Trabajo 2

RESOLUCION DE LOS EJERCICOS DEL CAP 7

2015

UNIVERSIDAD TECNICA PARTICULAR DE

LOJA

ESCUELA DE ELECTRONICA Y TELECOMUNICACIONES

Nombre: Juan Carlos Vásquez

Docente: Ing. Francisco Sandoval

1. Sea y una variable aleatoria uniforme en el intervalo [0 , 1] considere el proceso estocástico véase ecuación 1.

x (t )=e− yt

i) Determine la función densidad de probabilidad Pxt (X ) de la variable aleatoria xt la función definida en el instante t.

Mediante una suma de escalones tenemos que la ecuación de la figura es:

Py ( y )=u ( y )−u( y−1)

La ecuación de la exponencial se escribe así:

x (t )=e− yt t>0

Usando la ecuación general tememos:

Px ( y )= Py ( y )dy ( y)/dy

∨cuando y=g−1(x )

Px ( t )= 1t X

[u−1 (x−e−t )−u−1(x−1)]

ii) Calcule la función media y la función de auto correlación del proceso x (t).

mx (t )=E [ ( t ) ]; t e γ

Haciendo uso de x(t)

¿∫0

1

e− yt dy=1t

[e− yt ]

¿ 1t

[1−e−t ]

Rx ( t 1 , t 2 )=E [x ( t 1 ) x ( t 2 ) ]; t 1e γ , t 2e γ

¿∫0

1

e− y (t 1)+∫0

1

e− y(t1)=1t

[e− y(t1+ t2)]

2. Considere el proceso estocástico x (t ) definido por:

x (t )=a t2+b

Donde a es una variable aleatoria gaussiana de media nula y varianza unitaria y b es una constante cualquiera.

i) Determine la función de probabilidad de primer orden del proceso , ósea determine Pxt (X )

x (t )={m (t )=¿0τ a2=¿1

}

Pxt (X )= 1t 2

1√2 π

.e( A 2

2 )evaluadoen A=x− b

t2

Pxt (X )= 1t 2

1√2 π

. e(−12 (x−b)2

t2 )

ii) Cual es el valor de la media del proceso x (t)?

mx (t )=b

Ry ( t 1 , t 2 )=E [ {x ( t 1 ) (x ( t 2 ) )} ]=t 12t 22 .E [a2 ]+E [a ] .b ( t 12+ t 22 )+b2

Ry ( t 1 , t 2 )=t 12t 12+b2

iii) Determine la función de auto correlación del proceso x (t)

Sabemos que:

x (t 1 )=a . t 12+b

x (t 2 )=a . t 22+b

Dando como resultado x (t 2 )=[ x ( t 1 )−b ] . t 22

t 12+b

Tenemos que x(t1)= x(t2) entonces

px (t 2 ) ( x2 )x ( t 1 )

=δ {x2−[ x1−b( t 12

t 12−1)]}

¿ 1t 12

1√2 π

. e(−12 (x−b)2

2 t1 )δ {x2−[ x1−b( t 1

2

t 12−1)]}

iv) Determine la función densidad de probabilidad de segundo orden de proceso, osea determine p xt 1 pxt 2(X 1 , X2)

P=[ x ( t 1>0 ); x ( t 2 )<2]

¿∫0

∞

1∫−∞

2

px ( t 1 (x ( t 2 ) )) (X 1, X 2 )dX 2dX1

¿∫0

∞1t 12

1√2 π

. e(−12 (x−b)2

2 t4 ){∫−∞

2

δ {x2−[ x1−b( t 12

t 12−1)]dX 2 ,dX 1 }

P=∫0

∞1t 12

1√2π

.e(−12 (x−b)2

2 t 4 ) {∫−∞

2

u {[b( t 12t 12+2)]−X 1}dX 1

3. Un proceso estocástico x (t) es definido de la siguiente manera, en un intervalo de tiempo cualquiera [ (n−1 )T ,nT ], n es entero. El proceso asume valores

x (t )=A sen( 2 πtT

) y x (t )=−A sen (2 πtT

) con probabilidades iguales a p y 1−p

siendo los valores de x (t ) en dos intervalos distintos, estadísticamente independientes.

