TIONSCADAL MATA Téacs Trialacha - COGG...Is do na daltaí a bheidh ag tabhairt faoin Ardteistiméireacht sa bhliain 2013 an leabhar seo. Is éard atá ann ná Tionscadal Mata Snáitheanna

GnáthleibhéalAn Mhatamaitic

An Ardteistiméireacht

Téacs TrialachaTIONSCADAL MATA

Téacs Trialacha77

Snáitheanna 1,2,3 agus 4

Téacs TrialachaTéacs TrialachaTéacs TrialachaTéacs TrialachaTéacs TrialachaTéacs TrialachaTéacs Trialacha

Is aistriúchán é seo ar:Text & Tests 3 (Project Maths), le haghaidh Ardteistiméireacht 2013

An Leagan Béarla

© O.D. Morris, Paul Cooke, Paul Behan, 2011

Dearadh: Identikit DesignLeagan amach agus obair ealaíne: Tech-Set Limited

An Leagan Gaeilge

Aistrithe ag an gComhairle um Oideachas Gaeltachta agus Gaelscolaíochta (COGG)

Aistritheoirí: Diarmuid Clifford, Bairbre Ní Ógáin, Muireann Ní Chuív, Edel Ní ChorráinDearadh agus leagan amach: Barry Hurley, Donny Hurley.

Ní ceadmhach aon chuid den fhoilseachán seo a atáirgeadh, a chur i gcomhad athfhála,ná a tharchur ar aon mhodh ná slí, bíodh sin leictreonach, meicniúil, bunaithe ar fhótachóipeáil,ar thaifeadadh nó eile, gan cead a fháil roimh ré ón bhfoilsitheoir.

An Chomhairle um Oideachas Gaeltachta agus Gaelscolaíochta22 Plás Mhic Liam, Baile Átha Cliath 2www.cogg.ie

iii

ClárClárClárClárClárClárClárClár

1. Ailgéabar 1 11.1 Obair le huimhreacha diúltacha 11.2 Sloinn ailgéabracha a shimpliú 31.3 Luachanna slonn a fháil 51.4 Cothromóidí líneacha a réiteach 61.5 Cothromóidí líneacha a bhfuil codáin iontu a réiteach 81.6 Codáin ailgéabracha a shuimiú le chéile 91.7 Éagothromóidí líneacha 111.8 Cothromóidí comhuaineacha 141.9 Fadhbanna agus graif 161.10 Ábhar foirmle a athrú 19

Cuir triail ort féin 1 22

2. Ailgéabar 2: Cothromóidí Cearnacha 252.1 Sloinn chearnacha a fhachtóiriú 252.2 Fachtóirí a úsáid chun cothromóidí cearnacha a réiteach 272.3 Cothromóidí cearnacha a bhfuil codáin iontu a réiteach 302.4 Foirmle na cothromóide cearnaí a úsáid 312.5 Cothromóidí comhuaineacha – ceann líneach,

ceann cearnach 332.6 Cothromóidí cearnacha a cheapadh 352.7 Dlíthe na séan 362.8 Cothromóidí a bhfuil séana iontu 402.9 Surdaí a láimhseáil 422.10 Cothromóidí a bhfuil surdaí iontu 44


3. Céimseata Chomhordanáideach � An Líne 493.1 An plána a chomhordanáidiú 493.2 An fad idir dhá phointe 513.3 Lárphointe mírlíne 543.4 Fána líne 553.5 Cothromóid líne 593.6 An chothromóid y � mx � c 623.7 Línte comhthreomhara agus ingearacha 643.8 Línte a ghrafadh 663.9 Dhá líne a thrasnaíonn a chéile 693.10 Achar triantáin 71


iv

4. Sonraí a Bhailiú agus Sampláil 784.1 Cineálacha sonraí 794.2 Sonraí catagóireacha 814.3 Sonraí a bhailiú 834.4 Ceistneoirí 864.5 Sampláil 91 Cuir triail ort féin 4 96

5. Uimhríocht 1005.1 Codáin – deachúlacha – figiúirí bunúsacha 1005.2 Cóimheas agus comhréir 1035.3 Céatadáin 1065.4 Earráid chéatadánach 1105.5 Idirbhearta airgeadra 1135.6 Cáin ioncaim 1155.7 Ús iolraithe 1195.8 Luas – fad – am 1265.9 Obair le huimhreacha san fhoirm chaighdeánach 131 Cuir triail ort féin 5 135

6. Dóchúlacht 1396.1 Dóchúlacht agus seansúlacht 1396.2 Teagmhais agus fothorthaí 1426.3 Dhá theagmhas – spásanna samplacha a úsáid 1476.4 Dóchúlachtaí a mheas ó thurgnaimh 1506.5 Teagmhais chomheisiatacha – riail an tsuimithe 1566.6 Léaráidí Venn a úsáid 1596.7 Riail an iolraithe – trialacha Bernoulli 1626.8 Léaráidí crainn 1686.9 Luach ionchais 1726.10 Bunphrionsabal an chomhairimh 1766.11 Eagair (iomalartuithe) 1786.12 Teaglamaí 182 Cuir triail ort féin 6 188

7. Uimhreacha Coimpléascacha 1947.1 Uimhirchórais 1947.2 Uimhreacha coimpléascacha 1977.3 Uimhreacha coimpléascacha a shuimiú agus a dhealú 1987.4 Uimhreacha coimpléascacha a iolrú 2007.5 Uimhreacha coimpléascacha a roinnt 2017.6 Léaráid Argand 2037.7 Modal uimhreach coimpléascaí 2047.8 Uimhreacha coimpléascacha a bheith cothrom 2067.9 Cothromóidí cearnacha a bhfuil fréamhacha coimpléascacha leo 2077.10 Uimhreacha coimpléascacha agus claochluithe 208 Cuir triail ort féin 7 213

v

8. Tomhais ar an Suíomh agus ar an Leathadh 2168.1 Mód – airmheán – meán 2168.2 Raon agus inathraitheacht 2208.3 Cén meán staitistiúil a úsáidfimid? 2258.4 Dáileadh minicíochta 2288.5 Dáileadh minicíochta grúpáilte 2318.6 An diall caighdeánach 233 Cuir triail ort féin 8 240

9. Achar agus Toirt 2439.1 Imlíne agus achar triantán agus ceathairshleasán 2439.2 Ciorcail agus teascóga 2489.3 Solaid dhronuilleogacha – priosmaí 2529.4 Sorcóirí agus sféir 2599.5 An cón 2649.6 Fadhbanna atá níos deacra 2699.7 An Riail Thraipéasóideach 272 Cuir triail ort féin 9 280

10. Patrúin agus Seichimh 28610.1 Patrúin san uimhreas 28610.2 An nú téarma de sheicheamh 28810.3 Seichimh ó chruthanna 29010.4 Seichimh chomhbhreise 29410.5 Luach a agus luach d a fháil 29810.6 Sraitheanna comhbhreise 30110.7 Seichimh chearnacha 305 Cuir triail ort féin 10 309

11. Céimseata 1 31211.1 Súil siar ar uillinneacha agus ar thriantáin 31211.2 Achar triantán agus comhthreomharán 31911.3 Triantáin agus cóimheasa 32311.4 Teoirimí i dtaobh an chiorcail 33011.5 Cruthúnais fhoirmiúla ar theoirimí 335 Cuir triail ort féin 11 342

12. Céimseata Chomhordanáideach � An Ciorcal 34612.1 Cothromóid an chiorcail ar lárphointe dó (0, 0) 34612.2 Pointí agus ciorcail 34912.3 Cothromóid an chiorcail ar lárphointe dó (h, k) agus ar ga dó r 35112.4 Pointí trasnaithe líne agus ciorcail 35512.5 Ciorcal a thrasnaíonn na haiseanna 357 Cuir triail ort féin 12 359

13. Sonraí a Chur i Láthair 36313.1 Barrachairteacha agus píchairteacha 36313.2 Histeagraim 37013.3 Cruth an dáilte 373

vi

13.4 Léaráidí gais is duillí 37713.5 Scaipghraif 38513.6 Comhchoibhneas a thomhas 39213.7 Gaolta cúisíocha agus comhchoibhneas 394 Cuir triail ort féin 13 398

14. Triantánacht 40314.1 Teoirim Phíotagarás 40314.2 Cóimheas an tsínis, an chomhshínis, agus an tangaint 40614.3 Áireamhán a úsáid 40814.4 Triantáin dhronuilleacha a réiteach 40914.5 Achar triantáin 41414.6 Riail an tSínis 41714.7 Riail an Chomhshínis 42114.8 Na huillinneacha 30°, 45° agus 60° 42614.9 Achar teascóige – fad stua 42814.10 Cóimheasa uillinneacha níos mó ná 90° 432 Cuir triail ort féin 14 436

15. Céimseata 2 � Méaduithe agus Tógálacha 44215.1 Méaduithe 44215.2 Tógálacha 451 Cuir triail ort féin 15 460

Freagraí 464

vii

Is do na daltaí a bheidh ag tabhairt faoin Ardteistiméireacht sa bhliain 2013 an leabhar seo.Is éard atá ann ná Tionscadal Mata � Snáitheanna 1, 2, 3 agus 4 de chúrsa Matamaitice nahArdteistiméireachta ag an nGnáthleibhéal. Tá an cur chuige ginearálta i leith theagasc namatamaitice, mar atá sonraithe sna torthaí foghlama le haghaidh Tionscadal Mata, le sonrúsa leabhar. Spreagann sé ní hamháin forbairt ar eolas agus scileanna matamaiticiúla na ndaltaíach forbairt ar an tuiscint a theastaíonn chun na scileanna sin a chur i bhfeidhm chomh maith.

Tá réimse sármhaith ceisteanna ar gach topaic ar fáil, ceisteanna atá scríofa le samhlaíochtagus a thabharfaidh dúshlán na ndaltaí. Cabhróidh na ceisteanna leis na daltaí chun an méidatá siad a dhéanamh a thuiscint agus chun a gcuid scileanna i réiteach fadhbanna a fhorbairt.Tá dóthain ceisteanna, a chuimsíonn gach pointe ar an scála deacrachta, curtha ar fáil chunriachtanais fhormhór mór na ndaltaí ag an leibhéal seo a shásamh.

An dearadh spreagúil lándaite, mar aon leis an méid mór léaráidí dea-thógtha, ba cheart gogcabhróidís le tuiscint an dalta ar an topaic a bhfuil sé/sí ag déanamh staidéir uirthi.Ag tús gach caibidle tá liosta dar teideal Focail Thábhachtacha. Beifear ag súil leis go mbeidhna focail sin ar eolas ag na daltaí, agus tuiscint acu orthu, faoin am a mbíonn an chaibidilcríochnaithe. I ngach caibidil tá mír dar teideal Cuir triail ort féin, ar a bhfuil dath gorm, inandéantar comhdhlúthú agus athbhreithniú cuimsitheach. Tá leathanach Achoimre ar

phríomhphointí i ngach caibidil. Cuirfidh sé sin i gcuimhne do na daltaí na príomhfhíricí agusna foirmlí tábhachtacha a d’fhoghlaim siad.

Agus an leabhar seo in úsáid is féidir leanúint ar aghaidh ó chúrsa nua an Teastais Shóisearaigh(Gnáthleibhéal) ar bhealach loighciúil struchtúrtha. Tugtar aghaidh ar na fadhbanna a d’fhéad-fadh a bheith ag daltaí agus iad ag dul ón gcúrsa sin go dtí clár na hArdteistiméireachta le gombeidh siad in ann tabhairt faoin ábhar Ardteistiméireachta gan stró. Sna chéad chaibidlí denleabhar seo déantar athbhreithniú agus cleachtadh atá bunúsach ach riachtanach sna bunscil-eanna tábhachtacha a raibh na daltaí ag plé leo ag leibhéal an Teastais Shóisearaigh ach abhfuil seans ann nach bhfuil tuiscint iomlán acu orthu.

O.D. MorrisPaul CookePaul BehanIúil 2011

RéamhráRéamhráRéamhráRéamhráRéamhráRéamhráRéamhráRéamhrá

1

Ailgéabar 1 Ailgéabar 1 Ailgéabar 1 Ailgéabar 1 Ailgéabar 1 Ailgéabar 1 Ailgéabar 1 Ailgéabar 1 � ��

�

1

Mír 1.1 Obair le huimhreacha diúltacha

Tacar na slánuimhreacha a thugtar ar thacar na n-uimhreacha slána idir dheimhneach agusdiúltach. Leis an gceannlitir Z a chuirtear in iúl é.

Ach staidéar a dhéanamh ar na samplaí thíos, tabharfaidh tú chun cuimhne na bunrialachaa bhaineann le bheith ag obair le slánuimhreacha.

Samplaí 1. Chun slánuimhreacha a bhfuil an comhartha céanna (i) 8 � 4 � 12 acu a shuimiú, suimítear na huimhreacha le chéile agus coinnítear an comhartha

(ii) �3 � 7 � �10

2. Chun slánuimhreacha nach bhfuil an comhartha (i) �3 � 8 � 5 céanna acu a shuimiú, coinnítear comhartha na (ii) 4 � 10 � �6 huimhreach níos mó (i.e. an uimhir atá níos mó nuair nach mbactar leis na comharthaí) agus ansin

dealaítear an uimhir is lú ón uimhir is mó

3. Agus slánuimhreacha á n-iolrú nó á roinnt, (i) �5 � (�4) � 20

(a) nuair is ionann an comhartha, (ii) �3 � 6 � �18 toradh deimhneach a bhíonn ann (iii) 7 � (�4) � �28(b) nuair nach ionann an comhartha, toradh diúltach a bhíonn ann

Lúibíní a bhaint

(i) 3(4 � 5) � 3 � 4 � 3 � 5� 12 � 15 � 27

(ii) 5(7 � 3) � 5 � 7 � 5 � 3� 35 � 15 � 20

(iii) �3(7 � 2) � �3 � 7 � (�3)(�2)� �21 � 6� �15

Sna samplaí seo, iolraímidgach uimhir taobh istigh dena lúibíní faoin uimhirtaobh amuigh de na lúibíní.

��slánuimhreacha slonn téarma athróg tairiseach comhéifeacht

luach a fháil cothromóid líneach éagothromóid líneach

cothromóidí comhuaineacha trasnú ábhar foirmle

2

Ord na n-oibríochtaí

Féach ar an léaráid thíos. Cuirfidh sé i gcuimhne duit an t-ord inar ceart oibríochtaí meascthaa dhéanamh san uimhríocht agus san ailgéabar.

L C I R S DLúibíní Cumhachtaí nó séana Iolrú Roinnt Suimiú Dealú

‘Las coinneal i roinnt seomraí dorcha’

Samplaí (i) 3 � (5 � 4) � 3 � 20 � 23 (ii) 5 � 4 � 3(10 � 4) � 9 � 3(6) � 9 � 18 � 27 (iii) (10 � 3 � 20) � 6 � (30 � 20) � 6

� 10 � 6 � 60 (iv) 62 � (6 � 2)2 � 5 � 36 � (4)2 � 5

� 36 � 16 � 5 � 36 � 80 � 116 (v) 42 � 2 � (�7 � 2) � 16 � 2 � (�5)

� 32 � 5 � 37

Cleachtadh 1.1

Scríobh gach ceann díobh seo mar shlánuimhir amháin:

1. 8 � 3 2. �7 � 3 3. �7 � 3 � 4

4. 12 � 4 � 8 5. 15 � 3 � 9 6. 14 � 3 � 7

7. �8 � 4 � 7 8. 5 � 9 � 8 9. �3 � 7 � 6

10. 6 � 12 � 8 11. �3 � 2 � 7 12. �9 � 16 � 10

13. �3 � 7 � 12 14. �9 � 4 � 6 15. �5 � 8 � 9

16. 12 � 6 17. �5 � 6 18. 6 � (�7)

19. �8 � (�6) 20. �7 � (�9) 21. �9 � 7

22. 6 � 2 � (�3) 23. 4 � (�3) � (�2) 24. (�3) � (�4) � (�2)

25. 18 ___ 6

26. �12 ____ 4

27. �36 ____ �9

28. 63 ___ �7

29. �6 � 3 _______ 9

30. 9 � (�6)

________ 2

31. (�8) � (�6) � 3

______________ �12

32. �2 �9 � (�4)

_____________ 8

33. �5 � 4 � 9 __________ �6

Bain úsáid as ord ceart na n-oibríochtaí chun gach ceann díobh seo a leanas a shimpliú:

34. 3 � 6 � 3 35. 5 � 7 � 8 36. 35 � 5 � 6

37. 5 � 6 � 4 � 3 38. 32 � 8 � (�5) 39. (16 � 4) � 2 � 5

�(�5) � 5

3

40. 4 � (�2) � (7 � 15) 41. 4 � (7 � 2)

__________ 5

42. 8 � (7 � 4)

___________ 1 � (5 � 10)

43. �8 � (�3) � 6

_____________ �12

44. 15 � 6 � 2 � 24 45. (16 � 4) � 2 � 8

46. Faigh an uimhir atá ar iarraidh i ngach ceann díobh seo:

(i) �5 � 3 � � 30 (ii) 6 � 2 � � �2 (iii) ( � 5) � 3 � �9

(iv) 4 � 2 � � 14 (v) � (�3) � (�2) � �4 (vi) 12 � � (�2) � 0

Mír 1.2 Sloinn ailgéabracha a shimpliú Slonn a thugtar ar 2x2 2 3x 1 4 san ailgéabar.

Trí théarma atá sa slonn sin agus an comhartha ‘móide’ nó an comhartha ‘lúide’ idir gach dhácheann.

Athróg a thugtar ar an litir x mar gur féidir luachanna difriúla a bheith air i sloinn eile.

Tairiseach a thugtar ar an uimhir 4 mar nach n-athraíonn a luach.

Comhéifeacht x a thugtar ar an uimhir 23 roimh an x.

Is é 2 comhéifeacht x2.

Téarmaí cosúla

Seo agat roinnt téarmaí cosúla:

(i) 2x agus 3x (ii) 2x2 agus 3x2 (iii) 3ab agus �6ab.

Is téarmaí cosúla iad sin mar gurb í an litir chéanna atá iontu nó an chumhachtchéanna den litir chéanna nó an grúpa céanna litreacha. Ní téarmaí cosúla iad 3ab agus 3ac.

Ní téarmaí cosúla 3x2 agus 3x ach an oiread, mar nach ionann cumhacht dóibh.

Sampla 1

Simpligh gach ceann díobh seo (i) 2x � 3y � 4 � 3x � 5y � 2 (ii) 3x2 � 2xy � y2 � 5xy � x2 � 3y2

(i) 2x � 3y � 4 � 3x � 5y � 2 � 2x � 3x � 3y � 5y � 4 � 2� �x � 2y � 2

(ii) 3x2 � 2xy � y2 � 5xy � x2 � 3y2 � 3x2 � x2 � 2xy � 5xy � y2 � 3y2

� 4x2 � 7xy � 2y2

Ní féidir ach téarmaí cosúla

a shuimiú nó a dhealú.

4

Sampla 2

(i) Bain na lúibíní agus simpligh (2x � 3)(x � 5). (ii) Simpligh uaidh sin 2(3x 2 � 2x � 4) � (2x � 3)(x � 5).

(i) (2x � 3)(x � 5) � 2x(x � 5) � 3(x � 5) � 2x2 � 10x � 3x � 15 � 2x2 � 7x � 15

(ii) 2(3x2 � 2x � 4) � (2x � 3)(x � 5) � 6x2 � 4x � 8 � (2x2 � 7x � 15) … ó (i) thuas � 6x2 � 4x � 8 � 2x2 � 7x � 15 � 6x2 � 2x2 � 4x � 7x � 8 � 15 � 4x2 � 11x � 23

Cleachtadh 1.2

Simpligh gach ceann de na sloinn seo a leanas:

1. 4x � 3x � 6x 2. 7x � 4x 3. 3a � 8a � 4a

4. 5a � 3a � 4a 5. a � 2a � 3a � a 6. 6y � 7y � 5y � 2y

7. 6x2 � 4x2 � 5x2 8. x2 � 3x � 2x2 � 5x 9. 3a2 � b � 4a2 � 3b

10. 3x � 7 � 5x � 9 11. 5a � 4 � a � 8 12. 9x2 � 6 � 3x2 � 8

13. Bain amach na lúibíní agus simpligh gach ceann díobh seo: (i) (x � 4)(x � 3) (ii) (2x � 3)(x � 1) (iii) (x � 4)(2x � 3) (iv) (2x � 2)(x � 5) (v) (3x � 1)(2x � 5) (vi) (2x � 3)(x � 6)

14. Bain amach na lúibíní agus simpligh gach ceann díobh seo: (i) 3x � 5 � 4(4x � 3) (ii) 3x(x � 4) � x(x � 5) (iii) 3(2x � 4) � (5x � 2) (iv) 2(x2 � 4x � 1) � 2x � 5

15. Forbair agus simpligh gach ceann díobh seo: (i) (x � 2)2 (ii) (x � 3)2 (iii) (2x � 3)2 (iv) (3x � 2)2

16. Cóipeáil agus críochnaigh gach ceann díobh seo:

(i) 3( � 5) � 6x � 15 (ii) 4( � a) � 8 � 4a

(iii) 5( � 3) � 20x � (iv) 2( � �) � 8x � 16

17. Cé acu de na sloinn seo a thugann achar na dronuilleoige?

12x � 4 2x � 24 12x � 24

2x � 4

6

5

18. I gcás gach crutha, scríobh slonn le haghaidh an fhaid atá ar iarraidh:

(i)

Achar � 9x � 6?

3x � 2

(ii)

Achar � 3a2 � 18a

?

3a

19. Scríobh agus simpligh slonn le haghaidh (i) achar (ii) imlíne na dronuilleoige ar dheis.

20. Simpligh: (3x � 2)(x � 5) � 2(x2 � 3x � 7).

Mír 1.3 Luachanna slonn a fháil D’fhoghlaim tú an méid seo san ailgéabar roimhe seo:

(i) 3x � 3 � x (ii) 2ab � 2 � a � b

(iii) x2 � x � x (iv) 2a2 � 2 � a � a

Ag féachaint do (i), (ii), (iii) agus (iv) thuas, gheobhaimid luachanna slonn anois trí uimhreachaa chur isteach in áit na litreacha nó na n-athróg sa slonn.

Sampla 1

(i) Faigh luach 2x2 2 3y2 nuair atá x 5 3 agus y 5 2. (ii) Faigh luach 3x2 2 5x 1 6, nuair atá x 5 22.

(i) 2x2 � 3y2 � 2(3)2 � 3(2)2 … nuair atá x 5 3 agus y 5 2

� 2(9) � 3(4)� 18 � 12 � 6

(ii) 3x2 � 5x � 6 � 3(�2)2 � 5(�2) � 6� 3(4) � 10 � 6� 12 � 10 � 6 � 28

Cearnaigh i gcónaí sulan-iolraíonn tú.

Cleachtadh 1.3

Faigh luach gach ceann díobh seo a leanas:

1. 3x � 7 nuair atá x � 5 2. 3x � 4 nuair atá x � �2

3. 3x � 2y nuair atá x � 2 agus y � 3 4. 2a � b nuair atá a � 3 agus b � �2

5. x2 � 4x nuair atá x � 3 6. 2x2 � 8 nuair atá x � 4

6a � 2b

3b

6

7. 2x2 � 6x � 4 nuair atá x � 1 8. 3x2 � 5x nuair atá x � �2

9. 3x2 � x � 5 nuair atá x � �2 10. 3x2 � y2 nuair atá x � 2 agus y � �3

11. 3(x2 � 2) nuair atá x � 5 12. 3(x � 2y) nuair atá x � �1 agus y � 2

13. Cén luach atá ar gach slonn nuair atá x 5 24?

(i) 2x2 � 1 (ii) 3(2x � 1) (iii) x2 __

2 � 1 (iv) x

2 � 8 ______ 4

14.

2(t � 5)

A

4t � 3 ______ �5

C

2(t2 � 7)

B

5 � t2

D

3t2 � 11

E

3t � 17 _______ 2

F

(i) Nuair atá t 5 3, is é 24 an luach atá ar thrí cinn de na sloinn thuas. Faigh na sloinn sin.

(ii) Nuair atá t 5 22, tá an luach céanna ar thrí cinn de na sloinn thuas. Faigh na sloinn sin.

15. Faigh luach gach ceann díobh seo a leanas:

(i) 5x � 3 ______ 2

nuair atá x � 5 (ii) 10 � 6h _______ 5

nuair atá h � 5

(iii) 10 � 2x _______ 1 � x

nuair atá x � �3 (iv) 3x � 4 ______ x � 5

nuair atá x � �6

Mír 1.4 Cothromóidí líneacha a réiteach Is sampla de chothromóid é 3x 2 5 5 7 mar go bhfuil comhartha 5 ann.

Chun cothromóid a réiteach, ní mór teacht ar luach na hathróige a fhágann gur fíor anchothromóid.

Léireoidh an dá shampla seo a leanas na céimeanna a bhaineann le cothromóid líneach a réiteach.

Sampla 1

Réitigh an chothromóid 5x � 3 � 2x � 9.

5x � 3 � 2x � 9⇒ 5x � 3 � 3 � 2x � 9 � 3 … suimigh 3 leis an dá thaobh

⇒ 5x � 2x � 12⇒ 5x � 2x � 2x � 2x � 12 … dealaigh 2x ón dá thaobh

⇒ 3x � 12⇒ x � 4 … roinn an dá thaobh ar 3

7

Sampla 2

Réitigh an chothromóid 5(2x � 4) � 3(2x � 1) � 1.

5(2x � 4) � 3(2x � 1) � 1⇒ 10x � 20 � 6x � 3 � 1 … bain na lúibíní

⇒ 10x � 20 � 6x � 4 … simpligh an dá thaobh

⇒ 10x � 20 � 20 � 6x � 4 � 20 … suimigh 20 leis an dá thaobh

⇒ 10x � 6x � 16⇒ 10x � 6x � 6x � 6x � 16 … dealaigh 6x ón dá thaobh

⇒ 4x � 16⇒ x � 4 … roinn an dá thaobh ar 4

Cleachtadh 1.4 Réitigh gach ceann de na cothromóidí seo a leanas:

1. 2x � 8 2. 3x � 15 3. 8x � 40

4. x � 3 � 5 5. 2x � 3 � 10 6. 3x � 1 � 8

7. 5x � 2 � 12 8. 3x � 10 � 8 9. 5x � 6 � 19

10. 7x � 4 � 25 11. 6x � 2 � 4x � 10 12. 7x � 9 � 3x � 11

13. 3x � 1 � 5x � 13 14. 5x � 2 � 40 � x 15. 3x � 7 � 32 � 2x

16. 3(2x � 1) � 2x � 11 17. 2(2x � 5) � 5x � 5 18. 4(2x � 3) � 2(3x � 5)

19. 3(2x � 6) � 2(2x � 1) 20. 3(5x � 2) � 4(3x � 6) 21. 6(1 � 2x) � 5(3x � 1) � 4

22. 2(x � 2) � 3(x � 3) � x � 7 23. 3(4 � 3x) � 5(3 � 2x)

24. 4(x � 3) � 3(2x � 5) � x 25. 3(x � 1) � 18 � 5(x � 1)

26. Tá triantán agus dronuilleog le feiceáil thíos.

x � 1

x � 2

2x

30 � 2x

30 � 2x

x x

(i) Cén luach ar x a fhágann gur 63 aonad atá in imlíne an triantáin? (ii) Faigh agus simpligh slonn le haghaidh imlíne na dronuilleoige. (iii) Cén luach ar x a fhágann go bhfuil imlíne an triantáin agus imlíne na

dronuilleoige cothrom lena chéile? (iv) Cén luach ar x a fhágann gur cearnóg í an dronuilleog?

27. Déan cothromóid agus réitigh í chun luach x i gcás an triantáin ar dheis a fháil. Scríobh síos uaidh sin tomhas gach uillinne.

3x � 4

2x � 6 50 � x

Suim nan-uillinneacha

� 180°

8

Mír 1.5 Cothromóidí líneacha a bhfuil codáiniontu a réiteach

Cuir i gcás an chothromóid 2x � 1 ______ 5

� 3.

Gheobhaimid réidh leis an gcodán ach an dá thaobha iolrú faoi 5.

; 15(2x � 1)

_________ 51

� 3 � 5

2x � 1 � 15

2x � 1 � 1 � 15 � 1 … suimigh 1 leis an dá thaobh

2x � 16 ; x � 8

Sampla 1

Réitigh an chothromóid 4x ___ 5

� x __ 2

� 3 __ 4

.

Is é 20 an ICL ar 5, 2 agus 4. Iolraigh gach téarma faoi 20:

20(4x)

______ 5

� 20(x)

_____ 2

� 20(3)

_____ 4

⇒ 4(4x) � 10(x) � 5(3)

⇒ 16x � 10x � 15

⇒ 6x � 15

⇒ x � 15 __ 6 � 5 _ 2 � 2 1 _ 2

Sampla 2

Réitigh an chothromóid x � 4 _____ 3

� x � 2 _____ 4

� 7 __ 6

.

Is é 12 an ICL ar 3, 4 agus 6. Iolraigh gach téarma faoi 12:

12(x � 4)

________ 3

� 12(x � 2)

________ 4

� 12(7)

_____ 6

⇒ 4(x � 4) � 3(x � 2) � 2(7)

⇒ 4x � 16 � 3x � 6 � 14

⇒ x � 10 � 14

⇒ x � 10 � 10 � 14 � 10

⇒ x � 4

Má bhíonn níos mó ná aonchodán amháin i gcothromóid,iolraímid gach cuid faoiniolraí coiteann is lú (ICL)ar na hainmneoirí.

9

Cleachtadh 1.5

Réitigh gach ceann de na cothromóidí seo:

1. x __ 4

� 3 2. 3x � 7 ______ 5

� 2 3. 2x � 4 ______ 3

� 6

4. x � 1 _____ 5

� 4 5. 3x � 1 ______ 4

� 8 6. 3x ___ 4

� 9 __ 2

7. x � 12 ______ 4

� x 8. 8x � 3 ______ 7

� x 9. x � 18 ______ 2

� 5x

10. x � 1 _____ 2

� x � 2 11. x � 2 _____ 3

� x � 4 12. 2x � 3 ______ 4

� x � 3

13. 2x � 5 ______ 3

� x � 2 _____ 2

14. 2x � 1 ______ 5

� x � 1 _____ 2

15. x __ 2

� x � 5 _____ 4

� 4

16. x � 5 _____ 4

� 2x ___ 3

17. 2x ___ 3

� x __ 4

� 5 __ 2

18. x � 4 _____ 3

� x __ 4

� 2

19. 2x � 1 ______ 5

� x __ 3

� 1 __ 3

20. 2x � 1 ______ 3

� x __ 4

� 3 __ 2

21. x __ 6

� 1 � x � 4 _____ 4

22. x __ 5

� x � 3 _____ 6

� 3 __ 2

23. 3x � 2 ______ 5

� x � 1 _____ 2

� 3 ___ 10

24. 2x � 3 ______ 4

� 1 __ 2

� 3x � 2 ______ 5

25. 1 __ 3

(x � 2) � 1 __ 5

(3x � 2) 26. x � 1 _____ 2

� 5 ___ 12

� 4x � 1 ______ 3

27. 1 __ 2

(x � 3) � 1 __ 3

(x � 1) � 8

28. Is é (2x 1 3) cm fad dronuilleoige áirithe. 2x � 3

(x � 3)12

Is é 12(x 1 3) cm leithead na dronuilleoige.

Más é 49 cm imlíne na dronuilleoige, faigh luach x.

29. Taispeántar sa léaráid an triantán comhchosach ABC. x � 4

A

C

B

3(x � 6)5

Tugtar faid na sleasa ina gceintiméadair agus tá uABu 5 uACu.

(i) Scríobh síos cothromóid i dtéarmaí x. (ii) Oibrigh amach fad [AB].

Mír 1.6 Codáin ailgéabracha a shuimiú le chéile

Chun 34 1 2

3 a scríobh ina chodán singil, scríobhaimid an dá chodán sa chaoi is gurb é 12 an

t-ainmneoir. 3 __ 4

� 2 __ 3

� 9 ___ 12

� 8 ___ 12

� 17 ___ 12

Is féidir é sin a dhéanamh ar shlí níos fearr mar leanas:

3 __ 4

� 2 __ 3

� 3(3) � 2(4)

__________ 12

� 9 � 8 _____ 12

� 17 ___ 12

� 1 5 ___ 12

.

Ar an gcaoi chéanna 6 __ 7

� 2 __ 3

� 6(3) � 2(7)

__________ 21

� 18 � 14 _______ 21

� 4 ___ 21

Is féidir codáin ailgéabrachaa shuimiú le chéile agus adhealú ó chéile mar adhéantar le codáin uimhriúla.

10

Sampla 1

Scríobh 4x � 3 ______ 4

� x __ 3

ina chodán singil.

Is é 12 an ICL ar 3 agus 4.

4x � 3 ______ 4

� x __ 3

� 3(4x � 3) � 4(x)

______________ 12

� 12x � 9 � 4x ____________ 12

� 8x � 9 ______ 12

Sampla 2

Scríobh 5 _____ x � 3

� 2 _____ x � 4

ina chodán singil.

Is é an ICL ar (x 1 3) agus (x 2 4) ná (x 1 3)(x 2 4).

5 _____ x � 3

� 2 _____ x � 4

� 5(x � 4) � 2(x � 3)

________________ (x � 3)(x � 4)

� 5x � 20 � 2x � 6 _______________ (x � 3)(x � 4)

� 3x � 26 ____________ (x � 3)(x � 4)

Cleachtadh 1.6

Scríobh gach ceann díobh seo ina chodán singil:

1. 3 __ 4

� 1 __ 3

2. 3 __ 5

� 7 ___ 10

3. 5 __ 8

� 1 __ 6

4. x __ 2

� x __ 3

5. 3x ___ 4

� 3x ___ 2

6. 5x ___ 3

� x __ 2

7. 2x � 3 ______ 4

� x __ 3

8. 3x � 1 ______ 3

� x � 5 _____ 2

9. 4x � 3 ______ 5

� x � 3 _____ 3

10. 3x � 4 ______ 6

� 2x � 1 ______ 3

11. 3x � 2 ______ 6

� x � 3 _____ 4

12. 3x � 1 ______ 4

� x ___ 10

� 3 __ 5

13. 1 _____ x � 3

� 1 __ x

14. 2 _____ x � 5

� 3 __ x

15. 2 _____ x � 2

� 3 _____ x � 4

16. 4 ______ 2x � 1

� 3 ______ 2x � 3

17. 3 ______ 4x � 1

� 4 ______ 3x � 1

18. 5 ______ 3x � 1

� 2 _____ x � 3

19. 6 ______ 3x � 1

� 4 ______ 2x � 3

20. 2 ______ 3x � 5

� 1 __ 4

21. 3 ______ 2x � 7

� 5 ______ 3x � 5

22. Scríobh 5 ______ 2x � 1

� 3 _____ x � 2

ina chodán singil. Deimhnigh do fhreagra trí 3 a chur in áit

x sa slonn tugtha agus sa fhreagra agat.

11

23. Má tá 6 ______ 3x � 4

� 4 ______ 2x � 3

� k ______________ (3x � 4)(2x � 3)

, faigh k nuair atá k [ N.

24. Scríobh síos slonn le haghaidh imlíne na gcruthanna seo. Scríobh gach slonn ina chodán singil.

(i) (ii) (iii)

a2

a3

a4

a � 24

a � 16

a � 23

a � 14

a � 23

Mír 1.7 Éagothromóidí líneacha Is sampla de chothromóid é 2x 1 4 5 6 mar go bhfuil an dá thaobh cothrom le chéile. Ach is éagothromóid é 2x 1 4 > 6 mar nach bhfuil an dá thaobh cothrom le chéile.

Is iad seo na ceithre shiombail a bhíonn in éagothromóidí:

1. � … níos mó ná 2. � … níos mó ná nó cothrom le 3. � … níos lú ná 4. � … níos lú ná nó cothrom le

Na rialacha le héagothromóidí a réiteach, tá siad an-chosúil leis na rialacha le cothromóidí a réiteach. Tá difríocht mhór amháin, áfach, idir an dá chineál.

Athraítear treo chomhartha na héagothromóide nuair a iolraítearan dá thaobh faoin uimhir dhiúltach chéanna, nó nuair a roinntearan dá thaobh ar an uimhir dhiúltach chéanna.

3 � 5 ach 3 � (�1) � 5 � (�1)i.e. �3 � �5

Sula dtabharfaimid faoi éagothromóidí a réiteach, féachfaimid arís ar na cineálacha éagsúla uimhreacha atá ann agus ar an gcaoi a léirítear ar an uimhirlíne iad.

1. Tacar na n-uimhreacha aiceanta, N � {1, 2, 3, 4, …}

1N

2 3 4 5

2. Tacar na slánuimhreacha, Z � {… �3, �2, �1, 0, 1, 2, 3, …}

�2�3Z

�1 0 1 2 3

12

3. Tá gach uimhir ar an uimhirlíne san áireamh i dtacar na réaduimhreacha R. Is le líne throm

a léirítear R ar an uimhirlíne, rud a chuireann in iúl go bhfuil gach uimhir san áireamh.

R

Seo dhá thacar réaduimhreacha agus iad léirithe ar an uimhirlíne.

x ��2, x ��R x ��4, x ��R

�2Z

�1 0 1 2 3 4

Cuireann an ciorcal lán ag 4 in iúl go bhfuil 4 san áireamh. Cuireann an ciorcal folamh ag 22 in iúl nach bhfuil 22 san áireamh.

Sampla 1

Réitigh an éagothromóid 5 2 2x , 9, x [ Z agus taispeáin an réiteach ar an uimhirlíne. .

5 � 2x � 9⇒ 5 � 2x � 5 � 9 � 5 … dealaigh 5 ón dá thaobh

⇒ �2x � 4⇒ 2x � �4 … athraítear treo na héagothromóide nuair a iolraítear an dá thaobh faoi 21

⇒ x � �2.

An réiteach ar an uimhirlíne: �2 �1 0 1 2 3

Sampla 2

Faigh tacar réitigh, A , na héagothromóide 3x � 1 � 2x � 5, x � R.

Faigh tacar réitigh, B , na héagothromóide 1 _ 3 � 2x � 25 __ 3 , x � R.

Faigh A � B agus taispeáin an freagra agat ar an uimhirlíne.

3x � 1 � 2x � 5

⇒ 3x � 2x � 1 � 2x � 2x � 5 1 _ 3 � 2x � 25 __ 3

⇒ x � 1 � 5 ⇒ 1 � 6x � 25⇒ x � 1 � 1 � 5 � 1 ⇒ 1 � 1 � 6x � 25 � 1⇒ x � 4 ⇒ �6x � 24 ⇒ 6x � �24 ⇒ x � �4.

Cuirimid na freagraí sin le chéile go bhfaighimid x � 4, x � �4, i.e. �4 � x � 4.

An uimhirlíne: �2�3 �1�4 0 1 2 3 4

13

Cleachtadh 1.7

1. Maitseáil na héagothromóidí seo.

2x � 10 x __ 2

� 3x � 4

x � 3 � 7 x � 1 � 5 x � 5

x � 3 � 7 x � 6

A CB

D E F

G H

2. Cén dá cheann díobh seo a leanas atá coibhéiseach le m � 6?

2m � 8 m __ 2

� 12 3m � 2 2m � 12 m __ 3

� 2 m __ 2

� 4

A B C D E F

3. As measc na n-ocht éagothromóid seo, faigh na ceithre phéire choibhéiseacha.

p � 8 4p � 24 2p � 18 p � 2 � 6 p � 9

p � 4 � 14 3p � 18 2p � 20

A B C D E

F G H

Réitigh an éagothromóid seo a leanas agus graf an tacar réitigh ar an uimhirlíne:

4. 3x � 2 � 7, x ; N 5. 8x � 1 � 5x � 10, x ; Z

6. 3x � 1 � 2x � 5, x ; Z 7. 7 � x � 4, x ; Z

8. 2x � 5 � 3x � 2, x ; R 9. 4(x � 2) � 3x � 4, x ; R

10. 1 � 3x � 11, x ; Z 11. 7 � 4x � 2x � 1, x ; R

12. 3 � 2(4 � x) � 3x, x ; R 13. 3x � �2(4 � x), x ; R

14. x � 4 � 4x � 1, x ; R 15. 4 � 2x � 5(2 � x), x ; R

16. Réitigh an éagothromóid 5(2x � 5) � 1 � 2(11 � 3x), x ; R.Taispeáin an réiteach agat ar an uimhirlíne ansin.

17. Faigh K, tacar réitigh na héagothromóide 11 � 3x � 2, x ; R.Faigh L, tacar réitigh na héagothromóide 3x � 2 � �7, x ; R.Faigh K � L agus graf an réiteach agat ar an uimhirlíne.

18. Faigh P, tacar réitigh na héagothromóide 2 � 3x � 4 � x, x ; R.Faigh Q, tacar réitigh na héagothromóide 4 � x � 7, x ; R.Faigh P � Q agus graf an réiteach agat ar an uimhirlíne.

19. Faigh A , tacar réitigh na héagothromóide x � 3x � 1, x ; R.Faigh B , tacar réitigh na héagothromóide 3x � 1 � 2x � 7, x ; R.Taispeáin A � B ar an uimhirlíne ansin.

14

20. Faigh C , tacar réitigh na héagothromóide 2 � 5x � 6 ______ 2

, x ; N.

Faigh D, tacar réitigh na héagothromóide 5x � 6 ______ 2

� 7, x ; N.

Taispeáin C � D ar an uimhirlíne.

21. Tá bus in ann 44 paisinéir ar a mhéad a iompar. Tá scoil ag iarraidh cúigear daoine fásta agus a oiread grúpaí de 4 páistíagus is féidir a thabhairt ar an mbus.

(i) Má sheasann n do líon na bpáistí, cé acu de na héagothromóidí seo atáfíor i gcás an bhus:

(a) 4n � 5 � 44 (b) 4n � 5 � 44

(c) 4n � 5 � 44 (d) 4n � 5 � 44?

(ii) Réitigh an éagothromóid chun teacht ar an uaslíon grúpaí 4 páistí atá an busin ann a iompar.

Mír 1.8 Cothromóidí comhuaineacha Na luachanna x 5 2 agus y 5 3, sásaíonn siad an dá chothromóid líneacha

3x 1 y 5 9 agus 2x 2 y 5 1.

Nuair a shásaíonn na luachanna céanna ar x agus y an dá chothromóid, deirtear gur cothromóidí comhuaineacha (nó comhchothromóidí) na cothromóidí sin.

Is gá ceann de na hathróga a chealú le cothromóidí comhuaineacha a réiteach, rud a léirítear sa sampla seo a leanas.

Sampla 1

Réitigh na cothromóidí comhuaineacha

2x � 5y � 93x � 2y � 4

Cuirimid uimhir ar an dá chothromóid, 2x � 5y � 9 1

1 agus 2 , ar son na caoithiúlachta. 3x � 2y � 4 2

Iolraímid cothromóid 1 faoi 2 ansin, agus cothromóid 2 faoi 5, rud a fhágfaidh an méid céanna y-anna sa dá chothromóid (i.e. na y-chomhéifeachtaí).

1 � 2: 4x � 10y � 18

2 � 5: 15x � 10y � 20

Suimigh: 19x � 38 ⇒ x � 2

15

Cuirimid 2 in áit x ansin i gcothromóid 1

2x � 5y � 9x � 2 ⇒ 4 � 5y � 9 ⇒ �5y � 5 ⇒ 5y � �5 ⇒ y � �1 ; x � 2 agus y � �1

(Ní foláir i gcónaí na luachanna sin a chur in áit x agus y faoi seach sna cothromóidílena dheimhniú go bhfuil na luachanna ceart.)

Sampla 2

Réitigh na cothromóidí comhuaineacha 3x � 2y � 19 … 1

x __ 3

� y

__ 2

� 5 … 2

Cuirimid uimhir ar an dá chothromóid, 1 agus 2 ar son na caoithiúlachta.

Ansin iolraímid gach téarma i gcothromóid 2 faoi 6 (an ICL ar 3 agus 2) chun nacodáin a chealú.

Dá réir sin is mar seo a bheidh cothromóid 2 : 2x � 3y � 30

Seo agat na cothromóidí ansin: 3x � 2y � 19 … 1

2x � 3y � 30 … 2

Iolraigh cothromóid 1 faoi 2 agus cothromóid 2 faoi 23 go ndéanfaidh tú

comhéifeachtaí x a chothromú.

1 � 2 : 3x � 2y � 19 6x � 4y � 38

2 � �3 : 2x � 3y � 30 �6x � 9y � �90

Suimigh: �13y � �52

⇒ 13y � 52

⇒ y � 4

Cuir 4 in áit y i gcothromóid 1 go bhfaighidh tú luach x.

3x � 8 � 19

3x � 27

⇒ x � 9

⇒ Is é an réiteach ná x 5 9 agus y 5 4.

16

Cleachtadh 1.8

Réitigh na péirí cothromóidí comhuaineacha seo a leanas:

1. x � 2y � 6 2. x � y � 7 3. 3x � y � 11

3x � 2y � 10 2x � y � 12 3x � 2y � 13

4. 2x � 3y � 9 5. 3x � 2y � 1 6. 2x � y � 7

4x � y � 13 x � 5y � 9 3x � 2y � 0

7. x � 2y � 8 8. x � 2y � 9 9. 4x � 3y � 23

2x � 3y � 14 3x � 7y � 1 2x � 5y � 8

10. 3x � 2y � 7 11. 2x � 3y � 5 12. x � 2y � 12

4x � y � 13 5x � 2y � �16 3x � 5y � 3

13. 3x � 2y � �12 14. 4x � 5y � 1 15. x � 3 � 4y

2x � 3y � 5 3x � 4y � 24 y � 2 � 3x

16. 3x � 4y � 23 17. 4x � 16 � 5y 18. x � y � 3 � 2x � y

y � 2x � 3 6x � 13 � 2y

19. 3x � y � 9 20. 3x � y � 27 21. 2x � 3y � 24

x __ 2

� y � �2 x __ 2

� y � 1 5x ___ 3

� y

__ 2

� 12

22. Is triantán comhshleasach é ABC. Tá gach fad ina cm.

B C

A

3x � 2y

11 ��x � 2y

3y � 1

(i) Ceap dhá chothromóid chomhuaineacha agus réitigh iad chun luach x agus luach y a fháil.

(ii) Anois faigh fad an tsleasa ar an triantán.

17

Mír 1.9 Fadhbanna agus graif Bíonn cothromóidí comhuaineacha thar a bheith úsáideach chun cineálacha áirithe fadhbannaailgéabracha a réiteach, mar a thaispeántar sna samplaí seo a leanas.

Sampla 1

Tá roinnt boinn deich cent agus roinnt boinn fiche cent sa mhuicín taisce ag Séamas.18 mbonn ar fad atá aige sa mhuicín taisce, agus is é E2.30 a luach iomlán. Oibrigh amach cé mhéad bonn deich cent agus cé mhéad bonn fiche cent atá ag Séamas sa mhuicín taisce.

Abraimis gurb é x líon na mbonn 10c agus gurb é y líon na mbonn 20c.

1 x � y � 18 … 18 mbonn ar fad atá ann

2 10x � 20y � 230 … is é suim na mbonn 10c agus 20c ná E2.30 (230c)

1 � 10: 10x � 10y � 180

2 10x � 20y � 230

Dealaigh �10y � �50 10y � 50 y � 5

1 x � 5 � 18 … cuir 5 in áit y

x � 13

13 bhonn deich cent agus 5 bhonn fiche cent atá ag Séamas.

Graif a úsáid

Is féidir cothromóidí comhuaineacha a réiteach go grafach ach graf an dá chothromóid (nó an dá líne)a tharraingt agus comhordanáidí a bpointe trasnaithe a fháil.

Taispeántar sa léaráid seo trasna na línte x � y � 1 agus 2x � y � �4.

Trasnaíonn na línte a chéile ag (21, 2).

Ach an dá chothromóid chomhuaineacha a réiteach, gheobhaimid x � �1 agus y � 2.

Taispeánann sé seo gur féidir cothromóidí comhuaineacha a réiteach ach an dá líne a tharraingt agus pointetrasnaithe an dá líne a scríobh síos.

�2

2

4

6

8

�4 �2 2O 4 x

y

2x � y � �4

x � y � 1

18

Cleachtadh 1.9

1. Is é 9 suim dhá dhigit. Má shuimítear dhá oiread na chéad digite le trí oiread an dara digit,is é 20 an freagra. Faigh an dá uimhir.

2. Is 7 an difríocht idir dhá uimhir. Nuair a dhealaítear trí oiread an dara huimhir ódhá oiread na chéad uimhreach, is é 11 an freagra. Faigh an dá uimhir.

3. E27 atá ar thicéid phictiúrlainne do dhuine fásta amháin agus triúr páistí. Is é E48 an costas do bheirt daoine fásta agus cúigear páistí. Faigh an costas atáar thicéad amháin do dhuine fásta agus an costas atá ar thicéad amháin do pháiste.

4. Ní ghlacann meaisín sliotáin ach le boinn 20c agus 50c. 43 bonn ar fad atá sa mheaisín.Más é E13.10 luach iomlán na mbonn, faigh líon na mbonn 20c agus líon na mbonn50c sa mheaisín.

5. Díolann potaire mugaí móra agus beaga. 758 gram an meáchan atá in dhá mhuga bheaga agus muga mór amháin. 1882 gram an meáchan atá i gceithre mhuga bheaga agus trí mhuga mhóra. Cén meáchan atá i ngach muga?

6. Féach ar an dronuilleog sa léaráid ar dheis. Ina cheintiméadair atá gach slios tomhaiste. (i) Scríobh síos péire cothromóidí comhuaineacha in

a agus b. (ii) Réitigh an péire cothromóidí comhuaineacha chun

a agus b a fháil.

7. Tá roinnt cearc agus tréad bó i ngort. Tá 50 ceann agus 180 cos eatarthu ar fad. Cé mhéad bó agus cé mhéad cearc atá sa ghort?

8. Bíonn an-tóir ar bharraí seacláide ‘Móro’. Tá dhá chineál ar fáil: gnáthmhéid agus rímhór. 760 g an meáchan iomlán atá in 2 bharra gnáthmhéide agus 5 bharra rímhóra. 920 g an meáchan iomlán atá in 1 bharra gnáthmhéide agus 7 mbarra rímhóra. (i) Cén meáchan atá i mbarra gnáthmhéide? (ii) Cén meáchan atá i mbarra rímhór?

9. Tá roinnt buidéil líomanáide 2 lítear ag Ruairí. Tá roinnt buidéil líomanáide 3 lítear ag Sorcha. 27 lítear an méid iomlán atá ag Ruairí agus Sorcha. Tá 6 bhuidéal sa bhreis ag Ruairí ar Shorcha. Cé mhéad buidéal atá ag Ruairí agus cé mhéad buidéal atá ag Sorcha?

10. Léaráid í seo thíos de thrí líne A, B agus C. Is iad cothromóidí na línte: A: x � y � 3 B: y � 2x C: x � 2y � 3.Bain úsáid as an léaráid chun na cothromóidícomhuaineacha seo a réiteach: (i) x � y � 3 (ii) x � 2y � 3 (iii) y � 2x

y � 2x x � y � 3 x � 2y � 3

2a � 3

3b � 1

5 � b

4a

�2

�3

�1

1

2

3

4

�2 �1 2O 4

C

BA

x

y

1 3

19

11. (i) Bain úsáid as na graif chun an dá phéire cothromóidí comhuaineacha a réiteach. (a) y � 2x � 1 (b) y � 2x � 4 x � y � 4 x � y � 4

Seiceáil an dá réiteach trína gcur in áit x agus y sna cothromóidí.

(ii) Cén chaoi a bhfuil a fhios agat nach bhfuil aon réiteachar an bpéire cothromóidí comhuaineacha seo a leanas?

y � 2x � 4y � 2x � 1

12. Tá codán áirithe coibhéiseach le 27. Má shuimítear 1 leis an uimhreoir agus

leis an ainmneoir, beidh an codán coibhéiseach le 310.

Faigh an dá chodán.

13. Is comhthreomharán é an cruth ABCD. A

D C

B5x � y � 5

3x � 4y � 8

7 � x � 2yx � y

Is ina cm atá gach fad atá marcáilte. Find fad [AB] agus fad [BC].

Mír 1.10 Ábhar foirmle a athrú Deirimid gur i dtéarmaí y agus z a scríobhtar x sa chothromóid x 5 2y 2 z, nó gurb é x ábhar na foirmle.

Má athraítear an fhoirmle go gcuirtear san fhoirm z 5 2y 2 x í, is é z ábhar na foirmle.

Athraítear ábhar na foirmle má chuirtear atheagar ar an bhfoirmle (nó ar an gcothromóid)sa chaoi is gur athróg dhifriúil a bheidh ar thaobh na láimhe clé.

Tá cosúlacht mhór ag an mbealach lehábhar foirmle a athrú leis an mbealachle cothromóid a réiteach.

Léirítear sna samplaí seo a leanas na rialacha bunúsacha le haghaidh ábhar foirmle a athrú.

Sampla 1

Má tá bc � d � a, bíodh c ar ábhar na foirmle.

bc � d � a; bc � a � d … suimigh d leis an dá thaobh

; c � a � d _____ b

… roinn an dá thaobh ar b.

�1

1

2

3

4

5

�2 �1 2O 4 x

y

1

y � 2x � 4

y � 2x � 1

x � y � 4

3

Ní athraítear luach na cothromóidemá dhéantar an oibríocht chéannaar an dá thaobh.

20

Sampla 2

Má tá x � 3y

___ 2

� 1, bíodh y ar ábhar na foirmle.

x � 3y

___ 2

� 1

2x � 3y � 2 … iolraigh gach téarma faoi 2

2x � 2 � 3y … suimigh 2 leis an dá thaobh

2x ___ 3

� 2 __ 3

� y … roinn gach téarma ar 3

y � 2x ___ 3

� 2 __ 3

(�nó y � 2x � 2 ______ 3

)

Sampla 3

Má tá a � bc _____ b � c

, bíodh c ar ábhar na foirmle.

a � bc _____ b � c

a(b � c) � bc … iolraigh gach téarma faoi (b � c)

ab � ac � bc … bain na lúibíní

ac � bc � �ab

c(a � b) � �ab

c � �ab _____ a � b

Cleachtadh 1.10

1. Bíodh an litir a bhfuil líne fúithi ar ábhar na foirmle i ngach ceann díobh seo a leanas: (i) 2x � 4 � y (ii) a � 8b � 6 (iii) c � 4d � 1 (iv) h � 2k � 2

2. Cuir atheagar ar gach ceann díobh seo agus bíodh an litir a bhfuil líne fúithi ar ábhar na foirmle: (i) a � 3b � 5 (ii) b � 4w � 2 (iii) d � 6e � 12 (iv) g � 18 � 5h

3. Cóipeáil agus críochnaigh gach ceann díobh seo a leanas:

(i) v � u � at (ii) ap � bq � k (iii) p � g

__ 5

� 3h

v � � at ap � k � p � � g

__ 5

t � … p � k � �______ � (p � ) � g

g � …

21

4. Bíodh x ar ábhar na foirmle i ngach ceann díobh seo: (i) x � y � 2z (ii) 3x � b � 4c (iii) 6y � 3x � 7 (iv) x __

3 � 2y � 8

5. Bíodh a ar ábhar na foirmle i ngach ceann díobh seo: (i) 2a � b � 1 _ 2 (ii) ab � 3a � 5 (iii) 7(a � 3) � 4b

6. (i) Bíodh a ar ábhar na foirmle k � a __ b

� 2.

(ii) Bíodh v ar ábhar na foirmle s � u __ v

� 10.

7. Bíodh an litir idir lúibíní ar ábhar na foirmle i ngach ceann díobh seo a leanas:

(i) c � a __ 2

� 4b … (a) (ii) 2(a � 2b) � 3c … (a) (iii) 2x � 1 __ 3

� y

__ 3

… (x)

(iv) 5(b � 3) � a __ 2

… (b) (v) x � y � 2z

______ 3

… (z) (vi) a � b __ 2

� 3c ___ 4

… (b)

8. (i) Bíodh a ar ábhar na foirmle ma � n(m � a). (ii) Bíodh n ar ábhar na foirmle b � a � (n � 1)d.


(i) 3x ___ 4

� 5( y � z) … ( y) (ii) ab ___ 3

� b __ 2

� c … (b)

(iii) t � x � 2y

______ z

… ( y) (iv) p

__ q

� q

__ t � 1 … (t)


(i) x � a � b _____ a � b

… (a) (ii) y � 3x � 4 ______ x � 1

… (x) (iii) p � qr

_____ q � r

… (r)

11. Bíodh k ar ábhar na foirmle ab � dk _____ k � e

.

12. Cé acu díobh seo a leanas atá ina n-eagar ceart ar g

__ r ?

w � s � g

__ r g � r(s � w) r �

g _____

s � w r �

g _____

w � s

w � g

__ r � s g � r(w � s)

A B C D

E F

13. Tríd an dá thaobh a chearnú, bíodh an litir idir lúibíní ar ábhar na foirmle ingach ceann díobh seo a leanas: (i) x � √

_____

a � b … (b) (ii) a � √__

x __ y

… ( y) (iii) k � 2 √__

a __ b

… (b)

14. Má tá C 5 59(F 2 32), bíodh F ar ábhar na foirmle.

15. (i) Bíodh q ar ábhar na foirmle t 58(p � q)

_______ pq

.

(ii) Má tá m � cab _____ a � b

, cuir b in iúl i dtéarmaí a, c agus m.

22

Cuir triail ort féin 1 1. (i) Réitigh an chothromóid 2(3x � 1) � 7 � 3(3x � 2).

(ii) Réitigh na cothromóidí comhuaineacha 3x � y � 13x � 2y � �5.

(iii) Bíodh b ar ábhar na foirmle ax � by � c.

2. (i) Réitigh an chothromóid 7(x � 1) � 21 � 3(x � 1). (ii) Cé acu de na héagothromóidí seo a leanas atá coibhéiseach le m . 10?

A a � 5 � 5 B 2a � 20 C a � 5 � 5 D 1 _ 2 a � 5 E a � 1 _ 2 � 10 1 _ 2

(iii) Faigh luach 2 _____ x � 2

� 3 ______ 2x � 1

nuair atá x512.

(iv) Réitigh na cothromóidí comhuaineacha2v � 31 � 3w

3v � w � 64

3. (i) Simpligh (2x � 3)2 � 2x(2x � 5).

(ii) Réitigh an chothromóid 2x � 1 ______ 3

� 1 __ 2

.

(iii) Réitigh an éagothromóid 5 2 (3x 1 4) $ 4, x [ Zagus léirigh an freagra agat ar an uimhirlíne.

(iv) Taispeántar sa léaráid na toisí atá ag dronuilleog áirithe. 18 cm atá in imlíne na dronuilleoige. Faigh luach x.

4. (i) Faigh luach 2x2 2 3xy nuair atá x 5 22 agus y 5 13.

(ii) Réitigh an chothromóid 3x ___ 4

� 4x � 1 ______ 5

.

(iii) Faigh A, tacar réitigh na héagothromóide 2x � 4 � 6, x ; N.Faigh B, tacar réitigh na héagothromóide 4 � 2x � 0, x ; N.Taispeáin A � B ar an uimhirlíne.

(iv) Léaráid í seo thíos de thrí líne A, B agus C.(a) Maitseáil na trí líne leis na cothromóidí seo.

y � 2x

x � y � 3x � 2y � 3

(b) Bain úsáid as an léaráid chun na cothromóidícomhuaineacha seo a réiteach.

(i) y � 2x (ii) x � y � 3 x � y � 3 x � 2y � 3 (iii) y � 2x

x � 2y � 3

(x � 2) cm

x cm

�2

�3

�1

1

2

3

4

�2 �1 2O 4

C

BA

x

y

1 3

23

5. (i) Réitigh an éagothromóid 8x 2 1 # 5x 2 10, x [ R agus graf an réiteach ar an uimhirlíne.

(ii) San fhoirmle h � a __ k

� j , tugtar h i dtéarmaí a, k agus j.

Cé acu díobh seo a leanas atá ina n-atheagar ceart ar an bhfoirmle?

a � hk � j a � k _____ h � j

a � k(h � j ) a � jk� kh a � hk� jkA DB C E

(iii) Réitigh na cothromóidí comhuaineacha: a � 2b � 1

5a � 2b � 29.

(iv) Scríobh 1 � 3x ______ 3

� x � 5 _____ 2

ina chodán singil agus simpligh an freagra agat.

Réitigh uaidh sin an chothromóid 1 � 3x ______ 3

� x � 5 _____ 2

� 25 ___ 3

.

6. (i) Réitigh an chothromóid 3x � 4 ______ 6

� 1 __ 3

� x � 1 _____ 3

.

(ii) Maidir leis na línte 2x 1 3y 5 1 agus 5x 2 2y 5 12, cén áit a dtrasnaíonn siad a chéile? (iii) Faigh an luach slánuimhreach is mó a d’fhéadfadh a bheith ar x má tá 2(4x � 1) � 11.

(iv) Tugann an fhoirmle seo toirt an chóin ina cm3: V � P�r 2h _____ 3

.

Is é r ga an bhoinn agus is é h an airde, iad araon ina gceintiméadair. (a) Cuir atheagar ar an bhfoirmle sa chaoi is gurb é r an t-ábhar. (b) Bain úsáid as an atheagar chun ga an bhoinn a oibriú

amach i gcás cóin ar toirt dó 100 cm3 agus ar airde dó 8 cm. Bíodh do fhreagra ceart go dtí ionad deachúlach amháin.

7. (i) Faigh luach 1p 2 1

q nuair atá p 5 12 agus q 5 1

3.

(ii) Piocann Megan uimhir. Suimíonn sí 15 leis an uimhir agus ansin dúblaíonn sí an freagra. Tá uimhir thosaigh Olivia níos mó de 5 ná uimhir thosaigh Megan. Méadaíonn Olivia a huimhir faoi thrí agus ansin baineann sí 6 di. Tá an uimhir chéanna ag Megan agus Olivia i ndeireadh thiar thall. Cé na huimhreacha a phioc siad ar dtús?

(iii) Má tá p � 3qr

_____ q � r

, cuir r in iúl i dtéarmaí p agus q.

(iv) Leathchiorcal os cionn cearnóige atá sa doras seo. (a) Taispeáin gur féidir foirmle le haghaidh imlíne,

P, an dorais a scríobh mar seo: P5pr16r

(b) Bíodh r ar ábhar na foirmle seo. (c) Cén airde atá i ndoras ar imlíne dó 10 méadar?

metres? Tabhair do fhreagra i dtéarmaí p.

h

r

r

24

�� 1. Sloinn ailgéabracha

Is slonn ailgéabrach é 3x2 2 4x 1 2 ina bhfuil trí théarma.

Is é 3 comhéifeacht x2. Tairiseach a thugtar ar an téarma 2.

Téarmaí cosúla a thugtar ar théarmaí a bhfuil an litir chéanna, nó an grúpa céanna litreacha, iontu.

Ní féidir ach téarmaí cosúla a shuimiú nó a dhealú; 3x � 4x � 7x � 14x.

Ní féidir 2ab � 3ac a shuimiú le chéile mar nach téarmaí cosúla iad.

2. Ord na n-oibríochtaí

L C I R S D 2 ‘Las coinneal i roinnt seomraí dorcha.’

Lúibíní Cumhachtaí Iolraigh Roinn Suimigh Dealaigh

L C I R S D

3. Éagothromóidí

Ciallaíonn . níos mó ná Ciallaíonn , níos lú ná

Ciallaíonn $ níos mó ná nó cothrom le Ciallaíonn # níos lú ná nó cothrom le

Tá an éagothromóid 2# x , 2, x [ R le feiceáil ar an uimhirlíne thíos.

�3 �2 �1 0 1 2 3

4. Cothromóidí comhuaineacha

Nuair a réitíonn tú péire cothromóidí comhuaineacha, bíonn tú ag fáil an phointe ina dtrasnaíonn na línte a chéile.

5. Ábhar foirmle a athrú

Bíonn ábhar foirmle leis féin ar thaobh amháin den fhoirmle agusní bhíonn sé ar an taobh eile. Mar shampla, is féidir atheagar a

chur ar x � 4y � 4 sa chaoi is go mbeidh y � x � 4 _____ 4

.

↓ is é x an t-ábhar

↓is é y an t-ábhar

�1

1

2

3

4

�1 2O 4 x

y y � x � 2

y ��x � 4

1 3

25

Ailgéabar 2: Cothromóidí CearnachaAilgéabar 2: Cothromóidí CearnachaAilgéabar 2: Cothromóidí CearnachaAilgéabar 2: Cothromóidí CearnachaAilgéabar 2: Cothromóidí CearnachaAilgéabar 2: Cothromóidí CearnachaAilgéabar 2: Cothromóidí CearnachaAilgéabar 2: Cothromóidí Cearnacha � �

� ��

�

2

��slonn cearnach slánchearnóga difríocht idir dhá chearnóg

fréamhacha parabóil foirmle na cothromóide cearnaí cumhacht

cothromóidí comhuaineacha séan surda cóimheasta éagóimheasta

Mír 2.1 Sloinn chearnacha a fhachtóiriú Slonn cearnach a thugtar ar shlonn san fhoirm ax2 1 bx 1 c, áit ar uimhreacha iad a, b agus c agus a Þ 0.

Ó tá (x 1 5)(x 1 2) 5 x2 1 7x 1 10, deirimid gurb iad (x 1 5) agus (x 1 2) fachtóirí x2 1 7x 1 10.

Agus slonn cearnach á fhachtóiriú againn triailimid uimhreacha difriúla godtí gurb ionann téarma láir an tsloinn chearnaigh agus an freagra a fhaightearnuair a shuimítear toradh na dtéarmaí amuigh le toradh na dtéarmaí istigh.

Sampla 1

Fachtóirigh 3x2 1 13x 1 4

San fhoirm (3x 1 ?)(x 1 ?) a bheidh fachtóirí 3x2 1 13x 1 4.

3x2 � 13x � 4 � (3x � 1)(x � 4)

Is iad sin na fachtóirí cearta, tharla an méid seo:

(i) 3x(x) � 3x 2

(ii) 12x � x � 13x

(iii) 4 � 1 � 4

Fachtóirí 3: 3 � 1Fachtóirí 4: 4 � 1nó 2 � 2

Sampla 2

Fachtóirigh (i) 3x2 � 10x � 8 (ii) 8x2 � 10x � 3

(i) 3x2 � 10x � 8San fhoirm (3x 1 ?)(x 1 ?) a bheidh fachtóirí 3x2 1 10x 1 8.

3x2 � 10x � 8 � (3x � 4)(x � 2)

Is iad sin na fachtóirí cearta ó tá 6x 1 4x 5 10x. ; 3x2 � 10x � 8 � (3x � 4)(x � 2)

(x � 5)(x � 2)

téarmaí amuigh

téarmaí istigh

26

(ii) 8x2 � 10x � 3 � (4x � 1)(2x � 3)

12x � 2x � 10x (ceart)

; 8x2 � 10x � 3 � (4x � 1)(2x � 3)

Sloinn san fhoirm ax2 1 bx

Chun x2 2 5x a fhachtóiriú, roinnimid gach téarma ar an bhfachtóir coiteann is airde, i.e. x.

x2 � 5x � x(x � 5)

Ar an gcaoi chéanna (i) 3x2 � 6x � 3x(x � 2) (ii) 9x2 � 15x � 3x(3x � 5).

Difríocht idir dhá chearnóg

Slánchearnóga a thugtar ar uimhreacha ar nós 1, 4, 9, 16, …

1 � 12, 4 � 22, 9 � 32, 16 � 42, …

Ar an gcaoi chéanna cearnóga atá in 9x2 agus in 16y2 ó tá 9x2 5 (3x)2 agus 16y2 5 (4y)2.

An difríocht idir dhá chearnóg a thugtar ar shlonn ar nós 9x2 2 16y2.

Má iolraímid (x 1 y) agus (x 2 y) faoi chéile, gheobhaimid x2 2 y2. Mar sin tá fachtóirí x2 2 y2 5 (x 1 y)(x 2 y).

Sampla 3

Fachtóirigh (i) 2x2 � 3x (ii) x2 � 25 (iii) 9x2 � 16y2

(i) 2x2 � 3x � x(2x � 3) (ii) x2 � 25 � (x)2 � (5)2 � (x � 5)(x � 5) (iii) 9x2 � 16y2 � (3x)2 � (4y)2 � (3x � 4y)(3x � 4y)

Cleachtadh 2.1

Fachtóirigh gach ceann díobh seo:

1. x2 � 7x � 6 2. x2 � 7x � 12 3. 2x2 � 5x � 2

4. 2x2 � 9x � 4 5. 2x2 � 15x � 7 6. 3x2 � 8x � 4

7. 3x2 � 7x � 4 8. 5x2 � 17x � 6 9. 4k2 � 8k � 3

10. 4x2 � 13x � 3 11. 10x2 � 17x � 7 12. 6x2 � 23x � 10

13. x2 � 7x � 12 14. x2 � 13x � 36 15. 2x2 � 7x � 3

16. 2x2 � 19x � 9 17. 2x2 � 7x � 15 18. 8x2 � 10x � 3

19. 6x2 � 11x � 3 20. 8x2 � 10x � 3 21. 8x2 � 14x � 3

x2 � y2 � (x � y)(x � y)

27

22. 3x2 � 13x � 10 23. 2x2 � 21x � 54 24. 6x2 � x � 22

25. 24x2 � 2x � 15 26. 6x2 � 19x � 3 27. 15x2 � 14x � 8

28. x2 � 4x 29. x2 � 8x 30. 2x2 � 3x

31. x2 � y2 32. x2 � 25y2 33. 16x2 � 1

34. 16x2 � 25y2 35. 49x2 � 100 36. 36x2 � 49y2

Mír 2.2 Fachtóirí a úsáid chun cothromóidícearnacha a réiteach

Cuir i gcás an chothromóid x2 2 5x 1 6 5 0. Nuair atá x 5 2, mar seo a bheidh x2 2 5x 1 6: (2)2 2 5(2) 1 6, i.e., 4 2 10 1 6 5 0 Nuair atá x 5 3, mar seo a bheidh x2 2 5x 1 6: (3)2 2 5(3) 1 6, i.e., 9 2 15 1 6 5 0

Nuair atá x 5 2 nó x 5 3, is ionann agus nialas an dá thaobh den chothromóid. Nuair a tharlaíonn sé sin, deirimid gurb iad x 5 2 agus x 5 3 na réitigh ar an gcothromóidnó fréamhacha na cothromóide.

Más linn cothromóid chearnach a réiteach caithfimid na luachanna ar x a fháil a shásaíonnan chothromóid.

Más san fhoirm ax2 1 bx 1 c 5 0 a bhíonn an chothromóid chearnach, is ina thoradh ar dháfhachtóir líneacha a scríobhaimid an taobh clé, agus an chothromóid a réiteach ansin, mar atále feiceáil sna samplaí seo a leanas.

Sampla 1

Réitigh an chothromóid x2 2 5x 2 14 5 0.

x2 � 5x � 14 � 0⇒ (x � 7)(x � 2) � 0 … fachtóirigh taobh na láimhe clé

⇒ x � 7 � 0 or x � 2 � 0 … bíodh gach fachtóir 5 0

⇒ x � 7 or x � �2� ; x � 7 or x � �2

Sampla 2

Réitigh na cothromóidí seo: (i) 2x2 � 9x � 0 (ii) 4x2 � 25 � 0

(i) 2x2 � 9x � 0[Níl téarma uimhriúil ar bith sa chothromóid sin (i.e. níl tairiseach ar bith inti) agus is é an tslí a ndéantar fachtóiriú uirthi ná an fachtóir coiteann is airde ag gach téarma a habhairt taobh amuigh de na lúibíní.]

2x2 � 9x � 0 ⇒ x(2x � 9) � 0x � 0 nó 2x � 9 � 0⇒ x � 0 nó x � 4 1 _ 2

; x � 0 nó x � 4 1 _ 2

28

(ii) 4x2 � 25 � 0⇒ (2x � 5)(2x � 5) � 0 … an difríocht idir dhá chearnóg

⇒ 2x � 5 � 0 nó 2x � 5 � 0 … an dá fhachtóir 5 0

⇒ 2x � 5 nó 2x � �5⇒ x � 2 1 _ 2 nó x � �2 1 _ 2

�� Parabóil a thugtar ar an gcuar ar dheis.

Graf y 5 x2 2 5x 1 6 atá ann.

> An bhfuil tú in ann an graf a úsáid chun anchothromóid x2 2 5x 1 6 5 0 a réiteach?

> Fachtóirigh x2 2 5x 1 6 agus ansinréitigh an chothromóid x2 2 5x 1 6 5 0.

> Céard iad na naisc idir do chuid freagraíagus an graf?

1

2

3

4

5

6

7

�1�2 2O 4 x

yy � x2 � 5x � 6

5 61 3

Cleachtadh 2.2

Réitigh gach ceann de na cothromóidí seo a leanas:

1. (x � 4)(x � 1) � 0 2. (2x � 1)(3x � 6) � 0 3. x(2x � 5) � 0

4. x2 � 2x � 3 � 0 5. x2 � 8x � 12 � 0 6. x2 � 4x � 5 � 0

7. x2 � 2x � 8 � 0 8. x2 � 2x � 15 � 0 9. 2x2 � 5x � 2 � 0

10. 6x2 � x � 2 � 0 11. 4x2 � 29x � 7 � 0 12. 9x2 � 9x � 28 � 0

13. 4x2 � 12x � 5 � 0 14. 3x2 � 13x � 10 � 0 15. 6x2 � 17x � 3 � 0

16. x2 � 7x � 0 17. 2x2 � 5x � 0 18. 3x2 � 4x � 0

19. 2x2 � 9x � 0 20. 3x2 � 10x � 0 21. 5x2 � 12x � 0

22. x2 � 9 � 0 23. x2 � 49 � 0 24. 4x2 � 9 � 0

25. 4x2 � 25 � 0 26. 9x2 � 16 � 0 27. 4x2 � 1 � 0

28. (x � 3)(x � 2) � 20 29. (2x � 5)(x � 2) � 15 30. 2x(x � 2) � 3(x � 10)

31. (i) Taispeáin gurb ionann achar na dronuilleoige seo ina cm2 agus 2x2 2 5x 1 2.

(ii) Más é 14 cm2 achar na dronuilleoige, (a) déan cothromóid in x agus réitigh í. (b) scríobh síos fad agus leithead na dronuilleoige.

(2x � 1) cm

(x � 2) cm

29

32. Is é an t-achar céanna atá ag an dronuilleog agus ag an triantán thíos.

(x � 6) cm

(x � 3) cm

16 cm

x cm

(i) Scríobh slonn in x le haghaidh (a) achar na dronuilleoige (b) achar an triantáin.

(ii) Déan cothromóid agus réitigh í chun luach x a fháil. Uaidh sin faigh toisí na dronuilleoige. Cén fáth nár ghlac tú ach luach amháin le haghaidh x?

33. Féach ar an triantán dronuilleach seo trasna. Tugtar duit faid na sleasa. (i) Bain feidhm as Teoirim Phíotagaráis chun

cothromóid in x a scríobh síos. (ii) Réitigh an chothromóid sin. (iii) Scríobh síos fad [AB].

34. Tá trí pharabóil le feiceáil thíos.

�2

�1

1

2

3

4

�4�5�6 �2�3 �1 2O 4 x

y

y � x2 � 6x � 8 y � x2 � 8x � 15

y � x2 � x � 2

5 61 3

Bain úsáid as na graif thuas chun na cothromóidí seo a leanas a réiteach (tá dhá réiteach ar gach ceann). (i) x2 � 8x � 15 � 0 (ii) x2 � 6x � 8 � 0 (iii) x2 � x � 2 � 0

35. Féach ar an léaráid ar dheis. Cruth atáann inar dronuillinn gach cúinne. Is ionannachar an chrutha agus 48 cm2.

(i) Déan cothromóid, i dtéarmaí x, d’achar an chrutha. Taispeáin gurféidir an chothromóid a shimpliú sachaoi is gur x2 1 x 2 12 5 0 a bheidh agat.

(ii) Réitigh an chothromóid x2 1 x 2 12 5 0 agus uaidh sin ríomh imlíne an chrutha.

(3x � 4) cm(x � 2) cm

(2x � 6) cmA C

B

2x cm

2x cm

x cm

4 cm

30

Mír 2.3 Cothromóidí cearnacha a bhfuil codáiniontu a réiteach

Is é an tslí a réitítear cothromóid a bhfuil codáin inti, gach téarma den chothromóid a iolrúaoin uimhir is lú ar féidir na hainmneoirí a roinnt uirthi (i.e. an t-iolraí coiteann is lú, nó an ICL,ar na hainmneoirí). Is minic gur cothromóid chearnach a thagann as sin mar is léir ar na2

samplaí seo a leanas.

Sampla 1

Réitigh an chothromóid x � 3 _____ 3

� 12 ___ x

� 4.

Is é 3x an ICL ar 3 agus x.Iolraigh gach téarma faoi 3x ansin.

13x(x � 3)

_________ 13

� 3x 1(12)

_______ x1

� 4(3x)

; x(x � 3) � 3(12) � 4(3x); x2 � 3x � 36 � 12x

Dealaigh 12x ón dá thaobh: x2 � 3x � 36 � 12x � 12x � 12x

x2 � 15x � 36 � 0Fachtóirigh: (x � 3)(x � 12) � 0

; x � 3 � 0 nó x � 12 � 0; x � 3 nó x � 12

Sampla 2

Réitigh an chothromóid 2 _____ x � 1

� 1 _____ x � 2

� 1 __ 2

Is é 2(x 2 1)(x 1 2) an ICL ar na hainmneoirí. Iolraigh gach téarma faoi 2(x 2 1)(x 1 2) ansin.

2(2)(x � 1)(x � 2) _______________

(x � 1) �

2(x � 1)(x � 2) _____________

(x � 2) �

2(x � 1)(x � 2) _____________

2

4(x � 2) � 2(x � 1) � (x � 1)(x � 2) 4x � 8 � 2x � 2 � x2 � 2x � x � 2 2x � 10 � x2 � x � 2 2x2 � x � 12 � 9

; x2 � x � 12 � 0 … iolraigh gach téarma faoi 21

; (x � 4)(x � 3) � 0 … fachtóiriú

; x � 4 � 0 nó x � 3 � 0; x � 4 nó x � �3

1

1

1 1

1 1

31

Cleachtadh 2.3

Réitigh gach ceann de na cothromóidí seo a leanas:

1. x � 5 � 4 __ x

� 0 2. x � 7 � 12 ___ x

� 0

3. x � 7 _____ 3

� 2 __ x

� 4 4. 15 ___ x

� 2 � x

5. 2x ______ 2x � 1

� x � 3 6. x � 1 _____ 3

� 1 __ x

� 1

7. 1 _____ x � 1

� x __ 5

� 1 8. 4 __ x

� 1 _____ x � 1

� 3

9. 6 __ x

� 5 _____ x � 1

� 2 10. 5 _____ x � 2

� 3 _____ x � 2

� 2

11. 2 _____ x � 2

� 3 � 1 __ x

12. 5 ______ 2x � 1

� 1 � 6 __ x

13. 9 _____ x � 8

� 1 __ x

� 1 14. 2 _____ x � 1

� 3 _____ x � 3

� 2

15. 5 _____ x � 4

� 2 _____ x � 2

� 2 16. 5 _____ x � 2

� 4 _____ x � 1

� 6 � 0

17. 5 ______ 2x � 1

� 6 _____ x � 1

� 3 18. 3x � 3 ______ x � 1

� 1 __ x

� 1

19. Níl ach fréamh amháin le gach ceann de na cothromóidí seo. Faigh an fhréamh sin ingach cás.

(i) 2x _____ x � 3

� 1 __ x

� 2 (ii) 2x ______ 2x � 1

� 1 _____ x � 1

� 1 (iii) 1 _____ x � 1

� x _____ x � 1

� 1

Mír 2.4 Foirmle na cothromóide cearnaí a úsáid Le fachtóirí a réitíomar cothromóidí cearnacha san fhoirm ax2 1 bx 1 c 5 0 sa chaibidil seogo dtí seo.

Mura féidir fachtóiriú a dhéanamh ar an slonn ax2 1 bx 1 c, réiteofar é le foirmle nacothromóide cearnaí a thugtar thíos.

Foirmle na cothromóidecearnaí

Is iad seo fréamhacha na cothromóide cearnaí ax2 1 bx 1 c 5 0:

x � �b ��

�√________

b2 � 4ac ______________ 2a

32

Sampla 1

Bain leas as foirmle na cothromóide cearnaí go bhfaighidh tú fréamhacha na cothromóide 5x2 1 7x 2 3 5 0, ceart go dtí dhá ionad dheachúlacha.

I gcás na cothromóide 5x2 1 7x 2 3 5 0, a 5 5, b 5 7 agus c 5 23.

x � �b ��

�√________

b2 � 4ac ______________ 2a

� �7 � √

____________

49 � 4(5)(�3) ___________________

2(5)

� �7 � √_______

49 � 60 ______________ 10

� �7 � √____

109 __________ 10

� �7 � 10.44 __________ 10

� �17.44 _______ 10

nó 3.44 ____ 10

; x � �1.744 nó x � 0.344; x � �1.74 nó x � 0.34

Cleachtadh 2.4

Bain úsáid as an bhfoirmle x � �b ��

�√________

b2 � 4ac ______________ 2a

chun na cothromóidí seo a leanas a réiteach.

Tabhair do chuid freagraí ceart go dtí dhá ionad dheachúlacha.

1. x2 � 4x � 2 � 0 2. x2 � 6x � 4 � 0 3. x2 � 2x � 5 � 0

4. x2 � 2x � 7 � 0 5. 4x2 � 2x � 1 � 0 6. 3x2 � x � 1 � 0

7. 3x2 � 6x � 2 � 0 8. 3x2 � 7x � 5 � 0 9. 5x2 � 4x � 2 � 0

10. 3x2 � 8x � 2 � 0 11. 6x2 � 9x � 4 � 0 12. 3x2 � 7x � 2

13. 4x2 � 3x � 5 14. 2x2 � 7x � 4 15. 3x2 � 5x � 3

Scríobh na cothromóidí seo a leanas san fhoirm ax2 1 bx 1 c 5 0, agus uaidh sin réitigh nacothromóidí, agus bíodh do chuid freagraí ceart go dtí ionad deachúlach amháin.

16. x � 2 __ x

� 7 17. 12 _____ x � 2

� 1 __ x

� 2 18. 7 __ x

� 3 � 2x

19. 3 _____ x � 1

� 2 _____ x � 3

� 1 20. 3 ______ 2x � 3

� 5x � 7 ______ x � 1

21. 1 _____ x � 1

� 2 _____ x � 3

� 4

22. Féach ar an dronuilleog seo trasna. Tá an fad 5 x 1 4agus tá an leithead 5 x 2 1. Ina cheintiméadair atá gach tomhas. (i) Scríobh achar na dronuilleoige i dtéarmaí x. (ii) Más é 10 cm2 an t-achar, scríobh cothromóid in

x agus réitigh í. (iii) Faigh fad na dronuilleoige, ina cm, ceart go dtí dhá ionad dheachúlacha.

x � 4

x � 1

33

Mír 2.5 Cothromóidí comhuaineacha ---ceann líneach, ceann cearnach

Chun péire cothromóidí, ceann líneach agus ceann cearnach, a réiteach,úsáidimid ionadú mar seo a leanas:

1. Sa chothromóid líneach, scríobh athróg amháin i dtéarmaí na hathróige eile, m.sh. x 5 2y 2 1.

2. Cuir an luach sin le haghaidh x (nó y) isteach sa chothromóid chearnach agus ansin réitigh an chothromóid.

Sampla 1

Réitigh na cothromóidí x � y � 3 … 1

x2 � y2 � 17 … 2

De réir chothromóid 1 : x � 3 � y

Cuir isteach (3 2 y) in áit x i gcothromóid 2 agus is éard a gheobhaidh tú:

(3 � y)2 � y2 � 17

⇒ 9 � 6y � y2 � y2 � 17

2y2 � 6y � 8 � 0

y2 � 3y � 4 � 0

(y � 4)(y � 1) � 0

⇒ y � 4 � 0 nó y � 1 � 0

⇒ y � 4 nó y � �1

Cuir isteach na luachanna sin le haghaidh y i gcothromóid 1 agus is éarda gheobhaidh tú:

y � 4 ⇒ x � 4 � 3 nó y � �1 ⇒ x � 1 � 3

⇒ x � �1 ⇒ x � 4

Is iad seo na réitigh: x 5 21, y 5 4 nó x 5 4, y 5 21

I Sampla 1 thuas, seasann x 1 y 5 3 do líne dhíreach agus seasann x2 1 y2 5 17 do chiorcal.

Seasann na réitigh ar an dá chothromóid, i.e.

x � �1, y � 4 agus

x � 4, y � �1

do na pointí (21, 4) agus (4, 21).

Is iad sin na pointí ina dtrasnaíonn an líne an ciorcal.

O(4, �1)

(�1, 4)

x

y

34

Sampla 2

Faigh comhordanáidí phointí trasnaithe, A agus B, na líne y 5 2x 1 3 agus an chuair y 5 x2 .

Chun na pointí A agus B a fháil, réitímid na cothromóidí

y � x2 … 1

agus y � 2x � 3 … 2

Cuir isteach (2x 1 3) in áit y i gcothromóid 1 agusis éard a gheobhaidh tú:

2x � 3 � x2

x2 � 2x � 3 � 0… atheagraigh

(x � 1)(x � 3) � 0

x � 1 � 0 nó x � 3 � 0

x � �1 nó x � 3

Cuir isteach na luachanna sin le haghaidh x i gcothromóid 2 agusis éard a gheobhaidh tú: Nuair atá x 5 21, y 5 2(21) 1 3, i.e. y 5 1 Nuair atá x 5 3, y 5 2(3) 1 3, i.e. y 5 9

Mar sin trasnaíonn an líne an cuar sna pointí

A(�1, 1) and B(3, 9).

O

A

B

x

y

Cleachtadh 2.5

Réitigh na cothromóidí seo a leanas:

1. x2 � y2 � 5 2. x2 � y2 � 10 3. x2 � y2 � 18 x � y � 3 x � y � 4 x � y � 0

4. y � x2 5. x2 � y2 � 20 6. x2 � y2 � 25 y � 3 � 2x x � 2y � 0 x � y � 1 � 0

7. x2 � y2 � 9 8. xy � 12 9. y � x2 � 6x � 5 x � y � 3 x � y � 7 y � x � 1

10. xy � 4 11. y2 � 4x 12. x2 � y2 � 24 y � 2x � 2 2x � y � 4 x � 2y � 3

13. Faigh pointí trasnaithe na líne y 5 3 2 2x agus an chuair y 5 x2.

14. Faigh pointe/pointí trasnaithe na líne y 5 2x 2 1 agus an chuair y 5 x2. Céard is féidir leat a rá faoin líne mar thoradh ar do fhreagra?

35

15. Faigh pointí trasnaithe na líne agus an chuairsan fhíor ar dheis.

Mír 2.6 Cothromóidí cearnacha a cheapadh Scrúdaigh an chothromóid chearnach x2 1 x 2 6 5 0. Is iad fachtóirí thaobh na láimhe clé ná (x 1 3)(x 2 2)

⇒ (x � 3)(x � 2) � 0⇒ x � �3 nó x � 2

i.e. is iad 23 agus 2 fréamhacha na cothromóide.

Is í malairt an mhodha sin a bheidh againn chun cothromóid chearnach a cheapadh nuair atána fréamhacha ar eolas againn.

Sampla 1

Ceap an chothromóid chearnach a bhfuil na fréamhacha 24 agus 5 léi.

Más iad 24 agus 5 na fréamhacha,

(x � 4)(x � 5) � 0

� Is é x2 2 x 2 20 5 0 an chothromóid

Más fréamh le cothromóid áirithe é x 5 12,

x � 1 _ 2 ⇒ 2x � 1 ⇒ 2x � 1 � 0⇒ (2x � 1) an fachtóir a bhfaightear an fhréamh sin as.

Ar an gcaoi chéanna, má tá x 5 213, tá 3x 5 21, agus mar sin is é (3x 1 1) an fachtóir.

Sampla 2

Ceap an chothromóid arb iad 214 agus 3 a cuid fréamhacha.

x 5 214 � is é (4x 1 1) an fachtóir a bhfaightear an fhréamh sin as.

Fréamhacha 5 214, 3 � is é (4x 1 1)(x 2 3) 5 0 an chothromóid

� is é 4x2 2 11x 2 3 5 0 an chothromóid

O

y � x2 � 4

x � y � 8

x

y

36

Cleachtadh 2.6

Ceap cothromóid chearnach gach ceann díobh seo a leanas, ós iad seo a gcuid fréamhacha:

1. 2, 4 2. 5, 1 3. 3, 2 4. 3, �1

5. 4, �2 6. �3, �4 7. 6, �2 8. 5, 0

9. �2, 1 _ 2 10. �5, �4 11. � 1 _ 2 , 4 12. 1 _ 4 , 8

13. 0, �4 14. 1 _ 2 , � 1 _ 2 15. �3 16. 0, 1 _ 4

17. Más iad 2 agus 21 fréamhacha na cothromóide x2 1 ax 1 b 5 0, faigh luach a agus luach b.

Mír 2.7 Dlíthe na séan 23 5 2 3 2 3 2 5 8 ‘2 ciúbaithe’ nó ‘2 i gcumhacht a 3’ a thugtar ar 23. Is é 3 an chumhacht nó an séan a insíonn dúinn cé mhéad uair a iolraítear 2 faoi féin.

1. Iolrú

42 � 43 � (4 � 4) � (4 � 4 � 4) � 45

Ar an gcaoi chéanna, x2 � x3 � (x � x) � (x � x � x) � x5

Mar sin x2 � x3 � x2 � 3 � x5

2. Roinnt

35 __

32 � 3 � 3 � 3 � 3 � 3 ________________ 3 � 3

� 33

Ar an gcaoi chéanna, x5 __

x2 � x � x � x � x � x _______________ x � x

� x3

Mar sin x5 __

x2 � x5 � 2 � x3

3. Cumhacht i gcumhacht eile

Is éard is ciall le (x2)3 ná (x2) 3 (x2) 3 (x2)

⇒ (x2)3 � x2 � 2 � 2 � x6

� x2 � 3

Ar an gcaoi chéanna (x4)3 � x4 � 3 � x12

4. Toradh a scríobh i gcumhacht áirithe

(ab)n � an � bn

5. Uimhir ar bith i gcumhacht 0, is ionann í agus 1

a0 � 1 nó 100 � 1

Chun an uimhir chéanna i gcumhachtaíéagsúla a iolrú faoi chéile, suimighna séana.

Chun an uimhir chéanna i gcumhachtaíéagsúla a roinnt ar a chéile, dealaigh na séana.

Chun cumhacht a scríobh i gcumhacht

eile, iolraigh na séana.

37

6. Séana diúltacha

Is féidir 43 __

45 a scríobh mar seo:

4 � 4 � 4 ________________ 4 � 4 � 4 � 4 � 4

� 1 __ 42

Freisin 43 __

45 � 43 � 5 � 4�2 ⇒ 1 __ 42 � 4�2

7. Séana i bhfoirm codáin Úsáidimid rialacha na séan le taispeáint 2 1 _ 2 � √

__ 2 .

2 1 _ 2 � 2

1 _ 2 � 2

1 _ 2 � 1 _ 2 � 21 � 2

Freisin √__

2 � √__

2 � 2

; 2 1 _ 2 � √

__ 2

Ar an gcaoi chéanna 1 _ 3 � 3 √

__ 2 .

8. Tuilleadh séan i bhfoirm codáin

Ceann de rialacha na séan ná (am)n 5amn.

Ón riail sin is intuigthe go bhfuil

2 7 2 _ 3 � (2 7

1 _ 3 )2 � (

3 √

___ 27 )2 � 32 � 9

Nóta: ( 3 √

___ 27 )2 �

3 √

___

272

Sampla 1

Scríobh gach ceann díobh seo ina shlánuimhir nó ina chodán:

(i) 34 � 32

_______ 35 (ii) 6 4

1 _ 3 (iii) 1 ___

4�2 (iv) 8 2 _ 3

(i) 34 � 32

_______ 35 � 3

6 __

35 � 31 � 3 (ii) 6 4 1 _ 3 �

3 √

___ 64 � 4 [nó 6 4

1 _ 3 ��(43 )

1 _ 3 � 4]

(iii) 1 ___ 4�2 � 42 � 16 (iv) 8

2 _ 3 �

3 √

__

82 � 3 √

___ 64 � 4

nó 8 2 _ 3 � ( 8 1 _ 3 )2 � (

3 √

__ 8 )2 � 22 � 4

Sampla 2

(i) Scríobh (� 8 ___ 27

) 2 _ 3 san fhoirm a __

b , áit a bhfuil a, b [ N.

(ii) Scríobh 125 ____ √

__ 5 ina chumhacht de chuid 5.

a�n � 1 __ an

nó a�2 � 1 __ a2

2 1 _ 2 � √

__ 2

2 1 _ 3 �

3 √

__ 2

………

2 1 _ n �

n √

__ 2

8 2 _ 3 � (� 3 √

__ 8 )

2

1 6 3 _ 4 � (� 4 √

___ 16 )

3

………

x m

__ n � (� n √__

x ) m

38

(i) (� 8 ___ 27

) 2 _ 3 � 8

2 _ 3 ___

27 2 _ 3 �

3 √

__

82 _____

3 √

___

272 �

3 √

___ 64 ______

( 3 √

___ 27 )2

� 4 __ 32 � 4 __

9

(ii) 125 ____ √

__ 5 � 5

3 __

5 1 _ 2 � 5 3 � 1 _ 2 � 5 2 1 _ 2 � 5

5 _ 2

Cleachtadh 2.7

1. Simpligh gach ceann díobh seo: (i) a3 � a4 (ii) a � a5 (iii) a.a.a2 (iv) 2x2 � 3x (v) a3 � 3a2

(vi) x5 __

x2 (vii) a4 __

a (viii) 6a6

___ 2a2 (ix) (a2)3 (x) a0

2. Scríobh gach ceann díobh seo a leanas san fhoirm an áit a bhfuil a, n, [ N: (i) 25 (ii) 64 (iii) 27 (iv) 32 (v) 125 (vi) 81

3. Céard dó a seasann an comhartha ceiste (?) i ngach ceann díobh seo a leanas?

35 � 3�2 � ?A

33 __

35 � ?

B(23)�2 � ?

C6�1 � 6�2 � ?

D

72 __

72 � ?

E2�5 � 23 � ?

F(3�1)�2 � ?

G

53 ___

5�2 � ?

H

4. Cóipeáil agus críochnaigh iad seo.

(i) 2J � 2�2 � 26 (ii) 3�1

___ 3J

� � 3�5 (iii) a2 � aJ � a�4 � a�3 (iv) bJ

�___ b�3

� b5

(v) (5J)3 � 5�12 (vi) (2J)�5 � 210

5. Simpligh iad seo. (i) n2 � 5n9 (ii) 2n � 3n2 (iii) 7n5 � 3n8 (iv) 5n2 � 2n3 � 3n4

(v) (4n)2 (vi) (2n)3 (vii) (5n2)3 (viii) (2n3)5

6. Simpligh iad seo..

(i) 6m9 ____

3m2 (ii) 2m8

_____ 10m6

(iii) 2m3 ____

m7 (iv) 8m6

_____ 12m3

(v) 15m5 _____

10m7

7. Faigh ceithre phéire de shloinn choibhéiseacha.

6x8 ___

3x2

A2x4

C

x6 __

2

B

2 __ x4

D2x6

E

12x4 ____

6x8

F

8x9 ___

4x5

G

5x7 ____

10x

H

39

8. Faigh luach gach ceann díobh seo:

(i) √___

25 (ii) 3 √

___ 27 (iii)

3 √

___ 64 (iv) 1 6

1 _ 2 (v) 3 6

1 _ 2 (vi) 12 5

1 _ 3

9. Scríobh gach ceann díobh seo ina uimhir chóimheasta:

(i) (2 � 3)2 (ii) (� 1 __ 2

) 3

(iii) (� 2 __ 3

) 2

(iv) 3�2 (v) 3 ___ 2�2

10. Faigh ceithre phéire a mhaitseálann a chéile.

3�2A

2�3B

4�2C

6�1D

�6E

1 __ 6

F

1 ___ 16

G

1 __ 8

H

1 __ 9

I

11. Scríobh iad seo ina n-uimhreacha cóimheasta:

(i) 2�2 (ii) 2�4

___ 4�2

(iii) 6 4 1 _ 2 (iv) (� 9 ___

16 )

1 _ 2 (v) (� 8 ___

27 )

1 _ 3

12. Scríobh iad seo a leanas gan an comhartha √__

a úsáid: (i) √__

x (ii) 3 √__

a (iii) 4 √__

a (iv) 3 √

__

x2 (v) 4 √

__

a3

13. Athscríobh iad seo a leanas leis an gcomhartha √__

:

(i) x 1 _ 2 (ii) a

1 _ 4 (iii) x

2 _ 3 (iv) a

5 _ 2 (v) (� a __

x )

1 _ 3


(i) 4 1 _ 2 (ii) 8

2 _ 3 (iii) 1 6

3 _ 4 (iv) 4

3 _ 2 (v) 2 7

2 _ 3

(vi) 1 6 3 _ 2 (vii) 6 4

2 _ 3 (viii) 10 0

3 _ 2 (ix) 8 1

3 _ 4 (x) 12 5

2 _ 3

15. Faigh luach gach ceann díobh seo:

(i) 3�1 (ii) 4�2 (iii) 8 � 1 _ 3 (iv) 1 ____ 16 � 1 _ 4

(v) 6 4 � 1 _ 3


(i) 1 6 � 1 _ 2 (ii) 1 ___ 8 � 2 _ 3

(iii) 1 6 � 3 _ 4 (iv) 10 0 � 3 _ 2 (v) 3 2 � 3 _ 5

17. Scríobh gach ceann díobh seo a leanas san fhoirm 2n:

(i) 8 (ii) √__

2 (iii) √__

8 (iv) √___

32 (v) √

__ 8 ___

2

18. Scríobh gach ceann díobh seo a leanas san fhoirm 5n:

(i) 25 (ii) √__

5 (iii) 25 ___ √

__ 5 (iv) √

____ 125 (v) 25 _____

√____

125

19. Scríobh (i) 8 4 _ 3 ina chumhacht de chuid 2 (ii) 27 ___

√__

3 ina chumhacht de chuid 3.

20. Faigh luach 2 a 1 _ 2 b � 1 _ 3 nuair atá a 5 100 agus b 5 64.

40

Mír 2.8 Cothromóidí a bhfuil séana iontu Má tá 5x 5 52, tá x 5 2.

Ar an gcaoi chéanna, má tá 7x � 7 1 _ 2 , tá x 5 1

2.

Má thugtar an chothromóid 25x 5 125 dúinn, scríobhaimid an dá thaobhmar chumhacht de chuid na bonnuimhreach céanna. Sa chás seo is é 5 an bhonnuimhir.

Mar sin 25x � 125 ⇒ (52)x � 53

⇒ 52x � 53

⇒ 2x � 3 ⇒ x � 1 1 _ 2

Sampla 1

Scríobh gach ceann díobh seo ina shlánuimhir nó ina chodán:

(i) 4x � 16 (ii) 16x � 64 (iii) 3x � 1 ___ 27

(iv) 25x � 1 ____ 125

(i) 4x � 16 (ii) 16x � 64 4x � 42 ⇒ (42)x � 43

⇒ x � 2 ⇒ 42x � 43

⇒ 2x � 3 ⇒ x � 1 1 _ 2

(iii) 3x � 1 ___ 27

(iv) 25x � 1 ____ 125

⇒ 3x � 1 __ 33 ⇒ (52)x � 1 __

53

⇒ 3x � 3�3 ⇒ 52x � 5�3

⇒ x � �3 ⇒ 2x � �3 ⇒ x � �1 1 _ 2

Sampla 2

Scríobh 81 ___ √

__ 3 ina chumhacht de chuid a 3 agus uaidh sin réitigh an chothromóid 3 x 2 2 5 (� 81 ___

√__

3 )

2

.

81 ___ √

__ 3 � 3

4 __

3 1 _ 2 � 3 4 � 1 _ 2 � 3 3 1 _ 2 � 3

7 _ 2 .

3x � 2 � (� 81 ___ √

__ 3 )

2

⇒ 3x � 2 � (� 3 7 _ 2 )

2

⇒ 3x � 2 � 3 7 _ 2 · 2 _ 1

⇒ 3x � 2 � 37

⇒ x � 2 � 7⇒ x � 9

An riail ghinearálta: má tá ax 5 ay, tá x 5 y.

41

Cleachtadh 2.8

1. Scríobh gach ceann díobh seo a leanas san fhoirm 2k, áit a bhfuil k ina shlánuimhir: (i) 8 (ii) 16 (iii) 1 _ 4 (iv) 1 _ 8 (v) 1 __ 32

2. Scríobh gach ceann díobh seo a leanas san fhoirm 3k, áit a bhfuil k ina shlánuimhir: (i) 9 (ii) 27 (iii) 81 (iv) 1 __ 27 (v) 1 __ 81

Faigh luach x i gceisteanna (3 --- 22).

3. 2x � 8 4. 3x � 27 5. 4x � 32 6. 16x � 64

7. 25x � 125 8. 9x � 27 9. 8x � 32 10. 16x � 32

11. 2x � 1 _ 4 12. 3x � 1 __ 27 13. 4x � 1 _ 8 14. 5x � 1 ___ 125

15. 9x � 1 __ 27 16. 27x � 81 17. 2�x � 16 18. 1 __ 5x � 125

19. 4x � 1 ___ 32

20. 2x � 1 � 16 21. 3x � 2 � 81 22. 4x � 1 � 2x � 1

23. Scríobh gach ceann díobh seo a leanas san fhoirm 2k, áit a bhfuil k ina uimhir chóimheasta:

(i) √__

2 (ii) 2 √__

2 (iii) √__

8

(iv) 1 ____ 2 √

__ 2 (v) 1 ___

√__

8 (vi)

√__

8 ___ 2

24. Faigh luach x i ngach ceann díobh seo a leanas:

(i) 4x � 1 � 32 (ii) 2x � √__

8 (iii) 1 ___ 2x

� √__

2 (iv) 8x � 1 ___ 32

25. Réitigh gach ceann de na cothromóidí seo:

(i) 2x � √

__ 2 ___

2 (ii) 1 __

9x � 27 (iii) 32x � 1 � 243 (iv) 25x � 125 ____ √

__ 5

26. Scríobh 81 ___ √

__ 3 ina chumhacht de chuid a 3, agus uaidh sin réitigh an chothromóid 9 x � 1 � 81 ___

√__

3 .

27. Scríobh 3 √

___ 16 ina chumhacht de chuid a 2, agus uaidh sin réitigh an chothromóid 2x �

3 √

___ 16 .

28. Scríobh 27 ___ √

__ 3 ina chumhacht de chuid a 3, agus uaidh sin réitigh an chothromóid 32x � 1 � (� 27 ___

√__

3 )

3

.

29. Scríobh 16 ___ √

__ 8 ina chumhacht de chuid a 2, agus uaidh sin réitigh an chothromóid 22x � 2 � 16 ___

√__

8 .

30. Scríobh √

___ 27 ____

81 ina chumhacht de chuid a 3, agus uaidh sin réitigh an chothromóid 93 � x �

√___

27 ____ 81

.

31. Scríobh (i) 16 (ii) √__

8 ina chumhacht de chuid 2.

Réitigh uaidh sin an chothromóid 32x � 1 � (� 16 ___ √

__ 8 )

3

.

√__

8 � √__

4 � √__

2 � 2 √__

2

√___

27 � √__

9 � √__

3 � 3 √__

3

42

Mír 2.9 Surdaí a láimhseáil 1. Uimhreacha cóimheasta agus uimhreacha éagóimheasta

Uimhir chóimheasta a thugtar ar uimhir ar bith is féidir a scríobh san fhoirm ab ,

áit ar slánuimhreacha iad a agus b.

Seo agat samplaí d’uimhreacha cóimheasta:

3 � 3 __ 1

, 2 __ 3

, 0.45 � 45 ____ 100

, �3 ___ 4

, 1 3 __ 8

� 11 ___ 8

Má úsáideann tú an t-áireamhán chun Î2 a fháil, gheobhaidh tú 1.41421362… I s Is uimhir éigríochta (i.e. níl aon deireadh léi) gan athfhilleadh í sin. Uimhreacha éagóimheasta a thugtar ar uimhreacha den sórt sin.

Uimhir ar bith nach bhfuil fréamh chearnach bheacht léi, is uimhir éagóimheasta í sin. Mar sin, is uimhreacha éagóimheasta iad √

__ 3 , √

__ 5 , √

___ 15 , …

2. Surdaí Surdaí is gnách a thabhairt ar leithéidí na n-uimhreacha éagóimheasta √

__ 5 , √

__ 8 , √

___ 13 , …

Sa mhír seo taispeánfaimid an chaoi le surdaí a scríobh san fhoirmis simplí, agus an chaoi le hoibríochtaí simplí a dhéanamh ar shurdaí.

√____

100 � 10. Freisin √____

100 � √______

25 � 4 � √___

25 � √__

4 � 5 � 2 � 10.Léiriú é sin ar airí an-tábhachtach de chuid na surdaí, a thugtarsa bhosca ar dheis.

Bainfimid leas anois as an toradh √___

ab � √__

a . √__

b hun surdaí a shimpliú, más féidir.

(i) √__

8 � √__

4 . √__

2 (ii) √___

27 � √__

9 . √__

3 (iii) √___

48 � √___

16 . √__

3

� 2 √__

2 � 3 √__

3 � 4 √__

3

Deirtear gurb é 2Î2 an fhoirm is simplí de Î8.

3. Surdaí a shuimiú le chéile agus a dhealú ó chéile Ní féidir surdaí a shuimiú le chéile ná a dhealú ó chéile murab ionann na páirteannaéagóimheasta iontu. Murab ionann na páirteanna éagóimheasta iontu, tugaimid gachsurda san fhoirm is simplí, más féidir sin.

Sampla 1

Simpligh √__

5 � √___

45 � √___

20 .

Scríobh gach surda san fhoirm is simplí ar dtús:

√__

5 � √___

45 � √___

20 � √__

5 � √__

9 √__

5 � √__

4 √__

5

� √__

5 � 3 √__

5 � 2 √__

5

� 4 √__

5 � 2 √__

5 � 2 √__

5

√___

ab � √__

a � √__

b

√__

a __ b

� √

__ a ___

√__

b

43

4. Surdaí a iolrú faoi chéile Agus tú ag iolrú surdaí faoi chéile, iolraigh na fachtóirí cóimheasta leo féin, agus ansin na fachtóirí éagóimheasta.

Samplaí (i) √__

6 � √__

2 � √___

12 � √__

4 . √__

3 � 2 √__

3

(ii) 2 √__

3 � 3 √__

5 � 2 � 3 � √__

3 � √__

5 � 6 √___

15

(iii) √___

32 � √___

48 � √___

16 � √__

2 � √___

16 � √__

3

� 4 √__

2 � 4 √__

3 � 16 √__

6

Sampla 2

Simpligh (2 √__

5 � 3)(2 √__

5 � 3).

(2 √__

5 � 3)(2 √__

5 � 3) � (2 √__

5 )(2 √__

5 ) � (2 √__

5 )(3) � (3)(2 √__

5 ) � (3)(3)

� 4(5) � 6 √__

5 � 6 √__

5 � 9

� 20 � 9 � 11

Cleachtadh 2.9


(i) √__

9 (ii) ( √__

6 )2 (iii) (2 √__

3 )2 (iv) (� 5 ___ √

__ 5 )

2

(v) (� √__

8 ___ √

__ 2 )

2

2. Scríobh gach ceann de na surdaí seo san fhoirm is simplí:

(i) √__

8 (ii) √___

12 (iii) √___

18 (iv) √___

27 (v) √___

45

3. Scríobh na surdaí seo san fhoirm is simplí:

(i) √___

75 (ii) 2 √___

18 (iii) √____

125 (iv) 4 √___

27 (v) 2 √___

48

4. Scríobh gach ceann díobh seo a leanas san fhoirm is simplí:

(i) 5 √__

3 � 4 √__

3 � √__

3 (ii) 2 √__

2 � 6 √__

2 � 3 √__

2 (iii) 2 √__

2 � √___

18

(iv) √___

32 � √___

18 (v) √___

27 � √___

48 � 2 √__

3 (vi) √____

108 � √___

12 � √___

75

5. Scríobh gach ceann de na torthaí seo ina shlánuimhir:

(i) √__

5 . √__

5 (ii) 2 √__

3 � 3 √__

3 (iii) 3 √__

5 � 4 √__

5 (iv) 3 √__

7 � √__

7

6. Simpligh gach ceann díobh seo:

(i) √__

5 ( √__

5 � 2) (ii) 2 √__

3 ( √__

3 � 2) (iii) √__

2 (3 √__

2 � √__

3 )

7. Scríobh na torthaí seo a leanas san fhoirm is simplí:

(i) 2 √__

5 ( √__

2 � √__

5 ) (ii) ( √__

2 � 1)( √__

2 � 1) (iii) (5 � √__

3 )(5 � √__

3 )

(iv) ( √__

7 � 4)( √__

7 � 4) (v) (1 � 2 √__

3 )(1 � 2 √__

3 ) (vi) ( √__

2 � √__

5 )( √__

2 � √__

5 )

Cuimhnighair seo:

√__

6 � √__

6 � 6

44

8. Simpligh gach ceann díobh seo:

(i) (2 � √__

3 )(4 � 2 √__

3 ) (ii) (1 � 3 √__

2 )(5 � 2 √__

2 ) (iii) (3 � 2 √__

2 )(3 � 2 √__

2 )

9. Scríobh (2 � 2 √__

5 )2 san fhoirm a 1bÎ5, áit a bhfuil a, b [ Z.

10. Má tá p 5 Î5 1 3 agus q 5 Î5 2 3 , simpligh p2 2 q2.

Mír 2.10 Cothromóidí a bhfuil surdaí iontu Réiteoimid an chothromóid √

_____ x � 1 � 4, ach an dá thaobh a chearnú agus fáil réidh ar an tslí

sin leis an gcomhartha Î .

i.e. √_____

x � 1 � 4 ⇒ x � 1 � 16

⇒ x � 17

Más san fhoirm 4� √______

2x � 3 � 8, a bhíonn an chothromóid, athscríobhaimid í sa chaoi is gurleis féin ar thaobh amháin a bheidh an slonn Î .

; 4 � √______

2x � 3 � 8 ⇒ √______

2x � 3 � 4

Cearnaímid an dá thaobh ansin agus réitímid an chothromóid.

Nuair a réitíonn tú cothromóid a bhfuil surdaí inti, is gá do chuid freagraí a sheiceáilféachaint an bhfuil siad ceart.

Sampla 1

Réitigh an chothromóid 2 1 √______

4x � 3 � x.

2 � √______

4x � 3 � x ⇒ √______

4x � 3 � x � 2 … (bíodh an téarma Î leis féin ar thaobh amháin)

⇒ 4x � 3 � (x � 2)2

⇒ 4x � 3 � x2 � 4x � 4

⇒ x2 � 8x � 7 � 0

⇒ (x � 7)(x � 1) � 0

⇒ x � 7 or x � 1

Seiceáil: x � 7: 2 � √___

25 � 7 … ceart

x � 1: 2 � √__

1 � 1 i.e. 2 � 1 � 1 … mícheart

[ x 5 7 an réiteach ceart

Nóta: Ní ghlacaimid ach le luach deimhneach fréamh chearnach uimhreach.

Mar sin is é Î25 ná 5 (seachas 5).

Bíonn sé sin an-tábhachtach agus tú ag seiceáil do chuid réiteach.

45

Cleachtadh 2.10

Réitigh na cothromóidí seo a leanas agus seiceáil an réiteach i ngach cás:

1. √_____

x � 4 � 3 2. √______

2x � 2 � 4 3. √______

4x � 5 � 5

4. 4 � √_____

x � 2 � 6 5. �3 � √______

2x � 5 � 0 6. √______

2x � 1 � √_____

x � 8

7. 2 √______

3x � 2 � 8 8. 3 √______

8 � 2x � 6 9. √_______

3x � 10 � x

10. x � √_______

12 � 4x 11. x � √______

5x � 4 12. √_______

7x � 18 � x

13. 2x � √______

4x � 3 14. 2 √_____

x � 6 � √_____

8 � x 15. √_____

x � 1 � x � 1

16. Simpligh (x � √__

x )(x � √__

x ) nuair atá x . 0.

Faigh uaidh sin an luach ar x a d’fhágfadh (x � √__

x )(x � √__

x ) � 6.

17. Simpligh (� √__ x � 2 ___

√__

x ) (� √__

x � 2 ___ √

__ x ) .

Réitigh uaidh sin an chothromóid (� √__ x � 2 ___

√__

x ) (� √__

x � 2 ___ √

__ x ) � 3, i gcás x . 0.

18. Má tá t � k √_____

x � 5 , faigh luach k gan áireamhán a úsáid, nuair atá x 5 114 agus t 5 1

4.

46

Cuir triail ort féin 2 1. (i) Fachtóirigh 2x2 1 5x 2 3.

Réitigh uaidh sin an chothromóid 2x2 1 5x 2 3 5 0. (ii) Réitigh i gcás x agus y na cothromóidí comhuaineacha seo:

y � 10 � 2x

x2 � y2 � 25. (iii) Faigh luach x i gcás gach ceann de na cothromóidí seo:

(a) 92x � 3 � 1 __ 27

(b) 3 √___

12 � √___

27 � x √__

3 , áit a bhfuil x [ N.

2. (i) Simpligh (2x � 3)2 � (4x � 1)(x � 4). (ii) Réitigh an chothromóid x2 2 7x 2 6 5 0, agus bíodh do fhreagraí

ceart go dtí dhá ionad dheachúlacha. (iii) Scríobh √

___ 50 � √

___ 32 � 2 √

__ 8 san fhoirm k √

__ 2 , áit a bhfuil k [ N.

(iv) Réitigh uaidh sin an chothromóid 3(3x) � √___

27 .

3. (i) Má tá 3a 2 2b 5 4, faigh luach b nuair atá a 5 22. (ii) Réitigh i gcás x agus y na cothromóidí comhuaineacha

x � 2y � 3x2 � y2 � 24.

(iii) 24 cm2 atá in achar na dronuilleoige seo.

(3x � 4) cm

(x � 1) cm

Faigh fad agus leithead na dronuilleoige.

4. (i) Simpligh 2x4 � 6x3 ________

3x5 .

(ii) Réitigh an chothromóid 1 __ x

� 1 _____ x � 1

� 3 __ 2

.

(iii) Más slánchearnóg é (n 2 3)2, cé acu de na sloinn seo a leanas atá ina slánchearnóg?

x2 � 2x � 1A

x2 � 12x � 12B

x2 � 12x � 36C

x2 � 18x � 81D

x2 � 6x � 9E

x2 � 6x � 36F

5. (i) Más fréamh den chothromóid 2x2 1 kx 2 20 5 0 é x 5 4, faigh luach k. (ii) Réitigh na cothromóidí seo:

(a) 4x � 32 (b) 4x � √__

2

47

(iii) Faigh pointí trasnaithe na líne agus an chuair san fhíor thíos.

O

y 5 x2 2 3x 1 3

2x 2 y 5 1

x

y

(iv) Réitigh i gcás x an chothromóid 3 _____ x � 1

� 1 _____ x � 1

� 1.

Tabhair do chuid freagraí san fhoirm a � √__

b , áit a bhfuil a, b [ N.

6. (i) Faigh luach gach ceann díobh seo:

(a) 8 2 _ 3 (b) 2 5 3 _ 2 (c) 9 � 3 _ 2

(ii) Réitigh i gcás x agus y na cothromóidí comhuaineacha seo: x � 3y � 1x2 � y2 � 0.

(iii) Scríobh 2 √___

45 _____ √

___ 10 san fhoirm k √

__ 2 , áit a bhfuil k [ N.

(iv) Má tá 32x � 1 � 27 ___ √

__ 3 , faigh luach x.

7. Tá fad na dronuilleoige seo 7 cm níos faide ná an leithead.

x cm

x cm atá sa leithead. (i) Scríobh slonn lena n-aghaidh seo:

(a) fad na dronuilleoige (b) achar na dronuilleoige.

(ii) 44 cm2 atá in achar na dronuilleoige. (a) Ceap cothromóid in x agus réitigh í. (b) Céard í imlíne na dronuilleoige seo?

8. (i) Má tá y � k ______ k � w

, faigh luach y nuair atá k 5 12 agus w 5 1

3.

(ii) Scríobh x _____ x � 1

� 1 ina chodán singil.

Uaidh sin réitigh an chothromóid x _____ x � 1

� 1 � x � 1 _____ 2

.

Fág do chuid freagraí i bhfoirm Î .

(iii) Réitigh an chothromóid 42x � 1 � √__

8 .

(iv) Réitigh an chothromóid x � 3 � √_______

3x � 11 agus fíoraigh (seiceáil) do fhreagra.

48

�� 1. Sloinn chearnacha a fhachtóiriú

(i) Chun 3x2 1 6x a fhachtóiriú, tóg amach an FCA, i.e. 3x(x 1 2). (ii) Chun ax2 1 bx 1 c a fhachtóiriú, an chéad rud a dhéanfaidh tú

ná dhá uimhir a chuardach arb é ac a dtoradh agus b a suim. (iii) An difríocht idir dhá chearnóg a thugtar ar x2 2 y2 5 (x 2 y)(x 1 y).

2. Cothromóidí cearnacha a réiteach

(i) Dhá réiteach atá ar an gcothromóid chearnach ax2 1 bx 1 c 5 0,nó is féidir a rá go bhfuil dhá fhréamh léi.

(ii) Má tá xy5 0, tá x 5 0 nó tá y 5 0 nó tá siad araon 5 0. (iii) Is féidir fréamhacha na cothromóide cearnaí ax2 1 bx 1 c 5 0 a fháil

ach úsáid a bhaint as an bhfoirmle

x � �b � √________

b2 � 4ac ______________ 2a

.

3. Cothromóidí comhuaineacha, ceann líneach agus ceann cearnach

Is le pointí trasnaithe líne dírí agus cuairchearnaigh a léirítear na réitigh ar phéirecothromóidí comhuaineacha, nuair atá ceannamháin líneach agus an ceann eile cearnach.

4. Rialacha na séan

Cuir i gcás an slonn xn. An bhonnuimhir a thugtar ar an uimhir x agus an séan nó an chumhacht a thugtar ar an uimhir n. Seo iad príomhrialacha na séan: 1. x1 � x 2. xm � xn � xm � n 3. (xm)n � xmn

4. xm � xn � xm � n 5. x0 � 1 6. x�n � 1 __ xn

7. x 1 _ n � n √

__ x 8. x

m __ n � ( n √

__ x )m or x

m __ n �

n √

___

xm

5. Surdaí

(i) √___

ab � √__

a . √__

b (ii) √__

a __ b

� √

__ a ___

√__

b

49

Céimseata Chomhordanáideach Céimseata Chomhordanáideach Céimseata Chomhordanáideach Céimseata Chomhordanáideach Céimseata Chomhordanáideach Céimseata Chomhordanáideach Céimseata Chomhordanáideach Céimseata Chomhordanáideach An Líne An Líne An Líne An Líne An Líne An Líne An Líne An Líne � �

� ��

�

3

Mír 3.1 An plána a chomhordanáidiú San fhíor seo trasna taispeántar an plána comhord--anáidithe agus suíomh na bpointí A, B, C, D agus E.

An x-ais a thugtar ar an líne chothrománach.

An y-ais a thugtar ar an líne cheartingearach.

An bunphointe a thugtar ar an bpointe (0, 0) agus isé O an lipéad a thugaimid air.

An plána Cairtéiseach a thugtar ar an bplána comhordanáidithe de ghnáth, in ómós don mhatamaiticeoir as an bhFrainc, René Descartes (159621650).

Sampla 1

Breac na pointí A(21, 2), B(3, 2), C(3, 22) agus D(21, 22) ar phlána comhordanáidithe. (i) Ceangail na ceithre phointe le chéile agus cuir ainm ar an bhfíor atá

tarraingthe agat. (ii) Úsáid an ghreille chun lárphointe [BC] a scríobh síos.

(i) Is cearnóg é ABCD. (ii) Lárphointe [BC] ná (3, 0).

y

x

�2

�1O

1

2A (�1, 2)

C (3, �2)D (�1, �2)

B (3, 2)

�3 �2 �1 1 2 3 4

y

x

�3

�2

�1O

1

2C (�3, 1)

E (4, �2)

B (4, 1)

A (2, 3)

D(�3, �2)

3

�4 �3 �2 �1 1 2 3 4 5

��plána Cairtéiseach bunphointe ais ceathrú rinn cothrománach

ceartingearach fána comhthreomhar ingearach deimhneach diúltach

cothromóid líneach achar aistriú trasnú comhlíneach

50

Cleachtadh 3.1

1. Scríobh síos comhordanáidí gach ceann dena pointí atá marcáilte ar an bplána comhordanáidithe ar dheis.

2. Tarraing plána comhordanáidithe ó 25 go 5 ar an x-ais agus ó 24 go 4 ar an y-ais. Anois breac gach ceann de na pointí seo: (i) A(3, 4) (ii) B(�1, 3) (iii) C(4, �3) (iv) D(�4, �3) (v) E(1, �3)

3. Tá na ceithre cheathrú le feiceáil ar dheis.Scríobh síos cé acu ceathrú ina bhfuil gach ceann de na pointí seo: (i) (3, 5) (ii) (�2, �3) (iii) (1, �4) (iv) (�3, 1) (v) (3, �3) (vi) (�1, �3).

4. Scríobh síos cé acu ais ar a bhfuil gach ceann de na pointí seo:

(i) (4, 0) (ii) (�3, 0) (iii) (0, 4) (iv) (0, �3) (v) (0, 0).

5. (i) Scríobh síos comhordanáidí na bpointí A, B, C agus D a thaispeántarar an ngreille ar dheis.

(ii) Tá duine ag iarraidh taisteal ó A go C. Mura bhfuil cead aige taisteal ach ar nalínte greille agus má tá gach aonad100 méadar ar fad, céard é an fad isgiorra idir A agus C?

(iii) Céard é an fad is giorra idir B agus Dmás gá do dhuine dul trí A agus murabhfuil cead aige ach taisteal ar línte greille? [1 aonad 5 100 méadar].

y

x

�3

�2

�1O

1

2

A

C

I

B

3

4

�4 �3 �2 �1 1 2 3 4 5 6

HG

F

E

D

y

x

�1

�2

O

1

2

�2 �1 1

An ChéadCheathrú

An DaraCeathrú

An CeathrúCeathrú

An TríúCeathrú

2

y

x

�3

�2

�1O

1

2

3B

C

D

A

�4�5 �3 �2 �1 1 2 3 4 5 6

51

6. Cuardaigh patrún sna comhordanáidí seo. Bain úsáid as an bpatrún le teacht ar na comhordanáidí atá ar iarraidh.

(i) (3, 5), (8, 0), (2, 6), (4, 4), … (0, …), (9, …) (ii) (7, 8), (5, 10), (12, 3), (2, 13), … (…, 11), (0, …) (iii) (4, 4), (2, 6), (5, 3), (�1, 9), … (7, …), (�3, …), (…, �2).

Mír 3.2 An fad idir dhá phointe Taispeántar sa léaráid thíos na pointí A(x1,y1) agus B(x2, y2).

|BC| � y2 � y1 and |AC| � x2 � x1

y

xO

A(x1, y1)

B(x2, y2)

Cx2 � x1

y2 � y1

Ag úsáid Theoirim Phíotagarás:

|AB|2 � |AC|2 � |BC|2

� �� (x2 � x1)2 � (y2 � y1)2

; |AB| � √(x2 � x1)2 � ( y2 � y1)2

Sampla 1

Taispeáin go bhfuil D(2, 4) ar comhfhad óE(�5, 1) agus F(5, �3).

|DE| � √___________________

(x 2 � x 1)2 � (y 2 � y 1)2 D(2, 4) E(�5, 1) ↓ ↓ (x1, y1) (x2, y2)� � � √

__________________

(�5 � 2)2 � (1 � 4)2

� � � √____________

(�7)2 � (�3)2

� � � √______

49 � 9 � √___

58

Ciallaíonn ‘ar comhfhad ó’ go bhfuil an fadcéanna eatarthu.

y

xO

F (5, �3)

D (2, 4)

E (�5, 1)

Is é an fad idir A(x1, y1) agus B(x2, y2):

|AB| � √__________________

(x2�� x1)2�� (y2 ��y1)2

52

|DF| � √___________________

(x 2 � x 1)2 � (y 2 � y 1)2 D(2, 4) F(5, �3) ↓ ↓ (x1, y1) (x2, y2)� � � √

__________________

(5 � 2)2 � (�3 � 4)2

� � � √___________

(3)2 � (�7)2

� � � √______

9 � 49 � √___

58

Ó tá |DE| 5 |DF| 5 etc, tá D ar comhfhad ó E agus F.

Sampla 2

Más éÎ10 an fad idir na pointí (2, 3) agus (5, k), faigh dhá luachfhéideartha ar k.

Fad � √___________________

(x 2 � x 1)2 � (y 2 � y 1)2 (x1, y1) (x2, y2) ↓ ↓ (2, 3) (5, k)� � � √

________________

(5 � 2)2 � (k � 3)2

� � � √______________

9 � k 2 � 6k � 9

� � � √___________

k 2 � 6k � 18

Fad � √___

10 ⇒ √___________

k 2 � 6k � 18 � √___

10

� � � ⇒ k 2 � 6k � 18 � 10

� � � ⇒ k 2 � 6k � 8 � 0

� � � ⇒ (k � 2)(k � 4) � 0

� � � ⇒ k � 2 or k � 4

Cleachtadh 3.2

1. Tá na pointí A, B, C agus D le feiceáilar dheis.

Faigh (i) |AB|

(ii) |AC|

(iii) |AD|.

An bhfuil uDCu 5 uBCu?

y

xO

C (2, �2)

B (8, 2)

A (3, 5)

D (�4, 3)

53

2. Taispeántar na pointí D, E agus F sa léaráid ar dheis. (i) Scríobh síos fad [FE] agus fad [ED]. (ii) Faigh uDFu.

Bain úsáid as Teoirim Phíotagarás le taispeáintgur triantán dronuilleach é DEF.

3. Faigh an fad idir gach ceann de na péirí pointí seo: (i) (2, 1) agus (3, 4) (ii) (1, 5) agus (2, 3) (iii) (�1, 4) agus (2, 6) (iv) (3, �2) agus (�5, 3) (v) (�6, �1) agus (1, �3) (vi) (4, �2) agus (0, �5)

4. Faigh uABu i ngach ceann díobh seo: (i) A � (2, �4), B � (3, 1) (ii) A � (0, 3), B � (�2, 5) (iii) A � (0, �2), B � (3, �1) (iv) A � (5, �2), B � (3, �4)

5. Is iad A(1, 1), B(3, 6) agus C(5, 1) na reanna ar thriantán. Taispeáin go bhfuil uABu 5 uBCu.

6. Is iad X(1, 6), Y(23, 21) agus Z(2, 22) na reanna ar thriantán.

Faigh fad na 3 shlios agus ansin scríobh síos cén dá shlios atá ar comhfhad.

Uaidh sin, cén sórt triantáin é XYZ?

7. Baintear úsáid as sreang, ABC, le bheith mar thacaag crann brataí, [BD], mar a thaispeántar ar dheis.

Scríobh síos comhordanáidí A, B, C agus D.

Ríomh an fad sreinge a theastaíonn le tacú leis an gcrann brataí.

8. Is é (23, 1) lárphointe ciorcail agus is pointe ar an gciorcal é (4, 3). Faigh fad gha an chiorcail.

9. Is iad na pointí A(2, 1), B(6, 1), C(5, 22) agus D(1, 22) na reanna ar chomhthreomharán.

Breac an comhthreomharán ar phlána comhordanáidithe.

Faigh (i) |AC| (ii) |BD|.

An bhfuil na trasnáin ar comhfhad?

10. Is é Î2 an fad idir na pointí (5, 2) agus (4, k).

Faigh dhá luach fhéideartha ar k.

11. Is é X an pointe (3, k) agus is é Y an pointe (21, 2). Má tá uXYu 5 5, faigh dhá luach fhéideartha ar k.

y

xO

F (�4, �1)

D (2, 2)

E (2, �1)

y

xO

1

2

3

4

5

6

7

1 2 3 4 5 6 7 8 9

CA

B

D

10

54

12. Tá cónaí ar Jordan (3 km siar, 4 km ó dheas) de láran bhaile (marcáilte O) sa léaráid ar dheis. Tá cónaí ar Mhichelle (2 km siar, 3 km ó thuaidh) de theach Jordan.

Cá fhad ó lár an bhaile atá cónaí ar Mhichelle?

Mír 3.3 Lárphointe mírlíne Ar dheis tá an mhírlíne [AB].

Is iad comhordanáidí A ná (1, 1).

Is iad comhordanáidí B ná (7, 5).

Is é M lárphointe na mírlíne [AB].

Is iad comhordanáidí M ná (4, 3).

Is mar seo a fhaightear na comhordanáidí sin:

1. Suimigh x-chomhordanáidí A agus B le chéile agus roinn an freagra ar 2, i.e. 1 � 7 _____ 2

� 4.

2. Suimigh y-chomhordanáidí A agus B le chéile agus roinn an freagra ar 2, i.e. 1 � 5 _____ 2

� 3.

Is é lárphointe na mírlíne óA(x1, y1) go dtí B(x2, y2):

(� x1 � x2 ______ 2

, y1 � y2 ______

2 )

y

xO

M

B (x2, y2)

A (x1, y1)

Sampla 1

Faigh lárphointe na mírlíne ó A(21, 3) go B(5, 7).

Lárphointe [AB] � (� x1 � x2 ______ 2

, y1 � y2 ______

2 ) (�1, 3) (5, 7)

↓ ↓ (x1, y1) (x2, y2)

� � � (� �1 � 5 _______ 2

, 3 � 7 _____ 2

)

� � � (� 4 __ 2

, 10 ___ 2

) � (2, 5).

O

N

E

S

W

y

xO

1

5

1 4

M

B

7

A

55

Cleachtadh 3.3

1. I gcás gach ceann de na péirí pointí seo, faigh lárphointe na mírlíne a cheanglaíonn lechéile iad: (i) (2, 4) agus (6, 2) (ii) (2, 4) agus (0, 2) (iii) (2, �1) agus (4, 3) (iv) (�2, 4) agus (4, �2) (v) (2, �3) agus (0, �1) (vi) (�3, 4) agus (�1, �4).

2. Faigh lárphointe na mírlíne ó (23, 4) go (3, 7). Cén ais ar a bhfuil an lárphointe?

3. Is iad na pointí (22, 3) agus (6, 5) na foircinn ar thrastomhas ciorcail. Faigh comhordanáidí lár an chiorcail.

4. Is iad A(4, 3), B(1, 23), C(22, 22) agus D(1, 4) na reanna ar chomhthreomharán. Tarraing sceitse den chomhthreomharán seo. Faigh lárphointe [AC]. Fíoraigh (Deimnigh) gurb é lárphointe [AC] lárphointe [BD] freisin.

5. Faigh M, lárphointe na mírlíne ó A(23, 4) go B(1, 26). Anois taispeáin go bhfuil uAMu 5 uMBu.

6. Cuir i gcás na pointí A(5, 2) agus B(x1, y1). Más é M(2, 4) lárphointe [AB], faigh comhordanáidí B.

Mír 3.4 Fána líne Seo mar a shainítear fána na líne AB:

an t-athrú ceartingearachan t-athrú cothrománach nó

éirírith

Fána AB 5 3 _ 6 � 1 _ 2 .

Sa léaráid ar dheis, faightear fánaAB ar an gcaoi seo:

athrú ceartingearach ___________________ athrú cothrománach

�� y2�� y1 ______ x2 � x1

Mar sin is é fána, m, , AB ná y2�� y1 ______ x2 � x1

.

Is é fána, m, na líne trí (x1, y1) agus (x2, y2):

m � y2 � y1 ______ x2 � x1

6

3 Athrú

Ceartingearach

Athrú CothrománachA

B

y

xO

A(x1, y1)

B(x2, y2)

x2 � x1

y2 � y1

56

Fánaí deimhneacha agus diúltacha

Agus muid ag dul ó chlé go deis, bíonn an fhána deimhneach má bhíonn an líne ag éirí agusbíonn an fhána diúltach má bhíonn an líne ag titim.

y

xO

Fánadheimhneach Fána

dhiúltach

� �

Línte comhthreomhara

Is é 32 an fhána atá le línearaon sa léaráid thíos.

Tá na línte sin comhthreomhar.

y

xO

fána �

a

b32

32fána �

Línte ingearacha

Tá na línte a agus b ar dheis ingearach le chéile.

Is é 32 fána a .

Is é 2 23 fána b .

Tabhair faoi deara gurb ionann fána amháin agus deilín nafána eile, ach tá an comhartha athraithe.

