Tps04

Antrian 1

Antrian (Queuing)Antrian (Queuing)

M. Sitepu

Antrian 2

Queuing is techniques developed by the study of people standing in line to determine the optimum level of service provision. In queuing theory, mathematical formulae, or simulations, are used to calculate variables such as length of time spent standing in line and average service time, which depend on the frequency and number of arrivals and the facilities available. The results enable decisions to be made on the most cost-effective level of facilities and the most efficient organization of the process. Early developments in queuing theory were applied to the provision of telephone switching equipment but the techniques are now used in a wide variety of contexts, including machine maintenance, production lines, and air transportation.

M. Sitepu

Antrian 3

Queuing theory deals with problems that involve queuing (or waiting). Some examples of queuing include:• Banks or supermarkets—customers waiting for service• Computers—users waiting for a response• Public transportation—riders waiting for a bus/train• Failure situations—machinery owners waiting for a failure to

occur

Queues form because resources are limited. In fact, it makes economic sense to have queues.

In designing queuing systems, a balance is needed between service to customers (which means short queues and implies many servers) and cost (too many servers waste funds).

Most queuing systems can be divided into individual sub-systems, consisting of entities queuing for some activity.M. Sitepu

Antrian 4

Queuing theory applies to any system in equilibrium, as long as nothing in the black box is creating or destroying tasks (arrivals=departures).

M. Sitepu

Antrian 5

Queuing theory mathematics gets very complicated because it applies probability and statistics to queuing systems.

1. What is the probability that the arriving task will find a device busy?

2. On average, how many tasks are ahead of the task that just entered the system?

The Early Derivations

A single server queue is a combination of a servicing facility that accommodates one customer at a time (server) + a waiting area (queue).These components together are called a system.

M. Sitepu

Antrian 6

The early queuing work treated the system as a single homogeneous “server,” without regard to discrete components or types of workloads. These systems were called M/M/1 queues.

Later, this work was expanded to include multiple homogeneous servers inside the black box.

Queuing Methods

Four types of queuing techniques commonly implemented1. First in First Out (FIFO).2. Weighted Fair Queuing3. Custom Queuing4. Priority Queuing

M. Sitepu

Antrian 7

First In First Out (FIFO)Packets are transmitted in the order in which they arrive.• Single Queue, Packet dropping

Weighted Fair Queuing (WFQ)• Packets are classified into different "conversation messages“• Each queue has some priority value or weight assigned to it.

Low volume traffic is given higher priority over high volume traffic

• After accounting for high priority traffic the remaining bandwidth is divided fairly among multiple queues (if any) of low priority traffic.

M. Sitepu

Antrian 8

Custom Queuing• Separate queues maintained for separate classes of traffic.• The algorithm requires a byte count to be set per queue.

That many bytes rounded of to the nearest packet is scheduled for delivery.

• This ensures that the minimum bandwidth requirement by the various classes of traffic is met.

• CQ round robins through the queues, picking the required number of packets from each.

• If a queue is of length 0 then the next queue is serviced.

M. Sitepu

Antrian 9

Priority Queuing• 4 traffic priorities Defined.- high, medium, normal and low.• Incoming traffic is classified and enqueued in either of the 4

queues. Classification criteria

• Unclassified packets are put in the normal queue.• The queues are emptied in the order of - high, medium,

normal and low. In each queue, packets are in the FIFO order

M. Sitepu

Antrian 10

Queuing Networks

After much more work in the queuing theory field (approximately 20 years), a new technique was developed that divided computer system into networks of queues.

MVAThis new technique is called Mean Value Analysis. It allowed a computer system to be segregated by workload classes(transactions, arrival rates, numbers of clients) as well as components (CPU, disk, etc.)

Systems were also delineated as being “open” or “closed.”

M. Sitepu

Antrian 11

Mean value analysis is an iterative approach of solving three primary equations for class “r” workload at queue “i.”

The three equations provide solutions for the residence time (response time, per class, per queue), the throughput, and the queue length (number of class “r” tasks at queue “i”).

