UNIVERSITE TOULOUSE III – PAUL SABATIER U.F.R. Physique-Chimie-Automatique THESE en vue de l’obtention du DOCTORAT DE L'UNIVERSITE DE TOULOUSE délivré par l’Université Toulouse III – Paul Sabatier Discipline : Physique et Ingénierie des Plasmas de Décharge présentée et soutenue par François CAYLA Le 5 Février 2008 Titre : Modélisation de l’interaction entre un arc électrique et une cathode JURY Président : M. Olivier EICHWALD, Professeur de l’Université Paul Sabatier, Toulouse. Rapporteurs : M. Bruno CHERON, Professeur de l’Université de Rouen. M. Pierre PROUX, Professeur de l’Université de Sherbrooke. Examinateurs : M. Christian ARNOUX, Ingénieur de recherche, Schneider Electric, Grenoble. M. Pierre FRETON, Maître de conférences de l’Université Paul Sabatier, Toulouse. M. Jean-Jacques GONZALEZ, Directeur de recherche au C.N.R.S., Toulouse.
192
Embed
Titre : Modélisation de l’interaction entre un arc ...
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
UNIVERSITE TOULOUSE III – PAUL SABATIER U.F.R. Physique-Chimie-Automatique
THESE
en vue de l’obtention du
DOCTORAT DE L'UNIVERSITE DE TOULOUSE délivré par l’Université Toulouse III – Paul Sabatier
Discipline : Physique et Ingénierie des Plasmas de Décharge
présentée et soutenue
par
François CAYLA Le 5 Février 2008
Titre :
Modélisation de l’interaction entre un arc électrique et une cathode
JURY
Président : M. Olivier EICHWALD, Professeur de l’Université Paul Sabatier, Toulouse.
Rapporteurs :
M. Bruno CHERON, Professeur de l’Université de Rouen.
M. Pierre PROUX, Professeur de l’Université de Sherbrooke.
Examinateurs :
M. Christian ARNOUX, Ingénieur de recherche, Schneider Electric, Grenoble.
M. Pierre FRETON, Maître de conférences de l’Université Paul Sabatier, Toulouse.
M. Jean-Jacques GONZALEZ, Directeur de recherche au C.N.R.S., Toulouse.
A mes parents
A Céline
A Julien
A tous ceux qui me sont chers
Remerciements
Ce travail a été effectué au sein de l’équipe « Arc Electrique et Procédés Plasmas
Thermiques » du Laboratoire Plasma et Conversion d’Energie de Toulouse.
J’exprime ma profonde gratitude et sympathie à Monsieur Jean-Jacques GONZALEZ,
Directeur de recherche au C.N.R.S., et à Monsieur Pierre FRETON, Maître de conférences de
l’Université Paul Sabatier, qui ont dirigé ce travail de thèse. Leur disponibilité ainsi que les
discussions fructueuses ont permis l’aboutissement de ce manuscrit. Je les prie d’accepter mes
plus vifs remerciements pour l’aide et le soutien qu’ils ont pu apporter à ce travail. Qu’ils
trouvent ici l’expression de ma profonde reconnaissance et de mon estime la plus sincère.
J’exprime ma gratitude à Monsieur Olivier EICHWALD, Professeur de l’Université
Paul Sabatier, pour m’avoir fait l’honneur de présider le jury de ma thèse. Je le prie ici de
trouver ma très sincère reconnaissance.
Je remercie aussi Monsieur Bruno CHERON, Professeur de l’Université de Rouen, et
Monsieur Pierre PROULX, Professeur de l’Université de Sherbrooke, pour m’avoir fait
l’honneur d’examiner ce travail en tant que rapporteur et d’avoir participé au jury. Leurs
critiques ont permis la rédaction finale de ce mémoire.
Je remercie Monsieur Christian ARNOUX, Ingénieur de recherche chez Schneider
Electric à Grenoble, d’avoir participé à mon jury de thèse. Je le remercie pour l’attention qu’il
a su manifester à l’égard de cette étude.
J’exprime toute ma sympathie aux personnes que j’ai pu côtoyer durant ces années de
thèse au sein du laboratoire : Mathieu MASQUERE, Yann CRESSAULT, Philippe TEULET,
Chapitre 1 : Etat de l’art de différents modèles de zone cathodique .................. 23
I. Introduction............................................................................................. 25
II. Structure de la région cathodique ......................................................... 26 II.A. La cathode ................................................................................................................ 26
II.B. La gaine .................................................................................................................... 27
II.C. La pré-gaine.............................................................................................................. 27
II.D. Le plasma à l’ETL.................................................................................................... 27
Les plasmas forment un domaine de la physique peu connu du grand public alors que
cet état de la matière est omniprésent autour de nous. On peut aussi bien le trouver à l’état
naturel dans l’espace au niveau des étoiles, sur terre dans l’ionosphère, ou bien encore lors
d’une décharge de foudre, qu’au niveau de notre vie de tous les jours comme par exemple en
allumant une lampe fluorescente ou lorsqu’un interrupteur ou un disjoncteur commutent.
L’évolution vers la maîtrise et la compréhension du milieu plasma est le fruit d’études
qui ont débuté il y a deux siècles grâce à l’apparition et au développement de l’énergie
électrique. Une des premières formes de plasma entretenu, à avoir été créée en laboratoire, est
celle d’un arc électrique établi entre deux électrodes de carbone [Vac-1]. Cette expérience fut
menée au début du XIXème siècle par Davy [Vac-1]. C’est ainsi que commença l’étude des
plasmas thermiques. Les travaux menés par la suite furent principalement empiriques et ce
n’est seulement qu’au XXème siècle que les progrès les plus significatifs furent établis. Tout
d’abord la physique fondamentale, durant la première moitié du XXème siècle, apporta les
connaissances en physique atomique et en physique du solide nécessaires à une meilleure
compréhension des phénomènes constitutifs de la décharge d’arc. Par la suite, dans les années
quatre-vingt, la modélisation et l’expérimentation ont fait de nombreux progrès notamment
grâce au développement rapide de l’informatique qui constitue un outil indispensable
permettant d’avoir une connaissance de plus en plus précise des plasmas thermiques. Ainsi
des modèles d’arc bidimensionnel puis tridimensionnel [Fre-1] ont été développés, basés sur
des programmes multi-physiques de plus en plus performants. Parallèlement à cela, les
moyens de validation tels que la mesure de flux d’énergie vers les matériaux par méthode
inverse [Gon-1] ou bien la tomographie [Spe-1] ont pu être mis en place afin de pouvoir
valider de manière plus fiable les modèles existants.
Les modèles ainsi établis ont pu être appliqués afin d’optimiser des procédés tels que
la projection ou bien de maîtriser le comportement de l’arc dans des installations telles que les
disjoncteurs. Ainsi les intérêts des industriels et des chercheurs convergent vers la volonté
d’une connaissance toujours plus approfondie des mécanismes régissant le comportement du
milieu en présence d’un arc électrique. Malgré les performances avérées des modèles actuels,
certaines zones d’ombre subsistent notamment au niveau de la description des pieds d’arc. En
effet, ces régions situées à l’interface entre le plasma thermique et les électrodes nécessitent
des connaissances plus approfondies pour une meilleure description (modèles hors-équilibres,
Introduction
- 20 -
phénomènes émissifs, …). Cependant, les moyens expérimentaux de validation sont rares et
bien souvent très indirects dans ces zones de plasma proches des électrodes. Pour palier à
cette lacune et dans le but d’accroître la connaissance de ces zones hors-équilibres présentes
aux voisinages des électrodes, des modèles ont été développés. La plupart offrent seulement
une description locale du pied d’arc sans prendre en compte la problématique dans sa
globalité, à savoir, les électrodes, les zones de gaine et de pré-gaine et la colonne.
Actuellement, les travaux relatifs à la description de la zone anodique ont pu être
couplés à la modélisation de la colonne d’arc. Citons à titre d’exemple le modèle de Lago
[Lag-2], validé par des mesures expérimentales obtenues par Masquère [Mas-1], qui permet
une description du plasma en écoulement et de son interaction avec une électrode ainsi qu’une
continuité du passage du courant depuis la pointe de la cathode jusqu’à son évacuation en
fond d’anode. Le parallèle de ces travaux côté cathodique n’a jamais été réellement réalisé.
En effet les modèles existants ne prennent pas vraiment en compte la conservation du courant
dans tout le domaine, en particulier à l’interface cathode/plasma où généralement une tache
d’accrochage, de dimension prédéterminée est imposée [Pau-1].
Ainsi la motivation de cette thèse va être de développer un modèle auto-cohérent
d’interaction entre le plasma thermique créé par un arc électrique et le corps de la cathode en
conservant le courant depuis son entrée dans la cathode jusqu’à la surface de l’anode. Pour
cela notre étude s’articulera en trois temps correspondant chacun à un chapitre de ce
manuscrit.
Le chapitre I présentera une synthèse des principales théories existantes pour la
description de la zone cathodique. L’objectif de ce chapitre ne sera pas de faire une liste
exhaustive des modèles existants et de leurs variantes mais d’avoir une vue d’ensemble des
principales théories et des concepts fondamentaux que l’on peut trouver dans la littérature sur
l’interaction arc/cathode à la pression atmosphérique. Ainsi deux familles de modèles vont
être présentées : celle à l’équilibre et celle hors équilibre thermodynamique. Ces deux familles
rassemblent les modèles développés depuis une trentaine d’années. Leurs spécificités vont
être décrites dans les grandes lignes. De cette étude vont découler les bases de notre modèle
d’interaction présenté dans le chapitre II.
Le chapitre II va permettre de construire le modèle d’interaction qui se basera sur les
concepts mis en avant dans le premier chapitre. Ce travail sera mené dans l’optique d’une
Introduction
- 21 -
application de ce modèle à une description globale de l’arc. On entend par description
globale, une modélisation qui englobe aussi bien la circulation du courant dans l’électrode
depuis son entrée jusqu’à la circulation dans la colonne du plasma en passant par une
description physique de l’interface. Le point de départ de notre modèle sera celui de Benilov
et al [Ben-2]. Des modifications, permettant de prendre en compte les autres travaux cités
dans le chapitre I, seront ensuite effectuées. Ainsi l’introduction du phénomène d’émission
secondaire et son influence sur les grandeurs physiques de la zone d’interaction cathodique
vont être présentées. Les résultats du modèle 1D seront ensuite comparés à des mesures
expérimentales issues de la littérature et une étude paramétrique sera présentée. Enfin l’étude
de notre modèle d’interaction arc/cathode se poursuivra par l’utilisation de la densité de
courant comme seul paramètre d’entrée afin de préparer l’implantation de notre description de
la zone cathodique dans le modèle 2D d’arc présenté dans le chapitre suivant.