Tabhair faoi deara freisin gurb é 21 toradh an dá fhána, i.e.,

� 2 _ 3 � 3 _ 2 � �1

Má bhíonn dhá líne ingearach le chéile,is é toradh a bhfánaí ná 21, i.e.,

m1 � m2 � �1

Is í an fhána chéanna a bhíonnle línte comhthreomhara

y

xO

a

b

fána �

fána ��

32

23

57

Sampla 1

Má tá A 5 (3, 21) agus B 5 (5, 2), faigh fána na líne AB.

m � y2 � y1 ______ x2 � x1

(3, �1) (5, 2) ↓ ↓ (x1, y1) (x2, y2)

� �� 2 � 1 _____ 5 � 3

� 3 __ 2

Fána AB 5 32 .

Sampla 2

Is ceithre phointe ar an bplána iad A(21, 0), B(3, 2), C(21, 4) agus D(2, 22). Taispeáin go bhfuil AB ingearach le CD.

Bíodh m1 ina fhána le AB agus m2 ina fhána le CD.

A(�1, 0) B(3, 2) ↓ ↓ (x1, y1) (x2, y2)

C(�1, 4) D(2, �2) ↓ ↓ (x1, y1) (x2, y2)

m1 � y2 � y1 ______ x2 � x1

m2 � y2 � y1 ______ x2 � x1

� �� 2 � 0 _____ 3 � 1

�� 2 � 4 _______ 2 � 1

� �6 ___ 3

� �� 2 __ 4

� 1 __ 2

� �� 6 ___ 3

� �2

m1 � m2 � 1 __ 2

� (�2)

� ��1

Tá AB ingearach le CD mar gurb é 21 toradh a bhfánaí.

Cleachtadh 3.4

1. Taispeántar sa léaráid na ceithre líne a, b, c agus d.

(i) Cé acu línte a bhfuil fánaí deimhneacha leo? (ii) Cé acu línte a bhfuil fánaí diúltacha leo?

y

xO

c

b

d

a

58

2. Tá na trí líne a, b agus c le feiceáil ar na greillí thíos:

y

a

xO

y

xO

b

y

xO

c

(i) Cén líne a bhfuil fána 32 léi?

(ii) Cén fhána atá le líne a? (iii) Cén fhána atá le líne c?

3. Cén fáth ar diúltach atá fána na líne ar dheis? Bain úsáid as an ngreille chun fána na líne a oibriúamach.

4. Faigh fána na líne AB i ngach ceann díobh seo: (i) A(3, 1) agus B(5, 3) (ii) A(�1, 2) agus B(3, �4) (iii) A(�1, �3) agus B(0, 5) (iv) A(3, 0) agus B(�1, �4) (v) A(�3, 2) agus B(�5, 0) (vi) A(�5, 1) agus B(�2, 3).

5. Taispeáin gurb ionann fána na líne a ghabhann trí A(21, 22) agus B(3, 0) agus fána na líne a ghabhann trí C(2, 3) agus D(22, 1). Céard is féidir leat a rá faoi na línte AB agus CD?

6. Tá na pointí (1, 1) agus (2, 4) ar ø.Tá na pointí (4, 1) agus (3, 22) ar m.Faigh amach an bhfuil ø comhthreomhar le m.

7. Is iad A(22, 24), B(5, 21), C(6, 4) agus D(21, 1) na reanna ar cheathairshleasán.Anois fíoraigh go bhfuil ABuuCD agus ADuuBC.

8. Taispeántar sa léaráid ar dheis na trí líne a, b, agus c. Maitseáil na línte leis na fánaí seo:

2, 1 _ 2 , 1.

y

xO

a b c

59

9. Is é fána na líne ø ná 34.

(i) Scríobh síos fána na líne m má tá m comhthreomhar le ø. (ii) Scríobh síos fána na líne n má tán ingearach le ø.

10. Tugtar thíos an fhána atá le cúig líne. I gcás gach ceann de na línte seo, scríobh síos an fhána atá le líne atá ingearach léi: (i) 2 _ 3 (ii) 4 _ 5 (iii) � 3 _ 4 (iv) � 2 _ 5 (v) � 1 _ 2

11. Is ceithre phointe ar an bplána iad A(21, 1), B(1, 3), C(6, 2) agus D(4, 4).Faigh fána (i) AB (ii) CD. Fíoraigh go bhfuil AB ' CD.

12. Tá na pointí (3, 21) agus (4, 22) ar an líne m. (i) Faigh fána líne ar bith atá comhthreomhar le m. (ii) Faigh fána líne ar bith atá ingearach le m.

13. Más é 35 fána na líne trí na pointí (3, 2) agus (8, k), faigh luach k.

14. Is é 13 fána na líne trí (3, 22) agus (1, k). Faigh luach k.

15. Tá na pointí (22, 0) agus (4, 3) ar an líne ø. Tá na pointí (1, 21) agus (k, 1) ar an líne m. (i) Faigh fána ø. (ii) Faigh, i dtéarmaí k, fána m. (iii) Má tá ø uu m, faigh luach k.

16. Taispeántar sa léaráid na ceithre líne ø,m, n agus k.

� m

k

n

(i) Mínigh cén fáth a bhfuil fánaí ø,m, agus n diúltach. (ii) Maitseáil na línte leis na fánaí seo:

� 1 _ 2 , 0, �2, �1.

Mír 3.5 Cothromóid líne Féach ar an líne, ø, ar dheis. I gcás gach pointe, má shuimítear an x-luach agus an y-luach le chéile, is é 5 an freagra, m.sh. 2 13 5 5.

Sin é an fáth a ndeirimid gurb é cothromóid na líne ø ná

x � y � 5.

Cothromóid líne nó cothromóid líneacha thugtar ar x 1 y 5 5.

y

x�1

O

1

2

3

(5, 0)

(4, 1)

(3, 2)

(2, 3)

(1, 4)

(0, 5)

4

5

�2 �1 1 2 3 4 5�

60

Is é an chaoi ar thángamar ar an gcothromóid ná féachaint ar an ngaol idir x-luach agus y-luachgach pointe agus tabhairt faoi deara go bhfuil x 1 y 5 5 i gcás gach pointe.

Déanfaimid staidéar anois ar an bhfíorar dheis.

Tá an pointe (x1, y1) ar an líne ø agustá fána mléi.

Bíodh (x, y) ina phointe eile ar ø.

Feicimid ón léaráid gurb é an fhána ná y � y1 ______ x � x1

� m.

Má iolraímid an dá thaobh faoi (x 2 x1), faighimid

y � y1 � m(x � x1)

Is féidir teacht ar chothromóid na líne a ghabhann trí (x1, y1) agus abhfuil fána m léi ach úsáid a bhaint as

y � y1 � m(x � x1)

Sampla 1

Faigh cothromóid na líne a bhfuil an pointe (23, 2) uirthi agus arb é 23 an fhána léi.

Cothromóid na líne: y � y1 � m(x � x1) m � 2 __ 3

y � 2 � 2 __ 3

(x � 3) (x1, y1) � (�3, 2)

y � 2 � 2x ___ 3

� 6 __ 3

Iolraigh gach téarma faoi 3: 3y � 6�� 2x � 6

Tabhair gach téarma go taobh na láimhe deise: 2x � 3y�� 12 � 0

; is é cothromóid na líne: 2x � 3y�� 12 � 0

Cothromóid líne nuair atá dhá phointe uirthi ar eolas againn

Chun cothromóid líne a fháil nuair atá dhá phointe uirthi ar eolas againn, caithfimid fána na

líne a fháil i dtosach leis an bhfoirmley2 � y1 ______ x2 � x1

.

Ansin bainimid úsáid as an bhfoirmle y 2 y1 5 m(x 2 x1) chun cothromóid na líne a fháil.

Is féidir leat ceachtar den dá phointe a úsáid mar (x1, y1).

y

xO

(x1, y1)

(x, y)

x � x1

y � y1

�

61

Sampla 2

Faigh cothromóid na líne a bhfuil na pointí (22, 3) agus (3, 1) uirthi.

Fána na líne m � y2 � y1 ______ x2 � x1

(�2, 3) (3, 1) ↓ ↓ (x1, y1) (x2, y2)

� �� 1 � 3 _____ 3 � 2

� �2 ___ 5

Bain leas ansin as an bhfána 2 25 agus as an bpointe (22, 3) …

Cothromóid na líne: y � y1 � m(x � x1)

y � 3 � � 2 __ 5

(x � 2)

y � 3 � � 2x ___ 5

� 4 __ 5

5y � 15 � �2x � 4… iolraigh gach téarma faoi 5.

⇒ is é 2x 1 5y 2 11 5 0 cothromóid na líne.

féadfaidh tú ceachtar den dá phointe a úsáid

Cleachtadh 3.5 1. Faigh cothromóid gach líne díobh seo a leanas, más éard atá iontu seo fána na líne agus

pointe ar an líne i ngach cás: (i) fána � 2; pointe� (3, 4) (ii) fána � 4; pointe� (1, 5) (iii) fána � 5; pointe� (�2, 3) (iv) fána � �3; pointe� (�2, 0) (v) fána � �5; pointe� (�3, �2) (vi) fána � 2 _ 3 ; pointe� (3, �1).

2. Faigh cothromóid gach líne díobh seo a leanas, más éard atá iontu seo fána na líne aguspointe ar an líne i ngach cás: (i) fána � 3 _ 4 ; pointe� (1, �4) (ii) fána � 3 _ 5 ; pointe� (�4, 2).

3. Faigh cothromóidí na línte trí (22, 3) arb iad seo a gcuid fánaí: (i) 4 (ii) �2 (iii) 3 _ 4 (iv) � 2 _ 3

4. Faigh cothromóid na líne trí (0, 0) a bhfuil fána 23 léi.

5. Faigh cothromóidí na línte trí (0, 0) arb iad seo a gcuid fánaí: (i) 3 (ii) �5 (iii) 1 _ 3 (iv) � 3 _ 2

Céard a thugann tú faoi deara faoi chothromóid gach ceann de na línte sin?

6. Faigh fána na líne trí A(3, 24) agus B(1, 2). Uaidh sin, faigh cothromóid na líne AB.

7. Faigh cothromóidí na línte trí na péirí pointí seo a leanas: (i) (2, 3) agus (4, 6) (ii) (�1, 2) agus (2, �4) (iii) (�5, 1) agus (1, 0) (iv) (�2, 3) agus (3, �1) (v) (2, 7) agus (0, 5) (vi) (�3, �5) agus (�1, �1).

8. Faigh cothromóid na líne trí (22, 3) agus lárphointe na mírlíne ó (1, 23) go (3, 21).

62

9. Tá binn tí le feiceáil sa léaráid thíos.

y

xO

1

2

3

4

5

6

1 2 3 4 5 6

A

B

C

7 8 9 10 11

Agus tú ag úsáid na greille, scríobh síos

(i) comhordanáidí na bpointí A, B agus C

(ii) fána AB

(iii) cothromóid AB.

Mír 3.6 An chothromóid y � mx � c Más san fhoirm

y � mx � c a bhíonn cothromóid líne,

(i) is é m an fhána

(ii) trasnaíonn an líne an y-ais ag (0, c).

An y-idirlíne a thugtar ar an bpointe (0, c).

Más san fhoirm 3x 1 2y 2 8 5 0 a bhíonn an líne,athscríobh an chothromóid san fhoirm y � mx � c.

Is é luach m an fhána.

Sampla 1

Faigh fána na líne 3x 2 2y 2 9 5 0.

Scríobhaimid an chothromóid san fhoirm y 5 mx 1c.

3x � 2y � 9 � 0

⇒� �2y � �3x � 9 … fág an y -théarma leis féin ar thaobh na láimhe clé

⇒� 2y � 3x � 9 … iolraigh gach téarma faoi 21

⇒� y � 3 __ 2

x � 9 __ 2

… roinn gach téarma ar 2

; is é 32 fána na líne.

y

xO

(0, c)fána 5 m

y 5 mx 1 c

63

Sampla 2

Is é ø an líne 2x 2 3y 1 6 5 0 agus is é m an líne 3x 1 2y 24 5 0. Taispeáin go bhfuil ø ingearach le m.

Fána ø: Fána m:2x � 3y � 6 � 0 3x � 2y � 4 � 0

⇒ �3y � �2x � 6 ⇒ 2y � �3x � 4

⇒ 3y � 2x � 6 ⇒ y � � 3 __ 2

x � 2

⇒ y � 2 __ 3

x � 2 ⇒ fána m � � 3 __ 2

⇒ fána � � 2 __ 3

Fána ø 3 fána m 5 2 __ 3

� (�� 3 __ 2

)

� � �6 ___ 6

� �1

Ós é 21 toradh an dá fhána, tá na línte ingearach.

Cleachtadh 3.6

1. Scríobh gach ceann de na línte seo a leanas san fhoirm y 5 mx 1 c agus scríobh síosuaithi sin fána gach líne díobh: (i) x � y � 4 � 0 (ii) 3x � y � 5 � 0 (iii) 2x � 3y � 7 � 0 (iv) 5x � 2y � 3 � 0 (v) 3x � 4y � 2 � 0 (vi) 3x � 4y � 6 � 0.

2. Scríobh an líne ø: 2x 1 3y 2 7 5 0 san fhoirm y 5 mx 1 c. (i) Scríobh síos fána ø. (ii) Faigh fána líne ar bith atá comhthreomhar le ø. (iii) Faigh fána líne ar bith atá ingearach le ø.

3. Taispeáin go bhfuil na línte x 2 2y 1 1 5 0 agus 3x 2 6y 2 7 5 0 comhthreomhar le chéile. Faigh fána líne ar bith atá ingearach leis na línte sin.

4. Taispeáin go bhfuil na línte 2x 1 3y 2 4 5 0 agus 3x 2 2y 1 1 5 0 ingearach le chéile.

5. Más é y 5 3x 2 4 cothromóid ø, scríobh síos cothromóid líne ar bith, san fhoirm y 5 mx 1 c, atá (i) comhthreomhar le ø (ii) ingearach le ø

6. Fiosraigh an bhfuil na línte y 523x 1 4 agus 2x 2 3y 2 5 5 0 comhthreomhar.

7. Is é y 5 3x 2 2 cothromóid na líne m. Faigh (i) fána m (ii) an pointe ina dtrasnaíonn m an y-ais.

64

8. Tugtar thíos cothromóidí sé líne: a: y � 2x � 3 c: y � x � 3 e: y � � 1 _ 2 x � 4b: y � 1 _ 2 x � 5 d: y � �2x � 4 f: y � 2x � 2

(i) Ainmnigh péire línte comhthreomhara. (ii) Ainmnigh péire línte ingearacha.

(iii) Cén líne a thrasnaíonn an y-ais ag (0, 4)? (iv) Cén líne a thrasnaíonn an y-ais ag (0, 23)?

9. Faigh an fhána agus an y-idirlíne agus, uaidh sin, faigh cothromóid na líne ar dheis.

10. Má tá an líne x 1 2y 2 6 5 0 comhthreomhar leis an líne 2x 1 ky 2 5 5 0, faigh luach k.

11. Má tá an líne 2x 2 3y 1 7 5 0 ingearach leis an líne 3x 1 ky 2 4 5 0, faigh luach k.

12. Cén luach ar k a fhágann an líne 2x 1 ky 2 4 5 0 comhthreomhar leis an líne x 1 3y 1 7 5 0?

Mír 3.7 Línte comhthreomhara agus ingearacha Má bhíonn cothromóid líne, ø, againn, mar shampla 2x 1 3y 2 4 5 0, is féidir linn fána nalíne a fháil ach an chothromóid a shloinneadh (a chur in iúl) san fhoirm y 5 mx 1 c.

Má bhíonn pointe (x1, y1) ar eolas againn freisin, is féidir linn cothromóid líne trí (x1, y1)atá comhthreomhar le ø nó atá ingearach le ø a fháil.

Sampla 1

Faigh cothromóid na líne tríd an bpointe (22, 3) atá ingearach leisan líne 2x 2 y 1 5 5 0.

Chun fána 2x 2 y 1 5 5 0 a fháil, sloinnimid san fhoirm y 5 mx 1 c.

2x � y � 5 � 0⇒ �y � �2x � 5⇒ y � 2x � 5… iolraigh gach téarma faoi 21

⇒ is é 2 an fhána.

Is é fána na líne ingearach leis an líne seo ná 2 12 .

y

xO

5

5 10

65

Is é cothromóid na líne trí (22, 3) a bhfuil fána 2 12 léi ná:

y � y1 � m(x � x1) (x1, y1) � (�2, 3)

y � 3 � � 1 __ 2

(x � 2) m � � 1 __ 2

y � 3 � �x ___ 2

� 1

⇒ 2y � 6 � �x � 2… iolraigh gach téarma faoi 2

⇒ Is é x 1 2y 2 4 5 0 an chothromóid a theastaíonn.

Cleachtadh 3.7

1. Faigh fána na líne 2x 1 y 2 4 5 0. Anois faigh cothromóid na líne tríd an bpointe (2, 4) atá comhthreomhar leis an líne2x 1 y 2 4 5 0.

2. Faigh cothromóid na líne tríd an bpointe (1, 26) atá comhthreomhar leis an líne 3x 2 y 1 4 5 0.

3. Faigh fána na líne 2x 2 3y 1 1 5 0. Céard í fána líne ar bith atá ingearach le 2x 2 3y 1 1 5 0? Anois faigh cothromóid na líne tríd an bpointe (4, 21) atá ingearach leisan líne 2x � 3y � 1 � 0.

4. Faigh cothromóid na líne tríd an bpointe (22, 1) atá ingearach leis an líne3x � 2y � 4 � 0.

5. Faigh cothromóid na líne tríd an bpointe (24, 0) atá comhthreomhar leis an líne y 5 3x 2 5.

6. Gabhann líne, ø, tríd an mbunphointe agus tá sí ingearach leis an líne arb é 3x � y � 2 � 0. a cothromóid. Faigh cothromóid na líne ø.

7. Is iad (1, 7) comhordanáidí an phointe A agus is iad (3, 1) comhordanáidí an phointe B. Is é P lárphointe [AB]. Faigh comhordanáidí P. Anois faigh cothromóid na líne a ghabhann tríd an bpointe P agus atá ingearach leisan líne x 1 5y 2 7 5 0.

8. Taispeántar sa léaráid ar dheis na pointí A(21, 5), B(2, 21) agus C(0, 5). Tá an líne ø comhthreomhar le AB agus tá an pointe Cuirthi. Faigh cothromóid ø.

y

�

xO

B (2, �1)

A (�1, 5)C (0, 5)

66

9. Tá líne ingearach leis an líne arb é y 5 4x 2 3 a cothromóid. Faigh cothromóid na líne má thrasnaíonn sí an y-ais ag (0, 7).

10. Cé acu de na línte seo a leanas atá comhthreomhar le 3x 1 y 2 4 5 0? A: y � 3x � 2 B: y � 1 _ 3 x � 4 C: 6x � 2y � 7 � 0 D: x � 3y � 2 � 0

11. Trasnaíonn an líne y 5 2x 1 5 an y-ais ag an bpointe P. Faigh cothromóid na líne trí P atá ingearach le y 5 2x 1 5.

12. Is é cothromóid na líne AB ná 5x 2 3y 5 26. (i) Faigh fána AB. (ii) Is iad (4, 22) comhordanáidí an phointe A agus is iad (26, 4) comhordanáidí

pointe eile, C. (a) Cruthaigh go bhfuil AC ingearach le AB. (b) Faigh cothromóid na líne AC. Tabhair do fhreagra san fhoirm ax 1 by 5 c .

Mír 3.8 Línte a ghrafadh Chun líne mar 2x 1 3y 5 6 a tharraingt, caithfidh dhá phointe ar a laghad ar an líne a bheithar eolas againn.

Is iad na pointí is éasca le fáil ná na cinn ina dtrasnaíonn an líne an x-ais agus an y-ais.

Ar an x-ais, y 5 0; ar an y-ais, x 5 0.

Cuir i gcás an líne 2x 1 3y 5 6 Sceitse den líne 2x 1 3y 5 6

Nuair atá x 5 0, 2(0) � 3y � 6� 3y � 6 ⇒ y � 2

; is pointe amháin ar an líne é (0, 2)

Nuair atá y 5 0, 2x � 3(0) � 6 2x � 6 x � 3

; is pointe eile ar an líne é (3, 0)

Tá sceitse den líne le feiceáil ar dheis.

Línte comhthreomhar leis na haiseanna

Tá na línte x 5 2 agus x 5 4 le feiceáil ar dheis.

Tabhair faoi deara gurb é 4 x-luach gach pointe ar an líne x 5 4.

Ar an gcaoi chéanna, is é 2 x-luach gach pointe ar an líne x 5 2.

Gach líne a bhfuil a cothromóid san fhoirm x 5 a, tá sí comhthreomhar leis an y-ais.

y

xO

2

3

(3, 0)

(0, 2)

3

y

xO

(2, 4)

(2, 1)

2 4

(4, 4)

(4, 1)

(4, �1)

x ��2 x ��4

67

Taispeántar an líne y 5 2 sa léaráid ar dheis.

Arís, tabhair faoi deara gurb é 2 y-luach na bpointí ar an líne seo.

Línte a bhfuil an bunphointe orthu

Líne ar nós x 1 2y 5 0, gan aon téarma neamhspleách, bíonn an bunphointe (0, 0) uirthi i gcónaí. Ó thaobh an líne x 1 2y 5 0 a bhreacadh de, tá a fhios againn go bhfuil an bunphointe uirthi.

Gheobhaimid an dara pointe ansin ach luach ar x a roghnú agus an y-luach comhfhreagrach a fháil. Bíodh x 5 2: 2 � 2y � 0

2y � �2

y � �1

; is pointe eile ar an líne é (2, 21).

Tá sceitse le feiceáil ar dheis den líne a bhfuil na pointí (0, 0) agus (2, 21) uirthi.

Fíorú gur ar líne ar leith atá pointe áirithe

Gheobhaidh tú amach an bhfuil an pointe (3, 22) ar an líne x 1 2y 1 1 5 0 ach 3 a chur in áit x sa chothromóid, agus 22 in áit y.

x � 2y � 1 � 0

x � 3; y � �2: 3 � 2(�2) � 1

� �� 3 � 4 � 1

� �� 4 � 4 � 0

Sásaíonn (3, 22) an chothromóid x 1 2y 1 1 5 0, rud a chruthaíonn go bhfuil an pointe sin ar an líne.

Ach níl (23, 4) ar an líne x 2 3y 1 7 5 0, tharla 23 2 12 1 7 Þ 0, i.e. ní shásaíonn sé an chothromóid.

Sampla 1

Má tá an pointe (k, 3) ar an líne 4x 2 3y 1 1 5 0, faigh luach k.

Cuirimis k in áit x agus 3 in áit y sa chothromóid 4x 2 3y 1 1 5 0. ⇒ 4k � 3(3) � 1 � 0⇒ 4k � 9 � 1 � 0⇒ 4k � 8 � 0⇒ 4k � 8 ⇒ k � 2.

y

xO

(1, 2)

1 3 5

(3, 2) (5, 2)y ��2

y

xO

(2, �1)

2

1

�2

4

Má tá pointe ar líne áirithe, sásóidh comhordanáidí

an phointe cothromóid na líne sin.

68

Cleachtadh 3.8

1. Scríobh síos cothromóidí na línte a, b, c agus d a thaispeántar ar dheis.

2. Tarraing péire aiseanna agus sceitseáil na ceithre líne seo: (i) x � 4 (ii) y � 2 (iii) x � �2 (iv) y � �3.

3. Bain úsáid as graf na líne 2x 1 y 5 6 chun iad seo a leanasa scríobh síos: (i) luach x nuair atá y 5 0 (ii) comhordanáidí an phointe ina dtrasnaíonn

an líne an y-ais (iii) luach y nuair atá x 5 1 (iv) luach x nuair atá y 5 2 (v) achar an triantáin a shainítear leis an líne,

leis an x-ais agus leis an y-ais.

4. Faigh comhordanáidí na bpointí ina dtrasnaíonn an líne x 2 2y 2 6 5 0 an

x-ais agus an y-ais. Anois bain úsáid as na pointí sin chun sceitse den líne a tharraingt.

5. Tarraing sceitse garbh ar leith de gach ceann de na línte seo: (i) x � y � 4 � 0 (ii) 2x � y � 2 � 0 (iii) x � 2y � 4 � 0

6. Faigh comhordanáidí na bpointí ina dtrasnaíonn an líne x 2 2y 5 5 an x-ais agus an y-ais. Uaidh sin tarraing sceitse den líne.

7. Tarraing sceitse den líne 2x 2 y 1 6 5 0. Uaidh sin scríobh síos achar an triantáin a shainítear leis x-ais, leis an y-ais agus leis an líne.

8. Tarraing sceitse garbh ar leith de gach ceann de na línte seo: (i) 2x � y � 7 (ii) 4x � y � 4 � 0 (iii) x � 3y � 6 � 0

9. Is iad cothromóidí na línte A agus B: A: y � 2 _ 3 x � 2B: 3x � 5y � 15 � 0

(i) Cén líne a thrasnaíonn an y-ais ag (0, 2)? (ii) Cén líne a thrasnaíonn an x-ais ag (5, 0)? (iii) Bain úsáid as fánaí an dá líne le fiosrú an

bhfuil na línte ingearach le chéile. (iv) Scríobh síos achar an triantáin a shainítear leis an líne 3x 1 5y 2 15 5 0, leis an

x-ais agus leis an y-ais.

y

O 1

1

�1�3

3

3 x

a

bcd

y

xO

5

5

2x � y ��6

y

xO 1

2

3

5

69

10. Tá an bunphointe (0, 0) ar gach ceann de na línte seo a leanas. I gcás gach ceann de na línte, roghnaigh x-luach agus ansin faigh an y-luachcomhfhreagrach. Uaidh sin, sceitseáil gach ceann de na línte ar léaráid ar leith. (i) x � 2y � 0 (ii) x � 3y � 0 (iii) 3x � y � 0 (iv) x � 4y � 0.

11. Tá na línte a, b agus d ar an ngraf ar dheis.Maitseáil gach líne le ceann de na cothromóidí seo: (i) x � �2 (ii) x � y � 0 (iii) 2x � 5y � 10 (iv) y � 4

12. (i) Fíoraigh go bhfuil (2, 25) ar an líne 2x 1 y 1 1 5 0. (ii) Fíoraigh go bhfuil (2, 23) ar an líne y 5 x 2 5. (iii) Taispeáin nach bhfuil (23, 1) ar an líne x 2 3y 1 1 5 0. (iv) Fiosraigh an bhfuil (2, 0) ar an líne 2x 2 y 1 3 5 0.

13. Taispeáin go bhfuil (23, 1) ar an líne 2x 1 4y 1 2 5 0.

14. Má tá an pointe (1, 4) ar an líne 2x 1 y 1 k 5 0, faigh luach k.

15. Má tá (2, 23) ar an líne x 1 ky 1 7 5 0, faigh luach k.

16. (i) Faigh luach k má tá an pointe (3, 1) ar an líne 2x 1 ky 2 8 5 0. (ii) Má tá (1, ) ar an líne y 5 2x 1 3, faigh luach t .

Mír 3.9 Dhá líne a thrasnaíonn a chéile Tá sceitse de na línte x 1 y 5 4 agus x 1 3y 5 6 le feiceáil thíos.

y

xO

5

5 10

x � y � 4

x � 3y � 6

Is féidir pointe trasnaithe an dá líne a léamh ón léaráid.

Is é an pointe sin ná (3, 1).

Pointe trasnaithe aon dá líne, is féidir é a fháil ach na línte a sceitseáil ar ghreille, agusansin a bpointe trasnaithe a léamh ón ngreille sin.

Ach is fusa teacht ar an bpointe trasnaithe ach leas a bhaint ascothromóidí comhuaineacha, mar a thaispeántar sa sampla thíos.

y

xO 2

2

�2

3

4

5

d

a

bc

Is féidir úsáid a bhaint as cothromóidícomhuaineacha chun pointe trasnaithedhá líne a fháil.

70

Sampla 1

Bain úsáid as cothromóidí comhuaineacha chun pointe trasnaithe na línte

x � y � 5 agus 2x � y � 4.

x � y � 5 … � 2x � y � 4 … �

Suimiú: 3x � 9 ⇒ x � 3

De réir �: 3 � y � 5 ⇒ y � 2

; is é (3, 2) an pointe trasnaithe.

Cleachtadh 3.9

1. Sceitseáil na línte x 1 y 5 5 agus x 1 4y 5 8

ar aon léaráid amháin.

Úsáid do sceitse chun pointe trasnaithe an dá líne a scríobh síos.

2. Tá sceitse de na línte 2x 1 y 5 6 agus x 1 y 5 5 le feiceáil thíos.

y

xO

5

5

2x � y ��6

x � y ��5

Úsáid an sceitse chun pointe trasnaithe an dá líne a scríobh síos. Anois bain úsáid as cothromóidí comhuaineacha chun do fhreagra a fhíorú.

Úsáid cothromóidí comhuaineacha chun pointe trasnaithe na bpéirí línte seo a leanas a fháil:

3. x � y � 5 4. x � y � 2 5. 2x � 5y � 1 2x � y � 1 2x � y � 7 x � 3y � �5

6. x � 2y � �1 7. x � 3y � 7 8. x � 7y � 4 2x � 3y � �9 2x � y � �7 3x � y � �8

9. 2x � 3y � 4 10. 3x � 2y � 17 11. x � 3y � 13 2x � 3y � �8 4x � 3y � 0 2x � 5y � 21

12. Bain úsáid as cothromóidí comhuaineacha le fíorú go dtrasnaíonn na línte

2x � 3y � 12 agus 3x � 4y � 1

a chéile ag an bpointe (3, 2).

71

Mír 3.10 Achar triantáin Léaráid atá anseo thíos de thriantán arb iad na reanna air (0, 0), (x1, y1) agus (x2, y2).

x

y

O

(x2, y2)

(x1, y1)

Seo mar a fhaightear achar an triantáin seo:

Cuireann an dá líne cheartingearacha | | in iúlgo nglacaimid luach deimhneach an fhreagra.

Sampla 1

Faigh achar an triantáin a bhfuil na reanna (0, 0), (22, 1) agus (3, 4) air.

Achar � 1 _ 2 |x1 y2 � x2 y1| (x1, y1) (x2, y2) ↓ ↓ (�2, 1) (3, 4)

� �� 1 _ 2 |(�2)(4) � (3)(1)|

� �� 1 _ 2 |�8 � 3|

� �� 1 _ 2 |�11|

� ��5 1 _ 2 aonad cearnach

Nóta: Mura bhfuil ceann ar bith de reanna an triantáin ag an mbunphointe, ní mór an triantán a bhogadh (a aistriú) ionas gur ceann de na reanna é (0, 0).

y

x

�3

�4

�5

�2

�1

O

1

2

3

4

5

1 2 3 4 5 6

(2, 4)

(7, 3)

an t-

acha

rcé

anna

(5, �1)

(2, �3)

(0, 0) (4, 1)

7

Bíodh (2, 4) → (0, 0)(7, 3) → (5, �1)(4, 1) → (2, �3)

Anseo bainimid 2 de gach x-luach agus 4 de gach

y-luach i gcás gach ceann de na pointí.

1 _ 2 |x1 y2 � x2 y1|

72

Sampla 2

Faigh achar an triantáin a bhfuil na reanna (2, 4), (23, 1) agus (3, 25) air.

Anseo bainimid 2 de gach x-luachagus 4 de gach y-luach.

Bíodh (2, 4) → (0, 0) (�3, 1) → (�5, �3) (3, �5) → (1, �9)

Achar an triantáin 5 1 _ 2 |x1 y2 � x2 y1| (x1, y1) (x2, y2) ↓ ↓ (�5, �3) (1, �9)

� �� 1 _ 2 |(�5)(�9) � (1)(�3)|

� �� 1 _ 2 |45 � 3|

� �� 1 _ 2 |48|

� ��24 aonad cearnach

Cleachtadh 3.10

1. Faigh achar an triantáin a bhfuil na reanna seo air:

(i) (0, 0), (2, 1), (3, 4) (ii) (0, 0), (5, 1), (3, 6)

(iii) (0, 0), (�2, 3), (1, �4) (iv) (0, 0), (3, 4), (�2, �6)

(v) (2, �1), (�2, 4), (0, 0) (vi) (0, 0), (6, 0), (�2, 3).

2. Is iad A(2, 3), B(25, 1) agus C(3, 1) na reanna ar thriantán. Agus tú ag úsáid an aistrithe A(2, 3)→(0, 0), faigh íomhánna B agus C faoin aistriú seo. Uaidh sin faigh achar an triantáin ABC.

3. I gcás gach ceann de na triantáin seo, aistrigh ceann de na reanna go (0, 0). Ansinbain úsáid as sin chun achar an triantáin a fháil.

(i) (2, 3), (5, 1) agus (2, 0) (ii) (�2, 3), (4, 0) agus (1, �4)

(iii) (�2, 1), (3, 6) agus (0, �3) (iv) (5, 1), (2, �3) agus (7, 1).

4. Is é achar triantáin ná leath fhad an bhoinn iolraithe faoin airde ingearach.

Bain úsáid as sin chun achar gach ceann de na triantáin thíos a scríobh síos.

y

xOB

A

C

2

4

�2 2 5

y

xO

D

FE

2

3

�2�4 1 3

73

5. Is iad A(0, 0), B(4, 21), C(2, 3) agus D(22, 4) na reanna ar cheathairshleasán.Roinn an ceathairshleasán ina dhá thriantán, ABC agus ACD, agus, uaidh sin, faigh achar an cheathairshleasáin.

6. Faigh achar an cheathairshleasáin arb iad A(0, 0), B(2, 23), C(4, 0) agus D(0, 4) na reanna air.

7. Ag A a thrasnaíonn an líne 2x 2 y 2 4 5 0 an x-ais, agus ag B a thrasnaíonn sí an y-ais. Faigh achar an NOAB, nuair is é O an bunphointe.

8. Faigh achar an triantáin a bhfuil na reanna (0, 0), (1, 3) agus (2, 6) air. Cén tátal is féidir leat a bhaint as do fhreagra?

9. Faigh luach k más é 7 n-aonad chearnachaachar an triantáin ar dheis.

x

y

O

A(4, 3)

B (6, k)

74

Cuir triail ort féin 3 1. Is dhá phointe ar an bplána iad A(21, 4) agus B(2, 5).

Faigh (i) |AB| (ii) fána AB. .

2. Is é P an pointe (1, 2) agus is é Q an pointe (22, 6). (i) Breac P agus Q ar grafpháipéar. (ii) Faigh fána PQ. (iii) Faigh cothromóid PQ.

3. Is é y 5 2x 2 4 cothromóid líne áirithe. (i) Scríobh síos fána na líne seo. (ii) Cén pointe ina dtrasnaíonn an líne an y-ais? (iii) Cén pointe ina dtrasnaíonn an líne an x-ais? (iv) Céard í fána líne ar bith atá ingearach le y 5 2x 2 4?

4. (i) Fíoraigh go bhfuil an pointe (2, 3) ar an líne 2x 2 3y 1 5 5 0. (ii) Má tá an pointe (1, k) ar an líne 2x 2 3y 1 7 5 0, faigh luach k.

5. Is dhá phointe ar an bplána iad A(23, 1) agus B(3, 9). (i) Faigh M, lárphointe [AB].

Cén ais ar a bhfuil M? (ii) Faigh fána AB. (iii) Faigh fána líne ar bith atá ingearach le AB. (iv) Anois faigh cothromóid na líne a ghabhann tríd an mbunphointe agus

atá ingearach le AB.

6. Bain úsáid as an ngreille ar dheis chun fána na líne pa scríobh síos. Anois scríobh síos cothromóid p san fhoirm y 5 mx 1 c.

7. Is é ø an líne y 2 6 5 22x 2 2. (i) Scríobh síos fána ø. (ii) Fíoraigh gur pointe ar ø é (1, 2). (iii) Trasnaíonn ø an y-ais ag T.

Faigh comhordanáidí T. (iv) Taispeáin an líne ø ar léaráid chomhordanáideach.

8. Is é x 2 2y 1 10 5 0 cothromóid na líne k. (i) Fíoraigh go bhfuil T(2, 6) etc k. (ii) Faigh fána k. (iii) Faigh cothromóid na líne a bhfuil t uirthi agus atá ingearach leis an líne k.

9. (i) Má tá an líne 2x 1 y 2 7 5 0 comhthreomhar leis an líne 4x 1 ky 2 3 5 0, faigh luach k. (ii) Ag A a thrasnaíonn an líne 2x 1 3y 2 6 5 0 an x-ais, agus ag B a thrasnaíonn sí an y-ais.

Faigh comhordanáidí A agus B agus, uaidh sin, faigh achar an triantáin OAB, nuair is é O an bunphointe.

y

x

p

O

4

2

1

2 64

75

10. Chun an fhuinneog thuas staighre ar thaobh tí aghlanadh, ní mór an dréimire a leagan síos sa chaoiis nach dteagmhaíonn sé ach le himeall na seide leballa, mar athaispeántar sa léaráid. Seasann nacomhordanáidí d'fhaid ó O i méadair, sna treonnax agus y a thaispeántar.

Faigh (i) cothromóid líne an dréimire (ii) airde an phointe A a bhfuil barr an

dréimire leagtha ina choinne (iii) fad an dréimire ina mhéadair, ceart go dtí ionad deachúlach amháin.

11. Is é ø an líne x 2 2y 1 2 5 0. Is é m an líne 3x 1 y 2 8 5 0. Úsáid cothromóidí comhuaineacha chun comhordanáidí P a fháil, pointetrasnaithe ø agus m.

12. An líne ø, tá fána 22 léi agus gabhann sí tríd an bpointe (3, 6). (i) Faigh cothromóid ø. (ii) Faigh comhordanáidí na bpointí ina dtrasnaíonn an líne an x-ais agus an y-ais. (iii) Faigh achar an triantáin a shainítear le ø, leis an x-ais agus leis an y-ais.

13. (i) Faigh cothromóid na líne dírí trí (0, 1) agus (3, 7). (ii) Líne eile, is é y 5 7 2 2x a cothromóid.

Gan na línte a tharraingt, mínigh cén chaoi ar féidir leat a dhéanamh amach cé acu atá an líne seo ingearach leis an líne i gcuid (i) nó nach bhfuil.

14. Taispeántar sa ghraf ar dheis na trí líne a, b agus c.

(i) Cé acu lín(t)e a bhfuil fánaí diúltacha léi/leo? (ii) Bain úsáid as an ngreille chun fána na líne a a fháil. (iii) Luaigh gach ceann de na línte le ceann de na

cothromóidí seo: D: y � 2x � 1E: x � y � 10F: 2x � 5y � 17.

15. Is é p an líne 3x 1 2y 1 c 5 0. (i) Más pointe ar p é (3, 21), faigh luach c. (ii) Tá an líne q comhthreomhar le p agus gabhann sí tríd an bpointe (22, 5).

Faigh cothromóid q.

O

A

(1, 3)

(2, 0)

Sei d

y

x

y

x

c

b

O

2

4

6

8

10

2 4 6 8 10

a

76

16. Is trí phointe iad A(4, 2), B(22, 0) agus C(0, 4).

(i) Cruthaigh go bhfuil AC ingearach le BC.

(ii) Taispeáin go bhfuil uACu 5 uBCu.

(iii) Faigh achar an triantáin ABC.

17. Taispeánann an graf líneach thíos an gaol idir céimeanna Celsius aguscéimeanna Fahrenheit.

O

10

20

30

40

Céi

mea

nn

a C

elsi

us

(°C

)

Céimeanna Fahrenheit (°F)

30 40 50 60 70 80 90 100

Bain úsáid as an ngraf chun iad seo a leanas a thiontú (garmheastacháin a bheidh snafreagraí):

(i) 35°C go Fahrenheit (ii) 15°C go Fahrenheit

(iii) 50°F go Celsius (iv) 100°F go Celsius.

Bain úsáid as an dá phointe atá marcáilte ar an ngraf chun cothromóid na líne a fháil sanfhoirm ax � by � c � 0.

77

�� Le haghaidh aon dá phointe A(x1, y1) agus B(x2, y2):

1. Fad [AB] � √__________________

(x2 � x1)2 � (y2 � y1)2

2. Lárphointe [AB] � (� x1 � x2 ______ 2

, y1 � y2 ______

2 )

3. Fána AB (m) m � y2 � y1 ______ x2 � x1

� difríocht idir na y-luachanna

________________________ difríocht idir na x-luachanna

Cothromóid líne

An líne y � mx � c , is é m a fána agus trasnaíonn sí an y-ais ag (0, c).

Is é cothromóid na líne a bhfuil an pointe (x1, y1) uirthi agus a bhfuil fána m léi:

y � y1 � m(x � x1)

Línte comhthreomhara agus ingearacha

Má tá fána m1 leis an líne ø agus má tá fána m2 leis an líne k,

1. Tá ø comhthreomhar le k má tá m1 5 m2.

2. Tá ø ingearach le k má tá m1 3 m2 5 21.

Má tá fána ø 5 34 agus má tá ø ' k, tá fána k 52

43

Línte a ghrafadh

Chun an líne 2x 2 3y 5 6 a ghrafadh:

1. Bíodh x 5 0 agus faigh an y-luach comhfhreagrach, i.e. (0, 22).

2. Bíodh y 5 0 agus faigh an x-luach comhfhreagrach, i.e. (3, 0).

3. Tarraing líne trí (0, 22) agus (3, 0).

San fhoirm y 5 a a bheidh cothromóid línte atá comhthreomhar leis an x-ais.

San fhoirm x 5 b a bheidh cothromóid línte atá comhthreomhar leis an y-ais.

Beidh línte tríd an mbunphointe gan téarma neamhspleách ar bith, m. sh. x 5 2y.

Pointe trasnaithe dhá líne

Faightear pointe trasnaithe dhá líne ach a gcothromóidí comhuaineachaa réiteach.

Achar triantáin

Is í seo an fhoirmle le haghaidh achar triantáin a bhfuil na reanna (0, 0), (x1, y1)agus (x2, y2) air:

Achar 5 1 _ 2 |x1 y2 � x2 y1|.

78

��sonraí uimhriúil scoite leanúnach sonraí catagóireacha

sonraí oird aonathráideach dé-athráideach sonraí príomhúla

sonraí tánaisteacha suirbhé turgnamh bileog bhailithe sonraí

ceistneoir freagróir laofacht daonra sampla randamach simplí

Réamhrá Is féidir na cairteacha agus na léaráidí thíos a fheiceáil go rialta sna nuachtáin, in irisí agusar an teilifís.

Bíonn siad ag iarraidh fíricí, figiúirí agus eolas a chur i láthair ar bhealach a mbeadh sé éascaiad a thuiscint. Sonraí a thugtar de ghnáth ar an eolas a bhailítear. An staitistic (nó anstaidreamh) a thugtar ar an mbrainse sin den mhatamaitic a dhéileálann le sonraí a bhailiú,a chur i láthair agus a anailísiú.

Baineann an staitistic le:

> sonraí a bhailiú agus a thaifeadadh

> sonraí a shórtáil agus a chur in eagar

> sonraí a chur i láthair i gcairteacha agus i léaráidí

> ríomha a dhéanamh agus meán staitistiúil oiriúnach a roghnú

> brí agus tátail a bhaint as na torthaí.

Sonraí a Bhailiú agusSonraí a Bhailiú agusSonraí a Bhailiú agusSonraí a Bhailiú agusSonraí a Bhailiú agusSonraí a Bhailiú agusSonraí a Bhailiú agusSonraí a Bhailiú agusSampláil Sampláil Sampláil Sampláil Sampláil Sampláil Sampláil Sampláil

� ��

�

4

79

Sa chaibidil seo tugtar blaiseadh de na cineálacha difriúla sonraí agus pléitear cuid de namodhanna a úsáidtear chun sonraí a bhailiú.

Mír 4.1 Cineálacha sonraí Féachaimis ar na ceisteanna seo a leanas:

> ‘Cén mhéid bróige is coitianta atá daltaí an ranga seo?’

> ‘Cé mhéad carr atá sa charrchlós?’

> ‘Cén fad ama a ghlacann sé ar ghrúpa daoine crosfhocal a chríochnú?’

Ní mór dúinn comhaireamh nó tomhas a dhéanamh chun na ceisteanna sin a fhreagairt.

Uimhir a bheidh mar fhreagra ar na ceisteanna sin ar fad, m.sh.

méid bróige 40; 134 carr; 26 nóiméad.

Sonraí uimhriúla a thugtar ar na sonraí sin ar féidir iad a chomhaireamh nó a thomhas mar iséard a bhíonn sa fhreagra ná uimhir. Is féidir le sonraí uimhriúla a bheith scoite nó leanúnach.

Sonraí scoite

Sonraí scoite a thugtar ar na sonraí sina bhíonn teoranta do luachanna faoi leith.

Seo a leanas roinnt samplaí deshonraí scoite: > Líon na gcúl a scóráil foirne

peile ar an Satharn> Líon na mbinsí i seomraí

ranga na scoile > Na marcanna a baineadh amach

i scrúdú.

Sonraí leanúnacha

Déantar sonraí leanúnacha a thomhasar scála éigin agus is féidir luach ar bithón scála sin a bheith acu.

Seo a leanas roinnt samplaí de shonraí leanúnacha:> Airde na ndaltaí sa rang > Luas na gcarranna a théann thar

áit faoi leith ar bhóthar > An t-am a ghlacann sé ar dhaoine

rás 100 méadar a rith

Sampla 1

I gcás gach ceann de na cineálacha sonraí seo a leanas, scríobh síos cé acuscoite nó leanúnach atá sé.

(i) líon na mbonn airgid atá i do phóca agat (ii) líon na dticéad a díoladh le haghaidh ceolchoirme (iii) an t-am a ghlac sé míreanna mearaí a chur le chéile (iv) meáchain na ndaltaí sa rang (v) méideanna gúnaí.

(i) scoite (ii) scoite (iii) leanúnach

(iv) leanúnach (v) scoite

80

Cleachtadh 4.1

1. Luaigh an sonraí scoite nó sonraí leanúnacha atá sna samplaí seo a leanas:

(i) Líon na seomraí i ngach teach ar shráid faoi leith

(ii) Líon na ndlúthdhioscaí a díoladh

(iii) Meáchain na n-uibheacha i mbosca

(iv) Méideanna bróige

(v) Líon na gciliméadar a taistealaíodh ar lítear amháin peitril.

2. Tógann sé 22 nóiméad ar Amy fadhb mhatamaitice a réiteach.

Luaigh an athróg scoite nó athróg leanúnach atásna 22 nóiméad sin? Mínigh do fhreagra.

3. Comhaireann meicneoir líon na n-uirlisí atá

sa bhosca aige.

Luaigh an sonraí scoite nó sonraí leanúnacha atá i gceist. Mínigh do fhreagra.

4. Tá Derek ag féachaint go géar ar charr athdhíolta. Tá spéis aige sna nithe seo a leanas:

(i) líon na ndoras

(ii) líon na gcriosanna sábhála

(iii) líon na gciliméadar atá taistealta ag an gcarr.

Luaigh an athróga scoite nó athróga leanúnacha atá sna trí shampla sin.

5. Rinne Sonia cuntas den fhad ama a ghlac sé uirthi rás trastíre a rithmar aon leis an rásuimhir ar a foléine.

Luaigh an athróga scoite nó athróga leanúnacha atá sa dá athróg sin.

6. I gcás gach ceann de na cineálacha sonraí seo a leanas, scríobh síos cé acu scoite nó leanúnach atá sé.

(i) Líon na mbonn airgid a bhailíonn ceoltóir sráide.

(ii) Fad bóthair.

(iii) Méideanna léinte.

(iv) An teocht i lár an lae do gach lá i mí Iúil.

(v) Na marcanna a bhronn moltóirí i gcomórtas.

(vi) An t-achar atá i bpáirc.

(vii) Líon an gcnaipí ar roinnt léinte.

7. Deir Emma go bhfuil sí 16 bliana d'aois.

Mínigh an chúis ar athróg leanúnach é an freagra sin cé go mbeadh an chuma airgur athróg scoite atá ann.

Tugtar athróg ar rud a dhéantar

a thomhas nó a fhaire.

Teochtaí Lár an Lae d’Iúil

19

22

24

25

IÚIL 2011

17

20

23

23

25

16

22

24

23

24

18

22

23

24

25

18

21

23

25

18

21

23

23

17

22

24

23

DOM LUA MÁI CÉA DÉA AOI SAT

7

14

21

28

1

8

15

22

29

2

9

16

23

30

3

10

17

24

31

4

11

18

25

5

12

19

26

6

13

20

27

81

Mír 4.2 Sonraí catagóireacha Má chuirtear an cheist 'Cén dath atá ar do charr?', ní luach uimhriúil a bheidh sa fhreagra. Ina ionad sin, beidh sé i ngrúpa nó i gcatagóir cosúil le gorm, dearg, dubh, bán, …

Sonraí catagóireacha a thugtar ar shonraí a bhaineann le grúpa nó le catagóir.

Seo thíos roinnt samplaí de shonraí catagóireacha:

> inscne (fear / bean)

> an tír inar rugadh duine (Éire, an Fhrainc, an Spáinn, an Nigéir, …)

> an spórt is fearr le duine (sacar, iomáint, leadóg, cispheil, …)

Sonraí oird a thugtar ar shonraí catagóireacha a mbaineann ord leis na catagóirí, cosúil leis an gcéad áit, an dara háit, an tríú háit, srl.

Is samplaí eile de shonraí oird iad:

> cineálacha tí (1 seomra leapa, 2 sheomra leapa, 3 sheomra leapa)

> a mhinice a théann daoine chuig cluichí peile (ní théann ar chor ar bith, uaireanta, go han-mhinic)

> scálaí tuairimíochta (easaontaím go mór, easaontaím, is cuma liom eatarthu, aontaím, aontaím go mór).

Sonraí aonathráideacha

Nuair a bhailítear píosa amháin eolais, mar shampla, ó gach ball de ghrúpadaoine, sonraí aonathráideacha a thugtar ar na sonraí a bhailítear.

Is iad seo a leanas samplaí de shonraí aonathráideacha:

> dath na súl

> fad slí ón scoil

> airde i gceintiméadair.

Sonraí dé-athráideacha

Sonraí péireáilte nó sonraí dé-athráideacha a thugtar ar shonraí ina mbíonn dhá

phíosa eolais cosúil le hairde agus meáchan duine.

I measc samplaí de shonraí dé-athráideacha tá:

> líon na n-uaireanta cloig staidéir sa tseachtain agus na marcanna a baineadh amach i scrúdú

> an aois atá ag carr agus an praghas atá uirthi

> méideanna na n-inneall i gcarranna agus líon na gciliméadar a taistealaíodh ar lítearamháin peitril.

Is sampla de shonraí catagóireacha dé-athráideacha iad dath gruaige agus inscne.

Is sampla de shonraí scoite dé-athráideacha iad líon na seomraí i dteach agus líon na leanaíi dteach.

0 cm102030405060708090100110120130140150160

82

Sampla 1

I gcás gach ceann de na tacair sonraí seo a leanas, scríobh síos an sonraí uimhriúlanó sonraí catagóireacha atá i gceist.

(i) méideanna na mbróg a díoladh i siopa (ii) dathanna na mbróg a díoladh i siopa (iii) na hábhair a bhí ar fáil do dhaltaí na hArdteistiméireachta (iv) na marcanna a bhronn moltóirí i gcomórtas díospóireachta (v) na cineálacha bairr a fhástar ar fheirm (vi) achar an halla spóirt.

(i) uimhriúil (ii) catagóireach (iii) catagóireach

(iv) uimhriúil (v) catagóireach (vi) uimhriúil.

Cleachtadh 4.2

1. Luaigh an sonraí uimhriúla nó sonraí catagóireacha atá sna samplaí seo a leanas: (i) Líon na rothar a dhíol siopa faoi leith i rith na seachtaine (ii) Dathanna na gcarranna a dhíol garáiste an mhí seo caite (iii) Líon na gcapall sna sé rás lá rásaíochta capall (iv) An spórt is fearr le gach dalta i scoil faoi leith.

2. Cheannaigh Imelda gúna nua. Scríobh sí síos (i) dath an ghúna (ii) líon na gcnaipí ar an ngúna (iii) fad an ghúna.

I gcás gach ceann de na cineálacha sonraí seo a leanas, scríobh síos an sonraí uimhriúlanó sonraí catagóireacha atá i gceist. Cé acu de na trí cinn acu sin ar sonraí scoite iad?

3. Luaigh an sonraí péireáilte atá sna samplaí seo a leanas: (i) Dathanna na léinte atá ar díol ar sheastán (ii) Fuilghrúpa agus airde grúpa daltaí (iii) Líon na ndeartháireacha atá ag gach dalta sa rang, agus aois na ndeartháireacha sin. (iv) Aois na ndaoine ar fad a bhfuil cónaí orthu ar an tsráid chéanna liom féin.

4. Líon na mbinsí i seomra ranga agus líon na leanaí sa rang. Is sampla é seo de shonraí scoite péireáilte. Scríobh síos dhá shampla eile den chineál seo sonraí.

5. An méid plúir agus líon na n-uibheacha a bhíonn de dhíth chun císte a dhéanamh.

(i) Mínigh an chúis gur sonraí péireáilte atá i gceist anseo. (ii) Cén chuid de na sonraí sin atá scoite? (iii) Cén chuid de na sonraí sin atá leanúnach?

83

6. Cuireadh gach imreoir sacair a imríonn sa phríomhroinn i dtír faoi leith san Eoraipi gcatagóirí, bunaithe ar aois na n-imreoirí agus an tír inar rugadh iad. Cóipeáil agus críochnaigh an abairt seo a leanas: Is sonraí péireáilte iad seo; sonraí ……… atá sa chéad chuid agus sonraí ……… atá sadara cuid.

7. Breacann dochtúir síos eolas faoina cuid othar. Leagtar amach thíos na hathróga a úsáideann sí: (i) an dath atá ar shúile an othair (ii) airde agus meáchan an othair (iii) méid bróige an othair (iv) fuilghrúpa an othair. Luaigh an bhfuil gach athróg (a) catagóireach (b) uimhriúil.Cé acu de na ceithre chineál sonraí ar sonraí scoite iad? Déan cur síos iomlán ar an gcineál sonraí atá tugtha i gcuid (ii).

8. I gcás gach ceann de na ráitis seo a leanas, cé acu fíor nó bréagach atá sé? Tabhair cúis le do fhreagra i ngach cás. (i) Sonraí scoite atá i líon an bpócaí atá ar sheaicéad faoi leith. (ii) Sonraí catagóireacha atá sna cineálacha crainn atá i bhforaois áirithe. (iii) Is sonraí uimhriúla iad na tíortha a roghnaíonn daoine agus iad ag dul ar saoire. (iv) Is sonraí catagóireacha iad líon na seomraí leapa i ngach teach ar an tsráid ar a

bhfuil cónaí orm. (v) Is sonraí dé-athráideacha iad an aois atá ag crann agus airde an chrainn sin. (vi) Is sonraí catagóireacha iad an mhí a rugadh na daltaí sa rang. (vii) Is sonraí dé-athráideacha agus scoite iad líon na gcluichí a imríodh agus líon

na gcúl a scóráladh. (viii) Is sonraí dé-athráideacha agus leanúnacha iad meáchain na gcapall i rás agus an

t-am a ghlac sé ar na capaill an rás a rith.

9. Is minic a chuirtear carranna sna catagóirí seo a leanas: carranna beaga, carrannaatá go maith ar bhreosla, carranna do theaghlaigh, carranna gnó, carranna sócha. Seo sampla de shonraí oird. Tabhair trí shampla eile de shonraí oird.

Mír 4.3 Sonraí a bhailiú Déantar sonraí a bhailiú ar go leor cúiseanna agus ó go leor foinsí.

Déanann comhlachtaí taighde margaidh le fáil amach cén fáth a dtaitníonn táirgí le custaiméiríagus cén fáth nach dtaitníonn, agus le fáil amach cibé acu a thaitneodh táirgí nua leo nónach dtaitneodh. Déanann an rialtas daonáireamh ar gach duine sa tír gach cúig bliana.Baineann lucht rialtais áitiúil, údaráis oideachais agus eagraíochtaí eile úsáid as an eolassin ar mhaithe le pleanáil amach anseo.

Is féidir sonraí a bhailiú le suirbhé, le turgnamh nó le hagallaimh agus ceistneoirí. Sula mbailítear sonraí, ní mór aidhm shoiléir a bheith ag duine.

Ní mór cinneadh a dhéanamh faoin gcineál sonraí atá le bailiú agus faoin modh is oiriúnaíagus is éifeachtaí chun na sonraí sin a bhailiú.

84

Is féidir na sonraí a bhailítear a roinnt ina dhá gcatagóir leathana, is iad sin, sonraí príomhúla

agus sonraí tánaisteacha.

Sonraí príomhúla

Sonraí príomhúla a thugtar ar shonraí a bhailíonn eagraíocht nó duine atá chun na sonraí sina úsáid.

Bailítear sonraí príomhúla ar na bealaí seo a leanas de ghnáth:

> baintear úsáid as ceistneoir

> déantar turgnamh

> déantar fiosrúcháin

> bítear ag faire agus ag breacadh síos torthaí.

Sonraí tánaisteacha

Sonraí tánaisteacha a thugtar ar shonraí a bhíonn ar fáil roimhe seo nó a bhailíonnduine eile ar chúis éigin eile.

Bailítear sonraí tánaisteacha ar na bealaí seo a leanas de ghnáth:

> ón idirlíon

> ó staitisticí foilsithe agus ó bhunachair shonraí

> ó tháblaí agus ó chairteacha i nuachtáin agus in irisí.

Tugtar anseo thíos na buntáistí agus na míbhuntáistí a bhaineann leis an dá chineál sonraí sin.

Sonraí Buntáistí Míbhuntáistí

Sonraí

príomhúla> Is féidir an t-eolas a bhíonn

uait go díreach a bhailiú > Fios agat conas a bailíodh é> Fios agat cé uaidh

ar bailíodh é

> Costasach > Glacann sé am

Sonraí

tánaisteacha

> Saor le fáil > Éasca le fáil

> Ní fios conas a bailíodh é > B’fhéidir go bhfuil sé as dáta > B’fhéidir nach é sin a theastaíonn

Suirbhéanna

Bíonn suirbhéanna úsáideach chun sonraí a d'fhéadfadh a bheith pearsanta a bhailiú.

Is iad na príomhbhealaí chun suirbhé a dhéanamh ná:

> suirbhéanna tríd an bpost lena gcuirtear ceisteanna ar dhaoine

> agallaimh phearsanta ina gcuirtear ceisteanna ar dhaoine; baintear úsáid as an gcineálseo suirbhé go minic do thaighde margaidh

> suirbhéanna ar an nguthán; is ar an nguthán a dhéantar an t-agallamh sa chás seo

> faire, lena mbítear ag faire ar iompraíocht nó ar eolas

85

Modh suirbhéireachta Buntáistí Míbhuntáistí

Faire Córasach agus meicniúil Baol ann go n-athródh na torthaí

Agallamh pearsanta agussuirbhé ar an nguthán

Cuirtear go leor ceisteanna Ráta ard freagartha

Costasach Seans go mbeadh tioncharag an agallóir ar na freagraí

Suirbhé tríd an bpost Ní bhaineann costas ró-ard leis. Is féidir méid mórsonraí a bhailiú

Ní féidir ach cineálachaáirithe sonraí a bhailiú Ráta íseal freagartha

Sampla 1

Tá fear gnó ag cuimhneamh ar ionad áineasa a thógáil i lár an bhaile. Cén modh bailithe sonraí príomhúla ba chóir dó a úsáid le cuidiú leis cinneadh adhéanamh faoin ionad áineasa a thógáil i lár an bhaile?

D’fhéadfaí agallaimh a dhéanamh le daoine nó suirbhé tríd an bpost a dhéanamh chun sonraí a bhailiú. Ba chóir an cheist ‘An mbainfeá úsáid as ionad áineasa dámbeadh fáil agat air?’ a chur san áireamh i modh ar bith.

Turgnaimh

Bíonn turgnaimh úsáideach chun sonraí eolaíocha a bhailiú. Déanann comhlachtaí drugaí turgnaimh féachaint an bhfuil leas le baint as drugaí nua nó an mbaineann fo-iarmhairtí leo.

Nuair a dhéanann tú turgnamh is féidir leat bileog bhailithe sonraí a úsáid chun na torthaí a thaifeadadh.

Taispeánann an léaráid seo a leanas an turgnamh a rinne Derek le fáil amach an bhfuil dísle féaráilte nó nach bhfuil:

Sampla 2

Tá dísle séthaobhach ag Derek. Caitheann sé in airde san aer 60 babhta éagus déanann sé cuntas de na torthaí arbhileog bhailithe sonraí.

Tá Derek 'ag súil leis' go mbeidh gach uimhiratá ar an dísle le fáil 10 n-uaire aige. Is dóigh leis go bhfuil an dísle féaráilte margo bhfuil gach ceann de na minicíochtaígar go maith do 10.

Scór Cuntas Minicíocht

1 9

2 11

3 12

4 9

5 10

6 9

86

Cleachtadh 4.3

1. Scríobh síos an sonraí príomhúla nó sonraí tánaisteacha atá sna samplaí seo a leanas:

(i) Chomhair Alan líon na gcarranna dearga a chuaigh thar gheata na scoile.

(ii) Rinne Léan scrúdú ar na taifid in ospidéal máithreachais féachaint cé mhéadleanbh a rugadh ann gach lá i mí na Nollag.

(iii) Chaith Robbie dísle 100 babhta agus bhreac sé síos na torthaí féachaint an raibhan dísle féaráilte.

(iv) Bhain Niamh úsáid as an idirlíon le fáil amach cé mhéad bonn óir a bhuaigh gachtír a bhí ag glacadh páirte sna cluichí Oilimpeacha i mBéising.

2. Ba mhian le Roy agus le Damien a thuar cé a bhuafaidh an tsraith sa sacar an bhliainseo chugainn. Féachann Roy ar na torthaí le 5 bliana anuas. Féachann Damien ar na torthaí do na 5 bliana roimhe sin. (i) Cén cineál sonraí atá siad a úsáid? (ii) Cén duine acu a mbeidh na sonraí is iontaofa aige dar leat agus cén fáth?

3. Ba mhian le comhlacht déanta milseán barra seacláide nua a dhéanamh. Ar cheart dóibh sonraí príomhúla nó sonraí tánaisteacha a bhailiú?

Tabhair cúis le do fhreagra.

4. Ní mór do chomhlacht dearthóireachta iris nua a chur le chéile agus a chur ar anmargadh, iris a bheadh dírithe ar mhná óga.

(i) Mínigh conas is féidir leo úsáid a bhaint as sonraí príomhúla agus as sonraí tánaisteacha, agus cén fáth.

(ii) Luaigh modh amháin chun sonraí a bhailiú.

5. Rinne gníomhaireacht de chuid an rialtais suirbhé féachaint cén céatadán de litreachaa bhain an ceann scríbe amach an lá tar éis a gcuir sa phost. Rinneadh suirbhé ar dheichngnólacht i lár chathair Bhaile Átha Cliath.

(i) An dóigh leat go mbeadh torthaí an tsuirbhé seo díreach cosúil le torthaí an tsuirbhé chéanna dá ndéanfaí i gContae Chiarraí é?

(ii) An sonraí príomhúla nó sonraí tánaisteacha a bheadh á mbailiú?

Mír 4.4 Ceistneoirí Is é a bhíonn i gceistneoir ná ceisteanna a bhíonn leagtha amach chun sonraí a fháil ó dhaoine.

Freagróirí a thugtar ar dhaoine a fhreagraíonn ceistneoirí.

Tá dhá phríomhbhealach ann chun ceisteanna a chur.

> Cuireann agallóir na ceisteanna agus líonann sé nó sí isteach an ceistneoir.

> Tugtar ceistneoir do dhaoine agus iarrtar orthu na freagraí a líonadh isteach.

87

Agus ceisteanna á scríobh agat do cheistneoir:

> bí soiléir faoina dteastaíonn uait a fháil amach agus faoi na sonraí a bheidh uait

> cuir ceisteanna gairide simplí

> tosaigh amach le ceisteanna simplí le spreagadh a thabhairt don duine atá ag tabhairt na bhfreagraí

> cuir boscaí ar fáil do na freagraí nuair is féidir: Aontaím Ní aontaím

> seachain ceisteanna a thugann ar dhaoine freagra faoi leith a thabhairt cosúil le

‘Nach n-aontófá go mbíonn i bhfad an iomarca spóirt ar an teilifís?’

nó ‘An gceapann tú go n-íoctar an iomad airgid le himreoirí gairmiúla sacair?’

> seachain ceisteanna pearsanta, mar shampla ceisteanna a iarrann ainm, aois chruinn nó meáchan.

Ceisteanna ilfhreagraíBíonn rogha freagraí an-úsáideach agus freagra á thabhairt ar an gceist, ‘Cén aois thú?’

Mar shampla:

Cuir tic le d’aois sa bhosca thíos:

Faoi 18 mbliana 18–30 31–50 Os cionn 50

Tabhair faoi deara nach bhfuil aon bhearnaí sna haoisghrúpaí agus nach bhfuil ar gachduine ach freagra amháin a roghnú.

Scálaí tuairimíochta

Má bhaineann tú úsáid as scála tuairimíochta, is iondúil go mbíonnna freagraí grúpáilte i lár an scála mar is minic nach maith ledaoine freagraí atá ródhearfach nó ródhiúltach a thabhairt.

Bíonn an chuma seo ar scála tuairimíochta de ghnáth:

Ní aontaím Ní aontaím Níl aon Aontaím Aontaím beag ná mór tuairim agam go mór

Iarrtar ar fhreagróirí, uaireanta, pointe a mharcáil ar scála a bhíonn cosúil leis an gceann seo thíos.

Aontaím Ní aontaím

Arís eile, bíonn claonadh ann pointe sa lár a roghnú.

Bealach amháin lenachinntiú nach mbíonntorthaí cruinnithe thartar an lár is ea líoncothrom roghanna athabhairt ionas nachbhfuil aon rogha salár ann.

88

Laofacht a sheachaint

Agus sonraí á mbailiú agat, ní mór duit a chinntiú go bhfuil an suirbhé nó an turgnamhcóir agus go seachnaíonn sé laofacht. Má bhíonn laofacht ann, tharlódh nach mbeadhna sonraí a bhailítear ionadaíoch.

Sna boscaí thíos tá ceisteanna ba chóir a sheachaint mar go bhfuil siad róscaoilte, róphearsanta, nó go bhféadfaidís dul i bhfeidhm ar an bhfreagra.

Cé chomh minic a imríonn tú leadóg?

Ó am go chéile Anois is arís Go minic

Ní hí an bhrí chéanna a bhaineanndaoine difriúla as na trí fhreagraó am go chéile, anois is arís agusgo minic.

Is maith le gnáthdhaoine dul ag snámh.

An maith leatsa dul ag snámh?

Is maith Ní maith

Is ceist í seo a thugann leid faoin bhfreagra agusdá bhrí sin d'fhéadfadh an toradh a bheith laofa. Níor chóir an chéad abairt a bheith ann in aon chor.

Ar ghoid tú earraí ón ollmhargadh riamh?

Ghoid Níor ghoid

Is beag duine a thabharfaidhfreagra macánta ar an gceistsin má tá gadaíocht déanta acu.

An aontaíonn tú go bhfuil an tAontas Eorpachmór go leor faoin am seo?

Aontaím Ní aontaím

Tugann an cheist seo le fiosgurb é ‘aontaím’ an freagra ceart. Tá sí laofa.

Nuair a thugann tú faoi shuirbhé nó turgnamhmoltar i gcónaí tabhairt faoi shuirbhé píolótach

ar dtús. Is éard is suirbhé píolótach ann ná suirbhéa dhéantar ar scála an-bheag le cinntiú go mbaileofaran t-eolas atá ag teastáil bunaithe ar leagan amach agus ar cheisteanna an tsuirbhé. Ba chóir go léireodh sé deacrachtaí a bhaineann le foclaíocht na gceisteanna agus leis na freagraí.

Cleachtadh 4.4

1. Seo thíos liosta ceisteanna agus ráiteas. I gcás gach ceann díobh, scríobh síos an litir a fhreagraíonn do stíl an fhreagra a d’úsáidfeá.

(a) Tá Níl Níl a fhios agam

(b) Aontaím Ní aontaím Níl a fhios agam

(c) 0 1 2 3 nó breis

(i) Cé mhéad leanbh atá i do theaghlach? (ii) An ball den Aontas Eorpach í an Bhulgáir? (iii) Déanann tobac dochar do do shláinte. (iv) Ba chóir do gach duine aclaíocht a dhéanamh ar feadh 30 nóiméad ar a laghad gach lá.

Seachain ceisteanna pearsanta

cosúil le: ‘An bhfuil oideachas

maith ort?’ nó ‘Cá bhfuil cónaí ort?’

89

2. Teastaíonn ó Shiobhán a fháil amach céard a cheapann daoine faoin bPáirtí Glas. Tá sí ag iarraidh ceann den dá cheist seo a leanas a roghnú don cheistneoir.

(i) An maith leatsa an Páirtí Glas?

Is maith Ní maith

(ii) An aontófá gurb é an Páirtí Glas an páirtí is fearr?

D’aontóinn Ní aontóinn

Cén cheist ba chóir di a úsáid? Mínigh do fhreagra.

3. Ba mhian le Jeaic a fháil amach céard a cheapann daoine faoi sheirbhís na

leabharlainne sa choláiste. Seo a leanas cuid den cheistneoir atá scríofa aige.

C1. Cén t-ainm iomlán atá ort? .................................................................

C2. Cé mhéad uair sa tseachtain a théann tú chuig an leabharlann?

Go minic Ó am go chéile Ní théim ann

(i) Cén fáth nár chóir dó C1 a chur?

(ii) Cad atá mícheart leis na roghanna a thugtar do C2?

4. Tá Terry ag iarraidh ceistneoir a scríobh faoi aoiseanna daoine. Tá an cheist seo á cur aici:

Cén aois thú? Óg Meánaosta Sean

(i) Cad atá mícheart leis an gceist agus leis na freagraí?

(ii) Athscríobh na ceisteanna agus freagraí ar bhealach níos fearr.

5. Teastaíonn ó Charal a fháil amach céard a cheapann daoine faoin HSE.

Seo a leanas cuid den cheistneoir atá scríofa aici.

C1. Cén dáta ar rugadh thú? .........................................................

C2. Nach n-aontófá go gcaitear fanacht rófhada d’obráidí?

D’aontóinn Ní aontóinn

C3. Cé chomh minic is a chuaigh tú chuig an dochtúir anuraidh?

níos lú ná 5 huaire 5–10 10 n-uaire nó níos mó

(i) Cén fáth nár chóir di C1 a chur?

(ii) Tabhair cúis nach bhfuil C2 oiriúnach.

(iii) (a) Mínigh cén fáth nach bhfuil an freagraí do C3 sásúil mar atá siad faoi láthair.

(b) Scríobh an cheist arís le go mbeadh sí níos oiriúnaí don cheistneoir.

90

6. Cé acu de na ceisteanna seo a leanas atá laofa dar leat? Scríobh síos litreacha na gceisteanna sin agus mínigh an fáth a bhfuil siad laofa.

A: An ndeachaigh tú chuig an bpictiúrlann le mí anuas?

B: Tá sé tábhachtach torthaí a ithe. An itheann tusa torthaí?

C: Cé mhéad uair an chloig a chaitheann tú ag féachaint ar an teilifís gach seachtain?

D: I bhfianaise go dtarlaíonn líon mór timpistí bóthair lasmuigh den scoil seo, archóir an luasteorainn a ísliú dar leat?

7. Abair cé acu atá an cheist ar dheis oiriúnachdo cheistneoir nó nach bhfuil.Mura bhfuil sí oiriúnach, abair cénfáth agus athscríobh an cheist lego mbeidh sí níos oiriúnaí.

8. Tá ceistneoir á chur le chéile ag Aingeal chun eolas a bhailiú faoi mheáchanna ndaoine atá sa scoil chéanna léi. Fiafraíonn sí díobh: Cén meáchan atá ionat? (i) Mínigh cén fáth nach ceist mhaith í sin. (ii) Scríobh síos ceist níos fearr agus bíodh roinnt boscaí freagartha ag gabháil léi.

9. Tabhair cúiseanna ar chóir ceisteanna A agus B thíos a athscríobh sula gcuirfí isteach i gceistneoir iad. Athscríobh gach ceann díobh mar a chuirfeá féin isteach i gceistneoir iad.

Ceist A: An bhfuil cónaí ort i gceantar lucht oibre nó i gceantar meánaicmeach? Ceist B: Tá an chuma ar an scéal go bhfuil ag éirí thar barr leis an ollmhargadh nua.

An aontaíonn tú leis seo?

10. Tá Stiofán ag déanamh suirbhé faoi fhoirne peile. Scríobhann sé ceist mar aon le boscaí freagartha: (i) Tabhair cúiseanna nár chóir do Stiofán

an cheist a chur mar sin.

(ii) Scríobh amach ceist do Stiofán a bheadh níos oiriúnaí.

11. Agus ceisteanna á gcur le chéile do shuirbhé faoi úsáid na leabharlainne, bhíothasag smaoineamh ar na ceisteanna seo a leanas. Mínigh cén fáth nach bhfuil gachceist díobh sásúil mar atá siad faoi láthair agus scríobh amach arís iad. (i) An bhfuil oideachas maith nó drochoideachas ort? (ii) Cé chomh minic a úsáideann tú an leabharlann? (iii) Cé na cineálacha leabhair a léann tú?

12. Is mian le comhlacht gutháin phóca suirbhé a dhéanamh. Ba mhian leo a fháil amach cad é dáileadh aois agus inscne na gcustaiméirí maraon lena mhinice agus a úsáideann siad an guthán póca. Tá sé i gceist ag an gcomhlacht úsáid a bhaint as ceistneoir. Scríobh síos trí cheist mar aon le freagraí a chuirfidh ar chumas an chomhlachtaan suirbhé a dhéanamh.

Cé mhéad airgead póca a fhaigheann tú?

beagán roinnt a lán

Cé chomh minic a fhéachann tú ar chluiche peile?

Riamh Uair sa tseachtain

Nuair is féidir liom

91

13. Agus suirbhé ar siúl ag comhlacht taighde margaíochta is mian leo a fháilamach ar chaith formhór na ndaoine saoire in Éirinn, in áit eile san Eoraipnó in áit eile ar domhan, anuraidh. Ba mhian leo a fháil amach freisin arfhan siad i lóistín féinfhreastail, in óstán nó an ndeachaigh siad ag campáil.

Déan amach dhá cheist a d’fhéadfaí a úsáid i gceistneoir chun an t-eolassin ar fad a fháil amach go héifeachtach.

14. Tá ar Niamh suirbhé a dhéanamh ar na poist pháirtaimseartha atá ag gach daltaatá 16 bliana d’aois sa scoil chéanna léi.

Caithfidh sí an t-eolas seo thíos a fháil amach:

> Cén céatadán de na daltaí 16 bliana d’aois sin a bhfuil post páirtaimseartha acu?

> An bhfuil post páirtaimseartha ag líon níos mó cailíní ná buachaillí?

Déan amach dhá cheist a d’fhéadfadh sí a chur sa cheistneoir.

15. Tá ceistneoir á chur le chéile ag Ian. Seo thíos dhá cheann de na ceisteanna atá sa cheistneoir sin. (a) An gcaitheann tú a lán ama ag brabhsáil ar an idirlíon? (b) Cén meáchan atá ionat?

(i) Cad atá mícheart leis an dá cheist sin? (ii) Athscríobh gach ceann díobh mar ba chóir d’Ian iad a chur sa cheistneoir.

16. Bhí Grace agus Gemma ag déanamh suirbhé faoin mbia a itheann daoine i gceaintínna scoile.

Bhí an cheist seo ag Grace: ’Cén bia a itheann tú?’

Dúirt Gemma nach raibh an cheist sin beacht go leor. Scríobh síos dhá bhealach chun an cheist sin a fheabhsú.

17. Déan amach ceistneoir ina bhfuil sé cheist le fáil amach cén saghas laethantasaoire a bhí ag daoine anuraidh.

18. Táthar ag déanamh suirbhé ar na nósanna léitheoireachta atá ag daoine.

Mol cúig cheist a d’fhéadfaí a chur sa cheistneoir.

Mír 4.5 Sampláil

Abair gur iarradh ort a fháil amach an bhfuil an abairt seo a leanas fíor:

’Tá buachaillí atá 14 bliana d’aois níos airde ná cailíní atá 14 bliana d’aois in Éirinn’,

an dtomhaiseann tú airde gach duine atá 14 bliana d’aois in Éirinn chun na torthaí do nabuachaillí agus do na cailíní a chur i gcomparáid lena chéile? Ní bheadh sé éasca a leithéida dhéanamh ós rud é go bhfuil thart ar 60,000 duine sa tír atá 14 bliana d’aois.

Sa staidéar seo, bainimid úsáid as an bhfocal daonra le cur síos a dhéanamh ar gachbuachaill agus cailín in Éirinn atá 14 bliana d’aois. Sa staitistic, is ionann an daonra agusgach duine nó gach rud a d’fhéadfaí a chur san áireamh san fhiosrú nó sa staidéar.

92

Nuair a bhíonn an daonra rómhór don staidéar, ní bhailímid eolas nó sonraí ach ó chuid éigin den daonra sin.

Sampla a thugtar air sin sa staitistic. Is é an cuspóir atá leis an sampla ná sonraí a bhailiú óchuid éigin den daonra agus úsáid a bhaint as chun teacht ar thátal faoin daonra ina iomláine.

Tá méid an tsampla tábhachtach. Má bhíonn sé róbheag tharlódh nach mbeadh na torthaíiontaofa. Má bhíonn sé rómhór, tharlódh go nglacfadh sé an iomarca ama na sonraí a bhailiúagus a anailísiú.

LaofachtTá an sampla a roghnaíonn tú don staidéar an-tábhachtach go deo. Mura roghnaítear ansampla i gceart, d’fhéadfadh na torthaí a bheith laofa. Má bhíonn laofacht i gceist, beidhna torthaí as alt agus ní thabharfaidh siad pictiúr soiléir duit ar an daonra ina iomláine.

D’fhéadfadh laofacht a bheith sa sampla ar na cúiseanna seo a leanas:

> Sampla a roghnú nach dtugann léiriú ceart ar an daonra

Sampla Tá Cara ag déanamh suirbhé faoi na tuairimí atá ag daoine faoin gcearrbhachas.Má sheasann sí lasmuigh de casino agus má chuireann sí ceisteanna ar dhaoineagus iad ag dul isteach agus amach, beidh na torthaí laofa ós rud é go mbíonnna daoine sin i mbun an chearrbhachais iad féin.

> Gan an daonra a shonrú mar is ceart

Sampla Ba mhian le príomhoide scoile a fháil amach cad a cheapann daltaí faoi éidíscoile. Cuireann sí ceist ar 10 dalta atá i rang na hArdteistiméireachta agusorthu sin amháin. D’fhéadfadh sé sin torthaí laofa a thabhairt ós rud é nachbhfuil tuairimí san áireamh ó dhaltaí atá níos óige (ó bhliain 1 go bliain 5).

> Ní fhreagraíonn daoine an suirbhé

A lán daoine a fhaigheann ceistneoir tríd an bpost, ní thugann siad aon fhreagra orthu.Na daoine sin a thugann freagra orthu, tharlódh nach léiriú cruinn iad ar an suirbhé atáthara dhéanamh.

> Freagraí nach bhfuil macánta

Sampla 1

Tá Conchúr ag déanamh suirbhé féachaint an maith le muintir an bhaile a bheithag féachaint ar spórt. Seasann sé lasmuigh de staidiam peile agus cuireann séceisteanna ar dhaoine agus iad ag dul isteach le féachaint ar chluiche. Scríobh dhá chúis nach sampla maith é sin.

(i) Daoine a théann ag féachaint ar chluichí peile, taitníonn spórt leo de ghnáth; dá bhrí sin d’fhéadfadh an sampla a bheith laofa.

(ii) Is mó fir ná mná a théann ag féachaint ar chluichí peile de ghnáth, agus dá bhrísin d’fhéadfadh an suirbhé a bheith laofa ó thaobh inscne de.

93

Sampla randamach simplí

Bealach amháin chun an laofacht a sheachaint i suirbhé is ea sampla randamach simplí

(nó sampla randamach mar a thugtar air de ghnáth) a fháil.

I sampla randamach bíonn an seans céanna ag gach ball den daonra atá i gceist go roghnófaíé nó í. Ní mór samplaí randamacha a roghnú go cúramach.

Ar na bealaí ina bhféadfaí sampla randamach simplí a dhéanamh tá uimhir a thabhairt dogach duine sa daonra agus uimhreacha a roghnú go randamach don sampla ansin ar cheann

> na huimhreacha a chur isteach i hata agus an méid atá de dhíth don sampla a tharraingtamach as

> úsáid a bhaint as tábla uimhreacha randamacha

> úsáid a bhaint as gineadóir uimhreacha randamacha ar áireamhán nó ar ríomhaire

Sampla 2

Tá club peile ann a bhfuil 80 ball aige agus tá cúig thicéad do chluiche idirnáisiúnta agan gclub. Déan cur síos ar dhá mhodh lena bhféadfaí 5 bhall a roghnú go randamachchun na ticéid sin a bhronnadh orthu.

Modh 1 Tugtar uimhir do gach ball agus scríobhtar an uimhir sin ar phíosa páipéir. Cuirtear na píosaí páipéir isteach i mbosca, déantar iad a mheascadh agusroghnaítear cúig phíosa páipéir. Na baill sin a bhfuil ceann de na cúiguimhir acu, is iadsan a fhaigheann na ticéid.

Modh 2 Seo thíos blúire de thábla ina bhfuil uimhreacha randamacha. 526338 127642 463919 394821 563271265389 276153 584326 427534 307263

Ní mór uimhir dhá dhigit a thabhairt do gach duine den 80 ball. Tosaigh le 11 agus críochnaigh le 90. Ní mór dúinn cúig uimhir dhá dhigit a roghnú as na huimhreacharandamacha thuas. Ní mór do na huimhreacha sin a bheith idir 11agus 90 (agus an dá uimhir sin san áireamh). Má thosaímid ag túsna chéad líne agus má roghnaímid uimhreacha dhá dhigit, faighimid:

52, 63, 38, 12, 76.(Ná bac le huimhreacha atá níos mó ná 90 ná le huimhreacha a bhíonnann níos mó ná aon uair amháin.) Na baill sin a bhfuil ceann de na cúiguimhir acu, is iadsan a fhaigheann na ticéid.

Bíonn áireamháin leictreonacha an-úsáideach chun uimhreacha randamachaa thabhairt duit.

Más mian leat uimhreacha 3 dhigit a fháil, brúigh SHIFT , agus ansin brúigh Ran # .

Anois brúigh � agus déan neamhaird den phointe deachúlach.

Más é 0.107 an uimhir atá ar an scáileán, scríobh síos 107.

Brúigh � arís agus arís chun níos mó uimhreacha randamacha a fháil.

94

Cleachtadh 4.5

1. Teastaíonn ó Dhara a fháil amach conas a thaistealaíonn daoine chun na hoibre agusar ais gach lá. As measc na ngrúpaí seo a leanas, cén ceann acu is oiriúnaí chunceisteanna a chur orthu? A: Gach ceathrú duine ag stad an bhus. B: Scata daoine ag am lóin. C: Daoine atá ag teacht isteach déanach chun na hoibre.

2. Ba mhian le Jennifer a fháil amach an dteastaíonn ó dhaoine go gcaithfeadh coirpightréimhsí níos faide sa phríosún. As measc na ngrúpaí seo a leanas, cén ceann acu is oiriúnaí chun ceisteanna a chur orthu?A: Comhaltaí den Gharda Síochána. B: Daoine atá ag cluiche peile. C: Daoine a chaith tréimhse sa phríosún.

3. Tá Caitríona ag déanamh suirbhé féachaint cé chomh minic is a théann daoine chuigan bpictiúrlann agus cén córas taistil a úsáideann siad. Seasann sí lasmuigh de phictiúrlann agus cuireann sí ceisteanna ar dhaoine agus iadag dul isteach. Tabhair cúis a bhféadfadh an sampla seo a bheith laofa.

4. Ba mhian le hinnealtóir contae suirbhé tráchta a dhéanamh. Ba mhaith leis a fháil amach a ghnóthaí is atá bóthar faoi leith. Gach lá, comhaireann sé líon na gcarranna a théann thar phointe áirithe idir 2 p.m.agus 3 p.m. Baineann sé úsáid as an eolas sin chun tuairisc a scríobh. Mínigh cén fáth a bhféadfadh an sampla seo a bheith laofa.

5. Teastaíonn ó Amy a fháil amach a mhinice is a imríonn daoine spórt. Téann sí chuig siopa spóirt áitiúil agus cuireann sí ceist ar dhaoine atá ann. Mínigh cén fáth a bhféadfadh an sampla a bheith laofa.

6. Ba mhian le Trudy staidéar a dhéanamh ar nósanna siopadóireachta. Cuireann sí agallamh ar 50 bean ag an ollmhargadh áitiúil maidin Máirt áirithe. Tabhair trí chúis a bhféadfadh an sampla seo a bheith laofa.

7. Ba mhian le Máirín sampla 500 duine fásta a roghnú ón mbaile ina bhfuil cónaí uirthi. Tá sí ag cuimhneamh ar na modhanna seo a leanas chun an sampla a roghnú:

Modh 1: Daoine a roghnú agus iad ag déanamh siopadóireachta i lár an bhailemaidineacha Sathairn.

Modh 2: Ainmneacha a roghnú go randamach ó chlár na dtoghthóirí. Modh 3: Daoine a bhfuil cónaí orthu ar na sráideanna in aice lena teach féin a roghnú.

Cén modh díobh sin is fearr a thabharfaidh sampla nach bhfuil laofa? Tabhair cúis le do fhreagra.

8. Seo thíos blúire de thábla ina bhfuil uimhreacha randamacha. Bain úsáid as na huimhreacha seo chun sampla randamach simplí de chúigear aroghnú as daonra de 50 duine.

88715 59454 76218 59364 20641 57169 94386 27856 10856 35728

95

9. Taispeánann an chairt ar dheis inscneagus airde (i méadair) do 30 leanbh. (i) Ón daonra sin de 30 leanbh,

roghnaigh sampla randamachde 5 leanbh. Bain úsáid as antábla uimhreacha randamachathíos chun é sin a dhéanamh.

55 18 62 23

10 83 12 22

55 23 52 11

27 19 29 43

93 86 46 14

Bain úsáid as an gcéad líne ardtús. Scríobh síos airde agusinscne gach linbh sa samplaroghnaithe sin.

(ii) Roghnaigh an dara sampla de 5 leanbh. Bain úsáid as an tábla uimhreacha randamacha céanna, ach tosaigh leis an dara líne. Scríobh síos airde agus inscne gach linbh sa sampla roghnaithe sin.

10. Úsáid an eochair Ran # ar an áireamhán chun sampla randamach eile de 5 leanbh a

roghnú ón gcairt atá i gceist 9 thuas.

11. Ba mhian le Pól sampla 100 ball a roghnú ón gclub spóirt. Scríobhann sé síos trí mhodh a d’fhéadfadh sé a úsáid chun an sampla a fháil. (i) Roghnaíonn sé ainmneacha go randamach ó liosta iomlán na mball atá i mbunachar

sonraí an chlub. (ii) Roghnaíonn sé na baill sin a imríonn ar fhoirne peile an chlub. (iii) Cuireann sé ceisteanna ar dhaoine a úsáideann an club maidin Luain.

I gcás gach ceann de mhodhanna Phóil, luaigh an bhféadfadh an sampla a bheithlaofa nó nach bhféadfadh agus tabhair míniú le do fhreagra.

12. Déan cur síos ar thrí bhealach chun sampla randamach simplí de 10 daltaa roghnú i scoil ina bhfuil 100 dalta.

13. Tá 1000 dalta sa scoil chéanna le hAiléin. Roghnaíonn Ailéin sampla de 50 dalta go randamach agus iarrann sé orthu an suirbhéa líonadh. Faigheann sé amach go léann 15 dhalta sa sampla irisí grinn. Déan meastachán de líon na ndaltaí sa scoil ar fad a léann irisí grinn.

Leanbh Airde Inscne Leanbh Airde Inscne

01 1.43 B 16 1.25 C

02 0.98 C 17 0.89 C

03 1.24 B 18 1.62 B

04 0.87 C 19 1.20 C

05 1.10 C 20 1.53 B

06 1.15 C 21 1.60 B

07 1.29 B 22 1.23 C

08 0.94 B 23 1.44 B

09 1.00 B 24 1.30 C

10 1.21 C 25 1.00 C

11 1.53 C 26 1.54 C

12 1.43 B 27 1.12 B

13 1.27 B 28 0.98 C

14 1.24 B 29 1.06 B

15 1.42 C 30 1.25 C

96

Cuir triail ort féin 4 1. Luaigh an sonraí uimhriúla nó sonraí catagóireacha atá sna samplaí seo a leanas:

(i) Imlíne na gcrann i gcoill. (ii) Na cineálacha torthaí a fhástar ar fheirm. (iii) An fhoireann rugbaí is fearr le múinteoirí na scoile. (iv) An fad slí idir an baile agus an scoil. (v) An tír inar rugadh daoine. (vi) An t-am a ghlacann sé ar dhaoine rás trastíre a rith. (vii) Na brandaí taos fiacla atá ar díol in ollmhargaí.

2. Luaigh an bhfuil na sonraí seo a leanas scoite nó leanúnach. (i) Líon na bhfuinneog i dtithe. (ii) Líon na ndaltaí a chaitheann spéaclaí. (iii) Meáchain na sútha talún i gciseán. (iv) An t-am a ghlacann sé míreanna mearaí a chur le chéile. (v) Líon na lasán i mbosca lasán. (vi) Fad an ábhair a úsáideadh chun cuirtíní a dhéanamh.

3. Luaigh an sonraí príomhúla nó sonraí tánaisteacha atá sna samplaí seo a leanas: (i) Comhaireamh ar líon na gcarranna salúin a théann thar gheata na scoile. (ii) Féachaint ar thaifid le fáil amach cé mhéad duine a ghabh trí Aerfort na Sionainne

gach lá i mí an Mheithimh in aon bhliain amháin. (iii) Glaoch a chur ar ollmhargaí agus ar shiopaí áitiúla le fáil amach cé mhéad a

íocann siad san uair le hoibrithe páirtaimseartha. (iv) An t-idirlíon a sheiceáil féachaint cé mhéad bonn a bhuaigh gach tír

i gCluichí Oilimpeacha Vancouver. (v) Féachaint ar bhróisiúir do thurasóirí le fáil amach cén mheánteocht a bhí

i gcathracha áirithe i lár an lae i rith mhí an Mheithimh.

4. Luaigh an sonraí aonathráideacha nó sonraí dé-athráideacha atá sna samplaí seo a leanas: (i) méid na léinte a chaitheann fir (ii) líon na n-uaireanta cloig staidéir sa tseachtain agus na marcanna a baineadh

amach i scrúdú Eolaíochta (iii) an teocht i lár an lae agus líon na n-uachtar reoite a díoladh (iv) an méid airgead póca sa tseachtain a fhaigheann daltaí do rangasa (v) an meáchan atá i mbeart agus an méid a chosnódh sé é a chur sa phost.

5. I gcás gach ceann de na ceisteanna nó naráitis seo a leanas, cad é an bealach is fearrchun na sonraí a bhailiú? Roghnaigh.

(i) Cén spórt ar fearr le daltaí i do rangsa féachaint air? (ii) Cé chomh minic a théann daoine chuig an bpictiúrlann?

Cé na laethanta a théann siad ann? (iii) Cén céatadán de thimpistí gluaisteáin in Éirinn a tharlaíonn idir 6 p.m. agus

meán oíche? (iv) Teastaíonn ó Eóin a sheiceáil an bhfuil dísle laofa.

A ceistneoir nó bileog bhailithe sonraíB turgnamh C foinse eile

97

(v) Ba mhaith le Sorcha a fháil amach cé mhéad dalta sa rang atá in ann 100 méadara rith níos tapúla ná 15 shoicind.

(vi) Cé mhéad duine a bhfuil rún acu vóta a chaitheamh sa toghchán? (vii) Líon na n-uaireanta a fhaigheann duine scór dúbailte i gcluiche saighead. (viii) An méid a cheapann daoine faoin tseirbhís áitiúil bus? (ix) Na háiteanna a dtéann daoine ar laethanta saoire an tsamhraidh. (x) Cén céatadán de thimpistí a tharlaíonn de bharr tiománaithe a bhíonn ar meisce?

6. Scríobhann Pam ceistneoir le haghaidh suirbhé chun tuairim daoine a fháil maidirle stop a chur le carranna dul isteach i lár an bhaile. (i) Cén dá cheann de na pointí seo a leanas atá tábhachtach agus cinneadh á

dhéanamh aici faoi na daoine ar chóir di ceist a chur orthu? A Ceist a chur ar dhaoine a bhfuil cuma chairdiúil orthu. B Ceist a chur ar dhaoine ag amanna difriúla an lae. C Ceist a chur ar roinnt fear agus ar roinnt ban. D Ceist a chur ar na chéad daoine a chastar uirthi.

(ii) Cén dá cheann de na pointí seo a leanas atá tábhachtach agus an ceistneoirá scríobh aici? A Ceisteanna béasacha a scríobh. B A oiread ceisteanna a scríobh agus is féidir léi cuimhneamh orthu. C Ceisteanna a scríobh do thiománaithe gluaisteáin amháin. D Ceisteanna a scríobh nach bhfuil freagraí fada ag teastáil lena bhfreagairt.

7. Tá Cáitín ag déanamh suirbhé ar na nósanna féachana teilifíse atá ag daoine. Tá dhá cheist ar intinn aici don cheistneoir.

Ceist 1. An gceapann tú gur duine éirimiúil thú?

Ceist 2. Cén uair a fhéachann tú ar an teilifís? (i) Tabhair cúis nach bhfuil gach ceann de na ceisteanna sin oiriúnach. (ii) Athscríobh gach ceann de na ceisteanna sin le go bhféadfadh sí iad a chur sa cheistneoir.

8. Scríobh síos dhá cheist do cheistneoir a thástálfadh fírinne na ráiteas seo. A: Is maith leis an gcuid is mó de dhaoine siopadóireacht a dhéanamh in ollmhargadh

a bhfuil sé éasca páirceáil ann. B: Is mó am a chaitheann leanaí scoile ag féachaint ar an teilifís ná mar a chaitheann

a dtuismitheoirí.

9. Déantar an ráiteas seo ar chlár teilifísefaoi chúrsaí sláinte. (i) Tá 584 dalta i scoil. De réir an

chláir theilifíse sin, cé mhéad dena daltaí sin nach ndéanann aonaclaíocht lasmuigh den scoil?

(ii) ’Téim chuig an ionad aclaíochta tar éis scoile dhá uair sa tseachtain,’ arsa Clár. Teastaíonn uaithi suirbhé a dhéanamh féachaint cén aclaíocht a dhéananndaltaí eile lasmuigh den scoil. Scríobh síos dhá cheist ba chóir di a chur.

“Triúr as gach ochtar daltaí, ní dhéanann siad aonaclaíocht lasmuigh den scoil.”

98

10. Déan cur síos ar an mbealach ina roghnófá sampla randamach simplí de 20leanbh as bliainghrúpa ina bhfuil 100 dalta.

11. Ba mhian le múinteoir, atá freagrach as béilí scoile, tuairimí na ndaltaí a fháilfaoi na béilí atá ar fáil dóibh. Fanann sí in aice le daltaí agus iad ag fáil dinnéiragus cuireann sí ceist ar na chéad 50 dalta a théann thairsti. An dóigh leat go bhféadfadh an sampla a bheith laofa? Tabhair míniú le do fhreagra.

12. Ba mhian le duine atá ag obair do RTÉ a fháil amach cé mhéad duine atá ag féachaintar shraith nua atá ar an teilifís faoi láthair. Cuireann sí ceist ar 200 duine agusiad ag fágáil ollmhargaidh idir 10:00 agus 12:00 maidin Déardaoin. (i) An dóigh leat go bhféadfadh an sampla a bheith laofa? Tabhair míniú le do fhreagra. (ii) Mol bealach níos oiriúnaí chun sampla a roghnú.

13. Táthar ag déanamh suirbhé i scoil ina bhfuil an líon céanna buachaillí agus cailíní.I gcás gach ceann de na modhanna seo a leanas, abair an sampla randamach nósampla laofa a bheadh sna torthaí. Más dóigh leat go mbeadh na torthaí laofa, mínigh cén fáth.

A: Gach sloinne dar tús H a fháil ó liosta na scoile. B: 10 mbuachaill a roghnú as gach bliainghrúpa. C: Gach ainm a chur isteach i mbosca agus 50 ainm a bhaint amach gan féachaint

orthu. D: Ceist a chur ar an líon céanna buachaillí agus cailíní ó gach bliainghrúpa. E: Gach 20ú hainm a roghnú ó liosta na scoile atá leagtha amach de réir ord aibítre. F: Gan ach ceist a chur ar 10 gcailín agus 10 mbuachaill i mbliain a cúig agus i

mbliain a sé.

99

�� Cineálacha sonraí

Sonraí a bhailíonn tú féin, tugtar sonraí príomhúla orthu.

Sonraí a fhaigheann tú ó thaifid atá ann cheana féin, tugtar sonraí tánaisteacha orthu.

Tugtar sonraí uimhriúla ar na sonraí sin ar féidir iad a chomhaireamh nó a thomhas.

Luachanna faoi leith, cosúil le méid bróige nó líon na gcúl a scóráiltear i gcluiche, a bhíonn i sonraí scoite.

Is féidir le luach ar bith i raon luachanna a bheith ag sonraí leanúnacha.Is samplaí iad meáchan, teocht agus airde de shonraí leanúnacha.

Úsáidtear focail le cur síos a dhéanamh ar shonraí catagóireacha. Is samplaí iaddathanna, an bia is fearr le daoine nó an tír inar rugadh daoine.

Is éard a bhíonn i sonraí aonathráideacha ná mír amháin eolais cosúil ledath gruaige.

Is éard a bhíonn i sonraí dé-athráideacha ná dhá mhír eolais cosúil le hairdeleanaí agus a gcuid aoiseanna.

Ceistneoirí

Bailíonn suirbhé sonraí príomhúla.

Bealach amháin chun sonraí príomhúla a bhailiú is ea bileog bhailithe sonraí

nó ceistneoir a chur le chéile agus a líonadh isteach.

Agus ceisteanna á scríobh agat do cheistneoir: " Bí soiléir faoin méid ba mhaith leat a fháil amach. " Bíodh na ceisteanna chomh simplí agus is féidir. " Ná cuir ceisteanna a thugann ar dhaoine freagraí faoi leith a thabhairt. " Cuir boscaí ar fáil do na freagraí nuair is féidir.

Sampláil

Is ionann an daonra agus gach duine nó gach rud a d’fhéadfaí a chur sanáireamh sa suirbhé nó san fhiosrú.

Is éard atá i sampla ná cuid den daonra a roghnaítear ar bhealach áirithe lego mbeadh sé ionadaíoch ar an daonra ina iomláine.

I sampla randamach simplí bíonn an seans céanna ag gach ball den daonrago roghnófaí é nó í.

Mura bhfuil na sonraí a fhaightear ó shampla ionadaíoch mar is ceart ar an daonra ina iomláine, d’fhéadfadh na torthaí a bheith laofa.

100

��figiúirí bunúsacha céatadán brabúis (nó caillteanais) lamháltas dímheas

comhréir dhíreach earráid choibhneasta earráid chéatadánach cuimse íochtair

cuimse uachtair ús iolraithe creidmheas cánach muirear sóisialta uilíoch (MSU)

cáin chomhlán príomhshuim ráta coibhéiseach bliantúil foirm chaighdeánach

Mír 5.1 Codáin --- deachúlacha --- figiúirí bunúsacha 1. Codáin

Seo meabhrúcháin duit faoi roinnt den obair atá déanta agat cheana féin agus faoi na téarmaí a d’úsáid tú i do chuid staidéir ar chodáin go dtí seo.

Codáin choibhéiseacha a thugtar ar 1220 agus 3

5.

Deirtear gurb é 35 an fhoirm is simplí den chodán 12

20.

Chun codáin a chur in ord, is féidir linn iad a athscríobh mar chodáin choibhéiseacha a bhfuil comhainmneoir acu.

Is féidir smaoineamh ar chodán ar nós 38 mar 3 4 8.

Bíonn áireamhán an-úsáideach nuair a bhímid ag athrú codán go deachúlacha.

3 _ 8 � 3 � 8 � 0.375

Sampla 1

(i) Scríobh 125 méadar ina chodán de 1 km.

(ii) Is é E360 37 de shuim airgid. Faigh an tsuim airgid.

(i) Tá 1000 méadar in 1 km. ; 125 m mar chodán de 1 km 5 125

____ 1000 � 1 _ 8

(ii) 3 _ 7 � E360

1 _ 7 � E120 … roinn ar 3

7 _ 7 � E120 � 7 � E840

; is é E840 an tsuim airgid.

�4

�4

1220 �

35

UimhríochtUimhríochtUimhríochtUimhríochtUimhríochtUimhríochtUimhríochtUimhríocht� ��

�

5

101

2. Deachúlacha

Tá an deachúil 2.347� 2 � 3 __ 10 � 4 ___ 100 � 7

____ 1000 .

Is féidir aon deachúil a athrú go codán ar an gcaoi seo:

0.35 � 35 ___ 100 � 7 __ 20

Is luachanna coibhéiseacha iad 0.35 agus 720.

Ní bhíonn coibhéis dheachúlach chruinn ag gach codán.

Tá an codán 23 � 0.66666 …

Deachúil athfhillteach a thugtar air seo mar athfhilleann ceann de na digití arís is arís eile.

Scríobhtar an deachúil 0.6666.... mar 0.6.

.

Ar an gcaoi chéanna, 2 __ 11 � 0.181818 … � 0.1

. 8. .

Tá an deachúil 6.4837 5 6.484, ceart go 3 ionad de dheachúlacha.� 6.48, ceart go 2 ionad de dheachúlacha.� 6.5, ceart go 1 ionad de dheachúlacha.

3. Figiúirí bunúsacha

Más é 34 176 an tinreamh ag cluiche peile, d’fhéadfaí 34 200 nó 34000 a úsáid chun cur síos air.

Tá 34 200 scríofa ceart go 3 fhigiúr bhunúsacha.Tá 34 000 scríofa ceart go 2 fhigiúr bhunúsacha.

Nuair a shloinnimid slánuimhir ceart go hoiread áirithe d’fhigiúirí bunúsacha, ní chomhairimid na náideanna i ndeireadh na huimhreach, ach caithfear iad a chur isteach sa toradh deiridh. Tá gach náid eile bunúsach.

Mar sin tá 52 764 5 52 760 ceart go 4 fhigiúr bhunúsacha� 52 800 ceart go 3 fhigiúr bhunúsacha � 53 000 ceart go 2 fhigiúr bhunúsacha � 50 000 ceart go 1 fhigiúr bunúsach.

Tá an uimhir 70 425 5 70 400 ceart go 3 fhigiúr bhunúsacha. Tabhair faoi deara go bhfuil an náid idir 7 agus 4 bunúsach, ach níl an dá náid ag an deireadh bunúsach.

Má tá uimhir níos lú ná 1, níl na náideanna díreach i ndiaidh an phointe dheachúlaigh bunúsach.

Mar sin (i) 0.07406 � 0.0741 ceart go 3 fhigiúr bhunúsacha (ii) 0.00892 � 0.0089 ceart go 2 fhigiúr bhunúsacha.

102

Cleachtadh 5.1

1. Scríobh gach ceann díobh seo mar chodán san fhoirm is simplí de: (i) 12 as 20 (ii) 8 as 30 (iii) 12 as 16 (iv) 25 as 40

2. Suimigh gach péire codán agus simpligh do fhreagra.

(i) 1 _ 4 � 3 _ 8 (ii) 7 __ 12 � 5 _ 8 (iii) 2 _ 7 � 1 _ 6 (iv) 7 _ 9 � 5 _ 6

3. Oibrigh gach ceann díobh seo amach:

(i) 3 3 _ 4 � 1 1 _ 2 (ii) 2 2 _ 3 � 1 1 _ 4 (iii) 2 4 _ 5 � 1 1 _ 2 (iv) 5 1 _ 2 � 7 __ 10

4. Oibrigh iad seo amach:

(i) 2 4 _ 5 � 1 1 _ 2 (ii) 4 5 _ 6 � 2 2 _ 3 (iii) 2 2 _ 3 � 3 _ 5 (iv) 4 3 _ 8 � 2 1 _ 6

5. Oibrigh iad seo amach:

(i) 2 _ 3 de 15 (ii) 3 _ 4 de 28 (iii) 3 _ 5 de 65 (iv) 7 _ 8 de 56

6. Oibrigh na hiolrúcháin seo amach:

(i) 2 1 _ 4 � 2 _ 3 (ii) 2 1 _ 2 � 1 5 _ 7 (iii) 1 2 _ 3 � 10 __ 9 (iv) 3 3 _ 4 � 3 _ 8

7. Scríobh gach ceann díobh seo mar chodán sanfhoirm is simplí de.

(i) codán an chiorcail a bhfuil dath dearg air (ii) an codán a bhfuil dath gorm air (iii) an codán a bhfuil dath uaine air (iv) an codán a bhfuil dath buí air.

8. Athraigh gach ceann de na codáin seo go deachúil:

(i) 1 _ 8 (ii) 5 _ 8 (iii) 7 _ 8 (iv) 1 __ 16 (v) 7 __ 16

9. Scríobh na liostaí seo in ord, ag tosú leis an gceann is lú:

(i) 5 _ 8 , 0.6, 13 __ 20 , 0.58 (ii) 3 __ 10 , 0.35, 9 __ 20 , 0.4

10. Ritheann Deirdre agus Éabha rás. Nuair atá 35 den chúrsa rite ag Deirdre, tá 2

3 de rite ag Éabha agus tá sí 50 méadar chun tosaigh ar Dheirdre. (i) Cén fad é cúrsa an ráis? (ii) Cé mhéad méadar atá fós le rith ag Éabha?

11. Scríobh 2.574 ceart go (i) 2 ionad de dheachúlacha (ii) 1 ionad de dheachúlacha.

12. Úsáid d’áireamhán chun gach ceann díobh seo a aimsiú, ceart go 1 ionad de dheachúlacha:

(i) 128.4 � 46.9 ___________ 3.5

(ii) 18.2 � 171 __________ 384.6

(iii) 0.48 � 536 __________ 28.2

13. Faigh luach gach ceann díobh seo a leanas, ceart go 1 ionad de dheachúlacha.

(i) 1 __ 9

� 3 ___ 14

(ii) 6 ____ 17.4

� 1 ___ 15

(iii) 6 ___ 24

� 0.4 ___ 3.8

60°

50°

150°

103

14. Cé mhéad figiúr bunúsach atá i ngach ceann de na huimhreacha seo? (i) 346 (ii) 1500 (iii) 780 (iv) 6080 (v) 150 900 (vi) 1.27 (vii) 0.04 (viii) 0.607 (ix) 10.04 (x) 106 000

15. Scríobh gach ceann de na huimhreacha seo ceart go 2 fhigiúr bhunúsacha: (i) 3184 (ii) 648 (iii) 2916 (iv) 28 936 (v) 40 673

16. Scríobh gach ceann de na huimhreacha seo ceart go 3 fhigiúr bhunúsacha: (i) 7516 (ii) 293.8 (iii) 14.27 (iv) 0.6274 (v) 1.0739

17. Tá umar ola 78 lán. Tá 896 lítear ann.

Cé mhéad lítear a choimeádann sé nuair a bhíonn sé lán?

18. I gClub na nÓg, is cailíní iad 37 de na baill.

Má tá 84 buachaill sa chlub, cé mhéad cailín atá ann?

19. Déan meastachán ar 4.89 � 0.087 ___________ 0.0053

trí gach uimhir a shlánú ceart go 1 fhigiúr bunúsach.

Mír 5.2 Cóimheas agus comhréir 1. Cóimheas

Úsáidimid cóimheasa chun léiriú a thabhairt ar an gcaoi a roinntear rudaí.

Tá an cóimheas 12 : 8 � 12 __ 4 : 8 _ 4 � 3 : 2 … roinn gach téarma ar 4

Is é 3 : 2 an fhoirm is simplí den chóimheas.

Go hiondúil, sloinnimid cóimheas i slánuimhreacha.

Is féidir an cóimheas 13 : 5

6 a shloinneadh mar shlánuimhreacha ach gach téarma a iolrú faoi 6.

; 1 _ 3 : 5 _ 6 � 6 _ 3 : 5 � 6 ____ 6 � 2 : 5

Sampla 1

Roinntear suim airgid sa chóimheas 1: 3: 5.Más é E250 an sciar is lú, faigh an tsuim airgid.

Má roinntear suim airgid sa chóimheas 1: 3: 5, is iad seo na sciartha:

1 _ 9 , 3 _ 9 , 5 _ 9 … naoi sciar san iomlán

⇒ 1 _ 9 � E250

⇒ 9 _ 9 � E250 � 9 � E2250

; is é E2250 an tsuim airgid.

104

2. Comhréir

Cuireann cóimheas sciar amháin i gcomparáid le sciar eile; cuireann comhréir sciar amháin i gcomparáid leis an méid iomlán.

Má tá triúr cúl báire ar phainéal ar a bhfuil 24 peileadóir, is é 324 5 1

8 comhréir na gcúl báire ar an bpainéal.

Má chosnaíonn 1 lítear amháin peitril E1.50, cosnóidh 2 lítear E3.00 agus cosnóidh5 lítear E7.50.

Tá costas lítir amháin, 2 lítear agus 5 lítear i gcomhréir dhíreach.

Sampla 2

Mhéadaigh líon na leathanach in irisleabhar ó 64 go 80 leathanach.Mhéadaigh an praghas bunaidh (E4.40) sa chóimheas céanna.Cén praghas nua atá ar an irisleabhar?

(Sa cheist seo, táimid an lorg an phraghais 2 mar sin, coimeádaimidan praghas chun deiridh.)

Cosnaíonn 64 leathanach E4.40

Cosnaíonn 1 leathanach E 4.40 ____ 64

Cosnaíonn 80 leathanach E 4.40 ____ 64

� 80 ___ 1

� E5.50

Mar sin, is é E5.50 costas 80 leathanach.

Cleachtadh 5.2

1. Roinntear E80 idir bheirt sa chóimheas 7 : 3.Cé mhéad an duine a fhaigheann siad?

2. Roinntear E572 sa chóimheas 2 : 3 : 6. Faigh an sciar is lú.

3. Roinntear duaischiste idir A, B agus C sa chóimheas 4 : 3 : 2 faoi seach.Más é E1224 sciar C, cad é an duaischiste iomlán?

4. 7 : 2 is ea cóimheas na gcailíní leis na buachaillí i scoil. Má tá 735 cailín sa scoil, cé mhéad buachaill atá sa scoil?

5. Tá copar, sinc agus stán i gcóimhiotal sa chóimheas 1 : 3 : 5.Má tá 45g stáin sa chóimhiotal, faigh an mhais iomlán.

6. Sloinn mar chóimheas i slánuimhreacha: 1 _ 2 : 1 _ 4 : 1 __ 12 .

7. Roinneadh E1575 idir thriúr sa chóimheas etc. Ríomh an sciar is lú.

105

8. Is é 200 cm imlíne dronuilleoige. Má tá fad : leithead 5 7 : 3, faigh achar na dronuilleoige.

9. Fostaíonn monarcha 360 oibrí neamhoilte, oibrí oilte amháin do gach 5 oibrí neamhoilte agus saoiste amháin do gach 12 oibrí oilte.Ríomh líon na ndaoine atá fostaithe sa mhonarcha.

10. Chun prás a dhéanamh, cuirtear copar agus sinc le chéile sa chóimheas 5 : 3de réir meáchain. (i) Má tá 6 kg since ann, oibrigh amach meáchan an chopair. (ii) Má tá 25 kg copair ann, oibrigh amach meáchan na since.

11. I scoil, is é 1 : 25 cóimheas líon na ndaltaí le líon na ríomhairí.

Má tá 100 ríomhaire sa scoil, oibrigh amach líon na ndaltaí.

12. Déanann Eilís samhail de theach. Úsáideann sí scála 1 : 20. Is é 10 méadar airdean fhíorthí. (i) Oibrigh amach airde na samhla.

Is é 80 cm leithead na samhla. (ii) Oibrigh amach leithead an fhíorthí.

13. Déantar léarscáil ar scála 1 : 20 000. (i) Faigh an fad iarbhír, i gciliméadair, idir dhá phointe atá 15 cm ó chéile ar an

léarscáil. (ii) Ar an léarscáil, faigh fad bóthair atá 3.6 km.

14. Is é 1 : 25 000 scála léarscáile. Is é 3.2 mm fad balla ar an léarscáil. Faigh an fad iarbhír i méadair.

15. Sa ghrianghraf, is é 5 cm airde Sheáinagus 4 cm airde a dheirféar. Is é 1.5 m airde iarbhír Sheáin. Cad é airde iarbhír a dheirféar?

16. Méadaíodh líon na leathanach i ngreannán ó 48 go 80 leathanach. Má méadaíodh anpraghas bunaidh (E6.00) sa chóimheas céanna, cén praghas nua a bheidh ar an ngreannán?

17. Rinne comhlacht peitril tástáil ar ídiú peitril agus fuair siad amach gurbh é 3.5 : 4 ancóimheas geimhreadh le samhradh don charr céanna ar an raon tástála céanna.Ba é 8.4 km in aghaidh an lítir an ráta ídithe peitril sa gheimhreadh.Faigh an ráta ídithe peitril sa samhradh.

18. I Scoil Naomh Marcas, is é 17.2 : 1 cóimheas na ndaltaí leis na múinteoirí. (i) Athscríobh an cóimheas sin san fhoirm m : n, áit ar slánuimhreacha iad m agus

n araon. (ii) Cad é an líon daltaí is lú a d’fhéadfadh a bheith sa scoil? (iii) Más 1456 duine ar fad, idir dhaltaí agus mhúinteoirí, atá sa scoil, cé mhéad múinteoir

atá ann?

106

19. Léiríonn an tábla thall an gaol idir roinnt aonaid tomhaismhéadracha agus na haonaid impiriúla chomhfhreagracha.

Úsáid an tábla chun na coinbhéartuithe seo a dhéanamh:

Coinbhéartaigh ... (i) 50 míle go ciliméadair. (ii) 160 km go mílte. (iii) 900 cm go troithe. (iv) 12 throigh go ceintiméadair. (v) 40 kg go puint. (vi) 88 punt go cileagraim. (vii) 40 lítear go piontaí. (viii) 84 pionta go lítir.

20. Cé mhéad méadar sa bhreis atá 23.5 km ar 15 mhíle?Úsáid an tábla i gCeist 19.

21. Tá meascán de dhá shórt éagsúla tae, sórt A agus sórt B, sa tae a dhíoltar i gceaintín. Cosnaíonn sórt A E12.15 an kg. Cosnaíonn sórt B E12.90 an kg. Cosnaíonn an meascán E12.65 an kg.Má tá 7 kg de shórt A sa mheascán, cé mhéad cileagram de shórt B atá ann?

Mír 5.3 Céatadáin 1. Athbhreithniú: céatadáin agus codáin

Is é is brí le faoin gcéad ná in aghaidh an

chéid nó as an gcéad. Is é % an comharthaa chuireann faoin gcéad in iúl. Dá bhrí sin,is é a chiallaíonn 10% ná 10 as an gcéad.

Ar an gcaoi chéanna, 20% � 20 ___ 100 � 1 _ 5

agus 60% � 60 ___ 100 � 6 __ 10 � 3 _ 5 .

Tá an codán 4 _ 5 � 4 _ 5 � 100 ___ 1 %

� 400 ___ 5 � 80%

2. Céatadáin agus deachúlacha

Scrúdaigh iad seo a leanas go bhfeicfidh tú an dlúthghaol idir céatadáin agus deachúlacha:

(i) 0.23 � 23 ___ 100 � 23% (ii) 38% � 38

___ 100 � 0.38 (iii) 0.04 � 4%

(iv) 54% � 0.54 (v) 8% � 0.08 (vi) 3 1 _ 2 % � 0.035

Riail (i) Chun deachúil a thiontú ina céatadán, iolraigh an deachúil faoi 100 agus cuir an tsiombail % léi.

(ii) Chun céatadán a thiontú ina dheachúil, roinn an céatadán ar 100 agus bain amach an tsiombail %.

Aonad méadrach Aonad impiriúil

8 km 5 mhíle

30 cm 1 troigh

1 kg 2.2 punt

1 lítear (ø) 1.75 pionta

4.5 lítear 1 ghalún

Chun céatadán a thiontú ina chodán, cuir an céatadán os cionn 100 agus simpligh é.

Chun codán a thiontú ina chéatadán, iolraigh

an codán faoi 100 agus cuir an tsiombail % leis.

107

3. Céatadán cainníochta a fháilChun 35% de E380 a fháil, tiontaigh 35% ina dheachúil, i.e. 0.35, agus ansin iolraigh E380 faoi 0.35. Mar sin 35% de E380 � E380 � 0.35 � E133.

Ar an gcaoi chéanna, chun 450 a mhéadú 5%, teastaíonn 105% de 450 uainn.105% de 450 � 450 � 1.05 � 472.5

Sampla 1

(i) Is é E24.40 8% de shuim airgid. Faigh an tsuim airgid. (ii) Tá 20% CBL san áireamh i mbille E57.60.

Faigh méid an bhille sular cuireadh an CBL leis.

(i) 8% � E24.40

1% � E 24.40 _____ 8

� E3.05

100% � E3.05 � 100 � E305

(ii) Seasann E57.60 do 120% den bhille... cuireadh 20% CBL leis

120% � E57.60

1% � 57.60 _____ 120

� 0.48

100% � 0.48 � 100 � E48

4. Céatadán brabúis agus caillteanaisNuair a bhímid ag plé le céatadáin brabúis agus caillteanais, bunaímid an céatadán seo ar an mbunphraghas, ach amháin má deirtear a mhalairt.

Céatadán brabúis 5 BrabúsBunphraghas

3 1001 ; Céatadán caillteanais 5 Caillteanas

Bunphraghas 3 100

1

Sampla 2

Dá ndíolfadh sé carr ar E14 400, chaillfeadh díoltóir 4% ar an luach ceannaigh. (i) Cad a d’íoc sé ar an gcarr? (ii) Faigh a chéatadán brabúis dá ndíolfadh sé an carr ar E17 250.

(i) Seasann E14 400 do 96% de luach ceannaigh an chairr. 96% � E14 400 1% � E150100% � E15 000, i.e. an luach ceannaigh 5 E15 000.

(ii) Brabús 5 E17 250 2 E15 000 5 E2250

Céatadán brabúis � 2250 ______ 15 000

� 100 ____ 1

� 15%

108

Cleachtadh 5.3

1. Scríobh gach ceann díobh seo ina chéatadán:

(i) 0.25 (ii) 0.34 (iii) 1 _ 4 (iv) 2 _ 5 (v) 3 __ 20

2. Scríobh gach ceann de na céatadáin seo ina dheachúil:

(i) 75% (ii) 50% (iii) 64% (iv) 6% (v) 2 1 _ 2 %

3. Oibrigh amach iad seo: (i) 15% de 75 (ii) 80% de 70 (iii) 45% de 120 (iv) 9% de E350 (v) 26% de E850 (vi) 29% de 600 cm

4. Faigh (i) 2 1 _ 2 % de 300 (ii) 7 1 _ 2 % de E380 (iii) 120% de E400

5. Scríobh ina gcéatadáin iad seo: (i) 20 as 80 (ii) 30 as 200 (iii) 2 1 _ 2 as 10

6. (i) Scríobh 510 marc ina chéatadán de 600 marc. (ii) Scríobh 50 ml ina chéatadán de 1 lítear.

7. Más é 297.5 35% d’uimhir, faigh an uimhir.

8. Oibrigh amach gach ceann díobh seo: (i) 30% de 150 (ii) 80% de 140 (iii) 35% de 140 (iv) 32% de 180 (v) 16% de 200 kg (vi) 69% de E88

9. (i) Méadaigh 12 de 50% (ii) Méadaigh 140 de 15% (iii) Laghdaigh 75 de 20% (iv) Laghdaigh 250 de 3% (v) Méadaigh 120 de 12 1

2 % (vi) Laghdaigh 45 de 5%

10. Laghdaíodh praghas ball troscáin 15% i reic. Más é E1360 an praghas reaca, cén praghas a bhí air roimh an reic?

11. Laghdaíodh na praghsanna marcáilte 30% i reic. (i) Más é E350 an praghas marcáilte, ríomh praghas reaca seaicéid. (ii) Más é E168 an praghas reaca ar ghúna, cad é an praghas marcáilte?

12. E780 an praghas atá ar theilifíseán.Má tá 20% CBL san áireamh sa phraghas seo, faigh an praghas sular cuireadh an CBL leis.

13. Nuair a dhíolann siopa seaicéad ar E416, déanann sé brabús 30%. (i) Faigh bunphraghas an tseaicéid. (ii) Má laghdaítear praghas an tseaicéid 10% i reic, ríomh an céatadán brabúis a

dhéanann an siopa anois ar an mbunphraghas.

109

14. Gearrann gníomhaire eastáit táillí 0.75% ar phraghas díola tí. (i) Ríomh a tháillí má dhíoltar an teach ar E450 000 agus má chuitear leis sin

CBL @ 20% de na táillí. (ii) Faigh praghas díola tí más E2775 atá sna táillí sula gcuirtear CBL leo.

15. Mhéadaigh daonra baile ó 145 000 go 205 000 thar thréimhse cúig bliana. Cén céatadán méadaithe é seo, ceart go dtí an tslánuimhir is gaire?

16. Déantar brabús 10% ar an mbunphraghas nuair a dhíoltar earra ar E176.Nuair a mhéadaítear an praghas díola go E192,ríomh an céatadán brabúis ar an mbunphraghas.

17. Ceannaíonn grósaeir 30 bosca sútha talún ar E5.25 an ceann. Díolann sé 28 ceanndíobh ar bhrabús 30%. Mura féidir an dá bhosca eile a dhíol, cén céatadán brabúis adhéanann sé ar an idirbheart?

18. Déanann siopa brabús 25% nuair a dhíolann siad ríomhaire glúine ar E1150. Chun brabús 20% a dhéanamh, cén praghas ba chóir a bheith ar an ríomhaire?

19. (i) Scríobh 23 de 0.96 ina chéatadán de 5.12.

(ii) Ó thaobh meáchain de, is salann é 2 ½% den sáile.

Cén meáchan sáile a thabharfadh 100 kg salainn?

20. Faigheann díoltóir bád coimisiún ar an bpraghas ar a ndíolann sé bád. Ríomhtar an coimisiún ar ráta 5% ar an gcéad E10 000 den phraghas díola agus 3% den fhuílleach.

(i) Ríomh an coimisiún a fhaigheann sé ar bhád a dhíolann sé ar E20 000. (ii) Faigh praghas díola báid má fhaigheann sé coimisiún E740 air.

21. Tá 29 de na cailíní i scoil áirithe níos mó ná 16 bliana d’aois.

Tá 675 dalta sa scoil. Is cailíní iad 56% díobh.Cé mhéad cailín sa scoil atá níos mó ná 16 bliana d’aois?

22. Tá costas E484 ar chonsól cluichí. Tá CBL 21% san áireamh sa phraghas seo.

Tairgeann Siopa A lacáiste 2212% ar an bpraghas díola.

Deir Siopa B nach ngearrfaidh siad costas an CBL. Cé acu siopa a mbeidh an praghas is ísle aige? Cé mhéad níos ísle a bheidh sé?

23. Cosnaíonn carr, ina bhfuil inneall peitril, E28 600. Cosnaíonn an sórt céanna cairr, ach go bhfuil inneall díosail ann, E31 500.Tugtar eolas ar chostais reatha an dá charr sa tábla thíos:

Costas breosla in aghaidh an lítir Líon na km/lítear

Carr peitril E1.45 7

Carr díosail E1.36 9

Más dímheas 20% a thagann ar an dá charr sa chéad bhliain, ríomh an difríocht idir nacostais reatha sa chéad bhliain (agus an dímheas san áireamh), má rinne an dá thiom-ánaí 18 900 km.

110

Mír 5.4 Earráid chéatadánach Má thomhaiseann suirbhéir talún fad goirt mhóir, b’fhéidir gur beag dochar a dhéanfaidh earráid 1 m. Ach má dhéanann innealtóir láithreáin earráid 1 m i bhfad balla dúshraithe tí, seans go millfidh an earráid iomlán a chuid oibre. Mar sin, caithfimid féachaint ar earráid i gcoibhneas an fhíorluacha nó an fhíorthomhais.

An earráid choibhneasta a thugtar ar an earráid i gcoibhneas an fhíorluacha.

Glactar leis i gcónaí go bhfuil luach na ‘hearráide’ dearfach.

Má iolraítear an earráid choibhneasta faoi 100, faighimid an earráid chéatadánach.

Cuimhnigh

Earráid Choibhneasta 5 EarráidFíorluach

Earráid Chéatadánach 5 EarráidFíorluach

3 1001 %

Sampla 1

Chun luach 121 1 46 1 37 1 26 a ríomh, rinne Roibeárd garmheastachán ar an bhfreagra 2 shlánaigh sé gach uimhir go dtí an 10 is gaire agus shuimigh sé na freagraí. Ríomh a earráid chéatadánach.

Garmheastachán � 120 � 50 � 40 � 30 � 240Fíorluach � 121 � 46 � 37 � 26 � 230Earráid � 240 � 230 � 10

Earráid chéatadánach 5 EarráidFíorluach 3 100

1 %

� 10 ____ 230

� 100 ____ 1

� 4.347%

� 4.3%

Lamháltas

Nuair a chuireann tú stopallán i ndoirteal, glacann tú leis go n-oireann sé. Caithfear stopalláin a dhéanamh go cruinn sa chaoi go n-oirfidh siad. Ní gá go mbeadh an tomhas díreach ceart ar an stopallán. Ceadaítear earráid bheag. Lamháltas a thugtar air sin. Is dócha go n-oirfeadh stopallán dá mbeadh sé 0.5mm ró-bheag. Ní oirfeadh sé dá mbeadh sé 2 cm ró-bheag.

Tomhaiseann Ciara leithead bosca agus 24 cm a fhaigheann sí. Tá an tomhas slánaithe aici go dtí an cm is gaire.

111

D’fhéadfadh an tomhas bheith in aon áit idir 23.5 cm agus 24.5 cm.An chuimse íochtair a thugtar ar 23.5 cm; an chuimse uachtair a thugtar ar 24.5 cm.

Mar sin, d’fhéadfadh an fíorluach a bheith in aon áit sa raon idir 0.5 cm faoi bhun an luacha mharcáilte agus 0.5 cm os a chionn.

�0.5 cm �0.5 cm

24.5 cm23.5 cm

Cuimse íochtair

24 cm

Cuimse uachtair

Cuimhnigh Is iad an chuimse íochtair agus an chuimse uachtair íosluach agus uasluach tomhais nó áirimh.

Sampla 2

Tomhaistear fad agus leithead na dronuilleoige 28 cm

16 cm

seo go dtí an cm is gaire.Faigh (i) uasmhéid imlíne na dronuilleoige (ii) íosmhéid imlíne na dronuilleoige.

(i) Chun uasmhéid na himlíne a fháil, úsáideann tú na cuimsí uachtair.Is iad 28.5 cm agus 16.5 cm na cuimsí uachtair.Uasmhéid na himlíne 5 2 (fad 1 leithead)

� 2 (28.5 � 16.5) cm� 90 cm

(ii) Íosmhéid na himlíne 5 2 (27.5 � 15.5) cm� 86 cm

Cleachtadh 5.4

1. Rinneadh meastachán ar fhad barra miotail agus 50 cm a fuarthas. Más é 46 cm an fíorfhad, ríomh an earráid chéatadánach, ceart go 1 ionad amháin de dheachúlacha.

2. E600 an meastachán a thug garáiste chun carr a dheisiú. Más é E650 an costas deiridh, ríomh an earráid chéatadánach, ceart go 1 ionad amháin de dheachúlacha.

3. Measadh go raibh 8000 duine i láthair ag cluiche peile. Más 7640 duine a bhí i láthair i ndáiríre, ríomh an earráid chéatadánach, ceart go 1 ionad amháin de dheachúlacha.

112

4. Tugadh 6.5 mar fhreagra ar 3.58 1 2.47.Cad í an earráid chéatadánach, ceart go 1 ionad amháin de dheachúlacha?

5. D’úsáid duine 300 mar mheastachán ar 89.37 � 3.05 ___________ 0.92

.

Faigh an earráid chéatadánach, ceart go 1 ionad amháin de dheachúlacha.

6. Cosnaíonn ceithre earra in ollmhargadh E3.70, E5.45, E7.40 agus E12.10. (i) Measann Barra an costas iomlán trí neamhaird a dhéanamh de mhéid na

gcentanna i gcostas gach earra. Ríomh an earráid chéatadánach inamheastachán,ceart go 1 ionad amháin de dheachúlacha.

(ii) Measann Áine an costas iomlán trí chostas gach earra a shlánú go dtí an euro is gaire. Ríomh an earráid chéatadánach ina meastachán, ceart go 1 ionad amháin dedheachúlacha.

7. Meastar gurb é 150 cm2 achar ciorcail a bhfuil trastomhas 14 cm aige.

Ag glacadh leis go bhfuil P � 22 __ 7 , faigh fíorluach achar an chiorcail. Uaidh sin, faigh

an earráid chéatadánach sa mheastachán, ceart go 1 ionad amháin de dheachúlacha.

8. Is féidir teocht a thomhas mar °Fahrenheit (F) nó °Celsius (C). Seo é an gaol beacht idir F agus C:

F � 9 _ 5 C � 32

Tugtar garghaol idir F agus C sa riail seo:‘Chun F a fháil, suimigh 15 le C agus dúbail do fhreagra.’

(i) Faigh luach F nuair atá C 5 20. Bain úsáid as foirmle an ghaoil bheacht. (ii) Má úsáidtear an garghaol nuair atá C 5 20, ríomh an earráid chéatadánach ceart

go 1 ionad amháin de dheachúlacha.

9. Thomhais Gearóid fad cúirt chispheile mar 28 m agus leithead na cúirte mar 15 m, an dá cheann acu ceart go dtí an méadar is gaire. (i) Scríobh síos uasfhad féideartha na cúirte. (ii) Scríobh síos íosfhad féideartha na cúirte. (iii) Ríomh uasachar féideartha na cúirte.

10. Thomhais Risteard fad agus leithead a chúlghairdín, ceart go dtí an méadar is gaire.

27 m an fad a thomhais sé agus 16 m an leithead. (i) Scríobh síos uas-imlíne fhéideartha an ghairdín. (ii) Scríobh síos íosachar féideartha an ghairdín.

11. Piocann Dáithí sútha talún ar ráta 2.8 kg / nóiméad, ceart go 1 ionad amháin de dheachúlacha. (i) Scríobh síos an t-uasmheáchan féideartha a phiocann Dáithí gach nóiméad. (ii) Faigh an t-íosmheáchan féideartha a phiocann Dáithí in uair an chloig amháin. (iii) Lá amháin, d’oibrigh Dáithí ar feadh 3 huaire an chloig agus 15 nóiméad.

Faigh an t-uasmheáchan féideartha a phiocfadh Dáithí sa tréimhse ama sin.

113

12. Tomhaistear fad, leithead agus airde an bhosca seo ceart go dtí an ceintiméadar is gaire. (i) Scríobh síos uasfhad féideartha an bhosca. (ii) Ríomh uastoirt fhéideartha an bhosca. (iii) Ríomh an difríocht idir uastoirt fhéideartha agus

íostoirt fhéideartha an bhosca. Bíodh do fhreagra ceart go dtí an cm3 is gaire.

(iv) Is é 450 cm3 toirt cheart an bhosca. Faigh an earráid chéatadánach i dtoirt an bhosca má ghlactar leis an uastoirt fhéideartha. Bíodh do fhreagra ceart go 1 ionad amháin de dheachúlacha.

Mír 5.5 Idirbhearta airgeadra Má thaistealaímid go tír nach bhfuil i limistéar an euro, go hiondúil athróimid ár gcuid euro go hairgeadra na tíre sin.

Má fheiceann tú E1 5 $1.35 ar fhógra i mbanc, conas a athróidh tú $100 go euro?

Má theastaíonn euro uainn sa fhreagra, cuirfimid euro ar thaobh na láimhe deise den‘chothromóid’.

Má tá E1 5 $1.35, ansin

$1.35 � E1 … aisiompaigh an t-ord

$1 � E 1 ____ 1.35

$100 � E 1 ____ 1.35

� 100 ____ 1

� E74.07

; $100 � E74.07

Sampla 1

D’athraigh cuairteoir ó Mheiriceá $2000 go euro nuair a bhí ráta malairte E1 5 $1.36 i bhfeidhm. Teastaíonn euro uainn sa fhreagra; mar sin, cuirimid euro ar thaobh na láimhe deise den chothromóid.

Teastaíonn euro uainn sa fhreagra; mar sin, cuirimid euro ar thaobh na láimhedeise den chothromóid.

