This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Gäi x, y lµ sè vßng quay cña kim phót vµ kim giê khi 10giê ®Õn lóc 2 kim ®èi nhau trªn
mét ®−êng th¼ng, ta cã:
x – y = 3
1 (øng víi tõ sè 12 ®Õn sè 4 trªn ®«ng hå)
vµ x : y = 12 (Do kim phót quay nhanh gÊp 12 lÇn kim giê)
Do ®ã: 33
111:
3
1
11
yx
1
y
12
x
1
12
y
x==
−===>=
� x = 11
4x)vòng(
33
12==> (giê)
VËy thêi gian Ýt nhÊt ®Ó 2 kim ®ång hå tõ khi 10 giê ®Õn lóc n»m ®èi diÖn nhau trªn
mét ®−êng th¼ng lµ 11
4 giê
Trường em http://truongem.com
3
Bµi 5. Cho tam gi¸c vu«ng ABC ( A = 1v), ®−êng cao AH, trung tuyÕn AM. Trªn tia ®èi
tia MA lÊy ®iÓm D sao cho DM = MA. Trªn tia ®èi tia CD lÊy ®iÓm I sao cho CI = CA,
qua I vÏ ®−êng th¼ng song song víi AC c¾t ®−êng th¼ng AH t¹i E. Chøng minh: AE =
BC (4 ®iÓm mçi)
§−êng th¼ng AB c¾t EI t¹i F
∆ABM = ∆DCM v×:
AM = DM (gt), MB = MC (gt),
�AMB = DMC (®®) => BAM = CDM
=>FB // ID => ID⊥ AC
Vµ FAI = CIA (so le trong) (1)
IE // AC (gt) => FIA = CAI (so le trong) (2)
Tõ (1) vµ (2) => ∆CAI = ∆FIA (AI chung)
=> IC = AC = AF (3)
vµ E FA = 1v (4)
MÆt kh¸c EAF = BAH (®®),
BAH = ACB ( cïng phô ABC)
=> EAF = ACB (5)
Tõ (3), (4) vµ (5) => ∆AFE = ∆CAB
=>AE = BC
D
B
A
H C
I
F
E
M
Trường em http://truongem.com
4
§Ò sè 2:
®Ò thi häc sinh giái huyÖn
M«n To¸n Líp 7
(Thêi gian lµm bµi 120 phót)
Bài 1:(4 điểm) a) Thực hiện phép tính:
( ) ( )
12 5 6 2 10 3 5 2
6 3 9 32 4 5
2 .3 4 .9 5 .7 25 .49A
125.7 5 .142 .3 8 .3
− −= −
++
b) Chứng minh rằng : Với mọi số nguyên dương n thì :
2 23 2 3 2n n n n+ +− + − chia hết cho 10
Bài 2:(4 điểm)
Tìm x biết:
a. ( )1 4 2
3,23 5 5
x − + = − +
b. ( ) ( )1 11
7 7 0x x
x x+ +
− − − =
Bài 3: (4 điểm)
a) Số A được chia thành 3 số tỉ lệ theo 2 3 1
: :5 4 6
. Biết rằng tổng các bình phương của ba số
đó bằng 24309. Tìm số A.
b) Cho a c
c b= . Chứng minh rằng:
2 2
2 2
a c a
b c b
+=
+
Bài 4: (4 điểm) Cho tam giác ABC, M là trung điểm của BC. Trên tia đối của của tia MA lấy điểm E sao cho ME = MA. Chứng minh rằng:
a) AC = EB và AC // BE b) Gọi I là một điểm trên AC ; K là một điểm trên EB sao cho AI = EK . Chứng minh ba điểm I , M , K thẳng hàng
c) Từ E kẻ EH BC⊥ ( )H BC∈ . Biết �HBE = 50o ; �MEB =25o .
Tính �HEM và �BME Bài 5: (4 điểm) Cho tam giác ABC cân tại A có � 0A 20= , vẽ tam giác đều DBC (D nằm trong tam giác ABC). Tia phân giác của góc ABD cắt AC tại M. Chứng minh:
a) Tia AD là phân giác của góc BAC b) AM = BC
Trường em http://truongem.com
5
……………………………… Hết ………………………………
§¸p ¸n ®Ò 2 to¸n 7
Bài 1:(4 điểm):
a) (2 điểm)
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( )
1012 5 6 2 10 3 5 2 12 5 12 4 10 3 4
6 3 12 6 12 5 9 3 9 3 39 32 4 5
12 4 10 3
12 5 9 3 3
10 312 4
12 5 9 3
2 .3 4 .9 5 .7 25 .49 2 .3 2 .3 5 .7 5 .7
2 .3 2 .3 5 .7 5 .2 .7125.7 5 .142 .3 8 .3
2 .3 . 3 1 5 .7 . 1 7
2 .3 . 3 1 5 .7 . 1 2
5 .7 . 62 .3 .2
2 .3 .4 5 .7 .91 10 7
6 3 2
A− − − −
= − = −+ +++
− −= −
+ +
−= −
−= − =
b) (2 điểm) 2 23 2 3 2n n n n+ +
− + − = 2 23 3 2 2n n n n+ ++ − −
= 2 23 (3 1) 2 (2 1)n n+ − +
= 13 10 2 5 3 10 2 10n n n n−⋅ − ⋅ = ⋅ − ⋅
= 10( 3n -2n) Vậy 2 23 2 3 2n n n n+ +
− + − M 10 với mọi n là số nguyên dương. Bài 2:(4 điểm)
a) (2 điểm)
Trường em http://truongem.com
6
( )
1 231 23
1 723 3
1 523 3
1 4 2 1 4 16 23,2
3 5 5 3 5 5 5
1 4 14
3 5 5
12
3
x
x
x
x
x x
x
x− =
− =−
= + =
−=− + =
−− + = − + ⇔ − + = +
⇔ − + =
⇔ − = ⇔
⇔
b) (2 điểm)
( ) ( )
( ) ( )
1 11
1 10
7 7 0
7 1 7 0
x x
x
x x
x x
+ +
+
− − − =
⇔ − − − =
( )( )
( )1 10
1
10
7 0
1 ( 7) 0
7 0 7( 7) 1 8
7 1 7 0
10
x
xx
x
x xx x
x x+
+− =
− − =
− = ⇒ =
− = ⇒ =
⇔ − − − =
⇔
⇔
Bài 3: (4 điểm)
a) (2,5 điểm) Gọi a, b, c là ba số được chia ra từ số A.
