TF00970

DEPREM TASARIMINDA ÖTELENMENİN VE ENERJİ TÜKETİMİNİN KONTROLÜ

Hamide TEKELİ

Danışman Prof. Dr. Ergin ATIMTAY

II. Danışman

Y. Doç. Dr. Mustafa TÜRKMEN

DOKTORA TEZİ İNŞAAT MÜHENDİSLİĞİ ANABİLİM DALI

ISPARTA – 2006


Hamide TEKELİ


ISPARTA – 2006

T.C. SÜLEYMAN DEMİREL ÜNİVERSİTESİ

FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ


Hamide TEKELİ


ISPARTA- 2006

i

İÇİNDEKİLER

İÇİNDEKİLER......................................................................................................... i ÖZET ..................................................................................................................... iv ABSTRACT .............................................................................................................v TEŞEKKÜR ........................................................................................................... vi Simgeler Dizini...................................................................................................... vii Şekiller Dizini......................................................................................................... ix Çizelgeler Dizini.................................................................................................. xvii 1. GİRİŞ ..................................................................................................................1 1.1. Çalışmanın Kapsamı ..........................................................................................5 1.2. Kaynak Bilgisi ...................................................................................................6 2. MATERYAL VE METOT .................................................................................8 2.1. Çerçeveli Yapıya Ait Kayma Rijitliği İfadesinin Elde Edilmesi.........................9 2.1.1. Çerçeveli Yapıların Kayma Rijitliğinin Belirlenmesi.....................................21 2.1.2. Kolon Yüksekliği Farklı Olan Yapılarda Kat Kesme Kuvvetinin Kolonlara Dağıtılması .............................................................................................................24 2.2. Yatay Yüke Maruz Yapıların Ötelenme Hesabı İçin Analitik Denklemlerin Türetilmesi .............................................................................................................31 2.2.1. Yatay Yüke Maruz Çerçeveli Yapıların Ötelenme Hesabı İçin Analitik Denklemlerin Türetilmesi .......................................................................................31 2.2.1.1. Çerçeveli Yapılarda Kolon Eksenel Deformasyonlarını Dikkate Almadan Analitik Denklemlerin Türetilmesi..........................................................................31 2.2.1.1.1. Düzgün Yayılı Yatay Yük Altındaki Çerçeveli Yapılarda Kolon Eksenel Deformasyonlarını Dikkate Almadan Analitik Denklemlerin Türetilmesi ..34 2.2.1.1.2. Üçgen Yayılı Yatay Yük Altındaki Çerçeveli Yapılarda Kolon Eksenel Deformasyonlarını Dikkate Almadan Analitik Denklemlerin Türetilmesi................36 2.2.1.1.3. En Üstte Tekil Yatay Yüke Maruz Çerçeveli Yapılarda Kolon Eksenel Deformasyonlarını Dikkate Almadan Analitik Denklemlerin Türetilmesi................38 2.2.1.1.4. Herhangi Bir Seviyede Tekil Yatay Yüke Maruz Çerçeveli Yapılarda Kolon Eksenel Deformasyonlarını Dikkate Almadan Analitik Denklemlerin Türetilmesi .............................................................................................................39 2.2.1.2. Çerçeveli Yapılarda Kolon Eksenel Deformasyonlarını Dikkate Alarak Analitik Denklemlerin Türetilmesi..........................................................................42 2.2.1.2.1. Düzgün Yayılı Yatay Yük Altındaki Çerçeveli Yapılarda Kolon Eksenel Deformasyonlarını Dikkate Alarak Analitik Denklemlerin Türetilmesi ......44 2.2.1.2.2. Üçgen Yayılı Yatay Yük Altındaki Çerçeveli Yapılarda Kolon Eksenel Deformasyonlarını Dikkate Alarak Analitik Denklemlerin Türetilmesi ...................46 2.2.1.2.3. En Üstte Tekil Yatay Yüke Maruz Çerçeveli Yapılarda Kolon Eksenel Deformasyonlarını Dikkate Alarak Analitik Denklemlerin Türetilmesi ...................47 2.2.1.2.4. Herhangi Bir Seviyede Tekil Yatay Yüke Maruz Çerçeveli Yapılarda Kolon Eksenel Deformasyonlarını Dikkate Alarak Analitik Denklemlerin Türetilmesi .............................................................................................................48 2.2.2. Yatay Yüke Maruz Perde Duvarlı-Çerçeveli Yapıların Ötelenme Hesabı İçin Analitik Denklemlerin Türetilmesi...................................................................49 2.2.2.1. Düzgün Yayılı Yatay Yük Altındaki Perde Duvarlı-Çerçeveli Yapılarda Analitik Denklemlerin Türetilmesi..........................................................................54

ii

2.2.2.2. Üçgen Yayılı Yatay Yük Altındaki Perde Duvarlı-Çerçeveli Yapılarda Analitik Denklemlerin Türetilmesi..........................................................................58 2.2.2.3. En Üstte Tekil Yatay Yüke Maruz Perde Duvarlı-Çerçeveli Yapılarda Analitik Denklemlerin Türetilmesi..........................................................................62 2.2.2.4. Herhangi Bir Seviye Tekil Yatay Yüke Maruz Perde Duvarlı-Çerçeveli Yapılarda Analitik Denklemlerin Türetilmesi..........................................................66 2.3. Yatay Yüke Maruz Yapıların Ötelenme Hesabı İçin Geliştirilen Analitik Denklemlerin Geçerliliğinin Kanıtlanması ..............................................................70 2.3.1. Çerçeveli Yapılar İçin Geliştirilen Analitik Denklemlerin Geçerliliğinin Kanıtlanması...........................................................................................................71 2.3.1.1. Çerçeveli Yapılarda Kolon Eksenel Deformasyonlarının Dikkate Alınmaması Durumu...............................................................................................72 2.3.1.1.1. Üçgen Yayılı Yük Altındaki Çerçeveli Yapılarda Kolon Eksenel Deformasyonlarını Dikkate Almayan Analitik Denklemlerin Geçerliliğinin Kanıtlanması...........................................................................................................72 2.3.1.1.2. Düzgün Yayılı Yük Altındaki Çerçeveli Yapılarda Kolon Eksenel Deformasyonlarını Dikkate Almayan Analitik Denklemlerin Geçerliliğinin Kanıtlanması...........................................................................................................81 2.3.1.1.3. En Üstte Tekil Yatay Yüke Maruz Çerçeveli Yapılarda Kolon Eksenel Deformasyonlarını Dikkate Almayan Analitik Denklemlerin Geçerliliğinin Kanıtlanması...........................................................................................................90 2.3.1.2. Çerçeveli Yapılarda Kolon Eksenel Deformasyonlarının Dikkate Alınması Durumu ...................................................................................................96 2.3.1.2.1. Üçgen Yayılı Yük Altındaki Çerçeveli Yapılarda Kolon Eksenel Deformasyonlarını Dikkate Alan Analitik Denklemlerin Geçerliliğinin Kanıtlanması...........................................................................................................97 2.3.1.2.2. Düzgün Yayılı Yük Altındaki Çerçeveli Yapılarda Kolon Eksenel Deformasyonlarını Dikkate Alan Analitik Denklemlerin Geçerliliğinin Kanıtlanması.........................................................................................................106 2.3.1.2.3. En Üstte Tekil Yatay Yüke Maruz Çerçeveli Yapılarda Kolon Eksenel Deformasyonlarını Dikkate Alan Analitik Denklemlerin Geçerliliğinin Kanıtlanması.........................................................................................................115 2.3.1.3. Çerçeveli Yapılarda Farklı Kolon Boyutu ve Açıklıklar İçin Analitik Denklemlerin Geçerliliğinin Araştırılması.............................................................124 2.3.2. Perde Duvarlı-Çerçeveli Yapılar İçin Geliştirilen Analitik Denklemlerin Geçerliliğinin Kanıtlanması ..................................................................................135 2.3.2.1. Üçgen Yayılı Yük Altındaki Perde Duvarlı-Çerçeveli Yapılarda Analitik Denklemlerin Geçerliliğinin Kanıtlanması ............................................................138 2.3.2.2. Düzgün Yayılı Yük Altındaki Perde Duvarlı-Çerçeveli Yapılarda Analitik Denklemlerin Geçerliliğinin Kanıtlanması...............................................148 2.3.2.3. En Üstte Tekil Yatay Yüke Maruz Perde Duvarlı-Çerçeveli Yapılarda Analitik Denklemlerin Geçerliliğinin Kanıtlanması...............................................157 3. BULGULAR....................................................................................................166 3.1. Çerçeveli Yapılarda Ötelenme Problemleri.....................................................166 3.1.1. GA Kayma Rijitliğini ve Çatı Deplasmanını Etkileyen Faktörler .................166 3.1.2. Çerçeveli Yapılarda Yapının Yükseklik/Genişlik (H/B) Oranı Yanal Ötelenmeyi Ne Kadar Etkiliyor? ...........................................................................172 3.1.3. Çerçeveli Yapılarda Stabilite İndeksi İçin Analitik İlişkinin Türetilmesi......176

iii

3.1.3.1. Üçgen Yayılı Yatay Yük Etkimesi Durumunda Stabilite İndeksi İfadesi...179 3.1.3.2. Düzgün Yayılı Yatay Yük Etkimesi Durumunda Stabilite İndeksi İfadesi.181 3.1.3.3. En Üstte Tekil Yatay Yük Etkimesi Durumunda Stabilite İndeksi İfadesi .181 3.1.3.4. Stabilite İndeksi Hesabı İçin Önerilen Formülün Geçerliliğinin Kanıtlanması.........................................................................................................182 3.1.4. Çerçeveli Yapılarda Göreli Kat Ötelenmesi İçin Türetilen Analitik İlişki ....185 3.1.4.1. Düzgün Yayılı Yatay Yüke Maruz Çerçeveli Yapıda Göreli Kat Ötelenmesi............................................................................................................186 3.1.4.2. Üçgen Yayılı Yatay Yüke Maruz Çerçeveli Yapıda Göreli Kat Ötelenmesi............................................................................................................187 3.1.4.3. Yapının En Üstünde Tekil Yatay Yüke Maruz Çerçeveli Yapıda Göreli Kat Ötelenmesi .....................................................................................................188 3.1.5. Çerçeveli Yapılarda Doğal Periyot Hesabı İçin Analitik İfadelerin Türetilmesi ...........................................................................................................188 3.2. Perde Duvarlı-Çerçeveli Yapılarda Ötelenme Problemleri..............................192 3.2.1. Perdelerin Enerji Tüketiminde Kesme Kırılmasının Önlenmesi ...................192 3.2.1.1. Düzgün Yayılı Yük Etkisindeki Perde Duvarlı-Çerçeveli Yapıda Oluşan Moment, Kesme Kuvveti ve Yayılı Yük Dağılımı İlişkilerinin Türetilmesi ...........198 3.2.1.2. Üçgen Yayılı Yük Etkisindeki Perde Duvarlı-Çerçeveli Yapıda Oluşan Moment, Kesme Kuvveti ve Yayılı Yük Dağılımı İlişkilerinin Türetilmesi ...........199 3.2.1.3. En Üstte Tekil Yatay Yüke Maruz Perde Duvarlı-Çerçeveli Yapıda Oluşan Moment, Kesme Kuvveti ve Yayılı Yük Dağılımı İlişkilerinin Türetilmesi ...........................................................................................................201 3.2.1.4. Perdelerde Eğilme Kırılmasının Kesme Kırılmasından Önce Oluştuğunun Kanıtlanması....................................................................................202 3.2.1.4.1. Perdelere Ait Moment, Kesme Kuvveti ve Yayılı Yük Dağılımının Elde Edilmesi .......................................................................................................203 3.2.1.4.2. Perdelerin Moment ve Kesme Kapasitesinin Belirlenmesi .....................211 3.2.2. Deprem Yüklemesi Altında Perde Duvar Tabanında Oluşan Maksimum Proje (Hesap) Momentinin Belirlenmesi ...............................................................214 3.2.3. Perde Duvarlı-Çerçeveli Yapılarda Stabilite İndeksi İçin Analitik İlişkinin Türetilmesi ...........................................................................................................225 3.2.4. Perde Duvarlı-Çerçeveli Yapılarda Periyot Hesabı İçin Analitik İfadelerin Türetilmesi ...........................................................................................................229 3.3. Analitik Yöntem İle Elastik Ötesi Sismik Performans İlişkisinin Saptanması (Pushover Analizi) ................................................................................................232 3.3.1. Yeterli Süneklik Nasıl Ölçülür?...................................................................233 3.3.1.1. Eğrilik Sünekliği ......................................................................................234 3.3.1.2. Ötelenme Sünekliği ..................................................................................235 3.3.1.2.1. Eşit Ötelenme Prensibi (T>0,7 sn olan yapılar için) ...............................236 3.3.1.2.2. Eşit Enerji Prensibi (T<0,5 sn olan yapılar için).....................................237 3.3.2. Yapıların Deprem Güvenliğinin Belirlenmesi..............................................238 3.3.3. Yapıya Ait Kapasite Eğrisinin Adım Adım Elde Edilmesi ...........................248 4. SONUÇLAR....................................................................................................270 KAYNAKLAR....................................................................................................274

iv

ÖZET

DEPREM TASARIMINDA ÖTELENME VE ENERJİ TÜKETİMİNİN KONTROLÜ

Hamide TEKELİ

Yapıların tasarımı aşamasında yürürlükte bulunan yönetmelik ve şartname kriterlerinin sağlandığına dair kontrolün yapılabilmesi için üç boyutlu yapının, kat ötelenmelerinin bilinmesi gerekir. Günümüzde yapıların ötelenme miktarı, bilgisayar programları ile yapılan analizler sırasında elde edilebilmektedir. Yapı ötelenmeleri bilgisayar programları ile hesaplansa bile, tasarım aşamasında dizayn kesit boyutları henüz belli değilken yönetmelik ve şartnamelerin gerektirdiği sınırlanmalar sağlanana kadar tekrarlı çözümün yapılması gerekir. Öyleyse, uygulamacı mühendisin yapıların ötelenme hesabı için çabuk ve gerçekçi bir çözüm yöntemine ihtiyacı vardır. Bu nedenle, çerçeveli ve perde duvarlı-çerçeveli yapıların ötelenmesinin hesabı için geliştirilen genel diferensiyel denklemlerden yararlanılarak analitik ilişkiler türetilmiş ve yapıların ötelenmesinin hesabı için oldukça basit bir yöntem geliştirilmiştir. Böyle bir çözüm yönteminin ötelenme hesabı gerektiren birçok işlemi de kolaylaştıracağı açıktır. 1997 Deprem Yönetmeliği’ nde yeterli rijitliği sağlamak ve ikinci mertebe etkilerini en aza indirebilmek için göreli kat ötelenmeleri sınırlandırılmıştır. Geliştirilen bu yöntem ile göreli kat ötelenmesinin kontrolü ve sınırlandırılması kolayca yapılabilecektir. 1997 Deprem Yönetmeliği’ nde deprem yükü hesabının yapılabilmesi için yapının doğal periyodunun bilinmesi gerekir. Doğal periyot hesabı için önerilen formülde ise üç boyutlu yapının kat ötelenmeleri bir parametre olarak karşımıza çıkar. Ayrıca, kolon narinlik hesabında yanal ötelenmenin önlenmiş olup olmadığını belirleyebilmek için TS 500/2000’ de hesaplanması önerilen stabilite indeksi ifadesi içerisinde de göreli kat ötelenmesi yer almaktadır. Dolayısıyla tek bir kolonun narinlik hesabının yapılabilmesi için üç boyutlu binanın yanal ötelenmelerinin hesap edilmesi gerekir. Bu da oldukça külfetli bir işlemdir. Bu yüzden çerçeveli ve perde duvarlı-çerçeveli yapılarda doğal periyot ve stabilite indeksi ifadeleri yanal ötelenme teriminden kurtarılmış, böylece uygulanması ve sonuç alınması kolay ifadeler elde edilmiştir. Yapının, intikal eden deprem enerjisini başarı ile tükettiğini söyleyebilmek için deplasman (ötelenme) sünekliğinin (4-5) arasında alınması yeterli şart olarak kabul edilmektedir. Öyle ise, proje mühendisinin yapı için ∆y (akma deplasmanı) ve ∆u (maksimum deplasman) değerlerini hesaplaması gerekmektedir. Son yıllarda, bilgisayar teknolojisindeki gelişmeler sonucunda nonlineer deplasmana dayalı yöntemlerin uygulaması yaygınlaşmıştır. Bu yöntemlerle elde edilen kapasite eğrisi yapının depreme dayanımı hakkında önemli bilgiler verir. Günümüzde nonlineer statik itme analizi (pushover), ancak bilgisayar programları ile yapılabilmektedir. Bunun için, perde duvarlı-çerçeveli yapıların ötelenme hesabı için türetilen analitik ilişkilerden yararlanarak kapasite eğrisinin elde edilmesinde kullanılabilecek basit ve kolay uygulanabilir bir işlem prosedürü geliştirilmiştir. Anahtar Kelimeler: Çerçeveli Yapılar, Perde Duvarlı-Çerçeveli Yapılar, Ötelenme, Dönme, Eğrilik, Eğilme Kırılması, Kesme Kırılması, Stabilite İndeksi, Doğal Periyot, Kapasite Eğrisi

v

ABSTRACT

CONTROL OF DRIFT AND ENERGY DISSUPATION IN EARTHQUAKE DESIGN

Hamide TEKELİ

In the design stage of the structures, three-dimensional story drifts should be known for controlling the criteria required in the design codes are provided. Nowadays, computer programs are used to determine the drift in the structures together with structural analysis. Even, structural drifts are calculated by computer programs, in design stage, design section dimensions are not certain yet, analysis must be repeated until providing the limitations required in codes. Consequently, engineer needs a quick and realistic solution method. For this reason, analytical relations are derived by utilizing the general differential equations developed for calculating the drift of frame of structure and composite (frame-shear wall) buildings and a very simple method is developed for calculating the drift of structures. It is definite that, this solution method simplifies many processes which require drift calculations. In Turkish Design Code-1997, for providing required stiffness and minimizing the secondary structural effects, relative story drifts are limited. By this method, controlling and limiting of story drift is very simple. In Turkish Design Code-1997, natural period of the structure must be known for calculation of the earthquake loads. In the suggested formulation for natural period, three dimensional story drifts must be known as parameters. Besides, relative story drift is included in the stability index statement that is suggested in Turkish Standart-TS 500/2000 for determining the lateral drift is avoided or not in column slenderness calculations. Consequently, for calculating the slenderness of a column, lateral drifts of a three dimensional building must be calculated. But it is very inconvenient. Accordingly, frame and composite (frame-shear wall) buildings, natural period and stability index statements are delivered from shear force and lateral drift terms. In this way, a simple statement in application is obtained. If the earthquake energy is dissipated successfully in the structure, displacement (drift) ductility must be between 4 - 5. Consequently, design engineer must calculate ∆y (yielding displacement) and ∆u (maximum displacement) for structure. Recently, as a result of developments of computer technologies, nonlinear displacement methods are growing up. By using these methods, capacity curve can be sketched easily. These curves give earthquake resistance of the structure. Nowadays, pushover analysis can be realised by using computer programs. Hence, by utilizing the analytical relations obtained for drift calculation of composite (frame-shear wall) buildings, a simple and applicable process is developed. Consequently, design engineer can obtain capacity curve of composite (frame-shear wall) buildings by a simple method instead of complex and interminable calculations. Key Words: Frame Structures, Composite (frame-shear wall) Structures, Drift, Rotation, Curvature, Bending Fracture, Shear Fracture, Stability Index, Natural Period, Capacity Curve

vi

TEŞEKKÜR

Çalışmalarımda bana her zaman vakit ayıran ve her türlü desteği esirgemeyen danışman hocam Sayın Prof. Dr. Ergin ATIMTAY’ a minnettarım. Verdikleri destekten dolayı Y. Doç. Dr. Mustafa TÜRKMEN, Y. Doç. Dr. Mehmet İNEL, Prof. Dr. Abdullah AVEY hocalarıma teşekkürlerimi sunarım. Manevi desteklerini benden esirgemeyen ve çalışma ortamımı hazırlayan tüm hocalarıma, arkadaşlarıma ve aileme çok teşekkür ederim.

Hamide TEKELİ

vii

Simgeler Dizini

Ac : Kolon kesit alanı Ach : Perde kesit alanı Ash : Depreme paralel donatıların toplam alanı A(T) : Spektral ivme katsayısı A1, A2 : En dıştaki kolonların en kesit alanları toplamı a : Yayılı yükün en alttaki (x=0) değeri b : Yayılı yükün en üstteki (x=Hw) değeri bw : Kiriş gövde genişliği c : Yayılı yük parabolünün kritik değeri d : Yayılı yük parabolünün kritik noktasının temelden yüksekliği db : Kullanılan donatı çapı dfi : Binanın i. katında Ffi fiktif yüklerine göre hesaplanan yer değiştirme Ec : Betonun elastisite modülü F : Yatay tekil yük fc, fck : Betonun karakteristik basınç dayanımı fcd : Betonun hesap basınç dayanımı fctd : Betonun çekme dayanımı Ffi : Birinci doğal titreşim periyodunun hesabında i. kata etkiyen fiktif yük fy, fyk : Donatı çeliğinin akma dayanımı f(x) : Yayılı yatay yükün dağılımı f(x)ç : Çerçeveli yapıya etkiyen yayılı yatay yükün dağılımı f(x)p : Perdeli yapıya etkiyen yayılı yatay yükün dağılımı g : Yerçekimi ivmesi GA : Çerçevenin kayma rijitliği H : Bina yüksekliği Hx : Tekil yükün uygulandığı seviyenin temelden mesafesi Hw : Perdenin yüksekliği Ic : Kolon atalet momenti Ib : Kiriş atalet momenti K : Perdelerin eğilme rijitlikleri toplamı Ko : Devrilme rijitliği lc : Kolon kat yüksekliği l′c : Hesap yapılan kısa kolonun yüksekliği Lo : Perdenin moment sıfır noktası ile plastik mafsal arasındaki mesafe Lp : Plastik mafsal boyu mi

: Binanın i’inci katının kütlesi

Mo : Toplam devrilme momenti Mo(x) : Kayma kirişinin herhangi bir kesitinde dış yükün oluşturduğu moment Mp : Plastik moment n : Hareketli yük katsayısı N : Kat sayısı Σ Ndi : i. kata ait kolon tasarım eksenel yükü p : Yayılı yükün en üstteki değeri R : Toplam yatay yükün bileşkesi Ra(T) : Yapı davranış katsayısı

viii

Rb : Kiriş redörü Rc : Kolon redörü S(T) : Spektrum katsayısı T1 : Binanın birinci doğal titreşim periyodu Vi, Vfi : i. kattaki toplam kesme kuvveti Vr : Elemanın kesme kapasitesi Vt : Taban kesme kuvveti W : Binanın ağırlığı y : Kat ötelenmesi y′ : Kat yüksekliğince oluşan yanal ötelenmenin eğimi y′′ : Kat yüksekliğince oluşan eğrilik yHx : Bireysel tekil yükün uygulandığı seviyedeki (x=Hx) ötelenme q : Hareketli yük Q : Perde üzerindeki yayılı yükün bileşkesi x′ : Yayılı yükün bileşkesinin temelden mesafesi x : Toplam yükün bileşkesinin temelden mesafesi ρ : Eğrilik yarıçapı ρsh : Yatay donatı oranı εy : Donatının akma şekil değiştirmesi δ : F=1 ton yatay yüke maruz ardışık katlar arasında oluşan göreli ötelenme ∆i : Her katta Fi yatay yükü etkisinde oluşan göreli kat ötelenmesi (∆i)max : Göreli kat ötelemelerinin kat içindeki en büyük değeri ∆y : Çatı katı akma ötelenmesi ∆u : Ulaşılan en büyük çatı katı ötelenmesi ϕ : Stabilite indeksi φy : Akma eğriliği φu : Ulaşılan en büyük eğrilik µφ : Eğrilik sünekliği µ∆ : Ötelenme sünekliği

ix

Şekiller Dizini Şekil 1.1. Analitik denklemlerin geçerliliğinin araştırılması için yapılan çözümler ....5 Şekil 2.1. Çerçeveli ve karma sistemli yapıların yer değiştirme şekilleri....................9 Şekil 2.2. Çok katlı çerçeve modeli .........................................................................10 Şekil 2.3. Çok katlı çerçeveli bir yapının düğüm noktası .........................................11 Şekil 2.4. Yatay yüke maruz çok katlı çerçeveli bir yapının düğüm noktası ötelenmesi...............................................................................................................11 Şekil 2.5. Sistemin çözümü için By reaksiyonunun kaldırılması ..............................12 Şekil 2.6. B mesnedi kaldırılan sistemin dış yük altındaki moment diyagramı .........12 Şekil 2.7. Kaldırılan By reaksiyonunun yerine yapılan X1=1 kN yüklemesi ............13 Şekil 2.8. By reaksiyonunun yerine X1=1 kN yükleme yapılan sistemin moment diyagramı................................................................................................................13 Şekil 2.9. Sistemin mesnet reaksiyonları .................................................................14 Şekil 2.10. Sistemin sonuç moment diyagramı ........................................................16 Şekil 2.11. D düğüm noktasına yatay X=1 kN yüklemesi ........................................16 Şekil 2.12. D düğüm noktasına yatay X=1 kN yükleme yapılan sistemin moment diyagramı................................................................................................................17 Şekil 2.13. Çerçeveli yapı modeli............................................................................21 Şekil 2.14. Kolon yükseklikleri farklı olan yapı modeli...........................................25 Şekil 2.15. F=1 ton yatay yük altında ardışık katlar arasında oluşan yatay ötelenme .................................................................................................................31 Şekil 2.16. Çok katlı çerçevenin kayma kirişi olarak modellenmesi.........................33 Şekil 2.17. Düzgün yayılı yatay yüke maruz çerçeveli yapı .....................................35 Şekil 2.18. Üçgen yayılı yatay yüke maruz çerçeveli yapı .......................................36 Şekil 2.19. En tepede tekil yatay yüke maruz çerçeveli yapı....................................38 Şekil 2.20. Herhangi bir seviyedeki tekil yatay yüke maruz çerçeveli yapı ..............40 Şekil 2.21. Herhangi bir seviyedeki tekil yüke maruz çerçeveli yapı .......................41 Şekil 2.22. Kolon eksenel deformasyonlarından oluşan birim eğrilik.......................42 Şekil 2.23. Dış kolon alanlarının oluşturduğu eğilme momenti................................43 Şekil 2.24. Perde-çerçeve etkileşimi........................................................................50 Şekil 2.25. Düzgün yayılı yatay yük altındaki perde duvarlı-çerçeveli yapılarda herhangi bir x seviyesinde oluşan dış yük momenti .................................................55 Şekil 2.26. Üçgen yayılı yatay yük altındaki perde duvarlı-çerçeveli yapılarda herhangi bir x seviyesinde oluşan dış yük momenti .................................................58 Şekil 2.27. En üstte tekil yatay yüke maruz perde duvarlı-çerçeveli yapılarda herhangi bir x seviyesinde oluşan dış yük momenti .................................................63 Şekil 2.28. Herhangi bir seviyedeki tekil yüke maruz perde duvarlı-çerçeveli yapı.........................................................................................................................66 Şekil 2.29. Herhangi bir seviyedeki tekil yüke maruz perde duvarlı-çerçeveli yapı.........................................................................................................................69 Şekil 2.30. Çerçeveli yapıların ötelenme hesabı için geliştirilen analitik denklemlerin geçerliliğinin kanıtlanması için seçilen bina modeli ...........................71 Şekil 2.31. 20 katlı çerçeveli yapıya üçgen yayılı yatay yük etkimesi durumunda kolon eksenel deformasyonlarını dikkate almadan hesaplanan ötelenme sonuçları ..73 Şekil 2.32. 15 katlı çerçeveli yapıya üçgen yayılı yatay yük etkimesi durumunda kolon eksenel deformasyonlarını dikkate almadan hesaplanan ötelenme sonuçları ..73

x

Şekil 2.33. 10 katlı çerçeveli yapıya üçgen yayılı yatay yük etkimesi durumunda kolon eksenel deformasyonlarını dikkate almadan hesaplanan ötelenme sonuçları ..74 Şekil 2.34. 5 katlı çerçeveli yapıya üçgen yayılı yatay yük etkimesi durumunda kolon eksenel deformasyonlarını dikkate almadan hesaplanan ötelenme sonuçları ..74 Şekil 2.35. 20 katlı çerçeveli yapıya üçgen yayılı yatay yük etkimesi durumunda kolon eksenel deformasyonlarını dikkate almadan hesaplanan dönme sonuçları ......76 Şekil 2.36. 15 katlı çerçeveli yapıya üçgen yayılı yatay yük etkimesi durumunda kolon eksenel deformasyonlarını dikkate almadan hesaplanan dönme sonuçları ......76 Şekil 2.37. 10 katlı çerçeveli yapıya üçgen yayılı yatay yük etkimesi durumunda kolon eksenel deformasyonlarını dikkate almadan hesaplanan dönme sonuçları ......77 Şekil 2.38. 5 katlı çerçeveli yapıya üçgen yayılı yatay yük etkimesi durumunda kolon eksenel deformasyonlarını dikkate almadan hesaplanan dönme sonuçları ......77 Şekil 2.39. Çerçeveli yapının modellenmesi............................................................78 Şekil 2.40. 20 katlı çerçeveli yapıya üçgen yayılı yatay yük etkimesi durumunda kolon eksenel deformasyonlarını dikkate almadan hesaplanan eğrilik sonuçları ......79 Şekil 2.41. 15 katlı çerçeveli yapıya üçgen yayılı yatay yük etkimesi durumunda kolon eksenel deformasyonlarını dikkate almadan hesaplanan eğrilik sonuçları ......79 Şekil 2.42. 10 katlı çerçeveli yapıya üçgen yayılı yatay yük etkimesi durumunda kolon eksenel deformasyonlarını dikkate almadan hesaplanan eğrilik sonuçları ......80 Şekil 2.43. 5 katlı çerçeveli yapıya üçgen yayılı yatay yük etkimesi durumunda kolon eksenel deformasyonlarını dikkate almadan hesaplanan eğrilik sonuçları ......80 Şekil 2.44. 20 katlı çerçeveli yapıya düzgün yayılı yatay yük etkimesi durumunda kolon eksenel deformasyonlarını dikkate almadan hesaplanan ötelenme sonuçları ..................................................................................................82 Şekil 2.45. 15 katlı çerçeveli yapıya düzgün yayılı yatay yük etkimesi durumunda kolon eksenel deformasyonlarını dikkate almadan hesaplanan ötelenme sonuçları ..................................................................................................82 Şekil 2.46. 10 katlı çerçeveli yapıya düzgün yayılı yatay yük etkimesi durumunda kolon eksenel deformasyonlarını dikkate almadan hesaplanan ötelenme sonuçları ..................................................................................................83 Şekil 2.47. 5 katlı çerçeveli yapıya düzgün yayılı yatay yük etkimesi durumunda kolon eksenel deformasyonlarını dikkate almadan hesaplanan ötelenme sonuçları ..83 Şekil 2.48. 20 katlı çerçeveli yapıya düzgün yayılı yatay yük etkimesi durumunda kolon eksenel deformasyonlarını dikkate almadan hesaplanan dönme sonuçları......................................................................................................85 Şekil 2.49. 15 katlı çerçeveli yapıya düzgün yayılı yatay yük etkimesi durumunda kolon eksenel deformasyonlarını dikkate almadan hesaplanan dönme sonuçları......................................................................................................85 Şekil 2.50. 10 katlı çerçeveli yapıya düzgün yayılı yatay yük etkimesi durumunda kolon eksenel deformasyonlarını dikkate almadan hesaplanan dönme sonuçları......................................................................................................86 Şekil 2.51. 5 katlı çerçeveli yapıya düzgün yayılı yatay yük etkimesi durumunda kolon eksenel deformasyonlarını dikkate almadan hesaplanan dönme sonuçları ......86 Şekil 2.52. 20 katlı çerçeveli yapıya düzgün yayılı yatay yük etkimesi durumunda kolon eksenel deformasyonlarını dikkate almadan hesaplanan eğrilik sonuçları .................................................................................................................88

xi

Şekil 2.53. 15 katlı çerçeveli yapıya düzgün yayılı yatay yük etkimesi durumunda kolon eksenel deformasyonlarını dikkate almadan hesaplanan eğrilik sonuçları .................................................................................................................88 Şekil 2.54. 10 katlı çerçeveli yapıya düzgün yayılı yatay yük etkimesi durumunda kolon eksenel deformasyonlarını dikkate almadan hesaplanan eğrilik sonuçları .................................................................................................................89 Şekil 2.55. 5 katlı çerçeveli yapıya düzgün yayılı yatay yük etkimesi durumunda kolon eksenel deformasyonlarını dikkate almadan hesaplanan eğrilik sonuçları ......89 Şekil 2.56. 20 katlı çerçeveli yapıya en üstte tekil yatay yük etkimesi durumunda kolon eksenel deformasyonlarını dikkate almadan hesaplanan ötelenme sonuçları ..91 Şekil 2.57. 15 katlı çerçeveli yapıya en üstte tekil yatay yük etkimesi durumunda kolon eksenel deformasyonlarını dikkate almadan hesaplanan ötelenme sonuçları ..91 Şekil 2.58. 10 katlı çerçeveli yapıya en üstte tekil yatay yük etkimesi durumunda kolon eksenel deformasyonlarını dikkate almadan hesaplanan ötelenme sonuçları ..92 Şekil 2.59. 5 katlı çerçeveli yapıya en üstte tekil yatay yük etkimesi durumunda kolon eksenel deformasyonlarını dikkate almadan hesaplanan ötelenme sonuçları ..92 Şekil 2.60. 20 katlı çerçeveli yapıya en üstte tekil yatay yük etkimesi durumunda kolon eksenel deformasyonlarını dikkate almadan hesaplanan dönme sonuçları ......94 Şekil 2.61. 15 katlı çerçeveli yapıya en üstte tekil yatay yük etkimesi durumunda kolon eksenel deformasyonlarını dikkate almadan hesaplanan dönme sonuçları ......94 Şekil 2.62. 10 katlı çerçeveli yapıya en üstte tekil yatay yük etkimesi durumunda kolon eksenel deformasyonlarını dikkate almadan hesaplanan dönme sonuçları ......95 Şekil 2.63. 5 katlı çerçeveli yapıya en üstte tekil yatay yük etkimesi durumunda kolon eksenel deformasyonlarını dikkate almadan hesaplanan dönme sonuçları ......95 Şekil 2.64. 20 katlı çerçeveli yapıya üçgen yayılı yatay yük etkimesi durumunda kolon eksenel deformasyonlarını dikkate alarak hesaplanan ötelenme sonuçları ......98 Şekil 2.65. 15 katlı çerçeveli yapıya üçgen yayılı yatay yük etkimesi durumunda kolon eksenel deformasyonlarını dikkate alarak hesaplanan ötelenme sonuçları ......98 Şekil 2.66. 10 katlı çerçeveli yapıya üçgen yayılı yatay yük etkimesi durumunda kolon eksenel deformasyonlarını dikkate alarak hesaplanan ötelenme sonuçları ......99 Şekil 2.67. 5 katlı çerçeveli yapıya üçgen yayılı yatay yük etkimesi durumunda kolon eksenel deformasyonlarını dikkate alarak hesaplanan ötelenme sonuçları ......99 Şekil 2.68. 20 katlı çerçeveli yapıya üçgen yayılı yatay yük etkimesi durumunda kolon eksenel deformasyonlarını dikkate alarak hesaplanan dönme sonuçları........101 Şekil 2.69. 15 katlı çerçeveli yapıya üçgen yayılı yatay yük etkimesi durumunda kolon eksenel deformasyonlarını dikkate alarak hesaplanan dönme sonuçları........101 Şekil 2.70. 10 katlı çerçeveli yapıya üçgen yayılı yatay yük etkimesi durumunda kolon eksenel deformasyonlarını dikkate alarak hesaplanan dönme sonuçları........102 Şekil 2.71. 5 katlı çerçeveli yapıya üçgen yayılı yatay yük etkimesi durumunda kolon eksenel deformasyonlarını dikkate alarak hesaplanan dönme sonuçları........102 Şekil 2.72. 20 katlı çerçeveli yapıya üçgen yayılı yatay yük etkimesi durumunda kolon eksenel deformasyonlarını dikkate alarak hesaplanan eğrilik sonuçları ........104 Şekil 2.73. 15 katlı çerçeveli yapıya üçgen yayılı yatay yük etkimesi durumunda kolon eksenel deformasyonlarını dikkate alarak hesaplanan eğrilik sonuçları ........104 Şekil 2.74. 10 katlı çerçeveli yapıya üçgen yayılı yatay yük etkimesi durumunda kolon eksenel deformasyonlarını dikkate alarak hesaplanan eğrilik sonuçları ........105 Şekil 2.75. 5 katlı çerçeveli yapıya üçgen yayılı yatay yük etkimesi durumunda kolon eksenel deformasyonlarını dikkate alarak hesaplanan eğrilik sonuçları ........105

xii

Şekil 2.76. 20 katlı çerçeveli yapıya düzgün yayılı yatay yük etkimesi durumunda kolon eksenel deformasyonlarını dikkate alarak hesaplanan ötelenme sonuçları ................................................................................................107 Şekil 2.77. 15 katlı çerçeveli yapıya düzgün yayılı yatay yük etkimesi durumunda kolon eksenel deformasyonlarını dikkate alarak hesaplanan ötelenme sonuçları ................................................................................................107 Şekil 2.78. 10 katlı çerçeveli yapıya düzgün yayılı yatay yük etkimesi durumunda kolon eksenel deformasyonlarını dikkate alarak hesaplanan ötelenme sonuçları ................................................................................................108 Şekil 2.79. 5 katlı çerçeveli yapıya düzgün yayılı yatay yük etkimesi durumunda kolon eksenel deformasyonlarını dikkate alarak hesaplanan ötelenme sonuçları ....108 Şekil 2.80. 20 katlı çerçeveli yapıya düzgün yayılı yatay yük etkimesi durumunda kolon eksenel deformasyonlarını dikkate alarak hesaplanan dönme sonuçları ...............................................................................................................110 Şekil 2.81. 15 katlı çerçeveli yapıya düzgün yayılı yatay yük etkimesi durumunda kolon eksenel deformasyonlarını dikkate alarak hesaplanan dönme sonuçları ...............................................................................................................110 Şekil 2.82. 10 katlı çerçeveli yapıya düzgün yayılı yatay yük etkimesi durumunda kolon eksenel deformasyonlarını dikkate alarak hesaplanan dönme sonuçları ...............................................................................................................111 Şekil 2.83. 5 katlı çerçeveli yapıya düzgün yayılı yatay yük etkimesi durumunda kolon eksenel deformasyonlarını dikkate alarak hesaplanan dönme sonuçları........111 Şekil 2.84. 20 katlı çerçeveli yapıya düzgün yayılı yatay yük etkimesi durumunda kolon eksenel deformasyonlarını dikkate alarak hesaplanan eğrilik sonuçları ...............................................................................................................113 Şekil 2.85. 15 katlı çerçeveli yapıya düzgün yayılı yatay yük etkimesi durumunda kolon eksenel deformasyonlarını dikkate alarak hesaplanan eğrilik sonuçları ...............................................................................................................113 Şekil 2.86. 10 katlı çerçeveli yapıya düzgün yayılı yatay yük etkimesi durumunda kolon eksenel deformasyonlarını dikkate alarak hesaplanan eğrilik sonuçları ...............................................................................................................114 Şekil 2.87. 5 katlı çerçeveli yapıya düzgün yayılı yatay yük etkimesi durumunda kolon eksenel deformasyonlarını dikkate alarak hesaplanan eğrilik sonuçları ........114 Şekil 2.88. 20 katlı çerçeveli yapıya en üstte tekil yatay yük etkimesi durumunda kolon eksenel deformasyonlarını dikkate alarak hesaplanan ötelenme sonuçları ....116 Şekil 2.89. 15 katlı çerçeveli yapıya en üstte tekil yatay yük etkimesi durumunda kolon eksenel deformasyonlarını dikkate alarak hesaplanan ötelenme sonuçları ....116 Şekil 2.90. 10 katlı çerçeveli yapıya en üstte tekil yatay yük etkimesi durumunda kolon eksenel deformasyonlarını dikkate alarak hesaplanan ötelenme sonuçları ....117 Şekil 2.91. 5 katlı çerçeveli yapıya en üstte tekil yatay yük etkimesi durumunda kolon eksenel deformasyonlarını dikkate alarak hesaplanan ötelenme sonuçları ....117 Şekil 2.92. 20 katlı çerçeveli yapıya en üstte tekil yatay yük etkimesi durumunda kolon eksenel deformasyonlarını dikkate alarak hesaplanan dönme sonuçları........119 Şekil 2.93. 15 katlı çerçeveli yapıya en üstte tekil yatay yük etkimesi durumunda kolon eksenel deformasyonlarını dikkate alarak hesaplanan dönme sonuçları........119 Şekil 2.94. 10 katlı çerçeveli yapıya en üstte tekil yatay yük etkimesi durumunda kolon eksenel deformasyonlarını dikkate alarak hesaplanan dönme sonuçları........120

xiii

Şekil 2.95. 5 katlı çerçeveli yapıya en üstte tekil yatay yük etkimesi durumunda kolon eksenel deformasyonlarını dikkate alarak hesaplanan dönme sonuçları........120 Şekil 2.96. 20 katlı çerçeveli yapıya en üstte tekil yatay yük etkimesi durumunda kolon eksenel deformasyonlarını dikkate alarak hesaplanan eğrilik sonuçları ........122 Şekil 2.97. 15 katlı çerçeveli yapıya en üstte tekil yatay yük etkimesi durumunda kolon eksenel deformasyonlarını dikkate alarak hesaplanan eğrilik sonuçları ........122 Şekil 2.98. 10 katlı çerçeveli yapıya en üstte tekil yatay yük etkimesi durumunda kolon eksenel deformasyonlarını dikkate alarak hesaplanan eğrilik sonuçları ........123 Şekil 2.99. 5 katlı çerçeveli yapıya en üstte tekil yatay yük etkimesi durumunda kolon eksenel deformasyonlarını dikkate alarak hesaplanan eğrilik sonuçları ........123 Şekil 2.100. Çerçeve modeli .................................................................................124 Şekil 2.101. Model 1’ e ait çerçeveli yapının diferensiyel denklem ve SAP 2000 ile hesaplanan ötelenme sonuçları .........................................................................128 Şekil 2.102. Model 2’ ye ait çerçeveli yapının diferensiyel denklem ve SAP 2000 ile hesaplanan ötelenme sonuçları .........................................................................128 Şekil 2.103. Model 3’ e ait çerçeveli yapının diferensiyel denklem ve SAP 2000 ile hesaplanan ötelenme sonuçları .........................................................................129 Şekil 2.104. Model 4’ e ait çerçeveli yapının diferensiyel denklem ve SAP 2000 ile hesaplanan ötelenme sonuçları .........................................................................129 Şekil 2.105. Model 5’ e ait çerçeveli yapının diferensiyel denklem ve SAP 2000 ile hesaplanan ötelenme sonuçları .........................................................................130 Şekil 2.106. Model 6’ ya ait çerçeveli yapının diferensiyel denklem ve SAP 2000 ile hesaplanan ötelenme sonuçları .........................................................................130 Şekil 2.107. Model 7’ ye ait çerçeveli yapının diferensiyel denklem ve SAP 2000 ile hesaplanan ötelenme sonuçları .........................................................................131 Şekil 2.108. Model 8’ e ait çerçeveli yapının diferensiyel denklem ve SAP 2000 ile hesaplanan ötelenme sonuçları .........................................................................131 Şekil 2.109. Model 9’ a ait çerçeveli yapının diferensiyel denklem ve SAP 2000 ile hesaplanan ötelenme sonuçları .........................................................................132 Şekil 2.110. Model 10’ a ait çerçeveli yapının diferensiyel denklem ve SAP 2000 ile hesaplanan ötelenme sonuçları .........................................................................132 Şekil 2.111. Model 11’ e ait çerçeveli yapının diferensiyel denklem ve SAP 2000 ile hesaplanan ötelenme sonuçları .........................................................................133 Şekil 2.112. Model 12’ ye ait çerçeveli yapının diferensiyel denklem ve SAP 2000 ile hesaplanan ötelenme sonuçları ................................................................133 Şekil 2.113. Model 13’ e ait çerçeveli yapının diferensiyel denklem ve SAP 2000 ile hesaplanan ötelenme sonuçları .........................................................................134 Şekil 2.114. Model 14’ e ait çerçeveli yapının diferensiyel denklem ve SAP 2000 ile hesaplanan ötelenme sonuçları .........................................................................134 Şekil 2.115. Model 15’ e ait çerçeveli yapının diferensiyel denklem ve SAP 2000 ile hesaplanan ötelenme sonuçları .........................................................................135 Şekil 2.116. Perde duvarlı-çerçeveli yapıların ötelenme hesabı için geliştirilen analitik denklemlerin geçerliliğinin kanıtlanması için seçilen bina modeli.............136 Şekil 2.117. 20 katlı perde duvarlı-çerçeveli yapıya üçgen yayılı yatay yük etkimesi durumunda hesaplanan ötelenme sonuçları.............................................140 Şekil 2.118. 15 katlı perde duvarlı-çerçeveli yapıya üçgen yayılı yatay yük etkimesi durumunda hesaplanan ötelenme sonuçları.............................................140

xiv

Şekil 2.119. 10 katlı perde duvarlı-çerçeveli yapıya üçgen yayılı yatay yük etkimesi durumunda hesaplanan ötelenme sonuçları.............................................141 Şekil 2.120. 5 katlı perde duvarlı-çerçeveli yapıya üçgen yayılı yatay yük etkimesi durumunda hesaplanan ötelenme sonuçları.............................................141 Şekil 2.121. 20 katlı perde duvarlı-çerçeveli yapıya üçgen yayılı yatay yük etkimesi durumunda hesaplanan dönme sonuçları ................................................143 Şekil 2.122. 15 katlı perde duvarlı-çerçeveli yapıya üçgen yayılı yatay yük etkimesi durumunda hesaplanan dönme sonuçları ................................................143 Şekil 2.123. 10 katlı perde duvarlı-çerçeveli yapıya üçgen yayılı yatay yük etkimesi durumunda hesaplanan dönme sonuçları ................................................144 Şekil 2.124. 5 katlı perde duvarlı-çerçeveli yapıya üçgen yayılı yatay yük etkimesi durumunda hesaplanan dönme sonuçları ................................................144 Şekil 2.125. 20 katlı perde duvarlı-çerçeveli yapıya üçgen yayılı yatay yük etkimesi durumunda hesaplanan eğrilik sonuçları.................................................146 Şekil 2.126. 15 katlı perde duvarlı-çerçeveli yapıya üçgen yayılı yatay yük etkimesi durumunda hesaplanan eğrilik sonuçları.................................................146 Şekil 2.127. 10 katlı perde duvarlı-çerçeveli yapıya üçgen yayılı yatay yük etkimesi durumunda hesaplanan eğrilik sonuçları.................................................147 Şekil 2.128. 5 katlı perde duvarlı-çerçeveli yapıya üçgen yayılı yatay yük etkimesi durumunda hesaplanan eğrilik sonuçları.................................................147 Şekil 2.129. 20 katlı perde duvarlı-çerçeveli yapıya düzgün yayılı yatay yük etkimesi durumunda hesaplanan ötelenme sonuçları.............................................149 Şekil 2.130. 15 katlı perde duvarlı-çerçeveli yapıya düzgün yayılı yatay yük etkimesi durumunda hesaplanan ötelenme sonuçları.............................................149 Şekil 2.131. 10 katlı perde duvarlı-çerçeveli yapıya düzgün yayılı yatay yük etkimesi durumunda hesaplanan ötelenme sonuçları.............................................150 Şekil 2.132. 5 katlı perde duvarlı-çerçeveli yapıya düzgün yayılı yatay yük etkimesi durumunda hesaplanan ötelenme sonuçları.............................................150 Şekil 2.133. 20 katlı perde duvarlı-çerçeveli yapıya düzgün yayılı yatay yük etkimesi durumunda hesaplanan dönme sonuçları ................................................152 Şekil 2.134. 15 katlı perde duvarlı-çerçeveli yapıya düzgün yayılı yatay yük etkimesi durumunda hesaplanan dönme sonuçları ................................................152 Şekil 2.135. 10 katlı perde duvarlı-çerçeveli yapıya düzgün yayılı yatay yük etkimesi durumunda hesaplanan dönme sonuçları ................................................153 Şekil 2.136. 5 katlı perde duvarlı-çerçeveli yapıya düzgün yayılı yatay yük etkimesi durumunda hesaplanan dönme sonuçları ................................................153 Şekil 2.137. 20 katlı perde duvarlı-çerçeveli yapıya düzgün yayılı yatay yük etkimesi durumunda hesaplanan eğrilik sonuçları.................................................155 Şekil 2.138. 15 katlı perde duvarlı-çerçeveli yapıya düzgün yayılı yatay yük etkimesi durumunda hesaplanan eğrilik sonuçları.................................................155 Şekil 2.139. 10 katlı perde duvarlı-çerçeveli yapıya düzgün yayılı yatay yük etkimesi durumunda hesaplanan eğrilik sonuçları.................................................156 Şekil 2.140. 5 katlı perde duvarlı-çerçeveli yapıya düzgün yayılı yatay yük etkimesi durumunda hesaplanan eğrilik sonuçları.................................................156 Şekil 2.141. 20 katlı perde duvarlı-çerçeveli yapıya en üst seviyesinde tekil yatay yük etkimesi durumunda hesaplanan ötelenme sonuçları.......................................158 Şekil 2.142. 15 katlı perde duvarlı-çerçeveli yapıya en üst seviyesinde tekil yatay yük etkimesi durumunda hesaplanan ötelenme sonuçları.......................................158

xv

Şekil 2. 143. 10 katlı perde duvarlı-çerçeveli yapıya en üst seviyesinde tekil yatay yük etkimesi durumunda hesaplanan ötelenme sonuçları .............................159 Şekil 2.144. 5 katlı perde duvarlı-çerçeveli yapıya en üst seviyesinde tekil yatay yük etkimesi durumunda hesaplanan ötelenme sonuçları.......................................159 Şekil 2.145. 20 katlı perde duvarlı-çerçeveli yapıya en üst seviyesinde tekil yatay yük etkimesi durumunda hesaplanan dönme sonuçları ..........................................161 Şekil 2.146. 15 katlı perde duvarlı-çerçeveli yapıya en üst seviyesinde tekil yatay yük etkimesi durumunda hesaplanan dönme sonuçları ..........................................161 Şekil 2.147. 10 katlı perde duvarlı-çerçeveli yapıya en üst seviyesinde tekil yatay yük etkimesi durumunda hesaplanan dönme sonuçları ..........................................162 Şekil 2.148. 5 katlı perde duvarlı-çerçeveli yapıya en üst seviyesinde tekil yatay yük etkimesi durumunda hesaplanan dönme sonuçları ..........................................162 Şekil 2.149. 20 katlı perde duvarlı-çerçeveli yapıya en üst seviyesinde tekil yatay yük etkimesi durumunda hesaplanan eğrilik sonuçları...........................................164 Şekil 2.150. 15 katlı perde duvarlı-çerçeveli yapıya en üst seviyesinde tekil yatay yük etkimesi durumunda hesaplanan eğrilik sonuçları...........................................164 Şekil 2.151. 10 katlı perde duvarlı-çerçeveli yapıya en üst seviyesinde tekil yatay yük etkimesi durumunda hesaplanan eğrilik sonuçları...........................................165 Şekil 2.152. 5 katlı perde duvarlı-çerçeveli yapıya en üst seviyesinde tekil yatay yük etkimesi durumunda hesaplanan eğrilik sonuçları...........................................165 Şekil 3.1. Kolon boyutları artışının GA ve çatı deplasmanı üzerindeki etkisini incelemek için seçilen bina modeli........................................................................167 Şekil 3.2. Farklı çerçeve açıklıkları için Rc/Rb oranının GA üzerindeki etkisi ........170 Şekil 3.3. 20 katlı çerçeveli binada farklı çerçeve açıklıkları için Rc/Rb oranının çatı deplasmanı üzerindeki etkisi...........................................................................170 Şekil 3.4. 10 katlı çerçeveli binada farklı çerçeve açıklıkları için Rc/Rb oranının çatı deplasmanı üzerindeki etkisi...........................................................................171 Şekil 3.5. 5 katlı çerçeveli binada farklı çerçeve açıklıkları için Rc/Rb oranının çatı deplasmanı üzerindeki etkisi...........................................................................171 Şekil 3.6. Çerçeve modeli .....................................................................................172 Şekil 3.7. Çerçeveli yapıdaki H/B oranı değişiminin çatı deplasmanına etkisi .......175 Şekil 3.8. Çerçeveli yapıdaki H/B oranı değişiminin çatı deplasmanına etkisi (%).175 Şekil 3.9. Kolonlarda oluşan narinlik etkisi ...........................................................177 Şekil 3.10. Çerçeveli yapılarda önerilen stabilite indeksi ifadesinin geçerliliğinin kanıtlanması için seçilen bina modeli....................................................................183 Şekil 3.11. Çerçeveli yapıya ait stabilite indeksi....................................................184 Şekil 3.12. Çerçeveli yapıda oluşan göreli kat ötelenmesi .....................................185 Şekil 3.13. Çerçeveli yapının tek serbestlik dereceli sisteme dönüştürülmesi.........190 Şekil 3.14. Farklı taşıyıcı sistemlerde mafsallaşma mekanizmaları ........................193 Şekil 3.15. Yapıya etki eden yayılı yük dağılımı (Tip 1)........................................196 Şekil 3.16. Yapıya etki eden yayılı yük dağılımı (Tip 2)........................................197 Şekil 3.17. Kesme kırılmasının kontrolü için seçilen perde duvarlı-çerçeveli yapı .203 Şekil 3.18. Üçgen yayılı yük etkisindeki perde duvarlı-çerçeveli binada tüm perdelerin aldığı toplam moment dağılımı.............................................................205 Şekil 3.19. Üçgen yayılı yük etkisindeki perde duvarlı-çerçeveli binada L=5 m uzunluğundaki perdenin aldığı moment dağılımı...................................................205 Şekil 3.20. Üçgen yayılı yük etkisindeki perde duvarlı-çerçeveli binada L=10 m uzunluğundaki perdenin aldığı moment dağılımı...................................................206

