The Van Hiele Model of Geometric Thought. Two Dutch educators, Dina and Pierre van Hiele, suggested that children may learn geometry along the lines of a structure for reasoning that they developed in the 1950s. educators in the former Soviet Union learned of the van Hiele research and changed their geometry curriculum in the 1960s. During the 1980s there was interest in the United States in the van Hieles' contributions; the {\it Standards} of the National Council of Teachers of Mathematics (1989) brought the van Hiele model of learning closer to implementation by stressing the importance of sequential learning and an activity approach. The van Hiele model asserts that the learner moves sequentially through five levels of understanding. Different numbering systems are found in the literature but the van Hieles spoke of levels 0 through 4. Level 0 (Basic Level): Visualization Students recognize figures as total entities (triangles, squares), but do not recognize properties of these figures (right angles in a square). Level 1: Analysis Students analyze component parts of the figures (opposite angles of parallelograms are congruent), but interrelationships between figures and properties cannot be explained. Level 2: Informal Deduction Students can establish interrelationships of properties within figures (in a quadrilateral, opposite sides being parallel necessitates opposite angles being congruent) and among figures (a square is a rectangle because it has all the properties of a rectangle). Informal proofs can be followed but students do not see how the logical order could be altered nor do they see how to construct a proof starting from different or unfamiliar premises. Level 3: Deduction At this level the significance of deduction as a way of establishing geometric theory within an axiom system is understood. The interrelationship and role of undefined terms, axioms, definitions, theorems and formal proof is
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
The Van Hiele Model of Geometric Thought.Two Dutch educators, Dina and Pierre van Hiele, suggested that children may learn geometry along the lines of a structure for reasoning that they developed in the 1950s. educators in the former Soviet Union learned of the van Hiele research and changed their geometry curriculum in the 1960s. During the 1980s there was interest in the United States in the van Hieles' contributions; the {\it Standards} of the National Council of Teachers of Mathematics (1989) brought the van Hiele model of learning closer to implementation by stressing the importance of sequential learning and an activity approach.The van Hiele model asserts that the learner moves sequentially through five levels of understanding. Different numbering systems are found in the literature but the van Hieles spoke of levels 0 through 4.Level 0 (Basic Level): VisualizationStudents recognize figures as total entities (triangles, squares), but do not recognize properties of these figures (right angles in a square).Level 1: AnalysisStudents analyze component parts of the figures (opposite angles of parallelograms are congruent), but interrelationships between figures and properties cannot be explained.Level 2: Informal Deduction Students can establish interrelationships of properties within figures (in a quadrilateral, opposite sides being parallel necessitates opposite angles being congruent) and among figures (a square is a rectangle because it has all the properties of a rectangle). Informal proofs can be followed but students do not see how the logical order could be altered nor do they see how to construct a proof starting from different or unfamiliar premises. Level 3: DeductionAt this level the significance of deduction as a way of establishing geometric theory within an axiom system is understood. The interrelationship and role of undefined terms, axioms, definitions, theorems and formal proof is seen. The possibility of developing a proof in more than one way is seen.Level 4: RigorStudents at this level can compare different axiom systems (non-Euclidean geometry can be studied). Geometry is seen in the abstract with a high degree of rigor, even without concrete examples. The majority of high school geometry courses is taught at Level 3. The van Hieles also identified some characteristics of their model, including the fact that a person must proceed through the levels in order, that the advancement from level to level depends more on content and mode of instruction than on age, and that each level has its own vocabulary and its own system of relations.The van Hieles proposed sequential phases of learning to help students move from one level to another.Phase 1: Inquiry/Information At this initial stage the teacher and the students engage in conversation and activity about the objects of study for this level. Observations are made, questions are raised, and level-specific vocabulary is introduced.Phase 2: Directed OrientationThe students explore the topic through materials that the teacher has carefully sequenced. These activities should gradually reveal to the students the structures characteristic at this level.
