Thorsten Rohwedder und Thomas Uhlemann HU Berlindidaktik.mathematik.hu-berlin.de/files/tdm_fibonacci.pdf · Goldener Schnitt und Fibonacci-Zahlen Thorsten Rohwedder und Thomas Uhlemann

Goldener Schnitt und Fibonacci-Zahlen

Thorsten Rohwedder und Thomas UhlemannHU Berlin

Tag der Mathematik 2013

Quadrat mit Seitenlange89 cm,

also Flacheninhalt 7921 cm2

Rechteck mit Seitenlangen144 cm und 55 cm,


Wo ist der eine Quadratzentimeter hin?











Hier ist er!





Danke fur den einen Quadratzentimeter!

Hier ist er!





Danke fur den einen Quadratzentimeter!

Bei dieser Art von Flachenumwandlungscheint irgend etwas nicht zu stimmen,

aber was??

Und vor allem:Was ist zu tun, um den Fehler zu finden?

Bei dieser Art von Flachenumwandlungscheint irgend etwas nicht zu stimmen,

aber was??

Und vor allem:Was ist zu tun, um den Fehler zu finden?

Erste Idee: Nachrechnen

Strahlensatzfigur:

Es musste eigentlich

8934

=14455

gelten, es ist aber

8934≈ 2.6176,

14455

= 2,618.

Winkel an geschn. Parallelen:

Es musste eigentlich α = βgelten, es ist aber

tanα =3489

; α ≈ 20,908◦

undtanβ =

2155

; β ≈ 20,898◦.

Erste Idee: Nachrechnen

Strahlensatzfigur:

Es musste eigentlich

8934

=14455

gelten, es ist aber

8934≈ 2.6176,

14455

= 2,618.

Winkel an geschn. Parallelen:

Es musste eigentlich α = βgelten, es ist aber

tanα =3489

; α ≈ 20,908◦

undtanβ =

2155

; β ≈ 20,898◦.

Zweite Idee: Allgemeine Losung des Problems?

Quadrat mit Seitenlangex+y,

also Flacheninhalt(x + y)2

Rechteck mit Seitenlangenx und 2x+y,

also Flacheninhalt(2x + y) · x

Es muss also (x + y)2 = (2x + y) · x gelten.



















(x + y)2 = (2x + y) · x

⇐⇒ x2 − xy − y2 = 0

⇐⇒ x1,2 =12

y ±√

y2

4+ y2

x1 = (1+√

52 ) · y , also

xy

=1 +√

52

=: Φ

Dies ist der goldene Schnitt Φ ≈ 1,618034!

(x2 = (

1−√

52

) · y = (1− Φ) · y , x2 < 0)

(x + y)2 = (2x + y) · x

⇐⇒ x2 − xy − y2 = 0

⇐⇒ x1,2 =12

y ±√

y2

4+ y2

x1 = (1+√

52 ) · y , also

xy

=1 +√

52

=: Φ


(x2 = (

1−√

52

) · y = (1− Φ) · y , x2 < 0)

(x + y)2 = (2x + y) · x

⇐⇒ x2 − xy − y2 = 0

⇐⇒ x1,2 =12

y ±√

y2

4+ y2

x1 = (1+√

52 ) · y , also

xy

=1 +√

52

=: Φ


(x2 = (

1−√

52

) · y = (1− Φ) · y , x2 < 0)

(x + y)2 = (2x + y) · x

⇐⇒ x2 − xy − y2 = 0

⇐⇒ x1,2 =12

y ±√

y2

4+ y2

x1 = (1+√

52 ) · y , also

xy

=1 +√

52

=: Φ


(x2 = (

1−√

52

) · y = (1− Φ) · y , x2 < 0)

(x + y)2 = (2x + y) · x

⇐⇒ x2 − xy − y2 = 0

⇐⇒ x1,2 =12

y ±√

y2

4+ y2

x1 = (1+√

52 ) · y , also

xy

=1 +√

52

=: Φ


(x2 = (

1−√

52

) · y = (1− Φ) · y , x2 < 0)