xvi

Şekil 3.21. Üçgen yayılı yük etkisindeki perde duvarlı-çerçeveli binada tüm perdelerin aldığı toplam kesme kuvveti dağılımı ...................................................206 Şekil 3.22. Üçgen yayılı yük etkisindeki perde duvarlı-çerçeveli binada L=5 m uzunluğundaki perdenin aldığı kesme kuvveti dağılımı .........................................207 Şekil 3.23. Üçgen yayılı yük etkisindeki perde duvarlı-çerçeveli binada L=10 m uzunluğundaki perdenin aldığı kesme kuvveti dağılımı .........................................207 Şekil 3.24. Üçgen yayılı yük etkisindeki perde duvarlı-çerçeveli binada tüm perdelerin üzerindeki toplam yayılı yük dağılımı...................................................208 Şekil 3.25. Üçgen yayılı yük etkisindeki perde duvarlı-çerçeveli binada L=5 m uzunluğundaki perdenin üzerindeki toplam yayılı yük dağılımı.............................208 Şekil 3.26 Üçgen yayılı yük etkisindeki perde duvarlı-çerçeveli binada L=10 m uzunluğundaki perdenin üzerindeki toplam yayılı yük dağılımı.............................210 Şekil 3.27. Perde kesitleri......................................................................................211 Şekil 3.28. 5 m uzunluğundaki perdeye ait moment-eğrilik grafiği ........................213 Şekil 3.29. 10 m uzunluğundaki perdeye ait moment eğrilik grafiği ......................214 Şekil 3.30. Üçgen yayılı yatay yük altındaki perde davranışı .................................215 Şekil 3.31. Üçgen yayılı yatay yük altındaki perde sisteminin modellenmesi.........216 Şekil 3.32. Excel programı ile M=0 noktasının temelden olan mesafesinin hesabı.223 Şekil 3.33. Perde duvarlı-çerçeveli yapılarda stabilite indeksinin excel programı ile hesaplanması....................................................................................................228 Şekil 3.34. Perde duvarlı-çerçeveli yapıya ait stabilite indeksi...............................229 Şekil 3.35. Perde duvarlı-çerçeveli yapının tek serbestlik dereceli sisteme dönüştürülmesi .....................................................................................................230 Şekil 3.36. Kesite ait moment eğrilik ilişkisi .........................................................234 Şekil 3.37. Eşit ötelenme prensibi .........................................................................237 Şekil 3.38. Eşit enerji prensibi...............................................................................238 Şekil 3.39. Yapıya ait farklı kapasite eğrileri.........................................................240 Şekil 3.40. Belli bir eğrilik değeri için elemanın rijitliğinin belirlenmesi ...............242 Şekil 3.41. Yığılı plastik davranış hipotezi ............................................................243 Şekil 3.42. Perdeye ait eğrilik dağılımından plastik ötelenmenin hesabı ................244 Şekil 3.43. Perdenin etkili rijitliği .........................................................................245 Şekil 3.44. 10419 no’ lu tip proje modeli ..............................................................249 Şekil 3.45. 7,35 m uzunluğundaki perdeye ait moment- eğrilik ilişkisi ..................250 Şekil 3.46. 5,85 m uzunluğundaki perdeye ait moment- eğrilik ilişkisi ..................250 Şekil 3.47. 2,0 m uzunluğundaki perdeye ait moment- eğrilik ilişkisi ....................251 Şekil 3.48. Hesap yapılan adımların mafsallaşma durumu.....................................252 Şekil 3.49. Excel programı ile moment sıfır noktası mesafesinin elde edilmesi......254 Şekil 3.50. Yapıya ait kapasite eğrisi.....................................................................267 Şekil 3.51. Akma ve maksimum çatı deplasmanı değerlerinin belirlenmesi ...........268

xvii

Çizelgeler Dizini Çizelge 2.1. Çerçeveli yapıya ait eleman ve yük bilgileri ........................................22 Çizelge 2.2. Kolon yüksekliği farklı olan yapıda kat kesme kuvvetinin kolonlara dağıtılması ..............................................................................................................30 Çizelge 2.3. Çerçeveli yapıya ait eleman ve yük bilgileri ........................................71 Çizelge 2.4. Çerçeveli yapıya üçgen yayılı yatay yük etkimesi durumunda kolon eksenel deformasyonlarını dikkate almadan hesaplanan ötelenme sonuçları ............72 Çizelge 2.5. Çerçeveli yapıya üçgen yayılı yatay yük etkimesi durumunda kolon eksenel deformasyonlarını dikkate almadan hesaplanan dönme sonuçları................75 Çizelge 2.6. Çerçeveli yapıya üçgen yayılı yatay yük etkimesi durumunda kolon eksenel deformasyonlarını dikkate almadan hesaplanan eğrilik sonuçları ................78 Çizelge 2.7. Çerçeveli yapıya düzgün yayılı yatay yük etkimesi durumunda kolon eksenel deformasyonlarını dikkate almadan hesaplanan ötelenme sonuçları ..81 Çizelge 2.8. Çerçeveli yapıya düzgün yayılı yatay yük etkimesi durumunda kolon eksenel deformasyonlarını dikkate almadan hesaplanan dönme sonuçları ......84 Çizelge 2.9. Çerçeveli yapıya düzgün yayılı yatay yük etkimesi durumunda kolon eksenel deformasyonlarını dikkate almadan hesaplanan eğrilik sonuçları ......87 Çizelge 2.10. Çerçeveli yapıya en üstte tekil yatay yük etkimesi durumunda kolon eksenel deformasyonlarını dikkate almadan hesaplanan ötelenme sonuçları ..90 Çizelge 2.11. Çerçeveli yapıya en üstte tekil yatay yük etkimesi durumunda kolon eksenel deformasyonlarını dikkate almadan hesaplanan dönme sonuçları ......93 Çizelge 2.12. Çerçeveli yapıya en üstte tekil yatay yük etkimesi durumunda kolon eksenel deformasyonlarını dikkate almadan hesaplanan eğrilik sonuçları ......96 Çizelge 2.13. Çerçeveli yapıya üçgen yayılı yatay yük etkimesi durumunda kolon eksenel deformasyonlarını dikkate alarak hesaplanan ötelenme sonuçları ......97 Çizelge 2.14. Çerçeveli yapıya üçgen yayılı yatay yük etkimesi durumunda kolon eksenel deformasyonlarını dikkate alarak hesaplanan dönme sonuçları........100 Çizelge 2.15. Çerçeveli yapıya üçgen yayılı yatay yük etkimesi durumunda kolon eksenel deformasyonlarını dikkate alarak hesaplanan eğrilik sonuçları ........103 Çizelge 2.16. Çerçeveli yapıya düzgün yayılı yatay yük etkimesi durumunda kolon eksenel deformasyonlarını dikkate alarak hesaplanan ötelenme sonuçları ....106 Çizelge 2.17. Çerçeveli yapıya düzgün yayılı yatay yük etkimesi durumunda kolon eksenel deformasyonlarını dikkate alarak hesaplanan dönme sonuçları........109 Çizelge 2.18. Çerçeveli yapıya düzgün yayılı yatay yük etkimesi durumunda kolon eksenel deformasyonlarını dikkate alarak hesaplanan eğrilik sonuçları ........112 Çizelge 2.19. Çerçeveli yapıya en üstte tekil yatay yük etkimesi durumunda kolon eksenel deformasyonlarını dikkate alarak hesaplanan ötelenme sonuçları ....115 Çizelge 2.20. Çerçeveli yapıya en üstte tekil yatay yük etkimesi durumunda kolon eksenel deformasyonlarını dikkate alarak hesaplanan dönme sonuçları........118 Çizelge 2.21. Çerçeveli yapıya en üstte tekil yatay yük etkimesi durumunda kolon eksenel deformasyonlarını dikkate alarak hesaplanan eğrilik sonuçları ........121 Çizelge 2.22. Farklı kolon boyutu ve açıklıklara sahip çerçeveli yapıda analitik yöntem ve SAP 2000 ile hesaplanan ötelenme sonuçlarının karşılaştırılması .........125 Çizelge 2.23. Perde duvarlı-çerçeveli yapıya ait eleman ve yük bilgileri ...............136 Çizelge 2.24. Perde duvarlı-çerçeveli yapıya üçgen yayılı yatay yük etkimesi durumunda hesaplanan ötelenme sonuçları...........................................................139

xviii

Çizelge 2.25. Perde duvarlı-çerçeveli yapıya üçgen yayılı yatay yük etkimesi durumunda hesaplanan dönme sonuçları ..............................................................142 Çizelge 2.26. Perde duvarlı-çerçeveli yapıya üçgen yayılı yatay yük etkimesi durumunda hesaplanan eğrilik sonuçları...............................................................145 Çizelge 2.27. Perde duvarlı-çerçeveli yapıya düzgün yayılı yatay yük etkimesi durumunda hesaplanan ötelenme sonuçları...........................................................148 Çizelge 2.28. Perde duvarlı-çerçeveli yapıya düzgün yayılı yatay yük etkimesi durumunda hesaplanan dönme sonuçları ..............................................................151 Çizelge 2.29. Perde duvarlı-çerçeveli yapıya düzgün yayılı yatay yük etkimesi durumunda hesaplanan eğrilik sonuçları...............................................................154 Çizelge 2.30. Perde duvarlı-çerçeveli yapıya en üst seviyesinde tekil yatay yük etkimesi durumunda hesaplanan ötelenme sonuçları .............................................157 Çizelge 2.31. Perde duvarlı-çerçeveli yapıya en üst seviyesinde tekil yatay yük etkimesi durumunda hesaplanan dönme sonuçları ................................................160 Çizelge 2.32. Perde duvarlı-çerçeveli yapıya en üst seviyesinde tekil yatay yük etkimesi durumunda hesaplanan eğrilik sonuçları.................................................163 Çizelge 3.1. Kolon boyutları artışının GA ve çatı deplasmanı üzerindeki etkisini incelemek için seçilen bina modeline ait özellikler................................................168 Çizelge 3.2. Model binada farklı kat adedi ve Rc/Rb oranları için hesap edilen GA ve çatı deplasmanı değerleri ..................................................................................169 Çizelge 3.3. Çerçevenin özellikleri........................................................................173 Çizelge 3.4. Farklı H/B oranı için hesaplanan çatı deplasmanı...............................174 Çizelge 3.5. Stabilite indeksi hesabında kullanılan model binanın özellikleri ........183 Çizelge 3.6. Çerçeveli yapıya ait stabilite indeksi..................................................184 Çizelge 3.7. Çerçeveli yapının birinci moda ait doğal titreşim periyodu hesabı......191 Çizelge 3.8. Kesme kırılmasının kontrolü için seçilen perde duvarlı-çerçeveli yapı modeline ait eleman ve yük bilgileri ..............................................................202 Çizelge 3.9. Üçgen yayılı yatay yük altında perdelerde oluşan moment, kesme kuvveti ve yayılı yük dağılımı değerleri ................................................................204 Çizelge 3.10. Perde duvarlı-çerçeveli yapıdaki stabilite indeksi formülünün uygulanması..........................................................................................................228 Çizelge 3.11. Perde duvarlı-çerçeveli yapının birinci moda ait periyot hesabı........231 Çizelge 3.12. 10419 no’ lu tip projeye ait bilgiler..................................................249 Çizelge 3.13. Perdelere ait belirlenen akma ve ezilme eğrilikleri ...........................251 Çizelge 3.14. Analitik yöntem ile elde edilen taban kesme kuvveti- çatı deplasmanı değerleri .............................................................................................267

1

1. GİRİŞ

Ülkemiz topraklarının, nüfusunun ve sanayisinin %90’ ından fazlası deprem bölgesi

içerisinde bulunmaktadır. Günümüzde önceden kestirilmesi ve önlenmesi mümkün

olmayan deprem afetine karşı alınacak en akılcı önlem biçimi, kuşkusuz depreme

dayanıklı yapıların inşa edilmesidir. Depreme dayanıklı yapı tasarımının temel

ilkeleri ise ilgili yönetmelik ve standartlarla belirlenmiştir. Bu yönetmelik ve

standartlarda yapılması öngörülen bazı hesaplamalarda kullanılmak üzere (TS

500/2000’ deki stabilite indeksi hesabı, 1997 Deprem Yönetmeliği’ nde göreli kat

ötelenmelerinin sınırlandırılmasının kontrolü, doğal periyot hesabı vs.), yapıların

yanal ötelenmesi, bilinmesi gereken bir parametre olarak karşımıza çıkmaktadır. Bu

yüzden, uygulamacı mühendis; daha tasarım aşamasında, elemanların kesit boyutları

belli değilken yapının ötelenme hesabını birkaç kez yapmak zorunda kalır.

Günümüzde yapıların ötelenme hesabı genellikle bilgisayar programları ile

yapılmaktadır. Öyleyse, uygulamacı mühendisin çabuk ve gerçekçi bir çözüm

yöntemine ihtiyacı vardır. Böyle bir çözüm yönteminin ötelenme hesabı gerektiren

birçok işlemi de kolaylaştıracağı açıktır.

1997 Deprem Yönetmeliği’ nde önerilen eşdeğer deprem yükü yönteminde, toplam

eşdeğer deprem yükünün belirlenebilmesi için yapının doğal titreşim periyodunun

bilinmesi gerekir. Dolayısıyla deprem hesabında, yapının doğal titreşim periyodunun

doğru olarak belirlenmesi önem taşımaktadır. 1997 Deprem Yönetmeliği’ne göre;

birinci ve ikinci derece deprem bölgelerinde HN≤25 m şartını sağlayan binaların,

üçüncü ve dördüncü derece deprem bölgelerinde ise Eşdeğer Deprem Yükü

Yöntemi’nin uygulandığı tüm binaların birinci doğal titreşim periyodu, yaklaşık

formüller kullanılarak hesaplanabilir. Yukarıda verilen şartları sağlamayan veya daha

kesin hesap yapılması istenen binaların, doğal titreşim periyodu hesabı için önerilen

formülde ise, kat ötelenme değerleri bir parametre olarak karşımıza çıkmaktadır. O

halde daha tasarım aşamasında, doğal periyodun dolayısıyla deprem yükünün daha

gerçekçi olarak belirlenebilmesi için, yapının üç boyutlu ötelenme değerlerinin

bilinmesi gerekmektedir.

2

Ülkemizin ve daha birçok ülkenin deprem yönetmeliği, şiddetli depremler altında

yapının elastik kalamayacağı varsayımına göre hazırlanmıştır. Depreme dayanıklı

yapı tasarımında, elastik sınırlar ötesinde deformasyon olacağı varsayıldığından,

şiddetli depremlerde büyük yer değiştirmeler kaçınılmaz olacaktır. Yatay ötelenme

rijitliği küçük olan bir yapı, deprem etkisi altında büyük ötelenmeler yapar. Yatay

ötelenmenin büyük olması, ikinci mertebe momentlerinin oluşmasına yol açar. Kolon

uçlarındaki momentler, ikinci mertebe momentlerinin eklenmesi ile daha da büyür.

Buradan da anlaşılabileceği gibi, göreli kat ötelenmelerinin büyük olması, yapının

deprem davranışını olumsuz etkilemektedir. Göreli kat ötelenmelerinin büyük

olması, taşıyıcı olmayan elemanların da hasar görmesine yol açar. Bu hasarın

maliyeti taşıyıcı sistemin maliyetinden daha büyüktür. Hem yeterli rijitliği sağlamak

hem de ikinci mertebe etkilerinin oluşmasını önlemek amacıyla 1997 Deprem

Yönetmeliği, göreli kat ötelenmelerine sınırlanma getirmiştir. Dolayısıyla

ötelenmelerin sınırlandırılmasının kontrolünde göreli kat ötelenmesinin bilinmesi

gerekmektedir. Diğer taraftan, yapıların tasarımı aşamasında, narin kolon hesabı

yapılırken kolon uçlarının yanal ötelenmesinin önlenmiş olup olmadığının bilinmesi

önem kazanmaktadır. Bunun için, TS 500/2000 bir yaklaşım olarak, aşağıda verilen

şartlardan birinin sağlanması durumunda yanal ötelenmenin önlenmiş olduğunun

kabul edilebileceğini ifade etmektedir.

• Yapı sistemi içinde yatay kuvvetlere karşı yeterli rijitlik sağlayan perde duvar

veya benzeri elemanlar varsa,

• Doğrusal malzeme davranışı varsayımı ile yatay ve düşey yükler altında

yapılan ikinci mertebe yapısal çözümlemeden elde edilen kolon uç

momentlerinin, aynı varsayımlar ve yükler altında birinci mertebe

çözümlemesinden elde edilen kolon uç momentlerinden en çok %5 kadar

farklı olduğu durumlarda,

• İkinci mertebe çözümlemesi yapılmıyorsa, yapının herhangi bir katı için

taşıyıcı sistemin bütünü göz önünde tutularak hesaplanan stabilite indeksinin

%5 sınırını aşmadığı durumlarda,

3

o katta yeterli rijitlik bulunduğu ve yanal ötelenmenin önlenmiş olduğu varsayılabilir

(TS 500, 2000).

Ancak, TS 500/2000’ de hesaplanması istenen stabilite indeksinde, göreli kat

ötelenmesinin (∆i) bilinmesi gerekmektedir. Bunun anlamı ise, üç boyutlu yapının

yatay yükler altında ötelenme analizinin yapılması demektir. Göreli kat ötelenmesi

her bir kat için değişik olabilir. Bu durumda, i. katın kolonlarının tasarımı için (∆i)’

nin tekrar tekrar hesaplanması gerekir. Bunu yapabilmek için de, temelden çatıya

yapının ötelenme profilinin bilinmesi zorunludur.

Görüldüğü gibi yapının daha tasarım aşamasında kat ötelenmelerinin hesap edilmesi

gerekmektedir. Yapı sistemlerinin ötelenme hesabında genellikle paket bilgisayar

programları kullanılmaktadır. Bilgisayar programı bile olsa, daha avan proje

safhasında, üç boyutlu bir yapının bilgisayar modelini yapmak ve gerekli bilgisayar

girdilerini hazırlamak ta zaman alan bir işlemdir. Ayrıca, bu programların içeriği açık

olmadığı için çözümleme yöntem ve anlayışları kullanıcılar tarafından eksik ya da

yanlış anlaşılabilmektedir. Bu nedenle yapısal analizde kullanılan program ne kadar

mükemmel hazırlanırsa hazırlansın, kullanıcının hatalı veri girme veya hatalı

modelleme yapma olasılığı her zaman mevcuttur. Bu yüzden bilgisayar destekli yapı

tasarımından elde edilen her çözümün doğru olduğunu iddia etmek yanlıştır.

Dolayısıyla bilgisayar sonuçlarının da mutlaka yaklaşık yöntemler ile kontrol

edilmesi gerekir.

Öyle ise, üç boyutlu çerçeveli yapının matematik modeli yapılabilir ve herhangi bir

yatay yük altında oluşan ötelenme büyüklüklerini hesaplayabilecek bir yöntem

geliştirilebilirse, proje mühendisinin işinin ne kadar kolaylaşacağı açıktır. Böyle bir

yöntemin aşağıdaki şartları sağlaması gereklidir:

• Analitik yöntem sonuçları güvenilir olmalıdır; bilgisayar sonuçları ile uyum

göstermelidir.

• Yatay yüke maruz yapının genel davranışını yansıtmalıdır.

4

• Yapının ötelenmesini etkileyen parametreleri ve bu parametrelerin

ağırlıklarını açıkça içermelidir.

• Uygulaması kolay ve çabuk olmalıdır.

Böyle bir analitik yöntem ile, TS 500/2000 Stabilite İndeksinin hesaplanmasının yanı

sıra Türk Deprem Yönetmeliği’ nde verilen ötelenme kriterlerini sağlamak ve doğal

periyot hesabını yapmak son derece kolaylaşacaktır.

Ayrıca perde duvarlı-çerçeveli yapıların depremde tükettiği enerjinin belirlenmesinde

de analitik ilişkilerden yararlanılmaktadır. Bilindiği gibi, deprem yapıya bir enerji

yüklemesi yapar. Bu enerji elemanlarda oluşan plastik şekil değiştirmeler ile

tüketilmeye çalışılır. Can kaybı ve göçmenin olmaması için yapı enerji tüketimini

başarı ile gerçekleştirebilmelidir. Deprem enerjisinin başarı ile tüketildiğini

söyleyebilmek için, deplasman (ötelenme) sünekliğinin (4-5) arasında olması yeterli

şart olarak kabul edilmektedir (Atımtay, 2000). Ancak, yapıya ait deplasman

(ötelenme) sünekliğinin belirlenebilmesi için, taban kesme kuvveti-çatı deplasmanı

grafiğinin (kapasite eğrisinin) çizilmesi gerekir.

Günümüzde yapıya ait kapasite eğrisi ancak bilgisayar programları ile elde

edilebilmektedir. Henüz geliştirilmiş pratik ve uygulaması kolay bir yöntem mevcut

değildir. Üç boyutlu perde duvarlı-çerçeveli yapıların kapasite eğrisinin, basit ve

kolay uygulanabilir bir yöntemle çizilebilmesinin proje mühendisinin işini ne kadar

kolaylaştıracağı açıktır.

Bu çalışmada, çerçeveli ve perde duvarlı-çerçeveli yapıların ötelenme hesabı için

geliştirilmiş olan yöntemlerden yararlanarak, göreli kat ötelenmesi, stabilite indeksi

ve doğal periyot hesapları kolayca uygulanabilir bir ifadeye dönüştürülmüş ve

uygulamacı mühendisin işi oldukça kolaylaştırılmıştır. Ayrıca, perde duvarlı-

çerçeveli yapıların ötelenme hesabı için önerilen analitik ilişkilerden yararlanılarak,

kapasite eğrisinin çizilebileceği bir işlem prosedürü geliştirilmiştir.

5

1.1. Çalışmanın Kapsamı

Bu tez çalışması 4 bölümden oluşmaktadır. Bölümlerin içerikleri ile ilgili genel

bilgiler aşağıda özetlenmiştir.

Tezin 1. bölümünde; çalışmanın amacı ve kapsamı ile ilgili bilgiler verilmiştir.

Tezin 2. bölümünde; farklı yatay yüklere maruz çerçeveli ve perde duvarlı-çerçeveli

yapıların ötelenmesinin hesabı için analitik ilişkiler türetilmiştir. Yapıların

ötelenmesinin hesabı için geliştirilen denklemin birinci türevi kat yüksekliği boyunca

oluşan eğim (dönme), ikinci türevi ise temelden çatı katına kadar oluşan eğrilik

dağılımı denklemlerini verir. Yapıların ötelenme hesabı; önerilen analitik yöntem ve

SAP 2000 analiz programı yardımıyla yapılmıştır. Sonuçlar karşılaştırılarak analitik

yöntemin kullanılabilirliği araştırılmıştır. Bunun için yapılan çözüm kombinasyonları

Şekil 1.1’ de gösterilmiştir.

Şekil 1.1. Analitik denklemlerin geçerliliğinin araştırılması için yapılan çözümler

Yatay Yüke Maruz Yapıların Ötelenme Hesabı İçin Geliştirilen Analitik Denklemlerin Geçerliliğinin Kanıtlanması

Çerçeveli Yapılar

Perde Duvarlı-Çerçeveli Yapılar

Kolon Eksenel Deformasyonları

Dahil

İhmal

Kolon Eksenel Deformasyonları

Dahil

Üçgen Yayılı Yük

Düzgün Yayılı Yük

En Üstte Tekil Yük

20 katlı

15 katlı

10 katlı

5 katlı

6

Tezin 3. bölümünde; çerçeveli ve perde duvarlı-çerçeveli yapıların ötelenme hesabı

için geliştirilmiş olan analitik denklemlerin uygulanabileceği alanlar verilmiştir.

Bunlar aşağıda özetlenmiştir:

a.) TS 500/2000’ de stabilite indeksi ve 1997 Deprem Yönetmeliği’ nde birinci doğal

titreşim periyodu hesaplarının yapılabilmesi için yapının yanal ötelenmesinin

bilinmesi gerekir. Analitik denklemler yardımıyla, stabilite indeksi ve doğal periyot

hesapları yanal ötelenme ifadesinden kurtarılmış ve uygulanması oldukça basit bir

hale getirilmiştir.

b.) Farklı yanal yükleme durumları için, perde duvarlı-çerçeveli yapılarda, perde

üzerinde oluşan moment, kesme kuvveti ve yayılı yük dağılımı denklemleri

türetilmiştir. Bu denklemler yardımıyla, perdelerde moment kırılmasının kesme

kırılmasından önce oluşup oluşmadığının kontrol edilmesi kolaylaşmaktadır.

c.) Analitik ilişkilerden yararlanılarak, perde üzerinde oluşan moment sıfır noktasının

temelden yüksekliğinin hesaplanabileceği bir denklem türetilmiştir. Böylece,

perdenin tabanında oluşan maksimum moment değeri kolayca belirlenebilecektir.

d.) Yapıların ötelenme hesabı için geliştirilen yöntem yardımıyla, perde duvarlı-

çerçeveli yapıların kapasite eğrisinin elde edilebilmesi için izlenecek bir işlem

prosedürü oluşturulmuştur.

Tezin 4. bölümünde elde edilen sonuçlar maddeler halinde verilmiştir.

1.2. Kaynak Bilgisi

Murashev v.d. (1976), yatay yüke maruz çok katlı çerçeveli ve perde duvarlı-

çerçeveli binaların yanal ötelenme hesabı için genel diferensiyel denklemleri

türetmiştir. Bilyap (1979), bu genel diferensiyel denklemleri üçgen yayılı yük için

geliştirerek çeşitli bina modelleri üzerine uygulamıştır. Elde edilen bu genel

diferensiyel denklemler ile yapıda oluşan burulma etkileri dikkate alınamadığı için

7

Bilyap v.d. (1991) yaptıkları çalışmada, burulma etkilerini de dikkate alacak yeni

ifadeler türetmiştir. Tüken (2004), genel diferensiyel denklemlerden yararlanarak

farklı yatay yüklere maruz yapıların, ötelenme, dönme ve eğrilik denklemlerini elde

etmiş ve bu denklemlerin kolayca uygulanabilmesi için bilgisayar programı

geliştirmiştir.

Ertutar v.d. (1995) yaptıkları çalışmada, taşıyıcı sistemi çerçevelerden oluşan çok

katlı bir yapıda etki eden deprem kuvvetlerinin ve serbest titreşim durumunda birinci

moda ait periyodun hesabına ilişkin yaklaşık bir hesap şekli sunmuştur.

Gülay v.d. (2000), süneklik düzeyi yüksek perde tasarım momentinin hesabı ile ilgili

bir parametrik inceleme yaparak, yönetmelikte tanımlanan bu tasarım momenti

değerlerine bir alternatif öneri sunmuştur. Bu parametrik çalışmada, perde duvarlı-

çerçeveli 10, 16 ve 22 katlı burulma etkisi olmayan ve burulmalı betonarme yapı

sistemleri çözülerek, perde hesap ve tasarım eğilme moment diyagramları

karşılaştırmalı olarak verilmiştir. Ayrıca her iki moment diyagramı için söz konusu

perdenin betonarme hesapları yapılarak, gerekli donatı miktarları karşılaştırılmıştır.

Karacan (1999), betonarme yapıların ikinci mertebe limit yükleri ve göçme

güvenliklerini belirlemek amacıyla geliştirilen yük artımı yönteminden yararlanmak

suretiyle, çerçeveler ve boşluklu perdelerden oluşan çok katlı betonarme yapıların

lineer olmayan davranışlarını ve süneklik düzeylerini incelemiştir.

Yüksel (2000), sistemin süneklik kapasitesini, eleman-sistem sünekliği ilişkilerini ve

sistem sünekliğinin yapısal davranışa etkisini araştırmıştır. Seçilen model binalara ait

kapasite eğrileri IDARC 2D bilgisayar programı kullanarak elde edilmiştir. Yapılan

çalışmada, kapasite eğrileri kullanılarak sistem sünekliğinin belirlenmesi için gerekli

olan akma deplasmanı noktasında belirsizlik olduğundan bu noktanın

belirlenebilmesi için bir yöntem önerilmektedir.

Pakdamar (2001), yaptığı tez çalışmasında nonlineer statik analiz ile performans

metodunu anlatmış ve bunlarla ilgili bilgisayar uygulamalarına yer vermiştir.

8

2. MATERYAL VE METOT

Bu çalışmada; çerçeveli ve perde duvarlı-çerçeveli yapıların ötelenmelerinin hesabı

için mevcut diferensiyel denklemler türetilmiş ve seçilen model binalara ait elde

edilen ötelenme ve dönme sonuçları, SAP 2000 programı sonuçları ile

karşılaştırılmıştır.

SAP (Structural Analysis Program) ismi, 30 yıl öncesinden başlayarak SAP, SOLID

SAP, SAP IV, SAP 80, SAP 90 olarak sunulmuş ve analitik çözümler için tercih

edilen bir program olmuştur. SAP 2000 ile ekranda model üretme ve sonuçları alma

olanağı sağlamıştır. SAP 2000 programı, statik-dinamik analizleri lineer ve nonlineer

olarak yapabilen uluslararası bir sonlu eleman programıdır. Çelik ve betonarme yapı

modelinin üç boyutlu olarak hazırlanması, geliştirilmesi, analizi, boyutlandırılması

ve optimizasyonu Windows ortamında yapılabilir.

SAP 2000 ile taban izalatörleri, damperler, plastik mafsallar, prizmatik olmayan

çubuk (frame) elemanı, kabuk-plak (shell) elemanı, çarpık yapılar için çok sayıda

koordinat sistemleri, çok sayıda yeni ve farklı bağımlılık seçenekleri, ayrı olarak

tanımlanmış sonlu eleman modellerinin birleştirilmesi veya parçalanması gibi çok

sayıda modelleme olanakları sağlanmıştır. Analiz sonuçları, tablo ya da grafik olarak

elde edilebilir.

Bu çalışmada elemanlara ait moment-eğrilik grafikleri Response 2000 programı ile

elde edilmiştir. Response 2000 programı kesme kuvveti, moment ve eksenel yüke

maruz betonarme kesitlerin sünekliğinin ve mukavemetinin hesaplandığı kullanımı

kolay bir bilgisayar yazılımıdır. Bu program Toronto Üniversitesinde Evan Bentz

tarafından geliştirilmiştir. Response 2000 ile dairesel kolon ve değişken kesitli kiriş

tipleri de modellenebilmektedir. Elde edilen sonuçları grafik ortamda veren

Windows tabanlı bir bilgisayar programıdır. Response 2000 programı

http://www.ecf.utoronto.ca/~bentz/download.htm web sitesinden ücretsiz olarak

indirilebilir.

9

2.1. Çerçeveli Yapıya Ait Kayma Rijitliği İfadesinin Elde Edilmesi

Taşıyıcı sistemi çerçevelerden oluşan betonarme binalarda yatay yer değiştirme;

kolon ve kirişlerde meydana gelen eğilme sonucu ortaya çıkar. Çerçeveli binalarda

kayma kirişi davranışı (Şekil 2.1.a) gözlenirken, perdeli binalarda eğilme kirişi (Şekil

2.1.b) davranışı görülür.

(a)

(b)

(a) Kayma kirişi (b) Eğilme kirişi Şekil 2.1. Çerçeveli ve karma sistemli yapıların yer değiştirme şekilleri

Görüldüğü gibi, “kayma kirişi” ötelenme türünde (Şekil 2.1.a), deformasyon eğrisi

yükün uygulandığı yüzeye göre içbükey bir durum almakta ve kiriş rijitliği GA

10

olmaktadır. Oysa, bir “eğilme kirişi” nde deformasyon eğrisi yükün uygulandığı

düzeye dışbükey olacak ve kiriş rijitliği EI olacaktır (Şekil 2.1.b).

Çok katlı çerçeveli yapı “kayma kirişi” olarak modellenmek istenirse, GA ifadesinin

bilinmesi gerekmektedir. Burada, kayma rijitliği ifadesi GA’ nın elde edilebilmesi

için kuvvet (enerji) yönteminden yararlanılmıştır.

l1 l2

A

lc

lc

lc

lc

lc

lc

lc

lc

Şekil 2.2. Çok katlı çerçeve modeli

Şekil 2.2’ deki çok katlı çerçeveli bir yapının, A düğüm noktası moment sıfır

noktalarından kesilerek çıkarılırsa Şekil 2.3 elde edilir. Burada, moment sıfır

noktalarının (büküm noktasının) kolon ve kirişlerin tam ortasında oluştuğu kabul

edilmiştir. Bu durumda sistem 2. derece hiperstatik olarak elde edilir. Hiperstatik

bilinmeyen olarak B ve D düğümlerindeki düşey reaksiyonlar seçilirse (By ve Dy), Dy

birim yüklemesi altında elde edilen moment diyagramı dolayısıyla Dy’ ye karşılık

gelen hiperstatik bilinmeyen sıfır olacaktır. Bu durumda sadece By hiperstatik

bilinmeyenin çözülmesi yeterlidir.

11

lc/

2

l1/2

E

BIb1

D

A

Ic

Ib2C

Ic

Büküm noktası M=0



l2/2

lc/

2


Şekil 2.3. Çok katlı çerçeveli bir yapının düğüm noktası

Yatay yüklere maruz çok katlı çerçeveli bir yapının tipik bir kolon-kiriş düğüm

noktası A, Şekil 2.4’ te gösterilmiştir.

B

lc/

2

l1/2 E l2/2

D

Ib1 A

Ic

F

Ib2C

Ic

lc/

2

Şekil 2.4. Yatay yüke maruz çok katlı çerçeveli bir yapının düğüm noktası ötelenmesi

Şekil 2.4’ te görülen hiperstatik sistemin çözümü için, B mesnedinin düşey

reaksiyonu (By) kaldırılır (Şekil 2.5) ve sistem dış yük altında çözülerek Mo moment

diyagramı çizilir (Şekil 2.6).

12

B

E

A C

DF

l1/2 l2/2

lc/

2l

c/2

Dy

Cy

Ey

Ex

Şekil 2.5. Sistemin çözümü için By reaksiyonunun kaldırılması

∑ == FE0F xix

02

.C2

.F

2

.F0M 2

ycc

A =−+∑ =lll

2

cy

.F.2C

l

l= (2.1)

BA

E

Mo

C

D

l1/2 l2/2

lc/

2l

c/2

F.lc

(F.lc)/2

(F.lc)/2

Şekil 2.6. B mesnedi kaldırılan sistemin dış yük altındaki moment diyagramı

Kaldırılan By reaksiyonunun yerine X1=1 kN yüklemesi yapılır (Şekil 2.7) ve M1

moment diyagramı çizilir (Şekil 2.8).

13

X1=1 kN

B

E

A C

D

l1/2 l2/2

lc/

2l

c/2

Dy

Cy

Ey

Ex

Şekil 2.7. Kaldırılan By reaksiyonunun yerine yapılan X1=1 kN yüklemesi

0E0Fi xx =∑ =

02

.1

2

.C0M 12y

A =+∑ =ll

2

1yC

l

l= (2.2)

BA

E

l1/2

M1

C

D

l1/2l

c/2

lc/

2

l2/2l1/2

Şekil 2.8. By reaksiyonunun yerine X1=1 kN yükleme yapılan sistemin moment

diyagramı

Sisteme süreklilik denklemi (Denklem 2.3) uygulanırsa, By mesnet reaksiyonu

Denklem (2.4) olarak elde edilir.

14

0X. 11110 =δ+δ (2.3)

2b

21c1c

2

2b10

I.12

...F

2..F.

2.

3

1.

I

1.E

lllll

l−=−=δ

2b

22

1

1b

31211

2b

111

1b11

I.24

.

I.242.

2.

2.

3

1.

I

1.

2.

2.

2.

3

1.

I

1.E

lllllllll+==δ

+=

2b

22

1

1b

31

12b

21c

I.24

.

I.24.X

I.12

...F llllll

211b2

12b

1b2c1y

..I.I

I...F.2XB

lll

ll

+== (2.4)

By mesnet reaksiyonu (2.4), elde edildikten sonra diğer mesnet reaksiyonları da

bulunabilir (Şekil 2.9).

E

B A

DF

C

l1/2 l2/2

lc/

2l

c/2

Dy

Cy

Ey

Ex

By

Şekil 2.9. Sistemin mesnet reaksiyonları

FE0Fi xx =∑ =

02

.C

2

.F

2

.F

2

.B0M

2ycc1yA =+−−∑ =

llll (2.5)

15

Denklem (2.4) ile bulunan By mesnet reaksiyonu, Denklem (2.5)’ te yerine yazılır ve

Cy çekilirse Denklem (2.7) elde edilir.

( )0

2

.C

2

.F

2

.F

2.

.I.I.

I...F.2 2ycc1

21b12b1

1b2c =+−−+

llll

lll

ll (2.6)

12b21b

1bc

2

cy

.I.I

I..F.2.F.2C

ll

l

l

l

+−= (2.7)

( ) 2.

.I.I.

I...F.2

2.BM 1

21b12b1

1b2c1yAB

l

lll

lll

+==

( )21b12b

1b2cAB

.I.I

I...FM

ll

ll

+= (2.8)

2.

.I.I

I..F.2.F.2

2.CM 2

12b21b

1bc

2

c2yAC

l

ll

l

l

ll

+−==

12b21b

21bccAC

.I.I

.I..F.FM

ll

lll

+−= (2.9)

Böylece hiperstatik sistemin dış yükler altındaki sonuç moment diyagramı çizilebilir

(Şekil 2.10).

16

MAB

EM

B

D

A

MAC

C

l1/2 l2/2

lc/

2l

c/2

(F.lc)/2

(F.lc)/2

Şekil 2.10. Sistemin sonuç moment diyagramı

Kayma rijitliği ifadesini bulabilmek için, seçilen izostatik sisteme D noktasından

yatay 1 kN kuvvet uygulanır (Şekil 2.11) ve moment diyagramı çizilirse M elde

edilir (Şekil 2.12).

E

B A

D1 kN

C

l1/2 l2/2

lc/

2l

c/2

y

Ex

Ey

Cy

Şekil 2.11. D düğüm noktasına yatay X=1 kN yüklemesi

17

kN0,1E0Fi xx =∑ =

02

.C

2

.1

2

.10M

2yccA =−+∑ =

lll

2

cy .2C

l

l= (2.10)

B

E

lc/2

A

D

M

lc

Clc/2

l1/2 l2/2

lc/

2l

c/2

Şekil 2.12. D düğüm noktasına yatay X=1 kN yükleme yapılan sistemin moment diyagramı

Ötelenme değerini elde etmek için, Şekil 2.10 ve Şekil 2.12’den yararlanarak; (2.11)

ifadesi uygulanırsa, (2.12)’deki denklem elde edilir.

∫=∆ dsM.M.EI

1 (2.11)

2.

I

1.

3

1..M

2.

2

.F.

2.

I

1.

3

1

2.

2

.F.

2.

I

1.

3

1.E 2

2bcAC

ccc

c

ccc

cc

ll

llllll++=∆

2b

2cAC

c

3c

cI.6

..M

I.12

.F.E

lll+=∆ (2.12)

(2.9) ifadesi (2.12)’ de yerine yazılırsa; ötelenme denklemi, (2.13) olarak elde edilir.

18

2b

2c12b21b

21bcc

c

3c

cI.6

...I.I

.I..F.F

I.12

.F.E

llll

lll

l

+−

+=∆

( )12b21b2b

221b

2c

2b

22

c

c

3c

c.I.I.I.6

.I..F

I.6

..F

I.12

.F.E

ll

lllll

+−+=∆

( )

+−+=∆

12b21bc2b

221bc

c2b

c2

cc

3c

.I.I..I.6

.I.I.12

.I.6

I..121

I.E.12

.F

lll

l

l

ll (2.13)

(2.13) denkleminde parantez içerisinde bulunan ifade A olarak tanımlanırsa; (2.15)

ifadesi elde edilir.

( )

+−+=

12b21bc2b

221bc

c2b

c2

.I.I..I.6

.I.I.12

.I.6

I..121A

lll

l

l

l (2.14)

A.I.E.12

.F

cc

3cl=∆ (2.15)

(2.15)’ te verilen denklemden F çekilirse; (2.16) ifadesi bulunur.

A.

I.E.12F

3c

cc ∆=

l

(2.16)

∆=1 alınarak aşağıda hesaplanan (F) kuvvetinin değeri; bir kolonun, yapının toplam

ötelenme rijitliğine olan katkısını verir.

A

1.

I.E.12F

3c

cc

l

= (2.17)

(2.14)’ te verilen A ifadesi düzenlenirse; (2.18) ifadesi elde edilir.

19

( )

+−+=

12b21bc2b

221bc

c2b

c2

.I.I..I.6

.I.I.12

.I.6

I..121A

lll

l

l

l

( )( )

+

−++=

12b21bc2b

221bc12b21bc2

.I.I..I.6

.I.I.12.I.I.I..121A

lll

llll

( )

+

−++=

12b21bc2b

221bc

221bc12bc2

.I.I..I.6

.I.I.12.I.I.12.I.I..121A

lll

llll

( ) ( )12b21bc

21c

12b21bc2b

12bc2

.I.I.

..I.21

.I.I..I.6

.I.I..121A

lll

ll

lll

ll

++=

++=

( )

++=

++=

21

12b21bc

21

21c

12b21bc2b

12bc2

.

.I.I.

.

..I.2

1.I.I..I.6

.I.I..121A

ll

lll

ll

ll

lll

ll

+

+=

2

2b

1

1bc

c

II.

I.21A

lll

(2.18)

(2.18) ifadesi, (2.17)’ de yerine yazılırsa Denklem (2.19) elde edilir.

+

+

=

2

2b

1

1bc

c3

c

cc

II.

I.21

1.

I.E.12F

lll

l

(2.19)

Burada çerçeveli yapı sürekli bir kayma kirişi olarak modellenmiştir. Bu durumda, lc

uzunluğunda bir kolonun tüm yapı rijitliğine katkısı, sürekli hale dönüştürmek için

(F/lc) olarak ifade edilebilir (Murashev v.d., 1976).

20

c

FGA

l= (2.20)

+

+

=

2

2b

1

1bc

c3

c

cc

c

II.

I.21

1.

I.E.12F

lll

ll (2.21)

(2.22)

∑==

n

1ii)GA()yapı(GA (2.23)

n: Kat içerisinde kalan kolonların toplam sayısı

Bir yapının yatay bir kat düzlemi içinde çok sayıda kolonu vardır. Yapının toplam

kayma rijitliğini bulmak için, (2.22) denkleminin kat içerisindeki tüm kolonlara

uygulanarak toplanması gerekir.

Buradan, çerçeveli yapıların kayma rijitliği ifadesinin kolon ve kiriş redörlerine bağlı

bir parametre olduğu görülebilir. Bu çalışmada yapılan hesaplarda, kolonların ve

kirişlerin çatlamamış kesit (brüt) rijitlikleri kullanılmıştır. Kiriş atalet momentleri

için, etkili tabla genişliği hesaplanmadan dikdörtgen kiriş rijitliğinin 2 katı olarak

alınmıştır.

Ikiriş=12

h.b.

3

α α=2 (2.24)

Ikiriş : Kiriş atalet momenti

b : Kiriş eni

h : Kiriş yüksekliği

+

+

=

2

2b

1

1bc

c2

c

cc

II.

I.21

1.

I.E.12GA

lll

l

21

2.1.1. Çerçeveli Yapıların Kayma Rijitliğinin Belirlenmesi

Şekil 2.13’ te görülen 10 katlı çerçeveli yapının kayma rijitliği hesabını yapmak için

gerekli bina bilgileri Çizelge 2.1’ de verilmiştir. Hesaplamalar yapının zayıf yönü (y)

doğrultusunda yapılmıştır.

(a)

(b)

(a) Kat planı (b) Üç boyutlu görünüşü Şekil 2.13. Çerçeveli yapı modeli

10×5m=50 m

6×5m

=30

m

y

x

22

Çizelge 2.1. Çerçeveli yapıya ait eleman ve yük bilgileri

Kolonlar 50/50 Kirişler 25/45 hf 12cm hkat 3m gilave 2 kN/m2

qilave 3,5kN/m2

Yapıya Etkiyen Deprem Yükü Hesabı:

gdöş = 0,12 . 25 = 3 kN/m2

g = gdöş + gilave = 3 + 2 = 5 kN/m2

q = 3,5 kN/m2

wi = g + n . q = 5 + 0,3 . 3,5 = 6,05 kN/m2

wi : i. katın m2 ağırlığı

N : Kat adedi

A : Kat alanı

Wbina= wi . N . A

Wbina=6,05 . 10 . (50 . 30) = 90750 kN

0,15,2.1.4,0)T(S.I.A)T(A)T(R

)T(A.WV o

at ==== olarak alınsın.

kN343118

1.75090Vt ==

Çerçeveli yapıya üçgen yayılı yük etkimesi durumunda; yükün en üstteki değeri,

aşağıdaki gibi hesap edilebilir.

2

H.pVt =

m/kN75630

34311.2

H

V.2p t ===

23

Kolon ve kirişe ait kesit atalet momentleri aşağıdaki gibi hesap edilebilir. Bunun için

tablalı kirişin atalet momenti, dikdörtgen kiriş atalet momentinin yaklaşık 2 katı

olarak alınabilir.

43

c m005208,012

5,0.5,0I ==

43

b m003797,012

45,0.25,0.2I ==

Kenar Kolonlara Ait Kayma Rijitliği Hesabı:

GA=

+

+

2

2b

1

1bc

c2

c

cc

II.

I.21

1.

I.E.12

lll

l

GA1=

+

5

003797,0.3

005208,0.21

1.

3

005208,0.00050028.122

GA1=35 517 kN Orta Kolonlara Ait Kayma Rijitliği Hesabı:

GA=

+

+

2

2b

1

1bc

c2

c

cc

II.

I.21

1.

I.E.12

lll

l

GA2=

+

+

5

003797,0

5

003797,0.3

005208,0.21

1.

3

005208,0.00050028.122

GA2=60 226 kN

24

Yapıya Ait Toplam Kayma Rijitliği Hesabı:

Yapıya ait toplam kayma rijitliği için, kat planı içerisindeki tüm kolonların kayma

rijitliği değerleri toplanır.

(GA)y yapı= kN7970934GA.55GA.22 21 =+

(GA)x yapı= kN4762914GA.63GA.14 21 =+

2.1.2. Kolon Yüksekliği Farklı Olan Yapılarda Kat Kesme Kuvvetinin

Kolonlara Dağıtılması

Deprem yüklerinin, yapılara genellikle yatay olarak döşeme seviyesinde etkidiği

kabul edilir. Deprem yükü, yapıya intikal ettiği zaman döşeme içerisinden geçerek

kolonlara rijitlikleri oranında aktarılır. Burada deprem yükünün, kolonlara GA

kayma rijitlikleri oranında dağıtılmasının ne kadar gerçekçi olacağı araştırılmıştır.

Bunun için Şekil 2.14’ te verilen ve değişik kat yükseklikleri bulunan yamaçtaki bir

bina model olarak seçilmiştir. Hesap edilen kat kesme kuvvetleri, kolonlara Muto,

Smith ve GA Kayma Rijitliği yöntemleri ile dağıtılmış, elde edilen sonuçlar SAP

2000 analiz programı sonuçları ile karşılaştırılmıştır. Kısa kolon problemi

çözümünde, Muto, Smith ve GA Kayma Rijitliği yöntemleri ile hesaplanan kolon

rijitlikleri; ( )2cc '/ ll ifadesi ile çarpılarak düzeltilmeli ve bu düzeltilmiş değerlerle

işleme devam edilmelidir.

lc : i. katta bulunan kolonların en büyük yüksekliği

l′c : i. katta hesap yapılan kısa kolonun yüksekliği

Şekil 2.14.a’ da planı verilen yapının; 1 aksı üzerinde bulunan kolonların

yükseklikleri 2 m, 2 aksı üzerindeki kolonların yükseklikleri 3 m ve 3 aksı üzerindeki

kolonların yükseklikleri 4 m’ dir. Binaya ait bilgiler Çizelge 2.1’ de verilen

değerlerle aynı alınmıştır.

25

(a)

(b)

(c)

(a) Plan (b) Kesit (c) Üç boyutlu görünüş

Şekil 2.14. Kolon yükseklikleri farklı olan yapı modeli

K2 K1 S3 S2 S1

E

y

x

4 m 5 m

2×5m

=10

m

1 2 3

1 2 3

A

B

C

A

B

C

26

Bu bilgilere göre; yapının taban kesme kuvveti,

W=545 kN 0,15,2.1.4,0)T(S.I.A)T(A)T(R

)T(A.WV o

at ====

kN688

1.545Vt ==

olarak bulunur.

Kolon ve kirişe ait kesit atalet momentleri aşağıdaki gibi hesap edilebilir.

43

c m005208,012

5,0.5,0I ==

43

b m003797,012

45,0.25,0.2I ==

I-Muto Yöntemi

Kolon Redörlerinin Hesabı:

34

c

cx1Sc m10.04,26

2

005208,0I)k( −===

l

34

c

cx2Sc m10.36,17

3

005208,0I)k( −===

l

34

c

cx3Sc m10.02,13

4

005208,0I)k( −===

l

Kiriş Redörlerinin Hesabı:

34

b

bx1Kb m10.4925,9

4

003797,0I)k( −===

l

34

b

bx2Kb m10.594,7

5

003797,0I)k( −===

l

27

k Değerlerinin Hesabı:

3645,010.04,26

10.4925,9

k

kkk

4

4

c

211S ==

+=

−

−

9842,010.36,17

10.594,710.4925,9

k

kkk

4

44

c

212S =

+=

+=

−

−−

58326,010.02,13

10.594,7

k

kkk

4

4

c

213S ==

+=

−

−

a Değerlerinin Hesabı:

3656,03645,02

3645,05,0

k2

k5,0a

1S =+

+=

+

+=

46248,12

4.3656,0

'.a'a

22

c

c1S =

=

=

l

l

49736,09842,02

9842,05,0

k2

k5,0a

2S =+

+=

+

+=

8842,03

4.49736,0

'.a'a

22

c

c2S =

=

=

l

l

41934,058326,02

58326,05,0

k2

k5,0a

3S =+

+=

+

+=

D Rijitlik Değerlerinin Hesabı:

( ) 34c1S1S 10.8083,310.04,26.46248,1k.'a'D −− ===

( ) 34c2S2S 10.535,110.36,17.8842,0k.'a'D −− ===

( ) 34c3S3S 10.54598,010.02,13.41934,0k.aD −− ===

Yapının Toplam Rijitliğinin Hesabı:

( )∑ ++=3S2S1S D'D'D.3D

( ) 33 10.67,1710.54598,0535,18083,3.3D −− =∑ ++=

28

Kolonlara Kesme Kuvvetinin Dağıtılması:

kN66,1410.67,17

10.8083,3.68

D

'D.VV

3

31S

t1S ==∑

=−

−

kN907,510.67,17

10.535,1.68

D

'D.VV

3

32S

t2S ==∑

=−

−

kN1,210.67,17

10.54598,0.68

D

'D.VV

3

33S

t3S ==∑

=−

−

II-Smith Yöntemi

Düğüm Noktası Rijitliklerinin Hesabı:

∑

∑

=

elemanlartüm

b

b

c

cx I

I

.I

v

l

l

l

( ) 34

1Sx m10.9566,6

4

003797,0

2

005208,04

003797,0

.2

005208,0v −=

+

=

( ) ( ) 342

4

2

c

c

1Sx1Sx m10.8264,272

4.10.9566,6

'.v'v −− =

=

=

l

l

( ) 34

2Sx m10.611,8

5

003797,0

4

003797,0

3

005208,05

003797,0

4

003797,0

.3

005208,0v −=

++

+

=

( ) ( ) 342

4

2

c

c

2Sx2Sx m10.308,153

4.10.611,8

'.v'v −− =

=

=

l

l

( ) 34

3Sx m10.7964,4

5

003797,0

4

005208,05

003797,0

.4

005208,0v −=

+

=

29

Yapının Toplam Rijitliğinin Hesabı:

( ) 344x m10.7924,14310.7964,4308,158264,27.3v −− =++=∑


( )kN16,13

10.7924,143

10.8264,27.68

v

'v.VV

4

4

x

1Sx

t1S ==∑

=−

−

( )kN24,7

10.7924,143

10.308,15.68

v

'v.VV

3

4

x

2Sx

t2S ==∑

=−

−

( )kN27,2

10.7924,143

10.7964,4.68

v

v.VV

3

4

x

3Sx

t3S ==∑

=−

−

III-GA Kayma Rijitliği Yöntemi

Kolonlara Ait Kayma Rijitliklerinin Hesabı: S1 Kolonu:

GA1=

+

4

003797,0.2

005208,0.21

1.

