TOPOMETRÍA

TOPOMETRÍA

PRIMERA UNIDAD: Aspectos Generales, Unidades de Medida, Teoría de Errores.

I. ASTRONOMÍA. Es la ciencia que se compone del estudio de los cuerpos celestes del

Universo, incluidos los planetas y sus satélites, los cometas y meteoroides, las

estrellas y la materia interestelar, los sistemas de estrellas llamados galaxias y los

cúmulos de galaxias; por lo que estudia sus movimientos y los fenómenos ligados a

ellos. Su registro y la investigación de su origen viene a partir de la información que

llega de ellos a través de la radiación electromagnética o de cualquier otro medio. La

astronomía ha estado ligada al ser humano desde la antigüedad y todas las

civilizaciones han tenido contacto con esta ciencia. Personajes como Aristóteles,

Tales de Mileto, Anaxágoras, Aristarco de Samos, Hiparco de Nicea, Claudio

Ptolomeo, Hipatia de Alejandría, Nicolás Copérnico, Santo Tomás de Aquino, Tycho

Brahe, Johannes Kepler, Galileo Galilei, Isaac Newton han sido algunos de sus

cultivadores.

Es una de las pocas ciencias en las que los aficionados aún pueden desempeñar un

papel activo, especialmente en el descubrimiento y seguimiento de fenómenos como

curvas de luz de estrellas variables, descubrimiento de asteroides y cometas, etc.

II. GEODESIA. La geodesia es una de las ciencias más antiguas cultivada por el

hombre. Su objetivo es el estudio y determinación de la forma y dimensiones de la

Tierra, de su campo de gravedad, y sus variaciones temporales. Fundamentada en la

física y en las matemáticas, cuyos resultados constituyen la base geométrica para

otras ramas del conocimiento geográfico, como son la topografía, la cartografía, la

fotogrametría, la navegación, así como ingenierías de todo tipo o para fines militares y

programas espaciales. También guarda relación con la astronomía y la geofísica.

Esta ciencia se divide fundamentalmente en dos partes:

La geodesia superior o geodesia propiamente dicha, dividida entre geodesia

física y matemática, trata de determinar y representar la figura de la Tierra en

términos globales.

La geodesia práctica o topografía, estudia y representa partes menores de la

Tierra donde la superficie puede ser considerada plana.

La geodesia es básica en la determinación de la posición de los puntos en la

superficie de la Tierra y una de sus mayores utilidades, desde un punto de vista

práctico, es que mediante sus técnicas es posible representar cartográficamente

territorios muy extensos.

La geodesia se realiza con mediciones de alta precisión, basados en una red de

puntos llamados vértices geodésicos que forman entre sí una malla o red de

triangulación:

Primer orden. Constituido por una red de triangulación que abarcan lados que

van desde 40 hasta 100 km de longitud.

Segundo orden. Constituido por una red de triángulos que abarcan lados que

van desde 20 hasta 30 km de longitud.

Tercer orden. Constituidos por triángulos que abarcan lados que van de 3

hasta 10 km de longitud y que se puede considerar como una superficie plana.

Las señales permanentes en geodesia, tienen como datos: coordenadas

planimétricas, cota y acimut, dichos valores están registrados en una institución de

cada zona o país, en el caso de Perú, la institución que determina la posición de

dichas señales o puntos es el Instituto Geográfico Nacional (IGN) que está

conformado por una base del ejército Peruano.

La forma de la tierra no se considera como esfera; sino como un geoide. Siendo el

geoide no expresable matemáticamente, en geodesia se le sustituye por una figura

que se pueda expresar en términos matemáticos y que se acerque lo más que se

pueda al geoide: El elipsoide.

World Geodetic System (Sistema

Geodésico Mundial) 1984 - WGS84

Semieje mayor (a) = 6 378 137 m

Semieje menor (b) = 6 356 752.3142 m

III. TOPOGRAFÍA. Ciencia que determina las dimensiones y el contorno de la tierra a

través de medición de distancias, direcciones y elevaciones (X, Y, Z).

Define también las líneas y niveles que se necesitan para la construcción de caminos,

presas, edificios y otras estructuras.

La topografía incluye el de áreas, volúmenes y otras cuantificaciones, así como la

elaboración de los planos.

IV. UNIDADES DE MEDIDA.

a) Medición lineal.

b) Medición de superficie:

Hectárea (Ha) = 10 000 m2 (Unidad agraria)

c) Medición de volumen:

Unidad común el litro 1lt=1dm3

d) Medida angular:

La unidad de medida para los ángulos, varía con el sistema de división que se

adopta para el círculo:

S360°

= C400

= R2 π

Donde:

S, grados sexagesimales,

C, grados centesimales, y

R, radianes

Ejemplo: Convertir 2.7832 rad a °S y gC

°S=360°*2.7832/(2*π)=159.465613541° =159° 27’ 56.2”gC=400g*2.7832/(2*π)=177.184015045g=177gC 18’C 40.15”C

Convertir 57° 17’ 44.8” a rad y gC

57° 17’ 44.8” = 57.295778°

R=57° 17’ 44.8”*2π/360°=1.00 rad. =57.295778°*2π/360°=gC= 57° 17’ 44.8” *400g /360°= 57.295778°*400g/360°= 63gC 66’C 19.75”C

V. ESCALA. Es una representación gráfica de la magnitud de un objeto o terreno en

un papel, dado que no se puede representar en su magnitud real. Se adopta una

relación de comparación entre la magnitud en el papel y el terreno.

En los planos la escala se puede mostrar en forma numérica o gráfica:

Escala Numérica. Es la relación de una unidad en el papel que representa tantas

unidades en el terreno:

PT

= Longitud enel papellongitud enel terreno

= 1E

Ejemplos: escala 1/100, quiere decir que una unidad en el papel representa a 100

unidades en el terreno, 1cm/100cm, 1m/100m, 1mm/1000mm

Las escalas más usadas en planos topográficos son: 1/25, 1/50, 1/75, 1/100, 1/200,

1/250, 1/500, 1/750, 1/1000, 1/2000, 1/2500, 1/5000, 1/10000, 1/20000, 1/25000,

1/50000, 1/75000, 1/100000, 1/200000.

Determinar la dimensión en el plano, que corresponda a la magnitud de 4 km en el

terreno si en el plano se graficará a escala 1/2500.

12500

= X4000m

;X=4000m2500

=1.6m=160cm=1600mm

Escala gráfica. Es la representación geométrica de una escala numérica. Consiste

en dibujar en el plano una línea subdividida en distancias que corresponden a

determinado número de unidades en el terreno.

Se recomienda colocar la escala numérica o dibujar la escala gráfica en un lugar

visible del plano.

De la relación 1/E deducimos que:

Cuando E es grande, la escala es grande, los detalles no permite mostrar, la

reducción es fuerte.

Cuando E es pequeño, la escala permite mostrar mayor cantidad de detalles, la

reducción es menos fuerte.

VI. INSTRUMENTOS TOPOGRÁFICOS.

Existe una diversidad de instrumentos topográficos los cuales se han ido

perfeccionando y los más usados son:

Cinta métrica, calculadora científica, libreta de campo, nivel de ingeniero, brújula,

teodolito, jalón, mira, eclímetro, estación total, prisma, GPS, escáner.

VII. TEORÍA DE ERRORES.

VII.1.Mediciones. La topografía se encarga de medir cantidades cuyo valor exacto o

verdadero no puede determinarse, como el caso de las distancias, elevaciones,

volúmenes, direcciones. Al contar con un mejor equipo, se pueden realizar

mediciones con una aproximación que se acerque más al valor real, pero

nunca será posible determinar ese valor exacto. Por lo tanto, un principio

fundamental de la topografía es que ninguna medición es exacta y que nunca

se conoce el valor verdadero de la cantidad que se está midiendo (los valores

exactos o verdaderos exactos o verdadero existen, pero no pueden

determinarse).

VII.1.1. Clases de medición.

a) Medición directa. Se obtiene la medida mediante un proceso visual, a

partir de una simple comparación con una unidad de patrón.

Ejemplo; magnitud: longitud.

b) Medición indirecta. Cuando la medida se obtiene haciendo uso de

ciertos aparatos o cálculos matemáticos ya que se hace imposible medir

mediante un proceso visual.

Las distancias pueden medirse con estación total, distaciómetros, el área

se puede calcular con GPS navegador, etc.

El área A= 220 m*149 m =32780 m2 = 3.278 Has.

VII.2.Errores en la medición. No existe persona alguna que tenga los sentidos tan

desarrollados para medir cualquier cantidad de forma exacta y tampoco existen

instrumentos con los cuales lograrlo. En consecuencia todas las mediciones

son imperfectas.

Las diferencias presentes entre las cantidades medidas y las magnitudes

verdaderas de esas cantidades se clasifican como equivocaciones o errores.

a) Valor verdadero. Es aquel valor que no tiene ninguna clase de error. No

obstante es preciso anotar que el verdadero valor no se conoce ni se

conocerá jamás.

b) Exactitud y precisión. Son términos que se utilizan constantemente en

topografía, sin embargo es difícil entender su significado correcto.

La exactitud se refiere al grado de perfección que se obtiene en las

mediciones. Representa que tan cerca se encuentra una medición

determinada del valor verdadero de la magnitud.

La precisión o precisión aparente, es el grado de refinamiento con el que

se mide una determinada cantidad. En otras palabras, es la cercanía de una

medición a otra. Si se mide una cantidad varias veces y los valores que se

obtienen son muy cercanos entre sí, se dice que la precisión es alta.

No significa necesariamente que una mejor precisión es mayor exactitud.

Ejemplo. Un topógrafo mide cuidadosamente, tres veces una distancia con

una cinta de acero de 100 m. obteniendo los valores de 984.72 m, 984.69 m

y 984.73 m, podríamos indicar que aparentemente hizo un trabajo muy

preciso y también muy exacto. Sin embargo si se determinara que la cinta

mide realmente 100.30 m y no los 100 m, los valores obtenidos no serán

exactos, aunque sean precisos.

c) Error. Es una diferencia con respecto al valor verdadero, ocasionado por la

imperfección de los sentidos de una persona, por la imperfección de los

instrumentos utilizados o por efectos climáticos. Los errores no pueden

eliminarse pero se pueden minimizar con un trabajo esmerado, combinado

con la aplicación de ciertas correcciones numéricas.

d) Equivocación. Es una diferencia con respecto al valor verdadero, causado

por la falta de atención del topógrafo. Ejemplo el topógrafo lee un número 9

cuando en realidad es 6, registra cantidades equivocadas en las notas de

campo, las equivocaciones son causadas por falta de cuidado del

topógrafo , los cuales se pueden eliminarse haciendo revisiones

cuidadosas.

VII.2.1. Fuentes de error.

a) Errores personales. Ocurre debido a que la persona no tiene

sentidos perfectos de vista y tacto. Por ejemplo, al estimar la parte

fraccionaria de una regla, el observador no puede leer perfectamente

y siempre quedará por debajo o por arriba del valor verdadero.

b) Errores instrumentales. Ocurren por que es imposible fabricar los

instrumentos de forma perfecta y las diferentes partes de estos no se

pueden ajustar exactamente unas con respecto a otras. Más aún con

el tiempo, el desgaste por el uso de los instrumentos causa errores

adicionales.

Ni el observador puede leer perfectamente la graduación, ni el

fabricante puede hacer una graduación perfecta. Aún cuando

actualmente la mayoría de las mediciones de distancia con equipo

moderno son digitales, todavía tienen errores instrumentales.

c) Errores naturales. Estos errores son ocasionados por la

temperatura, viento, humedad, variaciones magnéticas y otros

factores. Ejemplo en un día de verano, la cinta metálica de 100 m

puede incrementarse su longitud varios mm, cada vez que se emplee

dicha cinta para medir 100 m, habrá un error de temperatura igual a

esos mm. Un topógrafo no puede eliminar la causa de errores de

este tipo, pero puede reducir al mínimo sus efectos utilizando el buén

juicio y haciendo las correcciones matemáticas apropiadas de los

resultados.

d) Errores sistemáticos. O acumulativo es aquel que permanece igual

en signo y magnitud si las condiciones son constantes. Ejemplo, si

una cinta de acero tiene un faltante de 10 cm, cada vez que se utiliza

la cinta se comete el mismo error. Si la longitud total de la cinta se

usa 10 veces en una medición, el error se acumula y totaliza 10

veces la magnitud del error de una medición.

e) Error accidental, compensado o aleatorio. Es aquel cuya magnitud

y dirección es solo un accidente y está fuera del control del

topógrafo. Ejemplo, cuando una persona toma la lectura de una cinta,

no puede hacerlo perfectamente. En una ocasión leerá un valor

grande y en la siguiente leerá un valor pequeño. Dado que estos

errores pueden tener un signo o el otro, hasta cierto punto tienden a

cancelarse o a compensarse entre sí.

