7/23/2019 TORSIÓN - Resistencia de Materiales MAÑANA http://slidepdf.com/reader/full/torsion-resistencia-de-materiales-manana 1/19 TORSIÓN CONSTRUCCIÓN DE LOS DIAGRAMAS DE LOS MOMENTOS TORSORES Una barra (árbol) está sometida a torsión, si en sus secciones transversales surgen momentos torsores, es decir, momentos que se encuentran en el plano de la sección. Generalmente estos momentos torsores interiores M tor son consecuencias de momentos exteriores (fig. 1). Fig. 1 Fig. 2 Los momentos exteriores se transmiten al árbol, generalmente, en los lugares donde se colocan poleas, ruedas dentadas, etc. in embargo, la carga transversal, cuando está aplicada con cierta desviación respecto al e!e de la barra, tambi"n origina momentos torsores interiores (fig. #)$ pero en este caso, en las secciones transversales de la barra, simultáneamente a los momentos torsores, surgen tambi"n otros esfuer%os interiores, como las fuer%as cortantes & los momentos flectores. Las barras que giran & traba!an a torsión se denominan árboles. 'n este captulo se anali%a el cálculo por torsión, para cargas estáticas. 'l cálculo de los árboles cuando actan momentos torsores que varan en función del tiempo (cálculo por fatiga). 'n adelante, recurriremos principalmente a las representaciones planas en lugar de las axonom"tricas, por ser las primeras más simples. Los momentos torsores exteriores & los momentos torsores interiores, los representaremos por una lnea con dos crculos. 'n uno de ellos pondremos un punto, que indica el comien%o de la saeta (*acia el lector), & en el otro, una cru%, que representará el final de la saeta que sale del lector (fig. +). ara calcular los momentos torsores M tor que surgen en las secciones de la barra, ba!o la acción de momentos torsores exteriores o de una carga transversal, empleamos el m"todo de las secciones. -racemos mentalmente una sección por la barra (fig. +.), por a – a, por e!emplo, & apartemos una de las partes, en este caso la i%quierda, & veamos el equilibrio de la parte derec*a. 1
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7/23/2019 TORSIÓN - Resistencia de Materiales MAÑANA
CONSTRUCCIÓN DE LOS DIAGRAMAS DE LOS MOMENTOS TORSORES
Una barra (árbol) está sometida a torsión, si en sus secciones transversales
surgen momentos torsores, es decir, momentos que se encuentran en el plano de lasección. Generalmente estos momentos torsores interiores M tor son consecuencias de
momentos exteriores (fig. 1).
Fig. 1 Fig. 2
Los momentos exteriores se transmiten al árbol, generalmente, en los lugares donde se
colocan poleas, ruedas dentadas, etc.
in embargo, la carga transversal, cuando está aplicada con cierta desviaciónrespecto al e!e de la barra, tambi"n origina momentos torsores interiores (fig. #)$ pero en
este caso, en las secciones transversales de la barra, simultáneamente a los momentos
torsores, surgen tambi"n otros esfuer%os interiores, como las fuer%as cortantes & los
momentos flectores.
Las barras que giran & traba!an a torsión se denominan árboles.
'n este captulo se anali%a el cálculo por torsión, para cargas estáticas. 'l
cálculo de los árboles cuando actan momentos torsores que varan en función del
tiempo (cálculo por fatiga).
'n adelante, recurriremos principalmente a las representaciones planas en
lugar de las axonom"tricas, por ser las primeras más simples. Los momentos torsores
exteriores & los momentos torsores interiores, los representaremos por una lnea con doscrculos. 'n uno de ellos pondremos un punto, que indica el comien%o de la saeta (*acia
el lector), & en el otro, una cru%, que representará el final de la saeta que sale del lector
(fig. +).
ara calcular los momentos torsores M tor que surgen en las secciones de la
barra, ba!o la acción de momentos torsores exteriores o de una carga transversal,
empleamos el m"todo de las secciones. -racemos mentalmente una sección por la barra
(fig. +.), por a – a, por e!emplo, & apartemos una de las partes, en este caso la i%quierda,
& veamos el equilibrio de la parte derec*a.