Software and hardware contention can be modeled using these techniques.

M. Sitepu

Antrian 12

1.Pendahuluan2.Struktur Model Antrian (The Structure of Queuing Model)3. Single-Channel Model4. Multiple-Channel Model5. Model Biaya Minimum (Cost Minimization Models)6. Non-Poisson Model7. Model Self Service Facilities8. Model Network (Queuing Network)

Model Antrian Sederhana

M. Sitepu

Antrian 13

1. Pendahuluan

Sistem antrian sangat diperlukan ketika para pelanggan (konsumen) menunggu untuk mendapatkan jasa pelayananContoh penggunaan sistem antrian dalam melancarkanpelayanan kepada pelanggan atau konsumen :• Mahasiswa menunggu untuk registrasi dan pembayaran uang

kuliah• Pelanggan menunggu pelayanan di depan kasir• Para calon penumpang KA menunggu pelayanan di loket

penjualan tiket• Para pengendara kendaraan menunggu untuk mendapatkan

pelayanan pengisian bahan bakar di SPBU

Teori antrian diciptakan oleh A.K. Erlang (ahli matematikDenmark) pada tahun 1909.

M. Sitepu

Antrian 14

2. Struktur Model Antrian (The Structure of Queuing Model)

Gambar 1. Struktur sistem antrianM. Sitepu

Antrian 15

Gambar 1 menunjukkan struktur umum suatu model antrian yang memiliki 2 komponen :1) Garis tunggu atau antrian (queue)2) Fasilitas pelayanan (service facility)

Gambar 2. Pelayanan nasabah di bankM. Sitepu

Antrian 16M. Sitepu

Antrian 17

Prosedur teknik antrianLangkah 1 : Tentukan sistem antrian apa yang harus dipelajari.Langkah 2 : Tentukan model antrian yang sesuai dalam menggambarkan sistem.

Contoh dalam kasus pompa bensin di SPBU,terdapat tiga model yang dapat digunakan :• tiga pompa untuk premium dengan satu garis tunggu• tiga pompa untuk premium dengan masing-masing memiliki

garis tunggu• satu pompa untuk premium, satu pompa untuk pertamax, satu

pompa untuk solar dengan masing-masing memiliki garis tunggu.

Langkah 3 : Gunakan formula matematik atau metode simulasiuntuk menganalisa model antrian.

M. Sitepu

18

Komponen dalam Sistem Antrian (lihat gambar 1)1. Populasi masukan (input population) :• Input populasi terbatas (finite input population)• Input populasi tak terbatas (infinite input population)

2. Distribusi kedatangan,• Pelanggan datang setiap 5 menit (constant arrival

distribution)• Pelanggan datang secara acak (arrival pattern random)

3. Disiplin pelayanan,• FCFS (first come, first served) dan• LCFS (last come, first served)• Pelanggan dilayani secara acak dan prioritas

4. Fasilitas pelayanan, mengelompokkan fasilitas pelayanan menurut jumlah yang tersedia,• Sistem single-channel (gambar 3)• Sistem multiple channel

M. Sitepu Antrian

Antrian 19

5. Distribusi pelayanan, ditetapkan berdasarkan satu cara dari dua cara berikut :• Berapa banyak pelanggan yang dapat dilayani per satuan

waktu• Berapa lama setiap pelanggan dapat dilayani

6. Kapasitas sistem pelayanan, sama dengan memaksimumkan jumlah pelanggan yang diperkenankan masuk dalam sistem, Kapasitas terbatas atau tak terbatas.

7. Karakteristik sistem lainnya, pelanggan tidak akan masuk sistem antrian jika pelanggan lain telah banyak menunggu atau meninggalkan antrian.

Perilaku ini dikatakan sebagai reneging atau pengingkaran.

