Théorie de la complexité - Institut de Mathématiques de ...

Théorie de la complexité

Martin C. Cooper

IRIT, Université de Toulouse 3

Master2 DC - Modèles de Décision et de Raisonnemment

Martin C. Cooper Théorie de la complexité

Théorie de la complexité : Introduction

Le but de la théorie de la complexité est de pouvoir dire si unproblème est (ou non) soluble efficacement par un ordinateur.

Exemples de problèmes :1 Etant donnés les pièces d’un puzzle P, reconstituer le

puzzle.2 Déterminer si un nombre à n chiffres est premier ou non.3 Etant donnée une équation diophantine (p.ex.

xy2z + 7 = z3) déterminer s’il existe une solution sur lesentiers

Un de ces problèmes ne peut être résolu par ordinateur, un est“difficile" et un est “facile".


Théorie de la complexité : Introduction

Le but de la théorie de la complexité est de pouvoir dire si unproblème est (ou non) soluble efficacement par un ordinateur.

Exemples de problèmes :1 Etant donnés les pièces d’un puzzle P, reconstituer le

puzzle.2 Déterminer si un nombre à n chiffres est premier ou non.3 Etant donnée une équation diophantine (p.ex.

xy2z + 7 = z3) déterminer s’il existe une solution sur lesentiers

Un de ces problèmes ne peut être résolu par ordinateur (3), unest “difficile" (1) et un est “facile" (2).


Références bibliographiques

D. Bovet & P. Crescenzi, “Introduction to the Theory ofComplexity"C.H. Papadimitriou, “Computational Complexity"M. Garey & D.S. Johnson, “Computers and Intractability: AGuide to the Theory of NP-Completeness"


Modèle de Calcul

PROCESSUS- -ENTREE SORTIE

une séquencede symboles

appartenant àun alphabet Σ

soit oui/non(problèmes de décision)

soit une séquence desymboles appartenant à Σ(p.ex. problèmesd’optimisation)


Problèmes de décision et problèmes fonctions

Pour définir un problème de décision, il suffit de décrire uneinstance générique ainsi qu’une question oui-non sur chaqueinstance.

Pour définir un problème fonction, il faut décrire une instancegénérique ainsi qu’une relation de la formeR = {〈I, sol〉|sol est une solution possible pour l’instance I}.(On cherche un algorithme qui réalise une fonction (partielle) fqui retourne une solution f (I) telle que 〈I, f (I)〉 ∈ R lorsqu’unesolution existe).


Exemples de problèmes de décision

CLIQUEInstance: Un graphe G et un entier k .Question: Existe-il dans G un graphe complet de k sommets?

COLORIAGE DE GRAPHESInstance: Un graphe G et un entier k .Question: Est-ce que G possède un coloriage de k couleurs(une affectation de couleurs aux sommets telle que lessommets adjacents soient de couleurs différentes)?


Exemples de problèmes de décision

VOYAGEUR DE COMMERCE (D) (version Décision)Instance: Un ensemble de villes {v1, . . . , vn}, une distanceentière d(i , j) entre chaque paire de villes vi , vj et un entier B.Question: Existe-il une permutation π de {1, . . . ,n} telle que(

n−1∑i=1

d(π(i), π(i + 1)) + d(π(n), π(1))

)≤ B


Complexité d’un algorithme

Dans la plupart des cas, c’est le temps de calcul excessif quilimite l’utilisation de certains algorithmes =⇒ la mesure decomplexité le plus utile, c’est la complexité temporelle.

DéfinitionLa complexité temporelle d’un algorithme A est la fonctionTempsA où TempsA(x) = nombre d’instructions exécutéespendant le calcul A(x).


Complexité d’un problème

On aimerait définir la complexité temporelle d’un problème Πcomme étant la complexité temporelle de l’algorithme A le plusefficace pour résoudre Π, mais ... il est possible de démontrerqu’on peut toujours rendre un algorithme A plus efficace.=⇒ la complexité temporelle doit être asymptotique.

