TFE. Conception et étude d’un pont rail en béton précontraint. La Bourdonnette (tome 2)

12345678910111213141516171819202122232425262728293031323334353637383940414243444546474849505152535455 5657585960616263646566676869707172737475767778798081828384858687888990919293949596123456789101112131415161718192021222324252627 28293031323334353637383940414243441234567891011121314151617181234567

RR EE PP UU BB LL II QQ UU EE AA LL GG EE RR II EE NN NN EE DD EE MM OO CC RR AA TT II QQ UU EE EE TT PP OO PP UU LL AA II RR EE MINISTERE DE L’ENSEIGNEMENT SUPERIEUR

ECOLE NATIONALE DES TRAVAUX PUBLICS

THESE DE FIN D’ETUDES

Conception et étude d’un pont rail en béton précontraint « La Bourdonnette »

(TOME II/II)

Encadreur : Traité par : Dr Mohamed AMIEUR Arezki TOUAT

Karim KERTOUS

Durée : 15 Semaines Promotion 2000

Thèse de fin d’études - ENTP Promotion 2000

Conception et étude d’un pont rail en béton précontraint La Bourdonnette 129



SOMMAIRE

TABLES DES ILLUSTRATIONS .......................................................................................... 131

TROISIEME PARTIE : ETUDE DE LA VARIANTE RETENUE ........................................... 135

III.0.RAPPEL DES CARACTERISTIQUES DE LA VARIANTE RETENUE ........................ 136

III.1. SUPERSTRUCTURE..................................................................................................... 137

III.1.1. SECTION RETENUE .................................................................................................... 137 III.1.2. DETERMINATION DES SOLLICITATIONS ........................................................................ 138 III.1.3. DISPOSITION DES CHARGES ....................................................................................... 146 III.1.4. DETERMINATION DES EFFORTS STATIQUES ................................................................ 147 III.1.5. DIMENSIONNEMENT DES ARMATURES LONGITUDINALES.............................................. 165 III.1.6. DIMENSIONNEMENT DES ARMATURES TRANSVERSALES .............................................. 225 III.1.7 DIMENSIONNEMENT DES ETRIERS LONGITUDINAUX ...................................................... 230

III.2. APTITUDE AU SERVICE .............................................................................................. 236

III.2.1. PRINCIPES ................................................................................................................. 236 III.2.2. DEFORMATIONS ......................................................................................................... 236 III.2.3. TEMPERATURE .......................................................................................................... 237 III.2.4. SEISME...................................................................................................................... 240 III.2.5. ETAT DE CONTRAINTES .............................................................................................. 252 III.2.6. DALLE DE COMPRESSION........................................................................................... 258 III.2.7. BIELLES DE COMPRESSION ........................................................................................ 259 III.2.8. TORSION ................................................................................................................... 260 III.2.9. POINÇONNEMENT ...................................................................................................... 262

III.3 INFRASTRUCTURES..................................................................................................... 263

III.3.1. CALCUL DES DEFORMATIONS ..................................................................................... 263 III.3.2. JOINT DE CHAUSSEE .................................................................................................. 266 III.3.3. APPAREILS D’APPUI ................................................................................................... 269 III.3.4. DES D’APPUIS ............................................................................................................ 276 III.3.5 PILES ......................................................................................................................... 277 III.3.6 FONDATIONS .............................................................................................................. 281 III.3.8 ETUDE DE LA CULEE ................................................................................................... 286

III.4. ETAPES DE CONSTRUCTION..................................................................................... 299

III.5. COORDONNEES DE CHAQUE VOUSSOIR ............................................................... 303

CONCLUSION ....................................................................................................................... 306

BIBLIOGRAPHIE................................................................................................................... 307

REFERENCES PHOTOGRAPHIQUES ................................................................................ 309

PLANS.................................................................................................................................... 310

ANNEXES .............................................................................................................................. 311



TABLES DES ILLUSTRATIONS

LISTE DES TABLEAUX

Tableau 45 : Combinaison des facteurs de charge d’après la norme SIA 160.................................138 Tableau 46 : Combinaisons de charges retenues. ........................................................................139 Tableau 47: Calcul du poids propre des éléments non porteurs. ....................................................141 Tableau 48 : Valeurs des coefficients de majoration selon l’inclinaison du vent...............................144 Tableau 49 : Disposition des surcharges de trafic.........................................................................151 Tableau 50 : Conditions aux limites adoptées pour le calcul automatique.......................................157 Tableau 51 : Résultats des calculs effectués avec le logiciel SAP90 ..............................................161 Tableau 52 : Détermination des efforts dans le fléau de 17,1m......................................................164 Tableau 53 : Détermination des efforts dans le fléau de 14,5m......................................................165 Tableau 54 : Comparaison des efforts avec ou sans surcharges. ..................................................168 Tableau 55 : Comparaison des efforts sous poids propre avec ceux retenus. .................................169 Tableau 56 : Dimensionnement des armatures longitudinales. ......................................................170 Tableau 57 : Nouveaux résultats du calcul des sollicitations..........................................................173 Tableau 58 : Nouvelles valeurs retenues .....................................................................................177 Tableau 59 : Dimensionnement des armatures longitudinales avec les nouvelles valeurs. ..............178 Tableau 60 : Répartition des moments fléchissant. .......................................................................179 Tableau 61 : Dimensionnement des armatures longitudinales. ......................................................179 Tableau 62 : Quantités d’armature passives retenues. ..................................................................180 Tableau 63 : Dimensionnement des câbles de fléaux. ..................................................................183 Tableau 64 : Classification des câbles. ........................................................................................192 Tableau 65 : Caractéristiques géométriques des câbles de précontrainte.......................................193 Tableau 66 : Calcul des contraintes exercées lors de la mise en tension........................................195 Tableau 67 : Pertes de tension au niveau de l’ancrage dues à l’entrée des clavettes. .....................198 Tableau 68 :Perte de tension aux extrémités................................................................................200 Tableau 69 : Calcul de l’allongement des câbles ..........................................................................202 Tableau 70 : Calculs des contraintes de compression dans le béton. .............................................204 Tableau 71 : Calcul des pertes par déformation instantanée du béton............................................205 Tableau 72 : Récapitulatif des pertes instantanées. ......................................................................205 Tableau 73 : Pertes dues au fluage du béton. ..............................................................................208 Tableau 74 : Calcul des pertes par relaxation des aciers de précontrainte. .....................................209 Tableau 75 : Récapitulatif des pertes différées totales. .................................................................210 Tableau 76 : Récapitulatif des pertes instantanées et différées......................................................211 Tableau 77 : Dimensionnement des câbles de précontrainte en tenant compte des pertes. .............212 Tableau 78 : Encombrement des ancrages retenus. .....................................................................221 Tableau 79 : Inventaire des ancrages utilisés. ..............................................................................224 Tableau 80 : Dimensionnement des armatures transversales. .......................................................230 Tableau 81 : Efforts tranchant retenus pour le dimensionnement des étriers. .................................231 Tableau 82 : Dimensionnement des étriers dans les âmes sur appui. ............................................232 Tableau 83 : Dimensionnement des étriers dans la dalle sur appui. ...............................................233 Tableau 84 : Nombre d’étriers retenues. ......................................................................................233 Tableau 85 : Flèches du tablier en travée sous charges permanentes. ..........................................236 Tableau 86 : Comparaison entre les efforts sous l’effet thermique et ceux retenus. .........................239 Tableau 87 : Fréquences propres de l’ouvrage pour une accélération du sol selon X. .....................242 Tableau 88 : Masse participante pour chaque mode du séisme de direction X................................242 Tableau 89 : Fréquences propres de l’ouvrage pour une accélération du sol selon Y. .....................248 Tableau 90 : Masse participante pour chaque mode du séisme de direction Y................................248 Tableau 91 : Calcul des contraintes de compression dans le tablier...............................................258 Tableau 92 Calcul de la contrainte à la compression admissible dans les diagonales de béton. ......259 Tableau 93 : Calcul de la contrainte de compression dans les diagonales de béton. .......................260 Tableau 94 : Vérification de la résistance ultime au poinçonnement. ..............................................262



LISTE DES PLANCHES Planche 8 : Répartition longitudinales des surcharges de trafic selon les cas les plus défavorables. 149

LISTE DES FIGURES Figure 97 : Schématisation de la variante retenue. .......................................................................136 Figure 98 : Schématisation des disposition constructives adoptées. ..............................................136 Figure 99: Section de tablier retenue. ..........................................................................................137 Figure 100 : Caractéristiques de la section retenue. .....................................................................138 Figure 101 : Modèle de charge de trafic à retenir..........................................................................141 Figure 102 : Schématisation de la direction d’application de la force du vent. .................................143 Figure 103 : Modélisation de la structure avec le logiciel SAP90....................................................147 Figure 104 : Modélisation du porte à faux. ....................................................................................152 Figure 105 : Déformée de la structure. .........................................................................................153 Figure 106 : Diagramme des moments fléchissant longitudinaux. ..................................................154 Figure 107 : Diagramme des moments fléchissant transversaux ...................................................154 Figure 108 : Diagramme des efforts tranchants verticaux. .............................................................155 Figure 109 : Diagramme des efforts tranchants horizantaux. .........................................................155 Figure 110 : Diagramme des efforts normaux. ..............................................................................156 Figure 111 : Diagramme des efforts de torsion. ............................................................................156 Figure 112 : Conditions aux limites introduites dans SAP90. .........................................................157 Figure 113 : Localisation des ......................................................................................................159 Figure 114 : Allure du diagramme des moments pour la première combinaison de charge (disposition 5).

.......................................................................................................................................... 162 Figure 115 : Diagramme des efforts tranchants pour la première combinaison de charge (disposition

5)........................................................................................................................................ 162 Figure 116 : Rappel de la modélisation adoptée. ..........................................................................163 Figure 117 : Diagramme des moments dans les fléaux de 17,1 m. ................................................163 Figure 118 : Diagramme des moments dans les fléaux de 14,5 m. ................................................164 Figure 119 : Schématisation du bras de levier d’une armature quelconque ....................................167 Figure 120 : Nouvelle modélisation avec SAP90 de l’ouvrage. ......................................................171 Figure 121 : Déformée de la structure sous la deuxième combinaison de charge (disposition 5)......174 Figure 122 : Diagramme des moments sous la deuxième combinaison de charge (disposition 5). ...174 Figure 123 : Diagramme des efforts tranchant sous la deuxième combinaison de charge (5ème

disposition)..........................................................................................................................175 Figure 124 : Modélisation de la structure avec WinOss. ................................................................175 Figure 125 : Diagramme des moments obtenus avec WinOss. ......................................................176 Figure 126 : Allure des contraintes en travée centrale. ..................................................................176 Figure 127 : Allure des contraintes en travée de rive. ....................................................................177 Figure 128 : Ferraillage devant reprendre les moments négatifs sur la pile 6. .................................180 Figure 129 : Ferraillage devant reprendre les moments négatifs sur les piles 1 à 5. ........................181 Figure 130 : Ferraillage devant reprendre les moments positifs en première travée. .......................181 Figure 131 : Ferraillage devant reprendre les moments positifs au niveau des travées 2 à 6. ..........182 Figure 132 : Ferraillage devant reprendre les moments positifs dans la dernière travée. .................182 Figure 133 : Allure des câbles fléau dans le tablier. ......................................................................183 Figure 134 : Tracé des câbles de précontrainte pour la travée d’accès Est. ....................................184 Figure 135 : Vue de l’emplacement des câbles au niveau du tablier sur pile. ..................................184 Figure 136 : Courbure des câbles de la partie Est. .......................................................................186 Figure 137 : Tracé des câbles de précontrainte pour la travée d’accès Ouest.................................187 Figure 138 : Vue des câbles en travée.........................................................................................188 Figure 139: Tracé de câbles de fléaux. ........................................................................................189 Figure 140 : Vue en plan du fléau en courbe. ...............................................................................189 Figure 141 : Vue en long du tracé des câbles de fléau. .................................................................190 Figure 142 : Schématisation des groupes de câbles. ....................................................................192 Figure 143 : Tension du câble avant et après relâchement de la pression dans le vérin. .................197 Figure 144 : Perte de tension par rentrée d’ancrage dans le cas où d>l .........................................199 Figure 145 : Variation de la contrainte dans les câbles..................................................................201



Figure 146 : Ancrage mobile Freyssinet de type C........................................................................213 Figure 147 : Ancrage fixe Freyssinet de type S.............................................................................214 Figure 148 : Vue en long du tracé des câbles de précontrainte dans la travée de rive Est. ..............214 Figure 149 : Schématisation des armatures sur le premier appui. ..................................................215 Figure 150 : Schématisation des armatures au milieu de la première travée. ..................................215 Figure 151 : Vue en long du tracé des câbles de précontrainte dans la travée de rive Ouest. ..........216 Figure 152 : Schématisation des armatures à limite de la partie coulée sur cintre. ..........................217 Figure 153 : Vue en plan des câbles de continuité. .......................................................................217 Figure 154 : Schématisation du ferraillage en mi-travée. ...............................................................218 Figure 155 : Schématisation des jonctions avec les parties coulées sur cintre. ...............................219 Figure 156 : Schématisation des câbles de fléau courants. ...........................................................220 Figure 157 : Emplacement des câbles de précontrainte au niveau des piles 2 à 5. .........................221 Figure 158 : Schématisation des câbles de fléau pour la dernière pile............................................223 Figure 159 : Emplacement des câbles de précontrainte au niveau de la sixième pile. .....................224 Figure 160 : modélisation du tablier sur appui ..............................................................................225 Figure 161 : Diagramme des moments fléchissant dans le tablier sur appui. ..................................226 Figure 162 : Déformée du tablier sur appui. .................................................................................227 Figure 163 : Diagramme des moments fléchissant dans le tablier sur le premier appui....................227 Figure 164 : Diagramme des moments fléchissant dans le tablier en travée. ..................................228 Figure 165 : Déformée de la dalle en travée. ................................................................................229 Figure 166 : Diagramme des moments fléchissant dans le tablier près de la culée Est. ...................229 Figure 167 : Répartition des étriers entre la dalle et les âmes. .......................................................232 Figure 168 : Disposition des étriers au niveau de la culée Est. ......................................................234 Figure 169 : Disposition des étriers au niveau de la première pile..................................................234 Figure 170 : Disposition des étriers au niveau de la première pile..................................................235 Figure 171 : Disposition des étriers au niveau de la culée Est. ......................................................235 Figure 172 : Déformée de la structure sous l’effet des charges permanentes. ................................237 Figure 173 : Diagrammes des moments fléchissant longitudinaux dus au gradient thermique. .........238 Figure 174 : Diagrammes des efforts tranchant dus au gradient thermique.....................................239 Figure 175 : Déformée de la structure pour un séisme dans la direction X......................................243 Figure 176 : Déformée de la structure pour un séisme dans la direction -X.....................................243 Figure 177 : Schématisation de la vibration de la structure selon le mode 1 pour séisme selon X. ...244 Figure 178 : Schématisation de la vibration de la structure selon le mode 2 pour séisme selon X. ...244 Figure 179 : Schématisation de la vibration de la structure selon le mode 3 pour séisme selon X. ...245 Figure 180 : Schématisation de la vibration de la structure selon le mode 4 pour séisme selon X ....245 Figure 181 : Schématisation de la vibration de la structure selon le mode 5 pour séisme selon X. ...246 Figure 182 : Schématisation de la vibration de la structure selon le mode 6 pour séisme selon X. ...246 Figure 183 : Schématisation de la vibration de la structure selon le mode 7 pour séisme selon X. ...247 Figure 184 : Schématisation de la vibration de la structure selon le mode 8 pour séisme selon X. ...247 Figure 185 : Déformée de la structure pour un séisme dans la direction Y......................................249 Figure 186 : Déformée de la structure pour un séisme dans la direction -Y.....................................249 Figure 187 : Schématisation de la vibration de la structure selon le mode 1 pour un séisme selon Y.250 Figure 188 : Schématisation de la vibration de la structure selon le mode 2 d’un séisme selon Y.....250 Figure 189 : Schématisation de la vibration de la structure selon le mode 3 d’un séisme selon Y.....251 Figure 190 : Schématisation de la vibration de la structure selon le mode 4 d’un séisme selon Y.....251 Figure 191 : Schématisation de la vibration de la structure selon le mode 5 d’un séisme selon Y.....252 Figure 192 : Maillage du tablier. ..................................................................................................252 Figure 193 : Conditions aux limites du tablier sur appui.................................................................254 Figure 194 : Modélisation des charges sur appui. .........................................................................254 Figure 195 : Faces principales ....................................................................................................255 Figure 196 : Etat de contrainte au bord de la pile. .........................................................................255 Figure 197 : Contraintes au niveau des fibres inférieures du tablier. ..............................................255 Figure 198 : Déplacement suivant l’axe x. ....................................................................................256 Figure 199 : Déplacement suivant l’axe y.....................................................................................256 Figure 200 : Module de déplacement. ..........................................................................................256 Figure 201 : Zones comprimées du tablier sur pile. .......................................................................257 Figure 202 : Renforcement du tablier sur pile. ..............................................................................257 Figure 203 : Diagramme des moments de torsion à l’état limite de rupture. ....................................261 Figure 204 : Disposition des piles au niveau de la dernière travée. ................................................261 Figure 205 : Vue en plan du terrain où implanter l’ouvrage. ...........................................................299



Figure 206 : Mise en place des échafaudages..............................................................................300 Figure 207 : Mise en place des équipages mobiles. .................................................................301 Figure 208 : Mise en place des câbles de continuité. ....................................................................302 Figure 209 : Représentation des numéros de nœuds dans la section. ...........................................303 Figure 210 : Inclinaison d’une section du tablier par rapport à l’axe Y. ...........................................304 Figure 211 : Capture d’écran de la feuille de calcul. ......................................................................305 Figure 212 : Valeurs à introduire pour les calculs. .........................................................................305



Troisième partie : Etude de la variante retenue



III.0.Rappel des caractéristiques de la variante retenue La variante retenue se compose de 7 travées dont les longueurs oscillent entre 18,6 et 31,6 m ; elle se compose aussi de 6 piles dont les hauteurs varient entre 1,3 et 6,8 m.

Figure 97 : Schématisation de la variante retenue.

Une partie de l’ouvrage (travées de rive) sera coulée sur cintre ; les autres parties seront construites en encorbellement avec des voussoirs de 4 m coulés sur place, ce afin de ne pas gêner la circulation des véhicules plus bas. Cette méthode de construction nous a amené à avoir 8 fléaux de 14,5 m et deux derniers de 17,1 m. Pour tous les fléaux nous aurions besoin de 6 voussoirs de 4 m et d’un voussoir sur pile, dont la longueur sera de 5 m pour les fléaux de 14,5 m et de 10,2 m pour les fléaux de 17,1 m.

Figure 98 : Schématisation des dispositions constructives adoptées.



III.1. Superstructure III.1.1. Section retenue Le pré dimensionnement de la variante retenue, nous conduit à adopter la section présentée dans la figure suivante :

Figure 99: Section de tablier retenue.

Les principales modifications consistent en l’élargissement des montants et en l’adoption d’une forme plus aérodynamique et plus esthétique. L’élancement reste inchangé. Au niveau des fibres inférieures, afin de faciliter la mise en œuvre du tablier sur les appuis,. nous avons adopté une partie horizontale La modélisation transversale du tablier à l’aide du logiciel WinMEF a permis d’obtenir les caractéristiques présentées sur la figure suivante :



Figure 100 : Caractéristiques de la section retenue.

III.1.2. Détermination des sollicitations III.1.2.1. Combinaison de charges De manière générale, les sollicitations sont déterminées en distinguant une action prépondérante accompagnée d’actions concomitantes. Un coefficient de majoration est affecté à chaque action en fonction de sa nature, prépondérante ou concomitante. En règle générale ce coefficient vaut 1,5 lorsque la charge considérée est prépondérante (sauf exceptions) et 0,8 lorsqu’elle est concomitante (sauf exceptions).

Tableau 45 : Combinaison des facteurs de charge d’après la norme SIA 160

Coefficients pour les différentes actions considérées

Action prépondérante

Poids propre de la structure porteuse (G)

Charges utiles (C)

Poids propre des éléments non porteurs (P)

Vent (V)

Neige (N)

Action accidentelle

(Acc)

Charge utile 1,3 1,5 1,3 0,8

ou 0 * 0,8

ou 0 * 0

Vent 1,3 Entre 0,5-1

ou 0 * 1,3 1,5

0,8 ou 0 *

0

Neige 1,3 Entre 0,5-1

ou 0 * 1,3

0,8 ou 0 *

1,5 0

Action accidentelle 1 0 1 0

1-1000/h

1



* En tant qu’action concomitante où seulement une des actions variables doit être considérée ; les autres étant nulles. h étant l’altitude de l’ouvrage (300 m) soit alors 1-1000/h<0 d’où nous retiendrons 0 ;

La valeur de dimensionnement comprend l’action prépondérante, toutes les actions permanentes et, en règle générale une action variable. En considérant chaque action prépondérante, nous obtenons les combinaisons suivantes :. Exceptionnellement selon l’article 3.2.3. de la norme SIA 160, le facteur de charge pour l’action prépondérante du trafic ferroviaire (voie étroite) modèle de charge 3 vaut 1,2.

Tableau 46 : Combinaisons de charges retenues.

Action prépondérante

Nombre de combinaisons Combinaisons

N° combi-naison

1,3 G + 1,2 C + 1,3 P + 0,8 V 1 Charge utile 2

1,3 G + 1,2 C + 1,3 P + 0,8 N 2

1,3 G + 0,8 C+ 1,3 P + 1,5 V 3 Vent 2

1,3 G + 1,3 P + 1,5 V + 0,8 N 4

1,3 G + 0,8 C + 1,3 P + 1,5N 5 Neige 2

1,3 G + 1,3 P + 0,8 V + 1,5N 6

Action accidentelle 1 1 G + 1 P + 1 Acc. 7

Sans oublier de majorer toutes ces combinaisons par le coefficient de majoration dynamique Φ red valant 1,14 (calculé au § II.3.6.3.). D’autres actions seront introduites ultérieurement dans ces combinaisons, en prenant leurs facteurs de charge égaux à 1,5, 0,8 ou 0 selon qu’elles soient considérées prépondérantes, concomitantes ou accidentelles. III.1.2.2. Charges permanentes Cette catégorie comprend le poids propre de la structure porteuse, les charges utiles et le poids propre des éléments non porteurs. La valeur de dimensionnement du poids propre de la structure Gd est définie par

Gd = γG x Gm



Où:

Gm est la valeur moyenne du poids propre de la structure porteuse; γG facteur de charge pour le poids propre de la structure porteuse.

Dans le cas exceptionnel où le poids propre de la structure influence favorablement la sécurité structurale, celle-ci doit être également vérifiée pour une valeur minimale de ce poids propre γGmin = 0,8. Dans notre cas il agit défavorablement. Reste donc à définir le poids propre de la structure porteuse (l’ouvrage lui même) et celui des éléments non porteurs (ballast, rails…). Pour déterminer la valeur moyenne du poids propre de la structure porteuse nous calculerons le poids total puis diviserons par la longueur de l’ouvrage (195,2 m). Nous adoptons cette méthode car le dédoublement de la voie ferrée a conduit à une section de tablier variable. Nous évaluerons d’abord le poids de la partie d’inertie constante ensuite celui de la variable en sachant que la section du tablier varie linéairement de 2,683 à 3,898 m² sur 40 m (Cf. II.2.1.2.). Poids de la partie constante 2,683 x 25 x 155,2 = 10 410 kN. Poids de la partie variable (2,683+3,898)/2 x 25 x 40 = 3159 kN. Somme 13 569 kN Moyenne par mètre linéaire 69,5 kN/m. Etant donné que nous effectuerons un calcul automatique, nous pouvons nous passer de cette simplification qui est proposée dans le règlement SIA160 article 3.2.2. Pour les éléments non porteurs ce sera la même démarche pour la structure porteuse. A savoir que nous aurons à considérer le poids du ballast, des rails et des gardes corps. On notera juste que le poids des traverses en bois est considéré implicitement dans le volume du ballast.



Tableau 47: Calcul du poids propre des éléments non porteurs.

Désignation Partie constante Partie variable

Gardes corps 2 x 1 = 2 kN/m 2 x 1 = 2 kN/m

Ballast 1,192 x 18 = 21,45 kN/m (1,192+2,384)/2*18=32,18 kN/m

Rails 2 x 0,005 x 78,5 = 0,78 kN/m 4 x 0,005 x 78,5 = 1,57 kN/m

Somme 24,24 kN/m 35,75 kN/m

Poids total 24,24 x 155,2 = 3762 kN 35,75 x 40 = 1430 kN

Somme 3762 + 1430 = 5192 kN

(Pour plus de détails Cf. § II.2.4.1). Soit 26,6 kN/m de poids propre pour les éléments non porteurs. III.1.2.3. Charges de trafic Les vérifications de la sécurité structurale, de l’aptitude au service et de la sécurité à la fatigue, sont effectuées à base de modèles de charge simplifiés. Le modèle de charge verticale du trafic urbain et du trafic d’agglomération pour des voies étroites correspond au modèle de charge 3 de la norme SIA 160. Il représente les situations de trafic et d’exploitation. Il est composé de deux charges concentrées Q, et de deux charges uniformément réparties de part et d’autre (q). Avec :

Q = 130 kN ; q = 25 kN/m.

Figure 101 : Modèle de charge de trafic à retenir.

Les charges concentrées représentent des essieux.



En plus des charges verticales de trafic ferroviaire, les forces horizontales telles que les forces de démarrage et de freinage, les forces de lacet et centrifuge, sont également à considérer. Le détail de ces sollicitations sera analysé dans le chapitre qui suit. III.1.2.4. Actions III.1.2.4.a. Vent La répartition et la grandeur des pressions exercées par le vent et les forces qui en résultent dépendent de la forme et des dimensions de l’ouvrage, de la nature et de la perméabilité de sa surface, ainsi que de la direction et de l’intensité des rafales de vent. Les conditions topographiques locales peuvent provoquer des différences marquées par rapport aux valeurs représentatives de la pression dynamique, qui est basée sur une vitesse de pointe du vent (rafales de quelques secondes). L’action de la turbulence et des rafales du vent sur les ouvrages, ainsi que les effets dynamiques qui en résultent sont considérés au moyen de forces statiques de remplacement. Les forces dues au vent agissant sur l’ouvrage seront déterminées au moyen de forces globales définies d’après les expressions suivantes :

Qj = Cj x Cred x Cdyn x Ch x q x Aj

(19)

Qt = Ct x Cred x Cdyn x Ch x q x Aj Où:

• q pression dynamique à considérer, dans notre cas 0,9 kN/m² ; • Qj Force agissant perpendiculairement à la surface (j=1,2,3) ; • Qt Force de frottement agissant tangentiellement à la surface ;

• Cj Coefficient de force ; • Ch Coefficient de hauteur ; • Ct Coefficient de frottement ;

• Cred Coefficient de réduction ; • Cdyn Coefficient dynamique ; • Aj At Surface de référence pour le calcul des forces globales.

Le vent sera donc décomposé en 4 forces :Q1, Q2, Q3 et Qt.



Figure 102 : Schématisation de la direction d’application de la force du vent.

Les rafales des vents forts provoquent des forces et des déplacements supplémentaires dans la direction du vent et transversalement. Ces effets dynamiques sont couverts par le coefficient dynamique. Si des accumulations de neige, une bande de trafic ou d’autres influences, provoquent une augmentation considérable de la surface d’application du vent qui, doit alors être prise en compte pour l’évaluation de la surface de référence. La valeur de la pression dynamique est définie selon une période de retour de 10 ans, le coefficient correspondant à cette durée est de 0,8, d’après l’article 4.6.3. de la norme SIA 160, soit : q = 0,8 x 0,9 = 0,72 kN/m². Le coefficient de hauteur Ch est fonction de la hauteur de l’ouvrage et de sa situation, dans notre cas en milieu urbain il vaut 0,7 ; (SIA160 article4.6.4.). Le coefficient de réduction est applicable aux forces du vent qui se rapportent à l’ouvrage entier. Il prend en compte le rapport entre les dimensions de l’ouvrage et les dimensions des rafales. Pour la superstructure des ponts, ce coefficient équivaut à 1. Le coefficient dynamique est applicable aux forces de vent relatives à l’ouvrage entier. Il prend en compte les caractéristiques dynamiques de la construction (fréquence propre, forme propre, amortissement) et l’influence des rafales. Dans notre cas nous prendrons Cdyn égal à 1.



Les coefficients de forces en fonction de l’angle d’emprise du vent θ :, d’après la norme en vigueur sont indiqués dans le tableau ci-dessous :

Tableau 48 : Coefficients de majoration selon l’inclinaison du vent.

θ C1 C3

0° 1,00 0,60

-6° 1,00 0,40

-10° 0,90 0,25

Nous retiendrons les valeurs les plus défavorables, à savoir celles correspondant à l’angle 0°. C2 étant nul car Q2 n’a pas d’emprise sur l’ouvrage. Quant à la surface à prendre en considération pour les forces agissant perpendiculairement, elle est égale à la surface de dalle du pont par un mètre linéaire, soit 4,3 x 1 = 4,3 m². Pour la force latérale cette surface est égale à l’épaisseur du pont plus les gardes corps et une épaisseur de neige soit : 1,45 + 0,5 + 0,2 = 2,15 m². Qt est nul car il est à prendre en considération uniquement pour les bâtiments ; néanmoins son effet peut être remplacé par Q3. Application

• Q1 = 1 x 1 x 1 x 0,7 x 0,72 x 4,3 = 2,16 kN/m ;

• Q2 = 0 x 1 x 1 x 0,7 x 0,72 x 4,3 = 0 kN/m ;

• Q3 = 0,6 x 1 x 1 x 0,7 x 0,72 x 4,3 = 1,30 kN/m ;

• Qt = 0 kN/m. Ces valeurs seront introduites dans le calcul suivant deux dispositions, car le vent peut indifféremment souffler dans les deux directions. III.1.2.4.b. Neige La répartition et l’intensité de la charge de neige sur les structures porteuses, sont influencées par les conditions atmosphériques, la topographie, la forme et l’emplacement de l’ouvrage ; les effets du vent et les échanges thermiques à la surface de contact. La charge de neige à prendre en compte pour le dimensionnement est une fonction de la durée de couverture, de l’altitude de référence et de la forme générale de la surface de contact.



L’altitude de référence se compose de l’altitude du lieu et d’une hauteur de correction définie en fonction du climat régional. Les conditions locales et les dispositions spéciales favorisant les amoncellements de neige seront considérées dans les calculs. Les possibilités d’accumulation de neige due au vent et aux engins de déblaiement seront considérées également. La valeur représentative de la charge de neige est définie selon l’article 4.5.2. de la norme SIA 160, par :

qr = ζ x s (20)

où s : Charge de neige sur un terrain horizontal ; ζ : Coefficient de forme de toiture valant pour nous 0,8. Pour un lieu situé à une altitude inférieure à 2000 m (notre cas), la charge de neige sur un terrain horizontal est calculée d’après la relation :

( ) ²/0,1²/4,0350

12

0 mkNmkNhs ≥×

+= 21

Avec

h0 altitude de référence, valant 390 m dans notre cas, soit : s = 0,89 kN/m² Comme cette valeur est inférieure au minimum requis nous retiendrons alors s= 1 kN/m². Soit finalement qr = 0,8 x 1 = 0,8 kN/m². Avec une action accidentelle, et si la probabilité de présence d’une charge de neige est élevée, celle-ci sera considérée comme action concomitante, c’est notamment le cas pour les ouvrages situés au dessus de 1000 m d’altitude. Pour avoir la valeur de la charge de neige par mètre linéaire, nous devons multiplier la valeur trouvée par la largeur où la neige pourrait s’amonceler soit 4,2 m. qr = 0,8 x 4,2 = 3,36 kN/m. III.1.2.5. Autres actions Nous noterons l’existence d’autres actions à prendre en considération pour déterminer si elles sont déterminantes par rapport aux actions retenues.



Elles se composent des :

• Forces de démarrage et de freinage ;

• Force de lacet ; • Force centrifuge ; • Action du vent sur le trafic ferroviaire ;

• Chocs ; • Charges dues au déraillement.

