TỔNG HỢP CÁC BÀI TOÁN DAO ĐỘNG CƠ Vật lí phổ thông

TỔNG HỢP

CÁC BÀI TOÁNDAO ĐỘNG CƠ

Vật lí phổthông

Ngôi nhà

nơi giaolưu,

học hỏichia sẻ

nơi tìmđượcniềm

đam mê

nơi cùngnhau

học tập

nơi cùngnhau

chém gió

Người bạn

thânthiết

vui tính

λ

ωt + ϕ

RLC

Diễn đàn Vật lí phổ thôngLATEX by Mod GS.Xoăn

http://vatliphothong.vn


1 Dao động điều hòa

Bài toán 1: Một chất điểm dao động điều hòa với phương trình x1 = A1 cosωt thì có cơ

năng W1. Khi chất điểm này dao động với phương trình x2 = A2 cos(ωt+

π

3

)thì có cơ năng

W2 = 4W1. Khi chất điểm dao động với phương trình x = x1 + x2 thì có cơ năng?

Lời giải:

Ta có: W =1

2m (ωA)2

⇒ W1

W2

=

(A1

A2

)2

=1

4

⇒ A2 = 2A1

Biên độ dao động tổng hợp:

A =√A2

1 + A22 + 2A1A2 cos ∆ϕ = A1

√7

⇒ W

W1

=

(A

A1

)2

= 7→ W = 7W1

Bài toán 2: Cho con lắc lò xo dao động trên trần thang máy, khi thang máy đứng yên thìcon lắc dao động với chu kì T = 0, 4(s) và biên độ A = 5(cm). Khi con lắc qua vị trí lò xokhông biến dạng theo chiều từ trên xuống thì cho thang máy chuyển động nhanh dần đềulên với gia tốc a = 5(m/s2). Tìm biên độ sau đó của con lắc.

A. 5cm. B. 5√

3cm. C. 3√

5. D. 7.

Lời giải:Ta có độ biến dạng của lò xo tại vị trí cân bằng:

x = ∆l =mg

k=T 2g

4π2= 4cm.

Xét chuyển động của con lắc với thang máy: Chọn chiều dương hướng lên. Thang máy chuyển độngnhanh dần đều ở vị trí

x = ∆l.

Khi thang máy chuyển độn, vị trí cân bằng bị dịch xuống dưới một đoạn bằng:

y = ∆l′ =m(g + a)

k− mg

k.

Nên li độ lúc sau là:x+ y.

Ta có:

A2 = x2 +( vω

)2

.

A′2 = (x+ y)2 +( vω

)2

.

Từ đó ta có:A′2 = A2 + y2 + 2xy.

2

http://vatliphothong.vn/


Tính ra:A′ = 3

√5.

Chọn C.

Bài toán 3: Một vật thực hiện ba dao động điều hòa có phương trình x1 =10. sin (100πt+ ϕ) (cm) ; x2 = 5. cos (100πt+ ϕ) (cm) và x3 = A. cos (100πt+ ϕ) (cm). Biếtrằng x2

1 + x22 + x2

3 = 100 . Tìm A?

Lời giải:Ta có: x2

1 + x22 + x2

3 = 100⇔ 102[1− cos2 (ωt+ ϕ)] + 52 cos2 (ωt+ ϕ) + A cos2 (ωt+ ϕ) = 100Vì ϕ như nhau. Đặt cos2 (ωt+ ϕ)

⇒ −102 + 52 + A2 = 0 ⇒ A = 5√

3

Bài toán 4: Một con lắc đơn có khối lượng của quả cầu m = 0, 2kg, chiều dài của dây treol = 0, 4m, treo vào một điểm cố định tại nơi có gia tốc trọng trường g = 10

(m/s2

). Kéo vật

khỏi vị trí cân bằng sao cho dây reo hợp với phương thẳng đứng một góc 0, 1rad, rồi truyềncho vật một vận tốc 0, 15 (m/s) theo phương vuông góc với dây treo về vị trí cân bằng. Saukhi vật được truyền vận tốc xem như con lắc dao động đều hòa. Lực căng của dây treo khi

vật nặng qua vị trí s =So2, So là biên độ dài.

A. 1, 01N . B. 2, 02N . C. 3, 03N . D. 4, 04N .

Lời giải:Sử dụng công thức độc lập ta có:

(Lα0)2 = (0, 1L)2 +0, 152

g

l

⇒ α0 = 0, 125 (rad)

Do vật dao động với góc nhỏ, nên ta có:

T = mg

(α2

0 −3

2α2 + 1

)= mg

(1 +

5

8α2

0

)≈ 2, 02 (N)

Đáp án B.

Bài toán 5: Một vật thực hiện đồng thời 3 giao động điều hòa cùng tần số x1,x2,x3. Với

x12 = x1 + x2,x23 = x2 + x3,x13 = x1 + x3,x = x1 + x2 + x3. Biết x12 = 6 cos(πt+

π

6

),

x23 = 6 cos

(πt+

2π

3

),x13 = 6

√2 cos

(πt+

5π

12

). Tìm x biết x2 = x2

1 + x23

Lời giải:Phương trình của dao động tổng hợp là :

x = x1 + x2 + x3 =x12 + x23 + x13

2= 6√

2∠5π

12

⇒ x = 6√

2cos

(πt+

5π

12

)(cm)

Tương tự: x1 = x− x23 = 6 cos

(πt+

π

6

)cm

x2 = x− x13 = 0

x3 = x− x12 = 6 cos

(πt+

2π

3

)cm

3



Theo bài:x2 = x21+x2

3 và x = x1+x2+x3 = x1+x3 ⇒ x1x3 = 0⇒[x1 = 0x3 = 0 ⇒

πt+π

6=π

2+ kπ

πt+2π

3=π

2+ kπ

⇒

πt+5π

12=

3π

4+ kπ

πt+5π

12=π

4+ kπ

⇒ x = 6√

2 cos

(πt+

5π

12

)= ±6 cm

Bài toán 6: Một con lắc lo xò nằm ngang có độ cứng là k vật nối vào lò xò có khối lượngm = 0, 1 kg kích thích để con lắc dao động điều hòa với W = 0, 02J khoảng thời gian ngắnvật đi giữa 2 vị trí có cùng tốc độ vo = 10π (cm/s) < vmax là 1/6(s). Gọi Q là điểm cố địnhcủa lò xò khoảng thời gian ngắn nhất giữa 2 lần liên tiếp Q chịu lực dụng lúc kéo lo xò cóđộ lớn 0,2N là.

A. 0, 5s. B.1

6s. C. 0, 25s. D.

1

3s.

Lời giải:Chọn chiều dương hướng ra xa đầu cố định.

0, 02 =mV 2

max

2⇒ Vmax = 20π ( (cm/s))

v =Vmax

2↔ |x| = A

√3

2

Quãng đường vật đi trong 1/6(s) là:

A√

3

2→ A→ A

A√

3

2

⇒ 1

6=

T

12+T

12⇒ T = 1 (s)

Ta có: A =

Vmaxω

= 10 (cm)

K = mω2 = 4

(N

m

)Vậy khi chịu tác dụng lực kéo 0, 2 (N) vật đang ở li độ x =

A

2. Để thời gian ngắn nhất thì vật đi:

A

2→ A→ A

2

⇒ t =T

6+T

6=

1

3(s)

Ta chọn đáp án D.

Bài toán 7: Một vật có khối lượng m1 = 1, 25kg mắc vào lò xo nhẹ có độ cứng k = 200 N/m,đầu kia của lò xo gắn chặt vào tường. Vật và lò xo đặt trên mặt phẳng nằm ngang có masát không đáng kể. Đặt vật thứ hai có khối lượng m2 = 3, 75kg sát với vật thứ nhất rồi đẩychậm cả hai vật cho lò xo nén lại 8 cm. Khi thả nhẹ chúng ra, lò xo đẩy hai vật chuyển độngvề một phía. Lấy π2 = 10, khi lò xo giãn cực đại lần đầu tiên thì hai vật cách xa nhau mộtđoạn là:

A. 4π − 8 (cm). B. 16 (cm). C. 2π − 4 (cm). D. 4π − 4 (cm).

Lời giải:

4



Ban đầu hệ 2 vật dao động với: ω1 =

√k

m1 +m2

= 2π

Hệ vật chuyển động từ VT li độ (-8cm) đến VTCB, vận tốc tại VTCB là v0:v0 = ω1A1 = 16π (cm/s) (A1 = 8 (cm))Từ VTCB 2 vật rời nhau:+m1 chuyển động chậm dần tới VT biên A2 (lò xo giãn cực đại)+m2 chuyển động thẳng đều với vận tốc v0 (vì không có ma sát)m1 dao động điều hoà với:

ω2 =

√k

m1

= 4π;T2 = 0, 5 (s) ;A2 =v0

ω2

= 4 (cm)

Thời gian m1 từ VTCB tới biên là:T2

4;

+Trong thời gian đó m2 chuyển động được đoạn: S =v0.T2

4= 2π (cm)

+Khoảng cách giữa 2 vật là : S˘A2 = 2π − 4 (cm). Từ đó ta chọn đáp án C.

Bài toán 8: Một con lắc đồng hồ được coi như một con lắc đơn có chu kỳ dao động T = 2 (s),vật nặng có khối lượng m = 1 kg. Biên độ góc dao động lúc đầu là α0 = 50. Do chịu tác dụngcủa lực cản không đổi là Fc = 0, 011 (N) nên nó chỉ dao động trong một thời gian τ (s) rồidừng lại. Người ta dùng một phi có suất điện động 3V điện trở không đáng kể để bổ sungnăng lượng cho con lắc với hiệu suất H = 25%. Pin có điện lượng ban đầu Q0 = 104 (C). Hỏiđồng hồ chạy được thời gian bao lâu rồi mới lại thay pin?

Lời giải:Gọi ∆α là độ giảm biên độ góc mỗi lần qua vị trí cân bằng ∆α = α0 − αCơ năng ban đầu của con lắc đơn:

W0 = mgl (1− cosα0) = mgl.2 sin2 α20

2≈ mgl

α20

2với l =

T 2g

4π2

Độ giảm cơ năng sau nửa chu kỳ: ∆W =mgl (α2

0 − α2)

2

∆W = Fc.l (α0 + α) ,mgl (α2

0 − α2)

2= Fc.l (α0 + α)

⇒ ∆α =2Fcmg

= 0, 00245

α0 =5.3, 14

180= 0, 08722

∆W = 2Fc.l (α0 + α) = 2Fc.l (2α0 −∆α) = 0, 00376 (J)Đây là phần năng lượng tiêu hao sau một chu kì tức là sau 2s

Năng lượng của nguồn: W = ξ.Q0 = 3.104 (J)Năng lượng có ích cung cấp cho đồng hồ: Wcoich = HW = 0, 75.104 (J)Thời gian pin cung cấp năng lượng cho đồng hồ:

t =Wcoich

∆W=

7500

0, 00376= 19946808, 5 =

19946808, 5

86400= 23, 086 ≈ 23ngày.

Bài toán 9: Hai chất điểm chuyển động trên quỹ đạo song song sát nhau, cùng gốc tọa độvới các phương trình x1 = 3 cos (ωt) (cm) và x2 = 4 sin (ωt) (cm). Khi hai vật ở xa nhau nhấtthì chất điểm 1 có li độ bao nhiêu?

Lời giải 1:

5



Ta nhận thấy 2 phương trình chuyển động vuông pha với nhau. A2 = x21 + x2

2 ⇔ A = 5Khi 2 vật ở xa nhau nhất có nghĩa khoảng cách chúng nó max suy ra hình đó phải là hình chữ nhật

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác.1

x2=

1

x21

+1

x22

⇔ x = 2, 4 Đặt cạnh cần tìm là y.

y2 + (2, 4)2 = 32 ⇔ y = 1, 8

Chất điểm 1 có li độ bằng 1, 8 cmLời giải 2:

+Khoảng cách hai chất điểm: d = |x1 − x2| = 5.| cos

(ωt+

53π

180

)| (cm)

⇒ Khoảng cách này cực đại:

dmax =√

32 + 42 = 5 (cm)⇒(ωt+

53π

180

)= ±1⇒ ωt = ±0, 6

+Li độ của chất điểm 1 là: x1 = 3 cos (ωt) = 3 cos (±0, 6) = ±1, 8 (cm)

Bài toán 10: Có hai con lắc lò xo giống hệt nhau dao động điều hoà trên mặt phẳng nằmngang dọc theo hai đường thẳng song song cạnh nhau và song song với trục Ox. Biên độcủa con lắc 1 là A1 = 4cm, của con lắc 2 là A2 = 4

√3cm, con lắc 2 dao động sớm pha hơn

con lắc 1. Trong quá trình dao động khoảng cách lớn nhất giữa hai vật dọc treo trục Ox làa = 4cm. Khi động năng của con lắc 1 cực đại là W thì động năng của con lắc 2 là?

Lời giải 1:

Ta có: Khoảng cách cực đại hai con lắc: ∆xmax =∣∣∣ ~A1 − ~A2

∣∣∣Suy ra

∆x2max = A2

1 + A22 − 2A1.A2 cos ∆ϕ

hay

42 = 42 +(

4√

3)2

− 2.4.4√

3 cos ∆ϕ⇒ cos ∆ϕ =

√3

2⇒ ∆ϕ =

π

6

Con lắc thứ 2 dao động sớm pha hơn con lắc thứ nhất, nên không mất tính tổng quát ta có thể

chọn ϕ1 = 0, ϕ2 =π

6Khi đó phương trình dao động hai con lắc là:

x1 = A1 cos (ωt)

x2 = A2 cos(ωt +

π

6

)Khi v1max = ωA1 suy ra ωt =

π

2Suy ra

v2 = (x2)′ = −ωA2 sin(π

2+π

6

)= −ωA2

√3

2

6



Nên:

W

W ′ =

1

2ω2A2

1

1

2ω2A2

2.3

4

=4

3

A21

A22

=4

9

Lời giải 2:Giả sử dao động của con lắc thứ hai sớm pha hơn con lắc thứ nhất là ϕ, vẽ giản đồ

vecto−→A1,−→A2 như hình vẽ.

Khoảng cách lớn nhất giữa hai vật dọc theo trục Ox khi M0N0 song song với trục Ox.Ta có tam giác OM0N0 là tam giác cân và có:OM0 = M0N0 = A1 = 4 (cm) , ON0 = A2 = 4

√3 (cm)

Góc M0ON0 = ϕ⇒ cosϕ =

√3

2⇒ ϕ =

π

6Động năng của con lắc thứ nhất cực đại khi x1 = 0

Vật 1 ở M:−→A1 quay góc

π

2. W =

kA21

2. Khi đó: x2 = −A2

2= −2

√3 (cm)

W ′ =kA2

2

2− kx2

2

2=

3

4.3.kA2

1

2=

9W

4

Bài toán 11: Cho một con lắc đơn có vật nặng 100g, tích điện 0, 5mC, dao động tại nơi cógia tốc g = π2 = 10

(m/s2

). Đặt con lắc trong điện trường đều có véc tơ điện trường nằm

ngang, độ lớn 2000√

3

(V

m

). Đưa con lắc về vị trí thấp nhất rồi thả nhẹ. Tìm lực căng dây

treo khi gia tốc vật nặng cực tiểu?

Lời giải 1:

7



Biểu thức lực căng khi gia tốc vật nặng cực tiểu:

τ = mg (3− 2 cosα0)

Với tanα0 =FdP

=qE

mg=√

3⇒ α0 = 600 ⇒ cosα0 =1

2Nên khi đó τ = 2N

Lời giải 2:Biên độ góc là α

Tại vị tí cân bằng dây treo lệch góc α, ta có: tgα =qE

mg⇒ α = 300

Gia tốc hướng tâm: aht = 2g (cosϕ− cosα0)(0 ≤ ϕ ≤ 600

)Gia tốc tiếp tuyến: att = 2g sinϕ

Gia tốc của con lắc: a2 = a2ht + a2

tt = g2 sin2 ϕ+ 4g2

(cosϕ−

√3

2

)2

⇒ a = g√

3

(2√3− cosϕ

)2

amin ⇔ cosϕ = 1⇒ ϕ = 0

Lại có: T = mghd = m

√g2 +

(qE

m

)2

= 0, 1.20 = 2 (N)

Bài toán 12: Một con lắc đơn có chiều dài l = 64 (cm) và khối lượng m = 100 (g). Kéo conlắc lệch khỏi vị trí cân bằng một góc 60 rồi thả nhẹ cho dao động. Sau 20 chu kì thì biên độgóc chỉ còn là 30. Lấy g = π2 = 10

(m/s2

). Để con lắc dao động duy trì với biên độ góc 60

thì phải dùng bộ máy đồng hồ để bổ sung năng lượng có công suất trung bình là?

