produccin:
C = 0.25 + 0.5x C = 0.25 + 0.5 (1) C = 0.25 + 0.5 C = 0.75
Hallamos tambin I y U: I = xP I = 1 (2 - 1) I = 1(1) I = 1 Luego
comprobamos U: U = I C 0.25 = 1 0.75 0.25 = 0.25
Por ltimo hallamos X2:
X2 =
X2 =
X2 = 0.5 CONCLUSIN: La cmara de comercio tiene a su disposicin
dos polticas: 1. Puede fijar la docena de huevos en:
P = 2 - X1 P = 2 1 P = 1 Si fija la docena de huevos a $1 la
utilidad sera de $0.25 millones 2. Puede fijar la docena de huevos
en:
P = 2 X2 P = 2 0.5 P = 1.5 Si fija la docena de huevos a $1.5 la
utilidad sera de $0.5 millones
-
6. 8.) (Inversiones) Un hombre invierte el doble al 8% de lo que
invierte al 5 %. Su ingreso total anual por las dos inversiones es
de $840. Cunto invirti en cada tasa?
SOLUCIN:
5% = 0.05 C I = $840 8% = 0.08
DATOS:
Sea x lo que se invierte al 5%.
Sea 2x lo que se invierte al 8%
Entonces:
0.05 + 2 (0.08) x = 840
0.05 + 0.16x = 840
0.21x = 840
x =
x = 4000
Por lgica si x = 4000 entonces 2x = 8000 por consiguiente:
C = 4000 + 8000
C = 12000
Se hace una inferencia de prueba:
4000 x 0.05 = 200 + + 8000 x 0.08 = 640 12000 840 CONCLUSIN: El
hombre obtuvo un ingreso total anual de $840 porque invirti en cada
tasa $8000 y $4000 respectivamente.
-
7. 9.) (Inversiones) Un colegio destina $60000 a un fondo a fin
de obtener ingresos anuales de $5000 para becas. Parte de esto se
destinar inversiones en fondos del gobierno a un 8% y el resto a
depsitos a largo plazo a un 10.5%. Cunto debern invertir en cada
opcin con objeto de obtener el ingreso requerido?
SOLUCIN:
DATOS:
8% = 0.08 C I = $5000 10.5% = 0.105
Aplicamos la ecuacin de Inversin Capital:
x%1 + (C x) %2 = I Sea x lo que se invirti al 8%.
Entonces:
0.08x + (60000 x) 0.105 = 5000
Resolvemos:
0.08x + 6300 0.105x = 5000
-0.025x+ 6300 = 5000
x 52000
Se hace una inferencia de prueba:
$52000 x 0.08 = $4160 $ 8000 x 0.105 = $ 840 $60000 $5000
CONCLUSIN:
Con el objeto de obtener el ingreso requerido es decir $5000 el
colegio deber invertir:
$52000 en fondos de gobierno y
$ 8000 en depsitos a largo plazo
-
8. 10.) (Inversiones) Los miembros de una fundacin desean
invertir $18000 en tipos de seguros que pagan dividendos anuales
del 9 y 6% respectivamente. Cunto debern invertir en cada tasa si
el ingreso debe ser equivalente al que producira al 8% la inversin
total?
SOLUCIN:
DATOS:
9% = 0.09 18000 I = 8% de la inversin total 6% = 0.06
Hallamos I:
I = 18000 (8%) I = 1440
Aplicamos la ecuacin de Inversin Capital:
x%1 + (C x) %2 = I Sea x lo que se invirti al 9%. Entonces:
0.09x + (18000 x) 0.06 = 1440
Resolvemos:
0.09x + 1080 0.06x = 1440
0.03x + 1080 = 1440
x 2000
Se hace una inferencia de prueba:
$12000 x 0.089 = $1080 $ 6000 x 0.06 = $ 360 $18000 $1440
CONCLUSIN:
Los miembros de la fundacin debern invertir:
$12000 en el tipo de seguro que pagan dividendos del 9% y
$ 6000 en el tipo de seguro que pagan dividendos del 6%.
-
9. 11.) (Utilidades) Le cuesta a un fabricante $2000 comprar las
herramientas a fin de producir cierto articulo domestico. Si tiene
un costo $0.6 por el material y la mano de obra de cada artculo
producido, y si el fabricante puede vender todo lo producido a
$0.9cada uno. Determine cuntos artculos debera producir con objeto
de obtener utilidades de $1000.
SOLUCIN:
DATOS:
Cf = $2000
Cv =$ 0.6x
Pv = 0.9 >I = 0.9x
x = ? U = $1000
Aplicamos frmula de Utilidades:
U = I Ct U = I Cv Cf
Reemplazamos y resolvemos:
1000 = 0.9x 0.6x 2000
1000 = 0.3x 2000
x = 10000
CONCLUSIN:
Para poder obtener utilidades de $ 1000 el fabricante debera
producir 10000 artculos.