E1 � $1.36⇒ $1.36 � E1

$1 � E 1 ____ 1.36

$2000 � E 1 ____ 1.36

� 2000 _____ 1

$2000 � E1470.59

Fuair an cuairteoir E1444.20. � an táille 5 E1470.59 2 E1444.20 5 E26.39

Is é E26.39 an táille.

12 cm 7 cm

5 cm

Cuir an t-airgeadra a theas-taíonn uait ar thaobh naláimhe deise den choth-romóid.

114

Cleachtadh 5.5

1. Má tá E1 5 $1.32, (i) cad é comhluach $1800 in euro? (ii) cad é comhluach E2800 i ndollair?

2. Ar chuairt go hÉirinn, d’athraigh turasóir $3000 go euro nuair a bhí ráta malairte E1 5 $1.36 i bhfeidhm.Cé mhéad, in euro, a fuair sí má ghearr an biúró malartaithe coimisiún 21

2 %?

3. Má tá E1 5 £0.85 steirling, (i) cé mhéad euro a gheofá ar £1500? (ii) cé mhéad i steirling a gheofá ar E2000?

4. Sa cheist seo, US$ 5 Dollar SAM, ¥ 5 Yen na Seapáine agus CHF 5 Franc na hEilvéise, agus E1 5 US$1.4 5 ¥112 5 CHF1.32. (i) Cé mhéad US$ a gheofá ar E1200? (ii) Cé mhéad yen a gheofá ar E2400? (iii) Cé mhéad euro a gheofá ar CHF4500? (iv) Cé mhéad euro a gheofá ar US$1350? (v) Cé mhéad dollar SAM a gheofá ar ¥36 000? (vi) Cé mhéad yen a gheofá ar CHF7500?

5. D’íoc turasóir Eilvéiseach 4600 franc le gníomhaire taistil ar shaoire in Éirinn. Chaith an gníomhaire E2860 ar eagrú na saoire.Ríomh ina fhrancanna Eilvéiseacha an brabús a rinne an gníomhaire má tá E1 5 CHF1.4.

6. Nuair a bhí ráta malairte E1 5 9.8 Rand na hAfraice Theas i bhfeidhm, mhalartaigh bean 12 000 Rand na hAfraice Theas go euro sa bhanc. Ghearr an banc táille don idirbheart seo.Má fuair an bhean E1166.60, faigh in euro an táille a ghearr an banc uirthi.

7. Ar thuras go dtí an tSualainn, mhalartaigh turasóir E4500 go Krone na Sualainne nuair a bhí ráta malairte E1 5 8.75 Krone i bhfeidhm. Chaith sé 25 400 Krone agus, ar a bhealach abhaile, mhalartaigh sé a raibh fágtha aige ar ais go euro, nuair a bhí ráta malairte E1 5 8.6 Krone i bhfeidhm. Cé mhéad a fuair sé in euro?

8. Mhalartaigh turasóir ón Astráil $2500 ar euro ag banc in Éirinn. Ghearr an banc coimisiúncéatadánach ar an idirbheart. Má bhí ráta malairte E1 5 $1.36 i bhfeidhm agus go bhfuair an turasóir E1801.47, faigh an coimisiún céatadánach a ghearr an banc.

9. Cheannaigh ceannaí Franc na hEilvéise nuair a bhí ráta malairte E1 5 1.45 franc i bhfeidhm. Má fuair sé 43 400 franc, faigh amach cé mhéad euro a mhalartaigh sé.Tabhair do fhreagra ceart go dtí an euro is gaire.

Dhíol sé na francanna Eilvéiseacha nuair a bhí ráta malairte E1 5 1.28 franc i bhfeidhm. Faigh, ceart go dtí an euro is gaire, cé mhéad brabúis nó caillteanais a rinne an ceannaí san idirbheart seo.

115

Mír 5.6 Cáin ioncaim Ar cheann de dhá ráta a íocann lucht tuillte pá agus tuarastail cáin ioncaim ar gach cuid dá n-ioncam. An Ráta Caighdeánach agus an Ráta Ard a thugtar ar an dá ráta sin.Sa bhliain 2011, ba é 20% an Ráta Caighdeánach agus ba é 41% an Ráta Ard.Ach tagann athrú ar na rátaí sin ó bhliain go bliain.

Ag tús na bliana, tugtar creidmheas cánach agus scoithphointe an ráta chaighdeánaigh

do gach duine atá fostaithe. Más é E30 000 scoithphointe an ráta chaighdeánaigh, ciallaíonn sé sin go n-íocann an duine cáin ioncaim ar an ráta caighdeánach (mar shampla 20%) ar an gcéad E30 000 dá ioncam. Gearrtar cáin ar an ráta ard (mar shampla 41%) ar aon ioncam sa bhreis ar E30 000. Nuair a bhíonn an cháin ioncaim seo ríofa, cáin chomhlán nó ollcháin a thugtar uirthi.

Baintear creidmheas cánach an duine as an gcáin chomhlán chun an cháin is iníoctha a ríomh.

An cháin is iníoctha Cáin is iníoctha 5 Cáin chomhlán 2 creidmheasanna cánach

Sampla 1

E45 000 an t-ioncam atá ag bean áirithe don bhliain. Is é E28 000 a scoithphointe ráta chaighdeánaigh agus tá E4000 de chreidmheas cánach aici.Más é 20% an ráta caighdeánach cáin ioncaim agus 41% an ráta ard, cé mhéad cáin ioncaim a íocann sí don bhliain?

Cáin chomhlán 5 20% de E28 000 1 41% den chuid eile den ioncam aici

� 20% de E28 000 � 41% de E17 000 … An chuid eile 5 E17 000

� (28 000 � 0.2) � (17 000 � 0.41)

� 5600 � 6970 � E12 570

Cáin is iníoctha 5 Cáin chomhlán 2 creidmheas cánach

� E12 570 � E4000

; Cáin is iníoctha 5 E8570

Sampla 2

Íocann fear E4500 cáin ioncaim sa bhliain. Tá creidmheas cánach E2400 aige. Má íocann sé cáin ar an ráta caighdeánach 20% ar a ioncam iomlán, ríomh a ioncam comhlán don bhliain.

Cáin is iníoctha 5 Cáin chomhlán 2 creidmheas cánach

� E4500 5 Cáin chomhlán 2 E2400

� Cáin chomhlán 5 E4500 � E2400 � E6900

116

Cáin chomhlán 5 20% den ioncam comhlán

� 20% den ioncam comhlán 5 E6900

1% den ioncam comhlán 5 E 6900 _____ 20

100% den ioncam comhlán 5 E 6900 _____ 20

� 100 ____ 1

� ; ioncam comhlán 5 E34 500

Sampla 3

E13 150 an méid cáin ioncaim a d’íoc fear áirithe bliain amháin.

Bhí creidmheas cánach E35 000 aige agus ba é E32 000 a scoithphointe rátachaighdeánaigh.

Ba é 20% an ráta caighdeánach cáin ioncaim agus ba é 41% an ráta ard.

Ríomh ioncam comhlán an fhir an bhliain sin.

Cáin chomhlán 5 cáin is iníoctha 1 creidmheas cánach

� E13 150 � E3500

Cáin chomhlán 5 E16 650

An cháin is iníoctha ar an gcéad E32 000 5 E32 000 � 0.2 … 20% � 0.2

� E6400

Mar sin, an cháin a íocadh ar ioncam sa bhreis ar E32 000 5

E16 650 � E6400 � E10 250

Is ionann E10 250 agus 41% den ioncam sa bhreis ar E32 000

; Is é E10 250 41% den ioncam sa bhreis ar E32 000

i.e. 41% � E10 250

1% � E 10 250 ______ 41

100% � E 10 250 ______ 41

� 100 ____ 1

� E25 000

Mar sin, is é E25 000 a ioncam sa bhreis ar E32 000

Ioncam comhlán 5 E32 000 + E25 000

5 E57 000

117

An Muirear Sóisialta Uilíoch (MSU)

Tháinig an Muirear Sóisialta Uilíoch i bhfeidhm ar an 1 Eanáir 2011. Cuireadh é in ionad tobhaigh eile a cuireadh ar ceal ón dáta sin.

Tugtar rátaí an MSU sa bhliain agus sa tseachtain thíos:

Tairseacha ioncaim

Sa bhliain Ráta an MSU Sa tseachtain

Suas le E10 036 2% Suas le E193

Ó E10 036.01 go E16 016 4% Ó E193.01 go E308

Sa bhreis ar E16 016 7% Sa bhreis ar E308

Nóta: Déan neamhní den 1 cent agus tú ag ríomh.

Sampla 4

Tá pá seachtaine E740 ag Conchúr.Ríomh an MSU seachtainiúil a íocann sé.

Ríomhtar a MSU mar seo:

E193 @ 2% � (E308 � E193) @ 4% � (740 � 308) @ 7%� E193 @ 2% � E115 @ 4% � E432 @ 7%� E38.70

Íocann sé E38.70 MSU sa tseachtain.

Cleachtadh 5.6

1. Tá tuarastal bliantúil E46 000 ag Aingeal.Is é E28 000 a scoithphointe ráta chaighdeánaigh agus is é E3200 a creidmheas cánach.Más é 20% an ráta caighdeánach cáin ioncaim agus 42% an ráta ard, faigh (i) cáin ioncaim chomhlán na bliana (ii) méid na cánach ioncaim a íocadh don bhliain.

2. Tá pá seachtainiúil E980 ag clódóir.Is é E620 a scoithphointe ráta chaighdeánaigh agus is é E44 a chreidmheasanna cánach san iomlán. Is é 20% an ráta caighdeánach cáin ioncaim agus 42% an ráta ard.Faigh (i) a cháin chomhlán sa tseachtain (ii) an méid cánach a íocann sé sa tseachtain.

3. Tá tuarastal bliantúil E48 000 ag Niamh.Is é E34 000 a scoithphointe ráta chaighdeánaigh agus is é E4600 a creidmheas cánach. Más é 20% an ráta caighdeánach cáin ioncaim agus 42% an ráta ard, faigh an méid cánach a íocann sí.

118

4. Tá pá seachtainiúil E830 ag Eoin. Is é E635 a scoithphointe ráta chaighdeánaigh. Is é E52 a chreidmheasanna cánach san iomlán sa tseachtain. Más é 20% an ráta caighdeánach cáin ioncaim agus 42% an ráta ard, faigh an méid cánach a íocann sé sa tseachtain.

5. Tá tuarastal bliantúil E45 000 ag Aodán.Is é E4650 a chreidmheas cánach agus is é E31 000 a scoithphointe ráta chaighdeánaigh.Más é 20% an ráta caighdeánach cáin ioncaim agus 45% an ráta ard, faigh méid na cánach ioncaim a íocann sé sa bhliain.

6. Tá tuarastal bliantúil E43 000 ag díoltóir. Is é E3500 a creidmheasanna cánach san iomlán agus íocann sí cáin ioncaim ar a hioncam iomlán ar an ráta caighdeánach r%.Má íocann sí E5960 cáin ioncaim sa bhliain, faigh r.

7. Tá creidmheas cánach E60 sa tseachtain ag tiománaí bus. Íocann sé cáin ar a phá iomlán ar an ráta caighdeánach 20%. Má íocann sé E140 cáin ioncaim sa tseachtain, faigh a phá seachtainiúil comhlán.

8. Tá tuarastal comhlán E48 000 sa bhliain ag Laobhaise. Is é E31 000 a scoithphointe ráta chaighdeánaigh. Is é 20% an ráta caighdeánach cáin ioncaim agus 35% an ráta ard. Má íocann sí E7200 cáin ioncaim sa bhliain, ríomh a creidmheas cánach.

9. D’íoc Eibhlín E4400 cáin ioncaim sa bhliain. B’fhiú E2600 na creidmheasanna cánach a bhí dlite di agus d’íoc sí cáin ioncaim ar a tuarastal iomlán ar an ráta caighdeánach 20%. Faigh a tuarastal comhlán bliana.

10. Íocann fear E6520 cáin ioncaim sa bhliain. Is é E3600 a chreidmheas cánach. Íocann sé cáin ioncaim ar a ioncam iomlán ar an ráta caighdeánach 22%. Ríomh a thuarastal comhlán sa bhliain.

11. Tugtar na rátaí don Mhuirear Sóisialta Uilíoch (MSU) sa tábla thíos:

Sa bhliain Ráta MSU Sa tseachtain

Suas le E10 036 2% Suas le E193

E10 036.01 go E16 016 4% E193.01 go E308

Sa bhreis ar E16 016 7% Sa bhreis ar E308

Nóta: Déan neamhní den 1 cent agus tú ag ríomh.

(i) Tá tuarastal bliantúil E57 000 ag Aodán.Ríomh a MSU bliana.

(ii) Tá pá seachtainiúil E950 ag Pól.Ríomh a MSU seachtaine.

(iii) Tá tuarastal bliantúil E63 000 ag díoltóir.Ríomh a MSU bliana.

(iv) Tá pá seachtainiúil E1200 ag pluiméir.Ríomh a MSU seachtaine.

119

12. D’íoc bean E6600 cáin ioncaim bliain áirithe. Ba é E4600 a creidmheas cánach agus ba é E28 000 a scoithphointe ráta chaighdeánaigh. Ba é 20% an ráta caighdeánach cáin ioncaim agus 40% an ráta ard.

(i) Ríomh a cáin chomhlán an bhliain sin.

(ii) Cé mhéad cáin ioncaim a d’íoc sí ar an ráta caighdeánach?

(iii) Cé mhéad cáin ioncaim a d’íoc sí ar an ráta ard?

(iv) Cé mhéad ioncaim a thuill sí sa bhreis ar E28 000?

(v) Ríomh ioncam comhlán na bliana ag an mbean.

13. D’íoc Uinseann E7274 cáin ioncaim don bhliain. Ba é E31 000 a scoithphointe ráta chaighdeánaigh agus ba é E6150 a chreidmheas cánach. Ba é 20% an ráta caighdeánach cáin ioncaim agus 42% an ráta ard.Ríomh ioncam comhlán na bliana ag Uinseann.

Mír 5.7 Ús iolraithe Má infheistímid E100 sa bhanc ar feadh bliana ar 5% sa bhliain, tuillfimid E5 úis. Anois, tá E105 sa chuntas againn.

An phríomhshuim a thugtar ar an E100.

An ráta sa bhliain a thugtar ar an 5%.

An méid a thugtar ar an E105.

Nuair a bhímid ag plé le hús iolraithe, oibrímid amach an t-ús ar bhonn bliantúil agus ansin cuirimid leis an bpríomhshuim é chun príomhshuim na bliana dár gcionn a aimsiú. Is mór an chabhair é an t-áireamhán leictreonach chun céatadán de shuim airgid a fháil.

Má infheistítear E500 ar feadh bliana ar 4%, beidh an t-ús cothrom le 4% de E500.

Is é 104% de E500 an méid.

104% 5 1.04 agus mar sin tá 104% de E500 5 500 3 1.04 5 E520.

Ar an gcaoi chéanna, má infheistítear E600 ar feadh bliana ar 3%, is é E600 3 1.03 5 E618 an méid.

Cuimhnigh

Chun 104% a fháil, iolraigh faoi 1.04.



Má infheistítear E300 ar feadh 5 bliana ar 4% sa bhliain, is féidir an méid deiridh (A) a áireamh mar seo:

300 � 1.04 � 1.04 � 1.04 � 1.04 � 1.04 � 300 (1.04)5

Chun 5 bliana a fháil, iolraigh faoi 1.04 5 huaire i.e. (1.04)5.

Méid 5 Príomhshuim 1 Ús

120

Tugann an patrún ar an leathanach roimhe seo chuig foirmle muid a aimsíonn an méid Anuair a infheistítear suim airgid P ar ús iolraithe.

A � P (�1 � r ____ 100

) n

A 5 méidP 5 príomhshuimr 5 ráta sa bhliainn 5 líon na mblianta

An t-iolraitheoir a thugtar ar 1 1 ( r100).

Is féidir an fhoirmle thuas a scríobh i bhfocail mar seo:

Sampla 1

Faigh an t-ús iolraithe ar E2800 ar feadh trí bliana ar 7.5% sa bhliain.

Méid i ndeireadh na chéad bhliana: E2800 � 1.075 � E3010Méid i ndeireadh an dara bliain: E3010 � 1.075 � E3235.75Méid i ndeireadh an tríú bliain: E3235.75 � 1.075 � E3478.43

Ús 5 E3478.43 � E2800 � E678.43

Ag úsáid na foirmle don sampla thuas, faighimid:

A 5 P(1 1 r100 )n

A � E2800 (1.075)3

A � E3478.43

Ús 5 E3478.43 � E2800 � E678.43 … an freagra céanna

An ráta agus an phríomhshuim a fháil

Má infheistítear E300 ar feadh bliana ar 6% sa bhliain, is é an t-ús ná

E300 � 0.06 � E18

Ach, má deirtear linn go dtuilleann E300 E18 in aon bhliain amháin, conas is féidir an t-ús aaimsiú? D’fhéadfaimis a rá, má thuilleann E300 E18, go dtuillfeadh E100 E6, is é sin, ráta 6%.

Mar sin is é an ráta ná 18 ____ 300

� 100 ____ 1

� 18 ___ 3

� 6%

Méid i ndiaidh n bliain 5 bunsuim 3 (iolraitheoir)n

Ráta 5 ÚsPríomhshuim

3 1001 %

1

3

121

Sampla 2

Má mhéadaíonn E650 go E702 in aon bhliain amháin, faigh an ráta.

Ús 5 E702 � E650 � E52.

Ráta 5 ÚsPríomhshuim � 100 ____

1 � 52 ____

650 � 100 ____

1 � 8

; an ráta 5 8%

Sampla 3

D’infheistigh bean E6000 i gcumann foirgníochta ar feadh dhá bhliain.3% an ráta úis a íocadh sa chéad bhliain.Níor aistarraing sí aon airgead i ndeireadh na chéad bhliana. I ndeireadh an dara bliain, b’fhiú E6427.20 a hinfheistíocht iomlán.Cén ráta úis a fuair sí sa dara bliain?

Méid i ndeireadh na chéad bhliana 5 E6000 3 1.03� E6180

Méid i ndeireadh an dara bliain 5 E6427.20Mar sin, ús sa dara bliain 5 E6427.20 � E6180 � E247.20

Ráta don dara bliain 5 ÚsPríomhshuim � 100 ____

1 %

� 247.20 ______ 6180

� 100 ____ 1

� 4%

Ba é 4% an ráta úis don dara bliain.

Is féidir foirmle an úis iolraithe a úsáid chun an phríomhshuim, an ráta nó an tréimhse ama a fháil má thugtar dóthain eolais.

Sampla 4

Cén tsuim airgid, a infheistíodh ar 4% sa bhliain, ús iolraithe, a thabharfaidh E3149.62 i ndiaidh trí bliana?

A 5 P(1 1 r100 )n

3149.62 � P(1.04)3 … anseo táimid ag lorg na príomhshuime, P.

P(1.04)3 � 3149.62

P � 3149.62 _______ (1.04)3 � 3149.62 _______

1.1249 � E2800

Ba é E2800 an tsuim a infheistíodh.

122

Ráta coibhéiseach bliantúil

Gearrann institiúidí áirithe, mar shampla, comhlachtaí cártaí creidmheasa, ús ar bhonn míosúil. Go hiondúil, gearrann siad ús ar ráta atá thart ar 2% sa mhí.

Cad a tharlóidh má fhágtar E100 neamhíoctha ar feadh 12 mhí agus go ngearrtar ús

iolraithe ar ráta 2% in aghaidh na míosa?Méid i ndeireadh an 12 mhí: E100 � (1.02)12.

100(1.02)12 � 126.824

Mar sin, tá fiacha E126.80 ar shealbhóir an chárta i ndeireadh na bliana.Ciallaíonn sé seo go raibh ús na bliana cothrom le E26.80.Ós rud é gurbh é E100 an tsuim, gearradh ús ar ráta 26.8%.

Mar sin, is mar a chéile ús iolraithe 2% sa mhí agus ráta bliantúil úis 26.8%.An ráta coibhéiseach bliantúil (RCB) a thugtar ar an ráta bliantúil úis seo.Is é seo an ‘fíor-ús’ a íocann tú gach bliain.

Sampla 5

Tugann banna infheistíochta aisíoc 20% nuair a infheistítear é ar feadh 8 mbliana.Ríomh an RCB (ráta coibhéiseach bliantúil) don bhanna seo, ceart go haon ionad amháin de dheachúlacha.

Más é 20% an t-aisíoc, ciallaíonn sé seo go bhfuil an méid cothrom le 1.20 oiread na suime a infheistíodh.

; (iolraitheoir)8 5 1.2

iolraitheoir � (1.2 ) 1 _ 8 … faigh an t-ochtú fréamh den dá thaobh

iolraitheoir � 1.02305 … cuir isteach 1.2 x y (1 � 8).

Mar sin, is é 2.3% an ráta.

Dímheas

Má dhímheasann luach cairr ar ráta 20% sa bhliain (i.e. más laghdú 20% a thagann ar a luach), ní bheidh i luach an chairr i ndeireadh na chéad bhliana ach 80% dá luach i dtús na chéad

bhliana. Chun 80% de shuim airgid a fháil, iolraigh faoi 0.8 mar tá 80% 5 0.8.

Más E25 000 a bhí ar charr, agus má dhímheasann a luach 15% in aghaidh na bliana, tá a luach

(i) I ndeireadh na chéad bhliana 5 E25 000 � 0.85

(ii) I ndeireadh an dara bliain 5 E25 000 � 0.85 � 0.85 � 25 000 � (0.85)2

(iii) I ndeireadh an tríú bliain 5 E25 000 � 0.85 � 0.85 � 0.85 � E25 000 � (0.85)3

…………………………

I ndeireadh 8 mbliana, is é E25 000 3 (0.85)8 a luach.

123

Sampla 6

Dímheasann luach meaisín 10% sa bhliain.Más fiú E58 320 an meaisín i ndeireadh 3 bliana, cén luach a bhí air nuair a bhí sé nua?

Abraimis gurb é P luach an mheaisín nuair a bhí sé nua.Luach P i ndeireadh 3 bliana 5 P(0.9)3 …

; P(0.9)3 � 58 320 P(0.729) � 58 320

P � 58 320 ______ 0.729

� 80 000

Ba é E80 000 luach an mheaisín nuair a bhí sé nua.

100% � 10% � 90% � 0.9

Cleachtadh 5.7

1. Scríobh gach ceann de na céatadáin seo ina dheachúil:

(i) 4% (ii) 5 1 __ 2 % (iii) 12% (iv) 14 1 __ 2 % (v) 112%

2. Scríobh síos an t-iolraitheoir nuair a theastaíonn uait na céatadáin seo de mhéid a fháil:

(i) 106% (ii) 105 1 __ 2 % (iii) 110% (iv) 96% (v) 112 1 __ 2 %

3. Ríomh, go dtí an cent is gaire nuair is gá, an t-ús iolraithe ar (i) E600 ar feadh dhá bhliain ar 5% (ii) E1800 ar feadh dhá bhliain ar 9%

(iii) E3500 ar feadh trí bliana ar 712% (iv) E7800 ar feadh trí bliana ar 31

2%.

4. Infheistíodh E4600 ar feadh dhá bhliain ar ús iolraithe.Más é 4% an ráta sa chéad bhliain agus 5% an ráta sa dara bliain, faigh an t-ús iomlán sa dá bhliain.

5. Fuair comhlacht E12 000 ar iasacht ó bhanc ar ús iolraithe 11% sa bhliain. D’aisíoc an comhlacht E5000 i ndeireadh na chéad bhliana.Cé mhéad airgid a bhí ag an mbanc ar an gcomhlacht i ndeireadh an dara bliain?

6. Infheistíodh E2500 i gcumann foirgníochta. Más é E2612.50 an méid tar éis bliana, ríomh an ráta úis.

7. Infheistíodh suim áirithe airgid ar 7% sa bhliain. Más é E6848 an méid tar éis bliana, ríomh an tsuim a infheistíodh.

8. Infheistíodh E8000 ar feadh trí bliana ar ús iolraithe.Is é 5% an ráta don chéad bhliain agus 6% an ráta don dara bliain. Faigh méid na hinfheistíochta i ndeireadh dhá bhliain.

I ndeireadh an tríú bliain, bhí méid E9260.16 infheistithe.Ríomh an ráta úis don tríú bliain.

124

9. Cén tsuim airgid, infheistithe ar feadh trí bliana ar ús iolraithe 8% sa bhliain, a thabharfadh méid E1007.77?

10. D’infheistigh duine E10 000 i gcumann foirgníochta.Is é 21

2% an ráta úis sa chéad bhliain. I ndeireadh na chéad bhliana, d’infheistigh an duine E1000 breise.

Is é 2% an ráta úis sa dara bliain.Ríomh luach na hinfheistíochta i ndeireadh an dara bliain.

I ndeireadh an tríú bliain, ba é E14 014 an méid infheistithe.Ríomh an ráta úis sa tríú bliain.

11. Cén tsuim airgid, infheistithe ar ús iolraithe 5% sa bhliain, a thabharfadh E10 988.78i gceann sé bliana?

12. Faigheann duine E15 000 ar iasacht ar feadh dhá bhliain.Gearrtar ús ar 12% sa bhliain an chéad bhliain.Aisíocann an duine E6000 i ndeireadh na chéad bhliana.Má tá fiacha E12 042 air i ndeireadh an dara bliain, faigh an ráta úis don dara bliain.

13. Infheistíodh E5000 ar feadh trí bliana ar ús iolraithe.Ba é 4% an ráta sa chéad bhliain. Ba é 41

2% an ráta sa dara bliain. (i) Faigh méid na hinfheistíochta i ndeireadh an dara bliain. (ii) Ag tús an tríú bliain, infheistíodh E4000 breise.

Ba é r% an ráta sa tríú bliain.Ba é E9811.36 an infheistíocht iomlán i ndeireadh an tríú bliain.Ríomh luach r.

14. Infheistíodh suim airgid ar feadh dhá bhliain.Ba é 4% an ráta úis sa chéad bhliain agus 5% an ráta úis sa dara bliain.Más é E9282 an méid i ndeireadh an dara bliain, faigh an tsuim a infheistíodh.

15. Infheistítear suim airgid ar ús iolraithe r% sa bhliain. Is é E5175 an méid i ndeireadh na chéad bhliana agus E5951.25 i ndeireadh an dara bliain. Faigh (i) luach r (ii) an tsuim a infheistíodh.

16. Tugann banna infheistíochta ús 25% tar éis 5 bliana.Ríomh an ráta coibhéiseach bliantúil (RCB) don bhanna seo.Tabhair do fhreagra ceart go hionad amháin de dheachúlacha.

17. Gearrann comhlacht cártaí creidmheasa ús ar ráta 2.5% sa mhí.Ríomh an ráta céatadánach iomlán úis ar feadh 12 mhí, ceart go dtí an 0.1% is gaire.

18. Gearrann comhlacht cártaí creidmheasa eile ús ar ráta 1.5% sa mhí.Ríomh an ráta úis bliantúil, ceart go dtí an 0.1% is gaire.

125

19. Faigheann Seán E4000 ar iasacht ón mbanc ar 1 Eanáir. Toilíonn sé E1000 a aisíoc i ndeireadh gach míosa.Gearrann an banc ús ar ráta 2% sa mhí ar an méid gan íoc.

(i) Lean leis an ríomh go n-aisíoctar an iasacht iomlán (beidh an aisíocaíocht deiridh níos lú ná E1000). Cathain a aisíocfar í go hiomlán?

(ii) Cé mhéad í an aisíocaíocht deiridh?

20. Ba é E4897.20 an méid airgid i ndeireadh dhá bhliain nuair a infheistíodh suim airgid ar ús iolraithe.

(i) Ba é 5% an ráta úis sa dara bliain.Cén luach a bhí san infheistíocht i ndeireadh na chéad bhliana?

(ii) Ba é E4400 an bhunsuim a infheistíodh. Cén ráta úis a íocadh sa chéad bhliain?

21. D’infheistigh duine EB i gcumann foirgníochta ar 4% sa bhliain.I ndeireadh na chéad bhliana, d’infheistigh sí EB breise agus d’fhág sí an t-airgead go léir sa chumann ar feadh bliain eile ar 5% sa bhliain.Má b’fhiú E17 136 an infheistíocht ar fad i ndeireadh an dara bliain, faigh luach B.

22. Tá Comhlacht Iasachtaí na Siorcanna ag machnamh ar bhealaí éagsúla chun ús a ghearradh.

Rogha A 78% a ghearradh sa bhliainRogha B 78% 4 2 5 39%, mar sin gearr 39% sa 6 mhíRogha C 78% 4 4 5 19.5%, mar sin gearr 19.5% sa 3 mhíRogha D 78% 4 12 5 6.5%, mar sin gearr 6.5% sa mhí.

Ríomh an RCB, ceart go hionad amháin de dheachúlacha, do gach rogha.

23. D’infheistigh bean E8000 i mbanc ar ús iolraithe 7% sa bhliain.D’aistarraing sí E2000 i ndeireadh na chéad bhliana.D’fhág sí an fuílleach sa bhanc go ceann bliana ar ráta r%. Má b’fhiú E6920.80 a cuid infheistíochta i ndeireadh an dara bliain, faigh luach r.

24. Chosain meaisín E15 000.Má dhímheas a luach 15% sa bhliain, faigh a luach i ndeireadh dhá bhliain.

25. Dímheasann luach veaineanna 20% sa bhliain. (i) Má ceannaíodh veain ar E23 000, faigh a luach i ndeireadh trí bliana. (ii) Más é E11 520 luach veain tar éis dhá bhliain, faigh a luach nuair a bhí sé nua.

26. Ceannaíodh carr nua ar E24 000. Dhímheas a luach 20% sa chéad bhliain.Má b’fhiú E16 128 an carr i ndeireadh an dara bliain, cén céatadán dímheasa a tháinig ar a luach i rith an dara bliain?

Méid ar 1 Eanáir

Ús, Eanáir

Aisíocaíocht, 31 Eanáir

Méid ar 1 Feabhra

Ús, Feabhra

Aisíocaíocht, 28 Feabhra

Méid ar 1 Márta

�4000

80

1000

3080

61.60

1000

2141.60

�

�

�

�

126

27. Dímheasann luach carr athláimhe 15% sa bhliain.Cad é an céatadán dímheasa ar a luach thar thréimhse 3 bliana?Tabhair do fhreagra ceart go dtí an tslánuimhir is gaire.

28. Tá líon na niút i lochán ag laghdú 8% in aghaidh na bliana.Tá 756 niút sa lochán anois.Cé mhéad a bheidh ann i gceann 6 bliana?

29. Gach bliain, dímheasann luach cairr 20% den luach a bhí air ag tús na bliana sin. Más é E14 336 luach an chairr i ndeireadh a céad trí bliana, faigh luach an chairr nuair a bhí sí nua.

30. Tugann aonad fisiteiripe in ospidéal áirithe cóireáil ultraivialait.Faigheann gach othar, atá ag dul don chóireáil, dáileog 1 nóiméad 9 soicind ar an gcéad lá.Gach lá, méadaítear an dáileog de chéatadán áirithe, mar a fheictear sa tábla thall, ag brath ar an sórt craicinn atá ag an othar.(Méadaítear an dáileog go sroicheann sí uasmhéid de 46 nóiméad 18 soicind, agus coinnítear seasmhach í as sin amach.) (i) Tá craiceann de shórt 3 ag Méadhbh. Ríomh a dáileog ar Lá 3. (ii) Tá craiceann de shórt 4 ag Cian. Cén lá a rachaidh a dháileog thar 3 nóiméad, den chéad uair? (iii) Tá craiceann de shórt 2 ag Ríonach. Lá 14, faigheann sí dáileog 4 nóiméad,

0 soicind. Cén dáileog a fhaigheann sí Lá 16?

Mír 5.8 Luas --- fad --- am Rinne Séamas an turas ó Bhaile Átha Cliath go Corcaigh sa charr, fad (nó achar) 250 km, in 2 1

2 uair an chloig.

Is féidir an meánluas a bhí faoi agus é ar an aistear a fháil ach úsáid a bhaint as an modh seo:

Meánluas 5 fad an aistiram a glacadh

� 250 ____ 2.5

� 100 km/uair

Luas 5 FadAm

Am 5 FadLuas

Fad 5 Am 3 Luas

Sórt craicinn Méadú sa lá

ina chéatadán

1. Dónn i gcónaí 10%

2. Donnaíonn sé acha bheith cúramach,ach dónn go héasca 15%

3. Donnaíonn sé go héasca agus isannamh a dhónn sé 20%

4. Donnaíonn sé i gcó-naí; ní dhónn riamh 25%

Is féidir an triantán seo a úsáid chun cuimhneamh ar an bhfoirmle.

F

AL

Clúdaigh an luach atá uait le d’ordóg: m.sh. chun luas a aimsiú, clúdaigh L. Fágtar thú le F os cionn A, is é sin

fadam

127

Sampla 1

500 km a ghabh carr i 6 huaire an chloig.100 km/uair an meánluas a rinne an tiománaí sa chéad dá uair an chloig. Faigh an meánluas i gciliméadair san uair le linn na gceithre huaire an chloig deiridh.

An fad a gluaiseadh sa chéad 2 uair an chloig: 100 3 2 5 200 km.Mar sin, 300 km a ghabh an tiománaí sna 4 huaire an chloig deiridh.

Meánluas 5 FadAm

� 300 ____ 4

� 75

; an méanluas le linn na 4 huaire an chloig deiridh 5 75 km/uair.

Graif faid is ama

Léiríonn an graf faid is ama (nó graf achair is ama) thíos aistear rothaí a d’fhág Baile A.

0

20

40

60

Fad

i n k

m

1

A

B

D

C

E

F

2Am in uaireanta an chloig

3

(i) Ó A go B, rothaigh sé 20 km in 1 uair an chloig. (ii) Ag B, stop sé ar feadh leathuaire 2 léirítear é seo le [BC]. (iii) Ag C, ghlac sé síob ar leoraí agus chuaigh sé go D, fad 40 km.

Ghlac an chuid seo den turas leathuair an chloig. (iv) Ansin lig sé a scíth ar feadh leathuaire 2 léirítear é seo le [DE]. (v) Ansin, chuaigh sé ar thraein ar ais go dtí an baile ónar thosaigh sé an turas. Thóg an

t-aistear 60 km seo leathuair an chloig air 2 léirítear é seo le [EF].[Ar ghraf faid is ama, is féidir leis an bpointe imeachta agus an ceann scríbe a bheith in áit bith ar an ais chothrománach.]

Nóta 1. Ar ghraf faid is ama, léiríonn líne chlaonta luas seasta.

2. Léiríonn líne chothrománach am sosa.

3. Luas 5 Fad déantaAm

Tá an luas ó E go F 5 60 km1/2 uair 5 120

1 5 120 km/uair

128

Cleachtadh 5.8

1. 60 km/uair a dhéanann traein áirithe ar feadh dhá uair an chloig, agus 90 km/uair ansinar feadh uair an chloig amháin. Faigh an meánluas a dhéanann sí i gcaitheamh na dtríhuaire an chloig.

2. Glacann aistear trí huaire an chloig ar mheánluas 120 km/uair. Cé mhéad ama, in uaireanta an chloig, a ghlacfaidh an t-aistear má laghdaítear an meánluas go 80 km/uair?

3. In km san uair, ríomh meánluas traenach a thaistealaíonn

(i) 240 km in 2 uair an chloig (ii) 336 km in 3 huaire an chloig (iii) 68 km i leathuair an chloig

(iv) 392 km in 312 uair an chloig (v) 32 km in 15 nóiméad (vi) 90 km in 40 nóiméad.

4. Taispeánann an léaráid turas ar bhus idir Baile Átha Cliath agus Trá Lí.

190 km 120 kmBaile Átha Cliath

08:30

Luimneach

11:00

Trá Lí

13:15

(i) Ríomh meánluas an bhus idir Baile Átha Cliath agus Luimneach. (ii) Ríomh meánluas an bhus idir Luimneach agus Trá Lí. (iii) Ríomh meánluas an bhus idir Baile Átha Cliath agus Trá Lí.

Bíodh na freagraí ceart go dtí an tslánuimhir is gaire.

5. Thosaigh turas 276 km ar 10.40 agus chríochnaigh sé an lá céanna ar 14.30.Faigh an meánluas in km/uair.

6. Cén fad a thaistealóidh carr (i) in 3 huaire an chloig ar mheánluas 80 km/uair? (ii) in 4 huaire an chloig ar mheánluas 65 km/uair? (iii) in 2 1

4 uair an chloig ar mheánluas 88 km/uair?

7. Cén t-am a thógfaidh sé aistear (i) 210 km ar mheánluas 70 km/uair a dhéanamh? (ii) 200 km ar mheánluas 80 km/uair a dhéanamh? (iii) 20 km ar mheánluas 60 km/uair a dhéanamh?

8. 4 huaire agus 20 nóiméad a thógann aistear áirithe, ar mheánluas 120 km/uair. Cé mhéad uair agus nóiméad a thógfaidh an t-aistear céanna má laghdaítear an meánluas go 100 km/uair?

9. 320 km a rinne carr i gcúig huaire an chloig.80 km/uair an meánluas a bhí an tiománaí a dhéanamh le linn an chéad 160 km.Cad é an meánluas a bhí sí a dhéanamh le linn an dara 160 km?

10. Taistealaítear 18 km in 25 nóiméad.Faigh an meánluas i méadair sa soicind.

11. Fágann traein Corcaigh ag 09:05 agus sroicheann sí Baile Átha Cliath ag 12.25.250 km atá Baile Átha Cliath ó Chorcaigh. Faigh meánluas na traenach ina km/uair.

129

12. Taistealaíonn duillárthach fad 48 km ar luas 36 km/uair.Ríomh an méid ama a thóg an t-aistear (i) in uaireanta an chloig, ag úsáid codán (ii) in uaireanta an chloig agus nóiméid

13. Taistealaíonn bád farantóireachta 51.6 km ar luas 24 km/uair.Cén fad a ghlacann an t-aistear in uaireanta an chloig agus nóiméid?

14. Ritheann tíogar ar luas 50 ciliméadar san uair ar feadh 9 soicind.Cé mhéad méadar a ritheann an tíogar?

15. Glacann sé 46 nóiméad ar Éamonn fad 6.4 km a rith. Ríomh a mheánluas in km/uair, ceart go hionad amháin de dheachúlacha.

16. Siúlann Áine ar scoil, fad 1.7 km óna teach.Meánluas 5.1 km/uair a bhíonn faoi Áine.Cad é an t-am is déanaí is féidir léi a teach a fhágáil le bheith ar scoil ar 8.55 a.m.?

17. Léiríonn an graf faid is ama turas Eimhire a ghlacann 3 huaire an chloig uirthi.

0

15

30

45

Fad

ón

mb

aile

in k

m

60

75

1 2

Am in uaireanta an chloig

30

(i) Cén fad a rinne sí sa chéad uair an chloig? (ii) Cé mhéad ama a chaith sí ina stad? (iii) Cén fad a rinne sí sa tríú huair an chloig? (iv) Cén fad iomlán a bhí sa turas?

18. Léiríonn an graf seo turas traein turasóireachta a ritheann idir dhá stáisiún. (i) Cá fhad óna chéile atá an dá stáisiún? (ii) Cad é luas na traenach, in km sa

nóiméad, ar an turas amach? (iii) Cad é an luas seo in km san uair

(km/u)? (iv) Cad é luas na traenach, in km/u,

ar an turas ar ais?0

10

20

Fad

i n k

m

5

15

25

40 80

Am i nóiméid

30 7020 6010 50 100900

130

19. Taispeánann an graf thíos an fad a dhéanann bus agus an t-am a ghlacann sé turas achríochnú. Thosaigh an bus ar an aistear ar 12.00 agus chríochnaigh sé an t-aistearar 15.00.

0

20

40

Fad

in k

m

10

30

50

13:00 14:00

Am

15:0012:00

(i) Cén fad a rinne an bus sa chéad uair an chloig? (ii) Cé mhéad ama a chaith an bus ina stad? (iii) Cén fad a rinne an bus idir 13.30 agus 15.00? (iv) Cé mhéad ama a chuaigh thart ag taisteal ó phointe 10 km ón bpointe

imeachta go pointe 40 km ón bpointe imeachta?

20. Léiríonn an graf taistil thíos turas an Uas. Uí Luanaigh sa charr óna theach go dtí achuid oibre.

Ag A, stopann sé chun nuachtán a cheannach.Ag B, stopann sé chun peitreal a cheannach.Ag D, sroicheann sé a cheann scríbe.

0

8

16

Fad

ón

tea

ch (

in k

m)

4

12

20 40

Am (i nóiméid)

6010 30

A

BC

D

500

(i) Cá fhad a ghlacann an turas air? (ii) Cé mhéad ama a chaitheann sé ina stad ag fáil peitril? (iii) Cad é meánluas an chairr ó C go D? (iv) Gan an dá stop a chur san áireamh, cén meánluas a bhí faoin gcarr don turas

iomlán?

131

21. Is í an líne sholadach an graf faid is ama do charr mionsamhlach. (i) Cad é luas an chairr, i méadair

sa soicind, i rith an chéad 2 shoicind?

(ii) Cad a tharlaíonn do luas an chairr 2 shoicind ón tús?

(iii) Cad é luas an chairr ina dhiaidh sin?

Is í an líne bhriste an graf faid is ama do charr mionsamhlach eile. (iv) Cad é luas an dara carr? (v) Cá fhad atá an dara carr ag taisteal sula ngabhann sí thar an gcéad charr?

Tosaíonn an tríú carr mionsamhlach 4.5 soicind i ndiaidh an chéad chairr agus gabhann sí thairsti 1.5 soicind níos déanaí. (vi) Cad é luas an tríú carr?

Mír 5.9 Obair le huimhreacha sanfhoirm chaighdeánach

Más le háireamhán a dhéanann tú an oibríocht 60 000 3 4 600 000, is í an uimhir 2.76 3 1011 a thiocfaidh ar an scáileán. Seasann sí sin do 2.76 iolraithe faoi 10 aon uair déag. Tá an

uimhir 2.76 3 1011 scríofa i nodaireacht na heolaíochta nó san fhoirm chaighdeánach. Gearrscríbhneoireacht is ea an fhoirm chaighdeánach le haghidh uimhreacha móra agusuimhreacha beaga a scríobh.

Sainmhíniú

Aon uimhir a scríobhtar san fhoirm a 3 10n, áit a bhfuil 1 # a < 10, agus n ina slánuimhir, deirtear gur i nodaireacht na heolaíochta nó san fhoirmchaighdeánach atá sí.

6.8 � 104

Seo roinnt uimhreacha san fhoirm chaighdeánach:

(i) 4000 � 4 � 1000 � 4 � 103

(ii) 64 000 � 64 � 1000 � 64 � 103 � 6.4 � 104

(iii) 254 000 � 2.54 � 105

Tabhair faoi deara, má aistrítear an pointe deachúlach

(i) 1 ionad amháin ar chlé, go n-iolraítear an uimhir faoi 101

(ii) 2 ionad ar chlé, go n-iolraítear an uimhir faoi 102

(iii) 3 ionad ar chlé, go n-iolraítear an uimhir faoi 103 …

0

4

Fad

i m

éad

air

2

6

3

1

5

2 4Am i soicindí

61 3 5

Scríobhtar an chuid seo mar uimhir idir 1 agus 10.

Scríobhtar an chuid seo mar chumhacht de chuid 10.

132

Uimhreacha atá níos lú ná 1

Maidir le huimhreacha atá níos lú ná 1, déan é seo:

(i) 0.04 � 4 ____ 100

� 4 ___ 102 � 4 � 10�2

(ii) 0.007 � 7 _____ 1000

� 7 ___ 103 � 7 � 10�3

(iii) 0.068 � 6.8 ___ 102 � 6.8 � 10�2

Tá eochair Exp nó 10 x ar an áireamhán agat. Comharthaí ar ‘easpóntantúil’ iad sin.

Chun 2.54 3 103 a athrú go foirm dheachúlach, eochraigh 2.54 10 x 3 � .

Is é 2540 a thiocfaidh aníos ar an scáileán.

Oibríochtaí san fhoirm chaighdeánach

1. Chun uimhreacha san fhoirm chaighdeánach a shuimiú le chéile nó a dhealú ó chéile, athraigh gach uimhir ina huimhir dheachúlach agus déan an suimiú nó an dealú.

Sampla 2.4 � 102 � 1.68 � 103

� 2.4 � 100 � 1.68 � 1000� 240 � 1680 � 1920 � 1.92 � 103

2. Chun uimhreacha san fhoirm chaighdeánach a iolrú faoi chéile (nó a roinnt ar a chéile),iolraigh na páirteanna ‘a’ faoi chéile ar dtús agus ansin iolraigh faoi chéile na huimhreachaatá scríofa mar chumhachtaí de chuid 10. Is mór an áis an t-áireamhán agus nahoibríochtaí sin á ndéanamh.

Mar sin (3.8 � 10 3)(9.4 � 10�2) � (3.8 � 9.4) � 103 � 10�2 � 35.72 � 101 … 3 � 2 � 1 � 3.572 � 102

Nó eochraigh an méid seo ar an áireamhán:

3.8 10 x 3 � 9.4 10 x �2 � .

Is é 357.2 an freagra.357.2 � 3.572 � 102.

Sampla 1

Scríobh gach ceann díobh seo san fhoirm chaighdeánach:

(i) 2.76 � 103 � 5.9 � 102 (ii) (6 � 103) � (4.5 � 104)

___________________ 1.2 � 104

(i) 2.76 � 103 � 5.9 � 102 � 2760 � 590 � 2170 � 2.17 � 103

[nó eochraigh isteach 2.76 10 x 3 � 5.9 10 x 2 � Is é 2170 an freagra].

133

(ii) (6 � 103) � (4.5 � 104)

___________________ 1.2 � 104 � 6 � 4.5 � 104 � 103

_________________ 1.2 � 104

� 27 � 107 ________

1.2 � 104

27 ___ 1.2

� 107 ___

104 � 22.5 � 103

� 2.25 � 104

[nó eochraigh isteach 6 10 x 3 � 4.5 10 x 4 � 1.2 10 x 4 �

Is é 22 500 an freagra.Is é 2.25 3 104 an freagra tar éis a thiontaithe].

Cleachtadh 5.9

1. Scríobh gach ceann díobh seo ina uimhir dheachúlach: (i) 6 � 102 (ii) 4.5 � 102 (iii) 6.8 � 103 (iv) 5.1 � 104

(v) 6.7 � 104 (vi) 5.16 � 102 (vii) 7.05 � 103 (viii) 1.86 � 104

2. Scríobh gach ceann díobh seo san fhoirm chaighdeánach: (i) 400 (ii) 580 (iii) 6200 (iv) 5700 (v) 60 000 (vi) 76 000 (vii) 92 000 (viii) 720 000

3. Athraigh na huimhreacha seo go foirm dheachúlach: (i) 2.5 � 10�1 (ii) 6 � 10�2 (iii) 4.8 � 10�3 (iv) 9.2 � 10�4

4. Scríobh na huimhreacha seo san fhoirm chaighdeánach: (i) 0.04 (ii) 0.062 (iii) 0.007 (iv) 0.0065

5. Scríobh na huimhreacha seo san fhoirm chaighdeánach: (i) 0.008 (ii) 0.0079 (iii) 0.0006 (iv) 0.00053

6. Cé acu de na huimhreacha seo atá scríofa san fhoirm chaighdeánach?

2.5 � 109 48 � 102 3.5 � 100 000 7 � 105 0.34 � 24A B C D E

7. Oibrigh amach iad seo agus scríobh na freagraí ina n-uimhreacha deachúlacha: (i) 3.8 � 102 � 1.7 � 103 (ii) 1.76 � 10 � 6.43 � 102

(iii) 8.4 � 103 � 1.7 � 102 (iv) 6.64 � 102 � 9.4 � 10

8. Faigh luach gach ceann díobh seo agus tabhair an freagra san fhoirm chaighdeánach. (i) (3.6 � 102) � (1.5 � 103) (ii) (4.6 � 102) � (3.7 � 10�1) (iii) (3.64 � 10�2) � (9 � 104) (iv) (1.8 � 10�4) � (8 � 105)

134

9. Scríobh gach ceann díobh seo san fhoirm a 3 10n, áit a bhfuil 1 � a � 10, n ; Z:

(i) 8.4 � 105 ________

1.2 � 102 (ii) 9 � 104 ________

1.5 � 102 (iii) 4.48 � 103 _________

8 � 10�1

10. Scríobh san fhoirm chaighdeánach iad seo:

(i) 1.4 � 103 � 5.6 � 102 ___________________

7 � 10�1 (ii) (6.4 � 102) � (8.2 � 104)

_____________________ 1.033 � 102

11. Oibrigh amach iad seo gan áireamhán a úsáid. Tabhair do fhreagra san fhoirm chaighdeánach.

(i) (5.4 � 105) � (3 � 102) (ii) 4 � 103 _______

8 � 105 (iii) 4 � 105 _______

5 � 108

(iv) 1.6 � 109 ________

8 � 107 (v) 8 � 104 ________

1.6 � 105 (vi) 4.8 � 10�2 _________

3 � 103

12. Is é 1.27 3 104 km trastomhas an Domhain. Is é 6.8 3 103 km trastomhas Mhars. (i) Cé acu pláinéad ag a bhfuil an trastomhas is mó? (ii) Cad é an difríocht idir thrastomhais an dá phláinéad? (iii) Cad é an t-iomlán má shuimítear an dá thrastomhas?

Tabhair do fhreagra san fhoirm chaighdeánach.

13. Scríobh 1.2 � 108 � 3.6 � 105 ___________________

1.8 � 109 san fhoirm chaighdeánach.

14. Ríomh an luach atá ar 5.1 � 108 � 19 � 107 __________________

1.4 � 1012 agus scríobh an freagra ina uimhir dheachúlach.

15. Taispeánann an tábla seo na reiligiúin eagraithe a raibh an bhallraíocht is mó acu sa bhliain 2000. (i) Scríobh líon na mBúdaithe ina uimhir

dheachúlach. (ii) Cé acu reiligiún ag a raibh an

bhallraíocht ba mhó? (iii) Cé acu reiligiún ag a raibh an

bhallraíocht ba lú? (iv) Tá líon na mball i reiligiún amháin beagán níos mó ná leath líon na mball i

reiligiún eile. Cén dá reiligiún atá i gceist anseo?

16. Scríobh na huimhreacha seo san fhoirm dheachúlach:

(i) 6.8 � 103 � 5.2 � 102 ___________________

3.2 � 102 (ii) 1.12 � 10�2 � 9.8 � 105 _____________________

1.4 � 102

Véineas

Mars

An Domhan

Mearcair

Reiligiún Ballraíocht

An Búdachas 3.4 � 108

An Chríostaíocht 1.92 � 109

An Confúiceachas 6.37 � 106

An Hiondúchas 7.67 � 108

An tIoslam 1.04 � 109

135

Cuir triail ort féin 5 1. (i) Roinneadh duaischiste idir A, B agus C sa chóimheas 5 : 2 : 1.

Má fuair B E520, ríomh luach iomlán an duaischiste. (ii) Gach ball éadaigh fir le linn reaca, is lú de 20% an praghas atá air ná an praghas marcáilte.

(a) Más é E336 praghas reaca cóta, cad é an praghas marcáilte?(b) Má dhéanann lucht an tsiopa brabús 5% ar bhunphraghas an chóta sa reic, cén

céatadán brabúis a bhí siad a dhéanamh ar an mbunphraghas roimh an reic? (iii) Tá tuarastal bliana E47 500 ag Deirdre.

E3600 an creidmheas cánach a dhlitear di, agus E32 000 scoithphointe an ráta chaighdeánaigh a ghearrtar uirthi. Más é 20% an ráta caighdeánach agus 46% an ráta ard, cé mhéad cáin ioncaim a íocann sí sa bhliain?

2. (i) Aimsigh ceithre phéire meaitseála.

3�2A

2�3B

4�2C

6�1D

�6E

1 __ 6

F

1 ___ 16

G

1 __ 8

H

1 __ 9

I

(ii) D’infheistigh duine E16 000 ar feadh dhá bhliain.Ba é 7% an ráta úis sa chéad bhliain.I ndeireadh an dara bliain, ba é E18 061.60 an méid airgid.Faigh an ráta úis sa dara bliain.

(iii) Úsáideann duine liathróid mhór olla chun scaif a chniotáil. Tá an scaif 40 lúb ar leithead agus 120 cm ar fad. Má úsáidtear liathróid olla den mhéid chéanna chun scaif atá 25 lúb ar leithead a chniotáil, aimsigh fad na scaife nua.

3. (i) Is é 5 an difríocht idir 16 d’uimhir agus 1

7 di. Cad í an uimhir?

(ii) Is é 21 473 aonad an léamh ar an méadar leictreachais faoi láthair i dteach Áine.Ba é 20 649 an léamh roimhe seo. (a) Cé mhéad aonad leictreachais a úsáideadh ón léamh roimhe seo?(b) Cén costas a bhí ar an leictreachas a úsáideadh má chosnaíonn gach aonad 20.5c?(c) Cuirtear bunmhuirear E24.08 leis an gcostas agus ansin cuirtear CBL ar an

méid iomlán. Más é E233.53 bille Áine, aimsigh an ráta CBL. (iii) Mhalartaigh turasóir Astrálach 2000 dollar ar euro nuair a bhí ráta E1 5 1.6 dollar

Astrálach i bhfeidhm. Cén táille, ina céatadán, a bhí ar an idirbheart má fuair sí E1225?

4. (i) Tá fad agus leithead dronuilleoige sa chóimheas 7 : 4. Más é 21 cm fad na dronuilleoige, faigh a hachar.

(ii) Tá tuarastal bliantúil E42 800 ag Síle. Tá creidmheas cánach E3350 aici agusis é E31 000 scoithphointe an ráta chaighdeánaigh aici. Más é 20% an ráta caighdeánach agus 42% an ráta ard, cé mhéad cáin ioncaim a íocann sí don bhliain?

(iii) I ndeireadh an dara bliain, b’fhiú E5342.40 suim airgid a infheistíodh ar ús iolraithe.

(a) Má b’ionann an ráta úis sa dara bliain agus 6%, cé mhéad ab fhiú an infheistíocht i ndeireadh na chéad bhliana?

(b) Más é E4800 an tsuim a infheistíodh ar dtús, faigh an ráta úis sa chéad bhliain.

5. (i) Maidin amháin fiafraíodh de gach dalta i rang 36 dalta cén chaoi ar tháinig sé/sí ar scoil an mhaidin sin. Tháinig 1

4 díobh ar rothar, 29 ar an mbus, 1

3 de shiúl na gcos

agus an chuid eile i gcarr.

(a) Cén codán den rang a tháinig i gcarr?(b) Cé mhéad dalta a tháinig ar an mbus?

(ii) Tá rogha ag Sinéad idir na bearta pá seo a leanas:A: ‘Méadú 5% i mbliana agus méadú 4% an bhliain seo chugainn’

B: ‘Méadú 4 12% i mbliana agus méadú 4 1

2% an bhliain seo chugainn’

Cé acu tairiscint ar ceart di glacadh léi?

(iii) Íoctar coimisiún le díoltóir as gach meaisín a dhíolann sé. Faigheann sé 5% den chéad E8000 den phraghas díola, móide coimisiún 2% den chuid eile.(a) Ríomh an coimisiún a gheobhadh an díoltóir as meaisín a dhíol ar E42 000.(b) Ríomh praghas díola an mheaisín a bhfaigheadh an díoltóir coimisiún E1360 as.

6. (i) Scríobh (7.2 � 102) � (6.2 � 103)

_____________________ 3.6 � 104 ina uimhir dheachúlach.

(ii) (a) Infheistíodh E6000 i mbanna rialtais 8 mbliana. Bhí ráta coibhéiseach bliantúil (RCB) 5% i gceist. Cén luach a bheidh ar an infheistíocht nuair a aibíonn sí i gceann ocht mbliana?

(b) Tugann banna infheistíochta eile ús 25% tar éis 8 mbliana.Ríomh RCB an bhanna seo.Tabhair do fhreagra ceart go haonad amháin de dheachúlacha.

(iii) E240 an méid cáin ioncaim a d’íoc pluiméir seachtain amháin. E600 scoithphointe an ráta chaighdeánaigh ar an bpluiméir, agus creidmheas cánach E80 a dhlitear dó. Ba é 20% an ráta caighdeánach agus 40% an ráta ard.Faigh (a) an cháin ioncaim chomhlán a d’íoc sé an tseachtain sin (b) an cháin ioncaim chomhlán a d’íoc sé ar 20% (c) pá comhlán na seachtaine sin aige.

7. (i) Rinne tiománaí 25 dá aistear sular stop sé chun peitreal a cheannach.

Thaisteal sé 40 km eile agus stop sé arís. Má bhí 2

3 den aistear déanta aige ag an bpointe sin, ríomh fad iomlán an aistir.

(ii) Tá úinéir caisleáin ag smaoineamh ar an táille isteach ar an gcaisleán a mhéadú 15%. Deir a chomhairleoirí leis go laghdóidh sé seo líon na gcuairteoirí 14%. Ar cheart dó an táille a ardú? Mínigh do fhreagra.

136

(iii) Infheistíodh suim áirithe airgid ar feadh dhá bhliain ar ús iolraithe. 6% an ráta úis sa chéad bhliain agus 5 1

2% sa dara bliain.

Má b’fhiú E6709.80 an infheistíocht i ndeireadh an dara bliain, ríomh an tsuim a infheistíodh.

8. (i) Roinn Siobhán agus Caoimhín E960 sa chóimheas 3 : 5.Thug Siobhán 1

3 dá sciar do Mhícheál.Thug Caoimhín leath a sciar do Mhícheál.Cén codán den bhunsuim airgid a fuair Mícheál?Tabhair an codán san fhoirm is simplí de.

(ii) Ceannaíonn Liam lomaire faiche nua. Laghdú 20% a thagann ar luach an lomaire gach bliain.(a) Deir Liam ‘Ní bheidh luach ar bith sa lomaire i ndeireadh cúig bliana’.

Níl an ceart ag Liam. Cén fáth?

Teastaíonn ó Liam luach an lomaire i ndeireadh dhá bhliain a aimsiú. (b) Cén uimhir dheachúlach shingil a iolróidh Liam faoi luach an lomaire nuair

a bhí sé nua?

(iii) Dlitear creidmheas cánach E3600 sa bhliain do Sheán. Is é E30 000 scoithphointe an ráta chaighdeánaigh. Is é 20% an ráta caighdeánach agus 35% an ráta ard.Má íocann Seán E7650 cáin ioncaim sa bhliain, faigh(a) An cháin ioncaim chomhlán a íocann sé ar an ráta caighdeánach(b) An cháin ioncaim chomhlán a íocann sé ar an ráta ard(c) An méid ioncaim a thuill sé sa bhreis ar E30 000(d) A thuarastal comhlán sa bhliain.

9. (i) D’fhág traein Trá Lí ar 09.05 agus shroich sí Baile Átha Cliath ar 12.50.315 km atá Baile Átha Cliath ó Thrá Lí.Faigh meánluas na traenach le linn an turais.

(ii) (a) Tarraingítear léarscáil ag úsáid scála 1 : 500 000. Ar an léarscáil, 21.7 cm an fad idir dhá bhaile. Faigh an fíorfhad eatarthu. Tabhair do fhreagra i gciliméadair.

(b) 40 an freagra a tugadh ar 10.25 3 3.84. Ríomh an earráid chéatadánach agus bíodh do fhreagra ceart go hionad amháin de dheachúlacha.

(iii) D’infheistigh duine EP i mbanna coigiltis ar ús iolraithe. 4% an ráta sa chéad bhliain. I ndeireadh na chéad bhliana, d’infheistigh an duine EP breise sa bhanna. 31

2% an ráta úis sa dara bliain agus 3% sa tríú bliain. Má b’fhiú E17 397.94 an infheistíocht ar fad i ndeireadh an tríú bliain, ríomh luach P.

137

138

�� 1. Cóimheasa

Úsáidimid cóimheasa (mar shampla 3 : 4 nó 1: 2 : 3) chun léiriú a thabhairt ar an gcaoi a roinntear rudaí. Bíonn dhá chainníocht i gcomhréir dhíreach

le chéile má fhanann a gcóimheasa mar an gcéanna de réir mar a mhéadaíonnnó a laghdaíonn na cainníochtaí.

2. Céatadáin

(i) Chun méid a mhéadú 4%, iolraigh faoi 1.04. (ii) Chun méid a laghdú 4%, iolraigh faoi 0.96.

(iii) Céatadán brabúis (nó caillteanais) 5 brabús (nó caillteanas)bunsuim 3 100%

(iv) Earráid: Choibhneasta 5 earráidfíorluach Chéatadánach 5 earráid

fíorluach 3 1001 %

(v) Chun ús iolraithe a ríomh, aimsigh an t-iolraitheoir.Méid i ndiaidh n bliain 5 bunsuim 3 (iolraitheoir)n

3. Cáin ioncaim

Cáin is iníoctha 5 Cáin chomhlán 2 creidmheasanna cánachMás é E30 000 scoithphointe an ráta chaighdeánaigh, ciallaíonn sé sin go n-íocann an duine cáin ioncaim ar an ráta caighdeánach ar an gcéad E30 000 dá ioncam.

4. Idirbhearta airgeadra

Chun athrú ó airgeadra amháin go hairgeadra eile, is ar thaobh na láimhe deise den chothromóid a chuirtear an t-airgeadra a theastaíonn sa fhreagra.

5. Luas-am-fad

Luas 5 FadAm ; Am 5 Fad

Luas ; Fad 5 Am 3 Luas

6. Uimhreacha san fhoirm chaighdeánach

Is féidir uimhreacha móra agus uimhreacha beaga a scríobh go simplí san fhoirm chaighdeánach.Bíonn uimhir san fhoirm chaighdeánach nuair:

7.2 � 106

a scríobhtar an chuid seo a scríobhtar an chuid seo mar uimhir idir 1 agus 10 mar chumhacht de chuid 10

Chun uimhreacha a chur isteach ar d’áireamhán san fhoirm chaighdeánach,úsáid an eochair .10 x nó Exp

Chun 4.5 3 107 a chur isteach, brúigh na heochracha 4 � 5 � 10 x 7 .

139

Dóchúlacht Dóchúlacht Dóchúlacht Dóchúlacht Dóchúlacht Dóchúlacht Dóchúlacht Dóchúlacht � ��

�

6

��dóchúlacht dodhéanta cinnte fothoradh teagmhas

comhdhóchúil spás samplach turgnamh minicíocht choibhneasta

riail an iolraithe comheisiatach léaráidí Venn trialacha Bernoulli

iomalartú teaglaim luach ionchais léaráidí crainn

Mír 6.1 Dóchúlacht agus seansúlacht Má éisteann tú le tuar na haimsire, seans go gcloiseann tú a leithéidí seo:

‘Seans maith go mbeidh sé ag cur báistí amárach’.

‘D'fhéadfadh toirneach a bheith ann san iarnóin’.

‘Is dócha go stopfaidh an bháisteach i dtreo an tráthnóna’.

Chun tuar na haimsire a thabhairt, déantar staidéar ar chairteacha agus ar shonraí aimsire le hinsint dúinn, mar shampla, cén seans atá ann go mbeidh sé ag cur báistí amárach.

Baineann an dóchúlacht úsáid as uimhreacha le hinsint dúinn cé chomh mór nó chomh beag is atá an seans go dtarlóidh rud éigin.

Tá slite éagsúla ann chun cur síos a dhéanamh ar an dóchúlacht nó an seans go dtarlóidh rud éigin. Seo roinnt samplaí:

Dodhéanta Neamhdhóchúil Seans Cothrom Dóchúil Cinnte

Is é 1 an dóchúlacht atá ag teagmhas ar cinnte go dtarlóidh sé.

Is é 0 an dóchúlacht atá ag teagmhas nach féidir leis tarlú.

Tá gach dóchúlacht eile níos mó ná 0 agus níos lú ná 1.

Dá dhóchúla é go dtarlóidh rud éigin, is é is gaire a bheidh an dóchúlacht do 1.

Scála dóchúlachta a thugtar ar an líne a thaispeántar thíos.

CinnteSeans CothromDodhéanta DóchúilNeamhdhóchúil

1120

Tá seans cothrom ann gur fear nó buachaill a bheidh sa chéad duine eile a chasfar ort aran tsráid.

Tá sé cinnte go n-éireoidh an ghrian amárach.

Tá sé dodhéanta 7 a fháil nuair a chaitear gnáthdhísle.

140

Cleachtadh 6.1

1. I gcás gach ceann de na teagmhais seo a leanas, déan cur síos ar an dóchúlacht go dtar-lóidh sé. Ceann díobh seo a bheidh i ngach freagra: Dodhéanta, Seans cothrom, Cinnte. (i) Ní rachaidh an ghrian faoi an tseachtain seo chugainn. (ii) Buachaill a bheidh sa chéad leanbh eile a bhéarfar. (iii) Beidh Lá Nollag ar an 25 Nollaig i mbliana. (iv) Tarraingíonn tú cárta dearg ó ghnáthphaca cártaí. (v) Fásfaidh banana ar chrann piorraí.

2. Tá seacht lipéad ar an scála dóchúlachta thíos:

Dodhéanta An-neamh-dhóchúil

SeansCothrom

DóchúilNeamh-dhóchúil

An-dóchúil Cinnte

I gcás gach ceann de na teagmhais seo a leanas, cé acu de na lipéid sin is fearr a dhéananncur síos ar an seans go dtarlóidh sé?

(i) Scórálfaidh tú 10 in aon chaitheamh amháin de ghnáthdhísle. (ii) Beidh sé ag cur báistí in Éirinn am éigin i gcaitheamh na seachtaine seo chugainn. (iii) Buafaidh tú duais i gcrannchur an chlub le ticéad amháin. (iv) Mairfidh tú go mbeidh tú 100 bliain d’aois. (v) Críochnaíonn ceann de laethanta na seachtaine leis an litir N. (vi) Má chaithim bonn is cúl a bheidh ar barr. (vii) Tarraingeoidh tú ré-uimhir ó na cártaí seo

3. Tá na cártaí seo ag Dáithí:Meascann sé na cártaí agus iompaíonn sé aghaidh síos iad.Piocann sé suas ceann amháinagus breathnaíonn sé ar aaghaidh. Tá 5 air. Piocann sé suas ceann eile agus breathnaíonn sé air.

(i) Cé acu is dóchúla: go bhfaighidh sé uimhir níos lú ná 5 nó go bhfaighidh sé uimhirníos mó ná 5? Mínigh.

(ii) An bhfuil níos mó seans ann gur ciorcal a bheidh ar an gcárta ná gur triantán abheidh air? Mínigh.

4. Déan cóip den scála dóchúlachta seo. Cuir saighead ar an scála chun an dóchúlachtgo dtarlóidh na teagmhais a liostaítear thíos a thaispeáint:

10

CinnteDodhéanta

1/2

(i) go stopfaidh an rothlóir ar dheis ar an dath dearg (ii) go stopfaidh an rothlóir ar dheis ar an dath uaine (iii) gur cailín a bheidh sa chéad leanbh eile a bhéarfar (iv) go dtógfar cnaipe dubh amach as an mála seo,

gan breathnú isteach ann (v) go dtógfar cnaipe dearg amach as an mála seo, gan breathnú isteach ann

3 2 7 9 6 5

3 7 4 59 1 811

5

141

5. Seo ceithre rothlóir agus dathanna éagsúla orthu:

A B C D

Má chastar na rothlóirí, cé acu de na rothlóirí a bhfuil ... (i) seans cothrom ann go dtaispeánfaidh sé gorm? (ii) seans cothrom ann go dtaispeánfaidh sé dearg? (iii) an seans is lú ann go dtaispeánfaidh sé buí? (iv) aon seans as trí cinn ann go dtaispeánfaidh sé buí? (v) aon seans as ceithre cinn ann go dtaispeánfaidh sé dearg? (vi) an seans is mó ann go dtaispeánfaidh sé dearg?

6. Díoltar íogart ina phacaí de 12.

Tá Robbie chun ceann a thógáil gan breathnú orthu.

cnónna

0

sútha gnách fanaile

Bain úsáid as an scála dóchúlachta le fáil amach cé mhéad de na blasanna seo atá i bpaca: (i) fanaile (ii) gnách (iii) cnónna (iv) sútha.

7.

Casann Todd saighead agus é ag imirt cluiche. Stopann an tsaighead ar cheann de shé theascóg déag de chiorcal. Tá na teascóga ar fad ar cóimhéid. Tá dath amháin ar gach teascóg sa chiorcal. Taispeánann an scála dóchúlachta cén seans atá ann gostopfaidh an tsaighead ar aon dath faoi leith. Cé mhéad teascóg ...

(i) a bhfuil an dath dearg orthu (ii) a bhfuil an dath gorm orthu (iii) a bhfuil an dath buí orthu?

8. Úsáideann Máire gnáth-heicseagán mar rothlóir le haghaidh cluiche

Ar scála dóchúlachta cosúil leis an gceann thíos, tarraing saighead letaispeáint cén seans atá ann go bhfaighidh Máire na torthaí seo nuaira chasann sí an rothlóir:

(i) 2 (ii) uimhir níos lú ná nialas (iii) uimhir níos mó ná 1.

11/20

Buí

10

Dearg Gorm

1

�1

2

3

�3

�2

Fíor shéthaobhach is ea heicseagán.

142

Mír 6.2 Teagmhais agus fothorthaí Sula féidir leat cluiche áirithe a thosú, caithfidh tú dísle a chaitheamh agus a sé a fháil.

Triail a thugtar ar chaitheamh an dísle.

Is iad na huimhreacha 1, 2, 3, 4, 5 agus 6 fothorthaí féideartha uile na trialach.

Teagmhas a thugtar ar an toradh a theastaíonn.

Má theastaíonn ré-uimhir uait agus tú ag caitheamh dísle, is é an teagmhas nó na fothorthaí fabhracha ná na huimhreacha2, 4 agus 6.

Fothorthaí comhdhóchúlaDeirtear go bhfuil dhá theagmhas comhdhóchúil (nó chomh dóchúillena chéile) má tá an seans céanna ann go dtarlóidh ceachtar acu.

Is ionann an seans go bhfaighidh tú dearg leis an rothlóir ar dheis agusan seans go bhfaighidh tú gorm. Tá dearg agus gorm comhdhóchúil.

I gcás an rothlóra eile (ar dheis), ní hionann an seans go bhfaighidh túdearg agus an seans go bhfaighidh tú buí. Níl dearg agus buí comhdhóchúil.

An riail ghinearálta: Más teagmhas é E, is é an dóchúlachtgo dtarlóidh E, i.e. P(E), ná

P(E) � líon na bhfothorthaí fabhracha in E ______________________________ líon na bhfothorthaí féideartha

Nóta 1. Dóchúlacht teagmhais ar bith, E, ní fhéadfadh sí a bheith níos lú ná 0 ná níosmó ná 1, i.e., 0 # P(E) # 1.

2. Má bhíonn an toradh cinnte is é 1 an dóchúlacht.

3. Mura féidir toradh fabhrach a bheith ann is é 0 an dóchúlacht.

I gcás an rothlóra ar dheis,

P(uaine) 5 15, mar gur cuid amháin atá uaine

P(buí) 5 25, mar gur dhá chuid atá buí.

Sampla 1

Cuirtear 12 thicéad i mbosca. Tá uimhir ar gach ticéad, ó 1 go 12 faoi seach. Má tharraingítear ticéad amháin go randamach, faigh an dóchúlacht go bhfaighfear (i) uimhir a ceathair (ii) ré-uimhir (iii) uimhir dhá dhigit (iv) uimhir inroinnte ar 4

Teagmhas a thugtar ar

an toradh a theastaíonn.

143

(i) 4 amháin atá in 12 uimhir atá comhdhóchúil.⇒ P (4) � 1 __ 12

(ii) Is iad na ré-uimhreacha ná 2, 4, 6, 8, 10, 12, i.e., 6 ré-uimhir.⇒ P (ré-uimhir)� 6

__ 12 � 1 _ 2

(iii) 3 cinn d'uimhreacha dhá dhigit atá ann, i.e., 10, 11, 12.⇒ P (uimhir dhá dhigit)� 3 __ 12 � 1 _ 4

(iv) Is iad na huimhreacha inroinnte ar 4 ná 4, 8, 12.⇒ P (uimhir inroinnte ar 4)� 3 __ 12 � 1 _ 4

Sampla 2

Má tharraingítear cárta as paca 52, faigh an dóchúlacht (i) gur rí atá ann (ii) gur spéireata atá ann (iii) gur cárta dearg atá ann.

(i) 4 rí atá sa phaca

⇒ P (rí) � 4 __ 52 � 1 __ 13 .

(ii) 13 spéireata atá sa phaca

⇒ P (spéireata) � 13 __ 52 � 1 _ 4 .

(iii) 26 cárta dearg atá sa phaca � P (cárta dearg) � 26 __ 52 � 1 _ 2 .

Sampla 3

Roghnaítear litir go randamach ó litreacha an fhocail SRACEOLAS. Faigh an dóchúlacht gurb é atá ann ná: (i) R (ii) S (iii) guta (iv) L nó S.

(i) R amháin atá sna naoi litir ⇒ P (R ) � 1 _ 9

(ii) Dhá S atá san fhocal ⇒ P (N ) � 2 _ 9

(iii) Ceithre ghuta atá san fhocal … [A, E, O, A] ⇒ P (guta) � 4 _ 9

(iv) L amháin agus dhá S atá san fhocal, i.e., trí cinn ar fad.

⇒ P(L nó S) � 3 _ 9 � 1 _ 3

144

Focail a bhíonn in úsáid go minic sa dóchúlachtIs minic a bhaintear úsáid as focail ar nós randamach agus cóir i gceisteannadóchúlachta.

Is bealaí iad sin le rá go bhfuil gach fothoradh comhdhóchúil.

Mar shampla:Tarraingítear cárta go randamach ó phaca cártaí.Ciallaíonn sé sin go bhfuil an seans céanna ann go dtarraingeofar aon cheann de na cártaí.Caitheann tú dísle cóir.Ciallaíonn sé sin go bhfuil na fothorthaí 1, 2, 3, 4, 5 agus 6 comhdhóchúil.

Más teagmhas é A, tarlóidh sé nó ní tharlóidh sé.P(go dtarlóidh A) � 1 � P(nach dtarlóidh A)

Cleachtadh 6.2

1. Caitheann tú dísle cóir.Cén dóchúlacht atá ann iad seo a fháil: (i) 5 (ii) 1 nó 2 (iii) 4 nó níos mó (iv) corruimhir (v) níos lú ná 3 (vi) uimhir phríomha

2. Castar an rothlóir cóir seo trasna. Oibrigh amach an dóchúlacht go mbeidh an tsaighead ag síneadh i dtreo: (i) buí (B), (ii) uaine (U), (iii) dearg (D), (iv) gorm (G), (v) dearg nó gorm (D nó G).

3. Roghnaítear litir go randamach as an bhfocal SRIANADH. Cén dóchúlacht atá ann (i) gurb í an litir R atá ann (ii) gurb í an litir A atá ann (iii) gur guta atá ann?

4. I gcás gach ceann de na rothlóirí seo, cén dóchúlacht atá ann 4 a fháil? (i)

1 2

4 3

(ii)

4 4

4 1

(iii)

3

2

4

Cén dóchúlacht atá ann 2 nó 4 a fháil ar rothlóir (iii)?

145

5. Tarraingítear cárta ó phaca 52 cárta imeartha.Céard iad na dóchúlachtaí iad seo a tharraingt: (i) cárta dearg (ii) spéireata (iii) rí (iv) rí dearg?

6. Tá 5 chnaipe dhearga, 4 chnaipe dhubha agus 3 chnaipe uaine i mála.Má tharraingítear cnaipe go randamach ón mála, faigh an dóchúlacht go bhfuil sé (i) dearg (ii) uaine (iii) dearg nó dubh (iv) gan a bheith dubh

7. Léaráid atá ar dheis de rothlóir i dteach cearrbhachais. An tsuima stopann an maide treorach uirthi, sin í an tsuim a bhuafaidh tú.Má ghlacaimid leis go bhfuil an seans céanna ann go stopfaidh anan maide treorach ar shuim ar bith díobh, cén dóchúlacht atá ann (i) go mbuafaidh tú E5 (ii) nach mbuafaidh tú dada

(iii) go mbuafaidh tú roinnt airgid (iv) go mbuafaidh tú níos mó ná E5?

8. Roghnaítear litir go randamach as an bhfocal TUAISCEART. Céard é an dóchúlacht gurb é atá sa litir ná (i) T (ii) A (iii) T nó A (iv) guta?

9. Beidh breithlá Megan ann an tseachtain seo chugainn.Cén dóchúlacht atá ann go mbeidh a breithlá (i) ar an Luan (ii) lá ar túslitir dó D (iii) ar an Satharn nó ar an Domhnach?

10. Tá uimhir ar gach aghaidh de chuid dísle. Seo iad na huimhreacha: 2, 3, 3, 3, 4, 7.Caitheann tú an dísle. Faigh an dóchúlacht go bhfaighidh tú (i) ‘7’ (ii) ré-uimhir.

11. Scríobhtar 26 litir na haibítre Béarla ar dhioscaí.Cuirtear na cúig dhiosca a bhfuil guta scríofa orthu i mála A agus cuirtear na dioscaí eile i mála B.Cén dóchúlacht atá ann go bhfaighidh tú (i) ‘o’ ó mhála A (ii) ‘z’ ó mhála B (iii) ‘w’ ó mhála A.

Ceithre dhath (suit) atá i bpaca cártaí: hairt agus muileataí atá dearg; triufanna agus spéireataíatá dubh. Tá 13 chárta i ngach dath: aon, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, cuireata, banríon agus rí. Is iad an cuireata, an bhanríon agus an rí na cártaí pictiúir.

��10

� 5

0

0

0

�1

� 5

� 20

��

�

A B

Gutaí Consain

146

12. I scrúdú, bronntar ceann de na gráid A, B, C, D, E, F ar gach iarrthóir.Is é grád A an grád is airde agus is é grád F an ceann is ísle. Taispeántar sa tábla thíos dáileadh na ngrád a fuair an 30 dalta i rang.

Grád A B C D E F

Líon na ndaltaí 4 9 7 5 3 2

Má roghnaítear iarrthóir go randamach, cén dóchúlacht atá ann go bhfuair sé/sí (i) Grád A (ii) Grád C nó D (iii) Grád C nó níos airde?

13. Tá 12 dhiosca i mbosca. Tá trí cinn dearg, dhá cheann buí, ceithre cinn uaine agus trí cinn bán. (i) Faigh an dóchúlacht go roghnófá

(a) diosca dearg (b) diosca buí (ii) Cuirtear isteach trí dhiosca bhuí in áit na dtrí dhiosca

bhána. Faigh an dóchúlacht go roghnófá(a) diosca dearg (b) diosca buí.

14. Sular tháinig deireadh le Campa Samhraidh bliain amháin fiafraíodh de 50 dalta, idirbhuachaillí agus chailíní, cén cluiche ar an gcampa ba rogha leo. Taispeántar na torthaísa tábla thíos:

Leadóg Cispheil Eitpheil

Cailíní 15 10 5

Buachaillí 6 12 2

Má roghnaíodh duine go randamach ón mbuíon 50 dalta, faigh dóchúlacht gach ceann díobh seo: (i) gur buachaill a roghnaíodh (ii) gur cailín a roghnaíodh agus gurbh í an leadóg ba rogha léi (iii) gurbh í an chispheil ba rogha leis an duine.Más cailín a roghnaíodh, faigh an dóchúlacht gurbh í an eitpheil a roghnaigh sí.

15. Tá 6 licín i mbosca. Is é an dóchúlacht gur licín uaine a thógfar amach as an mbosca ná 1

2. Tógtar licín uaine amach as an mbosca agus cuirtear i leataobh é.Anois tógann Gearóid licín as an mbosca go randamach.Céard é an dóchúlacht gur uaine atá sé?

16. Féach ar an tábla dhá bhealach thíos ina dtugtar sonraí faoi ghrúpa 50 duine. Is iad nasonraí atá i gceist ná líon na bhfear agus líon na mban a chaitheann spéaclaí agus nachgcaitheann spéaclaí.

Fir Mná Iomlán

Caitheann spéaclaí 16 18 34

Ní chaitheann spéaclaí 9 7 16

Iomlán 25 25 50

147

I gcás duine a roghnaítear go randamach, oibrigh amach an dóchúlacht: (i) gur bean atá ann, (ii) nach gcaitheann sé/sí spéaclaí (iii) gur fear a chaitheann spéaclaí atá ann

17. Sa tábla seo taispeántar an chaoi a bhfuil uimhir a 1 nó uimhir a 2 ar chaoga licín dearg agus gorm.Roghnaítear ceann amháin de na licíní go randamach.Céard é an dóchúlacht go roghnaítear (i) ceann ar a bhfuil a 1 (ii) ceann gorm (iii) ceann gorm ar a bhfuil a 1?Roghnaítear licín gorm go randamach. (iv) Céard é an dóchúlacht gurb é a 1 atá ar an licín?Roghnaítear go randamach licín a bhfuil uimhir a 1 air. (v) Céard é an dóchúlacht gur gorm atá sé?

18. Chuir Maidhc na dioscaí seo isteach i mála. Tá uimhir ar gach diosca. (i) Croitheann sé an mála agus tógann sé

diosca amháin gan breathnú air.Cén dóchúlacht atá ann a 2 a fháil?

(ii) Tá Maidhc ag iarraidh níos mó dioscaí a chur isteach sa mhála ionas go mbeidhan seans go bhfaighidh sé a 4 dhá oiread níos mó ná an seans go bhfaighidh sé a 3.Cé na dioscaí ba chóir dó a chur isteach sa mhála?

19. D'imir Marcas cluiche cártaí le Pól. Roinneadh na cártaí sa chaoi is go bhfuair siad dháchárta an duine. A ceathair agus a cúig a bhí i gcártaí Mharcais. A sé a bhí sa chéadchárta a fuair Pól.

Marcas Pól

xxxxxxxxxxxxxxxx

xxxx

xxxx

xxxx

xxxx

Maidir leis an dara cárta a fuair Pól, faigh an dóchúlacht (i) gur a cúig a bhí ann (ii) gur cárta pictiúir [Rí, Banríon nó Cuireata] a bhí ann.

20. Tá an ciorcal ar dheis roinnte ina ocht dteascóg chomhionanna.Cóipeáil an léaráid seo agus, sna teascóga, marcáil na litreachaD (dearg), U (uaine) nó G (gorm) ionas, nuair a chastar rothlóir,gurb é 1

4 an dóchúlacht go bhfaighfear gorm agus go mbeidh andóchúlacht go bhfaighfear dearg dhá oiread níos mó ná andóchúlacht go bhfaighfear uaine.

Mír 6.3 Dhá theagmhas --- spásanna samplacha a úsáid Nuair a chaitear dhá bhonn in airde, is é seo tacar na bhfothorthaí féideartha:

{AA, AC, CA, CC}, nuair atá A 5 aghaidh agus C 5 cúl.

Spás samplach a thugtar ar thacar sin na bhfothorthaí féideartha.

Dearg Gorm

1 12 8

2 8 22

3 1 1 3

2 4 3

e i

R e

2 0

0 2

e i

R e

2 0

0 2

148

Ach leas a bhaint as an spás samplach sin, is féidir linn an dóchúlacht go bhfaighimid2 aghaidh a scríobh síos, mar shampla.

P(AA) 5 14

P(aghaidh amháin agus cúl amháin) � 2 _ 4 � 1 _ 2

Is iomaí fothoradh féideartha ar thurgnamh ar nós dhá dhísle a chaitheamh, agus mar sin ní foláir an spás samplach a leagan amach i gceart, mar a thaispeántar sa sampla seo a leanas.

Sampla 1

Má chaitear dhá dhísle agus má shuimítear na scóir le chéile, leag amach spás samplach a mbeidh na fothorthaí féideartha go léir ann. Ríomh na dóchúlachtaí seo: (i) gurb é 7 go baileach an t-iomlán (ii) gurb é 4 nó níos lú an t-iomlán (iii) gurb é 11 nó níos mó an t-iomlán (iv) gur iolraí ar 5 é an t-iomlán.

Tá an spás samplach le feiceáil ar dheis.36 fothoradh atá ann. (i) Is é 7 an t-iomlán 6 huaire.

⇒ P (7) � 6 __ 36 � 1 _ 6

(ii) Is é 4 nó níos lú an t-iomlán 6 huaire.

⇒ P (4 nó níos lú) � 6 __ 36 � 1 _ 6

(iii) Is é 11 nó níos mó an t-iomlán 3 huaire.

⇒ P (11 nó níos mó) � 3 __ 36 � 1 __ 12

(iv) Is iad 5 agus 10 na hiolraithe ar 5.Is é 5 nó 10 an t-iomlán 7 n-uaire.

⇒ P (iolraí ar 5) � 7 __ 36

1 2 3 4 5 6

1 2 3 4 5 6 7

2 3 4 5 6 7 8

3 4 5 6 7 8 9

4 5 6 7 8 9 10

5 6 7 8 9 10 11

6 7 8 9 10 11 12

Cleachtadh 6.3

1. Caitear bonn cóir in airde agus caitear dísle cóir.Taispeántar sa tábla thíos na fothorthaí féideartha ar fad.

Dísle

1 2 3 4 5 6

Bo

nn Aghaidh (A) A, 1 A, 2 A, 3 A, 4 A, 5 A, 6

Cúl (C) C, 1 C, 2 C, 3 C, 4 C, 5 C, 6

Scríobh síos dóchúlacht gach ceann de na fothorthaí seo: (i) aghaidh agus 5 (ii) cúl agus ré-uimhir (iii) cúl agus 3 nó níos mó (iv) aghaidh agus iolraí ar 3.

149

2. Caitear dhá dhísle agus suimítear na scóir. Taispeántar na fothorthaí sa spás samplach ar dheis. Faigh an dóchúlacht gurb é suim an dá uimhir ná (i) 9 (ii) 10 (iii) 3 nó níos lú (iv) 10 nó 11.

3. Caitear trí bhonn in airde, agus is aghaidh (A) nó cúl (C) a thugann gach caitheamh.Déan amach spás samplach le haghaidh na bhfothorthaí féideartha agus scríobh síos dóchúlacht gach ceann díobh seo: (i) AAA

(ii) ACA san ord sin (iii) 2 aghaidh agus 1 chúl amháin in ord ar bith.

4. Imríonn tú cluiche le dhá rothlóir, mar a thaispeántar.Castar an dá rothlóir ag an am céanna agus suimítear na scóir le chéile. Déan amach spás samplach le haghaidh na dtorthaí féideartha agus scríobh síos an dóchúlacht gurb é a suim ná (i) 6 (ii) 10 (iii) ré-uimhir

Cén scór is minice a fhaigheann tú?Scríobh síos uaidh sin dóchúlacht an scór sin a fháil.

5. Tá trí chárta ann, dhá cheann ghorma agus ceann amháin dearg. Cuirtear na trí chárta

taobh le taobh ar bhord, go randamach. Seo ceann de na bealaí sin:

Liostaigh na bealaí eile go léir ina bhféadfaí na cártaí a chur, agus scríobh síos dóchúlacht an dá chárta ghorma a bheith taobh le chéile.

6. Castar na saigheada ar an dá rothlóir seo.

3

1

24

7

65

(i) Déan liosta chun na fothorthaí féideartha go léir a thaispeáint, m.sh. (1, 5), (1, 6), … (ii) Cé mhéad fothoradh ar fad atá ann? (iii) Céard iad na dóchúlachtaí seo:

(a) go síneann an dá shaighead i dtreo corruimhreach(b) go síneann an dá shaighead i dtreo ré-uimhreach(c) gurb é 8 suim an dá uimhir an bhfuil na saigheada ag síneadh ina dtreo?

1

2

3

4

5

6

2 4 61 3 5

8

7

6

5

4

3

10

9

8

7

6

5

12

11

10

9

8

7

7

6

5

4

3

2

9

8

7

6

5

4

11

10

9

8

7

6

4

2

31 7 5

8

G D G

150

7. Capaill is ea A, B agus C. Comhdhóchúlacht atá ann gombuafaidh gach capall díobh rás 3 chapall. Má bhain-eann gach capall ceann scríbe amach, agus mura coimh-lint chothrom a bhíonn ann, liostaigh na bealaí go léira bhféadfadh na capaill ceann scríbe a bhaint amach. (i) Cén dóchúlacht atá ann gur san ord A, B agus C

a bhainfidh na capaill ceann scríbe amach? (ii) Cén dóchúlacht atá ann gurb é A a bhuafaidh?

8. Castar rothlóir gorm agus rothlóir uaine ag an am céanna agus iolraítear na scóir faoinachéile.

3

1Gorm Uaine

2

1

2

3

4

Cóipeáil agus críochnaigh an tábla fothorthaí féideartha a thaispeántar thíos.

Gorm

1 2 3 4

Ua

ine

1

2 2 4 6 8

3 9

Cén dóchúlacht atá ann iad seo a fháil: (i) scór de 4 (ii) ré-uimhir (iii) scór de 8 nó níos mó.

9. Caitear trí bhonn chóra in airde.Déan amach spás samplach le haghaidh na bhfothorthaí féideartha go léir.

Anois scríobh síos dóchúlacht gach ceann de na fothorthaí seo: (i) trí aghaidh (ii) dhá aghaidh agus cúl amháin(iii) gan aghaidh ar bith (iv) aghaidh amháin ar a laghad.

Mír 6.4 Dóchúlachtaí a mheas ó thurgnaimh Go dtí seo ríomhamar dóchúlachtaí ar an mbonn go bhfuil gach fothoradh comhdhóchúilSan fhíorshaol, áfach, ní i gcónaí a bhíonn teagmhais comhdhóchúil agus ní mór teacht ar bhealach éigin eile chun an dóchúlacht a mheas.

I gcásanna den sórt sin déanaimid turgnamh nó suirbhé chun an dóchúlacht go dtarlóidhteagmhas a mheas.

e i

R e

2 0

0 2

e i

R e

2 0

0 2

151

Turgnamh

Tá Seán ag ceapadh go bhfuil bonn laofa.

Socraíonn sé ar thurgnamh a dhéanamh. Caitheann sé an bonn in airde 200 uair agus déanann cuntas de líon na n-aghaidheanna tar éis 10, 50, 100, 150 agus 200 caitheamh.

TTá na torthaí le feiceáil sa tábla seo ar dheis:

Dá mhéad uair a chaitheann sé an bonn in airde is ea is gaire a bhíonn líon na n-aghaidh-eanna roinnte ar líon na gcaití do 0.5, i.e., 1

2.

Minicíocht choibhneasta a thugtar ar an luach sin agus tugann sé meastachán ar an

dóchúlacht go dtarlóidh an teagmhas.

Mar sin, má dhéantar suirbhé nó turgnamh, is féidir an dóchúlacht go dtarlóidh teagmhas a mheas ar an gcaoi seo:

Minicíocht choibhneasta � Líon na dtrialacha fabhracha __________________________ Líon iomlán na dtrialacha

Ar an mórchuid, dá mhéad uair a dhéantar an triail nó an turgnamh is ea is gaire don

fhíordhóchúlacht nó don dóchúlacht theoiriciúil a bhíonn luach na minicíochta coibhneasta.

Sampla 1

Bailíonn Derek sonraí ar dhathanna na gcarranna a ghabhann thar gheata na scoile.Taispeántar na torthaí sa tábla.

Dath Cuntas Minicíocht

Bán 24

Dearg 32

Dubh 14

Gorm 16

Uaine 10

Eile 4

(i) Cé mhéad carr a ndearna Derek cuntas díobh? (ii) Cén mhinicíocht choibhneasta a bhí ag carranna gorma? (iii) Cén mhinicíocht choibhneasta a bhí ag carranna dearga?

Bíodh do fhreagra ina dheachúil. (iv) Scríobh síos meastachán den dóchúlacht gur uaine a bheidh an chéad charr

eile a ghabhfaidh thar gheata na scoile. (v) Cén chaoi ar féidir an meastachán do dhóchúlacht na gcarranna uaine a bheith

níos iontaofa?

Líon na

gcaití

Líon na

n-aghaidheanna

Aghaidheanna

� caití

10 7 0.7

50 28 0.56

100 53 0.53

150 78 0.52

200 103 0.515

152

(i) Is ionann líon na gcarranna sa suirbhé agus suim na minicíochtaí.Sin 100 carr.

(ii) Minicíocht choibhneasta na gcarranna gorma � 16 ___ 100 � 4 __ 25 .

(iii) Minicíocht choibhneasta na gcarranna dearga � 32 ___ 100 � 0.32.

(iv) Dóchúlacht gur uaine an 1ú charr eile 5 minicíocht choibhneasta na gcarranna uaine�� 10

___ 100 � 1 __ 10

(v) Is féidir iontaofacht an mheastacháin do dhóchúlacht na gcarranna uaine a fheabhsú ach cur le líon na gcarranna a ndéantar cuntas díobh. Thabharfadh cúig chéad carr meastachán an-chruinn den fhíordhóchúlacht.

Minicíocht ionchais

Tá 3 dhiosca dhearga agus 2 dhiosca ghorma i mála áirithe.

Roghnaítear diosca go randamach ón mála agus cuirtear ar ais é.

Is é an dóchúlacht gur diosca gorm a gheofar ná 25.

Ciallaíonn sé sin, ar meán, go mbeidh tú ag súil le 2 dhiosca ghorma i ngach 5 cinn a roghnaítear nó 20 diosca gorm i ngach 50 ceann a roghnaítear.

Chun an líon ionchais dioscaí gorma a fháil nuair a roghnaíonn tú diosca 100 uair, (i) Oibrigh amach an dóchúlacht go dtarlaíonn an teagmhas uair amháin. (ii) Iolraigh an dóchúlacht sin faoi líon na n-uaireanta a dhéantar an turgnamh.

Mar sin is é líon ionchais na ndioscaí gorma ná

2 _ 5 � 100 ___ 1 � 40.

Sampla 2

Sa tábla ar dheis tugtar an dóchúlacht,i gcás gach ceann de na huimhreacha1 go 6, gurb í an uimhir sin a bheidh ar barr nuair a stopfaidh dísle laofa: (i) Scríobh síos an luach atá ag a. (ii) Má chaitear an dísle 300 uair, cé mhéad 6 a mbeifeá ag súil leo?

(i) Ós rud é go caithfidh ceann de na huimhreacha 1 go 6 a bheith ar barr nuair a stopfaidh an dísle, is é 1 suim na ndóchúlachtaí go léir.; 0.1 � 0.1 � 0.2 � 0.2 � 0.3 � a � 1⇒ 0.9 � a � 1⇒ a � 1 � 0.9 ⇒ a � 0.1

(ii) Líon ionchais 6anna 5 P(6) 3 líon na dtrialacha �� 0.3 � 300 � 90

Uimhir 1 2 3 4 5 6

Dóchúlacht 0.1 0.1 0.2 a 0.2 0.3

Is é 1 suim na ndóchúlachtaí.

Minicíocht ionchais 5dóchúlacht 3 líon na dtrialacha.

153

Cleachtadh 6.4

1. Caitear bonn cóir in airde 100 uair.Cé mhéad aghaidh a bheadh súil agat a fháil?

2. Caitear bonn cóir séthaobhach in airde 60 uair. (i) Cé mhéad 6 a bheadh súil agat a fháil? (ii) Cé mhéad 2 a bheadh súil agat a fháil? (iii) Cé mhéad 2 nó 6 a bheadh súil agat a fháil?

3. Roghnaítear liathróid amháin go randamach ón mála ar dheis agus ansin cuirtear ar ais í. Déantar sin 400 uair.Cé mhéad uair a bheadh súil agat (i) liathróid ghorm a fháil? (ii) liathróid bhán a fháil?

4. Tá Jósaí ag ceapadh go bhfuil a bhonn laofa.Caitheann sé in airde 200 uair é agus faigheann sé 130 aghaidh agus 70 cúl. (i) Céard é an dóchúlacht thurgnamhach go bhfaighfear aghaidh leis an mbonn seo? (ii) In 200 caitheamh, cé mhéad aghaidh a bheadh súil agat a fháil dá mbeadh an

bonn cóir? (iii) An gceapann tú go bhfuil an bonn laofa?

Tabhair míniú le do fhreagra.

5. Castar rothlóir 420 uair. Tá 12 theascóg chomhionanna sarothlóir. Cé chomh minic a bheifeá ag súil le (i) E a fháil? (ii) ré-uimhir a fháil (iii) guta a fháil?

6. Theastaigh ó Léan a fháil amach an raibh dísle laofa. Chaith sí an dísle 300 uair.Tugtar a cuid torthaí sa tábla thíos.

Uimhir ar an dísle 1 2 3 4 5 6

Minicíocht 30 40 55 65 50 60

(i) Don dísle seo, ríomh an dóchúlacht thurgnamhach go bhfaighfear (a) a sé (b) a dó.

(ii) Do dhísle cóir, ríomh an dóchúlacht go scórálfar (a) a sé (b) a dó.

(iii) De réir na bhfreagraí a thug tú, an bhfuil an dísle cóir?Tabhair do chuid fáthanna.

3T

E6

A5

7B

3U

C4

154

7. Tá uimhreacha ar na teascóga éagsúla de rothlóir, mar atá le feiceáil ar dheis.Tugtar torthaí an chéad 30 casadh thíos.

1 2 3 3 5 1 3 2 2 4 5 3 2 1 25 2 4 1 5 1 5 2 2 4 2 5 4 2 3

Déan tábla a thaispeánfaidh líon na n-aonta, na ndónna, etc. a scóráladh.Dá mbeadh an rothlóir cóir, cé mhéad uair a bheifeá ag súil go bhfaighfí gach uimhir?An gceapann tú go bhfuil an rothlóir seo cóir? Tabhair cúis le do fhreagra.

8. Coinníonn Gemma cuntas ar a cuid cluichí fichille le Léan.As na chéad 10 gcluiche, buann Gemma 6 cinn.As an gcéad 30 cluiche, buann Gemma 21.Bunaithe ar na torthaí sin, déan meastachán ar an dóchúlacht go mbuafaidh Gemma a céad chluiche fichille eile le Léan.

9. Tá an rothlóir seo laofa.I gcás gach ceann de na huimhreacha 1 go 4, tugtar sa tábla thíos an dóchúlacht go stopfaidh an rothlóir ar an uimhir sin.

Uimhir 1 2 3 4 5

Dóchúlacht 0.35 0.1 0.25 0.15

Castar an rothlóir aon bhabhta amháin. (i) Oibrigh amach an dóchúlacht go stopfaidh an rothlóir ar 5. (ii) Scríobh síos an uimhir ar mó an seans go stopfaidh an rothlóir uirthi. (iii) Má chastar an rothlóir 200 uair, cé mhéad uair a bheifeá ag súil lena stopadh ar 3?

10. Caitheann Olivia, Ben agusJósaí dísle difriúil 360 babhta.

Níl ach 1 de na díslí cóir.Cén duine ag a bhfuil an dísle sin?Tabhair míniú le do fhreagra.Cén duine ag a bhfuil an dísleis laofa?Tabhair míniú le do fhreagra.

11. Tugtar sa tábla thíos an dóchúlacht go stopfaidh dísle laofa ar gach ceann de na huimhreacha 1 go 6:

Uimhir 1 2 3 4 5 6

Dóchúlacht x 0.2 0.1 0.3 0.1 0.2

(i) Ríomh luach x. (ii) Má chaitear an dísle uair amháin, faigh an dóchúlacht go dtaispeánfaidh sé

uimhir níos airde ná 3. (iii) Má chaitear an dísle 1000 uair, déan meastachán ar líon na n-uaireanta a

thaispeánfaidh sé 6.

15

4

3

2

1 5

4

3

2

Uimhir Olivia Ben Jósaí

1 27 58 141

2 69 62 52

3 78 63 56

4 43 57 53

5 76 56 53

6 67 64 5

155

12. Tá ceithre aghaidh ar dhísle agus is iad na huimhreacha 1, 2, 3 agus 4 atá ar nahaghaidheanna, ceann amháin acu ar gach aghaidh. Is é an ‘scór’ an uimhir atá arbarr nuair a stopann an dísle. Caitheann cúigear daltaí an dísle féachaint an bhfuilsé laofa. Caitheann gach duine acu an dísle. Ní hé an líon céanna uaireanta a chaith-eann aon bheirt acu é. Taispeántar na torthaí sa tábla.

DaltaLíon iomlán

na gcaití

Scór

1 2 3 4

Aindí 20 7 6 3 4

Brian 50 19 16 8 7

Ciara 250 102 76 42 30

Dara 80 25 25 12 18

Emma 150 61 46 26 17

(i) Cén dalta ag a mbeidh na torthaí is iontaofa? Cén fáth? (ii) Suimigh na hiontrálacha ar fad i ngach colún scór agus oibrigh amach minicíocht

choibhneasta gach scóir. Bíodh do chuid freagraí ceart go dtí ionad deachúlach amháin. (iii) An bhfuil an dísle laofa? Tabhair míniú le do fhreagra.

13. Caitheadh dísle dearg agus dísle gorm araon 100 uair.

Taispeántar na torthaí sa bharrachairt seo.Tá ceann de na díslí cóir agus níl an ceann eile. Cén dísle atá cóir, dar leat? Cén fáth?

14. Tá ceathrar cairde ag úsáid rothlóra le haghaidh cluiche agus tá fonn orthu a fháil amachan bhfuil sé cóir go hiomlán. Casann gach duine acu an rothlóir roinnt mhaith uaireantaagus breacann siad síos na torthaí.

AinmLíon na

gcastaí

Torthaí

0 1 2

Ailéin 30 12 12 6

Ceiteach 100 31 48 20

Liam 300 99 133 68

Áine 150 45 73 32

(i) Cén duine ag a bhfuil na torthaí ar mó an seans go dtabharfaidh siad anmeastachán is fearr ar an dóchúlacht go bhfaighfear gach uimhir?

(ii) Déan tábla trí na torthaí ar fad a shuimiú le chéile. Bain úsáid as an tábla le do thuairim a thabhairt ar an gceist seo 2 an bhfuil an rothlóir laofa?

(iii) Bain úsáid as na torthaí chun an dóchúlacht go stopfaidh an rothlóir ara 2 a oibriú amach.

10

0

12

14

16

18

20

22

Min

icío

cht

1 2 3Uimhir ar an dísle

4 5 6

dísle dearg

dísle gorm

0

21

156

15. Tá 100 milseán i mbosca.Tógann Eric milseán gan breathnú air.Scríobhann sé síos cén sórt é agus ansin cuireann sé ar ais é.Déanann sé é sin 100 uair. Taispeánann an chairt seo torthaí Eric. (i) Cheap Eric go gcaithfidh 20 tafaí go baileach a bheith

sa bhosca. Mínigh cén fáth a bhfuil sé mícheart. (ii) Céard é an líon is lú caramal a d'fhéadfadh a bheith sa bhosca? (iii) An bhféadfadh aon sórt eile milseáin a bheith sa bhosca? Mínigh. (iv) Tosaíonn Eric arís agus déanann sé an rud céanna 100 uair eile.

An mbeidh na huimhreacha céanna go baileach ar an gcairt an uair seo? (v) Tógann cara Eric milseán. Cén sórt ar mó an seans go bhfaighidh sé é?

Mír 6.5 Teagmhais chomheisiatacha ---riail an tsuimithe

Taispeántar seacht gcárta ar a bhfuil uimhreacha agus dathanna éagsúla:

1 2 3 4 5 7 9

Cuir i gcás an dá theagmhas seo: (i) cárta dearg a tharraingtd (ii) ré-uimhir a tharraingt.

Ní féidir go dtarlódh an dá fhothoradh sin le chéile mar nach bhfuil aon chárta dearg ann ar a bhfuil ré-uimhir.

Deirtear go bhfuil na fothorthaí sin comheisiatach.

Más teagmhais iad A agus B nach bhféadfaidh a bheith ann le chéile, tá

P(A nó B) 5 P(A) 1 P(B) 2 P(A agus B)

Dlí an tsuimithe le haghaidh teagmhais chomheisiatacha a thugtar air sin.

Ag úsáid na gcártaí thuas,

P(cárta dearg nó ré-uimhir) 5 P(cárta dearg) 1 P(ré-uimhir) � �� 3 _ 7 � 2 _ 7 � 5 _ 7

Nuair nach bhfuil teagmhais comheisiatach

Cuir i gcás anois na cártaí seo:

Céard é an dóchúlacht go bhfaighfear cárta dearg nó ré-uimhir? Tá 3 chárta dhearga agus 3 ré-uimhir ann.

Ní hé P(cárta dearg) 1 P(ré-uimhir) an dóchúlacht i.e., ní hé 3

8 1 38 an dóchúlacht mar go bhfuil uimhir a 4 curtha san áireamh faoi dhó.

Níl ach 5 cinn de chártaí dearga nó ré-uimhreacha ann.

; P(cárta dearg nó ré-uimhir) 5 58

tafaí 20

miontas 38

glóthach 14

seacláid 25

caramal 3

Tá fothorthaí comheisiatach mura bhféadfaidh siad a bheith ann le chéile.

Uaireanta tugtar an riail NÓ ar dhlí an tsuimithe

1 3 4 5 6 8 9 11

157

Maidir leis na cártaí ar an leathanach roimhe seo,

P(dearg nó ré-uimhir) 5 P(dearg) 1 P(ré-uimhir) 2 P(dearg agus ré-uimhir)

�� 3 _ 8 � 3 _ 8 � 1 _ 8

� � 6 _ 8 � 1 _ 8 � 5 _ 8

Nuair is féidir go dtarlóidh dhá theagmhas A agus B ag an am céanna, seo í an riail ghinearálta:

P(A nó B) 5 P(A) 1 P(B) 2 P(A agus B)

Sampla 1

Tá uimhir le roghnú go randamach ó na slánuimhreacha 1 go 30, agus an dá uimhir sin san áireamh. Faigh an dóchúlacht (i) gur iolraí ar 3 atá ann (ii) gur iolraí ar 5 atá ann (iii) gur iolraí ar 3 nó iolraí ar 5 atá ann.

(i) Is iad seo na hiolraithe ar 3: 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30.

⇒ P(iolraí ar 3) 5 10 __ 30 � 1 _ 3

(ii) Is iad seo na hiolraithe ar 5: 5, 10, 15, 20, 25, 30.

⇒ P(iolraí ar 5) 5 6 __ 30 � 1 _ 5

(iii) Iolraithe ar 3 agus ar 5 is ea na huimhreacha 15 agus 30 araon.

⇒ P(iolraí ar 3 nó 5) 5 P(iolraí ar 3) 1 P (iolraí ar 5) 2 P(iolraí ar 3 agus 5)

�� 10 __ 30 � 6 __ 30 � 2 __ 30 � 14

__ 30 � 7 __ 15

Cleachtadh 6.5

1. Caitear dísle nach bhfuil laofa. Faigh an dóchúlacht gurb é an uimhir a thagann aníos ná (i) 3 (ii) ré-uimhir (iii) 3 nó ré-uimhir

2. Tá dioscaí ar a bhfuil na huimhreacha 1 go 16 i mbosca. Má roghnaítear diosca go randamach, céard é an dóchúlacht (i) gur corruimhir atá ann (ii) gur iolraí ar 4 atá ann (iii) gur corruimhir nó iolraí ar 4 atá ann?

3. Tá 4 mhirlín dhearga, 3 cinn ghorma agus 2 cheann uaine i mála áirithe. Má roghnaítear mirlín go randamach, céard é ancéard é an dóchúlacht (i) gur mirlín dearg atá ann (ii) gur mirlín uaine atá ann

(iii) gur mirlín dearg nó uaine atá ann?

158

4. Roghnaítear cárta go randamach ó phaca 52 cárta imeartha. Cén dóchúlacht atá ann (i) spéireata a fháil (ii) cárta pictiúir dearg a fháil (iii) spéireata nó cárta pictiúir dearg a fháil?

5. Roghnaítear uimhir go randamach ó na slánuimhreacha 1 go 12, agus an dá uimhir sin san áireamh. Faigh an dóchúlacht

(i) gur ré-uimhir atá ann (ii) gur iolraí ar 3 atá ann (iii) gur ré-uimhir nó iolraí ar 3 atá ann.

6. Tarraingítear cárta go randamach ó phaca 52 cárta. Céard iad na dóchúlachtaí iad seo a tharraingt: (i) triuf (ii) rí (iii) triuf nó rí (iv) cárta dearg (v) banríon (vi) cárta dearg nó banríon?

7. Caitear dhá dhísle. Cén dóchúlacht atá ann iad seo a fháil: (i) scór iomlán de 12 (ii) an uimhir chéanna ar an dá dhísle (iii) scór iomlán de 12 nó an uimhir chéanna ar an dá dhísle?

8. Piocann Máirtín cárta go randamach ó na cártaí ar dheis.Deir Máirtín

(i) Mínigh cén fáth a bhfuil Máirtín mícheart. (ii) Céard é an dóchúlacht cheart go bpiocfaidh sé cártaí buí nó 3?

9. Caitear gnáthdhísle.Mínigh cé acu atá na péirí fothorthaí seo comheisiatach nó nach bhfuil.Tá an chéad cheann déanta duit.

An chéad fhothoradh An dara fothoradh

(i) Is é 5 an scór. Is é 3 an scór.

Tá na fothorthaí seo comheisiatach. Ní féidir go dtaispeánfadh dísle scór de 3 agus scór de 5 ag an am céanna.

(ii) Is é 3 an scór. Is ré-uimhir é an scór.

(iii) Is ré-uimhir é an scór. Tá an scór níos mó ná 4.

(iv) Is uimhir phríomha é an scór. Is ré-uimhir é an scór.

(v) Is iolraí ar 5 é an scór. Is iolraí ar 3 é an scór.

3

32

21

Is é an dóchúlacht go bpiocfaidh mé cárta buí ná 25.

Is é an dóchúlacht go bpiocfaidh mé 3 ná 25.

Mar sin is é an dóchúlacht go bpiocfaidh mé

cárta buí nó 3 ná 2 _ 5 � 2 _ 5 � 4 _ 5 .

159

Mír 6.6 Léaráidí Venn a úsáid Taispeántar sa léaráid Venn ar dheis dhá thacar, A agus B, san uilethacar U.

Taispeántar freisin líon na mball i ngach réigiún. Is é 8 líon na mball atá in A ach nach bhfuil in B.

Is é 12 líon na mball atá in B ach nach bhfuil in A. Is é 6 líon na mball atá in A agus in B. Is é 4 líon na mball nach bhfuil in A ná B.

Má chuirtear faisnéis i láthair i bhfoirm léaráid Venn, bíonn sé éasca an dóchúlacht go dtarlóidh teagmhais éagsúla a scríobh síos.

Sa léaráid thuas, is é líon iomlán na mball ná 8 � 6 � 12 � 4 � 30.

Seo mar a scríobhtar an dóchúlacht go dtarlóidh A agus B: P(A agus B).

Ón léaráid Venn, P(A agus B) 5 6 ___ 30

� 1 __ 5

P(B amháin) 5 12 ___ 30

� 2 __ 5

P(nach dtarlóidh A ná B) 5 4 ___ 30

� 2 ___ 15

P(A nó B) � 8 � 6 � 12 __________ 30

� 26 ___ 30

� 13 ___ 15

.

Sa léaráid thíos, ní thrasnaíonn na tacair A agus B a chéile.

A

U

B

Mar sin is teagmhais chomheisiatacha iad A agus B mar nach féidir go dtarlóidís ag anam céanna.

Sa chás seo, P(A nó B) 5 P(A) 1 P(B).

Sampla 1

Sa léaráid Venn ar dheis taispeántar na spóirt a imríonn baill de chlub áirithe.Cé mhéad ball (i) a imríonn idir pheil agus leadóg (ii) a imríonn leadóg ach nach n-imríonn peil (iii) nach n-imríonn ceachtar den dá chluiche (iv) a imríonn peil nó leadóg?Anois scríobh síos dóchúlacht gach ceann de (i)-(iv) thuas.

Peil

U

Leadóg

40 10 35

45

A

U

B

8 6 12

4

160

(i) Idir pheil agus leadóg 5 10 (ii) Imríonn leadóg ach ní imríonn peil 5 35(iii) Ní imríonn ceachtar den dá chluiche 5 45 (iv) Peil nó leadóg 5 40 1 10 1 35 5 85

P (i) � 10 __________________________________ líon iomlán na mball

� 10 ____ 130

� 1 ___ 13

P(ii) � 35 ____ 130

� 7 ___ 26

P(iii) � 45 ____ 130

� 9 ___ 26

P(iv) � 85 ____ 130

� 17 ___ 26

Cleachtadh 6.6

1. Sa léaráid Venn thíos taispeántar an líon daltaí a rinne Stair agus an líon daltaí a rinne Tíreolaíocht i rang 40 dalta.

Stair

U

Tíreolaíocht

15 12 10

3

Má roghnaítear dalta go randamach, faigh an dóchúlacht (i) go ndearna an dalta Tíreolaíocht (ii) go ndearna an dalta Stair 7 Tíreolaíocht (iii) nach ndearna an dalta ceachtar den dá ábhar sin(iv) go ndearna an dalta Stair ach nach ndearna sé/sí Tíreolaíocht.

2. Sa léaráid Venn ar dheis,

U 5 na daltaí i rang 2K

P 5 na daltaí in 2K a imríonn peil

C 5 na daltaí in 2K a imríonn cispheil.

(i) Cé mhéad dalta atá sa rang?

Má roghnaítear dalta go randamach, cén dóchúlacht atá ag gach ceann díobh seo: (ii) imríonn an dalta peil (iii) imríonn an dalta cispheil ach ní imríonn sé/sí peil (iv) ní imríonn an dalta ceachtar den dá chluiche(v) imríonn an dalta peil agus cispheil (vi) imríonn an dalta peil nó cispheil?

P

U

C

14 6 8

7

161

3. Sa léaráid Venn ar dheis,

seasann U do na teaghlaigh atá ina gcónaí ar shráid áirithe,

seasann C do na teaghlaigh a bhfuil cat acu agus

seasann M do na teaghlaigh a bhfuil madra acu.

Má roghnaítear teaghlach go randamach, céard é an dóchúlacht (i) go bhfuil cat acu (ii) go bhfuil cat agus madra acu

(iii) go bhfuil madra acu ach nach bhfuil cat acu(iv) go bhfuil cat nó madra acu (v) nach bhfuil cat ná madra acu?

4. Sa léaráid Venn thíos taispeántar na teangacha a rinne grúpa 50 dalta.

Fraincis

U

Spáinnis

25 5 x

8

(i) Faigh luach x.

Má roghnaítear dalta go randamach, faigh an dóchúlacht (ii) go ndéanann an dalta sin Fraincis (iii) go ndéanann an dalta sin Fraincis 7 Spáinnis

(iv) go ndéanann an dalta sin Fraincis nó Spáinnis(v) nach ndéanann an dalta sin ach ceann amháin de na teangacha sin.

5. I rang 30 dalta, déanann 8 ceol (C), déanann 14 ealaín

(E) agus déanann 6 ceol agus ealaín. (i) Cuir an fhaisnéis sin i láthair ar chóip

den léaráid Venn atá tugtha.

Má roghnaítear dalta go randamach, céard é an dóchúlacht (ii) go ndéanann an dalta ceol agus ealaín

(iii) go ndéanann an dalta ealaín ach nach ndéanann sé/sí ceol (iv) nach ndéanann an dalta ceol ná ealaín (v) go ndéanann an dalta ceol nó ealaín?

6. Sa léaráid Venn ar dheis taispeántar líon na scoláirí a dhéanann Mata (M), Béarla (B) agus Stair (S).

Má roghnaítear dalta go randamach, faigh an dóchúlacht go ndéanann an dalta (i) Béarla (ii) Mata agus Stair (iii) Mata nó Béarla (iv) Mata amháin (v) na trí ábhar (vi) Béarla nó Stair.

C

U

M

14 12 26

30

C

U

E

2 74

3

3

6 5

M B

S

162

7. I rang 40 páiste, rinneadh suirbhé le fáil amach cé mhéad páiste ar thaitin seacláid leo agus cé mhéad ar thaitin uachtar reoite leo. Taispeántar na torthaí sa léaráid Venn ach níl an réigiún marcáilte A líonta isteach.

(i) Céard é an uimhir i réigiún A? (ii) Céard is féidir leat a rá faoi na páistí i réigiún A? (iii) Má roghnaítear páiste amháin go randamach, céard é an dóchúlacht

gur thaitin uachtar reoite leis an bpáiste sin ach nár thaitin seacláid leis/léi? (iv) Roghnaítear go randamach duine amháin de na páistí ar thaitin seacláid leo.

Céard é an dóchúlacht gur thaitin uachtar reoite leis an bpáiste sin freisin?

Mír 6.7 Riail an iolraithe 2 trialacha Bernoulli Feicfidh tú thíos an spás samplach le haghaidh bonn a chaitheamh in airde agus díslea chaitheamh.

Dísle

1 2 3 4 5 6

Bo

nn A A1 A2 A3 A4 A5 A6

C C1 C2 C3 C4 C5 C6

Ón spás samplach, is féidir linn a fheiceáil go bhfuil

P(A, 6) � 1 __ 12 .

Níl aon tionchar ag an mbonn, i.e., cé acu a stopann sé aghaidh in airde nó nach stopann, ar an dísle a bheith ag taispeáint 6 nó aon scór eile. Tá an dá theagmhas, ‘aghaidh a fháil’ agus ‘6 a scóráil’, neamhspleách ar a chéile.

Anois is é an dóchúlacht go bhfaighidh tú aghaidh nuair a chaitheann tú bonn in airde ná 12.

Is é an dóchúlacht go dtaispeánfaidh an dísle 2 ná 16.

Má iolraímid an dá dhóchúlacht 12 agus 1

6 gheobhaimid 112, mar a fuaireamar thuas.

Léiríonn sé sin riail an iolraithe sa dóchúlacht. Tugtar an riail sin thíos.

Riail an Iolraithe: P(A agus B) 5 P(A) 3 P(B)

Bíonn riail an iolraithe úsáideach go háirithe agus muid ag ddéileáil le dhá theagmhas nó níos mó nuair a bhíonn gach teagmhas neamhspleách ar a chéile. Tugann sé bealach eile dúinn le dul i ngleic le fadhbanna ar nós dhá dhísle a chaitheamh, rud a phléamar cheana i Mír 6.3.

seacláid

U

uachtar reoite

8 A 6

2

Tugtar an riail AGUS ar riail an iolraithe de ghnáth.

163

Sampla 1

Caitheann Amanda gnáthdhísle agus casann sí rothlóir. Tá an dísle agus an rothlóir le feiceáil ar dheis. Tá anseans céanna ag gach dath gur air a stopfaidh an rothlóir. Faigh an dóchúlacht gur dearg agusré-uimhir a fhaigheann sí.

P(dearg) 5 13 P(ré-uimhir) 5 3

_ 6 � 1 _ 2 ; P(dearg agus ré-uimhir) 5 1 _ 3 � 1 _ 2 � 1 _ 6

Nóta: Gheobhaidh tú an toradh céanna seo má úsáideann tú spás samplach.

Sampla 2

An tseachtain chéanna a bhíonn a lá breithe ag Máire agus ag Séan.Ríomh na dóchúlachtaí seo: (i) gur ar an Luan a bheidh lá breithe Mháire (ii) gur ar an Luan a bheidh lá breithe na beirte (iii) gur ar an Satharn nó ar an Domhnach a bheidh lá breithe na beirte.

(i) P(lá breithe Mháire ar an Luan) 5 17

(ii) P(lá breithe na beirte ar an Luan) 5 P(M, Luan) 3 P(S, Luan) 1

_ 7 � 1 _ 7 � 1 __ 49

(iii) P(lá breithe na beirte ar an Satharn nó ar an Domhnach) 527 3 2

7 5 449

Trialacha Bernoulli

Cuir i gcás an turgnamh seo 2 tá tú ag caitheamh dísle agus caithfidh tú 6 a fháil chun tús achur leis an gcluiche.

Má chaitear 6, is féidir 'toradh fabhrach' a thabhairt air sin. Má chaitear aon uimhir eile, tugtar‘toradh neamhfhabhrach’ air.

Triail a thabharfaimid ar gach caitheamh den dísle. Mar sin" do gach triail tá dhá fhothoradh fhéideartha, 'toradh fabhrach' agus 'toradh neamhfhabhrach'" tá an dóchúlacht go bhfaighfear toradh fabhrach (6 a fháil) mar an gcéanna do gach triail" tá gach triail neamhspleách ar fhothorthaí trialacha eile.

Trialacha Bernoulli (ainmnithe as James Bernoulli) athugtar ar thurgnaimh ina ndéantar trialacha arís is arís eile agus a mbaineann na coinníollacha atá liostaithe thuas leo.

Sa turgnamh thuas, má chaitear 6 den chéad uair ar an tríú triail, deirimid go dtarlaíonn an chéad toradh fabhrach ar an tríú triail.

Sa chúrsa seo ní bheimid ag plé ach le fadhbanna lena mbaineann trí thriail Bernoulli nó níos lú.

Ba mhatamaiticeoir ón Eilvéis

é James Bernoulli (1654 - 1705).

Rinne sé obair cheannródaíoch

sa dóchúlacht agus sa chalcalas.

164

Sampla 3

Caitear bonn cóir in airde go dtí go bhfaightear aghaidh.Faigh an dóchúlacht gur ar an tríú caitheamh in airde a fhaightear an chéad aghaidh.Más ar an 3ú caitheamh in airde a fhaightear an chéad aghaidh, is cúl a fhaightear ar an gcéad dá chaitheamh in airde, i.e. CCA

P(A) 5 12 agus P(C) 5 1

2

P(AAC) � 1 _ 2 � 1 _ 2 � 1 _ 2 � 1 _ 8

; is é an dóchúlacht go bhfaightear aghaidh ar an 3ú caitheamh in airde ná 18.

C 5 cúlA 5 aghaidh

Sampla 4

Caitear dísle cóir arís is arís eile.Faigh an dóchúlacht gur ar an tríú caitheamh a fhaightear 5 nó 6 den chéad uair.

Seasadh 5 nó 6 do 'thoradh fabhrach' (F) agus 1-4 do ‘thoradh neamhfhabhrach’ (N).

P(F) 5 26 5 1

3 agus P(N) 5 46 5 2

3

Más ar an 3ú caitheamh a fhaightear an chéad 'toradh fabhrach', is é NNF ord na dtorthaí.

P(NNF) � 2 _ 3 � 2 _ 3 � 1 _ 3 � 4 __ 27

; is é an dóchúlacht gur ar an 3ú caitheamh a fhaightear 5 nó 6 den chéad uair ná 427.

Sampla 5

Téann iarrthóir faoi scrúdú ina bhfuil 3 cheist ilroghnacha.Tá ceithre rogha i ngach ceist. Más buille faoi thuairim a thugann sí agus í agfreagairt gach ceiste, céard é an dóchúlacht (i) gurb é an freagra ceart a thugann sí i ngach ceann de na trí cheist (ii) go mbíonn an chéad dá fhreagra mícheart aici ach go mbíonn an tríú ceann ceart?

(i) 4 rogha atá ann;mar sin P(freagra ceart) 5 1

4 agus P(freagra mícheart) 5 34.

P(gach ceann ceart) 5 1 _ 4 � 1 _ 4 � 1 _ 4 � 1 __ 64

(ii) P(1ú agus 2ú mícheart ach an 3ú ceart) 5 P(mícheart) 3 P(mícheart) 3 P(ceart)�� 3 _ 4 � 3 _ 4 � 1 _ 4 � 9 __ 64

Nóta: Má sheasann F do 'thoradh fabhrach' agus N do 'thoradh neamhfhabhrach' i dtrialachaBernoulli, is é an dóchúlacht nach mbeidh ach 'toradh fabhrach' amháin i dtrí thriail násuim na dtrí dhóchúlacht seo: P(NNF) 1 P(NFN) 1 P(FNN)

165

Cleachtadh 6.7

1. Caitear bonn in airde faoi dhó. Cén dóchúlacht atá ann iad seo a fháil: (i) 2 aghaidh (ii) aghaidh an chéad bhabhta agus cúl an dara babhta?

2. Caitear bonn in airde agus caitear dísle.Cén dóchúlacht atá ann iad seo a fháil: (i) aghaidh agus 6 (ii) cúl agus ré-uimhir (iii) aghaidh agus iolraí ar 3?

3. Caitear dhá dhísle. Cén dóchúlacht atá ann iad seo a fháil: (i) 2 chúig (ii) 2 ré-uimhir (iii) uimhir níos lú ná 3 ar barr ar an dá dhísle.

4. Tá 5 dhiosca dhearga agus 4 dhiosca ghorma i mála áirithe. Roghnaítear diosca go randamach agus ansin cuirtear ar ais é. Roghnaítear an dara diosca ansin. Faigh an dóchúlacht (i) gur dioscaí dearga an dá cheann (ii) gur diosca dearg an chéad cheann agus gur gorm a bheidh an dara ceann (iii) gur gorm a bheidh an chéad cheann agus gur dearg an dara ceann.

5. Tá turgnamh ar bun; tarraingítear cárta as paca 52 agus caitear dísle.Cén dóchúlacht atá ann iad seo a fháil: (i) muileata, agus 6 ar barr ar an dísle (ii) cárta dubh, agus ré-uimhir ar barr ar an dísle (iii) hart, agus iolraí ar 3 ar barr ar an dísle?

6. 9 litir atá san fhocal AILGÉABAR. Scríobhtar gach litir díobh ar a cárta féin, agus cuirtear na cártaí isteach i mbosca. Roghnaítear cárta go randamach agus cuirtear ar ais ansin é. Roghnaítear an dara cárta ansin.Cén dóchúlacht atá ann iad seo a fháil: (i) an litir A faoi dhó (ii) na litreacha G agus É, san ord sin (iii) an litir R faoi dhó (iv) dhá ghuta?

7. Léaráid atá ar dheis de ghaireas liathróidí leadóige. Nuair a ligtear liathróid anuas ann, tá an seans céanna ann go dtiocfaidh sí amach trí cheann ar bith de na poill A, B, C nó D. Má ligtear liathróid leadóige anuas ann, céard é an dóchúlacht go dtiocfaidh sí amach trí pholl (i) A (ii) A nó C.Má ligtear anuas dhá liathróid eile i ndiaidh a chéile, faigh an dóchúlacht (iii) gur amach trí pholl A a thiocfaidh an dá cheann (iv) gur amach trí pholl A nó amach trí pholl C a thiocfaidh an dá cheann.

e i

R e

2 0

0 2

e i

R e

2 0

0 2

Tá 13 mhuileata, 26 cárta dubh agus 13 hart i bpaca cártaí.

A B C D

166

8. Tá trí cinn de lucha ceansa, Sam, Pam agus Ham, i gcró. Tá an rogha acu ithe ag ceann ar bith de na cúig mhias A, B, C, D agus E. Tá an rogha randamach go huile is go hiomlán. (i) Céard é an dóchúlacht go n-íosfaidh Sam ó

mhias A? (ii) Céard é an dóchúlacht go n-íosfaidh Sam agus Pam araon

(a) ó mhias A (b) ón mias chéanna?

9. Castar an rothlóir ar dheis faoi dhó. Tá an seans céanna ag gach ceannde na teascóga go stopfaidh an rothlóir uirthi. Faigh an dóchúlacht (i) gur buí an chéad dath (ii) gur dearg agus uaine an chéad dá dhath, san ord sin (iii) gur dearg an chéad dá dhath (iv) gur dearg araon, nó buí araon, an chéad dá dhath.

10. An tseachtain chéanna a bhíonn a lá breithe ag Áine agus ag Barra.Má tá an seans céanna ann gur ar lá ar bith den tseachtain a bheidh an dá lá breithe, céard é an dóchúlacht (i) gur ar an gCéadaoin a bheidh lá breithe Áine (ii) gur ar an Luan a bheidh an dá lá breithe (iii) gur ar lá dar túslitir D a bheidh an dá lá breithe?

11. Caitheann Jamie bonn cóir in airde cuid mhaith uaireanta.Faigh dóchúlacht gach ceann de na teagmhais seo: (i) faightear an chéad aghaidh ar an dara caitheamh in airde (ii) faightear an chéad aghaidh ar an tríú caitheamh in airde.

12. Caitheann Cáitín dísle cóir go dtí go bhfaigheann sí 6.Ríomh an dóchúlacht go bhfaigheann sí (i) 6 ar an gcéad chaitheamh (ii) an chéad 6 ar an tríú caitheamh.

13. Is é an dóchúlacht gur aghaidh a gheofar le bonn laofa ná 23.

Caitheann Jeaic an bonn trí huaire. (i) Ríomh an dóchúlacht go bhfaigheann sé aghaidh ar gach ceann de na trí chaitheamh. (ii) Ríomh an dóchúlacht go bhfaigheann sé an chéad aghaidh

(a) ar an dara caitheamh (b) ar an tríú caitheamh.

14. Is ar an mbus a thagann 25% de na daltaí i scoil áirithe chun na scoile.Roghnaítear triúr daltaí ón scoil go randamach.Faigh an dóchúlacht (i) gur ar an mbus a thagann gach duine den triúr(ii) nach ar an mbus a thagann an chéad bheirt daltaí a roghnaíodh

(iii) nach ar an mbus a thagann an chéad bheirt ach gur ar an mbus a thagann an tríú dalta.

A B

C E

D

167

15. I mála áirithe tá 3 chnaipe dhearga agus 2 chnaipe uaine. Roghnaítear cnaipe ón mála agus ansin cuirtear ar ais é. Déantar an rud céanna sin arís.Faigh an dóchúlacht (i) gur uaine atá an chéad chnaipe a roghnaítear (ii) gur ar an tríú hiarracht a roghnaítear an chéad chnaipe uaine.

16. Imríonn Aindí sraith cluichí leadóige i gcoinne an chéile comhraic chéanna.Is é an dóchúlacht go mbuann sé cluiche ar bith ná 4

5 Ríomh an dóchúlacht (i) gur sa dara cluiche a bhuann Aindí den chéad uair (ii) gur sa tríú cluiche a bhuann Aindí den chéad uair (iii) go gcailleann Aindí na trí chluiche.

17. Is é an dóchúlacht go mbeidh sé ag cur báistí ar aon lá ar leith i mí Bealtaine ná 0.3.Má roghnaítear trí lá i mí Bealtaine go randamach, faigh an dóchúlacht (i) nach mbeidh sé ag cur báistí an chéad lá (ii) go mbeidh sé ag cur báistí an chéad dá lá (iii) gur ar an tríú lá a bheidh sé ag cur báistí den chéad uair.

18. Tá an litir 'A' ar cheithre aghaidh de chiúb agus tá an litir 'B' ar an dá aghaidh eile.Caitear trí huaire é.Cén dóchúlacht atá ann iad seo a fháil: (i) B ar an gcéad chaitheamh (ii) an chéad B ar an dara caitheamh (iii) an chéad A ar an tríú caitheamh?

19. Tarraingíonn Seán cárta ó ghnáthphaca cártaí imeartha agus ansin cuireann sé ar ais é.Déanann sé é sin trí huaire.Ríomh an dóchúlacht (i) gur muileata a roghnaíonn sé ar an gcéad tarraingt

(ii) gur ar an tríú tarraingt a roghnaíonn sé an chéad mhuileata (iii) nach roghnaíonn sé ach aon mhuileata amháin sna trí tharraingt.

20. Caitear bonn cóir in airde ag tús gach cluiche i sraith 3 chluiche. Caitheann captaen amháin an bonn in airde agus glaonn an captaen eile 'Aghaidh' nó 'Cúl'.Faigh an dóchúlacht go nglaoitear an caitheamh in airde i gceart (i) trí huaire (ii) uair amháin go baileach (iii) dhá uair go baileach.

21. Tá Aindí ag imirt peile agus leadóige.Tá cluiche amháin peile agus cluiche amháin leadóige le himirt aige.Is é an dóchúlacht go mbuann sé an cluiche peile ná 0.3.Is é an dóchúlacht gur comhscór a bheidh aige ná 0.5.

Tá seans 0.6 aige an cluiche leadóige a bhuachan, é sin nó caillfidh sé.Faigh an dóchúlacht (i) go gcailleann Aindí an cluiche peile (ii) go mbuann Aindí an dá chluiche (iii) go gcailleann Aindí an dá chluiche (iv) go mbuann Aindí an cluiche peile agus go gcailleann sé an cluiche leadóige.

168

22. I gcluiche boird, bogtar licín ar feadh na gcearnóg. Is é an fad a

bhogtar é ná líon cearnóg arb ionann é agus an uimhir a fhaightear

nuair a chaitear dísle cóir. Má stopann tú ar chearnóg atá ag bun

dréimire, bogann tú an licín go dtí an chearnóg ag barr an dréimire sin.

(i) Céard é an dóchúlacht go sroicheann imreoir cearnóg a 4 le haon chaitheamh amháin den dísle?

(ii) Céard é an dóchúlacht gur féidir le himreoir cearnóga 7 a shroicheadh le haon chaitheamh amháin den dísle?

(iii) Céard é an dóchúlacht gur dhá chaitheamh a thabharfaidh imreoir go dtí cearnóg a 2?

(iv) Liostaigh na trí bhealach ar féidir stopadh ar chearnóg a 18 le trí chaitheamh go baileach den dísle.

(v) Ríomh an dóchúlacht go stopfar ar chearnóg a 18 le trí chaitheamh go baileach den dísle.