DéfinitionPour toute fonction f , la complexité temporelle d’un langage Lest en O(f ) s’il existe un algorithme A qui décide L et desconstantes n0, c telles que

∀x |x | > n0 =⇒ TempsA(x) ≤ cf (|x |)


Classes de complexité

DéfinitionLa classe (de complexité temporelle) TEMPS[f ] est la classede tous les langages de complexité temporelle en O(f ).

TEMPS[n] ⊆ TEMPS[n log n] ⊆ TEMPS[n2] ⊆TEMPS[2n] . . .


Complexité polynomiale

Définition

P =⋃

k≥0 TEMPS[nk ]

N.B. TEMPS[p(n)] ⊆ P pour tout polynôme p(n).La classe P est identique pour les différents modèles de calcul(machine de Turing, machine RAM, etc.) La définition de P estaussi indépendante des détails du système de codage (tels quela structure de données qu’on utilise pour stocker un graphe).

Est-ce que P = traitable ("tractable")?Ce n’est pas le cas si le degré du polynôme est trop élevé ou siles constantes sont trop grandes.


kSAT

k -SATISFIABILITÉInstance: Une formule f en k -FNC (f est en FNC et comporteau plus k littéraux par clause).Question: Est-ce que f est satisfiable?

Théorème2SAT ∈ P


Algorithme de complexité polynomiale pour 2SAT :

(* Au départ, affectations = ∅ et res = "oui" *)tant que ∃ une variable x non-affectée et res = "oui" faire

pour val = vrai..faux faireeffectuer les affectation dans affectations ∪ (x ← val);res := Propager() ;si res = "oui" alors quitter boucle pour(* On a une affectation à un sous-ensemble des

variables qui est indépendante du reste des clauses *)

Propager() : tant que ∃ une clause li ∨ lj à propagersi li = lj = faux alors renvois "non" ;si li = faux et lj non-affectée alors lj := vrai ;si lj = faux et li non-affectée alors li := vrai ;

fin-tantque ;ajouter les nouvelles affectations à affectations ;renvois "oui";


Réductions polynomiales

Une autre façon de démontrer qu’un problème Π1 appartient àP, c’est de montrer une réduction vers un problème Π2 ∈ P.

Définition(Karp 1972) Il y a une réduction polynomiale du langage L1vers le langage L2 (on écrit L1 ≤ L2) s’il existe une fonction f decomplexité polynomiale telle que x ∈ L1 ssi f (x) ∈ L2.

'

&

$

%

'

&

$

%

'

&

$

%L1 ≤ L2-• •

x f (x)

L1L2

Théorème

L1 ≤ L2 ∧ L2 ∈ P =⇒ L1 ∈ P

Démonstration: La composition de 2 polynômes est unpolynôme.


2-COLORIAGE ∈ P

Théorème2-COLORIAGE ≤ 2-SAT

Voici une réduction polynomiale:Pour chaque sommet vi du graphe, on crée une variable xi

Pour chaque arête {vi , vj} du graphe, on ajoute 2 clauses(xi ∨ xj) et (¬xi ∨ ¬xj).

Soit f (vi) = rouge si xi = vrai et f (vi) = vert si xi = faux.f est un 2-coloriage du graphe ssi l’affectation (x1, . . . , xn)satisfait toutes les clauses 2-SAT.

Cette réduction est évidement polynomiale.


La classe NP : motivation

2-SAT ∈ P, 2-COLORIAGE ∈ PAucun algorithme de complexité polynomiale est connuepour 3-SAT et 3-COLORIAGEPar contre, il existe des algorithmes de complexitépolynomiale pour vérifier si une solution est correcte.


Vérificateurs et la classe NP

DéfinitionUn algorithme A est un vérificateur pour un langage L si Adécide un langage L′ et L = {I | ∃s tel que (I, s) ∈ L′}.

(Autrement dit, A décide si s est une solution pour l’instance I).

DéfinitionNP = la classe de langages qui possèdent unvérificateur de complexité polynomiale.


