Fundamentos de la Teor��a del
Campo Electromagn�etico Cl�asico�
Tomo I�
Bernardo Garc��a Olmedo �
��� de octubre de �����
�Dpto� de Electromagnetismo y F��sica de la Materia �Universidad de Granada
�Indice General
I Campo electromagn�etico en el vac��o� Fundamentos �
� Campo el�ectrico y campo magn�etico �
��� Descripci�on de las magnitudes electromagn�eticas � � � � � � � � � � � � � �
����� Espacio de observaci�on � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �
����� Descripci�on microsc�opica � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �
����� Descripci�on macrosc�opica � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��
��� Conservaci�on de la carga ecuaci�on de continuidad � � � � � � � � � � � � ��
����� Corrientes estacionarias � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �
��� Ley de fuerzas de Lorentz � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��
����� Trabajo sobre una carga en movimiento � � � � � � � � � � � � � � ��
�� El campo electromagn�etico en el marco de la relatividad de Galileo � � � ��
���� Relatividad de Galileo � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��
������ Vectores y escalares� Invariantes galileanos � � � � � � � ��
������ Leyes de transformaci�on de los campos � � � � � � � � � �
��� Problemas � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��
� Campos est�aticos ��
��� Introducci�on � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��
��� Campo electrost�atico � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��
����� Ley de Coulomb � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��
����� Fuentes del campo electrost�atico � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��
����� Potencial electrost�atico � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��
���� Energ��a potencial � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��
����� Ecuaciones de Poisson y Laplace � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��
����� Estructuras simples del campo el�ectrico � � � � � � � � � � � � � � ��
��� Campo magn�etico producido por corrientes estacionarias � � � � � � � � � ��
����� Campos y fuerzas magn�eticas � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��
����� Fuentes del campo magn�etico� Potencial vector � � � � � � � � � � ��
����� Estructuras simples del campo magn�etico � � � � � � � � � � � � � ��
�� Problemas � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��
i
ii
� Fuentes del campo din�amico� Leyes de Maxwell ��
��� Ley de inducci�on de Faraday � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �
����� Ley de Faraday para caminos en movimiento � � � � � � � � � � � ��
��� Corriente de desplazamiento en el vac��o � � � � � � � � � � � � � � � � � � �
��� Potenciales del campo electromagn�etico � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��
�� Ecuaciones de Maxwell en el vac��o � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��
��� Problemas � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��
� Consecuencias de las Ecuaciones de Maxwell �
�� Energ��a electromagn�etica� Vector de Poynting � � � � � � � � � � � � � � � ��
���� Energ��a de sistemas de cargas y corrientes estacionarias � � � � � ��
�� Ecuaciones de onda para los campos y los potenciales � � � � � � � � � � ��
���� Propagaci�on de ondas electromagn�eticas planas en el vac��o � � � ��
�� Potenciales retardados � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��
� Relaci�on de las ondas electromagn�eticas con sus fuentes� Emisi�on de ra�diaci�on � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��
�� Problemas � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��
II Multipolos ��
� Campos Multipolares est�aticos �
��� Expansi�on multipolar de una distribuci�on est�atica de cargas � � � � � � � ��
����� Expansi�on multipolar de la energ��a de interacci�on de un sistemade cargas con un campo externo � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��
����� Multipolos puntuales � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �
������� Energ��a� par y fuerza de un dipolo � � � � � � � � � � � � �
����� Densidades dipolares � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �
��� Desarrollo multipolar de una distribuci�on de corrientes estacionarias � �
����� El dipolo magn�etico � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �
������� Potencial magn�etico escalar � � � � � � � � � � � � � � � �
������� Relaci�on entre el momento magn�etico y el momento an�gular � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���
������� Fuerzas� pares y energ��a potencial de un dipolomagn�etico en campo externo � � � � � � � � � � � � � � � ���
��� Problemas � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���
Movimiento de part��culas en un campo electromagn�etico ���
��� Introducci�on � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���
��� Movimiento de una carga en campos uniformes � � � � � � � � � � � � � � ���
����� Campo el�ectrico constante � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���
����� Campo el�ectrico lentamente variable � � � � � � � � � � � � � � � � ���
����� Campo magn�etico constante� Movimiento ciclotr�onico � � � � � � ���
���� Campo magn�etico lentamente variable � � � � � � � � � � � � � � � ���
����� Campo el�ectrico y magn�etico � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���
iii
��� Movimientos de cargas en campos no homog�eneos � � � � � � � � � � � � � ���
����� Optica electr�onica � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���
����� Difusi�on �scattering� de part��culas en fuerzas centrales � � � � � � ��
����� Botellas magn�eticas � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���
�� Precesi�on de un dipolo en un campo magn�etico � � � � � � � � � � � � � � ���
III Campo electromagn�etico en los medios materiales ���
� Medios polarizables ���
��� Mecanismos de polarizaci�on � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���
����� Polarizaci�on diel�ectrica � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���
����� Mecanismos de magnetizaci�on � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���
��� Cargas y corrientes de polarizaci�on � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���
����� Expresi�on de la densidad de carga de polarizaci�on en funci�on dela polarizaci�on diel�ectrica � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���
����� Corrientes de polarizaci�on � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���
����� Expresi�on de de la densidad de corriente de magnetizaci�on enfunci�on de la imanaci�on � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��
���� Potencial magn�etico escalar� Formalismo de polos magn�eticos � � ��
��� Desplazamiento el�ectrico e intensidad magn�etica � � � � � � � � � � � � � ��
����� Susceptibilidades� constante diel�ectrica y permeabilidad magn�etica �
�� Campos est�aticos en medios materiales � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��
���� Electrost�atica � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��
���� Magnetost�atica � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���
��� Problemas � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���
Conductores ���
��� Mecanismos de conducci�on� Medios �ohmicos � � � � � � � � � � � � � � � � ���
��� Relajaci�on en medios �ohmicos � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���
��� Conductores est�aticos � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���
�� Tubos de corriente estacionaria � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���
��� Resistencias y generadores de corriente continua � � � � � � � � � � � � � ���
��� Asociaci�on de elementos� Leyes de Kirchho� � � � � � � � � � � � � � � � � ���
��� Disipaci�on de energ��a� Ley de Joule � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���
��� Problemas � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��
� Ecuaciones de Maxwell para medios materiales Consecuencias ���
�� Ecuaciones de Maxwell � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���
���� Condiciones de continuidad � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���
������ Refracci�on de las l��neas de campo y corriente � � � � � � ��
���� Condiciones de contorno � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���
������ Teorema de unicidad para campos irrotacionales � � � � ���
������ Teorema de unicidad para campos solenoidales � � � � � ���
������ Teorema de unicidad en el caso general � � � � � � � � � ���
iv
�� Energ��a electromagn�etica en medios materiales � � � � � � � � � � � � � � ��
���� energ��a de un sistema de cargas y corrientes de conducci�on esta�cionarias � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���
�� Ecuaciones de onda en medios materiales � � � � � � � � � � � � � � � � � ���
���� Ondas monocrom�aticas y monocrom�aticas planas � � � � � � � � � � �
������ Polarizaci�on de ondas electromagn�eticas � � � � � � � � � � �
������ Energ��a en ondas planas monocrom�aticas� Vector dePoynting complejo � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �
� Problemas � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���
A Resoluci�on de las ecuaciones de Poisson y de Laplace a��
A�� Introducci�on � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � a��
A�� Soluci�on anal��tica de la ecuaci�on de Poisson � � � � � � � � � � � � � � � � a��
A���� Uso de las ecuaciones de Poisson y de Laplace � � � � � � � � � � � a��
A���� Principio de superposici�on � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � a��
A���� Expresi�on integral de la ecuaci�on de Poisson � � � � � � � � � � � � a��
A��� M�etodo de Green � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � a��
A���� M�etodo de las im�agenes � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � a��
A������ Im�agenes sobre un plano conductor funci�on de Green � a��
A������ Im�agenes sobre una esfera � � � � � � � � � � � � � � � � � a���
A������ Im�agenes sobre super�cies cil��ndricas � � � � � � � � � � a���
A�� Resoluci�on anal��tica de la ecuaci�on de Laplace � � � � � � � � � � � � � � � a���
A���� Introducci�on � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � a���
A� Soluci�on general en coordenadas cartesianas � � � � � � � � � � � � � � � � a���
A��� Aplicaciones � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � a��
A�� Soluci�on en coordenadas cil��ndricas � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � a���
A���� Aplicaciones � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � a���
A�� Soluci�on en coordenadas esf�ericas � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � a���
A������ Aplicaciones � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � a���
A�� Soluci�on de la ecuaci�on de Laplace en dos dimensiones mediante el usode transformaciones complejas � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � a��
A�� Soluci�on aproximada de las ecuaciones de Poisson y Laplace � � � � � � � a���
A���� Introducci�on � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � a���
A���� M�etodos experimentales � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � a���
A� M�etodos gr�a�cos � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � a��
A��� M�etodos num�ericos � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � a���
A����� M�etodo de diferencias �nitas � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � a���
A������� Resoluci�on iterativa del sistema de ecuaciones � � � � � a��
A����� M�etodo de Montecarlo � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � a��
A����� Principios variacionales � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � a��
A������� M�etodo de Rayleigh�Ritz � � � � � � � � � � � � � � � � � a��
A������� M�etodo de los elementos �nitos � � � � � � � � � � � � � � a��
A��� Problemas � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � a��
v
B Campo magn�etico terrestre b��
B�� Estructura b�asica de la Tierra � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � b��
B�� Morfolog��a del campo magn�etico super�cial � � � � � � � � � � � � � � � � b��
B�� Campo fuera de la super�cie � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � b��
B� Variaciones temporales del campo magn�etico terrestre � � � � � � � � � � b��
B�� Principio de la dinamo autoinducida � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � b��
B�� Campo magn�etico de otros objetos celestes � � � � � � � � � � � � � � � � b��
C Sistemas de conductores y espiras c��
C�� Sistemas de conductores � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � c��
C���� Coe�cientes de potencial y de capacidad � � � � � � � � � � � � � � c��
C���� Teorema de reciprocidad de Green � � � � � � � � � � � � � � � � � c��
C���� Propiedades fundamentales de los coe�cientes � � � � � � � � � � � c�
C��� Apantallamiento� Condensadores � � � � � � � � � � � � � � � � � � c��
C���� Fuerzas y pares en sistemas de conductores � � � � � � � � � � � � c��
C�� Sistemas de espiras � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � c���
C���� Coe�cientes de inducci�on de un sistema de tubos de corriente oespiras � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � c���
C���� Fuerza electromotriz inducida� Generadores y transformadores � c���
C���� Asociaci�on de inductores � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � c��
C��� Fuerzas y pares sobre un conjunto de espiras � � � � � � � � � � � c���
C���� Sistemas de espiras con n�ucleo magn�etico � � � � � � � � � � � � � c���
C������ El transformador ideal � � � � � � � � � � � � � � � � � � � c��
C���� Circuitos magn�eticos lineales � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � c���
C���� Circuitos magn�eticos no lineales � � � � � � � � � � � � � � � � � � c���
C�� Problemas � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � c��
C� Problemas � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � c��
D Corrientes cuasiestacionarias Teor��a de Circuitos d��
D�� Introducci�on � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � d��
D�� Conexi�on entre la teor��a de campos y la de Circuitos � � � � � � � � � � � d��
D�� Elementos fundamentales � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � d��
D���� Elementos reales � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � d�
D���� Elementos de cuatro terminales � � � � � � � � � � � � � � � � � � � d���
D���� Leyes de Kirchho� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � d���
D� Caracter��sticas generales de la respuesta de un circuito � � � � � � � � � � d���
D��� Ecuaciones de un circuito � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � d���
D�� Respuesta transitoria y estacionaria de un sistema lineal � � � � � � � � � d���
D���� Respuesta a una excitaci�on arm�onica � � � � � � � � � � � � � � � � d��
D������ Representaci�on fasorial impedancias y admitancias � � d���
D���� Diagrama de Bode � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � d���
D�� M�etodos de an�alisis � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � d���
D���� Introducci�on � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � d���
D���� Equivalencia entre fuentes reales de tensi�on y de intensidad � � � d���
D���� An�alisis de mallas � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � d���
vi
D��� An�alisis de nudos � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � d��D���� Circuitos con fuentes dependientes � � � � � � � � � � � � � � � � � d���
D�� Teoremas fundamentales � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � d���D���� Teorema de superposici�on � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � d���D���� Teoremas de Thevenin y Norton � � � � � � � � � � � � � � � � � � d���
D���� Potencia en corriente alterna � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � d��D������ Teorema de la m�axima transferencia de potencia � � � � d��
D�� Estudio de los circuitos de primero y segundo orden � � � � � � � � � � � d�
D���� Respuesta transitoria de sistemas lineales de primer orden � � � � d�D���� Respuesta en frecuencia de los circuitos de primer orden � � � � � d���D���� Transitorios en circuitos de segundo orden � � � � � � � � � � � � � d���D��� Respuesta en frecuencia de sistemas de segundo orden � � � � � � d���
D� Problemas � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � d���
E Modelos lineales de transistores bipolares y de efecto de campo e��
F Introducci�on hist�orica f��
G Sistemas de unidades g��
H Teor��a de campos h��
H�� Campos escalares y vectoriales � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � h��
H�� Representaci�on gr�a�ca de los campos � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � h��H���� Base vectorial � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � h��H���� Sistemas de referencia � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � h��
H���� Producto vectorial � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � h��H�� Operaciones diferenciales e integrales � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � h�
H���� Gradiente � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � h�
H���� Flujo y divergencia � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � h� H���� Circulaci�on y rotacional � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � h���H��� Operador Laplaciana � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � h���
H� Teoremas integrales � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � h���
H��� Teorema de la divergencia � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � h���H��� Teorema del rotacional � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � h���
H�� Fuentes de un campo vectorial� Teorema de Helmholtz � � � � � � � � � � h���
H�� Clasi�caci�on de los campos seg�un sus fuentes � � � � � � � � � � � � � � � h���H�� Coordenadas curvil��neas ortogonales � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � h���
H���� Sistemas Coordenados � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � h���
H�� Problemas � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � h��
I La Delta de Dirac i��
I�� De�nici�on � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � i��
I�� Propiedades � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � i��I�� Ejemplos de sucesiones de funciones cuyo l��mite es la delta de Dirac � � i�I� Otras expresiones �utiles de la � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � i��I�� Ecuaciones de continuidad � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � i��
vii
J Desarrollo en serie y Transformada de Fourier j��
J�� Desarrollo en serie de Fourier � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � j��J�� Transformada de Fourier � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � j��J�� Ejemplos � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � j��
J���� Desarrollo en serie � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � j��J���� Transformada � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � j�
J� Problemas � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � j��
K Resumen de formulario k��
K�� Constantes f��sicas � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � k��K�� Conversi�on de unidades � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � k��K�� Relaciones vectoriales y di�adicas � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � k��
K���� Productos � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � k��K���� Gradiente � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � k��K���� Divergencia � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � k��K��� Rotacional � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � k��K���� Laplaciano � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � k��K���� Teoremas integrales � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � k��
K� Coordenadas cuvil��neas � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � k��K��� Cuadro resumen � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � k��K��� Vector de posici�on � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � k��K��� Vector diferencial de l��nea � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � k��K�� Elemento de volumen � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � k��K��� Gradiente � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � k��K��� Divergencia � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � k�K��� Rotacional � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � k�K��� Laplaciana � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � k�
K�� La Delta de Dirac � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � k�K���� de�niciones � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � k�K���� Expresiones integrales y diferenciales de la delta de Dirac � � � � k��K���� Propiedades b�asicas � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � k��
K�� Series y transformadas de Fourier � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � k��K���� Series � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � k��K���� Transformadas � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � k��
viii
Pr�ologo
En este Fundamentos de la Teor��a del Campo Electromagn�etico Cl�asico se funden dostextos cuyas versiones fueron escritas en tiempos muy distantes� La versi�on actual deuno y otro se presenta en sendos tomos que a�un conservan restos de sus primitivos� ydistintos� estilos y notaciones� as�� como un cierto grado de redundancia� Ambos contienenunos cap��tulos centrales con el n�ucleo de la teor��a y una serie de ap�endices� parte delos cuales desarrolla dicho n�ucleo y el resto resume elementalmente la herramienta y lanotaci�on matem�atica utilizada�El primer tomo parte de las experiencias fundamentales para postular las ecua�
ciones de Maxwell� en el vac��o y en los medios materiales� desde los puntos de vistamicrosc�opico y macrosc�opico� y desarrolla con preferencia los problemas est�aticos y lateor��a de circuitos de par�ametros localizados� El segundo repostula dichas ecuaciones enel marco relativista y pone el �enfasis en los aspectos din�amicos� como los de propagaci�ony radiaci�on� as�� como en la teor��a de circuitos de par�ametros distribuidos�Los contenidos que aqu�� se ofrecen son� hasta cierto punto� provisionales no pre�
tenden ser completos� bajo ning�un criterio� ni tampoco se proponen como texto� otextos� curriculares� aunque pueden servir para este �n�La bibliograf��a no es exhaustiva� ni tan siquiera rese�na las �ultimas ediciones� contiene
una relaci�on de textos de los que� de una forma u otra� se ha tomado conscientemente ma�teriales� muy especialmente los libros �Br�edov et al�� Lorrain y Corson� G�omez� Jackson�Konopinski� Landau y Lifchitz FT� Panofsky y Phillips� Stratton� Reitz et al�� con losque este texto tiene una relaci�on de dependencia muy directa�Debo a muchas personas� lejanas y pr�oximas� la posibilidad de presentar esta obra
sin un n�umero excesivo de erratas y errores pero� aunque algunas me han prestado unaparte considerable de sus conocimientos y de su tiempo� s�e que no es necesario que lascite aqu�� nominalmente� Para todas ellas� mi profundo agradecimiento�
Granada � de octubre de ����
ix
x
Coplas hechas sobre un �extasis de
harta contemplaci�on
Entr�eme donde no supe�y qued�eme no sabiendo�toda sciencia trascendiendo�
Yo no supe d�onde entraba�pero� cuando all�� me v���sin saber d�onde me estaba�grandes cosas entend��no dir�e lo que sent���que me qued�e no sabiendo�toda sciencia trascendiendo�
De paz y de piedadera la sciencia perfecta�en profunda soledadentendida �via recta�era cosa tan secreta�que me qued�e balbuciendo�toda sciencia trascendiendo�
Estaba tan embebido�tan absorto y ajenado�que se qued�o mi sentidode todo sentir privadoy el esp��ritu dotadode un entender no entendien�do�
toda sciencia trascendiendo�
El que all�� llega de vero�de s�� mismo desfallescecuanto sab��a primeromucho bajo le parescey su sciencia tanto cresce�que se queda no sabiendo�toda sciencia trascendiendo�
Cuanto m�as alto se sube�
tanto menos se entend��a�que es la tenebrosa nubeque a la noche esclarec��apor eso quien la sab��aqueda siempre no sabiendotoda sciencia trascendiendo�
Este saber no sabiendoes de tan alto poder�que los sabios arguyendojam�as le pueden vencerque no llega su sabera no entender entendiendo�toda sciencia trascendiendo�
Y es de tan alta excelenciaaqueste sumo saber�que no hay facultad ni scienciaque le puedan emprenderquien se supiere vencercon un no saber sabiendoir�a siempre trascendiendo�
Y si lo quereis o��r�consiste esta suma scienciaen un subido sentirde la divinal Esenciaes obra de su clemenciahacer quedar no entendiendo�toda sciencia trascendiendo�
Fray Juan de la Cruz
xi
xii
�
Parte I
Campo electromagn�etico en el
vac��o� Fundamentos
�
�
Introducci�on
El objetivo fundamental de esta disciplina es el estudio de las interacciones que tienenlugar entre cargas y entre corrientes� No obstante� estas interacciones� como la gravi�tatoria y otras que aparecen en la F��sica� se estudian m�as c�omodamente expres�andolascomo el encadenamiento de dos procesos� seg�un se muestra en la �gura �
F’
Cargas fuente
Cargas testigoCampo
Interaccion= Creacion de campo + Deteccion de fuerza
F F
Figura ��
En el primero� un grupo de cargas� que consideramos como Fuentes primarias ocausa de la interacci�on� perturba el espacio que lo rodea dot�andolo de propiedades que�antes de la existencia de dichas cargas� no pose��a diremos que las cargas fuente hancreado un campo� En el segundo� otro grupo de cargas� que llamaremos Testigo� sufreuna fuerza neta en virtud de la interacci�on con el campo previamente creado�
Seg�un este esquema� la teor��a que estructura a estas interacciones debe contener leyesque relacionen a los campos con sus fuentes� Leyes de campo� y leyes que relacionen alos campos con las fuerzas� Leyes de fuerza�
El problema de relacionar a los campos con sus fuentes es mucho m�as complejo yrico que el c�alculo de las fuerzas� por lo que �esta ser�a esencialmente una teor��a del campoelectromagn�etico �EM�� Este campo� que puede ser expresado como tal por medio deun solo tensor tetradimensional de segundo orden� ser�a descrito por ahora� de formasencilla� como la suma de dos campos tridimensionales acoplados entre s��� el el�ectrico yel magn�etico� Todo esto justi�ca que dediquemos un ap�endice a revisar� aunque breve�mente� las caracter��sticas generales de los campos vectoriales tridimensionales� Se re�comienda la lectura de este ap�endice� antes de abordar la primera parte del texto� conobjeto de consolidar y establecer los conceptos y la nomenclatura que se utilizar�a a lolargo del mismo�
El campo EM� que acabamos de presentar como mero auxiliar para describir lainteracci�on entre cargas� adquiere� seg�un se desarrolla la teor��a� personalidad propia� Elfen�omeno de radiaci�on posibilita la creaci�on de campos EM aislados� automantenidos�que se independizan de sus fuentes primarias y que� mientras no interaccionen con la
materia� transportan cantidades �jas de energ��a� masa� momento y momento angular�En de�nitiva el campo EM tiene todas las propiedades de la materia� sus movimientos�redistribuciones� obedecen a leyes an�alogas a las de los �uidos de materia ordinaria�Podemos decir que el campo EM es algo m�as que un concepto auxiliar realmente cons�tituye la manifestaci�on m�as simple de la materia�Esta primera parte comprende cuatro cap��tulos y en ella pretendemos exponer� con
relativa rapidez� el esquema b�asico de la teor��a electromagn�etica en el vac��o� El t�erminoVac��o no se entender�a literalmente sino que admitiremos la presencia de cargas enmovimiento que describiremos� en su totalidad� por medio de funciones densidad decargas y de corrientes� En principio se adopta un modelo de tipo microsc�opico� limitadopero simple� en el que las cargas que crean el campo se consideran como puntuales ydesprovistas de spin�Las densidades microsc�opicas expresan con detalle la magnitud� posici�on y velocidad
de cada una de las cargas y son� por lo tanto� r�apidamente variables en el espacioy en el tiempo� Para vol�umenes macrosc�opicos� este tipo de descripci�on es inviabledada la enorme cantidad de informaci�on que es necesario manejar� Suele tomarse comodimensi�on m��nima de un volumen macrosc�opico� a aquel que contiene a un n�umero decargas de orden de N� � ��
�� lo que corresponde a un cubo de materia ordinaria cuya
arista sea del orden de L� � ���oA� El seguimiento de la evoluci�on de un sistema
de cargas con N � N� no es factible� ni siquiera mediante la simulaci�on num�erica enordenador� En estas circunstancias es posible y conveniente recurrir a una descripci�onmacrosc�opica en la que las densidades se promedian en el espacio y en el tiempo � en todocaso� los instrumentos ordinarios de medida proporcionan un promedio espacio�temporalde las magnitudes� Este proceso de promedio es delicado desde el punto de vista te�oricoy� al reducir dr�asticamente la informaci�on con la que se describe al sistema de cargasy campos� reduce tambi�en la capacidad de predicci�on de las ecuaciones resultantes� Enesta primera parte� se har�a uso de una versi�on simple de las ecuaciones macrosc�opicas enla que la densidad macrosc�opica de carga� junto con la de corriente� describe a todas lascargas o� al menos� a todas aquellas que tienen un efecto signi�cativo sobre los camposmacrosc�opicos� Esto excluye a la materia organizada dipolarmente a nivel molecularcuyo tratamiento se dejar�a para m�as adelante�
�Para ciertas aplicaciones solo es necesario promediar espacialmente porque� si el movimiento de laspart��culas no est�a correlacionado� el promedio espacial elimina las �uctuaciones temporales�
Cap��tulo �
Campo el�ectrico y campo
magn�etico
��� Descripci�on de las magnitudes electromagn�eticas
Como ya se ha comentado� caben dos formas b�asicas de enmarcar al electromagnetismo�Una microsc�opica� altamente detallada y te�oricamente potente� pero limitada en lapr�actica� y otra macrosc�opica� en la que se elimina gran parte de la informaci�on peroque es de mayor utilidad pr�actica�
��� Espacio de observaci�on
Pretendemos describir la interacci�on entre dos sistemas de cargas a uno de los cualesconsideramos como fuente y al otro como testigo� Aqu�� tambi�en� como en la Mec�anicaNewtoniana� es necesario elegir cuidadosamente el sistema de referencia desde el que seenuncian las leyes� por lo que� salvo excepciones� haremos siempre uso de un sistemainercial S� �gura ����
x
z
r
r ’R
v ( r )
S
v ’ ( r ’)
R = r - r ’= (x-x’,y-y’,z-z’)
r =(x, y, z)
r ’=(x’,y’,z’)
V’
y
V
^
Figura ����
Fijaremos� pues� con respecto a este sistema� las coordenadas de las fuentes por �r ��las de las cargas testigo� o puntos de observaci�on� por �r y la distancia mutua entre las
�
�
fuentes y puntos de observaci�on por �R�Tenemos� pues� un espacio de seis dimensiones �x �� y �� z �� x� y� z�� dentro del cual
deberemos especi�car tanto las cargas existentes ���r �� y ���r�� como sus movimientos�v��r �� y �v��r�� Veremos m�as adelante que �estas� las fuentes primarias� no ser�an las �unicasfuentes del campo sino que los propios campos act�uan como verdaderas fuentes� en elsentido que se deduce del teorema de Helmholtz� en paridad con las anteriores� Even�tualmente� dado que la acci�on electromagn�etica se propaga con velocidad �nita� ser�anecesario conocer estas magnitudes en instantes distintos al de observaci�on�
��� Descripci�on microsc�opica
En la descripci�on microsc�opica se especi�ca con detalle tanto a las cargas como a loscampos� por lo que �estos vienen representados por magnitudes r�apidamente variables�Aunque m�as adelante se matizar�a de alguna forma lo que a continuaci�on se expone� des�de el punto de vista cl�asico cabe representar a todas y cada una de las cargas presentescomo puntuales o� al menos� a todas aquellas cuya aportaci�on al campo es importante�Esta representaci�on puede hacerse formalmente de dos maneras� especi�cando las posi�ciones y velocidades de cada una de las cargas o de�niendo unas densidades pseudo�continuas por medio de la delta de Dirac� Ser�a esta �ultima opci�on la que tomaremosaqu��� Este modelo� como todos los modelos f��sicos� tiene limitaciones de orden te�orico ypr�actico que se subsanar�an parcialmente m�as adelante cuando se aborde el tratamientofenomenol�ogico de la materia� En primer lugar� aunque desde el punto de vista cl�asicoes posible �jar simult�aneamente posiciones y velocidades� sin limitaci�on alguna� a dis�tancias at�omicas las leyes cl�asicas dejan de ser v�alidas� y� en segundo lugar� no es posiblehacer una descripci�on detallada de una porci�on macrosc�opica de materia porque �estollevar��a consigo la utilizaci�on de una cantidad excesiva de informaci�on�
Densidad de carga�
La Densidad de carga � se de�ne como una funci�on que� integrada sobre un volumenarbitrario� da la medida de la carga total encerrada en el mismo�
Q �
ZV� dv
Una carga puntual q� cuya trayectoria es �r��t�� puede ser descrita por medio de unafunci�on densidad haciendo uso de la delta de Dirac � v�ease el ap�endice correspondiente��
���r� t� � q ���r � �r��t�� �����
Efectivamente� esta densidad describe con propiedad el contenido de carga en elentorno de �r��t��
���r� t� �
���� �r �� �r��t�
�� �r � �r��t�
�Cada part��cula lleva consigo� aparte de su propia identidad de part��cula� masa� energ��a� carga�cantidad de movimiento� etc�� por lo que las de�niciones que se contemplan para describir a las cargasy sus �ujos son an�alogas a las que se de�nen para el resto de dichas magnitudes�
�
y cualquier volumen elemental que contenga al punto �r� contiene una carga total� �gura����
r
oρ
Δ v ρ=0
y
x
z
r 0(t)
r 0(t)q
-r o
Figura ����
q �
Z�V��r��t�
���r� t�dv
Si lo que queremos describir detalladamente es una colectividad de N cargas pun�tuales qi situadas cada una en �ri�t�� i � �� � � �N � la densidad correspondiente es la sumade las densidades de cada una de las part��culas
���r� t� �
NXi��
�i��r� t� �
NXi��
qi ���r � �ri�t�� �����
y la carga contenida en un volumen V� de acuerdo con las propiedades de integraci�onde la delta de Dirac� ser�a
Q �
ZV� dv �
N�V�Xj��
qj
donde el ��ndice j � �� � � �N�V� recorre a todas las part��culas contenidas en V�De forma an�aloga� pueden de�nirse otras densidades� como la de part��culas
n��r� t� �
NXi��
���r � �ri�t�� �����
cuya intregral sobre un volumen proporciona el n�umero de part��culas que contiene
N�V� �ZVndv
o la densidad de la velocidad de las part��culas
��part��r� t� �
NXi��
�vi ���r � �ri�t�� ����
�
cuya integral proporciona la suma de las velocidades de las part��culas contenidas en elvolumen ��
�vV �ZV��part dv �
N�V�Xj��
�vj
Estas densidades nos permiten tambi�en hallar el valor medio� sobre las part��culasencerradas en V� de las magnitudes asociadas a las mismas� como la carga� la velocidad�etc�
hqi �PN�V�
j�� qj
N�V� � � �u � h�vi �PN�V�
j�� �vj
N�V� �����
En la �gura ��� se muestra como se obtiene el promedio espacial �u��r� de la velocidadde un sistema de part��culas sobre un volumen V centrado en el punto ��r��
V
^
x
z
v 2
v 3
v 5
v 7
v 1
v 2
v 5v 4
v 6
v 3
v 7
v iu
r
v iΣ
v iΣ
v 1
v 8
v 6v 4
=(1/8)
(a) (c)
8v
(b)
=< >y
Figura ����
En ����a se muestra al sistema de part��culas y al volumen sobre el que se realizael promedio y sobre el cual se integra la densidad de part��culas� El resultado de estaintegraci�on es el que se detalla en ����b y el promedio �nal en ����c�
Intensidad� Densidad de corriente�
Se de�ne como Intensidad de corriente� �gura ��� a la carga total que atraviesa a
�Como se deducir�a de lo que sigue� ��part puede tambi�en interpretarse como la densidad de �ujo � odensidad de corriente de part��culas y su �ujo a trav�es de una super�cie nos da el n�umero de part��culasque la atraviesan en la unidad de tiempo�
una super�cie� cerrada o abierta� en la unidad de tiempo
I ��dQ
d t
�S
�����
La unidad de intensidad es la fundamental del electromagnetismo en el sistemaMKSA� Esta recibe el nombre de Amperio �A�� La unidad de carga en el mismo sistemaes el Culombio y sus dimensiones �Q� � �A � s� se deducen de la de�nici�on anterior�Para realizar la integral de �ujo ser�a necesario seguir los convenios que de�nen la
direcci�on de la normal a la super�cie�
n
n
j
nj .V
L
SSj
Figura ���
La Densidad de corriente � de carga�� o densidad de �ujo de carga� se de�ne comouna funci�on vectorial cuyo �ujo a trav�es de dicha super�cie es la intensidad que laatraviesa�
I �
ZS�� � d�s �
ZS�� � �n ds
La densidad de corriente correspondiente a un solo portador� con carga q y velocidad�v�t�� puede expresarse como
����r� t� � q ���r � �r��t���v � ���r� t��v �����
En la �gura ��� se representa a la carga en el interior del volumen �V � �S ��v � �n��cuya generatriz es �v� cuya base es �S y cuya altura es la proyecci�on de �v sobre ladirecci�on �n� Si la part��cula� como se muestra en la �gura� se encuentra en el interior deeste volumen� saldr�a del mismo a trav�es de �S antes de transcurrido un segundo� porlo que la intensidad correspondiente a esta carga ser�a q A si la carga est�a dentro y �Asi est�a fuera�Para un sistema de N cargas puntuales qi� situadas cada una en �ri�t� y con veloci�
dades respectivas �vi�t�� i � �� � � �N � la densidad de corriente resultante es la suma delas densidades de corriente aportadas por cada una de las part��culas
����r� t� �NXi��
��i��r� t� �NXi��
qi ���r � �ri�t���vi �NXi��
�i��r� t��vi �����
Tambi�en es razonable la representaci�on microsc�opica de los iones y mol�eculas comodistribuciones continuas de carga y corriente� de acuerdo con la mec�anica cu�antica� lacual describe a los electrones orbitales mediante nubes de densidad de probabilidad�
��
n
v
vq .V
d s
SΔ
Δ
v
Figura ����
�� Descripci�on macrosc�opica
La descripci�on macrosc�opica pude llevarse a cabo por caminos diversos y con distintosobjetivos� todos los cuales llevan consigo la realizaci�on de operaciones de promedio yla asunci�on de hip�otesis simpli�cadoras� A pesar de que �esto implica la reducci�on de lainformaci�on que se utiliza para obtener las ecuaciones que predicen los comportamientosde las cargas y los campos y� en consecuencia� la disminuci�on del poder predictivo de lasmismas� el electromagnetismo macrosc�opico conserva una gran potencia para el an�alisisde la mayor��a de las situaciones pr�acticas�En ��� se de�ne una forma simple de obtener promedios espaciales de magnitudes
asociadas a part��culas discretas� Ahora extenderemos esta operaci�on� la m�as simple entrelas posibles� para aplicarla a funciones continuas o pseudocontinuas� Estos promediosse realizar�an sobre vol�umenes �V e intervalos �t Submacrosc�opicos� Se de�ne comovol�umen submacrosc�opico a todo aquel que contiene un n�umero su�cientemente elevadode cargas� como se puso de mani�esto en la introducci�on de esta primera parte� perocuya dimensi�on L � �
p�V es muy inferior a la longitud caracter��stica de los problemas
que queremos estudiar y �t es muy inferior a la m��nima constante de tiempo de dichosproblemas por ejemplo� si se quiere estudiar la propagacci�on� en un medio determinado�de ondas monocrom�aticas con longitud de onda � y periodo T � deben cumplirse lascondiciones L � � y �t � T � Debido a �esto� la descripci�on microsc�opica limita lafrecuencia m�axima que pueden contener los espectros de los campos estudiados�
Para funciones continuas� o pseudocontinuas� ���r� t�� de�niremos la operaci�on depromedio
h�i��r� t� � �
�V�tZ�V��t
���r � ��� t� �� d� d� ��� �
donde a la funci�on a promediar se le asigna el mismo peso en todo el dominio deintegraci�on � La variable de integraci�on �� recorre al volumen �V y la � al intervalo �t�Esto equivale a de�nir la funci�on macrosc�opica h�i en un punto ��r� t� como el prome�
dio de la microsc�opica �� realizado dentro de los intervalos submacrosc�opicos �V y �tcentrados en dicho punto �
�Desde el punto de vista te�orico es conveniente introducir una funci�on peso y de�nir el promedio�por ejemplo� el correspondiente a la coordenada x� de la forma h�i�x
R���
f����x� � d�� donde
f�� es una funci�on peso de area unitaria� es decir�R��
f�� d� �� y pendiente suave y continua�
��
De esta forma� la funci�on microsc�opica ���r � ��� t� �� puede descomponerse en dost�erminos� su media h�i��r� t� en el entorno de ��r� t� y su Valor aleatorio ����r� ��� t� ���
���r � ��� t� �� � h�i��r� t� � � ���r � ��� t� �� h��i��r� t� � � ������
donde se pone de mani�esto que la media de la parte aleatoria de la funci�on es nula�Como ejemplo� la velocidad de una de las part��culas contenidas en �V puede expresarsecomo
�vi � �u� ��vi � � h��vii � �la velocidad media �u� sobre el volumen submacrosc�opico� es la Velocidad de arrastre del�uido de part��culas y ��vi es la desviaci�on sobre la media de la velocidad de la part��cula�i��Si la funci�on � es el producto de otras dos� �� y ��
h�� ��i � h��i h��i� h� �� � ��i ������
Los t�erminos del tipo h� �� � ��i son promedios del producto de magnitudes de medianula� Su importancia depende del grado de correlaci�on existente entre � �� y � ��� siendonulos cuando dicha correlaci�on no existe� Su evaluaci�on requiere en general la emisi�onde alguna hip�otesis de tipo f��sico�Una propiedad importante para obtener las ecuaciones macrosc�opicas del campo
electromagn�etico es la siguiente� derivando en �� bajo el signo integral es f�acil compro�bar que la media de la derivada con respecto a � � t� x� y� z� es igual a la derivadade la media�
h �
i �
h�i ������
Se discute la necesidad o no de efectuar el promedio temporal� El espacial� si afectaa un n�umero elevado de part��culas� reduce grandemente tanto las �uctuaciones espa�ciales como las temporales y� cuando el sistema estudiado est�a relativamente cerca delequilibrio� la hip�otesis erg�odica hace innecesaria a la media temporal� Si los medios sonfuertemente din�amicos la eliminaci�on de esta �ultima media es dudosa� En cualquier ca�so� la temporal solo a�nade un �ltrado de este tipo al ya efectuado por la espacial� loque no afecta al tratamiento gen�erico aqu�� empleado� Adem�as� todos los instrumentosmacrosc�opicos necesitan de un tiempo �nito para efectuar las medidas por lo que� dehecho� realizan la media en cuesti�on�Cuando la media es aplicada a una magnitud asociada a las part��culas� las integrales
pueden tambi�en interpretarse como sumatorias� As�� pues� para distribuciones discretas�la media de la densidad de part��culas es
hni��r� t� � hXi
���r � �ri�t��i � ������
��
�t
Z�t
��
�VZ�V
Xi
���r � ��� �ri�t� ��� d�
�d� �
��
�t
Z�thni��r� t� �� d� � hni��r� t�
�Para simpli�car� se prescindir�a del argumento ��r� t�
��
donde� vease ����
hni��r� t� �� ��
�VZ�V
Xi
���r � ��� �ri�t� ��� d� �N�V�t� ��
�Ves el n�umero de part��culas que hay� por unidad de volumen� en el entorno de �r y en elinstante t � � � mientras que hni��r� t� es la Densidad macrosc�opica de part��culas� � eln�umero de part��culas por unidad de volumen que hay en el entorno de ��r� t��� Como ya seha comentado� la integraci�on sobre el volumen implica una reducci�on de las �uctuacionestemporales que es tanto mayor cuanto m�as numerosas son las part��culas contenidas en�V� La integral sobre � asigna al punto ��r� t� el valor promedio de hni��r� t � �� a lolargo del intervalo � �t��t��� t��t���� lo que lleva consigo un �ltrado adicional� oalisamiento� de la dependencia temporal� En la �gura ��� se representan las densidadesresultantes de promediar� en la dimensi�on espacial x y haciendo uso de intervalos deintegraci�on de distinta anchura �x� a la densidad microsc�opica de part��culas� La l��neahorizontal a trazos corresponde al valor medio de la densidad �part��culas por unidad deintervalo� dentro del intervalo m�aximo x ��� ����
x
x=0.5
x=1
x=5
Δ
Δ
Δ
1
2
0 5 10 15
n
20
Figura ���� Valores medios de la densidad de part��culas con distintas ventanas
Si consideramos por separado a los distintos tipos de portadores de carga y se supone�para simpli�car� que solo existen dos de ellos� uno con carga �e y otro con �e� ladensidad neta de carga puede obtenerse como la suma de las densidades parciales
h��i � e hn�i
h��i � �e hn�i
� h�i � h��i� h��i � e fhn�i � hn�ig �����
donde �� y �� son las densidades de carga positiva y negativa y n� y n� las densidadesde part��culas cargadas positiva y negativamente�
��
Normalmente se podr�a tambi�en escribir �
h���i � e hn�i �u�
h���i � �e hn�i�u�
� h��i � h���i� h���i � e fhn�i �u� � hn�i �u�g ������
En adelante� a menos que sea absolutamente necesario� escribiremos con la mismanotaci�on a las magnitudes microsc�opicas y a las macrosc�opicas�
��� Conservaci�on de la carga� ecuaci�on de continuidad
La experiencia establece que la carga puede crearse y destruirse pero siempre en parejasde carga positiva y negativa� Existe una gran variedad de mecanismos por los que� tantodesde el punto de vista microsc�opico como desde el macrosc�opico� se crea y se destruyecarga� pero todos ellos veri�can la condici�on de neutralidad neta� creaciones de pares�ionizaciones� recombinaciones� etc�� En consecuencia� se considera que el Universo esglobalmente neutro� Esta realidad experimental se eleva a postulado con el nombre dePrincipio de neutralidad del Universo�
Este principio se traduce en una ecuaci�on de continuidad� o conservaci�on� de la carganeta que liga a � con �j� Su deducci�on para las magnitudes microsc�opicas puede verseen el ap�endice de la Delta de Dirac� Aqu�� lo haremos directamente para las magnitudesmacrosc�opicas�
Podemos expresar el principio de conservaci�on de la carga neta en forma integral�
d
dt
ZV� dv � �
IS�j � d�s ������
donde ZV� dv � Q
es la carga encerrada en V� dQdt es el aumento de la carga almacenada en V por unidadde tiempo� y
I �
ZS�j � d�s � �dQ
dt
la carga que� en la unidad de tiempo� abandona el volumen V a trav�es de su super�cie�Con ���� expresamos la conservaci�on de la carga neta a�rmando que si hay un
incremento neto de la carga almacenada en V se debe a un intercambio de carga con elexterior a trav�es de la super�cie�
Para obtener una expresi�on diferencial� ecuaci�on de continuidad� supongamos que Ves un volumen �jo encerrado en la super�cie SZ
V
�
tdv � �
IS�j � d�s � �
ZVr ��j dv
�Esto es cierto para la media espacial y aproximadamente cierto para la temporal si la velocidadu� L
�t�
�
lo cual es v�alido para todo V� Por lo tanto� la Ecuaci�on de continuidad de la carga neta
es
r ��j � �
t� � ������
como puede deducirse de su hom�ologa microsc�opica hallando su promedio�
��� Corrientes estacionarias
Un caso particular de corriente� que es de inter�es para nosotros� es la corriente esta�cionaria� de�nida por
r ��j � �
�
t� �
���IS�j � d�s � �� � �� ��t�
Para corrientes estacionarias tiene sentido hablar de la intensidad I que circulapor un tubo de corriente� Aplicando el teorema de la divergencia al segmento de tuborepresentado en la �gura ����a
j
n 2
n 1
nn
n
n
j
S lat
S1
S 2
I
I
(a) (b)
Figura ����
I �
ZS��j � d�s �
ZS��j � d�s � cte ������
ya que el �ujo de corriente �S��j�� a trav�es de la super�cie total S es nulo� Efectivamente�S � S��S��Slat y� tomando S� y S� tales que �n � ��n� � �n�� �S � �S���S���lat � ��donde el �ujo sobre la super�cie lateral del tubo �lat � � porque en dicha super�cie�j � �n � ��
Los tubos de corriente deben ser cerrados y �nitos� v�ease la �gura ����b� dada laimposibilidad de reunir in�nitos portadores para construir el tubo y de in�nita energ��apara moverlos� En el caso de los superconductores falla el argumento de la energ��apuesto que� como veremos� los portadores pueden moverse inde�nidamente sin cesi�onde energ��a�
��
��� Ley de fuerzas de Lorentz
Las cagas pueden sentir fuerzas cuyo origen no es electromagn�etico cl�asico� como lagravitatoria� las cu�anticas� etc� En su momento ser�an tenidas en cuenta pero en estaprimera parte solo nos ocuparemos de las fuerzas del primer tipo�
La ley de fuerza fundamental del electromagnetismo es la ley de Lorentz� que pode�mos enunciar� para cargas que se mueven con velocidades arbitrarias �v� o para cargas ycorrientes distribuidas sobre un volumen� mediante las siguientes expresiones �
�Fq��r� � qh�E��r� � �v � �B��r�
i���� �
�Fv �d�F
dv� � �E ��j � �B ������
A continuaci�on las analizaremos con detalle�
En primer lugar� en ��� se postula la existencia de unas entidades que llamaremoscargas� y cuya magnitud q mediremos comparando las fuerzas ejercidas sobre distintascargas situadas en condiciones id�enticas�
La fuerza detectada puede descomponerse en dos t�erminos� uno independiente dela velocidad� que llamaremos Fuerza el�ectrica� y otro dependiente de la misma� quellamaremos Fuerza magn�etica�
�Fq � �Fe � �Fm � � �Fe��r� � q �E��r� � � �Fm��r� � q�v � �B��r�
La fuerza el�ectrica tiene las siguientes propiedades
�Fe � q �E
���� q
�e� signo�q� � �e � direcci�on �ja en el espacio
y la magn�etica
�Fm � q �v � �B
������������ q
� v
�v � �b� signo�q� � �b � direcci�on �ja
En esta ley se da por supuesto que existe una perturbaci�on en el espacio que puedeser descrita mediante los campos �E y �B�
Desde el punto de vista operacional� podemos de�nir al campo el�ectrico como
�E � limq��
�v��
�Fq
q
�La ley est�a expresada en el Sistema Internacional de unidades �SI que� en el electromagnetismo�coincide con el Giorgi o MKSA �v�ease el ap�endice sobre unidades�
��
donde q � � para que no perturbe las fuentes iniciales del campo�As�� como el campo el�ectrico puede determinarse por una sola medida� para determi�
nar el campo magn�etico es necesario realizar dos medidas� Efectivamente� si un vectordesconocido �X est�a relacionado con otros dos conocidos� �A y �C por la relaci�on
�C � �A � �X
multiplicando vectorialmente por �A� desarrollando y despejando�
�X ��C � �A
A��K �A
donde
K ��A � �XA�
De forma que� haciendo dos medidas con �v���v�� tomando
�C ��F
q� �A � �v �B �
�
q
�F� � �v�v��
�K��v� ��
q
�F� � �v�v��
�K��v�
y multiplicando escalarmente por �v�
K� ��
q
�F� � �v�v��v
��
� �v�
�� Trabajo sobre una carga en movimiento
(b)
d l
v
F
2
1
vd l
E
B
Fπ/2
π/2
2
1
q
π/2
e
m
q
(a)
Figura ����
El trabajo que un campo electromagn�etico realiza sobre una carga en movimientoque se traslada del punto � al � es�
W�� �
Z �
�
�Fq � d�l �Z �
�
�Fq � �v dt �Z �
�
�Fe � d�l � q
Z �
�
�E � d�l
��
La contribuci�on del campo magn�etico a este trabajo es nula� v�ease la �gura ����puesto que� seg�un la ley de Lorentz� la fuerza magn�etica es perpendicular a la trayectoria�Esto no quiere decir que el campo magn�etico sea incapaz de transmitir energ��a a lascargas seg�un hemos apuntado en otro lugar� los campos magn�eticos variables puedenproducir un campo el�ectrico que� a su vez� puede trabajar sobre las cargas�
��� El campo electromagn�etico en el marco de la relativi
dad de Galileo
Las leyes de Newton se completan con el principio de relatividad de Galileo� seg�un elcual� �estas tienen la misma forma en todos los sistemas inerciales� Aunque este principiono es v�alido para el electromagnetismo� en el primer tomo se utilizar�an las reglas detransformaci�on de los campos que se deducen del mismo� dejando la resoluci�on de esteproblema para el tomo segundo �
��� Relatividad de Galileo
El principio de relatividad de Galileo puede enunciarse de la siguiente manera�
� Las leyes de Newton presentan la misma forma para todos los obser�
vadores inerciales�
Partiendo de las leyes de Newton� de la concepci�on absoluta e independiente delespacio y del tiempo� del postulado de relatividad y de los principios de homogeneidade isotrop��a� seg�un los cuales el espacio es is�otropo y homog�eneo y el tiempo homog�eneo�se deducen las Transformaciones de coordenadas de Galileo� que en su forma Est�andarse expresan como sigue�
(x’,y’,z’)
V t
r’
r
y
z
x
S’
SO
O’
^
^
x’
^ y’
z’
P = (x,y,z)
Figura �� �
�r � � �r � �V t � � �V � �cte ������
En el ap�endice de relatividad del segundo tomo puede encontrarse un tratamiento m�as amplio deesta cuesti�on�
��
t� � t ������
donde� �gura �� � �r � es el vector de posici�on� o coordenado� del punto P con respec�to al sistema de referencia S �� �r y �V t los vectores coordenados� del mismo punto ydel origen O� de S �� con respecto del sistema S� Como consecuencia de la ley de iner�cia� el movimiento relativo entre sistemas inerciales es de traslaci�on uniforme� es decir�se mueven entre s�� con velocidades relativas �V uniformes� Las expresiones anteriorescorresponden a la versi�on est�andar� o usual� de las transformaciones� la cual no es com�pletamente general� los sistemas de referencia S y S � tienen el mismo origen temporaly las mismas escalas� �� Adem�as suelen utilizarse los mismos vectores unitarios de baseen ambos sistemas� � � � � � � x� y� z�
� � � � Vectores y escalares Invariantes galileanos
De acuerdo con lo expuesto en el ap�endice sobre vectores� �estos se caracterizan porlas leyes de transformaci�on de sus componentes con respecto a los cambios de basey no porque �estas se transformen �como las coordenadas�� El vector de posici�on esefectivamente un vector porque sus componentes se transforman como tales frente a uncambio de los vectores unitarios de la base permanece invariante frente a los cambiosde los vectores de la base pero no frente a las transformaciones de Galileo que sontransformaciones de coordenadas� desde un sistema S a otro S � �� En este caso� el car�actertensorial de una magnitud f��sica no garantiza su invarianza galileana�Derivando con respecto al tiempo las coordenadas de la trayectoria de una part��cula
�r�t� se obtiene la ley de Composici�on de velocidades de Galileo
�v � � �v � �V ������
donde �v y �v �� las velocidades de la part��cula con respecto a cada uno de los sistemas dereferencia� son vectores no invariantes frente a las transformaciones de Galileo� Esta leyes incompatible con las leyes de Maxwell puesto que de ellas se deduce que las ondaselectromagn�eticas se propagan con una velocidad cuyo m�odulo c es un escalar invariante�hecho que hoy en dia est�a con�rmado hasta un precisi�on del orden del cm � s���Volviendo a derivar se deduce que la aceleraci�on de la part��cula
�a � � �a �����
si es un Invariante vectorial frente a las transformaciones de Galileo� Se entiende queun invariante vectorial �tensorial� no se ve afectado por la traslaci�on� solo cambian suscomponentes si en la transformaci�on se cambia la base vectorial � Esto implica que elcuadrado del m�odulo �a � �a � a�x � a�y � a�z � a� es un escalar invariante galileano� Sede�ne como cuerpo inercial a aquel cuya aceleraci�on con respecto a un sistema inerciales nula ��a � ��� por lo que el car�acter inercial es invariante�
Pueden desplazarse los or��genes incluyendo en el segundo miembro de la transformaci�on los t�erminosiniciales �r� y t� e introducirse factores de escala� por ejemplo� escribiendo t� k t�
�Adem�as del cambio de base� las transformaciones de coordenadas llevan consigo una traslaci�on delorigen� En el caso de las de Galileo �esta es dependiente del tiempo�
�
Puesto que el principio de relatividad implica la invarianza de las leyes de Newton��F es un invariante vectorial
�F � m�a
y� dado que la aceleraci�on tambi�en lo es� m� la masa inerte� es un invariante escalar� esdecir� al cambiar de sistema inercial�
�F � � �F � � m� � m ������
Debemos tambi�en puntualizar que la ley de acci�on y reacci�on requiere que la trans�misi�on de las interacciones se realice a velocidad in�nita� lo que no es compatible conlas leyes del electromagnetismo ya que de ellas se deduce que esta velocidad debe ser�nita�
� � � � Leyes de transformaci�on de los campos
Las leyes de transformaci�on de los campos al cambiar de sistema inercial se deducen dela ley de Lorentz ���
�Fq��r� � qh�E��r� � �v � �B��r�
iAl escribir de esta forma la ley de fuerza se sobreentiende que la carga q de la
part��cula es invariante q � q�� puesto que la expresi�on se da por v�alida para cualquiervelocidad �v de la misma� Por otra parte� como se ha visto anteriormente� la fuerza es uninvariante vectorial �F � �F �� luego �E��v� �B � �E ���v �� �B �� Cada uno de los sumandos esun vector que� como se ver�a a continuaci�on� no es invariante frente a las transformacionesde Galileo� A partir de lo anterior y de la ley de composici�on de velocidades se deducenlas Leyes de transformaci�on de los campos utilizadas en el contexto galileano y quese cumplen aproximadamente en la pr�actica para V �� c y c � �� Efectivamente�de acuerdo con la ley de composici�on de velocidades y considerando solo sistemas dereferencia � a derechas�� para simpli�car�
�E � �v � �B �
� �E � �v � � �B � �V � �B �z ��a�
� �E � � �v � � �B � �z ��b�
Puesto que el campo el�ectrico �E � ���F ��q
��v ���
� haciendo �v � � � en la ecuaci�on
�a� � �b�� se obtiene�E � � �E � �V � �B ������
y� eliminando �E� de la misma ecuaci�on �a� � �b��
�v � � �B � � �v � � �B
��
Dado que �v � es un vector� aunque no invariante� que puede tomar valores arbitrarios��B es un pseudovector invariante ��� ��
�B � � �B ������
Pero estas leyes de transformaci�on� aunque aplicables y �utiles en el rango ya men�cionado de bajas velocidades� no dejan de presentar di�cultades conceptuales porqueson el resultado de imponer a los campos un principio de relatividad que las ecuacionesde Maxwell necesariamente incumplen�
�� Problemas
���� Hallar � R� x y � R
� x� � Demostrar que rR � �r �R� donde r es el operador gradiente
con respecto a las coordenadas del punto de observaci�on y r � el mismo operador
con respecto a las coordenadas del punto fuente�
���� Expresar como densidades continuas de carga las distribuciones puntuales de la
gura ����
b
a
+q -q
(b)
a
a
ba
a
(c) (d)
a
(a)
Figura �����
���� Expresar como densidades de volumen las siguientes distribuciones de carga�
a� Una carga distribuida� con densidad uniforme �s� sobre la supercie de un
cilindro que est�a centrado en el eje z�
b� Una carga distribuida uniformemente� con densidad lineal �� sobre una recta
denida por las ecuaciones� en cil��ndricas� � � a� � b�
��En las transformaciones en las que el orden c��clico de los vectores de base se invierte� �B � � �B��Si se aproxima hasta el primer orden en � � V�c a la ley de Einstein para la transformaci�on del
campo magn�etico � se obtiene �B� � �B ��Vc�� �E � v�ease el tomo segundo para obtener el resultado
galileano es necesario� adem�as� suponer que c��� No se debe olvidar que las ecuaciones de Maxwellno son compatibles con las transformaciones de Galileo� Esto hace que� en el l��mite de baja velocidad�sea a veces m�as apropiada la utilizaci�on de esta expresi�on que la galileana�
��
c� Una l��nea circular� uniformemente cargada con densidad �� cuyas ecuacionesen esf�ericas son r � a� � b�
���� En el sistema MKS� la unidad el�ectrica fundamental es el amperio A pero� sin
embargo� la carga suele expresarse en culombios C� el campo el�ectrico en voltiospor metro V �m�� y el magn�etico en webers por metro cuadrado W �m��� Hallarlas dimensiones fundamentales del culombio� del voltio y del weber�
���� Una esfera de radio a�t� se expande con velocidad constante v en una regi�on car�
gada uniformemente con densidad �� Aplicar a �esta situaci�on la ecuaci�on de con�
tinuidad�
���� Las densidades de electrones portadores en diel�ectricos� semiconductores y conduc�
tores son del orden de �� � ���� y ���� electrones por metro c�ubico respectivamente�
Supuesto un hilo de cada uno de �estos materiales� con una secci�on de � cm�� que
transportase un amperio� estimar las densidades de carga portadora� las veloci�
dades de arrastre de los electrones y el n�umero de ellos que se transporta a trav�es
de una secci�on dada en cada segundo�
���� Una carga est�atica siente en un punto del espacio una fuerza� por unidad de carga��F�q � � bxN � C��� cuando la carga se mueve con velocidad �v� � � bxm � s����F�q � � �bx� bz�N � C�� y cuando la velocidad es �v � � by m � s��� �F � �F�� Hallar
�E y �B
���� Un electr�on incide con velocidad �v� � �v�� �� �� en una regi�on en la que coexiste un
campo el�ectrico con otro magn�etico� ambos uniformes y paralelos al eje z� Hallarlas ecuaciones de la trayectoria y describir las propiedades fundamentales de la
misma�
���� Demostrar que si� adem�as de los campos especicados en el problema anterior�
existe una fuerza perpendicular al eje z� la trayectoria del electr�on sufre un arrastre
con velocidad constante vF �
Un plasma esta constituido por electrones de carga �e y masa m e
iones positivos de carga �e y masa M � Las densidades de part��culas
respectivas� en estado de equilibrio� son ne � ni � n��
Hallar la densidad de corriente inducida cuando la fuerza se debe a un campo
el�ectrico �E o a un campo gravitatorio �g�
���� Un magnetr�on de placas paralelas esta formado por dos placas� met�alicas� planas�
indenidas� situadas en x � � e x � a y sometidas a una diferencia de potencial
de la que resulta un campo el�ectrico uniforme �E � �E� bx� Entre ellas� adem�as�
se establece un campo magn�etico uniforme �B � B� bz� De la placa inferior se
emiten electrones con velocidad despreciable� � Cu�al es el m��nimo campo el�ectrico
necesario� en funci�on del magn�etico� para que los electrones alcancen a la otraplaca�
��
����� Hallar el trabajo realizado para desplazar a una carga unitaria desde el innito
hasta la posici�on �r si est�a en presencia del campo el�ectrico producido por una
carga puntual situada en el origen
�E � K�r
r
Cap��tulo �
Campos est�aticos
��� Introducci�on
Empezamos aqu�� la b�usqueda de las fuentes del campo electromagn�etico en el vac��o�Esto lo llevaremos a cabo de forma paulatina� respetando en cierto modo el desarrollohist�orico de la asignatura y partiendo de los casos m�as simples hasta los m�as generales�En este cap��tulo se tratar�a de los campos est�aticos� producidos por cargas quietas y cor�rientes estacionarias� Aunque la parte el�ectrica del campo electromagn�etico tiene fuentesescalares y vectoriales� nos limitaremos en este tema al estudio del campo electrost�atico�producido por distribuciones de carga invariantes con el tiempo� En el pr�oximo cap��tulose postular�an sus fuentes vectoriales� Por lo que respecta al campo magn�etico� este s�olotiene fuentes vectoriales que pueden ser de tipo diverso� Siguiendo la misma pauta quepara el campo el�ectrico� nos restringiremos en �este al estudio del campo magn�etico pro�ducido por corrientes estacionarias� dejando para el cap��tulo siguiente el estudio de loscampos din�amicos�
��� Campo electrost�atico
El campo electrost�atico es aquel que no depende del tiempo y que est�a producido por dis�tribuciones de carga que no dependen del tiempo� Desde el punto de vista microsc�opicosupondremos que todas las cargas del Universo est�an quietas con respecto al observador�Desde el punto de vista macrosc�opico� basta con que las corrientes sean estacionaria� esdecir� que � �
� t � � � � cte�
��� Ley de Coulomb
Aunque Coulomb postul�o la interacci�on completa� nosotros expondremos su ley comorelaci�on entre las fuentes del campo y el propio campo�Para cargas puntuales� el campo el�ectrico producido por un sistema de N cargas
puntuales qi en el punto P � cuyo vector de posici�on es �r� puede expresarse de la forma
�E��r� � C
NXi��
qibRi
R�i
�����
��
�
donde� de acuerdo con la �gura ���� los �Ri son los vectores de posici�on del punto deobservaci�on con respecto a las caragas qi�
i
^
x
z R iq 1
q Nr
P
q
y
Figura ����
Es decir� el campo electrost�atico� campo el�ectrico generado por cargas qi est�aticas�cumple el principio lineal de superposici�on vectorial� es proporcional a las cargas fuente�sigue una ley del inverso del cuadrado de la distancia� su direcci�on viene regida por losvectores que ligan a las cargas con el punto de observaci�on y su sentido est�a determinadopor el signo de qi� No se tiene constancia de la existencia de no�linealidades� dentro dela teor��a cl�asica� no cu�antica� incluso para los campos extremadamente fuertes que sedan en los n�ucleos pesados�La ley del cuadrado se cumple con gran precisi�on
F � �
R�
��
Rn� n � �� �� �����
�En el sistema cgs electrost�atico C � �� por lo que q es una magnitud derivada de
las mec�anicas� �V�ease el ap�endice �����En el MKSA ��
C ��
���� � ���� �� � ����� ����� �F �m���� �F �m��� � �m �Kg�� � s � A��
Es f�acil comprobar que la relaci�on entre la fuerza el�ectrica Fe y la de gravitaci�on Fgentre electrones es�
FeFg�
Ce�
Gm�� ��
Sin embargo� en contra de la opini�on de William Gilbert� no es una cierta clase de
magnetismo lo que gobierna la trayectoria de los planetas y los astros� sino la fuerzagravitatoria� No obstante� los campos magn�eticos juegan un papel importante en elmovimiento y la estructuraci�on de los plasmas del universo y en el de las galaxias�En general� para distribuciones continuas de cargas� v�ease la �gura ���� la ley de
Coulomb se genealiza substituyendo la sumatoria por una integral
�E��r� ��
���
ZV �
���r ���R
Rdv � �����
�La unidad F es la de capacidad� el Faradio�
��
^
x
z
rr ’
R
dq= dv’ρ
P
y
V’
Figura ����
��� Fuentes del campo electrost�atico
La expresi�on anterior puede escribirse de la forma �
�E��r� ������
ZV �
���r ��r��
R
�dv � � �r
��
���
ZV �
���r ��R
dv � �K
�donde K es una constante� De aqu�� se deduce que
�E � �rV �����
Es decir� �E deriva de un Potencial escalar V que puede obtenerse mediante una inte�graci�on sobre el volumen V � en el que la densidad de carga ���r �� es distinta de cero�
V ��r� ��
���
ZV �
���r ��R
dv� �K ����
De esta expresi�on se deduce� seg�un el teorema de Helmholtz� que las fuentes escalaresy vectoriales del campo electromagn�etico son�
r � �E � �
�������
r� �E � � �����
Estas son las ecuaciones de Maxwell para el campo electrost�atico� La primera es�peci�ca las fuentes escalares del campo y presenta su forma de�nitiva para los camposdin�amicos en el vac��o� La segunda expresa que el campo electrost�atico no tiene fuentesvectoriales habr�a de ser modi�cada para incluir a otras fuentes vectoriales que generanal campo el�ectrico no est�atico� Puesto que son ecuaciones diferenciales� tienen car�acterlocal� ligan a las derivadas del campo en un punto del espacio con el valor de las fuentesen ese mismo punto�Haciendo uso de los teoremas de la divergencia y del rotacional� se pueden expresar
estas leyes en forma extensiva�IS�E � d�s � �
��
ZV� dv �
Q
�������
�r sale fuera de la integral porque no opera sobre las coordenadas de integraci�on�
��
donde S es la super�cie que encierra al volumen V en el que se encuentra una cargatotal Q� Esta ley es conocida con el nombre de Ley de Gauss y relaciona al �ujo delcampo el�ectrico a trav�es de una super�cie cerrada con la carga total contenida dentrode la misma�
Por otra parte� puesto que �E no posee fuentes vectoriales ������ se cumple que� paracualquier L� I
L�E � d�l � � �����
Esta es una manifestaci�on del car�acter conservativo del campo electrost�atico� el campoelectrost�atico realiza un trabajo nulo sobre cargas que describen trayectorias cerradas�
�� Potencial electrost�atico
Ya hemos visto que �E deriva de un potencial escalar cuya relaci�on con las densidades decarga viene dada por ��� Para una carga q puntual situada en el origen� esta densidades ���r �� � q ���r �� y
V ��r� ��
���
q
R�K ��� �
M�as adelante veremos que esta expresi�on es v�alida para distribuciones de carga queest�en de�nidas en vol�umenes �nitos� a distancia �nita del origen y observadas desdegrandes distancias al mismo �R � ��� q ser��a la carga total de dicho volumen y K �V ��� el potencial del in�nito que� en este caso� puede hacerse igual a cero�
2
V
V >V
V
Ε
1
2
∇
Figura ����
El campo el�ectrico �E � �rV � v�ease la �gura ���� tiene la direcci�on y el senti�do del m�aximo decrecimiento de V � Los incrementos elementales de potencial puedenexpresarse como
dV � rV � d�r dV � � �E � d�r
Las super�cies equipotenciales� dV � �� son las generadas por desplazamientos d�rperpendiculares a las l��neas de campo� Para V � cte� � �E � d�r� � �� luego� �E�d�r�
��
��� Energ��a potencial
La realizaci�on de un balance energ�etico detallado� para un sistema f��sico real� suele sercompleja puesto que existen mecanismos muy diversos de almacenamiento y transfor�maci�on de energ��a� Empezaremos abordando los casos m�as simples�
Energ��a potencial de una carga en campo externo �
El balance energ�etico m�as simple que podemos imaginar en un sistema el�ectrico esel siguiente� imaginemos un proceso reversible en el que un carga se traslada desde unaposici�on �r� a otra �r� en presencia de un campo externo �Ee creado por cargas que per�manecen inalterables durante el proceso� Bajo estas circunstancias� en el vac��o� la �unicafuente de irreversibilidad posible reside en los fen�omenos de radiaci�on que se producencuando una carga es acelerada� por lo que� aunque las p�erdidas por radiaci�on suelenser normalmente peque�nas� ser�a necesario asegurarse que durante la transformaci�on lasaceleraciones sufridas por la carga son peque�nas� Equilibraremos pues las fuerzas que elcampo externo ejerce sobre la carga con otra fuerza igual y contraria�
�Fcc � ��Fc
����Fcc � fuerza contra el campo
�Fc � fuerza del campo
El trabajo realizado por el campo en la transformaci�on� que es igual y de signocontrario al realizado por las fuerzas establecidas en contra del campo� ser�a
W�� �
Z �r�
�r�
�Fc � d�r � q
Z �r�
�r�
�Ee � d�r � �qZ �r�
�r�
rVe � d�r
� �qZ �r�
�r�
dV � q �Ve��r��� Ve��r���
De�niremos como energ��a potencial de una carga en un campo externo a�
Wp��r� �
Z �
�r
�Fc � d�r � q �Ve��r�� Ve���� ������
que� en el caso de que el in�nito pueda tomarse como origen de potenciales� Ve��� � ��
Wp��r� � q Ve��r�
Como ya hemos apuntado� esto ser�a siempre posible si las cargas que crean �Ee est�an enun volumen �nito a distancia �nita del observador�
La energ��a potencial ser��a� por lo tanto� el trabajo realizado por el campo para llevarla carga hasta el in�nito o� de otra forma� la m�axima energ��a que puede extraerse de lacarga al trasladarla de su posici�on inicial� en reposo� hasta el in�nito� tambi�en en reposo�Si el proceso se realizara de forma no reversible� con aceleraciones notables� parte deltrabajo realizado por el campo se perder��a como energ��a radiada�
��
Si en vez de una sola carga puntual quisi�eramos contabilizar la energ��a potencial deun sistema de N cargas puntuales y de una distribuci�on continua contenida en V� en uncampo producido por otro sistema externo de cargas� tendremos�
Wp �
NXi��
qi Ve �
ZV�Ve dv ������
expresi�on que excluye a la energ��a de interacci�on de las cargas testigo entre s���A continuaci�on trataremos a estos t�erminos de energ��a potencial en campo interno�
Energ��a portencial de un sistema de cargas �En el apartado anterior hemos considerado la interacci�on de una carga con un campo
creado por un sistema de cargas externo� Consideraremos ahora la energ��a total deinteracci�on de un sistema deN cargas puntuales� �gura ��� situadas a distancias mutuas�nitas �Rij �
j
^
x
z R i
q 1
q N
r
q i
q
i
j
y
Figura ���
Esta energ��a de interacci�on ser��a la m�axima que podr��a ser extra��da del sistema en unproceso en el que� partiendo de las posiciones iniciales� se llevara a las cargas al in�nito�de tal forma que las distancias mutuas �nales fuesen in�nitas y� en consecuencia� laenerg��a de interacci�on fuese nula�De�niremos como Energ��a potencial del sistema de cargas puntuales al trabajo que
tendr��amos que realizar en contra del campo para trasladar a las cargas� de formareversible� desde sus posiciones en el in�nito hasta sus posiciones �nales �ri�Puesto que el proceso es reversible� el trabajo total ser�a independiente del camino
y del orden en que se transporten las cargas� Trasladaremos a las cargas en el ordenj � �� ���� N � una a una�
W �
NXj��
Wj
donde Wj es el trabajo que cuesta traer a la carga j en contra del campo de las j � �que han sido trasladadas previamente�Podemos escribir� seg�un el p�arrafo anterior�
Wj � qj
j��Xi��
Vi��rj� � qj
j��Xi��
�
���
qirij
�
donde Vi��rj� es el potencial que la carga i produce en la posici�on �nal de la carga j�
Luego�
W �
NXj��
j��Xi��
�
���
qi qjrij
A este mismo resultado podemos llegar invirtiendo el orden del transporte� dando aj los valores j � N� ���� �
W ��X
j�N
W �j �
NXj��
NXi�j��
�
���
qi qjrij
Expresi�on en la que se ha tenido en cuenta que W �j es el trabajo que cuesta traer a la
carga qj cuando previamente se han traido las cargas qN � ���� qj���
Sumando ambas expresiones
W ��
�
NXj��
qj
NXi��ji��
�
���
qirij��
�
NXj��
qj Vj ������
donde Vj es el potencial creado por el resto de las cargas del sistema �i �� j� en laposici�on �rj ocupada por la part��cula j�
Aqu�� aparece un factor �� � a diferencia del resultado obtenido en el p�arrafo anterior�
porque el campo contra el que hay que trabajar es el propio de las cargas del sistema yno un campo externo�
Es necesario resaltar que en esta expresi�on no se incluye la energ��a necesaria paraformar a las cargas puntuales o Autoenerg��a de dichas cargas� La autoenerg��a de unacarga puntual es singular� como puede comprobarse si intentamos construir una cargapuntual Q �
Pqj� a partir del sistema de cargas puntuales� haciendo rij � �
limrij��
��
Si en vez de una distribuci�on discreta de carga construimos una distribuci�on contin�ua� se obtiene
W ��
�
ZV���r�V ��r� dv ������
Expresi�on que da cuenta de toda la energ��a necesaria para formar la distribuci�on sinexcluir los t�erminos de autoenerg��a� Podemos construir la distribuci�on �nal de cargacontinua a partir de la carga totalmente dispersa� en el in�nito� de forma que la energ��ainicial de interacci�on sea nula� Si� de acuerdo con la �gura ���� vamos incrementandogradualmente la densidad de cada punto de la distribuci�on� trasladando desde el in�nitoelementos de carga ��q � �� dv� el potencial� V ��r�� que guarda una relaci�on lineal con susfuentes� var��a proporcionalmente a ���r�� lo que� de forma an�aloga al proceso analizadopreviamente en base a cargas puntuales� hace aparecer el factor �
� en la expresi�on�
��
^
x
z ( r )ρ
V( r )r
δ2 =δρ dvq
y
V
Figura ����
��� Ecuaciones de Poisson y Laplace
Buscaremos las ecuaciones locales que ligan al potencial electrost�atico y a las densidadesde carga�El campo electrost�atico es conservativo � r� �E � � �E � �rV � pero� en general�
no es solenoidal� r � �E � �
��� por lo que
r�V � � �
��Ecuaci�on de Poisson �����
que� en el caso en que � � �� se convierte en
r�V � � Ecuaci�on de Laplace ������
V�eanse los problemas y el ap�endice para la soluci�on de estas ecuaciones�
�� Estructuras simples del campo el�ectrico
Dada una distribuci�on de cargas determinada� disponemos de varias alternativas parael c�alculo del campo el�ectrico resultante� Ciertas distribuciones� por poseer un altogrado de simetr��a� permiten soluciones anal��ticas simples� lo que realza su importancia�En general� las soluciones anal��ticas exactas no son posibles y hay que recurrir a laobtenci�on de soluciones anal��ticas aproximadas o a soluciones num�ericas�Un an�alisis de la simetr��a de las leyes del campo electrost�atico permiten simpli�car
el c�alculo de campos producidos por distribuciones que� a su vez� posean un alto gradode simetr��a�As�� pues� una distribuci�on con simetr��a plana� por ejemplo una en la que � � ��x��
�gura ����a� es vista por un observador desde P��x�� y�� z�� exactamente de la mismaforma que desde P��x�� y�� z��� S�olo es capaz de discernir los detalles de las fuentes enla direcci�on x�
� � ��x� V
y�
V
z� � V � V �x� �E � E�x� bx
De la misma forma� para distribuciones con simetr��a cil��ndrica o esf�erica� �guras����b y ����c�
��
ρ
(c)
ρ=ρ( ρ)
(b)
P (x ,y ,z )1 22 2
P (x ,y ,z )1 1 11
E=E(x) x^
ρ=ρ( )xz
y
x ρ=ρ( )
(a)
r
r
Figura ����
� � ���� V
�
V
z� � V � V ��� �E � E��� b�
� � ��r� V
��
V
� � V � V �r� �E � E�r� br
A pesar de que las distribuciones con alto grado de simetr��a carecen de generalidad�su sencillez les presta una gran importancia te�orica y pr�actica�
��� Campo magn�etico producido por corrientes esta
cionarias
�� Campos y fuerzas magn�eticas
El campo magn�etico que produce una corriente estacionaria viene dado por la Ley de
Biot y Savart� Podr��amos presentar esta ley en detalle� como hemos hecho con la deCoulomb� pero nos limitaremos a resaltar que la estructura del campo magn�etico esm�as compleja que la del el�ectrico� porque el integrando es un producto vectorial� peroque tambi�en sigue una ley del inverso del cuadrado de la distancia� En el sistemaMKSA
�B��r� ����
ZV ��j �
�R
Rdv� ������
V � es el volumen del tubo de corriente estacionaria� La expresi�on
d �B �����j �
bRR�
dv�
s�olo tiene sentido como integrando� puesto que un elemento de corriente �j dv� no cons�tituye por s�� mismo una corriente estacionaria � �gura �����
��
dv’I
j
Π
d B Π
R
Figura ����
�B� � tesla � weber �m�� � �� gauss�MKSA�
La constante ��� Permeabilidad del vac��o� se de�ne num�ericamente como
�� � � � ��� N � A��
Un caso particular interesante de corriente estacionaria es la Espira� tubo de corrientecerrado y con secci�on despreciable� �gura ����
I
dv’
j
d l d s ’’
Figura ����
Es interesante expresar la ley de Biot y Savart para este caso particular� Si la secci�ones peque�na pueden tomarse d�s � �j d�l �� con lo que dv � � d�s � � d�l � e I � �j � d�s ��Substituyendo en ����
�B��r� ����
ZV ��j �
bRR��d�s � � d�l �� � ��
�
ZV �
d�l � ��R
R��j � d�s ��
luego
�B��r� ���I
�
IL
d�l � � �R
R������
��
que es la expresi�on� para espiras� de la ley de Biot y Savart�
Podemos comprobar� �gura �� � que la fuerza �d�F � que un elemento de corrienteI � d�l� ejerce sobre otro I d�l no cumple el principio de acci�on y reacci�on� Esto es debidoa la asimetr��a del triple producto vectorial�
d�F ����
I I � d�l � �d�l � � �R�
R� d �F� d�l� d �B �
d�F � ����
I I � d�l � ���d�l � ���R�
R
�� d �F �� d�l �� d �B
d B
d F’ ⊥ Σ ’
d F ⊥ Σd B’ ⊥ Π ’
ΠΣ
⊥ Π
I d l
I’ d l’
R
Σ
-R
’Π ’
Figura �� �
Esto carece de trascendencia puesto que la ley de Biot y Savart s�olo es v�alida paracorrientes estacionarias y puede comprobarse que el principio de acci�on y reacci�on s��se cumple para la interacci�on de dos corrientes estacionarias� No obstante� las accionesdel campo electromagn�etico variable se propagan con velocidad �nita por lo que en elcaso de corrientes din�amicas no cabe esperar que el principio de acci�on y reacci�on secumpla a distancia�
�� Fuentes del campo magn�etico Potencial vector
Busquemos las fuentes escalares�
r � �B��r� � ���
ZV �r �
��j��r �� �
�R
R
�dv�
y� teniendo en cuenta que
r � ��a ��b� � �b � r � �a� �a � r ��b�V�ease Lorrain�Corson
�
r ���j��r �� �
�R
R
��
�R
R� r ��j��r �� �z �
��
��j��r �� � r ��
�R
R
� �z �
��
� �
donde se ha tenido en cuenta que r opera sobre las coordenadas x� y� z� mientras que�j��r �� depende de las x �� y �� z �� y que �R
R� � r � �R�� Luego
r � �B � � IS
�B � d�s � � ������
El campo magn�etico producido por una corriente estacionaria es solenoidal� lo queimplica que las l��neas de campo deben ser cerradas� aunque no necesariamente de lon�gitud �nita � Aunque te�oricamente cabe esperar la existencia de monopolos o cargasmagn�eticas� no han sido detectados hasta la fecha por lo que este car�acter solenoidalse har�a extensivo a los campos magn�eticos en general� dando por de�nitiva la forma deesta ecuaci�on de Maxwell�
�B puede derivarse� por lo tanto� de acuerdo con el teorema de Helmholtz� de un solopotencial� el potencial vector �A�
�B � r� �A ���� �
Efectivamente�
�B��r� � ����
ZV ��j��r �� �r
��
R
�dv�
que� teniendo en cuenta que
r� �f�a� � fr� �a�rf � �a
r���j��r ��R
�� �
R r��j��r �� �z ���
�r��
R
���j��r ��
�B��r� � r���o�
ZV �
�j��r ��R
dv��
de donde deducimos que�
�A��r� ����
ZV �
�j��r ��R
dv� �r ��r� ������
donde ��r� es cualquier funci�on de buen comportamiento� r ��r� juega el mismo papelque la constante aditiva del potencial escalar� puesto que r�r � ��Por otra parte� acudiendo al teorema de Helmholtz� obtenemos la expresi�on de las
fuentes vectoriales� o ley de Amp!ere�
�Una sola l��nea de campo de longitud in�nita puede formar una Super�cie magn�etica�
��
r� �B � ���j IL�B � d�l � ��
ZS�j � d�s � �o I ������
donde S es una super�cie arbitraria cuyo contorno es L�Las corrientes estacionarias tienen sus fuentes� vectoriales en todo caso� en las den�
sidades de corriente� Esta ecuaci�on ser�a modi�cada m�as adelante con la adici�on� princi�palmente� de la corriente de desplazamiento del vac��o�
Por �ultimo� el �ujo del campo magn�etico �� �B�� que se mide en Webers� puedeexpresarse de las formas�
�� �B� �ZS�B � d�s �
ZL�A � d�l ������
donde S es una super�cie abierta cualquiera y L su contorno�Efectivamente� para probar la segunda opci�on basta con tener en cuenta que �B �
r� �A y hacer uso del teorema del rotacional�
� Estructuras simples del campo magn�etico
Aqu�� podemos hacer consideraciones parecidas a las que se hicieron en la secci�on enla que se estudiaron las estructuras simples del campo el�ectrico� S�olo analizaremos� amodo de ilustraci�on� la simetr��a del campo producido por un hilo recto inde�nido� Comose muestra en la �gura ����� las l��neas de campo son circulares� tienen por eje al hilo�tienen direcci�on azimutal y el sentido lo marca la regla del tornillo a derechas� o de lamano derecha�
I
d l
B=B( )ρ ϕ
’
NS
R
Figura �����
��
��� Problemas
���� Realize un dibujo cuantitativo� con la escala espacial que le parezca conveniente�
de l��neas de campo y supercies equipotenciales para los siguientes casos�
a� Una carga puntual aislada de un �C microculombio��
b� Dos cargas puntuales de un �C situadas a un cm de distancia�
c� Dos cargas puntuales de ��C y ���C separadas por un cm�
���� Cuatro cargas puntuales de un nC se hallan situadas en los v�ertices de un cuadrado
de un cm de lado� Hallar�
a� La fuerza que cada una de ellas siente debido a la acci�on de las dem�as�
b� La energ��a que ceder��a o ganar��a una de ellas al desplazarse hasta el innito
con velocidad despreciable�
c� Supuesto que toda la energ��a potencial pudiera convertirse en energ��a cin�etica�
calcular la velocidad que tendr��a en el innito cada una de las cargas si a todas
se les permitiera moverse libremente a partir del mismo instante�
���� La constante de gravitaci�on universal tiene el valor G � �� �������� N �m� �Kg��
y la aceleraci�on de la gravedad tiene un valor local de g � ��m � s��� Hallar� a� El campo el�ectrico que iguala la fuerza el�ectrica a la gravitatoria sufrida por
un electr�on�
b� La relaci�on entre las fuerzas el�ectrica y gravitatoria entre dos electrones�
c� La distancia aproximada a la que se igualan las interacciones el�ectrica y
gravitatoria entre dos sistemas de part��culas compuestos� cada uno de ellos�
por un electr�on y un prot�on separados una distancia de unoA� Sup�ongase que
las cuatro part��culas est�an alineadas y raz�onese sobre la preponderancia de
la fuerza gravitatoria en la determinaci�on del movimiento planetario�
���� Por un conductor� que posee una densidad de portadores � y tiene dimensiones
transversales a � b� circula una corriente de intensidad I� Perpendicularmente a
�esta corriente y a las caras� separadas entre s�� por la distancia b� se aplica un
campo magn�etico uniforme �B� Hallar la diferencia de potencial Hall que apareceentre las caras que est�an separadas por la distancia a�
El efecto Hall consiste esencialmente en la redistribuci�on de cargas
dentro de un conductor como consecuencia de la acci�on de la fuerza
magn�etica de manera que� en equilibrio estacionario� la carga neta
depositada en las paredes crea un campo el�ectrico que contrarresta
a la fuerza magn�etica�
���� Dos cargas puntuales de signo contrario se encuentran separadas por una distancia
a y la raz�on entre sus magnitudes es k� Demostrar que la supercie equipotencialV � � es esf�erica y determinar su radio y la posici�on del centro�
��
���� Un p�endulo est�a formado por un hilo sin masa� de longitud l� y una part��cula
puntual de masa m y carga q� � Cu�al ser�a su periodo para peque�nas oscilaciones
en presencia de un campo el�ectrico paralelo al gravitatorio�
1-- ++
a
b
L
d
V V0
Figura �����
���� En un tubo de rayos cat�odicos� gura ����� se forma un punto luminoso en el lu�
gar de la pantalla sobre el que incide un no haz de electrones� Dichos electrones
son emitidos con velocidad despreciable y acelerados a trav�es de una diferencia de
potencial ja V�� Posteriormente son de�ectados por un campo el�ectrico� uniforme
y perpendicular a la trayectoria inicial� que esta producido por dos placas equipo�
tenciales separadas por una distancia a y cuya longitud es b� Entre dichas placas
se establece una diferencia de potencial V�� Si la distancia desde el centro de las
placas de�ectoras hasta la pantalla es L� hallar la relaci�on entre la distancia d a
que se desv��a el haz en la pantalla y el potencial de de�exi�on V��
���� Sea una supercie plana e indenida cargada con una densidad �s uniforme� Hal�
lar�
a� El campo el�ectrico y el potencial a cualquier distancia z del plano�
b� La contribuci�on al campo total de un c��rculo de radio a� en el plano� en un
punto a distancia k a del centro del disco y situado sobre su eje� Razonar los
resultados para los l��mites k � � y k � ��
���� Hallar y representar gr�acamente� haciendo uso de los diversos m�etodos conocidos�
el campo el�ectrico y el potencial producidos en cualquier punto del espacio por las
siguientes conguraciones de carga�
a� Un hilo recto indenido cargado uniformemente con una densidad ��
b� Una distribuci�on cil��ndrica de carga con densidad �� para � � a� y � � �para � � a�
���� Hallar el campo y el potencial producidos por una carga uniformemente distribuida
��
sobre una esfera de radio a�
��r� �
����� para r � a
� para r � a
SOLUCION �
Trataremos el problema con diversas herramientas y comprobaremos
que la simplicidad de unos procedimientos es mucho mayor que la de
otros� sin que de esto debamos inferir que el m�etodo m�as sencillo en este
caso lo sea tambi�en en general Para cada problema deberemos buscar
el m�etodo m�as adecuado Las partes no desarrolladas por completo se
proponen como ejercicio
Uso del m�etodo de Gauss
Seg�un el teorema de GaussZS�E � d�s � �
��
ZV� dv
Esta expresi�on es �util para el c�alculo del campo siempre que el grado
de simetr��a del problema permita encontrar una super�cie S tal que
� �E � �n�S � cte� donde �n es la normal a la super�cie de la esfera Tal
super�cie la llamaremos Supercie de Gauss ZS�E � �n ds � En
ZSds � En S � Q
��
donde
En � �E � �n � � Q �
ZV� dv En �
Q
�� S
En nuestro caso �E � E�r� br� por lo que elegiremos super�cies esf�ericas
de radio r y distinguiremos dos regiones�
En la regi�on ���� para r � a� �gura � ���a�
E��r� r�
Z �
���
Z ��
���sen� d� d �
����
Z r
r��
Z �
���
Z ��
���r� sen � dr d� d
�E� �Q
� �� ar br � � Q � ��
�� a ������
En la regi�on ���� para r � a�
�E� �Q
� �� r�br �����
�
(b)
^
x
z
rP
a y
x
z
r
P
a
(a)
y
Figura �����
Tanto � �� como � �� pueden escribirse de la forma
�E �Qint�r�
� �� r�br
Es decir� el campo que produce esta distribuci�on� como cualquiera consimetr��a esf�erica� corresponde al que producir��a la carga Qint� encerrada
en la esfera de Gauss� como si estuviera concentrada en el centro de
simetr��a Es f�acil comprobar que las expresiones � �� y � �� coinciden
para r � a� como se muestra en la �gura � ��
r
a
E
E
max
Figura �����
Para calcular el potencial dV � � �E � d�l� eligiendo d�l � dr br y tomando el
origen de potenciales en el �
V �r� � �Z r
�E�r� dr
�
que� para r � a�
V��r� �
Z �
r
�
r�dr �
Q
� �� r
Para r � a
V��r� �
Z a
�dV �
Q
� �� a
Z a
rr dr �
Q
�� �� a
��� r�
a�
�
Uso de las ecuaciones de Poisson y de Laplace
Aunque m�as adelante trataremos con mayor amplitud la soluci�on de
estas ecuaciones y la aplicaci�on de las condiciones de contorno� en los
primeros cap��tulos abordaremos este problema� y otros similares� uni�
dimensionales� de una forma bastante simple
Dado que� en nuestro caso� � � ��r� � V � V �r�� la ecuaci�on de Poisson
en coordenadas esf�ericas puede escribirse de la forma
�
r�d
d r
�r�
dV
d r
��
������
�para r � a Poisson
� para r � a Laplace
������
La soluci�on de esta ecuaci�on de segundo orden se obtiene f�acilmente
siguiendo las siguientes etapas�
�o�Se integra dos veces para cada regi�on del espacio donde ��r� es con�tinua� regiones ��� y ���
V� � � ��� ��
r� � A�
r�B�
V� � �A�
r�B�
Estas soluciones generales dependen de constantes indeterminadascuyos valores habr�a que determinar haciendo uso de condiciones de
contorno adecuadas
��� Se aplican condiciones de contorno en r � �� r � a y r � � M�as
adelante analizaremos las condiciones de contorno con m�as detalle Por
ahora nos bastar�a con establecerlas intuitivamente
Tomaremos el in�nito como origen de potenciales
v�r ��� � � ������
�
En r � a supondremos que tanto el potencial como el campo son con�
tinuos
V��a� � V��a� ������
E��a� � E��a� �dV�d r
�r�a
�
�dV�d r
�r�a
������
La continuidad del potencial es necesaria porque si no� su derivada�
que es el campo� se har��a in�nita El campo debe ser continuo pues�como veremos m�as adelante� solo puede ser discontinuo a trav�es de una
super�cie cuando en la misma existe una densidad super�cial de carga
Por �ultimo
V ��� � V� � �nito ���� �
ya que en el origen no hay cargas puntuales� en cuyas posiciones se dan
las singularidades del campo
Las cuatro ecuaciones � �� � ��� � � y � �� �jan los valores de las
cuatro constantes con lo que el problema queda planteado
C�alculo directo del campo
El c�alculo para la regi�on ��� es prolijo No se har�a en este lugar pero
puede verse en Lorrain y Corson
αθ ’
r ’
r = dE r dE
(1) (2)
RαP
dv’
r
dE
Figura ����
Para la regi�on ���� v�ease la �gura � ��
dEr � dE cos � k ��dv �
r�cos � k ��
r �� sen � � dr � d��� d �
r�cos
�
Para integrar haremos un cambio de las coordenadas �r �� � �� �� a las
�r �� R� ��
dr � d� � d � � J�r �� �� � �
r �� R� �
�dr � dR d �
donde
J�r �� �� � �
r �� R� �
��
�B�� r �
� r �� r �
� R� r �
� � �� � �
� r �� � �
� R� � �
� � �� � �
� r �� � �
� R� � �
� � �
�CA � �
���r � � r �
� � � f�r �� R� � � �
es el jacobiano de la transformaci�on
J � � �
R
Tenemos pues que expresar � � y en funci�on de R y �r � Haciendo uso
de la expresi�on para los lados opuestos a un �angulo
R� � r �� � r� � � r �r cos � � cos � � � r ���r��R�
� r �r � � sen � � � ��
� R � � Rr r �
r �� � R� � r� � � r R cos cos � R��r��r ��� r �r
El c�alculo del m�odulo del campo el�ectrico se completa realizando la
integral
E �
ZV �
dEr � k ���
� r�
Z � ����
� ���
Z r ��a
r ���
Z R�r�r �
R�r�r �r ��� �
r� � r ��
R�
�dr � dR d �
C�alculo directo del potencial
Para la regi�on ���
dV � k ��r ��
Rsen � �
� �
Rdr � dR d �
����� Sean las siguientes distribuciones de carga� Una supercie esf�erica� de radio a�
con densidad uniforme �s y una esfera� de radio a� cargada uniformemente con
densidad de volumen ��� Se pide�
a� Hallar y representar el campo el�ectrico y el potencial producido por cada una
de las distribuciones�
b� Los valores m�aximos de las cargas que� en cada caso� podr��an almacenarse
en esferas de radio a�� cm que est�an en presencia de aire a condiciones
normales� El aire� en �estas condiciones� no soporta campos superiores a unos�� ��� V �m�� Campo de ruptura o rigidez diel�ectrica del aire��
�
c� El radio del electr�on� supuesto que su carga se distribuya en las formas in�
dicadas al principio y que su masa est�e relacionada con su energ��a potencial
mediante la relaci�on de Einstein W � mc��
����� Demostrar que una distribuci�on de carga con simetr��a esf�erica� � � ��r�� produceen un punto �r un campo el�ectrico igual al que producir��a la carga encerrada en la
esfera de radio r concentrada en el origen� � A que conclusiones se llega en los
casos de simetr��a plana y simetr��a cil��ndrica�
����� Hallar el campo el�ectrico y el potencial producidos por la siguiente distribuci�on de
carga� � � �� para � � x � a y �a � x � �a� � � � fuera de �estos dos intervalos�
Representarlos gr�acamente�
����� Dado un hilo circular con una densidad lineal uniforme � y radio a� hallar�
a� El potencial producido en cualquier punto de su eje�
b� Los primeros t�erminos de los desarrollos en serie de potencias� para el po�
tencial anterior� validos para distancias r � a y r � a del centro�
c� El campo el�ectrico�
����� Hallar el campo el�ectrico producido en cualquier punto del espacio por un hilo que
forma un cuadrado de lado a y que est�a cargado uniformemente con densidad ��
����� Calcular el campo el�ectrico producido por un disco plano de radio a y cargado
uniformemente con densidad �s� Deducir a partir del resultado cual ser�a el cam�
po el�ectrico producido por un plano indenido de carga con la misma densidad
supercial�
����� La distribuci�on de carga en los n�ucleos ligeros puede aproximarse mediante la
expresi�on� � � �� ��� r�
a�� para r � a y � � � para r � a� Apl��quese este modelo al
Calcio tomando los valores a � � � fm fm � femt�ometro � fermi � �����m�
y �� � �� ���� C �m�� Hallar�
a� La carga total comp�arese con el valor real��
b� El campo el�ectrico y el potencial�
c� Representar ��E y V en funci�on de x � ra �
����� Un conductor� en situaci�on electrost�atica� es un cuerpo que reac�ciona ante los campos externos movilizando cargas y situ�andolas en
su superficie de forma que el campo total en su interior sea nulo�
Demostrar que todos los puntos del conductor est�atico est�an al mismo potencial�
que el campo el�ectrico en su supercie es perpendicular a la misma y que �este
�ultimo es proporcional a la densidad supercial� Raz�onese� para simplicar� sobre
un conductor de supercie plana�
����� Se define al condensador ideal como el conjunto de la superficieinterna de un conductor en cuyo interior� hueco� se encuentra un
segundo conductor� la superficie externa del segundo conductor y
el espacio que media entre ambas superficies �v�ease figura�� Asimismo
se define como capacidad de un condensador a la relaci�on C � QV � en
valor absoluto� entre la carga depositada en cualquiera de las dos
caras� o placas� del condensador y la diferencia de potencial que se
establece entre las mismas�
Se pide�
a� Demostrar que en las dos placas se depositan cargas iguales y contrarias�
b� Hallar la capacidad de un condensador esf�erico fornado por un conductor
con un hueco de radio a dentro del cual hay otro conductor� en posici�on
conc�entrica� cuyo radio externo es b � a gura ������
ba
Figura ����� �
���� En un condensador real� el primer conductor no puede envolver totalmente al se�
gundo puesto que� en caso contrario� �este �ultimo no ser��a accesible� En la pr�actica�
pues� el espacio Interior de un condensador tiene comunicaci�on con el exterior me�
diante una abertura peque�na a trav�es de la cual algunas l��neas de campo accedendesde las cargas interiores a las exteriores� d�andose el denominado efecto de bordes
que� normalmente� hace que la capacidad real diera algo de la que se calcular��a
suponiendo al condensador como ideal�
Despreciando el efecto de bordes� calcular las capacidades de�
a� Un condensador plano compuesto por dos placas met�alicas de supercie S �a� y separadas una distancia b �� a�
b� Un condensador cil��ndrico compuesto por dos placas cil��ndricas conc�entricas
de radios respectivos a y b y altura c� donde b� a �� a� c�
����� Hallar el campo magn�etico producido por un hilo recto e indenido� recorrido por
una intensidad I� Realizar el c�alculo por
a� Integraci�on directa�
b� Aplicando la ley de Amp�ere�
c� A trav�es del potencial vector�
�
����� Dados dos hilos rectos� indenidos� paralelos entre s�� y recorridos por intensidades
iguales a I� hallar�
a� Campo magn�etico producido en cualquier punto del espacio�
b� Fuerza ejercida por cualquiera de ellos sobre la unidad de longitud del otro�
Determinar la condici�on necesaria para que la fuerza sea de atracci�on o de
repulsi�on�
SOLUCION �
�a� � Seg�un se muestra en la �gura � ��b� el campo que produce la
corriente I puede calcularse f�acilmente haciendo uso la ley de Amp�ere
Efectivamente� si elegimos como camino de integraci�on L a una circun�
ferencia de radio �� conc�entrica con el hilo� y suponiendo a �este en la
direcci�on del eje z
I 1 I 2
-a/2 y^ a/2 y
y
x
z
B
B
d l
d B
z
(a) (b)
21
P
ρ
ρρ
I
I’
d F
ρ
2
1
a
Figura �����
�B � �B��� �
I��cte
�B � d�l � B L � �� � B � �� I
�B ��� I
�� �b
Para hallar el campo que producen los dos hilos en cualquier punto
del espacio� los situaremos� como se muestra en la �gura � ��a� en ladirecci�on bz y en las posiciones �a
� by Superponiendo en P los campos
�
producidos por cada uno de los hilos
�B � �B� � �B� ��� I
��
��
��b � � �
��b ��
Teniendo en cuenta que b � bz�b��B �
�� I
��bz�� �
������ �
�
������
�donde
��� � ����
�a by � � ��� � ��� �
�a by � � �� � x bx� y by
�b� � De acuerdo con la �gura � ��b� la fuerza que la corriente que
produce el campo ejerce sobre la unidad de longitud de la corriente
testigo es�
d�F
dl� I d�l � �B �
�� I I �
�� abz � b
� � �����
I I � b�atractiva para corrientes en el mismo sentido y repulsivas para corrien�
tes en sentido contrario
����� Dado un haz de electrones� de secci�on cil��ndrica� de radio a y densidad de
part��culas n�� que se mueven a lo largo del eje de la distribuci�on con la misma
velocidad v�� hallar�
a� Campo el�ectrico y magn�etico en cualquier punto del espacio�
b� Fuerza electromagn�etica que act�ua sobre cada electr�on�
c� Condici�on que habr��a de cumplirse para que el haz fuera estable desde el
punto de vista din�amico� Discutir el resultado�
����� Definimos como espira a un tubo cerrado de corriente cuya sec�
ci�on transversal es despreciable�
Demostrar que la interacci�on entre espiras de corriente estacionaria cumple el
principio de acci�on y reacci�on�
����� Calcular el campo magn�etico producido por una espira circular de radio a�
a� En cualquier punto de su eje�
b� Repetir el apartado anterior suponiendo a la espira como el limite de otra
poligonal regular de �n lados�
c� En cualquier punto del espacio lejano� es decir� para r �� a�
�
����� Se define como coeficiente de Inducci�on mutua entre dos espiras a
la relaci�on existente entre el flujo que corta una de ellas� debido
al campo producido por la otra� y la intensidad que circula por
la espira productora del campo� Seg�un se demuestra en otro lugar� �este
coeciente tiene car�acter sim�etrico�
Hallar el coeciente de inducci�on mutua para cada una de las siguientes parejas
de espiras�
a� Un hilo recto indenido y una espira coplanaria cuadrada� cuyos lados miden
a y tal que el lado m�as pr�oximo al hilo es paralelo y est�a situado a distanciaa del mismo�
b� Entre una espira de radio a y otra peque�na de radio b �� a cuyo centro
se encuentra sobre el eje de la primera pero cuya posici�on y orientaci�on es
arbitraria�
����� Los carretes de Helmholtz pueden considerarse como formados por
dos espiras paralelas y coaxiales� de radio a� separadas una distancia�b de forma que el campo magn�etico que producen en su eje tienesus dos primeras derivadas� en el punto medio entre las dos y en
direcci�on axial� iguales a cero�
Hallar la relaci�on entre las corrientes que recorren a cada una de las espiras� su
direcci�on relativa as�� como la raz�on ab necesarias para que se cumplan las condi�
ciones anteriores�
����� Hallar el campo magn�etico producido en el centro de su eje por una espira heli�
coidal� recorrida por una intensidad I� de radio a� paso constante b y n�umero par
de vueltas N �
����� Cuando en una espira como la del problema anterior el n�umero de
vueltas por unidad de longitud n � �b �� �
a � es decir� el paso b esmucho menor que el radio a� a la espira se le denomina Solenoide
recto de secci�on circular� Cada una de las vueltas es en la practica casi
cerrada y� en consecuencia� se le considera como espira� se dice que el solenoide
tiene n espiras por unidad de longitud� De forma an�aloga se denen solenoides de
formas y estructuras m�as complejas� Se pide�
a� Hallar el campo magn�etico producido por un solenoide recto� de radio a� lon�gitud L y n�umero de espiras N � efectuando el l��mite n �� a sobre el resultadodel problema anterior�
b� Hallar al campo magn�etico producido en cualquier punto del espacio por un
solenoide recto� de radio a� longitud innita y n espiras por unidad de longitud
recorridas por una intensidad I�
���� Hallar el campo magn�etico en el interior de un solenoide toroidal� de secci�on
cuadrada a � a� radio interior b� numero total de espiras N y recorrido por unaintensidad I� � Cu�al ser��a su autoinducci�on�
�
����� Hallar el campo electromagn�etico producido por las siguientes distribuciones de
carga con simetr��a axial y que giran con velocidad � alrededor de su eje en un
punto cualquiera del mismo�
a� Un disco de radio a con densidad supercial de carga �s�
b� Una supercie esf�erica de radio a con una densidad supercial de carga � ��� cos ��
����� Sea un tubo de corriente� de secci�on circular y radio a� que est�a recorrido por una
densidad de corriente uniforme j� salvo en una cavidad cil��ndrica� de radio b� cuyoeje se encuentra a una distancia c del eje del tubo� a � b � c� Hallar el campo
magn�etico en cualquier punto del espacio�
����� Hallar el campo magn�etico producido por un cable coaxial como el de la gura����� recorrido por una intensidad I uniformemente distribuida a trav�es de las
secciones del conductor interno y del externo� El conductor interno tiene radio ay el externo� radio interior b y exterior c�
I
I
Figura �����
Cap��tulo �
Fuentes del campo din�amico�
Leyes de Maxwell
En este cap��tulo se completan las fuentes del campo din�amico� variable con el tiempo�las cuales se resumen en las ecuaciones de Maxwell� Aparte de considerar corrientes noestacionarias� � �
� t �� � � � ��t�� �� � ���t�� se ver�a que las variaciones temporalesde los campos tambi�en act�uan como fuentes� las del campo magn�etico del el�ectrico�ley de Faraday� y las del campo el�ectrico� corriente de desplazamiento del vac��o� delcampo magn�etico� Estas �ultimas fuentes son responsables de la existencia de las ondaselectromagn�eticas�
��� Ley de inducci�on de Faraday
El fen�omeno de la inducci�on electromagn�etica fue descubierto de forma independientepor Faraday y por Henry� Como se apunta en la introducci�on hist�orica� Faraday encuen�tra este efecto cuando busca conscientemente la analog��a� entre corrientes� del fen�omenode inducci�on electrost�atica� Aunque dicha analog��a no existe� en sentido literal� las ex�periencias de Faraday ponen de mani�esto que en una espira cerrada puede inducirseuna corriente haciendo variar el �ujo magn�etico cortado por la misma� y que �esta estanto m�as notable cuanto mayor es la rapidez de dicha variaci�on� Faraday experimentacon campos producidos por corrientes y por imanes� comprobando que sus efectos sonid�enticos�
Aunque� dentro del marco � galileano� establecido para este primer tomo� la formu�laci�on tradicional de la ley de inducci�on es aplicable en un �ambito m�as amplio� nosotrosrestringiremos su enunciado limit�andonos a los casos en los que los cambios de �ujo sondebidos a la variaci�on expl��cita del campo magn�etico con el tiempo� y no al movimientode la propia espira� Acto seguido� comprobaremos que� en conjunci�on con las leyes detransformaci�on de los campos� �este enunciado puede extenderse para el caso de espirasm�oviles�
Fijaremos nuestra atenci�on en una experiencia como la representada en la �gura���� en la que colocamos una espira L�� en reposo con respecto al sistema inercial dellaboratorio S� en presencia de un campo magn�etico que var��a con el tiempo�
��
x
z
0L
0S
B(t)Φ( )
n
B(t)
yS
^
Figura ����
Seg�un Faraday� en la espira detectar��amos el paso de una corriente� a menos que enella interpongamos una resistencia in�nita� En este �ultimo caso� medir��amos lo que m�asadelante de�niremos como fuerza electromotriz�
Es evidente que si los portadores de carga se mueven es porque sienten sobre s�� lapresencia de un campo el�ectrico� o fuerza por unidad de carga� que las impulsa y que�si sienten dicho campo� es porque �este existe con independencia de que una carga est�edisponible para dar testimonio� Las espiras y las cargas que en ellas residen son� por lotanto� meros testigos de la existencia del campo� La detecci�on de una corriente en unaespira cerrada indica que estos campos no son conservativos�
Enunciamos� pues� la Ley de inducci�on de Faraday para caminos cerrados y en reposoL�� Este camino puede coincidir o no con una espira y podr�a ser trazado arbitrariamenteen el espacio�
IL�
�E � d�l � � d
dt
ZS�
�B � d�s
E� � � d
dt�S�� �B�
�����
donde E� �IL�
�E � d�l � Fuerza electromotriz del camino L��
La ley de inducci�on de Faraday se leer�a� por lo tanto� diciendo que � sobre cualquier
camino L� se mide una fuerza electromotriz proporcional y de signo contrario a la raz�on
temporal de cambio de �ujo magn�etico cortado por la misma�� En el sistema MKS� lacontante de proporcionalidad resulta igual a la unidad�
Para obtener la expresi�on diferencial de esta ley haremos uso del teorema del rota�cional y se tendr�a en cuenta que al introducir el operador d
d t dentro de la integral
sobre una super�cie est�atica� �este debe ser substituido por el de derivaci�on parcial �� t
��
� volveremos sobre esta cuesti�on cuando se consideren super�cies en movimiento��
E� �IL�
�E � d�l �ZS�r��E � d�s � �
ZS�
�B
t� d�s �����
y� como L� y S� son arbitrarios� los dos integrandos de las integrales de super�cie debenser iguales�
r��E � ��B
t�����
Esta ley de Maxwell es la forma diferencial de la ley de inducci�on de Faraday ynos dice que el campo el�ectrico tiene fuentes vectoriales� Las variaciones temporales delcampo magn�etico aparecer�an como las �unicas fuentes vectoriales de �E� por lo que la leyanterior tiene ya su forma de�nitiva�
Por primera vez en nuestra exposici�on nos encontramos con un t�ermino expl��cito deacoplamiento entre los campos� M�as adelante veremos que esta interrelaci�on es rec��proca�
Tambi�en hemos comprobado que la existencia de una fuerza electromotriz en circuitocerrado implica la existencia de campos el�ectricos de rotacional no nulo� es decir� noconservativos� As��� pues� si descomponemos arbitrariamente al campo el�ectrico total endos sumandos� de forma que uno sea conservativo� �EC � y otro rotacional� �ER�
�E � �EC � �ER � r��EC � � � r��ER �� �
E� �IL�
�ER � d�l ya que
IL�
�EC � d�l � �
Luego la fuerza electromotriz puede calcularse haciendo uso exclusivo del sumandono conservativo� es decir� del campo rotacional�
S 01
S02L 0
n 2n
n 1
n
Figura ����
En el segundo miembro de la expresi�on ��� de la ley de inducci�on aparece el �ujo de�B�
�� �B� �
ZS�
�B � d�s
��
que no depende de la super�cie que utilicemos para integrar porque� al ser r � �B � ���B � r� �A y
�� �B� �
ZL�
�A � d�l ����
luego �� �B� es solo funci�on de L��
De otra manera� seg�un la �gura ���� tomando un volumen cerrado V�� limitado porS� � S�� � S�� cuya normal hacia afuera es �n � �n� � ��n��Z
V�
r � �B dv �
ZS�
�B � d�s �ZS��
�B � d�s� �ZS��
�B � d�s� � �
�S�� � �S�� �� �B� es independiente de S�
�� Ley de Faraday para caminos en movimiento
Adem�as de la experiencia descrita en el apartado anterior� otra serie de experiencias�como las que se representan esquem�aticamente en la �gura ���� muestran que tambi�ense detecta corriente en espiras que se mueven en campos independientes del tiempo�
B( r )
S(t)
1 2
B 0
vS(t)
B 0
ωS(t)
(a) (b) (c)
v
Figura ����
En la �gura �a�� que representa al rotor de un motor o generador� una espira r��gida eindeformable gira en presencia de un campo constante y homog�eneo� En �b�� una espiracompuesta por una horquilla conductora ��� y un segmento m�ovil ���� que se deslizaen contacto el�ectrico con la horquilla� se deforma de manera que la super�cie S�t� esfunci�on del tiempo� Por �ultimo� la espira de la �gura �c� se traslada sin deformarse enpresencia de un campo magn�etico no homog�eneo� En estos casos el �ujo cortado var��acon el tiempo debido al movimiento� con o sin deformaci�on� de la espira y sobre ellapuede tambi�en detectarse una fuerza electromotriz�
El enunciado tradicional es v�alido para caminos con movimiento no relativista� esdecir� tales que v � c � c � �� La fuerza electromotriz resultante tendr�a un origenmixto en las variaciones expl��citas del campo y en el movimiento de deformaci�on de laespira� Para medir las fuerzas electromotrices� sobre caminos L�t�� y los �ujos a trav�esde super�cies S�t�� es necesario tener en cuenta que los elementos de l��nea y de super�ciesobre los que se miden los campos est�an en movimiento� Dentro del marco galileano�
��
estos campos� �E � y �B �� vienen dados por ���� y ����
�E � � �E � �v� �B�B � � �B
en funci�on de los campos �E y �B que se miden en el sistema S del laboratorio�
S(t)
S(t+ t)
n(t)
n
n(t+ t)
d l
lat
Δ
Δ
v tΔ L(t+ t)
L(t)
ΔSlat
Figura ���
Luego� �gura ��� la fuerza electromotriz sobre un camino en movimiento L�t� ser�a�en un momento dado�
EL�t� �IL�t�
�E � � d�l �IL�t�
�E � d�l �z ��E�
�
IL�t�
�v� �B � d�l �z ��Em
�����
donde E� es la Fuerza electromotriz est�atica� la que se mide en el sistema S sobre la curvaque coincide con L�t� en el instante t� y Em la Fuerza electromotriz de movimiento� debidaa la deformaci�on del camino a lo largo del tiempo� Haciendo uso de las propiedades delproducto mixto� esta �ultima puede escribirse como
Em�t� �IL�t�
�B�t� � d�l��v �����
o� seg�un la �gura ���
Em�t� � lim�t��
�
�t
IL�t�
�B�t� � d�slat �����
donded�slat � �d�l��v��t
Teniendo en cuenta que r� �B�t� � �� el �ujo total de �B�t� a trav�es de una super�ciecerrada es nulo� Tomando el volumen que se representa en la �gura� envuelto por las
�
super�cies S�t��t�� �S�t� � y la super�cie lateral que completa el cierre entre L�t� yL�t��t��
Em�t� � � lim�t��
�
�t
�����������ZS�t��t�
�B�t� � d�s �z ��A�
�ZS�t�
�B�t� � d�s
���������Desarrollando en serie �B�t� en la integral �A�
�B�t� � �B�t��t�� �B
t�t
y
Em�t� � lim�t��
�
�t
ZS�t��t�
�B�t�
t� d�s �z �
�B�
� lim�t��
�
�t
�ZS�t��t�
�B�t��t� � d�s�ZS�t�
�B�t� � d�s�
�z ��C�
De acuerdo con ���� �B� � �E� y� por otra parte� �C� es la derivada total del �ujo de�B�t� cortado por el camino L�t�� Substituyendo en ��� se obtiene la Ley de inducci�on
de Faraday para caminos en movimiento
EL�t� �IL�t�
�E ��t� � d�l � � d
dt
ZS�t�
�B�t� � d�s
� � d
dt�� �B��t� �����
El campo el�ectrico es medido en los sistemas solidarios con cada punto de L�t��mientras que el campo magn�etico puede medirse en el sistema del laboratorio�Esta forma de la ley es de gran utilidad para la resoluci�on de muchos problemas
pr�acticos en los que el movimiento de las espiras suele ser muy lento con respecto a lavelocidad de la luz�
��� Corriente de desplazamiento en el vac��o
Hemos completado las ecuaciones de Maxwell� salvo la correspondiente a la ley deAmp!ere� en la que s�olo aparece como fuente la densidad de corriente de carga �j
r� �B � �� �� ��� �
Esta ecuaci�on no tiene validez general� Si tenemos en cuenta que r �r��a � � y que
r ��j � ��t
������
�La super�cie �S�t coincide con S�t� pero su normal tiene sentido opuesto a la de esta �ultima� yaque debe estar orientada hacia afuera del volumen en cuesti�on�
��
�aplicando la divergencia a ambos miembros de �� � se tiene que
r � �r� �B�� � ���r ��j �� �Pero la divergencia de la densidad de corriente solo es nula cuando �estas son esta�
cionarias� Es evidente que� para que el segundo miembro sea tambi�en solenoidal� habr�aque a�nadirle� mediante postulado� un t�ermino corrector con las mismas dimensiones�Aunque Maxwell introdujo dicho t�ermino como consecuencia de postulados previos so�bre las propiedades mec�anicas del Ether� aqu�� lo introduciremos de forma m�as directa�Si bien �j no es solenoidal� teniendo en cuenta que
r � �E � �
��
podemos escribir ���� de la forma�
r ���j � ��
�E
t
�� �
es decir� si a�nadimos a �j el t�ermino �jD� � �� �E
t� que llamaremos Corriente de des�
plazamiento del vac��o� obtenemos una corriente total� �j � �j � �jD� � que siempre ser�aestacionaria� r ��jT � ��Aunque esta no es la �unica forma de obtener los resultados que buscamos� postulamos
como fuentes de �B� en el vac��o�
r� �B � ��
��j � ��
�E
t
�Esta corriente de desplazamiento completa el acoplo entre el campo el�ectrico y el
campo magn�etico e implica la existencia de ondas electromagn�eticas que se propaganen el vac��o�
��� Potenciales del campo electromagn�etico
Una vez que se ha completado la b�usqueda de las fuentes del campo electromagn�etico�analizaremos las relaciones generales entre este �ultimo y sus potenciales �Levich�I��Por lo pronto� hemos visto que� en general� el campo magn�etico es solenoidal y el
el�ectrico no conservativo� Seg�un el terorema de Helmholtz� el campo magn�etico� por sersolenoidal� puede derivarse de un potencial vector
r � �B � � �B � r� �A�A es el Potencial magn�etico vector�Por otra parte
r��E � ��B
t r�
��E �
�A
t
�� � �E �
�A
t� �rV
��
lo que quiere decir que� si bien �E no es conservativo� s�� lo es �E � �A
t� V es el Potencial
el�ectrico escalar� Las relaciones entre los potenciales y los campo son� pues�
�E � �rV � �A
t������
�B � r� �A ������
Como consecuencia de lo anterior� el campo EM puede derivarse� a trav�es de estasecuaciones� de un potencial escalar V y uno vectorial �A� No es necesario utilizar unpotencial vector independiente para �E porque �E y �B est�an acoplados y constituyen enesencia un solo campo�
Ahora s�� disponemos de un criterio para descomponer signi�cativamente al campoel�ectrico en una componente conservativa y otra rotacional
�E � �EE � �EM tales que� �EE � �rV y �EM � ��A
t
�E es un campo conservativo de tipo electrost�atico y �EM es un campo no conservativoasociado a la existencia de campos magn�eticos variables�
Ya hemos apuntado que� dado que �E y �B se deducen de los potenciales a trav�es deoperaciones diferenciales� existe un cierto grado de indeterminaci�on en estos �ultimos�Para calcular �B� son equivalentes todos los potenciales �A � tales que �A � �A ��r ��r� t��porque r��rf� � � y� por lo tanto� r� �A � r� �A �� Es f�acil comprobar que� si susti�
tuimos V por V �� tal que V � V � � ��r� t�
t� tambi�en �E permanece invariante� Las
transformaciones de �A y V en �A � y V � se llaman Transformaciones de contraste oGauge
�A � �A � �r ��r� t�
V � V � � ��r� t�
t
������
Estas transformaci�ones permiten imponer a los potenciales condiciones restrictivas�Condiciones de contraste� compatibles con las mismas� que facilitan el tratamiento dealgunos problemas importantes como el de la propagaci�on de los potenciales�
Podemos demostrar que condiciones de constraste del tipo
r � �A � � Contraste de Coulomb
r � �A� ����V
t� � Contraste de Lorenz para el vac��o
�����
son compatibles con las transformaciones de contraste�
Esto quiere decir� por ejemplo� que� si los potenciales �A y V no cumplen el contrastede Lorenz� es posible encontrar unos nuevos �A � y V � que s�� lo satisfagan�
��
Sea
r � �A� ����V
t� ���r� t� �� �
Haciendo uso de las transformaciones de contraste� se obtiene
r � �A � � ����V �
t� ��r� � ����
�
t�
por lo que basta con buscar una funci�on ��r� t� que sea soluci�on de la ecuaci�on deD"Alembert
r� � �����
t�� �
lo cual siempre es posible� como se ver�a al estudiar la soluci�on de la ecuaci�on de onda�
��� Ecuaciones de Maxwell en el vac��o
Las ecuaciones de Maxwell ligan a los campos con sus fuentes escalares y vectoriales�
r � �E � �
��������
r� �E � ��B
t������
r � �B � � ������
r� �B � ��
��j � ��
�E
t
�������
Como ya hemos visto� de ���� y ���� se deduce la ecuaci�on de continuidad
r ��j � �
t� �
En resumen� sin tener en cuenta a las constantes de proporcionalidad� el campoel�ectrico tiene por fuentes escalares a las densidades de carga y por fuentes vectoriales alas variaciones temporales del campo magn�etico� El campo magn�etico carece de fuentesescalares y tiene por fuentes vectoriales a la densidad de corriente de carga y a la dedesplazamiento del vac��o� Para distiguirlas de las dem�as� llamaremos Fuentes primarias
a � y ���
Como se vi�o en su momento
h f
i �
hfi � � � x� y� z� t
por lo que en estas ecuaciones �E� �B� � y �� pueden intrepretarse como magnitudesmicrosc�opicas o macrosc�opicas� seg�un convenga� M�as adelante emplearemos la mismanotaci�on � y �� para designar a otro tipo de cargas y corrientes macrosc�opicas� las de� conducci�on��
��
La resoluci�on de las ecuaciones de Maxwell nos permite calcular las fuerzas sobrelas cargas haciendo uso de la ley de Lorentz�
d�F
dv� � �E ��j � �B
Si bi�en en este tomo la utilizaremos tambi�en en el caso macrosc�opico� la extensi�ona este caso no es general y requiere un an�alisis que queda fuera de nuestros objetivos�Para m�as detalles� v�ease la bibliograf��a� por ejemplo� el Jackson�
�� Problemas
���� Un generador simple de corriente alterna puede estar constituido por un carrete
plano de N espiras rectangulares� de lados a y b� que gira con velocidad angularconstante � alrededor de un eje contenido en el plano del carrete� perpendicular
a los lados a y centrado sobre ellos� en presencia de un campo magn�etico B�
uniforme y perpendicular al eje de giro� Se pide�
a� Hallar la fuerza electromotriz inducida en el carrete�
b� Averiguar si el resultado anterior puede justicarse haciendo uso de la ley de
fuerza de Lorentz�
c� Determinar en que forma se perturba el resultado obtenido en el apartado
anterior si la perpendicularidad entre el campo magn�etico y el eje de giro no
es perfecta al existir un peque�no error angular ��
���� Una espira rectangular tiene dimensiones a � b y es coplanaria con un hilo rec�
to e indenido� recorrido por una intensidad I� que se encuentra inicialmente a
una distancia x� del lado de longitud a� A partir de t � �� la espira se desplaza
en el plano con una velocidad constante v� alej�andose del hilo� Hallar la fuerza
electromotriz inducida por el hilo sobre la espira�
���� Supuesta una componente vertical del campo magn�etico terrestre de �� � gauss�hallar la fuerza electromotriz inducida sobre las ruedas de un tren que circula a
��� km�hora por una v��a de �� �m de ancho�
���� La rueda de Barlow es una rueda conductora que gira alrededor de su eje en
presencia de un campo magn�etico constante� uniforme y paralelo a dicho eje� Si�
mediante dos contactos deslizantes� tocamos en el centro y el borde de la rueda
con un dispositivo para medir fuerzas electromotrices� un volt��metro� � cu�al ser�ala medida obtenida por el mismo�
���� Hallar la corriente de desplazamiento I� que circula entre las placas de un conden�
sador cil��ndrico� de radio interior a y exterior b� al que se le aplica una diferenciade potencial v�t� � V� sen�t� Comprobar que la corriente de conducci�on sumi�
nistrada por los cables de conexi�on es igual a I��
���� Demostrar que si los potenciales �A y V no cumplen el contraste de Coulomb�siempre es posible encontrar otros �A � y V � que si lo cumplan�
�
���� En la teor��a de la Relatividad Especial un punto del Universo espacio�temporal
puede ser descrito mediante el vector de posici�on tetradimensional
�s� �x� y� z� j c t�
los potenciales electromagn�eticos mediante un solo potencial vector tetradimen�
sional �A� �Ax� Ay� Az� j c V �
y la densidad de corriente� junto con la densidad de carga� por el vector
�j� �jx� jy� jz � j c ��
donde j es la unidad imaginaria� c la velocidad de la luz y c t � c� t la coordenada
temporal un tratamiento distinto puede encontrarse en el segundo tomo��
Demostrar que�
a� El campo electromagn�etico� en forma tensorial� se obtiene a partir del poten�
cial mediante el rotacional tetradimensional
�F�� � ROT ��A� de otra forma� F� �
A�
x� A
x�� � x� x� � x� y� z� ct
b� Las ecuaciones de Maxwell pueden ser escritas de la forma Se hace uso del
convenio de ��ndices repetidos�
DIV �F�� � ���j �
F� x
� �� j�
��
Cap��tulo �
Consecuencias de las Ecuaciones
de Maxwell
Este �ultimo cap��tulo se dedicar�a al an�alisis de las consecuencias fundamentales delas ecuaciones del campo EM � Se comenzar�a ampliando el principio de conservaci�onde la energ��a para incluir t�erminos que� en el balance energ�etico� representen alos propios campos� Asimismo� estudiaremos la propagaci�on de ondas planas comomanifestaci�on m�as simple del transporte radiativo de energ��a y la emisi�on de ra�diaci�on por una carga puntual lenta como ejemplo primario de emisi�on de radiaci�on�Panofsky y Phillips� Reitz et al�� G�omez��
��� Energ��a electromagn�etica� Vector de Poynting
Consideremos que en una determinada regi�on del espacio coexisten cargas de distintostipos� con densidades �i y velocidades de arrastre �vi y que sobre ellas act�ua un campoelectromagn�etico� Queremos realizar un balance energ�etico entre las cargas y los campos�
Sobre la especie i act�ua una fuerza por unidad de volumen
d�Fcidv
� �i� �E � �vi � �B�
de donde se deduce que el campo electromagn�etico realiza un trabajo sobre las cargas�por unidad de volumen y unidad de tiempo� igual a
d�Wci
dvdt� �i�vi � �E � �ji � �E
Expresi�on en la que� como hemos visto anteriormente� no aparece ning�un t�erminoasociado al campo magn�etico porque la fuerza magn�etica de Lorentz es perpendiculara la velocidad�
Sumando a todas las especies
d�Wc
dvdt� �j � �E
��
��
Esta es� pues� la potencia� positiva o negativa� que el campo electromagn�etico cedea las cargas encerradas en la unidad de volumen y que �estas podr�an emplear de muydiversas formas� como puede ser almacenando energ��a cin�etica� transform�andola en calor�etc�Si queremos seguir disponiendo de un principio de conservaci�on de la energ��a apli�
cable a las interacciones electromagn�eticas� no habr�a m�as remedio que equilibrar estet�ermino mec�anico con otros de tipo electromagn�etico�Teniendo en cuenta que
�j ��
��r� �B � ��
�E
t �j � �E � �
���r � �B� � �E � ��
�E
t� �E
Por otra parte
r � ��a ��b� � �b � r � �a� �a � r ��br � � �E � �B� � �B � r � �E � �E � r � �B
La substituci�on de esta expresi�on en la ecuaci�on anterior y el uso de la ley deinducci�on
r� �E � ��B
t
nos permite expresar el Teorema de Poynting de la forma
d�Wc
dvdt� �j � �E � �r � �P � �em
t����
En esta ecuaci�on se han de�nido los t�erminos
�P � �
���E � �B ����
que denominamos Vector de Poynting y cuyas dimensiones son de energ��a por unidadde super�cie y tiempo� y
�em ��
���E
� ��
���B� � �e � �m ����
cuyas dimensiones corresponden a una densidad de energ��a y que denominaremos Den�sidad de energ��a electromagn�etica�La ecuaci�on ���� ser��a por lo tanto una ecuaci�on de continuidad� o de conservaci�on�
para la energ��a electromagn�etica�Si comparamos esta ecuaci�on con la de continuidad de la carga
r ��j � �
t� �
vemos que ambas son formalmente id�enticas� salvo que en la de la energ��a existe unt�ermino adicional que tiene en cuenta la posibilidad de que la energ��a electromagn�eticase transforme en energ��a mec�anica a raz�on de �j � �E watios por unidad de volumen ytiempo� Dentro de la analog��a entre estas dos ecuaciones� �em representa a la densidadde energ��a electromagn�etica� como � representa a la densidad de carga� y �P a la densidad
��
de �ujo de energ��a en paralelismo con la densidad de �ujo de carga �j� No obstante� lainterpretaci�on literal de �P como densidad de �ujo local� es decir como
��P � �em�vem� � ��j � ��v�
donde �vem ser��a una � velocidad de arrastre de la energ��a� no es rigurosamente v�alida�
Estrictamente� la extensi�on del principio de conservaci�on de la energ��a al caso elec�tromagn�etico implica interpretar la ecuaci�on �� de la siguiente forma�
a� La energ��a que� en forma de trabajo� se le comunica a las cargas que hay en elentorno del punto P � procede del campo electromagn�etico�
b� Esta energ��a puede obtenerse� en primer lugar� haciendo disminuir la energ��a
almacenada en el propio entorno del punto� a trav�es del t�ermino ��emt
� �o� en segundo�
extray�endola del exterior a trav�es del t�ermino �r � �P �En principio� las expresiones �� y �� no son la �unica opci�on para de�nir �P y �em
puesto que� si a�nadimos un vector solenoidal al primero y una constante al segundo� laecuaci�on �� sigue siendo v�alida� Con la opci�on elegida� �em � � en ausencia de camposy �P � � cuando alguno de ellos se anula�Para �jar un poco m�as el signi�cado y la razonabilidad de esta interpretaci�on� expre�
saremos �� en forma integral� Sea un volumen �jo V� El trabajo realizado por unidadde tiempo sobre las cargas contenidas en �el ser�a
dWc
dt�
ZV�j � �E dv � �
ZS�P � d�s� d
dt
ZV�em dv ���
donde� haciendo uso del teorema de la divergencia� se ha pasado a integral super�cialel t�ermino asociado al vector de Poynting�
dWc
dt� ����P�� dWem
dt
������������P� �
ZS�P � d�s
Wem �
ZV�em dv
Luego� la potencia que los campos suministran a las cargas encerradas en V procedeen parte de la raz�on de disminuci�on de la energ��a Wem almacenada en V y� en parte�de los campos externos� en la cantidad determinada por el �ujo ����P� del vector dePoynting hacia el interior de V�Consideremos los siguientes casos particulares�
� Sea un sistema cerrado de campos y cargas�
En principio� los campos asociados a un sistema de cargas se extender�an hastael in�nito� F��sicamente es posible imponer a dichos campos el mismo tipo de condi�ciones impuestas al enunciar el teorema de Helmholtz� suponemos que las fuentes est�ande�nidas en un volumen �nito V�� a distancia �nita del origen de coordenadas� y quelos campos son nulos en el in�nito o bien decrecen a grandes distancias seg�un r���
�
Si integramos sobre una esfera de radio r���
���P� � limr��
ZS
�
���E � �B � d�s � lim
r���
r�� �
por lo que
dWc
dt�
ZV��
�j � �E dv �
ZV��j � �E dv � � d
dt
ZV��
�em dv � �dWem
dt
Luego� al desaparecer el t�ermino de �ujo� se iguala el trabajo realizado por loscampos sobre todas las cargas del Universo con la disminuci�on de la energ��a total Wem
asociada a todos los campos existentes en el mismo�
Es conveniente hacer notar que� aunque la cesi�on de energ��a parece tener lugar enV�� de hecho� dudar��amos poco en calcular cuanta se lleva cada carga en particular� elc�omputo de la energ��a cedida puede extenderse a V � �� es decir� a todos aquellospuntos en los que
�emt
�� �� En este caso lo que se conserva es la suma de las dos
energ��asd
dt�Wc �Wem� � � Wc �Wem � cte
por lo que es lo mismo calcular una u otra de estas energ��as� No conviene olvidar quelas cargas est�an indisolublemente asociadas a un campo del que son singularidades�
� Sea un volumen V �nito y sin carga�
Bajo estas condiciones
����P� � dWem
dt
el �ujo hacia dentro del vector de Poynting induce un aumento de la energ��a almacenada�
� Supongamos que dentro de V hay cargas en movimiento pero que los campos son
est�aticos�
dWem
dt� � dWc
dt� ����P�
Luego� en este caso� la energ��a se comunica a las cargas desde el exterior a V y secontabiliza por medio del �ujo negativo del vector de Poynting�
Es de notar que ���P� es un �ujo a trav�es de una super�cie cerrada y como talinterviene en el balance energ�etico� Esto no nos autoriza a interpretar de forma generalal vector �P como un vector densidad de �ujo� es decir� como el �ujo de energ��a porunidad de super�cie y de tiempo a trav�es de un elemento de super�cie perpendicularal movimiento de la energ��a� Para los campos radiantes� �P s�� jugar�a el papel de vectordensidad de corriente de energ��a� en concordancia con la representaci�on cuanti�cada dela energ��a electromagn�etica en forma de fotones�
��
Podr��amos hacer el mismo tipo de balance para extender el principio de conservaci�onde la cantidad de movimiento a los campos electromagn�eticos� pero� por tratarse de unamagnitud vectorial� el desarrollo es m�as prolijo y se dejar�a para otra ocasi�on� �
Nos contentaremos con apuntar que podemos seguir haciendo uso del principio deconservaci�on de la cantidad de movimiento si asignamos al campo una Densidad de
cantidad de movimiento
�g � d �G
dv��
c��P
donde �G es la cantidad de movimiento contenida en V�La consiguiente ecuaci�on de continuidad es de tipo vectorial por lo que la contabi�
lidad del momento trasvasado a trav�es de la super�cie S hay que realizarla por mediode un tensor � el de esfuerzos de Maxwell� y no de un vector como �P � No abordaremosaqu�� el problema en su forma general� pero� en el p�arrafo �� lo trataremos en relaci�oncon las ondas planas�
��� Energ��a de sistemas de cargas y corrientes estacionarias
Dada la importancia de los campos electrost�atico y magnetost�atico� investigaremos laposibilidad de asociar directamente la energ��a electromagn�etica de estos campos con lascargas y las corrientes que los producen�
En el caso de campos electrost�aticos
We ��
���
ZV��
E� dv � �����
ZV��
�E � rV dv
y� teniendo en cuenta que r � �E � ��y r � �f�a� � fr � �a� �a � rf
�E � rV � r � �V �E�� Vr � �E � r � �V �E�� �V
��
por lo que� substituyendo en la integral y haciendo uso del teorema de la divergenciapara el primer t�ermino
We ��
�
ZV��
�V dv � ����
ZS��
V �E � d�s �z ���
La segunda integral� por razones an�alogas a las aducidas en ocasiones anteriores� seanula en el l��mite r � �� La primera se extiende solamente al volumen V� donde ladensidad de carga es distinta de cero�
We ��
�
ZV��V dv �
ZV��
�e dv ����
De esta forma recobramos la expresi�on ���� de la energ��a potencial�
�V�ease el segundo tomo�
��
Algo parecido podemos hacer con respecto a la energ��a magn�etica�
Wm ��
���
ZV��
B� dv ��
���
ZV��
�B � r � �Adv
��
�
ZV�
�A ��j dv ����
donde� siguiendo un procedimiento an�alogo al anterior� hemos tenido en cuenta que�para corrientes estacionarias r� �B � ���j� hecho uso de la expresi�on
r � � �A � �B� � �B � r � �A� �A � r � �B �B � r � �A � r� �A � �B� � �� �A ��j
y� tras aplicar el teorema de la divergencia� hemos anulado en el l��mite la integral desuper�cie� V� es en este caso el volumen en el cual la densidad de corriente es distintade cero�Un caso de gran inter�es es el de las espiras� bast�andonos para obtener la expresi�on
correspondiente con substituir� como en ocasiones anteriores� �j dv por Id�l� Luego
Wm ��
�I
ZL�
�A � d�l � ��I� ����
Para escribir la segunda igualdad hemos hecho uso de ����� seg�un la cual la cir�culaci�on del potencial vector a lo largo de una espira es igual al �ujo cortado por lamisma�Vemos� pues� que es posible calcular la energ��a electromagn�etica asociada a los cam�
pos de dos formas alternativas� en la primera� integrando una densidad de energ��a sobretodo el volumen a donde se extienden dichos campos y� en la segunda� integrando sobreel volumen de las fuentes�
��� Ecuaciones de onda para los campos y los potenciales
Veremos en esta secci�on que los campos y los potenciales cumplen ecuaciones de onda�Parte de las soluciones de estas ecuaciones tienen caracter de onda viajera� es decir�implican la propagaci�on de los campos y las magnitudes asociadas a ellos� como laenerg��a y la cantidad de movimiento� con una velocida �nita� la velocidad de la luzc � � � ��� ms��� que es una constante universal �� Este hecho� no concorde con elprincipio de relatividad de Galileo� ser�a el punto de partida de la teor��a de la Relatividadde Einstein�En el caso de los campos� nos limitaremos a demostrar que� incluso en ausencia de
fuentes primarias � y ��� existe la posibilidad de establecer campos automantenidos yque �estos tienen la estructura de las ondas� En el de los potenciales� se tendr�a en cuentala existencia de cargas y corrientes y se comprobar�a que los potenciales lorenzianoscumplen ecuaciones an�alogas a las de los campos�
�En la actualidad� el metro se de�ne en funci�on del segundo y de la velocidad de la luz� El segundose relaciona a una transici�on hiper�na del Cesio ��� y a la velocidad de la luz se le asigna el valor exactoc � �� �������� ��m s�� �
��
Ecuaciones de onda para los campos �En ausencia de cargas y corrientes� las ecuaciones de Maxwell toman la forma
sim�etrica�r � �E � � ����
r� �E � ��B
t�� �
r � �B � � �����
r� �B ��
c� �E
t� c �
�p����
�����
en las que� como �unicas fuentes del campo� aparecen las ��t de los propios campos�
Hallando el rotacional a � �
r� �r� �E� � �
tr� �B
y teniendo en cuenta ��� y �� y que r�r � �a � r�r � �a��r��a
r� �E � �
c�� �E
t�� � �����
r� �B � �
c�� �B
t�� � �����
Cada componente cartesiana de los campos � cumple la Ecuaci�on de D�Alembert�
r��� �
c���
t�� �
Si bien ��� y ��� se deducen de las ecuaciones de Maxwell por un proceso dediferenciaci�on� la inversa no es cierta debido a que en esta diferenciaci�on se ha perdidoinformaci�on sobre los campos� No todas las soluciones de las ecuaciones de onda sonv�alidas por lo que habr�a que comprobar que las soluciones obtenidas son compatiblescon las ecuaciones de Maxwell�
Ecuaciones de onda para los potenciales �Prodediendo de forma an�aloga para los potenciales pero haciendo uso de las ecua�
ciones ���� a ����� se tiene que�
� Partiendo de r� �B � ����� ���� �E
ty expresando a los campos en funci�on de los
potenciales
r�r � �A � ����� ����
t
��rV � �A
t
�� r � �r � �A��r� �A
o� de otra forma�
r� �A� ����� �A
t�� r
�r � �A� ����
V
t
�� ���� ����
��
� Partiendo de r� �E � ��y expresando al campo el�ectrico en funci�on de los potenciales
r�V � �r � �At
� �
�������
Haciendo uso del contraste de Coulomb r � �A � � en �� y ��� se obtienen lasecuaciones de onda para los potenciales culombianos
r�V � � �
�������
r� �A� ����� �A
t�� ����rV
t� ���� �����
El potencial el�ectrico escalar responde a la misma ecuaci�on� la de Poisson� que elelectrost�atico es un potencial de � tipo electrost�atico� aunque dependiente del tiempo�La propagaci�on de la onda viene descrita exclusivamente por el potencial magn�eticovector� cuya ecuaci�on de onda es no�homog�enea� Las ecuaciones de onda se caracterizanpor incluir� al menos� derivadas segundas espaciales y temporales�
El uso del contraste de Lorenz r � �A � ����V
t� � nos lleva a las ecuaci�ones de
onda de los potenciales lorenzianos
r�V � �����V
t�� � �
�������
r� �A� ����� �A
t�� ����� ��� �
Luego� como los campos� los potenciales de este tipo responden ecuaciones del tipo
�� � f � � � � r� � �
c��
t������
Vemos� pues� que el potencial el�ectrico escalar no tiene por qu�e cumplir una ecuaci�onde onda pero es evidente que� junto con el potencial vector� debe dar cuenta del car�acterpropagativo de los campos�
��� Propagaci�on de ondas electromagn�eticas planas en el vac��o
En la secci�on anterior vimos c�omo las componentes de los campos cumpl��an en el vac��o laecuaci�on de onda de D"Alembert ���� De entre las posibles soluciones de esta ecuaci�onbuscaremos las que tengan car�acter de onda plana�
Entendemos� en un principio� por Onda plana� una soluci�on de la ecuaci�on de ondaen la que � s�olo depende de una coordenada espacial � que es la distancia de un plano�que llamaremos frente de onda� a otro� paralelo al anterior� que tomamos como origen�v�ease la �gura ��� En un instante determinado� � es constante en todos los puntos deun determinado frente de onda�
�
n
r
O
n
ξ
Figura ���
Como puede verse en la �gura
� � �r � �n � nx x� ny y � nz z �����
donde�n � nx bx� ny by � nz bz � n�x � n�y � n�z � �
es el vector normal al frente de onda o Vector unitario de propagaci�on�Para no introducir nueva notaci�on� sin p�erdida de generalidad� rotemos los ejes
coordenados de forma que
�n bx � � � xr � bx
x� �r � �n
�� �����
La ecuaci�on de onda quedar�a reducida a
���x� t�
x�� �
c����x� t�
t�� � �����
la cual admite soluciones del tipo f�x � ct� y g�x � ct�� donde f y g son funci�onesarbitrarias y derivables� De�niendo u � x� ct
f
x�
df
du�
�f
x��
d�f
du��
f
t� �c df
du�
�f
t�� c�
d�f
du�����
Substituyendo en ��� con�rmamos que f�x � ct� es soluci�on y por el mismo pro�cedimiento comprobamos que g�x� ct� tambi�en lo es�Dado que la ecuaci�on es de segundo orden y que las funciones f�u� y g�w� son
linealmente independientes� la soluci�on general es del tipo
��x� t� � f�x� ct� � g�x� ct� �����
En la �gura �� vemos c�omo la funci�on f se propaga sin deformarse en el sentidopositivo del eje x� mientras que g lo hace en el negativo� con una Velocidad de fase
vf �
�dx
dt
�u�cte
� c �����
��
Efectivamente� para
u � cte du � dx� cdt � �
-t 1) c ( t 2-t 1)
f 1(x- ct ) f 2(x- ct ) g 2( ct )x+g 1( ct )x+g(w)f(u)
x
+c
c
-c
( t 2
Figura ���
Limit�andonos a ondas que viajan en la direcci�on �bx�� � f�x� ct� �����
Ahora bien� no todas las soluciones de la ecuaci�on de onda son f��sicamente v�alidaspuesto que hemos de comprobar si son compatibles con las ecuaciones de Maxwell�
r � �E � � bx � �Ex
� � �����
r� �E � ��B
t bx � �E
x� �
�B
t��� �
r � �B � � bx � �Bx
� � �����
r� �B ��
c� �E
t bx � �B
x��
c� �E
t�����
De la ecuaci�on ��� se deduce que
Ex
x� �
y de ���Ex
t� � Ex � cte
Ex no puede depender ni de x ni de t� Es� pues� una constante trivial que de ahoraen adelante consideraremos nula�
Haciendo uso de �� y ��� llegamos a la misma conclusi�on para Bx� con lo que� siacotamos la de�nici�on de onda plana de forma que se excluyan estas posibles compo�nentes longitudinales y constantes de los campos� �esta tendr�a car�acter Transversal�
��
Por otra parte� haciendo uso de ��� la ecuaci�on �� se reduce a
bx � �E
u� c
�B
u
ecuaci�on que integrada� anulando la constante de integraci�on por las mismas razonesque nos han llevado a eliminar las componentes longitudinales� conduce a la Relaci�onde estructura de una onda plana que se propaga en el sentido ��n � bx
�B ��
c�n � �E �����
n
P
E
B
Figura ���
Esta relaci�on� v�ease la �gura ��� junto con el car�acter transversal de la onda� nos in�dica que los campos �E y �B forman� con la direcci�on de propagaci�on� un triedro rect�anguloa derechas y que la relaci�on entre las amplitudes de los campos es
E�x� t� � cB�x� t� �����
La onda plana� por extenderse hasta el in�nito y transportar� como veremos a con�tinuaci�on� una potencia in�nita� es una idealizaci�on y� por tanto� no es f��sicamenterealizable� Sin embargo� mediante la superposici�on de ondas planas pueden construirsepaquetes de ondas localizados espacialmente que transportan una cantidad �nita deenerg��a�
El balance energ�etico� en un volumen V� para una onda progresiva en el vac��o� enausencia de cargas y corrientes� es
���P� � �dWem
dt
En nuestro caso� las densidades de energ��a el�ectrica y magn�etica son iguales� comopuede comprobarse haciendo uso de la relaci�on ����
�em � �e � �m ��
�
���E
� ��
��B�
�� ��E
� �B�
��
�e � �m
����
��
Multiplicando vectorialmente la expresi�on ��� por�E
��y desarrollando el triple pro�
ducto�P � �
���E � �B �
�
��cE��n �����
donde se ha tenido en cuenta que �n � �E � ��En consecuencia� el vector de Poynting de una onda plana progresiva admite las
expresiones
�P � c��E��n � c � B
�
���n � �em�c � �c � c�n �����
Es decir� el vector de Poynting� en un instante dado� es constante dentro de cadafrente de onda� ya que �E y �B tambi�en lo son� y su direcci�on y sentido coinciden conel de propagaci�on� Aparece adem�as formalmente como un vector densidad de �ujo deenerg��a� donde �c representa la velocidad de arrastre� o transporte� de dicha energ��a� Esf�acil comprobar� integrando sobre un frente de onda� que la energ��a que transporta unaonda plana es in�nita�Aunque no vamos a tratar en su forma general el problema de la conservaci�on de la
cantidad de movimiento� vamos a comprobar que una onda plana es capaz de comunicar�a una carga� cantidad de movimiento en la direcci�on de propagaci�on�La fuerza que una onda plana ejerce sobre una carga q es
�F � q� �E � �v � �B� � q� �E � �� � ��n � �E�� � �� ��v
c
por lo que la fuerza magn�etica es normalmente� para cargas con velocidades no rela�tivistas� muy inferior a la fuerza el�ectrica
j�Fmjj�Fej
� vB
E� � � �
Este peque�no t�ermino de fuerza magn�etica es sin embargo el que posibilita el inter�cambio de momento� en la direcci�on de propagaci�on� entre la onda y la carga�Desarrollando el triple producto
�F � q��� �n � ��� �E � q��� � �E��ncon lo que la componente longitudinal de la fuerza Fn� provocar�a un incremento de lacantidad de movimiento en la direcci�on de propagaci�on
�Fn � q��� � �E� � dpndt
��
c
dW
dt
dondedW
dt� q�v � �E es la potencia que el campo el�ectrico suministra a la carga� Luego�
el momento transferido por el campo a la carga en un intervalo de tiempo arbitrario� enla direcci�on de propagaci�on� es
�pn ��W
cLo que nos con�rma que la onda� adem�as de transportar energ��a� transporta mo�
mento�
��
��� Potenciales retardados
Consideremos� como se muestra en la �gura �� el problema de determinar cual es elpotencial creado en un punto P por una carga elemental oscilante �q�t� situada en�r ��� Haremos uso de potenciales que cumplan el contraste de Lorenz� Con este objetose hallar�a en primer lugar una soluci�on de tipo general para el potencial� pero con lasimetr��a propia del problema� y se buscar�an las soluciones compatibles con la existenciade la carga puntual dependiente del tiempo y con el principio de causalidad� Aqu�� setratar�a el tema de la forma m�as simple posible� dejando para el tomo II un tratamientom�as amplio�
Para puntos de observaci�on que no coincidan con la posici�on de la carga � R �� ��
q(t) R
r
y
x
z P
0
Δ
r ’
Figura ��
r�RV � ����
�V
t�� �
donde rR opera sobre las componentes de �R
Dado que el problema es sim�etrico alrededor de la posici�on de �q�t�� existir�an solu�ciones del mismo con dicha simetr��a
V � V �R� para R �� � � r�RV �
�
R
�
R��RV �
por lo que� de�niendo una nueva funci�on � � RV �
��
R�� ����
��
t�� �
cuya soluci�on general ya se ha encontrado en la secci�on anterior y puede escribirse dela forma
� � fR�t� R
c
�� fA
�t� R
c
�V �r� t� �
�
RfR
�t� R
c
���
RfA
�t�
R
c
�� VR�r� t� � VA�r� t�
�
VR recibe el nombre de Potencial retardado y VA el de Potencial adelantado� Si nosquedamos con el t�ermino retardado
VR ��
RfR �t� ��R�� � � �
R
c
En particular� si la tasa de variaci�on temporal es �nita
limR��
fR �t� �� � fR�t�
Es decir� la soluci�on para puntos cercanos a la carga es independiente del retraso� Porotra parte� sabemos que la soluci�on correspondiente a cargas est�aticas� es
V ��q
���R
siendo el caso est�atico una idealizaci�on de otro real en el que dichas cargas varian muylentamente con el tiempo� En este �ultimo caso� admitiremos que
V �t� � �q�t�
���R
Obviamente� debemos considerar a este potencial como un caso particular del re�tardado cuando la variaci�on es muy lenta y el retraso despreciable� Teniendo en cuentaque t � �t� ������ la soluci�on general buscada debe tener la forma
VR �t� �� ��q �t� ��
���R
El potencial en ��r� t� es el que crean las cargas que hab��a en �r �� un tiempo � �Rc
anterior a t� Es decir� el tiempo que tarda la luz en llegar desde el elemento de cargahasta P �De la misma forma obtendr��amos un potencial adelantado VA� que estar��a relaciona�
do con las cargas que existir��an en un instante del futuro� � posterior a t� Aunque el temamerece una discusi�on m�as precisa� diremos� en general� que la aceptaci�on del principiode causalidad nos permite prescindir de los potenciales adelantados �Para una distribuci�on de carga continua� los potenciales retardados ser�an
VR��r� t� ��
���
ZV ����r �� t� R
c
�R
dv� �����
y� de forma similar�
�AR��r� t� ����
ZV �
�j��r �� t� R
c
�R
dv� �����
Haciendo uso de la notaci�on para potenciales retardados ���r �� t� R
c
� � � ���r � ��VR��r� t� �
�
���
ZV �� � �
Rdv� ��� �
�AR��r� t� ����
ZV ���j �
Rdv� ����
�V�ease el tratamiento que se le da en el segundo tomo a este problema�
��
��� Relaci�on de las ondas electromagn�eticas con sus
fuentes� Emisi�on de radiaci�on
Queremos� por �ultimo� poner de mani�esto el proceso b�asico por el cual las cargas enmovimiento pueden dar lugar al fen�omeno de radiaci�on neta de energ��a� Por ahora noscontentaremos con un an�alisis simpli�cado del problema�
r
y
x
z
v (t)
P
0r
q
V’
R
Figura ���
Consideremos a una carga puntual q� �gura ��� que se mueve en las cercan��as delorigen de coordenadas con velocidad �v�t�� Esta carga en movimiento equivale a unadensidad de corriente
�j��r �� t� � q ���r � � �r��t���v�t�
de forma que el potencial vector retardado producido en �r ser�a
�A��r� t� ����
ZV �
�j��r �� t� R
c
�R
dv� ��oq
�
ZV ��v�t� R
c
�R
�
��r � � �r�
�t� R
c
��dv�
En general� esta integral requiere m�as elaboraci�on porque �r� es funci�on de R �j�r � �r �j� donde las componentes de �r � son las variables de integraci�on� y no es posiblela aplicaci�on directa del teorema integral de Dirac� No obstante� puede ser resuelta singrandes di�cultades si suponemos que la part��cula se aleja poco del origen durante eltiempo que la luz tarda en llegar desde la carga al punto P y que P es un punto alejadodel origen� tal que r � r�� Luego
v � rc� r � r� r� � � � y R � r
y
�A��r� t� � �o q
�
�v�t� r
c
�r
ZV ��h�r � � �r�
�t� r
c
�idv� �z �
��
�V�ease el segundo tomo�
��
donde la integral es igual a la unidad porque �r� est�a contenico en V �� En de�nitiva
�A��r� t� ��� q
�
�
r�v�t� r
c
�A partir de aqu�� podemos deducir el campo magn�etico de radiaci�on
�B � r� �A ���q
�
��������
rr� �v
�t� r
c
��r
��
r
� �z ���
��v�t� r
c
������Desechamos el t�ermino en que aparece r
��
r
�� porque al ser � r�� ser�a despreciable
frente al primero para r � �� Adem�as� como veremos� el fen�omeno de radiaci�on est�aasociado a campos con dependencia radial r���De acuerdo con esto� llamaremos campo magn�etico de radiaci�on a
�BR ��oq
�
�
rr� �v
�t� r
c
�Para calcular el rotacional haremos uso de la identidad
r� �a�u� � ru � d�a
dur� �v
�t� r
c
���
c
�v�t� r
c
�� �r
�BR��r� t� ���q
�c
�
r�a�t� r
c
�� br � ��q
�c
�
ra�t� r
c
�sen � b ����
donde �a�t � rc � �
�v �t � r
c � es la aceleraci�on de la part��cula� evaluada en un instanteretardado � � t� r
c y se ha supuesto que la part��cula se acelera en la direcci�on z� Vemospues que el fen�omeno radiativo aparece asociado a la aceleraci�on de las cargas�
Es interesante hacer notar que la aplicaci�on del rotacional al potencial vector� esdecir� la diferenciaci�on espacial del mismo en el punto de campo� se traduce en unadiferenciaci�on temporal en el punto de fuentes� como se ilustra en la �gura ���
=τ+Δτ
τ =t-r/c
τ ’ Δ r
Δ rt
x
z
y
|
r
r+
P
P’
=t- | r + /c
Δ r
Figura ���
��
La diferenciaci�on espacial en el punto de campo P � implica comparar el potencialen ese punto� en un instante t� con el potencial existente en un punto pr�oximo P � en esemismo instante� La comparaci�on de �A��r� t� y �A��r ���r� t� implica la comparaci�on en elpunto de origen de �v��� y �v�� �����De aqu�� se deduce la necesidad de imponer la condici�on � � �� ya que� en caso
contrario� cuando la luz ha recorrido ��r la part��cula habr�a recorrido una distanciasimilar�
x
oo
r
a
B
E
y
r
r
P
ϕ
z
θ
^
Figura ���
Aunque de forma m�as laboriosa� podr��amos calcular �ER� a partir de los potencialesescalar y vector� despreciando los t�erminos cuya dependencia radial sea superior a r���Sin embargo� puede suponerse que los campos de radiaci�on cumplen� aproximadamente�la misma relaci�on de estructura que las ondas planas�
�ER��r� t� ���q
�
�
r
h�a�t� r
c
�� bri � br � ��q
�
�
ra�t� r
c
�sen � b� ����
Esta suposici�on� que puede ser comprobada haciendo el c�alculo apuntado� es adem�asrazonable puesto que� para r � �� un observador podr�a asimilar� en el entorno de �r�a la super�cie esf�erica del frente de onda con su plano tangente y ver�a a �BR como uncampo de onda plana � �gura ����El vector de Poynting ser�a� pues� como en el caso de ondas planas
�P � cB�
��br � ��q
�
����c
�
r�a� sen�� br � � �P �r ����
El vector Poynting es el �ujo de potencia a trav�es de la unidad de super�cie� Unamagnitud equivalente es la Intensidad de radiaci�on I�r� t� �� � que se de�ne como lapotencia radiada por unidad de �angulo s�olido� Considerando la super�cie esf�erica deradio r� su super�cie es � r� mientras que el �angulo s�olido que subtiende es �� luego
I � P r� ���q
�
����ca� sen�� ���
Puesto que �P es paralelo y tiene el mismo sentido que br� representa en todo casoun �ujo neto de energ��a que abandona a la carga que radia� La potencia radiada es
��
-1 -0.5 0.5 1
-0.4
-0.2
0.2
0.4
θ
x
zE/E
I/Imax
max
x
z
y
(a) (b)
Figura ���
pues proporcional al cuadrado de la aceleraci�on y depende marcadamente de �� En la�gura ���a se representa el diagrama polar de radiaci�on para j�P��Pmaxj � I�Imax yj �B� �Bmaxj � j �E��Emaxj� en funci�on de � y � para un punto a distancia arbitraria r delorigen� En la �gura ���b se representa una secci�on del mismo diagrama en un plano � cte�
Vemos de esta forma que las cargas pierden energ��a en el proceso de radiaci�on� Sellama Potencia de radiaci�on a la potencia total radiada por la part��cula
P �
ZS�P � d�s �
Z �
���
Z ��
���
�P r� sen� d�d ��� q
�
��ca� ����
expresi�on que debemos escribir en detalle
P ��r� t� ��o q
�
��ca��t� r
c
�����
y que nos dice que la potencia que� en el instante t� atraviesa una super�cie esf�ericade radio r� depende exclusivamente del valor de la aceleraci�on en el instante retardado� � t � r�c� Esto quiere decir que toda la potencia emitida por la carga en � llega ala super�cie en el instante t� con velocidad �c � cbr� Los campos con dependencia radialsuperior a r�� no pueden dar lugar a radiaci�on porque para ellos el vector de Poyntingdecaer��a con la distancia m�as r�apidamente que r��� lo que� como es f�acil comprobar�implica que la energ��a asociada a estos campos no puede ser transmitida a distanciasarbitrariamente grandes de la carga radiante�
�� Problemas
���� Dos cargas puntuales� de igual magnitud y signo opuesto� est�an unidas por un
conductor de longitud d por el que circula una corriente tal que q � q� ej �t�
Hallar los potenciales retardados bajo las condiciones r �� d� d �� cT � dondeT � ��
� �
�
���� Una espira circular� de radio a� esta recorrida por una intensidad i�t� � I� ej �t�
Hallar el potencial vector retardado bajo las condiciones R�a� a�cT�
���� Sea una l��nea coaxial� gura ��� compuesta por dos conductores cil��ndricos� huecos�
de radios respectivos a y b y longitud L �� a� b� Se supone que la geometr��a de loscilindros es tal que� al conectarlos como se indica en la gura� la ca��da de potencial
a lo largo de cada uno de los cilindros es la misma y por ellos circula una intensidad
I� Despreciando los efectos de bordes� calcular la energ��a almacenada en la l��nea
y el �ujo de vector de Poynting a trav�es de las distintas supercies signicativas�
Discutir los resultados�
I
I+
-V
2a 2b
L>>a,b
Figura � �
���� Una onda electromagn�etica plana que se propaga en el vac��o� en la direcci�on z�tiene el campo el�ectrico dirigido en la direcci�on x y su valor en z � � es E �E�
�e��t � e�t
�para t � � y E � � para t � �� donde E��� ����V�m
�� �Hallar�
para cualquier z � ��
a� El campo electromagn�etico�
b� El vector de Poynting�
c� La energ��a total que atraviesa un casquete hemisf�erico de radio a � �m cuyo
eje es paralelo al z�
���� Demostrar que los siguientes campos el�ectricos pueden corresponder a ondas elec�
tromagn�eticas planas en el vac��o� que se propagan seg�un el eje z� y calcular los
campos magn�eticos asociados j es la unidad imaginaria��
a��E � E� e
�j � z�c e j � t bx b�
�E � E� cos ��z
c� cos �� t� by
Equip�arese cada una de �estas ondas con las que pueden darse en un hilo
tenso�
���� Demostrar que la onda plana �E � E� cos k�z � ct� bx puede ser descrita con soloun potencial vector que� adem�as� cumpla la condici�on de Culomb�
��
���� Sean dos cargas� �q y �q� situadas en d� bz y �d
� bz respectivamente� d � d� cos � t�Hallar�
a� Campos de radiaci�on�
b� Potencia radiada� Sup�ongase r �� d� d �� cT �
���� Hallar la potencia que radiar��a un electr�on cl�asico girando alrededor de un n�ucleo
de hidr�ogeno� en una �orbita de radio a y con velocidad angular uniforme ��
���� Hallar la energ��a total radiada en la colisi�on frontal de dos part��culas cargadas de
distinto signo�
Parte II
Multipolos
��
��
Introducci�on
A lo largo de la parte I se ha expuesto el cuerpo b�asico de la teor��a del campo electro�magn�etico en el vac��o� Los sistemas de cargas han sido descritos� dentro de este contexto�bien sea por la enumeraci�on de las cargas puntuales que lo componen y sus velocidades�o bien por la de�nici�on de las funciones densidad apropiadas� Este planteamiento funda�mental del problema es su�ciente� en principio� para tratar la interacci�on entre sistemasde cargas arbitrarios� Sin embargo� muchos sistemas de carga naturales y arti�cialespresentan una estructura cuya descripci�on requiere la introducci�on de conceptos auxil�iares�En esta parte trataremos de la caracterizaci�on multipolar de las distribuciones de
cargas est�aticas y de corrientes estacionarias�En general� el c�alculo de los campos creados por una distribuci�on localizada de
cargas� o corrientes� s�olo es factible con el auxilio de m�etodos num�ericos� siendo posiblela obtenci�on de soluciones anal��ticas �unicamente en casos en los que la simetr��a de lamisma es elevada� No obstante� vista desde lejos� dicha distribuci�on crea campos �C quepueden descomponerse en suma de contribuciones multipolares �C�n de la forma
�C � �Cm � �Cd � �Cc � � � �� �C�n � � � �
donde cada uno de estos �C�n t�erminos � �n polares� tiene expresi�on anal��tica en funci�on
de una serie de par�ametros� que llamaremos Momentos multipolares� y de la posici�onrelativa �r del punto de observaci�on con respecto a un punto origen que se toma co�mo centro de la distribuci�on� El campo asociado a �C�n decrece gen�ericamente con ladistancia seg�un la ley r��n����El t�ermino �Cm� correspondiente a n � �� es la contribuci�on monopolar� Veremos que
el momento monopolar el�ectrico coincide con la carga neta de una distribuci�on �� �Cd es lacontribuci�on dipolar� La materia neutra� gases� l��quidos y s�olidos� se comporta con granprecisi�on� desde el punto de vista el�ectrico� como si se tratara de una distribuci�on dedipolos� Desde el punto de vista magn�etico hay que tener en cuenta que la inexistenciade monopolos magn�eticos coloca en primer plano al dipolo magn�etico� part��culas elemen�tales� como el electr�on� en virtud de su momento angular o esp��n� poseen un momentodipolar magn�etico intr��nseco� Aunque los momentos de orden superior tienen menosincidencia pr�actica� tambi�en son importantes� As��� pues� en la interacci�on nucle�onicainterviene de forma signi�cativa el momento cuadrupolar� las estructuras radiantes cor�respondientes a multipolos oscilantes son de gran inter�es� etc�En la parte III� dedicada al tratamiento fenomenol�ogico de la materia� veremos
c�omo� efectivamente� los materiales diel�ectricos y magn�eticos se estudian de forma ade�cuada en funci�on de una densidades de momento dipolar el�ectrico �P y magn�etico �M �respectivamente�
�Ya se ha rese�nado en la primera parte que� desde el punto de vista cl�asico� no es necesario tener encuenta la existencia de monopolos magn�eticos�
�
Cap��tulo �
Campos Multipolares est�aticos
�� Expansi�on multipolar de una distribuci�on est�atica de
cargas
Supongamos �Lorrain y Corson� Reitz et al�� Jackson� Landau y Lifchitz FT� que� comose indica en la �gura ���� se requiere calcular el campo que una distribuci�on acotadade carga ���r ��� encerrada en un volumen V � �nito y a distancia �nita del origen decoordenadas� produce en un punto externo a la distribuci�on�
x
z
y
r ’
R
maxr ’
ρ (r ’)
O
dv’
r
P
V’
Figura ����
Hemos elegido el origen de coordenadas O de forma que r � r�max� siendo r�max la