Lời giải:Ta có: α0 = 60 = 0, 1047 (rad)

Cơ năng ban đầu: W0 = mgl (1− cosα0) = 2mgl sin2 α0

2≈ mgl

α20

2

Cơ năng sau t = 20T : W = mgl (1− cosα) = 2mgl sin2 α

2≈ mgl

α2

2= mgl

α20

8

Độ giảm cơ năng sau 20 chu kì: ∆W = mgl

(α2

0

2− α2

0

8

)= mgl

3α20

8= 2, 63.10−3 (J)

T = 2π

√l

g= 2π

√0, 64

π2= 1, 6 (s)

Công suất trung bình cần cung cấp để con lắc dao động duy trì với biên độ góc là

60: Wtb =∆W

20T=

2, 63.10−3

32= 0, 082.10−3 (W ) = 0, 082 (mW )

Bài toán 13: Cho 2 chất điểm A và B dao động theo phương vuông góc nhau có cùng vị trícân bằng tại O và có phương trình lần lượt là:x1 = A cos (ωt+ ϕ1) và x2 = A

√2 cos (ωt+ ϕ2).

Tại thời điểm t1 chất điểm A có li độ là 3 (cm) và chất điểm B có li độ a (cm). Sau đóT

4chu kì

A có li độ là b (cm) và B có li độ là 5 (cm). Biết tại mọi thời điểm ta luôn có x1v1 +x2v2 = 0.Khoảng cách giữa hai chất điểm bằng?

Lời giải:

Hai thời điểm cách nhau khoảng thời gianT

4thì dao động vuông pha nên:{

32 + b2 = A2

a2 + 52 = 2A2

⇒ a2 + 52 = 2(32 + b2

)⇔ a2 − 2b2 = −7 (1)

8



Mặt khác từ dữ kiện đề bài x1v1 + x2v2 = 0 Nguyên hàm 2 vế:∫(x1v1 + x2v2) =

∫0

⇔ x21 + x2

2 = C

với C là hằng số, nên khi đó:

32 + a2 = b2 + 52 ⇔ a2 − b2 = 52 − 313 = 16 (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ: {a2 − 2b2 = −7a2 − b2 = 16

⇔{a =√

39b =√

23

⇒ d =√

25 + b2 =√

48

Bài toán 14: Một lò xo lí tưởng PQ có độ cứng 3N/cm. Đầu dưới Q của lò xo gắn với mặtsàn nằm ngang, đầu trên P gắn với vật nhỏ có khối lượng 750g. Từ vị trí cân bằng của vật,người ta đưa vật đến vị trí lò xo bị nén 5mm, rồi truyền cho vật vận tốc 40

√3 (cm/s) hướng

về vị trí cân bằng. Lấy g = 10(m/s2

), giả thiết, trong suốt quá trình chuyển động của vật,

lò xo luôn được giữa theo phương thẳng đứng. Trong khoảng thời gian t = kT ( k nguyên8 ≤ k ≤ 12) kể từ lúc vật bắt đầu dao động. Gọi t1 là khoảng thời gian lúc tác dụng lên điểmQ cùng chiều với trọng lực, t2 là khoảng thời gian lực tác dụng lên điểm Q ngược chiều với

trọng lực. Tỉ sốt1t2

=?

Lời giải:Ta có: tần số góc dao động: ω = 20 ( (rad/s))

Độ giãn của lò xo tại VTCB: ∆l =mg

k=

7, 5

300=

1

40(m) = 25 (mm)

Tại t=0: x0 = 20 (mm). Biên độ dao động của con lắc lò xo: A2 = x20 +

v2

ω2⇒ A = 0, 04 (m) =

40 (mm)Thời gian lực tác dụng lên điểm Q cùng chiều với trọng lực ứng với thời gian lò xo bị nén, ngượcchiều ứng với thời gian lò xo bị giãn tượng ứng với thời gian vật đi từ li độ x = −∆l = −25 (mm)đến vị trí biên âm −40 (mm) và ngược lại Xét trong một chu kì thời gian lò xo giãn ứng với gócquét 2ϕ

Với cosϕ =25

40=

5

8⇒ ϕ = 0, 285π ⇒ 2ϕ = 0, 57π

tgian =0, 57T

2= 0, 285T ⇒ tnen = 1− 0, 285T = 0, 715T

t2 = ktgian = 0, 3 = 0, 285kTt1 = ktnen = 0, 715kT

⇒ t1t2

=0, 715

0, 285= 2, 509 ≈ 3

9



Bài toán 15: Một lò xo nhẹ có chiều dài l0, độ cứng k = 16 N/m được cắt ra thành hai lòxo, lò xo thứ nhất có chiều dài l1 = 0, 8l0, lò xo thứ hai có chiều dài l2 = 0, 2l0.Hai vật nhỏm1 và m2 có khối lượng bằng nhau m1 = m2 = 500 (g) đặt trên mặt phẳng nhẵn nằm ngangvà được gắn vào tường nhờ các lò xo trên (hình vẽ) Khoảng cách giữa hai vật khi hai lò xochưa biến dạng là O1O2 = 20 (cm). Lấy gần đúng π2 = 10. Người ta kích thích cho hai vậtdao động dọc theo trục x: Vật thứ nhất bị đẩy về bên trái còn vật thứ hai bại đẩy về bênphải rồi đồng thời buông nhẹ để hai vạ dao động điều hòa. Biết động năng cực đại của haivật bằng nhau và bằng 0, 1 (J). Kể từ lúc thả các vật, sau khoảng thời gian ngắn nhất là baonhiêu khoảng cách giữa chúng là nhỏ nhất, tính khoảng cách nhỏ nhất đó?

Lời giải:

Biên độ mỗi vật A1 =

√2W0

k1

= 10 (cm) và A2 =

√2W0

k2

= 5 (cm)

Tần số góc dao động mỗi vật là:

ω1 =

√k1

m= 2π ( (rad/s)) , ω2 =

√k2

m= 2ω

Phương trình dao động mỗi vật đối với vị trị cân bằng của chúng

x1 = A1 cos (ω1t+ ϕ1) = 10 cos (ωt− π)

x2 = A2 cos (ω2t+ ϕ2) = 5 cos (2.ωt)

Khoảng cách hai vật tại một thời điểm bất kỳ:

d = |O1O2 + x2 − x1 = 20 + 5 cos (2ωt)− 10 cos (ωt− π) |

Biến đổi:

d = |20 + 5(2 cos2 ωt− 1

)+ 10 cosωt = 15 + 10

(cos2 ωt+ cosωt

)|

⇒ d =

∣∣∣∣15 + 10

(cos2 ωt+ 2

1

2cosωt+

1

4

)− 2, 5

∣∣∣∣=

∣∣∣∣∣12, 5 +

(cosωt+

1

2

)2∣∣∣∣∣

Vậy khoảng cách nhỏ nhất giữa hai vật là : dmin = 12, 5 (cm) xảy ra khi và chỉ khi cosωt =−1

2Để tìm khoảng cách kể từ lúc thả đến khi đạt khoảng cách cực tiểu lần đầu tiên ta giải phương

trình trên:cosωt =−1

2= cos

(±2π

3

). Vậy t =

1

3+ k hoặc t = −1

3+ k. Từ đó ta lấy nghiệm :

tmin =1

3(s)

Bài toán 16: Cho cơ hệ như hình vẽ. Lò xo có khối lượng không đáng kể có độ cứngk = 50N/m. Vật M = 200g, vật m = 300g. Khi m2 đang cân bằng ta thả M từ độ cao h (sovới m). Sau va chạm m dính chặt với M , cả hai cùng dao động với biên độ A = 10cm. Tínhđộ cao h

10



Lời giải:Chọn chiều dương hướng xuống. Ta thấy, sau khi va chạm thì vị trí cân bằng mới sẽ thấp hơn vịtrí cân bằng cũ một đoạn:

s =Mg

k= 0, 04 (m).

Tại vị trí cân bằng, lò xo nén đoạn:

s′ =(M +m) g

k= 0, 1 (m) = A

Do đó. Khi va chạm, hệ vật ở vị trí có li độ x = −4 (cm). Vận tốc của hệ vật:

v = ω′√A2 − x2 =

√k

M +m

√A2 − x2 = 20

√21(cms

)Lại có:

v0 =v (M +m)

M= 50

√21(cms

)=

√21

2

(ms

)⇔√

2gh =

√21

2→ h = 0.2625 (m)

Bài toán 17: Con lắc lò xo gồm vật nhỏ có khối lượng m = 1kg và lò xo nhẹ có độ cứngk = 100N/m được treo thẳng đứng vào một điểm cố định. Vật được đặt trên một giá đỡ D.Ban đầu giá đỡ D đứng yên và lò xo dãn 1cm. Cho D chuyển động nhanh dần đều thẳngđứng xuống dưới với gia tốc a = 1m/s2. Sau khi rời khỏi giá đỡ, vật m dao động điều hoàvới biên độ xấp xỉ bằng

A. 6,08cm. B. 9,08cm. C. 4,12cm. D. 11,49cm.

Lời giải:Nếu không có giá đỡ thì độ giãn của lò xo là:

∆l =mg

k= 10 (cm)

Khi còn ở trên giá đỡ vật chịu tác dụng của lực đàn hồi, trọng lực và phản lực. Theo định luật 2Newton thì: −→

Fdh +−→P +

−→N = m−→a

Khi rời giá đỡ phản lực bằng 0 nên

P − Fdh = ma→ mg − k∆l′ = ma

→ ∆l′ =m (g − a)

k= 9cm

11



Vậy giá đỡ rời vật khi lò xo giãn 9cm→ Quãng đường đi được tới lúc giãn 9cm là S = 9−1 = 8 (cm)và vật cách VTCB 1 đoạn x = 1cm.Vận tốc của vật lúc rời khỏi giá đỡ:v =

√2a.S = 40 (cm/s)

Hệ thức độc lập với thời gian:A =

√x2 +

A2

ω2= 4, 12cm

Bài toán 18: Một con lắc đơn có khối lượng m1 = 400 (g), có chiều dài l = 160 (cm). Banđầu người ta kéo vật lệch khỏi VTCB một góc 600 rồi thả nhẹ cho vật dao động, khi vật điqua VTCB vật va chạm mềm với vật m2 = 100 (g) đang đứng yên, lấy g = π2 = 10

(m/s2

).

Khi đó biên độ góc của con lắc sau khi va chạm là?

Lời giải:Vận tốc của con lắc khi ở VTCB:

v1 =√

2gl (1− cosα0) =2√

10

5

Vận tốc của hệ vật sau khi va chạm:

V =m1v1

m1 +m2

=8√

10

25

Mà :V =√

2gl (1− cosα′0) Nên:

v1

V=

√1− cosα0

1− cosα′0

Từ đó suy ra: α′0 = 0, 823 (rad) ≈ 470

Hình vẽ:

Công thức tính nhanh:

v1

V=

√1− cosα0

1− cosα′0=m1 +m2

m1

Bài toán 19: Một con lắc đơn có khối lượng m1 = 400 (g), có chiều dài l = 160 (cm). Banđầu người ta kéo vật lệch khỏi VTCB một góc 600 rồi thả nhẹ cho vật dao động, khi vật điqua VTCB vật va chạm mềm với vật m1 = 100 (g) đang đứng yên, lấy g = π2 = 10

(m/s2

).

Khi đó biên độ góc của con lắc sau khi va chạm là?

12



Lời giải:Tốc độ ngay trước lúc va chạm là : vmax =

√2gl (1− cosα)

Tốc độ ngay sau lúc va chạm là: V =m1vmax

(m1 +m2)

Đây cũng là vận tốc cực đại của con lắc sau khi va chạm:m1vmax

(m1 +m2)=√

2gl (1− cosαmax)

=⇒ V

vmax

=m1

m1 +m2

=

√1− cosαmax

1− cosα=⇒ α ≈ 0, 823 (rad)

Bài toán 20: Đưa vật nhỏ của con lắc đơn đến vị trí dây treo hợp với phương thẳng đứngmột góc 50 rồi thả nhẹ cho dao động. Khi dao động vật luôn chịu tác dụng bởi một lực cảncó độ lớn bằng 1% trọng lượng vật. Biết biên độ của vật giảm đều trong từng chu kỳ. Saukhi qua vị trí cân bằng được 20 lần thì biên độ dao động của vật là?

Lời giải:

Cơ năng lúc đầu của con lắc đơn được tính gần đúngWo = mglα2o

2Do bài cho biên độ giảm đều sau

1 chu kì nên cơ năng giảm đều 1 lượng ∆W được xác định bởi : ∆W = Wo−W = mgl

(αo

2 − α2

2

)Hiển nhiên thấy cơ năng giảm do có lực cản nên phần cơ năng mất đi bằng với công của lực cảnnên ta có:

mgl

(αo

2 − α2

2

)= A−→

FC= FC .l (αo + α) =⇒ FC =

mg

2(αo − α) ⇐⇒ αo − α =

2FCmg

Độ giảm biên độ góc sau mỗi lần qua VTCB:

∆α = αo − α =2FCmg

=2.0, 01.mg

mg= 0, 02

Sau khi qua vị trí cân bằng được 20 lần thì biên độ dao động của vật là:

∆α20 = αo − 20∆α = 5o − 20.0, 2o = 4, 6o = 0, 08 (rad)

Bài toán 21: Hai vật A và B có cùng khối lượng 1kg và có kích thước nhỏ được nối vớinhau bởi sợi dây mảnh nhẹ dài 10cm, hai vật được treo vào lò xo có độ cứng k = 100 N/mtại nơi có gia tốc trong trường g = π2 = 10

(m/s2

). Khi hệ vật và lò xo đủ cao sao với mặt

đất, người ta đốt sợi dây nối hai vật và vật B sẽ rơi xuống tự do và vậy A sẽ dao động điềuhòa theo phương thẳng đứng. Lần đầu tiên A lên đến vị trí cao nhất thì khoảng các giữa 2vật là bao nhiêu?

13



Lời giải:+Trước khi đốt sợi dây, ở vị trí cân bằng của hệ, lò xo giãn:

∆l1 =2m

k

+Khi đốt sợi dây, ở vị trí cân bằng vật A, lò xo giãn:

∆l2 =m

k

+Biên độ dao động vật A là:

A =2m

k− m

k=mg

k= 0, 1 (m)

Khi đó vật A dao động với chu kỳ T = 2π

√m

k= 0, 2π ( (rad/s)) Khi đốt sợi dây, vật B rơi tự do

với gia tốc g còn vật A dao động điều hòa: Để lên vị trí cao nhất vật A phải đi quãng đường là

2A = 0, 2 (m)và thời gian đi lên điểm đó là :t =T

2= 0, 1π Trong thời gian t vật B rồi quãng đường

S =1

2gt2 = 0, 5 (m) Vậy khoảng cách hai vật là:

d = 2A+ S + l = 0, 8 (m)

Bài toán 22: Một lò xo nhẹ có độ cứng k = 50 N/m, đầu trên gắn cố định đầu dưới treoquả cầu nhỏ khối lượng m = 1kg sao cho vật có thể dao động không ma sát theo phươngthẳng đứng. Lúc đầu dùng giá đỡ m để lò xo không không biến dạng. Sau đó cho giá chuyểnđộng thẳng đứng xuống dưới nhanh dần đều với gia tốc 1

(m/s2

). Bỏ qua mọi ma sát. Thời

gian m đi từ lúc bắt đầu chuyển động cho tới khi m bắt đầu rời khỏi giá là:

Lời giải:Khi m bắt đầu rời giá thì m có gia tốc

a = 1(m/s2

)P − k∆l = ma⇒ ∆l = 0, 18m; s = 0, 18m =

1

2at2 ⇒ t = 0, 6s

Bài toán 23: Con lắc đơn dao động trong môi trường không khí. Kéo con lắc lệch phươngthẳng đứng một góc 0, 1 (rad) rồi thả nhẹ, biết lực căn của không khí tác dụng lên con lắc làkhông đổi và bằng 0,001 lần trọng lượng của vật. Coi biên độ giảm đều trong từng chu kỳ.Số lần con lắc qua vị trí cân băng đến lúc dừng lại là?

14



Lời giải:Gọi ∆α là độ giảm biên độ góc sau mỗi lần qua VTCB (∆α < 0, 1)Cơ năng ban đầu:

W0 = mgl (1− cosα) = 2mgl sin2 α

2≈ mgl

α2

2

Độ giảm cơ năng sau mỗi lần qua VTCB:

∆W =mgl

(α2 − (α−∆α)2)

2=mgl

(2α.∆α− (∆α)2)

2(1)

Công của lực cản trong thời gian trên:

Ac = Fcs = 0, 001mgl (2α−∆α) (2)

Từ (1),(2), theo định luật bảo toàn năng lượng: ∆W = Ac

⇒ mgl[2α.∆α− (∆α)2]

2= 0, 001mgl (2α−∆α)

⇒ (∆α)2 − 0, 202∆α + 0, 0004 = 0⇒ ∆α = 0, 002

Vậy số lần vật qua VTCB: N =α

∆α=

0, 1

0, 002= 50 lần.