Phase 3: ExplicationBuilding on their previous experiences students express and exchange their emerging views about the structures that have been observed. Other than to assist the students in using accurate and appropriate vocabulary, the teacher's role is minimal. It is during this phase that the level's system of relations begins to become apparent.Phase 4: Free OrientationStudents encounter more complex tasks - tasks with many steps, tasks that can be completed in more than one way, and open-ended tasks. They gain experience in resolving problems on their own and make explicit many relations among the objects of the structures being studied.Phase 5: IntegrationStudents are able to internalize and unify relations into a new body of thought. The teacher can assist in the synthesis by giving ''global surveys'' of what students already have learned. Reference: Teppo, Anne , "Van Hiele Levels of Geometric Thought Revisited." , Mathematics Teacher , March 1991, pg 210-221. Bai1
Hai nhà giáo dục Dina và Pierre Hà lan chuyên chở bằng xe tải Hiele, đã gợi ý rằng con cái có thể học hình học dọc theo những dòng một cấu trúc (cho) lý luận mà họ phát triển trong 1950 S. nhà giáo dục trong cựu Liên bang Xô viết được học (của) nghiên cứu Hiele xe tải và thay đổi chương trình học hình học của họ vào những năm 1960. Trong thời gian 1980 S có sự quan tâm trong Nước Mỹ trong những xe tải Hiele \ ' Những đóng góp; {\\ Nó Những tiêu chuẩn} Của Hội đồng Quốc gia (của) những giáo viên (của) Toán học (1989) được mang mô hình Hiele xe tải của việc học người đóng tới sự thi hành bằng việc nhấn mạnh sự quan trọng (của) sự học và một cách tiếp cận hoạt động tuần tự
Mô hình Hiele xe tải khẳng định rằng học viên di chuyển tuần tự xuyên qua năm mức của việc hiểu. Những hệ thống đánh số Khác được tìm thấy trong văn học nhưng xe tải Hieles nói về những mức Từ 0 đến 4.
Ngang mức 0 (Mức Cơ bản): Trực quan hóa.Những sinh viên đoán nhận những hình như tổng số thực thể (những hình tam giác,
những hình vuông), nhưng không đoán nhận những thuộc tính (của) những hình này (những góc vuông trong một hình vuông).
Ngang mức 1: Phân tích.Những sinh viên phân tích những linh kiện (của) những hình (những góc đối đỉnh
(của) những hình bình hành phù hợp), nhưng những sự quan hệ lẫn nhau giữa những hình và những thuộc tính không thể được giải thích.
Ngang mức 2: Suy diễn Không hình thức.Những sinh viên có thể thiết lập những sự quan hệ lẫn nhau (của) những thuộc tính
bên trong những hình (trong một hình bốn cạnh, những nửa kia song song cần phải có những góc đối đỉnh phù hợp) và trong số những hình (một hình vuông là một hình chữ nhật bởi vì nó có mọi thuộc tính (của) một hình chữ nhật). Những sự chứng minh Không hình thức có thể được đi theo sau nhưng những sinh viên không nhìn thấy mệnh lệnh lôgíc có thể (thì) biến đổi mà cũng không họ nhìn thấy để xây dựng một sự chứng minh bắt đầu như thế nào từ nhà cửa khác hay xa lạ như thế nào.
Ngang mức 3: Suy diễn.
Tại mức này ý nghĩa (của) suy diễn như một cách thiết lập lý thuyết hình học bên trong một hệ thống tiên đề được hiểu. Sự quan hệ lẫn nhau và vai trò (của) những thuật ngữ và chứng minh hình thức không xác định những tiên đề, những định nghĩa, những định lý được nhìn thấy. Khả năng của việc phát triển một sự chứng minh vào nhiều cách được nhìn thấy.
Ngang mức 4: Khắc nghiệt.Những sinh viên tại mức này có thể Những hệ thống tiên đề khác so sánh (hình học
phi Ơclit có thể được học). Hình học được nhìn thấy một cách tóm tắt với một độ cao (của) sự khắc nghiệt, thậm chí không có những ví dụ cụ thể.
Phần lớn (của) những khóa học hình học trung học (thì) dạy tại Mức 3. xe tải Hieles cũng xác định một số đặc trưng (của) mô hình của họ, kể cả thực tế mà một người phải theo đuổi xuyên qua những Mức trong mệnh lệnh, mà sự tiến bộ từ Mức đến Mức phụ thuộc Hơn Trên nội dung và kiểu (của) chỉ dẫn so với trên tuổi, và mỗi Mức đó có từ vựng và hệ thống (của) riêng mình (của) những quan hệ của mình. Xe tải Hieles đề xướng những pha tuần tự (của) sự học để giúp đỡ những sinh viên di chuyển từ mức này sang cái khác.