m�axima distancia de la distribuci�on V � al origen� El c�alculo riguroso del potencial nosllevar��a a resolver la integral
V ��r� ��
���
ZV ����r ��R
dv� �����
La expansi�on multipolar del potencial electrost�atico� v�alida para puntos tales quer � r�max� se obtiene desarrollando alrededor del origen� �r
� � �� la funci�on
�
R�
�
j�r � �r �j
��
��
Aunque esta expansi�on encuentra su expresi�on m�as cerrada en funci�on de losarm�onicos esf�ericos� desarrollaremos R�� en cartesianas si bien los t�erminos multi�polares de orden superior al cuadrupolar son engorrosos de tratar en este sistema coor�denado� los tres primeros t�erminos� que son los m�as importantes� se estudian f�acilmenteen el mismo�
�
R�
�Xi��
�xi � x�i��
�� ��
��
r �z��A�
���r � � r���
�
R���
� �z �
�B�
��
�#��r � � r���
��
R���
� �z �
�C�
� � � � �����
donder � R��� � �R��r ����
��r � � r���
�
R���
��
Xi��
x�i
�
x�i
��
R
���r ���
�
��r � � r����
�
R���
��Xi
Xj
x�ix�j
��
x�ix�j
��
R
���r ���
Este desarrollo permite expresar al potencial como suma de una serie de potencialesmultipolares
V ��r� � Vm��r� � Vd��r� � Vc��r� � � � �
Momento monopolar �
Substituyendo el t�ermino �A� de ��� en ���
Vm �Q
���
�
r� Q �
ZV ����r �� dv� �����
Q es la carga neta o momento monopolar de la distribuci�on� El potencial monopolar esequivalente al que crear��a toda la carga del sistema concentrada en el origen�
Momento dipolar �
En �B� aparecen los coe�cientes�
x�i
��
R
���r ���
�
�xi � x�iR
��r ���
�xir
lo que nos permite expresar el Potencial dipolar el�ectrico como
Vd��r� ��
���
�
r��p � br ����
en el que
�p �
ZV ��r ����r �� dv� �����
��
recibe el nombre de Momento dipolar el�ectrico del sistema� Es f�acil demostrar que� siQ � �� el momento dipolar del sistema de cargas es independiente del origen� S�olo eneste caso puede hablarse� pues� del momento dipolar sin hacer referencia al origen�Es de notar que� si bien el potencial monopolar decrece con la distancia seg�un r���
como el potencial de una carga puntual� del dipolar decrece como r���
Momentos cuadrupolares �El potencial cuadrupolar se obtiene introduciendo el tercer t�ermino del desarrollo
de R��
�C� ��
�
Xi
Xj
x�ix�j
��
x�ix�j
��
R
���r ���
en la integral ��� del potencial
Vc ��
����
Xi
Xj
Pij
��
x�ix�j
��
R
���r ���
donde los coe�cientes
Pij �
ZV �x�ix
�j ���r
�� dv�
son los momentos de segundo orden de la densidad de carga de la distribuci�on� Es�tos constituyen una matriz sim�etrica que� como tal� puede ser diagonalizada� lo quepermitir��a expresar a todos los elementos en funci�on de tres de ellos�A continuaci�on buscaremos una expresi�on m�as compacta para el potencial cuadrupo�
lar y demostraremos que� en realidad� s�olo dos de los coe�cientes son independientes�Veamos c�omo puede expresarse �C�� Teniendo en cuenta que� para puntos externos aV �� R �� � �
r� ���
R
���r ���
�Xi
Xj
�ij
��
x�ix�j
��
R
���r ���
� �
podemos restar�
�r� �
�r� �
��
R
���r ���
a �C�� con lo que
�C� ��
�
Xi
Xj
��x�ix�j � �ijr
� ��
��
x�ix�j
��
R
���r ���
y como� a su vez� ��
x�ix�j
��
R
���r ���
��
r���x�ix
�j � �ijr
��
substituyendo en la integral del potencial� obtenemos
Vc ��
���
�
r�
��
���xixj � �ijr
��Qij
������
donde
Qij �
ZV ���x�ix
�j � �ijr
� �����r �� dv� �����
��
recibe el nombre de tensor de momentos cuadrupolares� Es f�acil comprobar queXi
Qii � � � Qxx �Qyy �Qzz � �
Es decir� la suma de los momentos de la diagonal principal es nula� Esto implica que�efectivamente� s�olo dos elementos son independientes�
Puesto que en la expresi�on ��� el t�erminoXi
Xj
�ijr�Qij � r�
Xi
Qii � �
el potencial cuadrupolar puede expresarse de la forma
Vc ��
����
�
r�
Xi
Xj
xixj Qij �����
Si el sistema tiene un eje de simetr��a� por ejemplo el eje z�
Qxx � Qyy � Qzz � ��Qxx � Q
Q ser�a el momento cuadrupolar del sistema y� en coordenadas polares�
Vc �Q
�����r�� cos� � � ��
��� Expansi�on multipolar de la energ��a de interacci�on de un sistemade cargas con un campo externo
Extendiendo los resultados obtenidos en el p�arrafo ���� para cargas puntuales� la energ��ade interacci�on de un sistema de cargas� ���r ��� de�nido en V �� con un campo que derivede un potencial V ��r �� creado por cargas externas a V �� puede escribirse como
W �
ZV ����r ��V ��r �� dv�
Si V ��r �� var��a lentamente dentro de V �� podemos desarrollarlo en serie de Tayloralrededor de un origen situado cerca de la distribuci�on�
V ��r �� � V ��� � �r � � �r�V ��r ��� ��
�#
Xi
Xj
x�ix�j
��
x�ix�j
V
��r ���
� � � �
que� teniendo en cuenta que �E � �rV �
V ��r �� � V ���� �r � � �E���� �
�#
Xi
Xj
x�ix�j
�
x�ix�j
�Ej
x�i
��r ���
�
Dado que �E es externo y� por lo tanto� �r� � �E��r ��� � �� podemos restar�
�r� ��r� � �E��r ���� con lo que
V ��r �� � V ��� � �r � � �E���� ��
Xi
Xj
x�ix�j��x
�ix�j � r� ��ij�
�Ej
x�i
��r ���
� ���
y
W � QV ���� �p � �E � ��
Xi
Xj
Qij
�Ej
x�i
��r ���
� � � � ��� �
Vemos� pues� que la interacci�on de un sistema de cargas con un campo externo�excluyendo la energ��a de interacci�on de las cargas del sistema entre s��� o autoenerg��a�puede descomponerse en sumandos independientes asociados a los sucesivos momentosmultipolares�
W �Wm �Wd �Wc � ���
En particular� la energ��a de interacci�on de un dipolo con un campo externo es
Wd � ��p � �E ������
Esta energ��a est�a asociada al campo el�ectrico y no al potencial�Para el momento cuadrupolar
Wc��r� � ���
Xi
Xj
QijEj
xi
energ��a asociada a la dependencia espacial de las componentes de los campos� De estamanera se da lugar al desdoblamiento de niveles de energ��a nuclear por interacci�on delmomento cuadrupolar del n�ucleo con el campo molecular cristalino�
��� Multipolos puntuales
Los multipolos puntuales de orden �n son distribuciones puntuales de carga que presen�tan momentos multipolares nulos hasta el orden �n��� siendo el �n el primero distinto decero� Aunque pueden tener momentos de orden superior� vistos a distancias r � r�max
producen un potencial con estructura �n$polar�Hemos visto que una carga puntual� como la de la �gura ���� puede ser descrita por
la densidad de carga���r �� � q���r � ��l�
El momento monopolar ser�a pues�
Q � q
ZV ��q
���r � ��l� dv� � q
y el momento dipolar
�p � q
ZV ��q
�r ����r � ��l� dv� � q�l
�
^
x
z
qV’
y
l
Figura ����
que� evidentemente� depende del origen�Los multipolos puntuales de orden �n se obtienen� a partir de los de orden �n���
desplazando el multipolo original a una distancia arbitraria �dn y situando en la posici�onde partida a un multipolo de signo opuesto� v�ease la �gura ���� �
Octupolo
^
x
z
q
l
y
x
z
l
d 1
-q
+q
y
x
z
l
d 1
d 2+q
-q +q
-q
y
x
z
l
d 1
d 2
d 3
-q +q
-q+q
-q +q
-q
Monopolo Dipolo Cuadrupolo
y
Figura ����
Vistos desde lejos� l� dn � r y los multipolos generan un potencial
V�n��r� � lim�dn��
�l��
hV�n����r��l � �dn�� V�n����r��l�
i
V�n��r� � r� �V�n����r� �r ����r ��� � �dnAs�� pues� el momento dipolar del dipolo puntual ser�a
�p � q
Zv���
�r �h���r � � �d� ��l�� ���r � ��l�
idv� � q
h�d� ��l ��l
i� q �d�
momento que� por corresponder a una distribuci�on neutra� es independiente del origen�
�V�ease Panofsky Classical Electricity and Magnetism�
�
Dada la importancia del dipolo� es conveniente detenernos en su estudio� A partirdel potencial �� podemos hallar el campo que produce
�Ed��r� � �rVd � �
���
�
r����p � br� br � �p � ������
que� como ya hab��amos anunciado� decrece globalmente con la distancia seg�un r� yno� como en el monopolo� seg�un r���Si elegimos el eje z en la direcci�on del dipolo� �p � p bz� y escribimos la expresi�on del
campo y del potencial en coordenadas esf�ericas�
Vd��r� �p
���
cos �
r�������
�Ed �p
���r
h� cos � br � sen � b�i ������
Las super�cies equipotenciales vendr�an dadas por la ecuaci�on
r� � Acos �
y las l��neas de campo por
dr
� cos ��
r d�
sen � dr
r� �
d sen �
sen ����
r � B sen ��
� cte
La �gura �� representa a las l��neas de campo y a las super�cies equipotenciales�
p
E
V=ctez
Figura ���
�
� � � � Energ��a� par y fuerza de un dipolo
La energ��a de interacci�on de un dipolo en un campo externo� seg�un hemos visto� es
Wd � ��p � �E
luego� sus valores extremos ser�an���Wmin � �pE �p �E
Wmax � pE �p � �E
lo que implica que el dipolo tratar�a de alinearse con el campo aplicado�
Razonando sobre dipolos puntuales no es dif��cil comprobar que este alineamiento esinducido por un par
�T � �p � �E �����
Seg�un la �gura ���
E(r )
^
x
z F-
F+d r
r
y
Figura ����
�T �X
�ri � �Fi � �r � ��q �E� � ��r � d�r� � q �E � �p � �E
Cuando el campo con que interacciona el dipolo es el de otro dipolo� la energ��a deinteracci�on ser�a
Wpp ��
���r
��p� � �p� � ���p� � �r���p� � �r�
r�
�������
cuyo m��nimo corresponde a �p� �p�jj�r�Adem�as de este par que tiende a alinear los dipolos con el campo aplicado� �estos
sentir�an una fuerza
�F �X
�Fi � �F� � �F� � q �E��r � d�r�� q �E��r�
Desarrollando Ex alrededor de �r
Fx � qEx��r� � q d�r � �rEx��r��� qEx��r� � �p � rEx
�
por lo que �F podr�a expresarse como
�F �
�px
x� py
y� pz
z
��Exbi�Ey
bj �Ezbk� �
� ��p � r� �E ������
Dado que r� �E � �
�F � r��p � �E� � �r�Wd� ������
�� Densidades dipolares
Por �ultimo� mencionaremos que� de la misma forma que se han de�nido densidades decarga� se de�ne la densidad de momento dipolar el�ectrico �P o Vector de polarizaci�on
el�ectrica� De forma gen�erica
�P �d�p
dv������
A nivel microsc�opico puede de�nirse como �
�P ��r� t� �
NXi��
�pi ���r � �ri�t�� ���� �
donde �pi es el momento dipolar el�ectrico de cada una de las part��culas� Jugar�a un papelfundamental en la descripci�on de los diel�ectricos�
Tambi�en es �util la de�nici�on de densidades super�ciales de momento dipolar� conlas que pueden ser descritas el�ectricamente estructuras tan importantes como las mem�branas celulares�El potencial el�ectrico producido por una distribuci�on de dipolos en un punto� �r�
externo a la misma� es decir en un punto en el que la polarizaci�on �P ��r� es nula� seobtiene por integraci�on
V ��r� ��
���
ZV �
�P ��r �� � �RR
dv�
Esta integral es singular para puntos internos� pero ya hemos visto que la descripci�onde sistemas de cargas por sus momentos multipolares s�olo es v�alida para puntos externos�
Una distribuci�on super�cial de dipolos interesante es la doble capa� constituida pordos distribuciones monopolares super�ciales� muy pr�oximas� con densidades de cargade igual magnitud y distinto signo en cada punto de la super�cie� Se describen ade�cuadamente� como se muestra en la �gura ��� mediante una distribuci�on super�cial demomento dipolar tal que
�Ps �d�p
ds� Ps �n
donde �n es la normal a la super�cie en el sentido de los dipolos�
�M�as adelante se ver�a que � bajo ciertos supuestos� tambi�en puede de�nirse a ambos niveles micro ymacrosc�opico� como una funci�on continua ���r� �
R
rr ’
Ps
Ps
-------
+++++++
xΔ
S’
P
V(x)
x
(a) (b)
-R
Figura ����
Podemos comprobar que al pasar de un lado a otro de la super�cie el potencial es dis�continuo� como se ilustra en la �gura ����a� el potencial producido por una distribuci�ondipolar extensa ser�a
V ��r� ��
���
ZS�Ps
�n � �RR
ds� � � �
���
ZS�Ps���R� � d�s �
R� � �
���
ZSPs d%
donde se ha substituido �R por ���R�� que es el vector que sit�ua a un punto de la super�ciecon respecto al punto P � y se ha hecho uso de la de�nici�on de �angulo s�olido
d% ����R� � d�s �
R
En el l��mite en que P tiende a situarse sobre la super�cie� casi toda la contribuci�onal potencial se deber�a a los dipolos cercanos� por lo que podremos considerar a Ps � cte�Luego
V ��r�R�� � � Ps���
%
donde % es el �angulo s�olido subtendido por la super�cie desde el punto P � por lo que� alpasar desde justamente debajo hasta justamente arriba de la super�cie� el �angulo s�olidosufre una discontinuidad �% � ��� y
�V � Ps���
En la �gura ����b se ilustra este salto de potencial en una doble capa de espesor �x�
�� Desarrollo multipolar de una distribuci�on de corrien
tes estacionarias
Para distribuciones de corrientes estacionarias aplicaremos �Jackson�Panofsky y Phillips� un tratamiento bastante similar al que acabamos de hacer
�
para las distribuciones est�aticas de cargas� No obstante� por ser la estructura del campomagn�etico m�as compleja que la del el�ectrico� detendremos nuestro desarrollo en elt�ermino dipolar�
x
z
y
r ’
R
maxr ’
j (r ’)
O
dv’
r
P
V’
Figura ����
Supondremos que� como se indica en la �gura ���� se desea observar una distribuci�onde corrientes estacionarias
r� ��j � �desde una distancia r � r�max� Para ello introducimos el desarrollo
�
R��
r� ��r � � r��
��
R���
�� � � �
en la integral del potencial vector
�A��r� ����
ZV �
�j��r ��R
dv�
lo que nos llevar�a a la expansi�on multipolar
�A��r� � �Ad � �Ac � � � �en la que falta el t�ermino monopolar porque �este es nulo para corrientes estacionarias�
Ausencia de monopolos �Efectivamente
�Am ����r
ZV ��j��r �� dv�
pero� si
r� ��j��r �� � �ZV ��j dv� � � ������
Para demostrarlo� basta con tener en cuenta que la integral sobre el volumen V � quecontiene a toda la distribuci�on de corrientesZ
V �r� � �x�i�j� dv� �
ZV �x�i r� ��j �z �
��
dv� �ZV ��j � r�x�i dv
� �ZV �ji dv
�
�
Pero� haciendo uso del teorema de la divergencia para el primer miembro de laecuaci�on anterior�Z
V �r� � �x�i�j� dv� �
ZS�x�i�j � d�s � �
ZV �ji dv
� � �
porque� como S � contiene todas las corrientes estacionarias� ��j � d�s�S� � �� De esta formase comprueba ���� y la nulidad del momento monopolar�
Momento dipolar �Para obtener la expresi�on del potencial dipolar� introduciremos el segundo t�ermino
del desarrollo de R�� en la integral� Ya hemos visto que
��r � � r���
�
R���
���r � � �rr
luego
�Ad ����
�
r
ZV ���r � �r ���j dv� ������
expresi�on que� a�un siendo muy compacta� no es la m�as conveniente� Podemos demostrarque
�Ad��r� ����
�m � �rr
� ����
�m �r��
r
�������
donde
�m ��
�
ZV ��r � ��j dv� ������
es el Momento dipolar magn�etico de la distribuci�on�Volviendo a la primera expresi�on del potencial ����
�I �
ZV ���r � �r ���j dv� �
Xi
xi
ZV �x�i�j dv
� �Xi
Xj
xi
�ZV �x�i jj dv
�� bej
Analicemos la integral
Iij �
ZV �x�i jj dv
� ��
�
ZV ���x�i jj � x�j ji� � �x
�i jj � x�j ji�
�dv� �����
No es dif��cil comprobar que� para corrientes estacionarias� el t�ermino sim�etrico seintegra a cero
Is �
ZV ��x�i jj � x�j ji� dv
�
puede ser escrito como
Is �
ZV ��j � r��x�i x
�j� dv
�
y� puesto que r � �f�a� � fr�a� �a � rf �
Is �
ZV �
� r� � �x�i x�j �j�� x�i x�j r� ��j �z ���
!" dv� � �
�
donde se ha anulado el segundo t�ermino dado que r� � �j��r �� � � para corrientes esta�cionarias y el primero se anula al integrarlo sobre la super�cie del tubo de corriente�Queda� pues�
Iij ��
�
ZV ��x�i jj � x�j ji� dv
�
e
�I ��
�
Xi
Xj
xi
�ZV ��x�i jj � x�j ji� dv
�� bej � �
�
�ZV ��r � ��j dv�
�� �r
��� El dipolo magn�etico
El t�ermino dipolar aparece� seg�un hemos visto� como el primero signi�cativo en el de�sarrollo multipolar del potencial externo producido por una distribuci�on de corrientesestacionarias�De la misma forma que la carga puntual nos serv��a en el tema anterior como ar�
quetipo del monopolo el�ectrico a partir del cual� por un simple proceso de diferenciaci�on�se obten��an los arquetipos multipolares� podemos utilizar como representante del dipolomagn�etico a una peque�na espira plana�
r ’’
a
r ’I
Π
O’
O
dl ’
ds ’ds ’
n
Figura ����
En la �gura ��� se representa a una espira plana contenida en el plano & cuyanormal es �n� El sentido de la normal ha sido elegido seg�un la referencia de la circulaci�onde la intensidad I� Si observamos esta espira desde una distancia r � r�max� el potencialresultante ser�a del tipo dipolar y podr�a ser expresado en funci�on del momento dipolar�m
�m ��
�I
I�r � � d�l � �
�
�I
I��a� �r ��� � d�l � �
�
�I�a �
Id�l � �z �
��
��
�I
I�r �� � d�l �
El primer t�ermino se ha anulado porque
Id�l � � �� El segundo� teniendo en cuenta
que�
��r �� � d�l � � ds � �n� toma la forma
�m � I S �n ������
�
expresi�on an�aloga a la del momento dipolar de una dipolo puntual�
Como es f�acil comprender� podemos generar multipolos de orden superior por elmismo mecanismo de diferenciaci�on empleado para los dipolos puntuales� desplazandoel dipolo elemental y colocando en la posici�on original� como se muestra en la �gura �� �al mismo dipolo cambiado de signo�
^
x
z
y
x
z
l
m
-m
Dipolo Cuadrupolo
l
1d
m
y
Figura �� �
En cuanto al campo creado por un dipolo magn�etico� podemos demostrar que tienela misma estructura que el campo dipolar el�ectrico�
Como sabemos
�Bd � r� �Ad � ����r�
��m �r
��
r
��Dado que
r� ��a ��b� � �a�r ��b���b�r � �a� � ��b � r��a� ��a � r��b
tomando �a � �m� �b � r��
r
�y teniendo en cuenta que �m � cte y r�
��
r
�� �
� �r �� ��� podemos escribir
�Bd ������m � r�r
��
r
�Situando al dipolo en el origen y orient�andolo en la direcci�on z
�Bd ����
�
r����m � br� � br � �m� �
��m
�
�
r
�� cos � br � sen � b�� ������
campo que coincide formalmente con �Ed si substituimos �m� �p y �� � �������
� � � � Potencial magn�etico escalar
La analog��a puesta de mani�esto en el p�arrafo anterior nos sugiere la posibilidad dehacer uso de un potencial escalar para el campo producido por distribuciones dipolaresmagn�eticas� An�alogamente al potencial dipolar el�ectrico �� tendr��amos un Potencial
dipolar magn�etico escalar del que derivar��a� mediante la aplicaci�on de gradiente� el campodipolar magn�etico�
Ud��r� ��
�
�
r��m � br� �Bd � ���rUd ������
Este potencial no tiene el car�acter fundamental de la funci�on potencial escalar pre�conizada por el teorema de Helmholtz� puesto que s�olo es v�alido en la zona externa alos dipolos� Diremos que el potencial magn�etico escalar es un pseudopotencial�
As�� pues� en general� el campo magn�etico no es irrotacional
r� �B � ���j �� �
Podemos imaginar� de acuerdo con la �gura ����� una situaci�on en la que todas lasfuentes est�en en un volumen V � y que en V sea �j � ��
z
y
r ’
j (r ’)
Rj ( r )V’
Vr
x
=0
^
Figura �����
en V���r � �B � �
r� �B � �
��B � ���rUd
r� Ud � �
A pesar de las limitaciones impuestas� vemos que el potencial magn�etico escalarpuede ser de gran utilidad para resolver problemas magnetost�aticos� ya que permiteabordarlos con las mismas t�ecnicas utilizadas en electrost�atica�
El car�acter de pseudopotencial lleva consigo la necesidad de tomar precauciones enla elecci�on de volumen V� lo que puede ser puesto en evidencia extendiendo el conceptode potencial magn�etico a espiras �nitas�
Como se indica en la �guras �����a� podemos substituir una espira� recorrida por unaintensidad I� por una distribuci�on super�cial de dipolos magn�eticos� Sea S una super�cieque se apoya sobre la espira L y hagamos una partici�on de la misma en elementos d�sque� si la super�cie es suave� podr�an ser considerados planos� Si asociamos al contorno
���
-R
R
rr ’
dm=I d s
(a) (b)
I
P
sM =I nS
L
S’
Figura �����
de cada elemento de super�cie una espira elemental� recorrida por la corriente I� �estastendr�an un momento dipolar
d�m � I d�s
Puesto que todas las espiras est�an recorridas por la misma corriente� las contribucionesde espiras contiguas se anulan� salvo en el contorno L� por lo que este conjunto de espiraselementales equivale a la espira macrosc�opica L� Podemos� pues� substituirla por unadistribuci�on super�cial de dipolos de densidad�
�Ms �d�m
ds� I �n
Para un punto de observaci�on �r� r � r�max� tendr��amos un potencial escalar
Ud��r� ��
�
ZS
�Ms � bRR�
ds� �I
�
ZS
bR � �nR�
ds�
Substituyendo al vector �R por �R� � ��R� como ya se hizo en la secci�on ������
Ud��r� � � I
�
ZSd% � �I%
�
donde % es el �angulo s�olido con que la espira L se ve desde P �De lo dicho anteriormente se deduce que Ud no es funci�on de punto y� por lo tanto�
dUd � rUd � d�r � ��B
��� d�r
no tiene validez general�As��� pues� aplicando la ley de Amp!ere sobre los caminos que unen a los puntos A y
B de la �gura �����I�a�c�
�B � d�l � �� I �� �Z B
A a�
dUd ��Z B
A b�
dUd
lo que no es de extra�nar� puesto que la expresi�on �B � ���rUd no es v�alida para elcamino �b� ya que �este se introduce en la distribuci�on de dipolos �Velayos��
���
IL
(b)(c)
(a)
B
A
Figura �����
� � � � Relaci�on entre el momento magn�etico y el momento angular
Sabemos que la carga debe tener siempre una cierta inercia� es decir� que debe estarasociada siempre a una masa� Esto implica tambi�en que el momento dipolar debe estarasociado a un momento angular� Trataremos esta cuesti�on de forma simpli�cada�Por de�nici�on� el momento dipolar de una distribuci�on de carga encerrada en un
volumen V es�m �
�
�
ZV ��r � ��j dv� � �
�
ZV ���r � � �u dv�
donde � es la densidad de portadores de carga y �u la velocidad de arrastre�Si� por ejemplo� todas las part��culas son del mismo tipo� con carga q y masa m� las
densidades de carga y de masa ser�an� respectivamente�
� � N q � �M � N m
donde N es la densidad de part��culas�
�m ��
�q
ZV �N�r � � �u dv�
y� para el momento angular�
�L �
ZV ��M �r � � �u dv� � m
ZV �N�r � � �u dv�
lo que permite escribir
�m �q
�m�L
expresi�on que es v�alida� por ejemplo� para el electr�on orbital�Para sistemas de cargas m�as generales� aquellos que est�en compuestos de varias
especies o aquellos en los que se consideren contribuciones de esp��n� escribiremos
�m � ' �L � � ' � gq
�m������
donde ' es la raz�on giromagn�etica y g el factor de Land�e�
���
En general� incluso para un sistema cl�asico� ' tendr�a car�acter tensorial� puesto que �my �L no tienen por qu�e tener la misma direcci�on� Aunque al electr�on orbital le correspondeg � �� de acuerdo con los c�alculos simples que acabamos de realizar� para el momentoangular de esp��n g � ��
� � � � Fuerzas� pares y energ��a potencial de un dipolo magn�etico en campo
externo
y
r ’
maxr ’
z
j (r ’)
V’
x
Figura �����
Trataremos ahora la interacci�on de un dipolo magn�etico estacionario en el seno deun campo externo� es decir� en el seno de un campo cuyas fuentes residen fuera de lazona donde est�an las corrientes que constituyen el dipolo� Supondremos� �gura �����que el dipolo corresponde a un peque�no tubo de corriente estacionaria
r� ��j��r �� � �
cercano al origen� y que interacciona con un campo externo que var��a lentamente dentrode la esfera de radio igual a r�max�
Por ser �B externo� en la zona de inter�es
r� � �B � �
y por ser lentamente variable� cualquiera de sus componentes podr�a desarrollarse alrede�dor del origen
Bx � Bx��� � �r � � �r�Bx��r ��� � � � �lo que nos permite escribir
�B��r� ����
�B� �a�
�B� � ��r� � r�� �B� �b�
���� �
donde r� ser��a un operador que actuar��a s�olo sobre �B� reduciendo despu�es el resultadoal origen� y que� por lo tanto� tomar��a como constantes a las coordenadas �r ��
���
Si nos quedamos con la aproximaci�on ��� �a veremos que el campo externo inter�acciona primariamente con el dipolo ejerciendo un par� Para que el dipolo sienta unafuerza neta ser�a necesario que el segundo t�ermino de la aproximaci�on ��� �b sea distintode cero� Veremos que� tanto de la expresi�on del par como de la de la fuerza� podemosdeducir la energ��a de interacci�on de un dipolo r��gido con un campo externo�
Par �
El par vendr�a dado por
�T �
ZV ��r � � d�F
dv�dv�
que� con la aproximaci�on �B��r �� � �B��
�T �
ZV ��r � �
��j��r �� � �B�
�dv� �
ZV ��j��r �� � �B� dv
� � �B�
ZV ��r � ��j dv� �z ��A���
A continuaci�on comprobaremos que
�A� �
ZV ��r � ��j dv� � �
para corrientes estacionarias� haciendo uso del teorema de la divergencia
I �
ZV �r� � �r� ��j� �z �
�B�
dv� �ZS�r� ��j � d�s � �
puesto que� como hemos visto en secciones anteriores� la componente normal de ladensidad de corriente es nula en S ��Por otra parte� desarrollando �B��
I �
ZV �r� �r� ��j �z �
��
dv� �ZV �r��r� �� ��j dv� � �
ZV ��r � ��j dv� �z ��A�
� �
De acuerdo con �esto
�T �
ZV �� �B� � �r ���j dv�
y� por analog��a con la integral ����
�T � �m � �B ������
��
Fuerza �Para calcular la fuerza
�F �
ZV ��j��r �� � �B��r �� dv�
haremos uso de la aproximaci�on ��� �b
�F �ZV ��j � �B� dv
� �z ���
�
ZV ��j �
h��r � � r�� �B�
idv�
La primera integral es nula para corrientes estacionarias�ZV ��j � �B� dv
� ��Z
V ��j dv�
� �z �
��
� �B� � �
de acuerdo con �����Para la segunda� haremos uso de la expresi�on
r��a ��b� � ��a � r��b� ��b � r��a� �a � �r ��b� ��b � �r� �a�
r���r� � �B�� � ��r
� � r�� �B� � � �B� � r���r� �z �
��
��r � � �r� � �B�� �z ���
� �B� � �r� � �r �� �z ���
donde se han anulado los t�erminos en los que �r � aparece a la derecha del operador r�
y se ha tenido en cuenta que� por ser �B externo� su rotacional es nulo�Por otra parte
r� �f�a� � fr� �a�rf � �a
�j �r���r� � �B�� � ��r
� � �B��r� ��j���r �� �z ���
�r� �h��r � � �B���j
ilo que nos permite� sacando r� fuera de la integral� expresar la fuerza como
�F � �r� ��Z
V �� �B� � �r ���j dv�
�� r� �
����
�
ZV ��r � ��j dv�
�� �B�
�y� �nalmente� como
�F � r� � �B � �m� � �r� �T ������
Pero todav��a podemos expresar la fuerza de otras formas� Puesto que r � �B � � y
r� ��a ��b� � ��b � r��a� ��a � r��b� �r ��b��a� �r � �a��b
se tiene que
�F � ��m � r� �B ������
���
Por �ultimo� dado que el campo �B es externo� r� �B � � Bi
xj�
Bj
xiy
�F � r��m � �B� � �rWd ������
donde Wd � ��m � �B es la energ��a potencial o de interacci�on del dipolo �m en presenciadel campo magn�etico externo �B� como comprobaremos a continuaci�on�
Energ��a potencial �
Efectivamente� podemos ver que la energ��a potencial de un dipolo �m� de�nida en elsentido de la secci�on ����� puede expresarse como
Wd � ��m � �B �����
Para obtener este resultado deberemos calcular el trabajo realizado por el campo �Ben una transformaci�on reversible que nos lleve al dipolo� desde la posici�on �r y formandoun �angulo � con �B� hasta el in�nito� donde la interacci�on ser�a nula� Se supone que lamagnitud j�mj del dipolo permanece �ja en la transformaci�on o� de otra forma� que eldipolo es r��gido� y que el campo magn�etico converge a cero en el in�nito� En la �gura��� se proponen dos formas de realizar esta transformaci�on� En la primera� ����a� eldipolo se transporta a lo largo de camino Lmanteniendo constante el �angulo � que formael dipolo con el campo� En la segunda� primero se rota al dipolo� en su posici�on inicial�hasta formar un �angulo recto con el campo y� a continuaci�on se le transporta a lo largode L manteniendo su �ultima orientaci�on con respecto al campo� Si la transformaci�ones reversible� el resultado ser�a independiente del camino elegido y de la orientaci�on deldipolo a lo largo del mismo�
L
de campo
oo
mθ
B
oo
/2πθm
(b)(a)
lineas
Figura ����
En la opci�on �a� se mantiene �jo el �angulo que forma el dipolo con el campo� por loque el par no trabaja� El trabajo realizado debe ser imputado a la fuerza���
� � cte
m cos � � cte
�Wd �
Z �
�r����cte�r��m � �B� � d�r �
h�m � �B
i��r� ��m � �B��r�
puesto que �B��� � ��
���
T
m
B
d θ
θ
Figura �����
En la opci�on �b�� �gura ����� primero rotamos al dipolo de la posici�on � a la ��� ydespu�es lo desplazamos con � � ���� En el desplazamiento� �m � �B � �� luego la fuerzaes nula� En este caso el trabajo se realiza en el giro inicial y es imputable al par
Wd �
Z ��
����r�cte�
�T � d�� � �Z �
�
�mB sen � d� � �mB cos �
resultado id�entico al anterior que con�rma la expresi�on dada en ��� a la energ��a po�tencial�
Es f�acil comprobar que el par puede tambi�en expresarse en funci�on de la energ��apotencial
�T � �r�Wd ������
donde
r� �Xi��
bei
�i
y �i es el �angulo de giro alrededor del eje bei�Veremos m�as adelante que� en el caso de los sistemas de espiras� todo �esto se enmar�
ca en el c�alculo de fuerzas y pares a partir de procesos virtuales en los que se mantienenconstantes las intensidades que circulan por dichas espiras� En nuestro caso hemos con�siderado �m � cte� lo que implica que la densidad de corriente del tubo permaneceinvariante en la transformaci�on�
�� Problemas
���� Demostrar que� si el momento monopolar de una distribuci�on es nulo� el momento
dipolar no depende del origen y que si� adem�as� el momento dipolar es nulo� el
momento cuadrupolar tampoco depende del origen�
���� Demostrar que el momento dipolar de una distribuci�on de carga� cuya carga total
es nula� es igual a �p � q �d� donde �d es la distancia del centro de la carga positivaal de la carga negativa y q es la carga positiva total�
���
���� Hallar� mediante integraci�on directa� el primer momento multipolar signicativo
de las distribuciones puntuales de carga del problema ���� Deducir previamente�
por inspecci�on� cual ser�a� en cada caso� el primer momento no nulo�
���� Una esfera de radio a est�a dividida en dos casquetes hemisf�ericos con densidades
superciales de carga � �s uniformes� Hallar el campo el�ectrico producido en unpunto �r lejano� es decir� tal que r �� a�
���� Dos coronas circulares id�enticas� con densidades superciales de carga ��s uni�
formes� de radio interior a y exterior b� est�an situadas coaxialmente y a una
distancia mutua d� Hallar�
a� El campo el�ectrico producido en un punto de su eje para distancias r �� b�H�aganse las aproximaciones pertinentes a partir de valor exacto del campo�
b� La aproximaci�on dipolar del campo para cualquier punto del espacio y� en
particular� para los puntos del eje�
���� Hallar el potencial producido a una distancia r �� a por la siguiente distribuci�on
de carga�
En la regi�on x� � y� � a� � �s �
����s� para x � �
��s� para x � �
���� Dada una distribuci�on de carga con momento monopolar nulo y dipolar distinto
de cero� hallar�
a� El �ujo del campo el�ectrico a trav�es de una supercie cerrada arbitraria�
b� Comprobar lo anterior por integraci�on directa a trav�es de una supercie
esf�erica de radio r �� r �max�
���� Demostrar que el potencial cuadrupolar debido a la asociaci�on de dipolos de la
gura ���� es�
Vc ��
� �� r
h� ��p � br���d � br�� �p � �d�
i
-p pd
Figura �����
���� Dados dos dipolos coplanarios� p� y p�� situados a una distancia �r� hallar la orien�taci�on de m��nima energ��a�
���
a� En el caso de que solo uno sea libre de girar�
b� Si los dos pueden hacerlo�
���� Se define como polarizabilidad de una mol�ecula a la constante de
proporcionalidad entre el momento dipolar el�ectrico de la misma
y el campo aplicado �p � �E�
Sup�ongase que un �atomo no polar est�a constituido por una nube electr�onica in�
deformable� de densidad uniforme ��� radio a� y carga total �Z e� que rodea a
un n�ucleo puntual de carga �Z e� Hallar la polarizabilidad para campos uniformes
y peque�nos� tales que la separaci�on de los centros de carga positiva y negativa
� x �� a��
����� Para el �atomo no polar cuyo modelo acabamos de describir� hallar�
a� Si es atra��do o repelido por una carga puntual externa�
b� � Cu�al es el momento dipolar inducido por dicha carga en el �atomo�
c� El valor cuantitativo de la fuerza de interacci�on�
d� La representaci�on gr�aca del potencial de interacci�on�
����� Hallar la raz�on giromagn�etica de una part��cula esf�erica con la masa distribuidauniformemente en su volumen y la carga distribuida uniformemente sobre su su�
percie� � Podr��a este modelo corresponder a un electr�on�
����� Calcular aproximadamente� a partir de la expresi�on exacta� el potencial y el cam�
po magn�etico producidos por una espira circular� de radio a y recorrida por una
intensidad I� en un punto lejano� Comprobar que los resultados concuerdan con
los predichos por la aproximaci�on dipolar�
����� Demostrar que� en general� ZV�� dv �
�p
t
Rep�asese la teor��a del desarrollo multipolar para el caso particular de corrientes
estacionarias��
����� Dos espiras id�enticas� de radio a y recorridas por una intensidad I� est�an situadas
en posici�on paralela antiparalela� a una distancia r �� a� Hallar la fuerza de
interacci�on�
����� Un solenoide� de longitud L y radio a� est�a constituido por un n�umero grande de
espiras N � uniformemente distribuidas y recorridas por una intensidad I� En el
eje del solenoide se encuentra un peque�no im�an cuyo momento magn�etico es �m y
que puede girar alrededor de un eje perpendicular al del solenoide� Calcular�
a� El par m��nimo y m�aximo que experimenta el im�an cuando se encuentra situa�
do en el centro del solenoide�
b� La fuerza que act�ua sobre el im�an cuando se le sit�ua� orientado seg�un el ejedel solenoide� en el centro de una de sus caras extremas�
��
����� Determinar el potencial magn�etico escalar y� a partir de �este� el campo magn�etico
producido en su eje por una espira circular de radio a recorrida por una intensidad
I�
����� Calcular el campo magn�etico producido por la espira de la gura ���� en un puntolejano�
I^
y
z
-a
-a
a
I
x
Figura �����
���
Cap��tulo
Movimiento de part��culas en un
campo electromagn�etico
�Velayos� Golant et al�� Reitz et al�� Artsimovich y Loukianov�
��� Introducci�on
Hemos visto que una part��cula puede poseer una estructura electromagn�etica intr��nsecaque le con�ere un n�umero de grados de libertad mayor que tres� Esto se traduce enla posible aparici�on de momentos multipolares y la consiguiente complicaci�on de lasecuaciones del movimiento de esta part��cula� Basta con que nos ocupemos aqu�� delas caracter��sticas esenciales del movimiento no relativista de monopolos el�ectricos ydipolos magn�eticos� Para cargas puntuales� las ecuaciones del movimiento se deducende la fuerza de Lorentz� Para dipolos tendr��amos que hacer uso de las expresiones de lasfuerzas y los pares obtenidos en los cap��tulos anteriores y tener en cuenta que� a pesarde las similitudes� el dipolo magn�etico est�a siempre asociado a un momento angular�cosa que no ocurre con el dipolo el�ectrico�
Es importante comprender los aspectos b�asicos del movimiento individual depart��culas en el campo electromagn�etico puesto que en ellos reside el fundamento� oparte del fundamento� de muchos sistemas f��sicos naturales y arti�ciales� Incluso parasistemas que� por sus dimensiones o velocidades� requieren un tratamiento cu�antico orelativista� la descripci�on cl�asica no relativista ayuda a �jar ideas e im�agenes cuali�tativas� Muchas facetas de la F��sica de Plasmas� de nuestra propia Magnetosfera� delcomportamiento magn�etico de la materia� y de sistemas tales como el tubo de rayoscat�odicos� el espectr�ometro de masas� el microscopio electr�onico� el Tokamak y otrasm�aquinas de con�namiento magn�etico� requieren para su estudio un amplio conocimien�to del comportamiento din�amico individual de part��culas en el seno de campos el�ectricosy magn�eticos�
���
���
��� Movimiento de una carga en campos uniformes
�� Campo el�ectrico constante
Una carga sometida a un campo el�ectrico uniforme y constante sufre una aceleraci�onuniforme en la direcci�on de dicho campo
�a �d�v
dt�
q
m�E � �v � �v� �
q
m�Et �����
Por unidad de tiempo va adquiriendo una energ��a cin�etica
dW
dt� m�v � �a
igual a la energ��a potencial que pierde
dWp
dt� �q �E � �v
�� Campo el�ectrico lentamente variable
Si el campo el�ectrico es variable con el tiempo� �E � �E�t�� se generar�a un campomagn�etico tal que
r� �B � ���� �E�t�
t��
c� �E
t
Para hacer una estimaci�on de la importancia de B� supongamos que L es una lon�gitud caracter��stica de la variaci�on espacial de B� y T es un tiempo caracter��stico de lavariaci�on temporal de E� Los �ordenes de magnitud de los dos miembros de la ecuaci�onanterior pueden estimarse
B
L� �
c�E
T
Por lo que la relaci�on entre la fuerza magn�etica y la el�ectrica ser�a
FmFe
� vB
E� v �L�T �
c�
de forma que� para
v
�L
T
�� c�
la fuerza magn�etica ser�a despreciable y tendremos� aproximadamente� un movimientoacelerado no uniformemente en la direcci�on del campo el�ectrico
�a�t� � q
m�E�t� � �v � �v� �
q
m
Z t
�
�E�t� dt
���
� Campo magn�etico constante Movimiento ciclotr�onico
Si la part��cula est�a sometida exclusivamente a un campo magn�etico uniforme y con�stante� la aceleraci�on sufrida ser�a perpendicular a la velocidad
�a �q
m�v � �B d�v
d t� �% � �v �����
ecuaci�on que pone de mani�esto que el vector velocidad tiene un movimiento de prece�si�on con velocidad angular �%� o Frecuencia ciclotr�onica��
�% � �q�B
m� � q
mBbb � bb � �B
B�����
Como puede verse en la �gura ����b� la frecuencia ciclotr�onica %e de los electrones tieneel mismo sentido del campo magn�etico� mientras que la %i de los iones positivos tiene elsentido contrario� los electrones giran a derechas alrededor del campo magn�etico y losiones lo hacen a izquierdas�
Ω
v||
−−|v
v(t)
v(t+dt)
dv
θ
ϕ
B
cer
cir
Ωi
Ωe
(a) (b)
+
dtΩB
Figura ����
En la �gura ����a se representa la precesi�on del vector velocidad� para un electr�on�y se observa que� al ser d�v
d t��v� la componente de velocidad paralela al campo aplicado��vjj� es constante� mientras que la componente perpendicular al mismo� �v� es de m�oduloconstante y gira en el plano con velocidad �%e�Lo primero puede comprobarse multiplicando escalarmente la ecuaci�on ��� por �%
con lo qued�vkd t
� � �vk � �cte
�Esta frecuencia guarda una relaci�on estrecha con la de Larmor� la cual trataremos m�as adelante�
��
luego el movimiento a lo largo del campo magn�etico es con velocidad uniforme� Lavelocidad con que se mueve el centro de giro� o Velocidad del centro de gu��a� es� por lotanto�
�vCG � �vjj � ��v �bb�bb ����
Lo segundo se deduce multiplicando escalarmente la misma ecuaci�on por �v� con loque
�v � d�vd t
d v�d t
� � v � j�vj � cte
El movimiento es� por lo tanto� la superposici�on de un giro en un plano perpendiculara �B y una translaci�on uniforme a lo largo del mismo� Se trata� pues� de un movimientohelicoidal de paso constante�Por otra parte� como el campo magn�etico ejerce una fuerza que es perpendicular a
la trayectoria� �este no realiza trabajo sobre la carga cuya energ��a cin�etica permanececonstante�
dW
dt� m�v � �a � m�v � ��% � �v� � �Wc � cte �����
Adem�as
Wc ��
�m�v� � v�jj
��W �Wjj
y hemos visto que vjj � cte y v � cte� por lo que
Wjj � cte � W � cte �����
Para calcular el radio de giro de la part��cula en el plano perpendicular� recordemosque� en el movimiento circular�
�v � �% � ��
donde �� es el Radio de giro ciclotr�onico�Multiplicando vectorialmente por �%
�% � �v� � �% � ��% � ��� � �%��% � ���� ��%�
y� como �%������ �
�v � �%
%�� � �
v%
�����
Si comparamos el movimiento de un electr�on y de un monoi�on positivo� ambosincidentes con la misma velocidad �para una misma energ��a cin�etica del electr�on tendr��amucha mayor velocidad que el ion�� el electr�on girar��a en el sentido de la regla deltornillo� alrededor de �B� con una gran velocidad angular �%e � ��m� y un peque�noradio de giro ��e � ��%e�� y el ion lo har��a en sentido contrario con gran radio de giroy peque�na velocidad angular� v�ease la �gura ����b�Cuando la velocidad del centro de gu��a es peque�na comparada con la velocidad
de rotaci�on de la part��cula� la trayectoria puede considerarse como una espira cerra�da� circular� que se mueve a lo largo de la l��nea de campo magn�etico� Este efecto deatrapamiento de las cargas en las l��neas del campo tiene una gran transcendencia en nu�merosos procesos naturales y arti�ciales� como el con�namiento magn�etico de plasmaspara la fusi�on nuclear y la protecci�on de la biosfera del viento solar�
���
La espira antes mencionada tiene un momento magn�etico
�� � I �S � I � q%
��� �S � ��� bn � bn �
���bb para electrones
�bb para iones positivos
I es la intensidad equivalente� es decir� la carga que pasa por un punto determinado enla unidad de tiempo� y S la super�cie de la trayectoria� Substituyendo
�� � �WBbb �����
Luego� el momento magn�etico inducido en una part��cula por el campo magn�eticoes de sentido contrario al del campo aplicado� Debido a este comportamiento� diremosque un medio constituido por part��culas cargadas libres es un medio Diamagn�etico nolineal�El �ujo � cortado por la trayectoria de la part��cula es proporcional al momento
magn�etico a trav�es de una constante independiente del campo y de la energ��a cin�eticade la misma�
� � ���B � �Bv�%����m
q
�WB
��
���m
q� ��� �
�� Campo magn�etico lentamente variable
Supongamos que la carga est�a sometida a un campo uniforme �B�t� que var��a lentamentey que es perpendicular al movimiento� Entenderemos por campo lentamente variable auno que cumpla la condici�on� en valor absoluto�
�B � dB
dtT � B � T �
��
%
es decir� un campo que var��e relativamente poco en un periodo de giro ciclotr�onico T �Bajo estas circunstancias podemos considerar que las �orbitas son cerradas� cuasi�
circulares� Sin embargo� el campo el�ectrico� generado por la variaci�on temporal delcampo magn�etico� incrementar�a la energ��a cin�etica de la part��cula en una peque�na can�tidad que obtendremos integrando a lo largo de la �orbita L�
�W � q
IL�E � d�l � �q d
dt
ZS�B � d�S � q � ��
dB
dt
donde se ha supuesto que � � cte� lo que� bajo las condiciones impuestas� puede de�mostrarse que es una hip�otesis v�alida�Puesto que� para campos lentamente variables� las variaciones del campo y de la
energ��a cin�etica en un giro son
�B � dB
dt
��
% �W �
WB�B
���
μ
B
L
Figura ����
Dado que �B y �W son de peque�na magnitud
�
�WB
�� �
B�W � �
B��B � �
�� � � ������
El momento magn�etico �� permanece pr�acticamente invariable� por lo que se diceque es un Invariante adiab�atico��
�� Campo el�ectrico y magn�etico
Cuando la part��cula sufre la acci�on conjunta de un campo el�ectrico y uno magn�eticouniformes y constantes� las ecuaciones del movimiento pueden ser escritas de la forma
�a �q
m�E �% � �v ������
En este caso� existe una aceleraci�on uniforme en el sentido del campo el�ectrico
�ajj � �ba �bb�bb � q
mEjjbb
que da lugar a una velocidad paralela
�vjj � �v�jj �q
m�Ejjt
La aceleraci�on en el plano perpendicular ser�a
�a � �a� �ajj �q
m�E �% � �v � q
m�E �% � �v
Comprobaremos que el movimiento en el plano perpendicular puede seguir vi�endosecomo un giro de frecuencia % si observamos desde un sistema adecuado que se muevacon velocidad uniforme�
�Para una exposici�on del concepto de invariante adiab�atico� v�ease Jackson�
���
Escribiremos�v � �vE � �v�
donde �vE � �cted�vdt
�d�v�dt�
q
m�E �% � �vE �% � �v�
y daremos a �vE un valor tal que
q
n�E � �% � �vE � q
m�B � �vE
�vE puede despejarse de la ecuaci�on anterior multiplicando vectorialmente por �B�teniendo en cuenta que �B � �Ek � � y que �vE� �B� y desarrollando el triple productoresultante
�B � �E �
��������B � � �B � �vE� � �B � �B � �vE� �z �
��
��vE B�
� �B � �E
porque�Tenemos� pues� que
�vE ��E �bbB
������
yd�v�dt� % � �v�
v
B
E- =v E+E
Figura ����
En la �gura ��� vemos que la part��cula gira alrededor de �B pero es arrastradaperpendicularmente a los campos con una velocidad de arrastre �vE que s�olo depende delos campos y� por tanto� es independiente del signo de la carga�Es f�acil comprobar que� si substituimos la fuerza el�ectrica por la gravitatoria� o
cualquier otra fuerza independiente de la carga� la velocidad de arrastre resultante vieneafectada por el signo de la carga�
���
Los sistemas para enfocar part��culas cargadas hacen uso de campos magn�eticos yel�ectricos paralelos� lo que da lugar a una velocidad de arrastre nula y un movimientohelicoidal de paso uniformemente variable en la direcci�on de los campos�
L
Figura ���
Si la velocidad inicial de una carga es �v�� la velocidad paralela ser�a
vjj � v� cos � �q
mE t
y el espacio recorrido en un periodo de revoluci�on� T ���
%
L��� � v� cos � T �q
mE T � � v� T �
q
�mE T � � L
Si � es lo su�cientemente peque�no� v�ease la �gura ��� para poderse realizar la aprox�imaci�on cos � � �� la longitud recorrida por part��culas monoenerg�eticas emitidas desdeun punto� con una ligera dispersi�on angular alrededor de la direcci�on de los campos� esla misma� ya que T tambi�en lo es� por lo que coinciden en el mismo punto de enfoque� Enlos enfoques magn�eticos se utiliza un diafragma para eliminar a los electrones emitidoscon valores grandes de ��
��� Movimientos de cargas en campos no homog�eneos
� Optica electr�onica
Las leyes del movimiento de una carga en un campo el�ectrico no homog�eneo suelen serdif��ciles de integrar debido a la estructura complicada de los campos� Frecuentemente� enlos casos de inter�es� no se dispone de una expresi�on cerrada de los campos y es necesariorecurrir a la integraci�on num�erica� No obstante� como apuntaremos a continuaci�on� elmovimiento de una part��cula cargada en un potencial no uniforme sigue leyes an�alogasa las de la marcha de un rayo en un medio �opticamente no homog�eneo� lo que permiteaplicar� en gran medida� las t�ecnicas de la �optica de rayos al movimiento de cargas encampos electrost�aticos� Esto da lugar a lo que se conoce como Optica electr�onica�
��
Ps
V
V2
1S
θ
θv
v
v
t1
vn1
vn2
t2
2
1v
2
1
Figura ����
Nos limitaremos aqu�� a establecer la ley que gobierna la refracci�on de la trayecto�ria de una carga al atravesar la super�cie de separaci�on de dos semiespacios equipo�tenciales� Te�oricamente podr��amos representar esta discontinuidad mediante una dis�tribuci�on dipolar uniforme sobre la super�cie S o� en la pr�actica� mediante dos l�aminasmet�alicas� lo bastante �nas para ser transparentes a las cargas incidentes� separadas unapeque�na distancia �x y puestas a unos potenciales convenientes V� y V�� Por simetr��a�v�ease la �gura ���� la componente tangencial del movimiento no se ver��a afectada
vt� � v� sen �� � vt� � v� sen �� ������
mientras que la componente normal adquirir��a un impulso de energ��a� correspondienteal incremento de energ��a potencial�
Si �jamos el origen de potenciales en el punto en que los electrones est�an en reposo
�
�mv� � q V � � v �
r�q V
�m
donde V � V� � V�� con lo que� teniendo en cuenta la expresi�on �����
pv� sen �� �
pv� sen ��
Expresi�on an�aloga a la ley de Snell en la que las dos regiones equipotenciales jueganel papel de medios con diferentes densidades �opticas�
� Difusi�on �scattering� de part��culas en fuerzas centrales
Un problema b�asico en F��sica At�omica es el de la interacci�on individual entre part��culas�La energ��a de interacci�on suele presentar simetr��a radial
Wp�r� � r�n
���
lo que corresponde a una fuerza central�
Estas fuerzas de interacci�on pueden ser de diversos tipos� La m�as importante es lacoulombiana� entre dos part��culas cargadas� para la cual n � ��
Cuando una part��cula cargada se acerca a un �atomo neutro� lo polariza� ya que elcampo producido por �esta
�Eq �k
r�br
separa ligeramente a los centros de carga positiva y negativa del neutro� induci�endoseun momento dipolar que es� muy aproximadamente� proporcional a dicho campo
�p � �E
lo que se traduce en una energ��a de interacci�on� de tipo atractivo entre la carga y eldipolo� que puede expresarse como
Wp � q Vd � ��p � �E � �C
r
donde C es una constante�
Entre neutros tienen lugar las fuerzas de tipo Van der Waals� atractivas� con n ��� y de origen diverso� como puede ser la interacci�on entre dos dipolos permanentes�entre dipolos permanentes e inducidos e� incluso� entre dos dipolos inducidos� Estas�ultimas� que se conocen como fuerzas de London y que son las m�as importantes� puedeninterpretarse como la interacci�on entre el dipolo instant�aneo de una mol�ecula� que port�ermino medio no es polar� con el dipolo inducido en la otra�
Por �ultimo� cuando las distancias entre part��culas son lo su�cientemente peque�naspara que exista un solapamiento substancial de nubes electr�onicas� aparecen fuerzascu�anticas de variaci�on muy r�apida y generalmente repulsivas�
Trataremos solamente la difusi�on el�astica de part��culas en un potencial coulombiano�En este caso� la integraci�on de las ecuaciones del movimiento constituye el problemacl�asico de Kepler �Goldstein� y como resultado se obtienen trayectorias hiperb�olicas�parab�olicas o el��pticas� seg�un la energ��a total W� � Wc � Wp� suma de la energ��acin�etica Wc m�as la potencial Wp� sea respectivamente � �� � � �o � ��
En el problema de difusi�on� �gura ��� se supone que las part��culas est�an inicialmentea distancia in�nita� acerc�andose con W� � Wc��� � � y nos interesamos solamentepor el balance �nal de la interacci�on� o colisi�on� Es decir� nos preguntamos cu�antaenerg��a y cu�anto momento han intercambiado las part��culas y cu�anto han desviado sustrayectorias� Estas ser�an hiperb�olicas y el centro de masas ser�a el foco interno parafuerzas atractivas y el externo para las repulsivas�
Consideraremos la interacci�on repulsiva de una part��cula ligera� de masa m� conotra pesada� de masa M � m� lo que nos permite considerar a �esta �ultima quieta� en elcentro de masas� actuando como centro dispersor de la primera� Elegimos como eje y alque une al centro de dispersi�on O con el punto de m�aximo acercamiento P � De�niremoscomo Par�ametro de impacto a la distancia b entre las as��ntotas de la hip�erbola y laparalela que pasa por O� y como Angulo de difusi�on el �angulo � que forman la as��ntotade acercamiento con la de fuga�
���
oov
ooW
v0
y
x
r
b
FF
FF
ϕ
ϕ
θ
x
y
F
F
0
x
y
P
O
M
m
W0
Figura ����
Puesto que la colisi�on es el�astica� la energ��a cin�etica se conserva
Wc� �P ��
�m�Wc� �
P ���m
P� � P�
y el m�odulo de la cantidad de movimiento� P� y P� tambi�en�
^
ϕ0
ϕ0
θ /2θ /2
x
Δ P
P0 ooP
y
Figura ����
En la �gura ��� se muestra como las cantidades de movimiento inicial y �nal tienenla misma magnitud pero la segunda ha girado un �angulo � con respecto a la primera�Luego
�P � �P� sen�
������
���
Para hallar el �angulo de difusi�on� integramos la fuerza
��P �
Z �
���F dt � � by Z �
�Fy dt
donde se ha tenido en cuenta que� dada la simetr��a de la trayectoria� Fx�x� y� ��Fx��x� y�� por lo que �Px � ��Cambiando la variable de integraci�on a
�P ��q� q�� ��
Z ��
�
cos
r�dt �
�q� q�� ��
Z ��
�
cos
r�
d
Pero� en un campo central� el momento angular es constante
d�L
dt� �T � �r � �F � �r � �r � � �L � m�r � �v � cte r�
� cte
0 dt
y
x
dϕ
ϕ0
ϕ-
ϕ0
ϕ-
ϕ0
r (t+dt)
r (t)
M
dl
ϕ
b
O
Bv
A
Figura ����
Este t�ermino r� � cte puede sacarse fuera de la integral� Para calcularlo� supong�
amos a la part��cula lejos del origen con velocidad inicial vo� Como puede verse en la�gura ���� la part��cula� que est�a lejos del origen recorre una distancia AB � v� dt en elintervalo de tiempo dt� por lo que a la distancia r� el vector de posici�on gira un �angulo
d �dl
r�
vo dt sen � � � �
r�
vob
r�dt r�
� vob
y� substituyendo en la expresi�on anterior de �P �
�P ��q� q�� ��
sen �v� b
Teniendo en cuenta que � � � � � � y la expresi�on ���� el �angulo de difusi�on resultaser
tan�
��
q� q��� ��
�
W� b������
En una colisi�on frontal� b � �� la part��cula invertir�a su trayectoria� � � �� sufriendoun incremento de cantidad de movimiento� de acuerdo con ���� �P � �P�� En lacolisi�on lejana� b��� � � � y �P � ��
���
Botellas magn�eticas
De entre los aspectos caracter��sticos e interesantes del movimiento de part��culas en cam�pos magn�eticos no homog�eneos� estudiaremos el principio de con�namiento en botellasmagn�eticas� Para aislar este efecto de otros posibles� como las derivas por curvaturas�etc�� supondremos que tenemos una part��cula atrapada en una l��nea de campo recta alo largo de la cual el campo var��a� En la �gura �� se muestra un campo con simetr��acil��ndrica alrededor de dicha l��nea�
Lineas de campoTrayectoria
Figura �� �
Si la convergencia o divergencia de las l��neas de campo es peque�na� dentro del �areabarrida por la �orbita� y la velocidad paralela� vjj � vz� es lo bastante lenta como parapoder considerarla como cerrada� la fuerza que act�ua sobre el dipolo
�m � �WB
bz ������
ser�a �F � ��� � r� �B � �� Bz
zbz y la variaci�on de la energ��a cin�etica en la direcci�on del
campoWjjdt� Fz vz � �� Bz
z
z
t� �� dBz
dt������
donde ddt es la derivada total a lo largo de la trayectoria del dipolo�
Por otra parte� el campo magn�etico no trabaja directamente sobre la part��cula porlo que
dW
dt�
d
dt�Wjj �W� � � �
dWjjdt
� � dWdt
Teniendo en cuenta la expresi�on ����� dado que W � ��
W � �Bz
y� seg�un la expresi�on �����
�� dBz
dt� � d
dt��Bz� � �� dBz
dt�Bz
d�
dt � � cte
��
Aqu��� como en el caso de variaci�on temporal lenta del campo� el momento magn�eticopermanece constante y tambi�en el �ujo cortado por la trayectoria de la espira� Luego�la trayectoria� seg�un se indica en la �gura anterior� estar�a situada sobre la super�ciede un tubo de �ujo� Adem�as� podemos ver que si el campo aumenta en la direcci�on z�es decir� las l��neas de campo convergen en la direcci�on z� la fuerza que se ejerce sobreeste dipolo r��gido ser�a negativa� por lo que una part��cula que se desplace hacia valorescrecientes de B ver�a disminuirWjj en bene�cio de W� pudiendo ver invertido el sentidodel movimiento�En la �gura ���� se representa una con�guraci�on b�asica de botella magn�etica�
0
v
B 0 B max
B
B
v
v
v
vz
v 0
||0
0
max
B
z
(a)
(b)
||
θ 0
Figura �����
Puesto que W � cte� v � cte� Por otra parte� V � v sen � yWB
� cte por lo que
sen ��
B� cte� Si en la regi�on de campo m��nimo B�� � � ��� en la de campo m�aximo
Bmax� � � �max ysen ��
B�
sen ���B�
�sen ��max
Bmax
La velocidad vjj se anular�a y las part��culas estar�an atrapadas en la botella si
sen �� �
rB�
Bmax
Una botella magn�etica tiene� pues� un Cono de fugas� de apertura �F � por el que seescapan todas las part��culas con �� � �F
sen �F �
rB�
Bmax
Este efecto de Espejo magn�etico� que es utilizado actualmente para el con�namientode plasmas arti�ciales� aparece en la naturaleza asociado al campo magn�etico terrestre�
���
Los cinturones de Van Allen� �gura ����� no son sino grandes bolsas de part��culas car�gadas� atrapadas por el campo magn�etico terrestre� que fueron detectadas por primeravez por los contadores Geiger instalados a bordo del Pioner � �� �� y Lunik � �� � ��
1 2 3 4 5
N
Cuentaspor
segundo1.000
10.000
Cinturon interno Cinturon externo
eje
geom
agne
tico
Radios terrestres
Ecuadormagnetico
Figura �����
��� Precesi�on de un dipolo en un campo magn�etico
Por �ultimo analizaremos� desde el punto de vista cl�asico� el movimiento de un dipolomagn�etico bajo la acci�on de una campo magn�etico uniforme y constante� Olvidaremosque los casos m�as interesantes exigen� en general� un tratamiento cu�antico�
Si� en principio� suponemos que el dipolo es r��gido� como el que corresponde almomento magn�etico de esp��n de un electr�on� podemos plantear la ecuaci�on que igualael par aplicado al sistema con la variaci�on temporal del momento angular
d�L
dt� �T
y tener en cuenta que
�L ��m
'y �T � �m � �B
lo que permite escribird�m
dt� �%L � �m � �%L � �' �B
ecuaci�on an�aloga a la que describe el giro ciclotr�onico y que indica que el momentomagn�etico �m posee un movimiento de precesi�on alrededor de �B con la Frecuencia de
Larmor �%L�
En el caso de un electr�on orbital� cuyo momento magn�etico se ve afectado ligeramentepor el campo magn�etico aplicado� la ecuaci�on anterior sigue siendo aplicable con granprecisi�on� pudi�endose despreciar los efectos de nutaci�on �Velayos� Konopinski��
���
As�� pues� si un dipolo magn�etico es sometido a un campo que var��e de � a �B��adquirir�a una energ��a potencial Wp � �mB� cos � y una velocidad de precesi�on �%L �
�' �B��Estos estados de movimiento se detectan generalmente por la emisi�on de radiaci�on
que acompa�na a la transici�on entre los mismos�
Parte III
Campo electromagn�etico en los
medios materiales
���
��
Introducci�on
Los medios materiales� naturales y arti�ciales� son muy diversos y tambi�en lo sonlas respuestas de los mismos al campo electromagn�etico� Un esquema simple de clasi��caci�on de dicha respuesta agrupa a los medios m�as comunes en las grandes familiasde los diel�ectricos� los medios magn�eticos y los conductores� aunque� normalmente� unmaterial determinado presenta al mismo tiempo� en mayor o menor grado� propiedadesde conducci�on y polarizaci�on el�ectrica y magn�etica� El estudio de los mecanismos porlos cuales un medio responde al campo electromagn�etico es muy complejo y est�a en�cuadrado en el dominio del estado s�olido y la teor��a cin�etica o� m�as concretamente� en elde las � propiedades electromagn�eticas de la materia�� Aqu�� solo se abordar�a este temade forma marginal y� particularmente� desde el punto de vista fenomenol�ogico�
-
-
-
-
-
-
+
+
+
+
+
-
-
-
-
-
-
+
+
+
+
+
=
+
Medio
cargas de conducción cargas de polarización
Figura ����� Esquema de un medio conductor y polarizable
En la �gura ���� se representa una instant�anea simpli�cada de un medio denso�parte de cuyas mol�eculas han perdido a un electr�on quedando cargadas positivamente�Una forma conveniente de modelar a este tipo de medios es mediante la partici�on desus cargas en dos sistemas que en adelante se denominar�an de Cargas de conducci�on yde Cargas de polarizaci�on � aunque� como se ver�a� ninguna de las dos acepciones estotalmente apropiada� Las cargas de conducci�on son las de los electrones libres m�as lasexcedentes de las mol�eculas ionizadas� Parte de ellas� como en los conductores s�olidos�o todas ellas� como en los gases ionizados� puede ser transportada a trav�es del medioa distancias macrosc�opicas� Al resto de las cargas del medio se les de�ne como de
�Las cargas que aqu�� cali�camos como de conducci�on y de polarizaci�on se denominan en otros textoscomo cargas libres y ligadas �
���
polarizaci�on� Este �ultimo sistema es neutro a nivel molecular y sus cargas solo se muevendentro de distancias microsc�opicas�
En la pr�actica� la anterior forma de partici�on de las cargas es hasta cierto puntoambig(ua pero facilita la modelaci�on de los medios y no presentan di�cultades te�oricas�No puede considerarse que las cargas de polarizaci�on sean las polarizables y las de con�ducci�on las no polarizables� De hecho� una onda monocrom�atica linealmente polarizada�de frecuencia � y amplitud �E�� provoca una oscilaci�on lineal de los electrones de con�ducci�on cuya amplitud es �r� � e �E���m���� Para campos moderados y frecuencias noexcesivamente altas �r� puede ser comparable al radio de Bohr� Este movimiento gen�era una polarizaci�on el�ectrica oscilante y una corriente de polarizaci�on equivalente� Deforma an�aloga� una onda monocrom�atica circularmente polarizada har��a girar a dichoselectrones con un radio de la misma magnitud r� creando una corriente solenoidal y unapolarizaci�on magn�etica equivalente� Por �ultimo� no cabe decir que las cargas de conduc�ci�on sean las que conducen� porque parte de ellas pueden estar tan ligadas como las depolarizaci�on y� adem�as� cuando el campo oscila a una frecuencia elevada� las cargas deconducci�on libres est�an tambi�en con�nadas dentro de regiones microsc�opicas�
Hasta ahora se ha supuesto que las densidades microsc�opicas describen las posi�ciones y las velocidades de todas y cada una de las cargas contenidas en el medio�Esto no es totalmente necesario puesto que parte de ellas pueden no ser signi�cati�vas en cuanto a la generaci�on de campo macrosc�opico� Cada carga aporta en principiouna contribuci�on al campo que en el caso est�atico� sin contar con el esp��n� es monopo�lar el�ectrica y� en general� contiene t�erminos variables con el tiempo� en particular elde radiaci�on� No obstante� cuando la materia posee una organizaci�on interna a nivelmolecular� las aportaciones de cargas pr�oximas� iguales y de signo contrario� se cance�lan parcialmente con lo que a nivel macrosc�opico solo son notables las contribuciones detipo multipolar� Aunque una demostraci�on m�as rigurosa queda fuera de nuestro alcance�Jackson� Robinson� Landau y Lifchitz MC�� veremos que las �unicas que es necesarioconsiderar en la pr�actica son las contribuciones dipolares el�ectrica y magn�etica� lascuales son proporcionales a la densidad de dipolos y pueden ser ignoradas en mediospoco densos�
Aunque� como ya se ha dicho� la respuesta de un medio es siempre mixta� se diceque� bajo ciertas circunstancias� un medio es conductor� diel�ectrico o magn�etico� si en surespuesta predomina la conducci�on� la polarizaci�on el�ectrica o la polarizaci�on magn�etica�
Los representantes m�as caracter��sticos de los conductores son los metales� los cualespresentan una alta conductividad� lo que di�culta grandemente la penetraci�on de loscampos el�ectricos en su interior� Por esta raz�on son apenas polarizables el�ectricamentey poseen una constante diel�ectrica pr�oxima a la del vac��o ��� Los campos magn�eticos debaja frecuencia penetran en los conductores� pero son apantallados a frecuencias su��cientemente elevadas� por lo que pueden polarizarse magn�eticamente en mayor o menorgrado aquellos que no poseen momentos magn�eticos en ausencia de campo externo res�ponden d�ebilmente como diamagn�eticos y los que si los poseen lo hacen de forma algom�as signi�cativa� como paramagn�eticos� o muy fuertemente como los ferromagn�eticos �
�En los medios paramagn�eticos el campo aplicado ordena a los momentos magn�eticos orbitales y enlos ferromagn�eticos a los de esp��n� El efecto diamagn�etico es universal aunque suele quedar enmascaradopor el paramagn�etico� de signo contrario� o el ferromagn�etico� Solo es notable en �atomos en los que las
���
Los diel�ectricos carecen de cargas de conducci�on y su respuesta a los campos externoses fundamentalmente diel�ectrica� adquieren un momento dipolar apreciable� � �� �� yun momento magn�etico d�ebil� � � ���
La respuesta de un gas no ionizado a la presencia de un campo electromagn�eticoaplicado es debida a su polarizaci�on es� por lo tanto� un diel�ectrico� En condicionesnormales� la aportaci�on del medio al campo total es peque�na pero medible� Cuando estegas se ioniza� de forma que una de cada ��� o ��� mol�eculas ha perdido a uno de suselectrones� su comportamiento var��a substancialmente al convertirse en lo que se conocecomo un plasma� En la naturaleza y en el laboratorio se encuentran frecuentemente
plasmas poco densos� con una distancia media entre part��culas �d� �oA� muy superior
a las dimensiones moleculares� que pueden ser representados mediante el modelo simplecuyo esquema se indica en la �gura ����� Dicho plasma estar��a constituido por electroneslibres� de carga �e� iones positivos� de carga �e y mol�eculas neutras en el lenguaje deuso com�un en la teor��a de plasmas se dir��a que lo componen �uidos de electrones� ionesy neutros� Aparte de las cargas netas de los iones y las de los electrones libres� elresto de las mismas no contribuyen apreciablemente a la respuesta electromagn�etica delplasma puesto que �este es de baja densidad� En este caso las ecuaciones macrosc�opicasde Maxwell pueden deducirse de unas densidades en las que solo se tenga en cuenta alas cargas electr�onicas libres y a las netas de los iones� todas ellas representadas comopuntuales ��
Electrón NeutroIon
Figura ����� Esquema de la composici�on de un plasma
En esta parte se proponen dos versiones macrosc�opicas equivalentes de las ecuacionesde Maxwell� En la primera� todas aquellas cargas cuya aportaci�on al campo macrosc�opicoes signi�cativa est�an descritas por medio de las densidades totales de carga y corriente�Esta versi�on es la ����� postulada en la primera parte�
r � �E � �T��
������
r� �E � ��B
t���� �
r � �B � � ������
r� �B � ��
���T � ��
�E
t
�������
capas electr�onicas est�an cerradas y� como consecuencia� las contribuciones paramagn�eticas se cancelan��Esto no quiere decir que el �uido de neutros juegue un papel pasivo dado que puede tener una
in�uencia importante en el movimiento del medio�
���
escrita en este lugar con la notaci�on � � �T y �� � ��T�� La ecuaci�on de continuidad
correspondiente se escribir�a de la forma
r � ��T � �Tt
� � ������
Esta primera versi�on de las ecuaciones de Maxwell es apropiada para el estudio de losplasmas en los que la polarizaci�on tiene una in�uencia inapreciable sobre el campo�En caso contrario es preferible el uso de otra versi�on en la que estas aportaciones
aparecen de forma expl��cita� La segunda versi�on� que es la m�as utilizada� se deduce dela primera desglosando las cargas y las corrientes totales en los t�erminos
�T � �� �pol � � ��T � ��� ��pol � ��� ��p � ��M ������
donde � es la densidad de carga de conducci�on� �pol la de polarizaci�on� �� la densidad decorriente de conducci�on y ��pol la densidad de corriente total de las cargas de polarizaci�onque� a su vez� se desglosa en ��p� la de polarizaci�on diel�ectrica� y ��M � la de magnetizaci�on ode polarizaci�on magn�etica� Sus expresiones en funci�on de las densidades de polarizaci�onson
�pol � �r � �P ����a�
��pol � ��p � ��M � � ��p � �P
t� � ��M � r� �M ����b�
Los pr�oximos cap��tulos se dedican principalmente a la b�usqueda de esta segundaversi�on de las ecuaciones de Maxwell y al estudio de sus consecuencias fundamentales�
�Las notaciones � y �� se reservar�an en adelante para las cargas y corrientes de conducci�on�
Cap��tulo
Medios polarizables
�� Mecanismos de polarizaci�on
��� Polarizaci�on diel�ectrica
Como acabamos de decir� la teor��a fenomenol�ogica renuncia a la explicaci�on de losmecanismos de respuesta de la materia ante la aplicaci�on de un campo electromagn�etico�No obstante� nos ser�a �util hacer aqu�� alguna referencia a estos mecanismos�
Si sometemos un cuerpo a la acci�on de un campo el�ectrico� podemos distinguir dostipos de respuestas ideales� En el conductor ideal se genera un r�apido transporte decarga neta de forma que �esta se distribuye sobre la super�cie apantallando a su interior�es decir� anulando el campo interno y circunscribiendo la acci�on del campo aplicado adicha super�cie� En el diel�ectrico ideal no existen portadores� o cargas capaces de darlugar a un transporte neto� lo que impide el apantallamiento total interno� permitiendola penetraci�on del campo aplicado� Este campo act�ua sobre cada una de las mol�eculasdel material� redistribuyendo las cargas que lo constituyen y dando lugar a la aparici�onde un momento dipolar�
De�niremos como diel�ectricos a aquellos materiales cuya respuesta a un campoel�ectrico consiste en la creaci�on de un momento dipolar� aunque debemos hacer no�tar que existen sustancias naturales� los ferroel�ectricos� y naturales� los electretes� en losque la polarizaci�on persiste en ausencia de campo externo�
Para comprender c�omo un medio material puede responder diel�ectricamente� ilus�traremos los mecanismos m�as simples de polarizaci�on� v�ease la �gura ���� Se dice queun gas es apolar cuando sus mol�eculas� en ausencia de campo externo� no presentanmomento dipolar permanente� Bajo estas condiciones� el centro de cargas de la nubeelectr�onica de la mol�ecula coincide con la posici�on nuclear�
La aplicaci�on de un campo externo da lugar a fuerzas contrarias sobre los centrosde carga positiva y negativa� que tiende a separarlos� Estas fuerzas son contrarrestadaspor la atracci�on entre las cargas separadas� la carga �Ze y la negativa encerrada en laesfera de radio �x�
En el equilibrio ambos centros de carga se han separado una distancia ��x� gene�r�andose un momento dipolar
�pm � Ze��x
���
��
a 0
Ze
-ZexΔ
Q( Δ x)
x<<aΔ 0
E
Figura ����
Este mecanismo recibe el nombre de polarizaci�on por deformaci�on� Dado que loscampos asociados al n�ucleo son muy elevados� comparados con los que se pueden con�seguir en el laboratorio� el desplazamiento �x es peque�no comparado con las dimen�siones moleculares� y el fen�omeno es aproximadamente lineal e independiente de otrosfactores� como pueden ser la temperatura o la presi�on del gas�
�pm � �E
donde es la Polarizabilidad de la mol�ecula�
Los diel�ectricos polares� por el contrario� est�an constituidos por mol�eculas con mo�mento dipolar permanente �p�� A una temperatura distinta del cero absoluto y en ausen�cia de campo aplicado� los momentos dipolares de cada mol�ecula est�an orientados alazar� lo que macrosc�opicamente se traduce en una polarizaci�on nula�
/E=0 , pm =0 E=0 , pm =0
p
T=T 0
0
/
Figura ����
La aplicaci�on de un campo el�ectrico tiende a alinear a los dipolos� en la direcci�ondel campo� bajo la acci�on de un par� lo que se ve contrarrestado por la tendenciadesordenadora de los choques moleculares� A una determinada temperatura se alcanzaun equilibrio entre estas dos tendencias contrapuestas� dando lugar a una polarizaci�onneta en la direcci�on del campo� Este mecanismo es no lineal� puesto que la polarizaci�ondel medio se satura� cuando todos los dipolos se alinean con el campo� situaci�on que sealcanza en la pr�actica cuando predomina la energ��a el�ectrica sobre la t�ermica� pE � KT �
���
Sin embargo� en situaciones normales �KT � pE� la polarizaci�on del medio sigue unaley lineal�
Sin extendernos en este tema� nos basta por ahora con suponer que� bajo la acci�onde un campo el�ectrico� los medios diel�ectricos responden con una polarizaci�on que� deahora en adelante� mediremos con el vector densidad macrosc�opica de momento dipolarel�ectrico o� vector Polarizaci�on diel�ectrica
�P �d�p
dv� n h�p i � polarizaci�on el�ectrica
donde d�p es el momento dipolar del elemento de volumen dv� n es el n�umero de mol�eculaspor unidad de volumen y h�p i es la contribuci�on media de cada mol�ecula a la polarizaci�onde la unidad de volumen�
��� Mecanismos de magnetizaci�on
La respuesta de los medios materiales frente a la aplicaci�on de un campo magn�etico esm�as variada que la respuesta diel�ectrica� La mayor��a de los materiales responden muyd�ebilmente� por lo que se les suele denominar materiales no magn�eticos� mientras queotros� los ferromagn�eticos� responden de forma notable y no linealmente�
Los materiales no magn�eticos se dividen en diamagn�eticos y paramagn�eticos� Losprimeros responden adquiriendo un momento dipolar magn�etico en la direcci�on delcampo aplicado pero en sentido contrario� mientras que los paramagn�eticos se polarizanen el mismo sentido de dicho campo�
El mecanismo de polarizaci�on diamagn�etica tiene car�acter universal� si bien apareceenmascarado por otros contrarios y m�as potentes en los materiales para y ferro�magn�eticos� En un material diamagn�etico el establecimiento de un campo magn�eticoacelera o retarda el giro de los electrones orbitales� seg�un la ley de Lenz� de forma que elcampo magn�etico inducido se opone al aplicado� Como los materiales diel�ectricos� quedisminuyen o expulsan al campo el�ectrico �E de su interior� los diamagn�eticos expulsanal campo magn�etico �B� Este efecto se pone de mani�esto en sustancias con estruc�turas electr�onicas sim�etricas� no polares y� como el de polarizaci�on por deformaci�on� esindependiente de la temperatura�
Los materiales paramagn�eticos poseen momento dipolar permanente de forma queel establecimiento de un campo magn�etico induce en estos dipolos un movimiento deprecesi�on� Los choques intermoleculares tienden a distribuir los dipolos con orienta�ciones al azar� mientras la energ��a de interacci�on del dipolo con el campo favorece laorientaci�on de los dipolos con proyecci�on en el sentido del campo� El momento dipolarmedio resultante en la direcci�on del campo crece con �este y se satura cuando la energ��ade interacci�on de los dipolos con el campo se hace mucho mayor que la energ��a t�ermica�
Los mecanismos de polarizaci�on ferromagn�etica son m�as complejos y esencial�mente no lineales� En este tipo de materiales� los momentos de esp��n se ordenanespont�aneamente debido a la existencia de un fuerte campo interno� denominado campode Weiss�
���
La polarizaci�on de los medios materiales la describiremos por el vector macrosc�opicoImanaci�on� o Magnetizaci�on�
�M �d�m
dv� n h�m i
donde h�m i es el momento magn�etico medio de las mol�eculas y n la densidad demol�eculas� �M es� pues� la densidad de momento dipolar magn�etico del medio�
�M tiene car�acter auxiliar� como �P � y nos servir�a para describir macrosc�opicamentelas corrientes moleculares� asociadas a las cargas de polarizaci�on�
�� Cargas y corrientes de polarizaci�on
Cada una de las mol�eculas que constituyen el sistema de cargas de polarizaci�on� descritopor las densidades de carga �pol y de corriente ��pol� crean campos el�ectricos y magn�eticosque pueden expresarse en funci�on de sus polarizaciones el�ectrica y magn�etica�
��� Expresi�on de la densidad de carga de polarizaci�on en funci�on dela polarizaci�on diel�ectrica
Sup�ongase que tenemos una distribuci�on de cargas de polarizaci�on �pol��r��� cuya polar�
izaci�on diel�ectrica es �P ��r ��� contenida en un volumen �nito V�� a distancia �nita delorigen� y que queremos calcular el campo total producido en un punto P externo� esdecir� tal que r � r�max�La contribuci�on de las cargas de polarizaci�on al potencial de un elemento de volumen
dv� ser�a
dVp ��
���
�polR
dv� � �
���
�P � �RR
dv�
Al hacer la aproximaci�on dipolar se supone que� dada la de�nici�on de las cargas depolarizaci�on� en el exterior de la distribuci�on� lejos de cada mol�ecula concreta� la �unicacontribuci�on que debe tenerse en cuenta es la dipolar� Para distribuciones est�aticas�esto es cierto dado que las mol�eculas son neutras� su momento monopolar nulo� y losmomentos superiores al dipolar convergen r�apidamente a cero lejos de la mol�ecula� Enel caso general� en el que la distribuci�on est�a constituida por corrientes no estacionarias�la justi�caci�on de lo que sigue ser��a mas compleja� Siguiendo el camino emprendido�deben utilizarse las densidades retardadas� como se vio en la primera parte� y limitar lavelocidad de las cargas a valores muy inferiores a la velocidad de la luz� Por ahora nosremitiremos a la bibliograf��a suministrada en la anterior introducci�on y daremos validezgeneral a estos resultados�A continuaci�on comprobaremos que �pol puede ser expresada en funci�on del vector
polarizaci�on diel�ectrica� Para ello escribamos
dVp��r� ��
����P ��r �� � r�
��
R
�dv�
y dividamos el volumen de integraci�on V� en V � y V� � V �� donde V � � V�� Es evidenteque
Vp �
ZV�
dVp �
ZV �
dVp �
ZV��V �
dVp � limV ��V�
ZV �
dVp
���
Luego� dando por supuesto que V � � V��
Vp��r� ��
���
ZV ��P ��r �� � r�
��
R
�dv�
que� haciendo uso de la expresi�on
r � �f�a� � fr � �a� �a � rf r� ���P
R
���
Rr� � �P � �P � r�
��
R
�
y aplicando el teorema de la divergencia para el t�ermino
��P
R
�
Vp��r� ��
���
�ZV ���r� � �P �
Rdv� �
ZS�
�P � �nR
ds��
expresi�on que tiene la estructura integral de potencial� seg�un el teorema de Helmholtz�Luego
�pol � �r � �P ����a�
�sp � �P � �n ����b�
tienen el car�acter de densidades monopolares de carga� de volumen y de super�cie�respectivamente� y las llamaremos Densidades de carga de polarizaci�on� Luego� en elinterior del diel�ectrico la densidad de carga de polarizaci�on viene representada por unadensidad de volumen� pero en las discontinuidades es necesario tener en cuenta unadensidad super�cial�El potencial producido fuera de la distribuci�on es� por lo tanto�
Vp��r� ��
���
�ZV ��pol��r
��R
dv� �ZS��sp��r
��R
ds��
�����
Podemos� pues� como en la �gura ���� representar el diel�ectrico por un conjunto decargas de polarizaci�on de volumen y de super�cie�
ρpol ρpol
ρ sp
Figura ����
Aunque para llegar a una expresi�on de tipo monopolar hemos supuesto que P eraun punto externo� puede demostrarse �Lorrain y Corson� que el resultado es v�alido paradescribir el campo macrosc�opico en el interior del medio�
���
Puesto que la carga de polarizaci�on total del diel�ectrico debe ser nula� Es f�acildemostrar que Z
V ��pol dv
� �ZS��sp ds � �
Esta carga de polarizaci�on no es �cticia en ning�un sentido e interviene en la gen�eraci�on de campo el�ectrico en paridad con la carga de conducci�on� Podemos visualizarsu aparici�on en la super�cie de un diel�ectrico con polarizaci�on solenoidal� as�� como enel interior de un diel�ectrico cuando la polarizaci�on no es solenoidal� en las �guras ���ay ���b�
dp
dx=0 ρ p=0, dp
dx>0 ρ p<0,
ρ sp=-P ρ sp=+P
n n
P
(a) (b)
x
Figura ���
��� Corrientes de polarizaci�on
La carga de polarizaci�on� como la total o la de conducci�on� debe cumplir una ley deconservaci�on� El diel�ectrico� en su totalidad� es neutro� por lo que la aparici�on de unacarga neta en el interior de un volumen determinado V debe venir compensada por un�ujo a trav�es de la super�cie que envuelve a dicho volumen�As��� pues� la ecuaci�on de continuidad de la carga de polarizaci�on puede expresarse
como sigue
r � ��pol ��polt
� �
y� substituyendo �pol � �r � �P �
r � ���pol � ��p� � r � ��M � �
donde ��p se de�ne como la Densidad de corriente de polarizaci�on diel�ectrica
��p � �P
t�����
y ��M como la Densidad de corriente de polarizaci�on magn�etica
��M � ��pol � ��p ����
��
De acuerdo con lo anterior� la densidad de corriente de polarizaci�on diel�ectrica ��p esla parte no solenoidal del la corriente de polarizaci�on ��pol y la densidad de corriente depolarizaci�on magn�etica ��M � la parte solenoidal de la misma�
��pol � ��p � ��M
�����r � ��p � �
�polt
r � ��M � �
�����
Cada una de estas corrientes son fuentes vectoriales del campo magn�etico� Veremosque la de magnetizaci�on puede expresarse en funci�on de la imanaci�on del medio�
�� Expresi�on de de la densidad de corriente de magnetizaci�on enfunci�on de la imanaci�on
Procederemos en este apartado con el mismo tipo de precauciones y connotaciones queen la secci�on ����� por lo que ahorraremos detalles en la exposici�on� Solo recordaremosque la corriente ��M es solenoidal y� por lo tanto� el potencial que produce admite undesarrollo multipolar cuyo primer t�ermino no nulo es el dipolar magn�etico�La contribuci�on de un elemento de volumen del material magnetizado al potencial
magn�etico ser�a
d �AM ��o�
��MR
dv� ��o�
�M � �R
Rdv� �
���
�M �r���
R
�dv�
que� haciendo uso de la expresi�on
r� �f�a� � fr� �a�r f � �a �M �r���
R
��r� �M
R�r� �
��M
R
�
e integrando sobre v�� nos da
�AM ����
ZV �r� � �M
Rdv� � ��
�
ZV �r� �
��M
R
�dv�
La segunda integral puede transformarse en integral de super�cie haciendo uso delteorema Z
Vr� �a dv � �
ZS�a � d�s
donde S es la super�cie que contiene a V� por lo que podemos escribir
�AM ��r� ����
ZV ���M ��r
��R
dv� ����
ZS���sM ��r
��R
ds� �����
donde se han de�nido las densidades de corriente de magnetizaci�on� de volumen y su�per�ciales
��
��M � r� �M ����a�
��sM � �M � �n ����b�
Esto permite representar a un material magnetizado por el conjunto de las corrientesde magnetizaci�on�Como en el caso de los diel�ectricos� puede demostrarse � que la expresi�on obtenida
para la contribuci�on al potencial vector en un punto externo es v�alida tambi�en para unpunto interior�La corriente ��pol no es estacionaria� por lo que el primer t�ermino del desarrollo
multipolar� �Am��r� de la secci�on ���� que se anulaba por ser las corrientes estacionarias�corresponde a la aportaci�on de las corrientes de polarizaci�on diel�ectrica�
j
j
M
nsm
M =0
sΔ
Figura ����
Podemos visualizar intuitivamente la aparici�on de estas corrientes analizando elesquema de la �gura ���� Si el material est�a uniformemente magnetizado� podemosimaginar al material compuesto por espiras elementales id�enticas� recorridas por unaintensidad
�I �M
�s�v
Si el material est�a magnetizado uniformemente� las corrientes de espiras contiguasse compensar�an� quedando s�olo la contribuci�on a la corriente super�cial� Si los dipoloscontiguos no fueran id�enticos� la compensaci�on no ser��a total y aparecer��a una corrientede volumen�
��� Potencial magn�etico escalar Formalismo de polos magn�eticos
El formalismo que proponemos en esta secci�on expresa la contribuci�on de un mediomagnetizado al campo magn�etico en funci�on de una densidad de monopolos magn�eticos
�V�ease Lorrain�Corson�
��
�M � Aunque este planteamiento no sea tan coherente desde el punto de vista te�oricocomo el utilizado en la secci�on anterior� es de gran utilidad pr�actica� Dicha contribuci�ones
�BM � r� �AM � ����r�
�ZV �
�M��r �� �r��
R
�dv��
� ����
ZV �r�
��M��r �� �r
��
R
��dv�
Haciendo uso de
r� ��a ��b� � �a�r ��b���b�r � �a� �z ���
���b � r��a �z ���
���a � r��b
donde tomaremos �a � �M��r �� y �b � r��
R
�� se obtiene�
�BM ��r� � ����
ZV �
�M��r ��r�
��
R
�dv� �z � �
���
ZV �� �M��r �� � r�r
��
R
�dv� �z �
� ��
Substituyendo r�
��
R
�� �� ���R� en �� tenemos � � �� �M��r�� y� teniendo en
cuenta que
r��a ��b� � ��a � r��b� ��b � r��a �z ���
��a � �r��b� �z ���
��b � �r � �a� �z ���
donde �a y �b toman los mismos valores que en la expresi�on anterior y se han anuladono s�olo los t�erminos donde �M��r �� aparece a la derecha del operador r� sino tambi�en elr�
�r��
R
��� Luego
�� � ���r��
�
ZV �
�M � �rR
dv��
por lo que escribiremos
�BM ��r� � �B� � �B� � �� �M��r�� ��rUM ��r� �����
Es decir� �BM ��r� puede descomponerse en dos t�erminos� uno proporcional a laimanaci�on y otro derivable de un potencial escalar que tiene la misma estructura dipolardel descrito en el p�arrafo �������
UM ��r� ��
�
ZV �
�M��r �� � �rR
dv� ��� �
Si� adem�as de existir medios magnetizados� existieran corrientes de conducci�on�habr��a que sumar a �BM el campo producido por �estas�
��
Aplicando ahora a UM un tratamiento an�alogo al aplicado a Vp en el p�arrafo ������obtenemos
UM ��r� ��
�
ZV ��MR
dv� ��
�
ZS��sMR
ds� ������
donde
�M � �r � �M y �sM � �M � �n ������
UM es un pseudopotencial de �B� con la misma estructura que el potencial elec�trost�atico� pero veremos que es un verdadero potencial escalar para �H� campo quede�niremos en la pr�oxima secci�on�
�M y �sM son densidades de volumen y super�cie de Polos magn�eticos� No debemosconfundir estos polos magn�eticos� que en realidad son polos o fuentes escalares de �H�con los monopolos postulados en las teor��as de gran uni�caci�on y que ser��an fuentes de�B� Insistimos en que estos monopolos� que habr��an sido creados en grandes cantidadesen las primeras etapas del universo� durante la Gran Explosi�on �Big�Bang�� y que�teniendo dimensiones at�omicas ser��an billones de veces m�as pesados que un prot�on� sontan escasos� si es que existen� que no obligan a modi�car la expresi�on r � �B � ��El formalismo de polos magn�eticos es de utilidad pr�actica� puesto que permite aplicar
los mismos m�etodos a los problemas magn�eticos que a los el�ectricos�
Seg�un se muestra en la �gura ���� el c�alculo del campo magn�etico producido por unacorriente I que recorre un carrete arrollado a un material magn�etico� podr��a tratarseseg�un las dos alternativas siguientes�
MjsM
ρsM
Mμ0
I I
(a)
(b)S N
Figura ����
En ambas alternativas� habr�a que calcular por separado la contribuci�on del carrete�como si estuviera en el vac��o� La contribuci�on del material magnetizado se calcula subs�tituyendo al n�ucleo magnetizado� en �a�� por un conjunto de corrientes super�ciales� y�en �b�� por dos super�cies de polos magn�eticos� Sur ��� y Norte ���� y a�nadiendo� dentrodel material� el t�ermino �� �M � Para que� en teor��a� podamos resolver el problema� noshace falta conocer la ecuaci�on constitutiva que expresa c�omo se magnetiza el medio enfunci�on del campo aplicado�
��
�� Desplazamiento el�ectrico e intensidad magn�etica
En las secciones anteriores se han expresado las fuentes escalares y vectoriales del campoelectromagn�etico en funci�on de la polarizaci�on diel�ectrica y de la imanaci�on
�T � ��r � �P �����a�
��T � ��� �P
t�r� �M �����b�
por lo que las ecuaciones de Poisson y Amp!ere toman la forma
r � �E � �
��
���r � �P
������a�
r� �B � ��
����
�P
t�r� �M � ��
�E
t
������b�
Los segundos miembros de las ecuaciones anteriores pueden simpli�carse de�niendounos nuevos campos vectoriales
�D � �� �E � �P ����a�
�H ��B
��� �M ����b�
�D recibe el nombre de Desplazamiento el�ectrico y �H el de Intensidad magn�etica�Ambas de�niciones tienen un car�acter h��brido al sumar a un vector que representaal valor medio del campo microsc�opico con otro que representa a la densidad de depolarizaci�on� Las ecuaciones ����� escritas en funci�on de estos nuevos campos� se reducena
r � �D � � �����a�
r� �H � ��� �D
t�����b�
De esta forma podemos expresar las ecuaciones de Maxwell en su forma tradicional�pero lo aplazaremos hasta el pr�oximo cap��tulo�En cualquier caso� las ecuaciones anteriores no son �utiles a menos que conozcamos
como se polariza el medio en funci�on de los campos aplicados� El problema es complejoy corresponde a la disciplina de � Propiedades electromagn�eticas de la materia� elresolverlo� Aqu�� nos limitaremos a plantearlo el desde el punto de vista fenomenol�ogicoy limit�andonos� casi exclusivamente� a los medios lineales simples�
�
�� Susceptibilidades� constante diel�ectrica y permeabilidadmagn�etica
La polarizaci�on de las cargas que constituyen la materia� as�� como el de conducci�onde las mismas� es un proceso autoconsistente seg�un el cual el campo electromagn�etico�en conjunci�on con las fuerzas moleculares y cristalinas de origen cu�antico� las redis�tribuye de forma que �estas� a su vez� modi�can al campo inicial� Este es� pues� un dif��cilproblema din�amico que solo es resoluble aproximadamente y bajo ciertas limitaciones�Afortunadamente� muchos materiales� dentro de un amplio rango de variaci�on de loscampos� se comportan como lineales� Consideraremos aquellos medios de este tipo enlos que �P es proporcional� a trav�es de una constante� al campo el�ectrico aplicado y �Mal magn�etico �� Escribiremos estas constantes de proporcionalidad de la forma
�P � �� �e �E �����a�
�M � �m �H �����b�
donde �e es la Susceptibilidad el�ectrica y �m la Susceptibilidad magn�etica �Substituyendo en ���� se puede escribir
�D �
������ �� �� � �e� �E
� � �E
� �� �r �E
�����a�
�B �
������ �� �� � �m� �H
� � �H
� �� �r �H
�����b�
donde se han de�nido la Constante diel�ectrica � y la Permeabilidad magn�etica del medioy sus valores relativos
� � �� �� � �e� � � �r � �
��� �� � �e� �����a�
� � �� �� � �m� � � �r � �
��� �� � �m� �����b�
Las relaciones ���� y ���� son distintas versiones de las Ecuaciones constitutivas
de los medios� las cuales podr�an ser determinadas te�orica o experimentalmente� Comoya hemos apuntado� estas � constantes� son aproximaciones de leyes complicadas y�en general son funciones� no solo del campo� sino de un cierto n�umero de variables�tales como la temperatura� la velocidad de variaci�on de los campos� etc� Por ahora�
�Este no es el caso m�as general de medio lineal� V�ease el segundo tomo��De acuerdo con la l��nea de razonamiento seguida en este texto� ser��a m�as coherente expresar a �M en
funci�on de �B� pero tradicionalmente se hace en funci�on de �H� Tambi�en suele de�nirse la susceptibilidadel�ectrica de la forma �P �e� �E�
��
consideraremos la dependencia� en campos est�aticos� de la polarizaci�on con el campoel�ectrico y la posici�on� En la mayor��a de los casos pr�acticos� los diel�ectricos y los mediosmagn�eticos pueden considerarse lineales� homog�eneos e is�otropos� A estos medios� parasimpli�car� los cali�caremos como de Clase A� Los gases no polares son de clase Adentro de un rango de variables muy extenso� Los polares s�olo presentan no linealidadesen condiciones extremas de temperatura o campo aplicado�Los materiales no homog�eneos son muy frecuentes� Los que est�an compuestos por un
conjunto de regiones homog�eneas� como los sistemas de lentes y otros muchos sistemasde importancia pr�actica� pueden ser tratados como homog�eneos� en cada una de las re�giones� y aplicar condiciones de continuidad en las super�cies o interfacies de separaci�onentre ellas� Otros� como las atm�osferas planetarias en su conjunto� o� a menor escala� laprimera capa de aire sobre un suelo caliente� etc� deben ser tratados directamente comono homog�eneos� por lo que
� � ���r � � � � � ���r �
Muchos materiales cristalinos� o sometidos a tensiones� presentan una distinta ca�pacidad de polarizaci�on seg�un la direcci�on en que se aplique el campo� teniendo� pues�un comportamiento anis�otropo� El vector �D � �B� tiene� en general� una direcci�on distintaa �E � �H�� v�ease la �gura ��� y � ��� tiene la estructura de un tensor cuyas componentesson ��ij� ���ij���
�D � ��ij� �E � Di � �ij Ej
�B � ��ij� �H � Bi � �ijHj
E
D
Figura ����
Otros materiales� como lo ferroel�ectricos y los ferromagn�eticos� son esencialmente nolineales�Para medios no lineales puede generalizarse el concepto de constante diel�ectrica�
escribiendo
� � �� �E � � � � � �� �H �
La dependencia de � y � con el campo puede ser complicada y presentar fen�omenosde hist�eresis� como el representado en el Ciclo de hist�eresis de la �gura ����Mientras que los diel�ectricos no lineales juegan un papel marginal� aunque im�
portante� los materiales magn�eticos no lineales tienen una importancia pr�actica pre�dominante� hasta el punto de� como ya hemos apuntado� cali�carlos de Materiales
magn�eticos con la exclusi�on de los dia� y paramagn�eticos� que se cali�can de Materiales
no magn�eticos�
�En general� �� puede ser funci�on tambi�en de �H � �E�
��
-1
-2 ) ,Bs(Hs )
(Hc ,0)
(0,Br )
0.5
1.5
20 100
Curvadeprimeraimanacion
Ciclodehisteresis
H (A.m )
B (W . m
Figura ����
Tambi�en en este caso puede extenderse el concepto de permeabilidad en varios sen�tidos� En particular� podemos de�nir una permeabilidad total
�B � �� �H� �H
aunque �� �H� es una funci�on muy complicada no expresable de forma anal��tica y quedepende no s�olo de �H sino de la historia previa de la imanaci�on� De entre las posiblestrayectorias que pueden seguirse en el plano B�H� destacaremos las que se denominanrespectivamente Curva de primera imanaci�on y Curva de hist�eresis principal�La curva de primera imanaci�on se recorre a partir del origen� o Estado desmagneti�
zado� aumentando H lentamente hasta alcanzar el Punto de saturaci�on �Hs� Bs��Si seguimos aumentando H� la magnetizaci�on del medio permanece casi constante
puesto que� a partir de aqu��� todos los espines est�an pr�acticamente alineados y s�olopuede haber aportaciones paramagn�eticas�El ciclo de hist�eresis principal se recorre a partir de �Hs� Bs�� disminuyendo H para�
pasando por los puntos ��� Br� y �Hc� ��� ir a la saturaci�on negativa� Br se llama Campo
remanente y Hc� Campo coercitivo� M�as adelante trataremos algunos aspectos te�oricosy pr�acticos relacionados con los materiales ferromagn�eticos�En lo sucesivo� salvo que se indique lo contrario� supondremos que los medios son
de case A�
�� Campos est�aticos en medios materiales
Como se ha visto en las secciones anteriores� el tratamiento del campo en medios ma�teriales es considerablemente m�as complejo que el expuesto en la primera parte para elvac��o� No obstante en el caso de los medios de clase A� las ecuaciones del campo son
��
muy similares a las del vac��o y la soluci�on de los problemas puede hacerse en gran partecon las mismas t�ecnicas� Por esta raz�on� una vez establecidas las diferencias de ambassituaciones y las leyes de analog��a� se har�a referencia a lo tratado en el cap��tulo �
��� Electrost�atica
Ecuaciones de Maxwell �
Las fuentes escalares de �D son
r � �D � � �� �D � �
IS�D � d�s � Q �
ZV� dv ���� �
Para medios de clase A� las ecuaciones de Maxwell electrost�aticas pueden escribirseen funci�on de �E �
r � �E � �
� �� �E � �
IS�E � d�s � Q
���
�
ZV� dv �����a�
r� �E � � IL�E � d�l � � �����b�
Vemos� por lo tanto� que estas ecuaciones son an�alogas a las de la electrost�atica del vac��o�siendo la corriente total �T an�aloga a la de conducci�on � y la constante diel�ectrica delvac��o �� an�aloga a la del medio ��
Luego� mientras que �E tiene sus fuentes escalares tanto en las cargas de conducci�oncomo en las de polarizaci�on
r � �E � �� �pol��
las fuentes escalares de �D son exclusivamente las cargas de conducci�on� hecho que nodebe confundirnos haci�endonos pensar que �D sea independiente de la existencia o no demedios polarizados� La resoluci�on del problema el�ectrico hace necesario el conocimientode la ecuaci�on constitutiva� En muchos problemas� en los que se especi�ca la carga deconducci�on� puede ser c�omodo calcular la parte de �D derivable de un potencial escalar apartir de dichas cargas y hacer uso despu�es de las ecuaciones constitutivas de los mediospara calcular �E�
Como se muestra en la �gura �� � un diel�ectrico apantalla parcialmente al campoaplicado� Al establecer una diferencia de potencial est�atica entre las placas met�alicasdel condensador de la �gura� aparece un campo el�ectrico que polariza al diel�ectrico�Las l��neas de campo �E nacen y mueren en las cargas de conducci�on y en las de polar�izaci�on� por lo que �E� es mayor que �Ed� �D� sin embargo� nace y muere en las cargas deconducci�on� por lo que tendr�a el mismo valor en el vac��o que en el diel�ectrico�
�Al ser el medio homog�eneo r �D r �E�
��
dielectrico vaciovacio dielectrico vaciovacio
D D DE 0 E 0E d
+Q p-Q p
(a) (b)
-Q+Q
Figura �� �
En el ejemplo que acabamos de analizar no ha sido necesario tener en cuenta lasposibles fuentes vectoriales de �D pero� a�un para campos est�aticos� �este puede tenerfuentes vectoriales� Teniendo en cuenta que en diel�ectricos no homog�eneos �D � ���r� �E
r� �E � �r���D
�
�� �
y desarrollando r � �f �a� � fr � �a � rf � �a� obtenemos para las fuentes escalares yvectoriales
r � �D � �
r� �D ��
�r� � �D
El r� puede ser no nulo incluso para medios homog�eneos� si el material presentano�linealidades ��
Ley de Coulomb �
La ley de Coulomb para una carga puntual en un medio de clase A es� por analog��a�
�E��r� �q
� �
bRR�
�D��r� �q
�
bRR�
������
y el potencial electrost�atico
V ��r� �q
� �
�
R������
En un medio macrosc�opico
�E ��
��
Zv�
� �R
Rdv� �����a�
�Si �E var��a con la posici�on� tambi�en lo har�a�
�
�D ��
�
Zv�
� �R
Rdv� �����b�
y para el potencial
V ��
� �
Zv�
�
Rdv� �����
Las cargas que aparecen en estas expresiones son las de conducci�on� lo cual puedejusti�carse porque� para medios de clase A� las densidades de carga de conducci�on ypolarizaci�on son proporcionales entre s��� Seg�un hemos visto� en general���� r � �E �
�� �pol��
r � �D � �
y� para clase A� r � �E � �
�� de donde
�pol � ���r � ���r
� ������
Luego� en diel�ectricos de clase A� aparece en cada punto una carga de polarizaci�onproporcional y de signo contrario a la carga de conducci�on existente en dicho punto�Para �r � �� j�polj � j�j� lo que indica� como ya hemos visto con anterioridad� que elmedio diel�ectrico apantalla parcialmente a las cargas de conducci�on y al campo el�ectricoque producen �estas�
ε
Q
Q
p
Figura �����
Si suponemos� por ejemplo� una carga esf�erica Q� como la que se muestra en la �gura���� sumergida en un diel�ectrico clase A� es f�acil comprobar que la carga de polarizaci�onque aparece en la super�cie de separaci�on del diel�ectrico es
Qp � ���r � ���r
Q QT � Q�Qp ��
�rQ
Por el contrario� si el diel�ectrico no es homog�eneo�
r � �D � �
�������r � ����r� �E� � �
r � �E � �� �pol��
���
Por esta raz�on� en un diel�ectrico de clase A� las cargas de polarizaci�on� en ausenciade cargas de conducci�on� s�olo pueden aparecer en la super�cie�Hay que tener en cuenta que si el medio est�a limitado por una super�cie que lo
separa de otro medio con distinta constante diel�ectrica� dicha super�cie constituye unmedio no homog�eneo y la carga super�cial de polarizaci�on no est�a directamente ligadaa la existencia de carga de conducci�on en la super�cie�En este caso habr��a que expresar V y �E de la forma
V ��
��
ZV �
�
Rdv� �
�
���
ZS��� �Sp
Rds�
y obtener �D en los puntos fuera de la propia super�cie� a partir de la expresi�on
�D � � �E
No debemos olvidar la existencia de fuentes vectoriales de �D� incluso en el casoest�atico� asociadas al r��
��� Magnetost�atica
Ecuaciones de Maxwell en funci�on de �B �
r � �B � � IS�B � d�s � � �����a�
r� �B � �� ���� ��M � IL�B � d�l � ��
ZS���� ��M� � d�s �����b�
En los medios de clase A la corriente de magnetizaci�on es proporcional a la deconducci�on
r��� �H� �
������
������ ��M � ��M � �m �� ������
Las corrientes de imanaci�on refuerzan a las de conducci�on en el caso de los param�agn�eticos y ferromagn�eticos y se oponen a ella en el caso de los diamagn�eticos� Lascorrientes de magnetizaci�on dia y paramagn�eticas tienen una magnitud muy peque�nacomparada con la de conducci�on mientras que ocurre lo contrario con la ferromagn�etica�lo que sugiere el origen no cl�asico de �estas�
De acuerdo con el resultado anterior� o teniendo en cuenta que �H ��B� � ����b puede
escribirse de la formar� �B � ��� ������
y la ley de Biot y Savart
�B��r� ��
�
ZV ��j �
�R
Rdv� ���� �
���
Haciendo uso de la misma analog��a
�A��r� ��
�
ZV �
��
Rdv� ������
Vemos que� en este caso� �B puede expresarse en funci�on de las corrientes de conduc�ci�on�
Ecuaciones de Maxwell en funci�on de �H �
Podemos comprobar que� a diferencia de �B� �H tiene fuentes escalares
r � �B � ��r � � �H � �M� � �r � �H � �r � �M � �M
es decir� �H tiene sus fuentes escalares en la densidad de polos magn�eticos� de forma quelas fuentes totales ser�an
r � �H � �M
r� �H � ��
I
L L jsM
ρsM
(b)
L
L
L
M
BM0
M0
M0
-M 0
μ0
(a)
L
L
L
M=0
M
B
HH=(B/μ0)
(N/L) I
(N/L) I S N
Figura �����
En su versi�on integral� la ley de Amp!ere puede expresarse comoIL�H � d�l �
ZS�� � d�s
En las �gura ���� se comparan los valores de �M � �B y �H en el eje del solenoide y enel de un im�an con magnetizaci�on uniforme�
���
Se supone que el solenoide est�a formado por un n�umero grande de espiras� N � uni�formemente distribuidas y el im�an tiene una magnetizaci�on uniforme �M��
En la �gura ���� se ilustran las l��neas de los campos �B y �H para un im�an uni�forme� Las l��neas de �B son cerradas mientras que las de �H nacen y mueren en los polosmagn�eticos�
H BLineas de
Mρ
sM j sM
Lineas de
Figura �����
En el exterior del im�an coinciden las l��neas de campo de �B y las de �H�
� Problemas
���� Demostrar que el momento dipolar total �ptot de un diel�ectrico� de volumen V y
envuelto por la supercie S� puede expresarse como
�ptot �
ZV�p �r dv �
ZS�sp �r ds
Int�egrese la divergencia de x �P ��
���� Demostrar que la carga de polarizaci�on total del diel�ectrico del problema anteriores nula�
���� Hallar el campo el�ectrico producido en un punto de su eje por un electrete
cil��ndrico� de radio a y longitud L� que est�a polarizado uniformemente en la di�
recci�on de su eje con polarizaci�on �P � Un electrete es un material queposee polarizaci�on permanente� aun en ausencia de campo aplicado�
���
���� �El espacio comprendido entre dos placas conductoras planas y paralelas� de su�
percie S � a� a y separadas una distancia b �� a� est�a parcialmente lleno por
una l�amina diel�ectrica de espesor c y constante �� Hallar�
a� Los campos �E y �D� en las distintas regiones� cuando entre las placas se
establece una diferencia de potencial V �
b� Las cargas libres y de polarizaci�on en las condiciones anteriores�
c� La capacidad del condensador� Comp�arese con la del condensador de aire�
���� Una esfera diel�ectrica� centrada en el origen y de radio a� tiene una polarizaci�on
permanente �P � A�r� Hallar las cargas de polarizaci�on y demostrar por integraci�on
que la carga total inducida es nula�
���� Una esfera diel�ectrica� de radio a y constante �� posee en su interior una densidad
de carga libre � � Ar� Determinar�
a� El campo el�ectrico en cualquier punto del espacio�
b� El potencial en el centro de la esfera�
c� Las cargas de polarizaci�on inducidas�
���� Una esfera met�alica de radio a� cargada con una carga q� est�a rodeada por una
capa de diel�ectrico de constante � hasta un radio �a� Hacer los mismos c�alculos
que en el problema anterior�
���� El espacio comprendido entre dos esferas met�alicas conc�entricas con el origen�
de radios a y b y espesor despreciable� se encuentra lleno de dos diel�ectricos de
permitividades �� y ��� Supuesto que el primer diel�ectrico ocupa la regi�on a � r � cy el segundo la regi�on c � r � b� hallar�
a� Los campos �E� �D y �P en funci�on de los potenciales Va y Vb aplicados a los
conductores�
b� La cargas de polarizaci�on en r � c en funci�on de �P �
c� La capacidad del condensador�
���� Si en el problema anterior el primer diel�ectrico ocupa la zona a � r � b� z � ��y el segundo la zona a � r � b� z � ��
a� Demostrar que un campo radial es compatible con las condiciones de contorno
del problema�
b� Repetir� para �este caso� los apartados a y c del problema anterior�
���� Describir� de forma an�aloga al problema ���� el momento magn�etico total de un
material imanado� de volumen V y envuelto por la supercie S� en funci�on de las
densidades superciales y de volumen de polos magn�eticos� H�agase lo mismo en
funci�on de las densidades superciales y de volumen de corrientes de magneti�zaci�on�
��
����� Hallar los campos �B y �H� producidos en un punto de su eje por un im�an cil��ndrico�
de radio a� longitud L e imanado uniformemente� en direcci�on axial� con magne�
tizaci�on �M � Realizar los c�alculos�
a� Haciendo uso del formalismo de corrientes equivalentes de magnetizaci�on�
b� Haciendo uso del formalismo de polos magn�eticos�
����� Un material magn�etico conductor� que tiene la forma de un cilindro largo� de radio
a y permeabilidad �� est�a recorrido por una corriente uniforme I� A este cilindro
lo envuelve un tubo del mismo material� coaxial con el anterior� de radio interno
b y externo c� Calcular los campos� la magnetizaci�on� las densidades de corriente
de magnetizaci�on y las de polos magn�eticos en todos los puntos del espacio�
����� Un im�an permanente tiene forma de elipsoide de revoluci�on con semiejes a yb y posee una magnetizaci�on �M en la direcci�on del eje de simetr��a� Hallar las
densidades de corrientes de magnetizaci�on y de polos magn�eticos resultantes�
����� Un im�an tiene forma de disco de radio a y espesor peque�no b y tiene una magne�
tizaci�on �M uniforme y perpendicular a las caras del mismo� Hallar los campos en
cualquier punto del eje�
����� Un solenoide toroidal de secci�on circular tiene radio menor ��� cm y mayor � cm�
Est�a constituido por un carrete de ��� vueltas uniformemente arrolladas alrededor
de un n�ucleo de material magn�etico de permeabilidad relativa �r � ���� Hallar�
a� La autoinducci�on�
b� Los campos generados cuando por el carrete se hace circular una corriente
de ��mA�
c� Comparar los resultados anteriores con los que se obtendr��an al sustituir el
n�ucleo magn�etico por aire�
����� Hallar los campos producidos en cualquier punto del espacio por un im�an en formade tubo cil��ndrico� de radio interior a y exterior b� que est�a imanado longitudinal�
mente�
����� Dado un im�an esf�erico� de radio a y magnetizaci�on uniforme �M � hallar�
a� Las corrientes de magnetizaci�on y las densidades de polos magn�eticos�
b� Los campos en cualquier punto del eje�
c� Si la existencia de un campo uniforme en el interior del im�an y dipolar puro
en el exterior del mismo es compatible con las condiciones de contorno del
problema y con los resultados anteriores�
Cap��tulo �
Conductores
��� Mecanismos de conducci�on� Medios �ohmicos
Ya hemos visto en la secci�on ����� que� desde el punto de vista macrosc�opico� el trans�porte de cargas puede describirse por los vectores densidad de corriente
��i � �j�uj � �� �
pXj��
��j �����
donde �j es la densidad de carga de portadores de tipo j� �uj su velocidad colectiva ode arrastre� ��j su densidad de corriente y �� la densidad de corriente total� o neta� delconjunto de los p portadores de distinto tipo que intervienen en la conducci�on�
En general� un Portador es cualquier part��cula cargada capaz de desplazarse y darlugar a un �ujo neto de cargas a trav�es de una super�cie determinada�
Existe una gran variedad de mecanismos de conducci�on� algunos de gran comple�jidad� Las fuerzas que intervienen en la conducci�on� a nivel microsc�opico� son de tipocu�antico y electromagn�etico� Por ahora nos ocuparemos principalmente de la contribu�ci�on del campo el�ectrico que� en la mayor��a de los casos pr�acticos� es la m�as importante�y se utilizar�an modelos mec�anicos sencillos para representar a las fuerzas cu�anticas�
El campo el�ectrico act�ua sobre los portadores de carga aceler�andolos� en su mismadirecci�on si son de carga positiva� como los iones positivos en electrolitos y gases olos huecos en semiconductores� y en direcci�on contraria� como los electrones e ionesnegativos� En general� cada tipo de portador contribuye a la corriente total� con unadensidad de corriente �
��j � ��j� �E� t� � �uj � �uj� �E� t�
En los medios densos� la energ��a que el campo cede a los portadores puede conver�tirse e�cientemente en energ��a t�ermica a trav�es de los choques con mol�eculas� lo quepuede traducirse en una fuerza de fricci�on equivalente� Esta fuerza de fricci�on� comoen el caso de la ca��da de un grave en un medio viscoso� limita la velocidad de arrastre
�La corriente puede tambi�en ser funci�on del campo magn�etico pero aqu�� no tendremos en cuenta aesta posible contribuci�on�
���
���
de los portadores de forma que� bajo la acci�on de un campo constante� �esta alcanzar�apidamente un valor l��mite independiente del tiempo�
�uj � �uj� �E�
Para los medios lineales� o medios �ohmicos� esta relaci�on se escribe de la forma
�uj � �j �E �����
donde �j es la Movilidad del portador j�La densidad de corriente total ser�a tambi�en proporcional al campo aplicado
�� � � �E � � �
pXj��
�j �j �����
donde � es la Conductividad del medio�Esta es una de las formas de enunciar la Ley de Ohm� la cual expresa la relaci�on�
lineal � e is�otropa� existente entre el campo el�ectrico aplicado y la densidad de corrienteresultante para un cierto tipo de materiales y bajo unas condiciones determinadas�Conviene resaltar que esta ley� si bien tiene un amplio margen pr�actico de aplica�
bilidad� no tiene validez universal� Entre otros factores destacaremos el hecho de quela inercia de los portadores hace que �� dependa tambi�en del valor de los campos eninstantes previos�La aptitud de conducci�on de un medio suele medirse tambi�en por la resistividad
r ��
�� �% �m� ����
que en la pr�actica toma valores muy distintos� desde estrictamente cero� en los super�conductores� y valores �nitos pero muy bajos� del orden de ���� % �m� para los buenosconductores� pasando por el orden unidad para los semiconductores intr��nsecos y lle�gando hasta el orden ���� para los buenos diel�ectricos�Mientras no avisemos lo contrario� los medios que trataremos ser�an �ohmicos�
��� Relajaci�on en medios �ohmicos
Veremos que un medio �ohmico homog�eneo tiende a neutralizar la carga en su interioren un tiempo del orden de
� ��
������
constante caracter��stica del medio que se llama Tiempo de relajaci�on y que� para buenosconductores� puede alcanzar valores del orden de ����� s� Paralelamente� si por un medio�ohmico circula en un instante dado una corriente no estacionaria� �esta tender�a a hacerseestacionaria con la misma constante de tiempo�Para ser precisos� veremos que un medio en estado no estacionario tiene un compor�
tamiento que no es estrictamente �ohmico�
�Esta no es la forma m�as general de linealidad� como puede verse en el tomo segundo�
���
Supongamos
� � cte � � � cte � �� � � �E � �D � � �E
Seg�un la ecuaci�on de continuidad
r � �� � ��t
��t� �r � �E � �
�r � �D
�
t� ��
�
e integrando
� � �� e�t�� �����
Luego� si el medio tiene en un instante dado una densidad neta de carga �� �� �� cuan�do desaparezcan las causas que lo han sacado de la neutralidad� tender�a a restablecersu neutralidad interna con una constante de tiempo � � Simult�aneamente� el conductortiende a hacerse estacionario�
�
t� ���
�e�t�� lim
t���
t� �
lo que podemos ver de otra forma�
Sustituyendo en la ecuaci�on de continuidad
r � ��� �
t� � � � � r � �D � � r � ��r �
��� � �
t
���
�� �
lo que implica que �� no es estacionaria� pero
��e �
�� � �
t
���
s�� lo es�
Integrando la ecuaci�on homog�enea y sum�andole una soluci�on particular� ��part � ��e�tenemos
�� � ��e � ��� e�t�� lim
t���� � ��e � r � ��e � �
Evidentemente� dentro de la aproximaci�on �ohmica� los conductores son neutros ensu interior y las corrientes que circulan por ellos son estacionarias�
Por esta raz�on� los desequilibrios de carga en un conductor� bajo esta aproximaci�on�s�olo pueden aparecer en su super�cie� donde� al darse una no homogeneidad del medio�� � ���r� y r � �D � r � ����� �� �r � ���
��� Conductores est�aticos
En conexi�on con lo anteriormente expuesto� trataremos el caso importante de los cuerposconductores en condiciones est�aticas�
���
En la pr�actica� es posible aislar un conductor de forma que� en �el y en su entorno�se cumplan muy aproximadamente las condiciones de estaticidad
�E � �E��r� � �� � �
bajo las cuales los campos son constantes y las cargas est�an quietas�
Supondremos que el conductor como tal� v�ease la �gura ���� dispone de un n�umeroelevado de portadores� es decir� tiene una densidad de portadores �p pr�acticamentein�nita�
EE =0
=οορ p
V =ctei
i
Figura ����
Si estos portadores est�an quietos� no est�an sometidos a la acci�on del campo el�ectrico�De hecho� s�olo en la super�cie� donde las fuerzas el�ectricas pueden ser contrarrestadaspor las cristalinas� es posible la existencia de campo el�ectrico� Luego� el campo internode un conductor est�atico es nulo
�Ei � � �����
adem�as� puesto que
dVi � � �Ei � d�r � �todo el conductor est�a al mismo potencial
Vi � cte �����
Puede hablarse� pues� del Potencial de un Conductor est�atico�
Los conductores de tipo met�alico son poco polarizables porque las cargas de po�larizaci�on est�an fuertemente ligadas a las mol�eculas� Por esta raz�on� puede tomarse deforma muy aproximada � � ���
Por lo que respecta al campo en la super�cie del conductor� �Ec� podemos demostrarque es proporcional a la densidad super�cial de carga y perpendicular a la super�cie
�Ec ��
��n
La perpendicularidad a la super�cie de deduce del hecho de que �esta es equipotencial�
El c�alculo del campo puede llevarse a cabo mediante el uso del teorema de Gauss�Para poder aplicarlo es necesario modelar la transici�on del conductor� de constante ��� aldiel�ectrico� de constante �� como continua� Supongamos� �gura ���� que esta transici�on
��
h/2
0
Δ x
ε
ε(x)
-h/2
x
ε
Figura ����
tiene lugar r�apidamente� en un intervalo �x� donde x es la distancia en la direcci�onperpendicular a la interfaz de separaci�on de los dos medios�Supongamos ahora� �gura ����a� que la rugosidad de la super�cie S del conductor
es limitada y que podemos aproximar una peque�na zona de S� S�� al plano tangente &�Si un observador se acerca a una distancia h�� tal que
�x� h��� L
�L � dimensi�on transversal de S��� ver�a a la super�cie del conductor como un planoinde�nido en el que� por lo tanto� �s y �Ec ser�an pr�acticamente constantes� En �h��ver�a un diel�ectrico homog�eneo y en �h�� un conductor homog�eneo�
le
EprE ’pr
E c
E c
1S
2S
Δ S ρ s
ε 0
ρ s
c
S
n
Π
(a) (b)
pol
Conductor
ε
Dielectrico
0
E
Ele E
Figura ����
Tomaremos ahora lo que en la profesi�on se conoce como una )caja de pastillas��Se trata de una peque�na super�cie cil��ndrica� S�� cuyas generatrices� de longitud h� sonperpendiculares al plano & y cuyas bases� de super�cie �S � L�� son paralelas a mismo�Seg�un el teorema de Gauss
�S���D� �
ZS�
�D � d�s � Q �
Z�S
�s ds
Puesto que el campo en el interior del conductor es nulo y �Ec � Ec �n s�olo contribuyeal �ujo la base que est�a en el diel�ectrico�
� �S � �S �n � �S�� �D� � �Ec�S
���
La carga de conducci�on encerrada en la caja de pastillas es la que est�a en la super�ciedel conductor� �S� seccionada por la caja de pastillas�
Q � �s�S �Ec �
�s��n ��� �
Haciendo las cuentas en detalle podemos demostrar que la mitad de �Ec est�a generadopor las cargas pr�oximas� contenidas en �S� y la otra mitad por el resto de las cargasdel Universo� Descompongamos �Ec en dos componentes� una� �Epr� debida a las cargas
pr�oximas de conducci�on y de polarizaci�on� y otra� �Ele� debida a las cargas lejanas�
�Ec � �Epr � �Ele
En la �gura ����b se representa a la misma caja de pastillas pero se ha substituidoel diel�ectrico por sus cargas super�ciales de polarizaci�on� De esta forma� en la zona deldiel�ectrico se toma �� �� y el problema se hace sim�etrico a ambos lados de la super�cie�Efectivamente� procediendo de forma an�aloga a la utilizada anteriormente
r � �E � �
����� �pol� �Ec �
�
����s � �spol��n
donde se pone de mani�esto las contribuciones de las cargas de conducci�on y de polar�izaci�on�Dada la simetr��a del problema� el campo pr�oximo en el interior del conductor �E�pr
debe ser igual y contrario al mismo campo fuera del conductor �Epr�
�E�pr � � �Epr
mientras que el campo lejano carece de fuentes en la zona de inter�es y es continuo�Por otra parte� el campo �Ei en el interior del conductor es nulo
�Ei � � �Epr � �Ele � � �Epr � �Ele �Epr ��
��Ec
En todos estos c�alculos� como en toda f��sica macrosc�opica� se ha emitido una serie dehip�otesis que pueden ser v�alidas en una determinada situaci�on f��sica� En los microscopios
de emisi�on de campo se utilizan puntas con radios de curvatura de unos pocosoA� lo que
evidentemente hace inadecuada la aplicaci�on de lo anterior a este tipo de estructuras�Como consecuencia de la existencia de campo en la super�cie del conductor� sobre
�esta se ejerce una fuerza� por unidad de super�cie�
d�F
ds� �s
�Ec
���
����s �n �
�
��E�
c �n � �e �n
donde� como se ver�a m�as adelante� �e ��
��E�
c es lo que se conoce como densidad de
energ��a del campo el�ectrico en la super�cie del conductor� El factor ��� aparece debido aque la contribuci�on del campo �Epr es nula� en virtud del principio de acci�on y reacci�on�
���
por lo que� para el c�alculo de esta fuerza s�olo es necesario tener en cuenta al campocreado por las cargas externas� o lejanas�Como vemos� esta fuerza tiene direcci�on normal y sentido hacia afuera del conductor�
las cargas� cualquiera que sea su signo� tienden a escapar del conductor� Cuando estafuerza supera a la cristalina que impide a las cargas salir del conductor� se producela chispa el�ectrica� A igualdad de potencial� el campo el�ectrico en la super�cie delconductor es tanto m�as intenso cuanto mayor es la curvatura� por lo que la chispasalta m�as f�acilmente de las puntas�La fuerza calculada es� por lo tanto� la suma de la ejercida sobre la carga de conduc�
ci�on� depositada en la super�cie del conductor� m�as la de polarizaci�on� que correspondea la super�cie del diel�ectrico� Dado que ambas fuerzas se dirigen hacia afuera del con�ductor� la segunda solo actuar�a sobre el conductor cuando el diel�ectrico lo � moje�� esdecir� cuando el diel�ectrico est�e ligado �pegado� al conductor�
��� Tubos de corriente estacionaria
Seg�un hemos visto� un medio �ohmico tiende a la estacionariedad en un tiempo del ordende � � normalmente muy peque�no� En la pr�actica� los sistemas de corrientes estacionarias�continuas�� o cuasiestacionarias� son de gran inter�es�Dado que
r � �� � ��t� �
los tubos deben ser cerrados� A continuaci�on daremos una justi�caci�on sobre la necesidadde que las l��neas de corriente se cierren a una distancia �nita�Seg�un la secci�on ���� la fuerza electromotriz en un camino cerrado L viene dada por�
�gura ��
EL �IL�E � d�l
(b)
j
(a)
L L
1
2E
Figura ���
Si tomamos a L como una l��nea de corriente� recorrida en el sentido de ��� y suponemosque el medio es �ohmico� la fuerza electromotriz de dicha l��nea ser�a
EL � �
�
IL�� � d�l � � � ya que �� d�l
�V�ease p�arrafo ����
���
En este caso� EL es el trabajo realizado por el campo� sobre la unidad de carga� enel recorrido de la l��nea y� si la longitud del camino fuese in�nita� tambi�en lo ser��a eltrabajo� salvo en el caso de los superconductores cuya conductividad es in�nita�
Dado que EL �� �� para generar corrientes estacionarias es necesario recurrir a cam�pos no conservativos� En consecuencia� descompondremos a los campos en dos contribu�ciones� la de los campos conservativos� �Ec� y la de los no conservativos� �ER� o camposelectromotores�
�E � �Ec � �ER � �Ec � �rV � r� �ER �� �Los campos no conservativos pueden tener origen diverso s�olo los predichos por la
ley de inducci�on de Faraday son de origen electromagn�etico cl�asico�
Dado que IL�Ec � d�l � �
EL �IL�ER � d�l ������
A partir de esta expresi�on generalizaremos el concepto de fuerza electromotriz paraaplicarlo a segmentos de l��nea no cerrados�
EL �����
Z �
�L
�ER � d�l ������
Utilizamos el sub��ndice L����� porque la fuerza electromotriz es una integral de l��neay� por lo tanto� s�olo est�a de�nida un��vocamente si especi�camos el camino y los puntosinicial� �� y �nal� �� del mismo�
�� Resistencias y generadores de corriente continua
Supongamos que la secci�on del tubo de corriente estacionaria de la �gura ��� est�a limi�tada por dos secciones� S� y S�� y que la estructura del mismo es tal que se cumple consu�ciente aproximaci�on Z �
�L
�E � d�l �Z ��
��L�
�E � d�l
donde L y L� son cualquier par de l��neas de corriente del tubo y �� �"� �� �"� puntos enS� y S�� respectivamente�Bajo estas condiciones� diremos que S� y S� son los Terminales del tubo� el cual
podr�a ser tratado con un formalismo de circuito de dos terminales� En la pr�actica estosterminales suelen estar constituidos por buenos conductores �� ����Para estos circuitos se de�ne el par�ametro Resistencia del tubo
R �
Z �
�
�E � d�lZS��� � d�s
��
I
Z �
�
�E � d�l ������
���
2
d s
S1
S2
j d lE
121’
2’
L’
LV
1-V
Figura ����
donde se entiende que la integral se lleva a cabo a lo largo de una l��nea de campo� desdeel terminal � al ��
Para medios lineales� esta relaci�on es una constante positiva� la resistencia del tubo�mientras que para medios no linealesR � R�E�� Este es el caso de las VDR o resistenciasdependientes de la tensi�on�
Aparte de las variables el�ectricas� en el valor de la resistencia interviene la tempera�tura� muy marcadamente en los termistores� el campo magn�etico� en las magnetorre�sistencias� etc�
Cuando en el tubo s�olo existen campos conservativos� decimos que �este es Pasivo yconstituye una Resistencia ideal� En este caso
I R �
Z �
��rV � d�l � V� � V�
Es decir� la ca��da de potencial en una resistencia es igual al producto I R� Rep�resentaremos esta relaci�on� Ley de Ohm� con los convenios de signos y s��mbolos de la�gura ����
2RV
I R
1
Figura ����
VR � I R ������
Cuando un tubo� en el que existen campos no conservativos� tiene resistencia nula�decimos que es una Fuente ideal de fuerza electromotriz o Pila ideal� Ahora� �Ec � � �ERZ �
���rV � �ER� � d�l � � � V� � V� � E���
E � V �����
que representamos con los convenios de la �gura ����
��
1
V
2
Figura ����
La pila ideal es� pues� un elemento de dos terminales que mantiene� entre los mis�mos� una diferencia de potencial igual a su fuerza electromotriz� cualquiera que sea laintensidad que circule por �el� Manteni�endonos dentro del modelo lineal� en general� unTubo activo� o pila real� tendr�a resistencia y fuerza electromotriz�
I R �
Z �
���rV � �ER� � d�l � �V� � V�� � E��
Tenemos� pues� �gura ����
1
RVΙ
R
V
2
Figura ����
V � E � I R ������
Expresi�on que suele conocerse como la ley de Ohm generalizada�Si entre los terminales � y � colocamos una resistencia externa Re� o de carga� �gura
�� �
1
RV
R
V
Ι
R e
2
Figura �� �
V � I Re � E � I�R�Re� ������
���
��� Asociaci�on de elementos� Leyes de Kirchho�
Los elementos pueden� en principio� asociarse en serie y en paralelo�
Asociaci�on serie �
En la asociaci�on serie la intensidad que pasa por los dos elementos es la misma�
Para resistencias� �gura �����
s
RV
I R
RV
R s
1 2
1 2
I R1 2
V
Figura �����
���I � I� � I�
Vs � VR� � VR�
Rs � R� �R� ������
Luego� las resistencias en serie se suman y lo mismo ocurre con las fuerzas electro�motrices de las pilas
Es � E� � E� ������
Asociaci�on paralelo �
En la asociaci�on paralelo� se unen los terminales de los elementos dos a dos con loque la ca��da de potencial es com�un a ambos� Es evidente que esta asociaci�on no puederealizarse entre pilas ideales� Para resistencias� �gura �����
I V
2I R 2
1 1I R
Figura �����
���V � VR� � VR�
I � I� � I�
�
Rp��
R���
R�
Rp �R�R�
R� �R����� �
���
Circuitos �No todas las asociaciones pueden reducirse a la con�guraci�on serie y paralelo� Lla�
maremos Circuito a una asociaci�on de elementos activos y pasivos� Nudo es el punto deconexi�on de dos o m�as elementos� Rama es el conjunto de elementos que puede ser des�crito mediante una relaci�on� entre dos terminales� an�aloga a la ley de Ohm generalizada�Malla es un conjunto de ramas interconectadas de forma que pueden ser recorridas a lolargo de un camino cerrado sin pasar dos veces por la misma rama�
Leyes de Kirchho� �El an�alisis de circuitos de corriente continua puede llevarse a cabo mediante la
aplicaci�on de las Leyes de Kirchho�� en la �gura ���� se representa a un nudo en elque convergen varias ramas�
I
1I
I
I
S
Vi
2
N
Figura �����
Puesto que las corrientes son estacionarias� r��� � �� e integrando sobre un volumenV que contenga al nudo� tenemos Z
S�� � d�s � �
NXi��
Ii � � ������
Esta es la Primera ley de Kirchho� y nos dice que la suma de las intensidades� queinciden sobre el nudo� es igual a cero�Ahora consideraremos una malla� como la de la �gura �����Escribiremos �Ec � �E � �ER� donde �Ec � �rV es el campo conservativo y �ER �
�� �A�t �
�ERn el no conservativo� que puede desglosarse en la parte que deriva del potencial
vector y el �ERn cuyo origen no es electromagn�etico cl�asico�IL�Ec d�l �
IL� �E � �ER� � d�l � �
IL�E � d�l �
MXi��
IiRi �
IL�ER � d�l �
MXi��
Ei
���
L
I
1I I i1
i
M
M
Figura �����
MXi��
Ei �MXi��
IiRi ������
Esta es la Segunda ley de Kirchho�� la cual iguala a la suma de las fuerzas electro�motrices de las ramas que componen la malla con la suma de las ca��das de potencialque tienen lugar en las resistencias de dichas ramas�
�� Disipaci�on de energ��a� Ley de Joule
En un tubo de corriente estacionaria� la energ��a que el campo electromagn�etico cede alas cargas� por unidad de volumen y de tiempo� viene dada por
d�Wc
dv dt�
dPcdv
� �� � �E
La Ley de Joule postula que� en el caso de una corriente estacionaria� el trabajo querealiza el campo sobre las cargas se transforma ��ntegramente en calor que se cede almedio� La potencia Pj convertida en calor en un volumen V por el Efecto Joule es
Pj �
ZV�� � �E dv ������
Si el volumen V de integraci�on es el de un tubo cerrado de corriente
Pj �
ZV�� � � �Ec � �ER� dv
pero� �Ec � �rV yZV�� � rV dv �
ZVV r � �� �z�
��
dv �ZVr � �V ��� dv �z �
��
� �
�V�ease la secci�on ���
���
La primera integral se anula porque la corriente es estacionaria y la segunda porque�haciendo uso del teorema de la divergencia�Z
Vr � �V ��� dv �
ZSV �� � d�s � �
puesto que en S� �� � d�s � ��En este caso podemos escribir
Pj �
ZV�� � �ER dv ������
entendiendo cabalmente que para el consumo local de energ��a es necesario tener encuenta el campo total �E�
S 2
j
S1S 2
E R=0
E R=0
dv=d s.d l
d s
j
(a) (b) (c)
R
V R e
2
1
Ι
S1
Figura ����
Para una resistencia� �gura ����a� dividiendo el tubo en elementos de secci�on d�s�y tomando d�s d�l ���
Pj �
ZV�� � �E dv �
ZV��� � d�s�� �E � d�l� � I
Z �
�
�E � d�l � I�R
Tomemos ahora un tubo cerrado� �gura ����b� y supongamos que los campos rota�cionales est�an contenidos en la secci�on comprendida entre S� y S��
Pj � I
IL�E � d�l � I
�Z �
�
�E � d�l �Z �
�
�Ec � d�l�
de donde se deduce� �gura ����c�
Pj � I E � I�R� V I � I� �R�Re� �����
El t�ermino I E representa la energ��a cedida por la pila� I�R es la energ��a transformadaen calor dentro de la propia pila� e I�Re el calor cedido a la resistencia externa�
La ley de Joule no tiene validez general puesto que� en el caso de corrientes noestacionarias� pueden aparecer otros t�erminos en el balance energ�etico�
��
��� Problemas
���� Calcular el tiempo de relajaci�on de los materiales que se relacionan a continuaci�on
junto con sus resistividades en %�m� entre par�entesis��
Al ��� �������� Cu ��� �������� Au ��� ������� Ag ��� �������� Ge ������ Si ����
���� En la secci�on ��� se muestra que para calcular la presi�on sobre la supercie deun conductor solo es necesario tener en cuenta la mitad del campo existente en
la supercie exterior del mismo� Compru�ebese que puede llegarse a la misma con�
clusi�on si� por ejemplo� modelamos la densidad supercial de carga �s como una
densidad de volumen uniforme �� denida en un espesor a peque�no�
���� De igual forma que la carga en la supercie de un conductor est�atico separa una
regi�on de campo nulo de otra con campo distinto de cero� la corriente supercial
de un solenoide ideal separa tambi�en la zona exterior� de campo nulo� de la inte�rior� donde existe campo� Hacer uso de argumentos an�alogos a los propuestos en
la secci�on ��� y en el problema anterior para demostrar que tambi�en en el caso
magn�etico es necesario el uso del factor �� �
���� Para el condensador del problema ���� calc�ulese�
a� La fuerza que una placa ejerce sobre la otra cuando entre ellas se establece
una diferencia de potencial V � para cualquier valor de c � b
b� Lo mismo que en el apartado anterior pero cuando el diel�ectrico � moja a la
placa�� Se dice que el diel�ectrico moja a la placa cuando ambas supercies
est�an ��ntimamente unidas por lo que� en todo caso� c � b�
c� Hallar el trabajo realizado al separar las placas desde la distancia a hasta la
distancia �a cuando el diel�ectrico es s�olido de espesor c � a y en los casos
en que � bien el potencial o la carga depositada en las placas se mantiene
constante durante la operaci�on�
d� Lo mismo que en el apartado anterior pero cuando el diel�ectrico es liquido y
llena todo el espacio�
���� El espacio entre dos esferas met�alicas conc�entricas est�a lleno de aire� cuya rigidez
diel�ectrica es de unos �� ��� V �m�� y cuya constante diel�ectrica es ��� Supuestoque el radio de la esfera mayor es jo e igual a �� cm y que el de la menor puede
variarse y es igual a x� � cu�ales son las presiones m�axima y m��nima que soporta
la esfera interna� en funci�on de x� cuando entre la dos se aplica una diferencia de
potencial de ��KV � La rigidez diel�ectrica es el campo el�ectrico m�aximoque soporta un diel�ectrico antes de destruirse al ser perforado por
una descarga el�ectrica�
���� Hallar la resistencia de los conductores de la gura �����
���� En primer lugar se forma un condensador con dos conductores ideales� cil��ndricosy conc�entricos� de radio interior a� exterior b y longitud c �� b � a� llenando
���
θ
a
cb
σ0
ooσ ooσ
a
L
(a)
o
(b)
oσ
ooσ
σ0
Figura �����
el espacio entre placas con un diel�ectrico de constante �� Posteriormente esteespacio se llena de un conductor de conductividad �� formando de esta manera
un conductor� Determinar la relaci�on existente entre la capacidad del condensador
y la resistencia del tubo de corriente�
���� Sean dos placas conductoras ideales� planas y paralelas� de �area A� separadas por
un espacio de espesor a� la mitad del cual est�a llena por una l�amina de conduc�tividad �� y la otra mitad por una l�amina de conductividad ��� Hallar�
a� La resistencia�
b� La carga de conducci�on depositada en las interfacies de los conductores en
funci�on de la diferencia de potencial aplicada�
La constante diel�ectrica de todos los medios es igual a la del vac��o �
���� Repetir el problema anterior cuando las placas son cil��ndricas� de radios a y by longitud c� y cada medio ocupa uno de los dos hemicilindros separados por un
plano que pasa por el eje del mismo�
���� Demostrar que la resistencia entre dos lados opuestos de un cuadrado de material
conductor es independiente de la longitud de su lado�
- R
R0
V0
+
Figura �����
����� Dada la bater��a de la gura ����� con fuerza electromotriz V� y resistencia interna
R�� hallar cual es el valor de la resistencia externa R a la que suministrar��a unm�aximo de potencia � Cu�al es el valor de este m�aximo��
���
����� El circuito de la gura ���� representa a un Puente de Wheatstone� Hallar�
a� La diferencia de potencial y la intensidad que circula por R��
b� La condici�on de equilibrio� la condici�on necesaria para que Va � Vb � ��
c� Expresiones aproximadas� cuando el puente esta cercano al equilibrio� de la
intensidad que pasa por R�� cuando esta resistencia es mucho menor que las
dem�as� y de la diferencia de potencial a trav�es de la misma cuando �esta es
mucho mayor que las dem�as�
5
V0
+
-
R 1 R 2
R 3 R 4
R
Figura �����
����� Seis resistencias de un ohmio est�an conectadas formando las aristas de un cubo�
Hallar la energ��a transformada en calor durante una hora si entre dos v�ertices
opuestos se conecta una bater��a de un voltio�
����� Dos bater��as de fuerzas electromotrices E� y E�� resistencias internas R� y R�� se
conectan en serie y posteriormente en paralelo� Hallar el generador equivalente
Thevenin correspondiente a cada una de �estas conguraciones� El equivalente
Thevenin de un circuito� visto desde dos nudos cualesquiera del mis�
mo� es un generador� de fuerza electromotriz ET y resistencia inter�
na RT � tal que� si colocamos entre sus bornas una resistencia arbi�
trarla por ella circulara la misma intensidad que la que circular��a
si fuese conectada entre los citados nudos del circuito�
���
Cap��tulo �
Ecuaciones de Maxwell para
medios materiales� Consecuencias
��� Ecuaciones de Maxwell
Como resumen del cap��tulo anterior� agrupando las fuentes escalares y vectoriales quese han ido obteniendo para la descripci�on macrosc�opica de los campos y teniendo encuenta las de�niciones de �D y �H
�D � �� �E � �P � ��a�
�H ��B
��� �M � ��b�
podemos escribir las ecuaciones de Maxwell en su forma general
r � �D � � � ��a�
r� �E � ��B
t� ��b�
r � �B � � � ��c�
r� �H � �j � �D
t� ��d�
Como ya hemos visto� las ecuaciones ��d y ��a llevan impl��cito el cumplimiento dela ecuaci�on de continuidad para la carga de conducci�on�
r ��j � �
t� � � ���
���
��
Ecuaciones de para medios de clase A �Para completar la descripci�on del campo electromagn�etico era necesario conocer las
ecuaciones constitutivas que de�nen la relaci�on de los vectores �D� �H� �o �P � �M y �j� enfunci�on de los campos fundamentales �E y �B y� tambi�en� de otras variables como �r� t�etc�En el caso m�as sencillo� el de los medios de clase A ��
�D � � �E � �B � � �H � �j � � �E � ��
por lo que las ecuaciones �� pueden expresarse en funci�on de �E y �H
r � �E � �
�� ��a�
r� �E � �� �H
t� ��b�
r � �H � � � ��c�
r� �H � � �E � � �E
t� ��d�
donde debe tenerse en cuenta que la ecuaci�on ��c s�olo es v�alida en el interior de unmedio homog�eneo�Esta versi�on es de una gran utilidad puesto que es aplicable con su�ciente aproxi�
maci�on a una gran parte de los problemas de inter�es pr�actico�
Ecuaciones en el dominio de la frecuencia�
Las ecuaciones anteriores se simpli�can considerablemente si nos limitamos a lab�usqueda de soluciones arm�onicas � complejas del tipo
���r� t� � ����r� ej� t � ���
donde � representa a cualquiera de las componentes de los campos� j es la unidadimaginaria y ����r� es� en general� una funci�on compleja �con parte real e imaginaria��en cuyo caso
���r� t�
t� j� ���r� t�
t� j� � ���
las derivadas temporales se substituyen por factores algebr�aicos�Las ecuaciones de Maxwell en el Dominio de la frecuencia son
r � �E � �
�� ��a�
�Para un tratamiento algo m�as amplio de otro tipo de materiales � v�ease el segundo tomo��El an�alisis de Fourier permite construir las soluciones en el dominio del tiempo mediante la super�
posici�on de soluciones arm�onicas�
���
r� �E � �j� � �H � ��b�
r � �H � � � ��c�
r� �H � �� � j� � � �E � ��d�
Los l��mites de validez de las ecuaciones anteriores pueden resumirse cualitativamentede la forma�
� La linealidad obliga a reducir la amplitud de los campos aplicados puesto quecuando �esta es su�cientemente elevada todos los medios se comportan de forma no�lineal� La manifestaci�on m�as dram�atica de no�linealidad es la ruptura diel�ectrica�debido a la cual un diel�ectrico se perfora cuando se le aplica un campo el�ectricosuperior a un cierto valor cr��tico �del orden de �� V�m���� No obstante� salvoen el caso de materiales b�asicamente no lineales� como los ferroel�ectricos o ferro�magn�eticos� esta limitaci�on es poco importante� Para estos �ultimos materialespuede de�nirse una permeabilidad no lineal � � ��B�� Los fen�omenos electro�magn�eticos no lineales son muy variados e interesantes aunque aqu�� no haya es�pacio para tratarlos con extensi�on su�ciente�
� La no�homogeneidad es una propiedad frecuente en la naturaleza� as�� como ladependencia temporal de las propiedades de los medios� Si se dan estas circuns�tancias� las constantes se ven afectadas por los operadores y
�D
t� �
�E
t� �E
�
t� � r � �D � �r � �E �r� � �E
con lo que las ecuaciones se complican pero permiten� a su vez� el estudio deuna familia de fen�omenos� como la propagaci�on de ondas electromagn�eticas enel interior de la tierra� en la atm�osfera� la ionosfera� etc� Sin embargo� con lasecuaciones �� y �� y las condiciones de continuidad ��� y ��� puede abordarseel estudio de medios homog�eneos a trozos� como son la mayor parte de las lentes�las gu��as de onda� las antenas� etc�
� La anisotrop��a es tambi�en un fen�omeno interesante que se da� con distintas carac�ter��sticas� en medios naturales cristalinos o sometidos a tensiones� Tambi�en apareceen ciertos medios arti�ciales y en plasmas y ferritas magnetizados� En este caso�la respuesta del medio a una excitaci�on depende de la direcci�on en que se aplique�esta y puede describirse mediante constantes tensoriales� por ejemplo Di � �ij Ej �lo que lleva consigo que� en general� la respuesta tiene distinta direcci�on a la ex�citaci�on�
� Otra limitaci�on al uso de estas ecuaciones se debe a la aparici�on del fen�omeno dedispersi�on temporal � Para polarizar un medio o para crear una corriente es nece�sario vencer la inercia de electrones e incluso mol�eculas� con lo cual� la respuesta
�Tambi�en pueden aparecer fen�omenos de dispersi�on espacial� cuando el campo y los medios var��anr�apidamente con las coordenadas espaciales� debido al hecho de que el campo total en un punto recibecontribuciones del medio que hay en su entorno y� por lo tanto� la respuesta del mismo solo puedetratarse aproximadamente como un efecto local�
���
no es instant�anea sino que se extiende� o dispersa� a lo largo del tiempo� En estecaso� las ecuaciones �� dejan de ser v�alidas y es necesario substituirlas por otrasintegrodiferenciales o� como alternativa m�as simple� hacer uso de las ecuacionesde Maxwell �� en el dominio de la frecuencia y considerar a las constantes �� �y � como funciones complejas de la frecuencia� Para que las ecuaciones �� seanv�alidas� la variaci�on temporal de los campos debe ser mucho m�as lenta que la res�puesta del medio� es decir� las constantes de tiempo caracter��sticas de los camposdeben ser muy superiores a las de las respuestas a un impulso del medio� Una granmayor��a de los medios tiene una respuesta diel�ectrica aproximadamente constantehasta frecuencias del rango de microondas� a partir del cual empieza a ser notablela dispersi�on temporal� Por lo general� los efectos dispersivos de la conductividady la permeabilidad magn�etica lineales aparecen a frecuencias m�as elevadas�
M�as adelante trataremos el problema de la unicidad de la soluci�on con condiciones decontorno� Nos basta ahora con apuntar que un problema electromagn�etico correctamenteespeci�cado tiene soluci�on �unica pero que� en general� para poder especi�car las fuenteses necesario el conocimiento previo de los campos�
Una vez resuelto el problema de campo macrosc�opico� queda pendiente el de calcularlos esfuerzos que la materia macrosc�opica sufre en presencia de dicho campo� Este es untema complejo que abordaremos parcialmente en el pr�oximo capitulo y en el ap�endiceC�
��� Condiciones de continuidad
Antes de abordar el problema de contorno propiamente dicho� veremos c�omo se apli�can las ecuaciones de Maxwell en las zonas donde las propiedades de los medios sondiscontinuas� Buscaremos las reglas de conexi�on entre los campos a ambos lados de lasuper�cie de separaci�on de dos medios con propiedades distintas� Puesto que se tratade generalizar lo tratado en la secci�on ���� no repetiremos las consideraciones que sehicieron all�� con cierto detalle�
Supongamos que la interfaz entre ambos medios puede ser representada por unasuper�cie suave SI y que� adem�as� se cumplen otras condiciones que describiremos conayuda de la �gura ��� Esta representa a un volumen macrosc�opico constituido por unacaja de pastillas cuyas bases son planas� paralelas y equidistantes a SI y de un �area�S lo bastante peque�na como para que la secci�on correspondiente de SI � sombreadaen la �gura� pueda considerarse como plana� La altura del cilindro es h y se suponeque� manteni�endose en el dominio macrosc�opico� puede tomarse tan peque�na como seanecesario para hacerla despreciable frente al radio a de la caja� El vector normal a SI �en la direcci�on hacia afuera del medio ���� es �n� y �n� � ��n� es el vector normal enel sentido hacia afuera del medio ���� Los campos sobre la super�cie� en cada uno delos medios� son �F� y �F�� La variaci�on espacial de los campos se supone suave� salvoen las inmediaciones de la interfaz donde �estos var��an de forma continua pero brusca�En las super�cies superior e inferior de la caja� dichos campos pueden aproximarsecomo uniformes y sus derivadas temporales tomarse como �nitas en todo el volumen�En cuanto a las densidades de carga y corriente � y �� se suponen �nitas salvo en SI �
���
donde deben ser representadas por densidades super�ciales �nitas �s y ��s� Al igual quelos campos� se considera que estas magnitudes var��an lentamente de forma que en laparte superior de la caja� en la inferior o en SI � seg�un el caso� pueden tomarse comouniformes�
I
F
F
n
superficie lateral
base inferior
SΔ
2
n
1
2
1
h/2
h/2
ρ , js s
base superior
Medio
Medio
1
2
S
a
Figura ��� Condiciones de continuidad
Las ecuaciones �� y �� pueden ser expresadas en forma integral haciendo uso delos teoremas de Gauss Z
Vr � �F dv �
IS�F � �n ds � � �
el de Stokes� o la generalizaci�on del primeroZVr� �F dv �
IS�n � �F ds � ����
donde V es el volumen de integraci�on� S la super�cie que lo envuelve y �n la normalhacia afuera del volumen en cuesti�on�
Aunque estos teoremas s�olo son v�alidos cuando se aplican a regiones continuas�las precisiones apuntadas al principio permiten integrar sobre el volumen de la caja yconsiderar a la interfaz como matem�aticamente continua�
Escribiendo r � �F � D y a la densidad super�cial correspondiente como Ds� laaplicaci�on de � a la caja puede expresarse de la formaZ
VD dv �
Ibases�lateral
�F � �n ds
Con las aproximaciones ya descritas en ���� y admitiendo la posibilidad de densidadessuper�ciales Ds�
�S �F� � �n� �z ��a�
��S �F� � �n� �z ��b�
�Slat Fnm �z ��c�
� Ds�S �z ��d�
�h
��S D� �z ��e�
�h
��S D� �z ��f�
���
Los t�erminos �a� y �b� son las contribuciones al �ujo a trav�es de la base superior einferior� respectivamente el t�ermino �c� es la contribuci�on al �ujo de la super�cie lateraldel cilindro Slat
�c� �
ZSlat
�F � d�slat � Slat Fnm � �� ah Fnm
Fnm es un valor intermedio entre los valores extremos de la componente normal delcampo a la super�cie lateral� �Se ha hecho uso del teorema del valor intermedio de lasintegrales de�nidas��El t�ermino �d� representa a la totalidad de fuentes escalares en la super�cie y los
t�ermino �e� y �f� son las contribuciones de las densidades de volumen a ambos lados dela interfaz�Si ahora nos acercamos a la super�cie haciendo que h � a� es decir� haciendo
que la altura del cilindro sea muy inferior al radio del mismo� podemos despreciar lascontribuciones �c�� �e� y �f�� que son proporcionales a h� frente a las �a�� �b� y �d� quepermanecen constantes en este proceso de l��mite� Luego
�S ��F� � �n� � �F� � �n�� � Ds�Sy� teniendo en cuenta que �n� � ��n��
�n� � ��F� � �F�� � Ds � ����
Las componentes normales de los campos sufren una discontinuidad de magnitud iguala la densidad super�cial de fuentes escalares�De forma an�aloga� partiendo de ��� y anotando la densidad super�cial del rotacional
como �Rs� se tiene que
�n� � ��F� � �F�� � �Rs � ����
De acuerdo con ���� ��a y ��c� las condiciones de frontera para las componentesnormales son
�n� � � �D� � �D�� � �s � ���a�
�n� � � �B� � �B�� � � � ���b�
La componente normal de �D es discontinua si �s �� �� la de �B es incondicionalmentecontinua�Por lo que respecta a las condiciones sobre las componentes tangenciales� es necesario
tener en cuenta que� mientras que la carga super�cial se acumula en capas de dimensi�onmicrosc�opica en la super�cie de los conductores� por lo que es ineludible la previsi�onde posibles �s �� � a escala macrosc�opica� las derivadas temporales de los campos son�nitas en las interfacies y no contribuyen con t�erminos super�ciales� Tampoco es nece�sario considerar densidades de corriente super�ciales� salvo que alguno de los medios seconsidere como conductor perfecto� Como se desprende de lo anterior� si z es la direc�ci�on normal a la super�cie y jt y Et son las componentes tangenciales de la densidad
��
de corriente y del campo el�ectrico� js � limh��
R h���h�� jt dz � � limh��
R h���h��Et dz � �
si � y �Et son �nitos � Dichas condiciones se deducen de ���� ��b y ��d
�n� � � �E� � �E�� � � � ��a�
�n� � � �H� � �H�� � ��s � ��b�
y se traducen en la continuidad incondicional de la componente tangencial de �E y ladiscontinuidad de la de �H si ��s �� ��Aunque para conectar las soluciones de las ecuaciones de Maxwell bastan estas cuatro
condiciones� m�as las ecuaciones constitutivas� dado que las ecuaciones de Maxwell son deprimer orden� podemos obtener otras condiciones de contorno para �P � �M y �H� teniendoen cuenta que
r � �P � ��p � r � �M � ��M � r� �M � ��jM � r � �H � �M
De la ecuaci�on de continuidad ��� obtenemos
�n� � ��j� ��j�� � ��st
� ����
Luego la componente normal de �j es discontinua en la super�cie cuando sobre lamisma tiene lugar una acumulaci�on super�cial de carga que depende del tiempo�
� � � � Refracci�on de las l��neas de campo y corriente
Supongamos que los dos medios representados en la �gura �� son de clase A� Paramedios no conductores con �s � � y �js � ��
Medio 2
Medio 1
n1F
F
2
1θ 1
θ 2
Figura ���
���
De ���a se obtiene
D� cos �� � D� cos �� � ��E� cos �� � ��E� cos ��
De ��aE� sen �� � E� sen �� � ����
Luego� para las l��neas de �E y �D�
�E y �D� tan �� �����tan ��� �no conductores� � ����
De forma similar� para las l��neas de �B y �H�
�B y �H� tan �� �����tan ��� �no conductores� � ����
La ley de refracci�on de l��neas de corriente� en conductores� puede obtenerse de ���
suponiendo�st
� �
j� cos �� � j� cos ��
y de ���
E� sen �� � E� sen �� �j���
sen �� �j���
sen ��
luego�E y ��� tan �� �
����tan ��� �conductores� � �� �
Para medios conductores esta ecuaci�on gobierna tambi�en la refracci�on de las l��neas decampo el�ectrico� En este �ultimo caso� como es f�acil comprobar� �s �� ��
Medio 2
Medio 1
θ 2
μ2μ2μ1>>
>> θ 2θ 1
Figura ���
Como se muestra en la �gura ��� el �angulo � es tanto mayor cuanto mayor es �� ��o �� por lo que los campos pueden ser con�nados por medios en los que ��� �� �o �� sonmucho mayores que ��� �� �o ��� respectivamente�
���
En la pr�actica� la constante diel�ectrica relativa no puede ser inferior a la unidad nisuperior a varias decenas� lo que hace que los diel�ectricos s�olo puedan con�nar parcial�mente al campo el�ectrico� Ciertos materiales magn�eticos de alta permeabilidad puedencon�nar al campo magn�etico con gran e�ciencia� Por �ultimo� puesto que la conduc�tividad de un medio puede tomar valores diferentes que di�eren en muchos �ordenes demagnitud� el con�namiento de las l��neas de corriente en el interior de un buen conductorpuede ser pr�acticamente total� N�otese que en el l��mite de con�namiento total� las l��neasde campo en el medio ��� se hacen perpendiculares a la super�cie del medio y� en elmedio ���� tangentes a la misma�
��� Condiciones de contorno
Seg�un el teorema de Helmholtz� secci�on H��� en cuyas condiciones entra perfectamenteel campo electromagn�etico� un campo �F puede derivarse de dos potenciales� uno escalar�f � y otro vectorial� �g�
�F � �rf �r� �g � ����
y queda un��vocamente determinado si se especi�can las fuentes escalares y vectoriales
D � r � �F y �R � r� �F � ����
en todo el espacio�
S
V
D, R
Figura ��
Normalmente s�olo puede aspirarse al conocimiento de las fuentes en un volumen�nito V� Veremos que es posible seguir asegurando la unicidad del campo si substituimoslas fuentes externas a V por unas Condiciones de contorno apropiadas en la super�cieS que envuelve a V� como puede verse en la �gura � �Portis��
���
� � � � Teorema de unicidad para campos irrotacionales
Un campo irrotacional en V cumpler � �F � D
r� �F � �
� �F � �r f � r�f � �D � ����
Luego el campo deriva de un potencial escalar que cumple la ecuaci�on de Poisson�Sean f��x� y� z� y f��x� y� z� dos soluciones de la ecuaci�on de potencial
r�f� � r�f� � �D �F� � �rf� � �F� � �rf�en todos los puntos �r V�Si formamos el vector
�� � �f� � f����F� � �F��
e integramos su divergencia sobre VZVr � �� dv �
ZV
� �f� � f��r � ��F� � �F�� �z ���
�j�F� � �F�j�!" dv
de donde se ha eliminado el primer t�ermino del segundo miembro porque r � �F� �r � �F� � D�Haciendo uso del teorema de la divergencia
�ZVj�F� � �F�j� dv �
ZS�� � �n ds
Para que la soluci�on sea �unica� es decir� para que �F� � �F�� en todo el volumen deinter�es V� es su�ciente que �� � �n � � en toda la super�cie S del contorno�
��� � �n�S �h�f� � f����F� � �F�� � �n
iS� � � ����
Esto se consigue� como se deduce de la expresi�on anterior� �jando los siguientes tiposde condiciones de contorno�a� Condiciones de Dirichlet� Estas condiciones consisten en la �jaci�on del potencial
f en S�f �S � fS � ���
Con esta condici�on se obtiene la unicidad no s�olo del campo sino tambi�en del po�tencial�b� Condiciones de Neumann� En este caso se especi�ca la componente normal del
campo en S��F � �n�S � �Fn�S � FnS � ����
Bajo estas condiciones� �F queda determinado un��vocamente mientras que el poten�cial est�a indeterminado en una constante arbitraria�c� Condiciones mezcladas� Consisten en la �jaci�on del potencial en parte de la su�
per�cie y en la de la componente normal del campo en el resto de la misma�
���
� � � � Teorema de unicidad para campos solenoidales
Para campos solenoidales no conservativos�
r � �F � �
r� �F � �R
� ���
�F � r� �g
r� �r � �g� � �R� ����
Si ahora construimos el vector
�� � ��g� � �g�� � ��F� � �F��
donde r � �r � �g�� � r � �r � �g�� � �R y �F� � r � �g�� �F� � r � �g�� e integramos sudivergencia sobre V
ZVr � �� dv �
ZV
� ��F� � �F�� � r � ��g� � �g��� ��g� � �g�� � r � ��F� � �F�� �z ���
!" dv
El segundo t�ermino se ha eliminado porque
r� �F� � r� �F� � �R
por lo que� haciendo uso del teorema de la divergencia�ZVj�F� � �F�j� dv �
ZS
h��g� � �g�� � ��F� � �F��
i� �n dS
Luego� para obtener la unicidad de la soluci�on� �F � �F� � �F� en todo el volumen�basta con especi�car en la super�cie la componente tangencial del potencial vector�condici�on que ser��a an�aloga a la de Dirichlet para campos conservativos� o la componentetangencial del propio campo� Tambi�en cabe mezclar ambos tipos de condiciones�
� � � � Teorema de unicidad en el caso general
Tenemos ahorar � �F � D
r� �F � �R
� �F � �rf �r� �g � ����
Supongamos que �F� y �F� son dos soluciones distintas de las ecuaciones anteriores�para unas distribuciones D��r� y �R��r� especi�cadas dentro de V�Construyendo el vector
�� � �f� � f����F� � �F�� � ��F� � �F�� � ��g� � �g��
y procediendo como en casos anteriores�ZVr � �� dv � ��
ZVj�F� � �F�j� dv �
ZS�� � �n dS
��
Por lo que la condici�on de unicidad es ahora
��� � �n�S � � � ����
Condici�on que se llena especi�cando �F en la super�cie o bien especi�cando al mismotiempo el potencial escalar f y la componente tangencial del potencial vector�
Vemos que en el c�alculo del campo� dentro de un volumen V� podemos ignorar lasfuentes externas al mismo si tenemos una informaci�on adecuada del campo o de lospotenciales en la super�cie S que limita a V�
��� Energ��a electromagn�etica en medios materiales
Los balances energ�eticos para los campos electromagn�eticos en presencia de mediosmateriales pueden presentar aspectos complejos porque los mecanismos de disipaci�ony almacenamiento de energ��a son muy diversos �G�omez� Jackson� Panofsky y Phillips�Stratton�� Aqu�� s�olo abordaremos los fundamentos de este problema� los cuales puedentratarse con un formalismo an�alogo al empleado para el campo en el vac��o�
No obstante� es necesario precisar que� en el caso que nos ocupa� el tratamientoque se lleva a cabo es de tipo macrosc�opico y diferencia entre cargas y corrientes deconducci�on y cargas y corrientes de polarizaci�on� En la secci�on ��� interpret�abamos elt�ermino �jT � �E como el trabajo que� por unidad de volumen y unidad de tiempo� realizanlos campos sobre todas las cargas� Anteriormente hemos desglosado la corriente total��T � de acuerdo con ����� en corrientes de conducci�on ��� de polarizaci�on diel�ectrica ��p yde polarizaci�on magn�etica ��M �
��T � ��� ��p � ��M � �� �
por lo que� de acuerdo con esta notaci�on� �j � �E es solamente la potencia cedida porlos campos a la unidad de volumen de cargas de conducci�on� siendo necesario tener encuenta que los campos tambi�en trabajan para polarizar el�ectrica y magn�eticamente almedio�
Tambi�en debemos mencionar que las cargas no s�olo pueden moverse bajo la acci�onde un campo el�ectrico macrosc�opico derivable de las ecuaciones de Maxwell� sino quefuerzas mec�anicas� de difusi�on� qu��micas� etc�� pueden jugar el mismo papel�
Supondremos aqu�� que� adem�as del campo cl�asico �E que se describe en las ecuacionesde Maxwell� existen campos �E � equivalentes� o electromotores� no incluidos en dichasecuaciones� por lo que el campo total que mueve a las cargas es
�ET � �E � �E � � ����
Podemos obtener una ecuaci�on de continuidad macrosc�opica para la energ��a� con�siderando el producto
�j � �ET � �j � � �E � �E ��
que formalmente aparece como la energ��a que� por unidad de tiempo y de volumen�transmite el campo total a las cargas de conducci�on� Sin embargo� no es posible inferirdirectamente que �esto es as�� porque las magnitudes que intervienen en el producto son
���
macrosc�opicas y las relaciones de fuerza macrosc�opicas no son tan simples como en elcaso de sistemas de cargas en el vac��o� M�as adelante abordaremos parcialmente este pro�blema� Por ahora� indicaremos que una carga macrosc�opica Q inserta en un diel�ectrico�est�a siempre acompa�nada de una carga de polarizaci�onQp que la apantalla� La expresi�onmacrosc�opica
�F ��r� � Q�E��r�
representa a la fuerza sobre la carga total en ese punto� Q�Qp� y no a la fuerza sobreQ�
Siguiendo pasos an�alogos a los empleados en ��� teniendo en cuenta que
�j � r� �H � �D
t
y extendiendo la de�nici�on del vector de Poynting
�P � �E � �H
se obtiene una versi�on macrosc�opica del teorema de Poynting
r � �P � �E � �D
t� �H �
�B
t� �j � �E � ��j � �ET � ����
Si realizamos una transformaci�on elemental en un intervalo de tiempo �t el inter�cambio energ�etico� por unidad de volumen� puede expresarse como
r � �P �t �z ��a�
� �E � � �D � �H � � �B �z ��b�
� �j � �E � �t �z ��c�
��j � �ET �t �z ��d�
Estos t�erminos se interpretar�an de la siguiente manera�
El primer t�ermino puede escribirse de la forma
�a� � r � �P�t � �
�� dW �P
dv
�� ����
y representa� como en ��� un �ujo de energ��a electromagn�etica hacia fuera del entornodel punto �r� El segundo t�ermino
�b� � �E � � �D � �H � � �B � �
�� dWem
dv
�� ����
constituye el incremento de energ��a� por unidad de volumen� asociado al cambio demagnitud de los campos electromagn�eticos�
Para obtener el balance de este t�ermino en una transformaci�on �nita ser�a necesarioel conocimiento de las ecuaciones constitutivas y de la trayectoria L seguida en el espacio� �E� �D� �B� �H�
�
�� dWem
dv
��
Z �E�� �B�
L�E�� �B�
� �E � � �D � �H � � �B� � ���
���
Si los medios son lineales� podemos escribir� an�alogamente a lo escrito para el vac��o�
�em �dWem
dv��
��E � �D � �
��H � �B � ����
donde �em juega el papel de densidad de energ��a asociada al establecimiento de uncampo en el entorno de �r�Por �ultimo� los dos t�erminos del segundo miembro podr��an interpretarse de la sigu�
iente forma
�c� � �j � �E ��t � �
�dW
dv
��
d�W
dv dt� �j � �E � � ����
es un aporte de energ��a al entorno de �r debido a las fuerzas electromotrices de origenno maxwelliano� y
�d� � �j � �ET �t � �
�dWJ
dv
��
�dWJ
dv
�� �j � �ET � ����
es la energ��a cedida por la totalidad del campo �ET ��r� a las cargas de conducci�on�Para medios en los que se cumpla la ley de Ohm con su�ciente aproximaci�on�
�j � � �ET �d�WJ
dv dt�
j�
�� ����
t�ermino positivo que� seg�un la ley de Joule representa la energ��a que� por unidad devolumen y de tiempo se transforma en calor� Hay que precisar� sin embargo� que �esteno es el �unico mecanismo de irreversibilidad ni de transformaci�on calor���ca incluso enmedios lineales� el proceso de polarizaci�on lleva consigo p�erdidas irreversibles de energ��a�Por otra parte� si� como se muestra en la �gura ��� describimos lentamente un ciclo dehist�eresis en un material ferromagn�etico� al recorrer el ciclo desde A hasta A�
WAA �
Z A
A
�H � � �B � SHB � C BrHC � C � �
se pierde una energ��a igual al �area del ciclo de hist�eresis SHB�En el caso com�un de materiales lineales� homog�eneos e is�otropos� podemos escribir
el teorema de Poynting en su forma m�as conocida
r � �P � �emt
� �j � �E � � j�
�� �� �
��� energ��a de un sistema de cargas y corrientes de conducci�on esta�cionarias
Las expresiones obtenidas en la secci�on ���� no son aplicables a medios materiales detipo general pero si son f�acilmente extensibles a medios de clase A� S�olo es necesariosubstituir �B��� por �H y �� �E por �D� As��� pues� para campos electromagn�eticos est�aticos�
Wem ��
�
Zv��
� �E � �D � �H � �B� dv � ��
Zv�
��V ��j � �A� dv � ���
���
S ΗΒH
B
A
B H Bδδ
Figura ���
donde en este caso� las densidades corresponden a las cargas de conducci�on�Un caso particular interesante� es el correspondiente a un conjunto de N conductores
cargados con cargas Qi� depositadas sobre sus super�cies Si a potenciales Vi� y Mespiras Lj recorridas por intensidades Ij � Dado que en cada conductor �espira�� Vi � cte�Ij � cte�� �� toma la forma
Wem ��
�
NXi��
Qi Vi ��
�
MXj��
Ij �j � ���
��� Ecuaciones de onda en medios materiales
Los medios materiales responden al paso de una onda electromagn�etica creando en suseno unas polarizaciones y corrientes oscilantes que absorben y vuelven a radiar partede la energ��a incidente� Esta rerradiaci�on sincronizada modi�ca a la onda incidentepudiendo incluso anular su car�acter propagativo�Para obtener una ecuaci�on de onda para los campos en medios de clase A� tendremos
en cuenta que
r � �E � �
�y r� �B � �
��j �
�D
t
�y desglosaremos la densidad de corriente en dos t�erminos
�j � � �E ��j � � ���
donde �j �� adem�as de incluir a las corrientes debidas a campos no maxwellianos� puedetener en cuenta tambi�en a corrientes maxwellianas a las que interese considerar comofuentes� Esta �ultima opci�on suele adoptarse en el estudio de antenas emisoras�Procediendo como en el cap��tulo ��
r� �r� �E� � r�r � �E��r� �E � �r�� �B
t
�� �
tr� �B
���
y substituyendo en �esta las expresiones anteriores� tenemos que
r� �E � ��� �E
t���
�r�� �
�j
t� ��a�
r� �E � �� �E
t� ��
� �E
t���
�r�� �
�j �
t� ��b�
De forma an�aloga
r� �B �r�r � �B �z ���
� � ��r���j � �
�E
t
�
luego
r� �B � ��� �B
t�� ��r��j � �a�
r� �B � �� �B
t� ��
� �B
t�� ��r��j � � �b�
Este mismo tipo de ecuaciones puede obtenerse para los potenciales� Bajo las mismascondiciones anteriores
r � �E � �
� r �
��rV � �A
t
��
�
�� �r�V �
tr � �A
o� de otra forma�
r�V �
tr � �A � ��
�� ���
y de
r� �r� �A� � r� �B � �
��j � �
�E
t
�� ��j � ��r � V
t���
� �A
t�� r�r � �A��r� �A
lo que puede escribirse como
r� �A�r�r � �A� ��
V
t
�� ��
� �A
t�� ��j � ���
Las ecuaciones �� y �� pueden desacoplarse si hacemos uso una versi�onmacrosc�opica de la condici�on de Lorenz� extensi�on directa de la del vac��o�
r � �A� ��V
t� � � ���
con lo que se obtienen unas ecuaciones de onda que tambi�en son an�alogas a las del vac��o
r�V � ���V
t�� ��
�� ��a�
��
r� �A� ��� �A
t�� ���j � ��b�
pero en las que las cargas y corrientes del segundo miembro no son las totales sino s�ololas de conducci�on�Si en �� hacemos
��j � ��j � � �� �E � ��j � � ��rV � �� �A
t
podemos desacoplar de nuevo las ecuaciones �� y ��� modi�cando la condici�on deLorenz de la forma
r � �A� �� V � ��V
t� � � � �
condici�on que� como la ��� puede demostrarse que es compatible con las transforma�ciones de contraste�De esta forma
r�V � ��V
t� ��
�V
t�� ��
�� ���a�
r� �A� �� �A
t� ��
� �A
t�� ���j � � ���b�
Hemos obtenido para cada una de las componentes cartesianas de los campos y delpotencial vector� as�� como para el potencial escalar� ecuaciones an�alogas de onda� loque no deja de ser interesante y curioso al mismo tiempo� Disponemos adem�as de dosversiones equivalentes que� sin embargo� presentan notables diferencias en su estructura�La primera
r� � � �
v�� �
t�� �f���r� t� � v �
�p��
� ����
admite� como ya hemos visto� soluciones integrales retardadas
���r� t� ��
�
Zv�
�f���r���
Rdv� � ����
Expresi�on en la que hemos empleado la notaci�on com�unmente aceptada�
�f���r��� � f�
��r �� t� R
v
�
para las fuentes retardadas� evaluadas en � � t� R
v�
La segunda versi�on� que suele ser m�as �util para el estudio de la propagaci�on enmedios con conductividad �nita� porque no hace necesario considerar como fuentes atodas las corrientes de conducci�on� tiene la forma general
r� � � �� �
t� ��
� �
t�� �f���r� t� � ����
� �
ecuaci�on en la que� adem�as del t�ermino propagativo� correspondiente a la derivadasegunda temporal� aparece un t�ermino disipativo� o de difusi�on� asociado a la derivadaprimera�
Si repasamos la deducci�on de estas ecuaciones veremos que la preponderancia delt�ermino propagativo o difusivo en la ecuaci�on de onda est�a relacionada con la impor�
tancia relativa de las corrientes de desplazamiento� �jD � � �E
t� y de la corriente de
conducci�on �ohmica �j � � �E�
�� Ondas monocrom�aticas y monocrom�aticas planas
Supondremos que en el medio no hay fuentes� La ecuaci�on de onda para cualquiercomponente de los campos ser��a
r� � ��
t� ��
�
t�� � � ���
Ondas monocrom�aticas �
Podemos buscar soluciones monocrom�aticas �v�ease el ap�endice J� de tipo complejo
���r� t� � ���r� ej�t � ���r� e
j��t��� � ����
donde ���r� es una funci�on real y ��r� � ���r� ej� es un Fasor independiente del
tiempo�
Recordemos que si ���r� t� es una soluci�on de la ecuaci�on de onda
R���r� t� � �� ���r� t�� � ���r� cos ��t� �
tambi�en lo es� Este tipo de soluciones recibe el nombre de Monocrom�atico� ya que la luzde color muy puro corresponde a una onda electromagn�etica de frecuencia pr�acticamentede�nida�
Tambi�en podemos expresar cualquier soluci�on que sea de cuadrado sumable comosuperposici�on de ondas monocrom�aticas mediante el uso de la transformada de Fourier
��r� t� �
Z ��
�� ���r� e
j�t d� � ���a�
���r� ��
�
Z ��
�� ��r� t� e�j�t dt � ���b�
La primera es la transformada Inversa y la segunda la Directa�
� �
Para soluciones ��r� t� reales� pueden ser expresadas en funci�on de frecuencias positi�vas� Efectivamente� si ��r� t� � cc��r� t�� es decir� si es igual a su complejo conjugado� cc� ��r� � ����r�� luego
��r� t� �
Z �
�� ���r� e
j�t d� �
Z �
� ���r� e
j�t d�
y cambiando � por �� en la primera integral
��r� t� � �Z �
� ����r� e�j�t d� �
Z �
� ���r� e
j�t d�
�
Z �
�� cc
� e�j�t � � ej�t� d� � �
Z �
��� ���r� e
j�t� d�
En cualquier caso� para soluciones monocrom�aticas podemos substituir el operador
t� j� �
�
t�� ��� � ����
por lo que la ecuaci�on de onda monocrom�atica para el campo el�ectrico� por ejemplo�toma la forma
r� �E��r�� j� �� �E��r� � �� �� �E��r� � � � ����
ecuaci�on en la que hemos simpli�cado la notaci�on �E���r� escribiendo �E��r�� puesto que�en el contexto en el que est�a escrita� no se presta a confusi�on�
Estas soluciones �E��r� tienen car�acter vectorial complejo
�E��r� � �ER � j �EI �
X��
E� ej�� be �X
a
�ER � jEI� bedonde �ER y �EI son vectores reales y E� y las amplitudes y las fases de cadacomponente E � ER � jEI del vector complejo�
Podemos escribir la ecuaci�on de onda en la forma
r�E��r� � ��� �c �E��r� � � � �� �
donde �c es la Constante diel�ectrica compleja� de�nida como
�c � �
��� j
�
Q
�� Q � �� � � �
�
�� ����
Q es el Factor de calidad del medio y � su constante de relajaci�on�
Se suele clasi�car a los medios� para cada frecuencia� en buenos diel�ectricos� cuandoQ� � y buenos conductores cuando Q� ��
Puede comprobarse que
Q � �� �j�jDjj�jj
� �
es una medida de la importancia relativa de la corriente de desplazamiento frente a lade conducci�on�
Cuando Q � �� �c � � y la ecuaci�on de onda corresponde a la propagaci�on� en unmedio sin p�erdidas� con una velocidad de fase
v � �p��
� ����
Cuando q � �� �c � �j ��� en la ecuaci�on predomina el t�ermino de difusi�on�
Resolviendo esta ecuaci�on en coordenadas cil��ndricas� esf�ericas� cartesianas etc�� seobtienen� respectivamente� las ondas monocrom�aticas cil��ndricas� esf�ericas� planas etc�
Ondas monocrom�aticas�planas �
Si� adem�as� la onda es plana� la ecuaci�on �� se reduce a una ecuaci�on en derivadastotales
d� �E�x�
dx�� ��� �c �E � � � Ex � Hx � � � ����
Ecuaci�on que es del tipo Helmholtz �d�
dx�� ��
��X�x� � � � ����
donde
�� � ���� �c � ���
Llamaremos a �� Constante compleja de propagaci�on y la escribiremos como
� � � j� � ����
Relaciones de dispersi�on�
Tomando para y � valores reales y positivos� la ra��z cuadrada de �� nos da
��
��
��p�
��� �
�
Q�
� ��
� �� ��
� ���a�
� ���p�
��� �
�
Q�
� ��
� �
� ��
� ���b�
�Ecuaci�on que tambi�en satisface el campo magn�etico�
� �
donde es la Constante de atenuaci�on� � la Constante de fase o N�umero de onda� � � �
la Profundidad de penetraci�on y �� � �p�� � ���� es el n�umero de onda del medio�
haciendo nula la conductividad�Estas constantes son funciones de la frecuencia � ��� y � � ���� y� como tales�
se denominan Relaciones de dispersi�on de la onda en el medio� En la �gura �� serepresentan los valores relativos de las constantes en funci�on de Q ���� En los buenosdiel�ectricos� Q �� �� � �y � � �� mientras que en los buenos conductores� Q �� ��� � �� ���
0 2 4 6 8 10 12
0.5
1
1.5
2
2.5
3
Q
β/β0
α/β0
β/β0
α/β0
Figura ���
Soluci�on general�
Para una frecuencia concreta� la soluci�on general puede expresarse de diversas for�mas� Como combinaci�on de exponenciales
�X�x� t� � �X�x� e j�t ���X� e
��x � �X� e �x�e j�t
� �X� e�x e j��t��x� � �X� ex e j��t��x�
� ����
que es la combinaci�on lineal de dos ondas progresivas atenuadas� La primera� progresivaen la direcci�on positiva del eje x tiene una amplitud vectorial compleja
�X� � X�y bx�X�z by � �X�R � j �X�I
afectada de una atenuaci�on exponencial e�x � e�x� �
Al progresar la onda una distancia �x � �� la amplitud disminuye seg�un el factore��� Como hemos visto� � ���� por lo que� al propagarse� cada componente arm�onicapuede sufrir una atenuaci�on de diferente cuant��a�El t�ermino exponencial complejo puede ser escrito como e j�� donde
� �
��
�t� x
�� ����
�
es la Fase de la onda�
Velocidad de fase�
Se llama Velocidad de fase a
vf �
�dx
dt
���cte
� �� �
Es� pues� la velocidad con que se desplazan los planos de fase constante�Diferenciando ��� e igualando a cero
d � � � �
��
�t� dx
�
vf ��� ��
�� ����
velocidad que tambi�en depende de la frecuencia� En la �gura �� se representa a lavelocidad de fase en funci�on de Q�
0 2 4 6 8 10
0.2
0.4
0.6
0.8
1
v /v
Q
0f
Figura ���
En los buenos diel�ectricos la velocidad de fase vf � v�� donde v� ����� por lo que �esta
es pr�acticamente independiente de la frecuencia� En caso contrario� cada componenteespectral de una onda viaja a distinta velocidad� Luego� cualquier onda de cuadradosumable sufre al propagarse una distorsi�on o Dispersi�on que afecta tanto a las amplitudescomo a las fases de sus componentes arm�onicas� En la �gura ���a se representa ladistorsi�on de un pulso conforme va viajando a trav�es del medio� En la �gura ���b semuestra que la distorsi�on es tanto mayor cuanto mayor es la anchura de banda delespectro del pulso�En los medios diel�ectricos
Q�� � � � � � � �� � �p�� �
vf � v ��p���
cp�r�r
�c
n� � �
��
�
� �
100 200 300 400 500 600 700
0.2
0.4
0.6
0.8
1 0
ω0
z=z1 z=z 2 z=z 3
100 200 300 400
-0.2
0.2
0.4
0.6
0.8
1
(a) (b)
t
= 0.1
t
= 0.04= 0.1= 0.2= 0.4
ωωΔ Δ
ω
z=0
Figura ���
donde n es el ��ndice �optico de refracci�on� Fue Maxwell quien primero puso de mani�estoque n � p
�r�
Se dice que estos medios� en condiciones ideales� son no dispersivos� puesto que todaslas componentes monocrom�aticas se propagan con atenuaci�on nula y la misma velocidadde fase� o� lo que es lo mismo� dejan inalteradas las formas de los Paquetes o Grupos deondas �x� t��
En este caso la velocidad de fase coincide con la velocidad del paquete de ondas�velocidad de grupo vg� y� por tanto� con la velocidad con que se propaga la energ��aasociada al paquete� ve�
Velocidad de grupo�
Cuando la dispersi�on es peque�na cabe hablar de una Velocidad de grupo que carac�teriza de forma aproximada la velocidad con que se desplaza el grueso del paquete deondas y� por consiguiente� de la energ��a�� En los medios muy dispersivos� la deformaci�onde los paquetes de onda es tan grande que� al cabo de un cierto tiempo� el grupo est�atotalmente disperso y la energ��a diseminada en un intervalo espacial grande� Bajo estascircunstancias no cabe hablar de velocidad de grupo ni de velocidad de propagaci�onde la energ��a� puesto que �esta va llegando a un punto dado en un intervalo temporalrelativamente grande �Jackson� Stratton��
La velocidad de fase� como tal� no es f��sicamente observable y puede ser� de hecholo es en algunas situaciones reales� superior a c sin que esto suponga ninguna violaci�ondel principio de relatividad especial�
Podemos hacer una introducci�on simple de la velocidad de grupo considerando lasuperposici�on de dos se�nales
X��x� � X� ej��t��x�
X��x� � X� ej������� t������� x� � ��� �
�V�ease G�omez�
� �
con frecuencias pr�oximas y que� para simpli�car� hemos supuesto que tienen igual am�plitud y atenuaci�on nula�Suponemos que el medio es poco dispersivo� lo que implica que ���� es una funci�on
suave y� por tanto� �� � �
X�x� � X� ej��t��x� �� � e j��t��� x�
�� X�
� ej �������� t��������� x� cos
���
�t� ��
�
�� X�
� � �X�
que� hallando la parte real�
��X�x�� � jX�� j cos ��t� �x� �� cos
���
�t� ��
�x
�En la �gura � vemos que la se�nal resultante contiene un t�ermino oscilatorio� cuya
frecuencia � es pr�oxima a la de las se�nales primitivas� multiplicando a otro que oscila a
una frecuencia mucho menor��
�� �� Este segundo modula� o envuelve� al primero�
Figura � �
La velocidad con que se desplaza esta envolvente es lo que corresponde a la velocidadde grupo mencionada m�as atr�as�
e ���
�t� ��
�x
La velocidad con que se desplazan los frentes de igual fase de la envolvente ser�a�dx
dt
��e�cte
���
�x� vg � lim
����
��
��
vg �d�
d�� ����
La funci�on ���� suele denominarse Relaci�on de dispersi�on� En la �gura ��� se muestrala relaci�on gr�a�ca entre la velocidad de fase y la velocidad de grupo�
� �
arctg v
arctg v
g
f
ω
β
ω(β)
Figura ����
Relaci�on de estructura�
Si nos limitamos a estudiar las ondas progresivas en el sentido del eje x� tanto �Ecomo �H ser�an de la forma
�E � �E� e��x e j�t
�H � �H� e��x e j�t
� ����
pero� evidentemente� cualquier pareja de vectores complejos �E� y �H� no constituyen unaonda electromagn�etica puesto que �E y �H est�an ligados por las ecuaciones de Maxwell�
Ya hemos visto que
t� j�� De ��� se deduce que
x� �� r � �� bx
Aplicando esto a
r� �E � ��B
t� bx � �E � j
��
��H
que� haciendo� como en la secci�on ����� bx � �n donde �n es el vector unitario en ladirecci�on de propagaci�on� nos permite escribir
�n � �E� � Zc �H� � ����
Esta es la Relaci�on de estructura para ondas monocrom�aticas planas� donde
Zc �
r�
�c� j
��
�� ���
Zc recibe el nombre de Impedancia del medio�
Para el vac��o
Z� �
r����� ����� % � ����
� �
En medios materiales� como en el vac��o� los vectores �E� �H y �n forman un triedrorect�angulo a derechas� pero dado que las amplitudes de los campos est�an relacionadasentre s�� por medio de una impedancia compleja� �estos no estar�an en fase� sus m�aximos�m��nimos y valores nulos� tendr�an lugar en distintos instantes para uno y otro campo��gura �����
E
H
x
Figura ����
� � � � Polarizaci�on de ondas electromagn�eticas
Sea una soluci�on para �E que se propaga en el sentido positivo del eje x�
�E�x� t� � �E� e�x e j��t��x� �
�E�y e
i�y by �E�z ej�z bz� e���j��x e j�t
� f�x� e j�y�E�y e
j�t by �E�z ej��t��z��y� bz� �
Luego� para cualquier punto x � x�� podemos escribir
Y � ��Ey�x�� t�� � Acos�t
Z � ��Ez�x�� t�� � B cos ��t� ��
donde � � z � y�Desarrollando
Z � B �cos �t cos � � sen�t sen ��
De la expresi�on de Y tenemos que
cos �t �Y
A� sen ��t� �
s��
�Y
A
��
de donde obtenemos la ecuaci�on general de una elipse�Y
A
��
�
�Z
A
��
� � Y ZAB
cos � � sen ��
�
^
x
A
y
zB
Z
YI
D
t=0
t
E
^
Figura ����
Es f�acil comprobar que a lo largo del tiempo el vector �E describe una elipse� ensentido horario� a derechas� si � � � y antihorario� a izquierdas� si � � ��
Convendremos en �jar la direcci�on de polarizaci�on seg�un la direcci�on del vector �E ydiremos que la onda est�a polarizada a derechas� si el extremo de �E gira seg�un la regladel tornillo alrededor de la direcci�on de propagaci�on� o a izquierdas si el sentido de giroes el contrario� Si A � �� B � �� o � � �m� �m � �� �� � � �� la onda est�a linealmentepolarizada� En general� la polarizaci�on de la onda es el��ptica�
Se deja como ejercicio la expresi�on de una onda polarizada el��ptica o linealmente enfunci�on de ondas polarizadas circularmente�
� � � � Energ��a en ondas planas monocrom�aticas Vector de Poynting com�
plejo
Para obtener los t�erminos energ�eticos debemos multiplicar las amplitudes de los campos�Esta es una operaci�on no lineal que� en el caso de ondas monocrom�aticas� har�a aparecert�erminos oscilantes de frecuencia doble de la original�
Sean dos vectores de la forma
�A�t� � �� �Ac e j�t�
donde�Ac � �AR � j �AI
es un vector complejo independiente del tiempo� La composici�on de dos vectores de estetipo� bien sea por producto escalar o vectorial� ser�a
�A��t�� �A��t� � �� �Ac� e
j�t���� �Ac� e
j�t�
� �A�R � �A�R cos� �t� �A�I � �A�Isen
� �t
��� �
�A�R � �A�I � �A�I � �A�E� sen ��t
���
El t�ermino proporcional a sen ��t tiene valor medio nulo� por lo que
h �A��t�� �A��t�i � �� �
�A�R � �A�R � �A�I � �A�I�
� �� �� �Ac
� � �Acc� � �
�� �� �Acc
� � �Ac��
� ����
donde el super��ndice cc indica la conjugaci�on compleja�En la pr�actica� las variaciones temporales r�apidas no suelen ser medibles� por lo que
el inter�es se centra en los valores medios� Estos valores medios se obtienen de la partereal de las magnitudes complejas� Estas son� la densidad de energ��a media
�cem ��
�E � �Dcc �
�
�H � �Bcc �
�
�� j �Ej� � � j �Hj�
�� h�emi � ����
y el Vector de Poynting complejo�
�Pc � �E � �Hcc � ����
Haciendo uso de la relaci�on de estructura
�n � �E � Zc �H
podemos comprobar que
h�emi � ��j �Ej�
�� �
r� �
�
Q�
�� �� �
donde se observa que en un medio conductor
h�mih�ei �
r� �
�
Q�� �� para Q� �
h�mih�ei �
�
Q
lo que es l�ogico ya que el medio conductor� aunque no apantalla totalmente al campoel�ectrico din�amico� como lo hace el est�atico� al crecer la conductividad aumenta laimportancia relativa de las corrientes y del campo magn�etico asociado con respecto alpropio campo el�ectrico�El vector de Poynting resultante es
�Pc �Zc
jZcj� j�Ej� �n� h�Pi � ��Zc�
jZcj� j�Ej� �n � ����
��� Problemas
���� Est��mese� integrando gr�acamente los ciclos de hist�eresis de la gura ����� lap�erdida de potencia por unidad de volumen debida a la hist�eresis en estos materi�
ales si la frecuencia a que se recorre el ciclo m�aximo es de ��Hz�
���� Sea un conductor cil��ndrico recto� de secci�on circular� de radio a y conductividad
�� por el que circula una intensidad I� Hallar el �ujo del vector de Poynting yrealizar el balance de energ��a correspondiente�
���
(
μ0
H (W . m -2 )
10 50
1.4Acero al Tungstenorecocido
Hierro comercialrecocido
B (W . m -2 )
)x 10 -4
Figura ����
���� Una onda plana monocrom�atica� linealmente polarizada� incide perpendicular�
mente� desde el vac��o� sobre la supercie plana de un conductor ideal�
a� Aplicar las condiciones de contorno para hallar la onda re�ejada
b� Comprobar que la suma de la onda incidente y la re�ejada constituyen una
onda estacionaria�
c� Hallar el �ujo de potencia instant�aneo y medio en funci�on de la distancia al
plano�
d� Representar gr�acamente los campos �E y �H de la onda estacionaria�
e� Hallar la presi�on que la onda electromagn�etica ejerce sobre la supercie del
conductor�
���� Supongan que el conductor del problema anterior no es ideal pero que Q �� ��
a� Hallar la onda re�ejada y la transmitida�
b� Hallar la relaci�on entre las potencias transmitida y re�ejada con respecto ala incidente y comprobar que se cumple el principio de conservaci�on de la
energ��a�
c� Representar el vector complejo de Poynting en funci�on de la distancia a la
interfacie�
d� Llevar a cabo el balance energ�etico en el seno del conductor�
e� Hallar la presi�on y comparar con los resultados obtenidos en el problema ante�
rior� Comprobar que se cumple la conservaci�on de la cantidad de movimiento�
���� Estudiar la re�exi�on y la transmisi�on cuando� a diferencia de los casos anteriores�
el medio sobre el que incide la onda es un diel�ectrico ideal�
���� Demostrar que la onda incidente mas la re�ejada� en los casos anteriores� pueden
representarse como la suma de una onda estacionarla y otra viajera� bien sea ensentido incidente o re�ejado�
���
���� Demostrar que una onda plana monocrom�atica� polarizada el��pticamente� puede
descomponerse en dos ondas polarizadas circularmente� una a derechas y otra a
izquierdas� Hallar las amplitudes complejas y particularizar al caso de una onda
con polarizaci�on lineal�
���� En un plasma pueden excitarse ondas planas monocrom�aticas de diverso tipo�
entre ellas las que m�as abajo se mencionan junto con sus relaciones de dispersi�on�
Representar gr�acamente la relaci�on de dispersi�on y las velocidades de fase y grupo
frente al n�umero de onda�
a� Ondas electr�onicas electrost�aticas�
�� � ��p �
�
��� v�T
donde �p es la frecuencia propia de oscilaci�on del plasma y vT la velocidad
t�ermica de los electrones en el mismo�
b� Ondas ac�usticas i�onicas�
�� � �� v�s
donde vs es la velocidad del sonido en el plasma�
c� Ondas electromagn�eticas�
�� � ��p � �� c�
���� En un plasma magnetizado por un campo uniforme pueden propagarse� en la direc�
ci�on de dicho campo� ondas polarizadas circularmente� Las polarizadas a derechas
ondas R� tienen un ��ndice de refracci�on
n� �c� ��
��� ��
��p��
�� ��
y las polarizadas a izquierdas ondas L�
n� �c� ��
��� ��
��p��
� � ��
donde % es la frecuencia ciclotr�onica�
Hallar la ley de rotaci�on� Rotaci�on de Faraday� del plano de polarizaci�on de una
onda monocrom�atica plana� linealmente polarizada� que se propaga a lo largo delcampo magn�etico�
Ap�endice A
Resoluci�on de las ecuaciones de
Poisson y de Laplace
A�� Introducci�on
Aunque en este cap��tulo se trata la soluci�on de las ecuaciones de Poisson y de Laplacepara todo tipo de medios y con diversas t�ecnicas� sus contenidos pueden abordarse desdecualquier punto de este texto� en particular� parte del mismo puede estudiarse una vezintroducidas dichas ecuaciones en los primeros cap��tulos�
A�� Soluci�on anal��tica de la ecuaci�on de Poisson
A�� Uso de las ecuaciones de Poisson y de Laplace
Ya vimos que los campos �F que son irrotacionales en una cierta regi�on del espaciocumplen� en ella� una ecuaci�on de tipo Poisson�
Si en Vr � �F ��r� � D��r�
r��F ��r� � �
� �F ��r� � �r f��r�
y
r� f��r� � �D��r� �A���
La ecuaci�on homog�enea� ecuaci�on de Laplace
r� f��r� � � �A���
que� l�ogicamente� es m�as f�acil de resolver que la de Poisson� ser�a v�alida en regionesdonde �F sea solenoidal�
Se ha visto que estas ecuaciones tienen soluci�on �unica para f si �jamos el valor deesta funci�on en la super�cie del contorno� condiciones de Dirichlet� y �unica para �F silo que �jamos es la componente normal Fn del campo en la super�cie� condiciones deNeumann� Tambi�en obten��amos soluci�on �unica con condiciones mixtas de contorno�
a��
a��
La resoluci�on de la ecuaci�on de Poisson puede llevarse a cabo� de forma general�sumando a la soluci�on general de la ecuaci�on de Laplace una soluci�on particular de lade Poisson y ajustando los coe�cientes de esta soluci�on general a las condiciones decontorno del problema�Muchos problemas importantes de campos electrost�aticos� campos magnetost�aticos
y corrientes estacionarias responden a este tipo de ecuaciones�Para medios lineales� homog�eneos e is�otropos� el campo electrost�atico cumple las
ecuacionesr � �E��r� � �
���r�
r��E��r� � �
� �E��r� � �rV ��r�
y
r� V ��r� � ������r� �A���
En condiciones est�aticas y ausencia de corrientes de carga de conducci�on� el campo�H cumple
r � �H��r� � �M ��r�
r� �H��r� � �
� �H��r� � �rU��r�
yr� U��r� � ��M ��r� �A��
Para corrientes estacionarias� supuesta la presencia de campos electromotores cono�cidos �E ��
�� � � �ET � � � �E � �E �� r � �E��r� � �r � �E ���r�
r � �E��r� � �
r� �H��r� � �
� �E��r� � �rV ��r�
y
r� V ��r� � r � �E ���r� �A���
En este planteamiento del problema � ���r�� �M ��r� y r � �E ���r� se suponen conocidos
y �jos en todo el volumen V dentro del cual queremos hallar la soluci�on�
A�� Principio de superposici�on
En algunos casos es �util el uso del principio de superposici�on que se deduce de la linea�lidad de la ecuaci�on de Poisson�Si fi��r� es una soluci�on de la ecuaci�on
r� fi��r� � �Di��r�
que cumple una de las condiciones de contorno
�fi�S � fiS �o
� fi n
�S� FinS
a��
entonces
f �
NXi��
�i fi
es una soluci�on de r� f � �D� donde
D �NXi��
�iDi
con la condici�on de contorno
�f �S �NXi��
�i fiS �o
� f
n
�S�
NXi��
�i FinS
lo que puede comprobarse por simple substituci�on�
Esto permite� a veces� descomponer un problema complejo en otros m�as sencillos�como ilustraremos m�as adelante�
A� Expresi�on integral de la ecuaci�on de Poisson
Antes de exponer el m�etodo de Green de soluci�on de la ecuaci�on de Poisson veremoscomo �esta puede ser puesta en forma integral� Para ello haremos uso de las identidadesde Green�
Identidades de Green �
Si h y g son dos funciones de�nidas en V� Por el teorema de la divergenciaZVr � �hr g� dv �
IShr g � �n ds
Desarrollando la divergencia y escribiendo la derivada direccional de la forma r g � �n �� g� n Z
V�hr� g �rh � r g� dv �
ISh g
nds �A���
que es la Primera identidad de Green�
Cambiando g � h y restando� obtenemosZV�hr� g � gr� h� dv �
IS�h
g
n� g
h
n� ds �A���
que es la Segunda identidad de Green�
a�
Volumenproblema
D=0
Vf
V=V’
S’Volumen
que contienea todas las
fuentes
(r ’)D
n
Figura A���
Expresi�on integral de la ecuaci�on de Poisson �Para obtener una ecuaci�on integral que nos exprese el valor del potencial f��r� en un
punto �r V� debemos integrar las fuentes sobre V �� que haremos coincidir con V� v�easela �gura A���Haciendo V � V �� g � f��r �� y h � �
r
ZV ��
Rr�� f��r �� �z ��A�
dv��ZV �
f��r ��r����
R
� �z �
�B�
dv� �ZS�
�### �R r� f��r �� � �n � �z ��C�
� f��r ��r���
R
�� �n � �z �
�D�
!$$$" ds�
Teniendo en cuenta que r �� f��r �� � �D��r ��� podemos escribir
�A� � �ZV �D��r ��R
dv�
expresi�on que multiplicada por ������ y extendiendo V � a todas las fuentes� nos dar��apor si sola f��r�� Sin embargo tomaremos V � como un volumen arbitrario que contendr�asolo a parte de las fuentes�Puesto que� como ya se ha visto� r� ���R� � ��� �R
�B� � �� �f��r ����r ���r
� �� f��r� para �r V
Por �ultimo� substituyendo r� f��r �� � ��F ��r �� en �C� y r����R� � �R�R� tenemos
f��r� ��
�
ZV �D��r ��R
dv� � �
�
IS�
�f��r �� ��n � � �r ��
R�
�F ��r �� � �n �R
�ds� �A���
Ecuaci�on que no constituye una soluci�on porque� seg�un hemos visto en la secci�on ������� no podemos �jar al mismo tiempo el potencial y la componente normal delcampo en el contorno�
a��
Claramente los t�erminos �C� y �D� aparecen en compensaci�on de las fuentes noincluidas en V � y que� por lo tanto� no han sido tenidas en cuenta� �C� tiene la formade integral de potencial monopolar y �D� de potencial dipolar� As��� pues� las cargasel�ectricas o polos magn�eticos no tenidos en cuenta al integrar sobre V � se substituyenpor unas distribuciones super�ciales� en el contorno� de polos y dipolos� el�ectricos omagn�eticos en su caso�En la soluci�on de la ecuaci�on de Laplace� ya que D��r �� � � en �r � V �� la integral
sobre el contorno representa a las fuentes que necesariamente debe haber fuera delvolumen problema puesto que dentro de �el no las hay� En caso contrario el campo en V �ser��a nulo por carecer de fuentes�
A�� M�etodo de Green
Con objeto de introducirnos en el uso del m�etodo de Green para resolver ecuaciones difer�enciales� ilustraremos su aplicaci�on a la soluci�on del problema de Poisson con condicionesde Dirichlet�Para ello de�niremos como funciones de Green a las soluciones generales de las
ecuacionesr�G��r� �r �� � ����R� � ����r � �r �� �A� �
r��G��r �� �r� � ����R� �A����
Como puede verse en A� � G��r� �r �� es el potencial que se medir��a en �r debido a unafuente puntual situada en �r � � q � �� qM � l��De la misma forma� G���r �� �r� es el potencial que una fuente puntual colocada en
�r produce en �r �� Una soluci�on particular para A� y A��� es la soluci�on con simetr��aesf�erica
Gp ��
� r�
�
� jr � �r �j � G�p
Si a esta le a�nadimos la soluci�on general de la ecuaci�on de LaplaceGL��r� �r
�� � G�L��r�� �r� tenemos
G��r� �r �� ��
� r�GL��r� �r
��
G���r �� �r� ��
� r�G�L��r
�� �r� �A����
Esta �ultima ser�a la expresi�on general de la funci�on de Green correspondiente a unafuente puntual en �r observada en �r ��Volviendo a hacer uso de la segunda identidad de Green� con h � G���r �� �r� y g �
f��r ��
�f��r���rV �ZV �
G���r �� �r�D��r �� dv� �IS�
�G���r �� �r�
f��r �� n�
� f��r �� G���r �� �r�
n�
�ds�
que puede ser convertida en soluci�on para un problema con condiciones de contornode Dirichlet de�niendo la Funci�on de Green para condiciones de Dirichlet GD� soluci�onparticular que cumple la condici�on de contorno�
GD��r� �r���S � � �A����
a��
es decir eligiendo las constantes indeterminadas de la funci�on de Green general de man�era que �esta se anule en el contorno�En este caso� la funci�on de Green es sim�etrica� como demostraremos m�as adelante�
GD��r� �r�� � G�D��r
�� �r� � GD
Substituyendo en la expresi�on anterior� obtenemos la soluci�on del potencial en V quecorresponde a un potencial �jado en su super�cie�
f��r ���S� � fs��r
��
f��r� �
ZV �
G�DD dv� �ZS�fs
G�D n�
ds� �A����
que es una verdadera soluci�on del problema de Dirichlet porque� al ser �GD�S� � �� nosdesaparece la integral asociada a la componente normal del campo�Algo parecido podemos hacer para condiciones de Neumann �Jackson��Para el potencial electrost�atico� f��r� � V ��r� y D � �
� luego
V ��r� ��
�
ZV �
GD � dv� �ZS�Vs
GD
n�ds�
Como todos los m�etodos generales de soluci�on� �este puede presentar en la pr�acticadi�cultades insalvables� La potencia del m�etodo de Green es� sin embargo� considerable�Un problema de Dirichlet en el que se especi�can las fuentes D��r �� en V � y se �ja
el valor fs��r�� del potencial en el contorno� se reduce al problema� te�oricamente m�as
simple� de buscar el potencial producido por una fuente puntual unitaria en V � cuandotodos los puntos del contorno est�an a potencial nulo�Por otra parte� es interesante hacer notar que una misma funci�on de Green sirve
para el c�alculo del potencial en un mismo volumen pero con fuentes y condiciones decontorno distintas�Para terminar� demostraremos la simetr��a de GD� Sean las funciones GD��r
�� �r�� yGD��r
�� �r��� las cuales cumplen
r��GD��r�� �r�� � ����r � � �r��
r��GD��r�� �r�� � ����r � � �r��
� �GD�S� � �
Substituyendo h � GD��r�� �r�� y g � GD��r
�� �r�� en la segunda identidad encon�tramos que� efectivamente
GD��r�� �r�� � GD��r�� �r��
A�� M�etodo de las im�agenes
El m�etodo de las im�agenes se basa en el Teorema de Unicidad� seg�un el cual� si unafunci�on f es tal que r�f � �D en todo el volumen problema y cumple condiciones decontorno adecuadas� �esta f es la soluci�on de nuestro problema de potencial� Aunque noes un m�etodo general� es aplicable a una serie de problemas de singular importancia� no
a��
s�olo en el caso de campos est�aticos� lo que justi�ca su inter�es� En particular� permitir�ael c�alculo sencillo de la funci�on de Green para geometr��as simples�Esencialmente� la soluci�on del problema de contorno se consigue substituyendo dicho
contorno por un espacio imagen� constituido por medios y fuentes imagen y situadosen el exterior del volumen de inter�es� o volumen problema� de forma tal que sigancumpli�endose las condiciones de contorno impuestas�
II
d (r ’) d (r ’)-d (r ’)ρI
ρ =−ρI
r ’ r ’r ’I
S
Espacio imagen(solucion no valida)
Espacio problema(solucion valida)
,ε ,ε,ε
ρ ρ
II
Figura A���
En la �gura A�� se presenta un caso simple consistente en un sistema de cargas ���r ��frente a un plano conductor a potencial nulo�El volumen de inter�es es el semiespacio a la derecha del plano conductor y el contorno
del problema es la super�cie S� Las condiciones que se cumplen en este problema sonde tipo Dirichlet� En el semiespacio de la izquierda no se han especi�cado ni los mediosni las fuentes� lo que no nos permite decir nada acerca del potencial existente en dicharegi�on� Si nosotros nos �guramos ahora a este semiespacio como lleno de un medio conconstante � y con una distribuci�on de cargas de signo contrario a las especi�cadas � �Ies la imagen especular de ��
���d� � ��I���d� � �I � �
por simetr��a� el potencial VS � � y� puesto que no hemos alterado la regi�on �I� ni elpotencial de su contorno� el campo producido en esta nueva situaci�on es el mismo queexist��a en el problema primitivo en dicha regi�on� La soluci�on obtenida no es v�alida parala regi�on �II� puesto que en ella hemos �jado arbitrariamente los medios y las fuentes�En la �gura A�� se plantea un problema t��pico de electrodos en medios de conduc�
tividad �nita� En este caso� un electrodo �conductor ideal con � � �� inyecta unaintensidad I a un medio de conductividad �nita ��� separado por un plano del mediode la izquierda� que es no conductor �� � ��� Resolvemos el problema en el medio deconductividad �nita� cuyo contorno es S � S��S�� donde S� es la interfaz con el mediono conductor y S� la super�cie del electrodo� Dado que la corriente no �uye en el mediono conductor� en S� puede imponerse la condici�on de tipo Neumann �En � ��S� � El
a��
VE
,σ0 ,σ0II I
I Iooσ
+S 2S=S1
VE
,σ0
σ0
σ=0 I
I
j =
V
E
E
Figura A���
electrodo es equipotencial� por lo que en su super�cie puede imponerse la condici�on detipo Dirichlet �V �S� � VE � con lo que� en conjunto� las condiciones son mixtas�
El espacio imagen estar��a constituido por un electrodo sim�etrico con respecto a S�inmerso en un medio de la misma conductividad ���
,μ 0I,μ 0II
I I
ooμ ,μ 0I
+S 2S=S1
U=cte
H
I
Figura A��
Algo parecido� �gura A�� podemos hacer con sistemas de corrientes frente a mate�riales magn�eticos ideales� En virtud de la ley de refracci�on� las l��neas de campo ser�anperpendiculares a la super�cie externa S� del medio� Por lo tanto� el potencial magn�eticoUS� � cte y puede tomarse como nulo� El espacio imagen estar��a constituido por unmedio de permeabilidad �� y una espira sim�etrica de la primitiva con respecto a S��No abordaremos el tema en extenso �Lorrain y Corson� Reitz et al�� Jackson� nos
limitaremos a describir la aplicaci�on del m�etodo al c�alculo del potencial electrost�aticoproducido por cargas en presencia de super�cies conductoras�
A � � � Im�agenes sobre un plano conductor� funci�on de Green
Consideremos a una carga puntual situada en el punto �d� �� �� frente al plano conductorx � � que est�a a potencial nulo�
La carga q atraer�a� por in�uencia� cargas de signo contrario estableciendo en S una
a�
^
II I,ε ,ε
ρ s (y,z)
rR 1
R 2
+q-q(d,0,0)(-d,0,0)
E(0,y,z)S
x
Figura A���
densidad de carga �s�y� z� que apantalla al campo dentro del conductor�
��y� z� � � �E��� y� z� � �n
Seg�un vemos en la �gura A��� para la regi�on �I� tendremos un campo que ser�a elresultado de superponer el coulombiano de q con el de su imagen �q�
�E �q
��
��R�
R�
��R�
R�
�� V �
q
��
��
R�� �
R�
�donde
�R� � �x� d� y� z� � �R� � �x� d� y� z�
La fuerza que la carga ejerce sobre el plano� o la que el plano ejerce sobre el conductor�ser�a la de atracci�on entre q y su imagen�
�F � q �E�q � � q�
��
�
��d��bx
Es interesante resaltar que el trabajo necesario para traer a la carga q desde elin�nito a su posici�on �nal no puede obtenerse como producto de dicha carga por elpotencial V�q��d� que produce la imagen en d porque al mover q se mueve tambi�en suimagen�
Para obtener la funci�on de Green GD��r� �r�� � G�D��r
�� �r� colocar��amos una cargaq � � en �r � y calcular��amos el potencial en �r� Si� como se muestra en la �gura A���
a���
^
rq’= −ε
R 2
R 1
εq=
r ’I r ’
x
Figura A���
colocamos al plano en el plano yz y la la carga a una distancia x del mismo
�r � �x� y� z� � �r � � �x�� y�� z�� � �R� � �r � �r �
�r �I � ��x�� y�� z�� � �R� � �r � �r �I
Luego
GD��r� �r�� �
�
�
��
j�r � �r �j ��
j�r � �r �I j�
A � � � Im�agenes sobre una esfera
Podemos tambi�en demostrar que la imagen de una carga q� frente a una esfera conpotencial nulo� es otra carga q� de signo contrario y de distinta magnitud�
^ R 2 R 1
r
II ,ε
I ,ε
θqq’q’’
a
d
b
z
Figura A���
Supongamos� �gura A��� un par de cargas q y q� situadas en ��� �� d� y ��� �� b�
a���
respectivamente� El potencial creado en un punto ser�a
V ��r� ��
��
�q
R��
q�
R�
��
�
��
�q
j�r � d bzj � q�
j�r � b bzj�
Queremos determinar para que carga imagen q� y que distancia b de la misma alorigen la esfera de radio a es equipotencial con V � ��
V �a br� � � q
d jad br � bzj � � q�
a jbr � ba bzj
Esto se logra� para todo �� haciendo
q� � �q ad
� b �a�
d
como puede comprobarse por inspecci�on�Estas relaciones siguen siendo v�alidas si intercambiamos la regi�on �I� por la �II� y
q por q�� Es decir� son v�alidas para cargas q en el interior de una esfera �d � a��Podemos calcular el potencial producido por una carga q frente a una esfera con�
ductora� a potencial V� sin m�as que a�nadir una carga en el origen de magnitud
q�� � V� � � a � V ��r� ��
��
�q
j�r � d bzj � q�
j�r � b bzj � q��
r
�A � � � Im�agenes sobre super�cies cil��ndricas
Comprobaremos� por �ultimo� la posibilidad de obtener super�cies cil��ndricas equipoten�ciales haciendo uso de l��neas uniformemente cargadas�Consideremos dos l��neas rectas paralelas� separadas una distancia d y cargadas uni�
formemente con densidades uniformes �� y �� respectivamente�
(-x, 0)
^
y
-d x ρl−ρ l
1
2
r
r P=(x, y)
x
Figura A���
En la �gura A�� se representa un corte para z � cte ya que el problema es realmentebidimensional�Las super�cies equipotenciales� de potencial V�� vienen dadas por
���V��l
� ln�r��r�
a���
Anotando A � exph� V��l
ise tiene que
x� � y� � �x d
A� � �d�
A� �ecuaci�on que corresponde a cilindros centrados en
x� �d
A� �y radio
a �dpA
A� �
A�� Resoluci�on anal��tica de la ecuaci�on de Laplace
A� Introducci�on
Aunque la soluci�on anal��tica completa de la ecuaci�on de Laplace solo es factible en unn�umero de casos� si es posible la obtenci�on de soluciones generales� en diversos sistemascoordenados� para medios lineales homog�eneos e is�otropos� Veremos a continuaci�oncomo pueden llenarse las condiciones de contorno en simetr��a cartesiana� cil��ndrica oesf�erica� trabajando sobre ejemplos concretos� Tambi�en apuntaremos brevemente el usode m�etodos especiales� como los basados en las variables complejas� para la resoluci�onde problemas bidimensionales�
De nuevo se pretende solamente introducir el tema� por lo que la presentaci�on no ser�acompleta ni rigurosa� Tratamientos m�as amplios pueden encontrarse en pr�acticamentetoda la bibliograf��a previamente citada y en �Morse y Feshbach� Abramowitz y Stegun�Arfken y Weber� Wylie� Jackson� Panofsky y Phillips� Konopinski� Weisstein� Tijonov��
Para la obtenci�on de soluciones generales haremos uso del m�etodo de separaci�on devariables que permite expresar dicha soluci�on como producto de funciones de una vari�able� Se puede demostrar� aunque nosotros no lo haremos� que la soluci�on as�� obtenidaes completa� por lo que la soluci�on particular a cualquier problema f��sico bien plantea�do podr�a expresarse dando valores adecuados a las constantes indeterminadas de dichasoluci�on general�
A�� Soluci�on general en coordenadas cartesianas
La ecuaci�on
r� f �� f
x��� f
y��� f
z�� �
admite soluciones del tipo
f�x� y� z� � X�x�Y �y�Z�z�
a���
Substituyendo m�as arriba� excluyendo la soluci�on trivial f � � y dividiendo porf�x� y� z�� obtenemos
�
X
d�X
dx� �z �u�x�
��
Y
d� Y
dy� �z �v�y�
��
Z
d� Z
dz� �z �w�z�
� �
La ecuaci�on anterior puede escribirse como suma de tres funciones� cada una de lascuales depende de una variable independiente distinta� Esto solo es posible si cada unade ellas es igual a una constante� La suma de estas tres constantes ha de ser igual acero� Anotaremos estas constantes de la forma u�x� � �k�x� v�y� � �k�y� W �z� � �k�z �con lo que
k�x � k�y � k�z � � �A���
Esto conduce a las tres ecuaciones unidimensionales de segundo orden
d�X
dx�� �k�xX �A���a�
d� Y
dy�� �k�y Y �A���b�
d� Z
dz�� �k�z Z �A���c�
As��� pues� para cada valor kx� las soluciones posibles de la ecuaci�on de X�x� tienenla forma
Xk�x� �
�����������A�k e
jkx x �A�k e�jkx x � para k�x � �
A� x�A� � para kx � �
A�k e�x x �A�k e
��x x � para ��x � �k�x � �
�A����
Haciendo uso de las relaciones de Euler
e j � cos� j sen � e � cosh� senh
pueden ponerse las anteriores expresiones en funci�on de senos y cosenos� circulares ohiperb�olicos�La soluci�on general de la ecuaci�on de Laplace ser�a� por lo tanto�
fG �X�kx�ky
Xkx�x�Yky�y�Zkz�z� � kz �q�k�x � k�y �A����
Expresi�on en la que la sumatoria se extiende a todos los valores posibles de kx� ky� kz�La soluci�on particular de un problema determinado implica el calculo de las in�nitas
constantes A�k� A�k� B�k� B�k� C�k� C�k� as�� como el de los posibles valores de kx� ky� kzque son compatibles con las condiciones de contorno establecidas�
a��
A�� Aplicaciones
Descartando los problemas unidimensionales que ya fueron tratados en los primerostemas� basta para ilustrar el uso del m�etodo con la resoluci�on de algunos problemasbidimensionales�
V0
x
y
x=a
V=0
V=0
Figura A� �
Supongamos � V� z � �� por lo que V � V �x� y� y k�x � k�y � � y apliquemos las
siguientes condiciones de contorno
V �x� �� � V� � � � x � a
V ��� y� � V �a� y� � � � y � �
que corresponden� �gura A� � a una caja in�nitamente larga en las direcciones z e y�limitada por una banda de potencial V� en el plano y � � y por dos semiplanos apotencial nulo en x � � y x � a�Puesto que para y � � no se especi�ca la existencia de ning�un tipo de fuentes y
los planos x � � y x � a est�an a potencial nulo� se supone que la cuarta condici�on decontorno que nos falta es
V �x� �� � � � � � x � a
Comprobaremos que� al coincidir las condiciones en x � � y x � a� resultar�a c�omodotomar
k�x � �k�y � k�
donde k es real y positivo� con lo que la soluci�on general es
VG �X�k
Xk�x�Yk�y� �X�k
�A�k e
jk x �A�k e�jk x
� �B�k e
k y �B�k e�k y
�Si tenemos en cuenta� en primer lugar� que
v��� y� � � A�k � �A�k
a���
podremos escribir �
V �X�k
Ak sen �k x�Yk�y�
lo que justi�ca la elecci�on de k�x � k��
Si ahora aplicamos la condici�on V �a� y� � � encontramos que solo son posibles aque�llos valores de k que hacen que los valores nulos de sen k x coincidan con los extremosdel intervalo ��� a�
k � n�
a� n � entero
Vemos pues que k se cuanti�ca al limitar el intervalo seg�un la direcci�on x� Luego
V �Xn�o
An sen �n�x
a�Yn�y�
Haciendo uso de la condici�on V �x� �� � � encontramos que los B�n � � porque est�anasociados a t�erminos crecientes con y�
V �Xn�o
An sen �n�x
a� e�n�
ya
Por �ultimo� debemos cumplimentar la condici�on V �x� �� � V� para � � x � a
V� �Xn�o
An sen �n�x
a�
a
V(x,0)
x2a
Figura A����
Si extendemos la funci�on V �x� �� � V� en el intervalo ��� a� con V �x� �� � �V� en�a� �a�� obtenemos la funci�on peri�odica de la �gura A��� que� desarrollada en serie deFourier�
An ��
�
Z �a
�sen �n�
x
a� dx �
���� � n par
V�n� � n impar
�Ak� An y An son distintas entre s�� y sus relaciones mutuas son f�acilmente deducibles�
a���
La soluci�on particular que cumple las condiciones de contorno ser�a
V �x� y� �V��
Xn� impar
�
nsen �n�
x
a� e�n�
ya
que est�a representada en la �gura A��� incluyendo a los primeros cien arm�onicos nonulos�
0,5 a
V(x,y)
V0
y
x=ax
Figura A����
Como puede deducirse de la soluci�on anterior y se aprecia en la �gura� el primert�ermino de la serie predomina para y �� ya que que la rapidez con que decrece cadat�ermino en la direcci�on y es proporcional a n�El c�alculo de los coe�cientes podr��a haber sido llevado a cabo� de forma m�as general�
teniendo en cuenta las propiedades de ortogonalidad de las funciones exponenciales oseno y coseno en el intervalo ��� a� ��Z a
�sen �n�
x
a� sen �n��
x
a� dx �
�
�a �n n�
Si ahora� por ejemplo� limitamos la caja en la direcci�on y termin�andola en y � bcon una banda a potencial Vb� habr�a que substituir la condici�on V �x� �� � � porV �x� b� � Vb� con lo que B�n �� � y deberemos escribir
V �Xn�o
sen �n�x
a��An e
n� ya �Bn e
�n� ya
��V�ease el ap�endice J
a���
de donde se deduce que
V� � V �x� �� �Xn�o
sen �n�x
a� �An �Bn�
Vb � V �x� b� �Xn�o
sen �n�x
a��An e
n� ba �Bn e
�n� ba
�por lo que los coe�cientes del desarrollo se deducir�an del sistema de ecuaciones
An �Bn �V�n�
An en� b
a �Bn e�n� b
a �Vbn�
A veces es �util el recurso al principio de superposici�on� As��� pues� el problema decontorno de la �gura� en el que las cuatro caras de la caja est�an a distinto potencial�puede descomponerse en dos problemas equivalentes al que acabamos de describir� seg�unse muestra en la �gura A����
c
V (x,y)1V0
Va
Vb
Vc
V0 VbV(x,y)
a
b
x
y
V (x,y)2
Va
V
Figura A����
A� Soluci�on en coordenadas cil��ndricas
La ecuaci�on de Laplace en forma cil��ndrica toma la forma
r� f ��
r
r
�r f
r
���
r�� f
��� f
z�� �
la cual admite soluciones separables del tipo
f�r� � z� � R�r��� �Z�z�
Operando de forma an�aloga a la utilizada en la secci�on anterior� obtenemos
�
Rr
d
d r
�rdR
d r
���
r��
�
d� �
d ��
�
Z
d� Z
dz� �z �w�z��k�����
� �
�Emplearemos la notaci�on r en vez de � para no confundir a esta �ultima con la de la densidad decarga�
a���
donde aparece ya separada la funci�on w�z��
La soluci�on Z�z� es� pues� del mismo tipo que en cartesianas
Zk�x� �
�����������C�k e
k z � C�k e�k z � para k� � �
C� z � C� � para kx � �
C�k ej� z � C�k e
�j�z � para ��x � �k�x � �
�A����
Si excluimos el origen y multiplicamos por r�
r
R
d
d r
�rdR
d r
�� k� r� �
�
�
d� �
d � �z �v�����n�
De esta foma separamos la funci�on v� �� por lo que la dependencia seg�un puede serescrita como
�n� � � A� cos n �A� senn �A�� �
donde n deber�a ser entero si el rango de variaci�on de cubre todo el intervalo ��� ���puesto que� para que la soluci�on sea �unica deber�a cumplirse �� � � �� � ����
En caso contrario son admisibles las soluciones
��� � � A� �A� � n � �
��� � � A� e�� �A� e
��� � �� � �n��A����
La ecuaci�on radial resultante ya no es tan simple� Multiplicando por Rr�
�
r
d
d r
�rdR
d r
��
�k� � n�
r�
�R � �
Ecuaci�on que para k � n � � admite la soluci�on sencilla
R���r� � B� ln r �B� � k � n � � �A����
Para k � �� n �� �� ensayando soluciones del tipo R � B rm� se obtienen dos solu�ciones independientes para m � �n
R�n�r� � B� rn �B� r
�n � k � � �A����
En el caso m�as general� haciendo el cambio de variables p � kr� la ecuaci�on radialqueda de la forma
p�d�R
dp�� p
dR
d p�R �p� � n�� � �
que es la Ecuaci�on de Bessel�
�En general� k� puede ser complejo�
a��
Para k y n reales� admite soluciones polin�omicas �Wylie� Arfken y Weber�
Rkn�r� � Rn�p� � B� Jn�p� �B� J�n�p� �A����
donde Jn�p� y J�n�p� son las Funciones de Bessel de primera especie y de orden �n�Estas funciones� que son linealmente independientes para n no entero� se expresan comosuma de una serie in�nita
Jn�p� ��p�
�n �Xi��
����ii# ' �i� n� ��
�p�
��idonde ' es la Funci�on gamma� En el caso en que n es entero '�i� n��� � �n� i�#� dedonde se deduce que
J�n�p� � ����n Jn�p�Se hace pues necesario buscar una nueva soluci�on linealmente independiente de �estas�Las funciones de Bessel de segunda especie� o Funciones de Neumann� se de�nen como
Nn�p� �Jn�p� cos n� � J�n�p�
senn�
Puede demostrarse que �estas son independientes de las Jn�p� incluso en el l��miten� entero�
2 4 6 8 10 12
-1
-0.5
0.5
1n(p) (p)N n
Po
P2P1
N o N 1
N 2
P
p=k r
Figura A����
Las funciones de Bessel� v�ease la �gura A���� se cali�can de regulares porque son�nitas en el origen
limp��
Jn�p�� pn
�n n#
a���
mientras que a las de Neumann se les cali�ca de irregulares porque son singulares endicho punto
limp��N��p�� �� ln p
limp�� Nn���p�� ��n �n����� pn
Para valores grandes de p� estas funciones toman los valores asint�oticos
limjpj�� Jn�p��q
�� p cos
�p� �n� �
�
���
�limjpj�� Nn�p��
q�� p sen
�p� �n� �
�
���
�Para el estudio de la propagaci�on de ondas es preferible utilizar las Funciones de
Hankel de primera y segunda especie� de�nidas� respectivamente� como
H���n �p� � Jn�p� � j Nn�p�
H���n �p� � Jn�p�� j Nn�p�
de forma que
Rn�p� � AH���n �p� �BH���
n �p�
La dependencia de esta funci�on para puntos lejanos es del tipo
limp�� Hn�p�
���� ��� �r�
� pe�j �p��n�
��� ���
M�as detalles pueden encontrarse en la bibliograf��a�
A�� Aplicaciones
Supongamos en principio que tenemos dos electrodos en forma de cinta plana� entrelos que existe un conductor con conductividad ��� como se muestra en la �gura A���Calculemos la densidad de corriente�
En el conductor �� � �� �E y
�E � �rV � � V r
br � �r
V
b � V
zbz
Las condiciones de contorno pueden expresarse� para los intervalos a � r � b�� � � �� � � z � c������������
Er�a� � z� � � � Er�b� � z� � �
Ez�r� � �� � � � Ez�r� � c� � �
V �r� �� z� � V� � V �r� �� z� � V�
a���
2
ϕ0
σ=σ
a
b
0
c
σ o σ oo
V
o
1 V
Figura A���
Condiciones que sugieren el uso de un potencial del que derive un campo �E � �E� b V
r�
V
z� � � V � V � � n � �
Si probamos soluciones V � A� �A� E� � ��r A�� vemos que� efectivamente�
se cumplen todas las condiciones impuestas dando a las constantes los valores
A� � V� � A� ��V� � V��
�
Consideremos ahora un hilo recto de secci�on circular y radio a� de material magn�eticoideal ���� sumergido perpendicularmente en un campo magn�etico uniforme �H�� comoen la �gura A����Una vez introducido el hilo� este perturbar�a el espacio circundante modi�cando el
campo inicialmente uniforme� con lo que �H � �H�r� ��La primera condici�on de contorno � para �r ��� �� es
limr��
�H�r� � � �H� � H� bx � H� cos br �H� sen b Para �a�� �� donde a� � limr�a� r�a�
H��a�� � � �
porque el hilo tiene permeabilidad in�nita y� seg�un la ley de refracci�on de las l��neas decampo� �H�a�� � debe ser perpendicular a la super�cie�Puesto que �H � �rU � las condiciones de contorno pueden ser expresadas en funci�on
del potencial magn�etico escalar�a� Para r ��
U
r� �H� cos �
�
r
U
� �H� sen
a���
H 0
H
H(r, ϕ)
x
y μ 0
r
P
ϕ
μ oo
Figura A����
e integrandoU�r ��� � � �H� r cos
Hemos anulado la constante de integraci�on puesto que �esta solo afecta al origen de lospotenciales�b� Para r � a
�
a
U�a� �
� � U�a� �
� �
Puesto que el intervalo de es ��� ���� n debe ser real y entero y� dada la formade la condici�on en el in�nito� debe contener� al menos� el t�ermino �n � �� k � ��� conA� � �� n es necesariamente n � � puesto que� en caso contrario �
n � �
�� para r �� el potencial presentar��a dependencias de senn �o cos n �Si ensayamos un potencial de la forma
U�r� � � R���r���� � �
�B� r �B�
�
r
�cos
U�a� �
� �
�B� a�B�
�
a
�sen � �
Luego B� � �B� a� y aplicando la condici�on en el in�nito
U�r� � � �H� r
��� a�
r�
�cos
a���
A�� Soluci�on en coordenadas esf�ericas
La ecuaci�on de Laplace puede escribirse en coordenadas esf�ericas
�
r�
r
�r�
f
r
��
�
r� sen �
�
�sen �
f
�
��
�
r� sen� �
� f
�� �
En �este caso ensayamos la separaci�on de variables en la forma
f�r� �� � � R�r�*����� �
Substituyendo y multiplicando por �r� sen� ���f � tenemos� excluyendo los puntospara los que r � �� �o � � ��
r� sen� �
��
Rr�d
d r
�r�
dR
d r
���
*
�
r� sen �
d
d �
�sen �
d*
d �
����
�
d� �
d � �z ���n�
� �
donde nos aparece separada la variable de la misma forma que en cil��ndricas� Para norecargar la exposici�on supondremos que el intervalo de es ��� ��� y que� por lo tanton es real y entero�
�n� � � A� cos n �A� senn � ��� ��� �A���
La separaci�on de las variables r y � se logra dividiendo por sen� ��
r�
R
d�R
d r� �z ��u�r�
��
*
�
sen �
d
d �
�sen �
d*
d �
�� n�
sen� � �z ��v���
� �
Escribiendo la constante de separaci�on para la ecuaci�on radial como u�r� � l �l�����esta toma la forma
d�R
d r�� l�l � ��
r�R � �
Ensayando soluciones del tipo f � Ara se obtiene la ecuaci�on radical u � a �a��� �l �l � �� cuyas soluciones son a � l� ��l � ��� La soluci�on general es� por lo tanto�
Rl�r� � B� rl �B� r
��l��� �A����
La ecuaci�on polar resultante es
�
sen �
d
d �
�sen �
d*
d �
��
�l�l � �� � n�
sen� �
�* � �
que� haciendo el cambio � � cos �� pone de mani�esto que sus soluciones son funci�on decos �
d
d �
���� ���
d*
d �
��
�l�l � ��� n�
�� ��
�* � � �A����
a��
que es la ecuaci�on asociada o Generalizada de Legendre� Admite soluciones polin�omicasdel tipo
*nl � C� P
nl ��� � C�Q
nl ��� �A����
donde P nl y Q
nl son los Polinomios asociados de Legendre de primera y segunda especie
y de orden �n� l� �Wylie��Para problemas con simetr��a azimutal �� V � V �r� ��� n � ��� la ecuaci�on general�
izada se reduce a la de Legendre
d
d �
���� ���
d*
d �
�� l�l � ��* � � �A����
cuyas soluciones Pl � Ql � Pl��� son polinomiales de orden l� Polinomios de Legendre�Efectivamente� substituyendo en la ecuaci�on de Legendre los polinomios
Pl��� �lX
i��
ai �i
e igualando a cero los coe�cientes de las potencias de �� comprobamos que �Wylie�
Pl��� �
LXi��
����i ��l � �i�#�l i#�l � i�# �l � �i�# �
l��i �
���L � l
� para l par
L � l��� para l impar
Los primeros polinomios son
P� � �
P� � �
P� ��� �� �
� � ��
P ����� �
� � ��
P ��� ��� �
� �� �� � ��
�A�� �
En esta versi�on� �gura A���� los polinomios de Legendre se han normalizado para quePl��� � ��De entre las propiedades de estos polinomios resaltaremos solo las principales�
� En primer lugar� es f�acil comprobar que Pl tiene la misma paridad que el ��ndicePl��� � ����l Pl���� �A����
� Por inspecci�on puede comprobarse que los polinomios son generados por la f�ormulade Rodrigues�
Pl��� ��
�l l#
dl
d�l��� � ��l �A����
�En este tomo nos limitaremos a este tipo de problemas�
a���
P
θ
0
P
PPP1
23 4
P( )θ
Figura A����
� Los polinomios as�� de�nidos son ortogonales� pero no ortonormales� en el intervalo� ���� ��� Z ��
��Pl� Pl d� �
�
�l � ��l l� �A����
La ortogonalidad puede demostrarse multiplicando la ecuaci�on de Legendre porPl� y por Pl sucesivamente� restando e integrando� El valor de la norma puedecalcularse haciendo uso de la f�ormula de Rodrigues e integrando por partes l vecesla integral de m�as arriba� Para obtener polinomios ortonormales en el intervalo de
� ��� ��� habr��a que multiplicar Pl porq
�l��� �
� Para problemas con simetr��a azimutal� la soluci�on general queda de la forma
f�r� �� �
�X�
�Al r
l �Bl r��l���
�Pl��� �A����
A � � Aplicaciones
Supongamos que en el seno de un diel�ectrico� de constante ��� en el cual existe un campoel�ectrico uniforme �E� � E�bz� se introduce una esfera diel�ectrica de constante �� y radioa� Queremos calcular la modi�caci�on introducida por esta esfera en el espacio pr�oximo�Como se muestra en la �gura A���� debemos obtener la soluci�on de la ecuaci�on de
Laplace en dos regiones� ��� y ���� separadas por una super�cie de discontinuidad Sa �Los l��mites de la regi�on ��� vienen dados por el contorno S� � Sa� � S�� donde S� esuna esfera de radio in�nito y Sa� una super�cie pr�oxima a la de discontinuidad pero enel medio ����
a���
1 r
E 0
S 0
SaSa1
Sa2
ooS
ε1
2ε 2
θ
a
Figura A����
Los limites de la regi�on ��� son� S� � Sa� � S�� siendo S� una super�cie de radioelemental que rodea al origen ya hemos visto que en el proceso de obtenci�on de las solu�ciones separables se ha excluido el punto r � �� para dividir por r� tanto en coordenadasesf�ericas como en cil��ndricas�Dentro de la super�cie S� no existe ninguna singularidad del campo� al no haber
especi�cado la existencia de cargas en r � �� por lo que podemos �jar el potencialdel origen en cualquier valor �nito� Tomemos� pues� el punto r � � como origen depotenciales�
V ��� �� � �
Para S�� podemos �jar condiciones tipo Neumann� Dado que muy lejos de la esferael campo seguir�a siendo igual al primitivo �E�
�E��� �� � �E� � E� bzpor lo que� la componente radial es
Er��� �� � E� cos �
Para Sa� seg�un se vio en la secci�on ����� nos hacen falta dos relaciones de conexi�on�Podemos utilizar la continuidad del potencial y� puesto que no se especi�can cargassuper�ciales� la continuidad de la componente normal de �D�Resumiendo� las condiciones de contorno de nuestro problema ser�an
�� En S�V���� �� � � �A���
�� En SaV��a� �� � V��a� �� �A���a�
a���
�� V��a� ��
r� ��
V��a� ��
r�A���b�
�� en S� V���� ��
r� �E� cos � �A����
Si expresamos las soluciones generales en ��� y en ��� de la forma
V� �
�X�
�Al r
l �Bl r��l���
�Pl���
V� �
�X�
�Cl r
l �Dl r��l���
�Pl���
Aplicando las condiciones de contorno A��
limr��
V� � C� ��Xl��
Dl r��l��� Pl��� � �
de dondeC� � � � Dl � � �l �A����
Queda� pues�
V� �
�Xl��
Cl rl Pl��� � C� r cos � �
�Xl��
Cl rl Pl���
De la condici�on de contorno A��� se deduce que
limr��
V� r
�
�Xl��
l Al rl�� Pl��� � A� cos � �
�Xl��
l Al rl�� Pl��� �
� �E� cos �
de dondeA� � �E� � Al � � �l � � �A����
Resulta� por lo tanto�
V� � A� �E� r cos � �B�
r�B�
r�cos � �
�Xl��
Bl r��l��� Pl���
La primera condici�on A���a en Sa esV��a� �� � V��a� ��
luego
A� �B�
a�
�B�
a��E� a� C� a
�cos � �
�Xl��
�Bl a
��l��� � Cl al�Pl��� � �
a���
de donde� dada la ortogonalidad de los Pl����
A� �B�
a� � �A�� �
B� �C� a � E� a
�A���
Bl � Cl a�l�� � � �l � � �A���
La segunda condici�on A���b en Sa es
�� V��a� ��
r� ��
V��a� ��
r
de donde
��a�
B� �
��� C� �
���a
B� � ��E�
�cos � �
��Xl��
��� l Cl a
l�� � �� �l � ��Bl r��l���
�Pl��� � �
Lo cual� junto con A�� � implica que
B� � � A� � � �A���
y
B� ������
a C� � �a
�E� �A���
Bl �����
l
l � �a�l�� Cl � � �l � � �A��
Restando A�� y A� obtenemos
Bl � Cl � � �l � � �A���
De A�� y A�� obtenemos
C� � � ������ � ��
E� � B� ��� � ����� � ��
aE� �A���
con lo que las soluciones para el potencial son
V� �
�### �E� r �z ��a�
��� � ����� � ��
aE��
r� �z ��b�
!$$$" cos �
V� � � ������ � ��
E� r cos �
Los resultados podr��an haberse previsto de una forma m�as intuitiva y r�apida aunqueaqu�� los hayamos deducido con cierto detalle�
a��
El t�ermino �a� representa al potencial generatriz del campo primario uniforme �E��En cuanto al t�ermino �b�� podemos identi�carlo claramente con un potencial dipolar
Vd ��
� ��
P cos �
r�
de donde se deduce que� desde la regi�on ���� la esfera se ve como un dipolo de magnitud
�P �� �� ��� � ���
��� � ��aE� bz
Esto es cualitativamente previsible porque el campo �E� polariza al medio y creacargas de polarizaci�on en la super�cie de separaci�on de los dos medios
�sP � ��P� � �P�� � br
de forma que� si �� � ��� el dipolo tiene la direcci�on del campo� reforz�andolo en el medio��� y apantall�andolo en el ���� y sentido contrario al campo si �� � ���En el interior de la esfera el campo el�ectrico es proporcional al aplicado
�E� ����
��� � ���E� �
���� �E� � �� � ��
� �E� � �� � ��
Para �D tenemos
�D� ����
��� � ���D�
���� �D� � �� � ��
� �D� � �� � ��
El resumen de estos resultados se presenta en la �gura A���Problemas an�alogos a �este son los de una esfera de material magn�etico� o de mate�
rial conductor� sumergida en un medio en el que� en un principio� se ha establecido uncampo uniforme� En estos casos los vectores a los que hay que aplicar la condici�on de con�tinuidad en la interfaz son �B y �� respectivamente� As��� pues� una esfera paramagn�etica�en el vac��o� concentra sobre s�� las l��neas de �B� mientras que una esfera diamagn�etica lasdesvia hacia afuera� En este sentido� un material superconductor se comporta como undiamagn�etico perfecto� excluyendo totalmente al campo de su interior�
A� Soluci�on de la ecuaci�on de Laplace en dos dimensiones
mediante el uso de transformaciones complejas
Muchos problemas de potencial interesantes pueden aproximarse como uniformes en unadirecci�on determinada� lo que permite resolverlos en el plano transversal a dicha direc�ci�on� Existe un cierto n�umero de procedimientos simpli�cados especialmente indicadospara este tipo de problemas� Unos son versiones m�as simples de m�etodos aplicables entres dimensiones y otros tienen un car�acter espec���co para potenciales bidimensionales�
a���
ε 2 ε1ε 2 ε1
ε 2 ε1
ε 2 ε1>
ε 2 ε1<
ε 2 ε1>
ε 2 ε1<
D,Campo E,Campo
D,Campo E,Campo
ε 2 ε1
Figura A����
No abordaremos en detalle estos m�etodos de los cuales puede encontrarse cumplidaexposici�on en la bibliograf��a ��Como introducci�on al tema� nos limitaremos a la b�usqueda de una expresi�on especi�
�ca de la soluci�on general de la ecuaci�on de Laplace en dos dimensiones�Sea f�z� una funci�on anal��tica de la variable compleja z
z � x� j y � f�x� � u�x� y� � j v�x� y�
dondex � ��z� � y � ��z�
u � ��f � � v � ��f �Veremos que tanto u�x� y� como v�x� y� son soluciones de la ecuaci�on de Laplace�
Efectivamente� �gura A�� � al desplazarnos en el plano z desde el punto z al z� dz nosdesplazamos en el plano f desde el punto f al f � df �La derivada de f con respecto a z es
d f
d z�
du� j dv
dx� j dy�
�� u� x � j � v
� x
�dx�
�� u� y � j � v
� y
�dy
dx� j dy
y� para una funci�on anal��tica� por de�nici�on� debe ser independiente de la direcci�on deldesplazamiento dz� En particular para
dz � dx d f
d z�
u
x� j
v
x�A���
�V�ease Smythe y Jackson
a���
jv
z
z+dz
f
f+dfjy
x u
jdv
du
jdy
dx
(a) (b)
Figura A�� �
y para
dz � j dy d f
d z� �j u
y� v
y�A���
de forma que� si la derivada ha de ser �unica� deber�an ser iguales las partes reales ylas imaginarias de A�� y de A��
u
x�
v
y�
v
y� � u
y�A� �
Estas son las ecuaciones de Cauchy�Riemann o condiciones de analiticidad de f�z��
De estas ecuaciones es f�acil deducir que
ru � r v � � �
���r� u � �
r� v � ��A����
Ecuaciones que muestran como� dada una funci�on anal��tica arbitraria� tanto su partereal como su parte imaginaria cumplen la ecuaci�on de Laplace� siendo ortogonales entres�� las curvas u � cte y v � cte� Esto �ultimo signi�ca que si u�x� y� llena unas condicionesde contorno determinadas� esta funci�on ser�a la soluci�on del problema de potencial� lascurvas u � cte ser�an las equipotenciales y las v � cte las l��neas de campo� De esta forma�por tanteo� buscando funciones apropiadas� pueden solucionarse problema interesantes�
Como ejemplo de funciones anal��ticas simples podemos citar a las potencias de z
fn�z� � zn � �x� j y�n � rn e j n� � rn �cos n � j senn �
donde r � jzj �px� � y� y � �z � artg y
x � Recordemos que rn cos n y rn senn
eran posibles soluciones de la ecuaci�on de Laplace en coordenadas cil��ndricas� La �guraA����a representa� en el plano �x� y�� las partes real e imaginaria de z y en A����b lasde z�� En ambas �guras se muestra como� por ejemplo� las curvas ��f � � cte puedencorresponder a las curvas equipotenciales compatibles con los conductores indicados ylas ��f � � cte a las l��neas de campo el�ectrico�
a���
=cte2Re
(z ) =cte2Im
(z)=cteIm
1 2 3
(z)=cteRe
1
2
3
31 2
1
2
3
x
(a) (b)
y y
(z )
x
Figura A����
Tambi�en es interesante la funci�on
f�z� �� � z
�� z
que es anal��tica� salvo en el punto z � � �x � �� y � ��� y est�a relacionada con latransformaci�on de impedancias en l��neas de transmisi�on� La representaci�on de las curvasu � cte v � cte� para esta funci�on� recibe el nombre de diagrama de Smith� el cual serepresenta en la �gura A����
1
v=1 v=2
u=0
u=1
1
y
x
v=oou=oo
Figura A����
Los puntos donde una funci�on compleja es singular corresponden� consecuentemente�con singularidades del campo�
a���
A�� Soluci�on aproximada de las ecuaciones de Poisson y
Laplace
A�� Introducci�on
Ya hemos visto que solo en casos muy espec���cos� cuando la estructura es simple y elgrado de simetr��a alto� es posible encontrar soluci�on anal��tica de los problemas electro�magn�eticos� En la pr�actica es a menudo necesario recurrir a soluciones no anal��ticas y deprecisi�on diversa� La disponibilidad creciente de medios de c�alculo potentes hace que lasoluci�on num�erica� al ser asequible� adquiera cada vez mayor relevancia� Conjuntamentecon el crecimiento de la capacidad de memoria y rapidez de c�alculo de los ordenadores� seest�a desarrollando un amplio arsenal de algoritmos e�caces para el tratamiento num�ericode problemas electromagn�eticos de todo tipo� Aunque queda fuera de nuestras posibili�dades el abordar este tema con un m��nimo de extensi�on� cada vez se hace m�as evidentela necesidad de prestarle una mayor atenci�on� contrapesando la importancia concedidaa los m�etodos anal��ticos de resoluci�on� Como mera introducci�on� con objeto de esbozart�ecnicas que en su mayor��a son extensibles a problemas m�as complejos� nos ocupare�mos aqu��� aunque brevemente� de los m�etodos� m�as asequibles y fundamentales� queson aplicables a la soluci�on aproximada de las ecuaciones bidimensionales de Poissony de Laplace� Una mayor extensi�on en la exposici�on de estos temas puede encontrarseen la bibliograf��a� Daremos primero una idea de los m�etodos experimentales y gr�a�cosy terminaremos el tema abordando los m�etodos num�ericos� Los dos primeros m�etodosno son muy precisos pero en ciertos casos la precisi�on es su�ciente o� al menos� la solu�ci�on obtenida constituye una buena estimaci�on primaria para utilizar como base de unm�etodo num�erico iterativo�
A�� M�etodos experimentales
Experimentalmente pueden determinarse las distribuciones de campo bien sea de formadirecta o bien haciendo uso de analog��as� No hay que olvidar que no solo son an�alogos� ennuestro contexto� los problemas irrotacionales electrost�aticos� magnetost�aticos y de con�ducci�on� sino que existen problemas equivalentes en mec�anica de �uidos� calor� gravedad�elasticidad� variables estoc�asticas� etc�� por lo que cualquier problema correspondientea un cierto tipo de campo y a unas ciertas condiciones de contorno puede encontrar unaanalog��a� f�acilmente modelable y mesurable experimentalmente� en otro tipo de campo�Veremos m�as adelante� cuando tratemos el M�etodo de Montecarlo� como la analog��a conlas leyes del azar nos permiten plantear una experiencia de computadora conducente ala soluci�on de la ecuaci�on de Laplace�
Desde el punto de vista f��sico� la analog��a m�as utilizada es la existente con los prob�lemas de conducci�on� Cuando la geometr��a del problema es bidimensional se puededeterminar la estructura de curvas equipotenciales haciendo uso de l�aminas cuya re�sistencia por cuadrado Rc �
�� e � donde e es el espesor de la l�amina� sea uniforme� Estas
l�aminas pueden ser de papel especial� papel Teledeltos� o de l��quido ligeramente conduc�tor� m�etodo de la cuba electrol��tica� El dispositivo experimental es el que se muestraesquem�aticamente en la �gura A����
a��
σ
ooσ
V
Lamina deconductividadfinita σ
oo
Figura A����
En el caso del papel Teledeltos� se pintan los electrodos con una pintura altamenteconductora y entre ellos se establece la diferencia de potencial correspondiente� Mi�diendo con un volt��metro de alta impedancia el potencial de cada punto de la zonaentre electrodos� podemos establecer experimentalmente la estructura de las super�ciesequipotenciales de un problema de Dirichlet para la ecuaci�on de Laplace�Este tipo de procedimientos� en las mejores condiciones� proporciona soluciones
v�alidas dentro de un margen de error de varias unidades por ciento�
A�� M�etodos gr�a�cos
Los m�etodos gr�a�cos son menos precisos pero m�as sencillos de ejecutar� Gr�a�camentepueden resolverse problemas bidimensionales de Laplace y� con algo m�as de di�cultad�problemas con simetr��a axial �Popovic� e incluso problemas de Poisson� Consideraremossolamente campos laplacianos bidimensionales� Sea un campo
�F �x� y� � �r f�x� y�
que cumpla la ecuaci�on de Laplace
� f
x��� f
y�� �
Consideremos un tubo elemental de �ujo de espesor �z � �� Si � es la distancia a lolargo de las lineas de campo y � la distancia a lo largo de las equipotenciales� el campoF y el �ujo �� que circula por el tubo� vendr�an expresados por
F �� �f
��� �� � F ��
a���
ηΔ
z=1Δ
Plano xy
f=ctelinea F
ξ
ηA
B
ξΔ
Figura A����
Para �� y �� su�cientemente peque�nos�Puesto que el �ujo que atraviesa a las secciones �A� y �B� es el mismo
F �� � F ���� ��f
���� �
��f���
���
Si dibujamos dos familias de curvas ortogonales� compatibles con las condiciones decontorno� que formen una cuadr��cula curvil��nea lo su�cientemente tupida y que cumplala condici�on� para cada cuadrado curvil��neo�
��
��� ������
� � �A����
tendremos que�� � ��� � � f � �� f �A����
Hecho esto� habremos dividido el espacio problema en tubos elementales de �ujo� decorriente� de campo el�ectrico o de campo magn�etico� por cada uno de los cuales circulael mismo �ujo ��� y en zonas separadas por equipotenciales equiespaciadas en �f �As��� pues� si el medio es un conductor de conductividad �� habremos dividido el
plano en cuadrados curvil��neos� tanto m�as pr�oximos a cuadrados rectos cuanto m�as �nasea la divisi�on� de resistencia
Rc ��V
j� ���V
� E ���
�� � z � � �A����
Si el problema es electrost�atico� el �ujo de �D que circula por el tubo puede rela�cionarse con la densidad de carga super�cial �s
�� � D�S � �E � � �s� � � �Q
y la capacidad equivalente del cuadrado ser��a
Cc ��Q
�V�
�E �
�V� � � � z � � �A���
a���
Por el mismo procedimiento podemos comprobar que la reluctancia de un cuadradode material magn�etico es
Rc ��
�� � z � �
Para calcular los par�ametros de un macrorect�angulo de N� tubos y Nf equipoten�ciales� basta con tener en cuenta que
� � n��� � f � Nf � f �A����
Como se deduce de A���� A�� y A���
RC � � ��
�
. . .
φ
Νφφ = φΔ
Ν f
Δ f
Δ f
Δ φ Δ φ
Δ f=Νf f
. . .
Ν
Figura A���
Para dibujar las familias de l��neas de campo y curvas equipotenciales� son �utilesuna serie de reglas y� muy especialmente� la experiencia� Existen t�ecnicas aplicables aregiones con m�as de un diel�ectrico y con fuentes� pero aqu�� solo citaremos las reglasb�asicas para medios homog�eneos sin fuentes�
Fijaremos nuestra atenci�on en un problema de conducci�on�
�� Dibujar el contorno del problema�
�� Dibujar un n�umero adecuado de equipotenciales� con �V � cte� teniendo encuenta que los electrodos son equipotenciales y que las l��neas de campo el�ectricoson tangenciales a las super�cies de separaci�on con los medios no conductores y�por tanto� las equipotenciales son perpendiculares a las mismas� Si existen zonasdonde presumiblemente el campo sea uniforme� es aconsejable empezar el dibujopor esa zona�
�� Tener tambi�en en cuenta que� por el poder de la puntas� el campo es m�as intensoen las zonas super�ciales convexas de la super�cie de los conductores� por lo quelas equipotenciales se acercan a estas zonas y se alejan de las c�oncavas�
a���
� Dibujar las l��neas de campo procurando guardar� al mismo tiempo� la ortogonali�dad con las equipotenciales y la regla de cuadrado �A���� �� � ��� Las posiblesfracciones de cuadrado pueden ignorarse en un principio�
�� En las regiones de campo d�ebil pueden aparecer pol��gonos curvil��neos que di�eranconsiderablemente del cuadrado por lo que podr��a ser necesario subdividirlos encuadrados menores�
�� Reiterar este proceso hasta que las reglas anteriores se cumplan de la forma m�asrazonable posible� Para �esto puede utilizarse l�apiz y goma de borrar o� mejor a�un�un papel milimetrado para los contornos y papel transparente para las sucesivasiteraciones�
En las �guras se muestra la funci�on dual que� en este tipo de problemas� ejercenlas l��neas equipotenciales y las de corriente� las super�cies electr�odicas y las interfaciesconductor�diel�ectrico�
Dielectrico
V Dielectrico
Dielectrico
V
σσ
Figura A����
A��� M�etodos num�ericos
La resoluci�on num�erica de problemas� como los que nos ocupan� requiere alg�un tipo dediscretizaci�on de los mismos� Mientras que la soluci�on anal��tica da informaci�on conti�nua y de precisi�on ilimitada para todos los puntos del volumen problema� la soluci�onnum�erica solo es factible para un n�umero �nito de puntos� para un n�umero �nito decoe�cientes� etc�� y ha de expresarse con un n�umero limitado de cifras signi�cativas�
La variedad de m�etodos num�ericos es considerable y es �este un campo en continuaexpansi�on� Aqu�� solo introduciremos dos tipos de m�etodo� el de diferenciaci�on �nita� enel cual la ecuaci�on de Laplace y las condiciones de contorno se expresan como ecuacionesen diferencias �nitas� y el variacional� en que el problema se plantea en t�erminos de lab�usqueda del extremo de un funcional adecuado� Cualquiera que sea el planteamiento�
a���
en la mayor��a de los m�etodos se llega a un sistema de ecuaciones cuya resoluci�on puedeabordarse de diversas formas� Matricialmente� estas ecuaciones pueden expresarse comoeA � �x � �b �A����
�x � eA�� ��b �A����
donde las componentes del vector inc�ognita �x pueden representar a los potenciales deun conjunto de puntos del espacio problema o� simplemente� a los coe�cientes de undesarrollo�Cuando las dimensiones de eA son relativamente modestas� es posible resolver el
sistema de ecuaciones invirtiendo directamente dicha matriz� En la pr�actica este nosuele ser el caso� lo que obliga a emplear medios iterativos de soluci�on cuya e�cacia� eincluso convergencia� est�an frecuentemente asociadas a la existencia de una adecuadaprimera estimaci�on de los resultados�
A��� M�etodo de diferencias �nitas
Para ilustrar el fundamento de este m�etodo �Popovic� Ramo et al�� Godunov�� �guraA���� estableceremos una malla uniforme y rectangular sobre el volumen tridimensionaldel problema� S�olo romperemos la regularidad de la malla en el contorno� sobre el quesituaremos nudos en los puntos de intersecci�on con las ramas de la misma�
...
...
f 4
f 1
f 1
f 2
f 2
f 3
f 3f 4
δ
I
Jδ
δδ 3δ 4
1
2
1 2 3 4 5 6
7
Ν−1 Ν
ab
n
x
y
δ
δ
δ
...
...
Figura A����
De esta forma se obtienen estrellas regulares� como la correspondiente al puntoI � �xi� yi� y sus cuatro vecinos
�xi � �� yi� � �xi� yi � ��
a��
y estrellas irregulares� que contienen puntos del contorno� como la que rodea a J ��xj � yj�� compuesta por nudos a distancias desiguales de J � En general� los puntosvecinos son
�xj � ��� yj� � �xj � ��� yj� � �xj � yj � �� � �xj� yj � ��
En cualquier caso� si las � son su�cientemente peque�nas� podemos desarrollar elpotencial en serie de Taylor alrededor de cualquier nudo �x� y�
f�x� �� y� � f�x� y� � � f
x��
���
� f
x��O���
Dando a � los valores ��� sumando y despreciando t�erminos de orden O���� obten�emos
� f
x�� f�x� �� y� � f�x� �� y�� �f�x� y�
��
y
r� f � �
���f� � f� � f � f � f�� �A����
donde� v�ease la �gura anterior� para simpli�car la notaci�on� se ha escrito f� �f�x� y�� f� � f�x� �� y�� etc�Para las estrellas irregulares podemos aproximar r� f dando a � los valores �� y ��
en el desarrollo en la direcci�on x y � y � en el correspondiente a la direcci�on y�Despejando las derivadas segundas se obtiene
r� f � � f� � � f� � f � f � � f� �A�� �
donde los coe�cientes correctores son
� ��
�� ��� � ���� � �
�
�� ��� � ���� �
�
� �� � ��
��
� �� � ��� � �
�
�
��
�� ���
�
� �
�En general� si la divergencia del campo en cada punto es D�� obtenemos las siguientes
ecuaciones en diferencias �nitas
f� ��
�
�D� �
Xl��
l fl
��A����
Estableciendo esta ecuaci�on para todos los nudos interiores del volumen problema ��i � � � � �N tendremos N ecuaciones con N inc�ognitas�Si al nudo i le corresponde una estrella regular� los coe�cientes son todos iguales
a la unidad� En caso contrario toman los valores indicados anteriormente�Las ecuaciones A��� forman un sistema de N ecuaciones no homog�eneas que puede
expresarse de la forma A���� donde eA es� para N grande� una matriz de tipo disperso� en ingles � sparse��� con pocos elementos no nulos� �x es el vector inc�ognita cuyoscomponentes son los N potenciales de los nudos internos y �b el vector de datos� cuyas
a��
componentes son combinaciones lineales de las divergencias Di y de los potenciales delos nudos frontera� fa� � � � fn�De esta forma queda planteado el problema de Poisson con condiciones de Dirichlet�
El planteamiento de condiciones tipo Neuman exige alguna elaboraci�on adicional quereferiremos a la bibliograf��a�
A �� � � Resoluci�on iterativa del sistema de ecuaciones
Ya hemos dicho que� cuando N es grande� la inversi�on directa del sistema de ecuacionesno es factible� No obstante� si la matriz eA es dispersa� como es nuestro caso� el sistemaresultante se presta a una soluci�on iterativa aproximada� Como en todo proceso iterativo�se hace necesaria una estimaci�on previa del resultado �x �� Algunos algoritmos de soluci�onson incondicionalmente convergentes� por lo que la justeza de la estimaci�on inicial noes cr��tica en este sentido� pero el n�umero de iteraciones necesarias para alcanzar unacierta precisi�on depende siempre de c�omo de cercana est�e la primera estimaci�on de lasoluci�on real� Mencionaremos s�olo el m�etodo de Iteraci�on simple y el de Relajaci�on�El primero consiste en aplicar reiterada y ordenadamente� m � � � � �N la expresi�on
A���
fkm ��
m
�Dm �
Xl��
l fl
��A����
El valor de potencial en el nudo m� en la iteraci�on k � esima� se estima en funci�onde los potenciales fk��l � estimados en la iteraci�on anterior� de los nudos de su estrella�El proceso iterativo se termina cuando se alcanza un grado de convergencia ade�
cuado� es decir� cuando la diferencia entre dos estimaciones sucesivas� xk�� y xk es losu�cientemente peque�na�Una notable mejora sobre el m�etodo de iteraci�on simple lo constituye el m�etodo de
relajaci�on� En este m�etodo� teniendo en cuenta la expresi�on A���� se de�ne un residuo�para cada uno de los nudos m�
Rtm �
�
m
�Dm �
Xl��
l fl
�� f tm �A����
donde f tm es la �ultima estimaci�on disponible del potencial del nudo m en el instante ten que se va a proceder a aplicar la expresi�on anterior�Evidentemente� si las estimaciones f tm fueran exactas� el residuo seria nulo� Si una
vez calculado el residuo Rtm lo relajamos� es decir� modi�cando el potencial del nudo m
mediante la suma de dicho residuo
f t��m � f tm �Rtm Rt��
m � �
anulamos el residuo del nudom pero modi�camos el de los restantes nudos de la estrella�Si la estrella es regular� el residuo de cada una de las puntas aumenta en �
Rtm� con lo que
el residuo global de la estrella queda inalterado� S�olo en las estrellas correspondientes anudos vecinos al contorno aparece una modi�caci�on del residuo global� En la pr�acticaresulta m�as conveniente relajar los residuos de acuerdo con la expresi�on
f t��m � f tm � aRtm
a��
Cuando a � � se dice que el proceso es de sobrerelajaci�on y� cuando a � �� desubrelajaci�on�
Aunque existen reglas pr�acticas para la relajaci�on manual � los ordenadores nece�sitan algoritmos sistem�aticos� Suele utilizarse una sobrerelajaci�on� con � � a � ��
El proceso de relajaci�on termina cuando todos los residuos alcanzan valores inferioresa una cota pre�jada�
A��� M�etodo de Montecarlo
Aunque este m�etodo no sea el m�as apropiado para resolver el problema que nos ocupa�su implementaci�on es simple e instructiva�
El m�etodo de Montecarlo� como apuntamos anteriormente� hace uso de la analog��aexistente entre las leyes que gobiernan a ciertos procesos aleatorios� o estoc�asticos� ylas que rigen para otro tipo de procesos� Siendo un m�etodo num�erico� cabr��a clasi�carlom�as propiamente con los m�etodos experimentales puesto que en �el no se resuelve direc�tamente la ecuaci�on sino que se genera el proceso estoc�astico y se miden sus resultados�
Las t�ecnicas de Montecarlo se aplican con �exito a la resoluci�on de problemas muydiversos no solo problemas f��sicos� A continuaci�on daremos una mera ilustraci�on decomo es posible dise�nar un proceso aleatorio� regido por la ecuaci�on de Laplace en suversi�on de diferencias �nitas y compatible con condiciones de contorno de tipo Dirichlet�Efectivamente� para potenciales laplacianos� D� � �� luego
f� ��
�
Xl��
l fl �
Xl��
pl fl �A����
donde se ha escrito
pl �l�
Es f�acil comprobar queXl��
pl � �
Esto nos permite imaginar un juego consistente en un paseo al azar por los nudosde la malla� �gura A���� desde un nudo interior determinado I hasta el contorno� Elsiguiente destino� a partir de un nudo cualquiera� ser�a la punta l de su estrella� con unaprobabilidad pl� Si el punto de partida es el centro de una estrella regular� las cuatrodirecciones posibles de marcha ser�an equiprobables �pl �
���
Si repetimos el paseo� a partir de cada nudo interior I� un n�umero de veces Lelevado �� podremos estimar la probabilidad Pij de llegar al punto J del contorno� como
Pij �LijL
� i � � � � �N � j � a� b � � �n
donde Lij es el n�umero de paseos que� partiendo de I han terminado J �
V�ease RamoEsto hace que el m�etodo no sea demasiado e�ciente�
a��
I
J
1 2 3 4 5 6
7
Ν−1
ab
n
x
y
...
Ν...
...
...
