The Story of the Cubic - Math Education

The Story of the Cubic

Dramatis Personae• Scipione del Ferro, a mathematical gentleman of Balogna.

• Annibale del Nave, his son‐in‐law.• Antonio Maria Fior, his student.• Niccolo Fontana (Tartaglia), a mathematician and possible scoundrel

• Girolamo Cardano, a mathematician and possible scoundrel

• Ludovico Ferrari, Cardano’s hot‐headed assistant.• Various sons, daughters, French soldiers, and the Spanish Inquisition.

No One Expects the Spanish Inquisition!

When we last left our story….

• Antionio Fior had acquired the solution of a “depressed” cubic (missing the  term) from the papers of his teacher, Scipione del Ferro.

• As was the custom of the day, he challenged the mathematician Niccolo Fontana, known as Tartaglia, to a battle of mathematical wits.  Tartaglia had bragged that he could solve cubics with a missing x term.  

Niccolo Fontanta (Tartaglia)

• Left impoverished when his father, a rider and messenger/delivery man, was killed.

• Badly wounded by a French soldier as a boy, he was left with a speech impediment and so was called Tartaglia, or “Stammerer.”  

The (Mathematical) Duel

• Fior and Tartaglia each supplied 30 problems and the one who solved the most at the end of a month would be the winner.

• Fior knew the  “no  ” depressed case; Tartagliasteered clear of that.

• Tartaglia knew the “no x” case.  Fior steered clear of those.

• On the evening of February 13, 1535, Tartagliasolved the “no  ” case, too. 

• Tartaglia was the clear winner, and Fior faded away into obscurity.

Enter Girolamo Cardano (1501 – 1576)

• Clearly one of the most interesting characters in the history of mathematics.  

• “A Renaissance man.”  ‐‐ Hal Hellman, author of Great Feuds in Mathematics.

• “A Scoundrel mathematician” whose life was “deplorable even by the standards of the times.”  ‐‐David M. Burton, A History of Mathematics.

Cardano

• Likely an illegitimate child, he was nevertheless well schooled by his father, a lawyer and lecturer in geometry, and a friend of Leonardo da Vinci.  

• Studied the first six books of Euclid by age 12; medical degree by age 25.  Very sought‐after as a physician throughout northern Italy.  He treated the Pope.

• An inveterate gambler who wrote the first serious book on the mathematics of probability.  It also included a section on how to cheat in games of chance. 

Cardano

• “Quick tempered and vindictive and often unable to control his anger.  At times this involved him in brawls of the most serious kind.”  

• Numerous lawsuits, all of which he claims to have won.  

• He also cast horoscopes.  Surprise.

The Game’s Afoot

• Cardano was writing Ars Magna (The Great Art) and upon hearing of Tartaglia’s solution to the depressed conic, wanted to include it in the book (with proper credit, of course).  At this time, Cardano knew nothing of del Ferro’s solution.

• Tartaglia resisted.  Then there were a series of letters ranging between “sharp and friendly.”  

• Cardano: “Greedy and unwilling to help mankind.”• Tartaglia: “I will not say that you are a great ignoramus, but that you are a person of poor judgment.”

• Cardano sniped at Tartaglia’s book on Ballistics.

The Game’s Afoot

• Finally, by dropping names, implying introductions to important people, and so forth, Cardano got Tartaglia to visit him, and eventually got the solution out of Tartaglia.  It was given in the form of a cryptic verse, and was given only after extracting a solemn promise that Cardano would never reveal it.  

• Ever.  • I mean it.

Mathematics?When the cube and its things nearAdd to a new number, discrete,

Determine two new numbers differentBy that one; this featWill be kept as a rule

Their product always equal, the same,To the cube of a third

Of the number of things named.Then, generally speaking,The remaining amount

Of the cube roots subtractedWill be our desired count.

Why This Mattered to Cardano

• Cardano could solve all cubic equations if he could solve the depressed case, so he needed it to finish that project.  Moreover, he and his assistant Ludovico Ferrari had gone further and figured out how to reduce quartic (i.e. fourth‐degree) equations to depressed cubics as well.  

• So he had an important piece of mathematics that he couldn’t publish because of his promise to Tartaglia.

The Game’s Afoot Again

• Finally, Cardano and Ferrari heard that there might be another solution to the depressed cubic in Bologna.  They travelled there and met with della Nave.  Finding that del Ferro had the solution before Tartaglia, they decided the promise was no longer valid, and they published the whole thing in Ars Magna.  They credited both del Ferro and Tartaglia.  

The Aftermath

• Tartaglia was furious.  He sent some pretty nasty letters to Cardano.  

• They were handled by Ferrari, who eventually challenged Tartaglia to a contest. 

• The details are sketchy, but at least one source has this to say:

The Second (Mathematical) Duel

• On 10 August 1548 the contest took place in the Church in the Garden of the Frati Zoccolanti. Tartaglia was vastly experienced in such debates and he expected to win. However, by the end of the first day, it was clear that things were not going his way. Ferrari clearly understood the cubic and quartic equations more thoroughly, and Tartaglia decided that he would leave Milan that night and thus leave the contest unresolved. With Tartaglia departing ignominiously, victory was left to Ferrari. 

