Trabajo de Calculo, Asintotas, Continuidad y Limites Trigonometricos. (Angel Rodriguez)

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REPUBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA MINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA

EDUCACIÓN UNIVERSITARIA

UNIVERSIDAD YACAMBU

CABUDARE – ESTADO LARA

Nombre: Angel D Rodríguez R.

C.I. 25.146.710.

Expediente: III-133-00236.

Profesor: Rubén Bravo.

Sección: MA12TOP.

Cabudare; 09 de Abril del 2014.

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Resolver detalladamente cada ejercicio.

1. ���(�) � −4,��� < −2��� ,�� − 2 ≤ � < 2� − 1,��� ≥ 2 , ������ ��)lim�→�� �(�)�)lim�→� �(�)

2. Hallar lim →!" #$%& �!"'()# �√�+

3. Hallar lim�→, -�()#��.�+

4. Hallar a y b sabiendo que la siguiente función es continua en −2.

�(�) � �/, ��� ≤ −20�� − 2�, ��� > −2

5. Hallar las asíntotas verticales y horizontales de la gráfica de la ecuación. �2� − 2� − 4� − 8 = 0

6. Sea g(x)= 2x2 + x. Calcular g’ (x) por definición.

7. Hallar a y b para que la función dada sea continua en su dominio.

�(�)6 −2, ��� < −1�� + �, �� − 1 ≤ � < 32, ��� ≥ 3

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Ejercicios:

1. Sif(x) � −4,six < −2 �� ,si − 2 ≤ x < 2x − 1,six ≥ 2 , Hallar �a)lim →�� f(x)b)lim →� f(x)

Solución:

a) ∃lim →�� f(x) = −4

lim →��B x/2 = (−2)/2 = −82 = −4

lim →��C−4 = −4

Luego el límite existe ya que los laterales son iguales así lim�→�� �(�) = −4

b) lim →�B x − 1 = 2 − 1 = 1

lim →�C x/2 = (2)/2 = 82 = 4

∄lim →� f(x)yaqueloslateralessondiferentes.

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2. Hallar lim →!" #N%O �P"Q()# �√�+ = ,, R. S

Solución:

Ya que lim →!" sen x −TU = sen TU −TU = sen0 = 0 Λ

lim →!" cos x −√/� = cos TU −√/� =√/� −√/� = 0

SeaW = x − π6 ⇒ x = [W+ π6\

x → π6 W → 0

Así; lim]→, #N%]^_`O]a!"Q�√�+ de la identidad cos(A+B)= cos A × cos B – sen A × sen B

lim]→, #N%]()#]×()#!"�#N%]×#N%!"�√�+

Como cos TU = cos30° = √/� Λ senTU = cos30° =

-�

Tenemos lim]→, #N%]√�+ ()#]�c+#N%]�√�+

Reagrupando tenemos lim]→, #N%]�c+#N%]�√�+ (-�()#])

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Si dividimos numerador y denominador por W ya que W → 0 Λ W ≠ 0

Tenemos lim]→, efghi�c+efghi �√�+ OcCjke hi Q

Aplicando teorema de límites y usando los límites fundamentales de lim]→, #N%]] = 1 Λ lim]→, -�()#]] = 0

Tenemos = l$mh→nefghh�c+ l$mh→nefghi �√�+ l$mh→n OcCjke hi Q

= -−12−√32 ×0 = −2

Así que el lim →!" #$%& �!"'()# �√�+ = −2.

1

1 0

0

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3. Hallar lim →, -�()# � . + = lim →, -�()#� (� )+

Hacemos a W = 2x lim]→, -�()#]]+

x → 0W → 0

Multiplicando y dividiendo por la conjugada de 1 − cos W. Tenemos lim]→, -�()#]]+ .-a()#]-a()#]

De la identidad �op�� +qr��� = 1. Sale 1 − qr��� = �op��.

lim]→, -�^_`+]]+(-a()#]) = lim]→, s`tu+]]+ . --a()#]v

Multiplicando teorema de límites tenemos

OlimW→0 �opWW Q� . limW→0 11 + cos W = 1� . 11 + cos 0 = 1. 11 + 1 = 12

Por el limite fundamental de #N%]] W → 0 que es igual a 1 y el coseno de 0 = 1

Así que el lim →, -�()#� . + = -�

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4. Hallar a y b sabiendo que la siguiente función es continua en −2.

