tions dans un circuit RLC série سړپجڍطڂ زٌجو ڑٲ زٍكپج ... · tions dans un circuit RLC série سړپجڍطڂ زٌجو ڑٲ زٍكپج شحذًذًپج Les oscilla

Les oscillations dans un circuit RLC série يرانحRLCانزتزتاخ انحشج ف داسج

I تفشيغ مكثف في وشيعت

ذعشث شـاؽ .1

E انكح ي ينذ نهرذش (1شكم )عض انذاسج انكشتائح = 6V يكصف سؼر C = 10−4F يطم أي

𝑅2 ذيقاو = 10Ω شؼح يؼايم ذحشؼا L = 0,2Hيقايرا 𝑟 = 5Ω قاؽغ انراس K .

1تجشبت . أ

.RLCانذاسج ذزتزتاخ حشج ف نهحظل ػه 2 ػه انػغ Kؤسظح (رشك يذج كافح) ، 1 يػغ ف الKؼغ

UCؼا، ػه ساسى انرزتزب، انرذش (t)2فحظم ػه انشكم ت يشتط انكصف .

يالحظاخ ذفسش

سغ انرذش𝑈C(t) راقض خالل انضي قل أ انرزتزتاخ يخذج انرذش 𝑈C(t) يراتا نك نس تذانح

Tدسا فقل أ انرزتزتاخ شث دسح ذرض تشث انذس شيض ن

انرزتزتاخ ذرى د أ ضد انذاسجRLCحشج تانطاقح قل أ انرزتزتاخ

تعشيف

1 انشكم Tأحسة شث انذس 𝑈C(t)انذس انذج انضيح انفاطهح ت قر قظر يررانر نهرذش

في شبه الذوس C و L تأثيش 2تجشبت . ب

غش يؼايم ذحشغ انشؼح سؼح انكصف

غش قح 1انحانحC = 10−4F حرفع ب 𝐿3يح انشكم ، شاترح

غش قح 2انحانح L = 0,4H حرفع ب 𝐶 4 شاترح يح انشكم

مالحظاث وتفسيش

Tيثاا عذ = 30ms 1 أظش انشكم

T1 1حساب شث انذس انحانح = 35ms 2 انحانح𝑇2 = 40ms الحع أ قح شث انذس ذرضاذ

L قح يؼايم انرحشغ Cترضاذ قح سؼح انكصف

1انشكم

2انشكم

T

T

C = 10−4FL = 0,2H

3انشكم

T C = 2.10−4F

L = 0,2H

C = 10−4FL = 0,4H

4انشكم

T

2انشكم

T

Les oscillations dans un circuit RLC série يرانحRLCانزتزتاخ انحشج ف داسج

R تأثيش قيمت المقاومت 3 تجشبت

3 2 1 ف انرشكة انرعشث انساتق فحظم ػه انحاخ انظدج ف األسفم R2غش قح

يا ذأشش انقايحR ػه انزتزتاخ

يارا حذز ػذيـا ذأخزR قح ال𝑅 = 67Ω؟

يالحظاخ ذفسش

يغ ذضاذ قح انقايحR 3 2 1 ذضداد ظاشج انخد انشكم

ػذيا ذظثح قح انقايح كثش ؼذو انرذشUC ظاو ال دس د أ رزتزب س زا انظاو

𝑅 ػذيا ذأخز انقايح انقح = 67Ω ؼذو انرذش 𝑈C(t) تسشػح د أ رزتزب س ز انقايح

𝑅𝐶تانقايح انحشظح شيض نا ب = 𝑅 = 67Ω ظاو فظم 2انشكم انظاو انحشض س زا انظاو

انظاو انشث انذس انظاو انال دس

II دساست التزبزباث الحشة في الذاسةRLC

ت 𝑈C(t) يرانح انر حققـا انرذش RLCأظذ انؼادنح انرفاػهح نذاسج ترطثق قا إػافح انرذشاخ .1

