Ecuaciones Diferenciales en la Ingeniera Civil
Ao de la Inversin para el Desarrollo Rural y la Seguridad
Alimentaria
INGENIERIA CIVIL
ALUMNOS:Baca Saba, Rosa MiriamCalle Marchena, KeivinCabrera
Luzardo, Joel
CURSO:Matemtica III
TEMA:Aplicaciones de las E.D en la Ingeniera Civil
PROFESOR:Lic. Burgos Namuche, Graciela
2013
INTRODUCCINLas ecuaciones diferenciales aportan modelos
matemticos a las ciencias aplicadas, y a la propia ingeniera. Muy a
menudo se les ve resolviendo situaciones, que si no hubiese
existido el clculo de ecuaciones diferenciales, entonces quedaran
sin base fundamental, y con ello sin comprobacin, las soluciones
que les dan las ecuaciones a la mecnica, a la aviacin, a la nutica,
a estudio del conocimiento humano, y el desarrollo econmico de
cualquier nacin.Las ecuaciones diferenciales son muy interesantes
en cuanto a la posibilidad que presentan para indagar sobre
variedad de problemas de las ciencias fsicas, biolgicas y sociales.
A partir de la formulacin matemtica de distintas situaciones se
describen procesos reales aproximados. Dentro de los diversos
campos de accin de la ingeniera civil, una de las mltiples
aplicaciones de ecuaciones diferenciales est relacionada con el
estudio de las flexiones.
Problemtica
PROBLEMTICA
Con los avances tecnolgicos que se han ido presentando a lo
largo del tiempo, la construccin ha adquirido un papel muy
importante en todos los mbitos sociales, culturales, etc.Debido a
estos avances que se han producido, tambin han surgido mejoras en
cuanto a construccin y sus elementos, por este motivo se han creado
muchas opciones que podramos utilizar para evitar de manera
anticipada, una construccin de poca calidad y asegurar un tiempo de
vida ms largo. Por lo tanto les presentaremos un problema que ataca
a todo construccin ya sea de pequea, mediana o gran magnitud la
obra que vayamos a realizar siempre se presentaran inconvenientes a
los que debemos hacerles frente con teoras que sustenten las
hiptesis que realizaremos para darle solucin al problemaLa flexin
en las vigas, todos sabemos que un elemento estructural en una obra
siempre va a ser sometidos a esfuerzos de todo tipo, sin embargo
hay esfuerzos que pueden ser soportados por estas y otros a los que
les cuesta ms trabajos; lo que quiere evitarse aqu es el colapso de
dichas estructuras es por eso que nosotros como ingenieros
buscaremos la manera adecuada, usando la ciencia, de disminuir la
flexionen las vigas para asegurar la mejor calidad en cuanto a la
obra.
OBJETIVOS
Aplicar las ecuaciones diferenciales para resolver diferentes
problemas que se presenten en el amplio campo de la Ingeniera
Civil
Recurrir al denominado mtodo de equilibrio o mtodo de los
desplazamientos, que consiste en expresar las ecuaciones
diferenciales de equilibrio en funcin de los desplazamientos.
Sistematizar las ecuaciones que gobiernan el comportamiento de
vigas.
Estudiar el comportamiento de vigas frente a cargas axiales,
problemas de flexin, momento flector y finalmente el de torsin.
APLICACIONES DE ECUACIONES DIFERENCIALES EN INGENIERA CIVIL
I. GENERALIDADES:
A) VIGA Las vigas son elementos estructurales muy usados en las
construcciones para soportar cargas o darle estabilidad a las
mismas; para disearlas es necesario conocer las fuerzas
perpendiculares a los ejes x , y que se ejercen a lo largo de su
longitud.El esfuerzo de flexin provocatensionesdetraccinycompresin,
producindose las mximas en el cordn inferior y en el cordn superior
respectivamente, las cuales se calculan relacionando elmomento
flectory elsegundo momento de inercia. En las zonas cercanas a los
apoyos se producen esfuerzoscortantes. Tambin pueden producirse
tensiones portorsin, sobre todo en las vigas que forman el permetro
exterior de unforjado. Estructuralmente el comportamiento de una
viga se estudia mediante un modelo deprisma mecnico.
B) LA FLEXINEningenierase denominaflexinal tipo de deformacin
que presenta un elemento estructural alargado en una direccin
perpendicular a sueje longitudinal. El trmino "alargado" se aplica
cuando una dimensin es dominante frente a las otras.
