Schrӧdinger Equation & The Truth of Everyting Buku kecil ini dibuat untuk menambah pemahaman kita akan kebenaran semua hal yang sering kali mendelusi kita. Semoga buku ini bermanfaat bagi pembaca untuk mengurangi, bahkan melenyapkan ego juga mengikis delusi AKU dan DIRI.
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
Schrӧdinger Equation
& The Truth of Everyting
Buku kecil ini dibuat untuk menambah pemahaman kita
akan kebenaran semua hal yang sering kali mendelusi
kita. Semoga buku ini bermanfaat bagi pembaca untuk
mengurangi, bahkan melenyapkan ego juga mengikis
delusi AKU dan DIRI.
Sch ӧdinge E uation
Sebelum kita mulai mencoba memahami persamaan Schrӧdinger ini, marilah kita
sedikit merenung kutipan berikut ini :
Para bhikkhu, bentuk adalah bukan-diri. Karena jika, para
bhikkhu, bentuk adalah diri, maka bentuk tidak akan menyebabkan
penderitaan, dan adalah mungkin untuk mengatakan sehubungan
dengan bentuk: biarlah bentukku seperti ini; biarlah bentukku tidak
seperti ini. Tetapi karena bentuk adalah bukan-diri, maka bentuk
menyebabkan penderitaan, dan adalah tidak mungkin mengatakan
sehubungan dengan bentuk: biarlah bentukku seperti ini; biarlah
bentukku tidak seperti ini. Demikian juga perasaan, persepsi, kebendak, dan kesadaran.
Samyutta Nikaya, Khanda Vagga, Anattalakkhana Sutta
Di Sāvatthī. Para bhikkhu, bentuk adalah bukan-diri. Penyebab dan
kondisi bagi munculnya bentuk adalah juga bukan diri. Karena bentuk
berasal-mula dari apa yang bukan-diri, bagaimana mungkin ia adalah
diri? Demikian juga perasaan, persepsi, kebendak, dan kesadaran. Samyutta Nikaya, Khanda Vagga 2.20
Mari kita coba telisik persamaan Schrӧdinger untuk memahami konsep ketiadadirian
untuk menekan ego, sensasi diri, dan juga akar kebodohan dan ketidaktahuan.
Persamaan Schrӧdinger ini menjelaskan bahwa semua materi itu sungguh tidak
memiliki esensi diri, mereka semua ada sekaligus tidak ada. Ini adalah sifat alami dari
semua bentukan materi maupun batin. Sebelum lebih mendalam, satu hal yang perlu
diingat adalah persamaan ini merepresentasikan, mewakilkan sifat alami semua hal
sehingga butuh pemahaman dan keyakinan untuk memahaminya secara penuh. Bila
Anda masih tidak paham juga, berarti ego Anda terlalu besar untuk yakin bahwa
memang tiada AKU di sini.
Nah, berikut ada hubungan sederhana yang akan beberapa kali digunakan dalam
penuruan persamaan Schrӧdinger ini.
λ = ℎ =
p = ћk
E = hf = h = ћω
Ketika memahami semua materi memiliki sifat ada sekaligus tiada, maka kita dapat
menganggap semua materi sebagai gelombang dengan persamaan dalam ruang dan
waktu Ψ(x,t).
Fungsi gelombang yang ideal memiliki persamaan
Ψ(x,t) = A � �− ,
namun, setiap fenomena hanyalah muncul bila ia bergerak dalam dimensi ruang dan
waktu. Bila ia diam terhadap ruang dan waktu, fenomena itu lenyap. Demikian juga
kesadaran, hanya akan muncul ketika ada pergerakan / perubahan, sehingga kita
hanya dapat mengamati yang fenomena berubah, tanpa ada perubahan terhadap
ruang dan waktu maka kesadaran akan lenyap karena tidak dapat mengenali
apapun. Oleh karena itu marilah kita cek perubahan Ψ(x,t) ini baik terhadap waktu
maupun ruang.