VIII. FASES DE UN LEVANTAMIENTO TOPOGRÁFICO.

VIII.1. Puntos topográficos. Son puntos notables del terreno que con su

ayuda nos permiten medir distancias o ángulos, estos puntos pueden ser de

carácter fijo o temporal. Los primeros pueden ser reconocidos por bastante

tiempo, mientras que los segundos sirven para una sola operación.

Se pueden utilizar como puntos topográficos, el asta de una bandera, la cruz de

una iglesia, fallas geológicas, afloramiento de rocas.

Los puntos topográficos se marcan con estacas de madera de 2”x3”x1’ los

cuales se clavan en el terreno y eventualmente para indicar su posición se

clava muy cerca una estaca de mayor tamaño o se coloca una flecha próxima

en un afloramiento rocoso o en un árbol.

En roca conviene hacer incisiones con cincel y pintar con pintura esmalte. Si se

trata de un punto topográfico exacto, en la estaca se muestra con un clavo, en

el terreno se recomienda con clavos de acero (calamina) o alcayatas.

En los puntos topográficos ubicados en la construcción o pavimentación de una

carretera (plataforma) estos puntos son ubicados con clavos de calamina.

Los puntos topográficos importantes o permanentes se marcan con hitos de

concreto constituido por una varilla de fierro de construcción acerado (3/8” o de

½”)

VIII.2. Señalamiento de puntos. Si requerimos observar puntos topográficos que

se encuentran a distancias relativamente cortas colocamos en la parte superior

jalones de 2 o 3 metros de largo, si estos puntos están muy alejados podemos

ubicarlo atando una bandera de color resaltante al jalón.

Al utilizar instrumentos (Teodolito, nivel, estación total) el anteojo debemos

dirigir siempre a la base o punta aguda del jalón si fuera posible a la punta de

un lápiz colocada sobre el clavo.

VIII.3. Trazado de alineamiento. Un alineamiento es la línea recta que se forma

en el terreno cuando es interceptado por un plano vertical entre dos puntos

conocidos.

Puntos intermedios al interior de una alineación. El operador que se encuentra

en el extremo A se retira a unos 2 m sobre el alineamiento y moviendo la

cabeza logra que el jalón ubicado en B coincida con el jalón ubicado en A, esta

posición orienta al operador para alinear los puntos C y D. Para ubicar en el

alineamiento es necesario ayudarse con los brazos indicando a la derecha o

izquierda hasta lograr que los jalones del los puntos intermedios coincidan con

los jalones ubicados en A y B, en este momento se mueve los dos brazos para

fijar el punto.

Prolongación de un alineamiento si tenemos el alineamiento A y B el operador

se retira 2 m de A y se alinea con el jalón B y va orientando con los brazos al

ayudante (derecha izquierda) hasta encontrar el punto C y alinear BC hasta

encontrar el punto D y así sucesivamente.

VIII.4. Medición de distancias. En topografía la distancia se expresa en magnitud

horizontal prescindiendo del desnivel que haya entre los puntos extremos. A

veces se obtiene medición de distancias inclinadas pero se reducen a su

proyección horizontal para la confección de planos, mapas, áreas, etc.

VIII.4.1. Medición de distancias a pasos. Conocido también como

cartaboneo, consiste en contar el número de pasos que da el hombre y

multiplicarlo por la longitud promedio del paso, también se puede variar

utilizando el paso doble. Este método es de mucha utilidad para el futuro

ingeniero estandarizar su paso para caminatas en terreno llano y

accidentado. Permite efectuar una revisión de comprobación de medidas

rápidamente. Se emplea cuando se efectúa levantamientos topográficos

y que se van a dibujar en planos de escala grande (1:1000, 1:10000,

1:50000) también sirve para efectuar trabajos de reconocimiento.

Utilizando este método estamos sujetos a cometer errores y

equivocaciones en el conteo del número de pasos, razón por la cual se

ha ideado un instrumento denominado podómetro o cuenta pasos que es

un aparato en forma de reloj de bolsillo, para contar el número de pasos

que da la persona que lo lleva y la distancia recorrida.

Lpaso=( 2LN °Total de pasos )

En un terreno con pendiente, los pasos son en promedio más largos

cuando se baja y más cortos cuando de sube; por tanto se recomienda

que el topógrafo realice el cartaboneo de su paso

VIII.4.2. Medición de distancias con cinta. Medición es el método de

establecer la distancia que existe entre dos puntos que se encuentran

sobre el suelo o a poca altura del terreno.

Cintas. Los tipos dependen del fabricante pueden ser de acero, lona,

hule, metal con recubrimiento de plástico, tejido sintético con

recubrimiento de plástico, fibra de vidrio y sus longitudes varían entre los

10, 15, 20, 30, 50, 100 metros y su ancho varía 1-1.5 cm (10 a 15 mm).

Para efectuar mediciones de gran precisión se utiliza la cinta invar de un

material que es compuesto de 65% de níquel y 35% de acero cuyo

coeficiente de dilatación es muy pequeño del orden 1/30 del

correspondiente de acero. Algunas cintas vienen con un adicional de 10

cm (decímetro) con subdivisiones con la finalidad de efectuar en el

campo correcciones por temperatura, catenaria o tensión.

Se utilizan algunos instrumentos para controlar las correcciones como

son termómetro, dinamómetro (romana), niveles de mano, accesorios

para realizar empalmes.

a) Cuando la superficie es plana.

Sobre una losa o pavimento. Se identifican los dos puntos

extremos y se realiza medidas parciales de longitud estándar. Es

conveniente conservar apoyada la cinta sobre la losa y hacer

coincidir la marca en el punto de partida (para cada tramo parcial)

manteniendo el alineamiento correcto y la tensión más o menos

constante y apropiada; cada cintada se marca con pintura.

Para mejor alineamiento se recomienda hacer uso del teodolito.

Si se quiere obtener una mayor precisión a pesar que la losa es

aproximadamente plana, es necesario realizar una nivelación

geométrica entre los dos puntos extremos para luego proyectar la

longitud total medida sobre la horizontal real.

Sobre terreno natural. Se identifican los dos puntos extremos y se

clavan jalones en dichos puntos, el procedimiento es similar al

anterior con la diferencia que en cada cintada se coloca una estaca

de madera donde se introduce un clavo si la medición requiere una

precisión o se marca con una pintura.

b) Cuando la superficie es inclinada.

Cuando la pendiente del terreno es menor del 5%. La medida se

inicia en el extremo elevado, el operador debe presionar la marca

de la longitud estándar (10m, 20m) sobre la estaca. En el otro

extremo marca el cero y en el otro extremo con la ayuda de una

plomada se proyectará la medida, donde se clava una estaca

realizando en ella una marca con pintura o un clavo.

Es importante conservar la estandarización de cada medida parcial

así como la horizontalidad de la cinta con la ayuda de un nivel de

mano.

Cuando la pendiente del terreno es mayor del 5%. Si el terreno

es muy inclinado, cada cintada deberá ser tal que el relieve de la

superficie lo permita.

Método de resalto con cinta. Se utiliza eclímetro, plomada, cinta,

se recomienda bajando la pendiente y el cero de la cinta se fija en

el terreno y la división delantera se sostiene en el aire conservando

la cinta lo más horizontal posible con la ayuda de un eclímetro

hasta lograr una magnitud entera: 5 m, 6 m, 7 m, 9 m, 10 m, etc.

De este punto proyectamos al terreno con la ayuda de una

plomada y se clava una estaca, este procedimiento se repite hasta

el punto final.

Método de resalto con regla. Este método el similar al método

descrito anteriormente y en vez de cinta se utiliza una regla

graduada de 4 0 5 m y el operador proyecta su magnitud del

terreno con la ayuda de una plomada y la horizontalidad de la regla

se controla con un eclímetro el mismo que nos permite medir la

inclinación del terreno obteniendo el ángulo de depresión y por

trigonometría podemos encontrar los desniveles.

VIII.4.3. Errores en la medición con cinta.

a) Cinta de longitud errónea. Esto produce un error sistemático y se

elimina comparando su longitud con otra ya corregida, su

discrepancia no debe ser más de:

dl=0.6∗√LDonde:

L, longitud de la cinta m

dl, diferencia mm

b) Alineación imperfecta. Este error puede reducirse a valores

despreciables poniendo especial atención al alinear cada cintada

antes de identificar el punto. Este error se puede considerar

despreciable en trabajos ordinarios y darán valores mayores que los

reales es decir son positivos. En 50 m un metro de desfase produce 1

cm de error.

c) Falta de horizontalidad de la cinta. Es difícil estimar al ojo la

horizontalidad de la cinta y es una de las causas muy frecuentes que

no se elimina por repetición de medidas por lo que se recomienda

utilizar un eclímetro o un nivel de mano.

d) Cinta floja o torcida. Cuando se realizan mediciones en terrenos

con maleza alta o cuando sopla el viento muy fuerte es difícil

mantener la cinta en toda su longitud correctamente alineada, esto

produce un error sistemático y variable.

Para una cinta de 50 m un desfase de 50 cm en el centro produce un

cm de error.

e) Defectos de observación. Los errores en la observación de la

punta de la plomada, la colocación de los clavos en la marca exacta

causan errores accidentales (aproximadamente 2mm por medida) el

error total no tiene mayormente influencia por ser compensable.

f) Cambios de temperatura. Las cintas de acero comúnmente se

dilatan o contraen por efectos del cambio de temperatura, cuando se

mide con tiempo demasiado caluroso o extremadamente frio y estos

errores pueden ser positivos o negativos.

g) Tensión de cintas. La cinta por ser elástica, sufre un estiramiento

cuando es sometido a una tensión, modificando así su longitud real.

Este error se puede controlar mediante el dinamómetro.

h) Cinta con catenaria. Cuando la cinta no se encuentra apoyada en

toda su longitud sino únicamente entre los extremos, toma una curva

debido a su propio peso el cual se denomina catenaria.

VIII.4.4. Correcciones de la medida con cintas.

a) Corrección por estándar. Consiste en determinar la verdadera

longitud de una cinta a usar, comparándola con una longitud patrón,

a la T° y tensión especificada en la cinta de acero.

Para ello es necesario tener presente:

Ln, longitud nominal o grabada en la cinta.

Lv, longitud verdadera de la cinta.

CE, Corrección por estándar

Ejemplo: si la longitud nominal o grabada en la cinta es 30.00 m y la

longitud verdadera es 30.008 m, con dicha cinta se ha medido una

longitud de 25.150 m. Determinar la longitud verdadera.

30 m 30.008 m

25.150 m X

X=( 25.150∗30.00830 )=25.1567m

Longitud real 25.1567 m

Ejercicios.

1. Se mide una distancia utilizando una cinta de 100 m y se obtiene

896.24 m. al estandarizar la cinta se determina que su longitud

real es de 100.04 m ¿Cuál es el valor correcto de la distancia

medida? Rta. 896.60 m.

2. Se desea establecer una longitud de 1200 m con una cinta de

acero cuya longitud real es de 99.95 m ¿Qué mediciones de

campo deben realizarse con esta cinta para obtener la distancia

correcta? Rta. 1200.60 m.

b) Corrección por temperatura.

CT=L0∗∝∗(T F−T 0 )

Donde:

CT, corrección por temperatura m

Lo, longitud medida en cada cintada m

α, Coeficiente de dilatación lineal de la cinta 1.16x10-5/°C

TF, temperatura ambiente °C

T0, temperatura según especificaciones °C.

Ejemplo. Si se tiene una cinta con las siguientes

especificaciones de fabricación.

Longitud 50 m

Temperatura 20°C

Tensión 5 kg

Realizada la medición de una longitud de 45.354 m, siendo la

temperatura ambiente de 15°C. Determinar la corrección.

CT=45.354m∗1.16 x10−5

° C(15 °C−20 ° C )=−0.002630532m

Lv= 45.354 m-0.002630532 m= 45.3513 m.

c) Corrección por horizontalidad (por pendiente)

D=L+Ch

Ch=−h2

2 L

Donde: α

L, longitud medida (m)

Ch, corrección por horizontalidad (m)

D, longitud real medida (m)

En el caso de cinta común de 100 m, L es igual a 100 m y D difiere

de 100 m por un valor muy pequeño. Para efectos prácticos, se

puede suponer que D tiene un valor de 100 m cuando se aplica la

corrección por pendiente.

Ejemplo: Se midió una distancia de 2620.30 m sobre una pendiente

de 8% ¿Cuál es la distancia horizontal correspondiente?

Ch=−82

2∗100=−0.32m

Corrección total=2620.30/100*(-0.32)=-8.385 m

Distancia horizontal=2620.30-8.385= 2611.92 m

Si se mide una longitud en pendiente con una cinta y se usa un

instrumento para medir el ángulo vertical comprendido entre la

pendiente y la horizontal, para determinar la distancia horizontal se

puede utilizar la siguiente expresión:

DH=L∗cos∝

Ejemplo: se mide una distancia inclinada de 378.049 m con una cinta

de acero. Si en el teodolito se mide un ángulo vertical de 3°27’ ¿Cuál

es la distancia horizontal?