(x + y)2 = (2x + y) · x

⇐⇒ x2 − xy − y2 = 0

⇐⇒ x1,2 =12

y ±√

y2

4+ y2

x1 = (1+√

52 ) · y , also

xy

=1 +√

52

=: Φ


(x2 = (

1−√

52

) · y = (1− Φ) · y , x2 < 0)

Strahlensatz: Φ + 11

!=

2Φ + 1Φ

⇐⇒ Φ + 1 = 2 + 1Φ

⇐⇒ Φ− 1 =1Φ


!=

2Φ + 1Φ

⇐⇒ Φ + 1 = 2 + 1Φ

⇐⇒ Φ− 1 =1Φ


!=

2Φ + 1Φ

⇐⇒ Φ + 1 = 2 + 1Φ

⇐⇒ Φ− 1 =1Φ


!=

2Φ + 1Φ

⇐⇒ Φ + 1 = 2 + 1Φ

⇐⇒ Φ− 1 =1Φ

Φ− 1 = 1Φ?

Φ =1 +√

52

; Φ− 1 =

√5− 12

≈ 0,62

also

(Φ− 1) · Φ =

√5− 12

·√

5 + 12

=5− 1

4= 1.

Daher:

Φ− 1 =1Φ

, Φ · 1Φ = 1 und Φ− 1

Φ = 1

Φ und 1Φ sind die einzigen positiven Zahlen, deren Produkt und

Differenz gleichzeitig 1 ergibt.

Φ− 1 = 1Φ?

Φ =1 +√

52

; Φ− 1 =

√5− 12

≈ 0,62

also

(Φ− 1) · Φ =

√5− 12

·√

5 + 12

=5− 1

4= 1.

Daher:

Φ− 1 =1Φ

, Φ · 1Φ = 1 und Φ− 1

Φ = 1

Φ und 1Φ sind die einzigen positiven Zahlen, deren Produkt und

Differenz gleichzeitig 1 ergibt.

Goldener Schnitt in Kunst und Architektur

...und Popkultur

Approximation von Φ durch KettenbrucheWegen Φ = 1 + 1

Φ :

Φ = 1 +1Φ

= 1 +1

1 + 1Φ

= 1 +1

1 + 11+ 1

Φ

= . . .

Φ ist Fixpunkt der Funktion g(x) = 1 + 1x (der einzige mit x > 0).

Fixpunktiteration: φn+1 = 1 + 1φn→ Φ fur beliebiges φ1 > 0.

Startwert φ1 = 1:

φ1 φ2 φ3 φ4 φ5 φ6 φ7 φ8 . . .

11

21

32

53

85

138

2113

3421

. . .


Φ :

Φ = 1 +1Φ

= 1 +1

1 + 1Φ

= 1 +1

1 + 11+ 1

Φ

= . . .



Startwert φ1 = 1:

φ1 φ2 φ3 φ4 φ5 φ6 φ7 φ8 . . .

11

21

32

53

85

138

2113

3421

. . .


Φ :

Φ = 1 +1Φ

= 1 +1

1 + 1Φ

= 1 +1

1 + 11+ 1

Φ

= . . .



Startwert φ1 = 1:

φ1 φ2 φ3 φ4 φ5 φ6 φ7 φ8 . . .

11

21

32

53

85

138

2113

3421

. . .


Φ :

Φ = 1 +1Φ

= 1 +1

1 + 1Φ

= 1 +1

1 + 11+ 1

Φ

= . . .



Startwert φ1 = 1:

φ1 φ2 φ3 φ4 φ5 φ6 φ7 φ8 . . .

11

21

32

53

85

138

2113

3421

. . .


Φ :

Φ = 1 +1Φ

= 1 +1

1 + 1Φ

= 1 +1

1 + 11+ 1

Φ

= . . .



Startwert φ1 = 1:

φ1 φ2 φ3 φ4 φ5 φ6 φ7 φ8 . . .