Un caso tpico son lasvigas, las que estn diseadas para trabajar,
principalmente, por flexin. Igualmente, el concepto de flexin se
extiende a elementos estructurales superficiales comoplacas o
lminas.El rasgo ms destacado es que un objeto sometido a flexin
presenta una superficie de puntos llamadafibra neutratal que la
distancia a lo largo de cualquier curva contenida en ella no vara
con respecto al valor antes de la deformacin. El esfuerzoque
provoca la flexin se denominamomento flector.
II. DEFLEXIN EN VIGAS Cuando es importante estudiar las
deflexiones: En estructuras metlicas. Sistemas de tuberas. Ejes/
arboles para maquinas. En el estudio de una viga, ella podr flectar
de acuerdo a ciertos factores tales como: Distancia entre apoyos.
Materiales de la viga. La carga aplicada. Propiedades geomtricas de
las vigas. Tipos de vinculacin (apoyos).
La figura muestra una viga con perpendiculares al eje y ubicada
en el plano de simetra de la seccin. En elemento de la viga
mostrado en la figura, se deforma de tal manera que cualquier punto
en una seccin transversal entre apoyos se desplaza prcticamente
paralelo a las cargas. Estos desplazamientos se denomina las
deflexiones o flechas del momento. Al estar las cargas ubicadas en
el Eje Principal de Inercia, hace que las secciones transversales
se desplacen verticalmente.
Antes de aplicar las cargas, la superficie neutra se encuentra
ubicada en un plano horizontal; luego de aplicadas las cargas la
superficie neutra se transforma en una curva.
Como las deformaciones verticales, en la seccin transversal son
sensiblemente menores que las deformaciones longitudinales, todos
los puntos de la seccin transversal tienen prcticamente el mismo
desplazamiento vertical.
Por lo tanto, el desplazamiento de la Superficie Neutra permite
representar el desplazamiento de todo el elemento. El
desplazamiento , por lo que no existe movimiento horizontal dentro
de una seccin transversal. Podemos elegir una curva dentro de la
superficie neutra que represente la deformacin de la viga.
Matemticamente, la Lnea Elstica se representa por su ecuacin en el
Plano Principal.
Para obtener las ecuaciones, definimos ciertas hiptesis : Viga
perfectamente recta. Material homogneo. Comportamiento elstico (ley
de Hooke)Tenemos:
Esfuerzo: Es la intensidad de las fuerzas que causan el cambio
de forma, generalmente con base en la fuerza por unidad de rea
Deformacin: Describe el cambio de forma resultante. Si el
esfuerzo y la deformacin son pequeas, es comn que sean directamente
proporcionales y llamamos a la constante de proporcionalidad modulo
de elasticidad.
A) DE LA GEOMETRA DE LA FIGURA TENEMOS:
Si designa la fuerza infinitesimal, responsable de la fraccin o
compresin del tramo de barra, y por la ley de Hooke tenemos:
E = Es modulo de Elasticidad. = Es la deformacin de una fibra de
rea del corte transversal = rea transversal del elemento paralelo a
la zona neutra. = Distancia desde la zona neutra hasta el elemento
infinitesimal de la barra. = Radio de cobertura hasta la zona
neutra. = Longitud natural del elemento de barra, del arco a lo
largo de la zona neutra. El momento de esta fuerza infinitesimal
relativa a la lnea neutra ser:
Por lo tanto el momento flector de la barra ser:
Donde se ha definido el momento de inercia de la seccin
transversal como:
De donde se deduce:
En esta parte E representa el mdulo de rigidez o mdulo de Young
del materia.El producto E * I se conoce como el coeficiente de
rigidez a la flexin de la barra.
Ahora por clculo elemental, la curvatura de una curva plana es
un punto de esta:
Como la curvatura de la viga es muy ligera la pendiente de la
primera derivada es pequea por lo tanto:
Por ende la ecuacin diferencial de la Curva Elstica es:
B) RELACION ENTRE CARGAS Y ESFUERZOSSi se escoge arbitrariamente
un trozo diferencial de viga, se puede obtener:
De lo que se deduce que es siempre un grado mayor que la carga
transversal . Adems, si , entonces .
