Gửi tặng www.VNMATH.com Chñ ®Ò I rót gän biÓu thøc Cã chøa c¨n thøc bËc hai CĂN BẬC HAI A.KIẾN THỨC CƠ BẢN 1.Khái niệm x là căn bậc hai của số không âm a ⇔ x 2 = a. Kí hiệu: x a = . 2.Điều kiện xác định của biểu thức A Biểu thức A xác định ⇔ A 0 ≥ . 3.Hằng đẳng thức căn bậc hai 2 A khi A 0 A A A khi A 0 ≥ = = - < 4.Các phép biến đổi căn thức +) ( 29 A.B A. B A 0; B 0 = ≥ ≥ +) ( 29 A A A 0; B 0 B B = ≥ > +) ( 29 2 AB A B B 0 = ≥ +) ( 29 A 1 A.B A.B 0; B 0 B B = ≥ ≠ +) ( 29 ( 29 2 2 m. A B m B 0; A B A B A B = ≥ ≠ - ± m +) ( 29 ( 29 n. A B n A 0; B 0; A B A B A B = ≥ ≥ ≠ - ± m +) ( 29 2 A 2 B m 2 m.n n m n m n ± = ± + = ± = ± với m n A m.n B + = = BµI TËP Bµi 1: Thùc hiÖn phÐp tÝnh: 1) 2 5 125 80 605 - - + ; 2) 10 2 10 8 5 2 1 5 + + + - ; 3) 15 216 33 12 6 - + - ; 4) 2 8 12 5 27 18 48 30 162 - + - - + ; 5) 2 3 2 3 2 3 2 3 - + + + - ; 6) 16 1 4 2 3 6 3 27 75 - - ; LÊ HÙNG SĨ THCS KIM ĐỒNG -HỘI AN
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
Gửi tặng www.VNMATH.com
Chñ ®Ò I rót gän biÓu thøc
Cã chøa c¨n thøc bËc haiCĂN BẬC HAI
A.KIẾN THỨC CƠ BẢN1.Khái niệm
x là căn bậc hai của số không âm a ⇔ x2 = a. Kí hiệu: x a= .
2.Điều kiện xác định của biểu thức A
Biểu thức A xác định ⇔ A 0≥ .3.Hằng đẳng thức căn bậc hai
2 A khi A 0A A
A khi A 0
≥= = − <
4.Các phép biến đổi căn thức
+) ( )A.B A. B A 0; B 0= ≥ ≥
+) ( )A AA 0; B 0
B B= ≥ >
+) ( )2A B A B B 0= ≥
+) ( )A 1A.B A.B 0; B 0
B B= ≥ ≠
+) ( ) ( )22
m. A BmB 0; A B
A BA B= ≥ ≠
−±
m
+) ( ) ( )n. A Bn
A 0; B 0; A BA BA B
= ≥ ≥ ≠−±
m
+) ( ) 2
A 2 B m 2 m.n n m n m n± = ± + = ± = ±
với m n A
m.n B
+ = =
BµI TËP Bµi 1: Thùc hiÖn phÐp tÝnh:
1) 2 5 125 80 605− − + ;
2) 10 2 10 8
5 2 1 5
+ ++ −
;
3) 15 216 33 12 6− + − ;
4) 2 8 12 5 27
18 48 30 162
− +−− + ;
5) 2 3 2 3
2 3 2 3
− +++ −
;
6) 16 1 42 3 6
3 27 75− − ;
LÊ HÙNG SĨ THCS KIM ĐỒNG -HỘI AN
Gửi tặng www.VNMATH.com
7) 4 32 27 6 75
3 5− + ;
8) ( )3 5. 3 5
10 2
− +
+
9) 8 3 2 25 12 4 192− + ;
10) ( )2 3 5 2− + ;
11) 3 5 3 5− + + ;12)
4 10 2 5 4 10 2 5+ + + − + ;
13) ( ) ( )5 2 6 49 20 6 5 2 6+ − − ;
14) 1 1
2 2 3 2 2 3+
+ + − − ;
15) 6 4 2 6 4 2
2 6 4 2 2 6 4 2
+ −++ + − −
;
16) ( ) 2
5 2 8 5
2 5 4
+ −
−;
17) 14 8 3 24 12 3− − − ;
18) 4 1 6
3 1 3 2 3 3+ +
+ − − ;
19) ( ) ( )3 3
2 1 2 1+ − −
20) 3 3
1 3 1 1 3 1+
− + + +.
Bµi 2: Cho biÓu thøc x 1 x x x x
A =2 2 x x 1 x 1
− +− − ÷ ÷ ÷ ÷+ −
a) Rót gän biÓu thøc A;b) T×m gi¸ trÞ cña x ®Ó A > - 6.
A. Rút gọn biểu thức B.B. Tìm các giá trị nguyên của x để biểu thức B nhận giá trị nguyên .
Bµi 1 (2,0 ®iÓm): Qu¶ng B×nh Cho biÓu thøc:
N= 1
1
1
1
−++
+−
n
n
n
n ; víi n ≥ 0, n ≠ 1.
a. Rót gän biÓu thøc N.b. T×m tÊt c¶ c¸c gi¸ trÞ nguyªn cña n ®Ó biÓu thøc N nhËn gi¸ trÞ
nguyªn.
Bài 3: (1,0 di m) ÐẠI HỌC TÂY NGUYÊN
Rút g n bi u th c y x x x y y
P (x 0; y 0)1
+ + += > >
+xy.
µi 3: Cho biÓu thøc x 2 1 10 x
B = : x 2x 4 2 x x 2 x 2
− + + − + ÷ ÷ ÷− − + +
a) Rót gän biÓu thøc B;b) T×m gi¸ trÞ cña x ®Ó A > 0.
Bµi 4: Cho biÓu thøc 1 3 1
C =x 1 x x 1 x x 1
− +− + − +
a) Rót gän biÓu thøc C;b) T×m gi¸ trÞ cña x ®Ó C < 1.
Bµi 5: Rót gän biÓu thøc :
a) 2 2
2 2
x 2 x 4 x 2 x 4D =
x 2 x 4 x 2 x 4
+ + − + − −++ − − + + −
; b) x x x x
P = 1 1x 1 x 1
+ −+ − ÷ ÷ ÷ ÷+ − ;
LÊ HÙNG SĨ THCS KIM ĐỒNG -HỘI AN
Gửi tặng www.VNMATH.com
c) 2
1 x 1Q = :
x x x x x x
+− + +
; d) x 1 2 x 2H =
x 2 1
− − −− −
Bµi 6: Cho biÓu thøc 1 1 a 1
M = :a a a 1 a 2 a 1
+ + ÷− − − +
a) Rót gän biÓu thøc M;b) So s¸nh M víi 1.
Bµi 7: Cho c¸c biÓu thøc 2x 3 x 2
P =x 2
− −−
vµ 3x x 2x 2
Q =x 2
− + −+
a) Rót gän biÓu thøc P vµ Q;b) T×m gi¸ trÞ cña x ®Ó P = Q.
Bµi 8: Cho biÓu thøc 2x 2 x x 1 x x 1
P =x x x x x
+ − ++ −− +
a) Rót gän biÓu thøc Pb) So s¸nh P víi 5.
c) Víi mäi gi¸ trÞ cña x lµm P cã nghÜa, chøng minh biÓu thøc 8
P chØ nhËn
®óng mét gi¸ trÞ nguyªn.
Bµi 9: Cho biÓu thøc 3x 9x 3 1 1 1
P = :x 1x x 2 x 1 x 2
+ − + + ÷ ÷ −+ − − +
a) T×m ®iÒu kiÖn ®Ó P cã nghÜa, rót gän biÓu thøc P;
b) T×m c¸c sè tù nhiªn x ®Ó 1
P lµ sè tù nhiªn;
c) TÝnh gi¸ trÞ cña P víi x = 4 – 2 3 .
Bµi 10: Cho biÓu thøc : x 2 x 3 x 2 x
P = : 2x 5 x 6 2 x x 3 x 1
+ + +− − − ÷ ÷ ÷ ÷− + − − +
a) Rót gän biÓu thøc P;
b) T×m x ®Ó 1 5
P 2≤ − .
Chñ ®Ò II HÀM SỐ VÀ ĐỒ THỊ
I..Tính chất của hàm số bậc nhất y = ax + b (a ≠0)-Đồng biến khi a > 0; nghịch biến khi a < 0.-Đồ thị là đường thẳng nên khi vẽ chỉ cần xác định hai điểm thuộc đồ thị.+Trong trường hợp b = 0, đồ thị hàm số luôn đi qua gốc tọa độ.
LÊ HÙNG SĨ THCS KIM ĐỒNG -HỘI AN
Gửi tặng www.VNMATH.com
+Trong trường hợp b ≠ 0, đồ thị hàm số luôn cắt trục tung tại điểm b.-Đồ thị hàm số luôn tạo với trục hoành một góc α , mà tg aα= .-Đồ thị hàm số đi qua điểm A(xA; yA) khi và chỉ khi yA = axA + b.
II.Điểm thuộc đường – đường đi qua điểm.
Điểm A(xA; yA) thuộc đồ thị hàm số y = f(x) yA = f(xA).
Ví dụ 1: Tìm hệ số a của hàm số: y = ax2 biết đồ thị hàm số của nó đi qua điểm A(2;4).
Giải:
Do đồ thị hàm số đi qua điểm A(2;4) nên: 4= a.22 a = 1
Ví dụ 2: Trong mặt phẳng tọa độ cho A(-2;2) và đường thẳng (d) có phương trình: y = -2(x + 1). Đường thẳng (d) có đi qua A không?
Giải:Ta thấy -2.(-2 + 1) = 2 nên điểm A thuộc v ào đường thẳng (d)
III.Quan hệ giữa hai đường thẳng.Xét hai đường thẳng: (d1): y = a1x + b1 ; (d2): y = a2x + b2 với a1 ≠ 0; a2 ≠ 0.
-Hai đường thẳng song song khi a1 = a2 và b1 ≠ b2.-Hai đường thẳng trùng nhau khi a1 = a2 và b1 = b2.-Hai đường thẳng cắt nhau khi a1 ≠ a2.
+Nếu b1 = b2 thì chúng cắt nhau tại b1 trên trục tung.+Nếu a1.a2 = -1 thì chúng vuông góc với nhau.
IV.Cách tìm giao điểm của hai đường y = f(x) và y = g(x).Bước 1: Tìm hoành độ giao điểm là nghiệm của phương trình f(x) = g(x) (II)Bước 2: Lấy nghiệm đó thay vào 1 trong hai công thức y = f(x) hoặc y = g(x) để tìm
tung độ giao điểm.Chú ý: Số nghiệm của phương trình (II) là số giao điểm của hai đường trên.
