INSTITUTO TECNOLGICO DE CELAYALa Tcnica por un Mxico mejor
REPORTE FINALMuniz Ferreira Arias Thalia lvarez Snchez Fernando Lara Alemn Edgar Omar Jimnez Hernndez Alfonso #24 #19 #14 #13
Profesor : Dr. lvaro Sanchez Rodriguez
Fecha de entrega: 6 de junio de 2011
TEMARIO1. Introduccin 2. Objetivos 3. Vibracin libre 3.1. Anlisis matemtico 3.1.1. Ejercicio1 3.1.1.1. Posicin con Mathematica 3.1.1.2. Velocidad con Mathematica 3.1.1.3. Aceleracin con Mathematica 3.1.1.4. Posicin con Matlab 3.1.1.5. Velocidad con Matlab 3.1.1.6. Aceleracin con Matlab 3.1.2. Ejercicio 2 3.1.2.1. Posicin con Mathematica 3.1.2.2. Velocidad con Mathematica 3.1.2.3. Aceleracin con Mathematica 3.1.2.4. Posicin con Matlab 3.1.2.5. Velocidad con Matlab 3.1.2.6. Aceleracin con Matlab 3.1.3. Ejercicio 3 3.1.3.1. Posicin con Mathematica 3.1.3.2. Velocidad con Mathematica 3.1.3.3. Aceleracin con Mathematica 3.1.3.4. Posicin con Matlab 3.1.3.5. Velocidad con Matlab 3.1.3.6. Aceleracin con Matlab 4. Vibracin amortiguada 4.1. Anlisis matemtico 4.1.1. Movimiento sobre-amortiguado 4.1.1.1. Posicin con Mathematica 4.1.1.2. Velocidad con Mathematica 4.1.1.3. Aceleracin con Mathematica 4.1.1.4. Posicin con Matlab 4.1.1.5. Velocidad con Matlab 4.1.1.6. Aceleracin con Matlab 4.1.2. Caso Crticamente amortiguado 4.1.2.1. Posicin con Mathematica 4.1.2.2. Velocidad con Mathematica 4.1.2.3. Aceleracin con Mathematica 4.1.2.4. Posicin con Matlab 4.1.2.5. Velocidad con Matlab 4.1.2.6. Aceleracin con Matlab 4.1.3. Movimiento subamortiguado
4.1.3.1. Posicin con Mathematica 4.1.3.2. Velocidad con Mathematica 4.1.3.3. Aceleracin con Mathematica 4.1.3.4. Posicin con Matlab 4.1.3.5. Velocidad con Matlab 4.1.3.6. Aceleracin con Matlab 5. Vibracin forzada 5.1. Anlisis matemtico 5.1.1. Caso 1 5.1.1.1. Posicin con Mathematica 5.1.1.2. Velocidad con Mathematica 5.1.1.3. Aceleracin con Mathematica 5.1.1.4. Posicin con Matlab 5.1.1.5. Velocidad con Matlab 5.1.1.6. Aceleracin con Matlab 5.1.2. Caso 2 : Wf=Wn 5.1.2.1. Posicin con Matlab 5.1.2.2. Velocidad con Matlab 5.1.2.3. Aceleracin con Matlab 5.1.3. Caso 3 Wf>Wn 5.1.3.1. Posicin con Mathematica 5.1.3.2. Velocidad con Mathematica 5.1.3.3. Aceleracin con Mathematica 5.1.3.4. Posicin con Matlab 5.1.3.5. Velocidad con Matlab 5.1.3.6. Aceleracin con Matlab 6. Vibracin forzada amortiguada 6.1. Anlisis matemtico 6.1.1. Caso 1 Wfwn 6.1.3.1. Posicin con Mathematica
6.1.3.2. 6.1.3.3. 6.1.3.4. 6.1.3.5. 6.1.3.6.
Velocidad con Mathematica Aceleracin con Mathematica Posicin con Matlab Velocidad con Matlab Aceleracin con Matlab
1.-INTRODUCCINEn esta prctica se realizan anlisis matemticos que nos permiten visualizar las graficas de los movimientos libre, forzado, amortiguado y forzado amortiguado. Aunadas a los anlisis matemticos se encuentran las graficas de desplazamiento, velocidad y aceleracin. La simulacin fue realizada en el software Matlab y las comprobaciones de los anlisis matemticos fueron realizados en Mathematica. Esto nos permiti ver la asertividad de nuestros clculos.