-
10. 20.) (Produccin) Cada semana, una compaa puede vender x
unidades de su producto a un precio de P dlares c/u, en donde
P=600-5x. Si le cuesta a la compaa 800+75x dlares producir x
unidades. Cuntas unidades debera vender la compaa a la semana si
desea generar un ingreso de $17500?, Qu precio por unidad debera
fijar la compaa con el propsito de obtener ingresos semanales por
$18000? cuntas unidades debera producir y vender cada semana para
lograr utilidades de $5500? a qu precio por unidad generara la
compaa una utilidad semanal de $5500?
SOLUCIN: DATOS: P = 600 - 5x C = 800 + 75x
a) x = ? I = 17500 b) P = ? I = 18000 c) x = ? U = 5500 d) P = ?
U = 5500
a) R/) x = ? I = 17500 Aplicamos frmula de Ingresos Totales:
I = Px Reemplazamos y resolvemos: 17500 = (600 5x) x
17500 = 600x 5x2
Igualamos a cero para obtener una ecuacin cuadrtica: 5x2 600x +
17500 = 0 Identificamos los valores respectivos en la ecuacin
cuadrtica: a2 + bx + c = 0; donde: a = 5 b = -600 c = 17500
Utilizamos Frmula cuadrtica General:
Entonces hallamos las races para x:
X1
; reemplazamos los valores respectivos:
X1=
X1=
X1=
X1=
X1=
X1=
X1= 70 Hallamos la segunda raz de X, es decir X2:
X2 =
-
X2 =
X2 = 50 Ahora hallamos C que es el costo de produccin:
en X1: C = 800 + 75x
C = 800 + 75(70) C = 800 + 5250 C = 6050 en X2:
C = 800 + 75x C = 800 + 75(50) C = 800 + 3750 C = 4550
Comprobamos X1 : X1 = 600x 5x
2
17500 = 600(70) 5(70)2 17500 = 42000 5(4900) 17500 = 42000 24500
17500 = 17500
Comprobamos X2 : X2 = 600x 5x
2
17500 = 600(50) 5(50)2 17500 = 30000 5(250) 17500 = 30000 12500
17500 = 17500 CONCLUSIN: La compaa tiene a su disposicin dos
polticas: 1. Fijar el precio por unidad en:
P = 600 5x1 P = 600 5(70) P = 600 350 P = 250 Si fija el precio
por artculo en $250 tiene que vender 70 unidades para tener un
ingreso de $17500. 2. Fijar el precio por unidad en:
P = 600 5x2 P = 600 5(50) P = 600 250 P = 350 Si fija el precio
por artculo en $350 tiene que vender 50 unidades para tener un
ingreso de $17500.
b) R/) P = ? I = 18000
Aplicamos frmula de Ingresos Totales: I = Px Reemplazamos y
resolvemos: 18000 = (600 5x) x
18000 = 600x 5x2
-
Igualamos a cero para obtener una ecuacin cuadrtica: 5x2 600x +
18000 = 0 Identificamos los valores respectivos en la ecuacin
cuadrtica: a2 + bx + c = 0; donde: a = 5 b = -600 c = 18000
Utilizamos Frmula cuadrtica General:
Entonces hallamos las races para x:
X1
; reemplazamos los valores respectivos:
X1=
X1=
X1=
X1=
X1=
X1=
X1= 60 Hallamos la segunda raz de X, es decir X2:
X2 =
X2 =
X2 = 60 Entonces tenemos que X1 es igual X2: X1 = X2
Comprobamos X : X = 600x 5x2
18000 = 600(60) 5(60)2 18000 = 36000 5(3600) 18000 = 36000 18000
18000 = 18000
CONCLUSIN: Si fija el precio por artculo en $350 tiene que
vender 60 unidades para tener un ingreso de $18000.