V.Tìm điều kiện để 3 đường thẳng đồng qui.Bước 1: Giải hệ phương trình gồm hai đường thẳng không chứa tham số để tìm
(x;y).Bước 2: Thay (x;y) vừa tìm được vào phương trình còn lại để tìm ra tham số .
VI.Tính chất của hàm số bậc hai y = ax2 (a ≠ 0)-Nếu a > 0 thì hàm số nghịch biến khi x < 0, đồng biến khi x > 0.Nếu a < 0 thì hàm số đồng biến khi x < 0, nghịch biến khi x > 0.-Đồ thị hàm số là một Parabol luôn đi qua gốc tọa độ:
+) Nếu a > 0 thì parabol có điểm thấp nhất là gốc tọa độ.+) Nếu a < 0 thì Parabol có điểm cao nhất là gốc tọa độ.
-Đồ thị hàm số đi qua điểm A(xA; yA) khi và chỉ khi yA = axA2.
VII.Vị trí của đường thẳng và parabol-Xét đường thẳng x = m và parabol y = ax2:
+) luôn có giao điểm có tọa độ là (m; am2).
LÊ HÙNG SĨ THCS KIM ĐỒNG -HỘI AN
Gửi tặng www.VNMATH.com
-Xét đường thẳng y = m và parabol y = ax2:+) Nếu m = 0 thì có 1 giao điểm là gốc tọa độ.
+) Nếu am > 0 thì có hai giao điểm có hoành độ là x = m
a±
+) Nếu am < 0 thì không có giao điểm. VIII.Tìm tọa độ giao điểm của (d) và (P).
Bước 1: Tìm hoành độ giao điểm là nghiệm của phương trình: cx2= ax + b (V)
Bước 2: Lấy nghiệm đó thay vào 1 trong hai công thức y = ax +b hoặc y = cx2 để tìm tung độ giao điểm.
Chú ý: Số nghiệm của phương trình (V) là số giao điểm của (d) và (P). IV.Tìm điều kiện để (d) và (P).
a) (d) và (P) cắt nhau phương trình (V) có hai nghiệm phân biệt.
b) (d) và (P) tiếp xúc với nhau phương trình (V) có nghiệm kép.
c) (d) và (P) không giao nhau phương trình (V) vô nghiệm .
X.Viết phương trình đường thẳng y = ax + b biết. 1.Quan hệ về hệ số góc và đi qua điểm A(x0;y0)
Bước 1: Dựa vào quan hệ song song hay vuông góc tìm hệ số a.Bước 2: Thay a vừa tìm được và x0;y0 vào công thức y = ax + b để tìm b.
2.Biết đồ thị hàm số đi qua điểm A(x1;y1) và B(x2;y2).Do đồ thị hàm số đi qua điểm A(x1;y1) và B(x2;y2) nên ta có hệ phương trình:
Giải hệ phương trình tìm a,b.
3.Biết đồ thị hàm số đi qua điểm A(x0;y0) và tiếp xúc với (P): y = cx2 (c 0).
+) Do đường thẳng đi qua điểm A(x0;y0) nên có phương trình :y0 = ax0 + b (3.1)
+) Do đồ thị hàm số y = ax + b tiếp xúc với (P): y = cx 2 (c 0) nên:
Pt: cx2 = ax + b có nghiệm kép
(3.2)
+) Giải hệ gồm hai phương trình trên để tìm a,b.
XI.Chứng minh đường thẳng luôn đi qua 1 điểm cố định ( giả sử tham số là m).+) Giả sử A(x0;y0) là điểm cố định mà đường thẳng luôn đi qua với mọi m, thay x0;y0
vào phương trình đường thẳng chuyển về phương trình ẩn m hệ số x0;y0 nghiệm đúng với mọi m.
+) Đồng nhất hệ số của phương trình trên với 0 giải hệ tìm ra x0;y0.XII.Một số ứng dụng của đồ thị hàm số.
LÊ HÙNG SĨ THCS KIM ĐỒNG -HỘI AN
Gửi tặng www.VNMATH.com
1.Ứng dụng vào phương trình.2.Ứng dụng vào bài toán cực trị.
Cho Parabol (P) : y = x2 vaø ñöôøng thaúng (d): y = mx – 2 (m laø tham soá, m ≠
0 )
a. Veõ ñoà thò (P) treân maët phaúng Oxy.
b. Khi m = 3, tìm toïa ñoä giao ñieåm cuûa (p) vaø (d).
c. Goïi A(xA; yA), B(xB; yB) laø hai giao ñieåm phaân bieät cuûa (P) vaø (d). tìm
caùc giaù trò cuûa m sao cho yA + yB = 2(xA + xB) – 1
Bàì 1: Hà Tĩnh
LÊ HÙNG SĨ THCS KIM ĐỒNG -HỘI AN
Gửi tặng www.VNMATH.com
1. Trong hệ trục toạ độ Oxy, biết đường thẳng y = ax + 3 đi qua điểm M(-2;2). Tìm hệ số a
Baøi 2 : (2,0 ñieåm) BÌNH ÑÒNH Ñeà chính thöùc
1. Cho haøm soá y = ax + b. tìm a, b bieát ñoà thò haøm soá ñaã cho ñi qua
hai ñieåm A(-2; 5) vaø B(1; -4).
2. Cho haøm soá y = (2m – 1)x + m + 2
a. tìm ñieàu kieän cuûa m ñeå haøm soá luoân nghòch bieán.
b. Tìm giaù trò m ñeå ñoà thò haøm soá caét truïc hoaønh taïi ñieåm
coù hoaønh ñoä baèng 2
3−
Bài 2 (3.0 điểm ) QUẢNG NAMCho hàm số y = x2 và y = x + 2a) Vẽ đồ thị của các hàm số này trên cùng một mặt phẳng tọa độ Oxyb) Tìm tọa độ các giao điểm A,B của đồ thị hai hàm số trên bằng phép tínhc) Tính diện tích tam giác OAB
Bµi 3. (1,5 ®iÓm) QUẢNG NINH
Cho hµm sè : y = (2m – 1)x + m + 1 víi m lµ tham sè vµ m # 1
HẢI PHÒNG Tìm m để đường thẳng y = 3x – 6 và đường thẳng 3
y x m2
= + cắt nhau tại một
điểm trên trục hoànhBài 3: (3,0 điểm) KIÊN GIANG
a) Cho hàm số y = -x2 và hàm số y = x – 2. Vẽ đồ thị hai hàm số trên cùng hệ trục tọa
độ. Tìm tọa độ giao điểm của hai đô thị trên bằng phương pháp đại số .
b) Cho parabol (P) : 2x
y4
= và đường thẳng (D) : y = mx - 32 m – 1. Tìm m để (D)
tiếp xúc với (P) . Chứng minh rằng hai đường thẳng (D1) và (D2) tiếp xúc với (P) và
hai đường thẳng ấy vuông góc với nhau .
Bài 2: (1,5 điểm) AN GIANG 1/. Cho hai đường thẳng 1d : y = (m+1) x + 5 ; 2d : y = 2x + n. Với giá trị nào của m,
n thì 1d trùng với 2d ?
LÊ HÙNG SĨ THCS KIM ĐỒNG -HỘI AN
Gửi tặng www.VNMATH.com
2/.Trên cùng mặt phẳng tọa độ , cho hai đồ thị (P): y =2x
3 ; d: y = 6 − x . Tìm tọa độ
giao điểm của (P) và d bằng phép toán .
Bài 2 (2 điểm) THÁI BÌNH Cho Parabol (P) : y= x2 và đường thẳng (d): y = mx-2 (m là
tham số m ≠ 0)
a/ Vẽ đồ thị (P) trên mặt phẳng toạ độ xOy.
b/ Khi m = 3, hãy tìm toạ độ giao điểm (P) và (d) .
c/ Gọi A(xA; yA), B(xA; yB) là hai giao điểm phân biệt của (P) và ( d). Tìm các giá trị
của m sao cho : yA + yB = 2(xA + xB ) -1 .
Bài 3. (2,0 điểm) THÁI BÌNH
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng (d): ( )y k 1 x 4= − + (k là tham số) và parabol (P): 2y x= .1. Khi k 2=− , hãy tìm toạ độ giao điểm của đường thẳng (d) và parabol (P);2. Chứng minh rằng với bất kỳ giá trị nào của k thì đường thẳng (d) luôn cắt parabol (P)
tại hai điểm phân biệt;3. Gọi y1; y2 là tung độ các giao điểm của đường thẳng (d) và parabol (P). Tìm k sao
cho: 1 2 1 2y y y y+ = .Bài 2 (1,5 điểm) QUẢNG TRỊ Cho hàm số y = ax + b.
Tìm a, b biết đồ thị của hàm số đi qua điểm (2, -1) và cắt trục hoành tại điểm có
hoành độ bằng 2
3 .
Bài 3 (2,5 điểm) THANH HÓATrong mặt phẳng tọa độ Oxy cho parabol (P): y = x2 và điểm B(0;1)1. Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua điểm B(0;1) và có hệ số k.2. Chứng minh rằng đường thẳng (d) luôn cắt Parabol (P) tại hai điểm phân biệt E và F với mọi k.3. Gọi hoành độ của E và F lần lượt là x1 và x2. Chứng minh rằng x1
.x2 = - 1, từ đó suy ra tam giác EOF là tam giác vuông.
Bµi 2: (1,5 ®iÓm) Hưng YênCho hµm số bậc nhất y = mx + 2 (1)a) VÏ đồ thị hµm sỉ khi m = 2b) T×m m ®Ó ®ơ thÞ hµm sỉ (1) c¾t trôc Ox vµ trôc Oy lÌn lît t¹i A vµ B sao
Cho hai hàm số y = x – 1 và y = –2x + 51/ Vẽ trên cùng một mặt phẳng toạ độ đồ thị của hai hàm số đã cho.2/ Bằng phép tính hãy tìm toạ độ giao điểm của hai đồ thị trên. 2. B¾c giang Hµm sè y=2009x+2010 ®ßng biÕn hay nghÞch biÕn trªn R? V× sao 2. B¾c giang Cho hµm sè y = x -1. T¹i x = 4 th× y cã gi¸ trÞ lµ bao nhiªu?Bµi 2 (1,5 ®iÓm): qu¶ng b×nh
Cho ba ®êng th¼ng (d1): -x + y = 2; (d2): 3x - y = 4 vµ (d3): nx - y = n - 1;n lµ tham sè.
a) T×m täa ®é giao ®iÓm N cña hai ®êng th¼ng (d1) vµ (d2).b) T×m n ®Ó ®êng th¼ng (d3) ®i qua N.