DH=378.049∗cos3 °27 '=377.364m

Se desea medir una distancia horizontal con una cinta de acero

sobre una pendiente constante de 4° 18’ ¿Cuál debe ser la distancia

inclinada para que la distancia horizontal sea de 256.032 m?

Rta.256.755 m.

d) Correcciones por catenaria y tensión.

Catenaria o flecha.

C c=−w2∗L3

24∗P2 =−W 2∗L24∗P2

Donde:

Cc, corrección, en m.

w, peso de la cinta en kg/m

L, longitud de la cinta sin apoyo m

W=w*L, peso total de la cinta entre los apoyos, en kg.

P, tensión total aplicada a la cinta en kg.

Esta expresión aunque es aproximada, tiene la precisión suficiente

para muchos de los levantamientos topográficos. Se aplica en las

mediciones con cinta horizontal o con cintas apoyadas sobre

superficies inclinadas con pendiente no mayores de 10°.

Variaciones de tensión.

C p=(P−Po)A∗E

∗L=∆ P∗LA∗E

Donde:

Cp, corrección por tensión m

P, tensión aplicada kg

Po, tensión según especificaciones kg

L, longitud de la cintada m

A, área de la sección transversal de la cinta mm2

E, modulo de elasticidad (acero 2 050 000 kg/cm2)

Ejemplo: se ha medido una longitud de 27.212 m, aplicando una

tensión de 8 kg. Las especificaciones de la cinta de acero utilizado

son:

A= 2 mm2

E= 2.05x106 kg/cm2

Po= 5 Kg

L= 50 m

w= 0.020 kg/m (peso por metro lineal)

C p=(8−5)

0.02∗2.05 x106∗27.212=0.0019911=0.002m=2mm

Longitud corregida= 27.212 m + 0.002 m= 27.214 m

En caso sea necesario la aplicación de correcciones derivadas de

varios factores simultáneos (Longitud incorrecta, pendiente,

temperatura, etc.), se calculan por separado las correcciones

individuales por longitudes de cinta y se suman algebraicamente

para obtener una corrección combinada de todas.

Ejemplo: se midió una distancia de 1665.2 m sobre una

pendiente uniforme de 8%. No se realizaron correcciones de

campo por pendiente. La temperatura de la cinta al momento de la

medición fue de -8°C ¿Cuál es la distancia horizontal correcta que

se midió, si la cinta mide 100.06 m a 20°C?

Corrección por estandarización= 100.06-100=0.06m

Corrección por pendiente:

Ch=−82

2∗100=−0.32m

Corrección por temperatura:

CT=100∗1.16∗10−5∗(−8 °−20 ° )=−0.03248m

Corrección por cada 100 m= 0.06-0.32-0.03248= -0.29248 m

Corrección para la distancia total = 1665.2m/100 m*-0.29248m

= -4.87037696 m

Distancia corregida = 1665.2 m – 4.87037696 m =1660.33 m

IX. TRABAJOS ELEMENTALES CON JALONES Y CINTAS.

IX.1. Levantar una línea perpendicular a un alineamiento.

IX.2. Trazar una línea perpendicular de un punto a un alineamiento.

IX.3. Trazar desde un punto dado, una paralela a un alineamiento. El

procedimiento es similar al método anterior. Se traza una línea perpendicular

desde el punto al alineamiento, luego medir esta distancia perpendicular con

esta distancia trazar una línea perpendicular desde el alineamiento, de esta

manera se obtendrá una línea paralela al alineamiento.

IX.4. Alinear dos puntos no visibles entre sí

Aplicando el teorema de Thales , se calcula las distancias perpendiculares 1-1´,

2-2’ desde la línea auxiliar.

BCAC

=11 'A1

BC=9.879 m

AC=21.416 m

A1= 3.157 m

11'= BC∗A1AC

La distancia perpendicular 11’

11'=9.879∗3.15721.416

=1.456m

Se sigue el mismo procedimiento para determinar los n líneas paralelos a 11’

que a su vez son perpendiculares a la línea auxiliar AC.

IX.5. Determinar la distancia entre dos puntos cuando uno de ellos no es

accesible.

Si se quiere determinar la distancia desde el punto B hasta A (inaccesible) es

necesario que del punto B se trace una línea perpendicular hacia A, luego

trazar una línea de 20 o 40 m (perpendicular a la línea AB). El extremo ubicado

a 40 m (punto C) se alinea con el punto inaccesible A, una vez alineado, desde

C se mide una longitud de 20 m (continuando la línea BC) desde este extremo

se traza una línea perpendicular hasta interceptar el punto D que está alineado

con C y A.

Distancia=2∗L

IX.6. Determinar la distancia entre dos puntos inaccesibles.

Por teorema de Thales se determina la distancia de los alineamientos CA y DB.

En el triangulo rectángulo CAB

CACD

=aa 'Ca

CA=400.81∗46.92100

=188.06m

En el triangulo rectángulo DAC

DBDC

=bb 'bD

DB=400.81∗58.44100

=234.23m

Por teorema de Pitágoras:

AB=√400.812+(234.23−188.06)2=403.46m

IX.7. Determinar la distancia entre dos puntos cuando existe un obstáculo.

X. FORMULAS PARA EL CÁLCULO DE AREAS.

Las áreas de un terreno se calculan por medio de diferentes métodos.

Uno muy rudimentario con fines estimativos, es el método gráfico que consiste en

dibujar la poligonal a escala en un papel milimetrado para después contar el número

de cuadrados que están dentro de la poligonal. El área de cada cuadrado se

determina a partir de la escala usada en el dibujo de la figura. Otro método similar con

el que se obtienen resultados mucho mejores, aunque también solo es adecuado con

fines estimativos, es el uso del planímetro que es un instrumento que se puede

emplear para medir el área de una figura sobre papel siguiendo el contorno de la

misma con una punta delineadora o trazadora.

Un método muy útil y preciso para determinar las áreas de polígonos que tienen solo

algunos lados es el método del triángulo. La poligonal se divide en triángulos y las

áreas de estos se calculan por separado.

AreaDAB=12∗ad senα

AreaDCB=12∗bc senβ

Área ABE=12∗ae senα

ÁreaCDE=12cd senθ α

θ

XI. TEORIA DE PROBABILIDADES. Se ha dicho que empleando métodos apropiados

se pueden eliminar casi totalmente los errores sistemáticos especialmente en los

levantamientos de alta precisión y la precisión básicamente dependerá del error

accidental toda vez que los errores materiales y sistemáticos los hemos superado por

tal razón recurrimos a la teoría de probabilidades que trata de los errores accidentales

de una serie de mediciones iguales o semejantes.

En esta teoría se supone que:

Los errores pequeños son más frecuentes que los grandes.

No se cometen errores muy grandes.

Los errores pueden ser positivos o negativos.

El verdadero valor de una cantidad es la media de un número infinito de

observaciones análogas

El estudio completo de la teoría de probabilidades requiere el conocimiento del

método de los mínimos cuadrados, pero para las reglas y normas que vamos a

expresar basta para los casos más sencillos de verificación de observación, de

errores y valores probables.

Esta teoría sirve para conocer la precisión de los resultados solo cuando están

afectados por los errores accidentales.

Ejemplo. Se ha medido una longitud en mm, que existe entre dos puntos, para ello se

han realizado 30 mediciones, los valores que se presentan carecen de errores

sistemáticos.

Valor medido (mm) Número de

veces

696.00 3

696.80 2

697.00 4

697.40 2

697.90 2

698.00 5

698.20 4

698.70 3

699.00 5

11.1 Observaciones de igual precisión. Se considera que las observaciones son

tomadas en idénticas condiciones, es decir con los mismos instrumentos, el mismo

personal, las mismas condiciones climatológicas, etc.

a) Media (Ῡ). Es el valor que tiende a situarse en el centro de conjunto de datos

ordenados según su magnitud.

Y=Y 1+Y 2+Y 3+ ...+Ynn

=697.803mm

b) Desviación (Vi). Denominado también error aparente de una medición, es la

diferencia entre la media y el valor correspondiente a una medición, es el error

aproximado para cada medición, dado que no se conoce el verdadero valor.

Vi=Yi−Y

c) Error cuadrático de una observación (Desviación típica o estándar).

Corresponde al valor del error del punto de inflexión de la curva de probabilidad.

σ=±√∑V 2

n−12≤n≤30

σ=±√∑V 2

nn>30

σ=±√ 7.5028129

=±0.508mm

d) Error probable de una observación (E50). Es el intervalo, dentro de cuyos límites

existe la probabilidad de que el 50% del total de mediciones integren dicho rango.

E50=±0.6745∗σ

E50=±0.6745∗0.508mm=±0.343mm

e) Ecuación general del índice de precisión. La probabilidad de un error de

cualquier porcentaje de probabilidad se determina por la siguiente expresión:

EP=K∗σ

Donde:

Ep, Porcentaje de error

K, factor numérico que corresponde al porcentaje de error

σ , desviación típica o estándar.

Expresiones usuales en topografía:

E90=1.6449*σ

E95=1.9599*σ (es el más usado en topografía)

E99.73=3*σ

E95=1.9599*(±0.508mm¿=±0.995mm

Significa que del 100% de mediciones tomadas es probable que el 95% de ellas

queden dentro de los límites de error (-0.9956 mm; +0.9956 mm)

f) Error de la media (Em), a cualquier porcentaje de probabilidad es aquel intervalo (-

Em; +Em) dentro de cuyos límites puede caer el verdadero error accidental de la

media con una probabilidad del p%.

Em=EP√n

Em=±0.9956

√30=±0.182mm

g) Valor más probable (V.M.P). Es aquel valor que se acerca más al verdadero

valor pero no lo es. Comúnmente se considera a la media como el valor más

probable de varias mediciones.

VMP=Y ± Em

VMP=697.803±0.182m

Ejemplo. Se ha efectuado la medición de una distancia y los datos tomados en

campo son:

1° medición 800.213 m

2° medición 800.220 m

3° medición 800.603 m

4° medición 800.218 m

Determinar el verdadero valor con una probabilidad del 50%

11.2 Observaciones de una misma cantidad con diferente precisión. En los

levantamientos topográficos es frecuente medir una misma magnitud pero en

condiciones diferentes (precisión instrumental, condiciones climáticas, pericia del

operador, etc.) por consiguiente cada una de las observaciones tiene cierto

grado de precisión el cual se puede cuantificar mediante el peso.

Peso. Se define como el grado de aproximación que tiene una magnitud

observada y depende:

Del número de veces que se hizo la medición, ejemplo el número de veces en

que se ha medido un ángulo por diferentes observadores.

a) 23° 24’ 40” (una sola vez ……….peso 1)

b) 23° 24’ 48” ( tres veces…………..peso 3)

c) 23° 24’ 30” ( seis veces…………..peso 6)

Del buen criterio del operador para calificar la condición que existió al

momento de efectuar cada medición o de apreciar la calidad del instrumento.

Ejemplo cuando se realiza la medición de una base de triangulación utilizando

una cinta de lona cuando existía un clima ventoso y nublado tendrá menos

peso que la efectuada utilizando una cinta de acero en un momento que no

hubo viento.

Del error probable de una serie de mediciones que sean efectuado en

idénticas condiciones toda vez que el error probable varía en razón inversa

de la raíz cuadrada del número de observaciones.

P1E2

1=P2E22=P3E

23

Donde: Pi , pesos

Ei, error probable.

Ejemplo:

Observación 1 (dos lecturas peso 2)

120°30’16”120°30’40”

σ =±√ 2.2222E-51

=0.004714 E=±0.6745∗0.004714=0.003180=±11

Observación 2 (tres lecturas peso 3)

120°30’22”120°30’32”120°30’12”

σ=±√ 1.568E-52

=0.0028 E=±0.6745∗0.0028=±0.0019=±07

Observación 3 (cuatro lecturas peso 4)

120°30’36”120°30’10”120°30’40”120°30’38”

σ=±√ 4.546∗10−5

3=±0.003893 E=±0.6745∗0.003893=±0.0026=±09

Observación1 120 °30 ' 28 ±11

Observación2120 ° 30'28 ±07

Observación3120 ° 30 ' 31±09

P1E12=P2E2

2=P3E32

Si consideramos P1=1

P2=112

072 =2.47 , P3=112

092 =1.49

Podemos indicar que la observación 2 tiene mayor precisión.

a) Media ponderada. Es el valor más probable de una cantidad de magnitud

medida varias veces con diferente precisión.