11

21

32

53

85

138

2113

3421

. . .


Φ :

Φ = 1 +1Φ

= 1 +1

1 + 1Φ

= 1 +1

1 + 11+ 1

Φ

= . . .



Startwert φ1 = 1:

φ1 φ2 φ3 φ4 φ5 φ6 φ7 φ8 . . .

11

21

32

53

85

138

2113

3421

. . .

Goldener Schnitt und Fibonacci-Folge

F1 = 1, F2 = 1, Fn+1 = Fn + Fn−1,

; Fibonacci-Folge (1,1,2,3,5,8,13,21,34,55, . . .)

mit

Φ = limn→∞Fn+1

Fn,

umgekehrt

Fn = 1√5

(Φn − (1− Φ)n)

(Formel von Binet)


F1 = 1, F2 = 1, Fn+1 = Fn + Fn−1,

; Fibonacci-Folge (1,1,2,3,5,8,13,21,34,55, . . .)

mit

Φ = limn→∞Fn+1

Fn,

umgekehrt

Fn = 1√5

(Φn − (1− Φ)n)

(Formel von Binet)


F1 = 1, F2 = 1, Fn+1 = Fn + Fn−1,

; Fibonacci-Folge (1,1,2,3,5,8,13,21,34,55, . . .)

mit

Φ = limn→∞Fn+1

Fn,

umgekehrt

Fn = 1√5

(Φn − (1− Φ)n)

(Formel von Binet)

Wo war jetzt der eine Quadratzentimeter?

Quotienten von aufeinanderfolgenden Fibonacci-Gliedernapproximieren Φ:

Φ = limn→∞

Fn+1

Fn≈ Fn+1

Fnfur große n ∈ N.

...deshalb klappt die Quadrat-Rechteck-Umwandlung ”fast“fur Teilungsverhaltnis 55 : 34 = 1,618 ≈ Φ .



Φ = limn→∞

Fn+1

Fn≈ Fn+1


...deshalb klappt die Quadrat-Rechteck-Umwandlung ”fast“fur Teilungsverhaltnis 55 : 34 = 1,618 ≈ Φ .



Φ = limn→∞

Fn+1

Fn≈ Fn+1


...deshalb klappt die Quadrat-Rechteck-Umwandlung ”fast“fur Teilungsverhaltnis 34 : 21 = 1,619 ≈ Φ.

...fur den Unterricht:Als Arbeitsauftrag fur Schuler klappt das Ganze auch prima mitkleineren Fibonaccizahlen:

Wo kommt die Fibonacci-Folge vor?

� erstmals 1202 im ”Liber abbaci“, Leonardo de Pisa aliasFibonacci:

Quelle: Wikipedia

Der Klassiker: Vermehrung von Kaninchen(nach ”Liber abbaci“, Ficonacci)

Quelle: fibonaccifolge.ch

Fibonacci in: Wie viele Ururur...ahnen hat eineHonigbiene?

I Mensch: 2k Vorfahren in k -ter Vorfahrengeneration

I Honigbiene: ♀→ ♂, ♀+♂→ ♀

Quelle: A. Gruber: Goldener Schnitt - Nur ein Teilungsverhaltnis oder fundamentales Geheimnis des Universums?


I Mensch: 2k Vorfahren in k -ter VorfahrengenerationI Honigbiene: ♀→ ♂, ♀+♂→ ♀







� Es ergeben sich 1,2,3,5,8,13,21, . . . Ahnen!Quelle: A. Gruber: Goldener Schnitt - Nur ein Teilungsverhaltnis oder fundamentales Geheimnis des Universums?

Fibonacci in: Potenzen des goldenen Schnitts

Φ = 1Φ

Φ2 = 1Φ + 1Φ3 = 2Φ + 1Φ4 = 3Φ + 2Φ5 = 5Φ + 3Φ6 = 8Φ + 5Φ7 = 13Φ + 8Φ8 = 21Φ + 13

...