Mír 6.8 Léaráidí crainn Is féidir na fothorthaí féideartha ar dhá theagmhas nó níos mó a thaispeáint i gcineál áirithe léaráide ar a dtugtar léaráid chrainn.

I léaráid chrainn (i) scríobh na fothorthaí ag ceann gach craoibhe (ii) scríobh an dóchúlacht ar gach craobh.

Sa léaráid chrainn seo a léiríonn na fothorthaí nuair a chaitear A

C

12

12

bonn in airde, tá dhá chraobh (nó dhá fhothoradh).

Tá an dóchúlacht, 12, scríofa ar an dá chraobh.

Is féidir na fothorthaí féideartha nuair a chastar an dá rothlóir seo a thaispeáint i léaráid chrainn.

dearg

gorm

dearg

Rothlóir A

gorm

35

25

dearg

gorm

35

25

14

34

Rothlóir B

Is féidir na dóchúlachtaí ar feadh na gcraobh a fháil ach iolrú.

dóchúlacht (A dearg, B dearg) 5 1 _ 4 � 3 _ 5 � 3 __ 20

dóchúlacht (A dearg, B gorm) 5 1 _ 4 � 2 _ 5 � 2 __ 20

dóchúlacht (A gorm, B dearg) 5 3 _ 4 � 3 _ 5 � 9 __ 20

dóchúlacht (A gorm, B gorm) 5 3 _ 4 � 2 _ 5 � 6 __ 20

Tús 1 2 3

6 5 4

7 8 9

12 11 10

13 14 15

18 17 16

169

Seo mar a fhaightear an dóchúlacht go dtugann an dá rothlóir an dath céanna:dóchúlacht an datha chéanna 5 dóchúlacht (A dearg, B dearg) 1 dóchúlacht (A gorm, B gorm)

�� 3 __ 20 � 6 __ 20 � 9 __ 20

Is fearr gan na codáin a shimpliú: bíonn sé níos éasca iad a chur i gcomparáid lena chéileagus iad a shimpliú.

Tabhair faoi deara gurb é 1 suim na ndóchúlachtaí ag ceann na gceithre chraobh.

Sampla 1

Tá 3 chnaipe dhearga agus 4 chnaipe ghorma i mBosca ATá 2 chnaipe dhearga agus 3 chnaipe ghorma i mBosca BTógtar cnaipe amháin amach as an dá bhosca. Is go randamach a dhéantar é sin. (i) Tarraing léaráid chrainn chun na fothorthaí go léir a thaispeáint. (ii) Oibrigh amach an dóchúlacht go mbeidh an dath céanna ar an dá chnaipe.

(i) Taispeánann an léaráid chrainn thíos na fothorthaí féideartha go léir.Is teagmhais neamhspleácha iad cnaipe dearg a thógáil amach as bosca Aagus cnaipe dearg a thógáil amach as bosca B.Mar sin P(dearg, dearg) 5 P(dearg) 3 P(dearg)

�� 3 _ 7 � 2 _ 5 � 6 __ 35

D

G

37

47

D G D

G G G

25

35

D D D

G D G

25

37

35

�25

635�

37 �

35

935�

47 �

25

835�

47 �

35

1235�

Bosca A Bosca B Fothoradh DÛch˙lacht

(ii) P(an dath céanna) 5 P(dearg araon nó gorm araon)5 P(D, D) 1 P(G, G)

�� 6 __ 35 � 12 __ 35 � 18

__ 35

Cleachtadh 6.8

1. Caitear bonn in airde faoi dhó. Cóipeáil agus críochnaigh an léaráid chrainn chun na fothorthaí go léir a thaispeáint. (i) Cé mhéad fothoradh atá ann? (ii) Cén dóchúlacht atá ann dhá aghaidh a fháil?

A

170

2. Cóipeáil agus críochnaigh an léaráid chrainn don dá rothlóir seo.

A

B

Céard é an dóchúlacht go dtaispeánfaidh A agus B (i) an dath céanna (ii) dathanna difriúla?

3. Tá 4 chnaipe dhearga agus 3 chnaipe ghorma i mála áirithe. Tá 2 chnaipe dhearga agus 8 gcnaipe ghorma i mála eile.Tógann Jeaic cnaipe amháin go randamach amach as an dá mhála. (i) Críochnaigh léaráid chrainn na ndóchúlachtaí. (ii) Faigh an dóchúlacht go dtógann Jeaic

(a) 2 chnaipe dhearga(b) dearg agus gorm san ord sin(c) dearg agus gorm in ord ar bith.

4. Cúig aghaidh dhearga agus aon aghaidh uaine amháin atá ar an dísle atá ag Paula.Caitheann sí an dísle faoi dhó. (i) Cóipeáil agus críochnaigh an léaráid chrainn. (ii) Faigh an dóchúlacht gurb é an dath céanna

a thaispeánann an dísle an dá uair.. (iii) Faigh an dóchúlacht go dtaispeánann an

dísle uaine agus dearg san ord sin.

5. Tá bonn ag Fabio atá ualaithe sa chaoi is gurb é35 an dóchúlacht go stopfaidh sé aghaidh in airdeagus gurb é 2

5 an dóchúlacht go stopfaidh sécúl in airde (i) Cóipeáil agus críochnaigh an

léaráid chrainn le haghaidh dhá chaitheamh den bhonn ualaithe.

(ii) Cén dóchúlacht atá ann dhá aghaidh a fháil?

(iii) Faigh an dóchúlacht go bhfaighidh Fabio aghaidh a mháin agus cúl amháin (i gceachtar ord).

dearg

buí

dearg

buí

25

?

?

? dearg

buí

13

?

Rothlóir A Rothlóir B

dearg

gorm

dearg

gormdearg

An chéad mhála An dara mála

gorm

dearg

uaine

dearg

uainedearg

1ú caitheamh 2ú caitheamh

uaine

aghaidh

cúl

aghaidh

cúl

aghaidh

cúl

35

1ú caitheamh 2ú caitheamh

171

6. Tá 2 licín ghorma agus 3 licín bhána i mála A.Tá 3 licín ghorma agus 4 licín bhána i mála B.Tógtar licín amach go randamach as an dá bhosca.

Cóipeáil agus críochnaigh an léaráid chrainn chun na fothorthaí féideartha go léir a thaispeáint.Oibrigh amach an dóchúlacht go mbeidh an dá licín: (i) bán (ii) gorm (iii) ar aon dath.

7. Tá 3 mhirlín uaine agus 4 mhirlín bhána i

mála áirithe. Roghnaítear mirlín go randamachas an mála, tugtar a dhath faoi deara agusansin cuirtear ar ais isteach sa mhála é. Croitear an mála agus roghnaítear an dara mirlín go randamach. Taispeánann an léaráid chrainn na fothorthaí féideartha go léir.

Bain úsáid as an léaráid chrainn chun na dóchúlachtaí seo a fháil: (i) dhá mhirlín uaine a roghnú (ii) dhá mhirlín bhána a roghnú (iii) mirlín bán agus ansin mirlín uaine a

roghnú, san ord sin.

8. Tá 5 licín dhearga agus 7 licín dhubha

i mála A.Tá 2 licín bhuí agus 8 licín dhearga i mála B.

Roghnaítear licín ón dá mhála. (i) Cóipeáil agus críochnaigh an léaráid

chrainn chun na fothorthaí féidearthaa thaispeáint.

(ii) Faigh an dóchúlacht go roghnófar(a) licín dubh agus licín buí(b) dhá licín dhearga.

bán

gorm

bán

gorm

47

bán

gorm

35

uaine

bán

uaine

bán

37

47

37

47

uaine

bán

37

47

An chéad roghnú An dara roghnú

buí

dearg

dubh

buí

dearg

dearg

Mála A Mála B

172

9. Ar a shlí chun na hoibre dó, tá dhá áit a mbíonn ar Nick stopadh cuid den am 2ag na soilse tráchta agus ag crosaire comhréidh. Maidir leis an dá áit sin, tá andóchúlacht go mbeidh air stopadh ansin measta ag Nick thar thréimhse ama.

Is é an dóchúlacht go mbeidh air stopadh ag na soilse tráchta ná 23.

Is é an dóchúlacht go mbeidh air stopadh ag an gcrosaire comhréidh ná 15.

Tá na dóchúlachtaí sin neamhspleách ar a chéile. (i) Tóg léaráid chrainn chun an fhaisnéis sin a thaispeáint. (ii) Ríomh an dóchúlacht nach mbeidh ar Nick stopadh ag na soilse ná ag an

gcrosaire comhréidh ar a shlí chun na hoibre.

10. Caitear gnáthbhonn in airde trí huaire.Tarraing léaráid chrainn chun na fothorthaí féideartha go léir a thaispeáint.Oibrigh amach na dóchúlachtaí seo: (i) 3 aghaidh a fháil (ii) 2 aghaidh agus cúl amháin a fháil, in ord ar bith.

11. Tá 20 bonn i mála áirithe.Tá 6 bhonn óir ann agus is boinn airgid an chuid eile.Tógtar bonn amach as an mála go randamach. Déantar cuntas den chineál boinn atá ann agus ansin cuirtear ar ais sa mhála é.Ansin tógtar bonn eile amach as an mála go randamach.

(i) Taispeánann an léaráid chrainn na bealaí ar fad inar féidir dhá bhonn a thógáil amach as an mála.Cóipeáil an léaráid agus scríobh na dóchúlachtaí uirthi.

(ii) Bain úsáid as do léaráid chrainn chun an dóchúlacht gur bonn óir amháin agus bonn airgid amháin a bheidh ann a ríomh.

Mír 6.9 Luach ionchais Tá an ciorcal ar dheis roinnte ina 3 theascóg.

6

10

4

Nuair a chastar an rothlóir, stopann sé ar 10, 6 nó 4.

Má chastar an rothlóir faoi dhó agus má fhaighimid 10 agus 6,

is é meán an dá chasadh ná 10 � 6 ______ 2

i.e. 8.

Má chastar an rothlóir 100 uair, an bhfuil bealach tapa ann chun ‘meánluach’ na gcastaí sin a fháil?

Gheobhaimid an meánluach, nó an luach ionchais, sin ach gach uimhir a iolrú faoina dóchúlacht agus na torthaí a shuimiú.

óir

airgid

óir

airgid

óir

airgid

An chéadbhonn

An dara bonn

173

Tá sé sin leagtha amach sa tábla thíos.

Fothoradh (x) Dóchúlacht (P) x � P

10 1 _ 2 5

6 1 _ 4 1 1 _ 2

4 1 _ 4 1

Nuair a iolraítear gach fothoradh faoin dóchúlacht chomhfhreagrach, faighimid 5, 1 12 agus 1

Is é suim na dtorthaí sin ná 712. Is í an uimhir 71

2 an luach ionchais.

Má chastar an rothlóir thuas méid mór uaireanta, druideann meánluach na bhfothorthaí leis an luach ionchais, 71

2. Dlí na n-uimhreacha móra a thugann staitisteoirí air sin.

Tabhair faoi deara nach ceann de na fothorthaí, 4, 6 agus 10, é an luach ionchais 7 1

2.

Le E(x) a chuirtear an luach ionchais ar fhothoradh turgnaimh in iúl. Nuair a dhéantar na fothorthaí go léir a iolrú faoina ndóchúlachtaí comhfhreagracha agus na torthaí a shuimiú, is féidir an oibríocht a chur in iúl ar bhealach gonta mar leanas:

E(x) � Σx.P(x), áit a seasann Σ don tsuim.

Baintear úsáid fhorleathan as an luach ionchais i dtionscal an árachais agus i dtithe cearrbhachais.Dá mba mhaith leat a fhios a bheith agat an bhfuil cluiche áirithe i dteach cearrbhachais cóir,theastódh uait a fhios a bheith agat céard é an íocaíocht amach agus cén dóchúlacht atáann go bhfaighfeá an íocaíocht amach sin. Go bunúsach, teastaíonn uait go mbeadh a fhoisagat céard é luach ionchais na n-íocaíochtaí amach.

Cuir i gcás roth i bpáirc spraoi. Tá pictiúr de le feiceáil ar dheis. E8 atá ar chasadh den roth agus buann tú an méid a bhfuil an tsaighead ag síneadh ina threo. An "cluiche cóir" é seo?

An chéad rud a dhéanaimid ná luach ionchais na híocaíochta amach a ríomh.

Fothoradh (x) Dóchúlacht (P) x � P

E10 1 _ 2 E5

E5 1 _ 4 E1.25

E4 1 _ 4 E1

Σx.P(x) � E5 � E1.25 � E1 � E7.25

De ghnáth, ní gá gur ceann de na fothorthaí é an luach ionchais.

�5

�10

�4

174

Is é luach ionchais na híocaíochta amach ná E7.25. Ach cosnaíonn sé E8 chun an roth a chasadh. Is é an luach ionchais anois ná E7.25 2 E8, i.e., 2E0.75 Mar sin má chastar an roth méid mór uaireanta, féadfaidh tú a bheith réidh le E0.75 ar meán a chailleadh ar gach casadh.Le déanamh amach an bhfuil cluiche cóir, caithfimid dhá rud a chur san áireamh: (i) luach ionchais na híocaíochta amach (ii) an costas atá ar an gcluiche a imirt. Ansin (a) más é nialas an íocaíocht amach ionchais, tá an cluiche cóir (b) má tá an íocaíocht amach níos mó ná nialas, buafaidh tú san fhadtéarma (c) má tá an íocaíocht amach níos lú ná nialas, caillfidh tú san fhadtéarma.

Sampla 1

Tá an ciorcal seo roinnte ina 6 theascóg chomhionanna. Íocann tú E8 chun an tsaighead a chasadh agus buann túan méid sa teascóg ina stopann an tsaighead. Céard é an méid ionchais a bhuann tú nó a chailleann tú sachluiche seo?

Faighimid luach ionchais na híocaíochta amach mar leanas:

Íocaíocht amach(x) Dóchúlacht (P) Íocaíocht amach 3 Dóchúlacht

0 2 _ 6 0

6 2 _ 6 E2

12 1 _ 6 E2

15 1 _ 6 E2.50

Σx.P(x) � E0 � E2 � E2 � E2.50 � E6.50Is é an íocaíocht amach ionchais ná E6.50.

Nuair a íocann tú E8 chun imirt, is é an íocaíocht amach ionchais ná

E6.50 � E8 � �E1.50

Mar sin bí ag súil le E1.50 a chailleadh má imríonn tú an cluiche.

�15�6

�0�0

�6�12

175

Cleachtadh 6.9

1. Taispeánann an tábla ar dheis na fothorthaí agus a gcuid dóchúlachtaí nuair a chaitear dísle cóir.Cóipeáil agus críochnaigh an tábla agus taispeáin gurb é 3.5 an luach ionchais.

2. Faigh an luach ionchais nuair a chastar an

2

8

4

rothlóir seo méid mór uaireanta.

3. Nuair a chastar an rothlóir seo, íoctar amach an méid

�12�10

45°45°

�2

�20 �8

sa teascóg ina stopann an tsaighead.Céard é luach ionchais na híocaíochta amach?

4. Roghnaítear cárta go randamach ó na cártaí ar dheis agus 2 4 6

9 12 15

ansin cuirtear ar ais é. Déantar an rud céanna cuid mhaith uaireanta. Faigh luach ionchais na huimhreach a roghnaítear.

5. Sa roth ar dheis, buann tú an méid sa teascóg ina stopann

60°

120°�20

�5

�10

an tsaighead.E10 an costas atá ar chluiche a imirt. Cé mhéad a bheidh tú ag súil le buachan nó a chailleadh má imríonn tú an cluiche seo? Mínigh cén fáth nach bhfuil an cluiche cóir.

6. I dteach cearrbhachais, tá E6 ar dhísle a chaitheamh. Má bhíonn 3 ar barr, buafaidh tú E12. Má bhíonn ré-uimhir ar barr, buafaidh tú E6. Má bhíonn aon uimhir eile ar barr, ní bhuafaidh tú dada. Cé mhéad a bheidh tú ag súil le buachan nó a chailleadh máimríonn tú an cluiche seo?

Fothoradh(x) Dóchúlacht(P) x � P

1 1 _ 6 1 _ 6

2 1 _ 6

3 1 _ 6

4 1 _ 6

5 1 _ 6 5 _ 6

6 1 _ 6

176

7. Tarraingítear cárta ó ghnáthphaca cártaí. Má tharraingíonn tú rí, buafaidh tú E50. Má tharraingíonn tú muileata, buafaidh tú E8. Má tharraingíonn tú cuireata, caillfidh tú E5. Má tharraingíonn tú aon chárta eile, ní bhuafaidh tú ná ní chaillfidh tú. Má chosnaíonn sé E10 chun an cluiche seo a imirt, cé mhéad a bheidh tú ag súil le buachan nó a chailleadh? Bíodh do fhreagra ceart go dtí an 10cm is gaire.

8. Díolann club spóirt 1000 ticéad le haghaidh tarraingt theoranta. Tá duais E100 amháin ann, cúig dhuais E50 agus deich nduais E20. Faigh an luach ionchais atá ar dhuais.

9. Seo é an spás samplach nuair a dhéantar dhá 1 2 3 4 5 6

1 2 3 4 5 6 7

2 3 4 5 6 7 8

3 4 5 6 7 8 9

4 5 6 7 8 9 10

5 6 7 8 9 10 11

6 7 8 9 10 11 12

dhísle a chaitheamh agus na scóir a shuimiú. (i) Céard é an dóchúlacht gurb é 9 suim na scór?

I dteach cearrbhachais, is éard a bhíonn le déanamh i gcluiche áirithe ná dhá dhísle achaitheamh agus na scóir a shuimiú.Má é 7 suim na scór, buann tú E24. Más é 9 suim na scór, cailleann tú E27. I ngach cás eile ní bhuann tú ná ní chailleann tú. Má imríonn tú an cluiche seo, cé mhéad a bheidh tú ag súil le buachan nó a chailleadh?Má íocann tú E2 chun an cluiche seo a imirt, an bhféadfá a rá gur cluiche cóir atá ann? Tabhair míniú le do fhreagra.

10. Déan amach spás samplach le haghaidh na bhfothorthaí féideartha go léir nuair achaitear trí bhonn in airde. Is éard atá i gceist le cluiche áirithe ná trí bhonn achaitheamh in airde agus líon na n-aghaidheanna a chomhaireamh. Má fhaigheann tú dhá aghaidh go díreach, buafaidh tú E20. I gcás toradh ar bith eile, caillfidh tú E5. Má íocann tú E2 chun an cluiche seo a imirt,cé mhéad a bheidh tú ag súil le buachan nó a chailleadh? Úsáid do fhreagra le rá cé acu atá an cluiche cóir nó nach bhfuil.

Mír 6.10 Bunphrionsabal an chomhairimh Tá ceithre mhúnla éagsúla ann de dhéanamh cairr áirithe, mar atá le feiceáil thíos:

Caighdeánach (Ca) Clasaiceach (Cl) Galánta (G) Diamaint (D)

Do rogha as trí dhath a bhíonn ar gach múnla díobh: dath an airgid (a), dearg (dr), nó dubh (du). Seo iad na roghanna atá ag custaiméir:

(Ca, a), (Ca, dr), (Ca, du), (Cl, a), (Cl, dr), (Cl, du), (G, a), (G, dr), (G, du), (D, a), (D, dr), (D, du).

177

Tá 12 rogha ann. 3 dhath atá ar fáil i gcomhair gach ceann de na 4 mhúnla.

Is féidir teacht ar líon na roghanna ach líon na ndéantaí a iolrú faoi líon na ndathanna,

i.e. 4 � 3 � 12.

Léiríonn an sampla seo Bunphrionsabal an

Chomhairimh atá tugtha ar dheis.

Sampla 1

11 imreoir atá ar fhoireann áirithe. Cé mhéad bealach atá ann le captaen agus leaschaptaen a roghnú?

Captaen agus Leas-chaptaen 11 � 10 � 110

; 110 bealach atá ann le captaen agus leaschaptaen a roghnú.

I gcás dhá oibríocht nó níos mó ná sin, éascaíonn sé an obair 'boscaí' a úsáid don roghnú, mar atá le feiceáil ar dheis.

Sampla 2

Is éard atá i gcód ná litir d'aibítir an Bhéarla agus dhá dhigit dhifriúla ó 1 go 9 á leanúint. Cé mhéad cód féideartha atá ann?

26 litir agus 9 ndigit atá ann. Trí 'bhosca' a bheidh againn tharla 1 litir agus 2 dhigit a bheith i ngach cód.

26 9 8

26 bealach atá ann leis an gcéad bhosca a líonadh.. 9 mbealach atá ann leis an dara bosca a líonadh.. 9 ndigit

8 mbealach atá ann leis an tríú bosca a líonadh.. digit amháin in úsáidcheana féin

; Líon na gCód � 26 � 9 � 8� � � 1872

Má bhíonn x bealach ann le tasc áirithe

a dhéanamh agus, ina dhiaidh sin, y

bealach leis an dara tasc a dhéanamh,

xy bealach atá ann leis an gcéad tasc

agus ansin an dara tasc a dhéanamh.

agus

� iolrú

1st

�

2nd

�

3rd

26 litir atá in aibítir an Bhéarla.

178

Cleachtadh 6.10

1. Caitear dísle agus caitear bonn in airde. Cé mhéad fothoradh féideartha atá ann? Liostaigh na fothorthaí sin.

2. 3 chúrsa tosaigh agus 4 phríomhchúrsa atá ar bhiachlár an lóin áit áirithe. Cé mhéad béile dhá chúrsa féideartha atá ann?

3. Tá trí dhigit dhifriúla ó 1 go dtí 9 i gcód áirithe. Cé mhéad cód féideartha atá ann?

4. Ceithre bhóthar atá ó A go B, agus cúig bhóthar atá ó B go C. Cé mhéad bealach ar fad atá ag duine le gabháil ó A go C?

5. Caithfidh dalta ábhar amháin a roghnú as gach ceann de na grúpaí ábhar seo a leanas: 3 nua-theanga atá i nGrúpa A. 2 ábhar eolaíochta atá i nGrúpa B. 2 ábhar gnó atá i nGrúpa C.

Cé mhéad bealach ar féidir na hábhair a roghnú?

6. Is é rud atá i gcód áirithe ná na litreacha A, B, C, D, E agus F agus digit amháin ó 1 go 9. Cé mhéad cód féideartha atá ann?

7. Caitear bonn in airde agus roghnaítear digit ó 0 go 9. Cé mhéad fothoradh féideartha atá ann?

8. Déanann déantúsóir carranna saghsanna éagsúla cairr, mar leanas: " is iad na múnlaí atá ar fáil ná carr salúin, carr fada agus carr cúlhaiste " is iad na dathanna atá ar fáil ná dath an airgid, dubh agus dearg " iad na stíleanna atá ar fáil ná Carr Caighdeánach, Sócharr agus Scothcharr. Cé mhéad rogha ar fad atá duine atá ag ceannach cairr?

9. Deichniúr atá ar choiste áirithe. Cé mhéad bealach ar fad atá ann le cathaoirleach agus rúnaí a roghnú?

10. Cé mhéad uimhir dhifriúil 3 dhigit is féidir a dhéanamh as na digití 4, 5, 6, 7, 8, 9, mura mbíonn digit ar bith ach aon uair amháin in uimhir?

11. Ocht gcapall atá i rás áirithe. Cé mhéad bealach inar féidir na chéad trí áit a líonadh?

Mír 6.11 Eagair (iomalartuithe) Is féidir na litreacha A, B agus C a eagrú ina líne ar na bealaí seo:

ABC ACB BAC BCA CAB CBA

CA B

179

Tá 6 eagar dhifriúla ann.

Agus muid ag úsáid boscaí le haghaidh líon na roghanna dogach litir, is éard atá againn ná:

3 2 1

3 3 2 3 1 5 6, an freagra céanna a fuaireamar thuas.

Leis an nodaireacht 3! a chuirimid 3 3 2 3 1 in iúl. 'Iolrán a trí' a deirtear.

Ar an gcaoi chéanna, 4! � 4 � 3 � 2 � 1 � 24

agus 5! � 5 � 4 � 3 � 2 � 1 � 120

An riail ghinearálta: n! � n(n �1 )(n � 2) … 3.2.1

Focal eile ar 'eagar' is ea iomalartú.

Sampla 1

Cé mhéad uimhir dhifriúil sé dhigit is féidir a dhéanamh as na digití 1, 2, 3, 4, 5, 6 má úsáidtear na digití go léir i ngach uimhir?

6! bealach atá ann leis na sé dhigit a eagrú. 6! � 6 � 5 � 4 � 3 � 2 � 1

� 720 uimhir

Iomalartuithe teoranta

7! bealach atá ann le litreacha an fhocail BIORACH a eagrú. Cé mhéad eagar díobh sin arb é B an chéad litir iontu?

Le 'boscaí' a réitímid fadhbanna den chineál sin agus scríobhaimid líon na roghanna isteachsna boscaí. Is é an chéad bhosca a líonaimid ná an ceann a bhfuil an teorannú ann.

An chéad bhosca sa sampla romhainn, ní féidir é a líonadh ach ar aon bhealach amháin, i.e., le B.

B

1 6 5 4 3 2 1

Is féidir na boscaí eile a líonadh ar

6, 5, 4, 3, 2 agus 1 bhealach.

Dá bhrí sin is é an méid eagar arb é B an chéad litir iontu ná

1 � 6 � 5 � 4 � 3 � 2 � 1 � 720

Más dhá theorannú a bhíonn ann, is iad na boscaí a bhaineann leis na teorannuithe sin alíontar ar dtús.

3 bhealach atá ann leis angcéad bhosca a líonadh,2 bhealach i gcás an daraceann, agus bealachamháin i gcás an tríú ceann.

An méid eagar (nó iomalartuithe) ar n rud dhifriúla, is ionann é agus n!, áit a bhfuil

n! � n(n � 1)(n � 2) … 3.2.1.

180

Sampla 2

Eagraítear litreacha an fhocail ÓGFHEAR ina líne. (i) Cé mhéad eagar féideartha atá ann? (ii) Cé mhéad de na heagair sin ar tús dóibh G agus ar deireadh dóibh guta?

(i) 7 litir dhifriúla atá san fhocal ÓGFHEAR. ; 7! an méid eagar atá ann.

7! � 7 � 6 � 5 � 4 � 3 � 2 � 1 � 5040

(ii) Ag úsáid 'boscaí' le haghaidh eagar ar tús dóibh G agus ar deireadh dóibh guta, seo atá againn:

G Gutaí

1 5 4 3 2 1 3

An chéad bhosca, ní féidir é a líonadh ach ar aon bhealach amháin, i.e., le G. Ar 3 bhealach is féidir an bosca deiridh a líonadh, ós 3 ghuta atá ann: Ó, E, A. 5 litir atá fághta, mar sin is féidir na boscaí eile a líonadh ar 5 bhealach, 4 bhealach, 3 bhealach, 2 bhealach agus 1 bhealach amháin. Mar sin is é an méid eagar atá ann:

1 � 5 � 4 � 3 � 2 � 1 � 3� 360

Sampla 3

(i) Cé mhéad bealach atá ann le litreacha an fhocail DRÉACHT a eagrú? (ii) Cé mhéad de na heagair sin a mbíonn na litreacha R agus C i dteannta a

chéile i gcónaí iontu? (i) Seacht litir atá san fhocal DRÉACHT. Mar sin 7! an méid eagar atá ann.

7! � 7 � 6 � 5 � 4 � 3 � 2 � 1 � 5040

(ii) Más i dteannta a chéile a bhíonn R agus C, is mar aonad nó mar bhoscaamháin a láimhseálaimid iad.

RC

Sé bhosca atá le heagrú ansin. 6! bealach atá ann le sin a dhéanamh. 2! bealach atá ann le a eagrú i gcás gach ceann de na heagair sin.

; 6! 3 2! an méid eagar atá ann.6! � 2! � 720 � 2

�1440

RC

181

Cleachtadh 6.11

1. Cé mhéad bealach atá ann le litreacha an fhocail AOIRE a eagrú, má bhaintear úsáidas gach litir gach uair?

2. Cé mhéad eagar difriúil is féidir a dhéanamh ach úsáid a bhaint as litreacha uile an fhocail BLIAIN? (i) Cé mhéad de na heagair sin ar tús dóibh I? (ii) Cé mhéad de na heagair sin ar tús dóibh I agus ar deireadh dóibh B?

3. Cé mhéad uimhir dhifriúil ceithre dhigit is féidir a dhéanamh as na digití 3, 4, 5, 6 mura mbaintear úsáid as digit ar bith ach aon uair amháin?

4. Cé mhéad uimhir trí dhigit is féidir a dhéanamh as na digití 1, 2, 3, 4, 5? (i) Cé mhéad de na huimhreacha sin a bhfuil 5 ina dtús? (ii) Cé mhéad de na huimhreacha sin atá os cionn 400?

5. Cé mhéad eagar difriúil is féidir a dhéanamh ach úsáid a bhaint as litreacha uile anfhocail GNÍOMH? (i) Cé mhéad de na heagair sin ar tús dóibh guta? (ii) Cé mhéad de na heagair sin ar tús dóibh G agus ar deireadh dóibh H? (iii) Cé mhéad de na heagair sin ar tús dóibh G agus ar deireadh dóibh guta?

6. Cé mhéad eagar trí litir is féidir a dhéanamh as na litreacha A, B, C, D, E, F mura mbaintear úsáid as litir ar bith ach aon uair amháin?

7. Sé chapall a chuirtear ag rith i rás áirithe. Má bhaineann gach capall ceann scríbeamach, agus mura coimhlint chothrom a bhíonn ann, (i) cé mhéad bealach a dtiocfadh leis na capaill an rás a chríochnú? (ii) cé mhéad bealach ar féidir na chéad trí áit a líonadh?

8. Cé mhéad bealach atá ann le litreacha an fhocail TAISME a eagrú? (i) Cé mhéad de na heagair sin ar tús dóibh T? (ii) Cé mhéad de na heagair ar tús dóibh guta? (iii) Cé mhéad eagar ar tús dóibh guta agus ar deireadh dóibh guta?

9. Cé mhéad bealach atá ann leis na litreacha A, B, C, D, agus E a eagrú ina líne mura mbíonn D ar an gcéad litir uair ar bith?

10. Cé mhéad bealach ar fad atá ann leis na cúig litir san fhocal OTHAR a eagrú? Cé mhéad eagar díobh sin a mbíonn an dá ghuta taobh le chéile iontu?

11. Cé mhéad bealach atá ann le litreacha an fhocail SLIABH a eagrú? Cé mhéad eagar díobh sin a mbíonn na litreacha A agus H taobh le chéile iontu?

Féach Sampla Oibrithe 3.

182

12. Cé mhéad uimhir ceithre dhigit is féidir a dhéanamh as na digití 4, 5, 6 agus 7, mura mbaintear úsáid as digit ar bith ach aon uair amháin? (i) Cé mhéad de na huimhreacha sin atá os cionn 6000? (ii) Faigh an dóchúlacht go bhfuil an uimhir os cionn 6000.

13. Suíonn beirt bhan, A agus B, agus beirt fhear, C agus D, ina líne le haghaidh grianghraif. (i) Cé mhéad bealach ar féidir an ceathrar a eagrú? (ii) Scríobh amach na ceithre eagar fhéideartha ina mbeadh an bheirt bhan sa lár. (iii) Má roghnaítear eagar den cheathrar go randamach as gach eagar féideartha,

céard é an dóchúlacht go mbeidh an bheirt bhan sa lár?

14. Tá cúig licín ag Seána. Cuireann sí i líne dhíreach iad. Tá dath difriúil ar gach ceann acu: dearg, bán, uaine, gorm agus buí. (i) Cé mhéad eagar féideartha atá ann? (ii) Cé mhéad eagar ina bhfuil an chéad licín gorm? (iii) Cé mhéad eagar ina bhfuil an chéad licín gorm agus an cúigiú licín uaine?

15. Faigh luach gach ceann díobh seo a leanas: (i) 5! (ii) 7! (iii) 6! __

3! (iv) 4! � 3!

16. (i) An bhfuil 7! 5 4! 3 3!? (ii) An bhfuil 8! 5 5! 1 3!?

17. Scríobh 8! san fhoirm (i) p(7!) (ii) q(6!)

18. Má tá 10! 1 9! 5 k(9!), faigh luach k.

Mír 6.12 Teaglamaí Teaglaim a thugtar ar roinnt ball a roghnaítear as tacar ar leith, gan ord ar leith a bheith orthu.

Is éard a gheobhaimid ach na litreacha A, B, C, D a ghlacadh, agus grúpaí difriúla dhá litir a roghnú:

AB, AC, AD, BC, BD, CD, i.e. 6 ghrúpa

Is ionann an grúpa AB agus an grúpa BA, tharla gan tábhacht a bheith leis an ord.

Leis an nodaireacht (� 4 2

) a chuirimid in iúl an méid bealaí atá ann le 2 rud a roghnú as 4 cinn.

(� 4 2

) � 4 � 3 _____ 2 � 1

… tosaigh ar n agus tar anuas r téarma

… 2! i.e. 2 � 1

Ar an gcaoi chéanna (� 6 3

) � 6 � 5 � 4 _________ 3 � 2 � 1

� 120 ____ 6

� 20 agus (� 8 4 ) � 8 � 7 � 6 � 5 ____________ 4 � 3 � 2 � 1

� 70

(�Seasann 8 4 ) don mhéid bealaí ar féidir 4 rud a roghnú as 8 rud.

183

An riail ghinearálta: is ionann (� n r ) agus an méid bealaí atá ann le r rud a roghnú as n rud.

Agus muid ag tagairt do (� n r ) is éard a deirimid

ná ‘n-t-r’ nó ‘n teaglaim r’.

Focal eile ar theaglaim é ‘rogha’.

Is féidir (� n r ) a scríobh mar seo chomh maith: nCr nó nCr

(seasann C don fhocal Béarla ‘combination’, a chiallaíonn ‘teaglaim’.)

Is mar nCr a scríobhtar é ar áireamháin leictreonacha.

Chun luach (� 8 4 ) a fháil ar áireamhán, cuir isteach

8 nCr 4 �

Arís eile (� 8 5 ) � 8 � 7 � 6 � 5 � 4 ________________ 5 � 4 � 3 � 2 � 1

� 56

agus (� 8 3

) � 8 � 7 � 6 _________ 3 � 2 � 1

� 56.

Taispeánann sé sin go bhfuil (� 8 5 ) � (� 8 3

) i.e. (� 8 5 ) � (� 8 8 � 5

)

Agus an riail thuas in úsáid againn,(� 10 8

) � (� 10 10 � 8

) � (� 10 2

) � 10 � 9 ______ 2 � 1

� 45.

Tá sé i bhfad níos éasca agus níos tapúla (� 10 2

) a oibriú amach ná (� 10 8

) .

(� n n

) agus (� n 0

)

(� 8 8

) � 8 � 7 � 6 � 5 � 4 � 3 � 2 � 1 __________________________ 8 � 7 � 6 � 5 � 4 � 3 � 2 � 1

� 1 agus (� 8 8

) � (� 8 8 � 8

) � (� 8 0

) � 1

Léiríonn an dá shampla sin:

Sampla 1

Cé mhéad foireann dhifriúil 11 imreoir is féidir a roghnú as painéal 14 imreoir?

Má bhíonn an captaen agus aon chúl báire amháin ar an bpainéal 14 imreoir, cé mhéad foireann is féidir a roghnú: (i) más gá an cúl báire a roghnú (ii) más gá an cúl báire agus an captaen a roghnú?

(� 14 11

) bealach atá ann chun foireann 11 imreoir a roghnú as 14 imreoir.

(� 14 11

) � (� 14 3

) � 14 � 13 � 12 ____________ 3 � 2 � 1

� 364

(� n r ) �

n(n � 1) _______

r!


… iolrán r

Riail ghinearálta:

(� n r ) � (� n

n � r )

(� n n ) � 1 (� n 0

) � 1

184

(i) Más gá an cúl báire a roghnú, 10 imreoirí atá le roghnú as 13 dhuine.

(� 13 10

) bealach atá ann le sin a dhéanamh.

(� 13 10

) � (� 13 3

) � 13 � 12 � 11 ____________ 3 � 2 � 1

� 286

; is féidir 286 foireann dhifriúil a roghnú

(ii) Más gá an cúl báire agus an captaen a roghnú, 9 imreoirí atá le roghnú as 12 dhuine.

(� 12 9


(� 12 9

) � (� 12 3

) � 12 � 11 � 10 ____________ 3 � 2 � 1

� 220

; is féidir 220 foireann dhifriúil a roghnú

Roghnú as dhá ghrúpa dhifriúla

6 múinteoirí agus 8 daltaí atá ar chomhairle scoile áirithe. Toscaireacht 3 múinteoirí agus 3 daltaí atá le roghnú acu chun bualadh leis an bpríomhoide. Cé mhéad bealach atá ann le sin a dhéanamh? Is éard a chaithfimid a dhéanamh sa chás seo ná 3 múinteoirí a roghnú as 6 AGUS 3 daltaí as 8.

(� 6 3

) bealach atá ann le 3 múinteoirí a roghnú as 6

(� 8 3

) bealach atá ann le 3 daltaí a roghnú as 8

De réir Bhunphrionsabal an Chomhairimh, tásé le tuiscint ón bhfocal AGUS gur iolrú faoina chéile a dhéantar ar thorthaí an dá oibríocht.

Mar sin is é seo an méid bealaí atá ann le triúr múinteoirí agus triúr daltaí a roghnú:

(� 6 3

) � (� 8 3

)

(� 6 3

) � (� 8 3

) � 6 � 5 � 4 _________ 3 � 2 � 1

� 8 � 7 � 6 _________ 3 � 2 � 1

� 20 � 56 � 1120.

Sampla 2

Tá coiste ceathrair le roghnú as buíon 7 fear agus 6 ban.

(i) Cé mhéad coiste difriúil is féidir a roghnú? (ii) Cé mhéad coiste díobh sin a bhfuil an méid céanna fear agus ban orthu?

AGUS � IolrúNÓ � Suimiú

185

(i) 4 as 13 dhuine atá le roghnú sa chás seo.

(� 13 4


(� 13 4

) � 13 � 12 � 11 � 10 ________________ 4 � 3 � 2 � 1

� 715

; is féidir 715 coiste difriúil a roghnú.

(ii) Más ionann líon na bhfear agus líon na mban ar an gcoiste, is 2 fhear agus 2 bhan a bheidh air. Is é seo an méid bealaí atá ann le 2 fhear a roghnú as 7 fear agus 2 bhan a roghnú as 6 ban:

(� 7 2

) � (� 6 2

) bealach

(� 7 2

) � (� 6 2

) � 7 � 6 _____ 2 � 1

� 6 � 5 _____ 2 � 1

� 315

; is féidir 315 coiste difriúil a roghnú.

An luach do n a fháil

(� 8 2

) � 8 � 7 _____ 2 � 1

� 28. Ar an gcaoi chéanna, (� n 2

) � n(n � 1)

_______ 2 � 1

� n(n � 1)

_______ 2

Sampla 3

Má tá (� n 2

) � 45, faigh luach n, i gcás n ; N.

(� n 2

) � n(n � 1)

_______ 2 � 1

… tar anuas 2 théarma

… 2!

(� n 2

) � 45 ⇒ n(n � 1)

_______ 2

� 45

⇒ n2 � n � 90 ⇒ n2 � n � 90 � 0 ⇒ (n � 10)(n � 9) � 0 ⇒ n � 10, n � �9 ⇒ n � 10, ó tá n ; N.

186

Cleachtadh 6.12


(i) (� 5 2

) (ii) (� 7 3

) (iii) (� 8 4

) (iv) (� 10 3

) (v) (� 10 7

) (vi) (� 16 2

)

Bain úsáid as áireamhán chun do fhreagra a fhíorú (a sheiceáil).

2. Taispeáin go bhfuil (i) (� 8 3

) � (� 8 2

) � (� 9 3

) (ii) (� 10 3

) � 10! ____ 3!7!

3. Cé mhéad bealach atá ann le bord seisir a roghnú as deichniúr?

4. Cé mhéad bealach atá ann le beirt ionadaithe ranga a roghnú as rang 20 dalta?

5. Sé ábhar Ardteistiméireachta atá le roghnú ag dalta áirithe as an dá ábhar déag atá á múineadh ar an scoil. (i) Cé mhéad bealach atá ann le sin a dhéanamh? (ii) Cé mhéad bealach atá ann le sin a dhéanamh más gá mata a bheith san áireamh

i ngach rogha?

6. 7 imreoirí as 11 imreoir atá le roghnú ag bainisteoir foireann peile. (i) Cé mhéad bealach atá ann leis an bhfoireann a roghnú? (ii) Más cúl báire amháin a bhíonn ar an bhfoireann 11 imreoir, cé mhéad foireann is

féidir a roghnú má chaitheann an cúl báire a bheith ar gach foireann?

7. Léaráid atá ar dheis d'ocht bpointe ar chiorcal. Cé mhéad mírlíne dhifriúil is féidir a tharraingt má cheanglaítear le chéile dhá phointe ar bith de na hocht bpointe?

8. Cé mhéad fo-thacar ceithre litir is féidir a dhéanamh as an tacar {a, b, c, d, e, f}? Cé mhéad fo-thacar díobh sin a bhfuil an litir a iontu?

9. Cé mhéad bealach atá ann le painéal cúigir a roghnú as 6 fear agus 4 ban? Cé mhéad painéal ar a bhfuil (i) 3 fear agus 2 bhan (ii) 2 fhear agus 3 ban?

10. Tá foireann cúigir le roghnú. Seachtar, A, B, C, D, E, F agus G atá ar fáil le roghnú. (i) Cé mhéad foireann dhifriúil is féidir a roghnú? (ii) Cé mhéad de na foirne a mbeidh A orthu? (iii) Cé mhéad de na foirne a mbeidh A agus B orthu?

11. 6 múinteoirí agus 5 daltaí atá ar chomhairle scoile áirithe. (i) Cé mhéad bealach atá ann le coiste ceathrair a roghnú ón gcomhairle seo? (ii) Cé mhéad coiste is féidir a roghnú má bhíonn 2 mhúinteoirí agus 2 daltaí ar gach

coiste?

187

12. Seachtar a ghlacann páirt i gcomórtas leadóige. Cé mhéad cluiche a imreofar má chaitheann gach duine cluiche a imirt le gach duineeile den seachtar?

13. Coiste ceathrair atá le roghnú as 4 fear agus 5 ban. (i) Cé mhéad coiste is féidir a roghnú? (ii) Cé mhéad coiste ar a mbeidh 1 bhean amháin agus 3 fear? (iii) Cé mhéad coiste ar a mbeidh 2 bhan agus 2 fhear?

14. (i) Má tá (� n 2

) � 28, faigh n i gcás ; N. (ii) Má tá (� n 2

) � 55, faigh n i gcás n ; N.

15. Roghnaítear painéal triúir as grúpa 15 dhochtúir agus 12 fhiaclóir. Cé mhéad bealach difriúil ar féidir an triúr a roghnú (i) mura mbíonn aon teorannú ann (ii) má chaitheann 2 dochtúirí go baileach a bheith ar an gcoiste?

16. 6 daltaí ón tsraith shóisearach agus 5 daltaí ón tsraith shinsearach atá ar chomhairle na ndaltaí i scoil áirithe. Tá coiste 4 daltaí le roghnú ó na daltaí ar an gcomhairle. Cé mhéad bealach difriúil ar féidir an coiste a roghnú

(i) mura mbíonn aon teorannú ann (ii) má chaitheann dalta áirithe a bheith ar an gcoiste (iii) má chaitheann 2 daltaí ón tsraith shóisearach agus 2 daltaí ón tsraith shinsearach

a bheith ar an gcoiste?

Roghnaítear coiste 4 daltaí go randamach. (iv) Faigh an dóchúlacht gur ón tsraith shóisearach atá gach duine den 4 daltaí.

188

Cuir triail ort féin 6 1. Tá 8 dteascóg ar an rothlóir agus iad ar fad ar cóimhéid.

Faigh an dóchúlacht (i) gur ar 5 a stopfaidh an tsnáthaid (ii) nach ar 5 a stopfaidh an tsnáthaid

(iii) gur ar 2 a stopfaidh an tsnáthaid (iv) gur ar 7 a stopfaidh an tsnáthaid (v) nach ar 7 a stopfaidh an tsnáthaid.

2. Caitheann Ben dísle cóir 300 uair. Cé mhéad uair a bheadh sé ag súil le (i) 6 a fháil (ii) ré-uimhir a fháil?

3. Roghnaítear litir amháin go randamach as na litreacha atá san fhocal OSCAILT. (i) Ríomh an dóchúlacht gurb é T an litir a roghnaítear. (ii) Ríomh an dóchúlacht gur guta nó T a roghnaítear.

4. 6 chnaipe dhearga, 4 chnaipe ghorma agus 2 chnaipe uaine atá i mála. Má tharraingítear cnaipe go randamach amach as an mála, céard é an dóchúlacht (i) gur uaine a bheidh sé (ii) gur gorm a bheidh sé

(iii) gur uaine nó gorm a bheidh sé (iv) nach dearg a bheidh sé?

5. D’fhéadfadh ceann ar bith de cheithre thoradh abheith ar chluiche ‘faiche aonaigh’. Taispeántar satábla an dóchúlacht atá ag gach toradh. (i) Céard é an dóchúlacht go bhfaighidh tú do

chuid airgid ar ais? (ii) Céard é an toradh is dóchúla? (iii) Céard é an dóchúlacht nach mbuafaidh tú an

phríomhdhuais? (iv) Cé mhéad uair a bheifeá ag súil leis an gcluiche a chailleadh dá n-imreofá 100 uair é?

6. Tógann Séamus leabhar anuas ón tseilf go randamach. Taispeántar sa tábla an dóchúlacht go bhfaighidh sé cineálacha éagsúla leabhair.

Ábhar Clúdach crua Clúdach bog

Ficsean 0.1 0.3

Spórt 0.2 0

Ríomhairí 0.1 0.15

Ainmhithe 0.05 0.1

Maidir leis an leabhar a gheobhaidh sé, cén dóchúlacht atá ann gur leabhar ... (i) faoi chlúdach bog a bheidh ann (ii) ar ríomhairí a bheidh ann? Má tá 120 leabhar ar fad ar an tseilf, (iii) cé mhéad díobh ar faoi ainmhithe atá siad?

5

3

0

5

1

2

2

2

Toradh Dóchúlacht

Príomhdhuais 1 __ 20

Duais sóláis 1 __ 10

Do chuid airgid ar ais ?

Cailleann tú 3 _ 5

189

7. Tá rogha ceithre sneaic ar fáil sa bhialann bheag i scoil áirithe. Is iad na ceithre sneaic ná burgair, píotsa, pasta agus sailéad. Is féidir le daltaí ceann amháin de na ceithre sneaic sin a roghnú. Taispeántar sa tábla an dóchúlacht go roghnóidh dalta burgar nó píotsa nó sailéad.

Sneaic burgar píotsa pasta sailéad

Dóchúlacht 0.35 0.15 0.2

Tháinig 300 dalta chun sneaic a chaitheamh sa bhialann bheag ar an Máirt. Oibrigh amach meastachán don líon daltaí a roghnaigh pasta.

8. Caitheann Sinéad dísle dearg agus dísle gorm ag an am céanna. Taispeáin na fothorthaí féideartha go léir i spás samplach. Faigh an dóchúlacht go bhfaigheann Sinéad (i) scór iomlán de 10 (ii) scór iomlán de 12 (iii) scór iomlán níos lú ná 6 (iv) an uimhir chéanna ar an dá dhísle.

9. Piocann Clíodhna dhá chárta go randamach ó na 3, 4, 5 agus 6 hart.

Faigh an dóchúlacht go bhfuil suim na n-uimhreacha ar an dá chárta níos mó ná 9.

10. Tá ceathrar cairde ann 2 Ava, Brian, Cloe agus Dara. Scríobhann siad ar fad a n-ainm ar chárta agus cuirtear na ceithre chárta i hata. Roghnaíonn Ava dhá chárta le cinneadh cé a dhéanfaidh an obair bhaile mhata an oíchesin. Liostaigh na teaglamaí ar fad a d'fhéadfadh a bheith ann.

Cén dóchúlacht atá ann gurb iad Cloe agus Dara a bheidh ag déanamh na hoibre baile?

11. Suaitear na huimhirchártaí seo agus cuirtear ina líne iad.

7 5 2 8 11 3 6 17 4

Piocann Seán cárta amháin go randamach agus ní chuireann sé ar ais é.Ansin piocann sé cárta eile. (i) Más é an '11' an chéad chárta, faigh an dóchúlacht go roghnaíonn Seán ré-uimhir

ar an dara tarraingt. (ii) Más é an '8' an chéad chárta, faigh an dóchúlacht go roghnaíonn sé uimhir níos

airde ná 9 ar an dara tarraingt.

190

12. Tá scoil bheag amuigh faoin tuath. Tá páistí d'aoiseanna éagsúla le chéile in aon rangamháin. Tugtar sonraí sa tábla thíos.

Cailíní 5 bliana

Buachaillí 5 bliana

Cailíní 6 bliana

Buachaillí 6 bliana

Cailíní 7 mbliana

Buachaillí 7 mbliana

3 4 6 8 5 2

Roghnaítear dalta go randamach. Céard é an dóchúlacht (i) gur buachaill 6 bliana d’aois atá ann (ii) gur cailín atá ann (iii) gur páiste 6 nó 7 mbliana d’aois atá ann (iv) gur buachaill nó gur páiste 6 bliana d’aois atá ann?

13. (i) 3 aghaidh dhearga, 2 aghaidh ghorma agus 1 aghaidh uaine atá ar an dísle atá agAodán. Caitheann sé an dísle 300 uair. Taispeántar na torthaí sa tábla seo a leanas.

Dearg Gorm Uaine

156 98 46

(a) Céard é an mhinicíocht choibhneasta gur aghaidh dhearg a gheobhaidh sé? (b) An gceapann tú go bhfuil an dísle cóir?

Tabhair míniú le do fhreagra. (ii) 4 aghaidh dhearga agus 2 aghaidh ghorma atá ar an dísle atá ag Emma.

Caitheann sí an dísle 10 n-uaire agus faigheann sí 2 dhearg. Deir Emma nach bhfuil an dísle cóir. Mínigh cén fáth a bhféadfadh Emma a bheith mícheart.

14. Tá bonn laofa sa chaoi is gurb é 23 an dóchúlacht go dtitfidh sé aghaidh in airde.

Caitear an bonn trí huaire. Cén dóchúlacht atá ann iad seo a fháil: (i) cúl ar an gcéad dá chaitheamh (ii) an chéad aghaidh ar an tríú caitheamh?

15. Tá 2 chnaipe ghorma agus 3 chnaipe dhearga i mála A. Tá 3 chnaipe ghorma agus 6 chnaipe dhearga i mála B. Pioctar cnaipe go randamach as an dá mhála. Tarraing léaráid chrainn chun na fothorthaí féideartha go léir a thaispeáint. (i) Céard é an dóchúlacht go bhfuil an dá dhiosca gorm? (ii) Céard é an dóchúlacht go bhfuil an dá dhiosca dearg? (iii) Céard é an dóchúlacht go bhfuil an dá dhiosca ar aon dath? (iv) Céard é an dóchúlacht nach bhfuil an dá dhiosca ar aon dath?

16. I gcluiche áirithe bíonn tú ag caitheamh dísle cóir. Má fhaigheann tú 1, buann tú E1; má fhaigheann tú 2, buann tú E2; i gcás 3, 4, 5 agus 6, buann tú E3, E4, E5 agus E6 faoi seach. E4 an costas atá ar an dísle a chaitheamh uair amháin. Faigh an méid airgid ionchais a d’fhéadfá a bhuachan nó a chailleadh dá n-imreofá ancluiche seo? An gceapann tú go bhfuil an cluiche cóir? Tabhair míniú le do fhreagra.

191

17. Seo rothlóir ar a bhfuil 4 thaobh. Tá 1, 2, 3 agus 4 ar thaobhanna an rothlóra. Tá an rothlóir laofa. Tugtar sa tábla thíos an dóchúlacht go stopfaidh an rothlóir ar na huimhreacha 2 agus 3.

Uimhir 1 2 3 4

Dóchúlacht x 0.3 0.2 x

Is ionann an dóchúlacht go stopfaidh an rothlóir ar 1 agus an dóchúlacht go stopfaidh sé ar 4. (i) Oibrigh amach luach x.

Tá Sorcha chun an rothlóir a chasadh 200 uair. (ii) Oibrigh amach meastachán don mhéid uaireanta a stopfaidh sé ar 2.

18. Iarrtar ar thríocha dalta a rá cé na gníomhaíochtaí is maith leo as measc na dtrí rogha seo: snámh (S), leadóg (L) agus haca (H). Taispeántar ar dheis an líon i ngach tacar. Roghnaítear dalta amháin go randamach. (i) Cé acu de na péirí teagmhas seo atá

comheisiatach? (a) 'dalta a roghnú ó S', 'dalta a roghnú ó H' (b) 'dalta a roghnú ó S', 'dalta a roghnú ó L'.

(ii) Céard é an dóchúlacht dalta a roghnú ar maith leis/léi haca nó leadóg?

19. Tá uimhir scríofa ar gach aghaidh de chuid dísle 2faoi seach. (i) Céard é an dóchúlacht 2 a scóráil?

Caitear an dísle trí huaire. (ii) Céard é an dóchúlacht gurb é 2 a fhaightear ar an gcéad dá chaitheamh?

(iii) Céard é an dóchúlacht gur ar an tríú caitheamh a fhaightear an chéad 2?

20. Tá Adam agus Mandy ag imirt cluiche ina gcaitear trí bhonn in airde. Is ag Adam a bheidh an bua mura bhfaightear aghaidh ar bith, nó mura bhfaightearach aghaidh amháin. Is ag Mandy a bheidh an bua más dhá aghaidh nó trí aghaidh a fhaightear. An dtugann an cluiche cothrom na Féinne don dá imreoir? Tabhair míniú le do fhreagra.

21. Cé mhéad uimhir dhifriúil trí dhigit is féidir a dhéanamh as na digití 1, 2, 3, 4, 5 mura mbíonn digit ar bith in aon uimhir níos mó ná uair amháin? (i) Cé mhéad de na huimhreacha sin a bhfuil 3 ina dtús? (ii) Cé mhéad de na huimhreacha sin atá os cionn 300?

42

3

1

S

L

58

7

10

H

U � 30

113

192

22. Cé mhéad bealach atá ann le litreacha an fhocail SPLEÁCH a eagrú ina líne? (i) Cé mhéad de na heagair sin a bhfuil S ina dtús? (ii) Cén dóchúlacht atá ann gurb é S atá i dtús an eagair?

23. Caithfidh iarratasóirí ar phost áirithe dhá scrúdúa dhéanamh, A agus B.

Scr˙d˙ A Scr˙d˙ B

pas0.3

teip

Taispeánann taithí go bhfuil na scrúduitheneamhspleách ar a chéile.

Is é an dóchúlacht go bhfaighidh duine pas i scrúdú A ná 0.3.

Is é an dóchúlacht go bhfaighidh duine pas i scrúdú B ná 0.8.

(i) Cóipeáil agus críochnaigh an léaráid chrainn. (ii) Maidir le duine a roghnaítear go randamach, faigh an dóchúlacht go bhfaighidh sé/sí

(a) pas sa dá scrúdú (b) pas i scrúdú amháin agus teip sa cheann eile.

24. Caitear dísle cóir agus dísle laofa le chéile. Tugtar thíos na dóchúlachtaí go bhfaightear na huimhreacha 1 go 6 leis an dísle laofa.

Cóir Laofa

P(6) � 1 _ 4 P(1) � 1 __ 12

P(2) � P(3) � P(4) � P(5) � 1 _ 6

Má chaitear an dá dhísle, faigh an dóchúlacht gurb é an t-iomlán a fhaightear ná

(i) 2 (ii) 12 (iii) 3.

25. Rinne Máire rothlóir ar a bhfuil cúig thaobh, cosúil leis an gceann atá le feiceáil sa léaráid ar dheis. Bhain sí úsáid as chun cluiche boird a imirt lena cara Sorcha. Mheas na cailíní go raibh an rothlóir laofa mar go bhfacthas dóibh go raibh sé ag stopadh ar uimhreacha áirithe níos mó ná cinn eile. Chaith siad an rothlóir 200 uair agus bhreac síos na torthaí. Taispeántar na torthaí sa tábla.

An taobh ar a stopann an rothlóir 1 2 3 4 5

Méid uaireanta 20 28 32 50 70

(i) Oibrigh amach an dóchúlacht thurgnamhach atá ag gach uimhir. (ii) Cé mhéad uair a bheadh súil agat gach uimhir a fháil má tá an rothlóir cóir? (iii) An gceapann tú go bhfuil an rothlóir cóir? Tabhair cúis le do fhreagra.

1 54

3

2

193

�� Scála dóchúlachta

Cuirtear dóchúlacht teagmhais in iúl mar uimhir ó 0 go 1, agus an dá uimhirsin san áireamh. " Má tá teagmhas dodhéanta, is é 0 a dhóchúlacht. " Má tá teagmhas cinnte, is é 1 a dhóchúlacht.

Dóchúlacht theoiriciúil

P(teagmhas) � líon na mbealaí ar féidir leis an teagmhas tarlú

________________________________________ líon iomlán na bhfothorthaí féideartha

Teagmhais chomheisiatacha

Mura féidir le dhá theagmhas tarlú ag an am céanna, tá siad comheisiatach.

Nuair atá an dá theagmhas A agus B comheisiatach, P(A nó B) 5 P(A) 1 P(B)

Tugann P(nach A) an dóchúlacht nach dtarlóidh fothoradh A: P(nach A) 5 1 2 P(A)

Minicíocht choibhneasta

Minicíocht choibhneasta � líon na dtrialacha fabhracha __________________________ líon iomlán na dtrialacha

Minicíocht ionchais5 dóchúlacht 3 líon na dtrialacha

Teagmhais neamhspleácha --- Riail an Iolraithe

Tá dhá theagmhas neamhspleách ar a chéile mura dteánn ceann amháin i bhfeidhmar fhothoradh an chinn eile.

Má tá na teagmhais A agus B neamhspleách ar a chéile, P(A agus B) 5 P(A) 3P(B)

Trialacha Bernoulli

Triail Bernoulli a thugtar ar thurgnamh ina ndéantar trialacha arís is arís eile a shásaíonn na coinníollacha seo: " tá dhá fhothoradh fhéideartha ann, 'toradh fabhrach' agus 'toradh neamhfhabhrach' " tá an dóchúlacht go bhfaighfear toradh fabhrach mar an gcéanna do gach triail " tá gach fothoradh neamhspleách ar fhothorthaí trialacha eile.

Bunphrionsabal an Chomhairimh

Má bhíonn x bealach ann le tasc áirithe a dhéanamh agus, ina dhiaidh sin, y bealachleis an dara tasc a dhéanamh, xy bealach atá ann leis an gcéad tasc agus ansin andara tasc a dhéanamh.

Eagair (Iomalartuithe)

An méid eagar ar n rud dhifriúla, is ionann é agus n!, áit a bhfuil n! � n(n � 1)(n � 2) � 3.2.1

Teaglamaí

Is é an méid bealaí atá ann le r rud a roghnú as n rud ná (� n r ) .

(� n r

) � n(n�� 1)

________ r !


… tosaigh ar r agus tar anuas go dtí 1

194

��uimhreacha aiceanta slánuimhreacha uimhir chóimheasta réaduimhreacha

deachúlacha críochta deachúlacha athfhillteacha uimhir éagóimheasta aistriú

uimhir shamhailteach uimhir choimpléascach cuid réadach rothlú modal

comhchuingeach léaráid Argand cothrom le chéile cuid shamhailteach

Mír 7.1 Uimhirchórais Sa staidéar a rinne tú ar an matamaitic go dtí seo, bhí tú ag plé le huimhreacha aiceanta, le slánuimhreacha, le codáin agus le deachúlacha.

Cuirfidh an méid thíos na huimhirchórais sin i gcuimhne duit:

N 5 uimhreacha aiceanta 5 1, 2, 3, 4, 5, …

Z 5 slánuimhreacha 5 … 23, 22, 21, 0, 1, 2, 3, …

Q 5 uimhreacha cóimheasta (nó codáin) ar uimhreacha

iad is féidir a scríobh san fhoirm ab , áit a bhfuil a, b [ Z.

1 _ 2 , 3 _ 4 , � 2 _ 3 , � 5 _ 2 , 10 __ 1 samplaí iad seo d'uimhreacha cóimheasta.

Má léirítear na huimhreacha sin ar léaráid Venn, feictear N , Z agus Z , Q.

Tá na huimhirchórais sin úsáidte againn chun cothromóidí mar seo a leanas a réiteach:

(i) x � 5 � 3 (ii) x � 5 � 3 (iii) 3x � 5 � 3 x � 5 � 5 � 3 � 5 x � 5 � 5 � 3 � 5 3x � 5 � 5 � 3 � 5 x � 8, ∈ N x � �2, ∈ Z 3x � �2 x � � 2 _ 3 , ∈ QAnois réiteoimid an chothromóid,

x2 � 2 x � � √

__ 2

Agus áireamhán á úsáid, √__

2 � 1.4142135…

Deachúil neamh-athfhillteach, neamhchríochta (gan deireadh) é seo.

Toisc nach féidir Î2 a scríobh mar chóimheas (uimhir chóimheasta), deirtear gur uimhir éagóimheasta é.

Samplaí d'uimhreacha éagóimheasta iad Î2, Î3 agus Î5.

Ó tharla go bhfuil Î4 5 2, Î16 5 4; feictear nach uimhir éagóimheasta gach fréamh chearnach.

Q

Z

N

Uimhreacha CoimpléascachaUimhreacha CoimpléascachaUimhreacha CoimpléascachaUimhreacha CoimpléascachaUimhreacha CoimpléascachaUimhreacha CoimpléascachaUimhreacha CoimpléascachaUimhreacha Coimpléascacha� ��

�

7

195

Tá p 5 3.141592… ar cheann de na huimhreacha éagóimheasta is mó clú.��

Ní féidir é a scríobh mar chodán.

Ach tá 227 ina neastachán atá gar dá luach.

I measc na n-uimhreacha atá feicthe againn go dtí seo tá

(i) uimhreacha aiceanta

(ii) slánuimhreacha

(iii) uimhreacha cóimheasta

(iv) uimhreacha éagóimheasta.

Réaduimhreacha a thugtar ar na huimhreacha seo ar fad le chéile.

Cuireann an litir R an tacar réaduimhreacha in iúl.

Sampla 1

Taispeáin gur uimhreacha cóimheasta iad seo a leanas: (i) 5.2 (ii) 0.3333… (iii) √

___

16 ___ 9

(i) 5.2 � 5 � 2 __ 10 � 5 � 1 _ 5 � 5 1 _ 5 � 26 __ 5 , uimhir chóimheasta.

(ii) 0.3333… Bíodh x � 0.3333… 10x � 3.3333 x � 0.3333 Dealaigh: 9x � 3 x � 3 _ 9 � 1 _ 3 … uimhir chóimheasta

(iii) √___

16 ___ 9

� √

___ 16 ____

√__

9 � 4 __

3 , uimhir chóimheasta

Nóta: Léiríonn an sampla thuas gur féidir deachúlacha críochta agus deachúlacha athfhillteacha a scríobh mar chodáin (uimhreacha cóimheasta). Tá gach uimhirchóimheasta ina réaduimhir freisin.

Cleachtadh 7.1

1. Déan cur síos i bhfocail ar na tacair seo a leanas:

(i) uimhreacha aiceanta (ii) slánuimhreacha

(iii) uimhreacha cóimheasta (iv) uimhreacha éagóimheasta.

2. Scríobh síos sampla de gach ceann díobh seo a leanas:

(i) uimhir aiceanta atá níos mó ná 10

(ii) slánuimhir nach uimhir aiceanta í

(iii) uimhir chóimheasta dhearfach nach slánuimhir í

(iv) uimhir chóimheasta ar slánuimhir freisin í

N Z Q R

196

3. Abair an bhfuil siad seo a leanas fíor nó bréagach: (i) 3 ∈ N (ii) 5 ∈ Z (iii) �4 ∈ N (iv) 2 _ 3 ∈ Q (v) � 3 _ 4 ∈ Z (vi) 1.3 ∈ 5 (vii) 2.4 ∈ Z (viii) 8 ∈ Q

4. Sloinn gach ceann díobh seo a leanas san fhoirm ab , a, b, [ N:

(i) 0.7 (ii) 1.2 (iii) 2.6 (iv) 8.2 (v) 0.05

5. Cé acu de na huimhreacha seo atá éagóimheasta? (i) √

__ 8 (ii) √

___ 16 (iii) 4 √

__ 7 (iv) P (v) √

___ 24

6. Trí shimpliú ar dtús, cinn an bhfuil siad seo a leanas ina n-uimhreacha aiceanta nó nach bhfuil:

(i) 16 __ 4 (ii) 18

__ 4 (iii) √___

81 (iv) √__

48 __ 3 (v) 25

__ 10

7. Déan cur síos ar an gcineál uimhreach a theastaíonn chun na cothromóidí seo a leanas a réiteach. Roghnaigh ó uimhreacha aiceanta, slánuimhreacha, uimhreacha cóimheastaagus uimhreacha éagóimheasta. (i) x � 4 � 9 (ii) 3x � 2 � 7 (iii) 4x � 14 � 2 (iv) 3x � 4 � 7 (v) 3x � √

__ 5 � 0 (vi) x2 � 17

8. Cóipeáil agus críochnaigh an obair ar dheis chun 0.4444… a shloinneadh mar chodán.

9. Athraigh gach ceann de na deachúlacha athfhillteacha seo ina huimhir chóimheasta: (i) 0.7777… (ii) 1.7777… (iii) 0.1555…

10. Cé acu de na huimhreacha seo atá idir 2 agus 3? (i) √

__ 5 (ii) √

__ 7 (iii) √

___ 11 (iv) √

___ 12 � 1 (v) P � 1

11. Scríobh síos uimhir éagóimheasta idir (i) 4 agus 5 (ii) 6 agus 7 (iii) 0 agus 1 (iv) 10 agus 11

12. Cé acu de na huimhreacha seo atá cóimheasta? (i) 3 1 _ 2 (ii) √

__ 5 (iii) ( √

__ 5 )2 (iv) 2 √

___ 10 (v) P � 3

13. I ngach ceann díobh seo a leanas, scríobh síos dhá shlánuimhir a chomhlíonann na coinníollacha seo a leanas:

(i) nuair a iolraítear na slánuimhreacha, is uimhir aiceanta é an freagra (ii) nuair a roinntear na slánuimhreacha, is uimhir chóimheasta dhiúltach é an freagra (iii) is uimhir aiceanta í fréamh chearnach shuim an dá shlánuimhir (iv) is uimhir éagóimheasta í fréamh chearnach na difríochta idir na slánuimhreacha.

Bíodh x � 0.4444… 10x � 4.444… x � 0.444 9x � ………… x � …………

197

Mír 7.2 Uimhreacha coimpléascacha √

___ 25 � 5 toisc 5 � 5 � 25.

Ar an gcaoi chéanna Î36 5 6 agus Î100 5 10.

Ach céard é Î-4?, is é sin, cén uimhir a thabharfaidh 24 duit má iolraíonn tú fúithi féin í?

Ní hé 2 ná 22 an freagra, ó tharla 22 5 4 agus (22)2 5 4.

I gcás gach réaduimhreach, bíodh sí deimhneach nó diúltach, nuair a chearnaítear í bíonn an freagra deimhneach i gcónaí.

∴ Ní réaduimhir é Î-4.

Uimhreacha samhailteacha a thugtar ar uimhreacha ar nós Î-1, Î-4 agus Î-25.

Úsáidtear an tsiombail i chun an uimhir shamhailteach Î-1 a léiriú.

Ó tharla i � √___

�1 ,

i 2 � �1… cearnaigh an dá thaobh

Uimhreacha samhailteacha i � √___

�1 agus i 2 � �1

Seo roinnt uimhreacha samhailteacha a scríobhadh le i in áit √___

�1 .

(i) √___

�9 � √__

9 . √___

�1 � 3i

(ii) √____

�25 � √___

25 . √___

�1 � 5i

(iii) √____

�18 � √___

18 . √___

�1 � √__

9 . √__

2 .i � 3 √__

2 i

Uimhreacha coimpléascacha

Uimhir choimpléascach a thugtar ar uimhir ar nós 3 1 4i.

Tá cuid réadach agus cuid shamhailteach ann.

An chuid réadach a thugtar ar 3. Is uimhir í uimhir choimpléascach san fhoirm a 1 bi, áit a bhfuil i � √

___ �1 .An chuid shamhailteach a thugtar ar 4.

Is féidir an réaduimhir 5 a scríobh san fhoirm 5 1 0i.

Is é 5 an chuid réadach agus is é 0 an chuid shamhailteach.

Is féidir an uimhir shamhailteach 26i a scríobh san fhoirm 0 2 6i.

Is é 0 an chuid réadach agus is é 26 an chuid shamhailteach.

Úsáidtear an cheannlitir C chun tacar na n-uimhreacha coimpléascacha a léiriú.

Úsáidtear an litir bheag z de ghnáth chun uimhir choimpléascach a léiriú, m.sh.,

z1 � 2 � 3i nó z2 � �2 � 5i.

198

Sampla 1

Faigh an chuid réadach agus an chuid shamhailteach díobh seo a leanas: (i) 2 � 5i (ii) �1 � 2i (iii) 6 (iv) �2i

Cuid réadach Cuid shamhailteach (i) 2 � 5i 2 �5 (ii) �1 � 2i �1 2 (iii) 6 � 6 � 0i 6 0 (iv) �2i � 0 � 2i 0 �2

Cleachtadh 7.2

1. Simpligh gach ceann díobh seo ag úsáid na siombaile i :

(i) √___

�4 (ii) √_____

�100 (iii) √____

�64 (iv) √____

�49 (v) √___

�1

2. Scríobh síos an chuid réadach agus an chuid shamhailteach de na huimhreachacoimpléascacha seo a leanas: (i) 2 � 5i (ii) 6 � 2i (iii) �1 � 9i (iv) �3 � i (v) a � bi

(vi) 1 _ 2 � 3i (vii) �4 (viii) �3i (ix) i (x) (x � 2) � 6i

3. Scríobh gach ceann díobh seo san fhoirm a 1 bi:

(i) 6 � √____

�16 (ii) √_____

�121 (iii) �2 � √_____

�100 (iv) 2 � √___

�8

Mír 7.3 Uimhreacha coimpléascacha ashuimiú agus a dhealú

Chun dhá uimhir choimpléascacha a shuimiú nó a dhealú, suimigh nó dealaigh na codanna réadacha agus na codanna samhailteacha leo féin.

Sampla 1

Sloinn gach ceann díobh seo a leanas san fhoirm a 1 bi: (i) (3 � 2i) � (4 � 3i) (ii) (�5 � 3i) � (�1 � 7i) (iii) (�6 � 3i) � (5 � 2i) (iv) (a � bi) � (c � di)

(i) (3 � 2i) � (4 � 3i) � 3 � 2i � 4 � 3i � 7 � i (ii) (�5 � 3i) � (�1 � 7i) � �5 � 3i � 1 � 7i � �6 � 4i

(iii) (�6 � 3i) � (5 � 2i) � �6 � 3i � 5 � 2i � �11 � 5i

(iv) (a � bi) � (c � di) � a � bi � c � di � (a � c) � (b � d)i

Iolrú faoi réaduimhir Simplítear 3(2 2 4i) ach gach téarma laistigh de na lúibíní a iolrú faoi 3. Dá bhrí sin 3(2 � 4i) � 6 � 12i agus �3(�4 � 3i) � 12 � 9i.

199

Sampla 2

Má tá z1 5 1 1 2i agus z2 5 5 2 2i, sloinn san fhoirm a 1 bi: (i) 3z1 (ii) z1 � z2 (iii) 2z1 � z2 (iv) z1 � 3z2

(i) 3z1 � 3(1 � 2i) (ii) z1 � z2 � (1 � 2i) � (5 � 2i) � 3 � 6i � 1 � 2i � 5 � 2i

� 6 � 0i

(iii) 2z1 � z2 � 2(1 � 2i) � (5 � 2i) (iv) z1 � 3z2 � (1 � 2i) � 3(5 � 2i) � 2 � 4i � 5 � 2i � 1 � 2i � 15 � 6i

� �3 � 6i � �14 � 8i

Cleachtadh 7.3

1. Scríobh gach ceann de na huimhreacha coimpléascacha seo a leanas san fhoirm a 1 bi: (i) (3 � 4i ) � (5 � i ) (ii) (3 � 4i ) � (2 � 6i ) (iii) (5 � i ) � (�2 � 3i ) (iv) (�3 � 6i ) � (4 � 2i ) (v) (2 � 6i ) � (�4 � i ) (vi) (�3 � 2i ) � (6 � 2i ) (vii) (3 � 6i ) � 5 (viii) 3i � (�2 � 4i ) (ix) (a � bi ) � (3 � 2i ) (x) (a � bi ) � (x � yi )

2. Scríobh gach ceann díobh seo a leanas san fhoirm a 1 bi: (i) (2 � 5i ) � (1 � 2i ) (ii) (3 � 2i ) � (5 � 4i ) (iii) (�2 � i ) � (3 � 5i ) (iv) (�3 � 4i ) � (�2 � 6i ) (v) (4 � 2i ) � (3 � 7i ) (vi) (�6 � 2i ) � (5 � i ) (vii) (3 � 4i ) � 6 (viii) 5i � (3 � 2i ) (ix) (a � bi ) � (5 � 2i ) (x) (x � yi ) � (p � qi )

3. Má tá z1 5 2 1 3i agus z2 5 5 2 i, sloinn gach ceann díobh seo a leanas san fhoirm a 1 bi: (i) 3z1 (ii) 3z1 � z2

(iii) z1 � 3z2 (iv) 2z1 � 4z2

(v) 4z1 � 3z2 (vi) 2z1 � 4z2

4. Má tá z1 5 1 2 2i, z2 5 3 1 2i agus z3 5 1 2 3i, sloinn san fhoirm a 1 bi: (i) z1 � z3 (ii) 2z2 � z3

(iii) z1 � z2 � z3 (iv) 2z3 � 3z1

(v) z1 � (z2 � z3) (vi) z1 � z2 � 2z3

5. Sloinn 3(4 1 i ) 2 2(2 2 5i ) san fhoirm a 1 bi.

6. Faigh uimhir choimpléascach z1 chun na cothromóidí seo a leanas a shásamh: (i) (3 � 4i ) � z1 � 7 � 5i (ii) z1 � (5 � 2i ) � 6 � 4i

(iii) (8 � 3i ) � z1 � 3 � 2i (iv) (8 � 6i ) � (4 � 3i ) � z1

200

Mír 7.4 Uimhreacha coimpléascacha a iolrú D’fhoghlaimíomar cheana féin an chaoi le dhá shloinn ailgéabracha ar nós (2x 1 4)(x 2 3) a iolrú,

i.e. (2x � 4)(x � 3) � 2x2 � 6x � 4x � 12� �� 2x2 � 2x � 12

Iolraítear dhá uimhir choimpléascacha sa chaoi chéanna, ag cur 21 in ionad i2.

Sampla 1

Sloinn gach ceann díobh seo a leanas san fhoirm a 1 bi: (i) i(3 � 2i ) (ii) (2 � 3i )(�4 � 5i ) (iii) (3 � 2i )(5 � 3i )

(i) i(3 � 2i ) � 3i � 2i 2 � 3i � 2(�1) � 3i � 2 � 2 � 3i

(ii) (2 � 3i )(�4 � 5i ) � 2(�4 � 5i ) � 3i(�4 � 5i ) � �8 � 10i � 12i � 15i 2

� �8 � 2i � 15(�1) … i 2 � �1

� �8 � 2i � 15� � � � �23 � 2i

(iii) (3 � 2i )(5 � 3i ) � 3(5 � 3i ) � 2i(5 � 3i ) � 15 � 9i � 10i � 6i2

� 15 � i � 6(�1) … i 2 � �1

� 15 � i � 6 � 21 � i

Cleachtadh 7.4

Sloinn gach ceann díobh seo a leanas san fhoirm a 1 bi:

1. i(3 � 2i ) 2. 3i(1 � 5i ) 3. �2i(4 � 3i )

4. (2 � 3i )(4 � i ) 5. (2 � i )(3 � 2i ) 6. (�1 � i )(3 � 2i )

7. (1 � 3i )(4 � 2i ) 8. (1 � 4i )(1 � i ) 9. (2 � 3i )(2 � 3i )

10. (�3 � 4i )(2 � i ) 11. (3 � 2i )2 12. (4 � 2i )2

13. Má tá z1 5 3 2 2i, z2 5 5 1 i agus z3 5 21 1 3i, sloinn iad seo a leanas san fhoirm a 1 bi, (i) z1. z3 (ii) z2. z3 (iii) z1(z2 � z3) (iv) iz1 z2

14. Cóipeáil agus críochnaigh an tábla seo:

i � i � �

i � i � i � i � i2�

i � i � i � i � �

i � i � i � i � i � �

i � i � i � i � i � i � �

Ná dearmad i2 5 21

201

Mír 7.5 Uimhreacha coimpléascacha a roinnt

1. Comhchuingeach uimhreach coimpléascaí

Más uimhir choimpléascach z 5 a 1 bi, comhchuingeach coimpléascach z a thugtar ar a 2 bi, nó comhchuingeach z go simplí. _z an tsiombail ar chomhchuingeach z.

Dá bhrí sin chun comhchuingeach uimhreach coimpléascaí a fháil, ná hathraigh ach comharthana coda samhailtí amháin.

(i) Is é 3 1 4i comhchuingeach 3 2 4i.

(ii) Is é 22 2 6i comhchuingeach 22 1 6i.

Sampla 1

Má tá z 5 3 2 4i, faigh san fhoirm a 1 bi

(i) z � _ z (ii) z.

_ z .

(i) z � _ z � (3 � 4i) � (3 � 4i) (ii) z.

_ z . � (3 � 4i)(3 � 4i)

� 3 � 4i � 3 � 4i � 9 � 12i � 12i � 16i 2

� 6 � 0i � 9 � 0i � 16

i.e. 6 � 25 � 0i

i.e. 25

Tabhair faoi deara gur réaduimhreacha iad freagraí (i) agus (ii) araon.

Ná dearmad Nuair a shuimítear uimhir choimpléascach lena comhchuingeach,nó nuair a iolraítear faoi chéile iad, is réaduimhir an freagra i gcónaí.

2. Uimhreacha coimpléascacha a roinnt

Chun 4 � 10i _______ 5

a shloinneadh san fhoirm a 1 bi, roinntear gach téarma den uimhreoir ar a 5.

Dá bhrí sin 4 � 10i _______ 5

� 4 __ 5

� 10 ___ 5

i � 4 __ 5

� 2i.

Chun 2 � 3i ______ 4 � 2i

a shloinneadh san fhoirm a 1 bi, iolraítear an t-uimhreoir agus an t-ainmneoir

faoi chomhchuingeach an ainmneora.

Réaduimhir faoin líne a thabharfaidh sé sin.

Léirítear na céimeanna a bhaineann leis seo sa sampla seo a leanas.

202

Sampla 2

Sloinn 6 � 2i ______ 2 � 3i

san fhoirm a 1 bi.

6 � 2i ______ 2 � 3i

� 6 � 2i ______ 2 � 3i

� 2 � 3i ______ 2 � 3i

� � � (6 � 2i )(2 � 3i )

_____________ (2 � 3i )(2 � 3i )

� � � 12 � 18i � 4i � 6i 2 _________________ 4 � 6i � 6i � 9i 2

� � � 12 � 22i � 6 ___________ 4 � 9

� � � 6 � 22i _______ 13

� 6 ___ 13

� 22 ___ 13

i

Cleachtadh 7.5

1. Scríobh síos comhchuingeach na n-uimhreacha coimpléascacha seo a leanas: (i) 2 � 3i (ii) �3 � 4i (iii) 4 � 6i (iv) (x � 2) � yi

2. Má tá z1 5 2 1 3i agus z2 5 3 2 4i, sloinn san fhoirm a 1 bi: (i)

_ z 1 (ii) 2

_ z 2 (iii) z1 �

_ z 2 (iv)

_ z 1.

_ z 2 (v)

_ z 1. z2

3. Scríobh gach ceann de na huimhreacha coimpléascacha seo san fhoirm a 1 bi:

(i) 6 � 4i ______ 2

(ii) 3 � 2i ______ 2

(iii) 7 � 3i ______ 4

(iv) �2 � 6i _______ 3

4. Sloinn gach ceann díobh seo a leanas san fhoirm a 1 bi:

(i) 2 ______ 3 � 2i

(ii) 5 ______ 3 � 4i

(iii) 3 _____ 6 � i

(iv) 2 � 3i ______ 1 � 2i

(v) 4 � 3i ______ 3 � 2i

(vi) �2 � 3i _______ 5 � i

(vii) 6 � 5i ______ 2 � 3i

(viii) 6 � 2i ______ i

5. Má tá z1 5 3 2 4i, z2 5 5 1 i agus z3 5 22 1 i, sloinn san fhoirm x 1 yi:

(i) z1. _ z 1 (ii)

z1 __ z3

(iii) _ z 2. z1 (iv)

z3 __ _ z 1 (v)

z1 � z2 ______ _ z 3

6. Má tá z1 5 1 1 2i agus z2 5 3 2 2i, sloinn san fhoirm a 1 bi:

(i) 2iz2 (ii) iz1 � iz2 (iii) i __ z1

(iv) z2 __ i (v)

iz1 ___ iz2

7. Má tá z1 5 3 1 4i agus z2 5 12 2 5i, taispeáin gur réaduimhir z1._z2 1

_z1.z2.

8. Má tá z � 5 � 4i, (i) ríomh z. _ z (ii) sloinn z __

_ z san fhoirm a 1 bi.

9. Bíodh w 5 (1 2 3i )(2 1 i ). Sloinn w san fhoirm p 1 qi, p,q [ R.

Cén luach de a a fhágann go bhfuil __

w __ 2i

� aw, áit a bhfuil a [ R?

10. Tugtar u 5 3 2 6i. (i) Sloinn iu san fhoirm a 1 bi. (ii) Taispeáin go bhfuil iu � u __

i � 0.

203

Mír 7.6 Léaráid Argand Chun uimhir choimpléascach a léiriú ar ghraf, tógtar ais chothrománach agus ais ingearach atá cosúil leis an x-ais agus an y-ais. An ais réadach (Ré) a thugtar ar an ais chothrománach. An ais shamhailteach (Sa) a thugtar ar an ais ingearach.

Breactar uimhreacha coimpléascacha sa chaoi chéanna ansin agus a bhreactar pointí ar an bplána comhordanáidithe. Mar shampla, léirítear an uimhir choimpléascach 3 1 2i leis an bpointe (3, 2). Léaráid Argand a thugtar ar léaráid ar a léirítear uimhreacha coimpléascacha.

Léirítear roinnt uimhreacha coimpléascacha sa léaráid Argand thíos.

�2i

�4 ��2i

4 ��0i

5 ��2i�3 ��2i0 ��3i

2 ��3i

3 ��i

�3i

�1i

1i

2i

3i

�2�3�4�5�6 �1 2O 4 Ré

Sa

5 61 3

Nóta: Is ionann an uimhir 4 agus 4 1 0i agus tá 23i 5 0 2 3i.

Cleachtadh 7.6

1. Tarraing léaráid Argand agus léirigh na huimhreacha coimpléascacha seo a leanas uirthi: (i) 4 � i (ii) 3 � 3i (iii) 4 � 2i (iv) 1 � i (v) �4 � i (vi) �3 � 2i (vii) �3 � 2i (viii) 5 � 2i (ix) �4 (x) 3i

2. Scríobh gach ceann de na huimhreacha coimpléascacha seo a leanas san fhoirm a 1 bi agus ansin breac ar léaráid Argand iad: (i) (3 � 2i ) � (�1 � 4i ) (ii) 2(1 � 2i ) � 3i

(iii) 3(2 � i) � (6 � 6i ) (iv) (2 � i )(�1 � i )

3. Dhá uimhir choimpléascacha iad z1 5 2 2 i agus z2 5 1 1 3i. Scríobh gach ceann díobh seo a leanas san fhoirm a 1 bi agus ansin breac an uimhir ar léaráid Argand. (i) z1 (ii) z1 � z2 (iii) z1. z2 (iv) iz2

4. Sloinn gach ceann díobh seo a leanas san fhoirm a 1 bi agus ansin léirigh do fhreagra ar léaráid Argand: (i) 2(3 � 2i ) (ii) 3(1 � 2i ) � 4i (iii) (3 � 4i ) � (2 � i )

5. Breac gach ceann díobh seo a leanas ar léaráid Argand: (i) i (ii) i 2 (iii) i 3 (iv) i 4

6. Má tá z1 5 4 1 2i and z2 5 21 1 2i, breac gach ceann díobh seo a leanas ar an léaráidArgand chéanna. (i) z1 (ii)

_ z 2 (iii) z1 �

_ z 1 (iv) z2.

_ z 2

204

Mír 7.7 Modal uimhreach coimpléascaí Is ionann modal (nó fad) uimhreach coimpléascaí agus an fad ón mbunphointe go dtí an pointe a sheasann don uimhir choimpléascach ar an léaráid Argand.

Is é √_______

a2 � b2 modal na huimhreach

coimpléascaí a 1 bi.

Mar seo a scríobhtar modal a 1 bi : ua 1 biu.

Modal Is é modal na huimhreach coimpléascaí z 5 a 1 bi ná

|z| � |a � bi| � √_______

a2 � b2 .

Sampla 1

Má tá z1 5 22 1 3i and z2 5 3 1 4i, faigh

(i) |z1| (ii) |z2| (iii) |z1 � z2|

Fíoraigh go bhfuil |z1| � |z2| � |z1 � z2|.

(i) |z1| � |�2 � 3i| � √___________

(�2)2 � (3)2

� � � � � √_____

4 � 9 � √___

13

(ii) |z2| � |3 � 4i| � √_________

(3)2 � (4)2

� √______

9 � 16

� √___

25 � 5

(iii) z1 � z2 � �2 � 3i � 3 � 4i

� 1 � 7i

|z1 � z2| � |1 � 7i| � √_______

12 � 72

� √______

1 � 49

� √___

50 � √___

25 . √__

2 � 5 √__

2

|z1| � |z2| � √___

13 � 5 � 3.6 � 5

� � � �� 8.6 |z1 � z2| ��5 √

__ 2 � 5(1.4)

� 7

� � Ó tharla 8.6 � 7 ⇒ |z1| � |z2| � |z1 � z2|.

Nóta: Ciallaíonn < ‘beagnach cothrom le’.

O Ré

b

a

a � bi

a2 � b2

Sa

205

Cleachtadh 7.7

Faigh luach gach ceann díobh seo a leanas:

1. |�3 � 4i| 2. |8 � 6i| 3. |2 � 3i| 4. |�1 � 2i|

5. |3 � 2i| 6. |5 � i| 7. |�3 � i| 8. |6 � i|

9. |4 � 0i| 10. |5| 11. |0 � 3i| 12. |5i|

13. Faigh luach gach ceann díobh seo a leanas: (i) |2(1 � 2i )| (ii) | √

__ 3 � i| (iii) |3 � 4i � (1 � 2i )|

14. Scríobh síos ceithre uimhir choimpléascacha a bhfuil an modal céanna acu le 3 1 4i.

15. Má tá z1 5 23 2 2i agus z2 5 1 2 3i, faigh luach gach ceann díobh seo a leanas: (i) |z1| (ii) |z2| (iii) |z1 � z2| (iv) |z1. z2|

16. Má tá z1 5 5 1 3i agus z2 5 2 2 i, faigh (i) |z1| (ii) |z2| (iii) |z1 � z2|

Anois taispeáin go bhfuil |z1| � |z2| � |z1 � z2|.

17. Má tá z1 5 2 2 3i agus z2 5 1 1 2i, faigh (i) |z1| (ii) |z2| (iii) z1. z2 (iv) |z1. z2|

Anois taispeáin go bhfuil |z1|.|z2| � |z1. z2|.

18. Má tá z 5 3 1 2i, faigh z._z, áit arb é

_z comhchuingeach z.

Uaidh sin faigh |z. _ z |.

19. Tugtar z1 5 22 1 i agus z2 5 23 2 4i. Faigh luach (i) |z1| (ii) |z2| (iii) |z1 � z2|

Imscrúdaigh an bhfuil |z1| � |z2| � |z1 � z2|.

20. Bíodh w 5 3 2 i. (i) Sloinn w 1 6i san fhoirm a 1 bi. (ii) Faigh luach uw 1 6iu.

21. Sloinn ua 1 8iu i dtéarmaí a.

Uaidh sin faigh an dá luach de a a fhágann go bhfuil ua 1 8iu 5 10.

22. Bíodh w 5 3 2 4i.

Fíoraigh go bhfuil uwu2 5 w._w, áit arb é

_w comhchuingeach w.

23. Má tá z1 5 5 1 i agus z2 5 22 1 3i, faigh uz1u agus uz2u.

Anois taispeáin go bhfuil |z1|2 � 2|z2|2.

24. Má tá z1 5 2 1 3i agus z2 5 2 2 3i, sloinn z1 __ z2

san fhoirm a 1 bi.

Anois faigh luach k [ R ionas go bhfuil |z1| � k| z1 __ z2

|.

206

Mír 7.8 Uimhreacha coimpléascacha a bheith cothromMá tá dhá uimhir choimpléascacha cothrom le chéile, tá na codanna réadacha cothrom le chéile agus tá na codanna samhailteacha cothrom le chéile.

Sampla 1

Má tá 5 2 i 5 x 1 (5 2 2y)i, faigh luach x agus luach y.

5 � i � x � (5 � 2y)i

Cothromaímid na codanna réadacha: 5 5 x i.e. x 5 5

Cothromaímid na codanna samhailteacha:

� �i � (5 � 2y) i

⇒ �1 � 5 � 2y … is é 21 comhéifeacht 2i

⇒ 2y � 6 ⇒ y � 3

; x � 5 and y � 3

Sampla 2

Réaduimhreacha iad a agus b ionas go bhfuil

a(2 � i ) � 8 � bi � 5b � 3 � i.

Faigh luach a agus luach b.

a(2 � i ) � 8 � bi � 5b � 3 � i

⇒ 2a �ai � 8 � bi � (5b � 3) � i

⇒ (2a � 8) � i(a � b) � (5b � 3) � i(�1)

Cothromaímid na codanna réadacha:

2a � 8 � 5b � 3 ⇒ 2a � 5b � �11 … 1

Cothromaímid na codanna samhailteacha:

a � b � �1 … 2

Réitímid cothromóidí 1 �agus 2 :1 : 2a � 5b � �112 � 2 : 2a � 2b � �2

�3b � �9 ⇒ b � 3

Ó 2 : a � 3 � �1 ⇒ a � 2

; a � 2 agus b � 3

Má tá a 1 bi 5 c 1 di,

tá a 5 c agus b 5 d.

207

Cleachtadh 7.8

Faigh luach x agus luach y i gceisteanna (1-10).

1. (x � 3) � i(y � 1) � 6 � 2i 2. (2x � 1) � i(1 � y) � 5 � 3i

3. x � iy � 6 � 9i � 6 � 10i 4. 3(2x � 3yi) � 4 � 6i � 2 � 5i

5. (2x � 4) � 5i � (x � 3) � yi 6. 2(x � yi ) � 3(4 � 6i ) � 7 � 3i

7. x(2 � 3i ) � 2y � 3 � 6i 8. 6 � 9i � 2(x � yi ) � 8 � 3i

9. 2x � (x � y)i � 4 � 5i 10. (x � iy) � (y � xi ) � 1 � 5i

11. Faigh a agus b má tá 12. Faigh luach a agus luach b má tá 3(a � bi ) � 4(ai � b) � 6 � 3i. (4a � 2) � (a � 4)i � (4 � 2b) � 2bi.

13. Faigh a agus b má tá 14. Faigh luach x agus luach y má tá (a � bi )(5 � i ) � 3 � 2i. x(3 � 4i ) � 5 � y(1 � 2i ).

15. Réitigh do x agus do y i ngach ceann de na cothromóidí seo a leanas: (i) (2x � 1) � (x � y)i � (y � 6) � (2y � 4)i (ii) 2(x � yi ) � 4(2 � 3i ) � 2(1 � 2i )

Mír 7.9 Cothromóidí cearnacha a bhfuilfréamhacha coimpléascacha leo

Chun cothromóid chearnach san fhoirm ax2 1 bx 1 c 5 0 a réiteach, úsáidtear fachtóirí de ghnáth. Ach mura féidir x2 1 bx 1 c a fhachtóiriú, úsáidtear an fhoirmle

x � �b � √________

b2 � 4ac ______________ 2a

chun an chothromóid a réiteach.

Más diúltach a bhíonn b2 2 4ac, i.e., níos lú ná nialas, is uimhreacha coimpléascacha a bheidhsna fréamhacha. Más fréamhacha coimpléascacha a bhíonn le cothromóid, z is gnách a bheithar an athróg againn.

Sampla 1

Réitigh an chothromóid z2 1 6z 1 10 5 0,agus scríobh do chuid freagraí san fhoirm a 6 bi.

De réir na foirmle z � �b � √________

b2 � 4ac ______________ 2a

tá a � 1 { b � 6 c � 10

⇒ z � �6 � √

____________

36 � 4(1)(10) __________________

2(1)

� � � �6 � √___

�4 __________ 2

� � � �6 � 2i _______ 2

… √___

�4 � √__

4 . √___

�1 � 2i

� � � �3 � i ; z � �3 � i nó �3 � i

208

Nóta: Is péire comhchuingeach iad na fréamhacha coimpléascacha i Sampla 1, i.e., is comhchuingigh a chéile na fréamhacha.

Dá bhrí sin más fréamh le cothromóid chearnach é 2 1 3i, is fréamh é 2 2 3i freisin.

Sampla 2

Más fréamh leis an gcothromóid z2 2 6z 1 k 5 0 é z 5 3 1 i,faigh luach k agus scríobh síos an fhréamh eile san fhoirm a 1 bi.

Más fréamh leis an gcothromóid z2 2 6z 1 k 5 0 é z 5 3 1 i,sásaíonn sé an chothromóid.

Anois cuirimid (3 1 i) in áit z sa chothromóid z2 2 6z 1 k 5 0.

Dá bhrí sin (3 � i )2 � 6(3 � i ) � k � 0 ⇒ 9 � 6i � i2 � 18 � 6i � k � 0 ⇒ 9 � 6i � 1 � 18 � 6i � k � 0 ⇒ �10 � k � 0 ⇒ k � 10

Is ionann an fhréamh eile agus comhchuingeach 3 1 i, i.e., 3 2 i.

Cleachtadh 7.9

1. Réitigh gach ceann de na cothromóidí seo a leanas, agus tabhair do chuid freagraí sanfhoirm a 1 bi: (i) z2 � 4z � 5 � 0 (ii) z2 � 6z � 13 � 0 (iii) z2 � 2z � 10 � 0 (iv) z2 � 6z � 34 � 0 (v) z2 � 10z � 29 � 0 (vi) z2 � 2z � 17 � 0

2. Taispeáin gur fréamh leis an gcothromóid (i) z2 2 4z 1 29 5 0 é 2 1 5i, (ii) z2 2 8z 1 25 5 0 é 4 2 3i, (iii) z2 2 12z 1 37 5 0 é 6 1 i,agus scríobh síos an fhréamh eile i ngach cás.

3. Más fréamh leis an gcothromóid z2 1 kz 1 26 5 0 é 25 1 i, faigh luach k.

4. Más fréamh leis an gcothromóid z2 2 10z 1 k 5 0 é 5 2 3i, faigh luach k.

5. Más fréamhacha leis an gcothromóid z2 1 az 1 b 5 0 iad 4 1 i agus 4 2 i, faigh luach a agus luach b.

Mír 7.10 Uimhreacha coimpléascacha 7 claochluithe Sa mhír seo úsáidfear an léaráid Argand chun éifeacht roinnt oibríochtaí ar uimhreacha coimpléascacha a thaispeáint go grafach.

1. Uimhir choimpléascach a iolrú faoi réaduimhir Má iolraítear uimhir choimpléascach z1 5 3 1 2i faoin réaduimhir 2, faightear 2z1 � 2(3 � 2i ) � 6 � 4i

Méadaítear an chuid réadach de réir fachtóir 2 agus méadaítear an chuid shamhailteach deréir fachtóir 2 freisin.

209

Ar an gcaoi chéanna 3z1 � 3(3 � 2i ) � 9 � 6i.

Taispeántar z1, 2z1 agus 3z1 ar an léaráid Argand thíos:

Sa

Ré

z1

O

2

4

6

8

1 2 3 4 5 6 7 8 9

2z1

z212

2z2

z2

3z1

Taispeántar sa léaráid thuas freisin go bhfuil z2 5 4 + 4i.

Taispeántar 2z2 5 2(4 1 4i) 5 8 1 8i agus 12z2 5 1

2(4 1 4i) 5 2 1 2i freisin.

Tabhair faoi deara, nuair a iolraítear an uimhir choimpléascach z1 faoi 2, go bhfuil modal 2z1 dhá oiread chomh mór le modal z1. Ar an gcaoi chéanna tá modal 3z1 trí oiread chomh mór le modal z1.

Taispeántar sa léaráid freisin go bhfuil | 1 _ 2 z2| � 1 _ 2 |z2|.

2. An uimhir choimpléascach chéanna a shuimiú le huimhreachacoimpléascacha difriúla

Taispeántar na huimhreacha coimpléascacha seo a leanas sa léaráid thíos

0 � 0 � 0i, z1 � 2 � 3i, z2 � �3 � 2i agus z3 � 1 � 3i

Má shuimítear 4 1 2i le gach ceann de na huimhreacha sin faightear:

4 � 2i, 6 � 5i, 1 � 4i agus 5 � 5i.

Léirítear na huimhreacha sin ar an léaráid Argand thíos:

�1O

1

2

3

4

5

6

�3 �2 �1 1 2 3 4 5 6 7

Sa

Ré

z2

z3 z1

Nuair a shuimítear an uimhir choimpléascach 4 1 2i le 0, z1, z2 agus z3, léirítear ar an léaráid thuas gur aistriú an toradh. Bogtar na huimhreacha go léir fad faoi leith sa treo céanna.

210

3. Uimhir choimpléascach a iolrú faoi i

Má iolraítear uimhir choimpléascach z 5 4 1 i faoi i, faightear

i(4 � i ) � 4i � i 2 � �1 � 4i

Má iolraítear z 5 4 1 i faoi i, i2 agus i3, faightear

� �1 � 4i… mar atá thuas

i 2(z) � �1(4 � i ) � �4 � i

i 3(z) � i 2. i(z) � �i(4 � i)� � � � � �4i � i 2

� � � � � 1 � 4i

Ón léaráid feicimid nuair a iolraítear uimhir choimpléascach faoi i, is ionann an toradh agus rothlú tuathal trí 90° gach uair a iolraítear faoi i í.

Ná dearmad z � i, rothlaíonn z trí 90° z � i2, rothlaíonn z trí 180° z � i3, rothlaíonn z trí 270°

Sampla 1

Agus an léaráid Argand thíos á húsáid agat, scríobh síos na huimhreachacoimpléascacha z1, z2 agus z3. (i) Má thugtar z2 5 a.z1, faigh a. (ii) Má thugtar z3 5 z1 1 z, faigh z.

�1O

1

2

3

4

5

6

7

�3 �2 �1 1 2 3 4 5 6 7 8

Samhailteach

Réadach

z1

z3

z2

Ón léaráid, z1 � 2 � 2i, z2 � 6 � 6i agus z3 � 7 � 3i.

(i) Má tá z2 5 a.z1, tá 6 � 6i � a(2 � 2i ) ∴ a � 3

(ii) Má tá z3 5 z1 1 z, tá 7 � 3i � 2 � 2i � z ∴ z � 7 � 3i � 2 � 2i

z � 5 � i

O

90°

iz

i2z

i3z

Sa

Ré

z

211

Cleachtadh 7.10

1. Breac an uimhir choimpléascach z 5 4 1 2i ar léaráid Argand.

Ar an léaráid chéanna breac na huimhreacha coimpléascacha 2z agus 12z.

Fíoraigh go bhfuil (i) |2z| � 2|z| (ii) | 1 _ 2 z| � 1 _ 2 |z|.

2. Tugtar z1 � 2 � i. Breac na huimhreacha coimpléascacha z1, 3z1, 4z1 agus 22z1

ar léaráid Argand. Úsáid an léaráid chun cur síos a dhéanamh ar an ngaol idir nahuimhreacha z1, 3z1, 4z1 agus 22z1.

3. Agus an léaráid Argand thíos á húsáid agat, scríobh síos na huimhreacha coimpléascacha z1 agus z2.

�1O

�2

�3

�4

�5

1

2

3

4

5

6

�3�4�5�6 �2 �1 1 2 3 4 5 6

Sa

Ré

z1

z2

z4

z5

z3

(i) Taispeáin go bhfuil z2 5 iz1.

(ii) Cé acu de na pointí z3, z4 nó z5 a sheasann do i2z1?

(iii) Má tá z6 5 i3(z2),, faigh z6 san fhoirm a 1 bi.

4. Breactar na huimhreacha coimpléascacha z1, z2 agus z4 ar léaráid Argand.

�1O

�2

�3

1

2

3

4

5

6

�3�4�5 �2 �1 1 2 3 4 5

Sa

Ré

z1

z2

z4

(i) Má thugtar z2 5 az1, faigh a. (ii) Má thugtar z4 5 bz1, faigh b.

212

5. Breac an uimhir choimpléascach z 5 6 1 2i ar léaráid Argand.

Ar an léaráid chéanna breac na huimhreacha coimpléascacha seo a leanas:

(i) iz (ii) i 2z (iii) i 3z.

6. Breac ar léaráid Argand na huimhreacha coimpléascacha

z1 � 4 � i, z2 � 7 � 2i agus z3 � 5 � 5i.

Ceangail na trí phointe agus dathaigh an triantán a dhéanann siad.

Má tá z4 5 23 2 4i, breac gach ceann de na huimhreacha coimpléascacha seo aleanas ar an léaráid Argand chéanna:

z1 � z4, z2 � z4 agus z3 � z4.

Ceangail na trí phointe agus dathaigh an triantán nua.

Déan cur síos ar an gclaochlú a tharlaíonn de bharr 23 2 4i a shuimiú le z1, z2 agus z3.

7. Scríobh síos aon uimhir choimpléascach z.

Taispeáin go bhfuil i4z 5 z

Mínigh, agus tú ag tagairt do rothlú, an éifeacht a bheadh ag uimhir choimpléascacha iolrú faoi i4.

8. Tugtar z 5 3 2 2i

Breac z, iz, i2z agus i3z ar léaráid Argand.

Úsáid compás agus, leis an mbunphointe mar lárphointe, fíoraigh gur féidir ciorcal a tharraingt trí z, iz, i2z agus i3z.

9. Breac an pointe z1 5 3 1 i agus z2 5 1 1 2i ar léaráid Argand.

Má tá z3 5 z1.z2, faigh z3 agus breac ar an léaráid chéanna é.

Ceangail z1, z2 agus z3 leis an mbunphointe.

Úsáid uillinntomhas chun an uillinn a dhéanann gach ceann de na pointí z1, z2 agus z3 leis an ais réadach a thomhas.

Úsáid do thorthaí chun a thaispeáint go bhfuil suim an chéad dá uillinn ar cóimhéid leis an tríú huillinn.

213

Cuir triail ort féin 7 1. (i) Scríobh síos sampla amháin de gach ceann díobh seo a leanas:

(a) Uimhir aiceanta atá níos mó ná 25 agus níos lú ná 40 (b) Slánuimhir atá níos lú ná 25 agus atá ina hiolraí ar 2 (c) Uimhir chóimheasta idir 1 agus 2 (d) Uimhir éagóimheasta idir 8 agus 9.

(ii) Má thugtar z1 5 3 1 4i agus z2 5 21 1 2i, (a) sloinn 2z1 2 3z2 san fhoirm a 1 bi

(b) sloinn 1 __ z1

san fhoirm a 1 bi.

(c) Má tá z1 1 kz2 5 6 2 2i, faigh luach k, áit a bhfuil k [ R.

(iii) Faigh luach x agus luach y má tá x(3 � 2i ) � y(�2 � i ) � 5 � 4i, áit a bhfuil x, y [ R.

2. (i) Simpligh 3(1 1 5i) 1 i(3 2 2i ), agus sloinn do fhreagra san fhoirm p 1 1i, áit a bhfuil p, q [ R.

(ii) Bíodh z1 5 10 2 2i agus z2 5 2 2 3i.

Taispeáin gur féidir z1 __ z2

a scríobh san fhoirm k(1 1 i), áit a bhfuil k [ N agus

uaidh sin scríobh síos luach k.

(iii) Scríobh 3 � 2i ______ 2 � i

san fhoirm x 1 yi, x, y [ R.

Uaidh sin faigh ux 1 yiu.

3. (i) Scríobh gach ceann díobh seo a leanas san fhoirm a 1 bi:

(a) 3 � √____

�16 (b) 2 � √___

�9 (c) �10 � √_____

�100 _____________ 5

(ii) Bíodh z 5 1 2 4i, áit a bhfuil i2 5 21. Breac z agus iz ar léaráid Argand.

(iii) Breac |2 � ki| � √___

29 , faigh dhá luach k [ R.

4. (i) Scríobh síos uimhir éagóimheasta a bhfuil luach idir 6 agus 7 aici.

(ii) Sloinn gach ceann díobh seo a leanas san fhoirm a 1 bi.

(a) 3(2 � 3i ) � i(2 � 3i ) (b) 2 ______ 1 � 2i

(iii) Má tá z1 5 3 2 4i agus z2 5 2 1 3i, sloinn z1z2 san fhoirm a 1 bi.Fíoraigh go bhfuil |z1z2| � |z1||z2|.

5. (i) Abair an bhfuil siad seo a leanas fíor nó bréagach: (a) 22 [ N (b) 4 [ Z (c) 23 [ Q (d) Tá Î16 éagóimheasta

214

(ii) Réitigh an chothromóid z2 2 4z 1 13 5 0. Sloinn na fréamhacha san fhoirm a 1 bi.

(iii) Breac z1 5 2 2 4i agus z2 5 24 1 2i ar léaráid Argand. Faigh uz1u agus uz2u. Scríobh síos dhá uimhir choimpléascacha eile a bhfuil an modal céanna le z1 acu.

6. (i) Simpligh 7(2 1 i ) 1 i(11 1 9i ), agus sloinn do fhreagra san fhoirm a 1 bi, áit a bhfuil a, b [ R agus i2 5 21.

(ii) Má tá z1 5 etc. agus z2 5 etc., faigh (a) z1 � z2 (b) z1 � z2.Anois imscrúdaigh an bhfuil |z1 � z2| � |z1 � z2|.

(iii) Bíodh w 5 3 2 4i

Réitigh an chothromóid x 1 w 5 3yi le haghaidh x, y [ R.

7. (i) Má tá z 5 2i, breac (a) z2 agus (b) iz ar léaráid Argand.

(ii) Scríobh síos, san fhoirm a 1 bi, an uimhir choimpléascach z1 a léirítear ar an léaráid Argand thíos.

�1O

�2

�3

�4

1

2

3

4

�3�4 �2 �1 1 2 3 4

Sa

Ré

z1

Anois faigh na huimhreacha coimpléascacha iz1, i2z1 agus i3z1 agus breac iad ar chóip den léaráid Argand thuas. Trí scrúdú a dhéanamh ar an léaráid, déan cur síos ar an gclaochlú céimseatúil a tharla.

(iii) Más fréamh leis an gcothromóid z2 1 8z 1 k 5 0 é z1 5 24 1 i, faigh luach k agus uaidh sin scríobh síos z2, an fhréamh eile leis an gcothromóid. Faigh z1z2 agus uaidh sin faigh t, má tá etc, le haghaidh t [ R.

8. (i) Má tá w 5 3 2 i, breac w 1 4i ar léaráid Argand. Anois faigh uw 1 4iu.

(ii) Má tá z 5 22 1 i, sloinn z2 san fhoirm a 1 bi, áit a bhfuil a, b [ R.Uaidh sin réitigh an chothromóid

kz2 � 2z � t le haghaidh k réadach agus t réadach.

(iii) Más é 2 2 i fréamh na cothromóide z2 � pz � q � 0, scríobh síos an fhréamh eile. Uaidh sin faigh luach p agus luach q.

215

�� 1. Uimhirchórais

N 5 uimhreacha aiceanta 5 1, 2, 3, 4, …

Z 5 slánuimhreacha 5 … 23, 22, 21, 0, 1, 2, 3, …

Q 5 uimhreacha cóimheasta 5 uimhreacha san

fhoirm ab

, áit ar slánuimhreacha iad a agus b.

Uimhreacha éagóimheasta a thugtar ar uimhreacha ar nós Î2, p nó deachúlacha neamh-athfhillteacha.

Is réaduimhreacha (R) iad na huimhreacha thuas ar fad.

2. Uimhreacha coimpléascacha

(i) Is uimhir í uimhir choimpléascach san fhoirm a 1 bi, áit a bhfuil

i 5 Î-1, agus i2 5 21.

(ii) Is é 3 2 4i comhchuingeach coimpléascach 3 1 4i. Nuair a shuimítear uimhir choimpléascach lena comhchuingeach, nó nuair a iolraítear faoi chéile iad, is réaduimhir an freagra i gcónaí.

(iii) Chun 2 � 3i ______

4 � 2i a shloinneadh san fhoirm a 1 bi, iolraigh a bhfuil thuas

agus thíos faoi 4 2 2i, comhchuingeach an ainmneora. (iv) Má tá z 5 a 1 bi, is é modal z ná |a � bi| � √

_______

a2 � b 2 . (v) Má tá a 1 bi 5 c 1 di, tá a 5 c agus b 5 d. (vi) Is féidir uimhir choimpléascach a léiriú ar léaráid Argand.

An ais réadach a thugtar ar an ais chothrománach. An ais shamhailteach a thugtar ar an ais ingearach.

(viii) Beidh fréamhacha coimpléascacha ag an gcothromóid

ax2 1 bx 1 c 5 0 má tá b2 2 4ac < 0.

3. Uimhreacha coimpléascacha a chlaochlú

Nuair a iolraítear uimhir choimpléascach faoi i, is ionann an toradh agus rothlú tuathal trí 90°.

z � i, rothlaíonn z trí 90° z � i 2, rothlaíonn z trí 180° z � i3, rothlaíonn z trí 270°

N

Z

Q

R

216

��mód airmheán meán raon inathraitheacht comhsheasmhach riail eimpíreach

ceathairíl raon idircheathairíle asluiteach dáileadh minicíochta

dáileadh minicíochta grúpáilte lárluach eatraimh diall caighdeánach

Mír 8.1 Mód � airmheán � meán Is cuid den ghnáthchaint é meán as Gaeilge, nó ‘average’ as Béarla. Mar shampla, déanaimidtagairt don mheánphá seachtainiúil, don mheánteocht laethúil, don mheánscór i gcomórtas gailfnó don mheánmharc i scrúdú.

I ngach ceann de na samplaí thuas, táimid ag léiriú na luachanna ar fad i dtacar sonraí leluach amháin nó luach tipiciúil ar a dtugaimid an meán staitistiúil.

Bíonn sé an-úsáideach meán staitistiúil a bheith againn mar nach gá ach dhá luach a chur igcomparáid le chéile, is iad sin na meáin staitistiúla, le bheith in ann tacar sonraí amháin achur i gcomparáid le ceann eile.

Tá bealaí éagsúla ann le meán staitistiúil a chur in iúl, ach is iad na meáin staitistiúla is coit-ianta a úsáidtear ná an mód, an t-airmheán agus an meán.

1. An Mód Is é an mód an luach is coitianta i dtacar sonraí. Bíonn an mód thar a bheith úsáideachnuair a bhíonn luach amháin ann i bhfad níos minice ná aon luach eile. Tá sé éasca é a fháilagus is féidir é a úsáid le haghaidh sonraí neamhuimhriúla ar nós dhathanna na gcarrannaa dhíolann garáiste.

Sampla 1

Is iad aoiseanna na ndaltaí ar bhus scoile:

12, 15, 12, 13, 14, 16, 15, 11, 1216, 15, 16, 14, 10, 13, 17, 15, 17

Nuair a chuirimid iad sin in ord, seo mar atá siad:

10, 11, 12, 12, 12, 13, 13, 14, 14, 15, 15, 15, 15, 16, 16, 16, 17, 17

Is é 15 an uimhir is coitianta (is minice a tharlaíonn) ar an liosta seo.

; an mód 5 15

Tomhais ar an Suíomh agus Tomhais ar an Suíomh agus Tomhais ar an Suíomh agus Tomhais ar an Suíomh agus Tomhais ar an Suíomh agus Tomhais ar an Suíomh agus Tomhais ar an Suíomh agus Tomhais ar an Suíomh agus ar an Leathadhar an Leathadhar an Leathadhar an Leathadhar an Leathadhar an Leathadhar an Leathadhar an Leathadh

� ��

�

8

217

2. An tAirmheán

Le teacht ar an airmheán do liosta uimhreacha, cuir nahuimhreacha in ord de réir méide, ag tosú leis an gceannis lú. Is é an t-airmheán an uimhir atá sa lár.

Má tá 11 uimhir ar an liosta, is é an uimhir láir ná 12 (11 1 1), i.e., an 6ú huimhir.

Má tá 10 n-uimhir ar an liosta, is é an uimhir láir ná 12 (10 1 1), i.e., an 51

2ú huimhir.

Is ionann an luach sin agus leath shuim an 5ú huimhir agus an 6ú huimhir.

Sampla 2

Faigh airmheán na n-uimhreacha seo: 5, 8, 12, 4, 9, 3, 7, 2.

Scríobhaimid na huimhreacha in ord a méide agusfaighimid:

2, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 12

Is é an t-airmheán ná 1 __ 2

(5 � 7) � 5 � 7 _____ 2

� 12 ___ 2

� 6

; an t-airmheán 5 6

Scríobh na huimhreacha in ord a méide chun an t-airmheán a fháil.

3. An Meán

Chun meán tacar uimhreacha a fháil,

1. Faigh suim na n-uimhreacha ar fad. 2. Roinn an tsuim sin ar líon na n-uimhreacha.

Is é an meán an ‘meán staitistiúil’ is mó a mbaintear úsáid as.

Tá sé tábhachtach mar go gcuireann sé gach píosa sonraí san áireamh. Ach is féidir le luachanna áirithe atá i bhfad ón gcuid eile de na luachanna dul i bhfeidhm ar an meán.

Sampla 3

Ríomh meán na n-uimhreacha seo:

12, 14, 10, 17, 21, 22

Meán � 12 � 14 � 10 � 17 � 21 � 22 __________________________ 6

� 96 ___ 6

� 16

Má tá n uimhir ar liosta, is é an téarma láir ná 12(n 1 1).

Má tá 12(n 1 1) 5 4, is í

an 4ú huimhir an t-airmheán.

An meán 5 suim na n-uimhreachalíon na n-uimhreacha

218

Sampla 4

Ghlac cúigear cailíní agus triúr buachaillí páirt i dtráth na gceist.

Ba é 54 an meánmharc do na cailíní. Ba é 62 an meánmharc do na buachaillí.

Faigh an meánmharc don ghrúpa ar fad.

Chun an meán a fháil, suimigh iomlán na marcanna do na cailíní le hiomlán na marcanna do na buachaill agus roinn an freagra ar 8.

Iomlán na marcanna do na cailíní 5 54 3 5 5 270 Iomlán na marcanna do na buachaillí 5 62 3 3 5 186

Iomlán don ochtar 5 270 1 186 5 456

Meán don ghrúpa ar fad 5 4568 5 57

Cleachtadh 8.1

1. Faigh an meán do gach ceann de na heagair uimhreacha seo a leanas: (i) 2, 6, 10, 14, 18 (ii) 0, 2, 8, 16, 6, 22 (iii) 3, 7, 8, 13, 4, 12, 9 (iv) 5, 12, 3, 4, 3, 6, 9

2. Athscríobh gach ceann de na heagair uimhreacha seo in ord a méide agus ansinscríobh síos (i) an mód (ii) an t-airmheán.

(a) 8, 11, 2, 5, 8, 7, 8, 2, 5 (b) 3, 3, 7, 8, 7, 9, 8, 5, 7, 11, 12

3. Taispeántar thíos luas 11 charr atá ag taisteal ar bhóthar. Is ina chiliméadair san uair athugtar an luas:

41, 42, 31, 36, 42, 43, 42, 34, 41, 37, 45 (i) Faigh an luas airmheánach. (ii) Faigh an meánluas.

4. D’imir foireann rugbaí 10 gcluiche. Seo líon na bpointí a scóráil an fhoireann:

12, 22, 14, 11, 7, 18, 22, 14, 36, 14 (i) Scríobh síos an mód. (ii) Céard é an líon airmheánach pointí a scóráladh? (iii) Faigh an meánlíon pointí a scóráladh.

5. Cuir na marcanna thíos in ord agus ansin scríobh síos an t-airmheán i ngach cás. (i) 9, 5, 8, 3, 2, 7, 6 (ii) 8, 12, 18, 9, 14, 7, 10, 6

6. Scríobh síos seacht n-uimhir dhifriúla arb é 12 a n-airmheán.

219

7. Is é 7 an meán atá ag ceithre uimhir agus trí cinn de na huimhreacha sin ná 5, 12 agus 9. (i) Faigh suim na gceithre uimhir. (ii) Faigh an ceathrú huimhir.

8. Is é 19 an meán atá ag ceithre uimhir. Trí cinn acu ná 21, 25 agus 16. Faigh an ceathrú huimhir.

9. Is é E4.90 an meán atá ag ceithre shuim airgid. Nuair a chuirtear an cúigiú suim leo, is é E5.34 an meán atá ag na cúig shuim sin. Faigh an cúigiú suim airgid.

10. Scríobh cúig uimhir a fhágfaidh gurb é 4 an mód 6 an meán 5 an t-airmheán.

11. (i) Is é 6 an meán atá ag 3, 7, 8, 10 agus x. Faigh x. (ii) Is é 7 an meán atá ag 1, k, 3, 6 agus 8. Faigh k.

12. Is é 11 an meán atá ag cúig uimhir. Nuair a chuirtear an séú huimhir leo, is é 12 an meán atá ag na sé uimhir sin. Faigh an séú huimhir.

13. 50 g an meánmheáchan a bhí i gcúig dháta. D’ith Cáit ceann amháin acu. 40 g an meánmheáchan a bhí sna ceithre cinn a bhí fágtha. Cén meáchan a bhí sa dáta a d’ith Cáit?

14. Is iad na marcanna a fuair Nicky i gceithre thástáil ná:

8, 4, 5, 3

Cén marc a fuair sí sa chúigiú agus sa séú tástáil, más é 4 an marc módúil a bhí aici agus 5 an meánmharc a bhí aici tar éis na sé thástáil?

15. Taispeántar anseo thíos marcanna Mhaitiú in ocht dtástáil. Cén marc a fuair sé sa naoú tástáil más é 6 an marc airmheánach a bhí aige?

5 9 7 3 7 4 5 8

16. I suirbhé scríobh grúpa buachaillí agus cailíní síos cé mhéad uair an chloig a chaith siad ag breathnú ar an teilifís seachtain áirithe.

Buachaillí 17 22 21 23 16 12 Cailíní 9 13 15 19 10 12

0 5 13 15 13 14 9 8 12 14 15 11

(i) Faigh an meán-am do na buachaillí. (ii) Faigh an meán-am do na cailíní. (iii) Faigh an t-am airmheánach do gach grúpa. (iv) An gcaitheann na buachaillí níos mó ama ag breathnú

ar an teilifís ná na cailíní? Mínigh do fhreagra.

DATES

DATES

400g

�2.59

220

17. Tá na huimhreacha 4, 8, 12, 17, x eagraithe in ord a méide. Má tá meán na n-uimhreacha cothrom leis an airmheán, faigh x.

18. Is é 165 cm meánairde grúpa ochtar daltaí. (i) Céard é airde iomlán an ochtar daltaí le chéile?

Tagann an naoú dalta isteach sa ghrúpa. Tá sé 168 cm ar airde. (ii) Céard é meánairde an naonúr daltaí?

19. Is é 39 an meán atá ag cúig uimhir. Dhá cheann de na huimhreacha ná103 agus 35 agus tá gach ceann de na trí uimhir eile cothrom le x. Faigh (i) iomlán na gcúig uimhir

(ii) an luach atá ag x.

20. I gceithre thástáil, ar marcáladh gach ceann díobh as 100, ba é 85 mo mheánmharc. Céard é an marc is ísle a d’fhéadfainn a fháil in aon cheann de na tástálacha sin? A 0 B 40 C 60 D 81 E 85Mínigh do fhreagra.

21. Téann Fred ag iascaireacht gach seachtain. Gach seachtain breacann sé síos an líon éisc a thóg sé. Tar éis roinnt seachtainí ríomhann sé na meáin staitistiúla seo:

9.3 an meán líon éisc a thóg sé in aghaidh na seachtaine.

12 an líon módúil éisc a thóg sé in aghaidh na seachtaine.

10 an líon airmheánach éisc a thóg sé in aghaidh na seachtaine.

An chéad seachtain eile ní thógann sé iasc ar bith. Níor tharla sé sin riamh roimhe sin. Ríomhann Fred a chuid meáin staitistiúla an athuair.

(i) Cé acu de na meáin staitistiúla sin nach féidir a bheith athraithe? Tabhair cúis le do fhreagra.

(ii) Cé acu de na meáin staitistiúla atá athraithe go cinnte? Mínigh do fhreagra.

Mír 8.2 Raon agus inathraitheacht Is é an raon do thacar sonraí ná an luach is airde sa tacar lúide an luach is ísle.

Ní meán staitistiúil é an raon.

Taispeánann sé leathadh na sonraí, i.e., cé chomh scoiteamach agus atá siad. Bíonn sé an-úsáideach agus dháthacar sonraí á gcur i gcomparáid lena chéile againn.

Is tomhas an-gharbh ar an leathadh é an raon mar nach n-úsáideann sé ach an luach is mó agus an luach is lú de na sonraí.

Is ionann raon tacar sonraí agus an luach is mó lúide an luach is lú.

221

Sampla 1

Is iad na marcanna a fuair Sinéad, as 20, i ndeich gcinn de thástálacha matamaitice ná:

8, 8, 14, 12, 12, 10, 14, 12, 18, 12

Is iad na marcanna a fuair Conchúr sna tástálacha céanna ná:

12, 14, 12, 16, 10, 12, 10, 12, 10, 12

Faigh (i) meán (ii) raon na marcanna a fuair Sinéad agus na marcanna a fuair Conchúr agus scríobh cúplafocal mar anailís ar na torthaí.

I gcás Shinéad: (i) an meán ��8 � 8 � 14 �12 �12 �10 �14 �12 �18 �12 _______________________________________ 10

� � � � � 120 ____ 10

� 12

(ii) an raon 5 marc is airde 2 marc is ísle

� � � �� 18 � 8

� � � � ��10

I gcás Chonchúir: (i) an meán ��12 �14 �12 �16 �10 �12 �10 �12 �10 �12 ________________________________________ 10

� � � � � 120 ____ 10

� 12

(ii) an raon 5 16 2 10

� � � � ��6

Cúpla focalmar anailís:

Cé go bhfuil na meáin mar a chéile, tá raon níos lú ag marcanna Chonchúir. Léiríonn sé sin go bhfuil torthaí Chonchúir níoscomhsheasmhaí ná torthaí Shinéad.

Tá marcanna Shinéad níos scoite amach ná marcanna Chonchúir i Sampla 1 thuas, rud a thaispeánann inathraitheacht na sonraí agus an tábhacht a bhaineann leis sin.

Úsáidtear an raon go minic mar thomhas ar an inathraitheacht mar go bhfuil sé éasca é a ríomh agus éasca é a thuiscint.

Ceathairíleanna agus raon idircheathairíle Nuair a bhíonn na sonraí eagraithe in ord a méide, is é an t-airmheán an luach leathshlí isteach sna sonraí, mar atá foghlamtha againn cheana féin. Mar sin is féidir linn a rá go roinneann an t-airmheán na sonraí ina dhá leath. Is féidir na sonraí a roinnt ina gceithre cheathrú freisin.

Nuair a eagraítear na sonraí in ord a méide, agus an ceann is lú chun tosaigh:

> an cheathairíl íochtarach a thugtar ar an luach an ceathrú cuid den tslí isteach sna sonraí

> an cheathairíl uachtarach a thugtar ar an luach trí cheathrú cuid den tslí isteach sna sonraí

> an raon idircheathairíle a thugtar ar an gceathairíl uachtarach lúide an cheathairíl íochtarach.

222

Cuir i gcás na sonraí anseo thíos atá eagraithe in ord a méide. Tá 15 uimhir i gceist.

Is í an cheathairílíochtarach an luachan ceathrú cuid dentslí tríd. Mar seo ascríobhtar í: Q1

Is é an t-airmheánan luach leathshlítríd. Mar seo ascríobhtar é: Q2

Is í an cheathairíluachtarach an luachtrí cheathrú den tslítríd. Mar seo ascríobhtar í: Q3

Is í an cheathairíl íochtarach an 4ú luach.

Is é an t-airmheán an 8ú luach.

Is í an cheathairíl uachtarach an 12ú luach.

0 2 4 5 7 8 10 12 12 12 13 14 14 15 16

An cheathairíl íochtarach Q1 5 5.

An t-airmheán Q2 5 12.

An cheathairíl uachtarach Q3 5 14.

An raon idircheathairíle 5 Q3 2 Q1 � 14 � 5 � 9

Sampla 2

Seo iad na marcanna a fuair 11 dalta i dtástáil:

52, 78, 61, 49, 79, 47, 54, 58, 72, 62, 73

Faigh (i) an t-airmheán (ii) an cheathairíl íochtarach (iii) an cheathairíl uachtarach (iv) an raon idircheathairíle.

An chéad rud a dhéanaimid ná na huimhreacha a athscríobh in ord, ag tosú

leis an gceann is lú:

47, 49, 52, 54, 58, 61, 62, 72, 73, 78, 79

(i) Is é an t-airmheán lárluach an liosta. Ós rud é gur 11 luach atá ann, is é an lárluach ná 1

2 (11 1 1), i.e. an 6ú luach.

Is é 61 an 6ú luach � an t-airmheán 5 61.

(ii) Is í an cheathairíl íochtarach an luach atá 14 den tslí tríd an dáileadh.

Is féidir an luach sin a fháil ach 14 (11 1 1) a fháil 5 an 3ú luach.

Is é 52 an 3ú luach � an cheathairíl íochtarach (Q1) 5 52.

(iii) Is í an cheathairíl uachtarach an luach atá 34 den tslí tríd an dáileadh.

Is féidir an luach sin a fháil ach 34 (11 1 1) a fháil 5 an 9ú luach.

Is é 73 an naoú luach sin � an cheathairíl uachtarach (Q3) 5 73.

(iv) An raon idircheathairíle 5 Q3 2 Q1 � � � � �� 73 � 52� � � � � � 21

Is ionann an raon idircheathairíle agus ceathairíl uachtarach 2 ceathairíl íochtarach

5 Q3 2 Q1

223

Nóta: Cuir i gcás gur ré-uimhir é líon na luachanna i ndáileadh, m.sh.,

2, 5, 6, 8, 9, 12, 15, 17, 20, 25

Is é an lárluach ná 12 (10 1 1) 5 1

2 (11) 5 512ú luach

Is ionann an luach sin agus meán an 5ú luach agus an 6ú luach.

Is é an t-airmheán ná 1 _ 2 (9 � 12) � 1 _ 2 (21) � 10 1 _ 2 .

Cleachtadh 8.2

1. Faigh an raon do gach ceann de na tacair sonraí seo a leanas: (i) 6, 3, 8, 2, 9, 5, 10 (ii) 21, 16, 72, 40, 67, 65, 55, 34, 17, 48, 32, 19, 44, 61, 73 (iii) 8, 2, 9, 6, 7, 10, 12, 13, 5, 12, 10, 8, 10, 4

2. Thug Iníon Uí Mhóra tástáil mhatamaitice dá rang. Seo iad na marcanna do na cailíní:

7, 5, 8, 5, 2, 8, 7, 4, 7, 10, 3, 7, 4, 3, 6

Céard é (i) an marc airmheánach (ii) raon na marcanna?

Ba é 7 an marc airmheánach, agus 4 raon na marcanna, do na buachaillí ina rang. Déan comparáid idir na torthaí agus, ar an gcaoi sin, abair cén grúpa ab fhearr a chruthaigh sa tástáil 2 na buachaillí nó na cailíní. Mínigh do fhreagra.

3. Chuir naonúr daltaí a gceachtanna faoi bhráid an mhúinteora. Marcáladh as 40 iad. Ba iad na marcanna a fuair siad:

37, 34, 34, 29, 27, 27, 10, 4, 34

(i) Scríobh síos raon na marcanna. (ii) Scríobh síos an marc airmheánach. (iii) Faigh (a) an cheathairíl íochtarach (b) an cheathairíl uachtarach (c) an raon idircheathairíle.

4. Faigh (i) an cheathairíl íochtarach (ii) an cheathairíl uachtarach (iii) an raon idircheathairíle

don tacar sonraí seo:

4, 12, 7, 6, 10, 5, 11, 14, 2, 3, 9

5. Seo iad na hamanna, ina nóiméid, d’aistear bus:

15, 7, 9, 12, 9, 19, 6, 11, 9, 16, 8

(i) Faigh raon na n-amanna sin. (ii) Faigh an cheathairíl íochtarach. (iii) Faigh an cheathairíl uachtarach. (iv) Scríobh síos an raon idircheathairíle.

224

6. Rinne grúpa buachaillí agus cailíní tástáil Fraincise. Seo iad na marcanna a fuair nabuachaillí:

13, 14, 14, 15, 14, 14, 15, 17, 16, 14, 16, 12

(i) Faigh raon mharcanna na mbuachaillí. (ii) Ríomh meánmharc na mbuachaillí.

Ba é 13.2 an meánmharc do na cailíní sa rang agus ba é 7 raon mharcanna na gcailíní. (iii) Déan dhá ráiteas faoi na difríochtaí idir marcanna na mbuachaillí agus marcanna

na gcailíní sa tástáil Fraincise.

7. D’imir Conchúr naoi mbabhta de ghalf mearaí. Seo iad a chuid scór:

51, 53, 50, 41, 59, 64, 66, 65, 50

Faigh (i) an raon (ii) an cheathairíl íochtarach (iii) an cheathairíl uachtarach (iv) an raon idircheathairíle.

8. Díolann grósaeir málaí úll ó thíortha éagsúla. Tá 9 n-úll ón bhFrainc i mála amháin.

Tugtar thíos meáchan gach úill, ina ghraim.

101, 107, 98, 109, 115, 103, 96, 112, 104

(i) Ríomh meánmheáchan úill ón bhFrainc. (ii) Faigh raon mheáchain na n-úll ón bhFrainc.

Tá 9 n-úll ón Afraic Theas i mála eile. 107g a meánmheáchan agus 19g a raon. (iii) Déan dhá ráiteas faoi mheáchain na n-úll sa dá mhála.

9. Tá na huimhreacha seo ar thacar cártaí

3 3 4 5 6 6 7

(i) Faigh cúig chárta ón tacar seo arb é 6 a n-airmheán agus 4 a raon. (ii) Faigh ceithre chárta arb é 6 a n-airmheán agus 3 a raon.

10. Réitigh an dá fhadhb seo:

I mo theaghlachsa is iad aoiseanna an triúr páistí ná 6, 10 agus 16. Is é 24 meánaois an teaghlaigh iomláin. Is é 41 an raon. Cén aois iad mo Mham agus mo Dhaid?

(i) (ii)

Tá cúigear clainne ar mo thuismitheoirí. Tá an páiste is óige 8 mbliana d’aois agus tá mise 15. Tá an páiste airmheánach 13 bliana d’aois. Is é 17 an raon atá ag aoiseanna na bpáistí. Is é 14 meán ár n-aoiseanna. Cén aois muid?

225

11. Tomhaiseann an múinteoir corpoideachais i scoil áirithe an t-am, ina shoicindí, a thógann sé ar bhaill na foirne peile agus ar bhaill na foirne haca 100 méadar a rith.

Foireann peile

13 14 15 11 14 12 12 13 11 13 15

Foireann haca

12 13 14 11 14 16 15 13 15 17 11

(i) Ríomh an meán, an t-airmheán agus an raon don dá fhoireann. (ii) Cé acu grúpa is tapúla, dar leat?

Tabhair cúis le do fhreagra.

Mír 8.3 Cén meán staitistiúil a úsáidfimid? Tá na trí mheán staitistiúla, i.e., an meán, an mód agus an t-airmheán, úsáideach ach d’fhéadfadh ceann acu a bheith níos feiliúnaí ná na cinn eile i suíomhanna éagsúla.

Bíonn an mód úsáideach nuair a theastaíonn uait a fháil amach, mar shampla, cén mhéidbróige is coitianta.

Bíonn an meán úsáideach chun luach ‘tipiciúil’ a fháil má bhíonn an chuid is mó de na sonraígrúpáilte go dlúth. Tharlódh nach dtabharfadh an meán luach tipiciúil má bhíonn na sonraían-scoite amach nó má bhíonn cúpla luach ann atá an-difriúil leis na luachanna eile. Asluitigh a thugtar ar na luachanna sin.

