1 Cornuéjols 1-Introduction à l’Apprentissage Artificiel 04/10/12 Antoine Cornuéjols AgroParisTech [email protected]http://www.lri.fr/~antoine/ 2 Cornuéjols 1-Introduction à l’Apprentissage Artificiel 04/10/12 3 Cornuéjols 1-Introduction à l’Apprentissage Artificiel 04/10/12 Le cours • 8 Cours : 4 AAA + 4 FD • 2 DM + Quizz + 1 Contrôle sur table (2h) • Documents ! Le livre "L'apprentissage artificiel. Concepts et algorithmes" A. Cornuéjols & L. Miclet. Eyrolles. 2 ème éd. 2010. ! Les transparents + Informations + devoirs + projets sur : http://www.lri.fr/~antoine/Courses/Master-ISI/Cours- ISI-3.html 4 Cornuéjols 1-Introduction à l’Apprentissage Artificiel 04/10/12 « How can we build computer systems that automatically improve with experience, and what are the fundamental laws that govern all learning processes ? » Tom Mitchell, 2006 !"# %&'#"&# ( %)" )*+#,
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Tr-Intro-AA ISI 3antoine/Courses/Master-ISI/Tr-Intro...y = nom de la personne (ou caractéristique : en colère, …) Cornuéjols 1-Introduction à l’Apprentissage Artificiel 34!
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1!Cornuéjols 1-Introduction à l’Apprentissage Artificiel
2!Cornuéjols 1-Introduction à l’Apprentissage Artificiel
04/10/12
3!Cornuéjols 1-Introduction à l’Apprentissage Artificiel
04/10/12
Le cours
• 8 Cours : 4 AAA + 4 FD
• 2 DM + Quizz + 1 Contrôle sur table (2h)
• Documents
! Le livre "L'apprentissage artificiel. Concepts et algorithmes" A. Cornuéjols & L. Miclet. Eyrolles. 2ème éd. 2010.
! Les transparents + Informations + devoirs +
projets sur : http://www.lri.fr/~antoine/Courses/Master-ISI/Cours-
ISI-3.html
4!Cornuéjols 1-Introduction à l’Apprentissage Artificiel
04/10/12
« How can we build computer systems that
automatically improve with experience,
and
what are the fundamental laws that
govern all learning processes? »
Tom Mitchell, 2006
!"#$%&'#"&#$($$%)"$)*+#,$
5!Cornuéjols 1-Introduction à l’Apprentissage Artificiel
04/10/12
Types d’apprentissages
6!Cornuéjols 1-Introduction à l’Apprentissage Artificiel
04/10/12
L’apprentissage artificiel
• Science de la modélisation
! Recherche des régularités sous-jacentes aux données d’observation
! Cherche un modèle du monde permettant la décision et la prédiction
• Science de l’adaptation!
! Apprentissage par renforcement!
! Évolution simulée!
7!Cornuéjols 1-Introduction à l’Apprentissage Artificiel
04/10/12
Qu’est-ce que l’apprentissage ?
Meilleure compréhension du monde
à partir d’observations
en vue de prédiction
8!Cornuéjols 1-Introduction à l’Apprentissage Artificiel
04/10/12
Qu’est-ce que l’apprentissage ?
Changements dans un système lui permettant de
réaliser le même type de tâche
avec une meilleure performance
à l’avenir
9!Cornuéjols 1-Introduction à l’Apprentissage Artificiel
04/10/12
Recherche de régularités
10!Cornuéjols 1-Introduction à l’Apprentissage Artificiel
04/10/12
Modélisation
• Discrimination
! Identification de sous-marins vs. bruits naturels
! Identification de locuteur / de signature
! Reconnaissance de l'écriture manuscrite, de la parole
! Code postal
! …
• Catégorisation
! SKY SURVEY
11!Cornuéjols 1-Introduction à l’Apprentissage Artificiel
04/10/12
Adaptation
• Association
• Imitation
• Apprentissage de comportement :
! Apprendre à marcher (insectoïdes de Brooks)
! Apprendre à se comporter sur une planète
• Apprendre à mieux jouer
! S'adapter à l'adversaire
! Ne pas répéter ses fautes
! Apprendre à jouer en équipe – Équipes de robots
12!Cornuéjols 1-Introduction à l’Apprentissage Artificiel
04/10/12
1. 1- Quel objectif ?
