Top Banner
www.intechopen.com
24

The Use of Computer Algebra Systems in Calculus Teaching: Principles and Sample Applications

Jan 28, 2023

Download

Documents

Welcome message from author
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
Page 1: The Use of Computer Algebra Systems in Calculus Teaching: Principles and Sample Applications

������������� ������������������������

��� � ���������������������������������������������� ���

��

������������ ��������������

������������������������������������� ����������� ���� ���������

���������� ������������� ��

������������������������� ��!"���#!$%�&������������ ��� ������� ���� ��� ������ ������� ��� ������������ ��� ��

������

���� �����������

'���(��)�'��*���+��(������'��������+�* �,����+��*'��'���'���*��'����'��'��(����'����'�(*���*�-� ���.� ��'�� ���(�'��*� ��+�� *'������ ��� ��,� '�� �*�� (��)�'��*� ����� � �(���'�.� �*� ��'��(����� ��'�����-� ������ ���� ��'*� � � *'����* � ,��(�� ��/�'�� �(����'�'���� � �(���(.� � �(��)�'��*����'��(�������.�(��(�)'-����*�(��)'��� �(�*�*����)��*��'����*����,�.*�� ��*����*)�(� �(� *� ',���� ��'���� '���� ��+�(�'���� (��)�'��*� �����*'� ����� '����'������ ���(�'������'���*-��*� �� ��*��'� � � ��*���(�� *'����*� ��� '��� ��'���'��� � �'� (��� /�� *���� '��'� ��'������ ��� ���� (���������'��� '��'� �� (��)�'��� ,���� /�� /��� �(���� �*� �� +���(��� ��� ����+������ ��*'��('��� � '��.���(���*�� '���)��/�/���'.�� � *�((�**-�0����1����'.�����(���'�+�� ��*'��('��������*����(��)����,�'��(��� ����+����'����������+�*����������*����(�**��.�2��**��3�������) ��44�5-�!��'��*�(��)'�� �,��,����'�.�'�����,������'���������*����*)�(����*� ',����'��'��(������������*����*)�(� �(�(��(�)'*������'����'�(* �,��(��������(���������(��(���*�(���*�*-��

�!���� ���������������������"���#��

'��� �6647* � (��)�'��*� ��+�� /�(���� ��� ���('����(� ��'�� '�'�� � ,��� (��� ��'���('� ,�'���������-�8���'��*�)��)�*� �*����*� ',������*�/������*������ ����*)�(����.�'��(�������'����9���.����(� ����/��� ���������'�.�)������*-� �*���� '��* ����)�'������/��� �.*'��* �,��(���������������.�(���'��� ���'����*��� ���������*������))�������'����'�(��� ���*�*'��'���'��/���*��� ������(�'������)��)�*�*-��� ������ �"�#��� ��$� �#�"!:� ��;%� ���0���!� ����������*����� �'���(��)�'�������/���*.*'��*-������ �'��� ��*'�*'����*����'�����'�(���(��*'��('�����*������������'�����(�'��������/��������66&� 2��'���� � �66&5-� ���� �*�� � � ��� ��� ��'�� ���(�'���� ��*� *'��'��� ������. � ,�'�� ����(����'�������!�'����'��������� ����(��� ���'����'�(*����(�'���������+���������66<�2!���=>5-�!��'��*����'��� ������'����'������(�� ����(� ��������*����)�'������/��������'����'�(*����(�'����2���5 ���*�/������(�����'��/�����������-����?*�)���(�)����('�+�'.� �*���',�=

$%

www.intechopen.com

Page 2: The Use of Computer Algebra Systems in Calculus Teaching: Principles and Sample Applications

����������"�'� �����������+�.���������/0

.����.��.�)�*���@� '��� ��*'�,�*������ ���!*���� ��666A� '���*�(�������������'�������* ��44�A�'��� '����� ��� 8���(� � �44�A� '��� ���'�� ��� '��� �� � �44BA� ���� '��� � '�� ��� 0�����. � �44C-����<� ,���� /�� ����� ��� ������� � ���/�� � �<� ���� �C� D��.� �446 � (���(������ ,�'�� '��� �����;*.(�����.�� ���'����'�(*����(�'������� ����(��������**�����9� �$���(� ��6=�&�D��.-�

�!�����������&����'��������;���(�)��*�� �'���(��*'��('�+�*'�'����.�������*���������'��/���������'� ������� �('�+���*��� �(��)�'��*� ��� '��(�������'�-� ���'� �* � �'� �*� ������� '����9�� ���� *'����'*� ��'���('�,�'�� '���(��)�'��-� .� '��*�,�. � (��*'��('�+�*'� ��������� '����. �,��*�� )������*���.� /�� *���� '�� /��;����'�����:.��'*9. ���*��)���������,����� ����*����(��)�'��*����'��(�������'�-�((������� '�� '��� (��*'��('�+�*'� '����. � � � *������� *���(��*� ������*(�+��*� �� (��(�)'� ��� �'*���'����� ��+�������'� ��9�� *(���'�*' � '��*� �*� *���'���������� '���� ��������-�E����.��*�� '���,����F�(1������G� ���'��*�)��(�**-���*'�� �'�����'����'�(���(��(�)'*�����/������*(�+�����'������� �� ����� )�����-� ���*'��('�+�*'� '����.� *�.*� '��' � '���9� .���� *'����'*� �*� ����'����'�(�������� �(���'�'��'�����,��9�'����*(�+���'���(��(�)'-��)�(����(��)�'���*� ',������.����)��*�'����)�����'�'��*�)��(�**-����)�'������/����.*'��*���.�/��'�����'��*��������)��' ���� ����))�.����(��*'��('�+�*'�)���(�)��*� �����'�� ���(�'��� � �*)�(����.� ��� ���(���*� (��(�)'*-� E���� ��'����'��� ,�'�� '���(��*'��('�+�*� ������*�/�����'�����,��*)�('�'��'�����'�����(�'���-����+��'��������'�� ���(�'���� �*� F������'��G� (��'���� � '��'� �*� *'����'*� ���� ��*)��*�/��� ���)�� ������� *'������� ������'��*� ��� �������-� �' � ��'�� ���(�'���� ��*� '�� /�� �(�*��� ���F�����*'������� ��'�� ���� �������� ��'����'�(��� '���9���� (�)�/���'.G� 2��9��=:��H( � �4445-�((������� '����9��=:��H( � *'����'* �,���(������.�)�� �����)���'���* ���.�/�� (�������*���(�� '*��� ��+���� �'��'��)���'�����*�'�����*'��� �(��'����-����� ���� � � ��'����'�(*� ���(�'���� *������ /�� ��9���� *������� ��'����'�(���.� ��'���'�-���'����'�(��� ��'���(.� ����*� F�����*'������� '��� ����� � � ��'����'�(*� ��� '��� ,����� �����/���'.�� ���9����,���=*'��('�������'����'�(���H������'*G�2��,� ��44�5-�!��'��*�(��'�I' ���*���(������*�/�������������'��'����)�'������/����.*'��*���.�/���������'���� '�� (���'�� (��*'��('�+�*'���'�� ��������� ��+�������'� ���� ��'*� � � ��*���(�� *'����*� ��+��/����(����('��-�"�'�+�� � "��*���� ���� ���)���� 2�66C5� ���� '��� ����,���� ������*� �'� '��� ���� � � '�������*���(�A�

=� �����*���)�*�'�+�����������������������'���'���9����*.*'����*���(����'�+��'���-�=� �����.���+���*���(���(�� ���*'���������,�'�����=���'����)��/���*-�=� �����.�)��+���������'���('�+�������������+�������'-�=� �����*���(�)�(�'.�� �����������'���/������� �'�������-�

*)�*'/������ 2�66>5� ��*� *����*'��� �*���� ��� �*� �� *���'���� ��� '��� ����,���� )��/���* �,��(������*'�'��������*���*���(�A�

=� E����'���'��(���*������*9���'��(���*����)���*�� ���'���(��(�)'�� ���'����'��� ���*'�� �'��������(��*���'���)���*��F��+��*��� �����+�'�+�G���*'����� �F"����������G�

=� ���(���*���+��*)��'���'*�� �'����'���**����'�������*�� � �������'�����+��*�� ��('����� �����+��� ��('���-�

=� #� �(��'��*�� �)�)�������)��(����)���'���*���1�����(���*����*��)���)��/���*-�0������2�66>5���*���)��'���'��' ��

=� ���)��(�(��(���'�����*�)��*��'�������(����+�������'�'����*(�+�����'��(��(�)'* �

www.intechopen.com

Page 3: The Use of Computer Algebra Systems in Calculus Teaching: Principles and Sample Applications

������������� ������������������������

��� � ���������������������������������������������� �/1

=� ��� ��9�*� *'����'*� '�� '���9� ���)��� /.� ���)���� '���� ��(���'��� �� ��,���'����'�(���*�'��'���-�

:��(��*� ���� �������*7� 2�4445� ��)���(��� *'��.� *��,��� '��'� '��� *�((�**� � � *'����'* � ,�����+�� /���� '������� /.� ��� �*� ������� '���� �'���* � ,��� ��+�� ��'� /���� '������� /.� ��-�8��'������� � ��� (��*��� '�� ��(���*�� *'����'*7� �''�'���� '�,���*���'����'�(*-� '��� '�������*���(� �,��(����*�)�*�'�+����*��'*���� �+���� ��� �'��.���(�����'���*��������'������+��.���'��(���*�*-�������2�44B5�(����('�����)��H�('� ����������+��*�'.�� ������*�'��/�',�����44B������44C-�0�� ��*������ �� (���*�� ��+�������'� /�*��� ��� ��'���('�+�� ��'����'�(�� ,��9*���'*� ��� '���(���*�*����(���*=� ��������-�%���/�(� �;���'��.������'(����*�2�44�5���)��*����'��'�,��������*��*��������'��'��(���� �,�������'�������������,��'�,��'��(� �/�*���*���,�,��'��(�-�%���/�(�������'���*���+�(�'��'��' � '���9*� '�� �� � *'����'*� (��� *)���� ��(�� ����� '���� ��� )��/���� *��+���� �('�+�'��*-�E����'��.���(���'�����(��)��(�'��������� �(��'��)���'�������'���*���'����)��(����� ������.����)�'���-����*�*�'��'����)��+���*������'���������))��'���'.� ���*'����'*7�(����'�+���('�+�'��*-����)� 2�66C5� �*������ �))��(�'���*� '�� '��(�� ���1����'��* � ����' � (��'����'.� (��(�)'* ����)�)���'�����'�'��'�����))��(�'���*�����������'�)�'��'����� �+�*������'���-����'����'�������� �,����*'�(��(9� '��'���'����'�(*� (��(�)'� �*��������'� ��'���� '��������))��(�'���*� ��� '���(���*�-� ���)� 2�44�5� ��*�� ����� '��'� '��� (���*�* � ,��(�� ,���� ��*������ /.� �*���� ����))��(�'���*� )��+������ �))��'���'��*� � � ��9���� �I)������'* � ,���� +��.� *�((�** ��� �����+���)����*'����'*7������*'�������2�44�5-�������� (����('��� ��� ��+�*'���'���� *���(����� �����,� '�� '��(���� ����'���� (��(���*� '�� ��'��������*�,�'�����2�44�5-�0��(��(������'��'����)��(�������*.�/���(���)��*��'�'����,�*������ �'�����*'�� �('�+����'���*-�

�$����������������(��������'�)��������������������

�*������'�����'���'����/�(9��������/��'��*����������'��(�������'�� �,��(���*�.�'��'�����**�*'��� ��������� ��+�������'*� ��+�� �� ������� ��� � �('� ��� '��� *'����'*7� ��'�� *�((�** ��*)�(����.� ��� (��(���*� (��(�)'*-� ��� '��� �'���� ���� � �� (��� ���.� ��*������ ��*'��('������)��(�**��*�������-������)���(�)��* ���1������ �����,���=*'��('�����'��(�����,�'���� ���.�/��(���'����*� ����,���A�

=� �9���*��/��'��*���������*��������'�/��'����������'��������'���(���*�-����*�'�* .�'��*�(����'��� �,����+��'��/��*������,���(������*'����'�9��,�'���*���('�����-�

=� #������ ���� ��� �))��(�'���* � *'����'*� ��*'� �*�� '����� )��+���*� ��'����'�(���9��,�����-�E������� '��)�.��''��'���� '�� '��*�)���' �,�������*������� '��� '��(�������+�������'-�

=� !'� *������ ��'� /�� ����''��� '��'� ��*'� � � '��� (��)�'��� �))��(�'���*� �*� ��� ���.�+�*������'���� ���� ��+��� ����*� �� ������ ��'����'�(��� )��� -� �'����'*� ��*'� /���,���� � � '��� ��+�� '�� *�))��'� '����� '������* � ,��(�� ���� ���(���� � '��� �� ����))��(�'��� �/.��� ��������'����'�(���)��� -��

=� �.�����))��(�'������*'�/�� *��'�/��� �����*.��)��'�� '�� ��'� *'����'*���9�� '������,��'����*-�

www.intechopen.com

Page 4: The Use of Computer Algebra Systems in Calculus Teaching: Principles and Sample Applications

����������"�'� �����������+�.���������/2

$������ ���� ���������!��'��*�*'��. �,����+��H�*'��������'�)��*��'����*�����I��)��*�� ��*���������'��'��(���������������(���*�(��(�)'*-�E����+��(��*��� '�����)����*������������*���('���(��(�)'*������'�/������'����*)�(� �(�*�/H�('-�����(���*�������<��))��(�'���*��*�

=� �������+�'�+��+��,�'��'���(��(�)'�=� ��(��*'��('�+�*'�'��(��������������������+�������'�=� *������+��(����*�����I��)��*�� �'�����)���

E����+�(��������*�'��*'��.�/���,��))��(�'���*�,�'��'���(��)�'����**�*'-��+��.��))��(�'������*�/����(��*'��('����*������1�������(��)��'��*'��('���-����*�����* �����**�.���(��*'��('������1��� ���� (��)��'�� ��)��� ,��9*���'� ��� �+��.� �))��(�'��� � *���� (������*� ��.� ��'�,��9������+��������/�(��*��� �'������**�����������**=�**������+����/��-�

�$����� *�������� ���+���� ������ ��)������� � �� ��,������ ���� ��)���� ������ �� ���������������� ����%���'� ��� �((�����'����)���'� �*� ��*'����'������ ��� �� *�'� ������(���*� (���*�*-� �*���*� '��* �,���� �� �������� ��(���'��� '��� (��'�I'� � � �� ���/��� *�1���(� � �'� ��.� /�� (�� �*���� '��'� ��*�1���(���*�(��+�����'������'���*�����((�����'����)���'-�%�'7*����9��'�'��� �������� ���'���*�� �/�'��(��(�)'*� ��*'A�

=� %�'����!"���������!"-�! ��+��.��������/�������� �'������/�����(��*�*'*�� ��'����*'� ���� ���/��� � � '��� *�'� � �I(�)'� '��� ���/��� �� �'*�� � �� �*� (������F�((�����'����)���'G�� �'���*�'�-�!'���.�/��(�������*�F����'�)���'G���*�-�

=� %�'�2��5�/������������/���*�1���(� �����!"��������*������/���� �����I�*�'��-�

8��� �+��.� �J4 � � � '����� �I�*'*� �'� ���*'� ������ *�(�� '��'� ��� �+��.� ��� � ��� �*� �����/���� �'��������/�������� �'������/���� � '���*�1���(��2��5� �*�*����'��/��(��+�����'��������*�(�������*�����'�� �'���*�1���(�-�

�'�� �� ���'���� ���'���*� ��� �((�����'���� ������� �� *)�(� �(� ���/��7*� �����/������-�"����/���'��'���*�1���(���*���*����*�'�������'7*��/*��+��'��� ����,����*�1���(�*-����������� ���������������� ������� ��

����� ��������� �

���� �

�2�5�

%�'7*� �+����'�� '��� ����'�+���� � �������*�% � � � '��� *�1���(���� �,��(�� �*��� ������*���)��� ��('�����2�5-�������������� ����������� ��

���� � � 2�5�

��� ��9�� �� ���)��(��� �/*��+�'��� � ��'7*� )��'� *���� )���'*� � � �2�5� ���� '��� ����� .K% � ,��(���/'���������'����1��'����2�5-�������� !�"����� #����$$%%�$$$ ����&���������"�# ����'�������(�$%%�$$$�)��*�+, ����)-� ���� ����.�����&�' ���

www.intechopen.com

Page 5: The Use of Computer Algebra Systems in Calculus Teaching: Principles and Sample Applications

������������� ������������������������

��� � ���������������������������������������������� �/3

�8��-��-����/��*�� �'���*�1���(�����/�',�����44������444��!��'����/�+�� ����� �.���(���*�����,�'���)���'*�� ��2�5��((�����'�����������'��������+�����%K�-�����(���'�.� '����*)��.�)���'* �(��*��� '�� �� ���'. �/.�(��������'��� ��'��+���� ��-�� ������9����.������*'�H������' �,�'(��'��� ����,���������'���-��������� ��������""����� ##����$$%%�$$$��*�� ���/$��+�)-0*�,�.�' ��

�������������������� ����������������������������������������������� �����

8���'��*��I��)�� �(��+�����(�������((�����'����)���'��� ���'���*������1��+����'-��' �,����.����/*��+�� ����,����*�1���(��/� �.�����.���(�������'����� ����(�A���+�������� ��1������ ������� ��

����� ����� � � � ����� �

���� �

�2�5�

���� ���'7*��+����'��'�������'�+����� ��*'A������������+�� ����������� ���

����� ���� � �2&5�

%�'7*��**���� '��' � '�����)�����')�'� 2&5� �*���'� (����� �����,����������/*��+�� '��� ����,����+�*������'���-���2��� !�"��+�� #����%%�$$ ����3���������"2# ����4�����"������ ������� #�(�$%%�$$�)��*�+, ����)-� ���� ����.�����3�4 ��

8��-��-����/��*�� �'���*�1���(��/��/�',�����������44��

www.intechopen.com

Page 6: The Use of Computer Algebra Systems in Calculus Teaching: Principles and Sample Applications

����������"�'� �����������+�.���������/�

��, �,��(�����9��������((���'����(�*���� ���'�����)�����')�'�2&5�*�(��'��' ����/��*�� �/��*�1���(�� ���� �((�����'��� ������� ',�� �� ����'� +����* � ,��(�� ���� �� ���� =�-� 8��� ���)�����+�*'���'��� � ����,���������'����*������/��,�'(���-��������� ��������""��+�� ##����%%�$$��*�� ���$$�+�)-0*�,�.�4 ��

�������������������� ���������������������������������������������� �����

!��'��*������'��� ��'�(���/����*��.�*����'��'��+��.�*�((�**�+�����/��*�� �'���*�1���(��/������/����� �((�����'��� ������� �� ���� =�� ��*)�('�+��.-� ���'� �* � � � �4�*'� ���/��� �*� ��� '��������/�������� �=� ��4�������/����*����'��������/�������� ��-�E�����'��*�*�'��'����*�'�* ��*�'����((�����'����)���'��� ���'���� ���'������/��*�������=� ��'����*���'�*�'�* .�(��+�����(���� ���'���-�����(� � �+��.� ���/��� � � '��� *�1���(�� �*� ��'� �((�����'��� ������� ��.� ���/�� � '��� ��������/���*�1���(��/���*���'�(��+�����' �/�'��'���*�',���� ����'��((�����'����)���'*-����*�1���'�.� ,�� ��+�� ���(���� �� ,���� 9��,�� (��(���*� '������ � ,��(�� �*� *'�'��� �*� F�(��+�����'�*�1���(����*������1�������'�)���'G-�

�$���!�-������.��������*���)���)������ ����������+�'�+�� �*� ����'��� '�� '��� ����� � � �� '�����'� ����� ���������'�.-�� ����� '�����'� '�� ��(��+���'���)���'����'���(��+���*�'��������'��'�)�**�*�'�������'��'�)���'�������*���*��)���1����'��'���*��)��� �'���(��+���'�'��'�)���'-���������+�'�+��� ��� ��('���� 2!5��*����'���� ��('��� �

L2!5 �'��'���+�*�'���*��)��� �'���'�����'������'���K 2!5��'���.�)���'-�!��'��*��))��(�'����,��'�.�'����*,���'��� ����,����1��*'���*@��

=� E��'�*������,�������*'���� ����'���(��(�)'�� �����+�'�+�M��=� E��'��*�'�������'����/�',����F'�������+�'�+��� ��� ��('���� 2!5G�����F'���*��)��

� �'���'�����'������'���K 2!5��'���.�)���'GM���))�*��'��'�,������I��������'���(��'��('*�� �'�����*'�<�.���* ����� �(���,��'*�'����'�������'�����'��� �(�����������.���*-�0��)��)�������'�/����*� ����,*@���

����� ����� ����������

�� ���-��

�� ��&-��

�� ��>-6�

&� �<-��

B� ��������������B�

<� �<-��

��/��-��-���*'�;����������*����'�����)���)�������,��(���'���*��'��'��*����'����'�����)��(��� �����*�/���,-��E��(���*9�'(�������)���*����'��*����'��/.�)��''����'��*��)���'*�/.���)��-������""���%�#�"��5%�#�"��6%/#�"5��7%�#�"8��8#�"7��7%�##���� ����� ���

www.intechopen.com

Page 7: The Use of Computer Algebra Systems in Calculus Teaching: Principles and Sample Applications

������������� ������������������������

��� � ���������������������������������������������� �/4

�8��-��-���*'�;���������!'��*�'��� ��('����� ��"!��'��'� �'*�,������'��'��*����)�-�*�'���� �(���,��'*�'����'�������'�����'��� �(�������'�!�K���,����+��'�� ����'���*��)��� �'��������,��(���*�'�����'�'��'���(��+��� �'��� ��('�����'�!�K��-��

�8��-�&-�������'�%�����'�!�K����!��������'�� ����'���*��)��� �'��*������,��(����*��'��� ��������

��

��

��

��

� � 2B5�

��' �,��9��,����.�����)���'�2� &5�� �'��*�����-�%�'�'���)���'�2� &5�/��;-�E����������'����)���'�'��(��(���'��'���*��)��� �'�������-�E��(���(���*��'��*�)���'����'���(��+��,��(���*�(��*���'��;-�%�'7*�N�/��'���)���'��'�IK&-������'���(�������'�*�� � '���)���'�N��*� 2& �<5-����� �����)�**����'�������'���)���'*�;�����N��*���*�(��'������,��(����'��*�('*�'������)���'�',��)���'*-���

�8��-�B-�������'�������(��'�%��������,�,��(���(��(���'��'���*��)��� �'��*�*�(��'�������*����'��� �������/���,@�

� �

� �

�� ���

� �

� �

� �

� � � �

� 2<5�

www.intechopen.com

Page 8: The Use of Computer Algebra Systems in Calculus Teaching: Principles and Sample Applications

����������"�'� �����������+�.���������/5

.��*����'�����)��� ��('����/���, �,��(�����9���**�.*���+������ ����'�+����*�'���-�0������*�'����/*(�**��+������ �'���)���'�;��������*�'����� ����(��� �'����/*(�**��+����*�� �'���)���'*�;�����N-��

;2� &5�����N2& �<5��� ��K �� �� ���� � 2C5�

�����(��(����

����� ���� �� �2>5�

���������

���� � �265�

���������

���� � �2�45�

�� ���"��( �51(�5�������� ���� �� 1�(�� ���� #�(���%%8�)��*�"+�)-�* .��+, # ��

�� ��� ��� � ����K��� � �������� ����K�-B�� � �� ����K��� ������������� ����K4-B�

8��-�<-�����$��)��� ��"!� �������'�%����������(��'�%����8���#� ����'��:����*��.� �*���� '��� �����'���� /���, � ,�� (��� *��� '��� ��+����'� � � '��� *�(��'� ����� �*� �� +�������(���*�*-������������ ��������$���

���� �� �2��5�

�� ��)-0*�,�.��.������������9"����� #�"��$#:����+��)�*) ������( ��(���������0�,��� 1� %%��������0�,��� 1� ����� ;�< *��.������ !��������9"������ ����� ��������� ����� #�"������ ����� �$#:����+��)�*) �)��*�+, ���$%%��� ���� !, �) ��*, ����� = )������.������ !������������� ����� ���� ����� 1���� 1�(�� ���� �(���������0�,��� 1� %%��������0�,��� 1� �)��*�+, ���$%%��� ���� !, �) ��*, ����� =� ���.������ !�� (����"��%�8���� ��5�)���>�� � ��>�)��< *�� <������������ ����� ���� ����� 1���� �8 ���*��0 #����0��&�?@2�)��*���A2������"BC;2=�D?;&E��6# ���$%%��� ���� !, �) ��*, ���

www.intechopen.com

Page 9: The Use of Computer Algebra Systems in Calculus Teaching: Principles and Sample Applications

������������� ������������������������

��� � ���������������������������������������������� �/�

�� F@�, ���.������ !�� (����"��%�6���� ��6�)���>�� �� >�)��< *�� <������� ����� �5 ���*��0 #�)��*���A2������"BC;2=�D?;&E��6# ���$%%��� ���� !, �) ��*, �����.�����= )�����=� ����)-0*�,�.�;�< *�F@�, � ��

�8��-�C-���(��'�%�����(���*�������'�%����*���:�����#�(���*���*�'�����+�������(���*�*�'���)���'�N���'*�(��*���'��'���)���'�;�����'���*�(��'������/�(���*�'�����'� ����-� !�*'���� � � ��+���� �� ����'� +����*� '�� �� ��(�� '���� ,�� (��� ���� ���� '���(�������'�*�� � '���)���'�N� ��� '���*�� ��-������ '�����,�(�������'�*�� � '���)���'�N�,����/��2�O� 2�O�5�5-�! �����*�����'�+��+����* �'���)���'�N��))���(��*� ��������'�'��'���)���'�;-�! ��'���*�)�*�'�+��+����* �'���)���'�N��))���(��*� ������ '�'��'���)���'�;-���,�'���*��)��� �'���*�(��'������)�**����'�������'���)���'*�;�����N�,����/��

� � � �

� �

� �

�� � �

� � �

� � � � � � � � � �

� � � � � �

� � � � �� � � � � � �

� � 2��5�

!��������'�� ����'���*��)��� �'���'�����'������,����+��'����9����(��*�������(��*���'��4-�!��'��*�(�*��'���)���'�2�#�� � 2�#��55���'*�(��*�������(��*���'��'������������)���'�2� � 2�55�����'���*�(��'���������9*�����������������9����'�����'�����-��

E���� ,�� ��9�� �� (��*��� ���� (��*��� '�� 4 � '��� +����� � �� �

� �

� �

�� �

�� �

� � �

� � �

� � �

� (��� /��

(��(���'���/.�'������)�� �����'��)���'���@���� �

� �

�� ���� ���

�� �� �

��

�� �

� � � �

� � 2��5�

���'���*��)��� �'���'�����'�������'�'���)���'�2� &5��*�&-����*�+�������+�*��*���*��'���+������ �'�������+�'�+��� �'��� ��('���� ���!K�-�E��*��,�'��*��*��

� �

�� ��� ���

�� ��

��

��

� � ��

� 2�&5�

���*�����*�,��(���(��)�'��'���*��)��� �'���'�����'������/.� ��������

� � ���

� �

� � � � �

� � ��

� �

� 2�B5�

���*�����'��*���*��'�������+�'�+��� �'��� ��('���� 2!5��'�'���)���'�IK�-�E��(���(��(�����'��'�'�������+�'�+��� ��� ��('�����'���)���'��*�'���*��)��� �'���'�����'�������'�'��'�)���'-�

�$���$�-������.�������������������)�������������)�������������������������+�����(�� � � ��.� ���/��� *����*� ����*� '��' � ��� �� ���'�� *��� ��*� �� ���'�� ��*��'-� ���*�*�'��'���� �*���*.� '�������*'���-�����/���*�1���(��(���/��(��**� �����*���'����(��+�����'�������+�����'-���� '����'�������� � '���(��'�I'� �*���/�'��� ����'� ��� '��� ��('����*����*-�����

www.intechopen.com

Page 10: The Use of Computer Algebra Systems in Calculus Teaching: Principles and Sample Applications

����������"�'� �����������+�.���������//

������'*� � � �� ��('���� *����*� ���� ��('���* � ,����� '��� ������'*� � � �� ���/��� *����*� �������/��*-��� �*���� �'������/��*���*������*��.������*'����/�����������,�����*�*���� �'��� ��('���*����*���'-�!��'��*��))��(�'����,��,����'�.�'�� ������'������*,��� ���'��� ����,����1��*'���*A�

=� E��'�*������,�������*'���� ����'���)��'����*���� ��� ��('����*����*����*�'���� ���'.M�

=� E��'����*�F�� ��('����*����*��*�(��+�����'G�����M�=� E��'����*�(��+�����(����'��+�������M�

%�'7*��� ������ ��('����*����*��*A�

��

�� � 2�<5�

8��*' �,�������'���� ����'��*�*����*��*�����)��� ��('���A���&��-���,������ �(������%%- ��

����� ���� ����� �

� ���� �

���

2�C5�

.�'��*���)��� ��('��� �,����+������))��'���'.�� �(�������'���9'��������'�� � '���*����*��*�295������.,������ �'����.����(���)���,��9*���'-�E��(����+����'��'�������'�+������ �295��*�9����*�'���� ���'.-���������&�- �-��������� ��

�������

���

����

�����

� ���� �

� � �� �� ���� � � � ���� � �

� ���� � �

��� � �

� ���� � �

�2�>5�

E������� '�� '���9���)����*�������('����(� *���(��� ���'����'�(*-�E����� �'� (���)�� ���� '�����*'�(��)��I��)���'���* ��'�(�����'���9������(�*������9������������'����'�(���-�E����,���/'��������*��'��*����'��� ��('����2�5 �,�������'����9������(�*�����*� ����,���A�

*�,�� �(�*����'����

��

�� �� �� �

�)��'�� �'��� ��('����2�5 �� �I����*�'���� ���'.�,��(�����*��.���(����

'�������'�,����/��

� ��� �

�� � �� � � 2�65�

��, � �'� �*� '���� '�� *��,� �� ���)��(��� �))���(�-�E�� ��+�� �� (������ 9��,������ ���� ��������/���*����*�'��'��� ���'��.����.�������'*�� ���)��'����*���*�1���(��� ���(��+�����'���������/���*����*�����(����('����������'��� ���'��*���+������ �'���*����*-��.� '��*� +��, � ��'7*� �I������ '��� ������'*� � � )��'���� *��� *�1���(� � ,��(�� �*� '��� ��)��� ��('����295 �� �����*��)��� ��('����*����*-����������� �������� !�&�- �-��%%�$ ����2�����"�#�(��7%%7�����$%%�$�)��*�+�)- ����.�����2 ��

www.intechopen.com

Page 11: The Use of Computer Algebra Systems in Calculus Teaching: Principles and Sample Applications