De lo que se deduce que es siempre un grado mayor que el
esfuerzo de corte.En detalle: Cuando el corte es por la derecha
:
Cuando el corte es por la izquierda:
Si se deriva la ecuacin diferencial de la Curva Elstica se
tiene:
Al integrar sucesivamente estas ecuaciones, van apareciendo
constantes que deben calcular con las condiciones de borde del
problema. Resultando al final lo siguiente:
C) EJEMPLO VIGA SIMPLEPara la viga indicada en la figura, se
pide determinar la ecuacin de la lnea elstica, la flecha mxima y el
giro en los apoyos.
Solucin:
a) Condiciones de Borde:
1.- Desplazamiento vertical en el Apoyo A vale cero 2.- Momento
flector en el Apoyo A vale cero (rotula).3.- Desplazamiento
vertical en el Apoyo B vale cero.4.- Momento flector en el Apoyo B
vale cero (rotula)
De 1. De 2. De 3. De 4.
Ecuacin de la Lnea Elstica de una viga simplemente apoyada con
carga uniformemente repartida.
b. Flecha Mxima Para encontrar el mximo desplazamiento de la
viga debemos derivar la ecuacin de la Lnea Elstica e igualar a
cero. Con lo anterior estaramos encontrando un mximo o un mnimo, es
decir, la derivada representa a la tangente a la curva y al hacerla
cero encontramos el punto donde la recta tangente es
horizontal.
Flecha mxima al centro de la viga
c. Giro en los apoyos El Giro de la viga, con respecto a su
plano horizontal, queda representado por la derivada de la ecuacin
de la Lnea Elstica. Es decir:
Giro en el Apoyo A:
Giro en el Apoyo B:
D) EJEMPLO VIGA VOLADIZAPara la viga indicada en la figura, se
pide determinar la ecuacin de la lnea elstica, mxima y el giro en
los apoyos.
Solucin:
Tenemos 2 constantes de integracin, por lo que necesitamos 2
Condiciones de Borde para encontrar el valor de dichas
constantes.a. Condiciones de Borde:1.- Desplazamiento vertical en
el empotramiento A.2.- Giro en el empotramiento A.De 2. De 1.
Ecuacin de la Lnea Elstica de una viga empotrada y en voladizo
con carga uniformemente repartida.
b. Flecha mxima
Flecha mxima en el Extremo Libre
c. Giro en los Apoyos:El Giro de la Viga, con respecto a su
plano Horizontal, queda representado por la derivada de la ecuacin
de la Lnea elstica, es decir:
Giro en el Apoyo A:
Giro en el Apoyo B:
Demostracin de la Ecuacin diferencial de la gravedadEn ese marco
de posibilidades, vamos a conocer una ecuacin diferencial
fundamental para quienes estudian las matemticas, y las aplican en
la fsica. La Ecuacin Diferencial de la Gravedad, basada en los
principios del Sir Isaac Newton.Partimos de la segunda Ley de
Newton, que dice que:
FuerzaAceleracin del objeto
Masa
Ecuac. ILa aceleracin es la derivada de la velocidad con
respecto al tiempo. Y la velocidad es la derivada de la posicin con
respecto al tiempo, entonces podramos sustituir fielmente estos
trminos en nuestra ecuacin. Y tendramos que:
VelocidadAceleracin
Tiempo
Ecuac. IIReemplazamos la Ecuac. II en Ecuac. I:
PosicinComo la velocidad es la primera derivada de la posicin h,
con respecto al tiempo t, entonces la aceleracin sera la segunda
derivada de la posicin con respecto del tiempo.
Entonces: Si sabemos que la fuerza F, es tambin mg (suponiendo
que la fuerza acta sobre el cuerpo es solo la de la gravedad, por
lo tanto de atraccin), podemos sustituirla en nuestra ecuacin de la
siguiente forma:
Como m es igual en ambos lados de la ecuacin podemos suprimirla,
sabiendo que ya no cumple ninguna funcin. Incluso podramos pasarla
al lado derecho de la ecuacin, y tambin se eliminara,
quedndonos:
ECUACION DIFERENCIAL DE LA GRAVEDAD
En algn momento alguien pensara en resolver esta ecuacin
diferencial, y efectivamente podramos hacerlo integrando para
eliminar, por el teorema fundamental del clculo, las derivadas de
la posicin con el diferencial de tiempo.
As encontramos la posicin de cualquier objeto en un tiempo dado,
en el espacio, donde solo acta la fuerza de la gravedad.
1
Para la condicin inicial h (0) =0, vamos a encontrar una solucin
particular de la ecuacin diferencial que nos permita encontrar el
valor incognito de la constante.