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La interacción entre las partes de la barra la sustituimos por un momento
torsor M tor que equilibra al momento exterior . ara el equilibrio de la parte separada
es necesario que la suma algebraica de todos los momentos que actan sobre ella, sea
igual a cero. e aqu, en este caso, se obtiene M tor / . i sobre la parte separada actan
varios momentos exteriores, entonces por el mismo procedimiento, nos convencemos de
que el momento torsor en la sección es numéricamente igual a la suma algebraica delos momentos torsores exteriores que actúan por una de las partes de la sección.
ara ilustrar el carácter de la distribución & la magnitud de los momentos
torsores a lo largo de la barra, se constru&e el diagrama (gráfico) de estos momentos. u
construcción es análoga a la de los gráficos de las fuer%as axiales en el caso de tracción
o compresión. ara construir los gráficos, es necesario ponerse de acuerdo respecto a los
signos. ara los momentos torsores, no existe un acuerdo sobre los signos. ara los
momentos torsores, no existe un acuerdo sobre los signos, que sea admitido por todos.uede ser cualquier regla. Lo nico que importa, es atenerse a la misma regla en todo el
gráfico.
0osotros seguiremos la regla siguiente (fig. .). 'l momento torsor en la
sección a – a se considerará positivo, cuando el momento exterior gira la parte separada
en dirección contraria a la de las manecillas del relo!, si se observa esta parte desde la
sección. 'l momento torsor en la sección se considerará negativo, si el momento
exterior gira la parte separada en la dirección de las manecillas del relo! (si se la observa
desde la sección).
#
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2lustremos con el e!emplo que sigue la construcción del gráfico de los
momentos torsores (fig. 3.). 4eamos el árbol CD, apo&ado en los co!inetes A & B, que se
encuentra en equilibrio ba!o la acción de los momentos aplicados en las secciones E, & !. -racemos la sección a – a en un lugar arbitrario del tramo D!. 5nali%ando el
equilibrio de la parte separada derec*a, se demuestra que M’ tor / 6.
Fig. 5
i tra%amos despu"s la sección b – b en cualquier lugar del tramo ! &
anali%amos el equilibrio de la parte que se encuentra a la derec*a de la sección entonces
resulta que,
.#77
tm " tor =
e acuerdo con la convención anterior sobre los signos de los momentos
torsores, este momento se considera positivo. -ra%ando la sección c – c en el tramo E ,del equilibrio de la parte se obtendrá,
.6+# 777 =−− tor "
+
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'l gráfico obtenido tiene la forma de dos rectángulos. 's importante
subra&ar, que en los lugares donde se aplican los momentos exteriores, las ordenadas del
gráfico varan sbitamente en una magnitud igual a la del momento exterior aplicado.i están dadas las cargas transversales que originan la torsión de la barra
(fig. #), entonces se calculan previamente los momentos torsores exteriores, originados
por estas cargas. 'n el caso representado en la figura #, el momento torsor exterior
debido a la fuer%a # es / #r . Una ve% calculados los momentos exteriores, se
determinan los momentos torsores interiores & se constru&en sus gráficos, como se
indicó anteriormente.
CÁLCULO DE LAS TENSIONES EN LAS BARRAS DE SECCIÓN CIRCULAR
Los momentos torsores, de que se *abló en el parágrafo anterior no son másque los esfuer%os resultantes interiores. 'n realidad, en la sección transversal de una
barra torsionada, actan fuer%as tangentes, distribuidas de una manera continua.
asemos a*ora al cálculo de estas fuer%as.
Fig. 6 Fig. 74eamos, ante todo, los resultados de los ensa&os. i sobre la superficie de
una barra de sección circular tra%amos una red rectangular, entonces, despu"s de ocurrir
la deformación, se observará lo siguiente (fig. 8)9
1) La red rectangular se transforma en una red compuesta por
paralelogramos. 'sto indica que en las secciones transversales de la barra existen
tensiones tangenciales &, como consecuencia de la le& de reciprocidad de las tensiones
tangenciales, aparecen tambi"n en las secciones longitudinales$
2) Las distancias entre las circunferencias, por e!emplo, entre las
circunferencias $ & $$ , no varan. -ampoco varan la longitud de la barra & su diámetro.
'sto demuestra la ausencia de tensiones normales en las secciones transversales &longitudinales de la barra.
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5s, pues, durante la torsión, en las secciones transversales & longitudinales
actan nicamente tensiones tangenciales, es decir, el estado tensional de los puntos de
una barra torsionada es desli%amiento puro9
3) 'l diámetro AB de la sección extrema (fig. :) girará cierto ángulo ;
respecto a su posición inicial, permaneciendo recto. 's lógico suponer, que los radios
del resto de las secciones transversales tambi"n girarán, permaneciendo rectos. Lasfórmulas que se obtienen sobre la base de esta suposición, son confirmadas por los
ensa&os. 'l punto A se despla%a por el arco AA% & el punto C , por el arco menor CC% .
