Topologia Algebraica Fundamentos

GUSTAVO

RUBIANO

Fundamentos de[Topologıa Algebraica]

GUSTAVO

RUBIANO

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RUBIANO

Fundamentos de[Topologıa Algebraica]

Gustavo N. Rubiano O.Profesor Titular

Universidad Nacional de ColombiaFacultad de Ciencias

Sede Bogota

GUSTAVO

RUBIANO

vi, 235 p. : 102 il. 00ISBN 958-701-613-0

1. Topologıa Algebraica

Gustavo N. Rubiano O.

Fundamentos de Topologıa Algebraica, 1a. edicion.

Universidad Nacional de Colombia, Sede Bogota.Facultad de Ciencias, 2007

Mathematics Subject Classification 2000: 55-01.

c© Edicion en castellano: Gustavo Nevardo Rubiano OrtegonUniversidad Nacional de Colombia.

Diagramacion y diseno interior en LATEX:Gustavo Rubiano

Graficas interiores: el autor.

Primera impresion, 2007

Impresion:Pro-Offset Editorial S.A.Bogota, D. C.COLOMBIA

GUSTAVO

RUBIANO Indice general

Prologo V

1. Conjuntos 1

1.1. Operaciones entre conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2. Funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.3. Relaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.3.1. Relacion de equivalencia . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.3.2. Relacion de orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.4. Cardinalidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2. Algebra 8

2.1. Grupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.2. Homomorfismos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.3. Subgrupo normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.3.1. Factorizacion de homomorfismos . . . . . . . . . . . . 13

2.4. Grupos cıclicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.5. Grupos generados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.5.1. El subgrupo conmutador . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.6. Construccion de nuevos grupos . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.7. Grupos libres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.7.1. Grupos libres abelianos . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

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ii INDICE GENERAL

2.7.2. Representacion de grupos libres . . . . . . . . . . . . . 21

2.8. Producto libre de grupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.8.1. Producto amalgamado de dos grupos . . . . . . . . . . 24