i) Establezca una función muestra típica desde el proceso estocástico.

ii) Para un instante genérico t encuentre la función densidad de probabilidad asociada a la variable aleatoria x (t )=xt

Pxt (X )=p .δ (x−Asen( 2πT ) t)+(1−p ) . δ(x+A . sen ( 2πT )t )iii) Encuentre la función media m(t) del proceso estocástico.

mx (t )=E [ x ( t ) ]=p . A . sen ( 2πT ) t−(1−p ) A . sen ( 2πT ) tiv) Encuentre el valor cuadrático medio del proceso estocástico.

E [ x2 ( t ) ]=A2 sen2( 2πT ) tv) Encuentre la función auto correlación Rx (t 1 ,t 2) del proceso estocástico x (t ).

P[ x (T4 ≤ A2 )]=∫

−∞

A2

px ( t4)(X )dX

Px(T4 ) ( x )=p . δ (X−A )+(1−p ) . δ (X+A )

¿(1−p)

4. Dado un proceso estocástico x (t ) con media nula y función auto correlación Rx (τ )(τ=t 1−t 2) defina un nuevo proceso estocástico y (t ) atraves de la relación

y (t )=x (t )+f (t)

Donde f (t) es una función determinística , encuentre una función auto correlación de Ry ( t 1 , t 2 ) del proceso y (t ).

Desarrollo:

Rx ( t 1 , t 2 )=E [ y (t 1 ) y ( t 2 ) ]

Rx (t 1 , t 2 )=E [x ( t 2 )+x ( t 1 ) x (t 2 )+x ( t 1 ) ]

Rx (t 1 , t 2 )=E [ x (t 1 )+x (t 2 )¿x (t 2 )+ f (t 1 ) .E ( x (t 2 ) )+ f (t 2 ) .E [ x (t 1 ) ]+ f (t 1 )+ f (t 2)]

Rx (t 1 , t 2 )=Rx (t 2−t 1 )+ f (t 1) f ( t 2)

5. Cuales de las funciones ilustradas en la figura pueden ser representadas en función auto correlación de un proceso estocástico , estacionario, en sentido amplio ,? Justifique su respuesta.

a. NO porque f (τ )≤ f (0)

b. No porque f (τ )≠ f (−τ)

c. No porque f (τ )≠ f (−τ)

d. Si porque No porque f (τ ) cumple con todas las propiedades de la auto correlación.

6. Un proceso estocástico gaussiano x (t ) tiene una media nula y función auto correlación.

Rx ( t 1 , t 2 )=2−¿t1−t 2∨¿ ¿

Una persona desconoce el valor de la media del proceso x (t) y que tiene un acceso a una función del mismo modo resuelve estima la media por:

m=x (0 )+ x (1 )+x (2)

3

Note que m es una variable aleatoria . determine la probabilidad de que el modulo de error cometido no exceda el valor de 1 ósea determine

P(|m|>1)

Desarrollo:

E [ z ]=0

σz2=E [z ¿2 ¿]=1 /9 .E [x 02+x12+x 22+2 x 0x 1+2x 1x 2+2 x0 x2]

19. E[1+1+1+1+ 12+1]=1118

1/9 . E ¿

P [|z|>1 ]=2∫1

∞1

σ31

√2 π. e

(−z2

2σ2)dz=¿2∫

1σ3

∞111

√2π. e

(−u2

2 )du=¿1−2.ERF (1811 )=0.1¿¿

7. Un proceso estocástico gaussiano x (t) tiene una media nula y función auto correlación.

Rx (t 1 , t 2 )=A−¿ t 1−t2∨¿¿

Se sabe que la variable aleatoria x (20 ) definida en el instante t=20 exede el valor de 6 con probabilidad de 0.0013. considere que x (t ) esun proceso propuesto por la figura , dando origen a un proceso estocástico z (t)

i) Determine el valor de la constante A

Sabemos que:

X(t) y(t) z(t)

cos¿)

Z^-1

x (t )={m (t )=¿0¿

P (x (20 )>6 )=0.0013

Px ( t )= 1√2 π .σ

. e(− x2

2σ 2)

