Texto Matematicas Para Ingenieros All

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Ø Versión Inicial: Feb. 2000 Ø Rev. 1: Mar. 2002 Ø Rev. 2: Ene. 2003 Ø Rev. 3: May. 2003 Ø

Universidad del Valle Facultad de Ingeniería

Escuela de Ingeniería Eléctrica y Electrónica

MATEMÁTICAS PARA INGENIEROS

(Instrumentos para las ingenierías de la Electricidad)

Notas de Clase Profesor Ing. Fabio Vidal H.

Matemáticas para Ingenieros. Prólogo Prof. Fabio Vidal

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Si despertara después de un sueño de mil años, mi primera pregunta sería: ¿Ya se demostró

la hipótesis de Riemann? DAVID H ILBERT (1862-1943)

Prólogo La Escuela de Ingeniería Eléctrica y Electrónica de la Facultad de Ingeniería de la Universidad del Valle tiene un compromiso fundamental con la calidad de la formación de sus estudiantes en todos los niveles: pregrado, especialización, maestría y doctorado. Los sub niveles básicos y medios del pregrado constituyen un objetivo focal, lo que nos ha llevado a establecer alianzas con otras Facultades, como la Facultad de Ciencias, para, en conjunto, impartir una formación sólida, completa y de calidad. En esta ruta, la previsión en los niveles intermedios de nuestros programas de Ingenierías Eléctrica y Electrónica y futuras ingenierías afines que puedan implementarse, -las que hemos englobado con el nombre de “ingenierías de la electricidad” -, requieren que áreas como las Matemáticas sean cuidadosamente planeadas y diseñadas a través de una óptica de ingeniería, respetando el rigor teórico y enfocándola hacia aplicaciones prácticas que el Ingeniero requiere para desarrollar destrezas, soportadas con firmeza en bases sólidas. Es así como hemos considerado que la asignatura “Matemáticas para Ingenieros” debe consistir en el desarrollo de instrumentos o herramientas diseñadas para la electricidad, conscientes del objetivo básico de calidad que debe caracterizar todas nuestras actividades, planes y acciones académicas. El esfuerzo hecho para aglutinar cuatro pilares de matemáticas avanzadas, a saber: las funciones singulares y el análisis por fasores, el análisis por Laplace (L), el análisis por Fourier (F) y la introducción al análisis por transformadas discretas, en especial la transformada Z, nos ha conducido a la culminación del texto que estamos ofreciendo a la comunidad universitaria, todavía en el nivel de Notas de Clase, pero, cubriendo en su totalidad el tema de la cátedra citada. Es un placer para el autor, haber terminado este esfuerzo, como un paso en el proceso de mejoramiento continuo de nuestra Escuela. Fabio Vidal H. Mayo de 2003


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Contenido Resumido

1 CAPÍTULO 1 ANÁLISIS BÁSICO.........................................................................1

2 CAPÍTULO 2 ANÁLISIS POR LAPLACE..........................................................63

3 CAPÍTULO 3 ANÁLISIS POR FOURIER........................................................ 128

4 CAPÍTULO 4 INTRODUCCIÓN A LA TRANSFORMADA Z ......................... 215

5 APÉNDICES............................................................................................................ 266


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Contenido

Prólogo ..................................................................................................................................................................................ii

Contenido Resumido........................................................................................................................................................iii

Contenido .............................................................................................................................................................................iv

1 CAPÍTULO 1 ANÁLISIS BÁSICO.........................................................................1

1.1 Focalización del Curso...................................................................................................................................... 2

1.2 Las matemáticas y la Ingeniería .................................................................................................................... 3 1.2.1 El Proceso Clásico de Solución.....................................................................................................................6 1.2.2 El Proceso de Solución por Transformada..................................................................................................8

1.3 Funciones Singulares....................................................................................................................................... 15 1.3.1 La Función Escalón.......................................................................................................................................16 1.3.2 La Función Rampa. .......................................................................................................................................19 1.3.3 Relaciones entre las funciones Rampa y Escalón ....................................................................................20 1.3.4 La Función Delta [δ(t)] o Impulso de Dirac /. ..........................................................................................24 1.3.5 Otras propiedades de la función Impulso: δ(t)..........................................................................................30 1.3.6 Funciones Singulares Secundarias..............................................................................................................32