Fig. 8
ara establecer la le& de distribución de las tensiones tangenciales en lasección transversal de la barra torsionada, analicemos con más detalle su deformación
(fig.8 & <). 'n la figura < está representada, a ma&or escala, la parte de la barra que se
encuentra entre las secciones $ & $$ , as como el lado & del elemento !"& .'l ángulo de distorsión del elemento !"& , que se encuentra sobre la
superficie de la barra (fig. 8), es igual al cociente del segmento && =& la longitud del
elemento d ' (fig <),
d'
rd máx
ϕ γ = (1)
eparando mentalmente de esta parte de la barra un cilindro de radio ρ
arbitrario & repitiendo los mismos ra%onamientos, obtendremos el ángulo de distorsión
correspondiente al elemento situado a una distancia ρ del e!e de la barra,
d'
d ϕ ρ γ = (#)
egn la le& de >oo?e para el desli%amiento, obtenemos,
d'
d (( ϕ ρ γ τ == (+)
@omo vemos, en la torsión, la de)ormación por desli'amiento * las
tensiones tangenciales son proporcionales a la distancia al centro de gravedad.
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i sobre la barra separada actuasen varios momentos exteriores, en lugar de
uno, ! entonces, en la fórmula () & en las siguientes se introducira la suma algebraica
de estos momentos exteriores que es de igual valor que el momento toros interior M tor .5s, pues, la fórmula definitiva para la determinación de las tensiones
tangenciales en la torsión es,
ρ τ p
tor
,
" = (A)
e esta fórmula se deduce que en los puntos equidistantes del centro de la
sección las tensiones τ son iguales.
Las tensiones máximas en los puntos situados en el borde de la sección son
p
tor
p
tor
máx- " r
, " ==τ (16)
iendo
r
, -
p
p = (11)
la caracterstica geom"trica - p se denomina módulo polar de la sección omódulo de la sección en la torsión.
'n el caso de una sección circular maci%a,
+#
#,618#+#
d d
d
d
r
, -
p
p ≈=== π π
(1#)
E en el de una sección anular,
)1(#,6)1(1818
)(#+
#
c Dcd
D
d D
D
, -
p
p −≈−=−
== π π
(1+)
onde,
D
d c =
La condición de resistencia estática de un árbol sometido a torsión se escribe
as,
FGτ τ ≤= p
tor
máx-
" (1)
5qu τ F es la tensión tangencial admisible.
@uando se trata de cargas estáticas, se considera
F)G8,63,6(FG t σ τ ÷=
:
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5parte de comprobar la resistencia, esta fórmula permite tambi"n calcular el
diámetro del árbol, u obtener el momento torsor admisible, cuando es conocido el resto
de las magnitudes.
-eniendo en cuenta que, para una sección circular maci%a,+#,6 d - p ≈ ,
obtendremos,
++
FG:#,1
FG#,6 τ τ tot tor " "
d == (13)
or esta fórmula se calcula el diámetro del árbol, partiendo de la condición
de resistencia.
'l momento admisible, por la condición de resistencia, se obtiene por la
fórmula,FGFG τ
ptor - " = (18)
Las tensiones tangenciales no sólo actan en las secciones transversales, sinoque, como se desprende de la le& de reciprocidad de las tensiones tangenciales, tambi"n
en las secciones longitudinales (fig 16).
Fig. 1" Fig. 11
'n las secciones inclinadas surgen tanto tensiones normales, como
tangenciales.
Las tensiones principales son las que presentan el máximo inter"s.
Los ensa&os demuestran que los materiales frágiles como el *ierro fundido,
por e!emplo, se destru&en, durante la torsión, por un plano (más precisamente, por una
superficie *elicoidal) inclinado respecto al e!e del árbol 3H, es decir , por los planos
donde actan las tensiones de tracción máximas.
5s, pues, en a torsión, en todos los puntos de la barra, excepto los ubicados
en su e!e, (donde las tensiones son iguales a cero) surge el estado tensional biaxial de
desli'amiento puro. La parte de la barra, próxima ala superficie, resulta más tensada que
la que se encuentra cerca de su e!e. 's decir, el estado tensional correspondiente a latorsión no es omogéneo. i se erosiona un tubo de paredes delgadas, entonces se puede
<
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iendo, & la potencia que transmite el árbol, expresada en caballos de vapor
n, la velocidad angular del árbol, en revoluciones por minuto$ los coeficientes A & B se
determinan en función de FGθ por la tabla 0H 1 (para #3 J16< cm1g) ( ×= )$ FGθ es el
ángulo de torsión unitario admisible en gradosJm.
TABLA N 1&*+,-/ 0 +,/ C,ii/ A % B +*/ F-+*/ 26 27
2&(3!4 DE
5467$8& AD"$7$B!E, E& (6AD47
#46 3& "E564 DE EE
C4E+$C$E&5E7
6.#3 6.3 1.6 1.3 # #.3
A B
1#
6.:+
16
6.8#
<.3
6.3#
:.:
6.:
:.#
6.