X=P1 X1+P2 X2+P3 X3+…+Pn Xn

P1+P2+P3+…+Pn

Donde:

Pi, peso

Xi, magnitud

Ejemplo: se realizaron 4 itinerarios de nivelación diferentes para determinar

la cota de un punto y los resultados calculados con sus correspondientes

errores probables son:

221.05±0.006 m221.37±0.012 m221.62±0.018 m220.67±0.024 m

Determinar la media ponderadaE1=±0.006, E2=±0.012, E3=±0.018, E4=0.024

Si P1=1

P2=(0.006)2

(0.012)2 =14, P3=

(0.006)2

(0.018)2=1

9,P4=

(0.006)2

(0.024)2=1

16

X=221.05∗1+221.37∗( 1

4 )+221.62∗( 19 )+221.67∗( 1

16)

1+ 14+ 1

9+ 1

16

=221.1779m

b) Error probable de la media (EPM). Según la teoría de probabilidades y del

mínimo cuadrado perfecto el error de la media ponderada está dado por la

fórmula.

EPM=± K √∑ (PV 2)¿¿ ¿

Donde:

Em, error de la media para p%

K, Factor número que corresponde al porcentaje de error

P, peso

V, desviación

n, número de observaciones

P=50% K=0.6745

P=90% K=1.6449

P=95% K=1.9599

Se ha realizado la medición de una línea de ferrocarril, empleando diferentes

equipos topográficos, obteniéndose los siguientes resultados de campo.

X1=1000.10±0.01

X2=1000.20±0.02

X3=1000.30±0.03

Calcular el valor más probable de la línea medida y el error probable.

E1=0.01, E2=0.02, E3=0.03

Si P1=1

P2=1/4 y P3=1/9

X=1000.10∗1+1000.20∗( 1

4 )+1000.3∗( 19)

1+ 14+ 1

9

=1000.135m

Xm P X V V2 PV2

1000.10

1000.20

1000.30

1

1/4

1/9

1000.13

5

1000.13

5

1000.13

5

-0.035

0.065

0.165

0.001225

0.004225

0.027225

0.001225

0.001056

0.003025

0.005306

EMP=±0.6745√ 0.0053061.361111∗2

=±0.029779

Em=±0.029779

√3=±0.0172 X=1000.135±0.0172m

c) Valor más probable (V.M.P). Comúnmente se considera a la media como el

valor más probable:

VMP=MP±Em

11.3 Errores en las operaciones matemáticas. Existen ocasiones en las cuales es

necesario realizar una operación compuesta.

a) Error probable de una suma. El error probable de la suma de varias

observaciones independientes L1, L2, L3,……Ln, cuyos errores probables son

E1, E2, E3,………En, está dado por la siguiente fórmula.

ES=±√E12+E2

2+…+En2

b) Error probable de la diferencia.

EDif=±√E12+E2

2

c) Error probable del área. Si el área está dado por el producto de sus lados

entonces el error viene dado por la siguiente fórmula:

EA=±√L12∗E2

2+ L22∗E1

2

11.4 Correcciones en las operaciones matemáticas. Al realizar las mediciones de

varios tramos lineales o angulares, estos se encuentran sujetos a ciertas

condiciones geométricas, generalmente al comprobar dichas condiciones

geométricas se encuentra siempre un error de cierre el cual indica la presencia

de errores accidentales.

Existen diversos métodos que permiten distribuir dicho error en cada uno de los

valores medidos, uno de ellos y el más confiable es el los mínimos cuadrados,

no obstante es posible realizar la corrección del siguiente modo:

P1C1=P2C2=P3C3

C1

E12=C2

E22 =

C3

E32

Donde:

Ci, correcciones

Pi, pesos

Ei, errores.

1. Se midieron los ángulos consecutivos AOB, BOC y AOC con vértice en O, en

igualdad de condiciones se pide determinar el valor más probable si:

AOB se ha medido 1 vez 23°46’00”

BOC se ha medido 4 veces 59°14’27”

AOC se ha medido 6 veces 83°01’07’’

AOB+BOC= 23°46’00”+ 59°14’27”= 83°00’27’’

AOC- AOB+BOC=83°01’07’’- 83°00’27’’=00°00’40’’

C1+C2+C3= 40’’ I

C1P1=C2P2=C3P3 II

Si P1=1 entonces C1=C2P2/P1 y C3= C2P2/P3

Reemplazando en I

C2P2/P1 + C2 + C2P2/P3 = 40’’ C2 (P2/P1 + 1 + P2/P3)=40’’

C2 = 40’’/(4 + 1 + 4/6) = 07”

C1=7’’*4= 28”

C3= 7”*4/6=05”

Corrigiendo los ángulos:

AOB = 23°46’00” + 28” = 23°46’28’’

BOC = 59°14’27” + 07” = 59°14’34”

AOC = 83°01’07’’ - 05” = 83°01’02”

2. Se ha realizado observaciones midiendo tres ángulos formados alrededor de

un punto O en las mismas condiciones con el siguiente resultado:

X1= 150°20’30” ± 05”

X2= 140°30’35” ± 03”

X3= 69°09’30” ± 01”

Determinar los valores más probables de dichos ángulos.

∑Ángulos=360°00’00’’

∑Xi= 150°20’30’’+140°30’35”+69°09’30’’=360°00’35’’

Ecierre=35’’

C1

E12=C2

E22 =

C3

E32C1=

C2E12

E22 C3=

C2E32

E22

C1=C252

32 =25C2

9C3=

C212

32 =1C2

9

C1+C2+C3=35' '

25C2

9+C2+

C2

9=35' 'C2=9 {C } rsub {1} =25 C3=01

X1=150°20’30’’-25’’=150°20’’05’’

X2=140°30’35’’-09’’=140°30’’26’’

X3=69°09’30’’-01’=69°09’29’’

X1+X2+X3=360°

II UNIDAD: ALTIMETRÍA, MEDIDAS DE ÁNGULOS Y DIRECCIONES.

Nivelar significa determinar la altitud de un punto respecto a un plano horizontal de

referencia, esta concepción ha sido usada desde tiempo atrás, prueba de ello son la

existencia de las grandes fortalezas del imperio incaico, las pirámides de Egipto, o

simplemente las construcciones modernas.

Hoy en día la construcción de edificios, caminos, canales y las grandes obras civiles no

quedan exoneradas del proceso de nivelación; incluso los albañiles hacen uso del

principio de vasos comunicantes para replantear en obra los niveles que indican los

planos.

2.1. Definiciones:

a) Altura o cota de un punto. Llamado también elevación de un punto sobre la

superficie de la tierra y es su distancia vertical hasta el plano tangente que se ha

tomado como referencia, si este plano es tangente a la superficie media del mar

se llama altura absoluta, cota absoluta.

b) Desnivel. O diferencia de nivel y se entiende como la altura vertical existente

entre dos puntos de cota conocida.

c) Línea de nivel. Toda línea que pertenece a una superficie de nivel se llama línea

de nivel.

d) Línea horizontal. Toda línea tangente a la línea de nivel es una línea horizontal

que forma un ángulo vertical con cualquier línea perpendicular.

e) Nivelación. Proceso mediante el cual se determina la altitud de un punto

respecto a un plano horizontal de referencia. Es la técnica de medir la diferencia

de nivel que existe entre dos puntos de la tierra

f) Cota relativa. Es la distancia vertical que existe entre un punto topográfico de la

tierra a un plano arbitrario de comparación.

g) Nivel medio del mar (N.M.M). Es el nivel ± 0.00 adoptado convencionalmente y

viene a ser el promedio de la máxima elevación del mar (pleamar) y su máximo

descenso (bajamar) en un lugar. El movimiento de las aguas del mar se debe a la

variación de la atracción gravitatoria de los astros (sol y luna) dando lugar a las

oscilaciones que toman el nombre de flujo (elevación) y reflujo (descenso).

h) Bench Mark (B.M). Es la altitud de un punto respecto al plano correspondiente al

nivel medio del mar, se le denomina también cota absoluta. Todos los países

tienen una red de nivelación con señales permanentes.

En el Perú el Instituto Geográfico Nacional (IGN) es la entidad que proporciona el

B.M. de un punto cercano a la zona de trabajo.

2.2. Equipos básicos de altimetría.

2.2.1. Nivel de albañil.

a) El de regla. Que es una regla de madera o aluminio de aristas

indeformables y paralelas al eje longitudinal tubular de burbuja ubicado en

el centro.

b) El de plomada. Es un triangulo de madera de cuyo vértice central superior

se suspende una plomada que al caer en el punto medio del lado opuesto

indica el estado de nivelación de este lado.

c) El de la manguera. Consiste en una manguera transparente que se le

echa agua y por el sistema de vasos comunicantes los pelos de los

extremos de agua se ubican en la misma altura. Así de esta forma

podemos llevar el nivel de un punto a otro.

2.2.2. Nivel Tubular. Consiste en un tubo cilíndrico hueco de vidrio cerrado en

ambos extremos, en cuyo interior contiene en casi su totalidad de volumen un

líquido de baja viscosidad como bencina, éter, alcohol, como quiera que el

fluido no llena el 100% del volumen interno, se forma una burbuja de aire.

Este aparato tiene la propiedad de generar un eje o directriz horizontal cuando

la burbuja se encuentra centrada.

Estos niveles tienen el inconveniente de desnivelarse con la mínima vibración.

2.2.3. Nivel de burbuja partida. Es el mismo nivel tubular con la diferencia que se

le ha acoplado un sistema de prismas. Como consecuencia óptica de este

acoplamiento se aprecian las mitades extremas de la burbuja en posición

invertida. El movimiento de las dos mitades extremas de la burbuja del nivel

tubular se realiza con un tornillo de basculamiento.

2.2.4. Nivel esférico. Llamado también ojo de pollo. Está constituido por un

casquete de vidrio en cuyo interior contiene generalmente alcohol. Este tipo

de nivel se usa generalmente para realizar una pre nivelación de algún

aparato topográfico, su precisión es mucho menor que los tubulares; su

sensibilidad puede variar entre 3’ y 6’. La plataforma que contiene al nivel

esférico, puede estar conformado por tres o cuatro tornillos nivelantes, no

obstante también existen equipos que prescinden de estos tornillos y en su

lugar se usa un dispositivo de rótula llamado tornillo de sujeción.

2.2.5. El telescopio. La finalidad de un telescopio es observar objetos que están

alejados respecto al operador. Está constituido básicamente por una lente

convergente, un microscopio y un sistema reticular montados de forma que

sus ejes principales coincidan para generar el eje óptico del instrumento.

La lente convergente se ubica en el objetivo, la cual puede deslizarse dentro

de la armadura cilíndrica, dicha lente se desplaza mediante el tornillo de

enfoque, gracias a esta lente se obtienen imágenes reales e invertidas

respecto a los objetos observados.

El sistema reticular está compuesto por un disco de vidrio sobre la cual están

grabadas dos líneas rectas muy finas que definen la referencia horizontal y

vertical del telescopio. El retículo va adosado a un juego de tornillos que

permiten centrar la cruz con el eje del anteojo. Algunos retículos poseen hilos

adicionales los cuales sirven para medir distancias por el método

estadimétrico.

a) Defectos que limitan la calidad de la imagen.

La limpieza interna. No se recomienda la limpieza continua del interior

del telescopio, dado que habría que desmontar el equipo y extraer las

lentes.

Actualmente existen aparatos herméticos dado que el lado exterior del

ocular y el objetivo son fijos, sin embargo tiene el inconveniente de que

la lente adicional de enfoque absorbe luz, reduciendo así la claridad de

la imagen.

Paralaje. Si la imagen no se forma en el plano de la retícula se tendrá

el fenómeno de paralaje, esto significa que al moverse el operador

levemente, observará diferentes lecturas a través del telescopio el

mismo desaparece variando la posición del retículo respecto al

objetivo.

Aberración esférica. Se produce cuando la imagen no se forma en un

plano, sino más bien en una superficie esférica; en esta situación la

imagen se verá borrosa.

Aberración cromática. Se produce cuando el campo visual aparece

coloreado con varios matices.

Estos dos últimos defectos se corrigen empleando un objetivo

compuesto de una lente exterior biconvexa y de otra interior cóncavo-

convexa.

b) Características técnicas de un telescopio

Tipo de imagen. La imagen de los objetos o números pueden ser

derecha o invertida; para trabajos de alta precisión se recomienda usar

equipos que generan imágenes invertidas.

Aumento. Determina el poder de ampliación de un objeto y se calcula

mediante la siguiente relación:

A= IO

Donde:

A, aumento

I, tamaño imagen

O, tamaño objeto

El aumento puede estar dado por: 1/3, ½, 1/10, 1/20, 1/40, etc. y la

denotación es como sigue:

1/3, se representará por 3x, que significa 3 veces el diámetro del objeto

1/20, se representará por 20x, que significa 20 veces el diámetro del

objeto.

Diámetro libre del objetivo. (D) Está determinado por el diámetro de

la lente del objetivo, puede ser: 20 mm, 24 mm, 30 mm, 41 mm, 45

mm, 50 mm, etc.