1.3.6.1 Función sgn(t) (Función signo)......................................................................................................32

1.3.6.2 Función Compuerta (Gate) ( )b

aG...................................................................................................33

1.3.6.3 Otras funciones singulares secundarias...........................................................................................33 1.3.7 La Función Gamma .......................................................................................................................................34 1.3.8 Derivación de Integrales de varias variables.............................................................................................37

1.4 La Transformada Fasorial ............................................................................................................................ 40 1.4.1 Introducción....................................................................................................................................................40 1.4.2 Significado Gráfico de la identidad N° 15.................................................................................................43

1.4.3 Significado Gráfico de θε j

y wtjε ..................................................................................................44

1.4.4 Significado Gráfico del fasor )( ϕε +twj

...................................................................................46 1.4.5 Relación entre un fasor y la onda sinusoidal pura....................................................................................47 1.4.6 Valor Eficaz de una onda sinusoidal. .........................................................................................................48 1.4.7 Proceso de la Transformada Fasorial. ........................................................................................................49 1.4.8 Componentes fasoriales en un circuito. .....................................................................................................53

1.4.8.1 Resistencia............................................................................................................................................53 1.4.8.2 Inductancia. ..........................................................................................................................................53 1.4.8.3 Capacitancia. ........................................................................................................................................54 1.4.8.4 Resumen de componentes fasoriales de circuitos..........................................................................54

1.4.9 Limitaciones de la Transformada Fasorial ................................................................................................55 1.4.10 Recomendación para Soluciones Forzadas ..........................................................................................55

1.5 Ejercicios del Capítulo 1 ................................................................................................................................ 58


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1.6 Respuestas a los Ejercicios del Capítulo 1.................................................................................................61

1.7 Lecturas recomendadas. Bibliografía del Capítulo 1............................................................................. 62

2 CAPÍTULO 2 ANÁLISIS POR LAPLACE..........................................................63

2.1 Introducción ...................................................................................................................................................... 64 2.1.1 Ventajas del análisis por Laplace (L). ........................................................................................................64 2.1.2 Campo de acción de la Transformada de Laplace (L).............................................................................65

2.2 Definición de la Transformada de Laplace............................................................................................... 65 2.2.1 La variable “s” de Laplace...........................................................................................................................67

2.3 Existencia de la Transformada de Laplace............................................................................................... 68

2.4 Transformada inversa de Laplace............................................................................................................... 70

2.5 Álgebra de la Transformada de Laplace...................................................................................................71

2.6 Tabla 8: Principales propiedades de la Transformada de Laplace .................................................... 72

2.7 Demostración de las propiedades de Laplace........................................................................................... 73 2.7.1 Propiedad 1: Linealidad de la Transformada:...........................................................................................73 2.7.2 Propiedad 2: Transformada de la 1ª Derivada:.........................................................................................73 2.7.3 Propie dad 3: Transformada de la Derivada n-ésima:...............................................................................73 2.7.4 Propiedad 4: Transformada de la integral de f(t): ....................................................................................73

2.8 Tabla 9: Transformada de Laplace de las funciones más utilizadas ................................................. 75

2.9 Transformada de Laplace de funciones principales............................................................................... 76 2.9.1 Función constante: 1)( =tf ......................................................................................................................76

2.9.2 Función escalón unitario: )()( tutf = ....................................................................................................76

2.9.3 Función rampa unitaria: )()( tuttf = ....................................................................................................77

2.9.4 Función exponencial: )()( tutf ta−= ε ..................................................................................................77

2.9.5 Funciones seno y coseno: ( ) ( ) )(cos)()(sin)( tuwttftuwttf == .......................................77 2.9.6 Función impulso: )()( ttf δ= ................................................................................................................78

2.9.7 Primera derivada de la Función impulso: )()( ttf δ ′= ......................................................................78

2.9.8 Segunda derivada de la Función impulso: )()( ttf δ ′′= ....................................................................78

2.10 Ejemplos de Transformada de Laplace.....................................................................................................79