Bài toán 24: Cho hai vật dao động điều hòa trên cùng một trục tọa độ Ox, có cùng vị trícân bằng O, có cùng biên độ và với chu kỳ lần lượt là T1 = 1s và T2 = 2s. Tại thời điểm banđầ, hai vật đều ở miền có gia tốc âm, cùng đi qua vị trí có động năng gấp 3 lần thế năng vàcùng đi theo chiều âm trục Ox. Thời điểm ngay sau đó mà hai vật lại gặp nhau là:

A.2

9s. B.

4

9s. C.

2

3s. D.

1

3s.

Lời giải:

Tại t = 0 vật đang ởA

2và đi theo chiều âm

⇒ phương trình của mỗi vật:

x1 = A cos(

2πt+π

3

)và

x2 = A cos(πt+

π

3

)Khi gặp nhau:⇒ 2πt+

π

3= −πt− π

3+ k.2.π ⇒ t =

−2

9+

2k

3hoặc⇒ 2πt+

π

3= πt+

π

3+ k.2.π ⇒

t = 2k Từ trên suy ra tmin ứng với k = 1⇒ t =4

9(s). Chọn B

Bài toán 25: Một lò xo khối lượng không đáng kể, một đầu cố định một đầu mang vậtnặng khối lượng m có thể trượt lên mặt phẳng nghiêng góc α = 450. Đưa vật về vị trí saocho lò xo không biến dạng rồi thả ra. Vì có ma sát giữa vật và mặt phẳng nghiêng nên vậtdao động tắt dần. Hỏi để vật thực hiện được ít nhất 10 dao động rồi mới dừng hẳn thì hệ sốma sát tối đa µmax là?

A. 0,016. B. 0,024. C. 0,08. D. 0,048.

15



Lời giải:Gọi A1, A2 là hai li độ cực đại liên tiếp

Độ giảm cơ năng sau nửa chu kỳ: ∆E =k (A2

1 − A22)

2Công lực ma sát đi trong quãng đường: S = S1 + S2

Ams = µmg cos (A1 + A2)Bảo toàn năng lượng:

∆E = Ams ⇒ A1 − A2 =2µmg cosα

k(1)

Tương tự, độ giảm li độ cực đại trong nửa chu kì tiếp theo:

A2 − A3 =2µmg cosα

k(2)

Từ (1),(2) ⇒ độ giảm trong một chu kỳ hay trong dao động toàn phần: ∆A =4µmg cosα

k

Số dao động vật thực hiện đến khi dừng lại: N =A

∆A(3)

Trong đó: A là biên độ đầu tiên và cũng là độ giãn của lò xo khi vật ở VTCBTa có: −→

P +−→F0 +

−−→Fms = 0

⇒ mg sinα− kA− µmg cosα = 0

⇒ A =mg

k(sinα− µ cosα)

Từ (3) ta được: N =1

4

(tgα

µ− 1

)=

1

4

(1

µ− 1

)Theo giả thiết: N ≥ 10⇒ 1

4

(1

µ− 1

)≥ 10⇒ µ ≤ 1

41⇒ µmax =

1

41≈ 0, 024

Từ đó ta chọn đáp án B

Bài toán 26: Một lò xo khối lượng không đáng kể có k = 100

(N

m

)được treo 2 vật nặng

m1 = m2 = 100 (g). Bỏ qua khoảng cách giữa hai vật. Khi hệ đứng yên ta đốt dây nối giữa

hai vật. Biết trước khi đốt khoảng cách giữa hai vật tới mặt đất h =4, 9

18(m). Hỏi khi vật

m2 chạm đất thì vật m1 đi được quãng đường bao nhiêu? Lấy g = π2 = 10(m/s2

)A. 3 cm. B. 4 cm. C. 6 cm. D. 4,5 cm.

Lời giải:

Vật 2 rơi tự do. Thời gian từ lúc đốt dây đến lúc chạm đất là t =

√2h

g=

7

30s

Trong khi đó vật 1 dao động điều hòa với A =mg

k= 1cm;T = 2π

√k

m= 0, 2s ⇒ t =

7T

6⇒ s =

4.1 + 0, 5 = 4, 5cm

Bài toán 27: Cho hai con lắc lò xo (1) và (2) giống hệt nhau. Kích thích cho hai con lắcdao động điều hòa với biên độ lần lượt là 2A và A và dao động cùng pha. Chọn gốc thế năngtại vị trí cân bằng của con lắc. Khi động năng của con lắc (1) là 0, 6J thì thế năng của conlắc (2) là 0, 05J . Khi thế năng của con lắc (1) là 0, 4J thì động năng của con lắc (2) là

A. 0,1 J. B. 0,2 J. C. 0,4 J. D. 0,6 J.

Lời giải:Do hai con lắc luôn dao động cùng pha nên:

16



Cơ năng con lắc thứ nhất: W1 = 4W = Wd1 +Wt1

Cơ năng con lắc thứ hai: W1 = W = Wd2 +Wt1Wd1 = 4Wd2Wt1 = 4Wt2Khi Wd1 = 0, 6 (J)⇒ Wd2 = 0, 15 (J)Cơ năng con lắc thứ hai là: W2 = 0, 05 + 0, 15 = 0, 2 (J)Khi Wt1 = 0, 4 (J)⇒ Wt2 = 0, 1 (J)⇒ Wd2 = W2 −Wt2 = 0, 1 (J). Vậy đáp án A

Bài toán 28: Một con lắc lò xo treo thẳng đứng gồm lò xo có độ cứng k và vật nặng có khốilượng m1. Khi m1 cân bằng ở O thì lò xo giãn nhẹ 10 cm. Đưa vật nặng m1 tới vị trí lò xo

giãn 20 cm rồi gắn thêm vào m1 vật nặng có khối lượng m2 =m1

4, thả nhẹ cho hệ chuyển

động, lấy g=10(m/s2

). Khi 2 vật về đến O thì m2 tuột khỏi m1. Biên độ của dao động m1

sau khi bị tuột là bao nhiêu?

Lời giải:Xét đối với vật 1 khi ở vị trí cân bằng O lò xo giãn:

∆l01 =m1g

k= 10cm

Xét với hệ vật gồm m1 và m2 ở VTCB O′ của hệ lò xo giãn:

∆l02 =(m1 +m2) g

k=

5

4m1g

k= 12, 5cm

Nên:OO′ = x0 = ∆l02 −∆l01 = 2, 5cm

Khi đưa lò xo đến vị trí lò xo giãn 20cm và thả nhẹ, đối với hệ vật lò xo ở li độ x1 = 20− 12, 5 =7, 5 = A Khi đến vị trí O và vật m2 rời khỏi m1 thì vận tốc tại đó là vận tốc cực đại nên:

A′ =v

ω=√A2 − x2

0 =√

7, 52 − 2, 52 = 5√

2cm

17



Bài toán 29: Trong khoảng thời gian từ t = 0 đến t1 =1, 75π

96s đến động năng của một vật

dao động điều hòa tăng từ 0, 096J đến giá trị cực đại rồi giảm đến giá trị 0, 064J . Biết rằngở thời điểm t1 thế năng của vật cũng bằng động năng. Cho khối lượng của vật là m = 100g.Biên độ dao động của vật bằng

A. 32 cm. B. 3,2 cm. C. 16 cm. D. 5 cm.

Lời giải:t1 : W1 = Wd1 +Wt1 = 0, 128 (J)t : Wt = W1 −Wd = 0, 128− 0, 064 = 0, 032 (J)Lại có:

t :Wd

Wt

=A2 − x2

x2=

0, 096

0, 032= 3⇒ x = ±A

2

t1 :Wd1

Wt1

=A2 − x2

x2=

0, 064

0, 064= 1⇒ x = ±A

√2

2

Từ giả thuyết động năng vật tăng rồi giảm nên vật sẽ đi từ −A√

2

2→ A

2và ∆t =

5T

24=

1, 75π

96⇒

ω =160

7

Lại có:mω2A2

2= 0, 064 =

0, 1.

(160

7

)2

.A2

2⇒ A = 0, 05 (m) = 5 (cm) Chọn D

Bài toán 30: Con lắc gồm lò xo có khối lượng m = 200 g,k = 100 N/m, q = 100µC. Banđầu vật dao động điều hòa với A=5cm theo phương thẳng đứng. Khi vật qua vị trí cân bằngngười ta thiết lập một điện trường đều thẳng đứng hướng lên có cường độ E=0.12MV/m.Tìm biên dao động lúc sau của vật trong điện trường.

Lời giải:+Khi chưa có lực điện thì ở VTCB O con lắc giãn:

∆l0 =mg

k

+Khi có thêm lực điện, Ở VTCB O’ thì con lắc lò xo giãn:

∆l1 =mg − qE

k

Nên :

OO′ = x0 = ∆l0 −∆l1 =qE

k= 12cm

Khi qua VTCB O(lúc đã có lực điện): Sử dụng CT độc lập:

A′ =

√x2

0 +( vω

)2

Với v = vmax = ωA nên:

A′ =√x2

0 + A2 =√

122 + 52 = 13cm

18



Bài toán 31: Một vật thực hiện hai dao động cùng phương, cùng tần số có phương trình

lần lượt là x1 = A1 cos (ωt) và x2 = A2 cos(ωt+

π

3

). Biết rằng khoảng cách lớn nhất giữa

hai tọa độ của chất điểm không vượt quá 2 (cm) và trong quá trình dao động hai biên độ

thành phần luôn thỏa mãn hệ thức1

A21

+1

A22

=1

2. Tìm biên độ dao động tổng hợp

Khoảng cách lớn nhất:

∆xmax =∣∣∣ ~A1 − ~A2

∣∣∣⇒ ∆x2 = A21 + A2

2 − 2A1A2 cosπ

3

Từ giả thiết1

A21

+1

A22

=1

2

Ta suy ra A1A2 ≥ 4 Nên: ∆x2 ≥ 2A1A2− 2A1A2 cosπ

3= 2A1A2

(1− cos

π

3

)≥ 4 Mà ∆x2 ≤ 4 Nên

dấu bằng xảy ra khi: {∆x2 = 4A1 = A2 = 2

Suy ra A =

√22 + 22 + 2.2.2.

1

2= 2√

3 cm

Bài toán 32: Một con lắc đơn dao động tuần hoàn, trong quá trình dao động, lực căng cựcđại lớn gấp 4 lần lực căng cực tiểu. Tại thời điểm vật đi qua vị trí mà lực căng của sợi dâygấp 2 lần lực căng cực tiểu thì nó va chạm mềm với vật có cùng khối lượng và chuyển độngcùng chiều với tốc độ lớn gấp 2 lần. Tìm biên độ dao động của vật sau va chạm?

Lời giải:Ta có:

Tmax = 4Tmin ⇒ 3− cosα0 = 4 cosα0 ⇒ cosα0 =3

5

T = 2Tmin ⇒ 3 cosα− 2 cosα0 = 2 cosα0 ⇒ cosα =4 cosα0

3=

4

5

Vậy vận tốc trước va chạm: v =

√√√√ 2gl4

5− 3

5

=

√2gl

5

Sau đó vật va chạm, ta có công thức: v′=m1v1 +m2v2

m1 +m2

⇒ v′= 1, 5v

Dùng định luật bảo toàn năng lượng, ta được:

0, 5.2m. (1, 5v)2 + 2mgl (1− cosα) = 2mgl(

1− cosα′

0

)⇒ cosα

′

0 = 0, 35

⇒ α′

0 = 69, 50 ≈ 700

19



Bài toán 33: Một vật thực hiện đồng thời 10 dao động điều hòa cùng phương với x =10∑k=1

a√

2 cos(ωt− kπ

6

)(cm). Phương trình dao động tổng hợp là?

A. x =(√

3 + 1)a cos

(ωt− 11π

12

).

B. x =(√

3− 1)a cos

(ωt− 5π

6

).

C. x =(√

3 + 1)a cos

(ωt− 5π

6

).

D. x =(√

3− 1)a cos

(ωt− 11π

12

).

Lời giải:Dễ thấy cứ lệch nhau π thì dao động triệt tiêu. Khi đó các cặp triệt tiêu là:

1 + 7; 2 + 8; 3 + 9; 4 + 10

Như vậy còn cái k = 5, 6 tổng hợp với nhau.

x = a√

2. cos (ωt− π) + a√

2 cos

(ω.t− 5π

6

)Chọn A

Bài toán 34: Một vật nhỏ được treo vào một đầu lò xo nhẹ để tạo thành một con lắc lò xo.Tại thời điểm t=0, người ta đưa vật tới vị trí lò xo dãn Deltal = 4 cm rồi truyền vận tốcv = 20

√15 cm/s hướng thẳng đứng xuống dưới thì thấy vật dao động điều hòa với vận tốc

cực đại v = 40√

5cm/s. Trong quá trình dao động, gia tốc lớn nhất của vật là?A. 10m/s2. B. 20m/s2. C. 5m/s2. D. 15m/s2.

Lời giải 1:Gọi ∆lo là độ dãn của lò xo khi vật ở vị trí cân bằng, khi đó vị trí cân bằng có tọa độ:

xo = ∆lo −∆l.

Phương trình dao động của vật có dạng:

x = A sin(ωt+ ϕ) + xo.

⇒ v = Aω cos(ωt+ ϕ).

Trong đó:

vo = Aω = A

√g

∆lo.

Theo bài ta có: (x− xoA

)2

+v2

A2ω2= 1.

⇒ ∆l2o − 10∆lo + 16 = 0.

1.Nếu ∆lo =2 cm.ω1 = 10

√5.

xo = ∆lo −∆l = −2;A = 4.

amax1 = 20m/s2.

20



2.Nếu ∆lo=8 cm.ω2 = 5

√5.

xo = 4cm;A = 8cm.

amax2 = 10m/s2.

Ta có hai trường hợp có gia tốc tương ứng cực đại. Nhưng bài hỏi gia tốc lớn nhất trong quá trìnhdao động nên chọn B.Lời giải 2:

Ta có vmax = ωA = 40√

5(cm/s) A2 = x2 +v2

ω2= (0, 04−∆l0)2 +

v2a2

vmax=(

0, 04− g

ω2

)2

+v2A2

vmax=(

0, 04− gA2

v2max

)2

+v2A2

vmax

Thay v = 0, 4√

5và vmax = 0, 4√

5 ta giải ra được A = 0, 04(m) Suy ra amax =v2max

A= 20(m/s)

Đáp án B

Bài toán 35: Một con lắc lò xo nằm ngang gồm lò xo có độ cứng K = 10 N/m và vật nặngm = 100g. Từ vị trí cân bằng kéo vật để lò xo giãn ra một đoạn 7cm rồi truyền cho vật vậttốc 80 (cm/s) hướng về vị trí cân bằng . Biết hệ số ma sát giữa vật và mặt phẳng là 0,1. lấyg = 10

(m/s2

). Tốc độ cực đai của vật sau khi truyền vận tốc là :

A. 6√

31 (cm/s). B. 10√

113 (cm/s). C. 100 (cm/s). D. 70 (cm/s).

Lời giải:Ta gọi O’ là vị trí cân bằng của vật khi dao động điều hòa trong chu kì đầu tiên. Khi đó

OO′ =µ.m.g

K= 0, 01m

⇒ x0 = 0, 06m

⇒ A =

√x2 +

v2

ω2= 0, 1m

⇒ v = ω.A = 1 (m/s) = 100 (cm/s)

Bài toán 36: Con lắc lò xo gồm vật m1 gắn đầu lò xo khối lượng không đáng kể, có thểtrượt không ma sát trên mặt phẳng nằm ngang. Người ta chồng lên m1 một vật m2. tại thờiđiểm ban đầu giữ hai vật ở bị trí lò xo bị nén 2cm rồi buông nhẹ. Biết độ cứng của lò xok = 100 N/m;m1 = m2 = 0, 5kg và ma sát giữa hai vật đủ lớn để chúng không trượt lênnhau trong quá trình dao độg. Tính tốc độ trung bình của hệ tính từ thời điểm ban đầu đếnthờ điểm mà lực đàn hồi của lò xo có độ lớn bằng độ lớn lực ma sát nghỉ cực đại giữa haivật lần thứ 2 là:

A.30

π(cm/s). B.

15

π(cm/s). C.