Distancia mínima de enfoque (d). Es la mínima distancia desde el

objetivo hasta la mira que permite tomar lecturas con comodidad.

Puede ser 0.30 m, 0.40 m, 0.50 m, 1.60 m, 1.80 m, 2.0 m, etc.

Campo visual a 100 metros. Es el área circular a 100 m del equipo

que abarca la visual. Puede ser 2, 3, 4 m, etc.

Distancia de visada más larga para lecturas en centímetros. Es la

capacidad que tiene el anteojo para poder distinguir nítidamente dos

puntos de la mira separadas 1 cm y no como un solo punto borroso.

Puede haber equipos con distancias de enfoque 200 m, 300 m, 400 m,

etc.

Distancia de visada más larga para lecturas en mm. Es la capacidad

que tiene el anteojo para poder distinguir nítidamente dos puntos de la

mira separados 1 mm y no como un solo punto borroso.

2.2.6. La mira. Es una regla graduada en toda su longitud en centímetros,

agrupados de 5 cm en 5 cm y marcados de 10 cm en 10 cm, igualmente los

metros de metro en metro (color rojo y negro). Esta regla puede ser de una

sola pieza o de dos o más piezas articuladas, que pueden ser de tres o cuatro

metros de longitud.

La mira puede estar conformada de madera, acero, aluminio, plástico e invar,

algunas de las cuales llevan un nivel esférico el cual permite indicar la

verticalidad de la regla cuando la burbuja queda dentro de sus reparos.

2.2.7. Nivel de ingeniero o equialtímetro. Son instrumentos muy versátiles de fácil

manejo y existen diversas marcas y tipos desde los más sencillos a los más

sofisticados. Instrumento topográfico, constituido básicamente de un

telescopio unido a un nivel circular más otro tubular o similar que va montado

sobre un trípode.

En la actualidad existen varios tipos de nivel:

a) Nivel de tipo rígido o de anteojo corto (tipo dumpy). Nivel utilizado

hasta décadas recientes en los trabajos topográficos de nivelación. Estos

aparatos han sido remplazados por instrumentos mucho más modernos.

b) Nivel Wye (tipo Y). Este nivel, hoy obsoleto

c) Nivel automático o autonivelante. Estos aparatos son los más utilizados

actualmente en los trabajos de topografía, es de fácil instalación y

utilización y se encuentra en cualquier intervalo de precisión que se

requiera. Su utilización es adecuada para nivelaciones de segundo orden

y se obtienen buenos resultados en nivelaciones de primer orden si se usa

con un micrómetro óptico. El nivel automático cuenta con un pequeño

nivel circular de burbuja y tres tornillos de nivelación. Una vez centrada la

burbuja de manera aproximada, el instrumento hace la nivelación fina de

manera automática.

Este instrumento permite una mayor velocidad en la realización de las

etapas de nivelación y es particularmente útil en los sitios con suelo blando

o cuando soplan vientos fuertes, ya que el instrumento se reajusta de

manera automática cuando se desnivela ligeramente.

d) Nivel electrónico digital. Es un instrumento automático, ya que después

de centrar su nivel de burbuja de forma aproximada el compensador

termina la nivelación. El telescopio y los hilos de la retícula del instrumento

se pueden emplear para hacer lecturas, como con los otros niveles, pero

fue diseñado principalmente para efectuar lecturas electrónicas. El

operador dirige la visual sobre la mira que cuenta con un código de barras.

Una vez hecho esto, se presiona un botón y el instrumento compara la

imagen de la lectura de la mira con una copia del código de barras que

conserva en su memoria electrónica. Enseguida muestra en la pantalla la

lectura numérica de la mira así como la distancia hasta el mismo.

e) Nivel basculante. Es aquel cuyo telescopio se puede voltear o girar con

respecto a su eje horizontal. El instrumento puede nivelarse rápidamente

de forma aproximada con el uso de un nivel de burbuja o circular. Con el

telescopio apuntando hacia la mira, el operador gira una perilla basculante

que desplaza el telescopio a través de un ángulo vertical pequeño hasta

que lo nivela.

Los niveles basculantes son muy útiles si se quiere de alto grado de

precisión en los levantamientos. Probablemente, desde el punto de vista

económico, no se justifica su uso en levantamientos topográficos

comunes, como en movimiento de tierra, debido al tiempo que se requiere

para hacer coincidir las burbujas.

f) Nivel láser. El rayo laser se utiliza con efectividad en varias operaciones

topográficas, se aplica comúnmente para generar una elevación de

referencia conocida o punto a partir del cual se toman mediciones de

construcción. El rayo láser es de gran utilidad en el trazo de tuberías y

estacionamientos, para fijar estacas de control de rellenos y excavaciones,

en levantamientos topográficos, etc.

2.2.8. Tránsitos y teodolitos empleados como niveles. Aunque su propósito

principal es la medición de ángulos los tránsitos y teodolitos se pueden

emplear también en la nivelación. Los resultados que se obtienen son

bastante precisos, pero no tanto como los que se obtienen con niveles

ordinarios que cuentan con mejores telescopios y tubos de burbuja más

sensibles.

2.2.9. Estaciones totales utilizados como niveles. Actualmente se utilizan con

éxito las estaciones totales como niveles.

2.2.10. El eclímetro. Está compuesto por tres elementos primarios: un nivel

tubular, un tubo metálico y un transportador con doble graduación

(sexagesimal y porcentaje). Se usa en nivelaciones trigonométricas de

poca precisión, no obstante, la rapidez que se consigue con el uso del

eclímetro, hace de éste el preferido de los camineros.

Es importante centrar la burbuja para poder tomar la lectura

correspondiente, para ello se requiere el apoyo del tornillo nivelante.

2.3. Levantamientos de primer, segundo y tercer orden.

Existen tres categorías principales, las cuales se mencionan a continuación en orden

descendente a los requerimientos de precisión:

a) Levantamientos de primer orden. Se realizan para obtener la red principal de

control nacional, los levantamientos de área metropolitana y los estudios

científicos (son levantamientos de gran precisión utilizados en la defensa militar,

en proyectos sofisticados de ingeniería, presas, túneles y en estudios de

movimientos regionales de la corteza terrestre)

b) Levantamientos de segundo orden. Tienen una precisión un poco menor que

los de primer orden. Se utilizan para conjuntar (combinar) la base de datos de la

red nacional y para contar con la información necesaria para el control

metropolitano (se utiliza en el control de límites de las mareas, en grandes obras

de construcción, en carreteras interestatales, en el monitoreo de movimiento de

la corteza, en renovación urbana y en presas pequeñas)

c) Levantamientos de tercer orden. Son un poco menos precisos que los del

segundo orden. Son levantamientos de control general referidos a la red nacional

(se utilizan para levantamientos locales de control, en proyectos pequeños de

ingeniería, en mapas topográficos a pequeña escala y en levantamientos

limítrofes)

2.4. Partes de un nivel de ingeniero.

2.4.1. Alidada. Está ubicado en la parte superior sobre un eje vertical y está

formado por un anteojo de imagen invertida o en posición normal. En la parte

posterior se encuentra un ocular que permite graduar la dioptría del ojo del

observador aclarando la cruz de los hilos estadimétricos.

En la parte superior se encuentran dos elementos de mira (alza y guion) que

sirven para encontrar la visual. Dentro del ocular y delante del ocular de

anteojo se encuentra el anillo de enfoque que sirve para aclarar la imagen

visada. A un costado se encuentra un tornillo tangencial horizontal que sirve

para dar un movimiento lento al anteojo y lograr un centrado perfecto de la

mira a esta misma altura y en la parte posterior se encuentra un tornillo

tangencial vertical o de coincidencia de los meniscos que sirve para dar un

movimiento fino vertical y lograr centrar el nivel tubular con el cual se hace la

nivelación definitiva antes de efectuar una lectura.

En la parte inferior de la alidada se encuentra el limbo horizontal graduado

que permite medir ángulos horizontales el mismo que contiene un tornillo

manual que mueve el limbo y puede colocarse ya sea en 0° 00’ 00’’ con

respecto a un punto cualquiera.

2.4.2. Tren de nivelación. Está conformado por tres tornillos de eje vertical

distribuidos en forma equidistante que forman el vértice de un triángulo

imaginario; estos tornillos nivelantes permiten nivelar rápida y

aproximadamente el aparato guiándonos del nivel esférico. Debajo de los

tornillos nivelantes se encuentran dos placas sobre el trípode y tiene en su

parte central un orificio con tuerca que permite alojar el tornillo de fijación

conectando el trípode y uniendo sólidamente con la alidada.

2.4.3. Trípode. Consta básicamente de dos partes, la cabeza y las patas, la cabeza

es metálica de superficie plana llamada plataforma sobre el descansa la

chapa de base del tren de nivelación. Esta cabeza es protegida con una tapa

de protección.

En la parte central de la plataforma existe un orificio circular y por debajo de

esta una orquilla movible que aloja el tornillo de conexión, esta orquilla

permite un movimiento a lo largo de la circunferencia del orificio.

Las patas son de madera y metal, están unidas en la parte superior con la

plataforma a través de unos tornillos de cierre.

A una altura media en cada pata existe un tornillo para fijar en la altura

deseada, finalmente en la parte inferior se encuentran unos regatones

metálicos puntiagudos provistos de estribus que permiten fijar firmemente al

suelo.

2.4.4. Puesta en estación del nivel de ingeniero. Se recomienda seguir los

siguientes pasos:

a) Se saca el protector de la cabeza del trípode, se abre la tapa de la caja del

instrumento y se observa detenidamente memorizando la posición en que

se encuentra dentro del estuche, para luego colocarlo encima de la

plataforma de nivelación sujetando con el tornillo de fijación chequeando

que el instrumento este correctamente sujetado.

b) Se abren los tornillos de sujeción de las patas del trípode y se levanta

hasta que el anteojo quede a la altura del ojo o la frente del operador. En

esta posición fijamos los tornillos y abrimos las patas (60 a 70 cm)

formando un triángulo de 60 a 70 cm de lado.

c) Observamos el nivel esférico y deslizando para arriba o abajo la pata que

señala la burbuja hacemos que pique una parte del reparo para

seguidamente con los tornillos de nivelación logramos que la burbuja

ingrese dentro del reparo utilizando la regla del índice derecho.

d) Finalmente se apunta el anteojo hacia la mira y antes de efectuar la lectura

se gradúa el ocular del anteojo a la dioptría del observador logrando la

cruz filar aparezca claramente, seguidamente aclaramos el objetivo (la

mira) y luego verificamos que se forme la parábola en el ocular de

meniscos luego con el tornillo tangencial logramos que la mira quede al

medio del hilo vertical de la cruz filar exigiendo al porta mira que verifique

la verticalidad de la mira para finalmente efectuar la lectura.

2.4.5. Definiciones prácticas empleadas.

a) Bench Mark (BM). Es el nombre convencional mundialmente conocido de

un punto de cota conocida, generalmente son placas circulares de bronce

que han sido colocados en sitios estratégicos (monumentadas)

b) Estación. Es un punto del terreno donde se estaciona el instrumento para

efectuar lecturas sobre la mira.

c) Punto de cambio (PC). Son puntos del terreno sólidamente firmes

(alcayatas, estacas, sapo) donde se coloca la mira para efectuar una vista

adelante y una vista atrás y posibilita trasladar el instrumento a otra

estación. Se recomienda que estos puntos sean pintados si se tratase de

pavimento o estacadas provisionalmente en los jardines o tierra si fuese el

caso; generalmente estos puntos deben desaparecer al concluir el trabajo

en gabinete.

d) Vista atrás (V+). Es aquella visual a la mira colocada en el sentido

opuesto al avance de la nivelación, se simboliza con (V+), porque siempre

se sumará a los valores de las cotas conocidas para determinar la altura

instrumental.

e) Vista adelante (V-). Son aquellas visuales que se hacen a la mira en el

sentido de la nivelación y es negativo (V-) porque siempre se resta a la

altura instrumental para hallar la cota del punto de referencia.

f) Altura instrumental (AI). Es la distancia vertical entre el eje de la

colimación del anteojo y el nivel medio del mar.

g) Vista intermedia (VI-). Son aquellas visuales que se realizan después de

haber efectuado una vista atrás y antes de efectuar una vista adelante,

simbolizando con (VI-) porque siempre se resta a la altura instrumental

para hallar la cota de los puntos intermedios y se anota en columna

aparte.