Terhadap waktu Ψ , = -iω A � �− = -iω Ψ(x,t)
Terhadap ruang Ψ ,� = ik A � �− = ik Ψ(x,t)
Untuk memperumum bentuk Ψ(x,t) kita akan membuat beberapa operator.
1. Ψ , = -iω Ψ(x,t) ; E = ћω Ψ , = -i �ћ Ψ(x,t)
E Ψ(x,t) = iћ Ψ , � = iћ adalah operator energi yang dikenal sebagai operator Hamiltonian.
2. Ψ ,� = ik Ψ(x,t) ; p = ћk Ψ ,� = i ћ Ψ(x,t) p Ψ(x,t) = -iћ Ψ ,� = -iћ � adalah operator momentum.
Secara lengkap, energi dari suatu partikel adalah
E = K + V
E = + V
iћ Ψ = −ћ Ψ� + V Ψ adalah persamaan Schrӧdinger lengkap.
Dengan teknik sparasi variabel, Ψ(x,t) = X(x)T(t) akan membentuk persamaan
Schrӧdinger menjadi
Xiћ T = T −ћ X� + V XT
� iћ T = � −ћ X� + V
Misalkan � iћ T = ϵ, maka solusi untuk T adalah T = −�ћ .
Sedangkan persamaan utamanya akan menjadi
Xϵ = −ћ X� + VX, bila kita amati dimensinya � iћ T = ϵ, maka jelas ϵ adalah
energi juga. Oleh karena itu, persamaan Schrӧdinger tidak bergantung waktu adalah
E Ψ(x) = −ћ Ψ � + V Ψ(x)
Sekarang kita dapat melihat bahwa Ψ(x) mengandung energi yang terdiri dari energi
yang membuatnya bergerak terhadap ruang yang bisa saja dipengaruhi potensial
eksternal.
Ketika kita berbicara tentang gelombang, maka tidak ada nilai pasti, yang kita dapat
periksa hanyalah probabilitas. Namun karena probabilitas maksimum benilai 1, maka
perlu menormalisasi fungsi gelombang dengan cara
∫ Ψ∗Ψ∞−∞ = 1, kita dapat memisalkan Ψ = A Ψ
A2∫ Ψ∗Ψ∞−∞ = 1
A = √∫ Ψ∗Ψ∞−∞ � adalah konstanta normalisasi dari fungsi Ψ.
Nah, sekarang marilah kita lihat bagaimana pengaruh potensial terhadap Ψ.
E Ψ(x) = −ћ Ψ � + V Ψ(x)
−ћ (E – V) Ψ = Ψ � , misalkan k2 = ћ (E – V) sehingga
-k2 Ψ = Ψ �
Persamaan diferensial diatas memiliki solusi
A � � + B −� � A sinkx + B coskx , untuk daerah V < E, dengan k = √ ћ E – V
Ψ =
C � + D − � , untuk daerah V > E, dengan r = √ ћ V – E
Penentuan syarat batas untuk mencari koefisien A dan B.
Kasus barier potensial tak hingga.
Dari figur di samping bila Vo menuju tak hingga,
maka
A � � + B −� � A sinkx + B coskx , untuk daerah x < 0
Ψ =
0 , untuk daerah x 0
Kasus barrier potensial berhingga di sepanjang x positif.
Dari figur di samping bila Vo berhingga, maka
Untuk x < 0 : Ψ = A sinkx + B coskx
Untuk x 0 : pilihlah solusi yang konvergen, yakni Ψ = D − �
Bila kita lihat solusi Ψ, terbayangkan bahwa ketika Ψ menembus potensial di
sepanjang x, Ψ akan terus menerus meluruh secara cepat (eksponensial) bergantung
pada seberapa besar selisih V dengan E. Figur di bawah ini menunjukkan peristiwa
tersebut.