q(t) شى أسررط انؼادنح انرفاػهح انر ذحققا انشحح .يشتط انكصف

حذد انقذاس انسؤل ػ خد انزتزتاخ .2

r اسررط انؼادنح انرفاػهح نهذاسج ف حانح .3 = 0 R = 0

انعاب

انؼادنح انرفاػهح .1

UC: ترطثق قا إػافح انرذشاخ عذ + UL + UR = 0

UC + 𝑟. 𝑖 + 𝐿𝑑𝑖

𝑑𝑡+ R. i = 0 ⟹ UC + 𝐿

𝑑𝑖

𝑑𝑡+ (R + r). i = 0

𝑖ؼهى أ =𝑑𝑞

𝑑𝑡 𝑞 = 𝐶 . 𝑈𝐶 تانران 𝑖 = 𝐶

𝑑𝑈𝑐

𝑑𝑡 𝐿

𝑑𝑖

𝑑𝑡= 𝐿𝐶

𝑑2𝑈𝐶

𝑑2𝑡 : ي

𝑑2𝑈𝐶

𝑑2𝑡+

1

𝐿𝐶UC +

(R+r)

L.𝑑𝑈𝑐

𝑑𝑡= R ؼغ 0 + r = 𝑅T

𝑤 = 1

𝐿𝐶𝑤2 أ =

1

𝐿𝐶 س انثغ انخاص

𝑑2𝑈𝐶

𝑑2𝑡+

1

𝐿𝐶UC +

(R+r)

L.𝑑𝑈𝑐

𝑑𝑡= 𝑈C(t) انؼادنح انرفاػهح انر حققا انرذش0

𝑞ؼهى أ = 𝐶 . 𝑈𝐶 أ 𝑈𝐶 =𝑞

𝐶 : ؼع ف انؼادنح انرفاػهح عذ

𝑑2q

𝑑2𝑡+

1

𝐿𝐶q +

(R+r)

L.𝑑q

𝑑𝑡= انؼادنح انرفاػهح انر ذحققا انشحح 0

انقذاس انسؤل ػ انخد .2

انعضء 𝑑2𝑈𝐶

𝑑2𝑡+

1

𝐿𝐶UC ن حم ظثا

R = 10Ω و r = 5Ω

R = 67Ω و r = 5Ω

R = 100Ω و r = 5Ω

3انشكم 2انشكم 1انشكم

Les oscillations dans un circuit RLC série يرانحRLCانزتزتاخ انحشج ف داسج

ار سررط ا انعضء انسؤل ػه ذاقغ انسغ خالل انضي انقذاس (R+r)

L.𝑑𝑈𝑐

𝑑𝑡

r=0 R=0انؼادنح انرفاػهح ف حانح .3

نذا 𝑑2𝑈𝐶

𝑑2𝑡+

1

𝐿𝐶UC +

(R+r)

L.𝑑𝑈𝑐

𝑑𝑡= : فا0=(R+r) ف حانح 0

𝑑2𝑈𝐶

𝑑2𝑡+

1

𝐿𝐶UC = 0

III دساست التزبزباث الحشة في داسة مثاليتLC

LCتعشيف داسة مثاليت .1

LCداسج يصانح س انذاسج انك ي يكصف شؼح يقايرا انذاخهح يؼذيح

:عض انرشكة انرعشث انخاص تانذاس انصانح انك ي

يقايرا انذاخهح يؼذيح ذك انرزتزتاخ انكشتائح انحشج انغش L شؼح يؼايم ذحشؼا Cيكصف سؼر

2 ظثح انشكم LCانخذج نذاسج انصانح

ترطثق قا إػافح انرذشاخ أظذ انؼادنح .1

𝑈C(t)انرفاػهح انر حققا انرذش

: حم انؼادنح انرفاػهح كرة ػه انشكم انران .2

𝑈C t = Umcos( 2π

Tt + φ)