2.11 Transformada de Laplace de una función periódica. ............................................................................ 83

2.12 Anti -transformada. Mecanismo de fracciones parciales....................................................................... 85 2.12.1 Condiciones de partida para las fracciones parciales. ........................................................................86

2.12.1.1 Caso 1. Factores no repetidos, de la forma ( s – ai )......................................................................86 2.12.1.2 Caso 2. Factores Reales repetidos: (s – a)m ..................................................................................88 2.12.1.3 Caso 3. Factores Complejos no repetidos: (s–a)(s–a*).................................................................90


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2.13 Mecanismo de Convolución en la Transformada de Laplace............................................................. 93 2.13.1 Definición del Mecanismo de Convolución.........................................................................................93 2.13.2 Propiedad de Convolución en Laplace .................................................................................................94

2.13.3 )()()]()([)]([)( 11 tgtfsGsFsRtr ∗=== −− LL ....................................................................94

2.14 Aplicación de la Transformada de Laplace a la solución de ecuaciones diferenciales. ................ 95

2.15 Aplicación de la Transformada de Laplace al análisis de circuitos eléctricos. .............................103 2.15.1 Elemento Resistencia ............................................................................................................................103 2.15.2 Elemento Inductancia...........................................................................................................................103 2.15.3 Elemento Capacitancia ........................................................................................................................104

2.16 Ejemplos ilustrativos de solución de circuitos........................................................................................106

2.17 Aplicación de la Transformada de Laplace a la respuesta de un Sistema Lineal; Teorema de Borel. 118

2.17.1 Respuesta al Impulso. Convolución...................................................................................................120 2.17.2 Teorema o Propiedad de Borel. ...........................................................................................................121

2.18 Ejercicios del Capítulo 2°.............................................................................................................................123

2.19 Respuestas a los Ejercicios del Capítulo 2°.............................................................................................126

2.20 Lecturas recomendadas. Bibliografía del Capítulo 2°. ........................................................................127

3 CAPÍTULO 3 ANÁLISIS POR FOURIER........................................................ 128

3.1 Introducción. ...................................................................................................................................................129

3.2 Funciones Periódicas .....................................................................................................................................130 3.2.1 La onda senoidal (o sinusoidal) y sus parámetros.................................................................................130 3.2.2 Simetría de funciones.................................................................................................................................132

3.2.2.1 Simetría PAR....................................................................................................................................132 3.2.2.2 Simetría IMPAR. ..............................................................................................................................132 3.2.2.3 Simetrías de Media Onda................................................................................................................133 3.2.2.4 Ondas sin simetrías. .........................................................................................................................134

3.3 Otras funciones periódicas no sinusoidales.............................................................................................136

3.4 El significado de las Series de Fourier......................................................................................................137 3.4.1 Formación en Series de Fourier de una onda típica cuadrada.............................................................137 3.4.2 Representación Gráfica en Series de Fourier de varias ondas típicas................................................141

3.5 Condiciones para poder desarrollar una función en Series de Fourier..........................................142

3.6 Serie trigonométrica de Fourier.................................................................................................................143 3.6.1 Serie trigonométrica de Fourier para una función tiempo-dependiente............................................143 3.6.2 Serie trigonométrica de Fourier para una función que sea dependiente del ángulo........................145 3.6.3 Serie trigonométrica de Fourier para una función periódica general.................................................146 3.6.4 Análisis de las fórmulas de los coeficientes de Fourier. ......................................................................147


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3.6.4.1 Análisis y demostración de la fórmula ∫=T

o dttfT

a

0

)(1

2 ................................................147

3.6.4.2 Análisis y demostración de la fórmula: ∫=T

on dttnwtfT

a0

)cos()(2

..........................147


on dttnwtfT

b0

)sin()(2...........................148

3.6.5 Espectro de frecuencia en la Serie trigonométrica de Fourier. ...........................................................148

3.7 Serie Exponencial o Compleja de Fourier...............................................................................................149

3.7.1 Cálculo del coeficiente de Fourier nα .................................................................................................151

