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M. Rose: Tonaler LM. Rose: Tonaler Läärm in axialen Turbomaschinenrm in axialen Turbomaschinen2
Ziel der Vorlesung
Aneignung grundlegender Kenntnisse über akustische Effekte in axialen Turbomaschinen und zwar über:
Entstehungsmechanismen tonalen SchallsCharakter des SchallfeldesAusbreitung des Schalls in der Maschine (Ringkanal)Lärmarme Auslegung durch „Cut-Off Design“.
In welchen das Arbeitsmedium (z.B. Luft)Verdichtet,Expandiert undTransportiert wird
Und zwar mittels
Rotierender Schaufeln (Rotoren) und Leiträder (Statoren).Umwandlung zwischen mechanischer Energie der rotierenden Teile und Enthalpie des Arbeitsmediums (⇒Thermischer Kreisprozess)
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1. Einführung (6)Klassifizierungsmöglichkeiten des Lärms vom Triebwerk
Art der Entstehung, physikalischer WirkungsmechanismusVerdrängungswirkung des RotorsStationäre/instationäre Schaufelkräfte an Rotor und Stator sowieanderen BauteilenInstationäre Spannungen im Fluid, Turbulenz
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2. Tonerzeugung (1)
Ungestörte ZuströmungStationäre SchaufelkräfteInstationäres Druckfeld des Rotors (rotierendes Druckfeld des Rotors ohne Leitapparate)
Gestörte ZuströmungStationäre und instationäre (periodisch zeitveränderliche!) SchaufelkräfteInstationäres Druckfeld bei Rotor-Stator Wechselwirkung (bzw. andere Einbauten)
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2. Tonerzeugung (4)
Anzahl der RotorblätterB
Winkel zwischen den Rotorblättern αB = 2π/B
Räumliche Periodizität und Amplitude des Druckfeldes bestimmt durch die Schaufelgeometrie und Anströmwinkel, Geschwindigkeit, ...Druckfeld ist an die Rotorschaufel gebunden (bei gleichmäßiger Zuströmung) und rotiert mit der konstanten Winkelgeschwindigkeit
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Ω = const. ⇒ Abhängigkeit des Druckes von Ort und Zeit ergibt sich aus Kombination des Winkels und der ZeitkoordinateDruckzustand an einem Ort ϑ, zum Zeitpunkt t erreicht Ort (ϑ + Δϑ) in Drehrichtung zum Zeitpunkt (t + Δt = t + Δϑ/ Ω)Druckzustand p schreitet fort:
(1)
(Vergl. „Grundlagen der Aeroakustik“, S. , Gl. (74) – Fortschreitende Welle)
Druckfeld wiederholt sich in Umfangsrichtung, entsprechend dem Abstand der Rotorblätter (siehe Bild 8)⇒ Periodizität des Druckfeldes mit ΘB = αB = 2π/B in Umfangsrichtung⇒ Darstellung von (1) als Fourier-Reihe:
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2. Tonerzeugung (9)
Erweiterung auf jede radiale Position rGestaltung des Rotorblattes, Umströmung ⇒ Fourier-koeffizient aν(r) und Phase ϕν(r) Bestimmung aus Messungen in der Referenzebene x0 bzw. Rechnung (z.B. instationäre CFD)Schallquelle Rotor in ungestörter Strömung:
(5)
In Umfangsrichtung mit der Geschwindigkeit Ω rotierende, räumlichperiodische DruckverteilungDargestellt durch lineare Superposition von Druckmoden, der Fundamentalen und deren Harmonische
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2. Tonerzeugung (10)
2.1. Rotor in gestörter Zuströmung (Rotor – Stator – Interaktion)
Ursache: stationäre und instationäre (periodisch zeitveränderliche!) Schaufelkräfte – Entstehung?