2.4.6. Equivocaciones comunes en la nivelación.

a) Lecturas incorrectas de la mira. Salvo que el operador del instrumento

sea muy cuidadoso, es probable que tenga errores ocasionales en la

lectura de la mira, por ejemplo, que lea 2.72 m en vez de 3.72 m. este tipo

de error ocurre con frecuencia cuando la línea de visual hasta la mira está

obstruida parcialmente por ramas, hojas, hierba, salientes del terreno ,etc.

b) Mover puntos de cambio. El portamira puede causar problemas graves si

mueve los puntos de cambio. El portamira sostiene la mira en un punto

mientras el operador del aparato toma la lectura adelante y después,

mientras se desplaza el nivel hasta una nueva posición, el portamira baja

la mira para hacer alguna otra cosa, la nueva ubicación de la mira puede

tener una cota completamente diferente.

c) Errores en los registros de campo. Cuando se comete errores en el

registro. Para evitar errores de suma o resta en los registros de nivelación,

se debe realizar con mucho cuidado la comprobación matemática.

d) Equivocaciones con la mira extendida. Cuando se toman errores sobre

la extensión de la mira, es necesario que las partes estén ajustadas de

manera correcta. De no ser así se cometerán errores.

2.4.7. Errores en la nivelación.

a) Cuando la mira no se coloca en posición vertical. Cuando se toma una

visual hacia la mira, el operador del instrumento puede observar si este se

encuentra inclinado hacia algún lado, utilizando el hilo vertical del

telescopio, y de ser necesario, puede hacer señales al portamira para que

coloque en forma vertical. Sin embargo el operador no puede saber si la

mira se acerca o se aleja del instrumento.

b) Instalación de la mira. Es necesario que la mira se coloque sobre un

punto firme y definido que se pueda asentar y que sea fácilmente

identificable, de manera que si el portamira debe ir a realizar otra actividad

puede después regresar al mismo punto.

c) Lodo, nieve o acumulación de hielo en la base de la mira. La falta de

cuidado del portamira puede provocar que la base de la mira tenga lodo,

nieve o hielo. Esto pude provocar graves errores en la nivelación.

d) Extensión incompleta de la mira alta. Frecuentemente se dañan las

miras al dejar que la parte superior de la mira se deslice hacia abajo con

rapidez, lo que provoca que se dañen las dos secciones. Como resultado,

se tienen errores en las lecturas del la mira alta y el portamira debe

revisar la extensión.

e) Longitud incorrecta de la mira. Si una mira tiene una longitud incorrecta,

se incurre en un error en las lecturas.

f) Las distancia de lecturas atrás (V+) y lecturas adelante (V-) no son

iguales. Si las distancias de las lecturas atrás y adelante se mantienen

iguales, estos errores se reducen de manera significativa.

g) La burbuja no está centrada en el nivel. Estos errores se reducen

sustancialmente si se revisa que la burbuja esté centrada antes y después

de las lecturas (los niveles automáticos se vuelven a nivelar por si mismos

cuando se desnivelan un poco).

h) Colocación del nivel. En el caso de instalar el nivel en terreno suave o

fangoso o sobre asfalto, se producirá cierto asentamiento del trípode.

Debe prestarse especial atención para seleccionar los sitios más firmes

para instalar el instrumento.

i) Desajuste del instrumento. El operador aprenderá a través de la

experiencia a hacer revisiones sencillas constantemente para ver que los

instrumentos estén ajustadas de forma correcta.

j) Enfoque inadecuado del telescopio (paralaje). Para evitar dicho error el

operador debe enfocar con cuidado la lente del objetivo hasta que observe

que la imagen y los hilos de la retícula estén exactamente en el mismo

sitio, esto es, hasta que no se mueva uno con respecto a otro cuando se

mueva el ojo de un lado a otro. Se evitará así el paralaje.

k) Ondas de calor. En días calurosos y soleados se puede reducir

sustancialmente la precisión del trabajo debido a las ondas de calor que

emanan del terreno, pavimento, edificios, tuberías, y otros objetos.

Algunas veces estas ondas son tan intensas que producen grandes

errores en las lecturas de la mira.

l) Viento. Los vientos fuertes producen errores accidentales porque pueden

sacudir el instrumento a tal punto que sea difícil mantener centrada la

burbuja.

2.4.8. Señales con las manos. En todo tipo de levantamientos es esencial que

todos los componentes de la brigada mantengan una buena comunicación

entre ellos. En muchas ocasiones los gritos no son la forma más práctica de

comunicación. Cuando no se cuenta con sistema de intercomunicación por

radio, es indispensable tener una serie de señales hechas con las manos que

sean claramente identificables por cualquier persona de la brigada. A

continuación se presentan las señales con las manos más comunes:

a) Poner a plomo la mira. Se levanta un brazo sobre la cabeza y se mueve

lentamente en la dirección que se debe inclinar la mira.

b) Bombear (balancear) la mira. El operador sostiene un brazo arriba de su

cabeza y lo mueve de un lado a otro.

c) Mira alto. Para hacer la señal de extender la mira, se extienden los brazos

horizontalmente y se juntan sobre la cabeza.

d) Subir la mira al rojo. Cuando se toman visuales cortas, en ocasiones las

graduaciones rojas de metros no entran dentro del campo visual del

telescopio, por lo que la señal de subir al rojo el operador pide que se

levante la mira hasta que pueda determinar la graduación correcta de

metros. Se extiende un brazo hacia el frente con la palma de la mano

hacia arriba y se levanta una corta distancia.

e) Correcto. Se extienden los brazos en forma horizontal y se mueven hacia

arriba y hacia abajo.

f) Mover el instrumento. El jefe de la brigada puede hacer esta señal

cuando desee cambiar el instrumento a una posición. Se levantan las

manos repetidamente desde abajo, como cuando se levanta un objeto.

g) Subir la mira. Si se levanta una mano por encima del hombro con la

palma de la mano visible, significa que se debe subir la mira.

h) Bajar la mira. Bajar la mano por debajo de la cintura significa que se debe

bajar la mira.

i) Asegurar la mira. Mientras mantiene un brazo horizontal, el operador

mueve su mano describiendo círculos verticales. Esto significa que se

debe fijar la mira.

2.4.9. tipos de nivelación geométrica:

A) Nivelación geométrica simple. Es aquella nivelación que permite

encontrar el desnivel entre dos puntos topográficos estacionando el nivel

en una sola estación desde donde son visibles los dos puntos

recomendando que el instrumento esté en posición intermedia.

La distancia nivel – mira no debe sobrepasar 120 m.; sin embargo es

recomendable trabajar con una distancia máxima de 50 m.

B) Nivelación recíproca. Se utiliza cuando se desea comprobar si el eje

óptico del anteojo del nivel es paralelo a la directriz del nivel tubular o

cuando no es posible colocar el instrumento en un lugar intermedio entre

dos puntos de la mira, ya sea porque se interponga un obstáculo (rio,

pantano, etc.)

Cota de B= 3100+(1.51-2.12)= 3099.39 msnm.

Cota de B=3100+(0.64-1.23)= 3099.41 msnm.

Por consiguiente la cota buscada será el promedio:

Cota de B= (3099.39+3099.41)/2= 3099.40 msnm.

C) Nivelación compuesta. Es cuando el desnivel entre dos puntos no puede

determinarse de una sola estación, porque están muy alejados o el

terreno es demasiado accidentado, por tal razón tendremos que efectuar

una serie de nivelaciones simples y se recomienda llevar la libreta de

campo en la siguiente forma:

Comprobación de una nivelación geométrica.

∑¿

18.062−18.072=3599.990−3600.000

−0.010=−0.010

Comprobación de la nivelación propiamente dicho:

a) Cuando solo sea conocido un BM. Se utiliza cuando el objetivo

es determinar la cota de uno o varios puntos específicos, partiendo

de una cota conocida. Para ello es necesario realizar la nivelación

tanto de ida como de regreso.

Teóricamente la cota inicial debe ser exactamente igual a la cota

final, dado que es el mismo punto, en la práctica siempre existe una

diferencia entre dichas lecturas; a esta diferencia se le conoce

como error de cierre altimétrico, su aceptación dependerá de la

precisión que se busca.

b) Cuando se conozcan dos BMs. Generalmente se utiliza cuando el

objetivo es determinar la configuración altimétrica del terreno a lo

largo de una línea definida planimetricamente y que se enlaza los

puntos dados, para ello es necesario realizar la nivelación de ida

solamente.

Teóricamente la cota final calculada, debe ser exactamente igual a

la cota final conocida, dado que es el mismo punto; en la práctica,

siempre existe una diferencia entre dichas lecturas el cual es

conocido como error de cierre altimétrico.

Ejemplo.

Si se conoce la cota de A=2100 msnm; cota B=2101.60 msnm.

Mediante una nivelación compuesta, partiendo de la cota de A, se

determina la cota de los puntos que muestra la tabla. Sabiendo que

la longitud del itinerario es 800 m y asumiendo que el máximo error

tolerable en metros es: EMax= 0.02√k ¿Es aceptable la nivelación?

∑ ¿¿

11.170-9.580 = 2101.590-2100.00

1.59 = 1.59 ok.

Comprobando la nivelación:

E= Cota real de B – Cota calculado de B

E= 2101.60 – 2101.59 = 0.010 m.

EMax=0.02√0.800=0.018

E < EMax 0.010<0.018 es aceptable la nivelación.

Precisión de una nivelación compuesta. Está en relación directa al

objetivo que se persigue; si se quiere realizar un levantamiento

preliminar, no justificaría usar un equipo de alta precisión por cuanto

llevaría consigo una mayor inversión económica. No obstante es

necesario tomar ciertas precauciones como:

- Revisar y ajustar el instrumento antes de usarlo.

- No apoyarse en el trípode y/o nivel.

- No instalar el equipo en zonas de posible vibración.

- Tratar de nivelar en climas templados, dado que una alta o baja

temperatura dilata o contrae respectivamente la mira además de

afectar al equipo.

- Evitar trabajar en épocas de viento y/o lluvias.

Sin embargo por más cuidado que se tenga es imposible evitar la

presencia de errores accidentales.

Es posible cuantificar la precisión mediante el error máximo tolerable.

El valor de dicho error está en función de los siguientes parámetros:

- Error kilométrico (e) máximo error accidental del instrumento en

un itinerario de 1 kilometro.

- Número de kilómetros (k) la distancia en kilómetros del itinerario.

EMax=e√kDonde:

EMax , error máximo tolerable (m)

e, error kilométrico (m)

k, número de kilómetros del itinerario.

EMax=±0.10√k Nivelación aproximadaSe usa en reconocimiento o levantamientos preliminares (visuales

de hasta 300m).

EMax=±0.02√k NivelaciónordinariaSe usa en trabajos de caminos, carreteras, ferrocarriles, trabajos

comunes de topografía (visuales de hasta 150m).

EMax=±0.01√k Nivelación precisaSe usa en la determinación de los BM, elaboración de planos

catastrales en trabajos de cartografía (visuales de hasta 100m).

EMax=±0.004√k Nivelación dealta precisiónSe usa en la determinación de BM muy distanciado entre ellos,

trabajos de geodesia de primer orden (visuales de hasta 100m)

Compensación de errores en una nivelación geométrica.

Cuando en un circuito de nivelación la discrepancia está dentro del

error máximo permisible, se procede a repartir el error de cierre total en

cada una de las cotas de los puntos intermedios, dado que estos llevan

consigo cierto error accidental.

En el caso que el error de cierre altimétrico supere el valor del error

máximo permisible, habrá que repetir el trabajo de campo.

a) En un itinerario cerrado. La compensación podemos hacer una

distribución proporcional a la distancia recorrida aplicando una

simple regla de tres simple y esta corrección determinada adicionar

cuando la discrepancia es por defecto y quitar cuando es por

exceso.

C i=ai∗ECdt

Donde:

Ci, compensación en el punto i

ai , distancia acumulada del punto inicial al punto i

Ec, error de cierre total

dt, distancia total del itinerario.

343.30 m 0.10

40.00 m X

C1=40∗0.01343.30

=0.001

C2=100∗0.01

343.30=0.003

b) En un itinerario abierto. El procedimiento es similar al itinerario

cerrado.

Ejemplo: el siguiente croquis y la tabla respectiva, muestra los datos

de una nivelación abierta, si se requiere una nivelación ordinaria; se

pide realizar la compensación de cotas.

Nivelación de perfil o radial. Tiene la finalidad de determinar los

diferentes puntos significantes a lo largo de una observación

determinada con la finalidad de delinear el perfil del trazo ya sea para

carretera, ferrocarril, canal de irrigación, etc.

El procedimiento para encontrar el perfil de un terreno consiste en:

- Determinar el alineamiento y se empieza a poner estacas cada 20,

30, 50 metros y se llama puntos principales y se anotaran:

Cuando las estacas base se definen por el punto hectométrico.

Se inicia con el hectómetro cero (0+00,00), los puntos intermedios

se designan por la numeración del hectómetro inmediatamente

anterior mas la distancia en metros que la separa de aquel.