c) R/) x = ? U = 5500
Aplicamos frmula de Utilidades:
U = I Ct ; pero como I = Px entonces tenemos que:
U = Px Ct
-
Reemplazamos y resolvemos: 5500 = (600 5x) x (800 + 75x)
5500 = 600x 5x2 800 - 75x 5500 = 525x 5x2 800 Igualamos a cero
para obtener una ecuacin cuadrtica: 5x2 525x + 800 + 5500 = 0 5x2
525x + 6300 = 0 Identificamos los valores respectivos en la ecuacin
cuadrtica: a2 + bx + c = 0; donde: a = 5 b = -525 c = 6300
Utilizamos Frmula cuadrtica General:
Entonces hallamos las races para x:
X1
; reemplazamos los valores respectivos:
X1=
X1=
X1=
X1=
X1=
X1=
X1= 91.18 Hallamos la segunda raz de X, es decir X2:
X2 =
X2 =
X2 = 13.82
Comprobamos X1 : 5500 = 600x 5x2 800 - 75x 5500 = 600(91.18)
5(91.18)2 800 75(91.18) 5500 = 54708 5(8313.8) 800 6838.5 5500 =
54708 41569 800 6838.5 5500 ~ 5500.5
Comprobamos X2 : 5500 = 600x 5x2 800 - 75x 5500 = 600(13.82)
5(13.82)2 800 75(13.82) 5500 = 8292 5(191) 800 1036.5 5500 = 8292
955 800 1036.5 5500 ~ 5500.5
CONCLUSIN: La compaa tiene a su disposicin dos polticas:
-
1. Fijar el precio por unidad con x1 :
P = 600 5x1 P = 600 5(91.18) P = 600 455.9 P = 144.1
Hallamos los ingresos en x1:
I = 144 x 91.18 I = 13139 Ahora hallamos C que es el costo de
produccin:
en X1: C = 800 + 75x
C = 800 + 75(91.18) C = 800 + 6838.5 C = 7638.5 Utilizamos la
frmula de utilidades para comprobar: U = I C 5500 = 13139 - 7638.5
5500 ~ 5500.5 Si fija el precio por artculo en $144.1 tiene que
vender 91.18 unidades para tener una utilidad de ~$5500.
2. Fijar el precio por unidad con x2 :
P = 600 5x2 P = 600 5(13.82) P = 600 69.1 P = 530.9
Hallamos los ingresos en x2:
I = 530.9 x 13.82 I = 7337 Ahora hallamos C que es el costo de
produccin:
en X2: C = 800 + 75x
C = 800 + 75(13.82) C = 800 + 1036.5 C = 1836.5 Utilizamos la
frmula de utilidades para comprobar: U = I C 5500 = 7337- 1836.5
5500 ~ 5500.5 Si fija el precio por artculo en $530.9 tiene que
vender 13.82 unidades para tener una utilidad de ~$5500.
-
11. 21.) (Produccin y fijacin de precios) Un fabricante puede
vender x unidades de un producto cada semana al precio P dlares por
unidad, en donde P=20-x, y cuesta 2800+45x producir x unidades.
Cuntas unidades debera vender a la semana si desea generar ingresos
por $9600? A qu precio por unidad generara un ingreso semanal de
$9900? Cuntas unidades debera producir y vender el fabricante a la
a semana para obtener una utilidad de $3200? A qu precio por unidad
el fabricante generara una utilidad semanal de $3150?
SOLUCIN: DATOS: P = 200 - x C = 2800 + 45x
a) x = ? I = 9600 b) P = ? I = 9900 c) x = ? U = 3200 d) P = ? U
= 3150
a) R/) x = ? I = 9600 Aplicamos frmula de Ingresos Totales:
I = Px Reemplazamos y realizamos operaciones: 9600 = (200 x) x
9600 = 200x x2
Igualamos a cero para obtener una ecuacin cuadrtica: x2 200x +
9600 = 0 Identificamos los valores respectivos en la ecuacin
cuadrtica: a2 + bx + c = 0; donde: a = 1 b = -200 c = 9600
Utilizamos Frmula cuadrtica General:
Entonces hallamos las races para x:
X1
; reemplazamos los valores respectivos:
X1=
X1=
X1=
X1=
X1=
X1=
X1= 120 Hallamos la segunda raz de X, es decir X2:
X2 =
-
X2 =
X2 = 80 Comprobamos X1 :
X1 = 200x x2
9600 = 200(120) (120)2 9600 = 24000 14400
9600 = 9600
Comprobamos X2 : X2 = 200x x
2
9600 = 200(80) (80)2 9600 = 16000 6400
9600 = 9600 CONCLUSIN: La compaa tiene a su disposicin dos
polticas: 1. Fijar el precio por unidad en:
P = 200 x1 P = 200 120 P = 80 Si fija el precio por artculo en
$120 tiene que vender 80 unidades para tener un ingreso de $9600.