i. Rotor durchläuft Nachlauf stromauf liegender Statoren (Vorleitrad)ii. Auftreffen des rotierenden Nachlaufs der Rotorblätter auf die stromab
liegenden Statoren (Nachleitrad)iii. Interaktion des rotierenden periodischen Druckfeldes des Rotors
(Potentialfeld des Rotors) auf in der Nähe befindlicher Hindernisse stromauf/stromab
Effekte produzieren die gleiche Art (Struktur) der akustischen QuelleIm weiteren – keine Differenzierung dieser Effekte ⇒ “Ereignis”, das eine räumlich und zeitlich periodische Quelle in der Referenzebenegeneriert
der Frequenz νBΩ zeitliche Strukturmit dem Druckmuster νB räumliche Struktur
V=0 StatorenBeobachter im rotierenden System – nimmt stationäresDruckfeld wahrV=1 StatorBeobachter im ruhenden System, nahe dem Stator, erfährt eine Druckänderung (“Ereignis”) beim Passiereneines jeden (B) RotorblattesBeobachter im rotierenden System erfährt bei jedemPassieren des Stators das “Ereignis”
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Komplexe Darstellung der durch Rotor – Stator Interaktion erzeugtenDruckverteilung an der Quelle:
(9)Re{pmν} - m-te räumliche Komponente (Mode)
- ν-te zeitliche Komponenteder instationären Druckverteilung bei x0
Fall “Rotor in ungestörter Strömung” (V=0) eingeschlossenRepräsentiert eine in Umfangsrichtung laufende Mode:
m > 0 - Mode läuft in Drehrichtung des Rotorsm < 0 - Mode läuft entgegesetzt der Drehrichtung des RotorsMode (der Ordnung m) rotiert mit der Geschwindigkeit:
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3. Ausbreitung (des Druckfeldes im Kanal) (1)
Erzeugtes Druckfeld räumlich und zeitlich beschrieben durch rotierende Druckmoden and der Referenzebene x=x0 durch Gl. (9) ⇒ SchallquelleProblem: Finde Druckverteilung im Kanal entlang xMathematisch: Lösung der Wellengleichung in der geeigneten Form unter den gegebenen RandbedingungenVorgehen:i. Aufstellen der Wellengleichung (Geometrie!)ii. Ansatz, Separation der Variableniii. Randbedingungen setzen (z.B. Starre Wand)iv. Eigenschaften der Lösung – des Schallfeldes - diskutieren
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3.3 LösungsansatzSeparation der Variablen
(14)
Einsetzen in Gl.(13) und Lösen für räumliche Abhängigkeiten Χ(x), R(r), Θ(ϑ)Eigenwertproblem! Entwicklung der allgemeinen Lösung in Fourier-Bessel-Moden
(15)
p´ – komplexe Amplitude des Schalldruckesx = const. ⇒ Wellenausbreitung in ϑ, ϑ = const. Wellenausbreitung in x ⇒Kombination aus rotierendem und axial fortschreitendem Druckfeld
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αmn2? - bestimmt die Lösung von Gl. (16a) bzw. (16b)
Substitution ρmn = αmn • r in Gl. (16) ergibt:
(17)
Mit der allgemeinen Lösung:
(18)
Jm – Besselsche Funktion (Zylinderfunktion) der 1. Gattung und der Ordnung m, Ym – Besselsche Funktion 2. Gattung und der Ordnung m (Weberfunktion, Neumannfunktion)Qmn, wie auch die Eigenwerte in ρmn werden aus den Randbedingungen bestimmt, damit auch kmn
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3.4 RandbedingungenFunktion fmn(r) wird
durch die Geometrie des Ringkanals (Nabenverhältnis) und durch die akustischen Eigenschaften der Wand bestimmt(kein Nabenkörper (kreisrundes Rohr) ⇒ Qmn = 0, ∀ mn)
Randbedingung bei (r=R, r=ηR) bei schallharter Wand:
(19)
Zwei Gleichungen zur Bestimmung der Nullstellen σmn der Besselfunktionen und der Konstanten Qmn
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3. Ausbreitung (des Druckfeldes im Kanal) (10)
3.5 Diskussion der Lösungkmn – Wellenzahl der akustischen Mode axialer Richtung x(m,n) - Ordnung der akustischen Mode in azimuthaler (ϑ) bzw. radialer (r) Richtung⇒ Tonerzeugung: Quelle generiert in der ReferenzebeneModen mit festgelegter Struktur und Rotationsgeschwindigkeit, bestimmt durch Beschaufelungund WellendrehzahlErfüllt das erzeugte, rotierende Druckfeld die Wellengleichung (13) im Sinne in axialer Richtungausbreitungsfähiger, periodischer Druckschwankungen?