Cuir i gcás, mar shampla, comhlacht beag ina dtuilleann an príomhfheidhmeannach E12100 sa mhí agus ina dtuilleann an t-aon fhostaí dhéag eile E2500 an duine sa mhí.

Sa chás seo is é E3300 an meántuarastal míosúil, rud nach bhfuil tipiciúil i gcomhthéacs nadtuarastal míosúil i gcoitinne.

I gcásanna mar seo, d’fhéadfadh an t-airmheán nó lárluach a bheith níos tipiciúla.

Déanann an tábla thíos cur síos ar na buntáistí agus ar na míbhuntáistí a bhaineann le gach cineál meán staitistiúil; cabhróidh sé leat an cinneadh ceart a dhéanamh.

Cineál Buntáistí Míbhuntáistí

Mód > Éasca é a fháil > Ní théann luachanna atá an-mhór

nó an-bheag i bhfeidhm air.

> B'fhéidir nach bhfuil sé ann> Ní féidir mórán leasa a bhaint

as le haghaidh tuilleadh anailíse

Airmheán > Ní théann luachanna atá an-mhórnó an-bheag i bhfeidhm air

> Éasca le ríomh má bhíonn na sonraí in ord

> Ní i gcónaí a bhíonn sé ina luach sonraí tugtha

> Ní féidir mórán leasa a bhaint as le haghaidh tuilleadh anailíse

Meán > Úsáideann sé na sonraí ar fad > Éasca é a ríomh > An-úsáideach le haghaidh tuilleadh

anailíse

> Cuireann torthaí atá an-mhór nóan-bheag as a riocht é

> Ní i gcónaí a bhíonn sé ina luach sonraí tugtha

226

Sampla 1

Tá 10 n-árasán i mbloc. Is é líon na litreacha a sheachadtar chuig gach ceann de na hárasáin lá áirithe ná

2, 0, 5, 3, 4, 0, 1, 0, 3, 15

Ríomh meánlíon na litreacha, líon módúil na litreacha agus líon airmheánach na litreacha. Cé acu de na meáin staitistiúla seo is fearr a d’oirfeadh chun na sonraí sin a léiriú? Tabhair cúis le do fhreagra.

Meán � 2 � 0 � 5 � 3 � 4 � 0 � 1 � 0 � 3 � 15 ___________________________________ 10

� 33 ___ 10

� 3.3

Mód � 0

Airmheán: 0, 0, 0, 1, 2, 3, 3, 4, 5, 15

Airmheán � 2 � 3 _____ 2

� 5 __ 2

� 2 1 _ 2

Sa sampla seo tá an meán curtha as a riocht mar gheall ar an ardlíon litreacha a sheachadtar chuig árasán amháin. Ní tomhas maith é, dá bhrí sin, ar an líon ‘tipiciúil’ litreacha a sheachadtar. Ní tomhas maith é an mód ach an oiread ar an líon ‘tipiciúil’ litreacha, mar is amhlaidh go bhfaigheann 7 gcinn de na 10 n-árasán litreacha.Is é an t-airmheán an tomhas is fearr ar an líon ‘tipiciúil’ litreacha a sheachadtar ós rud é go bhfaigheann leath na n-árasán níos mó ná an t-airmheán agus go bhfaigheann an leath eile níos lú ná an t-airmheán.

Cleachtadh 8.3

1. Cén meán staitistiúil a d’úsáidfeá i gcás gach ceann díobh seo? Tabhair cúis le do fhreagra. (i) An meánmharc i scrúdú. (ii) An mheánmhéid éide do gach dalta i rang. (iii) Meánairde na n-imreoirí ar fhoireann cispheile. (iv) Dathanna na gcarranna a dhíoltar i ngaráiste. (v) Meántuarastal seachtair a oibríonn do chomhlacht beag.

2. Is iad meáchain criú báid, ina gcileagraim, ná

96, 86, 94, 96, 91, 95, 90, 96, 43

Ríomh (i) an meáchan airmheánach (ii) an meánmheáchan.

Cé acu den dá mheán staitistiúla sin is fearr a dhéanann cur síos ar na sonraí thuas? Tabhair cúis le do fhreagra.

227

3. Faigh (i) meán (ii) airmheán na n-uimhreacha seo:

9, 11, 11, 15, 17, 18, 100

Cé acu den dá mheán staitistiúla sin a roghnófá chun an cur síos is fearr a dhéanamhar na huimhreacha sin?

4. Bhreac Seán síos na teochtaí lár lae ar feadh seachtain amháin agus é ar laethanta saoiresa Spáinn.

Lá 1 2 3 4 5 6 7

Teocht ag meán lae (°C) 32 30 30 28 33 31 30

(i) Faigh an mheánteocht ag meán lae. (ii) Tabhair cúis a bhfuil an meán oiriúnach do na sonraí seo.

5. (i) Faigh an meán don tacar uimhreacha seo a leanas:

37, 26, 37, 18, 18, 20, 26, 18, 37, 37, 18.

(ii) Cén fáth nach bhfuil an mód oiriúnach mar mheán staitistiúil sa chás seo?

6. Faigh (i) an meán (ii) an t-airmheán don tacar sonraí seo:

3, 5, 4, 7, 29, 9, 2, 4, 10, 8

Cé acu den dá mheán staitistiúla sin is fearr a d’oirfeadh chun na sonraí a léiriú? Tabhair cúis le do fhreagra.

7. Tá Cáit ag clóscríobh a ceachta don choláiste. Déanann sí cuntas de líon na mbotún a dhéanann sí ar gach leathanach. Seo líon na mbotún a chonaic sí:

6, 19, 14, 17, 51, 16, 20, 13, 16

(i) Céard é an líon módúil botún atá ann? (ii) Faigh líon airmheánach na mbotún. (iii) Faigh an meánlíon botún, ceart go dtí aon phointe deachúlach amháin. (iv) Scríobh síos an meán staitistiúil is fearr a léiríonn na sonraí sin.

Mínigh do fhreagra.

8. Liostaítear thíos tuarastail bhliantúla na bhfostaithe i gcomhlacht beag:

%30,000, %25,000, %24,000, %22,000, %20,000, %105,000

Faigh (i) an meántuarastal

(ii) an tuarastal airmheánach. (iii) Cén fáth nach féidir leat an mód a fháil?

Cé acu de na meáin staitistiúla, an meán nó an t-airmheán, is fearr a léiríonn an tuarastal‘tipiciúil’?

9. Faigheann ceannaire club óige lascaine ar channaí dí mura gceannaíonn sí ach aon toirt amháin. Ghlac sí vóta ar cén toirt a bhí daoine a iarraidh. Seo iad na torthaí:

Toirt an channa(ml) 100 200 330 500 Mód 5 330 ml Airmheán 5 200 ml Meán 5 245.6 ml,ceart go dtí ionad deachúlach amháin.

Líon vótaí 9 12 19 1

Cén toirt ba chóir di a cheannach? Mínigh do fhreagra.

228

Mír 8.4 Dáileadh minicíochta Taispeánann an tábla thíos líon na ríomhphost a fuair 31 duine in oifig lá áirithe.

Líon ríomhphost 0 1 2 3 4 5 6 7

Minicíocht (líon daoine) 4 11 8 6 1 0 0 1

Tábla minicíochta a thugtar ar an tábla sin. Ón tábla feicimid gurb é 6 líon na ndaoine a fuair 3 ríomhphost.

Taispeánfaimid anois cén chaoi le mód, airmheán agus meán dáileadh minicíochta a fháil. Taispeánann an tábla minicíochta thíos líon na litreacha sna freagraí ar chrosfhocal.

Líon litreacha san fhocal 3 4 5 6 7

Minicíocht 3 4 9 5 2

Is é an mód an líon litreacha (san fhocal) is coitianta a tharlaíonn. Mar sin is é an mód atá ann ná 5 mar is é is minice atá ann i gcomparáid le huimhir ar bith eile.

Is é an t-airmheán an uimhir atá sa lár sa dáileadh.

Is é an mhinicíocht iomlán atá ann ná 3 1 4 1 9 1 5 1 2, i.e., 23.

Is é an lárluach ag 23 luach ná 12 (23 1 1), i.e., an 12ú luach.

D’fhéadfaí an 23 luach a liostú mar seo:

3 3 3 4 4 4 4 5 5 5 5 5 5 5 5 5 6 6 6 6 6 7 7

lárluach

Is í an uimhir láir sa liosta seo ná an 12ú huimhir. Is é 5 an uimhir sin. ; an t-airmheán 5 5

Nóta: Is féidir an t-airmheán a léamh ón tábla gan na huimhreacha ar fad a liostú. Tógaimid líne na minicíochta agus faighimid an colún ina bhfuil an 12ú huimhir. Is é suim an chéad dá mhinicíocht ná 3 1 4 5 7. Is é suim na gcéad trí mhinicíocht ná 3 1 4 1 9 5 16. Mar sin tarlaíonn an 12ú luach sa tríú colún, áit arb é 5 líon na litreacha san fhocal.

; an t-airmheán 5 5

Meán dáileadh minicíochta

Taispeánann an tábla thíos na marcanna (ó 1 go 10) a fuair 20 dalta i rang.

Marcanna 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Líon daltaí 1 1 1 3 5 3 2 2 1 1

Gheofar meánmharc an dáilte seo ach suim na marcanna a roinnt ar líon iomlán na ndaltaí.

229

Chun líon iomlán na marcanna a fháil, iolraímid gach marc (nó athróg) faoi líon na ndaltaí (minicíocht) a fuair an marc sin.

; an meán � 1(1) � 2(1) ��3(1) ��4(3) ��5(5) ��6(3) ��7(2) ��8(2) ��9(1) ��10(1)

_________________________________________________________ 1 � 1 � 1 � 3 � 5 � 3 � 2 � 2 � 1 � 1

� � � 110 ____ 20

� 5.5 marc

Más don athróg a sheasann x agus más don mhinicíocht a sheasann f,

meán � Σfx ____ Σf

áit arb é ofx suim na n-athróg uile iolraithe faoi na minicíochtaí comhfhreagracha, agus of

suim na minicíochtaí.

Sampla 1

Más é 3 meán an dáilte minicíochta thíos, faigh luach x. Scríobh síos an mód atá ag an dáileadh.

Cúil a scóráladh 1 2 3 4 5 6

Líon cluichí 7 8 4 4 3 x

Meán � 7(1) � 8(2) � 4(3) � 4(4) � 3(5) � x(6)

________________________________ 7 � 8 � 4 � 4 � 3 � x

� � � 7 � 16 � 12 ��16 ��15 ��6x _________________________ 26 � x

� 66 � 6x _______ 26 � x

Ós rud é go bhfuil an meán 5 3 ⇒ 66 � 6x _______ 26 � x

� 3

⇒ 66 � 6x � 3(26 � x)⇒ 66 � 6x � 78 � 3x

⇒ 3x � 12⇒ x � 4

Tá an mód 5 2, ós rud é gurb é 2 is minice atá ann.

Cleachtadh 8.4

1. Tugann an tábla thíos líon na gcúl a scóráladh i 60 cluiche, deireadh seachtaine áirithe:

Cúil a scóráladh 1 2 3 4 5 6

Líon cluichí 12 16 10 8 6 8

(i) Scríobh síos an mód atá ag an dáileadh. (ii) Faigh an líon airmheánach cúl a scóráladh.

Meán � Σfx ____ Σf

230

2. Ríomh an meán atá ag an dáileadh minicíochta seo:

Athróg (x) 1 2 3 4 5 6

Minicíocht (f) 9 9 6 4 7 3

3. Bhí 10 gceist i dtástáil, 1 mharc in aghaidh na ceiste, agus 0 do réiteach mícheart. Taispeánann an tábla thíos na marcanna a fuair na daltaí i rang áirithe sa tástáil:

Marcanna 3 4 5 6 7 8 9

Líon daltaí 3 2 6 10 0 3 1

(i) Cé mhéad dalta a bhí sa rang? (ii) Scríobh síos an mód atá ag na sonraí. (iii) Ríomh an meánmharc a bhí ag na daltaí. (iv) Cé mhéad dalta a fuair marc ní b’airde ná an meánmharc? (v) Faigh an marc airmheánach.

4. Tá seisear i dteaghlach Phóilín. Ba mhaith léi a fháil amach cé mhéad atá i dteaghlaigha cairde. Cuireann sí an cheist ar a cairde ar fad agus breacann sí síos an fhaisnéis i dtábla.

Líon daoine sa teaghlach 2 3 4 5 6 7 8

Minicíocht 2 4 6 5 2 0 1

(i) Scríobh síos an líon módúil daoine in aghaidh an teaghlaigh. (ii) Faigh an líon airmheánach daoine in aghaidh an teaghlaigh. (iii) Ríomh an meán atá ag an dáileadh seo.

5. Tá Caral ag iarraidh meastachán a dhéanamh ar cé mhéad focal atá scríofa aici in aiste. Déanann sí cuntas de líon na bhfocal a scríobh sí ar gach líne de leathanach amháin. Tugtar a cuid torthaí sa tábla thíos.

Focail in aghaidh na líne 10 11 12 13 14 15

Líon línte 1 3 6 9 7 4

(i) Cé mhéad líne san iomlán a bhí ar an leathanach? (ii) Cé mhéad líne a raibh 14 fhocal iontu? (iii) Cérbh é an líon módúil focal in aghaidh na líne? (iv) Faigh an líon airmheánach focal in aghaidh na líne. (v) Ríomh an meán atá ag an dáileadh seo.

6. Léiríonn an tábla thíos líon na gcúl a scóráladh i 100 cluiche haca Satharn áirithe.

Líon na gcúl 0 1 2 3 4 5

Líon na gcluichí 10 25 30 25 10 0

(i) Scríobh síos an líon módúil cúl a scóráladh. (ii) Ríomh an meán atá ag an dáileadh seo. (iii) Faigh an líon is mó cluichí a bhféadfadh comhscór a bheith mar thoradh orthu. (iv) Cé mhéad cluiche a bhféadfadh comhscór 2-2 a bheith mar thoradh orthu?

231

7. Más é 2 meán an dáilte minicíochta thíos, faigh luach x.

Athróg 0 2 3 4

Minicíocht 4 3 x 3

8. Fuarthas amach gurb é 6 an meánmharc ón tábla minicíochta thíos. Ríomh an luach atá ag y.

Marcanna 3 5 8

Líon daltaí 3 y 7

9. Tá dhá luach ar iarraidh ón tábla minicíochta thíos.

Athróg (x) 1 3 4 6

Minicíocht (f) 2 4 6 3

(i) Is é 7 an raon atá ag x agus is é 20 suim na minicíochtaí. Úsáid an fhaisnéis sin chun an tábla a chríochnú.

(ii) Céard é an luach módúil atá ag x?

(iii) Céard é an meánluach atá ag x?

Mír 8.5 Dáileadh minicíochta grúpáilte

1. An Meán

Agus muid ag déileáil le méid mór athróg, cuir i gcás aoiseanna daoine i gceantar áirithe, is minic gurb áisiúil an rud é na sonraí a eagrú ina ngrúpaí nó ina ranganna. Mar sinagus sinn ag tuairisciú aoiseanna daoine, d’fhéadfaí na torthaí a ghrúpáil mar seo:(029) de bhlianta, (10219) de bhlianta … srl.

Is éard atá sa tábla minicíochta grúpáilte seo na marcanna (as 25) a fuair 50 dalta i dtástáil.

Marcanna a fuarthas 1–5 6–10 11–15 16–20 21–25

Líon daltaí 11 12 15 9 3

Ainneoin nach féidir an meán a fháil go cruinn i gcás dáileadh minicíochta grúpáilte, féadfaimid meastachán ar an meán a fháil ach lárluach eatraimh gach ranga a úsáid. I gcás an ranga (1 – 5), gheobhaimid an lárluach eatraimh ach 1 agus 5 a shuimiú le chéile,

agus an tsuim sin a roinnt ar 2, i.e., 1 � 5 _____ 2

� 3

Ar an gcaoi chéanna, is é an lárluach eatraimh i gcás an ranga (6210) ná 6 � 10 ______ 2

� 8.

An tábla a tugadh roimhe seo, tá sé á thabhairt anseo arís agus an lárluach eatraimh scríofa i gcló beag os cionn gach eatraimh ranga.

232

3 8 13 18 23

Marcanna a fuarthas 1–5 6–10 11–15 16–20 21–25

Líon daltaí 11 12 15 9 3


��11(3) � 12(8) � 15 (13) � 9(18) � 3(23) _________________________________ 11 � 12 � 15 � 9 � 3

� 555 ____ 50

� 11.1

2. An Mód agus an tAirmheán

Tugtar sa tábla thíos líon na bhfón póca a dhíoltar gach lá i siopa áitiúil.

Líon na bhfón 0–4 5–9 10–14 15–19 20–24


Ní féidir linn an mód cruinn a thabhairt ón tábla grúpáilte seo, ach is féidir linn a rá gurb é an t-eatramh (15219) an rang módúil ós rud é gur san eatramh sin atá an mhinicíocht is mó.

Agus tú ag plé le sonraí grúpáilte, ní bheidh tú go brách in ann a rá céard é an t-airmheán, ach beidh tú in ann a rá cén t-eatramh ranga ina bhfuil an t-airmheán.

Sa tábla thuas is é an mhinicíocht iomlán ná 5 1 8 1 4 1 9 1 3, i.e., 29.

Is é lárluach an dáilte seo ná 12(29 1 1), i.e., an 15ú luach.

Is é suim an chéad dá mhinicíocht ná 5 1 8 5 13.

Is é suim na gcéad trí mhinicíocht ná 5 1 8 1 4 5 17.

Mar sin tá an 15ú luach san eatramh ranga (10214). ; tá an t-airmheán san eatramh ranga (10214).

Cleachtadh 8.5

1. Iarradh ar dhaoine a bhí ag freastal ar chúrsa ceann de na slánuimhreacha ó 1 go 12a roghnú. Seo mar a breacadh síos na torthaí:

Uimhir 1–3 4–6 7–9 10–12

Líon daoine 3 17 2 8

(i) Scríobh síos an rang módúil atá ag an dáileadh. (ii) Bain leas as lárluach eatraimh gach ranga go ndéanfaidh tú meán an dáilte a mheas. (iii) Cén t-eatramh ina bhfuil an t-airmheán?

2. Is éard atá sa tábla thíos aois leanaí i gclub óige áirithe:

Aois (blianta) 10–12 12–14 14–16 16–18 18–20

Líon leanaí 12 24 18 12 4

(i) Céard é an t-aoisghrúpa módúil? (ii) Bain leas as lárluach eatraimh gach ranga go ndéanfaidh tú meán an dáilte a

mheas, agus tabhair an freagra agat go dtí an leathbhliain is gaire. (iii) Cén t-eatramh ina bhfuil an t-airmheán?

233

3. Bain leas as na lárluachanna eatraimh go ndéanfaidh tú meán an dáilte minicíochta thíos a mheas:

Rang 14–16 16–18 18–20 20–22 22–24


Tabhair do fhreagra ceart go dtí ionad deachúlach amháin.

4. Breacadh síos an fad ama a thóg sé ar 20 dalta rás trastíre a rith, go dtí an nóiméad is gaire, agus tá na torthaí sa tábla seo a leanas:

An fad ama (ina nóiméid) 12–14 15–17 18–20 21–23

Líon daltaí 3 5 8 4

(i) Bain leas as lárluach eatraimh gach ranga go ndéanfaidh tú meán an dáilte a mheas, agus tabhair an freagra agat go dtí an nóiméad is gaire.

(ii) Cén t-eatramh ina bhfuil an t-airmheán?

5. Tá aois roinnt daoine atá ag breathnú ar scannán tugtha sa tábla minicíochta thíos:

Aois (ina blianta) 10–20 20–30 30–40 40–50

Líon daoine 4 15 11 10

(i) Bain leas as lárluach eatraimh gach ranga go ndéanfaidh tú meán an dáilte a mheas, agus tabhair an freagra agat go dtí an bhliain is gaire.

(ii) Cén t-eatramh ina bhfuil an t-airmheán?

6. Iarradh ar 100 duine an líon glaonna ó fhón póca a fuair siad lá áirithe a bhreacadh síos. Taispeántar na torthaí sa tábla thíos.

Líon glaonna 0–4 5–9 10–14 15–19 20–24


(i) Cén t-eatramh ina bhfuil an t-airmheán? (ii) Céard é an grúpa módúil? (iii) Bain leas as na lárluachanna eatraimh go ndéanfaidh tú an meánlíon glaonna a

mheas. Bíodh do fhreagra ceart go dtí an tslánuimhir is gaire.

Mír 8.6 An diall caighdeánach Cuir i gcás na marcanna a fuarthas sa dá thástáil seo a leanas:

Béarla 46 48 51 53 64 67 70

Matamaitic 14 38 49 58 67 84 89

Is é 57 an meán sa dá chás, ach ní mar a chéile in aon chor leathadh na marcanna sa dá thástáil. Cé gur léiriú é an meán ar an lárluach nó ar an ngnáthluach, is minic gur mó an tábhacht a bhíonn le leathadh nó spré na marcanna timpeall ar an meán.

234

Maidir le leathadh, an diall caighdeánach a thugtar ar cheannde na slite tomhais is tábhachtaí agus is coitianta. Taispeánannsé cé mhéad éagsúlachta atá ann ón meán. Is féidir smaoineamhair mar mheándifríocht na scór ón meán, is é sin, cá fhad atá siadón meán. Cuireann diall caighdeánach íseal in iúl go bhfuil napointí sonraí an-ghar don mheán den chuid is mó; cuireann diallcaighdeánach ard in iúl go bhfuil na sonraí scoite amach tharraon mór luachanna.

Cuir i gcás, mar shampla, gach fear fásta in Éirinn. Thart ar 177 cm atá an mheánairde agus thart ar 8 cm atá an diall caighdeánach. Don daonra mór seo, tá airde 68% de na fir taobh istigh de 8 cm den mheán.

Do dhaonra mór ar bith, is féidir linn an ráiteas seo a leanas, atá i bhfad níos láidre, a dhéanamh. An Riail Eimpíreach a thugtar air de ghnáth.

An Riail Eimpíreach

Do dhaonra mór ar bith ag a bhfuil meán _x agus diall caighdeánach s

(i) beidh thart ar 68% de na luachanna taobh istigh d’aon diallcaighdeánach amháin den mheán, is é sin, idir

_ x � S agus

_ x � S

(ii) beidh thart ar 95% de na luachanna taobh istigh de dhá dhiall chaighdeánacha den mheán

(iii) beidh beagnach gach luach (99.7%) laistigh de thrí dhiall chaighdeánacha den mheán.

Cur chuige chun an diall caighdeánach a fháil

Is iad na céimeanna a thugtar le diall caighdeánach tacar uimhreacha a fháil:

1. Meán na n-uimhreacha a ríomh. Mar seo a scríobhtar é sin: _

x .

2. Diall gach athróige, x, ón meán a fháil (nó an difríocht idir í agus an meán). Is mar seo a chuirtear sin in iúl: (x 2

_x).

3. Gach ceann de na dialltaí sin a chearnú, i.e., (x 2 _x)2 a fháil.

4. Suim (o) na luachanna sin a fháil, i.e., o(x 2 _x)2 a fháil.

5. An freagra sin a roinnt ar n, líon na n-uimhreacha.

Tugann sé sin Σ(x �

_ x ) 2 ________

n .

6. Ar deireadh, fréamh chearnach an fhreagra ar chéim 5a fháil.

Ní gá an fhoirmle sin a úsáid má fhéadann tú na céimeanna atá liostaithe thuas a thabhairt chun do chuimhne. De rogha air sin, is féidir leat úsáid a bhaint as áireamhán.

Leis an litir Ghréigise s a chuirtear an diall caighdeánach in iúl.

An diall caighdeánach

S � √________

Σ(x �

_ x ) 2 ________

n

235

Sampla 1

Faigh diall caighdeánach na n-uimhreacha 6, 9, 10, 12, 13.

An meán � 6 � 9 � 10 � 12 � 13 ___________________ 5

� 50 ___ 5

� 10.

�S � √___________________________________________________

(6 � 10)2 � (9 �10)2 � (10 � 10)2 � (12 � 10)2 � (13 � 10)2

__________________________________________________ 5

� �� √____________________________

(�4)2 � (�1)2 � (0)2 � (2)2 � (3)2

____________________________ 5

� �� √_________________

16 � 1 � 0 � 4 � 9 _________________ 5

� √___

30 ___ 5

� √__

6 � 2.45

; is é 2.45 an diall caighdeánach.

An diall caighdeánach ar dháileadh minicíochta a fháil

Agus an diall caighdeánach á fháil agat ar dháileadh minicíochta, cearnaigh diall gach athróige ón meán, agus iolraigh ansin faoi mhinicíocht (f) na hathróige sin é. Roinn an freagra ansin ar shuim na minicíochtaí. Agus ar deireadh faigh fréamh chearnach an fhreagra sin.

Is féidir an cur chuige sin a chur in iúl leis an bhfoirmle

√_________

Σf(x �

_ x ) 2 _________

Σf

áit arb é of(x 2 _x)2 suim an cholúin f(x 2

_x)2 agus of suim na

minicíochtaí.

An sampla thíos, taispeánfaidh sé duit cén chaoi le do chuid oibre a leagan amach agus tú ag iarraidh an diall caighdeánach ar dháileadh minicíochta a fháil.

Sampla 2

Faigh diall caighdeánach an dáilte minicíochta seo a leanas:

Athróg (x) 1 2 3 4 5 6

Minicíocht (f) 9 9 6 4 7 3

I dtosach faigh an meán atá ag an dáileadh.

An meán � (9 � 1) � (9 � 2) � (6 � 3) � (4 � 4) � (7 � 5) � (3 � 6)

_______________________________________________ 9 � 9 � 6 � 4 � 7 � 3

⇒ _ x � 114 ____

38 � 3

236

Anois leag amach tábla mar seo.

x f x � _

x (x � _

x )2 f (x � _

x )2

1 9 �2 4 36

2 9 �1 1 9

3 6 0 0 0

4 4 1 1 4

5 7 2 4 28

6 3 3 9 27

↓ ↓

Σf � 38 Σf (x � _

x ) 2 � 104

S � √_________

Σf (x �

_ x ) 2 _________

Σf � √

____

104 ____ 38

� 1.65

Nóta: Chun an diall caighdeánach a ríomh ar dháileadh minicíochta grúpáilte, glac lárluachanna eatraimh na n-athróg agus déan mar a rinneadh i Sampla 2 thuas.

Úsáid a bhaint as áireamhán chun an diall caighdeánach a fháil

An obair fhadálach a bhaineann le diall caighdeánach tacar mór sonraí a ríomh, is féidir í a laghdú go mór ach úsáid a bhaint as áireamhán eolaíochta.

Sna samplaí seo a leanas, bainfimid úsáid as an áireamhán Casio fx-83ES chun cur síos a dhéanamh ar na heochracha agus ar na céimeanna a bhaineann leis an diall caighdeánach a fháil.

Sampla 3

Faigh (a) meán (b) diall caighdeánach na dtacar uimhreacha seo a leanas: (i) 5, 3, 1, 8, 2 (ii) 10, 6, 2, 16, 4

(i) Cuir isteach MODE agus roghnaigh 2 do mhodh na staitisticí.

Ansin roghnaigh 1 le haghaidh 1 2 VAR.

Anois cuir isteach na huimhreacha 5 �

3 �

1 �

8 �

2 �

CASIO fx-83ES

1

2

3

4

5

x

5

3

1

8

2

F r e q

1

1

1

1

1

237

Chun do chuid freagraí a fháil, cuir isteach AC le dul ar ais go dtí an tús,

agus SHIFT 1 le dul go dtí an roghchlár.

Anois roghnaigh 5 chun staitisticí ar athróga a fháil.

Ansin roghnaigh 2 le haghaidh _x (an meán), ansin �

Is é an meán _x ná 3.8.

Le leanúint ar aghaidh chun an diall caighdeánach a fháil, cuir isteach AC le dul ar aisgo dtí an tús. Anois cuir isteach SHIFT 1 le dul go dtí an roghchlár agus roghnaigh 5 chunstaitisticí ar athróga a fháil.

Anois cuir isteach 3 le haghaidh x s n (diall caighdeánach) �

Is é an toradh ná 2.4819… 5 2.5 [ diall caighdeánach 5 2.5

(ii) 10, 6, 2, 16, 4. Seo ord na n-eochracha a úsáidfidh tú chun an meán agusan diall caighdeánach a fháil.

MODE 2 1

10 � 6 � 2 � 16 � 4 �

AC SHIFT 1 5 2 � 7.6 5 meán

AC SHIFT 1 5 3 � 4.963869… 5 5.0 5 diall caighdeánach

Sampla 4

Léirítear sa tábla minicíochta seo a leanas líon na n-éiníní a scóráladh in aghaidh an bhabhta i gcluiche gailf.

Faigh an meán agus an diall caighdeánach, ceart go dtí ionad deachúlach amháin.

Cuir isteach MODE agus roghnaigh 2 do mhodh na staitisticí.

Ansin roghnaigh 1 le haghaidh 1 2 VAR agus cuir isteach na hathróga.

0 � 5 �

1 � 6 �

2 � 4 �

3 � 6 �

4 � 3 �

5 � 1 �

6 � 0 �

Líon éiníní 0 1 2 3 4 5 6

Minicíocht 5 6 4 6 3 1 0

REPLAY

CASIO fx-83ES

1

2

3

4

5

6

7

x

0

1

2

3

4

5

6

F r e q

5

6

4

6

3

1

0

238

Chun na freagraí a fháil, cuir isteach

AC SHIFT 1 5 2 � 1.96 5 2.0 5 meán (éiníní in aghaidh an bhabhta)

AC SHIFT 1 5 3 � 1.4554… 5 1.5 5 diall caighdeánach

; Meán 5 2.0 agus diall caighdeánach 5 1.5

Cleachtadh 8.6

1. Ríomh an diall caighdeánach ar gach ceann de na heagair uimhreacha seo a leanas, agus bíodh an freagra agat ceart go dtí aon ionad deachúlach amháin. (i) 2, 5, 6, 7 (ii) 3, 6, 7, 9, 10 (iii) 2, 4, 6, 8, 10 (iv) 1, 3, 7, 9, 10 (v) 8, 12, 15, 9 (vi) 1, 3, 4, 6, 10, 12

Bain úsáid as d’áireamhán chun do fhreagra a sheiceáil i ngach cás.

2. Taispeáin gurb é an diall caighdeánach céanna atá ar gach ceann de na tacair uimhreachaseo a leanas: (a) 2, 3, 5, 7, 8 (b) 6, 7, 9, 11, 12

3. Faigh an diall caighdeánach ar na huimhreacha

2, 3, 4, 5, 6.

Anois faigh an diall caighdeánach ar na huimhreacha seo

12, 13, 14, 15, 16.

(i) Céard é an gaol idir an dá thacar uimhreacha? (ii) Céard é an gaol idir a ndialltaí caighdeánacha? (iii) Cén tátal is féidir leat a bhaint as na torthaí?

4. Deimhnigh gurb é 2 meán an dáilte seo. Uaidh sin ríomh an diall caighdeánach, ceart go dtí aon ionad deachúlach amháin.

5. Taispeáin gurb é 3 meán an dáilte minicíochta ar dheis agus faigh uaidh sin an diall caighdeánach, ceart go dtí 2 ionad dheachúlacha.

6. Ríomh an diall caighdeánach ar an dáileadh minicíochta seo a leanas, ceart go dtí aon ionad deachúlach amháin.

7. Ríomh an meán agus faigh uaidh sin an diall caighdeánach ar an dáileadh minicíochta seo a leanas.

Athróg 0 2 3 4

Minicíocht 4 3 2 3

Athróg 1 2 3 4

Minicíocht 1 4 9 6

Athróg 2 4 6 8

Minicíocht 4 3 0 2

Athróg 0 4 6 8

Minicíocht 4 3 2 3

239

8. Thug Iníon Uí Bhroin tástáil litriúcháin thapa don 30 dalta ina rang. Tá na marcanna a fuarthas curtha i láthair sa tábla thíos.

Marc 0 1 2 3 4 5

Líon daltaí 3 3 3 6 12 3

Ríomh meán agus diall caighdeánach an dáilte, ceart go dtí ionad deachúlach amháin.

9. Tá líon na litreacha a seachadadh chuig áitreabh gnó gach lá de 5 lá na seachtaine oibre le feiceáil thíos.

18, 26, 22, 34, 25 (i) Ríomh meánlíon na litreacha a seachadadh. (ii) Ríomh an diall caighdeánach, ceart go dtí ionad deachúlach amháin. (iii) Más é

_x an meán agus s an diall caighdeánach, faigh na luachanna atá ag

_x 1 s

agus _x 2 s .

(iv) Cé mhéad lá ar a bhfuil líon na litreacha a seachadadh taobh istigh de dhiall caighdeánach amháin den mheán?

10. Tugann na sonraí thíos líon na leabhar léite le mí anuas ag rang 20 dalta.

Líon leabhar, x 0 1 2 3 4

Líon daltaí, f 2 5 6 5 2

Faigh meán agus diall caighdeánach líon na leabhar.

11. Bain leas as lárluachanna na n-eatramh go bhfaighidh tú an diall caighdeánach ar an dáil-eadh minicíochta grúpáilte thíos. Bíodh do fhreagra ceart go dtí ionad deachúlach amháin.

Eatramh ranga 1–3 3–5 5–7 7–9

Minicíocht 4 3 0 2

12. Taispeántar sa tábla seo a leanas na hamanna a thóg sé ar 15 dhalta fadhb a réiteach.

An fad ama (ina nóiméid) 2–4 4–6 6–10

Líon daltaí 3 5 7

Agus tú ag úsáid lárluachanna eatraimh, ríomh (i) an meán (ii) an diall caighdeánach.

13. Tá rogha ag oibrí idir dhá bhealach le taisteal chun na hoifige. Tá soilse tráchta ar an dábhealach agus cuirtear moill ar an oibrí dá bharr sin. Déanann sé sraith sé aistear arbhealach amháin agus sraith sé aistear ar an mbealach eile, agus breacann sé síos sé ant-am a thóg gach aistear air. Taispeántar na torthaí sa tábla.

Bealach 1 15 15 11 17 14 12

Bealach 2 12 15 18 16 17 12

(i) Oibrigh amach an meán-am a tógadh le haghaidh an dá bhealach. (ii) Ríomh an diall caighdeánach ar an dá bhealach. (iii) Agus tú ag úsáid do chuid freagraí ar (i) agus (ii), cén bealach a mholfá don oibrí?

Tabhair cúis shoiléir le do mholadh.

240

Cuir triail ort féin 8 1. (i) 6 an meán atá ag 3, 7, 8, 10 agus x. Faigh x.

(ii) 7 an meán atá ag 3, 3, y, 7, 8, 10 agus y. Faigh y.

2. Seo a leanas líon na gcúl a scóráil gach duine den 11 duine ar fhoireann haca in 2009:

6 0 8 12 2 1 2 9 1 0 11

(i) Faigh an t-airmheán. (ii) Faigh an cheathairíl uachtarach agus an cheathairíl íochtarach. (iii) Faigh an raon idircheathairíle.

3. Fuair Sinéad na marcanna seo ar na chéad ocht modúl dá cúrsa.

63 49 51 52 70 67 52 76

(i) Faigh an meánmharc a fuair Sinéad. (ii) Caithfidh sí meánmharc de 62 san iomlán a fháil ar na 9 modúl chun pas a fháil

sa chúrsa. Cén marc a chaithfidh sí a fháil sa naoú modúl?

4. Is é 40 raon na n-ocht n-uimhir ar dheis. Faigh dhá luacha d’fhéadfadh a bheith ag an uimhir atá ar iarraidh.

5. Seo na tuarastail a fhaigheann cúigear fostaithe i ngnó beag.

An tUasal A : E45 000 An tUasal B : E35 000 An tUasal C : E42 800An tUasal D : E45 000 An tUasal E : E170 600

(i) Faigh an meán, an t-airmheán agus an mód do na tuarastail. (ii) Cé acu nach dtugann meán staitistiúil cóir?

Mínigh an fáth in abairt amháin.

6. Is é 15 an meán atá ag cúig uimhir. Tá na huimhreacha sa chóimheas 1:2:3:4:5. Faigh an uimhir is lú.

7. Faigh (i) an t-airmheán (ii) an cheathairíl uachtarach (iii) an cheathairíl íochtarachdo na huimhreacha seo:

12 6 4 9 8 4 9 8 5 9 10

8. Thaistil deichniúr fear le féachaint ar chluiche rugbaí. Ba é 25 meánaois na bhfear sin agusba é 6 a raon aoise.Scríobh amach gach abairt thíos agus scríobhsíos in aice léi an bhfuil sí (i) fíor (ii) féideartha nó (iii) bréagach.

(a) An fear ab óige, bhí sé 18 mbliana d’aois. (b) Bhí gach fear 20 bliain d’aois ar a laghad. (c) An duine ba shine, bhí sé 4 bliana níos

sine ná an duine ab óige. (d) Bhí gach fear idir 20 agus 26 bliain d’aois.

27 5 33 42

11 13 19

241

9. Bhí 16 bhosca cipíní solais ag Ian. Chomhair sé an líon cipíní solais i ngach bosca. Tugtar sa tábla thíos na torthaí a fuair sé.

Líon cipíní solais in aghaidh an bhosca 41 42 43 44

Líon boscaí 2 7 4 3

(i) Scríobh síos an líon módúil cipíní solais in aghaidh an bhosca. (ii) Céard é an líon airmheánach cipíní solais in aghaidh an bhosca? (iii) Faigh an meánlíon cipíní solais in aghaidh an bhosca.

10. Tá sé chrann éagsúla ag Ailéin ina ghairdín beag. Is breá leis an gharraíodóireacht agus is mian leis a fhios a bheith aige cé mhéad crann atá ag a chomharsana. Breacann sé síos líon na gcrann i ngach gairdín ar an tsráid.

Líon crann 3–7 8–12 13–17 18–22

Líon gairdíní 4 9 5 3

(i) Céard é an grúpa módúil? (ii) Cén t-eatramh ina bhfuil an t-airmheán? (iii) Déan meastachán ar an meánlíon crann in aghaidh an ghairdín, ceart go dtí aon

phointe deachúlach amháin.

11. Faigh (i) an meán (ii) an diall caighdeánach do na huimhreacha seo:

7, 11, 6, 8, 13

Bíodh do fhreagra ar (ii) ceart go dtí ionad deachúlach amháin.

12. Tugtar thíos na hamanna a thóg sé ar ghrúpa 16 dhalta 100 méadar a rith:

Am (ina shoicindí) 11 12 13 14

Líon daltaí 2 5 6 3

Oibrigh amach meán agus diall caighdeánach na sonraí seo, ceart go dtí ionad deachúlach amháin i ngach cás.

13. Seo iad na scóir a fuair beirt imreoirí i sé bhabhta gailf.

Ruairí 87 69 80 86 84 80

Darren 77 91 90 85 67 70

(i) Ríomh an meánscór do gach galfaire. (ii) Bain úsáid as d’áireamhán (nó déan ar chaoi éigin

eile é) chun diall caighdeánach na scór a fháil do gach imreoir, ceart go dtí ionad deachúlach amháin.Bunaithe ar na sonraí, cé acu imreoir is fearr i do thuairim? Tabhair cúis le do fhreagra.

242

�� Meáin staitistiúla

Is é an mód an luach is coitianta a bhíonn le fáil.

Is é an t-airmheán an uimhir láir i liosta uimhreacha agus iad curtha in ord.

Is féidir an meán a fháil ach gach uimhir a shuimiú le chéile agus an freagra a roinnt ar líon na n-uimhreacha.

Is é an meán atá ag dáileadh minicíochta ná:

Raon agus ceathairíleanna

Raon An luach is airde lúide an luach is ísle

Ceathairíl

íochtarach, Q1

An cheathairíl íochtarach a thugtar ar an luach an ceathrú cuid den tslí trí na sonraí.

Ceathairíl

uachtarach, Q3

An cheathairíl uachtarach a thugtar ar an luach trí cheathrú den tslí trí na sonraí.

Raon idircheathairíle An raon idircheathairíle 5 ceathairíl uachtarach 2 ceathairíl íochtarach, i.e., Q3 2 Q1

Meán ualaithe

An meán ualaithe � Σwx ____ Σw

, áit arb é w an t-ualach a thugtar do gach luach de x.

Cén meán staitistiúil ba chóir a úsáid?

Bíonn an mód úsáideach nuair a theastaíonn an luach is coitianta uainn. Is é an t-aon mheán staitistiúil amháin é le haghaidh sonraí catagóireacha. Tugann an t-airmheán

an lárluach agus bíonn sé an-úsáideach má bhíonn na sonraí an-scoite amach.

Bíonn an meán úsáideach nuair a theastaíonn luach ‘tipiciúil’ uainn nuair a bhíonnan chuid is mó de na sonraí grúpáilte sách dlúth. Seans nach meán staitistiúil maitha bheidh ann má bhíonn luachanna sna sonraí atá an-difriúil leis an gcuid eile.

Diall caighdeánach

Is féidir diall caighdeánach, s , tacar sonraí a fháil achúsáid a bhaint as an bhfoirmle ar dheis. Dá mhéad an diall

caighdeánach is ea is mó atá na sonraí scoite amach.

Agus tú ag úsáid áireamháin chun diall caighdeánach 10, 6, 2, 16, 4 a fháil,bain úsáid as na heochracha seo a leanas (san ord ina dtugtar iad):

MODE 2 1

10 � 6 � 2 � 16 � 4 �

AC SHIFT 1 5 2 � 7.6 � meán

AC SHIFT 1 5 3 � 4.963869… � 5.0 � diall caighdeánach


S � √________

Σ(x �

_ x ) 2 ________

n

Má tá n luach i dtacar sonraí,

Q1 � 1 _ 4 (n � 1)ú luach

Q3 � 3 _ 4 (n � 1)ú luach

243

Achar agus ToirtAchar agus ToirtAchar agus ToirtAchar agus ToirtAchar agus ToirtAchar agus ToirtAchar agus ToirtAchar agus Toirt � ��

�

9

��imlíne ceathairshleasán comhthreomharán traipéisiam eangach

teascóg imlíne ciorcail stua priosma sorcóir sféar cón

leathsféar An Riail Thraipéasóideach trasghearradh ordanáidí

Mír 9.1 Imlíne agus achar triantán agus ceathairshleasán

Sa bhosca thíos tá foirmlí i dtaobh achar agus imlíne roinnt fíoracha rialta.

1. Dronuilleog 2. Cearnóg

b

ø

xx

x

x

Achar � ø � b Achar � x2

Imlíne � 2(ø � b) Imlíne � 4x

3. Triantán 4. Comhthreomharán

bonn

h

h a

b

Achar 5 12 an bhoinn 3 h Achar � b � h Imlíne � 2(a � b)

5. Traipéisiam

Is ceathairshleasán ar a bhfuil dhá shlios chomhthreomharaé traipéisiam.

h

b

a

Imlíne 5 suim fhaid na gceithre shliosAchar 5 1

2(a 1 b) 3 h nó 12(a 1 b)h

I bhfoirm focal: Tá an t-achar cothrom le leath deshuim fhaid na sleasa comhthreomharaiolraithe faoin airde ingearach.

244

Teoirim Phíotagarás

Cuid mhaith de na fadhbanna a bhaineann le himlíne agus le hachar, bainfear leas as teoirim Phíotagarás lena réiteach. De réir theoirim Phíotagarás:

xz

yx2 � y2 � z2

Sampla 1

Ríomh achar an traipéisiam seo.

11 cm

12 cm

20 cm

Achar � 1 _ 2 (a � b) � h cm2

� 1 _ 2 (20 � 12) � 11

� 1 _ 2 (32) � 11

� 176 cm2

Cleachtadh 9.1

1. Léiríonn an fhíor dronuilleog 8 cm faoi 6 cm.

6 cm

8 cm

Ríomh (i) achar na dronuilleoige (ii) imlíne na dronuilleoige (iii) fad an trasnáin sa dronuilleog.

2. Ríomh achar gach ceann de na triantáin thíos:

(i)

14 cm

8 cm

(ii)

7 cm

12 cm

(iii)

6 cm

8.5 cm

3. Ríomh achar na gcodanna scáthaithe den léaráid ar dheis. Uaidh sin, ríomh achar na coda nach bhfuil scáthaithe.

7 m

6 m

5 m

3 m

245

4. Ríomh x i ngach ceann de na triantáin seo:

(i)

x

8

(ii)

7

x

(iii)

x

9

Achar 5 24 aonad2 Achar 5 42 aonad2 Achar 5 36 aonad2

5. (i) Scríobh síos achar gach triantáin thíos. (ii) Úsáid na freagraí in (i) thuas chun luach a i ngach triantán a ríomh.

(a)

8 cm

10 cmh

6 cm

(b)

14 cm12 cm h

16 cm(c)

20 cm

24 cm

18 cmh

6. Ríomh achar gach ceann de na comhthreomharáin seo:

(i)

14 cm

8 cm

(ii)

9 cm 10 cm

12 cm

(iii)

12 cm11 cm

13 cm

7. Tá imlíne na dronuilleoige seo 52 cm ar fad. 16 cm

Ríomh (i) leithead na dronuilleoige (ii) achar na dronuilleoige.

246

8. Ríomh achar gach ceann de na fíoracha seo a leanas:

(i)

10 cm

12 cm

7 cm 7 cm

(ii)

7 cm

18 cm

9 cm

(iii)

5 cm

3 cm3 cm

7 cm 7 cm

13 cm

9. Is comhthreomharán é ABCD, mar a léirítear.

14 cm CB

DA

5 cm8 cm (i) Ríomh achar an chomhthreomharáin. (ii) Ríomh an fad ingearach ó A go DC.

10. Oibrigh amach achar gach ceann de na traipéisiamaí seo:

(i)

11 cm

7 cm

13 cm

(ii)

6 cm

3 cm

13 cm

(iii)

7 m

12 m

4 m

11. Ríomh achar gach ceann de na traipéisiamaí seo:

(i)

6 cm

10 cm

9 cm (ii)

8 cm

10 cm

5 cm

(iii)

22 mm

24 mm

18 mm

247

12. (i) Sloinn i dtéarmaí x imlíne an triantáin.

(2x � 7)

(x � 3)(x � 1) (ii) Más é 29 imlíne an triantáin, ríomh luach x.

13. Tugtar achar gach fíorach thíos.Faigh an airde ingearach a i ngach cás.

(i)

14 cm

h

Achar 5 49 cm2

(ii)

12 cm

h

Achar 5 108 cm2

(iii)

20 cm

Achar 5 220 cm2

h

14. Síleann Séamus nach dtugtar dóthain eolais chun imlíne gach ceann de na cruthanna seo a fháil. Mínigh an fáth go bhfuil dul amú ar Shéamus agus faigh imlíne gach crutha.

(i) 9 cm

12 cm

(ii)

10 cm

7 cm (iii)

7 m

11 m

15. Tá cúig thíl chearnógacha ag Dáithí.Tá na sleasa 1 cm ar fad. Caithfear natíleanna a chur ciumhais le ciumhais.

Cár cheart dó an tíl deiridh a chur chun cruth leis an imlíne is mó a chruthú?Cár cheart dó an tíl deiridh a chur chun cruth leis an imlíne is lú a chruthú?

16. 36 cm2 is ea achar na cearnóige ABCD. D C

A B

Ríomh achar na cearnóige scáthaithe atá tógtha agus [AC] mar cheann dá sleasa.

248

17. Is traipéisiam é ABCD. Tá [AB] comhthreomhar le [DC]. A

12 cm

B

CD

Tá faid [AB] agus [CD] sa chóimheas 1 : 2.Is é 12 cm an fad ingearach idir [AB] agus [DC].Is é 72 cm2 achar ABCD.

Ríomh fad [AB].

Mír 9.2 Ciorcail agus teascóga

1. Ciorcal

Or

Achar � Pr 2

Imlíne an chiorcail 5 2pr

2. Teascóg ciorcail

r

O

A

B

x

Achar OAB � x ____ 360

� Pr 2

Fad an stua AB � x ____ 360

� 2Pr

Sampla 1

Ríomh imlíne agus achar na fíorach seo.

28 cm

35 cm

Imlíne an leathchiorcail � Pr � P � 14 � 43.98 … ag úsáid na heochrach p � 44 cm

Imlíne an chrutha � 44 � 28 � (2 � 35) � 142 cm

Achar an leathchiorcail � Pr 2 ___ 2

� P � 142 _______

2 � 307.87 cm2

� 308 cm2

Achar an chrutha � 308 � (35 � 28) � 1288 cm2

249

Sampla 2

Faigh (i) achar na teascóige AOB A

B

60°

14 cm

O

(ii) fad an stua AB.

(i) Achar na teascóige AOB (ii) Fad an stua AB

� 60° ____ 360°

� Pr 2 � 60° ____ 360°

� 2Pr

� 1 __ 6

� P � 142 � 1 __ 6

� 2 � P � 14

� P � 142 _______

6 � 2 � P � 14 __________

6

� 102.6 cm2 � 14.666 cm2

� 14.7 cm2

Sampla 3

Is é 803.84 cm2 achar ciorcail.Faigh fad gha an chiorcail, ag úsáid na heochrach p ar d’áireamhán.

Achar an chiorcail � Pr 2

⇒ Pr 2 � 803.84

⇒ r 2 � 803.84 ______ P

� � � 255.87

r 2 � 255.87 ⇒ r � √______

255.87 � 16 cm

Cleachtadh 9.2

1. Úsáid an eochair p ar d’áireamhán chun imlíne gach ceann de na ciorcail seo a fháil, ceart go dtí ionad deachúlach amháin.

(i)

14 cm

(ii)

16 cm

(iii)

12 cm

250

2. Faigh achar gach ceann de na ciorcail i gCeist 1 in cm2, ceart go dtí ionad deachúlachamháin.

3. Ríomh gach achar, ceart go dtí ionad deachúlach amháin.Is leathchiorcal, ceathrú ciorcail nó trí-cheathrú ciorcail iad.

(i)

5 cm

(ii)

10 cm

(iii)

4 cm

4. Faigh fad an stua AB i ngach ceann de na teascóga seo thíos.Tabhair gach freagra in cm, ceart go dtí ionad deachúlach amháin.

(i)

45°O

7 cm

A

B

(ii)

30°12 cm

A B

O (iii)

A 16 cm

B

O

240°

5. Taispeánann an léaráid teascóg ciorcail ag a bhfuil lár O.

6 cm 6 cm

A B

120°

O

Is é 6 cm ga an chiorcail.Uillinn AOB 5 120°.

Oibrigh amach imlíne na teascóige.Scríobh do fhreagra i dtéarmaí p san fhoirm is simplí de.

6. Taispeánann an léaráid ar dheis gairdíndronuilleogach atá 35 m faoi 14 m. Tá ceapachbláthanna leathchiorclach ag bun agus ag barran ghairdín. Tá plásóg fhéir sa chuid scáthaithe.Faigh, ceart go dtí an tslánuimhir is gaire,

35 m

14 m

(i) achar an dá cheapach bláthanna le chéile (ii) imlíne na plásóige.

7. Ríomh achar an limistéir ghoirm, ceart go dtí ionad deachúlach amháin.

3.5 cm

6 cm

251

8. Ríomh achar na teascóige scáthaithe den cheathrú ciorcail seo.Tabhair do fhreagra in cm2, ceart go dtí ionad deachúlach amháin. 8 cm

8 cm

9. Taispeánann an léaráid réalta a rinneadh nuair abaineadh ceithre cheathrú ciorcail chomhionannaó chúinní cearnóige ar a bhfuil sleasa 30 cm.Faigh achar na réalta in cm2, ceart go dtí antslánuimhir is gaire.

30 cm

30 cm

10. Seasann an léaráid seo do phlean faiche spóirt. Is dronuilleog, ar a bhfuil dhá cheannleathchiorclacha, í an fhaiche. Tá an dronuilleog 100 m ar fad agus 70 m ar leithead.Tá trastomhas 70 m ag na leathchiorcail. (i) Faigh achar na faiche in m2, ceart go dtí an tslánuimhir is gaire.

100 m

70 m

Caithfear an fhaiche a chlúdach le leasachán a chosnaíonn 5 cent in aghaidh anmhéadair chearnaigh. (ii) Oibrigh amach costas an leasacháin a bheidh ag teastáil don fhaiche iomlán.

11. Is é 616 cm2 achar ciorcail.Faigh fad gha an chiorcail, ceart go dtí an tslánuimhir is gaire.

12. Ceannaíonn Aodán píotsa agus roinneann sé go cothrom é ar a sheisear cairde agus é féin. Má tá trastomhas 20 cm ag an bpíotsa, cad é achar gach slisne, ceart go dtí an cm2 is gaire?

252

13. Bhí trastomhas 30 m ag an Dublin Eye.Mhair rothlú iomlán 13 nóiméad. (i) Cá fhad a thaistealófá sa 13 nóiméad sin ar

an roth, ceart go dtí an tslánuimhir is gaire?

(ii) Cad é luas an rotha i méadar sa soicind, ceart go dtí dhá ionad dheachúlacha?

14. Lúbtar píosa sreinge, atá 72 cm ar fad, agus déantar leathchiorcal agus trastomhas as, mar a léirítear. Faigh fad an trastomhais, ceart go dtí an cm is gaire.

15. Tá Cáit ag fanacht ar thraein.

210°

Tá sé a trí a chlog. Tá an traein le teacht ag fiche cúignóiméad chun a ceathair. Má thagann an traein ag anam ceart agus má tá snáthaid bheag an chloig 20 cm arfad, cén t-achar d’aghaidh an chloig a rachaidh antsnáthaid bheag tríd sula n-imíonn Cáit ar a traein?Tabhair do fhreagra ceart go dtí an tslánuimhir is gaire.

16. Ar dheis anseo tá cruth déanta as teascóg ciorcail a bhfuilga 16 cm aici agus as leathchiorcal.

60°

16 cm

Is é 60° uillinn na teascóige. Is mar a chéile trastomhasan leathchiorcail agus ga na teascóige.

(i) Ríomh imlíne an chrutha. (i) Ríomh achar an chrutha.

Tabhair an dá fhreagra ceart go dtí an tslánuimhir is gaire.

Mír 9.3 Solaid dhronuilleogacha � priosmaí

1. An solad dronuilleogach

Toirt � ø � b � h

h

øb

Achar an dromchla � 2øb � 2øh � 2bh

253

2. Dronphriosmaí

Is ionann priosma agus rud a mbíonn an trasghearradh mar a chéileann i gcónaí, is cuma cá ngearrtar é.

Toirt an phriosma 5 achar an trasghearrtha 3 an fad

øA � A � ø

Sampla 1

Ríomh toirt an phriosma ar dheis.

Toirt 5 achar an trasghearrtha scáthaithe 3 fad

Dronuilleog agus triantán atá in achar an trasghearrtha, mar a léirítear.

40 cm10 cm

10 cm

40 cm

Achar an trasghearrtha � (40 � 10) � 1 _ 2 (40 � 10)� 400 � 200� 600 cm2

Toirt an phriosma 5 achar an trasghearrtha 3 fad� (600 � 30) cm3 � 18 000 cm3

254

3. Eangacha agus cruthanna 3-T

Osclaíodh amach an bosca (ciúbóideach) sa léaráid chun cruth 2-T a dhéanamh. Eangach an bhosca a thugtar ar an gcruth 2-T seo.

Is ionann eangach agus cruth 2-T ar féidir é a fhilleadh i gcruth 3-T.

Seo dhá chruth fhéideartha do chiúb.

Seo léaráid d’eangach a bhaineann le pirimid chearnach.

Sampla 2

Léirítear eangach bosca dronuilleogaigh.

5 cm

2 cm

3 cm2 cm

3 cm

Sceitseáil léaráid den bhosca agus faigh athoirt.

Taispeántar léaráid den bhosca

Toirt 5 fad 3 leithead 3 airde� 5 cm � 3 cm � 2 cm � 30 cm3

5 cm2 cm

3 cm

Tá 12 eangachfhéideartha ag ciúb.

255

Cleachtadh 9.3

1. Faigh toirt na solad dronuilleogach seo:

(i)

5 cm

3 cm

7 cm

(ii)

6 cm

4 cm25 mm

(iii)

3 cm8 cm

3 cm

2. Ríomh (i) toirt (ii) achar dromchla

an tsolaid dhronuilleogaigh a léirítear ar dheis.

6 cm12 cm

8 cm

3. Is é 2040 cm3 toirt an tsolaid dhronuilleogaigh seo.

20 cm

h

12 cm

Faigh luach a airde, h, in cm.

4. Faigh an slios x atá in easnamh i ngach ceann díobh seo. Tá na faid uile in cm.

(i)

5

2

x

(ii)

2

2x

(iii)

35

x

Toirt � 35 cm3 Toirt � 24 cm3 Toirt � 60 cm3

5. Faigh toirt na bpriosmaí seo a leanas:

(i)

66 cm2

32 cm

(ii)

124 cm2

9 cm

(iii)

54 cm280 cm2

256

6. Faigh toirt gach ceann de na priosmaí seo:

(i)

10 cm

8 cm

6 cm

(ii)

15 cm10 cm

6 cm

7. 140 cm3 toirt an phriosma thriantánaigh seo.

10 cm?

4 cm

Faigh fad bhonn a thrasghearrtha.

8. Faigh toirt gach ceann de na priosmaí seo:

(i)

6 cm

10 cm

4 cm

3 cm

3 cm (ii)

5 cm3 cm

4 cm

2 cm

7 cm

9. Is traipéisiam é trasghearradh an phriosma seo.

8 cm

10 cm

4 cm18 cm

(i) Faigh achar an traipéisiam seo. (ii) Oibrigh amach toirt an phriosma.

10. Taispeánann an léaráidtrasghearradh linn snámha.Is é 6 m leithead na linne.Faigh amach céard í toirt anuisce sa linn.

2 m

1.5 m

15 m

11. Faigh toirt an phriosma seo in cm3.

6 cm

14 cm

8 cm

2 cm

15 cm

257

12. Féach thíos eangacha ciúib.

A 1

2 3 4

5

6

B 5

4 1 2 3

6

C 1

2 3 4 5

6

Samhlaigh go bhfilltear gach ceann de na heangacha seo chun ciúb a dhéanamh.I gcás gach eangaí, cé acu aghaidh a bheadh os comhair aghaidh 1 nuair a fhilltear iad?

13. Filltear an eangach seo chun ciúb a dhéanamh.

A B

CN

D E

I

F

H

GJKLM

(i) Cé acu rinn a nascfaidh le N?

(ii) Cé acu líne a nascfaidh le [CD]? (iii) Cé acu líne a nascfaidh le [IH]?

14. Déanfar dísle as eangach an chiúib seo.Déan cóip den eangach agus cuir poncanna ar nacearnóga eile sa chaoi go bhfuil suim na n-aghaidh-eanna atá os comhair a chéile cothrom le 7.

15. Seo eangach do bhosca dronuilleogach.

2 cm

9 cm

4 cm

Faigh (i) achar dromchla an bhosca (ii) toirt an bhosca.

258

16. Seo thíos eangacha le haghaidh roinnt cruthanna 3-T. Ainmnigh iad.

(i) (ii) (iii)

17. Tarraing eangach an phriosma thriantánaigh seo.

3 cm

3 cm3 cm

6 cm

18. Cé acu ceann de na ciúbanna thíos a d’fhéadfaí a dhéanamh ach an eangach ar dheis a fhilleadh?

A

C

B

D E

19. Taispeánann an léaráid eangach neamhchríoch-naithe do chiúbóideach a tarraingíodh ar ghreillear a bhfuil cearnóga atá 1 cm ar fad.

C

BA

D

J I

E

K H

F

L G

(i) Cén cruth atá ar iarraidh chun an eangach a

chríochnú? Luaigh a thomhas freisin. (ii) D’fhéadfaí an píosa atá ar iarraidh a chur in

áiteanna éagsúla. Déan liosta de na ciumhaiseanna lena bhféadfaí é a nascadh.

(iii) Nuair a fhilltear an ciúbóideach, cé acu de na pointí lipéadaithe a nascfaidh le A?

(iv) Scríobh síos toisí an chiúbóidigh chríochnaithe.

(v) Faigh achar dromchla iomlán an chiúbóidigh.

259

Mír 9.4 Sorcóirí agus sféir Seo agat na foirmlí a theastóidh uait nuair atá tú ag plé le sorcóirí, le sféir agus le leathsféir.

1. An sorcóir

r

h

�r2

2�r

h

�r2Toirt � Pr 2h

Achar iomlán an dromchla ar an sorcóir soladach � 2Prh � 2Pr 2 � 2Pr (h � r )

2. An sféar

Toirt � 4 _ 3 Pr 3

rAchar an dromchla � 4Pr 2

3. An leathsféar

Toirt � 2 _ 3 Pr 3

r

Achar an dromchla ar an leathsféar soladach 5 3pr2.

Sampla 1

Faigh (i) toirt

12 cm

5 cm (ii) achar iomlán an dromhchla

i gcás an tsorcóra sholadaigh a léirítear ar dheis.Tabhair an freagra i dtéarmaí p.

260

(i) Toirt � P�r2h � P � 52 � 12 � 300P cm3

(ii) Achar iomlán an dromchla � 2 P�rh � 2P�r2 � (2 � P � 5 � 12) � (2 � P � 52) � 120P � 50P � 170P cm2

Sampla 2

Is ionann toirt an tsorcóra agus 15 840 cm3.Má tá an sorcóir 35 cm ar airde, ríomh fad gha an bhoinn.

Toirt � 15 840 cm3

35 cm

Toirt 5 15840 cm3

r

⇒ P�r2h � 15 840⇒ P � r2 � 35 � 15 840

⇒ r2 � 15 840 _______ P � 35

⇒ r2 � 144.06

⇒ r � √______

144.06 � 12 cm

Ga an bhoinn 5 12 cm

Cruthanna ar comhthoirt

Má tá dhá chruth dhifriúla ar comhthoirt, scríobhaimid síos an fhoirmle le haghaidh thoirtgach crutha díobh, agus déanaimid an dá thoirt a chothromú le chéile. Ligeann sé sin dúinntoise anaithnid a fháil as ceann den dá chruth.

Seo roinnt samplaí de chomhthoirt:

> Má dhoirtear leacht ó chruth amháin isteach i gcoimeádán a bhfuil cruth éagsúil air, níathraíonn toirt an leachta.

> Má thumtar rud soladach in uisce i gcoimeádán, is ionann toirt an uisce dhíláithrithe agus toirt an ruda a tumadh.

261

Sampla 3

Ligeadh sféar ar gha 4 cm anuas i sorcóir a raibh roinnt

h

8 cm

4 cm

uisce ann. Nuair a chuaigh an sféar faoin uisce ar fad,ardaíodh leibhéal an uisce h cm. Más 8 cm atá i nga an tsorcóra, ríomh luach h.

Sa léaráid ar dheis, is ionann toirt an sféir agus toirt an tsorcóra scáthaithe atá h cm ar airde.Toirt an sféir 5 Toirt an tsorcóra

⇒ 4 _ 3 P�r3 � P�r2h

⇒ 4 _ 3 P�(4)3 � P�(8)2.h

⇒ 4 _ 3 � 64 � 64h … roinn an dá thaobh ar p

⇒ 4 _ 3 � h … roinn an dá thaobh ar 64

; h � 4 _ 3 � 1 1 _ 3 cm

Nóta: I Sampla 3 thuas, tugtar dhá sholad ar comhthoirt dúinn, i.e. tá toirt an sféir cothrom le toirt an tsorcóra.

⇒ 4 _ 3 P�(4)3 � P�(8)2h.

Tá p ar an dá thaobh den chothromóid seo.Nuair a tharlaíonn sé sin, ní dhéanaimid ach an dá thaobh a roinnt ar p sa tslí is nach gá luach a chur isteach in áit p.

Cleachtadh 9.4

1. Úsáid an eochair p ar d’áireamhán chun toirt gach ceann de na sorcóirí seo a fháil. Tabhair do chuid freagraí in cm2, ceart go dtí ionad deachúlach amháin.

(i) 5 cm

9 cm

(ii)

24 cm

16 cm (iii)

12 cm

80 cm

2. Faigh achar iomlán an dromhchla ar gach ceann de na sorcóirí soladacha a thaispeántari gCeist 1. Tabhair do chuid freagraí ceart go dtí an tslánuimhir is gaire.

262

3. Tá ga 7 cm agus airde 10 cm ag sorcóir soladach. Bíodh p 5 227 agat agus faigh

(i) toirt an tsorcóra (ii) achar iomlán an dromchla ar an sorcóir.

4. 350p cm3 an toirt atá i sorcóir áirithe.

14 cm Toirt �350� cm3

(i) Scríobh síos an fhoirmle a bhaineann le toirt sorcóra.

(ii) Glac leis gurb é 14 cm airde an tsorcóra. Scríobh isteach na luachanna uile atá ar eolas san fhoirmle.

(iii) Anois faigh fad gha an tsorcóra.

5. Scríobh síos an fhoirmle a bhaineann le hachar an dromchla chuair ar shorcóir.110 cm2 achar an dromchla chuair ar shorcóir.Má tá an sorcóir 5 cm ar airde, ríomh fad an gha ceart go dtí ionad deachúlach amháin.

6. 252p cm2 achar iomlán an dromchla ar shorcóir soladach. Más 6 cm atá i nga an bhoinn, faigh airde an tsorcóra.

7. Faigh toirt gach ceann de na sféir seo a leanas. Tabhair do fhreagra ceart go dtí ionad deachúlach amháin.

(i)

5 cm

(ii)

7 cm

(iii)

20 cm

8. Faigh achar an dromchla i gcás gach ceann de na sféir i gCeist 7. Tabhair do fhreagra ceart go dtí an tslánuimhir is gaire.

9. Is é 5 cm fad gha an leathsféir sholadaigh seo. 5 cm

Faigh, i dtéarmaí p, (i) toirt (ii) achar iomlán an dromchla

ar an leathsféar.

10. 288p cm3 an toirt atá i sféar áirithe.

(i) Ríomh fad an gha sa sféar. (ii) Ríomh, i dtéarmaí p, achar iomlán an dromchla.

263

11. Tá an coimeádán sa léaráid ar dheis i gcruth sorcóra ar bharr 3 cm

15 cm

leathsféir. Tá ga 3 cm ag an sorcóir, agus tá an coimeádán15 cm ar airde ina iomláine.

Ríomh toirt an choimeádáin in cm3, ceart go dtí an tslánuimhir is gaire.

12. Tá an sorcóir agus an sféar, a léirítear ar r

8 cm12 cm

dheis, ar comhthoirt.

Faigh fad gha an tsorcóra, ceart go dtí an ceintiméadar is gaire.

13. 412 cm ar airde atá sorcóir áirithe agus 2 cm ar fad atá a gha.

Ar comhthoirt atá an sorcóir le leathsféar.Ríomh ga an leathsféir.

14. Léirítear sa léaráid ar dheis sféar ar gha 7 cm a théann isteach go beacht i sorcóir, is é sin, tá an sféar ag teagmháil le barr, le bun agus le taobhanna an tsorcóra.

(i) Ríomh toirt an tsorcóra in cm3, ceart go dtí an tslánuimhir is gaire.

(ii) Taispeáin go bhfuil achar dromchla an sféir cothrom le hachar dromchla chuair an tsorcóra.

(iii) Ríomh an cóimheas seo:Toirt an sféir : Toirt an tsorcóra.

15. Tá a ocht n-oiread toirte i sféar ar gha 3 cm is atá i dtoirt sféir ar gha r cm. Ríomh r.

16. Tá airde sorcóra áirithe cothrom le fad an trastomhais. 100p cm2 atá in achar an dromchla chuair ar an sorcóir. Ríomh an airde.

264

17. Nuair a ligtear sféar soladach ar gha 6 cm anuas i sorcóir

h cm

16 cm

6 cm

a bhfuil roinnt uisce ann, ardaíonn leibhéal an uisce h cm, mar a fheictear ar dheis.

Más 16 cm atá i dtrastomhas an tsorcóra, ríomh luach h.

18. Bíonn gloine fíona i bhfoirm leathsféir ar gha 4 cm, mar a 4 cm léirítear ar dheis.Ríomh toirt na gloine i dtéarmaí p.

Is leor coimeádán sorcóireach fíona le 21 de na gloiní fíona seo a líonadh.Más 8 cm atá i nga an bhoinn ar an sorcóir, ríomh a airde.

19. Tá ga 2 cm ag naoi gcinn de sféir mhiotail. Ligtear anuas i sorcóir ina bhfuil roinnt uisce iad. Má bháitear na sféir go hiomlán, ríomh an méid a ardaíonn leibhéal an uisce, más 3 cm atá i nga an tsorcóra.

20. Cuirtear trí liathróid leadóige i gcoimeádán sorcóireach lena ndíol. 7 cm ar trastomhas atá gach liathróid. Tá trastomhas inmheánachan choimeádáin agus trastomhas liathróide leadóige cothrom lechéile. De bharr airde an choimeádáin, ní chorróidh na liathróidí. Cén codán de spás an choimeádáin a líontar leis na liathróidí?

Mír 9.5 An cón Dronchón ciorclach a thugtar ar an gcón ar dheis mar go

h ø

r

bhfuil rinn an chóin go díreach os cionn lárphointe an bhoinn. An airde ingearach 5 h.An chlaonairde 5 l.Ga an bhoinn 5 r.De réir Theoirim Phíotagarás ø 2 � h2 � r 2.

265

An CónToirt an chóin � 1 _ 3 Pr2h

h l

r

Achar an dromchla chuair � Prl

Achar iomlán an dromchla

ar an gcón soladach � Prl � Pr2

Sampla 1

Tá cón 12 cm ar airde agus ga 5 cm aige. Úsáid an eochair p ar d’áireamhán chun iad seo a leanas a ríomh, ceart go dtí ionad deachúlach amháin:(i) toirt an chóin agus (ii) achar an dromchla chuair ar an gcón

De réir Theoirim Phíotagarás

12 ø

5

l 2 � 122 � 52

� 144 � 25 � 169

; ø � √____

169 � 13 cm

Toirt an chóin � 1 _ 3 Pr2h Achar an dromchla chuair � Prl

� 1 _ 3 � P � 52 � 12 � P � 5 � 13

� 314.2 cm3 � 204.2 cm2

Sampla 2

Seasann an léaráid ar dheis do shamhail de roicéad.

20 cm

24 cm

k

h

Sorcóir soladach agus cón soladach atá sa tsamhail.Bonn ciorclach, 20 cm ar trastomhas, atá ar gachceann díobh. 24 cm ar airde atá an cón.

(i) Ríomh toirt an chóin i dtéarmaí p. (ii) Ríomh airde an tsorcóra má tá a cheithre oiread

toirte sa sorcóir is atá sa chón. (iii) Ríomh luach k más ionann toirt an tsorcóra atá

k cm ar airde agus leath na toirte sa tsamhail sholadach uile.

266

(i) Toirt an chóin � 1 __ 3

P�r2h

� 1 __ 3

P�(102)24 … r � 10 cm

� 2400P�

______ 3

� 800P cm3

(ii) Toirt an tsorcóra � 4(800P) � 3200P cm3

⇒ P�r2h � 3200P

⇒ P�(100)(h) � 3200P … r � 10 cm

100h � 3200 … roinn an dá thaobh ar p

h � 3200 _____ 100

; h � 32 cm

(iii) Toirt an tsolaid uile 5 Toirt an chóin 1 Toirt an tsorcóra� 800P cm3 � 3200P cm3 � 4000P cm3

; Toirt an tsorcóra atá k ar airde 5 2000p cm3 … leath thoirt an tsolaid iomláin

P�r2k � 2000P

P�(100)k � 2000P

⇒ 100k � 2000 … roinn an dá thaobh ar p

⇒ k � 2000 _____ 100

� 20 cm

Cleachtadh 9.5

(Sna ceisteanna a leanas, úsáid an eochair p ar d’áireamhán).

1. Ríomh toirt an chóin a léirítear ar dheis.

ø

6 cm

8 cm

Tabhair an freagra in cm3, ceart go dtí ionad deachúlach amháin.

2. Ríomh, ceart go dtí an tslánuimhir is gaire, toirt cóin, a bhfuil 8 cm i nga a bhoinn agus atá 21 cm ar airde.

267

3. Tá an cón thall 13 cm ar claonairde agus 5 cm atá i nga an bhoinn air.

5 cm

13 cm

Ríomh (i) achar an dromchla chuair (ii) achar iomlán an dromchla (iii) airde an chóin (iv) toirt an chóin.

4. 360p cm3 an toirt i gcón áirithe.Más 30 cm ar airde atá an cón, ríomh fad gha an bhoinn.

5. 112p cm2 achar an dromchla chuair ar chón áirithe.Más é 14 cm a chlaonairde, ríomh fad gha an bhoinn.

6. Leagtar cón ar bharr leathsféir, a bhfuil ga 4 cm aige, mar a léirítear.

10 cm

4 cm

Má tá an rud iomlán 10 cm ar airde, faigh

(i) airde an chóin (ii) toirt an ruda in cm2, ceart go dtí ionad

deachúlach amháin.

7. Sorcóir agus cón atá sa chruth thall.

3 cm

6 cm 4 cm

(i) Ríomh toirt an tsorcóra i dtéarmaí p. (ii) Ríomh toirt an chóin i dtéarmaí p.

Uaidh sin, ríomh toirt an chrutha, ceart go dtí an cm3 is gaire.

8. Tá ga 5 cm ag sorcóir soladach miotail agus tá sé 12 cm ar airde. Leáitear é agus athmhúnlaítear é ina chón a bhfuil ga 10 cm ina bhonn. Ríomh airde an chóin.

9. 6 cm ar fad atá ga sféir agus ga an bhoinn ar chón áirithe. Más ionann toirt an sféir agus toirt an chóin, ríomh airde an chóin.

10. Má tá sorcóir 12 cm ar airde agus é ar gha 4 cm, scríobh toirt an tsorcóra i dtéarmaí p.

4 cm atá i nga an bhoinn ar chón áirithe. h cm ar airde atá an cón agus é ar comhthoirt leis an sorcóir a luadh thuas. Ríomh luach h.

268

11. Tá dronchón ar gha 6 cm agus é 12 cm ar airde. Tumtar

h

8 cm

12 cm6 cm

é i sorcóir ina bhfuil roinnt uisce, mar a léirítear.

Ríomh, i dtéarmaí p, toirt an chóin.

Más 8 cm atá i nga an tsorcóra, ríomh luach h, an méid a d’ardaigh leibhéal an uisce.

12. 512P�

_____ 3

cm3 an toirt atá i gcón áirithe.

Is ionann airde an chóin agus fad a gha.Ríomh fad a gha.

13. Cón ar bharr leathsféir, sin é an chuma atá ar an mbréagán sa

6 cm

léaráid ar dheis.6 cm atá ga an leathsféir agus is ionann toirt an chóin agus leath na toirte sa leathsféar. (i) Faigh toirt an chóin i dtéarmaí p. (ii) Faigh airde an chóin.

14. 4 cm atá i nga sorcóra céarach atá 36 cm ar airde. Leáitear an sorcóir agus déantar coinnle i gcruth cóin as an gcéir. 6 cm ar airde atá gach coinneal agus 2 cm atá i nga an bhoinn uirthi. (i) Ríomh an méid coinnle is féidir a dhéanamh mura gcuirtear céir ar bith amú. (ii) Cuirtear na coinnle ina seasamh ar a mbonn, sé cinn i ngach sraith, sa bhosca

dronuilleogach is lú a thógfaidh iad.Ríomh, in cm3, toirt (toilleadh inmheánach) an bhosca.

15. Ríomh toirt an chrutha seo.

6 cm 5 cm 5 cm

10 cm

Tabhair do fhreagra in cm3, ceart go dtí ionad deachúlach amháin.

16. Léirítear sa léaráid cón a gearradh ina dhá chuid,

24 cm

16 cm

5 cm

10 cmA

B

cuid A agus cuid B. Ríomh toirt chuid B, ceart go dtí an tslánuimhir is gaire.

269

17. Chun gléas áirithe a dhéanamh, cuirtear cón ar bharr

21 cm

leathsféir go beacht, mar a léirítear sa léaráid.6 cm atá i nga an leathsféir agus is é 21 cm airde iomlán an ghléis.

(i) Scríobh síos airde an chóin agus uaidh sin, ríomh toirt an chóin i dtéarmaí p.

(ii) Ríomh toirt an leathsféir i dtéarmaí p. (iii) Sloinn é seo a leanas mar chóimheas, san fhoirm is simplí de:

Toirt an chóin : Toirt an leathsféir.

Mír 9.6 Fadhbanna atá níos deacra 1. Uisce ag sreabhadh trí phíobán

Má shreabhann uisce trí phíobán

10 cm

An toirt gach soicind

sorcóireach áirithe ar ráta 10 cm/s, isionann toirt an uisce a ghabhann trídan bpíobán gach soicind agus toirtpíosa den phíobán 10 cm ar fad, mar aléirítear sa léaráid.

Sampla 1

Ar ráta 14 cm/s a shreabhann an t-uisce trí phíobán sorcóireach áirithe atá 3 cmar thrastomhas inmheánach. Cén fad a thógfadh sé sorcóir ar bhonn 14 cm artrastomhas agus 25 cm ar airde a líonadh?

Is ionann toirt an uisce a shreabhann tríd 14 cm

3 cm

an bpíobán gach soicind agus toirt antsorcóra atá le feiceáil ar dheis

Toirt an uisce � Pr2h

P � (� 3 __ 2

) 2

� 14 … r � 3 _ 2 cm

� 63P�

____ 2

cm3 … fág an freagra i dtéarmaí p

Toirt an tsorcóra � P (7)2.45� 2205P cm3 … arís i dtéarmaí p

An t-am (ina shoicindí) a thógann sé an sorcóir a líonadh � 2205P � 63P�

____ 2

� 2205P � 2 __________ 63P

� �

� 70 soicind

270

2. Cóimheasa nuair nach dtugtar na toisíUaireanta ní thugtar toisí na bhfíoracha dúinn ach, má tá cóimheasa dhá fhad chomh-fhreagracha againn, is féidir toirt an dá fhíor a chur i gcomparáid le chéile. Feictear é seo sa sampla thíos.

Sampla 2

Tá ga sorcóra áirithe agus ga cóin áirithe ar comhfhad. Má tá an cón dhá oiread níos airde ná an sorcóir, ríomh an cóimheas seo: Toirt an tsorcóra : Toirt an chóin.

Seasadh r do gha gach fíorach.

r r

h

2hAirde an tsorcóra 5 h; Airde an chóin 5 2h.

Toirt an tsorcóra 5 pr2h … ga 5 r, airde 5 h

Toirt an chóin � 1 _ 3 Pr2h

� 1 _ 3 Pr2(2h) � 2Pr2h _____ 3

Toirt an tsorcóra : Toirt an chóin � Pr2h : 2Pr2h _____ 3

� h : 2h ___ 3

… roinn an dá thaobh ar pr2

� 3h : 2h … iolraigh an dá thaobh faoi 3

� 3 : 2

Cleachtadh 9.6

1. r cm atá sa gha i gCón A agus h cm an airde atá ann.2r cm atá sa gha i gCón B agus 2h cm an airde atá ann.Ríomh an cóimheas, Toirt Chón A : Toirt Chón B.

2. Sa chóimheas 1 : 2 atá fad gha an bhoinn ar dhá chón sholadacha ar comh-airde.

Ríomh cóimheas a dtoirteanna.

3. Léirítear sa léaráid ar dheis 2 shorcóir

8 cm

B

12 cm

6 cm

4 cm

A

sholadacha A agus B.Scríobh toirt gach sorcóra i dtéarmaí p.

Anois faigh san fhoirm 1 : n an cóimheas (i) Toirt A : Toirt B. (ii) Achar an dromchla chuair ar A : Achar

an dromhchla chuair ar B.

271

4. Ar an ráta 35 cm/s a shreabhann an t-uisce trí phíobán ciorclach ar gha inmheánach1 cm. Ríomh iad seo: (i) toirt an uisce a shreabhann tríd an bpíobán gach nóiméad (ii) an méid lítear a shreabhann tríd an bpíobán gach uair an chloig.

(Bíodh p 5 227 agus 1 lítear 5 1000 cm3)

5. Ríomh toirt sorcóra atá 7 cm ar airde agus ar gha 2 cm. Ar an ráta 7 cm/s a shreabhannan t-uisce trí phíobán ciorclach ar gha inmheánach 2 cm. Sreabhann an t-uisce isteachi ndabhach dhronuilleogach atá 1.2 m ar fad, 1.1 m ar leithead agus 30 cm ar airde.Cé mhéad nóiméad a thógfaidh sé an dabhach a líonadh? Tabhair do fhreagra ceart go dtí an nóiméad is gaire.

6. Ar an ráta 20 cm/s a shreabhann ola trí phíobán ciorclach ar gha 4 cm. Cén fad a thógfaidh sé dabhach shorcóireach a líonadh má tá sí 1.2 m ar trastomhas agus 3 m ar airde? Tabhair do fhreagra ina nóiméid.

7. Cón ar bharr leathsféir atá sa bhaoi sa léaráid ar dheis.

7 cm

7 cm atá i nga an bhoinn ar an gcón.Má tá toirt an leathsféir agus toirt an chóin cothrom le chéile, ríomh airde an chóin in cm.

8. Tá sorcóir ar gha 3 cm agus 20 cm ar airde

h20 cm

3 cm

3 cm

6 cm lán le huisce. Tá go leor uisce ann leis an dá choimeádán seoa líonadh: dronchón ar gha 6 cm agus h cm ar airde, agus babhla leathsféarach ar gha 3 cm.

Faigh iad seo i dtéarmaí p: (i) toirt an tsorcóra, (ii) toirt an leathsféir, (iii) airde, h, an chóin.

9. Leathsféar agus cón ar a bharr atá sa solad sa léaráid ar

5 cm3

dheis. (i) 18p cm3 an toirt atá sa leathsféar.

Ríomh ga an leathsféir. (ii) 3Î5 cm an chlaonairde atá sa chón.

Taispeáin gurb é 6 cm airde ingearach an chóin. (iii) Taispeáin gurb ionann toirt an chóin agus toirt an

leathsféir. (iv) Leáitear an solad seo agus athmhúnlaítear é mar

shorcóir soladach. 9 cm ar airde atá an sorcóir. Ríomh a gha.

272

10. (i) Scríobh síos, i dtéarmaí p agus r, toirt an leathsféir ar gha r.

(ii) Seasann an léaráid ar dheis d’umar stórála breosla.Tá sé i gcruth sorcóra agus leathsféar ar gachfoirceann de.

Is é 81p m3 toilleadh (toirt inmheánach) an umair.

Sa chóimheas 5 : 4 atá toilleadh an tsorcóra i gcóimheasmheas le suim thoilltí na bhfoirceann leathsféarach.Ríomh fad an gha inmheánaigh san umar.

Mír 9.7 An Riail Thraipéasóideach Is minic a chaitheann innealtóirí agus suirbhéirí achar cruthanna, a bhfuil imlínteneamhrialta acu, a ríomh. In imeacht na mblianta, b’iomaí bealach a bhí ann le garmheas-tacháin a fháil ar achar a leithéidí sin de chruthanna. Is gnách gurb éard a bhíonn i gceist leisna bealaí sin ná an t-achar a roinnt ina stiallacha ar comhleithead agus achar na stiallachaa shuimiú le chéile ansin go ríomhtar an t-achar iomlán. Seo sampla de sin:

h h h h h h h

y8y7y6y5y4y3y2y1

San fhíor thuas, tarraingítear líne trasna bharr gach stéille chun líon traipéisiam a chruthú.Ansin ríomhtar suim achair na dtraipéisiamaí uile. Bíonn an tsuim seo beagnach cothromleis an achar atá de dhíth.

Níos luaithe sa chaibidil seo, phléamar achar traipéisiam,

h

ab

– a fhaightear tríd an fhoirmle seo a úsáid:

Achar � h __ 2

(a � b)

Tugtar suim na n-achar sa chéad fhíor thuas mar seo:

Achar � h __ 2

[�( y1 � y2) � h __ 2

( y2 � y3) �� h __ 2

( y3 � y4) � … � h __ 2

( y7 � y8) ]

273

Is féidir é seo a shimpliú mar: Achar y h __ 2

[ y1 � 2( y2 � y3 � y4 ��y5 ��y6 ��y7) ��y8 ].

An Riail Thraipéasóideach a thugtar ar an modh seo chun meastachán a dhéanamh arachar fíorach neamhrialta.

Is féidir an Riail Thraipéasóideach a thabhairt chun cuimhne go héasca má shloinntear ibhfoirm focal í, mar seo:

An RiailThraipéasóideach

Achar < h2[an chéad airde 1 an airde dheiridh 1 2(na hairdí atá fanta)]

San fhíor seo, taobhingir nó ordanáidí

y1 y2 y3 y4 y5 y6

a thugtar de ghnáth ar na línte ingearacha y1, y2, … y6 .Tabhair faoi deara go bhfuil 6 ordanáidann ach nach bhfuil ach 5 stiall ann.Ar an gcaoi chéanna, bheadh 7 n-ordanáidann do 6 stiall.

An chéad ordanáid a thugtar ar y1 agus an ordanáid deiridh a thugtar ar y6.Na meánordanáidí (meánairdí) nó na hordanáidí (airdí) atá fanta a thugtar ar y2, y3, y4 agus y5.

Sampla 1

Ríomh achar an chrutha a bhfuil léaráid anseo de, má tá gach stiall 10 m ar leithead. Tugtar faid na n-ordanáidí ar an léaráid.

y1

24 m

10 m

28 m 34 m 32 m 26 m 24 m 30 m

y2

y3

y4

y5y6

y7

Is fearr dúinn na taobhingir a ainmniú mar y1, y2, y3 … y7

⇒ y1 � 24, y2 � 28, y3 � 34, y4 � 32, y5 � 26, y6 � 24, y7 � 30.

274

Achar < h2 [an chéad taobhingear 1 an taobhingear deiridh 1 2(taobhingir atá fanta)]

� 10 ___ 2

[24 � 30 � 2(28 � 34 � 32 � 26 � 24)]

� 5[54 � 2(144)]Achar 5 1710 m2

Sampla 2

Léaráid í seo de ghraf na feidhme f(x) 5 x2 2 8x 1 17 san fhearann 0 # x # 4. (i) Úsáid an Riail Thraipéasóideach chun meastachán a dhéanamh ar an achar

atá idir an cuar agus an x-ais. 1 aonad ar leithead atá gach stiall. (ii) Más é 25 1

3 aonad cearnach an t-achar beacht faoin gcuar, bain leas as an Riail Thraipéasóideach chun an earráid chéatadánach a fháil.

y

y1

y2

y3

y4 y5

x0

4

8

12

17

16

20

1 2 3 4

10

52 1

f(x) � x2 � 8x � 17

f(0) � 0 � 0 � 17 � 17 f(1) � 12 � 8(1) � 17 � 10 f(2) � 22 � 8(2) � 17 � 5 f(3) � 32 � 8(3) � 17 � 2 f(4) � 42 � 8(4) � 17 � 1

Is iad seo na taobhingir: y1 � 17, y2 � 10, y3 � 5, y4 � 2, y5 � 1

(i) Achar 5 h2 [an chéad taobhingear 1 an taobhingear deiridh 1 2(taobhingir atá fanta)]

� 1 __ 2

[17 � 1 � 2(10 � 5 � 2)]

� 1 __ 2

[18 � 2(17)] � 1 __ 2

[52]

� 26 aonad cearnach

(ii) Achar beacht 5 2513 aonad cearnach. Neas-achar 5 26 aonad cearnach

Earráid 5 26 2 2513 5 2

3

Earráid chéatadánach 5 earráidfíorluach 3 100

1 %

� 2 _ 3 ____

25 1 _ 3 � 100 ____

1 % � 2 ___

76 � 100 ____

1 � 2.63%

Earráid chéatadánach 5 2.63%

275

Nóta: Má bhíonn dhá achar sa chruth, ceann

4 4 6 7 6

2 3 5 6 4

y2

y3

y4 y

5y

6

y7

y1

taobh thuas de líne chothrománach agus ceann taobh thíos di, ní dhéanaimid ach na taobhingir os cionn na líne agus na cinn faoina bun a shuimiú le chéile.Mar shampla y2 � 4 � 2 � 6

y3 � 4 � 3 � 7, etc. …

Freisin, y1 5 0 agus y7 5 0. Is é sin, 0 is ea an chéad airde agus an airde dheiridh.

Sampla 3

Tá ar shuirbhéir áirithe achar stráice talún a ríomh. Tarraingítear bonnlíne [AB] agus tomhaistear taobhingir ina eatraimh x m. Bhain an suirbhéir leas as an Riail Thraipéasóideach agus mheas sé an t-achar mar 612 m2. Faigh x.

10 m

3 m

x m

8 m

4 mBA

x m7 m

2 mx mx m

Ainmnímid na taobhingir mar seo: y1, y2, y3, y4 agus y5. .y1 � 0, y2 � 13, y3 � 12, y4 � 9, y5 � 0.

Achar < h2 [an chéad taobhingear 1 an taobhingear deiridh 1 2(taobhingir atá fanta)]

; 612 � x __ 2

[0 � 0 � 2(13 � 12 � 9)]

612 � x __ 2

[68]

612 � 34x

x � 612 ____ 34

x � 18 m

276

Cleachtadh 9.7

1. Sa léaráid thíos, feictear an fhíor ABCD agus trí cinn de línte díreacha agus an chuidchuarach CD mar imlíne uirthi. Tá na taobhingir ingearach le [AB] agus tugtar a gcuidfad sa léaráid. 10 m ar leithead atá gach stiall.

A

8 m

10 m

12 m 16 m 13 m 14 m 17 m 10 m

D

B

C

Bain leas an Riail Thraipéasóideach chun meastachán a dhéanamh ar achar ABCD.

2. Tá meastachán le déanamh ag innealtóir ar achar na láithreach thíos. Roinneann sé anláthair ina 8 stiall, mar a léirítear. Más é 12 m leithead gach stéille agus má tá nataobhingir ingearach leis an mbonnlíne, bain leas as an Riail Thraipéasóideach chunachar na láithreach a mheas.

10 m 21 m 26 m 30 m 28 m 26 m 14 m 12 m

12 m

3. Bain leas as an Riail Thraipéasóideach chun achar an réigiúin thíos a mheas. Tugtar gach toise mar mhéadar.

20 20 20 20 20 20

12 20 23 17 14

14 12 26 22 18

277

4. San fhíor thíos, tugtar gach toise mar mhéadar. Bain leas as an Riail Thraipéasóideach chun achar na fíorach a mheas.

11 11 11 11

10 13 12

13 12 7

7

10

5. 656 m2 an meastachán ar achar na fíorach ABCD thíos agus muid ag baint leasa as anRiail Thraipéasóideach. Ríomh fad na mírlíne marcáilte x.

8 m

8 m 12 m 16 m 13 m 14 m x 10 m

C

B

D

A8 m 8 m 8 m 8 m 8 m

6. Léaráid í seo a leanas de phíosa páipéir ABCD a bhfuil slios corrach air. Roinntear [BC] ina heatraimh chothroma de h cm agus déantar tomhais de 12 cm, 8 cm, 9 cm, 6 cm, 5 cm, 7 cm agus de 11 cm suas go dtí an slios uachtarach.

12 cm

h cm

8 cm 9 cm 6 cm 5 cm 7 cm 11 cm

D

C

A

B

Is é 325.5 cm_2 achar an phíosa páipéir, ag baint leasa as an Riail Thraipéasóideach. Ríomh luach h.

278

7. Sceitse é seo de pháirc ABCD a bhfuil slios corrach amháin uirthi. Roinntear [BC] ina heatraimh chothroma de 6 m agus déantar tomhais de 7 m, 8 m10 m, 11 m, 13 m, 15 m agus x m suas go dtí barr na páirce.

D

C

A

B6 m

7 m 8 m 10 m 11 m 13 m 15 m x m

Is é 399 m2 achar na páirce, ag baint leasa as an Riail Thraipéasóideach. Ríomh luach x.

8. Léaráid í seo den chuar y 5 x2 1 3, san fhearann 0 # x # 4.

y

x0

5

10

15

20

1 2 3 4

(i) Cóipeáil agus comhlánaigh an tábla ar x 0 1 2 3 4

y

dheis trí leas a bhaint as cothromóid an chuair.

(ii) Uaidh sin, bain leas as an Riail Thraipéasóideach chun meastachán a dhéanamh ar an achar idir an cuar agus an x-ais.

(iii) Más é 3313 aonad cearnach an t-achar go beacht, faigh an earráid

chéatadánach a bhaineann leis an Riail Thraipéasóideach a úsáid.

279

9. Léaráid í seo den chuar y 5 x2 1 4.

y

x0

5

10

15

20

1 2 3 4

Cóipeáil agus comhlánaigh an tábla thíos trí leas a bhaint as cothromóid an chuair.

x 0 1 2 3 4

y 4

Uaidh sin, bain leas an Riail Thraipéasóideach chun achar na coda daite den ghraf thuas a fháil.

Cuir triail ort féin 9 1. (i) Ríomh achar an traipéisiam seo.

8 cm

11 cm

3 cm

(ii) Díoltar an púdar níocháin Cleano i mboscaí

10 cm 15 cm

ciúbacha. 10 cm is ea tomhas thaobh anbhosca bhig. 600 gram púdair a bhíonn ann.15 cm is ea tomhas thaobh an bhosca mhóir. Ríomh meáchan an phúdair a bhíonn sa bhosca mór.

(iii) Is ionann toirt an tsorcóra agus toirt an chóin seo.

20 cm

12 cm

h cm

6 cm

(a) Faigh toirt an tsorcóra i dtéarmaí p. (b) Ríomh h, airde ingearach an chóin.

2. (i) 384 cm3 is ea toirt an bhloic

a

4 cm

12 cm

dhronuilleogaigh seo. Faigh fad an tsleasa a.

(ii) Bain leas as an Riail Thraipéasóideach chun achar na fíorach ABCD a léirítearthíos a mheas.

22 m26 m19 m23 m15 m13 m11 m

12 m

C

B

D

A

280

281

(iii) Tá trastomhas inmheánach 40 cm agus

50 cm

40 cm8 cm

10 cm

airde 50 cm ag umar uisce sorcóireach.Tá trastomhas inmheánach 8 cm agusairde 10 cm ag muga sorcóireach. (a) Faigh toirt an umair, i dtéarmaí p.

(b) Faigh toirt an mhuga, i dtéarmaí p.

(c) Cé mhéad muga is féidir a líonadhas umar lán?

3. (i) Scríobh síos achar an

7 cm

5 cm6 cm

chomhthreomharáin seo.

(ii) Toirt 192p cm3 atá i gcón soladach áirithe.Más é 16 cm airde an chóin, faigh ga a bhoinn.

(iii) Tá léaráid de theascóg cáise ar dheis. Is cuid í de 14 cm

4 cm45°

shorcóir ciorclach ar gha 14 cm atá 4 cm ar tiús.45° atá in uillinn na teascóige, mar atá sa léaráid.Ríomh, in cm3, toirt na teascóige, ceart go dtí an tslánuimhir is gaire.

4. (i) Tá achar 68 cm2 ag an triantán ar dheis.

16 cm

hRíomh h, airde an triantáin, ina ceintiméadair.

(ii) Ríomh toirt an phriosma seo.

29 cm2

20 cm

(iii) (a) Tá anraith i sáspan sorcóireach ar gha inmheánach 12 cm. Is é 18 cm doimhneacht an anraith. Ríomh, i dtéarmaí p, toirt an anraith sa sáspan.

282

(b) Úsáidtear liach i gcruth leathsféir ar gha

6 cm

inmheánach 6 cm chun anraith a chur amach.Ríomh, i dtéarmaí p, toirt an anraith a bheadh i lán léiche amháin.

(c) Cé mhéad lán léiche anraith a líonfadh an sáspan?

5. (i) Ríomh achar na teascóige ar dheis.

21 cm

A

O B120°

Bíodh do fhreagra ceart go dtí an cm2 is gaire.

(ii) Léaráid í seo de bhloc soladach dronuilleogach miotail, atá 75 cm faoi 11 cmfaoi 6 cm. Leáitear é agus déantar é a athmhúnlú ina slata sorcóireacha atá25 cm ar fad agus iad ar gha 1 cm, mar a léirítear. Ríomh an méid slat iomlán a dhéanfaí as an mbloc.

25 cm

6 cm

1 cm

11 cm75 cm

(iii) Is meastachán ar achar na fíorach thíos é 1087.5 m2, ag baint úsáide as an Riail Thraipéasóideach.

17 m

15 m 15 m 15 m 15 m

12 m k 27 m

Faigh fad an taobhingir k ina mhéadair.

283

6. (i) Tá ga 7 cm ag an gciorcal ar dheis.

7 cm

7 cm

Faigh achar na coda scáthaithe ceart go dtí an cm2 is gaire..

(ii) Ríomh toirt an phriosma seo.

5 cm

3 cm

8 cm

4 cm

10 cm

(iii) Leathsféar ar bharr sorcóra an cruth atá ar sháiltéar, mar a

2 cm

léirítear. 2 cm atá i nga an leathsféir.

(a) Sloinn toirt an leathsféir i dtéarmaí p.

(b) Más ionann toirt an leathsféir agus 12 na toirte sa

sorcóir, ríomh airde an tsorcóra.

7. (i) Tá cruth leathchiorcail ar bharr dronuilleoige ar an

90 cm

70 cm

bhfuinneog sa léaráid ar dheis. 70 cm ar leithead atáan chuid dhronuilleogach agus tá sí 90 cm ar airde. Ríomh achar na fuinneoige in cm2, ceart go dtí an cm2

is gaire.

(ii) Léaráid í seo thíos de phlean suímh ag a bhfuil imlíne neamhrialta. Roinntear ina shé stiall é. Tá gach stiall ar comhleithead.Ag baint úsáide as an Riail Thraipéasóideach, is é 3156 m2 achar an tsuímh.

Ríomh luach h ina mhéadair.

15 m

h h h h h h

20 m 24 m 31 m 23 m 26 m

284

(iii) Tá ornáid sholadach mhiotail sa chruth seo: cón

4 cm

h

soladach ar bharr leathsféir ag a bhfuil gha 4 cm.

(a) Faigh toirt an leathsféir i dtéarmaí p.(b) Tá a dhá oiread toirte sa chón is atá sa leathsféar.

Ríomh h, airde an chóin.

8. (i) Tá ciorcal ar gha 5 cm sa traipéisiam seo.

5 cm

20 cm

30 cm

20 cm

Ríomh achar na coda scáthaithe, ceart go dtí an cm2 is gaire.

(ii) Leáitear earra soladach miotail a bhfuil toirt 144p cm3 ann. Déantar é a athmhúnlú mar chón soladach atá 12 cm ar airde. Faigh ga an chóin.

(iii) Toilleann sféar soladach ar gha 8 cm díreach sa sorcóir,

8 cm

mar a léirítear. Doirtear uisce sa sorcóir go dtí gombáitear barr an sféir ar éigean.

(a) Ríomh, i dtéarmaí p, toirt an uisce a doirteadh sa sorcóir.

(b) Ríomh airde an uisce sa sorcóir nuair a thógtar an sféar amach.

285

�� 1. Traipéisiam

Achar traipéisiam 5 12(a 1 b) 3 h

h

a

b

I bhfoirm focal: Leath de shuim fhaid na sleasa comhthreomhara iolraithe faoin airde ingearach.

2. Ciorcail � teascóga � stuanna

Achar ciorcail 5 pr2

teascóg

B

A stua

O�

Imlíne ciorcail 5 2pr

Fad stua � 2Pr � U�

____ 360

.

Achar teascóige � Pr2 � U�

____ 360

.

3. Priosma

Is cruth 3-T é priosma a mbíonn an trasghearradh mar

fadtrasghearradh

a chéile ann i gcónaí, is cuma cá ngearrtar é.

Toirt priosma 5achar an trasghearrtha 3 fad

4. Sorcóir

Toirt 5 pr2h r

h

Achar iomlán an dromchla ar an sorcóir soladach 5 2pr2 1 2prh

Achar an dromchla chuair 5 2prh

5. Sféar

Toirt sféir 5 43pr3

rAchar an dromchla 5 4pr2

6. An cón

Toirt cóin 5 13pr2h

øh

r

Achar an dromchla chuair 5 prl

Achar iomlán an dromchla ar an gcón soladach 5 prl 1 pr2

7. An Riail Thraipéasóideach

Achar< h2 [an chéad airde 1 an airde dheiridh 1 2(na hairdí atá fanta)]

286

��patrún seicheamh téarma modh difríochta nú téarma

comhéifeacht seicheamh comhbhreise comhbhreis sraith chomhbhreise

Sn, an tsuim go n téarma seicheamh cearnach

Mír 10.1 Patrúin san uimhreas Tá an cumas patrúin nó seichimh a fheiceáil an-tábhachtach sa mhatamaitic. Feicimid patrúin uimhreacha ar nós 1, 3, 5, 7, … nó 5, 10, 15, 20, … go rialta.

Feicimid patrúin i ndearthaí ar nós tíliú agus mósáicí.

Seo patrún fáis cearnóg a rinneadh as cipíní.

patrún 14

patrún 210

patrún 318

patrún 428

Léiríonn an uimhir dhearg faoi gach patrún an líon cipíní a úsáideadh sa chruth sin.

Cruthaíonn na huimhreacha 4, 10, 18, 28, … a ghineann na patrúin seo seicheamh atá beagáinín níos casta ná na seichimh 1, 3, 5, 7, … nó 5, 10, 15, 20, … .

Seichimh uimhreacha

Tacar ordaithe uimhreacha é seicheamh uimhreacha, a bhfuil riail ann chun gach uimhir saseicheamh a aimsiú. D'fhéadfadh nach mbeadh ag teastáil ach suimiú nó iolrú simplí chunan riail a thugann ó uimhir go huimhir thú a aimsiú, ach de ghnáth bíonn sé níos casta násin. I seichimh níos deacra, caithfear iad a imscrúdú go cúramach chun an patrún a aimsiú.

Téarma a thugtar ar gach uimhir i seicheamh. Scríobhtar an chéad téarma mar T1 ; is ionann T4 agus an 4ú téarma.

Patrúin agus Seichimh Patrúin agus Seichimh Patrúin agus Seichimh Patrúin agus Seichimh Patrúin agus Seichimh Patrúin agus Seichimh Patrúin agus Seichimh Patrúin agus Seichimh � ��

�

10

287

Breathnaigh ar na seichimh seo agus ar a rialacha.

4, 8, 16, 32, … ag dúbailt an téarma roimhe gach uair … 64, 128, … 4, 7, 10, 13, … ag suimiú 3 leis an téarma roimhe gach uair … 16, 19, … 36, 32, 28, 24, … ag dealú 4 ón téarma roimhe gach uair … 16, 20, …

Tá na seichimh sin sách simplí nuair atá an nasc ó théarma amháin go dtí an chéad téarma eile aimsithe agat.

Modh difríochta

I gcás roinnt seicheamh nach bhfuil chomh soiléir céanna láithreach, caithfear breathnú ar an difríocht idir théarmaí leantacha chun an patrún a oibriú amach.

Déan machnamh ar an seicheamh: 3 6

3

11

5

18

7

27

9Difríocht idir théarmaí:

Tá seicheamh dá gcuid féin ag na difríochtaí anseo. Tá sé i bhfad níos éasca an patrún a oibriú amach sa seicheamh seo. Is é 11 an chéad difríocht eile. Anois faighimid an chéad téarma eile den chéad seicheamh trí 11 a shuimiú le 27. Is ionann an chéad téarma eile agus 27 1 11, i.e., 38.

Cleachtadh 10.1

1. Breathnaigh ar na seichimh uimhreacha seo a leanas. Scríobh síos na chéad trí théarma eile i ngach cás agus mínigh an chaoi a bhfaightear an seicheamh. (i) 2, 4, 6, 8, … (ii) 1, 3, 5, 7, … (iii) 1, 4, 7, 10, … (iv) 1, 2, 4, 8, … (v) 3, 9, 27, … (vi) 16, 8, 4, … (vii) 20, 18, 16, … (viii) 2, 6, 18, …

2. Trí mhachnamh a dhéanamh ar na difríochtaí sna seichimh seo a leanas, scríobh síos an chéad dá théarma eile i ngach cás: (i) 2, 4, 7, 11, … (ii) 1, 2, 5, 10, … (iii) 2, 6, 12, 20, … (iv) 2, 3, 6, 11, 18, … (v) 1, 4, 10, 19, … (vi) 2, 7, 14, 23, …

3. Breathnaigh go cúramach ar gach seicheamh uimhreacha thíos. Faigh an chéad dá théarma eile sa seicheamh agus déan iarracht an patrún a mhíniú. (i) 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, … (ii) 3, 4, 7, 11, 18, 29, …

(iii) 1, 8, 27, 64, … (iv) 1, 1 _ 3 , 1 _ 9 , 1 __ 27 , …

288

4. Scrúdaigh na patrúin uimhreacha seo: Scríobh síos an chéad líne eile i ngach patrún gan áireamhán a úsáid. Anois úsáid áireamhán chun a sheiceáil go bhfuil tú ceart. (i) 6 � 9 � 54 (ii) 9 � 1 � 9 (iii) 7 � 7 � 49 66 � 9 � 594 9 � 12 � 108 67 � 67 � 4489 666 � 9 � 5994 9 � 123 � 1107 667 � 667 � 444889 �� 9 � 1234 � 11106 6667 � 6667 � 44448889 ��

Mír 10.2 An nú téarma de sheicheamh Nuair atá seicheamh uimhreacha á úsáid, amanna bíonn orainn an 50ú nó an 100ú téarma, mar shampla, a bheith ar eolas againn gan gach ceann den 50 nó 100 téarma a scríobh. Chun é seo a dhéanamh caithfimid an riail a ghineann an seicheamh a fháil.

An nú téarma nó Tn a thugtar ar an riail seo de ghnáth. Má tá Tn � 2n � 3, beidh T1 � 2(1) � 3 � 5

T2 � 2(2) � 3 � 7 T3 � 2(3) � 3 � 9 …………………

Uaidh seo, is féidir linn a fheiceáil go ngineann Tn 5 2n 1 3 an seicheamh 5, 7, 9, ... Leis an riail sin, Tn 5 2n 1 3, is féidir linn téarma ar bith sa seicheamh a aimsiú.

Sampla 1

Is é an nú téarma de sheicheamh 4n 2 3. Scríobh síos na chéad chúig théarma den seicheamh.

Tn � 4n � 3T1 � 4(1) � 3 � 1T2 � 4(2) � 3 � 5T3 � 4(3) � 3 � 9T4 � 4(4) � 3 � 13T5 � 4(5) � 3 � 17

Is iad na chéad 5 théarma: 1, 5, 9, 13, 17.

An nú téarma de sheicheamh a fháil Cuimhnigh ar an seicheamh 2, 5, 8, 11, ... Tá an difríocht chéanna idir aon téarma agus an chéad cheann eile anseo. Is é 3 an difríocht sin. Beidh an nú téarma de sheicheamh cothrom le 3n � uimhir. Ginfidh 3n an seicheamh 3, 6, 9, 12.

289

Cuir an seicheamh nua i gcomparáid leis an seicheamh bunaidh go bhfeicfidh tú cén uimhir a

chaithfidh tú a shuimiú le gach téarma nó a dhealú ó gach téarma chun an patrún bunaidh a fháil.

�1 2, 5, 8, 11 Anseo dealaítear 1 ó gach téarma

3, 6, 9, 12 chun an téarma bunaidh a fháil.

Mar sin is é an nú téarma 3n 2 1;

; Tn � 3n � 1

Sa seicheamh 6, 10, 14, 18, … is é 4 an difríocht. Beidh an nú téarma cothrom le Tn 5 4n � uimhir. Gineann 4n an seicheamh 4, 8, 12, … Ach comparáid a dhéanamh idir an seicheamh bunaidh agus an seicheamh nua faightear:

�2 6, 10, 14, 18, … Anseo suimítear 2 le gach téarma chun an

4, 8, 12, 16, … téarma comhfhreagrach den seicheamh bunaidh a fháil.

Is é Tn 5 4n 1 2 an nú téarma.

Sampla 2

Faigh an nú téarma den seicheamh 3, 7, 11, 15, … .

Sa seicheamh 3, 7, 11, 15, …, is é 4 an difríocht idir na téarmaí. Mar sin is é an chéad chuid den nú téarma 4n.Ghinfeadh sé seo an seicheamh 4, 8, 12, 16, …

Cuirimid na seichimh i gcomparáid le chéile: 3, 7, 11, 15 �1

4, 8, 12, 16

Anseo dealaítear 1 ó gach téarma chun an seicheamh bunaidh a fháil.

; Tn � 4n � 1

�

Sampla 3

Faigh an nú téarma agus an 20ú téarma den seicheamh 4, 7, 10, 13, 16, …

Sa seicheamh 4, 7, 10, 13, …, is é 3 an difríocht idir na téarmaí.

Tn 5 3n ± uimhir

Gineann 3n an seicheamh 3, 6, 9, 12, …

Á gcur i gcomparáid: �1

4, 7, 10, 13, … 3, 6, 9, 12, …

Anseo suimítear 1 le gach téarma den dara seicheamh chun an chéad seicheamh

a fháil. ; Tn � 3n � 1

T20 � 3(20) � 1 … … cuir 20 in ionad n

T20 � 61

�

��

290

Cleachtadh 10.2

1. Úsáid gach ceann de na rialacha seo a leanas chun na chéad trí théarma den seicheamh a scríobh: (i) n � 4 do n � 1, 2, 3 (ii) 2n � 1 do n � 1, 2, 3 (iii) 4n � 3 do n � 1, 2, 3 (iv) 3n � 2 do n � 1, 2, 3.

2. I ngach ceann de na seichimh seo a leanas, tugtar an nú téarma, Tn. Scríobh síos na chéad cheithre théarma de gach seicheamh: (i) Tn � 3n (ii) Tn � 2n � 3 (iii) Tn � 3n � 2

3. Má tá Tn 5 3n 2 4, faigh T1, T3 agus T10.

4. Scríobh síos na chéad trí théarma de na seichimh seo a leanas, áit a dtugtar an nú téarma.

(i) Tn � n2 (ii) Tn � n2 � 3 (iii) Tn � 2n2 � 1

5. Má tá Tn 5 2n2 2 1, oibrigh amach (i) T1 (ii) T2 (iii) T5 (iv) T10.

6. Má tá Tn 5 2n 2 6, taispeáin go bhfuil T1 1 T5 5 0.

7. Faigh an chéad dá théarma eile agus an nú téarma de na seichimh seo a leanas: (i) 3, 5, 7, 9, 11, … (ii) 4, 7, 10, 13, … (iii) 2, 6, 10, 14, 18, … (iv) 5, 9, 13, 17, …

8. Faigh an nú téarma agus an 20ú téarma de na seichimh seo a leanas: (i) 2, 5, 8, 11, … (ii) 6, 8, 10, 12, … (iii) 4, 9, 14, 19, … (iv) 2, 7, 12, 17, …

9. I gcás an tseichimh 6, 11, 16, 21, … faigh (i) Tn (ii) T20 (iii) T100

10. Tn 5 3n 2 4 a thugann an nú téarma de sheicheamh.Cén téarma den seicheamh é 23?

[Nod: Bíodh 3n 2 4 5 23.]

Mír 10.3 Seichimh ó chruthanna Déantar na dearthaí seo trí chnaipí a eagrú i gcearnóga.

Dearadh 5Dearadh 4Dearadh 3Dearadh 2Dearadh 1

291

Taispeántar líon na gcnaipí i ngach dearadh sa tábla seo.

Uimhreacha cearnacha a thugtar ar na huimhreacha sa seicheamh 1, 4, 9, 16, 25 … .

Ón seicheamh seo, is féidir a fheiceáil go dteastaíonn 62 i.e. 36 cnaipe do dhearadh 6, agus go dteastaíonn n2 cnaipe do dhearadh n.

Sampla 1

Déantar na dearthaí seo trí chnaipí a eagrú i gcruthanna L.

Dearadh 5Dearadh 4Dearadh 3Dearadh 2Dearadh 1

(i) Cóipeáil agus críochnaighan tábla seo do na dearthaísin.

(ii) Cé mhéad cnaipe atá sa 6ú dearadh? (iii) Cé mhéad cnaipe a theastaíonn chun an 15ú dearadh a dhéanamh?

Déan cur síos ar an gcaoi ar tháinig tú ar do fhreagra. (iv) Cén dearadh a úsáideann 99 cnaipe? (v) An féidir ceann de na dearthaí seo a dhéanamh le 40 cnaipe glan?


(i) Seo an tábla:

(ii) Beidh 9 1 2, i.e. 11 chnaipe sa 6ú dearadh. (iii) Chun líon na gcnaipí sa 15ú dearadh a fháil, caithfimid an nú téarma a fháil.

1, 3, 5, 7, 9, … . Is é 2 an difríocht anseo.

Mar sin beidh an nú téarma cothrom le 2n ± uimhir. Gineann 2n 2, 4, 6, 8, … mar sin caithfimid 1 a dhealú ó gach téarma sa seicheamh seo chun an chéad seicheamh a fháil.

; Tn � 2n � 1

Léirítear an 15ú dearadh le T15.

Tn � 2n � 1 ⇒ T15 � 2(15) � 1 � 29

Mar sin teastaíonn 29 cnaipe don 15ú dearadh.

Dearadh 1 2 3 4 5

Líon cnaipí 1

Dearadh 1 2 3 4 5

Líon cnaipí 1 3 5 7 9

Dearadh 1 2 3 4 5

Líon cnaipí 1 4 9 16 25

292

(iv) Chun a fháil amach cén dearadh a úsáideann 99 cnaipe, bíodh Tn 5 99.

Tn � 99 ⇒ 2n � 1 � 99⇒ 2n � 100⇒ n � 50

Is é dearadh 50 a úsáideann 99 cnaipe.

(v) Bíodh Tn � 40 2n � 1 � 40 2n � 41 n � 20 1 _ 2

Ó tharla nach slánuimhir é n, ní úsáideann aon dearadh 40 cnaipe glan.

Cleachtadh 10.3

1. Tógtar patrún triantán le cipíní.

4321

(i) Tarraing an 5ú tacar triantán sa phatrún seo. (ii) Scríobh síos seicheamh na n-uimhreacha a ghineann na cipíní sna chéad sé

phatrún. (iii) Faigh slonn in n don líon cipíní san nú tacar triantán. (iv) Cé mhéad cipín a theastaíonn don 50ú tacar triantán?

2. Seo seicheamh patrún

6 mhaide 11 mhaide 16 mhaide

(i) Tarraing an 4ú patrún sa seicheamh seo. (ii) Scríobh síos seicheamh na n-uimhreacha a ghineann na maidí sna chéad sé

phatrún. (iii) Taispeáin go dtugann Tn 5 5n 1 1 an líon maidí san nú patrún. (iv) Cé mhéad cipín a theastaíonn don 20ú patrún? (v) Cén patrún a úsáideann 51 maide?

3. Críochnaigh an tábla luachanna don seicheamh seo de phatrúin cipíní.

Líon cearnóg 1 2 3 4 5

Líon cipíní 4 7

293

(i) Cé mhéad cipín a theastaíonn don 6ú patrún? (ii) Faigh slonn in n don nú patrún. (iii) Úsáid an slonn a fuair tú chun an líon cipíní a theastaíonn don 50ú patrún a

fháil.

4. Tógtar patrún cearnóg le cipíní mar a léirítear.

1 2 3

(i) Tarraing an 4ú patrún. (ii) Faigh slonn in n don líon cearnóg san nú patrún. (iii) Cé mhéad cearnóg atá sa 30ú patrún? (iv) Cén patrún a úsáideann 77 cearnóg glan?

5. Breathnaigh ar na cruthanna seoa rinneadh as cipíní.

5 chipín 9 gcipín

(i) Cóipeáil agus críochnaigh an tábla thíos:

Cruth 1 2 3 4 5

Líon cipíní 5 9 … … …

(ii) Cé mhéad cipín atá i gCruth 7? (iii) Faigh slonn don líon cipíní i gCruth n. (iv) Cén cruth a úsáideann 101 cipín glan?

6. (i) Faigh an 8ú téarma den seicheamh ina bhfuil an nú téarma cothrom le 4n 2 1. (ii) Faigh an nú téarma den seicheamh ina bhfuil na chéad cheithre théarma cothrom le

2 8 14 20

7. Úsáideann na patrúin thíos tíleanna dubha.

Patrún 1 Patrún 2 Patrún 3 Patrún 4

black tiles. (i) Cé mhéad tíl dhubh a

bheidh i bpatrún 5? (ii) Cé mhéad tíl dhubh a

bheidh i bpatrún 10? (iii) Faigh slonn don líon tíleanna dubha i bpatrún n. (iv) Cé mhéad tíl a bheidh i bpatrún 100? (v) Cén patrún a úsáidfidh 101 tíl glan?

294

8. Bhí boird in ionad comhdhála a bhféadfadh seisear suí acu. Nuair a cuireadh boird le chéile, d'fhéadfadh daoine suí chun boird mar a thaispeántar thíos.

1 2 3

(i) Cé mhéad duine a d'fhéadfadh suí ag 4 bhord? (ii) Cé mhéad duine a d'fhéadfadh suí ag n bord a cuireadh le chéile mar seo? (iii) Bhí 90 duine ag comhdháil a bhí ag iarraidh na boird a úsáid sa bhealach seo.

Cé mhéad bord a theastódh uathu?

9. Cuirtear gnáthpheinteagáin a bhfuil sleasa atá 1 cm ar fad acu le chéile chun an patrún a thaispeántar a dhéanamh.

1 2 3 4

(i) Scríobh síos imlíne gach ceann de na chéad 4 chruth.(Ná háirigh línte inmheánacha.)

(ii) Céard é imlíne an 5ú agus an 6ú cruth? (iii) Faigh slonn d'imlíne an nú cruth. (iv) Faigh fad imlíne an 50ú cruth. (v) Cén cruth ag a bhfuil imlíne atá 92 cm ar fad?

Mír 10.4 Seichimh chomhbhreise Déan machnamh ar na seichimh seo: (i) 2, 4, 6, 8, 10, … (ii) 3, 7, 11, 15, 19, …I gcás (i) faightear gach téarma ach 2 a shuimiú leis an téarma roimhe. I gcás (ii) faightear gach téarma ach 4 a shuimiú leis an téarma roimhe. Samplaí iad seo de sheichimh chomhbhreise.

Seicheamh comhbhreise

Seicheamh comhbhreise a thugtar ar sheicheamh inar

féidir téarma ar bith i ndiaidh an chéad téarma a fháil

ach uimhir thairiseach a shuimiú leis an téarma roimhe.

Le a a chuirtear an chéad téarma in iúl.

An chomhbhreis a thugtar ar an uimhir thairiseach agus is leis an litir d a chuirtear in iúl í.

295

Seo roinnt samplaí de sheichimh chomhbhreise:

An chéad téarma (a) An chomhbhreis (d) (i) 5, 8,11, … 5 3 (ii) 6, 3, 0, … 6 �3 (iii) �4, 0, 4, … �4 4

Tá an chomhbhreis d � téarma ar bith � an téarma roimhe.

I gcás an tseichimh 12, 7, 2, . . .

d � 7 � 12 � �5.

Ó tharla go bhfuil d diúltach, tá an seicheamh ag laghdú.

An nú téarma de sheicheamh comhbhreise a fháil

Más é a an chéad téarma i seicheamh comhbhreise agus d an chomhbhreis, féadtar an seicheamh a scríobh mar seo a leanas:

a, a � d, a � 2d, a � 3d, … a � (n � 1)d Is é seo an nú téarma desheicheamh comhbhreise:Tn 5 a 1 (n 2 1)d

T1 T2 T3 T4 … Tn

Sampla 1

I gcás an tseichimh chomhbhreise 3, 8, 13, …, faigh (i) a (ii) d (iii) Tn (iv) T20

(i) a, an chéad téarma 5 3

(ii) d, an chomhbhreis 5 téarma ar bith 2 an téarma roimhe 5 8 2 3 5 5

(iii) Tn � a � (n � 1)d (iv) Tn � 5n � 2 � 3 � (n � 1)5 T20 � 5(20) � 2 � 3 � 5n � 5 � 98 � 5n � 2

Sampla 2

(i) Faigh an nú téarma den seicheamh comhbhreise 7, 10, 13, 16, … (ii) Cén téarma den seicheamh é 97? (iii) Taispeáin nach téarma den seicheamh é 168.

296

(i) 7, 10, 13, 16, … a � 7 agus d � 3

Tn � a � (n � 1)d � 7 � (n � 1)3 � 7 � 3n � 3

Tn � 3n � 4

(ii) Bíodh Tn � 97 ⇒ 3n � 4 � 97 3n � 97 � 4 � 93 n � 31

Is é 97 an 31ú téarma.

(iii) Bíodh Tn 5 168 3n � 4 � 168 ⇒ 3n � 168 � 4 3n � 164

n � 164 ____ 3

� 54 2 _ 3

Ó tharla nach slánuimhir é n, ní téarma den seicheamh é 168.

Cleachtadh 10.4

1. Faigh a agus d do gach ceann de na seichimh chomhbhreise seo a leanas: (i) 2, 5, 8, … (ii) 7, 12, 17, … (iii) 0, 3, 6, 9, … (iv) �2, 1, 4, … (v) 60, 55, 50, … (vi) 6, 1, �4, …

2. Scríobh na chéad trí théarma eile de na seichimh chomhbhreise seo a leanas: (i) 2, 6, 10, … (ii) 8, 4, 0, … (iii) �6, �3, 0, …

3. I gcás an tseichimh 2, 6, 10, 14, … scríobh (i) a, an chéad téarma (ii) d, an chomhbhreis (iii) Tn agus uaidh sin luach T20

4. Faigh Tn, an nú téarma de gach ceann de na seichimh seo a leanas: (i) 1, 5, 9, 13, … (ii) 6, 8, 10, 12, … (iii) �5, 0, 5, 10, …

5. Más ionann Tn de sheicheamh agus 3n 2 4, scríobh síos luach (i) T1 (ii) T2 (iii) T14 (iv) d, an chomhbhreis.

6. Faigh Tn den seicheamh comhbhreise 12, 15, 18, … Uaidh sin scríobh síos luach (i) T10 (ii) T40.

7. Tá Tn 5 5n 2 1 i seicheamh comhbhreise. Faigh T1, T2, agus T3. Uaidh sin scríobh síos luach a agus luach d.

297

8. Sa seicheamh 4, 7, 10, …, scríobh síos luach a agus luach d. Faigh slonn do Tn agus uaidh sin scríobh síos T20.

9. Mar seo a chuirtear síos ar an nú téarma de sheicheamh comhbhreise: Tn 5 4n 2 1. Scríobh síos na chéad trí théarma den seicheamh sin.Uaidh sin faigh luach a agus luach d.

10. Faigh slonn do Tn den seicheamh comhbhreise

2, 6, 10, …

Cén luach de n a fhágann go bhfuil Tn 5 46?

11. Faigh Tn den seicheamh comhbhreise 1, 3, 5, … . Cén luach de n a fhágann go bhfuil Tn 5 87?

12. Déantar na dearthaí seo

Triantán 4Triantán 3Triantán 2Triantán 1

trí chnaipí a eagrú inadtriantáin. (i) Tarraing an 5ú

triantán. (ii) Cé mhéad cnaipe atá i dtriantán 6? (iii) Scríobh síos an seicheamh uimhreacha a thagann ó na chéad sé thriantán.

Mínigh an fáth nach seicheamh comhbhreise é sin.

13. Críochnaigh an tábla luachanna don seicheamh seo de phatrúin cipíní.

Líon triantán 1 2 3 4 5

Líon cipíní 3

(i) Mínigh an fáth gur seicheamh comhbhreise an seicheamh a ghineann líon na gcipíní.

(ii) Scríobh slonn le haghaidh an nú téarma den seicheamh. (iii) Cé mhéad cipín a theastaíonn don 30ú téarma den seicheamh? (iv) Cén téarma den phatrún a úsáideann 81 cipín?

14. Faigh Tn den seicheamh comhbhreise 8, 5, 2, … . Cén luach de n a fhágann go bhfuil Tn 5 -34?

15. Más ionann Tn den seicheamh comhbhreise 4, 7, 10, 13, … agus 127, faigh luach n.

16. Cén téarma den seicheamh comhbhreise 6, 11, 16, … é 186?

17. Cén téarma den seicheamh comhbhreise 28, 26, 24, … é 38?

18. Sa seicheamh 15, 20, 25, 30, …, tá Tn 5 215. Faigh n.

298

19. Seo patrún a rinneadh as maidí.

Patrún 1 Patrún 2 Patrún 3

(i) Cé mhéad maide atá sa 5ú patrún? (ii) Faigh, i dtéarmaí n, an líon maidí a theastaíonn don nú patrún. (iii) Cé mhéad maide a theastaíonn don 20ú patrún? (iv) Cén patrún a úsáideann 122 maide?

20. Is ionann Tn de sheicheamh agus Tn 5 n2 1 4. Faigh T1, T2, agus T3, agus uaidh sin abair an seicheamh comhbhreise é.

Mír 10.5 Luach a agus luach d a fháil Má thugtar dhá théarma de sheicheamh comhbhreise dúinn, is féidir linn cothromóidí comhuaineacha a úsáid chun luach a agus luach d a fháil. Ansin is féidir aon téarma eile den seicheamh a fháil.

Sampla 1

Is ionann T4 de sheicheamh comhbhreise agus 11 agus tá T9 5 21. Faigh luach a agus luach d agus uaidh sin faigh T50.

Tn � a � (n � 1)d

T4 � 11 ⇒ a � 3d � 11 … 1T9 � 21 ⇒ a � 8d � 21 … 2Ag dealú: �5d � �10

⇒ d � 2

Nuair a chuirtear 2 in ionad d in 1 faightear T50 � a � 49d

a � 3(2) � 11 � 5 � 49(2) � 5 � 98⇒ a � 6 � 11 ⇒ a � 5 � 103; a � 5 agus d � 2

Sampla 2

Más trí théarma leantacha de sheicheamh comhbhreise iad x 1 1, 2x 2 2, agus 2x 2 1, faigh luach x. Uaidh sin scríobh síos Tn agus T100 den seicheamh.

299

Má tá x 1 1, 2x 2 2, agus 2x 2 1 i seicheamh comhbhreise, tá

T2 � T1 � T3 � T2

⇒ (2x � 2) � (x � 1) � (2x � 1) � (2x � 2)⇒ 2x � 2 � x � 1 � 2x � 1 � 2x � 2⇒ x � 3 � 3⇒ x � 6

Is iad na chéad trí théarma: 7, 10, 13. ⇒ a � 7 agus d � 3

Tn � a � (n � 1)d

� 7 � (n � 1)3 � 7 � 3n � 3⇒ Tn � 3n � 4⇒ T100 � 3(100) � 4 � 304

Cleachtadh 10.5

1. Is é 5 an chéad téarma de sheicheamh comhbhreise. Más é 33 an cúigiú téarma, faigh d, an chomhbhreis. Uaidh sin faigh Tn agus T20.

2. I seicheamh comhbhreise faoi leith, tá T4 5 14 agus T9 5 34. Faigh luach a agus luach d agus uaidh sin faigh luach T13.

3. I seicheamh comhbhreise faoi leith, tá T5 5 21 agus T10 5 41. Faigh luach a agus luach d. Uaidh sin faigh Tn agus T60.

4. I seicheamh comhbhreise faoi leith, tá an t-ochtú téarma cothrom le 218 agus tá an tríú téarma cothrom le 12. Faigh luach a agus luach d. Uaidh sin faigh T100.

5. I seicheamh comhbhreise faoi leith, tá T3 5 4 agus T10 5 217. Faigh luach a agus luach d. Scríobh síos Tn den seicheamh agus faigh luach n sa chás go bhfuil Tn 5 247.

6. I seicheamh comhbhreise faoi leith, tá an chéad téarma cothrom le 3 agus tá T6 5 2T3. (i) Faigh luach na comhbhreise, d. (ii) Faigh Tn, an nú téarma.

7. I seicheamh comhbhreise faoi leith, tá T1 1 T5 5 0 agus T13 5 20. (i) Faigh luach a agus luach d. (ii) Taispeáin go bhfuil an seachtú téarma dhá oiread chomh mór leis an gcúigiú téarma.

300

8. I seicheamh comhbhreise faoi leith, tá T4 5 29 agus T15 5 231. Faigh luach a agus luach d. Scríobh síos Tn den seicheamh agus uaidh sin oibrigh amach cén téarma atá cothrom le 281.

9. Cuirtear cuaillí solais in airde ar mhótarbhealach gach 100 m, mar a thaispeántar.

1 2 3

(i) Cé mhéad cuaille solais a theastaíonn do 500 m den mhótarbhealach? (ii) Scríobh síos, mar sheicheamh comhbhreise, an líon cuaillí solais a theastaíonn

do 100 m, 200 m, 300 m, 400 m, …. (iii) Faigh slonn in n don nú téarma den seicheamh seo. (iv) Úsáid an slonn a fuair tú i mír (iii) thuas chun an líon cuaillí solais a theastaíonn

do 8 km den mhótarbhealach a scríobh síos. (v) Mótarbhealach é an M51 atá á thógáil.

Tá 2402 cuaille solais ordaithe ag an gconraitheoir. Cé chomh fada is atá an mótarbhealach seo?

10. I seicheamh comhbhreise faoi leith, tá T1 1 T3 5 12 agus T4 1 T6 5 24. Faigh luach a agus luach d.

11. I seicheamh comhbhreise faoi leith, tá an séú téarma cothrom le 20 agus tá an deichiú téarma ceithre oiread chomh mór leis an dara téarma. Faigh luach a agus luach d. Uaidh sin ríomh T100.

12. Más trí théarma leantacha i seicheamh comhbhreise iad x, 2x 1 3 agus 4x 1 5, faigh luach x.

13. Faigh luach x i ngach ceann de na seichimh chomhbhreise seo a leanas: (i) x � 1, x � 1, 3x � 3 (ii) x � 4, 3 � x, x � 10.

14. Tógann Tomás sconsaí d'fhaid dhifriúla le píosaí adhmaid.

Fad sconsa 3 Fad sconsa 2 Fad sconsa 1

(i) Tarraing sceitse d'fhad sconsa 5.Chomhair Tomás an líon píosaí a theastaigh uaidh chun gach fad sconsa a thógáil. Tharraing sé an tábla thíos ansin.

Fad sconsa 1 2 3 4 5 6

Líon píosaí 4 7 10

301

(ii) Críochnaigh an tábla chun an líon píosaí adhmaid a d'úsáidfeadh sé d'fhad sconsa 4, 5 agus 6 a thaispeáint.

(iii) Scríobh síos, i dtéarmaí n, slonn don líon píosaí adhmaid a theastódh d'fhad sconsa n.

(iv) Cé mhéad píosa adhmaid a theastaíonn d'fhad sconsa 40? (v) Dá dteastódh 91 píosa adhmaid, cén fad sconsa é sin?

Mír 10.6 Sraitheanna comhbhreise Nuair a shuimítear téarmaí seicheamh comhbhreise, déanann siad sraith chomhbhreise.

Mar shampla, is seicheamh comhbhreise é 1, 3, 5, 7, … . An comhartha 1 idirna téarmaí, athraíonnsé seicheamh go sraith.

ach is sraith chomhbhreise é 1 1 3 1 5 1 7 … .

Úsáidtear an nodaireacht Sn chun suim an chéad n téarma de shraith a chur in iúl. Dá bhrí sin, tá S1 5 suim téarma amháin, i.e. S1 5 T1

S2 � T1 � T2 S3 � T1 � T2 � T3

Sa bhosca ar dheis tá an fhoirmle le Faightear suim go n téarma sraith chomhbhreise leis an bhfoirmle

Sn � n __ 2

{2a � (n � 1)d }.

haghaidh Sn de shraith chomhbhreise.

Sampla 1

Faigh Sn agus uaidh sin S20 den tsraith 5 1 8 1 11 1 14 1 … .

Sa tsraith 5 1 8 1 11 1 14 1 …, tá a 5 5 agus d 5 3.

Sn � n __ 2

{2a � (n � 1)d }

� n __ 2

{2(5) � (n � 1)(3)} … (a � 5, d � 3)

� n __ 2

{10 � 3n � 3} S20 � 20 ___ 2

{60 � 7}

Sn � n __ 2

{3n � 7} � 10(67)

� 670

302

Sampla 2

Tugtar an tsraith chomhbhreise 5 1 7 1 9 1 … . Má tá Sn 5 192, faigh luach n.

Sn � 192

n __ 2

{2a � (n � 1)d } � 192

n __ 2

{10 � (n � 1)2 } � 192 … (a � 5 agus d � 2)

n __ 2

{10 � 2n � 2 } � 192

n __ 2

{2n � 8 } � 192

2n2 ___

2 � 8n ___

2 � 192

n2 � 4n � 192 � 0(n � 12)(n � 16) � 0n � 12 … déan neamhaird den fhreagra diúltach 216

; S12 � 192

Nóta: S4 � T1 � T2 � T3 � T4

S5 � T1 � T2 � T3 � T4 � T5 ______________________Ag dealú: S5 � S4 � T5

Ar an gcaoi chéanna Sn � Sn � 1 � Tn

Sampla 3

I sraith chomhbhreise faoi leith, tá Sn 5 n2 1 2n.Faigh S1, S2 agus S3 agus uaidh sin scríobh síos T1, T2 agus T3.

