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TRABAJO COLABORATIVO 1
ALGEBRA LINEAL 100408A_44
PRESENTADO A: JUAN GABRIEL CABRERA
PRESENTADO POR: ANDRS CAICEDO ANDRADE Cod: 79.801.712
JOSE ANTONIO SERRANO Cod: 12.202.743 GERMAN ALBERTO VARON FARCIA
Cod. 1.110.466.905
UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA UNAD NEIVA 2015
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ESCUELA DE CIENCIAS ADMINISTRATIVAS, CONTABLES, ECONMICAS Y DE
NEGOCIOS
100408A_44 ALGEBRA LINEAL
TRABAJO COLABORATIVO 1
2
INTRODUCCION
Con esta actividad aplicaremos el conocimiento adquirido para
realizar operaciones entre vectores, magnitud y ngulo; Operaciones
sobre matrices, operaciones entre matrices y clculo de
determinantes. en la solucin de los ejercicios propuestos.
Igualmente, aprenderemos a trabajar en equipo y a fomentar el
aprendizaje por medio de aportes y puntos de vistas de los
compaeros del grupo acadmico. Reconociendo el espacio designado
para la interaccin con los compaeros de
grupo que se encuentra dispuesto en el foro de trabajo
colaborativo construccin
Participando de forma individual y grupal en la planeacin y
construccin del
documento de la primera fase del trabajo colaborativo, de
acuerdo con las
especificaciones dadas.
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ESCUELA DE CIENCIAS ADMINISTRATIVAS, CONTABLES, ECONMICAS Y DE
NEGOCIOS
100408A_44 ALGEBRA LINEAL
TRABAJO COLABORATIVO 1
3
OBJETIVOS Participar activamente con aportes significativos con
el fin de lograr entregar un trabajo final bien consolidado. Ello
se logra por medio del agrupamiento de las ideas y conclusiones
generadas por cada uno Comprender las definiciones y aplicaciones
de las integrales definidas, integrales indefinidas y antiderivadas
para dar solucin a los problemas propuestos por la actividad.
Aprender la utilizacin de herramientas matemticas para el
desarrollo problemas en la vida diaria y profesional Comprender y
aplicar el conjunto de conocimientos relacionados la Unidad nmero
uno de la asignatura Clculo Integral, para que puedan ser aplicados
en diferentes escenarios del saber y en la solucin de los
ejercicios planteados por la actividad.
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NEGOCIOS
100408A_44 ALGEBRA LINEAL
TRABAJO COLABORATIVO 1
4
PROBLEMAS
Resolver estos 5 problemas
1) Dados los siguientes vectores dados en forma polar:
= 3
2; = 240
= 3; = 300
REALICE ANALITICAMENTE:
= 3
2 240
= 3
2
1
2
= 3
4
= 3
2 240
= 3
2
3
2
= 3
2
3
2
= 33
4
= 3 300
= 3 1
2
= 3
2
= 3 300
= 3 3
2
= 33
2
1.1) -
= (3
4,
33
4)+ (-) *(
3
2 ,
33
2)
= (3
4,
33
4) + (
3
2,33
2)
= (3
4
3
2 ,
33
4+
33
2)
= (0.75 1.5 , 1.3 + 2.6)
= (2.25 ,1.3)
1.2) -
= (3
4,
33
4)+ (-2) *(
3
2 ,
63
