Titolo presentazione sottotitolo Milano, XX mese 20XX Applicazione del metodo della linea elastica: Esercitazioni del corso di Scienza delle Costruzioni Corso di Laurea in Ingegneria Civile Nicola Cefis
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Titolo presentazione
sottotitolo
Milano, XX mese 20XX
Applicazione del metodo della linea elastica:
Esercitazioni del corso di Scienza delle Costruzioni
Corso di Laurea in Ingegneria Civile
Nicola Cefis
Nome Cognome, assoc.prof. ABC Dept.
Metodi basati su equilibrio, congruenza e legame costitutivo
Nelle lezioni precedenti: abbiamo analizzato le strutture servendoci di sole equazioni di equilibrio (globali e locali).
Questo è possibile per le sole strutture ISOSTATICHE!
Per l’analisi delle strutture iperstatiche (o per il calcolo degli spostamenti di strutture isostatiche e iperstatiche) devo utilizzare metodi che tengano conto, oltre che dell’equilibrio, anche della congruenza e del legame costitutivo dei materiali strutturali.
Metodo della linea elastica Principio dei Lavori Virtuali
Teoremi energetici
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Metodo della linea elastica
Per sistemi di travi in contesto di piccole deformazioni è possibile legare il momento flettente e la curvatura dell’asse di trave definita come la derivata seconda dello spostamento.
Condizione di carico
Risposta statica
Assetto cinematico
E: modulo di Young del materialeI: momento d’inerzia della sezione
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Metodo della linea elastica
Per sistemi di travi in contesto di piccole deformazioni è possibile legare il momento flettente e la curvatura dell’asse di trave definita come la derivata seconda dello spostamento.
Come decido se mettere + o -?
❖ Prendo un tratto generico di trave; ❖ metto il tratteggio;❖ lo assoggetto a due momenti
positivi per convenzione;❖ Osservo la deformazione
corrispondente
❖ Se rivolgo la y dalla parte del tratteggio la sua curvatura positiva è discorde con la curvatura indotta dalla coppia di momenti positivi;
❖ Se rivolgo la y dalla parte della linea continua la sua curvatura positiva è concorde con la curvatura indotta dalla coppia di momenti positivi;
(-)
(+)
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Metodo della linea elastica
Curvatura (linea elastica)
Rotazione
Spostamento
Costanti di integrazione
A, B
Condizioni al contorno imposte
dai vincoli
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Metodo della linea elastica
Cerniera in A: impone
spostamento nullo
Carrello in B: impone
spostamento nullo
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Possibili condizioni al contornonumero di CC necessarie e condizioni esterne
Quando si risolve il problema con il metodo della linea elastica si scrive un’equazione differenziale per ogni tratto pertanto il numero di condizioni al contorno che devo ricercare sono:
2 incognite per ogni tratto (nxi numero di tratti) dovuti alle costanti di integrazione
Un’incognita aggiuntiva per ogni iperstatica (nRi numero di incognite iperstatiche)
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Possibili condizioni al contornocondizioni interne
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Casi particolariazioni termiche lineari (riscaldamento e raffreddamento differenziale e simmetrico)
Coefficiente di dilatazione termica del materiale
Altezza fisica della sezione di trave
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Casi particolariVincoli cedevoli elasticamente: modificano le condizioni al contorno
Nei vincoli fissi gli spostamenti e le rotazioni sono assoluti e non
dipendenti dalle reazioni
Nei vincoli elastici gli spostamenti e le rotazioni sono dipendenti dalle reazioni trasmesse al
vincolo (che ho calcolato in precedenza)
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Casi particolariazioni termiche costanti sulla sezione: non entrano nella LE ma modificano le CC
Un carico termico costante nella sezione non provoca l’insorgenza di curvature pertanto non entra nell’equazione della linea elastica.
Provoca però allungamento (se +DT) o accorciamento (se -DT) dell’asta e che si può riflettere sugli spostamenti dei nodi, quindi sulle condizioni al contorno.
Deformazione termica:
Allungamento termico (quello che modifica le CC delle aste attigue)
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Esempio di applicazionePunto 1: analisi cinematica
Nel conteggio dei GDV considero i vincoli elastici al pari dei
corrispondenti vincoli rigidi
Equivalente ad un carrello in termini di GDV: 1
GDV: 1
GDV: 2
GDL = 3
GDV = 1 + 1 + 2 =4
Struttura 1 volta iperstatica
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Esempio di applicazionePunto 2: declassamento e calcolo delle reazioni vincolari
Quando ho una struttura iperstatica devo procedere al declassamento:❖ elimino un numero di vincoli pari
al grado di iperstaticità;❖ li sostituisco con la loro reazione
incognita che nel calcolo tratterò alla stregua di una comune forza nota (nel nostro caso chiamata R)
Controllare sempre che la struttura
declassata risulti non labile!
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Esempio di applicazionePunto 3: imposizione dei sistemi di riferimento e scelta dei segni nelle LE
Si introducono i sistemi di riferimento yi
ed in base all’orientazione rispetto al tratteggio scelgo il segno nell’equazione.
❖ Tratto x1
❖ Tratto x2
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Esempio di applicazionePunto 4: calcolo delle azioni interne e scrittura delle LE
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Esempio di applicazionePunto 5: ricerca delle condizioni al contorno (su schema non declassato)
Il punto A si sposta verticalmente di R/k ma non si sposta orizzontalmente
Il punto C non si sposta ne orizzontalmente ne verticalmente
Il punto C non si sposta ne orizzontalmente mentre verticalmente sale dell’allun-gamento termico dell’asta
L’angolo deve rimanere retto (rotazioni uguali tra i due lati)
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Esempio di applicazionePunto 6: sostituisco nelle CC le equazioni delle LE e calcolo l’incognita R
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Esempio di applicazionePunto 7: sostituisco il valore di R nelle espressioni di N, T, M
N [qb]
T [qb] M [qb2]
Firma convenzione
Politecnico di Milano e Veneranda Fabbrica
del Duomo di Milano
Aula Magna – Rettorato
Mercoledì 27 maggio 2015
Applicazione del metodo della linea elastica:
Esercitazioni del corso di Scienza delle Costruzioni
Corso di Laurea in Ingegneria Civile
Nicola Cefis
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