Le chapitre III présentera, dans un premier temps, les grandes lignes du modèle
décrivant la colonne du plasma ainsi que les spécificités pour effectuer son couplage avec la
description de la cathode et de son proche voisinage. Nous exposerons ensuite les principaux
résultats qui peuvent être obtenus à partir d’un cas de référence. Notre modèle de couplage
entre la cathode et la colonne du plasma, bien qu’auto-cohérent, est tributaire de grandeurs
physiques plus ou moins connues. Nous présenterons donc une étude paramétrique sur les
principales grandeurs gouvernant la représentation de la zone cathodique. Une des grandeurs
obtenue par notre modèle et qui pose souvent problème est la valeur de la chute de tension
cathodique. Nous proposerons donc une étude de sensibilité de cette valeur à différents
paramètres. Enfin une discussion et une présentation des résultats relatifs au transfert
thermique vers la cathode seront exposées avant de conclure.
Introduction
- 22 -
Chapitre 1 : Etat de l’art de différents modèles de zone cathodique
- 23 -
Chapitre 1 : Etat de l’art de
différents modèles de zone
cathodique
Chapitre 1 : Etat de l’art de différents modèles de zone cathodique
- 24 -
Chapitre 1 : Etat de l’art de différents modèles de zone cathodique
- 25 -
I. Introduction
La modélisation de la zone cathodique est un sujet qui anime « la communauté
scientifique » depuis le début du XXème siècle. Les premières personnes ayant travaillé sur ce
sujet sont Tonks et Langmuir [Ton-1] et Mackeown [Mac-1]. Ceux-ci ont publié leurs
travaux en 1929. Cependant, cela fait seulement 30 ans que le sujet est activement étudié
notamment dans les arcs à des pressions proches de la pression atmosphérique. Pendant cette
dernière période, de nombreux modèles sont apparus mais manquent de validations
expérimentales. Il est en effet difficile d’effectuer un diagnostic au proche voisinage de la
surface de la cathode. Néanmoins de récentes études expérimentales [Nan-2] ont permis de
valider partiellement certains modèles décrivant la région cathodique.
Ce premier chapitre a pour objectif de donner une vue d’ensemble des principaux
modèles de zone cathodique. Dans notre étude nous n’avons pas pris en compte les modèles
de spots cathodiques décrits par certains auteurs comme Jüttner [Jüt-1]. En effet, la durée de
vie du spot est négligeable (≈ 10 ns) devant les constantes de temps caractéristiques de la
décharge (≈ ms). Ainsi nous nous sommes focalisés sur les modèles prenant en compte les
effets moyens dans le temps de l’interaction entre le plasma et la cathode.
Notre étude nous amène tout d’abord à présenter le point commun de tous ces
modèles : la structure de la région cathodique. Par la suite, deux grandes familles de modèles
vont être présentées :
Les modèles monothermes, décrits principalement par la théorie de Lowke et ses
variantes, considèrent la zone cathodique comme une région dont la température des
électrons est égale à la température des lourds (ions et neutres).
Les modèles à deux températures, plus ou moins complexes, considèrent que le
plasma proche de la cathode a une température électronique différente de la
température des lourds. Parmi ces modèles à deux températures celui de Benilov et al
[Ben-2] va être décrit de manière plus détaillée car il va constituer la base de notre
modèle d’interaction arc-cathode présenté dans le chapitre 2.
Chapitre 1 : Etat de l’art de différents modèles de zone cathodique
- 26 -
II. Structure de la région cathodique
Il est reconnu que la région cathodique peut être structurée principalement en quatre
zones lorsque le plasma est à la pression atmosphérique. Celles-ci sont très bien décrites par
Benilov [Ben-2]. La figure (FI-01) illustre cette structure qui est constituée de la cathode, de
la gaine, de la pré-gaine et du plasma.
cathode
Gaine
(Zone de charge d’espace)
Pré-gaine
(Zone d’ionisation)
Plasma
≈ 0.01 µm
≈ 100 µm
Figure (FI-01) : Structure de zone cathodique généralement admise
II.A. La cathode
La première région de la figure (FI-01), que nous décrirons, est la cathode qui est
caractérisée par sa conductivité thermique, sa conductivité électrique et par le travail de sortie
du matériau. Ces trois grandeurs sont déterminantes : la première va permettre de prendre en
compte l’évacuation de l’énergie par conduction thermique, la seconde la capacité à conduire
le courant et la troisième la capacité à émettre des électrons.
La surface de la cathode en contact avec le plasma va interagir très fortement avec la
gaine en recevant un flux d’énergie dont les valeurs moyennes dans le temps peuvent être
supérieures à 108 W.m-2 [Ben-2]. De plus c’est de la cathode que sont émis les électrons
entrant dans le plasma.
Chapitre 1 : Etat de l’art de différents modèles de zone cathodique
- 27 -
II.B. La gaine
La gaine est une région aussi appelée « zone de charge d’espace » car il y règne une
charge d’espace positive. C’est une région dont la taille est de l’ordre de la longueur de Debye
(λd) qui traduit la distance maximale pour laquelle il peut exister un déséquilibre de charge
électrique. Cette longueur s’exprime de la manière suivante :
21
2e0
d nekT
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ε=λ (EI-01)
Où ε0 correspond à la permittivité du vide, k la constante de Boltzmann, Te la température des
électrons à l’interface gaine/pré-gaine, e la charge élémentaire et n la densité de charge à
l’interface gaine/pré-gaine. Typiquement, ce déséquilibre de charge s’étend de 0.01 à 0.1 µm
pour des températures de l’ordre de 10000 K.
Dans cette région il existe un champ électrique très intense qui va accélérer les
électrons émis par la cathode entretenant ainsi l’excitation et l’ionisation du gaz dans la pré-
gaine. De la même manière, les ions créés dans la pré-gaine vont être accélérés du plasma
vers la cathode par ce champ électrique.
II.C. La pré-gaine
La pré-gaine est aussi appelée « zone d’ionisation ». Ce nom vient du fait que c’est
dans cette région que l’ionisation va être prépondérante. En effet les électrons venant de la
cathode vont entrer en contact avec le gaz et effectuer une multitude de collisions (élastiques
et inélastiques) qui vont permettre à la décharge de s’entretenir. Par conséquent cette région
est dite « collisionnelle » et peut être décrite par les équations de la mécanique des fluides
dans le cas d’un plasma à la pression atmosphérique. L’ordre de grandeur de la taille de cette
région est de plusieurs dizaines de microns.
II.D. Le plasma à l’ETL
Cette région est considérée à l’équilibre thermodynamique local [San-1]. En effet, les
électrons qui proviennent de la cathode ont échangé la majorité de leur énergie dirigée par
Chapitre 1 : Etat de l’art de différents modèles de zone cathodique
- 28 -
l’intermédiaire des collisions élastiques et inélastiques. Par conséquent, c’est à partir de cette
région que l’on peut dans la majorité des cas décrire le plasma avec une seule température.
II.E. Conclusion
Nous venons de montrer que la structure générale de la zone cathodique peut être
articulée autour de quatre zones étroitement liées. Au cours de ce mémoire, cette structure va
être conservée.
Malgré le fait que l’on puisse avoir en point commun des modèles existants la
structure que l’on vient de décrire, des différences notables peuvent être observées dans les
approches proposées dans la littérature pour décrire la zone cathodique. Ainsi il ressort deux
grandes familles : les modèles à une température (monothermes) et les modèles à deux
températures.
Chapitre 1 : Etat de l’art de différents modèles de zone cathodique
- 29 -
III. Les modèles monothermes
Les modèles monothermes existants sont principalement basés sur la théorie de Lowke
publiée en 1992 [Low-1]. Celle-ci a subi quelques modifications au cours des années [Zhu-
1][Mor-1][Low-2][Low-3] pour aboutir à la version proposée par Sansonnens et al [San-1]
dans le cadre d’un modèle de cathode réfractaire.
III.A. La théorie de Lowke et ses modifications
La théorie de Lowke ne prend pas en compte la zone de charge d’espace. La pré-gaine
est considérée comme une région monotherme dont la composition est modifiée par la
diffusion ambipolaire créée par les ions qui migrent vers la cathode. Ainsi la densité
électronique proche de la cathode est plus importante que celle à l’Equilibre
Thermodynamique Local (E.T.L.) favorisant le passage du courant de la cathode au plasma.
Ce phénomène d’enrichissement électronique revient à considérer un déséquilibre chimique
au sein de la zone d’ionisation.
Ainsi pour obtenir la densité électronique à proximité de la cathode, l’équation de
continuité de la densité électronique est utilisée afin de tenir compte des phénomènes de perte
et de création de charges.
Grâce au calcul de la distribution de densité électronique à proximité de la cathode, la
conductivité électrique peut être calculée et ainsi le passage du courant entre la cathode et le
plasma est assuré de manière auto cohérente. Il est à noter que la définition de la conductivité
électrique diffère entre l’article de Lowke et al [Low-2] et l’article de Sansonnens et al [San-
1]. En effet dans le premier, le champ électrique proche de la cathode intervient ce qui n’est
pas le cas dans le second article. L’approche de Lowke et al [Low-2] permet de tenir compte
du champ électrique important en surface de la cathode qui va favoriser l’ionisation du gaz à
son proche voisinage. Celle de Sansonnens et al [San-1] quant à elle est plus classique et
plus rigoureuse car elle utilise la formulation de la conductivité électrique proposée par
Mitchner et Kruger [Mit-1].
Chapitre 1 : Etat de l’art de différents modèles de zone cathodique
- 30 -
Pour pouvoir calculer la densité de charges proche de la cathode il est nécessaire de
résoudre l’équation d’énergie. Afin d’avoir la température à la surface qui constitue une
condition aux limites de l’équation d’énergie, Sansonnens et al [San-1] décomposent le flux
d’énergie à la surface de la cathode en trois contributions :
La première contribution provient du rayonnement du matériau de cathode. Elle est
prise en compte au travers de la loi d’émission du corps gris :
4rad Tq εσ−= (EI-02)
Où ε est l’émissivité de la surface, σ la constante de Stefan-Boltzmann et T la
température de la surface.
La seconde contribution est donnée par le flux d’énergie créé par les électrons quittant
la surface de la cathode qui emportent une énergie égale à celle du travail de sortie des
électrons.
La troisième contribution est constituée par l’énergie d’ionisation apportée par le flux
d’ions se neutralisant à la surface de la cathode.
La définition du flux d’énergie vers la cathode nécessite de connaître le flux d’ions qui
arrive à la cathode et le flux d’électrons qui la quitte. Ces deux flux de particules sont
déterminés à partir des densités de courant. La détermination de ces flux constitue une des
limites de la théorie de Lowke, l’autre limite étant l’absence de prise en compte de la zone de
charge d’espace.
III.B. Les limites de la théorie de Lowke
III.B.1. Calcul des densités de courant
Dans son modèle, Lowke définit la densité de courant ionique ji de la manière
suivante :
⎩⎨⎧
=
≤−=
sinon0i
ememi
jjjsijjj
(EI-03)
Où jem est la densité de courant thermoémis et j la densité de courant totale.
La densité de courant électronique je est définie de telle manière que ie jjj += .
La formulation (EI-03) pose alors un problème car le lien entre la densité de courant
électronique totale je et jem n’est pas explicité dans les articles basés sur la théorie de Lowke.