3.7.2 Significado Real de los coeficientes complejos.....................................................................................151 3.7.3 Relación entre los coeficiente de las Series Trigonométrica y Exponencial de Fourier. ................152 3.7.4 Series seno o coseno de funciones definidas en un intervalo..............................................................152 3.7.5 Ejemplos de desarrollo en Series de Fourier..........................................................................................153 3.7.6 Desarrollo de Fourier en serie no infinita...............................................................................................165

3.8 La Serie de Fourier y los circuitos.............................................................................................................166 3.8.1 Valor Efectivo y Potencia. Relación de Parseval. .................................................................................166 3.8.2 Análisis de un circuito por Serie de Fourier. ..........................................................................................168

3.9 Transformada de Fourier ............................................................................................................................177 3.9.1 Proceso de concepto y definición de la Transformada de Fourier.....................................................177 3.9.2 Observaciones a la definición de la Transformada de Fourier............................................................180 3.9.3 Transformada de Fourier para funciones Pares e Impares...................................................................183 3.9.4 Existencia de la Transformada de Fourier..............................................................................................183 3.9.5 Propiedades principales de la Transformada de Fourier ......................................................................185

3.9.5.1 Propiedad Lineal...............................................................................................................................186 3.9.5.2 Propiedad de Escalamiento.............................................................................................................186 3.9.5.3 Propiedad de Dualidad....................................................................................................................186 3.9.5.4 Propiedad de desplazamiento en t .................................................................................................187

3.9.6 Transformada de Fourier de funciones usuales en la electricidad......................................................189 3.9.6.1 Cálculo de la Transformada de Fourier de algunas funciones. ................................................190

3.10 Relación entre Transformada de Fourier y Laplace ............................................................................194 3.10.1 Funciones definidas para t>0 (Funciones causales).......................................................................195

3.10.2 Funciones definidas para todo t, ),( ∞+−∞ ..............................................................................196

3.11 Transformada de Fourier de una función periódica............................................................................198

3.12 Convolución y la Transformada de Fourier ...........................................................................................200 3.12.1 La Convolución general .......................................................................................................................200 3.12.2 Teorema de Convolución en el tiempo..............................................................................................201 3.12.3 Teorema de Convolución en la frecuencia ........................................................................................203 3.12.4 Aplicación a un sistema Lineal ...........................................................................................................203

3.13 Ejercicios del Capítulo 3°.............................................................................................................................206


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3.14 Respuesta a los Ejercicios del Capítulo 3°...............................................................................................211

3.15 Lecturas recomendadas. Bibliografía del Capítulo 3°.........................................................................214

4 CAPÍTULO 4 INTRODUCCIÓN A LA TRANSFORMADA Z ......................... 215

4.1 Contexto de Transformada Laplace y Z..............................................................................................216

4.2 Introducción. ...................................................................................................................................................217

4.3 Señales Discretas y Señales Continuas .....................................................................................................217 4.3.1 Señales Muestreadas...................................................................................................................................220 4.3.2 Representación de señales discretas ........................................................................................................223

4.4 Definición de la Transformada Z unilateral ...........................................................................................224

4.5 Transformada Z de algunas funciones usuales ......................................................................................228 4.5.1 Función Impulso unitario: )(nδ ó )(kδ ............................................................................................229

4.5.2 Función Escalón unitario: )(nu ó )(ku ..............................................................................................230 4.5.3 Tabla 16 Señales digitales de diferente clase y su ROC .....................................................................233 4.5.4 Función Impulso desplazado: )( 0kk −δ .............................................................................................234

4.5.5 Función Exponencial: )()()()()()( )(* nununftftutf nnTt ααα εεε −−− ===→= ........234

4.5.6 Función Constante Exponencial: )(* )()( n

nuanftf == ..........................................................235

4.5.7 Función Sinusoidales discretizadas: )cos()()sin()(

nTwnxnTwnx

==

..................................................................235

4.6 Tablas de Transformada Z: ........................................................................................................................236 4.6.1 Tabla 17: Transformada Z de algunas funciones importantes ............................................................237 4.6.2 Tabla 18: Principales propiedades algebraicas de la Transformada Z unilateral con señales causales 239