M. Sitepu

20

Notasi dalam sistem antriann = Jumlah pelanggan dalam sistemλ = Jumlah rata-rata pelanggan yang datang per satuan waktuμ = Jumlah rata-rata pelanggan yang dilayani per satuan waktuL = Jumlah rata-rata pelanggan yang diharapkan dalam sistemLq = Jumlah pelanggan yang diharapkan menunggu dalam

antrianPo = Probabilitas tidak ada pelanggan dalam sistemPn = Probabilitas kepastian n pelanggan dalam sistemP = Tingkat intensitas fasilitas pelayananW = Waktu yang diharapkan oleh pelanggan selama dalam sistemWq = Waktu yang diharapkan oleh pelanggan selama menunggu

dalam antrian1/ μ = Waktu rata-rata pelayanan1/ λ = Waktu rata-rata antar kedatanganS = Jumlah fasilitas pelayanan

M. Sitepu Antrian

Antrian 21

3. Single-channel ModelModel antrian paling sederhana adalah model saluran tunggal(single-channel model) ditulis dengan notasi ’’ sistem M/M/1 ’’M pertama : rata-rata kedatangan (distribusi probabilitas

Poisson),M kedua : tingkat pelayananAngka 1 : jumlah fasilitas pelayanan satu saluran (one channel)

Gambar 3. Sistem Single ChannelM. Sitepu

Antrian 22

Komponen:1. Populasi input tak terbatas yaitu jumlah kedatangan

pelanggan potensial tak terbatas.2. Distribusi kedatangan pelanggan potensial mengikuti

distribusi Poisson.3. Disiplin pelayanan mengikuti pedoman FCFS.4. Fasilitas pelayanan terdiri dari saluran tunggal.5. Distribusi pelayanan mengikuti distribusi Poisson, asumsi

(λ < μ)6. Kapasitas sistem diasumsikan tak terbatas7. Tidak ada penolakan maupun pengingkaran

Probabilitas Poisson :

M. Sitepu

Antrian 23

Persamaan dalam sistem ( M/M/1 ) :

M. Sitepu

Antrian 24

4. Multiple-channel Model

Dalam multiple-channel model, fasilitas pelayanan yang dimiliki lebih dari satu, ditulis dengan notasi ’’ sistem M/M/s ’’Huruf (s) menyatakan jumlah fasilitas pelayanan.

Contoh 1 :Bagian registrasi suatu universitas menggunakan sistem komputer dengan 4 orang operator dan setiap operator melakukan pekerjaan yang sama. Rata-rata kedatangan mahasiswa yang mengikuti distribusi kedatangan Poisson adalah 100 mahasiswa per jam. Setiap operator dapat memproses 40 registrasi mahasiswa per jam dengan waktu pelayanan per mahasiswa mengikuti distribusi eksponensial.

M. Sitepu

Antrian 25

a) Berapa persentase waktu mahasiswa tidak dalam registrasi ? (Po)

b) Berapa lama rata-rata mahasiswa menghabiskan waktunya di pusat registrasi ? (W)

c) Berapa lama mahasiswa menunggu untuk mendapatkan pelayanan registrasi atas dasar rata-rata tsb? (Lq)

d) Berapa lama rata-rata mahasiswa menunggu dalam garis antrian? (Wq)

e) Jika ruang tunggu pusat registrasi mahasiswa hanya mampu untuk menampung 5 mahasiswa, berapa persentase waktu setiap mahasiswa berada dalam garis antrian di luar ruangan ?

Penyelesaian :Digunakan sistem (M/M/4)Rata-rata kedatangan mahasiswa (λ) = 100Rata-rata setiap operator dapat melayani mahasiswa (μ) = 40

M. Sitepu

Antrian 26

a) Menggunakan persamaan :

Probabilitas mahasiswa tidak dalam mendatangi pusat registrasi sebesar Po = 0.0737 atau 7.37 %

b) Waktu rata-rata yang dihabiskan mahasiswa di pusat registrasi (W)

Pertama dihitung Lq dengan persamaan :

M. Sitepu

Antrian 27

c) Waktu menunggu mahasiswa untuk mendapatkan pelayanan registrasi adalah: Lq = 0.533 jam = 31.98 menit

d) Waktu menunggu mahasiswa selama dalam proses antrian adalah: Wq = 0.00533 jam = 0.03 menit

