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XI Esc. Prob. & Estad. CIMAT 2012Clase 3
Ted Hill
Internet base de datos
http://www.benfordonline.net/
Internet libro de la teoría de Benford
http://www.i-journals.org/ps/viewissue.php?id=11/ Vol 8, pp 1-126
La Ley de Benford para Secuencias Deterministas
Page 2
Esquema de Clase 3
1. Secuencias clásicas (Fibonacci, n!, etc)
2. Evidencia empírica (calculadora simbólica inversa)
3. Procesos exponenciales
4. Procesos super-exponenciales
5. El Método de Newton obedece a la LB
6. Aplic. a las pruebas de diagnóstico, errores de redondeo
7. Problemas Abiertos
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Ejemplo 2 Otra Vez
Comience con cualquier número positivo, y en
repetidas ocasiones se multiplican por 2.
Entonces, se empieza con 5,
5, 10, 20, 40, 80, 160, 320, 640, 1280, …
¿Qué proporción de la secuencia comienza con un 1?
R. Exactamente
La misma respuesta si se comienza con 7, o con 3 y se
multiplica repetidamente, etc por 5, pero no por 10
10log 2 30.1%
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Ejemplos de Datos Deterministas
1 0
Ej. 1 1,1,2,3,5,8,
las tres son sec
Los números
uencias de B
Ej. 2
enfor
de Fibon
acci!
2
(1 )
dn
n
n n
n
x r x
0 11 2
2
Ej. 3
Ej. 4 La solución de la ecuación diferencial
, , , ... es una secuencia de Benford
cada componente es una secuen
1
0 1 1
1
cia de Benford
1 1
n n
n
x x xx x
0sin , (0) es una fun c i ón de Benf ord
xx e x x x
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Algunas Secuencias Clásicas
D1 (n!) (2n) (Fn) Benford
1 0.293 0.292 0.301 0.30103
2 0.176 0.180 0.176 0.17609
3 0.124 0.126 0.126 0.12493
4 0.102 0.098 0.096 0.09691
5 0.087 0.081 0.079 0.07918
6 0.069 0.068 0.067 0.06694
7 0.051 0.057 0.057 0.05799
8 0.051 0.053 0.053 0.05115
9 0.047 0.045 0.045 0.04575
Los primeros 1000 números enteros positivos
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Calculadora Simbólica Inversa .865255979… = ?
Math World – “En la base de datos de Plouffe [actualmente más de
3,7 mil millones de entradas], el 30% comienzan con el dígito 1. "
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LB para Secuencias y Funciones
es la (decimal)
: [1,
Recuerd e.g.
10) función mant (2,013) (0
is.02013) 2.01
a.3
e SS S
1 2 3Una , , , es si
# : lim log 1 10
Una :[0, )
Benford
Benfores si
0 : lim log
d
1 10
i
n
T
secuencia
funci
x x x
i n S x tt t
n
f
x T S f x tt t
T
ón
Page 11
Secuencias de Crecimiento Exponencial
2
10
, ( ), ( ( )), ... es Ben
Sea ( ) (1 ( )) una de con ( ) 0
y 1. Entonces
(suficientemente grande)
ford p
ara todas
si y sólo si log es
T. 1
irracio
0.
l
na
T x x f
x T x T T x x
x C f
.
2
Iteraciones de ( ) 2 son Benford.
Iteraciones de (
Ej.
Ej.
Ej.
) 2 son Benford.
Iteraciones de ( ) 10 lo soo nn
x
T x x
T x x x e
T x x
Page 12
Las Iteraciones de T(x)=2x
Iteraciones deIteraciones de
Page 13
Secuencias Super-Exponencial
, ( ), ( ( )),
Se
...
a un mapa con un punto superatractivo
de orden finito , entonces
para casi todos los suficientemente grandes,
pe
T.11
ro e
es Be
xiste
.
número infi
n
u
ford
n ni
x
C
T
T
x T x
x
T
to de puntos excepcionales
2 2
2
( ) o 10 ( iteraciones son Benford)
( ) 1 (iteraciones son Benford)
polinomios, funciones exponenciales y de potencia...
(iteraciones so
Ej.
Ej.
n Benford)
E (
Ej.
j.
T x x x
T x x
T
) (iteraciones son Benfo do ).n rx x
Page 14
Las iteraciones de T(x) = x2
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LB en Ecuaciones Diferenciales Parciales
2
2
2
2( , ) exp( )
E
Solución 1:
Benford en y
Solución 2
S
( , )
La ecuación
(:
Benford en ni
2 ))
NO ES
del calor
w x t A a t x B
w x t A x at B
w w
t x
x t
x t
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Prueba “Dentro-Benford, Fuera-Benford" para Diagnósticar los Modelos
Ecuaciones
diferenciales,
los flujos de la
red, PL, etc.
Entrada Salida
e.g., 2010 Datos del
censo
e.g., 2100
Predicción de censo
Prueba parcial negativa
Modelo Matemático
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El Método de Newton Obedece LB'
'
* * *
0 0
*
( ) Sea ( ) si ( ) 0. Entonces
( )
( ) para cerca , donde ( ) 0.
Sea : una función real an
Método de New
alítica ,
no-lineal, y
t
T. 12.
on
(
n
f xT x x f x
f x
T x x x x f x
f I
f x
*
*
0
*
*
1
) 0. Entonces
i) sea una sola raíz de
para casi todos cerca de
ii) sea una raíz
( ) ( ) and ( ) son Benford
2,
(
n n n
x f
x x
x de multiplicid
x x x x
ad
*
0vale para todos .
)
x x
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Errores de Redondeo en Algoritmos
1
.1
1
10110 9
Sean el error absoluto
la mantisa en el momento de parar
error relativo
Si , son independientes, ( )
Si es uniforme , 2.558
pero si rea
,1
XY
Y
dtt
X
Y
R
X Y ER EX E
Y U ER EX
Y
2
1
log10
.1
l es Benford, 3.909
y la media de la
subestimación del error es más de un tercio
dtt
ER EX
Estimación Aproximada
Knuth (1997) "Si los dígitos iniciales tienden a ser pequeñas ..., el
error relativo debido al redondeo es por lo general ... más de lo
esperado.“
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Aplicaciones en la Informática
Ej. 1 Análisis de los errores de redondeo
(Hamming, Knuth, Berger-H).
Ej. 2 Análisis de errores de overflow / underflow
(Feldstein, Goodman & Turner)
Ej. 3 Diseño de computadoras (Barlow y Bareiss; Schatte)
Ej. 4 Codificación basada en la entropía
(Abdallah, Heileman y Pérez González)
Ej. 5 Idiomas libres de contexto (Ravikumar)
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Problemas Abiertos
1. ¿Cuál sería la velocidad de convergencia de Benford?
2. ¿Existe una teoría general para ecuaciones diferenciales parciales?
3. ¿Existe una teoría unificada de Benford (para secuencias,
ec
2
0
uaciones diferenciales, y variables aleatorias)?
4. ¿Son iteraciones de ( ) 1 con 1, Benford?
i.e., ¿es 1,2,5,26, ... una secuencia Benford - si o no?
T x x x
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Figs
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