Theo đề bài ta có: a : b : c = 2 3 1
: :5 4 6
(1)
và a2 +b2 +c2 = 24309 (2)
Từ (1) ⇒2 3 15 4 6
a b c= = = k ⇒
2 3; ;
5 4 6
ka k b k c= = =
Trường em http://truongem.com
7
Do đó (2) ⇔2 4 9 1( ) 2430925 16 36
k + + =
⇒k = 180 và k = 180− + Với k =180, ta được: a = 72; b = 135; c = 30. Khi đó ta có số A = a + b + c = 237. + Với k = 180− , ta được: a = 72− ; b = 135− ; c = 30− Khi đó ta có só A = 72− +( 135− ) + ( 30− ) = 237− .
b) (1,5 điểm)
Từ a c
c b= suy ra 2 .c a b=
khi đó 2 2 2
2 2 2
.
.
a c a a b
b c b a b
+ +=
+ +
= ( )
( )
a a b a
b a b b
+=
+
Bài 4: (4 điểm)
a/ (1điểm) Xét AMC∆ và EMB∆ có : AM = EM (gt ) �AMC = �EMB (đối đỉnh ) BM = MC (gt ) Nên : AMC∆ = EMB∆ (c.g.c ) 0,5 điểm ⇒ AC = EB Vì AMC∆ = EMB∆ �MAC⇒ = �MEB (2 góc có vị trí so le trong được tạo bởi đường thẳng AC và EB cắt đường thẳng AE ) Suy ra AC // BE . 0,5 điểm b/ (1 điểm ) Xét AMI∆ và EMK∆ có : AM = EM (gt ) �MAI = �MEK ( vì AMC EMB∆ = ∆ ) AI = EK (gt ) Nên AMI EMK∆ = ∆ ( c.g.c ) Suy ra �AMI = �EMK Mà �AMI + �IME = 180o ( tính chất hai góc kề bù ) ⇒ �EMK + �IME = 180o
�BME là góc ngoài tại đỉnh M của HEM∆ Nên �BME = �HEM + �MHE = 15o + 90o = 105o
( định lý góc ngoài của tam giác ) Bài 5: (4 điểm) a) Chứng minh ∆ ADB = ∆ ADC (c.c.c) suy ra � �DAB DAC= Do đó � 0 020 : 2 10DAB = = b) ∆ ABC cân tại A, mà � 020A = (gt) nên � 0 0 0(180 20 ) : 2 80ABC = − =
∆ ABC đều nên � 060DBC = Tia BD nằm giữa hai tia BA và BC suy ra � 0 0 080 60 20ABD = − = . Tia BM là phân giác của góc ABD nên � 010ABM = Xét tam giác ABM và BAD có: AB cạnh chung ; � � � �0 020 ; 10BAM ABD ABM DAB= = = = Vậy: ∆ ABM = ∆ BAD (g.c.g)
5 Tõ : x2-2y2=1suy ra x2-1=2y2 NÕu x chia hÕt cho 3 v× x nguyªn tè nªn x=3 lóc ®ã y= 2 nguyªn tè tho¶ m·n NÕu x kh«ng chia hÕt cho 3 th× x2-1 chia hÕt cho 3 do ®ã 2y2
chia hÕt cho 3 Mµ(2;3)=1 nªn y chia hÕt cho 3 khi ®ã x2=19 kh«ng tho¶ m·n VËy cÆp sè (x,y) duy nhÊt t×m ®−îc tho¶ m·n ®iÒu kiÖn ®Çu bµi lµ (2;3)
Một con thỏ chạy trên một con đường mà hai phần ba con đường băng qua đồng cỏ và đoạn đường còn lại đi qua đầm lầy. Thời gian con thỏ chạy trên đồng cỏ bằng nửa thời gian chạy qua đầm lầy.
Hỏi vận tốc của con thỏ trên đoạn đường nào lớn hơn ? Tính tỉ số vận tốc của con thỏ trên hai đoạn đường ? Bài 4 (2đ):
Cho ∆ABC nhọn. Vẽ về phía ngoài ∆ABC các ∆ đều ABD và ACE. Gọi M là giao điểm của BE và CD. Chứng minh rằng:
1, ∆ABE = ∆ADC 2, � 0120BMC =
Bài 5 (3đ): Cho ba điểm B, H, C thẳng hàng, BC = 13 cm, BH = 4 cm, HC = 9 cm. Từ H vẽ tia
Hx vuông góc với đường thẳng BC. Lấy A thuộc tia Hx sao cho HA = 6 cm. 1, ∆ABC là ∆ gì ? Chứng minh điều đó. 2, Trên tia HC lấy điểm D sao cho HD = HA. Từ D vẽ đường thẳng song song với
1, Tính M(x) = A(x) – 2B(x) + C(x) 2, Tính giá trị của M(x) khi x = 0,25− 3, Có giá trị nào của x để M(x) = 0 không ?
Bài 2 (4đ): 1, Tìm ba số a, b, c biết:
3a = 2b; 5b = 7c và 3a + 5b – 7c = 60 2, Tìm x biết:
2 3 2x x x− − = −
Bài 3 (4đ): Tìm giá trị nguyên của m và n để biểu thức
1, P = 2
6 m− có giá trị lớn nhất
2, Q = 8
3
n
n
−
− có giá trị nguyên nhỏ nhất
Bài 4 (5đ): Cho tam giác ABC có AB < AC; AB = c, AC = b. Qua M là trung điểm của BC kẻ
đường vuông góc với đường phân giác trong của góc A, cắt các đường thẳng AB, AC lần lượt tại D, E.
1, Chứng minh BD = CE. 2, Tính AD và BD theo b, c
Bài 5 (3đ): Cho ∆ABC cân tại A, � 0100BAC = . D là điểm thuộc miền trong của ∆ABC sao cho
� �0 010 , 20DBC DCB= = . Tính góc ADB ?
§Ò sè 7: ®Ò thi häc sinh giái
(Thêi gian lµm bµi 120 phót) Bài 1 (3đ): Tính:
Trường em http://truongem.com
18
1, 3
1 1 16. 3. 1 1
3 3 3
− − − − + − −
2, (63 + 3. 62 + 33) : 13
3, 9 1 1 1 1 1 1 1 1 1
10 90 72 56 42 30 20 12 6 2− − − − − − − − −
Bài 2 (3đ):
1, Cho a b c
b c a= = và a + b + c ≠ 0; a = 2005.
Tính b, c.