45

π(cm/s). D.

25

π(cm/s).

Lời giải:

Fmsn = m2a→ Fmsnmax = m2.amax = m2.k

m1 +m2

.A =kA

2Vậy vật đến vị trí lực đàn hồi của lò xo có độ lớn bằng độ lớn lực ma sát nghỉ cực đại giữa hai vật

lần thứ 2 khi vật đi từ x = −A→ x =A

2

S =3A

2= 3cm t =

1

3.2π

√m1 +m2

k=

π

15→ v =

45

π( (cm/s))

Đáp án C.

21



Bài toán 37: Có 2 con lắc lò xo giống hệt nhau, dao động điều hòa trên mặt phẳng nằmngang dọc theo 2 đường song song cạnh nhau và song song với trục Ox. Biên độ của con lắcthứ 1 là A1 = 3cm, của con lắc thứ 2 là 6 cm.Trong quá trình dao động khoảng cách lớnnhất giữa 2 vật theo phương Ox là a = 3

√3cm. Khi động năng con lắc thứ nhất bằng W thì

động năng con lắc thứ 2 là:A. W. B. 2W. C. W/2. D. 3W/2.

Lời giải:Ta có độ lệch pha của 2 dao đông là ϕ với:

cosϕ =32 + 62 −

(3√

3)2

2.3.6=

1

2;⇒ ϕ =

π

3

Động năng cực đại khi vật 1 ở vị trí cân bằng.Theo đó ta có vật 2 đang ở vị trí x = ±3

√3 (cm), hay là tại vị trí có động năng bằng một phần tư

năng lượng dao động.Vì 2 con lắc có biên độ gấp đôi nhau nên năng lượng dao động gấp 4 lần.Do đó động năng của con lắc thứ 2 là W.Chọn A.

Bài toán 38: Cho ba chất điểm (1), (2) và (3) dao động theo phương thẳng đứng trong cùng

một hệ trục tọa độ với phương trình của vật (1) và (2) tương ứng là x1 = 4 cos(

5πt− π

2

)cm

và x2 = 2 cos(

5πt+π

6

)cm. Biết trong quá trình dao động, chất điểm (2) luôn cách đều hai

chất điểm (1) và (3) và ba chất điểm luôn thẳng hàng. Phương trình dao động của chất điểmthứ 3 là:

A. x3 = 4 cos(

5πt+π

3

)cm.

B. x3 = 4√

3 cos(

5πt+π

3

)cm.

C. x3 = 4√

3 cos

(5πt− 2π

3

)cm.

D. x3 = 4 cos

(5πt− 2π

3

)cm.

Lời giải:Ta có

|x2 − x1| = |x3 − x2|.Theo bài suy ra:

2x2 = x1 + x3.

Từ đó bằng tổng hợp dao động ta có đáp án A.

Bài toán 39: Hai con lắc đơn có cùng khối lượng vật nặng dao động trong hai mặt phẳngsong song cạnh nhau và có cùng VTCB. Chu kì dao động của con lắc thứ nhất bằng hai lầnchu kì dao động của con lắc thứ hai. Biên độ dao động của con lắc thứ hai bằng ba lần biênđộ dao động của con lắc thứ nhất. Khi hai con lắc gặp nhau thì con lắc thứ nhất có độngnăng bằng ba lần thế năng. Tỉ số độ lớn vận tốc của con lắc thứ hai và con lắc thứ nhất khichúng gặp nhau:

A. 4. B.

√14

3. C.

√140

3. D. 8.

Lời giải:Con lắc thứ nhất có tốc độ góc ω, biên độ A thì con lắc thứ hai có tốc độ góc 2ω, biên độ 3A.

22



Khi hai con lắc gặp nhau thì con lắc thứ nhất có động năng bằng ba lần thế năng nên cả 2 con lắc

đều có li độ |x| = A

2.

Khi đó

⇒ v2

v1

=

√140

3

Bài toán 40: Hai con lắc lò xo giống nhau đều gồm hai vật nặng có khối lượng 4kg gắn vàohai là xo có độ cứng 100N/m. Hai con lắc được đặt sát bên nhau sao cho hai trục dao động( cũng là trục của lò xo) được coi là trùng nhau và nằm ngang. Từ VTCB kéo hai vật theophương của trục là xo về cùng một phía thêm một đoạn 4cm và buông nhẹ không cùng lúc.Chọn t=0 là thời điểm buông vật một. Thời điểm buông vật hai để dao động của vật hai sovới vật một có biên độ dao động cực đại có thể là:

A.π

10s. B.

3π

10s. C.

2π

5s. D.

3π

5s.

Lời giải:Ta có, Chu kì:

T = 2π.

√4

100=

2π

5.

Điều kiện đề dao động (2) đối với dao động (1) có biên độ lớn nhất nghĩa là:

x = x2 − x1 = A cos (ω (t− to)) + A cos (ωt− π) .

Có biên độ tổng hợp cực đại hay x2;x1 ngược pha nhau(Với to là khoảng thời gian sau khi thả vật 1 dao động thì buông vật 2). Do đó: tại thời điểm thảvật (2) vật (1) phải ở biên âm ( do vật (2) ở biên dương)Do vậy:Khoảng thời gian này ứng với bội lẻ của nửa chu kỳ. Chọn D.

Bài toán 41: Một con lắc đơn gồm dây treo có chiều dài l=1m gắn với 1 vật nặng khối

lượng m,một đầu gắn vào trần xe ô tô.Ô tô đang đi lên dốc chậm dần đều với gia tốc có độlớn 5m/s2 Biết dốc nghiêng30◦ so với phương ngang.Lấy g = 10m/s2; π2 = 10.Chu kỳ daođộng của con lắc là:

A. 2, 421s. B. 2, 101s. C. 2, 135s. D. 2, 400s.


g′ =√g2 + a2 − 2.a.g. sinα = 5

√3

Suy ra:

T = 2π.

√l

g′= 2, 135s

Chọn C

Bài toán 42: Một con lắc đơn gồm một vật nhỏ có khối lượng m = 2g và một dây treomảnh, chiều dài l, được kích thích cho dao động điều hòa. Trong khoảng thời gian ∆t conlắc thực hiện được 40 dao động. Khi tăng chiều dài con lắc thêm một đoạn bằng 7,9 cm, thìcũng trong khoảng thời gian ∆t nó thực hiện được 39 dao động. Lấy gia tốc trọng trườngg = 9,8 m/s2.Để con lắc với chiều dài l’ có cùng chu kỳ dao động như con lắc chiều dài l,người ta truyền cho vật điện tích q = +0, 5.10−8C rồi cho nó dao động điều hòa trong mộtđiện trường đều có đường sức thẳng đứng. Độ lớn của vectơ cường độ điện trường là:

A. 4,02.105 V/m. B. 2,04.105V/m. C. 2,4.105V/m. D. 4.03.105V/m.

23




N2

N1

=T1

T2

=

√l1l2

=39

40

T = T ′ ⇔ l

l′=

g

g +q.E

m

=

(39

40

)2

⇒ E = 2, 04.105V/m

Chọn B.

Bài toán 43: Một con lắc đơn dao động với chu kì T0 trong chân không. Tại nơi đó, đưacon lắc ra ngoài không khí ở cùng một nhiệt độ thì chu kì con lắc là T . Biết T khác T0 chỉdo lực đẩy Acsimet của không khí. Gọi tỉ số khối lượng riêng của không khí và khối lượngriêng của chất làm vật nặng là ε. Mối liên hệ giữa T và T0 là

A. T =T0√1 + ε

. B. T =T√

1− ε. C. T =

T√1 + ε

. D. T =T0√1− ε

.

Công thức:

T = T0.

(1 +

1

2.ε

)Với ε =

D0

D, Trong đó D0, D lần lượt là khối lượng riêng chất khí và khối lượng riêng của chất

làm con lắc. Mà D0 << D ⇒ ε << 1 nên theo công thức gần đúng:

1√1− ε

= 1 +1

2.ε

Chọn D.

Bài toán 44: Cho một con lắc lò xo treo thẳng đứng .Một học sinh tiến hành hai lần kíchthích dao động .Lần thứ nhất ,nâng vật lên rồi thả nhẹ thì thời gian ngắn nhât đến vị trí lựcđàn hồi triệt tiêu là x.Lần thứ hai ,đưa vật về vị trí lò xo không biến dạng rồi thả nhẹ thì

thời gian ngắn nhất đến lúc lực hồi phục đổi chiều là y.Tỉ sốx

y=

2

3.Tỉ số gia tốc vật và gia

tốc trọng trường ngay sau khi thả lần thứ nhất là:

A.1

5. B. 3. C.

3

2. D. 2.

Lời giải:Điểm lực đàn hồi triệt tiêu ở lần 1 chính là điểm mà lò xo không biến dạng.Điểm mà lực phục hồi đổi chiều ở lần 2 chính là vị trí cân bằng của lò xo.

Từ lần 2 ta suy ra :y =T

4tương đương với chạy 1 góc 90 độ trên đường tròn lượng giác (kể từ biên

−A) và vìx

y=

2

3nên ở lần 1 vật chạy 1 góc 60 độ trên đường tròn lượng giác (kể từ biên −A)

điều này chứng tỏ ∆l =A

2Và tỉ số gia tốc sẽ là

Aω2

g=A.

g

∆lg

=A

∆l= 2

Chọn D.

24



Bài toán 45: Một vật dao đông theo phương trình x = 20 cos(5πt/3− π/6) . Kể từ lúc t=0đến lúc vật đi qua vị trị x = −10 lần thứ 2013 theo chiều âm thì lực hồi phục sinh công âmtrong thời gian:

A. 2013, 08. B. 1207, 88. C. 1207, 4. D. 2415, 8.

Lời giải:T = 1, 2 Lực phục hồi sinh công âm khi vật đi từ VTCB ra biên

Từ vị trí ban đầu đến x = A vật đi trong khoảng thời gian: t1 =T

12

Từ vị trí x = 0(v < 0) đến x =−A2

vật đi trong khoảng thời gian: t2 =T

12→ vật qua vị trí

x = −10 theo chiều âm 1 lần

Vật đi qua vị trí x = −10 theo chiều âm 2012 lần để lực phục hồi sinh công âm: t3 = 2012T

2⇒ t = t1 + t2 + t3 = 1207, 4Chọn C.

Bài toán 46: Con lắc lo xo giao đông theo phương ngang có biên độ A năng lượng W khitốc độ bằng một nửa tốc độ cực đại thì lò xo đang giãn thì giữ điểm chính giữa của lò xo lúcnày lò xo giao động với biên độ:

A.

√5

4A . B.

√7

4A . C.

5

16A. D.

76

16A.

Lời giải:

Lò xo bị giữ ở vị trí: x = A

√3

2Tại đây thế năng bằng 3 lần động năng, hay thế năng bằng 0,75

lần năng lượng dao đông của hệ. Khi bị giữ thì thế năng chỉ còn lại 1 nửa, năng lượng mất là:

3E

8

Vật dao động với năng lượng mới:

E ′ =5E

8

⇒ 5

8

1

2k1A

2 =1

2k2A

′2

Lại có:k1

k2

=l2l1

=1

2→ A′ = A

√5

4

Đáp án A.

Bài toán 47: Cho hai dao động điều hòa x1 = A1 cos (ωt+ π), x2 = A2 cos(ωt+

π

3

), dao

động tổng hợp có A= 5cm. Tìm A2 để A1 đạt giá trị lớn nhất

A.5√

3

3. B. 5

√3. C.

10√2. D. 10.

Lời giải:

25



Ta sử dụng định lí sin trong tam giác ta có:

A

sin 600=

A2

sin (1800 − ϕ)=

A1

sin (ϕ− 600)

Ta suy ra :

A1 =A sin (ϕ− 600)

sin 600

Để A1max ⇒ sin(ϕ− 600

)max⇔ ϕ = 1500 Khi đó

A2 =A sin 1500

sin 600=

5√3

Chọn A.

Bài toán 48: Một vật dđđh đang đi tới vị trí cân bằng (t=0 vật ở biên). Sau đó khoảngthời gian t vật có thế năng bằng 36J, đi tiếp khoảng thời gian t nữa vật chỉ còn cách vtcb

1 khoảng làA

8.(biết 2t <

T

4). Hỏi khi tiếp tục đi một đoạn

5T

8thì động năng của vật bằng

bao nhiêu?

Lời giải:Gọi x1 là li độ của vật sau thời gian t

Ta có1

ωarc cos

(x1

A

)=

1

2ωarc cos

(1

8

)suy ra x1=0,75A suy ra Wt = 0, 752W

suy ra W = 64 (J)Phương trình dao động:

x = A cos

(ω.t+ arc cos

(1

8

))thay t =

5T

8⇒ x3 = 0, 61317A⇒ Wt = 24, 063⇒ Wd = 39, 93 (J)

26



Bài toán 49: Trên mặt phẳng ngang nhẵn, đặt hai vật A, B có cùng khối lượng m = 200g

nối với nhau bằng một lò xo nhẹ có chiều dài tự nhiên l = 15 cm, độ cứng k = 10N

m. Phía

trước hai vật có một bức tường, vật B gần tường hơn và cách tường 7 cm. Đồng thời truyềncho hai vật cùng một vận tốc v = 0, 5 (m/s) hướng thẳng về phía bức tường. Gọi d là khoảngcách nhỏ nhất có thể giữa hai vật, và t là thời gian kể từ khi truyền vận tốc đến khi khoảngcách giữa hai vật nhỏ nhất. Giá trị của d và t lần lượt là:

A. 10 cm; 0, 3s. B. 5 cm; 0, 15s. C. 10 cm; 0, 15s. D. 5 cm; 0, 3s.

Lời giải 1:Chọn chiều dương cùng chuyển động của hê vật.

Có thể coi m =m1m2

m1 +m2

= 0, 1 (kg) là khối lượng rút gọn của hệ,G là khối tâm của hệ. Khi tác

dụng vận tốc, khối tâm sẽ chuyển động tịnh tiến.Chu kì của hệ cũng là chu kì của từng vật:

T = 2π

√m1m2

k (m1 +m2)=π

5(s)

Biên độ của 2 vật: A1 = A2 =v0

ω= 0, 05 (m) = 5 (cm)

Nhận thấy, 2 dao động có tương quan như nhau. Tuy nhiên sau khi vật B va chạm với tường.Tường đã tác dụng lại 1 lực cản F vào vật B. Nhưng vì vật A vẫn đang chuyển động về phía tườngnên chuyển động tịnh tiến của khối tâm G vẫn tiếp tục, lò xo phía B và A tiếp tục nén.. Hai vậtgần nhau nhất khi lò xo bị nén nhiều nhất. Khi đó, khối tâm G sẽ ngừng chuyển động tịnh tiến,vật B sẽ ở biên âm, vật A sẽ ở biên dương. Do quá trình xảy ra đồng thời nên kể từ khi va chạm,sau 0, 25T thì 2 vật gần nhau nhất.

d = l − A1 − A2 = 5 (cm)

t = t0 + 0, 25T =7

50+

π

20= 0, 3 (s) Chọn D.

Lời giải 2:

Ta có: Thời gian vật B đi đến va chạm với tường: t1 =L

v= 0, 14 (s) Ngay sau va chạm hai vật

chuyển động ngược chiều với cùng tốc độ v = 0, 5 (m/s). Vậy khối tâm của hệ hai vật đứng yên kểtừ lúc này đến lúc hai vật tiến lại gần nhau nhất.

Lúc này, xem mỗi vật được gắn vào một lò xo có chiều dài tự nhiên là L′

=L

2= 7, 5 (cm) và có

độ cứng k′

= 2k = 20

(N

m

). Thời điểm ban đầu, từ VTCB chúng được truyền cho một vận tốc v

theo các hướng làm lò xo nén lại.

Khoảng thời gian chúng tiến gần nhau làT

4, với T = 2π

√m

k′ = 0, 628 (s)

Vậy khoảng thời gian cần tìm: ∆t = t1 +T = 0, 297 (s) ≈ 0, 3 (s) Theo định luật bảo toàn cơ năng:

mv2

2=k (L− d)2

2⇒ d = L− v

√2m

k= 5 (cm) Chọn D.