������������� ������������������������

��� � ���������������������������������������������� �/�

�8��-�>-�8��*'��4�������'*�� �)��'����*���*�1���(���!�� '��� �����=�� ��*'� �4� ������'*� ��+�� /���� +�*�������-� %�'7*� ��(���*�� '��� ���/��� � � '���������'*-������� !�&�- �-��%%�8$ ����2�����"�#�(��7%%7�����$%%�$�)��*�+�)- ����.�����2 ���

�8��-�6-�8��*'��B4�������'*�� �)��'����*���*�1���(���*� ,�� *��� '��� ��*'� �B4� ������'* � �'� (��� /�� ��*��.� *���� '��'� '��� ��('���* � ,��(�� ���� '���������'*�� �)��'����*���*�1���(� �����(����('��������*)�(� �(�������-�E����*��9��,�'��'� ���'���(��(�)'�� �(��+�����(� �,����*'������('�'��� ��*'� ���'��������'*-���

������ !�&�- �-���$%%�8$ ����2�����"�#�(��7%%7�����$%%�$�)��*�+�)- ����.�����2 ��

www.intechopen.com

Page 12: The Use of Computer Algebra Systems in Calculus Teaching: Principles and Sample Applications

����������"�'� �����������+�.����������0

�8��-��4-�'���������'*�/�',������4������B4�� �)��'����*���*�1���(���� � (���*� � '��*�� ������'*� �������������**� �*�(��)�����,�'�� ���������� �� ���'�� ������'*-��'� '��*� �*� �� *��)���+�*������'�������� ��'7*�)��'� '������)��� � '��� ��('���� 2&5 �,��(�� �*� '�������'�� �295��*�9����*�'���� ���'.-����3�������1(�� �����( ���(��7%%7�����$%%�$�)��*�* .����)-� ���8 ����.�����2�3 ���

�8��-���-����)������'�������'� ��('��������������'*�/�',������4������B4��*�.���(���*�� �'������)��� �'��� ��('��� �,��(���*�'�������'�� �295 ��))��I���'��.� �''������'������)�* �,��(��/������'��'���������'*�� �295� ���9� ������4�'���B4-�*�,�������/�� �����

���)���*�'�������'� ��('���� ���'��� � J� ��'�,����/��/�''���'���I���������������'����-�

���G�����)�����"(����(��#�(���%%������$%%�$�)��*�+, ����)-� ���� ����.�����2�3�G ��

www.intechopen.com

Page 13: The Use of Computer Algebra Systems in Calculus Teaching: Principles and Sample Applications

������������� ������������������������

��� � ���������������������������������������������� ��1

�8��-���-�:�*������'����� ����+�����(����'��+�����'� ��*' �,����+�� *���� '��'� '��� ��('����� � '��� ����'� � � '���295� �*�9����*� '�� �� ���'.���*� ��)�'��'���� � � (���(������,�'������ ������'*�� � ��('���� *����* � �I(�)'� ��*'� ���'�� ������'� ��� ��*)�(� �(� ������ � ,��(�� (��� /�� (������ �*� (��+�����(�� ��'��+�� � ,��(�� �*� !"� P� Q=� �R� ��� '��*��I��)��-�"�����*�������+�*���'���))�.�'��*�+�*������'���� �����.��'���� ��('����*����*�����'��(��)����,�'��'����� ������9��,������� � �������'���(��+�����(����'��+���� ��� ��('����*����*-�

�$���/������������������������������������������)���(���)��'���',��+����/��� ��('���7*����)���*������*)�(����(�����������('�.-��'�'��*���'���� � � )��''���� ���.� )��+���*� �� ��(�� '����� �����*������ )�('���-� ! � ,�� ,��'� '�� �*��(��)�'����*�������('����(�'�'�� �,��*�������*�����������('���'������'����'�����/'���������)�� �('� )�('���-� %�'7*� (���*�� �� *)�(� �(� ��('���� �*� ��� �I��)��� '�� (���� .� ,��'� ,�� ������I�('�.-�

���� (��� )��'� '��� ���)�� � � ��('�����

� � �

� � � ��

� � /.� �*���� F)��'��G� ��)��� (������� �*�

����,��� ������.���(���(��8%%8����8%%8�<� ���5%%5��( ����*�� ��

www.intechopen.com

Page 14: The Use of Computer Algebra Systems in Calculus Teaching: Principles and Sample Applications

����������"�'� �����������+�.����������2

�8��-���-��/'�������'������)������('�.����, � ��'7*� '�.� '�� (��*'��('� '��� *�� �(�� �/�+�� *'�)� /.� *'�)-� !�� �� ',��+����/��� ��('��� � ����+��.�(��*'��'�+������ �� �,���/'����������'����/�',����I�����.-����*�����'������)��*��'*���(��+��,��(���*�(������F��+���(��+�G����F(��'��������G�,�'���'*������(����������-�%�'7*��� ����'��� ��('���� ��*'A���H����(����

������

���

2�45�

��, ���'7*����,�*����(��'��������*�� �'���*�� �(�-����������� ����&��� !�"H�)#�)���$%%�$ �������)�����"&#�(����%%������$%%�$��,�������8$$$�)��*�+�)- ���

�8��-��&-������(��'��������*�� �'���*�� �(����E��*���������9��'�'��� �������/�+���*���'�)����)��(���)-�E����.���+�(������*'����'*�'��*)�(� .��+��.�(��'��������7*������'-�!'���.�/��,��''������'��� ����� �� '����/'�������'�������*���������.-��� ��������� '�)����)��(���) �,��(�� *��,*� '��� ����'���� /�',���� (��'���� ����*�����*�� �(� ��*�)��*��'����*�����I��)������'��� �����-�B-���

www.intechopen.com

Page 15: The Use of Computer Algebra Systems in Calculus Teaching: Principles and Sample Applications

������������� ������������������������

��� � ���������������������������������������������� ��3

�8��-��B-��'�)����)��(���)�2,,,-���-���S'*����*S�('�+�'��*S����T��)-�'�5��E����.���*����(�'���+��.�(��'������������'�������������������'�����#���+�������'-������� !�"��)1����)#�)���$%%�$ ������) ),*< �9�:�����%%��)��*�+�)-��,�������8$$$���( ����*�� ���

�8��-��<-��9���'���� �'���*�� �(���*� �� ����� ��*��'�,����+���/'������ �� ����� �,��(����.�/�� (������ *�� �(�� *9���'��-� ! � .�������'��������(��'��������* � �����-B���.���9�������*��*�� ���.��-���.�'��(��*'��('����'�����#�*�� �(��/.��*����'���*����)��(�����-�

�$���0���1��������2����������*�3�����������������������������*'� � � '�����'����'�(��� )��/���* � ��� ����'�� (��** � ����,���� (��*'��('��-�E������ � '�����*��'*�� � '���)��/���*�������������.��� ��'���������/������ *��+����)��(������ �*� *������� '��)��+���*����*������*��.��*'���'��-����'����'�������� ���'����'�(���(��(�)'*��������������.�

www.intechopen.com

Page 16: The Use of Computer Algebra Systems in Calculus Teaching: Principles and Sample Applications