Figura A����
La media pesada de los potenciales de los nudos del contorno es
hfii �nX
j�a
Pij fj
Esto es f�acil de comprobar porque para llegar al punto J del contorno es necesariopasar por los puntos de la estrella de I� La probabilidad de pasar por l es pl� luego
Pij �
Xl��
pl Plj
de donde se deduce que
hfii �Xl��
pl hfli
Es decir� los hfii cumplen la ecuaci�on en diferencias A��� y� adem�as� en el contornohfji � fj porque dichos nudos son �nal de trayecto�En la base del m�etodo de Montecarlo� como en la de la simulaci�on de cualquier pro�
ceso aleatorio� est�a la generaci�on de una variable aleatoria� En nuestro caso la variabletomar�a solo cuatro valores� cada uno con probabilidad pl� Esto� que puede hacerse sacan�do n�umeros de una bolsa� no es estrictamente realizable con algoritmos de computadoraya que ninguna secuencia num�erica generada seg�un un proceso aritm�etico� establecidode forma precisa� es estrictamente aleatoria� No obstante pueden generarse secuenciasdeterministas� variables pseudoaleatorias� con propiedades muy pr�oximas a las de lasvariables aleatorias�
a��
A�� Principios variacionales
El m�etodo de Elementos nitos� usado en conjunci�on con un principio variacional�es�junto con el de diferencias �nitas� una de las t�ecnicas num�ericas m�as activas en lasoluci�on de problemas est�aticos y din�amicos ��Aqu�� solo podemos hacer una somera introducci�on al mismo� Recordemos que una
funci�on ��x� se dice que es estacionaria en x�� si� ��x�
x
�x�x�
� �
Cuando esto ocurre� una variaci�on elemental �x alrededor de x� produce una Primera
variaci�on �� � ��Efectivamente� se de�ne como primera variaci�on de � a
�� � ��x�
x�x � ��x� �x� � ��x�
que� efectuada sobre un punto estacionario x � x�� es nula� Estos conceptos son ex�tensibles a funciones de varias variables y a funcionales� En concreto� nos plantearemosla resoluci�on del problema de Poisson con condiciones de contorno generales� v�ease lasecci�on ������� En el volumen V del problema� debe cumplirse
r� f � �D �A���
donde f es la funci�on potencial de la que deriva el campo �F � �r f y D � r � �F �En el contorno S �jamos condiciones de Dirichlet� Neumann o mixtas� que pueden
formularse convenientemente con las expresiones
�f �S � fs ��f �S � � �A����
��n � r f � f �S � � �A����
Las condiciones de Dirichlet� expresi�on A���� �jan el valor del potencial para cadapunto de la super�cie S� por lo que la variaci�on del potencial �f en dichos puntos esnula�En las condiciones de Neumann� expresi�on A��� con � � para todos los puntos de
S� lo que �jamos es la componente normal del campo
�Fn�S � Fns � � �r f � �n�S � ��
Si en la expresi�on A��� hacemos �� � en alguna zona del contorno� las condicionesser�an mezcladas�Demostraremos que el funcional
�� � �ZV
%�
�jr j� �D
&dv �
ZS
%�
� � � �
&ds �A����
�Un tratamiento m�as amplio del tema puede encontrarse en la bibliograf��a �Cairo y Kahan�Zienkiewicz� Morse y Feshbach�
a�
es estacionario para �x� y� z� � f�x� y� z�� donde f�x� y� z� es la soluci�on de A��que cumple las condiciones de contorno especi�cadas� de tipo A��� o A���� Esto nospermite substituir la b�usqueda directa de la soluci�on f por la de una funci�on quehaga estacionario al funcional �� ��Efectivamente� comprobaremos que la primera variaci�on
���� ����f � �
Variando A���
�� �
ZVr � ��r � dv �z �
�I�
�ZVD � dv �
ZSf � � g � ds
Teniendo en cuenta que ��r � � r�� �� la integral �I� puede escribirse de la forma
�I� �
ZVr � �r � � dv
y� haciendo uso de la primera identidad de Green A���ZVr � �r � � dv � �
ZV�r� � � dv �
ZS�r � �n� � ds
con lo que
�� �
ZV
'r� �D�( � dv �z ��II�
�
ZSf�n � r � � � g � ds �z �
�III�
Vemos pues que �� � � para cualquier � arbitrario� si�
�� En V� es soluci�on de la ecuaci�on de Poisson A��� Esto anula a la integral �II���� En S� o bien �� �S � �� lo que corresponde a las condiciones de Dirichlet A����o ��n � r � � ��S � �� lo que corresponde a las condiciones mixtas A����Cualquiera de estas dos condiciones anula a la integral �III��
En particular� si en la expresi�on A��� hacemos � � � � para parte de la super�cieS� en dicha zona la componente normal del campo
Fns� � ���n � r f �S� � �
Si en el resto de la super�cie S�� se cumplen condiciones de Dirichlet
��f �S� � �
la integral �III� que se realiza sobre S � S��S� se anula� lo que nos permite hacer usodel funcional
�� � �ZV
%�
�jr j� �D
&dv
a��
V1
(a) (b)
I
VS
S
S
S
V2
1
22
1
σ
ε
j .n=0
Figura A����
Esto es �util en problemas como los de las �guras A����
La �gura A����a representa a un conductor �� �� �� entre dos electrodos ideales�� � �� y limitado en el resto de la super�cie por un diel�ectrico �� � ��� En lasuper�cie S� de los electrodos el potencial es constante y en la del diel�ectrico� S�� lacomponente normal de la corriente y la del campo son nulas�
En la �gura A����b� se representa a dos conductores� a potenciales V� y V� respecti�vamente� separados por un diel�ectrico� Por simetr��a� la soluci�on de la parte derecha esla sim�etrica de la de la parte izquierda por lo que basta con solucionar medio problema�En dicha �gura se indica la super�cie S� mediante una l��nea de puntos y la S� por otrade trazo grueso�
A �� � � M�etodo de Rayleigh�Ritz
El m�etodo de Rayleigh�Ritz consiste en aproximar la soluci�on mediante un conjuntocompleto de funciones independientes f�ig� En este caso
f �
�Xi��
i �i � fN �
NXi��
i �i
donde fN es una aproximaci�on de f en la que s�olo se hace uso de un numero �nito Nde funciones de prueba i�
Para hallar los coe�cientes variacionales i� de�nimos
N �
NXi��
ai �i
y hallamos los valores ai � i que hacen estacionario al funcional �� N � � ��i�� Estoequivale a resolver el sistema de N ecuaciones lineales simult�aneas
�
i� � � i � � � � �N
a��
A �� � � M�etodo de los elementos �nitos
En el m�etodo de los elementos �nitos� en vez de utilizar funciones de prueba �i de�nidasen todo volumen� se subdivide dicho volumen en M elementos �nitos Vk� dentro de loscuales se de�nen funciones de prueba k� De esta forma� el funcional puede expresarsecomo
�� � �
MXk��
�k� k�
En los problemas bidimensionales los Vk� suelen tomarse en forma triangular y lafunci�on de prueba k m�as simple posible es una forma lineal en �x� y� del tipo
k�x� y� � ak � bk x� ck y
(x ,yα)α
α, ϕ α
β, ϕ β(x β,yβ)
(x γ,yγ)
(x, y)ϕk
α
V
V
V j
l
m
(a) (b)
γ, ϕ γ
Vk
L
Vk
Figura A�� �
Puesto que k aproxima al potencial mediante tres coe�cientes �ak� bk� ck�� estospueden expresarse en funci�on de los valores del potencial en tres puntos o nudos delcontorno de Vk� � � �� ��� Estos nudos suelen tomarse en los v�ertices del tri�angulo�Si la funci�on de prueba fuera un polinomio de orden superior har��a falta de�nir unn�umero adecuado de nudos� En nuestro caso� seg�un vemos en la �gura A�� �b� dadaslas coordenadas de los v�ertices �x� y�� �x� � y�� y �x� � y��
ak �
��
�Vk
�f �x� y� � x� y�� � ��x� y � x y�� � ��x y� � x� yg
bk �
��
�Vk
�f �y� � y�� � ��y� � y� � ��y � y��g
ck �
��
�Vk
�f �x� � x�� � ��x � x�� � ��x� � x�g
donde
Vk � ��fx�y� � y�� � x��y� � y� � x��y � y��g
a��
es el � volumen� ��area� del tri�angulo�Expresados de esta manera� estos coe�cientes aseguran la continuidad del potencial
en los nudos contiguos y en la l��nea de separaci�on de cada dos elementos �nitos � �guraA�� �a�
� j� � � k� � � l� � � p� �
Hecho esto� el funcional �� � queda expresado en funci�on de los posibles valores �del potencial en los nudos � As��� por ejemplo� si se trata de resolver un problema deDirichlet en el que se �jan los potenciales de los nudos del contorno L� solo losQ restantesnudos internos pueden ser variados para buscar el valor estacionario� Deberemos� por lotanto� resolver un sistema de Q ecuaciones lineales
�
� � � � � � � �Q
de las que obtendremos las soluciones que aproximan al potencial en los nudos del recintoy� con ayuda de A�� y A���� las funciones k�
El m�etodo de los elementos �nitos� entre otras ventajas� presenta una gran versatil�idad para problemas no homog�eneos y con discontinuidades� con contornos complejos ycon zonas donde interesa obtener soluciones m�as precisas�
A��� Problemas
a��� Hallar el campo el�ectrico producido por un anillo circular de radio a cargado uni�
formemente con una carga total Q en un punto cualquiera del espacio�
a��� Una esfera met�alica de radio a est�a dividida en dos hemisferios aislados entre s���
Calcular el momento dipolar de la esfera cuando ambos hemisferios se conectan a
tensiones de �V y �V voltios� respectivamente�
a��� Calcular el potencial en la regi�on comprendida entre dos electrodos planos y parale�
los� a potencial nulo� colocados en x � � y x � a y un tercer electrodo a potencial
V� colocado en y � ��
a��� Calcular el potencial en la regi�on comprendida entre dos electrodos planos y par�
alelos� a potencial nulo� colocados en x � � y x � a� limitados a ambos lados por
otros dos electrodos a potenciales V� y V� y situados en y � � e y � b�
a��� Hallar el potencial en la regi�on encerrada por cuatro planos conductores colocados
en x � �� x � a� y � � e y � b� a potenciales V�� V�� V y V � � respectivamente�
a��� Una de las placas de un condensador plano tiene una peque�na protuberancia hem�
isf�erica de radio a� Calcular la perturbaci�on que la misma produce sobre el poten�
cial�
a��� Una esfera conductora de radio a se coloca en un campo el�ectrico uniforme E��
Hallar el potencial y el campo el�ectrico en cualquier punto del espacio y en lossiguientes casos�
a��
a� La esfera tiene una carga total Q�
b� La esfera est�a a potencial cero�
a��� Una esfera diel�ectrica de radio a y constante diel�ectrica �� se encuentra sumergida
en otro diel�ectrico de constante diel�ectrica �� en el que existe un campo el�ectrico
externo uniforme E�� Calcular el campo el�ectrico en cualquier punto del espacio�
a��� Una esfera magn�etica de radio a y permeabilidad � se encuentra en el vac��o en
el seno de un campo magn�etico uniforme B�� Calcular el campo magn�etico encualquier punto del espacio�
a��� Calcular el campo magn�etico que crea una esfera de radio a uniformemente imana�da con una magnetizaci�on �M en la direcci�on del eje z�
a���� Una esfera hueca de radio interior b� exterior a y permeabilidad � se sit�ua en uncampo magn�etico uniforme B�� Calcular H en la cavidad�
a���� Consid�erese una esfera de radio a cargada con una densidad uniforme de �C �m��� La esfera tiene una cavidad esf�erica exc�entrica de radio b� Calcular el campo
el�ectrico en el hueco�
a���� Un cilindro de radio a por el que circula una corriente I tiene un hueco cil��ndrico
exc�entrico� centrado de b y de radio c� Calcular el campo magn�etico en el hueco�
a���� Utilice el m�etodo de Green para calcular el potencial en la regi�on z � � debido
a una distribuci�on de potencial V �x� y� �� � F �x� y�� tal que F �x� y� � � para
x� � y� ���
a���� Consid�erese una esfera conductora de radio a dividida en dos zonas aisladas� un
casquete esf�erico a potencial V� y el resto a potencial cero� Utilice el m�etodo de
Green para calcular el potencial en cualquier punto del eje de simetr��a del casquete
esf�erico�
a���� Una carga puntual q se sit�ua a una distancia d de un plano conductor innito
conectado a tierra� Obt�engase la carga total inducida sobre el plano integrando
directamente la densidad de carga supercial inducida en el mismo�
a���� Dos cargas puntuales� q� y q�� se colocan cerca de un plano conductor de extensi�on
innita� H�allense las cargas imagen necesarias para hacer que el plano sea una
supercie equipotencial� Del resultado obtenido � puede predecirse la distribuci�on
de carga imagen necesaria para el caso de un cuerpo de forma arbitraria� con
densidad de carga �� colocado frente al plano conductor�
a���� Un dipolo �p se orienta normalmente a un plano conductor innito y a una distan�
cia d del mismo� El plano est�a a potencial cero� Calc�ulese la fuerza ejercida por
el dipolo sobre el plano�
a���� Hallar el trabajo m��nimo necesario para llevar al innito a una carga q desde unadistancia d � x de un plano conductor indenido a potencial nulo�
a�
a��� Una carga q� de masa m� pende de un hilo de longitud l sobre un plano conductor
a potencial nulo� Si se desplaza ligeramente de su posici�on de equilibrio y se deja
libre� hallar el movimiento de la carga�
a���� Consid�erense dos semiplanos conductores perpendiculares conectados a tierra�
Frente a ellos se coloca una carga puntual a distancias a y b de ambos� Calcu�
lar�
a� La fuerza ejercida por la carga sobre ambos conductores�
b� La densidad de carga inducida sobre los conductores�
a���� Estudiar como se puede resolver el problema de una esfera met�alica de radia a� apotencial V�� frente a un plano conductor a potencial cero� Consid�erese como dato
conocido la distancia entre el centro de la esfera y el plano�
a���� Un hilo conductor que transporta una corriente I est�a situado en el centro de una
regi�on vac��a entre de dos bloques ferromagn�eticos con � � � y separados una
distancia d� Calcular el campo magn�etico en la regi�on entre los dos bloques�
a���� Un hilo conductor por el que circula una corriente I es paralelo a un bloque fer�
romagn�etico con � � � y est�a situado a una distancia d del bloque� Calcular el
campo magn�etico en el semi�espacio donde esta el hilo� Calc�ulense las corrientes
superciales inducidas en el bloque as�� como las densidades de polos magn�eticos�
oμ
a
a/2
a/2 a
I
o
P
Figura A����
a���� Calc�ulese el campo magn�etico en el punto P de la gura A��� Por el conductor cir�
cula una corriente I y esta situado a una distancia d del material ferromagn�etico�
a���� Un electrodo semiesf�erico� de muy alta conductividad� se introduce en la Tierra
conductor pobre�� Determinar la resistencia del sistema si �uye una corriente Idesde el electrodo a la Tierra� Discutir que suceder��a si una persona que tenga un
calzado no aislante se aproxima al electrodo� Sup�ongase que la conductividad de la
Tierra es � � ���� S �m��� que la corriente que entra al electrodo sea de ����A� que uno de los pies est�a a una distancia de �m del electrodo y que la distancia
a���
entre ambos pies es de ����m� � A qu�e tensi�on se ver�a sometida dicha persona�
Calcular el campo el�ectrico sobre la supercie de la Tierra�
a���� Dos electrodos semiesf�ericos de radio a se introducen en la Tierra separados una
distancia d� siendo d � a� Calcular la resistencia entre ambos electrodos� Con�sid�erese para la Tierra el valor de � dado en el problema anterior�
a���
Ap�endice B
Campo magn�etico terrestre
Es conocido desde la antiguedad que la Tierra tiene un campo magn�etico asociado�Gilbert� seg�un puede leerse en su libro �De Magnete�� publicado en el ������ tall�o unapiedra magn�etica en forma de esfera y comprob�o que las l��neas de fuerza se proyectansobre su super�cie en direcciones an�alogas a las marcadas por la aguja de marear sobre lade la Tierra� Llevado por esta experiencia concluye que esta �ultima constituye realmenteun immenso im�an�
Solo recientemente se ha podido llegar al convencimiento de que la causa es fun�damentalmente otra� el n�ucleo terrestre se con�gura en una dinamo cuyos camposmarginales son los que observamos desde el exterior� Actualmente existen fundamentoss�olidos para pensar que el mecanismo de dinamo� en solitario o acompa�nado de otros�existe en la mayor parte de los objetos celestes� los cuales est�an dotados de camposmagn�eticos globales que permean a todo su volumen y que juegan un papel primordialen la explicaci�on de sus propiedades y estructura� Estos campos son fuertes y dan lugara una intensa actividad su importancia solo es comparable a la del campo gravitatorio�
B�� Estructura b�asica de la Tierra
La estructura del planeta Tierra es muy compleja y en parte poco conocida� A contin�uaci�on se da una visi�on simpli�cada de la misma con objeto de apoyar la descripci�onde la forma y el origen del campo magn�etico�
El planeta puede considerarse que consta de dos partes fundamentales� separadaspor una brusca variaci�on de la densidad de masa� Esta interfaz� usualmente llamadaSuper�cie Terrestre� separa a la Tierra Interna� con densidades de � a �� gr � cm�
y forma casi esf�erica de radio R � ����� Km� y a la Tierra Externa� poco densa� deforma muy variable y que se extiende a unos �� R por la parte diurna y a m�as de �� Rpor la nocturna� Ambas partes est�an impregnadas por el campo magn�etico terrestre� oMagnetosfera� y viajan solidariamente a traves de la capa externa del Sol� que recibe elnombre de Viento Solar� Este est�a constituido por materia ionizada y campo magn�eticoprocedentes del Sol� Es precisamente el frente supers�onico de choque� producido por lavelocidad relativa supers�onica entre el viento y la Tierra� el que comprime y deformafuertemente a la magnetosfera externa� como se muestra esquem�aticamente en la �gura
b��
b��
R=Radio terrestre
Frente de choque Magnetopausa
Cola magnética
VientoSolar
Magnetosfera
1010 20 40
Figura B��� Magnetosfera
B���
La Biosfera ocupa los primeros estratos de ambas partes de la Tierra� Se caracterizapor contener corteza� aire y agua� La primera es s�olida y los segundos �uidos� todos pocoionizados� malos conductores y con una composici�on� densidad y temperatura aptos parala generaci�on y el sustento de la vida� Aunque el efecto del campo magn�etico terrestre seaaparentemente poco relevante en la experiencia cotidiana� es necesario tener en cuentaque la biosfera existe� tal y como hoy la conocemos� porque la magnetosfera externaactua de escudo protector contra el viento solar repeliendo o atrapando a la mayorparte de la materia ionizada� Sin esta protecci�on la vida ser��a dif��cil durante los brevesepisodios de inversi�on del campo magn�etico principal� en los cuales esta protecci�ondecrece en e�cacia� parece comprobado un brusco aumento de las mutaciones gen�eticas�
Por encima de la super�cie� de los �� � �� Km hasta unos ���� Km� se encuentrala Ionosfera� Esta es una zona ionizada y altamente conductora cuya estructura esmuy compleja y con variaciones marcadas y r�apidas� Alrededor de un �+ del campomagn�etico super�cial se debe a corrientes aposentadas en estas regiones�
La super�cie es bien conocida y tambien lo es en parte la Tierra externa� A esteconocimiento contribuyen considerablemente los sat�elites arti�ciales� por ejemplo los dela serie COSMOS� Del interior� salvo en lo que concierne a la corteza super�cial� solose dispone de informaci�on indirecta proporcionada por la sismolog��a y por conjeturasbasadas en modelos te�orico�emp��ricos�
Bajo el suelo podemos considerar dos zonas diferenciadas desde el punto de vistael�ectrico por su conductividad� el N�ucleo� altamente conductor� y el Manto y la Cortezade conductividad peque�na aunque no despreciable� A su vez� el n�ucleo se compone de
b��
dos partes� el N�ucleo Interno� con un radio de ���� � �� Km� y el N�ucleo Externoque se extiende hasta un radio de ��� � � Km� Todo el n�ucleo es muy homog�eneo encomposici�on� fundamentalmente hierro� aunque el interno es s�olido y el externo �uido�
Se supone que el n�ucleo externo est�a dotado de un movimiento de convecci�on yde rotaci�on no uniforme que acoplado al campo magn�etico lo ampli�ca mediante unmecanismo de dinamo autoexcitada� Este movimiento convectivo no es observable di�rectamente y sus fuentes energ�eticas tampoco se conocen con certeza� Entre ellas podr�ancontarse la energ��a cin�etica de rotaci�on y la de desintegraci�on del potasio K� que sesupone disuelto en el propio n�ucleo de hecho� bastar��a una potencia modesta� la sum�inistrada por una central nuclear de tipo medio� para manterner al campo magn�eticoterrestre�
Dado que la temperatura interna sobrepasa a la de Curie m�as all�a de unos �� Kmpor debajo de la super�cie� la Tierra no puede ser el gran im�an propugnado por Gilbert� La temperatura de Curie� del orden de ���oC para los minerales de inter�es� es aquellapor encima de la cual los materiales ferromagn�eticos pasan a ser paramagn�eticos�� Latemperatura del n�ucleo se estima en unos �� ����oC�
B�� Morfolog��a del campo magn�etico super�cial
El campo magn�etico en la super�cie de la Tierra viene siendo medido sistem�aticamentedesde el tiempo de Gauss� Su obra � Allgemeine Theorie des Erdmagnetismus�� publica�da en ����� puede considerarse como el punto de partida del moderno Geomagnetismo�
Puesto que la super�cie terrestre es externa a las fuentes del campo � su origen resideprincipalmente en el n�ucleo terrestre� un �+� y en la ionosfera � Este es representableen sus proximidades por un potencial escalar que cumple la ecuaci�on de Laplace y quepuede ser desarrollado en serie de arm�onicos esf�ericos con respecto al eje de rotaci�on y alcentro terrestre� La contribuci�on interna vendr��a representada por una serie convergentede las potencias de �a�r�� donde a es el radio de la Tierra y r la distancia al centro de lamisma� y la contribuci�on externa por una serie en potencias de �r�a�� Gauss demuestraque el promedio anual del campo total se debe solo a las fuentes internas� por lo que laaportaci�on externa varia con periodo corto sobre una media nula�
El potencial debido a las fuentes internas se expresa mediante el desarrollo�
Vint �
�Xn��
a �a
r�n�� Sn��� ��
Sn �
nXm��
Pmn �cos �� �g
mn cos �m�� � hmn sen �m���
donde Pmn son los polinomios asociados de Legendre� gmn y hmn constantes a determinar
y � y � la longitud y la latitud geogr�a�cas�
En la expresi�on anterior� los t�erminos en los cuales n � � �m � �� �� correspondena un dipolo centrado e inclinado con respecto al eje de rotaci�on� Si a esta aportaci�onse a�nade la de los coe�cientes con n � � �m � �� �� ��� el campo resultante sigue
b�
siendo el de un dipolo� pero descentrado� A este dipolo se le da el sobrenombre deGeomagn�etico� Sus coordenadas son �para el a�no � ��� x � ��� y � ��� z � ��� Kmy su eje est�a inclinado hacia las intersecciones� Boreal ���� �o N� ���� �o E� y Austral���� �o S� ���� �o E�� El resto de los coe�cientes representan a contribuciones multipolaresde orden superior�
El momento del dipolo geomagn�etico es actualmente
mT � �� ���� A �m�
Las medidas de Gauss muestran que la mayor contribuci�on se debe a la componentede este dipolo en la direcci�on del eje geogr�a�co �eje de giro�� Adem�as �esta resulta sermucho m�as estable que las dem�as� Las componentes dipolares orientadas en el planoequatorial geogr�a�co aportan un ��+ del campo� y las multipolares de orden superioraportan otro tanto�
En la mayor parte de la literatura se utiliza el cali�cativo �geomagn�etico� para des�ignar a los t�erminos asociados al dipolo geomagn�etico� meridianos � paralelos� etc�� As���pues� los polos geomagn�eticos son las intersecciones de eje del dipolo con la super�cie�el plano ecuatorial geomagn�etico es el perpendicular al eje geomagn�etico� etc��
En cualquier caso� el campo total� el que se mide con la br�ujula� es el dipolar ge�omagn�etico distorsionado por el resto de las contribuciones� Tambien para este campototal se de�nen polos� ecuador y meridianos magn�eticos que no coindiden con los ante�riores ni con los geogr�a�cos�
Las contribuciones no dipolares se ponen de mani�esto en los mapas magneticos enuna docena o m�as de regiones de � anomal��a magn�etica� que globalmente se desplazanen direcci�on W a la velocidad de unos �� ��o a�no�� � Esto �ultimo sugiere la posibilidadde que el n�ucleo posea una velocidad angular de giro no homog�enea� circunstancia quees determinante en el efecto dinamo�
En la �gura B���a se representa al campo magn�etico ideal que producir��a un dipolosituado en el centro de la Tierra� El campo real es m�as complejo es costumbre medirlo enla super�cie de la Tierra con respecto al sistema coordenado local y con la nomenclaturaque se indica en la �gura B���b�
F es la intensidad del campo magn�etico� X es su proyecci�on sobre la direcci�ondel polo Norte geogr�a�co en el plano horizontal� Y la proyecci�on en la direcci�on Este�perpendicular a la primera y en el plano horizontal� Z la proyecci�on en la direcci�on delNadir �vertical hacia abajo� y H la componente horizontal�
El �angulo I con que F se hunde por debajo del horizonte se llama inclinaci�on y elD con que se desvia del Norte� hacia el Este� se llama declinaci�on�
Los polos magn�eticos se de�nen como aquellos puntos en los que el campo magn�eticototal tiene una inclinaci�on I � �o �Norte� e I � � �o �Sur�� El polo Norte magn�eticose sit�ua en el norte de Canad�a y el Sur� en posici�on casi diametral� en la costa ant�artica�El ecuador magn�etico es la isoclina �curva de igual inclinaci�on� I � �� Los meridianosmagn�eticos son las curvas tangentes a la componente horizontal por lo que tampococoinciden con los meridianos geomagn�eticos que son las intersecciones de los planos quecontienen al eje geomagn�etico con la super�cie de la Tierra�
b��
N
WS
Z F
H
X
I
D
Zenit
Nadir
Plano horizontalterrestre
Y
Planomeridiano
E
H I
FZ
SN
(a) (b)
Figura B��� Componentes del campo magn�etico super�cial
De acuerdo con las de�niciones anteriores� el campo es horizontal en el ecuadormagn�etico� con un valor de Bmax � �� �� G� y vertical en los polos� con un valor Zmax �� Bmax�
B�� Campo fuera de la super�cie
El campo en el interior del n�ucleo no es medible pero� dentro de los modelos de dinamoposibles� se le supone un valor muy superior al geomagn�etico� del orden de ��� G� y conuna geometr��a fundamentalmente toroidal � l��neas de campo rodeando la eje terrestre��El campo externo� esencialmente poloidal �debido al dipolo�� constituir��a un peque�nocampo marginal fugado del interior del n�ucleo� Es por tanto en el n�ucleo donde sealmacena la mayor parte de la energ��a magn�etica�
Por encima de la super�cie� la estructura del campo se ve modi�cada por las aporta�ciones externas� sufriendo una fuerte distorsi�on en las regiones lejanas debido a la in�teracci�on con el viento solar �v�ease la �gura B���� La magnetosfera queda delimitada deeste �ultimo por una super�cie de campo nulo que se denomina la Magnetopausa� Entreel frente de choque y la magnetopausa existe una regi�on� la Magnetovaina� donde lavelocidad y los campos del viento solar aparecen altamente perturbados� En la magne�tosfera exterior existe una serie de regiones� como los cinturones de Van Allen� y tienenlugar una gran cantidad de fen�omenos interesantes cuya descripci�on no cabe en esteespacio�
b��
B�� Variaciones temporales del campo magn�etico ter
restre
Todas las contribuciones al campo magn�etico presentan un grado mayor o menor devariabilidad temporal� Las internas son de variaci�on lenta con periodos caracter��sticossuperiores al siglo� Variaci�on Secular� Las externas var��an de forma mucho m�as r�apidaquedando practicamente anuladas en los promedios anuales�
Como ya se ha indicado� la componente dipolar en la direcci�on del eje terrestrees la m�as estable� hasta fechas recientes se pensaba que su actual orientaci�on Sur erapermanente� No obstante el desarrollo reciente de la ciencia del Paleomagnetismo hapermitido establecer cuantitativamente que esta componente varia no solo en magnitudsino en signo� habiendo cambiado su orientaci�on numerosas veces a lo largo de la historiageol�ogica de la Tierra� Su magnitud �uct�ua lentamente de forma aleatoria �era un �+superior al actual hace ��� a�nos� inferior en un ��+ hace ����� a�nos� superior en un��+ hace ������ a�nos� una cuarta parte hace ������� a�nos� pero su valor absolutose ha mantenido comparable al actual durante al menos ����� millones de a�nos� Susigno� sin embargo� sufre cambios bruscos cada ��� � �� a�nos se realizan en tiemposrelativamente cortos del orden de los ������ a�nos �ha permanecido en la direcci�on Surdurante los �ultimos ������� a�nos salvo� posiblemente� durante unos breves episodios deinversi�on�� Las componentes dipolares perpendiculares al eje var��an de forma aleatoriasobre media nula y dan lugar a una precesi�on del eje geomagn�etico alrededor del terrestrecon un periodo de �� � ��� a�nos� El promedio de la direcci�on del eje geomagn�etico�desde el Cuaternario hasta el presente� coincide con el eje de giro con una dispersi�onde unos ��o� Las contribuciones multipolares var��an m�as r�apidamente� con periodos delorden del siglo� dando lugar� entre otros efectos� a la migraci�on global hacia el Oeste delas anomal��as�
Las contribuciones externas� m�as r�apidas que las anteriores� presentan periodicidadesde �� hora� un dia� veintisiete dias� un a�no� etc� y est�an relacionadas con el movimientode la Tierra� del Sol e incluso de la Luna� Son importantes tambien las �uctuacionesaperi�odicas� como las tormentas y los pulsos magn�eticos que aparecen� con el retrasocorrespondiente� despues de los periodos de actividad exepcional del Sol�
B� Principio de la dinamo autoinducida
Como ya se ha dicho� se desconocen los detalles del movimiento convectivo del n�ucleoy sus fuentes energ�eticas y los fen�omenos a explicar son numerosos y complejos� Porotra parte la teor��a magnetohidrodin�amica de los �uidos conductores es dif��cil y suspredicciones son muy sensibles a las condiciones particulares del problema� No obstante�descartados otros posibles mecanismos de producci�on del campo� tales como la magne�tizaci�on permanente o la retenci�on del campo magn�etico primordial de la nube de polvopreestelar� la teor��a de la dinamo autoinducida es el �unico candidato �rme para la ex�plicaci�on del mecanismo de generaci�on del campo magn�etico terrestre�
Aunque no es posible extenderse aqu�� en esta cuesti�on� sobre la que actualmente sevierte un considerable esfuerzo de investigaci�on� si que es posible ilustrar al menos el
b��
Ω
B
B
I
Ι
ο
Figura B��� Autodinamo
principio b�asico de funcionamiento de este tipo de dinamos� esto es� la posibilidad deuna dinamo excitada por el campo magn�etico que ella misma produce� La dinamo dedisco homopolar propuesta por Bullard en � �� constituye un modelo� simpli�cado alm�aximo� cuyo an�alisis servir�a para este prop�osito� Corresponde al esquema de la �guraB���Consta de un disco conductor� de radio l� que gira con velocidad angular �% � %bz
alrededor de su eje� y de un solenoide� coaxial con el disco� con N espiras y resistenciatotal R� que hace contacto con el borde del disco y con su eje� Suponemos que inicial�mente existe un campo magn�etico semilla �B�� en la direcci�on del eje� al que se le a�nadeel �BI producido en la misma direcci�on y sentido por el solenoide�Los electrones que se mueven con el disco sienten una fuerza por unidad de carga
�E � ��% � �r� � �B � �rB brdonde B es el campo total� suma del inicial m�as el del solenoide� Este �ultimo puedeaproximarse al de un solenoide inde�nido� BI � ��NI� siendo I la intensidad quecircula por el mismo� La fuerza electromotriz aplicada a este �ultimo es�
E �Z l
�
�E � d�r � ��% l��B� �BI�
Puesto que la intensidad es I � E�R� despejando�
I ��
�R
% l�B�
�� ��% l� ��
NR
Como puede verse� existe una frecuencia cr��tica de giro
fc � %c���
R
� l� �� N
a la cual la intensidad puede ser distinta de cero y �nita en ausencia del campo inicialB�� Para un disco de radio l � � m y un solenoide con una resistencia por cada espira
b��
R�N � � %� fc � �� � � ��� rev�s��� Esta frecuencia es realmente muy elevada para eldispositivo experimental en cuesti�on� pero las dimensiones del n�ucleo y los par�ametrosque caracterizan su movimiento hacen que el mecanismo de dinamo autoinducida seacon toda probabilidad el causante de la parte principal del campo magn�etico terrestre�
B�� Campo magn�etico de otros objetos celestes
Los campos magn�eticos asociados a los objetos celestes pueden tener un origen distintoal del efecto dinamo� Este puede ser el caso de las estrellas mag�eticas y los p�ulsaresque poseen un momento dipolar no alineado con el eje de rotaci�on� en muchos casosperpendicular al mismo� y campos muy superiores al del Sol �el campo solar no ser��amedible ni siquiera desde la estrella m�as cercana�� Los cuerpos grandes� conductores�densos y poco turbulentos� pueden retener el campo primordial� En cualquier caso� losobjetos lejanos no son resolubles espacialmente por lo que es dif��cil conjeturar sobre laestructura y el origen de sus campos magn�eticos�M�as observables son los planetas� el Sol y nuestra propia Galaxia� para los cuales el
�unico mecanismo posible de generaci�on del campo es el dinamo�El Sol pudiera retener algo del campo primordial en su n�ucleo no convectivo� pero
su campo externo se genera en una estrecha capa convectiva cuya super�cie superiorobservamos con detalle� El panorama presentado es extremadamente heterog�eneo y enparte sorprendente� con numerosas estructuras como los tubos magn�eticos� los granosy las manchas solares� entre las cuales se compone una fren�etica actividad� El campomagn�etico global es del orden del de la Tierra y var��a casi periodicamente con un periodode unos �� a�nos�La capa convectiva de la Tierra es relativamente m�as gruesa� es el n�ucleo l��quido�
pero no es observable ni siquiera en su super�cie�La Galaxia� sin embargo� es transparente� Se conoce su movimiento de giro no uni�
forme y el caracter turbulento del plasma interestelar� Por sus caracter��sticas conocidasno es posible que retenga una parte signi�cativa del campo primordial� Nuestra posi�ci�on de observaci�on es interior a la dinamo por lo que se detecta efectivamente un cam�po magn�etico de tipo toroidal� La componente poloidal no es medible ni tampoco lasvariaciones temporales del campo dadas las grandes contantes de tiempo del movimien�to gal�actico� Por lo que respecta a los planetas solares� solo poseen campo magn�eticoapreciable aquellos con periodos de rotaci�on cortos y con nucleo convectivo conductorsu�cientemente grande� Este es el caso de J�utiter� que tiene un periodo de unas �� horasy cuyo n�ucleo es presumiblemente una aleaci�on de hidr�ogeno met�alico y helio su campoes unas �� veces el de la Tierra� Marte� que por su baja densidad es poco probable queposea un n�ucleo comparable al de la Tierra� carece de campo o �este es muy d�ebil� Lasrocas de la Luna� sin embargo� presentan una magnetizaci�on remanente comparable conla de las terrestres lo que� dadas las circunstancias� constituye una inc�ognita de dif��cilexplicaci�on�
Ap�endice C
Sistemas de conductores y espiras
En este cap��tulo abordaremos el tratamiento espec���co de los sistemas de conductoresen campos el�ectricos est�aticos y de espiras en campos magn�eticos estacionarios� Am�bos problemas� que tienen importancia pr�actica� no admiten� en general� una soluci�onanal��tica exacta aunque pueden simpli�carse mediante la introducci�on de coe�cientesgeom�etricos adecuados que caractericen el comportamiento global de los conductores ylas espiras� Estos coe�cientes� de capacidad o inducci�on en cada caso� pueden calcularsemediante expresiones apropiadas o medirse experimentalmente�
Estudiaremos tambi�en las fuerzas y los pares que aparecen en tales sistemas�
C�� Sistemas de conductores
C�� Coe�cientes de potencial y de capacidad
Podemos estudiar el comportamiento electrost�atico de un sistema de conductores sinnecesidad de resolver expl��citamente la ecuaci�on de Poisson�
Supongamos� como se muestra en la �gura C��� un sistema de conductores inmersosen un diel�ectrico de constante �� Comprobaremos que existe una relaci�on entre lospotenciales que adquieren los conductores y las cargas depositadas en sus super�cies�
Coloquemos una carga Qi �� � en el conductor i y hagamos Qj � � para j �� i� Estadistribuci�on de cargas crear�a en el espacio un campo cuyo potencial describiremos comoV���r� y que ser�a la soluci�on de la ecuaci�on de Laplace compatible con las condicionesde contorno impuestas�
� �
ZSj�sj ds� Qi �
ZSi�si ds � ��
ZSi�rV� � �ni� ds
donde �si es la densidad super�cial de carga en la super�cie Si del conductor i�Dado que V���r� es soluci�on de la ecuaci�on de Laplace� tambi�en lo es el potencial
V���r� � �V���r�� donde � es una constante arbitraria� el cual ser�a compatible con lacondici�on de contorno
Q�i � �� �ZSi�rV� � �ni� ds � �Qi
c��
c��
ε
1
j
N
S i
i
n
,QV jj
V ,Qi i
Figura C���
Al multiplicar V���r� por �� hemos multiplicado por la misma cantidad a los po�tenciales de las super�cies de todos los conductores y a las cargas super�ciales de losmismos� Luego� entre las cargas y los potenciales existe una relaci�on lineal de propor�cionalidad�As��� pues� si colocamos cargas arbitrarias Qi en las super�cies de los conductores Si�
la relaci�on entre �estas y los potenciales Vi de los mismos ser�a del tipo
Vi �
NXi��
PijQj�
�� V��VN
�A � �Pij�
�� Q�
�QN
�A �C���
donde los coe�cientes Pij � que llamaremos Coecientes de potencial� tienen car�actergeom�etrico y pueden calcularse en funci�on de la estructura de los conductores y de losmedios diel�ectricos en que est�an inmersos�
Invirtiendo la matriz �Pij�� obtenemos
Qi �
NXj��
CijVj� �Cij� � �Pij��� �C���
donde a la matriz �Cij� la llamaremos� gen�ericamente� matriz de los Coecientes de
capacidad� Con m�as propiedad� los elementos Cii se denominan de capacidad y los Cij �i �� j� de inducci�on�Los coe�cientes de capacidad y de potencial pueden medirse� seg�un se desprende
de C�� y C��� haciendo uso de las expresiones
Pij �
�ViQj
�Ql��
� �l �� j
Cij �
�Qi
Vj
�Vl��
� �l �� j
c��
Para medir Pij � medimos el potencial que adquiere el conductor i cuando en el jhemos colocado una carga Qj �� � y en todos los dem�as cargas nulas� Ql � � para l �� j�La energ��a del sistema de conductores se podr�a expresar� de acuerdo con ��� en
funci�on de estos coe�cientes
W ��
�
Xi
Qi Vi ��
�
Xi�j
Pij QiQj ��
�
Xi�j
Cij Vi Vj �C���
Antes de analizar las propiedades b�asicas de los coe�cientes� desarrollaremos unteorema de inter�es para sistemas de conductores�
C�� Teorema de reciprocidad de Green
Demostraremos que si Vi son los potenciales de los conductores i cuando sobre lassuper�cies existen cargas Qi y V �
i cuando las cargas son Q�i� se cumple la siguienterelaci�on X
i
Qi V�i �
Xj
Q�j Vj �C��
que es el Teorema de reciprocidad de Green�Para probarlo� supongamos un sistema de n cargas puntuales qi cuyas posiciones
relativas vienen �jadas por las distancias rij � La carga qj est�a situada en un punto �joen el que el potencial� debido al resto de las cargas� es
Vj ��
� �
nXi �j
qirji
donde i �� j en la sumatoria puesto que excluimos el potencial singular de la propiacarga�Si ahora colocamos cargas distintas� q�j en las mismas posiciones j anteriores
V �i �
�
� �
nXj �i
q�jrij
por lo que Xi
qi V�i �
�
� �
Xi
Xj �i
qi q�j
rij�Xj
q�j Vj �C���
Dividiendo la super�cie de los conductores en peque�nos elementos con cargas �q�como se muestra en la �gura C��� agrupando todos los t�erminos que est�an al mismopotencial y aplicando C�� se obtiene la expresi�on de partida C��En particular� si en un principio hacemos Qi � Q y Qj � �� para j �� i� y despu�es
hacemos Q�j � Q y Q�i � � para i �� j� tenemos que
V �i � Vj
Es decir� la contribuci�on al potencial del conductor j debida a una carga Q deposi�tada en el conductor i� es la misma que tendr��a lugar en el conductor i si dicha cargaQ fuera depositada en el conductor j�
c�
V j
qΔ
V i
r ij
Figura C���
C� Propiedades fundamentales de los coe�cientes
a� Las matrices de los coe�cientes de potencial y de capaciadad son Sim�etricas�
Pkl � Plk� Ckl � Clk �C���
HagamosQk �� �� Qi � � �i �� k
Q�l �� �� Q�j � � �j �� k
por lo que� seg�un el teorema de reciprocidad
Qk V�k � Q�l Vl
y� seg�un C���
Vl � PlkQk� V �k � PklQ
�l Qk PklQ
�l � Q�l PlkQk
Pkl � Plk
de aqu�� se deduce tambi�en que la matriz de capacidad es sim�etrica�
b� Los coe�cientes de potencial son Positivos y los diagonales son mayores que los defuera de la diagonal�
Pii � Pij � �� i �� j �C���
Esta propiedad no es f�acil de probar rigurosamente� pero razonaremos sobre la �guraC�� en la que� para simpli�car� representaremos s�olo a dos conductores� En el conductor��� hemos colocado una carga positiva Q� � � y en el ��� una carga nula�Puesto que la carga de ��� es igual a la total del sistema� calculando los �ujos del
campo el�ectrico a trav�es de las distintas super�cies�
�� �
ZS�
�E � d�s � � �
ZS�
�E � d�s � Q�
�� �� �� �
ZS�
�E � d�s � �
luego� del conductor ��� parten l��neas de campo� ya que �� � �� todas las cuales debenmorir en el in�nito� porque �� � �� aunque algunas de ellas pueden pasar previamentepor el conductor ����
V� � P��Q� �
Z �
a�L��E � d�l � �
c��
S 1
S 2
S 3
L 1
L 2
L 3
Q 1 >0Q 2 =0
1 2
a
b c
o
d
o
oo
Figura C���
y� puesto que Q� � �� P�� � ��Si algunas de la l��neas que parten de ��� inciden en ���� dado que �� � �� el mismo
�ujo de la l��nea debe partir de ��� hacia el in�nito� Luego
V� � P��Q� �
Z �
d�L��E � d�l � �
P�� � ��Es tambi�en necesario tener en cuenta la posibilidad de que ninguna l��nea de campo
que parta de ��� llegue a ���� Veremos esta posibilidad en el pr�oximo ep��grafe� al estudiarel apantallamiento�Por otra parte
V� �
Z c
b�L��E � d�l � V� V� � P��Q� � V� � P��Q�
P�� � P��
C�� Apantallamiento Condensadores
Se dice que un conductor k apantalla a otro l cuando el segundo est�a envuelto totalmentepor el primero� En estas condiciones� veremos que
Plj � Pkj� Cll � �Clk� Clj � �� �j �� k� l �C���
Es decir� el conductor que apantalla asume todas las relaciones del conductor apan�tallado con el resto de los conductores�En la �gura C� se representa a tres conductores� estando el ��� apantallado por el
����Hagamos� en primer lugar� Q� �� �� Q� � Q � ��Puesto que S� envuelve al conductor ���� que no contiene carga�
�� � � �E� � � y V� � V� P��Q� � P��Q�
P�� � P��
c��
2
S 1
Q 1 +Q 2Q’’=
3
E
Q’= -Q 1
1
Q 2
Q3
1
2 Q 1
S
Figura C��
Si ahora hacemos Q �� � y Q� � Q� � �
V� � V� P�Q � P�Q
P� � P�
con lo cual queda demostrada la primera proposici�on�
Para demostrar que Cll � �Clk� hagamos Q� � �� V � ��
Por ser Q� � �� V� � V� y
Q� � C��V� �C��V� � � � �
C�� � �C��
Si ahora hacemos Q� � �� V �� �
Q� � C��V� � C��V� � C�V � �
C� � �
Como se muestra en la �gura� la super�cie S� est�a en el seno del conductor ��� y�puesto que el campo el�ectrico est�atico en el interior de un conductor es nulo�
�� �Q� �Q�
��� � Q� � �Q� �C� �
Luego� en la cara interna del conductor que apantalla aparece una carga igual ycontraria a la depositada en la super�cie del conductor apantallado� Adem�as� puestoque Q� � Q� � Q��� en la cara externa del conductor que apantalla aparece una cargaQ�� � Q� �Q��
c��
Como puede observarse� la regi�on comprendida entre ��� y ��� se comportael�ectricamente con independencia de lo que ocurre fuera de ella� por lo que se diceque est�a apantallada�Se de�ne como Condensador al conjunto de la cara interna del conductor que apan�
talla� la externa del apantallado y la regi�on intermedia� y se de�ne su capacidad medianteel par�ametro positivo
C �Q�
V� � V��� �� �C����
Puede demostrarse que
C � C�� � �C�� ��
P�� � P���C����
De�nimos la energ��a almacenada en el condensador como
WC ��
��Q� V� �Q� V�� �
�
�Q� �V� � V��
y� simpli�cando la notaci�on� escribiendo Q� � Q y V � V� � V��
WC ��
�QV �
�
�C V � �
�
�CQ� �C����
Los condensadores reales no pueden responder exactamente a esta de�nici�on porque�para que sean �utiles el conductor interno ha de ser accesible y para ello es necesarioromper el apantallamiento con objeto de poder conectar con �el� Adem�as� la cara externadel conductor que apantalla necesariamente acompa�na al conjunto� La construcci�on delos condensadores se lleva a cabo de forma que estas desviaciones de la idealidad nointroduzcan perturbaciones excesivas en el comportamiento de los mismos�Los condensadores reales pueden asociarse en paralelo� conectando el�ectricamente a
los conductores internos de los condensadores individuales� as�� como a los conductoresexternos�
V V VC a C ba b p C a C b Cp
Figura C���
Como puede comprobarse� �gura C�� en la conexi�on en paralelo� Vp � Va � Vb yQp � Qa �Qb � Ca Va � Cb Vb � �Ca �Cb�Vp
Cp � Ca � Cb �C����
La conexi�on en serie� entre capacidades reales� necesita una consideraci�on m�as de�tallada� que no vamos a hacer aqu���
c��
V
Ed
εS>>d
2
+Q-Q
Figura C���
El condensador m�as simple� �gura C��� es el condensador plano� consistente en dosplacas met�alicas planas� de super�cie S� situadas a una peque�na distancia d y entre lascuales hay un diel�ectrico de constante ��
Despreciando el Efecto de bordes� es decir� suponiendo que el campo el�ectrico en elinterior� salvo en una peque�na regi�on cercana a los bordes� es uniforme� como si lasplacas fueran inde�nidas� es f�acil calcular la capacidad de este condensador�
C � �S
d
C�� Fuerzas y pares en sistemas de conductores
El c�alculo de las fuerzas y los pares que act�uan sobre las distintas partes de un sistemael�ectrico dado suele ser complicado pero� bajo ciertas circunstancias� los principios deconservaci�on de la energ��a pueden facilitar esta tarea�
Supongamos un sistema est�atico de conductores y diel�ectricos� con coe�cientes Pij�Cij�� cargas Qi y potenciales Vi determinados�
Con objeto de calcular la fuerza que act�ua sobre una cualquiera de sus partes� imagi�nemos transformaciones lentas del sistema anterior con la posible participaci�on de unafuente de energ��a externa� Puesto que la fuerza en cuesti�on tiene lugar en una situaci�onest�atica� su valor no depender�a de la transformaci�on que imaginemos� aunque s�� suexpresi�on formal� Veremos como� haciendo el balance energ�etico de dos transformacionesdistintas� obtenemos dos expresiones distintas� pero equivalentes� de la fuerza�
Supongamos� en primer lugar� que el sistema est�a aislado y que en los conductoreshay unas cargas Qi� En situaci�on est�atica� fuerzas mec�anicas equilibran a las el�ectricas�de forma que ninguna de las partes del sistema puede desplazarse o girar� Si� por un ins�tante� relajamos la fuerza mec�anica que act�ua sobre una parte determinada del sistema�las fuerzas el�ectricas realizar�an un trabajo elemental
dWel � �F � d�l
c�
donde �F es la fuerza el�ectrica y d�l el desplazamiento de la parte en cuesti�on�Puesto que el sistema est�a aislado� la �unica fuente de energ��a disponible para realizar
este trabajo es la energ��a potencial dW � luego
dW � dWel � �
el trabajo se realiza a expensas de una disminuci�on equivalente de la energ��a potencial�por lo que� escribiendo
dW � rW � d�ltenemos que
�F � ��rW �Q �C���
donde el sub��ndice Q indica que� al estar el sistema aislado� las cargas Qi de los con�ductores han debido permanecer constantes en la transformaci�on �cticia�Si la parte sobre la que relajamos las fuerzas mec�anicas realiza un giro� en vez de
un desplazamiento� tendremosdWel � �T � d��
donde �T es el par el�ectrico actuante y d�� el �angulo girado alrededor de b�� Tenemos�pues� que
�T � ��r�W �Q� r� � bei
�i�C����
Tambi�en podemos imaginar unas transformaciones en las que sean los potenciales Vilos que permanezcan constantes y no las cargas Qi� �gura C��� Bastar��a la utilizaci�on deunas bater��as que mantuviesen constantes a los potenciales durante la transformaci�on�
iV
Q
dQ i
i
Figura C���
Esto implica que para mantener constante el potencial Vi del conductor i� debesuministrarse una carga dQi y� por lo tanto� todas las bater��as suministrar��an al sistemauna energ��a
dWb �NXi��
Vi dQi
con lo que ahora el balance energ�etico ser�a
dW � dWel � dWb
es decir� el trabajo que realizan las fuerzas el�ectricas se equilibra con un aporte deenerg��a externa y con un decremento de la energ��a potencial�
c���
Pero� al ser Vi � cte� seg�un C��
dW ��
�
NXi��
Vi dQi ��
�dWb
ydWel � dW
de donde deducimos que
�F � �rW �V �C���a�
�T � �r�W �V �C���b�
y� volviendo a hacer uso de las expresiones C��� podemos escribir C��� C��� y C��� dela forma
�F � ���
NXi��
NXj��
QiQjrPij � ���
NXi��
V� Vj rCij
Para el par se obtienen expresiones an�alogas�
C�� Sistemas de espiras
C�� Coe�cientes de inducci�on de un sistema de tubos de corrienteo espiras
Existe un paralelismo formal entre el tratamiento que se da a los sistemas de espiras enpresencia de un campo magn�etico estacionario y el que se ha dado a los conductores enun campo electrost�atico� El �ujo � cortado por una espira jugar��a aqu�� el papel an�alogoal del potencial V del conductor� la intensidad tendr��a su an�alogo en Q y el coe�cientede inducci�on magn�etica Lij en el el�ectrico Pij �No obstante� la expresi�on C�� nos ofrece la alternativa de de�nir los coe�cientes geo�
m�etricos en funci�on de la energ��a almacenada en el campo� Con objeto de no restringirnosal tratamiento de espiras y poder englobar en nuestro tratamiento a los tubos de corri�ente� para los cuales no est�a de�nido el �ujo� tomaremos esta �ultima alternativa en lade�nici�on de los coe�cientes de inducci�on�Supongamos� �gura C��� en principio� un sistema de N tubos de corriente estacionar�
ia recorridos cada uno por una densidad de corriente �ji y una intensidad Ii�Demostraremos que la energ��a magn�etica almacenada en los campos generados por
el sistema de corrientes puede expresarse como funci�on cuadr�atica de las intensidadestotales que circulan por cada uno de los tubos�
W ��
�
NXj��
NXj��
Lij Ii Ij �C����
donde Lij son coe�cientes geom�etricos� independientes de las intensidades que circulanpor los tubos de corriente�
c���
I
I
ijr
i
j
1=1... N
j
i
j
j
Figura C���
La matriz �Lij� es sim�etrica� como veremos m�as adelante� Los elementos diagonalesLii � Li reciben el nombre de Coeciente de autoinducci�on de la espira i y los de fuerade la diagonal� Lij �i �� j� el de Coecientes de inducci�on mutua entre la espira i y la j�Antes de comprobar que es posible esta expansi�on cuadr�atica de la energ��a del campo
en funci�on de las intensidades� haremos algunas consideraciones�Supongamos que todas las intensidades son nulas salvo la Ii y la Ij
W ��
�Li I
�i �
�
�Lj I
�j � Lij Ii Ij
donde hemos tenido en cuenta la simetr��a de los coe�cientes de inducci�on� Lij � Lji�Tenemos pues� tres t�erminos energ�eticos diferenciados�
W �Wi �Wj �Wij
de los cuales� los dos primeros corresponden a las energ��as propias de los tubos i yj� y el tercero a la energ��a de interacci�on entre ambos� As��� pues� si realizamos unatransformaci�on en la que lo �unico que cambie sea la posici�on mutua entre el tubo i y elj� los t�erminos Wi y Wj permanecer�an invariables� mientras que Wij cambiar�a de valor�La de�nici�on que hemos hecho impl��citamente de los coe�cientes de inducci�on puede
concretarse en las expresiones
Li ��Wi
I�iy Lij �
Wij
Ii Ij�C����
A continuaci�on comprobaremos el car�acter geom�etrico de los coe�cientes de induc�ci�on�Seg�un se vio en la secci�on ��� para medios lineales� la energ��a magn�etica puede
calcularse por medio de la integral
W ��
�
ZVT
�j � �A dv ��
�
NXi��
ZVi�ji � �A dvi �C�� �
c���
donde VT �PN
i�� Vi� Vi y �ji son el volumen y la densidad de corriente del tubo i�
mientras que �A es el potencial vector producido por todos los tubos de corriente� Seg�unla �gura C��� el potencial producido en la regi�on del tubo i ser�a la suma de las con�tribuciones de todos los tubos� incluido el i� Para medios homog�eneos
�A ��
�
NXj��
ZVj
�jjrij
dvj
con lo que
W ��
�
NXi��
NXj��
��
�
ZVi
ZVj
�ji ��jjIi Ij rij
dvi dvj
�Ii Ij
De aqu�� se deduce que
Lij ��
�
ZVi
ZVj
�ji ��jjIi Ij rij
dvi dvj �C����
Esta es la f�ormula de Neumann en la que se aprecia la simetr��a de los coe�cientes yel car�acter geom�etrico de los mismos� ya que el t�ermino �ji ��jj�IiIj es independiente dela magnitud de las corrientes�En el caso de las espiras �tubos �liformes�� podemos expresar el elemento de volumen
como dv � �d�s � d�l� y� como en la secci�on ������ tomar d�s �j d�l� con lo que
Lij ��
�
ZVi
ZVj
�ji ��jjIi Ij rij
�d�si � d�li�� d�sj � d�lj�
y� �nalmente
Lij ��
�
ILi
ILj
d�li � d�ljrij
�C����
Esta �ultima expresi�on se obtiene de la anterior sin m�as que intercambiar las posi�ciones de �j y d�l� lo que es l��cito por ser �j d�l� y tener en cuenta que I � �j � d�s�puesto que� al ser el tubo �liforme� d�s es el �area de la secci�on total del tubo�La integral C��� es singular cuando i � j y� de hecho� la autoinducci�on de una espira
�liforme es in�nita� aunque en la pr�actica la secci�on de una espira es siempre no nula�por lo que el c�alculo mediante la expresi�on C��� da un valor �nito para su autoinducci�on�Volviendo al principio de esta secci�on� los coe�cientes de inducci�on mutua� en el caso
de espiras� aparecen como coe�cientes de proporcionalidad entre �ujos e intensidades�v�ease la �gura C� �El �ujo cortado por la espira i es
�i �
ILi
�A � d�li
y� a su vez�
�A �
NXj��
�
�Ij
ILj
d�ljrij
�i �
NXj��
�ij
c���
d l
jI
iI
d l
j
i
ijr
Figura C� �
Lij ��ijIj
�C����
donde �ij es el �ujo que corta la espira i debido a la corriente que circula por el espiraj�Esta expresi�on suele ser m�as �util que la C��� para calcular los Lij y lo mismo ocurre
con la C��� respecto a la C����Teniendo en cuenta C���� la energ��a potencial de un sistema de espiras podr�a es�
cribirse de la forma�
W ��
�
NXi��
�i Ii �C����
En el resto del tema nos limitaremos al estudio de las espiras dada la importanciapr�actica de las mismas�
C�� Fuerza electromotriz inducida Generadores y transformadores
Aunque m�as adelante trataremos de las corrientes cuasiestacionarias con m�as deten�imiento� consideremos la fuerza electromotriz inducida en la espira i cuando el �ujo quecorta� �i� var��a con el tiempo �suponemos que esta variaci�on es lenta para no apartarnosdel car�acter estacionario de las corrientes��
Ei � �d�idt
� � d
dt
NXj��
�ij �
�
NXj��
��Lij dIj
dt
� �z �
T
�
NXj��
��Ij dLij
dt
� �z �
G
�C���
Como vemos� a la fuerza electromotriz inducida en la espira i contribuyen dos tiposde t�erminos� t�erminos de tipo Transformador �T� y t�erminos de tipo Generador �G��Los primeros inducen fuerzas electromotrices a trav�es de una variaci�on temporal de lasintensidades� mientras que en los segundos �esto se logra haciendo variar la geometr��a
c��
del sistema� lo que permite el acoplo de energ��a mec�anica a sistemas el�ectricos� En losmecanismos representados por estos t�erminos reside la base de los transformadores y delos generadores y motores�
C� Asociaci�on de inductores
Cuando hablemos de autoinducciones o inducciones mutuas� o de inductores en general�nos estaremos re�riendo a dispositivos f��sicos fabricados exprofeso para presentar unvalor determinado del coe�ciente de inducci�on� Por lo general� constan de un carrete devueltas m�ultiples de hilo conductor arrolladas sobre un n�ucleo de material magn�etico osobre el mismo aire�Los inductores pueden asociarse en serie o en paralelo� de forma que entre ellos
exista o no acoplamiento� Adoptaremos la notaci�on usual de L para la autoinducci�on yM para la inducci�on mutua�Como veremos m�as adelante� la fuerza electromotriz en una autoinducci�on ideal
coincide con el negativo de la diferencia de potencial que� a su vez� desde ahora� denom�inaremos indistintamente como ca��da de tensi�on�
V � �E � LdI
dt
En la asociaci�on serie� la intensidad que pasa por los dos carretes es la misma�
L 1 L 2 L s
V1 V2
I IM
V
Figura C����
La �gura C��� representa a dos inducciones conectadas en serie y acopladasmagn�eticamente con un coe�ciente de inducci�on mutua M que puede ser positivo onegativo������
V � V� � V� � �L� � L� � �M�dI
dt
I � I� � I�
LS � L� � L� � �M �C����
En la asociaci�on paralelo� �gura C���� la ca��da de tensi�on en ambas inducciones esla misma�Ahora se cumple que���
V � V� � V�
I � I� � I�
V � L�dI�dt�M
dI�dt�M
dI�dt� L�
dI�dt� Lp
dI
dt
donde
Lp �L� L� �M�
L� � L� � �M �C����
c���
I
V
L p
V2
L 1
M
I
I
I
L 2
V1
2
1
Figura C����
Cuando no hay acoplamiento entre las inducciones� sus leyes de asociaci�on tomanforma an�aloga a las de asociaci�on de resistencias�
Para
M � �
�������LS � L� � L�
�
Lp��
L���
L�
C�� Fuerzas y pares sobre un conjunto de espiras
Podemos obtener expresiones para las fuerzas y los pares que act�uan sobre un sistemade espiras y medios magn�eticos lineales� en r�egimen estacionario� por procedimientosan�alogos a los empleados en la secci�on C�����
El trabajo realizado por las fuerzas magn�eticas al llevar a cabo un desplazamiento�elemental e imaginario� de una parte del sistema� ser�a
�Wmag � �Fc � d�l
energ��a que deber�a ser aportada por fuentes externas �Wex o por una disminuci�on dela energ��a potencial �W
�Wmag ��W � �Wex
Φ i
I i
Figura C����
c���
Imaginaremos dos transformaciones sencillas� con objeto de obtener expresiones�utiles de la fuerza� en la primera� mantendremos �jas las intensidades Ii que circu�lan por las espiras y en la segunda mantendremos constantes los �ujos �i� seg�un semuestra en la �gura C����a� Supongamos Ii � cte�
Si variamos la geometr��a del sistema mediante un desplazamiento� variar�an los �ujoscortados por las espiras y tambi�en la energ��a potencial� Seg�un C���
��W �Ii ��
�
NXi��
Ii��i
Estos cambios de �ujo dan lugar a unas fuerzas electromotrices en cada espira
Ei � ���i�t
donde��i�t
es la velocidad de variaci�on del �ujo cortado por la espira i� Puesto que esta
fuerza electromotriz inducir�a cambios en la intensidad que circula por la espira� paraque �esta permanezca constante habr�a que emplear una fuerza electromotriz externa Eieque contrarreste a la anterior �
Eie � �Ei � ��i�t
Lo cual implica la aportaci�on de una energ��a externa �Wex� �gura C����
I i =cteie
Figura C����
�Wex �
NXi��
Eie Ii�t �NXi��
Ii��i � ��W
con lo que tenemos
�W � �Wmag
y
�F � �rW �I �C���a�
�T � �r�W �I �C���b�
c���
b� Consideremos ahora el caso en que se mantengan constantes los �ujos �i�
Dado que ��i � �� �Wex � � y� al no haber aportaci�on externa de energ��a�
�W � ��Wmag
con lo que
�F � ��rW �� �C���a�
�T � ��r�W �� �C���b�
C�� Sistemas de espiras con n�ucleo magn�etico
En la pr�actica� es interesante la posibilidad de reforzar y canalizar el �ujo producido porun sistema de espiras o carretes conductores� Esto es posible mediante el uso de n�ucleosde materiales magn�eticos de alta permeabilidad� pues� como vimos en la secci�on �������un material con ��� con�na completamente a las l��neas de campo magn�etico�
Consideremos un toroide� �gura C�� muy permeable y� para simpli�car� supongamosque el di�ametro d de su secci�on es mucho menor que el radio del mismo�
L
V1
V2
I 1
N 1
N 2
I 2
μ>>μ0
a
d
S
L
N
S
Figura C���
Puesto que � � ��� las l��neas de campo magn�etico quedar�an pr�acticamente con��nadas en el interior del n�ucleo� por lo que �este se constituir�a en un tubo del �ujomagn�etico�
Integrando a lo largo del eje del toroideIL�H � d�l �
ZSL�j � d�s � IT � I�N� � I�N�
c���
Por otra parte� como r� �B � �� el �ujo de �B a trav�es de cualquier secci�on del n�ucleoSN � �SN � �B�� es constante
�SN �ZSN
�B � d�s � B SN
y� por ser en nuestro caso SN � cte� tambi�en lo ser�an B y H� Luego� hallando lacirculaci�on de �H a lo largo de L�
H �N� I� � I�H�
L � B � �N� I� �N� I�
LCon lo que se obtiene un valor muy alto de B� proporcional a �� Adem�as� al recogerse
las l��neas de campo dentro del tubo� la longitud L � �� a de las l��neas se acorta� Estambi�en interesante analizar como ser�an afectados los coe�cientes de inducci�on y laenerg��a almacenada en los campos del sistema�El �ujo total �T cortado por los dos carretes puede desglosarse en las contribuciones
de cada uno de ellos
�S� ��SNL N� I�� �S� �
�SNL N� I�
donde S� � N� SN y S� � N� SN son las secciones equivalentes de cada uno de loscarretes�As�� mismo� los �ujos �ij cortados por el carrete i y producidos por el j son
��� � N� �S� ��SNL N�
� I� ��� � N� �S� ��SNL N�N� I�
��� � N� �S� ��SNL N�N� I� ��� � N� �S� �
�SNL N�
� I�
de donde se deduce que
L ��SNL N� �C�� �
M � ��SNL N�N� �C����
Por lo tanto� estos coe�cientes se ven afectados por el mismo factor �r�L que el campo�B�
M ser�a positivo si los �ujos producidos por cada uno de los carretes� como es el casodel de la �gura� se suman� En caso contrario� M ser�a negativo�Por lo que respecta a la energ��a almacenada en el sistema� es decir� el trabajo que
nos cuesta establecer las corrientes I� e I�� podemos expresarla como
W ��
�
�Xi��� j��
Lij Ii Ij ��
�
�SNL
��N� I��
� � �N� I��� � ��N� I���N� I��
� �z ��a�
�C����
o� de forma equivalente� integrando sobre el n�ucleo la densidad de energ��a magn�etica�
W ��
��
ZVN
B� dv
donde VN es el volumen del n�ucleo
c��
C � � � El transformador ideal
Vemos� pues� que para establecer corrientes �nitas deber��amos invertir una energ��a pro�porcional a �r�L y que si este factor tiende a in�nito� la energ��a tambi�en tender��a ain�nito� a menos que el t�ermino �a� de C��� se anule�Un transformador ideal es un dispositivo como �este� en el que te�oricamente �r�L �
�� Como no disponemos de in�nita energ��a� en el transformador ideal�N� I��
� � �N� I��� � ��N� I���N� I�� � � N� I� � �N� I�
I� � ��aI� � a �
N�
N��C����
donde a es la Relaci�on de espiras de secundario a primario�El transformador ideal funciona de forma que si por el primer carrete� Primario�
se inyecta una intensidad I�� por el segundo� Secundario� circular�a una intensidad ensentido opuesto y de la magnitud necesaria para contrarrestar el �ujo producido por laprimera�En la pr�actica� ese �ujo �SN � aunque peque�no� no ser�a nulo� de forma que si en el
primario aplicamos una ca��da de tensi�on V�� por la ley de inducci�on de Faraday� �SNvariar�a con el tiempo seg�un
V� �d
dt�N� �SN � d�SN
dt�
V�N�
y� a su vez� esta variaci�on de �ujo provocar�a una ca��da de tensi�on en el secundario
V� �d
dt�N� �SN � �
N�
N�V�
V� � aV� �C����
Luego el transformador transforma intensidades y tensiones�En la �gura C��� se representa al circuito equivalente de un transformador ideal a
cuyo secundario se le ha conectado una resistencia� o carga resistiva� R��
1:a
V1 V1
I 1 I 1
V2
I’I 2 2
R 2 R 1
Figura C����
Esta con�guraci�on se comporta� vista desde el primario� como si fuera una resistencia
R� � V�I���V��a�
��a I�� �
��
a�R� �C���
c���
M�as adelante nos ser�a f�acil comprobar que esta relaci�on de conversi�on sigue siendov�alida para cualquier tipo de impedancias�
C� Circuitos magn�eticos lineales
Supongamos que� como se indica en la �gura C���� debemos analizar las relacionesde �ujos y corrientes estacionarias en una estructura no trivial de materiales lineales�altamente permeables� y arrollamientos�
Vα
L
LL1
2
3
Figura C����
La soluci�on precisa de este tipo de problemas es dif��cil y en la pr�actica suele sernecesario y su�ciente resolverlos con m�argenes considerables de error� Para estos �nespuede hacerse una analog��a entre las ecuaciones de circuitos de corrientes estacionariasy las ecuaciones de estos sistemas o Circuitos magn�eticos�
Si hallamos la circulaci�on de �H a lo largo de un camino cerrado en el interior delcircuito� I
L
�H � d�l �ZSL�j � d�s � IT
De�niremos la Fuerza magnetomotriz � como la intensidad total cortada por lasuper�cie SL que se apoya sobre L�
� � IT � �C����
�Xi
Ni Ii �Xi
�i
donde Ni es el n�umero de espiras del carrete i y �i la fuerza magnetomotriz de esecarrete�
Como vimos en el tema de corrientes estacionarias� es posible fabricar tubos decorriente con terminales el�ectricamente bien de�nidos� Este no es el caso normal encircuitos magn�eticos pero� dentro del generoso margen de error que nos permitiremos�es posible delimitar su�cientemente bien segmentos de camino tales como los Li� L� yL� Para un camino cerrado� por ejemplo L � L� � L�I
L�H � d�l �
Xj����
ZLj
�H � d�l �Xj����
�j
ZLj
dl
�Sj�Xj����
�jRj
c���
donde se ha de�nido la Reluctancia Rj de la rama j
Rj �ZLj
dl
�Sj ��
�j
ZLj
�H � d�l �C����
En estas expresiones hemos tomado caminos de integraci�on esencialmente paralelos alas l��neas de campo y dentro de cada una de las secciones del tubo� entre bifurcaciones�hemos escrito � � B S � �H S y sacado � fuera de la integral� Con la de�nici�on dela reluctancia� an�aloga a la que ya hemos hecho de la resistencia� podemos escribir unaexpresi�on an�aloga a la segunda ley de Kirchho�X
i
�i �Xj
�jRj �C����
Adem�as� puesto que r� �B � �� integrando sobre el volumen V que envuelve al nudo del circuito� obtenemos una expresi�on correspondiente a la primera leyX
i
�i � � �C����
Esta analog��a permite aplicar las mismas t�ecnicas ya utilizadas para circuitosel�ectricos al an�alisis de circuitos magn�eticos� As��� pues� podemos representar al circuitoequivalente de la �gura anterior de acuerdo con la �gura C����
2
R 1 R 3
ξ R1 ξ 3
Figura C����
Por este procedimiento podemos hacer un an�alisis aproximado del electroim�an� dis�positivo con el que se generan campos magn�eticos fuertes en una regi�on accesible� Estaregi�on� que se llama Entrehierro� permite hacer uso del campo para �nes diversos�En la �gura C��� se representa a un electroim�an de secci�on uniforme S y piezas
polares planas� El hierro� o n�ucleo� tiene una permeabilidad � � �� y longitud L�mientras que el entrehierro� de longitud l � L� tiene la permeabilidad del aire� �o� Lalongitud l suele ser tambi�en peque�na frente a las dimensiones transversales del tubo�por lo que� despreciando efectos de bordes� la secci�on equivalente del entrehierro puedeaproximarse a S� Tenemos� pues� que
� � ��Rh �Re�
y� dado que � � Bh S � Be S� B es aproximadamente uniforme� Bh � Be � B
B � �N I
L�� � �r
l
L�
c���
ξ
ξ
R
R e
h
Sμ
μ>>μ0
0
l
Figura C����
Campo que� como podemos comprobar �� es muy superior al que producir��a uncarrete con el mismo n�umero de vueltas� uniformemente distribuidas� pero sin el n�ucleode hierro� B� � ��
N IL �
C�� Circuitos magn�eticos no lineales
Los materiales magn�eticos no lineales tienen un comportamiento muy complejo quedi�culta el an�alisis general de los circuitos que los contengan estudiaremos dos circuitosinteresantes como son el anillo de Rowland y el circuito con im�an permanente�
El anillo de Rowland es un circuito simple que permite medir la relaci�on B � H enmateriales ferromagn�eticos� Como se muestra en la �gura C�� � el anillo se construyecon el material magn�etico que se quiere estudiar y la dimensi�on transversal S de susecci�on debe ser peque�na frente a su longitud L� Sobre el n�ucleo se arrollan dos carretescon un n�umero adecuado de vueltas N� y N��
N 1 N 2
S
V(t)
I(t)
B=f(H)
Figura C�� �
Podemos �jar el valor de H�t� por medio de la intensidad I�t� inyectada en el
�V�ease relaci�on de problemas�
c���
primario�
H�t� �N�
L I�t�
El campo magn�etico resultante se mide integrando la ca��da de tensi�on del secun�dario�
��t� � N�B�t�S � V �t� �d��t�
dt� B�t� �
�
N� SZ
V �t� dt
Por �ultimo� analizaremos los circuitos magn�eticos con imanes� En la �gura se repre�senta esquem�aticamente una con�guraci�on t��pica de Im�an de laboratorio� Para simpli��car supondremos la secci�on constante S�
i
P g
B i H i=f( )
B i =H tgi θ
Puntode
guarda
Punto de trabajooptimo
3
4
5
34
5
H
B
(a) (b)
S
Iman
Hierro
A B θ
P
i
e
L
μ>>μ
L
0
μ 0L h2
H
Figura C����
Como puede verse� en la �gura C����a el im�an completo est�a constituido por un im�anpermanente de longitud Li� una secci�on de hierro dulce� de longitud Lh y permeabilidadlineal � y el entrehierro de longitud Le� La energ��a de este circuito no se obtiene de unarrollamiento sino del im�an permanente que se supone que opera en el ciclo de hist�eresism�aximo�Hallando la circulaci�on de �H a lo largo del circuitoI
�H � d�l �Z B
A� hierro�H � d�l �
Z A
B� im�an�H � d�l � �
La primera integral del segundo miembro discurre fuera del im�an permanente y lasegunda en su interior� Luego� despreciando los efectos de dispersi�on de l��neas de campo�
�RAB � � �Rh �Re� � �Hi Li
Bi � � LiS RAB
Hi � Hi tan � �C�� �
c��
Esta relaci�on entre Bi y Hi corresponde a una recta de pendiente negativa� que pasapor el origen� en el plano BH� Al mismo tiempo� Bi y Hi est�an relacionados por lafunci�on Bi � f�Hi�� que describe al ciclo de hist�eresis m�aximo� por lo que el puntode trabajo habr�a de encontrarse gr�a�camente como se muestra en la �gura C����b� Lasoluci�on simult�anea de estas dos ecuaciones viene dada por la intersecci�on P de las doscurvas� la cual tiene lugar en el segundo cuadrante�En las condiciones m�as usuales de dise�no se trata de disponer de la mayor energ��a
magn�etica posible en el volumen del entrehierro
We ��
��BeHe�Ve � �
���B�e S Le
puesto que � � cte y hemos hecho S � cte y Be � Bi�Si la reluctancia del hierro puede despreciarse frente a la del entrehierro� lo que
usualmente es cierto�Lh�� Le
��� RAB � Re �
Le�� S
En valores absolutos
Be � Bi �LiLe ��Hi
We � �
��BiHi��S Li� � �
��BiHi�Vi
Luego� para optimizar la energ��a en el entrehierro� deberemos procurar que el puntode trabajo P corresponda a un producto BiHi m�aximo� En la �gura �b� el ciclo dehist�eresis aparece graduado proporcionalmente a dicho producto�Los mecanismos despolarizadores por los que un im�an permanente pierde su
imanaci�on son complejos� pero haremos notar que la existencia de un campo desi�manador� campo Hi negativo� o� lo que es lo mismo� la existencia de energ��a en elentrehierro� favorece la lenta despolarizaci�on del im�an� Por esta raz�on� cuando no seutiliza el im�an� se le debe colocar una guarda o pieza de hierro dulce que� al puentear alentrehierro� reduce la reluctancia del circuito� De esta forma� j tan �j crece disminuyendoel producto BH�
C�� Problemas
C�� Problemas
c��� Consid�erense dos conductores separados por un tercero conectado a tierra tal como
se indica en la gura C���� Calcular Q�� Q� y Q en funci�on de Ci� Vi � i ��� �� ��
c��� Hallar la capacidad de los condensadores representados en la gura C���� el
primero plano� el segundo esf�erico y el tercero cil��ndrico� Todos ellos est�an llenos
de un diel�ectrico de constante � y la distancia entre placas es muy inferior al restode las dimensiones�
c���
2 13V
V
V
2
1
=0
3
Figura C����
(c)
+- V0
+- V0
+- V0
S
d
ba
ba
L
(a) (b)
Figura C����
c��� Dado un condensador constituido por placas semicirculares� como se muestra en
la gura C���� hallar�
a� La capacidad en funci�on de �
b� El par ejercido sobre el diel�ectrico si entre las placas se mantiene una difer�
encia de potencial V��
c� Lo mismo si� una vez establecida la diferencia de potencial inicial V�� sedesconecta la bater��a y se introduce el diel�ectrico�
d� El trabajo total que cuesta introducir el diel�ectrico en las condiciones de los
apartados b y c�
Sε
d
α
Figura C����
c��� Un condensador plano� de supercie S � a � b y distancia entre placas c� seintroduce en un l��quido de constante diel�ectrica � y densidad d hasta una alturah � b
� � Hallar cuanto sube o baja el diel�ectrico en los siguientes casos�
c���
a� Entre las placas existe una diferencia de potencial V��
b� La carga de las placas es Q��
c��� Consid�erese un cable coaxial como el de la gura C���� Hallar�
a� La autoinducci�on por unidad de longitud�
b� La energ��a almacenada por unidad de longitud�
I
I
ab
Figura C���
c��� A un lado de una l�amina plana indenida� de espesor a� recorrida por una densidadde corriente uniforme� hay un campo magn�etico tangencial B� mientras que al otro
lado el campo es nulo� Hallar�
a� Las fuerzas que act�uan sobre cada elemento de volumen de la l�amina�
b� Relacione estas fuerzas con una posible presi�on magn�etica�
c� Aplicar los resultados anteriores al c�alculo de la presi�on que soporta un cierto
solenoide cuando genera campos magn�eticos de �� y ��� gauss� respectiva�mente�
c��� Calcular el coeciente de inducci�on mutua entre los dos conductores de la gura
C���
ca
b
Figura C����
c��� Calcular el coeciente de autoinducci�on de una bobina toroidal de radio a y secci�oncircular de radio b con un total de N espiras uniformemente distribuidas�
c���
c��� Dados dos solenoides coaxiales de radios aproximadamente iguales a R� como se
muestra en la gura C���� determinar�
a� El coeciente de inducci�on mutua�
b� El coeciente de acoplo�
LLb
a
Nb Na
Figura C����
c��� Calcular el coeciente de autoinducci�on de un toroide de secci�on rectangular que
se nuestra en la gura C���� El n�umero total de espiras es N e I la intensidad
que circula por ellas�
ba
h
Figura C����
1
L
L
I
IN
N
1
2
2
Figura C����
c���� En el circuito magn�etico de la gura C���� hallar�
a� El �ujo magn�etico si I � �A�
c���
b� La intensidad necesaria para que el �ujo magn�etico a trav�es del circuito sea
de �� ��W �
Datos� N� � ��� vueltas� N� � ��� vueltas� �r� � ����� �r� � ����� L� ��� cm� L� � �� cm� S� � �� cm�� S� � � cm�� donde N es el n�umero de
vueltas y S el �area de la secci�on�
c���� Determinar B y H en el entrehierro� de aire� del circuito de la gura C����
Datos� N � ��� vueltas� I � �A� �r � ����� L� � �mm� L� � �� cm� L� ��� cm� S� � S� � �� cm
�� S� � � cm��
2
N 0S L0 N
I I
S
S
L 2
L1
1
Figura C�� �
c���� En la gura C���b se muestra la curva de magnetizaci�on inicial del material
ferromagn�etico que constituye el n�ucleo del circuito que se representa en
C���a � Determinar I para que la intensidad de campo magn�etico en el hueco sea
de �T �
Datos�
N � ��� vueltas� L� � �mm� S� � � cm�� L � � cm� S � � cm�
(b)
N S 0 L 0
I L
S 0.4
0.8
1.2
0.4 0.8 1.2 1.6
B(Tesla)
H(A/m)
(a)
Figura C����
Ap�endice D
Corrientes cuasiestacionarias�
Teor��a de Circuitos
D�� Introducci�on
Te�oricamente� las ecuaciones de Maxwell� con unas condiciones iniciales y de con�torno adecuadas� tienen una soluci�on �unica para cada problema electromagn�etico� Enla pr�actica� sin embargo� la estructura de los medios puede ser tan compleja que haganimpracticable una soluci�on exacta para los campos� Afortunadamente� algunos proble�mas de gran importancia� que no son manejables dentro del formalismo de la teor��a decampos� admiten tratamientos aproximados alternativos�
As��� pues� en el limite de las altas frecuencias� el formalismo de la Optica de rayos
permite resolver problemas que desde otro punto de vista ser��an excesivamente com�plicados� Puesto que estos temas se incluyen tradicionalmente en la Optica� no nosocuparemos m�as de ellos�
Otro tanto ocurre en el limite de bajas frecuencias con la Teor��a de circuitos� Lasimplicidad con que los circuitos el�ectricos pueden ser representados y estudiados con��ere a estos una gran importancia� Importancia que viene resaltada por el hecho de queel mismo formalismo es aplicable a otros muchos problemas an�alogos de tipo mec�anico�t�ermico� at�omico� etc� Los sistemas de corrientes cuasiestacionarias� que de�niremosm�as adelante� pueden estudiarse por la versi�on m�as simple de la teor��a de circuitos� lade par�ametros localizados� que permite representar a dichos sistemas por ecuacionesdiferenciales lineales de coe�cientes constantes�
En lo que sigue se har�a a una r�apida exposici�on de los fundamentos de la Teor��a de
Circuitos de Par�ametros Localizados�
D�� Conexi�on entre la teor��a de campos y la de Circuitos
�G�omez��
La teor��a de circuitos de par�ametros localizados estudia el comportamiento de sis�temas electromagn�eticos� Circuitos� que pueden ser descritos como interconexiones dediversos tipos de elementos de dos terminales�
d��
d��
(b)
i(t)
v(t) (t)ε
i(t)
1 21 2
(a)
Figura D���
Entendemos por Elemento de dos terminales un sistema con dos puntos� o Termi�
nales� bien de�nidos desde el punto de vista el�ectrico� entre los que puede establecerse�con poca ambig(uedad� una relaci�on integro�diferencial entre la intensidad que pasa porel elemento y la ca��da de tensi�on a trav�es del mismo� Los sentidos de referencia mutuaentre las ca��das de potencial e intensidades los tomaremos como se indica en la �guraD���a para los elementos que llamaremos pasivos y en sentido contrario� �gura D���b�para los que denominaremos activos�Un an�alisis riguroso de las condiciones bajo las que este tipo de tratamiento es v�alido
est�a fuera de lugar pero algunas consideraciones generales pueden acotarnos el problemacon su�ciente precisi�on �Landau y Lifchitz MC��Analizaremos las condiciones bajo las cuales el estado electromagn�etico global de
estos elementos puede ser descrito mediante dos variables de tipo el�ectrico� Una de ellasser�a la intensidad y la otra la ca��da de potencial� a la que nos referiremos indistintamentecomo ca��da de tensi�on�
L
x=0 x=L
n n0 L
VS S0
Figura D���
En primer lugar� veamos cuando puede hablarse de � la intensidad que circula porun tubo� de corriente� Si consideramos una secci�on de tubo como la de la �gura D���para corrientes no estacionarias tendremos� de acuerdo con la ecuaci�on de continuidadde la corriente de conducci�on�Z
LL�� � d�s�
ZL�
�� � d�s � � d
d t
ZV� dv
i�L�� i��� � �dQd t
donde i es la intensidad que circula por el tubo en un instante determinado y Q la cargaalmacenada en el mismo�La intensidad que circula por el tubo no es uniforme� i � i�x� t�� de forma que
la diferencia entre la intensidad que entra y la que sale de la secci�on del tubo est�arelacionada con la variaci�on temporal de la carga neta almacenada en el mismo�
d��
Para una corriente estacionaria
i�L� � i��� dQ
d t� �
De�niremos como corrientes cuasiestacionarias a aquellas para las que estas rela�ciones se cumplen aproximadamente
ji�L�� i���j � jdQd tj �� ji�x�j
Esta condici�on permite prescindir de la dependencia espacial de la intensidad yde�nir una �unica intensidad para toda la longitud L del elemento�Es interesante expresar las condiciones de estacionariedad para corrientes arm�onicas�
Puesto que las corrientes tienen la misma dependencia espacio�temporal que los campos�estas tendr�an� en general� el car�acter de onda� Simpli�cando el problema� escribiremos�
i�x� t� � I� cos � �t� x
v� � �
hI� e
j� �t�xv�i
I�L� t� � I� ej� t e�j�
Lv � I��� t� e�j�
Lv
donde v es la velocidad de fase�Para valores de � L
v �� � el t�ermino e�j�Lv puede desarrollarse en serie� con lo que
I�L� t� � I��� t���� j� L
v
� ))�II
)) � � Lv
donde �I � I�L� t�� I��� t��Diremos que una corriente es cuasiestacionaria cuando el error relativo cometido
en la aproximaci�on es experimentalmente despreciable� o� dado que � � �v �
��� � la
condici�on � Lv �� � equivale a
L �� � �D���
As��� pues� podremos suponer que por un tubo de corriente circula una intensidadi �� x cuando sus dimensiones m�aximas sean muy inferiores a la m��nima longitud deonda de las componentes de frecuencia signi�cativas de la se�nal que se propaga por �el�Por otra parte� llamaremos Tensi�on� o voltaje� a la medida proporcionada por un
volt��metro cuando los campos son variables con el tiempo� Veremos bajo que condicionesel voltaje medido coincide aproximadamente con la ca��da de potencial�Si tocamos con los terminales de un volt��metro los puntos � y �� �gura D�� � de
forma que los cables formen el camino �a�� el voltaje medido ser�a
v�a��� �
Z �
�� �a�
�E � d�l � �D���
�
Z �
�� �a�rV � d�l �
Z �
�� �a�
�A
t� d�l � V� � V� � d
d t
�Z �
�� �a�
�A � d�l�
�En adelante se anotar�a en min�usculas a las magnitudes temporales reales y con may�usculas a losfasores correspondientes a funciones monofrecuencia del tipo f F� cos �t �
�F F� e
j� t��
d�
a
2
1
v
S
12(a)v
12(b)
b
Figura D���
que no coincide con la diferencia o Ca��da de potencial V� � V��Por el camino �b�� se medir�a
v�b��� �
Z �
�� �b�
�E � d�l � V� � V� �d
d t
�Z �
�� �b�
�A � d�l�
por lo que� restando
�v�� � v�a��� � v
�b��� � �
d
d t��� �B
Vemos que la diferencia entre dos medidas viene dada por la fuerza electromotriz gene�rada por los campos magn�eticos en el camino �a� � ��b��Si nos �jamos solo en los campos de radiaci�on� asociado al campo el�ectrico existe un
campo magn�etico
B � E
v
Escribiendo S � L�� tendremos� para una onda arm�onica de frecuencia �
j dd t�j � �B S � �
E L�
v
y� teniendo en cuenta que v�� � E L�
j dd t�j � v��
� L
v j�v��
v��j � � L
v�� �
Luego llegamos a la conclusi�on de que� para que estos campos de radiaci�on no provo�quen una incertidumbre apreciable en la medida del voltaje� la longitud del elemento yla de los cables del instrumento de medida deben cumplir la condici�on D��
L �� �
La presencia de estos campos magn�eticos� asociados a las corrientes de conducci�onlentamente variables� ser�a tenida en cuenta extendiendo el concepto de coe�ciente deinducci�on a las corrientes cuasiestacionarias�
d��
D�� Elementos fundamentales
Los elementos fundamentales de la teor��a de circuitos lineales� de par�ametros localizadosy de dos terminales� son la resistencia� la autoinducci�on� la capacidad y los generadores�En su con�guraci�on ideal derivan de las de�niciones correspondientes dadas para corrien�tes estacionarias y campos electrost�aticos�
Para las resistencias� autoinducciones y capacidades� que son elementos incapacesde suministrar energ��a neta al exterior y que llamaremos Elementos pasivos� haremosuso del convenio apuntado en el p�arrafo anterior� �gura D��
1 2
i(t)
v(t)
i (t)L
1 2
L
v (t)L
2
i (t)R
1
R
Rv (t)
i (t)C
21
C
Cv (t)
Figura D��
La resistencia es un elemento Disipativo� consume energ��a debido al efecto Joule� Laautoinducci�on almacena energ��a magn�etica y el condensador energ��a el�ectrica�
Llamaremos a v�t� Ca��da de tensi�on del terminal ��� al terminal ��� del elemen�to� Bajo las condiciones impuestas en el p�arrafo anterior� su medida por el volt��metrocoincidir�a con el voltaje�
ooσ ooσ
1 2
d s
σ
Figura D���
De�nimos como Resistencia ideal a un conductor� con � �nita� dentro del cual lasfuerzas electromotrices son despreciables� es decir� los campos el�ectricos en su interiorson conservativos� Consideramos� como se muestra en la �gura D��� que los terminales��� y ��� est�an constituidos por conductores ideales �� ����El par�ametro resistencia R se de�ne de la misma forma que en la secci�on ��� para
corrientes estacionarias � All�� se de�ni�o como la relaci�on existente entre la circulaci�on del
d��
campo total y la intensidad que circula por el tubo de corriente� Esta relaci�on que� engeneral� es complicada� en los medios que llamamos �ohmicos se reduce a una constante�
R �
R ���E � d�li
y� puesto que las fuerzas electromotrices son despreciables
�E � �rV � R �V� � V�
i�
v
i
v � iR �D���
La Autoinducci�on ideal es un elemento� de resistencia nula� en el que las fuerzaselectromotrices existentes son generadas por los �ujos variables asociados a las corrientescuasiestacionarias que circulan por el mismo� La inducci�on mutua entre dos elementosse de�ne de forma an�aloga ��
V1-V1=-( -V )2
=V2
(t)εv(t)
2
1
12
i(t)
1 2L
L
L
a
b
Figura D���
Hallando la circulaci�on del campo el�ectrico a lo largo del camino L indicado en la�gura D�� I
L�E � d�l � �d�
d t� �L d i
d t�
Z �
��La�E � d�l �z �
��
�
Z �
��Lb�E � d�l �z �
��
��� se calcula a lo largo de un camino muy corto Lb a trav�es de una regi�on concampo magn�etico d�ebil por lo que puede despreciarse frente a ����
��t� � ����t� � �L d i�t�
d t� �v�t� �D��
v�t� � Ld i�t�
d t�D���
En este caso estamos de�niendo la ca��da de tensi�on como la fuerza electromotrizinducida cambiada de signo� Puesto que la resistencia de la autoinducci�on es nulaZ �
�
�E � d�l � �Z �
�rV � d�l � ��� � �
�V�ease la secci�on C�����
d��
luego
��� � ��V� � V��
Para campos est�aticos� en C��� se ha de�nido la capacidad de un condensador como
C �Q
V� � V�
Desde el punto de vista de la teor��a de circuitos� de�nimos como Condensador ideala un elemento constituido por un condensador de armaduras conductoras ideales� conun diel�ectrico ideal sin p�erdidas y sin ning�un tipo de fuerzas electromotrices�
ε2i(t)1
Dϑϑ t
Q(t)
Figura D���
Fijemos nuestra atenci�on en la �gura D��� En las placas se acumulan cargas �Q�t�y la corriente de conducci�on no es estacionaria�
�
t
�S�� � � �r � ���S �� �
Bajo la condici�on L �� �� donde L es la dimensi�on caracter��stica del condensador�por los conductores de entrada y las armaduras circula una corriente pura de conducci�onpuesto que
� �� � � � �D
t� �
Sin embargo en el diel�ectrico tendremos una corriente pura de desplazamiento yaque
� � � � �� �� � �
Como hemos visto� la suma de la corriente de conducci�on y la de desplazamiento essolenoidal�
r� �H � ��� ��D r � ���� ��D� � � i� iD � i� � cte
por lo que la corriente i� de carga de conducci�on� que circula por los conductores esigual a la corriente iD de desplazamiento que circula por el diel�ectrico�
d��
La carga almacenada en las placas del condensador ser�a
Q�t� � Q� �
Z t
�i dt
donde Q� � Q�t � ��� De acuerdo con �esto� la ca��da de tensi�on entre las placas es
v�t� � v� ��
C
Z t
�i dt �D���
donde v� � v�t � ���Entre los elementos activos ideales� de�niremos los Generadores ideales de tensi�on
intensidad� como aquellos elementos que mantienen entre sus terminales una tensi�on�intensidad� independientes de las condiciones externas� Se denominan activos porqueson capaces de suministrar energ��a neta al exterior�Para corrientes estacionarias de�n��amos la fuente de tensi�on ideal como una secci�on
de tubo de corriente con resistencia nula�
iR � � �
Z �
���rV � �ER� � d�l ��� � V� � V�
y en el que la fuerza electromotriz ��� � ��t� es independiente de i� La fuente de tensi�on�o bater��a ideal� manten��a entre sus bornes� o terminales� una diferencia de potencial �jae igual a su fuerza electromotriz� Extenderemos la validez de esta de�nici�on al caso decorrientes cuasiestacionarias�
(b)
1
2
(t)ε v(t)i(t)
1
2
v(t)i(t)
2
1
=v(t)
(a)
Figura D���
Los s��mbolos y las referencias vienen representados en la �gura D���La potencia suministrada al exterior es
P �t� � ��t� i�t� �D���
Como puede verse en la �gura� el convenio de signos de referencia para la fuerzaelectromotriz es el contrario que para la tensi�on� En este caso la intensidad entra alelemento por el terminal negativo y sale por el positivo�Puesto que ��t�� en las fuentes de tensi�on� e i�t�� en las de intensidad� solo depen�
den de las caracter��sticas internas de dichas fuentes� diremos que estas son Fuentesindependientes�
d�
Los elementos no lineales juegan un papel importante en la pr�actica� M�as adelantecitaremos a los transistores pero por ahora citaremos solamente al diodo ideal� El Dio�do ideal es un elemento pasivo unidireccional� tiene resistencia nula cuando la tensi�onaplicada es positiva e in�nita en caso contrario�
Anodo
´ todoC
vD
vD
i D
i D=0
i D oo
i D
a
Figura D� �
La �gura D� muestra la curva caracter��stica iD � vD para el diodo� as�� comolos convenios de referencia� Adem�as de la relaci�on entre los signos de la tensi�on y laintensidad� que es la correspondiente a los elementos pasivos� por ser un elemento uni�direccional� se hace necesario relacionar la direcci�on positiva de la intensidad con ladirecci�on privilegiada de conducci�on�
D� Elementos reales
Los elementos reales� como es natural� no se ajustan a ning�un modelo exacto pero lasdesviaciones peque�nas de la idealidad pueden ser modeladas complicando en cierto gradolos modelos ideales�
As��� por ejemplo� la resistencia del hilo con que se fabrica una autoinducci�on no sueleser despreciable a baja frecuencia y para frecuencias altas empiezan a ser notables losefectos capacitivos� Un posible modelo de una autoinducci�on real� v�alido para un ciertorango de frecuencias� puede ser el de la �gura D����
C
21
L
LR L
Figura D����
En adelante� cuando hablemos de Fuentes reales nos referiremos a modelos linealesde fuentes en los que se tiene en cuenta que� en la pr�actica� es imposible materializaruna fuente cuya variable de salida no dependa� aunque solo sea en peque�na medida�de las condiciones externas� En otras palabras� la ca��da de tensi�on �intensidad� de una
d���
fuente de tensi�on �intensidad� no puede ser totalmente independiente de la intensidad�tensi�on� que aparezca entre sus terminales� El modelo de la fuente real ser�a� pues� elde la �gura D����
(a)
i 0 (t)ε (t)0 v s (t) v s (t)
i s (t) i s (t)
2
1
2
1
i’(t)
v’(t)
O zO y
(b)
Figura D����
Para la fuente de tensi�on real� la tensi�on de salida es
vs�t� � ���t�� v��t� � ���t��Oz � is�t� �D���
donde Oz es un operador integro�diferencial lineal que opera ��� sobre la intensidad de
salida is�Para la fuente de intensidad real� la intensidad de salida es
is�t� � i��t�� i��t� � i��t��Oy � vs�t� �D� �
donde Oy es tambi�en un operador lineal�
D� Elementos de cuatro terminales
Aunque no tenemos intenci�on de adentrarnos en la teor��a de Cuadripolos� donde propia�mente se estudia este tipo de circuitos� dedicaremos unas l��neas a de�nir los elementos decuatro terminales de m�as inter�es� Tambi�en se conocen como elementos de dos puertas�la ��� ��� o Puerta de entrada y la ��� ��� o Puerta de salida�Entre los pasivos citaremos al Transformador ideal que� como ya hemos visto� trans�
forma intensidades y tensiones pero suministra a la salida la misma potencia que recibeen la entrada� El transformador real� por el contrario� disipa y almacena energ��a�Las variables de salida de un transformador ideal� �gura D���� son proporcionales a
las variables de entrada�v� � a v�
i� � � �a i�
� a �N�
N��D����
La potencia de entrada
Pe � v� i� � Ps � �v� i��La notaci�on Oz �Oy indica que el operador tiene dimensi�on de impedancia �admitancia� como se
ver�a m�as adelante�
d���
2’i 2i 1
v 1 v 2
1 2
1’
Figura D����
es igual a la potencia de salida�Entre los cuadripolos activos citaremos a las Fuentes ideales controladas o Fuentes
dependientes� Son fuentes que de�nen una relaci�on entre dos variables� una de salida�dependiente o controlada� y otra de entrada �independiente o de control��Los tipos m�as simples de fuentes controladas son�� Fuente de tensi�on controlada por una tensi�on �Tensi�on � Tensi�on�� �gura D����
2’
1
v e
1’
v eA v
2
v s
Figura D����
vs�t� � Av ve�t� �D����
donde Av es la Ganancia de tensi�on�
d���
� Fuente de intensidad controlada por una tensi�on �Tensi�on � Intensidad�� �guraD���
2’
1
v e
1’ is
v eY
2
Figura D���
is�t� � Y ve�t� �D����
donde Y es la Transadmitancia�
� Fuente de tensi�on controlada por una intensidad �Intensidad �Tensi�on�� �gura D����
1
ei
eiZ
2
v s
2’1’
Figura D����
vs�t� � Z ie�t� �D����
donde Z es la Transimpedancia�
� Fuente de intensidad controlada por una intensidad �Intensidad � Intensidad���gura D����
1
i is
eiA i
2
2’1’ e
Figura D����
is�t� � Ai ie�t� �D���
donde Ai es la Ganancia de intensidad�
Los correspondientes modelos reales� de tipo lineal� se obtienen de los anterioresa�nadiendo elementos pasivos lineales no nulos� En el ap�endice E se muestra como� bajo
d���
ciertos condicionamientos� de un dispositivo f��sico tal como el transistor bipolar o el deefecto de campo� que f��sicamente son no lineales y que tienen tres terminales� puedenobtenerse modelos lineales de cuatro terminales�
D Leyes de Kirchho�
Las leyes de Kirchho� no son sino la expresi�on� en t�erminos de corrientes� ca��das detensi�on y fuerzas electromotrices� de las leyes de Maxwell bajo las condiciones enuncia�das en la secci�on D��� Previamente al enunciado de las mismas� recordaremos algunasde�niciones ya establecidas e introduciremos algunas nuevas� aplicables a circuitos depar�ametros localizados al tiempo que haremos algunas aclaraciones pertinentes�
De�niciones
� Elemento de dos terminales� Sistema que puede ser descrito por una relaci�onintegro�diferencial� con un solo par�ametro� que liga la ca��da de tensi�on entre dosterminales y la intensidad que circula entre ellos�
� Elemento lineal� Aquel en el que la relaci�on entre v�t� e i�t� es lineal�
� Elemento independiente del tiempo� Aquel cuyo par�ametro es independiente deltiempo�
� Circuito� Sistema resultante de la interconexi�on de dos o m�as elementos�
� Circuito pasivo� Circuito capaz de almacenar o disipar energ��a y que puede devolverparte de la energ��a almacenada�
� Circuito activo� Circuito capaz de suministrar una energ��a neta al exterior�
� Rama� Interconexi�on de elementos que puede ser descrita� como un elemento� poruna relaci�on de la tensi�on y la intensidad entre dos terminales�
� Nudo� Punto de interconexi�on de dos o m�as elementos o ramas�
� Malla� Conjunto de ramas que constituye un camino cerrado� dentro del circuito�sin pasar dos veces por el mismo nudo�
La representaci�on gr�a�ca de un circuito f��sico no es un��voca� ya que las de�nicionesde nudos y ramas tampoco dan una representaci�on gr�a�ca un��voca� Esto no es ning�uninconveniente sino todo lo contrario�
Leyes de Kirchho�
Como ya hemos visto� incluyendo la corriente de desplazamiento en los conden�sadores� las corrientes cuasiestacionarias cumplen� aproximadamente� la condici�on
r � �� � � IS�� � d�s � �
d��
ii
i
1i
2i
N
S
j
V
(a) (b)
Figura D����
Si aplicamos esto a un volumen� �gura D����a� que encierre a un nudo en el queconcurren N ramas con intensidades incidentes ii� i � � � � �N � �gura D����b� tendremos
NXi��
ii � � �D����
que expresa la Primera ley de Kirchho��
R
L
ε
i i
1
2
(a)
(b)
1
2
C
Figura D����
Para enunciar la segunda ley� consideremos� en principio� un tubo de corriente cuasi�estacionaria compuesto de una concatenaci�on en serie de fuentes de fuerza electromotriz�resistencias� condensadores y autoinducciones ideales� como el mostrado en la �guraD����Con objeto de ordenar las ideas y sin p�erdida de generalidad podemos reestructurar
el tubo de corriente de forma que todas las fuentes� las resistencias y las autoinduccionesest�en en la secci�on �a� comprendida entre los nudos ��� y ��� y que en la secci�on �b�� entre��� y ���� solo haya condensadores� Seg�un la de�nici�on que hemos dado de resistencia
iR �
Z �
�
�E � d�l �X
vRi
donde R es la resistencia total que hay en el circuito�P
vRi es la suma de las ca��das detensi�on en las resistencias y �E el campo total
�E � �rV � �Er � �rV � �Ef � �Ee
d���
que se ha descompuesto en suma de un campo conservativo �rV � m�as otro no conserva�tivo �Er que� a su vez� hemos descompuesto en� campos �Ef � procedentes de la inducci�onde Faraday y que son tenidos en cuenta con par�ametros de inducci�on� y los restantescampos no conservativos que englobaremos en la nomenclatura de electromotores �Ee�
La circulaci�on del campo total ser�aZ �
�
�E � d�l � V� � V� � �f � �e
Escribiendo
�f �X
vLi � V� � V� �X
vCi � �e �X
�i
tenemos que P�i �
�P
vRi �P
vLi �P
vCi ��P
vj
�D����
que expresa la Segunda ley de Kirchho��
Es decir� a lo largo del tubo� la suma de las fuerzas electromotrices es igual a lasuma de las ca��das de tensi�on� ley que� como es f�acil de comprobar� es v�alida tambi�encuando el circuito cerrado no se realiza a lo largo de un tubo de corriente sino a lo largode una malla por cada una de cuyas ramas circula una intensidad distinta�
ia
i b i c
i d
i e
i
Figura D�� �
D�� Caracter��sticas generales de la respuesta de un cir
cuito
D�� Ecuaciones de un circuito
Dado un circuito� la aplicaci�on de las leyes de Kirchho� nos permitir�a obtener ecua�ciones lineales en derivadas totales y con coe�cientes constantes y reales que expliquen
d���
el comportamiento del mismo� Una vez elegido un numero adecuado de variables in�dependientes yi�t�� que consideraremos como Entradas o Excitaciones del circuito� osistema� podemos obtener relaciones de estas con una serie de variables dependientesxi� que consideraremos como Respuestas o Salidas del sistema�En el caso m�as simple� �gura D���� pero sin p�erdida de generalidad� tendremos una
sola entrada y una �unica salida�
linealy(t) x(t)
Sistema
Figura D����
La relaci�on entre una y otra vendr�a dada por la ecuaci�on diferencial
LA x�t� � LB y�t�
Donde LA y LB son operadores lineales con coe�cientes constantes de orden n y mrespectivamente� �
andn
dtn� � � �� a�
� �z �
LA
x�t� �
�bm
dm
dtm� � � �� b�
� �z �
LB
y�t� �D����
Puesto que y�t� suele ser una se�nal conocida� aplic�andole LB � tenemos
LA x�t� � ��t� �D����
donde ��t� � LB y�t��Luego� para hallar x�t�� debemos resolver una ecuaci�on de orden n� lo que hace
necesario especi�car n condiciones iniciales� Diremos que n es el orden del sistema�
D� Respuesta transitoria y estacionaria de un sistema li
neal
Como es bien conocido� la soluci�on general de D��� es del tipo
xg�t� � xgh�t� � xpnh�t�
donde xgh es la soluci�on general de la ecuaci�on homog�enea y xpnh la particular dela ecuaci�on no homog�enea� Esta �ultima se halla por cualquiera de los procedimientosusuales� La soluci�on general de la homog�enea podemos escribirla de la forma
xgh�t� �
nXi��
Ai esi t
d���
donde si� i � � � � �n son las ra��ces de la ecuaci�on caracter��stica
an sn � � � � � a� �
nYi��
�s� si� � �
Como ya sabemos� estas ra��ces son� en general� complejas
si � i � j �i
y� puesto que los coe�cientes ai son reales� las ra��ces si pueden aparecer como reales ocomo pares de ra��ces complejas conjugadas�
Si de�nimos las constantes de tiempo del sistema como �i � � �i� la respuesta ser�a
de la forma
x�t� �nXi��
Ai e� t�i e j �i t � xpnh�t� �D�� �
Las constantes Ai quedan determinadas por las condiciones iniciales�
Si las constantes de tiempo son positivas ��i � �� i � ��� el sistema se dice quees Estable� Si para alguna ra��z �i � �� el sistema es Inestable� Es evidente que� puestoque en un sistema inestable la salida puede crecer inde�nidamente aunque la entraday�t� � �� los sistemas pasivos deben ser inherentemente estables�
La �gura D��� resume gr�a�camente todo �esto representando a las ra��ces en el planocomplejo s�
ii
s2 s3 s4
s 5
s6
α= R [s]
β= I [s]
´´ estables inestablescesRa cesRa
s1
Figura D����
La entrada y la salida de un sistema real deben tener comienzo y �nal y� si lasvariables correspondientes est�an asociadas� como en nuestro caso las tensiones e inten�sidades� a transvases de energ��a� deber�an ser de cuadrado sumable� es decir� deber�ancorresponder a energ��as �nitas� En los circuitos pasivos� para los que la relaci�on entreentrada y salida debe ser causal� la salida no podr�a nunca preceder a la entrada�
d���
1 2 3 4 5
-0.4
-0.3
-0.2
-0.1
0.1
0.2
x(t)
t
y(t)
Figura D����
De D�� se deduce que� si se deja transcurrir un tiempo t �� �max mucho mayorque la m�axima constante de tiempo del sistema� de la respuesta del mismo desaparecenlos t�erminos exponenciales� Llamaremos Respuesta estacionaria a
xe�t� � x�t �� �max�
A la primera parte de la respuesta se le suele cali�car como Respuesta transitoria
Com�unmente se restringe el t�ermino de respuesta estacionaria al caso en que y�t��como se muestra en la �gura D���� es el producto de una funci�on arm�onica por la funci�onescal�on unitario u�t��
y�t� � Y� cos�� t� �u�t�
2 4 6 8 10
-1
-0.5
0.5
1
t
u(t) y(t)=cos ω t . u(t)
t
Figura D����
En este caso� una soluci�on particular adecuada para la regi�on t � � es
xpnh�t� � X� cos�� t� ��
que tambi�en es la soluci�on estacionaria�
xe�t� � X� cos�� t� ��
d��
X� y � se calculan� de forma f�acil� pero engorrosa� sin m�as que aplicar LA a xe eidenti�car el resultado con ��t��
La �gura D�� representa un ejemplo t��pico de entrada y salida de un sistema lineal�
5 10 15 20 25 30
-1
-0.5
0.5
1
e
t
x (t)
Transitorio Respuesta estacionaria
y(t)
x(t)
Figura D���
Cuando x�t� e y�t� son transformables por Fourier� podemos obtener la respuestadel sistema hallando la transformada de ambos miembros de D���
F �LA x�t�� � F �LB y�t��
Si empleamos la notaci�on s � j �� la relaci�on entre las componentes arm�onicas�transformadas de Fourier o Densidades espectrales X �s� e Y�s�� de la entrada y de lasalida� puede escribirse
X �s� � T �s�Y�s� �D����
T �s� � bm sm � � � � � b�an sn � � � �� a�
�D����
T �s� es la Funci�on de transferencia del sistema y tiene la forma de funci�on racionalde la variable s �
La soluci�on del problema se obtiene hallando la transformada inversa de X �s�
x�t� � F���X �s��
D�� Respuesta a una excitaci�on arm�onica
A pesar de que funciones i�t� y v�t� que no sean de cuadrado sumable no son f��sicamenteaceptables� si que son f��sicamente �utiles� En particular� el estudio de la respuesta de unsistema a una entrada arm�onica pura� Respuesta en frecuencia� tiene un inter�es generalpuesto que� sobre la base de �esta� puede reconstruirse la respuesta a una entrada de
�En general interesa interpretar a s como una variable compleja s �� j �� con parte real
d���
cuadrado sumable haciendo uso de la transformada de Fourier� En concreto� compro�baremos que� aunque las se�nales arm�onicas no son estrictamente transformables porFourier� pueden ser tratadas con un formalismo an�alogo al de la expresi�on D����Nos planteamos el problema de buscar la amplitud X� y la fase � de la respuesta
x�t� � X� cos�� t� ��
a una entrada de amplitud Y� y fase �
y�t� � Y� cos�� t� �
Esto puede hacerse como se indic�o en el p�arrafo anterior pero es mucho m�as simpley conveniente hacerlo por el formalismo fasorial� Para ello extendemos anal��ticamentela entrada a�nadi�endole una componente imaginaria
y�t� � y�t� � j g�t� � g�t� � Y� sen�� t� �
A y�t� lo llamaremos Fasor temporal de y�t�� Podemos expresarlo de las formas
y�t� � Y� �cos�� t� � � j sen�� t� �� �
� Y� ej�� t�� �
� Y� ej e j� t �
� Y e j� t �D����
donde Y � Y� ej es el Fasor independiente del tiempo o� simplemente� fasor de entrada�
Es evidente� por superposici�on lineal� que si x�t� es la respuesta a y�t�
x�t� � x�t� � j z�t� � X� �cos�� t� �� � j sen�� t� ��� �
� X� ej�� t��� �
� X� ej� e j� t �
� X e j� t �D����
es la respuesta a y�t� y que la respuesta real� buscada es
x�t� � ��x�t�� � ��X e j� t� � �D���
� X� cos�� t� ��
Substituyendo en D���
LA x�t� � LB y�t� X LA ej� t � Y LB e
j� t
X�s� � T �s�Y �s� �D����
T �s� � bm sm � � � �� b�an sn � � � �� a�
�D����
expresiones que coinciden formalmente con las D��� pero en las que hay que tener encuenta que
X�s� �� X �s� e Y �s� �� Y�s�
d���
D � � � Representaci�on fasorial� impedancias y admitancias
A las relaciones integrodiferenciales entre la tensi�on y la intensidad de los elementos�resistencia� capacidad y autoinducci�on�
vR�t� � iR�t�R � iR ��R vR�t�
vL�t� � L d iL�t�d t � iL�t� �
�L
RvL�t� dt
vc�t� ��C
RiC�t� dt � iC�t� � C d vC�t�
d t
�D����
les corresponden relaciones algebraicas complejas cuando las variables son arm�onicas�Si tomamos como entrada a la intensidad y como salida a la tensi�on� las funciones detransferencia reciben el nombre de Impedancia� Si lo hacemos al rev�es reciben el deAdmitancia� As��� pues� las impedancias son
V � I Z �
�����������ZR � R
ZL � Ls � j� L
ZC ��C s � �
j� C
�D����
y las admitancias
I � V Y � Y ��
Z�
�����������YR �
�R
YL ��Ls � �
j� L
YC � C s � j� C
�D�� �
En adelante se utilizar�a la notaci�on en may�usculas tanto para los fasores dependientesdel tiempo como para los independientes del mismo ya que las relaciones anteriores sonv�alidas en ambos casos�
[Y]
R = R
Z L = j ωL
Z C = j ω C1/
Y C = j ω C
Y R = 1/ R
L =Y j ωL1/
I
R
I
R[Z]
[Z]
[Y]Z
Figura D����
d���
En el plano complejo� estas impedancias y admitancias� forman los siguientes dia�gramas fasoriales representados en la �gura D����Si� por ejemplo�
i � I� cos�� t� � I � I� ej � I�� �
VR � I R � I�Re j � VR� ej vR�t� � �
�VR e
j� t�� VR� cos�� t� �
VL � � L I� ej���
�� � VL� e
j����� vL�t� � VL� cos�� t� � �
� �
VC �I��C e j��
��� � VC� e
j����� vC�t� � VC� cos�� t� � �
� �
Es decir� la ca��da de tensi�on en la resistencia est�a en fase con la intensidad� mientrasque la de la autoinducci�on esta adelantada en �
� y la del condensador atrasada en�� �
En la �gura D��� se representan i�t�� vR�t�� vL�t� y vC�t� para � ��
L0v L (t)
i (t)
v R (t)
v C (t)
VR0
VC0
I 0
V
t
Figura D����
El diagrama de fasores dependientes del tiempo est�a representado en la �gura D����
tR
VL
VC
I [V]
vR (t)vL (t) vC (t)
[V]R
I
i(t)
α
ω
π/2
V
Figura D����
Los fasores girar��an con velocidad uniforme sus proyecciones sobre el eje real nosdar�a el valor instant�aneo de las variables� Los fasores independientes del tiempo dar��anun diagrama �jo correspondiente a tomar � t � � en el de los dependientes del tiempo�
d���
Por asociaci�on de elementos fundamentales pueden obtenerse elementos de dos ter�minales m�as complejos o Ramas� Consideraremos solamente los dos tipos m�as simplesde asociaci�on� la asociaci�on serie y la paralelo�En la asociaci�on serie� �gura D���� la intensidad que circula por cada elemento es la
misma y las ca��das de tensi�on se suman�
2
v1 v2
1i i 2i
v1s21
Figura D����
i� � i� � i � v � v� � v�
Para corrientes arm�onicas
V � i Zs � Zs � Z� � Z� �D����
En el caso de la asociaci�on paralelo� �gura D�� �
1p2v
i 2
v1
1i
v2ii
v
2
1
Figura D�� �
v� � v� � v � i � i� � i�
I � Yp V � Yp � Y� � Y� ��
Zp��
Z���
Z��D����
D�� Diagrama de Bode
Los diagramas de Bode son representaciones logar��tmicas del m�odulo y la fase de lafunci�on de transferencia que describen su dependencia de la frecuencia�Puesto que
X�s� � T �s�Y �s�
para obtener el m�odulo X� y la fase � de X�s�� basta obtener el m�odulo y la fase de lafunci�on de transferencia y componerlos con los de Y �s�� Si
T �s� � jT j s j� � jT j� �
d��
X�s� � X�� �� � Y�� jT j� �� �
Los m�odulos se multiplican y las fases se suman� En el caso de divisi�on de complejos�los m�odulos se dividen y las fases se restan�Ya disponemos de medios anal��ticos para el c�alculo de jT j y pero� en muchos casos�
basta con realizarlo gr�a�camente�Puesto que T �s� es una funci�on compleja� mostraremos por separado su m�odulo y
su argumento o fase� Una simple inspecci�on de este diagrama puede darnos una visi�onmuy amplia del comportamiento del sistema�En el primer diagrama se representa y� � TDb � �� log jT j frente a x � log �� TDb
es� por de�nici�on� la expresi�on de la amplitud en Decibelios ��En el segundo� y� � � �T frente a x � log ��Si factorizamos las funciones polin�omicas que aparecen en el numerador y denomi�
nador de la funci�on de transferencia� esta tendr�a la forma
T �s� �bm �s� z�� � � � �s� zm�
an �s� p�� � � � �s� pn��D����
donde zi son los ceros y pj los polos de la funci�on de transferencia�En nuestro caso� est�a claro que los coe�cientes ai y bj son reales puesto que no
son sino los de la ecuaci�on correspondiente a un sistema real� Como un polinomio decoe�cientes reales solo puede tener ra��ces reales o complejas conjugadas� los ceros y lospolos de nuestra T �s� ser�an reales o complejos conjugados�Las ra��ces complejas conjugadas se podr�an poner en la forma
sk � k � j �k � sl � k � j �k � s�k
donde s�k es el complejo conjugado de sk� Luego� el producto del par conjugado toma laforma
�s� zk� �s� zl� � s� � �sk � jskj�
E introduciendo las Frecuencias de resonancia
�k � jskj
y los Factores de amortiguamiento
�k � �k�k
se tiene�s� zk� �s� zl� � s� � ��k �k � ��
k �D����
Con esta notaci�on y separando las ra��ces reales y complejas conjugadas� T �s� tomala forma
T �s� �bman
slQ
i �s� zi�Q
k �s� � ��k �k � ��
k�Qj �s� pj�
Qr �s
� � ��r �r � ��r�
�D���
�El t�ermino Deci tiene su origen en la de�nici�on de la medida de potencia en decibelios� PDb ��� log jP j� siendo la potencia proporcional al cuadrado de la amplitud�
d���
donde i recorre los ceros realesj � � � � polos � �k � � � � ceros complejos y sus conjugadosr � � � � polos � � � � � � � �
l es el n�umero de ceros en el origen� si es positivo� o el de polos en el origen� si esnegativo�Es conveniente utilizar la funci�on de transferencia normalizada� Para ello de�nimos
las constantes de tiempo � y las frecuencias de corte �c
�i � � �i� � �
�ci
con lo que
T �s� � K sl
Qi �� � �i s�
Qk
�s�
��k
� ��k s�k� �
�Q
j �� � �j s�Q
r
�s�
��r� ��r s
�r� �
� �D����
K se denomina Ganancia de Bode�La funci�on de amplitud es
y� � �� log jT j � �����logK � l log � �
Xi
logq� � ��i s
� �Xj
logq� � ��j s
��
�Xk
log
s��� s�
��k
��
�
���k
s
�k
��
�Xr
log
s��� s�
��r
��
�
���r
s
�r
����D����
y la de fase
y� � � �K � l�
��Xi
artg��i ���Xj
artg��j �� �
�Xk
artg
�� ��k s�k
�� s�
��k
�A�Xr
artg
���r
s�r
�� s�
��r
��D����
Para la representaci�on� o diagrama� de Bode es necesario dibujar cada uno de lost�erminos de y� e y� y sumar�Interesa� previamente de�nir unas unidades adimensionales que miden los intervalos
de frecuencia� As��� pues� entre �� y �� se dice que hay un numero de
D�ecadas � D�� � log������
Octavas � O�� � log�����
Por ejemplo� entre �� y �� hay una d�ecada si �� � ���� o una octava si �� � ����Veamos como se representar��a cada uno de los sumandos de T �s��
d���
ω
Db
K<0
K>0
ϕο
K
ω
x=log
180
x=log
T Db Ganancia de Bode
Figura D����
�� Ganancia de Bode� T �j�� � K�
K
�������y� � KDb � �� log jKj
y� � � �K �%� para K � �� para K � �
�D����
La �gura D��� representa el correspondiente diagrama de Bode
�� Ceros y polos en el origen� T �j�� � �j���l�
�j���l ���
y� � TDb � ��� l log � � ��� l x
y� � � ��j���l � �l ���D�� �
y��x� es una recta de pendiente ��� l Decibelios por d�ecada� como se muestra enla �gura D����
�� Ceros y polos de primer orden� T �j�� � �� � j� ���� ��� � j �
�c
����
�� � j
�
�c
���
���������y� � ��� log
r� �
���c
��y� � �artg
���c
� �D���
d���
-2 -1 0 1 2x=log
-90
90
180
-2 -1 0 1 2x=log
-40
-20
20
40
T Db Polos y ceros en el origen
ο
cωωu=
l=2 l=1
l=-1
l=2
l=-1
l=1
0.01 0.1 1 10 100
u
ϕ
u
Figura D����
Las as��ntotas y el punto central del diagrama son
para � �� �c
���y� � �
y� � �
para � � �c
���y� � ��� log
p� � ��Db
y� � ��
para � �� �c
���y� � ��� log �
�c� ����x� �� log �c�
y� � ���
Las as��ntotas de alta frecuencia� para la funci�on amplitud� tienen una pendientede ��� decibelios por d�ecada�Cuando no se necesita mucha precisi�on� el diagrama puede aproximarse portramos rectos� Para y�� despreciando errores inferiores a �Db� pueden utilizarselas as��ntotas de baja y alta frecuencia� Para y�� en la zona alejada de la frecuenciade corte se aproxima por las as��ntotas y en la cercana mediante un segmento recto�Seg�un el caso pueden tomarse dos opciones� v�ease la �gura D����
�a� Segmento que pasa por los puntos �� � ����c� y� � ��� �� � �c� y� ���
�� �� � ���c� y� � ��� ��
d���
-2 -1 0 1 2x=log u
-90
-45
45
90
-2 -1 0 1 2x=log u
-40
-20
20
40
T Db Polos y ceros de primer orden
Aproximaci n (a)
oAproximaci n (b)
ϕ
0.1 0.2 10
ο
5
o
u
´
Figura D����
�b� Segmento que pasa por los puntos �x � ���� y� � ��� �x � �� y� � �� �� �x �
�� y� � ��� �� Esta aproximaci�on es tangente a la curva de fase en el punto
central�
� Ceros y polos de segundo orden� T �j�� ���� ��
���� �j � �
��
����
��� ��
���
� �j ��
��
���
�������������y� � ��� log
r��� ��
���
����� � �
��
��
y� � �artg�
� � ���
����
���
� �D���
Las as��ntotas y el punto central del diagrama son
para � �� ��
���y� � �
y� � �
para � � ��
���y� � �f���
y� � ���
d��
-2 -1 0 1 2x=log u
-180
-135
-90
-45
-2 -1 0 1 2x=log u
-60
-50
-40
-30
-20
-10
10
20
T Db Polos de segundo orden
1 δ= 0.5δ= 0−3
δ= 0−3
δ= 0.1
δ= 0.05
δ= 1
δ= 2
4
4
0.01 0.02 0.05 0.1 0.2 0.5 1 2 5 10 20 50 100
ϕ
u
ο
δ= 0.5
δ= 0.707
δ= 0.05δ= 0.1
δ= 0.707
δ= 2δ=
Figura D����
d���
para � �� ��
���y� � �� log �
��� ���x� � log ���
y� � ���
Como se ve en la �gura D���� en las cercan��as de � � �� es necesario haceruna correcci�on en funci�on de � y las as��ntotas de alta frecuencia� para la funci�onamplitud� tienen una pendiente de �� decibelios por d�ecada�
D�� M�etodos de an�alisis
D � Introducci�on
Las leyes de Kirchho� permiten la obtenci�on de las ecuaciones que describen el com�portamiento de cualquier circuito� En la pr�actica� dado que estos circuitos pueden pre�sentar una estructura complicada� conviene seguir una metodolog��a ordenada para elplanteamiento y soluci�on de dichas ecuaciones� El tema es bastante amplio y aqu�� soloqueremos presentar los rasgos fundamentales de los m�etodos de an�alisis por mallas y pornudos� Por no complicar la exposici�on limitaremos nuestra consideraci�on a los circuitosplanos circuitos que pueden ser representados en el plano sin cruces entre ramas� Paracomprender la nomenclatura� los convenios de signos y la forma de aplicar las leyes� nosbasaremos en el ejemplo concreto de la �gura D���
2i
i 3
R 3
R 4
vα
vβ
v γ
vδ
i a
i bi c
i d
i f
i e
ε 2(t)
ε 1(t) 1i
L
C ve
vcR 1
R
2
Figura D���
Se han representado
N � nudos �� �� �� ��
R � � ramas �a� b� c� d� e� f�
M � � mallas ��� �� ��
d���
Como variables independientes aparecen las fuentes de fuerza electromotriz ���t� y���t� �Podr��amos haber introducido fuentes de intensidad pero lo dejaremos para m�asadelante��Como variables dependientes hemos representado�
a� Intensidades de malla� �i�� i�� i��
b� Intensidades de rama� �ia� ib� ic� id� ie� if ��
c� Tensiones de nudo� �v� v�� v� � �� v��
d� Tensiones de rama� �va� vb� vc� vd� ve� vf ��
Se ha elegido al nudo � como referencia o Tierra�Entre estas variables se cumplen las relaciones
ia � i� � ib � i� � i� � � � �vd � v� � v� � v� � ve � v� � v� � �v� � � � �
en las que se ha colocado el signo que corresponde a las referencias establecidas�Las leyes de Kirchho�� en el dominio temporal� han sido enunciadas de la siguiente
forma�
�� La suma de todas las intensidades que inciden sobre un nudo es igual a cero�Xi
ii � � � �para cualquier nudo�
�� La suma de todas las ca��das de tensi�on en una malla es igual a la suma de todaslas fuerzas electromotrices aplicadas a la misma�X
i
vi �Xi
�j � �para cualquier malla�
Aplicando la transformada de Fourier� o representando fasorialmente a las variables�las leyes se expresar��an comoX
i
Ii � � �Xi
Vi �Xi
Ej
donde las letras may�usculas representan a los fasores correspondientes�
αa
i ci b
i
Figura D����
As��� por ejemplo� con las referencias indicadas� se tiene que� para el nudo ��� �guraD����
ia � ib � ic � � � Ia � Ib � Ic � �
d���
C
i d
i e
ε 2(t)
R 4
R 3
i f
Cv
R 3v
R 4v
β δ
γ
3
Figura D����
y� para la malla ���� �gura D����
�vR� � vC � vR� � ��� � VR� � VC � VR� � �E�Para plantear correctamente las ecuaciones del sistema basta con establecer� hacien�
do uso de las leyes de mallas y nudos� un n�umero de ecuaciones� linealmente independi�entes� que sea su�ciente para describir las relaciones entre las intensidades y ca��das detensi�on en todas las ramas�
D � Equivalencia entre fuentes reales de tensi�on y de intensidad
Para las corrientes arm�onicas� las fuentes reales pueden representarse como se muestraen la �gura D���� En la primera se representan como fuente de tensi�on con fuerzaelectromotriz V� e impedancia de salida Z� y en la segunda como fuente de intensidadcon intensidad motriz I� y admitancia de salida Y�� Las relaciones fasoriales que lascaracterizan son� respectivamente
Vs � V� � Is Z� �D���
Is � I� � Vs Y� �D���
0 0II s Vs Vs
I sZ 0
Y0
(b)(a)
V
Figura D����
Dividiendo D�� por Z� y tomando
I� �V�Z�
� Y� ��
Z�
d���
se comprueba que la fuente de intensidad y la de tensi�on son equivalentes�
D An�alisis de mallas
En este m�etodo de soluci�on se calculan� en primer lugar� las intensidades de malla� Unavez hecho esto podemos hallar cualquier otro tipo de variables dependientes� Para apli�carlo haremos uso previamente de la equivalencia entre fuentes de tensi�on e intensidadde forma que en el circuito solo aparezcan las primeras�Puesto que� para cualquier nudo i que pertenezca a la malla �i�� la intensidad
de malla ii entra y sale� la primera ley de Kirchho� se cumple autom�aticamente� Hayque plantear� por lo tanto� tantas ecuaciones de malla linealmente independientes comopuedan establecerse en el circuito� Establecer intensidades independientes equivale aencontrar mallas independientes� En la �gura D��� se reproduce la D�� con la notaci�onadecuada para el an�alisis de mallas�
δ
i
i 3
R 3
R 4
ε 2(t)
ε 1(t) 1i
L
C
R 1R 2
α
β
γ
2
Figura D����
En el dominio temporal� las ecuaciones de las tres mallas elegidas son
�� � i�R� � �i� � i��R� ��
C
Z t
��i� � i� dt� VC�
�� � �i� � i�R � �i� � i��R� � Ld i�d t
��� � iR ��
C
Z t
��i � i�� dt� VC� � �i � i��R
Si nos restringimos a la respuesta arm�onica y escribimos j� � s �
E� � E� � I� �R� �R� ��Cs� �I�R� �I �
Cs
E� � E� � �I�R� �I� �R �R� � Ls� �IR
E � �E� � �I� �Cs �I�R �I �R �R �
�Cs�
�Algo an�alogo se obtiene si substituimos los operadoresR� dt� �
sy d
d t� s�
d��
donde Ei son las fuerzas electromotrices correspondientes a cada una de las mallas�Matricialmente �� E�
E�
E
�A �
�� Z�� Z�� Z�
Z�� Z�� Z�
Z� Z� Z
�A ��� I�
I�I
�ALa matriz �Zij� tiene las siguientes propiedades�
� Es sim�etrica� por lo que Zij � Zji�
� Los elementos diagonales Zii son la suma de las impedancias de la malla �i��
� Los elementos no diagonales Zij �i �� j� son la suma� cambiada de signo� de lasimpedancias de la rama com�un a las mallas �i� y �j��
El c�alculo d�e Ij es inmediato haciendo uso de la regla de Cramer�
Ij �Xi
Ei�ji
��D��
donde �ji es el cofactor del elemento Zji y � es �el determinante de la matriz �Zij��
D � An�alisis de nudos
Para �el an�alisis de nudos es necesario convertir todas las fuentes de tensi�on en fuentesde intensidad haciendo uso de la equivalencia entre ellas�En el circuito de la �gura D��� se obtienen las fuentes de intensidad de la �gura
D�� �
(b)
R 3R 3 R 1
R 1Ι2Ι1= 2
β
δ
= 1
α
γ
(a)
Figura D�� �
El circuito resultante para el an�alisis de mallas se muestra en la �gura D���Puesto que hemos tomado como nudo de referencia al nudo � �v� � ��� tendremos
que calcular las tensiones v� v� y v� de los nudos � � y � con respecto al � en funci�onde las fuentes de intensidad existentes en el circuito�Para establecer un procedimiento sistem�atico� plantearemos la ley de nudos de la
siguiente forma�
�� Escribimos en el primer miembro la suma de las intensidades de las fuentes� conreferencia positiva las que inciden en el nudo y negativa las que salen del mismo�Para el nudo � I � I��
d���
αβ IαδIαγ
R 4
R 3
Ι 2
Ι 1
α
β
γ
δ
L
C
R 2
R 1
I
Figura D���
�� En el segundo miembro se escribe la suma de las intensidades que salen del nudopor las admitancias pasivas� Para el nudo esta suma es I� � I� � I� �
As��� pues� para el circuito
I � I� � �V � V���
R�� �V � V��
�
Ls� �V � �� �
R�
I� � I� � �V� � V��
R�� �V� � V��
�
R� �V� � �� Cs
I� � �I� � �V� � V��
Ls� �V� � V��
�
R� �V� � �� �
R
que� en forma matricial� se escribe de forma an�aloga a como se hace en el an�alisisde mallas �� I
I�I�
�A �
�� Y Y� Y�Y� Y�� Y��Y� Y�� Y��
�A ��� V
V�V�
�ALa matriz �Yij� � i� j � � �� � tiene las siguientes propiedades�
� Es sim�etrica� por lo que Yij � Yji�� Los elementos diagonales Yii son la suma de las admitancias para las que el nudo�i� es com�un�
� Los elementos no diagonales Yij �i �� j� son la suma� cambiada de signo� de lasadmitancias de las ramas que unen a los nudos �i� y �j��
D � Circuitos con fuentes dependientes
Ilustraremos con sendos ejemplos como se aplican los an�alisis de mallas y de nudos enel caso de que existan fuentes dependientes�
d���
An�alisis de mallas �
Sea el ampli�cador de la �gura D���a� cuyo circuito equivalente se representa en la�gura D���b �
1 Z 2
G Dr d
I 1 I 2e
S μ
V
gs
Circuito equivalente
V
(b)
Z 3Ve
Z1
Z 2
G D
S Z 3
(a)
Z
Figura D���
Planteemos la ecuaci�on matricial�Ve
��Vgs
��
�Z� � Z �Z�
�Z� Z� � Z� � rd
���
I�I�
�El problema no est�a resuelto a�un� pues en el primer miembro �gura Vgs que es una
variable dependiente� El paso fundamental de este tipo de problemas es establecer laecuaci�on que relaciona a esta variable con las inc�ognitas del problema� En este caso esVgs � I� Z� Por lo tanto�
Ve��Vgs
��
�Ve�
��
��
��Vgs
��
�Ve�
��
��
��Z I�
�La ecuaci�on matricial quedar�a en la forma�
Ve��Vgs
��
�Z� � Z �Z�
�Z � Z� Z� � Z� � rd
���
I�I�
�de la cual ya es inmediato obtener I� e I��
Observemos que ahora la matriz �Yij� ya no es sim�etrica�
An�alisis de nudos �
Sea el ampli�cador de la �gura D���a� cuyo circuito equivalente se representa en la�gura D���b�
Substituiremos la fuente de tensi�on por una fuente de intensidad� tal como se muestraen la �gura D���
En este caso tenemos tres nudos� por lo que necesitaremos tres ecuaciones� Lasinc�ognitas son las tensiones de los nudos VB � VC y VE con respecto al nudo com�un�tierra��
V�ease el ap�endice E�
d���
(b)
B E
Ve
CR B
R E R C
I bβI b
h ie
h oe1/
Circuito equivalente
Ve
BCR B
R E
R CE
(a)
Figura D���
C
bβI b
eV
oeY
ieY
YB
YB
B E C
Y YE
I
Figura D���
d���
Como en el caso anterior� el paso fundamental es encontrar la relaci�on entre laintensidad de base IB y las inc�ognitas� IB � Yie �VB � VE�� La ecuaci�on matricialresultante ser��a�� Ve YB
��
�A �
�� ��� Yie �VB � VE�� Yie �VB � VE�
�A� �Yij� ��� VB
VEVC
�A �
�
����� � � ��� Yie � Yie �� Yie �� Yie �
�A� �Yij�� �
�� VBVEVC
�AD� Teoremas fundamentales
Existen numerosos teoremas relativos a diversos aspectos de la teor��a de cir�cuitos� De entre ellos solo consideraremos los m�as fundamentales �Le Page y Seely�Balabanian y Bickart��
D�� Teorema de superposici�on
Supongamos que un circuito cualquiera tiene un conjunto de fuentes independientesde intensidad I�i de tensi�on E�j� Dada la linealidad del sistema� cualquier variable de�pendiente Ix �Vx� del circuito puede expresarse como combinaci�on lineal de las fuentesindependientes� Sea X la variable dependiente e fYig el conjunto de variables indepen�dientes�
X �Xi
Ai Yi �Xi
Xi �D���
donde Ai son constantes y
Xi � Ai Yi � �X�Yj�� � �j �� i
Es decir� la respuesta X de un sistema lineal a un conjunto de entradas independi�entes Yi puede expresarse como la suma de las respuestas parciales Xi a una sola de lasentradas Yi�
D�� Teoremas de Thevenin y Norton
Enunciados �
� Teorema de TheveninUn circuito puede ser representado� desde cualquier par de nudos� A y B� comouna fuerza electromotriz ideal en serie con una impedancia�
Vs � ET � Is ZT �D���
d��
� Teorema de NortonUn circuito puede ser representado� desde cualquier par de nudos� A y B� comouna fuente de intensidad ideal y una impedancia en paralelo�
Is � IN � Vs YN �D���
A
Vs Vs
I sI s
Thevenin Norton
Z
I YC T N
T
N
(a) (b) (c)
A
B
A
B B
Figura D��
Es evidente� �gura D�� que el teorema de Norton se deduce del de Thevenin� sinm�as que aplicar la equivalencia entre fuentes de tensi�on y de intensidad� y que esta�entre unos par�ametros y otros� es
IN �ETZT
� ZN � ZT � YN ��
ZN�D���
donde ET es la fuerza electromotriz Thevenin� IN la intensidad Norton� ZT la impedanciade salida Thevenin e YN la admitancia de salida Norton�
Demostraci�on �Basta con demostrar uno de los dos enunciados�Sin perder generalidad consideraremos un circuito con dos mallas� como el encerrado
en el bloque de puntos de la �gura D���
I 1
I 2 I 3 Vs
I sA
B
Figura D���
Saquemos al exterior los terminales A y B� a los que conectaremos la fuente detensi�on �cticia que representar�a a la tensi�on de salida Vs � Con esto habremos a�nadido
d��
al circuito una malla m�as� por la que circula una intensidad I � �Is� donde Is es laintensidad de salida� Apliquemos la expresi�on D� para calcular la intensidad de lanueva malla�
Si llamamos �� al determinante del circuito con M � � mallas
I � E� ���
��� E� �
��
��� E �
�
���
M��Xi��
Ai Ei
donde las Ai ���ji�� son constantes de proporcionalidad� V�ease que a este resultado
podemos llegar sin m�as que apelar al teorema de superposici�on�
Si escribimos E � E � � Vs� donde E � es la fuerza electromotriz de la malla ��� queest�a incluida en el circuito primitivo�
Is � I � A� E� �A� E� �A E � �A Vs
que puede escribirse de cualquiera de las formas D�� y D�� enunciadas anteriormente�sin m�as que hacer IN � A� E� �A� E� �A E � e YN � A�
Formas de calcular los par�ametros Thevenin �
De lo anterior se desprende que disponemos de las siguientes opciones para calcularla fuerza electromotriz y la impedancia Thevenin�
� Resolviendo el sistema de M � � mallas�
� Colocando una impedancia in�nita entre los nudos de salida � abriendo la puertade salida� para calcular ET y cortocircuitando las fuerzas electromotrices internasEi del circuito��
ET � �Vs�Is�� � ZT �
��VsIs
�Ei��
�D� �
� Hallar ET por el procedimiento anterior y ZT cortocircuitando la salida �colocandouna impedancia nula en la puerta de salida��
ZT �
�ETIs
�Vs��
�D����
D� Potencia en corriente alterna
v(t)
i(t)
Figura D���
Supongamos� �gura D��� que una corriente i�t� circula por un elemento pasivoprovocando una ca��da de tensi�on v�t�� La energ��a W �t� que� por unidad de tiempo�
d��
ceden las cargas Q�t� que atraviesan al elemento ser�a �
P �t� �dW �t�
d t�
dQ�t�
d tP �t� � i�t� v�t� �D����
Sea
v�t� � V� cos��t� ��
i�t� � I� cos��t� ��
� P �t� � I� V� � cos��t� �� cos��t� ��
Teniendo en cuenta relaciones trigonom�etricas sencillas y de�niendo � � � ��queda
P �t� ��
�I� V� cos �
�
�I� V� cos���t� � � �� �D����
Observemos que la operaci�on de calcular la potencia es no lineal� puesto que implicala multiplicaci�on de dos variables� resultando la frecuencia multiplicada por dos�Si calculamos el promedio temporal de P �t�� el segundo t�ermino� sim�etrico respecto
del eje temporal� se anular�a � Por tanto queda
hP �t�i � ��I� V� cos �D����
Esta expresi�on se conoce por el nombre vulgar de Ley del coseno de �En forma fasorial
V � V� ej�� � I � I� e
j��
con lo cual
hP �t�i � ����V I�� �
�
���I V �� �D���
P
⟩ ⟩
P(t)
v(t)
i(t)
t
Figura D���
En la �gura D�� se representa a P �t�� i�t� v�t�� para � � �� en funci�on de t� Enella se observa que� efectivamente� la frecuencia de oscilaci�on de la potencia es doble
cada carga individual q que atraviesa al elemento pierde una energ��a potencial q v�t�
d��
que la de la tensi�on e intensidad y que P �t� puede descomponerse en un t�ermino mediohP �t�i m�as otro variable de media nula� En general� la potencia ser�a en parte positiva�las cargas ceden energ��a al elemento� y en parte negativa� las cargas toman energ��a delelemento� En el caso de los elementos pasivos� la parte positiva es siempre mayor o iguala la negativa�
P
⟩ ⟩
P(t)
i(t)
v(t)
t
Figura D���
Si v�t� e i�t� est�an en fase� � � � � �� toda la energ��a se disipa en elelemento� �gura D��� y la potencia media es
hP �t�i � ��I� V�
Esto corresponden a elementos disipativos que no almacenan energ��a� es decir� a laresistencia ideal�
Cuando � ��� cos � � y
hP �t�i � �
En la �gura D� se ve que la energ��a media es nula y toda la energ��a cedida alelemento es posteriormente recuperada por las cargas� por lo que la potencia mediacedida es nula� Este es el caso de los elementos no disipativos� como la capacidad o lainducci�on ideales� que solo pueden almacenar energ��a pero no disiparla�
Concretando� para elementos simples� se tiene lo siguiente�
� Resistencia�En una resistencia la intensidad y la tensi�on est�an en fase� de manera que
P �t� ��
�I� V� cos �
�
�I� V� cos���t� � ��
� Condensador�
d��
⟩ ⟩ =0
P(t)
t
i(t)
P
v(t)
Figura D� �
(c)
i(t) i(t) i(t)
v(t) v(t) v(t)
(a) (b)
Figura D����
Como se ha visto en representaci�on fasorial� en un condensador� la tensi�on est�aretrasada �
� respecto a la intensidad� con lo cual � � � � ��� y
P �t� � ���I� V� sen���t� � ��
� Autoinducci�on�Tambi�en vimos que en una autoinducci�on la tensi�on est�a adelantada �
� respecto ala intensidad y� por lo tanto�
P �t� ��
�I� V� sen���t� � ��
D � � � Teorema de la m�axima transferencia de potencia
El teorema de Thevenin dice que cualquier circuito lineal� visto desde un par de termi�nales A y B� es equivalente a una fuente con una fuerza electromotriz ET e impedanciade salida ZT �
Supongamos� �gura D���� que entre A y B colocamos una impedancia de carga Zccuya magnitud podemos variar� La pregunta es� , qu�e relaci�on ha de existir entre ZT yZc para que la energ��a transferida por la fuente a la carga sea m�axima-
Sea
Zc � x e jy � ZT � ZT� ej
d�
c
TZ
C VT
(a) (b)
BB
A A
Z ZIc c c
Figura D����
La potencia media disipada en la carga es
hP i � ����Vc I�c �
donde
Vc �Et Zc
ZT � Zc� Ic �
EtZT � Zc
I�c �E�t
Z�T � Z�cSubstituyendo
hP i � ��
jEtj�jZT � Zcj� � �Zc�
Para obtener el valor m�aximo de hP i� habr�a que derivar respecto a x e y � e igualara cero� Haciendo estas operaciones se obtiene
x � ZT� � y � �
de donde se deduce que� para que la carga consuma la m�axima potencia�
�Zc�max � Z�T �D����
D�� Estudio de los circuitos de primero y segundo orden
En los temas anteriores hemos revisado las caracter��sticas generales de la Teor��a deCircuitos� En este nos detendremos en el estudio de los sistemas de primero y segundoorden que� naturalmente� al ser los m�as simples son tambi�en los m�as importantes�Analizaremos� por v��a de ejemplo� la respuesta transitoria y la estacionaria� para
se�nales arm�onicas� de sistemas concretos�
D�� Respuesta transitoria de sistemas lineales de primer orden
Estudiaremos los circuitos Serie RL y Paralelo RC y los Serie RC y Paralelo RL�
Circuitos serie RL y paralelo RC�
d��
R
v(t) v(t)Li(t) i(t) R C
Figura D����
La �gura D��� representa a un circuito serie RL y su dual� el paralelo RC� Para elprimero calcularemos la intensidad que circula por �el� mientras que �para el segundo�calcularemos la ca��da de tensi�on v�t�� La dualidad se establece de la forma�
Serie � Paralelov � iL � CR � �
R
Decimos que el segundo circuito es el dual del primero porque las ecuaciones difer�enciales que los describen son an�alogas� Ve�amoslo�
�� Circuito serie�
v�t� � vR�t� � vL�t� v�t� � i�t�R � Ld i�t�
d t
�� Circuito paralelo�
i�t� � iR�t� � iL�t� i�t� �v�t�
R� C
d v�t�
d t
En virtud de esta analog��a� podemos escribir una ecuaci�on general para ambos cir�cuitos
e�t� � x�t� � �d x�t�
d t�D����
donde � recibe el nombre de Constante de tiempo del sistema� e�t�� x�t� y � toman� encada caso� los valores siguientes�
�� Circuito serie�
e�t� �v�t�
R� x�t� � i�t� � � �
L
R
�� Circuito paralelo�
e�t� � i�t�R � x�t� � v�t� � � � RC
Empezaremos calculando la respuesta a un impulso en t � �� como el que se muestraen la �gura D���� Para �jar ideas� consideremos al circuito serie y hagamos
v�t� � V� � ��t� e�t� � E� � ��t� � E� �V�R
d��
t
o
I II
t=0
o
Figura D����
La respuesta del sistema a este tipo de entrada se llama Respuesta a un impulso delsistema�
e�t� � x�t� � �d x�t�
d t�
���� para t �� �
�� para t� �
En la regi�on I la entrada e�t� � �� por lo que tanto la autoinducci�on� en el primercircuito� como la capacidad� en el segundo� se encuentran en paralelo con una resistencia�el cual es un elemento que disipa energ��a� Cualquier energ��a que en t � � pudierahaber estado almacenada en forma de campo magn�etico �en L� o el�ectrico �en C� hasido disipada antes de cualquier instante cercano� Esto implica que
x�t � �� � x��t� � �
Para t � �dx
x� �dt
� x � X� e
� t�
El valor de X� se determina relacionando los valores de x�t� en el l��mite de lasregiones I y II
x�� � limt��� t��
x�t� � X� � x�� � limt��� t����
x�t� � �
Integrando la ecuaci�on diferencial D��� desde t � �� a t � ��
E� �
Z ��
��
��t� dt � E� � �z ��a���
�
Z ��
��
x dt �z ��b���
�� �x����� x����� � � X� X� � E�
La itegral �b� � x�t � �� de acuerdo con el teorema integral del valor intermedio� yaque x es un valor comprendido entre x���� � � y x���� � X� que se supone �nito�La soluci�on
i�t� �
���� para t � �
V�R e�
t� para t � �
d��
-1 1 2 3 4
0.2
0.4
0.6
0.8
1V0
t
τ
/R
i(t)
Figura D���
se representa en la �gura D���
Busquemos ahora la soluci�on de esta ecuaci�on para una entrada que� como se muestraen la �gura D���� tiene forma de pulso�
e(t)
t
0e
t=0 t1
I II III
Figura D����
Puesto que en esta entrada existen dos discontinuidades� en t � � y t � t�� debemosresolver la ecuaci�on diferencial encontrando soluciones generales para cada una de lastres regiones� I �t � ��� II �� � t � t�� y III �t � t�� y conectarlas mediante condicionesde contorno adecuadas�
Las condiciones de contorno pueden establecerse por razonamientos f��sicos analizan�do los elementos del circuito capaces de almacenar energ��a� capacidades y autoinduc�ciones� ya que son estos elementos los que est�an asociados a los operadores integrales odiferenciales�
En el circuito serie nos encontramos una autoinducci�on que forzar�a a la intensidad atomar valores continuos ya que cualquier discontinuidad en la misma dar��a lugar a unaca��da de tensi�on in�nita� De la misma forma� el condensador del circuito paralelo fuerzala continuidad de la tensi�on de salida� puesto que� para producir un salto brusco de estatensi�on� har��a falta una intensidad in�nita� En ambos casos tendremos la condici�on decontorno� x�t� �continua� Consid�erese que� sin embargo� la respuesta a un impulso esdiscontinua en t � � esta respuesta se debe a una entrada de amplitud in�nita lo queen la pr�actica solo puede tomarse como idealizaci�on de un pulso alto y estrecho�
d��
Podemos ahora analizar cuantitativamente el comportamiento de estos circuitos�En la regi�on I la entrada e�t� � �� por lo que� como en el problema anterior�
x��t� � �
En t � �� �t � �� t � ��� e�t� da un salto brusco de amplitud e� que� dada lacontinuidad de x�t�� no podr�a aparecer como un salto brusco de esta variable� En elcircuito serie� todo el salto de tensi�on aparecer�a sobre la autoinducci�on L� con lo que
x���� � � �
�d x
d t
���
�e��
es decir� al principio de la regi�on II x�t� empieza a crecer desde el valor cero con unapendiente e�
� � Conforme transcurre el tiempo x�t� y la velocidad de crecimiento
d x�t�
d t��
��e� � x�t�� �
�d x
d t
���
se ir�an haciendo cada vez menores� terminando el proceso cuando x�t� � e��Realmente� aunque x�t� � e�� dada la entrada propuesta� no se alcanza este limite
porque para t � t� e�t� � � y la velocidad de variaci�on de x�t�
d x�t�
d t� �x�t�
�� �
se hace negativa� por lo que x�t� empezar�a ahora a decrecer� cada vez m�as lentamente�hasta que x�t� � �� para t ���Analizada cualitativamente la respuesta de estos circuitos pasaremos a la resoluci�on
de la ecuaci�on diferencial correspondiente al primer circuito�
v�t�
R� i�t� � �
d i�t�
d t
Seg�un la teor��a de las ecuaciones diferenciales� la soluci�on general de esta ecuaci�on�ig� puede expresarse como la suma de la soluci�on general de la homog�enea� igh m�as unasoluci�on particular de la completa� ip�
ig�t� � igh�t� � ip�t�
La homog�enea� i� � d id t � �� admite una soluci�on de la forma
igh�t� � Ae bt
donde b es soluci�on de la Ecuaci�on caracter��stica� Esta se obtiene substituyendo lasoluci�on en la ecuaci�on diferencial y teniendo en cuenta que Ae bt �� �� Luego
� b� � � � b � ���
Por tanto�igh�t� � Ae�
t�
d�
La soluci�on general de la ecuaci�on homog�enea tiene la forma de un decrecimientoexponencial�Busquemos ahora una soluci�on particular de la ecuaci�on completa�Para � � t � t� la ecuaci�on tiene la forma
V�R� i�t� � �
d i�t�
d t
Probemos como soluci�on particular ip � cte� Por substituci�on se comprueba queip �
V�R � La soluci�on general de la ecuaci�on completa ser�a� pues�
ig�t� � Ae�t� �
V�R
Para hallar la soluci�on concreta i��t� en la zona II� ser�a necesario determinar elvalor de la constante A� lo cual se logra aplicando la condici�on de continuidad de laintensidad �x�t� � i�t�� que se ha razonado anteriormente�
i����� � i����� � limt��� t��
i��t� A � �V�R
por lo que
i��t� �V�R
��� e�
t�
�
-1 1 2 3 4 5 6
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1
V /R0
t
t=0
i(t)
I IIIII
t
Δ
Figura D����
La soluci�on en esta zona tiende a V�R � En un instante determinado i�t� di�ere de
dicho l��mite en una cantidad
� � i���� i�t� � e�t�
Dicha diferencia� seg�un puede verse en la �gura D���� es del orden del �+ parat � �� y del �+ para t � �� �En la zona III �t � t��� la ecuaci�on tiene la forma
� � i�t� � �d i�t�
d t
d���
cuya soluci�on es del tipo
i�t� � A� e�t�
Aplicando la condici�on de continuidad e t � t�
i��t�� � i�t�� A� �V�R
�e�
t�� � �
�e
i �V�R
�e�
t�� � �
�e�
t�
La �gura D��� muestra gr�a�camente el resultado�De lo anterior resulta que� una vez pasado el transitorio� para t �� � � la autoin�
ducci�on no presenta resistencia al paso de la corriente� Esto concuerda con la expresi�onde la impedancia� ZL � j� L� porque para una tensi�on constante� lo que corresponde auna frecuencia nula� � � � ZL � ��En la �gura D��� se representa la ca��da de tensi�on en R y en L�
vR�t� �
�������V�
��� e�
t�
�para � � t � t�
V�
�e�
t�� � �
�e�
t� para t � t�
vL�t� �
�����V� e
� t� para � � t � t�
�V��e�
t�� � �
�e�
t� para t � t�
-1 1 2 3 4 5 6
-1
-0.5
0.5
1
I II III
tt=0
v(t)
v v
-V
V
t
1
1
RL
0
Δ
Figura D����
En el circuito paralelo RC� la soluci�on es
v�t� � I�
��� e�
t�
�
d���
Circuitos serie RC y paralelo RL�
Cv(t) v(t)Li(t) i(t) R
R
Figura D����
Se trata� como en el caso anterior� de dos circuitos duales� Tomaremos como refe�rencia al primer circuito� en el que la intensidad cumple la siguiente ecuaci�on
v�t�
R� i�t� �
�
RC
Z t
�i dt�
V�CR
V�C es el valor inicial VC��� de la ca��da de tensi�on del condensador� Esta ecuaci�on tienela forma
e�t� � x�t� ��
�
Z t
�x dt�K�
aplicable a ambos circuitos� En este caso
e�t� �v�t�
R� x�t� � i�t� � � � RC � K� �
V�CR
Derivando la ecuaci�on anterior y multiplicando por �
�d e�t�
d t� �
d x�t�
d t� x�t�
Si tomamos la misma entrada del problema anterior� habr�a que resolver la ecuaci�onen las tres regiones� �gura D�� �a�En todas las regiones el t�ermino independiente d e�t�
d t � �� salvo en las fronteras� enlas que es singular� Efectivamente� como se muestra en la �gura D�� �b�
d ve�t�
d t� V� f��t� � ��t � T �g
Luego las soluciones en el interior de dichas regiones son del tipo
x� � A� e� t� � x� � A� e
� t� � x� � A e
� t�
Por razones ya expuestas en el apartado anterior A� � � x��t� � �� Debemos�por lo tanto� determinar A� y A �jando condiciones de contorno adecuadas en t � � yt � T �Puesto que el sistema es de primer orden� solo necesitamos una condici�on de contorno
en cada uno de estos puntos� Una forma de implementar estas condiciones es la siguiente�
d���
(b)
t=0
I II III
t=T
t
0V
v(t)oo
oo (t-T)−δ
(t)δ
e
t=0
I II III
t=T
(a)
Figura D�� �
En el primer circuito� cualquier discontinuidad �V en la tensi�on de entrada debeaparecer necesariamente a trav�es de la resistencia puesto que� como hemos visto� latensi�on a trav�es del condensador es necesariamente continua� En el segundo� la intensi�dad que circula por la autoinducci�on es continua� por lo que cualquier salto brusco deintensidad �I debe aparecer en la resistencia�
Volviendo al primer circuito
para t � � � �V � �V� � �x � �i � i���� � i���� �V�R
para t � T � �V � �V� � �x � i�T �� i��T � � �V�R
Dado que i���� � �
i���� �V�R� A�
de lo que se deduce que
i��t� �V�R
e�t� � i�t� �
V�R
��� e�
T�
�e�
t�
La �gura D��� representa a este resultado�
D�� Respuesta en frecuencia de los circuitos de primer orden
En este apartado tomaremos como ejemplo los �ltros de paso alta y de paso baja�
Filtros de paso alta diferenciadores de baja frecuencia�
En la �gura D��� se representan dos circuitos de este tipo�
Podemos representar los circuitos por un bloque cuya funci�on de transferencia T �s� �T �j�� � T ��� describe la respuesta en frecuencia del sistema� es decir� la relaci�on entre
d���
-1 1 2 3 4 5 6
-1
-0.5
0.5
10R
V0R
-T/ t( e −1)
t
T
Vi(t)
Figura D����
T(s)Ve LVe Vs
C
RR
Vs(s)eX (s)sX
Figura D����
su entrada Xe�s� y su salida Xs�s�� Esta es una funci�on racional compleja de�nida comola raz�on entre los fasores que representan respectivamente a la se�nal de salida y a la deentrada�
T �s� �Xs�s�
Xe�s�
En nuestro problema
T �s� �VsVe�
Z�
Z� � Z�
Para el primer circuito
T �s� �R
�C s �R
�RC s
� �RC s�
�� s
� � �� s� �� � RC
Para el segundo
T �s� ��� s
� � �� s� �� �
L
R
En de�nitiva� la funci�on de transferencia de estos circuitos es
T �s� �� s
� � � s
Obtenemos� por tanto� una funci�on que tiene un cero simple en s � � y un polosimple en s � � �
� �
d��
Otras formas de escribir la funci�on son
T �s� �j ��
� � j ���
j ��c
� � j ��c
donde �c es la frecuencia de corte�
Por �ultimo� introduciendo una frecuencia normalizada u � ��ctenemos
T �s� �j u
� � j u�
ru�
� � u��*�
�� artg u
-1 0 1x=log u
45
90
-1 -0.5 0 0.5 1x=log u
-20-10
1020T Db
ϕ ο
y=20 x
y=-20 x
Figura D����
En la �gura D��� se representa el diagrama de Bode de esta funci�on de transferencia�el cual describe la respuesta en frecuencia de los circuitos�
Vemos que el circuito aten�ua las frecuencias bajas y deja intactas las altas� las cualespasan sin atenuarse y sin desfasarse�Estos circuitos� como el RL de la �gura D���� act�uan como diferenciadores a baja
frecuencia�
Supongamos que
jij �� j� d id tj jVRj �� jVLj
Si tomamos para i la forma senoidal i � I� cos �t� la condici�on anterior se concretaen
d i
d t� �I� � sen�t I� �� I� �� � �� �c
d���
Lv (t)e v (t)s
R
Figura D����
por lo que el circuito act�ua como un diferenciador en la zona de bajas frecuencias�Supuesto que el espectro de ve�t� est�a limitado por una frecuencia superior �max � porencima de la cual el espectro sea despreciable y tal que �max �� �c�
i�t� � ve�t�
R vs�t� � �
d ve�t�
d t
Filtros de paso baja integradores de alta frecuencia�
An�alogamente� circuitos� como los dos equivalentes de la �gura D��� nos �ltran lasfrecuencias bajas�
(b)
v (t)e v (t)sv (t)e v (t)s
RC
L
R
(a)
Figura D���
Para el circuito RC
Vs � Ve�
� � j u� u �
�
�c� � � RC
T �u� ��
� � j u�
�p� � u�
� .artg u
El diagrama de bode correspondiente viene dado en la �gura D����
Estos circuitos� al contrario que los anteriores� dejan inalteradas a las frecuenciasbajas mientras que aten�uan y desfasan a las altas� De ah�� su nombre de �ltros de pasobaja� Tambi�en se les llama Integradores de alta frecuencia� puesto que integran a unase�nal de entrada ve�t� cuyo contenido espectral por debajo de una frecuencia �min sea
d���
-1 0 1x=log u
-45
-90
-1 0 1x=log u
-20
-10
-3
T Db
Figura D����
despreciable y tal que �min �� �c� Efectivamente
vs � vC� ��C
R t� i�t� dt
ve � iR � vC� ��C
R t� i�t� dt
ve�vC�R � i� �
�
R t� i�t� dt
Tomando se�nales arm�onicas
i�t� � I� cos �tRi�t� dt � I�
� sen�t
� � �� �c
vs�t� � vC� ��
�
Z t
��ve � vC�� dt
D� Transitorios en circuitos de segundo orden
Como ejemplos de circuitos de segundo orden� analizaremos a los Serie RLC y ParaleloRLC de la �gura D����Estos circuitos son duales� como se comprueba aplicando las reglas enumeradas
anteriormente�
Soluci�on general de las ecuaciones�
d���
(b)
v (t)e C R L Ce(t)i sv (t)
LR
i s
(a)
Figura D����
La ecuaci�on del primer circuito es
ve�t� � is�t�R � Ld is�t�
d t� vC� �
�
C
Z t
�is�t� dt
y para el segundo
ie�t� �vs�t�
R� C
dvs�t�
d t� iL� �
�
L
Z t
�vs�t� dt
Como es f�acil comprobar� estas dos ecuaciones son an�alogas y podemos expresarlasde forma general mediante la ecuaci�on
e�t� �d x�t�
d t� �� �� x�t� � ��
�
Z t
�x�t� dt�K�t��
donde �� es la Frecuencia de resonancia y �� magnitud adimensional� la Raz�on de amor�
tiguamiento� Para uno y otro circuito
e�t� �
�����ve�t�L � circuito serie
ie�t�C � circuito paralelo
� x�t� �
���is�t� � circuito serie
vs�t� � circuito paralelo
�� ��pLC
� � � �
�Q�
�������R�
qCL � circuito serie
��R
qLC � circuito paralelo
Q es el llamado Factor de calidad o Factor Q del circuito�Si derivamos la ecuaci�on general obtenemos
d e�t�
d t�
d� x�t�
d t�� �� ��
d x�t�
d t� ��
� x�t� �D����
Fij�emonos en el primer circuito y supongamos una se�nal de entrada de tipo escal�on�como la mostrada en la �gura D���� Obs�ervese que para esta entrada
d e�t�
d t�
V�L��t�
d���
II
t
0V
v(t)
t=0
I
Figura D����
Puesto que d ed t � � para t � � y para t � �� puede tomarse como soluci�on particular
de la ecuaci�on no homog�enea a xpnh � ��Si b� �� b�
xg�t� � A� eb� t �A� e
b� t �D����
Si� por el contrario� ambas ra��ces degeneran en una sola �b� � b� � b�� es necesariobuscar otra soluci�on linealmente independiente� Esta es t e b t� con lo que
xg�t� � A� eb t �A� t e
b t �D�� �
Condiciones de iniciales� Soluci�on en cada uno de los casos�
Puesto que el sistema es de segundo orden� necesitamos dos condiciones de contorno�Estas condiciones se deducen de la magnitud �nita de la ca��da de tensi�on en la autoin�ducci�on y de la intensidad que carga al condensador� La primera condici�on implica lacontinuidad de la intensidad y la segunda la continuidad de vc�t��La primera condici�on se traduce en la continuidad de x�t�
x���� � x����
Para t � �� por las razones ya expuestas en la secci�on anterior� x��t� � �� por lo que
x����� � � �D����
La segunda implica que las posibles discontinuidades de la tensi�on de entrada solopueden aparecer en la resistencia o en la autoinducci�on
ve � vR � vL � vC � �vC � � �ve � �vR ��vL
Sin embargo�
�i � � �vR � R�i � � �ve � �vL
Siguiendo con el primer circuito� en t � �
�ve � ve����� ve���� � V� � L
�d i
d t
���
d��
lo que se traduce en la condici�on �d x
d t
���
� E� �D����
De la condici�on D��� y de D��� se deduce que� para b� �� b�
A� � �A� � A
y para b� � b�� D�� �
A� � � � A� � A
y de D���
A � E�b��b� para b� �� b�
A � E� para b� � b�
La soluci�on para t � � es� por lo tanto�
x�t� � E�b��b�
�e b� t � e b� t
�para b� �� b�
x�t� � E� t eb t para b� � b�
�D����
Para encontrar b� y b� deberemos resolver la ecuaci�on caracter��stica
b� � �� �� b� ��� � �
cuyas ra��ces son
b� � �� �� � ��p�� � �
b� � �� �� � ��p�� � �
�D����
La �gura D��� describe la evoluci�on de las ra��ces en el plano complejo al variarcontinuamente el valor de ��
Para valores � �� �� ambas ra��ces son reales� b� �� � y b� �� �� Conforme �disminuye� �estas migran a lo largo del eje real hasta unirse cuando � � �� A partir deeste punto� ambas ra��ces se separan� a lo largo del c��rculo de radio ��� manteniendo unarelaci�on de conjugaci�on compleja� y la evoluci�on termina cuando � � �� en cuyo casoocupan posiciones sim�etricas en el eje imaginario�
Podemos� pues� distinguir tres casos seg�un el valor de ��
�� Sistema sobreamortiguado� � � ��
Las ra��ces son reales y distintas� b�� b� � � � jb�j � �� � jb�j� Empleando lanotaci�on � � ��
b � la soluci�on toma la forma
x � A�e� t�� � e
� t��
��
E�
��p�� � � e
��� � t senh���p�� � �
�
d���
b 1=b2( ), δ=1
b 1
b 2
b 2
ω0
ω0
ω0 δ
0ω 1−δ 2
δ 1
b 1
δ 0
Im (s)
α=
δ=0
ω
δ=0
1=
Re (s)
δ 0
Figura D����
�� Sistema cr��ticamente amortiguado� � � ��
Las ra��ces son iguales caso degenerado� Ahora b� � b� � ���� Anotando �� � ����
la soluci�on general debe escribirse como
x � At e� t�� � E� t e
��� t
En la �gura D�� se representan las respuestas en los casos anteriores� La delsistema cr��ticamente amortiguado es la que m�as r�apidamente tiende a cero sinoscilar�
�� Sistema d�ebilmente amortiguado� � � ��
En este caso las ra��ces son complejas� conjugadas una de otra �b� � b���� y puedenescribirse de la forma
b� � �� j ��
b� � �� j ��
donde � � �� � �� � ��
p�� ��
N�otese que� como se indic�o en el comentario de la �gura D����
jb�j � jb�j � ��
La ca��da de tensi�on en la resistencia� del circuito serie� es
vR�t� � i�t�R � x�t�R � V���p�� ��
e�t sen�� t
d���
2 4 6 8
0.2
0.4
0.6
0.8
1
2 4 6 8
-1
-0.5
0.5
1
2
-t/ τe 0
-t/ τe 1
-t/ τe 2
t
t
x(t)
Α
−Α
Ε
τ 0
0 t
x(t)
δ=1
δ>1
i’Cr tico
τ
Amortiguado
1 τ
Figura D�� �
Para la capacidad y la autoinducci�on
vC�t� ��
C
Z t
oi�t� dt � vL�t� � L
d i�t�
d t
luego
vL�t� � � V�p���� e
�t sen ��� t� �
vC�t� � V�
h�� �p
���� e�t sen ��� t� �
i��� � � artg
p�� ��
�
Como se observa en Las �guras D���� la ca��da de tensi�on m�axima entre dos puntosdel circuito puede sobrepasar al valor de pico de la excitaci�on�
En el caso de la respuesta a una entrada escal�on� para sistemas an�alogos al pro�puesto� es conveniente de�nir un par�ametro que nos mida este exceso�
Se de�ne el Sobredisparo como
s� � Vmax � V�V�
y se puede demostrar que
s� � e� � �p
����
d���
5 10 15 20 25
0.5
1
1.5
2
5 10 15 20 25
-1
-0.5
0.5
1
5 10 15 20 25
-1
-0.5
0.5
1
L(t)
v C(t)
Vmax
V0
t
t
vR
v
(t)
Figura D����
I C
RV LV
LR
CVeV
Figura D����
d���
D�� Respuesta en frecuencia de sistemas de segundo orden
Analizaremos la respuesta en frecuencia del circuito serie RLC� representado en la �guraD����La funci�on de transferencia para la tensi�on en la resistencia puede expresarse de la
forma
TR�s� �VRVe�
�� s��
s�
���� �� s
��� �
Esta funci�on tiene� por lo tanto� un cero en s � � y dos polos� En funci�on de lafrecuencia normalizada u � �
��
TR�u� ��� ju
�� u� � �� ju�
�� up��� u��� � ��� u��
�
+�
�� artg
�� u
�� u�
Otra expresi�on �util es en funci�on de Q � ���
TR�u� ��q
Q� � �u � u�� � ��
+�
�� artg
u
Q ��� u��
De esta �ultima expresi�on se deduce que jTR�u�j tiene un m�aximo para la frecuenciade resonancia u � � �� � ���� la cual corresponde con un m�aximo de la intensidad� yde VR� y un m��nimo de la impedancia serie �Zmin � ZR�� tal y como puede verse en la�gura D����
(Z)
Im (Z)
Re(Z)
ZC ZL
ZC
ZL
u=1u>1
ZR
ZZR
Z
(a) (b)
Im (Z)
Re(Z)
ZL
ZC
u<1
ZR
Z
Im
(c)
(Z)
Re
Figura D����
A�un podemos dar otra expresi�on normalizada de la funci�on de transferencia enfunci�on de � � ����
��� u� �
TR�u� ��r
� �hQ�
�������
�i� �+�
�� artg
�� �
Q��� � ��
Para peque�nas desviaciones de la resonancia �� �� ��
TR�u� � �q� � ��Q���
�
+�
�� artg
�
�Q�
d��
Finalmente� cambiando la notaci�on x � �Q�� obtenemos las expresiones sim�etricasrespecto al punto x � �
TR�u� � �p� � x�
�
+�
�� artg
�
x
que describe adecuadamente el comportamiento del sistema para frecuencias pr�oximasa la de resonancia� Estas funciones est�an representadas en la �gura D����
-5 -1 1 5x
-90
-45
45
90
-5 -1 1 5x
T¨
Δ 2
|T|
ϕο
Δ
1/ 2
Δ
-3 Db
1
Figura D����
Se de�ne la Frecuencia de corte a �Db� como aquella para la cual TR cae �Db pordebajo de su valor resonante� es decir� para x � ��
�� � � �
�Q� �� � �� � �
y la Anchura de banda como
B � f� � f� � � �f� � f�� � �� f� �f�Q
�D���
Vemos� pues� que el ancho de banda del circuito es inversamente proporcional alfactor de calidad del mismo�
En la �gura D�� se representa el diagrama de Bode de TR�u��
La curva resultante es sim�etrica respecto a ���
La funci�on de transferencia para el condensador es
TC�u� ��
�� u� � �� ju�
�p��� u��� � ��� u��
�
+�artg �� u
�� u�
d���
-1 0 1x=log u
-90
-45
45
90
-1 0 1x=log u
-40
-20
20T Db
ϕ ο
0.1 10 u1
Figura D���
-1 0 1x=log u
-180
-90
-1 0 1x=log u
-40
-20
20T Db
οϕ
1 10 u0.1
Figura D����
d���
El diagrama de Bode correspondiente se muestra en la �gura D���
Por �ultimo� la funci�on de transferencia para la autoinducci�on es
TL�u� ��u�
�� u� � �� ju�
u�p��� u��� � ��� u��
�
+� � artg
�� u
�� u�
El diagrama de Bode correspondiente viene dado por la �gura D���
-1 0 1x=log u
180
90
-1 0 1x=log u
-40
-20
20
T Db
οϕ
1 10 u0.1
Figura D����
D�� Problemas
d��� Representar en el plano complejo los siguientes n�umeros complejos� Expresar cada
uno de ellos en forma polar� exponencial y trigonom�etrica�
z � �� �j � z � � � �j � z � �� � �j � z � �� jz � � � z � �j � z � � � z � ��j
d��� Expresar en forma bin�omica los siguientes n�umeros complejos�
z � �� e j �� � z � � e � j �� � z � ��� e j ���
d��� Efectuar la operaci�on que se indica�
a� z � �� j� Hallar z z� z� es el complejo conjugado de z��
d���
b� z � �� ����� Hallar z � z��
c� z � �� �� �o� Hallar z z�� d� z � ��� e�j ��� Hallar z z��
e� z � r ��� Hallar z�z��
d��� Hallar las ra��ces que se indican de los siguientes n�umeros complejos�
z � ����� � z � ��� �j� �� � z � ���� � � ��o� �� � z � ��� e�j ����
��
d��� Realizar las siguientes operaciones entre n�umeros complejos�
z � ��� � �j� � ����� ������ � z � ��� �j��� � j� � z ��� � �j�
��� j�
d��� Consid�erese un dinam�ometro que cuelga de un punto jo P y esta formado por
un muelle ideal con fricci�on� Hallar�
a� El circuito mec�anico equivalente cuando de �el cuelga una masa M �
b� Un circuito el�ectrico que responda a la misma ecuaci�on diferencial�
d��� En un medio viscoso se suelta una masa M cuya constante de fricci�on con el
medio es �� Hallar�
a� La velocidad de ca��da�
b� Un fen�omeno el�ectrico an�alogo�
d��� Para cada uno de los elementos o asociaci�on de elementos de la gura D����
a� Determinar su impedancia�
b� Calcular las tensiones e intensidades indicadas cuando i�t� � I� cos �t� Rep�resentarlas gr�acamente�
c� Particularizar los resultados del apartado anterior al caso en que I� ��A� � � �KHz� R � �K%� L � �mH y C � ��F �
d��� La diferencia de potencial aplicada a la asociaci�on RLC en paralelo de la gura
D��� es v�t� � Vm sen�tV � Hallar la intensidad de corriente que circula por cada
rama as�� como la intensidad total iT �
d��� Dados los circuitos de la gura D���� hallar�
a� Diagrama de fasores para las frecuencias� f� � ��KHz� f� � ���KHz� f ����KHz� Representar en el plano complejo Ve� VR�� VL� VC � VR�� I�� ���
b� Hallar i� �t� e i� �t� para las frecuencias f�� f� y f� haciendo uso del diagrama
de Bode�
c� Hallar i� �t�� i� �t�� vL �t� y vC �t� cuando ve �t� � V� u�t��
d���
i(t)
C + v (t) -L+ v (t) -R
+ v (t) -Li (t)R
+ v (t) -R
i (t)C
+ v (t) -R
i (t)R
+ v (t) -L
i (t)L
+ v (t) -C
+ v (t) -C+ v (t) -R+ v (t) -C
+ v (t) -L
i(t) i(t) i(t)
i(t) i(t)
i(t)
+ v (t) -R
+ v (t) -
Figura D����
+ R i (t)C i (t)Li(t)
-
v(t)
i (t)
Figura D����
Cv (t)e v (t)e
+
-
+
-
+
-1
+ v (t) -R1 + v (t) -R2
R 1 R 2v (t)L v (t)C
(a) (b)
i (t) 2i (t)L
Figura D�� �
d��
d� Lo mismo� para f � f� cuando ve �t� � V� u�t� cos � t�
d���� En el circuito de la gura D�� hallar�
a� i�t� para f� � ���Hz� f� � �KHz y f � ��KHz� cuando ve�t� ��� cos �t V �
b� Lo mismo haciendo uso del diagrama de Bode�
c� i�t� cuando ve � ��u�t� V �
d� i�t� cuando ve � ��u�t� cos � t V �
R Cv (t)e
+
-i(t)
R L
Figura D����
d���� Hallar la condici�on necesaria para que el circuito de la gura D��� reproduzca
elmente a la se�nal de entrada salvo un factor de escala� es decir vs �t� � K ve �t��
2
e
+
-
R 1
+
-
v (t)s
C
CR
1
2
v (t)
Figura D����
d���� Hallar vs�t� en el circuito de la gura D��� cuando ve�t� � k t u �t��
Re
+
-
+
-
v (t)s
L
v (t)
Figura D����
d���� Hallar vs�t� para el circuito de la gura D��� con la entrada especicada en lamisma�
d���
2
e
+
-
+
-
v (t)s
v (t)e
RCR
V
t=0 t=t t=tt
0
1
v (t)
Figura D����
L
e
+
-
+
-
v (t)s
v (t)e
CR
V
t=0t
0
v (t)
Figura D���
d���� Igual al ejercicio anterior para el circuito y entrada de la siguiente gura D����
d���� Hallar la intensidad que circula por un circuito serie RLC� cuando ve �t� ���� sen ���� t � ���u �t�V �
d���� Demostrar que los valores m�aximos de la tensi�on en la autoinducci�on L y el con�
densador C de un circuito serie RLC se dan para las frecuencias
�L ���p�� � �� � � �C � ��
p�� � ��
d���� Demostrar que el sobredisparo de la tensi�on en el condensador de un circuito serie
RLC es
s� � exp
�� � �p
�� ��
�d���� En el circuito de la gura D���� hallar�
a� La frecuencia a la cual Vs esta en fase con Ve�
b� La relaci�on que debe existir entre sus componentes para que� a la frecuenciadel apartado anterior� se verique que Vs �
� Ve�
d��� En el circuito de la gura D���� hallar la intensidad de corriente que circula por
la impedancia Z�
d���� En el circuito de la gura D���� hallar la amplitud que debe tener la fuente de
tensi�on V�� para que la ca��da de tensi�on en la resistencia de % sea nula�
d���� Para los circuitos de las siguientes guras D���� hallar�
d���
2e
+
-
+
-
v (t)sCRCR1
2
1v (t)
Figura D����
Ω
+ -
Z=3+4j
20
10
5j
2,5j10 0 oV
Ω
ΩΩ
Ω
Figura D����
o +
-
+
-
V2
5 4 3
2j -5jV
Ω Ω Ω
ΩΩ5 0
Figura D����
d���
a� La frecuencia de resonancia y el factor de calidad Q�
b� vs �t� cuando v � e�t� � v� �t� � v��t�� siendo v�� �t� � �� cos �� t y v� �t� �cos �� t� con �� � �� �� rad � s�� y �� � ��
� rad � s���
C
e
+
-
+
-
v (t)sL
C
Rv (t)e
+
-
+
-
v (t)s
(a) (b)
R
L
v (t)
Figura D����
d���� En el circuito de la gura D��� R es variable� Demostrar que la amplitud de
Vs no depende del valor de R mientras que su fase es funci�on del valor de esta
resistencia� Hacer una representaci�on fasorial de las tensiones que aparecen en el
circuito�
3
v (t)e
+
-
v (t)s+ -
R C
R R
1
2
Figura D�� �
d���� Hallar la relaci�on que existe entre la potencia media almacenada y disipada en los
circuitos de la gura D�� cuando�
a� � � ���
b� � � ����� �
Re
+
-C
(a) (b)
R
L C
ei (t) Lv (t)
Figura D� ��
d���
-LR
C
v (t) i (t)1 2R+
Figura D� ��
d���� Hallar la intensidad que circula por el condensador del circuito de la gura D����
d���� Hallar el valor de la impedancia de carga Zc del circuito de la gura D��� para
que la energ��a disipada en la misma sea m�axima�
R
v (t)e
+
-Z cC R
RR
L
Figura D� ��
d���� Hallar la m�axima potencia que se le puede sacar a la fuente de la gura D��� si
la carga es una resistencia pura variable�
1
-R c
Fμ
10 cos 10 t31 K Ω+
Figura D� ��
d���� Hallar la intensidad que pasa por la rama de impedancia Z� del circuito de la
gura D��� mediante el m�etodo de mallas�
d���� Igual al ejercicio anterior� para el circuito de la gura D��� pero utilizando elm�etodo de nudos�
d��
3
-V
Z
Z
Z
Z
Z 0
1 2
4
+
Figura D� �
IZ 0
Z
Z
Z
Z
1 2
43
Figura D� ��
d��� Hallar� mediante el an�alisis de nudos� la admitancia de entrada admitancia entre
los puntos A y B� del circuito de la gura D����
CI
A
B
L
R
L
Figura D� ��
d���� Hallar� mediante el an�alisis de mallas� la impedancia de entrada impedanciaentre los puntos A y B� del circuito de la gura D���� Comparar los resultados
con los obtenidos en el problema anterior�
d���� Hacer uso del an�alisis de mallas� del de nudos� del principio de superposici�on y
del teorema de Thevenin para hallar la intensidad que pasa por la resistencia del
circuito de la siguiente gura D����
d���� Hallar el equivalente Thevenin y Norton de los circuitos de la gura D����
d���� En el circuito de la gura D�� la frecuencia de ambas fuentes es de ���Hz�
d���
V
A
B
L
R
L
C+
-
Figura D� ��
V
L
R
C+
-
+
-V
Figura D� ��
Hallar la potencia suministrada a la resistencia R�� en los siguientes casos�
a� Calculando el equivalente Thevenin desde los puntos D �D ��
b� Aplicando sucesivamente los teoremas de Thevenin y Norton hasta reducir el
circuito a una sola malla�
d���� En el circuito da la gura D��� calcular la intensidad que pasa por el condensador
y la ca��da de tensi�on en los extremos de la resistencia R��
d���� Haciendo uso del circuito equivalente simplicado del transistor bipolar� hallar el
equivalente Thevenin de los circuitos de la gura D��� desde los puntos A y B�
d���� Hallar el equivalente Thevenin desde los puntos A y B de los circuitos de la gura
D���� Hacer uso de los circuitos equivalentes simplicados del transistor bipolar
y del FET �
d���� En el circuito de la gura D���� hallar v�� y v�� en funci�on de ve� y ve�� Se suponeque los transistores son id�enticos� H�agase uso del circuito equivalente simplicado
del transistor bipolar�
d���� Hallar los diagramas de Bode de amplitud y fase de las siguientes funciones detransferencia�
a� T� ���� �� � ��� s�
s �s� � �� s� ���� � s � j�
b� T� ���� �s � ��
s��s� ��s� ��
d���
(c)
-V
+ -V
+ -V
+
-
A
B
A
B
(b)(a)
C C
R
RV
Z Z Z Z
Z
Z
+
-
+
-
R 1
R 2
R 3+ -V
A B
C
L
V
VR 1 R 2
1
2
C
B
A
L
+ -V
A
BC
R R
R R
1 2
3 4
R 5
L1
6
(f)
+
-V
Z
Z
Z
Z
1 2
43
(e)
(d)
+
Figura D� �
-
2R
R 1
L
L C
V
I11
2
2
D’
D
+
Figura D�����
d���
0 +
-V
I
I 2
1
RR R
C L
Figura D�����
AE
CB
+
-
R 1
R 2ve
E
CB
+
-
B
R 1
R 2ve
A
B
R 3
(a) (b)
Figura D�����
A+
-
R 1
ve
S
GD A
R 2
(a)
B
+
-
R 1
ve R 2
(b)
B
S
GD
A
E
CB
R 2
+
-ve
R 1
B
(c)
E
CB
Figura D�����
6
E
CB
E
CB
+
-
+
-E
CB
v01 v 02
v ve1 e2
Z
Z
Z
Z Z
1 2
3 4 7
Z 5 Z
Figura D����
d���
c� T �� � �j���� � ������
j� �� � j�������� � j���
Ap�endice E
Modelos lineales de transistores
bipolares y de efecto de campo
Un transistor bipolar real� v�ease la �gura E���a� es un elemento con tres puntos f��sicosde conexi�on � patas� que corresponden a los tres terminales denominados emisor E� baseB y colector C� Lo discutiremos en su con�guraci�on de emisor com�un � �gura E���b ��en la que se consideran cuatro terminales� dos de los cuales� uno de entrada y otro desalida� son comunes y corresponden al emisor�
-
CE
i Ci B
vBE
i C
v BC
E
i E-
(a)
+B+
- -E E
C
(b)
BCi B
vvBE
CE
++
+
-
v
Figura E���
Como se deduce de las leyes de mallas y nudos
vBE � vBC � vCE
iB � �iE � iC
En general� el comportamiento de este sistema puede caracterizarse por dos fun�ciones no lineales� ejemplos de las cuales se representan en las curvas caracter��sticasparam�etricas de la �gura E�� � los sub��ndices con letras may�usculas indican que lasse�nales correspondientes no est�an limitadas en amplitud��
�La direcci�on de la �echa grande en el emisor corresponde al transitor tipo n� p� n�
e��
e��
(V)
5 10
0
50
100
150
2
4
vCE (V)
( A)μI B
I (mA)C
vCE (V)
( A)μI B
5 10
0
50
100
150v
0.1
0.2
BE
Figura E���
Si las variaciones de las se�nales son peque�nas� podemos linealizar estas relaciones�
dvBE � vBE iB
diB � vBE vCE
dvCE
diC � iC iB
diB � iC vCE
dvCE
De manera que� cambiando la notaci�on
vbe � dvBE � ic � diC � ib � diB � vce � dvCE
hie � � vBE� iB
� hre � � vBE� vCE
� hfe � � iC� iB
� hoe � � iC� vCE
se obtienen las relaciones lineales entre los par�ametros de peque�na se�nal del transistor
vbe � hie ib � hre vce
ic � hfe ib � hoe vce
Matricialmente ���vbe
ic
� � �hij� ����
ib
vce
�donde �hij� son los par�ametros h del transistor bipolar� De aqu�� se deduce el circuitolineal equivalente para peque�na se�nal de la �gura E���
c
+
-
h re v cev
+
-
v
E
C
h fei bh1
oe
v
+
-
ce
iB
E
h ie
be
b i
Figura E���
e��
Casi siempre se puede tomar hre � �� En los casos m�as simples basta con suponerque �
hoe� � y hie � �� Teniendo esto en cuenta y escribiendo � � hfe� queda un
circuito simpli�cado� �gura E�� correspondiente a una fuente de intensidad controladapor intensidad�
be v
+
-
v
+
-
i cC
iB
b
i b i cCB
E
i bβ
i bβ
cev
EE
Figura E��
El transistor efecto campo �FET � puede tratarse de forma similar a la utilizadapara el bipolar� Las tres patas del FET son la puerta �G � � gate��� la fuente �S �� source�� y el sumidero�D � � drain��� Aqu�� se considerar�a en la con�guraci�on defuente com�un� tal como se representa en la �gura E���a�
d
d-
+
v
+
-
v
+
-
D
S
ds
di
vvgsμ v
+
-
vgs g vgsrd
(b)
G
S
gs
(c)
i
v
+
-
D
S
G
S
ds
d
(a)
g
s
+
- -
i
v
+v
iG
S S
D
igs ds
r
Figura E���
No obstante� por presentar una impedancia muy grande entre los dos terminales deentrada �G y S�� no puede ser descrito adecuadamente mediante los par�ametros h� Elcircuito equivalente de fuente com�un es el representado en la �gura E���b y c� El primerode estos circuitos corresponde a una fuente de tensi�on controlada por tensi�on � es laganancia de tensi�on y rd la resistencia de sumidero� normalmente peque�na� El segundo�que se obtiene del anterior mediante la substituci�on de la fuente de tensi�on por otrade intensidad� corresponde a una fuente de intensidad controlada por tensi�on� siendog � �
rd�
e�
Ap�endice F
Introducci�on hist�orica
Este es un libro de texto y los criterios empleados en su elaboraci�on pretenden respondera �este car�acter� Su orden y estructura est�an� hasta cierto punto� alejados de su posibleg�enesis hist�orica ni tan siquiera en la asignaci�on de nombres propios� a conceptos y leyes�se pretende alg�un tipo de rigor o justicia hist�oricos� Esto� que parece inevitable en unlibro de esta naturaleza� tiene el inconveniente de enmascarar la visi�on del proceso porel cual los conceptos y teor��as han ido form�andose y evolucionando a trav�es del tiempocomo consecuencia de una continua e ingente labor de creaci�on� veri�caci�on y desarrollo�Por otra parte� el uso de una argumentaci�on y de un lenguaje depurados puede producirla impresi�on� superada la primera etapa de asimilaci�on� de que los conceptos son m�assimples y de�nitivos de lo que realmente son�Para subsanar esta situaci�on� el lector debe acudir a otras fuentes� La historia de la
teor��a del campo electromagn�etico que� como todas las historias� es controvertida� debeser contada por especialistas pero creemos �util exponer aqu�� un breve resumen con elque ilustrar� de forma super�cial� sin pretensiones de rigor� la g�enesis de dicha teor��a�Aunque es poco asequible y contiene alg�un error notable� la primera fuente que deber��aconsultar quien desee ampliar y precisar conocimientos en este tema es el libro de SirE� Whittaker �Whittaker�� M�as asequible es el de �Berkson��Comenzaremos� lo que constituye un lugar com�un� situando a los or��genes de la
electricidad y del magnetismo� como los de la mayor��a de las ramas de la Ciencia� enla antigua Grecia� Se atribuyen a Tales �������� como primer sabio de Grecia� losprimeros estudios de la atracci�on de objetos ligeros por el �ambar frotado y del hierropor la piedra im�an� Para Tales� todo el Universo es un organismo vivo� incluso su parteinanimada� como lo demuestran las acciones del �ambar y del im�an� el im�an tiene almaporque atrae al hierro� Precisamente� el �ambar �electr�on� y la magnetita� procedente�esta �ultima de la vecina regi�on de Magnesia� dan origen a los nombres Electricidad yMagnetismo�M�as adelante� Arist�oteles ��������� que abord�o pr�acticamente todos los temas de
su tiempo� propuso la adici�on de un quinto elemento� el �eter� a los cuatro preconizadospor Emp�edocles� Este Eter� substrato universal� presunto soporte de la propagaci�on delas interacciones� ha sido desterrado de las teor��as f��sicas actuales pero ha jugado unpapel fundamental en la conformaci�on de la teor��a electromagn�etica�Hasta el siglo XIII de nuestra era no constan avances dignos de menci�on� Por entonces
f��
f��
empiezan los mareantes mediterr�aneos a utilizar la aguja magn�etica� �otando sobreun corcho� como referencia de rumbo� Pedro de Maricourt� m�as conocido como PeterPeregrinus� monta la aguja sobre un pivote y le a�nade el c��rculo graduado� dando lugar ala primera br�ujula� Hacia ����� en carta a un amigo� describe sus esfuerzos por construirun m�ovil que aproveche la fuerza magn�etica� logro reservado a Faraday� y pone demani�esto como los polos de un im�an son inseparables y de naturaleza tal que se atraenentre contrarios y se repelen entre iguales� Construye una esfera de piedra im�an y observaque las agujas magn�eticas se alinean seg�un los meridianos de la misma� No obstante� noacierta a identi�car a la Tierra como a un im�an�
Realmente� el origen cient���co del electromagnetismo hay que situarlo en el sigloXVII con la publicaci�on por William Gilbert� en ����� de � De Magnete MagneticisqueCorporibus� et Magno Magnete Tellure� � Acerca del magnetismo� cuerpos magn�eticos�y el gran im�an Tierra� �Gilbert�� Construye� como Peregrinus� un im�an esf�erico al quellama � Terrella� y descubre la declinaci�on magn�etica que atribuye al hecho de quela Tierra es efectivamente un im�an� Emplea por primera vez t�erminos como atracci�onel�ectrica� fuerza el�ectrica y polo magn�etico que hoy son de uso cotidiano� Describe como� substancias el�ectricas� a una serie de ellas que� como el �ambar� atraen a objetospoco pesados� En otra obra suya atribuye las �orbitas planetarias a una cierta forma demagnetismo� Por �ultimo� no carece de inter�es el mencionar su demostraci�on de que elajo no destruye al magnetismo�
A partir de Gilbert se genera un vivo inter�es por las experiencias de tipo el�ectrico�El invento de m�aquinas electrost�aticas� por Otto Von Guericke y otros� as�� como eldescubrimiento del condensador primitivo� la botella de Leyden� de incierto origen�permitieron disponer de cargas y tensiones mayores con que seguir experimentando�
La conducci�on el�ectrica es descubierta por Gray y� poco despu�es� Desaguilier acu�nalos t�erminos conductor y aislador�
Hacia ����� Du Fay ��� ����� � pone de mani�esto la existencia de fen�omenos derepulsi�on� Reconoce la existencia de dos estados de electri�caci�on� a los que nombra comov��treo y resinoso� producidos por frotamiento en el vidrio y la resina� y que atribuye ala existencia de dos �uidos distintos�
Cant�on ��� � fabrica el primer im�an arti�cial y relaciona las alteraciones de laorientaci�on de la br�ujula con las auroras boreales intuyendo el mecanismo de lo que hoyconocemos como tormentas magn�eticas�
Podemos considerar que Benjam��n Franklin �������� �� cierra una primera etapadel desarrollo de la electricidad� A �el se debe el descubrimiento del poder de las puntasy la identi�caci�on del rayo y el trueno como grandes versiones de la chispa el�ectrica yde su sonido� Esto le lleva al invento del pararrayos� Su c�elebre experiencia de la cometaes un ejemplo de osad��a cient���ca pues� si bien sali�o ileso de la prueba� cost�o la vida avarios de sus imitadores� Por �ultimo� aunque era partidario de la teor��a de �uido �unico�design�o a los estados de electri�caci�on con los signos ��� y ��� que� seg�un �el� denotanque un cuerpo est�a cargado en exceso� carga positiva� o por defecto� carga negativa�de un �unico �uido� Este convenio� aunque tampoco concuerda con la identi�caci�on del�uido �unico con los electrones de un metal� es el que subsiste hasta nuestros d��as� Lacarga positiva � vitrea� es la que ser�a repelida por vidrio frotado con seda y la negativala que lo ser�a por el lacre frotado con piel de gato� Symmer ���� � y otros sostienen� sin
f��
embargo� que la materia ordinaria es neutra por contener partes iguales de dos �uidosimponderables a los que cali�can como electricidad positiva y negativa�En una segunda etapa� desde Cavendish a Faraday� la electricidad y el magnetismo
se hacen cuantitativos y sistem�aticos� descubri�endose los fen�omenos de acoplamientoque permiten fundir a estas dos disciplinas� hasta ahora independientes� en una sola� elElectromagnetismo�Cavendish ����������� fue un extraordinario investigador y persona peculiar en ex�
tremo� Descubri�o leyes fundamentales que no llevan su nombre� como la de Coulomby la de Ohm� su timidez y desinter�es por publicar fueron tales que su obra solo pudoconocerse plenamente cuando� despu�es de su muerte� sus papeles fueron publicados porMaxwell�En ����� Priestley deduce� por analog��a con el fen�omeno gravitatorio� que la inter�
acci�on entre cargas debe seguir la ley del inverso del cuadrado de la distancia� En �����Charles August��n Coulomb establece con precisi�on� en una extraordinaria experiencia�la ley que lleva su nombre� con�rmando de esta manera las previsiones de Priestley�Hasta aqu�� hemos seguido el progresivo desarrollo de la electricidad no encontrando
nada paralelo en el magnetismo� El rompimiento de esta situaci�on se posibilita con el de�scubrimiento de los potenciales de contacto y� como consecuencia� de la pila � voltaica�por Alessandro Volta ����������� Volta inventa tambi�en el electr�oforo� precedente in�mediato de los actuales condensadores�De la misma forma que las m�aquinas electrost�aticas y la botella de Leyden per�
mitieron el desarrollo de la electricidad� las pilas voltaicas� al poner a disposici�on delexperimentador cantidades substanciales de corriente� permitieron el desarrollo del mag�netismo�
I
I
N
SN
S
Figura F���
El descubrimiento� no casual� por Hans Christian Oersted ����������� en ��� � deque una aguja magn�etica se alinea perpendicularmente a un hilo recto por el que paseuna corriente� es decir� de la interacci�on entre corrientes e imanes� dio lugar a un resurgiren el estudio de los fen�omenos magn�eticos � v�ease la �gura F����Arago descubre que las corrientes atraen a las limaduras de hierro y que� adem�as�
son capaces de inducir el estado de imanaci�on� Inmediatamente� Andr�e Marie Amp!ere����������� establece en ���� la regla de la mano derecha� o regla del sacacorchos� seg�unla cual� si un conductor que porte corriente se coge con la mano derecha de forma que elpulgar apunte en la direcci�on convencional de la corriente� del ��� al ��� de la pila� lasl��neas de fuerza magn�etica� cuya direcci�on viene determinada por la aguja magn�etica y
f�
cuyo sentido es de sur a norte de la misma� rodean al hilo en el sentido indicado por elresto de los dedos� v�ease la �gura F����
I
Figura F���
Descubre tambi�en que no solo tienen lugar interacciones entre imanes y entre cor�rientes e imanes� sino que interacciones del mismo tipo se dan entre corrientes� Dosespiras paralelas y coaxiales se atraen si son recorridas por corrientes en el mismo senti�do y se repelen en caso contrario� Si� en esta �ultima situaci�on� a una de las espiras se ledeja orientarse libremente� girar�a de forma que la corriente circule por ella en el mismosentido que por la otra espira � v�ease la �gura F����
Como concreci�on de estos hechos� generalizando a los � elementos de corriente� lasnociones newtonianas de acci�on a distancia� aunque violando el principio de reacci�on�Amp!ere enuncia matem�aticamente la ley de fuerzas entre corrientes� En esta ley se dala primera aplicaci�on no trivial de las matem�aticas al electromagnetismo y� aunque suvalidez se limita a corrientes cerradas� tiene el mismo rango de validez que la ley deCoulomb�
I’F F’ F F’
I I I’
Figura F���
Como aportaciones adicionales de Amp!ere� no tan fundamentales como la anterior�pero importantes en todo caso� citaremos la concepci�on de los cuerpos imanados comoconjunto de corrientes microsc�opicas permanentes� la construcci�on del primer solenoidey el invento del primer amper��metro� el de tangentes� que mide la corriente por ladesviaci�on que produce� al pasar por una espira� en una aguja magn�etica que� a su vez�est�a sometida al campo magn�etico terrestre�
Dentro de este periodo debemos dejar constancia del enunciado de la ley de Ohm���������� en ����� aunque� como ya hemos dicho� hab��a sido descubierta� pero nopublicada� por Cavendish� Tambi�en debemos citar a Humphry Davy ��������� �� nosolo por ser un gran cient���co y conferenciante en esta materia� iniciador de los estudios
f��
de conducci�on en l��quidos y gases� inventor de la l�ampara de arco� sino por ser el in�spirador y maestro de Faraday� a quien contrat�o como ayudante de laboratorio� pero aquien no trat�o excesivamente bien los celos profesionales le llevaron incluso a estorbarel nombramiento de Faraday como miembro de la Royal Society� Podemos presentartambi�en a Davy como ejemplo de cient���co imprudente� como tantos otros� pues prob�aba y ol��a todos los productos qu��micos con los que experimentaba� como el gas de larisa� que descubri�o� Muri�o a temprana edad de una probable intoxicaci�on qu��mica�
Con Michael Faraday ��� ������� consideraremos cerrada una segunda etapa en laque la electricidad y el magnetismo se desarrollan casi por completo desde el puntode vista experimental y conceptual� En la siguiente� de Maxwell a Einstein� se com�pleta el cierre de la teor��a� terminando el acoplo del campo el�ectrico con el magn�etico�d�andole la expresi�on formal y conceptual con que hoy lo presentamos y comprobandoexperimentalmente� como en la brillante experiencia de Hertz� las predicciones te�oricas�
La vida de Faraday es ejemplar desde el punto de vista cient���co y humano y suaportaci�on al electromagnetismo� a la que solo puede equipararse la de Maxwell� es fun�damental� Sus descubrimientos en este �area de la Ciencia� la inducci�on electromagn�etica�el comportamiento diel�ectrico y diamagn�etico de la materia� la rotaci�on de Faradaydel plano de polarizaci�on de la luz� etc� � est�an generados y presididos por una �rme�aunque abierta� concepci�on del mundo en la que un continuo de l��neas de fuerza� el maro campo de fuerzas� constituye la �unica substancia f��sica� Esta concepci�on� no exentade ambig(uedades y di�cultades� permitir�a a Maxwell y a sus sucesores desarrollar� enun proceso evolutivo� al electromagnetismo como la teor��a cl�asica de campos que hoyconocemos�
Haciendo una exposici�on simplista del tema� podemos dividir las concepciones delmundo en el siglo XIX en dos grupos� la concepci�on newtoniana y el conjunto de lasno newtonianas conviene advertir que Newton� en carta a un disc��pulo� expone seriasdudas sobre la razonabilidad de dicha concepci�on � newtoniana��
Los newtonianos ven al Universo como constituido por corp�usculos materiales� es�pacio vac��o y fuerzas que act�uan � a distancia�� entre corp�usculos� de forma directa einstant�anea�
Las teor��as no newtonianas niegan alg�un aspecto de la anterior� especialmente laexistencia del vac��o y de la acci�on a distancia� Descartes equipara a la materia con laextensi�on y explica la interacci�on como acci�on de contacto super�cial� Leibnitz� querechaza el vac��o� asigna fuerzas repulsivas a todos los puntos de la materia� no solo alas part��culas de tama�no �nito� para explicar la impenetrabilidad de los cuerpos� ParaKant� masa y extensi�on son equiparables� los cuerpos materiales son regiones continuasde fuerzas puntuales repulsivas� que � llenan� el espacio que ocupan y act�uan solo sobrelos puntos de fuerza contiguos� y fuerzas atractivas que act�uan a distancia y no � llenan�el espacio a trav�es del que act�uan�
Faraday es �rmemente antinewtoniano y su m�as claro precedente est�a en Oersted�Para este �ultimo� todos los tipos de interacciones son equivalentes y convertibles entre s��y a las b�asicas de atracci�on y repulsi�on� Su descubrimiento de la interacci�on entre corri�entes e imanes es el resultado de su b�usqueda de la conversi�on de la fuerza el�ectrica enfuerza magn�etica� Esta b�usqueda de lo que ahora llamar��amos el Campo unicado� ser�atambi�en una constante en Faraday� quien intenta� repetidamente� demostrar la equiva�
f��
lencia entre la fuerza magn�etica y la gravitatoria� A los �� a�nos� tres despu�es de empezarsu carrera cient���ca� dice no atreverse a a�rmar positivamente que la atracci�on de agre�gaci�on y la a�nidad qu��mica sean realmente lo mismo que la acci�on gravitatoria y laatracci�on el�ectrica � Pero tengo para m�� que si��� �� Estas ideas las plasma en un oscuropero fruct��fero principio de conservaci�on de las fuerzas que luego encontrar��a su con�creci�on en los principios de conservaci�on de energ��a y momento con Mayer� Helmholtz�Joule� Poynting� etc� Faraday cree en la substancialidad� o realidad� de las l��neas defuerza� que constituyen la �unica substancia f��sica y que� en de�nitiva� el Universo esun inmenso mar� o campo� de fuerzas en el cual los puntos de fuerza act�uan sobre loscontiguos dando lugar a una propagaci�on de las acciones� Faraday visualiza el �con�ictoel�ectrico� de Oersted como un continuo de l��neas de fuerza que interpenetra al espaciocircundante provocando un estado de tensi�on en la materia� la cual constituye unidadcon la fuerza� Estas l��neas de fuerza son m�oviles pero dotadas de una cierta �pereza� �hoy dir��amos �inercia��� debido a lo cual la interacci�on lleva un tiempo� � Me inclino acomparar la difusi�on de las fuerzas magn�eticas� a partir de un polo magn�etico� con lasvibraciones sobre la super�cie del agua perturbada��� � Me inclino a pensar que la teor��avibratoria se aplica satisfactoriamente a estos fen�omenos igual que se aplica al sonidoy� muy probablemente� a la luz��
Junto con esta �rme concepci�on� siempre abierta a las ideas ajenas� Faraday pose��auna extraordinaria capacidad para pasar de la idea abstracta a la experiencia concretasin ning�un proceso intermedio matem�atico m�as all�a del �algebra elemental� Efectiva�mente� era uno de los diez hijos de un herrero y ejerc��a de aprendiz de encuadernadorcuando entr�o a trabajar como ayudante en el laboratorio de Davy� No ten��a formaci�onmatem�atica ni cient���ca previa y� salvo a las leyes de la electrolisis� no lleg�o a dar expre�si�on cerrada a ninguno de sus descubrimientos� Esta laguna ser�a cubierta por Maxwell�
James Clerk Maxwell ��������� � es� en cierto modo� la ant��tesis y el complementode Faraday de familia aristocr�atica� pose��a una extensa cultura y una s�olida formaci�onmatem�atica que le permiti�o publicar su primer trabajo matem�atico a los catorce a�nos�Bas�andose en la obra de Faraday pero modi�cando algunos conceptos e interpretaciones�Maxwell estructura matem�aticamente la teor��a electromagn�etica y la completa con laintroducci�on de la corriente de desplazamiento�
Maxwell justi�ca la concepci�on de acci�on contigua admitiendo la existencia de unmedio� de caracter��sticas muy peculiares� que act�ua de soporte de dichas acciones� Estemedio hipot�etico es el �eter� el Eter lumin��fero que ya se hab��a postulado para la propa�gaci�on de la luz� del cual propone modelos complejos� sometidos a las leyes de la mec�anicade Newton� que le permiten estructurar matem�aticamente a la teor��a electromagn�etica�Como consecuencia del modelo propuesto aparece una � corriente de desplazamiento��asociada a los remolinos del �eter� cuya importancia no reconoce hasta a�nos m�as tarde�apuntando en su � Tratado� que esta es una de las principales peculiaridades de suteor��a�
Por analog��a con la teor��a el�astica� en la que la velocidad de las ondas transversales esproporcional a la ra��z cuadrada del cociente entre rigidez y densidad del medio� Maxwelldeduce que la velocidad de las ondas transversales que se propagan por el �eter coincidencon la velocidad de la luz� lo que sugiere el car�acter electromagn�etico de la misma�
El modelo de �eter empleado por Maxwell no era en modo alguno completo� pudiendo
f��
decirse que era a un mismo tiempo fant�astico e inveros��mil� Dadas las di�cultades queencuentra para construir un modelo f��sicamente satisfactorio� opta por prescindir de �el�aunque nunca deja de pensar que la verdadera explicaci�on de sus ecuaciones debe residiren un mecanismo sometido a las leyes de Newton�
Maxwell vuelve por �n a enunciar sus ecuaciones electromagn�eticas con independen�cia de cualquier explicaci�on mecanicista y comprueba directamente� a partir de ellas� quelos campos cumplen una ecuaci�on de onda en la que la velocidad de fase coincide con lavelocidad de la luz� El car�acter electromagn�etico de la luz fue puesto de mani�esto porHertz� con sus experiencias de propagaci�on de ondas electromagn�eticas en ����� y porZeeman en �� � al demostrar que exist��an cargas capaces de moverse con aceleraci�onsu�ciente como para radiar dentro del espectro visible�
La contribuci�on de Maxwell a la estructuraci�on matem�atica del electromagnetismo esb�asica� por una parte� incorpora las aportaciones de los matem�aticos europeos� Laplace�Gauss� etc� y� por otra� introduce nuevos conceptos como el del rotacional �Maxwell��
No obstante la exposici�on de sus ecuaciones se hace componente a componente ellenguaje anal��tico vectorial fue introducido� no sin oposici�on� por Heaviside y Gibbs�Posteriormente se desarrollan aspectos parciales importantes como la teor��a de los po�tenciales y la teor��a del electr�on en las que cabe resaltar especialmente la contribuci�onde Hendrik Antoon Lorentz ������� ��� y las de Poincar�e� Abraham� etc� � pero con�cluiremos con una breve relaci�on del proceso de crisis de las teor��as del �eter� resueltapor Einstein� dentro de su teor��a de la relatividad especial� con la eliminaci�on del mismodado no es necesario�
Las teor��as del �eter surgen impulsadas por el deseo de encontrar un medio el�asticoque� seg�un la teor��a ondulatoria de la luz� fuese capaz de soportar ondas luminosas�Casi todas pueden ser consideradas como intentos de dar una explicaci�on uni�cada delos campos sobre la base de las leyes de Newton�
La principal di�cultad que aparece en un principio es la de encontrar un medio quepermita la transmisi�on de las ondas transversales pero no de las longitudinales� Losmodelos que surgen son numerosos y� aparte del ya mencionado de Maxwell� citaremosel gran esfuerzo hecho en este sentido por Lord Kelvin �W� Thomson� a quien se debenvarios modelos ingeniosos�
El �exito de la teor��a de Maxwell y la posterior con�rmaci�on por Hertz del car�acterpropagativo de las ondas radiadas parece� por una parte� con�rmar la hip�otesis de un�eter soporte de la propagaci�on y� por otra� pone de mani�esto nuevas di�cultades�
En primer lugar� Helmholtz demuestra que las tensiones de Maxwell no permitir��anel equilibrio del �eter� por lo que sus distintas partes deber��an estar en movimiento� ypor otra� como es f�acil de comprobar� las leyes de Maxwell no son invariantes frente alas transformaciones de Galileo� por lo que si la velocidad de la luz en un determinadosistema es c� en otro sistema que est�e en movimiento con respecto al primero� la velocidadde la luz deber��a ser distinta� Sin embargo las experiencias dise�nadas para medir lasvariaciones de la velocidad de la luz� como la de Michelson y Morley ������� fracasan�haciendo patente la imposibilidad o� al menos� la di�cultad de medir la velocidad de loscuerpos con respecto al �eter�
Los numerosos intentos de salvar esta situaci�on llevan a emitir hip�otesis sobre el �eterque lo hacen cada vez m�as insubstancial y contradictorio� Mientras que Hertz supone
f��
que los cuerpos en movimiento arrastran al �eter circundante� Lorentz supone todo locontrario�
A grandes rasgos� la teor��a del electr�on de Lorentz consiste en suponer que los cuer�pos ponderables est�an constituidos por una multitud de diminutas part��culas cargadas�positiva y negativamente� que se mueven a trav�es del �eter sin perturbarle� Aunque rec�haza la existencia del sistema de referencia absoluto de Newton� Lorentz piensa queeste �eter� en el que cada una de sus partes est�an en reposo con respecto a las dem�as�constituye una referencia privilegiada con respecto a la cual las leyes de Maxwell sonestrictamente v�alidas� Por otra parte� el resultado negativo de la experiencia de Michel�son le induce a emitir la hip�otesis de que los cuerpos se achatan en la direcci�on de sumovimiento con respecto al �eter� Este enunciado� junto con el de la dilataci�on temporalde Poincar�e� dan lugar a las transformaciones de coordenadas que llevan su nombre� Contodo �esto� Lorentz� como �el mismo reconoce� lleva al extremo la crisis de la concepci�ondel �eter� no es afectado por los cuerpos pero �el si los afecta� est�a en reposo pero noes posible detectar el movimiento con respecto al mismo� es� en de�nitiva� totalmenteinsubstancial�
Cerraremos esta etapa citando la soluci�on dada por Einstein a este problema medi�ante su Teor��a de la Relatividad Restringida� enunciada en su c�elebre art��culo � Sobre laElectrodin�amica de los Cuerpos en Movimiento� �� ���� Einstein postula la invarianzadel m�odulo de la velocidad de la luz y la covarianza� o invarianza� de las leyes frente alas transformaciones de coordenadas entre sistemas inerciales� rechazando la existenciadel �eter como sistema privilegiado�
Antes de concluir deberemos decir algo acerca de la cuanti�caci�on de la carga� Enprincipio fue sugerida por Faraday como simple regla pr�actica para el estudio de la elec�trolisis� Helmholtz piensa que en la electrolisis deben transportarse verdaderos �atomosde Electricidad� Crookes ������� � � hace la misma a�rmaci�on con respecto a los rayoscat�odicos y demuestra que son desviados por el im�an� El descubridor del electr�on es SirJoseph John Thomson ������� ��� quien mide la relaci�on entre su carga y su masa yhace la primera estimaci�on del valor de la carga� valor que es medido con precisi�on porMillikan �� ��� estableciendo al mismo tiempo� sin lugar a dudas� el car�acter cu�anticode la carga�
La carga puntual se mani�esta como una entidad problem�atica� si�endolo a�un en laactualidad� como se pone de mani�esto en la teor��a de Lorentz� Es precisamente Lorentz�que enunci�o su teor��a antes de que se descubriera el electr�on� quien le pone el nombre adicha part��cula� nombre que hab��a sido sugerido anteriormente por Stoney para designara la cantidad m��nima de carga�
No queremos extendernos hablando de la gran familia de part��culas elementales�pues eso pertenece a otra historia� pero s�� mencionaremos a Dirac� que a�nade el esp��nal electr�on �� ���� como efecto cu�antico relativista� y propone la existencia de monopo�los magn�eticos �� ��� que� dentro de su teor��a cu�antica� deber��an su existencia a lacuanti�caci�on de la carga�
Ya� para �nalizar� apuntaremos unas �ultimas consideraciones o conclusiones�
Conclusi�on �
El electromagnetismo cl�asico cubre un amplio rango de fen�omenos de forma satis�factoria� Pero hay otros que quedan fuera de su �ambito por diversas razones�
f�
En primer lugar� hay cuestiones que no se plantea porque las toma como base�� �A� Desde el punto de vista cl�asico se postula la existencia de dos tipos de carga
el�ectrica� ��� y ��� � dos tipos de monopolos el�ectricos�� La carga gravitatoria es� sinembargo� de un solo signo�� �B� Los monopolos magn�eticos no existen� Ya hemos apuntado la posibilidad de
su existencia� desde el punto de vista cu�antico� pero� si existen� son tremendamenteelusivos� Hoy en d��a hay un gran inter�es en su detecci�on� siendo importante se�nalar laexperiencia del espa�nol Cabrera que detect�o lo que pudiera ser la presencia� a�un sincon�rmar� de un monopolo�� �C� La carga est�a siempre asociada a una cierta cantidad de masa� Sin masa� una
carga ser��a un ente � imposible��� �D� Cl�asicamente� la cuanti�caci�on de la carga es indiferente� La teor��a de los
Quarks� de Gell Man y Swinguer� asigna una carga inferior a la electr�onica� �� e y
� e�
a estas part��culas�� �E� El universo es neutro � No se conoce ning�un mecanismo de creaci�on de carga
neta��� �F� Las fuerzas gravitatorias y nucleares quedan fuera de la teor��a�� �G� As�� mismo quedan fuera de la teor��a todos los fen�omenos cu�anticos y� en
particular� las propiedades microsc�opicas de la materia� Nosotros emplearemos� a pesarde ello� conceptos cl�asicos para describir las propiedades b�asicas de los medios� pero loharemos conscientes de la impropiedad de la herramienta�� �H� Por �ultimo diremos que� debido a la problem�atica asociada a las cargas pun�
tuales� el fen�omeno de reacci�on por radiaci�on no encuentra una explicaci�on totalmentesatisfactoria dentro de la electrodin�amica cl�asica�Cerraremos por �n esta rese�na hist�orica relatando como� desde sus comienzos� esta es
una disciplina conceptual y de no f�acil asimilaci�on �A� Sommerfeld � Electrodynamics�Academic Press� New York� � ��� Hittorf� cient���co eminente pero algo timorato� cay�oen una grave depresi�on provocada por el sentimiento de incapacidad que le produjo elestudio infructuoso del Tratado de Maxwell� Compadecidos� sus amigos le convencieronpara que fuese a descansar unos d��as en el campo� Pero descubrieron con consternaci�on�al despedirlo en la estaci�on� que dicho Tratado formaba parte del equipaje�Afortunadamente� gracias a Heaviside y otros� la situaci�on ya no es tan extrema y�
por supuesto� sigue sin ser recomendable llevarse los libros para trabajar durante los�nes de semana� As�� sea�
f���
Ap�endice G
Sistemas de unidades
A pesar de los esfuerzos por implantar un �unico sistema de unidades� persiste a�un el usode distintos sistemas� seg�un el entorno cient���co y docente en cuesti�on� Los m�as utiliza�dos son el Sistema gaussiano y el Sistema internacional �SI o MKSA� este �ultimo ser�ael que emplearemos en el texto� Desde el punto de vista f��sico es totalmente indiferenteel sistema o marco que se emplee en la descripci�on de los fen�omenos f��sicos� Desde elpunto de vista pr�actico� cualquier parcela de la F��sica puede ser descrita con la mismapropiedad mediante el uso de uno u otro de los sistemas candidatos� No existe ning�unargumento s�olido que permita establecer una preferencia si no es el de que la literatu�ra sobre ciertos temas est�a tradicionalmente escrita en un determinado sistema y quetrabajar con uno que no sea el habitual es engorroso� Adem�as� el n�umero de sistemas�variantes incluidas� es grande y su nomenclatura confusa�
Tomando el criterio de que los sistemas de unidades son herramientas para or�denar y facilitar el trabajo del f��sico y no objetos de disgresi�on que lo aparten de sutarea� procederemos a exponer el tema olvidando la historia previa y con la mayor con�cisi�on posible� Quien se interese m�as profundamente en estas materias puede consultar�Bridgman� Sena� Jackson� Panofsky y Phillips��
Como es bien sabido� el n�umero de unidades fundamentales� as�� como el de susdimensiones� es en gran manera arbitrario� Podemos de�nir la intensidad como la cargaque atraviesa una determinada super�cie por unidad de tiempo
I �d q
d t�G���
con lo que la relaci�on entre las dimensiones de la intensidad y de la carga queda �jadade la forma
�Q� � �IT �
pero f��sicamente no hay inconveniente para de�nir la intensidad como proporcional ad qd t
I � kd q
d t
Tampoco hay nada que nos impida asignarle a k un valor num�erico y unas dimen�siones cualesquiera� En el sistema � gaussiano modi�cado� se hace k � �
c � �k� � �L��T ��
g��
g��
donde c es la velocidad de la luz� pero en los sistemas de uso general se toma k � � yadimensional� a lo que nos atendremos en adelante�Algo similar ocurre con la de�nici�on de la magnitud del campo el�ectrico� Aunque
puede de�nirse como proporcional a la relaci�on entre la magnitud de la fuerza sufridapor una peque�na carga est�atica y la magnitud de dicha carga� en todos los sistemas setoma a la constante de proporcionalidad como igual a la unidad y adimensional
�E ��Fqq
� � �E� � �MLT�I��� �G���
Con estas excepciones� para la intensidad y el campo el�ectrico� plantearemos elproblema con todos los grados de libertad restantes aunque� en una primera etapa� noslimitaremos a considerar el caso del vac��o�El conjunto de leyes electromagn�eticas en el vac��o pueden escribirse de la forma
r � ��� �
t� � �G���
d �F
d v� � �E � k� ��� �B �G��
r � �E � k� � �G���
r� �E � �k �B
t�G���
r � �B � � �G���
r� �B � k ��� k� �E
t�G���
Como puede observarse� no hemos introducido constantes en G��� ecuaci�on de con�tinuidad� debido a que se ha de�nido la intensidad seg�un G��� ni en la parte el�ectricade la fuerza de Lorentz G�� por haber hecho uso de la de�nici�on G�� para el campoel�ectrico�Mostraremos a continuaci�on que de las cinco constantes introducidas solo dos son
independientes� en primer lugar� hallando la divergencia a G�� y haciendo uso de G�� yde G��� obtenemos
k � k� k� �G� �
Si ahora consideramos una regi�on del espacio sin corrientes� �� � �� aplicamos elrotacional a ambos miembros de G��� desarrollamos y tenemos en cuenta G�� y G��
r� �B � k k�� �B
t�� �
ecuaci�on de onda que nos permite identi�car al producto de las dos constantes con elinverso del cuadrado de la velocidad de la luz
k k� ��
c��G����
Por �ultimo� si medimos la fuerza ejercida entre dos cargas� por una parte� y lafuerza por unidad de longitud ejercida por una corriente estacionaria� que circula por
g��
un conductor �liforme� recto e inde�nido� sobre otra del mismo tipo que circule por unconductor an�alogo y paralelo al primero� por otra� tendremos
�Fq � k�q q �
� r�br �G����
d �F
d l� � k� k
I I �
� ���b�� �G����
La expresi�on G��� se deriva directamente de G�� � Para obtener G��� partir��amos
de G�� con � �E� t � �� por ser estacionaria la corriente� calcular��amos el campo magn�etico
producido por una de las corrientes y despu�es aplicar��amos la parte magn�etica de laexpresi�on de la fuerza de Lorentz G��
Puesto que la de�nici�on G�� nos permite relacionar cargas con intensidades� midi�endo experimentalmente las fuerzas G��� y G���� podemos comprobar que la relaci�onnum�erica
k�k� k
� c� �G����
se cumple de forma muy precisa�
Las relaciones G� � G��� y G��� nos dejan solo dos constantes independientes� Inspec�cionando estas expresiones y tomando como constantes arbitrarias� k� � a� k� k � btenemos que
k� � ak� � b c�
k � a
k �ba
k� ��a c�
�G���
y las leyes electromagn�eticas en el vac��o quedan de la forma
r � ��� �
t� � �G����
d �F
d v� � �E � a��� �B �G����
r � �E � b c� � �G����
r��E � �a �B
t�G����
r � �B � � �G�� �
r� �B � b
a���
�
a c� �E
t�G����
Una vez elegido el sistema de unidades mec�anicas� cgs o MKS� a emplear� la asig�naci�on arbitraria de un valor num�erico y unas dimensiones a las constantes a y b nosproporcionar�an diversos sistemas de unidades�
Tabla � Constantes �vac��o� �
�En SI� �� c� se escribe con la notaci�on �
��� luego �
�� c
� �
g�
Sistema de unidades Unidades a �a� b �b�mec�anicas
SI �MKSA� MKS � � �� � � � ��� MLT�� I��
Heaviside�Lorentz cgs c�� T L�� c�� T � L��
Gaussiano �cgs� cgs c�� T L�� � c�� T � L��
Electrost�atico �esu� cgs � � � c�� T � L��
Electromagn�etico �emu� cgs � � � �
Seg�un vemos en la tabla anterior� las dimensiones elegidas para a y b son� en general�de tipo mec�anico y � en muchos� casos nulas� Solo el SI introduce una unidad de tipoel�ectrico I� el Amperio � absoluto�� que se de�ne� de acuerdo con la expresi�on G����como � la corriente que� al circular por dos hilos paralelos� de secci�on despreciable� rectose inde�nidos� separados en el vac��o por la distancia de un metro� dan lugar a una fuerzatransversal entre ellos de �� ��� N �m����Los dos primeros sistemas se dice que son � racionalizados� por razones discutibles
que no traeremos aqu��� B�astenos saber que las expresiones de las ecuaciones de Maxwellen los sistemas racionalizados no contienen expl��citamente el factor ��La descripci�on fenomenol�ogica de la materia polarizable nos plantea nuevas opciones�
� Si de�nimos el momento dipolar �p de un sistema de cargas de la forma
�p �
ZV �
�r ����r �� dv � �G����
las cargas equivalentes de polarizaci�on se expresan� en funci�on del vector polarizaci�on�P � como
�p � �r � �P �G����
� Si hubi�esemos optado por introducir una constante de proporcionalidad en la de�ni�ci�on
�p �
ZV �
�r ����r �� dv �
la carga equivalente habr��a venido dada por
�p � � �r � �P
En todos los sistemas considerados esta constante se toma igual a la unidad por loque� teniendo en cuenta G��� y G����
r � �E � b c� ��� �p� r � � �E � b c� �P � � b c� � �G����
Para substituir al vector �P se de�ne al vector �D con divergencia proporcional a �
�D � �� �E � b c� �P � � � �E � � �P � � � ��
b c��G���
g��
donde � es otra constante arbitraria�
De forma an�aloga� la de�nici�on del momento dipolar magn�etico de la forma
�m � �
��
�
ZV �
�r ���� ��r �� dv ��
�G����
nos conduce a una expresi�on para la corriente equivalente de magnetizaci�on� en funci�ondel vector magnetizaci�on�
��M ��
�r� �M
Por otra parte� la variaci�on temporal de la polarizaci�on del medio produce unacorriente de polarizaci�on
��p � �P
t
La introducci�on de estas corrientes como fuentes vectoriales de �B modi�ca laecuaci�on G��� de forma que
r� �B � b
a
����
�
�r� �M �
�
b c� �E
t� �P
t
�
r���B � b
a ��M
��
b
a
����
�
�
�D
t
��G����
Por las mismas razones que antes� de�nimos un vector �H que substituir�a a �M
�H � �
��B � b
a ��M
�� � �B � � �M � � � �
b �
a ��G����
donde� como puede verse� se ha renunciado a un grado de libertad al tomar el mismocoe�ciente � para �M y para �P � Lo hacemos as�� porque �esta es la pr�actica seguida entodos los sistemas que hemos tomado en consideraci�on�
Resumiendo� el conjunto de las ecuaciones de Maxwell G���� G���� G���� G���� G�� y G���� puede ser escrito en funci�on de cuatro constantes a� b� �� � y otras dos� � y ��derivadas de las anteriores�
r � ��� �
t� � �G����
d �F
d v� � �E � a��� �B �G�� �
r � �D � � � �G����
r��E � �a �B
t�G����
r � �B � � �G����
r� �H � �b
a
����
�
�
�D
t
��G����
g��
Lo mismo puede hacerse con las de�niciones de los momentos dipolares G��� y G���
�p �
ZV �
�r ����r �� dv � �G���
�m � � ��
�
ZV �
�r ���� ��r �� dv �� � � � �b �
a ��G����
y para los vectores �D G�� y �H G���
�D � � �E � � �P � � � ��
b c��G����
�H � � �B � � �M �G����
Los valores correspondientes a cada uno de los sistemas de unidades vienen rela�cionados en la Tabla �� Para las dimensiones de las constantes cons�ultese la Tabla ��
Tabla � Constantes �Medios materiales�
Sistema a b � � � �
MKSA � �� ���� � �� �
H�L c�� c�� � � � c��
cgs c�� � c�� � � � c��
esu � � c�� c� � � �
emu � � � � c�� �
Aunque con este cuadro pueden expresarse las ecuaciones b�asicas en cualquier sis�tema de unidades� expondremos en tablas espec���cas las ecuaciones� unidades y reglasde conversi�on para los dos sistemas m�as usuales� el MKSA y el Gaussiano �Tabla ���
Tabla � Expresiones en MKSA y Gaussiano
MKSA cgs
r � ��� � �� t � � r � ��� � �
� t � �d �Fd v � � �E � ��� �B d �F
d v � � �E � �c ��� �B
r � �D � � r � �D � � �
r��E � �� �B� t r��E � ��
c� �B� t
r � �B � � r � �B � �r� �H � ��� � �D
� t r� �H � �c ���
�c� �D� t
�p �RV � �r
����r �� dv � �p �RV � �r
����r �� dv �
�m � ��
RV � �r
���� ��r �� dv � �m � ��c
RV � �r
���� ��r �� dv ��D � �� �E � �P �D � �E � � �P�H � �
���B � �M �H � �B � � �M
g��
Como puede verse en dicha tabla� en el sistema gaussiano aparece el factor c��
asociado a todos los t�erminos en los que se da una derivaci�on temporal� tales como�c ���
�c� �D� t � etc� Esto facilita la substituci�on de la la variable t por ct� lo que puede
representar una ventaja formal para la formulaci�on covariante relativista de las leyeselectromagn�eticas�No hemos tratado hasta ahora a los potenciales porque en su de�nici�on no se intro�
duce ninguna nueva constante� Evidentemente� podr��amos introducir dos nuevas con�stantes arbitrarias pero no es esta la costumbre�Teniendo en cuenta que �B es solenoidal
r � �B � � �B � r� �Ay substituyendo en G����
r��E � a �B
t
�� � �E � rV � a
�A
t
con lo que� en concreto�
MKSA� �E � rV � �A
t� � cgs� �E � rV � �
c
�A
t
Tenemos ya datos su�cientes para convertir f�ormulas de un sistema a otro� perola Tabla permite llevar a cabo esta conversi�on m�as f�acilmente� Para ello basta consubstituir literalmente todos los s��mbolos de la columna MKSA por la cgs y viceversa�
Tabla � Conversi�on de f�ormulas
MKSA cgs
�p�� �
c
� �E� V � �p� �
� �E� V �
�Dp
��
�D
��� q� ��� I� �P �p� �� ��� q� ��� I� �P �
� �B� �A�q
��� �
�B� �A�
�H �p� ��
�H
�Mp
��
�M
� � �� �
�r ��
�
�r ����
�
�R� L� �C �
�� �
�R� L� �C �
Por �ultimo� la Tabla � recoge las unidades� y factores de conversi�on entre el sistemaMKSA y el cgs�
g��
Tabla � Conversi�on de unidades �� �
Cantidad Unidad MKSA Equivalente en cgs
Longitud� l Metro� m ��� cm� Cent��metro
Masa� m Kilogramo� Kg �� gr� Gramo
Tiempo� t Segundo� s � s� Segundo
Fuerza� F Newton� N ��� Dina
Trabajo� Energ��a� W Julio� J �� Ergio
Carga� Q Culombio� C �� ��� Estatculombio
Corriente� I Amperio� A �� ��� Estatamperio
Densidad corriente� J A �m�� �� ��� Estatamp�cm��
Potencial el�ectrico� V V oltio ������� Estatvoltio
Campo el�ectrico� E V �m�� ����� � ��� Estatvoltio�cm��
Polarizaci�on� P C�m�� ��� Statcul�cm��
Desplazamiento� D C�m�� � �� ��� Estatvolt�cm��
Conductividad� � S�m�� �S�m��� �� � ���� s��Resistencia� R Ohmio� % ������� ����� s � cm��
Capacidad� C Faradio� F �� � ���� cmFlujo magn�etico� � Weber� W ��� gauss � cm�� �Maxwell�
Inducci�on magn�etica � B Tesla� T �� Gauss
Intensidad magn�etica� H A� vuelta�m�� � � ��� OerstedMagnetizaci�on� M A �m�� �
� � �� gaussInductancia� L� M Henrio� H �l����� ����� erg �
� � Estatamp��
�Las unidades fundamentales est�an escritas en letra negrita��La cifra � en negrita representa a � � c ����� cm s�� � �� ��� ��� ����La unidad de la admitancia es el Siemens �S� S � ����
Ap�endice H
Elementos de la teor��a de campos
tridimensionales
Suponemos al lector familiarizado con el an�alisis vectorial ordinario� por lo que eltratamiento que aqu�� se le da al tema ser�a sencillo e intuitivo� Se recordar�an losfundamentos de los campos vectoriales tridimensionales y se expondr�a el teorema deHelmholtz� el cual relaciona a un campo con sus fuentes escalares y vectoriales� Labibliograf��a es abundante y asequible ��
La representaci�on en un espacio tridimensional del campo electromagn�etico� querealmente es un solo campo tensorial� de orden � y de dimensi�on � requiere el recurso alos campos pseudovectoriales� el campo el�ectrico es vectorial y el magn�etico pseudovec�torial� Esta di�cultad se soslayar�a restringiendo el orden c��clico de los vectores base � aderechas��
H�� Campos escalares y vectoriales
La descripci�on cl�asica del Universo se lleva a cabo mediante la asignaci�on a cada puntodel espacio de una serie de magnitudes f��sicas cada una de ellas constituye un campo�funci�on de la posici�on �r y del tiempo t� Un campo se dice que es Escalar si� expresado enun sistema de unidades concreto� asigna a cada punto un n�umero� Un campo Vectorialasigna a cada punto un vector� de�nido por un m�odulo� n�umero positivo� una direcci�ony un sentido� En general� las magnitudes f��sicas tienen estructura tensorial�
Las reglas algebraicas de operaci�on entre escalares son� obviamente� las correspon�dientes a operaciones num�ericas mientras que para vectores de�niremos las operacionesde suma� producto por un escalar� producto escalar entre dos vectores y producto vec�torial� Sea el escalar � y los vectores �a� �b� �c�
Podemos de�nir geom�etricamente la Suma de vectores� �gura H��� seg�un la regla deltri�angulo
�c � �a��b
�Un tratamiento algo m�as formal puede encontrarse en � Electromagnetismo II�
h��
h��
a
b
c
Figura H���
La resta puede de�nirse a trav�es del Negativo de un vector
�b � ���a� si �a��b � ��
donde �� es un vector de m�odulo nulo�Si escribimos el m�odulo de un vector de cualquiera de las formas
a � j�aj � m�odulo de �ay de�nimos el Producto de un vector por un escalar de la forma
�b � ��a
donde b � � jaj� la direcci�on de �b es la misma que la de �a y sus sentido son iguales �opuestos�� seg�un � sea positivo � negativo��De�nimos como Vector unitario de un vector �a � a
ba � �a
a
donde� claramente� jbaj � ��As��� pues� la suma de dos vectores puede escribirse de la forma
�c � �a��b � aba� bbbdonde a y b se denominan� las Proyecciones obl��cuas de �c � Diremos que �c ha sidodescompuesto en las direcciones ba y bb�Se denomina Producto escalar� o producto interno� de dos vectores que formen entre
s�� un �angulo � a� � �a ��b � a b cos � ab b � a ba
donde� �gura H��� ab �ba� es la Proyecci�on ortogonal de �a ��b � en la direcci�on de bb �ba��Diremos que �a y �b son Ortogonales
�a��b si �a ��b � �De lo anterior se deduce que el cuadrado del m�odulo
a� � �a � �ay que el �angulo que forman dos vectores viene dado por
cos ��a ��ba b
h��
b
b
a
a
bα
a
Figura H���
H�� Representaci�on gr�a�ca de los campos
Una forma de representar a los campos escalares es mediante sus Supercies equiescalaresy a los vectoriales por sus L��neas de campo�
Se de�nen como l��neas de campo� �gura H���a� aquellas que son tangentes al campoen todos sus puntos� Sus ecuaciones vienen dadas por
dl�F��
dl�F��
dlF
����
d�r � d�l
�F d�l
De�niremos como Tubo de campo� �gura H���b� a una regi�on del espacio limitadapor una super�cie cuyas generatrices son l��neas de campo�
Por ejemplo� el potencial y el campo producidos por una carga el�ectrica puntual��gura H���c� vienen dados por
V � K�
r� � �E � K
�r
r�
Las super�cies equipotenciales son esf�ericas y las l��neas de campo radiales� Las ecua�ciones de estas �ultimas son
d�l � dr �r
% � cte� � cte
�dr
Er�rd�
��
r sin �d
�
�El campo magn�etico producido por una corriente I que circula� en la direcci�on del
eje z� por un hilo recto inde�nido es
�B � Kb �
Sus l��neas de campo� �gura H���d� son azimutales� en la direcci�on del vector unitario b �En las �guras H���e y H���f se representan las super�cies equipotenciales y las l��neas
de campo correspondientes a pares de cargas del mismo signo y de distinto signo� re�spectivamente�
h�
dR=dl
(a)
Lineas de campo
(b)
Tubo de campo
Iq
EB
(c) (d)
Carga puntual Hilo de corriente
Cargas de igual signo Cargas de signo contrario
(e) (f)
+q-q+q +q
R
R+dR
Figura H���
h��
H�� Base vectorial
Un conjunto de tres vectores bei �i � �� �� �� que sean linealmente independientes �vectores no colineales ni coplanarios� forma una Base vectorial� Es decir� cualquier vectorpuede expresarse como combinaci�on lineal de los vectores de base� Nos limitaremos aconsiderar bases ortogonales y unitarias�
^ 3 e
3
e 1
e 2
Base a derechas Base a izquierdas
e 1
e 2
e
Figura H��
Dados tres vectores unitarios y ortogonales
bei � bej � �ij � � �ij ������ si i � j
� si i �� j
siempre ser�a posible expresar un vector arbitrario de la forma
�c �
Xi��
ci bei � ci bei �H���
expresi�on en la que se hace uso del convenio de suma sobre ��ndices repetidos�Efectivamente� es f�acil comprobar que
ci � bei � �c � � c� � �c � �c �Xi��
c�i
Diremos que ci son las Componentes� o proyecciones normales de �c� en la base devectores unitarios bei� Esta base ser�a A derechas � a izquierdas� si un tornillo� con roscaa derechas y girando de be� a be� seg�un el �angulo m�as corto� avanza en la direcci�on � enla direcci�on contraria� de be�La representaci�on de un vector con respecto a una base determinada se hace mediante
sus componentes �c� �c�� c�� c�� La relaci�on entre las componentes de un mismo vectorcon respecto a dos base distintas se describe mediante una Ley de transformaci�on� SedenominaTransformaci�on propia �impropia� a la que de una base a derechas �izquierdas�pasa otra base a derechas � izquierdas�� En otras palabras� las transformaciones propias
h��
son aquellas en las que no cambia el orden c��clico de los vectores de base� por ejemplo�entre dos bases a derechas
be� � be� � be � � be�� � be�� � be�
3
^ 1
e
e
e’^ 2
e’^ 3
e’^
2
3
θ
1
1
e
Figura H���
Es f�acil obtener las leyes de transformaci�on de las componentes de un vector entrebases ortogonales� Un vector �c se expresar�a con respecto a los vectores unitarios be�j ylos bei� seg�un H�� � como
�c � c�j be�j � ci beipor lo que� multiplicando escalarmente por be�j
c�j � ci bei � be�j � Xi��
ci cos �ij � aji ci �H���
donde aji � cos �ij � bei � be�j � aij �
Se dice que �d � di bei es un Pseudovector cuando sus componentes di se transformancomo las de un vector para transformaciones propias pero tienen el signo contrario a lasde un vector para transformaciones impropias el pseudovector conserva el m�odulo y ladirecci�on� como el vector� pero cambia de sentido cuando la transformaci�on es impropia�Esta distinci�on entre el car�acter vectorial y el pseudovectorial de las magnitudes f��sicases te�oricamente interesante pero se soslayar�a restringi�endonos� en adelante� al uso debases vectoriales derechas�
H�� Sistemas de referencia
Un punto P del espacio� v�ease la �gura H��� queda determinado por sus Coordenadas conrespecto a un Sistema de referencia� o sistema de coordenadas� S� Dichas coordenadasson las componentes del Vector de posici�on �r con respecto a los vectores de base bei� Elvector de posici�on liga a un Punto origen O con P � Un sistema de referencia constade un punto origen y una base vectorial� En la �gura se muestra como� al cambiar de
h��
sistema de referencia� se cambia de origen y de base y� por lo tanto� de vector de posici�ony de coordenadas�
�r � � �r � �OO�
P
r ’
e 1
e 2
3e
e 1
e 2
3e
O’
r
S’
O
S’S
OO’
Figura H���
Nos limitamos a considerar sitemas de referencia S y S � que sean cartesianos yrectangulares� Si� adem�as� tienen un origen com�un O � �OO
�� ���� v�ease la �gura H���
los vectores de posici�on en ambos sistemas son los mismos y la transformaci�on entrelas coordenadas del primer sistema �x�� x�� x� y las del segundo �x
��� x
��� x
��� son for�
malmente id�enticas a las transformaciones de las componentes de un vector frente alcambio de base� De acuerdo con H��
x �� � a��x� � a��x� � a�xx �� � a��x� � a��x� � a�xx � � a�x� � a�x� � ax
� �
�� x ��x ��x �
�A �
�� a�� a�� a�a�� a�� a�a� a� a
�A ��� x�
x�x
�A �H���
donde aij � cos �ij� son los cosenos directores de los ejes bei del primer sistema a los ejesbe �j del segundo�En general� teniendo en cuenta el desplazamiento del origen y haciendo uso del
convenio de suma sobre ��ndices repetidos
x �i � aijxj �OO�i � � i� j � �� �� � �H��
donde OO�i son las componentes de �OO� con respecto al sistema S�Al cambiar de sistema de referencia� los escalares y los vectores no cambian lo
hacen las componentes de los vectores porque el cambio de sistema implica� en general�el cambio de base�
h��
H� Producto vectorial
A continuaci�on de�niremos el Producto vectorial� o producto externo� Dados dos vec�tores� se de�ne el producto vectorial como un pseudovector �� tal que� �gura H��
�d � �a ��b � ��b � �a � � d � a b sen � � �d��a� �b � �a� �b� �d triedro a derechas�H���
siendo el m��nimo �angulo que forman los vectores �a y �b�
e 2
e 3
α ab
d
e 1
Figura H���
�d tiene� por lo tanto� por m�odulo a d � a b sen� su direcci�on es perpendicularal plano formado por �a y �b y su sentido viene determinado por la regla del tornillo aderechas � izquierdas� para sistemas de referencia a derechas � izquierdas�� El productovectorial entre un vector y un pseudovector tiene car�acter vectorial� Por esta raz�on�el campo magn�etico �B es un pseudovector� mientras que la fuerza� en particular lamagn�etica de Lorentz� y el campo el�ectrico son vectores�
Bajo estas condiciones� podemos expresar a los vectores unitarios ortogonales� de laforma bek � bei � bej � � i �� j �� k �� i � � i� j � k
es decir� cada uno de ellos puede obtenerse como producto vectorial de los otros dos� siel orden c��clico i� j � k es el correspondiente a la regla del tornillo a derechas�
Seg�un �esto� teniendo en cuenta la anticonmutatividad del producto vectorial
�d � �a ��b � �a� be� � a� be� � a be� � �b� be� � b� be� � b be� �� �a� b � a b�� be� � �a b� � a� b� be� � �a� b� � a� b�� be
o� en forma de determinante simb�olico
�d � �a ��b �))))))be� be� bea� a� ab� b� b
))))))�El producto vectorial entre un pseudovector y un vector es un vector
h�
H�� Operaciones diferenciales e integrales sobre escalares
y vectores
H� Gradiente
Supongamos que en un sistema coordenado ortogonal hacemos un desplazamiento de
d�l � dli beiSi� en ese entorno� la funci�on escalar � tiene derivadas de�nidas� en el desplazamiento
d�l sufre un incremento elemental d� que escribiremos de las siguientes formas
d� � �
lidli � r� � d�l
donde hemos empleado la notaci�on
r� � grad � � bei � li
�H���
r� es� pues� un vector cuyas componentes son las derivadas espaciales de la fun�ci�on escalar en las direcciones de cada uno de los ejes coordenados� A este vector lollamaremos Gradiente de � y al operador
r � bei
li
operador Nabla�
Si anotamos como bl al vector unitario en la direcci�on del desplazamiento� la variaci�onpor unidad de longitud del escalar� en dicha direcci�on� ser�a
d�
d l� r� � bl
expresi�on de la que se deduce que�
$ a� La variaci�on m�as r�apida de � tiene lugar en la direcci�on del gradiente es decir�cuando r� kbl�$ b� El gradiente� �gura H��� es perpendicular a las super�cies equiescalares� cuando
r��bl d� � ��
H� Flujo y divergencia
Dada una funci�on vectorial �a� tendr�a para nosotros gran inter�es� en muchas situaciones�el c�alculo del Flujo de dicho vector a trav�es de una super�cie S cualquiera�
���a� �
ZS�a � d�s �
ZS�a � �n ds
h���
λ2 λ1>
λ
λ
1
Figura H���
n
V
S
S
L
n
Figura H� �
donde �n es el vector unitario normal a la super�cie� Su sentido se toma� �gura H� � parasuper�cies cerradas� hacia fuera del volumen V que se ha de�nido como interno a S y�para super�cies abiertas� el de avance de un tornillo a derechas que gire en el sentidopreestablecido de circulaci�on sobre el contorno L en el que se apoya la super�cie�Si hallamos el �ujo de un campo vectorial sobre una super�cie S que encierre a un
volumen V� el resultado podr�a ser positivo� nulo o negativo� En el primer caso diremosque en V existe un balance neto de fuentes o� con otras palabras� que� en conjunto� elcampo diverge de V � Si el �ujo es negativo hablaremos de sumideros� fuentes negativaso convergencia del campo�
Para un punto P podemos de�nir un par�ametro que nos mida la densidad de fuentesexistente en el mismo� Para ello de�nimos la Divergencia� o densidad de fuentes� como��gura H����a
div �a � r � �a � lim�V��
HS �a � d�s�V
�H���
H Circulaci�on y rotacional
Otra integral importante para nosotros es la circulaci�on de un vector� Para llevar a cabola circulaci�on de un vector es necesario� en general� especi�car los puntos de comienzoy �nal� la ecuaci�on del camino L a recorrer y el sentido de recorrido� Si la circulaci�oncerrada de un campo I
L�a � d�l
h���
a
a
aa
dl
P
(a)
A
B
L
(b)
P
nΔ
ds
V
SL
(c)
L L1
Δ2
S
Figura H����
es nula� cualquiera que sea el camino escogido� dicho campo recibe el nombre de Irrota�cional� Tambi�en se le denomina como Conservativo dado que la integral entre dos puntoscualesquiera� A y B� es independiente del camino por la que se realice� Efectivamente�como se muestra en la �gura H����b� a lo largo del camino L � L� � L�I
L�a � d�l �
Z B
A�L���a � d�l �
Z A
B�L���a � d�l � �
Z B
A�L���a � d�l �
Z B
A�L���a � d�l
De la misma forma que la divergencia� que es un escalar� caracteriza al compor�tamiento del �ujo en el entorno de un punto� podemos caracterizar al comportamientode la circulaci�on alrededor del mismo por medio del pseudovector Rotacional� La proyec�ci�on de este vector sobre una direcci�on arbitraria del espacio �n se de�ne como� �guraH����c�
�rot�a�n � �r� �a� � �n � lim�S��
HL �a � d�l�S �H���
donde �S es una super�cie elemental� que es normal a la direcci�on �n y contiene a P �y L es su contorno� Si el rotacional es distinto de cero diremos que el campo rodea alpunto o que es Rotacional en dicho punto�
H� Operador Laplaciana
Se de�ne como la Laplaciana de una funci�on escalar � a la divergencia del gradiente dedicha funci�on� Se escribe con las notaciones
�� � r� �
y se de�ne como
r� � � div �grad �� �H� �
Tambi�en interesa a veces hablar de la Laplaciana de un vector� de�nida de la forma
r��a � grad �div �a�� rot�rot�a� � r �r � �a��r� �r� �a� �H����
h���
expresi�on que solo en coordenadas cartesianas puede ser interpretada como
r��a � r� ax bx�r� ay by �r� az bzH�� Teoremas integrales
De los m�ultiples teoremas integrales� algunos de los cuales introduciremos en otraocasi�on� citaremos aqu�� solo a los dos m�as utilizados en este texto� el Teorema de la
divergencia o de Gauss y el Teorema del rotacional o de Stokes� Las demostraciones ele�mentales� no rigurosas� son sencillas y �guran en muchos libros de f�acil acceso� Se�nalare�mos solamente la necesidad de que los campos sean de buen comportamiento y que ladivergencia y el rotacional sean continuos y acotados en la regi�on de inter�es�
H�� Teorema de la divergencia
La integral� sobre un volumen arbitrario V� de la divergencia de un vector es igual al�ujo de �este a trav�es de la super�cie S que envuelve a dicho volumen�Z
Vr � �a dv �
IS�a � d�s �H����
Tambi�en es �util la igualdad que deriva del teorema anterior � v�ease la relaci�on deproblemas� Z
Vr� �a dv � �
IS�a � d�s �H����
H�� Teorema del rotacional
El �ujo del rotacional de un vector� a trav�es de una super�cie S abierta y arbitraria�es igual a la circulaci�on de dicho vector a lo largo del contorno L de la super�cie� Ladirecci�on de circulaci�on y la de la normal ligadas por el convenio ya mencionado�Z
S�r��a� � d�s �
IL�a � d�l �H����
donde S es una super�cie abierta y L su contorno�
H� Fuentes de un campo vectorial� Teorema de
Helmholtz
Establecido qu�e es lo que entendemos por campo vectorial� nos interesa ahora relacionara los campos con sus fuentes� Llamaremos fuentes vectoriales de un campo vectorial �F ��r�a su rotacional� y fuentes escalares a su divergencia
r� �F ��r� � �R��r� � fuentes vectorialesr � �F ��r� � D��r� � fuentes escalares
h���
Teorema de Helmholtz
Veremos que para que las fuentes determinen un��vocamente a un campo son su��cientes las siguientes condiciones�
$ a� �F ��r� tiende a cero m�as r�apidamente que r�� cuando r ���
$ b� Las fuentes� �gura H���� son nulas fuera de un volumen V �� �nito y contenidoen una esfera� centrada en el origen� de radio �nito L � r�max�
^
y
z
Volumende
fuentes
L=r’max
r ’
R
r
Fuentesnulas
V’0
x
Figura H����
Enunciado
$ A� Un campo que cumpla las condiciones anteriores queda un��vocamente determi�nado si se conocen sus fuentes escalares y vectoriales en todos los puntos �r � � �x�� y�� z��del espacio� Puede� adem�as� derivarse de unas funciones potenciales� un campo escalarf��r� y un campo vectorial �g��r�� a trav�es de las operaciones de gradiente y rotacional�
�F ��r� � �rf��r� �r� �g��r�
$ B� Los potenciales pueden expresarse en funci�on de las fuentes del campo como
f��r� � ��
ZV ��
D��r ��R
dv� � Potencial escalar de �F ��r�
�g��r� � ��
ZV ��
�R��r ��R
dv� � Potencial vector de �F ��r�
donde �R � �r � �r ��
h��
De acuerdo con �esto� tanto f��r� como cada una de las componentes de �g��r� tienenla forma
���r� � K
ZV ��
���r ��R
dv�
Veremos m�as adelante que el campo electromagn�etico tiene s�olo fuentes vectoriales�por lo que basta con un potencial vector �A para describirlo� El campo el�ectrico tienefuentes escalares y vectoriales pero� como est�a acoplado al magn�etico� la parte que deriva
de un potencial vector no ser�a expresada como en �H���� sino por �A
t�
Demostraci�on
En la �gura H��� un volumen V � que contenga a �R � �� es decir� que contenga alpunto de observaci�on P �
z
L=r’max
r ’ r
RV’0
y
P
V’
x
S’
^
Figura H����
Haciendo uso de la propiedad de desplazamiento de la ���R� � ���r � �r �� � v�easeap�endice delta� podemos expresar el campo de la forma
�F ��r� �
ZV ��
�F ��r �����r � �r ��dv� � � �
�
ZV ��F ��r ��r�
��
R
�dv�
� �r�
��
�
ZV �
�F ��r ��R
dv��
Hemos sacado r� fuera de la integral porque este operador implica la derivaci�on conrespecto a las coordenadas x� y� z� mientras que �F ��r �� es funci�on de las x�� y�� z� y laintegral opera sobre estas �ultimas coordenadas �
De la igualdad
r� �r � �a� � r�r � �a��r��a
h���
se deduce que�F ��r� � rf��r� �r� �g��r�
donde
f��r� � r ���
�
ZV �
�F ��r ��R
dv��
y
�g��r� � r���
�
ZV �
�F ��r ��R
dv��
con lo que queda demostrada la primera parte del teorema�Se puede demostrar que estas dos expresiones son equivalentes a las del enuncia�
do �H���� Lo comprobaremos para el potencial escalar f��r��Dado que r � �f�a� � fr � �a� �a � rf
r ���F ��r ��R
���
Rr � �F ��r �� �z �
��
��F ��r �� � r��
R
�
r � �F ��r �� � � porque �F ��r �� no es funci�on de �r� sino de �r �� Luego
f��r� ��
�
ZV ��F ��r �� � r
��
R
�dv� � � �
�
ZV ��F ��r �� � r�
��
R
�dv�
donde se ha tenido en cuenta que r�f�R�� � �r��f�R���Volviendo a emplear la misma expresi�on
�F ��r �� � r���
R
�� r� �
��
R�F ��r ��
�� �
Rr� � �F ��r ��
que� pasando a super�cie la integral de r� ��
�R�F ��r ��
�f��r� �
�
�
ZV �r� � �F ��r ��
Rdv� � �
�
ZV �
�F ��r ��R
� d�s�
donde S � es la super�cie que envuelve a V ��Haciendo tender S � ��� puesto que F ��r �� � r��� y r � r�� para r� ��� podemos
despreciar la integral de super�cie y escribir
f��r� ��
�
ZV ��
D��r ��R
dv�
Nos da lo mismo integrar sobre V �� o sobre V � �� puesto que D��r �� se anula fuerade V ���Como ya hemos apuntado y demostremos m�as adelante� necesitamos describir dos
campos pero nos basta con dos potenciales porque �E y �B est�an acoplados y �B no tienefuentes escalares �Panofsky y Phillips� Shadowitz��
�E � �rV � �A
t
�B � r� �A
h���
H�� Clasi�caci�on de los campos seg�un sus fuentes
Seg�un las fuentes vectoriales y escalares sean o no distintas de cero� en una cierta regi�ondel espacio V� podemos clasi�car a los campos en cuatro grupos� Para visualizarlosgr�a�camente tendremos en cuenta que� por los teoremas de la divergencia y el rotacionalI
L�F � d�r �
IS�R � d�s
IS�F � d�s �
IVD dv
P
F
L
S
(a)
F
nS
L
(b)
F
SL
(c)
F
S
L
(d)
P P P
Figura H����
En la �gura H��� se representan esquem�aticamente las cuatro clases de campos quese deducen de este criterio de clasi�caci�on�Las caracter��sticas esenciales de cada uno de estos grupos pueden resumirse de la
siguiente manera�
$ a� El campo� �gura H����a es Irrotacional� al no tener fuentes vectoriales� ySolenoidal al carecer de fuentes escalares� Supongamos que el volumen V es tal que�para todo camino L contenido en �el� existe una super�cie S apoyada en dicho caminoy que tambi�en est�a enteramente contenida en V� Esta precisi�on es necesaria porque�cuando estudiemos el campo magn�etico� nos encontraremos situaciones de inter�es queno cumplen la condici�on anterior�Para simpli�car y concretar� supondremos �R � � en todo el espacio y D �� � fuera
de V es necesario que en alg�un punto existan fuentes pues� en caso contrario� el camposer��a nulo por doquier�
r� �F � � �F � �rf
r � �F � �
�r�f � � �Ecuaci�on de Laplace�
Estos campos derivan de un potencial escalar que cumple la ecuaci�on de Laplace�Con la condici�on impuesta� el teorema del rotacional �H��� es aplicable� luego� para
cualquier L IL�F � d�l � �
h���
En el caso del campo el�ectrico est�atico� como comprobaremos pronto� esta integralser�a equiparable al trabajo realizado por unidad de carga� al recorrer L� por lo que�propiamente� diremos que un campo el�ectrico de este tipo es conservativo�Si aplicamos el teorema de la divergencia �H��� a un volumen elemental arbitrario�
�V� limitado por la super�cie �S� Z�S
�F � d�s � �
lo que implica que tantas l��neas de campo entran en el volumen �V como salen delmismo� En la �gura �a� se muestra c�omo las l��neas de campo no pueden nacer ni moriren V y c�omo la circulaci�on sobre cualquier camino L contenido en V es tambi�en nula�A este grupo pertenece el campo electrost�atico en el vac��o sin cargas� como el exis�
tente en el espacio comprendido entre las placas de un condensador� �gura H���
E
V+ -
+Q -Q
Figura H���
$ b� El campo es irrotacional y no solenoidal�Aqu�� podemos suponer que todas las fuentes est�an en V�
�F � �rf
r � �F � D
� r�f � �D �Ecuaci�on de Poisson�
f��r� ��
�
ZV �D��r ��R
dv�
La ecuaci�on �H��� tiene car�acter local puesto que liga a las derivadas de f � conrespecto a las coordenadas �r� con el valor de D en ese mismo punto� Para hallar f��r� nobasta con conocer D��r� en todo V sino que tambi�en ser�a necesario conocer las condicionesque cumple f en el entorno S� Dejaremos esta cuesti�on para un tema posterior� No esnecesario� sin embargo� conocer las fuentes existentes fuera de V�La expresi�on �H���� de tipo extensivo� exige en principio� como ya hemos visto� el
conocimiento de todas las fuentes del Universo�
h���
En este caso� las l��neas de campo nacer�an y morir�an en los puntos de V en los queD �� �� �gura �b�� Como ejemplo citaremos al campo electrost�atico en presencia decargas�
$ c� El campo es rotacional y solenoidal� Las l��neas de campo no pueden nacer nimorir en V pero s�� pueden cerrarse sobre s�� mismas ��gura �c�� dentro de V� puesto queI
L�F � d�l �� �
r � �F � � �F � r� �g
r� �F � �R
� r� �r� �g� � r�r � �g��r��g � �R
�F deriva de un potencial vector que responde a la ecuaci�on anterior
�g��r� ��
�
ZV �
�R��r ��R
dv�
Se puede demostrar que es posible exigir a �g que sea solenoidal� En esta caso
r��g � � �R
ecuaci�on que s�olo es distinta de la precedente cuando se utilizan coordenadas cartesianas�El campo magn�etico� que es siempre solenoidal� cae dentro de este grupo�
$ d� En general� los campos ser�an rotacionales y no solenoidales ��gura �d���En adelante� estudiaremos el campo electromagn�etico desdoblado como dos campos
vectoriales acoplados� cuyas fuentes� expresadas en el sistema M�K�S�A�� ser�an�
r � �E � �
�r � �B � �
r� �E � ��B
tr� �B � �
��j � �
�E
t
�
donde� como vemos� adem�as de las cargas y de las corrientes� las propias variacionestemporales de los campos act�uan de fuentes�
H� Coordenadas curvil��neas ortogonales
Propiedades generales
A lo largo del texto se har�a uso de sistemas coordenados que� como el cartesiano�el esf�erico y el cil��ndrico� pertenecen al tipo de sistemas coordenados curvil��neos or�togonales� En estos sistemas� �gura H���� los distintos puntos del espacio se describen
h��
e
e
e
q1
q2
q3
f =q
P
f =q
f =q
1
2
1 1
2
3
3 3
2
Figura H����
especi�cando las tres super�cies� pertenecientes a tres familias distintas� que se cortanortogonalmente en dicho punto�
Las coordenadas �q�� q�� q� de un punto determinado �P �� ser�an los valores de lospar�ametros correspondientes a las super�cies
f��x� y� z� � q� � f��x� y� z� � q� � f�x� y� z� � q
que se cortan en el punto P �
Los vectores unitarios en cada punto vendr�an dados por
bei � r fijr fij �H���
y� puesto que las tres familias son ortogonales� tambi�en los vectores unitarios lo ser�an
bei � bej � �ij
En general� salvo para el sistema cartesiano� el triedro unitario tiene una orientaci�ondistinta en cada punto del espacio�
El vector desplazamiento elemental d�l se de�ne como
d�l � dli bei �H����
donde dli es la distancia� en la direcci�on bei� entre las super�cies fi � qi y fi � qi � dqi�
Las distancias elementales dli dependen� en general� de las coordenadas del punto ydel incremento de la coordenada dqi� por lo que escribiremos
dli � hi�q�� q�� q� dqi �H����
h���
^ 3
e 1
e 2
dl
ds3
dl3
dl 2
dl1
ds 3
e
Figura H����
donde los hi son los Factores de escala�Los elementos de super�cie vendr�an dados por
d�sk � dli dlj bei�bej � hi hj dqi dqj bek �H����
donde i� j � k es el orden c��clico a derechas�El elemento de volumen es
dv � h� h� h dq� dq� dq �H����
El vector de posici�on de un punto se expresa de la forma
�r � r br � ri bei � � ri � bei � �r �H�� �
donde r es la distancia del punto al origen y br es el vector unitario que� en el punto�tiene el sentido opuesto al origen� En cada sistema� las componentes ri de este vectorse obtendr�an proyectando �r sobre la direcci�on bei�Expresiones de los operadores en coordenadas ortogonales
No es dif��cil demostrar� de acuerdo con las de�niciones H��� H��� H�� y H� y haciendoaproximaciones de primer orden� que las expresiones siguientes tienen validez general�Cons�ultense los textos correspondientes��
r� ��
h�
�
q�be� � �
h�
�
q�be� � �
h
�
qbe � � ri �
�
hi
qi�H����
r � �a � �
h�h�h
� a�h�h q�
� a�h�h q�
� ah�h� q
��H����
�Cuando� como en este caso� el indice �i que aparece en el primer miembro est�a repetido en elsegundo� no se aplica la regla de suma sobre ��ndices repetidos�
h���
r��a � �
h�h�h
))))))))))
h� be� h� be� h be�� q�
�� q�
�� q�
h� a� h� a� h a
))))))))))�H����
r�� ��
h�h�h
�
q�
�h�hh�
�
q�
��
q�
�h�hh�
�
q�
��
q
�h�h�h
�
q
���H����
H�� Sistemas Coordenados
Coordenadas cartesianas
Las super�cies coordenadas son planos de las familias
f� � x � q� � � f� � y � q� � � f � z � q
A los vectores unitarios los anotaremos de la forma
be� � bx � � be� � by � � be � bzPuesto que las tres coordenadas tienen dimensi�on espacial� sus incrementos coin�
cidir�an con las componentes del vector desplazamiento elemental� por lo que
h� � h� � h � �
Como puede verse en la �gura H���
^
y
x
x
z
y P
r
x
y
zβ
γ
z
α
Figura H����
h���
�r � x bx� y by � z bzr �
px� � y� � z�
x � r cos
y � r cos �
z � r cos �
Coordenadas esf�ericas
En este caso� �gura H����a� tomamos como super�cies coordenadas
(b)
^
y
z
dϕ
dθ
ϕ
r
θ
dr
x
y
z
r
ϕ
θ ϕ
θ
r
P
(a)
x
Figura H����
f� � r � q� � � � � r �� � super�cie coordenada radialf� � � � q� � � � � � � � � super�cie coordenada cenitalf � � q � � � � � �� � super�cie coordenada azimutal
La primera familia est�a constituida por las super�cies esf�ericas� centradas en el origen�de radio r� los semiconos de semiapertura � centrados en el eje z y los semiplanos quepasan dicho eje y que forman un �angulo con el plano y � ��Los vectores unitarios son
be� � br � � be� � b� � � be � b las componentes de d�l
dl� � dr � � dl� � r d� � � dl � r sen � d
por lo queh� � � � � h� � r � � h � r sen �
h���
y el vector de posici�on
�r � r br � r �sen � cos bx� sen � sen by � cos � bz�Por �ultimo� el elemento de volumen es� �gura H����b�
dv � r� sen � dr d� �
Coordenadas cilindricas
Las super�cies son� respectivamente� cilindros de radio � centrados en el eje z� semi�planos que contienen a dicho eje y planos z � cte�
f� � � � q� � � � � r ��f� � � q� � � � � � � ��f � z � q
z
^
y
z
x
y
z ϕ
d ρ
dz
dϕ
z
ρ
ρ
z
(a) (b)
ϕϕ
Pρ
x
Figura H�� �
Los vectores unitarios sonbe� � b� � � be� � b � � be � bzlas funciones hi
h� � � � � h� � � � � h � �
el vector de posici�on
�r � � b�� z bz � � cos bx� � sen by � z bzy el elemento de volumen
dv � � d� d� d
En el formulario� al �nal del tomo� se ofrece un resumen expl��cito de lo anteriormenteexpuesto�
h��
H�� Problemas
h��� Dado el vector de posici�on del punto A� �A � bx� by � bz� hallar� a� El vector unitario correspondiente�
b� El vector de posici�on� de un punto B� perpendicular a �A� con el mismo m�odulo
y contenido en el plano z � ��
c� El vector de posici�on que dene al cuarto v�ertice C de un cuadrado cuyos
tres primeros v�ertices son el origen� A y B�
d� La ecuaci�on de la recta AB�
e� La ecuaci�on de la recta que pasa por A y es perpendicular al plano del cuadra�
do�
f� La ecuaci�on de la circunferencia inscrita en el cuadrado�
g� El vector unitario normal a la supercie de la esfera con centro en el plano del
cuadrado y cuya intersecci�on con el mismo es la circunferencia del apartado
anterior�
h��� Hallar la matriz de transformaci�on que gira el vector ��� �� �� al ��� �� ��� as�� como
su determinante�
h��� Escribir las matrices �aij� y determinar el car�acter de propia o impropia de lastransformaciones�
a� x � � �x� y � � y� z � � z
b� x � � �x� y � � �y� z � � z
Comprobar lo anterior transformando al pseudovector �c � �a��b� donde �a ��al� a�� a� y �b � �bl� b�� b� son vectores�
h��� Sea �r el vector de posici�on� Hallar la velocidad y la aceleraci�on en coordenadascil��ndricas y en coordenadas esf�ericas�
h��� Demostrar que un movimiento en el que el vector de posici�on y la velocidad son
perpendiculares es necesariamente circular�
h��� Demostrar las relaciones K�� y K�� del formulario ap�endice K��
h��� Hallar el gradiente y la derivada direccional� en la direcci�on ��� �� ��� de la funci�onf � �x� y � � y z � x en el punto ��� ��� ���
h��� Denimos los vectores
�r � �x� y� z�
�r � � �x �� y �� z ���R � �r � �r � � �x� x �� y � y �� z � z ��
h���
Asimismo denimos las operaciones�
r f � � f
x� f
y� f
z�
r � f � � f
x �� f
y �� f
z ��
Demostrar que se cumplen las relaciones
a� r f�R� � �r �f�R� � bR � d fdR b� r ���R� � � �R
R�
h��� Demostrar las relaciones K�� y K�� del formulario�
h��� Calcular en el punto ��� ��� �� la divergencia y el rotacional del campo vectorial��A � x� z bx� � y z� by � x y� z bz�
h���� Demostrar las relaciones K�� y K��� del formulario�
h���� Demostrar las relaciones K��� y K��� del formulario�
h���� Demostrar la relaci�on K��� del formulario�
h���� Dado un campo central� cuya magnitud dependa solamente de la distancia r alcentro y que al mismo tiempo sea solenoidal� demostrar que es proporcional a r��
y que� adem�as� es irrotacional�
h���� Demostrar que� en coordenadas cartesianas� se puede escribir� � �A � �Ax bx ��Ay by ��Az bz�
h���� Hallar los Jacobianos J�x� y� z�� �� z
�y J
�x� y� zr� �� �
��
h���� Hallar la circulaci�on del campo �A � ��x� y�� bx� � y z by � bz� desde el punto a ���� �� �� al b � �l� l� l�� a lo largo del camino C � a � �l� �� �� � ��� �� �� � b�� indica un camino recto entre los puntos anterior y posterior�
h���� Hallar el �ujo de �A � z bx� x by�� y� z bx a trav�es de la supercie denida lateral�
mente por x� � y� � y por las �areas circulares resultantes de la intersecci�on de
la supercie anterior con los planos z � � y z � ��
h���� Hallar el trabajo realizado por un campo de fuerzas �A � x y bx � y� by en un des�
plazamiento desde el origen hasta el punto a � ��� �� a lo largo de la curva y � x��
h��� Demostrar que el campo de fuerzas �A � ��x y�z� bx�x� by��x z� bz es conservativoy calcular el trabajo realizado en un desplazamiento desde ��� ��� �� a ��� �� ��
h���� Hallar el �ujo del campo vectorial �A � z bx�x by�� y�z bz a trav�es de una supercie
limitada por los planos� x � �� x � l� y � �� y � l� z � �� z � l� H�agase porintegraci�on directa y mediante el teorema de la divergencia�
h���
h���� Hallar la circulaci�on del campo vectorial �A � �x�y� bx��y��x� by desde el punto
a � ��� �� hasta b � ��� �� a lo largo de�
a� a� b
b� a� ��� ��� b
c� La par�abola x � t� � �
h���� Hallar el trabajo realizado por el campo de fuerza �A � ��x� y� � z� x� � y �� z�� �x z � y� � z� al mover una part��cula alrededor de una elipse centrada enel origen� contenida en el plano xy y cuyos ejes mayores valen respectivamente y ��
h���� Hallar el momento de inercia polar� en el plano xy� de una regi�on D limitada por
las curvas
x� � y� �
����
� � x y �
����
h���� Hallar el �ujo del vector de posici�on a trav�es de la supercie que limita al volumen
com�un a los cilindros denidos por� x� � y� � a� y x� � z� � a��
h���� Hallar el �ujo del vector de posici�on a trav�es de la supercie del volumen com�prendido entre el plano z � �� el paraboloide z � x��y� y el cilindro x��y� � a��
h���� Demu�estrese que ��x� xo� � lim���d S�x�d x � donde�
S�x� �
������������ para x � x�
x�x�� para x� � x � x� � �
� para x � x� � �
h���� Demostrar que
�g�r� �l
�
ZV ��
R��r ��R
dv �
V�ease la secci�on ��� y las expresiones �� y �� del ap�endice ����
h���� Dados los campos vectoriales�
a�
�A �
����ra para r � a
br a�
r� para r � a
h���
b�
�B �
���b �a para � � a
b a� para � � a
dibujar las l��neas de campo� hallar las fuentes escalares y vectoriales en cada
zona y clasicar los campos�
h���
Ap�endice I
La Delta de Dirac
La funci�on � de Dirac� o funci�on impulso� no es propiamente una funci�on su en�cuadramiento riguroso� desde el punto de vista matem�atico� requiere el uso de la teor��ade distribuciones desarrollada por L� Schwartz �Friedman� B� �Principies and Techniquesof Applied Mathematics � Wiley � New York � ���� No obstante� la � puede expresarsecomo limite de una sucesi�on de funciones� lo que nos permitir�a dar una idea intuitiva yoperativa de la misma� �V�eanse los ap�endices de �Novozhilov� Levich�I� Born y Wolf� ylas tablas �Spiegel et al����
Esta funci�on tiene una gran utilidad en f��sica y nos permitir�a� entre otras cosas�expresar magnitudes singulares en un punto como l��mite de magnitudes continuas�
I�� De�nici�on
A� En una dimensi�on� de�niremos a la � de Dirac� �gura I���a� como una funci�on demedida nula
u
x0 x x0
οο
0)(x-x 0)(x-x
(a) (b)
δ
x
Figura I���
i��
i��
��x� x�� �
���� para x �� x�
�� para x� x�
�I���
que� adem�as� tiene �area unidad Z �
����x� x�� dx � � �I���
De otra forma
Z x�
x�
��x� x�� dx �
���� si x� �x�� x��
� si x � �x�� x��
por anularse ��x� para todo x �� ��
B� En tres dimensiones
���r � �r�� �
���� para �r �� �r�
�� para �r � �r�
� �
ZV��
���r � �r�� dv � � �I���
Como ya hemos dicho� no existe ninguna funci�on que tenga exactamente laspropiedades enunciadas� pero se ver�a m�as adelante que podemos imaginar diversas suce�siones �a��r � �r��� dependientes del par�ametro a� tales que
lima��
�a��r � �r�� � ���r � �r��
de forma que se podr�a siempre disponer de verdaderas funciones que� para a � � ar�bitrariamente peque�no� cumplan las condiciones anteriores con la necesaria precisi�on�Esto� desde el punto de vista f��sico es plenamente satisfactorio y nos evita� por ahora�situar a la � en un contexto m�as riguroso� Operativamente� entenderemos que el resul�tado de cualquier operaci�on en la que intervenga esta funci�on ser�a el correspondiente all��mite� cuando a� �� de los resultados obtenidos empleando �a�
C� En coordenadas curvil��neas qi� debemos escribir
���r � �r�� ��
h� h� h��q� � q��� ��q� � q��� ��q � q�� �I��
donde el factor �h� h� h�
se introduce porqueZ �
����q� � q��� dq� � �
y debe cumplirse la condici�on de normalizaci�on I���
i��
D� Suele ser �util la de�nici�on de � como la derivada de la funci�on unitaria de Heav�iside� �gura I���b� o funci�on escal�on unitario
Puede comprobarse que la derivada de esta funci�on cumple las condiciones prescritas
��x � x�� �d
d xu�x� x�� � u� �x� x�� � � u�x� x�� �
Z x
����x� x�� �I���
I�� Propiedades
a� La propiedad fundamental de la � es la de Desplazamiento�
Si f��r� es una funci�on de buen comportamiento
f��r�� �
ZV��
f��r� ���r � �r�� dv �I���
La demostraci�on intuitiva de esta propiedad es f�acil si aplicamos sucesivamente lasdos propiedades de�nitorias de la � e integramos sobre sobre un peque�no volumen �V �� que contenga al punto �r�� v�ease la �gura I���ZV��
f��r� ���r � �r�� dv �
Z�r��V
f��r� ���r � �r�� dv � f��r��
ZV��
���r � �r�� dv � f��r��
0εx -0 /2ε
x 0
f(x)
x
f(x )0
x +/2
Figura I���
b� � no es una funci�on y su �derivada� tampoco lo es pero� sin embargo� pode�mos de�nir sus propiedades mediante el proceso de l��mite enunciado al principio�Simb�olicamente� escribiremos d
d x ��x � x�� � �� �x� x���
Haciendo uso de �a�x� x�� e integrando por partes� tenemos queZ �
��f�x� ��a�x� x�� dx � �f�x� �a�x� x���
��� �z �
��
�Z �
��f � �x� �a�x� x�� dx
i�
y� tomando el l��mite para a� �Z �
��f�x� �� �x� x�� dx � �f � �x�� �I���
De forma general Z �
��f�x� ��n� �x� x�� dx � ����n f �n� �x�� �I���
Otras propiedades de inter�es est�an rese�nadas en el ap�endice de formulario�
I�� Ejemplos de sucesiones de funciones cuyo l��mite es la
delta de Dirac
$ �� La delta de Dirac como sucesi�on de pulsos cuadrados� �gura I���a�
Sea a � �n y
�n�x� x�� �
���� para jx� x�j � �
n
n� para jx� x�j � �
n
a=3
a=1 a=1
a=3
0)(x-xδ a 0)(x-xδ a
(b) (c)
x 0
0)(x-x
xΔn
(a)
x - /(2n)0
x + /(2n)0 ΔΔ
δ
x
n
0
Figura I���
En esta sucesi�on� a medida que n aumenta� la base tiende a cero y la altura a in�nitopero todas las �n tiene �area unitaria� luego limn�� �n�x� x�� � ��x� x���
$ �� La delta de Dirac como l��mite de una sucesi�on gaussiana� �gura I���b�
�a�x� x�� ��
ap�e��
x�x�a
��
En este caso lima�� �a�x� x�� � ��x� x���
i��
$ �� La delta de Dirac como l��mite de funciones seno sobre arco� �gura I���c�
�a�x� x�� �sen �a �x� x���
� �x� x��
Tambi�en aqu�� lima�� �a�x� x�� � ��x� x���
I�� Otras expresiones �utiles de la �
$ �� En mec�anica cu�antica� y en el estudio de propagaci�on de ondas� es muy �util laexpresi�on
���r � �r�� ��
����
Zk�
e j�k���r��r�� dk �I� �
donde �k � �kx� ky� kz� es el vector de onda y dk � dkx� dky� dkz �
$ �� Nosotros haremos un uso frecuente de la expresi�on
���R� � ���r � �r �� � � �
�r ���
�
R� � � �
�r��
�
R� �I����
donde �r � �x� y� z� es el vector de posici�on del punto de observaci�on� �r � � �x�� y�� z��es el correspondiente a las fuentes y �R � �x � x�� y � y�� z � z�� � �r � �r� el vectorde interacci�on que liga a las fuentes con el punto de observaci�on� r opera sobre lascomponentes de �r y r � sobre las de �r ��
y
z
r
r ’
v’Δ
ds ’
R
R-
x
P
^
Figura I��
Veamos que ���r�� as�� de�nida� es efectivamente una delta de Dirac� �gura I�� Puedecomprobarse por diferenciaci�on directa que
� �
�r ���
�
R� �
���� para �r �� �r �� ��R �� ��
�� para �r� �r �� ��R� ��
i��
y� adem�as� la integral de esta funci�on� en un V � �� � o que contenga �R � �� es iguala la unidad�Z
V ���r ���
�
R� dv � �
Z�R��V �
r � � �r ���
R�� dv � �
ZS �r � �
�
R� � d�s � �
�
ZS �
�r � �nr
ds � � �ZS ����r� � �n
rds � �
ZS �
d% � ��
d% es el diferencial de �angulo s�olido con que se ve d�s desde P �
I� Ecuaciones de continuidad
�A partir de estas de�niciones microsc�opicas de las densidades pueden obtenerse las
ecuaciones de continuidad de la carga neta y de cada una de las especies de carga quecomponen el sistema�Derivando la densidad de carga ���
���r� t� �
NXi��
qi ���r � �ri�t��
con respecto al tiempo
���r� t�
t�
NXi��
tfqi ���r � �ri�t��g �
�
NXi��
qit
���r � �ri�t�� �z ��a�
�
NXi��
qi
t���r � �ri�t�� �z ��b�
El t�ermino �a�� como los dem�as de esta expresi�on� corresponde a un n�umero depart��culas que aparece� por unidad de tiempo y de volumen� en ��r� t�� Al escribirsimb�olicamente �qi
�t se indica que las part��culas en cuesti�on� aunque tienen carga qi
mientras existen� pueden aparecer� ��jqij�t � ��� o desaparecer ��jqij�t � �� del entorno de��r� t�� por procesos de creaci�on o destrucci�on de carga� Si se tiene en cuenta que existencargas de ambos signos y que� por el principio de neutralidad� en cada punto e instantese crea o se destruye tanta carga positiva como negativa� �a� puede escribirse como
NXi��
qit
���r � �ri�t�� � ����r� t�� ����r� t� � �
donde ��� son las tasas de creaci�on de carga positiva y negativa �carga de cada signocreada por unidad de volumen y tiempo en ��r� t��� Por el principio de neutralidad deluniverso� las tasas son iguales y su diferencia nula�
i��
El t�ermino �b� puede tratarse f�acilmente mediante el cambio de variable ����r� t� ��r��ri�t�� que es funci�on de �r y de t �a trav�es de �ri�t��� lo que permite expresar a la deltade Dirac como ����� y derivarla como funci�on de funci�on �� De esta forma
qi
t���r � �ri�t�� � qi
�����
��� ��t� �qi �vi � r���r � �ri�t�� �
� �r � fqi �vi ���r � �ri�t��g � �r � ��i �I����
En los pasos anteriores se ha tenido en cuenta que
��
t� ��ri�t�
t� ��vi�t� � que �����
���
�r���r � �ri�t��
y se ha hecho uso del desarrollo de la divergencia del producto de un escalar por unvector teniendo en cuenta que �vi�t� no depende de �r�Sustituyendo en las ecuaciones anteriores� se deduce la ecuaci�on de continuidad de
la carga neta
r � ��� �
t� � �I����
Si se expresa la densidad de carga neta como � � �� � ��� suma de las densidadesde carga positiva y negativa� se obtienen las ecuaciones de continuidad para las cargasde ambos signos
r � ���� � ���t
� ��� �I����
�Se har�a uso de la notaci�on general � ��� � � �x� � �y� � �z� En particular� � �r�r�
i��
Ap�endice J
Desarrollo en serie y
Transformada de Fourier
Nos limitaremos aqu�� a recordar brevemente los aspectos fundamentales del desarrolloy la transformada de Fourier� Bas�andonos en estas t�ecnicas daremos una mayor gener�alidad al estudio de los sistemas lineales y a la propagaci�on de ondas electromagn�eticas�
J�� Desarrollo en serie de Fourier
Sea una funci�on continua de una variable t� f�t�� en el intervalo �a� b�� Dentro de eseintervalo es posible representar a f�t� como
f�t� �
�Xi��
ai �i�t�
siempre que f�i�t�g sea un conjunto de funciones ortogonal y completo en dicho inter�valo�
Para que �esto sea cierto es necesario que
Z b
a�i �j dt �
���� si i �� j
�� � si i � j
En particular el conjunto de funciones ��� cos n�� t� senn�� t�� con n � �� ����� esortogonal en cualquier intervalo �t� t� T��� donde T� �
����� y adem�as es completa para
funciones continuas y acotadas dentro de ese intervalo� A T� se le llama Periodo funda�
mental� a �� Frecuencia fundamental y a n N�umero arm�onico�
Por tanto� si f�t�� �gura J��� es acotada y continua en �t� t� T�� �T� � b� a � a �t � b � t� T��� podr�a expresarse dentro de dicho intervalo como
f�t� � fd�t� �a���
�Xn��
�ai cos n� t� bi senn� t� �J���
j��
j��
f(t) d
T0
(t)
f(t)
a b
f
Figura J���
donde fd�t�� el desarrollo en serie de Fourier de f�t�� coincide con esta �ultima funci�onen el intervalo pero no fuera del mismo donde se repite peri�odicamente� Los coe�cientesdel desarrollo son
an ��
T�
Z t�T�
tf�t� cos n�� t dt � � n � �� �� � � � � �J���
bn ��
T�
Z t�T�
tf�t� senn�� t dt � � n � �� � � � � �J���
Este desarrollo� que solo es v�alido para el intervalo �a� b�� lo ser�a tambi�en para el������ si la funci�on f�t� es peri�odica de periodo b� a�
Si se tienen en cuenta las f�ormulas de Euler� podemos expresar J�� en forma compleja
f�t� �
�Xn���
cn ej n�� t �J��
siendo
cn ��
T�
Z t�T�
tf�t� e�j n�� t dt �J���
En de�nitiva� el desarrollo en serie de Fourier� consiste en transformar la funci�onf�t�� dentro de un intervalo �a� b�� en un n�umero in�nito de coe�cientes cn� que contienenla misma informaci�on que f�t� en dicho intervalo�
Dado que no podemos tomar in�nitos t�erminos del desarrollo� en la pr�actica seaproxima a fp�t� mediante
fN �t� �
NXn��N
cn ej n�� t �J���
Se puede demostrar que la funci�on error cuadr�atico
E� �
Z b
a�f�t�� f �N �t��� dt � � f �N �t� �
NXn��N
c �n ej n�� t
se minimiza haciendo c �n � cn� por lo que J�� es la serie de Fourier que mejor aproximaa fp�t� desde el punto de vista del error cuadr�atico�
j��
J�� Transformada de Fourier
Hemos visto que el desarrollo en serie de Fourier nos sirve para representar funcionesen un intervalo �nito e incluso� cuando son peri�odicas� en un intervalo in�nito�Veremos que� bajo ciertas condiciones� funciones que se extienden en el tiempo en
el intervalo ������ admiten� si no el desarrollo anterior� una transformaci�on� la deFourier� que resulta de extender el concepto de desarrollo�Casi todas las funciones �utiles en f��sica� salvo las peri�odicas� son de cuadrado sumableZ �
��jf�t�j� dt � �nita
Se puede demostrar que esta condici�on es su�ciente� aunque no necesaria� para queexista la transformada�Volviendo al desarrollo� observamos que los coe�cientes cn � �� cuando T� � ��
Si queremos obtener una representaci�on de funciones que se extiendan en un intervaloin�nito� debemos modi�car el desarrollo de forma que se soslaye este problema�Sea un intervalo �nito
��T�� �
T��
�y desarrollemos f�t� dentro de �el�
f�t� ��X
n���cn e
j n�� t � � cn �����
Z T��
�T��
f��� e�j n�� � d�
Substituyendo cn en la expresi�on de f�t�
f�t� �
�Xn���
����
�Z T��
�T��
f��� e�j n�� � d�
�e j n�� t
Si ahora escribimos �� � �� y de�nimos una nueva variable � � n�� � n��� en ell��mite T� ��� �� � d� y
f�t� ��
��
Z �
����F ��� e j � t d� �J���
expresi�on de la Transformada inversa de Fourier de la funci�on F ���� donde
F ��� � F �f�t�� �Z �
t���f�t� e� j � t dt �J���
es la Transformada directa de Fourier� Entrambas forman el par de transformadas deFourier�En el formulario se rese�nan algunas de las propiedades de esta transformada�
J�� Ejemplos
J� Desarrollo en serie
Sea la funci�on de la �gura J���a� Esta funci�on no tiene transformada de Fourier por noser de cuadrado sumable� Sin embargo� se puede desarrollar en serie por ser peri�odica
j�
n|
T0
4
T0
4
|c n|2 /A
A
ϕ
ϕ
n
f(t)
t
+-
(a) (b)
|c
π
Figura J���
de periodo T�� Los coe�cientes del desarrollo son los cn� en general� se podr�an expresarcomo unos n�umeros complejos de la forma
cn �A
�
senn ��
n ��
Estos coe�cientes pueden expresar� como n�umeros complejos que son en general� enfunci�on de su m�odulo jcnj y su fase como cn e j�� v�ease la �gura J���b�
J� Transformada
Para la funci�on de la �gura J���a
F
-a a
t
A
f(t)
(a) (b)
F| |
ω a
ϕ
π
ω
(c)
a
Figura J���
F ��� � �Aasen� a
� a
En la �gura J���b se representa a �esta funci�on y en la J���c a su m�odulo y su fase�
j��
J�� Problemas
j��� Hallar el desarrollo en serie de Fourier de las siguientes funciones�
-t
f(t)
t
F 0
f(t)
t
F 0
T0 T0
1
(a) (b)
-t 1
Figura J��
j��� Calcular y representar la transformada de Fourier de las siguientes funciones�
f(t)F 0
t(s)1
1,1
Para y N=10N=1f(t)
F 0
t(s)1 2
f(t)F 0
t(s)
T NT0 0
(a) (b) (c)
Figura J���
j��
Ap�endice K
Resumen de formulario
K�� Constantes f��sicas
c velocidad de la luz �� � � �� � ���m�s��
�� permeabilidad magn�etica � � ��� H�m�� � �� ��� � � ����H�m��
�� permitividad el�ectrica �� �� ��� � � ����� F�m��
e carga del prot�on �� ��� �� � � ����� Cme masa en reposo del electr�on � �� �� � ���� kgmp masa en reposo del prot�on �� ��� �� � ���� kgk constante de Boltzmann �� ��� ��� � ���� J�K��
h constante de Plank �� ��� ��� � ��� J�s
K�� Conversi�on de unidades
� eV � �� ��� �� � � ����� Julios�Tesla � �� gauss
K�� Relaciones vectoriales y di�adicas
K� Productos
�a � ��b � �c� � �b � ��c � �a� � �c � ��a ��b� �K���
�a � ��b � �c� � �b ��a � �c�� �c ��a ��b� �K���
��a ��b� � ��c � �d� � ��a � �c���b � �d�� ��a � �d���b � �c� �K���
�a � ��b�c� � ��a ��b��c � � ��a�b� � �c � �a ��b � �c� � � ��a�b�� � a a� �K��
�a� �I � �a � � ��I �� � �� �K���
K� Gradiente
r�f � g� � r f �r g �K���
k��
k��
r�f g� � f rg � grf �K���
r��a ��b� � ��a � r��b� ��b � r��a� �a � �r ��b� ��b � �r� �a� �K���
rf��r� � br d fd r
� � rr � br � � r��r� � � �
r�br �K� �
K Divergencia
r � ��a��b� � r � �a�r ��b �K����
r � �f �a� � f r � �a� �a � rf �K����
r � ��a ��b� � �b � r � �a� �a � r ��b �K����
r � r � �a � � �K����
r � rf � r�f �K���
r � �r � � �K����
K� Rotacional
r� ��a��b� � r� �a�r��b �K����
r� �f �a� � f r� �a�rf � �a �K����
r� ��a ��b� � �ar ��b��br � �a� ��b � r��a� ��a � r��b �K����
r� �r� �a� � r�r � �a��r��a �K�� �
r� �rf� � � � � r� �r � � �K����
r� �a�u� � ru � d�a
d u�K����
K� Laplaciano
r���
r� � �� ���r� �K����
r��a � r�r � �a��r� �r� �a� �K����
r��a �� ax x�
�� ay y�
�� az z�
� � �Solo en cartesianas�
K Teoremas integralesZVr � �a dv �
IS�a � �nds �K���Z
Vr� �T dv �
IS�n� �T ds �K����Z
S�r � �a� � �nds �
IL�a � d�l �K����Z
Vrf dv �
ISf �n ds �K����
k��ZVr� �a dv �
IS�n � �a ds �K����Z
S�n �rf ds �
ILf d�l �K�� �
K�� Coordenadas cuvil��neas
K�� Cuadro resumen
Sistema q� q� q bx by bz h� h� hCartesianas x y z bx by bz � � �
Cil��ndricas � z b� b bz � � �
Esf�ericas r � br b� b � r r sen �
K�� Vector de posici�on
� Cartesianas� �r � x bx� y by � z bz �K����
� Cil��ndricas� �r � � b�� z bz � � cos bx� � sen by � z bz �K����
� Esf�ericas� �r � r br � r �sen � cos bx� sen � sen by � cos � bz� �K����
K� Vector diferencial de l��nea
� Cartesianas� d�l � dx bx� dy by � dz bz �K����
� Cil��ndricas� d�l � d� b�� � d b � dz bz �K���
� Esf�ericas� d�l � dr br � r d� b� � r sen � d b �K����
K�� Elemento de volumen
�Cartesianas�dv � dx dy dz �K����
� Cil��ndricas� dv � � d� d dz �K����
� Esf�ericas� dv � r� sen � dr d� d �K����
K�� Gradiente
� Cartesianas� r � bx
x� by
y� bz
z�K�� �
� Cil��ndricas� r � b�
���
�b
� bz
z�K���
� Esf�ericas� r � br
r��
rb�
��
�
r sen �b
�K���
Solo en cartesianas puede utilizarse r como un operador vectorial�
k�
K� Divergencia
� Cartesianas� r � �a � ax x
� ay y
� az z
�K���
� Cil��ndricas� r � �a � a��� a� �
��
�
a�
�
z�K���
� Esf�ericas� r � �a � � arr� ar r
�a�rcotg � �
�
r
a� �
��
r sen �
a�
�K��
K�� Rotacional
� Cartesianas� r��a �))))))bx by bz�� x
�� y
�� z
ax ay az
)))))) �K���
� Cil��ndricas� r��a � �
�
))))))b� � b bz�� �
�� �
�� z
a� � a� az
)))))) �K���
� Esf�ericas� r��a � �
r� sen �
))))))br r b� r sen � b �� r
�� �
�� �
ar r a� r sen � a�
)))))) �K���
K�� Laplaciana
� Cartesianas� r� � �� �
x��� �
y��� �
z��K���
� Cil��ndricas� r� � ��
�
�
�� �
�
���
��� �
��� �
z��K� �
� Esf�ericas� r� � ��
r
�
r�� �
r��cot �
r� �
���
r�� �
���
�
r� sen� �
� �
��K����
Solo en cartesianasr� �a � r� ax �r� ay �r� az �K����
En generalr� �a � r�r � �a��r� �r � �a� �K����
K� La Delta de Dirac
K�� de�niciones
��x� x�� �
���� para x �� x�
�� para x� x�
�K����
k��
Z �
����x� x�� dx � � �K���
���r � �r�� �
���� para �r �� �r�
�� para �r� �r�
� �
ZV��
���r � �r�� dv � � �K����
���r � �r�� ��
h� h� h��q� � q��� ��q� � q��� ��q � q�� �K����
��x� x�� �d
d xu�x� x�� � u� �x� x�� � � u�x� x�� �
Z x
����x � x�� �K����
K�� Expresiones integrales y diferenciales de la delta de Dirac
���r � �r�� ��
����
Zk�
e j�k���r��r�� dk �K����
���R� � ���r � �r �� � � �
�r ���
�
R� � � �
�r��
�
R� �K�� �
K� Propiedades b�asicas
���x� � ��x� �K����
x ��x� � � �K����
��a x� ��
a��x � � a � �� �K����
Z �
����x� a� ��x � b� dx � �a� b �K����
��x� � a�� ��
�a���x � a� � ��x� a�� �K���
f�x� ��x� a� � f�a� ��x � a� �K����
x � ��x� � ���x� �K����
� ���x� � �� ��x� �K����
f��r�� �
ZV��
f��r� ���r � �r�� dv �K����
k��
Z �
��f�x� �� �x� x�� dx � �f � �x�� �K�� �
Z �
��f�x� ��n� �x� x�� dx � ����n f �n� �x�� �K����
��h�x�� �Xxi
��x� xi�
jdh�xi��dxj � � xi son los ceros de h�x� �K����
K�� Series y transformadas de Fourier
K � Series
f�t� � fd�t� �a���
�Xn��
�ai cos n� t� bi senn� t� �K����
an ��
T�
Z t�T�
tf�t� cos n�� t dt � � n � �� �� � � � � �K����
bn ��
T�
Z t�T�
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f�t� �
�Xn���
cn ej n�� t �K����
cn ��
T�
Z t�T�
tf�t� e�j n�� t dt �K����
K � Transformadas
f�t� ��
��
Z �
����F ��� e j � t d� �K����
F ��� � F �f�t�� �Z �
t���f�t� e� j � t dt �K����
F �Af�t� �B g�t�� � AF ��� �BG��� �K�� �
F � dd t
f�t�� � j � F ��� �K����
F �Z
f�t� dt� ��
j �F ��� �K����
F ���t�� � � �K����
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