Par conséquent, dans le cas où jem est supérieur à j, la conservation de la densité de courant
Chapitre 1 : Etat de l’art de différents modèles de zone cathodique
- 31 -
totale ne sera pas assurée car la densité de courant thermoémise est due à un phénomène
thermique alors que la densité de courant totale traduit un phénomène électromagnétique de
transport de charges. Il manque donc une composante électronique qui permettrait
d’équilibrer l’équation de conservation de la densité de courant totale j. Cette composante
pourrait être la densité de courant provenant des électrons rétrodiffusés qui vont du plasma à
la cathode. Cependant cette hypothèse n’est pas avancée dans la théorie de Lowke.
III.B.2. L’absence de zone de charge d’espace
La théorie de Lowke ne prend pas en compte la zone de charge d’espace négligeant
ainsi le phénomène d’accélération des charges dans cette région. Cela pose alors le problème
de l’entretien de la décharge sur le plan microscopique. En effet, l’énergie thermique des
électrons venant de la cathode est de l’ordre de 0.1eV ce qui est très loin de l’énergie
permettant d’ioniser l’argon neutre (celle-ci est de 15.9 eV). Cependant sur le plan
macroscopique la décharge est entretenue grâce au chauffage du gaz par effet Joule qui est
créé par le passage du courant. Ce passage à l’interface gaine/pré-gaine est favorisé grâce à la
conductivité électrique corrigée à proximité de la cathode.
III.C. Conclusion
Les avantages et les inconvénients des modèles basés sur la théorie de Lowke sont
résumés dans le tableau (TI-01).
Avantages Inconvénients
Théorie intégrée dans une description bidimensionnelle de l’arc.
La conductivité électrique à proximité de la surface de la cathode tient compte des propriétés physiques de la zone cathodique.
La densité de courant à la surface de la cathode est utilisée comme paramètre d’entrée du modèle d’interaction cathodique.
Modèle à une température non approprié pour décrire la zone d’interaction [Hai-2]
Incohérences dans l’expression des densités de courant dans la zone d’interaction.
Pas de description de la zone de charge d’espace.
Tableau (TI-01) : Avantages et inconvénients des modèles basés sur la théorie de Lowke
Chapitre 1 : Etat de l’art de différents modèles de zone cathodique
- 32 -
Malgré les inconvénients cités ci-dessus, la théorie de Lowke est une des rares à avoir
été intégrée dans une configuration d’arc libre dans un modèle 2D axisymétrique [Low-
1][Low-2][San-1][Zhu-1][Fle-1].
Le résultat principal qui peut être retenu de cette théorie est que la conductivité
électrique à proximité de la cathode doit tenir compte des phénomènes physiques intervenant
dans la description de la zone cathodique. Ainsi, le passage du courant est conditionné d’une
part par l’état du gaz à proximité de la cathode et d’autre part par l’émission électronique.
La deuxième grande famille, qui utilise une approche très différente de celle de
Lowke, qui est monotherme, est celle des modèles à deux températures. Contrairement aux
modèles monothermes, les modèles à deux températures sont nombreux et très variés. Nous
allons exposer maintenant les principaux modèles que nous avons retenus allant des plus
simples aux plus complexes.
Chapitre 1 : Etat de l’art de différents modèles de zone cathodique
- 33 -
IV. Les modèles à deux températures
L’idée centrale des modèles à deux températures consiste à considérer l’existence d’un
déséquilibre thermodynamique dans le plasma proche de la cathode dû à une différence de
température entre les lourds et les électrons. A partir, de cette hypothèse les modèles
d’interactions se déclinent sous des formes diverses.
IV.A. Les modèles à deux températures simplifiés
Des modèles simplifiés, à deux températures, ont été proposés par Zhou et al [Zho-1]
[Zho-2] et Coulombe et al [Cou-1]. Trois points importants de leurs approches vont être
présentés :
La manière de calculer la densité de charges à l’interface gaine/pré-gaine
L’introduction et le calcul du flux d’électrons rétrodiffusés
La manière de déterminer la chute de tension cathodique
IV.A.1. Calcul de la densité de charges à l’interface gaine-pré-gaine
L’appellation « simplifiée » vient du fait que ces auteurs n’effectuent pas de calculs
hydrodynamiques dans la zone d’ionisation afin de déterminer la densité de charge à
l’interface gaine/pré-gaine (figure (FI-01)). A la place de ce calcul, qui peut rapidement être
complexe à cause du déséquilibre thermodynamique, Zhou et al [Zho-1] [Zho-2] et
Coulombe et al [Cou-1] préfèrent utiliser un calcul de composition à deux températures basé
sur l’approche de Richley et al [Ric-1].
La température des particules lourdes est égale à la température de surface dans les
modèles de Zhou et al [Zho-1] et Coulombe et al [Cou-1]. Cette hypothèse semble légitime
car les particules lourdes ne peuvent pas échanger d’énergie avec les électrons du fait de
l’absence de collisions dans la gaine. Néanmoins, les particules lourdes, se trouvant dans la
gaine, ont leur température qui atteint celle de la surface de la cathode lors du contact avec
celle-ci.
Chapitre 1 : Etat de l’art de différents modèles de zone cathodique
- 34 -
La détermination de la température électronique par contre diffère entre les deux
modèles.
Dans le modèle de Zhou et al [Zho-1] la température électronique à l’interface gaine/pré-
gaine est déterminée à partir du principe de minimisation de Steenbeck [Pai-1][Li-1].
Coulombe et al [Cou-1] ne considèrent pas l’équation d’énergie à l’interface gaine/pré-gaine
et effectuent une étude paramétrique suivant la température électronique.
IV.A.2. Le flux d’électrons rétrodiffusés
Zhou et al [Zho-1] et Coulombe et al [Cou-1] considèrent tous deux que le flux
d’électrons susceptible de revenir à la cathode peut être calculé à partir d’une densité
électronique réduite. Cela signifie qu’ils utilisent la densité électronique trouvée à partir du
calcul de composition à laquelle est retranchée une contribution électronique apportée par les
électrons thermoémis. La formulation du flux d’électrons apparaissant à la frontière gaine/pré-
gaine et pouvant revenir à la cathode est alors la suivante :
( ) ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−−=φ
eseemT2erd kT
eUexpvnn (EI-04)
Où Φrd est le flux d’électrons rétrodiffusés, e est la charge élémentaire, ne2T correspond à la
densité électronique du calcul de composition à deux températures, nem correspond à la
densité électronique apportée par les électrons venant de la cathode, ve est la vitesse
thermique des électrons provenant de la zone d’ionisation, U est la chute de tension dans la
gaine, k est la constante de Boltzmann et Tes est la température électronique à l’interface
gaine/pré-gaine.
IV.A.3. La chute de tension cathodique
Coulombe et al [Cou-1] fixent la chute de tension cathodique afin d’avoir le bilan
énergétique à l’interface zone de charge d’espace/cathode. Par contre, Zhou et al [Zho-2] ont
pour objectif de se fixer un minimum de paramètres : pression, courant total et température
électronique. La chute de tension dans la gaine est déterminée grâce aux bilans d’énergie à
l’interface gaine/pré-gaine.
Chapitre 1 : Etat de l’art de différents modèles de zone cathodique
- 35 -
IV.A.4. Synthèse
Les avantages et les inconvénients des modèles à deux températures simplifiés sont regroupés
dans le tableau (TI-02).
Avantages Inconvénients
La composition à l’interface gaine/pré-gaine est déterminée à partir d’un calcul de composition à deux températures.
Le flux d’électrons rétrodiffusés dans la gaine est pris en compte.
La température des particules lourdes dans la gaine est égale à celle de la surface de la cathode
Modèles non introduits dans une description bidimensionnelle de l’arc.
Nécessité de fixer plusieurs paramètres tels que la chute de tension cathodique et la température électronique.
Tableau (TI-02) : Avantages et inconvénients des modèles à deux températures simplifiés
Deux points sont à retenir de ces modèles :
L’idée d’un calcul de composition à l’interface gaine/pré-gaine est intéressante
car elle permet de déterminer la densité de charges à cette interface sans passer
par un modèle hydrodynamique à deux températures.
L’hypothèse qui consiste à supposer la température des ions à l’interface
gaine/pré-gaine égale à celle de la surface de la cathode.
IV.B. Les modèles complets
Dans la partie précédente, les modèles « simplifiés », ne tenant pas compte de ce qui
se passe dans la zone d’ionisation, ont été présentés dans leurs grandes lignes. Dans la famille
des théories à deux températures, il existe des modèles plus complets qui sont souvent cités
par la communauté. Par le terme « complet » nous entendons une description prenant en
compte la gaine et la pré-gaine et plus particulièrement l’hydrodynamique de la pré-gaine. Les
plus aboutis sont les modèles de Hsu et al [Hsu-1], de Schmitz et al [Sch-2] et de Benilov et
al [Ben-2]. Cette partie va permettre de comprendre les principales idées directrices de ces
modèles.
Chapitre 1 : Etat de l’art de différents modèles de zone cathodique
- 36 -
IV.B.1. La théorie de Hsu
Le modèle de Hsu et al [Hsu-1] est très élaboré au niveau de la description de la zone
de charge d’espace et de la zone d’ionisation. Cette partie a pour objectif de montrer les idées
directrices de ce modèle pour chaque région de la zone cathodique traitée par cette théorie.
Le plasma à l’ETL
Le plasma à l’E.T.L. apparaît dans le modèle au travers des conditions aux limites
suivantes :
• la densité de courant (j = 1.2 108 A.m-2)
• la température du plasma à l’ETL (Télectrons=Tlourds=21000 K)
• Le gradient de température (-4 107 K/m)
• Le champ électrique (-1.45 104 V/m)
• La densité électronique (1.727 1023 m-3)
• Le gradient de densité électronique (1.692 1024 m-4)
Les conditions aux limites à l’interface pré-gaine/plasma à l’E.T.L. permettent de résoudre les
équations de conservation du flux électronique et ionique dans la zone de charge d’espace et
dans la zone d’ionisation. La chute de tension dans la zone cathodique est déduite de mesures
expérimentales et fixée à 8.5V.
La zone de charge d’espace
La zone de charge d’espace est considérée comme non collisionnelle c'est-à-dire que
les électrons et les ions vont être en chute libre soumis à un champ électrique intense. Dans
cette région Hsu résout l’équation de Poisson permettant ainsi d’assurer la conservation de la
charge électrique. A la différence des modèles monothermes, il considère trois contributions
de charge dans cette région : le flux d’ions, le flux d’électrons provenant de la cathode et le
flux d’électrons rétrodiffusés comme le montre la figure (FI-02).
Chapitre 1 : Etat de l’art de différents modèles de zone cathodique
- 37 -
Cathode
Gaine (zone de charge d’espace)
Pré-gaine (zone d’ionisation)
Plasma à l’E.T.L.
Φi Φrd Φcath
Figure (FI-02) : Représentation schématique du flux d’ions (Φi), du flux d’électrons
rétrodiffusés (Φrd) et du flux d’électrons provenant de la cathode (Φcath)
Il est à noter que le flux d’électrons provenant de la cathode n’est pas défini par une
loi telle que celle de Richardson-Duschmann. Par contre, Rethfeld et al [Ret-1], qui appuient
leurs travaux sur ceux de Hsu, définissent explicitement le flux d’électrons thermoémis par la
loi de Richardson-Duschmann [Ash-1] :
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
π=φ
w
2w3
e2
cath kTWexpT
hmk4
(EI-05)
La zone d’ionisation
Dans le modèle de Hsu, cette région est collisionnelle et à deux températures. Hsu
considère deux équations de conservation de la charge et deux équations de l’énergie afin de
dissocier les phénomènes relatifs aux électrons et aux ions.
