Theory of Relativity _s_ in 43 Pages

For the English version see below, after the Italian one.LA TEORIA DELLA RELATIVIT RISTRETTA (TRR) IN 43 PAGINE di Leonardo Rubino [email protected] Gennaio 1993 Rev. 00 Indice: -Indice. -Introduzione. -Capitolo 1: Concetti introduttivi fondamentali. Par. 1.1 Trasformazioni di Galilei. Par. 1.2: Trasformazioni (relativistiche) di Lorentz. Par. 1.3: La contrazione delle lunghezze, o di Lorentz. Par. 1.4: Dilatazione del tempo (Paradosso dei Gemelli). Par. 1.5: Il quadrivettore posizione. Par. 1.6: Legge Relativistica di Trasformazione delle Velocit. Par. 1.7: Il Tempo Proprio d di una particella. -Capitolo 2: La relativit delle energie. Par. 2.1: Il quadrivettore momento-energia (o momento lineare). Par. 2.2: Il quadrivettore velocit. Par. 2.3: La quadriforza. Par. 2.4: E0=m0c2. Par. 2.5: Energia cinetica relativistica. -Capitolo 3: Fenomeni relativistici. Par. 3.1: Tempo e gravit: la gravit rallenta il tempo! Par. 3.2: Volume dei solidi in moto. Par. 3.3: Lequazione delle onde, o di DAlembert, vale in qualsiasi sistema di riferimento inerziale. Par. 3.4: Lesperimento di Fizeau. Par. 3.5: Effetto Doppler Relativistico (longitudinale). Par. 3.6: Il Paradosso dei Gemelli spiegato con lEffetto Doppler Relativistico! Par. 3.7: LEsperimento di Michelson e Morley. -Capitolo 4: LElettrodinamica relativistica. Par. 4.1: La forza magnetica niente altro che una (relativistica) forza elettrica di Coulomb(!) Par. 4.2: Il quadrivettore densit di corrente. Par. 4.3: Il tensore del campo elettromagnetico. -APPENDICI: App. 1: Trasformazioni di Lorentz consecutive. App. 2: Effetto Doppler (relativistico) Trasversale. App. 3: Le trasformazioni della quadrivelocit. App. 4: Le trasformazioni della quadriforza. App. 5: Il quadrivettore accelerazione e le trasformazioni delle accelerazioni. App. 6: Come io vedo lUniverso (Unificazione Gravit Elettromagnetismo). -Bibliografia. Introduzione: Il tempo non niente altro che il nome che viene dato ad una relazione matematica di rapporto tra due spazi differenti; quando dico che per andare da casa al lavoro ho impiegato il tempo di mezzora, dico semplicemente che il percorrimento dello spazio che separa casa mia dallazienda in cui lavoro corrisposto allo spazio di mezza circonferenza orologio percorsa dalla punta della lancetta dei minuti. A mio avviso, nulla di misterioso o di spazialmente quadridimensionale dunque, come invece proposto nella TRR (Teoria della Relativit Ristretta). A livello matematico, invece, il tempo pu essere s considerato una quarta dimensione, cos come, se introduco la temperatura, ho poi una quinta dimensione, e cos via. La velocit della luce (c=299.792,458 km/s) un limite superiore di velocit non per mistero inspiegabile o per principio, come sostenuto nella TRR ed anche dallo stesso Einstein, ma bens perch (sempre a mio avviso) un corpo non pu muoversi a casaccio ed a proprio piacimento, nellUniverso in cui in caduta libera a velocit c, in quanto lo stesso Pag.1 Pag.1 Pag.3 Pag.3 Pag.3 Pag.5 Pag.6 Pag.6 Pag.7 Pag.8 Pag.9 Pag.9 Pag.9 Pag.9 Pag.10 Pag.11 Pag.11 Pag.11 Pag.12 Pag.12 Pag.13 Pag.14 Pag.14 Pag.15 Pag.16 Pag.16 Pag.19 Pag.20 Pag.22 Pag.22 Pag.22 Pag.24 Pag.24 Pag.25 Pag.26 Pag.43 Maggio 2011 Rev. 01

vincolato a tutto lUniverso circostante, come se questultimo fosse una tela di ragno che, quando la preda cerca di muoversi, condiziona il movimento della stessa, e tanto pi quanto i movimenti vogliono essere ampi (v~c), cio, per restare allesempio della tela di ragno, se la mosca intrappolata vuole solo muovere unala, pu farlo quasi incondizionatamente (v>> cos =1), si ha:

' . Dunque, se nel sistema k si vede arrivare la radiazione sotto un angolo

>>>

= '

(1 + ) (1 ) (1 ) (1 + ), proprio come nel Par. 3.5.

(A.2.7)

>>>

T = T'

Curiosit: sviluppando in serie di (> aUniv RTerra Sole 1,14

.

E ovvio che queste considerazioni sul legame tra aUniv e la velocit di rotazione delle galassie sono ampiamente aperte ad ulteriori speculazioni e la formula tramite la quale si pu tener conto delleffetto mareale di

aUniv

nelle galassie pu

assumere una forma ben pi complessa di quelle qui sopra, ma non sembra proprio un caso che un po tutte le galassie hanno dimensioni che stanno in un range abbastanza stretto (3 4 RMilky Way o non molto di pi) e, in ogni caso, non con raggi di decine o di centinaia di RMilky Way , ma, al massimo, di qualche unit. E infatti la componente dovuta allaccelerazione cosmica che, annullando, in certe fasi, laccelerazione centripeta nella galassia, andrebbe a sfrangiare la galassia stessa, ed eguaglia, ad esempio, nella M31, la componente gravitazionale propria ad un valore di raggio pari a:

GM M 31 = aUniv RGal Max RGal Max

, da cui:

RGal Max =

GM M 31 2,5RM 31 , aUniv

ed infatti i raggi massimi osservati nelle

galassie sono allincirca di tale taglia. --------------------------------------------App. 6-Capitolo 2: Lunificazione della forza elettromagnetica con quella gravitazionale (Rubino). App. 6-Par. 2.1: Leffetto di MUniv sulle particelle. a) Ricordo che dalla definizione di segue che:

re

della (A1.13):

1 e2 = mec 2 4 0 re

e dalla (A1.11):

c2 =

GM Univ RUniv

(~Eddington),

1 e 2 GM Univ me = 4 0 re RUniv

!!

(A2.1)

b) Alternativamente, sappiamo che la Costante di Struttura Fine vale 1 su 137 ed espressa dalla seguente equazione:

pu essere evidentemente ritenuta, a tutti gli effetti, altrettanto valida come espressione per la Costante di Struttura Fine:

1 2 e 1 4 0 = = h 137 c 2

(Alonso-Finn), ma notiamo anche che la quantit

1 137

data dalla seguente espressione, che

Gme2 E 1 r = = e = Box _ Min 137 h Univ EEmanable EBox _ Min

, dove notoriamente Univ

=

1 TUniv

.

la pi piccola scatoletta di energia dellUniverso (lelettrone), mentre

EEmanable

la minima energia

emanabile, visto che Univ la pi piccola frequenza.

Tra parentesi,

= ve _ in _ H

anche data dal rapporto tra la velocit dellelettrone nellatomo di idrogeno e la velocit della luce: c = e 2 2 0 hc , oppure ancora come rapporto tra la lunghezza donda Compton dellelettrone (che la, con

minima di e- quando libero ed alla velocit massima c) e la lunghezza donda di e- appunto sul primo orbitale di H:

= Compton 1 H = (h mec) (h me ve _ in _ H ) . E altres vero che = re a0 1 2 Gme2 e 1 4 0 r )= ( = = e h h Univ 137 c 2

a0 = 0,529 , che il raggio

di Bohr. Potremo dunque stabilire la seguente uguaglianza e trarre le relative conseguenze (Rubino):

, da cui:

Gme2 1 2 c Gme2 c Gme2 e = = = RUniv re 4 0 2Univ re H global re

avendo utilizzato anche la (A1.15). Dunque, si pu scrivere che:

Gme2 1 e2 = re 4 0 RUniv

(ed anche questa equazione intermedia mostra una strettissima

parentela tra elettromagnetismo e gravit, ma procediamo oltre) Ora, se si immagina momentaneamente, e per semplicit, che la massa dellUniverso sia composta da N tra elettroni e positroni

e

M Univ

e + , potremo scrivere che: 1 e2 GM Univ me = = N me , da cui: 4 0 RUniv N N re 1 e2 GM Univ me = 4 0 ( RUniv N ) N re RUniv = N re.

,

oppure ancora:

(A2.2)

Se ora ipotizziamo che (A2.2) diventa:

(vedi anche la (A4.2)), oppure, ci che lo stesso,

re = RUniv

N

, allora la

1 e 2 GM Univ me = 4 0 re RUniv

!!

(Rubino) cio appunto ancora la (A2.1).