III.1.3. Disposition des charges III.1.3.1. Charges permanentes Elles seront considérées en tant que chargement uniformément réparti constant, majoré ou minoré selon que l’effet est défavorable ou favorable par des coefficients appropriés. III.1.3.2. Charges de trafic Les charges du trafic ferroviaire sont à placer dans la position la plus défavorable. Les charges d’essieux et les charges réparties ayant un effet favorable ne sont pas à prendre en compte. Les effets dynamiques provoqués par les charges mobiles et les irrégularités des voies et du matériel roulant seront considérés au moyen du coefficient dynamique déterminé précédemment. Pour une voie sans dévers, il est admis que les charges sont réparties uniformément sur les deux rails de la voie. Pour les structures porteuses avec ballast, un écart de l’axe de voie de ± 10 cm par rapport à sa position théorique est à considérer. III.1.3.3. Actions III.1.3.3.a. Vent Le vent devra être considéré soufflant dans la direction la plus défavorable, dans chaque cas il sera dirigé comme une force positive puis négative. III.1.3.3.b. Neige La neige est une charge uniformément répartie à disposer sur toutes les surfaces susceptibles d’en accueillir, autrement dit les surfaces planes et inclinées.



III.1.4. Détermination des efforts statiques Nous distinguerons dans cette parties deux phases : Phase d’exploitation de l’ouvrage et la phase de construction. III.1.4.1. Modélisation pour la phase exploitation Pour la détermination des efforts, l’ouvrage a été modélisé avec un logiciel de calcul à 6 degrés de liberté dénommé SAP90, le pont a été introduit en tant qu’un élément poutre dans l’espace ; c’est à dire que les courbures en plan et en long ont été prises en compte. Afin d’introduire le tracé en question, nous avons divisé le pont en 391 éléments FRAME, soit une longueur de 0,5 m par élément. La symétrie des chargements dans le sens transversal a justifié ce choix. Dès lors les conditions aux limites appropriées ont été introduites afin d’obtenir la modélisation suivante :

Figure 103 : Modélisation de la structure avec le logiciel SAP90

(Le fichier de données introduit dans le logiciel est joint en annexe).



Les six premières combinaisons de charges sont introduites selon une disposition variable des surcharges de trafic. C’est à dire que le modèle de surcharge est disposé selon les cas les plus défavorables issus des lignes d’influences ; à savoir des essieux disposés sur les piles avec les deux voies concomitantes chargées pour la réaction maximale sur appui. Pour le moment maximal en travée, l’essieu sera placé à mi-portée pour les travées centrales et à 4/10ème de la longueur des travées de rives (à partir des culées). Ce qui nous donne au total 15 dispositions présentées dans la planche 1. Il faut noter que le sujet de la surcharge de trafic (le tram), est de petite longueur (maximum 30 m) ; de ce fait nous ne pourrions charger plus d’une travée à la fois.

Planche 8 : Répartition longitudinales des surcharges de trafic selon les cas les plus défavorables.

CAS 1

CAS 2

CAS 3

CAS 4

CAS 5

CAS 6

CAS 7

CAS 8

…/…



CAS 9

CAS 10

CAS 11

CAS 12

CAS 13

CAS 14

CAS 15

N° nœuds

Afin d’introduire ces cas de chargement dans le modèle de calcul, nous adoptons la disposition suivante :

Tableau 49 : Disposition des surcharges de trafic

Essieux placés aux nœuds Surcharge uniforme disposée Disposition

N° N° Du nœud Au nœud Et du nœud Au nœud

Cas 1 388 391 354 386 - -

Cas 2 375 378 354 373 380 392

Cas 3 353 356 325 351 358 385

Cas 4 324 327 296 322 329 354

Cas 5 295 298 267 293 300 327

Cas 6 266 269 238 264 271 296

Cas 7 237 240 209 235 242 269

Cas 8 208 211 180 206 213 238

Cas 9 179 182 151 177 184 211

Cas 10 150 153 122 148 155 180

Cas 11 121 124 93 119 126 153

Cas 12 90 93 59 88 95 122

Cas 13 58 61 30 56 63 90

Cas 14 22 25 1 20 27 59

Cas 15 2 5 7 59 - -

Le détail des caractéristiques de ces nœuds est joint en annexe dans le fichier de données introduit dans le programme. De ce fait, nous sommes contraints alors de recourir à 15 fichiers de données, soit un par cas. Les autres charges étant disposées tout au long du pont selon les arrangements énoncés précédemment.



III.1.4.2. Modélisation pour la phase construction Lors de la mise en place des voussoirs, le voussoir sur pile sera provisoirement encastré afin d’éviter le basculement du fléau. Afin de retenir les voussoirs et de reprendre le moment d’encastrement, nous aurons recours à de la précontrainte de montage. Le porte à faux sera alors modélisé comme une console dont la longueur est variable selon le nombre de voussoirs implanté et selon la taille du voussoir sur pile.

Figure 104 : Modélisation du porte à faux.

Au niveau de l’ouvrage nous distinguons deux catégories de fléaux, les fléaux de 14,5 m et ceux de 17,1 m de long ; les voussoirs sur pile étant respectivement d’une longueur de 5 et de 10,2 m. Etant donné que la partie d’inertie variable n’est pas concernée par la construction en porte-à-faux, nous retiendrons 67,075 kN/m comme charge de poids propre des voussoirs. A cette charge s’ajoutera une surcharge d’exploitation de chantier de l’ordre d’1kN/m² soit 4,1 kN/m Ce poids sera disposé au maximum sur deux voussoirs consécutifs, dont l’un d’entre eux constituera le dernier mis en place. Soit finalement, un total de 71,175 kN. L’action du vent devra être aussi prise en compte soit selon §III.1.2.4.a. 1,.3 kN/m supplémentaire. Nous majorerons ces valeurs par le coefficient dynamique égal à 1,14 ; soit des valeurs finales de 77,95 et 82,62 kN/m.



III.1.4.3. Résultats pour la phase d’exploitation Du fait des 15 dispositions adoptées et des 6 combinaisons de charges associées nous auront 90 résultats pour chaque effort considéré en chaque point. Le logiciel de calcul nous permet d’obtenir dans le plan transversal : l’effort tranchant vertical, le moment fléchissant longitudinal et l’effort normal. Dans le plan horizontal, l’effort tranchant (horizontal) et le moment fléchissant transversal. Nous avons aussi le moment de torsion. Dans cette première étape nous nous intéresserons uniquement aux réactions d’appuis et aux moments fléchissants longitudinaux à mi -travée et sur appui. Les sorties graphiques du programme nous permettent d’avoir les diagrammes de chaque effort considéré pour chaque cas et combinaison. Dans ce qui suit nous présentons les diagrammes issus du premier cas de chargement, associé à la prem ière combinaison de charge (LOAD 1) Fig. 97 à 103 :

Figure 105 : Déformée de la structure.

Nous signalerons aussi que tout comme Winflex, SAP90 dessine les moments dans le sens contraire des conventions internationales, autrement dit les moments négatifs vers le bas et positifs vers le haut.



Figure 106 : Diagramme des moments fléchissants longitudinaux.

Figure 107 : Diagramme des moments fléchissants transversaux



Figure 108 : Diagramme des efforts tranchants verticaux.

Figure 109 : Diagramme des efforts tranchants horizantaux.

Les efforts tranchants sont projetés selon l’axe Z.



Figure 110 : Diagramme des efforts normaux.

Figure 111 : Diagramme des efforts de torsion.

La torsion est localisée dans la zone courbe et dans la zone d’élargissement car l’axe neutre subit une inclinaison.



En sachant que chaque cas de chargement déduit des lignes d’influences, nous donne l’effort maximum recherché dans une section ; cela nous permet de faire un premier tri des résultats, à savoir que nous nous intéresserons uniquement à la section où l’effort considéré est maximal. Nous signalons que les résultats obtenus ont été comparés à ceux effectués d’après le programme WinOss en négligeant les courbures. Comme conditions aux limites nous avons opté pour un tablier appuyé sur deux appuis, ce qui nous a amenés à i ntroduire les données suivantes :

Tableau 50 : Conditions aux limites adoptées pour le calcul automatique.

Désignation Nœud N°

Translation selon x

Translation selon y

Translation selon z

Rotation autours

de x

Rotation autours

de y

Rotation autours

de z

Appui 1 1 Bloquée Bloquée Bloquée Bloquée Libre Bloquée

Appui 2 59 Libre Bloquée Bloquée Bloquée Bloquée Libre






Appui 8 392 Libre Bloquée Bloquée Bloquée Libre Libre

Figure 112 : Conditions aux limites introduites dans SAP90.



Nous avons retenus les efforts maxima dans les éléments suivants :

• L’élément 391 composé des nœuds 391 et 392, correspondant au premier appui soit la culée Est ;

• L’élément 377 composé des nœuds 377 et 378, correspondant à 40% de la longueur

de la travée de rive Est ;

• Les élément 353 et 354 composés des nœuds N° 353 à 355, correspondant au deuxième appui ;

• L’élément 325 composé des nœuds N° 324 et 325, correspondants au milieu de la

deuxième travée ;

• Les élément 295 et 296 composés des nœuds N° 294 à 296, correspondants au troisième appui ;

• L’élément 267 composé des nœuds N° 267 et 268. correspondant au milieu de la

troisième travée ; •

• Les éléments 237 et 238 composés des nœuds N° 236 à 238, c orrespondants au quatrième appui ;

• L’élément 209 composé des nœuds N° 208 et 209. correspondant au milieu de la

quatrième travée ;

• Les élément 179 et 180 composés des nœuds N° 178 à 180, correspondants au cinquième appui ;

• L’élément 151 composé des nœud s N° 150 et 151. correspondant au milieu de la

cinquième travée ;

• Les éléments 121 et 122 composés des nœuds N° 120 à 122, correspondants au sixième appui ;

• L’élément 90 composé des nœuds N°89 et 90, correspondant au milieu de la sixième

travée ;

• Les éléments 58 et 59 composés des nœuds N°57 à 59, correspondants au septième appui ;

• L’élément 22 composé des nœuds N°21 et22, correspondant au 0,6éme de la

longueur de la septième travée ;

• L’élément 1 composé des nœuds 1 et 2, correspondant au huitième l’ap pui soit la culée Ouest.



Figure 113 : Localisation des appuis

Les résultats des calculs sont présentés dans le tableau suivant selon chaque combinaison, en sachant qu’à chaque section considérée correspond une disposition de surcharge défavorable.

Tableau 51 : Résultats des calculs effectués avec le logiciel SAP90

Appui1 Mi travée 1 Appui 2 Mi travée 2 Appui 3 Mi travée 3 Appui 4 Mi travée 4 Désignation Réaction

(kN) Moment (kN.m)

Réaction (kN)

Moment (kN.m)

Moment (kN.m) Réaction (kN) Moment

(kN.m) Moment (kN.m)

Réaction (kN)

Moment (kN.m)

Moment (kN.m)

Combinaison 1 1 759 6 023 5 283 -14 075 7 108 5 152 -13 186 6 885 5 118 -13 053 6 860

Combinaison 2 1 760 6 024 5 299 -14 143 7 120 5 164 -13 256 6 895 5 130 -13 123 6 870

Combinaison 3 1 580 5 421 4 897 -12 902 6 376 4 741 -12 070 6 145 4 706 -11 917 6 123

Combinaison 4 1 212 4 178 4 230 -10 546 4 864 3 896 -9 826 4 630 3 860 -9 632 4 611

CombinAison 5 1 582 5 418 4 929 -13 032 6 392 4 765 -12 200 6 165 4 730 -12 048 6141

Combinaison 6 1 213 4 176 4 125 -10 606 4 874 3 907 -9 886 4 640 3 872 -9 694 4 620

Appui 5 Mi travée 5 Appui 6 Mi travée 6 Appui 7 Mi travée 7 Appui 8 Désignation Réaction

(kN) Moment (kN.m)

Moment (kN.m)

Réaction (kN)

Moment (kN.m)


(kN.m) Moment (kN.m) Réaction (kN)

Combinaison 1 5 112 -13 050 6866 5 304 -13 900 6 763 5 829 -18 742 10 998 2 186

Combinaison 2 5 125 -13 116 6 876 5 314 -13 985 6 780 5 836 -18 856 11 030 2 193

Combinaison 3 4 703 -11 900 6 128 4 881 -13 057 6 347 5 373 -17 171 -9 886 1 962

Combinaison 4 3 856 -9 595 4 617 4 006 -11 364 5 479 4 420 -14 030 -7 621 1 505

CombinAison 5 4 724 -12 025 6 148 4 901 -13 216 6 379 5 384 -17 384 -9 944 1 975

Combinaison 6 3 867 -9 655 4 626 4 015 -11 438 5 493 4 425 -14 130 -7 648 1 512

Les valeurs à retenir pour le dimensionnement sont présentées en gras.

Figure 114 : Allure du diagramme des moments pour la première combinaison de charge (disposition 5).

Figure 115 : Diagramme des efforts tranchants pour la première combinaison de charge (disposition 5).



III.1.4.4. Résultats pour les étapes de construction

Figure 116 : Rappel de la modélisation adoptée.

L’application des arrangements précédents nous conduit aux résultats suivants :

Figure 117 : Diagramme des moments dans les fléaux de 17,1 m.



Tableau 52 : Détermination des efforts dans le fléau de 17,1m.

Voussoir sur pile 1er voussoir 2ème voussoir 3ème voussoir Longueur du fléau (m) 5,1 9,1 13,1 17,1

Moment (kN.m)

Réact° appui kN 422 752 1 058 1 370

D’encastrement -1 075 -3 421 -7 029 -11 886

Limite du voussoir sur pile 0 -661 -2 644 -5 911

A la limite du 1er voussoir - 0 -661 -2 644

Limite du 2ème voussoir - - 0 -661

Limite du 3ème voussoir - - - 0

Figure 118 : Diagramme des moments dans les fléaux de 14,5 m.



Tableau 53 : Détermination des efforts dans le fléau de 14,5m.

Voussoir sur pile 1er voussoir 2ème voussoir 3ème voussoir Longueur du fléau (m) 2,50 6,50 10,50 14,50

Moment (kN.m)

Réact° appui 207 537 856 1 168

D’encastrement -259 -1 745 -4 540 -8 587

Limite du voussoir sur pile 0 - 661 -2 644 -5 911

A la limite du 1er voussoir - 0 - 661 -2 644

Limite du 2ème voussoir - - 0 - 661

Limite du 3ème voussoir - - - 0

Nous remarquons qu’entre les deux fléaux, la seule différence des moments se situe au niveau de l’encastrement. Ce qui nous permettra d’adopter les mêmes dispositions pour la précontrainte des fléaux et ainsi faciliter leurs exécutions. III.1.5. Dimensionnement des armatures longitudinales III.1.5.1. Dispositions adoptées La comparaison entre les moments sur appuis, lors des phases d’exploitation et de construction permet de conclure que cette dernière n’est pas déterminante, ceci est principalement dû à la faible longueur des fléaux. De ce fait sur appui, nous retiendrons les valeurs obtenues lors de la mise en service de l’ouvrage. Les résultats calculés précédemment nous ont conduits à adopter les dispositions suivantes : Au niveau de la culée Est nous retiendrons une réaction verticale de 1760 kN. Etant donné que la première travée sera coulée sur treillis nous pouvons proposer un dimensionnement particulier : nous retiendrons alors 6025 kN.m comme moment maximal. Il en est de même pour la première pile où la réaction est de l’ordre de 5 315 kN et le moment sur appui de –14 140 kN.m. Vu les valeurs de réaction proches et afin de faciliter l’exécution nous proposons d’adopter pour les piles 2, 3,4, 5, les mêmes sollicitations à savoir une réaction de 5 540 kN et un moment de –13 985. Le même raisonnement est adopté pour les mi-travées 2, 3, 4, 5 et 6 où le moment maximal à considérer est de 7 120 kN.m.



Quant au dernier appui, étant donné la grande différence des sollicitations il sera dimensionné à part, en considérant une réaction de l’ordre 5 835 kN et un moment sur appui de –18 856 kN.m. Il en est de même pour la dernière travée où le moment à considérer est de 11 030 kN Pour la culée Ouest nous retiendrons une réaction de 2200 kN. III.1.5.2. En exploitation Les armatures longitudinales incluent les armatures passives et actives (précontrainte). Le dimensionnement de ces composants est intimement lié, car ils auront à reprendre les moments fléchissants. Il faudra donc définir dans quelles proportions le moment ultime calculé sera réparti. Généralement, afin de ne pas trop solliciter l’ouvrage en état de repos, il faut éviter de sur dimensionner la précontrainte ; car son effet est continu et en l’absence de surcharges nous risquerons d’avoir des moments négatifs à mi –travée. D’où la notion que la précontrainte ne doit pas balancer plus que le poids propre et les charges permanentes de l’ouvrage. Nous choisirons de balancer 85% du moment dû au poids propre par la précontrainte, les armatures passives reprendront les surcharges. Selon la norme SIA 162, un facteur de résistance γR valant 1,2 devra être introduit tel que la sécurité de la structure porteuse remplisse cette condition :

Rd

RS γ≤ (22)

avec :

Sd : valeur de dimensionnement de la sollicitation conformément à la norme SIA 160 ; R : résistance ultime déterminée selon la norme SIA 162

De ce fait, nous introduirons le facteur de résistance γR dans notre pré dimensionnement, en majorant les sollicitations, ce afin de satisfaire la condition (22). Nous utiliserons les mêmes formules adoptées pour le pré dimensionnement, les seuls changements à adopter consistent à tenir compte des pertes et de balancer 85% des moments dus aux charges. Le principe de superposition des charges, nous permet de dimensionner ces armatures séparément, chacune reprenant une partie du moment ultime :

Mu = M85%poids propre + M15%poids propre+surch



Mu=As x fs x zs + Ap x fp x zp (23)

Ap = M85%poids propre/ (fp x zp) et As = M15%poids propre+surch/ (fs x zs) (24)

Où : Mu : étant le moment ultime que la section pourrait reprendre ;

As Ap :sont respectivement l’aire de la section d’armature passive et de la précontrainte ; fs fp : sont les résistances ultimes respectivement de l’acier et de la précontrainte ; zs zp : bras de levier respectivement de l’acier et de la précontrainte ; Cf. équation (11).

fp n’étant pas encore déterminé et fs = 460 N/mm² pour des aciers S500. Avec :

z = 0,9 x d (25)

d : étant le bras de levier de l’armature considérée. Les bras de levier changeront, car la section adoptée présente une inclinaison. La valeur moyenne de celle-ci est de 3,5 cm, chiffre que d’ailleurs nous retiendrons.

Figure 119 : Schématisation du bras de levier d’une armature quelconque

Reste alors à déterminer le pourcentage des efforts du au poids propre, en sachant que les efforts maxima ont été engendrés par la deuxième combinaison de charge. Nous avons refait les calculs avec SAP90 en ne considérant que les charges permanentes et obtenu les résultats que nous avons comparés aux maxima obtenus :



Tableau 54 : Comparaison des efforts avec ou sans surcharges.

Elément Effort maximal

Effort sous charges permanentes

Pourcentage des charges permanentes par rapport aux efforts maximums

Réaction culée Est 1 760 1 173 66,65

Moment première mi-travée 6 024 4 075 67,65

Réaction 5 299 3 895 73,50 Première pile

Moment -14 143 -9 831 69,51

Moment deuxième mi-travée 7 120 4 701 66,03

Réaction 5 164 3 744 72,50 Deuxième pile

Moment -13 256 -9 151 69,03

Moment troisième mi-travée 6 895 4 488 65,09

Réaction 5 130 3 711 72,34 Troisième pile

Moment -13 123 -8 978 68,41

Moment quatrième mi-travée 6 870 4 472 65,09

Réaction 5 125 3 707 72,33 Quatrième pile

Moment -13 116 -8 951 68,24

Moment cinquième mi-travée 6 876 4 475 65,08

Réaction 5 314 3 868 72,79 Cinquième pile

Moment -13 985 -10 572 75,60

Moment sixième mi-travée 6 780 5 281 77,89

Réaction 5 836 4 310 73,85 Sixième pile

Moment -18 856 -12 987 68,87

Moment septième mi-travée 11 030 7 268 65,89

Réaction culée Ouest 2 193 1433 65,34



Tableau 55 : Comparaison des efforts sous poids propre avec ceux retenus.

Elément Effort

maximal retenu


Pourcentage des charges permanentes

Pourcentage retenu

Réaction culée Est 1 760 1 173 66,65 -

Moment première mi-travée 6 025 4 075 67,63 70

Réaction 5 315 3 895 71,80 - Première pile

Moment -14 140 -9 831 69,53 70

Moment deuxième mi-travée 7 120 4 701 66,03 70

Réaction 5 540 3 744 67,58 - Deuxième pile

Moment –13 985 -9 151 65,43 70

Moment troisième mi-travée 7 120 4 488 63,03 70

Réaction 5 540 3 711 66,99 - Troisième pile

Moment –13 985 -8 978 64,20 70

Moment quatrième mi-travée 7 120 4 472 62,81 70

Réaction 5 540 3 707 66,91 - Quatrième pile

Moment –13 985 -8 951 64,00 70

Moment cinquième mi-travée 7 120 4 475 62,85 70

Réaction 5 540 3 868 69,82 - Cinquième pile

Moment –13 985 -10 572 75,60 70

Moment sixième mi-travée 7 120 5 281 74,17 70

Réaction 5 835 4 311 73,86 - Sixième pile

Moment -18 860 -12 996 68,87 70

Moment septième mi-travée 11 030 7 240 65,64 70

Réaction culée Ouest 2 200 1433 65,14 -

Les moments sont en kN.m et les réaction en kN. Nous avons volontairement retenu 70% pour toutes les parties, ce afin d’obtenir des résultats identiques pour les parties dont nous avons retenu les mêmes sollicitations. Ces résultats nous conduisent à balancer 85% des efforts dus aux charges permanentes par la précontrainte, et le reste repris par les armatures passives. Avec les valeurs retenues, nous allons dimensionner les armatures sans pour l’instant tenir compte des pertes de force de précontrainte.



Tableau 56 : Dimensionnement des armatures longitudinales.

Désignation Moment ulitme kN.m

Moment repris par la précontrainte

Moment repris par les armatures

passives

Ap (mm²)

Nbr. torons T15S

As (mm²)

Nbr. barres

φ16

En mi travée 1 6025 3072,75 2952,25 2427,83 16,19 6068,97 30,18

Sur pile 1 14140 7211,40 6928,60 5697,84 37,99 14243,19 70,84

Mi travées 2,3,7,5,6 7120 3631,20 3488,80 2869,07 19,13 7171,96 35,67

Sur piles 2,3,4,5 13985 7132,35 6852,65 5635,38 37,57 14087,06 70,06

Sur la pile 6 18860 9618,60 9241,40 7599,80 50,67 18997,64 94,49

Septième mi travée 11030 5625,30 5404,70 4444,63 29,63 11110,49 55,26

Nous remarquons, que les quantités obtenues sans tenir compte des pertes sont très importantes et difficiles à implanter sur appui car l’espace constitué par la largeur des deux âmes n’est pas très important. Pour cette raison nous allons encastrer le tablier sur les piles et ainsi mieux répartir longitudinalement tous les moments de flexion car l’encastrement solidarise une grande partie de l’ouvrage. De ce fait une partie des moments sur appui aura tendance à se disperser en travée. Etant donné les faibles portées, l’encastrement paraît raisonnable vis-à-vis du gradient thermique. Ces conditions seront introduites en modélisant les 6 piles composant l’ouvrage et ce en introduisant 6 nouveaux nœuds représentant les bases de ces éléments qui seront parfaitement encastrés. Ces 6 points seront liés par un élément Frame ayant les caractéristiques des piles : section circulaire de 1 m de diamètre. Une fois de plus pour plus d’informations sur ces points se référer à l’annexe 1.



Figure 120 : Nouvelle modélisation avec SAP90 de l’ouvrage.

Les résultats de cette nouvelle disposition sont présentés dans le tableau qui suit :

Tableau 57 : Nouveaux résultats du calcul des sollicitations

Appui1 Mi travée 1 Appui 2 Mi travée 2 Appui 3 Mi travée 3 Appui 4 Mi travée 4 Désignation Réaction

(kN) Moment (kN.m)

Réaction (kN)

Moment (kN.m)


(kN.m) Moment (kN.m)

Réaction (kN)

Moment (kN.m)

Moment (kN.m)

Combinaison 1 1 718 5 940 5 331 -12 416 8 150 5 232 -12 770 7 554 5 142 -12 256 7 710

Combinaison 2 1 725 5 978 5 350 -12 458 8 212 5 247 -12 762 7 632 5 159 -12 253 7 790

Combinaison 3 1 542 5 311 4 944 -11 432 7 286 4 817 -11 724 6 705 4 730 -11 234 6 850

Combinaison 4 1 191 4 070 4 156 -9 430 5 583 3 964 -9 516 5 060 3 888 -9 085 5 180

CombinAison 5 1 556 5 381 4 978 -11 511 7 401 4 846 -11 708 6 852 4 762 -11 228 6 998

Combinaison 6 1 198 4 103 4 172 -9 465 5 637 3 978 -9 509 5 128 3 904 -9 082 5 250

Appui 5 Mi travée 5 Appui 6 Mi travée 6 Appui 7 Mi travée 7 Appui 8 Désignation Réaction

(kN) Moment (kN.m)

Moment (kN.m)

Réaction (kN)

Moment (kN.m)


(kN.m) Moment (kN.m) Réaction (kN)

Combinaison 1 5 118 -12 077 7 581 5 284 -12 671 7 222 5 897 -16 266 12 441 2 253

Combinaison 2 5 135 -12 067 7 670 5 301 -12 653 7 325 5 904 -16 250 12 518 2 265

Combinaison 3 4 708 -11 077 6 725 4 862 -11 627 6 796 5 437 -14 970 -11 193 2 025

Combinaison 4 3 870 -8 966 5 079 4 001 -9 414 6 019 4 478 -12 222 -8 703 1 569

CombinAison 5 4 741 -11 060 6 892 4 895 -11 595 6 988 5 450 -14 938 -11 337 2 048

Combinaison 6 3 886 -8 958 5 157 4 016 -9 398 6 109 4 484 -12 207 -8 771 1 580

Les valeurs à retenir pour le dimensionnement sont présentées en gras.

Figure 121 : Déformée de la structure sous la deuxième combinaison de charge (disposition 5).

Figure 122 : Diagramme des moments sous la deuxième combinaison de charge (disposition 5).



Figure 123 : Diagramme des efforts tranchants sous la deuxième combinaison de charge (5ème disposition).

Nous remarquons, avec cette nouvelle disposition, l’uniformisation des efforts le long de l’ouvrage ainsi qu’une diminution des moments sur piles de l’ordre de 9 à 14% ; et une augmentation dans les mêmes proportions en mi-travée. Ces résultats ont été comparés à une modélisation simplifiée (sans tenir compte des courbures et en chargeant une charge uniformément répartie) avec le logiciel WinOss, dont les résultats ont confirmé cohérence des résultats obtenus avec SAP90.

Figure 124 : Modélisation de la structure avec WinOss.



Figure 125 : Diagramme des moments obtenus avec WinOss.

Figure 126 : Allure des contraintes en travée centrale.



Figure 127 : Allure des contraintes en travée de rive.

Nous adoptons les mêmes dispositions que précédemment (Cf. § III.1.5.1.). Les valeurs retenues comparées aux nouvelles réactions dues au poids propre sont les suivantes :

Tableau 58 : Nouvelles valeurs retenues

Elément Effort

maximal retenu (kN)


(kN.m)

Pourcentage des charges permanentes

Pourcentage retenu

Réaction culée Est 1 725 1 103 63,94 -

Moment première mi-travée 5 978 3 654 61,12 60

Réaction 5 350 3 922 73,31 - Première pile

Moment -12 458 -8 895 71,40 70

Moment Deuxième mi-travée 8 212 5 031 61,26 60

Réaction 5 300 3 792 71,55 - Deuxième pile

Moment –12 770 -9 446 73,97 70

Moment troisième mi-travée 8 212 4 413 53,74 60

Réaction 5 300 3 706 69,92 - Troisième pile

Moment –12 770 -8 985 70,36 70

Moment quatrième mi-travée 8 212 4 517 55,00 60

Réaction 5 300 3 685 69,53 - Quatrième pile

Moment –12 770 -8 907 69,75 70

Moment cinquième mi-travée 8 212 4 335 52,79 60



Réaction 5 300 3 825 72,17 - Cinquième pile

Moment –12 770 -9 535 74,67 70

Moment sixième mi-travée 8 212 5 183 63,11 60

Réaction 5 900 4 356 73,83 - Sixième pile

Moment -16 265 -12 188 74,93 75

Moment septième mi-travée 12 520 7 874 62,89 60

Réaction culée Ouest 2 265 1 457 64,33 -

Soit en résumé : le poids propre représente 60% des moments en mi-travée et 70% des moments négatifs sur tous les appuis sauf au sixième (75%). Cette singularité peut se justifier car le voussoir sur cette pile sera dimensionné indépendamment des autres voussoirs. Nous rappelons aussi que le facteur de résistance valant 1,2 est à prendre en compte en majorant aussi les efforts. Avec ces nouveaux résultats et en reprenant 85% des moments dus aux charges permanentes par la précontrainte nous obtenons :

Tableau 59 : Dimensionnement des armatures longitudinales avec les nouvelles valeurs.

Désignation Moment ultime kN.m

Moment à reprendre par la

précontrainte

Moment à reprendre par les

armatures passives

Aire de Préc. (mm²)

Nbr. torons T15S

Aire arm. Pass. (mm²)

Nbr. barres

φ16

En mi travée 1 5978 3048,78 2929,22 2472,42 16,48 6174,90 30,71

Sur pile 1 12458 7412,51 5045,49 6011,21 40,07 10636,08 52,90

Mi travées 2,3,7,5,6 8212 4188,12 4023,88 3396,37 22,64 8482,49 42,19

Sur piles 2,3,4,5 12770 7598,15 5171,85 6161,75 41,08 10902,45 54,22

Sur la pile 6 16265 10368,94 5896,06 8408,74 56,06 12429,12 61,82

Septième mi travée 11030 5625,30 5404,70 4561,86 30,41 11393,31 56,67

Bien que les quantités d’armatures aient diminué, leur nombre reste important surtout pour les armatures passives sur la 6ème pile. Afin de reprendre tous les moments négatifs sur le 6ème appui, nous allons faire participer la dalle autour de 12% des moments à reprendre par les armatures passives. Nous allons aussi augmenter le diamètre des armatures à φ22 au niveau supérieur des âmes et garder φ16 pour le niveau supérieur de la dalle.



Tout cela pour éviter un élargissement des âmes qui compliquerait l’exécution en chantier. En mi-travée nous garderons toujours des φ16 car l’espace où les loger ne manque pas.

Exception faite pour la dernière travée où des φ20 s’avèrent nécessaires en raison des fortes sollicitations. Les moments seront répartis comme suit (non encore majorés par le facteur de résistance) :

Tableau 60 : Répartition des moments fléchissants.

Désignation Moment ultime (kN.m)

Moment dû à 85% du PP.

Moment à reprendre par les âmes (kN.m)

Moment repris par la dalle

Mi travée 1 5978 3048,78 - 2929,22

Pile 1 12458 7412,51 5045,49 0

Mi travée 2,3,7,5,6 8212 4188,12 - 4023,88

Piles 2,3,4,5 12770 7598,15 5171,85 0

Pile 6 16265 10368,94 5188,54 707,53

Septième travée 11030 5625,30 - 5404,70

Cette configuration nous conduit aux résultats suivants :

Tableau 61 : Dimensionnement des armatures longitudinales.