σ 2=A

Px ( t )=∫6

∞1

√2 π .σ. e

(− x2

2σ 2)

=12. erf

6√A

¿¿

¿ 12. erf

6

√A¿¿=0.0013

Mediante el uso de la tabla ERF se puede saber que A=4

ii) Determine la función de auto correlación del proceso y (t ) concluyendo la

y=x (t )+x (t−b )=0

Ry( t 1 ,t 2)=E [ {x (t 1 )+x ( t 1−b ) }][ x ( t 2 )+ x( t 2−b)]

¿ [ {x (t 1 ) x (t 2 ) } ]+E [x (t 1 ) x (t 2−b ) ]+E [ x (t 1−b ) x (t 2 ) ]+E [ x (t 1−b ) x (t 2−b ) ]

¿4.¿

y (t )={ my (t )=¿cteRy ( t 1 , t 2 )=¿ f (t 1−t 2)

}

iii) estacionalidad del sentido amplio.

Py (2) / y (0)(Y 2 /Y 0)=Py (2)/ y (0)(Y 2/Y 0) 1p ( y (0)(Y 0))

¿ 1

√2 π √1−e2e[−(Y 2−PY 0 ) .2

2σ 2(1−Y 2)]

Py (2)/ y (0)(Y 2/Y 0)

¿ [ y (2 )y (0 )

=1]=PYo=P

P=E ¿¿ 1σy (2 )σy (1 )

=Ry(0,2)Ry (0,0)

P=4¿¿

E [y (2 )y (0 )

=1]=¿¿

iv) Calcule E [ y (2)∨ y (0 )=1]

z (t )= y ( t ) .cos (wot+θ)

E [ z ( t ) ]=E [ y (t ) ] . E [coswot+θ ]=0

Rz (t 1 ,t 2)=E [ y (t 1 ) y (t 2)] . [coswot+θ ] [coswot+θ ]=0

Rz ( t 1 , t 2 )=12Ry (t 1 , t 2 ) [coswo (t 1−t 2 )+θ ] 1

2Ry ( t 1 , t 2 )E [coswo(t 1+ t 2)+2θ ]=0

12Ry ( t 1 , t 2 )E [coswo(t 1−t 2)]=g(t 1−t 2)

v) Determine la función media y la función de auto correlación del proceso estocástico z (t ) cuando θ es una constante igual a cero, concluya este caso , sobre la estacionariedad, del sentido amplio del proceso estocástico z (t)

z (t )= y ( t ) coswot

Rz ( t ,t 2 )=12Ry(t 1 , t 2)(coswo ( t 1+t 2 )+coswo( t 1−t 2))

Z(t) no es estocástico de sentido amplio.

8. Calcule la función de auto correlación del proceso estocástico , considere que un proceso de Wiener x (t).

i) x (0 )=0 ;

t 1≤ t 2→( x ( t 2 )−x (t 1))

x (t )={m (t )=¿0

σ2=¿∝( t 2−t 1)}

z (t )=E [x ( t 2 )−x ( t 1 ) ]=E [xt 1 ]E [xt 1−xt 2 ]

t 1≥ t 2=0

E [ xt 1 ]E [xt 1(xt 2−xt 1)]=E [xt 1 , xt 2 ]−E [ xt 12]

E ¿

t 1>0=( xt 1−xt 0 )=xt 1media0 y var=∝ t 1

E [ xt 12 ]=αt1

ii) Si t 1≤ t 2 entonces x (t 1 )−x (t 2) es una variable aleatoria gausiana de media nula yvarianza ∝(t 2−t 1) donde alfa es una constante positiva, e estadísticamente independiente de la variable aleatoria x (t 1 ).

Rx ( t 1 , t 2 )=α [ t 1 ] parat 2

9. Una señal x (t) es transmitida atreves de un canal de comunicaciones cuyo afecto consiste en adicionar un ruidon( t) a la señal transmitida conforme lo ilustrado en la figura 7.35 sabiéndose que x (t) es un proceso estocástico con media nula y función auto correlación.