Ψ1 = A � � + B −� � Ψ2 = D − �
Nah, solusi di atas belumlah lengkap karena kita belum memasukkan syarat batas,
berikut adalah cara mencari nilai koefisien A, B dan D.
Ψ1(0) = Ψ2(0)
A + B = D
Fungsi Ψ harus kontinu di 0, berarti
dΨd = dΨd ik(A – B) = -rD
A – B = � D
A = D (1 + � )
B = D (1 - � )
Jadi,
Ψ1 = D (1 + � ) � � + D (1 - � ) −� � Ψ2 = D − �
Nilai D dapat diperoleh dengan cara menormalisasi Ψ,
∫ Ψ∗Ψ∞−∞ = 1 ∫ Ψ ∗Ψ−∞ + ∫ Ψ ∗Ψ∞−∞ = 1
Peristiwa refleksi terjadi ketika Ψ menjalar dari potensial rendah menembus potensial
tinggi, koefisien refleksi R = |Ψ ||Ψ �|
Ψpantul = D (1 - � ) −� � yakni Ψ yang menjalar ke arah (–x).
Ψpantul* = D (1 + � ) � � yakni kompleks konjugetnya |Ψ | = Ψpantul* Ψpantul = D2 (1 - � ) (1 + � )
Sedangkan Ψdatang = D (1 + � ) � � sehingga
|Ψ �| = Ψdatang* Ψdatang = D2 (1 + � ) (1 - � )
Jadi, R = |Ψ ||Ψ �| = − � + � + � − � = 1
Kita juga dapat menganalisis dan memperhitungkan seberapa dalam Ψ menembus
barrier tersbut dengan menggunakan prinsip Heinsenberg
∆p ∆x = ћ
Karena proses menembus ini ada di daerah x 0, maka kita gunakan syarat di
daerah tersbut, yakni
r = √ ћ V – E setara dengan k, dan kita sudah mengetahui bahwa
p = ћk
Maka, p = ћ √ ћ V – E adalah momentum awal, dan momentum akhirnya akan = 0,
sehingga ∆p = ћ √ ћ V – E - 0 = ћ √ ћ V – E
Jadi, ∆x = ћ∆p = √ ћ V – adalah kedalaman partikel / gelombang yang menembus
potensial.
Kasus potensial berhingga diskrit dan fenomena refleksi dan fenomena penggalian.
Kita mengamati proses peluruhan eksponensial bila mana energi partikel kurang dari
energi potensial eksternal. Pada kasus sebelumnya kita melihat bahwa partikel /
gelombang akhirnya akan kehabisan energi di suatu titik yang dipengaruhi potensial
dengan ditandai momentumnya = 0, artinya Ψ� = 0, di titik ini juga akan
mengakibatkan Ψ2 = D − � akan = 0 ini membuktikan bahwa memang benar ketika
kita tidak lagi bergerak terhadap ruang dan waktu, maka kita lenyap. Hal inilah
yang disebut dengan Nibbana, namun ego sangat takut dengan hal ini, itulah nafsu
akan eksistensi yang selalu membuat batin dan materi bergerak dengan cara
“menginginkan”, ingin ini dan ingin itu. Itulah sumber problema seluruh kehidupan
dan eksistensi dalam roda kelahiran dan kehidupan. Mereka takut terlenyapkan,
padahal Nibbana, pemadaman, adalah proses penyederhanaan, itulah kebahagiaan
sejati, tiada lagi persamaan Schrӧdinger di sana, karena ΨNibbana = 0, itulah makna
SIMPLY THIS MOMENT.
Mari kita lanjutkan kasus berikutnya sekarang.
Mari kita selesaikan solusi umum persamaan secara cepat.