Les équations de conservation de la charge considèrent l’ionisation et la
recombinaison à trois corps. Pour obtenir le taux d’ionisation, Hsu utilise la formulation de
Potapov [Pot-1] qui généralise la loi de Saha permettant ainsi d’avoir la composition du
plasma à deux températures. Il est à noter que la formulation de Potapov n’est plus utilisée à
l’heure actuelle car il a été montré que celle-ci était erronée sur le plan thermodynamique
[Van-1].
Chapitre 1 : Etat de l’art de différents modèles de zone cathodique
- 38 -
L’équation de conservation de l’énergie électronique considère le flux de conduction
thermique, le flux enthalpique des électrons, les pertes dues aux collisions inélastiques et
élastiques avec les lourds et les pertes radiatives et l’énergie électrostatique.
Enfin l’équation de conservation de l’énergie ionique prend en compte l’énergie
électrostatique, l’énergie due aux collisions élastiques ainsi que l’énergie due à la conduction
thermique.
Conclusions
Le modèle de Hsu décrit la zone d’ionisation avec un formalisme hydrodynamique à
deux températures. Si une description de la zone d’ionisation devait être faite, le modèle de
Hsu semblerait être une bonne alternative.
Cette approche est cependant limitée actuellement par le manque de données de base
notamment au niveau du calcul des coefficients de transport à deux températures. D’autre part
le modèle mis en place dans les articles [Hsu-1] et [Ret-1] est mis en application pour une
seule valeur de la densité de courant (1.2 108 A.m-2). Ces articles ne permettent pas de savoir
si la théorie de Hsu est applicable à d’autres valeurs de densités de courant.
Les avantages et les inconvénients des modèles basés sur la théorie de Hsu sont
regroupés dans le tableau (TI-03).
Avantages Inconvénients
Modèle fluide à deux températures pour décrire la pré-gaine.
Le paramètre d’entrée du modèle est la densité de courant
Prise en compte du flux d’électrons rétrodiffusés
Couplage avec la cathode jamais réellement réalisé.
Calcul des coefficients de transport utilisant un calcul de composition obsolète [Pot-1]
Théorie testée seulement pour des valeurs de la densité de courant élevées (supérieurs à 108 A.m-2).
Tableau (TI-03) : Avantages et inconvénients des modèles basés sur la théorie de Hsu
Le point que nous pouvons retenir de cette théorie est que la densité de courant à la
surface de la cathode peut constituer un paramètre d’entrée du modèle d’interaction
arc/cathode.
Chapitre 1 : Etat de l’art de différents modèles de zone cathodique
- 39 -
IV.B.2. Le modèle de Riemann et Schmitz
Le modèle de Riemann et Schmitz [Sch-1][Sch-2] est original de par son approche
pour traiter la zone cathodique. En effet, il utilise une description fine sur le plan structurel
mais aussi sur le plan du formalisme, allant jusqu'à l’utilisation de l’équation de Boltzmann
collisionnelle pour la description d’une partie de la zone d’ionisation appelée milieu de
Knudsen (cf. figure (FI-03)).
Cathode
Gaine (zone de charge d’espace)
Pré-gaine (zone d’ionisation)
Plasma à l’E.T.L.
Zone de Zone de KnudsenKnudsen
Figure (FI-03) : Représentation schématique de la zone cathodique prenant en compte la
subdivision de la pré-gaine appelée milieu de Knudsen
La structure de la zone cathodique
Cette théorie décrit plus précisément la zone cathodique, qui est subdivisée en quatre
parties représentées sur la figure (FI-03) :
• Le plasma à l’ETL apparaît au travers de conditions aux limites de la pré-gaine.
• La pré-gaine est subdivisée en deux régions : la zone d’ionisation aussi appelée zone
de transition et le milieu de Knudsen dans lequel il peut y avoir des collisions mais pas
d’ionisation.
• La zone de charge d’espace qui est considérée comme non collisionnelle.
• Le corps de la cathode
Chapitre 1 : Etat de l’art de différents modèles de zone cathodique
- 40 -
Le plasma à l’E.T.L.
Le plasma à l’E.T.L. intervient au travers d’un calcul de composition pour un plasma
d’argon ionisé une fois.
La pré-gaine
Cette région est étudiée en détail dans l’article Schmitz et al [Sch-1]. Comme évoqué
ci-dessus, cette zone est divisée en deux sous régions :
• La zone d’ionisation est décrite macroscopiquement par une approche
hydrodynamique simplifiée permettant de trouver le profil de densité de charge
dans cette région.
• Le milieu de Knudsen quant à lui est décrit par l’équation de Boltzmann
collisionnelle où les ions créés dans la zone d’ionisation peuvent entrer en
collision avec des neutres.
L’article de Schmitz et al [Sch-2] présente le lien entre la densité de charge à l’interface
gaine/pré-gaine et la densité de charge à l’interface pré-gaine/plasma grâce à une formule
provenant du travail présenté dans un précédent article.
La chute de tension dans la pré-gaine est donnée par le facteur de Boltzmann qui est
aussi utilisé par Benilov et al [Ben-2].
La zone de charge d’espace
Dans cette région la densité électronique est décrite par une loi exponentielle
dépendante de la température des électrons et de la chute de tension dans la gaine. Cette
formulation est classique dans le cadre d’un plasma ionisé en contact avec une paroi. Celle-ci
est donnée par la formule suivante :
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=
e
sese kT
eUexpnn (EI-06)
Où nes est la densité électronique à l’interface gaine/pré-gaine, Us est la chute de tension dans
la gaine, k est la constante de Boltzmann et Te est la température électronique à l’interface
gaine/pré-gaine.
Chapitre 1 : Etat de l’art de différents modèles de zone cathodique
- 41 -
La densité de courant ionique dans cette région est constante car c’est une région non
collisionnelle. Elle est donnée par la résolution du courant ionique dans le milieu de Knudsen
qui juxtapose la zone de charge d’espace.
La condition aux limites concernant la vitesse des ions à l’interface gaine/pré-gaine est
intéressante. Cette notion vient de la physique des plasmas hors équilibre : c’est le critère de
Bohm. Ce critère donne la vitesse minimale que doivent atteindre les ions dans la pré-gaine
afin de rompre l’équilibre de charge et par la suite rejoindre la cathode. Riemann a étudié ce
critère [Rie-1] formulé de la manière suivante :
i
es m
kTv = (EI-07)
Où k est la constante de Boltzmann, Te la température électronique à l’interface gaine/pré-
gaine et mi la masse de l’ion. Cette formule a été généralisée par Benilov [Ben-4], Valentini
et al [Val-1] et Riemann [Rie-3] pour pouvoir être appliquée à n’importe quel gaz.
La cathode
La cathode intervient dans ce modèle grâce à un bilan de puissance à l’interface zone
de charge d’espace/cathode. Celui-ci prend en compte différentes composantes :
• L’énergie apportée par les ions sous formes enthalpique, cinétique, sans oublier
l’énergie apportée par les ions lors de la recombinaison à la surface de la cathode.
• L’énergie perdue par thermoémission et par rayonnement.
• L’énergie que peut absorber la cathode au travers d’un terme de conduction.
Conclusion
Le modèle de Riemann et Schmitz, développé dans l’argon, semble plus précis que les
autres modèles, présentés dans la littérature, relatifs à la description de la zone d’ionisation.
Le problème est que la synthèse de celui-ci [Sch-2] comporte de nombreuses formules
présentant des valeurs numériques rendant difficile une adaptation du modèle à d’autres gaz.
De plus la description plus précise apportée par ce modèle donne des résultats proches du
modèle de Benilov [Nan-2] qui lui ne modélise pas le milieu de Knudsen.
Enfin dans le bilan d’énergie à l’interface zone de charge d’espace/cathode, le fait de tenir
compte du flux d’énergie perdu par rayonnement de corps noir est discutable si on ne tient pas
compte du rayonnement provenant du plasma.
Chapitre 1 : Etat de l’art de différents modèles de zone cathodique
- 42 -
Les avantages et les inconvénients des modèles basés sur les travaux de Riemann et
Schmitz sont regroupés dans le tableau (TI-04).
Avantages Inconvénients
Le modèle de la zone d’interaction cathodique fait intervenir une description du milieu de Knudsen permettant ainsi d’avoir une transition entre la zone d’ionisation et la gaine.
Le flux d’électrons rétrodiffusés est pris en compte dans la gaine.
Ces travaux sont difficilement adaptables à d’autres gaz (coefficients numériques)
La complexité apportée par ces travaux est inutile (résultats proches de ceux obtenus par Benilov présentés dans article de Nandelstädt et al [Nan-2])
Tableau (TI-04) : Avantages et inconvénients des modèles basés sur la théorie de Riemann et Schmitz
IV.B.3. La théorie de Benilov
Au cours des dix dernières années cet auteur a été très prolifique dans le domaine de
l’étude de l’interaction arc-cathode. Sa théorie a beaucoup évolué depuis celle présentée en
1993 [Ben-1]. C’est son article de 1995 [Ben-2] qui pose les bases du modèle qu’il a modifié
au fil des années [Ben-2]-[Ben-13]. Nous allons nous baser sur le modèle de 1995 pour
exposer les idées qui structurent le modèle encore en 2005 [Ben-12].
Dans son modèle, Benilov considère les phénomènes aux frontières de chaque région
de la zone cathodique (cf. figure (FI-04)) :
• A l’interface zone de charge d’espace/cathode, le flux d’énergie qui va du plasma vers
la cathode est défini.
• A l’interface zone d’ionisation/zone de charge d’espace l’équation de conservation de
l’énergie électronique est considérée.
Chapitre 1 : Etat de l’art de différents modèles de zone cathodique
- 43 -
Cathode
Gaine (zone de charge d’espace)
Pré-gaine (zone d’ionisation)
Plasma à l’E.T.L.
Bilan énergétique 2 :
Conservation de l’énergie électronique
Bilan énergétique 1
Calcul du flux d’énergie provenant du plasma allant vers la cathode
Figure (FI-04) : Schéma du positionnement des bilans énergétiques
Les grandeurs qui font le lien entre ces trois régions sont les flux de particules dans la
zone de charge d’espace qui, dans ce modèle, est considérée comme non-collisionnelle.
Notons qu’il existe une version du modèle avec une gaine collisionnelle pour les plasmas
haute pression (de l’ordre de la dizaine d’atmosphères) [Ben-5] .
