the buho

P OFESORES DE LA"'TECNICANACIO AL

-Ec ador

----------------------------------~-

Miguel Tasiguano S.Xavier Camacho M.Oswaldo Aldaz P.Patricio Vallejo A.

Reservados todos los derechos.Queda terminantemente prohibida lareproduccin total o parcial sin autorizacin previa del autor.

QUINTA .EDICINCorregida y aumentada

..:'\

VECTORESr ' ~

. , ,. .

. ~,

--b.- OA = J 0.33 UOADA

10. f(

...!I = o. 46 i + .l ~iA = ( . 4 )~ I ( .)6. '--OA 8.= - - ------:;_

A = 10.33 sen 30 = 5,165 u

10DA = = 10.33u

cos 15

xe

.'.'.'.....D..~..

...A.'..'..'.'..'

.'....

My

J y t r A obre esta lnea es igual a 10i I i, I.n prounidad s.-) n ult a zud B A e igual a 15.

-A en funcin del unitario anteriorincide con la lnea de accin del vector- -

a) La direc in del {' '(01 Ib) La pI' 'sill ti,) ('('ti

a.- S i.l )M~.I t TI , -

ti _O" on el eje (x). Su proyeccin sobre la10unidades. Determinar:

-1.- Un vector A 1(mili 1111lnea de accin de '{ 1 )J

6

p"pp' xo

- - -l. Una persona hala de un objeto con una fuerza dada por el vector FJ = 4i + 3)unidades. Determinar vectorialmente la mnima fuerza F] que debe hacer otra

persona para que el objeto se mueva nicamente en la direccin Este..y

Rtan8= - = 1

F2(J = 45

F2 = 14.14 unidades

Si FI=R el tringulo formado es is s '01 'S por 1< ItI '1 II\~ 1110 ()AH .,"F22 = F,2 + R2

AR

respecto a la fuerza FI'

- -resultante tiene un mdulo igual al de FI y es perpendicular a ella. Si F I esigual a 10unidades. Determinar el valor y la direccin de la fuerza F] ,con

- -_ Dos fuerzas FJ y F] actan sobre un cuerpo de tal manera que la fuerza .

-- --d)fBtA=OH-OAHA =13.89 II- -BA=12 i -7 j u

BA=J(12)2 + (_7)2

-c) OB + BA= OA- - -BA= OA- OB- --- ......

b) OB = -7 i+ 4 j

- ......a) OA = 5 i-3 j u

x

y

Determinar en trminos de i, j.

a) La po icin de Ab) h-a posicin dee) La distancia ntr A y IJ) La posici n d /\ n r p cto a Be) El v ctor unitario de B hacia A

--Dando un sistema de coordenadas r y 1 puntos A( 5 ; - 3) u , B( -7 ; 4 ) uPor lo tanto F2 = 3 j unidades

...

Toda partcula: n u n la direccin de la fuerza resultante. Si al vectorinicial se le lima 1r vector de .manera que la resultante coincida con ladireccin E t '; C m pudiera ser OP', OP u OP" . Pero para que esta seamnima s d escoger la que sea perp dicular ya que es la menor .

8

- --A=OA- OC~ ......Be = 3i+ 3j uBC =OC - OB- - -

- ......oc = i+ 5j ub.- Si se determina los vectores que van desde A hasta B, de B hasta C. yde C hasta A se tiene que:

... ...OB = -2i + 2j u-- ...a. - OA= 21+ 4j u

y

Dados los puntos A (2 ; 4 ) u; B ( -2 ; 2) u y C ( 1 ; 5 ) uExpresar sus radios vectores.Demostrar que la suma de los vectores dados por los lados del tringulo esigual a ceroEncontrar el vector que coincida con la mediana trazada desde -1punt B.

=O.864i - 0.504j

= 12i - 7 j13.89

-e) ti = ABAB AB

- --rS/A = -12 i + 7 j u

QP, = 69.28 Ll

---+ ---+ ....... ...

Determinamos QP y PR en funcin de lo unitarios i,j y k

QPy = 80 co 60 u

QPy = 40 Ll

QP, = 80 sen 60 u

:..~x p

tO f....~ E

S

N~ rY

- _. ...BM = 3.5i + 2.5) u

6.- La posicin de P con respecto a Q esta dada por S 60 E ; 80 Km . Otraciudad R se halJa localizada respecto a P en la posicin N 10 O ; 120 Km .Cul es la posicin de Q con respecto a R?

- ... .. ... ...BM = 3i + 3j + 0.5i - 0.5 j u

- - ---BM=BC+ CMc.- La mediana divide al lad en dos partes iguales- - -CM =MA= A/2

-+ -- AAS + + A= O

-+ _. _.A = - 4i - 2j LI

AB= - A--+ --

-+ ....

CA=i-ju

---+ .... ...... -.

:1 OA = 3 i+ 4 j -5 k u

Por la correspondencia entre las coord na las d un punto y los mdulos delas componentes de un vector posicin ~pLI . 1, s ribir:

A

7 s los puntosA( 3,4,-5) u y B( 1, -3, -2) u. Determinar:Los radios vectores o vectores de posicin de los puntos anteriores

h La distancia entre esos puntos.El ngulo que forman los radios vectores.- -1) los cosenos directores del vector (OA - 20B)

- .. ..RQ= -48.45 i-78.17 j Km.

- --RQ= - (QP + PR)- -luego ser el vector negativo de la suma QP + PR

1a p icin de Q con respecto a R esta dada por el vector RQ--+ .. ..PR = -20.84 i+ 118.18 j u

PI y= 120 cos 10

PRy= 118.18 u

P~ = 120 sen 10 uPRx = 20.84 u

8.- Un . .tor in el espacio forma un ngulo de 300 con el eje (x) y tiene unamu ,nitud de 16 unidades. Su proyeccin en el plano YZ forma un ngulo de 45con los j 's mencionados. Determinar:a) I~Ive ror proyeccin en el plano XYb) :1 ve 'Ior unitario paralelo al vector en el espacioe) El valor de l s ngulos directores

Uc= 0.099 T+ 0.99J - 0.099kcosa = 0.099 a = 84.32cosP = 0.99 P = 8.07cosy = - 0.099 Y = 95.68

....I - lO} - k

u( -10.099

----. _.,...... ~ -t ---+d) El vector OA - 20B = i + 10j - k a este vector se le denomina epor lo tanto, el mdulo ees igual a 10.099

cos8= (7.07)2 + (3.74)2 - (7.87)22(7.07)(3.74)

b) La distancia entre A y B ser el mdulo del vector AB- -AB= OB-OAJilJ- -2( - 7i 3-uAB = .J(- 2i + (-7y + (3)2AB = 7.87 u

e) Para encontrar el ngulo se aplica la ley de los cosenos.

I I I I I .' .in de un vector en el plano YZ es: aJ + ale J el vector forma un11I1"d" O .on el eje X y tien un mdulo igual a 2a. Calcule:1) I I \ l' I Ir n trminos de I "unitarios normalizados.

a = 30tJ = 69.29Y = 69.29

a = 0.866. ). tJ = 0.35

I 1 ."Y = 0.35

--+ --+ --+

OQ+QP= OPOQ= 16 cos30OQ= 13.85 u

PQ= ~(l6)l ~ (1 .8 )lOT=PQ=8 uOR= 8 cos 45OR= 5.65 uOR = RT por ser un ngulo de 45, ti n que--+

OP = 13.85?+ 5.65J + 5.65k ua proyeccin del vector en el plano XY ser:

PX_l' = 13.85i+ 5.65/ u

= 13.857+ 5.65/ + 5.65kuQ/I

16uOP = 0.866 + 5.65/+ 5.65 k~

11 ea el prisma rectangular que contiene el ve t r.T=QP

x

z

y

j? ? ?El mdulo del vector es: A = 3a- + 4a- + 9a- =4a'1

... r:> .. +10.- l ad el siguiente vector en el espacio A=i 3a1+ 2aj - 3ak. Determinar:

L s cosenos directores'1 ngulo que forma el vector con su proyeccin en el plano XZ

, -< l vector unitario paralelo al vector proyeccin en el plano XZEl ngulo que forma el vector con su proyeccin en el eje y.

ha Ji.) cosa: = --=-

2a 2a 1

os 3= - =-2a 2a 17=-=-2a 2

de donde se obtiene:I 2 2 22a =\j (Ax) + a + a

Ax= af2r;:::" .. ..

A=avLi +aj+ak

b) A,.z = aE T+ a kAxz = J 2a2 + /uA . = A z= .fiar + ak = ~ ..+ (1k

xz Axz /Ja v"31 f'3

a) Ayz= Elr a ki I ngul que forma el vector con el eje X, se denomina exy el mdulo del vector A = 2a...... .....A=Ax + aj + ak

la royeccin del vector en el plano XZb) El vect r unirari I oral Ie) Los c s n . dirc tore .

5(1con el eje Y. Determinar:11) Los cosenos directoresI Si el mdulo del vector es de 5 unidades, en' ntrur '1 . 'Lor n funcin de

los unitarios normalizados.a proyeccin del vector en el plano YZ

1) hl ngulo que forma la proyeccin del vector en vi I lano XY con el eje Z.' 1. )s ngulos directores.

Si el cos ex de un vector en el espacio es y 1v 't r f rma un ngulo def24

) Axz =5ai -3ak... r::; ....

.. Axz -.J 3ai - 3ak. ~ ..uA =_= 2 2 =0.51 -0.866k

xz A. J 3a + 9aJ) Es el ngulo director 13

2acos 13=- =0.54a

8 = 60

2

h E 1 vector es la hipotenusa de todoI otro del prisma

J'----'-2 --2 j 2 2os8= Axz= Ax Az = 38 + 9aA A 4a

s trin ruk s le In, que f nna parte

s: 13l' scx= --=-

4a 42a 2

')s13=-=-4a 4- 3a 3s-Y=4a=--

12.- La proyeccin de un vector en el plano XZ es 47 l ik y la proyeccin de este-mismo vector en el eje Y es - 6j .Determinar.a) El vector en funcin de los unitarios nonnalizados.b) Los cosenos directores.e) El vector proyeccin en el plano XY.d) El vector unitario en el plano XY.

'.

d) Todas las lneas del plano XY son perpendiculares al eje Z; por lo tantoel ngulo ser de 90

e) a = 69,3 : fJ = 45. y= 52.2

- ..[2.. ..[6 ..Av,=5- i +5-k unidades. 2 4c)

a) cosa = ..[24

cosfJ=!i2

cosy=E4

A =cos a T+ cos{Jj + cosyk y adems se tiene que1== AUA... ..[2 -. ..[2.. ..[6 ..A =5(- i+-j + - k) unidades

424

b)

cos IJ =={i2

2 2 ti 2cos (X + cos p + cos y == 1reemplazando los valores anteriores se obtiene:

o

-1 -1 -4

,ti I = - i+ 3j - 2k m-2);,y

) 12+32+ 22Y .31"

A=3i-J+ikm-t --t -+ __. -t -t

t1t = (2i + 2j + 2k) - (3i - j + 4k)

-- _--i AB = DB - DA = B/A

Yt ~~.: ..: 1.."",-: B / ~ .

...... .k::::::::::~~",,:::::~~": xo;

.. ..I } u' = 4i - 6j u

A _../42+6'2=7.21 ut 4:* 6; -: -:'ti" y =7.211 -7.21} =O.551-0.83}

ticn n los puntos A (3,-1,4) m y B (2,2,2) m.Determinar11) I~Ivector posicin de B con respecto a A.1I I~Ingulo que forma el vector con el eje Z.

,) .. .. ..1-+7ku" ~ 4 +62 +72 =10.05 U

411) r< (X - _ = 0.398

10.05-6'o'p =_ = - 0597

10.057

)sy = 10.05 =0.696

..- 11

.. ..I + Tk

_. _.. _., -.U(A.B) =0.21i+0.37j +0.88kc)

- ~ -+ai + ..3aj+ 4.2ak4.64 a

-u--(A B)oe = 64.5

cose= I -+ = 2 2 2 =0.43'(E-A)I a -3a + (4.2a)2 2a + 3a

13 - A = -aT - 1.73a)+ 4.1ak.---------

I(B-A)xyl

2 2 2 3 oA =A x+~ +Az

a) Az=3{3 ak

... .... 3V3.. .c. ....A= 1.5ai + -- aj + 3V3ak

2B - A = -aT- {3aj+ (1- 3 v3)ak

Axy= 3a3[3

A = A cos 30 = -- ay xy 2Ay = ~y cos 60 = 1.5a

A=6a

- -b IU orma el vector B - A con su proyeccin en el plano XY- -El vcct r unitario paralelo al vector A-B.- -d) El.ngul que forma el vector A - B con el eje X.-+ -+

,1m dulo de la proyeccin del vector A - B con el eje X.

es igual H (' 1 '1"' ,'11 pr yeccin en el plano XY , tiene un mdulo igual aa y fonnu un uu 11 d 30 e n el eje Y. Determinar:

'1 ''1, .tor n srminos de los unitarios normalizados.

'1" /Ja..... ...I i I - j + ak , un vector A cuyo mdulo A14.- Dado el ve '101' H

.... .... ....-70.7i + 173.2j - 70.7k ti

z =A cos 60 = 200 * 0.5 = 100 u=Axz cos 45 = 100 * 0.707 = 70.7 u

f,=Axz sen45 = 100 * 0.707 = 70.7 u=A sen60 = 200 * 0.866 = 173.2 u

-+ -+", 111 I s vectores A y B los que represen! 11 n las v 'lo .idad s de J s d '1111,1 r s : todos los tringulos formados en el grfic s n ro irn 'lIlo,' P( r lo que puede hallar las respectivas compon ntcs nplil"lndo lns rUI1 ione

Illj un mtricas.