2, Chứng minh rằng từ hệ thức a b c d
a b c d
+ +=
− − ta có hệ thức:
a c
b d=
Bài 3 (4đ): Độ dài ba cạnh của tam giác tỉ lệ với 2; 3; 4. Ba chiều cao tương ứng với ba cạnh
đó tỉ lệ với ba số nào ? Bài 4 (3đ):
Vẽ đồ thị hàm số:
y = 2 ; 0
; 0
x x
x x
≥
<
Bài 5 (3đ): Chứng tỏ rằng: A = 75. (42004 + 42003 + . . . . . + 42 + 4 + 1) + 25 là số chia hết cho 100
Bài 6 (4đ): Cho tam giác ABC có góc A = 600. Tia phân giác của góc B cắt AC tại D, tia phân
giác của góc C cắt AB tại E. Các tia phân giác đó cắt nhau tại I. Chứng minh: ID = IE
§Ò sè 8: ®Ò thi häc sinh giái
(Thêi gian lµm bµi 120 phót) Bài 1 (5đ):
1, Tìm n ∈ N biết (33 : 9)3n = 729 2, Tính :
Trường em http://truongem.com
19
A = 2
2
2
9
4
− +
7
6
5
4
3
27
3
5
2
3
1
)4(,0−−
−−
+
Bài 2 (3đ): Cho a,b,c ∈ R và a,b,c ≠ 0 thoả mãn b2 = ac. Chứng minh rằng:
c
a = 2
2
)2007(
)2007(
cb
ba
+
+
Bài 3 (4đ): Ba đội công nhân làm 3 công việc có khối lượng như nhau. Thời gian hoàn thành công việc của đội І, ІІ, ІІІ lần lượt là 3, 5, 6 ngày. Biêt đội ІІ nhiều hơn đội ІІІ là 2 người và năng suất của mỗi công nhân là bằng nhau. Hỏi mỗi đội có bao nhiêu công nhân ? Câu 4 (6đ): Cho ∆ABC nhọn. Vẽ về phía ngoài ∆ABC các ∆ đều ABD và ACE. 1, Chứng minh: BE = DC. 2, Gọi H là giao điểm của BE và CD. Tính số đo góc BHC. Bài 5 (2đ):
Cho m, n ∈ N và p là số nguyên tố thoả mãn: 1−m
p = p
nm + .
Chứng minh rằng : p2 = n + 2.
§Ò sè 9: ®Ò thi häc sinh giái
(Thêi gian lµm bµi 120 phót) Bµi 1: (2 ®iÓm)
a, Cho 64,31)25,1.5
47.25,1).(8.07.8,0( 2
+−+=A
25,11:9
02,0).19,881,11( +=B
Trong hai sè A vµ B sè nµo lín h¬n vµ lín h¬n bao nhiªu lÇn ? b) Sè 4101998
Bµi 2: (3 ®iÓm) a) Chøng minh r»ng: 3338 4136 +=A chia hÕt cho 77. b) T×m c¸c sè nguyªn x ®Ó 21 −+−= xxB ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt.
c) Chøng minh r»ng: P(x) dcxbxax +++=23 cã gi¸ trÞ nguyªn víi mäi x nguyªn khi
vµ chØ khi 6a, 2b, a + b + c vµ d lµ sè nguyªn. Bµi 3: (2 ®iÓm)
a) Cho tØ lÖ thøc d
c
b
a= . Chøng minh r»ng:
22
22
dc
ba
cd
ab
−
−= vµ
22
222
dc
ba
dc
ba
+
+=
+
+
Trường em http://truongem.com
24
b) T×m tÊt c¶ c¸c sè nguyªn d−¬ng n sao cho: 12 −n chia hÕt cho 7.
Bµi 4: (2 ®iÓm) Cho c¹nh h×nh vu«ng ABCD cã ®é dµi lµ 1. Trªn c¸c c¹nh AB, AD lÊy c¸c ®iÓm P, Q sao cho chu vi ∆APQ b»ng 2. Chøng minh r»ng gãc PCQ b»ng 450. Bµi 5: (1 ®iÓm)
Chøng minh r»ng: 17101723 MM baba +⇔+ (a, b ∈ Z )
§Ò sè 14:
®Ò thi häc sinh giái (Thêi gian lµm bµi 120 phót)
Bµi 1: (2 ®iÓm)
a) T×m sè nguyªn d−¬ng a lín nhÊt sao cho 2004! chia hÕt cho 7a.
b) TÝnh
2004
1...
3
2002
2
2003
1
20042005
1...
4
1
3
1
2
1
++++
++++
=P
Bµi 2: (2 ®iÓm)
Cho zyx
t
yxt
z
xtz
y
tzy
x
++=
++=
++=
++
chøng minh r»ng biÓu thøc sau cã gi¸ trÞ nguyªn.
zy
xt
yx
tz
xt
zy
tz
yxP
+
++
+
++
+
++
+
+=
Bµi 3: (2 ®iÓm) Hai xe m¸y khëi hµnh cïng mét lóc tõ A vµ B, c¸ch nhau 11 km ®Ó ®i ®Õn C. VËn tèc cña ng−êi ®i tõ A lµ 20 km/h. VËn tèc cña ng−êi ®i tõ B lµ 24 km/h.
TÝnh qu·ng ®−êng mçi ng−êi ®· ®i. BiÕt hä ®Õn C cïng mét lóc vµ A, B, C th¼ng hµng. Bµi 4: (3 ®iÓm) Cho tam gi¸c nhän ABC. KÎ AH ⊥ BC (H ∈ BC). VÏ AE ⊥ AB vµ AE = AB (E vµ C kh¸c phÝa ®èi víi AC). KÎ EM vµ FN cïng vu«ng gãc víi ®−êng th¼ng AH (M, N ∈ AH). EF c¾t AH ë O.
Chøng minh r»ng O lµ trung ®iÓm cña EF. Bµi 5: (1 ®iÓm)
b) Mét « t« ph¶i ®i tõ A ®Õn B trong thêi gian dù ®Þnh. Sau khi ®i ®−îc nöa qu·ng ®−êng « t« t¨ng vËn tèc lªn 20 % do ®ã ®Õn B sím h¬n dù ®Þnh 15 phót.
Cho tam gi¸c ABC, trung tuyÕn AM. Trªn nöa mÆt ph¼ng chøa ®Ønh C bê lµ ®−êng th¼ng AB dùng ®o¹n AE vu«ng gãc víi AB vµ AE = AB. Trªn nöa mÆt ph¼ng chøa ®Ønh B bê lµ ®−êng th¼ng AC dùng ®o¹n AF vu«ng gãc víi AC vµ AF = AC. Chøng minh r»ng:
Bµi 1: (2 ®iÓm) a) TÝnh 20042003432 33...3333 −++−+−=A b) T×m x biÕt 431 =++− xx
Bµi 2: (2 ®iÓm)
Chøng minh r»ng:
NÕu cba
z
cba
y
cba
x
+−=
−+=
++ 4422
Th× zyx
c
zyx
b
zyx
a
+−=
−+=
++ 4422
Bµi 3: (2 ®iÓm)
Trường em http://truongem.com
34
Hai xe m¸y khëi hµnh cïng mét lóc tõ A vµ B, c¸ch nhau 11km ®Ó ®i ®Õn C (ba ®Þa ®iÓm A, B, C ë cïng trªn mét ®−êng th¼ng). VËn tèc cña ng−êi ®i tõ A lµ 20 km/h. VËn tèc cña ng−êi ®i tõ B lµ 24 km/h.