Les flux de particules
Les flux de particules sont au nombre de trois :
• le flux d’électrons thermoémis emφ , défini à partir de la loi de Richardson
Schottky par la forme suivante :
0
c3
w
2wem 4
EeWavec
kTWWexpT
eA
πε=Δ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ Δ−−=φ (EI-08)
• le flux d’électrons rétrodiffusés bdφ , donné grâce au facteur de Boltzmann :
e
ee
e
e
seseebd m
kT8Cavec
4C
kTeU
expnvnπ
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−==φ (EI-09)
• le flux d’ions iφ , déterminé à partir de la densité d’ions à l’interface gaine/pré-
gaine et à une reformulation du critère de Bohm prenant en compte la
température électronique, la température ionique et la charge moyenne des
ions :
( )
i
eisisisisi m
ZTTknvn
+==φ (EI-10)
Chapitre 1 : Etat de l’art de différents modèles de zone cathodique
- 44 -
La légende de chacune des grandeurs est donnée par le tableau (TI-05) ci-
dessous.
nis Densité d’ions à l’interface gaine/pré-gaine
Z Charge moyenne des ions
Te Température électronique
Tis Température des ions à l’interface gaine/pré-gaine
Us Chute de tension dans la gaine
nes Densité électronique à l’interface gaine/pré-gaine
Tw Température de la surface de la cathode
W Travail de sortie des électrons
ΔW Réduction Schottky
k Constante de Boltzmann
ε0 Permittivité du vide
e Charge élémentaire
me Masse de l’électron
mi Masse des ions
A Facteur pré-exponentiel dépendant du matériau
Ec Champ électrique à la surface de la cathode
Tableau (TI-05) : Notations utilisées dans les formules (EI-08)-(EI-10)
Ces flux sont représentés sur la figure (FI-05).
Cathode
Gaine (zone de charge d’espace)
Pré-gaine (zone d’ionisation)
Plasma à l’E.T.L.
Φi Φbd Φem
Figure (FI-05) : Représentation des flux dans la gaine
Chapitre 1 : Etat de l’art de différents modèles de zone cathodique
- 45 -
La zone d’ionisation (pré-gaine)
Pour décrire cette zone, Benilov considère les électrons, les ions et les atomes comme
plusieurs fluides [Ben-3] dont la densité et le mouvement sont déterminés par un modèle
hydrodynamique à deux températures.
Ainsi à partir de ce calcul, l’auteur obtient une expression condensée permettant de
connaitre la densité d’ions à partir de celle calculée au niveau de l’interface pré-gaine/plasma
à l’E.T.L. [Ben-3] :
21
2ir0ii
isiis nkDm
kT avec
28.0nn ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=α
α+=
∞∞∞ (EI-11)
Où ni∞ correspond à la densité d’ions dans le plasma à l’E.T.L.. Tis est la température ionique
à la frontière gaine/pré-gaine, Di0∞ est le coefficient de diffusion ion/neutre dans le plasma, kr
est le coefficient de recombinaison à trois corps et mi est la masse de l’ion. Cette expression a
évolué vers une forme plus élaborée donnée dans l’article de Benilov [Ben-8].
A partir de l’équation (EI-11) exprimant nis et de la prise en compte de la neutralité électrique,
la densité électronique nes à l’interface gaine/pré-gaine est déduite grâce au produit isZn .
La chute de tension de la zone d’ionisation est alors définie de la manière suivante :
es
eei n
nln
ekT
U ∞= (EI-12)
Dans l’égalité (EI-12), Te et nes correspondent respectivement à la température
électronique et à la densité électronique à la frontière de la zone d’ionisation. ne∞ est la densité
électronique dans le plasma à l’E.T.L.. On remarquera que la chute de tension Ui est exprimée
à partir du facteur de Boltzmann qui est déduit de l’équation de Boltzmann unidimensionnelle
et non collisionnelle avec champ électrique constant. Par conséquent, cette équation est une
estimation de la chute de tension dans la zone d’ionisation qui est collisionnelle.
La zone de charge d’espace (Gaine)
La modélisation de la zone de charge d’espace est nécessaire car elle permet d’obtenir
la condition aux limites au niveau de la vitesse des ions à l’interface gaine/pré-gaine et du
champ électrique à la surface de la cathode. Ce champ électrique Ec est utilisé dans le calcul
de la correction Schottky (EI-08).
Chapitre 1 : Etat de l’art de différents modèles de zone cathodique
- 46 -
Pour pouvoir déterminer Ec, l’équation de Poisson est nécessaire :
( )ie2
2
0 Znnedzd
−=ϕε (EI-13)
La résolution de cette équation nécessite d’expliciter la densité de charge électronique ne et la
densité d’ion ni dans la zone de charge d’espace. Pour cela l’équation de Boltzmann est
nécessaire. La gaine étant non collisionnelle pour des pressions de l’ordre de 1 atm, l’équation
de Boltzmann sans terme de collision peut être utilisée. Pour des ions accélérés par un champ
électrique celle-ci s’écrit :
0vf
dzd
mZe
zfv
ziz =
∂∂ϕ
−∂∂ (EI-14)
Avec, vz la vitesse moyenne selon l’axe z, ϕ le potentiel électrostatique, Z la charge moyenne
d’un ion fictif et f la fonction de distribution des ions. Z est calculée grâce à la moyenne des
charges de chaque ion pondérée par leur densité respective. On notera que le potentiel
électrostatique ϕ est nul à l’interface gaine/pré-gaine.
Pour résoudre l’équation (EI-14), il faut connaître la fonction de distribution des
vitesses des ions à l’entrée de la gaine. Pour cela Benilov ne modélise pas le milieu de
Knudsen contrairement à Schmitz et al [Sch-1], néanmoins il retranscrit ses effets en
supposant que la distribution des vitesses des ions sortant de la zone d’ionisation est une
fonction « porte ». Cela se traduit par la condition aux limites suivante :
( ) ( )
⎪⎩
⎪⎨
⎧ −−<<+−=∞
contrairecasledans0
uvvuvpouru2
n)v,(f isis
i
is
(EI-15)
iii mkTu = est la vitesse d’agitation thermique avec k la constante de Boltzmann, mi la
masse de l’ion et Ti sa température. vs est une vitesse limite dirigée qui va être définie par la
suite. La représentation graphique de cette fonction est reportée sur la figure (FI-06).
0-vs
i
is
u2nui
f(∞,v)
v
Figure (FI-06) : Fonction de distribution des vitesses des ions à l’interface gaine/pré-gaine
Chapitre 1 : Etat de l’art de différents modèles de zone cathodique
- 47 -
On calcule ensuite la fonction de distribution des ions f(z ,v) :
( )⎪⎩
⎪⎨
⎧ −<<−= −+
contrairecasledans0
vvvpouru2
nv,zf i
is
(EI-16)
v+ et v- les vitesses maximale et minimale pour un point donné dans la zone de charge
d’espace. Ces vitesses sont obtenues grâce à l’équation de conservation de l’énergie
mécanique dans le cas de particules en chute libre dans un champ électrique :
( )i
2is m
Ze2uv)z(v ϕ−±=± (EI-17)
La densité ni(z) est déduite de f : ( )∫∞−
=0
zzi dvv,zf)z(n . La part d’ions allant de la cathode
vers la zone d’ionisation est négligeable ainsi l’intégrale n’est calculée que suivant les
vitesses vz négatives.
On en déduit la valeur de ni :
( )i
isi u2vv
nzn −+ −= (EI-18)
Dans la zone de charge d’espace, la fonction de distribution électronique est supposée
Maxwellienne. Par conséquent, comme les électrons sont soumis à la force conservative
provenant du champ électrique présent dans cette région, la densité électronique dans cette
région s’écrit après intégration de l’équation de Boltzmann non-collisionnelle pour les
électrons :
( )e
ese kTeexpnzn ϕ
= (EI-19)
L’équation (EI-13) devient après substitution de ni et de ne par les relations (EI-18) et (EI-19)
et intégration :
21
ee
2i2
si
33
i0
is
kTeexp1ZkT
3uv
u6vvm
n2)(E
⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−−⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−−
−= −+ ϕ
εϕ (EI-20)
Lorsque ϕ tend vers 0 dans l’équation (EI-20), la vitesse vs pour laquelle il y a rupture
de neutralité électrique est similaire à la vitesse de Bohm couramment utilisée [Rie-1]:
Chapitre 1 : Etat de l’art de différents modèles de zone cathodique
- 48 -
( )
i
eiss m
ZTTkv
+= (EI-21)
vs est la vitesse que les ions doivent dépasser pour créer une zone de charge d’espace
positive formant ainsi la gaine. Cette vitesse des ions à la frontière gaine/pré-gaine permet
d’obtenir le flux d’ions défini par l’équation (EI-10).
Si on pose Us la chute de tension au niveau de la zone de charge d’espace, on trouve le
champ électrique au niveau de la cathode Ec=E(-Us). Cette grandeur va nous permettre par la
suite de calculer la correction Schottky utilisée dans l’équation (EI-08).
La densité de courant totale et le flux d’énergie à la cathode
Les trois flux de particules ((EI-08), (EI-09) et (EI-10)) permettent de calculer la
densité de courant dans la zone de charge d’espace et le flux d’énergie vers la cathode :
• La densité de courant :
( )bdemiZej φ−φ+φ= (EI-22)
Pour plus de détail sur cette équation on pourra se reporter au tableau (TI-01)
• Le flux d’énergie à la cathode :
( )
( )( )( )( )WWkT2
WWkT2
WWZEZeUT22
ZTT2kq
wem
ebd
iswe
isi
Δ−+φ−Δ−+φ+
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡Δ−−++⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −+φ=
(EI-23)
Le premier terme correspond à l’énergie apportée par les ions, le second terme
correspond à celle apportée par les électrons rétrodiffusés et le troisième à celle des électrons
thermoémis. Notons que dans l’article de Benilov et al [Ben-10] un flux d’énergie simplifié
fonction de la température de la surface et de la chute de tension dans la zone de charge
d’espace est déterminé grâce au bilan d’énergie à l’interface gaine/pré-gaine défini par la
suite.
Chapitre 1 : Etat de l’art de différents modèles de zone cathodique
- 49 -
Conservation de l’énergie à l’interface gaine/pré-gaine
Dans le modèle de Benilov une équation de conservation de l’énergie électronique à
l’interface gaine/pré-gaine est utilisée. Celle-ci est formulée de la manière suivante :
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−+φ+
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−+φ=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−++φ
∞
∞∞
es
eeii
es
eesbd
es
eewsem
nn
ln5.02.3ZkTE
2.1nn
lnkTeU2.3nn
lnkTkT2eU
(EI-24)
Dans le premier membre on reconnaît l’énergie apportée par les électrons thermoémis
sous forme électrique et thermique. Dans le second membre on a l’énergie emportée par les
électrons rétrodiffusés et l’énergie prise par les ions.
Paramètres d’entrée
Les paramètres d’entrée utilisés dans la théorie de Benilov dans les articles traitant de
l’interaction arc/cathode écrits ou coécrits par Benilov sont : la chute de tension cathodique
totale et la température de surface thermoémissive de la cathode. Seuls les articles de Nielsen
et al [Nie-1] et Benilov et al [Ben-02] utilisent une étude paramétrique en fonction de la
température électronique et de la pression du gaz en couplant le modèle à un modèle
unidimensionnel de conduction thermique dans la cathode.