2. Fijar el precio por unidad en:
P = 200 x2 P = 200 80 P = 120 Si fija el precio por artculo en
$80 tiene que vender 120 unidades para tener un ingreso de
$9600.
b) R/) P = ? I = 9900
Aplicamos frmula de Ingresos Totales: I = Px Reemplazamos y
resolvemos: 9900 = (200 x) x
9900 = 200x x2
Igualamos a cero para obtener una ecuacin cuadrtica: x2 200x +
9900 = 0 Identificamos los valores respectivos en la ecuacin
cuadrtica: a2 + bx + c = 0; donde: a = 1 b = -200 c = 9900
Utilizamos Frmula cuadrtica General:
Entonces hallamos las races para x:
X1
; reemplazamos los valores respectivos:
X1=
-
X1=
X1=
X1=
X1=
X1=
X1= 110
Hallamos la segunda raz de X, es decir X2:
X2 =
X2 =
X2 = 90 Comprobamos X1 :
X1 = 200x x2
9900 = 200(110) (110)2 9900 = 22000 12100
9900 = 9900
Comprobamos X2 : X2 = 200x x
2
9900 = 200(90) (90)2 9900 = 18000 8100
9900 = 9900 CONCLUSIN: La compaa tiene a su disposicin dos
polticas: 1. Fijar el precio por unidad en:
P = 200 x1 P = 200 110 P = 90 Si fija el precio por artculo en
$110 tiene que vender 90 unidades para tener un ingreso de $9900.
2. Fijar el precio por unidad en:
P = 200 x2 P = 200 90 P = 110 Si fija el precio por artculo en
$90 tiene que vender 110 unidades para tener un ingreso de $9900.
c/R)
x = ? U = 3200 P = 200 x C = 2800 + 45x Aplicamos frmula de
Utilidades: U = I C; pero como I = Px entonces tenemos que: U = Px
C
-
Reemplazamos y resolvemos: 3200 = (200 x) x (2800 + 45x)
3200 = 200x x2 2800 - 45x 3200 = 155x x2 2800 Igualamos a cero
para obtener una ecuacin cuadrtica: x2 155x + 2 800 + 3200 = 0 x2
155x + 6000 = 0 Identificamos los valores respectivos en la ecuacin
cuadrtica: a2 + bx + c = 0; donde: a = 1 b = -155 c = 6000
Utilizamos Frmula cuadrtica General:
Entonces hallamos las races para x:
X1
; reemplazamos los valores respectivos:
X1=
X1=
X1=
X1=
X1=
X1=
X1= 80 Hallamos la segunda raz de X, es decir X2:
X2 =
X2 =
X2 = 75
Comprobamos X1 : 3200 = 155x x2 2800 3200 = 155(80) (80)2 2800
3200 = 12400 6400 2800 3200 = 3200
Comprobamos X2 : 3200 = 155x x2 2800 3200 = 155(75) (75)2 2800
3200 = 11625 5625 2800 3200 = 3200
CONCLUSIN: La compaa tiene a su disposicin dos polticas:
-
1. Fijar el precio por unidad con x1 :
P = 200 x P = 200 80 P = 120
Hallamos los ingresos en x1:
I = Px I = 120 (80) I = 9600 Ahora hallamos C que es el costo de
produccin:
en X1:
C = 2800 + 45x C = 2800 + 45(80) C = 2800 + 3600 C = 6400
Utilizamos la frmula de utilidades para comprobar: U = I C 3200
= 9600 - 6400 3200 = 3200 Si fija el precio por artculo en $120
tiene que vender 80 unidades para tener una utilidad de $3200.
2. Fijar el precio por unidad con x2 :
P = 200 x P = 200 75 P = 125
Hallamos los ingresos en x2:
I = Px I = 125 (75) I = 9375 Ahora hallamos C que es el costo de
produccin:
en X2:
C = 2800 + 45x C = 2800 + 45(75) C = 2800 + 3375 C = 6175
Utilizamos la frmula de utilidades para comprobar: U = I C 3200
= 9375 - 6175 3200 = 3200 Si fija el precio por artculo en $125
tiene que vender 75 unidades para tener una utilidad de $3200.
d/R) P = ? U = 3150
Aplicamos frmula de Utilidades: U = I C; pero como I = Px
entonces tenemos que:
-
U = Px C Reemplazamos y resolvemos: 3150 = (200 x) x (2800 +
45x)
3150 = 200x x2 2800 - 45x 3150 = 155x x2 2800 Igualamos a cero
para obtener una ecuacin cuadrtica: x2 155x + 2 800 + 3150 = 0 x2
155x + 5950 = 0 Identificamos los valores respectivos en la ecuacin
cuadrtica: a2 + bx + c = 0; donde: a = 1 b = -155 c = 5950
Utilizamos Frmula cuadrtica General:
Entonces hallamos las races para x:
X1
; reemplazamos los valores respectivos:
X1=
X1=
X1=
X1=
X1=
X1=
X1= 85 Hallamos la segunda raz de X, es decir X2:
X2 =
X2 =
X2 = 70
Comprobamos X1 : 3150 = 155x x2 2800 3150 = 155(85) (85)2 2800
3150 = 13175 7225 2800 3150 = 3150
Comprobamos X2 : 3150 = 155x x2 2800 3150 = 155(70) (70)2 2800
3150 = 10850 4900 2800 3150 = 3150
-
CONCLUSIN: La compaa tiene a su disposicin dos polticas:
1. Fijar el precio por unidad con x1 :
P = 200 x1 P = 200 85 P = 115
Hallamos los ingresos en x1:
I = Px I = 115 (85) I = 9775 Ahora hallamos C que es el costo de
produccin:
en X1:
C = 2800 + 45x C = 2800 + 45(85) C = 2800 + 3825 C = 6 625
Utilizamos la frmula de utilidades para comprobar: U = I C 3150
= 9775 - 6 625 3150 = 3150 Si fija el precio por artculo en $115
tiene que vender 85 unidades para tener una utilidad de $3150.