Sn � n2 � 2n ⇒ S1 � 12 � 2(1) � 3 ⇒ T1 � 3S2 � 22 � 2(2) � 8 ⇒ T1 � T2 � 8 ⇒ T2 � 5S3 � 32 � 2(3) � 15 ⇒ T1 � T2 � T3 � 15 ⇒ 3 � 5 � T3 � 15 ⇒ T3 � 7

; is iad na chéad trí théarma 3, 5, 7.

Ná dearmad: Tn � Sn � Sn � 1

303

Cleachtadh 10.6

1. Don tsraith chomhbhreise 2 1 5 1 8 1 …, (i) faigh luach a agus luach d (ii) faigh suim an chéad 12 théarma.

2. Faigh suim an chéad 20 téarma den tsraith 3 � 7 � 11 � 15 � …

3. Faigh Sn agus uaidh sin S16 den tsraith chomhbhreise 1 � 4 � 7 � 10 � …

4. Is iad na chéad cheithre théarma de shraith 7 1 10 1 13 1 16 1 … Faigh S8, suim na gcéad ocht dtéarma.

5. Scríobh síos luach a agus luach d don tsraith 16 � 12 � 8 � 4 � …

Uaidh sin faigh S24 den tsraith.

6. I sraith chomhbhreise faoi leith, tá an nú téarma, Tn 5 5n 2 2. Faigh luach a agus luach d agus uaidh sin faigh T16 den tsraith.

7. Taispeáin gurb ionann Sn den tsraith 1 1 2 1 3 1 … agus n2 (n 1 1).

Uaidh sin faigh suim na sraithe 1 1 2 1 3 1 … 1 100.

8. Is ionann Sn den tsraith 24 2 2 1 0 1 2 1 … agus 84. (i) Scríobh síos luach a agus luach d. (ii) Faigh luach n.

9. Seo roinnt patrún a rinneadh as cearnóga.

Patrún 1 Patrún 2 Patrún 3

Taispeántar cuid de Phatrún 4 sa léaráid ar dheis.

Patrún 4

………

(i) Cóipeáil agus críochnaigh Patrún 4. (ii) Cé mhéad cearnóg atá i bPatrún 6? (iii) Faigh slonn don líon cearnóg i bPatrún n.

(iv) Cé mhéad cearnóg san iomlán atá sa chéad 20 patrún?

10. I sraith chomhbhreise faoi leith, tá T5 5 9 agus T8 5 27. (i) Faigh luach a agus luach d. (ii) Faigh S10 den tsraith.

304

11. I sraith chomhbhreise faoi leith, tá T3 5 0 agus T8 5 10. Faigh luach a agus luach d agus uaidh sin faigh Sn den tsraith. Cé mhéad téarma den tsraith a chaithfear a shuimiú chun go mbeidh a suim cothrom le 36?

12. Faigh Sn den tsraith 5 1 8 1 11 1 14 1 … . Má tá Sn 5 98, faigh luach n.

13. Dhear mac léinn dearthaí tíle ina raibh tíleanna dearga agus gorma, mar atá thíos.

………

(i) Faigh slonn in n don líon iomlán (a) tíleanna dearga a úsáideadh san nú dearadh (b) tíleanna gorma a úsáideadh san nú dearadh.

(ii) Faigh, i dtéarmaí n, slonn don líon iomlán tíleanna a úsáideadh san nú dearadh.

(iii) Cé mhéad tíl san iomlán a theastaíonn chun 10 ndearadh a chríochnú sa phatrún céanna?

14. Cén téarma den tsraith 3 1 8 1 13 … é 98? Anois faigh suim na dtéarmaí sin.

15. Mar seo a scríobhtar Sn de shraith chomhbhreise áirithe: Sn 5 n2 1 6n.Faigh S1 agus S2 agus uaidh sin scríobh síos luach T1 agus T2.

16. (i) Scríobh síos an 10ú téarma den tsraith a thosaíonn le 3, 7, 11, 15, … (ii) Scríobh síos slonn le haghaidh an nú téarma den seicheamh sin. (iii) Taispeáin nach téarma den seicheamh é 1997. (iv) Ríomh an líon téarmaí sa seicheamh 3, 7, 11, 15, …, 399. (v) Uaidh sin faigh suim na sraithe 3 1 7 1 11 1 15 … 1 399.

17. Is é Tn 5 52 2 4n an nú téarma de shraith chomhbhreise. (i) Faigh luach a agus luach d. (ii) Cé acu téarma díobh nialas? (iii) Faigh suim na dtéarmaí atá deimhneach.

18. Faightear suim an chéad n téarma de shraith chomhbhreise leis an bhfoirmle

Sn � 4n2 � 8n.

(i) Úsáid S1 agus S2 chun an chéad téarma agus an chomhbhreis a fháil. (ii) Cé mhéad téarma den tsraith a chaithfear a shuimiú chun go mbeidh a suim

cothrom le 252?

305

19. I sraith chomhbhreise faoi leith, tá T5 5 21 agus T10 5 11. (i) Faigh an chéad téarma agus an chomhbhreis. (ii) Faigh suim an chéad 20 téarma. (iii) Cén luach de n a fhágann go bhfuil Sn 5 0?

20. Taispeántar na chéad trí phatrún de sheicheamh tíleanna thíos. Leanann an seicheamh ar aghaidh ar an mbealach céanna.

Patrún 3

Patrún 2

Patrún 1

I ngach patrún, déanann na tíleanna cearnóg de thíleanna gorma agus glasa. (i) Sa tábla thíos, scríobh síos líon na dtíleanna gorma a theastaíonn do gach

ceann de na chéad chúig phatrún.

Patrún 1 2 3 4 5

Líon tíleanna gorma 21 33

(ii) Faigh, i dtéarmaí n, slonn don líon iomlán tíleanna gorma a theastaíonn don nú patrún.

(iii) Úsáid an fhoirmle do Tn, atá i mír (ii) thuas, chun an líon tíleanna gorma a theastaíonn don 10ú patrún a fháil.

(iv) Faigh, i dtéarmaí n, foirmle don líon iomlán tíleanna gorma sa chéad n patrún.

(v) Cé mhéad patrún a d'fhéadfaí a dhéanamh le 399 tíl ghorm?

Mír 10.7 Seichimh chearnacha Seicheamh d'uimhreacha cearnacha é 1, 4, 9, 16, 25, … . Ó tharla go bhfuil T1 5 12, tá T2 5 22, T3 5 32, … Tn 5 n2.

Seichimh chearnacha a thugtar ar sheichimh arb é n2 an chumhacht is airde san nú téarma acu.

Scrúdaímis na chéad seacht dtéarma den seicheamh Tn 5 n2.

1 4 9 16 25 36 49 3 5 7 9 11 13 an chéad difríocht 2 2 2 2 2 an dara difríocht

Tabhair faoi deara go bhfuil na dara difríochtaí ar fad mar an gcéanna, i.e., 2.

306

Anois breathnaímis ar an seicheamh ina bhfuil an nú téarma 5 2n2 - n. Is iad na chéad chúig théarma den seicheamh seo:

1 6 15 28 45 5 9 13 17 an chéad difríocht 4 4 4 an dara difríocht

Tá na dara difríochtaí ar fad mar an gcéanna anseo, i.e., 4.

Tabhair faoi deara i ngach ceann de na seichimh chearnacha thuas go bhfuil comhéifeacht n2 san nú téarma cothrom le leath an dara difríocht.

Ná dearmad I seicheamh cearnach, tá comhéifeacht n2 san nú téarma cothrom le leath an dara difríocht.

��Scríobh síos na chéad chúig théarma den seicheamh ina bhfuil Tn 5 2n2 1 3.

Scríobh síos na chéad difríochtaí agus na dara difríochtaí idir théarmaí leantacha.

Imscrúdaigh an bhfuil comhéifeacht n2 san nú téarma cothrom le leath an dara difríocht.

An nú téarma de sheicheamh cearnach a fháil

Beidh an nú téarma de sheicheamh cearnach san fhoirm seo i gcónaí:

Tn � an2 � bn � c

Anois úsáidimid tábla difríochtaí chun luach a, b agus c a fháil mar a léirítear sa sampla seo a leanas.

Sampla 1

Faigh an nú téarma den seicheamh 3, 10, 21, 36

Taispeántar na téarmaí agus Téarmaí 3 10 21 36

Na chéad difríochtaí 7 11 15

Na dara difríochtaí 4 4

na chéad agus na dara difríochtaí ar dheis.

Beidh Tn san fhoirm Tn 5 an2 1 bn 1 ca 5 2 … leath luach an dara difríocht

; Tn � 2n2 � bn � c

307

Anois sloinnimid T1 agus T2 i dtéarmaí b agus c. Tn � 2n2 � bn � c ⇒ T1 � 2 � b � cAch T1 � 3 ⇒ 2 � b � c � 3 ⇒ b � c � 1 … 1T2 � 8 � 2b � cAch T2 � 10 ⇒ 8 � 2b � c � 10 ⇒ 2b � c � 2 … 2

Anois réitímid na cothromóidí comhuaineacha 1 agus 2

b � c � 1 … 1 b � c � 1 2b � c � 2 … 2 ⇒ 1 � c � 1� �b � �1 ⇒ b � 1 ⇒ c � 0

; Tn � 2n2 � n … a � 2, b � 1, c � 0

Cleachtadh 10.7

1. Faigh an chéad dá théarma eile de na seichimh chearnacha seo trí na chéad agus dara difríochtaí a fháil:

(i) 3, 4, 6, 9, 13, … (ii) 3, 6, 11, 18, 27, … (iii) 2, 7, 14, 23, 34, …

2. Cé acu de na seichimh seo atá cearnach?

(i) 6, 8, 12, 18, 26, 36, … (ii) 6, 8, 10, 12, 14, 16, … (iii) 3, 4, 7, 12, 19, 28, … (iv) 0, 3, 8, 15, 24, …

3. Faigh na chéad 5 théarma de na seichimh a bhfuil na nú téarmaí seo acu:

(i) Tn � n2 � 4 (ii) Tn � n2 � 1 (iii) Tn � 2n2 � n � 1

4. Faigh an 10ú téarma den seicheamh ina bhfuil Tn 5 n2 1 2n 2 4.

5. Scríobh an seicheamh 4, 7, 12, 19, 28, … mar seo a leanas

4 7 12 19 28 – – – – an chéad difríocht

– – – an dara difríocht

Má tá Tn 5 an2 1 bn 1 c, úsáid an dara difríocht chun luach a a scríobh síos.

6. Faigh slonn don nú téarma de na seichimh chearnacha seo a leanas:

(i) 5, 8, 13, 20, 29, … (ii) 2, 8, 18, 32, 50, …

7. Faigh slonn le haghaidh an nú téarma den seicheamh

7, 10, 15, 22, 31, …

308

8. Taispeáin gurb ionann an nú téarma den seicheamh cearnach 8, 15, 26, 41, 60, … agus 2n2 1 n 1 5.

9. Úsáid tábla difríochtaí chun an nú téarma den seicheamh seo a oibriú amach:

3, 8, 15, 24, 35, …

10. Is ionann gach sraith de na ciúbanna sna dearthaí seo agus cearnóg.

Samhail 1 Samhail 2 Samhail 3

(i) Cé mhéad ciúb a bheidh i Samhail 4?

(ii) Úsáid an patrún chun líon na gciúbanna i Samhail 5 a scríobh síos.

(iii) Taispeáin go dtugann an slonn n __ 6

(n � 1)(2n � 1)

an líon cruinn ciúbanna i Samhail 3 agus i Samhail 4.

(iv) Úsáid an slonn don nú téarma chun líon na gciúbanna i Samhail 10 a fháil.

11. Seo roinnt rugaí a cuireadh i mullach a chéile i ngrúpaí i siopa cairpéad.

Grúpa 1 Grúpa 2 Grúpa 3 Grúpa 4

(i) Cóipeáil agus críochnaigh an Grúpa 1 2 3 4 5 …

Líon rugaí 1 3 …

tábla ar dheis.

(ii) Tarraing tábla difríochtaí don seicheamh don líon rugaí.

(iii) Úsáid na difríochtaí chun slonn a fháil le haghaidh an nú téarma den seicheamh sin.

(iv) Úsáid an nú téarma chun líon na rugaí i nGrúpa 20 a fháil.

Cuir triail ort féin 10 1. (i) Is iad na chéad trí théarma i seicheamh comhbhreise 5, 8, 11, …

(a) Scríobh síos an chéad téarma agus an chomhbhreis. (b) Faigh slonn in n don nú téarma den seicheamh. (c) Cén téarma den seicheamh é 62?

(ii) I seicheamh comhbhreise faoi leith, tá T3 5 11 agus T7 5 27. (a) Faigh luach an chéad téarma agus na comhbhreise. (b) Faigh suim na gcéad 10 dtéarma den tsraith.

2. (i) Is iad an chéad dá théarma i seicheamh comhbhreise 5, 0, … . .(a) Faigh d, an chomhbhreis. (b) Faigh Tn agus uaidh sin T10 den seicheamh.

(ii) Breathnaigh ar na cruthanna seo a rinneadh as maidí.

Cruth 1 Cruth 2 Cruth 3

(a) Cóipeáil agus críochnaigh an tábla seo.

Cruth 1 2 3 4 5

Líon maidí 8

(b) Faigh slonn in n do líon na maidí san nú cruth. (c) Cé mhéad maide atá i gcruth 12? (d) Faigh suim na maidí ar fad a úsáideadh sa chéad 20 cruth.

3. (i) I gcás an tseichimh chomhbhreise 8, 6, 4, … : .(a) Scríobh síos luach a, an chéad téarma agus d, an chomhbhreis. (b) Faigh slonn in n don nú téarma den seicheamh. (c) Cén téarma den seicheamh é 220?

(ii) Scríobh síos an fhoirmle do Sn, suim go n téarma sraith chomhbhreise. Is é 3 comhbhreis na sraithe agus tá S8 5 132. Faigh na chéad 3 théarma den tsraith agus uaidh sin faigh luach T24.

4. (i) Mar seo a chuirtear síos ar an nú téarma de sheicheamh comhbhreise: Tn 5 12 2 4n.(a) Faigh an chéad téarma agus an chomhbhreis. (b) Cén téarma den seicheamh é 264?

(ii) Taispeántar patrún cruthanna thíos.

Cruth 1 Cruth 2 Cruth 3

309

(a) Cóipeáil agus críochnaigh Cruth 1 2 3 4 5

Líon cipíní 8

an tábla seo do na cruthannacruthanna thuas.

(b) Faigh slonn in n don nú téarma den seicheamh a ghintear as líon na gcipínía theastaíonn do phatrúin leantacha.

(c) Cé mhéad cipín a bheadh i gCruth 20? (d) Faigh suim na gcipíní ar fad a úsáideadh sa chéad 12 chruth.

5. (i) Cé acu ceann de na seichimh seo a leanas ar seicheamh comhbhreise é? (a) 6, 4, 0, … (b) 3, �1, 3, �… (c) �5, �3, �1, 1, …Anois faigh Tn den seicheamh comhbhreise sin.

(ii) Scríobh síos na chéad difríochtaí agus an dara difríocht idir théarmaí an tseichimh chearnaigh

8, 15, 26, 41, 60, …Uaidh sin, faigh slonn in n don nú téarma den seicheamh.

6. (i) I seicheamh comhbhreise faoi leith, tá an chéad téarma cothrom le 9 agus tá an chomhbhreis cothrom le 4. Faigh Tn, an nú téarma, agus uaidh sin faigh luach T10.

(ii) I sraith chomhbhreise faoi leith, tá T10 5 19 agus S10 5 55. (a) Scríobh síos an fhoirmle do Tn agus Sn de shraith chomhbhreise. (b) Faigh an chéad téarma agus an chomhbhreis don seicheamh thuas.

7. (i) Is iad na chéad trí théarma i sraith chomhbhreise 2 1 8 1 14 … (a) Faigh d, an chomhbhreis. (b) Faigh Tn, an nú téarma den tsraith. (c) Faigh luach n, ionas go bhfuil Tn 5 200. (d) Faigh suim an chéad 20 téarma.

(ii) Seo na chéad 3 léaráid de

Léaráid 1 Léaráid 2 Léaráid 3

phatrún cipíní. (a) Cé mhéad cipín a bheidh

i Léaráid 4? (b) Agus úsáid á baint as an

seicheamh a rinneadh, scríobh síos líon na gcipíní i Léaráid 5.

(c) Mínigh cén fáth ar seicheamh cearnach é seo. (d) Faigh slonn le haghaidh an nú téarma den seicheamh. (e) Úsáid an nú téarma chun líon na gcipíní i Léaráid 10 a fháil.

310

311

�� 1. Seicheamh a ghiniúint má thugtar Tn

Má tá an fhoirmle le haghaidh Tn, an nú téarma de sheicheamh, ar eolas agat, is féidir leat téarma ar bith den seicheamh a fháil ach luach a churin ionad n. Tugann n 5 1, 2, 3, … na chéad trí théarma.

2. An nú téarma a fháil

I gcás an tseichimh 5, 8, 11, … faightear an nú téarma mar seo a leanas (i) Is é 3 an chomhbhreis idir na téarmaí, mar sin beidh an nú téarma

cothrom le 3n ± uimhir. (ii) Chun an uimhir sin a fháil, faighimid an uimhir a shuimítear le 3 chun

an chéad téarma, 5, a fháil. Is é 2 an uimhir sin. ; Tn � 3n � 2.

3. Seichimh chomhbhreise

I gcás an tseichimh chomhbhreise a, a � d, a � 2d, a � 3d, …

Tn � a � (n � 1)d Sn � n __ 2

{2a � (n � 1)d }

I seicheamh comhbhreise, tá an chomhbhreis d cothrom le

d � téarma ar bith � an téarma roimhe

4. Tn a fháil ó shuimeanna leantacha

S6 � S5 � T6

An riail ghinearálta: Tn � Sn � Sn � 1.

5. Seichimh chearnacha

Beidh téarma in n2 san nú téarma de sheicheamh cearnach. Tá comhéifeacht n2 cothrom le leath luach an dara difríocht.

312

��comhthreomharán airde ingearach comhshleasach teoirim

coinbhéarta aicsím iomchuí comhchosúil comhuilleach

sleasa comhfhreagracha tadhlaí pointe tadhaill corda trasnaí

Mír 11.1 Súil siar ar uillinneacha agus ar thriantáin Cuirfidh na léaráidí thíos cuid de na torthaí atá feicthe againn sa Chéimseata go dtíseo i gcuimhne dúinn.

Ainmneacha agus cineálacha uillinneacha

Dronuillinn a thugtar aran gceathrú cuid de chasadh.

Más dronuillinneacha atá idir dhá líne,tá siad ingearach le chéile.

Tá 360° i gcasadh iomlán.

Tá 180° in uillinnar líne dhíreach.

Géaruillinn a thugtarar uillinn atá

idir 0° agus 90°.

Maoluillinn a thugtarar uillinn atá

idir 90° agus 180°.

Uillinn athfhillteach

a thugtar ar uillinnatá idir 180° agus 360°.

Céimseata 1 Céimseata 1 Céimseata 1 Céimseata 1 Céimseata 1 Céimseata 1 Céimseata 1 Céimseata 1 � ��

�

11

313

Airíonna uillinneacha

c b a a bc

a

d

ba a

b

b

a � b � c � 180° a � b � 180° a � b � c � d � 360° Má thrasnaíonn dhá líne

dhíreacha a chéile agpointe, cruthaíonn siaddhá phéire rinnuillin-neacha urchomhair-eacha. Ar cóimhéid abhíonn rinnuillinneachaneacha urchomhaireacha.

180° suim nan-uillinneacha athagann le chéileag pointe arlíne dhíreach.

Uillinneacha

forlíontacha

a thugtar ar phéireuillinneacha arbé 180° a suim.

360° suim nan-uillinneacha athagann le chéileag pointe.

Tá na hairíonna seo a leanas ag uillinneacha a chruthaítear nuair a thrasnaíonn línedhíreach péire línte comhthreomhara:

a

b

a

b

x

y

Ar cóimhéid a bhíonn uillin-

neacha comhfhreagracha. Mar sin a 5 b. Féadfaidh tú iad a aimsiú achcruth F a chuardach.

Ar cóimhéid a bhíonnuillinneacha ailtéar-

nacha. Mar sin a5 b.

180° suim na n-uillinneacha

inmheánacha x agus y. x 1 y 5 180°.

Triantáin agus a n-airíonna

60º 60º

60º

c

ab

Triantán comhshleasach:

na 3 shlios ar comhfhadna 3 uillinn inmheánachaar cóimhéid (60°)

Triantán comhchosach:

2 shlios ar comhfhad andá bhonnuillinn arcóimhéid

Triantán

dronuilleach:

90° atá in uillinnamháin

a2 � b2 � c2

Triantán corrshleasach

a thugtar ar thriantánnach bhfuil aon cheann dena hairíonna sin aige.

314

B C

AB

A C

180° suim na n-uillinneacha i dtriantán. Bíonn uillinn sheachtrach triantáincothrom le suim an dá uillinninmheánacha urchomhaireacha.

∠A � ∠B � ∠C � 180° ∠C � ∠A � ∠B

Triantáin iomchuí

Is iomchuí dá chéile dhá thriantán má chomhlíontar aon cheann de na coinníollacha seo:

Tá trí phéire sleasa ar comhfhad (SSS). Tá dhá phéire sleasa ar comhfhad agus tá nahuillinneacha eatarthu ar cóimhéid (SUS).

Tá dhá phéire uillinneacha ar cóimhéidagus tá na sleasa eatarthu ar comhfhad(USU).

Tá dronuillinn sa dá thriantán, tá an dáthaobhagán ar comhfhad, agus tá sliosamháin ar thriantán amháin ar comhfhadleis an slios comhfhreagrach ar an triantáneile (DTS).

315

Cleachtadh 11.1

1. Scríobh síos méid na n-uillinneacha a bhfuil litir orthu sna léaráidí seo a leanas, áit a léiríonn saigheada línte comhthreomhara.

70º

h

g

40º

j

80º

lm

32ºb

a

46º

dc

120º

e

f

2. Faigh méid na huillinne a bhfuil litir uirthi sna triantáin seo a leanas:

72º

58º

a 42º128º

b°

71º140º

c°

32º

42ºd

66º

e 44º f

3. Faigh méid na huillinne a bhfuil litir uirthi sna fíoracha seo a leanas:

50º70º

a

b 105º

c

60º e

d

316

4. Faigh tomhas na n-uillinneacha x agus ysa léaráid seo má tá an líne ø comhthreomharleis an líne m.

5. Faigh luach a, b, c agus d sna triantáin seo:

124º

a

55º

b

c

35º

43º

30ºd

6. Sa triantán seo, tá BCuuDEF.Faigh |∠DAE|.

7. Sa léaráid seo, tá AC comhthreomhar le BE. Má tá u/BCAu 5 80° agus u/CABu 5 55°, faigh (i) x

(ii) y.

8. Sa léaráid seo, tá uABu 5 uACu agus u/BADu 5 104°.

(i) Faigh u/CABu. (ii) Faigh u/ABCu.

65º �

mx y

125º

80ºC

FE

D

B

A

55º

80º

AB

D

E

C

y° x°

104º

B

C AD

317

9. Faigh tomhas na huillinne a bhfuil litir uirthi sna léaráidí seo a leanas, áit a léiríonn saigheada línte comhthreomhara:

65º85º

a

b

61º100º

c

43º

128º

d

10. Faigh luach x agus luach y sna triantáin seo:

(i) (ii) (iii)

11. I gcás gach ceann de na triantáin seo, úsáid Teoirim Phíotagarás chun fad an tsleasaa bhfuil litir air a fháil:

8

6x

12

13 y17

15

z

12. Faigh uABu sa triantán dronuilleach seo.

Anois, faigh achar an triantáin ABC.

13. San fhíor seo, is dronuillinneacha iad na huillinneacha ACB agus ABD. Má tá uACu 5 3, uCBu 5 4 agus uBDu 5 12, faigh

(i) |AB| (ii) |AD|.

4

123

A

D

BC

32º

y

x 2x y4x

3x

50º x y

7.5

4.5

A

B C

318

14. Faigh fad an tsleasa a bhfuil x air sna triantáin dhronuilleacha seo a leanas:

(i) (ii) (iii)

15. Faigh luach x agus luach y sa léaráid seo. [�Cuimhnigh: ( √

__ 5 )2 � 5. ]

16. Mínigh an fáth arb iomchuí dá chéile an dá thriantán seo.

7 cm

5 cm 7 cm

5 cm

17. Is comhthreomharán é ABCD.

Mínigh an fáth ar triantáin iomchuí iad ABD agus BCD.

18. Sa léaráid seo, tá uACu 5 uADu agus uBDu 5 uCEu.

A

B EDC

Cruthaigh gurb iomchuí dá chéile na triantáin ABC agus ADE.

19. San fhíor seo, tá u/ACBu 5 u/CDBu 5 90°. Faigh fad na sleasa x agus y.

3

73

x

5

3

x8

4 2

x

13

2

29x

y

CD

A B

D

A B

C

44

12

6

y

x

319

Mír 11.2 Achar triantán agus comhthreomharán Tá dhá thriantán sna léaráidí seo atá díreach mar an gcéanna.

A

B C

h1

A

B C

h2

Achar� 1 _ 2 |BC| � h1 Achar� 1

_ 2 |AB| � h2

Sa triantán seo, is é [BC] an bonnagus is é h1 an airde ingearach.

Sa triantán seo, is é [AB] an bonn agus is é h2 an airde ingearach.

Ó tharla go bhfuil an dá thriantán díreach mar an gcéanna, tá a n-achair cothrom lena chéile.

Fuarthas na hachair seo trí bhoinn dhifriúlaagus airdí ingearacha difriúla a úsáid.

Léiríonn sé seo teoirim thábhachtach faoiachar triantáin, mar a thugtar ar dheis.

Achar triantáin:12 an bhoinn 3 airde '

Teoirim

I gcás triantáin ar bith, ní bhraitheann bonn faoin airde ar an mbonn a roghnaítear.

Sampla 1

Sa triantán seo, uBCu 5 16 cm, uABu 5 12 cm agus uADu 5 10 cm.

Faigh (i) achar NABC(ii) |EC|.

(i) Achar nABC 5 12 an bhoinn 3 airde ingearach

� � � 1 _ 2 � 16 cm � 10 cm … is é [BC] an bonn

� � � 80 cm2

(ii) Is ionann an t-achar freisin agus 1 _ 2 |AB| � |EC|.

; 1 _ 2 |AB| � |EC| � 80 cm2

1 _ 2 (12) � |EC| � 80

6|EC| � 80

|EC| � 80 __ 6 � 40

__ 3 � 13 1 _ 3

|EC| � 13 1 _ 3 cm

A

B CD

E

16 cm

10 cm12 cm

320

Achar comhthreomharáin

Taispeántar an comhthreomharán ABCD san fhíor ar dheis. I gcás comhthreomharáin, bíonn na sleasa urchomhaireachacomhthreomhar agus ar comhfhad.

Roinneann an trasnán DB an comhthreomharán ina dhá thriantán, ABD agus BCD.

Is iomchuí dá chéile na triantáin seo mar go bhfuil natrí shlios ar nABD ar comhfhad leis na trí shlios ar nBCD.

Ó tharla gurb iomchuí dá chéile na triantáin, tá an t-achar céanna acu.

Taispeánann sé seo go ndéroinneann an trasnán [BD]achar an chomhthreomharáin ABCD.

Sa chomhthreomharán seo,

achar nDCB 5 12 3 bonn 3 airde

� � � 1 _ 2 � |DC| � h

� � � 1 _ 2 b � h

; Achar ABCD 5 dhá oiread achar nDCB.

� 2 [� 1 _ 2 b � h ]

� � � b � h

Sampla 2

(i) Faigh achar an chomhthreomharáin seo ABCD.

(ii) Má tá uBCu 5 9 cm, faigh anairde ingearach, h, ó A go [BC].

(i) Achar ABCD 5 bonn 3 airde ingearach � � � 14 � 8� � � 112 cm2

(ii) Is é uBCu 3 h achar ABCD freisin � � 9 cm � h� � 9h cm2

Ach tá achar ABCD 5 112 cm2 … ó (i) thuas

; 9h � 112 h � 112

___ 9 � 12 4 _ 9 cm

A

CD

B

14 cm

9 cm8 cm

h

A B

CD

Teoirim

Déroinneann trasnán comhthreomharáin an t-achar.

A

CD

B

h

b

Teoirim

Is ionann achar comhthreomharáin agus

an bonn iolraithe faoin airde ingearach.

321

Cleachtadh 11.2

1. Scríobh síos achar gach ceann de na triantáin seo:

(i) (ii) (iii)

2. Sa triantán seo, tá uABu 5 9 cm, uBCu 5 12 cm agusis é 8 cm an airde ingearach ó C go [AB].

Faigh (i) achar an triantáin ABC (ii) an fad ingearach ó A go [BC].

3. Faigh luach x i ngach ceann de na triantáin seo:

(i) (ii) (iii)

Achar 5 16 aonad2 Achar 5 35 aonad2 Achar 5 27 aonad2

4. Faigh luach h i ngach ceann de na triantáin seo:

(i) (ii) (iii)

5. Faigh achar gach ceann de na comhthreomharáin seo:

(i) (ii) (iii)

10 cm

6 cm

12 cm

6 cm

9 cm

8 cm

12 cm

8 cm9 cm

A

B C

8

x

7

x9

x

10 cm

8 cm

6 cmh 12 cm

14 cm

h

16 cm

18 cm

20 cm

24 cm

h

12 cm

8 cm

14 cm

9 cm 10 cm

15 cm

13 cm11 cm

322

6. Faigh achar an chomhthreomharáin seo ABCD. Anois, faigh fad an tsleasa [BC].

7. Is comhthreomharáin iad ABCD agus DCEF.Úsáid an léaráid chun míniú a thabhairt ar anbhfáth a bhfuil an dá chomhthreomharán arcomhachar.

8. 40 cm2 achar an chomhthreomharáin ABCD. Má tá uDBu 5 15 cm, faigh uAEu, i gcás go bhfuil AE ' DB.

9. Is comhthreomharán é ABCD agus tá 1 go 5 ar nahuillinneacha. (i) Ainmnigh trí phéire d’uillinneacha atá ar cóimhéid. (ii) Mínigh an fáth a bhfuil |∠1| � |∠2| � 180°.

10. Is comhthreomharáin iad ABCD agus ADBE. Má tá achar an triantáin DCB 5 15 cm2, faigh (i) achar an chomhthreomharáin ABCD (ii) achar an chomhthreomharáin ADBE (iii) achar na fíorach ADCE (iv) an airde ingearach ó A go [DC],

má tá uDCu 5 7.5 cm.

11. Is comhthreomharán é ABCD. Is é M lárphointe [AB]. (i) Mínigh an fáth a bhfuil u/DAMu 5 u/MBPu. (ii) Anois, taispeáin gurb iomchuí dá chéile na

triantáin AMD agus MBP. (iii) Anois, taispeáin gurb é B lárphointe [CP].

14 cm

22 cm

18 cm

14 cm

A B

CD

A F B E

h

CD

A B

CD

E

15

2 3

4

A B

CD

A

D C

B

E

AM

P

B

CD

323

12. Sa chomhthreomharán seo, DE ' AC agus BF ' AC.80 cm2 achar ABCD.

(i) Má tá uACu 5 16 cm, faigh uDEu. (ii) Mínigh an fáth a bhfuil uDEu 5 uBFu. (iii) Má tá uABu 5 10 cm,

faigh fad na hairde ingearaí, h.

13. Is comhthreomharán é ABCD agus is pointe ar [AB] é E.

(i) Mínigh an fáth a bhfuil achar nDCEcothrom le leath achar ABCD.

(ii) Más é 60 cm2 achar ABCD agus 20 cm2 achar nADE,faigh achar nECB.

Mír 11.3 Triantáin agus cóimheasa Uillinneacha agus sleasa

Tá an triantán ABC ar dheis tarraingthe de réir scála.

Nóta (i) os comhair an tsleasa is faide atá an uillinn is mó

(ii) os comhair an tsleasa is giorra atá an uillinn is lú.

Beidh na hairíonna seo fíor i gcás gach triantáin agusluaitear iad sa teoirim thíos.

Teoirim

Bíonn an uillinn os comhair an tsleasa is mó de dhá shlios níos mó ná an uillinn os comhairan tsleasa is lú.

Sa triantán ABC, tugtar tomhais na dtrí uillinn dúinn.

85º

32º63º

A

CB

Luaitear i gcoinbhéarta na teoirime thuas gurb é [BC] an slios is faide mar gur os comhair nahuillinne is mó atá sé agus gurb é [AB] an slios is giorra mar gur os comhair na huillinne is lúatá sé.

Coinbhéarta na teoirime:

Bíonn an slios os comhair na huillinne is mó de dhá uillinn níos faide ná an slios os comhairna huillinne is lú.

A

D

E

B

h

C

F

AE

B

h

CD

4 cm 2.5 cm

5 cm

100º

50º30º

A

B C

Ciallaíonn coinbhéarta

‘a mhalairt’ nó ‘droim ar ais’.

324

Éagothromóid an triantáin

Is é an fad is giorra idir dhá phointe ná an líne a cheanglaíonn na pointí sin.

Dá bhrí sin

|BA| � |AC| � |BC|

Ar an gcaoi chéanna |AB| � |BC| � |AC|

agus |BC| � |CA| � |AB|.

Trasnaithe

Sa léaráid ar dheis, is línte comhthreomhara iad ø, m agus n.

Trasnaithe a thugtar ar na línte p agus q.

Don trasnaí p, uABu 5 uBCu.

Sa chás seo, deirimid go ngearrann na línte comhthreomhara mírlínte cothroma ar an trasnaí.

Is trasnaí eile í an líne q. Is féidir a léiriú go bhfuil na mírlínte [DE] agus [EF] ar comhfhad freisin.

Tá an t-airí seo fíor do gach trasnaí eile freisin.

Teoirim

Má ghearrann trí líne chomhthreomhara mírlínte cothroma ar thrasnaí éigin, gearrfaidh siad mírlínte cothroma ar thrasnaí ar bith eile.

Sampla 1

Léirítear trí líne chomhthreomhara agus dhá thrasnaí, x agus y, sa léaráid.

|AB| � |BC|.

Má tá |DE| � 6 cm, faigh |EF|.

Ó tharla go ngearrann na línte comhthreomhara mírlínte cothroma ar an trasnaí x,gearrfaidh siad mírlínte cothroma ar an trasnaí y freisin.

; |DE| � |EF|

; |EF| � 6 cm

x y

A

B

C F

E

D l

m

n

A

CB

Teoirim

Is mó dhá shlios lechéile ar thriantánná an tríú slios.

p

A

B

C F

E

D�

m

n

q

325

Líne atá comhthreomhar le slios triantáin

Léirítear sa léaráid ar dheis an slios [AB] dentriantán agus é roinnte ina thrí chuid chothroma.Má tharraingítear línte trí D agus E comhthreomharle BC, roinnfidh na pointí X agus an slios [AC]ina thrí chuid chothroma freisin.

Sa triantán seo, roinneann X an slios [AB] sa chóimheas s : t.

Má tá [XY] comhthreomhar le [BC],roinnfidh Y [AC] sa chóimheas s : t freisin, mar a léirítear.

Léiríonn an léaráid seo toradhcéimseatúil an-tábhachtach agusan-úsáideach. Tugtar an toradh sin ar dheis.

Sampla 2

Sa triantán seo, léiríonn na saigheada go bhfuil na línte comhthreomhar. Faigh fad an tsleasa x.

3 __ 4

� 2 __ x

3x � 8 …iolraigh an dá thaobh faoi 4x

x � 8 _ 3 � 2 2 _ 3

23

4 x

Triantáin chomhchosúla

Ar cóimhéid atá na huillinneacha sna triantáin ABC agus DEF thíos.

Tabhair faoi deara gurb é an cruth céannaatá ar an dá thriantán ach go bhfuil ceannamháin níos mó ná an ceann eile. Deirimid gur triantáin chomhchosúlanó chomhuilleacha iad na triantáin seo.

Deirimid gur sleasa comhfhreagracha

iad [AB] agus [DE], toisc go bhfuil siadaraon os comhair na huillinne 60°.

Tabhair faoi deara go bhfuil uDEu 5 1 12 uABu agus uDFu 5 1 1

2 uACu.

Ar an gcaoi chéanna tá uEFu 5 1 12 uBCu.

Léiríonn sé seo go bhfuil |AB|

____ |DE|

� |AC|

____ |DF|

� |BC|

____ |EF|

� 6 __ 9

� 2 __ 3

.

X

A

D

E

B C

Y

Teoirim Líne a tharraingítearcomhthreomhar leslios amháin arthriantán, roinneannsí an dá shlios eile sachóimheas céanna.

A

B C

X Y

s

t t

s

7.5

70º9

50º 60º

6 570º

50º 60º

A

B C

E F

D

326

An toradh tábhachtach seo i dtaca letriantáin chomhchosúla, tugtar sateoirim ar dheis é.

Sampla 3

(i) Mínigh an fáth a bhfuil an dá thriantán seo comhchosúil. (ii) Faigh fad an tsleasa x.

(i) Tá dhá uillinn i dtriantán amháin cothrom le dhá uillinn sa triantán eile.Dá bhrí sin tá an tríú huillinn i dtriantán amháin cothrom leis an tríú huillinnsa triantán eile.

(ii) x __ 5

� 6 __ 4

4x � 30

x � 30 __ 4 � 7 2 _ 4 � 7 1 _ 2

6

5

4x

Cleachtadh 11.3

1. (i) Cé acu slios is faide sa triantán ABC? (ii) Cé acu slios is giorra? (iii) Mínigh an fáth a bhfuil uBAu 1 uACu > uBCu.

2. Sa triantán XYZ, uXYu 5 7 cm agus uYZu 5 10 cm. I gcás gach ceann díobh seo a leanas, abair (i) an bhféadfadh sé a bheith fíor, nó (ii) an bhfuil sé bréagach?

(a) |XZ| � 2 cm (b) |XZ| � 6 cm (c) |XZ| � 18 cm.

Teoirim Má tá dhá thriantán ABC agus DEF comh-chosúil, tá a gcuid sleasa i gcomhréir lechéile, in ord

|AB|

____ |DE|

� |BC|

____ |EF|

� |AC|

____ |DF|

Bíonn dhá thriantán comhchosúil má

bhíonn dhá uillinn i dtriantán amháin

cothrom le dhá uillinn sa triantán eile.

30º

85º

65º

7 cmB

A

C

10 cm

7 cm

X

Y Z

327

3. Sa triantán seo, uBCu 5 5 cm, uABu 5 8 cm agus [AD] 5 10 cm.

10 cm

5 cm 8 cm

A

B C

(i) Ainmnigh an uillinn is mó sa triantán seo. Tabhair cúis le do fhreagra. (ii) Ainmnigh an uillinn is lú.

4. Is línte comhthreomhara iad a, b agus c. Is trí thrasnaí iad p, q agus r a thrasnaíonn a, b agus c.|DE| � |EF|, |GH| � 8 cm agus |JK| � 7 cm.

Faigh (i) |HI| (ii) |GJ|.

5. Sa léaráid, is línte comhthreomhara iad ø, m agus n. Déanann siad idirlínte ar na línte j agus k. Tugtar faid na n-idirlínte sin sa léaráid. Tá AB comhthreomhar le j.

(i) Scríobh síos fad [AB]. (ii) Scríobh síos fad [AC].

6. Sna triantáin seo a leanas, léiríonn na saigheada go bhfuil na línte comhthreomhar. Faigh fad na mírlíne x i ngach triantán.

(i)

3

56

x

(ii)

4 6

x6

(iii) 4

x 5

3

7. I gcás gach ceann de na triantáin seo a leanas, faigh fad na mírlíne a bhfuil a uirthi, áit a léiríonn saigheada línte comhthreomhara:

(i) 4

a

58

(ii)

14

5

12

a

(iii)

14

3

12

a

p

D

E

F I

H

G

q r

J

a

b

cK

5

5

6

CB

A

j k�

m

n

328

8. Sa léaráid seo, DE uu BC.

Má tá |AD|

____ |DB|

� 2 __ 1

agus |AE| � 14 cm,

Faigh |EC|.

9. Sa léaráid seo, PQ||YZ agus |XQ|

____ |QZ|

� 5 __ 3

.

Má tá uPYu 5 4 cm, faigh uPXu.

10.

8 cm y cm

x cm

4 cm

6 cm

3.5 cm

A

B C E

D

F

(i) Mínigh an fáth a bhfuil na triantáin ABC agus DEF comhchosúil. (ii) Cén slios den triantán DEF a fhreagraíonn don slios [AC]? (iii) Faigh luach x agus luach y.

11. Tá an dá thriantán seo comhchosúil.

(i) Cóipeáil agus críochnaigh an ráiteas seo: ‘Tá gach slios ar an triantán is mó … oireadchomh fada leis an slios comhfhreagrachar an triantán is lú’.

(ii) Faigh luach x agus luach y.

12. Na huillinneacha atá marcáilte sna triantáin ar dheis, tá siad ar cóimhéid.

(i) Mínigh an fáth a bhfuil an dá thriantán comhchosúil. (ii) Faigh luach x agus luach y.

A

D

B C

E

X

P

Y Z

Q

3

7 12

45

y

x

7

612

8 x

y

329

13. Tá na triantáin ABC agus XYZ comhchosúil.

(i) Cén slios ar an triantánnXYZ a fhreagraíonn do [AB]? Mínigh do fhreagra.

(ii) Faigh luach x agus luach y.

14. Faigh luach x agus luach y ar natriantáin chomhchosúla seo.

15. San fhíor seo, BCuuDE. Tarraing na triantáin ABC agus ADE mar léaráidí ar leith. Marcáil fad na sleasa atá ar eolas ar an dá thriantán.

(i) Mínigh an fáth a bhfuil na triantáin ABC agus ADEcomhchosúil.

(ii) Anois faigh uDEu.

16. Is ceathairshleasán é ABCD. ABuuDC agus u/DABu 5 u/DBCu.

9 cm

4 cm

D

A B

C

(i) Ainmnigh dhá uillinn eile san fhíor seo atá ar cóimhéid. (ii) Anois, mínigh an fáth a bhfuil na triantáin ABD agus DCB comhchosúil. (iii) Cén slios ar nDCB a fhreagraíonn do [DB] ar nABD? (iv) Cén slios ar nABD a fhreagraíonn do [BC] ar nBCD?

17. Sa triantán seo, DEuuBC. |AD| � 8, |DB| � 4 agus |AC| � 9. Faigh uAEu. [Leid: Bíodh uAEu 5 x � uECu 5 9 2 x.]

10

15

6

9

A

x y

Y

Z

X

B C

8 6

3

6 x

y

3

4

8

D E

CB

A

4

8 9

A

D

B C

E

330

18. Mínigh an fáth a bhfuil na triantáin ABC agus ADE comhchosúil. (i) Líon isteach na píosaí atá ar iarraidh sna cóimheasa seo:

|AD|

____ |AB|

� |AE|

________ � |DE|

________ .

(ii) Úsáid na cóimheasa sin chun luach x agus luach y a fháil.

Mír 11.4 Teoirimí i dtaobh an chiorcailSa mhír seo, beimid ag plé le céimseata an chiorcail agus féachfaimid ar roinnt torthaí tábhachtacha matamaitice ar a dtugtar teoirimí i dtaobh an chiorcail.

D’fhoghlaim tú cheana féin gur dronuillinn í an uillinn i leathchiorcal.

Sa chiorcal seo, u/ACBu 5 90°.

Tadhlaithe agus cordaí

Is tadhlaí le ciorcal í líne dhíreach nach mbuaileann leis an gciorcal ach ag aon phointe amháin.

Sa léaráid seo, is tadhlaí leis an gciorcal é ø.

An pointe tadhaill a thugtar ar T.

Is cordaí den chiorcal iad [AB] agus [CD].

Sa léaráid seo, tá [OM] ingearach leis an gcorda [AB].

;� � |AM| � |MB|

3

54

6

A

ED

B Cx

y

90°

C

BO

A

A

B

DC

O

T

�

Teoirim

An t-ingear ó lárphointe

ciorcail go dtí corda,

déroinneann sé an corda.BA M

O

331

Sampla 1

Sa léaráid seo, is é O lárphointe an chiorcail agus tá [OM]ingearach le [AB]. Má tá uOMu 5 5 agus uOBu 5 13, faigh uABu.

Tá an triantán OBM dronuilleach. ;� � |OB|2 � |OM|2 � |MB|2

132 � 52 � |MB|2

169 � 25 � |MB|2

|MB|2 � 25 � 169 |MB|2 � 169 � 25� �� 144 |MB| � 12

Ó tharla gurb é M lárphointe [AB], uAMu 5 uMBu. |AB| � |AM| � |MB|

� � 12 � 12|AB| � 24

513

O

A BM

Léirítear sa léaráid an tadhlaí PT leis an gciorcal k a bhfuil lárphointe O aige.

O

PT

k

Is é T an pointe tadhaill agus is ga é [OT]. OT ⊥ TP

Sampla 2

Sa léaráid seo, is tadhlaí leis an gciorcal é PT agus is ga é [OT].

Má tá u/TOQu 5 120°, faigh méid na n-uillinneacha x agus y.

120°

Q

yx

O

TP

Teoirim (1)

Bíonn tadhlaí ingearach leis an ngaa théann chuig an bpointe tadhaill.

�

k

P

OTeoirim (2)

Má tá an pointe P ar an gciorcal k, agus má tá an líne ø ingearachleis an nga a théann chuig P, tá ø ina thadhlaí le k.

332

Tá an triantán OTQ comhchosach toisc go bhfuil uOTu 5 uOQu 5 ga.; |∠OTQ| � |∠OQT| � x; 2x � 180° � 120°� �� 60� x � 30°

Ó tharla go bhfuil OT ⊥ PT ⇒ |∠OTP| � 90°; x � y � 90° 30 � y � 90° … x � 30°

� � y � 90° � 30°� � y � 60°

Cleachtadh 11.4

1. Faigh tomhas na n-uillinneacha a bhfuil litir orthu sna ciorcail seo a leanas a bhfuilO mar lárphointe acu:

a

O

b

O cO

2. Sa chiorcal seo, is é O an lárphointe.Mínigh an fáth a bhfuil nOAC comhchosach.Anois, scríobh síos

(i) |∠OCA|

(ii) |∠ACB|

(iii) |∠OBC|

Atoradh

Mura dtrasnaíonn dhá chiorcal a chéile ach in aon phointeamháin, tá an dá lárphointe agus an pointe tadhaill comhlíneach.

Is ionann atoradh agusráiteas a ghabhann leteoirim a cruthaíodh,agus a leanann uaithigo soiléir.

43°B

O

C

A

333

3. Faigh tomhas na n-uillinneacha a bhfuil litir orthu sna léaráidí seo a leanas, áit a bhfuil O mar lárphointe na gciorcal.

42°

Ob

a

80°

O

d

c

70°

e

O

f

4. Sa léaráid seo, is é O lárphointe an chiorcail, uABu 5 6 agus uOBu 5 5.

(i) Ainmnigh an triantán dronuilleach. (ii) uOBu 5 5.

Ainmnigh dhá mhírlíne eileatá 5 aonad ar fad.

(iii) Faigh uACu. (iv) Faigh uBCu. (v) Faigh achar nABC.

5. Sa léaráid seo, is é O lárphointe an chiorcail agus OM ' AB. Má tá uOMu 5 5 cm agus uABu 5 12 cm, faigh (i) |AM|

(ii) fad gha an chiorcail.

6. Sa léaráid seo, is é O lárphointe an chiorcail a bhfuilga 26 cm aige. Tá OX ingearach le CD agus uOXu 5 10 cm.

Faigh uCDu.

7. Is tadhlaí é ST leis an gciorcal seo a bhfuil O mar lárphointe aige. Má tá u/PSTu 5 40°, faigh (i) |∠OST|

(ii) |∠OSP|

(iii) |∠OPS|

(iv) |∠SOP|

6

5

B

A

CO

Achar n 5 12 an bhoinn 3 airde ingearach

5 cm

O

A M B

C X D

O

40°

OP

TS

334

8. Sa léaráid seo, is tadhlaí é PT leis an gciorcal a bhfuillárphointe O aige, agus u/BPEu 5 55°.

Faigh (i) |∠EPO| (ii) |∠BPO|

(iii) |∠ABP| (iv) |∠BAP|.

9. San fhíor seo, is tadhlaí é BX leis an gciorcalar lárphointe dó O.

Má tá u/XODu 5 120°, faigh u/OBXu.

10. Sa léaráid seo, is tadhlaí é PT leis an gciorcala bhfuil lárphointe O aige agus fad ga 5 cm.

Má tá uPQu 5 8 cm, faigh uPTu.

11. Sa léaráid seo, is tadhlaí é PQ leis an gciorcalar lárphointe dó O.

Má tá u/TPOu 5 30°, faigh (i) |∠POT|

(ii) |∠TOR|

(iii) |∠ORT|

(iv) |∠RTO|.

12. Is tadhlaí é PT leis an gciorcal ar lárphointe dó O.

Má tá u/POTu 5 70° agus u/PAOu 5 40°,Faigh (i) |∠OPT|

(ii) |∠OPA|.

55°

B

A

O

E P T

120°

DO

B

X

P

T

Q O

5 cm

8 cm

QT

PO

R 30°

P

TO

A40° 70°

335

13. Sa léaráid seo, is é O lárphointe an chiorcail. Is tadhlaithe leis an gciorcal iad PA agus PB. (i) Mínigh an fáth a bhfuil na triantáin

AOP agus BOP iomchuí dá chéile. (ii) Uaidh sin, taispeáin go bhfuil uPAu 5 uPBu.

14. Sa léaráid seo, is tadhlaithe iad PA agus PT leis an gciorcal ar lárphointe dó O.

PT

O

A

40°

Má tá u/APTu 5 40°, faigh u/ATOu.

15. Sa léaráid seo, is tadhlaí leis an gciorcal é AB agus is lárlíne é [AD]. Má tá u/ABDu 5 50° agus uABu 5 uAEu,Faigh (i) |∠EAB|

(ii) |∠DAE|

(iii) |∠ADE|.

Mír 11.5 Cruthúnais fhoirmiúla ar theoirimí Ar shlí fhoirmiúil nó struchtúrtha a chruthaítearteoirimí nó freagraí ar cheisteanna céimseatan;le freagraí seanbhunaithe a mhínítear an cur chuige.Matamaiticeoir ón nGréig arbh ainm dó Eoiclídéas abhain leas den chéad uair as an modh sin le freagraíar cheisteanna céimseatan a chruthú.

Is iomaí teoirim a bhfuil cruthúnas ( = cruthú) uirthisa leabhar Stoicheia (focal Gréigise a chiallaíonn‘uraiceacht’ nó ‘bunleabhar’), leabhar céimseatanmórchlú le hEoiclídéas. Sa lá atá inniu ann, breis agus2000 bliain níos déanaí, úsáidimid cur chuigeEoiclídéis fós chun a lán fadhbanna céimseatan a réiteach.

Sa mhír seo, tugtar cruthúnais fhoirmiúla ar na deich dteoirim atá ar do chúrsa.Ní iarrfar ort na cruthúnais seo a thabhairt sa scrúdú. Tugtar anseo iad chun léiriúa thabhairt ar na céimeanna foirmiúla a leantar agus teoirim chéimseatan á cruthú.

O

A

P

BAr cóimhéid a bhíonn faid dháthadhlaí ó phointe go ciorcal.

A

O

D

E

B50°

Aicsím a thugtar ar ráiteasa nglactar leis gan chruthúnas.Sampla d’aicsím: 180° suim nan-uillinneacha i líne dhíreach.

Teoirim a thugtar ar ráiteasa gcruthaítear go bhfuil sé fíortrí aicsímí agus argóint loigh-ciúil a úsáid.

336

Aithneoidh tú torthaí na dteoirimí seo ó na míreanna sa chaibidil seo a rinne tú cheana féin.Na fadhbanna éagsúla céimseatan a réitigh tú, úsáideadh na torthaí a bhunaítear sna teoirimíseo chun iad a réiteach.

Teoirim 1 An uillinn os comhair an tsleasa is faide de dhá shlios, bíonn sí níos mó ná an uillinn os comhair an tsleasa is giorra.

Tugtha: An triantán ABC ar a bhfuil uACu > uABu.

Le Cruthú: |∠ABC| � |∠ACB|.

Tógáil: Tóg an pointe D ar [AC] ionas go bhfuil uADu 5 uABu. Ceangail BD. Ainmnigh na huillinneacha 1, 2, 3 agus 4, mar a léirítear.

Cruthúnas: |∠1| � |∠2| …triantán comhchosach

|∠2| � |∠3| …uillinn sheachtrach > uillinn inmheánach

⇒ |∠1| � |∠3|

⇒ |∠1| � |∠4| � |∠3|

⇒ |∠ABC| � |∠ACB|

A

B C

D

14

2

3

Teoirim 2 Suim na bhfad in dhá shlios ar bith ar thriantán,is mó í ná fad an tríú slios.

Tugtha: An triantán ABC

Le Cruthú: |BA| � |AC| � |BC|

Tógáil: Sín BA go dtí D ionas go bhfuil uADu 5 uACu. Ceangail DC.

Cruthúnas: |∠ACD| � |∠ADC| …(|AD| � |AC|)

Ach |∠BCD| � |∠ACD|

⇒ |∠BCD| � |∠ADC|

Sa triantán BCD, uBDu > uBCu Ach |BD| � |BA| � |AC|

⇒ |BA| � |AC| � |BC|.

D

C

A

B

…an slios os comhair na huillinne is mó

337

Teoirim 3 Má dhéanann trí líne chomhthreomhara mírlínte ar comhfhad arthrasnaí, déanfaidh siad mírlínte ar comhfhad ar thrasnaí ar bitheile freisin.

Tugtha: Trí líne chomhthreomhara, ø, m agus n, a thrasnaíonnan trasnaí t ag na pointí A, C agus E ionas go bhfuil uACu 5 uCEu. Trasnaíonn trasnaí eile, k, na línte ag B, D agus F.

Le Cruthú: |BD| � |DF|.

Tógáil: Tarraing líne trí D atá comhthreomhar le t agus athrasnaíonn ø ag X agus n ag Y.

Cruthúnas: Is comhthreomharáin iad ACDX agus CEYD. ⇒ |AC| � |XD| agus |CE| � |DY| …sleasa urchomhaireacha

Ach |AC| � |CE|.⇒ |XD| � |DY|

Sna triantáin BDX agus YDF, |XD| � |DY| |∠BDX| � |∠YDF| …rinnuillinneacha urchomhaireacha

|∠DBX| � |∠DFY| …uillinneacha ailtéarnacha

⇒ tá na triantáin BDX agus YDF iomchuí dá chéile ⇒ |BD| � |DF| …sleasa comhfhreagracha

A

C

E

tY

D

XB

F

k

n

m

�

Teoirim 4 Bíodh ABC ina thriantán. Má tá líne XY comhthreomhar le BC agusmá ghearrann sí [AB] sa chóimheas s : t, gearrann sí [AC] sachóimheas céanna.

A

s s

YX

t t

CB

338

Teoirim 5 Má tá dhá thriantán ABC agus DEF comhchosúil, tá a gcuid sleasai gcomhréir le chéile, in ord:

|AB|

____ |DE|

� |BC|

____ |EF|

� |AC|

____ |DF|

Tugtha: Na triantáin ABC agus DEF, ina bhfuil |∠A| � |∠D|, |∠B| � |∠E| agus |∠C| � |∠F|.

Le Cruthú: |AB|

____ |DE|

� |BC|

____ |EF|

� |AC|

____ |DF|

.

Tógáil: Marcáil an pointe X ar [AB] ionas go bhfuil uAXu 5 uDEu.Marcáil an pointe Y ar [AC] ionas go bhfuil uAYu 5 uDFu. Ceangail XY.

A

A

E F YX

B B CC

EE F

F

D

D

Tugtha: An triantán ABC ina bhfuil XY comhthreomhar le BC.

Le Cruthú: |AX|

____ |XB|

� |AY|

____ |YC|

Tógáil: Roinn [AX] ina s cuid chothrom agus [XB] ina t cuid chothrom. Tarraing líne comhthreomhar le BC trí gach pointe den roinnt sin.

Cruthúnas: Déanann na línte comhthreomhara idirlínte ar comhfhad feadhna líne [AC]. ;� Roinntear [AY] ina s idirlíne chothrom agus roinntear [YC]

ina t idirlíne chothrom.

;� |AY|

____ |YC|

� s _ t

Ach |AX|

____ |XB|

� s _ t ⇒

|AX| ____

|XB| �

|AY| ____

|YC|

339

Cruthúnas: Tá na triantáin AXY agus DEF iomchuí dá chéile …(SUS)

; |∠AXY| � |∠DEF| � E …uillinneacha comhfhreagracha

; |∠AXY| � |∠ABC|

; XY||BC

; |AB|

____ |AX|

� |AC|

____ |AY|

; |AB|

____ |DE|

� |AC|

____ |DF|

Ar an gcaoi chéanna, is féidir a chruthú go bhfuil|AB|

____ |DE|

� |BC|

____ |EF|

.

; |AB|

____ |DE|

� |BC|

____ |EF|

� |AC|

____ |DF|

.

… líne atá comhthreomhar le slios amháin,roinneann sí an slios eile sa chóimheas céanna

Teoirim 6 I gcás triantáin, ní bhraitheann bonn faoin airde ar an mbonn a roghnaítear.

A

E

CD

B

Tugtha: An triantán ABC ina bhfuil AD ' BC agus BE ' AC.

Le Cruthú: |BC|·|AD| � |AC|·|BE|.

Cruthúnas: Sna triantáin ADC agus BEC, |∠ADC| � |∠BEC| � 90°∠Tá /ACD i bpáirt ag andá thriantán ⇒ |∠CAD| � |∠EBC|

⇒ tá na triantáin ADC agus BEC comhchosúil

Ó tharla go bhfuil na sleasa comhfhreagracha sa chóimheas céanna,

⇒ |AD|

____ |BE|

� |AC|

____ |BC|

⇒ |BC|·|AD| � |AC|·|BE|.

A

D C

B C

E

340

Teoirim 7 Déanann trasnán déroinnt ar achar comhthreomharáin.

Tugtha: An comhthreomharán ABCDagus an trasnán [AC].

Le Cruthú: Go ndéroinneann an trasnán [AC] achar ABCD.

Cruthúnas: Sna triantáin ABC agus ADC, |AB| � |DC| …sleasa urchomhaireacha

|BC| � |AD| …sleasa urchomhaireacha

|AC| � |AC|

[ tá na triantáin ABC agus ADC iomchuí dá chéile …(SSS)

[ achar nABC 5 achar nADC ; déroinneann an trasnán [AC] achar ABCD.

D

A B

C

Teoirim 8 Is ionann achar comhthreomharáin agus an bonn iolraithe faoin airde. A

D C

h

B

Tugtha: An comhthreomharán ABCD a bhfuil airde ingearach h ann.

Le Cruthú: Achar ABCD 5 uDCu 3 h.

Cruthúnas: Achar nBCD 5 12 an bhoinn 3 airde ingearach

� �� 1 _ 2 |DC| � h

Achar NABD � achar NBCD

⇒ Achar ABCD � 2 [� 1 _ 2 |DC| � h ]

Achar ABCD � |DC| � h

… déanann trasnán déroinnt arachar comhthreomharáin

Teoirim 9 Bíonn tadhlaí ingearach leisan nga a théann chuig anbpointe tadhaill.

Tugtha: Tadhlaí t leis an gciorcal ar lárphointe dó O. Is é P pointe tadhaill an tadhlaí agus anchiorcail agus is é [OP] an ga go dtí anpointe tadhaill.

R

Q

P

t

O

341

Le Cruthú: OP ⊥ t

Tógáil: An t-ingear leis an tadhlaí ón lárphointe O, agus an tadhlaí féin,tagaidís le chéile ag Q. Roghnaigh pointe eile, R, ar t ionas gobhfuil uPQu 5 uQRu. Ceangail OQ agus OR.

Cruthúnas: Sna triantáin OPQ agus OQR, |OQ| � |OQ| …slios i bpáirt acu

|PQ| � |QR| …tugtha

|∠OQP| � |∠OQR| …90° araon

; tá na triantáin OPQ agus OQR iomchuí dá chéile …(DTS)

; |OR| � |OP| …taobhagáin araon

Mar sin is pointe eile é R ag a mbuaileann t leis an gciorcal. Bréagnaíonn sé seo an fhíric a tugadh, gur tadhlaí é t. Mar sin, caithfidh t a bheith ingearach le [OP], i.e. OP ' t.

Nóta: Is sampla é an cruthúnas thuas de chruthúnas trí bhréagnú.

Teoirim 10 An t-ingear ó lárphointe ciorcail go dtí corda, déroinneann sé an corda.

Tugtha: Ciorcal k a bhfuil lárphointe O aige aguscorda [AB]. OM ⊥ AB.

Le Cruthú: |AM| � |MB|

Tógáil: Ceangail OA agus OB.

Cruthúnas: Sna triantáin AOM agus BOM, |OA| � |OB| …� ga

|OM| � |OM| …slios i bpáirt acu

|∠OMA| � |∠OMB| …iad araon 5 90°

[ tá na triantáin AOM agus BOM iomchuí dá chéile …(DTS)

; |AM| � |MB|.

A M

O

B

k

342

Cuir triail ort féin 11 1. Sa triantán seo, ar comhfhad atá na sleasa atá marcáilte agus u/CAEu 5 124°.

(i) Cén sórt triantáin é ABC? (ii) Ainmnigh dhá uillinn atá ar cóimhéid. (iii) Faigh u/ABCu.

2. Is comhthreomharán é ABCD. Má tá u/CABu 5 25° agus u/BDCu 5 55°, faigh u/AODu.

3. Faigh achar gach ceann de na comhthreomharáin seo thíos: (i) (ii) (iii)

4. 280 cm2 achar an chomhthreomharáin seo. (i) Faigh luach h. (ii) Má tá uABu 5 28 cm,

faigh an airde ingearach ó A go DC.

5. Is comhthreomharáin iadABCD agus ABDE araon. (i) Mínigh an fáth a bhfuil

ABCD agus ABDE ar comhachar. (ii) Má tá achar nABC 5 24 cm2,,

faigh achar na fíorach ABCE.

6. San fhíor seo, is tadhlaí é BC leis an gciorcal ag B agusis é O lárphointe an chiorcail. (i) Mínigh an fáth a bhfuil OB ' BC. (ii) Ainmnigh dhá mhírlíne atá ar comhfhad. (iii) Faigh u/BOAu.

124°A

E

CB

25°

55°

A

D C

B

O

7 cm

12 cm

14 cm

9 cm

8 cm

10.5 cm

A B

CD

h

20 cm

E D C

BA

O

B C

24°

A

343

7. Sa léaráid seo, is tadhlaí é PT leis an gciorcal a bhfuillárphointe O aige agus ga 7 cm. (i) Céard é u/PTOu?

Mínigh do fhreagra. (ii) Scríobh síos uPOu. (iii) Faigh uPTu.

8. Sa chiorcal seo, is é O an lárphointe, u/ACDu 5 65° agus uABu 5 uBCu. (i) Ainmnigh dhá dhronuillinn san fhíor. (ii) Faigh u/BADu.

9. Sa chiorcal seo, is é O an lárphointe agus tá na huillinneacha x agus y marcáilte. (i) Cóipeáil an fhíor seo agus marcáil isteach uillinn x eile

agus uillinn y eile. (ii) Mínigh an fáth a bhfuil x 1 y 5 90°.

10. Is tadhlaí é PT leis an gciorcal ag T. Is é O lárphointe an chiorcail. |PT| � 6 cm agus |ON| � |NP|. (i) Céard é u/OTPu? (ii) Faigh fad gha an chiorcail.

11. Sa triantán seo, øuuk. Ríomh luach x.

12. Sa triantán seo, XYuuBC agus uAXu : uXBu 5 3 : 2. Má tá uYCu 5 10 cm, faigh uAYu.

P

T

OR

18 cm

7 cm

A

D

B

C

O

65°

O

y

x

MO N

P

T

l �

kx

65

3

A

Y

CB

X

344

13. Sa léaráid seo, DEuuBC. (i) Mínigh an fáth a bhfuil na triantáin

ADE agus ABC comhchosúil. (ii) Faigh fad na mírlínte x agus a.

14. Sa chiorcal seo, is é O an lárphointe agus is tadhlaí é AD ag A. Tá an triantán AOB comhshleasach. (i) Ainmnigh dhá dhronuillinn san fhíor. (ii) Faigh u/OABu (iii) Faigh u/BADu (iv) Faigh u/CAOu.

15. San fhíor seo, is dronuillinneacha iad /CAB agus /ABD araon. |AC| � 6, |AB| � 8 agus |AD| � 17. (i) Faigh uDBu.

(ii) Faigh achar ACBD.

16. Is comhthreomharáin iad ABCD, AEBD agus AEFC. Achar nABE 5 12 aonad chearnacha.

FB

CD

A

E

(i) Mínigh an fáth arb é 12 aonad chearnacha achar nABD freisin. (ii) Mínigh an fáth a bhfuil na comhthreomharáin ABCD agus AEBD ar comhachar. (iii) Faigh achar na fíorach ADCE. (iv) Faigh achar nABC. (v) Faigh achar nACE. (vi) Faigh achar na fíorach ADCFE.

CB

6 9

3

7D

x

a

A

E

O

C

B

A D

4 cm

A C

BD

17 8

6

345

�� 1. Suim na bhfad in dhá shlios ar bith ar thriantán, is mó í ná fad an tríú slios.

2. An uillinn os comhair an tsleasa is faide de dhá shlios, bíonn sí níos móná an uillinn os comhair an tsleasa is giorra.

3. I gcás triantáin ar bith, ní bhraitheann bonn faoin airde ar an mbonn a roghnaítear.

4. Déroinneann trasnán comhthreomharáin an t-achar.

5. Is ionann achar comhthreomharáin agus an bonniolraithe faoin airde ingearach.

6. Má ghearrann trí líne chomhthreomhara mírlíntecothroma ar thrasnaí éigin, gearrfaidh siad mírlíntecothroma ar thrasnaí ar bith eile.

7. Líne a tharraingítear comhthreomhar le slios amháin ar thriantán,roinneann sí an dá shlios eile sa chóimheas céanna.

8.

A

B C E F

D

Má tá dhá thriantán ABC agus DEF comhchosúil, tá a gcuid sleasa i gcomhréirle chéile in ord:

|AB|

____ |DE|

� |BC|

____ |EF|

� |AC|

____ |DF|

.

9. Déroinneann an t-ingear ó lárphointeciorcail an corda.

10. Bíonn tadhlaí ingearach leisan nga a théann chuig anbpointe tadhaill.

a

Bonn

x z

y r

x __ y

� z __ r

O

O

t

346

��lárphointe ga trastomhas cothromóid taobh istigh de

taobh amuigh de ball de trasnú tadhlaí cothrománach ingearach

Mír 12.1 Cothromóid an chiorcail ar lárphointe dó (0, 0)Taispeánann an léaráid thíos ciorcal ar lárphointe dó (0, 0) agus ar ga dó r.

Is ionann p(x, y) agus pointe ar bith ar an gciorcal.

Ón triantán dronuilleach, feicimid go bhfuil

x2 � y2 � r 2

Is éard a deirimid gurb ionann x 2 � y 2 � r 2 agus cothromóidan chiorcail.

Gheobhaimid cothromóid an chiorcail ach an méid seo a bheithar eolas againn: (i) lárphointe an chiorcail (ii) fad an gha.

Ciorcal ar lárphointe dó (0, 0) agus ar ga dó r, is é seo a chothromóid: x2 1 y2 5 r2

Sampla 1

Faigh cothromóid an chiorcail ar lárphointe dó (0, 0) agus ar ga dó (i) 3 (ii) 1 1 _ 4 .

(i) Is é seo an chothromóid: x 2 � y 2 � r 2

⇒ x 2 � y 2 � 9 … (r � 3)

(ii) Sa chás seo, tá r 5 1 14 5 5

4

⇒ x 2 � y 2 � (� 5 _ 4 ) 2

⇒ x 2 � y 2 � 25 __ 16

⇒ 16x 2 � 16y 2 � 25 … iolraigh an dá thaobh faoi 16

y

ry

x x(0, 0)

P(x, y)

Céimseata Chomhordanáideach Céimseata Chomhordanáideach Céimseata Chomhordanáideach Céimseata Chomhordanáideach Céimseata Chomhordanáideach Céimseata Chomhordanáideach Céimseata Chomhordanáideach Céimseata Chomhordanáideach An CiorcalAn CiorcalAn CiorcalAn CiorcalAn CiorcalAn CiorcalAn CiorcalAn Ciorcal

� ��

�

12

347

Sampla 2

Faigh cothromóid an chiorcail ar lárphointe dó (0, 0) agus a bhfuil an pointe (4, 21) ann.

Is ionann ga an chiorcail agus an fad ó (0, 0) go dtí (4, 21).

⇒ r � √__________________

(4 � 0)2 � (�1 � 0)2 (x1, y1) (x2, y2) ↓ ↓

(0, 0) (4, �1)� �� √

______ 16 � 1 � √

___ 17

Is é an chothromóid: x 2 � y 2 � r 2

⇒ x 2 � y 2 � ( √___

17 )2

i.e. x 2 � y 2 � 17

y

xr

O(4, �1)

(0, 0)

( √__

8 )2 � 8( √

__ a )2 � a

An ga a fháil nuair a bhíonn an chothromóid againn

(0, 0) an lárphointe agus r an ga sa chiorcal x 2 � y 2 � r 2.

⇒ i gcás an chiorcail x2 1 y2 5 16, (i) ag (0, 0) atá a lárphointe (ii) a gha 5 Î16 5 4

Ach más ionann cothromóid an chiorcail agus 4x2 1 4y2 5 9, roinn gach téarma ar 4 ar dtús go gcuirfear an chothromóid san fhoirm x2 1 y2 5 r2.

⇒ 4x2 � 4y2 � 9 ⇒ x2 � y2 � 9 __ 4

⇒ fad an gha � √__

9 __ 4

� √

__ 9 ___

√__

4 � 3 __

2

Sampla 3

I gcás an dá chiorcal seo, faigh fad an gha: (i) x 2 � y 2 � 8 (ii) 9x 2 � 9y 2 � 16

(i) x 2 � y 2 � 8

⇒ r � √__

8

�� √__

4 . √__

2

⇒ r � 2 √__

2

(ii) 9x 2 � 9y 2 � 16

⇒ x 2 � y 2 � 16 __ 9 … roinn an dá thaobh ar 9.

⇒ r � √__

16 __ 9

⇒ r � 4 _ 3

Cleachtadh 12.1

1. Scríobh síos cothromóidí na gciorcal ar lárphointe dóibh (0, 0) agus arb iad seo faid na ngathanna iontu:

(i) 2 (ii) 3 (iii) 1 (iv) 5 (v) √__

2

2. Scríobh síos cothromóidí na gciorcal ar lárphointe dóibh (0, 0) agus arb iad seo faid na ngathanna iontu:

(i) √__

8 (ii) 2 √__

2 (iii) 3 √__

2 (iv) 2 _ 3 (v) 4 _ 3

348

3. Faigh an fad ó (0, 0) go dtí (23, 4). Scríobh síos uaidh sin cothromóid an chiorcail arlárphointe dó (0, 0) agus a bhfuil an pointe (23, 4) ann.

4. Faigh cothromóidí na gciorcal ar lárphointe dóibh (0, 0), ciorcail a ghabhann trí na pointí seo: (i) (2, 3) (ii) (�1, 2) (iii) (4, �3) (iv) (4, 0)

5. Taispeánann an léaráid ar dheis dhá chiorcal a agus b. Is lárphointe dóibh (0, 0). Tá an pointe (5, 0) i gciorcal a. Tá an pointe (3, 0) i gciorcal b. (i) Scríobh síos cothromóid chiorcal a. (ii) Scríobh síos cothromóid chiorcal b. (iii) Scríobh síos comhordanáidí na bpointí

ina dtrasnaíonn ciorcal a an y-ais. (iv) Scríobh síos comhordanáidí na bpointí

ina dtrasnaíonn ciorcal b an x-ais.

6. Tarraing sceitse den chiorcal x2 1 y2 5 16.Marcáil air comhordanáidí na bpointí ina dtrasnaíonn an ciorcal an x-ais agus an y-ais.

7. Scríobh, i dtéarmaí p, achar an chiorcail x2 1 y2 5 36.

8. Scríobh síos ga gach ceann de na ciorcail seo: (i) x 2 � y 2 � 9 (ii) x 2 � y 2 � 49 (iii) x 2 � y 2 � 1 (iv) x 2 � y 2 � 12 (v) x 2 � y 2 � 27 (vi) x 2 � y 2 � 5

9. Scríobh gach ceann de na ciorcail seo i bhfoirm x2 1 y2 5 k.Uaidh sin, scríobh síos fad gha gach ciorcail: (i) 4x 2 � 4y 2 � 9 (ii) 9x 2 � 9y 2 � 25 (iii) 4x 2 � 4y 2 � 49

10. Is iad na pointí (4, 3) agus (24, 23) foircinn an trastomhais i gciorcal áirithe.Faigh (i) comhordanáidí lárphointe an chiorcail

(ii) fad an gha (iii) cothromóid an chiorcail.

O

b

y

3 5 x

a

Achar an chiorcail 5 pr2.

O

y

x

(4, 3)

(�4, �3)

349

11. Faigh fad an trastomhais sa chiorcal x2 1 y2 5 81.

12. Fíoraigh go bhfuil (2Î5)2 5 20.Uaidh sin, scríobh síos cothromóid an chiorcail ar lárphointe dó (0, 0) agus ar ga dó 2Î5.

13. Scríobh síos cothromóidí na gciorcal ar lárphointe dóibh (0, 0) agus arb iad seo faid agcuid gathanna:

(i) √__

6 (ii) 2 √__

6 (iii) 3 √__

2 (iv) 2 √__

3 (v) 3 √__

5 .

14. Is é x2 1 y2 5 9 cothromóid ciorcail áirithe, c.Faigh cothromóid ciorcail eile, d, ar lárphointe dó (0, 0) más ar comhfhad le chéile atága d agus trastomhas c.

Mír 12.2 Pointí agus ciorcail Féadfaidh pointe ar leith a bheith taobh istigh de chiorcal, ar chiorcal, nó taobh amuighde chiorcal.

O

P

O

P

O

P

Tá pointe P taobh istigh

de chiorcal má tá an fad ólárphointe an chiorcail go dtían pointe P níos lú ná an ga.

Tá pointe P ar chiorcal mátá an fad ó lárphointe anchiorcail go dtí an pointe Par comhfhad leis an nga.

Tá pointe P taobh amuigh

de chiorcal má tá an fad ólárphointe an chiorcail go dtían pointe P níos mó ná an ga.

Sampla 1

Tá an ciorcal x2 1 y2 5 13 againn. Cé acu taobh istigh den chiorcal, taobh amuigh den chiorcal nó ar an gciorcal atá na pointí (i) (1, 23) agus (ii) (3, 22)?

Is ionann an fad i nga an chiorcail agus Î13.

(i) An fad ón lárphointe (0, 0) go dtí (1, 23), is ionann é agus:

√__________________

(1 � 0)2 � (�3 � 0)2 � √_____

1 � 9 � √___

10

Ó tá √___

10 � √___

13 ⇒ taobh istigh den chiorcal atá (1, 23)

(ii) An fad ón lárphointe (0, 0) go dtí (3, 22), is ionann é agus:

√__________________

(3 � 0)2 � (�2 � 0)2 � √_____

9 � 4 � √___

13

Ós ionann Î13 agus fad gha an chiorcail, ⇒ is ar an gciorcal atá (3, 22).

350

Modh eile

Seo slí eile chun a fháil amach cé acutaobh amuigh de chiorcal, ar chiorcalchiorcal, nó taobh istigh de, atá pointeáirithe: comhordanáidí an phointe achur isteach i gcothromóid an chiorcail.

Sampla 2

Fiosraigh cé acu taobh istigh den chiorcal, ar an gciorcal, nó taobh amuigh denchiorcal x2 1 y2 5 16 atá an pointe (23, 4).

Má chuirimid isteach 23 in áit x agus 4 in áit y sa chothromóid x2 1 y2 5 16, faighimid

(�3)2 � (4)2 � 16? 9 � 16 � 16

i.e. 25 � 16 … (níos mó ná r2)

; taobh amuigh den chiorcal atá (23, 4).

Cleachtadh 12.2

1. (i) Taispeáin go bhfuil an pointe (3, 21) ar an gciorcal x2 1 y2 5 10. (ii) Taispeáin go bhfuil an pointe (5, 21) taobh amuigh den chiorcal x2 1 y2 5 20. (iii) Taispeáin go bhfuil an pointe (1, 2) taobh istigh den chiorcal x2 1 y2 5 8.

2. Faigh amach cé acu taobh istigh de, taobh amuigh de, nó ar an gciorcal x2 1 y2 5 10 atá an pointe (3, 2).

3. Fíoraigh go bhfuil an pointe (3, 4) ar an gciorcal x2 1 y2 5 25. Scríobh síos comhordanáidí na gceithre phointe ina dtrasnaíonn an ciorcal an x-ais agus an y-ais.

4. Taispeáin go bhfuil na pointí seo a leanas ar na ciorcail a thugtar: (i) (2, 1): x 2 � y 2 � 5 (ii) (�2, 5): x 2 � y 2 � 29 (iii) (�4, 0): x 2 � y 2 � 16 (iv) ( √

__ 5 , √

__ 5 ): x 2 � y 2 � 10

5. Faigh amach cé acu taobh istigh de, taobh amuigh de, nó ar an gciorcal a thugtar, atá gach ceann de na pointí seo a leanas: (i) (1, �4): x 2 � y 2 � 16 (ii) (�2, 3): x 2 � y 2 � 13 (iii) (�5, 2): x 2 � y 2 � 26 (iv) (�3, 1): x 2 � y 2 � 12

6. Cé acu ceann de na pointí seo a leanas atá taobh amuigh den chiorcal x2 1 y2 5 34? (i) (5, �2) (ii) (�5, 3) (iii) (�4, 5)

7. Tarraing sceitse den chiorcal x2 1 y2 5 16.Trasnaíonn an ciorcal an y-ais ag na pointí P agus Q. (i) Faigh comhordanáidí P agus Q. (ii) Faigh |PQ|.

8. x 2 � y 2 � 18.Tá an pointe (4, k) taobh amuigh den chiorcal. Faigh an luach is lú ar k, má tá k [ N.

Má tá x2 1 y2 < r2, is taobh istigh den chiorcal atá an pointe.

Má tá x2 1 y2 5 r2, is ar an gciorcal atá an pointe.

Má tá x2 1 y2 > r2, is taobh amuigh den chiorcal atá an pointe.

351

Mír 12.3 Cothromóid an chiorcail ar lárphointe dó (h, k) agus ar ga dó r

Taispeánann an léaráid ar dheis ciorcal ar lárphointe dó C(h, k) agus ar ga dó r.

y

r

xO

P(x, y)

C(h, k)(x � h)

(y � k)

Bíodh P(x, y) ina phointe ar bith ar an gciorcal. Tá an fad ó C go P ar comhfhad le ga an chiorcail.

Má úsáidimid foirmle an fhaid, faighimid:

|CP| � √________________

(x � h)2 � (y � k)2 � r ⇒ (x � h)2 � (y � k)2 � r 2

Is é sin cothromóid an chiorcail ar lárphointe dó (h, k) agus ar ga dó r.

Chun an fhoirmle thuas a úsáid chun cothromóid ciorcail a fháil, is gá go mbeadh an t-eolasseo againn: (i) lárphointe an chiorcail, (h, k) (ii) ga an chiorcail, r.

Ciorcal ar lárphointe dó (h, k) agus ar ga dó r, is é seo a chothromóid:(x � h)2 � (y � k)2 � r 2.

Sampla 1

Faigh cothromóid an chiorcail ar lárphointe dó (2, 23) agus ar ga dó 5.

Is é seo an chothromóid: (h, k) r � 5 ↓ (2, �3)

(x � h)2 � (y � k)2 � r 2

⇒ (x � 2)2 � (y � 3)2 � (5)2

⇒ (x � 2)2 � (y � 3)2 � 25 an chothromóid

An lárphointe agus an ga a fháil nuair a bhíonn an chothromóid againn

Sa chothromóid (x 2 h)2 1 (y 2 k)2 5 r2, is é (h, k) an lárphointe agus r an ga.

Feicimid sa chothromóid (x 2 2)2 1 (y 1 3)2 5 16

go bhfuil h 5 2 agus k 5 23; freisin tá r 5 Î16 5 4.

⇒ lárphointe 5 (2, 23) agus ga 5 4.

352

Sampla 2

Faigh lárphointe agus ga an chiorcail (x 1 3)2 1 (y 2 4)2 5 8.

Cuir na cothromóidí i gcomparáid le chéile: (x � h)2 � (y � k)2 � r 2

agus (x � 3)2 � (y � 4)2 � 8

Feicimid go bhfuil h 5 23, k 5 4 agus r2 5 8

⇒ r � √__

8

; tá an lárphointe 5 (23, 4) agus an ga 5 Î8.

Sampla 3

Gabhann an ciorcal ar lárphointe dó (1, 3) tríd an bpointe (3, 5).Faigh cothromóid an chiorcail.

Is é an ga an fad ó (1, 3) go dtí (3, 5).

Ga � √__________________

(x2 � x1)2 � (y2 � y1)2

� �� √________________

(3 � 1)2 � (5 � 3)2

� �� √_____

4 � 4 � √__

8

Cothromóid an chiorcail: (x � h)2 � (y � k)2 � r 2 (h, k) r � √__

8 ↓ (1, 3)

⇒ (x � 1)2 � (y � 3)2 � ( √__

8 )2

⇒ (x � 1)2 � (y � 3)2 � 8

r

y

xO 3

2

5

(1, 3)

(3, 5)

Cleachtadh 12.3

1. Faigh cothromóid gach ceann de na ciorcail seo a leanas; tugtar lárphointe agus ga an chiorcail i ngach cás:

(i) lárphointe 5 (3, 1); ga 5 2 (ii) lárphointe 5 (3, 4); ga 5 3

(iii) lárphointe 5 (1, 24); ga 5 5 (iv) lárphointe 5 (23, 5); ga 5 4

(v) lárphointe 5 (23, 22); ga 5 1 (vi) lárphointe 5 (3, 0); ga 5 6

(vii) lárphointe 5 (23, 25); ga 5 Î10 (viii) lárphointe 5 (0, 22); ga 5 2Î2

2. Is é (2, 4) lárphointe ciorcail agus tá an pointe (21, 3) ann.Faigh (i) fad an gha (ii) cothromóid an chiorcail.

3. Faigh cothromóid an chiorcail a ghabhann tríd an bpointe (21, 5) agus ar lárphointe dó (5, 22).

353

4. Tá lárphointe (2, 2) ag an gciorcal tugtha.Má tá an pointe (5, 1) ann, faigh anchothromóid.

5. Is trastomhas ciorcail í an mhírlíne a cheanglaíonn (3, 5) agus (21, 1) le chéile.Faigh (i) lárphointe an chiorcail

(ii) fad an gha sa chiorcal (iii) cothromóid an chiorcail.

Faigh lárphointe agus ga gach ceann de na ciorcail seo a leanas:

6. (x � 2)2 � (y � 3)2 � 16 7. (x � 4)2 � (y � 3)2 � 9

8. (x � 2)2 � (y � 5)2 � 64 9. (x � 5)2 � (y � 1)2 � 81

10. x 2 � (y � 4)2 � 25 11. (x � 3)2 � y 2 � 9

12. (x � 1)2 � (y � 5)2 � 16 __ 9 12. x 2 � (y � 2)2 � 12

14. Tadhlaíonn an ciorcal seo trasna an x-ais agus an y-ais.Más ionann gá an chiorcail agus 3, scríobh síoscomhordanáidí C, an lárphointe.Uaidh sin, scríobh síos cothromóid an chiorcail.

15. Taispeánann an léaráid dhá chiorcal, C1 agus C2.Tá lárphointe C1 ar an x-ais. Is ionann a ghaagus 4. (i) Scríobh síos comhordanáidí lárphointe C1.

(ii) Scríobh síos cothromóid C1. (iii) Cad é fad gha C2? (iv) Scríobh síos comhordanáidí lárphointe C2. (v) Scríobh síos cothromóid C2. (vi) Scríobh síos comhordanáidí an phointe

atá i bpáirt ag C1 agus C2.

y

xO

(2, 2)

(5, 1)

y

xO

C

y

xO 4

C2

C1

8

354

16. Taispeánann an léaráid ceithre chiorcal arb ionann fad ga dóibh.Tadhlaíonn na ciorcail a chéile mar a fheictear.Is é x2 1 y2 5 4 cothromóid k1. (i) Scríobh síos ga k1. (ii) Scríobh síos comhordanáidí lárphointe k3.

(iii) Scríobh síos cothromóid k3. (iv) An é x2 1 (y 1 4)2 5 4 cothromóid k2 nó k4?


17. Is iad A (21, 2) agus B (5, 4) na foircinn ar thrastomhas an chiorcail k. Faigh comhordanáidí lárphointe k agus scríobh síos uaidh sin cothromóid k.

18. Is é an pointe (4, 3) lárphointe an chiorcail c. Más tadhlaí í an x-ais le c, faigh (i) fad gha c (ii) cothromóid c.

19. Taispeánann an léaráid ar dheis ceithre leathchiorcal.Tá lárphointí na gciorcal uile ar an x-ais. Tá fad an gha sna trí leathchiorcal bheaga cothrom le 2. (i) Faigh comhordanáidí lárphointe C3.

(ii) Scríobh síos cothromóid C3. (iii) Faigh cothromóid C1. (iv) Faigh amach an bhfuil imlíne an

leathchiorcail C1 cothrom le suim imlínte na dtrí leathchiorcal bheaga.

20. Taispeánann an léaráid trí leathchiorcal C1, C2 agus C3.1 aonad an fad atá i nga gach leathchiorcail. Is iad P, Q agus R lárphointí na gciorcal, mar a léirítear. (i) Scríobh síos cothromóid an chiorcail

C1. (ii) Scríobh síos comhordanáidí R. (iii) Faigh cothromóid an chiorcail C2. (iv) Scríobh, i dtéarmaí p, achar na coda

scáthaithe sa léaráid.

y

xO

k2k1

k3k4

y

xO

C1

C2 C3 C4

I ngach cás, beidh tú ag fáilchothromóid an chiorcail iomláin.

y

xO

C1 C3

C2

R

P Q

Is é pr2 achar ciorcail.

355

Mír 12.4 Pointí trasnaithe líne agus ciorcail Taispeánann an léaráid ar dheis líne ø a thrasnaíonn ciorcal ag na pointí A agus B.

y

x(0, 0)

A�

B

T

t

Ní thrasnaíonn an líne t an ciorcal ach ag aon phointe amháin. Deirtear gur tadhlaí leisan gciorcal í an líne seo.

Chun pointe/pointí trasnaithe líne agus ciorcail a fháil, scríobhaimid an líne san fhoirm

y � … nó x � …

Agus tú ag roghnú y 5 … nó x 5 …, seachain na codáin, más féidir.

Ansin, úsáidimid cothromóidí comhuaineacha chun pointe/pointí trasnaithe líne agus ciorcaila fháil.

Más tadhlaí le ciorcal í líne áirithe, ní thrasnóidh an líne sin an ciorcal achag aon phointe amháin.

Sampla 1

Faigh pointí trasnaithe na líne x 1 3y 2 5 5 0 agus an chiorcail x2 1 y2 5 5.

Céim 1 Scríobh x i dtéarmaí y i gcothromóid na líne.x � 3y � 5 � 0 ⇒ x � �3y � 5… 1

Céim 2 Cuir (23y 1 5) in áit x i gcothromóid an chiorcail.

⇒ Athraíonn x2 1 y2 5 5 go

(�3y � 5)2 � y 2 � 5

⇒ 9y 2 � 30y � 25 � y 2 � 5

⇒ 10y 2 � 30y � 20 � 0

⇒ y 2 � 3y � 2 � 0… roinn gach téarma ar 10.

⇒ (y � 2)(y � 1) � 0

⇒ y � 2 nó y � 1

Má chuirimid na luachanna seo do y isteach i gcothromóid 1 , faighimidy � 2 ⇒ x � �3(2) � 5 ⇒ x � �1 i.e. an pointe (21, 2)

y � 1 ⇒ x � �3(1) � 5 ⇒ x � 2 i.e. an pointe (2, 1)

Mar sin, is iad (21, 2) agus (2, 1) an dá phointe trasnaithe.

356

Sampla 2

Taispeáin gur tadhlaí leis an gciorcal x2 1 y2 5 10 í an líne 3x 1 y 1 10 5 0. Faigh an pointe tadhaill.

Má tá 3x 1 y 1 10 5 0 � y 5 23x 2 10 … 1�

Cuirimid (23x 2 10) in áit y i gcothromóid an chiorcail:

x 2 � (�3x � 10)2 � 10⇒ x 2 � 9x 2 � 60x � 100 � 10⇒ 10x 2 � 60x � 90 � 0⇒ x 2 � 6x � 9 � 0 … roinn gach téarma ar 10

⇒ (x � 3)(x � 3) � 0⇒ x � �3 … tabhair faoi deara nach bhfuil ach luach amháin ar x

Anois cuirimid 23 in áit x i gcothromóid 1

x � �3 ⇒ y � �3(�3) �10� �� 9 � 10 � �1 i.e. an pointe (23, 21)

Mar sin, is é (23, 21) an pointe trasnaithe.Ós rud é nach bhfuil ach pointe trasnaithe amháin ann, is tadhlaí leis an gciorcal í an líne.

Scríobhaimid y i dtéarmaí xanseo chun codáin a sheachaint.

Cleachtadh 12.4

1. Faigh pointí trasnaithe na líne ø agus an chiorcail c i ngach ceann díobh seo:

(i) �: x � y � 1; c: x 2 � y 2 � 13

(ii) �: x � y � 4 � 0; c: x 2 � y 2 � 10

(iii) �: x � 2y � 5 � 0; c: x 2 � y 2 � 25

(iv) �: x � 3y � 10 � 0; c: x 2 � y 2 � 20

2. Faigh an pointe ina dtrasnaíonn an líne 2x 2 y 2 5 5 0 agus an ciorcal x2 1 y2 5 5 a chéile.

3. Taispeáin gur tadhlaí leis an gciorcal k í an líne ø i ngach ceann díobh seo a leanas, agus faigh an pointe tadhaill i ngach cás:

(i) �: x � y � 2 � 0; k: x 2 � y 2 � 2

(ii) �: x � 3y � 10 � 0; k: x 2 � y 2 � 10

(iii) �: x � y � 4 � 0; k: x 2 � y 2 � 8

4. Faigh an pointe/na pointí ina dtrasnaíonn an líne x 2 y 2 3 5 0 agus an ciorcal x2 1 y2 5 9 a chéile. An tadhlaí leis an gciorcal í an líne? Mínigh do fhreagra.

5. Faigh na pointí ina dtrasnaíonn an líne x 2 2y 5 0 agus an ciorcal x2 1 y2 5 20 a chéile.

357

6. Faigh cothromóid an chiorcail ar lárphointe dó (0, 0) agus ina bhfuil an pointe (3, 1). Faigh comhordanáidí na bpointí ina dtrasnaíonn an ciorcal seo agus an líne x 1 y 1 4 5 0 a chéile.

7. Is dhá phointe iad A(4, 21) agus B(21, 4). Faigh cothromóid AB.

Anois faigh comhordanáidí na bpointí ina dtrasnaíonn an líne AB agus an ciorcal x2 1 y2 5 5 a chéile.

8. Faigh an pointe tadhaill agus, tríd sin, léirigh gur tadhlaí leis an gciorcal x2 1 y2 5 20 í an líne x 2 2y 1 10 5 0.

9. Ciorcal ar lárphointe dó C agus ar ga dó 3 atá sa léaráid thíos.Tadhlaíonn an ciorcal an x-ais agus an y-ais.

yt2

t1

xO

C

(i) Scríobh síos comhordanáidí C. (ii) Scríobh síos cothromóid an chiorcail. (iii) Is tadhlaí leis an gciorcal í an líne t1. Tá sí comhthreomhar leis an x-ais.

Scríobh síos cothromóid t1. (iv) Is tadhlaí leis an gciorcal í an líne t2 freisin. Tá sí comhthreomhar leis an y-ais.

Scríobh síos cothromóid t2. (v) Scríobh síos comhordanáidí an phointe ina dtrasnaíonn t1 agus t2 a chéile.

Mír 12.5 Ciorcal a thrasnaíonn na haiseanna Trasnaíonn an ciorcal léirithe an x-ais sna pointí (21, 0) agus (4, 0).

I gcás gach ceann de na pointí, is é nialas an y-luach.

Is fíor sin sa chás ginearálta freisin; má thrasnaíonn aon línenó aon chiorcal an x-ais, is nialas a bheidh mar luach y agna pointí trasnaithe.

Ar an mbealach céanna, trasnaíonn líne nó ciorcal an y-ais sna pointí ina bhfuil x 5 0.

Sampla 1

Faigh comhordanáidí na bpointí seo: (i) an pointe ina dtrasnaíonn an ciorcal x2 1 y2 5 16 an x-ais (ii) an pointe ina dtrasnaíonn an ciorcal (x 1 3)2 1 (y 2 2)2 5 10 an y-ais.

y

xO

(�1, 0) (4, 0)

358

(i) Sna pointí ina bhfuil y 5 0 a thrasnaíonn x2 1 y2 5 16 an x-ais.

y � 0 ⇒ x 2 � 0 � 16 ⇒ x 2 � 16 ⇒ x � �4

⇒ Sna pointí (4, 0) agus (24, 0) a thrasnaíonn x2 1 y2 5 16 an x-ais.

(ii) Sna pointí ina bhfuil x 5 0 a thrasnaíonn (x 1 3)2 1 (y 2 2)2 5 10 an y-ais.

x � 0 ⇒ (0 � 3)2 � (y � 2)2 � 10 ⇒ 9 � y 2 � 4y � 4 � 10 ⇒ y 2 � 4y � 3 � 0 ⇒ (y � 1)(y � 3) � 0 ⇒ y � 1 nó y � 3

⇒ Sna pointí (0, 1) agus (0, 3) a thrasnaíonn (x 1 3)2 1 (y 2 2)2 5 10 an y-ais.

Cleachtadh 12.5

1. Faigh comhordanáidí na bpointí ina dtrasnaíonn gach ceann de na ciorcail seo an x-ais: (i) x 2 � y 2 � 4 (ii) x 2 � y 2 � 25 (iii) x 2 � y 2 � 81.

2. Faigh comhordanáidí na bpointí ina dtrasnaíonn an ciorcal x2 1 y2 5 49 an y-ais.

3. Faigh comhordanáidí na bpointí ina dtrasnaíonn gach ceann de na ciorcail seo an x-ais: (i) (x � 5)2 � (y � 4)2 � 25 (ii) (x � 2)2 � (y � 3)2 � 25

4. Faigh comhordanáidí na bpointí ina dtrasnaíonn an ciorcal (x 2 2)2 1 (y 1 3)2 5 20 an y-ais.

5. Léirigh go bhfuil an pointe (3, 2) ar an gciorcal (x 2 6)2 1 (y 2 6)2 5 25.

6. Scríobh síos lárphointe agus fad an gha sa chiorcal

(x � 4)2 � (y � 1)2 � 9.

Anois, léirigh go bhfuil an pointe (23, 0) taobh istigh den chiorcal.

7. Maidir leis an gciorcal seo a leanas, féach cé acu taobh istigh den chiorcal, ar an gciorcal, nó taobh amuigh den chiorcal atá an pointe (3, 2):

(x � 2)2 � (y � 1)2 � 4.

8. Is iad (22, 23) agus (24, 3) na foircinn ar thrastomhas ciorcail. Faigh cothromóid an chiorcail.Trasnaíonn an ciorcal an y-ais sna pointí A agus B. Faigh |AB|.

9. Is tadhlaí í an x-ais leis an gciorcal ar lárphointe dó (22, 4). (i) Cad é fad gha an chiorcail? (ii) Scríobh síos cothromóid an chiorcail.

359

Cuir triail ort féin 12 1. Is é x2 1 y2 5 49 cothromóid an chiorcail c.

(i) Scríobh síos lárphointe agus ga c. (ii) Deimhnigh go bhfuil an pointe (5, 25) taobh amuigh den chiorcal c.

2. Is é (0, 0) lárphointe an chiorcail k agus tá an pointe (3, 4) ann.Faigh cothromóid k.Anois, scríobh síos comhordanáidí na bpointí ina dtrasnaíonn an ciorcal k an x-ais.

3. Is é x2 1 y2 5 36 cothromóid an chiorcail c. (i) Scríobh síos fad gha c. (ii) Tá lárphointe (0, 0) ag ciorcal eile, agus tá a gha cothrom le dhá oiread fhad gha c.

Scríobh síos cothromóid an chorcail seo.

4. Faigh cothromóid an chiorcail ar lárphointe dó (2, 23) agus ar ga dó 4.

5. Tá an chothromóid (x 2 3)2 1 (y 2 4)2 5 25 ag an gciorcal c. (i) Scríobh síos lárphointe c agus fad a gha. (ii) Léirigh go bhfuil an pointe (6, 0) ar an gciorcal c.

6. Faigh an pointe trasnaithe agus, uaidh sin, léirigh gur tadhlaí leis an gciorcal x2 1 y2 5 10 í an líne x 2 3y 5 10.

7. Tá an chothromóid x2 1 y2 5 36 ag ciorcal. (i) Faigh fad gha an chiorcail. (ii) Taispeáin, trí áireamh, gur taobh amuigh den chiorcal atá an pointe (7, 1). (iii) Faigh comhordanáidí na bpointí ina dtrasnaíonn an ciorcal an y-ais.

8. Taispeánann an léaráid thíos trí chiorcal, a, b agus c, ar lárphointí dóibh A, O agus C faoi seach. Ar an x-ais atá na trí lárphointe.

y

xOA C

ab

c

Tá ga an chiorcail a agus ga an chiorcail c ar comhfhad le trastomhas an chiorcail b. An ciorcal a agus an ciorcal c, tadhlaíonn siad an ciorcal b, mar a léirítear.Más é x2 1 y2 5 9 cothromóid b, faigh (i) comhordanáidí A agus C (ii) cothromóidí na gciorcal a agus c. (iii) cothromóidí an dá thadhlaí atá i bpáirt ag a agus c ach nach dtadhlaíonn b.

360

9. Trasnaíonn an líne y 5 10 2 2x an ciorcal x2 1 y2 5 40 sna pointí A agus B. (i) Faigh comhordanáidí A agus comhordanáidí B. (ii) Léirigh an líne, an ciorcal agus na pointí trasnaithe ar léaráid chomhordanáideach.

10. Is iad na pointí (21, 21) agus (3, 23) na foircinn ar thrastomhas ciorcail, s. (i) Faigh lárphointe s agus fad an gha ann. (ii) Faigh cothromóid s. (iii) Taispeáin, trí áireamh, go bhfuil an pointe (1, 21) taobh istigh den chiorcal.

11. Is iad A (21, 0) agus B (5, 0) na foircinn ar thrastomhasciorcail, k. Is é C an lárphointe, mar a léirítear. (i) Scríobh síos comhordanáidí C agus fad an gha in

k. (ii) Faigh cothromóid k. (iii) Is tadhlaithe leis an gciorcal k iad na línte t1 agus t2.

Tá siad comhthreomhar leis an x-ais.Scríobh síos cothromóid t1 agus cothromóid t2.

12. Trasnaíonn an líne x 2 3y 5 0 an ciorcal x2 1 y2 5 10 sna pointí A agus B. (i) Faigh comhordanáidí A agus comhordanáidí B. (ii) Léirigh gur trastomhas de chuid an chiorcail é [AB].

13. Scríobh síos lárphointe an chiorcail seo agus fad an gha ann: (x � 3)2 � (y � 4)2 � 20.

Trasnaíonn an ciorcal an x-ais sna pointí A agus B.Faigh comhordanáidí A agus B. Uaidh sin, scríobh síos |AB|.

14. Is trastomhas ciorcail é A(0, 21) agus B (8, 21), mar a léirítear.

y

xO

E

A B (8, �1)(0, �1)

�

(i) Faigh lárphointe an chiorcail agus fad an gha ann. (ii) Scríobh síos cothromóid an chiorcail.

Trasnaíonn an líne ø an ciorcal sna pointí A agus E. Is é 245 fána ø.

(iii) Scríobh síos fána EB. Mínigh do fhreagra.

y

xO(�1, 0) (5, 0)A C B

t1

t2

k

361

15. Tá an chothromóid (x 1 2)2 1 (y 2 3)2 5 25 ag an gciorcal k.Is iad P agus Q na foircinn ar thrastomhas de chuid k. Tá PQ cothrománach. (i) Scríobh síos comhordanáidí lárphointe k agus fad a gha. (ii) Tarraing sceitse de k ar an bplána comhordanáideach. (iii) Faigh comhordanáidí P agus comhordanáidí Q. (iv) Scríobh síos cothromóidí dhá thadhlaí le k atá ceartingearach. (v) Tá ciorcal eile ann freisin a bhfuil an dá líne cheartingearacha seo mar

thadhlaithe leis. Tá lárphointe an chiorcail seo ar an x-ais. Faigh cothromóid an chiorcail seo.

16. Tá an chothromóid x2 1 y2 5 13 ag ciorcal áirithe. Tá na pointí A(2, 23), B(22, 3) agus C(3, 2) ar an gciorcal. (i) Deimhnigh gur trastomhas de chuid an chiorcail é [AB]. (ii) Deimhnigh gur dronuillinn é |∠ACB|.

17. Sa léaráid thíos, is ciorcal é k1 ar lárphointe dó A(0, 2) agus ar ga dó 2.

y

xO

k1

k3

k2

A (0, 2)

B (0, �2)

D

C

Is ciorcal é k2 ar lárphointe dó B(0, 22) agus ar ga dó 2. Scríobh síos cothromóidí k1 agus k2. Is ciorcal é k3 ar lárphointe dó (0, 0) agus a thadhlaíonn k1 sa phointe C agus k2 sa phointe D. Scríobh síos cothromóid k3.Freisin, scríobh síos cothromóid an tadhlaí atá i bpáirt ag k1 agus k3 sa phointe C.

18. Tá an chothromóid (x 1 4)2 1 (y 2 3)2 5 36 ag an gciorcal k. (i) Scríobh síos comhordanáidí lárphointe k agus fad a gha. (ii) Tarraing sceitse de k ar an bplána comhordanáideach. (iii) Is foirceann amháin ar thrastomhas de chuid k é an pointe (2, 3).

Faigh comhordanáidí an fhoircinn eile.

19. Is ciorcal é c ar lárphointe dó (21, 2) agus ar ga dó 5.Scríobh síos cothromóid c.Tá an chothromóid (x 2 8)2 1 (y 2 14)2 5 100 ag an gciorcal k.Taispeáin go bhfuil P(2, 6) ar an gciorcal k.Taispeáin freisin go bhfuil P(2, 6) ar an líne a cheanglaíonn lárphointí an dá chiorcal.

362

�� Cothromóid an chiorcail

Ciorcal ar lárphointe dó (0, 0) agus ar ga dó r, is é seo a chothromóid:

x 2 � y 2 � r 2

Ciorcal ar lárphointe dó (h, k) agus ar ga dó r, is é seo a chothromóid:

(x � h)2 � (y � k)2 � r 2

An lárphointe agus an ga a fháil nuair a bhíonn an chothromóid againn

I gcás an chiorcail x2 1 y2 5 a2, lárphointe 5 (0, 0), ga 5 a.

I gcás an chiorcail (x 2 h)2 1 (y 2 k)2 5 a2, lárphointe 5 (h, k), ga 5 a.

Pointí agus ciorcail

O

P

O

P

O

P

Taobh istigh atá an pointe má tá |OP| � ga

Ar an gciorcal atá an pointe má tá |OP| � ga

Taobh amuigh atá an pointe má tá |OP| � ga

Pointí trasnaithe líne agus ciorcail

Úsáidimid cothromóidí comhuaineacha chun pointe/pointí trasnaithe líne agus ciorcail a fháil.

Chun pointí trasnaithe na líne x 1 3y 2 5 5 0 agus an chiorcail x2 1 y2 5 5 a fháil,

(i) scríobh x i dtéarmaí y i gcothromóid na líne,

i.e. x ��3y � 5

(ii) cuir an luach sin in áit x i gcothromóid an chiorcail,

i.e. (�3y � 5)2 � y 2 � 5

(iii) réitigh an chothromóid seo chun dhá luach a fháil do y

(iv) faigh an dá luach chomhfhreagracha do x.

Ciorcal a thrasnaíonn na haiseanna

Is sna pointí ina bhfuil y 5 0 a thrasnaíonn ciorcal an x-ais.

Is sna pointí ina bhfuil x 5 0 a thrasnaíonn ciorcal an y-ais.

A chruthú gur tadhlaí le ciorcal í líne

Is tadhlaí le ciorcal í líne nuair nach bhfuil ach pointe trasnaithe amháin ann.

363

��barrachairt léaráid líne píchairt histeagram eatraimh ranga chothroma

cruth sonraí leanúnacha dáileadh siméadrach sceabha deimhneach

sceabha diúltach léaráid ghais is duillí léaráid ghais is duillí chúl le cúl

sonraí dé-athráideacha scaipghraf comhchoibhneas gaol cúisíoch

Mír 13.1 Barrachairteacha agus píchairteacha 1. Barrachairteacha

Is bealach simplí, ach éifeachtach mar sin féin, iad barrachairteacha chun sonraí a chur i láthair.

Is é a bhíonn i mbarrachairt ná barraí ar an leithead céanna, a tharraingítear go ceartingearach nó go cothrománach ó ais.

Léiríonn airde (nó fad) na mbarraí na minicíochtaí i gcónaí.

De ghnáth bíonn na barraí scartha óna chéile ag bearnaí cúnga atá ar comhleithead.

Sampla 1

Sa tábla minicíochta taispeántar líon na dteachtaireachtaí téacs a fuair grúpa daltaí Domhnach áirithe. Cuir an fhaisnéis i láthair le barrachairt.

Taispeántar an bharrachairt thíos.

2

0

4

6

8

10

12

14

16

Min

icío

cht

0Líon na dteachtaireachtaí téacs

1 2 3 4 5 6 7 8 9

Líon na

dteachtair-eachtaí

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Minicíocht 0 1 2 4 6 9 11 14 9 4

Sonraí a Chur i LáthairSonraí a Chur i LáthairSonraí a Chur i LáthairSonraí a Chur i LáthairSonraí a Chur i LáthairSonraí a Chur i LáthairSonraí a Chur i LáthairSonraí a Chur i Láthair � ��

�

13

364

2. Léaráidí líne

Baintear úsáid as léaráid líne chun tacair bheaga de shonraí scoite nó catagóireachaa chur i láthair. Tá sí cosúil le barrachairt ach úsáidtear poncanna (") nó crosa (×) in áit barraí. Léiríonn gach ponc aonad amháin den athróg.

An léaráid líne seo trasna, taispeánann sí díolacháin na bróg ar mhéideanna éagsúla ag siopa bróg lá áirithe.

Líon na bpéirí bróg a díoladh ná

3 � 2 � 3 � 6 � 5 � 3 � 6 � 3 � 1 � 32

3. Píchairteacha

Is bealach maith í píchairt le sonraí a chur i láthair nuair is mian leat a thaispeáint conas a roinntear nó a dháiltear rud éigin. Feileann sé go háirithe do shonraí catagóireacha a churi láthair.

Taispeánann an phíchairt thíos conas a chaith Séan an 24 uair an chloig dheireanach.

Am saor

Teilifís

Eile Codladh

Scoil

Tá an phíchairt roinnte ina codanna.

Seasann an ciorcal iomlán don 24 uair an chloig.

Is féidir linn a fheiceáil gur chaith Seán thart ar an méid céanna ama ina chodladh agus a chaith sé ar scoil.

Tá uillinn gach teascóige i gcomhréir le minicíocht na catagóire a seasann sí di.

Sampla 2

I suirbhé ar laethanta saoire, iarradh ar 120 duine a rá cén córas taistil a d'úsáidsiad agus iad ar a saoire dheireanach. Taispeánann an tábla seo torthaí an tsuirbhé.Tarraing píchairt chun na sonraí a léiriú.

Córas taistil Traein Cóiste Carr Long Eitleán


6

Méid bróige

6 7 7 8 8 9 9 10 1012

12

12

12

12

Feileann píchairteacha go háirithe doshonraí catagóireacha a chur i láthair.

365

Caithfimid an codán de 360° a fháil a fhreagraíonn do gach córas taistil. Déantar é sin i dtábla de ghnáth, mar a thaispeántar thíos.

Córas taistil Minicíocht Ríomh

Traein 24 24 ___ 120 � 360 � 72°

Cóiste 12 12 ___ 120 � 360 � 36°

Carr 59 59 ___ 120 � 360 � 177°

Long 11 11 ___ 120 � 360 � 33°

Eitleán 14 14 ___ 120 � 360 � 42°

Iomláin 120 360°

Tá an phíchairt le feiceáil ar dheis. Baineadh úsáid as uillinntomhas chun na huillinneacha a thomhas.

Traein

72°36°

177°

33°42°

Cóiste

Carr

Long

Eitleán

Tugann an phíchairt seo faisnéis faoi na boinn an bhuaigh Club Lúthchleasaíochta ag comhthionól lúthchleas.

Má buadh 24 bonn, seo mar a fhaighimid líon gach saghais:

(i) Boinn óir: 75° ____ 360°

� 24 ___ 1

� 5

(ii) Boinn airgid: 150° ____ 360°

� 24 ___ 1

� 10

(iii) Is é an uillinn sa teascóg chré-umha ná 360° 2 150° 2 75° 5 135°.

Boinn chré-umha: 135° ____ 360°

� 24 ___ 1

� 9

Cleachtadh 13.1

1. Déantar cuntas de dhath gruaige na ndaltaí ar fad i rang áirithe. Taispeátar na torthaí sa bharrachairt ar dheis.

(i) Cé mhéad dalta a bhfuil gruaig dhubh orthu?

(ii) Cé acu dath gruaige an mód?

(iii) Cé mhéad dalta atá sa rang?

75°

Ór

Airgead

Cré-umha

150°

0Dubh Fionn Donn

Dath gruaige

Dath gruaige na ndaltaí

Rua

2

4

6

8

1

3

5

7

9

Lío

n n

a n

da l

t aí

366

2. Taispeánann an bharrachairt seo líon na bpictiúr ar chuimhnigh gach dalta orthu i dturgnamh cuimhne.

05

Líon na bpictiúr ar cuimhníodh orthu

2

4

6

1

3

5

7

Min

i cí o

c ht

6 7 8 9 10

(i) Cé mhéad dalta a ghlac páirt sa turgnamh? (ii) Cad é an líon módúil pictiúr ar cuimhníodh orthu? (iii) Cé mhéad dalta a chuimhnigh ar níos lú ná 7 bpictiúr? (iv) Cad é an raon atá ag an líon pictiúr ar cuimhníodh orthu? (v) Cad é an líon airmheánach pictiúr ar cuimhníodh orthu?

3. Fuair rang Phóil na marcanna seo ar thionscadal.

19 16 45 43 40 39 36 30 28 42 35 40

32 38 41 48 27 18 29 38 42 26 41 35

(i) Bain úsáid as cóip den tábla seo. Líon isteach í.

Marc 11–20 21–30 31–40 41–50

Cuntas

Minicíocht

(ii) Tarraing barrachairt do na sonraí seo.

4.

050-99

Scór

Scóir i gcluiche ríomhaire

2

4

1

3

5

Min

i cí o

c ht

100-149 150-199 200-249 250-299 300-349

Taispeánann an graf seo na scóir i gcluiche ríomhaireachta. (i) Scóir de 250 nó níos mó, bhuaigh siad duais. Cé mhéad duine a bhuaigh duais? (ii) Cé mhéad duine san iomlán a d'imir an cluiche? (iii) Is é a bhí i nuachtán ‘Scóráil cúigear idir 270 agus 299 pointe.’

An bhfuil sé sin ceart? Roghnaigh ceann de na freagraí seo. (a) Tá (b) Níl (c) Ní fios

367

5. Sa bharrachairt seo taispeántar líon na ndaoine a d'fhreastail ar chúig sheisiún oiliúna garchabhrach agus na míonna inar tharla na seisiúin sin.

0Ean

Mí oiliúna

20

40

50

10

30

60

Lío

n

Már Beal Iúil Lún

(i) Faigh an líon iomlán daoine a d'fhreastail ar sheisiún. (ii) Den líon iomlán daoine a d'fhreastail ar sheisiún, is i gcaitheamh dhá mhí ar leith

a bhí siad ann. Cad iad an dá mhí sin? (iii) Cad é an meánlíon daoine a d'fhreastail ar gach seisiún ar leith?

6. Sa bharrachairt seo taispeántar an mheánteocht mhíosúil ag meán lae le haghaidh gach ceann de cheithre mhí. 'Taispeánann an líne bhriste an meán do na ceithre mhí' arsa Breanda. Úsáid an bharrachairt le míniú cén fáth nach bhfuil an ceart ag Breanda.

0Feabhra

Mí

4

8

10

12

14

2

6

16

Me

ánte

och

t

Meánteocht ag meán lae

Márta Aibreán Bealtaine

7. Léiríonn an léaráid líne thíos líon na gcúl in aghaidh an chluiche a scóráil foireann haca.

0

Líon na gcúl

1 2 3 4 5 6

(i) Cé mhéad cluiche atá imeartha ag an bhfoireann? (ii) Cé acu líon cúl é an mód? (iii) Cad é an raon atá ag líon na gcúl a scóráladh? (iv) Cén céatadán de na cluichí a bhí gan scór?

368

8. Sna barrachairteacha seo taispeántar líon na n-uaireanta cloig teilifíse ar ar fhéachceathrar buachaillí i seachtain amháin.

0

1

2

3

4

Líon

na

n-u

aire

anta

clo

ig

L M C D

Ailéin

A S D0

1

2

3

4

Lío

n n

a n

-uai

rean

ta c

loig

L M C D

Barra

A S D

0

1

2

3

4

Líon

na

n-ua

irean

ta c

loig

L M C D

Conchúr

A S D0

1

2

3

4

Líon

na

n-ua

irean

ta c

loig

L M C D

Dara

A S D

Cé leis an graf a mheaitseálann na ráitis seo a leanas? (i) Is i dtús agus ag deireadh na seachtaine ba mhó a d'fhéach mé ar an teilifís. (ii) D'fhéach mé ar an méid céanna teilifíse, a bheag nó a mhór, gach lá. (iii) D'fhéach mé ar chuid mhaith teilifíse ceithre lá ach níor fhéach mé ar mhórán na trí lá eile. (iv) Gach lá d'fhéach mé ar níos mó teilifíse ná an lá roimhe.

9. Barrachairt dhéach a thugtar ar an mbarrachairt thíos. Cuireann sí dhá thacar sonraí i gcomp-aráid lena chéile. Tugann sí líon na n-othar a d'fhreastail ar lialanna ar maidin agus satráthnóna ar feadh sé lá.

0

10

20

30

40

50

60

70

Lío

n n

a n

-oth

ar

Luan Máirt Céad Othair a d’fhreastail ar lialanna

Déar Aoi Sath

Maidin

Tráthnóna

(i) Cé acu lá ar fhreastail an líon ba mhó othar ar lialann? (ii) Cé acu lá ar fhreastail an líon ba lú othar ar lialann? (iii) Cé acu lá nach raibh aon lialann ar oscailt sa tráthnóna? (iv) Cé acu lá ar fhreastail 90 othar ar lialann? (v) Cé mhéad othar níos mó a d'fhreastail ar lialann maidin Dé Máirt ná mar a

d'fhreastail ar lialann tráthnóna Dé Máirt?

369

10. Sa tábla thíos tugtar méideanna na ngúnaí a díoladh i siopa seachtain áirithe:

Méid 8 10 12 14 16 18

Minicíocht 3 7 10 12 6 2

Tarraing píchairt chun na sonraí sin a léiriú.

11. Sa phíchairt ar dheis léirítear na gráid a fuair grúpa 264 dalta.

Faigh líon na ndaltaí a fuair grád E.

12. Sa phíchairt ar dheis léirítear na hábhair is fearr le 120 dalta Teastais Shóisearaigh i scoil i gCorcaigh. I gcás an dá ábhar seo a leanas, cé mhéad dalta a dúirt gurb é sin an t-ábhar is fearr leo?

(i) matamaitic (ii) corpoideachas (CO)

Cén céatadán de na daltaí a dúirt gurb í an eolaíocht an t-ábhar is fearr leo?

13. Díoltar uachtar reoite fanaile, sútha talún agus seacláide agstainnín uachtair reoite. Sa phíchairt léirítear na díolacháinuachtair reoite don Satharn seo caite. Bhí líon na n-uachtarreoite fanaile agus líon na n-uachtar reoite seacláide adíoladh mar a chéile. Díoladh 60 uachtar reoite sútha talúnag an stainnín. Cé mhéad uachtar reoite seacláide a díoladh?

14. I suirbhé, iarradh ar 320 duine ar eitleán agus ar 800 duine ar bhád farantóireachta a rá cén tír arbh as iad.

S.A.M.

An Fhrainc

An Ghearmáin

Eitleán 320duine

An Iodáil

Éire

An Fhrainc

An Ísiltír

Bád farantóireachta 800duine

An Ghearmáin

An Iodáil

Éire

D'fhéach Sinéad ar na cairteacha agus dúirt 'Bhí an líon céanna daoine ón Iodáil, a bheag nó a mhór, ar an eitleán agus a bhí ar an mbád farantóireachta'. Mínigh cén fáth a bhfuil Sinéad mícheart.

45°

45°

60°90°

DC

B

E A

27°

Stair

Tíreol

CO

EolaíochtBéarla

Matamaitic 39°

45°54°75°

120°

Seacláid

Fanaile 90°

Sútha talún

370

Mír 13.2 Histeagraim Histeagram a thugtar ar cheann de na slite is coitianta le dáileadh minicíochta a chur i láthair.

Tá histeagraim an-chosúil le barrachairteacha ach tá roinnt difríochtaí tábhachtacha eatarthu: > ní bhíonn aon bhearnaí idir na barraí i histeagram > baintear úsáid as histeagraim chun sonraí leanúnacha a thaispeáint > bíonn na sonraí grúpáilte i gcónaí; ranganna a thugtar ar na grúpaí > seasann achar gach barra nó dronuilleoige don mhinicíocht.

Is féidir le heatraimh na ranganna ar histeagram a bheith cothrom le chéile nó a bheith éagsúillena chéile.

Agus muid ag déanamh staidéir ar histeagraim sa chúrsa seo, ní bheimid ag plé ach leis an gcásina bhfuil eatraimh na ranganna cothrom le chéile.

Ach eatraimh na ranganna a bheith cothrom le chéile, bíonn an-chosúlacht ag an histeagramleis an mbarrachairt.

Sampla 1

Taispeántar sa tábla thíos na hamanna a thóg sé ar 32 dalta fadhb a réiteach. Am (ina shoic) 0–10 10–20 20–30 30–40 40–50 50–60

Líon na ndaltaí 1 2 8 12 6 3

(i) Tarraing histeagram chun na sonraí sin a léiriú. (ii) Scríobh síos an rang módúil. (iii) Cén t-eatramh ina bhfuil an t-airmheán?

An chéad rud a dhéanaimid ná dhá ais a tharraingt agus iad ag dronuillinneachalena chéile.

Breacaimid na hathróga (am sa chás seo) ar an ais chothrománach agus breacaimid na minicíochtaí (líon na ndaltaí) ar an ais cheartingearach.

(i) Seo é an histeagram.

[NÓTA: Tá sé tábhachtach lipéad a chur ar an dá ais.]

0

Min

icío

cht

100

Am (soicindí)

20 30 40 50 60

2

4

6

8

10

12

1

3

5

7

9

11

371

(ii) Is é an rang módúil an rang a bhfuil an mhinicíocht is airde aige. Is é sin an rang (30240) soicind.

;� is é (30240) soicind an rang módúil.

(iii) Is é an t-airmheán an luach leathshlí tríd an dáileadh.

Tá 32 dalta ar fad ann; mar sin is iad na daltaí láir ná an 16ú dalta agus an 17ú dalta.

Is é suim na líonta daltaí sna chéad trí eatramh ná 1 � 2 � 8 i.e. 11

Beidh an 16ú dalta agus an 17ú dalta sa chéad eatramh eile, (30240) soicind.

Mar sin is san eatramh (30240) soicind atá an t-airmheán.

Cleachtadh 13.2

1. Ag deireadh a n-aistear, cuireadh ceist ar 30 tiománaí cé mhéad ciliméadar a thaistil siad. Taispeántar a gcuid freagraí sa tábla thíos:

Fad slí (ina km) 0–20 20–40 40–60 60–80 80–100


[Is éard a chiallaíonn 0220 ná $ 0 agus < 20]

(i) Tarraing histeagram chun na sonraí sin a léiriú.

(ii) Cé mhéad tiománaí a bhí tar éis 40 km nó níos mó a thaisteal?

(iii) Cad é an rang módúil?

(iv) Cén céatadán de na tiománaithe a thaistil idir 20 km agus 40 km?

2. Sa histeagram thíos taispeántar aois na ndaoine atá ina gcónaí i sráidbhaile.

(i) Cé mhéad duine a bhí idir 30 agus 40 bliain d'aois?

(ii) Cad é an rang módúil?

(iii) Cé mhéad duine a bhí níos lú ná 30 bliain d'aois?

(iv) Cé mhéad duine a bhí ina gcónaí sa sráidbhaile?

(v) Cén t-eatramh ina bhfuil 20% de na daoine ar cuireadh an suirbhé orthu?

(vi) Cén t-eatramh ina bhfuil an aois airmheánach?

0

Lío

n n

a n

da o

i ne

100

Aois ina blianta

20 30 40 50 60 70 80

4

8

12

16

2

6

10

14

18

372

3. Sa tábla minicíochta ar dheis tugtar na hamanna feithimh do ghrúpa othar ag lialann dochtúra. (i) Tarraing histeagram chun na sonraí sin a léiriú. (ii) Cé mhéad othar a bhí sa suirbhé?

(iii) Cad é an rang módúil? (iv) Cén t-eatramh ina bhfuil an t-airmheán? (v) Cad é an líon othar is mó a d'fhéadfadh a bheith

ag feitheamh ar feadh níos mó ná 10 nóiméad?

4. Sa histeagram thíos taispeántar an t-am, ina shoicindí, a thóg sé ar ghrúpa daltaí

puzal a réiteach.

0

Lío

n n

a n

dal

taí

50

Am (soicindí)

10 15 20 25

4

8

12

16

2

6

10

14

(i) Cé mhéad dalta ar thóg sé 15 shoicind nó níos mó orthu an puzal a réiteach? (ii) Cé mhéad dalta a ghlac páirt sa tástáil? (iii) Cad é an rang módúil? (iv) Cén t-eatramh ina bhfuil an t-airmheán? (v) Cad é an líon daltaí is mó a bhféadfadh an puzal a bheith réitithe acu i níos lú ná

8 soicind? (vi) Cad é an líon daltaí is lú a bhféadfadh an puzal a bheith réitithe acu i níos lú ná

12 shoicind?

5. Sa tábla minicíochta grúpáilte thall taispeántar an líon nóiméad a chaith roinnt daoine in ionad siopadóireachta: (i) Tarraing histeagram chun na sonraí a léiriú. (ii) Scríobh síos an rang módúil. (iii) Cén t-eatramh ina bhfuil an t-airmheán? (iv) Cén t-eatramh ina bhfuil 20% go baileach de na

daoine? (v) Cad é an líon daoine is mó a bhféadfadh níos mó

ná 30 nóiméad a bheith caite acu san ionad siopadóireachta? (vi) Bain úsáid as lárluachanna na n-eatramh chun an meánmhéid ama a caitheadh

san ionad siopadóireachta a ríomh, ceart go dtí an nóiméad is gaire.

Am feithimh

(ina nóiméid)

Líon na

n-othar

0–4 2

4–8 6

8–12 10

12–16 12

16–20 8

NóiméidLíon na

ndaoine

5–15 8

15–25 14

25–35 28

35–45 20

373

Mír 13.3 Cruth an dáilte

Sa mhír roimhe seo bhíomar ag plé le histeagraim le cruthanna éagsúla.

Taispeánann na léaráidí thíos ceithre histeagram, agus cruth difriúil ar gach ceann acu.

A B C D

Níl cuma chothromaithe ná shiméadrach ar aon cheann acu ach amháin histeagram D margo bhfuil ais siméadrachta aige. Tá níos lú cothromaíochta ag baint leis na trí histeagrameile, i.e. tá siad sceabhach ar bhealach éigin.

Bíonn histeagraim an-úsáideach nuair is mian leat a fheiceáil cá bhfuil na sonraí agus, ar angcaoi sin, léargas soiléir ar chruth an dáilte a fháil. Mar shampla, i histeagram A thuas, is léirgo bhfuil an chuid is mó de na sonraí sna luachanna is ísle. I histeagram C tá an chuid is móde na sonraí sna luachanna is airde.

Tá cruthanna áirithe ann a bhíonn ar dháileadh go minic agus ba chóir go mbeifeá in anniad a aithint agus a ainmniú. Déantar cur síos thíos ar na cruthanna is coitianta.

1. Dáileadh siméadrach

" Tá ais siméadrachta síos tríd an lár ag an dáileadh seo. Dáileadh siméadrach a thugtar air.

MeánAirmheán Mód

Meán � Airmheán � Mód

> Tá sé ar cheann de na dáiltí is coitianta agus is tábhachtaí sa staitistic. An dáileadh normalach a thugtar air de ghnáth.

> Seo roinnt samplaí ón saol de dháileadh siméadrach (nó normalach):

(i) airde sampla randamach daoine

(ii) sainuimhir intleachta (IQ) daonra

374

2. Sceabha deimhneach

> Nuair atá an chuid is mó de na sonraí i ndáileadh ag na luach-anna níos ísle, deirtear gur sceabha deimhneach atá faoi.Taispeánann an histeagram seo a leanas sceabha deimhneachmar go bhfuil formhór na sonraí, léirithe ag na barraí níosairde, ar chlé.

Tabhair faoi deara go bhfuil eireaball fada ar thaobh na láimhe deise den dáileadh.

> Seo roinnt samplaí ón saol de dháileadh a bhfuil sceabha deimhneach faoi:

(i) an líon páistí i gclann (ii) an aois ag a bhfoghlaimíonn daoine rothaíocht (iii) an aois ag a bpósann daoine.

3. Sceabha diúltach

> Nuair atá an chuid is mó de na sonraí i ndáileadh ag na luachanna níos airde, deirtear gur sceabha diúltach atá faoi.

Más sceabha diúltach atá faoi dháileadh, is ar chlé a bheidh an t-eireaball.

Más sceabha deimhneach atá faoi dháileadh, is ar dheisa bheidh an t-eireaball; más sceabha diúltach atá faoi, isar chlé a bheidh an t-eireaball.

> Seo roinnt samplaí ón saol de dháileadh a bhfuil sceabha diúltach faoi: (i) an aois ag a mbíonn ar dhaoine a gcéad phéire spéaclaí léitheoireachta a fháil (ii) airde na n-imreoirí i sraith cispheile.

Má bhíonn sceabhadeimhneach ann, bíonnan chuid is mó de nasonraí ar chlé.

Eireaball ar dheis Eireaball ar dheisMód

AirmheánMeán

Meán > Airmheán > Mód

Eireaball ar chlé Mód

Airmheán Meán

Meán < Airmheán < Mód

375

Cleachtadh 13.3

1. Déan cur síos ar an dáileadh atá le feiceáil ar dheis.

(i) Cén t-ainm a thugtar ar an dáileadh seo de ghnáth?

(ii) Tabhair sampla amháin ón saol den dáileadh seo.

2. Déan cur síos ar an dáileadh atá le feiceáil ar dheis. Tabhair sampla amháin ón saol den dáileadh seo.

3. An sceabha deimhneach nó sceabha diúltach atá faoin dáileadh seo? Tabharfaidh tú faoi deara go bhfuil formhór na luachanna ar an taobh níos ísle den dáileadh. Tabhair sampla amháin ón saol den chineál seo dáilte.

4. Seo trí dháileadh: (a) (b) (c)

(i) Cé acu de na dáiltí seo atá siméadrach? (ii) Cé acu dáileadh a bhfuil sceabha deimhneach faoi? (iii) Cé acu dáileadh a bhfuil sceabha diúltach faoi? (iv) Cén dáileadh is dóichí a léireoidh na sonraí seo?

'Meáchain imreoirí rugbaí idirnáisiúnta'. (v) Cé acu dáileadh is fearr a dhéanann cur síos ar na sonraí seo?

'Sainuimhreacha intleachta (IQ) líon mór daltaí dara leibhéal.'

5. Déan cur síos ar an dáileadh a thaispeántar.

Cé acu de na trí mheán staitistiúla, an mód, an meán nó an t-airmheán, is oiriúnaí chun cur síos a dhéanamh ar na sonraí seo?

376

6. Taispeántar thíos dhá dháileadh, A agus B :

A B

I gcás gach ceann de na suíomhanna seo, ainmnigh an dáileadh ar dócha go léireoidhsé an suíomh sin. (i) ‘Na marcanna a bhain na daltaí ardteistiméireachta go léir amach sa mhatamaitic

an bhliain seo caite.’ (ii) ‘Na marcanna a bhain rang 30 dalta amach sa bhitheolaíocht.’ (iii) Cén t-ainm a thugtar ar dháileadh B de ghnáth?

7. Sa histeagram seo trasna taispeántar an dáileadh don mhéid ama a thóg sé chun puzal a réiteach.

(i) An sceabha deimhneach nó sceabha diúltach atá faoin dáileadh?

(ii) Mínigh an fáth a bhfuil an mód níos airde ná an meán sa dáileadh seo.

8. Déan cur síos ar an dáileadh atá le feiceáil ar dheis. Don mhód, don mheán agus don airmheán atá ag an dáileadh seo, (i) abair cé acu de na trí cinn sin is lú (ii) abair cé acu de na trí cinn sin is mó.

9. Breacann oifigeach sábháilteachta síos luasanna na gcarr a ghabhann thar scoil áirithe. Taispeántar sa tábla na luasanna a bhreac sé síos. Luas (km/u) 25–30 30–35 35–40 40–45 45–50


(i) Tarraing histeagram chun na sonraí sin a thaispeáint. (ii) An sceabha deimhneach nó sceabha diúltach atá faoin dáileadh? Mínigh do fhreagra. (iii) Déan cóip den ráiteas thíos agus cuir na siombailí > nó < sna boscaí i ndáil leis na

sonraí a thugtar sa tábla thuas.

Mód Airmheán Meán

0

Min

icío

cht

50

Méid ama (nóiméid)

Méid ama chun puzal a réiteach

10 15 20 25

5

10

15

20

25

377

Mír 13.4 Léaráidí gais is duillí Is bealach an-úsáideach í léaráid ghais is duillí chun sonraí a chur i láthair. Bíonn sí úsáid-each mar go dtaispeánann sí na sonraí bunaidh ar fad agus, ina theannta sin, go dtugannsí pictiúr iomlán duit ar chruth an dáilte.

Bíonn sí cosúil le barrachairt chothrománach, ach gurb iad na figiúirí féin na barraí.

Níl léaráidí gais is duillí oiriúnach ach do líon beag sonraí.

Go minic is é an gas a thaispeánann digit na ndeicheanna de na luachanna agus is iad na duillí athaispeánann digit na n-aonad. Má chuireann tú le chéile iad, gheobhaidh tú an luach bunaidh.

Mar shampla seasann 4|2 do 42.

Taispeántar thíos léaráid ghais is duillí thipiciúil.

0 6 9

1 2 5 7

2 3 3 6 8

3 0 2 7

4 1 2 6

5 3 Eochair: 3|2 � 32

Seasann sé seo do 17.

Is iad na sonraí atá léirithe thuas:

6, 9, 12, 15, 17, 23, 23, 26, 28, 30, 32, 37, 41, 42, 46, 53

Sampla 1

Seo iad na marcanna a fuair rang daltaí i dtástáil eolaíochta.

58 65 40 59 68 63 81 76 63 57 44 47 53 70 80

68 81 61 57 49 70 54 75 69 65 59 52 63 63 74

(i) Déan léaráid ghais is duillí chun na sonraí sin a chur i láthair. (ii) Cad é an mód atá ag na sonraí? (iii) Cad é an t-airmheán? (iv) Cad é an raon atá ag na sonraí?

(i) Tarraing gas na léaráide i dtosach.

4

5

6

7

8

Is é 40 an luach is lú ar an liosta agus is é 81 an luach is mó.

Is é gas na léaráide ná digití na ndeicheanna ó 4 go 8.

Ní mór duit eochair a chur isteach igcónaí le taispeáint conas a thagannan gas agus an duille le chéile.

378

Téigh síos trí na luachanna sonraí anois agus cuir an dara digit ar an líne chuí.

Don chéad luach, 58, cuirfidh tú an 8 ar an líne dar tús 5.