2

005208,0.00050028.122

=68 647 kN

='GA1 GA1 .

2

c

c

'

l

l=68 647 . kN588274

2

42

=

S2 Kolonu:

GA2=

+

+

5

003797,0

4

003797,0.3

005208,0.21

1.

3

005208,0.00050028.122

=65 271 kN

='GA2 GA2 .2

c

c

'

l

l=65 271 . kN037116

3

42

=

30

S3 Kolonu:

GA3=

+

5

003797,0.4

005208,0.21

1.

4

005208,0.00050028.122

GA3=25 134 kN

Yapının Toplam Kayma Rijitliğinin Hesabı:

Yapıya ait toplam kayma rijitliği için, kat planı içerisindeki tüm kolonların kayma

rijitliği değerleri toplanır.

ΣGA=(GA)x yapı= ( ) kN2772471GA'GA'GA.3 321 =++


kN97,142772471

588274.68

GA

'GA.VV 1

t1S ==∑

=

kN33,62772471

037116.68

GA

'GA.VV 2

t2S ==∑

=

kN37,12772471

25134.68

GA

GA.VV 3

t3S ==∑

=

Çizelge 2.2’ deki sonuçlar incelendiğinde GA kayma rijitliği yönteminin; Muto,

Smith ve SAP 2000 programı ile yakın sonuçlar verdiği görülebilir. GA kayma

rijitliği yöntemi, kısa kolon problemleri için bile oldukça iyi sonuçlar vermektedir.

Çizelge 2.2. Kolon yüksekliği farklı olan yapıda kat kesme kuvvetinin kolonlara dağıtılması

Kesme Kuvveti (kN) Kolon

MUTO SMITH GA SAP 2000

S1 14,66 13,16 14,97 13,71

S2 5,907 7,24 6,33 6,7

S3 2,1 2,27 1,37 2,25

31

2.2. Yatay Yüke Maruz Yapıların Ötelenme Hesabı İçin Analitik Denklemlerin

Türetilmesi

2.2.1. Yatay Yüke Maruz Çerçeveli Yapıların Ötelenme Hesabı İçin Analitik

Denklemlerin Türetilmesi

2.2.1.1. Çerçeveli Yapılarda Kolon Eksenel Deformasyonlarını Dikkate

Almadan Analitik Denklemlerin Türetilmesi

Şekil 2.15’ te verilen sisteme ait iki kat arasında oluşan göreli ötelenme, (2.25)

ifadesi ile bulunabilir (Murashev v.d., 1976).

1 2 3

F=1

k katı

j katı

δ

Şekil 2.15. F=1 ton yatay yük altında ardışık katlar arasında oluşan yatay ötelenme

∑

+

+

=δ=

n

1i

2

2b

1

1bc

c3

c

cc

II.

I.21

1I.E.12

1

lll

l

(2.25)

δ : Göreli kat ötelenmesi

Ec : Betonun elastisite modülü

Ic : Kolon atalet momenti

32

lc : Kolon boyu

Ib1, Ib2 : Kiriş atalet momentleri

l1, l2 : Kiriş açıklıkları

Bütün katların (Fi) yüklerine maruz olması durumunda göreli ötelenme (∆i) olacaktır.

oii V.δ=∆ (2.26)

oiV : (i) katında yüklerin oluşturduğu toplam kesme kuvveti

Herhangi bir (k) katının yatay ötelenmesi, (k) katına kadar oluşan göreli

ötelenmelerin toplamıdır.

∑δ∑ =∆===

k

1ioi

k

1ii V.y (2.27)

Çerçeveli yapının bir kayma kirişi oluşturacak şekilde sürekli olması ve yatay yükün

yapı yüksekliğince sürekli bir şekilde uygulanması durumunda, (2.27) denklemindeki

toplama işlemi integrasyona dönüştürülebilir.

∫δ

= x0 o

cdx)x(Vy

l

∫∑

=

=

x0 o3

1ii

dx)x(V)GA(

1y (2.28)

∫=x0 o

yapı

dx)x(V)GA(

1y

33

f (x) f (x)

lc

l1 l2l

cl

cl

cl

cl

cl

cl

c

GA

(a) (b)

(a) Çok katlı çerçeve (b) Kayma kirişi modeli

Şekil 2.16. Çok katlı çerçevenin kayma kirişi olarak modellenmesi

Şekil 2.16’ da gösterilen kayma kirişinin diferensiyel denklemi, ötelenme ifadesinin

türevi alınarak bulunabilir.

)x(f)''y(GA

)x(VGA

1'y

dx)x(VGA

1y

GA)GA(

o

x0 o

yapı

−=

=

∫=

=

(2.29)

Diferensiyel denklemin çözümü aşağıda gösterilmiştir (Murashev v.d., 1976).

( ))0(M)x(MGA

1y

dx)x(VGA

1y

oo

x0 o

−−=

∫=

34

GA

)x(M)0(My oo −

= (2.30)

)0(Mo : Çerçeve tabanında (x=0) dış yükün oluşturduğu moment

)x(Mo : Kayma kirişinin herhangi bir kesitinde dış yükün oluşturduğu moment

(2.30) denklemi kullanılarak kayma kirişi olarak modellenen, süreklilik gösteren,

yatay yüke maruz ve kat yükseklikleri eşit (sabit GA), çok katlı çerçeveli bir yapının

yatay ötelenme profili kolayca bulunabilir. Dikkat edilirse, kayma kirişi rijitliğinin

çerçeve yüksekliğince sabit kaldığı kabul edilmiştir. Başka bir deyişle, kat planı ve

kat yükseklikleri değişmemektedir.

Ötelenme ifadesinin birinci türevi alındığında, kat yüksekliği boyunca oluşan eğim

(dönme), ikinci türevi alındığında ise temelden çatıya kadar oluşan eğrilik dağılımı

denklemleri elde edilebilir. Aslında yapıda oluşan eğrilik dağılımı, çerçeveli

yapılarda çokta önemli bir parametre olmamasına karşın, perde duvarlı-çerçeveli

yapılarda önem kazanmaktadır. Bu konu ile ilgili gerekli bilgilerden ilerideki

bölümlerde bahsedilecektir.

2.2.1.1.1. Düzgün Yayılı Yatay Yük Altındaki Çerçeveli Yapılarda Kolon

Eksenel Deformasyonlarını Dikkate Almadan Analitik Denklemlerin

Türetilmesi

Şekil 2.17’ de gösterilen çerçeveli yapı f(x)=p şiddetinde düzgün yayılı yatay yüke

maruz ise, yatay ötelenme profili (2.31) denklemi ile elde edilebilir.

2

H.p)0(M

2

o =

( )( )

H

xkk1.

2

H.p

H

xH.

2

H.p

2

xH.p)x(M 2

2222

o =−=

−=

−=

35

y

x

x

GA

H-x

f (x)=p

Şekil 2.17. Düzgün yayılı yatay yüke maruz çerçeveli yapı

GA

)x(M)0(My oo −

=

( )

−−=

222

k1.2

H.p

2

H.p.

GA

1y

( )( ) ( )( )22

22

kk.211.GA.2

H.pk11.

GA.2

H.py +−−=−−=

( )22

kk.211.GA.2

H.py −+−=

( )22

kk2.GA.2

H.py −= (2.31)

Ötelenmenin birinci türevi alınırsa kat yüksekliğince oluşan yanal ötelenmenin eğimi

bulunmuş olur.

( )GA

xH.p'y

−= (2.32)

Ötelenmenin ikinci türevi alınarak oluşan eğrilik dağılımı elde edilebilir.

36

GA

p''y −= (2.33)

2.2.1.1.2. Üçgen Yayılı Yatay Yük Altındaki Çerçeveli Yapılarda Kolon Eksenel

Deformasyonlarını Dikkate Almadan Analitik Denklemlerin Türetilmesi

Şekil 2.18’ de gösterilen çerçeveli yapıya ait kayma kirişi modeli üçgen yayılı yatay

yüke maruz kalırsa yatay ötelenme profili (2.34) denklemi ile elde edilebilir.

p(x/H)

x

y

x

GA

H-x

M(x)

p p

Şekil 2.18. Üçgen yayılı yatay yüke maruz çerçeveli yapı

3

H.p

3

H.2.

2

H.p)0(M

2

o ==

( )( )

−−

−+

−−=

3

xH.2.

2

xH.

H

x.pp

2

xH.xH.

H

x.p)x(Mo

( ) ( )3

xH.

H

x1.pxH.

H.2

x.p)x(M

22

o

−

−+−=

( ) ( )3

xx.H.2H.

H

x1.pxx.H.2H.

H.2

x.p)x(M

2222

o

+−

−++−=

( )3

xx.H.2H.

H

x.pp

H.2

x.pH.2.x.pH.x.p)x(M

22322

o

+−

−+

+−=

37

( )

H.3

x.px.H.p.2H.x.p

3

x.px.H.p.2H.p

H.2

x.pH.2.x.pH.x.p)x(M

322

22322

o

+−−

+−+

+−=

( ) ( )

H.6

x.p.2x.H.p.4H.x.p.2H.6

x.p.H.2x.H.p.4H.p.2

H.6

x.p.3x.H.p.6H.x.p.3)x(M

322

223322

o

+−−

+−+

+−=

H.6

H.p.2x.pH.x.p.3)x(M

332

o

++−=

H

xk

H

H.2

H

x

H

x.3

6

H.p)x(M

3

32

o =

++

−=

( )2k3k6

H.p)x(M 3

2

o +×−=

GA

)x(M)0(My oo −

=

( )

+−−= 2k.3k

6

H.p

3

H.p.

GA

1y 3

22

( )

+−−= 2k.3k

6

H.p

6

H.p.2.

GA

1y 3

22

+−−=

3

2k.3k

3

2.

GA.2

H.py

32

H

xk

3

kk.

GA.2

H.py

32

=

−= (2.34)

Ötelenmenin birinci türevi alınırsa kat yüksekliği boyunca oluşan ötelenmenin eğimi

bulunmuş olur.

−=

3

22

H

x

H

1.

GA.2

H.p'y

38

−=

H

xH.

GA.2

p'y

2

(2.35)

Ötelenmenin ikinci türevi alınarak oluşan eğrilik dağılımı elde edilebilir.

−=

H

x.2.

GA.2

p''y

GA.H

x.p''y −= (2.36)

2.2.1.1.3. En Üstte Tekil Yatay Yüke Maruz Çerçeveli Yapılarda Kolon Eksenel

Deformasyonlarını Dikkate Almadan Analitik Denklemlerin Türetilmesi

Şekil 2.19’ da gösterilen çerçeveli yapının kayma kirişi modeli en üst noktasında

bireysel tekil yüke maruz kalırsa yatay ötelenme profili (2.37) denklemi ile elde

edilebilir.

y

x

x

H-xGA

M(x)

FF

Şekil 2.19. En tepede tekil yatay yüke maruz çerçeveli yapı

HF)0(Mo ×=

( )xH.F)x(Mo −=

39

( ) x.FH.FxH.F)x(Mo −=−=

GA

)x(M)0(My oo −

=

( )( )x.FH.FH.F.GA

1y −−=

x.F.GA

1y =

H

xkk.

GA

H.Fy == (2.37)

Ötelenmenin birinci türevi alınırsa kat yüksekliği boyunca oluşan ötelenmenin eğimi

bulunmuş olur.

H

1.

GA

H.F'y =

GA

F'y = (2.38)

Ötelenmenin ikinci türevi alınarak oluşan eğrilik dağılımı aşağıdaki gibi elde

edilebilir.

0''y = (2.39)

2.2.1.1.4. Herhangi Bir Seviyede Tekil Yatay Yüke Maruz Çerçeveli Yapılarda

Kolon Eksenel Deformasyonlarını Dikkate Almadan Analitik Denklemlerin

Türetilmesi

Şekil 2.20’ de gösterilen çerçeveli yapının kayma kirişi modeli; herhangi bir

seviyesinde bireysel tekil yüke maruz kalırsa yatay ötelenme profili iki ayrı durum

için hesap edilir.

1. Durum: x≤Hx olması durumu için Şekil 2.20’deki çerçeveli yapının ötelenme

denklemi (2.40) olarak elde edilir.

40

y

GA

x

Hx

FH

x

Şekil 2.20. Herhangi bir seviyedeki tekil yatay yüke maruz çerçeveli yapı

(x≤Hx olması durumu)

( ) x.FH.FxH.F)x(M xxo −=−=

xo H.F)0(M =

GA

)x(M)0(My oo −

=

( )( )x.FH.FH.F.GA

1y xx −−=

x.F.GA

1y = (2.40)

2. Durum: x>Hx olması durumu için Şekil 2.21’deki çerçeveli yapının ötelenme

denklemi (2.41) uygulanarak elde edilir.

( )xxHxHx Hx.yy −θ+= (2.41)

yx : x yüksekliğindeki yanal ötelenme

xHy : Bireysel yükün uygulandığı seviyedeki (x=Hx) ötelenme

xHθ : Bireysel yükün uygulandığı seviyedeki (x=Hx) dönme

41

y

x

xHx

GA

FH

Şekil 2.21. Herhangi bir seviyedeki tekil yüke maruz çerçeveli yapı

(x>Hx olması durumu)

x=Hx olması durumundaki ötelenme; x≤Hx için bulunan (2.40) denkleminde x yerine

Hx yazılarak elde edilir.

GA

H.F

GA

x.Fy x

xH == (2.42)

GA

F'y

xH ==θ (2.43)

(2.42) ve (2.43) denklemleri (2.41)’ de yerine yazılır ve düzenlenirse, x>Hx olması

durumunda uygulanacak olan ötelenme denklemi (2.44) olarak elde edilir.

( )xxHxHx Hx.yy −θ+=

( )xx

x Hx.GA

F

GA

H.Fy −+=

GA

H.F

GA

x.F

GA

H.Fy xx

x −+=

GA

x.Fyx = (2.44)

42

2.2.1.2. Çerçeveli Yapılarda Kolon Eksenel Deformasyonlarını Dikkate Alarak

Analitik Denklemlerin Türetilmesi

Yatay yüklere maruz çok katlı bir yapının yüksekliği arttıkça ve kayma rijitliği ile

eğilme rijitliğinin belli bir oranından sonra, kolonların eksenel deformasyonlarından

doğan ek yanal ötelenmeler önem kazanmaya başlar. Şekil 2.22’ de çerçevenin en dış

kolonlarının dikkate alınmasıyla oluşan birim eğrilik (φ) durumu gösterilmiştir.

ε sol kolon

ε sağ kolon

φ

l1

F

Şekil 2.22. Kolon eksenel deformasyonlarından oluşan birim eğrilik

o

o

K

)x(M1=

ρ=φ (2.45)

Ko : Çerçevenin yatay düzlemde eğilme rijitliği

φ : Birim eğrilik

ρ : Eğrilik yarıçapı

Mo(x) : x yüksekliğinde dış kuvvetler altında oluşan eğilme momenti

43

ba b-a

Α1 Α2

Kolonların kesitleri ağırlık merkezi

Şekil 2.23. Dış kolon alanlarının oluşturduğu eğilme momenti

2

121

2

A

A1

b

AA

b.Aa

+

=+

= (2.46)

A1 ve A2 : En dıştaki kolonların en kesit alanları toplamı

b : En dıştaki kolonların merkezleri arasındaki uzaklık

( )22

21 ab.Aa.AI −+= (2.47)

2

2

12

2

2

11

A

A1

bb.A

A

A1

b.AI

+

−+

+

= (2.48)

(2.48) denklemi düzenlenirse, (2.49) elde edilir.

+

=

2

1

21

A

A1

1.b.AI (2.49)

+

==

2

1

21cco

A

A1

1.b.A.EI.EK (2.50)

44

Simetrik bir çerçevede A1=A2 olacağından, Ko ilişkisi basitleşir.

2

b.A.EK

2c

o = (2.51)

Çerçeveli yapılara ait kolon eksenel deformasyonlarını da dikkate alan diferensiyel

denklem (2.52)’ de verilmiştir (Murashev v.d., 1976).

)x(fK

)x(M''y.GA

o

o −=

+ (2.52)

(2.52) denkleminin iki kez integrali alınırsa ötelenme denklemi (2.53) elde edilir

(Murashev v.d., 1976).

o

x

0

2o

oo

K

dx)x(M

GA

)x(M)0(My

∫ ∫+

−= (2.53)

(2.53)’ te verilen ilişkiden de görülebileceği gibi, kolon eksenel deformasyonları,

çerçeve yanal ötelenmesinin o

x

0o

K

dx)x(M∫ ∫

kadar artmasına neden olmaktadır.

2.2.1.2.1. Düzgün Yayılı Yatay Yük Altındaki Çerçeveli Yapılarda Kolon

Eksenel Deformasyonlarını Dikkate Alarak Analitik Denklemlerin Türetilmesi

Düzgün yayılı yük altındaki çerçeveli yapılarda kolon eksenel deformasyonlarını da

dikkate alan yanal ötelenme denklemi (2.54)’ te verilmiştir.

o

x

0

2o

oo

K

dx)x(M

GA

)x(M)0(My

∫ ∫

+−

=

45

( )

+−=−=

2

222

2

oH

x

H

x.21.

2

H.pk1.

2

H.p)x(M

( )

+−+−=

2

432

o

22

2

H.12

x

H.3

x

2

x.

K.2

H.pkk.2.

GA.2

H.py

( )H

xk

H.12

x

H.3

x

H.2

x.

K.2

H.pkk.2.

GA.2

H.py

4

4

3

3

2

2

o

42

2

=

+−+−=

( )H

xk

12

k

3

k

2

k.

K.2

H.pkk.2.

GA.2

H.py

432

o

42

2

=

+−+−=

+−+−×=

12

k

3

k

2

k.

K

H.GAkk.2

GA.2

H.py

432

o

22

2

oK

GA.H=λ

+−λ+−×=

12

k

3

k

2

k.kk.2

GA.2

H.py

43222

2

( )

+−

λ+−= 432

22

2

kk.4k.6.12

kk.2.GA.2

H.py (2.54)

Ötelenmenin birinci türevi alınırsa; dönme denklemi (2.55)’ deki gibi elde edilir.

+−

λ+−=

4

3

3

2

2

2

2

2

H

x.4

H

x.12

H

x.12.

12H

x.2

H

2.

GA.2

H.p'y (2.55)

Ötelenmenin ikinci türevi alınırsa; eğrilik denklemi,

+−

λ+−=

4

2

32

2

2

2

H

x.12

H

x.24

H

12.

12H

2.

GA.2

H.p''y (2.56)

olarak elde edilir.

46

2.2.1.2.2. Üçgen Yayılı Yatay Yük Altındaki Çerçeveli Yapılarda Kolon Eksenel

Deformasyonlarını Dikkate Alarak Analitik Denklemlerin Türetilmesi

Üçgen yayılı yük altındaki çerçeveli yapılarda kolon eksenel deformasyonlarını da

dikkate alan yanal ötelenme denklemi (2.57)’ de verilmiştir.

o

x

0

2o

oo

K

dx)x(M

GA

)x(M)0(My

∫ ∫

+−

=

( )2k.3k6

H.p)x(M 3

2

o +−=

23

3

o

2x

0

2

o

ox

0

dx2H

x.3

H

x.

K.6

H.pdx

K

)x(M

+−∫ ∫=∫ ∫

+−=∫ ∫

23

3

5

o

22

o

ox

0

xH.2

x

H.20

x.

K.6

H.pdx

K

)x(M

+−+

−= 2

3

3

5

o

232

xH.2

x

H.20

x.

K.6

H.p

3

kk.

GA.2

H.py

+−+−=

2

2

3

3

5

5

o

232

H

x

H.2

x

H.20

x.

K.3

H.GA

3

kk.

GA.2

H.py

H

xk

K

GA.H

o

==λ

+−

λ+−= 2

35232

k2

k

20

k.

33

kk.

GA.2

H.py

( )

+−

λ+−= 235

232

k.20k.10k.603

kk.

GA.2

H.py (2.57)


+−

λ+−=

23

2

5

42

3

22

H

x.40

H

x.30

H

x.5.

60H

x

H

1.

GA.2

H.p'y (2.58)

47


+−

λ+−=

235

32

3

2

H

40

H

x.60

H

x.20.

60H

x.2.

GA.2

H.p''y (2.59)

olarak elde edilir.


Deformasyonlarını Dikkate Alarak Analitik Denklemlerin Türetilmesi

En üstte tekil yatay yüke maruz çerçeveli yapılarda kolon eksenel deformasyonlarını

da dikkate alan yanal ötelenme denklemi (2.60)’ ta verilmiştir.

( ) x.FH.FxH.F)x(Mo −=−=

−=

−∫ ∫=∫ ∫

6

x.F

2

x.H.F.

K

1dx

K

x.FH.Fdx

K

)x(M 32

o

2

o

x

0

2

o

ox

0

o

x

0

2o

oo

K

dx)x(M

GA

)x(M)0(My

∫ ∫

+−

=

−+=

6

x.F

2

x.H.F.

K

1

H

x.

GA

H.Fy

32

o

−+=

3

3

2

2

o

3

H.6

x

H.2

x.

K

H.F

H

x.

GA

H.Fy

H

xk =

−+=

6

k

2

k.

K

H.Fk.

GA

H.Fy

32

o

3

(2.60)


48

−+=

3

2

2o

3

H.2

x

H

x.

K

H.F

GA

F'y (2.61)


−=

32o

3

H

x

H

1.

K

H.F''y (2.62)

olarak elde edilir.

2.2.1.2.4. Herhangi Bir Seviyede Tekil Yatay Yüke Maruz Çerçeveli Yapılarda

Kolon Eksenel Deformasyonlarını Dikkate Alarak Analitik Denklemlerin

Türetilmesi

Herhangi bir seviyede bireysel tekil yüke maruz çerçeveli yapının ötelenme profili

aşağıdaki gibi iki ayrı durum için hesap edilir.

1. Durum: x≤≤≤≤Hx

( )xH.F)x(M xo −=

xo H.F)0(M =

o

x

0

2o

oo

K

dx)x(M

GA

)x(M)0(My

∫ ∫

+−

=

2

x.Fx.H.F)x(M

2

xo −=∫

6

x.F

2

x.H.F)x(M

32x

o −=∫ ∫

−+=

6

x.F

2

x.H.F.

K

1

H

x.

GA

H.Fy

32x

o

49

o

3

o

2x

K.6

x.F

K.2

x.H.F

GA

x.Fy −+= (2.63)

o

2

o

x

K.2

x.F

K

x.H.F

GA

F'y −+= (2.64)

2. Durum: x>Hx

Öncelikle kuvvetin etkime seviyesindeki (x=Hx), ötelenme ve dönme değerleri

hesaplanır. Bu değere ( )xxH Hx. −θ ifadesi ilave edilir. x=Hx olması durumundaki

ötelenme ve dönme değerleri; (2.63) ve (2.64) denklemlerinde x yerine Hx yazılarak

elde edilir. Sonuç olarak x>Hx olması durumunda ötelenme denklemi (2.67) olarak

bulunur.


o

3x

o

3xx

xHK.6

H.F

K.2

H.F

GA

H.Fy −+=

o

3xx

xHK.3

H.F

GA

H.Fy += (2.65)

o

2x

o

2x

xHxHK.2

H.F

K

H.F

GA

F'y −+==θ

o

2x

xHxHK.2

H.F

GA

F'y +==θ (2.66)

( )xo

2x

o

3xx

x Hx.K.2

H.F

GA

F

K.3

H.F

GA

H.Fy −

+++= (2.67)

2.2.2. Yatay Yüke Maruz Perde Duvarlı-Çerçeveli Yapıların Ötelenme Hesabı

İçin Analitik Denklemlerin Türetilmesi

Binanın kat sayısı arttıkça yatay yükler etkili olmaya ve kolon boyutları aşırı

büyümeye başlar. Çok büyük kolon boyutları hem ekonomik olmaz hem de estetik

50

bakımdan sakıncalar doğurur. Bunun için perde duvar kullanımına geçilir. Yatay

kuvvetlerin büyük çoğunluğu perdeler tarafından karşılanır. Bu durum bina

yüksekliği/bina genişliği (H/B) oranı küçük olan yapılarda daha gerçekçi bir

yaklaşımdır. Yapı yüksekliği arttıkça perde ile çerçeve arasında yük paylaşımı başlar.

Bu işbirliğinin bir sonucu olarak, perde ve çerçeve yön değiştiren yatay kuvvetlere

maruz kalır.

Yatay yükü perde ve çerçeve ortaklaşa taşır. Perde yatay yükler altında “eğilme

kirişi” gibi davranacak, çerçeve ise “kayma kirişi” davranışı gösterecektir. Perde

duvarın deformasyon eğrisi “dışbükey” (Şekil 2.24.b), çerçevenin deformasyon eğrisi

ise “içbükey” (Şekil 2.24.a) olacaktır. Ancak perde duvarlı-çerçeveli yapılarda perde

ve çerçeve birlikte çalışacak, üst katlarda çerçeve perdeyi, alt katlarda perde

çerçeveyi sınırlandıracaktır (Şekil 2.24.c).

f(x)ç

f(x)p

f(x)

(a) (b) (c)

(a) Kayma kirişi (b) Eğilme kirişi (c) Perde-çerçeve etkileşimi

Şekil 2.24. Perde-çerçeve etkileşimi

Şekil 2.24.c’ deki perde duvarlı-çerçeveli yapıya etkiyen f(x) yayılı yatay yük; Şekil

2.24.a’ daki çerçeveli yapıya etkiyen f(x)ç ile Şekil 2.24.b’ deki perdeli yapıya

etkiyen f(x)p değerlerinin toplamına eşittir. Perde çerçeve sistemine etkiyen f(x)

yatay yükü, Denklem (2.68) ile elde edilebilir.

51

pç )x(f)x(f)x(f += (2.68)

Şekil 2.24.a’ daki kayma kirişinin genel diferensiyel denklemi (2.70) ile verilmiştir

(Murashev v.d., 1976).

)x(fK

)x(M''y.K''y.GA

o

o −=

−+ (2.70)

)x(M''y.K o− : Çerçevenin aldığı moment

)x(Mo : x yüksekliğinde dış yüklerin momenti

''y.K : Perdeler tarafından taşınan moment

Ko

)x(M''y.K o− : Çerçeve kolonlarının eksenel kısalmaları ile oluşan birim dönme

GA : Çerçevenin kayma rijitliği

Şekil 2.24.b’ de verilen eğilme kirişinin genel diferensiyel denklemi ise Denklem

(2.69)’ daki gibi yazılabilir (Murashev v.d., 1976).

)x(fy.K IV = (2.69)

∑= EIK : Perdelerin eğilme rijitlikleri toplamı

)x(f : Yayılı yatay yük

Şekil 2.24.c’ de gösterilen eğilme-kayma kirişinin (perde-çerçeve) diferensiyel

denklemi (2.71)’ deki gibi kolayca yazılabilir (Murashev v.d., 1976).

)x(fK

)x(M''y.K''y.GAy.K

o

oIV =

−+−

0)x(fK

)x(M.GA''y.v.GAy.K

o

o2IV =−+− (2.71)

52

o

2

K

K1v +=

Denklemin yazımında yapılan kabuller aşağıda verilmiştir (Atımtay, 2000).

1. Döşemeler kendi düzlemleri içinde sonsuz rijittir.

2. Çerçevelerin kayma rijitliği yalnız kat düzeylerinde döşeme, kolon ve

kirişlerin bulunduğu göz önünde tutularak hesaplanmıştır. Ancak söz konusu

kat için bulunan kayma rijitliği kat yüksekliğine eşit olarak dağılmış, böylece

bir sürekli ortam oluşturulmuştur. Kat sayısı arttıkça yapılan kabulün doğru

olacağı açıktır.

3. Kat kirişlerinde ve yatay bağlantı elemanlarındaki eksenel kuvvetlerin etkisi

ihmal edilmiştir.

4. Perdelerin kayma gerilmelerinin oluşturduğu birim deformasyonlar ihmal

edilmiştir.

y.Kw =

0)x(f.s)x(M.v

1v''ww.s 2

o2

2IV2 =−

−+− (2.72)

GA.v

Ks

22 =

y.Kw = ifadesinin iki defa türevi alınırsa, (2.73) denklemi elde edilir.

0)x(f.s)x(M.v

1v)x(M)x(''M.s''w)x(M 2

o2

22 =−

−+−= (2.73)

(2.73) denkleminin çözümü tümler ve özel olarak iki şekilde düşünülür (Atımtay,

2000).

53

A.) Tümler çözüm, M(x)tüm

0)x(M)x(''M.s2 =− (2.74)

Çözümün etx şeklinde olacağı kabul edilirse; (2.75) denklemi elde edilir.

( )s

x

s

1t0)x(M.1t.s 22 =φ±==−

φ+φ= sinh.Acosh.A)x(M 21tüm (2.75)

B.) Özel çözüm, M(x)öz

( )2

22

o2

22

öz22

dx

dD)x(M.

v

1v)x(f.s)x(M.1D.s =

−−=− (2.76)

−

−−

= )x(M.v

1v)x(f.s

1D.s

1)x(M o2

22

22öz

( )

−

−+−= )x(M.v

1v)x(f.sD.s1)x(M o2

2222

öz (2.77)

Tümler ve özel çözümler kullanılarak sonuç denklemi;

M(x)=M(x)tüm+M(x)öz (2.78)

( )

−

−+−φ+φ= )x(M.v

1v)x(f.sD.s1sinh.Acosh.A)x(M o2

2222

21 (2.79)

olarak yazılabilir.

Denklemdeki A1 ve A2 bilinmeyenlerinin bulunması için iki sınır şartı yazılır.

1.)M′(0)=Q(0)=- ∫H

0

dx)x(f

54

Yayılı yükün toplamı taban kesme kuvvetine eşittir.

2.) M(H)=0

Yapının en üstünde moment sıfır olmalıdır.

Yanal ötelenme eğrisinin (w=Ky) bulunması için denklemin iki defa integralinin

alınması ve iki sınır şartının daha yazılması gereklidir.

w= ∫ ∫ ++x

043

2 Ax.Adx)x(M

3.) w(0)=0

Temel kotunda ötelenme sıfırdır.

4.)w′(0)=0

Temel kotunda dönme sıfırdır.

Yukarıda elde edilen denklemlere, yatay yükün etkime şekline göre sınır şartları

uygulanır. Perde duvarlı-çerçeveli yapıların ötelenme hesabı için geliştirilmiş olan

diferensiyel denklemler; çerçeve kolonlarının eksenel deformasyonlarından doğan ek

yanal ötelenme değerlerini de dikkate almaktadır. Eğer bu etkiler ihmal edilmek

istenirse; v2=1 olarak alınması yeterlidir.

2.2.2.1. Düzgün Yayılı Yatay Yük Altındaki Perde Duvarlı-Çerçeveli Yapılarda


Düzgün yayılı yük için, f(x)=p olarak alınabilir. Perde duvarlı-çerçeveli yapıların

(2.79)’ da verilen genel çözüm denklemi, düzgün yayılı yatay yük için düzenlenirse

(2.83) ifadesi elde edilir.

55

φ+φ= sinh.Acosh.A)x(M 21tüm (2.80)

( )

−

−+−= )x(M.v

1vp.sD.s1)x(M o2

2222

öz

H-x

p

Şekil 2.25. Düzgün yayılı yatay yük altındaki perde duvarlı-çerçeveli yapılarda herhangi bir x seviyesinde oluşan dış yük momenti

Toplam devrilme momenti Şekil 2.25’ ten Denklem (2.81)’ deki gibi yazılabilir.

2

)xH.(p)x(M

2

o

−= (2.81)

−−

−−−= p.s.

v

1v)x(M.

v

1vp.s)x(M 2

2

2

o2

22

öz

22o2

2

öz s.p.v

1)x(M.

v

1v)x(M −

−= (2.82)

Toplam moment; (2.83) denklemi ile elde edilebilir.

22o2

2

21öztüm s.p.v

1)x(M.

v

1vsinh.Acosh.A)x(M)x(M)x(M −

−+φ+φ=+= (2.83)

(2.83) denklemindeki A1 ve A2 bilinmeyenlerini bulmak için, aşağıdaki sınır şartları

uygulanır.

1. M′(0)=-Q (0)=-p.H

Yapının taban kesme kuvveti, yayılı yükün toplamına eşittir.

56

2. M(H)=0

Yapının en üstünde moment sıfırdır.

Birinci sınır şartı uygulanırsa; A2 bilinmeyeni bulunabilir.

A2= 2v

H.s.p−

s

H=λ

λ; rijitliğin göstergesi olduğundan A2 ifadesi λ cinsinden yazılır.

A2= 2

2

v

.s.p λ−

İkinci sınır şartı uygulanırsa; A1 bilinmeyeni,

A1=

λ

λλ+

cosh

sinh.1

v

s.p2

2

olarak elde edilir.

Yanal ötelenmeyi bulmak için, (2.83)’ te elde edilen moment denkleminin iki kat

integralinin alınması gerekir.

w= ∫ ∫ ++x

043

2 Ax.Adx)x(M

32

2

322

2

2

21 As.x.p.v

1

6

x.p

4

x.H.p.2

2

x.H.p

v

1vcosh.s.Asinh.s.A)x(M'w +−

+−

−+φ+φ=∫=

∫∫= )x(Mw

432

224322

2

22

22

1 Ax.Av.2

s.x.p

24

x.p

6

x.H.p

4

x.H.p

v

1vsinh.s.Acosh.s.Aw ++−

+−

−+φ+φ=

A3 ve A4 bilinmeyenleri için sınır şartları aşağıdaki gibi yazılır.

57

1. w(0)=0


( ) 0A000v

1vs.A)0(w 42

22

1 =++−−

+=

A4=-A1.s2

2. w’(0)=0


( ) 32

2

2 A00v

1vs.A0)0('w +−

−++=

A3=-A2.s

Sonuç olarak yanal ötelenme ifadesi,

w=K.y

++−

+−

−+φ+φ= 432

224322

2

22

22

1 Ax.Av.2

s.x.p

24

x.p

6

x.H.p

4

x.H.p

v

1vsinh.s.Acosh.s.A

K

1y

olarak elde edilir.

Düzgün yayılı yatay yük altındaki perde duvarlı-çerçeveli yapı için elde edilen

ötelenme denklemi (2.84)’ te verilmiştir.

s

H=λ

H

xk =

s

x=φ

Ko

K1v

GA.v

Ks 2

2

2 +==

λ

λλ+=

cosh

sinh.1

v

s.pA

2

2

1 2

2

2v

.s.pA

λ−= A3=-A2 .s A4=-A1.s

2 (2.84)

++−

+−

−+φ+φ= 432

224324

2

22

22

1 Ax.Av.2

s.x.p

12

k

3

k

2

k

2

H.p.

v

1vsinh.s.Acosh.s.A

K

1y

58

Ötelenme denkleminin birinci türevi alınırsa dönme denklemi, ikinci türevi alınırsa

eğrilik denklemi elde edilir.

+−

+−

−+φ+φ= 32

2

4

3

3

2

2

4

2

2

21 Av

s.x.p

H3

x

H

x

H

x

2

H.p.

v

1vcosh.s.Asinh.s.A

K

1'y

−

+−−

+φ+φ=2

2

4

2

32

4

2

2

21v

s.p

H

x

H

x.2

H

1.

2

H.p.

v

1vsinh.Acosh.A

K

1)x(''y

2.2.2.2. Üçgen Yayılı Yatay Yük Altındaki Perde Duvarlı-Çerçeveli Yapılarda


Üçgen yayılı yük için, f(x)= Hx.p olarak alınabilir. Perde duvarlı-çerçeveli yapıların

(2.79)’ da verilen genel çözüm denklemi, üçgen yayılı yatay yük için düzenlenirse

(2.85) ifadesi elde edilir.

k.v

s.p)x(M.

v

1vsinh.Acosh.A)x(M)x(M)x(M

2

2

o2

2

21öztüm −−

+φ+φ=+= (2.85)

Toplam devrilme momenti, Şekil 2.26’ dan Denklem (2.86)’ da görüldüğü gibi

yazılabilir.

+

p(x/H)

H-x =

p p(x/H) p(1-(x/H))

Şekil 2.26. Üçgen yayılı yatay yük altındaki perde duvarlı-çerçeveli yapılarda herhangi bir x seviyesinde oluşan dış yük momenti

( ) ( ) ( )3

xH.2.

2

xH.

H

x1.p

2

xH.

H

x.p)x(M

2

o

−−

−+

−=

59

( ) ( )H.6

x.p

6

x.p.H.3

3

H.p

3

xH

2

x

H

xH.p)x(M

322

o +−=

−

+−

= (2.86)


uygulanır.

1. 2

p.H--Q(0)(0)M' ==

Yapının taban kesme kuvveti, yayılı yükün toplamına eşittir.

2. M (H)=0

Yapının en üstünde moment sıfırdır.


H.v

s.p)x('M.

v

1vcosh.

s

Asinh.

s

A)x('M

2

2

o2

221 −

−+φ+φ=

H.v

s.p

H.2

x.p

2

H.p.

v

1vcosh.

s

Asinh.

s

A)x('M

2

22

2

221 −

+−

−+φ+φ=

2

H.p

H.v

s.p

2

H.p

v

1v

s

A)0('M

2

2

2

22 −=−

−

−+=

H.v

s.p1

v

11.

2

H.p

2

H.p

H.v

s.p

2

H.p.

v

1vA

2

2

22

2

2

2

2 +

−−=−+

−=

−−=

H

s

s.2

H

v

s.pA

2

2

2 s

H=λ

λ−

λ−=

1

2v

s.pA

2

2

2

İkinci sınır şartı uygulandığında ise, A1 bilinmeyeni,

0v

s.p0

v

1vsinh.Acosh.A)H(M

2

2

2

2

21 =−×−

+λ+λ=

60

0v

s.psinh.Acosh.A)H(M

2

2

21 =−λ+λ=

0v

s.psinh.

1

2v

s.pcosh.A

2

2

2

2

1 =−λ

λ−

λ−λ

λ

λ−

λ+

λ−= sinh.

1

21

cosh.v

s.pA

2

2

1

olarak elde edilir.

Yanal ötelenmeyi bulmak için, (2.85)’ te elde edilen moment denkleminin iki kat

integralinin alınması gerekir.

k.v

s.p

H.6

x.p

2

x.H.p

3

H.p.

v

1vsinh.Acosh.A)x(M

2

232

2

2

21 −

+−

−+φ+φ=

w= ∫ ∫ ++x

043

2 Ax.Adx)x(M

32

22422

2

2

21 Av.H.2

x.s.p

H.24

x.p

4

x.H.p

3

x.H.p.

v


+−−

+φ+φ=∫=

∫∫= )x(Mw

432

325322

2

22

22

1 Ax.Av.H.6

x.s.p

H.120

x.p

12

x.H.p

6

x.H.p.

v


+−−

+φ+φ=

432

32

5

5

3

3

2

24

2

22

22

1 Ax.Av.H.6

x.s.p

H.120

x

H.12

x

H.6

xH.p.

v


+−−

+φ+φ=

H

xk =

432

325324

2

22

22

1 Ax.Av.H.6

x.s.p

120

k

12

k

6

k.H.p.

v


+−−

+φ+φ=

A3 ve A4 bilinmeyenlerini bulmak için sınır şartları aşağıdaki gibi yazılabilir.

1. w(0)=0

61


( ) 0A000.H.p.v

1vs.A)0(w 4

42

22

1 =++−−

+=

A4=-A1.s2

2. w’(0)=0


( ) 32

2

2 A00.v

1vs.A0)0('w +−

−++=

A3=-A2.s


w=K.y

++−

+−−

+φ+φ= 432

325324

2

22

22

1 Ax.Av.H.6

x.s.p

120

k

12

k

6

k.H.p.

v

1vsinh.s.Acosh.s.A

K

1)x(y

olarak elde edilir.

Üçgen yayılı yatay yük altındaki perde duvarlı-çerçeveli yapı için elde edilen

ötelenme denklemi (2.87)’ de verilmiştir.

s

H=λ

H

xk =

s

x=φ

Ko

K1v

GA.v

Ks 2

22 +==

λ

λ−

λ+

λ= sinh.

1

21

cosh.v

s.pA

2

2

1

λ−

λ−=

1

2v

s.pA

2

2

2

A3=-A2 .s A4=-A1. s2

(2.87)

++−

+−−

+φ+φ= 432

325324

2

22

22

1 Ax.Av.H.6

x.s.p

120

k

12

k

6

k.H.p.

v

1vsinh.s.Acosh.s.A

K

1)x(y

62



+−

+−−

+φ+φ= 32

22

5

4

3

2

24

2

2

21 Av.H.2

x.s.p

H.24

x

H.4

x

H.3

x.H.p.

v

1vcosh.s.Asinh.s.A

K

1)x('y

−

+−−

+φ+φ=2

2

5

3

324

2

2

21v.H

x.s.p

H.6

x

H.2

x

H.3

1.H.p.

v

1vsinh.Acosh.A

K

1)x(''y

2.2.2.3. En Üstte Tekil Yatay Yüke Maruz Perde Duvarlı-Çerçeveli Yapılarda


En üstte tekil yatay yük için, f(x)=0 olarak alınır. Perde duvarlı-çerçeveli yapıların

Denklem (2.79)’ da verilen genel çözüm denklemi, en üstte tekil yatay yük için

düzenlenirse (2.90) ifadesi elde edilir.

0)x(f.s)x(M.v

1v''ww.s 2

o2

2IV2 =−

−+− (2.88)

0)x(M.v

1v''ww.s o2

2IV2 =

−+− (2.89)

0)x(M.v

1v)x(M)x(''M.s''w)x(M o2

22 =

−+−=

)x(M.v

1vsinh.Acosh.A)x(M o2

2

21

−+φ+φ= (2.90)

Şekil 2.27’ den bulunan devrilme momenti, (2.90) denkleminde yerine yazılırsa,

(2.91) elde edilir.

)xH.(F.v

1vsinh.Acosh.A)x(M

2

2

21 −−

+φ+φ= (2.91)

63

H-x

F

Şekil 2.27. En üstte tekil yatay yüke maruz perde duvarlı-çerçeveli yapılarda herhangi bir x seviyesinde oluşan dış yük momenti


uygulanır.

1. M′(0)=Q(0)=-F


2. M(H)=0



F.v

1vcosh.

s

Asinh.

s

A)x('M

2

221 −

−φ+φ=

FF.v

1v

s

A)0('M

2

22 −=

−−=

A2= 2v

s.F−

İkinci sınır şartı uygulanırsa; A1 bilinmeyeni,

0)HH.(F.v

1vsinh.Acosh.A)H(M

2

2

21 =−−

+λ+λ=

64

λ= tanh.v

s.FA

21

olarak bulunur. Yanal ötelenmeyi bulmak için, (2.91)’ de elde edilen moment

denkleminin iki kat integralinin alınması gerekir.

)xH.(F.v

1vsinh.Acosh.A)x(M

2

2

21 −−

+φ+φ=

3

2

2

2

21 A)2

xx.H.(F.

v


−+φ+φ=∫=

∫∫= )x(Mw

43

32

2

22

22

1 Ax.A)6

x

2

x.H.(F.

v


−+φ+φ=

433

3

2

23

2

22

22

1 Ax.A)H.6

x

H.2

x.(H.F.

v


−+φ+φ=

H

xk =

43

323

2

22

22

1 Ax.A)6

k

2

k.(H.F.

v


−+φ+φ=


1. w(0)=0


( ) 0A0.H.p.v

1vs.A)0(w 4

42

22

1 =+−

+=

A4=-A1. s2

2. w’(0)=0


65

( ) 0A0.v

1vs.A0)0('w 32

2

2 =+−

++=

A3=-A2 .s


w=K.y

++

−

−+φ+φ= 43

323

2

22

22

1 Ax.A6

k

2

k.H.F.

v

1vsinh.s.Acosh.s.A

K

1y

olarak elde edilir.

En üstte tekil yatay yüke maruz perde duvarlı-çerçeveli yapı için elde edilen

ötelenme denklemi (2.92)’ de verilmiştir.

s

H=λ

H

xk =

s

x=φ

Ko

K1v

GA.v

Ks 2

22 +==

λ= tanh.v

s.FA

21 22

v

s.FA −=

A3=-A2 .s A4=-A1 .s2

++

−

−+φ+φ= 43

323

2

22

22

1 Ax.A6

k

2

k.H.F.

v

1vsinh.s.Acosh.s.A

K

1y (2.92)



+

+−

+φ+φ= 33

2

23

2

2

21 AH.2

x

H

x.H.F.

v

1vcosh.s.Asinh.s.A

K

1)x('y

+−

+φ+φ=32

32

2

21H

x

H

1.H.F.

v

1vsinh.Acosh.A

K

1)x(''y

66

2.2.2.4. Herhangi Bir Seviye Tekil Yatay Yüke Maruz Perde Duvarlı-Çerçeveli

Yapılarda Analitik Denklemlerin Türetilmesi

Yapının herhangi bir seviyesinde tekil yatay yük etkimesi durumunda f(x)=0 alınarak

çözüm yapılabilir.

0)x(f.s)x(M.v

1v''ww.s 2

o2

2IV2 =−

−+−

0)x(M.v

1v''ww.s o2

2IV2 =

−+−

0)x(M.v

1v)x(M)x(''M.s''w)x(M o2

22 =

−+−=

)x(M.v

1vsinh.Acosh.A)x(M o2

2

21

−+φ+φ=

Herhangi bir seviyede bireysel tekil yüke maruz çerçeveli yapının ötelenme profili

aşağıdaki gibi iki ayrı durum için hesap edilir.

1. Durum: x≤Hx olması durumu için Şekil 2.28’deki perde duvarlı-çerçeveli yapının

çözümü yapılırsa, ötelenme denklemi (2.93) olarak elde edilir.

Hx

F

x

Şekil 2.28. Herhangi bir seviyedeki tekil yüke maruz perde duvarlı-çerçeveli yapı (x≤Hx olması durumu)

A1 ve A2 bilinmeyenlerini bulmak için, aşağıdaki sınır şartları uygulanır.

67

1.)M’(0)=Q(0)=-F


2.) M(H)=0



( )xH.F)x(M xo −=

F)x('M o −=

)x('M.v

1vcosh.

s

Asinh.

s

A)x('M o2

221 −

+φ+φ=

FF.v

1v

s

A)0('M

2

22 −=

−−=

A2= 2v

s.F−

İkinci sınır şartı uygulandığında ise, A1 bilinmeyeni,

0)H(M.v

1vsinh.Acosh.A)H(M o2

2

21 =−

+λ+λ=

M(H)=0

λ−= tanh.AA 21

λ= tanh.v

s.FA

21

olarak bulunur.

Yanal ötelenmeyi bulmak için elde edilen moment denkleminin iki kat integralinin

alınması gerekir.

68

)xH.(F.v

1vsinh.Acosh.A)x(M x2

2

21 −−

+φ+φ=

3

2

x2

2

21 A)2

xx.H.(F.

v


−+φ+φ=∫=

∫∫= )x(Mw

43

32

x2

22

22

1 Ax.A)6

x

2

x.H.(F.

v


−+φ+φ=


1. w(0)=0


0A0s.A)0(w 42

1 =++=

A4=-A1. s2

2. w’(0)=0


( ) 0A0.v

1vs.A0)0('w 32

2

2 =+−

++=

A3=-A2 .s

Sonuç olarak yanal ötelenme ifadesi; aşağıdaki gibi elde edilebilir.

w=K.y

++−

−+φ+φ= 43

32

x2

22

22

1 Ax.A)6

x

2

x.H.(F.

v

1vsinh.s.Acosh.s.A

K

1y

Herhangi bir seviyede etkiyen tekil yatay yüke maruz perde duvarlı-çerçeveli yapı

için elde edilen ötelenme denklemi (2.93)’ te verilmiştir.

69

s

H=λ

s

x=φ

Ko

K1v

GA.v

Ks 2

22 +==

λ= tanh.v

s.FA

21 A2= 2v

s.F− A3=-A2.s A4=-A1.s

2

++−

−+φ+φ= 43

32

x2

22

22

1 Ax.A)6

x

2

x.H.(F.

v

1vsinh.s.Acosh.s.A

K

1y (2.93)

(2.93)’ deki ötelenme denkleminin türevi alınarak dönme denklemi elde edilebilir.

+−

−+φ+φ= 3

2

x2

2

21 A)2

xx.H.(F.

v

1vcosh.s.Asinh.s.A

K

1'y

2. Durum: Öncelikle kuvvetin etkime seviyesindeki (x=Hx), ötelenme ve dönme

değerleri hesaplanır. Bu değere ( )xxH Hx. −θ ifadesi ilave edilir. Sonuç olarak x>Hx

olması durumu için Şekil 2.29’daki perde duvarlı-çerçeveli yapının çözümü yapılırsa,

ötelenme denklemi (2.96) olarak elde edilir.


yx : x yüksekliğindeki yanal ötelenme

xHy : Bireysel yükün uygulandığı seviyedeki (x=Hx) ötelenme

xHθ : Bireysel yükün uygulandığı seviyedeki (x=Hx) dönme

Hx

F

x

Şekil 2.29. Herhangi bir seviyedeki tekil yüke maruz perde duvarlı-çerçeveli yapı

(x>Hx olması durumu)

70

x=Hx olması durumunda ötelenme ve dönme değerleri; sırasıyla denklem (2.94) ve

(2.95)’ te verilmiştir.

++−

−+φ+φ= 4x3

3x

2x

x2

22

22

1xH AH.A)6

H

2

H.H.(F.

v

1vsinh.s.Acosh.s.A

K

1y

++

−+φ+φ= 4x3

3x

2

22

22

1xH AH.A3

H.F.

v

1vsinh.s.Acosh.s.A

K

1y (2.94)

+

−+φ+φ==θ 3

2x

2

2

21xHxH A2

H.F.

v

1vcosh.s.Asinh.s.A

K

1'y (2.95)


( )x3

2x

2

2

21

4x3

3x

2

22

22

1x

Hx.A2

H.F.

v

1vcosh.s.Asinh.s.A

K

1

AH.A3

H.F.

v

1vsinh.s.Acosh.s.A

K

1y

−

+

−+φ+φ+

++

−+φ+φ=

(2.96)

2.3. Yatay Yüke Maruz Yapıların Ötelenme Hesabı İçin Geliştirilen Analitik

Denklemlerin Geçerliliğinin Kanıtlanması

Yapıların ötelenmesi hesabı için geliştirilen denklemlerin geçerliliği, Bölüm 2.3.1’

de çerçeveli yapılar için, Bölüm 2.3.2’ de perde duvarlı-çerçeveli yapılar için

incelenmiştir. Her iki sistemin kat adedi; 5, 10, 15 ve 20 olarak alınmış ve kat sayısı

değişiminin etkisi gözlenmiştir. Üçgen yayılı yük, düzgün yayılı yük ve yapının en

üstünde tekil yatay yük etkimesi durumları için, yapılan tüm çözümlerde yapıda

oluşan ötelenme, dönme ve eğrilik değerleri hem analitik yöntemle hem de SAP

2000 programı yardımıyla hesaplanmıştır. Hesaplamalar yapının kısa yönü daha

zayıf olduğu için y yönünde yapılmıştır.

71

2.3.1. Çerçeveli Yapılar İçin Geliştirilen Analitik Denklemlerin Geçerliliğinin

Kanıtlanması

Yapıların ötelenme hesabı için geliştirilen diferensiyel denklemlerin geçerliliğini

araştırmak üzere Şekil 2.30’ da görülen bina model olarak seçilmiştir. Yapı modeline

ait bilgiler Çizelge 2.3’ te verilmiştir.

Şekil 2.30. Çerçeveli yapıların ötelenme hesabı için geliştirilen analitik denklemlerin geçerliliğinin kanıtlanması için seçilen bina modeli

Çizelge 2.3. Çerçeveli yapıya ait eleman ve yük bilgileri

Kolonlar 50/50 Kirişler 25/45 hf 12cm hkat 3m gilave 2 kN/m2

qilave 3,5kN/m2

Yatay yük etkisine maruz yapıların ötelenme, dönme ve eğrilik hesapları, Bölüm

2.3.1.1’ de kolon eksenel deformasyonları dikkate alınmadan, Bölüm 2.3.1.2’ de

dikkate alınarak yapılmış ve kat sayısı değişiminin etkisi incelenmiştir. Bölüm

2.3.1.3’ te ise, plandaki kolon boyutlarının ve çerçeve açıklıklarının birbirinden farklı

olması durumunda denklemin geçerliliğinin nasıl değişeceği araştırılmıştır.

10×5m=50 m

6×5m

=30

m

72

2.3.1.1. Çerçeveli Yapılarda Kolon Eksenel Deformasyonlarının Dikkate

Alınmaması Durumu

2.3.1.1.1. Üçgen Yayılı Yük Altındaki Çerçeveli Yapılarda Kolon Eksenel

Deformasyonlarını Dikkate Almayan Analitik Denklemlerin Geçerliliğinin

Kanıtlanması

Şekil 2.30’ da verilen model bina en üstte 756 kN/m değerinde üçgen yayılı yatay

yük etkisine maruz kalırsa; yapıda oluşan ötelenme değerleri Çizelge 2.4’ te, dönme

değerleri Çizelge 2.5’ te, eğrilik değerleri Çizelge 2.6’ daki gibi elde edilmiştir.