Bilan
Les avantages et les inconvénients des modèles basés sur les travaux de Benilov sont
regroupés dans le tableau (TI-06).
Avantages Inconvénients
Travaux facilement transposables Validés expérimentalement pour de
faibles ampérages en ce qui concerne la chute de tension cathodique [Nan-2]
Prise en compte du flux d’électrons rétrodiffusés
Pas réellement appliqués dans une configuration 2D/3D
Tableau (TI-06) : Avantages et inconvénients des modèles basés sur la théorie de Benilov
Chapitre 1 : Etat de l’art de différents modèles de zone cathodique
- 50 -
IV.B.4. Conclusion sur les modèles complets
La théorie de Benilov est directement utilisable sans avoir recours à un modèle
hydrodynamique complexe comme cela peut être le cas pour le modèle de Hsu. La théorie de
Riemann et Schmitz ajoute une description plus fine de la zone d’ionisation qui en fait s’avère
inutile aux vues des résultats de l’article de Nandelstädt et al [Nan-2]. Enfin le modèle de
Hsu est rigoureux au niveau de la description de la gaine et de la pré-gaine cependant il doit
être mis de côté à cause du manque de coefficients de transports à deux températures mais
aussi à cause du nombre important de paramètres d’entrée utilisés.
Chapitre 1 : Etat de l’art de différents modèles de zone cathodique
- 51 -
V. Synthèse et conclusion
Ce chapitre a montré qu’il existait une grande diversité de modèles décrivant la zone
cathodique. Ceux-ci ont été regroupés en deux familles : celle à une température et celle à
deux températures constituée des modèles simplifiés et complets, ce qui permet d’avoir d’une
part une vue d’ensemble et d’autre part de faciliter par la suite le choix du modèle qui sera
utilisé. Une synthèse des principales caractéristiques des modèles cités ainsi que des points
que nous allons garder pour élaborer notre modèle est donnée dans l’annexe I.
Cette synthèse nous amène à nous poser la question fondamentale suivante : est-il
judicieux d’utiliser uniquement un des modèles présentés ou faut-il plutôt construire un
nouveau modèle en sélectionnant les parties les plus pertinentes de chacun d’eux ?
La seconde solution est intéressante car certaines idées vont pouvoir être agencées
dans un modèle cohérent. Les principales idées sont les suivantes :
L’utilisation de trois flux de particules chargés (électrons thermoémis et
rétrodiffusés, ions) équilibrés par le bilan d’énergie à l’interface gaine/pré-
gaine proposé par Benilov et al [Ben-2]. L’utilisation de ce bilan permettra de
tenir compte de l’ionisation du gaz à l’interface gaine/pré-gaine.
Le calcul de la densité de charges à l’interface gaine/pré-gaine par un calcul de
composition à deux températures comme le proposent Zhou et al [Zho-1] et
Coulombe et al [Cou-1]. Ce calcul permettra d’obtenir la densité de charge à
l’interface gaine/pré-gaine sans avoir à modéliser complètement la zone
d’ionisation.
L’utilisation d’une conductivité électrique tenant compte des phénomènes
cathodiques entre la cathode et le plasma à l’Equilibre Thermodynamique
Local comme le suggère la théorie de Lowke [Low-2].
La densité de courant à la surface de la cathode doit être un paramètre d’entrée
du modèle d’interaction arc/cathode [Low-2] [Hsu-1].
Chapitre 1 : Etat de l’art de différents modèles de zone cathodique
- 52 -
Chapitre 2 : Modèle d’interaction arc-cathode
- 53 -
Chapitre 2 : Modèle d’interaction
arc-cathode
Chapitre 2 : Modèle d’interaction arc-cathode
- 54 -
Chapitre 2 : Modèle d’interaction arc-cathode
- 55 -
I. Introduction
Le modèle de Benilov [Ben-2] va constituer la base de nos développements. Par
conséquent dans une première partie les résultats obtenus en codant son modèle vont être
comparés à ceux trouvés dans l’un de ses articles [Ben-2].
Une seconde partie va permettre de présenter les étapes de construction de notre
modèle dont le point de départ est le modèle de Benilov et al [Ben-2]. Ces étapes vont
permettre d’améliorer ce modèle et de lever l’incertitude existante au niveau du calcul de
composition à l’interface gaine/pré-gaine.
Dans une troisième partie les résultats de nos développements seront comparés avec
des résultats expérimentaux [Dab-02] et théoriques trouvés sur internet [Ben-14] ou bien
trouvés dans la littérature [Sch-2]. Cette étape permettra de valider notre modèle d’interaction
pour des ampérages faibles (quelques Ampères).
Dans une quatrième partie les grandeurs principales de la zone cathodique telles que la
densité de courant, le flux d’énergie à la cathode, la chute de tension cathodique et la
température de surface de la cathode vont être étudiées par le biais d’une étude paramétrique
suivant la température électronique.
Une dernière partie nous permettra de poser les bases du couplage de notre modèle
d’interaction à celui de la colonne dans une configuration d’arc électrique à deux dimensions.
Pour cela, nous allons choisir le paramètre d’entrée le plus judicieux pour réaliser cette
adaptation.
Chapitre 2 : Modèle d’interaction arc-cathode
- 56 -
II. Mise en place du code retranscrivant le modèle de Benilov de 1995
Une première étape de notre travail a consisté à retranscrire sous la forme d’un
programme le modèle de Benilov et al [Ben-2] à partir des informations trouvées dans cet
article. L’algorithme de résolution va tout d’abord être présenté, puis les résultats obtenus à
partir de notre programme seront confrontés à ceux de Benilov et al [Ben-2].
II.A. Algorithme
Afin de déterminer les différentes grandeurs au sein de la région cathodique, nous
allons adopter les étapes de résolution proposées par Benilov :
1. La température des « lourds », des électrons et de la surface de la cathode sont
données. Les deux premières températures sont supposées constantes dans
toute la zone cathodique.
2. La densité d’ions à l’interface gaine/pré-gaine nis est ensuite déterminée en
utilisant la formule (EI-11). Un calcul de composition à deux températures
[Van-1] permet de calculer la densité de charges à l’interface pré-
gaine/plasma.
3. Le calcul des flux de particules chargées défini par les équations (EI-08), (EI-
09) et (EI-10) est effectué.
4. Le bilan d’énergie à l’interface gaine/pré-gaine (EI-24) permet de trouver la
chute de tension Us dans la gaine
5. La chute de tension Ui dans la zone d’ionisation (EI-12), la densité de courant
totale (EI-22), le flux d’énergie q vers la cathode sont calculés (EI-23)
6. Enfin la température électronique Te est modifiée en gardant la température des
lourds et la température de surface de la cathode fixe puis la démarche est
reprise à partir de l’étape 2.
Chapitre 2 : Modèle d’interaction arc-cathode
- 57 -
II.B. Conditions du calcul
Une étude paramétrique utilisant la température électronique Te comme grandeur d’entrée
va être mise en œuvre. Les autres conditions du calcul sont les suivantes :
La cathode est en tungstène
Le gaz plasmagène est constitué d’argon à la pression atmosphérique
La température des « lourds » est prise constante à 10000 K à l’interface gaine/pré-
gaine et à l’interface pré-gaine/cathode
Les grandeurs de la zone cathodique sont calculées pour trois valeurs de la
température de surface de cathode Tw : 3000 K, 4000 K et 5000 K. Notons que cette
dernière température n’est pas réaliste. Cependant elle permet d’étudier le
comportement de notre code lorsque la thermoémission est dominante.
Les valeurs utilisées pour le coefficient de recombinaison à trois corps kr (cf. (EI-11))
n’étant pas présentées dans l’article de Benilov et al [Ben-2] nous avons utilisé les
résultats d’un calcul trouvé dans l’article postérieur de Benilov [Ben-8] basé sur la
théorie de Hinnov et al [Hin-1].
La valeur du coefficient de diffusion ions-neutres Dio (cf. (EI-11)) utilisée est de 10-2
m2.s-1. Celle-ci est trouvée dans l’article de Benilov et al [Ben-2].
La valeur prise pour le facteur pré-exponentiel A, utilisé dans la formule définissant le
flux d’électrons thermoémis (cf. (EI-08)), est de, 6.02.105 A.m-2K-2 pour le tungstène
[Ben-2].
II.C. Comparaison
Les résultats obtenus avec des températures de surface de 3000 K, 4000 K et 5000 K
vont être présentés. Ces températures ont été choisies d’une part afin de pouvoir effectuer une
comparaison avec les résultats de Benilov et d’autre part afin de correspondre à deux
régimes : avec 3000 K la thermoémission est modérée alors qu’avec une température de
surface de 5000 K elle sera dominante. La température de surface de 4000 K est proche de
celle mesurée à la surface de cathodes en tungstène pur [Hai-1].
Chapitre 2 : Modèle d’interaction arc-cathode
- 58 -
Tw = 3000K
Les densités de courant totales et les chutes de tension dans la gaine obtenues par
Benilov et al [Ben-2] et celles obtenues grâce à notre programme sont présentées
respectivement sur les figures (FII-01) et (FII-02).
10 15 20 25 30105
106
107
108
109
1010
calcul Benilov et al [Ben-02]
j (A.
m-2)
Te (kK) Figure (FII-01) : Densité de courant j en fonction de la température électronique Te
(croix : [Ben-2], carrés : nos résultats)
10 15 20 25 3010-3
10-2
10-1
100
101
102
103
calcul Benilov et al [Ben-02]
U s (V)
Te (kK)
Figure (FII-02) : Chute de tension Us en fonction de la température électronique Te
(croix : [Ben-2], carrés : nos résultats)
Ces deux figures montrent qu’il existe une différence d’environ un ordre de grandeur,
à haute et à basse température électronique Te, entre les densités de courant et les chutes de
Chapitre 2 : Modèle d’interaction arc-cathode
- 59 -
tension Us données par notre modèle et les résultats présentés par Benilov. Nous pouvons
remarquer que les courbes obtenues par nos calculs, aussi bien pour la densité de courant que
pour la chute de tension, passent par un maximum alors que celles obtenus par Benilov et al
[Ben-02] croissent avec la température.
Voyons si ces différences apparaissent avec une température de surface de cathode de
4000 K et 5000 K.
Tw = 4000 K
Les densités de courant totales et les chutes de tension dans la gaine obtenues par
Benilov et al [Ben-2] et celles obtenues grâce à notre programme sont présentées
respectivement sur les figures (FII-03) et (FII-04) pour une température de cathode de
4000K.
Les figures (FII-03) et (FII-04) présentent les mêmes tendances que les figures (FII-
01) et (FII-02).
La densité de courant et la chute de tension dans la gaine sont croissantes avec la
température électronique dans le cas des résultats de Benilov alors que nous obtenons encore
des courbes en « cloche » avec nos calculs.
Les différences entre nos résultats et ceux de Benilov et al [Ben-02] sont toujours d’un
ordre de grandeur pour les hautes températures électroniques dans le cas de la densité de
courant. En ce qui concerne la chute de tension, cet écart se trouve au niveau des basses et des
hautes températures électroniques.