2)
= (3
4,
33
4) + (
6
2,33
2)
= (3
4,
33
4) + (3, 33)
= (3
4 3,
33
4+ 33 )
= (0.75 3 , 1.3 + 5.2)
= (3.75, 3.9)
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NEGOCIOS
100408A_44 ALGEBRA LINEAL
TRABAJO COLABORATIVO 1
5
1.3) +
= (3
2 ,
33
2) + (
3
4,
33
4)
= (3
2
3
4 ,
33
2
33
4)
= (1.5 0.75 , 2.3 1.3)
= (0.75 , 3.6)
1.4) -
= (3
2 ,
33
2) + (2) (
3
4,
33
4)
= (3
2 ,
33
2) + (
3
2,33
2)
= (3
2+
3
2 ,
33
2+
33
2)
= (1.5 + 1.5 , 2.6 + 2.6)
= (3 , 0)
1.5) 4 -
= (4) (3
4 ,
33
4)
+ (3) (3
2,
33
2)
= (12
4 ,
123
4) + (
9
2,93
2)
= (3 , 33 ) + (9
2,93
2)
= (3 4.5 , 5.2 + 7.8)
= (7.5 , 2.6)
-
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NEGOCIOS
100408A_44 ALGEBRA LINEAL
TRABAJO COLABORATIVO 1
6
2. Encuentre el ngulo entre los siguientes vectores:
2.1
= 8^
4^
= 6^
4^
2.2
= ^
+ 3 ^
= ^
5^
2.3
= ^
+ 3 ^
+ 2
= ^
5 ^
^
Respuesta
2.1 =
= 6 4
cos =1 1 + 2 2
12 + 2
2 12 + 2
2
cos
=(8)(6) + (4)(4)
(8)2 + (4)2(6)2 + (4)2
= cos1(0.99)
= 7.12
= 7 730
2.2 = + 3
= 5
cos
=(1)(1) + (3)(5)
(1)2 + (3)2(1) 2 + (5)2
= cos1(0.86)
= 150.2
= 150 15 18.43
2.3
5 = + 3 + 2
= 5
cos
=(1)(1) + (3)(5) + (2)(1)
(1)2 + (3)2 + (2)2(1)2 + (5)2 + (1)2
= cos1(0.82)
= 145.3
= 145 22 52.75
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TRABAJO COLABORATIVO 1
7
3. Dada la siguiente matriz, empleando para ello el mtodo
Gauss-Jordn
|1 5 107 3 10 4 3
|
Dividimos en dos partes de igual tamao la matriz en la cual en
el lado izquierdo rellenamos con los elementos de la matriz
original y en el lado derecho rellenamos los elementos de la matriz
de identidad para encontrar la matriz inversa.
|1 5 107 3 10 4 3
| |1 0 00 1 00 0 1
|
|1 5 107 3 10 4 3
|1 0 00 1 00 0 1
11
|1 5 107 3 10 4 3
| |1 0 00 1 00 0 1
| 2: 71 + 2
|1 5 100 32 690 4 3
| |1 0 07 1 00 0 1
|2:1
322
|
1 5 10
0 169
320 4 3
| |
1 0 07
32
1
320
0 0 1
| 1: 52 + 1
||1 0
25
32
0 169
320 4 3
|| |
|
3
32
5
320
7
32
1
320
0 0 1
|| 3: 42 + 3
|
|1 0
25
32
0 169
32
0 0 93
8
|
| |
|
3
32
5
320
7
32
1
320
7
8
1
81
|
|3:
8
933
-
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NEGOCIOS
100408A_44 ALGEBRA LINEAL
TRABAJO COLABORATIVO 1
8
||1 0
25
32
0 169
320 0 1
|| |
|
3
32
5
320
7
32
1
320
7
93
1
93
8
93
|
|2
69
323 + 2
|1 0
25
320 1 00 0 1
| |
|
3
32
5
320
7
124
1
124
23
1247
93
1
93
8
93
|
|1:
25
323 + 1
|1 0 00 1 00 0 1
| |
|
13
372
55
372
25
3727
124
1
124
23
1247
93
1
93
8
93
|
|
La matriz, es:
13
372
55
372
25
3727
124
1
124
23
1247
93
1
93
8
93
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NEGOCIOS
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TRABAJO COLABORATIVO 1
9
4. Encuentre el determinante de la siguiente matriz describiendo
paso a paso la operacin que lo va modificando (sugerencia: emplee
las propiedades e intente transformarlo en una matriz