Ora, notiamo innanzitutto che laver supposto che poco fa e dalla (A1.10), si ha che:

RUniv = N re

correttissimo, in quanto, dalla definizione di N data

M Univ 1,75 1085 (~Eddington), da cui: me proprio il valore di RUniv ottenuto nella (A1.9). N=

N 4,13 1042

(~Weyl) e

RUniv = N re 1,18 10 28 m , cio

App. 6-Par. 2.2: La scoperta dellessenza comune di gravit ed elettromagnetismo. La (A2.1) di fondamentale importanza ed ha un significato molto preciso (Rubino) in quanto ci dice che lenergia elettrostatica associata ad un elettrone in una coppia elettrone-positrone ( e lenergia gravitazionale conferita alla stessa da tutto lUniverso+

e

adiacenti) n pi, n meno che

M Univ

alla distanza

RUniv

! (e viceversa)

Dunque, un elettrone, lanciato gravitazionalmente da una enorme massa

M Univ

per un tempo lunghissimo

TUniv

e

attraverso un lunghissimo cammino Univ , acquista una energia cinetica di origine gravitazionale tale che, se poi chiamato a restituirla tutta insieme, in un attimo, tramite, ad esempio, un urto, e tramite dunque una oscillazione della molla costituita appunto dalla coppia e e , deve appunto trasferire una tale energia gravitazionale, accumulata nei miliardi di anni, che se fosse da attribuire solo alla energia potenziale gravitazionale della esigua massa dellelettrone stesso, sarebbe insufficiente per parecchi ordini di grandezza.+

R

Ecco, dunque, che leffetto di restituzione immediata, da parte di che abbiamo visto essere

e , di una grande energia gravitazionale accumulata,

GM Univ me RUniv

, fa apparire lelettrone, sul momento, e in un range pi ristretto ( re ), capace

di liberare energie derivanti da forze molto pi intense della gravitazionale, oppure, come se fosse capace di una speciale forza gravitazionale con una speciale Costante di Gravitazione Universale G ben pi grande di G:

(

mm e e me me 1 ) = G ' e e re re 4 0 me me

; dunque, nel momento eventuale della restituzione immediata di energia da

parte dellelettrone, c leffetto rincorsa dovuto alla sua eterna caduta libera (gravitazionale) nellUniverso. E, di riflesso, la gravit leffetto di composizione di tante piccole forze elettrostatiche. Faccio altres notare che lenergia espressa dalla (A2.1), guarda caso, proprio pari a

me c 2

!!!, cio proprio una sorta di

energia cinetica di rincorsa posseduta dalle coppie elettrone-positrone in caduta libera, e che Einstein confer anche alla materia in quiete, senza purtroppo dirci che quella materia, appunto, non mai in quiete rispetto al centro di massa dellUniverso, visto che siamo tutti inesorabilmente in caduta libera, anche se tra noi ci vediamo fermi, da cui la sua essenza di energia cinetica di origine gravitazionale

mec 2 :

mec 2 =

1 e 2 GM Univ me = 4 0 re RUniv

.

App. 6-Par. 2.3: Lentit oscillatoria dellUniverso tutto e delle particelle. Si parla di oscillazioni perch cos che si trasmette lenergia, specie in un urto, ed anche in quello tra, ad esempio, due palle da biliardo, dove le oscillazioni nel punto di contatto ci sono, e come, anche se non si vedono (quelle degli elettroni periferici, delle molecole, degli atomi ecc, nel punto di scontro). Si parla qui di oscillazioni in modo proprio, anche perch un semplice atomo di idrogeno, oppure una coppia elettronepositrone e-e+, che sono governati dalle leggi dellelettromagnetismo, si comportano come delle vere e proprie molle: infatti, in coordinate polari, per lelettrone in orbita intorno al protone, in un atomo di idrogeno, si ha lequilibrio tra forza di attrazione elettrostatica e forza centrifuga:

Fr =

1 e2 d 1 e2 p2 + me ( )2 r = + 4 0 r 2 dt 4 0 r 2 me r 3

, dove

d = dt

e

p = me v r = merr = mer 2

Valutiamo ora lenergia corrispondente, integrando tale forza nello spazio:

U = Fr dr =

1 e2 p2 + 4 0 r 2me r 2

.

(A2.3)

U U

p2 2me r 2

U Parab = k (r r0 )2 + U 0

r0

r

UoU 0 = (

1 2 me e 4 ) 4 0 2 p 2

1 e2 4 0 r

Fig. A2.1: Grafico dellenergia. Il punto di minimo in (r0,U0) punto di equilibrio e di stabilit (Fr=0) e lo si calcola annullando la derivata prima della (A2.3) (e cio ponendo appunto Fr=0). Inoltre, in r0, la curva esprimente U visivamente approssimabile con una parabola UParab e cio, in quellintorno, si pu scrivere:

Fr = U Parab r = 2k (r r0 ) che , guarda caso, una forza elastica a tutti gli effetti ( F = kx - Legge di Hooke). U Parab = k (r r0 )2 + U 0, e la corrispondente forza :

Inoltre, la legge gravitazionale cui lUniverso obbedisce, mostra una forza che varia con il quadrato della distanza, proprio come quella elettrostatica, dunque anche la forza gravitazionale porta alla legge di Hooke per lUniverso. --------------------------------------------Tramite la (A2.1) e la sua interpretazione abbiamo ricondotto la forza elettrica a quella gravitazionale; riconduciamo ora la forza magnetica a quella elettrica, in modo tale da chiudere il cerchio ed effettuare lunificazione del campo elettromagnetico con quello gravitazionale. E tutti questi campi, per ultimo, sono riconducibili allaccelerazione cosmica aUniv , visto che la gravit lo .

App. 6-Capitolo 3: Lunificazione della forza magnetica con quella elettrica. App. 6-Par. 3.1: La forza magnetica niente altro che una forza elettrica di Coulomb(!). A tal proposito, immaginiamo la seguente situazione, dove vi un conduttore, ovviamente composto da nuclei positivi e da elettroni, e poi un raggio catodico (di elettroni) che scorre parallelo al conduttore:

Raggio catodicoe-

e

-

e

-

Fe-

-

y

e

-

e

-

e

-

I

z-

Direzione del raggio catodico (v)e-

e

x

e

-

Fep+ ep+ ep+ ep+ ep+

+

Conduttoreep+ ep+ ep+ ep+ ep+

Fig. A3.1: Conduttore non percorso da corrente, visto dal sistema di riferimento I (x, y, z) di quiete del raggio catodico.

Sappiamo dal magnetismo che il raggio catodico non sar deflesso verso il conduttore perch in questultimo non scorre nessuna corrente che possa determinare ci. Questa linterpretazione del fenomeno in chiave magnetica; in chiave elettrica, possiamo dire che ogni singolo elettrone del raggio respinto dagli elettroni del conduttore con una forza Fidentica a quella F+ con cui attratto dai nuclei positivi del conduttore. Passiamo ora alla situazione in cui nel conduttore scorra invece una corrente con gli e- a velocit u:

Raggio catodicoeeee-

Fe-

-

y

e+

-

e

-

I

z-

Direzione del raggio catodico (v)e-

e

x

e

-

Fep+ ep+ p+ ep+

Conduttoreep+ p+ p+ ep+ p+ e-

ep+

Direzione della corrente I, con e a velocit u

Fig. A3.2: Conduttore percorso da corrente (con gli e- a velocit u), visto dal sistema di riferimento I (x, y, z) di quiete del raggio catodico. In questultimo caso, sappiamo dal magnetismo che il raggio di elettroni deve deflettere verso il conduttore, in quanto siamo nel noto caso di correnti parallele e di verso concorde, che devono dunque attrarsi. Questa linterpretazione del fenomeno in chiave magnetica; in chiave elettrica, possiamo dire che dal momento che gli elettroni nel conduttore inseguono, per cos dire, quelli del fascio, i primi, visti dal sistema di quiete del fascio (I), avranno una velocit minore rispetto a quella che risultano avere i nuclei positivi, che invece sono fermi nel conduttore. Risulter, perci, che gli spazi immaginabili tra gli elettroni del conduttore subiranno una contrazione relativistica di Lorentz meno accentuata, rispetto ai nuclei positivi, e dunque ne risulter una densit di carica negativa minore della densit di carica positiva, e dunque gli elettroni del fascio verranno elettricamente attratti dal conduttore. Ecco la lettura in chiave elettrica del campo magnetico. Ora, vero che la velocit della corrente elettrica in un conduttore molto bassa (centimetri al secondo) rispetto alla relativistica velocit della luce c, ma anche vero che gli elettroni sono miliardi di miliardi , e dunque un piccolo effetto di contrazione su cos tanti interspazi determina lapparire della forza magnetica. Ora, per, vediamo se la matematica ci d quantitativamente ragione su quanto asserito, dimostrandoci che la forza magnetica una forza elettrica anchessa, ma vista in chiave relativistica. Consideriamo allora una situazione semplificata in cui un elettrone e- , di carica q, viaggi, con velocit v, parallelo ad una corrente di nuclei con carica Q+ (a velocit u):y

y

I

z-

q

x

v

rQ+ Q+

FQ+ Q+ Q+ Q+

u

I

z

d = d 0 1 u 2 c2x

Fig. A3.3: Corrente di cariche positive (a velocit u) ed elettrone a velocit v nel sistema di quiete del lettore I. a) Valutazione di F in chiave elettromagnetica, nel sistema I : Ricordiamo innanzitutto che se ho N cariche Q, in linea, a distanza d una dallaltra (come in figura A3.3), allora la densit di carica lineare sar:

= N Q N d = Q d

.

Ora, sempre con riferimento alla Fig. A3.3, nel sistema I, per lelettromagnetismo lelettrone sar sottoposto alla forza di Lorentz

Fl = q ( E + v B) che si compone di una componente originariamente gi elettrica e di una magnetica: 1 1 Q d Fel = E q = ( )q = ( )q , dovuta allattrazione elettrostatica di una distribuzione lineare di cariche Q 0 2r 0 2r

e:

Fmagn = 0Dunque:

I Q t Q (d u ) uQ d = 0 = 0 = 0 2r 2r 2r 2r

(Biot e Savart).