Çizelge 2.4. Çerçeveli yapıya üçgen yayılı yatay yük etkimesi durumunda kolon

eksenel deformasyonlarını dikkate almadan hesaplanan ötelenme sonuçları

Ötelenme (mm)

20 katlı yapı 15 katlı yapı 10 katlı yapı 5 katlı yapı

Dif. SAP Dif. SAP Dif. SAP Dif. SAP Kat

Denk. 2000 Kat

Denk. 2000 Kat

Denk. 2000 Kat

Denk. 2000

20 221,6 230,9 15 124,7 129,2 10 55,4 56,7 5 13,9 13,6 19 220,8 229,1 14 123,8 127,4 9 54,6 55,0 4 13,1 12,1 18 218,4 225,9 13 121,5 124,2 8 52,3 52,0 3 11,0 9,5 17 214,5 221,1 12 117,7 119,7 7 48,7 47,8 2 7,9 6,2 16 209,2 215,0 11 112,5 113,8 6 43,9 42,4 1 4,1 2,5 15 202,6 207,5 10 106,2 106,7 5 38,1 36,0 0 0,0 0,0 14 194,7 198,7 9 98,7 98,5 4 31,5 28,9 - - -

13 185,6 188,8 8 90,3 89,3 3 24,2 21,2 - - -

12 175,5 177,7 7 80,9 79,2 2 16,4 13,0 - - -

11 164,4 165,7 6 70,8 68,4 1 8,3 5,0 - - -

10 152,4 152,8 5 60,0 56,9 0 0,0 0,0 - - -

9 139,5 139,0 4 48,7 44,8 - - - - - -

8 125,9 124,5 3 36,9 32,4 - - - - - -

7 111,6 109,3 2 24,8 19,7 - - - - - -

6 96,7 93,5 1 12,4 7,6 - - - - - -

5 81,4 77,2 0 0,0 0,0 - - - - - -

4 65,6 60,5 - - - - - - - - -

3 49,5 43,5 - - - - - - - - -

2 33,1 26,4 - - - - - - - - -

1 16,6 10,1 - - - - - - - - -

0 0,0 0,0 - - - - - - - - -

73

Çizelge 2.4’ teki ötelenme değerleri Şekil 2.31’ de 20 katlı, Şekil 2.32’ de 15 katlı,

Şekil 2.33’ te 10 katlı, Şekil 2.34’ te 5 katlı bina için grafik olarak verilmiştir.

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

0 50 100 150 200 250

Ötelenme (mm)

Kat

sev

iyes

i

Dif. Denk. SAP 2000

Şekil 2.31. 20 katlı çerçeveli yapıya üçgen yayılı yatay yük etkimesi durumunda kolon eksenel deformasyonlarını dikkate almadan hesaplanan ötelenme sonuçları

0

3

6

9

12

15

0,0 20,0 40,0 60,0 80,0 100,0 120,0 140,0

Ötelenme (mm)

Kat

sev

iyes

i

Dif. Denk. SAP 2000


74

0

2

4

6

8

10

0,0 10,0 20,0 30,0 40,0 50,0 60,0

Ötelenme (mm)

Kat

sev

iyes

i

Dif. Denk. SAP 2000


0

1

2

3

4

5

0,0 2,0 4,0 6,0 8,0 10,0 12,0 14,0 16,0

Ötelenme (mm)

Kat

sev

iyes

i

Dif. Denk. SAP 2000

Şekil 2.34. 5 katlı çerçeveli yapıya üçgen yayılı yatay yük etkimesi durumunda

kolon eksenel deformasyonlarını dikkate almadan hesaplanan ötelenme sonuçları

75

Çizelge 2.5. Çerçeveli yapıya üçgen yayılı yatay yük etkimesi durumunda kolon eksenel deformasyonlarını dikkate almadan hesaplanan dönme sonuçları

Dönme (rad)



Denk. 2000 Kat

Denk. 2000 Kat

Denk. 2000 Kat

Denk. 2000

20 0,00000 0,00037 15 0,00000 0,00036 10 0,00000 0,00035 5 0,00000 0,00031

19 0,00054 0,00069 14 0,00054 0,00067 9 0,00053 0,00064 4 0,00050 0,00056

18 0,00105 0,00111 13 0,00103 0,00108 8 0,00100 0,00101 3 0,00089 0,00084

17 0,00154 0,00151 12 0,00150 0,00145 7 0,00141 0,00134 2 0,00116 0,00100

16 0,00199 0,00189 11 0,00192 0,00180 6 0,00177 0,00162 - - -

15 0,00242 0,00225 10 0,00231 0,00212 5 0,00208 0,00187 - - -

14 0,00283 0,00258 9 0,00266 0,00240 4 0,00233 0,00206 - - -

13 0,00320 0,00289 8 0,00297 0,00266 3 0,00252 0,00221 - - -

12 0,00355 0,00318 7 0,00325 0,00289 2 0,00266 0,00226 - - -

11 0,00386 0,00344 6 0,00349 0,00308 - - - - - -

10 0,00416 0,00368 5 0,00369 0,00325 - - - - - -

9 0,00442 0,00390 4 0,00386 0,00338 - - - - - -

8 0,00465 0,00410 3 0,00399 0,00348 - - - - - -

7 0,00486 0,00427 2 0,00408 0,00346 - - - - - -

6 0,00504 0,00442 - - - - - - - - -

5 0,00519 0,00455 - - - - - - - - -

4 0,00532 0,00465 - - - - - - - - -

3 0,00542 0,00471 - - - - - - - - -

2 0,00548 0,00465 - - - - - - - - -

Çizelge 2.5’ te verilen dönme değerleri Şekil 2.35’ te 20 katlı, Şekil 2.36’ da 15 katlı,

Şekil 2.37’ de 10 katlı, Şekil 2.38’ de 5 katlı bina için grafik olarak verilmiştir.

76

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

0,000 0,001 0,002 0,003 0,004 0,005 0,006

Dönme (Rad)

Kat

Sev

iyes

i

Dif. Denk. SAP 2000

Şekil 2.35. 20 katlı çerçeveli yapıya üçgen yayılı yatay yük etkimesi durumunda kolon eksenel deformasyonlarını dikkate almadan hesaplanan dönme sonuçları

0

3

6

9

12

15

0,0000 0,0005 0,0010 0,0015 0,0020 0,0025 0,0030 0,0035 0,0040 0,0045

Dönme (Rad)

Kat

Sev

iyes

i

Dif. Denk. SAP 2000


77

0

2

4

6

8

10

0,0000 0,0005 0,0010 0,0015 0,0020 0,0025 0,0030

Dönme (Rad)

Kat

Sev

iyes

i

Dif. Denk. SAP 2000


0

1

2

3

4

5

0,0000 0,0002 0,0004 0,0006 0,0008 0,0010 0,0012 0,0014

Dönme (Rad)

Kat

Sev

iyes

i

Dif. Denk. SAP 2000


Çerçeveli yapıların SAP 2000 analiz programı ile yapılan çözümlerinde temel

kotunda oluşan dönme sıfır olarak bulunurken, geliştirilen denklemlerle yapılan

hesaplarda temel kotu seviyesinde de bir miktar dönme değeri elde edilmektedir.

Bunun nedeni, çerçeveli yapıların ötelenmesinin hesabı için geliştirilen

78

denklemlerde, çerçevenin sürekli bir kayma kirişi olarak modellenmiş olmasıdır

(Şekil 2.39). Bu yüzden birinci kat seviyesinde herhangi bir karşılaştırılmaya

gidilmemiştir.

(a) (b)

(a) SAP 2000 modeli (b) Sürekli kayma kirişi modeli

Şekil 2.39. Çerçeveli yapının modellenmesi

Çizelge 2.6. Çerçeveli yapıya üçgen yayılı yatay yük etkimesi durumunda kolon eksenel deformasyonlarını dikkate almadan hesaplanan eğrilik sonuçları

Eğrilik (rad/m)


Dif. Dif. Dif. Dif. Kat

Denk. Kat

Denk. Kat

Denk. Kat

Denk.

20 -0,00018 15 -0,00018 10 -0,00018 5 -0,00018

19 -0,00018 14 -0,00017 9 -0,00017 4 -0,00015

18 -0,00017 13 -0,00016 8 -0,00015 3 -0,00011

17 -0,00016 12 -0,00015 7 -0,00013 2 -0,00007

16 -0,00015 11 -0,00014 6 -0,00011 - -

15 -0,00014 10 -0,00012 5 -0,00009 - -

14 -0,00013 9 -0,00011 4 -0,00007 - -

13 -0,00012 8 -0,00010 3 -0,00006 - -

12 -0,00011 7 -0,00009 2 -0,00004 - -

11 -0,00010 6 -0,00007 - - - -

10 -0,00009 5 -0,00006 - - - -

9 -0,00008 4 -0,00005 - - - -

8 -0,00007 3 -0,00004 - - - -

7 -0,00006 2 -0,00002 - - - -

6 -0,00006 - - - - - -

5 -0,00005 - - - - - -

4 -0,00004 - - - - - -

3 -0,00003 - - - - - -

2 -0,00002 - - - - - -

79

Çizelge 2.6’ da hesaplanan eğrilik değerleri, Şekil 2.40’ ta 20 katlı, Şekil 2.41’ de 15

katlı, Şekil 2.42’ te 10 katlı, Şekil 2.43’ te 5 katlı bina için grafik olarak verilmiştir.

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

-0,00020 -0,00015 -0,00010 -0,00005 0,00000

Eğrilik (rad/m)

Kat

sev

iyes

i

Şekil 2.40. 20 katlı çerçeveli yapıya üçgen yayılı yatay yük etkimesi durumunda kolon eksenel deformasyonlarını dikkate almadan hesaplanan eğrilik sonuçları

0

3

6

9

12

15

-0,00020 -0,00015 -0,00010 -0,00005 0,00000

Eğrilik (rad/m)

Kat

sev

iyes

i


80

0

2

4

6

8

10

-0,00020 -0,00015 -0,00010 -0,00005 0,00000

Eğrilik (rad/m)

Kat

sev

iyes

i


0

1

2

3

4

5

-0,00020 -0,00015 -0,00010 -0,00005 0,00000

Eğrilik (rad/m)

Kat

sev

iyes

i


81

2.3.1.1.2. Düzgün Yayılı Yük Altındaki Çerçeveli Yapılarda Kolon Eksenel


Kanıtlanması

Şekil 2.30’ da verilen model bina en üstte 756 kN/m değerinde düzgün yayılı yatay

yük etkisine maruz kalırsa; yapıda oluşan ötelenme değerleri Çizelge 2.7’ de, dönme

değerleri Çizelge 2.8’ de, eğrilik değerleri Çizelge 2.9’ daki gibi elde edilmiştir.

Çizelge 2.7. Çerçeveli yapıya düzgün yayılı yatay yük etkimesi durumunda kolon eksenel deformasyonlarını dikkate almadan hesaplanan ötelenme sonuçları

Ötelenme (mm)



Denk. 2000 Kat

Denk. 2000 Kat

Denk. 2000 Kat

Denk. 2000

20 332,4 334,1 15 187,0 184,8 10 83,1 79,4 5 20,8 17,9 19 331,6 332,9 14 186,1 183,6 9 82,3 78,2 4 19,9 16,7 18 329,1 330,3 13 183,7 180,9 8 79,8 75,5 3 17,5 14,0 17 324,9 325,8 12 179,5 176,5 7 75,6 71,1 2 13,3 9,7 16 319,1 319,7 11 173,7 170,3 6 69,8 64,9 1 7,5 4,2 15 311,6 311,8 10 166,2 162,4 5 62,3 57,0 0 0,0 0,0 14 302,5 302,1 9 157,1 152,8 4 53,2 47,4 - - -

13 291,7 290,7 8 146,3 141,3 3 42,4 36,0 - - -

12 279,2 277,5 7 133,8 128,2 2 29,9 23,0 - - -

11 265,1 262,6 6 119,7 113,2 1 15,8 9,3 - - -

10 249,3 245,9 5 103,9 96,5 0 0,0 0,0 - - -

9 231,9 227,4 4 86,4 78,1 - - - - - -

8 212,7 207,2 3 67,3 57,9 - - - - - -

7 192,0 185,2 2 46,5 36,3 - - - - - -

6 169,5 161,5 1 24,1 14,4 - - - - - -

5 145,4 136,0 0 0,0 0,0 - - - - - -

4 119,7 108,8 - - - - - - - - -

3 92,2 79,9 - - - - - - - - -

2 63,2 49,5 - - - - - - - - -

1 32,4 19,4 - - - - - - - - -

0 0,0 0,0 - - - - - - - - -

82

Çizelge 2.7’ deki ötelenme değerleri, Şekil 2.44’ te 20 katlı, Şekil 2.45’ te 15 katlı,

Şekil 2.46’ da 10 katlı, Şekil 2.47’ de 5 katlı bina için grafik olarak verilmiştir.

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

0,0 50,0 100,0 150,0 200,0 250,0 300,0 350,0 400,0

Ötelenme (mm)

Kat

sev

iyes

i

Dif. Denk. SAP 2000

Şekil 2.44. 20 katlı çerçeveli yapıya düzgün yayılı yatay yük etkimesi durumunda kolon eksenel deformasyonlarını dikkate almadan hesaplanan ötelenme sonuçları

0

3

6

9

12

15

0,0 50,0 100,0 150,0 200,0

Ötelenme (mm)

Kat

sev

iyes

i

Dif. Denk. SAP 2000


83

0

2

4

6

8

10

0,0 20,0 40,0 60,0 80,0 100,0

Ötelenme (mm)

Kat

sev

iyes

i

Dif. Denk. SAP 2000


0

1

2

3

4

5

0,0 5,0 10,0 15,0 20,0 25,0

Ötelenme (mm)

Kat

sev

iyes

i

Dif. Denk. SAP 2000


84

Çizelge 2.8. Çerçeveli yapıya düzgün yayılı yatay yük etkimesi durumunda kolon eksenel deformasyonlarını dikkate almadan hesaplanan dönme sonuçları

Dönme (rad)



Denk. 2000 Kat

Denk. 2000 Kat

Denk. 2000 Kat

Denk. 2000

20 0,00000 0,00023 15 0,00000 0,00023 10 0,00000 0,00023 5 0,00000 0,00023

19 0,00055 0,00052 14 0,00055 0,00052 9 0,00055 0,00052 4 0,00055 0,00051

18 0,00111 0,00098 13 0,00111 0,00098 8 0,00111 0,00098 3 0,00111 0,00097

17 0,00166 0,00146 12 0,00166 0,00146 7 0,00166 0,00146 2 0,00166 0,00139

16 0,00222 0,00194 11 0,00222 0,00194 6 0,00222 0,00194 - - -

15 0,00277 0,00242 10 0,00277 0,00242 5 0,00277 0,00242 - - -

14 0,00332 0,00291 9 0,00332 0,00291 4 0,00332 0,00290 - - -

13 0,00388 0,00339 8 0,00388 0,00339 3 0,00388 0,00337 - - -

12 0,00443 0,00387 7 0,00443 0,00387 2 0,00443 0,00374 - - -

11 0,00499 0,00436 6 0,00499 0,00436 - - - - - -

10 0,00554 0,00484 5 0,00554 0,00484 - - - - - -

9 0,00609 0,00532 4 0,00609 0,00532 - - - - - -

8 0,00665 0,00581 3 0,00665 0,00578 - - - - - -

7 0,00720 0,00629 2 0,00720 0,00609 - - - - - -

6 0,00776 0,00677 - - - - - - - - -

5 0,00831 0,00725 - - - - - - - - -

4 0,00886 0,00773 - - - - - - - - -

3 0,00942 0,00818 - - - - - - - - -

2 0,00997 0,00844 - - - - - - - - -

Çizelge 2.8’ deki dönme değerleri, Şekil 2.48’ de 20 katlı, Şekil 2.49’ da 15 katlı,


85

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

0,00000 0,00200 0,00400 0,00600 0,00800 0,01000 0,01200

Dönme (Rad)

Kat

Sev

iyes

i

Dif. Denk. SAP 2000

Şekil 2.48. 20 katlı çerçeveli yapıya düzgün yayılı yatay yük etkimesi durumunda kolon eksenel deformasyonlarını dikkate almadan hesaplanan dönme sonuçları

0

3

6

9

12

15

0,000 0,001 0,002 0,003 0,004 0,005 0,006 0,007 0,008

Dönme (Rad)

Kat

Sev

iyes

i

Dif. Denk. SAP 2000


86

0

2

4

6

8

10

0,000 0,001 0,002 0,003 0,004 0,005

Dönme (Rad)

Kat

Sev

iyes

i

Dif. Denk. SAP 2000

Şekil 2.50. 10 katlı çerçeveli yapıya düzgün yayılı yatay yük etkimesi durumunda

kolon eksenel deformasyonlarını dikkate almadan hesaplanan dönme sonuçları

0

1

2

3

4

5

0,0000 0,0002 0,0004 0,0006 0,0008 0,0010 0,0012 0,0014 0,0016 0,0018

Dönme (Rad)

Kat

Sev

iyes

i

Dif. Denk. SAP 2000


87

Çizelge 2.9. Çerçeveli yapıya düzgün yayılı yatay yük etkimesi durumunda kolon eksenel deformasyonlarını dikkate almadan hesaplanan eğrilik sonuçları

Eğrilik (rad/m)



Denk. Kat

Denk. Kat

Denk. Kat

Denk.

20 -0,00018 15 -0,00018 10 -0,00018 5 -0,00018

19 -0,00018 14 -0,00018 9 -0,00018 4 -0,00018

18 -0,00018 13 -0,00018 8 -0,00018 3 -0,00018

17 -0,00018 12 -0,00018 7 -0,00018 2 -0,00018

16 -0,00018 11 -0,00018 6 -0,00018 - -

15 -0,00018 10 -0,00018 5 -0,00018 - -

14 -0,00018 9 -0,00018 4 -0,00018 - -

13 -0,00018 8 -0,00018 3 -0,00018 - -

12 -0,00018 7 -0,00018 2 -0,00018 - -

11 -0,00018 6 -0,00018 - - - -

10 -0,00018 5 -0,00018 - - - -

9 -0,00018 4 -0,00018 - - - -

8 -0,00018 3 -0,00018 - - - -

7 -0,00018 2 -0,00018 - - - -

6 -0,00018 - - - - - -

5 -0,00018 - - - - - -

4 -0,00018 - - - - - -

3 -0,00018 - - - - - -

2 -0,00018 - - - - - -

Çizelge 2.9’ daki eğrilik değerleri, Şekil 2.52’ de 20 katlı, Şekil 2.53’ te 15 katlı,


88

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

-0,00020 -0,00015 -0,00010 -0,00005 0,00000

Eğrilik (rad/m)

Kat

sev

iyes

i


kolon eksenel deformasyonlarını dikkate almadan hesaplanan eğrilik sonuçları

0

3

6

9

12

15

-0,00020 -0,00015 -0,00010 -0,00005 0,00000

Eğrilik (rad/m)

Kat

sev

iyes

i


kolon eksenel deformasyonlarını dikkate almadan hesaplanan eğrilik sonuçları

89

0

2

4

6

8

10

-0,00020 -0,00015 -0,00010 -0,00005 0,00000

Eğrilik (rad/m)

Kat

sev

iyes

i

Şekil 2.54. 10 katlı çerçeveli yapıya düzgün yayılı yatay yük etkimesi durumunda kolon eksenel deformasyonlarını dikkate almadan hesaplanan eğrilik sonuçları

0

1

2

3

4

5

-0,00020 -0,00015 -0,00010 -0,00005 0,00000

Eğrilik (rad/m)

Kat

sev

iyes

i

Şekil 2.55. 5 katlı çerçeveli yapıya düzgün yayılı yatay yük etkimesi durumunda kolon eksenel deformasyonlarını dikkate almadan hesaplanan eğrilik sonuçları

90



Kanıtlanması

Şekil 2.30’ da verilen model bina en üstte 1000 kN değerinde tekil yatay yük etkisine

maruz kalırsa; yapıda oluşan ötelenme değerleri Çizelge 2.10’ da, dönme değerleri

Çizelge 2.11’ de, eğrilik değerleri Çizelge 2.12’ de verildiği gibi elde edilir.

Çizelge 2.10. Çerçeveli yapıya en üstte tekil yatay yük etkimesi durumunda kolon eksenel deformasyonlarını dikkate almadan hesaplanan ötelenme sonuçları

Ötelenme (mm)



Denk. 2000 Kat

Denk. 2000 Kat

Denk. 2000 Kat

Denk. 2000

20 14,7 14,9 15 11,0 11,1 10 7,3 7,2 5 3,7 3,3 19 13,9 14,3 14 10,3 10,4 9 6,6 6,6 4 2,9 2,7 18 13,2 13,6 13 9,5 9,7 8 5,9 5,8 3 2,2 1,9 17 12,5 12,8 12 8,8 8,9 7 5,1 5,0 2 1,5 1,2 16 11,7 12,0 11 8,1 8,1 6 4,4 4,3 1 0,7 0,4 15 11,0 11,2 10 7,3 7,4 5 3,7 3,5 0 0,0 0,0 14 10,3 10,5 9 6,6 6,6 4 2,9 2,7 - - -

13 9,5 9,7 8 5,9 5,8 3 2,2 1,9 - - -

12 8,8 8,9 7 5,1 5,0 2 1,5 1,2 - - -

11 8,1 8,1 6 4,4 4,3 1 0,7 0,4 - - -

10 7,3 7,4 5 3,7 3,5 0 0,0 0,0 - - -

9 6,6 6,6 4 2,9 2,7 - - - - - -

8 5,9 5,8 3 2,2 1,9 - - - - - -

7 5,1 5,0 2 1,5 1,2 - - - - - -

6 4,4 4,3 1 0,7 0,4 - - - - - -

5 3,7 3,5 0 0,0 0,0 - - - - - -

4 2,9 2,7 - - - - - - - - -

3 2,2 1,9 - - - - - - - - -

2 1,5 1,2 - - - - - - - - -

1 0,7 0,4 - - - - - - - - -

Çizelge 2.10’ daki ötelenme değerleri, Şekil 2.56’ da 20 katlı, Şekil 2.57’ de 15 katlı,

Şekil 2.58’ de 10 katlı, Şekil 2.59’ da 5 katlı bina için grafik olarak verilmiştir.

91

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

0,0 5,0 10,0 15,0

Ötelenme (mm)

Kat

sev

iyes

i

Dif. Denk. SAP 2000

Şekil 2.56. 20 katlı çerçeveli yapıya en üstte tekil yatay yük etkimesi durumunda kolon eksenel deformasyonlarını dikkate almadan hesaplanan ötelenme sonuçları

0

3

6

9

12

15

0,0 2,0 4,0 6,0 8,0 10,0 12,0

Ötelenme (mm)

Kat

sev

iyes

i

Dif. Denk. SAP 2000


92

0

2

4

6

8

10

0,0 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0 6,0 7,0 8,0

Ötelenme (mm)

Kat

sev

iyes

i

Dif. Denk. SAP 2000


0

1

2

3

4

5

0,0 1,0 2,0 3,0 4,0

Ötelenme (mm)

Kat

sev

iyes

i

Dif. Denk. SAP 2000

Şekil 2.59. 5 katlı çerçeveli yapıya en üstte tekil yatay yük etkimesi durumunda

kolon eksenel deformasyonlarını dikkate almadan hesaplanan ötelenme sonuçları

93

Çizelge 2.11. Çerçeveli yapıya en üstte tekil yatay yük etkimesi durumunda kolon eksenel deformasyonlarını dikkate almadan hesaplanan dönme sonuçları

Dönme (rad)



Denk. 2000 Kat

Denk. 2000 Kat

Denk. 2000 Kat

Denk. 2000

20 0,00024 0,00016 15 0,00024 0,00016 10 0,00024 0,00016 5 0,00024 0,00016

19 0,00024 0,00020 14 0,00024 0,00020 9 0,00024 0,00020 4 0,00024 0,00020

18 0,00024 0,00022 13 0,00024 0,00022 8 0,00024 0,00022 3 0,00024 0,00022

17 0,00024 0,00022 12 0,00024 0,00022 7 0,00024 0,00022 2 0,00024 0,00022

16 0,00024 0,00022 11 0,00024 0,00022 6 0,00024 0,00022 - - -

15 0,00024 0,00022 10 0,00024 0,00022 5 0,00024 0,00022 - - -

14 0,00024 0,00022 9 0,00024 0,00022 4 0,00024 0,00022 - - -

13 0,00024 0,00022 8 0,00024 0,00022 3 0,00024 0,00022 - - -

12 0,00024 0,00022 7 0,00024 0,00022 2 0,00024 0,00022 - - -

11 0,00024 0,00022 6 0,00024 0,00022 - - - - - -

10 0,00024 0,00022 5 0,00024 0,00022 - - - - - -

9 0,00024 0,00022 4 0,00024 0,00022 - - - - - -

8 0,00024 0,00022 3 0,00024 0,00022 - - - - - -

7 0,00024 0,00022 2 0,00024 0,00022 - - - - - -

6 0,00024 0,00022 - - - - - - - - -

5 0,00024 0,00022 - - - - - - - - -

4 0,00024 0,00022 - - - - - - - - -

3 0,00024 0,00022 - - - - - - - - -

2 0,00024 0,00022 - - - - - - - - -

Çizelge 2.11’ deki dönme değerleri, Şekil 2.60’ da 20 katlı, Şekil 2.61’ de 15 katlı,

Şekil 2.62’ de 10 katlı, Şekil 2.63’ te 5 katlı bina için grafik olarak verilmiştir.

94

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

0,00000 0,00005 0,00010 0,00015 0,00020 0,00025 0,00030

Dönme (Rad)

Kat

Sev

iyes

i

Dif. Denk. SAP 2000

Şekil 2.60. 20 katlı çerçeveli yapıya en üstte tekil yatay yük etkimesi durumunda kolon eksenel deformasyonlarını dikkate almadan hesaplanan dönme sonuçları

0

3

6

9

12

15

0,00000 0,00005 0,00010 0,00015 0,00020 0,00025 0,00030

Dönme (Rad)

Kat

Sev

iyes

i

Dif. Denk. SAP 2000


95

0

2

4

6

8

10

0,00000 0,00005 0,00010 0,00015 0,00020 0,00025 0,00030

Dönme (Rad)

Kat

Sev

iyes

i

Dif. Denk. SAP 2000


0

1

2

3

4

5

0,00000 0,00005 0,00010 0,00015 0,00020 0,00025 0,00030

Dönme (Rad)

Kat

Sev

iyes

i

Dif. Denk. SAP 2000


96

Çizelge 2.12. Çerçeveli yapıya en üstte tekil yatay yük etkimesi durumunda kolon eksenel deformasyonlarını dikkate almadan hesaplanan eğrilik sonuçları

Eğrilik (rad/m)



Denk. Kat

Denk. Kat

Denk. Kat

Denk.

20 0,00000 15 0,00000 10 0,00000 5 0,00000

19 0,00000 14 0,00000 9 0,00000 4 0,00000

18 0,00000 13 0,00000 8 0,00000 3 0,00000

17 0,00000 12 0,00000 7 0,00000 2 0,00000

16 0,00000 11 0,00000 6 0,00000 1 0,00000

15 0,00000 10 0,00000 5 0,00000 0 0,00000

14 0,00000 9 0,00000 4 0,00000 - -

13 0,00000 8 0,00000 3 0,00000 - -

12 0,00000 7 0,00000 2 0,00000 - -

11 0,00000 6 0,00000 1 0,00000 - -

10 0,00000 5 0,00000 0 0,00000 - -

9 0,00000 4 0,00000 - - - -

8 0,00000 3 0,00000 - - - -

7 0,00000 2 0,00000 - - - -

6 0,00000 1 0,00000 - - - -

5 0,00000 0 0,00000 - - - -

4 0,00000 - - - - - -

3 0,00000 - - - - - -

2 0,00000 - - - - - -

1 0,00000 - - - - - -

0 0,00000 - - - - - -

2.3.1.2. Çerçeveli Yapılarda Kolon Eksenel Deformasyonlarının Dikkate

Alınması Durumu

Şekil 2.30’ da planı verilen yapıya ait devrilme rijitliği (Ko), sadece en dış kolonlarda

hesaplanmıştır. İç kolonların etkisi ihmal edilmiştir. Yapının y yönündeki devrilme

rijitliği; aşağıdaki gibi hesaplanmıştır.

Koy= ( )( ) 22 m/kN000750268352.11.15.5,0.5,0.00050028 =

97

2.3.1.2.1. Üçgen Yayılı Yük Altındaki Çerçeveli Yapılarda Kolon Eksenel

Deformasyonlarını Dikkate Alan Analitik Denklemlerin Geçerliliğinin

Kanıtlanması

Şekil 2.30’ da verilen model bina en üstte 756 kN/m değerinde üçgen yayılı yatay

yük etkisine maruz kalırsa; yapıda oluşan ötelenme değerleri Çizelge 2.13’ te, dönme

değerleri Çizelge 2.14’ te, eğrilik değerleri Çizelge 2.15’ te verildiği gibi elde edilir.

Çizelge 2.13. Çerçeveli yapıya üçgen yayılı yatay yük etkimesi durumunda kolon eksenel deformasyonlarını dikkate alarak hesaplanan ötelenme sonuçları

Ötelenme (mm)



Denk. 2000 Kat

Denk. 2000 Kat

Denk. 2000 Kat

Denk. 2000

20 247,1 254,5 15 132,7 137,2 10 57,0 58,5 5 13,9 13,7 19 244,5 251,1 14 131,2 134,7 9 56,0 56,5 4 13,1 12,2 18 240,4 246,2 13 128,1 130,8 8 53,5 53,3 3 11,0 9,6 17 234,8 239,9 12 123,5 125,5 7 49,6 48,8 2 7,9 6,2 16 227,7 232,2 11 117,7 118,9 6 44,6 43,2 1 4,1 2,5 15 219,4 223,1 10 110,6 111,1 5 38,6 36,6 0 0,0 0,0 14 209,8 212,8 9 102,5 102,2 4 31,8 29,3 - - -

13 199,1 201,4 8 93,4 92,4 3 24,4 21,4 - - -

12 187,4 188,8 7 83,4 81,7 2 16,5 13,1 - - -

11 174,7 175,4 6 72,7 70,3 1 8,3 5,1 - - -

10 161,1 161,0 5 61,4 58,2 0 0,0 0,0 - - -

9 146,8 145,9 4 49,6 45,7 - - - - - -

8 131,8 130,1 3 37,4 32,9 - - - - - -

7 116,3 113,7 2 25,0 20,0 - - - - - -

6 100,3 96,8 1 12,5 7,7 - - - - - -

5 83,9 79,6 0 0,0 0,0 - - - - - -

4 67,3 62,1 - - - - - - - - -

3 50,5 44,4 - - - - - - - - -

2 33,6 26,8 - - - - - - - - -

1 16,7 10,2 - - - - - - - -

0 0,0 0,0 - - - - - - - -

98

Çizelge 2.13’ teki ötelenme değerleri, Şekil 2.64’ te 20 katlı, Şekil 2.65’ te 15 katlı,


0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

0 50 100 150 200 250 300

Ötelenme (mm)

Kat

sev

iyes

i

Dif. Denk. SAP 2000

Şekil 2.64. 20 katlı çerçeveli yapıya üçgen yayılı yatay yük etkimesi durumunda kolon eksenel deformasyonlarını dikkate alarak hesaplanan ötelenme sonuçları

0

3

6

9

12

15

0,0 20,0 40,0 60,0 80,0 100,0 120,0 140,0

Ötelenme (mm)

Kat

sev

iyes

i

Dif. Denk. SAP 2000


99

0

2

4

6

8

10

0,0 10,0 20,0 30,0 40,0 50,0 60,0

Ötelenme (mm)

Kat

sev

iyes

i

Dif. Denk. SAP 2000


0

1

2

3

4

5

0,0 2,0 4,0 6,0 8,0 10,0 12,0 14,0 16,0

Ötelenme (mm)

Kat

sev

iyes

i

Dif. Denk. SAP 2000


100

Çizelge 2.14. Çerçeveli yapıya üçgen yayılı yatay yük etkimesi durumunda kolon eksenel deformasyonlarını dikkate alarak hesaplanan dönme sonuçları

Dönme (rad)



Denk. 2000 Kat

Denk. 2000 Kat

Denk. 2000 Kat

Denk. 2000

20 0,00058 0,00114 15 0,00024 0,00075 10 0,00007 0,00049 5 0,00001 0,00034

19 0,00112 0,00132 14 0,00078 0,00098 9 0,00060 0,00075 4 0,00051 0,00058

18 0,00163 0,00176 13 0,00128 0,00140 8 0,00107 0,00112 3 0,00089 0,00085

17 0,00211 0,00216 12 0,00174 0,00176 7 0,00148 0,00145 2 0,00117 0,00102

16 0,00257 0,00254 11 0,00216 0,00211 6 0,00184 0,00173 - - -

15 0,00299 0,00289 10 0,00254 0,00242 5 0,00214 0,00196 - - -

14 0,00338 0,00322 9 0,00288 0,00270 4 0,00238 0,00214 - - -

13 0,00375 0,00352 8 0,00319 0,00294 3 0,00257 0,00228 - - -

12 0,00408 0,00380 7 0,00345 0,00315 2 0,00269 0,00231 - - -

11 0,00438 0,00404 6 0,00367 0,00333 - - - - - -

10 0,00465 0,00426 5 0,00386 0,00347 - - - - - -

9 0,00489 0,00445 4 0,00400 0,00357 - - - - - -

8 0,00509 0,00462 3 0,00410 0,00362 - - - - - -

7 0,00526 0,00475 2 0,00416 0,00357 - - - - - -

6 0,00540 0,00485 - - - - - - - - -

5 0,00551 0,00493 - - - - - - - - -

4 0,00558 0,00497 - - - - - - - - -

3 0,00562 0,00496 - - - - - - - - -

2 0,00563 0,00483 - - - - - - - - -

Çizelge 2.14’ te verilen dönme değerleri, Şekil 2.68’ de 20 katlı, Şekil 2.69’ da 15

katlı, Şekil 2.70’ de 10 katlı, Şekil 2.71’ de 5 katlı bina için grafik olarak verilmiştir.

101

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

0,000 0,001 0,002 0,003 0,004 0,005 0,006

Dönme (rad/m)

Kat

sev

iyes

i

Dif. Denk. SAP 2000

Şekil 2.68. 20 katlı çerçeveli yapıya üçgen yayılı yatay yük etkimesi durumunda kolon eksenel deformasyonlarını dikkate alarak hesaplanan dönme sonuçları

0

3

6

9

12

15

0,0000 0,0005 0,0010 0,0015 0,0020 0,0025 0,0030 0,0035 0,0040 0,0045

Dönme (rad/m)

Kat

sev

iyes

i

Dif. Denk. SAP 2000


102

0

2

4

6

8

10

0,0000 0,0005 0,0010 0,0015 0,0020 0,0025 0,0030

Dönme (rad/m)

Kat

sev

iyes

i

Dif. Denk. SAP 2000


0

1

2

3

4

5

0,0000 0,0002 0,0004 0,0006 0,0008 0,0010 0,0012 0,0014

Dönme (rad/m)

Kat

sev

iyes

i

Dif. Denk. SAP 2000


103

Çizelge 2.15. Çerçeveli yapıya üçgen yayılı yatay yük etkimesi durumunda kolon eksenel deformasyonlarını dikkate alarak hesaplanan eğrilik sonuçları

Eğrilik (rad/m)



Denk. Kat

Denk. Kat

Denk. Kat

Denk.

20 -0,00018 15 -0,00018 10 -0,00018 5 -0,00018

19 -0,00018 14 -0,00017 9 -0,00017 4 -0,00015

18 -0,00017 13 -0,00016 8 -0,00015 3 -0,00011

17 -0,00016 12 -0,00015 7 -0,00013 2 -0,00007

16 -0,00015 11 -0,00013 6 -0,00011 - -

15 -0,00014 10 -0,00012 5 -0,00009 - -

14 -0,00013 9 -0,00011 4 -0,00007 - -

13 -0,00012 8 -0,00009 3 -0,00005 - -

12 -0,00011 7 -0,00008 2 -0,00003 - -

11 -0,00009 6 -0,00007 - - - -

10 -0,00008 5 -0,00005 - - - -

9 -0,00007 4 -0,00004 - - - -

8 -0,00006 3 -0,00003 - - - -

7 -0,00005 2 -0,00001 - - - -

6 -0,00004 - - - - - -

5 -0,00003 - - - - - -

4 -0,00002 - - - - - -

3 -0,00001 - - - - - -

2 0,00000 - - - - - -

Çizelge 2.15’ teki eğrilik değerleri; Şekil 2.72’ de 20 katlı, Şekil 2.73’ te 15 katlı,


104

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

-0,00020 -0,00015 -0,00010 -0,00005 0,00000 0,00005

Eğrilik (rad/m)

Kat

sev

iyes

i

Şekil 2.72. 20 katlı çerçeveli yapıya üçgen yayılı yatay yük etkimesi durumunda kolon eksenel deformasyonlarını dikkate alarak hesaplanan eğrilik sonuçları

0

3

6

9

12

15

-0,00020 -0,00015 -0,00010 -0,00005 0,00000

Eğrilik (rad/m)

Kat

sev

iyes

i


105

0

2

4

6

8

10

-0,00020 -0,00015 -0,00010 -0,00005 0,00000

Eğrilik (rad/m)

Kat

sev

iyes

i


0

1

2

3

4

5

-0,00020 -0,00015 -0,00010 -0,00005 0,00000

Eğrilik (rad/m)

Kat

sev

iyes

i


106

2.3.1.2.2. Düzgün Yayılı Yük Altındaki Çerçeveli Yapılarda Kolon Eksenel


Kanıtlanması

Şekil 2.30’ da verilen model bina en üstte 756 kN/m değerinde düzgün yayılı yatay

yük etkisine maruz kalırsa; yapıda oluşan ötelenme değerleri Çizelge 2.16 ’da,

dönme değerleri Çizelge 2.17’ de, eğrilik değerleri Çizelge 2.18’ de verildiği gibi

elde edilir.

Çizelge 2.16. Çerçeveli yapıya düzgün yayılı yatay yük etkimesi durumunda kolon eksenel deformasyonlarını dikkate alarak hesaplanan ötelenme sonuçları

Ötelenme (mm)



Denk. 2000 Kat

Denk. 2000 Kat

Denk. 2000 Kat

Denk. 2000

20 367,1 365,0 15 198,0 195,2 10 85,3 81,6 5 20,9 18,0 19 364,0 361,8 14 196,2 193,1 9 84,2 80,1 4 20,0 16,8 18 359,2 357,2 13 192,7 189,5 8 81,4 77,1 3 17,5 14,1 17 352,7 350,8 12 187,6 184,2 7 76,9 72,4 2 13,3 9,8 16 344,6 342,6 11 180,8 177,1 6 70,8 66,0 1 7,5 4,2 15 334,8 332,7 10 172,4 168,3 5 63,1 57,8 0 0,0 0,0 14 323,4 321,1 9 162,3 157,8 4 53,7 47,9 - - -

13 310,4 307,7 8 150,6 145,5 3 42,7 36,3 - - -

12 295,7 292,5 7 137,3 131,5 2 30,1 23,1 - - -

11 279,5 275,7 6 122,3 115,8 1 15,8 9,3 - - -

10 261,6 257,2 5 105,8 98,4 0 0,0 0,0 - - -

9 242,2 236,9 4 87,7 79,3 - - - - - -

8 221,2 215,0 3 68,1 58,7 - - - - - -

7 198,7 191,4 2 46,9 36,6 - - - - - -

6 174,6 166,2 1 24,2 14,4 - - - - - -

5 149,1 139,4 0 0,0 0,0 - - - - - -

4 122,1 111,1 - - - - - - - - -

3 93,7 81,2 - - - - - - - - -

2 63,8 50,1 - - - - - - - - -

1 32,6 19,6 - - - - - - - - -

0 0,0 0,0 - - - - - - - - -

107

Çizelge 2.16’ daki ötelenme değerleri Şekil 2.76’ da 20 katlı, Şekil 2.77’ de 15 katlı,


0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

0,0 50,0 100,0 150,0 200,0 250,0 300,0 350,0 400,0

Ötelenme (mm)

Kat

sev

iyes

i

Dif. Denk. SAP 2000

Şekil 2.76. 20 katlı çerçeveli yapıya düzgün yayılı yatay yük etkimesi durumunda kolon eksenel deformasyonlarını dikkate alarak hesaplanan ötelenme sonuçları

0

3

6

9

12

15

0,0 50,0 100,0 150,0 200,0

Ötelenme (mm)

Kat

sev

iyes

i

Dif. Denk. SAP 2000


108

0

2

4

6

8

10

0,0 20,0 40,0 60,0 80,0

Ötelenme (mm)

Kat

sev

iyes

i

Dif. Denk. SAP 2000


0

1

2

3

4

5

0,0 5,0 10,0 15,0 20,0 25,0

Ötelenme (mm)

Kat

sev

iyes

i

Dif. Denk. SAP 2000


109

Çizelge 2.17. Çerçeveli yapıya düzgün yayılı yatay yük etkimesi durumunda kolon eksenel deformasyonlarını dikkate alarak hesaplanan dönme sonuçları

Dönme (rad)



Denk. 2000 Kat

Denk. 2000 Kat

Denk. 2000 Kat

Denk. 2000

20 0,00077 0,00120 15 0,00033 0,00071 10 0,00010 0,00040 5 0,00001 0,00026

19 0,00133 0,00130 14 0,00088 0,00089 9 0,00065 0,00064 4 0,00057 0,00053

18 0,00188 0,00180 13 0,00143 0,00138 8 0,00120 0,00112 3 0,00112 0,00099

17 0,00243 0,00228 12 0,00198 0,00185 7 0,00176 0,00159 2 0,00167 0,00141

16 0,00298 0,00276 11 0,00254 0,00233 6 0,00231 0,00207 - - -

15 0,00353 0,00324 10 0,00308 0,00281 5 0,00285 0,00254 - - -

14 0,00407 0,00372 9 0,00363 0,00328 4 0,00340 0,00301 - - -

13 0,00462 0,00420 8 0,00417 0,00376 3 0,00394 0,00346 - - -

12 0,00515 0,00467 7 0,00471 0,00422 2 0,00448 0,00381 - - -

11 0,00569 0,00514 6 0,00524 0,00468 - - - - - -

10 0,00622 0,00560 5 0,00577 0,00513 - - - - - -

9 0,00674 0,00606 4 0,00629 0,00557 - - - - - -

8 0,00725 0,00650 3 0,00681 0,00598 - - - - - -

7 0,00776 0,00694 2 0,00732 0,00624 - - - - - -

6 0,00826 0,00737 - - - - - - - - -

5 0,00876 0,00778 - - - - - - - - -

4 0,00924 0,00818 - - - - - - - - -

3 0,00972 0,00854 - - - - - - - - -

2 0,01018 0,00869 - - - - - - - - -

Çizelge 2.17’ deki dönme değerleri, Şekil 2.80’ de 20 katlı, Şekil 2.81’ de 15 katlı,

Şekil 2.82’ de 10 katlı, Şekil 2.83’ te 5 katlı bina için grafik olarak verilmiştir.

110

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

0,000 0,002 0,004 0,006 0,008 0,010 0,012

Dönme (rad/m)

Kat

sev

iyes

i

Dif. Denk. SAP 2000

Şekil 2.80. 20 katlı çerçeveli yapıya düzgün yayılı yatay yük etkimesi durumunda kolon eksenel deformasyonlarını dikkate alarak hesaplanan dönme sonuçları

0

3

6

9

12

15

0,000 0,001 0,002 0,003 0,004 0,005 0,006 0,007 0,008

Dönme (rad/m)

Kat

sev

iyes

i

Dif. Denk. SAP 2000


111

0

2

4

6

8

10

0,0000 0,0010 0,0020 0,0030 0,0040 0,0050

Dönme (rad/m)

Kat

sev

iyes

i

Dif. Denk. SAP 2000


0

1

2

3

4

5

0,0000 0,0002 0,0004 0,0006 0,0008 0,0010 0,0012 0,0014 0,0016 0,0018

Dönme (rad/m)

Kat

sev

iyes

i

Dif. Denk. SAP 2000


112

Çizelge 2.18. Çerçeveli yapıya düzgün yayılı yatay yük etkimesi durumunda kolon eksenel deformasyonlarını dikkate alarak hesaplanan eğrilik sonuçları

Eğrilik (rad/m)



Denk. Kat

Denk. Kat

Denk. Kat

Denk.

20 -0,00018 15 -0,00018 10 -0,00018 5 -0,00018

19 -0,00018 14 -0,00018 9 -0,00018 4 -0,00018

18 -0,00018 13 -0,00018 8 -0,00018 3 -0,00018

17 -0,00018 12 -0,00018 7 -0,00018 2 -0,00018

16 -0,00018 11 -0,00018 6 -0,00018 - -

15 -0,00018 10 -0,00018 5 -0,00018 - -

14 -0,00018 9 -0,00018 4 -0,00018 - -

13 -0,00018 8 -0,00018 3 -0,00018 - -

12 -0,00018 7 -0,00018 2 -0,00018 - -

11 -0,00018 6 -0,00018 - - - -

10 -0,00018 5 -0,00018 - - - -

9 -0,00017 4 -0,00017 - - - -

8 -0,00017 3 -0,00017 - - - -

7 -0,00017 2 -0,00017 - - - -

6 -0,00017 - - - - - -

5 -0,00016 - - - - - -

4 -0,00016 - - - - - -

3 -0,00016 - - - - - -

2 -0,00015 - - - - - -

Çizelge 2.18’ deki eğrilik değerleri, Şekil 2.84’ te 20 katlı, Şekil 2.85’ te 15 katlı,


113

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

-0,00020 -0,00015 -0,00010 -0,00005 0,00000

Eğrilik (rad/m)

Kat

sev

iyes

i

Şekil 2.84. 20 katlı çerçeveli yapıya düzgün yayılı yatay yük etkimesi durumunda kolon eksenel deformasyonlarını dikkate alarak hesaplanan eğrilik sonuçları

0

3

6

9

12

15

-0,00020 -0,00015 -0,00010 -0,00005 0,00000

Eğrilik (rad/m)

Kat

sev

iyes

i


114

0

2

4

6

8

10

-0,00020 -0,00015 -0,00010 -0,00005 0,00000

Eğrilik (rad/m)

Kat

sev

iyes

i


0

1

2

3

4

5

-0,000185 -0,000184 -0,000183

Eğrilik (rad/m)

Kat

sev

iyes

i


115



Kanıtlanması

Şekil 2.30’ da verilen model bina en üstte 1000 kN değerinde tekil yatay yük etkisine



Çizelge 2.19. Çerçeveli yapıya en üstte tekil yatay yük etkimesi durumunda kolon eksenel deformasyonlarını dikkate alarak hesaplanan ötelenme sonuçları

Ötelenme (mm)



Denk. 2000 Kat

Denk. 2000 Kat

Denk. 2000 Kat

Denk. 2000

20 16,7 16,8 15 11,9 11,9 10 7,6 7,5 5 3,7 3,4 19 15,8 16,0 14 11,0 11,2 9 6,8 6,8 4 3,0 2,7 18 14,9 15,1 13 10,2 10,3 8 6,0 6,0 3 2,2 1,9 17 14,0 14,2 12 9,4 9,5 7 5,3 5,2 2 1,5 1,2 16 13,2 13,3 11 8,6 8,6 6 4,5 4,4 1 0,7 0,4 15 12,3 12,4 10 7,8 7,8 5 3,7 3,6 0 0,0 0,0 14 11,4 11,5 9 7,0 6,9 4 3,0 2,8 - - -

13 10,5 10,6 8 6,2 6,1 3 2,2 2,0 - - -

12 9,7 9,7 7 5,4 5,3 2 1,5 1,2 - - -

11 8,8 8,8 6 4,6 4,4 1 0,7 0,5 - - -

10 8,0 7,9 5 3,8 3,6 0 0,0 0,0 - - -

9 7,1 7,1 4 3,0 2,8 - - - - - -

8 6,3 6,2 3 2,2 2,0 - - - - - -

7 5,5 5,3 2 1,5 1,2 - - - - - -

6 4,6 4,5 1 0,7 0,5 - - - - - -

5 3,8 3,6 0 0,0 0,0 - - - - - -

4 3,0 2,8 - - - - - - - - -

3 2,3 2,0 - - - - - - - - -

2 1,5 1,2 - - - - - - - - -

1 0,7 0,5 - - - - - - - - -

0 0,0 0,0 - - - - - - - - -

Çizelge 2.19’ daki ötelenme değerleri, Şekil 2.88’ de 20 katlı, Şekil 2.89’ da 15 katlı,


116

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

0,0 5,0 10,0 15,0 20,0

Ötelenme (mm)

Kat

sev

iyes

i

Dif. Denk. SAP 2000

Şekil 2.88. 20 katlı çerçeveli yapıya en üstte tekil yatay yük etkimesi durumunda kolon eksenel deformasyonlarını dikkate alarak hesaplanan ötelenme sonuçları

0

3

6

9

12

15

0,0 2,0 4,0 6,0 8,0 10,0 12,0

Ötelenme (mm)

Kat

sev

iyes

i

Dif. Denk. SAP 2000


117

0

2

4

6

8

10

0,0 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0 6,0 7,0 8,0

Ötelenme (mm)

Kat

sev

iyes

i

Dif. Denk. SAP 2000


0

1

2

3

4

5

0,0 1,0 2,0 3,0 4,0

Ötelenme (mm)

Kat

sev

iyes

i

Dif. Denk. SAP 2000


118

Çizelge 2.20. Çerçeveli yapıya en üstte tekil yatay yük etkimesi durumunda kolon eksenel deformasyonlarını dikkate alarak hesaplanan dönme sonuçları

Dönme (rad)



Denk. 2000 Kat

Denk. 2000 Kat

Denk. 2000 Kat

Denk. 2000

20 0,00030 0,00024 15 0,00027 0,00022 10 0,00026 0,00019 5 0,00025 0,00017

19 0,00030 0,00027 14 0,00027 0,00024 9 0,00026 0,00022 4 0,00025 0,00021

18 0,00029 0,00029 13 0,00027 0,00026 8 0,00026 0,00024 3 0,00025 0,00023

17 0,00029 0,00029 12 0,00027 0,00026 7 0,00026 0,00024 2 0,00025 0,00022

16 0,00029 0,00029 11 0,00027 0,00026 6 0,00025 0,00024 - - -

15 0,00029 0,00028 10 0,00027 0,00026 5 0,00025 0,00024 - - -

14 0,00029 0,00028 9 0,00027 0,00026 4 0,00025 0,00024 - - -

13 0,00029 0,00028 8 0,00027 0,00026 3 0,00025 0,00023 - - -

12 0,00029 0,00028 7 0,00026 0,00025 2 0,00025 0,00022 - - -

11 0,00028 0,00028 6 0,00026 0,00025 - - - - - -

10 0,00028 0,00027 5 0,00026 0,00025 - - - - - -

9 0,00028 0,00027 4 0,00026 0,00024 - - - - - -

8 0,00028 0,00027 3 0,00025 0,00024 - - - - - -

7 0,00027 0,00026 2 0,00025 0,00023 - - - - - -

6 0,00027 0,00026 - - - - - - - - -

5 0,00027 0,00025 - - - - - - - - -

4 0,00026 0,00025 - - - - - - - - -

3 0,00026 0,00024 - - - - - - - - -

2 0,00025 0,00023 - - - - - - - - -

Çizelge 2.20’ deki dönme değerleri Şekil 2.92’ de 20 katlı, Şekil 2.93’ te 15 katlı,


119

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

0,00000 0,00005 0,00010 0,00015 0,00020 0,00025 0,00030 0,00035

Dönme (rad/m)

Kat

sev

iyes

i

Dif. Denk. SAP 2000

Şekil 2.92. 20 katlı çerçeveli yapıya en üstte tekil yatay yük etkimesi durumunda kolon eksenel deformasyonlarını dikkate alarak hesaplanan dönme sonuçları

0

3

6

9

12

15

0,00000 0,00005 0,00010 0,00015 0,00020 0,00025 0,00030

Dönme (rad/m)

Kat

sev

iyes

i

Dif. Denk. SAP 2000


120

0

2

4

6

8

10

0,00000 0,00005 0,00010 0,00015 0,00020 0,00025 0,00030

Dönme (rad/m)

Kat

sev

iyes

i

Dif. Denk. SAP 2000


0

1

2

3

4

5

0,0000 0,0001 0,0001 0,0002 0,0002 0,0003 0,0003

Dönme (rad/m)

Kat

sev

iyes

i

Dif. Denk. SAP 2000


121

Çizelge 2.21. Çerçeveli yapıya en üstte tekil yatay yük etkimesi durumunda kolon eksenel deformasyonlarını dikkate alarak hesaplanan eğrilik sonuçları

Eğrilik (rad/m)



Denk. Kat

Denk. Kat

Denk. Kat

Denk.