4 0 4 7 9

5 8 9 7 3 7 4 9 2

6 5 8 3 3 8 1 9 5 3 3

7 6 0 0 5 4

8 1 0 1

Is iad na huimhreacha ar thaobh na láimhe deise den léaráid na duillí.

Ar deireadh, scríobh an léaráid arís agus bíodh na duillí ar fad in ord. Is é an ceann is lú an ceann is gaire don ghas.

Bí cinnte go gcuirfidh tú isteach eochair.

4 0 4 7 9

5 2 3 4 7 7 8 9 9

6 1 3 3 3 3 5 5 8 8 9

7 0 0 4 5 6

8 0 1 1 Eochair: 6|3 � 63

(ii) Is é 63 an mód mar gurb é sin an luach is coitianta atá ann.

(iii) Ós rud é gur 30 luach atá ann, is é an t-airmheán meán an 15ú luach agus an 16ú luach.

Déan comhaireamh ar na luachanna sa léaráid ghais is duillí chun an 15ú luach agus an 16ú luach a fháil.

Ós rud é go bhfuil an dá luach sin cothrom le 63, is é 63 an t-airmheán.

Más 30 luach atá ann, is é an lárluach ná 12(30 1 1)

i.e. 15 1 _ 2 . Is ionann an luach sin agus leath shuim an15ú luach agus an 16ú luach.

(iv) Is é an raon an luach is airde lúide an luach is ísle.

� 81 � 40

� 41

379

Luachanna difriúla do na gais

Seo an méid ama, ina shoicindí, a thóg sé ar gach iomaitheoir rás 60 méadar a rith.

6.6 4.9 5.7 7.6 8.2 6.3 6.5 7.4 5.1 5.3 6.2 7.8

An uair seo beidh na haonaid mar ghais againn.

Céim 1 Tarraing an chéad léaráid. Céim 2 Cuir na duillí in ord a Is iad na haonaid na gais. méide.Is iad na deichiú codanna na duillí.

4 9

Eochair : 6|3 � 6.3 soicind

5 7 1 3

6 6 3 5 2

7 6 4 8

8 2

4 9

5 1 3 7

6 2 3 5 6

7 4 6 8

8 2

Léaráidí gais is duillí cúl le cúl

Is féidir dhá léaráid ghais is duillí a tharraingt agus an gas céanna ag an dá cheann acu.

Léaráidí gais is duillí cúl le cúl a thugtar orthu sin.

Cuirtear duillí a bhaineann le tacar amháin sonraí ar thaobh na láimhe deise den ghas.

Cuirtear duillí a bhaineann leis an tacar sonraí eile ar chlé.

Bíonn léaráidí gais is duillí cúl le cúl an-úsáideach chun dhá thacar sonraí a chur i gcomparáid lena chéile.

Chuir Jeaic agus Ciara an méid ama a chaith siad gach tráthnóna ar a gcuid obair bhaile i gcomparáid lena chéile.

Taispeántar a gcuid amanna sa léaráid ghais is duillí chúl le cúl.

Jeaic Ciara

Eochair: 5|3 � 35 nóiméad

6 5 5 3 2 2


8 6 5 3 6 7

3 2 4 4 6 6

1 5 2 3 4 5

6 4 8

Léimid amanna Jeaic ón ngas ar chlé.

Mar sin is iad amanna Jeaic:

22, 23, 25, 25, 26, 35, 36, …

Is iad amanna Chiara:

36, 37, 44, 46,46, 52, …

Taispeántar sa sampla seo a leanas conas is féidir úsáid a bhaint as léaráid ghais is duillí chúl le cúl chun dhá thacar sonraí a chur i gcomparáid lena chéile.

Uaireanta tugtar an eochair mar seo: 5|3|6. Ciallaíonn sé sin 36 do Chiara agus 35 do Jeaic.

380

Sampla 2

Chuir Roibeard agus Sinéad na faid ama a chaith siad gach tráthnóna ag féachaint ar an teilifís i gcomparáid lena chéile.

Taispeántar a gcuid amanna sa léaráid ghais is duillí chúl le cúl seo a leanas.


Roibeard Sinéad

7 4 4 2 3 2


9 6 4 3 4 6

5 3 4 5 7 7

2 5 3 3 4 6

6 5 7

(i) Cad a thaispeánann an léaráid faoi na faid ama a chaith Roibeard agus Sinéad ag féachaint ar an teilifís?

(ii) Cad é an fad ama airmheánach a chaith Sinéad ag féachaint ar an teilifís?

(iii) Cad é an fad ama airmheánach a bhí ag Roibeard?

(iv) An dtagann na faid ama airmheánacha sin le do thátal in (i) thuas?

(i) Má fhéachaimid ar an léaráid, feicfimid go bhfuil an chuid is mó d'amanna Roibeaird idir 23 agus 39 nóiméad.Tá an chuid is mó d'amanna Shinéad idir 45 agus 67 nóiméad. Taispeánann sé sin go gcaitheann Sinéad níos mó ama ag féachaint ar an teilifís ná mar a chaitheann Roibeard.

(ii) Do Shinéad, is é 53 an luach atá leathshlí tríd an dáileadh. Mar sin is é an fad ama airmheánach a chaitheann sí ag féachaint ar an teilifís ná 53 nóiméad.

(iii) Is é 34 nóiméad fad ama airmheánach Roibeaird.

(iv) Ós rud é go bhfuil fad ama airmheánach Shinéad níos mó ná fad ama airmheánach Roibeaird, tagann sé leis an dearcadh a cuireadh in iúl in (i) thuas go gcaitheann sí níos mó ama ná Roibeard ag féachaint ar an teilifís.

An raon idircheathairíle a fháil ó léaráid ghais is duillí

I gCaibidil 8, d'fhoghlaimíomar gurb í an cheathairíl íochtarach an luach sna sonraí atá aoncheathrú den tslí tríd an dáileadh. Is í an cheathairíl uachtarach an luach atá trí cheathrú dentslí tríd an dáileadh. Is é an raon idircheathairíle an difríocht idir an cheathairíl uachtarachagus an cheathairíl íochtarach.

Taispeánfaimid anois conas an dá cheathairíl agus an raon idircheathairíle a fháil i gcás dáileadha chuirtear i láthair mar léaráid ghais is duillí.

381

Sampla 3

Taispeánann an léaráid ghais is duillí ar dheis na marcanna, as 50, a fuair daltaí i dtástáil mhatamaitice.

Faigh (i) an marc airmheánach (ii) an cheathairíl íochtarach (iii) an cheathairíl uachtarach (iv) an raon idircheathairíle.

(i) Is é an marc airmheánach an marc atá leathshlí tríd an dáileadh. Tá 15 luach sonraí ann.

Is é atá sa luach leathshlí ná 12(15 1 1) i.e. an 8ú luach.

Ag tosú ag an luach is ísle dúinn, is é 31 an 8ú luach. ; an t-airmheán 5 31

(ii) Is í an cheathairíl íochtarach an luach atá aon cheathrú den tslí tríd an dáileadh.

Is é atá sa luach sin 14(15 1 1) i.e. an 4ú luach.

Is é 24 an luach sin. ; an cheathairíl íochtarach 5 24

(iii) Is í an cheathairíl uachtarach an luach atá trí cheathrú den tslí tríd an dáileadh.

Is é atá sa luach sin 34(15 1 1) i.e. an 12ú luach.

Is é 41 an luach sin. ; an cheathairíl uachtarach 5 41

(iv) An raon idircheathairíle 5 ceathairíl uachtarach lúide ceathairíl íochtarach � 41 � 24 � 17

Marcanna

1 2 8

2 1 4 7 7 8

3 1 4 5 7

4 1 2 8

5 0

Eochair: 2|1 � 21

Cleachtadh 13.4

1. Sa léaráid ghais is duillí ar dheis taispeántar na marcanna a fuair grúpa daltaí i dtástáil Spáinnise. (i) Cé mhéad dalta a rinne an tástáil seo? (ii) Cé mhéad dalta a fuair idir 70 agus

79 marc? (iii) Cad é an marc ab airde a baineadh

amach? (iv) Cad é an marc ab ísle? (v) Cé mhéad dalta a fuair 80 marc nó níos mó?

gas duillí

5 1 4 6

6 2 3 3 6

7 2 3 5 7 8

8 0 0 2 4 6 6

9 3 4 Eochair: 7|3 5 73 marc

382

2. Taispeántar sa léaráid ghais is duillí thíos aois, ina blianta, 25 duine a bhí ag iarraidh páirt a ghlacadh i gcomórtas siúil 10 km.

1 4 4 6 9

2 1 3 7 7 7 8

3 3 6 6 7 9

4 0 2 3 3 8 8

5 1 3 4 7 Eochair: 1|6 5 16 bliana d'aois

(i) Cé mhéad duine a bhí níos óige ná 20 bliain d'aois? (ii) Scríobh síos an aois mhódúil. (iii) Cé mhéad duine a bhí idir 35 agus 45 bliain d'aois? (iv) Cén aois airmheánach a bhí ann?

3. Tá an méid peitril, ina lítir, a cheannaigh 20 tiománaí le feiceáil thíos.

16 23 27 10 35 42 26 25 24 1723 41 33 35 25 19 16 31 12 29

Déan léaráid ghais is duillí chun an fhaisnéis sin a chur i láthair.

4. Fiafraíodh de cheithre dhalta is fiche cé mhéad CD a bhí acu ina mbailiúchán. Leagtar amach na torthaí thíos:

23 2 18 14 7 4 25 21 32 26 31 6

17 6 18 19 31 21 12 1 0 8 14 15 (i) Tarraing léaráid ghais is duillí chun an t-eolas sin a léiriú. (ii) Cé mhéad dalta a raibh níos mó ná 20 CD acu? (iii) Cad é an líon airmheánach CD in aghaidh an dalta?

5. Feicfidh tú thíos an fad ama a thóg sé chun 24 glao teileafóin a fhreagairt. Soicindí atá i gceist.

3.2 5.6 2.4 3.5 4.3 3.6 2.8 5.8 3.3 2.6 3.5 2.85.6 3.5 4.2 1.5 2.7 2.5 3.7 3.1 2.9 4.2 2.4 3.0

Cóipeáil agus críochnaigh an léaráid ghais is duillí chun an fhaisnéis sin a chur i láthair.

1

2

3 2

4

5 Eochair: 3|2 5 3.2 soicind

(i) Cé mhéad de na glaonna ar thóg sé níos faide ná 4 shoicind chun iad a fhreagairt? (ii) Cad é an difríocht idir an fad ama is mó agus an fad ama is lú a thóg sé chun glao

a fhreagairt? Bíodh an freagra ina shoicindí. (iii) Cad é an fad ama airmheánach a thóg sé chun glao a fhreagairt? (iv) Cad é an fad ama módúil?

383

6. Taispeánann an léaráid ghais is duillí thíos na marcanna a fuair 19 ndalta i dtástáil.

gas duillí

2 2

3 4 6

4 2 7 9

5 3 4 5 8 9

6 0 2 6 7

7 2 6

8 1 4 Eochair: 4|2 � 42 marc

(i) Scríobh síos raon na marcanna. (ii) Cén luach atá ag an gceathairíl íochtarach? (iii) Cad é an cheathairíl uachtarach? (iv) Cad é an raon idircheathairíle?

7. Feicfidh tú thíos aoiseanna, ina mblianta, na mball i gclub leadóg bhoird.

15 17 12 16 24 29 36 25 38 42 1753 44 49 53 29 21 11 38 14 29

(i) Tarraing léaráid ghais is duillí chun na haoiseanna sin a chur i láthair. (ii) Cad é an cheathairíl íochtarach? (iii) Faigh an cheathairíl uachtarach. (iv) Cad é an raon idircheathairíle?

8. Taispeántar sa léaráid ghais is duillí chúl le cúl thíos na torthaí a fuair rang daltaí i scrúduithe san Eolaíocht agus sa Fhraincis:

Eolaíocht Fraincis

Eochair: 1| 7 � 71 marc

7 5 2

Eochair: 3|6 � 36 marc

8 0 3 6

5 5 4 0 5 7 8

9 5 4 3 2 5 1 5 8

9 7 5 6 2 4 4 5 7

3 1 7 2 4 5 6

6 3 8 3 5

1 9

(i) Cé mhéad dalta a rinne na scrúduithe? (ii) Cad é raon na marcanna

(a) san Eolaíocht (b) sa Fhraincis? (iii) Cad é an marc airmheánach san Eolaíocht? (iv) Cad é raon idircheathairíle na marcanna Fraincise?

384

9. D'imir Brian agus Máirtín deich mbabhta ar chúrsa gailf 9 bpoll. Taispeánann an léaráid ghais is duillí líon na mbuillí a thóg siad i ngach babhta.

Brian Máirtín

9 7 3

9 5 5 3 1 0 4 5 9

3 2 5 0 2 3 5 7

6 2 4

Eochair: 2|5 � 52 buille 7 1 Eochair: 4|5 � 45 buille

Scríobh síos (i) an scór ab ísle a fuair Brian (ii) an scór airmheánach a bhí ag Brian (iii) an scór airmheánach a bhí ag Máirtín

(iv) an raon a bhí ag scóir Bhriain (v) an raon a bhí ag scóir Mháirtín. Cé acu den bheirt imreoirí is fearr ag an ngalf? Mínigh do fhreagra.

10. Taispeánann an léaráid ghais is duillí chúl le cúl thíos na rátaí cuisle ag grúpa mic léinn choláiste i nGaillimh. Tá siad roinnte ina dhá ngrúpa - iad siúd a chaitheann tobac agus íoc siúd nach gcaitheann.

Caitheann tobac Ní chaitheann tobac

Eochair: 5|6 � 65

5 0 8 9

Eochair: 5|8 � 58

9 8 5 6 0 4 4 5 6 6 6 8 8

6 6 5 0 0 7 0 1 1 8 9

8 8 6 3 0 8 0 1 6 8 8

2 0 9

(i) Faigh airmheán agus raon na rátaí cuisle don ghrúpa a chaitheann tobac. (ii) Faigh airmheán agus raon na rátaí cuisle don ghrúpa nach gcaitheann tobac. (iii) Má léiríonn ráta cuisle níos lú go bhfuil an duine níos aclaí, cé acu den ghrúpa

atá níos aclaí? Mínigh do fhreagra.

11. Fiafraíodh de dheichniúr fear agus de dheichniúr ban cé mhéad teilifíse ar ar fhéach siad an deireadh seachtaine roimhe sin. Seo iad a gcuid amanna, ina nóiméid:

Fir 40 41 42 52 52 52 64 65 65 71

Mná 40 41 51 62 63 75 87 88 93 95

Cóipeáil agus críochnaigh an léaráid Fir Mná

Eochair: 4|6 � 64 nóim.

4 0

Eochair: 4 |0 � 40 nóim.

5

4 6

7

8

9

ghais is duillí chúl le cúl ar dheis. (i) Cad é an fad ama módúil do na fir? (ii) Cad é an fad ama airmheánach do na

(a) fir (b) mná? (iii) Cad é raon na n-amanna do na

(a) fir (b) mná? (iv) Bain úsáid as na freagraí ar (ii)

agus (iii) le taispeáint go gcaitheann na mná níos mó ama ag féachaint ar an teilifís ná mar a chaitheann na fir.

385

12. D'imir Áine agus Conchúr naoi mbabhta de ghalf mearaí agus iad ar laethanta saoire an tsamhraidh. Taispeántar a scóir sa léaráid ghais is duillí chúl le cúl thíos.

Áine Conchúr

Eochair: 1|4 � 41

3 0 0 2

Eochair: 4|1 � 41

1 4 1 1 1 2

9 3 1 0 0 5 2

6 5 4 6 8

(i) Ba é 30 an scór ab ísle a fuair Conchúr. Cad é an scór ab ísle a fuair Áine?

(ii) Cad é an scór módúil a fuair Conchúr?

(iii) Cad é an scór airmheánach a fuair Áine?

Sa ghalf mearaí, is ag an duine a fhaigheann an scór is ísle a bhíonn an bua. Is amhlaidh go bhfuair Conchúr an scór ab airde an samhradh sin ach fós féin ba é a roghnaíodh mar an t-imreoir ab fhearr.

(iv) Tabhair cúis leis an rogha sin.

13. Tugtar sa tábla thíos na marcanna a fuair rang 20 dalta ina gcuid scrúduithe sa Fhraincis agus sa Bhéarla.

Fraincis7581

6961

5861

5845

4631

4444

3253

5066

5347

7857

Béarla 5265

5879

6844

7771

3884

8572

4363

4469

5672

6579

(i) Déan léaráid ghais is duillí chúl le cúl chun na torthaí sin a chur i láthair.

(ii) Cad é an marc airmheánach sa Fhraincis?

(iii) Cad é an marc airmheánach sa Bhéarla?

(iv) Cé acu den dá ábhar inar chruthaigh na daltaí níos fearr? Mínigh do fhreagra.

Mír 13.5 Scaipghraif Is minic a dhéantar ráitis sna meáin ar nós 'Beidh tú i mbaol timpiste má bhíonn tú ag tiomáintfaoi thionchar an óil' agus 'Beidh tú i mbaol taom croí má bhíonn tú ró-ramhar'. D'fhéadfadh antÚdarás um Shábháilteacht ar Bhóithre, mar shampla, sonraí a chur ar fáil le taispeáint go bhfuilgaol idir tiomáint faoi thionchar an óil agus timpistí bóthair.

Taispeánann an mhír seo duit conas comparáid a dhéanamh idir dhá thacar sonraí le fáil amachan bhfuil gaol eatarthu. Mar shampla, d'fhéadfá a bheith ag súil leis go mbeadh gaol idir líon nagcón uachtair reoite a dhíoltar i siopa cois farraige agus an mheánteocht i gcaitheamh an lae.

Bhailigh Sinéad agus a cara na sonraí seo a leanas chun é sin a fháil amach.

Meánteocht (°C) 10 12 16 20 13 16 14 17 19 20 21 16

Líon na gcón a díoladh 1 5 20 50 15 25 14 30 32 42 50 30

386

Bhreac siad gach péire luachanna, (10, 1), (12, 5), (13, 15) agus mar sin de, ar ghrafpháipéar.

D'úsáid siad an ais chothrománach don teocht agus an ais cheartingearach do líon na gcón uachtair reoite a díoladh.

Sonraí

dé-athráideacha

a thugtar arshonraí ar nós(10, 1) agus(12, 5) a bhíonnina bpéirí.

0

Lío

n n

a g

cón

a d

íola

dh

75Meánteocht i rith an lae (°C)

9 11 13 15 17 19 21 226 8 10 12 14 16 18 20

20

40

60

10

30

50

Scaipléaráid nó scaipghraf a thugtar ar na pointí atá breactha thuas.

Taispeánann an léaráid go dtagann ardú ar líon na gcón uachtair reoite a dhíoltar de réirmar a thagann ardú ar an teocht. Léiríonn sé sin go bhfuil gaol idir an teocht agus líon nagcón uachtair reoite a dhíoltar.

Má bhíonn na pointí ar scaipghraf ar líne dhíreach, a bheag nó a mhór, deirimid go bhfuilgaol líneach idir an dá thacar sonraí. Dá ghaire na pointí do líne dhíreach is ea is láidre abheidh an gaol.

Sampla 1

Agus é ar aistear idir dhá bhaile, bhreac Aindriú síos líon na gciliméadar a bhí fágtha ar an aistear. Rinne sé é sin gach deich nóiméad. Taispeántar sa tábla thíos na sonraí a bhreac sé síos.

Fad ama (nóim.) 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

Líon na gciliméadar 72 60 50 42 40 32 25 18 10 0

Tarraing scaipghraf chun na sonraísin a léiriú.

Taispeánann an scaipghraf go bhfuilgaol líneach idir an dá thacar sonraí.Dá mhéad an t-am atá caite agtaisteal, is ea is lú líon na gciliméadaratá fágtha.

0Lío

n n

a g

cilim

éad

ar a

tá fá

gth

a

200Fad ama (nóiméid) 40 60 80 10010 30 50 70 90

20

40

60

10

30

50

70

80

387

Uaireanta ní bhíonn aon ghaol idir dhá thacar sonraí.

Sa tábla thíos taispeántar an gaol idir teocht agus báisteach gach Domhnach i gcaitheamh tréimhse 11 seachtain.

Teocht (ina °C) 20 21 24 26 30 33 34 35 38 40 44

Báisteach (mm) 12 4 22 8 16 4 2 10 14 0 2

Seo é scaipghraf na sonraí.

Dealraíonn sé nach bhfuil aon ghaol idiran dá thacar sonraí mar go bhfuil na pointíscaipthe go maith óna chéile agus nachbhfuil aon phatrún líneach ann.

Comhchoibhneas

Comhchoibhneas a thugar ar neart an ghaoil idir dhá thacar sonraí. Má bhíonn na pointíar scaipghraf ar líne dhíreach nó gar do bheith ar líne dhíreach, deirtear go bhfuilcomhchoibhneas láidir ann.

Sna trí scaipghraf thíos taispeántar cineálacha éagsúla gaoil idir dhá thacar sonraí.

De réir mar a thagann méadúar luach amháin, tagann méadúar an gceann eile freisin. Tá comh-

choibhneas deimhneach ann.

De réir mar a thagann méadúar luach amháin, tagann laghdúar an gceann eile. Tá comh-

choibhneas diúltach ann.

Tá na pointí eagraithe go randa-mach agus tá siad scaipthe amachgo leathan óna chéile. Níl aon

chomhchoibhneas ann.

D'fhéadfadh comhchoibhneas deimhneach láidir nó lag a bheith ann, agus d'fhéadfadh comhchoibhneas diúltach láidir nó lag a bheith ann. Sna scaipléaráidí thíos léirítear cineálacha éagsúla comhchoibhnis.

Comhchoibhneas deimhneach láidir

Comhchoibhneas deimhneach lag

Comhchoibhneas diúltach láidir

Comhchoibhneas diúltach lag

Níl comhchoibhneasann

0

Bái

stea

ch (m

m)

2520

Teocht (°C)

30 35 40 45

10

20

388

Sampla 2

Taispeántar meáchan agus airde dháréag sa tábla.

Airde(cm) 150 152 155 158 158 160 163 165 170 175 178 180

Meáchan(kg) 57 62 63 64 58 62 65 66 65 70 66 67

(i) Tarraing scaipghraf chun na sonraí sin a thaispeáint. (ii) Déan cur síos ar neart agus ar chineál an chomhchoibhnis idir na hairdí

agus na meáchain sin.

(i) Tarraingímid dhá ais ag dronuillinneacha. Cuirimid na hairdí ar an ais chothrománach. Tosaímid le 140 cm agus téimid suas go dtí 180 cm. Cuirimid na meáchain ar an ais cheartingearach, ag tosú ag 55 kg agus ag dul suas go dtí 70 kg. Ansin breacaimid na pointí (150, 57), (152, 62), … etc. Taispeántar an scaipghraf thíos.

55

Meá

chan

(kg

)

150140

Airde (cm)

160 170 180

60

65

70

(ii) Is comhchoibhneas deimhneach lag atá ann mar nach bhfuil na pointían-ghar do bheith i líne dhíreach. Tá an comhchoibhneas deimhneach margo méadaíonn an meáchan de réir mar a mhéadaíonn an airde go ginearálta.

389

Cleachtadh 13.5

1. Taispeántar ceithre scaipghraf thíos.

A B C D

(i) Cé acu de na graif sin a thaispeánann an comhchoibhneas deimhneach is láidre? (ii) Cé acu de na graif sin a thaispeánann comhchoibhneas diúltach? (iii) Cé acu de na graif sin a thaispeánann an comhchoibhneas is laige?

2. Seo sceitsí de shé scaipghraf: A B C

D E F

Cé acu léaráid(í) a thaispeánann (i) comhchoibhneas deimhneach (ii) comhchoibhneas diúltach (iii) nach bhfuil comhchoibhneas ann (iv) comhchoibhneas diúltach láidir? Déan cur síos ar an gcomhchoibhneas i ngraf F.

3. Sa scaipghraf seo taispeántar líon na leabhar atá léite ag roinnt páistí agus aois léitheoireachta na bpáistí sin. (i) Cé mhéad páiste a

bhfuil níos mó ná 100leabhar léite acu?

(ii) Tá 50 leabhar léite agduine de na páistí sin.Cad é aois léitheoir-eachta an pháiste sin?

(iii) Déan cur síos ar an ngaola thaispeánann an scaipghraf.

7

Aoi

s lé

itheo

ireac

hta

(blia

nta)

200Líon na leabhar atá léite

40 60 80 100 120 140 160

8

9

10

11

390

4. Taispeántar sa scaipghraf ar dheis na marcannaa fuair 100 dalta ina dtriailscrúduithe agus inascrúduithe deiridh.

(i) Déan cur síos ar an gcomhchoibhneas a thaispeántar sa ghraf.

(ii) Cad is féidir leat a rá faoin ngaol idir namarcanna a fuair na daltaí sna triailscrúduitheagus na marcanna a fuair siad sna scrúduithedeiridh?

5. Taispeántar sa scaipléaráid seo meáchan, ina kg, agus airde, ina cm, 20 ball de chlub cispheile (is fir iad ar fad).

50

Meá

chan

(kg

)

170160Airde (cm) 180 190 200 210

60

70

80

90

100

(i) Scríobh síos meáchan an fhir is troime. (ii) Scríobh síos airde an fhir is ísle. (iii) Tá fear amháin an-trom ar fad i gcomparáid lena airde.

Scríobh síos airde agus meáchan an fhir sin. (iv) Déan cur síos ar an gcomhchoibhneas a thaispeántar sa ghraf seo.

6. Cuirtear dhá thástáil ar gach duine de dheichniúr páistí. Roinnt puzal a bhaineann le

huimhreacha atá i gceann de na tástálacha. Sa tástáil eile ní mór do na páistí na botúin ibpictiúir a thabhairt faoi deara. Taispeántar sa tábla na scóir a fuair na páistí sin snatástálacha.

Páiste A B C D E F G H I J

Scór i bpuzal na n-uimhreacha 12 7 10 3 7 10 5 5 12 14

Scór i bpuzal na bpictiúr 3 12 7 16 10 5 14 12 5 1

(i) Tarraing scaipghraf chun na sonraí sin a thaispeáint. (Cuir scór na n-uimhreacha ar an ais chothrománach.)

(ii) Déan cur síos ar neart agus ar chineál an chomhchoibhnis idir na scóir seo. An gcuireann an cineál comhchoibhnis iontas ort? Mínigh.

0

Mar

c d

eiri

dh

600Marc trialach

70 80 90 100

60

70

80

90

100

391

7. Ba mhian le Ben rothar athláimhe a cheannach. Feiceann sé an ceann atá uaidhar láithreán gréasáin agus breacann sé síos an aois agus an praghas.

Aois (blianta) 6 3 2 4 6 1 4 8 2 7

Praghas (E) 60 180 240 120 100 280 160 40 200 50

(i) Tarraing scaipghraf den fhaisnéis seo ar ghrafpháipéar, ag cur na haoise ar an ais chothrománach.

(ii) Cad a insíonn an scaipghraf duit faoin gceangal idir aois na rothar seo agus a bpraghas?

(iii) Déan cur síos, in dhá fhocal, ar an gcomhchoibhneas atá ann.

8. Taispeántar sa tábla na marcanna a fuair 15 dhalta a rinne Páipéar 1 agus Páipéar 2de scrúdú matamaitice. Marcáladh an dá pháipéar as 40.

Páipéar 1 36 34 23 24 30 40 25 35 20 15 35 34 23 35 27

Páipéar 2 39 36 27 20 33 35 27 32 28 20 37 35 25 33 30

(i) Tarraing scaipléaráid chun an fhaisnéis sin a thaispeáint.

(ii) Déan cur síos ar an gcomhchoibhneas a thaispeántar sa scaipléaráid.

9.

Taispeántar ceithre scaipghraf thuas. I gcás gach ceann de na cásanna seo a leanas, roghnaigh an ceann is oiriúnaí de na scaipghraif. Mínigh do rogha i ngach cás.

(i) Airde buachaillí agus a méid bróige.

(ii) Meáchan fear agus an t-am a thógann sé orthu crosfhocal a chríochnú.

(iii) Aois carranna agus a bpraghas díola.

(iv) Na marcanna a baineadh amach i bPáipéar 1 na Matamaitice agus i bPáipéar 2 na

Matamaitice.

10. Déan cur síos ar an gcineál comhchoibhnis a mbeifeá ag súil leis idir:

(i) aois báid agus a praghas díola athláimhe,

(ii) airde páistí agus an aois atá acu,

(iii) méid bróige páistí agus an fad a thaistealaíonn siad chun na scoile,

(iv) an méid ama a chaitear ag féachaint ar an teilifís agus an méid ama a chaitear ag staidéar,

(v) líon na gcarranna ar an mbóthar agus líon na dtimpistí.

A B C D

392

Mír 13.6 Comhchoibhneas a thomhas Tá na pointí ar an scaipghraf ar dheis i líne dhíreach.

Sa chás seo deirimid go bhfuil comhchoibhneas deimhneach

foirfe idir an dá athróg.

Má úsáidimid an litir r le seasamh don chomhchoibhneas agusmá bhíonn comhchoibhneas deimhneach foirfe ann, deirimidgo bhfuil r 5 1.

Sa léaráid thíos, tá comhchoibhneas diúltach foirfe ann agus tá r 5 21.

020

r ��1

4 61 3 5 7

2

4

6

1

3

5

7

Tá luach idir 1 agus 21 ag gach comhchoibhneas eile.

Mura mbíonn aon chomhchoibhneas ann, bíonn r 5 0.

Comhéifeacht an chomhchoibhnis a thugtar ar luach r.

Tugann na scaipléaráidí thíos samplaí de roinnt luachanna de r.

Comhchoibhneas diúltach foirfe

r � �1

Comhchoibhneas diúltach ard

r � �0.7

Níl comhchoibhneasannr � 0

Roinnt comhchoibhneasdeimhneach

r � 0.5

Comhchoibhneas deimhneach foirfe

r � 1

020

r � 1

4 61 3 5 7

2

4

6

1

3

5

7

393

Sampla 1

Taispeántar thíos ceithre scaipghraf A, B, C agus D.

C DA B

Seo sé cinn de chomhéifeachtaí comhchoibhnis (i.e. luachanna do r)

0.2, �0.8, �0.2, 0, 0.9, �0.6

I gcás gach ceann de na scaipghraif A, B, C agus D thuas, roghnaigh an chomhéifeachtcomhchoibhnis (as na cinn atá tugtha) ar mó an seans go maitseálfaidh sí an scaipghraf.

A: �0.6 B: 0.9 C: 0 D: �0.8

Cleachtadh 13.6

1. Déan cur síos in dhá fhocal ar an gcomhchoibhneas atá léirithe thíos.

Cé acu de na huimhreacha seo is dóichí a sheasfaidh don chomhchoibhneas seo?

�0.8, 0.9, 0, 0.1, 0.7

2. Taispeántar thíos ceithre scaipghraf A, B, C agus D.

BA C D

Meaitseáil ceann de na huimhreacha seo a leanas le gach ceann de na graif thuas ionas gurb í an uimhir sin is fearr a léiríonn an comhchoibhneas:

0.1, �0.4, 1, �1, 0.6 �0.8, 0.8

394

3. Tarraing scaipghraf ar leith chun gach ceann de na comhéifeachtaí comhchoibhnis seo a leanas a léiriú:

(i) 1 (ii) �0.9 (iii) 0.5 (iv) 0

4. Cé acu de na huimhreacha seo a léiríonn ‘comhchoibhneas diúltach láidir’?

(i) 0.3 (ii) �0.1 (iii) 1 (iv) �0.9 (v) �0.5

5. Cé acu de na comhéifeachtaí comhchoibhnis seo is fearr a léiríonn an comhchoibhneas a thaispeántar sa léaráid thíos?

(i) 0.8 (ii) �0.8 (iii) �1 (iv) 0.5

6. Cé acu de na comhéifeachtaí comhchoibhnis seo a thaispeánann an comhchoibhneas is láidre?

(i) 0.7 (ii) �0.2 (iii) �1 (iv) 0.9

7. Cé acu de na comhéifeachtaí comhchoibhnis seo a thaispeánann an comhchoibhneas is laige?

(i) �0.8 (ii) 0.1 (iii) �1 (iv) 0.9

8. Maidir le gach cur síos thíos, meaitseáil ceann de na comhéifeachtaí comhchoibhnis seo leis:

0.9, �0.1, �1, �0.8 0, 0.2

(i) Comhchoibhneas deimhneach láidir (ii) Comhchoibhneas diúltach láidir

(iii) Níl comhchoibhneas ann (iv) Comhchoibhneas diúltach foirfe

(v) Comhchoibhneas diúltach an-lag (vi) Comhchoibhneas deimhneach an-lag

Mír 13.7 Gaolta cúisíocha agus comhchoibhneas Braitheann praghas carr athláimhe, i measc rudaí eile, ar aois an chairr. Aois an chairr is

cúis le praghas an chairr a bheith ag laghdú. Deirimid go bhfuil gaol cúisíoch idir praghas an chairr agus aois an chairr.

Sainmhíniú Cuir i gcás go dtagann athrú ar athróg amháin. Más cúis é sin le hathrú ar athróg eile, deirimid go bhfuil gaol cúisíoch eatarthu.

395

Sa scaipghraf thíos taispeántar an gaol idir díolacháin deochanna fuaraithe agus an teocht.Tá an comhchoibhneas láidir agus deimhneach. Bheifeá ag súil leis sin mar, de ghnáth,thiocfadh méadú ar dhíolacháin deochanna fuaraithe mar thoradh ar ardú teochta.

0

Teo

cht

(°C

)

100Díolacháin deochanna fuaraithe

20 30 40 50 60

10

20

30

5

15

25

35

Mar sin bheadh sé réasúnta an tátal a bhaint go bhfuil gaol cúisíoch idir díolacháin deochanna fuaraithe agus ardú teochta.

Sa scaipléaráid thíos taispeántar líon na ríomhairí glúine agus líon na gcuisneoirí a dhíol siopa earraí leictreacha i gcaitheamh tréimhse deich mí.

0

Lío

n n

a g

cuis

neo

irí a

dío

lad

h

Líon na ríomhairí glúine a díoladh

100 20 30 40 50 60

20

40

60

Taispeánann an graf go bhfuil comhchoibhneas deimhneachcuibheasach láidir idir líon na ríomhairí glúine a díoladh aguslíon na gcuisneoirí a díoladh. Ní chiallaíonn sé sin, áfach, gobhfuil gaol cúisíoch eatarthu; ní cheannóidh tú cuisneoir toiscgur cheannaigh tú ríomhaire glúine.

Cleachtadh 13.7

1. Cé acu de na péirí athróg seo a leanas ar dócha go bhfuil gaol cúisíoch eatarthu? (i) Díolacháin teilifíseanna agus díolacháin taifeadáin DVD. (ii) Méid innill cairr agus an méid peitril a chaitheann sé. (iii) Marcanna i do thástáil mhatamaitice agus an fad ón scoil atá cónaí ort, ina chiliméadair. (iv) Díolacháin glasraí agus díolacháin seacláide. (v) Díolacháin ríomhairí agus díolacháin bogearraí. (vi) An teocht taobh amuigh agus an méid gáis a úsáidtear le haghaidh teas lárnach.

Má bhíonn comhchoibhneas ann, nígá go gciallódh sé sin gobhfuil gaol cúisíoch ann.

396

2. Sa scaipghraf taispeántar aois carranna agus líon na gciliméadar atá déanta acu.

0

Lío

n n

a g

cilim

éad

ar a

tá d

éan

ta

10Aois (blianta)

2 3 4 5 6

10 000

20 000

30 000

40 000

50 000

(i) Tá ceann de na carranna sin 4 bliana d'aois. Cé mhéad ciliméadar atá déanta ag an gcarr sin?

(ii) Déan cur síos ar an ngaol a thaispeánann an scaipghraf seo.

(iii) An bhfuil gaol cúisíoch idir na hathróga sin? Mínigh do fhreagra.

(iv) I gcás ceann amháin de na carranna sin, níl a aois agus líon na gciliméadar atá déanta aige ag teacht leis an bpatrún ginearálta. (a) Cén aois atá ag an gcarr sin agus cé mhéad ciliméadar atá déanta aige? (b) Tabhair cúis a d’fhéadfadh a bheith leis na torthaí don charr sin a bheith

difriúil leis na torthaí don chuid eile de na carranna.

3. Sa scaipghraf thíos taispeántar an gaol idir aois agus praghas gluaisrothar athláimhe.

0

Prag

has

an

gh

luai

sro

thai

r

10

Aois (blianta)

2 3 4 5 6 7 8 9 10

�1000

�2000

(i) Déan cur síos ar an gcomhchoibhneas a thaispeántar sa scaipghraf seo.

(ii) An bhfuil gaol cúisíoch idir na hathróga? Mínigh do fhreagra.

397

4. Tomhaiseadh líon na n-uaireanta cloig gréine agus an uasteocht ag ionad saoire cois farraige seacht lá i mí an Mheithimh.

Uaireanta cloig gréine 5 9 8 6 5 2 4

Teocht (°C) 26 30 29 26 24 19 23

(i) Breac na sonraí sin ar scaipghraf. Bain úsáid as na scálaí atá le feiceáil thíos.

0

Teo

cht

(°C

)

20Uaireanta cloig gréine

4 6 81 3 5 7 9

22

23

24

25

21

20

19

18

(ii) Déan cur síos ar an ngaol a thaispeánann do scaipghraf.

(iii) An bhfuil gaol cúisíoch idir líon na n-uaireanta cloig gréine agus an uasteocht ag an ionad saoire? Mínigh do fhreagra.

5. Tá siopa beag earraí leictreacha sa bhaile mór. Bhreac an bainisteoir síos líon na dteilifíseanna agus líon na raidiónna a díoladh gach bliain ar feadh 10 mbliana. Taispeántar na torthaí sa tábla thíos.

Bliain 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Líon na dteilifíseán 60 68 73 80 85 88 90 96 105 110

Líon na raidiónna 80 60 72 65 60 55 52 44 42 36

(i) Agus tú ag úsáid scálaí ó 50 go 120 do dhíolacháin na dteilifíseán agus ó 30 go 90 do dhíolacháin na raidiónna, tarraing scaipghraf.

(ii) Cén sórt comhchoibhnis a chuireann an scaipghraf in iúl?

(iii) An bhfuil gaol cúisíoch idir díolacháin na dteilifíseán agus díolacháin na raidiónna? Mínigh do fhreagra.

398

Cuir triail ort féin 13 1. Breacadh síos líon na ríomhairí glúine a dhíol siopa gach mí ar feadh tréimhse 23 mí.

Taispeántar na torthaí sa léaráid ghais is duillí thíos.

gas duillí

1 8 9

2 3 6 7 9

3 2 6 6 6 7 8

4 4 5 5 7 7 7 7

5 2 7 8 9 Eochair: 1|8 5 18 ríomhaire glúine

(i) Cad é an líon ríomhairí glúine módúil a díoladh?

(ii) Scríobh síos an t-airmheán.

(iii) Faigh an cheathairíl íochtarach.

(iv) Faigh an cheathairíl uachtarach.

(v) Oibrigh amach an raon idircheathairíle.

2. Seo na marcanna a fuair 19 gcailín i dtástáil eolaíochta:

54 42 61 47 24 43 55 62 30 27

28 43 54 46 25 32 49 73 50

(i) Déan léaráid ghais is duillí chun na torthaí sin a chur i láthair.

(ii) Scríobh síos raon na marcanna.

(iii) Cad é an cheathairíl íochtarach?

(iv) Cad é an cheathairíl uachtarach?

(v) Scríobh síos an raon idircheathairíle.

3. Sa léaráid ghais is duillí seo a leanas taispeántar na méideanna airgid a chaith grúpa mic léinn choláiste oíche Aoine áirithe.

Mic léinn fir Mic léinn mhná

Eochair: 5|4 � E45

8 0 6

Eochair: 3|5 � E35

7 6 5 1 0 5 5 5 8 8

9 9 9 8 6 6 2 5 5 8 8 9

8 8 5 5 5 3 5 5

8 5 4 0

(i) Cé mhéad mac léinn a bhí sa ghrúpa?

(ii) Scríobh síos an méid airgid ba mhó a chaith na mic léinn fir.

(iii) Cad é an méid airgid airmheánach a chaith na mic léinn mhná?

(iv) Cad é an méid airgid airmheánach a chaith na mic léinn fir?

(v) An iad na mic léinn fir nó na mic léinn mhná a chaith an méid ba mhó airgid?Mínigh do fhreagra.

399

4. E1800 an costas iomlán a bhí ar shaoire áirithe. Taispeántar sa phíchairt na codanna éagsúla den chostas sin.

(i) Cé mhéad a caitheadh ar bhia? (ii) Cé mhéad a caitheadh ar thaisteal? (iii) Cé mhéad a caitheadh ar an óstán? (iv) Cé mhéad a caitheadh ar rudaí eile?

5. Taispeántar sa tábla teocht uisce agus é ag fuarú i reoiteoir.

Fad ama(nóiméid) 5 10 15 20 25 30

Teocht(°C) 36 29 25 20 15 8

(i) Tarraing scaipléaráid chun an fhaisnéis sin a léiriú. Bíodh an teocht ar an ais chothrománach.

(ii) Cén cineál comhchoibhnis a thaispeántar?

6. Taispeántar thíos ceithre scaipléaráid A, B, C agus D.

A B C D

(i) Cén léaráid a thaispeánann nach bhfuil comhchoibhneas ann?

(ii) Cén léaráid a thaispeánann comhchoibhneas diúltach?

(iii) Cén léaráid a thaispeánann comhchoibhneas deimhneach lag?

(iv) I gcás gach ceann de na comhéifeachtaí comhchoibhnis seo, cén ceann de na léaráidí thuas lena mbaineann sé? (a) 0.8 (b) 0 (c) �0.7 (d) 0.3

7. Dá mbreacfá síos torthaí a bhaineann leis na hathróga seo agus dá dtarraingeofá scaipléaráid, cén cineál comhchoibhnis a mbeifeá ag súil leis?

Déan cur síos ar gach comhchoibhneas ar cheann de na bealaí seo: (a) deimhneach (b) diúltach (c) níl comhchoibhneas ann

(i) líon na ndaoine i siopa; earraí a díoladh (ii) díolacháin cumhráin; méid airgid caite ar fhógraíocht le haghaidh cumhráin (iii) ráta breithe; ráta boilscithe (iv) an teocht taobh amuigh; díolacháin uachtar gréine (v) fad (ó thuaidh) ón meánchiorcal; uaireanta cloig solais ón ngrian sa gheimhreadh.

Rudaí eile

Taisteal30°

60°

100°

Óstán

Bia170°

400

8. I gcás gach ceann de na cineálacha sonraí seo a leanas, mol an cineál léaráide a bheadh oiriúnach chun é a chur i láthair: (i) dathanna na ngeansaithe i siopa (ii) an fad slí ón scoil agus an t-am a thógann sé chun taisteal go dtí an scoil (iii) comparáid a dhéanamh idir na torthaí a fuair na buachaillí agus na torthaí a

fuair na cailíní i dtástáil mhatamaitice nuair is 30 dalta atá sa rang (iv) tír bhunaidh grúpa inimirceach go hÉirinn (v) an sciar faoin gcéad de mhargadh grósaireachta na hÉireann atá ag sé

mhórshraith ollmhargaí (vi) luas carranna agus líon na dtimpistí tráchta.

9. Taispeánann an histeagram ar dheis dáileadh áirithe.

(i) Déan cur síos ar an dáileadh seo. (ii) Tabhair dhá shampla ón saol de

dháileadh den chineál seo.

10. Cuireann an histeagram thíos dáileadh i láthair.

020 4 6 7 8 91 3 5 10

20

40

60

10

30

50

70

(i) Mínigh an fáth a bhfuil sceabha faoin dáileadh.

(ii) An sceabha deimhneach nó diúltach atá faoi? (iii) Tabhair sampla amháin ón saol den chineál seo dáilte.

11. (i) Déan cur síos ar an dáileadh a thaispeántar thíos.

020 4 6 7 8 91 3 5 10

20

40

60

10

30

50

70

(ii) Tabhair sampla ón saol de dháileadh atá sceabhach ar an gcaoi seo.

020 4 6 7 8 91 3 5 10

20

40

60

10

30

50

70

401

12. Seo léaráid ghais is duillí chúl le cúl a thaispeánann rátaí cuisle grúpa fear agus ban.

Fir Mná

Eochair: 1|4 � 41 bsn

5 1 4

Eochair: 5|3 � 53 bsn

7 4 2 5 3

8 2 0 6 1 2

5 2 7 4 4 5 8 9

6 2 8 2 5 7

4 9 2 8

(i) Cé mhéad fear a ndearnadh tástáil orthu? (ii) Cén ráta cuisle airmheánach a bhí ag na

(a) fir (b) mná? (iii) Cad é an raon rátaí cuisle a bhí ag na fir? (iv) I do thuairim, cén grúpa a raibh an ráta cuisle ab airde acu ar an iomlán?

Cosain do fhreagra.

402

�� Barrachairteacha agus píchairteacha

1. Is féidir úsáid a bhaint as barrachairteacha chun patrúin nó treochtaí sna sonraí a thaispeáint. Bíonn na barraí ar comhleithead agus bíonn bearnaí eatarthu.

2. Taispeánann píchairteacha conas a roinntear nó a dháiltear cainníocht éigin. Freagraíonn uillinn do gach teascóg sa phíchairt agus is é 360° suim na n-uillinneacha sin ar fad.

Léaráidí gais is duillí

1. Coinníonn léaráid ghais is duillí na luachanna sonraí ar fad agus taispeánann sí cruth an dáilte.

2. Is féidir comparáid a dhéanamh idir dhá thacar sonraí le léaráid ghais is duillí chúl le cúl ach úsáid a bhaint as leathadh na sonraí nó as tomhas éigin eile, m.sh. an t-airmheán.

Cruth an dáilte

Taispeánann histeagraim leathadh na sonraí agus cruth an dáilte. Taispeántar thíos trí cinn de na cruthanna is coitianta.

Dáileadh siméadrach Dáileadh a bhfuil sceabha deimhneach faoi

Dáileadh a bhfuil sceabha diúltach faoi

Scaipghraif agus comhchoibhneas

1. Baintear úsáid as scaipghraif le taispeáint an bhfuil gaol idir dhá thacar sonraí.

2. Is éard is comhchoibhneas ann ná tomhas ar cé chomh láidir is atá an gaol idir dhá athróg.

3. Dá ghaire na pointí ar scaipghraf do líne dhíreach is ea is láidre atá an gaol.

Comhchoibhneas deimhneach láidir

Comhchoibhneas deimhneach lag

Comhchoibhneas diúltach láidir

Comhchoibhneas diúltach lag

Níl comhchoibhneasann

4. Cuir i gcás go dtagann athrú ar athróg amháin. Más cúis dhíreach é sin le hathrú ar athróg eile, deirtear go bhfuil gaol cúisíoch eatarthu.

5. Má bhíonn comhchoibhneas ann, ní gá go gciallódh sé sin go bhfuil gaolcúisíoch ann.

403

��Píotagarás triantán dronuilleach síneas comhshíneas tangant

slios urchomhaireach slios cóngarach taobhagán compás teascóg

riail an tsínis riail an chomhshínis stua ceathrúna uillinn tagartha foirm surda

Mír 14.1 Teoirim Phíotagarás Taispeántar triantán dronuilleach san fhíor ar dheis.

An taobhagán a thugtar ar an slios atá os comhair na dronuillinne(= urchomhaireach leis an dronuillinn).

Is le matamaiticeoir as an nGréig darbh ainm Píotagarás aluaitear cruthú teoirime an-tábhachtaí a bhaineann letriantáin dhronuilleacha.

Teoirim Phíotagarás a thugtar ar an teoirim sin agustugtar thíos í.

Teoirim Phíotagarás

I dtriantán dronuilleach, bíonn achar na cearnóige atharraingítear ar an taobhagán cothrom le suim achairna gcearnóg a tharraingítear ar an dá shlios eile.

Sampla 1

Faigh fad an tsleasa x ar an triantán dronuilleach seo.

x 2 � 82 � 52

x 2 � 64 � 25 x 2 � 89 x � √

___ 89

x � 9.4 cm

5 cm

x8 cm

Taobhagán

a2 � b2 � c2

ba

c

TriantánachtTriantánachtTriantánachtTriantánachtTriantánachtTriantánachtTriantánachtTriantánacht � ��

�

14

404

Cleachtadh 14.1

1. 23 cm2 atá in achar chearnóg A agus 35 cm2

atá in achar chearnóg C.

Faigh achar chearnóg B.

2. Bain úsáid as an bhfíor i gCeist 1 chun achar chearnóg C a fháil sa chás gur 17 cm2

atá in achar chearnóg A agus 14 cm2 atá in achar chearnóg B.

3. Tá achair 18 cm2, 21 cm2 agus 39 cm2 i dtrí chearnóg. An féidir na cearnóga a chur ina luí go díreach ar feadh shleasa triantáin dhronuilligh? Tabhair míniú le do fhreagra.

4. Ríomh fad an tsleasa atá marcáilte le litir i ngach ceann de na triantáin seo: (Tabhair an freagra ceart go dtí ionad deachúlach amháin nuair is gá.) (i) (ii) (iii)

(iv) (v) (vi)

(vii) (viii) (ix)

5. Tá dronuilleog 10 cm ar fad agus 8 cm ar leithead. Ríomh fad an trasnáin. Tabhair do fhreagra ina cheintiméadair,ceart go dtí ionad deachúlach amháin.

A

C

B

3 cm

2 cm

a

6 cm

11 cmb

3 cm

9 cm

c

6 cm4 cm

d

12 cm

9 cm

e

5 cm

13 cmf

9 cm

13 cm

g

3.8 cm

5.2 cm

h

14 cm

10.8 cm i

10 cm

8 cm

405

6. Bain úsáid as an ngreille ar dheis chun faid [PR] agus [QR] a scríobh síos. Uaidh sin faigh fad [PQ], ceart go dtíionad deachúlach amháin.

7. Caitheann bratach ghailf scáth 3 m ar fad.Más 4 m atá san fhad ó bharr an chrainn bhrataí go deireadh an scátha, faigh an airde, f, ina méadair, ceart go dtí ionad deachúlach amháin.

8. I gcás na fíorach ar dheis, uABu 5 10 cm, uADu 5 5 cm agus uDCu 5 6 cm. Is dronuillinneacha iad na huillinneachaag A agus D. Faigh fad [BC].

9. Taispeántar sa léaráid an triantán dronuilleach ABC. (i) Faigh fad [BD]. (ii) Faigh an fad [AD] ina cheintiméadair,

ceart go dtí ionad deachúlach amháin.

10. Tá an dá dhronuillinn marcáilte san fhíor ar dheis. Faigh fad c agus fad d.

11. Taispeánann an léaráid seilf chothrománach [AB]. Tá an tseilf daingnithe i mballa ceartingearach ag A. Tá an taca [CD] daingnithe sa bhalla ag C agussa tseilf ag D.uABu 5 23 cm, uACu 5 20 cm agus uBDu 5 8 cm.

Ríomh fad [CD].

y

xO

1

2

3

4

5

6

1 2

P

Q

R

3 4 5 6 7 8 9 10

f 4 m

3 m

6 cm

A

D

B

C

5 cm

10 cm

B

A

CD

9 cm

5 cm13 cm

26 cm

8 cm

6 cm

cd

20 cm

8 cmB

DA

C

23 cm

406

12. Faigh an toise atá ar iarraidh chun imlíne an tseomra ar dheis a oibriú amach. Bíodh do fhreagra ina mhéadair, ceart go dtí ionad deachúlach amháin.

Mír 14.2 Cóimheas an tsínis, an chomhshínis, agus an tangaint

Ceann de na bealaí is coitianta a n-úsáidtear an triantánacht ná chun faid na sleasa arthriantáin dhronuilleacha, agus méid na n-uillinneacha iontu, a oibriú amach. Tugtar sa bhoscathíos trí chóimheas an-speisialta a dhéanann ceangal idir uillinneacha agus sleasa.

sin A � slios urchomhaireach

______________________ taobhagán

cos A � slios cóngarach

_______________ taobhagán

tan A � slios urchomhaireach

___________________ slios cóngarach

slios urchomhaireach(le A)

slios cóngarach (do A)

A

taobhagán

Cuimhnigh: Sé hUibhe Tanaí, Cúig Chearc Thanaí, Trí hUibhe Caola.

Má thugtar dúinn go bhfuil cos A 5 34, is féidir linn sceitse

de thriantán dronuilleach a tharraingt, triantán ar abhfuil an slios cóngarach do A cothrom le 3 agus antaobhagán cothrom le 4.

Bainfimid úsáid anois as Teoirim Phíotagaráschun an tríú slios a fháil.

Sampla 1

Má tá tan B 5√

__ 5 ___

2 , faigh luach sin B agus luach cos B.

tan B 5√

__ 5 ___

2 ⇒ is ionann Î5 agus an slios urchomhaireach le B,

agus is ionann 2 agus an slios cóngarach do B.

Anois tarraing sceitse garbh de thriantán dronuilleach. Tugaimis x ar fhad an taobhagáin.

x 2 � 22 � ( √__

5 )2… ( √__

5 )2 � 5

x 2 � 4 � 5

x 2 � 9 ⇒ x � 3

Ón triantán: sin B � √

__ 5 ___

3 agus cos B � 2 __

3 .

x

2

5

B

2 m

6 m

8 m

3 m

x

3

4

A

Bíodh an tríú slios 5 x. x 2 � 32 � 42

x 2 � 9 � 16 x 2 � 7 � x 5 Î7

407

Cleachtadh 14.2

1. I gcás an triantáin ar dheis, luaigh cé acu síneas, comhshíneas nó tangant a dhéanann ceangal idir

(i) 3, 4 agus an uillinn A (ii) 4, 5 agus an uillinn A (iii) 3, 5 agus an uillinn A.

2. Faigh sin, cos agus tan na huillinne a bhfuil ceannlitir uirthi i ngach ceann dena triantáin seo a leanas:

A

53 13 2

1

12

5

4B

C

3

3. Faigh fad an tsleasa a bhfuil x air ar an triantán dronuilleach ar dheis. Scríobh síos uaidh sin a luach seo: (i) sin A (ii) cos A (iii) tan A.

4. Faigh luach a ar an triantán dronuilleach ar dheis. Scríobh síos uaidh sin a luach seo: (i) sin B (ii) cos B (iii) tan B.

5. Feicfidh tú sa léaráid ar dheis an uillinn uagus na trí shlios arthriantán dronuilleach. Luaigh cé acu sin u , cos u nó tan uatá i ngach ceann de na cóimheasa seo:

(i) 4 __ 5

(ii) 4 ____ √

___ 41 (iii) 5 ____

√___

41 .

6. Má tá cos B 5 513, tarraing sceitse garbh de thriantán dronuilleach agus bain úsáid

as chun na cóimheasa sin B agus tan B a scríobh síos.

7. (i) Má tá tan A 5 12, faigh sin A. (ii) Má tá cos B 5 2

5, faigh tan B.

8. Má tá tan C 5 1 ___ √

__ 3 , faigh luach sin C agus luach cos C.

9. Má tá tan A 5 34, faigh luach (sin2 A1 cos2 A).

10. Scríobh síos a luach seo de réir an triantáin ar dheis: (i) sin2 A � cos2 A (ii) sin2 B � cos2 B.

Má tá an méid sin i gceart agat,tá tú tar éis rud fíorthábhachtacha fhíorú i dtaobh gach uillinne, i.e.,

A

53

4

13

12

A

x

3

B

a13

4

5

�

41

8

A

B

610

sin2 A � cos2 A � 1.

408

Mír 14.3 Áireamhán a úsáid Úsáidimid na heochracha sin , cos agus tan ar áireamhán leictreonach chun síneas, comh-

-shíneas agus tangant aon uillinne a fháil.

Chun sin 35º a fháil, cuir isteach sin 35 � .

Is é an toradh ná 0.573576… 5 0.5736, ceart go dtí 4 ionad dheachúlacha.

Codanna de chéim

Is féidir céim a roinnt ina 60 cuid.

Nóiméad a thugtar ar gach cuid. 1�an nod air sin.

Chun tan 34.5° nó 34°30� a fháil ar an áireamhán, is féidir ceachtar den dá mhodh seo a úsáid:

(34.5° 5 34°30�)

1. Le haghaidh tan 34.5° 2. Le haghaidh tan 34°30�

cuir isteach tan 34.5 � cuir isteach tan 34 °,,, 30 °,,, �

Toradh 5 0.6873 Toradh 5 0.6873

Na heochracha sin�1 cos�1 agus tan�1 a úsáid

Má insítear dúinn go bhfuil sin A 5 0.8661, gheobhaimid A ach an eochair sin�1 a úsáid.

Gheobhaimid an eochair sin�1 ach SHIFT sin a chur isteach.

Mar sin má tá sin A 5 0.8661, gheobhaimid A ach SHIFT sin 0.8661 � a chur isteach.

Is é an toradh ná 60.008° 5 60°.

Ar an gcaoi chéanna, má tá tan B 5 1.2734, gheobhaimid an uillinn B ach SHIFT tan 1.2734 �

a chur isteach.

Is é an toradh ná 51.86°… ceart go dtí dhá ionad dheachúlacha.

Sampla 1

(i) Faigh cos 72°18�, ceart go dtí 4 ionad dheachúlacha. (ii) Má tá sin A 5 0.5216, faigh A, ceart go dtí an chéim is gaire.

(i) Chun cos 72°18� a fháil, cuir isteach cos 72 °,,, 18 °,,, �

Is é an freagra ná 0.3040.

Nó 18� � 18 __ 60 ° � 0.3° ⇒ 72°18� � 72.3°

Mar sin, chun 72.3° a fháil, cuir isteach cos 72.3 �

(ii) Má tá sin A 5 0.5216, gheobhaimid A ach é seo a chur isteach:

SHIFT sin 0.5216 �

Is é an freagra ná 31.44°. � A 5 31°, ceart go dtí an chéim is gaire.

Úsáidtear °,,, faoi dhó.

1° � 60�

409

Nóta: Má thugtar sin A 5 47 duit, is féidir leat an uillinn A a fháil ar an áireamhán ar an gcaoi seo:

SHIFT sin 4 � 7 �

Is é an freagra ná 34.8°.

Cleachtadh 14.3

1. Bain úsáid as an áireamhán chun luach gach ceann díobh seo a leanas a fháil, ceart godtí 4 ionad dheachúlacha: (i) sin 48° (ii) cos 74° (iii) tan 15° (iv) sin 72° (v) cos 28.5°

2. Bain úsáid as an áireamhán chun a luach seo a fháil, ceart go dtí 4 ionad dheachúlacha: (i) sin 32°18� (ii) cos 43°24� (iii) tan 30°36� (iv) cos 73°54�

3. Bain úsáid as an áireamhán chun tomhas gach ceann de na huillinneacha seo a fháil, ceart go dtí an chéim is gaire: (i) sin A � 0.7453 (ii) cos B � 0.3521 (iii) tan C � 1.4538 (iv) cos A � 0.2154 (v) tan B � 0.8923 (vi) sin C � 0.2132

4. Faigh an luach atá ar A i ngach ceann díobh seo a leanas. Bíodh do fhreagra ina chéimeanna, ceart go dtí ionad deachúlach amháin. (i) sin A � 0.6 (ii) cos A � 0.7534 (iii) tan A � 3.84 (iv) cos A � 0.2715

5. Faigh tomhas na huillinne u , ceart go dtí an uillinn is gaire, i ngach ceann díobh seoa leanas:

(i) sin U � 2 _ 3 (ii) cos U � 3 _ 5 (iii) tan U � 7 _ 8 (iv) sin U � 2 _ 5

(v) tan U � 6 __ 11 (vi) sin U � 1 _ 5 (vii) cos U � 9 __ 11 (viii) tan U � 1 3 _ 5

6. Má tá cos A 5 0.5484 agus A , 90°, faigh A agus, uaidh sin, faigh luach sin A, ceart go dtí 2 ionad dheachúlacha.

7. Faigh, ceart go dtí an chéim is gaire, méid na n-uillinneacha AB agus C sna triantáinthíos:

A

106

8

3 5

4

B C

Mír 14.4 Triantáin dhronuilleacha a réiteach

Sa roinn seo bainfimid leas as cóimheas an tsínis, as cóimheas an chomhshínis agus as cóimheas antangaint le slios nach fios ar thriantán dronuilleach a fháil, nó le huillinn nach fios a fháil ann.

Nuair a bhíonn tú ag úsáid áireamháin chun síneas, comhshíneas nó tangant uillinne a fháil,scríobh an luach ceart go dtí 4 ionad dheachúlacha.

410

Sampla 1

Faigh fad an tsleasa a bhfuil x air ar an triantán ar dheis.

tan 32° �� x ___ 14

x � 14 � tan 32°

x � 14 � 0.6249

x � 8.75, ceart go dtí dhá ionad dheachúlacha.

32°

x

14

Sampla 2

I gcás an triantáin ar dheis, uABu 5 9 agus uBCu 5 13. Faigh u/ACBu, ceart go dtí an chéim is gaire.

tan ∠ACB � 9 __ 13

|∠ACB| � tan�1 9 __ 13

|∠ACB| � 34.695° Cuir isteach SHIFT tan 9 � 13 �

� 35°, ceart go dtí an chéim is gaire

C B

A

13

9

Cleachtadh 14.4

1. I gcás gach ceann de na triantáin seo, scríobh síos cén cóimheas triantánachtaa theastaíonn chun fad an tsleasa x a ríomh: (i) (ii) (iii)

2. Oibrigh amach fad an tsleasa a bhfuil litir air i gcás gach ceann de na triantáin seo aleanas. Bíodh gach freagra ceart go dtí ionad deachúlach amháin. (i) (ii) (iii)

10

x40°

x

54°10

x

32°12

33°

7x

42°

15y

58°12

z

411

3. Faigh fad an tsleasa a bhfuil x air ar na triantáin seo: Bíodh do chuid freagraí ceart go dtí ionad deachúlach amháin. (i) (ii) (iii)

4. Faigh méid na huillinne a bhfuil A uirthi i ngach ceann de na triantáin seo: Bíodh do chuid freagraí ceart go dtí an chéim is gaire. (i) (ii) (iii)

5. Faigh tomhas na n-uillinneacha p,q agus r i ngach ceann de na triantáin seo: Bíodh gach freagra ceart go dtí an chéim is gaire.

(i) (ii) (iii)

6. Cóipeáil agus críochnaigh an méid seo a leanas chun fad an tsleasa a bhfuil x air a fháil.

8 __ x

� cos 32°

x � cos 32° � 8

x � 8 _______ cos 32°

7. Faigh fad an taobhagáin, x, ar gach ceann de na triantáin seo: (i) (ii) (iii)

Bíodh gach freagra ceart go dtí ionad deachúlach amháin.

8. I gcás an triantáin ar dheis, faigh luach x agus luach y,ceart go dtí an tslánuimhir is gaire.

6

x

29°

15

x

48° 20x

34°

53

A

7

10

A

73

A

513p 25

10

q 9

15r

8

32°

x

8

42°

x

51°10

x

73°

18

x

37°62°

8

x

y

412

9. I gcás an triantáin ar dheis, faigh (i) x, ceart go dtí ionad deachúlach amháin (ii) an uillinn A, ceart go dtí an chéim is gaire.

10. Is dronuilleog í ABCD, mar atá le feiceáil. Má tá uDCu 5 11 cm agus u/BDCu 5 28°, faigh fadan trasnáin [DB]. Tabhair do fhreagra ina cheintiméadair, ceart go dtí ionad deachúlach amháin.

11. I gcás an triantáin ABC ar dheis, uABu 5 5 cm agus u/ABCu 5 90°. Pointe ar [CB] is ea D, agus uADu 5 uCDu. Má tá uDBu 5 12 cm, faigh (i) |AD|

(ii) |∠ACB|, ceart go dtí an chéim is gaire.

12. Sa léaráid ar dheis, uADu 5 6 cm, uDBu 5 9 cm, |∠CAD| � 35° agus CD�AB.Faigh (i) |CD|, ceart go dtí ionad deachúlach amháin. (ii) |∠CBD|, ceart go dtí an chéim is gaire.

13. Tá Paula ina seasamh ag pointe P ar bhruach abhann.Tá crann, C, ar an mbruach eile, trasna uaithigo ceartingearach. Siúlann sí fad slí 25 méadarar feadh bhruach na habhann go dtí pointe Q.Tomhaiseann sí an uillinn idir QC agus QP agusis é 38° an freagra a fhaigheann sí. Faigh leithead na habhann, ceart go dtí anméadar is gaire.

14. Ó phointe ar an talamh 20 m ó bhonn crainn, 47°atá san uillinn airde go dtí barr an chrainn. Ríomh airde an chrainn, ceart go dtí

A60°

20

8

x

28°11 cm

A B

D C

5 cm

12 cmDC

A

B

35°A

C

D B

9 cm6 cm

C

PQ 25 m

38°

47°

20 m

413

15. Ó phointe ar an talamh 10 m ó bhloc árasán, 76° atá san uillinn airde go dtí barr an bhloic.Ríomh airde an bhloic árasán, ceart go dtí an méadar is gaire.

16. Taispeántar sa léaráid trasghearradh dín. 7.5 m ar fad atá na sleasa. Tá an dá shlios claonta ar uillinn 32° leisan gcothromán. (i) Faigh an airde, h. (ii) Faigh leithead, w, an taca dín. Bíodh gach freagra ina mhéadair, ceart go dtí ionad deachúlach amháin.

17. Feicfidh tú sa léaráid thíos trasghearradh gleanna, ABCD.

50 m120 m

50 m23°

130 m

B C

D

Q

A

Px

Ríomh (i) an uillinn x, ceart go dtí an chéim is gaire (ii) uPBu, ina mhéadair, ceart go dtí an méadar is gaire

(iii) uCQu, ceart go dtí an méadar is gaire

(iv) an fad go díreach trasna an ghleanna ó A go D,ceart go dtí an méadar is gaire.

18. Tá Ryan agus Eimíle ag déanamh meastacháin ar airdecrann tarchurtha fóin. Seasann Ryan 15 m ón gcrann agus tomhaiseann sé gur60° atá san uillinn airde go dtí an barr.

Seasann Eimíle 25 m ón gcrann agus tomhaiseannsí gur 46° atá san uillinn airde go dtí an barr. An féidir go bhfuil siad beirt ceart? Pléigh.

19. I gcás an triantáin ar dheis, uABu 5 10 m, uBDu 5 2 magus u/ABCu 5 53°.

(i) Scríobh síos u/BACu. (ii) Faigh uBCu agus, uaidh sin, faigh uDCu.

20. 44° atá in uillinn luasctha iomlán luascadáin áirithe (22° an dá bhealach). Maidir le hairde bhun an luascadáin, oibrigh amach an difríocht idiran pointe is ísle sa luascadh agus an pointe is airde sa luascadh.Bíodh do fhreagra ceart go dtí an ceintiméadar is gaire.

32°32°

7.5 m 7.5 mh

w

uillinn airde

53°

10 m

2 mB

A

CD

44°

40 cm

414

Mír 14.5 Achar triantáin

Taispeántar sa léaráid an triantán ABC.

Úsáidimid ceannlitreacha le seasamh do na huillinneacha ag na reanna A, B agus C.

Úsáidimid na litreacha beaga a, b agus c le seasamh do na sleasa os comhair na n-uillinneacha A, B agus C.

Is é achar an chéad triantáin eile ar dheis ná 12 3 bonn 3 airde ingearach

� �� 1 _ 2 � a � h

Ach h __ c

� sin B

⇒ h � c � sin B

Mar sin is ionann 12 3 a 3 h agus 1

2 3 a 3 c 3 sin B

Achar � 12ac sin B

Is foirmle an-áisiúil é sin le hachar triantáin a fháil, má bhíonn a fhios agat cén fad atá indhá shlios air, agus má bhíonn an uillinn eatarthu sin ar eolas agat.

Achar triantáin

Achar triantáin � 1 _ 2 ab sin C

I bhfocail: Achar 5 An freagra a fhaigheann tú nuair a iolraíonn tú dhá shlios ar bith faoina chéile, agus an toradh a iolrú faoi shíneas na huillinne eatarthu.

C

b

a

Sampla 1

Faigh achar an triantáin ar dheis. Tá a fhios againn sa chás seo an fad atá in dhá shlios, agus an mhéid atá san uillinn eatarthu.

Achar � 1 _ 2 (7)(8) sin 46°

� �� (0.5)(7)(8) sin 46°

Agus áireamhán in úsáid agat, cuir isteach 0.5 � 7 � 8 � sin 46 �.

Is é an freagra ná 20.14 aonad cearnach, ceart go dtí 2 ionad dheachúlacha.

46°

8

7

B

A

BC

A

C

bc

a

B

c

a

A

CB

h

415

Sampla 2

Más ionann achar an triantáin ar dheis agus 40 cm2,faigh an uillinn A, ceart go dtí an chéim is gaire.

Achar an N � 1 _ 2 (10)(14) sin A

⇒ 1 _ 2 (10)(14) sin A � 40

⇒ 70 sin A � 40

⇒ sin A � 40 __ 70

⇒ A � sin�1 40 __ 70

Chun A a fháil, cuir isteach SHIFT sin 40 � 70 �

Is é an freagra ná 34.85°

; A � 35°, ceart go dtí an chéim is gaire.

A

14 cm

10 cm

Cleachtadh 14.5

1. Faigh achar gach ceann de na triantáin thíos. Bíodh do chuid freagraí ina cm2, ceart go dtí ionad deachúlach amháin. (i) (ii) (ii)

2. Faigh achar gach ceann de na triantáin seo ina cm2, ceart go dtí an tslánuimhir is gaire.

(i) (ii) (iii)

3. Faigh achar na fíorach ABCD. Bíodh do fhreagra ceart godtí an tslánuimhir is gaire.

10 cm

8 cm

37° 48°

5 cm

4 cm72°

6 cm4 cm

28°

6.4 cm

7.8 cm38° 48°

11 cm 9 cm

28° 120°

23 cm

14 cm

48°

68°7

12

10A

B C

D

416

4. Faigh achar an chomhthreomharáin seo, ceart go dtí an cm2 is gaire.

70°

24 cm

15 cm

Is féidir caitheamhle comhthreomharánmar dhá thriantán chomhionanna.

5. Faigh achar an triantáin ar dheis má tá sin u 5 0.7. Bíodh do fhreagra ceart go dtí an cm2 is gaire.

6. Tugtar achar an dá thriantán thíos. Ríomh tomhas an dá uillinn A agus B. Bíodh do fhreagra ceart go dtí an chéim is gaire sa dá chás.

Achar 5 29 cm2

A

10 cm

6 cm

Achar 5 47 cm2

B

14 cm

18 cm

7. 30 aonad cearnach atá in achar an triantáin ar dheis. Faigh fad an tsleasa a bhfuil x air, ceart go dtí ionad deachúlach amháin.

8. 43.3 cm2 an t-achar atá i dtriantán comhshleasach. Faigh fad an tsleasa ar an triantán.

9. I gcás an triantáin ar dheis, cos A 5 45.

Faigh luach sin A, gan áireamhán a úsáid. Uaidh sin faigh achar an triantáin.

10. Is ceapach talún thriantánach í RST. Tá uRTu 5 18 m agus uTSu 5 23 m. 207 m2 atá in achar na ceapaí. (i) Tarraing sceitse garbh den cheapach seo. (ii) Faigh u/RTSu. . (iii) Má dhúblaítear faid na sleasa ar an gceapach ach mura n-athraítear tomhas /RTS,

fiosraigh an ndúblaítear achar na ceapaí freisin. Tabhair míniú le do fhreagra.

�

22 cm

18 cm

x37°

12

A

20

28

417

11. Is mian le feirmeoir ceapach talún thriantánacha thabhairt dá iníon ar a mbeidh sí in ann teacha thógáil. Ar thaobh amháin den cheapach, tá fál ina theorainn agus, ar thaobh eile,tá bóthar ina theorainn.

Déanann an fál uillinn 78° leis an mbóthar. Más 20 méadar ar fad atá teorainn naceapaí leis an mbóthar, cá fhad atáteorainn na ceapaí leis an bhfálmás 1500 m2 atá inachar na ceapaí? Bíodh do fhreagra ceart go dtían méadar is gaire.

12. I gcás an triantáin ABC ar dheis, cos /BAC 5 15.

(i) Faigh sin /BAC i bhfoirm surda. (ii) Taispeáin gur féidir achar an triantáin ABC

a scríobh san fhoirm k √__

k , k ; N.Scríobh síos uaidh sin luach k.

Mír 14.6 Riail an tSínis Inár gcuid staidéir ar an triantánacht go dtí seo, is le triantáin dhronuilleacha den chuid bamhó a bhíomar ag plé.

Sa mhír seo beimid ag plé le Riail an tSínis, rud a chuireann ar ár gcumas sleasa agus uillinneachatriantáin a fháil nuair nach bhfuil dronuillinn ar bith sa triantán.

Riail an tSínis

I gcás triantáin ar bith ABC,

a _____ sin A

� b _____ sin B

� c _____ sin C

nó sin A _____ a

� sin B _____ b

� sin C _____ c

B C

Abc

a

Is féidir Riail an tSínis a chur i bhfocail freisin, mar a dhéantar sa bhosca thíos.

Slios ar bith

_______________________ síneas na huillinne os a chomhair

� Slios ar bith eile

_________________________ síneas na huillinne os a chomhair sin

Chun úsáid a bhaint as Riail an tSínis le triantán a réiteach,ní mór go mbeadh slios amháin agus an uillinn os a chomhairar eolas againn, chomh maith le huillinn nó slios amháin eile.

78°

20 m

6 cm5 cm

A

B C

Slios

?

Bóthar

418

Cé go bhfuil níos mó ann i dteoiric, ní úsáidtear i ngníomh ach dhá chuid de Riail an tSínisagus muid ag réiteach fadhbanna,

a _____ sin A

� b _____ sin B

nó sin A _____ a

� sin B _____ b

Sampla 1

Faigh, ceart go dtí an tslánuimhir is gaire, fad an tsleasaa bhfuil x air ar an triantán sa léaráid ar dheis.

Tá slios amháin 12 aonad ar fad, agus 34° atásan uillinn urchomhaireach.

De réir Riail an tSínis tá: x ______ sin 62°

� 12 ______ sin 34°

⇒ x ______ 0.8829

� 12 ______ 0.5592

cuir isteach sin 62 agus sin 34

⇒ x(0.5592) � 12(0.8829)

⇒ x � 12(0.8829)

_________ 0.5592

� 18.946 ⇒ x � 19

12

62° 34°

x

Sampla 2

Faigh méid na huillinne A, ceart go dtí an chéim is gaire. Uaidh sin faigh achar an triantáin ABC.

12 _______ sin 53°

� 14 _____ sin A

⇒ 12 ______ 0.7986

� 14 _____ sin A

⇒ 12 sin A � 14(0.7986)

⇒ sin A � 14(0.7986)

_________ 12

� 0.9317

⇒ A � sin�1 0.9317

Chun A a fháil, cuir isteach SHIFT sin 0.9317 � .


; A � 69°, ceart go dtí an chéim is gaire

Ach an uillinn B a fháil anois, gheobhaimid achar NABC.

B � 180° � 53° � 69° ⇒ B � 58°

Achar NABC � 1 _ 2 |AB|.|BC| sin B� �� (0.5)(12)(14) sin 58°� �� 71.236 Achar � 71.2 cm2

53°

12 cm

14 cm

A

B C

A

Chun slios a fháil, bíodh na sleasa ar barr. Chun uillinn a fháil, bíodh na huillinneachaar barr.

419

Cleachtadh 14.6

1. Faigh, ceart go dtí ionad deachúlach amháin, fad an tsleasa a bhfuil x air ar gach ceannde na triantáin seo: (i) (ii) (iii)

2. Faigh méid na huillinne a bhfuil litir uirthi i ngach ceann de na triantáin seo. Bíodh gach uillinn ceart go dtí an chéim is gaire agat. (i) (ii) (iii)

3. I gcás an triantáin thíos, u/BACu 5 71°, uBCu 5 22 cm agus uACu 5 15 cm.

22 cm

15 cm

71°

A

CB

Faigh (i) |∠ABC|, ceart go dtí an chéim is gaire (ii) |AB|, ceart go dtí an cm is gaire.

4. I gcás an triantáin ar dheis, uABu 5 22, u/BACu 5 65°agus u/ABCu 5 71°. Faigh, ceart go dtí an tslánuimhir is gaire, (i) |BC|

(ii) achar an triantáin ABC.

5. I gcás an triantáin ar dheis, uCDu 5 15 m, u/ADCu 5 30°, u/CADu 5 23° agus u/ABCu 5 90°.

Faigh ina méadair, ceart go dtí ionad deachúlach amháin,iad seo a leanas: (i) |AC|

(ii) |AB|.

68°

9

33°

x

38°

44°

10

x

21°

58°

26

x

A

1118

66°

B

9

16

26°C

14

12

56°

65°

71°

22

A

CB

30°

15 m

23°

A

B CD

420

6. 40° atá in uillinn airde barr túir, [BC], ón bpointe Aar leibhéal na talún. Ach 50 m a shiúl i dtreo an túir,60° atá san uillinn airde. Faigh, ceart go dtí an méadar is gaire, (i) |CD|

(ii) airde an túir [BC].

7. 73 km ó chéile atá dhá theach solais, P agus Q. 52 km ó Q atá teach solais eile, R. Má tá u/RPQu 5 31.5°, faigh (i) |∠PRQ|, ceart go dtí an chéim is gaire (ii) |PR|, ceart go dtí an ciliméadar is gaire.

8. Triantán is ea ABC agus pointe ar an líne BC is ea D. Má tá uBDu 5 4 cm, uACu 5 6 cm, u/ACDu 5 65° agus u/DACu 5 70°, faigh

(i) |DC|, ceart go dtí an cm is gaire (ii) achar NABC, ceart go dtí an cm2 is gaire.

9. Feicfidh tú sa léaráid dhá bhruach abhann atácomhthreomhar lena chéile. 38° agus 47° atásna huillinneacha ó dhá phointe R agus S arbhruach amháin go dtí crann ar an mbruacheile, mar a thaispeántar. Faigh, ceart go dtí an méadar is gaire, (i) an fad ó R go dtí an crann (ii) leithead, w, na habhann.

10. Déanann feirmeoir cró triantánach. Is iad na teorainneacha atá timpeall air ná claí59 méadar ar fad, fál 68 méadar ar fad, agus balla. 49° atá san uillinn idir an balla agus an fál. Tarraing sceitse garbh den triantán. (i) Faigh tomhas na huillinne idir an fál agus an balla, ceart go dtí an chéim

is gaire. (ii) Faigh fad an bhalla, ceart go dtí an méadar is gaire. (iii) Faigh achar an chró, ceart go dtí an cm2 is gaire.

40°

50 m

60°

C

BDA

31.5°

73 km

52 km

P Q

R

70°

65°

6 cm

4 cm

A

CD

B

Crann

w

SR50 m

38° 47°

421

Mír 14.7 Riail an Chomhshínis Trí bhlúire eolais atá le baint as gach ceann de na triantáin thíos.

Maidir le triantán A de, fad dhá shlios a thugtar, agus méid na huillinne eatarthu.

Fad gach ceann de na trí shlios ar thriantán B a thugtar.

48°

A7

8

B4

6

5

Ní féidir leas a bhaint as Riail an tSínis leis na sleasa eile ar cheachtar den dá thriantán sina fháil, ná na huillinneacha iontu.

Le riail eile a réitímid na triantáin sin, Riail an Chomhshínis. Seo agat í sin:

I gcás triantáin ar bith, ABC

a2 � b2 � c2 – 2bc cos A

nó b2 � c2 � a2 – 2ca cos B

nó c2 � a2 � b2 – 2ab cos C A

C

BA B

C

b a

c

Baintear úsáid as Riail an Chomhshínis1. le huillinn a fháil nuair a bhíonn na trí shlios

ar eolas againn.

2. leis an tríú slios a fháil nuair a bhíonn dhá

shlios agus an uillinn eatarthu ar eolas againn.

36°

13

?11

Sampla 1

I gcás an triantáin ar dheis, uABu 5 6, uACu 5 8 agus u/BACu 5 48°. Faigh uBCu, ceart go dtí an tslánuimhir is gaire.

Bíodh [BC] 5 a. Gheobhaimid an slios a ach leas a bhaint as an leagan de Riail an Chomhshínis ar tosach dó a2.

a2 � b2 � c2 – 2bc cos A… (b � 8 agus c � 6)� �� 82 � 62 – 2.8.6 cos 48°� �� 64 � 36 – 96(0.6691)� �� 35.77⇒ a � 5.98 i.e. |BC| � 5.98 � 6, ceart go dtí an tslánuimhir is gaire.

b � 8 c � 6

48°

B C

A

a

86

A

6

9

?

7

422

Sampla 2

Faigh u/ABCu, i gcás an triantáin ar dheis.

∠ABC � BGheobhaimid an uillinn B ach leas a bhaint as anleagan de Riail an Chomhshínis ar tosach dó b2.

b2 � c2 � a2 � 2ca cos B⇒ 25�� 16 � 36 � 2(4)(6) cos B 25�� 52 � 48 cos B 25�� 52 � � 48 cos B� �27 � � 48 cos B 48 cos B � 27 cos B � ��27

__ 48 �

B � cos�1 ��27 __ 48 � … [cuir isteach SHIFT cos 27 � 48 � ]

B � 55.77°� ; |∠ABC| � 56°, ceart go dtí an chéim is gaire.

a � 6 b � 5 c � 4

54

6B

BC

A

Nóta: 1. Is í Riail an tSínis an chéad riail ar gnách úsáid a bhaint aisti agus sinn ag iarraidhtriantán a réiteach. Mura féidir úsáid a bhaint as Riail an tSínis, is í Riail an Chomhshínisa úsáidtear.

2. Más diúltach a bhíonn comhshíneas uillinne i dtriantán, is idir 90° agus 180° a bheidhan uillinn sin.

Airde an Chompáis

Cuid d’airde an chompáis atá saléaráid ar dheis.

Is éard a bhíonn in airde an chompáisná T (i.e. ó thuaidh) nó D (i.e. ó dheas) agusméid áirithe céimeanna O (i.e. oirthear � soir) nó I (i.e. iarthar � siar).

Cleachtadh 14.7

1. Faigh, ceart go dtí ionad deachúlach amháin, fad an tsleasa a bhfuil litir air ar gachceann de na triantáin seo a leanas:

(i) (ii) (iii)

48°35°

30°

T

I 30° T

O 60° T

O 35° DI 48° D

60°O

D

I

A B

C

7

6

a b

39°B

11C

A

7a b

72°

14 9

B C

A

a

76°

423

2. Faigh, ceart go dtí an tslánuimhir is gaire, fad an tsleasa a bhfuil litir air ar gach ceann de na triantáin seo: (i) (ii) (iii)

3. Faigh tomhas na huillinne a bhfuil litir uirthi i ngach ceann de na triantáin seo a leanas. Bíodh gach uillinn ceart go dtí an chéim is gaire agat. (i) (ii) (iii)

4. Faigh méid na huillinne is lú sa triantán ar dheis. Bíodh do fhreagra ceart go dtí an chéim is gaire.

5. I gcás an triantáin thíos, uPQu 5 15 cm, uPRu 5 12 cm agus uRQu 5 5 cm.

Faigh u/PQRu, ceart go dtí an chéim is gaire.Q

R

P

15 cm 5 cm

12 cm

6. 190 méadar atá san fhad ón tí go dtí an sprioc ar an bplásóg. Buaileann galfaire buille ar uillinn 20°amach ón líne dhíreach go dtí an poll. Má thaistealaíonn an liathróid 170 m, faigh an fad idir an liathróid agus an poll. Bíodh do fhreagra ceart go dtí an méadar is gaire.

a 8

11

32°

15 16

b

84°14

15

c

37°

5 6

8

A

10

7 9

B

512

8

C

64

8

A

B C

190 m170 m

T

20°

liathróid

424

7. Bain leas as an eolas a thugann an fhíor ar dheis go bhfaighidh tú (i) uACu, ceart go dtí an méadar is gaire.

(ii) Bain leas as fad [AC] ansin go bhfaighidh tú u/ABCu, ceart go dtí an chéim is gaire.

8. Léaráid de bhord snúcair atá ar dheis.Tabhair faoi deara an áit a bhfuil anliathróid bhán agus an áit a bhfuil anliathróid dhubh. Faigh an fad is gá don liathróid bhán athaisteal sula mbuailfidh sí an liathróid dhubh.Bíodh do fhreagra ceart go dtí anceintiméadar is gaire.

9. Ag an am céanna a chuireann dhá long, A agus B, chun farraige ón gcalafort, C. O 80° T atá A ag gluaiseacht ar luas 24 km/uair. O 60° D atá B ag gluaiseacht ar luas 32 km/uair. Cá fhad óna chéile atá na longa uair an chloigtar éis dóibh cur chun farraige? Bíodh do fhreagra ceart go dtí an ciliméadar is gaire.

D'fhéadfadh go mbeadh úsáid Riail an tSínis chomh maith

le húsáid Riail an Chomhshínis i gceist sna fadhbanna seo a leanas.

10. I gcás an triantáin ABC ar dheis, is pointe ar [BC] é D. |BD| � 6 cm, |AC| � 9 cm, |∠DCA| � 80° and |∠CAD| � 50°.

(i) Faigh uDCu (ii) Faigh uABu, ceart go dtí an cm is gaire.

11. I gcás an triantáin XYZ, uXYu 5 22 cm, uYZu 5 15 cmagus u/XYZu 5 74°.

Faigh (i) uXZu, ceart go dtí an cm is gaire.

(ii) u/YXZu, ceart go dtí an chéim is gaire.

A

D

C

B

10 m12 m

6 m9 m

120°

32°

pócaláir

140 cm

50 cm

liathróiddhubh

liathróid bhán

C

A

80°

60°

B

T

D

BD

C

A

50°

6 cm

9 cm

80°

74°22 cm 15 cm

ZX

Y

425

12. I gcás an cheathairshleasáin ABCD, uACu 5 5, uBCu 5 4, u/BCAu 5 110°, u/ACDu 5 33° agus u/CDAu 5 23°.

Faigh, ceart go dtí dhá ionad dheachúlacha, (i) |AB|

(ii) |CD|.

13. Feicfidh tú sa léaráid ar dheis sreanga agusiad ceangailte le haeróg chumarsáide. Faigh an fad h, ceart go dtí an méadar is gaire.

14. I gcás an triantáin ABC ar dheis, uBCu 5 60 magus u/ACBu 5 150°. Má tá achar nABC 5 450 m2, faigh (i) |AC|

(ii) imlíne an triantáin ABC,ceart go dtí an méadar is gaire.

15. I gcás an triantáin PQR, uPRu 5 7 cm, uQRu 5 13 cmagus u/PRQu 5 80°. (i) Faigh fad [PQ] ina cheintiméadair,

ceart go dtí ionad deachúlach amháin. (ii) Faigh u/QPRu, ceart go dtí an chéim is gaire.

16. Is dhá phointe iad A agus B atá 300 méadar ó chéilear chonair dhíreach atá ag dul ó thuaidh díreach. Tá piléar, P, O 40° T de A. Tá an piléar O 70° T de B.

(i) Faigh an fad ó B go dtí an piléar, ceart go dtí an méadar is gaire.

(ii) Faigh an fad is gaire, d, ón gconair go dtían piléar, ceart go dtí an méadar is gaire.

33°

23°

110°B

C4

5

D

A

32 m

25 m12°

h

60 m

A

C

B

150°

7 cm

13 cmQ R

P

80°

40°

T

d

B

A

P

70°

O

426

17. Ó phointe A ar an leibhéal céanna lebonn crann tarchurtha raidió, is é 25°uillinn airde bharr an chrainn tarchurtha.Ó phointe B, 20 méadar níos gaire donchrann tarchurtha, agus ar an leibhéalcéanna, is é 32° an uillinn airde. Faighairde an chrainn tarchurtha raidió inaméadair, ceart go dtí an méadar is gaire.

18. Taispeántar sa léaráid pointe, A, atá 10 km ó dheas díreach de phointe eile, B. Tá bóthar díreach ann, AD, sa chaoi is go bhfuil D O 43° T de A. Is pointí ar an mbóthar seo iad P agus Q. Tá siad araon 8 km ó B.

(i) Faigh u/BPAu, ceart go dtí an chéim is gaire. (ii) Faigh u/ABPu, ceart go dtí an chéim is gaire.

Mír 14.8 Na huillinneacha 30°, 45° agus 60°Is an-mhinic a bhaintear leas as na huillinneacha 30°, 45° agus 60° agus bainfimidne leas astriantáin chun cóimheas an tsínis, cóimheas an chomhshínis agus cóimheas an tangaint ar nahuillinneacha sin a chur in iúl ina gcodáin nó ina surdaí.

An uillinn 45°Is triantán comhchosach é an triantán ar dheis.1 aonad ar fad atá na sleasa atá ar comhfhad. Î2 aonad ar fad atá an taobhagán. Is féidir cóimheas an tsínis, cóimheas an chomhshínis agus cóimheas antangaint a fháil ón triantán.

sin 45° � 1 ___ √

__ 2 cos 45° � 1 ___

√__

2 tan 45° � 1

Na huillinneacha 30° agus 60°

Tá uillinneacha 60° agus 30° sa triantán dronuilleach ar dheis.

Is féidir linn úsáid a bhaint as an triantán seo chun cóimheasa triantánachtaan dá uillinn sin a scríobh síos.

sin 60° � √

__ 3 ___

2 cos 60° � 1 __

2 tan 60° � √

__ 3

sin 30° � 1 __ 2

cos 30° � √

__ 3 ___

2 tan 30° � 1 ___

√__

3

Nóta: Tugtar cóimheas an tsínis, cóimheas an chomhshínis agus cóimheas an tangaint lehaghaidh 30°, 45° agus 60° ar leathanach 13 de Foirmlí agus Táblaí.

25°

20 mA B

32°

D

P

A

B

10 8

8

Q43°

Ó thuaidh

45°

45°

1

1

2

60°

30°

32

1

427

Sampla 1

Faigh luach x agus luach y ar an triantán dronuilleachar dheis, gan leas a bhaint as áireamhán.

x __ 4

� tan 60° 4 __ y

� cos 60°

⇒ x __ 4

� √

__ 3 ___

1 ⇒ 4 __

y � 1 __

2

⇒ x � 4 √__

3 ⇒ y � 8

y x

60°

4

Cleachtadh 14.8

Scríobh luach gach ceann díobh seo a leanas ina chodán san fhoirm is simplí nó ina shurda,gan leas a bhaint as áireamhán:

1. cos 60° 2. tan 45° 3. sin 30° 4. cos 45° 5. sin2 30°

6. cos 30° 7. sin 60° 8. cos2 45° 9. sin2 60° 10. tan2 30°

11. Taispeáin go bhfuil (i) 1 � sin2 30° � cos2 30° (ii) sin 60° � 2 sin 30° cos 30°

12. Faigh luach x agus luach y ar an triantánar dheis, gan leas a bhaint as áireamhán.

13. Faigh luach x agus luach y ar an triantánar dheis, gan leas a bhaint as áireamhán.

14. Faigh luach x, luach y agus luach z sa léaráid thíos,gan leas a bhaint as áireamhán.

60°30°

x

zy

8

60°

y6

x

60°45°

2x

y23

428

15. Cruth triantáin chomhshleasaigh atá ar pháirc, mar atá le feiceáil ar dheis. Tá gach slios 40 m ar fad. Mol dhá mhodh le hachar na páirce seo a fháil, gan leas a bhaint as áireamhán. Bain leas as gach ceann de na modhanna sin chun an t-achar a fháil. Tabhair an freagra agat i bhfoirm surda.

Mír 14.9 Achar teascóige � fad stua D’fhoghlaim tú cheana cén chaoi le himlíne agus achar ciorcail a fháil.

Tugtar thíos na foirmlí lena n-aghaidh sin.

Imlíne ciorcail 5 2p r

Achar ciorcail 5 p r 2 r

imlíne

Sa mhír seo, foghlaimeoimid cén chaoi le: (i) fad stua ciorcail a fháil (ii) achar teascóg ciorcail a fháil.

Taispeánann an léaráid thíos ciorcal ar lárphointe dó O.

A

B

O �

Teascóg den chiorcal is ea OAB agustá u/AOBu 5 u .

An mionstua a thugtar ar AB.

Sampla 1

Ga 9 cm atá sa chiorcal sa léaráid ar dheis, agus u/AOBu 5 120°. Bíodh p 5 22

7 , agus faigh

(i) fad an mhionstua AB (ii) achar na teascóige scáthaithe AOB.

A

B

O 120°

9 cm

40 m

40 m

40 m

stua

�

teascóg

�

Achar na teascóige 5 U�____

360° � P�r 2

Fad an mhionstua AB 5 U�____

360° � 2P�r

429

(i) Fad an stua AB 5 120° ____ 360°

� 2Pr

� � � � 120 ____ 360

� 2 __ 1

� 22 ___ 7

� 9 __ 1

� � � � 18.86 cm

(ii) Achar na teascóige AOB 5 120° ____ 360°

� Pr2

� � � � � 120 ____ 360

� 22 ___ 7

� 92 __

1 � 84.86 cm2

Sampla 2

Tá achar na teascóige AOB 5 205 cm2. Faigh fad gha an chiorcail.

Tugaimis r ar an nga.

Achar AOB 5 120 ____ 360

� Pr 2 � 205 cm2

⇒ Pr 2 ____ 3

� 205

⇒ Pr 2 � 205 � 3… iolraigh an dá thaobh faoi 3

⇒ r 2 � 205 � 3 _______ P

� �

� �� 195.76… úsáid an eochair p ar an áireamhán

⇒ r � √______

195.76 � 13.99

⇒ ga 5 14 cm, ceart go dtí an cm is gaire.

A

B

O 120°

Cleachtadh 14.9

1. Faigh achar gach ceann de na teascóga seo, ceart go dtí an cm2 is gaire: (i) (ii) (iii)

8 cm

60°11 cm

120°

5 cm200°

430

2. Faigh fad an stua ar gach ceann de na teascóga i gceist 1 ar an leathanach roimhe seo. Tabhair do fhreagra ina cheintiméadair, ceart go dtí ionad deachúlach amháin.

3. Faigh, ceart go dtí ionad deachúlach amháin, (i) achar na teascóige AOB (ii) fad an stua AB sa léaráid ar dheis.

4. 18 cm ar fad atá ga an chiorcail ar dheis. Tá tomhas /AOB 5 75°. (i) Faigh fad an stua AB, ceart go dtí an

ceintiméadar is gaire. (ii) Faigh achar na teascóige AOB, ceart go dtí

an cm2 is gaire.

5. Féach ar an léaráid ar dheis. Faigh fad gha an chiorcail seo más 77 cm2 atá in achar na teascóige.

6. I gcás na teascóige ar dheis, u/AOBu 5 140° agus276 cm2 atá san achar. Faigh fad gha an chiorcail,ceart go dtí an cm is gaire.

7. Is féidir le galfaire liathróid a bhualadh 220 m lecruinneas de 15° ar cheachtar taobh den spriocthreo.Faigh fad an stua ar a bhféadfadh sé a liathróida fháil, ceart go dtí an méadar is gaire.

14 cm OA

B

240°

18 cm

A

BO75°

O

A

B

45° 77 cm2

140°

O B

A

276 cm2

15°15°

220 m

431

8. Déanann radar garda cósta cuar 55° óna bhunáit, B.

Más 3.5 km atá i raon an radair, faigh achar nateascóige ina ndéanann an radar an cuar. Bíodh do fhreagra ina km2, ceart go dtí ionad deachúlach amháin.

9. Is teascóg de chiorcal í OPQ agus tá a ga 20 cm ar fad. Is é X lárphointe [OP] agus is é Y lárphointe [OQ]. Uillinn POQ 5 65°. Ríomh (i) an t-achar XPQY (ii) imlíne XPQY.

Bíodh gach freagra ceart go dtí an tslánuimhir is gaire.

10. Ga 18 cm atá ag an teascóg ar dheis. 80° atá san uillinn sa teascóg. Faigh, ceart go dtí an tslánuimhir is gaire i ngach cás, (i) fad an stua AB (ii) fad an chorda [AB] (Leid: Bain úsáid as Riail an Chomhshínis) (iii) achar na teascóige OAB (iv) achar an triantáin OAB (v) achar an réigiúin scáthaithe.

11. Cuid de pháirc pheile atá sa léaráid.

MA B

P

Stua pionóis

Is cuid de chiorcal é an stua pionóis; 10 méadar atá sa gha agus is é P an lárphointe. Is é M lárphointe [AB] agus uPMu 5 6 mhéadar. (i) Faigh méid /APB, ceart go dtí an chéim is gaire. (ii) Ríomh fad an stua pionóis, ceart go dtí ionad deachúlach amháin.

55°

3.5 km

B

65°

20 cmY

Q

O

X

P

80°O

B

18 cm

Aco

rda s t u

a

432

Mír 14.10 Cóimheasa uillinneacha níos mó ná 90°

1. Ciorcal an Aonaid

Ag (0, 0) atá lárphointe an chiorcail ar dheis, agus 1 aonad ar fad atá ga an chiorcail. Ciorcal an aonaid a thugtar air sin de ghnáth.

Bíodh P(x, y) ina phointe ar bith ar an gciorcal, mar atá sa léaráid.

Ón triantán OPC,

x __ 1

� cos U y

__ 1

� sin U

⇒ x � cos U� � ⇒ y � sin U

; is iad comhordanáidí P ná (cos U, sin U��)

Is ionann P(cos u , sin u ) agus comhordanáidí pointe ar bith ar imlíne chiorcal an aonaid.

Féach ar chiorcal an aonaid thíos. Trasnaíonn sé an x-ais agus an y-ais sna pointí atá léirithe.

O 1(1, 0)

(0, 1)

(cos 180°, sin 180°)

(0, �1)

(�1, 0)

Is féidir linn úsáid a bhaint as na pointí sin chun luach sin u agus cos u a scríobh síos i gcásna n-uillinneacha 0°, 90°, 180°, 270° agus 360°.

Mar sin tugann (21, 0) luachanna cos 180° agus sin 180°,

i.e. cos 180° ��1 agus sin 180° � 0.

2. Na Ceithre Cheathrú

Déanann an x-ais agus an y-ais imrothlú iomlán 360° a roinnt ina cheithre cheathrú, mar atá le feiceáil ardheis.

O C

1

P(x, y)

x�

y

O

P(cos�, sin�)

�

90°

360°An CeathrúCeathrú

An TríúCeathrú

An ChéadCheathrú

An DaraCeathrú

180°

270°

433

An ciorcal aonaid ar dheis, taispeánann sé uillinn, u , i ngach ceann de na ceithre cheathrú.Cuireann na comharthaí ar gach triantán in iúlcé acu deimhneach nó diúltach a bhíonn nanó diúltach a bhíonn na cóimheasa sacheathrú sin.

Taispeántar sa bhosca thíos na cóimheasadeimhneacha sna ceithre cheathrú.

(i) Sa chéad cheathrú, gach ceann (G) deimhneach (ii) Sa dara ceathrú, níl ach sin (S) deimhneach (iii) Sa tríú ceathrú, níl ach tan (T) deimhneach (iv) Sa cheathrú ceathrú, níl ach cos (C) deimhneach

S1 G1

T1 C1

3. Cóimheas uillinne idir 90° agus 360° a fháil

Tabharfaidh áireamhán leictreonach síneas, comhshíneas agus tangant uillinne ar bith duit,an comhartha diúltach san áireamh nuair is ann dó. Ach más ina chodán nó ina shurda abhíonn cóimheas uillinne áirithe uait, seo iad na céimeanna a bhíonn le tabhairt agat:

1. Déan sceitse garbh den uillinn go bhfaighidh tú amach cén cheathrú ina bhfuil sí.

2. Bain leas asS G

T C go bhfaighidh tú amach cé acu deimhneach nó diúltach atá an

cóimheas.

3. Faigh an uillinn (, 90°) idir an líne imrothlaithe agus an x-ais.An uillinn tagartha a thugtar ar an uillinn sin.

30° 150°0°180°

Uillinntagartha

4. Bain úsáid as áireamhán nó as na triantáin 30°, 45° agus 60° chun an cóimheas atá uait a fháil. Bain úsáid as an léaráid in 2 thuas chun comhartha an chóimheasa a fháil.

90°

360°

Sin 1Cos 1Tan 1

Sin 1Cos 2Tan 2

Sin 2Cos 1Tan 2

Sin 2Cos 2Tan 1

0°180°

1

1

1

2 2

2 �

�

�

�

270°

434

Sampla 1

Faigh i bhfoirm surda (i) sin 120° (ii) cos 225°

(i) sin 120°:

Tá 120° sa dara ceathrú

⇒ tá cóimheas an tsínis deimhneach

An uillinn tagartha ná 180° 2 120° 5 60°.

Ag úsáid an triantáin ar dheis,

sin 60° � √

__ 3 ___

2 ⇒ sin 120° �

√__

3 ___ 2

(ii) cos 225°:

Tá 225° sa tríú ceathrú

⇒ tá cóimheas an chomhshínis diúltach

An uillinn tagartha ná 225° 2 180° 5 45°.

Ag úsáid an triantáin 45° ar dheis,

cos 45° � 1 ___ √

__ 2 ⇒ cos 225° � � 1 ___

√__

2 .

60° 120°

O

60°

32

1

45°

225°

45°

21

1

Sampla 2

Tá cos A 5 20.4153 agus tá 0° � A � 360°.Bain úsáid as d’áireamhán chun luachanna A ina gcéimeanna a fháil, ceart godtí ionad deachúlach amháin. cos A � �0.4153

Ná bac leis an gcomhartha diúltach, agus faigh an uillinn tagartha.

Chun an uillinn tagartha sin a fháil, cuir isteach SHIFT cos 0.4153 �

435


5 65.5°, ceart go dtí ionad deachúlach amháin.

Diúltach atá an comhshíneas sa dara ceathrú agus sa tríú ceann.

Mar sin, is iad an dá luach ar A ná

180° � 65.5° agus 180° � 65.5°

; A � 114.5° agus 245.5°

Cleachtadh 14.10

1. Bain úsáid as an gciorcal aonaid ar dheischun na luachanna seo a scríobh síos: (i) sin 50° (ii) cos 220° (iii) cos 50° (iv) sin 220°

2. Scríobh síos, le cabhair áireamháin, luach gach ceann de na cóimheasa seo, ceart go dtíceithre ionad dheachúlacha: (i) sin 138° (ii) cos 212° (iii) tan 318° (iv) cos 159° (v) tan 193° (vi) sin 236° (vii) cos 317° (viii) tan 254°

3. Má tá cos 120° 5 2cos 60°, déan cóip díobh seo a leanas agus comhlánaigh (críochnaigh)ar an gcaoi chéanna iad:

(i) sin 130° � … (ii) cos 115° � … (iii) tan 160° � … (iv) cos 220° � … (v) sin 250° � … (vi) tan 300° � …

4. Bain leas as na triantáin ar dheis go scríobhfaidh túsíos gach ceann díobh seo a leanas ina chodán nó ina shurda: (i) sin 120° (ii) cos 135° (iii) sin 240° (iv) sin 210° (v) cos 330° (vi) tan 225° (vii) cos 150° (viii) sin 300° (ix) tan 150°

5. Faigh, ceart go dtí an chéim is gaire, an dá luach ar A má tá sin A 5 0.2167 agus 0° # A # 360°.

6. Faigh, ceart go dtí an chéim is gaire, an dá luach ar B i gcás 0° # B # 360°, más fíor iad seo: (i) cos B � �0.8428 (ii) tan B � �1.2464.

7. Má tá sin u 5 12, faigh dhá luach ar u , má tá 0° # u # 360°.

8. Má tá cos u 5 1 ___ √

__ 2 , faigh dhá luach ar tan u , má tá 0° # u # 360°.

50°

(0.6428, 0.7660)

(�0.7660, �0.6428)

220°

30°

60°

32

1

45°

21

1

436

9. Má tá tan A 5 etc, faigh dhá luach ar cos A, má tá 0° # A # 360°.

10. Má tá sin u 52√

__ 3 ___

2 , faigh dhá luach ar cos u , gan áireamhán, má tá 0° # u # 360°.

11. Faigh A, ceart go dtí an chéim is gaire, má tá sin A 5 245 agus cos A 5 23

5 i gcás A # 360°.

12. Má tá sin B 5 35 agus cos B 5 24

5, faigh luach tan B, gan áireamhán, má tá 0° # B # 360°.

13. Má tá tan B 5 etc agus sin B 5 212, scríobh cos B ina shurda.

14. Má tá tan A 5 12 agus 180° , A , 270°, faigh sin A i bhfoirm surda.

Cuir triail ort féin 14 1. Bain úsáid as an triantán dronuilleach ar dheis chun iad seo a scríobh síos:

(i) sin A (ii) tan AAnois faigh méid na huillinne A, ceart go dtí an chéim is gaire.

2. Faigh fad an tsleasa a bhfuil x air ar an triantán ar dheis. Uaidh sin, scríobh síos mar chodáin (i) tan A (ii) cos A.

3. I gcás an triantáin ar dheis, u/ACBu 5 34°, u/ABCu 5 90°, agus uABu 5 12 cm.

Faigh uBCu ina cm, ceart go dtí ionad deachúlach amháin.

4. I gcás an triantáin ar dheis, uABu 5 12 cm, uCDu 5 20 cm, u/ABCu 5 43° agus u/ACDu 5 90°.

(i) Faigh uACu, ceart go dtí an cm is gaire. (ii) Faigh u/ADCu, ceart go dtí

an chéim is gaire.

35

4

A

513

xA

34°C B

A

12 cm

43°

20 cm

12 cm

C

A

B D

437

5. I gcás an triantáin ABC ar dheis, uABu 5 5 cm, uACu 5 8 cmagus u/BACu 5 52°.

Faigh, ceart go dtí an tslánuimhir is gairei ngach cás, (i) achar an triantáin ABC (ii) fad [BC] (iii) u/BCAu.

6. Sa léaráid ar dheis, uADu 5 6 cm, uDBu 5 9 cm, u/CADu 5 35° agus tá CD ingearach le AB.

(i) Faigh uCDu ina cm, ceart go dtí ionaddeachúlach amháin.

(ii) Faigh u/CBDu, ceart go dtí an chéim is gaire.

7. (i) Faigh méid na huillinne A san fhíor ar dheis. Bíodh do fhreagra ina chéimeanna, ceart go dtí ionad deachúlach amháin.

(ii) 51 cm2 atá in achar an triantáin ar dheis. Faigh méid na huillinne A,ceart go dtí an chéim is gaire.

8. 7 cm atá i nga an chiorcail ar dheis, agus tá u/AOBu 5 95°. (i) Faigh achar na teascóige AOB ina cm2,

ceart go dtí an tslánuimhir is gaire. (ii) Faigh fad an stua [AB] ina cheintiméadair,

ceart go dtí ionad deachúlach amháin.

9. I gcás na fíorach ar dheis, uYZu 5 15 m, u/XYWu 5 40°,

u/YZWu 5 20° agus u/WXYu 5 90°.

Faigh ina méadair, ceart go dtí ionad deachúlachamháin, iad seo a leanas: (i) |WY|

(ii) |WX|.

52°

5 cm

8 cm

B

A C

6 cm

35°

DA

C

B9 cm

5

8A

A

10 cm

15 cm

7 cm95°

O

A B

15 m40°

X YZ

W

20°

438

10. I gcás na fíorach ar dheis, is teascóg í OAB ar ga di 8 cm agus tá u/AOBu 5 40°. Faigh iad seo ina cm2,ceart go dtí ionad deachúlach amháin: (i) achar na teascóige OAB (ii) achar an réigiúin scáthaithe.

11. I gcás an triantáin PQR, uPQu 5 uPRu, uQRu 5 15 cmagus u/RPQu 5 40°. (i) Faigh uPRu, ceart go dtí an ceintiméadar is gaire. (ii) Is pointe ar an líne QR é S sa chaoi is go bhfuil

uRSu 5 10 cm. Faigh uPSu, ceart go dtí an ceintiméadar is gaire.

12. (i) Má tá sin A 5 20.8660, faigh dhá luach ar A, i gcás 0° # A # 360°. (ii) Bain úsáid as an triantán ar dheis chun a luach seo a scríobh:

sin2 60° � cos2 30° san fhoirm a __ b

, a, b ;N.

13. I gcás an cheathairshleasáin ABCD, u/BADu 5 90°, u/BDCu 5 63°, uABu 5 12 cm, uADu 5 9 cm

agus uDCu 5 14 cm. Faigh, ceart go dtí an tslánuimhir is gaire,

(i) fad [BD] (ii) achar ABCD.

14. Féach ar an túr sa léaráid ar dheis. Ag A, 43° atá san uillinn airde godtí barr an túir. Ag B, 74° atá san uillinn airde go dtí barr an túir. 10 m atá san fhad uABu. Ríomh airde an túir ina méadair,ceart go dtí ionad deachúlachamháin.

40°

8 cm

8 cm 3 cmACO

B

40°

Q RS

P

15 cm 10 cm

30°

60°

32

1

63°

12 cm

9 cm

14 cm

A D

CB

74°

BA

43°

10 m

439

15. 66 cm2 an t-achar atá sa triantán ABC.uABu 5 16 cm agus u/BACu 5 55°.

(i) Faigh uBCu ina cheintiméadair, ceart go dtí ionad deachúlach amháin.

(ii) Faigh u/ABCu, ceart go dtí an chéim is gaire.

16. I gcás na dteascóg ar dheis, u/BOCu 5 40°, uODu 5 5 cmagus uOCu 5 9 cm.

Faigh, ceart go dtí an tslánuimhir is gaire, (i) achar ABCD (ii) imlíne ABCD.

17. Más 42 cm2 atá in achar an triantáin PQR, faigh uPRu, ina cheintiméadair, ceart go dtí ionad deachúlach amháin. Má tá uRQu 5 11 cm, bain úsáid as an luach atáfaighte agat le haghaidh uPRu chun tomhas na huillinneRQP a fháil, ceart go dtí an chéim is gaire.

18. Tá dhá dhéantúsóir radair ag iarraidh a gcuid táirgí a dhíol leis an ngarda cósta. Tugtar thíos sonraíochtaí an dá tháirge, A agus B:

A B

(i) Más é achar na teascóige a bhíonn clúdaithe ag an radar an ghné is tábhachtaí,cén radar ba chóir a roghnú? Tabhair míniú le do fhreagra.

(ii) Má tá E75,000 ar radar A agus má tá E73,500 ar radar B, cén radar a thugann anluach is fearr ar airgead? Tabhair míniú le do fhreagra.

55°

16 cm

B C

A

40°

A

D C

B

5 cmO

9 cm

68°P Q

10 cm

R

4 kmRaon 5 4 kmCuar 5 55°

55°

3.5 km

Raon 5 3.5 kmCuar 5 70°

70°

440

19. (i) Má tá cos A � � √

__ 3 ___

2 , faigh an dá luach ar A, 0 # A # 360°,

gan úsáid a bhaint as áireamhán.

(ii) Faigh luach a agus luach b i gcás na léaráide ar dheis, áit a bhfuil na dronuillinneacha marcáilte. Tabhair gach freagra ina shurda.

20. Is mian le suirbhéir meastachán a dhéanamh ar an achar atá i bpaiste triantánachde thalamh coille. Déantar sceitse ina dtaispeántar na tomhais. Déan meastachán ar achar an talaimh choille ina km2, ceart go dtí ionad deachúlachamháin.

2.3 km

5.4 kmTalamhcoille

A

C

B

36° 40°

60°

a

1

1

b

441

�� Teoirim Phíotagarás

Ar thriantán dronuilleach, bíonn anchearnóg ar an taobhagán cothrom lesuim na gcearnóg ar an dá shlios eile.

Cóimheas an tsínis, cóimheas an chomhshínis agus cóimheas an tangaint

sin U �urchomhaireach

__________________ taobhagán

tan U �urchomhaireach

________________ cóngarach

cos U ��cóngarach ___________ taobhagán

Achar triantáin

Achar an triantáin ABC:

Achar 5 12 ab sin C

Riail an tSínis Riail an Chomhshínis

a _____ sin A

� b _____ sin B

� c _____ sin C

a2 � b2 � c2 – 2bc cos A

nó sin A _____ a

� sin B _____ b

� sin C _____ c

c

b a

A

Cóimheasa 30°, 45° agus 60°

Is féidir luachanna na gcóimheas triantánachtale haghaidh na n-uillinneacha 30°, 45° agus60° a fháil ó na triantáin ar dheis.

Teascóg ciorcail

Achar na teascóige AOB 5 U�____

360° � P�r 2

Fad an stua AB 5 U�____

360° � 2P�r

Cóimheasa uillinneacha níos mó ná 90°

Taispeánann an léaráid na cóimheasa deimhneacha sna ceithre cheathrú. (i) Sa chéad cheathrú, gach ceann (G) deimhneach (ii) Sa dara ceathrú, níl ach sin (S) deimhneach (iii) Sa tríú ceathrú, níl ach tan (T) deimhneach (iv) Sa cheathrú ceathrú, níl ach cos (C) deimhneach.

b

a2 5 b2 1 c2

ca

cóngarach

urchomhaireachtaobhagán

�

C Ab

a

B

C

60°

30°

32

1

45°

21

1

A

B

O �

S1 G1

T1 C1

442

��méadú fachtóir scála lárphointe an mhéadaithe bunfhíor íomhá

rinn sleasa comhfhreagracha tóg tadhlaí déroinnteoir

inchiorcal imchiorcal meánlíne meánlár líníocht de réir scála

Mír 15.1 Méaduithe Tá dhá ghrianghraf anseo.

Tháinig an dá ghrianghraf ón gclaonchló céanna.

Tá toisí an ghrianghraif ar dheis dhá oiread thoisí an ghrianghraif ar chlé.

Deirimid gur méadú é grianghraf amháin ar an ngrianghraf eile.

Ós rud é go bhfuil fad agus leithead an ghrianghraif mhóir dhá oiread fhad agus leithead an ghrianghraif eile, deirimid gurb ionann fachtóir scála an mhéadaithe agus 2.

Sa léaráid seo is méadú é A�B�C�D� ar an dronuilleog ABCD.

D C

BA

D� C�

B�A�

Anseo uABu 5 3 agus uA�B�u 5 9 uADu 5 2 agus uA�D�u 5 6

Tá sleasa na dronuilleoige A�B�C�D� trí oiread chomh fada le sleasa na dronuilleoige ABCD. Is é 3 an fachtóir scála.

Céimseata 2 ---Céimseata 2 ---Céimseata 2 ---Céimseata 2 ---Céimseata 2 ---Céimseata 2 ---Céimseata 2 ---Céimseata 2 ---Méaduithe agus Tógálacha Méaduithe agus Tógálacha Méaduithe agus Tógálacha Méaduithe agus Tógálacha Méaduithe agus Tógálacha Méaduithe agus Tógálacha Méaduithe agus Tógálacha Méaduithe agus Tógálacha

� ��

�

15

443

Dhá thriantán ABC agus A�B�C� atá léirithe thíos.

A

B

C

A�

B�

C�

O

Is méadú é an triantán A�B�C� ar an triantán ABC.

Lárphointe an mhéadaithe a thugtar ar an bpointe O.

Ós rud é go bhfuil uOA�u 5 2uOAu, is é 2 an fachtóir scála.

Ós rud é gurb é 2 an fachtóir scála, uA�B�u 5 2uABu, uA�C�u 5 2uACu agus uB�C�u 5 2uBCu.

An bhunfhíor a thugtar ar an triantán ABC.

An íomhá a thugtar ar an triantán A�B�C�.

‘Línte teilgin’ nó gathanna a thugtar ar na línte briste.

Méaduithe a tharraingt

Chun íomhá fíorach áirithe atá faoi mhéadú a thógáil, is éard a theastaíonn uainn ná: (i) lárphointe an mhéadaithe (ii) fachtóir scála an mhéadaithe.

Taispeántar sa léaráid thíos an chearnóg ABCD agus lárphointe an mhéadaithe O.

Méadóimid ABCD anois le O mar lárphointe agus fachtóir scála 3.

A B

A�

O

D C

B�

D� C�

Gheobhaimid íomhá A ach O a cheangal le A agus í sin a leanúint go dtí A�, ionas go mbeidh uOA�u 5 3uOAu.

Ar an gcaoi chéanna, ceangail O le B agus í sin a leanúint go dtí B�, ionas go mbeidh uOB�u 5 3uOBu.

Tá an rud céanna le déanamh arís le haghaidh pointí C agus D.

Is íomhá na cearnóige ABCD í an chearnóg A�B�C�D�.

SÓs rud é gurb é 3 an fachtóir scála, uA�B�u 5 3uABu agus uA�D�u 5 3uADu.

444

Nuair is rinn é lárphointe an mhéadaithe

Taispeántar sa léaráid thíos an chaoi leis an gcruth ABCD a mhéadú faoi fhachtóir scála 2, ag baint úsáide as A mar lárphointe an mhéadaithe.

A

B C

D A

B� C� C�B�

D�

B CB

C

D A D�D

Tabhair faoi deara nach mbogann lárphointe an mhéadaithe, A.

San fhíor dheireanach, tá uAB�u 5 2uABu, uAD�u 5 2uADu agus uAC�u 5 2uACu.

Taispeánann an léaráid ar dheis méadú ina bhfuil lárphointe an mhéadaithe, X, taobh istigh den fhíor.

Sa mhéadú seo, is é 2 an fachtóir scála.

Tarraing an líne [XA] agus í sin a leanúint sa chaoiis go mbeidh uXA�u 5 2uXAu.

Lean [XB] ionas go mbeidh uXB�u 5 2uXBu.

Déan an rud céanna do [XC].

Tá gach slios ar an triantán A�B�C� dhá oiread chomh fada leis an slios comhfhreagrach ar nABC.

Maidir le gach méadú, faightear an fachtóir scála ach fad shlios na híomhá a roinnt ar fhad shlios comhfhreagrach na bunfhíorach.

An fachtóir scála 5 fad shlios na híomháfad shlios comhfhreagrach na bunfhíorach

Méaduithe nuair a bhíonn an fachtóir scála níos lú ná 1

Más fachtóir scála níos lú ná 1 a bhíonn ag an méadú, is fíor níos lú a gheofar, ceann níos gaire do lárphointe an mhéadaithe.

Is é A�B�C� san fhíor seo íomhá ABC faoi mhéadú arb é 1

2 an fachtóir scála atá aige.

Dá bhrí sin, tá uOA�u 5 12uOAu agus tá uA�B�u 5 1

2uABu.

Nuair is ionann an fachtóir scála agus codán deimhneach níos lú ná 1, is laghdú ar an mbunfhíor a bhíonn dá bharr.

Más ionann an fachtóir scála agus k,

(i) má tá k > 1, is méadú a bhíonn ann (ii) má tá k < 1, is laghdú a bhíonn ann.

A�

B� C�

CB

A

X

A

B

C

A�

B�

C�O

445

Lárphointe an mhéadaithe a fháil

Nuair a bhíonn fíor agus méadú na fíorach sin againn, gheobhaimid lárphointe an mhéad-aithe ach dhá thacar de phointí comhfhreagracha a cheangal dá chéile agus na línte a leanúintnó go mbuailfidh siad lena chéile. Sa léaráid thíos, buaileann A�A agus C�C lena chéile ag O. Is é an pointe sin, O, lárphointe an mhéadaithe.

A�

B�

C�

A

B

CO

Sampla 1

Méadú ar an triantán ABC is ea an fhíor AB�C� atá sa léaráid ar dheis, áit arb é A lárphointe an mhéadaithe.Má tá uACu 5 6, uCC�u 5 9 agus uB�C�u 5 12.5, faigh iad seo: (i) fachtóir scála an mhéadaithe (ii) |BC|

(iii) an cóimheas uABu : uAB�u.

(i) D'fhéadfadh sé go ndéanfadh sé do chuid oibre níos fusa dá dtarraingeofá an dá thriantán ar léaráidí ar leith.

An fachtóir scála 5 fad na híomháfad na bunfhíorach

� � � |AC�|

_____ |AC|

� � � 15 ___ 6

� 2.5

(ii) Ós rud é gurb é 212 an fachtóir scála, uB�C�u 5 21

2uBCu

|B�C�| � 2 1 _ 2 |BC| ⇒ |BC| � |B�C�|

_____ 2 1 _ 2

� 12.5 ____ 2.5

� 5

; |BC| � 5

(iii) |AB�| � 2 1 _ 2 |AB|

; |AB�|

_____ |AB|

� 2 1 _ 2 � 5 __ 2

; |AB�| : |AB| � 5 : 2⇒ |AB| : |AB�| � 2 : 5

A

B�

C�

12.5

156A

B

C

A

B

C6 9

B�

C�

12.5

x __ y

� 3 __ 4

⇒ x : y � 3 : 4

446

Méadú agus achar

Léirítear sa ghreille ar dheis gur méadú é triantán amháin ar an triantán eile. Is é 2 an fachtóir scála.

Achar an triantáin níos lú � 1 _ 2 (2) (2)

� �� 2 aonad chearnacha

Achar an triantáin níos mó � 1 _ 2 (4) (4)

� �� 8 n-aonad chearnachaTabhair faoi deara go bhfuil achar an triantáinis mó ceithre oiread achar an triantáin is lú.

Tabhair faoi deara freisin gurb ionann 4 agus (fachtóir scála)2.

Más é k an fachtóir scála, ansin

Achar na híomhá 5 k2(Achar na bunfhíorach).

Sampla 2

Méadú ar an bhfíor PQRS is ea P�Q�R�S�. Más é 12 cm2 achar PQRS agus más é 48 cm2 achar P�Q�R�S�, faigh fachtóir scála an mhéadaithe.

Más é k fachtóir scála an mhéadaithe,

achar P�Q�R�S� 5 k2(achar PQRS)

⇒ 48 � k2 (12)

12k2 � 48

k2 � 4

k � 2

; Is é 2 fachtóir scála an mhéadaithe.

P P�

R�

Q�

O

Q

R

S

S�

I sampla 2 thuas, méadaítear fíor PQRS de réir fachtóir scála 2.

Má thosaímid leis an bhfíor P�Q�R�S� agus má mhéadaímid í chun an íomhá PQRS a fháil, is léir gurb é 1

2 an fachtóir scála.

Is é sin, beidh gach slios ar PQRS cothrom le leathfhad an tsleasa chomhfhreagraigh ar P�Q�R�S�.

An méadú inbhéartach a thugtar ar an ngluaiseacht ón íomhá ar ais go dtí an bhunfhíor de ghnáth.

2 4

2

4

Más de réir fachtóir scála k a mhéadaítear fíor, is méadú de réir fachtóir scála k2 a thiocfaidh ar achar na híomhá.

Más de réir fachtóir scála k a mhéadaítear ar fhíor, is é 1

kan fachtóir scála don mhéadú

inbhéartach.

447

Méadú is ea A ar B, san fhíor ar dheis.Tá an fachtóir scála, k, cothrom le 11

2.

Anois, más méadú ar A é B, is é 1 __ k

an fachtóir scála.

1 __ k

� 1 ___ 1 1 _ 2

� 2 __ 3

; an fachtóir scála inbhéartach 5 23 .

Cleachtadh 15.1

1. Tá fíor agus a méadú sa léaráid ar dheis.

(i) Bain úsáid as an ngreille chun fachtóir

scála an mhéadaithe a scríobh síos. (ii) Tugtar faid dhá shlios.

Faigh faid na sleasa marcáilte x agus y.

2. Is é an triantán A�B�C� sa léaráid ar dheis íomhá an triantáin ABC faoi mhéadú, áit arb éO an lárphointe agus arb é 2 an fachtóir scála.Má tá uBCu 5 4, uACu 5 6 agus uA�B�u 5 10, faigh iad seo:

(i) |B�C�|

(ii) |A�C�|

(iii) |AB|.

3. Déan cóip den dronuilleog ABCD, a thaispeántar.Tarraing méadú de chuid ABCD, áit arb é A lárphointe an mhéadaithe agus 2 an fachtóir scála.Cuir lipéid AB�C�D� ar an íomhá.Cé acu pointe den dronuilleog seo a fhanann ina bhunsuíomh?

4. Déan cóip den triantán seo.Anois tarraing méadú den triantán seo, áit arb é Z lárphointe an mhéadaithe agus 3 an fachtóir scála.Cuir lipéid X�Y�Z ar fhíor na híomhá.Scríobh síos fad na sleasa seo: (i) [ZY�] (ii) [ZX�]

AB

6

4

bunfhíor

9 cm

12 cm

y

x

íomhá

A

B

C

A�

B�

C�

O

6

10

4

A B

CD

Z Y

X

3 cm

2 cm

448

5. Léaráid í seo den fhíor ABCD agus dá méadú PQRS. (i) Úsáid an ghreille chun fachtóir

scála an mhéadaithe a scríobh síos. (ii) Déan cur síos ar an gcaoi le

lárphointe an mhéadaithe a fháil. (iii) Úsáid corr dhíreach le

comhordanáidí lárphointe an mhéadaithe a fháil.

6. Is é an triantán B sa léaráid ar dheis, íomhá an triantáin A faoi mhéadú.Úsáid an ghreille agus scríobh síos:

(i) fachtóir scála an mhéadaithe

(ii) comhordanáidí lárphointe an mhéadaithe.

(iii) Úsáid an ghreille le hachar an triantáin A agus le hachar an triantáin B a scríobh síos.

(iv) Más é k an fachtóir scála, taispeáin go bhfuil achar an triantáin B 5 k2

oiread achar an triantáin A.

Is ionann achar triantáin agus leath den bhonn iolraithe faoin airde ingearach.

7. Is é an triantán ORS íomhá an triantáin OPQ faoi mhéadú, áit arb é O an lárphointe.

uOPu 5 4, uPRu 5 6 agus uSRu 5 8.

Tarraing léaráidí ar leith de na triantáin OPQ agus ORS. Bain úsáid as na triantáin agus scríobh síos:

(i) fachtóir scála an mhéadaithe (ii) |PQ|

(iii) an cóimheas uOQu : uOSu.

Má tá achar nOPQ 5 4 aonad chearnacha, faigh achar nORS.

8. Déan cóip den triantán PQR tugtha. Anois tarraing méadú den triantán le lárphointe A agus fachtóir scála 2.

6

5

4

3

2

1

7

8

9

10

x

B

y

A

�2 �1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

O

Q

P4 6

S

R

8

Q

P

R

A

x

QP

BA

D CS R

y

�2 �1 0

1

2

3

4

5

6

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

449

9. Is méaduithe iad na triantáin A�B�C� agus A2B2C2 ar an triantán ABC.

6

5

4

3

2

1

x

y

7

8

9

B�

A�

C�

B

B2

A2

C2

C

A

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

(i) Ceann de na triantáin, is toradh é ar mhéadú a bhfuil fachtóir scála níos lú ná 1 aige. Cén triantán é sin?

(ii) Scríobh síos an fachtóir scála le haghaidh(a) NA�B�C� (b) NA2B2C2.

(iii) Má tá uBCu 5 12 cm, faigh(a) |B�C�| (b) |B2C2|.

10. I gcás gach péire cruthanna seo a leanas, luaigh cé acu atá an cruth is mó ina mhéadú den chruth is lú nó nach bhfuil.Mínigh do fhreagra i ngach cás.

A B

CD

E F

GH

A B

C

D E

F

450

11. Sa léaráid thíos, is méadú í fíor amháin ar an bhfíor eile.

6

5

4

3

2

1

7

8

9

10

x

y

A

B

�2 �1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

(i) Bain úsáid as an ngreille agus rialóir le comhordanáidí lárphointe an mhéadaithe a scríobh síos.

(ii) Más méadú é B ar A, scríobh síos an fachtóir scála. (iii) Más méadú é A ar B, scríobh síos an fachtóir scála. (iv) Má tá achar A 5 15 aonad chearnacha, faigh achar B.

12. Méadú ar an triantán ABC is ea AB�C� atá sa léaráid ar dheis, áit arb é A lárphointe an mhéadaithe.Má tá uACu 5 8, uCC�u 5 12 agus uB�C�u 5 25, faigh (i) fachtóir scála an mhéadaithe (ii) |BC| (iii) an cóimheas uABu : uAB�u (iv) achar nAB�C� má tá achar nABC cothrom le

16 aonad chearnacha.

13. Rinneadh an léaráid seo ar dheis a laghdú ar ghléas fótachóipeála go 23 dá bunmhéid.

(i) Más é 156 mm airde na bunléaráide, cén airde a bheidh ag an léaráid laghdaithe?

(ii) Más é 28 mm airde an lipéid ar an léaráid laghdaithe, faigh airde lipéad na bunléaráide.

14. San fhíor a thugtar, is méadú é bosca B ar bhosca A.

6 cm

6 cm

15 cm

5 cm

2 cm

2 cm

A

B

(i) Scríobh síos luach k, fachtóir scála an mhéadaithe. (ii) Cad é an gaol idir k agus an fachtóir scála don toirt?

8 C

25B

A12

C�

B�

451

15. Tá an dearadh ar leabhar faoi chlúdach crua le húsáid ar an leagan den leabhar faoichlúdach bog. Chun é seo a dhéanamh, déanfar an dearadh a laghdú go dtí 3

5 dá bhunmhéid. Cén airde a bheidh sa dearadh ar an leabhar faoi chlúdach bog más 18 cmar airde atá sé ar an leabhar faoi chlúdach crua?

16. Mhéadaigh Donncha léaráid de réir fachtóir scála 2 dá thionscadal eolaíochta. Shocraigh sé nach raibh sí mór go leor go fóill, agus mar sin de rinne sé an méadú a mhéadú de réirfachtóir scála 1.5.

Painéal gréine

Gaothrán

Mótar S.D.

(i) Cén fachtóir scála aonair a d’fhéadfadh sé a úsáid chun an léaráid deiridh a fháil ón mbunléaráid?

(ii) Más rud é gurb iad 42 cm faoi 28 cm toisí an mhéadaithe dhúbailte, cad iad toisí na bunléaráide?

17. Is é 1 : 1000 an scála ar léarscáil.Déanann Anna an léarscáil a mhéadú de réir fachtóir scála 2. (i) Cad é an scála ar an léarscáil mhéadaithe? (ii) Tá sráid Anna 6 cm ar fad ar an mbunléarscáil.

Cad é fad na sráide go fírinneach?Tabhair do fhreagra ina mhéadair.

Glacann Seán bunléarscáil Anna ar iasacht agus méadaíonn sé í de réir fachtóir scála 12.

(iii) Cad é an scála ar léarscáil mhéadaithe Sheáin? (iv) Má tá 1 km idir dhá stáisiún traenach, cá fhad atá siad óna chéile ar léarscáil

mhéadaithe Sheáin?

Mír 15.2 Tógálacha Sa staidéar a rinne tú ar thógálacha don Teastas Sóisearach d’fhoghlaim tú:

> Conas mírlíne a dhéroinnt

> Conas uillinn a dhéroinnt

> Conas triantáin éagsúla a thógáil

> Conas línte comhthreomhara agus ingearacha a tharraingt

Sa mhír seo beimid ag plé le sé thógáil nua atá ar an gcúrsa Ardteistiméireachta chomh maith le feidhmeanna na dtógálacha seo sa ghnáthshaol. Beidh compás, rialóir agus uillinntomhas de dhíth ort chun na tógálacha seo a dhéanamh.

Nuair a úsáideann tú compás ní mór duit stuanna na dtógálachaa fhágáil mar fhianaise gur úsáid tú an modh ceart.

452

1. Uillinn 60° a thógáil

60° atá i ngach uillinn i dtriantán comhshleasach.

Bainfimid úsáid as an eolas sin chun uillinn 60° a tharraingt.

Tarraing mírlíne[XY].

Socraigh an compás le ga uXYu.Le X mar lárphointe agus ga uXYu,tarraing stua. Déan seoarís ag Y. Buaileann nastuanna lena chéile ag Z.

Ceangail XZ.|∠ZXY| � 60°.

X Y

Z

X Y X X Y

Z

60º

Tá an triantán XYZ comhshleasach.

2. Conas tadhlaí a thógáil ag pointe áirithe ar an gciorcal

Maidir le ciorcal k agus an pointe X atá air, is é O lárphointean chiorcail.

Ceangail X le O, lárphointe anchiorcail. Leag rialóir ar feadh OXagus sleamhnaigh an dronbhacartar feadh imeall an rialóra go dtí gosroicheann sé an pointe X.

Tarraing líne t trí X ingearach le OX.Is tadhlaí é t leis an gciorcal k.

X

O

k

Xk

O

2

Xk

O

2

t

3. Conas comhthreomharán a thógáil, agus faid na sleasa agus méideanna na n-uillinneacha ar eolas agat

Léiríonn na treoracha ar an gcéad leathanach eile conas comhthreomharán ABCD a thógáil, áit a bhfuil uABu 5 3.5 cm, uADu 5 4 cm agus u/ DABu 5 55°.

Déanaimid sceitse garbh de ABCD ar dtús.

Ar thriantán comhshleasach, is ar comhfhad atá na sleasa.

A B

CD

3.5 cm

4 cm

55º

453

Tarraing líne chothrománach[AB] � 3.5 cm. Úsáid uillinntomhas chunuillinn 55° a thomhas ag A.Tarraing líne trí A agustomhais uADu 5 4 cm.