Bài 2: (3,0 điểm) ÐẠI HỌC TÂY NGUYÊN
Cho hàm số : 2y x= − có đồ thị (P) và hàm số y = 2x + m có đồ thị (d) .1/ Khi m = 1. Vẽ đồ thị (P) và (d) trên cùng một hệ trục toạ độ.2/ Tìm toạ độ giao điểm của (P) và (d) toạ độ và bằng phép toán khi m = 1.3/ Tìm các giá trị của m để (P) và (d) cắt nhau tại hai điểm phân biệt A AA(x ; y ) và
Bµi tËp 13 .. a. viÕt ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng tiÕp xóc víi (P) y=2x2 t¹i ®iÓm A(-1;2).b. cho hµm sè y=x2 (P) vµ B(3;0), t×m ph¬ng tr×nh tho¶ m·n ®iÒu kiÖn tiÕp xóc víi (P) vµ ®i qua B.c. cho (P) y=x2. lËp ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng ®i qua A(1;0) vµ tiÕp xóc víi (P).d. cho (P) y=x2 . lËp ph¬ng tr×nh d song song víi ®êng th¼ng y=2x vµ tiÕp xóc víi (P).e. viÕt ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng song song víi ®êng th¼ng y=-x+2 vµ c¾t (P) y=x2 t¹i ®iÓm cã hoµnh ®é b»ng (-1).f. viÕt ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng vu«ng gãc víi (d) y=x+1 vµ c¾t (P) y=x2 t¹i ®iÓm cã tung ®é b»ng 9.
LÊ HÙNG SĨ THCS KIM ĐỒNG -HỘI AN
Gửi tặng www.VNMATH.com
Chñ ®Ò III §5.PHƯƠNG TRÌNH - HỆ PHƯƠNG TRÌNH - BẤT PHƯƠNG TRÌNH
(Bậc nhất)A.KIẾN THỨC CƠ BẢN1.Phương trình bậc nhất một ẩn
-Đưa về dạng ax + b = 0 (a ≠ 0)
-Nghiệm duy nhất là b
xa
−=
2.Phương trình chứa ẩn ở mẫu-Tìm ĐKXĐ của phương trình.-Quy đồng và khử mẫu.-Giải phương trình vừa tìm được.-So sánh giá trị vừa tìm được với ĐKXĐ rồi kết luận.
3.Phương trình tíchĐể giái phương trình tích ta chỉ cần giải các phương trình thành phần của nó. Chẳng
hạn: Với phương trình A(x).B(x).C(x) = 0
( )( )( )
A x 0
B x 0
C x 0
=
⇔ = =
4.Phương trình có chứa hệ số chữ (Giải và biện luận phương trình)Dạng phương trình này sau khi biến đổi cũng có dạng ax + b = 0. Song giá trị cụ thể
của a, b ta không biết nên cần đặt điều kiện để xác định số nghiệm của phương trình.
-Nếu a ≠ 0 thì phương trình có nghiệm duy nhất b
xa
−= .
-Nếu a = 0 và b = 0 thì phương trình có vô số nghiệm.-Nếu a = 0 và b ≠ 0 thì phương trình vô nghiệm.
5.Phương trình có chứa dấu giá trị tuyệt đốiCần chú ý khái niệm giá trị tuyệt đối của một biểu thức
A khi A 0A
A khi A 0
≥= − <
6.Hệ phương trình bậc nhấtCách giải chủ yếu dựa vào hai phương pháp cộng đại số và thế. Chú ý phương pháp
đặt ẩn phụ trong một số trường hợp xuất hiện các biểu thức giống nhau ở cả hai phương trình.7.Bất phương trình bậc nhất
Với bất phương trình bậc nhất thì việc biến đổi tương tự như với phương trình bậc nhất. Tuy nhiên cần chú ý khi nhân và cả hai vế với cùng một số âm thì phải đổi chiều bất phương trình.
LÊ HÙNG SĨ THCS KIM ĐỒNG -HỘI AN
Gửi tặng www.VNMATH.com
BµI TËP HÖ ph¬ng tr×nh
Baøi 1: : Gi¶i c¸c HPT sau: 1.1.
a. 2 3
3 7
x y
x y
− = + =
b. 2 3 2
5 2 6
x y
x y
+ = − + =
Gi¶i:
a. Dïng PP thÕ: 2 3
3 7
x y
x y
− = + =
2 3 2 3 2 2
3 2 3 7 5 10 2.2 3 1
y x y x x x
x x x y y
= − = − = = ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ + − = = = − =
Vaäy HPT ®· cho cã nghiÖm lµ: 2
1
x
y
= =
Dïng PP céng: 2 3
3 7
x y
x y
− = + =
5 10 2 2
3 7 3.2 7 1
x x x
x y y y
= = = ⇔ ⇔ ⇔ + = + = =
Vaäy HPT ®· cho cã nghiÖm lµ: 2
1
x
y
= =
- §Ó gi¶I lo¹i HPT nµy ta thêng sö dông PP céng cho thuËn lîi.
bình phöông ñoä daøi ñöôøng cheùo gaáp 5 laàn chu vi. Xaùc ñònh chieàu daøi
vaø chieàu roäng maûnh ñaát ñoù.
Bài 3: Hà Tĩnh Một đoàn xe vận tải nhận chuyên chở 15 tấn hàng. Khi sắp khởi hành thì 1 xe phải điều đi làm công việc khác, nên mỗi xe còn lại phải chở nhiều hơn 0,5 tấn hàng so với dự định. Hỏi thực tế có bao nhiêu xe tham gia vận chuyển. (biết khối lượng hàng mỗi xe chở như nhau)Câu 3: (2,5 điểm) BÌNH ĐỊNHHai vòi nước cùng chảy vào 1 cái bể không có nước trong 6 giờ thì đầy bể. Nếu để riêng vòi thứ nhất chảy trong 2 giờ, sau đó đóng lại và mở vòi thứ hai chảy tiếp trong 3 giờ nữa thì được 2/5 bể. Hỏi nếu chảy riêng thì mỗi vòi chảy đầy bể trong bao lâu?
Một mảnh vườn hình chữ nhật có diện tích là 720m2, nếu tăng chiều dài thêm 6m và giảm chiều rộng đi 4m thì diện tích mảnh vườn không đổi. Tính kích thước (chiều dài và chiều rộng) của mảnh vườn
2) H¶i d Ư¬ng Hai « t« cïng xuÊt ph¸t tõ A ®Õn B, « t« thø nhÊt ch¹y nhanh h¬n « t« thø hai mçi giê 10 km nªn ®Õn B sím h¬n « t« thø hai 1 giê. TÝnh vËn tèc hai xe « t«, biÕt qu·ng ®êng AB lµ 300 km.
b) H¶I D¬NG CHÝNH THØC Một hình chữ nhật có chiều dài hơn chiều rộng 2 cm và diện tích của nó là 15 cm2. Tính chiều dài và chiều rộng của hình chữ nhật đó.
Một tam giác vuông có hai cạnh góc vuông hơn kém nhau 8m . Nếu tăng một cạnh góc vuông của tam giác lên 2 lần và giảm cạnh góc vuông còn lại xuống 3 lần thì được một
LÊ HÙNG SĨ THCS KIM ĐỒNG -HỘI AN
Gửi tặng www.VNMATH.com
tam giác vuông mới có diện tích là 51m2 . Tính độ dài hai cạnh góc vuông của tam giác vuông ban đầu.
Bµi 2 : (2,0 ®iÓm) B×NH D¦¥NGMét h×nh ch÷ nhËt cã chu vi lµ 160m vµ diÖn tÝch lµ 1500m2. TÝnh chiÒu
dµi vµ chiÒu réng h×nh ch÷ nhËt Êy .
Chñ ®Ò V Ph¬ng tr×nh bËc hai+hÖ thøc vi-Ðt
Tãm t¾t lÝ thuyÕt:
PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI ax2 + bx + c = 0 (a ≠0) (1)*Trong trường hợp giải và biện luận, cần chú ý khi a = 0 phương trình trở thành bậc nhất một ẩn (§5).A.KIẾN THỨC CƠ BẢN1.Các dạng và cách giải
Dạng 1: c = 0 khi đó
( ) ( )2
x 01 ax bx 0 x ax+b 0 b
xa
=⇔ + = ⇔ = ⇔ = −
Dạng 2: b = 0 khi đó
( ) 2 2 c1 ax c 0 x
a
−⇔ + = ⇔ =
-Nếu c
0a
− ≥ thì c
xa
−= ± .
-Nếu c
0a
− < thì phương trình vô nghiệm.
Dạng 3: Tổng quát CÔNG THỨC NGHIỆM TỔNG QUÁT CÔNG THỨC NGHIỆM THU GỌN
2b 4ac∆= − 2' b ' ac∆= −
0∆> : phương trình có 2 nghiệm phân biệt
1 2
b bx ; x
2a 2a
− + ∆ − − ∆= =
' 0∆ > : phương trình có 2 nghiệm phân biệt
1 2
b' ' b ' 'x ; x
a a
− + ∆ − − ∆= =
0∆= : phương trình có nghiệm kép
1 2
bx x
2a
−= =
' 0∆ = : phương trình có nghiệm kép
1 2
b'x x
a
−= =
0∆< : phương trình vô nghiệm ' 0∆ < : phương trình vô nghiệm
Dạng 4: Các phương trình đưa được về phương trình bậc hai
LÊ HÙNG SĨ THCS KIM ĐỒNG -HỘI AN
Gửi tặng www.VNMATH.com
Cần chú ý dạng trùng phương, phương trình vô tỉ và dạng đặt ẩn phụ, còn dạng chứa ẩn ở mẫu và dạng tích đã nói ở §5.3.Hệ thức Viet và ứng dụng
-Nếu phương trình ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) có hai nghiệm x1, x2 thì:
1 2
1 2
bS x x
ac
P x xa
= + = − = =
-Nếu có hai số u và v sao cho u v S
uv P
+ = =
( )2S 4P≥ thì u, v là hai nghiệm của
phương trình x2 – Sx + P = 0.
-Nếu a + b + c = 0 thì phương trình có nghiệm là x1 = 1; x2 = c
a.
-Nếu a – b + c = 0 thì phương trình có nghiệm là x1 = -1; x2 = c
a− .
4.Điều kiện có nghiệm của phương trình ax2 + bx + c = 0 (a ≠0)-(1) có 2 nghiệm 0∆≥ ; có 2 nghiệm phân biệt 0∆> .
-(1) có 2 nghiệm cùng dấu 0
P 0
∆ ≥ >
.
-(1) có 2 nghiệm dương
0
P 0
S 0
∆ ≥ > >
-(1) có 2 nghiệm âm
0
P 0
S 0
∆ ≥ > <
-(1) có 2 nghiệm trái dấu ac < 0 hoặc P < 0.5.Tìm điều kiện của tham số để 2 nghiệm của phương trình thỏa mãn điều kiện nào đó.
2 21 2 1 2
1 2
2 2 3 31 2 1 2
1 1a) x x ; b) x x m; c) n
x x
d) x x h; e) x x t; ...