Ingat kembali bahwa
A � � + B −� � A sinkx + B coskx , untuk daerah V < E, dengan k = √ ћ E – V
Ψ =
C � + D − � , untuk daerah V > E, dengan r = √ ћ V – E Untuk :
x 0 : Ψ1 = A � � + B −� � dengan k = √ ћ E – V 0 x a : Ψ2 = C � + D − � , untuk daerah V > E, dengan r = √ ћ V – E x a : Ψ3 = E � � karena dari V tinggi ke V rendah tidak ada refleksi, maka
solusi bagian x negative tereliminasi.
Mari kita cari nilai setiap koefisien dengan menerapkan syarat batas :
1. Ψ1(0) = Ψ2(0)
A + B = C + D
2. dΨd = dΨd � (A – B) = C – D
3. Ψ2(a) = Ψ3(a)
C + D − = E �
4. dΨd � = dΨd �
C - D − = � E �
5. Persamaan 1 - Persamaan 2
D = {( A + B ) - � (A – B) }
6. Persamaan 1 + Persamaan 2
C = {( A + B ) + � (A – B) }
7. Persamaan 3 - Persamaan 4
D = E � {1 - � }
8. Persamaan 3 + Persamaan 4
C = − E � {1 + � }
9. Persamaan 5 = Persamaan 7
{( A + B ) - � (A – B) } = E � {1 - � }
{r( A + B ) - ik(A – B) } = E � {r - ik}
{A(r - ik) + B(r + ik) } = E � {r - ik}
A(r - ik) + B(r + ik) = E � {r - ik}
10. Persamaan 6 = Persamaan 8
{( A + B ) + � (A – B) } = − E � {1 + � }
A(r + ik) + B(r – ik) = − E � {r + ik}
Terakhir,
Tunnelling adalah perbandingan antara Ψ3* Ψ3 terhadap Ψdatang* Ψdatang. Untuk
mencarinya, kita hanya membutuhkan koefisien E dan A saja, jadi, mari kita
usahakan mengeliminasi B.
Persamaan 9 kalikan dengan (r – ik), lalu selisihkan dengan persamaan 10 yang
sudah dikalikan dengan (r + ik), akibatnya akan muncul
A(r - ik)2 - A(r + ik)2 = E � {r - ik}2 - − E � {r + ik}2
A∗A∗ = [ − e a{sinh ra (r2 - k2) - 2irk cosh ra }] [ e− a{sinh ra (r2 - k2) + 2irk cosh ra }]
A∗A∗ = [{sinh ra (r2 - k2) - 2irk cosh ra }] [{sinh ra (r2 - k2) + 2irk cosh ra }] A∗A∗ = [{sinh ra (r2 - k2)}2 – {2irk cosh ra }2] A∗A∗ = [{sinh ra (r2 - k2)}2 – {2irk cosh ra }2] A∗A∗ = [sinh ra (r2 - k2)2 + 4r2k2 cosh ra ] A∗A∗ = sinh ra (r2 - k2)2 + cosh ra , kita tahu cosh ra - sinh ra = 1 A∗A∗ = sinh ra (r2 - k2)2 + 1 + sinh ra A∗A∗ = a [(r2 - k2)2 + 4r2k2] + 1 A∗A∗ = sinh ra + + 1 A∗A∗ = sinh ra + +
T = ∗A∗A = a + +
Bila ra >> 1, maka nilai sinh ra = − − ≈
T = ∗A∗A = + + = + +
Tunnelling pada kasus E > V agak sedikit berbeda, mari kita perhatikan bahwa ketika
V > E, maka k = √ ћ E – V dan r = √ ћ V – E , namun bila E > V, maka nilai r
menjadi imajiner, yakni r’ = √ ћ E – V = ir, hal ini mengindikasikan bahwa tidak
terjadi peluruhan eksponensial di derah dengan barrier potensial, namun hanya akan
mengubah bilangan gelombang r untuk fungsi sinusoidal.
Untuk T menjadi
T = ∗A∗A = a + + kita tahu bahwa sinh (ira) = I sin (ra)