Bài toán 50: Một vật thực hiện hai dao động điều hòa với x1 = A1 cos(

100πt+π

3

)(cm)

và x2 = A2 cos(

100πt− π

2

)(cm). Dao động tổng hợp có phương trình x =

A cos (100πt+ ϕ) (cm). Biết rằng trong cả quá trình thì A1A2 = 500. Tìm li độ x vào thời

điểm t =1

60(s) ứng với dao động tổng hợp có biên độ nhỏ nhất

27



Lời giải 1:

Sử dụng định lý hàm số sin trong tam giác:A

sin 30o=

A1

sin (90o − ϕ)=

A2

sin (60o + ϕ)

⇒

A1 =

sin (90o − ϕ)

sin 30oA

A2 =sin (60o + ϕ)

sin 30oA

⇒ A1A2 =A2

sin2 300sin (90o − ϕ) sin (60o + ϕ)

Suy ra:4000

A2= cos

(300 − 2ϕ

)− cos 1500 Ta có: Amin ⇔ cos

(300 − 2ϕ

)= 1⇔ ϕ = 150 Tính theo

lượng giác thì: ϕ = − π

12...Hơi lẻ

Lời giải 2:Ta có

A2 = A21 + A2

2 + 2A1A2. cos (ϕ1 − ϕ2)

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si:A2

1 + A22 ≥ 2A1A2

Do đó:A2 ≥ 2A1A2 + 2A1A2. cos (ϕ1 − ϕ2)

Bài toán 51: Hai chất điểm dao động điều hòa dọc theo trục nằm ngang Ox, cùng biên độ5 (cm), chu kỳ của chúng lần lượt là T1 = 0, 2 (s)và T2 . Lúc đầu cả hai chất điểm cùng xuất

phát từ vị trí có ly độ 2, 5 (cm) và sau khoảng thời gian ngắn nhất là1

39(s) chúng có cùng

ly độ. Khi đó giá trị của T2 là?

Lời giải:Vẽ đường tròn lượng giác ra thì bạn dẫn góc ϕ1 = ϕ2 . Phi là độ lệch pha trong phương trìnhx = A cos (ωt+ ϕ)Ban đầu: x1 = x2 = 2, 5 (cm) và chuyển động cùng chiều dương lúc t = 0 thế vào ta tính được

ϕ1 = ϕ2 =−π3

Lúc sau thế x1 = x2 ⇒ cos(ω1T −

π

3

)= cos

(ω2T −

π

3

)Giải phương trình loại TH: ω1T −

π

3= ω2T −

π

3vì theo đề bài nói T1 khác T2 nên ω1 khác ω2

Chỉ còn trường hợp: ω1T −π

3= −

(ω2T −

π

3

), từ đó ta sẽ được: (ω1 + ω2) .T =

2π

3thế T =

1

39(s)

và ω1 =2π

T1

= 10π

Thế vào ta sẽ được: ω2 = 16π ⇒ T2 = 0, 125 (s)

28



Bài toán 52: Một vật thực hiện đồng thời ba dao động điều hòa cùng phương, cùng tần

số có phương trình lần lượt là: x1 = 2√

3 cos(ωt− π

3

), x2 = (A+ 2) cos (ωt− ϕ) x3 =

A3 cos

(ωt− 5π

6

). Thay đổi A3 đến các giá trị A và (A+ 4) thì thấy biên độ dao động

tổng hợp không thay đổi và bằng A. Tại thời điểm ban đầu, khi A3 = A thì vật qua vị tríx0 = A cosϕ theo chiều dương còn khi A3 = (A+ 4) thì độ lớn vận tốc của vật cực đại. Biết

rằng |ϕ| < π

2. Tìm ϕ

A.π

6. B. −π

4. C. −π

6. D.

π

3.

Trích đề thi thử diễn đàn vatliphothong.vn 2014

Lời giải 1:Ta khai thác hai giả thiết tại thời điểm ban đầu trước: Khi A3 = A, vật đang có li độ x0 = A cosϕtheo chiều dương

⇒√

3 + (A+ 2) cosϕ− A√

3

2= A cosϕ

⇒ cosϕ = A

√3

4−√

3

2

Khi A3 = A+ 4, vật có tốc độ cực đại, nghĩa là đang có li độ x0 = 0

⇒√

3 + (A+ 2) cosϕ− (A+ 4)

√3

2= 0

⇒ A2 − 2A− 8 = 0⇒ A = 4⇒ cosϕ =

√3

2

⇒ ϕ = ±π6

Xét khi A3 = A = 4: ϕ = −π6thì Ath =

√76 6= A (loại).

ϕ =π

6thì Ath = 4 = A⇒ (nhận). Chọn A.

Lời giải 2:

x1 = 2√

3 sin(ω.t+

π

6

)x2 = (A+ 2) sin

(ω.t+

π

2− ϕ

)x3 = A3 sin

(ω.t− π

3

)Sử dụng số phức ta có:

x∗1 + x∗2 + x∗3=3+(A+2)sinϕ+A3

2+(√

3+(A+2)cosϕ-A3

√3

2j nên

A=

√√√√(3 + (A+ 2) sinϕ+A3

2

)2

+

(√

3 + (A+ 2) cosϕ− A3

√3

2

)2

suy ra

A23 + 2 (A+ 2) sin

(ϕ− π

3

).A3 + 16 + 4A+ (A+ 2) sin

(ϕ+

π

6

)= 0

Áp dụng Viet suy ra A+A+4 = −2 (A+ 2) sin(ϕ− π

3

)suy ra ϕ = −π

6suy ra A (A+ 4) = 4A+16

suy ra A = 4. Không cần sử dụng 2 dữ kiện cuối.

29



Bài toán 53: Một con lắc lò xo dao động điều hòa theo phương thẳng đứng trùng với trục lòxo. Biết lò xo nẹ có độ cứng 50 N/m, vật nhỏ (m1)dao động có khối lượng (6m+0,1) kg, lấygia tốc trọng trường là 10

(m/s2

). Người ta đặt nhẹ nhàng lên vật trên một vật khác(m2)

có khối lượng m thì cả hai đều dao động điều hòa với biên độ là 5 cm. Khi ở trên vị trí cân

bằng 4,5 cm, áp lực của m2 lên m1 bằng1

18trọng lực tác dung lên hệ hai vật m1,m2. Giá

trị của m là?A. 50 g. B. 100 g. C. 200g. D. 400 g.

Lời giải:Gọi ~N là véctơ áp lực áp lực của m2 lên m1 và ~Q là véctơ phản lực của m1 lên m2. Aps dụng địnhluật 2 Niuton, ta có:

~Q+ ~N = m.~a⇒ Q−mg = mω2x

⇒ Q = m

(g − kx

m1 +m

).

Mà theo đề bài thì:

Q =1

18g (m1 +m)

⇒ 18m

(g − kx

m1 +m

)= g (m1 +m)

⇒ 18m

(g − kx

7m+ 0, 1

)= g (7m+ 0, 1)

⇒ m = 0, 05 (kg).Chọn A.

Bài toán 54: Hai chất điểm M,N có cùng khối lượng, dao động điều hòa cùng tần số dọctheo hai đường thẳng song song kề nhau và song song với trục Ox. Vị trí cân bằng của Mvà N đều nằm trên một đường thẳng qua gốc tọa độ và vuông góc với trục Ox. Trong quátrình dao động khoảng cách lớn nhất theo phương Ox của M và N là

√3cm. Biên độ dao

động tổng hợp của M và N là 3cm. Gọi AM , AN là biên lần lượt là biên độ dao động của Mvà N , giá trị lớn nhất của (AM + AN) gần với giá trị nào nhất sau đây?

A. 4cm. B. 5cm. C. 3cm. D. 6cm.

Lời giải:Gọi độ lệch pha giữa dao động tại M và N là ϕ thì ta có:

A2M + A2

N + 2AMAN cosϕ = 9.

A2M + A2

N − 2AMAN cosϕ = 3.

Từ đó A2M + A2

N = 6

Theo Cauchy-Schwarz thì 6 = A2M + A2

N ≥(AM + AN)2

2Do đó AM + AN ≤ 2

√3

Chọn C.

Bài toán 55: Một con lắc lò xo dao động điều hòa trên mặt phẳng nằm ngang gồm lò xocó độ cứng 100 N/m, chiều dài tự nhiên l và vật dao động nặng 0,1 kg. Khi t=0 vật qua vị

trí cân bằng với tốc độ 40π (cm/s). Đến thời điểm t =1

30s người ta giữ cố định một điểm

trên lò xo cách đầu cố định của lò xo bao nhiêu để biên độ dao động mới của vật là 1 cm?

A.1

4. B.

3

4. C.

1

6. D.

5

6.

30



Lời giải:Gọi x là khoảng cách từ điểm giữ cố định tới điểm treo cố định,l là chiều dài khi bắt đầu giữ của

lò xo. Nên khi này, ta được lò xo mới thực hiện dao động của vật với chiều dài l− x. Lấy : n =A

xTại thời điểm giữ lò xo thì thế năng của nó là:

Wt =W

n2

Khi giữ lò xo, phần thế năng bị mất đi là:

Wm =x

l.Wt =

x

l.W

n2.

Ta thấy, khi giữ thì 1 lò xo mới dao động với biên độ k′ thỏa mãn:

k′. (l − x) = k.l → k

k′=l − xl

Bảo toàn cơ năng, ta có:

k′A2s

2= W −Wm

⇔ k′A2s

2=kA2

2

(1− x

l.n2

)Do đó, ta có:

As = A

√l − xl

(1− x

n2l

)(Với n =

A

x)

Giải ra đượcx

l=

5

6

Bài toán 56: Hai chất điểm dao động điều hòa cùng tần số, trên hai đường thẳng sát nhaucùng song song với trục Ox. VTCB của chúng cùng nằm trên một đường thẳng đi qua O vàvuông góc với Ox. Biên độ dao động của chúng lần lượt là 4cm và 7cm. Biết hai chất điểmđi qua nhau ở vị trí li độ x = 2, 4cm. Giá trị nhỏ nhất của khoảng cách lớn nhất giữa haichất điểm theo phương Ox gần giá trị nào nhất sau đây:

A. 9,5cm. B. 7,5cm. C. 5,5 cm. D. 3,5 cm.

Lời giải:

• TH1: 2 chất điểm gặp nhau và đi ngược chiều nhau:

→ ∆ϕ = arc cos2, 4

4+ arc cos

2, 4

7= 123, 0790

⇒ d =√A2

1 + A22 − 2A1A2 cos ∆ϕ = 9, 776 (cm)

• 2 chất điểm gặp nhau và đi cùng chiều nhau:

31



⇒ ∆ϕ = 16, 8190

⇒ d = 3, 376 (cm)

Do giá trị nhỏ nhất của khoảng cách lớn nhất nên ta chọn D.

Bài toán 57: Cho một con lắc lò xo có m = 0, 1 kg; K = 100 N/m. Ban đầu vật ở vị trí cânbằng(VTCB), dưới vật có 1 tấm sàn cách vật 10cm. Đưa vật từ VTCB lên 20cm rồi thả chovật dao động. Tính chu kỳ dao động của vật?(Biết va chạm giữa vật mà sàn là hoàn toànđàn hồi?

Lời giải:Giả sử vật không va chạm với mặt sàn thì

T = 2π

√m

k=

1

2

Đưa vật từ VTCB lên 20cm rồi thả cho vật dao động suy ra A = 20 Ta thấy sau khi va chạm với

mặt sàn tại vị tríA

2thì vật bật trở lại với vận tốc như cũ nên biên độ dao động của vật là không

đổi. Do đó chu kì dao động của con lắc là:

T ′ = 2

(T

4+T

12

)=

1

3

Bài toán 58: Một con lắc lò xo có độ cứng k = 100 N/m được đặt thẳng đứng, đầu trêngắn với vật nặng có khối lượng M = 400 g. Khi đang ở vị trí cân bằng, thả vật m = 200 gkhông vận tốc ban đầu từ độ cao h = 18 cm so với M. Coi va chạm là đàn hồi xuyên tâm,lấyg = π2 = 10m/s2. Bỏ qua mọi ma sát. Tính tốc độ trung bình của vật M khi đi từ lần vachạm đầu tiên đến lần va chạm tiếp theo.

Lời giải:Ta có: v1 =

√2gh =

√2.0, 18.10 =

√3, 6; v2 = 0. Lại có: Vật va chạm hoàn toàn đàn hồi:

v′

1 =(m−M) v1

m+M; v2′ =

2mv1

m+M⇒ A2 =

v′2

ω=v

′2

5π

Có:Vật 1:

x1 = v′

1t−1

2gt2 (1)

32



Vật 2:

x2 = A2 cos(ωt+

π

2

)=v

′2

ωcos(ωt+

π

2

)(2)

Hai vật gặp nhau khi x1 = x2. Giải (1),(2) ta thu được t =T

4= 0, 1 (s) và quãng đường đi được là

2

(A2√

2+A2√

2

)+ A2 = 3A2 = 3

v′2

ω= 0, 24 (m)

Vậy tốc độ trung bình là:3A2

2T= 1, 2 (m/s).

Bài toán 59: Một vật thực hiện đồng thời 3 dao động điều hòa cùng phương cùng tần

số có phương trình dao động lần lượt là x1 = 9 cos(πt− π

2

)x2 = 6 cos (πt+ ϕ2) x3 =

A3 cos (πt+ ϕ3) thì dao động tổng hợp có phương trình x = 6 cos (πt). Khi thay đổi ϕ3 đểA3 có giá trị bằng nửa giá trị cực của nó thì ϕ2 gần với giá trị nào sau đây.

A. 60o. B. 65o. C. 30o. D. 90o.

Lời giải:

Từ Ath và A1 → A23 = 10, 8A3max = A2 + A23 = 16, 8 khi x2 và x3 ngược pha.¯ Khi A3 bằng một nửa giá trị cực đại

⇒ cosϕ3 =A2

2 + A223 − A2

3

2A2A23

= 0, 63 → ϕ3 = 50, 7o

Bài toán 60: Một vật dao động điều hòa dọc theo trục Ox, gọi ∆t là khoảng thời gian giữahai lần liên tiếp vật có động năng bằng thế năng. Tại thời điểm t vật qua vị trí có tốc độ8π√

3 (cm/s) với độ lớn gia tốc 96π2(cm/s2

), sau đó một khoảng thời gian đúng bằng ∆t

vật qua vị trí có độ lớn vận tốc 24π (cm/s). Biên độ dao động của vật là?

A. 5√

2cm. B. 4√

2cm. C. 4√

3cm. D. 8cm.

Lời giải:Mình làm có chỗ nào bạn không hiểu thì hỏi lại mình sẽ giải thích sau nhé! Khoảng thời gian giữa

2 lần liên tiếp động năng bằng thế năng là: ∆t =T

4Do gia tốc và vận tốc vuông pha nên pha của

gia tốc ở thời điểm t và pha của gia tốc ở thời điểm t+T

4sẽ luôn cùng pha hoặc ngược pha. Nên

ta có biểu thức:

atamax

=

vt+T

4vmax

↔ 96π2

ω2A=

24π

ωA

33



⇒ ω = 4π ( (rad/s))

Lại có: A =

√v2

ω2+a2

ω4= 4√

3 (cm)

Đáp án C.

2 Sóng cơ học. Sóng âm

Bài toán 61: Sóng ngang có chu kỳ T , bước sóng λ, lan truyền trên mặt nước với biên độkhông đổi. Xét trên một phương truyền sóng, sóng truyền từ điểm M rồi mới đến điểm N

cách nóλ

5. Nếu tại thời điểm t, điểm M qua vị trí cân bằng và đang đi lên thì sau khoảng

thời gian ngắn nhất bao nhiêu thì điểm N sẽ hạ xuống thấp nhất?A. 11T/20. B. 19T/20. C. T/20. D. 9T/20.

Lời giải 1:

Sóng truyền từ M đến N, mặt khác M cách N một khoảngλ

5nên sau thời gian

T

5điểm N sẽ đến

vị trí điểm M.Khi đó N ở VTCB nên N đi lên nên hạ xuống thấp nhất với thời gian T/4+T/2=3T/4Nên thời gian N hạ xuống thấp nhất là t=T/5+3T/4= 19T/12⇒ Đáp án BLời giải 2:

Độ chậm pha N so với M là:2πdMN

λ=

2π

5

Biểu diễn lên đường tròn ⇒ Góc quét của N là:2π

5+

3π

2=

19π

10

Thời gian ngắn nhất: tmin=19π

10:

2π

T=

19T

20⇒ Đáp án B

Bài toán 62: Hai nguồn sóng mặt nước kết hợp cùng pha S1, S2 cách nhau 20 cm, bước

sóng λ = 2cm tạo hệ vân giao thoa trên mặt nước. Xét1

2đường tròn tâm S1 bán kính 10cm

đối xứng qua đường thẳng S1S2. Số điểm cực đại, đứng yên trên1

2đường tròn trên là:

A. 14;14. B. 13;12. C. 12;12. D. 16;14.

Lời giải sai :+Tìm số điểm cực đại cực tiểu trên đoạn S1O với O là trung điểm của S1S2.