Φ = 1Φ

Φ2 = 1Φ + 1Φ3 = 2Φ + 1Φ4 = 3Φ + 2Φ5 = 5Φ + 3Φ6 = 8Φ + 5Φ7 = 13Φ + 8Φ8 = 21Φ + 13

...


Φ = 1Φ

Φ2 = 1Φ + 1Φ3 = 2Φ + 1Φ4 = 3Φ + 2Φ5 = 5Φ + 3Φ6 = 8Φ + 5Φ7 = 13Φ + 8Φ8 = 21Φ + 13

...

Fibonacci im Pascalschen Dreieck

Quelle: hirnwindungen.de

Fibonacci in der Physik

R3 = R · 11 + 1

1+ 11+ 1

1+1

=58· R, allgemein: Rn =

F2n−1F2n· R

beide aus: Basin, S. L.: ”The Fibonacci Sequence as it Appears in Nature“, 1963;zit. n. M. Kuhn: ”Die Fibonacci-Zahlen“, Facharbeit am Emil v. Behring-Gymnasium Spardorf, 1990


R3 = R · 11 + 1

1+ 11+ 1

1+1


F2n−1F2n· R



R3 = R · 11 + 1

1+ 11+ 1

1+1


F2n−1F2n· R


Noch ein paar Merkwurdigkeiten

...eine merkwurdige Summe:

0,1+ 0,01+ 0,002+ 0,0003+ 0,00005+ 0,000013+ 0,0000021+ 0,00000034+ 0,000000055+ 0,0000000089+ . . .

= ?


...eine merkwurdige Summe:

0,1+ 0,01+ 0,002+ 0,0003+ 0,00005+ 0,000013+ 0,0000021+ 0,00000034+ 0,000000055+ 0,0000000089+ . . .

=1089

!


Haufigkeit der ersten Ziffer der Fibonacci-Zahlen:(1, 1, 2, 3, 5 ,8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233. . . )


...entspricht der Benford-Verteilung p(z) = lg(1 + 1

z

).

Jo Niemeyer: Land-Art mit dem Goldenen Schnitt

I insgesamt 20 jeweils 5.50 m hohe Edelstahl-Stelen

I Abstand der ersten beiden Stelen: 45,8 cmI Abstand n + 1 zu n = Φ × Abstand n zu 1


I insgesamt 20 jeweils 5.50 m hohe Edelstahl-StelenI Abstand der ersten beiden Stelen: 45,8 cm

I Abstand n + 1 zu n = Φ × Abstand n zu 1


I insgesamt 20 jeweils 5.50 m hohe Edelstahl-StelenI Abstand der ersten beiden Stelen: 45,8 cmI Abstand n + 1 zu n = Φ × Abstand n zu 1

Standorte der einzelnen Pfahle

Standorte der einzelnen Pfahle

In 20 Stelen um die Welt!

...und zu all dem lachelt die Mona Lisa.

Quelle: de.academic.ru

Wort zum Samstag:

”Dass zwei Dinge sich auf eine schone Art vereinigen ohne eindrittes, das ist unmoglich. Denn es muss ein Band zwischen

ihnen entstehen, dass sie vereinigt.

Das kann die Proportion am besten vollbringen. Denn wennvon irgend drei Zahlen die mittlere sich zu der kleinsten verhalt,

wie die großte zu der mittleren selbst, [. . . ] dann wird dasLetzte und das Erste das Mittlere und das Mittlere Erstes undLetztes, alles wird also mit Notwendigkeit dasselbe, und da es

dasselbe wird, bildet es ein einziges. “

Plato: Timaios, zit. nach Henning/Hartfeld:Goldener Schnitt in der Mathematik

Vielen Dank furIhre Aufmerksamkeit!

Thorsten Rohwedder und Thomas Uhlemann HU Berlindidaktik.mathematik.hu-berlin.de/files/tdm_fibonacci.pdf · Goldener Schnitt und Fibonacci-Zahlen Thorsten Rohwedder und Thomas Uhlemann

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