�(�) � �/, ��� ≤ −20�� − 2�, ��� > −2

Solución:

I. �(−2) = (−2)/ =−8

II. lim�→��B 0�� − 2� = 40 + 4

lim�→��C(−2)/ =−8

Luego 4k + 4 = −8 ya que; ∃lim →�� f(x) en su condición de

continuidad en −2.

Así, 4K + 4 = −8 ⇒ 4(K + 1) = −8

K + 1 =�y.

K + 1 = −2

K =−2 − 1

K =−3

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5. Hallar las asíntotas verticales y horizontales de la gráfica de la ecuación. �2� − 2� − 4� − 8 = 0

Despejemos 2: �2� −2� = 4� + 8 2�(� − 1) = 4� + 8

2� =4� + 8� − 1

2 = {4(� + 2)� − 1

2 = 2. {� + 2� − 1

Despejemos A.V diremos que x = a es A.V

Si y solo si lim�→|C �(�) = ±∞

Λ donde a es un punto de discontinuidad de f(x)

lim�→|B �(�) = ±∞

Sea � = 1 la posible asíntota � = 1

2 lim�→-B{� + 2� − 1 = 2. { 1 + 21a − 1 = 2. { 30a = 2. √+∞

2 lim�→-C{� + 2� − 1 = 2. { 1 + 21� − 1 = 2. { 30� = 2. √−∞ = ∄

Luego podemos decir que � = 1 es una asíntota vertical por la derecha.

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Definamos la A.H, diremos que 2 = ±� es A.H.

Si y solo si lim�→a� �(�) = ±�

V

lim�→�� �(�) = ±�

Así; 2 lim�→a���a���- = 2.�lim�→a� �a���- = 2.{lim�→a� �B+��Cc� =2.{lim�→a� ��a+����c� = 2. �-a,-�, = 2.�-- = 2. 1 = 2

2 ����→����a���- = 2.�����→�� �a���- = 2.{����→�� �B+��Cc� =2.{����→�� ��a+����c� = 2.�-a,-�, = 2. �-- = 2. 1 = 2

Luego podemos decir que 2 = 2 es una A.H.

1 0

1 0

1 0

1 0

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6. Sea g(x)= 2x2 + x. Calcular g’ (x) por definición.

Así;

��(�) = lim�→,�(� + ℎ) − �(�)ℎ

Solución:

��(�) = lim�→, 2(� + ℎ)� + (� + ℎ) − (2�� + �)ℎ

��(�) = lim�→,2(�� + 2�ℎ + ℎ�) + � + ℎ − 2�� − �ℎ

��(�) = lim�→, ��+a.��a��+a�a����+���

��(�) = lim�→,4�ℎ + 2ℎ� + ℎℎ

��(�) = lim�→, �(.�a��a-)�

��(�) = lim�→,4� + 2ℎ + 1

���; ��(�) = 4� + 1

0

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7. Hallar a y b para que la función dada sea continua en su dominio.

�(�)6 −2, ��� < −1�� + �, �� − 1 ≤ � < 32, ��� ≥ 3

Recordemos que f(x) es continua en x=a

Sí; ∃�(�);∃lim�→| �(�); lim�→| �(�) = �(�)

Estudiemos que f(x) sea continua en � = −1

I. ∃�(−1) = −� + �

II. ∃lim�→�- �(�) lim�→�-B �� + � = −� + �

lim�→�-C −2 =−2 ���;−� + � = −2 1

Estudiemos en � = 3

I. ∃�(3) = 2

II. ∃lim�→/ �(�) lim�→/B 2

lim�→/C �� + � = 3� + � ���; 2 = 3� + � 2

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Luego resolviendo el sistema

�−�+ � = −23�+ � = 2

Multiplicando por 3 la primera ecuación. −3� + 3� = −6 3� + � = 2 4� = −4

� = −44

� = −1

Sustituyendo b en una ecuación original. −� + � =−2 −� − 1 = −2 −� =−2 + 1 (−1).− � = −1. (−1) � = 1

Así los valores para que f(x) sea continua en

� = 1Λ� = −1