13!Cornuéjols 1-Introduction à l’Apprentissage Artificiel
04/10/12
Données -> régularités pour prédire
• Échantillon de données (training set)
• Apprentissage de règle de prédiction (decision rule, hypothesis)
14!Cornuéjols 1-Introduction à l’Apprentissage Artificiel
04/10/12
Données -> régularités pour prédire
15!Cornuéjols 1-Introduction à l’Apprentissage Artificiel
04/10/12
1. 1- Quel objectif ? 16!Cornuéjols 1-Introduction à l’Apprentissage Artificiel
04/10/12
1. 1- Quel objectif ?
Aide à la « découverte scientifique »
17!Cornuéjols 1-Introduction à l’Apprentissage Artificiel
04/10/12
Amélioration de performances
18!Cornuéjols 1-Introduction à l’Apprentissage Artificiel
04/10/12
Illustrations : Grand DARPA challenge (2005)
19!Cornuéjols 1-Introduction à l’Apprentissage Artificiel
04/10/12
Illustrations : Grand DARPA challenge (2005) 20!Cornuéjols 1-Introduction à l’Apprentissage Artificiel
04/10/12
Illustrations : Grand DARPA challenge (2005)
" 150 mile off-road robot race across the Mojave desert
" Natural and manmade hazards " No driver, no remote control " No dynamic passing " Fastest vehicle wins the race
(and 2 million dollar prize)
21!Cornuéjols 1-Introduction à l’Apprentissage Artificiel
04/10/12
Illustrations : Grand DARPA challenge (2005) 22!Cornuéjols 1-Introduction à l’Apprentissage Artificiel
04/10/12
1. 1- Quel objectif ?
• Systèmes autonomes avec apprentissage
23!Cornuéjols 1-Introduction à l’Apprentissage Artificiel
04/10/12
Objectifs fondamentaux d’une science de l’apprentissage
Mieux comprendre l'apprentissage :
• ne pas avoir à programmer
! Programmation par la démonstration
! Programmation par l'exemple (e.g. l'EBL)
! Programmation par échantillon d'apprentissage : induction
• mieux enseigner
• savoir ce que toute intelligence pourrait apprendre :
vers une théorie générale de l'apprentissage
24!Cornuéjols 1-Introduction à l’Apprentissage Artificiel
04/10/12
Concepts de base
25!Cornuéjols 1-Introduction à l’Apprentissage Artificiel
04/10/12
Induction supervisée 26!Cornuéjols 1-Introduction à l’Apprentissage Artificiel
04/10/12
Les données : organisation et types
Identifieur Genre Age Niveau études Marié ? Nb enfants Revenu Profession A prospecter ?
I_21 M 43 Bac+5 Oui 3 55 000 Architecte OUI
I_34 M 25 Bac+2 Non 0 21 000 Infirmier NON
I_38 F 34 Bac+8 Oui 2 35 000 Chercheuse OUI
I_39 F 67 Bac Oui 5 20 000 Retraitée NON
I_58 F 56 CAP Oui 4 27 000 Ouvrière NON
I_73 M 40 Bac+3 Non 2 31 000 Commercial OUI
I_81 F 51 Bac+5 Oui 3 75 000 Chef d’entreprise
OUI
Exemple!(example, instance)!
Descripteur!Attribut!(feature)!
Étiquette!(label)!
27!Cornuéjols 1-Introduction à l’Apprentissage Artificiel
04/10/12
Les données : organisation et types
Identifieur Genre Age Niveau études Marié ? Nb enfants Revenu Profession A prospecter ?
I_21 M 43 Bac+5 Oui 3 55 000 Architecte OUI
I_34 M 25 Bac+2 Non 0 21 000 Infirmier NON
I_38 F 34 Bac+8 Oui 2 35 000 Chercheuse OUI
I_39 F 67 Bac Oui 5 20 000 Retraitée NON
I_58 F 56 CAP Oui 4 27 000 Ouvrière NON
I_73 M 40 Bac+3 Non 2 31 000 Commercial OUI
I_81 F 51 Bac+5 Oui 3 75 000 Chef d’entreprise
OUI
28!Cornuéjols 1-Introduction à l’Apprentissage Artificiel
04/10/12
Types de formats
Numérique continue (R) Compte en banque : 12 915,86 "!Numérique discrète (N ou Z) Nombre d’enfants : 11!Binaire Célibataire : vrai!Catégorie Couleur dans {rouge, vert, bleu}!Texte La protéine «#sp|P00004|CYC_HORSE#» est
activée par …!Données structurées Arbre, expression XML, …!