𝑈m سغ انرزتزتاخ

(2π

Tt + φ) انطس ف انهحظح t

𝑇0 انذس انخاص نهرزتزتاخ

φ انطس ػذ أطم انراسخ

𝑻𝟎 بيه أن تعبيش الذوس الخاص هى . أ = 𝟐𝛑 𝐋𝐂 ثم بيه أن ل 𝑻𝟎 بعذ الزمه

t=0 الطىس عىذ 𝛗 و 𝑼𝐦حذد . ب

UC: ترطثق قا إػافح انرذشاخ عذ .1 + UL = 0

UC + 𝐿𝑑𝑖

𝑑𝑡= 0 ⟹ UC + 𝐿

𝑑𝑖

𝑑𝑡+= 0

𝑖ؼهى أ =𝑑𝑞

𝑑𝑡 𝑞 = 𝐶 . 𝑈𝐶 تانران 𝑖 = 𝐶

𝑑𝑈𝑐

𝑑𝑡 𝐿

𝑑𝑖

𝑑𝑡= 𝐿𝐶

𝑑2𝑈𝐶

𝑑2𝑡 : ي

𝑑2𝑈𝐶

𝑑2𝑡+

1

𝐿𝐶UC = 𝑤 ؼغ 0 =

1

𝐿𝐶𝑤2 أ =

1

𝐿𝐶 س انثغ انخاص

𝑑2𝑈𝐶

𝑑2𝑡+

1

𝐿𝐶UC = 𝑈C انؼادنح انرفاػهح انر حققا انرذش 0 (t)

𝑞ؼهى أ = 𝐶 . 𝑈𝐶 أ 𝑈𝐶 =𝑞

𝐶 : ؼع ف انؼادنح انرفاػهح عذ

𝑑2q

𝑑2𝑡+

1

𝐿𝐶q = انؼادنح انرفاػهح انر ذحققا انشحح 0

حم انؼادنح انرفاػهح .2

تعبيش الذوس الخاص . أ

= 𝑈C t نذا Umcos(2π

Tt + φ)

يشذ تذالنح انضي 𝑈C t شرق 𝑑𝑈𝑐

𝑑𝑡=

d

dtUm cos

2π

Tt + φ = 𝑈𝑚

d

dtcos

2π

Tt + φ ي

𝑑𝑈𝑐

𝑑𝑡= −𝑈𝑚

2π

T𝑠𝑖𝑛

2π

Tt + φ أ

𝑑2𝑈𝐶

𝑑2𝑡= −𝑈𝑚

2π

T

2𝑐𝑜𝑠

2π

Tt + φ

:ؼع ف انؼادنح انرفاػهح عذ

𝑑2𝑈𝐶

𝑑2𝑡+

1

𝐿𝐶UC = 0 ⟹ −𝑈𝑚

2π

T

2𝑐𝑜𝑠

2π

Tt + φ +

1

𝐿𝐶Um cos

2π

Tt + φ = 0

𝑈C(t)

𝑖(t)

2انشكم

1انشكم

Les oscillations dans un circuit RLC série يرانحRLCانزتزتاخ انحشج ف داسج

⟹= (1

𝐿𝐶−

2π

T

2

)Um cos 2π

Tt + φ = 0

Umؼهى أ cos 2π

Tt + φ ≠ تانران 0

1

𝐿𝐶−

2π

T

2= 𝑇0 ي 0 = 2π LC

= 𝑇 يؼادنح األتؼاد L C ؼهى أ 𝐿 = U . t

I 𝐶 =

I . t

U = 𝑇 عذ 𝑇 ؼع ف 𝑡 نا تؼذ انضي

t=0 الطىس عىذ 𝛗 و 𝑼𝐦 تحذيذ . ب

UC ؼثش ػ انقذاس 1انشحهح (t) i(t) ف انهحظح t=0 ؼهى أ 𝑖 𝑡 = 𝐶𝑑𝑈𝐶

𝑑𝑡

دانح يرظهح كزنك 𝑖 𝑡 دانح يرظهح ي 𝑈Cانرذش

𝑡انششؽ انثذئح ػذ انهحظح = 0 UC 0 = 𝐸 i 0 = 0

= 𝑖 𝑡نذا −C. 𝑈𝑚2π

T0𝑠𝑖𝑛

2π

T0t + φ انششؽ انثذئح 𝑖 0 = −C. 𝑈𝑚

2π

T0𝑠𝑖𝑛 φ = ي0

𝑠𝑖𝑛 φ = 0 ⟹ 𝜑 = 0𝜑 = 𝜋

= 𝑈C t ؼهى أ Umcos(2π

T0t + φ) UC 0 = 𝐸 > = 𝑈C 0 تانران 0 Um cos φ = 𝐸 ي

cos φ > φ تانران فا 0 = = 𝑈C t : تانران فا 0 𝐸cos(2π

T0t)