10 15 20 25 30105
106
107
108
109
1010
calcul Benilov et al [Ben-02]
j (A.
m-2)
Te (kK) Figure (FII-03) : Densité de courant j en fonction de la température électronique Te
(croix : [Ben-2], carrés : nos résultats)
Chapitre 2 : Modèle d’interaction arc-cathode
- 60 -
10 15 20 25 3010-3
10-2
10-1
100
101
102
103
calcul Benilov et al [Ben-02]
U s (V)
Te (kK)
Figure (FII-04) : Chute de tension Us en fonction de la température électronique Te
(croix : [Ben-2], carrés : nos résultats)
Tw= 5000 K
La densité de courant totale et la chute de tension dans la gaine obtenues par Benilov
et al [Ben-2] et par notre programme sont présentées respectivement sur les figures (FII-05)
et (FII-06).
10 15 20 25 30105
106
107
108
109
1010
calcul Benilov et al [Ben-02]
j (A.
m-2)
Te (kK) Figure (FII-05) : Densité de courant j en fonction de la température électronique Te
(croix : [Ben-2], carrés : nos résultats)
Chapitre 2 : Modèle d’interaction arc-cathode
- 61 -
10 15 20 25 3010-3
10-2
10-1
100
101
102
103
calcul Benilov et al [Ben-02]
U s (V)
Te (kK) Figure (FII-06) : Chute de tension Us en fonction de la température électronique Te
(croix : [Ben-2], carrés : nos résultats)
Pour une température de surface de 5000 K, les résultats de la figure (FII-05)
montrent une différence un peu moins importante entre nos résultats et ceux de Benilov et al
[Ben-2] au niveau de la densité de courant. Cependant la figure (FII-06) présentant la chute
de tension dans la gaine indique qu’il y a une différence de plusieurs ordres de grandeur entre
nos résultats et ceux de Benilov à basse température électronique ce qui ne semble pas
acceptable.
Enfin, de même que pour les températures de surface 3000 K et 4000 K, les courbes
obtenues avec nos résultats ne sont pas monotones contrairement à celles de Benilov et al
[Ben-2].
Discussion
L’étude comparative, que nous avons réalisée, a montré que la transcription faite du
modèle de Benilov de 1995 donnait des résultats très différents de ceux présentés par Benilov
et al [Ben-2]. Cependant des incertitudes demeurent sur la théorie présentée dans cet article
du fait du manque de clarté sur certaines grandeurs utilisées dans le modèle.
Nous avons donc étudié de plus près l’expression des flux de particules chargées
définis par les équations (EI-08), (EI-09) et (EI-10).
La formulation du flux d’électrons thermoémis (EI-08) ne présente pas de doute
concernant la forme globale car l’auteur fait référence à l’article de Morrow et al [Mor-1]. La
Chapitre 2 : Modèle d’interaction arc-cathode
- 62 -
seule incertitude sur cette expression peut se trouver au niveau de la correction Schottky qui
n’est pas clairement explicitée. Cependant celle-ci ne peut pas faire varier drastiquement le
flux d’électrons thermoémis au point d’avoir un ordre de grandeur de différence sur la densité
de courant et sur la chute de tension cathodique.
La seule grandeur susceptible de faire varier sensiblement les flux d’ions et d’électrons
rétrodiffusés est la densité de charge à l’interface gaine/pré-gaine. En effet la formule (EI-11),
exprimant la densité d’ions à l’interface gaine/pré-gaine, présente des incertitudes au niveau
des valeurs prises par Benilov pour le coefficient de diffusion ion-neutre Dio, le coefficient de
recombinaison à trois corps kr et la méthode de calcul de composition à deux températures à
l’interface pré-gaine/cathode :
• Le coefficient Dio dépend de la température des lourds qui est constante et
égale à 10000K. Comme les différences entre nos résultats et ceux de Benilov
et al [Ben-2] varient avec la température électronique, on peut supposer que ce
coefficient de transport n’est pas la source des désaccords.
• Le coefficient de recombinaison à trois corps kr peut quant à lui varier de
quatre ordres de grandeur (10-38 à 10-42 m6.s-1) suivant la théorie utilisée [Ben-
8][Alm-1].
• La composition à deux températures permettant d’obtenir la densité d’ions à
l’interface pré-gaine/cathode ni∞ (cf. (EI-11)) ne peut pas varier d’un ordre de
grandeur sachant que les températures électroniques et ioniques sont bien
définies pour cette étude paramétrique.
Nous pouvons donc naturellement penser de cette analyse que le problème vient très
probablement de la valeur de kr prise pour le calcul de la densité de charges à l’interface
gaine/pré-gaine.
Chapitre 2 : Modèle d’interaction arc-cathode
- 63 -
II.C.1. Calculs avec différentes valeurs de kr fixées
Pour étudier l’influence du coefficient de recombinaison à trois corps sur la densité de
courant et sur la chute de tension dans la gaine, deux valeurs extrêmes tirées de l’article de
Benilov [Ben-8] ont été choisies (kr= 10-38 m6.s-1, kr = 10-40 m6.s-1). Ces valeurs sont données
par la courbe représentant les kr en fonction de la température électronique que l’on retrouve
sur la figure (FII-07).
A partir de chacune de ces valeurs de kr, les grandeurs de la zone cathodique ont été
calculées pour une température de surface Tw de 3000 K et de 5000 K.
10 15 20 25 3010-41
10-40
10-39
10-38
k r (m
6 .s-1)
Te (kK) Figure (FII-07) : Coefficient de recombinaison à trois corps kr en fonction de la température
électronique [Ben-8].
II.C.1.a) Tw = 3000 K
Les densités de courant totales obtenues en utilisant les deux valeurs de kr sont
présentées sur la figure (FII-08) et comparées à celles calculées par Benilov et al [Ben-02].
La courbe indique que la densité de courant est fortement influencée par la valeur du
coefficient de recombinaison à trois corps kr. Cette étude montre qu’à basse température
électronique l’utilisation de kr = 10-40 m6.s-1 permet d’avoir des résultats très proches de ceux
obtenus par Benilov et al [Ben-02].
Néanmoins, au dessus de Te = 15 kK, l’écart entre la densité de courant obtenue avec
kr = 10-38 m6.s-1 et celle calculée par Benilov et al [Ben-02] reste le plus faible.
Chapitre 2 : Modèle d’interaction arc-cathode
- 64 -
10 15 20 25 30105
106
107
108
109
1010
kr = 10-38 m6.s-1
kr = 10-40 m6.s-1
[Ben-02]
j (A.
m-2)
Te (kK) Figure (FII-08) : Densités de courant totales en fonction de la température électronique, Tw=3000K
r (m) Figure (FIII-43) : Température de surface de la cathode en fonction de la position radiale (carrés :
W, ronds : WTh). Calculs effectués dans l’argon (I = 200 A)
V.C.3. Bilan
Cette partie a permis de montrer que le flux d’énergie apporté par les ions est le terme
prépondérant dans le transfert d’énergie à la cathode. Celui-ci dépend fortement de la densité
de charge à l’interface gaine/pré-gaine. Ainsi dans le cas d’une cathode large on a pu
constater que le minimum du flux d’énergie se trouve toujours en dehors de l’axe. Cependant,
le profil de température de surface de la cathode reste maximum sur l’axe à cause de
l’équilibre qui existe entre le chauffage ionique et le refroidissement de la cathode dû à la
thermoémission.
Chapitre 3 : Modélisation à deux dimensions
- 167 -
VI. Conclusion
Ce chapitre a permis de présenter le modèle 2D d’interaction entre la cathode et le
plasma que nous avons mis en place.
Dans la première partie nous avons présenté le modèle 2D décrivant les équations de
conservations dans la cathode et dans le corps du plasma.
Dans une seconde partie, les développements ajoutés au modèle d’interaction élaboré
dans le chapitre 2 ont été présentés. Notre modèle a été structuré afin de prendre en compte
l’existence de la zone cathodique dans le calcul du passage du courant à l’interface
plasma/cathode. Pour cela les propriétés de la zone d’ionisation ont été introduites grâce au
calcul de la conductivité électrique hors équilibre dans cette région. Ainsi cette conductivité
hors équilibre tient compte à la fois de l’état de la surface de la cathode mais aussi de l’état du
plasma à l’E.T.L. se trouvant à proximité à l’aide d’une interpolation de la température des
lourds et des électrons dans la pré-gaine. Grâce à ce modèle le passage du courant, sans fixer
la taille de la tache d’accrochage, a pu être décrit.
Dans une troisième partie nous nous sommes focalisés sur trois points afin d’analyser
les résultats obtenus grâce à notre modèle : le couplage électrocinétique cathode/plasma,
l’évolution radiale de la chute de tension dans la gaine et le transfert thermique à la cathode.
La partie portant sur le couplage électrocinétique a mis en avant le fait que le
lien entre la conductivité électrique à deux températures dans la zone
d’ionisation et le courant dépend fortement des conditions du calcul. On a pu
notamment montrer que la longueur de la zone d’ionisation joue un rôle
important au niveau du passage du courant à l’interface plasma/cathode. Il a
également était démontré que lorsque le plasma recouvre complètement la
surface de la cathode, les effets de pointes sont prépondérants.
L’étude du profil de chute de tension au niveau de la cathode a permis de voir
que celui-ci est directement corrélé au rapport entre la densité de courant
thermoémis et la densité de courant totale. Cette étude a permis de montrer que
le choix de la condition aux limites en température à la base de l’électrode joue
beaucoup sur le profil de chute de tension cathodique.
Chapitre 3 : Modélisation à deux dimensions
- 168 -
Enfin l’étude du transfert thermique au niveau de la surface de la cathode a
montré que qu’elle que soit la configuration, le maximum de flux d’énergie
vers la cathode se trouve en dehors de l’axe à cause de la présence d’une
densité de charge plus importante pour des distances radiales de l’ordre de 5
mm.
Conclusion
- 169 -
Conclusion
Conclusion
- 170 -
Conclusion
- 171 -
L’objectif de cette thèse a consisté à mettre en place un modèle assurant de manière
auto-cohérente la continuité du courant entre une cathode et une colonne de plasma créée par
un arc électrique. La conservation du courant a ainsi été réalisée grâce à une description
physique des zones se trouvant au proche voisinage de l’électrode : la gaine et la pré-gaine.
Comme nous avons pu le montrer dans le chapitre 1, de nombreuses études existent
sur la représentativité de ces deux zones avec la mise en place de modèles plus ou moins
sophistiqués. Cependant malgré leur degré de complexité, ces modèles se focalisent sur la
description des mécanismes dans la zone au proche voisinage de l’électrode en excluant toute
interaction, ou lien, avec la colonne du plasma ou bien avec l’électrode. Notre travail a donc
consisté dans un premier temps à effectuer une synthèse des principales études de la littérature
avec pour objectif leur incorporation dans une modélisation globale incluant la cathode, la
zone au proche voisinage (gaine et pré-gaine) ainsi que la continuité vers le plasma. Deux
familles principales de théories peuvent être considérées : celle à une température et celle à
deux températures. La famille des modèles à deux températures peut elle-même être
subdivisée en deux sous familles : celle des modèles simplifiés ne modélisant pas la zone
d’ionisation et celle des modèles complets fournissant une description plus ou moins
complexe de cette zone appelée aussi pré-gaine. De ces différentes théories sont ressorties
trois idées principales.