triangular)
A=
Descomponemos la determinante por su componente ms pequeo
0 -1 -2 1
0 0 0 -1
0 0 0 -1
0 0 0 -1
0 0 0 -1
0 2 1 5 7 +0 2 1 5 7 +0 0 -1 -2 1 -(4) 0 -1 -2 1 +1 0 -1 -2
1
1 -2 6 -2
1 -2 6 -2
1 -2 6 -2
2 1 5 7
2 1 5 7
0 2 3 4
0 2 3 4
0 2 3 4
0 2 3 4
1 -2 6 -2
Desde la matriz multiplicamos por 0 su determinante es 0
0 0 0 -1
0 0 0 -1
0 0 0 -1
0 0 0 -1
0 0 0 -1
0+0 2 1 5 7 +0 0 -1 -2 1 +0 0 -1 -2 1 -(4) 0 -1 -2 1 +1 0 -1 -2
1
1 -2 6 -2
1 -2 6 -2
1 -2 6 -2
2 1 5 7
2 1 5 7
0 2 3 4
0 2 3 4
0 2 3 4
0 2 3 4
1 -2 6 -2
Volvemos y multiplicamos desde la matriz por 0 su determinante
es 0
0 -1 -2 1
0 0 0 -1
0 0 0 -1
0+0+0 2 1 5 7 -(4) 0 -1 -2 1 +1 0 -1 -2 1
1 -2 6 -2
2 1 5 7
2 1 5 7
0 2 3 4
0 2 3 4
1 -2 6 -2
Hacemos lo mismo
0 0 0 -1
0 0 0 -1
0+0+0+(4) 0 -1 -2 1 +1 0 -1 -2 1
2 1 5 7
2 1 5 7
0 2 3 4
1 -2 6 -2
Descomponemos la determinante por su componente ms pequeo
0 0 0 -1
0 0 0 0 -1
0 0 -1 -2 1
0 2 1 5 7
4 1 -2 6 -2
1 0 2 3 4
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NEGOCIOS
100408A_44 ALGEBRA LINEAL
TRABAJO COLABORATIVO 1
10
-1 -2 1
0 0 -1
0 0 -1
0 0 -1 +1 0 -1 -2 1
0+0+0-(4)[0 1 5 7 +0 1 5 7 +2 -1 -2 1 +0 -1 2 1 ] 2 1 5 7
2 3 4
2 3 4
2 3 4
1 5 7
1 -2 6 -2
Desde su matriz multiplicamos por 0 siendo el determinante 0
0 0 0 -1
0 -2 1
0 0 -1
0 0 -1 +1 0 -1 -2 1
0+0+0-(4)[0+0 1 5 7 +2 -1 -2 1 +0 -1 -2 1 ] 2 1 5 7
2 3 4
-2 3 4
1 5 7
1 -2 6 -2
Desde su matriz multiplicamos por 0 siendo el determinante 0
0 0 0 -1
0 0 -1
0 0 -1 +1 0 -1 -2 1
0+0+0-(4)[0+0+2 -1 -2 1 +0 -1 -2 1 ] 2 1 5 7
2 3 4
1 5 7
1 -2 6 -2
Descomponemos la determinante por su componente ms pequeo
0 0 0 -1
0 0 -1 +1 0 -1 -2 1
0+0+0-(4)[0+0+2[0 -2 1 -(1) 0 -1 +2 0 -1 +0 -1 -2 1 ] 2 1 5
7
2 4
3 4
-2 1 ] 1 5 7
1 -2 6 -2
Desde su matriz multiplicamos por 0 siendo el determinante 0
0 0 0 -1
0 0 -1 1 0 -1 -2 1
0+0+0-(4)[0+0+2[0-(-1) 0 -1 +2 0 -1 +0 -1 -2 1
2 1 5 7
3 4
-2 1 ] 1 5 7
1 -2 6 -2
El determinante de una matriz 2x2 se puede encontrar utilizando
la frmula
|
| =
0 0 0 -1
0 0 -1 +1 0 -1 -2 1
0+0+0-(4)[0+0+2[0-(-1)((0)(4)-(3)(-1))+2 0 -1 +0 -1 -2 1 ] 2 1 5
7
-2 1 ] 1 5 7
1 -2 6 -2
0 0 0 -1
-
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NEGOCIOS
100408A_44 ALGEBRA LINEAL
TRABAJO COLABORATIVO 1
11
0 0 -1 1 0 -1 -2 1
0+0+0-(4)[0+0+2[0+3+2 0 -1 0 -1 -2 1
2 1 5 7
-2 1
1 5 7
1 -2 6 -2
Utilizamos nuevamente la frmula |
| = para desarrollar la
determinante de la matriz 2x2
0 0 0 -1
0 0 -1 +1 0 -1 -2 1
0+0+0-(4)[0+0+2[0+3+2((0)(1)-(2)(-1))]+0 -1 -2 1 ] 2 1 5 7
1 5 7
1 -2 6 -2
Simplificamos la expresin
0 0 0 -1
0 0 -1 1 0 -1 -2 1
0+0+0-(4)[0+0+2[0+3+4]+0 -1 -2 1
2 1 5 7
1 5 7
1 -2 6 -2
Desde su matriz multiplicamos por 0 siendo el determinante 0
0 0 0 -1
0 -1 -2 1