1111 roh te tiene dos motores de retropropulsin. El primer motor impulsa alI dwl' "11 la direccin N-O con un ngulo de elevacin de 60 y con unaI '1" I z I 200 unidades; el segundo motor 10 impulsa en la direccin S 60 E; con1111 11 tul de elevacin de 45 y una rapidez de 160 unidades. Determinar:" I 1 v locidad del cohete en trminos de los unitarios normalizados.I I 1,' lireccin de la velocidad resultante del cohete.

f3,),'(3 = =0.373

ti 4.64f3 = 68.1IA-Blx=a

z,.......

-d) El unitario LF - -e) La proyeccin del vector DK en la direccin del vector LFa) El vector R = 2LF - 3AG + 5DK

--+ --+b) El ngulo formado entre los vectores LF y AG

16.- El lado de los cubos de la figura mide 10 cm. Determinar: ..

-VR /\ - .. ... ....VR 27.27i + 286.34J - 14.13kb) a direccin ser determinada por el ngulo de giro 8 y el de elevacin (J

J 286.34tg') =-::==;:====;:-J(27.27)2 + (14.13)2

(J = 83.8814.13

tg8=--27.27

8 = 27.56La direccin del ngulo de giro puede ser expresada como E 27.56N.

... ..B-97.97i 11 .l4j+56.57ka) a v ,lo .idad resultante es la suma de las dos velocidades.

t 60 o.: 07 tI. 14 u1I .14* = 97.97 u11 .14*0.5 = 56.57 u

*0.707= 13.14u

Bxz = s 4 11

B, = A zS 'n()OIB = ti . :-;(:0"~ " ,/,

I " 1:11 la figura determinar

1) I ngulo formado entre los vectores AF y Aha proyeccin del vector BF sobre-el-vector BC.

.. .. ..I F = 0.58i - O.58j + 0.58k

. . ..I KLf = -3.33i + 3.33j - 3.33k cm

-+ ... .. _.. LF 10i - 1Oj+ 10k cm

ti) 1I F =-=---==--LF J300 cm

..IOk 'm

1.,1; AG =LF (AG) cos eI )(lO) + (-10).10 +"10(-10) =J300)300 cose

-100'l s = = - 0.333 e = 109.47

+300. Utilizando la..ecuacin paraobtener la proyeccin de un vector en la

ti ireccin de otro vector se tiene:

I K = (DiCeuJuLF (LF)2

_t10.(lO).+20.(-10) + 0.(10)J ... ...DKLF - r::-::. 2 . (101- 10J

(v 300)

~ ......... ......... ......1 2(10i - 10j + 10k) - 3(10i + 10j - 10k) + 5(10i + 20k).. ...... .....

1) I 40i - 50j + 150k cm

1, l tilizando el producto escalar entre dos vectores se puede escribir

.. ..1 ) l Oi+ 20j cm

)(10)2 + (20)2 =1500 cm

.. ..... ... .. 10i + 10j + 10k cm

)300 cm

. --I 1; I j - 10j + 10k cmI 2 2 2 r::=

I F ,,(lO) + (-10) + (10) = '" 300 cm

:1 d 0' srmina los siguientes vectores:

) o 8

-- BFAC-BF AC = . A(ACi

b)-- --

-AF .AIcos8=---

AF.AD

8 = 74.45

a)

-.A

-- ....AD = 60k uAD = 60 uBF = 40;+ 30 fuBF =~ (40)2 + (30)2 = 50 u

GxB

C

F

22

y

GF = ~ (50/ - (30tSi el tringulo CFB es issceles, su altura es

GF=40uSe determinan lo vectores en trminos de los unitarios normalizados:AF = 1ooi+ 40J+ 30k uAF =~ (lOOl + (40)2 + (30)2 =~ 12500 u

Si las distancias EF =DC =AB = 100 tiCF= BF = 50 uBC=AD = 60 u

z-x .. ....JI - i - 2k uI SuJ tg' (2/1)'t ) .43

q N 6,57 E

d) I

........................................,....1~ ... . .-..........! f. i..... : .-,..,. ~

y.. .... ....- i +j - 2k

11 - -----.:::::---.[6

,1 .8 + 3(: =(3 - 7 + 3); + (4 + 8 - 3)] + ( 5 + 8 - 15)k u .... .... ........ -t

1 B + 3C = - i +j - 2k uIt B + 3eI= -1- 1+ 1+4

. ......I I +3C

1 '1 'rminar el mdulo!H t mga el unitario del vector anterior ............ ......I I r sente mediante un .B~m~ en el espacio al vector A+B+3Cl' pr se en trminos de i, j y k el vector proyeccin en el plano horizomId j lo en el prismaI .( rmine el ngulo de giro1 termine el ngulo de elevacin o depresin1) t (mine el producto escalar entre A y B'ul uJe la proyeccin del vector A sobre BI t nnine el producto vectorial entre A y B

_". --+ _". --t _. --+ -t.-. .-. 'lores A = 3i - 4j + 5k u; B= -7i - 8j - 8k u; y = i-j - 5k u reali:I eraciones:

...." I .24i + 7.94ku

210 = 9 m I 2~100-34=m

m=8,12u

- 6 + 3m + 5n = On=6-3(8,12) u

5n= - 3,67 u

~ 2 2 210=3 +m.+S

A. B = - 6 + 3m + 511 =0.... -+

.... -+ AA. B = O por ser perpendiculares

.. .. -t- .. - -+ -+ -+19. El vector A = 3i + IDJ + 5k u es perpendicular al vector B = -2i + 3j +nk u, si el.

mdulo del vector A es i.gual a 10 - u, determinar los valores de m y n.

........ .... -+ _..,.

Ax B=- 72i - 59j-4ku

.. _,. -+ _.... .......-+Ax B= (3i - 4j + 5k) x (-7i -rt- 8j + 8k)

- -i) -+ A. B -+ -13-A- 2 B=-(B)uB B 177~ - -1 J k- -+j) AxB= 3 -4 +5-7 +8 +8

...AS=-13

-b A. = 3(x -7) + (4x) (-8) + (5) (x +8)

~ ti 11 )~ -= 24"

24

-~Bc=100mB... ,.,. '1'-r

u B = -0.51 - .24J + I1K

Ai3{AB= 120mN-O ;= 30

p

H' BC)uBc..... ..... .....

I 11' -0.5i - 0.24j +nk

Ily 120 sen 30 = 60 (m)11:1 - 120 cos 30 = 103.92 (m)14 ABxzsen45=-73.48 (m)1':1 ABxzcos 45= -73.48 (m).... ..H .73.48i + 60j - 73.48k m

e

'.".'.".'.........-,".'.....'.'.

, t ~..... .......................................... ~.:.

I 1, I I . d un edificio (A) se ubica la terraza de un edificio (B) a una" 1I I 12 !TI en direccin N-O, con un ngulo de elevacin de 30; de esta

" I t" ." ubica la terraza de otro edificio ( e )a una distancia de 100 metros1111 I I ll\ .sl - 0,24] + nk. Si los tres edificios estn construidos sobre el

I IItl. 1 lUlo horizontal, determinar.I 11111111 '1 e pisos de cada edificio, si se conoce que cada piso tiene una11111 I le 3m, y que el edificio (A) es 6 m ms bajo que el edificio ( e).I 111 niru distancia que deber recorrer una persona si desea ir de (A) a

111 a ( e ) y regresar a (A).

u,w = 0,408r- O,816J- 0.408k

.... .... ....... 10i - 20 j - lOAu.... -,lxB ..100+400+ 100

.... ....AxB

IAxSl....u....=A..S

b)

-t ~ ... ... -+

AxB = 10i - 20 j - 1Oleu

l j le'AxB = 3 4 - 5

10 10 - 10

AxB = [4(- 10)-(-5)(10)]7 - [3(- 10)- (- 5)(1 ~ J +[3(1 0)-4(1 O)]k

a)

... -t .......... ........-+21.- Sean los vectores A=3i +41' - 5ku y B=10i+lOj-l k u . Determinar.

a) El producto vectorial de los dos vectores.b) El vector unitario del vector producto vectorial.

d = 324.67 111

IABxz 1=103 92mIBC: 1= 96.90 mIAc:. 1= J 23.85m:--. -ACxz =ABxz + BCxz =-123.48r+ .52;

""ABlQ.. = - 73,487 - 73,4 kili;BCx7. = - 507+23k m

I I 111' I ,/ =1, de donde n = 0,83I .... ... ....) ... .... ....L '= 100 \ - 0,5 i - 0,24 j + 0.83k =- 50i - 24 j + 83k m

a) /LB =- 73,487 + 60J - 73,48k mh, = 60 m, nmero de pisos: 60/3 = 20 pisos.-+- -t .... -+

BC = - 50i - 24 j + 83k el edificio (C) es 24 m mas bajo que el edificio(B), entonces, altura del edificio (lle) = 36 m, nmero de pisos: 36 / 3 =12 pisosEl edificio CA) es 6 m ms bajo que el edificio (C) :. altura del edificiohA= 30 m, nmero de pisos de (A) = 30 /3= 10 pisos.b) Distancia mnima (d) =ABxz + BCxz+ ACxz

n = cos ym= cos f3 = - O24;'(.\ex - ,5,, i: r

1) s pistoleros A y B se encuentran sobre el mismo plano horizontal. B se'1) 'ti .ntra respecto a A en el punto (-2, 0, -3) m. El pistolero B lanza trua

nlima de losvectoresdados por los ladosde1 un Idl{tI1:11 una mesa de billar hay tres bolas A, ,yIlspcctoaA en la posicin (E 100N;distan j'IO, 111. un respecto a A al (E 15 S; distancia 0,5 m). ,( 'lItll1 ',Ip cto a e en coordenadas geogrficas?l In avin de aerornodelismo despega en la dir . 'it u " Y 11 un ngulo del I .vacin de 30. Luego de volar en lnea r 'tu UIIII distan ia de 40 metrosh sde el punto de partida su dueo desea impa t Ir 'n un blanco ubicado en elpunt B (-6, 5, -3) m? Determinar:1) a direccin que debe tomar el avin para 1 gro!' su propsito.11) a posicin del avin respecto al blanco.

111 1 ( '1 nI)). I '11111 strc qu ' Jlos puntos A (-2, l)m; B (2, 3)m;

-+t In vector A de magnitud 10 unidades forma un ngulo de 30 con la

-+It rizontal y otro vector B de mdulo 16 unidades forma un ngulo de 135

-+ -+( n la misma horizontal. Det rminar: "1 v cr r B - A, n [unc 11 d l

-+ -+unitarios i i j .

-+ -+el mdulo de A - Bes:

+ B2 - 2AB cose

t I IUUO componentes rectangulares, demuestre que el mdulo del vector suma -+ -+

I lB, es: B

j t + B2 + 2 AB cose

1) La magnitud el vector A.-+ -+

11) .:.1 ngulo entre los vectores A y B .

I , ve t res A y B J estn representados por la altura y la base de unIII 1.111 rulo respectivamente. Determinar la magnitud y direccin del vector I l. e conoce quey B se encuentran en el primer cuadrante.

-+ -+I " un si tema de dos vectores A y B , la magnitud de B e 10 u y el mdulo~. _. ..........

IJ - A) es 15 u, si el ngulo que forman los vectores B y (B - A) e 30.

-+ -+

Problemas Propuestos

15.- Para que valores de "ro" f rmuu un ngulo de 60 entre si, los vectores quede (2 -7,5) a (7,1, -3; Y de (8 In, -4) a (4, -2,1).

16.- En el prisma de la figura P y Q son t puntos medios de las diagonales OF yOA. Determinar:a) La posicin de P respecto a Q.b) Cul es la posicin geogrfica de re pecto a Q (latitud y longitud)?

.... .. +- +- ...13.- Determinar 1'1 uma de tres vectores A, B yC en donde; A = 5i -10j +

B= 9T+ 4) I 2k Y e es un vector de mdulo 12f2 localizado en el planoque forma un n ul de 45 con la direccin positiva del eje de las X y se adel origen.

14.- Determinar la proy cci n de una fuerza de 10Kgf cuyos cosenos directores0,29; 0,4 Y - 0,87, ' r la lnea de accin de otro vector cuyos cosdirectores son -0,2; 0,6 y 0,775.

.........del rigen e crbalo en trminos de i, j, k.

30tl ,ngulo de elevacin de 60 yrrc UJ .a de 20 m es impactada por una bala del

terminar:a dir ccin del disparo~1ve r unitario paralelo a la direccin de lanzamiento de la moneda.

9.- De de lo alto del edificio de administracin ( 60 metros) por medio deteodolito medimos un ngulo de 15 sobre la horizontal y una distancia deKm. a la Baslica. Luego giramos el teodolito un ngulo de 120y medimosngulo de depresin de 12 al Estadio Olmpico y estimamos una distancia deKm Determinar.a) La distancia entre la Baslica y el Estadiob) La posicin del Estadio respecto a la Baslica

10.- Un avin de aeromodelismo despega en la direccin N 60 E; nguloelevacin de 30, luego de volar en lnea recta 60 ro gira en la direccin-E, ngulo de depresin 60 y luego de recorrer en lnea recta 30 m, secontra un rbol. Determinar:

. +~+a) La posicin del rbol en el espacio en funcin de los unitarios i, j,

respecto al punto de despegue del avin.11.- Dados los puntosA(2, -3, 6) y B (-1,2, -2) unidades, Determinar un vector

de mdulo 3 {42 unidades, cuya lnea de accin coincide con la bisectrizngulo formado por los radios vectores de los puntos A y B.