Fl = q (

1 1 Q d Q d0 1 uQ d )=q ( 0 uv ) v0 2r 2r 0 0 2r 1 u 2 c2

,

(A3.1)

dove il segno meno indica che la forza magnetica repulsiva, in tale caso, visti i segni reali delle due correnti, e dove la distanza d0 di quiete risulta contratta a d, per Lorentz, nel sistema I in cui le cariche Q hanno velocit u (d

= d0 1 u 2 c 2

).

b) Valutazione di F in chiave elettrica, nel sistema I di quiete di q: nel sistema I la carica q ferma e dunque non costituisce nessuna corrente elettrica, e dunque sar presente solo una forza elettrica di Coulomb verso le cariche Q:

F 'el = E 'q = (

1 1 Q d0 1 Q d' 1 ' ) ) q = q( )q = ( 0 2r 0 2r 0 2r 1 u '2 c 2,

,

(A3.2)

dove u la velocit della distribuzione di cariche Q nel sistema I, che si compone di u e v tramite il noto teorema relativistico di addizione delle velocit:

u ' = (u v) (1 uv c 2 )

(A3.3)

e d0, questa volta, si contrae appunto secondo u:

d ' = d 0 1 u '2 c 2

.

Notiamo ora che, con un po di algebra, vale la seguente relazione (vedi la (A3.3)):

(1 u 2 c 2 )(1 v 2 c 2 ) 1 u' c = (1 uv c 2 ) 22 2

, che sostituita nel radicale della (A3.2) fornisce:

1 ' 1 Q d' 1 Q d0 (1 uv c 2 ) F 'el = E 'q = ( )q = ( ) q = q( ) 0 2r 0 2r 0 2r 1 u 2 c2 1 v 2 c2rapportiamo allora I:

(A3.4)

Vogliamo ora confrontare la (A3.1) con la (A3.4), ma ancora non possiamo, perch una fa riferimento ad I e laltra ad I;

F 'el

della (A3.4) in I anchessa e, per fare ci, osserviamo che, per la definizione stessa di forza, in

F 'el (in _ I ' ) =

p I ' pI F (in _ I ) = = el 2 2 2 2 t I ' t I 1 v c 1 v c

, con

pI ' = pI

in quanto

p si estende lungo y, e non tovviamente s.

lungo la direzione del moto relativo, dunque per le T. di Lorentz non subisce variazione, mentre Si ha allora:

Fel (in _ I ) = F 'el (in _ I ' ) 1 v 2 c 2 = q ( = q( 1 Q d 0 (1 uv c 2 ) ) = Fel (in _ I ) 0 2r 1 u 2 c2

1 Q d0 (1 uv c 2 ) ) 1 v 2 c2 2 2 2 2 0 2r 1 u c 1 v c

=

(A3.5)

Ora, dunque, possiamo confrontare la (A3.1) con la (A3.5), in quanto ora entrambe fanno riferimento al sistema I. Riscriviamole una sopra laltra:

Fl (in _ I ) = q (

1 Q d uQ d Q d0 1 1 v0 )=q ( 0 uv) 0 2r 2r 2r 0 1 u 2 c2 1 Q d 0 (1 uv c 2 ) Q d0 1 uv 1 ) =q ( ) 2 0 2r 2r 0 0 c 1 u 2 c2 1 u2 c2

Fel (in _ I ) = q (

Possiamo dunque dire che le due equazioni sono identiche se verificata la seguente identit:

c =1

00

, e la

stessa nota sin dal 1856. Essendo dunque identiche le due equazioni, la forza magnetica risulta ricondotta ad una forza elettrica di Coulomb, e dunque compiuta lunificazione dei campi elettrico e magnetico!! --------------------------------------------App. 6-Capitolo 4: Giustificazione dellequazione

RUniv = N re

precedentemente utilizzata per

lunificazione della forza elettrica con quella gravitazionale (Rubino). App. 6-Par. 4.1: Lequazione

RUniv = N re

(!).

Abbiamo innanzitutto gi verificato che lequazione

RUniv = N re ,

utilizzata nella (A2.2), corretta di per s, in

quanto, a livello numerico, esatta. Ed altres giustificabile pure in chiave oscillatoria ed ora vediamo come; tale equazione ci dice che il raggio dellUniverso uguale al raggio classico dellelettrone moltiplicato per la radice quadrata del numero di elettroni (e positroni) N di cui lUniverso pu ritenersi composto. (Sappiamo che in realt, la quasi totalit della materia dellUniverso non composta da coppie e+e- ma da coppie p+e- di atomi di H, ma a noi ora interessa vedere lUniverso scomposto in mattoni fondamentali, o in armoniche fondamentali, e sappiamo che lelettrone ed il positrone lo sono, in quanto sono stabili, mentre il protone pare che stabile non sia, e dunque non unarmonica fondamentale e dunque neanche un mattone fondamentale.) Supponiamo ora che ogni coppia e+e- (o, per il momento, anche p+e- (H), se preferite) sia una piccola molla (fatto peraltro gi giustificato dai ragionamenti compiuti intorno alla (A2.3)), e che lUniverso sia una grande molla oscillante (ed attualmente in contrazione verso il suo centro di massa) con ampiezza di oscillazione pari ovviamente ad R Univ , che si compone di tutte le micro oscillazioni delle coppie e+e-. E, per ultimo, chiariamo che tali micromolle sono distribuite alla rinfusa nellUniverso, come non pu che essere, dunque una oscilla verso destra, laltra verso sinistra, laltra in su, laltra ancora in gi, e cos via. In pi, i componenti e+ ed e- di ogni coppia non sono fissi, dunque non considereremo N/2 coppie oscillanti con ampiezza 2re, ma N elettroni/positroni oscillanti ad re.

re

RUniv

Fig. A4.1: LUniverso rappresentato come un insieme di tante (N) molle oscillanti in direzione casuale, o come grossa molla oscillante unica. Ora, essendo le micro oscillazioni orientate a caso, la loro composizione random schematizzabile come in figura A4.2.

rN RUniv

r re r re

y

r re r re

r re

z

r re r re

r re

r re r re r rexdistribuite casualmente a formare loscillazione globale RUniv.

Fig. A4.2: Composizione delle N micro oscillazioni

Possiamo scrivere ovviamente che:

rN r N 1 r rN RUniv = RUniv + re ed il prodotto scalare di RUniv con se stesso fornisce: rN rN r N 1 r N N 1 RUniv RUniv = ( RUniv ) 2 = ( RUniv ) 2 + 2 RUniv re + re2 ; prendendo ora la media: r N 1 r N N 1 N 1 (A4.1) ( RUniv ) 2 = ( RUniv ) 2 + 2 RUniv re + re2 = ( RUniv ) 2 + re2 , r N 1 r r visto che 2 RUniv re = 0 , dal momento che re pu essere orientate in modo casuale su 360 (o su 4 sr, se vi va),N N 1 ( RUniv ) 2 = ( RUniv ) 2 + re2

e dunque un vettore che media con esso, come nella espressione precedente, fornisce un valore nullo. Riscriviamo allora la (A4.1): e procedendo, su di essa, per induzione, dal momento

che (sostituendo N con N-1 e cos via):N 1 N ( RUniv ) 2 = ( RUniv2 ) 2 + re2

, e poi:

N N ( RUniv2 ) 2 = ( RUniv3 ) 2 + re2

ecc, si ottiene: , cio:

N N 1 N ( RUniv ) 2 = ( RUniv ) 2 + re2 = ( RUniv2 ) 2 + 2 re2 = .......... = 0 + N re2 = N re2 N ( RUniv ) 2 = N re2

, da cui, estraendo la radice di entrambi i membri:

N ( RUniv ) 2 = RUniv = N

re2 = N re

, e cio:

RUniv = N re

!!!

(Rubino)

(A4.2)

E comunque noto, in fisica, che, ad esempio, il cammino R compiuto per N passi r successivi effettuati in direzione casuale proprio la radice di N per r (vedi, ad esempio, gli studi sul moto Browniano). --------------------------------------------App. 6-Capitolo 5: aUniv come responsabile assoluta di tutte le forze. App. 6-Par. 5.1: Tutto da aUniv. Sempre in linea con quanto detto finora, la stessa accelerazione cosmica aUniv responsabile della gravit tutta e dunque anche di quella terrestre. Infatti, solo perch la Terra abbastanza densa, ha una accelerazione di gravit sulla sua superficie pari a g=9,81 m/s2, mentre, se tuttoggi la si potesse considerare come composta di elettroni sparsi a caso, un po come in Fig. A4.1 per lUniverso, allora la stessa avrebbe un raggio pari a laccelerazione di gravit sulla sua superficie sarebbe:

M Earth re = N Earth re , me

e

g New = G

M Earth = aUniv = 7,62 1012 m / s 2 2 ( N Earth re )

!!!

Dunque, ancora una volta, possiamo dire che la forza di gravit una conseguenza del collasso dellUniverso con accelerazione aUniv, e le accelerazioni di gravit che si incontrano, di volta in volta, per ogni oggetto celeste, sono diverse da aUniv nella misura in cui tali oggetti sono particolarmente pi compressi. --------------------------------------------App. 6-Par. 5.2: Schema riassuntivo dellunificazione delle forze.

aUniv

causa di

GRAVITA

causa di(Rubino)

ELETTRICITA causa di (Einstein)

FORZA DEBOLE

(Maxwell)

(my works in progress)

FORZA FORTE

MAGNETISMOFig. A5.1: Schema riassuntivo dellunificazione delle forze.

App. 6-Par. 5.3: Altre considerazioni sulla composizione dellUniverso in coppie +/-. Lo scaricarsi completo di ogni singola mollettina, che rappresenta la coppia elettrone-positrone, altro non che lannichilazione, con trasformazione in fotoni delle due particelle. In tal modo, la coppia non sar pi rappresentata da unonda piccata in un dato luogo ed in un dato momento (ad esempio questultima, cio la

sin( x vt ) ( x vt ) ,

o la cugina di

( x vt ) di

Dirac), dove la parte piccata starebbe a testimoniare la carica della molla, ma sar

rappresentata da una funzione del tipo

sin( x ct ) ,

omogenea lungo tutta la sua traiettoria, quale il fotone . Ci

avverr quando il collasso dellUniverso nel suo centro di massa sar completo. Inoltre, lessenza delle coppie e+e-, o, in questera, delle e-p+, necessaria per la non violazione del Principio di Conservazione dellEnergia. Infatti, lUniverso, che nella sua fase di contrazione massima verso una singolarit, pare svanire nel nulla, o originarsi dal nulla, nel processo inverso a mo di Big Bang, rappresenterebbe una violazione di tale principio di conservazione, se non fosse per il Principio di Indeterminazione, secondo cui una energia E comunque legittimata a comparire, purch sia di durata inferiore a t, nella misura in cui

E t h 2 , cio, essa pu comparire

a patto che losservatore non abbia tempo sufficiente, in relazione ai suoi mezzi di misura, per determinarla, giungendo quindi alla constatazione della violazione. E, di riflesso, tutto lUniverso, che di coppie +/- composto, gode di questa propriet. E la comparsa di un E composto da una coppia di particelle, vede le stesse prima separarsi, e dunque avere carica uguale, mentre lannichilirsi successivo dopo un t testimonia una attrazione successiva, e dunque lassunzione di cariche opposte. Dunque, la comparsa e lannichilazione equivalgono alla espansione e contrazione dellUniverso. Se dunque fossimo in un Universo in fase di espansione, la gravit non esisterebbe, anzi esisterebbe allincontrario, e non dunque vero che solo la forza elettrica pu essere repulsiva, ma anche la gravit pu esserlo (con Universo in fase di espansione); ora non lo , ma lo fu! La considerazione filosofica pi immediata che si pu fare, in tale scenario, che, come dire, tutto pu nascere (comparire), purch muoia, e sufficientemente in fretta; e cos la violazione evitata, o meglio, non dimostrata/dimostrabile, ed il Principio di Conservazione dellEnergia preservato, e la contraddizione della comparsa di energia dal nulla aggirata, anzi, di pi, contraddetta essa stessa. App. 6-Par. 5.4: La Teoria della Relativit altro non che la interpretazione dellUniverso di oscillazioni appena descritto, in contrazione a velocit c ed accelerazione auniv. Sulla composizione delle velocit: 1) Caso di un corpo di massa m. Se in un mio sistema di riferimento I, in cui io osservatore sono in quiete, ho un corpo di massa m in quiete, potr scrivere:

v1 = 0 E2 =

e

E1 =

1 2 mv1 = 0 2

. Se ora gli conferisco energia cinetica, esso passer alla velocit v2, tale che, ovviamente:

1 2 mv2 2

ed il suo delta energia di energia GUADAGNATA

E

(delta up) sar:

1 2 1 1 mv2 0 = m(v2 0)2 = m(v) 2 , con v = v2 v1 . 2 2 2 Ora, il fatto che ho ottenuto un v che semplicemente pari a v2 v1 un caso del tutto PARTICOLARE e vale solo E = E2 E1 =quando si parte da fermi, e cio quando v1 = 0. In caso contrario: vettoriale:

E = E2 E1 =

1 2 1 2 1 1 2 mv2 mv1 = m(v2 v12 ) = m(V v )2 , 2 2 2 2

dove

V

un delta

2 V v = (v2 v12 )

; possiamo dunque affermare che, a parte il caso particolare in cui si parta da fermi (v1

= 0), se si gi in moto, non si avr un delta semplice, ma bens uno vettoriale; ma questa semplice fisica di base. 2) Caso della Terra. In un mio sistema di riferimento I, in cui io osservatore sono in quiete, la Terra (E-Earth) ruota intorno al Sole con energia totale:

ETot = E

1 M m 2 mE vE G Sun E 2 RE S

, e con energia cinetica

EK =

1 2 mE vE 2

. Se ora conferiamo alla Terra un delta up

di energia cinetica per farla saltare dalla sua orbita a quella di Marte (M-Mars), allora, analogamente al caso

precedente del punto 1, si ha:

1 1 1 1 2 2 2 2 mE vE mE vM = mE (vE vM ) = mE (V v )2 2 2 2 2 delta di velocit sono di tipo vettoriale ( V ). E =

, con

2 2 V v = (vE vM )

, e dunque anche qui i

3) Caso dellUniverso. In un mio sistema di riferimento I, in cui io osservatore sono in quiete, se ad un corpo di massa m0 che mi appare in quiete voglio fargli raggiungere la velocit V, devo conferirgli un delta v appunto, ma per quanto

esposto nelle pagine precedenti, essendo noi gi in movimento nellUniverso (ed a velocit c), come per i punti 1 e 2 qui sopra, tale delta v deve sottostare alla seguente eguaglianza (vettoriale):2 V = V v = (c 2 v New Abs Univ Speed ) ,

(A5.1)

dove

vNew Abs Univ Speed

la nuova velocit assoluta che il corpo di massa m0 risulta avere non rispetto a noi, ma nel

contesto dellUniverso e rispetto al suo centro di massa. Infatti, un corpo inesorabilmente legato allUniverso in cui si trova, nel quale, guarda caso, esso, gi di suo si muove con velocit c e possiede dunque una energia intrinseca

m0 c 2 .

Nella fattispecie, dovendo io apportare energia cinetica Ek al corpo m0 per fargli acquisire velocit V (rispetto a me), e considerando che, ad esempio, in una molla con una massa attaccata ad unestremit, per la legge del moto armonico ho, per la velocit, una legge armonica del tipo:

v = (X Max ) sin = VMax sin

( vNew Abs Univ Speed

= c sin , nel nostro caso),

e per lenergia armonica si ha una legge armonica del tipo:

E = E Max sin ricavando

( m0 c

2

= (m0c 2 + EK ) sin

, nel nostro caso),

sin

dalle due equazioni precedenti ed eguagliando, si ottiene:

vNew Abs Univ Speed = c

m0c 2 m0c 2 + EK

, nella (A5.1), otterr:2

e sostituendo tale valore di

vNew Abs Univ Speed

V = V v = (c v2

2 New Abs Univ Speed

m0 c 2 ) = [c (c ) 2 ] = V , che riscrivo: 2 m0 c + EK(A5.2)

V = [c 2 (c

m0c 2 )2 ] 2 m0c + EK

Se ora ricavo EK dalla (A5.2), ottengo:

EK = m0c 2 (

1 V2 1 2 c

1)

!!! che esattamente lenergia cinetica relativistica di Einstein!

Aggiungendo ora a tale EK cinetica lenergia intrinseca (che ha anche a riposo riposo rispetto a noi, non rispetto al centro di massa dellUniverso) del corpo m0, ottengo lenergia totale:

E = EK + m0c 2 = m0c 2 + m0c 2 ( E = m0 c 2

1 V 1 2 c2

1) =

1 V 1 2 c2

m0c 2 = m0c 2

, e cio la ben nota

(della TRR).

(A5.3)

Tutto ci dopo che abbiamo supposto di apportare energia cinetica ad un corpo in quiete (rispetto a noi). La (A5.3) funziona benissimo, dunque, negli acceleratori di particelle, dove le particelle guadagnano energia, ma ci sono casi (Universo collassante e Fisica Atomica) dove le masse perdono energia ed irraggiano, invece di guadagnarla, ed in tali casi la (A5.3) completamente inapplicabile, in quanto la stessa vale per energie apportate, non rimosse.

App. 6-Par. 5.5: Sulla Relativit delle energie cedute. In caso di energie rimosse (fase ulteriore del moto armonico), vale la seguente:

E=

1 m0 c 2

(Rubino)

(A5.4)

che intuitiva gi solo per il fatto che, con laumentare della velocit, il coefficiente

1

mi abbassa m0, riducendola

appunto, a favore della irradiazione, e cio della perdita, di energia, cosa purtroppo non prevista, nei termini della (A5.4), nella Teoria della Relativit. Per una (convincente) deduzione della stessa (A5.4) e di alcune sue implicazioni, per, sono da me disponibili ulteriori trattazioni a riguardo. Utilizzando la (A5.4) in Fisica Atomica per valutare le energie di ionizzazione con numero atomico Z variabile, ci si riconduce, ad esempio, alla seguente equazione, che rispecchia egregiamente i dati sperimentali:

EZ

di atomi con singolo elettrone, ma

EZ = mec 2[1 1 (

Ze2 2 ) ] 2 0 hc Ze 2 2 ) ] 4n 0 hc(Whlin) Energia (J) 8,7147 10-20 6,0518 10-20 4,4462 10-20 3,4041 10-20

(A5.5)

e per atomi con numero quantico n qualsiasi ed orbitali qualsiasi:

EZ n = mec 2[1 1 (

(A5.6)

Orbitale (n) Energia (J) Orbitale (n) 1 2,1787 10-18 5 2 5,4467 10-19 6 3 2,4207 10-19 7 4 1,3616 10-19 8 Tab. A5.1: Livelli energetici nellatomo di idrogeno H (Z=1), come da (A5.6).

Lapplicazione della qui inappropriata (A5.3) non porta invece ai dati sperimentali, ma bens al ricorso di complesse correzioni ed equazioni di correzione (Fock-Dirac ecc), che tenterebbero appunto di correggere una applicazione appunto errata. Anche per avere delle chiare dimostrazioni delle (A5.5) e (A5.6), sono da me disponibili ulteriori files e trattazioni. --------------------------------------------App. 6-SUBAPPENDICI. App. 6-Subppendice 1: Costanti fisiche.

1,38 1023 J / K 12 2 Accelerazione Cosmica aUniv: 7,62 10 m / s 11 Distanza Terra-Sole AU: 1, 496 10 m 24 Massa della Terra MTerra: 5,96 10 kg 6 Raggio della Terra RTerra: 6,371 10 m 19 Carica dellelettrone e: 1,6 10 CCostante di Boltzmann k:

1,75 1085 15 Raggio classico dellelettrone re: 2,818 10 m 31 Massa dellelettrone me: 9,1 10 kg 3 Costante di Struttura Fine ( 1 137) : 7,30 10 21 Frequenza dellUniverso 0 : 4,05 10 HzNumero di elettroni equivalente dellUniverso N: Pulsazione dellUniverso

0 (= H global ) : 2,54 1020 rad s 6,67 1011 Nm 2 / kg 2 2,47 1020 s

Costante di Gravitazione Universale G: Periodo dellUniverso Anno luce a.l.: Parsec pc:

TUniv :

9, 46 1015 m 3,26 _ a.l. = 3,08 1016 m

Densit dellUniverso Univ:

2,32 1030 kg / m3 Temp. della Radiaz. Cosmica di Fondo T: 2,73K 6 Permeabilit magnetica del vuoto 0: 1, 26 10 H / m 12 Permittivit elettrica del vuoto 0: 8,85 10 F / m 34 Costante di Planck h: 6,625 10 J s 27 Massa del protone mp: 1,67 10 kg 30 Massa del Sole MSun: 1,989 10 kg 8 Raggio del Sole RSun: 6,96 10 m 8 Velocit della luce nel vuoto c: 2,99792458 10 m / s 8 2 4 Costante di Stephan-Boltzmann : 5,67 10 W / m K 28 Raggio dellUniverso (dal centro fino a noi) RUniv: 1,18 10 m 55 Massa dellUniverso (entro RUniv) MUniv: 1,59 10 kgGrazie per lattenzione. Leonardo RUBINO E-mail: [email protected] ---------------------------------------------------------------

Bibliografia: 1) (R. Sexl & H.K. Schmidt) SPAZIOTEMPO Vol. 1, Boringhieri. 2) (C. Mencuccini e S. Silvestrini) FISICA I Meccanica-Termodinamica, Liguori. 3) (C. Mencuccini e S. Silvestrini) FISICA II Elettromagnetismo-Ottica, Liguori. 4) (V.A. Ugarov) TEORIA DELLA RELATIVITA' RISTRETTA, Edizioni Mir. 5) (R. Gautreau & W. Savin) FISICA MODERNA Schaum. 6) (R. Feynman) LA FISICA DI FEYNMAN I-II e III Zanichelli. 7) (Lionel Lovitch-Sergio Rosati) FISICA GENERALE, Elettricit, Magnetismo, Elettromagnetismo Relativit Ristretta, Ottica, Meccanica Quantistica , 3^ Edizione; Casa Editrice Ambrosiana-Milano. 8) (M. Alonso & E.J. Finn) FUNDAMENTAL UNIVERSITY PHYSICS III, Addison-Wesley. 9) (A. Liddle) AN INTRODUCTION TO MODERN COSMOLOGY, 2nd Ed., Wiley. 10) (A. S. Eddington) THE EXPANDING UNIVERSE, Cambridge Science Classics. 11) (L. Whlin) THE DEADBEAT UNIVERSE, 2nd Ed. Rev., Colutron Research. 12) ENCYCLOPEDIA OF ASTRONOMY AND ASTROPHYSICS, Nature Publishing Group & Institute of Physics Publishing. 13) (Keplero) THE HARMONY OF THE WORLD. 14) (H. Bradt) ASTROPHYSICS PROCESSES, Cambridge University Press. --------------------------------------------------------------

THE SPECIAL THEORY OF RELATIVITY (STR) IN 43 PAGES by Leonardo Rubino [email protected] Genuary 1993 Rev. 00 Contents: -Contents. -Introduction. -Chapter 1: Fundamental introductory concepts. Par. 1.1 Galilean transformations. Par. 1.2: The (Relativistic) Lorentz Transformations. Par. 1.3: The contraction of length, or of Lorentz. Par. 1.4: Time dilation (Twin Paradox). Par. 1.5: The four-vector position. Par. 1.6: Relativistic Law of Transformation of Velocities. Par. 1.7: The Proper Time d of a particle. -Chapter 2: The relativity of energies. Par. 2.1: The momentum-energy four-vector (or linear momentum). Par. 2.2: The velocity four-vector. Par. 2.3: The four-force. Par. 2.4: E0=m0c2. Par. 2.5: Relativistic kinetic Energy. -Chapter 3: Relativistic phenomena. Par. 3.1: Time and gravity: gravity slows down the time! Par. 3.2: Volume of moving solids. Par. 3.3: The equation of waves, or of DAlembert, holds in every inertial reference system. Par. 3.4: The Fizeau experiment. Par. 3.5: Relativistic Doppler Effect (longitudinal). Par. 3.6: The Twin Paradox explained by the Relativistic Doppler Effect! Par. 3.7: The Michelson and Morley experiment. -Chapter 4: Relativistic Electrodynamics. Par. 4.1: Magnetic force is simply a Coulombs electric force(!). Par. 4.2: The Current Density four-vector. Par. 4.3: The Electromagnetic Field Tensor. -APPENDXES: App. 1: Lorentz Transformations in succession. App. 2: Transversal (relativistic) Doppler Effect. App. 3: The Transformations of the four-velocity. App. 4: The transformations of the four-force. App. 5: The acceleration four-vector and the transformations of the acceleration. App. 6: As I see the Universe (Unification Gravity Electromagnetism). -Bibliography. Introduction: Time is just the name which has been assigned to a mathematical ratio relation between two different spaces; when I say that in order to go from home to my job place it takes half an hour, I just say that the space from home to my job place corresponds to the space of half a clock circumference run by the hand of minutes. In my own opinion, no mysterious or spatially quadridimensional stuff, as proposed by the STR (Special Theory of Relativity). On the contrary, on a mathematical basis, time can be considered as the fourth dimension, as well as temperature can be the fifth and so on. The speed of light (c=299.792,458 km/s) is an upper speed limit, but neither by an unexplainable mystery, nor by a principle, as asserted in the STR and also by Einstein himself, but rather because (and still in my opinion) a body cannot move randomly in the Universe where its free falling with speed c, as its linked to all the Universe around, as if the Universe were a spiders web that when the trapped fly tries to move, the web affects that movement and as much as those movements are wide (v~c), that is, just to stick to the web example, if the trapped fly just wants to move a wing, Page.1 Page.1 Page.3 Page.3 Page.3 Page.5 Page.6 Page.6 Page.7 Page.8 Page.8 Page.8 Page.9 Page.9 Page.10 Page.11 Page.11 Page.11 Page.11 Page.12 Page.12 Page.13 Page.14 Page.15 Page.16 Page.16 Page.19 Page.19 Page.21 Page.21 Page.22 Page.24 Page.24 Page.25 Page.26 Page.43 May 2011 Rev. 01

it can do that almost freely (v>>

T = T'

Curio: by a series development on (> aUniv REarth Sun 1,14

.

All these considerations on the link between aUniv and the rotation speed of galaxies are widely open to further speculations and the equation through which one can take into account the tidal effects of

aUniv

in the galaxies can

have a somewhat different and more difficult look, with respect to the above one, but the fact that practically all galaxies have dimensions in a somewhat narrow range (3 4 RMilky Way or not so much more) doesnt seem to be like that just by chance, and, in any case, none of them have radii as big as tents or hundreds of R Milky Way , but rather by just some times. In fact, the part due to the cosmic acceleration, by zeroing the centripetal acceleration in some phases of the revolution of galaxies, would fringe the galaxies themselves, and, for instance, in M31, it equals the gravitational part at a radius equal to:

GM M 31 = aUniv RGal Max RGal Max

, from which:

RGal Max =

GM M 31 2,5RM 31 ; in fact, maximum radii ever observed in aUniv

galaxies are roughly this size. --------------------------------------------App. 6-Chapter 2: The unification of electromagnetic and gravitational forces (Rubino). App. 6-Par. 2.1: The effects of MUniv on particles. We remind you that from the definition of (~Eddington), we get:

re

in (A1.13):

1 e2 = mec 2 4 0 re

and from the (A1.11):

c2 =

GM Univ RUniv

1 e 2 GM Univ me = 4 0 re RUniv

!!

(A2.1)

As an alternative, we know that the Finestructure Constant is 1 divided by 137 and its given by the following equation:

considered suitable, as well, as the Finestructure Constant:

1 2 e 1 4 0 = = h 137 c 2

(Alonso-Finn), but we also see that

1 137

is given by the following equation, which can be

Gme2 E 1 r 1 = = e = Box _ Min , where Univ = . E Box _ Min is the smallest box of energy in the Universe (the TUniv 137 h Univ EEmanable electron), while E Emanable is the smallest emanable energy, as Univ is the smallest frequency. Besides, is also given by the speed of an electron in a hydrogen atom and the speed of light ratio: = ve _ in _ H c = e 2 2 0 hc , or also as the ratio between Compton wavelenght of the electron (which is theminimum of e- when its free and has the speed of light c) and the wavelength of e- indeed, on the first orbit of H:

= Compton 1 H = (h mec) (h me ve _ in _ H ) . Moreover, = re a0

, where

a0 = 0,529 is the Bohrs radius.

So, we could set the following equation and deduce the relevant consequences (Rubino):

after that (A1.15) has been used. Therefore, we can write:

1 2 Gme2 e 1 4 0 r )= ( = = e h 137 h Univ c 2

, from which:

Gme2 1 2 c Gme2 c Gme2 e = = = RUniv re 4 0 2Univ re H global re

Gme2 1 e2 = re 4 0 RUniv

(and this intermediate equation, too, shows a deep relationship

between electromagnetism and gravitation, but lets go on) Now, if we temporarily imagine, out of simplicity, that the mass of the Universe is made of N electrons positrons

e

and

e

+

, we could write:

M Univ = N meor also:

, from which:

GM Univ me 1 e2 = 4 0 RUniv N N re.

,

e2 GM Univ me 1 = 4 0 ( RUniv N ) N re RUniv = N re

(A2.2)

If now we suppose that becomes:

(see also (A4.2)), or, by the same token,

re = RUniv

N

, then (A2.2)

1 e 2 GM Univ me = 4 0 re RUniv

!!

(Rubino) that is (A2.1) again.

Now, first of all we see that the supposition (A1.10), we have:

RUniv = N re

is very right, as from the definition of N above given

N=

M Univ 1,75 1085 (~Eddington), from which: me

N 4,13 1042

(~Weyl) and

RUniv = N re 1,18 10 28 m , that is the very RUniv

value obtained in (A1.9).

App. 6-Par. 2.2: The discovery of the common essence of gravity and electromagnetism. Now, (A2.1) is of a paramount importance and has got a very clear meaning (Rubino) as it tells us that the electrostatic energy of an electron in an electron-positron pair ( e by the whole Universe+

e

adjacent) is exactly the gravitational energy given to this pair

M Univ

at an

RUniv

distance! (and vice versa)

Therefore, an electron gravitationally cast by an enormous mass travel

M Univ

for a very long time

TUniv

and through a long

RUniv , gains a gravitationally originated kinetic energy

so that, if later it has to release it all together, in a short+

time, through a collision, for instance, and so through an oscillation of the e e pair - spring, it must transfer a so huge gravitational energy indeed, stored in billion of years that if this energy were to be due just to the gravitational potential energy of the so small mass of the electron itself, it should fall short by many orders of size. Therefore, the effect due to the immediate release of a big stored energy, by

e , which is known to be

GM Univ me RUniv

, makes the electron appear,

in the very moment, and in a narrow range ( re ), to be able to release energies coming from forces stronger than the gravitational one, or like if it were able to exert a special gravitational force, through a special Gravitational Universal Constant G, much bigger than G:

(

mm e e me me 1 ) = G ' e e re re 4 0 me me

; its only that during the sudden release of energy by the electron, there is a

run taking effect due to its eternal free (gravitational) falling in the Universe. And, at the same time, gravitation is an effect coming from the composition of many small electric forces. I also remark here, that the energy represented by (A2.1), as chance would have it, is really

me c 2

!!!, that is a sort of

run taking kinetic energy, had by the free falling electron-positron pair , and that Einstein assigned to the rest matter, unfortunately without telling us that such a matter is never at rest with respect to the center of mass of the Universe, as we all are inexorably free falling, even though we see one another at rest; from which is its essence of gravitationally originated kinetic energy

mec 2 :.

mec 2 =

1 e 2 GM Univ me = 4 0 re RUniv

App. 6-Par. 2.3: The oscillatory essence of the whole Universe and of its particles. Were talking about oscillations as this is the way the energy is transferred, and also in collisions, such as those among billiards balls, where there do are oscillations in the contact point, and how, even though we cannot directly see them (those of peripheral electrons, of molecules, of atoms etc, in the contact point). So, were properly talking about oscillations also because, for instance, a single hydrogen atom, or a e e pair, which are ruled by laws of electromagnetism, behave as real springs: in fact, in polar coordinates, for an electron orbiting around a proton, there is a balancing between the electrostatic attraction and the centrifugal force:+

Fr =

1 e2 d 1 e2 p2 + me ( )2 r = + 4 0 r 2 dt 4 0 r 2 me r 3

, where

d = dt

and

p = me v r = merr = mer 2

Lets figure out the corresponding energy by integrating such a force over the space:

U = Fr dr =

1 e2 p2 + 4 0 r 2me r 2

.

(A2.3)

U U

p2 2me r 2

U Parab = k (r r0 )2 + U 0

r0

r

UoU 0 = (

1 2 me e 4 ) 4 0 2 p 2

1 e2 4 0 rFig. A2.1: Graph of the energy.

The point of minimum in (r0,U0) is a balance and stability point (Fr=0) and can be calculated by zeroing the first derivative of (A2.3) (i.e. setting Fr=0 indeed). Moreover, around r0, the curve for U is visibly replaceable by a parabola UParab, so, in that neighbourhood, we can write:

U Parab = k (r r0 )2 + U 0

, and the relevant force is:

Fr = U Parab r = 2k (r r0 )- Hookes Law).

Which is, as chance would have it, an elastic force ( F

= kx

Moreover, the gravitational law which is followed by the Universe is a force which changes with the square value of the distance, just like the electric one, so the gravitational force, too, leads to the Hookes law for the Universe. --------------------------------------------By means of (A2.1) and of its interpretation, we have turned the essence of the electric force into that of the gravitational one; now we do the same between the electric and magnetic force, so accomplishing the unification of electromagnetic and gravitational fields. At last, all these fields are traced back to aUniv , as gravitation does. App. 6-Chapter 3: The unification of magnetic and electric forces. App. 6-Par. 3.1: Magnetic force is simply a Coulombs electric force(!). Concerning this, lets examine the following situation, where we have a wire, of course made of positive nuclei and electrons, and also a cathode ray (of electrons) flowing parallel to the wire:

Cathode raye-

e

-

e

-

Fe-

-

y

e

-

e

-

e

-

I

z-

Direction of the cathode ray (v)e-

e

x

e

-

Fep+ ep+ ep+ ep+ ep+

+

Wireep+ ep+ ep+ ep+ ep+

Fig. A3.1: Wire not flown by any current, seen from the cathode ray steady ref. system I (x, y, z).

We know from magnetism that the cathode ray will not be bent towards the wire, as there isnt any current in it. This is the interpretation of the phenomenon on a magnetic basis; on an electric basis, we can say that every single electron in the ray is rejected away from the electrons in the wire, through a force F- identical to that F+ through which its attracted from positive nuclei in the wire. Now, lets examine the situation in which we have a current in the wire (e- with speed u)

Cathode rayeeeee-

F

-

y

e+

-

e

-

I

z-

Direction of the ray (v)e-

e

x

e

-

Fep+ ep+ p+ ep+

Wireep+ p+ p+ ep+ p+ e-

ep+

Direction of the current I, whose e speed is u

Fig. A3.2: Wire flown by a current (with e- speed=u), seen from the cathode ray steady ref. system I (x, y, z). In this case we know from magnetism that the cathode ray must bend towards the wire, as we are in the well known case of parallel currents in the same direction, which must attract each other. This is the interpretation of this phenomenon on a magnetic basis; on an electric basis, we can say that as the electrons in the wire follow those in the ray, they will have a speed lower than that of the positive nuclei, in the system I, as such nuclei are still in the wire. As a consequence of that, spaces among the electrons in the wire will undergo a lighter relativistic Lorentz contraction, if compared to that of the nucleis, so there will be a lower negative charge density, if compared to the positive one, so electrons in the ray will be electrically attracted by the wire. This is the interpretation of the magnetic field on an electric basis. Now, although the speed of electrons in an electric current is very low (centimeters per second), if compared to the relativistic speed of light, we must also acknowledge that the electrons are billions and billions., so a small Lorentz contraction on so many spaces among charges, makes a substantial magnetic force to appear. But now lets see if mathematics can prove were quantitatively right on what asserted so far, by showing that the magnetic force is an electric one itself, but seen on a relativistic basis. On the basis of that, lets consider a simplified situation in which an electron e- , whose charge is q, moves with speed v and parallel to a nuclei current whose charge is Q+ each (and speed u): yy

I

z x

q-

v

rQ+ Q+

FQ+ Q+ Q+ Q+

u

I

z

d = d 0 1 u 2 c2x

Fig. A3.3: Current of positive charge (speed u) and an electron whose speed is v, in the readers steady system I. a) Evaluation of F on an electromagnetic basis, in the system I : First of all, we remind ourselves of the fact that if we have N charges Q in line and d spaced (as per Fig. A3.3), then the linear charge density will be:

= N Q N d = Q dforce

.

Now, still with reference to Fig. A3.3, in the system I, for the electromagnetics the electron will undergo the Lorentz

Fl = q ( E + v B) which is made of an originally electrical component and of a magnetic one: 1 1 Q d Fel = E q = ( )q = ( )q due to the electric attraction from a linear distribution of charges Q, and: 0 2r 0 2r

Fmagn = 0So:

I Q t Q (d u ) uQ d = 0 = 0 = 0 2r 2r 2r 2r

(Biot and Savart).

Fl = q (

1 1 Q d Q d0 1 uQ d )=q ( 0 uv ) v0 2r 2r 0 0 2r 1 u 2 c2 = d0 1 u 2 c 2

,

(A3.1)

where the negative sign tells us the magnetic force is repulsive, in that case, because of the real directions of those currents, and where the steady distance d0 is contracted to d, according to Lorentz, in the system I where charges Q have got speed u ( d ).

b) Evaluation of F on an electric base, in the steady system I of q: in the system I the charge q is still and so it doesnt represent any electric current, and so there will be only a Coulomb electric force towards charges Q:

F 'el = E 'q = (

1 1 Q d0 1 Q d' 1 ' ) ) q = q( )q = ( 0 2r 0 2r 0 2r 1 u '2 c 2,

,

(A3.2)

where u is the speed of the charge distribution Q in the system I, which is due to u and v by means of the well known relativistic theorem of composition of speeds:

u ' = (u v) (1 uv c 2 )

(A3.3)

and d0, this time, is contracted indeed, according to u:

d ' = d 0 1 u '2 c 2

.

We now note that, through some algebraic calculations, the following equality holds (see (A3.3)):

1 u '2 c 2 =

(1 u 2 c 2 )(1 v 2 c 2 ) (1 uv c 2 ) 2

, which, if replacing the radicand in (A3.2), yields:

F 'el = E 'q = (scale

1 ' 1 Q d' 1 Q d0 (1 uv c 2 ) )q = ( ) q = q( ) 0 2r 0 2r 0 2r 1 u 2 c2 1 v 2 c2

(A3.4)

We now want to compare (A3.1) with (A3.4), but we still cannot, as one is about I and the other is about I; so, lets

F 'el

in (A3.4), to I, too, and in order to do that, we see that, by definition of the force itself, in I:

F 'el (in _ I ' ) =

p I ' pI F (in _ I ) = = el 2 2 2 2 t I ' t I 1 v c 1 v c

, where

pI ' = pI ,

as

p

extends along y, and not

along the direction of the relative motion, so, according to the Lorentz transformations, it doesnt change, while course, does. So:

t , of

1 Q d0 (1 uv c 2 ) Fel (in _ I ) = F 'el (in _ I ' ) 1 v c = q ( ) 1 v 2 c2 2 2 2 2 0 2r 1 u c 1 v c2 2

=

= q(

1 Q d 0 (1 uv c 2 ) ) = Fel (in _ I ) 0 2r 1 u 2 c2

(A3.5)

Now we can compare (A3.1) with (A3.5), as now both are related to the I system. Lets write them one over another:

Fl (in _ I ) = q (

1 Q d uQ d Q d0 1 1 v0 )=q ( 0 uv) 0 2r 2r 2r 0 1 u 2 c2 1 Q d 0 (1 uv c 2 ) Q d0 1 uv 1 ) =q ( ) 2 0 2r 2r 0 0 c 1 u 2 c2 1 u2 c2

Fel (in _ I ) = q (

Therefore we can state that these two equations are identical if the following identity holds:

c =1

00

, and this

identity is known since 1856. As these two equations are identical, the magnetic force has been traced back to the Coulombs electric force, so the unification of electric and magnetic fields has been accomplished!! --------------------------------------------App. 6-Chapter 4: Justification of the equation and gravitational forces (Rubino). App. 6-Par. 4.1: The equation

RUniv = N re

previously used for the unification of electric

RUniv = N re

(!).

First of all, we have already checked the validity of the equation

RUniv = N re , used in (A2.2), as it has proved to be

numerically correct. And its also justified on an oscillatory basis and now we see how; such an equation tells us the radius of the Universe is equal to the classic radius of the electron multiplied by the square root of the number of electrons (and positrons) N in which the Universe can be thought as made of. (We know that in reality almost all the matter in the Universe is not made of e+e- pairs, but rather of p+e- pairs of hydrogen atoms H, but we are now interested in considering the Universe as made of basic bricks, or in fundamental harmonics, if you like, and we know that electrons and positrons are basic bricks, as they are stable, while the proton doesnt seem so, and then its neither a fundamental harmonic, and so nor a basic brick). Suppose that every pair e+e- (or, for the moment, also p+e- (H), if you like) is a small spring (this fact has been already supported by reasonings made around (A2.3)), and that the Universe is a big oscillating spring (now contracting towards its center of mass) with an oscillation amplitude obviously equal to RUniv , which is made of all microoscillations of e+epairs. And, at last, we confirm that those micro springs are all randomly spread out in the Universe, as it must be; therefore, one is oscillating to the right, another to the left, another one upwards and another downwards, and so on. Moreover e+ and e- components of each pair are not fixed, so we will not consider N/2 pairs oscillating with an amplitude 2re, but N electrons/positrons oscillating with an amplitude re.

re

RUniv

Fig. A4.1: The Universe represented as a set of many (N) small springs, oscillating on random directions, or as a single big oscillating spring. Now, as those micro oscillations are randomly oriented, their random composition can be shown as in Fig. A4.2.

rN RUniv

r re r re

y

r re r re

r re

z

r re r re

r re

r re r rex

Fig. A4.2: Composition of N micro oscillations

r re

randomly spread out, so forming the global oscillation RUniv.

We

rN r N 1 r rN RUniv = RUniv + re and the scalar product RUniv with itself yields: rN rN r N 1 r N N 1 RUniv RUniv = ( RUniv ) 2 = ( RUniv ) 2 + 2 RUniv re + re2 ; we now take the mean value: r N 1 r N N 1 N 1 (A4.1) ( RUniv ) 2 = ( RUniv ) 2 + 2 RUniv re + re2 = ( RUniv ) 2 + re2 , r N 1 r r as 2 RUniv re = 0 , because re can be oriented randomly over 360 (or over 4 sr, if you like), so a vector averagingcan obviously write that:N N 1 ( RUniv ) 2 = ( RUniv ) 2 + re2

with it, as in the previous equation, yields zero. We so rewrite (A4.1): and proceeding, on it, by induction: (by replacing N with N-1 and so on):N 1 N ( RUniv ) 2 = ( RUniv2 ) 2 + re2

, and then:

N N ( RUniv2 ) 2 = ( RUniv3 ) 2 + re2

etc, we get: , that is:

N N 1 N ( RUniv ) 2 = ( RUniv ) 2 + re2 = ( RUniv2 ) 2 + 2 re2 = .......... = 0 + N re2 = N re2 N ( RUniv ) 2 = N re2

, from which, by taking the square roots of both sides:

N ( RUniv ) 2 = RUniv = N

re2 = N re

, that is:

RUniv = N re

!!!

(Rubino)

(A4.2)

Anyway, its well known that, in physics, for instance, the walk R made over N successive steps r, and taken in random directions, is really the square root of N by r (see, for instance, studies on Brownian movement). --------------------------------------------App. 6-Chapter 5: aUnivas absolute responsible of all forces. App. 6-Par. 5.1: Everything from aUniv. Still in agreement with what has been said so far, the cosmic acceleration itself aUniv is responsible for gravity all, and so for the terrestrial one, too. In fact, just because the Earth is dense enough, its got a gravitational acceleration on its surface g=9,81 m/s2, while if today we could consider it as composed of electrons randomly spread, just like in Fig. A4.1 for the Universe, then it would have a radius surface would be:

M Earth re = N Earth re , me!!!

and the gravitational acceleration on its

g New = G

M Earth = aUniv = 7,62 1012 m / s 2 2 ( N Earth re )

Therefore, once again we can say that the gravitational force is due to the collapsing of the Universe by aUniv, and all gravitational accelerations we meet, time after time, for every celestial object, are different from aUniv according to how much such objects are compressed. --------------------------------------------App. 6-Par. 5.2: Summarizing table of forces.

aUniv

causes

GRAVITY

causes(Rubino)

ELECTRICITY causes (Einstein)(Maxwell)

WEAK FORCE

MAGNETISMFig. A5.1: Summarizing table of forces.

STRONG FORCE(my works in progress)

App. 6-Par. 5.3: Further considerations on composition of the Universe in pairs +/-. The full releasing of every single small spring which stands for the electron-positron pair, is nothing but the annihilation, with turning into photons of those two particles. In such a way, that pair wouldnt be represented anymore by a pointed wave, pointed in certain place and time, (for instance the pointed part would stand for the charge of the

sin( x vt ) ( x vt ) , or the similar ( x vt ) of Dirac), where spring, but it will be represented by a function like sin( x ct ) ,

omogeneous along all its trajectory, and this is what a photon is. This will happen when the collapsing of the Universe in its center of mass will be accomplished. Moreover, the essence of the pairs e+e-, or, in this era, of e-p+, is necessary in order not to violate Principle of Conservation of Energy. In fact, the Universe seems to vanish towards a singularity, after its collapsing, or taking place from nothing, during its inverse Big Bang-like process, and so doing, it would be a violation of such a conservation principle, if not supported by the Indetermination Principle, according to which an energy E is legitimated to appear anyhow, unless it lasts less than t, in such a way that

E t h 2 ; in other words, it can appear provided that the

observer doesnt have enough time, in comparison to his means of measure, to figure it out, so coming to the ascertainment of a violation. And, by the same token, the whole Universe, which is made of pairs +/-, has this property. And the appearing of a E made of a pair of particles, shows the particles to reject each other first, so showing the same charge, while the successive annihilation after t shows a successive attraction, showing now opposite charges. So, the appearing and the annihilation correspond to the expansion and collapsing of the Universe. Therefore, if we were in an expanding Universe, we wouldnt have any gravitational force, or it were opposite to how it is now, and its not true that just the electric force can be repulsive, but the gravitational force, too, can be so (in an expanding Universe); now its not so, but it was! The most immediate philosophical consideration which could be made, in such a scenario, is that, how to say, anything can be born (can appear), provided that it dies, and quick enough; so the violation is avoided, or better, its not proved/provable, and the Principle of Conservation of Energy is so preserved, and the contradiction due to the appearing of energy from nothing is gone around, or better, it is contradicted it itself. App. 6-Par. 5.4: The Theory of Relativity is just an interpretation of the oscillating Universe just described, contracting with speed c and acceleration auniv. On composition of speeds: 1) Case of a body whose mass is m. If in our reference system I, where we (the observers) are at rest, there is a body whose mass is m and its at rest, we can say: jump to speed v2, so that, obviously:

v1 = 0

and

E1 =

1 2 mv1 = 0 2

. If now I give kinetic energy to it, it will

1 2 mv2 and its delta energy of GAINED energy E (delta up) is: 2 1 2 1 1 E = E2 E1 = mv2 0 = m(v2 0)2 = m(v) 2 , with v = v2 v1 . 2 2 2 Now, weve obtained a v which is simply v2 v1 , but this is a PARTICULAR situation and its true only when it starts E2 = E = E2 E1 = 1 2 1 2 1 1 2 mv2 mv1 = m(v2 v12 ) = m(V v )2 , where V 2 2 2 2is a vectorial delta:

from rest, that is, when v1 = 0. On the contrary:

2 V v = (v2 v12 )

; therefore, we can say that, apart from the particular case when we start from rest (v1 = 0), if we

are still moving, we wont have a simple delta, but a vectorial one; this is simple base physics. 2) Case of the Earth. In our reference system I, in which we (the observers) are at rest, the Earth (E-Earth) rotates around the Sun with a total energy:

ETot = E

1 M m 2 mE vE G Sun E 2 RE S

, and with a kinetic energy

EK =

1 2 mE vE 2

. If now we give the Earth a delta up

of kinetic energy in order to make it jump from its orbit to that of Mars (M-Mars), then, just like in the previous

point 1, we have:

1 1 1 1 2 2 2 2 mE vE mE vM = mE (vE vM ) = mE (V v )2 2 2 2 2 speed deltas are vectorial-like ( V ). E =

, with

2 2 V v = (vE vM )

, and so also here the

3) Case of the Universe. In our reference system I, where we (the observers) are at rest, if we want to make a body, whose mass is m0 and originally at rest, get speed V, we have to give it a delta v indeed, but for all what has been said so far, as we are already moving in the Universe, (and with speed c), as for above points 1 and 2, such a delta v must withstand the following (vectorial) equality:2 V = V v = (c 2 v New Abs Univ Speed ) ,

(A5.1)

where

vNew Abs Univ Speed

is the new absolute speed the body (m0) looks to have, not with respect to us, but with

respect to the Universe and its center of mass. As a matter of fact, a body is inexorably linked to the Universe where it is, in which, as chance would have it, it already moves with speed c and therefore has got an intrinsic energy

m0c 2 .

In more details, as we want to give the body (m0) a kinetic energy Ek , in order to make it gain speed V (with respect to us), and considering that, for instance, in a spring which has a mass on one of its ends, for the harmonic motion law, the speed follows a harmonic law like:

v = (X Max ) sin = VMax sin

( vNew Abs Univ Speed

= c sin , in our case),

and for the harmonic energy we have a harmonic law like:

E = E Max sin ( m0c 2 = (m0c 2 + EK ) sin , in our case), we get sin from the two previous equations and equal them, so getting: m0c 2 , vNew Abs Univ Speed = c m0c 2 + EKnow we put this expression for

vNew Abs Univ Speed2

in (A5.1) and get:

V = V v = (c v2

2 New Abs Univ Speed

m0 c 2 ) = [c (c ) 2 ] = V , and we report it below: 2 m0 c + EK(A5.2)

V = [c 2 (c

m0c 2 )2 ] m0c 2 + EK 1

If now we get EK from (A5.2), we have:

EK = m0c 2 (

V2 1 2 c

1)

!!! which is exactly the Einsteins relativistic kinetic energy!

If now we add to EK such an intrinsic kinetic energy of m0 (which also stands at rest rest with respect to us, not with respect to the center of mass of the Universe), we get the total energy:

E = EK + m0c 2 = m0c 2 + m0c 2 ( E = m0 c 2

1 V 1 2 c2

1) =

1 V 1 2 c2

m0c 2 = m0c 2

, that is the well known

(of the Special Theory of Relativity).

(A5.3)

All this after that we supposed to bring kinetic energy to a body at rest (with respect to us). Equation (A5.3) works wery well on particle accelerators, where particles gain energy, but there are cases (collapsing Universe and Atomic Physics) where masses lose energy and radiate, instead of gaining it, and in such cases (A5.3) is completely inapplicable, as its in charge for added energies, not for lost ones. App. 6-Par. 5.5: On Relativity of lost energies. In case of lost energies (further phase of the harmonic motion), the following one must be used:

E=

1 m0 c 2

(Rubino)

(A5.4)

which is intuitive just for the simple reason that, with the increase of the speed, the coefficient

1

lowers m0 in favour

of the radiation, that is of the lost of energy; unfortunately, this is not provided for by the Theory of Relativity, like in (A5.4). For a convincing proof of (A5.4) and of some of its implications, I have further files about.

By using (A5.4) in Atomic Physics in order to figure out the ionization energies

but with a generic Z, we come to the following equation, for instance, which matches very well the experimental data:

EZ

of atoms with just one electron,

Ze2 2 EZ = mec [1 1 ( ) ] 2 0 hc2

(A5.5)

and for atoms with a generic quantum number n and generic orbits:

EZ n = mec 2[1 1 (

Ze 2 2 ) ] 4n 0 hc

(Whlin)

(A5.6)

Orbit (n) Energy (J) Orbit (n) 1 2,1787 10-18 5 2 5,4467 10-19 6 3 2,4207 10-19 7 4 1,3616 10-19 8 Tab. A5.1: Energy levels in the hydrogen atom H (Z=1), as per (A5.6).

Energy (J) 8,7147 10-20 6,0518 10-20 4,4462 10-20 3,4041 10-20

On the contrary, the use of the here unsuitable (A5.3) doesnt match the experimental data, but brings to complex corrections and correction equations (Fock-Dirac etc), which tries to correct, indeed, an unsuitable use. Again, in order to have clear proofs of (A5.5) and (A5.6), I have further files about. --------------------------------------------App. 6-SUBAPPENDIXES. App. 6-Subppendix 1: Physical constants.

1,38 1023 J / K 12 2 Cosmic Acceleration aUniv: 7,62 10 m / s 11 Distance Earth-Sun AU: 1, 496 10 m 24 Mass of the Earth MEarth: 5,96 10 kg 6 Radius of the Earth REarth: 6,371 10 m 19 Charge of the electron e: 1,6 10 CBoltzmanns Constant k: Number of electrons equivalent of the Universe N: Classic radius of the electron re:

1,75 1085

2,818 1015 m 31 Mass of the electron me: 9,1 10 kg 3 Finestructure Constant ( 1 137) : 7,30 10 21 Frequency of the Universe 0 : 4,05 10 HzPulsation of the Universe

0 (= H global ) : 2,54 1020 rad s 6,67 1011 Nm 2 / kg 2 2,47 1020 s

Universal Gravitational Constant G: Period of the Universe Light Year l.y.:

TUniv :

9, 46 1015 m 16 Parsec pc: 3,26 _ a.l. = 3,08 10 m 30 3 Density of the Universe Univ: 2,32 10 kg / mMicrowave Cosmic Radiation Background Temp. T:6

2,73K Magnetic Permeability of vacuum 0: 1, 26 10 H / m 12 Electric Permittivity of vacuum 0: 8,85 10 F / m

6,625 1034 J s 27 Mass of the proton mp: 1,67 10 kg 30 Mass of the Sun MSun: 1,989 10 kg 8 Radius of the Sun RSun: 6,96 10 m 8 Speed of light in vacuum c: 2,99792458 10 m / s 8 2 4 Stephan-Boltzmanns Constant : 5,67 10 W / m K 28 Radius of the Universe (from the centre to us) RUniv: 1,18 10 m 55 Mass of the Universe (within RUniv) MUniv: 1,59 10 kgPlancks Constant h: Thank you for your attention. Leonardo RUBINO [email protected] ---------------------------------------------------------------

Bibliography: 1) (R. Sexl & H.K. Schmidt) SPAZIOTEMPO Vol. 1, Boringhieri. 2) (C. Mencuccini e S. Silvestrini) FISICA I Meccanica-Termodinamica, Liguori. 3) (C. Mencuccini e S. Silvestrini) FISICA II Elettromagnetismo-Ottica, Liguori. 4) (V.A. Ugarov) TEORIA DELLA RELATIVITA' RISTRETTA, Edizioni Mir. 5) (R. Gautreau & W. Savin) MODERN PHYSICS Schaum. 6) (R. Feynman) LA FISICA DI FEYNMAN I-II e III Zanichelli. 7) (Lionel Lovitch-Sergio Rosati) FISICA GENERALE, Elettricit, Magnetismo, Elettromagnetismo Relativit Ristretta, Ottica, Meccanica Quantistica , 3^ Edizione; Casa Editrice Ambrosiana-Milano. 8) (M. Alonso & E.J. Finn) FUNDAMENTAL UNIVERSITY PHYSICS III, Addison-Wesley. 9) (A. Liddle) AN INTRODUCTION TO MODERN COSMOLOGY, 2nd Ed., Wiley. 10) (A. S. Eddington) THE EXPANDING UNIVERSE, Cambridge Science Classics. 11) (L. Whlin) THE DEADBEAT UNIVERSE, 2nd Ed. Rev., Colutron Research. 12) ENCYCLOPEDIA OF ASTRONOMY AND ASTROPHYSICS, Nature Publishing Group & Institute of Physics Publishing. 13) (Keplero) THE HARMONY OF THE WORLD. 14) (H. Bradt) ASTROPHYSICS PROCESSES, Cambridge University Press. --------------------------------------------------------------