Séquences Génôme$Séquence de commandes d’accès sur réseau!
Images, vidéos
28!
29!Cornuéjols 1-Introduction à l’Apprentissage Artificiel
48!Cornuéjols 1-Introduction à l’Apprentissage Artificiel
04/10/12
Et pour la prédiction de séquence …
49!Cornuéjols 1-Introduction à l’Apprentissage Artificiel
04/10/12
1.6- Exemple : reconnaissance de caractères manuscrits (3)
• Quel critère de performance (de succès) ?
! Probabilité de misclassification
! Risque
! Nombre d’erreurs
• Apprentissage sur un échantillon d'apprentissage
• Test sur une base de test
Taille échantillon!
“Erreur”!
Courbe d’apprentissage!
50!Cornuéjols 1-Introduction à l’Apprentissage Artificiel
04/10/12
Apprendre requiert du soin
• L’apprentissage peut être vu comme la diminution de l’incertitude restante
! Supposons que nous connaissions la classe de la fonction (e.g. m of n), alors l’échantillon d’apprentissage peut nous permettre d’identifier la bonne fonction
• L’apprentissage requiert donc de faire un pari sur la classe des hypothèses à considérer
! On peut commencer par une classe simple (restreinte) et l’« élargir » si c’est nécessaire jusqu’à trouver une classe dans laquelle une fonction s’accorde aux données
• On peut se tromper !
! Notre pari peut être mauvais (e.g. la fonction y = x4 ! one-of{x1,x3} marche aussi)
! Si c’était la fonction cible, alors on va commettre des erreurs en généralisation (sur des exemples non vus)
51!Cornuéjols 1-Introduction à l’Apprentissage Artificiel
04/10/12
Stratégie générale
• Bien choisir un langage de représentation des concepts (hypothèses)
! Limiter son expressivité (sinon on ne peut pas apprendre)
! E.g. concept conjonctif, m-of-n, réseau de neurones d’architecture bien choisie, …
• Considérer un espace d’hypothèses flexible
! Permettant de considérer des classes d’hypothèses de plus en plus riches
! Arbres de décision, réseaux de neurones, SVM, …
• Concevoir un algorithme d’exploration de l’espace des hypothèses H ! Pour trouver une « bonne » hypothèse (qui s’accorde approximativement aux données)
! Et espérer que cette hypothèse généralisera bien à des données non vues
52!Cornuéjols 1-Introduction à l’Apprentissage Artificiel
04/10/12
L’apprentissage de concept
53!Cornuéjols 1-Introduction à l’Apprentissage Artificiel
04/10/12
Apprendre ! prédiction dans X
+! +!+!+!
+! +!+!
-!-!
-!
-!
-!
-!
-!-!
-!
Espace des exemples : !X!
+/- ?!
" Hypothèse de continuité dans X !
54!Cornuéjols 1-Introduction à l’Apprentissage Artificiel
04/10/12
Trois ingrédients : trois questions
55!Cornuéjols 1-Introduction à l’Apprentissage Artificiel
04/10/12
Apprendre = un jeu entre espaces
Espace des exemples : X ! Espace des hypothèses : H !
LH
# Comment choisir l’espace des hypothèses (i.e. le langage LH ) ?!
+! +!+!+!
+! +!+!
-!-!
-!
-!-!
-!
-!-!
-!
x ! h!
56!Cornuéjols 1-Introduction à l’Apprentissage Artificiel
04/10/12
1- Choix de H
57!Cornuéjols 1-Introduction à l’Apprentissage Artificiel
04/10/12
Impossibilité de l’induction sans biais
• Combien de fonctions possibles de 4 entrées booléennes et une sortie booléenne ?
Exemple x1 x2 x3 x4 Etiquette
1 0 0 0 0 ?
2 0 0 0 1 ?
3 0 0 1 0 0
4 0 0 1 1 1
5 0 1 0 0 0
6 0 1 0 1 0
7 0 1 1 0 0
8 0 1 1 1 ?
9 1 0 0 0 ?
10 1 0 0 1 1
11 1 0 1 0 ?
12 1 0 1 1 ?
13 1 1 0 0 0
14 1 1 0 1 ?
15 1 1 1 0 ?
16 1 1 1 1 ?
• Combien de fonctions encore envisageables quand on connaît 7 exemples ?