3. Topologıa 25

3.1. Construccion de espacios topologicos . . . . . . . . . . . . . . 26

3.1.1. Suma topologica o topologıa de la union libre . . . . . 26

3.1.2. Topologıa cociente o identificacion . . . . . . . . . . . 30

3.2. Grupos topologicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

3.2.1. G-espacios y espacios orbita . . . . . . . . . . . . . . . 56

3.3. Espacios de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

3.3.1. La topologıa punto–abierto . . . . . . . . . . . . . . . 61

3.3.2. La topologıa compacto–abierto . . . . . . . . . . . . . 63

3.3.3. ¿ZX×Y ≈ (ZY )X? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

3.4. Conexidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

3.4.1. Subespacios conexos maximales . . . . . . . . . . . . 71

3.5. Caminos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

3.5.1. Conexo por caminos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

3.5.2. Componentes conexas por caminos . . . . . . . . . . . 75

3.5.3. Localmente conexo por caminos . . . . . . . . . . . . . 76

4. Homotopıa 78

4.1. Deformacion continua de una funcion . . . . . . . . . . . . . . 78

4.2. Caminos homotopos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

4.2.1. El conjunto Π0(Ω(X, x0)) . . . . . . . . . . . . . . . 83

4.2.2. Caminos homotopos rel0, 1 . . . . . . . . . . . . . 85

4.2.3. Clases de homotopıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

4.2.4. Cambio del punto base . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

4.2.5. Π1(S1), lo intuitivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

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INDICE GENERAL iii

4.3. El grupo fundamental y las funciones . . . . . . . . . . . . . . 106

4.3.1. Homomorfismos inducidos . . . . . . . . . . . . . . . . 106

4.3.2. Retracciones y retractos . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

4.3.3. Equivalencias para homotopıa . . . . . . . . . . . . . . 116

4.3.4. Retractos por deformacion . . . . . . . . . . . . . . . . 119

4.4. Teorema de Seifert—Van Kampen . . . . . . . . . . . . . . . 127

4.5. Πn(X), una generalizacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

5. Espacios recubridores 139

5.1. Teoremas de levantamiento de caminos . . . . . . . . . . . . . 145

5.2. Grupo fundamental y espacios recubridores . . . . . . . . . . 150

5.2.1. Homomorfismo inducido por una proyeccion recubri-dora. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150

5.3. Criterio para la existencia de levantamientos . . . . . . . . . . 155

5.4. Clasificacion de los recubrimientos sobre un espacio . . . . . . 158

5.4.1. Recubrimiento universal . . . . . . . . . . . . . . . . . 161

5.4.2. Transformaciones Deck y acciones de grupos . . . . . 168

6. Homologıa 172

6.1. Complejos simpliciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173

6.2. Homologıa sin orientacion, i.e. mod 2 . . . . . . . . . . . . . . 178

6.2.1. Cadenas, ciclos y fronteras . . . . . . . . . . . . . . . . 178

6.3. Homologıa simplicial —coeficientes en Z— . . . . . . . . . . . 185

6.3.1. Grupos de homologıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191

6.4. Homologıa singular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200

6.4.1. Sımplices regulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200

6.4.2. Cadenas regulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201

6.4.3. Comportamiento funtorial . . . . . . . . . . . . . . . . 204

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RUBIANO

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RUBIANO Prologo

El fin ultimo de la topologıa algebraica es tener una manera de trasladarpreguntas de la topologıa conjuntista al algebra. La estructura algebraica queutilizamos en estas notas es la de grupo. El mecanismo consiste en “inventar”una construccion que a cada espacio topologico X que consideremos le asigneun grupo G(X). A continuacion extender este mecanismo a las funcionescontinuas, de suerte que a una funcion f : X → Y le sea asignado unhomomorfismo de grupos G(f) : G(F ) → G(Y ). Pero la construccion debesatisfacer condiciones de “buen comportamiento” como ser natural en lacomposicion, G(f g) = G(f)G(g) y que a cada homeomorfismo le corres-ponda un isomorfismo, entre otras. En general lo que pedimos es lo llamadoun comportamiento functorial.

A manera de ilustracion, en topologıa la pregunta ¿R ≈ R2?, i.e. ¿es

R topologicamente equivalente —homeomorfo— a R2? tiene una respuesta

inmediata y negativa dentro del contexto de un curso de topologıa gene-ral. Pero a una pregunta similar como ¿R

2 ≈ R3? no tiene respuesta con

las propiedades usuales que conocemos de compacidad, conexidad, sepa-racion, metrizabilidad, etc. ver la pagina 114. Lo mismo sucede para ¿S2 ≈

toro? ¿toro ≈ botella de Klein? La respuestas a estas preguntas sonalgebraicas: consiste en asignar el grupo fundamental de homotopıa o lacadena de homologıa a cada uno de los espacios involucrados y observar queson diferentes, lo que implica que no son homeomorfos.

El texto requiere de conocimientos previos en conjuntos, topologıa gene-ral y algebra abstracta en el topico de los grupos. Estos conocimientos sonlos basicos y por ello son incluidos de manera sucinta en los capıtulos 1, 2 y 3donde en general se omiten las demostraciones, pues de otra manera el textose tornarıa extremadamente largo acercandose a lo ineficaz, pero a cambiose referencia en la bibliografıa las fuentes que pueden ser consultadas. Lasafirmaciones que al ser leıdas con poca atencion se puedan prestar a mal

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RUBIANO

vi INDICE GENERAL

entendidos son marcadas con el sımbolo

.Los capıtulos 4, 5 y 6 son la razon de este escrito y por tanto todo el

esfuerzo esta dirigido a hacer de ellos material auto contenido, explicado,demostrado en todo detalle y por supuesto, algo que no es comun poderhacer en matematicas en general pero en este caso sı: dibujar.

La seccion de espacios de recubrimiento, muestra la hermosa conexionentre el algebra y la topologıa a traves de preguntas en la una y respuestasen la otra.

Por supuesto, y como en casi todo libro de texto, todo lo dicho aquı yaesta dicho en alguna otra parte, de suerte que, lo unico original es la eleccionde los temas y la presentacion de los mismos. Como estas notas son a manerade exposicion, he decidido no incluir los clasicos ejercicios.

Mi gratitud a la Universidad Nacional de Colombia por otorgarme esetiempo extra con el cual ya no pueden existir disculpas para no escribir loque he querido.

Gustavo Nevardo Rubiano Ortegon

Departamento de MatematicasUniversidad Nacional de Colombia

Ciudad Universitaria, Bogota, [email protected]

Septiembre de 2006