4.7 Propiedades de la transformada Z ............................................................................................................240 4.7.1 Multiplicación por una constante.............................................................................................................240 4.7.2 Propiedad Lineal .........................................................................................................................................241 4.7.3 Propiedad de Diferenciación Compleja ..................................................................................................241 4.7.4 Propiedad de Traslación Compleja ..........................................................................................................241

4.7.5 Multiplicación por ka .............................................................................................................................242

4.7.6 Traslación a la izquierda ............................................................................................................................242

4.8 Transformación inversa Z -1........................................................................................................................243 4.8.1 Utiliza ción de Tablas de Transformada Z ..............................................................................................243

4.9 Aplicación de la Transformada Z a la solución de ECUACIONES DE DIFERENCIAS ..........249 4.9.1 Tabla 19: Transformada Z para desplazamientos x(k + m) y x(k – m) aplicada a solución de ECUACIONES DE DIFERENCIAS ......................................................................................................................250

4.10 Aplicaciones y ejemplos ................................................................................................................................252


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4.11 Tabla 20: Algunas fórmulas algebraicas para aplicación en Series .................................................253

4.12 Ejercicios ..........................................................................................................................................................263

4.13 Respuesta a los Ejercicios ............................................................................................................................264

4.14 Lecturas recomendadas. Bibliografía del Capítulo 4°.........................................................................265

5 APÉNDICES............................................................................................................ 266

5.1 Apéndice 1: Transformada de Fourier de funciones especiales ........................................................267

5.2 Apéndice 2: Tabla adicional de Transformada Z ..................................................................................269

Matemáticas para Ingenieros. Capítulo 1: Análisis Básico . Prof. Fabio Vidal

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MATEMÁTICAS PARA INGENIEROS (Herramientas para las ingenierías de la Electricidad)

1 Capítulo 1 ANÁLISIS BÁSICO

Notas de Clase Profesor Fabio Vidal H.


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1.1 Focalización del Curso Este curso denominado Matemáticas para Ingenieros es un curso de matemáticas avanzadas preparado desde la perspectiva de la ingeniería, por un ingeniero, centrado en proporcionar herramientas para el estudio de la electricidad en el ámbito de la ingeniería, sea la ingeniería Eléctrica, la ingeniería Electrónica, la de Sistemas o en otro campo del conocimiento que esté ligado a la electricidad como su área prioritaria. Se dan instrumentos matemáticos que permitan modelar y resolver problemas y situaciones para el manejo de la electricidad en la Ingeniería. Aunque se presenta un tratamiento riguroso de los desarrollos matemáticos, se evita convertir dichos desarrollos en un fin en sí mismo, sorteando metódicamente los tortuosos caminos de las grandes demostraciones, y por el contrario, llegando por caminos más sencillos, -permitiendo ir algunas veces “por atajos”- a la utilización de la herramienta fundamental del curso: las Transformadas. El foco está en la utilización de herramientas, es decir, en la aplicación a diversos tópicos de la electricidad, prevaleciendo aquéllas aplicaciones hacia el análisis de circuitos eléctricos y a la solución de ecuaciones como las integro-diferenciales, o las ecuaciones de diferencias. El nivel que debe tener el estudiante en el tratamiento de circuitos eléctricos es de elemental a mediano, pudiendo introducirse en la solución de los mismos a través precisamente de las potentes herramientas como son las Transformadas Fasoriales, de Laplace y de Fourier. El estudiante de este texto debe tener previamente una formación en cálculo diferencial e integral de buen nivel. El estudiante que desee profundizar tanto en los contenidos como en los desarrollos matemáticos y algebraicos que se lleven a cabo, podrá consultar la amplia b ibliografía que se recomienda. Es conveniente conocer que el autor prefiere los libros de circuitos, o de señales, o de sistemas lineales, a los propios libros de matemáticas, como referencia para el estudiante en los temas que tratamos en el curso, por la razón que inspira este texto, cual es la de considerar las matemáticas como una herramienta y no como un fin, cosa que autores de libros de electricidad y de ingeniería logran de manera categórica.

Gráfica 1: Serie elemental de Fourier para una onda cuadra da. Este tema es una parte del curso.


