Torsin mecnicaDe Wikipedia, la enciclopedia libre Saltar a:
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Barra de seccin no circular sometida a torsin, al no ser la
seccin transversal circular necesariamente se produce alabeo
seccional.
Viga circular bajo torsin En ingeniera, torsin es la solicitacin
que se presenta cuando se aplica un momento sobre el eje
longitudinal de un elemento constructivo o prisma mecnico, como
pueden ser ejes o, en general, elementos donde una dimensin
predomina sobre las otras dos, aunque es posible encontrarla en
situaciones diversas. La torsin se caracteriza geomtricamente
porque cualquier curva paralela al eje de la pieza deja de estar
contenida en el plano formado inicialmente por las dos curvas. En
lugar de eso una curva paralela al eje se retuerce alrededor de l
(ver torsin geomtrica). El estudio general de la torsin es
complicado porque bajo ese tipo de solicitacin la seccin
transversal de una pieza en general se caracteriza por dos
fenmenos:
1. Aparecen tensiones tangenciales paralelas a la seccin
transversal. Si estas se representan por un campo vectorial sus
lneas de flujo "circulan" alrededor de la seccin. 2. Cuando las
tensiones anteriores no estn distribuidas adecuadamente, cosa que
sucede siempre a menos que la seccin tenga simetra circular,
aparecen alabeos seccionales que hacen que las secciones
transversales deformadas no sean planas. El alabeo de la seccin
complica el clculo de tensiones y deformaciones, y hace que el
momento torsor pueda descomponerse en una parte asociada a torsin
alabeada y una parte asociada a la llamada torsin de Saint-Venant.
En funcin de la forma de la seccin y la forma del alabeo, pueden
usarse diversas aproximaciones ms simples que el caso general.
Contenido[ocultar]
1 Torsin general: Dominios de torsin 2 Torsin de Saint-Venant
pura o 2.1 Torsin recta: Teora de Coulomb o 2.2 Torsin no recta:
Teora de Saint-Venant o 2.3 Analoga de la membrana de Prandtl o 2.4
Secciones cerradas simples de pared delgada o 2.5 Secciones
multicelulares de pared delgada 3 Torsin alabeada pura o 3.1
Secciones abiertas de pared delgada 4 Torsin mixta 5
Referencias
[editar] Torsin general: Dominios de torsinEn el caso general se
puede demostrar que el giro relativo de una seccin no es constante
y no coincide tampoco con la funcin de alabeo unitario. A partir
del caso general, y definiendo la esbeltez torsional como:
Donde G, E son respectivamente el mdulo de elasticidad
transversal y el mdulo elasticidad longitudinal, J, I son el mdulo
torsional y el momento de alabeo y L es la longitud de la barra
recta. Podemos clasificar los diversos casos de torsin general
dentro de lmites donde resulten adecuadas las teoras aproximadas
expuestas a continuacin. De acuerdo con Kollbruner y Basler:1
Torsin de Saint-Venant pura, cuando Torsin de Saint-Venant
dominante, cuando Torsin alabeada mixta, cuando Torsin alabeada
dominante, cuando Torsin alabeada pura, cuando . . .
. .
El clculo exacto de la torsin en el caso general puede llevarse
a cabo mediante mtodos variacionales o usando un lagrangiano basado
en la energa de deformacin. El caso de la torsin alabeada mixta slo
puede ser tratado la teora general de torsin. En cambio la torsin
de Saint-Venant y la torsin alabeada puras admiten algunas
simplifaciones tiles.
[editar] Torsin de Saint-Venant puraLa teora de la torsin de
Saint-Venant es aplicable a piezas prismticas de gran inercia
torsional con cualquier forma de seccin, en esta simplificacin se
asume que el llamado momento de alabeo es nulo, lo cual no
significa que el alabeo seccional tambin lo sea. La teora de torsin
de Saint-Venant da buenas aparoximaciones para valores , esto suele
cumplirse en: 1. Secciones macizas de gran inercia torsinal
(circulares o de otra forma). 2. Secciones tubulares cerradas de
pared delgada. 3. Secciones multicelulares de pared delgada. Para
secciones no circulares y sin simetra de revolucin la teora de
Sant-Venant adems de un giro relativo de la seccin transversal
respecto al eje baricntrico predice un alabeo seccional o curvatura
de la seccin transversal. La teora de Coulomb de hecho es un caso
particular en el que el alabeo es cero, y por tanto slo existe
giro.
[editar] Torsin recta: Teora de Coulomb
Ejemplo de solicitacin que produce un momento torsor constante y
torsin recta sobre en una barra de seccin cilndric.