Determine la ganancia del amplificador que minimice el error medio cuadrático

Rx ( t 1 , t 2 )=2e−¿ t1−t2∨¿¿

y (t )=A [n ( t )+u (t)]

n (t )={mn (t )=¿cte¿

m ( t )={mn ( t )=¿cte

Rx ( t 1 , t 2 )=¿sen[ π (t 1−t 2)]4 π ( t 1−t 2)

}

El ruido n( t) es un proceso estocástico también con media nula, estadísticamente independiente de x (t)y con función auto correlación.

Rn (t 1, t 2 )= sen (π (t 1−t 2))4 π (t 1 , t 2)

m ( t ) y n ( t ) sonindependientes entonces :

Rx (τ )=12E {a2 coswt }=1

2E [a2 ] . E [coswt ]=1

2(σ a2+A2 ) .∫

0

w 01wo

coswτ dw

Rx (τ )=A2+ σ a2

2.senwoτwoτ

Sx (w )=F ( rx ( τ ) )= π ( A2+σ a2 )2wo

G2wo(w)

10. Determine la densidad espectral de potencia de un proceso estocástico x (t) para la salida de un amplificador y (t )

Rx (τ )=e−α τ2

11. Un proceso estocástico gaussiano , x (t ) tine las funciones de forma

x (t )=A cos (2πvt+θ )

Donde A es una variable aleatoria con media Ma

Y variable ϑ2 A v es una variable aleatoria distribuida en el intervalo [0,fo] y ϑ es una variable aleatoria uniforme distribuida en el intervalo [0 2pi] considere que A, v es σ son estadísticamente independientes y determine la función auto correlación Rx (τ ) , τ=t 1−t 2 y la densidad espectral de potencia Sx ( f ) del proceso estocástico x (t)

12. La densidad espectral de potencia de un proceso estocástico x (t) estacionario de sentido amplio y dado por:

sx ( f )= 1

(1+4π 2 f 2 )2

Determine la función auto correlación Rx (τ ) del proceso estocástico x (t)

sx (w )= 1

(1+w2 )2=14

2

1+w22

1+w2

Obtenernos la TF inversa:2

1+w2es laT inversa de la funciondearriba

Rx (t)=14

¿

Rx (t)=14

¿

Si τ>0

Evaluamos de 0 a infinito teniendo e−¿ τ∨¿e

−¿ τ−x∨¿={eτ −2x ; x> τe−τ ; 0<x≤ τe2τ−τ ; x< τ

} ¿

¿

Rx ( t )=14 [∫

−∞

0

e−|τ|dx+∫0

τ

e−|τ|dx ]+∫τ

∞

e−2∨τ∨¿ dx¿

Rx (τ )=14

[1+τ ] . e−τ

Si τ<0

Evaluamos de 0 a infinito teniendo e−¿ τ∨¿e

−¿ τ−x∨¿={e2 x−τ ; x<τe τ ; τ<x<0e τ−2τ ; x>0

}¿

¿

Rx ( t )=14 [∫

−∞

τ

e−|τ|dx+∫τ

0

e−|τ|dx ]+∫0

∞

e−2∨τ∨¿ dx¿

Rx (τ )=14

¿

Unimos 1 y 2 dando como resultado

Rx (τ )=14

¿

13. Un proceso estocástico gaussiano x(t) tiene media m x ( t )=E [ x ( t ) ]=12

y función de

autocorrelacion R x (T )=2δ (T ), el proceso X(t) pasa a través del sistema linear de la figura cuya respuesta al impulso h (t )=e−tu( t) donde u(t) denota la función del paso unitario. Determine la función densidad Conjunta de variables aleatorias y0= y (0 ) y y1= y (1) osea determine py 0 y 1(Y 0Y 1).

y (t )=x (t )+n (t )→ y ( t )

h(t)X(t) y(t)

m y ( t )=mx (t)∫0

∞

e−T dT=m x (t )=12

R y (T )=h(−T )×h(t)×Rx (T )