Leag dronbhacart ar feadhna líne AB. Úsáid rialóir agussleamhnaigh an dronbhacartar feadh imeall an rialóra godtí go sroicheann sé anpointe D.Tarraing líne trí D comhthreomhar le AB.

Úsáid compás, le ga 3.5 cm(mar an gcéanna le uABu), chun stua a tharraingt ar anlíne. |DC| � 3.5 cm. Ceangail BC.Is é ABCD an comhthreomharán a theastaíonn.

A B

D

3.5 cm

4 cm

55ºA B

D

55º

23

A B

CD

3.5 cm

4 cm

Ciorcail agus triantáin

OO

Is é is imchiorcal triantáin ann ná ciorcal a théann trí na trí rinn, mar athaispeántar. Imlár an triantáin athugtar ar O, lárphointe an chiorcailsin.

Is é is inchiorcal triantáin ann ná ciorcal atá iniata i dtriantán sa chaoi go bhfuil gach ceannde na trí shlios ag bualadh le himlíne an chiorcail.Ionlár an triantáin a thugtar ar lárphointe an inchiorcail. Is é O an t-ionlár san fhíor thuas.

Beidh dhá thógáil a bhfuil staidéar déanta agat orthu do scrúdú an Teastais Shóisearaigh i gceist le himchiorcal agus le hinchiorcal an triantáin a thógáil.

454

Cabhróidh na léaráidí thíos leat na céimeanna a bhaineann leis na tógálacha sin a thabhairt chun cuimhne.

Déroinnteoir ingearach mírlíne

Déroinnteoir uillinne

A B

Ba chóir duit cleachtadh a dhéanamh ar na tógálacha sin sula dtugann tú faoi imchiorcal agus faoi inchiorcal triantáin a tharraingt.

4. Conas imchiorcal triantáin a thógáil

Tóg déroinnteoir ingearach [XY].

Tóg déroinnteoir ingearach[XZ]. Buaileann an dádhéroinnteoir lena chéile agan pointe O, mar a thais-peántar. Is é O an t-imlár.

Is é O an lárphointe agus isé uOXu an ga. Tarraing ciorcal trí X, Y agus Z.Is é seo imchiorcal an triantáin.

X

Y Z

X

Y Z

O

X

Y Z

O

455

5. Conas inchiorcal triantáin a thógáil

Baineann tógáil inchiorcal triantáin le déroinnteoir uillinne a thógáil, rud a thugtar ar an leathanach roimhe seo.

Tóg déroinnteoir /XYZ, mar athaispeántar.

Anois, tóg déroinnteoir /XZY. Buaileann an dá dhéroinnteoirlena chéile ag an bpointe I.Is é I an t-ionlár.

Úsáid dronbhacart chun ingeara tharraingt ó I go dtí an líne YZ.Buaileann an t-ingear le YZ agH. Agus uIHu mar gha, tarraing ciorcal a bhuailfidh leis na tríshlios. Is é seo inchiorcal antriantáin XYZ.

X

Y Z

X

Y Z

I

X

Y Z

I

H

6. Conas meánlár triantáin a thógáil

Meánlíne a thugtar ar an mírlíne a cheanglaíonn rinn triantáin le lárphointe an tsleasa urchomhairigh.

Is meánlíne é [XM] sa triantán thíos.

|ZM| � |MY|, mar a thaispeántar.

X Y

M

Z

meánlíne

An meánlár a thugtar ar phointe trasnaithe na dtrí mheánlíne i dtriantán.

G Is é G an meánlár.

456

Chun lárphointe mírlíne ar bith a fháil, ní mór dúinn déroinnteoir ingearach na mírlíne sin a thógáil, mar a thaispeántar thíos.

Socraigh do chompás ag fadatá níos mó ná leath [AB].Agus A mar lárphointetarraing stua os cionn nalíne agus fúithi.

Agus an ga céanna ar dochompás agus B mar lár-phointe, tarraing dhá stua eile.Trasnaíonn na stuanna seoan chéad dá stua ag P agus Q.

Ceangail P agus Q.Is é PQ déroinnteoir ingearach [AB].Is é M lárphointe [AB].

A B A B

Q

P

A BM

Q

P

Léiríonn na trí léaráid thíos na céimeanna a bheidh le leanúint le meánlár a thógáil i dtriantán.

Tóg déroinnteoir ingearach [XZ], mar a thaispeántar.Is é M lárphointe [XZ].

Anois, tóg déroinnteoir ingearach [XY]. Is é N lárphointe [XY].

Ceangail YM agus ZN. Buaileannsiad lena chéile ag an bpointeG. Is é G meánlár an triantáin.

X

Y Z

M

X

Y Z

MN

X

Y Z

MNG

Feidhmeanna na dtógálacha sin

Sa léaráid ar dheis, is í an líne ø déroinnteoir ingearach [AB].

Tá gach pointe ar an déroinnteoir seo ar comhfhad ó A agus B.

Mar sin uAXu 5 uXBu.

X

A B

�

457

Tóg trí phointe X, Y agus Z.Conas a aimsímid pointe atá ar comhfhad ó gach ceann de na trí phointe sin?

Tóg déroinnteoirí ingearacha na línte [XY] agus [YZ].

Tabhair ø agus m ar na línte seo.

Tá gach pointe ar ø ar comhfhad ó X agus Y.

Tá gach pointe ar m ar comhfhad ó Y agus Z.

Trasnaíonn na línte ø agus m a chéile ag K.Tá K ar comhfhad ó X, Y agus Z.

Is é an ciorcal is mó is féidir a tharraingt taobh istigh de thriantán ná an t-inchiorcal, is é sin, an ciorcal a bhuaileann le gach ceann de na trí shlios.

Cleachtadh 15.2

1. Tarraing líne 5 cm ar fad. Gan ach compás agus rialóir in úsáid agat, tóg déroinnteoir ingearach na líne.

2. Bain úsáid as d’uillinntomhas le huillinn 70° a tharraingt.Anois, bain úsáid as do chompás agus do rialóir le déroinnteoir na huillinne a thógáil.

3. Tóg an triantán ABC le bonn uBCu 5 6 cm, uABu 5 4.5 cm agus u/ ABCu 5 60°.

4. Gan ach compás agus rialóir in úsáid agat, tóg uillinn 60°.

5. Tóg an comhthreomharán a thaispeántar ar dheis.

6. Tóg dronuilleog dar fad 6 cm agus dar leithead 4 cm.

7. Tóg an comhthreomharán PQRS sa chaoi go mbeidh uPQu 5 7 cm, uPSu 5 5 cm agus u/QPSu 5 55°. Tomhais uPRu.

8. Is é atá sa léaráid ar dheis ná sceitse garbh den chomhthreomharán ABCD. Tóg an comhthreomharán más rud é gurb ionann an airde ingearach agus 4 cm.

�

Is ionann ‘ar comhfhad ó’ agus‘an fad céanna ó’.

A B

CD

50º

3.5 cm

6 cm

A B

CD

65°

4 cm

7 cm

458

9. Tarraing an comhthreomharán ABCD ar a bhfuil an bonn uABu 5 4.5 cm, uBCu 5 3 cmagus uACu 5 6 cm. Tomhais /ABC.

10. Tarraing triantán le sleasa 6 cm, 5 cm agus 4 cm.Anois, tóg imchiorcal an triantáin.Taispeáin na línte tógála.

11. Tarraing an triantán dronuilleach, mar a thaispeántar ar dheis.Anois tóg imchiorcal an triantáin.Cad a thugann tú faoi deara faoi imlár an triantáin?Anois tarraing triantán dronuilleach ar bith eile agus tóg an t-imchiorcal.An bhfuair tú an toradh céanna agus a fuair tú leis an gcéad triantán?Cén tátal is féidir leat a bhaint maidir le himlár triantáin dhronuilligh?

12. Taispeántar sa léaráid trí shráidbhaile, an Droim, an Múr agus an Tobar.Taispeántar na faid idir na sráidbhailte.

6 km

4 km

6.5 km

An Droim

An Múr

An Tobar

Bain úsáid as an scála 1 cm 5 1 km agus tarraing líníocht chruinn den léaráid thuas.Tá sé beartaithe scoil a thógáil atá ar comhfhad ó gach ceann de na trí shráidbhaile.Taispeáin an áit ar chóir an scoil a thógáil ar do líníocht.

13. Tarraing triantán ar a bhfuil sleasa 6.5 cm, 5 cm agus 4 cm.Bain úsáid as déroinnteoirí dhá uillinn ar bith den triantán le lárphointe an inchiorcail a fháil. Anois tarraing an t-inchiorcal.

14. Is í an líne XD déroinnteoir /AXB. Is pointe ar XD é K, KZ ' AX agus KY ' XB .Taispeáin gur triantáin iomchuí iad XKZ agus XKY.Taispeáin uaidh sin go bhfuil uKZu 5 uKYu.Cén tátal is féidir leat a bhaint maidir le pointe ar bith ar dhéroinnteoir uillinne?

4.5

6

A

B

DK

Z

Y

X

459

15. Tóg an triantán a thaispeántar.Anois, tóg na meánlínte [AM] agus [BN].Trasnaíonn na meánlínte a chéile ag an bpointe G.Tomhais uAGu agus uGMu.

Anois, faigh an cóimheas |AG|

_____ |GM|

agus |BG|

____ |GN|

chomh maith.

Bunaithe ar na freagraí a fuair tú, comhlánaigh an ráiteas seo:'Roinneann meánlínte triantáin a chéile sa chóimheas …. : ……'

16. Tá triúr A, B agus C ina seasamh ar an gcladach agus feiceann siad bád san fharraige.Tá an bád ar comhfhad ó gach duine den triúr.Déan cur síos ar an gcaoi le suíomh an bháid a aimsiú.

17. Tarraing ciorcal dar ga 3 cm agus marcáil an lárphointe O. Marcáil pointe X ar an gciorcal. Anois, úsáid rialóir agus dronbhacart chun tadhlaí leis an gciorcal seo a tharraingt ag an bpointe X.

18. Taispeántar san fhíor ar dheis ciorcal agus dhá chorda [AB] agus [CD].Cad is féidir leat a rá faoi dhéroinnteoir ingearach [AB]?Anois, dean cur síos ar conas is féidir an dá chorda sin a úsáid chun lárphointe an chiorcail a aimsiú.

19. Tarraing ciorcal dar ga 3.5 cm. [Ná marcáil an lárphointe.]Tarraing dhá chorda ar bith cosúil leis na cinn i gceist 18 thuas.Bain úsáid as an dá chorda chun lárphointe an chiorcail a aimsiú.

20. I gCeist 19 bhaineamar úsáid as dhá chorda chun lárphointe an chiorcail a aimsiú. Taispeántar sa léaráid ar dheis ciorcal agus dhá phointe ar an gciorcal sin.Déan cur síos ar bhealach eile chun lárphointe an chiorcail seo a aimsiú agus tú ag úsáid na bpointí X agus Y.

21. Cruth triantáin atá ar láithreán campála agus tá bóithre gnóthacha ag rith ar feadh gach ceann de thrí thaobh an láithreáin. Tá taobhanna an láithreáin 110 m, 150 m agus 170 m ar fad. (i) Agus scála 10 m 5 1 cm in úsáid agat, tarraing léaráid

de réir scála den láithreán seo. (ii) Taispeáin ar an léaráid an áit is fearr le puball a chur sa

chaoi go mbeidh sé chomh fada agus is féidir ó gach ceann de na trí bhóthar.

G

A

M

N4 cm4.5 cm

5.5 cmB C

A

B

C

C

A B

D

Y

X

110 m 150 m

170 m

460

Cuir triail ort féin 15 1. Sa léaráid seo, is méadú é K�L�M�N� ar KLMN.

K L

M

NK� L�

M�

N�

O

(i) Bain úsáid as an ngreille chun fachtóir scála an mhéadaithe a fháil. (ii) Má tá uKNu 5 5 cm, faigh uK�N�u. (iii) Má tá uN�M�u 5 21 cm, faigh uNMu. (iv) Mínigh cén fáth arb é O lárphointe an mhéadaithe. (v) Má tá uONu 5 16 cm, faigh uON� u.

2. Tá dhá fhíor P agus Q sa léaráid thíos. Is méadú ar cheann amháin é an ceann eile.

P

Q

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

(i) Scríobh síos comhordanáidí lárphointe an mhéadaithe. (ii) Más méadú ar P é Q, faigh an fachtóir scála. (iii) Más méadú ar Q é P, faigh an fachtóir scála. (iv) Má tá achar P 5 24 cm2, faigh achar Q.

3. San fhíor ar dheis, is méadú é AB�C�D� ar ABCD. (i) Ainmnigh lárphointe an mhéadaithe. (ii) Faigh fachtóir scála an mhéadaithe. (iii) Faigh uD�C�u. (iv) Má tá uACu 5 9.4 m, faigh uAC�u. (v) Más méadú é ABCD ar AB�C�D�, cad é

fachtóir scála an mhéadaithe?A

B

CD

B�

C�D�

8 m 12 m

5 m

461

4. Is méadú é an triantán AB�C� ar an triantán ABC, áit arb é A an lárphointe agus arb é 1.5 an fachtóir scála.Má tá uACu 5 8, uB�C�u 5 9 agus uBB�u 5 3, faigh

(i) |AC�|

(ii) |BC|

(iii) |AB|.Má tá achar nABC 5 20 aonad cearnach, faigh achar nAB�C�.

5. Tóg triantán dar sleasa 5 cm, 4 cm agus 3.5 cm.Anois tóg imchiorcal an triantáin.

6. Déan tógáil bheacht den chomhthreomharán a thugtar ar dheis.Tomhais uACu.

7. Is trí scoil iad X, Y agus Z.Is é 15 km an fad ó X go Y, is é 12 km an fad ó Y go Z agus is é 18 km an fad ó X go Z.Déan líníocht de réir scála de na faid seo, ag úsáid 1 cm 5 3 km.Anois, tóg suíomh na páirce imeartha atá ar comhfhad ó gach scoil.

8. Rinneadh an léaráid trí thriantán a mhéadú de réir fachtóir scála 2.5. (i) Cé acu an buntriantán? (ii) Má tá uBEu 5 4.5 cm, faigh uCDu. (iii) Más é an triantán ABE íomhá an triantáin ACD?

faoi mhéadú, cad é an fachtóir scála (iv) Má tá u/AEBu 5 28°, faigh méid na huillinne ADC. (v) Má tá achar nABE 5 4.2 cm2, faigh achar nACD.

9. Méadaíodh Cruth C go cruth C�.

C4 cm C�

6 cm

3 cm

x

(i) Cén fachtóir scála a bhí in úsáid? (ii) Cad é fad an tsleasa marcáilte x i gcruth C�? (iii) Más é 18 cm2 achar C�, faigh achar C.

A B

C

C�

B�3

8 9

A B

CD

3 cm

48°

5.5 cm

X

Z

Y

A

B

C

D

E

462

10. Ní féidir le grúpa siúlóirí siúl díreach ó Áth na hAbhann go Baile na Cé, mar a dhéan-ann siad de ghnáth. Ina áit sin, caithfidh siad chun dul trí Chaiseal chun limistéar caomh-antais a sheachaint. Tá Caiseal 7.2 km ó Áth na hAbhann agus 5.4 km ó Bhaile na Cé.

A B

C

7.2 km

Caiseal

Baile na CéÁth na Abhann

5.4 km

Limistéar caomhantais

30º 40º

(i) Tóg líníocht scála chruinn den bhealach, áit a bhfuil 1 cm 5 1 km. (ii) Cad é an fad breise a shiúil an grúpa, i gcomparáid leis an mbealach díreach ó

Áth na hAbhann go Baile na Cé?Bíodh do fhreagra ina chiliméadair, ceart go dtí ionad amháin de dheachúlacha.

11. Is méadú é an triantán XYZ ar an triantán DHG, áit arb é O an lárphointe.uDGu 5 8, uXZu 5 12 agus uXYu 5 9.

H

D

ZGO

X

Y12

9

8

(i) Faigh fachtóir scála an mhéadaithe. (ii) Faigh uDH u. (iii) Is é achar an triantáin XYZ ná 27 aonad cearnach. Faigh achar an triantáin DHG.

12. I ngach ceann de na péirí léaráidí a thaispeántar, is méadú é cruth Q ar chruth P.

Do gach péire léaráidí, scríobh síos: (i) fachtóir scála an mhéadaithe (ii) luach x.

(a)

P

5

9

8

10

8

12

(b)

P

Q

Q

x

x

463

�� Méaduithe

Nuair a mhéadaítear cruth

> bíonn an bhunfhíor agus a híomhá comhchosúil lena chéile; athraíonn an mhéid ach ní athraíonn an cruth.

> tugann an fachtóir scála an uimhir faoinar méadaíodh fad gach mírlíne

> má bhíonn an fachtóir scála k …2 níos mó ná 1 (k > 1), bíonn an íomhá níos mó ná an bhunfhíor2 níos lú ná 1 (k < 1), bíonn an íomhá níos lú ná an bhunfhíor

> má mhéadaítear fíor de réir fachtóir scála k, méadófar a hachar de réir fachtóir scála k2

> faightear lárphointe an mhéadaithe ach línte a tharraingt trí dhá thacar de phointí comhfhreagracha. Is é pointe trasnaithe na línte sin an lárphointe.

> más ionann fachtóir scála an mhéadaithe agus k, is ionann an fachtóir scála don

mhéadú inbhéartach agus 1 __ k

.

Tógálacha

Imchiorcal Inchiorcal

Is é lárphointe an imchiorcail ná pointe trasnaithe dhéroinnteoirí ingearacha na sleasa.

Is é lárphointe an inchiorcail ná pointe trasnaithe dhéroinnteoirí na n-uillinneacha.

Meánlár Uillinn 60°

G

C

M

BA60°

Meánlíne a thugtar ar an líne AM.Meánlár an triantáin a thugtar ar an bpointe G, an áit a dtagann na meánlínte le chéile.

Tadhlaí le ciorcal Comhthreomharáin

O

P

A

70°

B

CD

3.5 cm

5 cm

790100 110

120130

140150

160

170

1800

10

20

30

40

50

6070

80

464

Caibidil 1: Ailgéabar 1Cleachtadh 1.1 1. 5 2. �4 3. �6 4. 8 5. 3 6. 4 7. 3 8. 4 9. 10 10. 2 11. �12 12. �313. 2 14. �7 15. �4 16. 72 17. �30 18. �42 19. 48 20. 63 21. �63 22. �36 23. 24 24. �2425. 3 26. �3 27. 4 28. �9 29. �2 30. �27 31. �12 32. 9 33. 30 34. 21 35. 27 36. 137. 18 38. 72 39. 11 40. 0 41. 4 42. 4 43. �12 44. �6 45. �246. (i) �2 (ii) �4 (iii) 2 (iv) 5 (v) 2 (vi) 6

Cleachtadh 1.2 1. 13x 2. 3x 3. 7a 4. 6a 5. a 6. 2y 7. 5x2 8. 3x2 � 2x 9. 7a2 � 2b 10. �2x � 211. 4a � 4 12. 6x2 � 213. (i) x2 � 7x � 12 (ii) 2x2 � 5x � 3 (iii) 2x2 � 5x � 12 (iv) 2x2 � 8x � 10 (v) 6x2 � 13x � 5 (vi) 2x2 � 15x � 1814. (i) 19x � 17 (ii) 2x2 � 17x (iii) x � 10 (iv) 2x2 � 6x � 315. (i) x2 � 4x � 4 (ii) x2 � 6x � 9 (iii) 4x2 � 12x � 9 (iv) 9x2 � 12x � 416. (i) 2x (ii) 2 (iii) 4x, 15 (iv) 4x, 817. 12x � 2418. (i) 3 (ii) a � 619. (i) 18ab � 6b2 (ii) 12a � 10b20. x2 � 19x � 24

Cleachtadh 1.3 1. 8 2. �2 3. 12 4. 4 5. 21 6. 24 7. 0 8. 22 9. 19 10. 21 11. 69 12. �1513. (i) 33 (ii) �21 (iii) 7 (iv) 214. (i) A, D, F (ii) C, D, E15. (i) 11 (ii) �4 (iii) 4 (iv) 2

Cleachtadh 1.4 1. x � 4 2. x � 5 3. x � 5 4. x � 8 5. x � 6 1 _ 2 6. x � 3 7. x � 2 8. x � 6 9. x � 510. x � 3 11. x � 6 12. x � 513. x � 7 14. x � 7 15. x � 516. x � 2 17. x � 5 18. x � 119. x � 10 20. x � 10 21. x � 522. x � 3 23. x � 3 24. x � 925. x � 226. (i) 15 (ii) 60 � 2x (iii) 9 1 _ 2 (iv) 1027. x � 35°; 101°, 64°, 15°

Cleachtadh 1.5 1. x � 12 2. x � 1 3. x � 7 4. x � 21 5. x � 11 6. x � 6 7. x � 4 8. x � 3 9. x � 210. x � 5 11. x � �5 12. x � 7 1 _ 2 13. x � 4 14. x � 7 15. x � 716. x � 3 17. x � 6 18. x � 819. x � 8 20. x � 2 21. x � 2422. x � 30 23. x � 2 24. x � 1 1 _ 2 25. x � 1 26. x � 1 _ 2 27. x � 1128. 8 cm

29. (i) 3(x � 6)

_______ 5

� x � 4 (ii) 15 cm

Cleachtadh 1.6

1. 13 ___ 12

2. 13 ___ 10

3. 11 ___ 24

4. 5x ___ 6

5. 9x ___ 4

6. 7x ___ 6

7. 10x � 9 _______ 12

8. 9x � 17 _______ 6

9. 17x � 24 ________ 15

10. �x � 6 _______ 6

11. 3x � 5 ______ 12

12. 13x � 7 _______ 20

13. 2x � 3 _______ x(x � 3)

14. 5x � 15 _______ x(x � 5)

15. 5x � 14 ____________ (x � 2)(x � 4)

16. 14x � 15 ______________ (2x � 1)(2x � 3)

17. 25x � 7 ______________ (4x � 1)(3x � 1)

18. �x � 17 _____________ (3x � 1)(x � 3)

19. 22 ______________ (3x � 1)(2x � 3)

20. �3x � 13 _________ 4(3x � 5)

FreagraíFreagraíFreagraíFreagraíFreagraíFreagraíFreagraíFreagraí

465

(iii) d � c � 1 _____ 4

(iv) k � h � 2 _____ 2

2. (i) b � a � 5 _____ 3

(ii) w � b � 2 _____ 4

(iii) e � d � 12 ______ 6

(iv) h � �g � 18

________ 5

3. (i) t � v � u _____ a

(ii) p � k � bq

______ a

(iii) g � 5(p � 3h)

4. (i) x � y � 2z (ii) x � b � 4c ______ 3

(iii) x � �6y � 7

________ 3

(iv) x � 6y � 24

5. (i) a � 2b � 1 ______ 4

(ii) a � 5 _____ b � 3

(iii) a � 4b � 21 _______ 7

6. (i) a � b(k � 2) (ii) v � u ______ s � 10

7. (i) a � 2(c � 4b) (ii) a �� 4b � 3c ________ 2

(iii) x � y � 1

_____ 6

(iv) b � a � 30 ______ 10

(v) z � �3x � y

________ 2

(vi) b � 4a � 3c _______ 2

8. (i) a � mn ______ m � n

(ii) n � b � a � d _________ d

9. (i) y � 3x ___ 20

� z (ii) b � 6c _______ 2a � 3c

(iii) y � x � tz ______ 2

(iv) t � q2

_____ p � q

10. (i) a � b � xb ______ x � 1

(ii) x � y � 4

_____ y � 3

(iii) r � pq

_____ p � q

11. k � abe ______ ab � d

12. D, E, F

13. (i) b � x2 � a (ii) y � x __ a2

(iii) b � 4a ___ k2

14. F � 9C � 160 ________ 5

15. (i) q � 8p

______ pt � 8

(ii) b � am _______ ac � m

Cuir triail ort féin 1 1. (i) x � 1 (ii) x � 3, y � 4

(iii) b � c � ax ______ y

2. (i) x � 2 1 _ 2 (ii) A, B, D, E

(iii) 2 3 __ 10 (iv) v � 23, w � �5

21. �x � 20 ______________ (2x � 7)(3x � 5)

22. �x � 7 _____________ (2x � 1)(x � 2)

23. k � 34

24. (i) 13a ____ 12

(ii) 9a � 4 ______ 12

(iii) 7a � 5 ______ 6

Cleachtadh 1.7 1. A, F; B, D; C, H; E, G 2. D agus E 3. A, D; B, G; F, H; C, E 4. x � 3 5. x � �3 6. x � 4 7. x � 3 8. x � �3 9. x � �12 10. x � 411. x � 1 12. x � �513. x � �8 14. x � �115. x � 2 16. x � 117. �3 � x � 3 18. � 1 _ 2 � x � 319. 1 _ 2 � x � 8 20. x � 2, 3, 421. (i) (b) atá fíor (ii) 9

Cleachtadh 1.8 1. x � 4, y � 1 2. x � 5, y � 2 3. x � 3, y � �2 4. x � 3, y � 1 5. x � �1, y � �2 6. x � 2, y � 3 7. x � 4, y � 2 8. x � 5, y � �2 9. x � 13

__ 2 , y � 1 10. x � 3, y � 111. x � �2, y � 3 12. x � 6, y � 313. x � �2, y � 3 14. x � 4, y � �315. x � �1, y � �1 16. x � 1, y � 517. x � 3 _ 2 , y � 2 18. x � 2, y � 119. x � 2, y � 3 20. x � 8, y � 321. x � 6, y � �422. (i) x � 1 _ 2 , y � 5 _ 2 (ii) 6.5 cm

Cleachtadh 1.9 1. 7, 2 2. 10, 3 3. E9, E6 4. 28, 15 5. 196 g, 366 g 6. (ii) a � 2 1 _ 2 , b � 3 7. 40 bó, 10 gcearc 8. (i) 80 g (ii) 120 g 9. Ruairí – 9, Sorcha – 310. (i) x � 1, y � 2 (ii) x � 3, y � 0 (iii) x � �1, y � �211. (i) (a) x � 1, y � 3 (b) x � 0, y � 4 (ii) Línte comhthreomhara

� níl aon phointe trasnaithe ann12. 14

__ 49 , 15 __ 50

13. |AB| � 21 cm, |BC| � 2 cm

Cleachtadh 1.10

1. (i) x � y � 4

_____ 2

(ii) b � a � 6 _____ 8

466

15. x � 1 _ 6 nó x � �3 16. x � 0 nó x � 7

17. x � 0 nó x � 5 _ 2 18. x � 0 nó x � � 4 _ 3

19. x � 0 nó x � 9 _ 2 20. x � 0 nó x � � 10 __ 3

21. x � 0 nó x � 12 __ 5 22. x � �3

23. x � �7 24. x � � 3 _ 2

25. x � � 5 _ 2 26. x � � 4 _ 3

27. x � � 1 _ 2 28. x � �2 nó x � 7

29. x � � 1 _ 2 nó x � 5 30. x � � 5 _ 2 nó x � 6

31. (ii) (a) x � 3 _ 2 (b) 4 cm, 3 1 _ 2 cm

32. (i) (a) (x2 � 6x) cm2 (b) (8x � 24) cm2

(ii) x � 6; l � 12 cm, w � 6 cm; caithfidh x a bheith deimhneach

33. (i) (3x � 4)2 � (2x � 6)2 � (x � 2)2

(ii) x � 3 (iii) 13 cm34. (i) x � 3 nó x � 5 (ii) x � �2 nó x � �4 (iii) x � �1 nó x � 235. (ii) x � 3, imlíne � 30 cm

Cleachtadh 2.3 1. x � 1 nó x � 4 2. x � 3 nó x � 4 3. x � 2 nó x � 3 4. x � �3 nó x � 5

5. x � 3 _ 2 nó x � 1 6. x � �1 nó x � 3

7. x � 0 nó x � 4 8. x � 2 _ 3 nó x � 2

9. x � 3 _ 2 nó x � �2 10. x � �3 nó x � 4

11. x � 2 _ 3 nó x � 1 12. x � 1 nó x � 3

13. x � �2 nó x � 4 14. x � 5 nó x � 3 _ 2

15. x � 3 _ 2 nó x � 6 16. x � 1 _ 2 nó x � �3

17. x � 2 nó x � � 2 _ 3 18. x � �1 nó x � � 1 _ 2

19. (i) x � 3 _ 5 (ii) x � �2 (iii) x � 0

Cleachtadh 2.4 1. �3.41, �0.59 2. �5.24, �0.76 3. �3.45, 1.45 4. �1.83, 3.83 5. �0.81, 0.31 6. �0.43, 0.77 7. 0.42, 1.58 8. �2.91, 0.57 9. �0.35, 1.15 10. �2.39, �0.2811. �0.36, 1.86 12. �2.59, 0.2613. �1.55, 0.80 14. 0.72, 2.7815. �2.14, 0.47 16. 0.3, 6.717. 0.3, 3.2 18. �2.8, 1.319. �4.3, 3.3 20. �1.4, 1.821. �0.8, 3.522. (i) x2 � 3x � 4 (ii) x � 2.53 (iii) 6.53 cm

3. (i) �2x � 9 (ii) x � 1 _ 4

(iii) x � �1 (iv) x � 3 1 _ 2 4. (i) 10 (ii) x � 4 (iii) 2 � x � 5 (iv) (a) A: x � y � 3 B: y � 2x C: x � 2y � 3 (b) (i) x � 1, y � 2 (ii) x � 3, y � 0 (iii) x � �1, y � �2 5. (i) x � �3 (ii) B, E

(iii) a � 5, b � 2 (iv) 9x � 13 _______ 6

; x � 7

6. (i) x � 4 (ii) (2, �1) (iii) 1

(iv) (a) r � √___

3V ___ Ph

(b) r � 3.5 cm

7. (i) �1 (ii) Megan: 21, Olivia: 26

(iii) r � pq

______ 3q � p

(iv) (b) r � P ______ P � 6

(c) h � 30 ______ P � 6

Caibidil 2: Cothromóidí CearnachaCleachtadh 2.1 1. (x � 6)(x � 1) 2. (x � 3)(x � 4) 3. (2x � 1)(x � 2) 4. (2x � 1)(x � 4) 5. (2x � 1)(x � 7) 6. (3x � 2)(x � 2) 7. (3x � 4)(x � 1) 8. (5x � 2)(x � 3) 9. (2k � 1)(2k � 3) 10. (4x � 1)(x � 3)11. (10x � 7)(x � 1) 12. (3x � 10)(2x � 1)13. (x � 3)(x � 4) 14. (x � 4)(x � 9)15. (2x � 1)(x � 3) 16. (2x � 1)(x � 9)17. (2x � 3)(x � 5) 18. (4x � 1)(2x � 3)19. (3x � 1)(2x � 3) 20. (4x � 1)(2x � 3)21. (4x � 1)(2x � 3) 22. (3x � 2)(x � 5)23. (2x � 9)(x � 6) 24. (6x � 11)(x � 2)25. (6x � 5)(4x � 3) 26. (6x � 1)(x � 3)27. (5x � 2)(3x � 4) 28. x(x � 4)29. x(x � 8) 30. x(2x � 3)31. (x � y)(x � y) 32. (x � 5y)(x � 5y)33. (4x � 1)(4x � 1) 34. (4x � 5y)(4x � 5y)35. (7x � 10)(7x � 10) 36. (6x � 7y)(6x � 7y)

Cleachtadh 2.2 1. x � 4 nó x � �1 2. x � 1 _ 2 nó x � �2

3. x � 0 nó x � 5 _ 2 4. x � �1 nó x � 3 5. x � 2 nó x � 6 6. x � �1 nó x � 5 7. x � �2 nó x � 4 8. x � 3 nó x � �5 9. x � 1 _ 2 nó x � 2 10. x � 2 _ 3 nó x � � 1 _ 2

11. x � 1 _ 4 nó x � 7 12. x � � 4 _ 3 nó x � 7 _ 3

13. x � 1 _ 2 nó x � 5 _ 2 14. x � � 2 _ 3 nó x � 5

467

16. (i) 1 _ 4 (ii) 4 (iii) 1 _ 8 (iv) 1 ____ 1000 (v) 1 _ 8

17. (i) 23 (ii) 2 1 _ 2 (iii) 2

3 _ 2 (iv) 2

5 _ 2 (v) 2

1 _ 2

18. (i) 52 (ii) 5 1 _ 2 (iii) 5

3 _ 2 (iv) 5

3 _ 2 (v) 5

1 _ 2

19. (i) 24 (ii) 3 5 _ 2

20. 5

Cleachtadh 2.8 1. (i) 23 (ii) 24 (iii) 2�2 (iv) 2�3 (v) 2�5

2. (i) 32 (ii) 33 (iii) 34 (iv) 3�3 (v) 3�4

3. 3 4. 3 5. 5 _ 2 6. 3 _ 2

7. 3 _ 2 8. 3 _ 2 9. 5 _ 3 10. 5 _ 4

11. �2 12. �3 13. � 3 _ 2 14. �3

15. � 3 _ 2 16. 4 _ 3 17. �4 18. �3

19. � 5 _ 2 20. 3 21. 2 22. 3

23. (i) 2 1 _ 2 (ii) 2

3 _ 2 (iii) 2

3 _ 2 (iv) 2 � 3 _ 2

(v) 2 � 3 _ 2 (vi) 2 1 _ 2

24. (i) 3 _ 2 (ii) 3 _ 2 (iii) � 1 _ 2 (iv) � 5 _ 3

25. (i) x � � 1 _ 2 (ii) x � � 3 _ 2

(iii) x � 2 (iv) x � 5 _ 4

26. 3 7 _ 2 ; 3 _ 4 27. 2

4 _ 3 ; 4 _ 3 28. 3

5 _ 2 ; 3 1 _ 4

29. 2 5 _ 2 ; 9 _ 4 30. 3 � 5 _ 2 ; 17

__ 4

31. (i) 24 (ii) 2 3 _ 2 ; x � 17

__ 4

Cleachtadh 2.9 1. (i) 3 (ii) 6 (iii) 12 (iv) 5 (v) 4

2. (i) 2 √__

2 (ii) 2 √__

3 (iii) 3 √__

2

(iv) 3 √__

3 (v) 3 √__

5

3. (i) 5 √__

3 (ii) 6 √__

2 (iii) 5 √__

5

(iv) 12 √__

3 (v) 8 √__

3

4. (i) 8 √__

3 (ii) 5 √__

2 (iii) 5 √__

2

(iv) 7 √__

2 (v) 5 √__

3 (vi) 3 √__

3

5. (i) 5 (ii) 18 (iii) 60 (iv) 21

6. (i) 5 � 2 √__

5 (ii) 6 � 4 √__

3 (iii) 6 � √__

6

7. (i) 2 √___

10 � 10 (ii) 1 (iii) 22

(iv) �9 (v) �11 (vi) �3

8. (i) 2 (ii) �7 � 13 √__

2 (iii) 1

9. 24 � 8 √__

5 10. 4 √___

15

Cleachtadh 2.10 1. 5 2. 9 3. 5 4. 6 5. 7 6. 9 7. 6 8. 2 9. 510. 2 11. 1, 4 12. 913. 3 _ 2 14. 10 2 _ 3 15. 3

16. x2 � x; x � 3

Cleachtadh 2.5 1. (2, 1), (1, 2) 2. (3, �1), (1, �3) 3. (3, 3), (�3, �3) 4. (1, 1), (�3, 9) 5. (4, 2), (�4, �2) 6. (�4, �3), (3, 4) 7. (3, 0), (0, 3) 8. (4, 3), (3, 4) 9. (1, 0), (6, 5) 10. (�2, �2), (1, 4)11. (1, 2), (4, �4) 12. (5, 1), (�7, �5)13. (1, 1), (�3, 9) 14. (1, 1); tadhlaí15. (3, 5), (�4, 12)

Cleachtadh 2.6 1. x2 � 6x � 8 � 0 2. x2 � 6x � 5 � 0 3. x2 � 5x � 6 � 0 4. x2 � 2x � 3 � 0 5. x2 � 2x � 8 � 0 6. x2 � 7x � 12 � 0 7. x2 � 4x � 12 � 0 8. x2 � 5x � 0 9. 2x2 � 3x � 2 � 0 10. x2 � 9x � 20 � 011. 2x2 � 7x � 4 � 0 12. 4x2 � 33x � 8 � 013. x2 � 4x � 0 14. 4x2 � 1 � 015. x2 � 9 � 0 16. 4x2 � x � 017. a � �1, b � �2

Cleachtadh 2.7 1. (i) a7 (ii) a6 (iii) a4 (iv) 6x3

(v) 3a5 (vi) x3 (vii) a3 (viii) 3a4

(ix) a6 (x) 1 2. (i) 52 (ii) 82 (nó 43 nó 26) (iii) 33

(iv) 25 (v) 53 (vi) 92 (nó 34) 3. A: 33, B: 3�2, C: 2�6, D: 6�3, E: 1, F: 2�2,

G: 32, H: 55

4. (i) 8 (ii) 4 (iii) �1 (iv) 2 (v) �4 (vi) �2 5. (i) 5n11 (ii) 6n3 (iii) 21n13

(iv) 30n9 (v) 16n2 (vi) 8n3

(vii) 125n6 (viii) 32n15

6. (i) 2m7 (ii) m2 ___

5 (iii) 2m�4

(iv) 2m3 ____

3 (v) 3m�2

_____ 2

7. A & E; B & H; C & G; D & F 8. (i) 5 (ii) 3 (iii) 4 (iv) 4 (v) 6 (vi) 5

9. (i) 36 (ii) 1 _ 8 (iii) 4 _ 9 (iv) 1 _ 9 (v) 12

10. A & I; B & H; C & G; D & F

11. (i) 1 _ 4 (ii) 1 (iii) 8 (iv) 3 _ 4 (v) 2 _ 3

12. (i) x 1 _ 2 (ii) a

1 _ 3 (iii) a

1 _ 4 (iv) x

2 _ 3 (v) a

3 _ 4

13. (i) √__

x (ii) 4 √__

a (iii) 3 √

__

x2

(iv) 2 √

__

a5 (v) 3 √____

(� a __ x

)

14. (i) 2 (ii) 4 (iii) 8 (iv) 8 (v) 9 (vi) 64 (vii) 16 (viii) 1000 (ix) 27 (x) 25

15. (i) 1 _ 3 (ii) 1 __ 16 (iii) 1 _ 2 (iv) 2 (v) 1 _ 4

468

9. (i) √___

18 (ii) √___

34 ; Níl10. k � 1 nó k � 311. k � 5 nó k � �112. √

___ 26 km

Cleachtadh 3.3 1. (i) (4, 3) (ii) (1, 3) (iii) (3, 1) (iv) (1, 1) (v) (1, �2) (vi) (�2, 0)

2. (0, 11 __ 2 ); y-ais

3. (2, 4) 4. (1, 1 __ 2 )

5. (�1, �1) 6. (�1, 6)

Cleachtadh 3.4 1. (i) a � c (ii) b � d

2. (i) b (ii) 2 _ 3 (iii) 2

3. Tá an líne ag titim ó chlé go deis; � 1 _ 2

4. (i) 1 (ii) � 3 _ 2 (iii) 8

(iv) 1 (v) 1 (vi) 2 _ 3 5. Tá siad comhthreomhar 6. Tá siad comhthreomhar

8. a � 1 _ 2 , b � 1, c � 2

9. (i) 3 _ 4 (ii) � 4 _ 3

10. (i) � 3 _ 2 (ii) � 5 _ 4 (iii) 4 _ 3

(iv) 5 _ 2 (v) 2

11. (i) 1 (ii) �112. (i) �1 (ii) 113. k � 514. k � � 8 _ 3

15. (i) 1 _ 2 (ii) 2 _____ k � 1

(iii) 5

16. (i) Tá gach ceann de na línte sin ag titimó chlé go deis

(ii) � � �2, m � �1, n � � 1 _ 2 , k � 0

Cleachtadh 3.5 1. (i) 2x � y � 2 � 0 (ii) 4x � y � 1 � 0 (iii) 5x � y � 13 � 0 (iv) 3x � y � 6 � 0 (v) 5x � y � 17 � 0 (vi) 2x � 3y � 9 � 0 2. (i) 3x � 4y � 19 � 0 (ii) 3x � 5y � 22 � 0 3. (i) 4x � y � 11 � 0 (ii) 2x � y � 1 � 0 (iii) 3x � 4y � 18 � 0 (iv) 2x � 3y � 5 � 0 4. 3x � y � 0 5. (i) 3x � y � 0 (ii) 5x � y � 0 (iii) x � 3y � 0 (iv) 3x � 2y � 0 6. �3; 3x � y � 5 � 0 7. (i) 3x � 2y � 0 (ii) 2x � y � 0 (iii) x � 6y � 1 � 0 (iv) 4x � 5y � 7 � 0 (v) x � y � 5 � 0 (vi) 2x � y � 1 � 0 8. 5x � 4y � 2 � 0 9. (i) A(4, 3), B(7, 5), C(10, 3) (ii) 2 _ 3 (iii) 2x � 3y � 1 � 0

17. x � 4 __ x

; x � 4 18. k � 1 __ 10

Cuir triail ort féin 2 1. (i) (2x � 1)(x � 3); �3, 1 _ 2

(ii) (3, 4), (5, 0) (iii) (a) 3 _ 4 (b) 3

2. (i) 3x � 13 (ii) 7.77, �0.77

(iii) 5 √__

2 (iv) 3 3 _ 2 ; x � 2

3. (i) b � �5 (ii) (5, �1), (�7, 5) (iii) 8 cm, 3 cm 4. (i) 4x2 (ii) 1 _ 3 ,2 (iii) A, C, D, E

5. (i) k � �3 (ii) (a) x � 5 _ 2 (b) x � 1 _ 4

(iii) (1, 1), (4, 7)

(iv) 2 � √__

3 6. (i) (a) 4 (b) 125 (c) 1 __ 27

(ii) ( 1 _ 4 , � 1 _ 4 ), (� 1 _ 2 , � 1 _ 2 )

(iii) 3 √__

2

(iv) x � 3 _ 4

7. (i) (a) (x � 7) cm (b) (x2 � 7x) cm2

(ii) (a) x � 4 (b) 30 cm

8. (i) 3 _ 5 (ii) 1 _____ x � 1

; � √__

3

(iii) x � � 1 _ 8 (iv) 4, 5

Caibidil 3: Céimseata Chomhordanáideach� An Líne

Cleachtadh 3.1 1. A � (5, 4), B � (6, 1), C � (3, 2), D � (�4, 3),

E � (�4, 0), F � (�3, �3), G � (0, �2), H � (4, �2), I � (3, 0)

3. (i) Céad (ii) Tríú (iii) Ceathrú (iv) Dara (v) Ceathrú (vi) Tríú 4. (i) x-ais (ii) x-ais (iii) y-ais (iv) y-ais (v) An dá ais/bunphointe 5. (i) A(4, 2), B(�3, 2), C(�5, �2), D(5, �3) (ii) 1.3 km (iii) 1.3 km 6. (i) (0, 8), (9, �1) (ii) (4, 11), (0, 15) (iii) (7, 1), (�3, 11), (10, �2)

Cleachtadh 3.2 1. (i) √

___ 34 (ii) √

___ 50 (iii) √

___ 53 ; No

2. (i) |FE| � 6, |ED| � 3 (ii) √___

45

3. (i) √___

10 (ii) √__

5 (iii) √___

13 (iv) √

___ 89 (v) √

___ 53 (vi) 5

4. (i) √___

26 (ii) √__

8 (iii) √___

10 (iv) √__

8 6. |XY| � √

___ 65 ; |XZ| � √

___ 65 ; |YZ| � √

___ 26 ;

|XY| � |XZ| ⇒ Tá NXYZ comhchosach 7. A(2, 0), B(6, 7), C(10,0), D(6,0); 2 √

___ 65 aonad

8. √___

53

469

Cleachtadh 3.10

1. (i) 5 _ 2 aonad cearnach (ii) 27 __ 2 aonad cearnach

(iii) 5 _ 2 aonad cearnach (iv) 5 aonad chearnacha

(v) 3 aonad chearnacha (vi) 9 n-aonad chearnacha 2. B�(�7, �2); C�(1, �2); 8 aonad cearnach

3. (i) 9 _ 2 aonad cearnach (ii) 33 __ 2 aonad cearnach

(iii) 15 aonad2 (iv) 4 aonad cearnach 4. 14 aonad chearnacha; 14 aonad cearnach 5. 14 aonad cearnach 6. 14 aonad cearnach 7. 4 aonad cearnach 8. Ní triantán é, i.e. is líne dhíreach é 9. k � 1

Cuir triail ort féin 3

1. (i) √___

10 (ii) 1 _ 3

2. (ii) � 4 _ 3 (iii) 4x � 3y � 10 � 0

3. (i) 2 (ii) (0, �4)

(iii) (2, 0) (iv) � 1 _ 2

4. (ii) k � 3

5. (i) (0, 5); y-ais (ii) 4 _ 3

(iii) � 3 _ 4 (iv) 3x � 4y � 0

6. 1 _ 2 ; y � 1 _ 2 x � 1

7. (i) �2 (ii) (0, 4) 8. (ii) 1 _ 2 (iii) 2x � y � 10 � 0

9. (i) k � 2 (ii) A(3, 0), B(0, 2); 3 aonad chearnacha10. (i) 3x � y � 6 � 0 (ii) 6 m (iii) 6.3 m11. (2, 2)12. (i) 2x � y � 12 � 0 (ii) x-ais: (6, 0); y-ais: (0, 12) (iii) 36 aonad cearnach13 (i) 2x � y � 1 � 014. (i) b agus c (ii) 2 (iii) D, a; E, b; F, c15. (i) c � �7 (ii) 3x � 2y � 4 � 016. (iii) 10 n-aonad chearnacha17. (i) 95°F (ii) 58°F (iii) 10°C (iv) 38°C; 5x � 9y � 160 � 0

Caibidil 4: Sonraí a Bhailiú agusSampláil

Cleachtadh 4.1 1. (i) Scoite (ii) Scoite (iii) Leanúnach (iv) Scoite (v) Leanúnach 2. Leanúnach; am tomhaiste ar scála 3. Scoite

Cleachtadh 3.6 1. (i) y � �x � 4; �1 (ii) y � �3x � 5; �3 (iii) y � � 2 _ 3 x � 7 _ 3 ; � 2 _ 3 (iv) y � 5 _ 2 x � 3 _ 2 ; 5 _ 2

(v) y � � 3 _ 4 x � 1 _ 2 ; � 3 _ 4 (vi) y � 3 _ 4 x � 3 _ 2 ; 3 _ 4

2. y � � 2 _ 3 x � 7 _ 3 ;

(i) � 2 _ 3 (ii) � 2 _ 3 (iii) 3 _ 2

3. �2 5. (i) y � 3x � 6 (ii) y � � 1 _ 3 x � 11 6. Tá siad comhthreomhar 7. (i) 3 (ii) (0, �2) 8. (i) a � f (ii) a � e nó b � d (iii) e (iv) a 9. x � 2y � 2 � 0 nó y � 1 _ 2 x � 1

10. k � 4 11. k � 2 12. k � 6

Cleachtadh 3.7 1. �2; 2x � y � 8 � 0 2. 3x � y � 9 � 0 3. 2 _ 3 ; � 3 _ 2 ; 3x � 2y � 10 � 0

4. 2x � 3y � 7 � 0 5. 3x � y � 12 � 0 6. x � 3y � 0 7. P(2, 4); 5x � y � 6 � 0 8. 2x � y � 5 � 0 9. x � 4y � 28 � 010. C11. x � 2y � 10 � 012. (i) 5 _ 3 (ii) (b) 3x � 5y � 2

Cleachtadh 3.8 1. a: y � 1; b: y � 3; c: x � 3; d: x � �1 3. (i) x � 3 (ii) (0, 6) (iii) 4 (iv) 1 (v) 9 n-aonad chearnacha 4. x-ais: (6, 0); y-ais: (0, �3) 6. x-ais: (5, 0); y-ais: (0, � 5 _ 2 )

7. 9 n-aonad chearnacha 9. (i) A (ii) B (iii) Níl siad ingearach (iv) 7.5 aonad2

11. (i) d (ii) c (iii) a (iv) b12. (iv) Níl sé ar an líne14. k � �615. k � 316. (i) k � 2 (ii) t � 5

Cleachtadh 3.9 1. (4, 1) 2. (1, 4) 3. (2, 3) 4. (3, 1) 5 (�2, 1) 6. (�3, 1) 7. (�2, 3) 8. (�3, �1) 9. (�1, �2)10. (3, �4) 11. (�2, 5)

470

15. (i) (a) Róscaoilte; ba chóir go mbeadh roghachuí freagraí curtha ar fáil

(b) Róphearsanta; d’fhéadfadh sí náire a chur ar dhaoine

Cleachtadh 4.5 1. B

2. B

3. Daoine atá ag an bpictiúrlann cheana féin,

seans go bhfuil suim acu i scannáin agus gurminice a théann siad ann ná an chuid is mó

de dhaoine. 4. Ní thugann sé léiriú ceart ar an daonra mar go

bhfuil an fráma ama rótheoranta agus róchúng. 5. Daoine ag siopa spóirt, tá suim acu sa spórt

cheana féin agus is mó an seans go n-imríonnsiad roinnt spórt.

6. Laofa ó thaobh inscne de; ní dhearnadh suirbhéach ar ollmhargaí; am rótheoranta agus, dábhrí sin, d’fhéadfadh nach ndéanfadh sé léiriúceart ar an daonra.

7. Modh 2; Randamach amach is amach11. (i) Níl laofa (ii) Laofa (iii) Laofa13. 300

Cuir triail ort féin 4 1. (i) Uimhriúil (ii) Catagóireach (iii) Catagóireach (iv) Uimhriúil (v) Catagóireach (vi) Uimhriúil (vii) Catagóireach 2. (i) Scoite (ii) Scoite (iii) Leanúnach (iv) Leanúnach (v) Scoite (vi) Leanúnach 3. (i) Príomhúil (ii) Tánaisteach (iii) Príomhúil (iv) Tánaisteach (v) Tánaisteach 4. (i) Aonathráideach (ii) Dé-athráideach (iii) Dé-athráideach (iv) Aonathráideach (v) Dé-athráideach 5. (i) A (ii) A (iii) C (iv) B (v) B (vi) A (vii) B (viii) A (ix) A nó C (x) C 6. (i) B agus C (ii) A agus D 9. (i) 21911. D’fhéadfadh12. (i) D’fhéadfadh13. Níl ach B agus F laofa

Caibidil 5: UimhríochtCleachtadh 5.1

1. (i) 3 _ 5 (ii) 4 __ 15 (iii) 3 _ 4 (iv) 5 _ 8

2. (i) 5 _ 8 (ii) 1 5 __ 24 (iii) 19 __ 42 (iv) 1 11

__ 18

4. (i) Scoite (ii) Scoite

(iii) Leanúnach

5. Leanúnach; scoite 6. (i) Scoite (ii) Leanúnach (iii) Scoite

(iv) Leanúnach (v) Scoite(vi) Leanúnach (vii) Scoite

Cleachtadh 4.2 1. (i) Uimhriúil (ii) Catagóireach (iii) Uimhriúil (iv) Catagóireach 2. (i) Catagóireach (ii) Uimhriúil (iii) Uimhriúil; tá líon na gcnaipí scoite 3. (i) Ní hea (ii) Is ea (iii) Is ea (iv) Ní hea

5. (ii) Líon na n-uibheacha (iii) An méid plúir 6. Uimhriúil … Catagóireach 7. (i) Catagóireach (ii) Uimhriúil (iii) Uimhriúil (iv) Catagóireach; Is é an méid bróige atá scoite;

Sonraí leanúnacha dé-athráideacha 8. (i) Fíor (ii) Bréagach (iii) Bréagach

(iv) Bréagach

(v) Fíor (vi) Bréagach(vii) Fíor (viii) Fíor

Cleachtadh 4.3 1. (i) Príomhúil (ii) Tánaisteach (iii) Príomhúil (iv) Tánaisteach 2. (i) Sonraí tánaisteacha (ii) Roy; is gaire don am i láthair a chuid torthaí 3. Sonraí príomhúla 5. (i) Ní bheadh (ii) Príomhúil

Cleachtadh 4.4 1. (i) (c) (ii) (a) (iii) (b) (iv) (b) 2. C(i); tugann C(ii) ar dhaoine freagra faoi leith

a thabhairt 3. (i) Róphearsanta (ii) Róscaoilte 4. (i) Ceist róphearsanta; Freagraí róscaoilte

5. (i) Róphearsanta (ii) Ceist a thugann ar dhaoine freagra faoi

leith a thabhairt (iii) (a) Tá na huimhreacha ag dul isteach

ina chéile 6. Is ceisteanna iad B agus D a thugann ar dhaoine

freagra faoi leith a thabhairt, nó atá laofa 7. Níl sí oiriúnach – róscaoilte 8. (i) Róphearsanta – d’fhéadfadh sí náire a

chur ar dhaoine 9. CA: Róphearsanta; CB: Ceist a thugann ar

dhaoine freagra faoi leith a thabhairt10. (i) Róscaoilte11. (i) Róscaoilte – d’fhéadfadh sí náire a chur ar

dhaoine (ii) Ba chóir boscaí do na freagraí a chur isteach (iii) Róscaoilte – d’fhéadfaí níos mó ná ciall

amháin a bhaint aisti

471

9. (i) 18 (ii) 161 (iii) 60 (iv) 242.5 (v) 135 (vi) 42.7510. E160011. (i) E245 (ii) E24012. E65013. (i) E320 (ii) 17%14. (i) E4050 (ii) E370 00015. 41% 16. 20%17. 21 1 _ 3 % 18. E1104

19. (i) 12.5% (ii) 4000 kg20. (i) E800 (ii) E18 00021. 8422. Beidh Stór B E23.50 níos ísle23. E479

Cleachtadh 5.4 1. 8.7% 2. 7.7% 3. 4.7% 4. 7.4% 5. 1.3% 6. (i) 5.8% (ii) 2.3% 7. 2.6% 8. (i) F � 68° (ii) 2.9% 9. (i) 28.5 m (ii) 27.5 m (iii) 441 3 _ 4 m2

10. (i) 88 m (ii) 410 3 _ 4 m2

11. (i) 2.85 kg (ii) 165 kg (iii) 555 3 _ 4 kg

12. (i) 12.5 cm (ii) 515 5 _ 8 cm3

(iii) 179 1 _ 4 cm3 (iv) 14.6%

Cleachtadh 5.5 1. (i) E1363.64 (ii) $3696 2. E2150.74 3. (i) E1764.71 (ii) £1700 4. (i) $1680 (ii) Y268 800 (iii) E3409.09 (iv) E964.29 (v) $450 (vi) Y636 363.64 5. 596 Franc Eilvéiseach 6. E57.99 7. E1625 8. 2% 9. E29 931; brabús E3975

Cleachtadh 5.6 1. (i) E13 160 (ii) E9960 2. (i) E275.20 (ii) E231.20 3. E8080 4. E156.90 5. E7850 6. r � 22 7. E1000 8. E4950 9. E35 000 10. E46 00011. (i) E3308.80 (ii) E53.40 (iii) E3728.80 (iv) E70.9012. (i) E11 200 (ii) E5600 (iii) E5600 (iv) E14 000 (v) E42 000

3. (i) 5 1 _ 4 (ii) 3 11 __ 12 (iii) 4 3 __ 10 (iv) 6 1 _ 5

4. (i) 1 3 __ 10 (ii) 2 1 _ 6 (iii) 2 1 __ 15 (iv) 2 5 __ 24

5. (i) 10 (ii) 21 (iii) 39 (iv) 49

6. (i) 3 _ 2 (ii) 4 2 _ 7 (iii) 3 _ 2 (iv) 10

7. (i) 1 _ 6 (ii) 5 __ 36 (iii) 5 __ 12 (iv) 5 __ 18

8. (i) 0.125 (ii) 0.625 (iii) 0.875 (iv) 0.0625 (v) 0.4375

9. (i) 0.58, 0.6, 5 _ 8 , 13 __ 20 (ii) 3 __ 10 , 0.35, 0.4, 9 __ 20

10. (i) 750 m (ii) 250 m11. (i) 2.57 (ii) 2.612. (i) 1720.6 (ii) 8.1 (iii) 9.113. (i) 0.3 (ii) 0.4 (iii) 0.414. (i) 3 (ii) 2 (iii) 2 (iv) 3 (v) 4 (vi) 3 (vii) 1 (viii) 3 (ix) 4 (x) 315. (i) 3200 (ii) 650 (iii) 2900 (iv) 29 000 (v) 41 00016. (i) 7520 (ii) 294 (iii) 14.3 (iv) 0.627 (v) 1.0717. 1024 �18. 6319. 90

Cleachtadh 5.2 1. E56, E24 2. E104 3. E5508 4. 210 5. 81 kg 6. 6 : 3 : 1 7. E225 8. 2100 cm2 9. 43810. (i) 10 kg (ii) 15 kg11. 25012. (i) 50 cm (ii) 16 m13. (i) 3 km (ii) 18 cm14. 80 m 15. 1.2 m16. E10.00 17. 9.6 km/�18. (i) 86:5 (ii) 86 (iii) 8019. (i) 80 km (ii) 100 míle (iii) 30 ft (iv) 360 cm (v) 88 lb (vi) 40 kg (vii) 70 pionta (viii) 48 �20. 500 m 21. 14 kg

Cleachtadh 5.3 1. (i) 25% (ii) 34% (iii) 25% (iv) 40% (v) 15% 2. (i) 0.75 (ii) 0.5 (iii) 0.64 (iv) 0.06 (v) 0.025 3. (i) 11.25 (ii) 56 (iii) 54 (iv) E31.50 (v) E221 (vi) 174 cm 4. (i) 7.5 (ii) E28.50 (iii) E480 5. (i) 25% (ii) 15% (iii) 25% 6. (i) 85% (ii) 5% 7. 850 8. (i) 45 (ii) 112 (iii) 49 (iv) 57.6 (v) 32 kg (vi) E60.72

472

21. (i) 1 1 _ 2 m/s (ii) Laghdaíonn sé

(iii) 3 _ 4 m/s (iv) 3 m/s

(v) 1 1 _ 2 soic (vi) 4 m/s

Cleachtadh 5.9 1. (i) 600 (ii) 450 (iii) 6800 (iv) 51 000 (v) 67 000 (vi) 516 (vii) 7050 (viii) 18 600 2. (i) 4 � 102 (ii) 5.8 � 102

(iii) 6.2 � 103 (iv) 5.7 � 103

(v) 6 � 104 (vi) 7.6 � 104

(vii) 9.2 � 104 (viii) 7.2 � 105

3. (i) 0.25 (ii) 0.06 (iii) 0.0048 (iv) 0.00092 4. (i) 4 � 10�2 (ii) 6.2 � 10�2

(iii) 7 � 10�3 (iv) 6.5 � 10�3

5. (i) 8 � 10�3 (ii) 7.9 � 10�3

(iii) 6 � 10�4 (iv) 5.3 � 10�4

6. A, D 7. (i) 2080 (ii) 660.6 (iii) 8230 (iv) 570 8. (i) 5.4 � 105 (ii) 1.702 � 102

(iii) 3.276 � 103 (iv) 1.44 � 102

9. (i) 7 � 103 (ii) 6 � 102

(iii) 5.6 � 103

10. (i) 2.8 � 103 (ii) 8 � 102

11. (i) 1.62 � 108 (ii) 5 � 10�3

(iii) 8 � 10�4 (iv) 2 � 101

(v) 5 � 10�1 (vi) 1.6 � 10�5

12. (i) An Domhan (ii) 5900 km (iii) 1.95 � 104

13. 2.4 � 104

14. 0.000515. (i) 340,000,000 (ii) An Chríostaíocht (iii) An Confúiceachas (iv) An tIoslam agus an Chríostaíocht16. (i) 19.625 (ii) 78.4

Cuir triail ort féin 5 1. (i) E2080 (ii) (a) E420 (b) 31 1 _ 4 % (iii) E9930 2. (i) A & I, B & H, C & G, D & F (ii) 5.5% (iii) 192 cm 3. (i) 210 (ii) (a) 824 (b) E168.92 (c) 21% (iii) 2% 4. (i) 252 cm2 (ii) E7806 (iii) (a) E5040 (b) 5% 5. (i) (a) 7 __ 36 (b) 8 (ii) Is ceart di glacadh le B (beagán níos fearr) (iii) (a) E1080 (b) E56 000

Cleachtadh 5.7 1. (i) 0.04 (ii) 0.055 (iii) 0.12 (iv) 0.145 (v) 1.12 2. (i) 1.06 (ii) 1.055 (iii) 1.1 (iv) 0.96 (v) 1.125 3. (i) E61.50 (ii) E338.58 (iii) E848.04 (iv) E848.00 4. E423.20 5. E9235.20 6. 4.5% 7. E6400 8. E8904; 4% 9. E80010. E11 475; 4% 11. E820012. 11.5%13. (i) E5434 (ii) r � 4%14. E850015. (i) 15% (ii) E450016. 4.6% 17. 26.8% 18. 19.6%19. (i) 31 Bealtaine (ii) E212.2820. (i) E4664 (ii) 6%21. B � E800022. A – 78%, B – 93.2%, C – 103.9%, D – 112.9%23. 5.5%24. E10 837.5025. (i) E11 776 (ii) E18 00026. 16% 27. 39%28. 458 29. E28 00030. (i) 1 nóim 39 soic (ii) Lá 6 (iii) 5 nóim 17 soic

Cleachtadh 5.8 1. 70 km/u 2. 4 1 _ 2 uair an chloig

3. (i) 120 km/u (ii) 112 km/u (iii) 136 km/u (iv) 112 km/u (v) 128 km/u (vi) 135 km/u

4. (i) 76 km/u (ii) 53 1 _ 3 km/u (iii) 65 km/u 5. 72 km/u 6. (i) 240 km (ii) 260 km (iii) 198 km

7. (i) 3 u (ii) 2 1 _ 2 u (iii) 20 nóim

8. 5 u 12 nóim 9. 53 1 _ 3 km/u

10. 12 m/s 11. 75 km/u

12. (i) 1 1 _ 3 u (ii) 1 u 20 nóim

13. 2 u 9 nóim 14. 125 m15. 8.3 km/u 16. 8.35 a.m.17. (i) 30 km (ii) 1 uair an chloig (iii) 45 km (iv) 75 km

18. (i) 20 km (ii) 2 _ 3 km/nóim

(iii) 40 km/u (iv) 30 km/u19. (i) 20 km (ii) 30 nóim (iii) 30 km (iv) 2 uair an chloig20. (i) 55 nóim (ii) 10 nóim (iii) 30 km/u (iv) 24 km/u

473

Cleachtadh 6.3 1. (i) 1 __ 12 (ii) 1 _ 4 (iii) 1 _ 3 (iv) 1 _ 6

2. (i) 1 _ 9 (ii) 1 __ 12 (iii) 1 __ 12 (iv) 5 __ 36

3. (i) 1 _ 8 (ii) 1 _ 8 (iii) 3 _ 8

4. (i) 1 __ 12 (ii) 1 _ 6 (iii) 1 _ 2 ; 9 is minice; 1 _ 4

5. GGD, DGG; 2 _ 3 6. (i) (1, 5), (1, 6), (1, 7), (2, 5), (2, 6), (2, 7), (3, 5),

(3, 6), (3, 7), (4, 5), (4, 6), (4, 7) (ii) 12 (iii) (a) 1 _ 3 (b) 1 _ 6 (c) 1 _ 4 7. ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA; (i) 1 _ 6 (ii) 1 _ 3

8. (i) 1 _ 6 (ii) 2 _ 3 (iii) 1 _ 4

9. (i) 1 _ 8 (ii) 3 _ 8 (iii) 1 _ 8 (iv) 7 _ 8

Cleachtadh 6.4 1. 50 2. (i) 10 (ii) 10 (iii) 20 3. (i) 50 (ii) 150

4. (i) 13 __ 20 (ii) 100 (iii) Yes

5. (i) 35 (ii) 70 (iii) 105

6. (i) (a) 1 _ 5 (b) 2 __ 15

(ii) (a) 1 _ 6 (b) 1 _ 6

(iii) Níl 7. Dá mbeadh sé cóir – 6 huaire; Níl 8. 7 __ 10 9. (i) 0.15 (ii) ‘1’ (iii) 5010. Ag Ben; ag Jósaí11. (i) x � 0.1 (ii) 0.6 (iii) 20012. (i) Ciara (ii) 0.4, 0.3, 0.2, 0.1 (1, 2, 3, 4) (iii) Tá13. An dísle dearg atá cóir14. (i) Ag Liam (ii) Tá an rothlóir laofa (iii) 63

___ 290 15. (ii) 1 (iii) Tá (iv) Is fíorbheag an seans go mbeidh

(v) Miontas

Cleachtadh 6.5 1. (i) 1 _ 6 (ii) 1 _ 2 (iii) 2 _ 3

2. (i) 1 _ 2 (ii) 1 _ 4 (iii) 3 _ 4

3. (i) 4 _ 9 (ii) 2 _ 9 (iii) 2 _ 3

4. (i) 1 _ 4 (ii) 3 __ 26 (iii) 19 __ 52

5. (i) 1 _ 2 (ii) 1 _ 3 (iii) 2 _ 3

6. (i) 1 _ 4 (ii) 1 __ 13 (iii) 4 __ 13

(iv) 1 _ 2 (v) 1 __ 13 (vi) 7 __ 13

7. (i) 1 __ 36 (ii) 1 _ 6 (iii) 1 _ 6 8. (i) buí 3 curtha san áireamh faoi dhó (ii) 3 _ 5 9. (ii) Tá (iii) Níl (iv) Níl (v) Tá

6. (i) 124 (ii) (a) E886.73 (b) 2.8% (iii) (a) E320 (b) E120 (c) E1100 7. (i) 150 km (ii) Níor cheart (iii) E6000 8. (i) 7 __ 16 (ii) (b) 0.64 (iii) (a) E6000 (b) E5250 (c) E15 000 (d) E45 000 9. (i) 84 km/u (ii) (a) 108 1 _ 2 km (b) 1.6% (iii) E8000

Caibidil 6: DóchúlachtCleachtadh 6.1 1. (i) Dodhéanta (ii) Seans Cothrom

(iii) Cinnte (iv) Seans Cothrom(v) Dodhéanta

2. (i) Dodhéanta (ii) An-dóchúil (iii) An-neamhdhóchúil (iv) An-neamhdhóchúil (v) Seans Cothrom (vi) Cinnte (vii) Neamhdhóchúil 3. (i) Níos mó ná 5 (ii) Tá 5. (i) B (ii) C (iii) C (iv) A (v) B (vi) C 6. (i) 6 (ii) 4 (iii) 0 (iv) 2 7. (i) 6 (ii) 8 (iii) 2

Cleachtadh 6.2 1. (i) 1 _ 6 (ii) 1 _ 3 (iii) 1 _ 2 (iv) 1 _ 2 (v) 1 _ 3 (vi) 1 _ 2

2. (i) 1 _ 4 (ii) 3 _ 8 (iii) 1 _ 4 (iv) 1 _ 8 (v) 3 _ 8

3. (i) 1 _ 8 (ii) 1 _ 4 (iii) 3 _ 8

4. (i) 1 _ 4 (ii) 3 _ 4 (iii) 1 _ 4 ; 3 _ 4

5. (i) 1 _ 2 (ii) 1 _ 4 (iii) 1 __ 13 (iv) 1 __ 26

6. (i) 5 __ 12 (ii) 1 _ 4 (iii) 3 _ 4 (iv) 2 _ 3

7. (i) 1 _ 4 (ii) 3 _ 8 (iii) 5 _ 8 (iv) 1 _ 4

8. (i) 1 _ 5 (ii) 1 _ 5 (iii) 2 _ 5 (iv) 1 _ 2

9. (i) 1 _ 7 (ii) 2 _ 7 (iii) 2 _ 7

10. (i) 1 _ 6 (ii) 1 _ 3

11. (i) 1 _ 5 (ii) 1 __ 21 (iii) 0

12. (i) 2 __ 15 (ii) 2 _ 5 (iii) 2 _ 3

13. (i) (a) 1 _ 4 (b) 1 _ 6 (ii) (a) 1 _ 4 (b) 5 __ 12

14. (i) 2 _ 5 (ii) 3 __ 10 (iii) 11 __ 25 ; 1 _ 6

15. 2 _ 5

16. (i) 1 _ 2 (ii) 8 __ 25 (iii) 8 __ 25

17. (i) 2 _ 5 (ii) 3 _ 5 (iii) 4 __ 25 (iv) 4 __ 15 (v) 2 _ 5

18. (i) 1 _ 7 (ii) 5 cheathair

19. (i) 3 __ 49 (ii) 12 __ 49

20. G G

DU

U

D

D

D

474

8. (ii) (a) 7 __ 60 (b) 1 _ 3

9. (ii) 4 __ 15

10. (i) 1 _ 8 (ii) 3 _ 8

11. (ii) 21 __ 50

Cleachtadh 6.9 2. 5 1 _ 2 3. E11.50 4. 8 5. E3.33 a chailleadh 6. E1 a chailleadh 7. E4.50 a chailleadh 8. E0.55 9. (i) 1 _ 9 ; E1 a bhuachan; Níl sé cóir10. E2.38 a chailleadh; Níl sé cóir

Cleachtadh 6.10 1. 12 2. 12 3. 504 4. 20 5. 12 6. 54 7. 20 8. 27 9. 90 10. 120 11. 336

Cleachtadh 6.11 1. 120 2. 720; (i) 120 (ii) 24 3. 24 4. 60; (i) 12 (ii) 24 5. 720; (i) 240 (ii) 24 (iii) 48 6. 120 7. (i) 720 (ii) 120 8. 720; (i) 120 (ii) 360 (iii) 144 9. 9610. 120; 4811. 720; 24012. 24; (i) 12 (ii) 1 _ 2 13. (i) 24 (ii) DABC, CABD, DBAC, CBAD (iii) 1 _ 6 14. (i) 120 (ii) 24 (iii) 615. (i) 120 (ii) 5040 (iii) 120 (iv) 14416. (i) Níl (ii) Níl17. (i) 8(7!) (ii) 56(6!)18. k � 11

Cleachtadh 6.12 1. (i) 10 (ii) 35 (iii) 70 (iv) 120 (v) 120 (vi) 120 3. 210 4. 190 5. (i) 924 (ii) 462 6. (i) 330 (ii) 210 7. 28 8. 15; 10

Cleachtadh 6.6 1. (i) 11

__ 20 (ii) 3 __ 10 (iii) 3 __ 40 (iv) 3 _ 8

2. (i) 35 (ii) 4 _ 7 (iii) 8 __ 35 (iv) 1 _ 5 (v) 6 __ 35 (vi) 4 _ 5

3. (i) 13 __ 41 (ii) 6 __ 41 (iii) 13

__ 41 (iv) 26 __ 41 (v) 15

__ 41

4. (i) 12 (ii) 3 _ 5 (iii) 1 __ 10 (iv) 21 __ 25 (v) 37

__ 50

5. (ii) 1 _ 5 (iii) 4 __ 15 (iv) 7 __ 15 (v) 8 __ 15

6. (i) 19 __ 30 (ii) 3 __ 10 (iii) 9 __ 10 (iv) 1 __ 15 (v) 1 __ 10 (vi) 14

__ 15 7. (i) 24 (ii) Thaitin idir sheacláid agus uachtar reoite leo (iii) 3 __ 20 (iv) 3 _ 4

Cleachtadh 6.7 1. (i) 1 _ 4 (ii) 1 _ 4

2. (i) 1 __ 12 (ii) 1 _ 4 (iii) 1 _ 6

3. (i) 1 __ 36 (ii) 1 _ 4 (iii) 1 _ 9

4. (i) 25 __ 81 (ii) 20

__ 81 (iii) 20 __ 81

5. (i) 1 __ 24 (ii) 1 _ 4 (iii) 1 __ 12

6. (i) 4 __ 49 (ii) 1 __ 49 (iii) 1 __ 49 (iv) 9 __ 49

7. (i) 1 _ 4 (ii) 1 _ 2 (iii) 1 __ 16 (iv) 1 _ 8

8. (i) 1 _ 5 (ii) (a) 1 __ 25 (b) 1 _ 5

9. (i) 2 _ 5 (ii) 2 __ 25 (iii) 4 __ 25 (iv) 8 __ 25

10. (i) 1 _ 7 (ii) 1 __ 49 (iii) 4 __ 49

11. (i) 1 _ 4 (ii) 1 _ 8

12. (i) 1 _ 6 (ii) 25 ___ 216

13. (i) 8 __ 27 (ii) (a) 2 _ 9 (b) 2 __ 27

14. (i) 1 __ 64 (ii) 9 __ 16 (iii) 9 __ 64

15. (i) 2 _ 5 (ii) 18 ___ 125

16. (i) 4 __ 25 (ii) 4 ___ 125 (iii) 1

___ 125

17. (i) 7 __ 10 (ii) 9 ___ 100 (iii) 147

____ 1000

18. (i) 1 _ 3 (ii) 2 _ 9 (iii) 2 __ 27

19. (i) 1 _ 4 (ii) 9 __ 64 (iii) 27 __ 64

20. (i) 1 _ 8 (ii) 3 _ 8 (iii) 3 _ 8

21. (i) 1 _ 5 (ii) 9 __ 50 (iii) 2 __ 25 (iv) 3 __ 25

22. (i) 1 _ 6 (ii) 1 _ 6 (iii) 1 __ 36 (iv) 6, 6, 6, nó 5, 6, 5 nó 5, 5, 6 (v) 1 __ 72

Cleachtadh 6.8 1. (i) 4 (ii) 1 _ 4

2. (i) 8 __ 15 (ii) 7 __ 15

3. (ii) (a) 4 __ 35 (b) 16 __ 35 (c) 19

__ 35

4. (ii) 13 __ 18 (iii) 5 __ 36

5. (ii) 9 __ 25 (iii) 12 __ 25

6. (i) 12 __ 35 (ii) 6 __ 35 (iii) 18

__ 35

7. (i) 9 __ 49 (ii) 16 __ 49 (iii) 12

__ 49

475

8. x � 4 _ 9

9. (i) 7 _ 9 (ii) 16 __ 9 (iii) 7 __ 45

10. (i), (ii), (iv), (v)11. (i) √

___ 17 (ii) √

___ 37 (iii) √

____ 0.75 (iv) √

____ 108

12. (i), (iii)13. (i) �3 agus �4 (ii) �3 agus 4 (iii) 9 agus 16 (iv) 16 agus 9

Cleachtadh 7.2 1. (i) 2i (ii) 10i (iii) 8i (iv) 7i (v) i 2. (i) 2, 5 (ii) 6, �2 (iii) �1, 9 (iv) �3, 1 (v) a, b (vi) 1 _ 2 , �3 (vii) �4, 0 (viii) 0, �3 (ix) 0, 1 (x) x � 2, 6 3. (i) 6 � 4i (ii) 0 � 11i (iii) �2 � 10i (iv) 2 � 2 √

__ 2 i

Cleachtadh 7.3 1. (i) 8 � 5i (ii) 5 � 10i (iii) 3 � 4i (iv) 1 � 4i (v) �2 � 7i (vi) 3 � 4i (vii) 8 � 6i (viii) �2 � i (ix) (a � 3) � (b � 2)i (x) (a � x) � (b � y)i 2. (i) 1 � 3i (ii) �2 � 6i (iii) �5 � 6i (iv) �1 � 10i (v) 1 � 5i (vi) �11 � i (vii) �3 � 4i (viii) �3 � 3i (ix) (a � 5) � (b � 2)i (x) (x � p) � (y � q)i 3. (i) 6 � 9i (ii) 11 � 8i (iii) 17 � 0i (iv) 24 � 2i (v) �7 � 15i (vi) �16 � 10i 4. (i) 2 � 5i (ii) 5 � 7i (iii) 3 � 3i (iv) �1 � 0i (v) �3 � i (vi) �4 � 2i 5. 8 � 13i 6. (i) 4 � i (ii) 1 � 6i (iii) 5 � 5i (iv) 4 � 9i

Cleachtadh 7.4 1. �2 � 3i 2. 15 � 3i 3. �6 � 8i 4. 11 � 10i 5. 8 � i 6. �5 � i 7. (i) 6 � 9i (ii) 11 � 8i (iii) 17 � 0i (iv) 24 � 2i (v) �7 � 15i (vi) �16 � 10i 7. 10 � 10i 8. 5 � 3i 9. 13 � 0i10. �2 � 11i11. 5 � 12i12. 12 � 16i13. (i) 3 � 11i (ii) �8 � 14i (iii) 14 � 18i (iv) 7 � 17i

9. 252; (i) 120 (ii) 6010. (i) 21 (ii) 15 (iii) 1011. (i) 330 (ii) 15012. 2113. (i) 126 (ii) 20 (iii) 6014. (i) n � 8 (ii) n � 1115. (i) 2925 (ii) 126016. (i) 330 (ii) 120 (iii) 150 (iv) 1 __ 22

Cuir triail ort féin 6 1. (i) 1 _ 4 (ii) 3 _ 4 (iii) 3 _ 8 (iv) 0 (v) 1 2. (i) 50 uair (ii) 150 uair 3. (i) 1 _ 7 (ii) 4 _ 7

4. (i) 1 _ 6 (ii) 1 _ 3 (iii) 1 _ 2 (iv) 1 _ 2

5. (i) 1 _ 4 (ii) Go gcailleann tú

(iii) 19 __ 20 (iv) 60 uair

6. (i) 11 __ 20 (ii) 1 _ 4 (iii) 18

7. 90 8. (i) 1 __ 12 (ii) 1 __ 36 (iii) 5 __ 18 (iv) 1 _ 6

9. 1 _ 3 10. 1 _ 6

11. (i) 1 _ 2 (ii) 1 _ 4

12. (i) 2 _ 7 (ii) 1 _ 2 (iii) 3 _ 4 (iv) 5 _ 7

13. (i) (a) 0.52 (b) Tá sé cóir

14. (i) 1 _ 9 (ii) 2 __ 27

15. (i) 2 __ 15 (ii) 2 _ 5 (iii) 8 __ 15 (iv) 7 __ 15

16. E0.50 a chailleadh; Níl sé cóir17. (i) 0.25 (ii) 60

18. (i) (a) (ii) 11 __ 15

19. (i) 1 _ 3 (ii) 1 _ 9 (iii) 4 __ 27

20. Tugann; tá seans cothrom ag an mbeirt acué a bhuachan

21. 60; (i) 12 (ii) 3622. 5040; (i) 720 (ii) 1 _ 7

23. (ii) (a) 0.24 (b) 0.62

24. (i) 1 __ 72 (ii) 1 __ 24 (iii) 1 __ 24

25. (i) 1 __ 10 , 7 __ 50 , 4 __ 25 , 1 _ 4 , 7 __ 20 (ii) 40 (iii) Níl

Caibidil 7: Uimhreacha Coimpléascacha

Cleachtadh 7.1 3. (i) F (ii) F (iii) B (iv) F (v) B (vi) F (vii) B (viii) F 4. (i) 7 __ 10 (ii) 6 _ 5 (iii) 13

__ 5

(iv) 41 __ 5 (v) 1 __ 20

5. (i), (iii), (iv), (v) 6. Is uimhreacha aiceanta iad (i), (iii) agus (iv) 7. (i) Aiceanta (ii) Aiceanta (iii) Slánuimhir (iv) Cóimheasta (v) Éagóimheasta

(vi) Éagóimheasta

476

13. a � 1 _ 2 , b � � 1 _ 2 14. x � �5, y � �1015. (i) x � �1, y � 3 (ii) x � 3, y � 8

Cleachtadh 7.9 1. (i) �2 � i (ii) �3 � 2i (iii) �1 � 3i (iv) 3 � 5i (v) 5 � 2i (vi) 1 � 4i 2. (i) 2 2 5i (ii) 4 1 3i (iii) 6 2 i

3. k 510 4. k 534 5. a 5 28, b 5 17

Cleachtadh 7.10 2. |3z1| � 3|z1| 3. z1 � 4 � 3i, z2 � �3 � 4i; (ii) z5 (iii) 4 � 3i 4. (i) a � 3 (ii) b � �1 5. (i) �2 � 6i (ii) �6 � 2i (iii) 2 � 6i 6. aistriú 7. rothlú 360° tuathal 9. z3 � 1 � 7i

Cuir triail ort féin 7 1. (ii) (a) 9 � 2i (b) 3 __ 25 � 4 __ 25 i (c) k � �3 (iii) x � 3, y � 2 2. (i) 5 � 18i (ii) k � 2 (iii) 4 _ 5 � 7 _ 5 i; √

__

13 __ 5

3. (i) (a) 3 � 4i (b) 2 � 3i (c) �2 � 2i (ii) k � �5 4. (i) 2 √

___ 12 (ii) (a) 3 � 7i (b) 2 _ 5 � 4 _ 5 i

(iii) 18 � i 5. (i) (a) B (b) F (c) F (d) B (ii) 2 � 3i (iii) |z1| � 2 √

__ 5 , |z2| � 2 √

__ 5 ; �2 � 4i, 2 � 4i

6. (i) 5 � 18i (ii) (a) 7 � 2i (b) �3 � 4i; Tá (iii) x � �3, y � � 4 _ 3 7. (i) (a) z2 � �4 � 0i (b) iz � �2 � 0i (ii) 3 � 3i; �3 � 3i; �3 � 3i; 3 � 3i;

Rothlú 360° (iii) k � 17; z2 � �4 � i; t � √

___ 17

8. (i) 3 � 3i; 3 √__

2 (ii) 3 � 4i; k � � 1 _ 2 , t � 5 _ 2 (iii) 2 � i; p � �4, q � 5

Caibidil 8: Tomhais ar an Suíomh agus ar an LeathadhCleachtadh 8.1 1. (i) 10 (ii) 9 (iii) 8 (iv) 6 2. (a) (i) 8 (ii) 7 (b) (i) 7 (ii) 7 3. (i) 41 km/u (ii) 39.5 km/u 4. (i) 14 (ii) 14 (iii) 17 5. (i) 6 (ii) 9.5 6. Sampla: 2, 6, 9, 12, 13, 13, 22 7. (i) 28 (ii) 2

Cleachtadh 7.5 1. (i) 2 � 3i (ii) �3 � 4i (iii) 4 � 6i (iv) (x � 2) � yi 2. (i) 2 � 3i (ii) 6 � 8i (iii) 5 � 7i (iv) 18 � i (v) �6 � 17i 3. (i) 3 � 2i (ii) 3 _ 2 � i

(iii) 7 _ 4 � 3 _ 4 i (iv) � 2 _ 3 � 2i

4. (i) 6 __ 13 � 4 __ 13 i (ii) 3 _ 5 � 4 _ 5 i (iii) 18 __ 37 � 3 __ 37 i

(iv) � 4 _ 5 � 7 _ 5 i (v) 6 __ 13 � 17 __ 13 i (vi) � 1 _ 2 � 1 _ 2 i

(vii) � 3 __ 13 � 28 __ 13 i (viii) �2 � 6i

5. (i) 25 � 0i (ii) �2 � i (iii) 11 � 23i

(iv) � 2 __ 25 � 11 __ 25 i (v) 9 _ 5 � 8 _ 5 i

6. (i) 4 � 6i (ii) �4 � 2i (iii) 2 _ 5 � 1 _ 5 i (iv) �2 � 3i (v) � 1 __ 13 � 8 __ 13 i

8. (i) 41 (ii) 9 __ 41 � 40 __ 41 i

9. 5 � 5i; a � 1 _ 2 10. (i) 6 � 3i

Cleachtadh 7.6 2. (i) 2 � 2i (ii) 2 � i (iii) 0 � 3i (iv) �1 � 3i 3. (i) 2 � i (ii) 3 � 2i (iii) 5 � 5i (iv) �3 � i 4. (i) 6 � 4i (ii) 3 � 2i (iii) 1 � 5i 6. Breac (i) 4 � 2i (ii) �1 � 2i (iii) 8 � 0i (iv) 5 � 0i

Cleachtadh 7.7 1. 5 2. 10 3. √

___ 13 4. √

__ 5

5. √___

13 6. √___

26 7. √___

10 8. √___

37 9. 4 10. 5 11. 3 12. 513. (i) 2 √

__ 5 (ii) 2 (iii) 2 √

___ 10

14. �3 � 4i, �3 � 4i, 3 � 4i, 0 � 5i srl15. (i) √

___ 13 (ii) √

___ 10 (iii) √

___ 17 (iv) √

____ 130

16. (i) √___

34 (ii) √__

5 (iii) √___

53 17. (i) √

___ 13 (ii) √

__ 5 (iii) 8 � i (iv) √

___ 65

18. 13 � 0i; 1319. (i) √

__ 5 (ii) 5 (iii) √

___ 26 ; Níl

20. (i) 3 � 5i (ii) √___

34 21. √

_______

a2 � 64 ; a � �623. √

___ 26 , √

___ 13

24. � 5 __ 13 � 12 __ 13 i; k � ��√

___ 13

Cleachtadh 7.8 1. x � 3, y � 3 2. x � 2, y � 4 3. x � 0, y � �1 4. x � � 1 _ 3 , y � 1 _ 9

5. x � 1, y � 5 6. x � � 5 _ 2 , y � 15 __ 2

7. x � 2, y � 1 _ 2 8. x � �1, y � �3 9. x � 2, y � �7 10. x � �2, y � 311. a � 6 _ 5 , b � 3 _ 5 12. a � 2, b � �1

477

Cleachtadh 8.4 1. (i) 2 chúl (ii) 3 2. 3 3. (i) 25 (ii) 6 mharc (iii) 5.6 (iv) 14 (v) 6 4. (i) 4 (ii) 4 (iii) 4.25 5. (i) 30 (ii) 7 (iii) 13 (iv) 13 (v) 13 6. (i) 2 (ii) 2 (iii) 5 (iv) 10 7. x � 2 8. y � 5 9. (ii) 4 (iii) 4.6

Cleachtadh 8.5 1. (i) (4 � 6) (ii) 6.5 (iii) (4 � 6) 2. (i) (12 � 14) (ii) 14 bliana (iii) (12 � 14) 3. 18.6 4. (i) 18 nóim (ii) (18 � 20) 5. (i) 32 bliain (ii) (30 � 40) 6. (i) (5 � 9) (ii) (0 � 4) (iii) 7

Cleachtadh 8.6 1. (i) 1.9 (ii) 2.4 (iii) 2.8 (iv) 3.5 (v) 2.7 (vi) 3.9 3. (i) Suimítear 10 le gach uimhir (ii) Mar a chéile (iad araon 5 √

__ 2 )

(iii) Dialltaí caighdeánacha cothrom lena chéile 4. 1.6 5. 0.84 6. 2.3 7. Meán � 4; S � √

___ 10

8. Meán � 3; S � 1.14 9. (i) 25 (ii) 5.3 (iii) 30.3; 19.7 (iv) 310. Meán � 2; S � 1.511. 2.312. (i) 6 (ii) 213. (i) Bealach 1 5 14; Bealach 2 5 15 (ii) Bealach 1 5 2; Bealach 2 5 2.3 (iii) Bealach 1 a mholfá

Cuir triail ort féin 8 1. (i) x � 2 (ii) y � 9 2. (i) 2 (ii) 1, 9 (iii) 8 3. (i) 60 (ii) 78 4. 2 nó 45 5. (i) Meán � E67 840; Mód 5 E4500;

Airmheán 5 E45 000 (ii) Meán 6. 5 7. (i) 8 (ii) 9 (iii) 5 8. (a) Bréagach (b) Fíor (c) Bréagach (d) Féideartha

8. 14 9. E7.1010. Sampla: 4, 4, 5, 8, 911. (i) x � 2 (ii) k � 1712. 17 13. 90 g 14. 4 agus 615. 616. (i) 14 1 _ 4 uair an chloig (ii) 12 1 _ 4 uair

(iii) Buachaillí: 14.5; Cailíní: 12 (iv) Caitheann17. x � 1918. (i) 1320 cm (ii) 165 1 _ 3 cm

19. (i) 195 (ii) 1920. B � 4021. (i) Mód (ii) Meán

Cleachtadh 8.2 1. (i) 8 (ii) 57 (iii) 11 2. (i) 6 (ii) 8 3. (i) 33 (ii) 29 (iii) (a) 18.5 (b) 34 (c) 15.5 4. (i) 4 (ii) 11 (iii) 17 5. (i) 13 nóim (ii) 8 (iii) 15 (iv) 7 6. (i) 5 (ii) 14.5 7. (i) 25 (ii) 50 (iii) 64.5 (iv) 14.5 8. (i) 105 g (ii) 19 g 9. (i)

3 5 6 6 7

(ii) 4 6 6 7

10. (i) 41 agus 47 (ii) 8, 9, 13, 15, 2511. (i) Peil: 13, 13, 4; Haca: 13.7, 14, 6 (ii) Foireann peile

Cleachtadh 8.3 1. (i) Meán (ii) Mód (iii) Meán (iv) Mód (v) Airmheán 2. (i) 94 kg

(ii) 87 4 _ 9 kg; an t-airmheán is fearr a dhéanann cur síos ar na sonraí

3. (i) 25 6 _ 7 (ii) 15; Airmheán

4. (i) 30 4 _ 7 °C

(ii) Sonraí grúpáilte go dlúth(gan aon asluiteach)

5. (i) 26 6 __ 11

(ii) Ní luach tipiciúil é an mód (5 37) 6. (i) 8.1 (ii) 6; Airmheán 7. (i) 16 (ii) 16 (iii) 19.1 (iv) Mód nó airmheán 8. (i) E37 667 (ii) E24 500 (iii) Níl aon dá thuarastal mar a chéile;

an t-airmheán 9. Cannaí 330 ml

478

7. 7 cm 8. (i) 156 cm3 (ii) 145 cm3

9. (i) 36 cm2 (ii) 648 cm3

10. 157.5 m3

11. 1080 cm3

12. A, 5; B, 3; C, 613. (i) F (ii) [BC] (iii) [LK]14.

15. (i) 124 cm2 (ii) 72 cm3

16. (i) Sorcóir iata (ii) Cón (iii) Pirimid thriantánach18. E amháin19. (i) Dronuilleog; 4 cm 3 2 cm

(ii) [AL], [FG], [CD] agus [JI] (iii) C (iv) 4 cm � 3 cm � 2 cm (v) 52 cm2

Cleachtadh 9.4 1. (i) 706.9 cm3 (ii) 4825.5 cm3 (iii) 9047.8 cm3

2. (i) 440 cm2 (ii) 1608 cm2 (iii) 3242 cm2

3. (i) 1540 cm3 (ii) 748 cm2 4. (i) V � Pr2h (ii) 350P � 14Pr2 (iii) 5 cm 5. 2Prh; 3.5 cm 6. 15 cm 7. (i) 523.6 cm3 (ii) 1436.8 cm3 (iii) 4188.8 cm3

8. (i) 314 cm2 (ii) 616 cm2 (iii) 1257 cm2

9. (i) 83 1 _ 3 P cm3 (ii) 75P cm2

10. (i) 6 cm (ii) 144P cm2 11. 396 cm3 12. 8 cm13. 3 cm14. (i) 2155 cm3 (iii) 2 : 3

15. 1 1 _ 2 cm 16. 10 cm

17. 4 1 _ 2 cm 18. 42 2 _ 3 P cm3; 14 cm

19. 10 2 _ 3 cm 20. 2 _ 3

Cleachtadh 9.5 1. 301.6 cm3

2. 1407 cm3

3. (i) 65P cm2 (ii) 90P cm2

(iii) 12 cm (iv) 100P cm3

4. 6 cm 5. 8 cm 6. (i) 6 cm (ii) 234.6 cm3

7. (i) 54P cm3 (ii) 12P cm3; 207 cm3

8. 9 cm 9. 24 cm10. 192P cm3; h � 36 cm11. 144P cm3; 2 1 _ 4 cm

9. (i) 42 (ii) 42 (iii) 42.510. (i) (8 � 12) (ii) (8 � 12) (iii) 11.711. (i) 9 (ii) 2.6 12. Meán � 12.6; S � 0.913. (i) Ruairí, 81; Darren, 80

(ii) Ruairí, 6; Darren, 9.3; is é Ruairí is fearr

Caibidil 9: Achar agus ToirtCleachtadh 9.1 1. (i) 48 cm2 (ii) 28 cm (iii) 10 cm 2. (i) 56 cm2 (ii) 42 cm2 (iii) 25 1 _ 2 cm2

3. 20 m2; 25 m2

4. (i) 6 aonad (ii) 12 aonad (iii) 8 n-aonad 5. (i) (a) 24 cm2 (b) 84 cm2 (c) 216 cm2

(ii) (a) 4 4 _ 5 cm (b) 10 1 _ 2 cm (c) 21 3 _ 5 cm 6. (i) 112 cm2 (ii) 108 cm2 (iii) 132 cm2

7. (i) 10 cm (ii) 160 cm2

8. (i) 102 cm2 (ii) 94 1 _ 2 cm2 (iii) 68 cm2

9. (i) 70 cm2 (ii) 8 3 _ 4 cm10. (i) 110 cm2 (ii) 48 cm2 (iii) 56 m2

11. (i) 75 cm2 (ii) 65 cm2 (iii) 414 mm2

12. (i) 4x � 5 (ii) x � 8 1 _ 2 13. (i) 7 cm (ii) 9 cm (iii) 11 cm14. (i) 42 cm (ii) 34 cm (iii) 36 m15. Imlíne is mó 2 12 cm, Imlíne is lú 2 10 cm16. 72 cm2

17. 4 cm

Cleachtadh 9.2 1. (i) 88.0 cm (ii) 100.5 cm (iii) 37.7 cm 2. (i) 615.8 cm2 (ii) 804.2 cm2 (iii) 113.1 cm2

3. (i) 19.6 cm2 (ii) 39.3 cm2 (iii) 37.7 cm2

4. (i) 5.5 cm (ii) 6.3 cm (iii) 67.0 cm 5. 4(P � 3) 6. (i) 154 m2 (ii) 114 m 7. 74.6 cm2

8. 18.3 cm2

9. 193 cm2

10. (i) 10 848 m2 (ii) E542.4011. 14 cm12. 180 cm2

13. (i) 188 m (ii) 0.24 m/s14. 28 cm15. 733 cm2

16. (i) 58 cm (ii) 235 cm2

Cleachtadh 9.3 1. (i) 105 cm3 (ii) 60 cm3 (iii) 72 cm3

2. (i) 576 cm3 (ii) 432 cm2

3. 8.5 cm 4. (i) 3.5 cm (ii) 6 cm (iii) 4 cm 5. (i) 2112 cm3 (ii) 1116 cm3 (iii) 15 120 cm3

6. (i) 240 cm3 (ii) 450 cm3

479

2. (i) 16, 22 (ii) 17, 26 (iii) 30, 42 (iv) 27, 38 (v) 31, 46 (vi) 34, 47 3. (i) 21, 34 (ii) 47, 76 (iii) 125, 216 (iv) 1 __ 81 , 1

___ 243 4. (i) 6666 � 9 � 59 994 (ii) 9 � 12 345 � 111 105 (iii) 66 667 � 66 667 � 4 444 488 889

Cleachtadh 10.2 1. (i) 5, 6, 7 (ii) 3, 5, 7 (iii) 7, 11, 15 (iv) 1, 4, 7 2. (i) 3, 6, 9, 12 (ii) 5, 7, 9, 11 (iii) 1, 4, 7, 10 3. �1, 5, 26 4. (i) 1, 4, 9 (ii) 4, 7, 12 (iii) 3, 9, 19 5. (i) 1 (ii) 7 (iii) 49 (iv) 199 7. (i) 13, 15; 2n � 1 (ii) 16, 19; 3n � 1 (iii) 22, 26; 4n � 2 (iv) 21, 25; 4n � 1 8. (i) Tn � 3n � 1, T20 � 59 (ii) Tn � 2n � 4, T20 � 44 (iii) Tn � 5n � 1, T20 � 99 (iv) Tn � 5n � 3, T20 � 97 9. (i) 5n � 1 (ii) 101 (iii) 50110. T9

Cleachtadh 10.3 1. (i) (ii) 3, 5, 7, 9, 11, 13

(iii) 2n � 1 (iv) 101 2. (i)

(ii) 6, 11, 16, 21, 26, 31 (iv) 101 (v) T10

3. Líon cearnóg 1 2 3 4 5

Líon cipíní 4 7 10 13 16

(i) 19 (ii) 3n � 1 (iii) 151 4. (i)

(ii) 4n � 3 (iii) 117 (iv) 20ú 5. (i) Cruth 1 2 3 4 5


(ii) 29 (iii) 4n � 1 (iv) Cruth 25

12. 8 cm13. (i) 72P cm3 (ii) 6 cm14. (i) 72 (ii) 6912 cm3

15. 811.6 cm3

16. 1592 cm3

17. (i) 15 cm; 180P cm3 (ii) 144P cm3

(iii) 5 : 4

Cleachtadh 9.6 1. 1 : 8 2. 1 : 4 3. A � 192P cm3, B � 384P cm3; (i) 1 : 2 (ii) 1 : 1 4. (i) 6600 cm3 (ii) 396 e 5. 28P cm3; 75 nóim

6. 56 1 _ 4 nóim

7. 14 cm 8. (i) 180P cm3 (ii) 18P cm3 (iii) 13.5 cm 9. (i) 3 cm (iv) 2 cm

10. (i) 2 _ 3 Pr3 (ii) 3 m

Cleachtadh 9.7 1. 810 m2 2. 1932 m2

3. 3560 m2 4. 830 1 _ 2 m2

5. x � 18 m 6. h � 7 cm 7. x � 12 m 8. (ii) 34 aonad cearnach (iii) 2% 9. 38 aonad cearnach

Cuir triail ort féin 9 1. (i) 56 cm2 (ii) 2025 g (iii) (a) 720P cm3 (b) 15 cm 2. (i) 8 cm (ii) 1350 m2

(iii) (a) 20 000P cm3 (b) 160P cm3 (c) 125 3. (i) 30 cm2 (ii) 6 cm (iii) 308 cm3

4. (i) 8.5 cm (ii) 580 cm3

(iii) (a) 2592P cm3 (b) 144P cm3 (c) 18 5. (i) 462 cm2 (ii) 63 (iii) 25 m 6. (i) 14 cm2 (ii) 400 cm3

(iii) (a) 16P�

___ 3 cm3 (b) 2 2 _ 3 cm 7. (i) 8224 cm2 (ii) h � 24 m (iii) (a) 128P

�____ 3 cm3 (b) 16 cm

8. (i) 421 cm2 (ii) 6 cm (iii) (a) 341 1 _ 3 P cm3 (b) 5 1 _ 3 cm

Caibidil 10: Patrúin agus SeichimhCleachtadh 10.1 1. (i) 10, 12, 14 (ii) 9, 11, 13 (iii) 13, 16, 19 (iv) 16, 32, 64 (v) 81, 243, 729 (vi) 2, 1, 1 _ 2 (vii) 14, 12, 10 (viii) 54, 162, 486

480

10. a � 4, d � 211. a � 5, d � 3; T100 � 30212. x � 113. (i) x � 3 (ii) x � �214. (i)

(ii) Fad sconsa 1 2 3 4 5 6

Líon píosaí 4 7 10 13 16 19

(iii) 3n � 1 (iv) 121 (v) Fad sconsa 30

Cleachtadh 10.6 1. (i) a � 2, d � 3 (ii) 222 2. 820 3. Sn � n _ 2 (3n � 1); 376 4. 140 5. a � 16, d � �4; �720 6. a � 3, d � 5; S16 � 648 7. 5050 8. (i) a � �4, d � 2 (ii) n � 12 9. (i) (ii) 25

(iii) Tn � 4n � 1 (iv) 86010. (i) a � �15, d � 6 (ii) 12011. (i) a � �4, d � 2 (ii) Sn � n(n � 5); 912. Sn � n _ 2 (3n � 7); n � 713. (i) (a) n � 1 (b) 2n (ii) Tn � 3n � 1 (iii) 17514. T20 ; 101015. S1 � 7, S2 � 16; T1 � 7, T2 � 916. (i) 39 (ii) Tn � 4n � 1 (iv) 100 (v) 20 10017. (i) a � 48, d � �4 (ii) T13

(iii) 31218. (i) a � �4, d � 8 (ii) 919. (i) a � 29, d � �2 (ii) 200 (iii) n � 3020. (i)

Patrún 1 2 3 4 5

Líon tíleanna gorma 21 33 45 57 69

(ii) Tn � 12n � 9 (iii) 129 (iv) Sn � n _ 2 (30 � 12n) (v) 7

Cleachtadh 10.7 1. (i) 18, 24 (ii) 38, 51 (iii) 47, 62 2. (i) Tá (ii) Níl (iii) Tá (iv) Tá 3. (i) 5, 8, 13, 20, 29 (ii) 0, 3, 8, 15, 24 (iii) 4, 11, 22, 37,56 4. 116

6. (i) 31 (ii) 6n � 4 7. (i) 13 (ii) 23 (iii) 2n � 3 (iv) 203 (v) Patrún 49 8. (i) 18 (ii) 4n � 2 (iii) 22 9. (i) 5 cm, 8 cm, 11 cm, 14 cm (ii) 17 cm, 20 cm (iii) 3n � 2 (iv) 152 cm (v) 30ú

Cleachtadh 10.4 1. (i) a � 2, d � 3 (ii) a � 7, d � 5 (iii) a � 0, d � 3 (iv) a � �2, d � 3 (v) a � 60, d � �5 (vi) a � 6, d � �5 2. (i) 14, 18, 22 (ii) �4, �8, �12 (iii) 3, 6, 9 3. (i) 2 (ii) 4 (iii) 4n � 2; 78 4. (i) 4n � 3 (ii) 2n � 4 (iii) 5n � 10 5. (i) �1 (ii) 2 (iii) 38 (iv) 3 6. 3n � 9; (i) 39 (ii) 129 7. T1 � 4, T2 � 9, T3 � 14; a � 4, d � 5 8. a � 4, d � 3; Tn � 3n � 1; T20 � 61 9. T1 � 3, T2 � 7, T3 � 11; a � 3, d � 410. Tn � 4n � 2; n � 1211. Tn � 2n � 1; n � 4412. (i)

(ii) 21

(iii) 1, 3, 6, 10, 15, 21; níl aon chomhbhreis ann13. Líon triantán 1 2 3 4 5


(i) tá comhbhreis ann (ii) 2n � 1 (iii) 61 (iv) 40ú téarma14. Tn � 11 � 3n; n � 1515. 4216. T37

17. T24

18. 4119. (i) 22 (ii) 4n � 2 (iii) 82 (iv) 30ú20. T1 � 5, T2 � 8, T3 � 13;

ní seicheamh comhbhreise é

Cleachtadh 10.5 1. d � 7; Tn � 7n � 2; T20 � 138 2. a � 2, d � 4; T13 � 50 3. a � 5, d � 4; Tn � 4n � 1; T60 � 241 4. a � 24, d � �6; T100 � �570 5. a � 10, d � �3; Tn � �3n � 13; n � 20 6. (i) d � 3 (ii) Tn � 3n 7. (i) a � �4, d � 2 (ii) Iad araon � 8 8. a � �3, d � �2; Tn � �2n � 1; T40 � 81 9. (i) 12 (ii) 4, 6, 8, 10, … (iii) 2n � 2 (iv) 162 (v) 120 km

481

5. a � 62°, b � 110°, c � 55°, d � 34° 6. 25° 7. (i) 55° (ii) 45° 8. (i) 76° (ii) 52° 9. a � 95°, b � 115°, c � 39°, d � 85°10. (i) x � 116°, y � 52° (ii) x � 20°, y � 140° (iii) x � 80°, y � 30°11. x � 10, y � 5, z � 812. |AB| � 6 aonad; Achar 5 13.5 aonad2

13. (i) 5 (ii) 1314. (i) √

___ 76 (ii) √

___ 32 (iii) √

___ 44

15. x � 5, y � 1216. DTS17. SSS nó SUS18. SUS19. x � 10, y � 8


2. (i) 36 cm2 (ii) 6 cm 3. (i) 4 (ii) 10 (iii) 6

4. (i) 4 4 _ 5 cm (ii) 10 1 _ 2 cm (iii) 21 3 _ 5 cm

5. (i) 96 cm2 (ii) 126 cm2 (iii) 143 cm2

6. 308 cm2; |BC| � 17 1 _ 9 cm

7. Is é uDCu 3 h achar an dá cheann

8. 2 2 _ 3 cm

9. (i) (1, 3), (2, 4), (2, 5), (4, 5) (ii) Uillinneacha inmheánacha nó forlíontacha10. (i) 30 cm2 (ii) 30 cm2 (iii) 45 cm2 (iv) 4 cm 11. (i) Uillinneacha ailtéarnacha (ii) ASA12. (i) 5 cm (iii) 8 cm 13. (i) 1 _ 2 |DC| � h : |DC| � h (ii) 10 cm2

Cleachtadh 11.3 1. (i) [BC] (ii) [AC] 2. (a) (i) (b) (i) (c) (ii) 3. (i) �BAC (ii) �ACB 4. (i) 8 cm (ii) 7 cm 5. (i) 5 (ii) 6 6. (i) 2.5 (ii) 9 (iii) 6 2 _ 3

7. (i) 6 2 _ 5 (ii) 5 5 _ 6 (iii) 2 4 _ 7

8. 7

9. 6 2 _ 3

10. (i) uillinneacha ar cóimhéid (ii) [DF] (iii) x � 12 cm, y � 7 cm

11. (i) 1 1 _ 2 oiread (ii) x � 6, y � 4.5

12. (ii) x � 9, y � 10 1 _ 2

13. (i) [XY] (ii) x � 10, y � 16 2 _ 3 14. x � 4.5, y � 415. (ii) 14

5. 4 7 12 19 28 ; a � 1 3 5 7 9 2 2 2 6. (i) Tn � n2 � 4 (ii) Tn � 2n2

7. Tn � n2 � 6 9. Tn � n2 � 2n10. (i) 30 (ii) 55 (iv) 38511. (iii) Tn � n

2 � n ______ 2

(iv) 210

Cuir triail ort féin 10 1. (i) (a) a � 5, d � 3 (b) Tn � 3n � 2 (c) 20ú (ii) (a) a � 3, d � 4 (b) 210 2. (i) (a) d � 5 (b) Tn � 10 � 5n; T10 � �40 (ii) (a)

Cruth 1 2 3 4 5

Líon maidí 8 15 22 29 36

(b) Tn � 7n � 1 (c) 85 (d) 1490 3. (i) a � 8, d � �2 (b) Tn � 10 � 2n (c) 15ú (ii) Sn � n _ 2 {2a � (n � 1)d}; 6, 9, 12; 75 4. (i) (a) a � 8, d � �4 (b) 19ú (ii) (a)

Cruth 1 2 3 4 5


(b) Tn � 5n � 3 (c) 103 (d) 426 5. (i) (c); Tn � 2n � 7 (ii) 1ú: 7, 11, 15, 19, …;

2ú: 4; Tn � 2n2 � n � 5 6. (i) Tn � 4n � 5; T10 � 45 (ii) (a) Tn � a � (n � 1)d, Sn � n _ 2 {2a � (n � 1)d} (b) a � �8, d � 3 7. (i) (a) d � 6 (b) Tn � 6n � 4 (c) n � 34 (d) 1180 (ii) (a) 24 (b) 35 (c) 2ú difríocht 5 2 (d) Tn � n2 � 2n (e) 120

Caibidil 11: Céimseata 1Cleachtadh 11.1 1. a � 32°, b � 148°, c � 46°, d � 134°, e � 60°,

f � 120°, g � 110°, h � 70°, j � 140°, e � 80°, m � 100°

2. a � 50°, b � 86°, c � 111°, d � 74°, e � 48°, f � 112°

3. a � 65°, b � 40°, c � 52.5°, d � 60°, e � 30° 4. x � 65°, y � 50°

482

2. (i) x2 � y2 � 8 (ii) x2 � y2 � 8 (iii) x2 � y2 � 18 (iv) x2 � y2 � 4 _ 9

(v) x2 � y2 � 16 __ 9

3. 5; x2 � y2 � 25 4. (i) x2 � y2 � 13 (ii) x2 � y2 � 5 (iii) x2 � y2 � 25 (iv) x2 � y2 � 16 5. (i) x2 � y2 � 25 (ii) x2 � y2 � 9 (iii) (0, 5), (0, �5) (iv) (3, 0), (�3, 0) 7. 36P

8. (i) 3 (ii) 7 (iii) 1 (iv) 2 √

__ 3 (v) 3 √

__ 3 (vi) √

__ 5

9. (i) x2 � y2 � 9 _ 4 ; 3 _ 2 (ii) x2 � y2 � 25 __ 9 ; 5 _ 3

(iii) x2 � y2 � 49 __ 4 ; 7 _ 2

10. (i) (0, 0) (ii) 5 (iii) x2 � y2 � 2511. 1812. x2 � y2 � 2013. (i) x2 � y2 � 6 (ii) x2 � y2 � 24 (iii) x2 � y2 � 18 (iv) x2 � y2 � 12 (v) x2 � y2 � 4514. x2 � y2 � 36

Cleachtadh 12.2 2. Taobh amuigh 3. (5, 0), (�5, 0); (0, 5), (0, �5) 5. (i) Taobh amuigh (ii) Ar an gciorcal (iii) Taobh amuigh (iv) Taobh istigh 6. (iii) 7. (i) P(0, 4), Q(0, �4) (ii) 8 8. k � 2

Cleachtadh 12.3 1. (i) (x � 3)2 � (y � 1)2 � 4 (ii) (x � 3)2 � (y � 4)2 � 9 (iii) (x � 1)2 � (y � 4)2 � 25 (iv) (x � 3)2 � (y � 5)2 � 16 (v) (x � 3)2 � (y � 2)2 � 1 (vi) (x � 3)2 � y2 � 36 (vii) (x � 3)2 � (y � 5)2 � 10 (viii) x2 � (y � 2)2 � 8 2. (i) √

___ 10

(ii) (x � 2)2 � (y � 4)2 � 10 3. (x � 5)2 � (y � 2)2 � 85 4. (x � 2)2 � (y � 2)2 � 10 5. (i) (1, 3) (ii) √

__ 8

(iii) (x � 1)2 � (y � 3)2 � 8 6. (2, 3); 4 7. (4, �3); 3 8. (�2, �5); 8 9. (�5, 1); 910. (0, 4); 511. (3, 0); 312. (1, �5); 4 _ 3

16. (i) �ABD � �BDC (iii) [DC] (iv) [AD]17. 6

18. (i) |AE|

____ |AC|

� |DE|

____ |BC|

(ii) x � 48 __ 5 , y � 12

__ 5

Cleachtadh 11.4 1. a � 90°, b � 90°, c � 45° 2. Mar |AO| � |OC| 5 ga; (i) 43° (ii) 90° (iii) 47° 3. a � 42°, b � 48°, c � 50°, d � 40°, e � 55°,

f � 35° 4. (i) NABC (ii) [AO] � [OC] (iii) 10 n-aonad (iv) 8 n-aonad (v) 24 aonad2

5. (i) 6 cm (ii) √___

61 cm 6. 48 cm 7. (i) 90° (ii) 50° (iii) 50° (iv) 80° 8. (i) 90° (ii) 35° (iii) 90° (iv) 55° 9. 30°10. 12 cm11. (i) 60° (ii) 120° (iii) 30° (iv) 30°12. (i) 20° (ii) 30°14. 20°15. (i) 80° (ii) 10° (iii) 80°

Cuir triail ort féin 11 1. (i) Comhchosach (ii) �ABC � �ACB (iii) 62° 2. 80° 3. (i) 84 cm2 (ii) 126 cm2 (iii) 84 cm2

4. (i) 14 cm (ii) 10 cm 5. (ii) 72 cm2

6. (ii) |OB| � |OA| (iii) 132° 7. (i) 90° (ii) 25 cm (iii) 24 cm 8. (i) �ADC � �ABC (ii) 70° 9. Uillinn i leathchiorcal10. (i) 90° (ii) 2 √

__ 3

11. 3 3 _ 5 12. 15 cm13. x � 2, a � 9 1 _ 3 14. (i) �CAB � �AOD (ii) 60° (iii) 30° (iv) 30°15. (i) 15 aonad (ii) 92 aonad2

16. (iii) 36 aonad2 (iv) 12 aonad2

(v) 24 aonad2 (vi) 60 aonad2

Caibidil 12: CéimseataChomhordanáideach � An Ciorcal

Cleachtadh 12.1 1. (i) x2 � y2 � 4 (ii) x2 � y2 � 9 (iii) x2 � y2 � 1 (iv) x2 � y2 � 25 (v) x2 � y2 � 2

483

11. (i) C(2, 0); r � 3 (ii) (x � 2)2 � y2 � 9 (iii) t1: y � 3; t2: y � �312. (i) A � (3, 1), B � (�3, �1)13. (3, 4); r � 2 √

__ 5 ; A � (1, 0), B � (5, 0); |AB| � 4

14. (i) (4, �1); r � 4 (ii) (x � 4)2 � (y � 1)2 � 16 (iii) 5 _ 4 ; AE � EB (uillinn i leathchiorcal)15. (i) (�2, 3); r � 5 (iii) P � (�7, 3), Q � (3, 3) (iv) x � �7, x � 3 (v) (x � 2)2 � y2 � 2517. k1: x2 � (y � 2)2 � 4; k2: x2 � (y � 2)2 � 4;

k3: x2 � y2 � 16; y � 418. (i) (�4, 3); r � 6 (ii) (�10, 3)19. (x � 1)2 � (y � 2)2 � 25

Caibidil 13: Sonraí a Chur i LáthairCleachtadh 13.1 1. (i) 7 (ii) Donn (iii) 22 2. (i) 25 (ii) 10 (iii) 3 (iv) 5 (v) 9 4. (i) 6 (ii) 16 (iii) Ní fios 5. (i) 180 (ii) Márta agus Lúnasa (iii) 36 6. Meán � 12.5; líne ró-íseal 7. (i) 15 (ii) 1 (iii) 5 (iv) 20% 8. (i) Conchúr (ii) Barra (iii) Dara (iv) Ailéin 9. (i) Luan (ii) Satharn (iii) Satharn (iv) Aoine (v) 2511. 8812. (i) 40 (ii) 15; 15%13. 90

Cleachtadh 13.2 1. (ii) 12 (iii) (20 � 40) km (iv) 40% 2. (i) 10 (ii) (40 � 50) bl. (iii) 12 (iv) 60 (v) (50 � 60) bl. (vi) (40 � 50) bl. 3. (ii) 38 (iii) (12 � 16) nóim (iv) (12 � 16) nóim (v) 30 4. (i) 19 (ii) 54 (iii) (10 � 15) soic (iv) (10 � 15) soic (v) 20 (vi) 20 5. (ii) (25 � 35) nóim (iii) (25 � 35) nóim (iv) (15 � 25) nóim (v) 48 (vi) 29 nóim

Cleachtadh 13.3 1. Dáileadh siméadrach; (i) Dáileadh normalach (ii) Airde daoine 2. Sceabha diúltach 3. Sceabha deimhneach

13. (0, 2); 2 √__

3 14. (3, 3); (x � 3)2 � (y � 3)2 � 915. (i) (4, 0) (ii) (x � 4)2 � y2 � 16 (iii) 2 (iv) (4, 2) (v) (x � 4)2 � (y � 2)2 � 4 (vi) (4, 4)16. (i) 2 (ii) (4, �4) (iii) (x � 4)2 � (y � 4)2 � 4 (iv) k4

17. (2, 3); (x � 2)2 � (y � 3)2 � 1018. (i) 3 (ii) (x � 4)2 � (y � 3)2 � 919. (i) (4, 0) (ii) (x � 4)2 � y2 � 4 (iii) (x � 4)2 � y2 � 36 (iv) Tá20. (i) (x � 1)2 � y2 � 1 (ii) (2, 1) (iii) (x � 2)2 � (y � 1)2 � 1 (iv) (�2 � P�__

2 ) aonad cearnach

Cleachtadh 12.4 1. (i) (�2, �3), (3, 2) (ii) (3, 1), (1, 3) (iii) (5, 0), (�3, �4) (iv) (4, 2), (�2, 4) 2. (2, �1) 3. (i) (1, 1) (ii) (1, �3) (iii) (2, �1) 4. (3, 0), (0, �3); Ní hea; Dhá phointe trasnaithe 5. (4, 2), (�4, �2) 6. x2 � y2 � 10; (�1, �3), (�3, �1) 7. x � y � 3 � 0; (2, 1), (1, 2) 8. Pointe tadhaill � (�2, 4)

9. (i) (3, 3) (ii) (x � 3)2 � (y � 3)2 � 9 (iii) y � 6 (iv) x � 6 (v) (6, 6)

Cleachtadh 12.5 1. (i) (2, 0), (�2, 0) (ii) (5, 0), (�5, 0) (iii) (9, 0), (�9, 0) 2. (0, 7), (0, �7) 3. (i) (2, 0), (8, 0) (ii) (6, 0), (�2, 0) 4. (0, 1), (0, �7) 6. (�4, 1); 3 7. Taobh amuigh 8. (x � 3)2 � y2 � 10; 2 9. (i) 4 (ii) (x � 2)2 � (y � 4)2 � 16

Cuir triail ort féin 12 1. (i) (0, 0); r � 7 2. x2 � y2 � 25; (5, 0), (�5, 0) 3. (i) 6 (ii) x2 � y2 � 144 4. (x � 2)2 � (y � 3)2 � 16 5. (i) (3, 4); ga 5 5 6. Pointe trasnaithe 5 (1, 23) 7. (i) 6 (iii) (0, 6), (0, �6) 8. (i) A(�9, 0), C(9, 0) (ii) a: (x � 9)2 � y2 � 36; c: (x � 9)2 � y2 � 36 (iii) y � 6, y � �6 9. (i) A(2, 6), B(6, �2)10. (i) (1, �2); r � √

__ 5

(ii) (x � 1)2 � (y � 2)2 � 5

484

Cleachtadh 13.6 1. Deimhneach láidir; 0.7 2. A: 0.1; B: �1; C: �0.4; D: 0.8 4. �0.9

5. 20.86. �1

7. 0.1 8. (i) 0.9 (ii) �0.8 (iii) 0 (iv) �1 (v) �0.1 (vi) 0.2

Cleachtadh 13.7 1. (i), (ii), (v) agus (vi) 2. (i) 39 000 km (ii) Comhchoibhneas deimhneach láidir (iii) Tá (Níos sine � níos mó ciliméadar déanta) (iv) (a) 2 bhliain, 40 000 km 3. (i) Comhchoibhneas diúltach láidir (ii) Tá; Níos sine � luach níos ísle 4. (ii) Comhchoibhneas deimhneach láidir (iii) Tá; Bíonn an teocht níos airde de dheasca

na gréine 5. (ii) Comhchoibhneas diúltach láidir (iii) Níl

Cuir triail ort féin 13 1. (i) 47 (ii) 38 (iii) 29 (iv) 47 (v) 18 2. (i) 49 (ii) 30 (iii) 54 (iv) 24 3. (i) 32 (ii) E48 (iii) E25 (iv) E29 (v) Na fir a chaith an méid ba mhó 4. (i) E850 (ii) E300 (iii) E500 (iv) E150 5. (ii) Comhchoibhneas diúltach láidir 6. (i) D (ii) C (iii) A (iv) (a) B (b) D (c) C (d) A 7. (i) Deimhneach (ii) Deimhneach (iii) Níl comhchoibhneas ann (iv) Deimhneach (v) Diúltach 8. (i) Barrachairt nó píchairt (ii) Scaipghraf (iii) Léaráid ghais is duillí chúl le cúl (iv) Barrachairt nó píchairt (v) Píchairt nó barrachairt (vi) Scaipghraf 9. (i) Dáileadh siméadrach (nó normalach) 10. (i) Tá an chuid is mó de na luachanna ag

an gcuid íochtarach (nó tosach) an dáilte. (ii) Sceabha deimhneach (iii) An aois ag a bhfoghlaimíonn daoine conas

léamh 11. (i) Sceabha diúltach (ii) An aois ag a mbíonn daoine

ina seantuismitheoirí12. (i) 13 (ii) (a) 62 (b) 78 (iii) 53 (iv) mná

4. (i) (c) (ii) (a) (iii) (b) (iv) (b) (v) (c) 5. Airmheán 6. (i) B (ii) A (iii) Dáileadh normalach 7. (i) Sceabha diúltach (ii) Bíonn an mód níos airde de ghnáth nuair

is sceabha diúltach atá faoin dáileadh 8. Sceabha diúltach; (i) Meán (ii) Mód 9. (i) Sceabha deimhneach (ii) Mód � Airmheán � Meán

Cleachtadh 13.4 1. (i) 20 (ii) 5 (iii) 94 (iv) 51 (v) 8 2. (i) 4 (ii) 27 (iii) 8 (iv) 36 bliain d’aois 4. (ii) 8 (iii) 16 5. (i) 6 (ii) 4.3 soic (iii) 3.5 soic (iv) 3.5 soic 6. (i) 62 (ii) 47 (iii) 67 (iv) 20 7. (ii) 16.5 (iii) 40 (iv) 23.5 8. (i) 19 (ii) (a) 66 (b) 49 (iii) 55 (iv) 26 9. (i) 37 (ii) 44 (iii) 54 (iv) 16 (v) 26; Brian10. (i) Airmheán � 76; Raon � 27 (ii) Airmheán � 68; Raon � 38 (iii) An grúpa nach gcaitheann tobac 11. (i) 52 nóim (ii) (a) 52 nóim (b) 69 nóim (iii) (a) 31 nóim (b) 55 nóim12. (i) 41 (ii) 41 (iii) 5313. (ii) 55 (iii) 66.5 (iv) Sa Bhéarla

Cleachtadh 13.5 1. (i) B (ii) C (iii) D 2. (i) C agus F (ii) A agus E (iii) B agus D (iv) A; Comhchoibhneas deimhneach foirfe 3. (i) 6 (ii) 8.2 bliain (iii) Deimhneach lag 4. (i) Deimhneach láidir (ii) Gaol láidir nó dlúthghaol 5. (i) 100 kg (ii) 170 cm (iii) 175 cm, 85 kg (iv) Deimhneach lag 6. (ii) Comhchoibhneas diúltach láidir;

Cuireann, mar go mbeifeá ag súil lecomhchoibhneas deimhneach

7. (ii) Is saoire rothair níos sine (iii) Diúltach láidir 8. (ii) Comhchoibhneas deimhneach láidir 9. (i) B (ii) C (iii) A (iv) D10. (i) Diúltach láidir (ii) Deimhneach láidir (iii) Níl comhchoibhneas ann

(iv) Diúltach láidir (v) Deimhneach láidir

485

5. p � 67°, q � 24°, r � 37° 6. x � 9.4 7. (i) 12.0 (ii) 15.9 (iii) 18.8 8. x � 15, y � 20 9. (i) 13.9 (ii) 44°10. 12.5 cm11. (i) 13 cm (ii) 11°12. (i) 4.2 cm (ii) 25°13. 20 m14. 21 m15. 40 m16. (i) 4.0 m (ii) 12.7 m17. (i) 25° (ii) 107 m (iii) 118 m (iv) 355 m18. Is féidir19. (i) 37° (ii) |BC| � 6 m, |DC| � 4 m20. 3 cm

Cleachtadh 14.5 1. (i) 24.1 cm2 (ii) 7.4 cm2 (iii) 11.4 cm2

2. (i) 12 cm2 (ii) 49 cm2 (iii) 85 cm2

3. 87 aonad cearnach 4. 338 cm2

5. 139 cm2

6. A � 75°; B � 22° 7. 8.3 8. 10 cm 9. sin A � 3 _ 5 ; 168 aonad cearnach10. (ii) 90°

(iii) Ní dhúblaítear; is faoicheathair a mhéadaítear é

11. 153 m

12. (i) √

___ 24 ____

5 (ii) 6 √

__ 6 ; k � 6

Cleachtadh 14.6 1. (i) 15.3 (ii) 11.3 (iii) 11.0 2. (i) A � 34° (ii) B � 51° (iii) 75° 3. (i) 40° (ii) 22 cm 4. (i) 29 aonad (ii) 302 aonad cearnach 5. (i) 19.2 m (ii) 15.3 m 6. (i) 94 m (ii) 81 m 7. (i) 47° (ii) 98 km 8. (i) 8 cm (ii) 33 cm2

9. (i) 37 m (ii) 23 m10. (i) 60° (ii) 74 m (iii) 1899 m2

Cleachtadh 14.7 1. (i) a � 4.4 (ii) b � 11.1 (iii) a � 14.7 2. a � 6, b � 21, c � 9 3. A � 49°, B � 43°, C � 29° 4. 29° 5. 45° 6. 66 m 7. (i) 13 m (ii) 72°

Caibidil 14: TriantánachtCleachtadh 14.1 1. 12 cm2

2. 31 cm2

3. Is féidir 4. a � 3.6 cm, b � 9.2 cm, c � 9.5 cm,

d � 4.5 cm, e � 15 cm, f � 12 cm, g � 9.4 cm, h � 6.4 cm, i � 8.9 cm

5. 12.8 cm 6. 8.1 aonad 7. 2.6 m 8. 6.4 cm 9. (i) 3 cm (ii) 5.8 cm10. c � 10 cm, d � 24 cm11. 25 cm12. 25.7 m

Cleachtadh 14.2 1. (i) tan A (ii) cos A (iii) sin A

2. 3 _ 5 , 4 _ 5 ,

3 _ 4 ;

5 __ 13 ,

12 __ 13 ,

5 __ 12 ;

√__

3 ___ 2

, 1 _ 2 , √

__ 3

3. 5; (i) 5 __ 13 (ii) 12 __ 13 (iii) 5 __ 12

4. 2; 3 ____ √

___ 13 (ii) 2 ____

√___

13 (iii) 3 _ 2

5. (i) tan U (ii) sin U (iii) cos U 6. sin B � 12

__ 13 , tan B � 12 __ 5

7. (i) 1 ___ √

__ 5 (ii)

√___

21 ____ 2

8. sin C � 1 _ 2 , cos C � √

__ 3 ___

2

9. 110. (i) 1 (ii) 1

Cleachtadh 14.3 1. (i) 0.7431 (ii) 0.2756 (iii) 0.2679 (iv) 0.9511 (v) 0.8788 2. (i) 0.5344 (ii) 0.7266 (iii) 0.5914 (iv) 0.2773 3. (i) 48° (ii) 69° (iii) 55° (iv) 78° (v) 42° (vi) 12° 4. (i) 36.9° (ii) 41.1° (iii) 75.4° (iv) 74.2° 5. (i) 42° (ii) 53° (iii) 41° (iv) 24° (v) 29° (vi) 12° (vii) 35° (viii) 58° 6. A � 56.7°; sin A � 0.84 7. A � 37°; B � 68°; C � 39°

Cleachtadh 14.4 1. (i) comhshíneas (ii) tangant (iii) comhshíneas 2. x � 3.8, y � 10.0, z � 10.2 3. (i) 3.3 (ii) 16.7 (iii) 13.5 4. (i) 37° (ii) 46° (iii) 23°

486

3. (i) sin 50° (ii) �cos 65° (iii) �tan 20° (iv) �cos 40° (v) �sin 70° (vi) �tan 60°

4. (i) √

__ 3 ___

2 (ii) � 1 ___

√__

2 (iii) �

√__

3 ___ 2

(iv) � 1 __ 2

(v) √

__ 3 ___

2 (vi) 1 __

1

(vii) � √

__ 3 ___

2 (viii) �

√__

3 ___ 2

(ix) � 1 ___

√__

3

5. 13° agus 167° 6. (i) 147° agus 213° (ii) 129° agus 309° 7. 30° agus 150° 8. 1 agus �1

9. √

__ 3 ___

2 agus �

√__

3 ___ 2

10. 1 _ 2 agus � 1 _ 2

11. 233°

12. � 3 _ 4

13. � √

__ 3 ___

2

14. � 1 ___ √

__ 5

Cuir triail ort féin 14 1. (i) 3 _ 5 (ii) 3 _ 4 ; A � 37°

2. x � 12; (i) 5 __ 12 (ii) 12 __ 13

3. 17.8 cm 4. (i) 8 cm (ii) 22° 5. (i) 16 cm2 (ii) 6 cm (iii) 41° 6. (i) 4.2 cm (ii) 25° 7. (i) 32.0° (ii) 43° 8. (i) 41 cm2 (ii) 11.6 cm 9. (i) 15 m (ii) 9.6 m10. (i) 22.3 cm2 (ii) 6.0 cm2

11. (i) 22 cm (ii) 27 cm12. (i) 240° agus 300° (ii) 3 _ 2 13. (i) 15 cm (ii) 148 cm2

14. 12.7 m15. (i) 13.1 cm (ii) 39°16. (i) 20 cm2 (ii) 18 cm17. 9.1 cm; 50°18. (i) Radar A (ii) Radar A19. (i) 150° agus 210° (ii) a � 2 √

__ 2 , b � √

__ 6

20. 6.0 km2

Caibidil 15: Céimseata 2 � Méaduithe agus Tógálacha Cleachtadh 15.1 1. (i) 2 (ii) x � 6 cm, y � 18 cm 2. (i) 8 (ii) 12 (iii) 5

8. 101 cm 9. 21 km10. (i) 9 cm (ii) 16.1 cm11. (i) 23 cm (ii) 39°12. (i) 7.39 (ii) 10.6113. 9 m14. (i) 30 m (ii) 177 m15. (i) 13.7 cm (ii) 69°16. (i) 386 m (ii) 363 m17. (i) 37 m 18. (i) 58° (ii) 79°

Cleachtadh 14.8 1. 1 _ 2

2. 1

3. 1 _ 2

4. 1 ___ √

__ 2

5. 1 _ 4

6. √

__ 3 ___

2

7. √

__ 3 ___

2

8. 1 _ 2

9. 3 _ 4

10. 1 _ 3

12. x � 3, y � 3 √__

3 13. x � 3, y � 4

14. x � 4 √__

3 , y � 4, z � 8 ___ √

__ 3 (�nó 8 √

__ 3 ____

3 )

15. 400 √__

3


2. (i) 8.4 cm (ii) 23.0 cm (iii) 17.5 cm 3. (i) 410.5 cm2 (ii) 58.6 cm 4. (i) 24 cm (ii) 212 cm2

5. 14 cm 6. 15 cm 7. 115 m 8. 5.9 km2

9. (i) 170 cm2 (ii) 54 cm10. (i) 25 cm (ii) 23 cm (iii) 226 cm2

(iv) 160 cm2 (v) 66 cm2

11. (i) 106° (ii) 18.5 m

Cleachtadh 14.10 1. (i) 0.7660 (ii) �0.7660 (iii) 0.6428 (iv) �0.6428 2. (i) 0.6691 (ii) �0.8480 (iii) �0.9004 (iv) �0.9336 (v) 0.2309 (vi) �0.8290 (vii) 0.7314 (viii) 3.4874

487

3. An pointe A 4. (i) 6 cm (ii) 9 cm 5. (i) 2 (iii) (�2, 3) 6. (i) 2 (ii) (8, 9) (iii) A � 2 aonad2, B � 8 n-aonad2

7. (i) 2.5 (ii) 3.2 aonad (iii) 2 : 5; 25 aonad cearnach 9. (i) A�B�C�

(ii) (a) 1 _ 3 (b) 4 _ 3 (iii) (a) 4 cm (b) 16 cm10. Tá; Níl11. (i) (0, 2) (ii) 2 (iii) 1 _ 2 (iv) 60 aonad2

12. (i) 2.5 (ii) 10 n-aonad (iii) 2 : 5 (iv) 100 aonad2

13. (i) 104 mm (ii) 42 mm14. (i) 3 (ii) Toirt na híomhá 5 k3 oiread thoirt na bunfhíorach15. 10.8 cm16. (i) 3 (ii) 14 cm faoi 9 1

_ 3 cm17. (i) 1 : 500 (ii) 60 m

(iii) 1 : 2000 (iv) 50 cm

Cleachtadh 15.2 7. 10.7 cm 9. 105°11. Fuair, an toradh céanna14. Bíonn an pointe ar comhfhad

ó dhá shlios na huillinne15. |AG| : |GM| � 2 : 1; |BG| : |GN| � 2 : 1; 2 : 116. Pointe trasnaithe dhéroinnteoirí

ingearacha [AB] agus [BC]

Cuir triail ort féin 15 1. (i) 2 (ii) 10 cm (iii) 10.5 cm (iv) Trasnaíonn N�N agus L�L a chéile ag O (v) 32 cm 2. (i) (0, 2) (ii) 2 (iii) 1 _ 2 (iv) 96 cm2

3. (i) A (ii) 3 _ 2 (iii) 7.5 m (iv) 14.1 m (v) 2 _ 3 4. (i) 12 aonad (ii) 6 aonad (iii) 6 aonad; 45 aonad cearnach 6. 7.8 cm 7. Páirc spóirt ag an imlár 8. (i) NABE (ii) 11.25 cm (iii) 2 _ 5 (iv) 28° (v) 26.25 cm2

9. (i) 3 _ 4 (ii) 4.5 cm (iii) 32 cm2

10. (ii) 2.2 km11. (i) 1.5 (ii) 6 aonad (iii) 12 aonad2

12. (i) (a) 8 _ 5 (b) 4 _ 5 (ii) (a) 7.5 (b) 7.2

TIONSCADAL MATA Téacs Trialacha - COGG...Is do na daltaí a bheidh ag tabhairt faoin Ardteistiméireacht sa bhliain 2013 an leabhar seo. Is éard atá ann ná Tionscadal Mata Snáitheanna

Documents