12.- Un vector cuya magnitud es 100 unidades tiene una linea de accincos 110 directores son cos a = 0.7; cos B = 0.2 relativos a un sistema,co rd nadas XYZ. Si el vector est localizado en el primer octante y se alej

--+1:1 ireccin del vector LN.

1,1\ posicin del avin B respecto al AI.a distancia entre los dos aviones.

, I 11 I \ figura determinar.

F

12

D

86........5

G.....'.'.....

I 1I un aeropuerto se presenta la siguiente situu inn 111 avin (8) se hallaI 11 [ueado en la posicin N 30 E; distanci 200 I11 '110.) P' t a la base deI 11.1 l rre de control de 15 metros de altura. En " 111. Iunt tro avin A) se

1I 11 ntra en la direccin S-O, a una altura 1 lOO nu-tros de la pista y a unaI .t mcia de 2.000 metros respecto a la base el lu tUI) . anterior. Determinar

4

BT

-+ -+I 1 h1 ngulo formado por los vectores PQ y ST

y

t~

o vectores PQ y ST en funcin de sus.componentes normalizadas.-+ -+

1 1I paraleleppedo ABCDEFGO, indicado en la figura, determinar:

x

C3u

y

tDl

-la proyeccin del vector OD sobre la lnea de accin del vector

A4111

xC

.... ... .........a) El vector F en trminos de i J j J le.- -b) La proyeccin del vector F sobre DC.

y

22.- Se tiene una cuerda fija en el punto A y se hala con una fuerza de 100N, desdepunto B. Determinar:

-D = aA - bB - ce. Determinar: a, b, e si el.. (.. - -1respecto a B mas el vector e D = PjtB + e).

vect r D es la posicin de A-.... ..... . .. .. .... .. .... ... ... ... ...

21.- Dado los vectores: A = 2i + 3j - 6k, B = -2i + j + 3k e =4i - 2j - 'sk .

20.- Un aviador vu la de Washingt n a Manila. Determine: El vectordesplazamient , i las latitudes y longitLId de la ciudades son: (39 N; 770)y ( 150 N; 1210E) resp ctiV'lm nt. ...1 radi de la tierra es aproximadamente6.370 Km.

Q10p

y .=M

10

-r unitario paralel al vector OLe- -b) 1-1 v t r pr yecci6n de nQ obre OL .

o

'j las longitudes del horero y del minutero de un r loj . HI 1{) 111 m,I spectivamente, determinar la posicin del extrern t -1 1, 11 1 I 1 ji '( In 11" tremo del minutero, a las:1 3.00 h.h) 2:30 h.I Jn nio eleva una cometa desde un pun 11 el ,'11 JeI, '11 IlIdo h Iti senrollado 50 metros de cuerda en dir .j II N ...0" E h '( 1111 '01\()m sobre el suelo (posicin A), el nio s IlIU' , I() I 1 1,h t ta un punto P. Posteriormente el vi '1110 ohlil'lI 11 In I 111 (, 1 1 ,tliz 11 1111ti isplazamiento D= - 60i~ 20j-+ 40kill I 'sd' In IHI. kl< 11 ( It, 1.1 1111:1 IIU (1posicin B. Determinar:

11) Cunta cuerda tiene que enrollar o descnrollm "'111111 l' 11 I JI ti ) hasta P,de modo que la cometa siga en la posicin A'I

11) Cul es la altura de la cometa, sobre el ,ti 10 ''',,'111, 11 I ntra en laposicin B?Qu ngulo forman los vectores de posicin el It, I ..P ct al punto P?

xc tienen los vectores de mdulo 100 unida I y a-+ de mdulo 50Injdades en las direcciones que se indican '11 I , IIVti la. Determinar:1) Los vectores en trminos de los unitarios n nunlizad s.h) El ngulo formado por los dos vectores.

A

e lOu B

y

-El vector proyeccin de OC sobr ('1, /.I~nla figura, determinar:11) El ngulo formado por los vect

J

y .,. A

\~;f(t~~:~~:~~'.::~~~:~~~::;':?J!!! ...11 1Ij".............::f:r::::::=::f:>~I~-...__.,.x

Z: ; .,1L

CINEMATICA

....

o Km/h, yl 270 KmIh

=-.V B/A

Un avin viaja respecto al aire hacia el sur con una rapi , r leuraviesa una corriente de aire que se mueve 11'1i I ., ','1I eterminar:,1) En qu direccin se mueve el avin con respe t ) a ti rra?h) Cul es la velocidad del avin con respecto a ti '11(1',') Qu distancia recorre (sobre la tierra) el avin .n t 5 minutos?

- -Varr = 54 ikm/hLl~= 120 Km 54 Km/h = 2,2h

- -b) VNr=4ikm/h

a) V B/A= 5.0 km/htu= 120 km- -V AIT=-4i km/h.... .... -.. _. ...V s/r"VAIT +V B/A = - 4i + 50j = 46lan1hLlt =Ll r/V Brr= 120 Km / 46 K.mIh = 2,6h

",1---- ~V BlA1-

____.Ir VafT

B= barcoA=agua

b) Aguas abajo

Un barco puede navegar en aguas tranquilas 'OH 1111 I I qllt! Z ele 50 Km/h. Siel barco navega en un ro cuya corr rile ticn 11111 1 IJ id'z ti 1 Km/h. Qutiempo necesitar el barco para recorr r l:?O 1 111,'a) Agua arriba

D.r= 600 millassVAV/A = 300 millas/h

VAIT

AV=avinA= aire

E) o,

VAvrr- Jy2 AV/A+V2srt = J 5402+ 2702 = 603,7 km/h& = IVAvrrlt = 603,7 Km! h 0,25h = 150,9 Km

- El piloto de un avin que vuela a una rapidez de 300 millas / h conrespecto al aire, desea ir a una ciudad que est localizada 600 millas al Norte.Existe en la regin un viento de 40 milIas/h proveniente del OesteDeterminar:a) En qu direccin debe volar el avin?b) Qu tiempo emplear en el viaje?e) Si desea regresar al punto de partida qu nueva dir cin debe tomar?

N

'1 I V V/A

540 = C/J = 63,40VArr 270

V VIVVfl~V I/ft

.111

AV I 111VA/[

N

B =(112,5i+194,8j) km-

B = ( -100 i) kmJi

BCy = BC.Cos30 = 225'2 = 194,8 km

BCx = BC.Cos60, = 225 ~ = 112,5 km

-- -OA= (l06,li - 106,lj) Km----

S0Ax = 150.Cos45 = 0AY = 106,1 km

N

Un avin viaja 150 Km en direccin Sureste; luego 100 Km directamente haciaIOeste; 225 Km 30 al Este del Norte y despus 200 Km hacia el NoroesteI eterminar la distancia y la direccin a la que se encuentra el avin de su puntole partida.

a) N 7,70 b) VAvrr = VV2AV/A - V\.rr= V3002 - 402 = 297,3 milla

..1r 60Onri 11..1t= 2,02 h

VAVIT 297,3milllh- - -c) Vsvr: VAV/A +VAITV 40Sendi= AIT =- ~ Q> = 7,60VAV/A 300

Vsrt = 40 mill/h

cos e = VArr = ~ ~ = e = 82 3VAV/A 300 '

o = 90 - 82 30 = 7 7, ,

/s-..r

11B / A = 15 Km.

!Y = ..52 + 202 = 20,61 Kmfi'8 'T = 20,61 .Km = 41 23 km/h

/ O 5 h '

5.- J tim nel de un b r P n su brjula hn ia I ste y mantiene una rapidezde 15 K.m/h. De pu d m 'da h ra de i lj II ra a un punto situado 5 km. alOeste y 20 Km al Sur. Determinar la I idad y lir i6n de la corriente enfuncin de los unitarios t r

N

2.1 Km.N 5 o

t 0 = 23,32 => 0 = 5 8g 230 12 '

- - -& = - 23,32 +230,12) km"ir = ..23,322 + 230,122 = 231,3 km

_... -.. ...... .... .....Sr = OA+AB +BC +CD

..... ... ... ........ _..= (106,li - 106,1) + (- 100 i) + (112 5 i+194,8) + (-141,4 i +141,4)

- -'D =( - 141 42i + 141,42)) km-'Dx = Ct), - t). 'o:45u = 2 fi = 141,42 kn

38

I '1 r,-V 'Ir.2A

C = ciclistaV= viento'

N

- - -VA1T=(4,98i -39,98)) Km/h.h.- Un ciclista que va hacia el Su!"con una rapidez de 15 Km/h siente que I

viento parece venir del Oeste; cuando aumenta su rapidez a 25 Kmlh, Iviento parece venir del Suroeste. Determinar la direccin y la velocidad dviento.

VAlTx = VA/T .Cose= 40,29.Cos82,9 = 4,98

VA/Ty = 40,29.Cos7, 10= 39,98

Sen 75,9 .41,23 ~ = 82,940,29

20tg8= - => 8= 75 9

5

VA /T = -1V~/A+ V2B!T - 2 V B / A" VB / T .Cos8= 152+ 41,232 - 2(15)(41,23)cos 75,9=40,29 Km/hV V VB/T= A/T~Sen

5(Cos8.1+ S n j)t = SO-ic3 cos30 -:+ 3sen30DtOB=OA+A- -VBrr= mill/hVsrr = S mill/hOB= (Ysrr) t

B = barcoS = submarino

N

alcance.

7.- Un barco que va con direccin E es perseguido por un submarino que viajaen la misma direccin, cuando se encuentra a SO millas de distancia, cambianinstantneamente de direccin. Qu rumbo debe tomar el submarino paraalcanzar el barco, sabiendo que este sigui un rumbo de E 30 N. Lasrapideces del barco y del submarino son respectivamente 3 millaslh y Smillas/h. Determinar adems el tiempo que se demorar en darle.

IS Km/hCos(/;= => 33 7 = (/;18,03 Km/h '-VVIT :=,S33,7E; 18,03 K.mIh

D.OCBVv~=J~2-S-2+--1-4.-14-2---2-(-2S-)-.(-14-,-14-)-C-o-s4-S-0

VV/T= 18,03 Km/h

!1AOB

= 14,14 =V v/e 2il ABee _A_C_=> 10Cos = V Cos-l"v/e 2

Vcrr

NC = ciclistV = vient

-.. -+

Vvrr = Vcrr + V V/CVcrr = 10 Km/hVV/C = 6 Km/h

2_ 2 2 Vvrr - V CfT +V V/C - 2V V/CVcrrCos 152 2 2

6=10 +Vv/c-2Vv/c.lO.COS15u

V = 19,32 ~ ( -19,32)2 - 4(64)VI 2

V VI ,= ]5,08 Km/h.

Un ciclista viaja hacia el Norte con una rapid z do> 10 Km/h y 1 vientoque sopla a razn de 6 Km/h desde algn punto ntr I N rt y I J.SlC par e queviene de 15 al Este del Norte. Determinar:a) La verdadera direccin del viento.

Sen a Sen150

Sen e= AB . Sen150OB

e= 1746,

AOB = 115 millasAB= 69 millasAB OB

B

- -OB = 5t AB = 3t2 2 2

(5t) = (50) + (3t) - 250.(3t) Cos1502 2

25t = 2.500 + 9t - 300.t.Cos1502

16t = 259,8t - 2.500 = Ot = 23 h.

OTRA SOLUCION

Senfl= 3 Sen30 0 = 17,465

E 17,46 N5t Cos 0= 50 + 3tCos30

50 millast= =23h.

(5Cos17,46 - 3Cos300)mill/h

(5.tCose)i + (5t Sen G) j = (50+ 3Cos30 t) i+ (3Sen30 t) j

ai. N 75 Ob. N 300 E

- 2VAvrr .VAVIV Cos 9

V Avrr= V AV/V+ VV/TVAV/V= 270Kn1fh

270 Km/hVAvrr=-----

1 hV vrr= 140 Km/hV"vrr = V~vrr + y2AVN

(140Y - 2(270Cos9= -2(270).(270)

-----~~------------------~E

1\ - av! nV = vi nt

Narr t fa .

VVI VVIT

II(]) Sen1515,08Senc:=--.Sen156

(])= 139,68

9.- La rapidez de vuelo de un avin es de 270 Km/h. (respecto al aire). El avinest volando hacia el Norte de tal forma que siempre se encuentra sobre unacarretera que corre en direccin Norte-sur. Un observador de tierra informa alpiloto que est soplando un viento de 140 Km/h (no indica la direccin). Elpiloto a pesar del viento observa que recorre una distancia de 270 Km sobre lacarretera en el tiempo de una hora. Calcular:a) La direcci 'n en la que sopla el viento,b "1 ur d l avi n (dir in) e, t 1ngulo entre el eje del avin y la

vCos8=__!LLVi/Ir

-+ ~ .....