¿h (−T )×h (T )×2 (T )=2[h (−T )×h (T )]

h (−T )×h (T )=∫−∞

∞

h (−t )h (T−t )dt=∫−∞

∞

e tu (−t ) e t−T u (T−t )dt

¿ { ∫−∞

T

e2 e−T dt=12eT ;T <0

∫−∞

0

e2 t e−T dt=12e−T ;T >0

R y (T )=e−¿T∨¿¿

Si y=( y0y1)vector gau ssianom y=(1 /21 /2)∆ y=¿

∆ y=[ 34

e−1−14

e−1−14

34

]det ∆ y= 9

16−(e−1−1

4 )2

;∆y−1= 1

det ∆ y [ 34

14−e−1

14−e−1 3

4]

py 0 y 2 (Y 0Y 1 )−py (Y )= 12π √det ∆ y

exp[−12 ( y−m y )t∆ y−1 ( y−m y )]

py 0 y 2 (Y 0Y 1 )= 1

2 π √ 916−(e−1−14 )

2exp { −1

2√ 916−(e−1−19 )}

¿ [ 34 (Y 0−12 )+2( 14−e−1)(Y 0−12 )(Y 1−12 )+ 34 (Y 1−12 )2]

14. Un proceso estocástico gaussiano x(t) tiene una media m x (t )=sen (πt) y función de autocorrelacion R x (t 1t 2 )=e−¿ t1−t2∨¿ ¿

Otro proceso estocástico y(t) también gaussiano tiene media nula y función de auto

correlaciónR x (t 1t 2 )=e−2∨t 1−t2∨¿¿

Una función de correlación cruzada dos procesos x(t) y y(t) dada por

R xy ( t1 , t2 )=sen(π (t 1−t 2))2π (t 1−t 2)

Considere un proceso estocástico z(t) definido por z(t)=x(t)+y(t) determine su función media m z ( t ) es su función de auto correlación R z ( t1 , t2 ).

X(t) proceso gaussiano ¿

Y(t) proceso gaussiano ¿

R x (t 1 ,t 2 )=sen [π (t1−t2)]2π (t1−t2)

Z(t)=x(t)+y(t)

m z (t )=m x ( t )+m y (t )dondemz (t)=senπt

R z ( t1 , t2 )=E {[x (t1 )+ y (t 1 )]¿

¿ Rx (t 1 ,t 2 )+2Rxy (t 1, t 2)+R y ( t1 , t2 )

R z ( t1 , t2 )=exp (−|t 1−t 2|)+senπ (t 1−t 2)π (t 1−t 2)

+exp¿

{m20=mz (20 )=0τ202 =R z (t .t )=3

P z20( z)=1

√6πe

−z 2

6

15. En la figura se muestra un proceso estocástico que aproxima razonablemente la forma de onda de tensión de ruido térmico en los terminales de un resistor los números de transiciones ocurridas en los intervalos (t1,t2) es t1<t2 es una VA de poisson con un valor medio de α (t 1−t 2) donde alfa es un positivo, por otro lado cada transición de amplitud (valor (x(t))) del proceso de la V.A independiente de

cualquier amplitud anterior de la función densidades probabilidad Px(X), determine la densidad espectral de potencia Sx(F) del proceso estocástico

px (t 1 , t 2 )=E [x (t 1 ) x (t 2)]Deducimos las ecuaciones dado que A es 1 en las transiciones (t1 , t2)

E [ x (t 1 ) x (t 2)]=E [ x (t 1 ) x (t 2 )A ] .P ( A )+E [ x (t 1 ) x (t 2 )

A ] .P(A)

Donde:

E [ x ( t 1 ) x ( t 2 )A ]=E [ x (t ) ]=∫

−∞

∞

(x . px (X)dx¿)2=mx2¿

E [ x ( t 1 ) x ( t 2 )A ]=E [ x2(t)]=∫

−∞

∞

x2 px (x )=E [x2 ]

P (A )=e−∝ (t1−t 2)

Rx (t 1 , t 2 )=mk 2 . e−¿t1−t 2∨¿+E [ x2 ]¿ ¿

mk2−E [x2]e−x∨t1−t 2∨¿ ¿

t 1−t 2=τ Rx (τ )=E [ x2 ]−var [x ] . eτ∨¿

Sx (w )=2 π .E [ x2 ] . δ (w )−var [ x ] . 2∝∝2+w2