C2 = 0Sustituyendo este valor nos quedaria:
Con el segundo valor inicial h (0)=1, podemos encontrar la
solucin particular, en la sustitucin de la constante. C1 = 0
Mecnica de FluidosSuponga que el agua sale de un depsito por un
orificio circular de rea Ak en su fondo. Cuando el agua sale por el
orificio, la friccin y la contraccin de la corriente cerca del
orificio reducen el volumen de agua que sale del depsito por
segundo a , donde es una constante emprica. Determine la ecuacin
diferencial para la altura h del agua en el instante t para el
depsito que se muestra a continuacin. El radio del orificio es de 2
pulg y g=32. Solucin: El volumen del agua en el tanque en el
instante t es Con esa ecuacin podemos plantear una diferencial
entre la altura y el tiempo en el que disminuye el volumen de agua
en el recipiente:
Hemos conseguido una ecuacin diferencial en base a los parmetros
definidos planteada generalmente. Sin embargo, hay, a modo de
condiciones iniciales unos valores que se pueden determinar para
solucionar particularmente esta ecuacin.Usando: ; ; g = 32
Sustituyendo estos valores para las condiciones
establecidas:
CircuitosUn circuito en serie contiene un resistor y un
capacitor que se muestra en la figura de al lado. Determine una
ecuacin diferencial para la carga q(t) en el capacitor, si la
resistencia es R, la capacitancia C y el voltaje impreso es
E(t).
Solucin: Sabemos que la capacitancia sobre un circuito en serie
se calcula como el inverso de la suma de los inversos. Y la
resistencia como una simple suma algebraica. As el resultado en
voltaje de este circuito est determinado por la Segunda Ley de
Kirchoffs.
Gravitacin Universal
Segn la ley de la gravitacin universal de Newton la aceleracin a
de cada libre de un cuerpo, como el satlite que aparece en la
figura de abajo, que cae desde una gran distancia hasta la
superficie terrestre no es la constante g. Adems, la aceleracin a
es inversamente proporcional la cuadrado de la distancia desde el
centro de la Tierra, , donde k es la constante de proporcionalidad.
Utilice el hecho de que en al superficie de la Tierra r=R y a=g,
para determinar k. Si la direccin positiva es hacia arriba, utilice
la segunda ley para deducir la ecuacin diferencial para la
distancia r.MATEMATICASEcuaciones Diferenciales en la Ingeniera
Civil
15
Solucin:
Lo primero a conocer aqu, es a que es igual la fuerza
gravitacional en m:
Sin embargo M de la tierra podemos escribirla como:
Sustituyendo y reduciendo en la ecuacin de la fuerza
gravitacional:
La Ley de la Gravitacin Universal de Newton establece que la
fuerza que ejerce una partcula puntual con masa m1 sobre otra con
masa m2 es directamente proporcional al producto de las masas, e
inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que las
separa:
Segn la segunda ley de Newton tenemos que, la fuerza es el
producto de la masa y la aceleracin, donde esta ultima tambin puede
expresarse como la derivada de la velocidad con respecto al tiempo,
o la segunda derivada de la posicin respecto del tiempo:
Dinmica de cadaCuando un cuerpo, como el paracaidista que
aparece en la figura, descendiendo antes de que se abra el
paracadas se mueve con gran rapidez en el aire, la resistencia del
mismo es ms cerca a una cierta potencia de la velocidad instantnea
v(t). Determine una ecuacin diferencial para la velocidad v(t) de
un cuerpo de masa m, que cae, si la resistencia del aire es
proporcional al cuadrado de la velocidad instantnea.
La segunda ley de Newton podra describir muy bien este
principio.Ya dijimos que la fuerza podra llevarse a una diferencial
simple:
Y aplicando la misma ley a la fuerza que provee la sustentacin
tendramos:
En condiciones normales del viento, es decir k, proporcional a
la condicin de la ecuacin, as debera fluctuar la cada para unos
valores de v(t) de 0 a 140 m/s.
CONCLUSIONES Las ecuaciones diferenciales ordinarias
resultantes, con sus correspondientes condiciones de contorno,
pueden integrarse y obtener los desplazamientos y giros de un
elemento de viga aislado.
Las ecuaciones diferenciales son de importancia en ingeniera
civil porque muchas de sus leyes fsicas y relaciones se establecen
como una ecuacin diferencial.
Esta nota dar particular atencin a los mtodos de solucin de
ecuaciones diferenciales y, particularmente, su interpretacin de
modelado en el campo de la Ingeniera Civil.