2. Fijar el precio por unidad con x2 :
P = 200 x P = 200 70 P = 130
Hallamos los ingresos en x2:
I = Px I = 130 (70) I = 9100 Ahora hallamos C que es el costo de
produccin:
en X2:
C = 2800 + 45x C = 2800 + 45(70) C = 2800 + 3150 C = 5950
Utilizamos la frmula de utilidades para comprobar:
U = I C 3150 = 9100 - 5950
3150 = 3150 Si fija el precio por artculo en $130 tiene que
vender 70 unidades para tener una utilidad de $3150.
-
12. 22.) (Modelo de costo lineal) El costo variable de fabricar
una mesa es de $7 y los costos fijos son de $150 al da. Determine
el costo total yc de fabricar x mesas al da. Cul es el costo de
fabricar 100 al da?
SOLUCIN:
DATOS:
Cv = $7 en funcin de x
Cf = $150
yc = ?; yc = Ct; Ct = Cv + Cf entonces yc = Cv + Cf
Reemplazamos para determinar ecuacin costo total:
yc = 7x + 150
x = 100 yc = ?
yc = 7 (100) + 150
yc = 700 + 150
yc = 850
CONCLUSIN: El costo de fabricar 100 mesas al da es de $850
-
13. 23.) (Modelo de costo lineal) El costo de fabricar 100
cmaras digitales a la semana es de $700, y el de fabricar 120
cmaras a la semana es de $800. Determine la ecuacin de costos,
suponiendo que es lineal. Cules son los costos fijos y variables
por unidad? Cul es el costo para fabricar 200 cmaras?
SOLUCIN: (100,700) (120,800)
x1 y1 x2 y2 a) Aplicamos frmula pendiente de una recta:
Reemplazamos valores y resolvemos
Ahora aplicamos Frmula Ecuacin de la recta punto pendiente para
hallar la ecuacin de costos:
b) x = 200 y = ?
CONCLUSIN: Fabricar 200 cmaras tiene un costo de $1200.
-
14. 24.) (Modelo de costo lineal) A una compaa la cuesta $75
producir 10 unidades de cierto articulo al da y $120 producir 25
unidades del mismo artculo al da. Determine la ecuacin de costos,
suponiendo que es lineal. Cul es el costo de producir 20 unidades
al da? Cul es el costo variable y el costo fijo por artculo?
SOLUCIN:
DATOS:
(10, 75) (25,120)
x1 y1 x2 y2 a) Aplicamos frmula pendiente de una recta:
Reemplazamos valores y resolvemos
Ahora aplicamos Frmula Ecuacin de la recta punto pendiente para
hallar la ecuacin de costos:
b) x = 20 y = ?
CONCLUSIN: El costo de producir 20 unidades al da es de $105. c)
Cv = 3x Cf = $45
-
15. 25.) (Modelo de costo lineal) La compaa de mudanzas Ramrez
cobra $70 por transportar cierta maquina 15 millas y$100 por
transportar la misma mquina 25 millas. Determine la relacin entre
la cifra total y la distancia recorrida, suponiendo que lineal. Cul
es la tarifa mnima por transportar esta mquina?, Cul es la cuota
por cada milla que la maquina es transportada?
SOLUCIN:
DATOS:
(15, 70) (25, 100)
x1 y1 x2 y2 a) Aplicamos frmula pendiente de una recta para
hallar la relacin entre la cifra total y la distancia
recorrida:
Reemplazamos valores y resolvemos
Ahora aplicamos Frmula Ecuacin de la recta punto pendiente para
hallar la ecuacin de costos:
b) Como x representa las distancias suponemos que la distancia
mnima es una milla: x = 1 y = ?
c) CONCLUSIN: La cuota por cada milla vara con respecto a la
distancia, mientras ms distancia recorrida menor es la cuota y
viceversa.