α +β = γ + = + =
+ ≥ + =
Trong những trường hợp này cần sử dụng hệ thức Viet và phương pháp giải hệ phương trình.
§12.CỰC TRỊA.KIẾN THỨC CƠ BẢN1.Định nghĩa
LÊ HÙNG SĨ THCS KIM ĐỒNG -HỘI AN
Gửi tặng www.VNMATH.com
Tìm giá trị lớn nhất (max) hay giá trị nhỏ nhất (min) của biểu thức là xác định giá trị của biến để biểu thức đó đạt giá trị lớn nhất hay nhỏ nhất.
-Giá trị lớn nhất của biểu thức A: maxA.Để tìm maxA cần chỉ ra A M≤ , trong đó M là hằng số. Khi đó maxA = M.-Giá trị nhỏ nhất của biểu thức A: minA.Để tìm minA cần chỉ ra A m≥ , trong đó m là hằng số. Khi đó minA = m.
2.Các dạng toán thường gặp2.1. Biểu thức A có dạng đa thức bậc chẵn (thường là bậc hai):Nếu A = B2 + m (đa thức 1 biến), A = B2 + C2 + m (đa thức hai biến), … thì A có giá
trị nhỏ nhất minA = m.Nếu A = - B2 + M (đa thức 1 biến), A = - B2 – C2 + M (đa thức hai biến), … thì A có
giá trị lớn nhất maxA = M.2.2. Biểu thức A có dạng phân thức:
2.2.1. Phân thức m
AB
= , trong đó m là hằng số, B là đa thức.
-Nếu mB > 0 thì A lớn nhất khi B nhỏ nhất; A nhỏ nhất khi B lớn nhất.-Nếu mB < 0 (giả sử m < 0) thì A lớn nhất khi B lớn nhất; A nhỏ nhất khi B nhỏ
nhất.
2.2.2. Phân thức A = B
C, trong đó B có bậc cao hơn hoặc bằng bậc của C.
Khi đó ta dùng phương pháp tách ra giá trị nguyên để tách thành m D
A n ; A nC C
= + = + trong đó m, n là hằng số; D là đa thức có bậc nhỏ hơn bậc C.
2.2.3. Phân thức A = B
C, trong đó C có bậc cao hơn bậc của B.
Cần chú ý tính chất: nếu A có giá trị lớn nhất thì 1
A có giá trị nhỏ nhất và ngược lại.
2.3. Biểu thức A có chứa dấu giá trị tuyệt đối, chứa căn thức bậc hai:-Chia khoảng giá trị để xét.-Đặt ẩn phụ đưa về bậc hai.-Sử dụng các tính chất của giá trị tyệt đối:
a b a b+ ≥ + ; a b a b a,b− ≥ − ∀ . Dấu “=” xảy ra khi ab 0≥ .
-Sử dụng một số bất đẳng thức quen thuộc.
Bất đẳng thức Côsi: ( ) n1 2 n 1 2 n 1 2 n
1a ,a ,...,a 0 a a ... a a a ...a
n≥ ⇒ + + + ≥ dấu
“=” xảy ra khi a1 = a2 = …= an.
LÊ HÙNG SĨ THCS KIM ĐỒNG -HỘI AN
Gửi tặng www.VNMATH.com
Bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-ski: 1 2 n 1 2 na ,a ,...,a ;b ,b ,...,b∀ có
( ) ( ) ( )22 2 2 2 2 21 2 n 1 2 n 1 1 2 2 n na a ... a b b ... b a b a b ... a b+ + + + + + ≥ + + + dấu “=” xảy ra khi
Cho phương trình x2 + mx + n = 0 ( 1)1.Giải phương trình (1) khi m =3 và n = 2
2.Xác định m ,n biết phương trình (1) có hai nghiệm x1.x2 thoả mãn 1 2
3 31 2
x x 3
x x 9
− =
− =
Bài 3 (1,5 điểm THÁI BÌNH)Cho phương trình: 2 22( 1) 2 0x m x m- + + + = (ẩn x)
1) Giải phương trình đã cho với m =1.
2) Tìm giá trị của m để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thoả mãn hệ
thức: 2 21 2 10x x+ = .
Bài 2. (2,0 điểm) THÁI BÌNH
Cho hệ phương trình: ( )m 1 x y 2
mx y m 1
− + =
+ = + (m là tham số)
1. Giải hệ phương trình khi m 2= ;2. Chứng minh rằng với mọi giá trị của m thì hệ phương trình luôn có nghiệm duy nhất (x ; y ) thoả
mãn: 2 x + y ≤ 3 .Câu 5( 2,5 điểm). VĨNH PHÚC
Cho hệ phương trình 2 1
2 4 3
mx y
x y
+ = − =
( m là tham số có giá trị thực) (1)
LÊ HÙNG SĨ THCS KIM ĐỒNG -HỘI AN
Gửi tặng www.VNMATH.com
a, Giải hệ (1) với m = 1
b, Tìm tất cả các giá trị của m để hệ (1) có nghiệm duy nhất
Bài 1 (1,5 điểm) THANH HÓACho phương trình: x2 – 4x + n = 0 (1) với n là tham số.1.Giải phương trình (1) khi n = 3.2. Tìm n để phương trình (1) có nghiệm.
Bài 2 (1,5 điểm) THANH HÓA
Giải hệ phương trình: 2 5
2 7
x y
x y
+ = + =
Bài 2. ĐÀ NẲNG ( 2 điểm ) Cho hệ phương trình: mx y 1
x y334
2 3
− = − =
a) Giải hệ phương trình khi cho m = 1.b) Tìm giá trị của m để phương trình vô nghiệm.
Câu 3 : PHÚ YÊN ( 2,5 điểm ) Cho phương trình x2 – 4x – m2 + 6m – 5 = 0 với m là tham
số
a) Giải phương trình với m = 2
b) Chứng minh rằng phương trình luôn có nghiệm
c) Giả sử phương trình có hai nghiệm x1 ; x2 , hãy tìm giá trị bé nhất của biểu thức
3 31 2P x x= +
Bài 4 (2 điểm). QUẢNG TRỊ Cho phương trình bậc hai ẩn số x:
x2 - 2(m + 1)x + m - 4 = 0. (1) a/ Chứng minh phương trình (1) luôn luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m. b/ Gọi x1, x2 là hai nghiệm phân biệt của phương trình (1).
Tìm m để 3( x1 + x2 ) = 5x1x2.Câu 3 (1,5 điểm). QUẢNG TRỊ Cho phương trình bậc hai: x2 - 2(m-1)x + 2m – 3 = 0. (1)
a) Chứng minh rằng phương trình (1) có nghiệm với mọi giá trị của m.b) Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm trái dấu.
2) H¶i d Ư¬ng Cho ph¬ng tr×nh (Èn x): 2 2x 2(m 1)x m 1 0− + + − = . T×m gi¸
trÞ cña m ®Ó ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm 1 2x ,x tháa m·n 2 21 2 1 2x x x x 8+ = + .
c) T×m m ®Ó B = x1 + x2 - 3x1x2 ®¹t gi¸ trÞ lín nhÊtd) T×m m ®Ó C = x1
2 + x22 - x1x2
Bµi tËp 21 : Cho ph¬ng tr×nh: ( m - 1) x2 + 2mx + m + 1 = 0a) Gi¶i ph¬ng tr×nh víi m = 4b) T×m m ®Ó ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm tr¸i dÊuc) T×m m ®Ó ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm x1 vµ x2 tho¶ m·n: A = x1
2 x2 + x22x1
d) T×m hÖ thøc liªn hÖ gi÷a hai nghiÖm kh«ng phô thuéc vµo m
3.Tỉ số lượng giác của góc nhọnĐặt ACB ; ABC∠ =α∠ =β khi đó:
AB AH AC HC AB AH AC HCsin ; cos ; tg ; cot g
BC AC BC AC AC HC AB AHα= = α= = α= = α= =
b asin B acosC ctgB ccot gC
c acosB asinC bctgB btgC
= = = == = = =
Kết quả suy ra:1) sin cos ; cos sin ; tg cotg ; cotg tgα= β α= β α= β α= β
sin cos2) 0 sin 1; 0 cos <1; tg ; cot g
cos sin
α α< α< < α α= α=α α
LÊ HÙNG SĨ THCS KIM ĐỒNG -HỘI AN
Gửi tặng www.VNMATH.com
2 22 2
1 13) sin cos 1; tg .cot g 1; 1 cot g ; 1 tg
sin cosα+ α= α α= = + α = + α
α α
4) Cho ABC∆ nhọn, BC = a; AC = b; AB = c khi đó:2 2 2
ABC
1a b c 2bc.cosA; S bcsin A
2∆= + − =
B.MỘT SỐ VÍ DỤVD1.Cho tam giác ABC có AB>AC, kẻ trung tuyến AM và đường cao AH. Chứng minh:
22 2 2
2 2
BCa) AB AC 2AM
2
b) AB AC 2BC.MH
+ = +
− =
VD2.Cho hình thang ABCD (AB//CD có AB = 3cm; CD = 14cm; AC = 15cm; BD = 8cm.
a) Chứng minh AC vuông góc với BD.b) Tính diện tích hình thang.
VD3.Tính diện tích hình bình hành ABCD biết AD = 12; DC = 15; ∠ ADC=700.C.MỘT SỐ BÀI TẬP CƠ BẢN1.Cho tam giác ABC vuông cân tại A, trung tuyến BD. Gọi I là hình chiếu của C trên BD, H là hình chiếu của I trên AC.
Chứng minh: AH = 3HI.2.Qua đỉnh A của hình vuông ABCD cạnh bằng a, vẽ một đường thẳng cắt BC ở E và cắt đường thẳng DC ở F.