Exemples de problèmes en NP :

SATISFIABILITÉ, VOYAGEUR DE COMMERCE(D),k -COLORIAGE, CLIQUE ∈ NP

Dans chaque cas, on peut vérifier en temps polynomial lacorrection d’une solution.

RemarqueLe nom NP vient de "Nondeterministic Polynomial-time" [Karp1972] i.e. complexité polynomiale sur une machinenon-déterministe (≈ une machine qui essaie toutes lespossibilités en même temps) ≡ ∃ un vérificateur de complexitépolynomiale.

La question P=NP? reste encore ouverte après 35 ans d’effort.La résolution de ce problème vous fera gagner $1 000 000(http://www.claymath.org/prize_problems).


Les classes FP et FNP

Pour les problemes fonction, il existe des classes équivalentesà P et NP : FP et FNP.

DéfinitionUn problème fonction avec relation binaire associée R(I, sol)appartient à FP s’il existe un algorithme A de complexitépolynomiale tel que ∀I, A(I) renvoit sol telle que R(I, sol) estvrai (ou “non” si une telle sol n’existe pas).

DéfinitionUn problème fonction avec relation binaire associée R(I, sol)appartient à FNP si, étant données I et sol, on peut vérifierR(I, sol) en temps polynomial.

FP 6= FNP ⇔ P 6= NP


NP-complétude

Les réductions polynomiales L1 ≤ L2 définissent un ordrepartiel entre les problèmes de décision.

DéfinitionUn langage L ∈ NP est NP-complet si L′ ≤ L pour tout L′ ∈ NP.

Les problèmes NP-complets sont tous aussi difficiles les unsque les autres, dans le sens qu’un algorithme efficace pour unlangage NP-complet L fournirait un algorithme efficace pourtout L′ ∈ NP.

#" !

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$

%P

NP

NP-complet décidable


Comment démontrer qu’un problème est NP-complet

Pour démontrer que L est NP-complet, il suffit de démontrerque L ∈ NP et L0 ≤ L pour un langage NP-complet L0.Donc, le plus difficile c’est de trouver le premier langageNP-complet L0.


Le théorème de Cook

Théorème (Cook 1972)

SATISFIABILITÉ est NP-complet

Principe de la preuve:1 pour chaque problème Π ∈ NP, il existe un programme de

vérification P qui renvoit "oui" si l’entrée S est une solutionpour une instance I et "non" sinon.

2 on peut coder l’exécution correcte de P sur (I,S) avecrésultat "oui" comme une instance AI,P de SAT avecvariables Vijk = vrai si l’adresse i contient j après kopérations. (S fait partie des variables).

3 AI,P satisfiable⇔ ∃ solution S pour I. Donc Π ≤ SAT.


Preuves de NP-complétude

Pour démontrer qu’un problème Π est NP-complet, il suffit de1 démontrer que Π ∈ NP2 démontrer que Π′ ≤ Π pour un problème NP-complet Π′.

Voir le livre de Garey & Johnson pour une liste de centaines deproblèmes NP-complets.

N.B. Si Π′ ≤ Π pour un problème NP-complet Π′, mais on nesait pas si Π ∈ NP, alors on dit que Π est NP-difficile (NP-dur).


CSP ∈ NP-complet

ThéorèmeCSP est NP-complet

Preuve: CSP ∈ NP et SAT ≤ CSP car SAT est unsous-problème de CSP.


3SAT ∈ NP-complet

Théorème3SAT est NP-complet

Preuve: Puisque 3SAT ∈ NP, il suffit de démontrer queSATISFIABILITÉ ≤ 3SAT.