Ejemplo: 0+00, 0+20 (equivale a 20 metros), 1+00,00, 1+20

(equivale a 120 metros)

Cuando las estacas base se definen por el kilometraje:

Los puntos que obedecen la secuencia constante, están denotados

por un número que representa las decenas de metros; así: 02,

significa su ubicación en el eje de las abscisas es 20 m. Ejemplo

kilómetro 180+02 significa que su ubicación en el eje de las

abscisas es el km 180+20 metros.

- Se estaciona el nivel en un punto desde el cual se observe el mayor

número de puntos intermedios; esta estación puede estar fuera del

alineamiento, luego se visa atrás a un punto de cota conocida, se

obtiene la vista atrás (V+) y se halla la altura instrumental AI

seguidamente se efectúan visuales sobre todo los puntos

principales y los puntos significativos del terreno que definen el

perfil, anotando sus distancias 0+22.5.

- Los valores de cada VI se resta de la altura instrumental y

obtenemos la cota de cada punto, cuando llegamos a un punto

extremo desde el cual no es posible efectuar más lecturas se

cambia de estación y se busca un cambio o un punto de cambio

que puede estar fuera del alineamiento.

- En este punto se hace una vista atrás (V+) y se continua la

nivelación siguiendo la mecánica descrita anteriormente.

Métodos para la construcción de perfiles longitudinales.

Método directo. Es más preciso respecto al indirecto, se puede

obtener mediante una nivelación geométrica ó trigonométrica (basado

en la taquimetría).

En la nivelación geométrica se presentan dos casos.

a) Cuando existen varios BMs. se recomienda trabajar por tramos,

para de esta forma verificar que el error de cierre no sobrepase al

tolerable.

Se estaca los puntos a nivelar

Se nivela los puntos estacados

Se calcula el error de cierre

Se verifica Ec<EMax = e √kEn caso que el error de cierre sea menor que el tolerable, se

procede a compensar el error en todos los puntos nivelados. A

continuación se realiza la misma operación en el siguiente tramo.

b) Cuando solo se cuenta con el BM del primer punto.

En este caso se hace necesario realizar el recorrido de ida y vuelta

para verificar la precisión.

Se estaca los puntos a nivelar

Se nivela los puntos estacados

Se cierra el circuito, el recorrido de regreso puede realizarse por

cualquier camino.

Se verifica el error de cierre con el error permitido.

En caso que el error de cierre sea menor que el tolerable se

procede a repartir dicho error en los puntos nivelados.

Ejemplo. Se tiene una poligonal cerrada con cinco puntos de

control estacados de la forma como se muestra, si el único BM es

el que corresponde al punto A 3109.213 msnm se pide dibujar el

perfil longitudinal.

Fenómenos físicos que afectan una nivelación. Cuando se quiere

determinar el desnivel entre dos puntos separados a una distancia

considerable hay que tomar en cuenta el error que proviene de:

a) Influencia de la curvatura terrestre. Si la distancia entre dos puntos

es pequeña la línea que los une se puede considerar tangente, pero

si es grande es imprescindible tomar en cuenta la curvatura de la

superficie de nivel. En la actualidad para efectuar nivelaciones en

ingeniería, se hacen uso de instrumentos ópticos que permiten

visualizar toda una horizontal sin importar la distancia.

Si A y B están separados por una distancia considerable, el plano

horizontal y su respectivo nivel instrumental provocan un error de

lectura.

Cota B = Nivel instrumental + Ec - lectura visualizada

Cota B = (Nivel Instrumental – lectura visualizada) + Ec

Ec=+D2

2R

Donde:

Ec, Error por curvatura terrestre

D, distancia horizontal entre los puntos

R, radio terrestre.

b) Influencia de la refracción atmosférica. En nivelación, el rayo que

sale del anteojo del nivel y que se dirige a la mira, sufre refracción,

debido a que en su viaje tiene que atravesar diferentes capas de aire

de diversas densidades, ello hace que dicho rayo se vaya refractando

en cada una de ellas, resultando curvilíneo.

Cota B = nivel instrumental – ER - lectura visualizada

Cota B = (Nivel instrumental – lectura visualizada) – ER

Por lo que se deduce que la corrección por refracción siempre es

negativa.

ER=−D2

14 R

Donde:

ER, error por refracción

D, distancia horizontal entre los puntos

R, radio terrestre.

Cuando se realiza una nivelación entre dos puntos separados por una

distancia considerable hay que tener en cuenta el error de nivel

aparente, que viene a ser la suma algebraica del error por curvatura y el

error por refracción.

C=EC+ERC= D2

2 R+−D2

14 RC=6D2

14 R

Comprobación y ajustes de nivel

a) Perpendicularidad entre el eje del nivel tubular y el eje vertical.

Se centra la burbuja del nivel tubular con toda precisión y se gira

180° alrededor de su eje vertical.

Si el nivel esta corregido la burbuja permanece siempre dentro de

sus reparos.

Si el nivel esta descorregido se produce corrimiento en la burbuja

que es igual al doble del error.

Por consiguiente la corrección que hay que aplicar es un arco cuyo

ángulo correspondiente es Ɵ y para ello con los tornillos obturados

se hace que la burbuja corra la mitad de su distancia al punto

medio del nivel y la otra mitad se recorre utilizando los tornillos de

nivelación.

Se vuelve a nivelar el instrumento con los tornillos nivelantes y se

repite la operación hasta conseguir el calado permanente de la

burbuja o sea no se mueva al girar 180°

b) Perpendicularidad entre el hilo vertical y el eje horizontal. Se

busca que exista horizontalidad del hilo horizontal cuando el

instrumento esta nivelado.

Se estaciona y se nivela correctamente el instrumento y con el

anteojo se enfoca el hilo horizontal sobre un punto fijo P y se hace

girar el anteojo lentamente alrededor del eje vertical.

Si el punto se observa que se traslada sobre el hilo quiere decir que

el instrumento está bien.

Si el punto P se aparta del hilo y se sitúa en una posición P’ en la

parte opuesta del campo visual hay que corregir.

Para corregir se aflojan 2 tornillos consecutivos y se gira el retículo

hasta que en un nuevo ensayo se vea al punto correr el hilo

horizontal en toda su extensión.

c) Paralelismo entre el eje de colimación del anteojo y el eje del

nivel tubular. Se busca un terreno casi llano y se clavan dos

estacas ubicadas entre 60 a 90 sobre las cuales se instalan dos

miras (correctamente verticales).

Se estaciona el instrumento muy cerca a la mira colocada en la

estaca A (10 cm) y con la ayuda de un lápiz se lee o se hace la

lectura en la mira “a”, luego se lee “b” en la mira colocada en la

estaca B.

Se traslada el instrumento y se estaciona muy cerca casi tocando a

la mira colocada en la estaca B y se lee “c” y luego se hace la

lectura “d”.

Si llamamos e=dd’ (error) del eje de colimación veremos que el

verdadero desnivel desde A=a-(b-c) y cuando el instrumento este

en B el verdadero desnivel desde B= (d-e)-c

Sumando tenemos:

Verdadero desnivel=a−b+e+d−e−c

2=

(a−b )+(d−c )2

Si a-b es igual d-c quiere decir que esta correcto o el eje de

colimación esta corregido.

La corrección se lleva acabo moviendo el retículo verticalmente

hasta que la visual corte a la mira en d’ y se repite esta operación

hasta comprobar la exactitud de la corrección.

Nivelación indirecta. Este método se basa en el uso de un

instrumento u operación matemática mediante el cual se calcula

indirectamente el desnivel entre dos puntos.

a) Nivelación trigonométrica. Los instrumentos básicos son:

Eclímetro, teodolito y la estación total.

Hasta el momento no se ha descrito los componentes y el uso del

teodolito y la estación total nos limitaremos a explicar en términos

generales el método para nivelar postergando su explicación

detallada en taquimetría.

MEDIDAS DE ANGULOS Y DIRECCIONES

Ángulos horizontales. Angulo horizontal es la abertura formada por dos líneas que

parten de un mismo punto.

Clase de ángulos horizontales

a) Angulo a la derecha. Se caracteriza por medirse en el sentido de las agujas del

reloj (sentido horario) partiendo del alineamiento que une el punto de estación

(PE) con el antecesor A hasta llegar al alineamiento que une el PE con el

posterior B.

b) Ángulos de deflexión. En un punto de estación o vértice es el que se genera

por la prolongación del alineamiento anterior con el siguiente:

- Si el sentido del ángulo es horario, se denota con la letra D y se le asume

signo positivo.

- Si el sentido del ángulo es anti horario se denota con la letra I y se le asume

signo negativo.

c) Ángulos interiores. En una poligonal cerrada los ángulos que quedan dentro

entre dos alineamientos se llaman ángulos interiores y su valor debe ser:

∑ De los ángulos interiores= 180°(n-2)

Angulo vertical. Es el ángulo que forma la línea vertical con la línea de referencia.

a) Cenit (z). es aquel punto de encuentro entre la vertical superior de un observador

y el infinito, cuya lectura 0°00’00” del circulo vertical, está dirigido al cenit (hacia

arriba).

b) Nadir (n). es aquel punto de encuentro entre la vertical inferior de un observador

y el infinito, cuy a lectura 0°00’00” del circulo vertical, está dirigido al nadir (hacia

abajo)

Medida de direcciones. La dirección de una línea recta, está determinada por el

ángulo horizontal que forma respecto a un sistema de coordenadas establecido

convencionalmente.

Comúnmente la dirección de una línea de referencia se determina mediante el

rumbo y el acimut.

a) Rumbo. Se define como el ángulo más pequeño que forma esa línea con el

meridiano de referencia. Su valor no puede exceder de 90°. Los rumbos se

miden en referencia a los extremos norte o sur del meridiano y se colocan en

uno de los cuadrantes, por lo que tienen valores con direcciones como NE, NW,

SE o SW.

De acuerdo con el tipo de meridiano de referencia que se emplea, los rumbos

son astronómicos, magnéticos o supuestos. Es correcto decir que el rumbo de

la línea es N90°E, pero es más común decir que tiene la dirección este.

b) Azimut. El azimut de una línea se define como el ángulo medido en el sentido

de las manecillas del reloj desde el extremo norte o sur del meridiano de

referencia hasta la línea en cuestión. En los levantamientos ordinarios, los

azimuts se miden por lo general con respecto al norte del meridiano. En

ocasiones, en algunos proyectos geodésicos y astronómicos los azimuts se

miden a partir del extremo sur del meridiano, en sentido contrario al de las

manecillas del reloj.

Cada línea tiene dos azimuts (directo e inverso) sus valores difieren 180° entre

sí, dependiendo del extremo de la línea que se está considerando. Los azimuts

son astronómicos, magnéticos o supuestos.

Definiciones generales.

a) Eje polar geográfico. Es la recta que pasa por el centro de la tierra y entorno a

la cual esta ultima realiza su movimiento de rotación. Esta línea corta a la

superficie terrestre en dos puntos: Polo Norte Geográfico (PNG) y Polo Sur

Geográfico (PSG)

b) Ecuador terrestre. Es el circulo máximo perpendicular al eje geográfico; dicho

plano divide a la tierra en dos zonas: hemisferio norte y hemisferio sur

c) Magnetismo terrestre. La tierra se comporta como un imán gigante. Cuando

se cuelga una barra de imam de su punto medio, esta se orienta

aproximadamente en la dirección del polo norte – sur geográfico de la tierra. La

parte del imán que se dirige hacia el polo norte geográfico recibe el nombre de

polo norte (N) y la parte que se dirige hacia el polo sur geográfico se denomina

polo sur (S), como la tierra es considerado como un imán, esta tiene sus polos

norte y sur magnéticos, que son diferentes a sus polos norte y sur geográficos.

d) Declinación magnética. Es el ángulo horizontal que forman las meridianas

geográficas y magnéticas en un punto. La declinación magnética es diferente

en cada lugar de la tierra y variable respecto al tiempo en un mismo punto

debido al cambio continuo de la meridiana magnética. En periodos de

aproximadamente de 150 años existe un inexplicable desplazamiento gradual

en los campos magnéticos terrestres, primero en juna dirección y después en la

otra hasta completar el ciclo en el periodo de los 160 años siguientes.

FALTA AGREGAR Brújula. Es un instrumento magnético que sirve para medir rumbos y acimuts

(meridiana magnética que pasa por un punto). Está constituida por una caja metálica no magnética en cuyo interior se aloja una aguja imantada apoyada en su centro de gravedad sobre un pivote, el cual a su vez se ubica en el centro de un limbo graduado (transportador) y tiene las siguientes partes:- Caja - Limbo- Contra peso- Aguja imantada- Seguro- Alza y guion (que define la línea de mira)- Vidrio de protección - Pívot

Clases de brújulas. a) Brújula de topógrafo. Este instrumento va montado sobre un trípode y en

algunos modelos sobre un bastón, hoy en día tiene poca divulgación debido a que su uso se inclina más como un taquímetro que como brújula.

b) Brújula declinatoria. La aguja magnética puede estar dentro de una caja rectangular o cilíndrica, van montadas comúnmente sobre un teodolito o estación total. Sirve únicamente para encontrar la línea NS (norte sur) y su rango de giro es aproximadamente de 10°E o 10°W y sirve para orientar los alineamientos con respecto al NM.

c) Brújula de bolsillo. Los más conocidos son los del tipo Brunton. Se caracteriza porque puede ser tomado con la mano para efectuar la medida de ángulos y direcciones por lo que sus lecturas no son muy precisas por la poca estabilidad de la mano del operador y se emplea en trabajos de reconocimiento.