TÝnh qu·ng ®−êng mçi ng−êi ®· ®i. BiÕt hä ®Õn C cïng mét lóc. Bµi 4: (3 ®iÓm) Cho tam gi¸c ABC cã gãc A kh¸c 900, gãc B vµ C nhän, ®−êng cao AH. VÏ c¸c ®iÓm D, E sao cho AB lµ trung trùc cña HD, AC lµ trung trùc cña HE. Gäi I, K lÇn l−ît lµ giao ®iÓm cña DE víi AB vµ AC. TÝnh sè ®o c¸c gãc AIC vµ AKB ? Bµi 5: (1 ®iÓm)
Cho x = 2005. TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc: 120062006....200620062006 22002200320042005
Bài 4: (3 điểm) Một vật chuyển động trên các cạnh hình vuông. Trên hai cạnh đầu vật chuyển động với vận tốc 5m/s, trên cạnh thứ ba với vận tốc 4m/s, trên cạnh thứ tư với vận tốc 3m/s. Hỏi độ dài cạnh hình vuông biết rằng tổng thời gian vật chuyển động trên bốn cạnh là 59 giây Bài 5: (4 điểm) Cho tam giác ABC cân tại A có � 0A 20= , vẽ tam giác đều DBC (D nằm trong tam giác ABC). Tia phân giác của góc ABD cắt AC tại M. Chứng minh:
Gäi x, y lµ sè vßng quay cña kim phót vµ kim giê khi 10giê ®Õn lóc 2 kim ®èi nhau trªn
mét ®−êng th¼ng, ta cã:
x – y = 3
1 (øng víi tõ sè 12 ®Õn sè 4 trªn ®«ng hå)
vµ x : y = 12 (Do kim phót quay nhanh gÊp 12 lÇn kim giê)
Do ®ã: 33
111:
3
1
11
yx
1
y
12
x
1
12
y
x==
−===>=
=> x = 11
4x)vòng(
33
12==> (giê)
VËy thêi gian Ýt nhÊt ®Ó 2 kim ®ång hå tõ khi 10 giê ®Õn lóc n»m ®èi diÖn nhau trªn mét
®−êng th¼ng lµ 11
4 giê
Trường em http://truongem.com
44
Bµi 5. Cho tam gi¸c vu«ng ABC ( A = 1v), ®−êng cao AH, trung tuyÕn AM. Trªn tia ®èi
tia MA lÊy ®iÓm D sao cho DM = MA. Trªn tia ®èi tia CD lÊy ®iÓm I sao cho CI = CA,
qua I vÏ ®−êng th¼ng song song víi AC c¾t ®−êng th¼ng AH t¹i E. Chøng minh: AE = BC
(4 ®iÓm mçi)
§−êng th¼ng AB c¾t EI t¹i F
∆ABM = ∆DCM v×:
AM = DM (gt), MB = MC (gt),
�AMB = DMC (®®) => BAM = CDM
=>FB // ID => ID⊥ AC
Vµ FAI = CIA (so le trong) (1)
IE // AC (gt) => FIA = CAI (so le trong) (2)
Tõ (1) vµ (2) => ∆CAI = ∆FIA (AI chung)
=> IC = AC = AF (3)
vµ E FA = 1v (4)
MÆt kh¸c EAF = BAH (®®),
BAH = ACB ( cïng phô ABC)
=> EAF = ACB (5)
Tõ (3), (4) vµ (5) => ∆AFE = ∆CAB
=>AE = BC
BÀI TẬP VỀ CÁC ĐẠI LƯỢNG TỈ LỆ
1. Ba đơn vị kinh doanh góp vốn theo tỉ lệ 2 : 3 : 5. Hỏi mỗi đơn vị được chia bao nhiêu tiền nếu tổng số tiền lãi l… 350 000 000 đ v… tiền lãi được chia theo tỉ lệ thuận với số vốn đóng góp.
2. Hai nền nh… hình chữ nhật có chiều d…i bằng nhau. Nền nh… thứ nhất có chiều rộng l… 4 mét, nền nh… thứ hai có chiều rộng l… 3,5 mét. Để lát hết nền nh… thứ nhấtngười ta dùng 600 viên gạch hoa hình vuông. Hỏi phải dùng bao nhiêu viên gạch cùng loại để lát hết nền nh… thứ hai?
3. Khi tổng kết cuối năm học người ta thấy số học sinh giỏi của trường phân bố ở các khối 6,7,8,9theo tỉ lệ 1,5 : 1,1 : 1,3 : 1,2. Hỏi số học sinh giỏi của mỗi khối lớp, biết rằng khối 8 nhiều hơn khối 9 l… 3 học sinh giỏi.
D
B
A
H
I
F
E
M
Trường em http://truongem.com
45
4. Ba đội máy san đất l…m 3 khối lượng công việc như nhau. Đội thứ nhất, thứ hai, thứ ba ho…n th…nh công việc lần lượt trong 4 ng…y, 6 ng…y, 8 ng…y. Hỏi mỗi đội có mấy máy, biết rằng đội thứ nhất có nhiều hơn đội thứ hai l… 2 máy v… năng suất các máy như nhau.
5. Với thời gian để một người thợ l…nh nghề l…m được 11 sản phẩm thì người thợ học nghề chỉ l…m được 7 sản phẩm. Hỏi người thợ học việc phải dùng bao nhiêu thời gian để ho…n th…nh một khối lượng công việc m… người thợ l…nh nghề l…m trong 56 giờ?
6. Một vật chuyển động trên các cạnh của một hình vuông. Trên hai cạnh đầu vật chuyển động với vận tốc 5m/s, trên cạnh thứ ba với vận tốc 4m/s, trên cạnh thứ tư với vận tốc 3m/s. Hỏi độ d…i của cạnh hình vuông biết rằng tổng số thời gian vật chuyển động trên 4 cạnh l… 59s.