V = J +vPIT l' IIIT PIII

Sen e Vp1T- (4)t=----

ABt= - (1)-IvPlTISene=BD/AB- cAB = -(2)

senfl(2) en (1)

C

!l.ABD

Vp= V rr r............V= VAIT

Ct= -(a lb +b I a)

V

DA

-V

10.- Demostrar que el tiempo necesario para cruzar en lnea recta y con la mnimarapidez una calle de ancho C, por la que circulan con rapidez Vautomviles de ancho Q_y espaciados ' uno de otro es igual a:

B

xO

--------.---------- ----------------------,----.-------------- ---------------------_.------------------- --------------------- ..------------------- ----------------------.----.-------------- ---------------------_.------------------- ---------------------_.

::::::::::::{J::::: ::::::::::::::::::::::.'-----------------_. ---------------------_.------------------- --------------------- ..------------------- ---------------------_.------------------- -----------------._._ ..------------------- ----------------------_.- --V BI = (3 i + 7 j) mIs

... --V AlC = 14 i+ 7 j (millas/h) - -12. Los motores de un bote 10 impulsan con una velocidad de 3i + 7j misrespecto alagaa. El momento que comienza a cruzar un ro de ancho 1 Km.(Punto O), un pasajero deja caer un sombrer en el agua. Calcular la posicin---del bote respecto al sombrero en funcin de 1 s unitarios i, j, k; un minuto mstarde, si la corriente del ro lleva una velocidad de:- _:-::_-:-:__ :':':_-~--~-_:-::_-:-:__ :':':- -~-_:-::_:-::__ :':':_-~-_:-::_:-::__ :':':_-~--~--~_-:-:_-~-----------_.a) 4i.!lfseg.b) - 4i mlseg.

... - - --V AlC = (6 i-3 j) -( -8 i-1Oj )- -V AlC =V AIB - V CIB

11.- Tres barcos A, B, y C se mueven en trayectorias rectilneas cruzndose unojunto de otro, en un cierto instante. Las velocidades relativas en millas/hora, deA respeto a B y de C respecto a B son:- ......VAIB = 6i - 3j mis- 7-.,...VCIB = -81 - 10J misDeterminar la magnitud y la direccin que A parece tener para unobservador situado en C.

-EFacose =-- lqqd

_2 2 2EF =a +b

t=~(~+~Jvlb a

pero

t=~[ELlV abbsenfl =--

IEPI

c c 1t= ------senv Afrcos6. v sen, cose

MFG

VPff = V AIT. cose (3)(3) en (4)

--I Inu partcula A empieza a moverse con aceleracin constante e igual a (2i - k)......111'" n el instante en que su posicin respecto a otra partc~a B_es_.(i + 4j +q )11. La partcula B se mueve con velocidad constante de (i + 4j - k) m/seg.l' 'j irminar despus de que tiempo tes) tAIB ser:

_. -+ -+ -. _.r BIS = r BIC (t) = 60 (3 i+ 7 j )= 180 i+ 420 j ma posicin relativa depende solamente de la velocidad relativa:

-+ -r BIS= (I80i + 420 j )m

b) V"" ~ [(3+ 7 j) -4J mis ~ -+ 7Tmis7", =t. [( -i+7"]} -

Ar= /::ir]A r= Vi. t = 840 Km..Ar,= V,: = 840 Km.

tt(h)

2O

V+

AL

.10 --_.-------- I l1rz :

I l' III

III

JI.... I

I II ..I

v

V(kmlh)

14.- La distancia entre los punt ' A Y e de 480 KnI. Un automvil sale de Ahacia B y dos horas despu sale d A un segundo automvil para hacer elmismo viaje. El segundo automvil manti ne una rapidez de 10 kmlh mayorque el primer automvil. Determinar la rapidez de cada automvil.

.. .... ?.. .. ? ..13 i - 12 j - 2 le = (1+z" - t) i +(4 - 4t) j +(2 - 0,5r - t ) k - 12)4 - 4t(= 4 (s)

..... ...... ... .. .... ... 1 ...... ... ....(13i- 12j-2k)=(i+4j+2k)+-(2i _k).t2 - (i +4j-k).T

2

r Al B = ro Al B + A r A - A r B----- - -(13i - 12j - 2k) lTI.

A

B

I l' I \'/90

/( O

- ( 2x ):+V= x/80 +x /40 1= 53,3 Km/h1, Si una persona esta quieta sobre una escalera In cni l en movimient sube en

>0segundos. Cuando la escalera e ta in funci Il: r la p rsona sube en 90gundos.Qu tiempo se tardar en subir a la planta alta cuando la persona y las alera estn en movimient?

Un automvil recorri la primera mitad del camino con una velocidad constante-de 80 KmIh y la segunda mitad con una velocidad de 40 iKm/h. Determinar lavelocidad media del automvil.

V= 80(Kmlh)V] = 40(Kmlh)V= velocidad media- l-;V=--

lt

840T=-vAr,; V, (t + ~ - 2)Ar~= (V + 10) .(t - 1,5) = 840 (2)

(1) en (2)V2 + 10v - 5600 = OV= 70(Kmlh)

Vi = 7 O(Km/h )V] = 80(Km/h)

18.- Puede una partcula moverse hacia el Este si tiene una aceleracin hacia elOeste, si la velocidad inicial es:a) Si No igual a cero. Explique.b) Si No es mayor a cero. Explique

t 2= 123,1 spero t, - t, = 32,4 s

t - ~= 32,4 s (3)

tl::= 21,6s (2)

Sr Tal =D..rl +D..r2 + ar3 = 5000m

(1) 5000~(38::tl)+38,9(t2_ tl)+(38,9(~-t2))

pero :pdmer tramo:38,9~0+1,8-tltercer tramo :0= 38,9 1,2 (t - t)(2) y (3) en (1). 2(38,9). (t 2 - 21,6) = 7899,4

tes)

x xmV=-= =36s

VPI T (x /90 +x/ 60)m/s17.- Un tren acelera partiendo del reposo a razn de 1.8 mis 2 hasta alcanzar una

mxima rapidez de 140 Km/h. Despus de recorrer a 'esta rapidez duranteun cierto tiempo, frena a razn de 1.2mis 2 hasta detenerse; si el espacio totalrecorrido es 5 K1n.Determinar el tiempo que estuvo el tren en movimiento.

v'(mls)

VPI r = V1:.1T + Vpl EVPIT = (x /90 +x/ 60) m/s

/ km/h = 20 misV 4 km/h= 15 mis

V(mls)tg81 = 1m/~

I 1\ automvil parte del reposo desde u_ppunto A y acelera a razn de 1 mis2h .sta alcanzar una velocidad de 72 i km/h, contina movindose con esta, 1 cidad hasta un momento en que frena, parndose en unpunto B, situado 60111 tros ms all del punto en que aplic los frenos. Si se conoce que laI ipidez media del automvil en el trayecto de A a B es 54 km/h.1) 'terminar:,) El tiempo que tarda en ir de A a B11 La distancia entre Ay B

l).VO=O, No, porque la aceleracin lleva a la partcula al Oeste.b).Vo> O. Si, la partcula ir al Este hasta que su velocidad sea a igual O,

y luego regresa al Oeste.

- Una partcula se mueve sobre el eje de las X hacia la derecha partiendo delreposo, con una aceleracin de 6 mls2, hasta que la velocidad es de 12Tmis.En ese instante se le somete a una aceleracin de 12 m/s ",hacia la izquierda, hasta que la distancia total recorrida es de 36 m. Determinar:a) El tiempo total transcurrido.b) La rapidez media.e) La velocidad mediad) Construir el grfico velocidad-tiempo

(a) V=~ V=it=O~

(b) e =V. t=4Km.l=4Km

j, Una partcula pasa por un punto P cualquiera y se mueve con una rapidezconstante de 4Km/h; Despus de una hora vuelve al mismo punto P.Determinar:a) La velocidad media de la partcula.b) El espacio recorrido

tI = 20 s

.6rl = (20 s 20mls) / 2 = 200 ro2 2VF = YO + 2. a. x

a = -(20 mls/ /2 (60) ro = - 3,33 mls2Y = Yo + a.(t -~)(t - t2) = (-20 mis) / -3,33 mls2 = 6 sY = (200 +.6r + 60 ) m / (20 + (.6r/20 + 6) s = 15mis .6r = 520 ro(t2 - tJ) = (520 ro) / 20 mis = 26 S t2 = 26 + 20 = 46sa) pero: t - t2 = 6s t = 52 sb) .6rtota= 200 +.6r + 60 = 780 m

-+ -+Vm=Oim/s

1111 s ibmarino parte de un muelle que est ubicado, respecto a un faro, en el1'11111) 300, -20, -20) ID. El submarino se sumerge (partiendo del reposo), enluv H n ureste, con un ngulo de depresin de 37movindose en lnea recta;d, IlIiundo una rapidez de 36 km/b en 20 s con aceleracin constante.

-+ 111.) Vm= I1t

-+ -+181 + (1,73) (- 20.76 i) .\fm = ---'2=-- _

4,73

ms

-+V = 7,61 mis

~= 3 s

3612 x 3 (t - 3) . V2 + 2

36= 18+(t-3)-(t-3) .12., 236=18+(t-3t-6

t = 4,735-+ 36

b) v= 473,

t = 2 s1

3~ ".-: _.,-&: -" ---------------------------------=

tes)

12

Vx(mls) '>(..v~

12a) 6=- t,12

12 ~ _t,~-2=1

-+ oa =O282 l - 0,300-+

d) Vm= RI~ t

-+k ) / 100

-- .... - -+FS = 256,46 i - 80,18 j + 36,46 k IDFR= 271,16 me) V= a o ua = a o uy = a . USQ-+ -+ -+a = ,5 56,46 i - 60,18 j + 56,46

-+ -+j + 0,282 k

---+- _.. -+ ~ -+ _. .....FS = (300 i - 20 j - 20 k) + (-43,5 i - 60 j + 56,46 k)

-- - .... ....SR = -43,54 i - 60,18 j + 56,46 k mSR= 93,30 m-- -- --.b) FR= FS + SR

SR=SQ + QR-- _....-SR = (56,46 - 100) 1 - 60,18 J + 56,46 k m

-- -- -QR= - 100 im---+- -.. _... -+SQ = 56,46 i - 60,18 j + 56,46 k rnQR=Vot=lOrnls.lOs --QR= 100m

SM = SQ. Cos 37 = 100. Cos 37 = 79,86 rnSQx= SQ z = S MoCos 45 = 56,46 mSQy= MQ = SQ . Sen 37 = 100 oSen 37 = 60,18 m

a) x= SQ =Va o t + ~Y2 ).atSQ = 0,5 o0,5 (20)SQ=100rn

A partir de este punto se dirige hacia el Oeste con una velocidad constantedurante IO s. Determinar:a) El desplazamiento del submarinob) La posicin fmal del submarino respecto al faroe) La aceleracin constante durante el descenso---d) La velocidad media en funcin de i, j, k..e) La rapidez media.t) El vector unitario paralelo al vector desplazamientog) Los grficos v - t Y a - t para todo el recorrido

101+-1000

O 60tes)t

v= - 10t + 1800

Un cohete parte del reposo, con una aceleracin vertical de 20 m/s2 que actaconstantemente durante 1 minuto, En ese instante se agota el combustible y. igue subiendo como una partcula libre. Determinar:a) La mxima altura que alcanza el cohet .b) El tiempo total transcurrido ha ta llegar al suol

V (m/s)

20Otes) 10 tes)10 20 30() 30

V (m/s)

--f) USIR = SR/SR-+ -+ -f' k ) / 93,30US/R = (-43,54 i - 60,18 J + 5646-+ -+ ~ k)US/R = -0,467 1 - 0,645 J + 0,605

e) V = (SQ + QR) /a tV = (lOO + 100) / 30 = 6,67 (mis)

-+ -+ -+ -+V = - 1 45 i - 2 005 J' + 1,88 k mism' ,

-+ -+ -+1 - 60,18 J + 56,46 k) / (20 + 10)-+v = (-4354m ,

25,- Un paracaidista se deja caer desde un helicptero que est suspendido en el a'y cae 50 m sin friccin, en este instante se abre el paracadas y u movimiento se

,I

: h. :IIIIIIIII

----1.... (nivel referencia)Yo

24.- Se deja caer una piedra desde un globo que se eleva con unaconstante de 10 Tmis. Si la piedra tarda lOs. En llegar al suelo. A queestaba el globo al momento en que se dej caer la piedraSi la velocidad inicial es de 10 mIs para el nivel de referendado:

y =Vot - Y2(gt2)y = 10 m/s . 10 s - 0,5 , 10 mls2. (lOO slY=-400 m

v = 20 t ; Y = 20 . 60 = 1200 (m/s)y= -IOt+b1200 = - 10 t + b : t = 60 . y = 1200 mis, ,1200=-10(60)+bb = 1800V = - 10 t + 1800 , V =O mist= 180 (s)H max = Y2 . 60 = 1200 + Y2 (180 - 60). 1200H max= 108000 m = 108 kmbl - 108000 = Y (t - 180). ( - 10t + 1800)t - 360 t + 10800 = Ot J = 33,03 (s) (absurdo)t2 = 326,96 (s) (solucin)

, Una pelota es arrojada verticalmente hacia arriba desde un punto prximo a la{ misa de un elevado edificio. La pelota salva justamente la comisa en sudes nso y pasa por un punto situado a 40 m por debajo del de partida, 5 segundosel SI ues de haber abandonado la mano del lanzador. Determinar, la velocidad11Ii . 11 n la que fue lanzada la pelota.

