Outline A megoldand´ o probl´ ema Eredm´ enyek T¨ortrend˝ u diff´ uzi´os egyenletek numerikus megold´ asa 1 dimenzi´oban Izs´ ak Ferenc (ELTE Mat. Int.) Munkat´ ars: Szekeres B´ ela J´ anos FRK Szemin´ arium, BME 2013. ´ aprilis 30. Izs´ ak Ferenc (ELTE Mat. Int.) Munkat´ ars: Szekeres B´ ela J´ anos T¨ ortrend˝ u diff´ uzi´ os egyenletek numerikus megold´ asa 1 dimenzi´ oba
94
Embed
T¨ortrendu˝ diffu´zi´os egyenletek numerikus …web.cs.elte.hu/~izsakf/ea_hu/prez_tortrend_izsakf.pdfpontbeli deriv´altt´ol, hanem a pont k¨ornyezet´eben m´ert koncentr´aci´ot´ol
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
Outline A megoldando problema Eredmenyek
Tortrendu diffuzios egyenletek numerikus
megoldasa 1 dimenzioban
Izsak Ferenc (ELTE Mat. Int.)Munkatars: Szekeres Bela Janos
FRK Szeminarium, BME
2013. aprilis 30.
Izsak Ferenc (ELTE Mat. Int.) Munkatars: Szekeres Bela Janos Tortrendu diffuzios egyenletek numerikus megoldasa 1 dimenzioban
Outline A megoldando problema Eredmenyek
1 A megoldando problemaTortrendu diffuzioA megoldando egyenletTortrendu derivalas
2 EredmenyekMegfelelo kiterjesztes valasztasaA kapott feladat numerikus kozelıteseNumerikus pelda
Izsak Ferenc (ELTE Mat. Int.) Munkatars: Szekeres Bela Janos Tortrendu diffuzios egyenletek numerikus megoldasa 1 dimenzioban
Outline A megoldando problema Eredmenyek
A diffuzio azonosıtasa
Izsak Ferenc (ELTE Mat. Int.) Munkatars: Szekeres Bela Janos Tortrendu diffuzios egyenletek numerikus megoldasa 1 dimenzioban
Outline A megoldando problema Eredmenyek
A diffuzio azonosıtasa
Diszkret eset
Izsak Ferenc (ELTE Mat. Int.) Munkatars: Szekeres Bela Janos Tortrendu diffuzios egyenletek numerikus megoldasa 1 dimenzioban
Outline A megoldando problema Eredmenyek
A diffuzio azonosıtasa
Diszkret eset
(standard) diffuzio – Brown-mozgas:
Izsak Ferenc (ELTE Mat. Int.) Munkatars: Szekeres Bela Janos Tortrendu diffuzios egyenletek numerikus megoldasa 1 dimenzioban
Outline A megoldando problema Eredmenyek
A diffuzio azonosıtasa
Diszkret eset
(standard) diffuzio – Brown-mozgas:
X (t) elmozdulas t ido alatt
Izsak Ferenc (ELTE Mat. Int.) Munkatars: Szekeres Bela Janos Tortrendu diffuzios egyenletek numerikus megoldasa 1 dimenzioban
Outline A megoldando problema Eredmenyek
A diffuzio azonosıtasa
Diszkret eset
(standard) diffuzio – Brown-mozgas:
X (t) elmozdulas t ido alatt
EX 2(t) ∼ t
Izsak Ferenc (ELTE Mat. Int.) Munkatars: Szekeres Bela Janos Tortrendu diffuzios egyenletek numerikus megoldasa 1 dimenzioban
Outline A megoldando problema Eredmenyek
A diffuzio azonosıtasa
Diszkret eset
(standard) diffuzio – Brown-mozgas:
X (t) elmozdulas t ido alatt
EX 2(t) ∼ t
szuperdiffuzio – Levy-folyamat:
Izsak Ferenc (ELTE Mat. Int.) Munkatars: Szekeres Bela Janos Tortrendu diffuzios egyenletek numerikus megoldasa 1 dimenzioban
Outline A megoldando problema Eredmenyek
A diffuzio azonosıtasa
Diszkret eset
(standard) diffuzio – Brown-mozgas:
X (t) elmozdulas t ido alatt
EX 2(t) ∼ t
szuperdiffuzio – Levy-folyamat:
X (t) elmozdulas t ido alatt
Izsak Ferenc (ELTE Mat. Int.) Munkatars: Szekeres Bela Janos Tortrendu diffuzios egyenletek numerikus megoldasa 1 dimenzioban
Outline A megoldando problema Eredmenyek
A diffuzio azonosıtasa
Diszkret eset
(standard) diffuzio – Brown-mozgas:
X (t) elmozdulas t ido alatt
EX 2(t) ∼ t
szuperdiffuzio – Levy-folyamat:
X (t) elmozdulas t ido alatt
EX 2(t) ∼ tα
2
Izsak Ferenc (ELTE Mat. Int.) Munkatars: Szekeres Bela Janos Tortrendu diffuzios egyenletek numerikus megoldasa 1 dimenzioban
Outline A megoldando problema Eredmenyek
Konkret megfigyelesek
plazmafizika
Izsak Ferenc (ELTE Mat. Int.) Munkatars: Szekeres Bela Janos Tortrendu diffuzios egyenletek numerikus megoldasa 1 dimenzioban
Izsak Ferenc (ELTE Mat. Int.) Munkatars: Szekeres Bela Janos Tortrendu diffuzios egyenletek numerikus megoldasa 1 dimenzioban
Outline A megoldando problema Eredmenyek
Konvergenciatetelek
Tetel
A fenti modszer mindket valtozo szerint elsorendben konzisztens,azaz a pontos megoldast a semaba helyettesıtve a hibaO(δ) + O(h).
Izsak Ferenc (ELTE Mat. Int.) Munkatars: Szekeres Bela Janos Tortrendu diffuzios egyenletek numerikus megoldasa 1 dimenzioban
Outline A megoldando problema Eredmenyek
Konvergenciatetelek
Tetel
A fenti modszer mindket valtozo szerint elsorendben konzisztens,azaz a pontos megoldast a semaba helyettesıtve a hibaO(δ) + O(h).
Tetel
A fenti modszer feltetel nelkul stabil az ‖ · ‖∞ normaban, vagyis haa T idopontig vegezzuk el az (I − δAh,α,∞)−1 matrixszal valoszorzast, akkor a megfelelo matrixhatvany (a h es δ fuggvenyeben)egyenletesen korlatos marad.
Izsak Ferenc (ELTE Mat. Int.) Munkatars: Szekeres Bela Janos Tortrendu diffuzios egyenletek numerikus megoldasa 1 dimenzioban
Outline A megoldando problema Eredmenyek
Konvergenciatetelek
Tetel
A fenti modszer mindket valtozo szerint elsorendben konzisztens,azaz a pontos megoldast a semaba helyettesıtve a hibaO(δ) + O(h).
Tetel
A fenti modszer feltetel nelkul stabil az ‖ · ‖∞ normaban, vagyis haa T idopontig vegezzuk el az (I − δAh,α,∞)−1 matrixszal valoszorzast, akkor a megfelelo matrixhatvany (a h es δ fuggvenyeben)egyenletesen korlatos marad.
Tetel
A fenti modszer O(δ) + O(h) rendben konvergens.