BÀI TẬP HÌNH HỌC
1. Cho 2 góc xOz v… yOz kề bù. Ot v… Ot’ lần lượt l… phân giác của hai góc xOy v…
yOz từ điểm M bất kỳ trên Ot hạ MH ⊥ Ox ( H∈Ox ). Trên tia Oz lấy điểm N sao cho ON = MH. Đường vuông góc kẻ từ N cắt tia Ot’ tại K. Tính số đo góc KM^O ?
2. Cho tam giác ABC có B^ = 300 , C^ = 200.Đường trung trực cùa AC cắt BC tại E cắt BA tại F.Chứng minh rằng : FA = FE.
3. Cho tam giác ABC tia phân giác của góc B v… góc C cắt nhau tại O. Qua O kẻ đường thẳng song song với BC cắt AB ở D v… AC ở E. Chứng minh rằng : DE = BD + EC.
4. Cho tam giác ABD có B = D2 . Kẻ AH vuông góc với BD (H∈ BD ) trên tia đối của tia BA lấy BE = BH, đường thẳng EH cắt AD tại F. Chứng minh rằng : FH = FA = FD.
5. Cho tam giác cân ABC (AB = AC) trên tia đối của tia CA lấy điểm D bất kỳ . a) Chứng minh rằng : ABD= 2CBD + CDB . b) Giả sử A = 300, ABD = 900, hãy tính góc CBD.
MỘT SỐ BÀI TOÁN KHÓ
1. Tìm x, y, biết :
a) (x – 1)2 + (y + 2)2 = 0 b) 2005+x + 1+y = 0
2. Trong một cuộc chạy đua tiếp sức 4 × 100m ( Mỗi đội tham gia gồm 4 vận động viên, mỗi VĐV chạy xong 100m sẽ truyền gậy tiếp sức cho VĐV tiếp theo. Tổng số thời gian chạy của 4 VĐV l… th…nh tích của cả đội, thời gian chạy của đội n…o c…ng ít thì th…nh tích c…ng cao ). Giả sử đội tuyển gồm : chó, mèo, g…, vịt có vận tốc tỉ lệ với 10, 8, 4, 1. Hỏi thời gian chạy của đội tuyển l… ? giây. Biết rằng vịt chạy hết 80 giây?
Một con thỏ chạy trên một con đường m… hai phần ba con đường băng qua đồng cỏ v… đoạn đường còn lại đi qua đầm lầy. Thời gian con thỏ chạy trên đồng cỏ bằng nửa thời gian chạy qua đầm lầy.
Hỏi vận tốc của con thỏ trên đoạn đường n…o lớn hơn ? Tính tỉ số vận tốc của con thỏ trên hai đoạn đường ? B>i 4 (2đ):
Cho ∆ABC nhọn. Vẽ về phía ngo…i ∆ABC các ∆ đều ABD v… ACE. Gọi M l… giao điểm của BE v… CD. Chứng minh rằng:
1, ∆ABE = ∆ADC 2, � 0120BMC =
B>i 5 (3đ):
Trường em http://truongem.com
47
Cho ba điểm B, H, C thẳng h…ng, BC = 13 cm, BH = 4 cm, HC = 9 cm. Từ H vẽ tia Hx vuông góc với đường thẳng BC. Lấy A thuộc tia Hx sao cho HA = 6 cm.
1, ∆ABC l… ∆ gì ? Chứng minh điều đó. 2, Trên tia HC lấy điểm D sao cho HD = HA. Từ D vẽ đường thẳng song song với
1, Tính M(x) = A(x) – 2B(x) + C(x) 2, Tính giá trị của M(x) khi x = 0,25− 3, Có giá trị nào của x để M(x) = 0 không ?
Bài 2 (4đ):
1, Tìm ba số a, b, c biết: 3a = 2b; 5b = 7c và 3a + 5b – 7c = 60
2, Tìm x biết: 2 3 2x x x− − = −
Bài 3 (4đ):
Tìm giá trị nguyên của m và n để biểu thức
1, P = 2
6 m− có giá trị lớn nhất
2, Q = 8
3
n
n
−
− có giá trị nguyên nhỏ nhất
Bài 4 (5đ):
Cho tam giác ABC có AB < AC; AB = c, AC = b. Qua M là trung điểm của BC kẻ đường vuông góc với đường phân giác trong của góc A, cắt các đường thẳng AB, AC lần lượt tại D, E.
Trường em http://truongem.com
48
1, Chứng minh BD = CE. 2, Tính AD và BD theo b, c
Bài 5 (3đ):
Cho ∆ABC cân tại A, � 0100BAC = . D là điểm thuộc miền trong của ∆ABC sao cho � �0 010 , 20DBC DCB= = .
Tính góc ADB ?
§Ò sè 33:
®Ò thi häc sinh giái
(Thêi gian lµm bµi 120 phót)
Bài 1 (3đ): Tính:
1, 3
1 1 16. 3. 1 1
3 3 3
− − − − + − −
2, (63 + 3. 62 + 33) : 13
3, 9 1 1 1 1 1 1 1 1 1
10 90 72 56 42 30 20 12 6 2− − − − − − − − −
Bài 2 (3đ):
1, Cho a b c
b c a= = và a + b + c ≠ 0; a = 2005.
Tính b, c.
2, Chứng minh rằng từ hệ thức a b c d
a b c d
+ +=
− − ta có hệ thức:
a c
b d=
Bài 3 (4đ):
Độ dài ba cạnh của tam giác tỉ lệ với 2; 3; 4. Ba chiều cao tương ứng với ba cạnh đó tỉ lệ với ba số nào ? Bài 4 (3đ):
Vẽ đồ thị hàm số:
y = 2 ; 0
; 0
x x
x x
≥
<
Trường em http://truongem.com
49
Bài 5 (3đ): Chứng tỏ rằng: A = 75. (42004 + 42003 + . . . . . + 42 + 4 + 1) + 25 là số chia hết cho 100
Bài 6 (4đ):
Cho tam giác ABC có góc A = 600. Tia phân giác của góc B cắt AC tại D, tia phân giác của góc C cắt AB tại E. Các tia phân giác đó cắt nhau tại I.