Levantamientos con brújulas. Para lo que las lecturas angulares no son muy precisas este instrumento tiene algunas ventajas.

- Que al efectuar lecturas directas e inversas de un alineamiento se elimina toda posibilidad de atracción local.

- El error que se comete en un vértice no se propaga a los demás vértices y los levantamientos se pueden efectuar por los siguientes métodos:

a) Radiación. Se realiza en terrenos pequeños y llanos instalando la brújula en un punto central y haciendo observaciones a los vértices notables determinando los rumbos y distancias.b) Poligonación. Este método se emplea en terrenos de mediana magnitud y de forma irregular y consiste en unir con alineamientos rectos los vértices de un polígono de apoyo.

Compensación de poligonales. Al hacer un levantamiento de una parcela con una brújula ya sea abierta o cerrada necesariamente debemos hacer una compensación de ángulos para eliminar la atracción local, el mismo que se hace tomando en cuenta las siguientes consideraciones:- Cuando el rumbo de una línea tomada desde el punto inicial es igual al rumbo

inverso más 180° se dice que en los puntos extremos no hay atracción local.

- Todos los puntos tomados desde una misma estación están afectados en una misma cantidad por la atracción local y los pasos que se siguen para realizar esta compensación es:1) Se calcula el rumbo de cada alineamiento en cada una de las estaciones.2) Se calcula en cada vértice el ángulo interior y la suma de estos ángulos debe

ser igual a 180°(n-2) donde n el número de vértices.3) El error de cierre se supone que está repartido por igual en cada uno de los

ángulos interiores y no debe ser mayor de 5’ n o 10’n dependiendo del grado de precisión.

4) Finalmente los rumbos se compensan partiendo del lado considerado más exacto y calculando los rumbos de los lados siguientes por medio del ángulo ya corregido.

Al hacer un levantamiento de un terreno con brújula se obtuvieron los siguientes datos. En la poligonal se pide realizar el ajuste.

III UNIDAD: Medición de distancias, taquimetría

3. Taquimetria. O taqueometria significa mediciones rápidas, que permite obtener de

manera simultanea de forma indirecta la distancia horizontal y el desnivel entre dos

puntos. Se utiliza en trabajos de poca precisión tales como:

- En trabajos preliminares.

- En la determinación de puntos estratégicos de detalles o rellenos topográficos.

- En levantamientos de curvas de nivel.

- En la comprobación de mediciones de mayor presición.

Los instrumentos que actualmente se utilizan son: el teodolito, estación total, GPS

navegador y el GPS diferencial

3.1.Teodolito. Es un instrumento universal que permite medir angulos horizontales ,

angulos verticales, distancias estadimétricas, prolongar alineamientos, determinar

puntos intermedios, etc. también se le denomina con el nombre de transito por que

el ocular tiene la posibilidad de transitar o girar a traves de un eje horizontal.

Existen muchísimas clases y marcas de teodolitos desde los antiguos fabricados en

1800 hasta los más modernos; todos por lo general constan de 3 partes. La

alidada, el tren de nivelación y el trípode.

En la alidada se encuentran los limbos vertical y horizontal que permiten medir los

angulos reflejados por un espejo a un ocular; también se encuentra el anteojo que

tiene un ocular y un objetivo a traves de la cual se puede apreciar las imágenes ,

este anteojo puede girar una vuelta completa alrededor de su propio eje. Estos

instrumentos están provistos de unos tornillos tangenciales que permiten realizar

movimientos finos y lentos ya sea horizontal o verticalmente. Algunos instrumentos

tienen doble limbo horizontal y de llaman teodolitos repetidores y permiten

acumular la magnitud de los angulos observados, algunos instrumentos traen un

solo limbo horizontal y se llaman teodolitos reiteradores.

Cada instrumento tiene ubicado sus tornillos en lugares estratégicos.

El tren de nivelación está compuesto por una plataforma con un tornillo de sujeción,

3 tornillos nivelantes y un nivel esférico.

El trípode es similar al del nivel y pueden ser de aluminio o una convinación de

metal y madera.

3.1.1. Modo de estacionar un teodolito. Cada marca tiene su propia

particularidad de estacionar y por lo general se recomienda seguir los

siguientes pasos:

- Abrir el estuche del instrumento y observar detenidamente su posición

con la finalidad de guardarlo sin dificultad al finalizar el trabajo.

- El instrumento se coloca y sujeta firmemente en la plataforma del trípode

liberando las patas hasta que el anteojo alcance aproximadamente la

altura del operador, asegurar el movimiento de las patas del trípode y

abrir uno 60 – 70 cm tomando como eje la estaca en esta posición el

anteojo debe quedar a la altura del eje del observador.

- Algunos teodolitos traen un regaton que se coloca encima de la tachuela

de la estaca, otros tienen un colgador para plomada, otros traen un ocular

de plomada optica por tal razon será basico el entrenamiento del operador

que se identifique con el aparato que está usando y sistematizar su labor

para que el eje vertical quede justamente encima de la tachuela.

- El instrumento se nivela primeramente con el tren de nivelación

valiendonos del nivel esférico con la ayuda del movimiento vertical de las

patas y de los tres tornillos nivelantes (similar al del nivel) seguidamente

nivelaremos la alidada en función del nivel tubular con la ayuda de los tres

tornillos nivelantes, siguiendo la regla del indice derecho para lo cual la

burbuja tubular se coloca paralelo a dos tornillos nivelantes y se centra

para luego girar 90° y centrar con el tercer tornillo nivelante.

- Antes de efectuar las lecturas debemos regular a la dioptria del ojo del

observador aclarando los hilos reticulares y luego aclarar la imagen con

el tornillo de enfoque evitando de esta forma el problema del paralaje.

3.1.2. Medida de distancias. Una de las operaciones principales es medir

distancias, el cual se realiza con teodolito taquimétrico, autoreductor y con

la ayuda de algunos dispositivos (EDM) también con la ayuda de estadia

de invar.

3.1.3. Medida de angulos varticales. El limbo vertical del teodolito tiene una

graduación de 0 a 360°, cuando el cero está arriba se llama zenital y

cuando el cero esta abajo nadiral del cual se desprende que el angulo

vertical hay que deducirlo de la ubicación del 0° que puede ser de

depresión o elevación, para determinar el angulo vertical despues de

estacionar correctamente el teodolito se mide la altura instrumental

(estaca-eje horizontal del anteojo) en esta misma altura se hace coencidir

el hilo horizontal en la mira con la ayuda del tornillo tangencial vertical

´acto seguido se lee el angulo vertical aproximando a minuto y segundo

utilizando el tornillo micrométrico.

3.1.4. Metodos planimétricos con teodolito. Para efectuar un levantamiento

topográfico, es necesario conocer el objetivo del trabajo final, ello

permitira definir la precisión que se necesita y por ende el método y los

equipos mejores apropiados para el caso.

A) Método de radiación. Consiste en una red de apoyo constituida por

un solo punto de control de coordenadas conocidas. El punto de

control debe ser el centro de la figura geométrica por levantar

(teóricamente) , luego determinar alguna de las meridianas desde el

punto de control y con la ayuda del teodolito y con el eje de colimación

coincidente con la meridiana respectiva se miden los acimuts de las

lineas radiales.

B) Metodo de intersección. Se emplea para efectuar levantamientos

topográficos de terrenos de mediana magnitud que consiste en

determinar dos estaciones, desde las cuales se pueden ver el

conjunto de puntos que se desea localizar, la recta que une estas dos

estaciones se le conoce como base y debe ser medido con la mayor

precisión posible, es necesario conocer las coordenadas de uno de

los puntos de la base.

C) Poligonación. Llamado también método de los itinerarios, consiste en

determinar los detalles del terreno empleando puntos fijos de los

vertices de una poligonal que se denominan estaciones y pueden ser

poligonales abiertas y cerradas.

Este metodo se emplea cuando se trata de terrenos grandes y/o

existen obstaculos (edificaciones, bosques, etc.) y requerimos

mostrar las depresiones y elevaciones del terreno.

Consiste en identificar en el terreno un polígono que abarque los

linderos del terreno y desde las cuales podemos tomar los puntos

necesarios o de relleno para determinar con precisión el area y

linderos del terreno.

El procedimeinto consiste en:

- Estacionar el instrumento en el vertice A desde donde se mide el

azimut del lado AB y su distancia.

- Se traslada el instrumento a la estación B y se determina el ángulo

ABC y se mide BC.

- Seguidamente se hace el mismo procedimiento hasta concluir con

todo los lados y volver al punto A.

- Todo teodolito mide los angulos en el sentido horario es decir

angulos a la derecha por tal razón los angulos que se determinaron

serán angulos interiores si se recorre en el sentido antihorario y

serán angulo exteriores cuando el recorrido sea en el sentido

horario.

3.1.5. Cálculo y ajuste de la poligonal. Al realizar la medición de ángulos y

distancias siempre estamos sujetos a cometer error, por tal razón

debemos efectuar los ajustes de las cotas de los vertices, de los angulos

y de los lados.

a) Ajuste de cotas. Al realizar una nivelación de los vertices en circuito

cerrado ya sea geométrica o trigonométrica (nivel o teodolito) existirá

una discrepancia de cotas la misma que se corregirá como se indicó

en nivelación geométrica.

b) Ajuste de angulos. Si la poligonal se ha recorrido en el sentido

horario la suma de los angulos exteriores debe ser 180°(n+2) y si

hemos recorrido en el sentido antihorario la suma de los angulos

internos debe ser 180°(n-2) donde n es el numero de vertices.

Por lo general siempre vamos a tener una discrepancia con la suma

de los angulos medidos y se llamará error de cierre en ángulo la

misma que debe ser menor que la cantidad máxima permisible en las

especificaciones de precisión, si la discrepancia es mayor de los

límites permicibles necesariamente habra que volver a realizar el

trabajo de campo.

c) Ajuste de lados. Una vez corregido los ángulos se calcula los

azimuts de los lados de la poligonal partiendo del azimut conocido se

calcula el azimut inverso ( sumando 180° para el sentido antihorario y

restando 180° para el sentido recorrido en el sentido horario) a este

valor se le suma el ángulo en el vértice y asi se obtiene el azimut del

lado siguiente, este cálculo se repite sucesivamente hasta volver a

calcular el azimut de partida, lo cual sirve para comprobar y si no

coencide exactamente es porque hemos cometido un error de

operaciones matemáticas. A continuación los azimuts encontrados se

convierten en rumbos con la finalidad de calcular las proyecciones

ortogonales de cada lado llamado también coordenadas parciales.

Coordenadas parciales. Del valor de ángulo de cada rumbo se

determina su seno y coseno que multiplicado por su longitud da

su proyección sobre el eje de la abscisa (este – oeste) y sobre el

eje de las ordenadas (norte – sur) respectivamente.

E−O=d seno R

N−S=d cosenoR

La suma de las proyecciones este – oeste =0

La suma de las proyecciones N – S =0

Debido a pequeños errores en la determinación de los ángulos y

distancias y al haber repartido en partes iguales el error de cierre

en ángulo, las anteriores igualdades no se cumplen exactamente,

por lo tanto al graficar no se llegará al punto de partida sino a otro

punto. Existen varios métodos para repartir este error:

- Regla del tránsito. La corrección C se hace a cada proyección y

es igual a la relación entre el error de dicha proyección y la suma

de las proyecciones en el mismo eje.

Para la proyección N – S

C= ∂NS

∑ N+∑ S∗la respectiva proyección

Para la proyección E – O

C= ∂EO

∑ E+∑O∗la respectiva proyección

Para las proyecciones cuya suma a dado mayor, la corrección es

negativa y para la que ha dado menor la corrección es positiva,

este método se emplea cuando se asume que los ángulos han sido

medidos con mayor precisión que la distancia.

- Regla de la brújula o de Bowditch. La corrección C se hace a

cada proyección, es igual al error total de la proyección en un

determinado sentido entre la longitud total de la poligonal

multiplicado por cada uno de sus lados.

Para la proyección N – S

C=∂NSP

∗cada lado de la poligonal

Para la proyección E – O

C=∂EOP

∗cada ladode la poligonal

El signo de la corrección sigue el mismo método anterior. Este

método se emplea cuando asumimos que el error se debe a la

influencia de pequeños errores accidentales cometidos tanto en la

medición de distancias como de ángulos.

Calculo de coordenadas absolutas