Chứng minh: 2 2 2
1 1 1
AE AF a+ =
3.Cho tam giác cân ABC có đáy BC = a; ∠ BAC = 2 α ; 045α< . Kẻ các đường cao AE, BF.
a) Tính các cạnh của tam giác BFC theo a và tỉ số lượng giác của góc α .b) Tính theo a, theo các tỉ số lượng giác của góc α và 2α , các cạnh của tam giác
ABF, BFC.c) Từ các kết quả trên, chứng minh các đẳng thức sau:
BẰNG NHAU – SONG SONG, VUÔNG GÓC - ĐỒNG QUY, THẲNG HÀNG
A.KIẾN THỨC CƠ BẢN1.Tam giác bằng nhau
LÊ HÙNG SĨ THCS KIM ĐỒNG -HỘI AN
Gửi tặng www.VNMATH.com
a) Khái niệm: A A'; B B'; C C'
ABC A'B'C' khiAB A'B'; BC B'C'; AC A'C'
∠ =∠ ∠ =∠ ∠ =∠∆ =∆ = = =
b) Các trường hợp bằng nhau của hai tam giác: c.c.c; c.g.c; g.c.g.c) Các trường hợp bằng nhau của hai tam giác vuông: hai cạnh góc vuông; cạnh
huyền và một cạnh góc vuông; cạnh huyền và một góc nhọn.d) Hệ quả: Hai tam giác bằng nhau thì các đường cao; các đường phân giác; các
đường trung tuyến tương ứng bằng nhau.2.Chứng minh hai góc bằng nhau
-Dùng hai tam giác bằng nhau hoặc hai tam giác đồng dạng, hai góc của tam giác cân, đều; hai góc của hình thang cân, hình bình hành, …
-Dùng quan hệ giữa các góc trung gian với các góc cần chứng minh.-Dùng quan hệ các góc tạo bởi các đường thẳng song song, đối đỉnh.-Dùng mối quan hệ của các góc với đường tròn.(Chứng minh 2 góc nội tiếp cùng
chắn một cung hoặc hai cung bằng nhau của một đường tròn, …)3.Chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau
-Dùng đoạn thẳng trung gian.-Dùng hai tam giác bằng nhau.-Ứng dụng tính chất đặc biệt của tam giác cân, tam giác đều, trung tuyến ứng với
cạnh huyền của tam giác vuông, hình thang cân, hình chữ nhật, …-Sử dụng các yếu tố của đường tròn: hai dây cung của hai cung bằng nhau, hai
đường kính của một đường tròn, …-Dùng tính chất đường trung bình của tam giác, hình thang, …
4.Chứng minh hai đường thẳng, hai đoạn thẳng song song-Dùng mối quan hệ giữa các góc: So le bằng nhau, đồng vị bằng nhau, trong cùng
phía bù nhau, …-Dùng mối quan hệ cùng song song, vuông góc với đường thẳng thứ ba.-Áp dụng định lý đảo của định lý Talet.-Áp dụng tính chất của các tứ giác đặc biệt, đường trung bình của tam giác.-Dùng tính chất hai dây chắn giữa hai cung bằng nhau của một đường tròn.
5.Chứng minh hai đường thẳng vuông góc-Chứng minh chúng song song với hai đường vuông góc khác.-Dùng tính chất: đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng song song
thì vuông góc với đường thẳng còn lại.-Dùng tính chất của đường cao và cạnh đối diện trong một tam giác.-Đường kính đi qua trung điểm của dây.-Phân giác của hai góc kề bù nhau.
6.Chứng minh ba điểm thẳng hàng-Dùng tiên đề Ơclit: Nếu AB//d; BC//d thì A, B, C thẳng hàng.-Áp dụng tính chất các điểm đặc biệt trong tam giác: trọng tâm, trực tâm, tâm đường
tròn ngoại tiếp, …
LÊ HÙNG SĨ THCS KIM ĐỒNG -HỘI AN
Gửi tặng www.VNMATH.com
-Chứng minh 2 tia tạo bởi ba điểm tạo thành góc bẹt: Nếu góc ABC bằng 1800 thì A, B, C thẳng hàng.
-Áp dụng tính chất: Hai góc bằng nhau có hai cạnh nằm trên một đường thẳng và hai cạnh kia nằm trên hai nửa mặt phẳng với bờ là đường thẳng trên.
-Chứng minh AC là đường kính của đường tròn tâm B.7.Chứng minh các đường thẳng đồng quy
-Áp dụng tính chất các đường đồng quy trong tam giác.-Chứng minh các đường thẳng cùng đi qua một điểm: Ta chỉ ra hai đường thẳng cắt
nhau tại một điểm và chứng minh đường thẳng còn lại đi qua điểm đó.-Dùng định lý đảo của định lý Talet
***********************************************Chñ ®Ò VII
§8.CHỨNG MINH HAI TAM GIÁC ĐỒNG DẠNGHỆ THỨC HÌNH HỌC
A.KIẾN THỨC CƠ BẢN1.Tam giác đồng dạng
-Khái niệm: A A'; B B'; C C'
ABC A'B'C' khi AB AC BC
A'B' A 'C' B'C'
∠ =∠ ∠ =∠ ∠ =∠∆ ∆ = =
:
-Các trường hợp đồng dạng của hai tam giác: c – c – c; c – g – c; g – g.-Các trường hợp đồng dạng của hai tam giác vuông: góc nhọn; hai cạnh góc vuông;
cạnh huyền - cạnh góc vuông…*Tính chất: Hai tam giác đồng dạng thì tỉ số hai đường cao, hai đường phân giác, hai
đường trung tuyến tương ứng, hai chu vi bằng tỉ số đồng dạng; tỉ số hai diện tích bằng bình phương tỉ số đồng dạng.2.Phương pháp chứng minh hệ thức hình học
-Dùng định lí Talet, tính chất đường phân giác, tam giác đồng dạng, các hệ thức lượng trong tam giác vuông, …
Giả sử cần chứng minh MA.MB = MC.MD-Chứng minh hai tam giác MAC và MDB đồng dạng hoặc hai tam giác MAD và
MCB.-Trong trường hợp 5 điểm đó cùng nằm trên một đường thẳng thì cần chứng minh
các tích trên cùng bằng tích thứ ba.Nếu cần chứng minh MT2 = MA.MB thì chứng minh hai tam giác MTA và MBT
đồng dạng hoặc so sánh với tích thứ ba.Ngoài ra cần chú ý đến việc sử dụng các hệ thức trong tam giác vuông; phương tích
của một điểm với đường tròn.***************************************************
Chñ ®Ò §10.CHỨNG MINH TỨ GIÁC NỘI TIẾPA.KIẾN THỨC CƠ BẢNPhương pháp chứng minh
LÊ HÙNG SĨ THCS KIM ĐỒNG -HỘI AN
Gửi tặng www.VNMATH.com
-Chứng minh bốn đỉnh của tứ giác cùng cách đều một điểm.-Chứng minh tứ giác có hai góc đối diện bù nhau.-Chứng minh hai đỉnh cùng nhìn đoạn thẳng tạo bởi hai điểm còn lại hai góc bằng
nhau.-Chứng minh tổng của góc ngoài tại một đỉnh với góc trong đối diện bù nhau.-Nếu MA.MB = MC.MD hoặc NA.ND = NC.NB thì tứ giác ABCD nột tiếp. (Trong
đó M AB CD; N AD BC= ∩ = ∩ )-Nếu PA.PC = PB.PD thì tứ giác ABCD nội tiếp. (Trong đó P AC BD= ∩ )-Chứng minh tứ giác đó là hình thang cân; hình chữ nhật; hình vuông; …
Nếu cần chứng minh cho nhiều điểm cùng thuộc một đường tròn ta có thể chứng minh lần lượt 4 điểm một lúc. Song cần chú ý tính chất “Qua 3 điểm không thẳng hàng xác định duy nhất một đường tròn”
a) Chóng minh r»ng AEHF vµ AEDB lµ c¸c tø gi¸c néi tiÕp ®êng trßn.b) VÏ ®êng kÝnh AK cña ®êng trßn (O). Chøng minh tam gi¸c ABD vµ tam
gi¸c AKC ®ång d¹ng víi nhau. Suy ra AB.AC = 2R.AD vµ S = . .
4
AB BC CA
R .
c) Gäi M lµ trung ®iÓm cña BC. Chøng minh EFDM lµ tø gi¸c néi tiÕp ®êng trßn.
d) Chøngminh r»ng OC vu«ng gãc víi DE vµ (DE + EF + FD).R = 2 S.
Baøi 4: (4,00 ñieåm) KH
Cho ñöôøng troøn (O; R). Töø moät ñieåm M naèm ngoaøi (O; R) veõ hai tieáp
tuyeán MA vaø MB (A, B laø hai tieáp ñieåm). Laáy ñieåm C baát kì treân cung
nhoû AB (Ckhaùc vôùi A vaø B). Goïi D, E, F laàn löôït laø hình chieáu vuoâng
goùc cuûa C treân AB, AM, BM.
a. Chöùng minh AECD laø moät töù giaùc noäi tieáp.
b. Chöùng minh: · ·CDE CBA=
c. Goïi I laø giao ñieåm cuûa AC vaø ED, K laø giao ñieåm cuûa CB vaø DF.
Chöùng minh IK//AB.
d. Xaùc ñònh vò trí ñieåm C treân cung nhoû AB ñeå (AC2 + CB2) nhoû nhaát.
Tính giaù trò nhoû nhaát ñoù khi OM = 2R.
Bài 4: Cho đường tròn tâm O có các đường kính CD, IK (IK không trùng CD)1. Chứng minh tứ giác CIDK là hình chữ nhật2. Các tia DI, DK cắt tiếp tuyến tại C của đường tròn tâm O thứ tự ở G; H
LÊ HÙNG SĨ THCS KIM ĐỒNG -HỘI AN
Gửi tặng www.VNMATH.com
c. Chứng minh 4 điểm G, H, I, K cùng thuộc một đường tròn.d. Khi CD cố định, IK thay đổỉ, tìm vị trí của G và H khi diện tích tam giác DỊJ đạt giá
trị nhỏ nhất.Bài 4: (3 điểm) BÌNH ĐỊNHCho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn (O), I là trung điểm của BC, M là 1 điểm trên đoạn CI (M khác C và I). Đường thẳng AM cắt (O) tại D, tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác AIM tại M cắt BD tại P và cắt DC tại Q.a. Chứng minh DM . AI = MP . IB
b. Tính tỉ số
Baøi 4 : (3,0 ñieåm) BÌNH ÑÒNH Ñeà chính thöùc
Cho tam giaùc vuoâng ABC noäi tieáp trong ñöôøng troøn taâm O ñöôøng
kính AB. Keùo daøi AC (veà phía C) ñoaïn CD sao cho CD = AC.
1. Chöùng minh tam giaùc ABD caân.
2. Ñöôøng thaúng vuoâng goùc vôùi AC taïi A caét ñöôøng troøn (O) taïi E.
Keùo daøi AE (veà phía E) ñoaïn EF sao cho EF = AE. Chöùng minh
raèng ba ñieåm D, B, F cuøng naèm treân moät ñöôøng thaúng.
3. Chöùng minh raèng ñöôøng troøn ñi qua ba ñieåm A, D, F tieáp xuùc
vôùi ñöôøng troøn (O).Bài 4 (4.0 điểm ) QUẢNG NAM
Cho đường tròn tâm (O) ,đường kính AC .Vẽ dây BD vuông góc với AC tại K ( K nằm giữa A và O).Lấy điểm E trên cung nhỏ CD ( E không trùng C và D), AE cắt BD tại H.
c) Chứng minh rằng tam giác CBD cân và tứ giác CEHK nội tiếp.d) Chứng minh rằng AD2 = AH . AE.e) Cho BD = 24 cm , BC =20cm .Tính chu vi của hình tròn (O).f) Cho góc BCD bằng α . Trên nửa mặt phẳng bờ BC không chứa điểm A , vẽ tam
giác MBC cân tại M .Tính góc MBC theo α để M thuộc đường tròn (O).Bµi 3. nam ®Þnh ( 3,0 ®iÓm) Cho ®êng trßn (O; R) Vµ ®iÓmA n»m ngoµi (O; R) .§-êng trßn ®êng kÝnh AO c¾t ®êng trßn (O; R) T¹i M vµ N. §êng th¼ng d qua A c¾t (O; R) t¹i B vµ C ( d kh«ng ®i qua O; ®iÓm B n»m gi÷a A vµ C). Gäi H nlµ trung ®iÓm cña BC.