وشذة التياس الكهشبائيqتعبيش الشحىت . ج

= q tنذا CUC(t) تانران :q t = CU𝑚 . cos 2π

T0t + φ = qm cos

2π

T0t + φ يغ CU𝑚 = 𝑞𝑚

شذة التياس الكهشبائي . د

= 𝑖 𝑡ؼهى أ 𝑑𝑞

𝑑𝑡= 𝑖 𝑡 تانران −C. 𝑈𝑚

2π

T0𝑠𝑖𝑛

2π

T0t + φ = C. 𝑈𝑚

2π

T0𝑐𝑜𝑠

2π

T0t + φ +

π

2 يغ

Imax = C. 𝑈𝑚2π

T0

ػذيا ك انرذش يؼذيا ك انراس قظا انؼكس

IV اوتقاالث الطاقت بيه المكثف و الى شيعت

المثاليت LCالطاقت في الذاسة .1

ذك انطاقح انكهح نذاسج يصانحLC شاترح ذسا

.انطاقح انثذئح انخضح ف انكصف

خالل انزتزتاخ غش انخذج ذرحل انطاقح انكشتائح

.ف انكصف إن ؽاقح يغاؽسح ف انشؼح انؼكس

صم انح ذغشاخ انطاقح انخضح ف انكصف

انطاقح انخضح ف انشؼح

ف انشؼح انؼكس ذراقض انطاقح انخضح ف انكصف تفس انقذاس انر ذرضاذ ت انطاقح انخضح

ET تا انعع ثق شاترا ،طحح =1

2𝐿𝑖2 +

1

2𝐶𝑈𝐶

2 𝑡 = 𝑐𝑡𝑒

انثشح ساػا ػه ز انرعح

𝐸C

𝐸m

Les oscillations dans un circuit RLC série يرانحRLCانزتزتاخ انحشج ف داسج

ET نذا 1انطشقح =1

2𝐿𝑖2 +

1

2𝐶𝑈𝐶

2(𝑡)

dET

dt=

d

dt(

1

2𝐿𝑖2 +

1

2𝐶𝑈𝐶

2(𝑡)) تانران : dET

dt= 𝑖𝐿

d

dt𝑖 + 𝐶𝑈𝐶

d

dt𝑈𝐶)

𝑖 ؼهى أ =𝑑𝑞

𝑑𝑡 q = CUC : تانران

dET

dt=

𝑑𝑞

𝑑𝑡𝐿

d2

d2t𝑞 +

𝑞

𝐶

d

dt𝑞)

dET

dt= L

𝑑𝑞

𝑑𝑡(

d2

d2t𝑞 +

1

𝐿𝐶𝑞)

انؼادنح انرفاػهح LCتانسثح نهذاسج 𝑑2 q

𝑑2𝑡+

1

𝐿𝐶q = ي : ي0

dET

dt= اد انطاقح انكهح ذحفغ 0

خالل انضي

2انطشقح

ET نذا =1

2𝐿𝑖2 𝑡 +

1

2𝐶𝑈𝐶

2 𝑡

= 𝑈C t : ؼهى أ Umcos(2π

T0t + φ) 𝑖 t = −C. 𝑈𝑚

2π

T0sin(

2π

T0t + φ)ي :

ET =1

2𝐿 −C. 𝑈𝑚

2π

T0sin(

2π

T0t + φ)

2+

1

2𝐶 Um cos(

2π

T0t + φ)

2

ET =1

2𝐿 C. 𝑈𝑚

2π

T0

2sin2(

2π

T0t + φ) +

1

2𝐶𝑈m

2 cos2(2π

T0t + φ) نذا T0 = 2π LC ي :

ET =1

2𝐿C2. 𝑈m

2 1

LC

2sin2(

2π

T0t + φ) +

1

2𝐶𝑈m

2 cos2(2π

T0t + φ)

ET =1

2𝐶𝑈m

2 sin2(2π

T0t + φ) +

1

2𝐶𝑈m

2 cos2(2π

T0t + φ) اد

ET =1

2𝐶𝑈m

2 sin2(2π

T0t + φ) + cos2(

2π

T0t + φ)