Chứng minh: ID = IE
Trường em http://truongem.com
50
§Ò sè 34: ®Ò thi häc sinh giái
(Thêi gian lµm bµi 120 phót)
Bài 1 (5đ):
1, Tìm n ∈ N biết (33 : 9)3n = 729 2, Tính :
A = 2
2
2
9
4
− +
7
6
5
4
3
27
3
5
2
3
1
)4(,0−−
−−
+
Bài 2 (3đ): Cho a,b,c ∈ R và a,b,c ≠ 0 thoả mãn b2 = ac. Chứng minh rằng:
c
a = 2
2
)2007(
)2007(
cb
ba
+
+
Bài 3 (4đ): Ba đội công nhân làm 3 công việc có khối lượng như nhau. Thời gian hoàn thành công việc của đội І, ІІ, ІІІ lần lượt là 3, 5, 6 ngày. Biêt đội ІІ nhiều hơn đội ІІІ là 2 người và năng suất của mỗi công nhân là bằng nhau. Hỏi mỗi đội có bao nhiêu công nhân ? Câu 4 (6đ): Cho ∆ABC nhọn. Vẽ về phía ngoài ∆ABC các ∆ đều ABD và ACE. 1, Chứng minh: BE = DC. 2, Gọi H là giao điểm của BE và CD. Tính số đo góc BHC. Bài 5 (2đ):
Cho m, n ∈ N và p là số nguyên tố thoả mãn: 1−m
p = p
nm + .
Chứng minh rằng : p2 = n + 2.
Trường em http://truongem.com
51
§Ò sè 35:
®Ò thi häc sinh giái
(Thêi gian lµm bµi 120 phót)
Bµi 1: (2 ®iÓm)
a, Cho 64,31)25,1.5
47.25,1).(8.07.8,0( 2
+−+=A
25,11:9
02,0).19,881,11( +=B
Trong hai sè A vµ B sè nµo lín h¬n vµ lín h¬n bao nhiªu lÇn ? b) Sè 4101998
a) Chøng minh r»ng: 3338 4136 +=A chia hÕt cho 77. b) T×m c¸c sè nguyªn x ®Ó 21 −+−= xxB ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt.
c) Chøng minh r»ng: P(x) dcxbxax +++=23 cã gi¸ trÞ nguyªn víi mäi x nguyªn khi
vµ chØ khi 6a, 2b, a + b + c vµ d lµ sè nguyªn. Bµi 3: (2 ®iÓm)
a) Cho tØ lÖ thøc d
c
b
a= . Chøng minh r»ng:
22
22
dc
ba
cd
ab
−
−= vµ
22
222
dc
ba
dc
ba
+
+=
+
+
b) T×m tÊt c¶ c¸c sè nguyªn d−¬ng n sao cho: 12 −n chia hÕt cho 7.
Bµi 4: (2 ®iÓm) Cho c¹nh h×nh vu«ng ABCD cã ®é dµi lµ 1. Trªn c¸c c¹nh AB, AD lÊy c¸c ®iÓm P, Q sao cho chu vi ∆APQ b»ng 2. Chøng minh r»ng gãc PCQ b»ng 450. Bµi 5: (1 ®iÓm)
Chøng minh r»ng: 17101723 MM baba +⇔+ (a, b ∈ Z )
Trường em http://truongem.com
56
§Ò sè 40: ®Ò thi häc sinh giái
(Thêi gian lµm bµi 120 phót) Bµi 1: (2 ®iÓm)
a) T×m sè nguyªn d−¬ng a lín nhÊt sao cho 2004! chia hÕt cho 7a.
b) TÝnh
2004
1...
3
2002
2
2003
1
20042005
1...
4
1
3
1
2
1
++++
++++
=P
Bµi 2: (2 ®iÓm)
Cho zyx
t
yxt
z
xtz
y
tzy
x
++=
++=
++=
++
chøng minh r»ng biÓu thøc sau cã gi¸ trÞ nguyªn.
zy
xt
yx
tz
xt
zy
tz
yxP
+
++
+
++
+
++
+
+=
Bµi 3: (2 ®iÓm) Hai xe m¸y khëi hµnh cïng mét lóc tõ A vµ B, c¸ch nhau 11 km ®Ó ®i ®Õn C. VËn tèc cña ng−êi ®i tõ A lµ 20 km/h. VËn tèc cña ng−êi ®i tõ B lµ 24 km/h.
TÝnh qu·ng ®−êng mçi ng−êi ®· ®i. BiÕt hä ®Õn C cïng mét lóc vµ A, B, C th¼ng hµng. Bµi 4: (3 ®iÓm) Cho tam gi¸c nhän ABC. KÎ AH ⊥ BC (H ∈ BC). VÏ AE ⊥ AB vµ AE = AB (E vµ C kh¸c phÝa ®èi víi AC). KÎ EM vµ FN cïng vu«ng gãc víi ®−êng th¼ng AH (M, N ∈ AH). EF c¾t AH ë O.
Chøng minh r»ng O lµ trung ®iÓm cña EF. Bµi 5: (1 ®iÓm)
b) Mét « t« ph¶i ®i tõ A ®Õn B trong thêi gian dù ®Þnh. Sau khi ®i ®−îc nöa qu·ng ®−êng « t« t¨ng vËn tèc lªn 20 % do ®ã ®Õn B sím h¬n dù ®Þnh 15 phót.
Cho tam gi¸c ABC, trung tuyÕn AM. Trªn nöa mÆt ph¼ng chøa ®Ønh C bê lµ ®−êng th¼ng AB dùng ®o¹n AE vu«ng gãc víi AB vµ AE = AB. Trªn nöa mÆt ph¼ng chøa ®Ønh B bê lµ ®−êng th¼ng AC dùng ®o¹n AF vu«ng gãc víi AC vµ AF = AC. Chøng minh r»ng:
a) TÝnh c¸c gãc cña ∆DIE nÕu gãc A = 600. b) Gäi giao ®iÓm cña BD vµ CE víi ®−êng cao AH cña ∆ABC lÇn l−ît lµ M vµ N.
Chøng minh BM > MN + NC. Bµi 5: (1 ®iÓm)
Cho z, y, z lµ c¸c sè d−¬ng.
Chøng minh r»ng: 4
3
222≤
+++
+++
++ yxz
z
xzy
y
zyx
x
Trường em http://truongem.com
65
§Ò sè 49: ®Ò thi häc sinh giái
(Thêi gian lµm bµi 120 phót) Bµi 1: (2 ®iÓm)
a) T×m x biÕt: 426 22+=−+ xxx
b) T×m tæng c¸c hÖ sè cña ®a thøc nhËn ®−îc sau khi bá dÊu ngoÆc trong biÓu thøc: A(x) = 2005220042 )43(.)43( xxxx +++− Bµi 2: (2 ®iÓm) Ba ®−êng cao cña tam gi¸c ABC cã ®é dµi b»ng 4; 12; x biÕt r»ng x lµ mét sè tù nhiªn. T×m x ? Bµi 3: (2 ®iÓm)
Cho zyx
t
yxt
z
xtz
y
tzy
x
++=
++=
++=
++.