-
16. 26.) (Modelo de costo lineal) Los costos fijos por fabricar
cierto artculo son de $300 a la semana y los costos totales por
fabricar 20 unidades a la semana son de $410. Determine la relacin
entre el costo total y el nmero de unidades producidas, suponiendo
que es lineal. Cul ser el costo de fabricar 30 unidades a la
semana?
SOLUCIN: DATOS: Cf = $300 Ct = $410 x = 20 Cv = ? Aplicamos
Frmula de costos para hallar costo variable:
Ct = Cv + Cf Reemplazamos y resolvemos: 410 = Cv(20) + 300
Reemplazamos, los datos dados y datos obtenidos, en la frmula de
costos para hallar la ecuacin de relacin entre costo total y nmero
de unidades producidas: Ct = 5.5x + 300
Cul ser el costo de fabricar 30 unidades a la semana?
x = 30 Ct = ? Ct = 5.5x + 300 Ct = 5.5(30) + 300 Ct = 165 + 300
Ct = 465 CONCLUSIN: El costo de fabricar 30 unidades a la semana es
$ 465.
-
17. 27.) (Modelo de costo lineal) Un hotel alquila un cuarto a
una persona a una tarifa de $25 por la primera noche y de 20 por
cada noche siguiente. Exprese el costo yc de la cuenta en trminos
de x, el nmero de noche que la persona se hospeda en el hotel.
SOLUCIN: DATOS: Cf = $25 x = 1 Ct = $410 Cv = 20(x 1); Cv
representa la tarifa de la segunda noche en adelante por la
cantidad de las noches siguientes:
yc representa el costo total de noches que la persona se hospeda
en el hotel: Entonces la ecuacin de costos estara dada as:
yc = 20(x 1) + 25
yc = 20x 20 + 25
yc = 20x + 5
Ejemplo:
En dado caso que la persona se hospede en el hotel 20 noches
cunto pagara?
x = 20 yc = ? yc = 20x + 5
yc = 20(20) + 5
yc = 405 CONCLUSIN: En caso de que la persona se hospede en el
hotel 20 noches en el hotel pagara $405.
-
18. 28.) (Modelo de costo lineal) Una compaa especializada
ofrece banquetes a grupos de personas al costo de $10 por personas,
ms un cargo extra de $150. Encuentre el costo yc que fijara la
compaa por x personas.
SOLUCIN: DATOS: Cf = $150 Cv = 10x; x representa el nmero de
personas:
yc = ?; pero
yc representa el costo total que fijara la compaa por x
personas, y si:
yc = Cv + Cf , entonces:
yc = 10x + 150
Ejemplo: Si la compaa ofreciera banquetes a 50 personas, cunto
cobrara?
x = 50 yc = ?
yc = 10x + 150
yc = 10(50) + 150
yc = 500 + 150
yc = 650
CONCLUSIN: Si la compaa ofreciera banquetes a 50 personas
cobrara $650.
-
19. 29.) (Modelo de costo lineal) El costo de boleto de un
autobs en Yucatn depende directamente de la distancia viajada. Un
recorrido de 2 millas cuesta $0.4, mientras que uno de 6 millas
tiene un costo de $0.6. Determine el costo de un boleto por un
recorrido de x millas.
SOLUCIN:
DATOS:
(2, 0. 4) (6, 0.6)
x1 y1 x2 y2 Aplicamos frmula pendiente de una recta para hallar
de relacin entre millas y costos:
Reemplazamos los valores dados y resolvemos:
Ahora aplicamos Frmula Ecuacin de la recta punto pendiente para
hallar la ecuacin que determina el costo de un boleto por un
recorrido de x millas:
Ejemplo: Si la persona viaja 20 millas, cunto costara su boleto?
x = 20 y = ?
CONCLUSIN: Si la persona viaja 20 millas su boleto costara
$1.3.
-
20. 30.) (Anlisis de punto de equilibrio) El costo variable de
producir cierto artculo es de $0.9 por unidad y los costos fijos
son de $240 al da. El artculo se vende por $1.2 c/u. Cuntos
artculos deber producir y vender para garantizar que no haya
prdidas ni ganancias?
SOLUCIN:
DATOS:
Cv = $0.9x
Cf = $240
Pv = $1.2 I = 1.2x
x = ? ; Pe
Si en Pe I = Ct entonces:
I =Cv + Cf
Reemplazamos los valores dados y resolvemos:
1.2x = 0.9x + 240
1.2x 0.9x = 240
0.3x = 240
x =
x = 800
Comprobamos:
I = Cv + Cf
1.2 (800) = 0.9 (800) + 240
960 = 720 + 240
960 = 960
CONCLUSIN: Se debern producir y vender 800 artculos para
garantizar de que no haya prdidas ni ganancias.