Remplacer chaque clause C = x1 ∨ x2 ∨ . . . ∨ xk (aveck > 3) par

C′ = (x1∨x2∨y1)∧(¬y1∨x3∨y2)∧ . . .∧(¬yk−3∨xk−1∨xk )

C est satisfiable ssi C′ est satisfaible(car ∃y1, . . . , yk−3 C′ = vrai ⇔ au moins un des xi est vrai⇔ C est vraie)


COLORIAGE est NP-complet

ThéorèmeCOLORIAGE DE GRAPHES est NP-complet

Preuve:

1 COLORIAGE DE GRAPHES ∈ NP2 3SAT ≤ COLORIAGE DE GRAPHES

Pour une formule f = C1 ∧ . . . ∧ Ckcréer 3 sommets V ,F ,A, reliés par 3 arêtes. Sans perte degénéralité, on peut désigner les couleurs affectées auxsommets V ,F ,A par les noms vrai, faux, autrecréer un sommet pour chaque littéral x ou ¬x , et ajouter unsous-graphe qui impose col(x) ∈ {vrai,faux} etcol(x) 6= col(¬x)pour chaque clause Ci de la forme x ∨ y ∨ z ajouter unsous-graphe qui impose(col(x), col(y), col(z)) 6= (faux,faux,faux)


Les sous-graphes nécessaires à la construction :

• •

••• •

••

•

��PPPPPP

@@@@

BBBBBB��

��

��@@

AAAA

��

x

¬x

y ¬y

z

¬z

A

V F

x ,¬x ∈ {vrai,faux}x 6= ¬x

•••• •

•

•• •

•• •

��

��@

@

@@

JJJ

x V

y

V z

V

x ∨ y ∨ z


CLIQUE ∈ NP-complet

ThéorèmeCLIQUE est NP-complet

Preuve:

1 CLIQUE ∈ NP (car la liste des sommets est un certificat)2 SATISFIABILITÉ ≤ CLIQUE

Pour une formule f = C1 ∧ . . . ∧ Ckcréer un sommet pour chaque paire (x ,Cj ) où x est unlittéral de la clause Cjcréer une arête entre (x ,Ci ) et (y ,Cj ) si i 6= j et x , y sontcompatibles (x 6= ¬y ).

Cette construction se fait en temps polynomial. Le graphe ainsicréé comporte une clique de taille k ssi f est satisfiable(affecter la valeur vrai à chaque variable de la clique)


Exemple de la construction :

(x ∨ y ∨ z) ∧ (¬x ∨ ¬a) ∧ (a ∨ b ∨ ¬y ∨ ¬z)

PPPPPPPPPPPPPPP

HHHHHH

HHHHHH

HHH

((((((((

(((((((

PPPPPPPPPPPPPPP

QQQQQQQQ

@@@@@@@@

(((((((

(((((((

(

��

��

��

��

PPPPPPPP

QQQQQQQQ

��

��

��

��

��

��

��

x

y

z

a

b

¬y

¬z

¬a

¬x

(x ∨ y ∨ z)

(¬x ∨ ¬a)

(a ∨ b ∨ ¬y ∨ ¬z)

hhhhhhhhhhhhhhh

SSSSSSSSSS��

A partir de cette clique de taille k = 3, on trouve la solution x =vrai, a = faux, b = vrai (y , z prennent n’importe quelle valeurs).


coNP : les problèmes complémentaires

DéfinitioncoNP est l’ensemble des langages qui ont pourcomplémentaire (au sens des langages) un langage de NP :

coNP = {L | ¬L ∈ NP}

Autrement dit : coNP est l’ensemble des langages pourlesquels une preuve vérifiable en temps polynomial peutprouver la non-appartenance du mot au langage (les certificatssont des contre-exemples et non des solutions).

Exemples : NON-CLIQUE (déterminer s’il n’existe pas declique de taille k dans un graphe G), UNSAT (déterminer si uneformule φ en FNC est insatisfiable).


coNP-complétude

DéfinitionUn langage L0 est coNP-complet si

1 L0 ∈ coNP2 Pour chaque L ∈ coNP, L ≤ L0 (il y a une réduction

polynomiale de L vers L0).


coNP-complétude d’UNSAT

ThéorèmeUNSAT ∈ coNP-complet.

Preuve : Nous savons que UNSAT ∈ coNP.Soit L ∈ coNP. Il faut démontrer L ≤ UNSAT. Il y a une réductionpolynomiale ¬L ≤ SAT (par la NP-complétude de SAT).Puisque chaque instance de L est aussi une instance de ¬L(c’est la question qui change mais pas l’instance), pour chaqueinstance I de L, il existe une formule φI telle que

φI est satisfiable ssi I ∈ ¬L.Donc φI est insatisfiable ssi I /∈ ¬L.Donc φI ∈ UNSAT ssi I ∈ L.