34



Tìm số điểm cực đại:

−S1S2 < kλ < S1S2 ⇔−S1S2

λ< k <

S1S2

λ⇔ −10 < k < 10

Số điểm dao động cực đại trên S1O ứng với k = 0; 1; 2; ...; 9Có 10 điểm cực đạiSố điểm không dao động trên S1O ứng với k = 0, 5; 1; 5; ...8, 5; 9, 5Có 10 điểm không dao động+Tìm số điểm cực đại, cực tiểu trên 1/2 đường tròn tâm S1 bán kính 10 cm (Qua O)Số điểm cực đại 1/2 trên đường tròn= 2. Số điểm cực đại trên S1O (trừ điểm O) +1 (lấy điểmO)=19Số điểm không dao động trên 1/2 đường tròn= 2. Số điểm cực tiểu trên S1O = 20Lời giải đúng :Với bài này thì không phải hyperbol CĐ, CT nào cũng cắt nửa đường trònChỉ cần để ý 0 ≤ ∆d ≤

√202 + 102 − 10, thay vào từng trường hợp là ra được 13 CĐ và 12 CT

Bài toán 63: Trên bề mặt chất lỏng tại hai điểm S1, S2 có hai nguồn dao động với phươngtrình u1 = u2 = a cos (40πt) (mm). Biết tốc độ truyền sóng là 120 cm/s, gọi I là trung điểmS1S2. Lấy hai điểm A và B nằm trên S1S2(A, B nằm khác phía so với I) lần lượt cách I cáckhoảng 0,5 cm và 2 cm. Tại thời điểm t vận tốc điểm A là 12 cm thì vận tốc tại điểm B là :

A. 4√

3 cm/s. B. -6 cm/s. C. 6 cm/s. D. −4√

3 cm/s.

Lời giải:Phương trình li độ sóng tại một điểm M bất kì trên S1S2:

uM = 2a cos

(π∆d

λ

)cos

(ωt− π (d1 + d2)

λ

)⇒ vM = u′M = −ω2a cos

(π∆d

λ

)cos

(ωt− π (d1 + d2)

λ

)

⇒ vAvB

=

cos

(π

∆dAλ

)cos

(π

∆dBλ

) =

cos

(π

2IA

λ

)cos

(π

2IB

λ

) =cos(π

6

)cos

(2π

3

) = −√

3

⇒ vB = −4√

3 (cm/s). Chọn D.

Bài toán 64: Trên một sợi dây có ba điểm M, N và P trên dây mà khi sóng chưa lan truyềnthì N là trung điểm của đoạn MP. Khi sóng truyền từ M đến P với biên độ không đổi thì vàothời điểm t1, M và P là hia điểm gần nhau nhất mà các phần tử tại đó có li độ tương ứng là+6 mm;−6 mm và vào thời điểm kế tiếp gần nhất t2 = t1 + 0, 75 (s) thì li độ các phần tử tạiM và P đều là +2, 5 mm. Tốc độ dao động của phần tử N vào thời điểm t1 có giá trị gầnđúng nhất là:

A. 8 cm/s. B. 4 cm/s. C. 1,4 cm/s. D. 2,8 cm/s.

Lời giải:

35



Giả sử độ lệch pha giữa M và P là 2ϕ.Ta có:Tại thời điểm t1: A sinϕ = 6Tại thời điểm t2: A cosϕ = 2, 5

⇒ A =√

62 + 2, 52 = 6, 5mm

Đồng thời trên vòng tròn lượng giác, véctơ quay củaM đã quét được một gócπ

2⇒ ω =

2π

3(rad/s)

Tại thời điểm t1,N đang ở VTCB nên đạt tốc độ cực đại:

vmax = ωA =2π

3.0, 65 = 1, 36 (cm/s). Chọn C.

Bài toán 65: (KA -2014) Trên một sợi dây có sóng dừng ổn định với khoảng cách giữa hainút sóng liên tiếp là 6 cm. Trên dây có những phần tử dao động với tần số 5Hz và biên độlớn nhất là 3 cm. Gọi N là vị trí của một nút sóng; C và D là hai phần tử trên dậy ở hai bêncủa N có VTCB cách N lần lượt là 10.5 cm và 7 cm. Tại thời điểm t1, C có li độ 1.5 cm và

đang hướng về VTCB. Vào thời điểm t2=t1 +79

40s, phần tử D có li độ là:

A. 1.50 cm. B. -0.75 cm. C. 0.75 cm. D. -1.50 cm.

........................

Bài toán 66: Một sợi dây đàn hồi căng ngang, đang có sóng dừng ổn định. Trên dây, A làmột điểm nút, B là một điểm bụng gần A nhất, C là trung điểm của AB, với AB = 5 cm.Biết khoảng cách thời gian ngắn nhất giữa hai lần mà li độ dao động phần tử tại B bằngbiên độ dao động phần tử tại C là 0,2 s. Tốc độ truyền sóng trên dây là:

A. 0,25 m/s. B. 2 m/s. C. 0,5 m/s. D. 1 m/s.

Lời giải 1:

+Bước sóng:λ

4= 5cm⇒ λ = 20cm

+Biên độ dao động tại c:AC=

∣∣∣∣∣∣∣2a sin

2πλ

8λ

∣∣∣∣∣∣∣=2a

√2

2

+Phương trình dao động tại B:xB=2a sin2πλ

4λ

cos(ωt+

π

2

)=2a cos

(ωt+

π

2

)+Cho AC=xB

⇔cos(ωt+π

2) =

√2

2⇔...⇔ ωt1 = 2kπ hoặc ωt2 = −π + 2kπ

⇔ ω (t1 − t2) = π ⇔ ω =5π

2⇔ f =

ω

2π=

5

4+Tốc độ truyền sóng trên dây:v = λf = 0, 2.1, 25 = 0, 25 (m/s). Chọn A.

36



Lời giải 2:Ta có thể làm một cách khác nhanh hơn như sau:+ Dễ tính λ = 20cm

+ AC = 2, 5cm =λ

8nên theo phương dao động của các phần tử môi trường thì biên độ dao động

của phần tử tại C chính là li độ của phần tử tại B ứng với :AC = uB =Amax√

2

Nên 0, 2 = 2T

8⇒ T = 0, 8s⇒ v =

λ

T= 0, 25 (m/s). Chọn A.

Bài toán 67: Tại 2 điểm A, B cách nhau 13cm trên mặt nước có 2 nguồn sóng đồng bộ, tạora sóng mặt nước có bước sóng là 1,2 cm. M là điểm trên mặt nước cách A và B lần lượt là12cm, 5cm, N đối xứng với M qua AB. Số hyperbol cực đại cắt đoạn MN là:

A. 0. B. 3. C. 2. D. 4.

Lời giải 1:+Dễ thấy AM ⊥ BM

+Gọi I là giao điểm của MN và AB. Trong tam giác AMB ta tính được MI =60

13, AI =

144

13, BI =

25

13Gọi C là điểm thuộc đường hypebol cực đại di động trên MISố đường hypebol cần tìm là số điểm CMặt khác Ta sử dụng ∆ϕM 6 ∆ϕC 6 ∆ϕIVới ∆ϕI ≈ 15, 25π,∆ϕM ≈ 11, 6πĐiểm C dao động với biên độ cực đại nên : ∆ϕC = k2πNên ta có : 11, 6π 6 k2π 6 15, 25π ⇒ k = 6; 7Vậy có 2 đường hypebol ⇒ Đáp án CLời giải 2:+MN cắt AB tại O. AMB là tam giác vuông. Tính được AO=11.08, OB=1.92+Số hyperbol cực đại cắt trên OM = Số hyperbol cực đại cắt trên ON= Số điểm cực đại trên OM:

Hai nguồn cùng pha:AM −BM

λ≤ k ≤ AO −BO

λ, k ∈ Z

⇔ 5.8 ≤ k ≤ 7.63, k ∈ Z⇒ Có 2 hyperbol

+Vì điểm O không thuộc Hyperbol cực đại (AO-BO6= kλ

2)

Vậy số hyperbol cắt MN là 2. Đáp án C.

37



Bài toán 68: Hai nguồn sóng mặt nước kết hợp S1, S2 tạo một hệ vân giao thoa trên mặtnước. Điểm M có vị tríMS1 = 14cm;MS2 = 8cm, điểm N có vị trí NS1 = 7cm;NS2 = 14cm.Giữa M và N có 6 cực đại, 6 cực tiểu. N là cực đại. M là cực tiểu. Tìm λ, 2 nguồn cùng phahay ngược pha?

A. 2cm, cùng pha. B. 1cm, cùng pha. C. 1cm, ngược pha. D. 2cm, ngược pha.

Lời giải:Giả sử 2 nguồn cùng phaDo điểm N là điểm cực đại và điểm M là điểm cực tiểu nên số điểm cực đại trên đoạn MN thỏa mãn:

NS1 −NS2

λ6 k <

MS1 −MS2

λ⇔ −7

λ6 k <

6

λ

Điểm N là điểm cực tiểu nên6

λlà số nửa nguyên nên điểm cực đại gần M nhất thuộc đoạn MN

ứng với k =6

λ− 0, 5

Do vậy số điểm cực đại trên đoạn MN là thỏa mãn:

−7

λ6 k 6

6

λ− 0, 5

Trên đoạn MN có 7 cực đại (kể cả N) nên:

7 =

(6

λ− 0, 5

)+

7

λ+ 1⇔ λ = 2

Với λ = 2 thử tại điểm M ta có6

λ= 3 là một số nguyên nên giả sử sai ⇒ 2 nguồn ngược pha

Chọn đáp án D.

Bài toán 69: Hai nguồn S1 và S2 dao động theo các phương trình u1 = A1 cos 90πtcm;u2 =

A2 cos(

90πt+π

4

)cm trên mặt nước. Xét về một phía đường trung trực của S1S2 ta thấy

vân bậc k đi qua điểm M có hiệu số MS1 −MS2 = 13, 5 cm và vân bậc k + 2 (cùng loại vớivân k) đi qua điểm M ′ có M ′S1−M ′S2 = 21, 5 cm. Tìm tốc độ truyền sóng trên mặt nước?

A. 25 cm/s. B. 180 cm/s. C. 50 cm/s. D. 90 cm/s.

Lời giải:Giả sử M và M’ cùng thuộc vân cực đại. Khi đó:

MS1 −MS2 =

(k − 1

8

)λ;M ′S1 −M ′S2 =

(k + 2− 1

8

)λ

⇒ 2λ = ∆dM ′ −∆dM = 21, 5− 13, 5 = 8cm⇒ λ = 2cm⇒ k = 3, 5.Vậy M, M’ thuộc vân cực tiểu.Ta có :v = λf = 90 (cm/s)Vậy đáp án D. Thực ra bài này không cần giả sử vì M, M’ thuộc cực đại hay cực tiểu thì hiệu∆dM ′ −∆dM = 2λ. Nếu đề hỏi cực đại, cực tiểu thì mới cần giả sử.

Bài toán 70: Hai điểm A, B cách nhau một đoạn d, cùng nằm trên một phương truyền

sóng. Sóng truyền từ A đến B với tốc độ v, bước sóng λ (λ > d). Ở thời điểm t pha dao độngtại A là ϕ, sau t một quãng thời gian ngắn nhất là bao nhiêu thì pha dao động tại B là ϕ?

A.d

2v. B.

ϕd

v. C.

d

v. D.

d

ωv.

Lời giải:Hai dao động tại B bằng ϕ khi B quét được 1 góc = độ lệch pha của B so với A. Khi đó:

38



∆ϕ =2πd

λ=

2πd

v2π

ω

=dω

v⇒ t =

∆ϕ

ω=d

v. Chọn C.

Bài toán 71: Trên một sợi dây đàn hồi căng ngang đang có sóng dừng ổn định. Trên dây, Alà một điểm nút, B là một điểm bụng gần A nhất cách A 6 cm. Biết rằng sau những khoảngthời gian ngắn nhất bằng nhau liên tiếp cách nhau 0,2 s điểm B luôn cách vị trí cân bằng√

2cm. Tốc độ dao động cực đại của một phần tử M cách A 16 cm là:A. 0,2 cm/s. B. 5,7 cm/s. C. 10 cm/s. D. 13,6 cm/s.

Lời giải:Theo bài

λ

4= 6.

T

4= 0, 2.

2A.

√2

2=√

2.

M cách A 16 cm, nên cách nút gần nó nhất 4 cm. Biên độ tại M:

a = 2A. sin2πx

λ=√

3.

⇒ vmax = ωa ≈ .13, 6.

Chọn D.

Bài toán 72: Sóng truyền trên một sợi dây đàn hồi với tần số f = 50Hz. Quan sát thấy haiđiểm A và B trên dây có khoảng cách nhỏ nhất là 3 cm, lớn nhất là 5 cm. Tìm vận tốc cựcđại của điểm A, biết vận tốc truyền sóng trên dây là v = 3 (m/s).

A. π (m/s). B. 2π (m/s). C. 3π (m/s). D. 5π (m/s).

Khoảng cách nhỏ nhất của AB là hình chiếu của AB trên phương truyền sóng hay đó chính làkhoảng cách ban đầu của A, B khi chưa có sóng truyền qua ⇔ ∆d = 3cm

Độ lệch pha giữa A và B là: ∆ϕ =2π.∆d

λ= π ⇒ A, B ngược pha

Khi đó nếu A nằm ở biên trên, B nằm ở biên dưới sẽ cho khoảng cách AB là lớn nhấtTa có: (2a)2 + 32 = 52 ⇒ a = 2cm,vmax = ω.a = 2π (m/s) . Chọn B

39



Bài toán 73: Hai nguồn phát sóng kết hợp A, B trên mặt nước cách nhau 12cm dao độngtheo phương trình uA = uB = 2 cos 40πt (cm). Xét điểm M trên mặt nước cách A, B nhữngkhoảng tương ứng là d1 = 4, 2cm và d2 = 9cm. Coi biên độ sóng không đổi và tốc độ truyềnsóng trên mặt nước là v=32 cm/s. Giữ nguyên tần số f và các vị trí A, M. Hỏi muốn điểm Mnằm trên đường cực tiểu giao thoa thì phải dịch chuyển nguồn dọc theo phương AB chiều raxa A từ vị trí ban đầu một khoảng nhỏ nhất bằng bao nhiêu.

A. 0,36 cm. B. 0,42 cm. C. 0,6 cm. D. 0,83 cm.

Lời giải 1:

+Ta có: λ =v

f= 1, 6cm d2 − d1 = 4, 8 = 3λ. Vậy M thuộc vân cực đại.

+Do phải dịch chuyển nguồn B dọc theo phương AB chiều ra xa A nên M cực tiểu khi và chỉ khi

d2 = 9 +λ

2= 9, 8cm

+Gọi H là chân đường cao hạ từ M xuống AB

+Dùng định lí hàm cosin ta tính được: cos M̂AB = 0, 8Đặt khoảng cách AB sau dịch chuyển là x.

Ta có:x2 + 4, 22 − 2x.4, 2 cos M̂AB = 9, 82

Giải ra x = 12, 83cmVậy cần dịch 1 khoảng bằng 12,83-12=0,83cm. Đáp án D.Lời giải 2:Ban đầu M thuộc cực đại ứng với k=3, để M thành vân cực tiểu với độ dịch chuyển theo bài nhỏnhất thì vị trí mới của M ứng với k=3,5, từ đó tính được MB′ = 9, 8

Theo hệ thức lượng cosMBA =92 + 122 − 4, 22

2.9.12=

24

25Đặt BB′ = x Áp dung tiếp hệ thức lượng ta có:

x2 + 92 − 2.9x. cos(

180− M̂BA)

= 9, 82.

⇒ x ≈ .0, 83cm

Chọn D.

Bài toán 74: Trên một sợi dây đàn hồi đang có sóng dừng ổn định với bước sóng là 12 cm.Gọi O là vị trí một nút sóng; P và Q là hai phần tử trên dây ở cùng một bên với O và có vịtrí cân bằng lần lượt là O1 và O2, biết rằng OO1 = 3cm và OO2 = 5cm. Tại thời điểm P có

li độ lớn nhất thì P̂OQ = 30o. Giá trị nhỏ nhất của biên độ điểm Q gần giá trị nào nhấtsau đây?

A. 3,4 cm. B. 2,5 cm. C. 1,7 cm. D. 2,2 cm.

Lời giải:P là điểm bụng có biên độ A

Q là điểm có biên độ: AQ = A sin

(2π

5

12

)=A

2

OO1 < OO2 <λ

2⇒ P và Q nằm trong cùng một bó sóng nên dao động cùng pha.

Tại thời điểm P đang có li độ lớn nhất bằng A thì Q cũng đang có li độ lớn nhất bằngA

2.

