Übungen zu Geostatistik 1 Theoretische Verteilungen Normalverteilung und Standardnormalverteilung als Beispiel einer theoretischen Verteilung - Normalverteilung (Gaußverteilung) kann auf sehr viele Zufallsprozesse angewendet werden. - Stetige (kontinuierliche), symmetrische (Schiefe=0), “glockenförmige” Verteilung. - Mittelwert = Median = Modus - Schiefe = 0 - Exzeß = 0 - Annahme der NV als Verteilungsmodell dort, wo die mittleren Werte eines Datenkollektivs gleichzeitig die häufigsten (wahrscheinlichsten) sind. - Standardisierte Normalverteilung (zV) bei = 0 und = 1 μ σ
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Übungen zu Geostatistik 1
Theoretische Verteilungen
Normalverteilung und Standardnormalverteilungals Beispiel einer theoretischen Verteilung
- Normalverteilung (Gaußverteilung) kann auf sehr viele Zufallsprozesse angewendet werden.
Statistische Anpassungstests (Beispiele):(Vergleich einer empirischen (SP) mit einer theoretischen (GG) Verteilung)
Zur Erinnerung: Statistische Test- und Prüfverfahren
Testentscheid:
In SPSS: Ausgabe der Wahrscheinlichkeit p für das Eintreten des empirisch festgestellten Ereignisses (ermittelter Wert der Prüfgrösse) bei Gültigkeit von H0
Ablehnen (Verwerfen) der Nullhypothese auf dem gewählten Signifikanzniveau
wenn p > α
(Synonyme für p in SPSS: Sig., Asymptotische Signifikanz)
Übungen zu Geostatistik 1
Theoretische Verteilungen
Prüfung der Güte der Verteilungsanpassung
Statistische Anpassungstests (Beispiele):(Vergleich einer empirischen (SP) mit einer theoretischen (GG) Verteilung)
Zur Erinnerung: Statistische Test- und Prüfverfahren
Anwendungsvoraussetzungen versch. Prüfverfahren:
● Testparameter zur Berechnung der Prüfgrösse (Übernahme von SP-Kenngrößen möglich oder modifizierte Berechnung?)
● Stichprobenumfang (Mindestumfang bei einer SP, Gleichheit der SP-Umfänge bei SP-Vergleichen?)
● Voraussetzungen bzgl. des Verteilungstyps der betr. Kollektive (verteilungsgebundene / parametrische bzw. verteilungsfreie / nonparametrische Verfahren?)
● Skalenniveau der Kollektive
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Theoretische Verteilungen
Prüfung der Güte der Verteilungsanpassung
Statistische Anpassungstests (Beispiele):(Vergleich einer empirischen (SP) mit einer theoretischen (GG) Verteilung)
Generell gilt für Anpassungstests („Goodness of Fit“ Tests) die Nullhypothese:
H0 = Die empirische Häufigkeitsverteilung stimmt mit einer
Statistische Anpassungstests (Beispiele):(Vergleich einer empirischen (SP) mit einer theoretischen (GG) Verteilung)
(1) Kolmogoroff-Smirnoff-Anpassungstest(Modifizierter Test nach Lilliefors: Parameter der TV werden aus SP geschätzt)
Berechnung der Prüfgrösse:
SHk(SP): Summenhäufigkeit der empirischen Verteilung
SHk(TV): Summenhäufigkeit der theoretischen Verteilung
K: Anzahl der Klassenn: Stichprobenumfang
Voraussetzungen: Klassenorientierung der SP, n > 50, nk ≥ 4, kumulative Häufigkeiten, verteilungsfreier Test
Pr=∣Max SHk SP−SHk TV k=1
K ∣n
SPSS-Menü-> Deskriptive Statistik -> Explorative Datenanalyse-> Normalverteilungs- diagramme mit Tests
bzw.-> Nichtparametrische Tests-> K-S bei einer Stichprobe
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Theoretische Verteilungen
Prüfung der Güte der Verteilungsanpassung
Statistische Anpassungstests (Beispiele):(Vergleich einer empirischen (SP) mit einer theoretischen (GG) Verteilung)
(2) X2-Anpassungstest
Berechnung der Prüfgrösse:
Hk: Klassenhäufigkeit der empirischen (SP), der theoretischen (TV) Verteilung
K: Anzahl der KlassenΦ = K-Z: Zahl der Freiheitsgrade, Z: Zahl der Parameter der theoretischen Verteilung
Voraussetzungen: Klassenorientierung der SP, n > 50, nk ≥ 4, verteilungsfreier Test
X2=∑
k=1
K Hk SP−Hk TV 2
Hk TV
SPSS-Menü-> Nichtparametrische Tests -> Chi Quadrat
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Theoretische Verteilungen
Prüfung der Güte der Verteilungsanpassung
Statistische Anpassungstests (Beispiele):(Vergleich einer empirischen (SP) mit einer theoretischen (GG) Verteilung)
(3) Shapiro-Wilk-Anpassungstest
Berechnung der Prüfgrösse:
Anwendung: - Nur für Prüfung auf NV anwendbar!- Insbesondere bei Vorliegen kleiner Stichprobenumfänge (<50) zuverlässiger als KS-Test und X2-Test
SPSS-Menü-> Deskriptive Statistik -> Explorative Datenanalyse-> Normalverteilungs- diagramme mit Tests
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Theoretische Verteilungen
Wahrscheinlichkeitsschätzungen auf Grundlage der angepassten Verteilungsfunktion
Beispiel Normalverteilung u. Standardnormalverteilung
(2) Intervallschätzung
(a) Mutungsbereiche (Konfidenzintervalle), für Verteilungskenngrößen der GG (In SPSS z.B. Konfidenzintervall des Mittelwerts -> Deskriptive Statistik -> Explorative Datenanalyse)
(b) Ereignisschätzungen<- Schätzung des Intervalls, in dem auf Grund eines angepassten theoretischen Verteilungsmodells künftige SP-Daten mit definitiver Wahrscheinlichkeit vermutet werden.
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Theoretische Verteilungen
Wahrscheinlichkeitsschätzungen auf Grundlage der angepassten Verteilungsfunktion
Beispiel Normalverteilung u. Standardnormalverteilung
(b) Ereignisschätzungen
2 Vorgehensweisen:
- Wahrscheinlichkeit F(a) ist vorgegeben, zugehöriger Wert/Wertebereich (Werteintervall ∆a) wird geschätzt
- Wert/Wertebereich (Werteintervall ∆a) ist vorgegeben, zugehörige Eintrittswahrscheinlichkeit F(a) wird geschätzt
Übungen zu Geostatistik 1
Theoretische Verteilungen
Wahrscheinlichkeitsschätzungen auf Grundlage der angepassten Verteilungsfunktion
Beispiel Normalverteilung u. Standardnormalverteilung
(b) Ereignisschätzungen
In SPSS: (-> Transformieren -> Berechnen -> Funktionen)
(1) CDF.Verteilung(Zahl, Parameter der Verteilung)– ergibt die Wahrscheinlichkeit, mit der eine Zufallsvariable (ZV), die der angegebenen Verteilung folgt, einen Wert kleiner oder gleich Zahl annimmt (Unterschreitungswahrscheinlichkeit).
(2) IDF.Verteilung(Wahrscheinlichkeit, Parameter der Verteilung)– liefert den Wert, den eine der angegebenen Verteilung folgende ZV mit einer kumulierten Wahrscheinlichkeit von Wahrscheinlichkeit annimmt.
SPSS berücksichtigt nur Unterschreitungswahrscheinlichkeiten!