Exemple d’un problème coNP-complet

TAUTOLOGIEInstance: Une formule booléenne φ en FNC.Question: Est-ce que φ = vrai pour toute affectation desvariables?

ThéorèmeTAUTOLOGIE ∈ coNP-complet.

Preuve : (1) On peut vérifier un contre exemple (uneaffectation qui ne satisfait pas la formule) en temps polynomial.(2) φ est une tautologie ssi ¬φ est insatisfiable, donc il y a uneréduction polynomiale UNSAT ≤ TAUTOLOGIE.


Une autre définition de coNP

L ∈ NP si et seulement s’il existe une relation R ∈ P tel quex ∈ L ssi ∃y , R(x , y) = vrai.

L ∈ coNP si et seulement s’il existe une relation R ∈ P tell quex ∈ L ssi ∀y , R(x , y) = vrai.

Preuve : (L ∈ coNP)⇔ (¬L ∈ NP)⇔ (∃R′ ∈ P tel que x ∈ ¬Lssi ∃y , R′(x , y) = vrai)⇔ (∃R = ¬R′ ∈ P tel que x ∈ L ssi ∀y ,R(x , y) = vrai).


Au delà de NP et coNP

DéfinitionΣi est la classe des langages L tels que ∃ une relation R ∈ Ptelle que x ∈ L ssi ∃y1∀y2 · · ·QiyiR(x , y1, y2, . . . , yi), oùQj = ∃ si j est impair et Qj = ∀ si j est pair.

DéfinitionΠi est la classe des langages L tels que ∃ une relation R ∈ Ptelle que x ∈ L ssi ∀y1∃y2 · · ·QiyiR(x , y1, y2, . . . , yi), oùQj = ∀ si j est impair et Qj = ∃ si j est pair.

Interprétation en termes de jeu à 2 joueurs : un problème de Σipeut être vu comme demander s’il existe une stratégiegagnante en i coups pour le 1er joueur. De façon similaire, unproblème de Πi peut être vu comme demander s’il existe unestratégie gagnante en i coups pour le 2ème joueur.


La hiérarchie polynomiale

Définition (Polynomial Hierarchy)

PH =⋃

i

Σi

A partir de leurs définitions, nous avons directement :Σ1 = NPΠ1 = coNPΣi ⊆ Σi+1

Πi ⊆ Πi+1

Σi ⊆ Πi+1

Πi ⊆ Σi+1


Complexité spatiale

En informatique, l’espace et le temps sont différents : on nepeut pas réutiliser le temps!

DéfinitionPSPACE = la classe de problèmes de décision que l’on peutrésoudre en utilisant un espace mémoire de taille bornée parune fonction polynomiale de la taille de l’instance.

Exemples : SAT, planification-STRIPS ∈ PSPACE.

P ⊆ PSPACEP 6= PSPACE si P 6= NP.


PSPACE-complétude

DéfinitionUn langage L est PSPACE-complet si

1 L ∈ PSPACE,2 pour tout langage L′ ∈ PSPACE, L′ ≤ L.

QBFInstance: Une formule booléenne φ en FNC et une séquencede quantifications Q1x1, . . . ,Qnxn sur les variables de φ, oùQi ∈ {∀,∃} (par exemple, ∀x1∃x2∀x3∃x4...φ).Question: Est-ce que Q1x1, . . . ,Qnxn φ = vrai ?

ThéorèmeQBF est PSPACE-complet.


PSPACE et la hiérarchie polynomiale

ThéorèmePH ⊆ PSPACE.

RemarqueLe problème PSPACE-complet QBF a une forme très similaireaux langages dans PH, sauf que le nombre de quantificateursn n’est pas borné par une constante car c’est le nombre devariables de l’instance.