)sin2 ؼهى 2π

T0t + φ) + cos2(

2π

T0t + φ) = كفا كا انضي اد1

ET =1

2𝐶𝑈m

2 = 𝑐𝑡𝑒 اد انطاقح انكهح ذحفع

تعشيف

انطاقح انكشتائح 𝐸Cيعع انطاقح انكشتائح ف كم نحظحLCانخضح ف انذاسج ET انطاقح انكهح

ET : حس Emف انشؼح = Em + EC =1

2𝐿𝑖2 𝑡 +

1

2𝐶𝑈𝐶

2 𝑡

RLCالطاقت في الذاسة .2

ذراقض انطاقح انكهح نذاسجRLCذذسعا تسثة يفؼل ظل

انثشح ػه انرعح انحظم ػه ذعشثح

ET نذا =1

2𝐿𝑖2 +

1

2𝐶𝑈𝐶

2(𝑡)

شرق انطاقح انكهح انسثح نهضي dET

dt=

d

dt(

1

2𝐿𝑖2 +

1

2𝐶𝑈𝐶

2(𝑡))

dET

dt= 𝑖𝐿

d

dt𝑖 + 𝐶𝑈𝐶

d

dt𝑈𝐶)

𝑖 ؼهى أ =𝑑𝑞

𝑑𝑡 q = CUC تانران :

dET

dt=

𝑑𝑞

𝑑𝑡𝐿

d2

d2t𝑞 +

𝑞

𝐶

d

dt𝑞)

dET

dt= L

𝑑𝑞

𝑑𝑡(

d2

d2t𝑞 +

1

𝐿𝐶𝑞)

Les oscillations dans un circuit RLC série يرانحRLCانزتزتاخ انحشج ف داسج

انؼادنح انرفاػهح RLCتانسثح نهذاسج

𝑑2q

𝑑2𝑡+

1

𝐿𝐶q +

(R+r)

L.𝑑q

𝑑𝑡= : ي 0

𝑑2q

𝑑2𝑡+

1

𝐿𝐶q = −

(R+r)

L.𝑑q

𝑑𝑡: تانران

dET

dt= − R + r .

𝑑q

𝑑𝑡

2= −(R + r)𝑖2 < 0

انراقض ؼض إن ظد انقايح

V صياوت الزبزباث

يرانح انحظل ػه ذذش يرزتزب ر سغ RLCك طاح رتزتاخ داسج

شاتد، تاسرؼال ظاص ضد انذاسج تطاقح ذؼع انطاقح انثذدج ف انذاسج تفؼل ظل

i(t) راسة اؽشادا يغ شذج انرـاسusظاص انظاح ػثاسج ػ ينذ ضد انذاسج ترذش

(us(t)=R0.i)ذكرة انؼادنح انرفاػهح نهذاسج انصهح ظاث ػه انشكم انران. رظشف كقايح سانثح :

: ترطثق قا إػافح انرذشاخ عذ

UC + UL + UR = 𝑈𝑆

UC + 𝑟. 𝑖 + 𝐿𝑑𝑖

𝑑𝑡+ R. i = R0 i ⟹ UC + 𝐿

𝑑𝑖

𝑑𝑡+ (R + r). i = R0i

𝑖ؼهى أ =𝑑𝑞

𝑑𝑡 𝑞 = 𝐶 . 𝑈𝐶 تانران 𝑖 = 𝐶

𝑑𝑈𝑐

𝑑𝑡 𝐿

𝑑𝑖

𝑑𝑡= 𝐿𝐶

𝑑2𝑈𝐶

𝑑2𝑡 : ي

𝑑2𝑈𝐶

𝑑2𝑡+

1

𝐿𝐶UC +

(R+r)

L.𝑑𝑈𝑐

𝑑𝑡=

R0

L.𝑑𝑈𝑐

𝑑𝑡R نضع + r = 𝑅T ي

𝑑2𝑈𝐶

𝑑2𝑡+

1

𝐿𝐶UC +

1

𝐿 RT − R0

𝑑𝑈𝑐

𝑑𝑡= 0

: عذ𝑅T ػه انقح 𝑅0ػذ ػثؾ انقايح

𝑑2𝑈𝐶

𝑑2𝑡+

1

𝐿𝐶UC = LC شرم انؼادنح انرفاػهح انخاطح تانذاسج انصانح 0

𝐸C

𝐸m