Distribucin de tensiones sobre una seccin circular maciza y una
secci circular hueca para pequeas deformaciones. La teora de
Coulomb es aplicable a ejes de transmisin de potencia macizos o
huecos, debido a la simetra circular de la seccin no pueden existir
alabeos diferenciales sobre la seccin. De acuerdo con la teora de
Coulomb la torsin genera una tensin cortante el cual se calcula
mediante la frmula:
Donde: : Esfuerzo cortante a la distancia . : Momento torsor
total que acta sobre la seccin. : distancia desde el centro
geomtrico de la seccin hasta el punto donde se est calculando la
tensin cortante. : Mdulo de torsin.
Esta ecuacin se asienta en la hiptesis cinemtica de Coulomb
sobre como se deforma una pieza prismtica con simetra de revolucin,
es decir, es una teora aplicable slo a elementos seccin circular o
circular hueca. Para piezas con seccin de ese tipo se supone que el
eje baricntrico permanece inalterado y cualquier otra lnea paralea
al eje se transforma en una espiral que gira alrededor del eje
baricntrico, es decir, se admite que la deformacin viene dada por
unos desplazamientos del tipo:
El tensor de deformaciones para una pieza torsionada como la
anterior se obtiene derivando adecuadamente las anteriores
componentes del vector de desplazamiento:
A partir de estas componentes del tensor de deformaciones usando
las ecuaciones de Lam-Hooke llevan a que el tensor tensin viene
dado por:
Usando las ecuaciones de equivalencia se llega a la relacin
existente entre la funcin y el momento torsor:
Donde momentos de rea.
, es el momento de inercia polar que es la suma de los
segundos
[editar] Torsin no recta: Teora de Saint-VenantPara una barra
recta de seccin no circular adems del giro relativo aparecer un
pequeo alabeo que requiere una hiptesis cinemtica ms complicada.
Para representar la deformacin se puede tomar un sistema de ejes en
el que X coincida con el eje de la viga y entonces el vector de
desplazamientos de un punto de coordenadas (x, y, z) viene dado en
la hiptesis cinemtica de Saint-Venant por:
Donde es el giro relativo de la seccin (siendo su derivada
constante); siendo zC y yC las coordenadas del centro de cortante
respecto al centro de gravedad de la seccin transversal y siendo
(y, z) la funcin de alabeo unitario que da los desplazamientos
perpendiculares a la seccin y permiten conocer la forma curvada
final que tendr la seccin transversal. Conviene sealar, que la
teora al postular que la derivada del giro es constante es slo una
aproximacin til para piezas de gran inercia torsional. Calculando
las componentes del tensor de deformaciones a partir de las
derivadas del desplazamiento se tiene que:
Calculando las tensiones a partir de las anteriores
deformaciones e introducindolas en la ecuacin de equilibrio elstico
se llega a:
[editar] Analoga de la membrana de PrandtlPara secciones macizas
de gran rigidez torsional la distribucin de las tensiones asociadas
a la torsin guarda una analoga mecnica con la deformacin de una
membrana elstica cuasiplana. Concretamente Prandtl prob en 1903 que
la forma que adopta la membrana puede relacionarse con una funcin
de tensiones cuyas derivadas dan las tensiones tangenciales en cada
direccin.2 Dicho de otra manera la pendiente de una membrana de
Prandtl deformada coinciden con las tensiones tangenciales de
torsin de un prisma mecnico cuya seccin transversal tenga
precisamente la misma forma que la membrana.
[editar] Secciones cerradas simples de pared delgadaEn este caso
las tensiones tangenciales pueden considerarse aproximadamente
constantes sobre una lnea paralela al espesor de la pieza, es
decir, perpendicular al contorno exterior de la pieza. La tensin
tangencial en este caso puede expresarse mediante:
Donde: , es el rea encerrada por la lnea media de la seccin
tubular. , es el espesor de la seccin tubular en el punto s de la
curva del contorno. Mientras que el giro:
En caso de que el espesor sea e(s) = e0constante esta ltima
ecuacin se reduce a:
[editar] Secciones multicelulares de pared delgada
[editar] Torsin alabeada puraPara piezas de muy escasa inercia
torsional, como las piezas de pared delgada abierta, puede
construirse un conjunto de ecuaciones muy simples en la que casi
toda la resistencia a la torsin se debe a las tensiones cortantes
inducidas por el alabeo de la seccin. En la teora de torsin
alabeada pura se usa la aproximacin de que el momento de alabeo
coincide con el momento torsor total. Esta teora se aplica
especialmente a piezas de pared delgada abierta, donde no aparecen
esfuerzos de membrana.
[editar] Secciones abiertas de pared delgadaPara un rectngulo
muy alargado (b