Ta có: tan P̂OQ = tan(P̂OO1 − Q̂OO2

)=

A

3− A

10

1 +A

3.A

10

=1√3

⇔ A2

30√

3− 7A

30+

1√3

= 0⇔ A = 8, 66 hoặc A = 3, 46 ⇒ AQmin = 1, 73 cm. Chọn C.

40



Bài toán 75: Tại thời điểm đầu tiên t = 0 đầu O của sợi dây cao su căng thẳng nằm ngangbắt đầu dao động đi lên với tần số 2 Hz. Gọi P, Q là hai điểm cùng nằm trên một phươngtruyền sóng cách O lần lượt là 8 cm và 16 cm. Biết vận tốc truyền sóng trên dây là 24 cm/svà biên độ sóng không đổi khi truyền đi. Hỏi sau thời gian ngắn nhất là bao lâu thì O, P, Qthẳng hàng?

A. 0,16 s. B. 0,25 s. C. 0,56 s. D. 1,67 s.

Lời giải:

SauT

2= 0, 25s thì O lại đi qua VTCB. Nhưng khi đó sóng mới chỉ truyền đi được 6 cm nên P và

Q chưa nhận được dao động. Lúc này O,P ,Q thẳng hàng. Vậy chọn B.

Bài toán 76: Tại thời điểm đầu tiên t = 0 đầu O của sợi dây cao su căng thẳng nằm ngangbắt đầu dao động đi lên với tần số 2Hz. Gọi P,Q là hai điểm cùng nằm trên một phươngtruyền sóng cách O lần lượt là 8cm và 16cm. Biết vận tốc truyền sóng trên dây là 24 (cm/s)và coi biên độ sóng không đổi khi truyền đi. Hỏi sau thời gian ngắn nhất bao nhiêu tính từlúc O,P,Q thẳng hàng lần đầu tiên (không tính thời điểm ban đầu ) thì O,P,Q lại thẳnghàng?

A. 0,25 s. B.5

6s. C.

7

12s. D.

2

3s.

Lời giải:

+Sau khoảng thời gian t1 =T

2= 0, 25 sóng cẫn chưa truyền tới P và Q nên khi đó ba điểm O,P,Q

thẳng hàng: +Sau khoảng thời gianOQ

v=

2

3s sau đã truyền qua 3 điểm nên phương trình dao

động các điểm là:

uO = A cos(

4πt− π

2

)uP = A cos

(4πt− 11π

6

)uQ = A cos

(4πt− 13π

6

)Khi đó điều kiên để 3 điểm A, B, C thẳng hàng là ~OP = k ~OQ, k ∈ Z

⇔ 2uP − uO − uP = 0

⇔ A cos(

4πt+π

6

)= 0

⇔

4πt+π

6=π

2+ k2π

4πt+π

6= −π

2+ k2π

⇔

t =1

12+k

2

t = −1

6+k

2

k ∈ Z

Kết hợp điều kiện t >2

3ta có t2 = tmin = −1

6+ 1 =

5

6Vậy:

∆t = t2 − t1 =5

6− 1

4=

7

12s

Chọn C.

41



Bài toán 77: Tại điểm O đặt 2 nguồn âm điểm giống hệt nhau phát ra âm đẳng hướngvà có công suất phát không đổi. Điểm A cách O một khoảng d (m) có mức cường độ âm làL = 40dB. Trên tia vuông góc với OA lấy điểm B cách A khoảng 6 (m). Điểm M thuộc AB

sao cho AM = 4, 5 (cm) và góc M̂OB có giá trị lớn nhất. Cần phải đặt tại O thêm bao nhiêunguồn nữa để mức cường độ âm tại M là 50dB

Lời giải 1:

tanMOB = tan (BOA−MOA) =tanBOA− tanMOA

1 + tanBOA. tanMOA=

6

d− 4, 5

d

1 +6.4, 5

d2

suy ra tanMOB =1, 5

d+6.4, 5

d

áp dụng bất đẳng thức cosi ta có d+6.4, 5

d≥ 2√

6.4, 5 = 6√

3

suy ra tanMOB ≤ 1, 5

6√

3

dấu bằng xảy ra khi d = 3√

3⇒ OM =3√

21

2gọi L’(A) là mức cường độ âm lúc sau

L′ (A)− L (M) = 10log

(IAIB

)= 20log

(OM

OA

)⇒ L′ (A) = 52, 43 (dB)

L′

A − LA = 10log

(I

′A

IA

)= 10log

(n2

)⇒ n = 2.10

L′A − LA

10 = 35. Vậy cần thêm 33 nguồn

Lời giải 2:

42



Ta có: AO2 = AM.AB = 4, 5.6 = 27⇒ AO = 3√

3 (cm)

Lúc này: OM =√OA2 + AM2 =

3√

21

2(cm)

Mức cường độ âm lúc đầu tại A: L = 10log2P

4π.OA2.I0

Mức cường độ âm lúc sau tại M: L′= 10log

(2 + n)P

4π.OM2.I0

⇒ L′ − L = 10log

(2 + n)OA2

2OM2

Thay số vào, ta được: 1 = log2 (n+ 2)

7⇔ 2 (n+ 2)

7= 10 ⇔ n = 33. Vậy số nguồn cần tìm là 33

nguồn.

Bài toán 78: Một âm thoa có tần số dao động riêng 850Hz được đặt sát một miệng ốngnghiệm hình trụ đáy kín đặt thẳng đứng cao 1m. Đổ nước dần vào ống nghiệm đến độ cao30cm, đặt tai sát miệng ống nghe thấy âm thoa lớn nhất. Biết tốc độ truyền âm trong khôngkhí có giá trị nằm trong khoảng 300 (m/s) ≤ v ≤ 350 (m/s). Hỏi khi tiếp tục đổ nước thêmvào ống thì có thêm mấy vị trí của mực nước cho âm được khuếch đại mạnh?

Lời giải 1:

Ta có: Ống nước cho sóng dừng coi như dây có 1 đầu cố định và âm rõ nhất khi miệng ống hìnhthạnh bụng sóng, ta được:

h =k1

2.λ

2=k1λ

4với h là cột khí

⇒ 70 =

(k1v

2

)1700

⇒ v =1190

k1

2

Từ giả thuyết, ta được: 300 ≤ 1190

k1

2

≤ 350⇒ 2, 9 ≤ k ≤ 3, 4⇒ k = 3

⇒ trong cột khí hình thành 3 bụng sóng nguyên, và1

2bụng ở miệng ⇒ còn thêm 3 lần cho nghe

to nữa. Vậy đáp án sẽ là 3 vị trí.Lời giải 2:Ta có: nước cao 30 (cm) ⇒ cột không khí cao 70 (cm). Tại mặt nước xem như nút, miệng ống làbụng khi có cộng hưởng âm nên:

0, 7 = mλ

4=mv

4f⇒ v =

2380

m(m = 1, 2, 3, ...)

43



Với điều kiện của v ta tìm được m = 7⇒ v = 340 (m/s)Khi tiếp tục đổ nước vào ống thì chiều dài cột không khí giảm dần, ta vẫn có:

l =m1v

4f=m

′

10với m1 là số lẻ

Vì l < 70 (cm) nên ta chọn được m = 1, 3, 5. Vậy có 3 vị trí bụng có âm to nhất

Bài toán 79: Một nguồn âm P phát ra âm đẳng hướng. Hai điểm A,B nằm trên cùng mộtphương truyền sóng có mức cường độ âm lần lượt là 20db và 30dB. Điểm M nằm trong môitrường truyền sóng sao cho ∆AMB vuông cân ở A. Xác định mức cường độ âm tại M?

Lời giải:

LA − LB = 20lgOB

OA⇔ OB

OA=

√10

10⇔ AB =

(√10− 10

)10

OA Tam giác OAM cân tại A

⇒ OM2 =√AB2 +OA2

⇒ OM = OA

√√√√(√10− 10

10

)2

+ 12

LA − LM = 20lgOM

OA= 20

√√√√(√10− 10

10

)2

+ 12

⇔ LM = 18, 33

Bài toán 80: Hiện tượng giao thoa sóng trên mặt nước với hai nguồn S1, S2 cùng biên độ,ngược pha, S1S2 = 13 (cm). Tia S1y trên mặt nước, ban đầu tia S1y chứa S1S2. Điểm C luônở trên tia S1y và S1C = 5 (cm). Cho S1y quay quanh S1 đến vị trí sao cho S1C là trung bìnhnhân giữa hình chiếu của chính nó lên S1S2 với S1S2. Lúc này C ở trên vân cực đại giao thoathứ 4. Số vân giao thoa cực tiểu quan sát được là

A. 12. B. 13. C. 26. D. 9.

Lời giải:

Ta có: Nếu c là trung bình nhân của a và b thì c =√ab

Hai nguồn ngược pha, C thuộc cực đại thứ 4 ứng với k = - 4 hoặc k = 3Giá trị trung bình nhân:

S1C =√S1C. cosϕ.S1S2 ⇒ cosϕ =

5

13⇒ S2C = 12 (cm) C là cực đại thứ tư nên k=3 và có:

44



S2C − S1C = (k + 0, 5)λ⇒ 12− 5 = (3 + 0, 5)λ⇒ λ = 2 (cm)

Xét tỉ số:S1S2

λ=

13

2= 6, 5. Vậy số điểm cực tiểu là: N = 2.6 + 1 = 13 điểm.

Chọn B.

Bài toán 81: Người ta thực hiện giao thoa trên mặt nước với 2 nguồn kết hợp A,B dao độngthẳng đứng. Cùng tần số, cùng biên độ a = 2 (cm) ;AB = 20 (cm). Số điểm dao động cực đạitrên AB là 10, hai trong số đó là M ;N ở gần A và B nhất, MA = 1, 5 (cm) , NB = 0, 5 (cm).Biên độ của 1 điểm trên đường trung trực của AB?

A. 2 cm. B. 2√

2 cm. C. 4 cm. D. 1 cm.


MN = 9λ

2= AB −MA−NB ⇒ λ = 4 (cm)

Vì M là cực đại nên:

2.k.π = ϕ2 − ϕ1 +2π (1, 5− 18, 5)

4⇒ ϕ1 − ϕ2 = 2.k.π + 8, 5π

Biên độ sóng tại trung điểm AB:

A =√

22 + 22 + 2.2.2. cos (2.k.π + 8, 5π) = 2√

2 (cm)

Chọn B.

Bài toán 82: Ở mặt chất lỏng có hai nguồn sóng A, B cách nhau 19 (cm), dao động theophương thẳng đứng với phương trình là uA = uB = a cos (20πt) (với t tính bằng s). Tốc độtruyền sóng trên mặt chất lỏng là 40 (cm/s). Gọi M là điểm ở mặt chất lỏng gần A nhất saocho phần tử chất lỏng tại M dao động với biên độ cực đại và cùng pha với nguồn A. Khoảngcách AM là?

A. 4 cm. B. 3 cm. C. 2 cm. D. 5 cm.

Lời giải:Ta có: λ = vT = 4 (cm)Phương trình sóng tới M:

uM = 2a cosπ

λ(d1 − d2) cos

(20πt− π

λ(d1 + d2)

)Điều kiện để M dao động cùng pha với nguồn:cos

π

λ(d1 − d2) = 1

π

λ(d1 + d2) = 2.k.π

⇔{d1 − d2 = 2.k1.λd1 + d2 = 2.k2.λ

⇔ d1 = (2k1 + 2k2)λ

2= k

′ λ

2

Dễ thấy k′chẵn ⇒ d1min

⇔ k′

min = 2⇒ d1min= 2

λ

2= 4 (cm)

Bài toán 83: Hai nguồn kết hợp S1, S2 cách nhau khoảng S1S2 = 2d có tần số 50 (Hz) gâyra sóng trên mặt nước trong một chậu lớn. Người ta đặt một cái đĩa nhựa tròn bán kínhr = 1, 2 (cm) lên đáy nằm ngang của chậu, tâm đĩa là S2. Vận tốc của sóng ở chỗ nước sâu làv1 = 0, 4 (m/s), ở chỗ nước nông hơn vì có đĩa, vận tốc là v2 < v1. Tìm giá trị lớn nhất củav2, biết đường trung trực của S1S2 là một đường nút (biên độ dao động cực tiểu) và r < d

45



Lời giải:Ta tính được: T = 0.02 (s). Thấy rằng: Sóng di từ S1 tới A hết :

t1 =d

v1

(s)

Sóng đi từ S2A hết :

t2 =0, 012

v2

+d− 0, 012

v1

(s)

⇒ ∆t = t2 − t1 =0.012

v2

− 0, 03 (s)

Điều kiện v2 lớn nhất khi :

∆t = (k + 0.5) .T

4→ v2 =

0, 6

k + 2

Chọn k = 0 được v2max = 0, 3(ms

)Bài toán 84: Tại hai điểm A và B trên mặt nước cách nhau 8cm có 2 nguồn kết hợp

dao động với phương trình u1 = u2 = a cos 40πt (cm), tốc độ truyền sóng trên mặt nước là30 (cm/s). Xét đoạn thẳng CD = 4 (cm) trên mặt nước có chung đường trung trực với AB.Tìm khoảng cách lớn nhất từ CD đến AB sao cho trên đoạn CD chỉ có 3 điểm dao động vớibiên độ cực đại

Lời giải:Nhận xét: Trên đoạn CD có 3 đường dao động cực đại ⇒ CD có 3 cực đại, tại C và D là cực đạibậc 1Xét tại (C) gọi d2 khoảng cách từ C đến B, và d1 là khoảng cách từ C đến A, O là trung điểm ABTa có:

d2 − d1 = λ = 1, 5 (cm) (1)

Hạ CH vuông góc AB ⇒ CH = x,HO = HA = 2 (cm) , BO = 6 (cm)Dùng Pitago:

⇒ d2 =√x2 + 62, d1 =

√x2 + 22 (2)

Thay (2) vào (1) ta giải được x là 9, 7 (cm). Vậy khoảng cách lớn nhất đó có giá trị là 9, 7 (cm) .

Bài toán 85: Trên mặt nước có hai nguồn kết hợp S1, S2 cách nhau 6√

2 (cm) dao độngtheo phương trình u = a cos (20πt). Biết tốc độ truyền sóng trên mặt nước là v = 0, 4 (m/s)và biên độ sóng không đổi trong quá trình truyền. Điểm gần nhất ngược pha với các nguồnnằm trên đường trung trực của S1S2 cách S1S2 một đoạn?

A. 6 cm. B. 2 cm. C. 3√

2 cm. D. 18 cm.

Lời giải:Ta có λ = 4cmGọi d là khoảng cách từ điểm M nằm trên đường trung trực đến hai nguồn S1S2

Phương trình dao động của điểm M:

uM = 2a cos

(20πt− 2πd

λ

)

Điểm M dao động ngược pha với nguồn khi: ∆ϕ =2πd

λ= π + k2π ⇔ d = 2 + 4k

Mặt khác d ≥ S1S2

2⇒ 2 + 4k ≥ 3

√2⇒ k ≥ −2 + 3

√2

4

46



Nên kmin = 1Khi đó d = 6cm. Sử dụng định lý PY-TA-GO:

h =

√d2 −

(S1S2

2

)2

= 3√

2

Vậy chọn C.

Bài toán 86: Giao thoa sóng nước với hai nguồn giống hệt nhau A, B cách nhau 20 (cm) cótần số 50 (Hz). Tốc độ truyền sóng trên mặt nước là 1, 5 (m/s). Trên mặt nước xét đườngtròn tâm A, bán kính AB. Điểm trên đường tròn dao động với biên độ cực đại cách đườngthẳng qua A, B một đoạn gần nhất là bao nhiêu?

Lời giải:Điểm M trên đường tròn tâm A bán kính AB cách đường thẳng AB gần nhất thì M phải nằm vềphía B(hình vẽ)

Ta có: λ = 3 (cm)

k <AB

λ=

20

3⇒ k = 6

Điểm M phải là cực đại gần B nhất nên:MA−MB = 6λ = 18⇒MB = 2 (cm)Lại có:

cosα =AB2 + AM2 −MB2

2AM.AB= 0, 995 (Với α là góc tạo bởi AM và AB)

Gọi H là chân đường cao kẻ từ M đến AB hay nói cách khác là khoảng cách cần tìm

Do đó, MH = AM. sinα = AM

√1− (cosα)2 = 1, 997 (cm)

Bài toán 87: Một sợi dây đàn hồi OM=90cm có hai đầu cố định. Biên độ tại bụng sóng là3cm, tại điểm N gần nhất có biên độ dao động là 1,5cm. ON không thể có giá trị nào sauđây:

A. 5 cm. B. 7,5 cm. C. 10 cm. D. 2 cm.

Lời giải:

Vì 2 đầu cố định nên: l = kλ

2với k là số bụng.