20 0,0000000 15 0,0000000 10 0,0000000 5 0,0000000

19 0,0000001 14 0,0000001 9 0,0000001 4 0,0000001

18 0,0000002 13 0,0000002 8 0,0000002 3 0,0000002

17 0,0000003 12 0,0000003 7 0,0000003 2 0,0000003

16 0,0000003 11 0,0000003 6 0,0000003 - -

15 0,0000004 10 0,0000004 5 0,0000004 - -

14 0,0000005 9 0,0000005 4 0,0000005 - -

13 0,0000006 8 0,0000006 3 0,0000006 - -

12 0,0000007 7 0,0000007 2 0,0000007 - -

11 0,0000008 6 0,0000008 - - - -

10 0,0000009 5 0,0000009 - - - -

9 0,0000009 4 0,0000009 - - - -

8 0,0000010 3 0,0000010 - - - -

7 0,0000011 2 0,0000011 - - - -

6 0,0000012 - - - - - -

5 0,0000013 - - - - - -

4 0,0000014 - - - - - -

3 0,0000014 - - - - - -

2 0,0000015 - - - - - -

Çizelge 2.21’ deki eğrilik değerleri, Şekil 2.96’ da 20 katlı, Şekil 2.97’ de 15 katlı,


122

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

0,0000000 0,0000005 0,0000010 0,0000015 0,0000020

Eğrilik (rad/m)

Kat

sev

iyes

i

Şekil 2.96. 20 katlı çerçeveli yapıya en üstte tekil yatay yük etkimesi durumunda kolon eksenel deformasyonlarını dikkate alarak hesaplanan eğrilik sonuçları

0

3

6

9

12

15

0,0000000 0,0000005 0,0000010 0,0000015

Eğrilik (rad/m)

Kat

sev

iyes

i


123

0

2

4

6

8

10

0,0000000 0,0000005 0,0000010

Eğrilik (rad/m)

Kat

sev

iyes

i


0

1

2

3

4

5

0,00000000 0,00000010 0,00000020 0,00000030

Eğrilik (rad/m)

Kat

sev

iyes

i


124

2.3.1.3. Çerçeveli Yapılarda Farklı Kolon Boyutu ve Açıklıklar İçin Analitik

Denklemlerin Geçerliliğinin Araştırılması

Çerçeveli yapıların yanal ötelenmesi için geliştirilen diferensiyel denklemlerin kat

adedi değişiminden etkilenmediği ve kat sayısı arttıkça daha iyi sonuçlar verdiği

Bölüm 2.3.1.1 ve 2.3.1.2’ de ispatlanmıştı. Fakat seçilen örnek modelde açıklıklar ve

kolon boyutları eşit olarak tasarlanmıştı. Peki kolon boyutları ve açıklıklar değiştikçe

denklemin geçerliliği nasıl etkilenmektedir? Bunu araştırmak için Şekil 2.100’ deki 2

boyutlu, 2 açıklıklı çerçeve model olarak seçilmiştir. Bu model üzerinde S1, S2 ve S3

kolon boyutları için çeşitli kombinasyonlar oluşturulmuştur. Bu kombinasyonlar

farklı L2/L1 oranları için tekrarlanmıştır. Çözümlemelerde kolon eksenel

deformasyonlarının ötelenmeye olan etkisi ihmal edilmiştir. Elde edilen sonuçlar;

Çizelge 2.22’ de SAP 2000 analiz programı ile karşılaştırılmış ve Şekil 2.101 ile

Şekil 2.115 arasında grafik olarak gösterilmiştir.

L1

K1

S1 S2 S3

L2

K2

H

Şekil 2.100. Çerçeve modeli

125

Çizelge 2.22. Farklı kolon boyutu ve açıklıklara sahip çerçeveli yapıda analitik yöntem ve SAP 2000 ile hesaplanan ötelenme sonuçlarının karşılaştırılması

Kat Kolon Boyutları Kiriş Boyutları Ötelenme (mm) %

Model Sayısı

Kat S1 S2 S3 K1 K2

L1 (m)

L2 (m) Dif. Denk. SAP 2000 hata

10 29,4 35,7 18 9 29,0 34,5 16 8 27,7 32,5 15 7 25,8 29,8 13 6 23,3 26,4 12 5 20,2 22,4 10 4 16,7 17,8 6 3 12,8 12,9 0 2 8,7 7,7 12 1 4,4 2,8 54

1 10

0

30/30 30/30 60/60 25/45 25/45 3 3

0,0 0,0 0 10 16,0 17,8 10 9 15,8 17,2 8 8 15,1 16,2 7 7 14,1 14,9 5 6 12,7 13,2 4 5 11,0 11,2 1 4 9,1 8,9 2 3 7,0 6,5 9 2 4,7 3,9 22 1 2,4 1,4 65

2 10

0

30/30 60/60 60/60 25/45 25/45 3 3

0,0 0,0 0 10 20,7 24,7 16 9 20,4 23,9 14 8 19,6 22,6 13 7 18,2 20,8 12 6 16,4 18,4 11 5 14,3 15,7 9 4 11,8 12,6 6 3 9,1 9,2 2 2 6,1 5,7 8 1 3,1 2,2 39

3 10

0

30/30 60/60 30/30 25/45 25/45 3 3

0,0 0,0 0 10 20,8 27,2 24 9 20,5 26,2 22 8 19,6 24,6 20 7 18,2 22,5 19 6 16,4 19,9 17 5 14,3 16,7 15 4 11,8 13,2 11 3 9,1 9,4 4 2 6,1 5,5 12 1 3,1 1,9 62

4 10

0

60/60 30/30 60/60 25/45 25/45 3 3

0,0 0,0 0 10 13,1 13,9 6 9 12,9 13,5 4 8 12,3 12,7 3 7 11,5 11,6 1 6 10,4 10,3 1 5 9,0 8,7 3 4 7,4 6,9 7 3 5,7 5,0 15 2 3,9 3,0 30 1 2,0 1,1 80

5 10

0

60/60 60/60 60/60 25/45 25/45 3 3

0,0 0,0 0

126

Çizelge 2.22. (devam)

Kat Kolon Boyutları Kiriş Boyutları Ötelenme (mm) % Model

Sayısı Kat

S1 S2 S3 K1 K2 L1

(m) L2

(m) Dif. Denk. SAP 2000 hata 10 36,1 41,0 12 9 35,6 39,6 10 8 34,1 37,3 9 7 31,7 34,2 7 6 28,6 30,2 5 5 24,8 25,5 3 4 20,5 20,3 1 3 15,8 14,6 8 2 10,7 8,7 23 1 5,4 3,1 73

6 10

0

30/30 30/30 60/60 25/45 25/45 3 4,5

0,0 0,0 0 10 19,4 20,8 7 9 19,1 20,1 5 8 18,3 19,0 4 7 17,0 17,4 2 6 15,3 15,4 0 5 13,3 13,0 2 4 11,0 10,3 7 3 8,5 7,4 14 2 5,7 4,4 29 1 2,9 1,6 80

7 10

0

30/30 60/60 60/60 25/45 25/45 3 4,5

0,0 0,0 0 10 23,3 26,9 13 9 23,0 26,1 12 8 22,0 24,6 11 7 20,5 22,6 9 6 18,5 20,1 8 5 16,0 17,1 6 4 13,2 13,7 3 3 10,2 10,0 2 2 6,9 6,1 13 1 3,5 2,4 48

8 10

0

30/30 60/60 30/30 25/45 25/45 3 4,5

0,0 0,0 0 10 23,9 29,9 20 9 23,5 28,8 18 8 22,6 27,1 17 7 21,0 24,8 15 6 18,9 21,8 13 5 16,4 18,3 10 4 13,6 14,4 6 3 10,4 10,2 2 2 7,1 5,9 19 1 3,6 2,0 74

9 10

0

60/60 30/30 60/60 25/45 25/45 3 4,5

0,0 0,0 0 10 15,2 15,7 3 9 15,0 15,2 1 8 14,3 14,3 0 7 13,4 13,1 2 6 12,0 11,6 4 5 10,4 9,7 7 4 8,6 7,7 12 3 6,6 5,5 20 2 4,5 3,3 38 1 2,3 1,2 94

10 10

0

60/60 60/60 60/60 25/45 25/45 3 4,5

0,0 0,0 0

127

Çizelge 2.22 (devam)

Kat Kolon Boyutları Kiriş Boyutları Ötelenme (mm) % Model

Sayısı Kat

S1 S2 S3 K1 K2 L1

(m) L2

(m) Dif. Denk. SAP 2000 hata 10 34,7 39,5 12 9 34,2 38,2 10 8 32,8 36,0 9 7 30,5 33,0 7 6 27,5 29,2 6 5 23,9 24,7 3 4 19,7 19,6 1 3 15,2 14,1 7 2 10,3 8,4 22 1 5,2 3,1 70

11 10

0

30/30 30/30 60/60 25/50 25/50 3 6

0,0 0,0 0 10 17,3 19,1 9 9 17,0 18,5 8 8 16,3 17,4 6 7 15,2 16,0 5 6 13,7 14,1 3 5 11,9 12,0 1 4 9,8 9,5 3 3 7,5 6,9 10 2 5,1 4,1 24 1 2,6 1,5 70

12 10

0

30/30 60/60 60/60 25/50 25/50 3 6

0,0 0,0 0 10 20,5 24,4 16 9 20,2 23,6 14 8 19,4 22,3 13 7 18,0 20,5 12 6 16,2 18,2 11 5 14,1 15,5 9 4 11,6 12,5 7 3 9,0 9,1 2 2 6,1 5,7 7 1 3,1 2,2 39

13 10

0

30/30 60/60 30/30 25/50 25/50 3 6

0,0 0,0 0 10 20,6 26,8 23 9 20,3 25,8 21 8 19,4 24,3 20 7 18,1 22,2 19 6 16,3 19,6 17 5 14,2 16,5 14 4 11,7 13,0 10 3 9,0 9,3 3 2 6,1 5,4 12 1 3,1 1,9 62

14 10

0

60/60 30/30 60/60 25/50 25/50 3 6

0,0 0,0 0 10 12,9 13,6 5 9 12,7 13,2 4 8 12,2 12,4 2 7 11,3 11,4 1 6 10,2 10,1 1 5 8,9 8,5 4 4 7,3 6,8 8 3 5,6 4,9 15 2 3,8 2,9 31

15 10

1

60/60 60/60 60/60 25/50 25/50 3 6

1,9 1,1 80

128

0

2

4

6

8

10

0 10 20 30 40 50

Ötelenme (mm)

Kat

Sev

iyes

i

Dif.Denk. SAP2000

Şekil 2.101. Model 1’ e ait çerçeveli yapının diferensiyel denklem ve SAP 2000 ile hesaplanan ötelenme sonuçları

0

2

4

6

8

10

0 5 10 15 20 25

Ötelenme (mm)

Kat

Sev

iyes

i

Dif.Denk. SAP2000

Şekil 2.102. Model 2’ ye ait çerçeveli yapının diferensiyel denklem ve SAP 2000 ile hesaplanan ötelenme sonuçları

30/30 60/60 60/60

25/45 25/45

L1=3m L2=3m

30/30 60/60 30/30

25/45 25/45

L1=3m L2=3m

129

0

2

4

6

8

10

0 5 10 15 20 25 30 35 40

Ötelenme (mm)

Kat

Sev

iyes

i

Dif.Denk. SAP2000


0

2

4

6

8

10

0 5 10 15 20 25 30 35 40

Ötelenme (mm)

Kat

Sev

iyes

i

Dif.Denk. SAP2000


30/30 30/30 60/60

25/45 25/45

L1=3m L2=3m

60/60 60/60 30/30

25/45 25/45

L1=3m L2=3m

130

0

2

4

6

8

10

0 5 10 15 20

Ötelenme (mm)

Kat

Sev

iyes

i

Dif.Denk. SAP2000


0

2

4

6

8

10

0 10 20 30 40 50

Ötelenme (mm)

Kat

Sev

iyes

i

Dif.Denk. SAP2000

Şekil 2.106. Model 6’ ya ait çerçeveli yapının diferensiyel denklem ve SAP 2000 ile hesaplanan ötelenme sonuçları

60/60 60/60 60/60

25/45 25/45

L1=3m L2=3m

30/30 60/60 30/30

25/45 25/45

L1=3m L2=4,5m

131

0

2

4

6

8

10

0 5 10 15 20 25 30

Ötelenme (mm)

Kat

Sev

iyes

i

Dif.Denk. SAP2000


0

2

4

6

8

10

0 5 10 15 20 25 30 35

Ötelenme (mm)

Kat

Sev

iyes

i

Dif.Denk. SAP2000


30/30 60/60 60/60

25/45 25/45

L1=3m L2=4,5m

30/30 30/30 60/60

25/45 25/45

L1=3m L2=4,5m

132

0

2

4

6

8

10

0 10 20 30 40

Ötelenme (mm)

Kat

Sev

iyes

i

Dif.Denk. SAP2000

Şekil 2.109. Model 9’ a ait çerçeveli yapının diferensiyel denklem ve SAP 2000 ile hesaplanan ötelenme sonuçları

0

2

4

6

8

10

0 5 10 15 20

Ötelenme (mm)

Kat

Sev

iyes

i

Dif.Denk. SAP2000

Şekil 2.110. Model 10’ a ait çerçeveli yapının diferensiyel denklem ve SAP 2000 ile hesaplanan ötelenme sonuçları

60/60 60/60 30/30

25/45 25/45

L1=3m L2=4,5m

60/60 60/60 60/60

25/45 25/45

L1=3m L2=4,5m

133

0

2

4

6

8

10

0 10 20 30 40 50

Ötelenme (mm)

Kat

Sev

iyes

i

Dif.Denk. SAP2000


0

2

4

6

8

10

0 5 10 15 20 25 30

Ötelenme (mm)

Kat

Sev

iyes

i

Dif.Denk. SAP2000


30/30 60/60 30/30

25/50 25/50

L1=3m L2=6m

30/30 60/60 60/60

25/50 25/50

L1=3m L2=6m

134

0

2

4

6

8

10

0 5 10 15 20 25 30

Ötelenme (mm)

Kat

Sev

iyes

i

Dif.Denk. SAP2000


0

2

4

6

8

10

0 5 10 15 20 25 30 35

Ötelenme (mm)

Kat

Sev

iyes

i

Dif.Denk. SAP2000


30/30 30/30 60/60

25/50 25/50

L1=3m L2=6m

60/60 60/60 30/30

25/50 25/50

L1=3m L2=6m

135

0

2

4

6

8

10

0 5 10 15 20

Ötelenme (mm)

Kat

Sev

iyes

i

Dif.Denk. SAP2000


Elde edilen grafiklerden kolon boyutlarının ya da açıklıkların birbirinden farklı

olması durumunda diferensiyel denklemin geçerliliğini koruduğu görülebilir.

Çerçeveli yapıların ötelenme hesabı için geliştirilmiş olan diferensiyel denklemler;

yapının kat sayısı, kolon boyutu, açıklıklar ne olursa olsun SAP 2000 analiz

programı ile oldukça yakın sonuçlar vermektedir. Bu denklemlerin tasarımcı

mühendisin işini ne kadar kolaylaştıracağı açıktır. Burada diferensiyel denklemler

çıkarılırken, çerçeveli yapının sürekli bir kayma kirişi olarak modellendiği ve sabit

GA altında doğru sonuç verdiği unutulmamalıdır.

2.3.2. Perde Duvarlı-Çerçeveli Yapılar İçin Geliştirilen Analitik Denklemlerin

Geçerliliğinin Kanıtlanması

Perde duvarlı-çerçeveli yapıların ötelenmesi için geliştirilen diferensiyel denklemin

geçerliliğini araştırmak üzere Şekil 2.116’ da görülen yapı modeli örnek olarak

seçilmiştir. Yapı modellerine ait bilgiler Çizelge 2.23’te verilmiştir.

60/60 60/60 60/60

25/50 25/50

L1=3m L2=6m

136

Şekil 2.116. Perde duvarlı-çerçeveli yapıların ötelenme hesabı için geliştirilen analitik denklemlerin geçerliliğinin kanıtlanması için seçilen bina modeli

Çizelge 2.23. Perde duvarlı-çerçeveli yapıya ait eleman ve yük bilgileri

Kesitlerin Atalet Momenti Hesabı:

43

c m005208,012

5,0.5,0I ==

43

b m003797,012

45,0.25,0.2I ==

(Ip)y L=10m= =12

10.25,0 3

20,83333 m4 (Ip)x L=10m = =12

25,0.10 3

0,01302 m4

(Ip)y L=5m= =12

5.25,0 3

2,60417 m4 (Ip)x L=5m = =12

25,0.5 3

0,00651 m4

Kat Sayısı 10 Kolonlar 50/50 Kirişler 25/45 hf 12cm hkat 3m gilave 2kN/m2

qilave 3,5kN/m2

Ec 28 500 000 kN/m2 6×

5m=

30m

10×5m=50m

137

Çerçevenin Kayma Rijitliği Hesabı:

GA=

+

+

2

2b

1

1bc

c2

c

c

II.

I.21

1.

I.E.12

lll

l

Kenar Kolonlar

GA1=

+

5

003797,0.3

005208,0.21

1.

3

005208,0.00050028.122

GA1=35 517 kN Orta Kolonlar

GA2=

+

+

5

003797,0

5

003797,0.3

005208,0.21

1.

3

005208,0.00050028.122

GA2=60 226 kN Çerçevenin Toplam Kayma Rijitiliği; (GA)y yapı= kN5606712GA.42GA.4 21 =+

(GA)x yapı= kN1426222GA.40GA.6 21 =+

Devrilme Rijitliği Hesabı:

Devrilme rijitliği (Ko), perdeler ve en dış akstaki kolonlar dikkate alınarak

hesaplanmış dolayısıyla iç kolonların etkisi ihmal edilmiştir.

Koyperde ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]2.15.10.25,04.15.5.25,04.5,215.5.25,0.E 222

++−=

Koy perde=3031,25 . 28 500 000 = 86 390 625 000 kNm2

Koy kolon=28 500 000 . (0,5 . 0,5 . 152) . 2 . 2 = 6 412 500 000 kNm2

138

Koy= Ko

y perde + Koy kolon = 86 390 625 000 +6 412 500 000 =92 803 125 000 kNm2

Eğilme Rijitliği Hesabı:

Perdelerin eğilme rijitliği kolonlara oranla çok büyüktür. Bu yüzden eğilme rijitliği

(K), sadece perdeler dikkate alınarak hesaplanmıştır. Kolonların etkisi ihmal

edilmiştir.

Ky=E . [4 . (Ip)y L=5m + 4 .(Ip)x L=5m + 3 . (Ip)y L=10m + 2 . (Ip)x L=10m]

Ky=28 500 000 . [4 . 2,60417 + 4 . 0,00651 + 3 . 20,83333 + 2 . 0,01302]

Ky=2 079 609 375 kNm2

Kx=E . [4 . (Ip)y L=5m + 4 . (Ip)x L=5m + 2 . (Ip)y L=10m + 3 . (Ip)x L=10m]

Kx=28 500 000 . [4 . 2,60417 + 4 . 0,00651 + 2 . 20,83333 + 3 . 0,01302]

Kx=1 486 228 375 kNm2

Şekil 2.116’ da planı verilen yapının, Bölüm 2.3.2.1’ de üçgen yatay yayılı yük,

Bölüm 2.3.2.2’ de düzgün yatay yayılı yük ve Bölüm 2.3.2.3’ te yapının en üstünde

tekil yük etkimesi durumlarına göre analizi yapılmıştır. Çözümlemeler, kolon eksenel

deformasyonları dikkate alınmadan yapılmıştır.

2.3.2.1. Üçgen Yayılı Yük Altındaki Perde Duvarlı-Çerçeveli Yapılarda Analitik

Denklemlerin Geçerliliğinin Kanıtlanması

Şekil 2.116’ da verilen model bina en üstte 1267,62 kN/m değerinde üçgen yayılı

yatay yük etkisine maruz kalırsa; yapıda oluşan ötelenme değerleri Çizelge 2.24’ te,

dönme değerleri Çizelge 2.25’ te, eğrilik değerleri Çizelge 2.26’ da verildiği gibi elde

edilir.

139

Çizelge 2.24. Perde duvarlı-çerçeveli yapıya üçgen yayılı yatay yük etkimesi durumunda hesaplanan ötelenme sonuçları

Ötelenme (mm)



Denk. 2000 Kat

Denk. 2000 Kat

Denk. 2000 Kat

Denk. 2000

20 271,7 227,9 15 116,4 101,4 10 31,4 30,3 5 2,5 3,5 19 256,6 216,4 14 107,0 94,1 9 27,3 26,8 4 1,9 2,7 18 241,3 204,5 13 97,5 86,5 8 23,3 23,2 3 1,2 1,9 17 225,8 192,3 12 88,0 78,7 7 19,2 19,6 2 0,6 1,1 16 209,9 179,7 11 78,3 70,7 6 15,2 15,8 1 0,2 0,4 15 193,8 166,8 10 68,6 62,5 5 11,4 12,2 0 0,0 0,0 14 177,4 153,5 9 58,9 54,3 4 7,8 8,7 - - -

13 160,7 139,9 8 49,3 46,0 3 4,7 5,6 - - -

12 143,9 126,1 7 39,9 37,9 2 2,3 2,9 - - -

11 127,1 112,1 6 31,1 30,0 1 0,6 1,0 - - -

10 110,4 98,2 5 22,8 22,6 0 0,0 0,0 - - -

9 93,9 84,3 4 15,4 15,8 - - - - - -

8 77,9 70,8 3 9,2 9,9 - - - - - -

7 62,6 57,7 2 4,3 5,1 - - - - - -

6 48,3 45,3 1 1,1 1,7 - - - - - -

5 35,2 33,7 0 0,0 0,0 - - - - - -

4 23,6 23,4 - - - - - - - - -

3 13,9 14,5 - - - - - - - - -

2 6,5 7,3 - - - - - - - - -

1 1,7 2,4 - - - - - - - - -

0 0,0 0,0 - - - - - - - - -

Çizelge 2.24’ teki ötelenme değerleri Şekil 2.117’ de 20 katlı, Şekil 2.118’ de 15

katlı, Şekil 2.119’ da 10 katlı, Şekil 2.120’ de 5 katlı bina için grafik olarak

verilmiştir.

140

02468

101214161820

0,0 50,0 100,0 150,0 200,0 250,0 300,0

Ötelenme (mm)

Kat

Sev

iyes

i

Dif. Denk. SAP 2000

Şekil 2.117. 20 katlı perde duvarlı-çerçeveli yapıya üçgen yayılı yatay yük etkimesi durumunda hesaplanan ötelenme sonuçları

0

3

6

9

12

15

0,0 20,0 40,0 60,0 80,0 100,0 120,0 140,0

Ötelenme (mm)

Kat

Sev

iyes

i

Dif. Denk. SAP 2000


141

0

2

4

6

8

10

0,0 5,0 10,0 15,0 20,0 25,0 30,0 35,0

Ötelenme (mm)

Kat

Sev

iyes

i

Dif. Denk. SAP 2000


0

1

2

3

4

5

0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0

Ötelenme (mm)

Kat

Sev

iyes

i

Dif. Denk. SAP 2000


142

Çizelge 2.25. Perde duvarlı-çerçeveli yapıya üçgen yayılı yatay yük etkimesi durumunda hesaplanan dönme sonuçları

Dönme (rad)



Denk. 2000 Kat

Denk. 2000 Kat

Denk. 2000 Kat

Denk. 2000

20 0,00504 0,00369 15 0,00312 0,00237 10 0,00135 0,00113 5 0,00023 0,00027

19 0,00507 0,00383 14 0,00313 0,00244 9 0,00135 0,00116 4 0,00023 0,00027

18 0,00513 0,00393 13 0,00317 0,00252 8 0,00136 0,00120 3 0,00021 0,00026

17 0,00522 0,00403 12 0,00321 0,00258 7 0,00135 0,00122 2 0,00018 0,00025

16 0,00532 0,00415 11 0,00324 0,00264 6 0,00131 0,00121 1 0,00011 0,00020

15 0,00543 0,00426 10 0,00325 0,00268 5 0,00124 0,00117 0 0,00000 0,00000

14 0,00551 0,00436 9 0,00323 0,00269 4 0,00112 0,00108 - - -

13 0,00558 0,00444 8 0,00316 0,00266 3 0,00094 0,00095 - - -

12 0,00561 0,00450 7 0,00305 0,00260 2 0,00070 0,00075 - - -

11 0,00561 0,00451 6 0,00287 0,00248 1 0,00039 0,00053 - - -

10 0,00554 0,00449 5 0,00262 0,00230 0 0,00000 0,00000 - - -

9 0,00542 0,00442 4 0,00229 0,00206 - - - - - -

8 0,00523 0,00430 3 0,00187 0,00175 - - - - - -

7 0,00495 0,00411 2 0,00136 0,00133 - - - - - -

6 0,00459 0,00386 1 0,00074 0,00089 - - - - - -

5 0,00413 0,00353 0 0,00000 0,00000 - - - - - -

4 0,00356 0,00310 - - - - - - - - -

3 0,00288 0,00259 - - - - - - - - -

2 0,00206 0,00195 - - - - - - - - -

1 0,00111 0,00127 - - - - - - - - -

0 0,00000 0,00000 - - - - - - - - -

Çizelge 2.25’ teki dönme değerleri Şekil 2.121’ da 20 katlı, Şekil 2.122’ de 15 katlı,


143

02468

101214161820

0,000 0,001 0,002 0,003 0,004 0,005 0,006

Dönme (rad)K

at s

eviy

esi

Dif. Denk. SAP 2000

Şekil 2.121. 20 katlı perde duvarlı-çerçeveli yapıya üçgen yayılı yatay yük etkimesi durumunda hesaplanan dönme sonuçları

0

3

6

9

12

15

0,0000 0,0005 0,0010 0,0015 0,0020 0,0025 0,0030 0,0035

Dönme (rad)

Kat

sev

iyes

i

Dif. Denk. SAP 2000


144

0

2

4

6

8

10

0,0000 0,0002 0,0004 0,0006 0,0008 0,0010 0,0012 0,0014 0,0016

Dönme (rad)

Kat

sev

iyes

i

Dif. Denk. SAP 2000


0

1

2

3

4

5

0,00000 0,00005 0,00010 0,00015 0,00020 0,00025 0,00030

Dönme (rad)

Kat

sev

iyes

i

Dif. Denk. SAP 2000


145

Çizelge 2.26. Perde duvarlı-çerçeveli yapıya üçgen yayılı yatay yük etkimesi durumunda hesaplanan eğrilik sonuçları

Eğrilik (rad/m)



Denk. Kat

Denk. Kat

Denk. Kat

Denk.

20 0,000000 15 0,000000 10 0,000000 5 0,000000 19 -0,000016 14 -0,000009 9 -0,000002 4 0,000002 18 -0,000027 13 -0,000013 8 0,000000 3 0,000008 17 -0,000033 12 -0,000012 7 0,000007 2 0,000017 16 -0,000035 11 -0,000008 6 0,000018 1 0,000029 15 -0,000032 10 0,000001 5 0,000032 0 0,000042 14 -0,000027 9 0,000014 4 0,000049 - -

13 -0,000017 8 0,000029 3 0,000069 - -

12 -0,000005 7 0,000049 2 0,000092 - -

11 0,000011 6 0,000071 1 0,000116 - -

10 0,000030 5 0,000096 0 0,000143 - -

9 0,000052 4 0,000124 - - - -

8 0,000077 3 0,000155 - - - -

7 0,000105 2 0,000189 - - - -

6 0,000137 1 0,000226 - - - -

5 0,000171 0 0,000265 - - - -

4 0,000209 - - - - - -

3 0,000250 - - - - - -

2 0,000294 - - - - - -

1 0,000343 - - - - - -

0 0,000395 - - - - - -

Çizelge 2.26’ daki eğrilik değerleri Şekil 2.125’ te 20 katlı, Şekil 2.126’ da 15 katlı,


146

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

-0,0001 0,0001 0,0003 0,0005

Eğrilik (rad/m)

Kat

sev

iyes

i

Şekil 2.125. 20 katlı perde duvarlı-çerçeveli yapıya üçgen yayılı yatay yük etkimesi durumunda hesaplanan eğrilik sonuçları

0

3

6

9

12

15

-0,00005 0,00000 0,00005 0,00010 0,00015 0,00020 0,00025

Eğrilik (rad/m)

Kat

sev

iyes

i


147

0

2

4

6

8

10

-0,00004 0,00000 0,00004 0,00008 0,00012 0,00016

Eğrilik (rad/m)

Kat

sev

iyes

i


0

1

2

3

4

5

0,00000 0,00002 0,00004

Eğrilik (rad/m)

Kat

sev

iyes

i


148

2.3.2.2. Düzgün Yayılı Yük Altındaki Perde Duvarlı-Çerçeveli Yapılarda

Analitik Denklemlerin Geçerliliğinin Kanıtlanması

Şekil 2.116’ da verilen model bina en üstte 1267,62 kN/m değerinde düzgün yayılı

yatay yük etkisine maruz kalırsa; yapıda oluşan ötelenme değerleri Çizelge 2.27’ de,

dönme değerleri Çizelge 2.28’ de, eğrilik değerleri Çizelge 2.29’ da verildiği gibi

elde edilir.

Çizelge 2.27. Perde duvarlı-çerçeveli yapıya düzgün yayılı yatay yük etkimesi durumunda hesaplanan ötelenme sonuçları

Ötelenme (mm)



Denk. 2000 Kat

Denk. 2000 Kat

Denk. 2000 Kat

Denk. 2000

20 187,2 162,4 15 79,9 72,7 10 21,5 22,1 5 1,7 2,7 19 177,3 154,7 14 73,7 67,7 9 18,8 19,7 4 1,3 2,1 18 167,4 146,8 13 67,5 62,6 8 16,1 17,2 3 0,8 1,5 17 157,2 138,7 12 61,2 57,3 7 13,4 14,6 2 0,4 0,9 16 146,9 130,4 11 54,8 51,9 6 10,7 12,0 1 0,1 0,4 15 136,3 121,7 10 48,3 46,3 5 8,1 9,4 0 0,0 0,0 14 125,4 112,7 9 41,8 40,6 4 5,6 6,9 - - -

13 114,3 103,5 8 35,2 34,8 3 3,5 4,5 - - -

12 103,1 94,0 7 28,8 29,0 2 1,7 2,5 - - -

11 91,7 84,4 6 22,6 23,4 1 0,5 0,9 - - -

10 80,2 74,6 5 16,8 17,9 0 0,0 0,0 - - -

9 68,8 64,7 4 11,5 12,8 - - - - - -

8 57,6 54,9 3 6,9 8,2 - - - - - -

7 46,7 45,3 2 3,3 4,3 - - - - - -

6 36,3 36,0 1 0,9 1,5 - - - - - -

5 26,7 27,2 0 0,0 0,0 - - - - - -

4 18,1 19,2 - - - - - - - - -

3 10,8 12,1 - - - - - - - - -

2 5,1 6,3 - - - - - - - - -

1 1,3 2,1 - - - - - - - - -

0 0,0 0,0 - - - - - - - - -

149

Çizelge 2.27’ daki ötelenme değerleri Şekil 2.129’ da 20 katlı, Şekil 2.130’ da 15

katlı, Şekil 2.131’ de 10 katlı, Şekil 2.132’ de 5 katlı bina için grafik olarak

verilmiştir.

02468

101214161820

0,0 50,0 100,0 150,0 200,0

Ötelenme (mm)

Kat

Sev

iyes

i

Dif. Denk. SAP 2000

Şekil 2.129. 20 katlı perde duvarlı-çerçeveli yapıya düzgün yayılı yatay yük etkimesi durumunda hesaplanan ötelenme sonuçları

0

3

6

9

12

15

0,0 20,0 40,0 60,0 80,0 100,0

Ötelenme (mm)

Kat

Sev

iyes

i

Dif. Denk. SAP 2000


150

0

2

4

6

8

10

0,0 5,0 10,0 15,0 20,0 25,0

Ötelenme (mm)

Kat

Sev

iyes

i

Dif. Denk. SAP 2000


0

1

2

3

4

5

0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0

Ötelenme (mm)

Kat

Sev

iyes

i

Dif. Denk. SAP 2000


151

Çizelge 2.28. Perde duvarlı-çerçeveli yapıya düzgün yayılı yatay yük etkimesi durumunda hesaplanan dönme sonuçları

Dönme (rad)



Denk. 2000 Kat

Denk. 2000 Kat

Denk. 2000 Kat

Denk. 2000

20 0,00329 0,00255 15 0,00205 0,00167 10 0,00089 0,00082 5 0,00015 0,00021

19 0,00330 0,00257 14 0,00206 0,00167 9 0,00090 0,00083 4 0,00015 0,00021

18 0,00335 0,00265 13 0,00209 0,00173 8 0,00090 0,00085 3 0,00014 0,00021

17 0,00341 0,00272 12 0,00212 0,00177 7 0,00090 0,00086 2 0,00012 0,00019

16 0,00349 0,00281 11 0,00215 0,00182 6 0,00089 0,00087 1 0,00008 0,00017

15 0,00357 0,00290 10 0,00217 0,00186 5 0,00085 0,00085 0 0,00000 0,00000

14 0,00366 0,00298 9 0,00218 0,00189 4 0,00078 0,00081 - - -

13 0,00373 0,00306 8 0,00216 0,00190 3 0,00067 0,00073 - - -

12 0,00379 0,00313 7 0,00211 0,00188 2 0,00051 0,00060 - - -

11 0,00382 0,00318 6 0,00201 0,00183 1 0,00029 0,00040 - - -

10 0,00382 0,00321 5 0,00187 0,00173 0 0,00000 0,00000 - - -

9 0,00378 0,00320 4 0,00166 0,00158 - - - - - -

8 0,00369 0,00316 3 0,00138 0,00138 - - - - - -

7 0,00355 0,00307 2 0,00102 0,00108 - - - - - -

6 0,00334 0,00293 1 0,00057 0,00077 - - - - - -

5 0,00305 0,00273 0 0,00000 0,00000 - - - - - -

4 0,00267 0,00245 - - - - - - - - -

3 0,00219 0,00209 - - - - - - - - -

2 0,00160 0,00161 - - - - - - - - -

1 0,00087 0,00110 - - - - - - - - -

0 0,00000 0,00000 - - - - - - - - -

Çizelge 2.28’ deki dönme değerleri Şekil 2.133’ te 20 katlı, Şekil 2.134’ te 15 katlı,

Şekil 2.135’ te 10 katlı, Şekil 2.136’ da 5 katlı bina için grafik olarak verilmiştir.

152

02468

101214161820

0,000 0,001 0,002 0,003 0,004 0,005

Dönme (rad)

Kat

sev

iyes

i

Dif. Denk. SAP 2000

Şekil 2.133. 20 katlı perde duvarlı-çerçeveli yapıya düzgün yayılı yatay yük etkimesi durumunda hesaplanan dönme sonuçları

0

3

6

9

12

15

0,0000 0,0005 0,0010 0,0015 0,0020 0,0025

Dönme (rad)

Kat

sev

iyes

i

Dif. Denk. SAP 2000


153

0

2

4

6

8

10

0,0000 0,0002 0,0004 0,0006 0,0008 0,0010

Dönme (rad)

Kat

sev

iyes

i

Dif. Denk. SAP 2000


0

1

2

3

4

5

0,00000 0,00005 0,00010 0,00015 0,00020 0,00025

Dönme (rad)

Kat

sev

iyes

i

Dif. Denk. SAP 2000


154

Çizelge 2.29. Perde duvarlı-çerçeveli yapıya düzgün yayılı yatay yük etkimesi durumunda hesaplanan eğrilik sonuçları

Eğrilik (rad/m)



Denk. Kat

Denk. Kat

Denk. Kat

Denk.

20 0,000000 15 0,000000 10 0,000000 5 0,000000 19 -0,000011 14 -0,000006 9 -0,000002 4 0,000001 18 -0,000019 13 -0,000010 8 -0,000001 3 0,000004 17 -0,000024 12 -0,000011 7 0,000002 2 0,000011 16 -0,000027 11 -0,000009 6 0,000008 1 0,000020 15 -0,000028 10 -0,000005 5 0,000017 0 0,000032 14 -0,000026 9 0,000002 4 0,000029 - -

13 -0,000022 8 0,000011 3 0,000044 - -

12 -0,000015 7 0,000024 2 0,000063 - -

11 -0,000006 6 0,000039 1 0,000084 - -

10 0,000006 5 0,000058 0 0,000110 - -

9 0,000020 4 0,000080 - - - -

8 0,000038 3 0,000106 - - - -

7 0,000059 2 0,000136 - - - -

6 0,000083 1 0,000170 - - - -

5 0,000111 0 0,000208 - - - -

4 0,000142 - - - - - -

3 0,000178 - - - - - -

2 0,000219 - - - - - -

1 0,000265 - - - - - -

0 0,000317 - - - - - -

Çizelge 2.29’ daki eğrilik değerleri Şekil 2.137’ de 20 katlı, Şekil 2.138’ de 15 katlı,

Şekil 2.139’ da 10 katlı, Şekil 2.140’ ta 5 katlı bina için grafik olarak verilmiştir.

155

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

-0,00005 0,00000 0,00005 0,00010 0,00015 0,00020 0,00025 0,00030

Eğrilik (rad/m)

Kat

sev

iyes

i

Şekil 2.137. 20 katlı perde duvarlı-çerçeveli yapıya düzgün yayılı yatay yük etkimesi durumunda hesaplanan eğrilik sonuçları

0

3

6

9

12

15

-0,00005 0,00000 0,00005 0,00010 0,00015 0,00020

Eğrilik (rad/m)

Kat

sev

iyes

i


156

0

2

4

6

8

10

-0,00002 0,00000 0,00002 0,00004 0,00006 0,00008 0,00010

Eğrilik (rad/m)

Kat

sev

iyes

i


0

1

2

3

4

5

0,000000 0,000005 0,000010 0,000015 0,000020 0,000025

Eğrilik (rad/m)

Kat

sev

iyes

i


157

2.3.2.3. En Üstte Tekil Yatay Yüke Maruz Perde Duvarlı-Çerçeveli Yapılarda

Analitik Denklemlerin Geçerliliğinin Kanıtlanması

Şekil 2.116’ da verilen model bina en üstte 1000 kN değerinde tekil yük etkisine



Çizelge 2.30. Perde duvarlı-çerçeveli yapıya en üst seviyesinde tekil yatay yük etkimesi durumunda hesaplanan ötelenme sonuçları

Ötelenme (mm)



Denk. 2000 Kat

Denk. 2000 Kat

Denk. 2000 Kat

Denk. 2000

20 12,6 10,0 15 7,3 5,9 10 3,0 2,6 5 0,5 0,6 19 11,7 9,3 14 6,6 5,4 9 2,5 2,2 4 0,3 0,4 18 10,8 8,7 13 5,9 4,8 8 2,1 1,9 3 0,2 0,3 17 10,0 8,0 12 5,2 4,3 7 1,7 1,5 2 0,1 0,1 16 9,1 7,3 11 4,5 3,8 6 1,3 1,2 1 0,0 0,0 15 8,2 6,7 10 3,9 3,3 5 1,0 0,9 0 0,0 0,0 14 7,4 6,0 9 3,3 2,8 4 0,6 0,6 - - -

13 6,6 5,4 8 2,7 2,3 3 0,4 0,4 - - -

12 5,8 4,7 7 2,1 1,8 2 0,2 0,2 - - -

11 5,0 4,1 6 1,6 1,4 1 0,0 0,1 - - -

10 4,3 3,6 5 1,2 1,0 0 0,0 0,0 - - -

9 3,6 3,0 4 0,8 0,7 - - - - - -

8 2,9 2,5 3 0,5 0,4 - - - - - -

7 2,3 2,0 2 0,2 0,2 - - - - - -

6 1,7 1,5 1 0,1 0,1 - - - - - -

5 1,3 1,1 0 0,0 0,0 - - - - - -

4 0,8 0,8 - - - - - - - - -

3 0,5 0,5 - - - - - - - - -

2 0,2 0,2 - - - - - - - - -

1 0,1 0,1 - - - - - - - - -

0 0,0 0,0 - - - - - - - - -

Çizelge 2.30’ daki ötelenme değerleri Şekil 2.141’ de 20 katlı, Şekil 2.142’ de 15

katlı, Şekil 2.143’ te 10 katlı, Şekil 2.144’ te 5 katlı bina için grafik olarak

verilmiştir.

158

02468

101214161820

0,0 2,0 4,0 6,0 8,0 10,0 12,0 14,0

Ötelenme (mm)

Kat

Sev

iyes

i

Dif. Denk. SAP 2000

Şekil 2.141. 20 katlı perde duvarlı-çerçeveli yapıya en üst seviyesinde tekil yatay yük etkimesi durumunda hesaplanan ötelenme sonuçları

0

3

6

9

12

15

0,0 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0 6,0 7,0 8,0

Ötelenme (mm)

Kat

Sev

iyes

i

Dif. Denk. SAP 2000


159

0

2

4

6

8

10

0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5

Ötelenme (mm)

Kat

Sev

iyes

i

Dif. Denk. SAP 2000

Şekil 2. 143. 10 katlı perde duvarlı-çerçeveli yapıya en üst seviyesinde tekil yatay yük etkimesi durumunda hesaplanan ötelenme sonuçları

0

1

2

3

4

5

0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6

Ötelenme (mm)

Kat

Sev

iyes

i

Dif. Denk. SAP 2000


160

Çizelge 2.31. Perde duvarlı-çerçeveli yapıya en üst seviyesinde tekil yatay yük etkimesi durumunda hesaplanan dönme sonuçları

Dönme (rad)



Denk. 2000 Kat

Denk. 2000 Kat

Denk. 2000 Kat

Denk. 2000

20 0,00030 0,00034 15 0,00023 0,00027 10 0,00015 0,00016 5 0,00005 0,00006

19 0,00030 0,00034 14 0,00023 0,00027 9 0,00014 0,00016 4 0,00005 0,00006

18 0,00029 0,00034 13 0,00023 0,00026 8 0,00014 0,00016 3 0,00004 0,00006

17 0,00029 0,00033 12 0,00023 0,00025 7 0,00013 0,00015 2 0,00003 0,00005

16 0,00029 0,00033 11 0,00022 0,00025 6 0,00012 0,00014 1 0,00002 0,00003

15 0,00028 0,00032 10 0,00021 0,00024 5 0,00011 0,00013 0 0,00000 0,00000

14 0,00028 0,00032 9 0,00020 0,00023 4 0,00010 0,00011 - - -

13 0,00027 0,00031 8 0,00019 0,00021 3 0,00008 0,00009 - - -

12 0,00026 0,00030 7 0,00018 0,00020 2 0,00006 0,00007 - - -

11 0,00025 0,00029 6 0,00016 0,00018 1 0,00003 0,00005 - - -

10 0,00024 0,00028 5 0,00014 0,00016 0 0,00000 0,00000 - - -

9 0,00023 0,00026 4 0,00012 0,00014 - - - - - -

8 0,00021 0,00024 3 0,00009 0,00011 - - - - - -

7 0,00019 0,00023 2 0,00007 0,00008 - - - - - -

6 0,00017 0,00020 1 0,00004 0,00005 - - - - - -

5 0,00015 0,00018 0 0,00000 0,00000 - - - - - -

4 0,00013 0,00015 - - - - - - - - -

3 0,00010 0,00012 - - - - - - - - -

2 0,00007 0,00009 - - - - - - - - -

1 0,00004 0,00006 - - - - - - - - -

0 0,00000 0,00000 - - - - - - - - -

Çizelge 2.31’ deki dönme değerleri Şekil 2.145’ te 20 katlı, Şekil 2.146’ da 15 katlı,


161

02468

101214161820

0,0000 0,0001 0,0002 0,0003 0,0004

Dönme (rad)K

at s

eviy

esi

Dif. Denk. SAP 2000

Şekil 2.145. 20 katlı perde duvarlı-çerçeveli yapıya en üst seviyesinde tekil yatay yük etkimesi durumunda hesaplanan dönme sonuçları

0

3

6

9

12

15

0,0000 0,0001 0,0002 0,0003

Dönme (rad)

Kat

sev

iyes

i

Dif. Denk. SAP 2000


162

0

2

4

6

8

10

0,00000 0,00005 0,00010 0,00015 0,00020

Dönme (rad)

Kat

sev

iyes

i

Dif. Denk. SAP 2000


0

1

2

3

4

5

0,00000 0,00005 0,00010 0,00015 0,00020

Dönme (rad)

Kat

sev

iyes

i

Dif. Denk. SAP 2000

Şekil 2.148. 5 katlı perde duvarlı-çerçeveli yapıya en üst seviyesinde tekil yatay yük

etkimesi durumunda hesaplanan dönme sonuçları

163

Çizelge 2.32. Perde duvarlı-çerçeveli yapıya en üst seviyesinde tekil yatay yük etkimesi durumunda hesaplanan eğrilik sonuçları

Eğrilik (rad/m)



Denk. Kat

Denk. Kat

Denk. Kat

Denk.

20 0,000000 15 0,000000 10 0,000000 5 0,000000 19 0,000000 14 0,000001 9 0,000001 4 0,000001 18 0,000001 13 0,000001 8 0,000002 3 0,000003 17 0,000001 12 0,000002 7 0,000003 2 0,000004 16 0,000001 11 0,000002 6 0,000004 1 0,000005 15 0,000002 10 0,000003 5 0,000005 0 0,000007 14 0,000002 9 0,000004 4 0,000006 - -

13 0,000003 8 0,000004 3 0,000007 - -

12 0,000003 7 0,000005 2 0,000008 - -

11 0,000004 6 0,000006 1 0,000009 - -

10 0,000004 5 0,000007 0 0,000011 - -

9 0,000005 4 0,000008 - - - -

8 0,000005 3 0,000009 - - - -

7 0,000006 2 0,000010 - - - -

6 0,000007 1 0,000011 - - - -

5 0,000008 0 0,000012 - - - -

4 0,000009 - - - - - -

3 0,000010 - - - - - -

2 0,000011 - - - - - -

1 0,000012 - - - - - -

0 0,000013 - - - - - -

Çizelge 2.32’ deki eğrilik değerleri Şekil 2.149’ da 20 katlı, Şekil 2.150’ de 15 katlı,


164

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

0,000000 0,000005 0,000010 0,000015 0,000020

Eğrilik (rad/m)

Kat

sev

iyes

i

Şekil 2.149. 20 katlı perde duvarlı-çerçeveli yapıya en üst seviyesinde tekil yatay yük etkimesi durumunda hesaplanan eğrilik sonuçları

0

3

6

9

12

15

0,000000 0,000005 0,000010 0,000015

Eğrilik (rad/m)

Kat

sev

iyes

i


165

0

2

4

6

8

10

0,000000 0,000005 0,000010

Eğrilik (rad/m)

Kat

sev

iyes

i


0

1

2

3

4

5

0,000000 0,000005 0,000010

Eğrilik (rad/m)

Kat

sev

iyes

i


166

3. BULGULAR

3.1. Çerçeveli Yapılarda Ötelenme Problemleri

3.1.1. GA Kayma Rijitliğini ve Çatı Deplasmanını Etkileyen Faktörler

Çerçeveli yapıya ait kayma rijitliği denklemi daha önceki bölümlerde enerji

yöntemleri ile Denklem (3.1)’ deki gibi elde edilmişti.

+

+

=

2

2b

1

1bc

c2

c

cc

II .

I . 21

1 .

I . E . 12GA

lll

l

(3.1)

(3.1) denklemi düzenlenirse, (3.2) ifadesi elde edilebilir.

2

2b

1

1b

c

c

2

2b

1

1b

2c

cc

III . 2

II

. I . E . 12

GA

lll

ll

l ++

+

= (3.2)

(3.2) denkleminden de görüldüğü gibi GA kayma rijitliği; betonun elastisite

modülüne, kolon ve kiriş rijitliği parametrelerine bağlıdır. Kolon ve kiriş

rijitliğindeki değişimler, GA değerini yaklaşık aynı oranda etkilemektedir.

Yapıdaki kiriş boyutları, genellikle aşağıda belirtilen şartları sağlayacak şekilde

seçilir. Dolayısıyla, yapıya ait kiriş boyutları, kiriş açıklığına bağlı olarak kolaylıkla

belirlenebilmektedir (Atımtay, 2001).

h12

L≥

bw2

h≥

167

L : Kiriş açıklığı

h : Kiriş yüksekliği

bw : Kiriş gövde genişliği

1997 Deprem Yönetmeliği’ nde; kolon boyutlarına, minimum bir sınırlama

getirilmiş, ancak tasarımın ekonomik olabilmesi için herhangi bir üst sınıra

dolayısıyla kolon boyutundaki artışın, yapının davranışına olan etkisinin ne zaman

azaldığı ile ilgili herhangi bir kritere yer verilmemiştir. Tezin bu bölümünde, kolon

boyutlarındaki artışın, GA ve çatı deplasmanı üzerindeki etkisini araştırmak üzere

Şekil 3.1’ deki bina model olarak seçilmiş ve bu bina modeline ait bilgiler Çizelge

3.1’ de verilmiştir. Çerçeve açıklıkları 3, 4, 5, 6 ve 7 m olarak ayrı ayrı ele alınmış ve

kiriş boyutları bu değerlere göre yukarıda verilen yaklaşımla hesap edilmiştir.

Açıklık değerlerinin her biri için, kolonlar 30/30 ile 70/70 arasında değişen

boyutlarda seçilmiş ve her bir durum için analizleri yapılmıştır.

Şekil 3.1. Kolon boyutları artışının GA ve çatı deplasmanı üzerindeki etkisini incelemek için seçilen bina modeli

6 .

L

10 . L

168

Çizelge 3.1. Kolon boyutları artışının GA ve çatı deplasmanı üzerindeki etkisini incelemek için seçilen bina modeline ait özellikler

Kat sayısı 5, 10, 20 hkat 3 m

Kolon boyutları 30/30-35/35-40/40-45/45-50/50-55/55-60/60-65/65-70/70

Farklı açıklıklar ve seçilen kiriş boyutları

L=3m için 25/35 (Tablalı) L=4m için 25/40 (Tablalı) L=5m için 25/45 (Tablalı) L=6 m için 25/50 (Tablalı) L=7 m için 25/60 (Tablalı)

p 200 kN/m hf 12 cm gilave 2 kN/m2

q 3,5 kN/m2

Ec 28 500 000 kN/m2

GA ve çatı deplasmanı ifadelerinde, kolon ve kiriş redörleri bir parametre olarak

karşımıza çıktığından, elde edilen sonuçların değerlendirilmesinde kolon redörünün

kiriş redörüne oranı (Rc/Rb) esas alınmıştır. Böylece tüm değişkenleri de içinde

bulunduran bir parametre elde edilmiştir.

Farklı kat adetleri ve Rc/Rb oranları için yapıya ait hesap edilen; GA ve çatı

deplasmanı sonuçları, Çizelge 3.2’ de verilmiştir. Elde edilen GA kayma rijitliği

sonuçları Şekil 3.2’ de, çatı deplasmanı sonuçları ise 20 katlı bina için Şekil 3.3’ te,

10 katlı bina için Şekil 3.4’ te ve 5 katlı bina için Şekil 3.5’ te grafik olarak

gösterilmiştir.