Thực hiện dần 1: Điều tra/ Thông tin.Tại giai đoạn khởi sinh này những giáo viên và sinh viên hoạt động vì cuộc nói
chuyện và hoạt động về những đối tượng (của) sự nghiên cứu (cho) mức này. Những sự quan sát được làm, những câu hỏi được nâng, và từ vựng chuyên biệt về mức được giới thiệu
Thực hiện dần 2: sự Định hướng Định hướng.Những sinh viên khám phá đề tài xuyên qua nguyên liệu mà giáo viên có cẩn thận
sequenced. Những hoạt động này cần phải dần dần để lộ ra tới những sinh viên những cấu trúc đặc trưng tại mức này.
Thực hiện dần 3: Giải thích.Dựa vào những kinh nghiệm có trước của họ những sinh viên biểu thị và trao đổi
(sự) nẩy sinh những sự nhìn (của) họ về những cấu trúc Rằng có to built observed. (Kẻ) Khác so với để giúp đỡ những sinh viên sử dụng từ vựng chính xác và thích hợp, giáo viên \ Là vai trò Là cực tiểu. Nó trong thời gian pha này mà mức \ Là hệ thống (của) những quan hệ Bắt đầu trở nên hiển nhiên.
Thực hiện dần 4: sự Định hướng Tự do.Những sinh viên gặp những nhiệm vụ phức tạp hơn- những nhiệm vụ với nhiều
bước, những nhiệm vụ mà có thể (thì) hoàn tất vào nhiều cách, và những nhiệm vụ có tính chất mở. Họ kiếm được kinh nghiệm trong việc tự ý giải quyết những vấn đề và làm rõ ràng nhiều quan hệ trong số những đối tượng (của) những cấu trúc cố ý.
Thực hiện dần 5: Hợp nhất.Những sinh viên (thì) có khả năng để chủ quan hóa và hợp nhất những quan hệ vào
trong một thân thể mới (của) sự suy nghĩ. Giáo viên có thể tham gia sự tổng hợp bằng việc đưa cho\'\' toàn cầu những sự khảo sát \ '\' Của điều mà những sinh viên đã đã học.
Van Hiele levels and learning geometry notesThe Van Hiele's research in math eduction was focussed on the learning of geometry. They postulated (and subsequent research supports their framework), that students must
pass through a series of levels of understanding for a geometry topic as they master that content area. Their levels are roughly as follows. Note that there are two alternate numeration schemes (0-4 and 1-5) for Van Heile levels (I am using the 0-4 numeration):
Level 0 (visualization): learners identify a geometric object or concept because it is like a prototypical examples that they have been exposed to. Children in grades PreK-1 are often at level 0 with respect to recognizing triangles, in that they may not accept thin or obviously scalene triangles as being triangles, because their concept of "triangle" is directly tied to the prototypical example of a point-up equilateral triangle.
Level 1 (Analysis): learners identify the properties of shapes, and can recognize a shape by its properties Children in grades 2 and up are often at level 1 in their understanding of shapes such as triangles, squares and rectangles, because they can identify the properties that those shapes have, and can, at least in most cases, identify shapes by their properties. They generally are not able to distinguish the most important (necessary and sufficient) conditions for identifying a shape. Children up to grade 4 and 5 are generally still convinced that a square is not a rectangle.
Level 2 (Abstraction): learners recognize relationships between types of shapes. They recognize that all squares are rectangles, but not all rectangles are squares. They can tell whether it is possible or not to have a rectangle that is, for example, also a rhombus. Students need to be comfortably at this level to be well prepared for a high school geometry course (though many students are not). One of our goals in this class will be to consider ways that we can help children progress to a level 2 understanding of some important geometric topics.
Level 3 (Deduction): learners can construct geometric proofs at a high school level. Learners should be exposed to deduction at a pre-high-school level in the context of level 2 discussions (what properties tell us that all squares are also rectangles), but the primary consideration of level 3 work will not be discussed in this course.
Level 4 (Rigor): learners understand how geometry proofs and concepts fit together to create the structure we call geometry. This is the level at which most college geometry courses (for math majors) are designed.I got some of the details for this explanation from the paper The Van Hiele Levels of Geometric Understanding by Marguerite Mason.I got some of my information about PreK-1 students from the article Young Children's Developing Understanding of Geometric Shapes by Mary Anne Hannibal, published in Teaching children Mathematics Feb. 1999 (available in our library)Thanks also to information presented by Michael Serra at the 2004 NCTM regional meeting in Minneapolis.