Apprendre est-il possible ?
58!Cornuéjols 1-Introduction à l’Apprentissage Artificiel
04/10/12
+! +!+!+!
+! +!+!
-!-!
-!
-!-!
-!
-!-!
-!
Espace des exemples : !X!
Biais = Contraintes sur l’espace d’hypothèses
• Apprendre (pour prédire) est impossible …
… sans limitation sur l’espace des hypothèses
+/- ?!
Espace des hypothèses : H
x !hj!
hk!
x !hi!
x !
x !hi!x !hi!x !hi!x !hi!
x !hi!x !hi!
x !hi!x !hi!x !hi!
x !hi!x !hi!x !hi!
x !hi!x !hi!x !hi!x !hi!
x !hi!x !hi!x !hi!
x !hi!x !hi!x !hi!x !hi!
x !hi!x !hi!x !hi!x !hi!x !hi!x !hi!
59!Cornuéjols 1-Introduction à l’Apprentissage Artificiel
04/10/12
2- L’évaluation des hypothèses dans H
60!Cornuéjols 1-Introduction à l’Apprentissage Artificiel
04/10/12
Le critère inductif
+! +!+!+!
+! +!+!
-!-!
-!
-!-!
-!
-!-!
-!
LH
x ! h!
X H
61!Cornuéjols 1-Introduction à l’Apprentissage Artificiel
04/10/12
Critère de performance
R(h) = l h(x), u( ) dP(x, y)X!Y"
Étiquette !prédite!
Étiquette vraie!(ou désirée)!
Loi de probabilité!jointe sur X " Y!
62!Cornuéjols 1-Introduction à l’Apprentissage Artificiel
04/10/12
Exemples de fonctions de perte
• Discrimination
• Régression
• Estimation de densité
l (h(xi), ui) = 0 si ui = h(xi )1 si ui ! h(xi )" # $
l (h(xi), ui) = h(xi) ! ui[ ]2
l (h(xi)) = ! ln h(xi)
63!Cornuéjols 1-Introduction à l’Apprentissage Artificiel
04/10/12
64!Cornuéjols 1-Introduction à l’Apprentissage Artificiel
04/10/12
(i) Le principe inductif ERM
REmp(h) = l h(xi ), ui( )i = 1
m
!
R(h) = l h(x), u( ) dP(x, y)X!Y"
65!Cornuéjols 1-Introduction à l’Apprentissage Artificiel
04/10/12
(ii) Approche bayésienne 66!Cornuéjols 1-Introduction à l’Apprentissage Artificiel
04/10/12
3.1- (iii) Principe de compression maximale
67!Cornuéjols 1-Introduction à l’Apprentissage Artificiel
04/10/12
L’exploration de H
# Quelle méthode d’exploration de H ? !
+! +!+!+!
+! +!+!
-!-!
-!
-!-!
-!
-!-!
-!
LH
x ! h!
X H
x ! h!x !h!? ?
68!Cornuéjols 1-Introduction à l’Apprentissage Artificiel
04/10/12
3- L’exploration de H
69!Cornuéjols 1-Introduction à l’Apprentissage Artificiel
04/10/12
2- Apprendre = explorer un espace d’hypothèses
• Comment choisir une (des) hypothèse(s) ?
• Notion de biais de représentation
+ +++
+ ++
--
-
-
-
-
--
-
70!Cornuéjols 1-Introduction à l’Apprentissage Artificiel
04/10/12
2- Apprendre = explorer un espace d’hypothèses
• Exploration de l’espace d’hypothèses!
• Mesure de l’adéquation de l’hypothèse (critère de succès)!
+ ! + !+ !+ !
+ ! + !+ !
- !- !
- !
- !
- !
- !
- !- !
- !
x !
x ! x !? -!
Nouvel!exemple!
hj!hk!
hi! ?
Espace des exemples : X Espace des hypothèses : H
71!Cornuéjols 1-Introduction à l’Apprentissage Artificiel
04/10/12
4- Apprendre = explorer un espace d’hypothèses
• Exploration de l’espace d’hypothèses!
# guidée par les relations de généralités dans H!
+ ! + !+ !+ !
+ ! + !+ !
- !- !
- !
- !
- !
- !
- !- !
- !
x !
x ! x !? -!
Nouvel!exemple!
hj!hk!
hi! ?