Désignation Aire de

précontrainte (mm²)

Nombre torons T15S

correspondant

As dans les âmes

(mm²)

Nombre de barres

As dans le tablier

(mm²)

Nombre φ16 dans la partie sup. du tablier

Mi travée 1 2502,60 16,68 6211,04 16,34 φφ22 - -

Pile 1 6140,78 40,94 10745,5 28,27 φφ22 - -

Mi travée 2,3,7,5,6 3437,83 22,92 8532,13 22,45 φφ22 - -

Piles 2,3,4,5 6294,57 41,96 11014,6 28,98 φφ22 - -

Pile 6 8589,99 57,27 11050,13 29,07 φφ22 5001,96 24,88

Septième travée 4645,89 30,97 11493,61 30,24 φφ22 - -



Bien entendu les bras de levier sont variables selon le diamètre des barres et les dispositions choisies, à savoir de disposer les armatures en de ux lits sur appui. Cet arrangement nous permet d’assurer sur appui et selon les recommandations de la norme SIA162 ; 3 cm d’enrobage minimum entre chaque armature parallèle. Ainsi nous avons réussi à éviter l’élargissement local des montants. Pour les armatures passives nous retiendrons définitivement les valeurs suivantes :

Tableau 62 : Quantités d’armatures passives retenues.

Désignation M-travée 1 Pile 1 Mi-travées 2,3,7,5,6 Piles 2,3,4,5 Pile 6 Septième travée

Partie supérieure de l’âme

- 28 φ22 28 φ22 28 φ22

Partie supérieure de la dalle

- - - - 25 φ16 -

Partie inférieure du tablier

17 φ22 - 23 φ22 - - 31 φ22

Les quantités d’armatures retenues en partie supérieure des âmes sur appui est à répartir entre les deux montants. Quant aux valeurs définitives pour la précontrainte elles dépendent des phases de construction et du calcul des pertes.

Figure 128 : Ferraillage devant reprendre les moments négatifs sur la pile 6.



Figure 129 : Ferraillage devant reprendre les moments négatifs sur les piles 1 à 5.

Figure 130 : Ferraillage devant reprendre les moments positifs en première travée.



Figure 131 : Ferraillage devant reprendre les moments positifs au niveau des travées 2 à 6.

Figure 132 : Ferraillage devant reprendre les moments positifs dans la dernière travée.

III.1.5.4. Dimensionnement des câbles de fléaux Etant donné la faible largeur des âmes et la nécessité d’avoir 4 câbles de précontrainte distincts : un pour chaque fléau et un au niveau du voussoir sur pile ; nous proposons d’avoir recours à deux files. La première file comprendra les câbles les plus importants : celui du premier et du voussoir sur pile. Au niveau du deuxième lit il y aura les câbles restants, à savoir ceux des deux derniers voussoirs.



Figure 133 : Allure des câbles fléaux dans le tablier.

De la même manière que précédemment nous dimensionnons les câbles de fléaux sauf que le bras de levier est variable.

Tableau 63 : Dimensionnement des câbles de fléaux.

Désignation Voussoir sur pile (10,2m)

Voussoir sur pile (5m)

1er

voussoir 2ème

voussoir 3ème

voussoir Moment à reprendre (kN.m) -11 886 -8 587 -5 911 -2 644 -661

Bras de levier (zp en mm) 1200,6 1200,6 1200,6 1092,6 1092,6

Sect° de précontrainte néc. 9588,43 6927,3 4768,4 2361,47 541,61

Nombre de torons T15S 63,92 46,18 31,79 15,74 3,61

Il apparaît qu’il n’y a pas de grande différence entre le dimensionnement lors des étapes de construction et de la phase exploitation, ceci est principalement dû à la faible longueur des portées. Nous noterons juste que cette constatation sera effective lorsque les pertes de force de précontrainte auront été introduites. Vu la faible différence de quantités avec les armatures nécessaires pour l’exploitation de l’ouvrage ; nous pouvons confondre le premier câble de fléau de telle sorte que leur somme reprenne entièrement tous les moments d’exploitation.



III.1.5.5. Tracé des câbles de précontrainte Pour les parties du pont qui seront coulées sur cintre, le tracé des câbles sera courbe, de telle sorte à ce qu’il soit en partie inférieure en travée et en partie supérieure sur appui. Cette disposition permet de reprendre les moments positifs en travée et négatifs sur appui. Ces câbles parcourront le tablier aux niveau des âmes verticales, il y aura un câble pour chaque montant, ces deux câbles seront parfaitement identiques du point de vue tracé : rectiligne en plan et courbe transversalement. Pour reprendre le reste des moments négatifs sur le premier appui, le câble parabolique sera renforcé par câble rectiligne.

Figure 134 : Tracé des câbles de précontrainte pour la travée d’accès Est.

Figure 135 : Vue de l’emplacement des câbles au niveau du tablier sur pile.



Le tracé doit être étudié dans l’espace. Il ne suffit pas de considérer le profil en long obtenu par projection du tracé sur le plan médian de la pièce. Pour le calcul des frottements, il faut prendre en compte aussi bien les courbures dans le sens transversal que celles dans le sens longitudinal. Il faut aussi principalement éviter des variations brusques de courbure, ainsi que des rayons de courbure trop faibles. Selon les résultats obtenus avec SAP90 le moment change de signe à x = 14 m à partir de la culée Est. A ce niveau là le câble devra croiser une deuxième fois l’axe neutr e des poutres, la première fois fut au niveau de l’ancrage au niveau de la culée, car il n’y a aucun moment à reprendre. Le moment maximal positif se situe à x = 7,5 m. En inclinant le câble à son origine, nous pouvons reprendre une partie de l’effort tr anchant et éviter le raccord de deux segments de paraboles dans le cas où il serait horizontal. Nous allons calculé le tracé des câbles afin de pouvoir introduire ces valeurs dans le calcul de la force de précontrainte finale. La déviation angulaire α à l’abscisse x vaut :

α(x) = θ(x) - θ0 ≈ tanθ(x) - tanθ0 (26)

Le câble étant parabolique, nous avons alors tanθ(x)=dz/dx est une fonction linéaire de x :

α(x) = a . x (27)

à 7,5 m le câbl e se trouvera à son niveau le plus bas soit :

• dz = (1450/2) – (20+12+16+40) = 725 – 88 = 637 mm = 0,637 m

• dx = 7,5/2 = 3,75 Soit alors pour x = 7,5 :

• α(x) = 0;637/3,75 = 0,1698 soit en remplaçant:

• a = 0,1698/7,5 = 0,02264 m-1 L’équation (23) devient alors :

αα(x) = 0,02264 . x (28)



Figure 136 : Courbure des câbles de la partie Est.

Pour x allant de 0 à 7,5 m. Application numérique : Pour x= 7,5 m α = 0,1698 rad soit 9,72° Pour la remontée du câble jusqu’à la partie sur appui nous utiliserons la même méthode :

• dz = (1450-20-12-18-40) – (20+12+16+40) = 1360 – 88 = 1272mm = 1,272 m

• dx = (18,6-7,5)/2 = 5,55 Soit alors pour x = 18,6 :


• a = 0,2291/(18,6-7,5) = 0,02064 m-1 L’équation (23) devient alors :

αα(x) = 0,02064 . X Pour X variant entre 0 et 11,1 m correspondant à x entre 7,5 et 18,2 m. Application numérique : Pour x= 11 m α = 0,2291 rad soit 13,13° Ce pour la première travée dont les câbles accumulent donc 0,1698 + 0,229 = 0,3989 rad de variation angulaire (22,86°). Pour la deuxième partie de ces câbles qui doivent parcourir les 14,5 m restant de la partie coulée sur cintre nous appliquons les mêmes procédures, en sachant :



Qu’à 6 m de la pile le moment est nul et qu’il est maximal à 14,5 m.

• dz = 1272 mm = 1,272 m

• dx = 14,5/2 = 7,25 m Soit alors pour X’ = 14,5 :

• α(x) = 1;272/7,25 soit en remplaçant:

• a = 0,1754/14,5 = 0,0121 m-1 L’équation (23) devient alors :

αα(x) = 0,0121 . X’

Pour X’ variant entre 0 et 14,5 m correspondant à x entre 18,6 et 33,1 m. Application numérique : Pour x= 14,5 m α = 0,17545 rad soit 10,05° Soit au total pour ces deux câbles une déviation angulaire de 0,3989 + 0,17545 = 0,574345 rad correspondant à 32,90°.

Figure 137 : Tracé des câbles de précontrainte pour la travée d’accès Ouest

Pour la partie coulée sur cintre Ouest nous avons un moment maximum à 11 m de la culée. Soit à 11 m le câble se trouvera à s on niveau le plus bas soit :



• dz = (1450/2) – (20+12+16+40) = 725 – 88 = 637 mm = 0,637 m

• dx = 11/2 = 5,5 Soit alors pour x = 11 m :


• a = 0,1158/11 = 0,0105 m-1 L’équation (23) devient alors :

αα(x) = 0,0105 . X’’ Pour X’’ variant entre 0 et 11 m correspondant à x entre 184,2 et 195,2 m Application numérique : Pour x= 11 m α = 0,1158 rad soit 6,63° A cette courbure devra s’ajouter la courbure en plan Tanα = 0,6/11,9 = 0,0504 d’où α= 0,0503 rad correspondant à 2,88° D’où un total de 0,1659 rad 9,50°. Pour les travées centrales nous distinguerons deux catégories de câbles : les câbles de continuité et les câbles de fléau. Les premiers étant situés dans la partie supérieure des âmes, les seconds en partie inférieure de la dalle.

Figure 138 : Vue des câbles en travée.



Tous ces câbles sont rectilignes, sauf pour certains où une courbure en plan est constatée, elle sera estimée de la même manière que ci-dessus ultérieurement. III.1.5.6. Tracé des câbles de fléau En vue en plan nous proposons le tracé suivant pour les câbles de fléau :

Figure 139: Tracé de câbles de fléau.

Nous rappelons qu’une grande partie du fléau de 34,2 m est en courbe en plan.

Figure 140 : Vue en plan du fléau en courbe.



En vue transversale nous avons l’allure suivante, bien entendu tous les câbles ne sont pas sur le même plan horizontal :

Figure 141 : Vue en long du tracé des câbles de fléau.

III.1.5.7. Force de précontrainte Pour réaliser le calcul de la force de précontrainte appliquée à l’armature nous devons considérer deux phases différentes : La phase de mise en tension des câbles et la variation dans le temps de la tension dans les câbles. Les contraintes dans les câbles sont la conséquence de l’effort appliqué par le vérin, et des frottements internes entre le câble et l’ancrage, d’une part, et le conduit d’autre part. Leur détermination permet de calculer les allongements théoriques qui doivent être enregistrés lors de la mise en tension. La prise en compte dans les calculs de la perte de tension due à l’entrée du mors, permet de connaître la valeur de la contrainte initiale appliquée après l’enlèvement du vérin. Ensuite, du fait de l’existence de phénomènes propres au béton de la structure, à savoir le retrait et le fluage, ainsi que ceux concernant la relaxation de l’acier ; la contrainte dans les câbles varie constamment en fonction du temps. Il faut donc tenir compte de ces phénomènes pour connaître l’état de la tension réelle de l’armature à un instant t quelconque. Dans le dimensionnement précédent nous avons calculé ce qu’on pourrait appeler la contrainte P∞ c’est à dire la tension eff ective dans les câbles après déduction de toutes les pertes citées précédemment et développées dans ce qui suit. III.1.5.7.a. Classification des câbles Etant donné les particularités des tracés, nous allons classifier les câbles en groupe présentant exactement les mêmes caractéristiques.



Tout d’abord pour les parties coulées sur cintre, nous avons dans chaque cas deux câbles identiques, soit en tout 4 câbles. Le tracé de ces câbles varie uniquement dans un seul plan perpendiculaire. Tous les câbles de continuité seront considérés comme rectilignes, de ce fait ils feront tous partie d’un même groupe. Pour les câbles de fléaux nous avons des câbles rectilignes au niveau des travées 2, 3, 4, et 5 en partant de l’Est. Les courbures des câbles concernent la sixième et septième travée. Nous noterons aussi une légère courbure au niveau de la deuxième travée, elle est due au début d’élargissement du tablier. Afin de personnaliser chaque câble nous lui affecterons une codification : Une première lettre désignera le type de câble :

F s’il s’agit d’un câble de fléau ; C de continuité ; P pour les câbles ayant un tracé parabolique.

En second plan un chiffre (ou une lettre) désignant l’emplacement du câble :

De 1 à 6 désignant le numéro de la pile pour les câbl es de fléaux ; De 2 à 7 désignant le numéro de travée pour les câbles de continuité ; O pour Ouest ou E pour Est afin de désigner dans quelle partie coulée sur cintre se situe le câble parabolique.

Un dernier numéro indiquera le rang du câble, à savoir :

Pour les câbles de fléau un chiffre allant de 1 à 4 désignant si l’ancrage se situe au niveau du voussoir sur pile (1), du premier voussoir (2)…

Afin de distinguer l’emplacement des câbles de fléau nous ajouterons une lettre N ou S afin d’indiquer dans quel âme se trouve le câble (N pour Nord, S pour Sud) Le tout séparé par des tirets « - », par exemple :

• P-O-N désigne le câble de la partie Ouest (coulée sur cintre) au niveau de l’âme Nord ;

• C-5 désigne les câbles de continuité au niveau de la cinquième travée ;

• F-3-2-S indique le câble de fléau au niveau de la troisième pile devant retenir le premier voussoir, ce câble étant situé au niveau de l’âme Sud.

De ce fait, il sera plus aisé de désigner chaque câble. Nous avons regrouper dans le tableau suivant les câbles ayant les mêmes caractéristiques de tracé :



Tableau 64 : Classification des câbles.

Groupe Désignation Câbles

1 Partie Est coulée sur cintre

P-E-X

2 Câbles de fléau inclinés F-2-3-N et F-2-4-N

3 Câbles de continuité C-X

4 Câbles de fléau droits F-1-1-X, F-2-1-N, F-2-2-N, F-2-X-S, F-3-X, F-4-X, F-5-1-X et F5-2-X

5 Câbles de fléau inclinés F-5-3-X, F-5-4-X

6 Câbles de fléau inclinés F-6-X-X

7 Partie Ouest coulée sur cintre

P-0-X

X désignant tous les cas.

Figure 142 : Schématisation des groupes de câbles.

Les caractéristiques des câbles sont les suivantes :



Tableau 65 : Caractéristiques géométriques des câbles de précontrainte.

Groupe Câble N° Nombre de câbles Type de tracé Longueur

(m) Somme des

courbes (rad)

1 P-E-X 2 Courbe verticale

33,3 0,574345

2 F-2-3-N et F-2-4-N 2 Courbe en plan 21 et 29 0,043

3 C-X 6 x 4 Rectiligne 8 et 16 0

4.1 F-1-1-X 2 Rectiligne 12 0

4.2 F-2-1-X, F-3-1-X, F-4-1-X et F-5-1-X

8 Rectiligne 5 0

4.3 F-2-2-X, F-3-2-X, F-4-2-X et F-5-2-X

8 Rectiligne 13 0

4.4 F-2-3-S, F-3-3-X et F-4-3-X 5 Rectiligne 21 0

4.5 F-2-4-S, F-3-4-X et F-4-4-X 5 Rectiligne 29 0

5.1 F-5-3-N et F-5-3-S 2 Courbe en plan 21,03 et

21,08 0,025

5.2 F-5-4-N et F-5-4-S 2 Courbe en plan 29,08 et

29,18 0,08

6.1 F-6-1-N et F-6-1-S 2 Courbe en plan 10,1 et 10,3

0,06

6.2 F-6-2-N et F-6-2-S 2 Courbe en plan 18 et 18,4

0,09


0,134


0,171

7 P-O-N et P-O-S 2 Courbe verticale

12,0 et 12,2

0,1659

Nbr total de câbles 46 Long. totale

Les longueurs des câbles ont été déduites selon les diagrammes des moments fléchissants longitudinaux et selon des critères d’ordres pratiques. Nous allons maintenant évaluer les pertes instantanées :



III.1.5.7.b. Calcul de la tension après blocage Selon les règles BPEL91, la tension σp0(x) d’une armature de précontrainte dans une section donnée, lors de la mise en tension, s’obtient, compte tenu des frottements à partir de la tension σp0 à l’ancrage actif le plus proche, par la Loi de Cooley :

σp0(x) = σp0 . e-(µα+ϕx)

(29)

Dans laquelle:

x (m) est la distance de la section considérée à celle des sorties des organes de mise en tension ;

e est la base des logarithmes népériens ; µ : est le coefficient de frottement entre les armatures et leur gaines, dans les zones

courbes ; α (rd) est la déviation angulaire totale du câble sur la distance x, indépendamment de

leur direction et de leur signe en considérant son tracé dans l’espace ;

ϕ=kµ (m-1) est le coefficient de perte de tension par unité de longueur ; k étant la déviation angulaire parasite, par unité de longueur, dépendant du tracé des

câbles. Les coefficients de frottement dépendent du type d’acier utilisé, de la nature des conduits et de l’état de la surface de chacun des matériaux. Tout en étant dans les tolérances admises par le règlement SIA 162, à savoir :

Valeur indicative supérieure : µ = 0,30 Valeur indicative inférieure : µ = 0,10

∆α étant l’angle de déviation supplémentaire par unité de longueur. Nous retiendrons les valeurs suivantes :

• µ =0,18 ;

• α variables selon les dispositions précédentes; • ϕ = 0,0009 m-1.

Avant de pouvoir calculer ces pertes nous sommes obligés de déterminer pour chaque câble s’il est tendu par une ou par les deux extrémités, ce afin de pouvoir définir la longueur entre la zone d’ancrage et la zone considérée. Nous proposons d’adopter deux ancrages mobiles pour les câbles paraboliques de la travée Est, car leur longueur est relativement importante et le tracé assez sinueux. Etant donné que pour les autres câbles les longueurs sont raisonnables et afin de faciliter l’exécution, nous proposons à ce stade de ne les tendre que par une seule extrémité. La tension à l’ancrage sera de 0,75 f tk soit 1327,5 N/mm² et ce, selon le règlement SIA160 qui recommande de ne pas dépasser cette valeur.



Nous rappelons que comme pour le pré-dimensionnement nous utiliserons des câbles dont la résistance à la traction nominale est de 1770 N/mm².

Tableau 66 : Calcul des contraintes exercées lors de la mise en tension

Câble Alpha (rad) X (m) Tension au point x

Soit une perte de (N) % Pertes

Groupe1 0,287 17 1241,483 86,017 6,480

Groupe 2 : F-2-3-N 0,043 21 1292,602 34,898 2,629

Groupe 2 : F-2-4-N 0,043 29 1283,329 44,171 3,327

Groupe 3 0,000 16 1308,521 18,979 1,430

Groupe 4.1 0,000 12 1313,240 14,260 1,074

Groupe 4.2 0,000 5 1321,540 5,960 0,449

Groupe 4.3 0,000 13 1312,059 15,441 1,163

Groupe 4.4 0,000 21 1302,646 24,854 1,872

Groupe 4.5 0,000 29 1293,300 34,200 2,576

Groupe 5.1 : F-5-3-N 0,025 21,03 1296,762 30,738 2,315

Groupe 5.1 : F-5-3-S 0,025 21,08 1296,704 30,796 2,320

Groupe 5.2 : F-5-4-N 0,080 35 1267,945 59,555 4,486

Groupe 5.2 : F-5-4-5 0,080 29,18 1274,604 52,896 3,985

Groupe 6.1 : F-6-1-N 0,060 10,1 1301,357 26,143 1,969

Groupe 6.1 : F-6-1-S 0,060 10,3 1301,123 26,377 1,987

Groupe 6.2 : F-6-2-N 0,090 18 1285,178 42,322 3,188

Groupe 6.2 : F-6-2-S 0,090 18,4 1284,716 42,784 3,223

Groupe 6.3 : F-6-3-N 0,134 25,8 1266,120 61,380 4,624

Groupe 6.3 : F-6-3-S 0,134 26,6 1265,209 62,291 4,692

Groupe 6.4 : F-6-4-N 0,171 33,7 1248,805 78,695 5,928

Groupe 6.4 : F-6-4-S 0,171 34,6 1247,794 79,706 6,004

Groupe 7 0,166 12,2 1274,352 53,148 4,004 Nous remarquons que les pertes sont très variées d’un câble à un autre, elles varient de 6 à 86 N/mm². III.1.5.7.b. Calcul de la perte d’allongement après blocage des mors d’ancrage La perte d’allongement apparaît lorsque la force appliquée au câble par le vérin est reportée directement à la structure, par l’intermédiaire de l’ancrage. Ce transfert d’énergie s’effectue lors de la vidange de la chambre de tension du vérin. L’énergie nécessaire à la réalisation du serrage conique n’est atteinte qu’après un mouvement d’entraînement du mors par le toron ; cette rentrée de mors peut être diminuée en procédant à un blocage hydraulique préalable à l’aide d’un vérin auxiliaire. Les valeurs de la rentrée de mors sont indiquées dans les caractéristiques techniques de chaque ancrage, car elles lui sont liées.



La chute de tension au niveau de la zone d’ancrage est bien souvent bénéfique, car elle permet d’éliminer les sur-tensions momentanées nécessaires pour atteindre la tension voulue dans les sections importantes de l’ouvrage, mais inutiles dans les extrémités. Lors du blocage par coincement conique, le mouvement de rentrée du câble est freiné par le frottement sur la gaine ; c’est le phénomène inverse de celui observé lors de la mise en tension. La chute de tension qui est maximale au niveau de l’ancrage, diminue au fur et à mesure de façon symétrique (diagramme de mise en tension) et s’annule à une distance d de l’ancrage. Avant rentrée d’ancrage, la tension à l’abscisse x était donnée par la formule (22) où l’allongement relatif de l’armature à l’abscisse x valait :

p

pp

Ex σε =)( (30)

Après rentrée d’ancrage, la tension à l’abscisse x (<d) n’est plus que :

[ ])()()()('xKdKedx pp

−−=σσ (31)

ou compte tenu de (25) :

[ ])()(2)()('xKdKedx pp

−−=σσ (32)

En posant K(x) la fonction croissante de x : (µα+ϕx) Et l’allongement change aussi en conséquence de la variation de contrainte. D’où la perte par rentrée d’ancrage en tout point x (<d) vaut la différence entre σ et σ’. D’où la somme des pertes d’allongement g est égale à l’intégrale des deux diagrammes jusqu’à d, ce qui correspon d à l’aire comprise entre ces deux courbes ( σ et σ’).



Figure 143 : Tension du câble avant et après relâchement de la pression dans le vérin.

Dans la pratique on assimile cette zone à un triangle dont la quantité g.E p représente la perte par entrée d’ancrage. Elle peut être aussi évaluée à partir de l’aire du triangle compris entre les diagrammes des tensions avant et après ancrage de l’armature considérée. Compte tenu des frottements sur la longueur d, dans la mesure où l’armature de longueur l est tendue par une seule extrémité et où sa déviation angulaire totale sur la longueur l est α, ce qui correspond à une déviation angulaire moyenne de αd/l sur la longueur d, on peut écrire :

+−≈=

+−

ϕασσσϕ

α

lf

de pppd

l

df

21.'' 0002

(33)

avec f = µ d’où

+=− ϕασσ

lfdpp 2' 00 (34)

L’aire du triangle vaut donc g.Ep=d²(fα/l+ϕ)σp0 (35)

Ce résultat est obtenu en intégrant sur la longueur d ; nous pouvons déduire d :



+

−+

−=0

1

)(1ln

)(

1p

plf

gE

lf

d σ

ϕα

ϕα (36)

ou par une valeur approchée :

)(0

2

ϕασ +=

lf

gEdp

p (37)

Dans nos calculs nous retiendrons la valeur donnée par l’équation 32 car plus précise (résultat direct de l’intégration). Afin de simplifier toute ces procédures nous pouvons utiliser la longueur perdue donnée par le constructeur pour chaque type d’ancrage. Cette perte est de l’ordre de 6 à 11 mm pour tous les ancrages Freyssinet conçus pour des torons de type T15S. Nous retiendrons une valeur intermédiaire de g=8 mm.

Tableau 67 : Pertes de tension au niveau de l’ancrage dues à l’entrée des clavettes.

Câble d1 d2 Tension à l’ancrage

Soit une perte de (N) % Pertes

Groupe1 21,61 22,20 1190,540 136,960 10,317

Groupe 2 : F-2-3-N 30,04 30,63 1228,241 99,259 7,477

Groupe 2 : F-2-4-N 31,32 31,91 1232,226 95,274 7,177

Groupe 3 35,67 36,25 1243,638 83,862 6,317

Groupe 4.1 35,67 36,25 1243,638 83,862 6,317

Groupe 4.2 35,67 36,25 1243,638 83,862 6,317

Groupe 4.3 35,67 36,25 1243,638 83,862 6,317

Groupe 4.4 35,67 36,25 1243,638 83,862 6,317

Groupe 4.5 35,67 36,25 1243,638 83,862 6,317

Groupe 5.1 : F-5-3-N 32,06 32,65 1234,372 93,128 7,015

Groupe 5.1 : F-5-3-S 32,07 32,65 1234,392 93,108 7,014

Groupe 5.2 : F-5-4-N 29,55 30,14 1226,611 100,889 7,600

Groupe 5.2 : F-5-4-5 28,67 29,25 1223,566 103,934 7,829



Groupe 6.1 : F-6-1-N 24,11 24,70 1204,419 123,081 9,272

Groupe 6.1 : F-6-1-S 24,24 24,83 1205,054 122,446 9,224

Groupe 6.2 : F-6-2-N 25,22 25,81 1209,703 117,797 8,874

Groupe 6.2 : F-6-2-S 25,36 25,95 1210,330 117,170 8,826

Groupe 6.3 : F-6-3-N 24,98 25,57 1208,594 118,906 8,957

Groupe 6.3 : F-6-3-S 25,17 25,76 1209,487 118,013 8,890

Groupe 6.4 : F-6-4-N 25,13 25,72 1209,277 118,223 8,906

Groupe 6.4 : F-6-4-S 25,29 25,88 1210,036 117,464 8,848

Groupe 7 18,49 19,09 1168,177 159,323 12,002

Et ce au niveau de l’ancrage. Les résultats obtenus (d) confirment les dispositions précédentes à savoir tendre la ma jorité des câbles par une seule extrémité. Si l’effet de la rentrée d’ancrage s’étend sur toute la longueur de l’armature, on a compte tenu de la symétrie, une perte de tension représentée dans le diagramme suivant :

Figure 144 : Perte de tension par rentrée d’ancrage dans le cas où d>l

Nous allons maintenant déduire la perte de précontrainte aux autres extrémités, car en réalité c’est cette valeur qui nous intéresse. Celle-ci étant donné par la formule :

Perte au pt x = perte à l’ancrage (d -x)/d (38)

En supposant une variation de perte linéaire.



Tableau 68 :Perte de tension aux extrémités

Câble X (m)

Perte (N)

Tension au pt. (N/mm²) % Pertes

Groupe1 17 32,089 1295,411 2,42

Groupe 2 : F-2-3-N 21 31,209 1296,291 2,35

Groupe 2 : F-2-4-N 29 8,693 1318,807 0,65

Groupe 3 16 46,850 1280,650 3,53

Groupe 4.1 12 56,103 1271,397 4,23

Groupe 4.2 5 72,296 1255,204 5,45

Groupe 4.3 13 53,790 1273,710 4,05

Groupe 4.4 21 35,284 1292,216 2,66

Groupe 4.5 29 16,779 1310,721 1,26

Groupe 5.1 : F-5-3-N 21,03 33,138 1294,362 2,50

Groupe 5.1 : F-5-3-S 21,08 33,001 1294,499 2,49

Groupe 5.2 : F-5-4-N 35 0,000 1327,500 0,00

Groupe 5.2 : F-5-4-5 29,18 0,260 1327,240 0,02

Groupe 6.1 : F-6-1-N 10,1 72,761 1254,739 5,48

Groupe 6.1 : F-6-1-S 10,3 71,657 1255,843 5,40

Groupe 6.2 : F-6-2-N 18 35,651 1291,849 2,69

Groupe 6.2 : F-6-2-S 18,4 34,089 1293,411 2,57

Groupe 6.3 : F-6-3-N 25,8 0,000 1327,500 0,00

Groupe 6.3 : F-6-3-S 26,6 0,000 1327,500 0,00

Groupe 6.4 : F-6-4-N 33,7 0,000 1327,500 0,00

Groupe 6.4 : F-6-4-S 34,6 0,000 1327,500 0,00

Groupe 7 12,2 57,488 1270,012 4,33

III.1.5.7.c. Calcul de l’allongement du câble L’effet du raccourcissement élastique du béton à la mise en tension est pratiquement négligeable et n’est pas prise en considération dans les formules qui suivent. L’allongement du câble pendant la mise en tension est :



∫∫ ==∆l

ppl

pdx

EAxP

dxE

xl

)()(σ (39)

avec :

∆l La somme des allongements aux deux extrémités ; P(x), σ(x) Tension au point d’abscisse x du câble ; Ep Module d’élasticité du câble ; Ap Aire de la section d’armature.

Quant la mise en tension est réalisée par les deux extrémités sur un câble dont le tracé est symétrique par rapport à la section médiane de l’élément, la tension minimale se situe au milieu du câble ; lorsqu’elle est réalisée par une seule extrémité, la tension minimale se situe à l’ancrage passif. On peut admettre que la tension, à la mise en précontrainte, varie de façon linéaire le long du câble.

Figure 145 : Variation de la contrainte dans les câbles

Dans les cas précédents, on calculera l’allongement à partir de la tension moyenne σm , qui est la moyenne entre la tension maximale à l’ancrage et la tension minimale. L’allongement est alors :

p

m

pp

m

El

EAlPl σ==∆ (40)

l étant alors la longueur du câble entre points de fixation sur les vérins, ou entre point de fixation sur le vérin et l’ancrage passif.



La contrainte moyenne est prise entre la contrainte à l’ancrage avant blocage et la contrainte à l’autre extrémité du câble.

Tableau 69 : Calcul de l’allongement des câbles

Câble Contrainte à l’ancrage (N/mm²)

Contrainte après pertes à l’extrémité

(N/mm²)

Contrainte moyenne N/mm²

Allongement (m)

Groupe1 1327,5 1241,483 1284,491 0,225

Groupe 2 : F-2-3-N 1327,5 1292,602 1310,051 0,145

Groupe 2 : F-2-4-N 1327,5 1283,329 1305,414 0,199

Groupe 3 1327,5 1308,521 1318,010 0,111

Groupe 4.1 1327,5 1313,240 1320,370 0,083

Groupe 4.2 1327,5 1321,540 1324,520 0,035

Groupe 4.3 1327,5 1312,059 1319,779 0,090

Groupe 4.4 1327,5 1302,646 1315,073 0,145

Groupe 4.5 1327,5 1293,300 1310,400 0,200

Groupe 5.1 : F-5-3-N 1327,5 1296,762 1312,131 0,145

Groupe 5.1 : F-5-3-S 1327,5 1296,704 1312,102 0,146

Groupe 5.2 : F-5-4-N 1327,5 1267,945 1297,722 0,239

Groupe 5.2 : F-5-4-5 1327,5 1274,604 1301,052 0,200

Groupe 6.1 : F-6-1-N 1327,5 1301,357 1314,428 0,070

Groupe 6.1 : F-6-1-S 1327,5 1301,123 1314,311 0,071

Groupe 6.2 : F-6-2-N 1327,5 1285,178 1306,339 0,124

Groupe 6.2 : F-6-2-S 1327,5 1284,716 1306,108 0,126

Groupe 6.3 : F-6-3-N 1327,5 1266,120 1296,810 0,176

Groupe 6.3 : F-6-3-S 1327,5 1265,209 1296,355 0,181

Groupe 6.4 : F-6-4-N 1327,5 1248,805 1288,153 0,228

Groupe 6.4 : F-6-4-S 1327,5 1247,794 1287,647 0,234

Groupe 7 1327,5 1274,352 1300,926 0,084

Soit un allongement des câbles variant entre 3,5 et 22 cm.



III.1.5.7.d. Calcul de la force de précontrainte finale La tension dans les armatures de précontrainte chute, du fait du raccourcissement instantané de l’ouvrage ainsi que des effets lents du retrait et du fluage du béton ; à ces phénomènes s’ajoute la relaxation de l’acier de précontrainte. Il faut donc faire la somme des pertes liées à tous ces phénomènes afin de connaître la valeur finale de l’effort de précontrainte, à prendre en compte dans le calcul de l’ouvrage. III.1.5.7.e. Déformation instantanée du béton Les pertes de précontrainte engendrées par le raccourcissement instantané de l’ouvrage, dues à l’action de l’effort transmis par les câbles de précontrainte et aux autres actions permanentes, sont de faible importance. Elles peuvent être assimilées à une perte moyenne agissant su r chaque armature qui, dans une section donnée, est égale selon le règlement BPEL 91 à :

∑ ∆ij

bjp

EkE σ

(41)

∆σbj désignant la variation de contrainte dans le béton agissant au niveau du centre de gravité des armatures de précontrainte dans la section considérée sous diverses actions permanentes appliquées au jour j. En pratique quant les variations de contraintes demeurent limitées, une approximation suffisante de la perte par déformations instantanées du béton peut généralement être obtenue en la prenant égale à :

k.σb.Ep/Eb (42)

• σb. désignant la contrainte finale du béton.