-
21. 31.) (Anlisis de punto de equilibrio) Los costos fijos por
producir cierto artculo son de $5000 al mes y los costos variables
son de $3.5 por unidad. Si el productor vende cada artculo a $6.
Encuentre el punto de equilibrio. Cuntas unidades deben producirse
y venderse para obtener unas utilidades $1000 mensual? Obtenga la
perdida cuando solo 1500 unidades se producen y venden al mes.
SOLUCIN:
DATOS:
a) Cf = $5000
Cv = 3.5x
Pv = $6 I = 6x
x = ? ; Pe
b) x = ? U = $1000 c) x = 1500 Prdidas = ? a/R) Pe; I = Ct I =
Cv + Cf Reemplazamos los datos dados: 6x = 3.5x + 5000 6x 3.5x =
5000 2.5x = 5000
x =
x = 2000 CONCLUSIN a): El productor tiene que producir y vender
2000 unidades para no perder en el negocio. b) x = ? U = $1000 I =
6x Ct = Cv + Ct Ct = 3.5x + 5000 Utilizamos Frmula de utilidades: U
= I Ct Reemplazamos los valores conocidos: 1000 = 6x (3.5x + 5000)
1000 = 6x 3.5x - 5000 1000 = 2.5x 5000 2.5x = 1000 + 5000
x =
x = 2400
-
CONCLUSIN b): El productor tiene que producir y vender 2400
unidades para poder obtener utilidades de $1000. c) x = 1500
Prdidas = U cuando tiene signo negativo U = I Ct U = 6x 3.5 x 5000
U = 2.5x 5000 U = 2.5 (1500) 5000 U = 3750 5000 U = 1250 CONCLUSIN:
Por producir y vender 1500 unidades el productor reporta prdidas
por $1250.
-
22. 32.) (Anlisis de punto de equilibrio) El costo de producir x
artculos esta dado por yc=2.8x+600 y cada artculo se vende a $4.
Encuentre el punto de equilibrio. Cul debera ser el precio fijado a
cada artculo para garantizar que no haya perdidas si se sabe que al
menos 450 unidades de vendern?
SOLUCIN:
DATOS:
a) yc = 2.8x + 600
Pv = $4 I = 4x
x = ? ; Pe = ?
b) Pv = ?
Pe = ? x = 450
a/R) Pe; I = Ct ; Ct = yc I= yc Reemplazamos los datos dados y
resolvemos: 4x = 2.8x + 600 4x 2.8x = 600 1.2x = 600
x =
x = 500 CONCLUSIN a): Para hallar el punto de equilibrio se
deben producir y vender 500 unidades.
b/R) ) Pv = ?
Pe = ? x = 450
Para hallar Pv en este punto primero hallaremos I:
I= yc I = 2.8x + 600 I = 2.8 (450) + 600 I = 1260 + 600 I = 1860
Ahora como I = Pv(x)
Pv =
Pv =
Pv = 4.14
-
Comprobamos:
I= yc I = 2.8x + 600 1860 = 2.8 (450) + 600 1860 = 1260 + 600
1860 = 1860 CONCLUSIN b) Si se sabe que al menos 450 unidades se
vendern se debe fijar un precio de $4,14 por artculo para que no
haya prdidas.
-
23. 33.) (Anlisis de punto de equilibrio) Un fabricante produce
artculos a un costo variable de $0.85c/u y los costos fijos son de
$280 al da. Si cada artculo puede venderse a $1.1 determine el
punto de equilibrio.
SOLUCIN:
DATOS:
Cv = $0.85x
Cf = $280
Pv = $1.1 I = 1.1x
Pe = ?
Pe; I = Ct
I = Cv + Cf 1.1x = 0.85x + 280 1.1x - 0.85x = 280 0.25x =
280
x =
x = 1120
CONCLUSIN: Si cada artculo el fabricante lo vende a $1.1 tiene
que vender 1120 unidades para mantener el punto de equilibrio.
-
24. 34.) (Depreciacin) Juan compr un automvil nuevo por $10000.
Cul es el valor V del automvil despus de t aos, suponiendo que
deprecia linealmente cada ao a una tasa del 12% de su costo
original? Cul es el valor del automvil despus de 5 aos?