M. Sitepu

Antrian 28

e) Untuk menentukan berapa lama mahasiswa berada di luar ruangan tunggu dilakukan dengan menghitung Pn yaitu menjumlahkan: Pn = P0+P1 + P2 + P3 + P4 + P5 = 0.0737 + 0.1842 + 0.2303 + 0.1919 + 0.1200 + 0.0750 = 0.8751sama dengan proporsi waktu yang digunakan mahasiswa menunggu di dalam ruangan registrasi.

Persentase waktu yang digunakan mahasiswa untuk menunggu di luar ruangan adalah 1-0.8751 = 0.1249 = 12.49 % dari waktu mahasiswa.

Jika mahasiswa berada dalam sistem selama 1.8 menit, maka 87.51 % dari waktu tsb mahasiswa berada dalam ruang tunggu dan 12.49 % atau 0.225 menit mahasiswa berada di luar ruang tunggu.M. Sitepu

Antrian 29

5. Model Biaya Minimum (Cost Minimization Models)

Pada beberapa aplikasi sistem antrian sangat mungkin mendisain sistem yang akan meminimumkan biaya per satuan waktu.

Persamaan biaya total per jam :

TC = SC +WC

TC = Total biaya per jamSC = Biaya pelayanan per jamWC = Biaya menunggu per jam per pelanggan

Total biaya menunggu per jam :WC =λ (W cw) = ( λ W) cw = L cw

M. Sitepu

Antrian 30

Total biaya menunggu per jam :

WC = λ (W cw) = ( λ W) cw = L cw

cw = biayamenunggu per jamper pelangganW = waktu yang dihabiskan pelangganW cw = rata-ratabiayamenunggu per pelangganλ = rata-ratakedatangan pelanggan per jam dengan persamaan L = λW (persamaan--)

6. Non Poisson Model

Ditulis dengan notasi ’’ sistem M/G/1 ’’M menunjukkan kedatangan PoissonG merupakan rata-rata (means) waktu pelayananAngka 1 menunjukkan sistem memiliki satu channel

M. Sitepu

Antrian 31

Dalam sistem (M/M/1) dan (M/M/s) diasumsikan bahwa tingkatPelayanan (pelayanan pelanggan per satuan waktu) memiliki probabilitas Poisson.

Sama dengan asumsi bahwa waktu pelayanan pelanggan memiliki probabilitas eksponensial.

Probabilitas Poisson sangat ideal untuk model kedatangan random.

M. Sitepu

Antrian 32

7. Self Service Facilities

Banyak perusahaan (pedagang) menyediakan fasilitas pelayanan sendiri (self-service facilities) bagi para pelanggannya seperti supermarket, restoran, Perpustakaan, pompa bensin, telepon umum, toko buku, dll.

M. Sitepu

Antrian 33

Digunakan model antrian (M/M/s) apabila jumlah fasilitas pelayanan terbatas (finite)

Digunakan model antrian (M/M/) apabila jumlah fasilitas pelayanan tak terbatas (infinite) atau tidak perlu menunggu

Persamaan yang digunakan dalam model antrian (M/M/ ∞ ) sbb :

M. Sitepu

Antrian 34

8. Queuing Network

Model networks dapat menggunakan sistem seri maupun sistem paralel.

Sistem seri terdiri dari satu subsistem mengikuti subsistem yang lain.

Setiap pelanggan harus melewati satu subsistem kemudian Melewati subsistem yang lain seperti registrasi mahasiswa.

Sistem paralel maliputi dua atau lebih subsistem dan setiap Pelanggan harus melewati satu subsistem.

Sebuah subsistem mungkin menggunakan sistem antrian (M/M/1) atau sistem (M/M/s)M. Sitepu

Antrian 35

Gambar 4. Sistem Seri

Gambar 5. Sistem ParalelM. Sitepu

Antrian 36M. Sitepu