Espace des exemples : X Espace des hypothèses : H
72!Cornuéjols 1-Introduction à l’Apprentissage Artificiel
04/10/12
4- Induction et généralisation
Comment corriger une hypothèse défectueuse!
++
+
+ +
+
+
0
000
0
0
0
0
X
hm
Nouvel exemple : (xm+1 ,-1)
hm+1+
++
+ +
+
+
0
0
0
0
0
0
0
X
hm
Nouvel exemple : (xm+1 ,+1)
hm+1+
(a) (b)
73!Cornuéjols 1-Introduction à l’Apprentissage Artificiel
04/10/12
4- Couverture des exemples par une hypothèse
• h1 : complète mais incorrecte!
• h2 : correcte mais incomplète!
• h3 : complète et correcte : cohérente!
++
+
+ +
+
+
0
0
00
0
0
0
0
X
h1
h2h3
74!Cornuéjols 1-Introduction à l’Apprentissage Artificiel
04/10/12
4- Relation d’inclusion et relation de généralité
Vers la généralisation
++ +
+ ++
+
0
00
0
0
0
0
Xcouverture(ht)
ht
ht+1
H
+
couverture(ht+1)
75!Cornuéjols 1-Introduction à l’Apprentissage Artificiel
04/10/12
4- Relation d’inclusion et relation de généralité
Vers la spécialisation
++ +
+ ++
+
0
000
0
0
0
0
X
ht
ht+1
H
couverture(ht+1)
couverture(ht)
76!Cornuéjols 1-Introduction à l’Apprentissage Artificiel
04/10/12
4- La relation de généralité induite dans H
Relation de généralité dans H induite par la relation d'inclusion dans X
X
h1
h2
H
couverture(h3)
couverture(h2)
h3
couverture(h1)
77!Cornuéjols 1-Introduction à l’Apprentissage Artificiel
04/10/12
4- Treillis de généralisation dans H
Ordre partiel dans H
hi hj
gms(hi, hj)
smg(hi, hj)
H
78!Cornuéjols 1-Introduction à l’Apprentissage Artificiel
04/10/12
4- Les opérateurs
• Généralisation
! Transforme une description en une description plus générale
• Spécialisation
! Duale de la généralisation
! (En général : produit une description qui est une conséquence logique de la description initiale)
• Reformulation
! Transforme une description en une description logiquement équivalente
79!Cornuéjols 1-Introduction à l’Apprentissage Artificiel
04/10/12
4- Opérateurs de généralisation
• Règle d’abandon de conjonction
! A & B # C => A # C
ferrari & rouge # coûteux => ferrari # coûteux
• Règle d’ajout d’alternative
! A # C => A $ B # C
ferrari # coûteux => ferrari $ rouge # coûteux
• Règle d’extension du domaine de référence
! A & [B = R] # C => A & [B = R’] # C
grand & [couleur = rouge] # coûteux => grand & [couleur rouge $ bleu] # coûteux
80!Cornuéjols 1-Introduction à l’Apprentissage Artificiel
04/10/12
4- Opérateurs de généralisation
• Règle de clôture d’intervalle
! A & [B=v1] # C & A & [B = v2] # C => A & [B = v1 ... v2] # C
grand & [coût = 100] # à acheter && grand & [coût = 150] # à acheter => grand & [coût = 100 .. 150] # à acheter
• Règle de l’ascension dans l’arbre de hiérarchie
! A & [B= n1] # C && A & [B= n2] # C => A & [B= N] # C
corrosif & [élément = chlorine] # toxique
corrosif & [élément = bromine] # toxique
=> corrosif & [élément = halogène] # toxique
Halogène!
Bromine!Chlorine!