⇒ λ =180

k(cm)

Lại có:

a = 2A. sin2πd

λ= A⇒ sin

2πd

λ=

1

2

47



Nên:2πd

λ=π

6+ 2πm

2πdk

180=π

6+ 2πm ⇒ d.k = 15 + 180m (1)

Tương tự với :2πd

λ=

5π

6+ 2πm

Thì: d.k = 75 + 180m (2)Thấy: V P của (1);(2) không chia hết cho 10 nên V T của chúng cũng vậy. Hơn nữa k nguyên vàbiến thiên. Do đó ta chọn C.

Bài toán 88: Trên một mặt phẳng trong một môi trường không hấp thụ âm, chọn hệ trụctọa độ vuông góc xOy. Tại O đặt một nguồn âm điểm phát âm đẳng hướng, công suất phátâm không đổi. Trên tia Ox và tia Oy lần lượt các điểm P và Q sao cho OP = 8 cm và OQ =6 cm. Trong số các điểm trên đoạn PQ thì điểm A là điểm có mức cường độ âm lớn nhất và

bằng 40 dB. Trên đoạn PQ, điểm mà tại đó có mức cường độ âm là 20

(2− log

(5

4

))dB

cách P một đoạn nhỏ nhất là:A. 3,6 cm. B. 2,8 cm. C. 6,4 cm. D. 7,2 cm.

Lời giải:

Ta có: LA = 40 (dB)⇒ IA = 10−8 (A)

LN = 20

(2− log

(5

4

))⇒ IN = 6, 4.10−9 (A)

Lại có:IAIN

=

(0N

0A

)2

⇒ ON

OA=

5

4⇒ ON =

5

4OA

Vì điểm A có mức cường độ âm lớn nhất nên OA nhỏ nhất ⇔ OA ⊥ PQ

Mặt khác: PQ =√OP 2 +OQ2 = 10 (cm)

⇒ OA =OP.OQ

PQ= 4, 8 (cm)

⇒ ON =5

4OA = 6 (cm)

48



+Góc α giữa OP và PQ có cosα =4

5+Áp dụng định lí hàm cosin vào tam giác ONP có:

ON2 = OP 2 +NP 2 − 2NP.OP. cosα⇒ NP 2 − 64

5NP + 28 = 0

⇒ NP = 2, 8 (cm)Vậy chọn B

Bài toán 89: Sóng truyền theo phương ngang trên một sợi dây dài với tần số 10 Hz. ĐiểmM trên dây tại một thời điểm đang ở vị trí cao nhất và tại thời điểm đó điểm N cách M mộtkhoảng 5 cm đang đi qua vị trí có li độ bằng nửa biên độ và đi lên. Cho biết biên độ sóngkhông đổi khi truyền. Biết khoảng cách MN nhỏ hơn bước sóng của sóng trên dây. Chọn đápán đúng về tốc độ truyền sóng và chiều truyền sóng:

A. 60 cm/s, truyền từ M đến N.B. 3 m/s, truyền từ N đến M.C. 60 cm/s, truyền từ N đến M.D. 30 cm/s, từ M đến N.

Lời giải:Điểm M ở vị trí cao nhất tức là ở biên dương. Điểm N đi qua vị trí có li độ bằng nửa biên độ. Bàinày ta sẽ có hai trường hợp trên vòng tròn:

• TH1: M, N lệch pha nhauπ

3:

ϕMN =π

3⇒MN =

λ

6= 5⇒ λ = 30⇒ v = 300 (cm/s) = 3 (m/s)

• TH2: M, N lệch pha nhau5π

3:

ϕMN =5π

3⇒MN =

5λ

6= 5⇒ λ = 6⇒ v = 60 (cm/s)

Do N sớm pha hơn M và sóng truyền từ N đến M. Vậy đáp án C.

Bài toán 90: Tại điểm O trên mặt nước đặt một nguồn phát sóng với bước sóng λ = 4cm.Điểm A cách nguồn 10cm và B là điểm xa O nhất luôn dao động cùng pha với A, cách A15cm. Hỏi tại thời điểm A đang có li độ cực đại bằng 5cm thì trung điểm C của AB có li độlà:

A. -2,6 cm. B. 2,1 cm. C. 2,6 cm. D. -2,1 cm.

Lời giải:

Pha dao động tại A bằng2πOA

λ= 5π

Pha dao động tại B bằng2πOB

λĐể B dao động cùng pha với A thì OB = 4k + 2 (cm)Để B xa O nhất thì OB ≤ 10 + 15⇒ k ≤ 5, 75⇒ kmax = 5⇒ OB = 22cm

OC là trung tuyến của tam giac OAB nên OC =

√943

2Ta có:

5 = uA = 5 cos (ωt− 5π) .

49



Đây là sóng truyền trên mặt nước nên năng lượng sóng tại C: EC =EO

2πOC=OA

OCEA

⇒ Biên độ AC =

√OA

OCAA = 0, 8AA

uC = 5.0, 8 cos

(ωt−

√943π

4

).

Tính ra uC ≈ −2, 1 Chọn D.

Bài toán 91: Trên mặt chất lỏng có 2 nguồn S1;S2 kết hợp phát ra dao động với bước sóng

5(cm) và S1S2 = 6, 35λ. Biết u1 = a. cos(ωt+

π

3

)(cm) và u2 = a. cos

(ωt+

π

12

)(cm). Lấy

M và N trên đoạn nói 2 nguồn sao cho M là điểm cực đại giữa và NS2 = 2, 175λ. Trên đườngthẳng qua N và vuông góc với S1;S2, tồn tạ điểm I sao cho IS1 + IS2 = 10λ. Tìm S∆IMS1?

A. 153(cm2

). B. 163

(cm2

). C. 173

(cm2

). D. 183

(cm2

).

Lời giải:

Điểm cực đại thỏa mãn: d2 − d11 =

(k +

∆ϕ

2π

)λ

M là cực đại chính giữa nên

k = 0⇒ d2 − d1 =λ

8mà d1 + d2 = 6, 35λ⇒ d1 = 15, 5625cmDễ tính được IS2 = 21, 825cm⇒ IN = 18, 9cm⇒ S∆S1IM = 153cm2 Chọn A.

Bài toán 92: Một loa S phát ra âm có tần số f = 500 (Hz) được đặt vào trước 1 bức tườngở khoảng cách SA=d, xấp xỉ 1(m). Tính chính xác d để có sóng dừng? Đặt tai hoặc micro ởđâu thì âm nghe được là cực đại? Biết tai và micro nhạy cảm với biến đổi áp suất.Coi dịchchuyển của màng loa là không đáng kể. Lấy vận tốc truyền âm v = 340 (m/s)

Do S và A là nút dịch chuyển. Mà ta có: λ =v

f= 0, 64 (m)

Nên: d = 3λ

2= 1, 02 (m).

Ngoài S và A ra thì còn có 2 nút nữa là B và C, đó là bụng áp suất, đặt tai ở đó thì sẽ nghe đượcâm cực đại. Vậy nên:

SM =λ

2= 0, 34 (m) và SN = λ = 0, 68 (m)

Bài toán 93: Hai nguồn kết hợp A và B uA = uB = a. cos (ωt) (mm). Biết AB =20 (cm) ;λ = 4 (cm) và O là trung diểm của AB. Đường thẳng (d) di động vuông góc với AB.Trên (d) lấy điểm C sao cho CA+ CB = 13λ;S∆ABC = 240.. Lấy D là trung điểm của OA.Một điểm E dao động vuông pha với nguồn nằm trong đoạn CD. Gọi x là tổng khoảng cáchtừ E tới 2 nguồn. Tìm biểu thức đúng?

A. 3x2max + 4x2

min = 75. B.√xmax + 3

√2xmin = 9.

C. x2min + x3

max = 3264. D. x2min − 4xmax = 284.

Lời giải:

50



Nửa chu vi tam giác CAB:P =CA+ CB + AB

2= 36 (cm)

Diện tích tam giác :

S =√P (P − AB) (P −BC) (P − CA)

↔ S = 12.2√

(P − AC) (P −BC)→ S ≤ 12 (2P −BC − CA) = 240Do đó:AB = AC = 26 (cm)

Phương trình sóng tổng hợp tại điểm E: uE = 2a cos

(π∆d

λ

)(ωt− π (d1 + d2)

λ

)Để E dao động vuông pha với nguồn thì

π (d1 + d2)

λ=π

2+ kπ

↔ x = d1 + d2 = (k + 0, 5)λMà DA+DB ≤ d1 + d2 ≤ CA+ CB ↔ 20 ≤ 4 (k + 0, 5) ≤ 52↔ 4, 5 ≤ k ≤ 12, 5→ kmin = 5, kmax = 12 tương ứng là xmin = 22cm, xmax = 50cm. Suy ra đáp án D.Một cách khác để tính AB = AC = 26cm.

d21 − d2

2 = x2 − (20− x)2 = 40x− 400

Mà d1 + d2 = 52→ d1 − d2 =10

13x− 100

13

51



→ d1 =5

13x+

288

13

Ta có:

(5

13x+

288

13

)2

= x2 + 242 ↔ x = 10

→ d1 = d2 = 26cm

Bài toán 94: Trên một sơi dây đàn hồi có sóng dừng với tần số 10 Hz, xét các điểm daođộng có biên độ bằng nhau và bằng 3cm thì hai điểm gần nhau nhất dao động cùng pha cáchnhau đoạn d1 và hai điểm gần nhau nhất dao động ngược pha cách nhau đoạn d2 = 2d1. Khidây duỗi thẳng điểm bụng sóng có tốc độ?

A. 40π√

2 (cm/s). B. 40π√

3 (cm/s). C. 30π√

2 (cm/s). D. 60π (cm/s).

Lời giải:

Ta có d1 + d2 =λ

2⇒ d2 =

λ

3hay điểm dao động với biên độ 3 cm cách nút gần nhất là

d2

2=λ

6Vậy ta có A

√3 = 3cm

tốc độ của bụng sóng khi dây duỗi là 2Aω = 40π√

3 ( (cm/s))Chọn B.

Bài toán 95: Hai nguồn phát sóng kết hợp A, B trên mặt thoáng của một chất lỏng dao

động theo phương trình uA = 6 cos(20πt) (mm); uB = 6 cos(

20πt+π

2

)(mm). Coi biên độ

sóng không giảm theo khoảng cách, tốc độ truyền sóng v = 30 (cm/s). Khoảng cách giữa hainguồn AB = 20 (cm). H là trung điểm của AB, điểm đứng yên trên đoạn AB gần H nhấtvà xa H nhất cách H một đoạn bằng bao nhiêu ?

A. 0, 375 cm; 9, 375 cm.. B. 0, 375 cm; 6, 35 cm..C. 0, 375 cm; 9, 50 cm.. D. 0, 375 cm; 9, 55 cm..

Lời giải 1:

Hai nguồn lệch pha nhauπ

2nên toàn bộ hệ vân sẽ dịch chuyển đến nguồn trễ pha hơn (nguồn A)

1 khoảng là:λ

8so với khi 2 nguồn cùng pha. Vậy nên điểm cực tiểu khi 2 nguồn cùng pha và nằm

bên phải trung điểm 2 nguồn (cách trung điểm đó 1 khoảngλ

4, gọi là điểm I) sẽ dịch chuyển sang

tráiλ

8nên điểm cực tiểu sẽ cách trung điểm 1 khoảng ngắn nhất là

λ

4− λ

8=λ

8= 0, 375 cm

Ta lại có:

HA = HI + IA = 10, 375 = 6.λ

2+ 1, 375

HB = IB −HI = 9, 675 = 6.λ

2+ 0, 675

Từ 2 kết quả trên ta suy ra điểm cực tiểu xa H nhât nằm bên phải H và cách H 1 khoảng :10− 0, 675 = 9, 375 cm Chọn A.Lời giải 2:Giả sử M là 1 điểm thuộc AH:HM=d ⇒ 0 ≤ d ≤ 10(cm) Phương trình sóng từ A và B đến M:

xA = 6 cos

[20πt− 2π

λ.

(AB

2− d)]

xB = 6 cos

[20πt+

π

2− 2π

λ.

(AB

2+ d

)]Để M đứng yên thì 2 sóng từ A,B truyền đến ngược pha nhau

⇒ 2π

λ(10− d) =

π

2+

2π

λ(10 + d) + (2k + 1)π

52



⇒ 0 ≤ 1, 5k + 0, 375 ≤ 10⇒≤ −0, 25 ≤ k ≤ 6, 4k = 0⇒ dmin = 0, 375cm;k = 6⇒ dmax = 9, 375cm Chọn A.

Bài toán 96: Cho 3 sợi dây cao su giống nhau dài 4 m căng thẳng nằm ngang song songcùng độ cao so với mặt đất có đầu là O1;O2;O3. Tại thời điểm đầu tiên cho O1 bắt đầu daođộng đi lên với tần số 0,2 Hz. Sau đó 15s cho O2 bắt đầu dao động đi lên với tần số 0,4 Hz.Tiếp sau đó 10s cho O3 bắt đầu dao động đi xuống với tần số 0,5 Hz. Cả 3 sợi dây đều tạothành sóng hình sin với cùng biên độ A và bước sóng 80 cm. Hỏi sau thời gian ngắn nhất làbao nhiêu kể từ khi O1 bắt đầu dao động thì hình dạng của 3 sợi dây giống hệt nhau?

A. 40 s. B. 42 s. C. 42,5 s. D. 45 s.

Lời giải:Chọn gốc thời gian lúc O1 bắt đầu đi lênTa có pt dao động of O1;O2;O3 lần lượt là:{

U1 = A sin (0, 4πt)U2 = A sin (0, 8πt)U3 = A sin (πt)

Hình dạng 3 sợi dây giống nhau khi chúng có cùng li độ

⇔ U3 − U2 = U2 − U1 ⇔ U3 + U1 = 2U2

⇔ sin (0, 4πt) + sin (πt) = 2 sin (0, 8πt)⇔ sin (0, 7πt) cos (0, 3πt) = sin (0, 8πt)Thay đáp án ta thấy t = 40 (s) thỏa mãn. Chọn A.

Bài toán 97: Một chiếc loa có màng khuếch âm với diện tích mặt trước S=300cm2 và khốilượng m = 5 g. Tần số cộng hưởng của màng khuếch âm f0 =50Hz. Tần số cộng hưởng nàygần giá trị nào nhấtsau đây nếu gắn loa vào một hộp kín có thể tích V0=40l (cho rằngnhiệt độ không khí bên trong hộp loa không đổi khi màng loa rung động)?

A. 115 Hz. B. 105 Hz. C. 95 Hz. D. 125 Hz.

Lời giải:Ta coi màng loa như 1 con lắc lò xo có tàn số cộng hưởng là :

ω =

√k0

m(với Không là độ cứng)

⇒ k0 = ω2.m.Khi đặt loa vào trong hộp thì khi màng loa rung động dịch khỏi vị trí can bằng , có lực phụ tác

dụng lên nó:F = (ρ− ρ0) s. (với ρ là áp suất không khí trong hộp,ρ0 là áp suất không khí ngoàihộp). Do nhiệt độ không đổi nên:ρ.V = ρ0.V0

⇒ ρ =ρ0.V0

V.

⇒ F =

(ρ0.V0

V− ρ0

)s

⇒ F = s.ρ0.V0 − VV

.

Vì V0 − V = sx với x là độ dịch chuyển màng loa nên:

F =ρ0.s

2.x

V=ρ0.s

2.x

V0

(V ≈ V0).

Đặt k1 =ρ0.s

2

V0

thì F = k1.x.

Do đó không khí trong hộp tác dụng tương tự như con lắc lò xo có độ cứng k1. Do đó, độ cứngcủa hệ là:

53



k = k0 + k1 = ω2.m+ρ0.s

2

V0

.

Tần số cộng hưởng của màng trong hộp:

f =1

2π.

√k

m.

Thế k vào, tính được:f ≈ 115 (Hz).

54



Bài tổng hợp trên được tổng hợp từ các topic dao động cơ, sóng cơ diễn đàn vật lí phổ thông.Mọi ý kiến về lời giải các bài toán xin hãy liên hệ với các thành viên diễn đàn. Cảm ơn các thànhviên :

• NTH 52 (Bùi Đình Hiếu )

• datanhlg (Lương Anh Đạt)

• Huyen171 (Huyền Nguyễn)

• hoankuty (Nguyễn Quỳnh Hoan)

• ĐỗĐạiHọc2015 (Minh Hiệp)

• zkdcxoan

• LATEX by GS.Xoăn

55


http://vatliphothong.vn/members/804/







TỔNG HỢP CÁC BÀI TOÁN DAO ĐỘNG CƠ Vật lí phổ thông

Documents