8.<
6.#
TORSIÓN DE BARRAS DE $AREDES DELGADAS DE SECCIÓN CERRADA
Los perfiles de paredes delgadas de sección cerrada son muc*o más rgidos a
la torsión, & por lo tanto, más convenientes.
4eamos la barra cilndrica cu&a sección transversal está representada en la
figura 1. 'l espesor de la pared δ se considera suavemente variable alo largo de la
lnea del contorno de tal manera que se puede prescindir de la concentración de las
tensiones.
uesto que el espesor de la pared es insignificante, se puede admitir que las
tensiones tangenciales originadas por la torsión se distribu&en uniformemente en el
espesor de la pared.
e puede demostrar tambi"n, que el producto de la tensión tangencial, encierto punto de la pared, por su espesor es una magnitud constante para todos los puntos
de la lnea media del contorno de la sección es decir, const =τδ
ara ello es suficiente anali%ar la condición de equilibrio de cierto elemento
de la barra, por e!emplo del elemento 9 : ; < (fig 1#)
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-eniendo a*ora en cuenta que la energa potencial 3 es num"ricamente igual
al traba!o A del momento exterior, obtendremos, siendo " tor 0
∫ = sds
(
"l
6
# δ ω ϕ (+1)
E9:+,; calcular la tensión máxima & el ángulo de torsión de la barra tubular (fig
1+),si
M tor / / 1,36 Igf.m, G / <.163 Igf.cm#.
6esolución. or la formula (+6) tenemos
##
J81#3,6:3,+#
16136cm1g) máx =
×××
×=τ
or la fórmula (+1) *allamos el ángulo de torsión correspondiente a 1 metro de longitud,
rad 6+:,63,6
:#
1
3,+#
16<:3,+
166161363##
#
=
×+
×××××
××=ϕ
E9:+,; @alcular la tensión máxima & el ángulo de torsión de la misma barra, si el
perfil está abierto (es decir, si su contorno se corta en un lugar).
6esolución9 @alculamos la tensión por la fórmula (+).
( )#
++
+
+
J31#6
3,6:#13,+#+
1116136
+
1 cm1g)
ab
b " máxtor máx =
×××××××==
∑τ
Nbs"rvese, que este resultado tiene sentido solamente en el caso de una barra de acero
de liga, cu&o lmite de proporcionalidad en el desli%amiento puro máxτ obtenido, &a que
todas las fórmulas de este captulo son válidas sólo cuando lo es la le& de >oo?e.
'l ángulo de torsión se determina por la fórmula (#:).
rad 8,6A+,#16<
16616133
+
=××
××=ϕ
La comparación de los resultados obtenidos en estos dos e!emplos confirmalas venta!as de las barras de sección cerrada, en comparación con las de sección abierta,
cuando traba!an a torsión.
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1) 'l diseOo preliminar de un e!e grande que conecta un motor a un generador
exige el uso de un e!e *ueco cu&os diámetros interior & exterior miden & 8 pulg.
respectivamente. abiendo que en cortante admisible es de 1# ?si, *alle el
máximo torque que puede trasmitirse (a) por el e!e propuesto$ (b) por un e!esólido del mismo peso$ (c) por un e!e *ueco de igual peso & < pulg. de diámetro
exterior.
*) Eje hueco según el diseño. ara el e!e *ueco tenemos
( ) ( ) ( )[ ]
1
# lg#lg+##
pu pucc , −=−= π π
/ 16#.1 pulg
Usando la ecuación se escribe
,
5cmáx
#=τ 1# ?si /( )
lg1.16#
lg+
pu
pu5 T = 428 kips pulg
<) Eje s!lido de igual peso. ara que tenga el peso & la longitud del primero, sus secciones transversales deben ser iguales.
( ) ( )ba A A =
( ) ( ) #
+
##lg#lg+ c pu pu π π =− c; 0 #.# pulg
como admτ / 1# ?si, se tiene
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onde es el área limitada por la lnea central de la sección transversal. e
tiene
( ) ( ) +16138.16+.66+.6 −
×== mmω m:
e sustitu&e admτ τ = / 6 Dpa & t / 6.668 m & se resuelve para el torque
admisible9
ω τ
t
5
#= 6 Dpa / ( )#+
+
16138.1)668.6(# mm
5 −×
T % = ((( ) $
3) 'l empleo de vectores para indicar el sentido de los pares aplicados, como seve en la parte inferior de la figura, facilita la determinación del momento
torsionante resultante sobre cada parte del árbol. ara ello, apliquemos las
1<
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