V/ = 2 (-10) m/s' . 50roV,=-31,6m1sV1=Va + g. t,

2-31,6 mis = O - 10mis . t,t, = 3,16 ssegundo tramo. 2-3m1s=- 31,6 mis + 1,8mis. t2~ = 15,9 s 2y = Vo. t2+ Y2a . (t2) 2 2Y = -31,6 mis (15,9 s) + ~ (1,8 mis) (15,9 s) = - 274,9 mt=t1+t2= 19,06 syrOTAL= - 324,9 m

50m +i"= gVa =Omls

uniformemente a razn de 1,8m/seg', finalmente llega al suelo con una rapidez de 3mis. Determinar:a) El tiempo que estuvo el paracaidista en el aire.b) La altura a la que estaba el helicptero el momento del salto.

primer tramo: Vl2 =Vo2 + 2 gy

27.- Una pelota se lanza verticalmente hacia arriba desd una altura de 40 m. Por elpozo de un ascensor, con una rapidez inicial d O 111/. En el mismoinstante la plataforma del ascensor situada a una altura j 10m. Se mueve haciaarriba con una rapidez constante de 5 mis. Determinar:.a) Cundo se encontrara la pelota con la plataforma?b) Dnde ocurre el encuentro?e) El espacio recorrido por la pelota ....d) El vector desplazamiento de la pelota en funcin de l 'unitarios i, j.e) La velocidad relativa de la pelota respecto a la I 1 taf rma cuando se

produce el encuentro.

Yo= 17 mIs

Yo - 125-4Yo= 17mis

La suma algebraica de las reas en el grfico representa el valor de lacomponente del vector desplazamiento.Areal+ Area2 = -40n1 Otra forma

1 .Vo. Yo+ 1 (5 - Yo ) (Vo - Sg) = 4 - 4 - \) (5) - 21(lO) . 252 g 2 g

V (mIs)

IIAreaz]II,I~ ,2 ----------------------,

9,62tes)

50

... -1 l' A = Pp = 58,2j (m)

I =v At Or ... 2 -+ -+1O)+(50j).t -(11 2).10j -t = (lOj)+ (5j.t)>,62s

-1'lIp 1- ~rp = POA + .6.rA

-- - 2 - -?I p=VOp t+(Y2).g.t ;g= -10 1(m/s")

---- ---...,1'11 = 401' Vo = 50 1m/s :V = 51 mis' Po = 101mJI 'p 'A 'A

1"lota y ascensor se encontrarn cuando tengan la misma posicin...

l' isicin final = Posicin Inicial + Desplazamiento

o

10m

x

--- --=================== .....---..-4-.... Encuentroy

5 20 30 35 4010o

50

4030

2010

b) El mayor espacio es recorrido por B (mayor rea)c) B tiene un movimiento Rectilneo Uniforme Variado

A tiene un movimiento variado.29.- Tres vehculos A, B, Y e se mueven a 10 largo de una lnea recta y partir de la

misma posicin inicial, de acuerdo al grfico v - t.a) Describa el tipo de movimiento de cada vehculob) Cual de los tres vehculos recorre mayor espacio?

V(m/s)

V2 - V=e=r+-:

t 1a)

V(mls)Vio

t

tes)

) ............. ..e VplA =V, - VA = - 51,2j mis28.- Dos autos se mueven de acuerdo al siguiente grfico.

a) Cul es la aceleracin de B?b) Cul recorre mayor espacio en el tiempo ti?e) Qu tipo de movimiento tiene cada vehculo?

- -Arp = 18,27j m.e) Espacio recorrido = sumatoria aritmtica de las reas (Are as consideradas

positivas) =Espacio recorrido =Area 1 + Area 2=231,7m.

d) Desplazamiento = Suma algebraica de las reas.

V(m/s)

10.- El diagrama v - t, de la figura representa el movimiento de dos partculas a lolargo de una lnea recta y que parten de una misma posicin inicial desde elreposo.Si los tiempos tt = 2 s y t2 = 4 s; al cabo de que tiempo que parti elprimero le alcanzar el segundo.

b) Vehculo A:

(~) SOIS +(Dso (30 -IS) ~ 7S0m.Vehculo B:

13020 +- (35 - 20) 30 = 825 m2Vehculo C:2040= 800 mB recorre mayor distancia.

a) Vehculo A:O~ t ~ 15 Movimiento rectilneo uniforme acelerado.0< t ~ 30 Movimiento rectilneo uniforme retardadoVehculo B:O s t ~ 20 Movimiento rectilneo uniforme (+).20 < ts: t 30 Movimiento rectilneo uniforme retardado.Vehculo C:Os t ~40 Movimiento rectilneo uniforme.

59

(11..'

t(s)12108642O

Vx (m/s)

31.- El movimiento de tres carros A, B y C en una carretera recta esta representadoen un grfico Vx- t , de la figura. Si los tres carros estn juntos para un tiempot = O (s).a) Describir el movimiento de cada uno de los vehculos.b) Realice los grficos rx - t Y ax- t de cada vehculo.e) Cul es la distancia que recorre cada vehculo y cual es la distancia entre

cada uno de ellos?d) El vector velocidad media de cada uno.

Si las partculas se alcanzan entonces sus desplazamientos tienen que seriguales.t = tiempo en el cual B 'intercepta a A.LllA = LllllO.St. (V/4)t = 0.5 (t-2) V (t-2)/4desarrollando tenemos, /16 =(t2 -8t +4)/2t2=2t2 - 8t+ 82t - St + 8 =Ot = 6.82 s

-------------------------------------~----------------~,O

2,5

O t s)2 4 6 s: 10 Ji _,5 II I I I

5,0 ----------------~----------,... .... ~

15JO5

120 -----------li-----------r-----------~: : :: : . :

100 -----------1:----------. -----------1 . . . .80 -----------~------- ---~-----------~ f 60 -----------~---------t-----------~

I I I40 -----------1- --------~-----------~ : : I ...__ .._.....~ ..._-_.._.-:, . . f f I : : :

w:::;... __ '___-:':.,___-:'~ t(s)00

ax(mls2)

Vehculo eMRUV retardado (+)

A

Vehculo BMRUV acelerado (+),MRUV retardado (+)

a) Vehculo AMRUV acelerado (+)MRU (+)MRUV acelerado (+)MRUV retardado (+)

-3,125_--__."y

6,25f--

2a, (mis)

15105oo L__-:--_~ __ -;--+ t (s)

20- --- -----j---------.-:----------:-

100 ---' -------~--- -------:----------:- . .80- ---------:- ---------;----------;. . .60-----------:-----------;---------: . .40 - ---------:-----------~---------~ . .

fx(m)

160- ---------;----------- ---------: .

140 -----------:-------.--- --------;-. . .120 - --------.--. -. -- .. -:----------:-- . .

B

62

,-+arB 150i -rV =-=_ = 12 51 (mi s)

il.t 12 'Vehculo C

-+~ arc 90i -+V =-=-=15i(m I s)

t 6I a figura representa los grficos V - t, para dos partculas A y B que se muevenn lnea recta desde la misma posicin inicial. Determinar:1) El tipo de movimiento de cada una de las partculas.1) Para un tiempo t = t] s Qu indica el punto P?) La aceleracin para cada partcula.1) La velocidad media para cada partcula en el intervalo de Oa t s.

-+flrB= 150 imVehculo c. (%).6.(90)flr e" 90Tmd AC = 11O - 90 = 20 mdAB = 150 - 90 = 60 mdeB = 150 - 90 = 60 IDd) Vehculo A

-+

V _il.rA = 1l0i = 9 17i(m I s)il.t 12 '

Vehculo B

) Todas las distancias son positivas.Vehculo A. (1).(4).lO + (6 - 4). 10 + (1).(8 - 6).(20 - 10) + (1) .(12 - 8).20drA= 1l0TmVehculo B: (Y2).4.(25) + (1) .(12 - 4). 25

2ax (mis)

~~

_O--+- 3 --r6_-l~~ t(s)

eI (m)

33.- El movimiento de tres cano' a I largo de una carretera recta esta representadoporlas figuras ax - t. Si los tres arr (A, B y C) estn juntos para el instantet =Oy parten del reposo.a) Describir el movimiento de cada uno de los vehculos.b) Realice los grficos r, - t, Yx - t d los vehculos.e) Cul es la velocidad media de cada uno?

a) Partcula A:Movimiento rectilneo uniforme acelerado (+)Partcula B:Movimiento rectilneo uniforme (+)

b) En el tiempo ti; A y B tienen la misma velocidade) Partcula A.

V1- Va= otI

Partcula B:a = Oporque tiene velocidad constante

d) eA =Vo' (~) + (Y2).(Y 1- Vo) . t J

V =.!.d. =Vo +1.(v. - v"o)t 2 II

V =.l(v. + V )2 o IPartcula B la V m da igual a VI

-iO I-------.&....-----.t(s)ti

A

Y(m/s)

'nrrM.R.U.V. acelerado (+) O8-12 s

'arro A:M.R.U.V. acelerado (+) 08-48M.R.U.(+) 48-6 sM.R.U.V. acelerado (+) 6 s-8 sM..R.U.V. retardado (+) 88-12 s

(', rro B:M,.R.U.V. acelerado (+) O8-4 sM.R.U.V. retardado (+) 48-128

e

O tes)2 4 6 8 10 112l-5

a (rn/s-)-------------------------,.___-----~

-3,125

10862 4_0::..r-__ ~-----_- .. tes)n2-------------..__----_ ......

--------------------------.B

6,25 t------.A

-360 ------------------------------60

tes) tes)O 2 4 6 8 10 12 10 12V. (m/s) r, (m)

eleS) O 4 12 tes)

25 ----------

r, (m)BV, mis)O

10864o 2

10 .

7060

20 .

r, (m).

80A

b)v , (mis)

a) Describa el tipo de movimiento de las partcula n a la int '1 ulo 1 ti '1I1p b) Dibuje, en forma ligera, lo grfi s r"= f t pura las d )s 1nrl culus.e) Determine la rapidez media de ca i, part mla '11 I( It '1r 'C II J ido.

, 1, La figura representa los grficos velocidad - tiempo (V - t) de dos partculas. Ay B, que se mueven en lnea recta (z) a partir de una misma posici r n inicial.

-+ -+- !.1re -360 j -:+V m=~= 1"2= -30 ]mIs

-+

125 i 15 62~ _1--= lUJJS8 '

-+-+

~A = :;A = l~~ i = 9,16Tmis(Yz).l2.(-60)= 360m

(Y2).4,25-~- (Y2).(8 - 4).(25 - 12,5) + (8 - 4)12,5 = 125mDistancia C:

(Y2)4.10+(6 - 4). 10 +(8 - 6). 10 +(Y2).(8 -6).(20 - 10) + (Y2).(12- 8).20 = 110m

Distancia B:

Distancia A:

ev=-llfe = espacio total recorrido

IIt = tiempo empleado

C)

Partcula BMRU (-)MRUV retardado (-)ReposoMRUV acelerado (-)

a) Partcula AMRU(+)MRUV retardado (+)ReposoMRUV acelerado (-)

b) rz(m)

20

10--I-_-....;,;;-JI."--....l...-~,;--~__. t(s)

O

-10

-20

-30

A

40 ----------------------------------------

30

-A-B

Vz(m/s)

- -.-h) VAIB = VA - Ve, para t = t2

u) Partcula AO - ~ MRUV Retardado (-)t1- t MRUVacelerado(+)Partcula BO-ti MRU (+)tl- t2 M.R.U.Y. retardado (+)t, - t, M.R. U.y. acelerado (-)

t s)

Vx(mls)

I .- Las partculas A y B se mueven de acuerdo al siguiente grfico V x t, a 10largo de una trayectoria rectilnea y palien a t = O(s) desde la misma posicin.Determinar:a) El tipo de movimiento de cada partcula.b) La velocidad relativa de A respecto a B al tiempo t =~.e) Si las partculas se volvern a encontrar. Justifique su respuesta

At =60 ( )e= 10.20 +~(20 - 10).20 +~(60 - 30).40 = 900(m)VB = 900 /60= 15(m /s)

Al = 60 (s)e = 20.30 +*(40 - 30).20 + (60 - 50).20 = 700 m).t.

~4 = 700/60= 1l,67(m/s)Partcula B:

Partcula A:

-+ -+ -+instante su velocidad es V = 10 i + Oj (m I s). Determinar, para ese instante.a) El vector posicin respecto al punto de lanzamientob) El vector aceleracin tangenciale) El vector aceleracin normald) El vector posicin del centro de curvatura respecto al punto de lanzamiento.