169

Çizelge 3.2. Model binada farklı kat adedi ve Rc/Rb oranları için hesap edilen GA ve çatı deplasmanı değerleri

Kolon Kiriş Çatı deplasmanı (mm)

Ic Rc=Ic/lc Ib lb Rb=Ib/lb GA

Boyut (dm4) (dm3)

Boyut (dm4) (m) (dm3)

Rc/Rb

(kN) 20 katlı 10 katlı 5 katlı

30/30 6,75 0,23 25/35 17,86 3 0,60 0,38 1 345 296 178,4 44,6 11,1 35/35 12,51 0,42 25/35 17,86 3 0,60 0,70 1 973 003 121,6 30,4 7,6 40/40 21,33 0,71 25/35 17,86 3 0,60 1,19 2 558 407 93,8 23,5 5,9 45/45 34,17 1,14 25/35 17,86 3 0,60 1,91 3 043 882 78,8 19,7 4,9 50/50 52,08 1,74 25/35 17,86 3 0,60 2,92 3 417 539 70,2 17,6 4,4 55/55 76,26 2,54 25/35 17,86 3 0,60 4,27 3 693 457 65,0 16,2 4,1 60/60 108,00 3,60 25/35 17,86 3 0,60 6,05 3 893 453 61,6 15,4 3,9 65/65 148,76 4,96 25/35 17,86 3 0,60 8,33 4 037 820 59,4 14,9 3,7 70/70 200,08 6,67 25/35 17,86 3 0,60 11,20 4 142 485 57,9 14,5 3,6 30/30 6,75 0,23 25/40 26,67 4 0,67 0,34 1 391 662 172,5 43,1 10,8 35/35 12,51 0,42 25/40 26,67 4 0,67 0,63 2 072 635 115,8 28,9 7,2 40/40 21,33 0,71 25/40 26,67 4 0,67 1,07 2 726 611 88,0 22,0 5,5 45/45 34,17 1,14 25/40 26,67 4 0,67 1,71 3 283 503 73,1 18,3 4,6 50/50 52,08 1,74 25/40 26,67 4 0,67 2,60 3 721 573 64,5 16,1 4,0 55/55 76,26 2,54 25/40 26,67 4 0,67 3,81 4 050 554 59,3 14,8 3,7 60/60 108,00 3,60 25/40 26,67 4 0,67 5,40 4 292 028 55,9 14,0 3,5 65/65 148,76 4,96 25/40 26,67 4 0,67 7,44 4 467 948 53,7 13,4 3,4 70/70 200,08 6,67 25/40 26,67 4 0,67 10,00 4 596 350 52,2 13,1 3,3

30/30 6,75 0,23 25/45 37,97 5 0,76 0,30 1 442 621 166,4 41,6 10,4 35/35 12,51 0,42 25/45 37,97 5 0,76 0,55 2 185 692 109,8 27,5 6,9 40/40 21,33 0,71 25/45 37,97 5 0,76 0,94 2 923 297 82,1 20,5 5,1 45/45 34,17 1,14 25/45 37,97 5 0,76 1,50 3 570 961 67,2 16,8 4,2 50/50 52,08 1,74 25/45 37,97 5 0,76 2,29 4 093 797 58,6 14,7 3,7 55/55 76,26 2,54 25/45 37,97 5 0,76 3,35 4 494 548 53,4 13,3 3,3 60/60 108,00 3,60 25/45 37,97 5 0,76 4,74 4 793 302 50,1 12,5 3,1 65/65 148,76 4,96 25/45 37,97 5 0,76 6,53 5 013 475 47,9 12,0 3,0 70/70 200,08 6,67 25/45 37,97 5 0,76 8,78 5 175 547 46,4 11,6 2,9 30/30 6,75 0,23 25/50 52,08 6 0,87 0,26 1 491 995 160,9 40,2 10,1 35/35 12,51 0,42 25/50 52,08 6 0,87 0,48 2 298 976 104,4 26,1 6,5 40/40 21,33 0,71 25/50 52,08 6 0,87 0,82 3 126 859 76,8 19,2 4,8 45/45 34,17 1,14 25/50 52,08 6 0,87 1,31 3 877 004 61,9 15,5 3,9 50/50 52,08 1,74 25/50 52,08 6 0,87 2,00 4 499 306 53,3 13,3 3,3 55/55 76,26 2,54 25/50 52,08 6 0,87 2,93 4 986 939 48,1 12,0 3,0 60/60 108,00 3,60 25/50 52,08 6 0,87 4,15 5 356 721 44,8 11,2 2,8 65/65 148,76 4,96 25/50 52,08 6 0,87 5,71 5 632 769 42,6 10,7 2,7 70/70 200,08 6,67 25/50 52,08 6 0,87 7,68 5 837 930 41,1 10,3 2,6 30/30 6,75 0,23 25/60 90,00 7 1,29 0,18 1 618 638 148,3 37,1 9,3 35/35 12,51 0,42 25/60 90,00 7 1,29 0,32 2 607 903 92,0 23,0 5,8 40/40 21,33 0,71 25/60 90,00 7 1,29 0,55 3 717 623 64,6 16,1 4,0 45/45 34,17 1,14 25/60 90,00 7 1,29 0,89 4 817 561 49,8 12,5 3,1 50/50 52,08 1,74 25/60 90,00 7 1,29 1,35 5 808 089 41,3 10,3 2,6 55/55 76,26 2,54 25/60 90,00 7 1,29 1,98 6 640 346 36,1 9,0 2,3 60/60 108,00 3,60 25/60 90,00 7 1,29 2,80 7.308.000 32,8 8,2 2,1 65/65 148,76 4,96 25/60 90,00 7 1,29 3,86 7 828 790 30,7 7,7 1,9 70/70 200,08 6,67 25/60 90,00 7 1,29 5,19 8 229 081 29,2 7,3 1,8

170

0

1.000.000

2.000.000

3.000.000

4.000.000

5.000.000

6.000.000

7.000.000

8.000.000

9.000.000

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

Rc/Rb

GA

(kN

)

L=3 m L=4 m L=5 m L=6 m L=7 m

(30/30)

(35/35)

(40/40)

(50/50)(55/55) (60/60)

(65/65) (70/70)

(45/45)

Kiriş 25/60

Kiriş 25/50

Kiriş 25/45Kiriş 25/40

Kiriş 25/35

Şekil 3.2. Farklı çerçeve açıklıkları için Rc/Rb oranının GA üzerindeki etkisi

0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

200

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

Rc/Rb

Çat

ı D

ep. (

mm

)

L=3 m L=4 m L=5 m L=6 m L=7 m

Kiriş 25/40

Kiriş 25/35

Kiriş 25/45Kiriş 25/50Kiriş 25/60

(30/30)

(35/35)

(40/40)

(45/45)(50/50)

(55/55) (60/60) (65/65) (70/70)

Şekil 3.3. 20 katlı çerçeveli binada farklı çerçeve açıklıkları için Rc/Rb oranının çatı deplasmanı üzerindeki etkisi

171

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

Rc/Rb

Çat

ı D

ep. (

mm

)

L=3 m L=4 m L=5 m L=6 m L=7 m


Kiriş 25/45Kiriş 25/50Kiriş 25/60

(30/30)

(35/35)

(40/40)

(45/45)(50/50)

(55/55) (60/60) (65/65) (70/70)


0

2

4

6

8

10

12

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

Rc/Rb

Çat

ı D

ep. (

mm

)

L=3 m L=4 m L=5 m L=6 m L=7 m

Kiriş 25/40

Kiriş 25/35


Kiriş 25/60

(30/30)

(35/35)

(40/40)

(45/45)(50/50)

(55/55) (60/60) (65/65) (70/70)


Model bina üzerinde yapılan çalışmada, kolon boyutundaki artışın, GA kayma

rijitliği ve yanal ötelenme üzerindeki etkisinin Rc/Rb>2 olması durumunda azaldığı

Şekil 3.2, Şekil 3.3, Şekil 3.4 ve Şekil 3.5’ te verilen grafiklerden görülmektedir.

172

Öyleyse kat sayısı ve açıklıklar ne olursa olsun kolon boyutlarının; Rc/Rb<2 olması

durumunda etkili olduğu söylenebilir. Kolon boyutları belirlenirken, kolon redörünün

tablalı kiriş redörüne oranının en fazla 2 katına eşit olacak şekilde tasarlanması

yeterlidir. Tablalı kiriş atalet momenti, dikdörtgen kiriş atalet momentinin 2 katı

olarak alınabilir. O halde yapıların tasarımı sırasında kolon boyutlarındaki artışın

ötelenmeye olan etkisi, Rc/Rb>2 olması durumunda azaldığından bu aşamadan sonra

perde duvar kullanımına geçilmesi gerektiği söylenebilir.

3.1.2. Çerçeveli Yapılarda Yapının Yükseklik/Genişlik (H/B) Oranı Yanal

Ötelenmeyi Ne Kadar Etkiliyor?

Yatay yüklere maruz çok katlı bir yapının yüksekliği arttıkça, kolonların eksenel

deformasyonlarından doğan ek yanal ötelenmeler önem kazanmaya başlar. Yapının

yükseklik/genişlik (H/B) oranının, yanal ötelenmeyi ne kadar etkilediğini araştırmak

için üçgen yayılı yatay yük etkisindeki 10 katlı çerçeve (Şekil 3.6) model olarak

seçilmiş ve bu modele ait özellikler Çizelge 3.3’te verilmiştir.

H

L L

B

Şekil 3.6. Çerçeve modeli

173

Çizelge 3.3. Çerçevenin özellikleri

Kat Sayısı 10 p 10 kN/m hkat 3 m Kolonlar 50/50 Kirişler 25/45

L(m) 5,0-4,5- 4,2- 4,0- 3,7- 3,5-3,3- 3,0- 2,8- 2,7- 2,6-2,5- 2,4- 2,3- 2,2- 2,0

Değişik H/B oranları elde etmek için yapı yüksekliği sabit tutulmuş, Çizelge 3.3’ te

verilen çerçeve açıklıkları (L) değiştirilmiştir. Her bir kombinasyon için diferensiyel

denklemler yardımıyla çatı deplasmanı hesaplanmıştır. Bunun için, önce kolon

eksenel deformasyonlarını dikkate almadan y1, sonra kolon eksenel

deformasyonlarından meydana gelen y2 ötelenmeleri hesap edilmiştir. Buradan; y1 ve

y2 ötelenmeleri toplanarak kolon düşey deformasyonlarını da dikkate alan toplam

ötelenme (y) bulunmuştur (Çizelge 3.4). Üçgen yayılı yatay yük altında çerçeveli

yapının kolon eksenel deformasyonlarını da dikkate alan ötelenme denklemi daha

önceki bölümlerde (2.57) ifadesiyle elde edilmişti. Bu denklemin y1 ve y2

ötelenmeleri aşağıdaki ifadeler ile elde edilebilir.

H

xk

K

GA . H

o

==λ

−=

3

kk .

GA . 2

H . py

32

1 ( )23522

2 k . 20k . 10k . 60

. GA . 2

H . py +−

λ=

( )

+−

λ+−=+= 235

232

21 k . 20k . 10k . 603

kk .

GA . 2

H . pyyy

Çizelge 3.4’ te elde edilen sonuçlar, Şekil 3.7 ve Şekil 3.8’ de grafik olarak

gösterilmiştir.

174

Çizelge 3.4. Farklı H/B oranı için hesaplanan çatı deplasmanı

Çatı Dep. (mm) y2/y1 y2/y H/B L (m)

y1 y2 y (%) (%)

3,00 5,0 22,9 2,1 25,0 9 8

3,33 4,5 21,1 2,6 23,7 12 11

3,57 4,2 20,1 3,0 23,0 15 13

3,75 4,0 19,4 3,3 22,6 17 14

4,05 3,7 18,3 3,8 22,1 21 17

4,29 3,5 17,6 4,3 21,9 24 19

4,55 3,3 16,9 4,8 21,7 28 22

5,00 3,0 15,9 5,8 21,6 37 27

5,36 2,8 15,2 6,6 21,8 44 30

5,56 2,7 14,8 7,1 21,9 48 33

5,77 2,6 14,5 7,7 22,2 53 35

6,00 2,5 14,1 8,3 22,4 59 37

6,25 2,4 13,7 9,0 22,8 66 40

6,52 2,3 13,4 9,8 23,2 74 42

6,82 2,2 13,0 10,8 23,8 83 45

7,50 2,0 12,3 13,0 25,4 106 51

Şekil 3.7’ de H/B oranı değişiminin y1 ve y2 ötelenme değerlerine etkisi grafik olarak

gösterilmiştir. H/B oranı arttıkça, y1 ötelenme değeri azalmakta, y2 ötelenme değeri

ise artmaktadır. Dolayısıyla H/B oranı büyük olan yapılarda, kolon eksenel

deformasyonlarının ötelenmeye etkisi dikkate alınmaz ise büyük yanlışlıklar

yapılabilir.

Şekil 3.8’ de her bir kombinasyon için toplam ötelenme değeri %100 değerine

eşitlenerek y2 değerinin y ötelenmesini hangi mertebede etkilediği gösterilmiştir.

175

0

5

10

15

20

25

3,00

3,33

3,57

3,75

4,05

4,29

4,55

5,00

5,36

5,56

5,77

6,00

6,25

6,52

6,82

7,50

H/B

Çat

ı K

atı

Öte

lenm

esi

(mm

)

y1 y2

Şekil 3.7. Çerçeveli yapıdaki H/B oranı değişiminin çatı deplasmanına etkisi

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

3,00

3,33

3,57

3,75

4,05

4,29

4,55

5,00

5,36

5,56

5,77

6,00

6,25

6,52

6,82

7,50

H/B

Çat

ı K

atı

Öte

lenm

esi

(%)

y1 y2

Şekil 3.8. Çerçeveli yapıdaki H/B oranı değişiminin çatı deplasmanına etkisi (%)

Şekil 3.7 ve Şekil 3.8’ e bakıldığında, yapının H/B oranının, yanal ötelenmesinde

önemli bir parametre olduğu görülebilir. H/B oranı arttıkça kolon eksenel

deformasyonlarının ötelenmeye etkisi önemli miktarda artmaktadır. Bu yüzden

tasarım sırasında ötelenmeler hesaplanırken H/B oranı mutlaka kontrol edilmelidir.

176

Kolon eksenel deformasyonlarının, yanal ötelenmeyi %20 kadar etkilediği zaman

dikkate alınması gerektiği söylenebilir. Şekil 3.8’ deki grafikten H/B oranının 4’ ten

büyük olması durumunda kolon eksenel deformasyonlarının etkili olmaya başladığı

görülebilir. Yapının uzun ve kısa yönleri için H/B oranı farklı olacağından, eksenel

kısalmaların dikkate alınması, binanın uzun yönü için gerekmeyebilirken, kısa yönü

için gerekli olabilir. Bu nedenle yapının her iki yönü için H/B oranı mutlaka kontrol

edilmelidir.

3.1.3. Çerçeveli Yapılarda Stabilite İndeksi İçin Analitik İlişkinin Türetilmesi

Deprem yapıya bir enerji yüklemesi yapar. Bu enerji yapı içerisinde tüketilerek

dengelenir. Deprem zorlamaları altında enerji tüketimi kiriş uçlarında plastik

moment mafsalları ile oluşmalı, kolonlarda hasar oluşmamalıdır. Kolonlar ayakta

kalırsa, yapı da ayakta kalır ve çökme oluşmaz. O halde depreme maruz yapıda,

kolonların hasarsız ayakta kalmaları yaşamsal önemdedir. Buradan hareketle, kolon

tasarımının çok iyi yapılması gerektiği sonucuna zorlanmadan ulaşılır.

Betonarme kolonun taşıma kapasitesi, maruz kaldığı eksenel yük ve moment

büyüklüklerine bağlı olarak saptanır. Kolonu etkileyen eksenel yük “yük alan payı”

yaklaşımı ile bulunabilir. Ayrıca, devrilme momenti etkisi ile oluşan (±∆N) eksenel

yükleri de dikkate alınmalıdır. Taşıyıcı sistemin çözümlenmesi sonucunda, kolonu

etkileyen yük etkileri (Nd, Md) olarak bulunur. Bulunan (Nd, Md) büyüklükleri,

birinci mertebe hesap sonuçları olarak tanımlanır. Ancak, betonarme kolonda

“narinlik etkisi” olarak bilinen bir ek parametre ortaya çıkar (Şekil 3.9).

Narinlik etkisini de içeren Mmax momentlerinin M1 ve M2 uç momentlerinden büyük

olduğu durumlar kritik olur ve kolon tasarımını kontrol eder. Ancak, Mmax

momentlerini bulmak için İkinci Mertebe Teorisi olarak tanımlanan yöntem ile hesap

yapmak gerekir. Uygulamada, karmaşık İkinci Mertebe Teorisi yerine, Moment

Büyütme Yöntemi olarak bilinen yöntem kullanılır.

177

N N

N N

M2

M1

Mmax

M2 M2 Mmax

M1M1M1

M2

Ötelenmesi engellenmiş kolon Ötelenme yapabilen kolon

Şekil 3.9. Kolonlarda oluşan narinlik etkisi

Moment Büyütme Yöntemi, Birinci Mertebe Teorisi ile bulunan kolon uç

momentlerini (β) olarak tanımlanan bir katsayı ile büyütülmesi esasına dayanır.

2max M . M β= (3.3)

M2 : Büyük kolon uç momenti

β : Moment büyütme katsayısı

TS 500/2000’ de β katsayısının hesaplanması ayrıntılı kurallara bağlanmıştır. Bu

kurallar, iki genel grup içinde düşünülebilir.

• Uçlarının ötelenmesi engellenmiş kolonlar

• Uçlarının ötelenmesi engellenmemiş kolonlar

Öyle ise, tasarımı yapılan bir kolonun uçlarının ötelenme yapıp yapmadığının

saptanması önem taşımaktadır. TS 500/2000 bir yaklaşım olarak sistemin yanal

ötelenmesinin önlenmiş olduğunun kabul edilmesi için aşağıdaki üç koşuldan birinin

sağlanmasını öngörmektedir:

178

1. Yapı sistemi içinde yatay kuvvetlere karşı yeterli rijitlik sağlayan perde duvar

ya da benzeri elemanlar varsa yanal ötelenmenin önlenmiş olduğu kabul

edilir.

2. Doğrusal malzeme davranışı kabulü ile yatay ve düşey yükler altında yapılan

ikinci mertebe yapısal çözümlemeden elde edilen kolon uç momentlerinin,

aynı varsayımlar ve yükler altında yapılan birinci mertebe çözümlemesinden

en çok %5 kadar farklı olduğu durumlarda yanal ötelenmenin önlenmiş

olduğu kabul edilebilir.

3. İkinci mertebe çözümlemesi yapılmıyorsa, yapının herhangi bir katı için

taşıyıcı sistemin bütünü göz önünde tutularak aşağıdaki bağıntıyla hesaplanan

stabilite göstergesi ϕ; 0,05 değerinden küçükse ötelenmenin önlenmiş olduğu

kabul edilebilir.

ϕ=1,5 . (∆i) . 05,0V

N

fi

i

di

≤

∑l

(3.4)

ϕ : Stabilite indeksi

∆i : Göreli kat ötelenmesi

Σ Ndi : i. kata ait toplam tasarım eksenel yükü

Vfi : i. kattaki toplam kesme kuvveti

li : i. katın kolon boyu

Görüldüğü gibi, kolon narinlik etkisini yansıtan β katsayısının bulunması için

hesaplanması istenen stabilite indeksinde göreli kat ötelenmesinin (∆i) bilinmesi

gerekmektedir. Bu ise, üç boyutlu yapının yatay yükler altında ötelenme analizinin

yapılması demektir. Göreli kat ötelenmesi her bir kat için değişik olabilir. Bu

durumda, i. katın kolonlarının tasarımı için (∆i)’ nin tekrar tekrar hesaplanması

gerekir. Bunu yapabilmek için, temelden çatıya yapının ötelenme profilinin bilinmesi

zorunlu olur.

179

Doğal olarak, üç boyutlu bir yapının ötelenmesi bilgisayar programları ile yapılabilir.

Ancak, tek bir kolonun narinlik hesabını yapabilmek için üç boyutlu bir yapının

bilgisayar modelini yapmak ve gerekli bilgisayar girdilerini hazırlamak çok vakit

alıcı bir iştir.

Bunun için; yatay yüklere maruz üç boyutlu çerçevelerin ötelenmesi için türetilmiş

olan formül, TS 500/2000’ deki stabilite indeksi ifadesinde kullanılarak, ötelenme ve

kat kesme kuvvetlerinden bağımsız basit bir ilişki haline getirilmiştir. Narin kolon

tasarımı için TS 500/2000’ deki stabilite indeksi yerine bu formülün kullanılması

önerilmektedir. Önerilen formül, çerçeveli yapının kat kolonlarındaki eksenel

kuvvetlerinin toplamına ve yapının ötelenme rijitliğine bağlıdır. Söz konusu

ötelenme rijitliği, yalnız kolon ve kiriş redörlerine bağlıdır. TS 500/2000’ deki şekli

ile, göreli kat ötelenmelerinin ve kat kesme kuvvetlerinin hesaplanmasına gerek

kalmamıştır.

Sürekli bir çerçeve içerisindeki kolonların narinlik etkisi hesabında gerekli ötelenme

var/yok koşulu çok basit ve proje mühendisi tarafından kolaylıkla anlaşılan bir

ilişkiye indirgenmiştir. Önerilen ilişki, TS 500/2000’ deki verildiği hali ile stabilite

indeksi ile karşılaştırılmış ve kanıtlanması yapılmıştır.

3.1.3.1. Üçgen Yayılı Yatay Yük Etkimesi Durumunda Stabilite İndeksi İfadesi

Üçgen yayılı yük altındaki çerçeveli yapılar için elde edilen ötelenme denklemi

(2.34)’ ün birinci türevi alınırsa; (3.5) ifadesi elde edilir.

−=

3

22

H

x

H

1 .

GA . 2

H . p'y (3.5)

TS 500/2000’deki stabilite indeksi ifadesi (3.4)’ ten ∆i/li çekilirse (3.6) denklemi

elde edilir.

180

∑

ϕ=

∆

di

fi

i

i

N . 5,1

V .

l (3.6)

H . 2

)xH( . )xH( . p)xH( .

2

)H/x . p(pVfi

+−=−

+=

( )H . 2

xH . pVfi

22 −= (3.7)

(3.7) ifadesi, (3.6)’ da yerine yazılırsa;

( )∑

−ϕ=

∆

H . Ndi . 3

xH . p .

i

i 22

l (3.8)

elde edilir.

Denklem (3.5) ile (3.8) birbirine eşitlenir ve denklem düzenlenirse, stabilite indeksi

(3.9)’ da verildiği gibi elde edilir.

( )

−=

∑

−ϕ3

22

di

22

H

x

H

1 .

GA . 2

H . p

H . N . 3

xH . p .

GA

N . 5,1 dii

∑=ϕ (3.9)

Böylece, i. kat için elde edilen stabilite indeksi ifadesi oldukça basit hale

dönüştürülmüş olur.

181

3.1.3.2. Düzgün Yayılı Yatay Yük Etkimesi Durumunda Stabilite İndeksi İfadesi

Düzgün yayılı yük altındaki çerçeveli yapılar için elde edilen ötelenme denklemi

(2.31)’ in birinci türevi alınırsa; (3.10) ifadesi elde edilir.

( )GA

xH . p'y

−= (3.10)

)xH( . pVfi −= (3.11)

∑

−ϕ=

∆

dii

i

N . 5,1

)xH( . p .

l (3.12)

(3.10) ve (3.12) denklemleri birbirine eşitlenirse; (3.13) elde edilir.

∑

−ϕ=

−

diN . 5,1

)xH( . p .

GA

)xH( . p

GA

N . 5,1 dii

∑=ϕ (3.13)

3.1.3.3. En Üstte Tekil Yatay Yük Etkimesi Durumunda Stabilite İndeksi İfadesi

En üstte tekil yatay yük etkiyen çerçeveli yapılar için elde edilen ötelenme denklemi

(2.37)’ nin birinci türevi alınırsa; (3.14) ifadesi elde edilir.

182

GA

F'y = (3.14)

Vfi=F (3.15)

∑

ϕ=

diN . 5,1

F .

GA

F (3.16)

GA

Ndi . 5,1i

∑=ϕ (3.17)

(3.9), (3.13) ve (3.17) denklemlerinden görüldüğü gibi, çerçeveli yapılardaki stabilite

indeksi ifadesi yükleme şeklinden ve ötelenmeden bağımsız olarak kolayca

hesaplanabilmektedir. TS 500/2000’ de stabilite indeksi hesabı için, herhangi bir

yatay yük altındaki ötelenmelerin hesaplanmasının öngörülmesinin nedeni budur.

Üretilen diferensiyel denklem ifadelerinden de yararlanarak TS500’ de verilen

stabilite indeksi denklemi; tasarımcı mühendisin bilgisayar modelini oluşturmaya

gerek duymadan elle kolayca hesaplayabileceği bir ifadeye dönüştürülmüştür.

Böylece, stabilite indeksi ile yapının hangi katlarda yanal ötelenmesinin önlenip

önlenmediği elle yapılan çözümler sonucunda kolaylıkla belirlenebilecektir.

3.1.3.4. Stabilite İndeksi Hesabı İçin Önerilen Formülün Geçerliliğinin

Kanıtlanması

Stabilite indeksi hesabı için türetilen analitik çözümlerin ne kadar güvenilir sonuç

verdikleri, örnek bir yapı üstünde sınanmıştır. Yapı değişik yatay yükler altında,

önerilen formül ve SAP 2000 analiz programı ile çözülerek elde edilen sonuçlar

karşılaştırılmıştır. Şekil 3.10’ da verilen çerçeveli model binanın özellikleri

Çizelge 3.5’ teki gibi alınarak yanal ötelenmenin önlenmiş olup olmadığının kontrolü

yapılmıştır.

183

Şekil 3.10. Çerçeveli yapılarda önerilen stabilite indeksi ifadesinin geçerliliğinin kanıtlanması için seçilen bina modeli

Çizelge 3.5. Stabilite indeksi hesabında kullanılan model binanın özellikleri

Kat Sayısı 10 Kolonlar 50/50 Kirişler 25/45 (Tablalı) hkat 3m hf 12 cm gilave 3 kN/m2 qilave 3,5kN/m2

Ec 28.500.000 kN/m2 p 756 kN/m

gdöş = 0,12 . 25 = 3 kN/m2

g= gdöş + gilave + gkolon + gkiriş = 3 + 3 + 1 + 1 = 8 kN/m2

q = 3,5 kN/m2

Pd = g + q = 8 + 3,5 = 11,5 kN/m2

Nd = Ayapı . Pd=(50 . 30) . 11,5 = 17 250 kN

Stabilite indeksi, yapıya ait katlar için hem önerilen formül ile hem de SAP 2000

analiz programı ile hesaplanmıştır (Çizelge 3.6). Elde edilen sonuçlar Şekil 3.11’ de

grafik olarak gösterilmiştir. Değişik yatay yüklemeler altında SAP 2000 ile

hesaplanan göreli kat ötelenmesi değerleri kat kesme kuvvetine oranlandığında elde

edilen değerlerin yükleme şeklinden bağımsız olarak aynı bulunduğu görülmüştür.

10 . 5m=50 m

6 . 5

m=

30 m

184

Çizelge 3.6. Çerçeveli yapıya ait stabilite indeksi

GA Ndi SAP 2000 ϕ Kat

(kN) (kN) ∆i (mm) / Vfi (kN) SAP 2000 Önerilen formül 10 17 250 0,0008 0,007 0,006 9 34 500 0,0008 0,013 0,013 8 51 750 0,0008 0,020 0,019 7 69 000 0,0008 0,026 0,025 6 86 250 0,0008 0,033 0,032 5 103 500 0,0008 0,040 0,038 4 120 750 0,0008 0,046 0,044 3 138 000 0,0008 0,052 0,051 2

4 09

3 79

7

155 250 0,0007 0,056 0,057

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08

Stabilite İndeksi

Kat

Sev

iyes

i

Önerilen denklem SAP 2000 TS 500 sınırı

Önerilen Denklem

SAP 2000

TS 500 sınırı

Yanal Ötelenmesi Engellenmemiş

Yanal Ötelenmesi Engellenmiş

Şekil 3.11. Çerçeveli yapıya ait stabilite indeksi

Şekil 3.11’ e bakıldığında; stabilite indeksinin, %5 sınır değerini geçtiği 2. ve 3.

katlarda yanal ötelenmenin engellenmemiş, diğer tüm katlarda engellenmiş olduğu

söylenebilir. Önerilen formülle elde edilen stabilite indeksi sonuçlarının SAP 2000

analiz programı sonuçlarıyla son derece yakın olduğu görülmektedir.

185

3.1.4. Çerçeveli Yapılarda Göreli Kat Ötelenmesi İçin Türetilen Analitik İlişki

Son yıllarda yaşanan depremler; depreme dayanıklı yapı tasarımının önemini bir kez

daha gözler önüne sermiştir. Depreme dayanıklı yapı tasarımının temel ilkeleri ise,

yönetmelik ve standartlarda verilmektedir.

Depreme maruz betonarme yapıların ne kadar ötelenme yaptığı, yapının deprem

güvenliği açısından, son derece önemli bir parametredir. Bu yüzden, 1997 Deprem

Yönetmeliği’ nde depreme maruz yapının ötelenmesi üzerine kısıtlamalar

getirilmektedir.

Öyle ise, Deprem Yönetmeliklerini (AY-97) uygulayabilmek için, deprem yükü

altında yapıda oluşan yanal ötelenmeleri hesaplayabilmek önem kazanmaktadır.

Depreme dayanıklı yapı felsefesinde, elastik sınırlar ötesinde deformasyon olacağı

varsayıldığından, şiddetli depremlerde büyük yer değiştirmeler kaçınılmaz olur.

Yapıya yeterli rijitliği kazandırmak amacıyla katlar arası yer değiştirmenin

sınırlandırılması gerekir (Ersoy, 1992).

Birbirine komşu olan iki katın yer değiştirmelerinin farkına göreli (rölatif) kat

ötelenmesi denilir (Şekil 3.12).

Şekil 3.12. Çerçeveli yapıda oluşan göreli kat ötelenmesi

i. kat

A

(i-1). kat

di

di-1 ∆i

A detayı

186

∆i=di-di-1 (3.18)

Deprem Yönetmeliği 1997’de; göreli kat ötelenmesi aşağıdaki şekilde

sınırlandırılmıştır.

(∆i)max / hi ≤ 0,0035 (3.19)

(∆i)max / hi ≤ 0,02 / R (3.20)

(∆i)max : Göreli kat ötelemelerinin kat içindeki en büyük değeri

hi : Kat yüksekliği

R : Yapı davranış katsayısı

Görüldüğü gibi ötelenmelerin sınırlandırılmasının kontrolünde göreli kat

ötelenmesinin bilinmesi gerekmektedir. Ötelenme değerlerini hesaplamak için

geliştirilmiş olan diferensiyel denklemler yardımıyla göreli kat ötelenmesini direkt

olarak elle hesabını sağlayan formüller elde edilmiştir. Bu formüller sadece kolon

eksenel deformasyonlarını ihmal eden analitik çözüm için geliştirilmiştir.

3.1.4.1. Düzgün Yayılı Yatay Yüke Maruz Çerçeveli Yapıda Göreli Kat

Ötelenmesi

Düzgün yayılı yatay yüke maruz çerçeveli yapıların yanal ötelenme hesabı için

geliştirilmiş olan diferensiyel denklem (2.31) ile (3.18) denkleminden yararlanarak

göreli kat ötelenmesinin ifadesi (3.21)’ de verildiği gibi elde edilebilir.

( )22

kk . 2 . GA . 2

H . py −=

∆i=di-di-1

187

∆i= ( ) ( )[ ]21i1i

2ii

2

kk . 2kk . 2 . GA . 2

H . p−− −−−

∆i=

−−

− −−

2

21i1i

2

2ii

2

H

x

H

x . 2

H

x

H

x . 2 .

GA . 2

H . p

∆i=

−−

− −−

2

21i

2i1ii

2

H

xx

H

xx . 2 .

GA . 2

H . p

∆i= ( ) ( )[ ]21i

2i1ii xxxx . H . 2 .

GA . 2

p−− −−− (3.21)

3.1.4.2. Üçgen Yayılı Yatay Yüke Maruz Çerçeveli Yapıda Göreli Kat

Ötelenmesi

Üçgen yayılı yatay yüke maruz çerçeveli yapıların yanal ötelenme hesabı için


göreli kat ötelenmesinin ifadesi (3.22)’ de verildiği gibi elde edilebilir.

−=

3

kk .

GA . 2

H . py

32

∆i=di-di-1

∆i=

−−

− −

− 3

kk

3

kk .

GA . 2

H . p3

1i1i

3i

i

2

∆i=

−−

− −−

3

31i1i

3

3ii

2

H . 3

x

H

x

H . 3

x

H

x .

GA . 2

H . p

∆i=

−−

− −−

3

31i

3i1ii

2

H . 3

xx

H

xx .

GA . 2

H . p

188

∆i= ( ) ( )[ ]31i

3i1ii

2 xxxx . H . 3 . GA . H . 6

p−− −−− (3.22)

3.1.4.3. Yapının En Üstünde Tekil Yatay Yüke Maruz Çerçeveli Yapıda Göreli

Kat Ötelenmesi

En üstte tekil yatay yüke maruz çerçeveli yapıların yanal ötelenme hesabı için


göreli kat ötelenmesinin ifadesi (3.23)’ te verildiği gibi elde edilebilir.

H

xkk .

GA

H . Fy == ∆i=di-di-1

∆i= ( )1ii kk . GA

H . F−−

∆i=

− −

H

x

H

x .

GA

H . F 1ii

∆i= ( )1ii xx . GA

F−− (3.23)

3.1.5. Çerçeveli Yapılarda Doğal Periyot Hesabı İçin Analitik İfadelerin

Türetilmesi

1997 Deprem Yönetmeliği’ nde önerilen eşdeğer deprem yükü yönteminde, toplam

eşdeğer deprem yükünün belirlenebilmesi için yapının doğal titreşim periyodunun

bilinmesi gerekir. Dolayısıyla deprem hesabında, yapının doğal titreşim periyodunun

doğru olarak belirlenmesi önem taşımaktadır. 1997 Deprem Yönetmeliği’ne göre;

birinci ve ikinci derece deprem bölgelerinde HN≤25 m şartını sağlayan binaların,

üçüncü ve dördüncü derece deprem bölgelerinde ise Eşdeğer Deprem Yükü

Yöntemi’nin uygulandığı tüm binaların birinci doğal titreşim periyodu, yaklaşık

formüller kullanılarak hesaplanabilir. Yukarıda verilen şartları sağlamayan veya daha

kesin hesap yapılması istenen binaların, doğal titreşim periyodu hesabı için ise

(3.24)’ te verilen formül önerilmektedir. Önerilen formülde, kat ötelenme değerleri

189

bir parametre olarak karşımıza çıkmaktadır. O halde daha tasarım aşamasında, doğal

periyodun dolayısıyla deprem yükünün daha gerçekçi olarak belirlenebilmesi için,

yapının üç boyutlu ötelenme değerlerinin bilinmesi gerekmektedir.

∑

∑π=

=

=

N

1ififi

N

1i

2fii

1

d . F

d . m2T (3.24)

T1 : Binanın birinci doğal titreşim periyodu

mi : Binanın i. katının kütlesi (mi= wi/g)

dfi : Binanın i. katında Ffi fiktif yüklerine göre hesaplanan yer değiştirme

Ffi : Birinci doğal titreşim periyodunun hesabında i. kata etkiyen fiktif yük

(3.24) denklemindeki karekök ifadesinin pay ve paydası dfi2 ile bölünürse; (3.26)’ da

verilen denklem elde edilir.

∑

∑

π=

=

=

N

1i2

fi

fifi

N

1i2

fi

2fii

1

d

d . F

d

d . m

2T (3.25)

∑

∑

π=

=

=N

1i fi

fi

N

1ii

1

d

F

m

2T (3.26)

e

i1

k

m2T π= (3.27)

Periyodu hesaplanacak olan yapı, tek serbestlik dereceli olarak modellenip, deprem

kuvvetinin bileşkesi tekil yük olarak etkitilebilir (Şekil 3.13).

190

H

Ffi

p

m

2H/3GA

Ffi

2H/3

Şekil 3.13. Çerçeveli yapının tek serbestlik dereceli sisteme dönüştürülmesi

(3.26) denklemindeki dfi ifadesinin yerine çerçeveli yapılarda herhangi bir seviyede

etkiyen yatay tekil yük denklemleri yazılırsa (3.28)’ de verilen ifade elde edilir.

g . GA

H . W2

H

GA

m2

GA

H . F

F

m2T xt

N

1i x

N

1ii

N

1i xfi

fi

N

1ii

1 π=

∑

∑π=

∑

∑π=

=

=

=

= 3

H . 2H x =

g . GA . 3

H . W . 22T t

1 π= (3.28)

Wt : Yapının toplam ağırlığı

H : Bina yüksekliği

Hx : Kuvvetin etkime noktasının temelden mesafesi

GA : Çerçevenin kayma rijitliği

g : Yerçekimi ivmesi

Deprem Yönetmeliğinde verilen doğal periyot hesabında yapının ötelenmesi bir

parametre olarak karşımıza çıkmaktadır. Yapının ötelenmesinin hesap edilebilmesi

191

için üç boyutlu olarak analizinin yapılması gerekir. Bu ise oldukça zor ve zaman alıcı

bir işlemdir. Çerçeveli yapıların ötelenmesinin hesabı için geliştirilmiş olan

diferensiyel denklemler, Deprem Yönetmeliğinde periyot hesabı için verilen

formülde yerine yazılarak, ötelenme ve kat kesme kuvveti terimlerinden

kurtarılmıştır. Yapının doğal periyodu için önerilen formül; yapının ağırlığı,

yüksekliği ve yapının ötelenme rijitliğine bağlıdır. Yapının ötelenme rijitliği ifadesi

ise, kolon ve kiriş redörlerini içermektedir. Böylece Deprem Yönetmeliğinde verilen

periyot hesabı oldukça basit bir şekle dönüşmüş ve ötelenme hesabından

kurtarılmıştır.

Periyot hesabı için, Şekil 3.10’ da verilen bina model olarak seçilmiş ve bu modele

ait kat sayısı 5, 10, 15 ve 20 olarak değiştirilmiştir. Binaya ait diğer bilgiler Çizelge

3.5’ te verildiği gibi seçilmiştir. Her bir yapının birinci moda ait doğal titreşim

periyodu, önerilen formül ve SAP 2000 analiz programı ile çözülerek sonuçlar

karşılaştırılmıştır (Çizelge 3.7).

Yapının x ve y yönleri için kayma rijitliği daha önceki bölümlerde sırasıyla

kN4762914 ve kN7970934 olarak hesaplanmıştı. Birinci moda ait doğal

titreşim periyodunun bulunabilmesi için önerilen formülde GA yerine küçük olan

rijitlik değerinin yazılması gerekir.

Çizelge 3.7. Çerçeveli yapının birinci moda ait doğal titreşim periyodu hesabı

T (sn) Kat Sayısı GA (kN) Wt (kN) H (m) Hx (m)

SAP 2000 Önerilen Formül Hata %

20 4 093 797 156 758 60 40 2,426 2,483 2

15 4 093 797 117 569 45 30 1,791 1,862 4

10 4 093 797 78 379 30 20 1,174 1,241 5

5 4 093 797 39 190 15 10 0,572 0,621 8

Çerçeveli yapıların birinci doğal periyodu hesabı için önerilen formül, SAP 2000

analiz programı ile son derece yakın sonuçlar vermektedir. Böylece uygulamacı

mühendis yanal ötelenmeleri hesaplamadan, daha doğru bir şekilde doğal periyodu

hesaplayabilecektir.

192

3.2. Perde Duvarlı-Çerçeveli Yapılarda Ötelenme Problemleri

3.2.1. Perdelerin Enerji Tüketiminde Kesme Kırılmasının Önlenmesi

Deprem yapıya bir enerji yüklemesi yapar. Bu enerji yapı içinde tüketilerek

dengelenmelidir. Yapının ötelenmesi, betonun çatlaması, donatının akması, eğilme

ve kayma çatlaklarının oluşması, vb. olayların hepsi bir miktar enerji tüketimidir.

Deprem enerjisinin tamamı yapı içinde başarı ile tüketilmelidir. Bu tüketim

sürecinde, yapı hasar görebilir, ancak can kaybına yol açacak kısmen veya tamamen

göçme önlenmelidir. Yapıdaki enerji tüketimi iki şekilde olabilir.

1-Kesme Kırılması

2-Eğilme Kırılması

Kesme kırılması ani ve gevrek bir kırılma türüdür. Enerji tüketimi çok azdır. Bu

nedenle kesme kırılmasının mutlaka önlenmesi gerekir. Kesme kırılmasının eğilme

kırılmasından önce oluşmasını önlemek için, kesme dayanımı eğilme dayanımından

büyük olacak şekilde tasarlanmalıdır. Buna Kapasite Tasarımı denilir. Depreme

dayanıklı yapı tasarımında Kapasite Tasarımının mutlaka uygulanması gerekir.

Kapasite Tasarımı ilkesi ile projelendirilen bir yapıda enerji tüketimi, uygun yerlerde

sünek moment mafsalı ile oluşacaktır.

Şekil 3.14.a’ da perde duvarda oluşan mafsallaşma gösterilmiştir. Perde duvarlı

sistemler çok rijit olduklarından, yanal ötelenmeleri çok küçüktür. Bu tür binalarda

taşıyıcı olmayan elemanlardaki hasar bu nedenle en alt düzeyde kalır. Duvarda

enerji, tabanda oluşan tek plastik mafsalla tüketilir. Bu nedenle perdelerin çerçeveye

oranla sünekliği ve enerji tüketme yeteneği azdır. Ancak perde duvarlı sistemlerde,

kesme kuvvetini alacak perde kesit alanı çok büyük olduğundan, sistemin elastik

sınırlar içinde kalma olasılığı çok yüksektir. Bu durumda sünekliğin önemi çerçeveye

oranla daha az olacaktır. Şekil 3.14.b’ deki boşluklu perdenin enerji tüketimi bağ

kirişlerinde oluşmaktadır. Yalnız genellikle küçük açıklıklı olduklarından gevrek

kesme kırılmaları kesinlikle önlenmelidir. Çerçeveli yapıda; kolon davranışı kirişe

193

göre çok daha gevrek olduğundan Şekil 3.14.c’ deki ilk hasar mekanizmasının

oluşması istenmez. İkinci olarak gösterilen mekanizmanın oluşmasının

sağlanmasının en emin yolu kolonları kirişlere oranla daha güçlü yapmaktır.

Çerçevede çok kiriş bulunduğundan ve plastik mafsalların oluştuğu kiriş uçlarında

bol enerji tüketildiğinden, çerçeve sistemlerin genelde süneklik ve enerji tüketimi

açısından bir problemi yoktur. Yalnız bunun için detaylandırılmanın uygun şekilde

yapılması gerekir. Çerçeve sistemlerinin en büyük dezavantajı yanal ötelenmelerin

büyük olmasıdır (Ersoy, 1992).

(a) Perdeli yapı (b) Boşluklu perdeli yapı (c) Çerçeveli yapı

Şekil 3.14. Farklı taşıyıcı sistemlerde mafsallaşma mekanizmaları

Bir bina içerisine uygun şekilde yerleştirilen perde duvarların temel görevi yatay

yükü taşımak ve yatay ötelenmeyi sınırlandırmaktır. Bu görevleri yerine getiren

perde, hasar görebilir. Fakat hasar mutlaka sünek olmalıdır. Bu ancak, elemandaki

eğilme kırılmasının kesme kırılmasından önce oluşmasının sağlanması ile mümkün

olur. Yani elemanın kesme dayanımı, eğilme dayanımından daha büyük olmalıdır.

(a) (b)

(c)

194

Perdelerin kesme dayanımı, betonun ve yatay gövde donatısının katkılarından

oluşmaktadır. Tersinir yükler altında kirişlerde, çatlak içi sürtünme ve donatının

kaldıraç etkisi kaybolmaktadır. Oysa, perde duvarlarda düşey ve yatay donatı ağları,

çatlakların genişlemesini engeller. Böylece betondaki sürtünme ve donatının kaldıraç

etkisi kaybolmaz (Atımtay, 2000). Perde duvarın kesme kapasitesi (3.29) formülü ile

hesaplanabilir (TS 500, 2000).

( )ydshctdchr f . f . 65,0 . AV ρ+= (3.29)

s . b

A

w

shsh =ρ (3.30)

rV : Kesitin kesme kapasitesi

chA : Perde kesit alanı

ctdf : Betonun eksenel çekme dayanımı

ydf : Donatı çeliğinin akma dayanımı

shρ : Yatay donatı oranı

shA : Depreme paralel donatıların toplam alanı

s : Yatay donatı aralığı

Betonda çekme çatlaklarının oluşumu donatı ile engellenemez, ancak çekme

çatlaklarının kırılmaya yol açması ve çatlakların genişlemesi engellenebilir. Aynı

şekilde betonun eğik asal basınç kuvvetleri altında ezilmesi de donatı ile

engellenemez. Basınç ezilmesi oldukça gevrek bir kırılmadır. Mutlaka önlenmesi

gerekir. Betonda oluşan eğik asal basınç gerilmeleri, kesme kuvvetinin bir

fonksiyonudur. Öyleyse, kesme kuvvetinin sınırlandırılması, eğik asal basınç

kuvvetlerini de sınırlandıracaktır. TS 500/2000’ de kesme kuvvetine getirilen

sınırlandırma (3.31) ve (3.32) denklemleri ile verilmiştir.

rd VV ≤ (3.31)

( )cdchd f . A . 22,0V ≤ (3.32)

195

Perde tabanındaki kesitin, belirli bir eksenel yük altında, moment kapasitesinin

hesabı iterasyon (deneme-yanılma) işlemi gerektirir. Pratikte bunu yapan bilgisayar

programları mevcuttur. Kesit içindeki tüm donatılar moment kapasitesi hesabında

dikkate alınmalıdır. Elde edilen moment kapasitesi, perdeye etkiyen yayılı yükün

bileşkesinin mesafesine bölünürse eğilmeden dolayı oluşan kesme kuvveti bulunur.

Moment kırılmasının kesme kırılmasından önce oluşması için, (3.29) denklemi ile

elde edilen kesme kapasitesinin; M-φ diyagramından elde edilen moment kapasitesi

ile bulunan kesme kuvvetinden büyük olması gerekir.

O halde perdede oluşmasını istemediğimiz kesme kırılmasını kontrol edebilmek için,

perdeye ait kesme ve moment kapasitesinin belirlenmesi gerekir. Moment

kapasitesinden elde edilecek olan kesme kuvvetinin bulunması, perdeye etki eden

yayılı yük bileşkesi mesafesinin bilinmesini gerektirir. Bu değeri belirleyebilmek

için, perde duvarlı-çerçeveli yapıların ötelenmesi için geliştirilen diferensiyel

denklemler kullanılarak, perdelere ait moment, kesme kuvveti, yayılı yük

denklemleri elde edilmiştir. Bu denklemler, perdelerde moment kırılmasının mı

yoksa kesme kırılmasının mı önce oluştuğunun belirlenmesinde oldukça yararlı

olacaktır.

Perdeler için elde edilen yayılı yük dağılımları iki şekilde oluşabilir. Her iki durum

için kuvvet bileşkesinin nasıl bulunacağı aşağıda gösterilmiştir (Tüken, 2004).

1. DURUM

Şekil 3.15’ te perdeye etkiyen yayılı yükün bileşkesinin (Q), temelden olan

mesafesinin (x′) hesaplanması için (3.33)’ te verilen denklemin uygulanması gerekir

(Tüken, 2004).

196

xd

a

c Hw

b

x x'

R

Q

Şekil 3.15. Yapıya etki eden yayılı yük dağılımı (Tip 1)

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )dH . cbd . caH . c . 3

dH . 3 . dH . cbd . caH . c . 6 .

4

1'x

ww

ww22

w

−−+−+

+−−+−+= (3.33)

Şekil 3.15’ teki tüm yüklerin bileşkesi (x), (3.34) formülü ile hesaplanabilir.

Q= Vx=0+Vx=H V= Vx=H R= Vx=0

R

H . V'x . Qx w−

= (3.34)

a : Yayılı yükün en alttaki (x=0) değeri

b : Yayılı yükün en üstteki (x=Hw) değeri

c : Yayılı yük parabolünün kritik değeri

d : Yayılı yük parabolünün kritik noktasının temelden yüksekliği

Q : Yayılı yükün bileşkesi

R : Toplam yükün bileşkesi

Hw : Perdenin yüksekliği

x′ : Yayılı yükün bileşkesinin temelden mesafesi

x : Toplam yükün bileşkesinin temelden mesafesi

197

2. DURUM

Şekil 3.16’ da perdeye etkiyen yayılı yükün bileşkesinin (Q), temelden olan

mesafesinin (x′) hesaplanması için (3.35)’ te verilen denklemin uygulanması gerekir

(Tüken, 2004).

x

a

b

Hw

V

QR

x x'

Şekil 3.16. Yapıya etki eden yayılı yük dağılımı (Tip 2)

+

+=

ba2

ba . H .

4

3'x w (3.35)

Şekil 3.16’ daki tüm yüklerin bileşkesi (x), (3.36) formülü ile hesaplanabilir.

Q= Vx=0+Vx=H V= Vx=H R= Vx=0

R

H . V'x . Qx w−

= (3.36)

a : Yayılı yükün en alttaki (x=0) değeri

b : Yayılı yükün en üstteki (x=Hw) değeri

Q : Yayılı yükün bileşkesi

198

R : Toplam yükün bileşkesi

Hw : Perdenin yüksekliği

x′ : Yayılı yükün bileşkesinin temelden mesafesi

x : Toplam yükün bileşkesinin temelden mesafesi

3.2.1.1. Düzgün Yayılı Yük Etkisindeki Perde Duvarlı-Çerçeveli Yapıda Oluşan

Moment, Kesme Kuvveti ve Yayılı Yük Dağılımı İlişkilerinin Türetilmesi

Düzgün yayılı yatay yük altındaki perde duvarlı-çerçeveli yapının eğrilik denklemi

(3.37)’ de verildiği gibi elde edilmişti.

s

H=λ

H

xk =

s

x=φ

Ko

K1v

GA . v

Ks 2

22 +==

A1=

λ

λλ+

cosh

sinh . 1

v

s . p2

2

A2= 2

2

v

. s . p λ−

(3.37)

−

+−−

+φ+φ=2

2

4

2

32

4

2

2

21v

s . p

H

x

H

x . 2

H

1 .

2

H . p .

v

1vsinh . Acosh . A

K

1)x(''y

Moment denklemi, (3.37) denkleminin EI ile çarpılmasıyla kolayca bulunabilir.

M(x)= )x(''y . EI−

−

+−−

+φ+φ−=2

2

4

2

32

4

2

2

21v

s.p

H

x

H

x.2

H

1.

2

H.p.

v

1vsinh.Acosh.A.

K

EI)x(M (3.38)

(3.38)’ de verilen moment denkleminin türevi alınarak, kesme kuvvetinin denklemi,

(3.39) elde edilir.

V(x)= )x('''y . EI)x('M =−

199

+−−

+φ+φ=43

4

2

221

H

x . 2

H

2 .

2

H . p .

v

1vcosh .

s

Asinh .

s

A

K

1)x('''y

+−−

+φ+φ=43

42

221

H

x

H

1.H.p.

v

1vcosh.

s

Asinh.

s

A.

K

EI)x(V (3.39)

Kesme kuvveti denkleminin türevi alınarak herhangi bir x seviyesindeki yayılı yük

denklemi (3.40) bulunabilir.

)x(y . EI)x('V)x(p IV−=−=

−+φ+φ= x . p .

v

1vsinh .

s

Acosh .

s

A

K

1)x(y

2

2

22

21IV

−+φ+φ−= x.p.

v

1vsinh.

s

Acosh.

s

A

K

EI)x(p

2

2

22

21 (3.40)

3.2.1.2. Üçgen Yayılı Yük Etkisindeki Perde Duvarlı-Çerçeveli Yapıda Oluşan

Moment, Kesme Kuvveti ve Yayılı Yük Dağılımı İlişkilerinin Türetilmesi

Üçgen yayılı yatay yük altındaki perde duvarlı-çerçeveli yapının eğrilik denklemi


s

H=λ

H

xk =

s

x=φ

Ko

K1v

GA . v

Ks 2

22 +==

λ

λ−

λ+

λ= sinh .

1

21

cosh . v

s . pA

2

2

1

λ−

λ−=

1

2 .

v

s . pA

2

2

2

(3.41)

−

+−−

+φ+φ=2

2

5

3

324

2

2

21v . H

x . s . p

H . 6

x

H . 2

x

H . 3

1 . H . p .

v

1vsinh . Acosh . A

K

1)x(''y


200

M(x)= )x(''y . EI−

(3.42)

−

+−−

+φ+φ−=2

2

5

3

324

2

2

21v.H

x.s.p

H.6

x

H.2

x

H.3

1.H.p.

v

1vsinh.Acosh.A

K

EI)x(M

(3.42)’ de verilen moment denkleminin türevi alınarak, kesme kuvvetinin denklemi

(3.43) elde edilir.

V(x)= )x('''y . EI)x('M =−

−

+−−

+φ+φ=2

2

5

2

34

2

221

v . H

s . p

H . 2

x

H . 2

1 . H . p .

v

1vcosh .

s

Asinh .

s

A

K

1)x('''y

−

+−−

+φ+φ=2

2

5

2

34

2

221

v.H

s.p

H.2

x

H.2

1.H.p.

v

1vcosh.

s

Asinh.

s

A

K

EI)x(V (3.43)



p (x)= )x(y . EI)x('V IV−=−

−+φ+φ=

H

x . p .

v

1vsinh .

s

Acosh .

s

A

K

1)x(y

2

2

22

21IV

−+φ+φ−=

H

x.p.

v

1vsinh.

s

Acosh.

s

A

K

EI)x(p

2

2

22

21 (3.44)

201

3.2.1.3. En Üstte Tekil Yatay Yüke Maruz Perde Duvarlı-Çerçeveli Yapıda

Oluşan Moment, Kesme Kuvveti ve Yayılı Yük Dağılımı İlişkilerinin

Türetilmesi

En üstte tekil yatay yüke maruz perde duvarlı-çerçeveli yapının eğrilik denklemi


s

H=λ

H

xk =

s

x=φ

Ko

K1v

GA . v

Ks 2

22 +==

λ= tanh . v

s . FA

21 A2= 2v

s . F−

+−

+φ+φ=32

3

2

2

21H

x

H

1 . H . F .

v

1vsinh . Acosh . A

K

1)x(''y (3.45)


M(x)= )x(''y . EI−

+−

+φ+φ−=32

32

2

21H

x

H

1.H.F.

v

1vsinh.Acosh.A

K

EI)x(M (3.46)



V(x)= )x('''y . EI)x('M =−

−+φ+φ= x . F .

v

1vcosh .

s

Asinh .

s

A

K

1)x('''y

2

221

−+φ+φ= x.F.

v

1vcosh.

s

Asinh.

s

A

K

EI)x(V

2

221 (3.47)



202

p (x)= )x(y . EI)x('V IV−=−

−+φ+φ= F .

v

1vsinh .

s

Acosh .

s

A

K

1)x(y

2

2

22

21IV

−+φ+φ−= F.

v

1vsinh.

s

Acosh.

s

A

K

EI)x(p

2

2

22

21 (3.48)

3.2.1.4. Perdelerde Eğilme Kırılmasının Kesme Kırılmasından Önce

Oluştuğunun Kanıtlanması

Perde duvarlı-çerçeveli yapıların yanal ötelenmesinin hesabı için geliştirilen

diferensiyel denklemlerden yararlanarak, eleman ve yük bilgileri Çizelge 3.8’ de

verilen ve Şekil 3.17’ de görülen yapı modelinin y yönünde bulunan perdelere ait

öncelikle moment, kesme kuvveti ve yayılı yük diyagramları elde edilmiş, daha sonra

perdelerde eğilme kırılmasının kesme kırılmasından önce oluşup oluşmadığı kontrol

edilmiştir. Hesaplamalar; yapının y yönünde üçgen yayılı yatay yük etkimesi durumu

için yapılmış ve sonuçlar grafik olarak çizilmiştir.