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i. ζmn = 0 : ⇒ kmn±
ist ebenfalls reell und stellt eigentlich einen Sonderfall von Fall (1) dar; dieser Fall tritt ein, wenn:
Die akustische Wellenzahl k bzw. die Frequenz (ω=2πf=ka0) einenbestimmten Wert annimmt (so daß die Helmholtz-Zahl kR=σmn√1-M2):
(25)Höhere Moden sind nur oberhalb dieser Grenzfrequenzausbreitungsfähig ⇒ “Cut-On Frequency”Unterhalb dieser Frequenz ist die akustische Mode nichtausbreitungsfähig
ii. ζmn = 1 : ⇒ kmn±
ist ebenfalls reell (Sonderfall von Fall (1)); wenn:Die Eigenwerte σmn verschwinden. Damit ist die Mode unabhängig von der Frequenz ausbreitungsfähig. Dies trifft für die Mode der Ordnung(0,0) zu.
Ausbreitung des Schwingungszustandes (aperiodische Lösungen der Gl.(15)):
Für stromab und stromauf laufende WellenZustand klingt ab in axiale RichtungIm Gegensatz zu (1) i wird der Zustand als “Cut-Off” bezeichnet‘Cut-Off Ratio’ der Mode (m,n) aus Gl. 23:
(26)
Ist das ‘Cut-Off Ratio’ größer 1, ist die Frequenz der Mode (m,n) hoch genug, um ausbreitungsfähig zu sein (Fall (1))Beispiel (Anhang)
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Weitere wichtige Zusammenhänge:Axiale Phasengeschwindigkeit (Geschwindigkeit der Flächekonstanter Phase) der Mode:
(27)
Für √ ζmn > M ist die axiale Phasengeschwindigkeit positiv ⇒Transport der Information stromabGruppengeschwindigkeit (Geschwindigkeit der Einhüllenden einesWellenpaketes):
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3. Ausbreitung (des Druckfeldes im Kanal) (16)
Ausbreitungswinkel ist von der Mach-Zahl und der Frequenz abhängigIst die Frequenz oberhalb der Grenzfrequenz fmn,c sind verschiedene Ausbreitungswinkel möglich, je nach Laufrichtung der Schallwelle (k+
mn/k-mn, stromab/stromauf)
Ausbreitungswinkel bei Grenzfrequenz (ζmn=0, “Cut-On”):(30)
Bei diesem Winkel wird der Energietransport der stromauflaufenden Welle (kmn
-) durch die Strömungsgeschwindigkeitkompensiert, nach Gl. (28) wird cgr ⇒ 0 Resonanz! Schallenergie wird nicht abtransportiert ⇒ Schalldruckim Rohr wird sehr groß
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Weiterführende Literatur
/1/ Hubbard, H. H.: Aeroacoustics of flight vehicles: theory and practice, volume 1: noise sources. NASA Reference publication 1258, vol.1, WRDC technical report 90-3052, 1991.
/2/ Munjal, M. L.: Acoustics of ducts and mufflers. John Wiley & Sons, Inc., 1987.
/3/ Smith, M. J. T.: Aircraft noise. Cambridge university press, 1989.
/4/ Stahl, B.: Experimenteller Beitrag zur Schallerzeugung durch die Turbulenz in einer Rohrströmung hinter einer unstetigen Querschnittserweiterung. Forschungsbericht DFVLR-FB 86-06, 1986.
/5/ Tyler, J. M.; Sofrin, T. G.: Axial flow compressor noise studies. SAE Transaction 70, 1962, pp 309-332.