-+ -+-+37.- Se lanza un proyectil con una velocidad inicial Vo = 10i + 5 j (m 1 s). En cierto

--+!J.V -+ -+ 2b) am = Llt = -3,08i - 0,33j(m I s )

--+ Lh -+-+a) Vm= Llt = 0,5i + 2j (mi s)

3 421O

t = O s

.. ..ro = 2i + j(m).. ..rr= 3i + 5j(m)-Vod Vj=86,61mlsg

V? en 4a20. ~ .cos 'la= 2 ~ V") = 1049 mis- g-

b)

2Vi 22 = 2(2cos O' - 1 (2)V2

(ll = (2)2(2cos2a - ll=(z( 2 c~~:: - 1) rcos a = jj_ =:> (1= 35,26() => 2= 70,52

3

e) x = V;.IO.cosO' = ~ .20.cos 20'

~ =2 cos20' =2(2 cos2 O' - 1) (1)V2 cosa cosa

x =Vt2 (sen2O') = ~2(sen 4a)g g

--~--~~----------~----~xO ~ x +)

39.-Desde un cierto punto de un terren h rizontal 'e disparan dos proyectiles eel mismo instante, el primero con inclinacin ay vel cidad VJ ; el segundo ceuna velocidad V2 y una inclinacin 2 a. El prirn ro hace impacto en 1segundos y el segundo cae sobre el misrn blanc, situado sobre el plano (lanzamiento, 10 segundos mas tarde. Determinar:a) La distancia desde la posicin de disparo hacia el blanco.b) Las velocidades V JY V 2:e) Los ngulos de lanzamiento.

y

40.- Dos equipos de bsquet - ball A y B, se encuentran jugando. El marcadorfavorece a A con un punto' y la pelota se encuentra en manos de B que estsituado a 10 metros de la base del aro. El aro est a 2,40 metros del suelo ycuando falta 1 segundo para terminar el partido, el jugador lanza lapelota desde dos metros de altura y convierte, Determinar:a) La velocidad de lanzamiento.b) El ngulo de lanzamiento.

a) y =.E.= 10m= 10mlsx t ls

J 2Y = YOy' t - ~ 1gtYOy' = 5,4m I s- .. ..Vo = LOi + 5,4 jm I s

e 5,4b) tan = -= 054 => n= 283610' (7~1.- Un esquiador inicia un salto horizontal como se indica en la figura. En que

punto golpear el esquiador sobre una pendiente de 30, si su velocidad desalida es de 40 mis. Calcular:a) La distancia desde A hasta el punto de choque.b) El tiempo transcurrido desde A hasta el impacto.e) La velocidad con la que choca en la pendiente

a) x=Y].lO.cosa=577,43m

S+-__~~==~~~ ~x(E)

o

I Una pelota es lanzada con una velocidad inicial de 25 mis en la direccin S 450, ngulo de elevacin de 60 despus de un cierto tiempo la velocidad de lapelota forma un ngulo de depresin d 30 (cuando la pelota est cayendo).1 eterminar:1) El tipo de movimiento de la pita n '1 la un) f los j 's.h) El tiempo transcurrido desd J lanz uui 'I\t 1h Isla tU 1 , .tor ., CI a J

forme el ngulo indicado ..) El vector desplazamiento durante e1) El vector unitario del desplazamient

,) Vx= 40Vy= 0- g.(4,62) = - 46,2 mis.. -+ ..V = 40i - 46,2j (m / s)

184,75---=452s40 '

tx xh) V =-=!> t=-

Ox t VOx

.. :+ ..r= 184,751-106,66j m1-;1= 213,32 m

21,10x

- x tan 30= - 2(1600)

x = 106,66mP= (184,75 - 106,66) m

de (1)y = tan30.x

_ e. J X2y - tan . x - "2g. 2

40 .1

...................................F

B h = 1500m

... I1r ...,. ~ ......d) l1r =41,68m u_ =_= (-0,611 +0,5) + 0,61k)

r Il.r

43.- Un avin vuela horizontalmente a una altura de 1500 metros en lnea recta conuna rapidez de 540 km/h (constante); un can antiareo (e) se encuentrasituado a una distancia de 1000 m de la proyeccin de la trayectoria deavin sobre el suelo. En el instante que el avin pa a por el punto A (ver lafigura) el can dispara. A es el punto de interseccin entre la trayectoria delavin con el plano vertical perpendicular a la trayectoria anterior; este planapasa por el punto donde se encuentra ubicado el ca 'n. Determinar:

a) La velocidad inicial del proyectil.b) La direccin del disparo.Con iderar que la componente vertical de la velocidad inicial del proyectil,mnima necesaria para alcanzar el avin

A E

-..... ... ..... ...I1r = (- 25,5i + 20,87 j + 25,5k)m

b) Vo= 25 misVOd = Vocos 60 = V cos30 V = 14,43mls-Vy =VOy- gt

t= 25.sen 60 +14,43sen 3010ml ;-

t = 2,89 se) V: =V~ - 2.g.y

(25.sen.600)2 - (14,43sen300)2Y = = 20 87m2.10 'd = Vad.t = 36,08sx = z =d cos45 = 25,5m

Movimiento uniforme.

Tipo de movimientoMovimiento uniformeMovimiento uniforme variado

EjeXyZ

a)

16

w~=10(rad / s)

WJ =15(rad I s)

t = Os

t = Zs;

t = 3s,'

w =0o

a) a = ar = 5rad I S2R

en 3 segundos

/le3 =w, t +H)a.t2/le3 = 22 Sraden dos segundos

/le2 =~ .(5.i) = 10raddurante el tercer segundo girar un ngul ) I!'wllll:[lle3-lle2]= se

lle = 12,5 rad [l{~vJ lle I ,()

ti Al 1, - 1)O2 \ ().I, I (t). a.t.'8, \\ (1.1) (I) 1-:;.at .

/lt

-O

lrev/lO =12,5 rad.

2trrad!le =1,99rev .

45.- Una rueda de 2 metros de radio tiene una aceleracin angular constante derad/s2. En un intervalo de 4 segundos gira un ngulo de 120alcanzando posteriormente una velocidad angular de 96 rad/s. Suponiendoparti del reposo. Determinar:a) El. tiempo que haba estado en movimiento antes del intervalo.b) El ngulo total girado.e) La longitud de arco de circunferencia reconida por un punto extremo

rueda desde que empez a moverse.d) La rapidez med.ade un punto extremo de la rueda.

/lO = (3 - 2).10+ t (3 - 2). (15 - 10)

43o 1 2

A

20

w (rad/s)

t (s)

7~_~ ~

a,.2.8.R.t2a,. = ,r.R

1I r - 2. al' tan 8 lqqd.

RR=

(a,.t)2a =e

V> a,.t

V2a =-l' R

16.-Demostrar que cuando un cuerpo parte del reposo y gira en una circunferenciacon aceleracin tangencial constante; la aceleracin centrpeta del cuerpo estadada por: a= 2 .a.. tan BO=wo.t+(t)A]

8= l.art22.R2.8.R

a, = 2t

a partir del inicio del m Vll111 nt

w=wot+a.tV a,R=]["t

w.t= -= 192sa

WF =w, +a.t

ti = 58s

b) W2 =W02 + 2.a. O()= 9216 rad

e) s = 8R = 9216.2 = 18432 md) Vme/lia = f1= X = 96 mis

(J (J (J ( ) (: 1 ) (l 2)= ~- ,= WO' 11- t, + 2" .a. 1 - 1,(J= (~).a.(t2 + tJllt(12 - ti) = 4s (t2 + ti) 120s

79

4 - os m' vil,' l' rren una pista circular horizontal como se indica en la figuPalien el misrn in tante de dos puntos A y B diametralmente opuestornovindo .~en s ntidos contrarios. Se cruzan por primera vez en el punto

{i.11- cos D.8.v2R.D.8(/,1/

,",

AV(fllll= -

t(D.V)2 = V2 + V2 - 2V.V cosfl.8

b) El mdulo de la aceleracin media ser:D.V

t = D.8.RV

V'ti1= -

RA) liS = D.8

t

B) El mdulo de la aceleracin media es: a 111

47 .- Una partcula se mueve con una velocidad de mdulo constante V, sobre unacircunferencia de radio R. La partcula se mueve desde la posicin A hasta laposicin B, girando un ngulo D.6su vector posicin. Demostrar que:a) El tiempo de A hasta Bes t = R i:J.G/ V

(2)

x

11) x - 20 = 20V.,

V2 = 4 mis

L = 200my +20--=20

~VI = 6 mis

V2Vi x +20-=--~ z - 20(1) = (2)VI x - 40 x + 20_- =V2 40 x - 20

x 2 - 60 x + 800 = 40x + 800x = 100

= 20(x - 40) + 20 40 + (x - 20)

1) ti=tzX - 40 = 40 =!> Vj = x - 40 (1)

T{ V2 V2 40t3= t4

A VI

I N = 40m y una segunda vez en el punto P,AP - 20m. i nrre la primera yIi, segunda vez que se cruzan tran curren 2 CglU1 i s. terminar:1) La longitud de la pista circular.h) La rapidez de cada mvil (m/s).

81

a) 2aA= a. rad/sas= - a. radis:

( Va ) t' (1)e, = R .t+a2

(Va) t' (2)e2 = R ':":

e, +e, = 21r= 2(~ )'1TC.R

f=-Vo

b VJ o {jo - a.t = oVu Vo v.2

a oa=-1'.1 f(T,) TC.R2

49 .- Dos partculas A y B recorren una circunferencia de radio R. en sentidosopuestos, parten simultneamente del punto P con la misma rapidez inicial VoVer el grfico. La partcula A acelera uniformemente con una aceleracintangencial constante; mientras que B se retarda uniformemente con la mismaaceleracin tangencial. Las dos partculas se cruzan en el punto M, en el instanteen que la partcula B invierte su movimiento (comienza a regresar).Determinar:a) El tiempo que transcurre hasta su encuentro en funcin de R y Vo.b) El valor de la aceleracin tangencial en funcin de R y Vo.e) El ngulo que forman entre si las aceleraciones totales de las dos partculas

en el punto M.

,'~'~ O

- --~~~- _\.......

.

,,a ++++++

tane =.:2. =(~).(.J!:_) =_1~ TC.R 4~ 4.1r

C/>=4,55Lo = 90 - C/> = 85,45

11 Un electrn (e J parte del reposo y se desplaza con movimiento uniforme variado enuna rbita circular de radio R, que forma un ngulo de 60 con la horizontalver figura). En el instante en que su rapidez es de 2 x Id mis su aceleracinvale 4 x I07mls2 y forma un ngul de o n la tangente a la curva en esepunto; sale disparado dirigind a un an 1 le tr magl1tic9 que produce'o el electrn una aceleraci n r s iltautc !l01 jz

,J3 2x=-.y -3y.351.- Una partcula se mueve en sentido horario por una circunferencia de radio 1m;

con centro en (x, y) = (1, O)metro. rnpieza desde el reposo en el origen delistema de coordenadas en el in tante t = O. Luego de recorrer mediacircunferencia la magnitud de la aceleracin total es a = 1t / 2 (m/i)., ) Cunto tiempo tardar en recorrer la mitad de la circunferencia?b ul es la velocidad de la partcula en dicho Instante

y

e)

(2XI07m/s]2 x 10.3m

t = -'-----~-.j3X 1020 rad / i

t -,J3 101()--x s3

d) eje y =movimiento rectilneo uniformeeje x =movimiento uniforme variado

ex = ~= .fi x 10-0 rad/s'R

e) Ci)1= tAlo + ex . t

7 1: ?(2 x 10m s y = 2 x 10.3m2 x 1017m/s'

R

b) a = 2 xl O" m/s' = v-R

a) 1j.=2xl07m/sa = 4 X 10'7m/iac = a. sen 30ac = 2 x 1017 m/s'

O=rt

11= 1tT = a2 + a2I T 1Jl' (1)

1) 12p =120+ 2.a.a6..,

an = -rop.Ran = 2.a.A6'.R (2)a, =(X.R (3)(3) y (2) en (1)(~r = (a:.R )2+ (21X8.R)'

rt2a=4.R 2 (1+4A6 2 )

a = O246 rad / s 2

A6 = ~o.t + ~.a.t2t = 5,05 s

I ) Vp = 1p. R = (a). R = 1,24 miVp = - 1,24 jm / s

7.- I)0. puntos A y B, estn directamente opuestos en las orillas de un ro de.111 ho Xkm y el agua fluye con una rapidez de 4 km/h. Un hombre situado~'11 ti 'S ti ir a un punto e, que esta situado 6 km agua arriba de B. Si el1',11 ( pll '(k navegar con la rapidez mxima de 10 km/h; y si desea llegar a(' l'JllI '" 11(11 ti mpo posible. Determinar la direc ifn que debe tomar elb.uvo V '1 tiempo que emplear.

a) El valor mnimo de la rapidez del viento para que el avin se dirija haciael Norte. Haga un grfico.

b) Un pasajero que se encuentra dentro del avin, como vera la velocidad conque llega al avin el viento en trminos de los unitarios i,j

5.- La rapidez de un bote a motor en aguas tranquilas es de 55 km/h. Se quiere irde un lugar a otro situado a 80 km en la direccin S 20 E. La corriente en esaregin tiene una rapidez de 20 km/h, en la direccin S 70 O. En qudi:eccin debe enfilarse el bote y que tiempo emplear en recorrer esa distancia?

6.- Un avin desea volar hacia el Norte; sus motores le impulsan a razn de 100mI en direccin N 30 E. Calcular:

4.-' Un remero que alcanza con su canoa una rapidez de 4 km/h en aguasremansas, rema contra corriente en un ro cuyas aguas tienen una rapidez de 2km/h. Despus de recorrer Y2 km aguas aniba, da vuelta regresando al puntode partida. Determine el tiempo empleado en la travesa.

-3.- La velocidad de un Lohacia la derecha es ~ ; un bote puede moverse con unavelocidad 'lB respecto al agua, VD > VA' Determinar:a) El tiempo que se demora el bote en ir y regresar hasta un punto situado a

una distancia d a la izquierda del punto de partida.b) La velocidad media.

2.- Dos automviles, A y B, parten de un mismo punto; A se dirige hacia el nortecon una rapidez constante de 30 km/h y B hacia el Este con una rapidez constantede 40 km/h. Un pasajero del auto B con qu velocidad ve alejarse a A?