1) Chøng minh: AM lµ tiÕp tuyÕn cña (O; R) vµ H thuéc ®êng trßn ®êng kÝnh AO.
2) §êng th¼ng qua B vu«ng gãc víi OM c¾t MN ë D. Chøng minh r»ng: a) Gãc AHN = gãc BDNb) §êng th¼ng DH song song víi ®êng th¼ng MC.
Cho ®iÓm M n»m ngoµi ®êng trßn (O;R). Tõ M kÎ hai tiÕp tuyÕn MA , MB ®Õn ®-êng trßn (O;R) ( A; B lµ hai tiÕp ®iÓm).
a) Chøng minh MAOB lµ tø gi¸c néi tiÕp.b) TÝnh diÖn tÝch tam gi¸c AMB nÕu cho OM = 5cm vµ R = 3 cm.c) KÎ tia Mx n»m trong gãc AMO c¾t ®êng trßn (O;R) t¹i hai ®iÓm C vµ D ( C n»m
Cho tam giác ABC vuông tại A .Một đường tròn (O) đi qua B và C cắt các cạnh AB , AC của tam giác ABC lần lượt tại D và E ( BC không là đường kính của đường tròn tâm O).Đường cao AH của tam giác ABC cắt DE tại K .1.Chứng minh · ·ADE ACB= .2.Chứng minh K là trung điểm của DE.3.Trường hợp K là trung điểm của AH .Chứng minh rằng đường thẳng DE là tiếp tuyến chung ngoài của đường tròn đường kính BH và đường tròn đường kính CH.
Bài 4: (3,5 điểm) KIÊN GIANG
Cho đường tròn (O) có đường kính AB = 2R. Trên tia đối của AB lấy điểm C sao cho
BC = R, trên đường tròn lấy điểm D sao cho BD = R, đường thẳng vuông góc với BC
tại C cắt tia AD ở M.
a) Chứng minh tứ giác BCMD là tứ giác nội tiếp .
b) Chứng minh tam giác ABM là tam giác cân .
c) Tính tích AM.AD theo R .
d) Cung BD của (O) chia tam giác ABM thành hai hần. Tính diện tích phần của tam
giác ABM nằm ngoài (O) .
Bài 5 : (3,5 điểm) AN GIANG
LÊ HÙNG SĨ THCS KIM ĐỒNG -HỘI AN
Gửi tặng www.VNMATH.com
Cho đường tròn (O ; R) đường kính AB và dây CD vuông góc với nhau (CA <
CB). Hai tia BC và DA cắt nhau tại E. Từ E kẻ EH vuông góc với AB tại H ; EH cắt CA ở
F. Chứng minh rằng :
1/ Tứ giác CDFE nội tiếp được trong một đường tròn.
2/ Ba điểm B , D , F thẳng hàng.
3/ HC là tiếp tuyến của đường tròn (O).
Bài 4 (3,5 điểm) THÁI BÌNH Cho đường tròn (O; R) và A là một điểm nằm bên ngoài
đường tròn. Kẻ các tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (B, C là các tiếp điểm).
1)Chứng minh ABOC là tứ giác nội tiếp.
2) Gọi E là giao điểm của BC và OA. Chứng minh BE vuông góc với OA
và OE.OA=R2.
3)Trên cung nhỏ BC của đường tròn (O; R) lấy điểm K bất kì (K khác B và C). Tiếp
tuyến tại K của đường tròn (O; R) cắt AB, AC theo thứ tự tại các điểm P và Q.
Chứng minh tam giác APQ có chu vi không đổi khi K chuyển động trên cung nhỏ BC.
4)Đường thẳng qua O, vuông góc với OA cắt các đường thẳng AB, AC theo thứ tự tại
các điểm M, N. Chứng minh PM + QN ≥ MN.
Bài 4. (3,5 điểm) THÁI BÌNHCho hình vuông ABCD, điểm M thuộc cạnh BC (M khác B, C). Qua B kẻ đường thẳng vuông góc với DM, đường thẳng này cắt các đường thẳng DM và DC theo thứ tự tại H và K.1. Chứng minh: Các tứ giác ABHD, BHCD nội tiếp đường tròn;
2. Tính ·CHK ;
3. Chứng minh KH.KB = KC.KD;
4. Đường thẳng AM cắt đường thẳng DC tại N. Chứng minh 2 2 2
1 1 1
AD AM AN= + .
Câu 8:( 3,0 điểm). VĨNH PHÚC
Trên đoạn thẳng AB cho điểm C nằm giữa A và B. Trên cùng một nửa mặt phẳng có
bờ là AB kẻ hai tia Ax và By cùng vuông góc với AB. Trên tia Ax lấy điểm I, tia vuông
góc với CI tại C cắt tia By tại K. Đường tròn đường kính IC cắt IK tại P ( P khác I)
a, Chứng minh tứ giác CPKB nội tiếp một đường tròn, chỉ rõ đường tròn này.
LÊ HÙNG SĨ THCS KIM ĐỒNG -HỘI AN
Gửi tặng www.VNMATH.com
b, Chứng minh · ·CIP PBK= .
c, Giả sử A, B, I cố định. Hãy xác định vị trí của điểm C sao cho diện tích tứ giác ABKI
lớn nhất.
Bài 4 (3,5 điểm) THANH HÓACho nửa đương tròn tâm O đường kính AB = 2R. Trên tia đối của tia BA lấy điểm G (khác với điểm B) . Từ các điểm G; A; B kẻ các tiếp tuyến với đường tròn (O) . Tiếp tuyến kẻ từ G cắt hai tiếp tuyến kẻ từ A avf B lần lượt tại C và D.1. Gọi N là tiếp điểm của tiếp tuyến kẻ từ G tới nửa đường tròn (O). Chứng minh tứ giác BDNO nội tiếp được.
2. Chứng minh tam giác BGD đồng dạng với tam giác AGC, từ đó suy ra CN DN
CG DG= .
3. Đặt ·BOD α= Tính độ dài các đoạn thẳng AC và BD theo R và α. Chứng tỏ rằng tích AC.BD chỉ phụ thuộc R, không phụ thuộc α.
Bài 3. ( 3,5 điểm ) ĐÀ NẲNG Cho đường tròn (O), đường kính AB cố định, điểm I
nằm giữa A và O sao cho AI = 2
3AO. Kẻ dây MN vuông góc với AB tại I. Gọi C là điểm
tùy ý thuộc cung lớn MN sao cho C không trùng với M, N và B. Nối AC cắt MN tại E.a) Chứng minh tứ giác IECB nội tiếp được trong một đường tròn.b) Chứng minh ∆AME ∆ACM và AM2 = AE.AC.c) Chứng minh AE.AC - AI.IB = AI2.d) Hãy xác định vị trí của điểm C sao cho khoảng cách từ N đến tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác CME là nhỏ nhất.
Câu 4 : PHÚ YÊN ( 2,5 điểm ) Cho hình bình hành ABCD có đỉnh D nằm trên đường tròn
đường kính AB = 2R . Hạ BN và DM cùng vuông góc với đường chéo AC
a) Chứng minh tứ giác : CBMD nội tiếp được
b) Chứng minh rằng : DB.DC = DN.AC
c) Xác định vị trí của điểm D để diện tích hình bình hành ABCD có diện tích lớn
xøng víi O qua A. KÎ ®êng th¼ng d ®i qua B c¾t ®êng trßn (O) t¹i C vµ D (d kh«ng ®i qua O, BC < BD). C¸c tiÕp tuyÕn cña ®êng trßn (O) t¹i C vµ D c¾t nhau t¹i E. Gäi M lµ giao ®iÓm cña OE vµ CD. KÎ EH vu«ng gãc víi OB (H thuéc OB). Chøng minh r»ng:
a) Bèn ®iÓm B, H,M, E cïng thuéc mét ®êng trßn.b) OM.OE = R2
LÊ HÙNG SĨ THCS KIM ĐỒNG -HỘI AN
Gửi tặng www.VNMATH.com
c) H lµ trung ®iÓm cña OA.Bài 5 (3,5 điểm). QUẢNG TRỊ Cho tam giác ABC có góc A bằng 600, các góc B, C nhọn. vẽ các đường cao BD và CE của tam giác ABC. Gọi H là giao điểm của BD và CE.
a/ Chứng minh tứ giác ADHE nội tiếp.b/ Chứng minh tam giác AED đồng dạng với tam giác ACB.
c/ Tính tỉ số BC
DE.
d/ Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Chứng minh OA vuông góc với DE.
Câu 5 (3,5 điểm) QUẢNG TRỊCho điểm A nằm ngoài đường tròn tâm O bán kính R. Từ A kẻ đường thẳng (d) không đi qua tâm O, cắt đường tròn (O) tại B và C ( B nằm giữa A và C). Các tiếp tuyến với đường tròn (O) tại B và C cắt nhau tại D. Từ D kẻ DH vuông góc với AO (H nằm trên AO), DH cắt cung nhỏ BC tại M. Gọi I là giao điểm của DO và BC.1. Chứng minh OHDC là tứ giác nội tiếp được.2. Chứng minh OH.OA = OI.OD.3. Chứng minh AM là tiếp tuyến của đường tròn (O).4. Cho OA = 2R. Tính theo R diện tích của phần tam giác OAM nằm ngoài đường tròn (O).
Cho tam giác MNP cân tại M có cậnh đáy nhỏ hơn cạnh bên, nội tiếp đường tròn ( O;R). Tiếp tuyến tại N và P của đường tròn lần lượt cắt tia MP và tia MN tại E và D.
a) Chứng minh: NE2 = EP.EMb) Chứng minh tứ giác DEPN kà tứ giác nội tiếp.c) Qua P kẻ đường thẳng vuông góc với MN cắt đường tròn (O) tại
K ( K không trùng với P). Chứng minh rằng: MN2 + NK2 = 4R2.
n»m trªn cung trßn cè ®Þnh khi tia Qx thay ®æi vÞ trÝ n»m gi÷a hai tia QP vµ QR
Bài 4: (4,0 điểm) ÐẠI HỌC TÂY NGUYÊN Cho tam giác ABC ( AB < AC) có 3 góc nhọn. Vẽ đường tròn tâm O đường kính BC cắt các cạnh AB, AC theo thứ tự tại E và D .