Bai2Xe tải Hiele\\\ Là nghiên cứu trong rút ra math Được tập trung vào sự học Của
geometry. Bọn họ được ước định (và nghiên cứu kế tiếp hỗ trợ khung của họ), những sinh viên đó phải đi qua xuyên qua một loạt (của) những mức của việc hiểu (cho) một đề tài hình học như Họ chủ mà làm bằng lòng vùng.Những mức Của họ Thô nhám như follows. Chú ý rằng có hai sơ đồ phép đếm xen kẽ (0-4 và 1-5) (cho) Heile mức Xe tải (Tôi đang sử dụng 0-4 phép đếm)
Ngang mức 0 (trực quan hóa): đồng nhất những học viên Một vật thể hình học hay khái niệm vì nó cũng như một prototypical ví dụ mà họ đã được phơi bày Tới. Con cái
trong những thứ bậc PreK-1 thường tại mức 0 đối với việc đoán nhận những hình tam giác, trong tháng năm bọn họ đó không phải là sự chấp nhận mỏng hay rõ ràng những tam giác thường như là những hình tam giác, vì khái niệm của họ (của) hình tam giác\" \ " Trực tiếp bị ràng buộc đối với ví dụ prototypical (của) một hình tam giác lên trên đều điểm.
Ngang mức 1 (Phân tích): đồng nhất những học viên Những thuộc tính của những hình dạng, và có thể đoán nhận một hình dạng bởi Con cái những thuộc tính (của) nó trong những thứ bậc 2 và lên trên thường tại việc Ngang mức 1 trong những derstande $Un của họ (của) hình dạng như những hình tam giác,những hình vuông và những hình chữ nhật, vì bọn họ có thể xác định những thuộc tính mà những hình dạng đó có, và có thể, ít nhất trong đa số những trường hợp, đồng nhất hình thành bởi những thuộc tính của họ.Họ nói chung không phải (thì) có thể phân biệt những nhiều điều kiện quan trọng (cần thiết và đủ) nhất để đồng nhất hóa(nhận ra) Một shape. Con cái để lên trên sắp xếp 4 và 5 nói chung còn bị thuyết phục rằng một hình vuông là không phải một hình chữ nhật.
Level 2 (Abstraction): những học viên đoán nhận những mối quan hệ giữa những kiểu của shapes. Họ đoán nhận rằng tất cả các hình vuông đều là những hình chữ nhật, nhưng không phải tất cả các hình chữ nhật đều là những hình vuông. .Họ có thể nói liệu nó khả dĩ hay không để có một hình chữ nhật Điều đó, (Cho) ví dụ một hình thoi nữa. Những sinh viên cần tiện lợi tại mức này sẽ được chuẩn bị (cho) một khóa học hình học trung học cẩn thận ( Tuy nhiên Nhiều sinh viên Không phải). Một trong số những mục đích (của) chúng ta trong lớp này sẽ sẽ xem xét những cách mà chúng tôi có thể giúp đỡ con cái tiến triển tới Một mức 2 hiểu của một số đề tài hình học quan trọng.
Ngang mức 3 (Suy diễn): những học viên Có thể xây dựng những sự chứng minh hình học tại một trung học level. Những học viên cần phải được phơi bày tới Suy diễn tại một Mức trường học- cao trước trong văn cảnh (của) Mức 2 thảo luận.(những thuộc tính nói với chúng ta rằng tất cả các hình vuông đều là những hình chữ nhật nữa là gì), trừ phi sự xem xét sơ cấp (của) mức 3 công việc sẽ không được bàn luận trong khóa học này.
Ngang mức 4 (Khắc nghiệt): những học viên Biết làm sao những sự chứng minh hình học và những khái niệm hợp với nhau để tạo ra cấu trúc chúng tôi gọi là geometry. Đây là mức mà đa số những khóa học hình học trường cao đẳng ((cho) các công ty lớn nhất math) được thiết kế.