The Second (Mathematical) Duel

• Tartaglia suffered as a result of the contest. After giving his lectures for a year in Brescia, he was informed that his stipend was not going to be honored. Even after numerous lawsuits, Tartaglia could not get any payment and returned, seriously out of pocket, to his previous job in Venice, nursing a huge resentment of Cardano. The defeat in Milan would appear to be responsible for Tartaglia'snon‐payment. 

And Thus We See

• Things didn’t end well for Tartaglia. Most sources list Tartaglia’s date of death as 13 December 1557, about nine years after the duel with Ferrari. 

• How did things turn out for Cardano and Ferrari?

Cardano’s End Story:

Cardano had three children:• Chiara, married into a good family, but her promiscuity led to an annulment, legal battles for restitution.

• Giambattista married a woman from a poor family, poisoned her, and was eventually executed.  The strain led to some paranoia on Cardano’s part.

• Aldo – a gambler and drunk. Broke into his father’s house to steal money or goods.

Cardano’s End Story:

• Cardano eventually lost his university positions and was exiled from Milan.

• Some think that Tartaglia may have been behind many of the refusals he got looking for positions.

• Finally, on October 13, 1570, and apparently partly from evidence provided by Cardano’sson Aldo, Cardano was arrested by the inquisition.

Evidence Against Cardano:

• Refusal to serve as the Pope’s astrologer• He cast a horoscope of Jesus.• Some of his writings suggested that God loved non‐Christians, too.

• Etc.• He was jailed, and released a few months later by his friend, Archbishop Hamilton.

Epilogue:

• Cardano died in obscurity in Rome, where he wrote his autobiography.  He died not knowing his daughter Chiara died of syphilis, and that Aldo had betrayed him and was rewarded with an appointment as official torturer and executioner in Bologna.

• He died September 20, 1576.

An Interesting Twist on the Story

• This story as told in the book Great Feuds in Mathematics by Hal Hellman gets even more interesting.  In Hellman’s version, Tartaglia was behind Cardano’s arrest, conspired with Aldo to provide evidence, and thus had his carefully plotted revenge on Cardano.  There’s only one problem.  

The Problem with Hellman’s Version

• If Tartaglia died in 1557, he wasn’t even around when Cardano was arrested and tried by the Inquisition.  Not even close.

• So where is this all coming from?

• Glad you asked. 

Tartaglia’s Death:

• Almost every source I find gives his death date as 1557, and when a day is listed it is consistently 13 Dec 1557.  I tend to accept that date.

• But the more interesting point is that the same person who claimed the erroneous death date, also claimed that Tartaglia was behind Cardano’s arrest.  So can we trust that?

Sources:

1. Great Feuds in Mathematics, by Hal Hellman, © 2006.

2. Doctor Cardano:  Physician Extrordinary, by Alan Wykes, © 1969

3. Cardano’s Solution, by Allan Ashworth, in January 1999 History Today.

4. Cardano:  The Gambling Scholar, by OysteinOre, © 1953.

Sources:

• Hellman draws directly from Wykes.  • Ashworth cites both Wykes and Ore but is not specific about which says what.

• Ore doesn’t implicate Tartaglia, and cites 1557 as his death date.  

• So it all seems to come down to Source 2, Wykes.

Quotes from Wykes:• P. 174:  “The boy Aldo, to whom I had promised the reward of the appointment of public torturer and executioner in that city, came to me in Rome with the intelligence that his father was in Bologna awaiting an interview with the syndics.  I thought to myself, ‘Ah! This will be pleasant, to raise his hopes that at last the restrictions are to be lifted from him and then, an instant before the realization of these hopes, to cast him into prison.  And so it was.  I hastened to Bologna, and there he still sheltered, in the ruins of a hovel, awaiting an ascent to his former status.  I instructed the guards to arrest him as he set out for his appointment.” 2

Quotes from Wykes:

• Notice that this quote, which directly implicates Tartaglia and has him alive and well in 1570, actually has a footnote, #2 in Chapter 18.

• The Notes in the back have only one footnote reference for Chapter 18; it is for footnote 1, and is to Cardano’s own work.  Footnote 2 is conspicuous by its absence. 

So the search for truth continues

• My best guess:  Wykes misremembered the 1557 date as 1577, which puts it one year after Cardano’s death.

• My best guess: The quote is that of someone else involved with the arrest, and not Tartaglia.  But who?

• See what happens when you’re not careful?

Epilogue:

• Lodovico Ferrari left Cardano, taught in Milan, became a professor at Bologna, and died one year later, possibly poisoned by his own sister. 

• Oh, and by the way:  Tartaglia created a method for finding binomial coefficients using something called “Tartaglia’s Triangle.”  You might know it under another name.