• k un coefficient multiplicateur égal à : ½ pour les variations de contrainte dues à la précontrainte rel ative à la phase de mise en tension des armatures considérées et aux actions permanentes appliquées simultanément ; 1 Pour les variations de contrainte dues aux actions permanentes appliquées postérieurement à cette phase de précontrainte, y compris celles dues aux armatures actives mises en tension ultérieurement ;

• Nous prendrons Ep/Eb=6 Dans le cas de n armatures identiques tendues successivement, le coefficient k est en réalité égal à (n -1)/2n. il se rapproche d’autant plus de ½ que le nombre d’armature s est plus élevé. Dans notre cas k est donc variable :

• Groupe 1 et 7 n=2 donc k=1/4

• Groupes 2 à 6 n=4 donc k =3/8



La contrainte de compression dans le béton est donnée à l’aide de la formule suivante :

c

qg

c

p

cc

WM

WM

AP +

±±−=σ (43)

où :

As est l’aire du béton ; Mp moment dû à la précontrainte selon les dispositions précédentes ; Mg+q moment dû aux charges lors de la mise en tension c-à-d le moment dû au poids

propre de la structure porteuse ; Wc module de flexion de la section, variable selon que l’on soit en partie supérieure

ou inférieure du tablier car il n’y a pas de symétrie par rapport à l’axe neutre. Les résultats de ces calculs sont présentés dans le tableau suivant :

Tableau 70 : Calculs des contraintes de compression dans le béton.

Désignation Mg+q (kN.m)

Mp (kN.m) Ac (m) Wc (m3) P (kN) σc.

(kN/m²) σc

(N/mm²) Mi travée 1 2882 3048,78 3,658 0,980248 2583,93 -876,52 -0,88

Pile 1 6641 7412,51 3,313 0,423421 6340,36 -3735,87 -3,74

Mi travée 2,3,7,5,6 3096 4188,12 2,683 0,869150 3549,56 -2579,52 -2,58

Piles 2,3,4,5 6375 7598,15 2,683 0,391118 6499,14 -5549,66 -5,55

Pile 6 8727 10368,94 2,683 0,391118 8869,16 -7503,75 -7,50

Septième travée 5638 5625,30 2,683 0,869150 4796,88 -1773,27 -1,77

Les moments dus au poids propre des éléments porteurs ont été calculés avec SAP90 en ne considérant aucune surcharge soit le cas le plus défavorable et ce pour les câbles de continuité et pour les travées coulées sur cintre. Pour les autres cas nous avons retenu le moment le plus petit de chaque groupe.



Tableau 71 : Calcul des pertes par déformation instantanée du béton.

Désignation σc

(N/mm²) k Perte (N/mm²) % perte

Mi travée 1 -0,88 0,25 1,31 0,10

Pile 1 -3,74 0,38 8,41 0,63

Mi travée 2,3,7,5,6 -2,58 0,38 5,80 0,44

Piles 2,3,4,5 -5,55 0,38 12,49 0,94

Pile 6 -7,50 0,38 16,88 1,27

Septième travée -1,77 0,25 2,66 0,20

Ce qui porte les pertes instantanées à :

Tableau 72 : Récapitulatif des pertes instantanées.

Câble Perte après

blocage (N/mm²)

Perte par entrée du

mors

Perte par déf. instantanée

du béton

Somme des pertes (N/mm²)

Tension au pt. Considéré (N/mm²)

% perte

Groupe1 86,017 32,089 9,72 127,827 1199,67 9,63

Groupe 2 F-2-3-N 34,898 31,209 12,49 78,593 1248,90 5,92

Groupe 2 F-2-4-N 44,171 8,693 12,49 65,351 1262,14 4,92

Groupe 3 18,979 46,850 5,80 71,633 1255,86 5,40

Groupe 4.1 14,260 56,103 12,49 82,850 1244,65 6,24

Groupe 4.2 5,960 72,296 12,49 90,743 1236,75 6,84

Groupe 4.3 15,441 53,790 12,49 81,718 1245,78 6,16

Groupe 4.4 24,854 35,284 12,49 72,625 1254,87 5,47

Groupe 4.5 34,200 16,779 12,49 63,465 1264,03 4,78

Groupe 5.1 F-5-3-N 30,738 33,138 12,49 76,363 1251,13 5,75

Groupe 5.1 F-5-3-S 30,796 33,001 12,49 76,284 1251,21 5,75

Groupe 5.2 F-5-4-N 59,555 0,000 12,49 72,042 1255,45 5,43

Groupe 5.2 F-5-4-5 52,896 0,260 12,49 65,643 1261,85 4,94

Groupe 6.1 F-6-1-N 26,143 72,761 16,88 115,787 1211,713 8,72

Groupe 6.1 F-6-1-S 26,377 71,657 16,88 114,918 1212,582 8,66

Groupe 6.2 F-6-2-N 42,322 35,651 16,88 94,856 1232,644 7,15



Groupe 6.2 F-6-2-S 42,784 34,089 16,88 93,757 1233,743 7,06

Groupe 6.3 F-6-3-N 61,380 0,000 16,88 78,263 1249,237 5,90

Groupe 6.3 F-6-3-S 62,291 0,000 16,88 79,174 1248,326 5,96

Groupe 6.4 F-6-4-N 78,695 0,000 16,88 95,578 1231,922 7,20

Groupe 6.4 F-6-4-S 79,706 0,000 16,88 96,589 1230,911 7,28

Groupe 7 53,148 57,488 2,66 113,297 1214,203 8,53

Viennent ensuite les pertes différées : III.1.5.7.f. Effet du retrait du béton Le retrait est le raccourcissement du béton non chargé, au cours de son durcissement. Les armatures de précontrainte, étroitement liées au béton par adhérence, subissent donc les mêmes variations de déformation que le béton adjacent. La perte finale de tension, dans le cas de conditions thermohygrométriques constantes (humidité et température constante), est fonction de l’age du béton au moment de sa mise en précontrainte, dû au retrait total du béton et de son évolution en fonction du temps. La perte finale de tension par retrait, pour l’armature considérée, est la suivante, toujours selon les règles du BPEL91 :

∆σr.= Ep εr [1-r(t0)] (44)

Avec

εr déformation finale due au retrait ; r(t0) Fonction traduisant la loi d’évolution du retrait en fonction du temps.

On peut souvent négliger r(t0) devant 1, d’où la fonction simplifiée suivante :

∆σr.= Ep εr (45)

Selon la norme SIA162, nous pouvons nous contenter d’introduire dans les calculs un retrait spécifique final selon les diamètre moyen de la section def avec :

def = 2A/u (46)

où A est l’aire de la section de béton et u le périmètre de contact avec l’atmosphère Application def = 2.(2,683)/12,918 = 0,41



Ce qui classe notre section dans la catégorie des grands diamètre, d’où un retrait spécifique final εs∞ valant 0,15. En appliquant l’équation 40 nous obtenons une perte de : ∆σr.= 190 000 . 1,5 x 10-4 = 28,5 N/mm². III.1.5.7.g. Effet du fluage du béton La déformation due au fluage correspond à un raccourcissement différé du béton sous l’effet des contraintes de compression. La perte finale de tension, dans le cas de conditions thermohygrométriques constantes (humidité et température constante), est fonction de la contrainte maximale et de la contrainte finale, supportées par le béton dans la section considérée, de l’âge du béton lors de sa mise en précontrainte, ainsi que de la durée et de l’intensité de la charge. Selon le BPEL91, la perte finale de tension subie par les armatures, est :

( )cij

pflpfl

EEE σσεσ +≈=∆ max (47)

Avec

Eij module de déformation instantanée du béton à l’âge de j jours ; σmax et σc étant, respectivement la contrainte maximale et la contrainte finale supportées par le béton dans la section considérée, au niveau du centre de gravité des armatures de précontrainte.

Comme σmax ≤ 2,5 σc et Ep / Eij ≈ 6, nous avons

∆σfl = 15 σc (48)



Tableau 73 : Pertes dues au fluage du béton.

Désignation Contrainte de compression

(N/mm²)

Perte (N/mm²)

% perte par rapport à la tension après

pertes instantanées

Mi travée 1 0,88 13,15 1,10

Pile 1 3,74 56,04 4,49

Mi travée 2,3,7,5,6 2,58 38,69 3,07

Piles 2,3,4,5 5,55 83,24 6,63

Pile 6 7,50 112,56 9,04

Septième travée 1,77 26,60 2,15

III.1.5.7.h. Effet de la relaxation des armatures de précontrainte. Une armature tendue en permanence et maintenue, après mise en tension, à une longueur constante, subit une perte de contrainte de traction. La valeur finale de la perte de tension est fonction du temps d’application de la force de précontrainte, de la valeur garantie de la relaxation à 1000 heures et de la valeur de la tension initiale de l’armature. Le calcul de la perte finale par relaxation est donnée par la formule suivante extraite du BPEL 91 :

)()(

1006

01000 xf

xpi

pk

pip σµσρσ

−=∆ (49)

Avec :

ρ1000 Valeur garantie de la relaxation à 1000 heures égale à 2,5% pour Freyssinet ;

σpi(x) contrainte initiale de l’armature dans la section d’abscisse x ; fpk Résistance caractéristique à la traction de l’armature (1770 N/mm²) ; µ0 est égal à : 0,43 pour les armatures à très basse relaxation (câbles Freyssinet…) ;

0,30 pour les armatures à relaxation normale ; 0,35 pour les autres armatures.

La contrainte initiale de l’armature dans la section d’abscisse x est celle calculée après pertes instantanées (Cf Tableau 72 : Récapitulatif des pertes instantanées.)



Tableau 74 : Calcul des pertes par relaxation des aciers de précontrainte.

Câble Contrainte après pertes instantanées

Perte (N/mm²)

% de perte

Groupe1 1199,673 44,59 3,72

Groupe 2 F-2-3-N 1248,907 51,63 4,13

Groupe 2 F-2-4-N 1262,149 53,59 4,25

Groupe 3 1255,867 52,66 4,19

Groupe 4.1 1244,650 51,00 4,10

Groupe 4.2 1236,757 49,85 4,03

Groupe 4.3 1245,782 51,17 4,11

Groupe 4.4 1254,875 52,51 4,18

Groupe 4.5 1264,035 53,88 4,26

Groupe 5.1 F-5-3-N 1251,137 51,96 4,15

Groupe 5.1 F-5-3-S 1251,216 51,97 4,15

Groupe 5.2 F-5-4-N 1255,458 52,60 4,19

Groupe 5.2 F-5-4-5 1261,857 53,55 4,24

Groupe 6.1 F-6-1-N 1216,110 46,89 3,86

Groupe 6.1 F-6-1-S 1216,979 47,02 3,86

Groupe 6.2 F-6-2-N 1237,041 49,89 4,03

Groupe 6.2 F-6-2-S 1238,140 50,05 4,04

Groupe 6.3 F-6-3-N 1253,634 52,33 4,17

Groupe 6.3 F-6-3-S 1252,722 52,19 4,17

Groupe 6.4 F-6-4-N 1236,319 49,79 4,03

Groupe 6.4 F-6-4-S 1235,308 49,64 4,02

Groupe 7 1214,203 46,62 3,84

III.1.5.7.i. Pertes différées totales Il faut tenir compte de l’interaction de tous les phénomènes précédents. Pour tenir compte de cette interaction, les règles BPEL proposent de minorer forfaitairement la relaxation par le coefficient 5/6. La perte différée devient ainsi :



pflrd σσσσ ∆+∆+∆=∆65 (50)

Tableau 75 : Récapitulatif des pertes différées totales.

Câble

Pertes dues au retrait

(N/mm²)

Pertes dues au fluage

(N/mm²)

Pertes dues à la relaxation

des armatures (N/mm²)

Pertes différées totales

(N/mm²)

% perte par rapport à la tension après


Groupe1 28,5 69,19 44,59 134,84 11,24

Groupe 2 F-2-3-N 28,5 83,24 51,63 154,77 12,39

Groupe 2 F-2-4-N 28,5 83,24 53,59 156,41 12,39

Groupe 3 28,5 38,69 52,66 111,07 8,84

Groupe 4.1 28,5 83,24 51,00 154,25 12,39

Groupe 4.2 28,5 83,24 49,85 153,29 12,39

Groupe 4.3 28,5 83,24 51,17 154,39 12,39

Groupe 4.4 28,5 83,24 52,51 155,50 12,39

Groupe 4.5 28,5 83,24 53,88 156,64 12,39

Groupe 5.1 F-5-3-N 28,5 83,24 51,96 155,04 12,39

Groupe 5.1 F-5-3-S 28,5 83,24 51,97 155,05 12,39

Groupe 5.2 F-5-4-N 28,5 83,24 52,60 155,58 12,39

Groupe 5.2 F-5-4-5 28,5 83,24 53,55 156,37 12,39

Groupe 6.1 F-6-1-N 28,5 112,56 46,27 179,62 14,82

Groupe 6.1 F-6-1-S 28,5 112,56 46,39 179,72 14,82

Groupe 6.2 F-6-2-N 28,5 112,56 49,26 182,10 14,77

Groupe 6.2 F-6-2-S 28,5 112,56 49,42 182,24 14,77

Groupe 6.3 F-6-3-N 28,5 112,56 51,68 184,12 14,74

Groupe 6.3 F-6-3-S 28,5 112,56 51,54 184,01 14,74

Groupe 6.4 F-6-4-N 28,5 112,56 49,15 182,02 14,78

Groupe 6.4 F-6-4-S 28,5 112,56 49,01 181,90 14,78

Groupe 7 28,5 26,60 46,62 93,95 7,74



III.1.5.7.j. Pertes totales C’est en accumulant les pertes différées totales et les pertes instantanées que nous obtenons la tension dans les câbles P∞ ; c’est avec cette valeur que seront dimensionnés définitivement les câbles de précontrainte.

Tableau 76 : Récapitulatif des pertes instantanées et différées.

Câble Somme des


Somme des pertes différées

Somme de toute les pertes

Contrainte après

toutes les pertes

% Pertes par rapport à la

force de mise en tension

Groupe1 127,83 134,84 262,67 1064,83 19,79

Groupe 2 F-2-3-N 78,59 154,77 233,36 1094,14 17,58

Groupe 2 F-2-4-N 65,35 156,41 221,76 1105,74 16,70

Groupe 3 71,63 111,07 182,71 1144,79 13,76

Groupe 4.1 82,85 154,25 237,10 1090,40 17,86

Groupe 4.2 90,74 153,29 244,03 1083,47 18,38

Groupe 4.3 81,72 154,39 236,10 1091,40 17,79

Groupe 4.4 72,63 155,50 228,13 1099,37 17,18

Groupe 4.5 63,46 156,64 220,11 1107,39 16,58

Groupe 5.1 F-5-3-N 76,36 155,04 231,41 1096,09 17,43

Groupe 5.1 F-5-3-S 76,28 155,05 231,34 1096,16 17,43

Groupe 5.2 F-5-4-N 72,04 155,58 227,62 1099,88 17,15

Groupe 5.2 F-5-4-5 65,64 156,37 222,01 1105,49 16,72

Groupe 6.1 F-6-1-N 115,79 179,62 295,40 1032,10 22,25

Groupe 6.1 F-6-1-S 114,92 179,72 294,64 1032,86 22,19

Groupe 6.2 F-6-2-N 94,86 182,10 276,96 1050,54 20,86

Groupe 6.2 F-6-2-S 93,76 182,24 275,99 1051,51 20,79

Groupe 6.3 F-6-3-N 78,26 184,12 262,38 1065,12 19,77

Groupe 6.3 F-6-3-S 79,17 184,01 263,18 1064,32 19,83

Groupe 6.4 F-6-4-N 95,58 182,02 277,60 1049,90 20,91

Groupe 6.4 F-6-4-S 96,59 181,90 278,49 1049,01 20,98

Groupe 7 113,30 93,95 207,25 1120,25 15,61



Toutes les pertes sont en N/mm², nous rappelons que contrainte de mise en tension est égale à 0,75 f tk soit 1327,5 N/mm². C’est donc avec la contrainte finale dans les câbles après déduction de toutes les pertes que devront être repris les moments.

Tableau 77 : Dimensionnement des câbles de précontrainte en tenant compte des pertes.

Câble P infini (N/mm²)

Moment à reprendre

(kN.m)

Bras de levier (mm)

Section Ap (mm²)

Nombre torons T15

Chiffre retenu

Groupe1 1064,83 3048,78 1189,8 2887,71 19,25 20

Groupe 2 F-2-3-N 1094,14 2644 1073,7 2700,77 18,01 18

Groupe 2 F-2-4-N 1105,74 661 1082,7 662,55 4,42 6

Groupe 3 1144,79 4188,12 1185,3 3703,78 24,69 24

Groupe 4.1 1090,40 7412,51 1157,4 7048,17 46,99 46

Groupe 4.2 1083,47 661 1082,7 676,17 4,51 6

Groupe 4.3 1091,40 2644 1070,1 2716,67 18,11 18

Groupe 4.4 1099,37 5911 1157,4 5574,61 37,16 38

Groupe 4.5 1107,39 8587 1157,4 8039,65 53,60 52

Groupe 5.1 F-5-3-N 1096,09 2644 1070,1 2705,02 18,03 18

Groupe 5.1 F-5-3-S 1096,16 2644 1070,1 2704,85 18,03 18

Groupe 5.2 F-5-4-N 1099,88 661 1082,7 666,08 4,44 6

Groupe 5.2 F-5-4-5 1105,49 661 1082,7 662,71 4,42 6

Groupe 6.1 F-6-1-N 1032,10 11886 1157,4 11940,25 79,60 78

Groupe 6.1 F-6-1-S 1032,86 11886 1157,4 11931,38 79,54 78

Groupe 6.2 F-6-2-N 1050,54 5911 1157,4 5833,73 38,89 40

Groupe 6.2 F-6-2-S 1051,51 5911 1157,4 5828,37 38,86 40

Groupe 6.3 F-6-3-N 1065,12 2644 1070,1 2783,69 18,56 18

Groupe 6.3 F-6-3-S 1064,32 2644 1070,1 2785,79 18,57 18

Groupe 6.4 F-6-4-N 1049,90 661 1082,7 697,79 4,65 6

Groupe 6.4 F-6-4-S 1049,01 661 1082,7 698,38 4,66 6

Groupe 7 1120,25 5625,30 1185,3 5083,74 33,89 34



Nous remarquons que malgré avoir fait la différence entre chaque singularité distinguant les câbles, les valeurs de dimensionnement finales se rejoignent ; conclusion il n’est pas très utile de prendre en considération les petites particularités de tracé. Nous ajouterons que les moments pris sur appui sont ceux des phases de construction ; car plus importants que les moment issus des 85% du poids propre que devrait balancer la précontrainte en phase d’exploitation. III.1.5.8. Valeurs finales Ces valeurs finales de dimensionnement nous conduisent à adopter les dispositions suivantes : III.1.5.8.a. Travée de rive Est Pour la travée de rive Est qui rappelons-le est coulée sur cintre, sera parcourue au niveau des âmes par deux câbles 10T15S dont le tracé a été décris au § III.1.5.5. Ces câbles seront renforcés sur appui par deux câbles 13T15S d’une longueur de 12 m ; soit 6 m de part et d’autre de l’axe de la pile. Le câble parabolique sera tendu par ses deux extrémités, d’où la nécessité de prévoir deux ancrages mobiles de type C13/15. Quant aux câbles de renforcement sur appui qui seront tendus d’une seule extrémité, auront besoin des deux ancrages mobiles du même type que ceux du câble précédent à savoir C13/15, les ancrages fixes seront noyés dans le béton et de type S19/15.

Figure 146 : Ancrage mobile Freyssinet de type C.



Les ancrages fixes de type S sont plus compacts que les autres catégories, donc conviennent tout à fait à notre cas. D’autant plus que leur extrémité composée d’une plaque en forme de calotte sphérique qui permet un peu plus de souplesse pour la mise en place. Nous ajouterons que l’extrémité de chaque toron devra être munie d’un manchon filé qui sera encastré dans la plaque en question.

Figure 147 : Ancrage fixe Freyssinet de type S.

Figure 148 : Vue en long du tracé des câbles de précontrainte dans la travée de rive Est.



Au niveau des gaines ce sera des gaines renforcées pour des câbles enfilés après bétonnage. Pour les câbles paraboliques ce sera des gaines de diamètre (en mm) 71/75 et, 80/85 pour les câbles de renforcement. Sur appui nous aurons la disposition suivante :

Figure 149 : Schématisation des armatures sur le premier appui.

Et en travée :

Figure 150 : Schématisation des armatures au milieu de la première travée.



Cette disposition a été choisie en tenant compte de l’encombrement des ancrages, de ce fait les ancrages de type C13/15 qui nécessitent un espace de 25 x 21 cm pourront être entièrement recouverts par la section pour les câbles de renforcement. Pour les câbles paraboliques, il n’y a pas de problèmes étant donné qu’ils seront ancrés au niveau de l’axe neutre sur culée, et à un espace suffisant au niveau de la deuxième travée. Une fois les câbles mis en tension les ancrages seront noyés dans le béton, pour la partie de rive Ouest il n’y a pas de problème car la mise en tension devra se faire avant clavage. Pour les câbles de renforcement sur appui, des niches devront être prévues afin de pouvoir accueillir l’ancrage qui sera noyé une fois les câbles mis en tension. III.1.5.8.b. Travée de rive Ouest Nous allons aborder dans cette partie les câbles traversant la partie coulée sur place, en l’occurrence deux 5T15S traversant les âmes. Le reste de la précontrainte en mi travée sera couverte par les câbles de continuité. Ces câbles seront tendus par une seule extrémité en l’occurrence su côté de culée Ouest où il faudra donc prévoir deux ancrages mobiles de type C7/15 Deux ancrages fixes de type S7/15 noyés dans le béton composeront l’autre extrémité du tronçon ; nous avons gardé le type S afin d’uniformiser tous les ancrages et dans le but de disposer le câble le plus bas possible. Les câbles parcourront les âmes en leur centre, d’où il n’y a pas de problème de disposition d’ancrages. Des gaines renforcées de diamètre 50/54 couvriront les torons.

Figure 151 : Vue en long du tracé des câbles de précontrainte dans la travée de rive Ouest.

Une coupe transversale du tablier dans la zone de clavage nous donne la figure suivante :



Figure 152 : Schématisation des armatures à limite de la partie coulée sur cintre.

III.1.5.8.c. Câbles de continuité Les moments en travée sont positifs sur une longueur de 18 m, nous proposons afin de les reprendre d’utiliser 4 câbles de continuité, dont deux parcourront les deux voussoirs centraux et les autres quatre voussoirs. Chaque câble étant un 6T15S, leur somme 24T15S couvre donc entièrement la quantité calculée précédemment. Les câbles seront tendus d’une seule extrémité donc nous aurons besoin de 4 ancrages actifs de type C7/15 et 4 ancrages passifs de type S7/15. Les ancrages actifs et passifs seront alternés afin d’avoir des tensions plus uniformes.

Figure 153 : Vue en plan des câbles de continuité.



Des gaines renforcées de 55/59 mm de diamètre couvriront tous ces câbles.

Figure 154 : Schématisation du ferraillage en mi-travée.

Nous rappelons que les ancrages fixes ont un encombrement de 26x21cm et les ancrages mobiles 18x15cm. Pour les travées de rive où il est nécessaire de faire la jonction avec les parties coulées sur cintre, nous proposons de ne pas prolonger les deux câbles les plus long, car la précontrainte déjà existante jouera son rôle. Et puis cela facilitera la disposition des câbles, nous noterons qu’il faudra prévoir des niches dans tous les cas qui, devront accueillir les ancrages ; ensuite ils seront noyés dans le béton qui complètera ainsi la forme de la section.



Figure 155 : Schématisation des jonctions avec les parties coulées sur cintre.

Soit pour les travées de rive des câbles de continuité dans la longueur est de 8 ou 12 m. III.1.5.8.d. Câbles de fléau Cette catégorie se composée de 4 types de câbles par fléau où ; chacun d’entre eux est ancré à la fin d’un voussoir. Le dimensionnement nous a conduit à adopter une disposition particulière pour la dernière pile (la sixième) car elle est plus sollicitée que les autres. Pour les piles 2 à 5 nous adoptons la disposition suivante : Un premier câble 7T15S parcoure le voussoir sur pile et ce, dans chaque âme. Un autre câble 10T15S vient ancrer le premier voussoir sur le précédent, et ainsi de suite un câble 6T15S et 3T15S qui viendront renforcer les câbles déjà placés. Pour le premier câble nous avons choisis un 7T15S au lieu des 8T15/S nécessaires, ce afin d’avoir un ancrage moins important car la deuxième proposition aurait conduit à un élargissement de la section au niveau de la zone d’ancrage Ce choix n’influe pas sur la résistance de l’ouvrage car ce câble à été dimensionné avec un calcul à la rupture de la phase de construction, de ce fait le facteur de résistance et les coefficients de pondération absorbent ce déficit Selon les dispositions précédentes les câbles seront disposés sur deux plans parallèles.



Les ancrages correspondant à ces câbles sont en sachant qu’ils seront tendus d’une seule extrémité :

• Un ancrage mobile de type C3/15 pour les câbles 3T15S et un ancrage fixe S4/15 ;

• Un ancrage mobile de type C7/15 pour les câbles 6T15S et un ancrage fixe S7/15 ; • Un ancrage mobile de type C13/15 pour les 10T15S et un ancrage fixe S12/15 ; • Un ancrage mobile de type C7/15 pour les câbles 7T15S et un ancrage fixe S7/15.

Pour les gaines ce sera respectivement 46/50, 55/59, 71/75 et 62/66 pour les câbles 3, 6, 10 et 7T15S. Comme pour les câbles de continuité une alternance entre ancrage actif et passif est souhaitable afin d’homogénéiser les tensions.

Figure 156 : Schématisation des câbles de fléau courants.

En réalité les câbles sont situés sur deux plans, cette illustration n’étant que schématique.



Figure 157 : Emplacement des câbles de précontrainte au niveau des piles 2 à 5.

L’encombrement des ancrages est décris dans le tableau suivant

Tableau 78 : Encombrement des ancrages retenus.

Câble

Type d’ancrage 3T15S 6T15S 10T15S 7T15S

Mobile (Type C) 15x11 cm 18x15 cm 25x21 cm 18x15 cm

Fixe (Type S) 26x9 cm 26x16 cm 26x24 cm 26x16 cm

Pour la sixième pile, la différence se situe au niveau des deux premiers câbles, qui seront des 19 et 11T15S au lieu des 7 et 10T15S.

• Un ancrage mobile de type C3/15 pour les câbles 3T15S et un ancrage fixe S4/15 ;

• Un ancrage mobile de type C7/15 pour les câbles 6T15S et un ancrage fixe S7/15 ; • Un ancrage mobile de type C13/15 pour les 11T15S et un ancrage fixe S12/15 ; • Un ancrage mobile de type C19/15 pour les 19T15S et un ancrage fixe S19/15.

Pour les gaines ce sera respectivement 46/50, 55/59, 71/75 et 95/100 pour les câbles 3, 6, 11 et 19T15S. Ce dispositif est différent du précédent au niveau du premier ancrage qui sera un C19/15 au lieu du C7/15 et un S19/15 au lieu du S7/15. L’encombrement de l’ancrage C19/15 est de 30x25 cm et 26x40 cm pour le S19/15. A moins de prévoir des ancrages spéciaux plus compacts, l’adoption de ces ancrages exige quelques arrangements afin de ne pas toucher à la forme de la section.



Ces arrangement consistent à incliner les câbles dans les zones d’ancrages ou à les disposer plus bas dans le tablier afin que les 40 cm critiques soient disposés dans le sens vertical. La deuxième proposition est plus pratique que créer des courbures qui compliqueront le tracé et qui créeront des efforts locaux. Pour cela le premier câble sera disposé 10 cm plus bas affectant ainsi le troisième qui a son tour sera disposé 17 cm plus bas. Nous aurons besoin de redimensionner le dernier câble, et afin de ne pas toucher au premier câble nous répercuterons la section manquante due à la diminution du bras de levier par les deux autres câbles. Ainsi la somme des sections reprendra parfaitement les moments sur appui. Pour le premier câble le bras de levier diminue à 1067 mm ce qui donne 6T15 en plus pour reprendre les moments. Cette quantité sera répartie comme suit : le dernier câble passera de 3 à 4T15S et le second de 10 à 12T15S ainsi dans tous les cas les têtes d’ancrages seront pleinement utilisées. Pour le dernier câble le bras de levier diminue à 1004 mm, soit 2T15 supplémentaires à répartir entre les deux rives, d’où le câble 3T15S devient 4T15S, ainsi les ancrages seront aussi pleinement utilisés. D’où le schéma suivant :



Figure 158 : Schématisation des câbles de fléau pour la dernière pile.

En réalité les câbles sont situés sur deux plans, cette illustration n’étant que schématique. Pour les gaines ce sera par ordre croissant de grandeur des 50/54, 55/59, 75/79 et 95/100 mm.



Figure 159 : Emplacement des câbles de précontrainte au niveau de la sixième pile.

III.1.5.8.e. Recommandations Pour la fixation de la gaine, il est important de maintenir la gaine sur des supports à intervalles suffisamment rapprochées pour que le tracé reste régulier malgré les sollicitations exercées sur la gaine par le bétonnage. L’espacement maximum recommandé entre support de gaine est compris entre 0,5 et 1 m. Les supports de câbles doivent être définis avec une grande précision de façon à obtenir le tracé prévu. Ils doivent être stables soit par eux mêmes soit en liaison avec les armatures de l’ouvrage et dimensionnés pour être en mesure de supporter le poids des câbles sans se déformer. III.1.5.8.f. Récapitulatif Dans cette partie nous allons faire un petit inventaire de toute la précontrainte utilisée :

Tableau 79 : Inventaire des ancrages utilisés.

Type d’ancrage mobile C3/15 C4/15 C7/15 C13/15 C19/15

Nombre 8 2 44 16 2

Type d’ancrage fixe S4/15 S7/15 S12/15 S19/15

Nombre 10 44 10 4



Soit au total 72 ancrages mobiles et 68 ancrages fixes pour 70 câbles dont les longueurs varient entre 5 et 33,3 m. Tous ces câbles raccordés entre eux auront une longueur 1,2 km ou 5,872 km de torons T15 ; soit un poids total de presque 7 tonnes. III.1.6. Dimensionnement des armatures transversales Les moments fléchissant transversaux auront à être repris par la dalle, qui sera modélisée de deux façons : selon qu’elle soit sur appui ou entravée. Nous admettrons que le tablier transversalement se comportera en poutre. Sur appui le tablier est encastré sur la pile et en travée nous pouvons considérer le tablier sur appuis élastiques qui en réalité sont les âmes verticales. La répartition verticale des charges par les rail, les traverses et le ballast peut être considérée selon l’article 4.10.6 de la norme SIA160 comme uniformément répartie. Etant donné que cette flexion concerne la dalle, nous retiendrons 0,45 m comme hauteur statique ; nous utiliserons toujours les mêmes formules que pour les armatures longitudinales. III.1.6.1. Modélisation et résultats sur appui Le tablier sera considéré comme une poutre dont les déplacements de la partie encastrée sur la pile sont empêchés.

Figure 160 : modélisation du tablier sur appui

La charge à considére r sera issue de la combinaison la plus défavorable, à savoir la deuxième.



Nous considérerons une charge sur 1 m linéaire, au niveau des surcharges de trafic la disposition la plus défavorable sera considérée soit les essieux uniquement. A titre de rappel, la deuxième combinaison de charge considère la charge utile comme action prépondérante et la neige comme action concomitante : 1,3 G + 1,2 C + 1,3 P + 0,8 N Etant donné que le poids propre transversal de la structure porteuse n’est pas constant nous considérerons deux charges uniformément réparties : La première contenant le poids des âmes et de la surcharge de neige ; La seconde contenant le poids propre de la dalle, les surcharges de trafic et la neige. 1)-Pour une poutre :

1,3 x (section d’une âme x densité) + 0,8 x (charge de neige/ml x largeur de l’âme) (Charge de neige/ml = 3,36/4 = 0,84 kN/m)

1,3 . (0,61 . 25) + 0,8 . (0,84 . 0,4) = 20,1 kN Soit 40,2 kN pour les deux âme ou 50,25 kN/m. 2)- Pour la dalle

1,3 x (section de la dalle x densité+charges permanentes) + 1,2 x (surcharges de trafic) + 0,8 x (charge de neige/ml x largeur du tablier)

1,3 . (1,463 . 25 +26,6) + 1,2 . (2 . 130) + 0,8 . (0,84 . 3,3) = 396,35 kN

Soit 120,1 kN/m de largeur. Ces charges devront être majorés par le coefficient dynamique valant 1,14 ; soit 57,3 kN/m à répartir sur les âmes et 137 kN/m sur toute la largeur du tablier.

Figure 161 : Diagramme des moments fléchissant dans le tablier sur appui.



Ce qui nous amène à retenir -117 kN.m comme moment fléchissant transversal La déformée de la structure a été modélisée avec Winflex, où les pointillés représentent la forme initiale. Les déformations ne sont pas à l’échelle, c’est juste pour illustration, l’exploitation de ces résultats se fera ultérieurement.

Figure 162 : Déformée du tablier sur appui.

Au niveau de la première pile, le tablier a une largeur de 5,7 m, de ce fait la charge répartie sur la dalle sera de sera de 396,35/4,7 = 84,33 kN/m de la largeur.

Figure 163 : Diagramme des moments fléchissant dans le tablier sur le premier appui.



En adoptons les mêmes dispositions nous obtenons un moment fléchissant de l’ordre de 180 kN.m. Au niveau des culées, le nombre d’appuis fait que les moments fléchissant transversaux ne sont pas importants, nous pourront alors retenir les armatures des paries courantes. III.1.6.2. Modélisation et résultats en travée Le tablier sera modélisé en tant qu’une poutre sur deux appuis simples, car ce cas est plus défavorable que le recours à des appuis élastiques dont la rigidité augmente plus on s’éloigne des piles. La charge à considérer est identique à celle utilisée pour la modélisation sur appui.

Figure 164 : Diagramme des moments fléchissant dans le tablier en travée.

Nous aurons alors à considérer un moment de positif de 236 kN.m.



Figure 165 : Déformée de la dalle en travée.

Nous aborderons aussi le cas de l’élargissement du tablier, en sachant qu’un seul tram circule à la fois. De ce fait nous aurons une charge transversale de 396,35/7 = 56,62 kN/ml qui donne un moment maximal à mi -travée de 346 kN.m.

Figure 166 : Diagramme des moments fléchissant dans le tablier près de la culée Est.

III.1.6.3. Dimensionnement des armatures Vu la faible importance des moments, nous n’aurons pas recours à de la précontrainte transversale. Une armature passive de 14 mm de diamètre sera retenu afin de reprendre ces sollicitations.



Tableau 80 : Dimensionnement des armatures transversales.

Localisation Moment à reprendre

(kN.m)

Section d’armatures

nécessaire (mm²) Diamètre

Nbr. barres nécessaire par mètre

Espacement (cm)

Sur appui courant 117 799,83 14 5,20 20

Sur le premier appui 180 1230,51 14 8,00 12,5

En travée courante 236 1613,34 14 10,50 10

Près culée Est 346 2365,32 14 15,36 6,5

Bien entendu sur appui ces armatures seront placées en partie supérieure de la dalle et, en partie inférieure pour les travées. Nous avons retenu un même diamètre pour toutes les armatures transversales, ce afin de ne changer que l’espacement dans les zones les plus sollicitées. III.1.7 Dimensionnement des étriers longitudinaux Leur rôle est de reprendre les efforts tranchants introduits par les charges, leur dimensionnement impose un calcul à la rupture. Nous adopterons un modèle de calcul en treillis dont l’inclinaison des bielles peut être choisie en respectant certaines limites. Cet angle α pouvant varier de 22 à 56 ; nous fixerons α à 45° avec des étriers verticaux. La majoration par le facteur de résistance valant 1,2 est toujours valable dans le cas d’effets défavorables, nous admettrons aussi que l’effort tranchant est entièrement repris par les âmes. L’effort tranchant crée par l’inclinaison des câbles de précontrainte longitudinale peu être favorable, il faudra en tenir compte pour la détermination des efforts tranchants définitifs. Par conséquent, la section d’armature passive nécessaire est donnée par la formule suivante :

( ) αtanzf

Vs

As

d

néc

sa = (51)

où : Asa est la section d’acier des étriers nécessaire ;

s est l’espacement entre les étriers ; Vd est l’effort tranchant de dimensionnement ; fs vaut 0,46 kN/mm², z est la hauteur de l’âme (1,415 m) ou l’épaisseur de la dalle (0,45 m) ; α vaut 45°.



Il faudrait aussi assurer une armature minimale dans les zones les moins sollicitées, on quantifie cette section à l’aide de la formule suivan te :

min%2,0 ρρ =≥=b

Asaa (52)

Avec b comme largeur de profil. Dans les zones d’appuis ponctuels, la section déterminante à prendre en compte, se situe à une distance a de part et d’autre de la zone d’application ; avec :

a = ½ z cot α (53)

Nous allons utiliser les mêmes formules introduites au stade de pré-dimensionnement tout en faisant participer la dalle. Au niveau des culées nous déduirons de la réaction d’appui l’effort favorable introduit par la composante verticale de la précontrainte. Au niveau du premier appui cet effet est négatif, donc la réaction d’appui sera majorée en conséquence. Dans tous les autres cas les forces de précontrainte sont horizontales, donc n’influent pas sur l’effort tranchant.

Tableau 81 : Efforts tranchant retenus pour le dimensionnement des étriers.

Désignation Réaction (kN)

Effort de précontrainte

(N/mm²)

Nbr. Câbles T15S

Force de précontrainte

(kN) Angle α

Composante verticale

Effort tranchant à considérer

Chiffre retenu

Culée Est 1725 1065 20 3195 0,1698 542,511 1182,489 1200

Droite 1200 20 3600 0,2291 824,76 Pile 1 5350 Gauche 1200 20 3600 0,1754 631,44

6806,2 6800

Piles 2,3,4,5 5300 - - - 0 - 5300 5300

Pile 6 5900 - - - 0 - 5900 5900

Culée Ouest 2265 1120 10 1680 0,1158 194,544 2070,456 2070



La force de précontrainte à été calculée pour les culée à P ∞ et, au niveau de la pile P0 soit les cas les plus défavorables. Quant à la composante verticale elle a été déduite selon les dispositions du tracé issues du § III.1.5.5. Concernant la disposition des étriers, une partie de l’effort tranchant sera repris par les âmes et l’autre partie par la dalle, ce selon la disposition présentée dans la figure suivante :

Figure 167 : Répartition des étriers entre la dalle et les âmes.

Reste donc à déterminer le nombre n qui de préférence devra être paire et l’espacement longitudinal des barres de diamètre 14 afin d’uniformiser avec les armatures transversales.

Tableau 82 : Dimensionnement des étriers dans les âmes sur appui.

Emplacement Espacement T (kN)

% repris par les âmes

T repris par les âmes

As âmes (mm²)

Diam. pour âme

Section de la barre (mm²)

nombre pour âme

Culée Est 0,25 1200 100 1200 553,08 14 153,94 3,59

Pile 1 0,12 6800 41 2788 616,80 14 153,94 4,01

Piles 2,3,4,5 0,12 5300 53 2809 621,44 14 153,94 4,04

Pile 6 0,12 5900 48 2832 626,53 14 153,94 4,07

Culée Ouest 0,25 2070 60 1242 572,44 14 153,94 3,72



Tableau 83 : Dimensionnement des étriers dans la dalle sur appui.

Emplacement Espacement

T repris par la dalle (kN)

As Dalle (mm²)

Diam. Armatures pour dalle

Section de la barre (mm²)

Nombre d’armatures pour

dalle

Culée Est 0,26 0 0 14 113,10 0,00

Pile 1 0,12 4012 2790,95 14 153,94 18,13

Piles 2,3,4,5 0,12 2491 1732,86 14 153,94 11,26

Pile 6 0,12 3068 2134,26 14 153,94 13,86

Culée Ouest 0,26 828 1248 14 153,94 8,11

Tableau 84 : Nombre d’étriers retenues.

Emplacement Diamètre des étriers (cm)

Espacement (cm)

Nombre dans les âmes

Nombre dans le tablier

Espacement transversal

(cm)

Culée Est 1,4 25 4 0 -

Pile 1 1,4 12 4 18 24,5

Piles 2,3,4,5 1,4 12 4 14 22

Pile 6 1,4 12 4 14 22

Culée Ouest 1,4 25 4 8 36,66

Etant donné la faible différence d’armatures nécessaires entre la 6ème pile et les autres, nous avons retenus la même valeur. D’après l’équation (53) ces étriers devront être disposés sur une longueur de 0,75 m de part et d’autre des appuis. Dans les zones les moins sollicitées, selon la formule (52) il faudrait assurer une section minimale de l’ordre de 140 mm² dans les âmes et 660 mm² dans la dalle en section courante. Ce qui fait que nous gardons 4φ14 dans les âmes (pour des raisons pratiques) et optons

pour 4φ14 dans la dalle. Cette valeur augmentera au niveau de la dalle pour atteindre 1200 mm² près de la culée Est soit 8φ14, la transition se fera progressivement et linéairement. Dans les zones d’appuis ponctuels, la section déterminante à tenir en compte est la distance a=0,7 m à prendre de part et d’autre de la zone d’application :



Soit alors les dispositions suivantes :

Figure 168 : Disposition des étriers au niveau de la culée Est.

Figure 169 : Disposition des étriers au niveau de la première pile



Figure 170 : Disposition des étriers au niveau de la première pile

Figure 171 : Disposition des étriers au niveau de la culée Est.



III.2. Aptitude au service III.2.1. Principes L’aptitude au service pour l’utilisation convenue est vérifiée si la structure porteuse présente un comportement se situant dans les limites fixées dans la norme ou par le maître de l’ouvrage. L’évaluation des actions et le diagnostic de leurs effets possibles pour la structure porteuse pendant la durée de service projetée sont des éléments déterminants du point de vue de l’aptitude au service. III.2.2. Déformations Les valeurs des flèches admises dépendent des exigences relatives à l’aptitude au service. Pour les ponts ferroviaires modèle de charge 3, la flèche admise est de l/800 où l représente la portée de la travée considérée. L’évaluation des flèches à l’état de servic e se fera en ne considérant que les charges permanentes. Les flèches maximales calculées avec Sap90, ne tiennent comptent que du comportement mécanique du béton composant le tablier, l’effet de la précontrainte n’est pas pris en compte:

Tableau 85 : Flèches du tablier en travée sous charges permanentes.

Travée Rive Est 2ème travée

3ème travée

4ème travée

5ème travée

6ème travée

Rive Ouest

Flèche (cm) 0,5 1,5 1,3 1,3 1,2 1,7 2,8

Rapport l/3640 l/1935 l/2230 l/2230 l/2415 l/1835 l/1035

De ce fait tous les déplacement restent en dessous des normes admises.



Figure 172 : Déformée de la structure sous l’effet des charges permanentes.

III.2.3. Température Les structures porteuses exposées aux conditions atmosphériques sont soumises à des actions provenant des variations de température. La grandeur des variations de température est principalement influencée par les conditions climatiques régionales et locales ainsi que par le type d’ouvrage et les propriétés des matériaux. La variation de température dans une section peut être décomposée en une variation uniforme de température, un gradient thermique et une distribution non linéaire de température. En général, la distribution non-linéaire de température ne sera pas considérée. La variation de température dans une section provoquent des déformations de la structure porteuse qui, lorsqu’elles sont empêchées produisent des sollicitations. Les déformations et les sollicitations dépendent de la géométrie, des conditions d’appui de la structure et du comportement du matériau utilisé. La variation uniforme de température se réfère à la température moyenne du lieu (10°C pour le plateau suisse). L’écart possible entre la température moyenne durant l’exécution et la température moyenne du lieu sera prise en compte dans notre calcul. Le gradient de température résulte d’un échauffement ou d’un refroidissement unilatéral de courte durée de la structure porteuse.



Des variations non-uniformes de température dans le plan horizontal ne seront considérées que pour des cas spéciaux. De même, un saut de température entre les différentes parties d’une section ne sera considéré que dans des cas spéciaux. Dans notre cas nous ne sommes pas concernés par ces dispositions exceptionnelles car toutes les sections de l’ouvrage présentent les mêmes caractéristiques vis-à-vis des dispositions climatiques. Les déformations seront calculées au moyen des coefficients de dilatation thermique indiquées dans la norme SIA160 article 4.7.1. Pour du béton ce coefficient vaut α = 0,00001.

La variation uniforme de température des structures exposées aux intempéries vaut ± 20 °C pour les structures en béton armé. Pour les ponts rails avec ballast, cette valeur doit être réduite de 50% soit ± 10 °C. L’effet du gradient thermique (T) est introduit dans une nouvelle combinaison dans laquelle il sera considéré comme action prépondérante :

1,14 . (1,3 G + 0,8 C + 1,3 P + 1,5 T)=

1,482 G + 0,912 C + 1,482 P + 1,71 T Cette combinaison sera introduite pour le calcul dans le logiciel SAP90 et ce pour chaque disposition des surcharges de trafic. Voici les diagrammes des moments fléchissant et des efforts tranchant selon la 13ème disposition des surcharges de trafic.

Figure 173 : Diagrammes des moments fléchissant longitudinaux dus au gradient thermique.



Figure 174 : Diagrammes des efforts tranchant dus au gradient thermique.

Le résultat de cette modélisation est présentée dans le tableau suivant :

Tableau 86 : Comparaison entre les efforts sous l’effet thermique et ceux retenus.

Elément Effort maximal retenu

Effort sous l’effet thermique Différence

Réaction culée Est 1 725 1 525 200

Moment première mi-travée 5 978 5 261 717

Réaction 5 350 4 862 488 Première pile

Moment -12 458 -11 240 1 218

Moment Deuxième mi-travée 8 212 7 196 1 016

Réaction 5 300 4 723 577 Deuxième pile

Moment –12 770 -11 460 1 310

Moment troisième mi-travée 8 212 6 638 1 574

Réaction 5 300 4 639 661 Troisième pile

Moment –12 770 -11 773 997

Moment quatrième mi-travée 8 212 6 777 1 435



Réaction 5 300 4 618 682 Quatrième pile

Moment –12 770 -10 823 1 947

Moment cinquième mi-travée 8 212 6 666 1 546

Réaction 5 300 4 770 530 Cinquième pile

Moment –12 770 -11 355 1 415

Moment sixième mi-travée 8 212 6 727 1 485

Réaction 5 900 5 320 580 Sixième pile

Moment -16 265 -14 620 1 645

Moment septième mi-travée 12 520 11 020 1 500

Réaction culée Ouest 2 265 1 993 272

Les réactions sont en kN et les moments en kN.m. Au niveau des réactions d’appui nous n’avons pas tenu compte des effets de la précontrainte, car ceux obtenus sous gradient thermique n’en tiennent pas compte. D’où il apparaît que l’effet de température n’est pas déterminant vis a vis des autre combinaisons considérées. III.2.4. Séisme Pour un séisme de probabilité d’occurrence donnée, le dommage causé à un ouvrage conçu et dimensionné d’après les dispositions du règlement en vigueur, ne devrait pas dépasser les limites établies par le règlement en vigueur. En premier lieu, il s’agit d’assurer la protection des vies humaines et par conséquent de garantir la sécurité structurale. Ensuite les dommages causés aux biens, doivent être limités. Enfin, l’aptitude au service des ouvrages ayant une fonction importante en cas de catastrophe doit être assurée. Les différences de risque sismique existant entre les régions, les différences d’utilisation et de comportement des ouvrages permettent de les distinguer selon leur site (zone de risque sismique), leur fonction (classe de l’ouvrage) et leur mode de construction (capacité de déformation et d’absorption de l’énergie). La Suisse est divisée en trois zones de risque sismique. Les zones en été définies sur la base de la séismicité passée et actuelle et ont été adaptées aux frontières politiques. Selon la carte fournie dans la norme SIA160, la ville de Lausanne se situe en Zone I, soit la zone de moindre risque sismique. A titre d’information il y a trois zones sismiques. Les différentes exigences requises des ouvrages sont définies en fonction des risques pour les personnes, de l’importance de l’ouvrage pour la communauté, en particulier après un



séisme, et des risques d’atteinte à l’environnement. La répartition des ouvrages en trois classes permet de prendre en compte ces distinctions. Notre pont fait partie de la classe II, à savoir qu’il peut avoir une grande importance après un séisme et qu’il franchit une voie de communication essentielle (autoroute Genève-Lausanne). Pour cette classe d’ouvrage, la sécurité structurale doit être garantie. Les ouvrages et leur structures porteuse ne peuvent présenter que des dégâts de moyenne importance. En général, aucune exigence n’est définie pour l’aptitude au service. Si l’effondrement de la superstructure des ponts appartenant à la classe II est exclu, des dégâts locaux tels qu’une destruction des appuis sont tolérés. La vérification de la sécurité structurale des appuis, dans le sens transversal n’est pas nécessaire. Les sollicitations dues au séisme seront déterminées sur la base d’un modèle élastique. Pour la vérification de la structure porteuse, une redistribution plastique des sollicitations jusqu’à 25% est tolérée pour les classes d’ouvrage II. Pour modéliser l’effet du séisme sur notre ouvrage, nous utiliserons la méthode des spectres de réponse. L’accélération horizontale des ouvrages réagissant élastiquement sur des sols compacts et semi-compacts dans la zone I est représentée dans un spectre élastique de dimensionnement au niveau de l’article 4.19.6. de la norme SIA160. L’accélération horizontale du sol est égale en zone I à 0,06 g. En règle générale, les sollicitations provenant de charges sismiques verticales ne seront pas prises en compte. Dans notre cas le sol est semi-compact. Pour les actions horizontales, la structure porteuse pourra être considérée comme une console élastique encastrée dans le sol. La rigidité d’ensemble pourra correspondre à celle existant avant début de la plastification L’amortissement des structures en béton précontraint est de l’ordre de 6%. Le séisme est une action accidentelle eu sens de § III.1.2.1. Soit alors la combinaison à considérer :

1 G + 1 P + 1 Acc. Le spectre de réponse fourni dans le règlement SIA160, sera introduit au niveau du logiciel SAP90 pour une étude dynamique. Nous étudierons les cas où l’accélération se fait selon l’axe X ensuite selon l’axe Y, dans chacun de ces cas nous inclurons une direction (positive ou négative). Les résultats de cette étude sont présentés dans les tableaux qui suivent :



Tableau 87 : Fréquences propres de l’ouvrage pour une accélération du sol selon X.

Mode vibratoire Pulsation propre (Rad/sec)

Fréquence propre (Hz)

Période propre (Secondes)

1 27,338 4,351 0,2298

2 46,702 7,432 0,1345

3 55,386 8,814 0,1134

4 75,304 11,985 0,0834

5 81,195 12,922 0,0778

6 96,011 15,280 0,0654

7 110,123 17,526 0,0570

8 127,494 20,29 0,0492

Tableau 88 : Masse participante pour chaque mode du séisme de direction X.

Mode Direction de X

Direction de Y

Direction de Z

Somme dans direction de X

Somme dans direction de Y

Somme dans direction de Z

1 0,857 0,014 14,984 0,857 0,014 14,984

2 2,593 0,297 51,241 3,450 0,31 66,225

3 0,236 52,855 0,142 3,685 53,165 66,367

4 81,825 0,074 2,643 85,850 53,24 69,01

5 0,004 3,724 0,000 85,814 56,964 69,01

6 13,577 0,001 3,312 99,091 56,965 72,322

7 0,001 35,081 0,002 99,092 92,047 72,324

8 0,000 0,026 0,000 99,092 92,073 72,324

Il apparaît que ces modes font participer la majorité de la masse de l’ouvrage, d’où le nombre de mode choisis est correct Selon l’article 4.19.3. de la norme SIA160, les formes propres de vibration supérieures à 1,5 Hz ne sont pas déterminantes. D’où nous concluons que pour un séisme de direction X il n’y a pas de risque de résonance. Dans ce qui suis nous présentons les déformées de la structure selon la direction du séisme et selon chaque mode propre.



Figure 175 : Déformée de la structure pour un séisme dans la direction X.

Figure 176 : Déformée de la structure pour un séisme dans la direction -X.



Figure 177 : Schématisation de la vibration de la structure selon le mode 1 pour séisme selon X.





Figure 180 : Schématisation de la vibration de la structure selon le mode 4 pour séisme selon X











Les résultats de la modélisation du même séisme selon la direction de l’axe Y sont les suivants :

Tableau 89 : Fréquences propres de l’ouvrage pour une accélération du sol selon Y.

Mode vibratoire Pulsation propre (Rad/sec)

Fréquence propre (Hz)

Période propre (Secondes)

1 27,338 4,351 0,2298

2 46,702 7,432 0,1345

3 55,386 8,814 0,1134

4 75,304 11,985 0,0834

5 81,195 12,922 0,0773

6 96,011 15,280 0,0654

7 110,123 17,526 0,0570

Tableau 90 : Masse participante pour chaque mode du séisme de direction Y.

Mode Direction de X

Direction de Y

Direction de Z

Somme dans direction de X

Somme dans direction de Y

Somme dans direction de Z

1 0,857 0,014 14,984 0,857 0,014 14,984

2 2,593 0,297 51,241 3,450 0,310 66,225

3 0,236 52,855 0,142 3,685 53,165 66,367

4 81,825 0,074 2,643 85,510 53,240 69,010

5 0,004 3,724 0,000 85,514 56,964 69,010

6 13,577 0,001 3,312 99,091 56,965 72,322

7 0,001 35,081 0,002 99,092 92,047 72,324

Il apparaît que ces modes font participer la majorité de la masse de l’ouvrage, d’où le nombre de mode choisis est correct Selon l’article 4.19.3. de la norme SIA160, les formes propres de vibration supérieures à 1,5 Hz ne sont pas déterminantes. D’où nous concluons que pour un séisme de direction Y il n’y a pas de risque de résonance. Dans ce qui suis nous présentons les déformées de la structure selon la direction du séisme et selon chaque mode propre.



Figure 185 : Déformée de la structure pour un séisme dans la direction Y.

Figure 186 : Déformée de la structure pour un séisme dans la direction -Y.



Figure 187 : Schématisation de la vibration de la structure selon le mode 1 pour un séisme selon Y.

Figure 188 : Schématisation de la vibration de la structure selon le mode 2 d’un séisme selon Y



Figure 189 : Schématisation de la vibration de la structure selon le mode 3 d’un séisme selon Y.





III.2.5. Etat de contraintes Afin d’étudier les contraintes dans le tablier, la section courante a été modélisée dans le logiciel WinMef et maillée à l’aide d’éléments triangulaires. Le maillage à conduit à la création de 1336 nœuds composant 603 éléments triangulaire

Figure 192 : Maillage du tablier.



Nous vérifierons l’état de contraintes dans le béton sur appui, cette vérification se fera au niveau de la pile la plus sollicitée, c’est-à-dire la première, puis par déduction si cette condition est vérifiée, elle le sera aussi pour toutes les autres piles. Nous effectuerons notre analyse en considérant une section transversale représentant un mètre longitudinal de tablier. Pour cela nous effectuerons un calcul à l’état de service avec la combinaison suivante :

1 G + 1 C + 1 P + 1 N Au niveau des surcharges nous retiendrons la position la plus défavorable à savoir l’essieu disposé au niveau de la pile. Ce qui fait au niveau des âmes nous aurons selon toujours les mêmes disposition qu’en III.1.6.1 : 1)- Pour les âmes : G + N = (0,61 . 25) + (0,84 . 0,8) = 15,922 ≈ 16 kN Soit 8 kN par âme soit 10 kN/m. 1)- Pour la dalle : 1 G + 1 C + 1 P + 1 N = (1,463 . 25) + 2 . 130 + 26,6 + 0,84 . 3,3 ≈ 326 kN Soit 100 kN/m de tablier. Comme réaction maximale nous prendrons 3 755 kN, cet valeur a été déterminée suite à la combinaison précédente. A cette réaction devra se rajouter selon le tableau 81, 1 455 kN dus à l’effet de la précontrainte, soit au total 5 210 kN. Le tablier sur pile sera modélisé de tel sorte à ce que les déplacements soient empêchés dans la zone encastrée.



Figure 193 : Conditions aux limites du tablier sur appui.

Les charges issues de la seconde combinaison, et la réaction sur appui maximale est présentée de la façon suivante :

Figure 194 : Modélisation des charges sur appui.

L’étude effectuée nous permet de présenter les résultats de façon graphique :



Figure 195 : Faces principales

Figure 196 : Etat de contrainte au bord de la pile.

Figure 197 : Contraintes au niveau des fibres inférieures du tablier.



Figure 198 : Déplacement suivant l’axe x.

Figure 199 : Déplacement suivant l’axe y.

Figure 200 : Module de déplacement.



Figure 201 : Zones comprimées du tablier sur pile.

Cette dernière figure nous permet de déterminer que la contrainte maximale de compression dans le tablier ne dépasse pas les 4,5 kN/mm², d’où il n’y a pas écrasement du béton. Néanmoins afin d‘éviter certains problèmes locaux nous proposons un renforcement du tablier au niveau des piles de la façon suivante :

Figure 202 : Renforcement du tablier sur pile.



III.2.6. Dalle de compression L’axe neutre est se situe dans la dalle d’où nous pouvons assimiler son comportement selon le B.A.E.L. 91 à une section rectangulaire dont la largeur est celle de la dalle soit 4 m. La contrainte maximale de compression du tablier sur pile se situe au niveau des fibres inférieures. Nous allons étudier donc cette contrainte au niveau de chaque pile, les efforts seront considérés à l’état de service selon la combinaison :

1 G + 1 C + 1 P + 1 N La contrainte de compression dans le béton est donnée à l’aide de la formule suivante :

cc

p

cc

WM

WM

AP

±±−=σ (54)

où :

As est l’aire du béton ; P : est la force de précontrainte, Mp moment dû à la précontrainte selon les dispositions précédente s ; M moment dû à la combinaison précédente ; Wc module de flexion de la section.

Les résultats de ces calculs sont présentés dans le tableau suivant :

Tableau 91 : Calcul des contraintes de compression dans le tablier.

Désignation en travée

M (kN.m)

Mp (kN.m)

Ac (m)

Wc (m3)

P (kN)

σc (kN/m²)

σc (N/mm²)

Pile 1 8700 7412,51 3,313 0,423421 6340,36 -4954,46 -4,95

Piles 2,3,4,5 8900 7598,15 2,683 0,391118 6499,14 -5750,88 -5,75

Pile 6 11400 10368,94 2,683 0,391118 8869,16 -5941,88 -5,94

De ce fait toutes les contraintes sont inférieures à 6 N/mm², ce qui fait qu’il n’y a pas écrasement du béton.



III.2.7. Bielles de compression Afin d’empêcher une rupture des diagonales de béton en compression, la résistance ultime à l’effort tranchant, selon l’article 3.24.211. du règlement SIA162, ne devra pas dépasser dans le cas d’étriers verticaux la valeur :

VR = fc.red . bw . z . sinα . cosα (55)

Où :

α angle d’inclinaison des diagonales de béton comprimé, soit 45 ; bw largeur du tablier ; z bras de levier entre les résultantes des forces internes de traction et de compression dues à la flexion dans la dalle soit 0,35 m ; fc.red valeur de calcul réduite de la résistance à la compression des diag onales de

béton valant :

fc.red = ξ . sinβ . fcw.min (56)

ζ facteur défini dans la norme SIA162 art 3.24.211 en fonction de l’angle d’inclinaison des diagonales de béton comprimé pour 45° ζ=0,4;

β angle d’inclinaison des étriers (90°) ; fcw.min résistance à la compression du béton qui dans notre cas est égal à 35 N/mm².

Application fc.red = 0,4 . sin90° . 35 = 14 N/mm².

Tableau 92 Calcul de la contrainte à la compression admissible dans les diagonales de béton.

Désignation fcw.min

(N/mm²) bw (m) Z (m) Alpha

(degrès) VR

(N/mm²)

Culée Est 14 7 0,38 45,000 18,62

Pile 1 14 5,7 0,38 45,000 15,162

Piles 2,3,4,5 14 4 0,38 45,000 10,64

Pile 6 14 4 0,38 45,000 10,64

Culée Ouest 14 4 0,38 45,000 10,64



Contrainte de compression selon le B.P.E.L. 91 est donnée par la formule :

τ = T/(b0.z) (57)

Avec :

T effort tranchant à l’état de service ; b0 largeur de section, variant de 4 à 7 m ; z bras de levier égal à 2/ 3 de la hauteur de la dalle.

Tableau 93 : Calcul de la contrainte de compression dans les diagonales de béton.

Désignation Effort tranchant (kN)

Largeur de tablier

Contrainte (kN/m²)

Contrainte (N/mm²)

Culée Est 840 7 400,00 0,40

Pile 1 4770 5,7 2789,47 2,79

Piles 2,3,4,5 3720 4 3100,00 3,10

Pile 6 4140 4 3450,00 3,45

Culée Ouest 1450 4 1208,33 1,21

D’où dans tous les cas la contrainte admissible n’est pas atteinte. III.2.8. Torsion La partie de l’ouvrage la plus sollicitée en torsion est travée de rive Ouest, afin de reprendre les moments de torsion engendrés nous proposons de dresser deux piles parallèles au niveau du sixième appui. Ainsi une grande partie de la torsion sera absorbée par les piles.



Figure 203 : Diagramme des moments de torsion à l’état limite de rupture.

Au niveau de la rive Est, l’effort de torsion est engendré par le fait que le tablier ne s’élargit que dans une seule direction, ce qui fait que l’axe neutre en est incliné. Comme diamètre nous retiendrons deux piles de 0,6 m de diamètre disposées de la façon suivante :

Figure 204 : Disposition des piles au niveau de la dernière travée.



III.2.9. Poinçonnement Nous allons vérifier le risque de poinçonnement des dalles par les colonnes. La résistance ultime au poinçonnement dépend principalement de la contrainte tangentielle ultime du béton, de l’armature supérieure de flexion disposée au voisinage de la colonne et des contraintes de compression dans le béton au voisinage de l’appui. La sécurité structurale au poinçonnement des dalles par les colonnes sera vérifiée en s’assurant que la condition suivante est remplie :

R

Rd

VVγ

≤ (58)

Avec :

Vd valeur de dimensionnement de la contrainte tangentielle déterminée au § II.2.7. ; VR résistance ultime au poinçonnement à déterminer; γR facteur de résistance valant 1,2 selon l’article 3.21.3. (SIA162).

La résistance ultime au poinçonnement dans la zone d’introduction de charge vaut :

VR = 1,8 . τC . u . dm (59)

Où :

τC valeur de calcul de la contrainte tangentielle ultime valant 1,1 N/mm² pour les bétons de classe 45/35 article 3.23.12. du règlement SIA 162;

u périmètre déterminant ; dm valeur moyenne de la hauteur utile pour l’armature de flexion dans les deux

directions en tenant compte du renforcement local, soir 0,43 m.

Tableau 94 : Vérification de la résistance ultime au poinçonnement.

Désignation dm

(m) u

(m) VR

(N/mm²) VR/γR

(N/mm²) Vd

(N/mm²)

Pile 1 0,43 4,49 3,82 3,19 2,79

Piles 2,3,4,5 0,43 4,49 3,82 3,19 3,10

Pile 6 0,43 6,47 5,51 4,59 3,45

D’où dans tous les cas la condition est vérifiée.



III.3 Infrastructures III.3.1. Calcul des déformations Sur élément de béton exposé à l’air libre, nous observons une variation dimensionnelle qui évolue avec le temps avec une vitesse décroissante, jusqu’à une valeur limite. Ces effets différés sont causés par le poids propre, les charges et surcharges qui, engendrent des flèches, rotations d’appui, raccourcissement,…etc. Il est nécessaire que ces déformations puissent librement se produire afin d’éviter des désordres dans l’ouvrage. Pour faciliter ces déformations, nous disposons de certains éléments comme les joints de dilatation et les appareils d’appui. III.3.1.1. Retrait Le retrait du béton, est un phénomène qui résulte de la diminution du volume apparent qui est dû à la consommation d’une partie de l’eau présente dans le béton, au séchage et à la réaction d’hydratation. Ce phénomène apparaît comme la déformation d’un élément de béton libre de toutes sollicitations mécaniques extérieures. On distingue ainsi, un retrait endogène ; provoqué par des phénomènes strictement internes au béton en absence de tout échange hydrique avec le milieu extérieur et un autre retrait qui résulte de la dessiccation au cours du durcissement de la quantité d’eau en excès. Le retrait est donné par la formule :

Är = -år . l (60)

Avec:

år : coefficient du retrait pris égal à 2,5 . 10 -4. pour un climat sec et froid, l : longueur de l’ouvrage concernée.

La détermination du centre de déplacement consiste à trouver la section du pon t dont le déplacement est nul, c’est à partir de ce point que les allongements ou les raccourcissements se produisent Ce point est l’iso-barycentre des appuis, afin de simplifier nous prendrons ce point au centre de l’ouvrage d’où : Är = -2,5 . 10-4 x (200/2) = -0,025 m = -2,5 cm



III.3.1.2. Fluage Pour mieux visualiser le phénomène de fluage, nous portons brusquement une charge de compression sur une éprouvette en béton ; nous constatons alors que la déformation augmente brusquement au temps t0, mais ensuite, elle continue d’augmenter avec une vitesse de déformation qui diminue au fur et à mesure que le temps s’écoule : nous avons ce que nous appelons le phénomène de la viscoélasticité du béton « fluage ». Le comportement du béton est donc intermédiaire entre le comportement purement élastique, et le comportement visqueux. Le fluage est donné par :

Äf = -åfl . l (61)

Où:

• åfl : coefficient du fluage pris égal à 3,2 . 10-4, pour un climat sec et froid ; • l : longueur de l’ouvrage concernée. Application : Äf = -3,2 . 10-4. 200/2 = -0,032m = -3,2 cm. III.3.1.3. Variation de température Nous admettons en général, des valeurs caractéristiques maximales et minimales. Les actions dues aux variations de la température correspondent dans le cas courant à des dilatations linéaires relatives de : å (T) = ±1 . 10 -4 ce d’après la norme SIA160 qui recommande un coefficient de dilatation thermique de 10-5. Etant donné que nous avons un pont rail avec ballast la variation de température à considérer est de 10° de ce fait : 10 . 10-5 = ±1 . 10-4. D’où :

Ä(T) = å (T) . l (62)

Application Ä(T) = ±1 . 10-4 . 200/2 = ±0,01 m = ±1 cm.



III.3.1.4. Rotation Nous avons obtenu avec la modélisation de l’ouvrage sous SAP90 une rotation maximale au niveau des appuis de á1 = 0,0042rds. Etant donné que les parties de rive de notre ouvrage seront coulées sur place, nous prendrons une rotation (á0) égale à :

(á0) = 3/ 1000 = 0,003rds. Soit au final une rotation de :

á = á1 + á0 = 0,0042 + 0,003 = 0,0072rds. Sur chaque appui, le déplacement dû au rotation vaut :

Äá = á . ht (63)

Avec ht : la hauteur totale du tablier (1,45 m). D’où : Äá = 0,0072 . 1,45 = 0,010 m = 1 cm. III.3.1.5. Déplacement total Nous évaluerons le déplacement maximal que pourra atteindre notre pont. Donc le déplacement total égal à :

ÄL = ( Äá + Äf + Är) + Ä(T) (64)

Application : ÄL = ( 0,01 + 0,032 + 0,025) + 0,01 = 0,077 m = 7,7 cm.



III.3.2. Joint de chaussée Placé à la coupure entre un ouvrage d’art et sa voie d’accès ou entre deux parties indépendantes d’un même ouvrage, un joint de chaussée a pour fonction première d’assurer la continuité de la surface de roulement, tout en satisfaisant à un certain nombre d’autres exigences non moins essentielles. Pour donner entière satisfaction aux usagers et aux exploitants, le joint de chaussée doit, en particulier, être : • Confortable et esthétique.

Souple et silencieux, il assure la continuité de la surface de roulement quelle que soit l’importance de l’hiatus. Sobre et discret, il s’intègre à son environnement.

• Résistant Le choix des matériaux constitutifs (nature et qualité) est garant de bon comportement sous une circulation sans cesse croissante

• Etanche En assurant la continuité de l’étanchéité, le de chaussée participe activement à la protection de l’ouvrage qu’il équipe.

• Fiable La pureté de sa conception et la simplicité de ses principes de fonctionnement lui confèrent son efficacité à long terme.

La très grande variété des ouvrages à équiper ne peut se satisfaire d’une réponse unique aux différents problèmes posés. Pour que le résultat du choix ne soit pas un compromis, Freyssinet propose pour chaque cas un modèle adapté. Dans le cadre de notre pont, nous aurions besoin de deux joints identiques à placer de part et autre du tablier soit, entre les culée et le début des travées de rives. III.3.2.1. Dimensionnement des joints de chaussée Pour notre ouvrage, nous avons choisi des joints de type FT 100 à dents et à souffle de 100 mm, car notre déplacement maximal a été évalué à 77 mm. Ces joints se composent de deux parties principales de formes géométriques conjuguées –un élément mâle et un élément femelle - qui, assurent un pontage optimal de la coupure. Ils sont réalisés à partir d’un composite métal/élastomère vulcanisé à chaud. L’étanchéité est assurée soit par une membrane, soit par des bavettes aboutissant à une rigole ; continues sur toute la ligne de joint et qui permettent de récupérer et de canaliser les eaux d’infiltration. Le détail est adapté à la géométrie de l’ouvrage.



Figure 205: Joint type FT.

Tableau 95 : Caractéristiques des joints FT100

FT à dents Souffle (Mm)

A (Mm)

B (Mm)

C (Mm)

D (Mm)

Emin.

(Mm) Emax.

(Mm)

L (Mm)

Poids (Kg/m)

FT 100 100 410 250 160 47 20 170 747 84

III.3.2.2. Vérification La condition à vérifier est que la somme algébrique des différe ntes variations soit inférieure au souffle (S). Les déplacement à considérer sont celles dues aux variations linéaires (retrait, fluage et température) plus le déplacement dû au freinage (F) donné par la formule :

F = T . H / G . S (65)

Tel que :

• T : hauteur nette d’appareil d’appui = 60 mm, • S : dimension en plan d’appareil d’appui = [40 . 50] cm2,

• G : module de cisaillement = 8 Kg/cm2, • H force horizontale due au déformations.

L’application nous donne une déformation de 14,63 mm.



Le détail du calcul et les caractéristiques des appuis sont issues du dimensionnent des appareils d’appuis du § III.3.3. De ce fait : ( Är + Äf + ÄT ) + F < 100 mm (25 + 32 + 10) + 14,63 = 81,63 < 100 mm 33Vérifiée III.3.2.3 Mise en œu vre La pose est effectuée à l’aide de bras métalliques permettant le nivellement et le réglage de l’ouverture du joint. La séquence des travaux est définie schématiquement : • Préparation des réservations. • Mise en place de ferraillage

complémentaire et du coffrage de l’hiatus.

• Mise en place et réglage à l’aide

des bras de pose des éléments de joints pré ssemblés ou, pour les grands joints, de l’élément de coffrage correspondant, avec les fixations.

• Bétonnage des réservations. Dès

que le béton commence à faire sa prise, desserrage des bras de pose. Démontage de deux éléments du joint de coffrage. Pose de la membrane d’étanchéité.

• Pose des éléments de joint,

serrage définitif des fixations et exécution du raccordement à la chaussée à l’aide d’une masse étanche, viajoint ou asphalte coulé. (Les joints sont liés à l’aide de vis à haute résistance mécanique, dont le couple de serrage est contrôlé à la clé dynamométrique).

Figure 206 : mise en œuvre



III.3.2.4 Dimension des réservations Les joints FT ont été conçus pour être mis en place dans des réservations et fixés au support en utilisant des douilles métalliques noyées dans le béton. • F : côté peine mâle,

• G : côté peigne femelle,

Figure 207 : Dimension des réservations.

Tableau 96 : Dimensions des réservations.

Type Emin.(mm) Emax. (mm) F (mm) G (mm) H (mm)

FT 100 20 120 350 350 260

III.3.3. Appareils d’appui Toutes les structures sont l’objet des sollicitations variables dans le temps et qui résultent, notamment, des charges extérieures, des variations de température et d’humidité ainsi que du comportement des matériaux (fluage, retrait), les mouvements qui en découlent peuvent, s’ils sont empêchés, perturber le bon fonctionnement de l’ouvrage. Le rôle d’un appareil d’appui, placé à la jonction entre une structure et son support, qui permets dans certaines limites et sous certaines conditions :

• La transmission des efforts ; • La liberté des mouvements (déplacement et rotation) tout en garantissant la stabilité

de l’ensemble.



Dans notre cas nous aurons à disposer des appuis au niveau des culées. III.3.3.1. Appareils d’appui Freyssinet La gamme Freyssinet comporte :

• Des appuis en élastomère non fretté, • Appuis en élastomère fretté, • Appuis glissant NEOFLON,

• Appuis à pot recommandés dans le cas d’effort élevé ou de températures extrêmes, • Appuis adaptés à des usages spéciaux.

Pour le cas de notre ouvrage, nous avons adoptés des appareils d’appuis en élastomère fretté, ce à cause de leur déformabilité qui convient à notre cas :

• Ils reprennent élastiquement les charges verticales, les charges horizontales et les rotations ;

• Ils permettent les déformations dues aux fluages, retrait, ..etc ; • Leur mise en œuvre est simple.

Ces appareils sont tout simplement composés des plaques de caoutchouc empilées avec frettes métalliques «tôle d’acier » adhérentes à l’élastomère lors de sa vulcanisation à chaud et au pression. Ils sont réalisés par moulage individuel. Les couches externes, faces et chants, sont constituées par des feuillets d’élastomère d’épaisseur 2.5mm ce qui assure l’enrobage et donc la protection contre la corrosion des frettes. Lorsque l’appareil doit, outre les déplacements imposés par la structure, reprendre des efforts horizontaux, ces derniers se traduisent par une déformation supplémentaire qu’il faut ajouter aux déplacements. Cette déformation peut se calculer avec la formule :

W= H.T/G.F (66)

Avec:

H : effort horizontal, T : épaisseur d’élastomère, F : surface en plan de l’appui, G: module de cisaillement : G= 1N/mm2 sous effort statique (lent),

G= 2N/mm2 sous effort dynamique (instantané). La même formule exprimée par rapport à H permet de calculer la force d e rappel de l’appui pour une distorsion W donnée, soit :

H= W.G.F/T ( 67)



Afin d’éviter le cheminement de l’appui sous charge minimale, la contrainte de compression minimale doit être de 3 N/mm2 sur support acier et de 2 N/mm2 sur support béton pour les appuis de 1 800KN et de 4 N/mm2 pour les appuis plus grands. Si cette condition n’est pas remplie, il est nécessaire de prendre des dispositions spéciales soit en collant l’appui sur support, soit en adoptant des appuis de type 2 avec plaques de base et pattes de scellement.

Figure 208 : Appui en élastomère fretté.

III.3.3.2. Dimensionnement des appuis Les caractéristiques de l’appui :

• a.b : dimension en plan en mm • P : charge admissible en KN, • T : épaisseur totale d’élastomère,

• W : déplacement total admissible, • d : épaisseur totale de l’appui, • áa : rotation admissible dans le sens de a,

• áb : rotation admissible dans le sens de b, • ár : rotation résultante max. Admissible. • G : module de cisaillement.

Nous avons comme charge admissible à reprendre par les appareils d’appui Rmax= 2 665kN (valeur obtenue par calcul SAP, y compris la précontrainte et les coefficients de majoration, pour la culée Ouest).



Nous allons disposer 03 appareils d’appui au niveau de chaque culée :

Nmax = Rmax/3 = 888 kN, Ce qui nous amène à adopter l’appareil d’appui suivant les caractéristique de la gamme Freyssinet :

Ø a.b =400. 500 [mm.mm] Ø P =2 665 kN, Ø T =60, Ø W =42, Ø d =84, Ø áa =10 ‰, Ø áb =8 ‰, Ø ár =13 ‰.

Efforts dus aux déformations Le déplacement max. dû au retrait, fluage et la température vaut :

å = H . T / G . a . b ⇒ H = å . G . a . b /T (68)

• G module d’élasticité transversale = 11,43

• å =retrait + fluage + température = 2,24 cm. Soit :

H = 2,24 . 11,43 .40 . 50 / 6 = 8,534 = 85,34 kN. Vérification Sollicitation sous charges verticales :

Contrainte de compression :

ó‘mx = Nmax/ a . b (69)

ó‘mx = 266500 / 40 . 50 = 133,25 � 150 Kg/cm2 33 Vérifiée D’où cet effort normal des contraints de cisaillement apparaît au niveau de frettage, la valeur de cet effort est :



æn = 1,5 ó‘m / â < 3G (70) â :C’est le rapport de l’aire ou plan sur l’aire latérale d’un feuillet. â = a . b /[2 t (a+b)] = 40 . 50 /[2 . 0,25 (40+50)] = 44,44 æn =1,5 . 133,25 / 44,44 = 4,49 Kg/cm2 < 34,29 33 Vérifiée

Condition de non-glissement Nous devons vérifier les conditions suivantes :

a- ó‘m (min) > 20Kg/cm2

ó‘m (min) = Nmin / (a . b) = 104300 / (40 . 50 ) = 52,15 > 20Kg/cm2 33 Vérifiée.

b- H < F. Nmin avec f : coefficient de frottement ;

Pour des appareils dont la face de contact avec la structure est feuillet d’élastomère, on prend :

f = 0.12 + 0.60 / ó‘m f = 0.12 + 0.60/ 5.215 = 0.235

Pour l’effort minimal (Nmin), nous avons comme force horizontale, les forces dues aux déformations lents (retrait, fluage, température )

H = G . a . b . å / T = 11,43 . 50 . 40 . 2,24 / 6 = 8,534 t. On a bien : H < F . Nmin ⇒ 8,53 < 0,325 .104,3

⇒ 8,53 < 33,89 33 Vérifiée. Condition de non-flambement

T � a / 5 ⇒ 60 � 400 /5 = 60 � 80 33 Vérifiée



III.3.3.3. Mise en œuvre La mise en œuvre et le réglage des appareils d’appui doit être déterminée, en tenant compte :

• de la température

• de l’allongement ou de raccourcissement de la fibre inférieure du voussoir sous l’effet : - de la rotation des sections d’appui, - du retrait du béton, - de la mise en tension des câbles de précontrainte, - des charges permanentes.

Figure 209 : Vue en plan des degrés de liberté des appuis.

III.3.3.4. Pose des appareils d’appui Les sommiers des culées comportent au droit des appareils d’appui alvéoles légèrement plus grandes que les plaques d’appui et de 2 cm de profondeur. Les plaques sont mises en place, après léger repiquage du fond alvéole, sur bain de mortier fluant. Lorsque l’épaisseur du mortier sera supérieure à 4cm, nous placerons des armatures fines, genre treillis soudés, et réglées en position de nivellement .



Figure 210 : Pose d’appareil d’appui. Une autre disposition consiste à réaliser des renformis dont la fin de réglage intervient avant juste la mise en place des appareils d’appui et du tablier.

Figure 211 : Pose d’appareil d’appui avec renformis.



III.3.4. Dés d’appuis Sous l’effet des forces qui agissent sur la partie supérieure de mûr de front, leur rôle est de diffuser, localiser et de prévoir d’éventuelles fissures. III.3.4..1. Dimensions des appuis • A= 40cm, b= 50cm • B0 = 2000 cm2 : surface de Néoprène. • P0 = (a+b) . 2= 180 cm : périmètre de Néoprène. III.3.4.2 Hauteur des appuis h>2B0 / P0 = 2 . 2000 / 180 = 22,22 cm. Donc, nous retenons h = 25 cm. III.3.4.3 Intégrité du béton La contrainte de compression du béton est estimée à ób � k . fb avec :

• fb = 0.85 . fc28 / 1,5 = 0,85 . 23 / 1,5 = 13,83 MPa. • Nu =2665KN

• K = 1 + (3- a/a1 - b/b1) x�(1- a/a1)(1- b/b1)

a1 = a+2h = 40 + 2 . 25 = 90. b1 = b+2h = 50 + 2 . 25 = 100. K = 2.08, coefficient de sécurité. • ób = 266,5 . 10-2 / 0,2000 = 13,33 Mpa < 2,08 . 13,83 = 28,77Mpa. Vérifiée III.3.4.4 Ferraillage des dés d’appui Armatures de chaînage Nmax = 2665KN, les armatures doivent vérifier 25% Nu = 0,25 . 266,5 = 66,625t A = N / ós = 66,625 . 102 / 460 = 14,48cm2. Soit : 5 ö 20 =15,70cm2.



Armatures de l’écartement Sont disposées en nappe quadrillée, elles devront reprendre un effort N, leur section A

A = N / ós (71)

Avec

N = h . Nmax. [1- b / b1] = 0,25 . 266,5 [1 - 50 / 100] = 33,31 t. D’où

A = 33,31 . 102 / 460 = 7,24 cm2 Soit : 4 ö 16= 8,04cm2.

Figure 212 : Plan de ferraillage du dé d’appui

III.3.5 Piles Une pile est un appui intermédiaire, elle est composée d’une superstructure et d’une fondation. Son rôle essentiel est de transmettre les efforts provenant des charges et surcharges aux fondations. La conception des piles est tributaire du type et du mode de construction du tablier, et d’exécution des fondations et de certaines et de certaines contraintes naturelles liées au site.



III.3.5.1 Dimensionnement Nous proposons un fût de forme circulaire plein, de diamètre = 1m., et niveau de la pile 6, nous réaliserons deux pile , afin de reprendre le moment de torsion.

Tableau 97 : Réaction à reprendre et hauteur des piles

Désignation Pile1 Pile2 Pile3 Pile4 Pile5 Pile6

Réaction(kN) 6800 5300 5300 5300 5300 5900

Hauteur (m) 5,8 6,90 8,30 8,35 8,20 7,25

*Les valeurs indiquées dans le tableau sont issues de la combinaison N° 2, et elles tiennent compte de tous les coefficients de majorations, y compris la précontrainte.

Figure 213 : Localisation des piles au niveau de l’ouvrage.

Evaluation des charges horizontales • Force de démarrage La valeur représentative de la force de démarrage selon l’article 4.11.2. de la norme SIA vaut : QBr = 0,30 . Qr ≤ 250 kN pour le modèle de charge 3. Qr étant la valeur représentative de la charge de trafic ferroviaire adoptée § III.1.2.3. Pour une longueur maximale de train de 30 m Qr vaut : Qr = 130 . 2 + 26,8 . 25 = 930 kN.



QAr = 0,30 Qr = 279 kN � QAr = 250 kN. • Force de freinage Même raisonnement que précédemment avec une limitation à 500 kN QBr = 0,25 . Qr = 232,5 kN retenus, III.3.5.2. Ferraillage du fût Les fûts sont soumis à un effort normal et un moment fléchissant ; donc ils seront calculés en flexion composée. Dans une première étape, nous vérifierons qu’il n’y a pas écrasement du béton sous l’effet de la réaction maximale et de la longueur de la pile jusqu’au sol de fondation

Tableau 98 : Calcul de la contrainte de compression au niveau de la base des piles.


Réaction (kN) 5900 5300 5300 5300 5300 6800

Hauteur (m) 7,85 8,20 8,35 8,00 6,90 5,80

Section (m²) 1,13 0,79 0,79 0,79 0,79 0,79

Poids propre majoré (kN) 288 209 213 204 176 148

Somme (kN) 6188 5509 5513 5504 5476 6948

Contrainte à la base (kN/m²) 5471 7014 7019 7008 6972 8846

Contrainte à la base (N/mm²) 5,47 7,01 7,02 7,01 6,97 8,85

D’où nous concluons que le béton résiste à la compression sou s l’effet de la réaction maximale à l’état limite de rupture. Nous devrons tout d’abord déterminer si la section est ou pas partiellement comprimée. Pour cela il faudra comparer si :

e=M/N > R/4 (72)

Avec : M : moment ultime N : Effort normal ultime R : Rayon de la pile



Tableau 99 : Efforts traversant les piles.


N (kN) 6189 5509 5513 5504 5476 6948

Moment (kN.m) 16265 12770 12770 12770 12770 12458

e (m) 2,63 2,32 2,32 2,32 2,33 1,79

R/4 (m) 0,15 0,125 0,125 0,125 0,125 0,125

Il apparaît que dans tous les cas e > R / 4, donc la section est partiellement comprimée, d’où le calcul suivant :

Ke = N . R / M (73)

Ka = M /(R3 . óa) (74)

K étant la raideur de l’appui, óa Contrainte admissible de l’acier.

Tableau 100 : Détermination des raideurs d’appui.

Pile Pile6 Pile5 Pile4 Pile3 Pile2 Pile1

Ke 0,228 0,215 0,215 0,215 0,214 0,27

Ka 0,163 0,222 0,222 0,222 0,222 0,216

De l’aide mémoire de béton armé nous retenons la valeur de w = 0,46 % pour la première pile qui est la plus sollicitée et sur laquelle sera dimensionnée les armatures. Section d’acier :

A = w . ð . R2 / 100 (75)

Application pour la pile 1 A = 0,46 . ð . (50)2 / 100 = 36,11 cm2. Nous retiendrons : 12 ö ö 20 = 37,7 cm2.



Pour les armatures transversales, il faut prévoir une quantité d’acier estimée à 0.05% de la section verticale de béton. Nous fixerons des cerces ö 12. D’où le schéma de ferraillage suivant :

Figure 214 : plan de ferraillage. III.3.6 Fondations La fondation est destinée à transmettre au sol, dans les conditions le s plus défavorables, les sollicitations provenant de la structure et de l’ouvrage. Dans la phase de prédimensionnement nous avions conclu que le recours à des fondations profondes était nécessaire. Nous allons dans une première étape évaluer les efforts à transmettre au sol et quelle serait la surface de contact nécessaire à cela. Pour évaluer le poids des terres sur la semelle nous supposerons une semelle carrée de 2 m de côté.



Tableau 101 : Prédimensionnement des fondations des piles.


Charge (Kn) 6189 5509 5513 5504 5476 6948

Hauteur H(m) 5,80 6,90 8,30 8,35 8,20 7,25

Hauteur H1(m) 1,30 3,80 4,40 6,80 6,15 5,30

Hauteur H2(m) 4,50 3,10 3,90 2,45 2,05 1,95

Pds terres sur semelle (kN) 360,00 248,00 312,00 196,00 164,00 156,00

Surface de contact (m2) 57,81 50,89 55,16 48,07 46,15 50,35

Nous rappelons que la portance su sol est de 150 kN/m².

Figure 215 : Schématisation des fondations Vu l’importance des efforts à transmettre au sol en passant par un sol moyen (glacio -lacustres), il faut étudier des fondations profondes, des pieux forés disposées en files symétriques, afin d’atteindre le substratum (la moraine). Cette dernière sont des produits d’accumulation glaciaire et qui sont des formations meubles très hétérogènes des matériaux de tout calibre, parfois énormes (blocs erratiques, cailloux striés, graviers, etc.). Emballés dans une matière liante de nature argileuse ou argilo-sableuse. Les moraines sont presque toujours aquifères et d’une stabilité très relative, surtout lorsqu’elles ont été abandonnées sur une pente.



Les formations glacio-lacustre sont des dépôts d’origine glaciaire et déposée dans les lacs d’une certaine profondeur. Les éléments des moraines peuvent être fort hétérogènes et n’avoir subi qu’une légère usure. Toutefois, ceux de la moraine de font, de nature variée se montrent plus ou moins broyés et usés, leurs dimensions sont très variables : depuis celles des particules argileuses très fines jusqu’à celles des particules argileuses très fines jusqu’à celles de cailloux de tout calibre, à faces polies et striées, à angles arrondis et présentant un mauvais classement. La fusion des grands inlandsis à conduit à la formati on de vastes plaines d’alluvions fluvio-glaciaires constituées de sable et de fins cailloutis déposés par les eaux de fonte. III.3.6.1 Calcul de la capacité portante du sol La capacité portante est évaluée à partir des résistances des résultats de labo ratoire à l’aide de la relation suivante :

Q= QN /A (76)

tel que : • QN : charge admissible vis-à-vis de la résistance du sol. • A : section du pieu égale à π.d2/4 ; Nous proposons d’adopter des pieux de 0,5 m de diamètre. La charge admissible QN dépend à la fois de la résistance de pointe du frottement latéral au long du pieu, s’exprime par la relation :

QN = A [Qp/F1+QF/F2 ] (77)

D’où :

Q= Qp/F1+QF/F2 (78)

Avec :

Qp : résistance de pointe à la rupture, QF : frottement latéral le long cu pieu, F1 : coefficient de sécurité sur le terme de pointe (F1 = 3), F2 : coefficient de sécurité sur le terme de frottement (F2 = 2).

La résistance de pointe est donnée par la formule suivante :

Qp= ð.d2/4 (γ . D. Nq +1,2 .C. Nc) (79)

d’après TERZAGHI, nous avons pour un sol ayant un angle de frottement ϕ=12°:



Nc= 8,29 î coefficient de portance. Nq = 2,97 î coefficient interne de la couche d’ancrage. • C= 0.15 N/mm2 = 15 t/m²;

• d = 0,50m ; • γ = 2,1t/m3 dansité du sol ;

• D = 13 m de profondeur au maximum. Donc : Qp= 3,14 . (0,5)²/4 ( 2,1 . 13 . 2,97 + 1,2 . 15 . 8,29) = 45,21 t = 452,1 kN. Le frottement latéral est donné par la formule suivante :

QF= ð. D.d . (c+0.5. γ . D. tgä) (80)

Avec :

• δ = -2/3ϕ

• c = 15 t/m² • d = 0,50m • D = 13m

• γ = 2,1 t/mm3

D’où : QF = 3,14 . 13 . 0,5 ( 15 + 0,5 . 2,1 . 13 . tg-8°) = 304,8 t. =3048 kN Donc, on obtient une capacité portante égale à : Q = 3048/2 + 452/3 = 1674 kN par pieu. Pour connaître le nombre de pieux nécessaire afin de reprendre nos 7100 kN de charge maximale nous aurion besoin de : 7100/1674 = 4,24 soit 5 pieux. L’idéal pour nous étant donné que nous n’avons pas beaucoup de place où disposer notre semelle aurait était d’avoir juste 4 pieux. Nous allons donc augmenter le diamètre des pieux à 55 cm afin d’obtenir le chiffre recherché. L’application de la méthode précédente avec le nouveau diamètre nous amène à 3,82 pieux soit les 4 recherchés ! 7.4 Ferraillage des pieux Nous ferraillons le pieu le plus sollicité, nous considérons qu’il est articulé au sol et encastré dans la semelle, généralement le ferraillage des pieux est calculé dans la plus part des cas en compression simple : Nous utiliserons matériaux suivants :



Nous avons : 3 óbc = 14 N/mm²

3fc28 = 25 N/mm² 3ft28 =2,1 N/mm² 3S500a, ós = 460 N/mm²

Donc l’effort à reprendre par chaque pieu est de N = 7100/4 = 1775 kN. L’armature longitudinale nécessaire A est donnée par la formule :

A = (N-B.óbc)/ ós (81)

Avec B section des pieux Application A = -34,75 < 0 Nous déterminerons alors les armatures à l’état de stabilité de forme Longueur de flambement : Lf= 0,7 . L0 = 0,7 . 13 = 9,1 m Elancement λ= 4Lf / d pour une section circulaire soit λ = 66,18 λ>50 donc

( ) 495,0

352,01

85,02 =

+=

λα

Soit alors Br la section réduite obtenue en retirant 1 cm d’épaisseur de béton sur toute la périphérie du pieu.

2)2(4

−= dBrπ (82)

Application Br = 3,14/4 (0,55-0,02)²= 0,22 m² La section A vaut alors



−=bc

cru

e

s fBN

fA

γαγ

.9,0. 28 (83)

Application : A < 0 D’où nous ferraillerons avec une section d’armature minimale

Amin = 0,8 % . B = 19,02 cm² soit 6φ20 La section d’armature transversale lui correspondant est : φt = 1/3 20 = 7 d’où nous prendrons alors des φ 12 III.3.7 Etude de la culée La finalité d’une culée est de répondre à certaines exigences, entre la disposition du terrain naturel par rapport à la côte projet retenue. Ceci influe directement sur le type du culée à adopter et ses dimensions. Nous adoptons une culée avec un mur e retour fondé sur un remblai exécuté au préalable, sachant que la nature du sol exige de toute façon des fondations profondes. Ce type du culée présente deux parties importantes : • Une partie supérieure, • Une fondation. III.3.7.1 Partie supérieure Composées du mur frontal surmonté par le mur garde-grève, et se prolongeant sur les côtés par les murs de retour, derrière le mur frontal s’encastre un corbeau, sur le quel repose la dalle de transition. III.3.7.1.a Mur garde-grève Disposé sur le mur frontal, son rôle est d’une part, retenir la terre derrière le tablier et d’autre part, d’établir le joint de chaussée. Pour ceci, nous retiendrons une hauteur égale à la somme des hauteurs du dé d’appui, de l’appareil d’appui, de la surhauteur du voussoir (0,24 + 0,20), ce qui nous donne : H = 0,96m Soit, l’épaisseur à retenir est telle que : e = Sup. (30,h / 8),



avec h = H = 0,96m Soit donc une épaisseur e = 0,30m. III.3.8.1.b Mur frontal D’après le document SETRA.PP 73 en tenant compte des dimensions des bossages d’appuis, de la présence de la dalle de transition, nous avons opté pour le dimensionnement suivant l’épaisseur du mur frontal ev > 1,20m

Figure 216 : Mur frontal. III.3.7.1.c Mur en retour Pour retenir latéralement les terres derrières la culée, des murs en retour sont encastrés en console sur le mur frontal se prolongeant vers l’arrière



Figure 217: Mur en retour. Selon ‘ PP. 73 ’nous avons : R2 � 0,2m nous prenons R2 = 1 m R1 � h1 / 10 R1 =1m h1 = hauteur de la culée = 4.96m R1 � 4.96 / 10 = 0.496m, nous prendrons R1 =1m où (1/1) désigne la pente du mur, et sachant que L1 � 5m d’après la SETRA, nous retiendrons une longueur L1 = 4,8m. III.3.7.1.d Dalle de transition Au voisinage des maçonneries constituant l’appui d’un ouvrage d’art nous pouvons difficilement espérer pouvoir compacter parfaitement les remblais. A causes des cycles de chargement et déchargement, nous risquons souvent une dénivellation entre plate forme et le tablier, ce qui nous amène à utiliser une dalle de transition en béton armé s’appuyant sur le corbeau. LT = min (6m, max (3m, 0,6h)), longueur de la dalle h : hauteur du remblai = 5m. LT = min ( 6, max (3m, 3m)) Pour des raisons de stabilité, nous retiendrons : LT = 3 +1,2 = 4,2m. L’épaisseur de la dalle est généralement prise égale à : 30cm.



Figure 218: Vue longitudinale de la culée III.3.7.1.e.Sollicitations sur la culée sollicitations verticales : • Poids propre de la culée, • Réaction d’appui du tablier dû à sa charge perm anente,

• Poids des terres ; densité du remblai 1,8daN/ m3. sollicitations horizontales : • Effet de freinage

• Poussée des terres : nous considérons que les terres sont dans l’équilibre de Rankine P = 1/2 . Ka . γ .h

2 Avec : Ka : coefficient de poussée interne des terres : Ka = tg2 ( ð/4 – ä/2)



ä : angle de frottement interne = 30°, Ka = 0,33 γ : densité de remblai. Poussée due aux surcharges de remblai de 1t /m2 , disposé sur Poussée horizontale du remblai ; QH = Ka . q . l. h, Poussée verticale du remblai QV = q . L . B Avec : B : longueur de la semelle (patin arrière). Vérification de la stabilité de la culée : 1- Stabilité en phase de construction

Tableau 102 : Vérification de la stabilité en phase de construction.