Çizelge 3.8. Kesme kırılmasının kontrolü için seçilen perde duvarlı-çerçeveli yapı modeline ait eleman ve yük bilgileri

Kat Sayısı 10 Kolonlar 50/50 Kirişler 25/45 Malzeme BS 20-S 420 hf 12 cm hkat 3 m gilave 2 kN/m2

qilave 3,5 kN/m2

p 1267,62 kN/m Ec 28 500 000 kN/m2

203

(a)

(b)

(a) Yapı planı (b) Üç boyutlu görünüş

Şekil 3.17. Kesme kırılmasının kontrolü için seçilen perde duvarlı-çerçeveli yapı

3.2.1.4.1. Perdelere Ait Moment, Kesme Kuvveti ve Yayılı Yük Dağılımının Elde

Edilmesi

Yapıya ait kayma, eğilme ve devrilme rijitlikleri daha önceki bölümlerde aşağıda

verildiği gibi elde edilmişti.

(GA)y yapı= kN5606712

Ko= 92 803 125 000 kNm2

K=2 079 609 375 kNm2

6×5m

=30

m

10×5m=50m

204

Yapıya ait elde edilen rijitlik değerleri ve Bölüm 3.2.1.2’ de verilen diferensiyel

denklemler kullanılarak elde edilen moment, kesme kuvveti ve yayılı yük dağılımları

Çizelge 3.9’ da verilmiştir. Elde edilen değerler perdelerin rijitlikleri oranında

(EI/K), her bir perdeye dağıtılabilir. Çizelgedeki değerlerin moment dağılımı

Şekil 3.18 ile Şekil 3.20 arasında, kesme kuvveti dağılımı Şekil 3.21 ile Şekil 3.23

arasında, yayılı yük dağılımı Şekil 3.24 ile Şekil 3.26 arasında grafik olarak

gösterilmiştir.

Çizelge 3.9. Üçgen yayılı yatay yük altında perdelerde oluşan moment, kesme

kuvveti ve yayılı yük dağılımı değerleri

Moment (kNm) Kesme (kN) Yayılı (kN/m) Kat

Yapı M p (L=5 m) M p (L=10 m) Yapı V p (L=5 m) V p (L=10 m) Yapı q p (L=5 m) q p (L=10 m)

10 0,0 0,0 0,0 3 552,8 126,8 1 014,3 -1 267,6 -45,2 -361,9

9 5 159,7 184,1 1 473,2 -46,1 -1,6 -13,2 -1 133,9 -40,5 -323,7

8 104,4 3,7 29,8 -3 263,9 -116,5 -931,9 -1 013,3 -36,2 -289,3

7 -14 079,9 -502,5 -4 020,0 -6 137,9 -219,1 -1 752,4 -904,5 -32,3 -258,2

6 -36 412,5 -1 299,5 -10 396,2 -8 701,3 -310,5 -2 484,3 -806,1 -28,8 -230,2

5 -66 007,2 -2 355,7 -18 845,8 -10 983,9 -392,0 -3 136,0 -717,1 -25,6 -204,7

4 -102 061,9 -3 642,5 -29 139,7 -13 012,2 -464,4 -3 715,1 -636,4 -22,7 -181,7

3 -143 849,5 -5 133,8 -41 070,5 -14 809,6 -528,5 -4 228,3 -563,1 -20,1 -160,8

2 -190 709,5 -6 806,2 -54 449,5 -16 397,1 -585,2 -4 681,5 -496,3 -17,7 -141,7

1 -242 040,5 -8 638,1 -69 105,1 -17 793,2 -635,0 -5 080,1 -435,4 -15,5 -124,3

0 -297 293,6 -10 610,1 -84 880,4 -19 014,3 -678,6 -5 428,8 -379,5 -13,5 -108,4

SAP 2000 ile yapılan analiz sonucunda 5 m uzunluğundaki perdenin taban momenti

12 460 kNm, 10 m uzunluğundaki perdenin taban momenti 71 460 kNm olarak

bulunmuştur. Dolayısıyla perdelerin toplam momenti 264 220 kNm olarak

hesaplanmıştır. Önerilen diferensiyel denklem sonuçları, SAP 2000 program

sonuçları ile yaklaşık %10-15 hata ile tutturulmuştur.

205

Şekil 3.18. Üçgen yayılı yük etkisindeki perde duvarlı-çerçeveli binada tüm

perdelerin aldığı toplam moment dağılımı

Şekil 3.19. Üçgen yayılı yük etkisindeki perde duvarlı-çerçeveli binada L=5 m

uzunluğundaki perdenin aldığı moment dağılımı

206

Şekil 3.20. Üçgen yayılı yük etkisindeki perde duvarlı-çerçeveli binada L=10 m

uzunluğundaki perdenin aldığı moment dağılımı

Şekil 3.21. Üçgen yayılı yük etkisindeki perde duvarlı-çerçeveli binada tüm

perdelerin aldığı toplam kesme kuvveti dağılımı

207

Şekil 3.22. Üçgen yayılı yük etkisindeki perde duvarlı-çerçeveli binada L=5 m uzunluğundaki perdenin aldığı kesme kuvveti dağılımı

Şekil 3.23. Üçgen yayılı yük etkisindeki perde duvarlı-çerçeveli binada L=10 m uzunluğundaki perdenin aldığı kesme kuvveti dağılımı

208

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

-1400 -1200 -1000 -800 -600 -400 -200 0

Yayılı (kN/m)

Kat

Sev

iyes

i

Tüm Perdelerin Yayılı Yük Dağılımı

Şekil 3.24. Üçgen yayılı yük etkisindeki perde duvarlı-çerçeveli binada tüm perdelerin üzerindeki toplam yayılı yük dağılımı

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

-50 -40 -30 -20 -10 0

Yayılı (kN/m)

Kat

Sev

iyes

i

L=5 m Perdenin Yayılı Yük Dağılımı

Şekil 3.25. Üçgen yayılı yük etkisindeki perde duvarlı-çerçeveli binada L=5 m uzunluğundaki perdenin üzerindeki toplam yayılı yük dağılımı

V=3553 kN

V=126,8 kN

209

Üçgen yayılı yük etkisindeki perde duvarlı-çerçeveli binada L=5 m uzunluğundaki

perdenin üzerindeki toplam yayılı yük dağılımının bileşkesinin temelden olan

mesafesinin hesabı aşağıda yapılmıştır.

a=13,5 kN/m

b=45,3 kN/m

Yayılı yükün bileşkesinin temelden mesafesi;

+

+=

ba.2

ba.H.

4

3'x w m3,18

3,455,13.2

3,455,13.30.

4

3'x =

+

+=

olarak, toplam yükün bileşkesinin temelden mesafesi ise;

R

H.V'x.Qx w−

= Q=Vx=0+Vx=H=678,6+126,8=805,4 kN

V= Vx=H=126,8 kN R= Vx=0=678,6 kN

m11,166,678

30.8,1263,18.4,805x =

−=

olarak hesap edilmiştir.

210

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

-400 -300 -200 -100 0

Yayılı (kN/m)

Kat

Sev

iyes

i

L=10 m Perdenin Yayılı Yük Dağılımı

Şekil 3.26 Üçgen yayılı yük etkisindeki perde duvarlı-çerçeveli binada L=10 m uzunluğundaki perdenin üzerindeki toplam yayılı yük dağılımı

Üçgen yayılı yük etkisindeki perde duvarlı-çerçeveli binada L=10 m uzunluğundaki

perdenin üzerindeki toplam yayılı yük dağılımının bileşkesinin temelden olan

mesafesinin hesabı aşağıda yapılmıştır.

a=108,4 kN/m

b=361,9 kN/m

Yayılı yükün bileşkesinin temelden mesafesi;

+

+=

ba2

ba.H.

4

3'x w m3,18

9,3614,108.2

9,3614,108.30.

4

3'x =

+

+=

olarak, toplam yükün bileşkesinin temelden mesafesi ise;

R

H.V'x.Qx w−

= Q=Vx=0+Vx=H=5428,8+1014,3=6443,1 kN

V=1014,3 kN

211

V= Vx=H=1014,3 kN R= Vx=0=5428,8 kN

m11,168,5428

30.3,10143,18.1,6443x =

−=

olarak hesap edilmiştir.

Perdeler üzerindeki hesaplanan toplam yayılı yük dağılımı perdelere rijitlikleri

oranında paylaştırıldığı için tüm perdelerin toplam yük bileşkesi, temelden aynı

mesafede oluşmaktadır. Burada da bunun ispatı yapılmış, 5 ve 10 m uzunluğundaki

perdeler için yayılı yükün bileşkesi aynı bulunmuştur.

3.2.1.4.2. Perdelerin Moment ve Kesme Kapasitesinin Belirlenmesi

Burada, Şekil 3.17’ de verilen yapının y doğrultusunda bulunan perdelerde eğilme

kırılmasının kesme kırılmasından önce oluşup oluşmadığı tahkik edilmiştir.

Perdelerin kesit özellikleri Şekil 3.27’ de verilmiştir.

18Ø14 24Ø14

500

2518Ø14

(a)

34Ø14 50Ø14

1000

34Ø14 25(b)

(a) L=5 m perde (b) L=10 m perde

Şekil 3.27. Perde kesitleri

Kesme Kapasitesi Hesabı

L=5 m perde için;

( ) ( )365000.005,01000.65,0.5.25,0f.f.65,0.AV ydshctdchr +=ρ+=

212

kN3094Vr =

rd VV ≤ kN3094Vd ≤

( )cdchd f.A.22,0V ≤

( ) kN357513000.5.25,0.22,0Vd =≤

L=10 m perde için;

( ) ( )365000.005,01000.65,0.10.25,0f.f.65,0.AV ydshctdchr +=ρ+=

kN6188Vr =

rd VV ≤

kN6188Vd ≤

( )cdchd f.A.22,0V ≤

( ) kN715013000.10.25,0.22,0Vd =≤

Perdeye Ait Moment Kapasitesi Hesabı

Eleman sünek olarak kırılmaya ulaşmalıdır. Gevrek olarak kırılması engellenmelidir.

Bu şartın tasarımda mutlaka sağlanması gerekir. Bunun için sünek kırılmanın “ideal

malzeme” özellikleri ile hesaplanandan daha değişik olabileceği ihtimali dikkate

alınır. Betonarme elemanın sünek kırılması donatının akma gerilmesi ile doğrudan

ilgilidir. Bu yüzden çeliğin akmadan sonraki dayanım artışının (pekleşmenin)

mutlaka dikkate alınması gerekir. Ayrıca betonun basınç dayanımının da

amaçlanandan yüksek olma ihtimali vardır. Bu yüzden moment taşıma kapasitesi,

betonun ve çeliğin karakteristik dayanımları %25 artırılarak bulunmuştur. Moment

kapasitesi hesabında beton ve çelik dayanımı,

2ckc mm/N2520.25,1f.25,1f ===

2yky mm/N525420.25,1f.25,1f ===

213

olarak alınmıştır. Response 2000 programı ile elde edilen 5 m uzunluğundaki

perdeye ait moment eğrilik grafiği Şekil 3.28’ de, 10 m uzunluğundaki perdeye ait

moment eğrilik grafiği ise Şekil 3.29’ da verilmiştir.

0

2000

4000

6000

8000

10000

12000

14000

16000

0 2 4 6 8 10 12

Eğrilik (rad/km)

Mom

ent (

kNm

)

RESPONSE 2000

Şekil 3.28. 5 m uzunluğundaki perdeye ait moment-eğrilik grafiği

Moment kapasitesinden bulunacak kesme dayanımı; M-φ grafiğinden elde edilen

moment değerinin, yayılı yükün bileşkesine oranı ile elde edilir.

Mp=15 140 kNm (M-φ grafiğinden)

kN79,93911,16

14015

x

MV

pp ===

Kesme kapasitesi hesabından kN0943Vr = olarak bulunmuştu. Eğilme

kapasitesinden bulunan kN0943VkN79,939V rp =<= olduğundan, perde

elemanda kesme kırılması oluşmayacaktır. Kırılma sünek moment kırılması ile

oluşacaktır.

214

0

10000

20000

30000

40000

50000

60000

70000

80000

0 1 2 3 4

Eğrilik (rad/km)

Mom

ent

(kN

m)

RESPONSE 2000

Şekil 3.29. 10 m uzunluğundaki perdeye ait moment eğrilik grafiği

Mp=67 554 kNm (M-φ diyagramından)

kN193411,16

55467

x

MV

pp ===

Kesme kapasitesi hesabından kN1886Vr = olarak bulunmuştu. Eğilme

kapasitesinden bulunan kN1886VkN1934V rp =<= olduğundan, perde

elemanda kesme kırılması oluşmayacaktır. Kırılma sünek moment kırılması ile

oluşacaktır.

Sonuç olarak, perdelerin üzerindeki kesme kuvveti ve yayılı yük dağılımının

bilinmesi kesme kırılmasının kontrol edilmesinde büyük kolaylıklar sağlamaktadır.

Burada önerilen formüller ile perdelerin üzerindeki moment, kesme kuvveti ve yayılı

yük dağılımları kolaylıkla elde edilebilir.

3.2.2. Deprem Yüklemesi Altında Perde Duvar Tabanında Oluşan Maksimum

Proje (Hesap) Momentinin Belirlenmesi

Perdeler tek başlarına düşünüldüğünde bir konsol kiriş gibi davrandıkları halde,

taşıyıcı sistem içinde bağ kirişleri veya bu işlevi yapan döşeme elemanı varsa

215

çerçeve kolonları ile etkileşimi nedeni ile moment diyagramları bir konsolunkinden

farklı olur. Bu fark etkileşimi sağlayan elemanların etkisi ile değişir (Celep v.d.,

2005). Aralarındaki etkileşimden dolayı perde ve çerçeve birlikte çalışacak, üst

katlarda çerçeve perdeyi, alt katlarda ise perde çerçeveyi sınırlandıracaktır. Bu

nedenle perde tabanda ankastre, üstte sabit mesnetli bir kiriş gibi modellenebilir

(Şekil 3.30.a). Üçgen yayılı yük altındaki perdeye ait kesme kuvveti ve moment

diyagramı sırasıyla Şekil 3.30.b ve Şekil 3.30.c’ de verildiği gibi elde edilir.

p

V M

x

H-x

(a) (b) (c)

(a) Perdenin modellenmesi (b) Perdenin kesme kuvveti diyagramı (c) Perdenin moment diyagramı

Şekil 3.30. Üçgen yayılı yatay yük altındaki perde davranışı

Şekil 3.30.a’ da görülen sistem dış yük altında moment sıfır noktasından ayrılarak,

basit kiriş ve konsol kiriş olarak çözülebilir (Şekil 3.31). Böylece perde tabanında

oluşan moment kolayca bulunabilir.

216

By

Ay

H-x

p'

Ay

x

p'

Şekil 3.31. Üçgen yayılı yatay yük altındaki perde sisteminin modellenmesi

O halde karma sistemli yapıda, perde tabanında oluşacak maksimum moment

değerini hesaplayabilmek için, sistemin momentinin sıfır olduğu mesafenin bilinmesi

gerekir. Perde duvarlı-çerçeveli yapıların ötelenmesi için geliştirilen denklemlerden

yararlanılarak bulunan eğrilik denklemi sıfıra eşitlenir ve bu denklemden x mesafesi

çekilirse, moment sıfır noktasının temelden olan mesafesini veren denklem elde

edilmiş olur.

0''y.K = (3.49)

s

H=λ

H

xk =

s

x=φ

Ko

K1v

GA.v

Ks 2

22 +==

λ

λ−

λ+

λ= sinh.

1

21.

cosh.v

s.pA

2

2

1

λ−

λ−=

1

2.

v

s.pA

2

2

2

(3.50)

0v.H

x.s.p

H.6

x

H.2

x

H.3

1.H.p.

v

1vsinh.Acosh.A

K

1)x(''y

2

2

5

3

324

2

2

21 =

−

+−−

+φ+φ=

217

Denklem (3.50)’ de verilen eğrilik denklemindeki φ ifadesinin içerisinde x değişkeni

bulunduğundan, coshφ ve sinhφ değerlerinin x’ e bağlı olarak açılımlarının yazılması

gerekir.

s

x=φ

2

eecosh

φ−φ +=φ

2

eesinh

φ−φ −=φ (3.51)

!n

x......

!3

x

!2

xx1e

n32x +++++= (3.52)

!n

x......

!3

x

!2

xx1e

n32x ++−+−=− (3.53)

Dördüncü dereceden denklem çözümü için, ex ve e-x açılımlarının dördüncü dereceye

kadar alınması yeterlidir.

4

4

3

3

2

2s

x

s24

x

s6

x

s2

x

s

x1ee ++++==φ (3.54)

4

4

3

3

2

2s

x

s24

x

s6

x

s2

x

s

x1ee +−+−==

−φ− (3.55)

2

s24

x

s6

x

s2

x

s

x1

s24

x

s6

x

s2

x

s

x1

2

eecosh

4

4

3

3

2

2

4

4

3

3

2

2

+−+−+

++++

=+

=φφ−φ

4

4

2

2

s24

x

s2

x1cosh ++=φ (3.56)

2

s24

x

s6

x

s2

x

s

x1

s24

x

s6

x

s2

x

s

x1

2

eesinh

4

4

3

3

2

2

4

4

3

3

2

2

+−+−−

++++

=−

=φφ−φ

3

3

s6

x

s

xsinh +=φ (3.57)

218

x’ e bağlı olarak bulunan (3.56) ve (3.57) denklemleri, (3.50) eğrilik denkleminde

yerine yazılırsa (3.58) elde edilir.

+−−

+

++

++=

5

3

324

2

2

3

3

24

4

2

2

1H.6

x

H.2

x

H.3

1.H.p.

v

1v

s.6

x

s

x.A

s.24

x

s.2

x1.A)x(''y

0v.H

x.s.p2

2

=− (3.58)

(3.58) denklemi düzenlenirse; (3.59) ifadesi bulunur.

x.H.v

p.s

v.2

H.p

2

H.p

s

Ax.

s.2

Ax.

v.H.6

p

H.6

p

s.6

Ax.

s.24

A2

2

222

213

2324

41

−+−++

−++

0v.3

H.p

3

H.pA

2

22

1 =

−++ (3.59)

(3.59) denkleminin her iki tarafı x4 katsayısına bölünürse; (3.60)’ da verilen

denklem elde edilir.

x.

s.24

A

H.v

p.s

v.2

H.p

2

H.p

s

A

x.

s.24

As.2

A

x.

s24

A

v.H.6

p

H.6

p

s.6

A

x

41

2

2

22

2

41

21

3

41

232

4

−+−

++

−+

+

0

s.24

A

v.3

H.p

3

H.pA

41

2

22

1

=

−+

+ (3.60)

Böylece, (3.60) denklemi, (3.61) şekline dönüşmüş olur.

219

0dx.cx.bx.ax 234 =++++ (3.61)

41

232

s.24

A

v.H.6

p

H.6

p

s.6

A

a

−+

= 2

41

21

s.12

s.24

A

s.2

A

b == (3.62.a)

41

2

2

22

s.24

A

H.v

p.s

v.2

H.p

2

H.p

s

A

c

−+−

=

41

2

22

1

s.24

A

v.3

H.p

3

H.pA

d

−+

= (3.62.b)

Perde duvarlı-çerçeveli yapılarda, kolon eksenel deformasyonlarının yanal

ötelenmeye olan etkisi azdır. Bu etki, (3.60) denkleminde v2=1 alınarak ihmal

edilebilir. Böylece eksenel deformasyonları ihmal eden çözüm denklemi (3.63)’ te

verildiği gibi elde edilir.

λ

λ−

λ+

λ= sinh.

1

21

cosh.v

s.pA

2

2

1

λ−

λ−=

1

2.

v

s.pA

2

2

2

(3.63)

0s.24x.H

p.s

s

A.

A

s.24x.s.12x.

A

A.s.4x 4

22

1

4223

1

24 =+

−++

+

(3.63) denklemindeki s2p ifadeleri sadeleştirilirse; moment sıfır noktasının temelden

olan mesafesini veren denklem (3.64) bulunur. Moment sıfır noktasının

bulunabilmesi için dördüncü derece denklemin çözümünün yapılması gerekir.

λ

λ−

λ+

λ= tanh.

1

2cosh

1A1

2

1A2

λ−

λ=

0s.24x.H

1

s

A.

A

s.24x.s.12x.

A

A.s.4x 42

1

4223

1

24 =+

−++

+ (3.64)

220

1

2

A

A.s.4a = 2s.12b = (3.65.a)

−=

H

1

s

A.

A

s.24c 2

1

4

4s.24d = (3.65.b)

Burada (3.64)’ teki dördüncü derece denklemin köklerinin hesabı için izlenecek adım

adım bir işlem prosedürü verilmektedir. Böylece uygulamacı mühendis yapıya ait

kayma rijitliği ve eğilme rijitliği büyüklüklerini hesaplayarak aşağıda verilen işlem

basamaklarını sırası ile takip ettiğinde momentin sıfır olduğu noktanın mesafesini

kolayca bulabilecektir. Bu mesafenin bulunması tasarım aşamasında oldukça

önemlidir. Sistem; momentin sıfır olduğu noktadan Şekil 3.31’ de görüldüğü gibi

ikiye ayrılır ve çözümü yapılırsa, perde tabanında oluşacak Mmak. değeri kolayca

bulunabilir.

Moment sıfır noktasının temelden olan mesafesinin (x) hesabı için adım adım

izlenecek işlem prosedürü:

1.GA

Ks2 =

s

H=λ λ

λ−

λ+

λ= tanh.

1

2cosh

1A1

2

1A2

λ−

λ=

2. 1

2

A

A.s.4a = 2s.12b =

−=

H

1

s

A.

A

s.24c 2

1

4

4s.24d =

3. d.4c.a3

bp

2

−+−= ( ) 22

3

cd.a3

d.8c.a.b

27

b.2q −−

++−=

4. 3

b

3

p

2

q

2

q

3

p

2

q

2

qy 3

323

32

+

+

−

−+

+

+

−=

5. yb4

a 2+−=α d

4

y2−=β

6.

β−−

α−

−

α−

−=2

y

4

2

q

2

2

q

x

2

221

Şekil 3.17’ de verilen model binaya ait kayma ve eğilme rijitliği sırasıyla

kN5606712 ve 2 079 609 375 kNm2 olarak elde edilmişti. Perdelerin moment sıfır

noktasının mesafesini hesaplayabilmek için yukarıda verilen işlem prosedürü izlenir.

Şekil 3.32’ de bu işlemlerin Excel programında hazırlanmış bir yazılımı

görülmektedir.

1. 425,7785606712

3756090792

GA

Ks2 === s=27,9002

075,1425,778

30

s

H===λ

3007,0075,1tanh.075,1

1

2

075,1

075,1cosh

1tanh.

1

2cosh

1A1 =

−+=λ

λ−

λ+

λ=

39238,02

075,1

075,1

1

2

1A2 =−=

λ−

λ=

2. 6212,1453007,0

39238,0.425,778.4

A

A.s.4a

1

2 ===

1,9341425,778.12s.12b 2 ===

( )3549,899931

30

1

425,778

39238,0.

3007,0

425,778.24

H

1

s

A.

A

s.24c

4

2

1

4

−=

−=

−=

( ) 48,69554214425,778.24s.24d 24 ===

3. d.4c.a3

bp

2

−+−=

( )( ) 52496022248,69554214.43549,899931.6212,145

3

1,9341p

2

−=−−+−=

( ) 223

cd.a3

d.8c.a.b

27

b.2q −−

++−=

( ) ( )( )

( ) ( ) 1222

3

10.2975,1355,89993148,69554214.6212,145

3

48,69554214.8355,899931.6212,145.1,9341

27

1,9341.2q

=−−−

+−+−=

222

4. 3

b

3

p

2

q

2

q

3

p

2

q

2

qy 3

323

32

+

+

−

−+

+

+

−=

3

1,9341

3

524960222

2

10.2975,1

2

10.2975,1

3

524960222

2

10.2975,1

2

10.2975,1y

3

321212

3

321212

+

−+

−−

−−+

−+

−+

−−=

514,20379y =

5. ( )

827,127514,203791,93414

6212,145yb

4

a 22=+−=+−=α

2566,944948,695542144

514,20379d

4

y 22=−=−=β

6.

β−−

α−

−

α−

−=2

y

4

2

q

2

2

q

x

2

( )

( )

−−

−

−

−

−

−

−=

2566,94492

514,20379

4

827,1272

10.2975,1

2

827,1272

10.2975,1

x

212

12

m4826,23x =

223

Şekil 3.32. Excel programı ile M=0 noktasının temelden olan mesafesinin hesabı

p

p'

B

A

C

x=23,48 m

H-x=6,52 m

m/kN99248,23.30

62,1267x.

H

p'p ===

224

1267,62 BBy

H-x=6,52 m

992A

Ay

∑ = 0Fiy

kN736652,6.2

62,1267992BA yy =

+=+

∑ = 0MA

( )3

2.52,6.

2

52,6.99262,1267

2

52,6.99252,6.B

2

y

−+=

kN3833By =

kN3533A y =

x=23,48 m

A

C

3533 kN992

kNm2552653

48,23.2.

2

48,23.99248,23.3533Mc =+=

SAP 2000 programı ile yapılan analizler sonucunda perde tabanında oluşan toplam

moment (Mc) 264 220 kNm olarak elde edilmiştir. Önerilen yöntemde sonuçlar,

% 0,3 hata payı ile bulunmuştur. Burada verilen adım adım işlem prosedürünü takip

eden uygulamacı mühendis, moment sıfır noktasının mesafesini elde edecek ve

tasarım aşamasında perde tabanında oluşan momenti büyük bir yaklaşıklıkla

hesaplayabilmektedir.

225

3.2.3. Perde Duvarlı-Çerçeveli Yapılarda Stabilite İndeksi İçin Analitik İlişkinin

Türetilmesi

Daha önceki bölümlerde de bahsedildiği gibi narin kolon tasarımı için yapının yanal

ötelenmesinin önlenmiş olup olmadığının bilinmesi önem kazanmaktadır. Yapının

yanal ötelenmesinin önlenmiş olup olmadığına karar verebilmek için TS 500/2000

bir yaklaşım olarak stabilite indeksinin hesaplanmasını öngörmektedir.

ϕ=1,5 . (∆i) . 05,0V

N

fi

i

di

≤

∑l

(3.66)

ϕ : Stabilite indeksi

∆i : Göreli kat ötelenmesi

Σ Ndi : i. kata ait toplam tasarım eksenel yükü

Vfi : i. kattaki toplam kesme kuvveti

li : i. katın kolon boyu

Stabilite indeksinin 0,05 değerinden küçük olması durumunda yapıdaki yanal

ötelenmenin önlenmiş olduğu kabul edilebilir (TS 500, 2000). Stabilite indeksini

hesaplayabilmek için göreli kat ötelenmelerinin bilinmesi gerekir. Göreli kat

ötelemesinin elle hesabı zor ve zaman alıcıdır. Bir bilgisayar programında yapının üç

boyutlu olarak modellenmesini gerektirir. Fakat bir kolondaki narinlik hesabını

yapabilmek için tüm binanın bilgisayarda modellenmesi de oldukça külfetli bir

işlemdir. Bunun için perde duvarlı-çerçeveli yapıların ötelenme hesabı için

geliştirilen diferensiyel denklemlerden yararlanarak stabilite indeksi ifadesi deprem

yükü ve göreli kat ötelenmesi ifadelerinden bağımsız bir hale getirilmiştir. Böylece,

stabilite indeksi ifadesi; tasarımcı mühendisin bilgisayar modelini oluşturmaya gerek

duymadan elle kolayca hesaplanabileceği bir ifadeye dönüştürülmüştür.

Stabilite indeksi ifadesi yüklemeden bağımsız olduğu için herhangi bir yükleme

durumu için hesap yapılması yeterlidir. Bu yüzden üçgen yayılı yük altındaki perde

226

duvarlı-çerçeveli yapıların yanal ötelenmesi için geliştirilmiş olan diferensiyel

denklemden yararlanılmıştır. Ötelenme denkleminin birinci türevi alındığında elde

edilen dönme denklemi (3.67)’ de verilmiştir.

s

H=λ

H

xk =

s

x=φ

Ko

K1v

GA.v

Ks 2

22 +==

λ

λ−

λ+

λ= sinh.

1

21

cosh.v

s.pA

2

2

1

λ−

λ−=

1

2.

v

s.pA

2

2

2

A3=-A2 . s A4=-A1 . s2

(3.67)

+−

+−−

+φ+φ= 32

22

5

4

3

2

24

2

2

21 Av.H.2

x.s.p

H.24

x

H.4

x

H.3

x.H.p.

v

1vcosh.s.Asinh.s.A

K

1)x('y

Kolonların eksenel deformasyonlarının ötelenmeye etkisini ihmal etmek için, v2=1

olarak alınması yeterlidir. O halde (3.67) denklemi, (3.68)’ e dönüşür.

s

H=λ

H

xk =

s

x=φ

GA

Ks2 =

λ

λ−

λ+

λ= sinh.

1

21.

cosh

s.pA

2

1

λ−

λ−=

1

2.s.pA 2

2 s.-AA 23 =

+−φ+φ= 3

22

21 AH.2

x.s.pcosh.s.Asinh.s.A

K

1)x('y (3.68)

TS 500/2000’ de verilen stabilite indeksi ifadesi (3.66)’ dan, ∆i/li çekilirse; (3.69)

denklemi elde edilir.

∑

ϕ=

∆

di

fi

i

i

N.5,1

V.

l (3.69)

Üçgen yayılı yük için kesme kuvvetinin ifadesi (3.70); (3.69)’ da yerine yazılırsa

(3.71) denklemi elde edilir.

227

H.2

)xH(.)xH(.p)xH(.

2

)H/x.p(pVfi

+−=−

+=

( )H.2

xH.pV

22

fi

−= (3.70)

( )∑

−ϕ=

∆

H.N.3

xH.p.

di

22

i

i

l (3.71)

(3.68) ile (3.71) denklemleri birbirine eşitlenerek denklem düzenlenirse (3.72)

denklemi bulunur.

( )K

A

H.K.2

x.s.p

K

cosh.s.A

K

sinh.s.A

H.N.3

xH.p. 322

21

di

22

+−φ

+φ

=∑

−ϕ (3.72)

(3.72) denkleminde A1, A2 ve A3 sabitleri yerine yazılır ve denklem düzenlenirse

(3.73) denklemi elde edilir.

s

H=λ

H

xk =

s

x=φ

GA

Ks2 =

λ+

−λ

λ

λ

φ= sinh

2

.2.

cosh

sinhA

2

22di

xH

N.H.3B

−

∑=

( )

−+φ−

λ−

λ=ϕ

H.2

x1coshA.

1

2.s.

K

B.s 22

i (3.73)

Perde duvarlı-çerçeveli yapıların stabilite indeksi hesabı için türetilen formül, Şekil

3.17’ de verilen perde duvarlı-çerçeveli yapıya uygulanarak geçerliliği araştırılmıştır.

228

Yapının her bir kat seviyesindeki stabilite indeksi değeri önerilen formülle ve SAP

2000 analiz programı ile çözülmüş ve sonuçlar Çizelge 3.10’ da verilmiştir. Stabilite

indeksi hesabı için Excel programında bir yazılım yapılmıştır (Şekil 3.33).

Çizelge 3.10. Perde duvarlı-çerçeveli yapıdaki stabilite indeksi formülünün uygulanması

φ TS 500 Kat

Ndi (kN)

∆i/Vfi

(mm/kN) A B

SAP 2000 Önerilen Formül sınırı

10 18 900 0,0012 -0,92628 19384,62 0,011 0,021 0,05

9 37 800 0,0006 -0,80212 13621,62 0,012 0,014 0,05

8 56 700 0,0004 -0,68724 12960,00 0,012 0,014 0,05

7 75 600 0,0003 -0,58032 13090,91 0,013 0,014 0,05

6 94 500 0,0003 -0,48012 13548,39 0,013 0,014 0,05

5 113 400 0,0002 -0,38547 14219,44 0,013 0,013 0,05

4 132 300 0,0002 -0,29528 15076,92 0,012 0,012 0,05

3 151 200 0,0001 -0,20850 16128,00 0,010 0,011 0,05

2 170 100 0,0001 -0,12414 17401,53 0,008 0,008 0,05

1 189 000 0,0000 -0,04122 18947,37 0,003 0,003 0,05

Şekil 3.33. Perde duvarlı-çerçeveli yapılarda stabilite indeksinin excel programı ile

hesaplanması

229

Çizelge 3.10’ da verilen stabilite indeksi değerleri Şekil 3.34’ te grafik olarak

gösterilmiştir. Elde edilen stabilite indeksi değerleri 0,05’ ten küçük olduğu için

yanal ötelenmenin tüm katlarda önlenmiş olduğu söylenebilir. SAP 2000 analiz

program sonuçları ile önerilen yöntemin çok yakın sonuçlar verdiği görülmektedir.

Ancak bu formüller perdelerin etkin olarak çalıştığı yapılarda iyi sonuç vermektedir.

Çok az perde yerleştirilerek perde davranışı görülmeyen yapılarda sonuçlar SAP

2000 programı sonuçlarından uzaklaşmaktadır.

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 0,10

Stabilite İndeksi

Kat

Sev

iyes

i

Önerilen Denklem SAP 2000 TS 500 sınırı

Önerilen Formül

SAP 2000 Yanal Ötelenmesi Engellenmiş

Yanal Ötelenmesi Engellenmemiş

Şekil 3.34. Perde duvarlı-çerçeveli yapıya ait stabilite indeksi

3.2.4. Perde Duvarlı-Çerçeveli Yapılarda Periyot Hesabı İçin Analitik İfadelerin

Türetilmesi

Daha önceki bölümlerde doğal titreşim periyodunun hesaplanması için Deprem

Yönetmeliğinde önerilen doğal periyot hesabı formülü düzenlenerek (3.73)

denklemine dönüştürülmüştü.

∑

∑

π=

=

=N

1i fi

fi

N

1ii

1

d

F

m

2T (3.73)

230

T1 = Binanın birinci doğal titreşim periyodu

mi = Binanın i. katının kütlesi (mi

= wi

/ g)

dfi = Binanın i. katında Ffi

fiktif yüklerine göre hesaplanan yer değiştirme

Ffi = Birinci doğal titreşim periyodunun hesabında i. kata etkiyen fiktif yük

Yapı tek serbestlik dereceli bir sisteme dönüştürülüp, deprem kuvvetinin bileşkesi

tekil yük olarak etkitilebilir (Şekil 3.35).

2H/3GA

H2H/3

p

Ffi

mFfi

Şekil 3.35. Perde duvarlı-çerçeveli yapının tek serbestlik dereceli sisteme dönüştürülmesi

O halde (3.73) denkleminde bulunan ötelenme ifadesinin yerine perde duvarlı-

çerçeveli yapılarda herhangi bir seviyede etkiyen tekil yük için geliştirilen ötelenme

denklemi (kolon eksenel deformasyonlar ihmal edilerek) yazılır ve denklem

düzenlenirse, (3.74) ifadesi elde edilir.

s

H=λ

s

x=φ

GA

Ks2 =

λ= tanh.s.FA1 s.FA2 −=

A4=-A1 . s2 A3=-A2 . s

[ ]∑

++φ+φ

∑π=

=

=

N

1i43

22

21

fi

N

1ii

1

Ax.Asinh.s.Acosh.s.AK

1

F

m2T (3.74)

231

Denklemdeki A1, A2, A3 ve A4 ifadeleri yerine yazılır ve gerekli sadeleştirmeler

yapılırsa periyot formülü; (3.75) denklemi olarak elde edilir.

( )[ ]GA.g

)3/H.2(tanhsinhcosh.tanh.s.W.2T1

+λ−φ−φλπ= (3.75)

Görüldüğü gibi Deprem Yönetmeliğinde periyot hesabı için önerilen formül,

ötelenme ve deprem yükü terimlerinden kurtarılmıştır. Denklemin geçerliliğini

araştırmak üzere, Şekil 3.17’ de verilen model binanın 5, 10, 15 ve 20 katlı olarak

birinci moda ait periyotları önerilen formülle ve SAP 2000 analiz programı ile

çözülerek karşılaştırılmıştır (Binaya ait diğer bilgiler Çizelge 3.8’ de verilmişti).

(GA)y yapı= kN5606712GA.42GA.4 21 =+

Ky=2 079 609 375 kNm2

(GA)x yapı= kN1426222GA.40GA.6 21 =+

Kx=1 486 228 375 kNm2

Önerilen formül ile yapının doğal periyodu hesaplanırken, yapı rijitliğinin küçük

olduğu değer kullanılmalıdır. Bu değerlere göre elde edilen sonuçlar Çizelge 3.11’ de

verilmiştir.

Çizelge 3.11. Perde duvarlı-çerçeveli yapının birinci moda ait periyot hesabı

T (sn)

Kat Sayısı Wt (kN) H (m) x (m) SAP 2000 Önerilen Formül

Hata %

20 337 482 60 40 2,612 3,225 19

15 253 112 45 30 1,744 2,158 19

10 168 740 30 20 0,961 1,154 17

5 84 370 15 10 0,342 0,340 1

Perde duvarlı-çerçeveli yapıların birinci doğal periyodu hesabı için önerilen formül

ile hesap edilen değerler, SAP 2000 analiz programı sonuçlarına göre %20 hata ile

elde edilmiştir.

232

3.3. Analitik Yöntem İle Elastik Ötesi Sismik Performans İlişkisinin Saptanması

(Pushover Analizi)

Yapılar, depreme dayanıklı olarak tasarlanmalıdır. Ancak, depreme dayanıklı bir

yapı, her tür ve şiddette depremde hiç hasar görmeyecek yapı demek değildir.

Mühendislik bilgileri; en şiddetli depremlerde bile hiç hasar görmeyecek yapı

tasarlamaya yeterlidir. Ancak yapıların olası en büyük depremi hasarsız atlatacak

şekilde projelendirilerek inşa edilmesi hiçte ekonomik değildir. Yönetmeliklerin

amacı, ekonomik ömrü boyunca gerçekleşme olasılığı bir kereden fazla olan

depremlerde, yapının elasto-plastik davranış göstermesini sağlamaktır. Bunun için,

yapı elemanlarının elastik ötesi deformasyonlar yoluyla enerji tüketecek kadar sünek

olması gerekir.

Doğrusal davranış, yapının göstereceği tahmin edilen süneklik düzeyine bağlı olarak

belirlenen davranış katsayıları ile doğrusal olmayan davranışa dönüştürülür.

Doğrusal olmayan davranış çözümlerinin güvenilirliği yapı davranış (R) katsayısının

ne kadar doğru belirlendiğine bağlıdır. Sünek olmayan bir yapı tasarlanacak ise,

yönetmelikte verilen tasarım yükleri R ile çarpılmalıdır (Yüksel, 2000).

Ülkemizin ve daha birçok ülkenin deprem yönetmeliği şiddetli depremler altında

yapının elastik kalmayacağı varsayımına göre hazırlanmıştır. Yönetmeliklerin temel

felsefesi şudur;

• Meydana gelme ihtimali yüksek olan, hafif şiddetli depremlerde yapının taşıyıcı

ve taşıyıcı olmayan elemanları hiçbir hasar görmemelidir.

• Meydana gelme ihtimali düşük olan, orta şiddetteki depremlerde yapının taşıyıcı

elemanlarında önemli bir hasar olmamalıdır. Bu tür depremler altında taşıyıcı

olmayan elemanlarda hasar görülebileceği kabul edilmektedir.

• Meydana gelme ihtimali çok düşük, ender görülen şiddetli depremlerde taşıyıcı

elemanlarda da önemli hasarlar görülebileceği, belirli noktalarda donatının akma

sınırına ulaşacağı ve böylece yapının elastik olmayan bir davranış göstereceği

233

kabul edilmektedir. Böyle bir depreme maruz yapıdan beklenen, çökmenin

oluşmaması ve can kaybının olmamasıdır.

Bu ilkelere uygun olarak tasarlanıp inşa edilen yapılar yeterli mukavemet, rijitlik ve

sünekliğe sahip olmalıdır.

3.3.1. Yeterli Süneklik Nasıl Ölçülür?

Deprem, yapıya bir “enerji yüklemesi” yapar. Yapının maruz kaldığı bu enerji, yapı

içinde tüketilerek dengelenmelidir. Bu enerji tüketimi, yapının belirli bölgelerinde

sünek davranış gösteren hasara izin verilerek sağlanır. Yapının ötelenmesi, betonun

çatlaması, donatının akması, eğilme ve kayma çatlaklarının oluşması, vb. olayların

hepsi bir miktar enerji tüketimidir. Bu tüketim sürecinde, yapı hasar görebilir, ancak

can kaybına yol açacak kısmen veya tamamen göçme önlenmelidir (Atımtay, 2000).

Deprem enerjisini başarı ile tüketmek, ancak yapıya yeterli süneklik kazandırılarak

sağlanabilir.

Süneklik; bir malzemenin, yapı elemanının veya yapının tekrarlanan, tersinir yükler

altında taşıma kapasitesinde önemli bir azalma olmadan elastik ötesi

deformasyonlarla enerji tüketebilme yeteneğidir. Dolayısıyla “Sünek yapı” kavramı

ile depremin enerjisini, elastik ötesi deformasyon yaparak tüketen fakat yıkılmayan

yapı anlaşılmaktadır. Betonarme taşıyıcı sistemlerde, iki tür süneklikten

bahsedilebilir:

1. Eğrilik sünekliği

2. Ötelenme sünekliği

Eğrilik sünekliği taşıyıcı elemanların kesit özellikleri ile, öteleme sünekliği ise,

taşıyıcı sistemin bir bütün olarak ötelenme özelliği ile ilgilidir (Atımtay, 2000).

234

3.3.1.1. Eğrilik Sünekliği

Eğrilik sünekliği yapıyı oluşturan elemanların kesit özellikleri ile ilgilidir. Eleman

üzerinde geliştirilen M-φ ilişkisi ile belirlenebilir (Şekil 3.36). Pratikte bu ilişkiyi

elde eden bilgisayar programları mevcuttur. Bu çalışmada, M- φ ilişkisi Response

2000 programı kullanılarak elde edilmiştir.

M

My

φy φu

φ

Şekil 3.36. Kesite ait moment eğrilik ilişkisi

Elemanlar için eğrilik sünekliği, ulaşılan en büyük eğrilik (φu) değerinin, akma

anındaki eğriliğe (φy) oranı olarak hesap edilebilir.

y

u

φ

φ=µφ (3.76)

Eğrilik süneklik oranı, dönme süneklik oranından daha anlamlı bir endekstir. Çünkü

θy eleman özellikleri ve yükleme durumu parametrelerine bağlıdır ve daima geçerli

bir ifadesi yoktur (Yüksel, 2000).

Kiriş kesitlerinde, beton ve çelik sınıfı, donatı oranı, basınç donatısının miktarı,

ankraj durumu, sargı donatısı miktarı vs. sünekliği etkileyen faktörler arasındadır.

Kiriş kesitleri için elde edilen eğrilik sünekliği oranının 1510 −≅µφ civarında

olması gerekir.

235

Kirişlerde çekme donatısının artması sünekliği azaltırken, basınç donatısının artması

sünekliği artırır. Kirişlerde sünek davranışın gözlenebilmesi için donatının denge altı

olması şarttır. 1997 Deprem Yönetmeliği’ nde, basınç donatı ile sünekliği artırmak

amacıyla, birinci ve ikinci derece deprem bölgelerinde kiriş üst mesnet donatısının en

az %50’ sinin mesnet altında bulunması öngörülmektedir.

Kolon kesitlerinde ise, eksenel yük düzeyi, boyuna donatı miktarı, beton ve çelik

sınıfı, sargı donatısı miktarı sünekliği etkileyen faktörler arasındadır. Kolon

kesitlerinin moment taşıma kapasitesi eksenel yüke bağlı olarak değişmektedir. Bu

yüzden M-φ ilişkisi elde edilirken mutlaka eksenel yükün dikkate alınması gerekir.

Kolon üzerindeki eksenel yük arttıkça süneklik azalır. Bu nedenle 1997 Deprem

Yönetmeliği’ nde kolonların eksenel yük düzeyine (3.77)’ de verilen sınırlama

getirilmiştir.

ckcd f.5,0.AN ≤ (3.77)

dN : Kolon eksenel yükü

cA : Kolon kesit alanı

ckf : Beton karakteristik dayanımı

Bu çalışmada, uygulanan yöntemde, betonarme kesitlerin gerçek davranışını temsil

edilebilmek için eğilme rijitlikleri, Response 2000 programı ile çizilen moment-

eğrilik grafiklerinden elde edilmiştir.

3.3.1.2. Ötelenme Sünekliği

Depreme dayanıklı betonarme binaların tasarımında sistem süneklik kapasitesi

önemli bir parametredir. Betonarme yapılarda sistem sünekliğini etkileyen birçok

etken vardır. Kolon ve kiriş sünekliğini etkileyen parametreler dolaylı olarak sistem

sünekliğine de etki ederler.

236

Bir yapıda oluşabilecek süneklik oranı; yapı elemanlarında kullanılan malzemeye,

yapı taşıyıcı sistemine ve geometrisine, yükleme hızına, yapı elemanlarının bağlantı

durumlarına, yapı-zemin etkileşimine, dolgu ve perde duvarların etkisine, deprem

karakteristik özelliklerine bağlıdır (Yüksel, 2000).

Bir yapının bütünü için ötelenme sünekliği; yapının belli bir noktasındaki en büyük

yatay yer değiştirmesinin (∆u), akma başlangıcındaki yer değiştirmesine (∆y) oranı

olarak elde edilir. Elasto-plastik sistemin ötelenme sünekliğinin 4-5 civarında olması

istenir.

Deprem hareketleri yapıya bir enerji yüklemesi yapar. Bu enerjinin yapı tarafından,

çökme olmadan tüketilmesi gerekir. Bu kavramların anlaşılmasında iki prensipten

yararlanılabilir.

1. Eşit Ötelenme Prensibi

2. Eşit Deplasman Prensibi

3.3.1.2.1. Eşit Ötelenme Prensibi (T>0,7 sn olan yapılar için)

Doğrusal elastik taşıyıcı sistemde, eylemsizlik kuvveti ve yatay ötelenme arasındaki

ilişki de doğrusal elastiktir. Eylemsizlik kuvveti-ötelenme eğrisi altında kalan alan,

taşıyıcı sistemde depolanan (tüketilen) enerjiyi gösterir. Aynı deprem hareketi altında

elastik ve elasto-plastik sistemlerin göstereceği maksimum yatay ötelenmeler

yaklaşık birbirine eşittir (Şekil 3.37). Bu davranış “Eşit Ötelenme Prensibi” olarak

tanımlanır (Atımtay, 2000).

237

∆u∆y∆

Fe/R

Fe

F

Şekil 3.37. Eşit ötelenme prensibi

y

u

∆

∆=µ∆

y

u

E

E

R

F

F

∆

∆= R=µ∆ (3.78)

Eşit ötelenme prensibinde çok büyük ötelenme ve enerji tüketimi gerekli olmaz.

Dolayısıyla, histeresis eğrisinin şekli ve elemanda ne kadar enerji tükettiği büyük

önem kazanmaz.

3.3.1.2.2. Eşit Enerji Prensibi (T<0,5 sn olan yapılar için)

Eylemsizlik kuvveti-ötelenme eğrisi altında kalan alan, taşıyıcı sistemde depolanan

(tüketilen) enerjiyi gösterir. ∆u ötelenmesi, elasto-plastik ve elastik sistemlerin

tükettiği enerjinin eşitlendiği noktaya tekabül eden ötelenme değeri olarak belirlenir

(Şekil 3.38).

238

∆u∆y∆

∆E

F

Fe

Fe/R

Şekil 3.38. Eşit enerji prensibi

( )R

F..

R

F.

2

1U E

yuyE

EP ∆−∆+∆= (3.79)

EEE .F.2

1U ∆= (3.80)

EPE UU = ve R

uy

∆=∆ ilişkileri kullanılarak, (3.81) denklemi elde edilir.

2

1R 2

y

u +=

∆

∆=µ∆ (3.81)

Eşit enerji prensibinde, ötelenmenin gerektirdiği enerjinin eşitlenmesi için büyük

ötelenmeler ve dolayısıyla büyük süneklik zorunlu olur. Histeresis eğrisinin şekli ve

elemanın ne kadar enerji tükettiği önem taşır.

3.3.2. Yapıların Deprem Güvenliğinin Belirlenmesi

Ülkemizde ve dünyada yapılarla ilgili yürürlükteki şartnameler, çoğunlukla, yeni

binaların, sismik etkiler altında can güvenliği problemi oluşturmayacak şekilde

tasarımıyla ilgili hükümler içermektedir. Oysa, mevcut binaların pek çoğu, bugün

için yürürlükten kalkmış yönetmeliklere göre veya hiçbir yönetmelik koşullarına tabi

olmaksızın yapılmıştır. Bu nedenle, mevcut yapıların gelebilecek etkileri güvenli

şekilde karşılayıp karşılayamayacağı sorusu inşaat mühendislerinin her zaman

239

önemsedikleri bir soru olmuştur. Özellikle, daha önce yürürlükte olan yönetmeliklere

göre yapılmış bir yapının yeni yönetmeliklere göre kendisine gelebilecek etkileri

karşılama kapasitesi hep merak edilmiştir. Ayrıca hasarlı bir yapının takviye

edildikten sonra hangi oranda güçlendiğinin belirlenmesi de merak edilen diğer bir

konudur.

Deprem yapıya bir enerji yüklemesi yapar. Bu enerji elemanlarda oluşan plastik şekil

değiştirmeler ile tüketilir. Yapı enerji tüketimini başarı ile gerçekleştirmeli, can kaybı

ve göçme kesinlikle önlenmelidir. Ancak, burada önemli bir sorunun cevabının

verilmesi gerekir. Bu yapının intikal eden deprem enerjisini başarı ile tükettiği

nereden bilinecektir? Bu sorunun cevabı, (3.82) denkleminde tanımlanan deplasman

sünekliği kavramı ile verilmektedir. Deprem enerjisinin başarı ile tüketildiğini

söyleyebilmek için, deplasman (ötelenme) sünekliğinin (4-5) arasında alınması

yeterli şart olarak kabul edilmektedir. Öyle ise, proje mühendisinin yapı için ∆y ve ∆u

değerlerini hesaplaması gerekmektedir.

µ∆= 54y

u −=∆

∆ (3.82)

µ∆ : Ötelenme sünekliği

∆u : En büyük yatay yer değiştirme

∆y : Akma başlangıcındaki yer değiştirme

Bu işlem kesiti ve donatısı belli olan elemanlar için kolayca yapılabilir. Fakat üç

boyutlu yapı için düşünüldüğünde yapının sünekliğinin neye bağlı olarak

belirleneceği belirsizdir. Yapıdaki bazı elemanlarda betonda ezilme meydana

gelirken, bazı elemanlarda donatı yeni akmaya başlayabilir.

Ancak, bu aşamada bazı zorluklarda kendini göstermektedir. Değişik geometride ve

sayıda perde duvarlara ve çok sayıda kolon ve kirişlere sahip 3 boyutlu çok katlı bir

yapıda (∆y) nedir? Bu sorunun cevabı, ancak çok karmaşık non-lineer bilgisayar

programları ile verilebilmektedir.

240

Son yıllarda, bilgisayar teknolojisindeki gelişmeler sonucunda nonlineer deplasmana

dayalı yöntemlerin uygulaması yaygınlaşmıştır. Yapının elastik ötesi davranışı

tahmin etmek için, elastik kuvvete dayalı yöntemlere güvenilmemesi, deplasmana

dayalı yöntemleri daha fazla tercih edilir hale getirmiştir.

Bu yöntemlerle elde edilen taban kesme kuvveti çatı deplasmanı eğrisi (kapasite

eğrisi) yapının depreme dayanımı hakkında önemli bilgiler verir. Eğrinin eğimi

sistemin rijitliğindeki değişimi verir. Eğrinin altında kalan alan ise yapının depremde

tükettiği enerjinin bir ölçüsüdür. Ayrıca akma ve çökme anına ait ötelenmeler

belirlendikten sonra, sistem sünekliği belirlenebilir. Böylece tasarım sırasında

kullanılan yük azaltma katsayılarının ne kadar gerçekçi olduğu görülebilir. Statik

itme analizi mevcut yapıların dayanım düzeylerinin belirlenmesine ve depreme

dayanıklı yapı sistemlerinin tasarlanmasına yardımcı olur.

Burada bir noktaya açıklık getirmek gerekir. Bir yapı elemanının yeterli sünekliğe

sahip olması, her zaman enerji yutma kapasitesinin de yeterli olduğu anlamına

gelmez. Aynı sünekliğe sahip sistemlerin enerji tüketme kapasiteleri daima eşit

değildir. Bu bağlamda sünekliğin enerji yutma kapasitesinin bir ölçütü olduğu

söylenemez. Ancak ideal elasto-plastik davranışa sahip veya yük-deplasman eğrisi

buna çok yakın olan sistemlerde, süneklik ile enerji tüketimi arasında bir paralellik

kurulabilir.

Fu

∆u∆y∆

F

1234

Şekil 3.39. Yapıya ait farklı kapasite eğrileri

241

Şekil 3.39’ da görülen 1 numaralı eğri ideal elasto plastik davranışı, 2 numaralı eğri

ise betonarme bir elemanın gerçek davranışını göstermektedir. 1 ve 2 eğrilerinin

sünekliği, enerji yutma kapasitesinin bir ölçüsü olabilir. 3 numaralı eğride, taşıma

gücünde büyük bir düşüş olmaktadır ve kabul edilebilir bir davranış biçimi değildir.

Sünekliği diğer sistemlerle aynı olmasına rağmen, enerji tüketme kapasitesi çok

azdır. 4 numaralı eğride, daha yük düşük seviyelerde iken rijitlik kaybı büyüktür.