SOLUCIN:
DATOS:
a) v1 = $10000 t1 = 0
v2 = v1 v1(12%)
v2 = $10000 $10000(0.12)
v2 = $10000 $1200
v2 = $8800 t2 = 1
(10000, 0) ( 8800, 1)
v1 t1 v2 t2
Aplicamos ecuacin pendiente depreciativa de una recta para
hallar la relacin de depreciacin:
Utilizamos frmula ecuacin de la recta punto pendiente
depreciativa para hallar ecuacin que determina la ecuacin de
depreciacin lineal del vehculo:
b) v = ? t = 5
CONCLUSIN: El valor del automvil despus de 5 aos es de
$2800.
-
25. 35.) (Depreciacin) Una empresa compro maquinaria nueva por
$15000. Si se deprecia linealmente en $750 al ao y si tiene un
valor de deprecio de $2250, Por cunto tiempo estar la maquina en
uso? Cul ser el valor V de la maquinaria despus de t aos de uso y
despus de 6 aos de uso?
SOLUCIN:
DATOS:
a) v1 = $15000 t1 = 0
v2 = v1 $2250
v2 = $15000 $2250
v2 = $12750 t2 = 1
(15000, 0) (12750, 1)
v1 t1 v2 t2
Aplicamos ecuacin pendiente depreciativa de una recta para
hallar la relacin de depreciacin de la maquinaria:
Ahora utilizamos frmula ecuacin de la recta punto pendiente
depreciativa para hallar ecuacin que determina la ecuacin de
depreciacin lineal del vehculo:
b) t = ? v= 0
t = 6.66
CONCLUSIN: La mquina estar en uso por 7 aos aproximadamente.
-
c/R) t = 6 v= ?
CONCLUSIN: Despus de 6 aos de uso la mquina tendr un valor de
$1500.
-
26. 36.) (Depreciacin) La seora Olivares compro un TV nuevo por
$800 que se deprecia linealmente cada ao un 15% de su costo
original. Cul es el valor del TV despus de t aos y despus de 6 aos
de uso?
SOLUCIN:
DATOS:
a) v1 = $800 t1 = 0
v2 = v1 v1(15%)
v2 = $800 $800(0.15)
v2 = $800 $120
v2 = $680 t2 = 1 (0, 800) (1, 680)
v1 t1 v2 t2
b) Ahora utilizamos frmula ecuacin de la recta punto pendiente
depreciativa para hallar ecuacin que determina la ecuacin de
depreciacin anual del TV:
c) t = 6 v= ?
CONCLUSIN: Despus de 6 aos de uso el TV tendr un valor de
$80.
-
27. 37.) (Ecuacin de la oferta) A un precio de $2.5 por unidad,
una empresa ofrecer 8000 camisetas al mes; a $4 cada unidad, la
misma empresa ofrecer 14000 camisetas al mes. Determine la ley de
la oferta, suponiendo que es lineal.
SOLUCIN:
DATOS:
a) P1 = $2.5 x1 = 8000
P2 = $4 x2 = 14000 (8000, 2.5) (14000, 4)
x1 y1 x2 y2 Aplicamos frmula pendiente de una recta para hallar
relacin lineal de la oferta:
Reemplazamos los valores dados y resolvemos:
Ahora aplicamos Frmula Ecuacin de la recta punto pendiente para
hallar la ecuacin que determina la ley de la oferta:
Ejemplo: Si la empresa ofreciera 20000 camisetas Qu precio
ofrecera? x = 20000 y = ?
CONCLUSIN: Si la empresa ofreciera 20000 camisetas el precio
sera $5.5 por unidad.
-
28. 38.) (Relacin de la demanda) Un fabricante de herramientas
puede vender 3000 martillos al mes a $2 c/u, mientras que solo
puede vender 2000 a $2.75 c/u. determine la ley de la demanda,
suponiendo que es lineal.
SOLUCIN:
DATOS:
a) x1 = 3000 P1 = $2
x2 = 2000 P2 = $2.75 (3000, 2) (2000, 2.75)
x1 y1 x2 y2 Aplicamos frmula pendiente de una recta para hallar
relacin lineal de la demanda de martillos:
Reemplazamos los valores dados y resolvemos:
Ahora aplicamos Frmula Ecuacin de la recta punto pendiente para
hallar la ecuacin que determina la ley de la demanda de los
martillos:
Ejemplo: Si el fabricante baja su precio a $1.5 Cul sera la
cantidad demandada? y = $1.5 x = ?
CONCLUSIN: Si el fabricante baja el precio de los martillos a
$1.5 la cantidad demandada sera de 4000 unidades.
-
29. 39.) (Punto de equilibrio del mercado) Encuentre el precio y
la cantidad de equilibrio de las curvas de
demandas y ofertas siguientes: D: 2p+3x=100 y O: p =
x+2; D: 3p+5x=200 y O: 7p-3x= 56; D: 4p+x= 50 y O:
6p-5x=10; D5p+8x y O: 3x=2p-1.