Désignation Dimensions N(t) D /A (m) M / A (t.m)

Mur garde grève 0,3.0,98.8,9.2,5 6,54 2,25 14,72

Corbeau 0,3.(0,2+0,5)/2.4 8,3.2,5 2,18 2,53 2,52

Mur de front 1,004,96.8,9.2,5 110,36 1,9 209,65

dés d’appuis 0,9.1,00.0,25.4.2,5 2,25 1,86 4,19

2.1,00.5,8.0,30.2,5 8,7 5,3 46,11

2.2,5.(5,8+3,1)/2.0,3.2,5 16,69 5,12 85,45 Mur en retour

2.3,5.3,1.0,3.2,5 16,28 3,95 64,31

Semelle 1,00.5,7.9,9.2,5 141,.08 2,85 402,,06

Dalle –transition 0,3.4,2.8,3.2,5 26,15 4,52 118,18

• effet résultant : N = 330,23t, M = 947,19t /m.

• excentricité / A : eA = M / N = 2,8687m. • excentricité / O : eO = (B /2) - eA = (5,7 /2) – 2,87 = 0,022 < B / 6 = 5,7/2 = 0,95cm 33Vérifiée.



2 stabilité en service

Tableau 103 : Vérification de la stabilité en service.

Désignation Dimensions N(t) H(t) D/A (m) Ms/A(t.

m) MR/a(t.

m) Poids propre de la culée 336,16-26,145

310,015

847,47

Dalle de transition 0,3.8,3.2,5.4,2/2 13,07 2,42 31,64

Réaction du tablier 16,06.(20/2) 323,2 1,86 601,15

0,5.4,2.1,8.1,54.8,3 48,32 2,42 116,93 Poids des terres

3,3.1,8.5,16.8,3 245,39 4,05 1030,31

0,5.0,33.8,3.1,8.(1,54)2 5,85 6,95 40,73 Poussées des terres 0,5.0,33.8,3.1,8.(5,16)2 65,64 2,72 178,53

1.3,3.8,9 27,39 4,05 110,93 Surcharges des remblais 0,33.1.8.8,3 21,92 4,00 87,65

Freinage 32,5 /2 16,25 6,16 100,1

• Effet résultant : N = 967,385t H = 109,66t Ms = 2738,43t.m MR = 407,01t.m • Renversement Ms / MR = 2738,43 /407,01 = 6,73 > 1,5. 33Vérifiée.

• Glissement H / N = 109,66 / 967,385 =0,1134 < 0,4. 33Vérifiée. • Excentricité • eA = M / N = Ms – MR / N = 2,410 eo = B / 2 – eA = (5,7 /2) – 2,410 = 0,44 <B / 6 = 0,95 33Vérifiée.



III.7.2.2. Ferraillage de la culée Mur garde grève Le mur est soumis à des efforts importants dus à la poussée des terres à laquelle s’ajoute la poussée des surcharges placées sur le remblai, pour le calculer, nous le considérons comme un voile vertical encastré sur le mur de front. Les armatures principales sont de répartition horizontale, en avant des barres verticales. Evaluation des efforts • Poussée des terres FP = 1/2 . Ka . γ .h

2 î MP = FP .h / 3 Avec : Ka = 0,33, γ = 1,8 t/m3, h = 0,96. FP = 0,274t / ml î MP = 0,0876t.m / ml. • Surcharges du remblai QH = Ka . q . h Avec : Ka = 0,33, q = 1 t/m2, h = 0,96. QH =0,317t/ml. Le moment max. à l’encastrement est : MQ = QH . h/2 = Ka . q . h2/2 MQ = 0,152t.m/ml. • Poussée locale d’une charge située à l’arrière du mur garde grève Les normes générales NGEF 9C1 N°2 relatives aux ouvrages d’art (appui et fondation), prescrivent une charge à l’arrière de la culée de pont rail de 3,6 t/m 2, (pour des essieux de 25t) . Cette surcharge correspond aux machines définies par le fascicule 61 titre 1, elle est répartie sur une largeur de 3m environ (2,20 de traverse + une répartition à 45° d’épaisseur de ballast. Q = Ka . q .h Q =0,33 . 3,6 .096 =1,140t /ml.



MP = Q . h/2 MP = 0,547t.m/ml. • Moment dû à la force de freinage Nous considérons un essieu du blochet de 0,25.0,40 du contact du garde grève , lors de renouvellement de la , et nous négligeons l’effet de l’essieu situé à 1,60m en arrière . MF’ = 12,5 . h . � / 0,25 +2 .h MF’ = 9,95t.m/ml. Donc , les moments totaux égal à : MT = MF + MQ + MF’ = 10,649t.m/ml. Calcul de la section d’armature Nous prendrons une bande de 1,00m de largeur du mur, le ferraillage se fera pour la face arrière du mur garde grève. Nous avons : H =30 cm, b = 100cm, c = c’ = 3cm, γs = 1,15, S500a, fc28 =23Mpa, ós = 526Mpa, óbc = 14,7Mpa. µ = M / b . d2 . óbc = 10,649 .104 / 100 . 272 . 14,7 = 0,099

â = 1 – 0,4( 1,25((1 -�1 -2µ)) =0,078

A = M / â. d2 . ós = 10,649 .104/ 0,078 . 27 . 526 = 10 cm2 Soit : 7 ö ö 14 = 10,78cm2. * face avant : nous adoptons pour la face avant des öö12 tous les 20 cm ( d’après la SETRA). * ferraillage horizontal : se fera avec des öö 10 tous les 15cm sur les deux faces (SETRA). Dalle de transition au voisinage des maçonneries, constituant l’appui d’un ouvrage d’art , nous pouvons difficilement espérer pouvoir compacter parfaitement les remblais sous le passage des charges roulantes, ces cycles entraînent souvent une dénivellation entre la chaussée et le tablier de l’ouvrage. pour éliminer cette dénivellation, nous construirons une dalle de transition en béton armé, qui s’appuie d’un côté sur la culée (corbeau), et de l’autre côté sur le terrain, cette dalle est calculée comme une travée indépendante (poutre simplement appuyée).



Les sollicitations agissant sur la dalle : • Poids propre : 0,3 . 2,5 .1,00 =0,75 t/ml,

• Poids des terres : 1,8 .1,54 . 1,00 = 2,772t/ml, • Surcharges du remblai :1t/ml. Calcul de la section d’armature

M = (0,75 + 2,772 + 1,2 . 1) . (4,20)2 / 8 = 9,97 t.m/ml. Nous avons : H =30 cm, b = 100cm, c = c’ = 3cm, γs = 1,15, S500a, fc28 =23Mpa, ós = 526Mpa, óbc = 14,7Mpa. µ = M / b . d2 . óbc = 9,97 .104 / 100 . 272 . 14,7 = 0,093. Pour µ = 0,093 î â = 0.745 D’ou : A = M / â . d2 . ós = 11,43cm2. Soit : 6 ö ö 16 = 12,06cm2. Corbeau Il sert comme appui pour la dalle de transition, il est encastré au mur garde grève. Les sollicitations agissant sur la dalle : • Poids propre : 0,3 .1 .1. 2,5 =0,75t/ml,

• Réaction de la dalle de transition : 4,552 . 4,2 /2 = 9,49t/ml. Calcul de la section d’armature

M = (0,75 . 0,3 / 2 + 9, 49) . 0,3 = 3,2 t.m/ml. Nous avons : H =30 cm, b = 100cm, c = c’ = 5cm, d = 25cm S500a, fc28 =23Mpa, ós = 526Mpa, óbc = 14,7Mpa. µ = M / b . d2 . óbc = 3,2 .104 / 100 . 252 . 14,7 = 0,041 Pour µ = 0,041 î â = 0.973 D’ou : A = M / â . d. ós = 2.5 cm2. Soit : 3 ö 12 = 3,39cm2.



Mur de retour Son rôle est : • D’assurer l’encastrement de la culée dans le remblai,

• De protéger le talus de l’érosion crée par les eaux, • D’assurer le soutènement des terres des remblais d’accès au pont. Efforts horizontaux • Poussée des terres, • Surcharges de remblai. Calcul des contraintes exercées sur les parties du mur le long de A-G : ó(h) = Ka (γ h + q) avec : Ka = 0,33, γ = 1,8 t /m3, q = 1t/m2. d’ou : ó(h) = 0,549 h + 0 ,33. Partie ABCD

Pour h = 0m, ó(h) =0,33t/m2, Pour h = 1m, ó(h) =0,924t/m2,

Partie CDEF

Pour h = 3,5m, ó(h) =2,409t/m2, Partie EFGH Pour h = 7m, ó(h) =4,488t/m2,

Calcul des moments Partie ABCD Elle est considérée encastrée le long de CD : M =-( ( 0,528 + 1,33 ) / 2) . ((2 . 0,528 +1,33 .1) / 0.528 + 1,33) = -0,398/3t.m Partie CDEF Elle est considérée encastrée le long de EF, pour cette partie, nous assimilons le trapèze CDEF à un rectangle de longueur L. L = (CD +EF) / 2 = (5,80 + 3,1) / 2 = 4,45 m,



Le moment égal à : M = - (1,33 + 3,335) / 2 . ( 4,452/ 2) = - 23,095t.m. Partie EFGH Elle est considérée encastrée le long de GH Le moment égal à : M = - ( 3,335 + 6,14 . 3,4) / 2 .( ( 2 . 3,335 + 6,14 ) / (3,335 + 6,14).(3,5/ 3)) = - 26,154t.m. Efforts verticaux l’effort agissant est son poids propre : G = 2 ;5 .0,30 .( 5,8 . 1 +((5,8 +3,1 ) /2 ) . 2,5 + 3,5 . 3,1 ) = 27,775t, XG = [( 5,8 .1 .5,8 / 2) + (3,1 .2,5 .3,1 / 2) + (2,7 . 2,5 . 4 / 2) . (3,5 . 3 ,1 .3,1 / 2) ] / 37,04 XG = 1,60m. MG =27,775 .1,60 = 44,44 t.m. Ferraillage de mur de retour 1 – ferraillage selon les forces horizontales la section a considéré pour le ferraillage horizontal de mur de retour, est une section rectangulaire. Nous avons : H =30 cm, b = 100cm, c = c’ = 3cm, d = 27cm S500a, fc28 =23Mpa, ós = 526Mpa, óbc = 14,7Mpa. µ = M / b . d2 . óbc = 26,154 .104 / 100 . 272 . 14,7 = 0,250 < µ = 0,392 î A’ = 0 â = 0.893 D’ou : A = M / â . d. ós = 20,62 cm2. Soit : 7 ö 20 = 21,98cm2 2 – ferraillage selon les forces verticales H =580 cm, b = 30cm, c = 5cm, d = 575cm S500a, fc28 =23Mpa, ós = 526Mpa, óbc = 14,7Mpa. µ = M / b . d2 . óbc = 44,44 .104 / 30. 5752 . 14,7 = 0,003 < µ = 0,392 î A’ = 0



â = 0.998 D’ou : A = M / â . d. ós = 1, 47 cm2. Soit : 6 ö 6 = 1,698cm2 Mur de front nous considérons le mur étant encastré sur la semelle, sa partie supérieure présente un soumis horizontal, sur le quel repose le tablier par l’intermédiaire des appareils d’appui, et à l’arrière un mur grève destiné à isoler le tablier du contact du rembla i Sollicitation agissant sur le mur de front sollicitations verticales :

• poids propre du mur de front,

• réaction du tablier à la charge permanente, • poids propre du corbeau, • poids propre du mur garde grève.

sollicitations horizontales :

• poussée des terres, • sollicitation horizontale du remblai.

Tableau 104 : Détermination des sollicitations sur pile.

Désignation Dimensions N(t) H(t) D/o (m) M/(t.m)

Mur garde grève 0,3.2,04.2,5.1 1,53 0,35 -0,53

corbeau 0,3.0,2.0,5.2/2.5.1 0,26 0,63 -0,16

Mur de front 1.4,96.2,5.1 12,4 0,00 0,00

Au dessus DT ½.0,33.1,8.1,54 2.1 0,70 5,97 4,21 Poussée

des terres Au dessous DT ½.0,33.1,8.5,16 2.1 7,91 1,72 13,60

Surcharges de remblai horizontale 0,33.1.7 2,31 3 ,5 8,10

Réaction de tablier 3.23,2,1/8,9 36,32 21,92 0,04 1,45

Freinage 32,5 /8,9 3,5 5,16 18 ,06



Calcul de la section d’armature pour le ferraillage du mur de front, nous considérons une section rectangulaire, tel que les dimensions sont : H =100 cm, b = 100cm, c = c’ = 5cm, d = 95cm S500a, fc28 =23Mpa, ós = 526Mpa, óbc = 14,7Mpa. 1 – ferraillage vertical N= 50,51t M = 44.73t.m. Si « G » est le centre de pression, nous avons : G = e = M / N = 0,885 < h / 2 =0,5m. Donc le centre de pression e est à l’extérieur des armatures, d’ou la section est part iellement tendue. Calcul en flexion simple : 1-1 nous considérons que Ma le moment par rapport au centre de gravités des armatures tendues ; donc : MA = N . ( e - c + h/2) = 54.35t.m

µ = M / b . d2 . óbc = 54,35 / 100 . 952 . 14,7 = 0,041 < µ = 0,283 donc, les aciers de compressions se sont pas nécessaire A’. 1-2 section d’aciers tendues µ = 0,041 Zb = d. (1 – 0,6 µ ) = 71,63cm. D’ou : A = M / µ . ós = 14,47 cm2. Armatures en flexion composée : A = A - N / ós = 4,14 cm2 Soit : 4 ö ö 12 = 4,52cm2. 2 – ferraillage horizontal Av = 4,52cm2. Av / 4 < Ah < Av / 3 : 1,13 < Ah <1,50 Soit : 5 ö ö 6 = 1,41cm2.



III.4. Etapes de construction La première tâche consiste à faire une reconnaissance des lieux, et à piqueter tous les points singuliers dont on aura besoin pour le début d’exécution, ce selon les plans d’implantation. Cette opération doit être faite et contrôlée avec très grand soin, ce afin d’éviter le risque que les piquets soient déplacés.

Figure 219 : Vue en plan du terrain où implanter l’ouvrage.

Ensuite, tout le matériel nécessaire à l’exécution des fondation doit être acheminé. L’exécution des fondations demande un soin particulier, car d’eux dépendent la stabilité et la pérennité de l’ouvrage. D’autant plus qu’elle comporte des aléas sérieux, car on ne peut être sûr à 100% des caractéristiques réelles du sol. Tout d’abord il s’agira de forer les pieux qui, sont d’un diamètre de 55 cm. Viennent ensuite les armatures à introduire puis le rem plissage du forage par du béton. Sur ces pieux viendra reposer la semelle qui devra avoir une forme particulière en chaque endroit afin d’éviter d’endommager la chaussée. Les positions, en plan et en altitude, doivent ensuite être vérifiées au fur et à m esure de l’avancement du chantier, c’est à dire avant et après chaque nouvelle opération, de manière à corriger à temps les petits écarts qui risquent d’apparaître. Ensuite les échafaudages nécessaires pour les piles, les culées et les parties du tablier coulées sur cintre, devront être mises en place.



Les culées seront construites en même temps que les piles, afin de permettre l’exécution des parties à couler sur cintre.

Figure 220 : Mise en place des échafaudages.

Une fois les piles prêtes, il s’agira de réaliser le voussoir sur pile qui sera coulé sur place au moyen de coffrages classiques, dont une partie de l’échafaudage servira à rendre le système hyperstatique afin d’éviter le risque de renversement de fléaux., car à la construction, l’ouvrage fonctionne en console, les efforts décroissant de l’appui à l’extrémité libre. Ce voussoir servira de plate-forme de montage et de base de départ aux équipages mobiles Une fois le système stabilisateur assujetti en place, un jeu de coffrages mobiles est installé à chaque extrémité du voussoir sur pile et ajusté en fonction de la contre flèche. Les deux coffrages seront mis en place côte à côte et avanceront simultanément ; c’est le schéma le plus fréquent pour la réalisation de ce genre d’ouvrages. Il faudrait prévoir d’assembler provisoirement les deux équipages pour la construction des premiers voussoirs courants, car la faible taille des voussoirs sur pile ne permet pas d’adopter la disposition précédente pour les premiers voussoirs coulés. Comme type d’équipage nous proposons d’adopter un équipage mobile autoportant indéformable qui permettra d’éviter les difficultés de contrôle et de correction des formes géométriques du tablier, il permet aussi d’éviter les fissurations créées au droit des joints entre voussoirs par la déformabilité des équipages mobiles traditionnels. Ce type d’équipage mobile nous permet surtout de diminuer l’encombrement de l’espace de travail surtout au niveau inférieur. Les cages d’armatures assemblées au sol sont hissées et fixées dans les coffrages mobiles suspendus. Ensuite, les gaines pour les câbles de précontrainte et les autres équipements sont mis en place avant coulage du béton. La jonction entre deux voussoirs successifs se fera à l’aide d ’armatures passives qui assureront la continuité en plus des câbles de précontrainte qui plaquerons le dernier voussoir sur le précédent.



Figure 221 : Mise en place des équipages mobiles.

Le dernier voussoir devenu alors résistant, servira de base pour une nouvelle avancée dans laquelle on réutilise le même coffrage et son support. A la fin de chaque cycle de construction d’un voussoir, les câbles d’encorbellement sont mis en tension afin de transmettre puis autre voussoir vient s’appuyer…etc La mise en tension des câbles de précontrainte est suivie par l’injection dans la gaine d’un coulis qui protègera les armatures. Il est possible afin d’éviter l’application de contraintes élevées sur le béton jeune, de prévoir des pièces en béton préfabriqué où viendrons s’ancrer des pions supportant le dispositif mobile. L’avancement des équipages en position de bétonnage s’effectue par l’intermédiaire d’un chariot se déplaçant sur des profilés placés en porte-à-faux à l’aplomb des âm es. Les éléments porteurs du voussoir à coulé sont alors constitués des coffrages qui forment un bloc rigide. Etant donné que la section de notre tablier est pleine, il serait possible de couler chaque voussoir en une seule phase, ce qui permettra d’avoir une meilleure homogénéité du béton et de gagner en cadence de construction. Il sera ainsi possible de réaliser un cycle complet en 6 jours ouvrables, soit une semaine dont les opérations sont réparties de la façon suivante :

• Une journée pour la mise en tension du voussoir précédemment bétonné, le décoffrage et l’avancement de l’équipage ;

• Deux journées pour la mise en place des armatures et des câbles préalablement préparés au sol.



• Une partie de la journée pour le bétonnage du voussoir, et le reste de la semaine dont un jour chômé pour la prise et le durcissement du béton.

Ce cycle correspond à un avancement de 8 m par semaine, soit un peu plus d’un mètre par jour. En suivant ce raisonnement, nous pouvons conclure que si tous les fléaux sont construits en même temps il serait possible de mettre en place tout le tablier en moins de 5 semaines.

Figure 222 : Mise en place des câbles de continuité.

Pour les parties du tablier situées à faible hauteur et coulées sur cintre, le coulage d’un seul trait paraît tout à fait approprié. En ce qui concerne les câbles de continuité, ils ne sont mis en tension qu’après clavage de la totalité des travées. Une fois la mise en tension des câbles et injection des gaines finies, il s’agira de noyer dans le béton les niches prévues pour les ancrages et ainsi compléter la section. Lorsque le socle atteint une résistance suffisante, le système stabilisateur est enlevé.

Figure 223 Profil en long final de l’ouvrage



III.5. Coordonnées de chaque voussoir Il est possible d’obtenir les coordonnées de n’importe quelle section du tablier à l’aide de formules introduites au sein d’Excel. Les coordonnées seront données par rapport à un repère local dont l’origine est l’i ntersection de l’axe de la voie de chemin de fer avec la fin de l’ouvrage moins 1 m pour l’altitude, ce afin de considérer la partie inférieure du tablier.

Figure 224 : Représentation des numéros de nœuds dans la section.

Cette procédure tient compte de la variation de section du tablier. Le principe de cette méthode est d’introduire un minimum de données sur la section recherchée et d’obtenir instantanément toutes les coordonnées des points qui la compose. Ce minimum consiste à donnée les coordonnées d’un point de la section, ce point d’origine est indiqué dans la figure qui suit : Il est possible d’avoir rapidement d’obtenir ces coordonnées à l’aide des plans fournis ou via le logiciel Mapinfo. Ces coordonnées seront introduites dans les cellules suivantes

• C2 Pour l’ordonnée X ;

• D2 Pour la coordonnée Y ; • E2 Pour l’altitude Z.



Ensuite il reste à introduire l’inclinaison de la section considérée par rapport à l’axe Y. Elle est évaluée en introduisant la distance séparant la limite de la section réelle par rapport à sa limite si elle était sur l’axe Y. Cette valeur est à introduire dans la cellule I14.

Figure 225 : Inclinaison d’une section du tablier par rapport à l’axe Y.

Une dernière donnée consiste à indiquer si l’inclinaison se situe à droite ou à gauche de l’axe Y. Cela consiste à introduire 1 dans la cellule I15 si l’inclinaison est dans le sens positif, et –1 si elle est dans le sens négatif, ce selon les dispositions de la figure précédente. Il ne reste plus maintenant qu’à prendre note des coordonnées des 25 autres points de la section.



Figure 226 : Capture d’écran de la feuille de calcul.

La variation de section est gérée par les cellules I3 à I11 où, toutes les caractéristiques géométriques du tablier sont introduites :

Figure 227 : Valeurs à introduire pour les calculs.

Les formules de ces calculs sont joints en annexe 2.



CONCLUSION Au cours de cette étude, nous pensons avoir réussis à avoir un aperçu général, sur la majorité des phases précédent l’aboutissement à la réalisation d’un projet de pont. Ceci est dû au fait que notre point de départ fut uniquement un plan de masse et une ligne rouge, il fallut donc imaginer comment relier deux points tout en ne perturbant pas le milieu complexe à traverser. Nous avons donc commencé par l’étude détaillée de trois variantes, dont une haubanée. Ce qui nous a permis de nous familiariser avec ce genre d’ouvrage qui autrefois, étaient considérés comme exceptionnels. Puis ensuite est venue l’étude classique d’un pont, dont nous avons globalement parcouru toutes les phases sans trop rentrer dans l’étude des détails. Lors de ces études, nous avons tenté d’utiliser tous les logiciels techniques à notre disposition afin, d’automatiser au maximum les étapes de calcul et de consacrer un maximum de temps à la réflexion. Car les calculs ne nous permettaient pas de résoudre tous les problèmes auxquels nous avons été confrontés, il fallut donc faire appel à notre bon sens et à la logique pour aboutir à des dispositions qui relèvent plus de l’ordre pratique que technique Enfin, ce n’est que maintenant que nous avons réussi à avoir une vision nette de ce qu’en quoi consiste métier d’ingénieur en travaux publics.



BIBLIOGRAPHIE Ouvrages : BERNARD-GELY A. CALGARO J. A. (1994). Conception des ponts. Presses de l’école

nationale des ponts et chaussées. Paris. 361 p. CALEMBET I.. Introduction de géologie à l’ingénieur, Université de Liège. CHARON P. Méthodes simples et pratiques pour le calcul de béton armé Tome I et II.

Editions Eyrolles, Paris. 200p. CHOUCHAA A. (1990) Formulaire pour bâtiment et travaux publics. Entreprise nationale du

livre, Alger. 558p. DIRASSAT Sarl. (1997). Guide pratique de SAP90 avec interface d’entrée sous Windows,

Alger 54 p. FAUCHART J. (1983). Initiation au calcul des structures –Béton et acier -. Editions Eyrolles,

Paris. 300p. GRATTESAT G. (1987). Conception des ponts. Cours de l’école nationale des ponts et

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• Norme SIA 160 de la Société suisse des ingénieurs et des architectes (1988) Actions sur les structures.

• Norme SIA 162 de la Société suisse des ingénieurs et des architectes (1988) Ouvrages en béton.

Bulletins techniques, revues et monographies:

• Freyssinet Magazine N°203, 204, 205, 206, 207; • Ouvrages d’art de la SETRA N° 28, 29, 30 et 31 ;

• Bulletin technique n°7. Ponts en béton précontraint construits par encorbellements successifs. SETRA Division des ouvrages d’art A ;

• Algérie équipement, Revue technique de l’Ecole Nationale des Travaux Publics N°17, 24 et 32.

• Document SETRA, appareils d’appui en élastomère fretté, Bulletin technique N° 4 Edition 1974 ;

Catalogues :

• Catalogue PPC, gamme des câbles et ancrages Freyssinet ; • Catalogue Freyssinet Suisse, gamme des câbles et ancrages Freyssinet ;

• Catalogue Freyssinet Suisse, Gamme des appareils d’appui et des joints de chaussées ; • Catalogue Stay cables (haubans), Freyssinet ; • Catalogue Stahlton, procédé de précontrainte BBRV.



Cours :

• Cours de béton précontraint, ENTP 4ème et 5ème année de Mr Amieur ; • Cours de béton précontraint, ENTP 4ème année de Mr Touati ;

• Cours d’ouvrages d’art, ENTP 4ème année de Mr Boutamine ; • Cours de mécanique des sols, ENTP 4ème année.

Thèses :

• HAOUAS M. (1999) Etude d’un ouvrage d’art. Encadré par Mr KHELLAFI H. ENTP. • HACHEMI A. RAHMANI A. Conception et calcul d’un pont rail biais en béton

précontraint poutres. Encadré par Mr BOUTAMINE, ENTP. • TOUHAMI A. BOURAIOU Z.L. (1992) Etude d’un pont dalle courbe à six travées

hyperstatiques en béton précontraint. Encadré par Mr BOUTAMINE, ENTP. Logiciels techniques :

• Micrografx Photo Magic, pour la scanérisation et le traitement de documents ; • Adobe Photoshop 5.0, pour le traitement avancé des images ;

• Mapinfo Professionnal 5.5, pour la vectorisation des données du tracé ; • Vertical Maper, pour la génération de la troisième dimension ; • Virtual Frontier, pour le mapage et la présentation d’images de synthèses ;

• Microsoft Excel 2000, pour tout ce qui est calcul répétitif ; • SAP90 ; pour l’analyse de la structure ; • WinFlex, pour le calcul des sollicitations longitudinales ;

• WinOss ; pour le calcul des sollicitations longitudinales ; • WinMEF ; pour la vérification du tablier.

Sites Internet :

• www.mapquest.com : Cartes des voiries de la ville de Lausanne ;

• www.lausanne.ch : Bâti de la ville ; • www.freyssinet.com : Informations concernant des ouvrages en B.P. existants ; • www.setra.fr : Articles touchant aux ouvrages d’art.



REFERENCES PHOTOGRAPHIQUES Site Mapquest (www.mapquest.com) : Fig. 1, Fig. 2, Fig. 3. Site de la ville de Lausanne (www.lausanne.ch) Fig. 14. Ouvrage « Ponts haubanés » : Fig. 22, Fig. 32, Fig. 34, Fig. 36, Fig. 39. Ouvrage « Construction par encorbellement des ponts en béton précontraint » : Fig. 40 , Fig.

41. Bulletin « Ponts en béton précontraint construits par encorbellement successifs» : Fig. 25,

Fig. 27, Fig. 76. Catalogue « Stay cables » de Freyssinet : Fig. 30, Fig. 31, Fig. 33, Fig. 34, Fig. 36, Fig 54, Fig. 56 à la Fig 62, Fig. 71. Catalogue « P.P.C. » de Freyssinet : Fig.143 à 147. Catalogue Freyssinet Suisse : Fig. 205 à 208. PS : Pour plus de détails sur ces ouvrages, consulter la bibliographie.



PLANS Plan 1 : Vue d’ensemble de la variante haubanée, échelle 1/350e ;au format A2 ; Plan 2 : Vue d’ensemble de la variante symétrique, échelle 1/350e ; au format A2 ; Plan 3 : Vue d’ensemble de la variante non symétrique, échelle 1/350e ; au format A2 ; Plan 4 : Tracé en plan et profil en long de la variante retenue, échelle 1/200e ; au format A0 ; Plan 5 : Profil en long des étapes de construction, échelle 1/200e ; au format A0 ; Plan 6 : Tracé en plan des étapes de construction, échelle 1/200e ; au format A0.