Problemas propuestos1.- Si A se mueve con una velocidad V A Y B con una velocidad V B Con qu

velocidad ve A que se mueve B?

86

15.- Un u-en.que va a 100 km/h pasa por A en el mismo instante que otro tren que vaa 120 kmlh pasa por B y van el uno hacia el otro. La distancia entre los puntosA y Bes 550 km. A qu distancia del punto A se encontrarn y a qu hora silos trenes pasan por A y B a las 8:00 a.m?

16.- a distancia entre los puntos A y Bes 120 km. Un tren de pasajeros sale de Aha ia B y al mismo instante sale un tren de carga de B hacia A. El tren deP'lS~ r s llega a B, una hora despus de haberse cruzado con el de carga y elIr n el carga llega a A dos horas y cuarto despus de haberse cruzado con el depusajcr. .'. eterminar las velocidades de los dos trenes y el punto de encuentror sp cto IA.

17.- Dos m il .. parten simultneamente desde los extremos A y B de una trayectoriarectilnea d 101 gitud 210 metros. Los movimientos de ambos, en direccine ntruria, s n unilonucmente acelerados sin velocidad inicial (Vo = O).Si mio I nlorcs de las aceleraciones a, = 2 m/s' y a2= 4 m/s"

14.-Un tren de carga que va a 42 km/h es seguido 3 horas despus por un tren depasajeros, que parte del mismo punto inicial, y tiene una rapidez de 60 km/h.En cuntas boras el tren de pasajeros alcanzar al de carga ya que distancia delpunto de partida?

13.- Un hombre de pie en un ascensor, que se mueve con una rapidez constante VA =4 mis, observa que una mosca se le acerca desde el suelo con una rapidez de 5,66 mis y un ngulo de depresin de 45 Determinar la velocidad de la

mosca respecto a tierra cuando el ascensor.a) baja.b) sube.

12.- La bandera situada en un mstil de lUl bote de vela flamea haciendo un ngulode 45 , como se muestra en la figura, pero la bandera situada en una casa a laorilla se extiende 30 al Suroeste. Si la rapidez del bote es 10 km/h.Determinar:a) La velocidad del viento.b) La velocidad del viento con respecto a un pasajero del bote... ..... ... .... ... .. ...:.

4.- Se lanza verticalmente una pelota hacia abajo (11 una cierta velocidad inicialYo desde lo alto de un precipicio, utilizando 4 I Indos en llegar aJ fondo. Unaegunda pelota es lanzada erticalmente hada an iba con la misma rapidez. Yo,utilizando lOs en negar .al fondo del precipicio.Determinar:

- Un mvil tiene tilla velocidad constante tidurante un cierto tiempo t. En este punto I1t'tll '1 ItlZ"1I1 ti 1111/:.;', h ISW que elmvil se detiene. Si el espacio total r corral) pCll .J 11111 ti s ti . O metros,determinar el valor del tiempo t.

~.- Un cuerpo se deja caer libremente y recorre dUI 1111 I ltimo egundo de sucada la mitad del camino total. Determinar:a) El tiempo total de cada.b) La altura total de cada.

1.- Un conductor maneja lID vehculo a una rapidez de 25 mis. Cuando seencuentra a 75 metros de un bstculo, lo ve 1 ero tarda medio egundo enaplicar los frenos y se detiene n 5 s nmdos 111 "( ti hub '1' upli udo los frenosDemuestre si choca o no con l o st:C'1110,

[9.- Un vehculo se mueve sobre una recta con una aceleracin constante. Cubreuna distancia de 60 metros entre dos puntos A y B en tres segundos. Al pa al' elsegundo punto (B) se mova a razn de 15 mis. Determinar:

a) El valor de la aceleracin.b) A qu distancia del primer punto (A), el carro se encontraba en reposo?

20.- En el instante en que la seal luminosa del trfico cambia a verde un automvilque ha estado esperando arranca con una aceleracin constante de mdulo1,8 rriJs2 En el mismo instante un camin que lleva una velocidad constante de9m/s, alcanza y pasa al automvil.a) A qu distancia del punto de partida adelantar el automvil al camin?b) Qu velocidad tendr en ese instante?

respectivamente. Determinar el ti mp qu trans un' hast el encuentro yelpunto de encuentro.

18.- Si en el problema anterior las vel ciclad s inicial s do 1 s mviles A y B sonrespectivamente VI= 30i m/s y V; = -20Tm/s y las dems ondiciones soniguales, determinar el espacio que recone el prir er mvil y el tiempotranscunido.

89

26.- Desde la terraza de un edificio bien alto construido en una estacin lunar se dejacaer un objeto verticalmente. S segundos mas tarde al pasar este objeto por unaventana situada 20 metros ms abajo, se deja caer un segundo objeto desde lamisma terraza. Qu distancia se encontrarn separados los dos objetos cuando,el primero ha cado 10 segundos?

27- Se lanzan dos cuerpos verticalmente hacia arriba, con la misma velocidad inicialpero separados 4 segundos. Vo= 30 mis.a) Qu tiempo transcurrir desde que se lanzo el primero para que se vuelvan

a encontrar?b) A qu distancia por encima del suelo se encontrarn?e) Cules son las velocidades de cada uno en el momento de encuentro?

28- La plataforma de un elevador se mueve hacia abajo con una velocidad constantede -ISjpies/ , cuando la plataforma topa una piedra que sobresale de la pared delpozo provocand su cada. Suponiendo que la piedra parte del reposo.d terminar,a) a distancia que habr recorrido la piedra cuando alcanza la plataforma.b) '1 tiempo transcurrido.

29.- 'e deja caer una piedra desde un elevado precipicio y lID segundo ms tarde eslanzada otra piedra verticalmente hacia abajo con una rapidez de 18 mis: Aqu distancia por debajo del punto ms alto del precipicio, alcanzar la segunda1 i drt a la primera?

.10.-) or ,1 J'l zo de una mina caen gotas de agua a razn de 4 gotas por segundo.U11 m 11tucargas que sube por el pozo a 10 mis es alcanzado por una gota del 11:1 ~'II

?(rn/s -) por un intervalo de 1. segundos para lu zo s I sorn tida a una

_. -+ _. -+n eleraciu a2 = i - 2j + k (m/s-) Determinar:.1) La velocidad de la partcula lOs despus dt p utir del punto de

coordenadas (1, 2, 3) m.11) El tipo de trayectoria a partir del duodcimo s gundo.

Si una particula provista de rapidez 10 mis en 1punt I l ordenadas (1, 2, 3)... ...-+111, realiza un movimiento MRUV con una il '1 I \ it' n ~t = i + 2j + k

Una partcula que se desplaza e n movi: i nto re IiIf 11 'o a lm reposo en el punto P (3, 2 1) n. Si sol r ' lit ,,'1 '1:1 una tin direccin N 30 E y con un ngul d I '[)I' " i 1)1I I OH \1 paraI s intervalos de 0- 20 segundos, de 2 . Os I'IIIHI lo le O s zund enadelante son: 2 mI/ en la direccin indica la: () 111/. 1111/S2 1 direccin.ontraria. Determinar la posicin del punt n II l'u:d la pUIll lila s detiene.

Una partcula que inicialmente se encuentra en el punto B (3,4,5) metrosr specto a un punto A, recorre un espacio Be en 2 s, con una velocidad constante

-+... -de 2i + j (mis). Otra partcula cubre una distancia DE en O,Sscon una velocidad

-+ -+constante de -4i + 2k (mis) Si las coordenadas del punto D con respecto a e son:(1 0,3) m. Determinar:a) La posicin pe A con respecto a E.b) El vector BD _,) El vector unitario paralelo a DB.

1) La velocidad del vehculo A.11) La aceleracin de B..) La velocidad inicial de B para t = O.ti) La velocidad de B para cualquier tiempo.,) La posicin de A para t =O1) Posicin inicial de B.g) Posicin de A para cualquier tiempo.11) Posicin de B para cualquier tiempo.i) El desplazamiento desde los 5 hasta los 10 s.

en el punto (-40, O) m; el vehculo B n 01 vimiento rectilneouniformemente va~do y altiempo t = 4 ncu ntra en I punto (-50, O)m, n una velocidad VB = 10mis y al ti mpo t = 14 ' ti n una velocidad deIsi mis. Determinar:

40.- n vch ulo se mueve sobre una carretera recta de acuerdo al siguiente grfico.a) I s riba el tipo de movimiento del vehculo en cada tramo.b) ,('u" es el espacio total recorrido?

,C\I(L1 'S I vector desplazamiento? _d) R ulic ., zrfico x - t. Si para t =O;Xo = -500i m.

o tes)

----,-_ , -

r .3

39.- En la figura calcular en que intervalo de tiempo:a) La velocidad es negativa.b) La aceleracin es positiva.r(m)

38.- Mediante un grfico V - t, dar un ejemplo de un rnovnmento en el cual lavelocidad y la aceleracin tengan direcciones contrarias.

36.- Utilizando un grfico V - t resuelva el siguiente problema: 'Una partcula se. 2

mueve hacia la derecha partiendo del reposo con una aceleracin de 2 (m/s )hasta que su velocidad es de 6 (mis) hacia la derecha. Se le somete luego a unaaceleracin de 6 (rn/s") hacia la izquierda basta que el espacio total recorridosobre la recta, desde que parti, es de 24 metros. Hallar el tiempo total.

37.- Un objeto es disparado verticalmente hacia arriba con una rapidez VA desdeun edificio de altura H. Construir el grfico V - t para todo el movimiento delproyectil desde que sale hasta que llega al suelo.

e) La velocidad media de la partcula para un intervalo de 15 segundos luegode partir del punto (1, 2,3) m.

La partculas A y B se mueven a lo largo d J t!j 1 1.ls '1 ' runo ' ) grficoVz - t Yque a t = Osegundos ambas partculas S' '11 '\1 'Ilfl:llll'll In p icin-k metros. Determinar:1) El vector posicin de cada partcula para t = 2 ) s11) La expresin en funcin del tiempo de la v lo id.u! r Iaiva de la

partcula A respecto a B., ) La velocidad media de la partcula B para J intcr ni

de Oa 30 segundos.

4 8 10 126o 2I(s)

B

60 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -Y,----A

os grficos V - t para dos mviles A y B estn dados en la figura:1) Despus de qu tiempo el mvil A tiene igual velocidad que B?b) En ese instante, a qu distancia est B por delante de A?) Para t = 0,01 horas, cul esta adelante y a qu distancia del otro?

V(mls)

-20

4020ot(60

20

- - - - - - - - - - - - - - - -----

Vx(mls)

93

Una pelota se lanza desde la ventana d un 'dil, 11l1'0I1 111111 {o 'dad ini ialVo, y formando un ngulo de 30 sobre la 1101"1701111,1 -Iio "\ e n eledificio que se encuentra al frente con una velocid ,,1 uc forma

1111 ngulo de 60 bajo la horizontal. Determinar:ti) La velocidad inicial YO de lanzamiento.h El tiempo que estuvo en movimiento desde I Inuz uni nto hasta cuando

choca.e) La distancia que separa los dos edificios.1) La altura que desciende la pelota, desde ni el del lanzamiento hasta

el punto de choque.

f)

t(s)

2

o

t( -2

t(s) 4

y(m)

-- -Apartir de los grficos posicin - tiempo, determinar en trminos de i.j, k.a) El vector posicin a los 2,5 segundos.b) La velocidad media para el iritervalo de (a 3 'segurids.

z(m)

e

tes)1

2

3

V(mls)

4

53." I H velo idud de 1111 proyectil cuando se encuentra en la altura mxima es -J6de su velocidad 'liando esta en la mitad de su altura mxima. Determinar elngulo de lanzami nro.

51.- Un artiller dispara lIll nu n, 10 segundos despus ve en el cielo la nubecilla dela cxpl isin qu . se hullu 122 sobre la horizontal y 8,2 segundos despus decrlu o . I ..tnmpido que el proyectil produce al explotar. Despreciando lar Slsl 'JH lil ti I .111' Y suponiendo que la rapidez del sonido es 340 mis'al '"llJl ln l lo .idud inicial del proyectil y el ngulo de tiro.

50.- Desde la cima de una montaa se dispara un proyectil con una velocidad de70,7 mis formando un ngulo de 45u sobre la horizontal. Determinar:a) El tiempo cuando su velocidad forme un ngulo de 53 bajo la horizontal.b) La ecuacin de la tray ctr ria.

49.- Se lanza una piedra con una cierta velocidad inicial formando un ngulo de 60con la horizontal. Luego de un cierto tiempo, la piedra choca contra unpunto A de un poste vertical cuando su velocidad forma un ngulo de 30 conla horizontal y cuando est cayendo. Si el punto A est a 5 metros del suelo.Determinar:

a) La velocidad de lanzamientob) El tiempo transcurridoe) La velocidad mediad) La aceleracin centrpeta en el punto A

48.- En qu punto de la trayectoria de un proyectil, la rapidez del mismo esnumricamente menor que en cualquier otro punto? Explique.

47.- Una pelota se lanza con una velocidad Yo que forma un ngulo de 60sobre la horizontal y choca contra un rbol cuando todava est subiendo con unavelocidad deV45 mis y formando un ngulo de 30 sobre la horizontaLa) A que distancia est ubicado el rbol?b) A que altura se estrella la pelota?e) Cul es el tiempo transcurrido?

52. LJn"'(lld.lelo al estado en el suelo lanza una granada con una velocidad inicial de_ 111/:-. 1II1 :1111'1110 de elevacin de 53. Despus de que tiempo escuchar elestallido y a 1" distancia ocurre la explosin? Rapidez del sonido = 340 mis.