0+0+0-(4)[0+0-2+0]+1 2 1 5 7
1 -2 6 -2
Simplificamos la expresin
0 0 0 -1
0 -1 -2 1
0+0+0-(4)[-2]+1 2 1 5 7
1 -2 6 -2
Simplificamos la determinante
0 0 0 -1
0 -1 -2 1
0+0+0+8+1 2 1 5 7
1 -2 6 -2
Descomponemos la determinante por su componente ms pequeo
-1 -2 1
0 0 -1
0 0 -1
0 0 -1
0+0+0+8+0 1 5 7 +0 1 5 7 +2 -1 -2 1 -(1) -1 -2 1
-2 6 -2
-2 6 -2
-2 6 -2
1 5 7
Desde su matriz multiplicamos por 0 siendo el determinante 0
-
ESCUELA DE CIENCIAS ADMINISTRATIVAS, CONTABLES, ECONMICAS Y DE
NEGOCIOS
100408A_44 ALGEBRA LINEAL
TRABAJO COLABORATIVO 1
12
0 0 -1
0 0 -1
0 0 -1
0+0+0+8+0+0 1 5 7 2 -1 -2 1 -(1) -1 -2 1
-2 6 -2
-2 6 -2
1 5 7
Desde su matriz multiplicamos por 0 siendo el determinante 0
0 0 -1
0 0 -1
0+0+0+8+0+0+2 -1 -2 1 -(1) -1 -2 1
-2 6 -2
1 5 7
Descomponemos la determinante por su componente ms pequeo
0 0 -1
0+0+0+8+0+0+2[0 -2 1 -(-1) 0 -1 -2 0 -1 -(1) -1 -2 1
6 -2
6 -2
-2 1 ] 1 5 7
Desde su matriz multiplicamos por 0 siendo el determinante 0
0 0 -1
0+0+0+8+0+0+2[0-(-1) -0 1 -2 0 -1 -(-1) -1 -2 1
6 -2
-2 1 ] 1 5 7
Utilizamos nuevamente la frmula |
| = para desarrollar la
determinante de la matriz 2x2
0 0 -1
0+0+0+8+0+0+2[0-(-1)((0)(-2)-(6)(-1))-2 0 -1 -(-1) -1 -2 1
-2 1 ] 1 5 7
Simplificamos la determinante
0 0 -1
0+0+0+8+0+0+2[0+6-2 0 -1 -(-1) -1 -2 1
-2 1 ] 1 5 7
Utilizamos nuevamente la frmula |
| = para desarrollar la
determinante de la matriz 2x2
0 0 -1
0+0+0+8+0+0+2[0+6-2((0)(1)-(-2)(-1))]-(1) -1 -2 1
1 5 7
Simplificamos la determinante
0 0 -1
0+0+0+8+0+0+2[0+6+4]-(1) -1 -2 1
1 5 7
Simplificamos la expresin
-
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NEGOCIOS
100408A_44 ALGEBRA LINEAL
TRABAJO COLABORATIVO 1
13
0 0 -1
0+0+0+8+0+0+2[10]-(1) -1 -2 1
1 5 7
Simplificamos la determinante
0 0 -1
0+0+0+8+0+0+20-(1) -1 -2 1
1 5 7
Descomponemos la determinante por su componente ms pequeo
0+0+0+8+0+0+20-(1)[0 -2 1 -(-1) 0 -1 +1 0 -1
5 7
5 7
-2 1 ]
Desde su matriz multiplicamos por 0 siendo el determinante 0
0+0+0+8+0+0+20-(1)[0-(-1) 0 -1 +1 0 -1
5 7
-2 1 ]
Utilizamos nuevamente la frmula |
| = para desarrollar la
determinante de la matriz 2x2
0+0+0+8+0+0+20-(1)[0-(-1)((0)(7)-(5)(-1))+1 0 -1
-2 1 ]
Simplificamos la determinante
0+0+0+8+0+0+20-(1)[0+5+1 0 -1
-2 1 ]
Utilizamos nuevamente la frmula |
| = para desarrollar la
determinante de la matriz 2x2 Simplificamos la determinante y
expresin 0+0+0+8+0+0+20-(1)[0+5(0)(1)-(-2)(-1)]
0+0+0+8+0+0+20-(1)[0+5-2]
0+0+0+8+0+0+20-(1)[3]
0+0+0+8+0+0+20-3
0+0+0+8+17
DETERMINANTE DE LA MATRIZ= 25
-
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TRABAJO COLABORATIVO 1
14
5. ENCUENTRE LA INVERSA DE LA SIGUIENTE MATRIZ, EMPLEANDO PARA
ELLO
DETERMINANTES
-5 -2 -1 -5 -2
C= 3 0 5 3 0
-8 1 -5 -8 1
Hallamos la determinante:
= (0 + 80 3) (0 25 + 30)
= 80 + 3 + 25 30
= 72
Se pasan filas a columnas para hallar la transpuesta:
5 3 82 0 11 5 5
= 0 15 5
2 11 5
2 01 5
= = 5 11 1025 +17 +223 +21 +6
- 3 85 5
5 81 5
5 31 5
3 80 1
5 82 1
5 32 0
Ahora aplicamos la frmula para hallar la matriz inversa:
= 1
72
5 11 1025 +17 +223 +21 +6
=
5
72
11
72
10
7225
72
+17
72
+11
361
24
+7
24
+1
12
= 1
-
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NEGOCIOS
100408A_44 ALGEBRA LINEAL
TRABAJO COLABORATIVO 1
15
CONCLUSIONES
Se ha logrado la comprensin y aplicacin de los principios del
algebra lineal y sus teoras con los conceptos bsicos sobre lgebra
Lineal. Se explica que es una matriz, los tipos de matrices
existentes, las operaciones bsicas (suma y multiplicacin), las
operaciones fila, la permutacin de los arreglos matriciales, los
sistemas de ecuaciones y otros temas fundamentales que permitirn al
estudiante afianzarse en los espacios vectoriales y sus
transformaciones lineales..
-
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NEGOCIOS
100408A_44 ALGEBRA LINEAL
TRABAJO COLABORATIVO 1
16
BIBLIOGRAFIA
ADICION DE VECTORES DADOS EN COORDENADAS POLARES
https://www.youtube.com/watch?v=J4KcdHlbfgA UNICATOLICA - RESTA DE
FRACCIONES HETEROGNEAS https://www.youtube.com/watch?v=alKGXlG_TCE
PRODUCTO PUNTO DE DOS VECTORES EN EL PLANO
https://www.youtube.com/watch?v=OlRvSpunD3I ANGULO ENTRE DOS
VECTORES (PRODUCTO CRUZ)
https://www.youtube.com/watch?v=m83U-3VYBbI MATRIZ INVERSA POR
GAUSS BACHILLERATO MATEMATICAS
https://www.youtube.com/watch?v=nHEFxcJ-QPM COMO CALCULAR LA
INVERSA DE UNA MATRIZ A (PARTE 1)
https://www.youtube.com/watch?v=E0Xr7sTGrHY INVERSA DE UNA
MATRIZ 3X3 POR DETERMINANTE
https://www.youtube.com/watch?v=Ki86UAlP4Dg MATRIZ GAUSS-JORDAN
REDUCCION POR RENGLONES
https://www.youtube.com/watch?v=P1PQkj0P9SM
GROSSMAN, Stanley I.; SOTO, Fernando Pia. lgebra lineal. Grupo
Editorial Iberoamericana, 1983. LAY, David C.; MURRIETA, Jess
Murrieta. Algebra lineal y sus aplicaciones. Pearson educacin,
2007. STANLEY, I., et al. Algebra lineal. 1996. FRIEDBERG, Stephen
H.; INSEL, Arnold J.; SPENCE, Lawrence E. Algebra lineal.
Publicaciones Cultural, 1982.
https://www.youtube.com/watch?v=J4KcdHlbfgAhttps://www.youtube.com/watch?v=alKGXlG_TCEhttps://www.youtube.com/watch?v=OlRvSpunD3Ihttps://www.youtube.com/watch?v=m83U-3VYBbIhttps://www.youtube.com/watch?v=nHEFxcJ-QPMhttps://www.youtube.com/watch?v=E0Xr7sTGrHYhttps://www.youtube.com/watch?v=Ki86UAlP4Dghttps://www.youtube.com/watch?v=P1PQkj0P9SM
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ESCUELA DE CIENCIAS ADMINISTRATIVAS, CONTABLES, ECONMICAS Y DE
NEGOCIOS
100408A_44 ALGEBRA LINEAL
TRABAJO COLABORATIVO 1
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