ANNEXES



ANNEXE 1 Voici le fichier de données introduit dans le logiciel SAP90 pour le calcul des efforts statiques selon la première disposition pour les surcharges de trafic. Pour les autres cas de charge (14 au total), nous n’avons uniquement changé la disposition des surcharges. Etude du pont "La Bourdonnette" System N=398 L=5 v=8 Joints 1 x=-0.01 y=-0.061 z=388.365 2 x=0.473 y=-0.205 z=388.378 3 x=0.982 y=-0.367 z=388.398 4 x=1.480 y=-0.510 z=388.409 5 x=1.978 y=-0.672 z=388.436 6 x=2.466 y=-0.805 z=388.456 7 x=2.954 y=-0.957 z=388.469 8 x=3.442 y=-1.099 z=388.489 9 x=3.931 y=-1.242 z=388.502 10 x=4.429 y=-1.394 z=388.528 11 x=4.937 y=-1.527 z=388.548 12 x=5.446 y=-1.679 z=388.561 13 x=5.944 y=-1.821 z=388.588 14 x=6.411 y=-1.955 z=388.608 15 x=6.885 y=-2.080 z=388.628 16 x=7.404 y=-2.229 z=388.647 17 x=7.893 y=-2.361 z=388.667 18 x=8.343 y=-2.481 z=388.687 19 x=8.763 y=-2.606 z=388.707 20 x=9.222 y=-2.722 z=388.727 21 x=9.637 y=-2.840 z=388.740 22 x=10.133 y=-2.944 z=388.760 23 x=10.616 y=-3.037 z=388.780 24 x=11.092 y=-3.136 z=388.799 25 x=11.595 y=-3.235 z=388.819 26 x=12.091 y=-3.335 z=388.833 27 x=12.579 y=-3.455 z=388.852 28 x=13.054 y=-3.542 z=388.879 29 x=13.553 y=-3.632 z=388.892 30 x=14.056 y=-3.725 z=388.912 31 x=14.545 y=-3.824 z=388.938 32 x=15.035 y=-3.910 z=388.952 33 x=15.518 y=-3.996 z=388.971 34 x=16.007 y=-4.089 z=388.998 35 x=16.503 y=-4.188 z=389.011 36 x=16.986 y=-4.274 z=389.024 37 x=17.509 y=-4.366 z=389.051 38 x=18.011 y=-4.446 z=389.071 39 x=18.514 y=-4.532 z=389.091 40 x=18.997 y=-4.605 z=389.110

41 x=19.473 y=-4.679 z=389.127 42 x=19.956 y=-4.757 z=389.153 43 x=20.439 y=-4.843 z=389.167 44 x=20.960 y=-4.910 z=389.186 45 x=21.464 y=-5.001 z=389.206 46 x=21.972 y=-5.054 z=389.226 47 x=22.482 y=-5.097 z=389.246 48 x=22.992 y=-5.137 z=389.266 49 x=23.488 y=-5.176 z=389.279 50 x=23.984 y=-5.216 z=389.305 51 x=24.493 y=-5.256 z=389.325 52 x=24.996 y=-5.296 z=389.345 53 x=25.492 y=-5.335 z=389.358 54 x=25.988 y=-5.375 z=389.378 55 x=26.484 y=-5.415 z=389.398 56 x=26.987 y=-5.461 z=389.418 57 x=27.490 y=-5.501 z=389.431 58 x=27.986 y=-5.540 z=389.444 59 x=28.495 y=-5.580 z=389.458 60 x=28.936 y=-5.621 z=389.471 61 x=29.419 y=-5.662 z=389.484 62 x=29.917 y=-5.692 z=389.497 63 x=30.427 y=-5.739 z=389.517 64 x=30.951 y=-5.780 z=389.530 65 x=31.465 y=-5.805 z=389.537 66 x=31.976 y=-5.819 z=389.557 67 x=32.466 y=-5.846 z=389.570 68 x=32.955 y=-5.852 z=389.583 69 x=33.457 y=-5.879 z=389.597 70 x=33.959 y=-5.885 z=389.610 71 x=34.476 y=-5.899 z=389.623 72 x=34.982 y=-5.911 z=389.643 73 x=35.499 y=-5.918 z=389.656 74 x=36.006 y=-5.944 z=389.669 75 x=36.520 y=-5.963 z=389.683 76 x=37.022 y=-5.970 z=389.689 77 x=37.524 y=-5.957 z=389.709 78 x=38.020 y=-5.958 z=389.729 79 x=38.528 y=-5.958 z=389.742 80 x=39.043 y=-5.951 z=389.755



81 x=39.455 y=-5.944 z=389.769 82 x=39.957 y=-5.951 z=389.782 83 x=40.464 y=-5.944 z=389.795 84 x=40.966 y=-5.938 z=389.811 85 x=41.468 y=-5.931 z=389.822 86 x=41.976 y=-5.931 z=389.824 87 x=42.478 y=-5.925 z=389.842 88 x=42.993 y=-5.918 z=389.837 89 x=43.495 y=-5.925 z=389.855 90 x=43.997 y=-5.912 z=389.857 91 x=44.505 y=-5.912 z=389.867 92 x=45.000 y=-5.912 z=389.870 93 x=45.509 y=-5.905 z=389.880 94 x=46.011 y=-5.899 z=389.897 95 x=46.506 y=-5.899 z=389.893 96 x=47.008 y=-5.899 z=389.904 97 x=47.516 y=-5.899 z=389.913 98 x=48.018 y=-5.892 z=389.930 99 x=48.526 y=-5.886 z=389.926 100 x=49.015 y=-5.892 z=389.943 101 x=49.409 y=-5.879 z=389.946 102 x=49.890 y=-5.866 z=389.956 103 x=50.390 y=-5.833 z=389.959 104 x=50.905 y=-5.800 z=389.976 105 x=51.420 y=-5.767 z=389.979 106 x=51.922 y=-5.735 z=389.990 107 x=52.424 y=-5.702 z=389.993 108 x=52.932 y=-5.676 z=389.995 109 x=53.441 y=-5.644 z=390.005 110 x=53.956 y=-5.611 z=390.015 111 x=54.464 y=-5.585 z=390.032 112 x=54.966 y=-5.552 z=390.028 113 x=55.474 y=-5.520 z=390.038 114 x=55.983 y=-5.487 z=390.048 115 x=56.491 y=-5.461 z=390.058 116 x=56.999 y=-5.422 z=390.068 117 x=57.514 y=-5.396 z=390.071 118 x=58.016 y=-5.363 z=390.081 119 x=58.531 y=-5.331 z=390.091 120 x=59.033 y=-5.292 z=390.101 121 x=59.433 y=-5.292 z=390.104 122 x=59.932 y=-5.239 z=390.114 123 x=60.441 y=-5.213 z=390.125 124 x=60.956 y=-5.181 z=390.127 125 x=61.470 y=-5.148 z=390.137 126 x=61.966 y=-5.116 z=390.147 127 x=62.474 y=-5.090 z=390.150 128 x=62.983 y=-5.063 z=390.160 129 x=63.491 y=-5.050 z=390.163 130 x=63.986 y=-5.024 z=390.173 131 x=64.488 y=-4.992 z=390.183 132 x=64.997 y=-4.972 z=390.185 133 x=65.498 y=-4.953 z=390.196 134 x=66.013 y=-4.927 z=390.198








297 x=147.253 y=-1.138 z=390.643 298 x=147.755 y=-1.118 z=390.639 299 x=148.258 y=-1.092 z=390.641 300 x=148.761 y=-1.065 z=390.630 301 x=149.203 y=-1.055 z=390.618 302 x=149.700 y=-1.026 z=390.606 303 x=150.203 y=-1.006 z=390.595 304 x=150.699 y=-0.986 z=390.598 305 x=151.195 y=-0.966 z=390.587 306 x=151.691 y=-0.953 z=390.589 307 x=152.207 y=-0.933 z=390.577 308 x=152.716 y=-0.920 z=390.566 309 x=153.212 y=-0.900 z=390.569 310 x=153.702 y=-0.880 z=390.558 311 x=154.204 y=-0.860 z=390.560 312 x=154.701 y=-0.854 z=390.547 313 x=155.210 y=-0.827 z=390.535 314 x=155.713 y=-0.801 z=390.524 315 x=156.209 y=-0.768 z=390.512 316 x=156.705 y=-0.734 z=390.513 317 x=157.207 y=-0.708 z=390.500 318 x=157.710 y=-0.675 z=390.488 319 x=158.219 y=-0.655 z=390.491 320 x=158.729 y=-0.622 z=390.478 321 x=159.192 y=-0.596 z=390.465 322 x=159.695 y=-0.556 z=390.468 323 x=160.191 y=-0.523 z=390.455 324 x=160.687 y=-0.490 z=390.444 325 x=161.183 y=-0.463 z=390.445 326 x=161.679 y=-0.430 z=390.432 327 x=162.175 y=-0.397 z=390.421 328 x=162.678 y=-0.371 z=390.408 329 x=163.180 y=-0.344 z=390.412 330 x=163.683 y=-0.311 z=390.399 331 x=164.186 y=-0.278 z=390.386 332 x=164.682 y=-0.245 z=390.388 333 x=165.171 y=-0.219 z=390.389 334 x=165.674 y=-0.185 z=390.364 335 x=166.183 y=-0.152 z=390.365 336 x=166.686 y=-0.119 z=390.353 337 x=167.176 y=-0.099 z=390.348 338 x=167.672 y=-0.060 z=390.349 339 x=168.168 y=-0.040 z=390.339 340 x=168.664 y=0.000 z=390.339 341 x=169.167 y=0.026 z=390.327 342 x=169.669 y=0.059 z=390.315 343 x=170.172 y=0.092 z=390.302 344 x=170.661 y=0.119 z=390.290 345 x=171.171 y=0.152 z=390.292 346 x=171.667 y=0.178 z=390.280 347 x=172.170 y=0.211 z=390.268

348 x=172.672 y=0.238 z=390.261 349 x=173.175 y=0.271 z=390.260 350 x=173.678 y=0.304 z=390.246 351 x=174.180 y=0.337 z=390.238 352 x=174.683 y=0.364 z=390.230 353 x=175.179 y=0.397 z=390.222 354 x=175.682 y=0.430 z=390.214 355 x=176.185 y=0.456 z=390.214 356 x=176.681 y=0.489 z=390.206 357 x=177.183 y=0.522 z=390.190 358 x=177.680 y=0.542 z=390.182 359 x=178.176 y=0.582 z=390.174 360 x=178.665 y=0.608 z=390.167 361 x=179.148 y=0.640 z=390.159 362 x=179.651 y=0.668 z=390.151 363 x=180.153 y=0.701 z=390.143 364 x=180.656 y=0.734 z=390.135 365 x=181.159 y=0.767 z=390.128 366 x=181.655 y=0.793 z=390.120 367 x=182.151 y=0.827 z=390.112 368 x=182.647 y=0.853 z=390.104 369 x=183.143 y=0.879 z=390.096 370 x=183.639 y=0.913 z=390.089 371 x=184.148 y=0.946 z=390.081 372 x=184.651 y=0.979 z=390.073 373 x=185.154 y=1.012 z=390.065 374 x=185.650 y=1.038 z=390.057 375 x=186.146 y=1.071 z=390.050 376 x=186.649 y=1.098 z=390.042 377 x=187.152 y=1.124 z=390.033 378 x=187.648 y=1.157 z=390.025 379 x=188.150 y=1.190 z=390.017 380 x=188.653 y=1.223 z=390.009 381 x=189.149 y=1.257 z=389.995 382 x=189.652 y=1.283 z=389.994 383 x=190.141 y=1.316 z=389.986 384 x=190.631 y=1.343 z=389.978 385 x=191.133 y=1.376 z=389.970 386 x=191.649 y=1.402 z=389.963 387 x=192.155 y=1.435 z=389.955 388 x=192.658 y=1.468 z=389.947 389 x=193.147 y=1.501 z=389.939 390 x=193.637 y=1.521 z=389.931 391 x=194.133 y=1.561 z=389.931 392 x=194.584 y=1.586 z=389.916 393 x=28.495 y=-5.580 z=383.68 394 x=59.932 y=-5.239 z=383.56 395 x=88.859 y=-3.865 z=383.44 396 x=117.778 y=-2.514 z=386.1 397 x=146.750 y=-1.164 z=386.4 398 x=175.682 y=0.430 z=388.4



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E=36000000 G=11428571 W=94.8 M=9.48 VC=0.00001 76 A=3.808 J=20.084368 I=0.448803,19.635565 AS=2.3533,0.8949 \ E=36000000 G=11428571 W=95.2 M=9.52 VC=0.00001 77 A=3.823 J=20.275835 I=0.449572,19.826263 AS=2.3626,0.8984 \ E=36000000 G=11428571 W=95.5 M=9.55 VC=0.00001 78 A=3.838 J=20.467303 I=0.450341,20.016962 AS=2.3719,0.9019 \ E=36000000 G=11428571 W=95.9 M=9.59 VC=0.00001 79 A=3.853 J=20.658770 I=0.451110,20.207660 AS=2.3812,0.9055 \ E=36000000 G=11428571 W=96.3 M=9.63 VC=0.00001 80 A=3.868 J=20.850237 I=0.451879,20.398358 AS=2.3904,0.909 \ E=36000000 G=11428571 W=96.7 M=9.67 VC=0.00001 81 A=3.883 J=21.041704 I=0.452648,20.589056 AS=2.3997,0.9125 \ E=36000000 G=11428571 W=97.0 M=9.7 VC=0.00001 82 A=3.898 J=21.233172 I=0.453418,20.779754 AS=2.409,0.916 \ E=36000000 G=11428571 W=97.4 M=9.74 VC=0.00001 83 A=0.786 J=0.0981748 I=0.049087385,0.049087385 AS=0.6736,0.6736 \ E=36000000 G=11428571 W=19.65 M=1.965 VC=0.00001 c charges de trafic 1 wg=0,0,-25 c charges des éléments non porteurs 2 wg=0,0,-26.6 c Vent 3 wg=0,2.16,-1.3 c Neige 4 wg=0,0,-3.36 C Température 5 T=0,10,0 1 1 2 M=1,1 LP=2,0 NL=2,3,4,5 2 2 3 M=1,1 NL=2,3,4,5 3 3 4 M=1,1 NL=2,3,4,5 4 4 5 M=1,1 NL=2,3,4,5 5 5 6 M=1,1 NL=2,3,4,5 6 6 7 M=1,1 NL=2,3,4,5 7 7 8 M=1,1 NL=2,3,4,5 8 8 9 M=1,1 NL=2,3,4,5 9 9 10 M=1,1 NL=2,3,4,5 10 10 11 M=1,1 NL=2,3,4,5 11 11 12 M=1,1 NL=2,3,4,5 12 12 13 M=1,1 NL=2,3,4,5 13 13 14 M=1,1 NL=2,3,4,5 14 14 15 M=1,1 NL=2,3,4,5 15 15 16 M=1,1 NL=2,3,4,5 16 16 17 M=1,1 NL=2,3,4,5 17 17 18 M=1,1 NL=2,3,4,5 18 18 19 M=1,1 NL=2,3,4,5 19 19 20 M=1,1 NL=2,3,4,5 20 20 21 M=1,1 NL=2,3,4,5 21 21 22 M=1,1 NL=2,3,4,5 22 22 23 M=1,1 NL=2,3,4,5 23 23 24 M=1,1 NL=2,3,4,5 24 24 25 M=1,1 NL=2,3,4,5 25 25 26 M=1,1 NL=2,3,4,5 26 26 27 M=1,1 NL=2,3,4,5 27 27 28 M=1,1 NL=2,3,4,5

28 28 29 M=1,1 NL=2,3,4,5 29 29 30 M=1,1 NL=2,3,4,5 30 30 31 M=1,1 NL=2,3,4,5 31 31 32 M=1,1 NL=2,3,4,5 32 32 33 M=1,1 NL=2,3,4,5 33 33 34 M=1,1 NL=2,3,4,5 34 34 35 M=1,1 NL=2,3,4,5 35 35 36 M=1,1 NL=2,3,4,5 36 36 37 M=1,1 NL=2,3,4,5 37 37 38 M=1,1 NL=2,3,4,5 38 38 39 M=1,1 NL=2,3,4,5 39 39 40 M=1,1 NL=2,3,4,5 40 40 41 M=1,1 NL=2,3,4,5 41 41 42 M=1,1 NL=2,3,4,5 42 42 43 M=1,1 NL=2,3,4,5 43 43 44 M=1,1 NL=2,3,4,5 44 44 45 M=1,1 NL=2,3,4,5 45 45 46 M=1,1 NL=2,3,4,5 46 46 47 M=1,1 NL=2,3,4,5 47 47 48 M=1,1 NL=2,3,4,5 48 48 49 M=1,1 NL=2,3,4,5 49 49 50 M=1,1 NL=2,3,4,5 50 50 51 M=1,1 NL=2,3,4,5 51 51 52 M=1,1 NL=2,3,4,5 52 52 53 M=1,1 NL=2,3,4,5 53 53 54 M=1,1 NL=2,3,4,5 54 54 55 M=1,1 NL=2,3,4,5



55 55 56 M=1,1 NL=2,3,4,5 56 56 57 M=1,1 NL=2,3,4,5 57 57 58 M=1,1 NL=2,3,4,5 58 58 59 M=1,1 NL=2,3,4,5 59 59 60 M=1,1 NL=2,3,4,5 60 60 61 M=1,1 NL=2,3,4,5 61 61 62 M=1,1 NL=2,3,4,5 62 62 63 M=1,1 NL=2,3,4,5 63 63 64 M=1,1 NL=2,3,4,5 64 64 65 M=1,1 NL=2,3,4,5 65 65 66 M=1,1 NL=2,3,4,5 66 66 67 M=1,1 NL=2,3,4,5 67 67 68 M=1,1 NL=2,3,4,5 68 68 69 M=1,1 NL=2,3,4,5 69 69 70 M=1,1 NL=2,3,4,5 70 70 71 M=1,1 NL=2,3,4,5 71 71 72 M=1,1 NL=2,3,4,5 72 72 73 M=1,1 NL=2,3,4,5 73 73 74 M=1,1 NL=2,3,4,5 74 74 75 M=1,1 NL=2,3,4,5 75 75 76 M=1,1 NL=2,3,4,5 76 76 77 M=1,1 NL=2,3,4,5 77 77 78 M=1,1 NL=2,3,4,5 78 78 79 M=1,1 NL=2,3,4,5 79 79 80 M=1,1 NL=2,3,4,5 80 80 81 M=1,1 NL=2,3,4,5 81 81 82 M=1,1 NL=2,3,4,5 82 82 83 M=1,1 NL=2,3,4,5 83 83 84 M=1,1 NL=2,3,4,5 84 84 85 M=1,1 NL=2,3,4,5 85 85 86 M=1,1 NL=2,3,4,5 86 86 87 M=1,1 NL=2,3,4,5 87 87 88 M=1,1 NL=2,3,4,5 88 88 89 M=1,1 NL=2,3,4,5 89 89 90 M=1,1 NL=2,3,4,5 90 90 91 M=1,1 NL=2,3,4,5 91 91 92 M=1,1 NL=2,3,4,5 92 92 93 M=1,1 NL=2,3,4,5 93 93 94 M=1,1 NL=2,3,4,5 94 94 95 M=1,1 NL=2,3,4,5 95 95 96 M=1,1 NL=2,3,4,5 96 96 97 M=1,1 NL=2,3,4,5 97 97 98 M=1,1 NL=2,3,4,5 98 98 99 M=1,1 NL=2,3,4,5 99 99 100 M=1,1 NL=2,3,4,5 100 100 101 M=1,1 NL=2,3,4,5 101 101 102 M=1,1 NL=2,3,4,5 102 102 103 M=1,1 NL=2,3,4,5 103 103 104 M=1,1 NL=2,3,4,5 104 104 105 M=1,1 NL=2,3,4,5 105 105 106 M=1,1 NL=2,3,4,5 106 106 107 M=1,1 NL=2,3,4,5 107 107 108 M=1,1 NL=2,3,4,5 108 108 109 M=1,1 NL=2,3,4,5








271 271 272 M=1,1 NL=2,3,4,5 272 272 273 M=1,1 NL=2,3,4,5 273 273 274 M=1,1 NL=2,3,4,5 274 274 275 M=1,1 NL=2,3,4,5 275 275 276 M=1,1 NL=2,3,4,5 276 276 277 M=1,1 NL=2,3,4,5 277 277 278 M=1,1 NL=2,3,4,5 278 278 279 M=1,1 NL=2,3,4,5 279 279 280 M=1,1 NL=2,3,4,5 280 280 281 M=1,1 NL=2,3,4,5 281 281 282 M=1,1 NL=2,3,4,5 282 282 283 M=1,1 NL=2,3,4,5 283 283 284 M=1,1 NL=2,3,4,5 284 284 285 M=1,1 NL=2,3,4,5 285 285 286 M=1,1 NL=2,3,4,5 286 286 287 M=1,1 NL=2,3,4,5 287 287 288 M=1,1 NL=2,3,4,5 288 288 289 M=1,1 NL=2,3,4,5 289 289 290 M=1,1 NL=2,3,4,5 290 290 291 M=1,1 NL=2,3,4,5 291 291 292 M=1,1 NL=2,3,4,5 292 292 293 M=1,1 NL=2,3,4,5 293 293 294 M=1,1 NL=2,3,4,5 294 294 295 M=1,1 NL=2,3,4,5 295 295 296 M=1,1 NL=2,3,4,5 296 296 297 M=1,1 NL=2,3,4,5 297 297 298 M=1,1 NL=2,3,4,5 298 298 299 M=1,1 NL=2,3,4,5 299 299 300 M=1,1 NL=2,3,4,5 300 300 301 M=1,1 NL=2,3,4,5 301 301 302 M=1,1 NL=2,3,4,5 302 302 303 M=1,1 NL=2,3,4,5 303 303 304 M=1,1 NL=2,3,4,5 304 304 305 M=1,1 NL=2,3,4,5 305 305 306 M=1,1 NL=2,3,4,5 306 306 307 M=1,1 NL=2,3,4,5 307 307 308 M=1,1 NL=2,3,4,5 308 308 309 M=1,1 NL=2,3,4,5 309 309 310 M=1,1 NL=2,3,4,5 310 310 311 M=1,1 NL=2,3,4,5 311 311 312 M=1,1 NL=2,3,4,5 312 312 313 M=1,2,1 NL=2,3,4,5 313 313 314 M=2,3,1 NL=2,3,4,5 314 314 315 M=3,4,1 NL=2,3,4,5 315 315 316 M=4,5,1 NL=2,3,4,5 316 316 317 M=5,6,1 NL=2,3,4,5 317 317 318 M=6,7,1 NL=2,3,4,5 318 318 319 M=7,8,1 NL=2,3,4,5 319 319 320 M=8,9,1 NL=2,3,4,5 320 320 321 M=9,10,1 NL=2,3,4,5 321 321 322 M=10,11,1 NL=2,3,4,5 322 322 323 M=11,12,1 NL=2,3,4,5 323 323 324 M=12,13,1 NL=2,3,4,5 324 324 325 M=13,14,1 NL=2,3,4,5

325 325 326 M=14,15,1 NL=2,3,4,5 326 326 327 M=15,16,1 NL=2,3,4,5 327 327 328 M=16,17,1 NL=2,3,4,5 328 328 329 M=17,18,1 NL=2,3,4,5 329 329 330 M=18,19,1 NL=2,3,4,5 330 330 331 M=19,20,1 NL=2,3,4,5 331 331 332 M=20,21,1 NL=2,3,4,5 332 332 333 M=21,22,1 NL=2,3,4,5 333 333 334 M=22,23,1 NL=2,3,4,5 334 334 335 M=23,24,1 NL=2,3,4,5 335 335 336 M=24,25,1 NL=2,3,4,5 336 336 337 M=25,26,1 NL=2,3,4,5 337 337 338 M=26,27,1 NL=2,3,4,5 338 338 339 M=27,28,1 NL=2,3,4,5 339 339 340 M=28,29,1 NL=2,3,4,5 340 340 341 M=29,30,1 NL=2,3,4,5 341 341 342 M=30,31,1 NL=2,3,4,5 342 342 343 M=31,32,1 NL=2,3,4,5 343 343 344 M=32,33,1 NL=2,3,4,5 344 344 345 M=33,34,1 NL=2,3,4,5 345 345 346 M=34,35,1 NL=2,3,4,5 346 346 347 M=35,36,1 NL=2,3,4,5 347 347 348 M=36,37,1 NL=2,3,4,5 348 348 349 M=37,38,1 NL=2,3,4,5 349 349 350 M=38,39,1 NL=2,3,4,5 350 350 351 M=39,40,1 NL=2,3,4,5 351 351 352 M=40,41,1 NL=2,3,4,5 352 352 353 M=41,42,1 NL=2,3,4,5 353 353 354 M=42,43,1 NL=2,3,4,5 354 354 355 M=43,44,1 NL=1,2,3,4,5 355 355 356 M=44,45,1 NL=1,2,3,4,5 356 356 357 M=45,46,1 NL=1,2,3,4,5 357 357 358 M=46,47,1 NL=1,2,3,4,5 358 358 359 M=47,48,1 NL=1,2,3,4,5 359 359 360 M=48,49,1 NL=1,2,3,4,5 360 360 361 M=49,50,1 NL=1,2,3,4,5 361 361 362 M=50,51,1 NL=1,2,3,4,5 362 362 363 M=51,52,1 NL=1,2,3,4,5 363 363 364 M=52,53,1 NL=1,2,3,4,5 364 364 365 M=53,54,1 NL=1,2,3,4,5 365 365 366 M=54,55,1 NL=1,2,3,4,5 366 366 367 M=55,56,1 NL=1,2,3,4,5 367 367 368 M=56,57,1 NL=1,2,3,4,5 368 368 369 M=57,58,1 NL=1,2,3,4,5 369 369 370 M=58,59,1 NL=1,2,3,4,5 370 370 371 M=59,60,1 NL=1,2,3,4,5 371 371 372 M=60,61,1 NL=1,2,3,4,5 372 372 373 M=61,62,1 NL=1,2,3,4,5 373 373 374 M=62,63,1 NL=1,2,3,4,5 374 374 375 M=63,64,1 NL=1,2,3,4,5 375 375 376 M=64,65,1 NL=1,2,3,4,5 376 376 377 M=65,66,1 NL=1,2,3,4,5 377 377 378 M=66,67,1 NL=1,2,3,4,5 378 378 379 M=67,68,1 NL=1,2,3,4,5



379 379 380 M=68,69,1 NL=1,2,3,4,5 380 380 381 M=69,70,1 NL=1,2,3,4,5 381 381 382 M=70,71,1 NL=1,2,3,4,5 382 382 383 M=71,72,1 NL=1,2,3,4,5 383 383 384 M=72,73,1 NL=1,2,3,4,5 384 384 385 M=73,74,1 NL=1,2,3,4,5 385 385 386 M=74,75,1 NL=1,2,3,4,5 386 386 387 M=75,76,1 NL=2,3,4,5 387 387 388 M=76,77,1 NL=2,3,4,5 388 388 389 M=77,78,1 NL=2,3,4,5

389 389 390 M=78,79,1 NL=2,3,4,5 390 390 391 M=79,80,1 NL=2,3,4,5 391 391 392 M=80,81,1 NL=2,3,4,5 392 393 59 M=83,83 NL=5 393 394 122 M=83,83 NL=5 394 395 180 M=83,83 NL=5 395 396 238 M=83,83 NL=5 396 397 296 M=83,83 NL=5 397 398 354 M=83,83 NL=5

Combo 1 c=1.368,1.482,0.912,0,0 2 c=1.368,1.482,0,0.912,0 3 c=0.912,1.482,1.71,0,0 4 c=0,1.482,1.71,0.912,0 5 c=0.912,1.482,0,1.71,0 6 c=0,1.482,0.912,1.71,0 7 c=0.912,1.482,0,0,1.71 Loads 391 l=1 f=0,0,-130,0,0,0 388 l=1 f=0,0,-130,0,0,0 Pour l’étude dynamique d’un séisme selon l’axe X nous avons rajoutés les blocs suivants : Combo 1 c=1 d=1 2 c=1 d=-1 Spec a=0 s=1 d=0.06 0.01 0.5886 0 0 0.03 0.5886 0 0 0.05 0.80442 0 0 0.1 1.22625 0 0 0.15 1.22625 0 0 0.20 1.22625 0 0 0.25 1.22625 0 0 0.3 1.22625 0 0 0.33 1.22625 0 0 0.35 1.22625 0 0 0.4 1.22625 0 0 0.45 1.22625 0 0 0.5 1.22625 0 0 1 0.63765 0 0 2 0.22563 0 0 5 0.0981 0 0



ANNEXE 2 Voici les formules à introduire au sein d’Excel pour le calcul des coordonnées de n’impo rte quel point de la section. Point 1 :

• X cellule C3 : =C2-RACINE(PUISSANCE(I$3/4;2)-PUISSANCE(I20*I$3/4;2))*I15

• Y cellule D3 : =D2-I20*I$3/4 • Z cellule E3: =E2

Point 2 :


• Y cellule D4 : =D2-I20*I$3/2 • Z cellule E4: =E2

Point 3 :

• X cellule C5 : =C2-RACINE(PUISSANCE(I$3/2+I$4-I$7+I$6;2)-PUISSANCE (I20*I$3/2 +I$4-I$7+I$6;2))*I15

• Y cellule D5 : =D2-I20*(I$3/2+I$4-I$7+I$6) • Z cellule E5 : =E2+I$9/2

Point 4 :

• X cellule C6 : =C2-RACINE(PUISSANCE(I$3/2+I$4;2)-PUISSANCE (I20*I$3/2+I$4;2))*I15

• Y cellule D6 : =D2-I20*(I$3/2+I$4) • Z cellule E6 : =E2+I$9

Point 5 :

• X cellule C7 : =C2-RACINE(PUISSANCE(I$3/2+I$4+I$5-(I$10-I$8)*TAN(K$5);2)-PUISSANCE(I20*I$3/2+I$4+I$5-(I$10-I$8)*TAN(K$5);2))*I15

• Y cellule D7 : =D2-I20*(I$3/2+I$4+I$5-(I$10-I$8)*TAN(K$5))

• Z cellule E7 : =E2+I$8 Point 6 :

• X cellule C8 : =C2-RACINE(PUISSANCE(I$3/2+I$4+I$5+I$6;2)-PUISSANCE (I20*I$3/2+I$4+I$5+I$6;2))*I15

• Y cellule D8 : =D2-I20*(I$3/2+I$4+I$5+I$6) • Z cellule E8 : =E2+I$10

Point 7 :

• X cellule C9 : =C2-RACINE(PUISSANCE(I$3/2+I$4+I$5;2)-PUISSANCE (I20*I$3/2+I$4+I$5;2))*I15

• Y cellule D9 : =D2-I20*(I$3/2+I$4+I$5) • Z cellule E9 : =E2+I$11

Point 8 :

• X cellule C10 : =C2-RACINE(PUISSANCE(I$3/2+I$4-I$7+I$6;2)-PUISSANCE (I20*I$3/2+I$4-I$7+I$6;2))*I15

• Y cellule D10 : =D2-I20*(I$3/2+I$4-I$7+I$6) • Z cellule E10 : =E2+I$11

Point 9 :




• Y cellule D11 : =D2-I20*(I$3/2+I$4-I$7+I$6)



• Y cellule D12 : =D2-I20*(I$3/2+I$4-I$7+I$6) • Z cellule E12 : =I$8+E$2

Point 11 :


• Y cellule D13 : =D2-I20*I$3/2 • Z cellule E13 : =I$8+E$2

Point 12 :

• X cellule C14 : =C2-RACINE(PUISSANCE(I$3/4;2)-PUISSANCE(I20*I$3/4;2))*I15 • Y cellule D14 : =D2-I20*I$3/4 • Z cellule E14 : =I$8+E$2

Point 13 :

• X cellule C15 : =C2 • Y cellule D15 : =D2 • Z cellule E15 : =I$8+E$2

Point 14 :

• X cellule C16 : =C2+RACINE(PUISSANCE(I$3/4;2)-PUISSANCE(I20*I$3/4;2))*I15 • Y cellule D16 : =D2+I20*I$3/4 • Z cellule E16 : =I$8+E$2

Point 15 :

• X cellule C17 : =C2+RACINE(PUISSANCE(I$3/2;2)-PUISSANCE(I20*I$3/2;2))*I15 • Y cellule D17 : =D2+I20*I$3/2

• Z cellule E17 : =I$8+E$2 Point 16 :

• X cellule C18 : =C2+RACINE(PUISSANCE(I$3/2+I$4-I$7+I$6;2)-PUISSANCE (I20*I$3/2+I$4-I$7+I$6;2))*I15

• Y cellule D18 : =D2+I20*(I$3/2+I$4-I$7+I$6)

• Z cellule E18 : =I$8+E$2 Point 17 :


• Y cellule D19 : =D2+I20*(I$3/2+I$4-I$7+I$6) • Z cellule E19 : =E2+I$10

Point 18 :


• Y cellule D20 : =D2+I20*(I$3/2+I$4-I$7+I$6) • Z cellule E20 : =E2+I$11



Point 19 :

• X cellule C21 : =C2+RACINE(PUISSANCE(I$3/2+I$4+I$5;2)-PUISSANCE (I20*I$3/2+I$4+I$5;2))*I15

• Y cellule D21 : =D2+I20*(I$3/2+I$4+I$5) • Z cellule E21 : =E2+I$11

Point 20 :

• X cellule C22 : =C2+RACINE(PUISSANCE(I$3/2+I$4+I$5+I$6;2)-PUISSANCE (I20*I$3/2+I$4+I$5+I$6;2))*I15

• Y cellule D22 : =D2+I20*(I$3/2+I$4+I$5+I$6) • Z cellule E22 : =E2+I$10

Point 21 :

• X cellule C23 : =C2+RACINE(PUISSANCE(I$3/2+I$4+I$5-(I$10-I$8)*TAN(K$5);2)-PUISSANCE(I20*I$3/2+I$4+I$5-(I$10-I$8)*TAN(K$5);2))*I15

• Y cellule D23 : =D2+I20*(I$3/2+I$4+I$5-(I$10-I$8)*TAN(K$5)) • Z cellule E23 : =E2+I$8

Point 22 :

• X cellule C24 : =C2+RACINE(PUISSANCE(I$3/2+I$4;2)-PUISSANCE (I20*I$3/2+I$4;2))*I15

• Y cellule D24 : =D2+I20*(I$3/2+I$4)



• Y cellule D25 : =D2+I20*(I$3/2+I$4-I$7+I$6)

• Z cellule E25 : =E2+I$9/2 Point 24 :

• X cellule C26 : =C2+RACINE(PUISSANCE(I$3/2;2)-PUISSANCE(I20*I$3/2;2))*I15

• Y cellule D26 : =D2+I20*I$3/2 • Z cellule E26 : =E2

Point 25 :

• X cellule C27 : =C2+RACINE(PUISSANCE(I$3/4;2)-PUISSANCE(I20*I$3/4;2))*I15

• Y cellule D27 : =D2+I20*I$3/4 • Z cellule E27 : =E2

La largeur totale du tablier (variable) est calculée dans la cellule I12 à l’aide de la formule suivante : =I3+2*I4+2*I5+2*I6 L’angle d’inclinaison du tablier par rapport à l’axe Y calculé dans la cellule I16 avec : =ACOS((2*PUISSANCE(I$12/2;2)-I14*I14)/(2*PUISSANCE(I$12/2;2))) Longueur du tablier projeté contre l’axe Y, cellule I19: =RACINE(I$12/2*I$12/2-I18*I18) Pourcentage de raccourcissement du tablier lorsque sa longueur est projetée contre l’axe Y, cellule I20 :=I19/(I$12/2)

TFE. Conception et étude d’un pont rail en béton précontraint. La Bourdonnette (tome 2)

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