EXPTIME

Rappel : La classe TEMPS[f ] est la classe de tous leslangages de complexité temporelle en O(f ).

Définition

EXPTIME =⋃k≥0

TEMPS[2nk]

c’est-à-dire, l’ensemble de tous les problèmes qui peuvent êtrerésolus en temps exponentiel.

Exemple : Etant donné un programe P, une entrée E et unentier N, déterminer si P(E) s’arrête en au plus N étapes.Preuve : Executer N étapes de P(E) se fait en temps O(N), etil faut O(log N) bits pour coder N.


Complexté temporelle et complexité spatiale

ThéorèmeNP ⊆ PSPACE ⊆ EXPTIME.

Preuve :1 Soit Π ∈ NP. Il existe un vérificateur A de complexité

polynomiale pour Π. Les solutions potentielles sontforcément de taille polynomiale (car A doit les lire en tempspolynomial). Un algorithme qui appelle A sur chaquesolution possible utilise un espace mémoire polynomial.Donc Π ∈ PSPACE.

2 Un algorithme qui utilise un espace mémoire de taillepolynomiale p(n) ne peut utiliser un temps de calculsupérieur à 2p(n) (= le nombre total d’états possible de lamémoire) sans boucler.


Questions ouvertes :

P = NP ∩ coNP ? (pourrait être vrai)P = NP ? (très peu probable que ce soit vrai)NP = PSPACE ? (très peu probable que ce soit vrai)PH = PSPACE ? (peu probable que ce soit vrai)PSPACE = EXPTIME ? (peu probable que ce soit vrai)

Ce que l’on sait : P 6= EXPTIME.


Problèmes d’optimisation

DéfinitionUn problème d’optimisation Π = (E ,Sol ,m,obj) sera défini par

Un ensemble E d’instances.Une fonction Sol telle que pour tout I ∈ E, Sol(I)représente l’ensemble des solutions réalisables (“feasiblesolutions”) pour I.Une fonction m à valeur entière définie sur tous lescouples I ∈ E et x ∈ Sol(I). Cette mesure m représente lafonction objectif d’une solution x pour l’instance I.Un objectif obj ∈ {min,max} précisant si Π est unproblème de minimisation ou de maximisation.


La classe NPO ≈ problèmes d’optimisation dont leproblème de décision appartient à NP

DéfinitionDéfinition Un problème Π = (E ,Sol ,m,obj) d’optimisationappartient à la classe NPO si :

Les instances I ∈ E peuvent être reconnues en tempspolynomial.Il existe un polynôme p tel que pour tout I ∈ E etx ∈ Sol(I), |x | ≤ p(|I|). De plus il est décidable en tempspolynomial si x ∈ Sol(I).La mesure m est une fonction calculable en tempspolynomial en |I|.


Exemple de problème dans NPO

SAC-A-DOS (KNAPSACK)Instance: Un sac-à-dos de capacité C et un ensembled’objets O = {1,2, . . . ,n}, où chaque objet a un poids wi et unevaleur vi .Problème : Trouver un sous ensemble M ⊆ O d’objets devaleur totale maximale que l’on puisse transporter dans lesac-à-dos, c’est-à-dire qui maximise la valeur

∑i∈M vi tel que∑

i∈M wi ≤ C.

Pour une instance I :Sol(I) = l’ensemble de solutions réalisables = lesensembles M tels que

∑i∈M wi ≤ C

m(I,M) = la measure de la solution M =∑

i∈M vi

l’objectif obj = max


Algorithmes d’approximation

DéfinitionSoit r(n) ≥ 1 une suite de valeurs réeles. Un algorithme A estune r(n)-approximation pour le problème Π = (E ,Sol ,m,obj) si

Pour chaque instance I ∈ E, A retourne une solutionxA ∈ Sol(I).De plus xA vérifie

m∗(I)/r(|I|) ≤ m(I, xA) ≤ m∗(I)r(|I|)

où m∗(I) est la valeur de la solution optimale.

On dit que r(n) est la garantie de performance de l’algorithmeA.