(1) La théorie de Benilov semble la mieux adaptée pour constituer le point de départ
du modèle que nous voulions mettre en place. En effet elle représente la zone de gaine et de
pré-gaine et a fait l’objet d’une adaptation partielle.
(2) Un calcul de composition à deux températures est nécessaire pour la description de
la pré-gaine afin d’obtenir les densités de charges à l’interface gaine/pré-gaine. Pour cela nous
pouvons considérer la température de surface des lourds égale à celle de la surface de la
cathode comme le suggère Coulombe et al [Cou-2] et Zhou et al [Zho-2].
(3) Suivant l’idée avancée dans la théorie de Lowke, la conductivité électrique doit
prendre en compte les phénomènes liés à l’interaction arc/cathode.
Le chapitre 2 a présenté une synthèse des concepts qui sont ressortis de l’étape
bibliographique précédente ainsi que les premières idées permettant l’incorporation de la
physique présente dans ces modèles vers une modélisation globale. Ainsi la première étape a
consisté à reprendre et à développer la théorie présente dans le modèle de Benilov. La
comparaison avec les résultats obtenus par l’auteur nous a montré des désaccords que nous
Conclusion
- 172 -
avons attribués à des différences sur les données de base utilisées telle que la valeur du
coefficient de recombinaison à trois corps. Cependant les écarts observés et expliqués par le
choix de paramètres ou de données de base différentes ont pu être levés par l’amélioration de
nos développements. L’objectif ici n’a pas été de retrouver les résultats de l’auteur mais
d’apporter les améliorations nécessaires à l’utilisation de la théorie proposée dans un couplage
complet cathode/colonne de plasma. Ainsi des changements ont été amenés, dont les
principaux sont cités ici :
(1) Un calcul de la composition à deux températures du plasma d’argon à l’interface
gaine/pré-gaine a été réalisé à partir des lois de Saha modifiées définies par Van de Sanden et
al [Van-1].
(2) Le flux d’électrons thermoémis a été explicité et le phénomène d’émission
secondaire a été introduit.
(3) La densité de charges à l’interface pré-gaine/plasma provient d’un calcul à
l’équilibre thermodynamique.
Ce modèle a ensuite été validé pour des intensités de quelques ampères. Comme nous l’avons
montré au cours de ces travaux, différents paramètres d’entrée sont possibles dans le modèle
utilisant la théorie mise en avant par Benilov. Cependant, dans le but d’incorporer cette
physique dans un modèle « global », sous entendu dans lequel la conservation du courant
serait assurée de l’entrée dans la cathode jusqu’à son entrée dans l’anode, l’utilisation de la
densité de courant comme variable principale s’avérait obligatoire. La faisabilité de
l’utilisation de cette grandeur a donc été démontrée, et le modèle adapté afin d’utiliser ce
paramètre comme unique grandeur d’entrée.
Enfin la dernière étape a consisté à montrer la faisabilité de l’adaptation du modèle
proposé dans une représentation d’arc transféré en deux dimensions et à effectuer une étude
paramétrique des principaux paramètres et variables régissant la zone cathodique. Ainsi ce
chapitre a été découpé en différentes étapes :
(1) Le modèle magnétohydrodynamique de la colonne ainsi que la prise en compte de
la cathode au travers des équations de conservation (électromagnétique et thermique) ont été
tout d’abord présentés.
(2) Les modifications et les développements supplémentaires à l’utilisation du modèle
dans un code à deux dimensions ont été détaillés.
(3) Les principaux résultats obtenus sont exposés au travers d’une étude paramétrique
et comparés à une configuration test servant de base aux discussions. Les résultats obtenus
Conclusion
- 173 -
grâce à notre modèle ont été regroupés en trois parties. Nous présentons ici les conclusions
essentielles:
Le couplage électrocinétique cathode/plasma a permis de montrer que la
longueur de la zone d’ionisation et la largeur de la cathode ont un effet
prépondérant sur la sortie du courant. La longueur de la zone d’ionisation ou
pré-gaine a été caractérisée pour deux épaisseurs 200 et 500 μm. Deux
dimensions de cathode ont été étudiées. Celles-ci correspondent à deux
configurations différentes : l’une où l’accrochage n’occupe qu’une partie de la
surface en contact avec la gaine, la seconde où l’accrochage est de dimension
identique au rayon de l’électrode. Ainsi nous avons pu montrer la sensibilité
des résultats à ces deux paramètres, notamment sur les champs de la densité de
courant qui pouvaient, suivant l’épaisseur de cette gaine, présenter des minima
en dehors de l’axe.
La chute de tension au niveau de la cathode est un paramètre essentiel.
Cependant, le profil de la tension présente des irrégularités que nous avons
commentées. Ces irrégularités sont fortement corrélées au rapport entre la
densité de courant thermoémis et la densité de courant totale. Nous avons
ensuite proposé une formulation pour exprimer la tension moyenne au
voisinage de la cathode, et avons montré la forte sensibilité de la tension à la
condition de refroidissement.
Enfin la dernière partie a porté sur l’étude du transfert thermique du plasma
vers la cathode. Dans cette dernière partie nous avons pu constater que le flux
d’énergie, majoritaire à la surface de la cathode, est celui des ions. Nous avons
pu également remarquer que le minimum du flux d’énergie vers la cathode est
toujours en dehors de l’axe de la décharge qu’elle que soit la configuration à
cause d’une densité de charges plus importante en dehors de l’axe.
Dans les perspectives de ces travaux, plusieurs améliorations ou extensions pourraient
être amenées :
- Nous avons montré la sensibilité des résultats à la température de refroidissement.
Pour s’abstenir de ce paramètre, il serait préférable d’utiliser un coefficient de transfert de
chaleur.
Conclusion
- 174 -
- L’épaisseur de la pré-gaine modifie le comportement du plasma avec des effets
visibles jusque dans la colonne. Un calcul de la longueur de la zone d’ionisation devra être
ajouté à notre modèle [Alm-1][Rie-2].
- Au niveau des hypothèses utilisées dans notre modèle figure l’absence de prise en
compte du rayonnement et de l’érosion à la surface de la cathode. Ces deux hypothèses,
étroitement liées, devront être reconsidérées. En effet, sur les bords de la décharge, vers les
basses températures, le rayonnement vers la cathode doit être considéré et cela d’autant plus si
des vapeurs métalliques sont présentes. Ainsi, dans la balance de flux d’énergie à la surface de
la cathode, ces deux contributions devront être rajoutées.
- L’implantation cumulée de notre modèle avec celui de zone anodique de Lago [Lag-
1] permettra d’avoir un modèle réellement auto-cohérent du corps de la cathode au corps de
l’anode. A terme, le modèle pourra être mis en place dans une description tridimensionnelle
de l’arc permettant ainsi d’étudier le positionnement du pied d’arc à la surface de la cathode.
- Les développements présentés manquent d’une validation avec des travaux
expérimentaux à plus fortes intensités du courant électrique. Une mise en place expérimentale
de configurations permettant de valider les développements théoriques présentés devra être
mise en œuvre. Par exemple des mesures expérimentales sur la température de la cathode
pourraient être effectuées (pyrométrie, caméra infrarouge), et une comparaison de la tension
totale aux bornes de l’arc réalisée.
Annexes
- 175 -
Annexes
Annexes
- 176 -
Annexes
- 177 -
Annexe 1 Synthèse des théories
Modèles 2T Modèles 2T simplifiés Modèles
monotherme Hsu Benilov Riemann&schmitz Zhou Coulombe Lowke structure Gaine x x x x x Pré-gaine x x x x x Thermodynamique 1T x 2T x x x x x Flux Ionique x x x x x x Electrons rétrodiffusés x x x x Electrons thermoémis x x x x x Densité de courant J fixée x x J calculée x x x x Interface Gaine/pré-gaine Conservation de l’énergie électronique x x x x Conservation de l’énergie des ions x x Interface cathode/gaine Bilan énergie avec la cathode x x x Dimensions 1D x x x x x x 1D dans une configuration 2D axisymétrique x
Annexes
- 178 -
Annexe 2 : Grandeurs utilisées
Argon
0 5 10 15 20 2510-3
10-2
10-1
100
101
ρ Ar (k
g.m
-3)
T (kK)
Figure (FAII-01) : Densité de masse de l’argon [Fau-1]
0 5 10 15 20 250.0
5.0x10-5
1.0x10-4
1.5x10-4
2.0x10-4
2.5x10-4
3.0x10-4
μ Ar (k
g.m
-1.s
-1)
T (kK) Figure (FAII-02) : Viscosité de l’argon [Fau-1]
Annexes
- 179 -
5 10 15 20 250.0
2.0x103
4.0x103
6.0x103
8.0x103
1.0x104
1.2x104
C p, A
r (kJ
.kg-1
.K-1)
T (kK) Figure (FAII-03) : Chaleur spécifique de l’argon (1 Atm) [Fau-1]
0 5 10 15 20 25100
101
102
103
104
105
σAr
(S.m
-1)
T (kK)
Figure (FAII-04) : Conductivité électrique de l’argon (1 Atm) [Fau-1]
Annexes
- 180 -
0 5 10 15 20 2510-3
10-2
10-1
100
101
κ Ar (W
.m-1.K
-1)
T (kK) Figure (FAII-05) : Conductivité thermique de l’argon (1 Atm) [Fau-1]
0 5 10 15 20 25102
103
104
105
106
107
108
109
1010
1011
ε N,A
r (W
.m-3.S
t-1)
T (kK) Figure (FAII-06) : Coefficient d’émission net de l’argon calculé pour un rayon de 2 mm (1
Atm) [Err-1]
Annexes
- 181 -
0 5 10 15 20 25 301020
1021
1022
1023
1024
θ = 1 θ = 2 θ = 3
n e (m
-3)
Te (kK)
Figure (FAII-07) : Densité électronique calculée pour trois valeurs de θ. Plasma d’argon à
la pression atmosphérique.
Bibliographie
- 182 -
Tungstène
0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.00.0
2.0x106
4.0x106
6.0x106
8.0x106
1.0x107
1.2x107
1.4x107σ W
(S.m
-1)
T (K)
Figure (FAII-08) : Conductivité électrique du tungstène [Han-1]
0 1 2 3 4 50.0
2.0x101
4.0x101
6.0x101
8.0x101
1.0x102
1.2x102
1.4x102
1.6x102
1.8x102
2.0x102
κ W (W
.m-1.K
-1)
T (kK) Figure (FAII-09) : Conductivité thermique du tungstène [Tou-1]
Bibliographie
- 183 -
Bibliographie
Bibliographie
- 184 -
Bibliographie
- 185 -
[Alm-1] Almeida R.M.S, Benilov M.S., Naidis G.V., « Simulation of the layer of non-
equilibrium ionization in a high-pressure argon plasma with multiply-charged
ions », J. Phys. D : Appl. Phys., 33, (2000), 960-967
[Ash-1] Ashcroft N.W., Mermin N.D., « Solid state Physics », Saunders College