81!Cornuéjols 1-Introduction à l’Apprentissage Artificiel
04/10/12
4- Opérateurs de généralisation
• Règle de variabilisation
! F(a) & F(b) & ... # C => % v, F(v) # C
grand(sommet_objet) & grand(fond_objet) & ... # C
=> % partie, grand(partie) # C
• Règle de changement de conjonction en disjonction
! A & B # C => A $ B # C
grand & rouge # coûteux => grand $ rouge # coûteux
• Règle d’extension du domaine de quantification
! & v, F(v) # C => % v, F(v) # C
& partie, grand(partie) # C => % partie, grand(partie) # C
82!Cornuéjols 1-Introduction à l’Apprentissage Artificiel
04/10/12
4- Opérateurs de généralisation
• Inversion de la résolution
! A & B # C && ¬A & D # C => B $ D # C
vieux & grand # C && ¬ vieux & rouge # C => grand $ rouge # C
• Règle anti-extension
! A & [B=v1] # C && D & [B=v2] # ¬C => [B ! v2] # C
• Règle constructive de généralisation (modifiant les descripteurs)
! A & B # C && D # C => A & D # C
83!Cornuéjols 1-Introduction à l’Apprentissage Artificiel
04/10/12
L’espace des versions
et
L’algorithme d’élimination des candidats
84!Cornuéjols 1-Introduction à l’Apprentissage Artificiel
04/10/12
5- Représentation de l'espace des versions
Observation fondamentale :
L'espace des versions structuré par une relation d'ordre partiel peut être représenté par :
! sa borne supérieure : le G-set
! sa borne inférieure : le S-set
• G-set = Ensemble de toutes les hypothèses les plus générales cohérentes avec les exemples connus
• S-set = Ensemble de toutes les hypothèses les plus spécifiques cohérentes avec les exemples connus
H
G
S
hi hj
85!Cornuéjols 1-Introduction à l’Apprentissage Artificiel
04/10/12
5- Apprentissage ...
… par mise à jour de l'espace des versions
Idée :
maintenir le S-set
et le G-set
après chaque nouvel exemple
# Algorithme d'élimination des candidats
86!Cornuéjols 1-Introduction à l’Apprentissage Artificiel
04/10/12
5- Algorithme d'élimination des candidats
Initialiser S et G par (resp.) :
! l'ensemble des hypothèses les plus spécifiques (les plus générales) cohérentes
avec le 1er exemple positif connu.
Pour chaque nouvel exemple (positif ou négatif)
! mettre à jour S
! mettre à jour G
Jusqu'à convergence
ou jusqu'à ce que S = G = Ø
87!Cornuéjols 1-Introduction à l’Apprentissage Artificiel
04/10/12
5- Mise à jour de S
• xi est négatif
! Eliminer les hypothèses de S couvrant (indûment) xi
• xi est positif
! Généraliser les hypothèses de S ne couvrant pas xi juste assez pour qu'elles le couvrent
! Puis éliminer les hypothèses de S
– couvrant un ou plusieurs exemples négatifs
– plus générales que des hypothèses de S
88!Cornuéjols 1-Introduction à l’Apprentissage Artificiel
04/10/12
5- Mise à jour de G
• xi est positif
! Eliminer les hypothèses de G ne couvrant pas xi
• xi est négatif
! Spécialiser les hypothèses de G couvrant xi juste assez pour qu'elles ne le couvrent plus
! Puis éliminer les hypothèses de G
– n'étant pas plus générales qu'au moins un élément de S
– plus spécifiques qu'au moins une autre hypothèse de G
89!Cornuéjols 1-Introduction à l’Apprentissage Artificiel
04/10/12
5- Algorithme d'élimination des candidats
Mise à jour des bornes S et G
H
G
Sx
x
x
x(a)
(b)
(c)
(d)
x(d')
(b')
(a')
xx
x
90!Cornuéjols 1-Introduction à l’Apprentissage Artificiel
04/10/12
5- Propriétés de l'AEC
• Incrémentalité
• Complexité ?
• Utilisation si non convergence ?
• Que signifie S = G = Ø ?
• Possibilité d'"apprentissage actif" ?
• Que faire si les données sont bruitées ?
91!Cornuéjols 1-Introduction à l’Apprentissage Artificiel
04/10/12
5- Exemple : le système LEX (1)
Résolutionde problèmes Généralisation
Critique
Générationde problèmes
Exercice
Trace détaillée de latentative de résolution
de l'exercice
Heuristiquespartiellement
apprises
Exempled'apprentissage
92!Cornuéjols 1-Introduction à l’Apprentissage Artificiel
04/10/12
5- Exemple : le système LEX (2)
Résolutionde problèmes Généralisation
Critique
Générationde problèmes
Calculer la primitive de :! 3x cos(x) dx
! 3x cos(x) dx
3x sin(x) - ! 3x sin(x) dx
3x sin(x) - 3 ! x sin(x) dx
3x sin(x) - 3x cos(x) dx + C
OP2 avec :u = 3xdv = cos(x) dx
OP1
OP5
Un des exemples positifs proposés :
! 3x cos(x) dx" Appliquer OP2 avec :
u = 3x dv = cos(x) dx
Espace des versions pour l'utilisation del'opérateur OP2 :