����������"�'� �����������+�.�����������

��+���)������'���,�.�'��'���*���'����� ��������)��/���-�������)��/�����*���'�*�'�'��/����*��.�*��+��-� ����'���� )��(��������.� /�� �� �(��'� '�� (��*'��('-� !�� ����'��� � �)���'��� �,��(�� �*���(�**��.� ���'���*���'��� ���.�/��+��.��� �(��'������)�**�/���'���)���'��/.�����-�����9*�'�������)�'������/����.*'�����9����)�� �,����+������))��'���'.�'���I)�*������*'����'*�'��������� 2��'� ,���=(��*'��('��5� )��/���-� ���.� ����� ���.� '�� (��*'��('� �� *���'���� ������'��-� '��,���* �'��.�(����*����)���'��'������'��'���*���'���-�0�����*�����I��)��A������ ������9�.� �*� /����� ��� ��� �� (��(��� *��)��� ���� �,��(����*� �� �����*� � � �4���'��-�#��9�.��*�'�������'���/������.�� �'��� ����-�0�,����.���'��*���*'�/��'�������'��'��'�,������,�'������9�.�'�����(���'���*'���� �� �'��� ����M�2���'U� ��66<5� ��������E������� '��)����(�� ����'����'�(��������� ��� '���)��/�����*� ��� '��� ����,��������*'��'���-��

��

8��-��C-�$��)��(��������� ���'���)��/�����!��'����/�+�� ����� ���'�'���(��(�� �,�'�������*�� �/��'��� ���������'������9��������/��'������� �,��(��'������9�.�(������(�-���, ����9����������*'�/����� �� �'���(��)��'��(��(��-����)��'��(��(��7*������(���/����*��.�(��(���'����*��

�� ��� � 2��5�

#��9���������*���*����)��'�� �'���(��(�� �,�'�������*��-��'��'�(�����'�/����*��.�(��(���'�����9���-� %�'� '��*� ������� (���� �*� �-� �� (��� /�� '�����'� �*� �� ���/��� ��'����'���� ������-� %�'7*�(��(���'��'����))���)��'�� �'���I=�I�*� ��*'��������'�)�.�/.��-�E�������'�� ��������(�'��������77��77����'��� �����-�.�'��*�,�. �'����������(���/��*�)���'���

��'�� ',��;�����"�����*-����7*�/��������*�,����/��4������� ������4������� �-������'�������7*�

/��������*�,����/�����������S������4���������(�*2�5-�"����/���'��'�(��)��'��(��(��7*�)�����

�1��'�����*���K��(�*2�5-���,�'���1��*'�����*�77,��'��*�'���+������ �'����(�'���������M�77�

��(�*�K�����(�*��K��

���� ������

�� � �� � �

� �� ������

��

� �� � �� �

� 2��5�

���������� ����������(���/���+����'����*� ����,*A�

www.intechopen.com

Page 17: The Use of Computer Algebra Systems in Calculus Teaching: Principles and Sample Applications

������������� ������������������������

��� � ���������������������������������������������� ��4

������� ���� � �

� � �������

� �

�� �

� � � �

��

� � � � � �

� �� �� �

� �� �� �

� �� �

� �� �� �� �

� � � � � 2��5�

���(� �,��,��'�'������9�.����(����� �� �'���,����� ���� �'�� ����'��� �����*���'���� ����,�����1��'�����*��������'��/��*��+��A�

��K���� 2�&5�

��� �� �,�� ����*������ '��� �����)��/�����*� �� ��������'����'�(���)��/���-���,�,����+�� ����,������'����'�(���)��/���A�

=� �+����'��'�����'���������/�����2��5�=� *��+��'����1��'�������/�����2�&5� �����K�4�

E����� �� *'����'� *'������� ��� �� ����� �� �� )��/��� � ����*������� � � )��/���� ��� '���*� � ���'����'�(��� ��������� (��� /�� *���� *� �(���'-� !�� '��*� *'�) � �*���� �� ��� ��9�� ��)��� (�����(������� ���� *'����'*� '�� *'������� ��� ��,�)��/���-� %�'7*� *��� ��,� '���)��/���� �/�+�� �*�*��+���/.��*������)��A��� &����1�C���C���*��*��$%% ��� ���$%%�*))������1* ��C���C���*��*��$%%�1*1)����� �� ��� ����*))������1* %%I��� ��

������ ���� ������

����

����������

� �

������

�� �� � � �����

����

����������

� �

��

������

� � � ��� �

�� �� ��

2�B5�

%�'7*��+����'��'�����'�������/�+�A�

������ �� �� ����� ����

����������

� �

� ��� �� ��

��

�� �� �

���

����������

� ��� � 2�<5�

��, ���'7*�*��+��'����1��'����2&5� �����K�4-���*���$�������< ��1&��I�1*��� ���

�������� �� �2�C5�

���*��*�'��� �������*��'-��������9�.��*��������'��/��'����,�'������)� �,�'��'�������'��� ��/��'��� B>���'��-�������)���(�������F *��+�G��)���'�*���������(�����'����'��*��+���1��'���-�E����.���'�.�'���*��F*��+�G�(������ �,��(��(����)���'������.'�(�����'���* ���)��� (�����'� *��+�� '��*��1��'���-����'�����*��'��*��������'���������/��-����'��* �� �.���'�����'��*��+��'��*��1��'����/.� ���� � .���,����� ��'��������-�#��/��� ��'����'���� /.� )����� (�������'�*� �*� �*��� ����-�����(���'�.�'���*��*��������'����'����������('��������(�������'�*-�

�$���4�5�������������������������������������������1�������������������*�����))��(�'���� �*������� ����'��� '���� ����� (��'�I'�)��H�('-�E��,���� '�.� '�� ������'� '��������� ��'��.����'. �,��(���*������ �'�����*'�)�)�����(�'��*�� ����9�.����'���(��*'�� �'�������'������������-�E��,�����*��'���"��������������� �,��(���*�'��� �������'���� �!�'������(��(�)' ��*��*'���'����'��������� �:��������2����9��'-��� ��44�5-��

www.intechopen.com

Page 18: The Use of Computer Algebra Systems in Calculus Teaching: Principles and Sample Applications

����������"�'� �����������+�.����������5

!�� '��*� �))��(�'��� � ,�� ��+�� �*��� ��I�����.� *� ',��� � (������ *,�*�� �))��(�'��� � '�� ��'� '���(�������'�*� � � '��� �'��.�7*� /�����-� E�� ��+�� �/'������ '��� �'��.�� ��)� ���� ���9�*��$�������#���('���'��� �8���*'�.� ��'����'� *�'�-� !�� '���/���,� ����� � �+��.� (��(9 ���� '�����) ���'������*� '��� (�������'�*� � � '��� (��*��-� '��� (����('���� '��� (�������'�* � .��� (��� ��*��.�'���* ���'����'����)���,��9*���'�/.�(�).�����)�*'�-��

�8��-��>-��,�*��))��(�'��� ���'���������'����'��.�7*��������*� �+��.� ��������� )��/��� � ��*'� ,�� ����� '�� �� ���� '��� )��/���� ��� '���*� � � ��������'����'�(���'���������.-�*�,��(��(���'��'��������/�',����'���',��(��+�* �,����+��'��*���'����'��.����)� �*� ',�� (��+�* �,��(������� '�� *�'�* .� '���)��)��'��*� � � /����� �� ��('���-����'��* ��((�������'��'��*��(��+�*��+��.�)���'����'���I=�I�*���*'���+�����.��������������'���.=�I�*-�!��'��� �����-�6 �/����(��+����������(��+��(���*�'�* .�'��*�����-�%�'7*�(����'��*��(��+�*��*����'��/����������*��'��/��������*)�('�+��.-���

�8��-��6-�#�'���������'����'��.�7*�������/.����'���������'�����+�*-����,�,�������'�� ����"�������*���� � '���)�**�/��� ��('����� � '������'��(��+������*��'��(��+� �����'����*�/'��('�'��������������'���*��'��(��+�� ���������������'������'��(��+�-������)�����'� '��*� )��(����� � ,�� ����� '�� '�9�� *���� )���'� ��� '��� (��+�*� /.� �*���� �,�*���))��(�'���-�

24 45 I=�I�*�

.=�I�*�

24 45�

www.intechopen.com

Page 19: The Use of Computer Algebra Systems in Calculus Teaching: Principles and Sample Applications