Van Hiele Levels of Geometric Reasoning
The work of two Dutch educators, Pierre van Hiele and Dina van Hiele-Geldof, has given us a vision around which to design geometry curriculum.3 Through their research they have identified five levels of understanding spatial concepts through which children move sequentially on their way to geometric thinking.4 There are four characteristics of these levels of thought:
The Van Hiele levels of geometric reasoning are sequential. Students must pass through all prior levels to arrive at any specific level.
These levels are not age-dependent in the way Piaget described development.
Geometric experiences have the greatest influence on advancement through the levels.
Instruction and language at a level higher than the level of the student may inhibit learning.5
Below are listed the van Hiele levels and activities that would be appropriate for students at each level. Most students in grades K-3 will be at Level 1 (visualization) while students in grades 4-5 may be at Level 2 (analysis) and some possibly at Level 3 (informal deduction). It is important for elementary school teachers to provide their students with experiences that will help them move from Level 1 to Level 3 by the end of the eighth grade.
(Note that the five van Hiele levels are sometimes numbered 0-4, as opposed to 1-5, which is used in this document.)
1. Visualization
Students can name and recognize shapes by their appearance, but cannot specifically identify properties of shapes. Although they may be able to recognize characteristics, they do not use them for recognition and sorting.
Suggestions for instruction using visualization6
sorting, identifying, and describing shapes manipulating physical models seeing different sizes and orientations of the same shape as to distinguish
characteristics of a shape and the features that are not relevant building, drawing, making, putting together, and taking apart shapes.
2. Analysis
Students begin to identify properties of shapes and learn to use appropriate vocabulary related to properties, but do not make connections between different shapes and their properties. Irrelevant features, such as size or orientation, become less important, as students are able to focus on all shapes within a class. They are able to think about what properties make a rectangle. Students at this level are able to begin to talk about the relationship between shapes and their properties.
Suggestions for instruction using analysis
shifting from simple identification to properties, by using concrete or virtual models to define, measure, observe, and change properties
using models and/or technology to focus on defining properties, making property lists, and discussing sufficient conditions to define a shape
doing problem solving, including tasks in which properties of shapes are important components
classifying using properties of shapes.
3. Informal Deduction
Students are able to recognize relationships between and among properties of shapes or classes of shapes and are able to follow logical arguments using such properties.
Suggestions for instruction using informal deduction
doing problem solving, including tasks in which properties of shapes are important components
using models and property lists, and discussing which group of properties constitute a necessary and sufficient condition for a specific shape
using informal, deductive language ("all," "some," "none," "if-then," "what if," etc.)
investigating certain relationships among polygons to establish if the converse is also valid (e.g., "If a quadrilateral is a rectangle, it must have four right angles; if a quadrilateral has four right angles, must it also be a rectangle?")
using models and drawings (including dynamic geometry software) as tools to look for generalizations and counter-examples
making and testing hypotheses using properties to define a shape or determine if a particular shape is
included in a given set.
Note: Students usually do not reach Levels 4 and 5 until high school or college, but teachers should be aware of these levels nonetheless.
4. Deduction
Students can go beyond just identifying characteristics of shapes and are able to construct proofs using postulates or axioms and definitions. A typical high school geometry course should be taught at this level.
5. Rigor
This is the highest level of thought in the van Hiele hierarchy. Students at this level can work in different geometric or axiomatic systems and would most likely be enrolled in a college level course in geometry.
Implications of van Hiele for instruction
Geometry taught in the elementary school should be informal. Such informal geometry activities should be exploratory and hands-on, in order to provide children with the opportunity to investigate, to build and take apart, to create and make drawings, and to make observations about shapes in the world around them.7 This provides the basis for more formal activities at higher levels.
Teaching a geometry lesson at one van Hiele level when students are functioning at a
lower level may hinder student learning. For example, a teacher asks his or her students to play the "What am I?" game with properties of geometric figures, saying, "I have four sides and all of my interior angles are right angles. What am I?" To answer this question, a student must be functioning at Level 2 (analysis) in van Hiele's model of geometric reasoning.
If the students in this class are functioning at Level 1 (visualization), where they recognize a figure by its appearance, they will not be able to play the game. If students are at different levels in one class, the teacher must use differentiated instruction to meet the needs of all of his or her students.
Diagnostic assessment will help to determine the developmental level in geometry for each student.