CMR biÓu thøc sau cã gi¸ trÞ nguyªn:
zy
xt
yx
tz
xt
zy
tz
yxP
+
++
+
++
+
++
+
+=
Bµi 4: (3 ®iÓm) Cho tam gi¸c ABC vu«ng ë A cã gãc B =α . Trªn c¹nh AC lÊy ®iÓm E sao cho gãc
EBA= α3
1 . Trªn tia ®èi cña tia EB lÊy ®iÓm D sao cho ED = BC.
a) TÝnh 20042003432 33...3333 −++−+−=A b) T×m x biÕt 431 =++− xx
Bµi 2: (2 ®iÓm)
Chøng minh r»ng:
NÕu cba
z
cba
y
cba
x
+−=
−+=
++ 4422
Th× zyx
c
zyx
b
zyx
a
+−=
−+=
++ 4422
Bµi 3: (2 ®iÓm) Hai xe m¸y khëi hµnh cïng mét lóc tõ A vµ B, c¸ch nhau 11km ®Ó ®i ®Õn C (ba ®Þa ®iÓm A, B, C ë cïng trªn mét ®−êng th¼ng). VËn tèc cña ng−êi ®i tõ A lµ 20 km/h. VËn tèc cña ng−êi ®i tõ B lµ 24 km/h.
TÝnh qu·ng ®−êng mçi ng−êi ®· ®i. BiÕt hä ®Õn C cïng mét lóc. Bµi 4: (3 ®iÓm) Cho tam gi¸c ABC cã gãc A kh¸c 900, gãc B vµ C nhän, ®−êng cao AH. VÏ c¸c ®iÓm D, E sao cho AB lµ trung trùc cña HD, AC lµ trung trùc cña HE. Gäi I, K lÇn l−ît lµ giao ®iÓm cña DE víi AB vµ AC. TÝnh sè ®o c¸c gãc AIC vµ AKB ? Bµi 5: (1 ®iÓm)
Cho x = 2005. TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc: 120062006....200620062006 22002200320042005
Bài 4: (3 điểm) Một vật chuyển động trên các cạnh hình vuông. Trên hai cạnh đầu vật chuyển động với vận tốc 5m/s, trên cạnh thứ ba với vận tốc 4m/s, trên cạnh thứ tư với vận tốc 3m/s. Hỏi độ dài cạnh hình vuông biết rằng tổng thời gian vật chuyển động trên bốn cạnh là 59 giây Bài 5: (4 điểm) Cho tam giác ABC cân tại A có � 0A 20= , vẽ tam giác đều DBC (D nằm trong tam giác ABC). Tia phân giác của góc ABD cắt AC tại M. Chứng minh:
Bài 4: Cùng một đoạn đường, cận tốc và thời gian là hai đại lượng tỉ lệ nghịch 0.5đ Gọi x, y, z là thời gian chuyển động lần lượt với các vận tốc 5m/s ; 4m/s ; 3m/s Ta có: 5. 4. 3.x y z= = và 59x x y z+ + + = 1đ
hay: 5960
1 1 1 1 1 1 1 595 4 3 5 5 4 3 60
x y z x x y z+ + += = = = =
+ + +
0.5đ
Do đó: 1
60. 125
x = = ; 160. 15
4x = = ; 1
60. 203
x = = 0.5đ
Vậy cạnh hình vuông là: 5.12 = 60 (m) 0.5đ Bài 5: -Vẽ hình, ghi GT, KL đúng 0.5đ a) Chứng minh ∆ ADB = ∆ ADC (c.c.c) 1đ suy ra � �DAB DAC= Do đó � 0 020 : 2 10DAB = = b) ∆ ABC cân tại A, mà � 020A = (gt) nên � 0 0 0(180 20 ) : 2 80ABC = − =
∆ ABC đều nên � 060DBC =
200
M
A
BC
D
Trường em http://truongem.com
71
Tia BD nằm giữa hai tia BA và BC suy ra � 0 0 080 60 20ABD = − = . Tia BM là phân giác của góc ABD nên � 010ABM = Xét tam giác ABM và BAD có: AB cạnh chung ; � � � �0 020 ; 10BAM ABD ABM DAB= = = = Vậy: ∆ ABM = ∆ BAD (g.c.g) suy ra AM = BD, mà BD = BC (gt) nên AM = BC Bài 6:
2 225 y 8(x 2009)− = − Ta có 8(x-2009)2 = 25- y2
8(x-2009)2 + y2 =25 (*) 0.5đ
Vì y2 ≥ 0 nên (x-2009)2 25
8≤ , suy ra (x-2009)2 = 0 hoặc (x-2009)2 =1 0.5đ
Với (x -2009)2 =1 thay vào (*) ta có y2 = 17 (loại)
Với (x- 2009)2 = 0 thay vào (*) ta có y2 =25 suy ra y = 5 (do y ∈� ) 0.5đ
Từ đó tìm được (x=2009; y=5) 0.5đ
§Ò sè 52: ®Ò thi häc sinh giái
(Thêi gian lµm bµi 120 phót)
Bµi 1. TÝnh 1 1 1 1
...1.6 6.11 11.16 96.101
+ + + +
Bµi 2. T×m gi¸ trÞ nguyªn d−¬ng cña x vµ y, sao cho: 1 1 1
b) Chứng minh rằng : Với mọi số nguyên dương n thì :
2 23 2 3 2n n n n+ +− + − chia hết cho 10
Bài 2:(4 điểm)
Tìm x biết:
a. ( )1 4 2
3,23 5 5
x − + = − +
b. ( ) ( )1 11
7 7 0x x
x x+ +
− − − =
Bài 3: (4 điểm)
c) Số A được chia thành 3 số tỉ lệ theo 2 3 1
: :5 4 6
. Biết rằng tổng các bình phương của ba số
đó bằng 24309. Tìm số A.
d) Cho a c
c b= . Chứng minh rằng:
2 2
2 2
a c a
b c b
+=
+
Bài 4: (4 điểm) Cho tam giác ABC, M là trung điểm của BC. Trên tia đối của của tia MA lấy điểm E sao cho ME = MA. Chứng minh rằng:
a) AC = EB và AC // BE b) Gọi I là một điểm trên AC ; K là một điểm trên EB sao cho AI = EK . Chứng minh ba điểm I , M , K thẳng hàng
c) Từ E kẻ EH BC⊥ ( )H BC∈ . Biết �HBE = 50o ; �MEB =25o .