APX

DéfinitionLa classe APX est constituée des problèmes de NPOadmettant une O(1)-approximation A de complexitépolynomiale en |I|.

Exemple : MAX-SAT ∈ APXPreuve : m(I, x) = nombre de clauses satisfaites par lasolution x .Soit A l’algorithme qui retourne xA = la meilleure des deuxsolutions (vrai , . . . , vrai) et (faux , . . . , faux). xA satisfait aumoins la moitié des clauses et donc m∗(I)/2 ≤ m(I, xA).Donc A est une 2-approximation.


Exemple d’un problème difficile à approximer

VOYAGEUR DE COMMERCE (version optimisation)Instance: Un ensemble de villes {1, . . . ,n} et une distanceentière d(i , j) entre chaque paire de villes i , j .Problème: Trouver une permutation π de {1, . . . ,n} quiminimise

∑n−1i=1 d(π(i), π(i + 1)) + d(π(n), π(1)).

Etant donné un graphe G = 〈S,A〉, on peut construire uneinstance du problème de voyageur de commerce qui déterminel’existence d’un chemin hamiltonien :

d(i , j) = 1 si {i , j} ∈ A et d(i , j) = 1 + n2 sinon.∃ chemin hamiltonian dans G ⇔ ∃ tournée de longueur nUne O(1)-approximation résoudrait le problème de cheminhamiltonien en temps polynomial.Donc, si P 6= NP, alors VOYAGEUR DE COMMERCE /∈ APX.


PTAS

DéfinitionUn schéma d’approximation polynomial (PTAS = “PolynomialTime Approximation Scheme”) est une famille (Aε)ε>0d’algorithmes polynomiaux en |I| telle que pour tout ε > 0,Aε est une (1 + ε)-approximation.

DéfinitionLa classe PTAS est constituée des problèmes de NPOadmettant un PTAS.


FPTAS

DéfinitionUn schéma d’approximation pleinement polynomial (FPTAS =“Fully Polynomial Time Approximation Scheme”) est unalgorithme A(ε) polynomial en |I| et en 1/ε tel que pour toutε > 0 fixé, A(ε) est une (1 + ε)-approximation.

DéfinitionLa classe FPTAS est constituée des problèmes de NPOadmettant un FPTAS.


Exemple : SAC-A-DOS ∈ FPTAS

Il existe un algorithme (pseudo-polynomial) A deprogrammation dynamique pour SAC-A-DOS de complexitéO(n2V ) où V est la valeur maximale des objets.

Soit I une instance de SAC-A-DOS, dans laquelle les objets1, . . . ,n ont les valeurs v1, . . . , vn.Pour un ε > 0 donné, on construit une version reduite Iε de Idans laquelle on remplace les valeurs vi par bnvi/εVc.L’algorithme de programmation dynamique A résoud Iε entemps O(n2(n/ε)) (donc polynomial en n et en 1/ε).

On peut démontrer que la solution optimale xε pour Iε satisfait

m(I, xε) ≥ (1− ε)m∗(I)

Donc, A(Iε) est une (1 + ε)-approximation pour SAC-A-DOS.


Exemple : MIN-COLORIAGE DE GRAPHESPLANAIRES /∈ PTAS

MIN-COLORIAGE DE GRAPHES PLANAIRESInstance: Un graphe planaire GProblème : Trouver un coloriage de G qui minimise m(G) = lenombre de couleurs.

1 Tout graphe planaire a un 4-coloriage.2 Déterminer si un graphe planaire possède un 3-coloriage

est un problème NP-complet.3 Donc, une (1 + ε)-approximation pour ε < 1/3 résoudrait

ce problème de décision en temps polynomial.4 Donc, si P 6= NP, alors il ne peut exister de PTAS pour

MIN-COLORIAGE DE GRAPHES PLANAIRES.


Inclusions des classes de complexité (de problèmesd’optimisation)

��

��

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'

&

$

%

'

&

$

%FPTAS

PTAS

APX

NPO

FPTAS 6= PTAS ⇔ PTAS 6= APX ⇔ APX 6= NPO⇔ P 6= NP


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