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1.2 Las matemáticas y la Ingeniería Las matemáticas son una herramienta para la solución de problemas y situaciones reales, mediante un proceso que fundamentalmente consta de tres fases:

Ø FASE 1: (Estamos en el mundo real, físico del hoy y ahora) Exprese una

situación física, inquietud, problema, incertidumbre, mediante un modelo matemático.

Por lo general consiste en representar una realidad física mediante ecuaciones diferenciales. Ø FASE 2: (Nos trasladamos al mundo matemático, abstracto, intemporal...) Desa-

rrolle el sistema por diversos métodos matemáticos, algebraicos. Consiste en encontrar la solución expresándola en forma matemática. Ø FASE 3: (Retornamos al mundo real, físico) Interprete los resultados

matemáticos en términos físicos. Nos devuelve del mundo matemático a la realidad física con soluciones a la situación o problemática inicialmente planteada.

Este proceso se practica desde el álgebra en el bachillerato sin realmente percatarse de éllo. Vamos a realizar un ejemplo clásico, que explica de manera sencilla el proceso anotado; el ejemplo aunque es elemental, no deja de ser perfectamente satisfactorio.

Ejemplo 1

Un padre desea dividir y repartir un terreno de 1 Ha entre sus tres hijos, de manera que al segundo le corresponda 20% más que al primero, y al tercero 15% más que al segundo. FASE 1: Establezca un modelo

matemático para la situación real planteada :

Símbolos algebraicos que utilizaremos para designar el área de cada hijo: a, b, c (en m2) Condiciones: Modelo Matemático basado en las condiciones reales dadas: Mundo Matemático: Mundo físico real:

Gráfica 2: Gráfica ilustrativa del Ejemplo 1


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(1) a + b + c = 10.000 m2 ⇔ Área total de 1 Ha (2) b = a + 0,20 a ⇔ Al 2° le corresponde 20% mas que al 1° (3) c = b + 0,15 b ⇔ Al 3° le corresponde 15% mas que al 2°

FASE 2: Desarrolle el sistema por métodos matemáticos: Solucione ecuaciones.

En este caso, vamos a reemplazar en (1) las equivalencias de (2) y de (3): De (2): b = 1,20 a De (3): c = 1,15 b = 1,15(1,20 a) = 1,38 a Reemplazando en (1): a + 1,20 a + 1,38 a = 10.000 3,58 a = 10.000

luego: a = 2.793,3

Entonces: b = 2.793,3 x 1,20 = 3.352,0 c = 3.352,0 x 1,15 = 3.854,7 FASE 3: Aplique los resultados a la situación inicialmente planteada : Distribuya el terreno entre los tres hijos: a = 2.793,3 m2 para el primer hijo b = 3.352,0 m2 para el segundo hijo c = 3.854,7 m2 para el tercer hijo Compruebe : ∑ = 10.000 m2 área total del lote A partir de este sencillo pero significativo ejemplo, vamos a generalizar el concepto del sistema clásico de solución, el cual se muestra en un esquema de bloques en la página siguiente. El sistema clásico de solución consiste en plantear directamente a l modelo matemático soluciones convencionales algebraicas. En el ejemplo no llegamos a ecuaciones diferenciales por ser muy sencillo, pero sí llegamos a soluciones algebraicas simultáneas. En Ingeniería, se trabaja en problemas avanzados a los que se llega mediante ecuaciones diferenciales o integro diferenciales, u otro tipo de ecuaciones más avanzadas dependiendo del área del conocimiento en que se esté trabajando, y según lo avanzado del tema en cuestión.


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Gráfica 3: Proceso Clásico de Solución