1/ Chứng minh AD.AC = AE.AB.2/ Gọi H là giao điểm của DB và CE .Gọi K là giao điểm của AH và BC. Chứng minh AH BC⊥ .3/ Từ A kẻ các tiếp tuyến AM , AN với đường tròn (O) (M,N là các tiếp điểm).Chứng
minh · ·ANM AKN= .4/ Chứng minh ba điểm M, H, N thẳng hàng.
Bµi 1 . Cho tam gi¸c ABC cã ba gãc nhän néi tiÕp ®êng trßn (O). C¸c ®êng cao AD, BE, CF c¾t nhau t¹i H vµ c¾t ®êng trßn (O) lÇn lît t¹i M,N,P.Chøng minh r»ng:
Mµ ∠B1 = ∠A1 ( v× cïng phô víi gãc ACB) => ∠E1 = ∠E3 => ∠E1 + ∠E2 = ∠E2 + ∠E3 Mµ ∠E1 + ∠E2 = ∠BEA = 900 => ∠E2 + ∠E3 = 900 = ∠OED => DE ⊥ OE t¹i E.VËy DE lµ tiÕp tuyÕn cña ®êng trßn (O) t¹i E.5. Theo gi¶ thiÕt AH = 6 Cm => OH = OE = 3 cm.; DH = 2 Cm => OD = 5 cm. ¸p dông ®Þnh lÝ Pitago cho tam gi¸c OED vu«ng t¹i E ta cã ED2 = OD2 – OE2 ED2 = 52 – 32 ED = 4cm
Bµi 3 Cho nöa ®êng trßn ®êng kÝnh AB = 2R. Tõ A vµ B kÎ hai tiÕp tuyÕn Ax, By. Qua ®iÓm M thuéc nöa ®êng trßn kÎ tiÕp tuyÕn thø ba c¾t c¸c tiÕp tuyÕn Ax , By lÇn lît ë C vµ D. C¸c ®-êng th¼ng AD vµ BC c¾t nhau t¹i N.1. Chøng minh AC + BD = CD.2. Chøng minh ∠COD = 900.
¸p dông hÖ thøc gi÷a c¹nh vµ ®êng cao trong tam gi¸c vu«ng ta cã OM2 = CM. DM,
Mµ OM = R; CA = CM; DB = DM => AC. BD =R2 => AC. BD = 4
2AB .
Theo trªn ∠COD = 900 nªn OC ⊥ OD .(1)Theo tÝnh chÊt hai tiÕp tuyÕn c¾t nhau ta cã: DB = DM; l¹i cã OM = OB =R => OD lµ trung trùc cña BM => BM ⊥ OD .(2). Tõ (1) Vµ (2) => OC // BM ( V× cïng vu«ng gãc víi OD).
Theo tÝnh chÊt tiÕp tuyÕn ta cã AC ⊥ AB; BD ⊥ AB => AC // BD => tø gi¸c ACDB lµ h×nh thang. L¹i cã I lµ trung ®iÓm cña CD; O lµ trung ®iÓm cña AB => IO lµ ®êng trung b×nh cña h×nh thang ACDB => IO // AC , mµ AC ⊥ AB => IO ⊥ AB t¹i O => AB lµ tiÕp tuyÕn t¹i O cña ®êng trßn ®êng kÝnh CD
6. Theo trªn AC // BD => BD
AC
BN
CN = , mµ CA = CM; DB = DM nªn suy ra DM
CM
BN
CN =
=> MN // BD mµ BD ⊥ AB => MN ⊥ AB.7. ( HD): Ta cã chu vi tø gi¸c ACDB = AB + AC + CD + BD mµ AC + BD = CD nªn suy ra
Tõ gi¶ thiÕt AB = AC = 20 Cm, BC = 24 Cm => CH = 12 cm.AH2 = AC2 – HC2 => AH = 22 1220 − = 16 ( cm)
LÊ HÙNG SĨ THCS KIM ĐỒNG -HỘI AN
Gửi tặng www.VNMATH.com
CH2 = AH.OH => OH = 16
1222
=AH
CH = 9 (cm)
OC = 225129 2222 =+=+HCOH = 15 (cm)
Bµi 5 Cho ®êng trßn (O; R), tõ mét ®iÓm A trªn (O) kÎ tiÕp tuyÕn d víi (O). Trªn ®êng th¼ng d lÊy ®iÓm M bÊt k× ( M kh¸c A) kÎ c¸t tuyÕn MNP vµ gäi K lµ trung ®iÓm cña NP, kÎ tiÕp tuyÕn MB (B lµ tiÕp ®iÓm). KÎ AC ⊥ MB, BD ⊥ MA, gäi H lµ giao ®iÓm cña AC vµ BD, I lµ giao ®iÓm cña OM vµ AB.
1. Chøng minh tø gi¸c AMBO néi tiÕp.2. Chøng minh n¨m ®iÓm O, K, A, M, B cïng n»m trªn mét
®êng trßn .3. Chøng minh OI.OM = R2; OI. IM = IA2.4. Chøng minh OAHB lµ h×nh thoi.5. Chøng minh ba ®iÓm O, H, M th¼ng hµng.6. T×m quü tÝch cña ®iÓm H khi M di chuyÓn trªn ®êng
th¼ng dLêi gi¶i: (HS tù lµm).V× K lµ trung ®iÓm NP nªn OK ⊥ NP ( quan hÖ ®êng
VËy n¨m ®iÓm O, K, A, M, B cïng n»m trªn mét ®êng trßn. 3. Ta cã MA = MB ( t/c hai tiÕp tuyÕn c¾t nhau); OA = OB = R => OM lµ trung trùc cña AB => OM ⊥ AB t¹i I .Theo tÝnh chÊt tiÕp tuyÕn ta cã ∠OAM = 900 nªn tam gi¸c OAM vu«ng t¹i A cã AI lµ ®êng
cao.¸p dông hÖ thøc gi÷a c¹nh vµ ®êng cao => OI.OM = OA2 hay OI.OM = R2; vµ OI. IM = IA2.4. Ta cã OB ⊥ MB (tÝnh chÊt tiÕp tuyÕn) ; AC ⊥ MB (gt) => OB // AC hay OB // AH.
OA ⊥ MA (tÝnh chÊt tiÕp tuyÕn) ; BD ⊥ MA (gt) => OA // BD hay OA // BH.=> Tø gi¸c OAHB lµ h×nh b×nh hµnh; l¹i cã OA = OB (=R) => OAHB lµ h×nh thoi.5. Theo trªn OAHB lµ h×nh thoi. => OH ⊥ AB; còng theo trªn OM ⊥ AB => O, H, M th¼ng
hµng( V× qua O chØ cã mét ®êng th¼ng vu«ng gãc víi AB).6. (HD) Theo trªn OAHB lµ h×nh thoi. => AH = AO = R. VËy khi M di ®éng trªn d th× H còng
2. Hai tam gi¸c vu«ng ABI vµ ABH cã c¹nh huyÒn AB chung, ∠B1 = ∠B2 => ∆ AHB = ∆AIB => AI = AH.3. AI = AH vµ BE ⊥ AI t¹i I => BE lµ tiÕp tuyÕn cña (A; AH) t¹i I.4. DE = IE vµ BI = BH => BE = BI+IE = BH + ED
Bµi 7 Cho ®êng trßn (O; R) ®êng kÝnh AB. KÎ tiÕp tuyÕn Ax vµ lÊy trªn tiÕp tuyÕn ®ã mét ®iÓm P sao cho AP > R, tõ P kÎ tiÕp tuyÕn tiÕp xóc víi (O) t¹i M.
Bµi 9 Cho nöa ®êng trßn (O; R) ®êng kÝnh AB. KÎ tiÕp tuyÕn Bx vµ lÊy hai ®iÓm C vµ D thuéc nöa ®êng trßn. C¸c tia AC vµ AD c¾t Bx lÇn lît ë E, F (F ë gi÷a B vµ E).
VËy bèn ®iÓm A, M, S, P cïng n»m trªn mét ®êng trßn. 2. V× M’®èi xøng M qua AB mµ M n»m trªn ®êng trßn nªn M’ còng n»m trªn ®êng trßn => hai cung AM vµ AM’ cã sè ®o b»ng nhau
3
( ) 4
3 1
1
) (
1 2
2
1
1 H O
S' M'
M
A B
S
P
=> ∠AMM’ = ∠AM’M ( Hai gãc néi tiÕp ch¾n hai cung b»ng nhau) (1)Còng v× M’®èi xøng M qua AB nªn MM’ ⊥ AB t¹i H => MM’// SS’ ( cïng vu«ng gãc víi AB)
Bµi 12 Cho ®êng trßn (O) b¸n kÝnh R cã hai ®êng kÝnh AB vµ CD vu«ng gãc víi nhau. Trªn ®o¹n th¼ng AB lÊy ®iÓm M (M kh¸c O). CM c¾t (O) t¹i N. §êng th¼ng vu«ng gãc víi AB t¹i M c¾t tiÕp tuyÕn t¹i N cña ®êng trßn ë P. Chøng minh :
1. Tø gi¸c OMNP néi tiÕp.2. Tø gi¸c CMPO lµ h×nh b×nh hµnh.3. CM. CN kh«ng phô thuéc vµo vÞ trÝ cña ®iÓm M.4. Khi M di chuyÓn trªn ®o¹n th¼ng AB th× P ch¹y trªn ®o¹n
th¼ng cè ®Þnh nµo.Lêi gi¶i: 1. Ta cã ∠OMP = 900 ( v× PM ⊥ AB ); ∠ONP = 900 (v× NP lµ tiÕp tuyÕn ).Nh vËy M vµ N cïng nh×n OP díi mét gãc b»ng 900 => M vµ N cïng n»m trªn ®êng trßn ®êng kÝnh OP => Tø gi¸c OMNP néi tiÕp.2. Tø gi¸c OMNP néi tiÕp => ∠OPM = ∠ ONM (néi tiÕp ch¾n cung OM)
XÐt hai tam gi¸c OMC vµ MOP ta cã ∠MOC = ∠OMP = 900; ∠OPM = ∠OCM => ∠CMO = ∠POM l¹i cã MO lµ c¹nh chung => ∆OMC = ∆MOP => OC = MP. (1)Theo gi¶ thiÕt Ta cã CD ⊥ AB; PM ⊥ AB => CO//PM (2).Tõ (1) vµ (2) => Tø gi¸c CMPO lµ h×nh b×nh hµnh.3. XÐt hai tam gi¸c OMC vµ NDC ta cã ∠MOC = 900 ( gt CD ⊥ AB); ∠DNC = 900 (néi tiÕp ch¾n nöa ®êng trßn ) => ∠MOC =∠DNC = 900 l¹i cã ∠C lµ gãc chung => ∆OMC ∼∆NDC
=> CM CO
CD CN= => CM. CN = CO.CD mµ CO = R; CD = 2R nªn CO.CD = 2R2 kh«ng ®æi =>
CM.CN =2R2 kh«ng ®æi hay tÝch CM. CN kh«ng phô thuéc vµo vÞ trÝ cña ®iÓm M.4. ( HD) DÔ thÊy ∆OMC = ∆DPO (c.g.c) => ∠ODP = 900 => P ch¹y trªn ®êng th¼ng cè ®Þnh vu«ng gãc víi CD t¹i D. V× M chØ ch¹y trªn ®o¹n th¼ng AB nªn P chØ ch¹y trªn do¹n th¼ng A’ B’ song song vµ b»ng AB.