������������� ������������������������

��� � ���������������������������������������������� ���

!�����"������������������������������%�'7*��� ����'���(�������'�* �,��(��,���/'���� �����,�*���))��(�'���A������8$����*��)��*.���� ���"5�55#�"���78#�"�/�65#�"5$�6J#�"56��$8#�"75���J#�"J����/#��"J8��57#�"67��8J#�"/7��JJ#�"/J��/5#�"�$����$#�"�$8����#�"�����57#�"�5���75#�"�7$��J/#�"�J6��/$#�"�$���65#�"��6��J5#�"��6��78#�"�5J��75#�"�76��75#�"�68��7�#�"�//��J$#�"��J��6$#�"�����6J#�"�8���/�#�"�J���$�#�"�66��$8#�"�/6��/�#�"5$J��JJ#�"5�J��J8#�"58���6�#�"5J���/8#�"567��6�#�"5/8��7/#�"8$J��8�#�"8�5����#�"8�6���/#�"855���J#�"885��$5#�"8J���68#�"865��J5#�"86J��8/#�"7$5��58#�"7�����5#�"7�6��$5#�"7�/�/$#�"7�5�J7#�"7�/�8J#���

��, ���'7*�+�*�������'������'��/������/.��*����'���(�������'�*A����������� ����*��+�*. *.�����I�?B�I?CEB=���*��)��*.���� � ��.�������*��+�*. *.����<� ��"$%%J8$�$%%�J8# ���

�8��-��4-����'��/�����7*�(�������'�*�������)�����'�'���"������������))���(� �,�������'��(��*'��('� �� '��������'���('�����*��*� ����,���A�8����,���� ���)� '���* ��*� '��� ��*'� ���� '��� *�(���� (��)����'*� � � '��� ���'�� (�������'�*� '��I/�����Q�R�����./�����Q�R�+����/��*���*)�('�+��.-�����*����*����������.��(+�*. *"�#����*��)��*.���� �"���#���+�*. *"�#����*��)��*.���� �"���#���.��

�� �,��'��� ��+��.��� '���('��������*�/����(��*'��('���/.�'��� ����,�������)A�����*����*������������.����* ."�#������+�*. *"�#�(�(+�*. *"�#%%(+�*. *"���#�)��*�* .����)-� ���� ���.���

8����,������)���(�����������)�+�*������*�'����� '���('�����*� ���'������'��/�����-����*������"�#��I�?B�'AD@2=�""(+�*. *"�#�$#�"(+�*. *"�#��+�*. *"�### ���*������"�#��I�?B�'AD@2=�""(+�*. *"�#�$#�"(+�*. *"�#��+�*. *"���### ������*����*������������.���*������"�#��I�?B�'AD@2=�""(+�*. *"�#�$#�"(+�*. *"�#���(��+�*. *"���#���+�*. *"�# ## ���.�����*�������� ���.������*������"-#�K-��%%� ����.�������*��+�*. *.�����*�������� ����* ."�#� K���%%�����<� ��"$%%7J$�$%%�J8# ���

www.intechopen.com

Page 20: The Use of Computer Algebra Systems in Calculus Teaching: Principles and Sample Applications

����������"�'� �����������+�.����������/

�8��-���-�%� '���('�����*�� ����'��/�������8�����. �,�������'�� ������'�'���*���� �'���������('�����*A�����*����*������������.��+�� "�#��(+�*. *"���#�(+�*. *"�#���.�����,��+�� "L#1�+�*. *"L#�L��%%��� ���* ��� <���M ��

������� � ����� � 2�>5�

������*��' �,��(��,����+�� ���� ��*����'���*�� �)�I���*1����-�((�������'��������) ���)�I���K�4 B��9�-��� �4 �C4&�9���K���)�I���-������ ��� �,��(��� ����'�����*��'��*A����* �N-�N�!,�* ���* �1�$%�J$5 ���

��������������� ��������� �2�65�

E����+�����(����'��������� �'����������/�',�������'��/����������I=�I�*��*��6-�>B�9��-� '��� ������� '��� ����� � � '��� ������� /�',���� *��'�� /������ ���� I=�I�*� /.� �))�.���� '��� *����)��(����� �,��(������(��'��� �������*��'-�0��� ���(��)��'��+�*������'������*�/����)��*��'���/���,-�������55����,��)��*.���� ���"��5�#�"�/���#�"�6��J#�"7$���#�"J/���#�"/J���#�"�����5#�"��6��6#�"�57���#�"�75��7#�"�JJ�56#�"�/7�56#�"�$6�5$#�"�����5#�"��$�5J#�"��5�7�#�"��7�6�#�"�5���$5#�"�57���/#�"�8$��88#�"�88��7/#�"�78��JJ#�"�6J��J7#�"�$J��J8#�"��J��J7#�"�57��J�#�"�78��76#�"�6���77#�"5$���8/#�"5����5/#�"5�6���6#�"588���6#�"5J8����#�"5/J���$#�"8�8��$�#�"8���/�#�"855�J/#�"888�78#�"878�8�#�"8J7���#�"8/$��6#�"7�$�7#�"7����#�"7���/#������,��+�*. *.�����I�?B�I?CEB=���,��)��*.���� � ������*��+�*. *.�����I�?B�I?CEB=���*��)��*.���� � ����.�������,��+�*. *.������*��+�*. *.����<� ��"$%%J8$�$%%�J8# ���

www.intechopen.com

Page 21: The Use of Computer Algebra Systems in Calculus Teaching: Principles and Sample Applications

������������� ������������������������

��� � ���������������������������������������������� ���

8��-���-����)��'����)�� ��'��.� ��/'������/.�'���(�������'�*-��*�*���� ��� '��� �����-�� � '��������/�',�������'������*��'��/�����*�,����/���'��.�7*�����-�8������� '��� ���� ������� '��� *��'��/����� � �*� �� '� ��� '��� ������*-�����,���� �))�.� '��� *����)��(������ ���'���(��(���'���-��������.������'��(������'���(�������'�*-��� �(���*� �.��������'��)�.��''��'����'��(��������+����/�������*��*�F*��'�G���*'����� �F���'�G-�����,�����/'����'��������������'���*��'��/�������*��B-46C�9��-���� ����'��������� ��'��.� �,����+��'��*�/'��('��B-46C� �����6-�>B �����'��� �������*��'�,����/���&-�>>�9��-�������������������� ��'��.�� �*��4->�B�9��� 2�'')@SS'�-,�9�)����-���S,�9�S�'��.�5-����*�����*����������� �4 �C-��'����� � '��*� ������ ��.� /�� '�����'� �*� ���((�)'�/��� ��� �� ������ 9��,����� � �'� ��.� /���((�)'����*���*�((�** �����*��'� ���'��*�9����� �(��(���'���-��/'��������������)��(�*��+������*�)�**�/�������'���'��'��� ����,����)�'��'�����'��*A�

=� ��(�������(�������'��)���'*�*������/��'�9��� ����'���/�����*-�=� ��9���������)���'*���.���'�/��*� �(���' �/�(��*��,�������'����9��'���/������

(��+�� �*� *��'�/��� ����� ������ ��('���-����*�����* �,����+�� '�������('� *����/�.*� ��� '�����)-� ��� )��+��'� '��*����**���� ����* ���)���*'� /����+����� ��'����''���)��'*-�

���*� �))��(�'���� *������/�� *�����*� ��� ��'����('���� '�� '��� (��(�)'�� � ��'����'���-� !�� �� �����(��(���*�(���*����+�������' �*'����'*���.���+����(���(��'����������'��� �������'��������� ��� ������(��(���*�(��(�)'-�

�/������������

�+��.���'��(��(�)'���*�����I)����'�����������/���'����*'��.����'�����*'��.�� ���'�-����������� �� ��'� � � ��'���*'���� ���� ��*.� +��,*� � � �+��.� (��(�)'-� � � (���*� � '��*� �I)����'���� �������/���'����)��(�**���.�'�9���������*�� �.���*-��(��� ���.���*���������/�*������������������*���(����+�������'���*���)�'��'����� �(��*�*'����'��*�)��(�**�����'*�� ������'����.�'�9�*���(��)���� �(��**�)�����-�E��9���� '������� �I)�����(�*� �*� '��� �((�)'��� ��'���� � � ��������� ��'����'�(*-� E�'�� '������)�� ��� �*'����'�(����������'�� ��I��(�*�*�'����,��9�,�'��'���(��**�(���,�. ���'����.�'������/���� ��I��(�*�*�/�'���*��'���+����'.�� �'���)��/����,������(���*�-�E�'��'������)�� ��� �'���(��)��(�'���(��)�'�'������)��(�**�*�(���/������(���'�����/�����*'����'*�'�� �(�*���������'�������.*�*�� �'���)��/���-������+�� �*'����'*�,����/���/���'���������'�� ��I)������'* ��*)�(����.�,�'��'���+�*������'����)��/���*-�!��'��*�(�*� �,����.�*)����

www.intechopen.com

Page 22: The Use of Computer Algebra Systems in Calculus Teaching: Principles and Sample Applications

����������"�'� �����������+�.��������400

'����'����*����/�������**���������*'�������'����/*'��('����)��(�** �*�����'������������'��.�,����/���/���'�������*'����'��*�)��(�**�/�''��-�

�0��1����������

��**� � �-3� ������) � �-� 2�44�5-� $��� �% � &� '��� �( $��&%� ��% )��&*���� ��.�� �����(�� �!���6C>4�4B�C<6�� ����

*)�*'/����� � �-� 2�66>5 � ���(����� !�'�����*� ,�'�� �!=6�@� � ����(�� � � ��9���� �� ���)��I���'����'�(��� ���(�)'� ������'��. � +������ &��� ,&� ��� &� ���� �( & $������ �� ��=<�D��. ��66> �))-�6=�� �����* �$���(�-�

����9 �D- �#�� ����� �� ��- �0����� ��- �0����� ��- �2�44�5-��*'���'����'�������� �:�������-�-&����� & .�� � $������ �� ��% �� �**� ��� &�� � ���� �'')@SS��'���-���-���S�

��'�#%S&SM)�K(��'��'3*�K+��,#�(����'3����!�KB4C�

���) � !- � 2�66C5 � !�)�����'����/*'��('���'����'�(������(�)'*��*�������)�'������/���;�(9���* �+������ &���,&� ���&�����&�&(� �$������ ������ �( �!����=�-�

���) � !-� 2�44�5 ���,�!�*���'� �����'����'�(*�/.�%�+�����#�(����'* ���������� ����(�����))��(�'���*�� ����)�'������/�� ���'�-��/�1���1�� ��� ���.����P�D�����-�

0����� � D-� 2�66>5 � �'����'� �*�� � � $��)��(� ���(���'��@� ����� ��� ���'(�M � !�'����'�����,&� ���&����� �(& $������ �� ��=<�D��. ��66> �����* �$���(�-�

����� �- � 2�44B5 ����)�'���**�*'������(���*����(�'����;��H�(' �#�+�*����� � �(���(��������'����'�(* ���)��H�('�������+��*�'.�� ������*�'� ������* ����B<�<C-�

������ � �-� 2�44�5 � ���(����� ��� %�������� !�'����('�.� #� ����'���� ���(���*� E�'�� ����)�'��� ���/��� �.*'�� � ��) ��� � � #�)��'���'� � � �(���(�� ���� ��'����'�(*����(�'��� ��������+��*�'.�� ����/������

��9��=:��H( � :-� 2�4445 � �I�����'���� 1��*'���*� ,���� �*���� ��� ��� �(����� ��'����'�(*����(���� ���+������ &���-&�����& ,&�*�����(/�� �$������ ���%���� &� �C2�5 �<�PCB-�

��'���� �-�2�66&5-����� �'����� �'��(�������'����'�(* �+������ &���)� �-&�������2�5@�CP&>-�%���/�(� ��- �;���'��.�#-��-�+���'(����* ��-�2�44�5 �))��)���'���*��� ���������'���'��(�����

���� ��������� � � ��'����'�(* � +������ &��� -&����� & $������ ��� �%���� &� �0� ����%����&�&(� �+��-��� ���-�� ���P��&-�

"�'�+�� � �- � "��*��� � %-� ���� ���)��� � #- � 2�66C5 � ���� %���=����� !� ����(�� � � ��V���(���'��=,���V����/��������(��������;�)��*?���'����'�(���''������'*�����''�'���*����'���;�����.�;��*�- ���������*�� ��%���� &�1�&� ����%����� � �+������)�&6=>��

���'U� ��- �2�66<5 �$����� �)2����3 ����9�*����'����'�(�����(��'. ��:��-< ���=�C-�:��(��* �;-�+���������* �- �2�4445 �����)�'������/����.*'�����������,�))���(�� ���

���(����� �*���**� ���(���* � �� +������ &��� -&����� & ,&�*��� ��(/�� �$������ ���%���� &� �:��-�C ���-�-��

www.intechopen.com

Page 23: The Use of Computer Algebra Systems in Calculus Teaching: Principles and Sample Applications

Technology Education and DevelopmentEdited by Aleksandar Lazinica and Carlos Calafate

ISBN 978-953-307-007-0Hard cover, 528 pagesPublisher InTechPublished online 01, October, 2009Published in print edition October, 2009

InTech EuropeUniversity Campus STeP Ri Slavka Krautzeka 83/A 51000 Rijeka, Croatia Phone: +385 (51) 770 447

InTech ChinaUnit 405, Office Block, Hotel Equatorial Shanghai No.65, Yan An Road (West), Shanghai, 200040, China

Phone: +86-21-62489820

The widespread deployment and use of Information Technologies (IT) has paved the way for change in manyfields of our societies. The Internet, mobile computing, social networks and many other advances in humancommunications have become essential to promote and boost education, technology and industry. On theeducation side, the new challenges related with the integration of IT technologies into all aspects of learningrequire revising the traditional educational paradigms that have prevailed for the last centuries. Additionally,the globalization of education and student mobility requirements are favoring a fluid interchange of tools,methodologies and evaluation strategies, which promote innovation at an accelerated pace. Curricularrevisions are also taking place to achieved a more specialized education that is able to responds to thesociety’s requirements in terms of professional training. In this process, guaranteeing quality has also becomea critical issue. On the industrial and technological side, the focus on ecological developments is essential toachieve a sustainable degree of prosperity, and all efforts to promote greener societies are welcome. In thisbook we gather knowledge and experiences of different authors on all these topics, hoping to offer the readera wider view of the revolution taking place within and without our educational centers. In summary, we believethat this book makes an important contribution to the fields of education and technology in these times of greatchange, offering a mean for experts in the different areas to share valuable experiences and points of viewthat we hope are enriching to the reader. Enjoy the book!

How to referenceIn order to correctly reference this scholarly work, feel free to copy and paste the following:

Tolga Kabaca, Yilmaz Aksoy, Muharrem Aktumen and Seref Mirasyediglu (2009). The Use of ComputerAlgebra Systems in Calculus Teaching: Principles and Sample Applications, Technology Education andDevelopment, Aleksandar Lazinica and Carlos Calafate (Ed.), ISBN: 978-953-307-007-0, InTech, Availablefrom: http://www.intechopen.com/books/technology-education-and-development/the-use-of-computer-algebra-systems-in-calculus-teaching-principles-and-sample-applications

www.intechopen.com

Page 24: The Use of Computer Algebra Systems in Calculus Teaching: Principles and Sample Applications

Fax: +385 (51) 686 166www.intechopen.com

Fax: +86-21-62489821