Bai 3
Hiele mức Xe tải (của) Lý luận Hình học
Công việc (của) hai nhà giáo dục Pierre xe tải Hiele và Dina Hà lan chuyên chở bằng xe tải Hiele- Geldof, đã đưa cho chúng ta một sự nhìn xung quanh thiết kế chương trình học hình học nào. 3 Xuyên qua nghiên cứu của họ họ đã xác định năm mức của việc hiểu những khái niệm không gian mà Xuyên qua (cái) đó con cái di chuyển tuần tự trên cách của họ tới sự suy nghĩ hình học. 4 ở đó Bốn Đặc tính Của Này Mức Của Sự suy nghĩ :
Hiele mức Xe tải (của) lý luận hình học sequential. Những sinh viên phải đi qua sự xuyên qua đều trước những mức để đến tại bất kỳ mức đặc biệt nào. " Những mức này là không phải người sống bám tuổi trong cách mà Piaget mô tả sự phát triển.
Van Hiele Levels
Pierre van Hiele and Dieke van Hiele-Geldof, mathematics teachers from the Netherlands, observed their geometry students in the 1950's. They describe five levels of geometrical reasoning, which are sequential and hierarchical. Progress from one level to the next is more dependent on mathematical experiences than chronological age.
Level 0: Visual
DESCRIPTION
Recognize basic shapes by appearance without attention to parts, attributes, or properties
Refer to visual prototypes such as doors, balls, and signs
Đoán nhận những hình dạng cơ bản bởi vẻ ngoài không có sự chú ý tới những phần, những thuộc tính hay những thuộc tính.
Tham chiếu tới những nguyên mẫu trực quan như những cái cửa, những quả bóng và những dấu hiệu
SUGGESTIONS Examine examples and non-
examples Find "hidden" figures Rearranging into other shapes Tangrams Mosaic puzzle
Recognize and name properties but do not understand ordered relationships
Inability to consider an infinite variety of shapes
Cannot discern between necessary and sufficient properties
Sự Mô tả.Đoán nhận và đặt tên những thuộc tính nhưng không hiểu những mối quan hệ có trật tự.Sự Không có khả năng để xem xét một sự đa dạng vô hạn (của) những hình dạng.Không thể nhận rõ những thuộc tính giữa cần thiết và đủ
SUGGESTIONS Identify relationships by folding,
measuring, and looking for symmetry
Folding paper with a dot on it Fold and cut, predict shape Sorting and drawing Geoboards
Những gợi ý.
" Xác định những mối quan hệ bằng việc xếp lại, đo, và tìm kiếm sự đối xứng.
" Giấy Gấp với một của hồi môn trên nó.
" Nếp gấp và cắt, dự đoán hình dạng.
" Sự Chọn và vẽ.
" Geoboards
Level 2: ABSTRACT
DESCRIPTION
Properties are logically ordered
Meaningful definitions and informal arguments
SUGGESTIONS Express relationships verbally Learn technical language Dot arrays and grids Open-ended tasks
Sự Mô tả.
Những thuộc tính (thì) hợp lý được ra lệnh.
Những định nghĩa và những lý lẽ không hình thức Đầy ý nghĩa
Những gợi ý." Biểu thị những mối quan hệ bằng lời nói." Học ngôn ngữ kỹ thuật." Đánh dấu chấm những mảng và những lưới." Những nhiệm vụ có tính chất mở
Level 3:DEDUCTION
DESCRIPTION
Deduction of sufficient conditions and equivalent definitions
Suy diễn (của) những điều kiện đủ và những định nghĩa tương đương
SUGGESTIONS Drawings and constructions Construct proof
" Những bản vẽ và những xây dựng.
" Sự chứng minh Cơ cấu
Level 4: RIGOR
DESCRIPTION
Rigor in foundations and interrelationships
Indirect proof and proof by
Sự Khắc nghiệt trong những nền tảng và những sự quan hệ lẫn nhau.Phép chứng minh gián tiếp và sự chứng minh Bởi Trái ngược contrapositive
SUGGESTIONS High abstraction level Rigorous formal proof Compare mathematical systems and
non-Euclidean systems
" Mức trừu tượng hóa Cao.
" Chứng minh hình thức Nghiêm khắc.
" Những hệ thống toán học So sánh và những không Euclidean hệ thống
O ENSINO DA GEOMETRIA POR MEIO DA METODOLOGIA VAN HIELE: