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UNIVERSIDAD DE EL SALVADOR.FACULTAD MULTIDISCIPLIANRIA DE OCCIDENTE.DEPARTAMENTO DE INGENIERIA Y ARQUITECTURA.GRUPO TERICO NMERO UNO.

PROBABILIDAD Y ESTADISTICA.DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD.

PARA: ING. EDUARDO ANTONIO MARROQUN ESCOTO.

DE:MELARA HERNANDEZ, ANDREA ALEJANDRA.GUERRA PORTILLO, IVAN ARMANDO.BARRIENTOS HERNANDEZ, RICARDO ALBERTO.

FECHA DE ENTREGA: VIERNES 29 DE MAYO DE 2015

NDICE.

DISTRIBUCIN MULTINOMIAL.

Este modelo se puede ver como una generalizacin delBinomialen el que, en lugar de tener dos posibles resultados, tenemosrresultados posibles.Propiedades del experimento multinomial:1. Sonpruebas ensayos repetidos e idnticos (con reposicin).2. En cada prueba ensayo se pueden producirresultados.3. Las probabilidades de cada uno de losresultadospermanecen constantes en todas las pruebas ensayos. Donde p1 +p2 + +pk=14. Son pruebas ensayos independientes.5. El inters se centra en contar losxitos que se producen en losensayos de cada una de lascategoras posibles de observar cada vez.Si una prueba intento puede dar cualquiera de losresultados posiblescon probabilidades, entonces la distribucin multinomial dar la probabilidad de que:

Enpruebas independientes.

Y donde:yComo son pruebas independientes, cualquier orden especfico que produzca Ocurrir conde probabilidad.

El nmero de rdenes arreglos que pueden producir resultados similares ser:

Combinando los dos componentes, se tiene entonces que:

Cony

Laesperanza matemticadel sucesoiobservado ennpruebas es:

Lavarianzaes:

Ejemplo.Se sabe que las bombas de gasolina para autos existentes en el mercado se pueden clasificar en:De rendimiento excelente.De rendimiento bueno.De rendimiento regular.De rendimiento malo.Se selecciona una muestra debombas mediante proceso aleatorio. Cul ser la probabilidad de que quede conformada por:y?

DISTRIBUCIN HIPERGEOMETRICA.En teora de la probabilidad la distribucin hipergeomtrica es una distribucin discreta relacionada con muestreos aleatorios y sin reemplazo. La distribucin hipergeomtrica considera el caso en el cual una poblacin finita se divide en dos grupos, uno de los cuales se considera "xitos" y el otro "Fracasos. La distribucin hipergeomtrica es aplicable a muestreos sin reemplazo en una poblacin finita.Frmula.La frmula que se debe emplear para la distribucin hipergeomtrica es:

Siendo: P(x)= probabilidad hipergeomtrica que se va a calcular para un valor dado de x. N= Tamao de la poblacin. A= Numero de xitos en la poblacin n= Tamao de la muestra x= Numero de xitos en la muestraEs necesario tener en cuenta que x no pude exceder a A ni a n.Recordemos que: Media, varianza y desviacin estndar.

Varianza

Ejemplo.En una jaula hay 30 pericos rusos y 20 pericos chinos, si extraemos 10 pericos al azar. Cul es la probabilidad de que 3 de ellos hablen chino?

DISTRIBUCIN DE PROBABILIDAD POISSON.

Ejemplo.En la inspeccin de hojalata producida por un proceso electroltico continuo, se identifican 0.2 imperfecciones en promedio por minuto. Determine las probabilidades de identificar a) una imperfeccin en 3 minutos, b) al menos dos imperfecciones en 5 minutos, c) cuando ms una imperfeccin en 15 minutos.

Solucin:a) x = variable que nos define el nmero de imperfecciones en la hojalata por cada 3 minutos = 0, 1, 2, 3,...., etc., etc.l = 0.2 x 3 =0.6 imperfecciones en promedio por cada 3 minutos en la hojalata b) X = variable que nos define el nmero de imperfecciones en la hojalata por cada 5 minutos = 0, 1, 2, 3,...., etc., etc.l = 0.2 x 5 =1 imperfeccin en promedio por cada 5 minutos en la hojalata =1-(0.367918+0.367918) = 0.26416 c) X = variable que nos define el nmero de imperfecciones en la hojalata por cada 15 minutos = 0, 1, 2, 3,....., etc., etc.l = 0.2 x 15 = 3 imperfecciones en promedio por cada 15 minutos en la hojalata 0.0498026 + 0.149408 = 0.1992106

DISTRIBUCIN DE PROBABILIDAD UNIFORME

La distribucin de probabilidad uniforme es un ejemplo de una distribucin de probabilidad es continua. Una distribucin de probabilidad es continua cuando los resultados posibles del experimento son obtenidos de variables aleatorias continuas, es decir, de variables cuantitativas que pueden tomar cualquier valor, y que resultan principalmente del proceso de medicin.Ejemplos de variables aleatorias continuas son:La estatura de un grupo de personasEl tiempo dedicado a estudiarLa temperatura en una ciudadEs una distribucin en el intervalo [a,b] en la cual las probabilidades son las mismas para todos los posibles resultados, desde el mnimo de a hasta el mximo de b. El experimento de lanzar un dado es un ejemplo que cumple la distribucin uniforme, ya que todos los 6 resultados posibles tienen 1/6 de probabilidad de ocurrencia.

La funcin de densidad de una distribucin uniforme (altura de cada rectngulo en la grfica anterior) es:

Dnde:a = mnimo valor de la distribucinb = mximo valor de la distribucinb a = Rango de la distribucinLa media, valor medio esperado o esperanza matemtica de una distribucin uniforme se calcula empleando la siguiente frmula:

La varianza de una distribucin uniforme se calcula empleando la siguiente frmula:

De donde la desviacin estndar es

La probabilidad de que una observacin caiga entre dos valores se calcula de la siguiente manera:

Ejemplo.1. Un reloj de manecillas se detuvo en un punto que no sabemos. Determine la probabilidad de que se haya detenido en los primeros 25 minutos luego de sealar la hora en un punto.SolucinIntervalo [0-60]

LA DISTRIBUCIN GAMMAEste modelo es una generalizacin del modelo Exponencial ya que, en ocasiones, se utiliza para modelar variables que describen el tiempo hasta que se produce p veces un determinado suceso.Su funcin de densidad es de la forma:

Como vemos, este modelo depende de dos parmetros positivos:yp. La funcin (p) es la denominadafuncin Gamma de Eulerque representa la siguiente integral:

Que verifica(p+ 1) =p(p), con lo que, sipes un nmero entero positivo,(p+ 1) =p!

Propiedades de la distribucin Gamma Su esperanza esp. Su media es =p Su varianza esp2 su desviacin tpica o estndar es

La distribucin Gamma (, p= 1)es una distribucin Exponencial de parmetro . Es decir, el modelo Exponencial es un caso particular de la Gamma conp= 1. Dadas dos variables aleatorias con distribucin Gamma y parmetro comn X~G(,p1)yY~G(,p2) Se cumplir que la suma tambin sigue una distribucin GammaX+Y~G (,p1+p2).Una consecuencia inmediata de esta propiedad es que, si tenemoskvariables aleatorias con distribucin Exponencial de parmetro (comn) e independientes, la suma de todas ellas seguir una distribucinG (,k).

Ejemplo:

DISTRIBUCIN EXPONENCIALNotacin:

Enestadsticaladistribucin exponenciales unadistribucin de probabilidadcontinua con un parmetrocuya funcin de densidades:

Sufuncin de distribucinacumulada es:

Donderepresenta elnmero e.Elvalor esperado (media)y lavarianzade unavariable aleatoriaX con distribucin exponencial son:

La mediana es:

La distribucin exponencial es un caso particular dedistribucin gammaconk= 1. Adems la suma de variables aleatorias que siguen una misma distribucin exponencial es una variable aleatoria expresable en trminos de la distribucin gamma.Antes de introducir la variable exponencial puede mirarse un origen natural de sta a partir de una variable aleatoria Poisson, la cual indica el nmero de veces que ocurre un evento en una unidad de tiempo. Si se escribe la funcin de probabilidad Poisson de la siguiente manera:La probabilidad de que no ocurra algn evento, en el periodo hasta el tiempoest dada por:

De esta manera, puede definirse ahora una variable aleatoria continuaque mide el tiempo que tarda en ocurrir el primer evento de Poisson. Es decir,

Lo que permite construir la funcin de distribucin acumulada as:

Al derivar, con respecto ase tiene lafuncin de densidad de la variable aleatoria exponencial.

Observaciones:1. En la definicin de la variable aleatoria exponencial, sta se plantea como tiempo que tarda en ocurrir el primer evento Poisson. Sin embargo, esta definicin puede hacerse extensiva a las dems unidades de medicin consideradas en los eventos de Poisson, por ejemplo, cantidad de metros de carretera que deben recorrerse hasta que aparezca el primer bache, cantidad deque deben inspeccionarse en una hacienda hasta que aparezca el primer cafetal de broca, etc.2. En el lenguaje de las aplicaciones tambin se utiliza la distribucin exponencial para modelar tiempo entre eventos, distancia entre eventos, volumen entre eventosEjemplo.Suponga que un sistema contiene cierto tipo de componente cuyo tiempo de falla en aos est dado por la variable aleatoria T, distribuida exponencialmente con tiempo promedio de falla. S 5 de estos componentes se instalan en diferentes sistemas, cul es la probabilidad de que al menos 2 continen funcionando despus de 8 aos?Solucin:La probabilidad de que un determinado componente est funcionando an despus de 8 aos es:La | nos indica que la integral se vaa evaluar desde 8 hastaSeaxel nmero de componentes funcionando despus de 8 aos. Entonces mediante la distribucin Binomial,n = 5p = 0.20 = probabilidad de que un componente est funcionando despus de 8 aosq = 1-p = 0.80 = probabilidad de que un componente no funcione despus de 8 aosP(x2) = p(x=2) + p(x=3) + p(x=4)+p(x=5) = 1 p(x = 0, 1)

BIBLIOGRAFA. http://www.aulafacil.com/cursos/l11243/ciencia/estadisticas/estadisticas/distribuciones-discretas-multinomial (25/05/15)

http://www.virtual.unal.edu.co/cursos/ciencias/2001065/html/un2/cont_228_70.html(25/05/15)http://es.slideshare.net/sistemas2013/estadstica-hipergeometrica (25/05/12)http://habitantedelinfinito.blogspot.com/2014/01/distribucion-hipergeometrica.html (27/05/2015)http://www.monografias.com/trabajos86/distribucion-probabilidad-uniforme/distribucion-probabilidad-uniforme.shtml#ixzz3bNuoRzX1http://www.ub.edu/stat/GrupsInnovacio/Statmedia/demo/Temas/Capitulo4/B0C4m1t7.htmhttp://www.monografias.com/trabajos94/distribucion-gamma/distribucion-gamma.shtmlhttp://es.wikipedia.org/wiki/Distribuci%C3%B3n_exponencialhttp://www.virtual.unal.edu.co/cursos/ciencias/2001065/html/un2/cont_235_77.htmlhttp://www.itchihuahua.edu.mx/academic/industrial/sabaticorita/_private/03Distribucion%20Exponencial.htm