2.-OBJETIVOSRealizar el anlisis matemtico y comprobarlo en el software matlab usando la herramienta simulink. Los casos que deben analizarse son los siguientes. Vibracin libre: A)
B)
C)
Vibracin amortiguada Aplicar las Condiciones iniciales
y variar la c para que se cumplan las siguientes condiciones A)
B)
C)
Vibracin Forzada
Aplicar las condiciones iniciales
Y para este caso variar Wf para que cumpla las siguientes condiciones A)
B)
C)
Vibracin forzada amortiguada Aplicar las condiciones iniciales
Y para este caso variar Wf para que cumpla las siguientes condiciones A)
B)
C)
3.-VIBRACIN LIBRE 3.1 Anlisis matemtico
Reescribiendo la ecuacin:
Podemos manejar una solucin general donde
3.1.1 Ejercicio 1: Aplicando las siguientes condiciones iniciales:
Despejamos A y B:
Por lo tanto la solucin queda de la siguiente forma:
Con el programa mathematica obtenemos las siguiente ecuaciones, esto es para poder compararlas con las obtenidas en Matlab. 3.1.1.1. Posicin con Mathematica0.04
0.02
1
2
3
4
5
0.02
0.04
3.1.1.2 Velocidad con Mathematica0.6
0.4
0.2
1 0.2
2
3
4
5
0.4
0.6
3.1.1.3 Aceleracin con Mathematica
5
1
2
3
4
5
5
Ahora con el software Matlab, obtenemos las grficas de las ecuaciones del movimiento:
3.1.1.4 Posicin con Matlab:
3.1.1.5. Velocidad con Matlab:
3.1.1.6 Aceleracin con Matlab:
3.1.2. Ejercicio 2: Aplicando las siguientes condiciones iniciales:
Despejamos A y B:
Aplicando los siguientes valores:
Por lo tanto la solucin queda de la siguiente forma:
Con el programa mathematica obtenemos las siguiente ecuaciones, esto es para poder compararlas con las obtenidas en Matlab. 3.1.2.1 Posicin con Mathematica
0.05
1
2
3
4
5
0.05
3.1.2.2. Velocidad con Mathematica1.0
0.5
1
2
3
4
5
0.5
1.0
3.1.2.3 Aceleracin con Mathematica
10
5
1
2
3
4
5
5
10
Ahora con el software matlab, obtenemos las grficas de las ecuaciones del movimiento: 3.1.2.4. Posicin con Matlab:
3.1.2.5.Velocidad con Matlab:
3.1.2.6. Aceleracin con Matlab:
3.1.3. Ejercicio 3: Aplicando las siguientes condiciones iniciales:
Despejamos A y B:
Aplicando los siguientes valores:
Por lo tanto la solucin queda de la siguiente forma:
Con el programa mathematica obtenemos las siguiente ecuaciones, esto es para poder compararlas con las obtenidas en Matlab.
3.1.3.1 Posicin con Mathematica
0.05
1
2
3
4
5
0.05
3.1.3.2. Velocidad con Mathematica1.0
0.5
1
2
3
4
5
0.5
1.0
3.1.3.3. Aceleracin con Mathematica15
10
5
1 5
2
3
4
5
10
15
Ahora con el software Matlab, obtenemos las grficas de las ecuaciones del movimiento: 3.1.3.4 Posicin con Matlab:
3.1.3.5. Velocidad con Matlab
3.1.3.6. Aceleracin con Matlab:
4. VIBRACIN AMORTIGUADAVibracin libre amortiguada. La ecuacin que describe a un sistema masa-resorte-amortiguador sin excitacin es la que se muestra a continuacin:
En nuestro se tomaran los siguientes valores para la masa, para la constante de elasticidad del resorte y para la constante de amortiguacin: m = 5 kg. K = 800 N /m a). Movimiento Sobre- amortiguado. c = 151.8 N.s /m b). Movimiento crticamente amortiguado. c = 126.4911 N.s/m c). Movimiento sub-amortiguado. c = 12.65 N.s/m Condiciones iniciales.
4.1 Anlisis Matemtico.
4.1.1 Movimiento Sobre- Amortiguado. c = 151.8 N.s /m
Aplicando las condiciones iniciales se obtiene las siguientes ecuaciones: 0.05 = A + B 1 = -6.7884 * A - 23.5693 * B Resolviendo este sistema de ecuaciones se obtiene la funcin del desplazamiento del sistema respecto al tiempo, esta funcin junto con la funcin de velocidad y aceleracin se muestran a continuacin:
Las funciones obtenidas anteriormente se grafican en mathematica:
4.1.1.1 Posicin con Mathematica0.07
0.06
0.05
0.04
0.03
0.02
0.01
1
2
3
4
4.1.1.2. Velocidad con Mathematica1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
1 0.2
2
3
4
4.1.1.3. Aceleracin con Mathematica1 2 3 4
10
20
30
Ahora con ayuda del programa Matlab realizamos la simulacin para posicin velocidad y aceleracin. 4.1.1.4. Posicin con Matlab
4.1.1.5. Velocidad con Matlab:
4.1.1.6. Aceleracin con Matlab
4.1.2. Caso crticamente amortiguado
Derivando
Sustituyendo A1 y A2
Ahora con ayuda del programa Mathetmatica vamos a realizar las grficas de posicin, velocidad, aceleracin
4.1.2.1 Posicin con Mathematica0.07 0.06 0.05 0.04 0.03 0.02 0.01
1
2
3
4
5
4.1.2.2. Velocidad con Mathematica1.0 0.8 0.6 0.4 0.2
1 0.2
2
3
4
5
4.1.2.3 Aceleracin con Mathematica
1 5 10 15 20 25 30
2
3
4
5
Ahora con ayuda del programa Matlab vamos a realizar las simulaciones de la posicin, velocidad y aceleracin 4.1.2.4. Posicin con Matlab
4.1.2.5. Velocidad con Matlab
4.1.2.6. Aceleracin con Matlab
4.1.3. Movimiento sub-amortiguado.
Aplicando las condiciones iniciales se obtiene el valor de las constantes A y B. B= 0.05 A = - 0.084
La funcin de desplazamiento del movimiento sub-amortiguado es la que se muestra a continuacin, junto con la funcin de velocidad y aceleracin :
4.1.3.1. Posicin con Mathematica
0.05
1
2
3
4
0.05
4.1.3.2. Velocidad con Mathematica1.0
0.5
1
2
3
4
5
0.5
1.0
4.1.3.3. Aceleracin con Mathematica10
5
1
2
3
4
5
5
10
15
Ahora con ayuda del programa matlab se realizarn las grficas nuevamente para la posicin, velocidad y aceleracin
4.1.3.4. Posicin con Matlab
4.1.3.5. Velocidad con Matlab
4.1.3.6. Aceleracin con Matlab
5. VIBRACIN FORZADA5.1 Anlisis matemtico
Si se tiene que
Si tomamos la elongacin mxima como:
Entonces tenemos que
Despejando tenemos
Solucin general
Calculando la solucin particular:
Sustituyendo por x en la solucin particular tenemos que
Tambin sustituyendo podemos obtener de forma similar:
Al sumar la solucin particular a la solucin complementaria obtenemos la solucin general de la ecuacin
Derivando
Para este caso se van a realizar tres anlisis 5.1.1 Caso 1 WfWn
Aplicando las condiciones iniciales:
Sustituyendo obtenemos la ecuacin para la posicin y derivando una y dos veces se obtienen ecuaciones para velocidad y aceleracin respectivamente.
5.1.3.1. Posicin con Mathematica0.10
0.05
1
2
3
4
5
0.05
0.10
5.1.3.2. Velocidad con Mathematica1.5
1.0
0.5
1 0.5
2
3
4
5
1.0
1.5
5.1.3.3. Aceleracin con Mathematica
30 20 10
1 10 20 30
2
3
4
5
Ahora con ayuda del programa matlab se realizaron las grficas de posicin, velocidad y aceleracin.
5.1.3.4. Posicin con Matlab
5.1.3.5. Velocidad con Matlab
5.1.3.6. Aceleracin con Matlab
6. VIBRACIN FORZADA AMORTIGUADA6.1. Anlisis matemtico
Sobrescribiendo la ecuacin tenemos:
La solucin de esta ecuacin se obtiene en 2 partes
Donde Xh sea la solucin de la ecuacin homognea y Xp ser la solucin particular Para obtener la solucin particular se plantea lo siguiente:
Sustituyendo en la ecuacin resultante del anlisis de la segunda ley de newton, ZF=ma
Podemos plantear las siguientes ecuaciones simultneas:
Resolviendo las ecuaciones simultaneas para Xm y
obtenemos que:
Entonces la solucin particular queda de la siguiente manera
Por lo tanto la solucin general queda:
. Subamortiguamiento o amortiguamiento dbil c