Bµi 13 Cho tam gi¸c ABC vu«ng ë A (AB > AC), ®êng cao AH. Trªn nöa mÆt ph¼ng bê BC chøa ®iÓn A , VÏ nöa ®êng trßn ®êng kÝnh BH c¾t AB t¹i E, Nöa ®êng trßn ®êng kÝnh HC c¾t AC t¹i F.
3. XÐt hai tam gi¸c AEF vµ ACB ta cã ∠A = 900 lµ gãc chung; ∠AFE = ∠ABC ( theo
Chøng minh trªn) => ∆AEF ∼∆ACB => AE AF
AC AB= => AE. AB = AF. AC.
* HD c¸ch 2: Tam gi¸c AHB vu«ng t¹i H cã HE ⊥ AB => AH2 = AE.AB (*)Tam gi¸c AHC vu«ng t¹i H cã HF ⊥ AC => AH2 = AF.AC (**) Tõ (*) vµ (**) => AE. AB = AF. AC
AB (gt) => EC2 = AC. BC EC2 = 10.40 = 400 => EC = 20 cm. Theo trªn EC = MN => MN = 20 cm.
4. Theo gi¶ thiÕt AC = 10 Cm, CB = 40 Cm => AB = 50cm => OA = 25 cmTa cã S(o) = π .OA2 = π 252 = 625 π ; S(I) = π . IA2 = π .52 = 25 π ; S(k) = π .KB2 = π
. 202 = 400 π .
Ta cã diÖn tÝch phÇn h×nh ®îc giíi h¹n bëi ba nöa ®êng trßn lµ S = 1
2 ( S(o) - S(I) - S(k))
S = 1
2( 625 π - 25 π - 400 π ) =
1
2.200 π = 100 π ≈ 314 (cm2)
Bµi 15 Cho tam gi¸c ABC vu«ng ë A. Trªn c¹nh AC lÊy ®iÓm M, dùng ®êng trßn (O) cã ®êng kÝnh MC. ®êng th¼ng BM c¾t ®êng trßn (O) t¹i D. ®êng th¼ng AD c¾t ®êng trßn (O) t¹i S.
Bµi 16 Cho tam gi¸c ABC vu«ng ë A.vµ mét ®iÓm D n»m gi÷a A vµ B. §êng trßn ®êng kÝnh BD c¾t BC t¹i E. C¸c ®êng thẳng CD, AE lÇn lît c¾t ®êng trßn t¹i F, G.
Chøng minh :1. Tam gi¸c ABC ®ång d¹ng víi tam gi¸c EBD.2. Tø gi¸c ADEC vµ AFBC néi tiÕp .3. AC // FG.4. C¸c ®êng th¼ng AC, DE, FB ®ång quy.
Bµi 17. Cho tam gi¸c ®Òu ABC cã ®êng cao lµ AH. Trªn c¹nh BC lÊy ®iÓm M bÊt k× ( M kh«ng trïng B. C, H ) ; tõ M kÎ MP, MQ vu«ng gãc víi c¸c c¹nh AB. AC.
6. Theo trªn DF ⊥ BE => ∆DEF vu«ng t¹i F cã FM lµ trung tuyÕn (v× M lµ trung ®iÓm cña DE) suy ra MF = 1/2 DE ( v× trong tam gi¸c vu«ng trung tuyÕn thuéc c¹nh huyÒn b»ng nöa c¹nh huyÒn).
khi QH lín nhÊt. QH lín nhÊt khi Q trïng víi trung ®iÓm cña cung AB. §Ó Q trïng víi trung ®iÓm cña cung AB th× P ph¶i lµ trung ®iÓm cña cung AO.ThËt vËy P lµ trung ®iÓm cña cung AO => PI ⊥ AO mµ theo trªn PI // QO => QO ⊥ AB t¹i O => Q lµ trung ®iÓm cña cung AB vµ khi ®ã H trung víi O; OQ lín nhÊt nªn QH lín nhÊt.
Bµi 22. Cho h×nh vu«ng ABCD, ®iÓm E thuéc c¹nh BC. Qua B kÎ ®êng th¼ng vu«ng gãc víi DE, ®êng th¼ng nµy c¾t c¸c ®êng th¼ng DE vµ DC theo thø tù ë H vµ K.
4. (HD) Ta lu«n cã ∠BHD = 900 vµ BD cè ®Þnh nªn khi E chuyÓn ®éng trªn c¹nh BC cè ®Þnh th× H chuyÓn ®éng trªn cung BC (E ≡ B th× H ≡ B; E ≡ C th× H ≡ C).
Bµi 23. Cho tam gi¸c ABC vu«ng ë A. Dùng ë miÒn ngoµi tam gi¸c ABC c¸c h×nh vu«ng ABHK, ACDE.
1. Chøng minh ba ®iÓm H, A, D th¼ng hµng.2. §êng th¼ng HD c¾t ®êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c
2. Gäi K lµ trung ®iÓm cña HE (1) ; I lµ trung ®iÓm cña HB => IK lµ ®êng trung b×nh cña tam gi¸c HBE => IK // BE mµ ∠AEC = 900 nªn BE ⊥ HE t¹i E => IK ⊥ HE t¹i K (2).Tõ (1) vµ (2) => IK lµ trung trùc cña HE . VËy trung trùc cña ®o¹n HE ®i qua trung ®iÓm I cña BH.
1. Theo gi¶ thiÕt F lµ ®iÓm ®èi xøng cña H qua trung ®iÓm I cña BC => I lµ trung ®iÓm BC vµ HE => BHCF lµ h×nh b×nh hµnh v× cã hai ®êng chÐo c¾t nhau t¹i trung ®iÓm cña mçi ®êng .
=> Tø gi¸c ABFC néi tiÕp => F thuéc (O).* H vµ E ®èi xøng nhau qua BC => ∆BHC = ∆BEC (c.c.c) => ∠BHC = ∠BEC => ∠ BEC + ∠BAC = 1800 => ABEC néi tiÕp => E thuéc (O) .
3. Ta cã H vµ E ®èi xøng nhau qua BC => BC ⊥ HE (1) vµ IH = IE mµ I lµ trung ®iÓm cña cña HF => EI = 1/2 HE => tam gi¸c HEF vu«ng t¹i E hay FE ⊥ HE (2)Tõ (1) vµ (2) => EF // BC => BEFC lµ h×nh thang. (3)Theo trªn E ∈(O) => ∠CBE = ∠CAE ( néi tiÕp cïng ch¾n cung CE) (4).Theo trªn F ∈(O) vµ ∠FEA =900 => AF lµ ®êng kÝnh cña (O) => ∠ACF = 900 => ∠BCF = ∠CAE ( v× cïng phô ∠ACB) (5).
Mét c¸i phÔu cã h×nh trªn d¹ng h×nh nãn ®Ønh S, b¸n kÝnh ®¸y R = 15cm, chiÒu cao h = 30cm. Mét h×nh trô ®Æc b»ng kim lo¹i cã b¸n kÝnh ®¸y r = 10cm ®Æt võa khÝt trong h×nh
LÊ HÙNG SĨ THCS KIM ĐỒNG -HỘI AN
Gửi tặng www.VNMATH.com
nãn cã ®Çy níc (xem h×nh bªn). Ngêi ta nhÊc nhÑ h×nh trô ra khái phÔu. H·y tÝnh thÓ tÝch vµ chiÒu cao cña khèi níc cßn l¹i trong phÔu.
Bài 5: Hà Tĩnh Các số [ ]4;1,, −∈cba thoả mãn điều kiện 432 ≤++ cba
chứng minh bất đẳng thức: 3632 222 ≤++ cba
Đẳng thức xảy ra khi nào?Câu 5: (1,0 điểm) BÌNH ĐỊNHCho 3 số dương a, b, c thoả mãn điều kiện a+b+c=3. Chứng minh rằng:
Baøi 5 : (1,0 ñieåm) BÌNH ÑÒNH Ñeà chính thöùc
Vôùi moãi soá k nguyeân döông, ñaët Sk = ( 2 + 1)k + ( 2 - 1)k
Chöùng minh raèng: Sm+n + Sm- n = Sm .Sn vôùi moïi m, n laø soá
nguyeân döông vaø m > n.Bµi 5 (1,5 ®iÓm) nam ®Þnh
1) Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh: 2 2 2
2 0
( 1) 1
x y xy
x y x y xy
+ − =
+ − = − +
2) Chøng minh r»ng víi mäi x ta lu«n cã: 2 2(2 1) 1 (2 1) 1x x x x x x+ − + > − + +
Bài 4 :(1điểm) HẢI PHÒNG
Cho 361 số tự nhiên 1 2 3 361a ,a ,a ,.............., a thoả mãn điều kiện
1 2 3 361
1 1 1 1.................. 37
a a a a+ + + + =
Chứng minh rằng trong 361 số tự nhiên đó, tồn tại ít nhất 2 số bằng nhau.Bài 5 (0,5 điểm) THÁI BÌNH
Giải phương trình: ( )2 2 3 21 1 12 2 1
4 4 2x x x x x x- + + + = + + +
Bài 5. (0,5 điểm) THÁI BÌNH
Giải phương trình: 1 1 1 1
3x 2x 3 4x 3 5x 6
+ = + ÷− − − .
Bài 5 (1,0 điểm) THANH HÓA
Cho số thực m, n, p thỏa mãn : 2
2 2 31
2
mn np p+ + = − .
Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức : B = m + n + p.
LÊ HÙNG SĨ THCS KIM ĐỒNG -HỘI AN
Gửi tặng www.VNMATH.com
Bài 4. ( 1,5 điểm ) ĐÀ NẲNGNgười ta rót đầy nước vào một chiếc ly hình nón thì được 8 cm3. Sau đó người ta rót nước từ ly ra để chiều cao mực nước chỉ còn lại một nửa. Hãy tính thể tích lượng nước còn lại trong ly.
Câu 5 : PHÚ YÊN ( 1.0 điểm ) Cho D là điểm bất kỳ trên cạnh BC của tam giác ABC
nội tiếp trong đường tròn tâm O Ta vẽ hai đường tròn tâm O1 , O2 tiếp xúc AB , AC
lần lượt tại B , C và đi qua D . Gọi E là giao điểm thứ hai của hai đường tròn này .