Un montaero se encuentra al borde de un a anlilndo de 60 metros de altura1 .ste acantilado desciende verticalmente en una altura de 30 metros y a. ntinuacin se encuentra una cornisa horizontal de 3 metros de ancho y

I Dos barcos estn navegando en direccione' '11l1' '1 I I ltl 1.11I'( le tr yectoriasRaralelas separadas entre s una distancia d. l:t I 111 id Id ti . uno de ellos esVI y la del otro es V2; en el moment II lJlI ln llu H ue los une esperpendicular a la direccin de sus rumbos, lIllI ti 1 l. I 11" s dispara sobre ~otro. Suponiendo que la componente horizontal d 11 I ) idad del proyectil Vocon relacin al barco que lo dispar es con 'Wnt .n .outrar en funcin de VI ,V2 , Vo y d , cual debe ser el ngulo e. entre Indu : 1( II del buque blanco y el .plano vertical que pasa por el eje del can n ti !lIt m ItO del disparo, para quese produzca el impacto.

.,,,,,

, -, ,9' ........ _- ......., ., .

.... - .......~-

,- Se lanza una pelota de tal forma que pasa justamente por dos obstculos cadauno de 11metros de altura, que estn separados tilla distancia de 52 metros.Calcular el alcance total del movimiento y la velocidad de lanzamientosi se conoce que el tiempo empleado en recorrer el espacio entre lo dosobstculos es de 2,6 segundos.

1,- Dos proyectiles A y B ,son lanzados como se indica en la figura, despus decierto tiempo se encuentran en C y se demoran 1 segundo y 0,5 segundosrespectivamente en llegar al suelo. Si la distancia entre los dos impactos es de200 metros. Determinara) El alcance de cada proyectilb) Los tiempos de vueloe) Las alturas mximasd) La altura correspondiente al punto C

1.- Un proyectil es disparado desde lo alto de un a antilado bacia arriba con unavelocidad Vo = 40{2 mis, formando un ngul de 450 con la horizontal.Determinar la velocidad del proyectil cuando forma un ngulo de 60 con lahorizontal(indique en un grfico).

62.- S ' deja caer verticalmente una pelota sobre el punto A de un plano inclinado2(}'" la pelota rebota formando un ngulo de 40 con la vertical, sabiendo que elprximo rebote tiene lugar en B. Calcular:a) La velocuhul ion la cual rebota la pelota en Ab) El tiern () l' qu .rido para que la pelota se mueva de A hasta B.

6 t - Desde un lugar situado a una altura de 100 metros se lanza horizontalmente unproyectil con una rapidez inicial de 240 mis.a) Dnde se encontrar el proyectil al cabo de 4 segundos?b) Cul es la velocidad del proyectil en ese instante?

60.- Una pelota se lanza con una velocidad Vo = 12 mis. que forma un ngulo de45 con el horizonte. La pelota cae a tierra a una distancia x del sitio delanzamiento. Desde que altura H se debe lanzar horizontalmente esta mismapelota con la misma rapidez Vo, para que caiga en el mismo sitio.

200m

. A~-----------------------------~,, ....

10m'.

B

..e ..,,--------, .., ....

,,#

.. .. - ........

59.- Dos cazadores A y B, estn enfrentados y situados a 200 metros de distancia,disparan con ngulos de 45 y 60 respectivamente, con una diferencia detiempo de 1 segundo hacia un mismo blanco que se encuentra a 10 metros dealtura sobre el plano en el que los dos se ballan. Si sus proyectiles hacen impacto almismo tiempo en el blanco. Determinar:

a) Las velocidades inicialesb) Las distancias horizontales desde el blanco hacia los cazadorese) .Los tiempos respectivos .

Nuevamente presenta una pared vertical de 30 metros. El montaero arroja unapiedra de tal manera que a la mitad de su recorrido pasa rozando al borde de lacomisa.a) Si lanza la roca horizontalmente, cul debe ser la velocidad inicial?b) Calcular el mdulo y la direccin de la velocidad cuando la roca est a la

altura de la cornisa.

I 11 el grfico determinar. Si Vo= 10 mIs1) El tiempo que tarda el proyectil en recorrer el '11'('0 ( >H.h) -1 tiempo que tarda el proyectil en recorrer el l! () 1\ '.) El radio de curvatura en el punto C.1) La variacin del vector velocidad entre los punto: U y C.

El vector unitario de la velocidad media para el jI l .rvalo B y C.1I El vector posicin del punto C.

.,H..

.. ----- ..

.,

y

8H

la rapidez inicial:G(R2 + 16H2)Vo =

I quiere que un proyectil tenga una altura mxima tI y un alcance R como seindica en la figura. Demostrar que debe ser disparado con ngulo del.urzamientc.

e = arcsen ( 4H JJR2 + 16H2

3m

.. ' B , I I

"

.. ......,

.,

.v .........-_....., ''

99

66.- Una partcula se mueve sobre una mesa horizontal. Al pasar por el origen de- - -coordenadas al tiempo t = O tiene una velocidad inicial Vo= 4i - 3k (mis), enese instante comienza a actuar constantemente sobre la partcula una aceleracin- - -a = -Zi - 2k (m/s"). Determinar:a) La velocidad en el instante t = 5 segundos.b) Las aceleraciones tangencial, normal y el radio de curvatura a t = 10

segundos.e) Realice LID dibujo aproximado de la trayectoria,

)7. Una partcula que se esta moviendo en el espacio con una velocidad constante~ 17- 27 (mIs ). Determinar, al cabo de [O segundos de ingresar al campoten .rndo por la tierra.

l Sil ti splazamiento.1) l.u V 'lo .idad.e) I as uc -l -raci nes tangencial y normal.d) El radio de rurvatura para t = 10 segundos.e) 'ti v locul ,d III xlia en el intervalo de Oa 10 segundos.

.

#

#

...#

65.- Un pequeo objeto se lanza pen~ente abajo en la forma indicada en la figura.Determinar la velocidad inicial (\'o) .

y

I Sobre un eje que gira a razn de 1600 RPM estn montados dos discos que seencuentran entre s a una distancia de 50 centmetros. Una bala disparadaparalelamente al eje atraviesa los dos discos, con la particularidad de que el agujeroque se produce en el segundo disco resulta desviado un ngulo de 12 con relacinal primero. Determinar la velocidad de la bala.

a) El tiempo total de rotacin.h) Resuelva el ejercicio grficamente.

Una rueda parte del rep so y acelera de tal manera que su rapidez angular aumentauniformemente a 200 RPM en 6 segundos. Despus de haber estado girando poralgn tiempo a esta rapidez, se aplican los frenos y la rueda tarda 5 minutos endetenerse. Si el nmero total de revoluciones de la rueda es de 3.1OO.Calcular:

IO-Undisco gira con movimiento uniformemente e cel rado. re Ll I riferia serealizan tres disparos, de de el mi m lugar sin ruubiar la truy 'j(riuynintervalosiguales de un segundo. La rapid 'l,

y,

7.- En la figura se indican los vectores velocidad y aceleracin instantneas.Determinar los valores del mdulo de la velocidad y de la aceleracintangencial en ese instante. Si el radio es igual a 5 metros y el mdulo de la2 _aceleracin cs igual a 50 mis. V 4-~..--~_

Va

76.- E111afigura determinar la aceleracin media de la partcula entre las posicionesA y B Sabiendo que V1\ = 2 011' y que Vn = 48,2 mIs.

A VA

75.- Una partcula se mueve sobre una circunferencia de radio 10 centmetros conuna aceleracin tangencial de mdulo constante. Hallar la aceleracin centrpetade la partcula al cabo de 20 segundos. Si se conoceque al finalizar la quinta vuelta su.rapidez es de 0,1 mis.

74.- Una atleta lanza un martillo que gira en un plano horizontal con movimientouniformemente variado, antes del lanzamiento. El momento en el cual sale elmartillo de la trayectoria circular descrita tiene una rapidez de 100 mis, y se conoceque el martillo dio dos vueltas antes de salir disparado y el radio de giro es 2Determinar:a) Su aceleracin angularb) El tiempo que se demor en las dos vueltas.

75.- Un automvil entra a una curva de 1000 metros de radio con una rapidez de72 Km/h. La magnitud de la velocidad se incrementa constantemente en 2,5metros por segundo por cada segundo transcurrido. Cuando el automvil harecorrido 500 metros sobre la curva. Determinar:a) El tiempo transcurrido desde que tom la curva.b) El ngulo formado por la aceleracin instantnea con el radio.

' las caractersticas del movimient duna paf'li .uln 11 I punto B St{1I1 dada..I la figura. Determinar en trmin d los V do! 1111it '11 jo, u !n nlivado: 1, j, J'

1.1 velocidad de la partcula en dich punt . . ' ()IU t qu el I 1l dul ti laI .cleracin en el punto B es igual a 2 mi 2; qu l rn lo ti l c rcul ,i iual a 1 2lit. Y que el ngulo entre el radio OB y el v ctor m t l "1IH'!II i 'I! 1) U 20tl

IJna partcula parte del reposo desde el punto P con una aceleracin tangencial demagnitud constante igual a de i rnIs2 , siguiendo una trayectoria circular de radio 10 metros.( 'uando ha-S!_t:adoun ngulo igual a 21t /3 radiane . Calcular en trminos de losunitarios ,jo1) La velocidad de la partcula1, La aceleracin normal.,,) La aceleracin .

VB

IJna partcula se mueve sobre una ClrCW1f1 rencia de radio 4 metros. Parte delpunto A con una rapidez de 5 mis y con una a el ra i n tangencial constante en mduloluego pasa por el punto B con una rapidez d 1 mis. ctcrminar:11 El vector aceleracin media entre lo puntos 1\. y .h La aceleracin tangencial en B.-) La aceleracin normal en B.

103

y83.- Una partcula parte del reposo en el punto P y se mueve sobre un trayectoriacircular con MCUV, 4 segundos mas tarde la magnitud de su aceleracin es a =8.246 m/s' .Calcular:a) La aceleracin angular.) La velocidad de lapartcula a los 4 segundos.

82.-Una partcula se mueve por una trayectoria circular de radio 1m como seindica en la figura. Al instante t = 0,5 s se encuentra en el punto A, a partirdel cual su movimiento es uniformemente retardado, con una aceleracinangular = rad/d. ~la rapidez inicial Vo = 4 mis, determinar para aintervalo de Oa 10 segundos.a) El nmero de revoluciones efectuadas.b) El vector desplazamiento.e) La velocidad media.d) La aceleracin instantnea a t= lOs

Z

81.- Una partcula se desplaza antihorariamente con movimiento circular uniformealrededor del origen de coordenadas a una distancia de 10m. Si al tiempo t = s- - -tiene una velocidad Vo = 70,7i - 70,7 j mIs. Determinar:a) Su posicin angular inicialb) Su posicin angular para cualquier tiempo.c) La velocidad a los 10 segundos.d) La aceleracin para cualquier tiempo.

Una partcula semueve antihorariamente sobr 1111.\ il IIlkl ncia de radio-10m. En el instante en que t = 5 s, se CII(;\I '1111 1 11 la posicin 10i ID, Y- - -su aceleracin es a =- 5i -1- 4} mls2 Determinar pBI I r instante t=Os:a) La velocidad inicial en trminos de los unitarios 1I0111l1l11nldos.b) La aceleracin angular.,) La aceleracin normal en trminos de los un; (;11 i ..110 matizados.

130

xo

y

H.I_Dos partculas Ay B_se muven en el plano XV. La partcula A se mueve con. velocidad constante VA= - 2j mis, la part ula B se de. plaza a lo largo del crculode radio R, = 4 m. y su centro es el punto n (10,0) 1)1 antihorariarnente convelocidad angular constante w = re k r~d . Las dos partculas inician sumovimiento almismo instantet=Os en Ios puntos A (0;10)m.yBo (10;-4)01.Determinar al instante t= 1.5 segundos, en trminos de los unitari os normal izado'.a) La posicin deA con respecto a B.b) La velocidad de B con respecto aA.

105

107

--~Fy=o(6) R,- RE sen 37 - W =

R= 1,36.W

Ro= 0,75W--~Fx=o(5) REcos 37 = Ro

Rr=0,6 W

(3) R =(2,05W- 1,25W) cas 53E cos 37

R=2,05 W

=-+~Fy=oRB sen53 + RE sen 37 - RF sen 53 - W = (4) RE sen 37(3) RE cos 37

w + (1,25W)0,8 - O,8RB0,6RB - (l,25W) 0,6

x

--~Fx=oR, cos 53 - RE cos37 - RF cos 53= (3) Re cos37 = R, co 53 - RF cos 53

--~Fx=o(2)_ RFsen 53 W

R cos 53=R (1) --F A (1r RFcos 53 RA--x ~Fy=oR sen53=W (2) RA= 0,75 WF RF= 1,25W

e

y

11

1.- En el sistema de la figura, todos los cilindros tienen igual peso (W) e igual radio( R ). Expresar en funcin de W, los valores de las reacciones en A, B, e y D.

I ) s cilindros liso , cada uno de peso W = 100NI y de Imito J 5 cm, estn conectados11. centro por medio de una cuerda AB de Ion ritu I 40 cm., y descansandonhr un plano horizontal sin rozamiento. Un tercer cilindro, tambin liso se coloca11 -ima de los dos anteriores como se indica n l