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O analista
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George Berkeley
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O analista:ou um discurso dirigido a um matemtico infiel1
Onde se examina se o objeto, os princpios e as inferncias da
anlise moderna so mais distintamente concebidos ou mais
obviamente deduzidos do que os mistrios religiosos e as questes
de f
Pelo autor de O diminuto filsofo2
Primeiro retirai a trave de vosso prprio olho e, ento,
enxergareis de modomais claro para que possais retirar o cisco do
olho de vosso irmo(Mateus, 7, 5).
mdccxxxiv
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George Berkeley
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Os contedos3
1 Presume-se que os matemticos so os grandes senhores da razo.
Da a defern-cia indevida feita s suas decises naqueles assuntos
sobre os quais eles no tmqualquer direito de decidir. Essa uma
causa da infidelidade.
2 Os princpios e mtodos dos matemticos devem ser examinados com
a mesmaliberdade com que eles examinam os princpios e mistrios da
religio. Em qualsentido e at onde se deve admitir a geometria como
sendo um aperfeioamentoda mente.
3 As fluxes tornaram-se o grande objeto e ofcio dos argutos
gemetras da atuali-dade. O que so essas fluxes.
4 Os momentos ou incrementos nascentes de quantidades fluentes
so difceis deconceber. As fluxes de diferentes ordens. As segundas
e terceiras fluxes so obs-curos mistrios.
5 As diferenas, isto , os incrementos ou decrscimos
infinitamente pequenos,so usadas pelos matemticos estrangeiros no
lugar de fluxes ou velocidades deincrementos nascentes ou
evanescentes.
6 As diferenas de vrias ordens, isto , as quantidades
infinitamente menores doque as quantidades infinitamente pequenas;
e as partes infinitesimais de infini-tesimais de infinitesimais
etc., sem fim nem limite.
7 Os mistrios da f enfrentam injustamente a objeo daqueles que
os admitemna cincia.
8 Os analistas modernos supem [serem capazes de], por si
prprios, estender suasvises para alm do infinito, enganados pelas
suas prprias espcies e smbolos.
9 O mtodo para encontrar a fluxo de um retngulo de duas
quantidades indeter-minadas mostra-se ilegtimo e falso.
10 A deferncia implcita dos matemticos ao eminente autor das
fluxes. O anseiodeles de avanar cada vez mais rpido e ir mais alm,
ao invs de estabelecer cau-telosamente e de enxergar nitidamente o
seu caminho.
11 Os momentos so de difcil compreenso. Nenhuma quantidade
intermediria admitida entre uma quantidade finita e o nada sem que
se admita infinitesimais.
12 As fluxes de qualquer potncia de uma quantidade fluente. O
lema pressuposto afim de examinar o mtodo para encontrar essas
fluxes.
13 A regra das fluxes de [quantidades com] potncias no obtida
por meio de umraciocnio razovel.
14 O raciocnio anterior detalhado e mostrado como sendo
lgico.
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15 Nenhuma concluso verdadeira pode ser legitimamente inferida
como conse-quncia imediata de suposies inconsistentes. Devem-se
observar as mesmasregras da reta razo quando os homens raciocinam
seja com smbolos seja compalavras.
16 Quando uma hiptese destruda, nenhuma consequncia de tal
hiptese deveser mantida.
17 A dificuldade de distinguir entre incrementos evanescentes e
diferenas infini-tesimais. Os vrios enfoques sobre as fluxes. O
grande autor, ao que tudo indica,no se satisfez com suas prprias
noes.
18 Leibniz e seus seguidores supem e, em seguida, rejeitam as
quantidades infini-tamente pequenas. Nenhuma quantidade, segundo
eles, maior ou menor em vir-tude da adio ou da subtrao de seu
infinitesimal.
19 As concluses devem ser provadas pelos princpios e no os
princpios pelas con-cluses.
20 O gemetra analtico considerado como um lgico e suas
descobertas considera-das, no em si mesmas, mas apenas enquanto
derivadas de determinados princ-pios e por meio de determinadas
inferncias.
21 Traa-se a tangente de uma parbola de acordo com o calculus
differentialis. Mos-tra-se que a verdade resultado do erro e como
isso ocorre.
22 Em virtude de um erro duplo, os analistas chegam verdade, mas
no cincia,ignorando o modo como chegam a suas prprias
concluses.
23 A concluso no nem evidente nem precisa, quando resulta de
premissas obs-curas ou imprecisas. As quantidades finitas poderiam
ser rejeitadas, assim comoas infinitesimais.
24 Ilustra-se ainda mais a doutrina anterior.25 Observaes
variadas a esse respeito.26 A partir da rea, encontra-se a ordenada
por meio de incrementos evanescentes.27 No caso anterior, o suposto
incremento evanescente realmente uma quantidade
finita, destruda por uma quantidade igual com um sinal
contrrio.28 O caso anterior generalizado. As expresses algbricas so
comparadas a quan-
tidades geomtricas.29 Quantidades algbricas e geomtricas
correspondentes so igualadas. Mostra-se
que a anlise no pode ser realizada sobre infinitesimais, a menos
que seja tam-bm realizada sobre quantidades finitas.
30 A eliminao de quantidades por meio dos princpios aceitos,
sejam os das flu-xes sejam os das diferenas, no nem uma boa
geometria nem uma boa lgica.A razo pela qual as fluxes ou as
velocidades so introduzidas.
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31 As velocidades no devem ser abstradas do tempo e do espao,
nem se deve in-vestigar ou considerar suas propores com a excluso
do tempo e do espao.
32 Pontos difceis e obscuros constituem os princpios da anlise
moderna e so osfundamentos sobre os quais ela est construda.
33 Se as faculdades racionais so aperfeioadas por meio dessa
analtica obscura.34 Por meio de quais passos inconcebveis se
conclui que linhas finitas so propor-
cionais a fluxes. Matemticos infiis coam um mosquito e engolem
um camelo.35 Mantidos os princpios aceitos, no se pode evitar as
fluxes ou os infinitesimais.
As abstraes sutis e a metafsica geomtrica.36 Se as velocidades
de quantidades nascentes ou evanescentes so realmente com-
preendidas e representadas por meio de linhas e espcies
finitas.37 Signos ou exponentes so bvios, mas fluxes em si mesmas
no o so.38 As fluxes so as velocidades com que as diferenas
infinitesimais so geradas?39 As fluxes de fluxes ou segundas fluxes
devem ser concebidas como velocidades
de velocidade ou, melhor, como velocidades de segundos
incrementos nascentes?40 As fluxes so consideradas s vezes em um
sentido e s vezes em outro, em al-
guns momentos em si mesmas e em outros em seus exponentes; o
resultado disso a confuso e a obscuridade.
41 Os incrementos iscronos, quer finitos quer nascentes, so
proporcionais a suasrespectivas velocidades.
42 Supe-se que o tempo divide-se em momentos, que os incrementos
so geradosnesses momentos e que as velocidades so proporcionais a
esses incrementos.
43 As fluxes segunda, terceira, quarta etc.; o que so elas, como
obt-las e comorepresent-las. Essa a ideia de velocidade em um
momento de tempo e em umponto do espao.
44 Todas as ordens de fluxes so inconcebveis.45 Signos ou
exponentes confundem-se com as fluxes.46 Inventa-se facilmente
sries de expresses ou de sinais. Ora, concebe-se to fa-
cilmente uma srie de velocidades puras ou de incrementos
nascentes puros, cor-respondentes quelas expresses ou sinais?
47 As celeridades so dispensadas e, no lugar delas, ordenadas e
reas so introdu-zidas. As analogias e expresses, teis nas
quadraturas modernas, podem, toda-via, ser inteis para
capacitar-nos a conceber as fluxes. No correto aplicar asregras sem
o conhecimento dos princpios.
48 A metafsica dos analistas modernos bastante incompreensvel.49
Os analistas lidam com entidades nocionais sombrias. Sua lgica to
objetvel
quanto sua metafsica.50 As circunstncias deste escrito.
Concluso. Questes.
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O analista
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O analista
1 Embora eu seja um estranho aos senhores, no desconheo,
contudo, a reputaoque tendes alcanado no ramo do conhecimento que
estudeis de modo peculiar. Nemdesconheo a autoridade que, por
consequncia, assumis em assuntos estranhos vossaprofisso, muito
menos desconheo o abuso que se reconhece que vs, juntamente
commuitos outros de igual estatura, fazeis de tal autoridade
indevida para enganar pessoasincautas em questes do mais alto
interesse e sobre as quais vosso conhecimento ma-temtico no pode de
modo algum vos qualificar como um juiz competente. A equidade,de
fato, e o bom senso produzem em ns a inclinao a desprezar o juzo
dos homensem questes que eles no consideraram ou examinaram. Mas a
maioria daqueles quefazem a mais estridente reivindicao dessas
qualidades, apesar de tudo, realizam asmesmas coisas que pareciam
desprezar, revestindo-se, maneira de um uniforme, dasopinies de
outros homens e colocando-se em um estado de deferncia
incondicionalao vosso juzo, cavalheiros, que presumidamente deveis
ser, entre todos os homens, ossupremos senhores da razo, visto que
sois bastante versados em diferentes ideias ejamais admitis
qualquer coisa com base na confiana, mas sempre enxergais
clara-mente vosso caminho, como ocorre com os homens cujo constante
ofcio deduzir averdade por meio da mais exata inferncia e a partir
dos mais evidentes princpios.Com esses preconceitos em mente, eles
se submetem a vossas decises em questesem que no tendes o direito
de decidir. E esse o caminho mais curto para se produzirinfiis,
segundo o que me foi informado de modo fidedigno.
2 Enquanto, ento, se supe que podeis compreender mais
distintamente, conside-rar mais rigorosamente, inferir mais
corretamente e concluir mais precisamente doque outros homens, e
que, portanto, sois menos religiosos porque sois mais judicio-sos,
reivindicarei o privilgio de um livre pensador e tomarei a
liberdade de indagarsobre o objeto, os princpios e os mtodos de
demonstrao admitidos pelos matem-ticos da atualidade, com a mesma
liberdade que presumis tratar os princpios e os mis-trios da
religio, para que, no final, todos os homens possam perceber qual
direitopossus de conduzi-los ou quais motivaes outros teriam para
seguir-vos. Trata-se deuma antiga observao que a geometria uma
excelente lgica. E preciso reconhecerque, quando as definies so
claras, quando os postulados no podem ser recusadosnem os axiomas,
negados, quando, aps contemplar e comparar distintamente as
fi-guras, as propriedades delas so derivadas por meio de uma cadeia
contnua e bemconectada de consequncias, sem jamais perder de vista
os objetos e sempre manten-do a ateno fixada sobre eles, adquire-se
com isso um hbito de raciocnio minucio-so, exato e metdico, hbito
esse que fortalece e ilumina a mente e torna-se de uso
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George Berkeley
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geral na investigao da verdade ao ser transferido para outros
assuntos. Mas, por ora,valeria a pena considerar at que ponto
nossos gemetras analticos se afastam disso.
3 O mtodo das fluxes a chave geral com o auxlio da qual os
modernos matemti-cos abrem os segredos da geometria e,
consequentemente, da natureza. E, visto que eleos capacitou a
superar to notavelmente os antigos na descoberta de teoremas e na
so-luo de problemas, o seu exerccio e a sua aplicao tornaram-se o
principal ofcio,seno o nico, a que se dedicam todos aqueles que
atualmente se passam por profun-dos gemetras. Mas, do mesmo modo
como indagarei com extrema imparcialidade seesse mtodo claro ou
obscuro, consistente ou inconsistente (repugnant), demonstra-tivo
ou precrio, submeto minha investigao ao vosso juzo e ao de qualquer
outroleitor sincero. Supe-se que as linhas so geradas 44444 pelo
movimento de pontos, que os planos, pelo movimento de linhas, eque
os slidos, pelo movimento de planos. E, em virtude de que
quantidades geradasem tempos iguais resultam maiores ou menores de
acordo com a maior ou menor velo-cidade com a qual aumentam e so
geradas, encontrou-se um mtodo para determi-nar as quantidades a
partir das velocidades dos movimentos que as geraram. Tais
ve-locidades so chamadas fluxes e as quantidades geradas so
chamadas quantidadesfluentes. Afirma-se que essas fluxes so quase
como incrementos das quantidadesfluentes, geradas nas menores
partculas iguais de tempo e que esto, precisamente,na proporo
primeira dos incrementos nascentes ou na proporo ltima dos
incre-mentos evanescentes. s vezes, em lugar das velocidades,
consideram-se, sob o nomede momentos, os incrementos ou decrscimos
momentneos de quantidades fluen-tes indeterminadas.
4 No devemos entender os momentos como sendo partculas finitas.
Essas partcu-las, dizem, no so momentos, mas quantidades geradas a
partir de momentos, quedefinitivamente so apenas os princpios
nascentes de quantidades finitas. Diz-se queo menor dos erros, na
matemtica, no deve ser negligenciado e que as fluxes sovelocidades
no proporcionais aos incrementos finitos, ainda que esses sejam
muitopequenos, mas apenas aos momentos ou incrementos nascentes,
dos quais se consi-dera apenas a proporo, no a magnitude. E das
fluxes acima existem outras fluxes;essas fluxes de fluxes so
chamadas segundas fluxes. E as fluxes dessas segundasfluxes so
chamadas terceiras fluxes e assim por diante, quartas, quintas,
sextas etc.,ad infinitum. Ora, assim como nossos sentidos ficam
fatigados e perplexos (strainedand puzzled) com a percepo de
objetos extremamente diminutos, a imaginao fa-culdade essa derivada
dos sentidos fica ainda mais fatigada e perplexa na tentativa
deformar ideias claras das menores partculas de tempo ou dos mnimos
acrscimos ne-
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las gerados; e muito mais ainda para compreender os momentos ou
esses incrementosdas quantidades fluentes em statu nascenti, na sua
exata origem ou incio da existncia,antes de tornarem-se partculas
finitas. Parece ainda mais difcil conceber velocida-des abstradas
de tais imperfeitas entidades nascentes. Mas as velocidades das
veloci-dades as segundas, terceiras, quartas, quintas etc.
velocidades , se eu no estiverenganado, excedem todo o entendimento
humano. Quanto mais a mente analisa e per-segue essas ideias
fugidias tanto mais ela fica perdida e desnorteada. Os objetos,
emprincpio fugazes e diminutos, logo somem de vista. Com certeza,
seja em qual sentidofor, uma segunda ou terceira fluxo parece um
obscuro mistrio. A velocidade incipien-te de uma velocidade
incipiente, o aumento nascente de um aumento nascente, isto ,de uma
coisa que no tem magnitude, tome-se isso sob qualquer perspectiva
que sequeira tomar, a menos que eu esteja enganado, a sua concepo
clara mostrar-se-impossvel. Se isso de fato assim ou no, eu apelo
ao exame (trial) de todo leitorpensante. E se uma segunda fluxo for
inconcebvel, o que devemos pensar das tercei-ras, quartas, quintas
fluxes e assim por diante indefinidamente?
5 Mesmo entre ns h quem suponha que os matemticos estrangeiros
procedem deuma maneira menos exata, talvez, e geomtrica, embora
mais inteligvel. Ao invs dequantidades fluentes e suas fluxes, eles
consideram as quantidades finitas variveiscomo aumentando ou
diminuindo pela contnua adio ou subtrao de quantidadesinfinitamente
pequenas. Ao invs das velocidades com as quais os incrementos
sogerados, eles consideram os prprios incrementos ou diminuies, que
chamam dife-renas e que supem serem infinitamente pequenos. A
diferena de uma linha umalinha infinitamente pequena; de um plano,
um plano infinitamente pequeno. Eles su-pem que as quantidades
finitas consistem de partes infinitamente pequenas; que ascurvas
consistem de polgonos cujos lados so infinitamente pequenos e
determinama curvatura da linha pelos ngulos que [os lados] formam
uns com os outros. Ora, con-ceber uma quantidade infinitamente
pequena, isto , infinitamente menor que qual-quer quantidade
sensvel ou imaginvel ou, ainda, a menor de todas as
magnitudesfinitas, confesso que est acima da minha capacidade. Mas
conceber uma parte de talquantidade infinitamente pequena que fosse
ainda infinitamente menor que ela e que,consequentemente, embora
multiplicada infinitamente, jamais fosse igual menorde todas as
quantidades finitas, suspeito que seja uma dificuldade infinita
para qual-quer homem algo que ser admitido por quem declara
honestamente o que pensa,contanto que realmente pense e reflita, e
no aceite nada com base na confiana.
6 E, entretanto, no calculus differentialis, mtodo que serve
para os mesmos propsi-tos e objetivos que o mtodo das fluxes,
nossos analistas modernos no se contentam
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em considerar somente as diferenas de quantidades finitas. Eles
tambm conside-ram as diferenas daquelas diferenas e as diferenas
das diferenas das primeirasdiferenas, e assim por diante ad
infinitum. Dito de outra maneira, eles consideramquantidades
infinitamente menores que a menor quantidade discernvel, e outras
in-finitamente menores que aquelas infinitamente pequenas; e ainda
outras infinitamentemenores que os infinitesimais precedentes e,
assim por diante, sem fim nem limite,de tal modo que devemos
admitir uma infinita sucesso de infinitesimais, cada
qualinfinitamente menor que os anteriores e infinitamente maior que
os posteriores. Comoexistem primeiras, segundas, terceiras,
quartas, quintas etc. fluxes, tambm existemprimeiras, segundas,
terceiras, quartas etc. diferenas, em uma progresso infinitapara o
nada, do qual sempre vos aproximais sem nunca l chegar. E (o que
mais estra-nho) ainda que tomeis um milho de milhes daqueles
infinitesimais, supondo quecada qual seja infinitamente maior do
que qualquer outra magnitude real, e que se osadicionais menor
quantidade dada, isso em nada ser maior. Pois esse um dos mo-destos
postulata dos nossos matemticos modernos, e constitui uma pedra
angular ouuma base para as suas especulaes.
7 Afirmo que certos homens rigorosos que exigem provas na
religio, que no pre-tendem acreditar em nada alm do que podem ver,
supem e acreditam em todos essespontos. No se passar por algo
completamente inexplicvel que homens versados ex-clusivamente em
questes claras houvessem de admitir com dificuldade pontos
obs-curos. Mas quem puder digerir uma segunda ou uma terceira
fluxo, uma segunda ouuma terceira diferena, no precisa ser, penso
eu, escrupuloso em matrias da teolo-gia. H um pressuposto natural
segundo o qual as faculdades dos homens so simila-res. com base
nessa suposio que eles tentam argumentar e convencer uns aos
ou-tros. O que, portanto, pode parecer comprovadamente impossvel e
inconsistente paraalgum deve s-lo presumidamente de maneira idntica
para outrem. Mas com quearremedo de razo poderia um homem pretender
dizer que os mistrios no devem serobjetos de f e, ao mesmo tempo,
ele prprio admitir que tais mistrios obscuros se-jam objetos da
cincia?
8 Deve-se, de fato, reconhecer que os matemticos modernos no
consideram essespontos como mistrios, mas como concebidos
claramente e dominados por suas men-tes capazes de total
compreenso. Eles no tm escrpulos em dizer que, com a ajudadessa
nova analtica, podem penetrar no prprio infinito, que podem at
mesmo es-tender sua viso para alm do infinito, que sua arte
compreende no somente o infini-to, mas o infinito do infinito (como
eles o expressam) ou uma infinidade de infinitos.
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Mas, apesar de todas essas asseres e pretenses, pode-se
justificadamente questio-nar se eles no esto sendo enganados e
iludidos de maneira admirvel por seus sig-nos, smbolos ou espcies
(species) peculiares, assim como outros homens em outrasinvestigaes
so frequentemente enganados por palavras ou termos. Nada mais f-cil
do que inventar expresses ou notaes para fluxes e infinitesimais de
primeira,segunda, terceira, quarta e subsequentes ordens,
prosseguindo com .,,, etcxxxx , oudx, ddx, dddx, ddddx etc. sem fim
nem limite de forma regular. Essas expresses sorealmente claras e
distintas, e a mente no encontra dificuldade para conceber o
pros-seguimento delas para alm de quaisquer limites assinveis. Mas,
se removermos ovu e olharmos por debaixo dele, se, colocando de
lado as expresses, voltarmos nossaateno para considerar as prprias
coisas que se supem serem expressas ou sinali-zadas por elas,
descobriremos um grande vazio, muita escurido e confuso, ou
me-lhor, se eu no estiver equivocado, descobriremos
impossibilidades e contradiesdiretas. Se esse ou no o caso, esto
convidados a examinar e a julgar por si prpriostodos os leitores
pensantes.
9 Tendo considerado o objeto, passo a considerar os princpios
dessa nova anliseconstitudos de momentos, fluxes ou infinitesimais.
Se, ao longo dessas considera-es, ficar aparente que vossos pontos
capitais, dos quais se supe depender o resto,incluem erros e falsos
raciocnios, ento, seguir-se- que vs algum que se emba-raa ao
conduzir a si mesmo no podeis com decncia alguma colocar-vos como
guiade outros homens. O principal ponto do mtodo das fluxes obter a
fluxo ou o mo-mento do retngulo ou o produto de duas quantidades
indeterminadas, visto que daso derivadas regras para a obteno das
fluxes de outros produtos ou potncias, se-jam quais forem os
coeficientes ou exponentes, inteiros ou fracionrios, racionais
ouirracionais (surd). Ora, poder-se-ia pensar que esse ponto
fundamental foi distingui-do muito claramente, considerando-se o
quanto se constri sobre ele e que sua influ-ncia estende-se atravs
de toda a anlise. Mas que se deixe o leitor julgar. Eis o que dado
como sendo uma demonstrao . Supe-se que o produto ou o retngulo AB
aumenta por um movimento con-tnuo e que os incrementos momentneos
dos lados A e B so a e b. Quando os lados A eB esto incompletos,
faltando-lhes a metade de seus momentos, o retngulo
bBaA21
21 , isto , ab+bAaBAB
41
21
21
.
E quando os lados A e B so aumentados nas outras duas metades
dos seus momentos, oretngulo torna-se
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b+Ba+A21
21
ou ab+bA+aB+AB41
21
21
.
Do ltimo retngulo subtrai-se o primeiro, e a diferena restante
ser aB + bA. Por-tanto, o incremento do retngulo gerado pelos
incrementos inteiros a e b aB + bA.Q.E.D. Mas bvio que o mtodo
direto e verdadeiro para obter o momento ou incre-mento do retngulo
AB tomar os lados acrescidos de seus incrementos inteiros
emultiplic-los um pelo outro, A + a vezes B + b, cujo produto
resultante AB + aB + bA + ab o retngulo aumentado. Se subtrairmos
AB desse retngulo, o resto aB + bA + ab ser oseu incremento
verdadeiro, excedendo na quantidade ab aquele que fora obtido
pelomtodo anterior, ilegtimo e indireto. E isso vale universalmente
sejam as quantida-des a e b o que forem, grandes ou pequenas,
finitas ou infinitesimais, incrementos,momentos ou velocidades. De
nada adianta dizer que ab uma quantidade excessiva-mente pequena,
visto que nos declarado que in rebus mathematicis errores qum
miniminon sunt contemnendi (em assuntos matemticos, por menores que
sejam, os erros noso negligenciveis) .
10 Somente a obscuridade do assunto teria encorajado ou induzido
o grande eminen-te do mtodo fluxionrio a impor a seus seguidores
tal raciocnio como sendo uma de-monstrao, e somente uma deferncia
implcita autoridade mov-los-ia a admiti-lo. O caso realmente
difcil. Nada podeis fazer at que tenhais conseguido livrar-vosda
quantidade ab. Para esse propsito, a noo de fluxo alterada,
colocada sob lu-zes diversas; confundem-se pontos que, na condio de
primeiros princpios, deveriamser claros e tornam-se ambguos termos
que deveriam ser usados de maneira fixa. Mas,apesar de toda essa
destreza e habilidade, o propsito de livrar-se de ab no pode
serobtido por meio de um raciocnio legtimo. Se um homem, por mtodos
no geomtri-cos nem demonstrativos, convence-se da utilidade de
certas regras que, em seguida,prope a seus discpulos como verdades
indubitveis e que ele prprio se encarrega dedemonstrar de maneira
sutil com a ajuda de noes refinadas e intrincadas, no dif-cil supor
que seus discpulos, para pouparem-se do aborrecimento de pensar,
incli-nem-se a confundir a utilidade de uma regra com a certeza de
uma verdade e a aceitaruma pela outra especialmente, se eles forem
homens mais acostumados a computardo que a pensar, mais ansiosos
por avanar cada vez mais rpido e mais distante do quedispostos a
estabelecer cautelosamente e a enxergar nitidamente o seu
caminho.
11 Os pontos ou os simples limites de linhas nascentes so
indubitavelmente iguais,pois, no tendo mais magnitude do que os
demais, um limite como tal no quantidade.Se por momento significais
algo mais do que o prprio limite inicial, ele deve ser ou
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uma quantidade finita ou um infinitesimal. Mas todas as
quantidades finitas so ex-pressamente excludas da noo de momento.
Portanto, o momento deve ser uminfinitesimal. E, de fato, embora se
tenha empregado muitos artifcios para escapar ouevitar a admisso de
quantidades infinitamente pequenas, nenhum deles parece tersido
eficaz. At onde posso ver, no podeis admitir nenhuma quantidade
como ummeio-termo entre uma quantidade finita e o nada sem admitir
infinitesimais. Um in-cremento gerado em uma partcula finita de
tempo em si uma partcula finita e, por-tanto, no pode ser um
momento. Por isso, deveis tomar uma parte infinitesimal detempo
para nela gerar vosso momento. Afirma-se que no se considera a
magnitudedo momento e, todavia, supe-se dividir esses mesmos
momentos em partes. Isso no fcil de ser concebido, no mais do que a
razo pela qual se toma quantidades meno-res do que A e B para obter
o incremento de AB, um procedimento isto deve-se reco-nhecer cuja
causa final ou cujo motivo bastante bvio, mas cuja razo exata e
legti-ma no to bvia nem to fcil de explicar, como seria mostrar que
ele geomtrico.
12 Deriva-se do princpio precedente, assim demonstrado, a regra
geral para encon-trar a fluxo de uma quantidade fluente de qualquer
potncia . Mas, visto que parece ter havido algum escrpulontimo em
relao demonstrao precedente ou conscincia do seu defeito, e
vistoque encontrar a fluxo de uma dada potncia era um ponto de
primeira importncia,julgou-se ento adequado demonstrar o mesmo de
uma maneira diferente e indepen-dente daquela demonstrao. Mas, se
esse outro mtodo mais legtimo e conclusivodo que o anterior, vou
agora examinar. Para tanto, tomarei como premissa o lema se-guinte:
Se com o propsito de demonstrar alguma proposio, admite-se um
certoponto, em virtude do qual outros pontos so alcanados, e se tal
ponto admitido forposteriormente eliminado ou rejeitado por uma
suposio contrria, ento, nesse caso,todos os outros pontos alcanados
por intermdio dele e consequentes a ele devemtambm ser eliminados
ou rejeitados, de tal modo que no devem ser mais admitidosou
aplicados no restante da demonstrao. Isso to claro que no necessita
de prova.
13 Ora, o outro mtodo para obter uma regra destinada a encontrar
a fluxo de [quan-tidades com] qualquer potncia o seguinte. Seja x a
quantidade que flui uniformemen-te, e seja xn a fluxo a ser
encontrada. No mesmo tempo em que x fluindo torna-se x + o,a
[quantidade com] potncia xn torna-se (x + o)n, isto , pelo mtodo
das sries infinitas,
.2
etc+xnnn
+xn+x 2n1nn ,
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George Berkeley
scienti zudia, So Paulo, v. 8, n. 4, p. 633-76, 2010
16 Se assumis de incio que uma quantidade no aumenta em nada e
que, na expres-so +x , nada significa, com base nessa suposio, uma
vez que no h incrementoda raiz, no haver incremento da potncia e,
consequentemente, na srie das potn-cias do binmio, no haver nenhum
de seus membros constituintes, exceto o primei-ro; por consequncia,
mediante tal mtodo, jamais podeis obter legitimamente a
vossaexpresso de uma fluxo. Portanto, estais procedendo de um modo
falacioso, progre-dindo at um certo ponto sob a suposio de um
incremento e mudando em seguida,subitamente, para outra suposio
segundo a qual no haveria nenhum incremento.Poderia parecer uma
grande habilidade fazer isso em um determinado ponto ou pero-do.
Pois, se essa segunda suposio tivesse sido feita antes da diviso
comum por ,tudo teria esvanecido de imediato e nada tereis obtido
com vossa suposio. Ao passoque, por meio desse artifcio de primeiro
dividir e depois mudar vossa suposio,retendes 1 e nxn-1. Mas,
apesar de todo esse discurso para encobri-la, a falcia ainda
amesma. Pois, se isso feito mais cedo ou mais tarde, uma vez que se
faa a segundasuposio ou assuno, no mesmo instante a primeira assuno
e tudo o que obtivestespor meio dela encontram-se destrudos e
eliminados conjuntamente. E isso univer-salmente verdadeiro,
qualquer que seja o assunto, em todos os ramos do conhecimen-to
humano; em qualquer um deles, creio que os homens dificilmente
admitiriam umraciocnio tal como esse que na matemtica aceito como
uma demonstrao.
17 Pode no ser completamente incorreto observar que o mtodo para
encontrar afluxo de um retngulo de duas quantidades fluentes, tal
como se apresenta no Dequadratura curvarum, difere do acima
mencionado retirado do segundo livro dos Prin-cipia, e que , na
prtica, idntico quele usado no Calculus differentialis . Pois a
suposio de que uma quantidade diminuiuinfinitamente e, portanto,
rejeitada, na verdade a rejeio de um infinitesimal; e,de fato, isso
requer uma capacidade de discernimento extraordinariamente aguda,
afim de distinguir entre incrementos evanescentes e diferenas
infinitesimais. Talvezse possa dizer que uma quantidade ao ser
infinitamente diminuda torna-se nada e,enquanto nada, rejeitada.
Mas, de acordo com os princpios aceitos, bvio que ne-nhuma
quantidade geomtrica, por meio de qualquer diviso ou subdiviso que
seja,pode ser esgotada ou reduzida a nada.6 Considerando as vrias
artes e truques usadospelo eminente autor do mtodo fluxionrio, os
vrios enfoques que ele deu a suas flu-xes e, finalmente, as
diferentes maneiras que ele tentou demonstrar o mesmo
ponto,poder-se-ia pensar que ele mesmo suspeitava da exatido de
suas demonstraes eque no estava satisfeito o bastante com nenhuma
noo para aderir-lhe firmemente.Isso, de qualquer maneira, deixa
claro que ele se sentia satisfeito com respeito a certospontos e
que, no entanto, no se encarregaria de demonstr-los aos demais
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O analista
scienti zudia, So Paulo, v. 8, n. 4, p. 633-76, 2010
respondncia a Collins de 8 de novembro de 1676>.7 Se essa
satisfao procede de m-todos experimentais (tentative) ou de indues,
algo que frequentemente os matem-ticos tm admitido (por exemplo,
Dr. Wallis em seu Arithmetic of infinites), isso noposso pretender
determinar. Mas, qualquer que seja o caso com respeito ao nosso
au-tor, parece que seus seguidores mostram-se mais vidos em aplicar
seus mtodos doque em examinar seus princpios com preciso.
18 curioso observar a sutileza e a destreza com que esse grande
gnio combate umadificuldade insupervel, e atravs de quais
labirintos ele se esfora para escapar dadoutrina dos infinitesimais
algo que se lhe impe quer queira quer no, tanto que admitida e
acolhida por outros sem a mnima repugnncia. No calculus
differentialis,Leibniz e seus seguidores no tm qualquer escrpulo
para, em primeiro lugar, supore, em seguida, rejeitar quantidades
infinitamente pequenas, com uma clareza de com-preenso e uma
exatido de raciocnio que pode ser discernida por qualquer
homempensante isento de preconceitos. A noo ou ideia de uma
quantidade infinitesimal,enquanto um simples objeto apreendido pela
mente, j foi considerado acima . Agora, farei observaes somente
acerca do mtodo de eliminar tais quantida-des, o que se realiza sem
a menor cerimnia. Assim como no caso das fluxes, o pontode maior
importncia e preparatrio a todo o restante era encontrar a fluxo do
produ-to de duas quantidades indeterminadas, no calculus
differentialis (mtodo que se supeter sido apropriado do primeiro
com algumas pequenas alteraes),8 o ponto princi-pal obter a
diferena daquele produto. A regra agora empregada obtida com a
rejei-o do produto ou retngulo da diferena. E, em geral, supe-se
que nenhuma quanti-dade maior ou menor com a adio ou a subtrao de
seu infinitesimal e que,consequentemente, nenhum erro pode surgir
dessa rejeio de infinitesimais.
19 No entanto, parece que, sejam quais forem os erros admitidos
nas premissas, er-ros proporcionais aparecero na concluso, sejam
eles finitos ou infinitesimais, e quea krbeia da geometria exigir
que nada seja negligenciado ou rejeitado.9 Em res-posta a isso,
direis talvez que as concluses so rigorosamente verdadeiras e que,
por-tanto, tambm devem assim ser os princpios e mtodos dos quais so
derivados. Masessa maneira invertida de demonstrar vossos princpios
a partir de vossas conclusestanto vos peculiar, cavalheiros, quanto
contrria s regras da lgica. A verdade daconcluso no provar a
verdade nem da forma nem da matria de um silogismo, namedida em que
a ilao poderia estar errada ou as premissas serem falsas e, apesar
detudo, a concluso ser verdadeira, embora no em virtude de tal ilao
ou de tais pre-missas. Digo que em qualquer outra cincia os homens
provam suas concluses pormeio de seus princpios, e no os princpios
por meio das concluses. Mas, se na vossa
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George Berkeley
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cincia permitis essa maneira antinatural de proceder, a
consequncia ser que devereisadotar a induo e dizer adeus
demonstrao. Se aceitardes isso, vossa autoridadepara guiar-nos em
questes que envolvem a razo e a cincia no perdurar por muitomais
tempo.
20 No levanto qualquer controvrsia sobre vossas concluses, mas
somente sobre algica e o mtodo por vs adotado. Como fazeis as
vossas demonstraes? De quaisobjetos tratais? Concebei-os
claramente? Com base em quais princpios procedeis?Quo slidos eles
podem ser e de que modo os aplicais? Deve ser relembrado que
noestou preocupado com a verdade de vossos teoremas, mas somente
com o modo deobt-los; se ele legtimo ou ilegtimo, claro ou obscuro,
cientfico ou por tentativas(tentative). Para evitar toda
possibilidade de engano a meu respeito, peo-vos permis-so para
repetir e insistir que considero o gemetra analtico como sendo
apenas umlgico, isto , considero-o na medida em que ele raciocina e
argumenta; considerosuas concluses matemticas no em si mesmas, mas
a partir de suas premissas; e noas considero como verdadeiras ou
falsas, teis ou insignificantes, mas como conse-quncias derivadas
desses princpios, por meio daquelas inferncias. E, j que
talvezpossa parecer um paradoxo inexplicvel que matemticos deduzam
proposies ver-dadeiras de princpios falsos, que estejam corretos a
respeito da concluso ainda queerrados a respeito das premissas,
esforar-me-ei particularmente para explicar porque isso pode
acontecer e para mostrar como o erro pode produzir verdade,
emborano possa produzir cincia.
21 Portanto, a fim de esclarecer esse ponto, suponhamos, por
exemplo, que seja pre-ciso traar a tangente de uma parbola, e
examinemos o desenrolar dessa tarefa tal
como ela seria realizada com base nas dife-renas infinitesimais.
Seja AB uma curva, aabscissa AP = x, a ordenada PB = y, a di-ferena
da abscissa PM = dx, a diferena daordenada RN = dy. Ora, supondo
que a cur-va seja um polgono e, consequentemente,que BN, o
incremento ou diferena da cur-va, seja uma linha reta coincidindo
com atangente e que o tringulo diferencial BRNseja similar ao
tringulo TPB, [ento] a sub-tangente PT constitui a quarta
proporcio-nal10 para RN : RB : PB, isto , para dy : dx : y.
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isto ,
2y
2 nn+yn=z+n
que, por reduo, d
2y2y
dydy=
nn=z Q.E.D.
23 Ora, observo, em primeiro lugar, que a concluso resulta
correta, no porque orejeitado quadrado de dy era infinitamente
pequeno, mas porque esse erro foi com-pensado por outro erro igual
e contrrio. Observo, em segundo lugar, que seja l o quefor
rejeitado, to pequeno quanto for, desde que seja real e,
consequentemente, pro-duza um erro real nas premissas, produzir um
erro real e proporcional na concluso.Vossos teoremas, portanto, no
podem ser precisamente verdadeiros nem vossos pro-blemas
precisamente solucionados, em virtude de que as prprias premissas
no soprecisas, sendo uma regra da lgica que conclusio sequitur
partem debiliorem (a conclu-so segue-se da parte mais fraca).
Assim, em terceiro lugar, observo que, quando aconcluso evidente e
as premissas so obscuras, ou a concluso precisa e as premis-sas so
imprecisas, podemos seguramente pronunciar que o fato de tal
concluso noser nem evidente nem precisa no se deve a essas
premissas ou princpios obscuros eimprecisos, mas deve-se a certos
outros princpios que talvez o prprio demonstradorjamais conheceu ou
pensou a respeito. Em ltimo lugar, observo que, no caso de
asdiferenas serem supostas como quantidades finitas, mesmo que
sejam suficiente-mente grandes, a concluso apesar disso resultar no
mesmo, pois as quantidades re-jeitadas so legitimamente desprezadas
no pela sua pequenez, mas por outra razo, asaber, por causa dos
erros contrrios que se destroem mutuamente e, assim, no con-junto,
nada realmente rejeitado, apesar da aparente eliminao. Essa razo
igual-mente vlida com respeito tanto s quantidades finitas quanto s
infinitesimais, tantocom respeito s grandes quanto s pequenas,
tanto a um p ou a uma jarda quanto aoincremento mais minsculo.
24 Para ilustrar mais completamente esse ponto, eu o
considerarei sob outra luz e,procedendo com quantidades finitas at
a concluso, farei uso somente de um infini-tesimal. Suponha-se que
a linha reta MQ corta a curva AT nos pontos R e S. Suponha-seLR ser
uma tangente no ponto R, AN a abscissa e NR e OS as ordenadas. Seja
AN pro-
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longada at O, e RP traada paralelamente aNO. Suponha-se AN = x,
NR = y, NO = v,PS = z, a subsecante MN = s. Seja a equa-o xx=y a
expresso da natureza da cur-va. Supondo que y e x sejam aumentados
pe-los seus incrementos finitos, obtemos
y + z = xx + 2xv + vv;
donde, subtraindo a primeira equao, re-sultar z = 2xv + vv. Em
razo da semelhanade tringulos
PS : PR :: NR : NM, isto ,
z
vy=syvz :::: ;
donde, se substituirmos seus valores para y e z, obtemos
v+x
xx=s=
vv+xv
vxx
22.....
Supondo NO diminuir infinitamente, a subsecante NM, nesse caso,
coincidir com asubtangente NL, e v, como um infinitesimal, pode ser
rejeitado. Disso se segue que
22xx
=xx
=NL=s ,
que o valor verdadeiro da subtangente. Visto que esse resultado
foi obtido medianteum erro somente, isto , rejeitando-se somente um
nico infinitesimal, pode parecerque contrariando o que foi dito
acima , mesmo que uma diferena ou quantidadeinfinitesimal seja
negligenciada ou desprezada, a concluso pode ser
precisamenteverdadeira, embora no haja, como no primeiro caso, erro
duplo ou retificao de umerro pelo outro. Mas, se esse ponto for
profundamente considerado, descobriremosque h ainda ali um erro
duplo, um compensando ou retificando o outro. Pois, em pri-meiro
lugar, supe-se que quando NO diminui infinitamente ou torna-se um
infini-tesimal, ento a subsecante NM torna-se igual subtangente NL.
Mas isso claramenteum erro, pois evidente que, como uma secante no
pode ser uma tangente, da mesmamaneira, uma subsecante no pode ser
uma subtangente. Por menor que seja a dife-rena, sempre haver ainda
uma diferena. E se NO infinitamente pequena, haver
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ainda uma diferena infinitamente pequena entre NM e NL.
Portanto, NM ou S era muitopequena para vossa suposio (quando o
supusestes igual a NL), e esse erro foi com-pensado por um segundo
erro contido na eliminao de v; e esse ltimo erro deu a s umvalor
maior do que o seu verdadeiro valor, valor com qual s substituiu o
valor dasubtangente. Esse o verdadeiro estado dessa situao, por
mais disfarado que eleesteja. E, na realidade, a isso corresponde
e, no fundo, a mesma coisa que se preten-dssemos encontrar, a
partir da equao da curva e da semelhana de tringulos, asubtangente
mediante, primeiro, a busca de uma expresso geral para todas as
subse-cantes e, ao reduzir a subtangente a essa regra geral, ento,
consider-la como sendo asubsecante quando v esvanece ou reduz-se a
nada.
25 De um modo geral, observo que, primeiro, v nunca pode ser
nada na medida em queh uma secante. Segundo, que a mesma linha no
pode ser ambas, a tangente e a secan-te. Terceiro, que, quando v ou
NO esvaece, PS e SR tambm esvae-cem, e com eles [esvaece] a
proporcionalidade dos tringulos similares. Consequen-temente, toda
a expresso, que foi obtida a partir dessa similaridade e nela est
baseada,esvaece quando v esvaece. Quarto, que o mtodo de encontrar
secantes ou expressesde secantes, por mais geral que seja, no pode,
em um sentido comum, estender-senem sequer um pouco mais alm [em
sua aplicao] que a uma secante qualquer: e,como ele necessariamente
supe tringulos semelhantes, no se pode supor que ele seaplique onde
no existem tringulos semelhantes. Quinto, que a subsecante ser
sem-pre menor do que a subtangente e jamais poder coincidir com
ela. Admitir tal coin-cidncia seria um absurdo, pois seria supor
que a mesma linha corta e no corta aomesmo tempo outra linha dada,
o que uma contradio manifesta, tanto que subvertea hiptese e d a
demonstrao de sua falsidade. Sexto, se isso no for admitido,
exijouma razo por que qualquer outra demonstrao apaggica, ou
demonstrao adabsurdum, seria mais admissvel na geometria do que
aquela, ou que alguma diferen-a real seja assinalada entre aquela
demonstrao e as outras desse ltimo gnero.Stimo, observo que
sofstico supor NO ou RP, PS, e SR serem realmente linhas
finitasdestinadas a formar o triangulo RPS e, assim, obter as
propores por meio dos trin-gulos semelhantes, mas logo em seguida
supor no existirem tais linhas nem, conse-quentemente, os tringulos
semelhantes, e, apesar disso, reter a consequncia da pri-meira
suposio, mesmo aps tal suposio ter sido destruda por uma suposio
emcontrrio. Oitavo, embora, no presente caso, a verdade possa ser
obtida por uma supo-sio inconsistente, essa verdade no foi, no
entanto, demonstrada. Tal mtodo noest em conformidade com as regras
da lgica e com a reta razo. Qualquer que seja suautilidade, deve-se
consider-lo somente como uma suposio, como um truque, umahabilidade
ou, de preferncia, um artifcio, mas jamais uma demonstrao
cientfica.
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quantidade geomtrica, e o terceiro, contendo as potncias do
incremento, exprimiro espao curvilneo ou o terceiro membro da
quantidade geomtrica. Essa sugestopode talvez ser mais amplamente
estendida e aplicada a outros bons propsitos, porqualquer um com
tempo disponvel e curiosidade para tais assuntos. O uso que delafao
destina-se a mostrar que a anlise no pode ser realizada sobre
aumentos ou dife-renas, a menos que, necessariamente, seja
realizada tambm sobre quantidadesfinitas, sejam elas to grandes
quanto forem, conforme observou-se anteriormente.
30 Portanto, mediante tudo o que podemos seguramente afirmar,
parece-me que aconcluso no pode estar correta, se, para essa
finalidade, alguma quantidade esvaneaou tenha que ser
negligenciada, a menos que ou um erro seja compensado por outro
ouque, secundariamente, do mesmo lado de uma equao, quantidades
iguais sejamdestrudas por sinais contrrios, de tal modo que a
quantidade que pretendemos re-jeitar seja a primeira a ser
aniquilada ou, por fim, que quantidades iguais sejam sub-tradas de
ambos os lados opostos. Portanto, livrar-se de quantidades em
conformida-de com os admitidos princpios das fluxes ou das
diferenas no nem uma boageometria nem uma boa lgica. Quando o
aumento esvanece, a velocidade tambmesvanece. Afirma-se que as
velocidades ou as fluxes so prim e ultim,1313131313 tal como
osaumentos so nascentes e evanescentes. Tome-se, portanto, a ratio
(razo) de quanti-dades evanescentes, que ser a mesma que aquela das
fluxes. Ela satisfar igualmenteaos mesmos propsitos. Por que ento
se introduz as fluxes? No para evitar ou, depreferncia, para
mitigar o uso de quantidades infinitamente pequenas? Porm, notemos
nenhuma noo por meio da qual conceber e medir os vrios graus de
velocida-de alm daquelas do espao e do tempo; ou, quando so dados
os tempos, nada alm doespao. Nem sequer temos qualquer noo de
velocidade que prescinda de tempo e deespao. Ento, quando se supe
um ponto mover-se em um tempo dado, no temosnoo de nenhuma
velocidade maior ou menor ou de propores entre as velocidades,mas
somente de linhas maiores ou menores e de propores entre tais
linhas geradasem intervalos iguais de tempo.
31 Um ponto pode ser o limite de uma linha; uma linha pode ser o
limite de um plano;um momento pode terminar um tempo. Mas de que
modo podemos ns conceber umavelocidade com a ajuda de tais limites?
Ela necessariamente implica ambos, tempo eespao, e no pode ser
concebida sem eles. Se as velocidades de quantidades nascentese
evanescentes, isto , abstradas de tempo e espao, no podem ser
compreendidas,como podemos ns compreender e demonstrar suas
propores ou considerar suasrationes primae e ultimae (razes
primeiras e ltimas)? Pois, considerar a proporo ouratio das coisas
implica que tais coisas tenham magnitude, que se possa medir tais
mag-
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nitudes e conhecer as suas relaes mtuas. Mas, uma vez que no
haja medida de ve-locidade exceto pelo tempo e pelo espao e que a
proporo das velocidades seja com-posta somente da proporo direta
dos espaos e da proporo inversa (reciprocal) dostempos, no se segue
que falar em investigar, obter e considerar as propores de
ve-locidades, excluindo-se o tempo e o espao, seja falar de maneira
ininteligvel?
32 Mas, no uso e aplicao das fluxes, direis que os homens no
sobrecarregam suasfaculdades para conceber precisamente as
velocidades, os incrementos, os infinitesi-mais acima mencionados
ou qualquer outra ideia de uma natureza to refinada, sutil
eevanescente. E, portanto, talvez sustentareis que os problemas
podem ser soluciona-dos sem essas suposies inconcebveis e que,
consequentemente, a doutrina dasfluxes, na sua parte prtica,
permanece isenta de todas essas dificuldades. Respondoque, mesmo
que no uso ou na aplicao desse mtodo no se levam em conta tais
pon-tos difceis e obscuros, eles esto, entretanto, pressupostos.
Eles so os fundamentossobre os quais os modernos constroem; so os
princpios sobre os quais eles proce-dem na soluo de problemas e na
descoberta de teoremas. Isso feito com o mtododas fluxes, bem como
com todos os outros mtodos que pressupem seus respecti-vos
princpios e se fundamentam neles, ainda que as suas regras possam
ser pratica-das por homens que nem do ateno aos princpios nem
talvez os conheam. Portan-to, da mesma maneira como um marinheiro
pode aplicar na prtica certas regras de-rivadas da astronomia e da
geometria, cujos princpios ele no compreende, e comoqualquer homem
comum pode resolver diversas questes numricas pelas regras eoperaes
comuns da aritmtica, que ele executa e aplica sem conhecer as suas
razes,assim tampouco se pode negar que podeis aplicar as regras do
mtodo das fluxes, quepodeis comparar e reduzir casos particulares a
formas gerais; que podeis operar, cal-cular e solucionar problemas
por intermdio disso, no somente sem qualquer aten-o a ou
conhecimento efetivos dos fundamentos desse mtodo e dos princpios
dosquais ele depende e dos quais deduzido, mas tambm sem nunca os
ter consideradoou compreendido.
33 Mas, ento, deve-se recordar que em tal caso, embora podeis
passar por um artis-ta, calculador ou analista, ainda no vos podeis
considerar um homem de cincia e dedemonstrao. Nenhum homem, em
virtude de ser versado em tal anlise obscura,imaginaria que suas
faculdades racionais so mais desenvolvidas do que as de qual-quer
outro homem que as exercitaram de diferentes maneiras e em
diferentes assun-tos; muito menos se erige como um juiz ou um
orculo a respeito de assuntos sem ne-nhum tipo de conexo ou
dependncia dessas espcies, smbolos ou signos, no manejodos quais
ele muito versado e experiente. Apesar de que sois um hbil
calculador ou
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analista, no podeis, por isso, ser considerado hbil em anatomia;
ou, vice-versa, umhomem capaz de dissecar com arte pode ser, no
entanto, ignorante em sua arte de cal-cular. Ambos, apesar de suas
habilidades peculiares em suas respectivas artes, podemigualmente
no ser qualificados para decidir sobre lgica, metafsica, tica ou
religio.E isso seria verdadeiro mesmo admitindo que compreendeis
vossos princpios e queos podeis demonstrar.
34 Suponhamos que se diga que as fluxes podem ser expostas ou
expressas por li-nhas finitas proporcionais a elas, ou ainda que se
diga que essas linhas finitas, uma vezque podem ser distintamente
concebidas, conhecidas e submetidas a raciocnios, tam-bm podem ser
substitudas pelas fluxes e suas relaes ou propores mtuas
con-sideradas como as propores das fluxes. E suponhamos que se
diga, por fim, quedesse modo essa doutrina torna-se clara e til. A
tudo isso respondo que, se para en-contrar essas linhas finitas
proporcionais s fluxes, realizam-se certos passos queso obscuros e
inconcebveis, por mais que essas linhas finitas sejam claramente
con-cebidas, deve-se, no entanto, reconhecer que vosso proceder no
claro nem cient-
fico seu mtodo. Por exemplo, supe-se queAB seja a abscissa, BC a
ordenada e VCH atangente da curva AC;que Bb ou CE seja o
in-cremento da abscissa, Ec o incremento daordenada, que quando
prolongada encon-tra VH no ponto T, e Cc o incremento da cur-va.
Prolongando-se a linha reta Cc at K,sero formados trs pequenos
tringulos: oretilneo CEc, o mistilneo CEc e o retilneoCET. bvio que
esses tringulos so dife-rentes entre si, sendo o retilneo CEc
me-nor que o mistilneo CEc, cujos lados sotrs os incrementos acima
mencionados, esendo esse ltimo menor que o tringuloCET. Suponha-se
que a ordenada bc move-se at o lugar BC, de maneira que o ponto
c
coincida com o ponto C; e que a linha reta CK e,
consequentemente, a curva Cc coincidacom a tangente CH. Nesse caso,
o tringulo evanescente mistilneo CEc ser, em sualtima forma,
similar ao tringulo CET e seus lados evanescentes CE, Ec e Cc sero
pro-porcionais a CE, ET e CT, que so os lados do tringulo CET.
Portando, conclui-se que asfluxes das linhas AB, BC e AC, estando
na razo ltima de seus incrementosevanescentes, so proporcionais aos
lados do tringulo CET ou, o que o mesmo, do
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O analista
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tringulo VBC similar a ele . Com bastantenfase, o eminente autor
insiste que os pontos C e c no devem se distanciar um dooutro por
nenhum intervalo, por menor que seja, mas que, para o propsito de
encon-trar a proporo ltima entre as linhas CE, Ec e Cc (isto , as
propores das fluxes ouvelocidades) expressas pelos lados finitos do
tringulo VBC, os pontos C e c devem pre-cisamente coincidir, isto ,
ser um nico e mesmo ponto. Portanto, considera-se umponto como
sendo um tringulo ou supe-se que um tringulo seja formado em
umponto, o que parece ser totalmente impossvel conceber. Contudo, h
pessoas que,embora recusem todos os outros mistrios, no tm qualquer
dificuldade com os seusprprios; esses coam um mosquito e engolem um
camelo.14
35 No sei se vale a pena observar que possivelmente certos
homens podem esperaroperar por meio de smbolos e suposies, na
expectativa de evitar o uso de fluxes,momentos e infinitesimais.
Eles procedem da seguinte maneira. Suponha-se que xseja a abscissa
de uma curva e z, a outra abscissa da mesma curva. Suponha-se
tambmque as respectivas reas so xxx e zzz e que z - x o incremento
da abscissa e zzz - xxx, oincremento da rea, sem considerar quo
grande ou quo pequeno podem ser essesincrementos. Divida-se agora
zzz - xxx por z - x, e o quociente ser zz + zx + xx. E, su-pondo
que z e x so iguais, esse mesmo quociente ser 3xx, que nesse caso a
orde-nada, que, portanto, pode ser obtida independentemente de
fluxes e infinitesimais.Mas h aqui uma evidente falcia: pois, em
primeiro lugar, supe-se que as abscissas ze x sejam desiguais,
visto que sem tal suposio nenhum passo teria sido dado. Emsegundo
lugar, supe-se novamente que elas sejam iguais, o que uma
inconsistnciamanifesta, correspondendo ao mesmo tipo de coisa que
foi considerado anteriormen-te . E h de fato razo para pensar que
toda tentativa de estabelecer a geo-metria abstrusa e refinada
sobre fundamentos corretos e evitar a doutrina das velo-cidades,
momentos etc., mostrar-se- impraticvel at quando o objeto e a
finalidadeda geometria forem melhor compreendidos do que
aparentemente tm sido at agora.O eminente autor do mtodo das fluxes
sentiu essa dificuldade e, por conseguinte,consentiu essas abstraes
sutis e essa metafsica geomtrica, ambas indispensveis conforme ele
prprio percebeu a tudo que se possa fazer a partir dos princpios
acei-tos. Caber ao leitor julgar o que ele fez a partir desses
princpios em termos de de-monstrao. Deve-se, de fato, reconhecer
que ele empregou as fluxes de modo seme-lhante ao andaime de uma
construo, ou seja, como algo a ser posto de lado oueliminado to
logo se encontre as linhas finitas proporcionais a elas. Mas, por
outrolado, esses exponentes finitos so encontrados com a ajuda das
fluxes. Assim, qual-quer coisa obtida por meio de tais exponentes e
propores h de ser atribuda sfluxes, que devem, por isso, ser
previamente conhecidas. Mas o que so essas fluxes?
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As velocidades de incrementos evanescentes? E o que so esses
mesmos incrementosevanescentes? Eles no so quantidades nem finitas,
nem infinitamente pequenas,nem, ainda, nada. No os poderamos chamar
de fantasmas de quantidades defuntas?
36 Com muita frequncia, os homens enganam a si mesmos e aos
outros, agindo comose concebessem e compreendessem as coisas
expressas pelos signos, quando na ver-dade no tm ideia alguma alm
daquela dos prprios smbolos empregados. H ra-zes para pensar que
isso possa estar ocorrendo no presente caso. Supe-se que
asvelocidades de quantidades nascentes ou evanescentes so expressas
tanto por linhasfinitas de uma magnitude determinada quanto por
notas ou signos algbricos; mas sus-peito que muitos daqueles que
tomam o assunto como certo sem talvez jamais o haverexaminado, se o
submetessem a um cuidadoso escrutnio, descobririam ser imposs-vel
formular qualquer ideia ou noo dessas velocidades independentemente
daquelasquantidades finitas e daqueles signos.
Suponha-se que a linha KP seja descrita pelo movimento de um
ponto continuamenteacelerado e que sejam geradas, em partculas
iguais de tempo, as partes desiguais KL,LM, MN, NO etc. Suponha
tambm que a, b, c, d, e etc. denotem as velocidades do pontogerador
em cada perodo da gerao das partes ou dos incrementos. Observa-se
facil-mente que cada um desses incrementos proporcional soma das
velocidades com asquais descrito; e, consequentemente, que as vrias
somas das velocidades, geradasem partes iguais de tempo, podem ser
representadas respectivamente pelas linhas KL,LM, MN etc. geradas
nos mesmos tempos. Da mesma maneira, afirma-se com facilida-de que
a velocidade ltima gerada na primeira partcula de tempo pode ser
expressapelo smbolo a, a velocidade ltima gerada na segunda
partcula expressa por b, a mes-ma velocidade gerada na terceira
partcula expressa por c e assim por diante; que a a velocidade de
LM em statu nascenti, enquanto b, c, d, e etc. so as velocidades
dos in-crementos MN, NO, OP etc. em seus respectivos estados
nascentes. Podeis continuarconsiderando essas mesmas velocidades
como quantidades fluentes e crescentes, ouseja, tomando as
velocidades das velocidades, e as velocidades das velocidades
dasvelocidades, isto , a primeira, segunda, terceira etc.
velocidades ad infinitum. Essassries sucessivas de velocidades
podem ser expressas assim: a, (b - a), (c - 2b + a),(d - 3c + 3b -
a) etc., que podeis chamar pelo nome de fluxes primeira, segunda,
ter-ceira, quarta. Para uma expresso apropriada, podeis denotar a
linha fluente varivel
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KL, KM, KN etc. pela letra x, e a fluxo primeira por x , a
segunda por x , a terceira por xe assim sucessivamente ad
infinitum.
37 Nada mais fcil do que atribuir nomes, signos ou expresses a
essas fluxes;tampouco difcil computar e operar por meio desses
signos. Mas ser encontradamuita dificuldade em omitir os signos e,
ainda assim, reter em nossas mentes as coisasque supomos serem
significadas por eles. No h qualquer dificuldade em consideraros
exponentes, sejam geomtricos, algbricos ou fluxionrios, mas formar
uma ideiaprecisa de, por exemplo, uma terceira velocidade, em si e
por si mesma, hoc opus, hiclabor (isso o trabalho, isso o esforo).
Tampouco, de fato, fcil formar uma ideiaclara e distinta de uma
velocidade qualquer, que exclua e prescinda de todo e
qualquercomprimento de tempo e de espao, bem como de todos e
quaisquer sinais, signos ousmbolos. Isso, se me permitem julgar os
demais a partir de mim mesmo, imposs-vel. A mim, parece evidente
que medidas e signos so absolutamente necessrios paraconceber ou
raciocinar sobre as velocidades e que, consequentemente, quando
pensa-mos conceber as velocidades isoladamente e em si mesmas,
estamos nos iludindo comvs abstraes.
38 Pode-se pensar talvez que um mtodo mais fcil de conceber as
fluxes seja sup-las como sendo as velocidades com as quais as
diferenas infinitesimais so geradas.Desse modo, as primeiras fluxes
seriam as velocidades das primeiras diferenas; assegundas, as
velocidades das segundas diferenas; as terceiras fluxes, as
velocidadesdas terceiras diferenas, e assim ad infinitum. Mas, sem
mencionar a intransponveldificuldade de admitir ou conceber
infinitesimais, e infinitesimais de infinitesimaisetc., evidente
que essa noo de fluxes no concordaria com o modo de pensar
doeminente autor, que no permitia negligenciar nem mesmo a menor
das quantidadese que, portanto, recusava admitir na geometria a
doutrina das diferenas infinitesi-mais, tanto que parece ter
nitidamente introduzido o emprego de velocidades ou fluxescom o
propsito de excluir e proceder sem aquelas diferenas.
39 A outros, talvez possa parecer que formaramos uma ideia mais
justa de fluxesadmitindo os incrementos finitos, desiguais e
isocrnicos KL, LM, MN etc. e consi-derando-os em seu statu
nascenti, bem como os seus prprios incrementos e os in-crementos
nascentes desses incrementos, e assim por diante; supondo ainda que
osprimeiros incrementos nascentes sejam proporcionais s primeiras
fluxes ou velo-cidades, que os incrementos nascentes desses
incrementos sejam proporcionais ssegundas fluxes, que os terceiros
incrementos nascentes sejam proporcionais s ter-ceiras fluxes, e
assim por diante. Assim como as primeiras fluxes so as
velocidades
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dos primeiros incrementos nascentes, as segundas fluxes podem
ser concebidas comoas velocidades dos segundos incrementos
nascentes, ao invs de velocidades de velo-cidades. Desse modo, a
analogia das fluxes parece ser melhor preservada e essa nooparece
tornar-se mais inteligvel.
40 De fato, pode parecer que, no caminho para obter a segunda ou
a terceira fluxo deuma equao, as fluxes dadas eram consideradas
mais como incrementos do que comovelocidades. Mas o fato de
consider-las s vezes em um sentido e s vezes em outro,em um momento
em si mesmas e em outro em seus exponentes, parece ter
ocasionadouma parte no desprezvel dessa confuso e obscuridade
encontrada na doutrina dasfluxes. Pode parecer, portanto, que essa
noo possa ainda ser consertada e que, aoinvs de fluxes de fluxes ou
fluxes de fluxes de fluxes, e de segunda, terceira ouquarta etc.
fluxes de uma quantidade dada, possa ser mais consistente e menos
pro-penso a excees falar da fluxo do primeiro incremento nascente,
isto , da segundafluxo; da fluxo do segundo incremento nascente,
isto , da terceira fluxo; da fluxodo terceiro incremento nascente,
isto , da quarta fluxo. Cada uma dessas fluxes concebida como
respectivamente proporcional ao princpio nascente do
incrementoseguinte quele do qual ela a fluxo.
41 Para uma concepo mais distinta disso tudo, pode-se considerar
que, se o finitoincremento LM for dividido em partes iscronas Lm,
mn, no, oM, e o incremento MNdividido nas partes Mp, pq, qr, rN,
iscronas s anteriores, assim como os incrementostotais LM, MN so
proporcionais s somas das velocidades com que so descritos, domesmo
modo as partculas homlogas Lm, Mp so proporcionais s respectivas
veloci-dades aceleradas com que so descritas. Assim como a
velocidade da gerao de Mpexcede aquela de Lm, a partcula Mp tambm
excede a partcula Lm. Em geral, assimcomo as velocidades iscronas
descritas pelas partculas de MN excedem as velocida-des iscronas
descritas pelas partculas de LM, da mesma maneira as partculas da
pri-meira excedem as partculas correspondentes da segunda. E isso
persistir, por me-nores que sejam as ditas partculas. Portanto, se
ambas forem tomadas em seus estadosnascentes, MN exceder LM, e esse
excesso ser proporcional ao excesso da velocidadeb sobre a
velocidade a. Podemos ver, ento, que essa ltima explicao das
fluxes, nofinal das contas, no se distingue da primeira .
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42 Mas, apesar de tudo o que se disse at aqui, deve-se ainda
reconhecer que as par-tculas finitas Lm ou Mp, por menores que
sejam consideradas, no so proporcionaiss velocidades a e b, mas
cada uma proporcional a uma srie de velocidades que sealtera a cada
momento ou, o que a mesma coisa, a uma velocidade acelerada, com
aqual cada uma gerada durante uma certa partcula mnima de tempo.
Alm disso,deve-se reconhecer tambm que os princpios nascentes ou os
finais evanescentes dequantidades finitas produzidas em momentos ou
partes infinitamente pequenas detempo so proporcionais somente s
velocidades; que, ento, para conceber as pri-meiras fluxes, devemos
conceber o tempo dividido em momentos, os incrementosgerados
naqueles momentos e as velocidades proporcionais queles momentos;
que,para conceber as segundas ou terceiras fluxes, devemos supor
que os princpios ouincrementos momentneos admitem, eles prprios,
outros incrementos moment-neos, que so proporcionais s suas
respectivas velocidades com que so gerados; queas velocidades
desses segundos incrementos momentneos so segundas fluxes eaquelas
de seus incrementos momentneos nascentes, terceiras fluxes, e assim
pordiante ad infinitum.
43 Ao subtrair o incremento gerado no primeiro momento daquele
gerado no segun-do, obtemos o incremento de um incremento. Ao
subtrair a velocidade gerada no pri-meiro momento daquela gerada no
segundo, obtemos a fluxo de uma fluxo. De igualmaneira, ao subtrair
a diferena das velocidades geradas nos dois primeiros momen-tos do
excesso de velocidade no terceiro sobre aquela no segundo momento,
obtemos aterceira fluxo. Em seguida, com a mesma analogia, podemos
proceder para as fluxesquartas, quintas, sextas, etc. Se
denominamos como a, b, c e d as velocidades dos mo-mentos primeiro,
segundo, terceiro e quarto, as sries das fluxes sero como antesa,
(b - a), (c - 2b + a), (d - 3c + 3b - a), ad infinitum, isto , ,,,,
xxxx ad infinitum.
44 Assim, as fluxes podem ser consideradas sob diversas luzes e
formas, que pare-cem ser igualmente todas de difcil concepo.
Certamente, visto que impossvel con-ceber velocidade sem tempo ou
espao, independentemente de um comprimento finitoou durao finita ,
mesmo a compreenso das primeiras fluxes deve estaraparentemente
acima dos poderes humanos. Se as primeiras so incompreensveis, oque
diramos das segundas, terceiras etc. fluxes? Aquele que puder
conceber o co-meo de um comeo ou o fim de um fim, ligeiramente
anterior ao primeiro ou ligei-ramente posterior ao ltimo, poderia
ser talvez suficientemente perspicaz para con-ceber essas coisas.
Mas a maioria dos homens, creio eu, descobrir ser
impossvelcompreend-las em qualquer sentido que seja.
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45 Pensar-se-ia que os homens no podem falar de um modo
demasiadamente exatosobre um assunto to sutil. Todavia, conforme
foi anteriormente sugerido, podemosfrequentemente observar que os
exponentes das fluxes ou os sinais (notes) que re-presentam as
fluxes confundem-se com as prprias fluxes. No esse o caso quan-do,
logo aps se dizer que as fluxes das quantidades fluentes so as
celeridades deseus incrementos e que as segundas fluxes so as
mutaes das primeiras fluxes ouceleridades, nos dizem que z. z. z.
z. z. z. representamuma srie de quantidades, na qual cada
quantidade subsequente a fluxo da prece-dente e cada quantidade
antecedente a quantidade fluente que tem na quantidadesubsequente a
sua fluxo?
46 Diversas sries de quantidades e expresses, geomtricas e
algbricas podem serconcebidas por meio de linhas, superfcies e
espcies, que poderiam ser continuadasindefinida ou ilimitadamente.
Mas descobre-se no ser to fcil assim conceber umasrie de puras
velocidades ou de puros incrementos nascentes, que seja distinta
deles,mas que lhes seja correspondente. Alguns talvez possam ser
levados a pensar que oautor tinha em vista uma srie de ordenadas,
na qual cada ordenada era a fluxo da suaprecedente e a fluente da
sua subsequente, isto , que a fluxo de uma ordenada era elaprpria a
ordenada de uma outra curva e a fluxo dessa ltima ordenada era
ainda aordenada de alguma outra curva, e assim ad infinitum. Mas
quem seria capaz de conce-ber a maneira como a fluxo (quer como
velocidade quer como incremento nascente)de uma ordenada seria ela
mesma uma ordenada? Ou, mais ainda, [quem seria capazde conceber]
que cada quantidade ou fluente precedente est relacionado
quantida-de subsequente a ela ou a sua fluxo, do mesmo modo como a
rea de uma figuracurvilnea est relacionada sua ordenada, em
conformidade com o que observa o au-tor, a saber, que cada
quantidade precedente nessa srie como a rea de uma figuracurvilnea,
da qual a abscissa z e a ordenada, a quantidade seguinte?
47 Em suma, parece que as velocidades so dispensadas e, no lugar
delas, so in-troduzidas reas e ordenadas. Mas, seja qual for o
expediente pelo qual tais analogiasou expresses possam ser
descobertas para facilitar as modernas quadraturas, aindaassim no
descobriremos que elas proporcionam qualquer luz acerca da
verdadeiranatureza original das fluxes ou que nos permita formar, a
partir disso, ideias precisasdas fluxes consideradas em si mesmas.
Em tudo isso, a inteno geral e definitiva doautor muito clara, mas
seus princpios permanecem obscuros. Talvez essas teorias doeminente
autor no sejam, todavia, to minuciosamente consideradas ou
examinadaspelos seus discpulos, que parecem vidos, conforme foi
sugerido anteriormente, aoperar ao invs de conhecer, a aplicar suas
regras e suas formas ao invs de compreen-
.
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der seus princpios e aprofundar-se em suas noes. Apesar de tudo,
a fim de segui-loem suas quadraturas, eles devem certamente
encontrar fluentes a partir de fluxes e,para isso, devem saber como
encontrar fluxes a partir de seus fluentes e, para encon-trar
fluxes, eles devem primeiramente saber o que so as fluxes. De outra
maneira,eles procederiam sem clareza e sem cincia. Portanto, o
mtodo direto precede o m-todo inverso, e o conhecimento dos
princpios suposto em ambos. Mas operar deacordo com as regras e com
o auxlio das frmulas gerais, cujos princpios e razesoriginais no se
compreendem, fazer algo que deve ser considerado como
puramentetcnico. Portanto, mesmo que os princpios sejam ainda muito
obscuros e metafsicos,eles devem ser estudados por quem deseja
compreender a doutrina das fluxes.Nenhum gemetra pode aplicar as
regras do eminente autor sem primeiro consideraras noes metafsicas
das quais elas foram derivadas. Essas, muito embora sejam deextrema
necessidade para a cincia e nunca possam ser alcanadas sem uma
concep-o precisa, clara e exata ( precise, clear, and accurate) dos
princpios so, entretanto,descuidadamente negligenciada por muitos;
ao passo que somente as expresses soenfatizadas, consideradas e
tratadas com grande habilidade e destreza para da obteroutras
expresses por mtodos que, considerados em si mesmos, so (para dizer
omnimo) suspeitos e indiretos, ainda que sejam apoiados pela induo
e pela autori-dade , dois fatores suficientemente reconhecidos como
produtores de uma f racio-nal e de uma persuaso moral, mas
incapazes de produzir algo mais elevado que isso.
48 Possivelmente esperais evitar a fora de tudo o que foi dito e
encobrir princpiosfalsos e raciocnios inconsistentes sob o pretexto
geral de que essas objees e obser-vaes so metafsicas. Mas isso um
pretexto ftil. Para sustentar o sentido e a verda-de evidentes do
que foi sugerido nas observaes precedentes, apelo ao entendimentode
todo leitor inteligente e sem preconceitos. Apelo igualmente para
que decida se ospontos observados no constituem uma metafsica ainda
mais incompreensvel. E noa minha metafsica, mas a vossa prpria. Que
no se compreenda que concluo seremfalsas ou fteis as vossas noes
porque elas so metafsicas. Nada verdadeiro ou fal-so por essa razo.
No ajuda muito decidir se um assunto metafsico ou no. A ques-to
saber se ele claro ou obscuro, correto ou errado, bem ou mal
deduzido.
49 Ainda que incrementos momentneos, quantidades nascentes e
evanescentes,fluxes e infinitesimais de todos os graus sejam na
verdade tais como entidades muitosombrias, to difceis de imaginar
ou conceber distintamente que (para dizer o m-nimo) no se pode
admiti-los como princpios ou objetos de uma cincia clara e
pre-cisa, e ainda que apenas essa obscuridade e essa
incompreensibilidade de vossa meta-fsica tenham sido suficientes
para diminuir vossas pretenses de evidncia, mostrei
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tambm at aqui, se eu no estiver errado, que vossas inferncias no
so mais leg-timas do que a clareza de vossas concepes e que vossa
lgica to objetvel quanto o vossa metafsica. Portanto, deveria
parecer que, acima de tudo, vossas conclusesno so obtidas por um
raciocnio correto conduzido a partir de princpios claros eque,
consequentemente, o trabalho do analista moderno, apesar de sua
extrema utili-dade nos clculos e construes matemticas, no habitua
nem qualifica a mente paraapreender com clareza nem para inferir
corretamente e que, por conseguinte, notenhais qualquer direito, em
virtude de tais hbitos, de impor-vos fora de vossa pr-pria esfera,
esfera alm da qual vosso julgamento no h de se passar por superior
aodos demais homens.
50 H muito tempo suspeito que essas anlises modernas no so
cientficas e, sobreisso, fiz publicar algumas sugestes h cerca de
vinte cinco anos.15 Desde ento, dis-persei-me com outras ocupaes e
imaginava poder dedicar-me a algo melhor do quea deduzir e reunir
meus pensamentos sobre um assunto to sutil embora ultima-mente me
tenham solicitado a desenvolver melhor as minhas sugestes.
Entretanto,se a pessoa que assim me solicitou parecesse pensar de
modo suficientemente maduropara compreender a metafsica que ele
deseja refutar ou a matemtica que ele desejadefender, eu teria me
poupado das perturbaes de escrever com o propsito de obtero seu
convencimento. Do mesmo modo, agora eu no teria perturbado nem a vs
nema mim mesmo com esse discurso, aps uma interrupo to longa desses
estudos, seno fosse para impedir, at onde posso, que arrogsseis ter
autoridade sobre vs mes-mos e sobre quaisquer outros em assuntos de
extrema importncia e interesse. Com afinalidade de vos permitir
compreender mais claramente a fora e o propsito das ob-servaes
anteriores e estend-las ainda mais com vossas meditaes,
acrescentareias seguintes questes:
Questo 1. As propores entre extenses assinalveis no
constituiriam o objeto dageometria? Haveria alguma necessidade de
considerar quantidades como infinitamentegrandes ou como
infinitamente pequenas?
Questo 2. A finalidade da geometria no seria medir a extenso
finita e assinvel?No seria esse objetivo prtico aquilo que primeiro
conduziu o homem ao estudo dageometria?
Questo 3. Equvocos cometidos com relao ao objeto e finalidade da
geometria noteriam gerado dificuldades desnecessrias e buscas mal
orientadas nessa cincia?
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Questo 4. Os homens poderiam dizer propriamente que agem segundo
um mtodocientfico sem que concebam claramente o objeto de que se
ocupam, a finalidade a quese propem e o mtodo mediante o qual
realizam a sua investigao?
Questo 5. No seria suficiente [admitir] que qualquer nmero
assinalvel de partespossa estar contido em qualquer grandeza
assinalvel? No seria desnecessrio, assimcomo absurdo, supor que a
extenso finita seja infinitamente divisvel?
Questo 6. Em uma demonstrao geomtrica, os diagramas no deveriam
ser consi-derados signos de todas as possveis figuras finitas, de
todas as extenses ou magnitu-des do mesmo tipo sensveis e
imaginveis?
Questo 7. Seria possvel livrar a geometria de dificuldades e
absurdos insuperveissupondo que seu objeto verdadeiro seja a ideia
abstrata geral de extenso ou a extensoexterna absoluta?
Questo 8. As noes de tempo absoluto, espao absoluto e movimento
absoluto nopertenceriam metafsica mais abstrata? Para ns, seria
possvel medi-los, calcul-los ou conhec-los?
Questo 9. Os matemticos no se engajam em disputas e paradoxos
acerca do que elesno concebem nem podem conceber? A doutrina das
foras no seria uma prova sufi-ciente disso? 16
Questo 10. Na geometria, no seria suficiente considerar a
magnitude finita assina-lvel, sem nos envolvermos com o infinito?
No seria mais correto, em lugar de cur-vas, medir grandes polgonos
de lados finitos, evitando assim supor que essas curvassejam
polgonos de lados infinitesimais, suposio essa que no nem
verdadeiranem concebvel?
Questo 11. Muitos pontos que no so prontamente aceitos no
seriam, todavia, ver-dadeiros? Os pontos abordados nas duas questes
seguintes, no poderiam eles serexemplos disso?
Questo 12. Seria possvel que houvssemos obtido uma ideia ou noo
de extensoanterior do movimento? Ou, se um homem jamais houvesse
percebido o movimento,ele jamais teria sabido ou concebido que uma
coisa est distante da outra?
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Questo 13. A quantidade geomtrica possuiria partes coexistentes?
Toda quantidadeno estaria em um fluxo, assim como esto o tempo e o
movimento?
Questo 14. Poder-se-ia supor que a extenso seja um atributo de
um Ser imutvele eterno?
Questo 15. O fato de recusarem o exame dos princpios e a distino
dos mtodosempregados na matemtica, no revelaria o fanatismo dos
matemticos?
Questo 16. No se disseminam entre os analistas certas mximas que
afrontam o bomsenso? No seria uma dessas mximas a suposio comum de
que uma quantidade finita,sendo dividida por zero, torna-se
infinita?
Questo 17. Os diagramas geomtricos considerados de maneira
absoluta ou em simesmos, ao invs de como representantes de todas as
magnitudes ou figuras finitas domesmo tipo, no seriam a causa
principal para supor que a extenso finita seja infini-tamente
divisvel e de todas as dificuldades e absurdos da decorrentes?
Questo 18. Do fato de as proposies geomtricas serem gerais e,
por conseguinte, aslinhas empregadas nos diagramas converterem-se
em substitutas ou representantesgerais, no deveria se seguir que no
podemos limitar ou tomar em considerao(consider) o nmero de partes
em que essas linhas particulares sejam divisveis?
Questo 19. Quando se diz ou se infere que certa linha traada no
papel contm maisdo que qualquer nmero assinalvel de partes, na
verdade, nada mais se pretende dar aentender seno que ela seria um
signo que representa indiferentemente todas as li-nhas finitas, por
maiores que sejam. Por meio de qual capacidade relativa aquela
linhaconteria, isto , representaria mais do que qualquer nmero
assinalvel de partes? Noseria totalmente absurdo supor que uma
linha finita, considerada (consider) em si mes-ma ou em sua prpria
natureza positiva, devesse conter um nmero infinito de partes?
Questo 20. Todos os argumentos em favor da infinita
divisibilidade da extenso finitano pressuporiam e implicariam que o
objeto da geometria seja ou ideias gerais abs-tratas ou a extenso
absoluta externa? E, portanto, aqueles argumentos tambm nocessariam
e esvaneceriam juntamente com essas pressuposies?
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Questo 21. A suposta divisibilidade infinita da extenso finita
no tem sido uma cila-da e um constante tormento para os matemticos?
Uma quantidade diminuda infini-tamente e uma quantidade
infinitamente pequena no seriam a mesma coisa?
Questo 22. Seria mesmo necessrio considerar as velocidades de
quantidades nas-centes ou evanescentes, de momentos ou de
infinitesimais? No seria um motivo derepreenso aos matemticos a
introduo de coisas to inconcebveis?
Questo 23. As inconsistncias poderiam ser verdadeiras?
Dever-se-ia admitir afir-maes inconsistentes e absurdas acerca de
qualquer tema ou em qualquer cincia?A permisso para o emprego de
infinitos no deveria ser encarada como pretexto edesculpa
suficientes para admitir esse tipo de afirmaes na geometria?
Questo 24. No seria correto dizer que no se conhece propriamente
uma determi-nada quantidade quando conhecemos [apenas] a proporo
entre ela e outras quanti-dades dadas? Essa proporo poderia ser
conhecida apenas por meio de expresses ouexponentes, sejam
geomtricos, algbricos ou aritmticos? As expresses em termosde
linhas ou espcies no seriam teis somente na medida em que fossem
redutveisa nmeros?
Questo 25. A disposio e a inclinao mais geral da matemtica no
seria encontrarexpresses ou notaes apropriadas para as quantidades?
A operao aritmtica noseria o que limita e define o seu uso?
Questo 26. A analogia e o emprego de signos tm sido
suficientemente consideradospelos matemticos? At que ponto a
restrita natureza especfica das coisas correspon-deria aos
signos?
Questo 27. Quando enunciamos um caso geral na lgebra pura, em
virtude de termostotal liberdade para fazer um smbolo denotar uma
quantidade positiva ou negativa ou,mesmo, absolutamente nada,
poderamos ento reivindicar o mesmo direito diantede um caso
geomtrico, no qual somos limitados por hipteses sobre e por
raciocniosa partir de propriedades e relaes particulares
concernentes s figuras?
Questo 28. A mudana de hiptese ou, conforme poderamos dizer, a
fallacia suppo-sitionis no seria um sofisma que contagia profunda e
amplamente todos os raciocniosmodernos, tanto na filosofia mecnica
quanto na geometria abstrusa e sutil?
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Questo 29. Poderamos formar uma ideia ou noo de velocidade que
fosse distinta eindependente de sua medida, a exemplo do que
faramos no caso do calor, se pudsse-mos formar uma ideia dele que
fosse distinta e independente dos graus verificados notermmetro com
o qual ele medido? No seria isso o que se supe nos raciocnios
dosanalistas modernos?
Questo 30. O movimento poderia ser concebido em um ponto do
espao? Se no sepode fazer isso para o movimento, poder-se-ia faz-lo
para a velocidade? E se tampouco possvel faz-lo nesse ltimo caso,
poder-se-ia conceber a velocidade primeira oultima em um mero
limite, inicial ou final, do espao descrito?
Questo 31. Se no h incrementos, poderia haver alguma ratio entre
incrementos?Poder-se-iam considerar os nadas como proporcionais s
quantidades reais? Ou, en-to, falar de suas propores no seria dizer
contrassensos? Da mesma forma, em qualsentido deveramos compreender
a proporo entre uma superfcie e uma linha, entreuma rea e uma
ordenada? Seria possvel pretender expressar propores mtuas en-tre
espcies e nmeros, ainda que cada uma delas expressem propriamente
quantida-des no homogneas?
Questo 32. Se todos os crculos assinalveis pudessem ser
quadrados, ento, para to-dos os efeitos, no se quadraria o crculo
tanto quanto a parbola? Ou poderia uma reaparablica ser
efetivamente medida de modo mais preciso que um crculo?
Questo 33. No seria mais correto fazer uma aproximao razovel do
que se empe-nhar para alcanar a preciso por meio de sofismas?
Questo 34. No seria mais decente proceder por tentativas
(trials) e indues do quepretender demonstrar por meio de princpios
falsos?
Questo 35. Haveria algum meio de chegar verdade, ainda que os
princpios no fos-sem cientficos nem os raciocnios, exatos? Se
houvesse algum meio para tal, ele deve-ria ser chamado de truque ou
de cincia?
Questo 36. Poderia haver alguma cincia com relao concluso quando
no hou-vesse qualquer evidncia a respeito dos princpios? Um homem
poderia ter qualquerevidncia a respeito dos princpios sem ser capaz
de compreend-los? E, sendo assim,os matemticos de hoje agiriam como
homens de cincia quando dedicam mais esfor-o a aplicarem seus
princpios do que a compreend-los?
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incio desse processo? Ou poderia qualquer suposio particular
pertencer a um casogeral que no fosse consistente com o raciocnio
que dela se segue?
Questo 44. A diferena entre um mero calculador e um homem de
cincia no seriaseno que, enquanto um calcula com base em princpios
claramente concebidos e pormeio de regras bem demonstradas, o outro
no o faz?
Questo 45. Embora a geometria seja uma cincia, a lgebra seja
admitida como tal e omtodo analtico seja o mais excelente mtodo, na
aplicao da anlise geometria, oshomens no poderiam ter, entretanto,
admitido falsos princpios e mtodos equivo-cados de raciocnios?
Questo 46. Embora, quando os raciocnios algbricos se limitam aos
signos ou sespcies que representam quantidades em geral, se admita
que eles so extremamenteexatos, no podereis, apesar de tudo, cair
em erro se, quando eles forem por vs limi-tados a representar
coisas particulares, no limitsseis a vs mesmos a raciocinar
emconformidade com a natureza de tais coisas particulares? Esse
erro deveria ser impu-tado lgebra pura?
Questo 47. A viso dos matemticos modernos no pareceria mais apta
a alcanar aexpresso obtida por um artifcio do que a cincia obtida
por demonstrao?
Questo 48. No poderia haver uma metafsica slida assim como
haveria umametafsica incerta? Uma lgica slida assim como uma lgica
incerta? A anlise mo-derna no poderia ser subsumida a uma dessas
duas denominaes, e a qual delas?
Questo 49. No haveria uma philosophia prima, uma determinada
cincia transcen-dental, que fosse superior matemtica e mais
abrangente que ela e que exigisse dosnossos analistas modernos mais
uma atitude de aprendizagem do que uma atitude dedesprezo em relao
a ela?
Questo 50. Desde a redescoberta do conhecimento matemtico, no
ocorreram dis-putas e controvrsias infindveis entre os matemticos?
Isso no depreciaria a com-provao de seus mtodos?
Questo 51. Qualquer outra coisa alm da metafsica e da lgica
poderia abrir os olhosdos matemticos e livr-los de suas
dificuldades?
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Questo 52. De acordo com os princpios aceitos, poderia uma
quantidade ser reduzi-da a nada por meio de qualquer diviso ou
subdiviso, por mais longe que se conduzaessa operao?
Questo 53. Se a finalidade da geometria for a prtica, se essa
prtica for medir e semedirmos somente extenses assinalveis, no se
seguiria que aproximaes ilimita-das respondem inteiramente s
intenes da geometria?
Questo 54. No se poderia fazer por meio de quantidades finitas
as mesmas coisasque so feitas atualmente por meio de quantidades
infinitas? E isso no seria um gran-de alvio para a imaginao e o
entendimento dos matemticos?
Questo 55. Se os mdicos, os anatomistas, os comerciantes de
animais, todos osfilomatemticos (philomathematical), enfim, homens
que admitem a doutrina dasfluxes em decorrncia de uma f implcita,
poderiam de bom grado insultar outroshomens porque acreditam
naquilo que no compreendem?
Questo 56. A filosofia corpuscular, experimental e matemtica, to
cultivada ultima-mente, no tem ocupado demasiadamente a ateno dos
homens, da qual uma partepoderia ser empregada de maneira mais
til?
Questo 57. No por essa e por outras causas concorrentes que as
mentes dos ho-mens especulativos teriam declinado, provocando a
degradao e o entorpecimentodas suas mais elevadas faculdades? No
poderamos assim explicar a mesquinhez e aintolerncia predominantes
entre muitos homens que se passam por homens de cin-cia, a sua
incapacidade para coisas morais, intelectuais ou teolgicas, a sua
propensoa medir todas as verdades pelos sentidos e pela experincia
da vida animal?
Questo 58. Seria realmente um efeito do [livre] pensamento que
os mesmos homensadmirem o eminente autor por suas fluxes e o
ridicularizem por sua religio?
Questo 59. Se certos virtuosos filosficos da atual poca no tm
religio, pode-sedizer que por causa da falta de f?
Questo 60. Defender questes de f a partir de seus efeitos no
seria um modo maiscorreto de raciocinar do que demonstrar princpios
matemticos por suas concluses?
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Questo 61. No seria menos reprovvel admitir questes de f acima
da razo do queaquelas contrrias razo?
Questo 62. No se poderia ter mais direito de admitir mistrios na
f divina do que nacincia humana?
Questo 63. Aqueles matemticos que bradam contra os mistrios
teriam alguma vezexaminado os seus prprios princpios?
Questo 64. Os matemticos, que so to sensveis quando se trata de
questes religi-osas, seriam estritamente escrupulosos em sua prpria
cincia? Eles no se submete-riam autoridade, no admitiriam algo
movidos pela confiana e no acreditariam emquestes inconcebveis?
Eles no possuiriam seus mistrios e, ainda mais, suas inco-erncias e
contradies?
Questo 65. Julgar de modo cauteloso, sincero e modesto sobre
outros assuntos noviria a ser uma atitude digna de homens que se
mostram embaraados e perplexos acercade seus prprios princpios?
Questo 66. A analtica moderna no forneceria um forte argumentum
ad hominem con-tra os atuais infiis que cultivam a matemtica?
Questo 67. A partir das observaes acima mencionadas, se seguiria
q