TP5: Dérivation
TP5: Dérivation
Rappels théoriques
Formules standards de dérivées
²
''
'')'(
sin)'(cos
cos)'(sin
1)'(ln
)'( 1
g
fggf
g
f
fggffg
xx
xxx
x
nxx nn
A. Exercices du syllabus
Q68 4) ((2x²-1)5)’ = 5 (2x²-1)4(2x²-1)’
= 5 (2x²-1)4 4x 8)
9) (cos²x)’ = 2cosx(cosx)’=-2 cosx sinx
10) (cosx²)’ = -sinx²(x²)’= -2xsinx²
)'
12
3(
x
x
1212
2.
21
).3(12.1
xx
xx
12)12(
)3(12
xx
xx
12)12(
2
xx
x
A. Exercices du syllabus
Q68 12)
13)(x³cos2x)’ = 3x²cos2x+x³(-sin2x)(2x)’= 3x²cos2x-2x³sin2x
)21cos( x )'21).(21sin( xx
x
x21
2.
2
1).21sin(
x
x
21
)21sin(
A. Exercices du syllabus
20)
23)
2)sin1(
)cos)(sin1()sin1(cos
x
xxxx
2)sin1(
cossincossincoscos
x
xxxxxx
2)sin1(
cos2
x
x
)')sin1(
)sin1((
x
x
)'( 12 xe )'12(12 xe x
122
212
xe x
12
12
x
e x
A. Exercices du syllabus
24)
34) )'10(2ln x
²
210ln10
2ln
x
xx
²)'(ln10ln102ln xx
)'2( 1 x )'1.(2ln.2 1 xx
xx
12
1.2ln.2 1
A.Exercices du syllabus
41)
)'(lnbx
ax
bx
axbx
ax)'(
ax
bx
bx
axbx.
)²(
)()())(( bxax
ba
A.Exercices du syllabus
Q72: soit f une fonction de période 2 tq f(t)=1-t² pour -1≤t<1. Que vaut sa dérivée en 265,3?
f’(t)=-2t si t entre -1 et 1
265<t<267 f’(265,3)=-2. -0,7=1,4
A.Exercices du syllabus
Q75: solution versée dans un filtre conique à la vitesse de 3cm³ par seconde, et s’écoule à raison de 1cm³ par seconde. Rayon supérieur du filtre vaut 10cm et sa profondeur vaut 30cm. A quelle vitesse monte le niveau lorsque celui-ci a atteint 10cm? 20cm? Solution monte à 2cm³/s
= dV/dt rapport entre h et r : r= h/3 Volume d’un cone= pr²h/3
27
²3)
27
³()
3
²(
hh
dh
dhr
dh
d
dh
dV
dhdVdtdV
dt
dh
dt
dV
dt
dh
dh
dV
²
9.2
hdt
dh
A.Exercices du syllabus
Q80: les graphes de f(x)=x² et g(x)=x²-2x+1 se coupent au point p. Que vaut p? Montrer que f et g se coupent à angle droit.
1) x²=x²-2x+1 => 2x-1=0 => x=1/2=> y=1/4
2)f’(1/2)=2.1/2=1 et g’(1/2)=-1 tangentes perpendiculaires
A. Exercices du syllabus
Q84: déterminer le maximum, la valeur de x qui annule la dérivée , f(6) et f’(6) Maximum: 3,9 Dérivée nulle: aucune f(6)=4-3.3/4=7/4 f’(6)=-3/4
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
4
4,5
3 7 9 12
A. Exercices du syllabus
Q85. Tracer le graphe de la dérivée de
Quand la fonction monte, la dérivée est positiveQuand la fonction descend, la dérivée est négativeQuand la concavité est vers la bas, la dérivée est décroissanteQuand la concavité est vers le haut, la fonction est croissante
A. Exercices du syllabus
Q93: cylindre droit à base circulaire est inscrit dans une sphère de 12cm de rayon. Quelle est la hauteur du cylindre pour laquelle l’aire latérale a une valeur extreme? Le volume? S’agit-il d’un maximum ou de minimum? Rayon=12cm Rcyl= Aire latérale
Dérivée de l’aire latérale : Dérivée s’annule en
Aire latérale = 288p
4
²²h
r
hh
rhrc 4
²²22
4
²²
)4/²4/²²(2
hr
hhr
212et 212
A. Exercices du syllabus
Q96: A midi, un navire A se trouvait à 10km à l’est d’une certaine bouée et se dirigeait vers l’O à la vitesse de 20km/h. A la meme heure, B se trouvait à 40km au sud de la bouée et se dirigeait vers le N à la vitesse de 30km/h. Quelle heure est-il à l’instant ou la distance entre A et B est minimum?
D= )²2010()²3040( tt
bouée A
B
d(A,bouée)=10-20t
d(B,bouée)=40-30t
A. Exercices du syllabus
D= Dérivée
Dérivée s’annule en 14/13d’heure
)²2010()²3040( tt
)²2010()²3040(2
)20)(2010(2)30)(3040(2
tt
tt
)²2010()²3040(
4002009001200
tt
tt
)²2010()²3040(
13001400
tt
t
B. Exercices supplémentaires
1)Droite => tangente = coefficient angulaire de la droite
tg(P1)=tg(P2)
dérivéeP1= dérivée P2
Dérivée =2
B. Exercices supplémentaires
1) P1= maximum local
Dérivée =0
P2= se trouve sur la courbe descendante
dérivée négative
dérivée =-2
B. Exercices supplémentaires
2)
Fonction décroissante =>derivée négative
Fonction croissante =>derivée positive
concavité vers haut =>derivée croissante
concavité vers bas =>derivée décroissante
B. Exercices supplémentaires
2)
Fonction croissante => dérivée positive
Graphique d’une cubique => dérivée est une parabole
B. Exercices supplémentaires
2)
Fonction degré deux dérivée de degré 1 = droite
Fonction décroissante dérivée négative
Fonction croissante dérivée positive
B. Exercices supplémentaires
2)
Fonction décroissante, puis croissante, décroissante et à nouveau croissante Dérivée négative,puis positive, négative et à nouveau positive
B.Exercices supplémentaires
3)
a) Dérivée n’existe pas en 0; 1; 4
B.Exercices supplémentaires
3)
b) Dessiner la dérivée
[-4;0[:coefficient angulaire = 0,5
0: n’existe pas
]0;1[: Coeff angulaire négatif =-4]1;4[: Fonction constante dérivée= 0
]4;6[: Fonction croissante Coefficient angulaire positif = 2
C. Test
1.
2.B
3. C
32=6𝑦=(2𝑥 )𝑦 = = ↔𝑥𝑦=5
C. Test
4. A
5. 2