Fakat süneklik düzeyi diğer sistemlerle aynıdır. Görülüyor ki, süneklik ile enerji

tüketme kapasitesi arasında ilişki kurarken kapasite eğrisinin biçimine çok dikkat

etmek gerekmektedir (Yüksel, 2000).

Günümüzde nonlineer statik itme analizi (pushover), ancak bilgisayar programları ile

yapılabilmektedir. Henüz geliştirilmiş pratik ve uygulaması kolay bir yöntem mevcut

değildir. Bu programların içeriği açık olmadığı için çözümleme yöntem ve anlayışları

kullanıcılar tarafından eksik ya da yanlış anlaşılabilmektedir. Bu nedenle,

kullanıcının hatalı veri girme veya hatalı modelleme yapma olasılığı her zaman

mevcuttur. Bu yüzden kullanıcının basit, anlaşılabilir ve kolay uygulanabilir bir

çözüm yöntemine ihtiyacı vardır. Bu çalışmada, analitik yöntemlerden yararlanarak,

perde duvarlı-çerçeveli yapıların adım adım kapasite eğrisinin çizilmesi

gösterilecektir. Böylece, çok karmaşık ve uzun hesaplar yerine, uygulanması ve

sonuç alınması kolay bir yöntem geliştirilmiş olacaktır. Böyle bir yöntemin, proje

mühendisinin işini ne kadar kolaylaştıracağı açıktır.

Geliştirilen yöntem, perde duvarlı-çerçeveli yapıların kapasite eğrisinin elde

edilmesini sağlamaktadır. Bina içerisine uygun şekilde yerleştirilen perde duvarlar,

hem yapının yanal ötelenmesini büyük ölçüde sınırlandırır, hem de yapıya etki eden

kesme kuvvetinin çok büyük bir bölümünü taşırlar. Bu nedenle çerçeveye gelen yük

sıfıra yakın olduğu için yapılan analizde kolon ve kirişlerdeki enerji tüketimleri

ihmal edilerek yapıdaki enerji tüketiminin sadece perde tabanında oluştuğu kabul

edilmiştir.

Betonarme perde kesitlerine ait moment taşıma kapasiteleri Response 2000 programı

ile eksenel yük-moment-eğrilik ilişkilerinden elde edilmiştir. Bu moment eğrilik

242

ilişkilerinden perdelerin akma ve ezilme eğrilikleri belirlenerek işlemler belirlenen

bu eğrilik değerleri üzerinde yapılmıştır. İstenirse, ara değerler için de hesaplar

yapılabilir.

Belli bir eğrilik değeri için elemanın rijitliği (3.83) formülü ile elde edilmiştir (Şekil

3.40). Perdelerin eğilme rijitlikleri toplanarak, yapının toplam eğilme rijitliği

bulunabilir.

12

12 MMMK

φ−φ

−=

φ∆

∆= (3.83)

φφ1 φ2

M2

M1

M

K

12

12 MMMK

φ−φ

−=

φ∆

∆=

Şekil 3.40. Belli bir eğrilik değeri için elemanın rijitliğinin belirlenmesi

Lineer olmayan malzemeden yapılmış sistemlerde, artan dış yükler altında iç

kuvvetler de artarak bazı kesitlerde lineer-elastik sınırı aşmakta ve plastik şekil

değiştirmeler meydana gelmektedir. Bu plastik şekil değiştirmelerin plastik kesit adı

verilen belirli bölgelerde toplandığı ve bu bölgeler dışında sistemin elastik

davrandığı varsayılabilir (Karacan, 1999). Bu varsayıma “yığılı plastik davranış

hipotezi” denilir (Şekil 3.41). Bu hipotez uyarınca kiriş, kolon ve perde türü taşıyıcı

sistem elemanlarındaki plastik şekil değiştirmelerin, iç kuvvetlerin kapasitelerine

eriştiği belli bölgelerde düzgün yayılı biçimde meydana geleceği varsayılabilir.

Eğilme davranışının hakim olmasından ötürü bu bölge “plastik mafsal boyu” (Lp)

243

olarak adlandırılır. Bu çalışmada, perdeler için plastik mafsal boyunun hesabında

(3.84) ile verilen denklem kullanılmıştır (Priestley v.d., 1996).

ybop f.d.02,0L.08,0L += (3.84)

pL : Plastik mafsal boyu (m)

oL : Perdenin moment sıfır noktası ile plastik mafsal arası mesafe (m)

bd : Kullanılan donatı çapı (m)

yf : Çeliğin akma dayanımı (N/mm2)

φu φy

Lp

H

p

Lp

Şekil 3.41. Yığılı plastik davranış hipotezi

Elastik kalan perdelerin ötelenme değerleri diferensiyel denklem yardımıyla

hesaplanmıştır. Plastikleşmenin başlamasıyla elde edilen plastik ötelenme değeri

elastik ötelenmeye ilave edilmiştir. Plastik ötelenme, denklem (3.85)’ te görüldüğü

gibi perde tabanında meydana gelen eğrilik artış bölgesinde bulunan alanın çatı

katına göre momentinin hesaplanması ile elde edilebilir (Şekil 3.42).

244

φ3 φ2

Lp

φy

H

Şekil 3.42. Perdeye ait eğrilik dağılımından plastik ötelenmenin hesabı

( )

−φ−φ=

2

LH.L.y

pp23plastik (3.85)

Yapılan çalışmada, mafsallaşmalar oluşurken yapının üzerinde bulunan üçgen yayılı

yük dağılımının korunduğu kabul edilmiştir. Perde üzerinde oluşan kesme kuvveti

değişimi, yapının rijitliğindeki değişim oranından yararlanılarak bulunmuştur.

Perdeler ezildikten sonra taban kesme kuvvetinde meydana gelecek azalmayı

bulabilmek için, M-φ diyagramından her bir perdenin Şekil 3.43’ te görüldüğü gibi

etkili rijitlikleri hesaplanır. Ezilen perdenin etkili rijitliği, yapı için bulunan toplam

etkili rijitliğe oranlanarak, perdenin taşıdığı kesme kuvveti bulunur. Perdelerin

ezildikten sonra, üzerindeki tüm yükü boşaltmadığı ve bir yaklaşım olarak taşıdığı

yükün tahminen %40’ ını taşımaya devam ettiği kabul edilmiştir.

245

φ1φ

Κ1

M

M1

e

1

11

e MK

φ=

Şekil 3.43. Perdenin etkili rijitliği

1

11

e MK

φ= (3.86)

∑=

e

perdeezilene

ezilmeK

K.VV (3.87)

Üç boyutlu perde duvarlı-çerçeveli bir yapıya ait kapasite eğrisinin çizilebilmesi için

aşağıda verilen işlem prosedürü adım adım takip edilmelidir. Böylece uygulamacı

mühendisin bilgisayar programlarına gerek duymadan elle hesaplayabileceği bir

işlem prosedürü elde edilmiştir.

Kapasite Eğrisinin Çizilebilmesi İçin İzlenecek Olan İşlem Sırası

1. Yapıdaki tüm perdeler için üzerindeki eksenel yük dikkate alınarak M-φ

diyagramları çizilir.

2. Tüm perdelerin akma ve ezilme eğrilikleri belirlenir. Bu değerler sırasıyla analizin

işlem adımlarını oluşturmaktadır.

3. Bu madde, tüm perdelerin elastik olması durumunda yapılacak işlemleri

içermektedir.

246

3.1. Hesap edilen eğrilik değeri için her bir perdenin rijitliği (3.83) denklemi ile

hesap edilir. Çerçevenin eğilme rijitliği ihmal edilerek perdelerin rijitlikleri toplanır

ve yapının toplam eğilme rijitliği (K) bulunur.

3.2. Mevcut diferensiyel denklemlerde; üçgen yayılı yük için p=1 kN/m alınarak,

yapıya ait eğrilik (x=0 seviyesinde) ve ötelenme (x=H seviyesinde) değerleri hesap

edilir.

3.3. Hesap yapılan eğrilik değeri, 3.2’ de p=1 kN/m alınarak bulunan eğrilik değeri

ile oranlanarak üçgen yayılı yükün değeri p bulunur.

3.4. 3.2’ de bulunan ötelenme değeri ile 3.3’ te bulunan p çarpılırsa çatı katı

ötelenmesi elde edilmiş olur.

3.5. Yapının taban kesme kuvveti, 3.3’ te bulunan üçgen yayılı yatay yükün alanı

hesap edilerek elde edilir.

3.6. Yapının 3.2’ de bulunan toplam rijitlik değeri kullanılarak, (3.64) denklemi ile

moment sıfır noktasının mesafesi elde edilir. Bulunan bu değer daha sonraki

aşamalarda plastik mafsal boyunun hesabında kullanılacaktır.

Böylece yapıdaki tüm perdeler elastikken taşıdığı taban kesme kuvveti ve çatı

deplasmanı değerleri elde edilmiştir. Bu değerler, kapasite eğrisinin ilk koordinatını

oluşturmaktadır.

4. Mafsallaşmaların ilk başlamasından tüm perdelerin ezilmesine kadar hesap

yapılacak her eğrilik değeri için 4. maddedeki işlemler tekrarlanır.

4.1. Hesap yapılan eğrilik değeri için 3.1’ de belirtildiği gibi perdelerin ve yapının

toplam rijitliği hesap edilir.

247

4.2. Diferensiyel denklemlerde, yapının hesaplanan toplam rijitliği ve p=1 kN/m

değeri kullanılarak çatı katındaki ötelenme değeri elde edilir.

4.3. Kesme kuvvetindeki değişim, (3.88) denklemi ile elde edilebilir. Hesap yapılan

adımdaki kesme kuvvetini bulmak için; (3.89) denkleminde görüldüğü gibi, (3.88) ile

bulunan kesme kuvveti değişimi bir önceki adımda bulunan kesme kuvvetine ilave

edilir.

∑

∑∆=∆

−−

1i

i1ii

K

K.VV

H

2.Vp i

i

∆=∆ (3.88)

i1ii VVV ∆+= − (3.89)

4.4. Çatı katı ötelenmesi; bir önceki adımda bulunan ötelenme değerinin, elastik

kalan perdeler için diferensiyel denklemle hesap edilen elastik ötelenme artışı ve

plastikleşen perdeler için hesap edilen plastik ötelenme değerleriyle toplamı olarak

elde edilebilir. Plastik ötelenme, perde tabanında meydana gelen eğrilik artış

bölgesinde bulunan alanın çatı katına göre momentinin hesaplanması ile bulunur.

4.5. Hesap yapılan eğrilik değeri perdenin ezilerek devreden çıkması durumunu

temsil ediyorsa, yapının taban kesme kuvvetindeki düşme miktarını elde etmek için

perdelerin etkili rijitlikleri (3.86) denklemi ile hesaplanır (Şekil 3.43). Buradan

yapının toplam etkili rijitliği bulunur. Ezilen perdenin etkili rijitliği (3.90), yapı için

bulunan toplam etkili rijitliğe oranlanarak, perdenin taşıdığı kesme kuvveti bulunur.

Yapılan hesaplarda, perdelerin ezildikten sonra üzerindeki tüm yükü boşaltmadığı ve

bir yaklaşım olarak taşıdığı yükün tahminen %40’ ını taşımaya devam ettiği kabul

edilmiştir.

ezilme

ezilmeperdeezilen

e MK

φ= (3.90)

∑=

e

perdeezilene

ezilmeK

K.VV (3.91)

248

Eğer hesap yapılan değer son perdenin ezilme eğriliği değilse, bir sonraki eğrilik

değeri hesabı için 4. maddeye dönülür.

5. Bulunan çatı deplasmanı ve taban kesme kuvveti değerleri grafik üzerinde

gösterilir. Böylece kapasite eğrisi elde edilmiş olur.

6. Yapının bütünü için ötelenme sünekliği; yapının en büyük yatay yer

değiştirmesinin (∆u), akma başlangıcındaki yer değiştirmesine (∆y) oranı olarak elde

edilir. Elasto-plastik sistemin yeterli enerji tüketebilmesi için ötelenme sünekliğinin

4-5 civarında olması istenir.

3.3.3. Yapıya Ait Kapasite Eğrisinin Adım Adım Elde Edilmesi

Bayındırlık ve İskan Bakanlığı tarafından farklı bölgelerde okul binası olarak

uygulaması yapılmış 10419 no’ lu tip proje model olarak seçilmiştir (İnel v.d., 2006).

Okulun taşıyıcı sistemi, kısa yönde perde ve çerçevelerden, uzun yönde ise sadece

çerçevelerden oluşmaktadır. Yapının kısa yönünde, dış akslarda 30 cm kalınlığında

7,35 m ve 5,85 m uzunluğunda perde duvarlar kullanılmıştır. Yapılan çalışmada bu

perdelere ilaveten C ve I aksında bulunan kolon perdelerin de perde duvar olarak

çalıştığı kabul edilmiş ve bu elemanda da oluşan mafsallaşmalar dikkate alınmıştır.

Çalışmada kullanılan tip projeye ait plan Şekil 3.44’ te, plana ait bilgiler ise Çizelge

3.12’ de verilmiştir.

Hesaplamalar yapının sadece y yönünde yapılmıştır. Geliştirilen yöntem ile elde

edilen sonuçlar, SAP 2000 analiz programı sonuçları (İnel, 2006) ile karşılaştırılarak

verilmiştir.

249

Şekil 3.44. 10419 no’ lu tip proje modeli

Çizelge 3.12. 10419 no’ lu tip projeye ait bilgiler

Kat adedi 5 Normal kat yüksekliği (m) 3,4 Normal kat alanı (m2) 612,5 Yapı ağırlığı (ton) 4250 Beton sınıfı C16 Çelik sınıfı S220 Kirişler 30/80

1. Moment Eğrilik Grafiklerinin Elde Edilmesi

Öncelikle yapının y yönünde bulunan perdeler için, Moment-Eğrilik grafikleri

Response 2000 analiz programı yardımıyla elde edilmiştir. 7,35 m uzunluğundaki

perde için Şekil 3.45’ te, 5,85 m uzunluğundaki perde için Şekil 3.46’ da ve 2,0 m

uzunluğundaki perde için Şekil 3.47’ de Moment-Eğrilik grafikleri verilmiştir.

250

0

5000

10000

15000

20000

25000

0 2 4 6 8 10 12 14 16

Eğrilik (rad/km)

Mom

ent

(kN

m)

3007

35

0

3 layers of

As = 1060 mm2

35 layers of

As = 226 mm2

3 layers of

As = 1060 mm2

RESPONSE 2000

Şekil 3.45. 7,35 m uzunluğundaki perdeye ait moment-eğrilik ilişkisi

0

2000

4000

6000

8000

10000

12000

0 2 4 6 8 10 12 14 16

Eğrilik (rad/km)

Mom

ent

(kN

m)

300

58

50

As = 942 mm2

29 layers of

As = 228 mm2

As = 942 mm2 RESPONSE 2000


251

0

200

400

600

800

1000

1200

1400

1600

1800

2000

0 5 10 15 20 25 30 35

Eğrilik (rad/km)

Mom

ent

(kN

m)

3002

00

0

As = 628 mm2

10 layers of

As = 226 mm2

As = 628 mm2 RESPONSE 2000


2. Perdelerin Akma ve Ezilme Eğriliklerinin Belirlenmesi

Her bir perdeye ait belirlenen akma ve ezilme eğrilikleri Çizelge 3.13’ te verilmiştir.

Bu eğrilik değerleri, hesaplamalarda yapılacak işlem adımlarını oluşturmaktadır

(Şekil 3.48).

Çizelge 3.13. Perdelere ait belirlenen akma ve ezilme eğrilikleri

Eğrilik (rad/m) L (m)

φy φu

7,35 0,00031 0,00744

5,85 0,00033 0,00998

2 0,00094 0,031

252

P1 (30/735)

C-C ve I-I Aksları

A-A ve K-K Aksları

P3 (30/200)

Donatıda akma

P1 (30/735)

C-C ve I-I Aksları

A-A ve K-K Aksları

P2 (30/585)

4. ADIM

Beton basınç bölgesinde ezilmeDonatıda akma ile beton basınç bölgesi ezilmesi arasında

P3 (30/200) P3 (30/200)

P1 (30/735)

5. ADIM

P2 (30/585)

C-C ve I-I Aksları

A-A ve K-K Aksları

6. ADIM

C-C ve I-I Aksları

P1 (30/735)

A-A ve K-K Aksları

C-C ve I-I Aksları

P1 (30/735)

A-A ve K-K Aksları

P3 (30/200)

P2 (30/585)

1. ADIM

P1 (30/735)

P3 (30/200)

P2 (30/585)

C-C ve I-I Aksları

P3 (30/200)

P2 (30/585)

A-A ve K-K Aksları

2. ADIM 3. ADIM

Şekil 3.48. Hesap yapılan adımların mafsallaşma durumu

3. 1. ADIM (φy)

7,35 m =0,00031 rad/m

İlk olarak L=7,35 m boyundaki perde akma sınırına ulaşmaktadır. Diğer perdeler

elastik bölgededir.

φ1=φy

L=7,35 m perde L=2,0 m perde

φ1 φ1

L=5,85 m perde

H

253

3.1. Perde Rijitliklerinin Belirlenmesi

( ) 2m35,71 kNm06531150

000031,0

043,59615MK =

−

−=

φ∆

∆=

( ) 2m85,52 kNm77456126

000031,0

015,8234MK =

−

−=

φ∆

∆=

( ) 2m0,23 kNm4844353

000031,0

01065MK =

−

−=

φ∆

∆=

( ) ( ) ( )[ ]∑ ++=m0,2

3m85,5

2m35,7

11 KKK.2K

∑ = 21 kNm646616160K

3.2. Diferensiyel Denklemler İle p=1 kN/m Alınarak Yapıda Oluşan Ötelenme ve

Eğrilik Değerlerinin Elde Edilmesi

Üçgen yayılı yükün en tepedeki değeri p=1 kN/m alınarak diferensiyel denklem

çözümleri yapılırsa;

x=H seviyesindeki ötelenme değeri y=0,01455346 mm

x=0 seviyesindeki eğrilik değeri y′′=2,8948 . 10-7 rad/m

olarak elde edilir.

3.3. p’nin Gerçek Değerinin Elde Edilmesi

Hesaplamanın yapıldığı eğrilik değerinin, p=1 kN/m alınarak 3.2’ de bulunan eğrilik

değeri ile oranı p’ nin gerçek değerini verir.

m/kN9,1070108948,2

000031,0

''yp

7=

×

−=

φ∆=∆

−

m/kN9,1070pp1 =∆=

M K1

φ

M K2

φ

M K3

φ

254

3.4. Çatı Katı Ötelenmesinin Elde Edilmesi

Ötelenmenin gerçek değerinin hesaplanabilmesi için, p=1 kN/m alınarak 3.2’ de

bulunan ötelenme değeri ∆p ile çarpılır.

mm58,1501455346,0.9,1070yp1 ==×∆=∆

3.5. Taban Kesme Kuvvetinin Elde Edilmesi

Yapının taban kesme kuvvetindeki değişim, 3.3’ te elde edilen ∆p değeri ile üçgen

yayılı yükün alanı bulunarak hesap edilir.

kN91032

17.9,1070

2

H.pV1 ==

∆=

3.6. Moment Sıfır Noktası Mesafesinin Elde Edilmesi

Moment sıfır noktasının mesafesi (3.64) denklemi ile hesap edilebilir. Bu denklemin

çözümü için izlenecek işlem prosedürleri daha önceki bölümlerde verilmişti. Burada

moment sıfır noktasının mesafesi, Excel ile hazırlanan programda yapının elastik

eğilme rijitliği kullanılarak x=9,665 m olarak elde edilmiştir. Bu değer daha sonraki

aşamalarda plastik mafsal boyunun hesaplanmasında kullanılacaktır.

Şekil 3.49. Excel programı ile moment sıfır noktası mesafesinin elde edilmesi

255

Böylece yapıdaki tüm perdeler elastikken taşıdığı taban kesme kuvveti ve çatı

deplasmanı değerleri elde edilmiştir. Bu değerler, kapasite eğrisinin ilk koordinatını

oluşturmaktadır.

4. 2. ADIM (φy)5,85 m =0,00033 rad/m

İkinci olarak 5,85 m boyundaki perde akma sınırına ulaşmaktadır. Bu arada 2,0 m

uzunluğundaki perde hala elastik bölgede iken 7,35 m uzunluğundaki perde

plastikleşmeye başlamıştır.


( ) 2m35,71 kNm0002504

00031,000033,0

43,5961568115MK =

−

−=

φ∆

∆=

( ) 2m85,52 kNm0007502

00031,000033,0

15,82348289MK =

−

−=

φ∆

∆=

( ) 2m0,23 kNm0005001

00031,000033,0

10651095MK =

−

−=

φ∆

∆=

( ) ( ) ( )[ ]∑ ++=m0,2

3m85,5

2m35,7

12 KKK.2K

∑ = 22 kNm00000017K

4.2. Diferensiyel Denklemler İle p=1 kN/m Alınarak Yapıda Oluşan Ötelenme

Değerinin Elde Edilmesi





φ

M K1

φ

M K2

φ

M K3

256

olarak elde edilir.


kN963646616160

00000017.9103

K

K.VV

1

212 ==∑

∑∆=∆

m/kN11317

963.2

H

V.2p 2 ==

∆=∆

kN066109639103VVV 212 =+=∆+=


Çatı katı ötelenmesi; bir önceki adımda bulunan ötelenme değerinin, elastik kalan

perdeler için diferensiyel denklemle hesap edilen elastik ötelenme artışı ve

plastikleşen perdeler için hesap edilen plastik ötelenme değerleriyle toplamı olarak

elde edilebilir.

Elastik ötelenme artışı, aşağıdaki gibi bulunur.

mm57,202275204,0.113y.pyelastik ==∆=∆

Plastik ötelenme hesabı için gerekli olan perde plastik mafsal boyu; aşağıdaki formül

ile hesaplanmıştır (Priestley v.d., 1996).

ybop f.d.02,0L.08,0L +=

oL =9,665 m (Moment sıfır noktasının mesafesi x= 9,665 m olarak elde edilmişti)

bd =0,012 m

yf =220 N/mm2

257

m826,0220.012,0.02,0665,9.08,0Lp =+=

Plastik ötelenme, perde tabanında meydana gelen eğrilik artış bölgesinde bulunan

alanın çatı katına göre momentinin hesaplanması ile elde edilebilir.

Lp

φ1=φyφ2

L=7,35 m perde

φ2=φy φ2

H

L=2,0 m perdeL=5,85 m perde

2. Adım Plastik Ötelenme

−φ∆=

2

LH.L.y

ppplastik

( ) mm27,0m00027,02

826,017.826,0.00031,000033,0yplastik ==

−−=

mm42,1827,057,258,15yy plastikelastik12 =++=+∆+∆=∆

5. 3. ADIM (φy)2,0 m =0,00033 rad/m

Üçüncü olarak 2,0 m boyundaki perde akma sınırına ulaşmaktadır.


( ) 2m35,71 kNm1115112

00031,000094,0

6811526317MK =

−

−=

φ∆

∆=

( ) 2m85,52 kNm9682531

00033,000094,0

82899079MK =

−

−=

φ∆

∆=

φ

M K1

φ

M K2

258

( ) 2m0,23 kNm111711

00033,000094,0

10951543MK =

−

−=

φ∆

∆=

( ) ( ) ( )[ ]∑ ++=m0,2

3m85,5

2m35,7

13 KKK.2K

∑ = 23 kNm3809528K







olarak elde edilir.


kN50700000017

3809528.963

K

K.VV

2

323 ==∑

∑∆=∆

m/kN65,5917

507.2

H

V.2p 3 ==

∆=∆

kN5731050706610VVV 323 =+=∆+=


Elastik ötelenme;

φ

M K3

259

mm44,102412298,0.65,59y.pyelastik ==∆=∆

olarak hesap edilir.

φ3

Lp

φ1=φyφ2

L=7,35 m perde L=2,0 m perde

φ3 φ2=φy φ3=φy

L=5,85 m perde

H3. Adım Plastik Ötelenme

3. Adım

( )

−φ−φ=

2

LH.L.y

pp23plastik

( ) mm4,8m00836,02

826,017.826,0.00033,000094,0yplastik ==

−−=

mm22,284,844,142,18yy plastikelastik23 =++=+∆+∆=∆

6. 4. ADIM (φu)7,35 m =0,00744 rad/m

Dördüncü adımda 7,35 m boyutundaki perde ezilme sınırına ulaşmaktadır.


( ) 2m35,71 kNm154430

00094,000744,0

2631705920MK =

−

−=

φ∆

∆=

( ) 2m85,52 kNm000234

00094,000744,0

079960010MK =

−

−=

φ∆

∆=

φ

M

K1

φ

M

K2

260

( ) 2m0,23 kNm38543

00094,000744,0

15431825MK =

−

−=

φ∆

∆=

( ) ( ) ( )[ ]∑ ++=m0,2

3m85,5

2m35,7

14 KKK.2K

∑ = 24 kNm0784151K







olarak elde edilir.


kN803809528

0784151.507

K

K.VV

3

434 ==∑

∑∆=∆

kN653108057310VVV 434 =+=∆+=


( )

−φ−φ=

2

LH.L.y

pp34plastik

φ

M

K3

261

Lp

φ4=φu φ1=φyφ3 φ3φ4 φ2=φy φ3=φyφ4

L=7,35 m perde L=2,0 m perdeL=5,85 m perde

H4. Adım Plastik Ötelenme

4. Adım

( ) mm1,89m08906,02

826,017.826,0.00094,000744,0yplastik ==

−−=

mm28,1171,8922,28yplastik34 =+=+∆=∆

6.5. Perdenin Ezilmesi Durumunda Taban Kesme Kuvvetinde Meydana Gelen

Azalma

( ) 2

1

1m35,7

e kNm102696200744,0

05920MK ==

φ=

( ) 2

2

2m85,5

e kNm731424100744,0

60010MK ==

φ=

( ) 2

3

3m0,2

e kNm29624500744,0

8251MK ==

φ=

2e kNm2577328K =∑

( )kN3289

2577328

1026962.65310

K

K.VV

e

m35,7e

4ezilme ==∑

=

φ

M

Ke1

φ

M

Ke2

φ

M

Ke3

262

Perdelerin ezildikten sonra, üzerindeki tüm yükü boşaltmadığı ve bir yaklaşım olarak

taşıdığı yükün tahminen %40’ ını taşımaya devam ettiği kabul edilmiştir.

kN70662.2893.6,065310deta2.V.6,0VV ezilme4u4 =−=−=

7. 5. ADIM (φu)5,85 m =0,00998 rad/m

Beşinci adımda 5,85 m boyutundaki perde ezilme sınırına ulaşmaktadır.


( ) 0K m35,71 = (Ezildi)

( ) 000744,000998,0

6001060010MK m85,5

2 =−

−=

φ∆

∆= (Momentte artış yok)

( ) 2m0,23 kNm3304

00744,000998,0

82518361MK =

−

−=

φ∆

∆=

( ) ( ) ( )[ ]∑ ++=m0,2

3m85,5

2m35,7

15 KKK.2K

∑ = 25 kNm6618K







olarak elde edilir.

φ

M

K2=0

φ

M

K3

263


kN5,00784151

6618.80

K

K.VV

4

545 ==∑

∑∆=∆

kN70765,07066VVV 545 =+=∆+=


φ5=φu

Lp

L=2,0 m perde

φ4 φ2=φy φ4φ5 φ3=φy

L=5,85 m perde

H

L=7,35 m perdeEZİLDİ


5. Adım

( )

−φ−φ=

2

LH.L.y

pp45plastik

( ) mm8,34m034,02

826,017.826,0.00744,000998,0yplastik ==

−−=

mm08,1528,3428,117yplastik45 =+=+∆=∆


Azalma

( ) 0K m35,7e =

( ) 2

2

2m85,5

e kNm124062100998,0

60010MK ==

φ=

φ

M

Ke2

264

( ) 2

3

3m0,2

e kNm36818400998,0

8401MK ==

φ=

2e kNm9854922K =∑

( )kN8572

9854922

1240621.7076

K

K.VV

e

m85,5e

5ezilme ==∑

=




8. 6. ADIM (φu)2,0 m =0,031 rad/m

Altıncı adımda 2,0 m boyutundaki perde ezilme sınırına ulaşmaktadır.


( ) 0K m35,71 = (Ezildi)

( ) 0K m85,52 = (Ezildi)

( ) 0K m0,23 = (Momentte artış yok)

∑ = 0K6

φ

M

Ke3

φ

M

K3=0

265







olarak elde edilir.


Yapının rijitliği sıfır olduğundan, taban kesme kuvveti sabit kalacaktır.

kN2783V6 =


φ5

Lp

φ6=φu φ3=φy

H

L=7,35 m perdeEZİLDİ

L=2,0 m perdeL=5,85 m perdeEZİLDİ


( )

−φ−φ=

2

LH.L.y

pp56plastik

( ) mm288m288,02

826,017.826,0.00998,0031,0yplastik ==

−−=

266

mm08,44028808,152yplastik45 =+=+∆=∆


Azalma

( ) 0K m35,7e = (Ezildi)

( ) 0K m85,5e = (Ezildi)

( ) 2

3

3m0,2

e kNm22652031,0

6191MK ==

φ=

2e kNm452104K =∑

( )kN6391

452104

22652.2783

K

K.VV

e

m0,2e

6ezilme ==∑

=




9. Kapasite Eğrisinin Çizilmesi

Analitik yöntem ile, belirlenen her bir eğrilik değeri için elde edilen çatı deplasmanı

ve taban kesme kuvveti değerleri Çizelge 3.14’ te verilmiştir. Önerilen yöntem ve

SAP 2000 analiz programı ile elde edilen kapasite eğrileri Şekil 3.50’ de grafik

olarak görülmektedir.

φ

M

Ke3

267

Çizelge 3.14. Analitik yöntem ile elde edilen taban kesme kuvveti- çatı deplasmanı değerleri

Adım Taban Kesme Kuvveti (ton)

Çatı Deplasmanı (m)

0 0 0

1 910,3 0,01558

2 1007 0,01842

3 1057 0,02822

4 1065 0,11728

Ezilme 670,6 0, 11728

5 670,7 0,15208

Ezilme 327,8 0, 15208

6 327,8 0,44008

Ezilme 131 0, 44008

0

200

400

600

800

1000

1200

1400

0,00 0,10 0,20 0,30 0,40 0,50


Tab

an K

esm

e K

uvve

ti (

ton)

SAP 2000 Analitik Yöntem

SAP 2000 (İnel, 2006)

Analitik Yöntem

Şekil 3.50. Yapıya ait kapasite eğrisi

Şekil 3.50’ de analitik yöntem ile elde edilen kapasite eğrisinin, SAP 2000 analiz

programı sonuçlarına çok yaklaştığı görülebilir. Böylece, uygulamacı mühendis,

bilgisayar programlarına gerek duymadan kapasite eğrisini büyük yaklaşıklıkla

kolayca elde edebilecektir.

268

10. Yapının ötelenme sünekliğinin hesaplanması

Yapının bütünü için ötelenme sünekliği; yapının en büyük yatay yer değiştirmesinin

(∆u), akma başlangıcındaki yer değiştirmesine (∆y) oranı olarak elde edilir. Elasto-

plastik sistemin ötelenme sünekliğinin 4-5 civarında olması istenir. Ötelenme

sünekliğinin hesaplanabilmesi için ∆y ve ∆u ötelenme değerlerinin belirlenmesi

gerekir. Bunun için çizilen kapasite eğrisinden yararlanılır. Maksimum taban kesme

kuvveti değerinin %75’ine ulaştığı nokta ile orijin birleştirilir. Bu bölüm elastik

bölümü oluşturur. Plastik bölüm ise seçilen modele bağlı olarak belirlenebilmektedir.

Bu iki doğrusal çizginin kesiştiği noktaya tekabül eden deplasman değeri akma

deplasmanıdır. Yani akma deplasmanı; eğri üzerinde 0,75.Vmak=0,75.1065=798,75

kN değerine karşılık gelen noktanın orijin ile birleştirilmesiyle elde edilen çizginin,

plastik bölgenin çizgisi ile kesiştiği noktaya tekabül eden deplasman değeridir. ∆u

ise, oluşan maksimum taban kesme kuvveti değerinin en fazla %15 düşüş gösterdiği

noktaya tekabül eden (0,85.Vmak.) ötelenme değeri olarak alınabilir. O halde ∆u için

0,85.Vmak.=0,85.1065=905,25 kN değerindeki ötelenme değeri dikkate alınmalıdır.

0

200

400

600

800

1000

1200

1400

0,00 0,10 0,20 0,30 0,40 0,50


Tab

an K

esm

e K

uv

vet

i (t

on

)

0,75 Vmak.

0,85 Vmak.

∆∆∆∆ y ∆∆∆∆ u

Vy

Şekil 3.51. Akma ve maksimum çatı deplasmanı değerlerinin belirlenmesi

269

∆y = 0,01843 m ∆u = 0,119 m

56,6018,0

119,0

y

u >==∆

∆=µ∆

Yapı y yönünde yeterli sünekliğe sahiptir. Önerilen bu yöntem sadece perde duvarlı-

çerçeveli yapılarda, perdelerdeki mafsallaşmaları dikkate almaktadır. Yapının x yönü

sadece çerçevelerden meydana geldiği için x yönüne ait kapasite eğrisi bu yöntem ile

elde edilememektedir. Yapının x doğrultusunda hiç perde bulunmadığı için oldukça

zayıf kaldığı söylenebilir.

270

4. SONUÇLAR

Tez çalışmasında elde edilen sonuçlar aşağıda verilmiştir:

1. Yapının tasarım aşamasında ötelenme profilinin elde edilmesi gerekir.

2. Üç boyutlu çerçeveli ve perde duvarlı-çerçeveli yapıların, düzgün yayılı, üçgen

yayılı, yapının en üstünde ve herhangi bir seviyesindeki tekil yatay yük etkimesi

durumlarında ötelenme profilini veren analitik ilişkiler türetilmiştir.

3. Analitik ilişkiler ile hesaplanan ötelenme profillerinin, SAP 2000 ile

hesaplananlarla, hemen hemen özdeş sonuçlar verdiği grafiklerle gösterilmiştir.

4. Denklemler, çerçevenin sürekli bir kayma kirişi olarak modellenmesi ile elde

edilmiştir. Bu yüzden denklemlerin kullanım alanı da sabit GA’ nın olması ile

sınırlanmaktadır.

5. Kolon boyutlarının ya da açıklıkların birbirinden farklı olması durumunda

diferensiyel denklemin geçerliliğini koruduğu görülmüştür. Çerçeveli yapıların

ötelenme hesabı için geliştirilmiş olan diferensiyel denklemler; yapının kat sayısı,

kolon boyutu, açıklıklar ne olursa olsun SAP 2000 analiz programı ile oldukça yakın

sonuçlar vermektedir. Diferensiyel denklemin kat adedi arttıkça çok daha iyi

sonuçlar verdiği görülmektedir.

7. Çerçeveli ve perde duvarlı-çerçeveli yapıların ötelenme hesabı için geliştirilen

diferensiyel denklemin birinci türevi alınarak kat yüksekliği boyunca oluşan dönme,

ikinci türevi alınarak eğrilik denklemleri elde edilmiştir.

8. Yapıya ait kiriş boyutları, kiriş açıklığına bağlı olarak kolaylıkla

belirlenebilmektedir. Kolon boyutları ile ilgili ise, 1997 Deprem Yönetmeliği’ nde,

minimum bir sınırlama getirilmiş, ancak tasarımın ekonomik olabilmesi için

herhangi bir üst sınıra dolayısıyla kolon boyutundaki artışın, yapının davranışına olan

271

etkisinin ne zaman azaldığı ile ilgili herhangi bir kritere yer verilmemiştir. Bunun

için kolon boyutlarındaki artışın, GA ve çatı deplasmanı üzerindeki etkisi

araştırılmıştır. Model bina üzerinde yapılan çalışmada, kolon boyutundaki artışın,

GA kayma rijitliği ve yanal ötelenme üzerindeki etkisinin Rc/Rb>2 olması

durumunda azaldığı Şekil 3.2, Şekil 3.3, Şekil 3.4 ve Şekil 3.5’ te verilen

grafiklerden görülmektedir. Öyleyse kat sayısı ve açıklıklar ne olursa olsun kolon

boyutlarının; Rc/Rb<2 olması durumunda etkili olduğu söylenebilir. O halde tasarım

aşamasında kolon boyutları belirlenirken, kolon redörünün tablalı kiriş redörüne

oranının en fazla 2 katına eşit olacak şekilde tasarlanması yeterlidir. Bundan sonra

ise artık perde duvar kullanımına geçilmelidir.

9. Yapının H/B oranı yanal ötelenme hesabı için önemli bir parametredir. H/B oranı

arttıkça kolon eksenel deformasyonlarının ötelenmeye olan etkisi önemli miktarda

artmaktadır. Kolon eksenel deformasyonlarının, yanal ötelenmeyi %20 kadar

etkilediği zaman dikkate alınması gerektiği düşünülürse, H/B oranının 4’ ten büyük

olması durumunda kolon eksenel deformasyonlarının etkili olmaya başladığı

söylenebilir. Yapının uzun ve kısa yönleri için H/B oranı farklı olacağından, yapının

her iki yönü için H/B oranı kontrol edilmelidir. H/B>4 olan yapılarda kolon eksenel

deformasyonlarının ötelenmeye etkisi dikkate alınmaz ise büyük yanlışlıklar

yapılabilir.

10. Kolon narinlik hesabı için yanal ötelenmenin önlenmiş olup olmadığını

belirleyebilmek önemli bir parametredir. Bunun için TS 500/2000’ de hesaplanması

önerilen stabilite indeksi ifadesi, diferensiyel denklemler yardımıyla göreli kat

ötelenmesi ve kesme kuvveti terimlerinden kurtarılmış ve uygulanması oldukça basit

bir hale getirilmiştir. Narin kolon tasarımı için TS 500/2000’ de verilen stabilite

indeksi ifadesi yerine bu formülün kullanılması önerilmektedir. Böylece, stabilite

indeksi ile yapının hangi katlarda yanal ötelenmesinin önlenip önlenmediği elle

yapılan çözümler sonucunda kolaylıkla belirlenebilecektir.

11. Yapılan ötelenme hesaplarında, ∆i/Vfi oranı yüklemeden bağımsız olarak sabit

kalmaktadır.

272

12. Düzgün yayılı, üçgen yayılı ve tekil yük için stabilite indeksi formülü aynı

çıkmaktadır. TS 500/2000’deki φ’yi bulmak için (∆i) hesabında herhangi bir yatay

yükün kullanılabileceği böylece kanıtlanmış olmaktadır.

13. Stabilite indeksi, türetildiği şekliyle, herhangi bir kata kolayca uygulanabilir ve

yapı yüksekliğince değişimi çizilebilir. ϕ=0,05 ile karşılaştırılınca, hangi

katta/katlarda ötelenme yapabilir kolon olduğu kolayca anlaşılır.

14. 1997 Deprem Yönetmeliği’ nde, yapıya yeterli rijitliği kazandırmak ve ikinci

mertebe etkilerini azaltmak amacıyla katlar arası ötelenmeye sınırlandırma

getirilmiştir. Ötelenmelerin sınırlandırılmasının kontrolünde göreli kat ötelenmesinin

bilinmesi gerekmektedir. Ötelenme değerlerini hesaplamak için geliştirilmiş olan

diferensiyel denklemler yardımıyla göreli kat ötelemesinin direkt olarak elle hesabını

sağlayan formüller elde edilmiştir. Bu formüller sadece kolon eksenel

deformasyonlarını ihmal eden analitik çözüm için geliştirilmiştir.

15. 1997 Deprem Yönetmeliği’ nde önerilen eşdeğer deprem yükü yönteminde,

toplam eşdeğer deprem yükünün belirlenebilmesi için yapının doğal titreşim

periyodunun bilinmesi gerekir. 1997 Deprem Yönetmeliği’ nde periyot hesabı için,

önerilen yaklaşık formüllerin yanında daha kesin hesap yapılmak istenmesi durumu

için de bir formül verilmektedir. Daha kesin hesaplamanın yapılabileceği bu

formülde ise, yapının ötelenmesi bir parametre olarak karşımıza çıkmaktadır.

Yapıların ötelenmesinin hesabı için geliştirilmiş olan diferensiyel denklemler

yardımıyla, periyot hesabı ötelenme ve deprem kuvveti terimlerinden kurtarılmıştır.

16. Elde edilen diferensiyel denklemlerden yararlanılarak yapıya ait moment, kesme

kuvveti, yayılı yük dağılımı ve yayılı yükün bileşkesinin mesafesini veren ilişkiler

türetilmiştir. Yapıya ait moment, kesme kuvveti ve yayılı yük değerleri, gerekirse

perdelere rijitlikleri oranında paylaştırılabilir. Perdede moment kırılmasının mı yoksa

kesme kırılmasının mı etkin olduğunu anlayabilmek için perdeye ait moment ve

kesme kapasitesinin belirlenmesi gerekir. Moment taşıma kapasitesi genellikle M-φ

diyagramları ile belirlenebilir. Elde edilen moment kapasitesi; perdeye etki eden

273

yayılı yükün ağırlık merkezinin temelden mesafesine bölünürse eğilmeden dolayı

oluşan kesme kuvveti bulunur. Moment kırılmasının önce oluşmasının

sağlanabilmesi için; kesitin kesme kapasitesinin, moment kapasitesinden bulunan

kesme kuvvetinden büyük olması gerekir. Dolayısıyla yayılı yük dağılımının ve

bileşkesinin temelden mesafesinin bilinmesi, tasarımı yapılan perdelerde moment

kırılmasının önce oluşmasının kontrolü için yapılacak işlemleri çok

kolaylaştırmaktadır.

17. Karma sistemli yapıdaki perde tabanında oluşacak tasarım (hesap) moment

değerini hesaplayabilmek için, sistemin momentinin sıfır olduğu mesafenin bilinmesi

önemli bir parametredir. Perde duvarlı-çerçeveli yapının eğrilik denklemi sıfıra

eşitlenerek, denklemden x mesafesi çekilmiş ve moment sıfır noktasının temelden

olan mesafesini veren denklem elde edilmiştir. Dördüncü derece olarak elde edilen

denklemin çözümü için adım adım işlem prosedürü verilmiştir. Uygulamacı

mühendis yapıya ait kayma rijitliği ve eğilme rijitliği büyüklüklerini hesaplayarak

verilen işlem prosedürünü sırası ile takip ettiğinde momentin sıfır olduğu noktanın

mesafesini kolayca bulabilecektir. Bu mesafenin bulunması tasarım aşamasında

oldukça önemlidir. Önerilen işlem prosedürü ile elde edilen perde tasarım

momentinin, SAP 2000 programı ile çok yakın sonuçlar verdiği görülmüştür.

18. Yapının intikal eden deprem enerjisini başarı ile tükettiğini söyleyebilmek için

deplasman (ötelenme) sünekliğinin (4-5) arasında olması yeterli şart olarak kabul

edilmektedir. Öyle ise, yapı için ∆y ve ∆u değerlerinin hesaplanması gerekmektedir.

Son yıllarda, bilgisayar teknolojisindeki gelişmeler sonucunda nonlineer deplasmana

dayalı yöntemlerin uygulaması yaygınlaşmıştır. Bu yöntemlerle elde edilen taban

kesme kuvveti çatı deplasmanı eğrisi (kapasite eğrisi) yapının depreme dayanımı

hakkında önemli bilgiler verir. Çalışmada ayrıca, perde duvarlı-çerçeveli yapıların

kapasite eğrisinin elde edilebilmesini sağlayacak basit ve kolay uygulanabilir bir

işlem prosedürü geliştirilmiştir.

274

KAYNAKLAR

ACI 318, 2002. Building Code Requirements for Structural Concrete. Deprem Bölgelerinde Yapılacak Yapılar Hakkında Yönetmelik, 1997. Bayındırlık ve İskan Bakanlığı, Ankara. Deprem Bölgelerinde Yapılacak Yapılar Hakkında Yönetmelik-Taslak 1, 2005. Akbaş, B., 2003. Depreme Dayanıklı Yapı Tasarımı ve Enerji Kavramı, İMO Teknik Dergi, 2877-2901, Yazı 192. Archer, C. A., 2001. A Constant Displacement Iteration Algorithm for Nonlinear Static Push-Over Analyses, Electronic Journal of Structural Engineering. ATC-40, 1996. Applied Technology Council, “Seismic Evaluation and Retrofit of Concrete Buildings”, Vol 1. Washington, DC. USA. Atımtay, E., 1998. Reinforced Concrete, Bizim Büro Basımevi, Ankara. Atımtay, E., 2001. Çerçeveli ve Perdeli Betonarme Sistemlerin Tasarımı: Temel Kavramlar ve Hesap Yöntemleri,Bizim Büro, Ankara. Atımtay, E., 2000. Açıklamalar ve Örneklerle Deprem Bölgelerinde Yapılacak Yapılar Hakkında Yönetmelik (Betonarme Yapılar), Bizim Büro Basımevi, Ankara Atımtay, E., Tuna, M.E., 2001. “Designing the concrete dual system”, Structural Engineering, Mechanics and Computation, Vol. 2. Aydın, R., 2002. 1998 ABYYHY İle İlgili Yorumlar, İMO Antalya Bülteni, Sayı:33, Sayfa 13-15. Bilyap, S., 1979. Betonarme Yüksek Yapılarda Perde-Çerçeve Sistemlerinin Yatay Yüklere Göre Hesabı, E.Ü. İnşaat Fakültesi Yayınları No. 2, İzmir. Bilyap, S., Çelebi, Ü., 1991. Burulmalı Perde Çerçeve Sistemlerinin Hesabında Sürekli Burulma Çubuğu Analojisi Yöntemi, Konferans Notları, İMO İzmir Şubesi. Bilyap, S., Çelebi, Ü., 1991. Burulmalı Perde Çerçeve Sistemlerinin Hesabında Üç Diferensiyel Denklem Yöntemi, Konferans Notları, İMO İzmir Şubesi. Bilyap, S., 1992. Betonarme Yüksek Yapılarda Burulmasız Perde-Çerçeve Sistemlerinin Yatay Kuvvetlere Göre Yaklaşık Hesap Yöntemleri ve Dinamik Karakteristikleri, Teknik Yayınevi, İzmir. Bozorgnia, Y., Bertero, V. V., 2004. Earthquake Engineering From Engineering Seismology to Performance Based Engineering, CRD Pres LLC.

275

Building Code Requirements For Structural Concrete (ACI 318-02) And Commentary (ACI 318R-02) Chopra, A.K., 1996. Dynamics of Structures: Theory and Applications to Earthquake Engineering , Prentice Hall International. Celep, Z. and Kumbasar, N., 2000. Deprem Mühendisliğine Giriş, İstanbul Teknik Üniversitesi, İstanbul. Celep, Z. and Kumbasar, N., 2005. Betonarme Yapılar, İstanbul Teknik Üniversitesi, İstanbul. CSI, SAP2000 V-8, 2002. Integrated Finite Element Analysis and Design of Structures Basic Analysis Reference Manual, Computers and Structures, Inc., Berkeley, California, USA. Deprem Şurası, 2004. Mevcut Yapıların İncelenmesi ve Yapı Denetimi Komisyonu Raporu, Bayındırlık ve İskan Bakanlığı, Ankara. Ersoy, U., 1986. Depreme Dayanıklı Betonarme Yapılarda Temel İlkeler, TMMOB İnşaat Mühendisleri Odası, İzmir Şubesi Haber Bülteni, Sayı: 7, İzmir. Ersoy, U., 1992. Binaların Deprem Dayanımında Mimarinin Önemi, Yapı, Sayı:125 Sayfa 58-69. Ersoy, U., Özcebe, G., 2001. Betonarme, Evrim Yayınevi, Bizim Büro Basımevi, Ankara. Ertutar, Y., Çatal, H. H., Bilyap, S., 1995. Çok Katlı Yapılarda Yatay Kuvvetlerin Hesabı İçin Bir Yöntem, İMO İzmir Şubesi Haber Bülteni, Sayı.62, Sayfa 3-5. Feghali, H. L., Seismic Performance of Flexible Concrete Structures, PhD, The University of Texas, Austin. FEMA-356, 2000. Prestandart and Comentary for the Seismic Rehabilation of Buildings, prepared by American Society of Civil Engineers for the Federal Emergency, Washington, D.C. Gülay, F. G., Özmen, G., Gençay, İ., 2000. Deprem Yükü Etkisindeki Çok Katlı Yapılarda Perde Tasarım Momentinin Hesabı İçin Bir Öneri, İnşaat Mühendisliğinde Gelişmeler, IV. Uluslararası Kongre, Cilt 1, Sayfa 495-504, Doğu Akdeniz Üniversitesi, Gazimogusa, KKTC. İnel, M., Bilgin, H., Özmen, H. B., 2006. Mevcut Kamu Yapılarının Doğrusal Ötesi Analiz Yöntemleriyle Değerlendirilmesi, Teknik Dergi (İncelemede).

276

Karacan, M. A., 1999. Boşluklu Perdeler İçeren Çok Katlı Betonarme Yapı Sistemlerinin Lineer Olmayan Davranışlarının İncelenmesi ve Süneklik Düzeylerinin Belirlenmesi, İTÜ, FBE, Y. L. Tezi, İstanbul. Kasap, H., Akyüncü, V., 2002. Perde Boyut Oranı Değişiminin Perdeler ve Çerçeve Arasında Kesme Kuvveti Dağılımına Etkisi, Sakarya Üniversitesi, FBE Dergisi, Cilt.6, Sayı.1, Sayfa 51-57. Kırçıl, M. S., Hancıoğlu, B., Polat, Z., 2003. Geleneksel Yöntemlerle Güçlendirilmiş Bir Yapının Doğrusal Olmayan Statik Analiz İle Değerlendirilmesi, Beşinci Ulusal Deprem Mühendisliği Konferansı, İstanbul. Miranda, E., 2005. Seismic Evaluation of Existing Reinforced Concrete Buildings, Earthquake Engineering: Essentials And Applications, Earthquake Engineering Research Center Middle East Technical University. Munshi, J. A., Ghosh, S. K., 1997. Analyses of Seismic Performance of A Code Designed Reinforced Concrete Building, Engineering Structures, Vol:20, No:7, pp.608-616. Murashev, V., Sigalov, E., and Baikov, V. N., 1976. “Design of Reinforced Concrete Structures”, Mir Publishers, Moscow. Pakdamar, F., 2001. Performans Metodunun Mevcut Betonarme Binaların İncelenmesi İçin Kullanılması ve Uygulamaları, İTÜ, FBE Y. L. Tezi, İstanbul.

Paulay, T. and Priestley, M.J.N., 1992. “Seismic Design of Reinforced Concrete and Masonry Buildings”, John Wiley and Sons Inc. Paulay, T., 2002. An Estimation of Displacement Limits for Ductile Systems, Earthquake Engineering And Structural Dynamics, Earthquake Engng Struct. Dyn., 31:583–599 (DOI: 10.1002/Eqe.157) Priestley M. J. N., Seible F., Calvi G. M. S., 1996. Seismic Design and Retrofit of Bridges, John Wiley & Sons, Inc., New York. Priestley, M. J. N., 2000. Performance Based Seismic Design, Proc. 12th World Conference on Earthquake Engineering, New Zealand, Paper No: 2831. Response 2000. Reinforced Concrete Sectional Analysis Computer Program, 2000. http://www.ecf.utoronto.ca/~bentz/download.htm Sucuoğlu, H., 1999. Depreme Dayanıklı Yapı Tasarımı, Bilim ve Teknik, Sayı. 384 Sayfa 58-62. Tekeli, H., Tüken, A., Türkmen, M., Atımtay, A., 2005. Depreme Maruz Yapının Ötelenmesinin Basit Hesabı: Kapalı Çözüm, Antalya Yöresinin İnşaat Mühendisliği Sorunları Kongresi, Cilt 1, Sayfa 190-203, Antalya.

277

TS 498, 1987. Yapı Elemanlarının Boyutlandırılmasında Alınacak Yüklerin Hesap Değerleri, Türk Standartları Enstitüsü, Ankara. TS-500, 2000. Betonarme Yapıların Tasarım ve Yapım Kuralları, Türk Standartları Enstitüsü, Ankara. Tüken, A., 2004. Quantifying Seismic Design Criteria For Concrete Buildings, PhD, METU, Ankara Tüken, A., Tuna, M. E., Atımtay, E., 2004. “Analysis and assessment of seismic drift of concrete framed structures”, SEMC 2004: The Second International Conference on Structural Engineering, Mechanics and Computations, Cape Town, South Africa. Yüksel, İ., 2000. Betonarme Binalarda Sistem Sünekliğinin Belirlenmesi, YTÜ, FBE Doktora Tezi, İstanbul. Whittaker, A., Constantinou, M., Tsopelas, P., 1998. Displacement Estimates for Performance Based Seismic Design, Journal of Structural Engineering, Vol. 124, No.8

278

ÖZGEÇMİŞ Adı Soyadı : Hamide TEKELİ Doğum Tarihi : 21/03/1978 Doğum Yeri : Güneykent/ ISPARTA Medeni Hali : Bekar Yabancı Dili : İngilizce Eğitim ve Akademik Durumu: Lise 1992-1995 : Isparta ŞAİK Lisesi Lisans 1995-1999 : S. D. Ü. Müh. Mim. Fak. İnş. Müh. Böl. Y. Lisans 1999-2003 : S. D. Ü. Fen Bilimleri Enstitüsü İnş. Müh.-Yapı ABD İş Deneyimi: 2000-… : S.D.Ü. Fen Bilimleri Enstitüsü Araştırma Görevlisi

TF00970

Documents