Tính �HEM và �BME Bài 5: (4 điểm) Cho tam giác ABC cân tại A có � 0A 20= , vẽ tam giác đều DBC (D nằm trong tam giác ABC). Tia phân giác của góc ABD cắt AC tại M. Chứng minh:
g) Tia AD là phân giác của góc BAC h) AM = BC
……………………………… Hết ………………………………
Trường em http://truongem.com
73
ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN 7
Bài 1:(4 điểm): Đáp án Thang điểm
a) (2 điểm)
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( )
1012 5 6 2 10 3 5 2 12 5 12 4 10 3 4
6 3 12 6 12 5 9 3 9 3 39 32 4 5
12 4 10 3
12 5 9 3 3
10 312 4
12 5 9 3
2 .3 4 .9 5 .7 25 .49 2 .3 2 .3 5 .7 5 .7
2 .3 2 .3 5 .7 5 .2 .7125.7 5 .142 .3 8 .3
2 .3 . 3 1 5 .7 . 1 7
2 .3 . 3 1 5 .7 . 1 2
5 .7 . 62 .3 .2
2 .3 .4 5 .7 .91 10 7
6 3 2
A− − − −
= − = −+ +++
− −= −
+ +
−= −
−= − =
b) (2 điểm) 3 n + 2 - Với mọi số nguyên dương n ta có: 2 23 2 3 2n n n n+ +
− + − = 2 23 3 2 2n n n n+ ++ − −
= 2 23 (3 1) 2 (2 1)n n+ − +
= 13 10 2 5 3 10 2 10n n n n−⋅ − ⋅ = ⋅ − ⋅
= 10( 3n -2n) Vậy 2 23 2 3 2n n n n+ +
− + − M 10 với mọi n là số nguyên dương.
0,5 điểm 0,5 điểm 0,5 điểm 0,5 điểm 0,5 điểm 1 điểm 0,5 điểm
Bài 2:(4 điểm) Đáp án Thang điểm
a) (2 điểm) 0,5 điểm 0,5 điểm 0,5 điểm 0,5 điểm
Trường em http://truongem.com
74
( )
1 231 23
1 723 3
1 523 3
1 4 2 1 4 16 23,2
3 5 5 3 5 5 5
1 4 14
3 5 5
12
3
x
x
x
x
x x
x
x− =
− =−
= + =
−=− + =
−− + = − + ⇔ − + = +
⇔ − + =
⇔ − = ⇔
⇔
b) (2 điểm)
( ) ( )
( ) ( )
1 11
1 10
7 7 0
7 1 7 0
x x
x
x x
x x
+ +
+
− − − =
⇔ − − − =
( )( )
( )1 10
1
10
7 0
1 ( 7) 0
7 0 7( 7) 1 8
7 1 7 0
10
x
xx
x
x xx x
x x+
+− =
− − =
− = ⇒ =
− = ⇒ =
⇔ − − − =
⇔
⇔
0,5 điểm 0,5 điểm 0,5 điểm 0,5 điểm
Bài 3: (4 điểm)
Đáp án Thang điểm a) (2,5 điểm) Gọi a, b, c là ba số được chia ra từ số A.
Theo đề bài ta có: a : b : c = 2 3 1
: :5 4 6
(1)
và a2 +b2 +c2 = 24309 (2)
Từ (1) ⇒2 3 15 4 6
a b c= = = k ⇒
2 3; ;
5 4 6
ka k b k c= = =
0,5 điểm 0,5 điểm 0,5 điểm
Trường em http://truongem.com
75
Do đó (2) ⇔2 4 9 1( ) 2430925 16 36
k + + =
⇒k = 180 và k = 180− + Với k =180, ta được: a = 72; b = 135; c = 30. Khi đó ta có số A = a + b + c = 237. + Với k = 180− , ta được: a = 72− ; b = 135− ; c = 30− Khi đó ta có só A = 72− +( 135− ) + ( 30− ) = 237− .
b) (1,5 điểm)
Từ a c
c b= suy ra 2 .c a b=
khi đó 2 2 2
2 2 2
.
.
a c a a b
b c b a b
+ +=
+ +
= ( )
( )
a a b a
b a b b
+=
+
0,5 điểm 0,5 điểm 0,5 điểm 0,5 điểm 0,5 điểm
Bài 4: (4 điểm) Đáp án Thang điểm
Vẽ hình
0,5 điểm
a/ (1điểm) Xét AMC∆ và EMB∆ có : AM = EM (gt ) �AMC = �EMB (đối đỉnh ) BM = MC (gt ) Nên : AMC∆ = EMB∆ (c.g.c ) 0,5 điểm ⇒ AC = EB Vì AMC∆ = EMB∆ �MAC⇒ = �MEB
K
H
E
MB
A
C
I
Trường em http://truongem.com
76
(2 góc có vị trí so le trong được tạo bởi đường thẳng AC và EB cắt đường thẳng AE ) Suy ra AC // BE . 0,5 điểm b/ (1 điểm ) Xét AMI∆ và EMK∆ có : AM = EM (gt ) �MAI = �MEK ( vì AMC EMB∆ = ∆ ) AI = EK (gt ) Nên AMI EMK∆ = ∆ ( c.g.c ) 0,5 điểm Suy ra �AMI = �EMK Mà �AMI + �IME = 180o ( tính chất hai góc kề bù ) ⇒ �EMK + �IME = 180o
⇒ Ba điểm I;M;K thẳng hàng 0,5 điểm c/ (1,5 điểm ) Trong tam giác vuông BHE ( �H = 90o ) có �HBE = 50o
0,5 điểm �BME là góc ngoài tại đỉnh M của HEM∆ Nên �BME = �HEM + �MHE = 15o + 90o = 105o
( định lý góc ngoài của tam giác ) 0,5 điểm Bài 5: (4 điểm)
200
M
A
BC
D
Trường em http://truongem.com
77
-Vẽ hình a) Chứng minh ∆ ADB = ∆ ADC (c.c.c) 1 điểm suy ra � �DAB DAC= 0,5 điểm Do đó � 0 020 : 2 10DAB = = 0,5 điểm b) ∆ ABC cân tại A, mà � 020A = (gt) nên � 0 0 0(180 20 ) : 2 80ABC = − =
∆ ABC đều nên � 060DBC = 0,5 điểm Tia BD nằm giữa hai tia BA và BC suy ra � 0 0 080 60 20ABD = − = . Tia BM là phân giác của góc ABD nên � 010ABM = 0,5 điểm Xét tam giác ABM và BAD có: AB cạnh chung ; � � � �0 020 ; 10BAM ABD ABM DAB= = = = Vậy: ∆ ABM = ∆ BAD (g.c.g) suy ra AM = BD, mà BD = BC (gt) nên AM = BC 0,5 điểm Lưu ý: Nếu học sinh làm theo cách khác đúng vẫn đạt điểm tối đa.