Izsak Ferenc (ELTE Mat. Int.) Munkatars: Szekeres Bela Janos Tortrendu diffuzios egyenletek numerikus megoldasa 1 dimenzioban
Outline A megoldando problema Eredmenyek
Konvergenciatetelek - megjegyzesek
Konzisztencia:
Izsak Ferenc (ELTE Mat. Int.) Munkatars: Szekeres Bela Janos Tortrendu diffuzios egyenletek numerikus megoldasa 1 dimenzioban
Outline A megoldando problema Eredmenyek
Konvergenciatetelek - megjegyzesek
Konzisztencia:
cos - Fourier-sorfejtes
Izsak Ferenc (ELTE Mat. Int.) Munkatars: Szekeres Bela Janos Tortrendu diffuzios egyenletek numerikus megoldasa 1 dimenzioban
Outline A megoldando problema Eredmenyek
Konvergenciatetelek - megjegyzesek
Konzisztencia:
cos - Fourier-sorfejtes
tagonkenti derivalhatosag u ∈ C∞(R) alapjan
Izsak Ferenc (ELTE Mat. Int.) Munkatars: Szekeres Bela Janos Tortrendu diffuzios egyenletek numerikus megoldasa 1 dimenzioban
Outline A megoldando problema Eredmenyek
Konvergenciatetelek - megjegyzesek
Konzisztencia:
cos - Fourier-sorfejtes
tagonkenti derivalhatosag u ∈ C∞(R) alapjan
Stabilitas:
Izsak Ferenc (ELTE Mat. Int.) Munkatars: Szekeres Bela Janos Tortrendu diffuzios egyenletek numerikus megoldasa 1 dimenzioban
Outline A megoldando problema Eredmenyek
Konvergenciatetelek - megjegyzesek
Konzisztencia:
cos - Fourier-sorfejtes
tagonkenti derivalhatosag u ∈ C∞(R) alapjan
Stabilitas:
gk elojeleloszlasa
Izsak Ferenc (ELTE Mat. Int.) Munkatars: Szekeres Bela Janos Tortrendu diffuzios egyenletek numerikus megoldasa 1 dimenzioban
Outline A megoldando problema Eredmenyek
Konvergenciatetelek - megjegyzesek
Konzisztencia:
cos - Fourier-sorfejtes
tagonkenti derivalhatosag u ∈ C∞(R) alapjan
Stabilitas:
gk elojeleloszlasa
M-matrix technika
Izsak Ferenc (ELTE Mat. Int.) Munkatars: Szekeres Bela Janos Tortrendu diffuzios egyenletek numerikus megoldasa 1 dimenzioban
Outline A megoldando problema Eredmenyek
A feladat
∂tu(t, x) = −0.25(−∂xx)0.6u(t, x) x ∈ (0, 1), t ∈ (0, 1)
u(0, x) = x4
4 − x2
2 x ∈ (0, 1)
∂xu(t, 0) = ∂xu(t, 1) = 0 t ∈ (0, 1),
Izsak Ferenc (ELTE Mat. Int.) Munkatars: Szekeres Bela Janos Tortrendu diffuzios egyenletek numerikus megoldasa 1 dimenzioban
Outline A megoldando problema Eredmenyek
A feladat
∂tu(t, x) = −0.25(−∂xx)0.6u(t, x) x ∈ (0, 1), t ∈ (0, 1)
u(0, x) = x4
4 − x2
2 x ∈ (0, 1)
∂xu(t, 0) = ∂xu(t, 1) = 0 t ∈ (0, 1),
amely kiterjesztve
∂tu(t, x) = −0.25(−∂xx)0.6u(t, x) x ∈ (0, 1), t ∈ (0, 1)
u(0, x) = x4
4 − x2
2 x ∈ R.
Izsak Ferenc (ELTE Mat. Int.) Munkatars: Szekeres Bela Janos Tortrendu diffuzios egyenletek numerikus megoldasa 1 dimenzioban
Outline A megoldando problema Eredmenyek
A feladat
∂tu(t, x) = −0.25(−∂xx)0.6u(t, x) x ∈ (0, 1), t ∈ (0, 1)
u(0, x) = x4
4 − x2
2 x ∈ (0, 1)
∂xu(t, 0) = ∂xu(t, 1) = 0 t ∈ (0, 1),
amely kiterjesztve
∂tu(t, x) = −0.25(−∂xx)0.6u(t, x) x ∈ (0, 1), t ∈ (0, 1)
u(0, x) = x4
4 − x2
2 x ∈ R.
Analitikus megoldasa (0, 1) × (0, 12)-on
u(t, x) = −14
20+
∞∑
k=1
(−1)k+1 12
kπ4e−
t4(kπ)1.2
cos(kπx) x ∈ (0, 1), t ∈ (0, 1)
Izsak Ferenc (ELTE Mat. Int.) Munkatars: Szekeres Bela Janos Tortrendu diffuzios egyenletek numerikus megoldasa 1 dimenzioban