SIST E MA

INVE S TIGAD O

LEYES NATUR A LES

ECUACIÓN DIFERE N CIAL

SOLUCIÓN HOMOG É NEA

SOLUCIÓN PARTICULAR

CONDICIONES ESPECÍFICAS

RESULTADO Y

APLIC A CIÓN


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1.2.1 El Proceso Clásico de Solución. Debe observarse en la Gráfica 3 el diagrama del proceso dado en el ejemplo, con algunos cambios menores. En la primera fase –no indicada en forma explícita- nos encontramos en el mundo físico real; debemos interpretar el fenómeno o problema bajo estudio a la luz de las leyes naturales y conocimientos adquiridos y lograr representar mediante algún modelo matemático (modelar) este fenómeno. Este es un paso complejo, que no se puede enseñar, simplemente se debe vivir y se debe tener mucha experiencia para lograrlo satisfactoriamente. Este es el campo más íntimo de la Ingeniería; es aquí donde el ingeniero debe poner todo su conocimiento, su astucia, su inteligencia, para poder interpretar la realidad a la luz de las herramientas científicas y tecnológicas existentes. Una vez que hayamos logrado modelar el sistema natural, lo tendremos expresado, por ejemplo, como una ecuación diferencial o algún otro tipo de ecuación o expresión que constituye el modelo matemático. Aquí es donde estaremos en este curso. Vamos a dar algunas herramientas para poder efectuar el manejo matemático de manera diferente al sistema tradicional o clásico de solución de ecuaciones diferenciales, que como se muestra en la Gráfica, tiene unos procedimientos largos y complejos que el estudiante indispensablemente ya debe conocer por su formación anterior. En el diagrama hemos simplificado el proceso clásico de solución y lo mostramos en tres pasos o etapas fundamentales: (a) Encontrar la solución Homogénea, lo que significa que la excitación del sistema o función independiente es cero o nula; esta es la denominada solución natural. (b) Encontrar una solución particular, que dependerá del término independiente o excitación del sistema; esta es la denominada solución forzada o estacionaria. (c) Incluir las condiciones iniciales o de frontera para obtener la solución total al sistema matemático. Todo este proceso es lo que hemos denominado como fase 2 y es una fase que se puede conocer mediante la formación o enseñanza, ya que consiste en comprender métodos matemáticos de solución y de manipulación algebraica. La fase tercera es tan compleja como la primera, y consiste en volver al mundo real y aplicar dicha solución de alguna manera adecuada. Recordemos que un modelo es sólo una representación aproximada de un fenómeno y que nunca lo representará de manera exacta. Por lo tanto, las soluciones serán aproximadas, y para utilizarlas en la realidad debemos acoplarlas con ingenio, es decir, debemos obrar como ingenieros (o ingeniosos). Seguidamente presentamos un diagrama similar modificado, donde se introduce la metodología de la Transformación, que constituye el tema central de este curso. Este método de soluc ión, acoge sistemas matemáticos llamados Transformadas, y los aplica dentro del proceso de solución, logrando simplificar enormemente dicho proceso. De esto nos encargaremos en este curso, proporcionando al estudiante nuevas herramientas de trabajo, especialmente aplicadas al mundo de la electricidad.


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Gráfica 4: Solución por Transformada

SISTEMA

INVESTIGADO

LEYES

NATURALES

ECUACIÓN DIFERENCIAL

TRANSFORME

DESARROLLE ANTI-

TRANSFORME

RESULTADOS

Y APLICACIÓN


8

1.2.2 El Proceso de Solución por Transformada En la Gráfica 4 se ilustra un cambio fundamental en el proceso de solución general. Una vez encontrada la ecuación diferencial o el sistema matemático que modela el fenómeno, se aplica un proceso llamado de Transformación, es decir, se aplica una Transformada, de tal forma que el proceso algebraico y matemático se simplifica mucho con relación al proceso clásico de solución. A través de esta Transformación, pasamos a un dominio diferente. En el hoy y ahora es decir, en el mundo real, estamos en el dominio del tiempo, lo cual significa que una de las principales variables independientes, y por lo general la única, es la variable tiempo. Al Transformar el sistema, nos cambiamos de dominio y aparece otra variable independiente en reemplazo del tiempo. Por lo general, esta variable es la frecuencia. Estos conceptos se ampliarán y aclararán conforme vamos avanzando en el curso. Una vez encontrada la solución o soluciones en el dominio de la frecuencia, debemos poder aplicarlas a la realidad, es decir, debemos volver al dominio del tiempo; este proceso inverso se denomina anti-transformación. La forma de trabajar en el dominio de la frecuencia dependerá de la Transformada que se esté utilizando. Los matemáticos y físicos han desarrollado en los últimos cien años o menos, varias transformadas matemáticas que facilitan el trabajo, dependiendo del problema y área del conocimiento que se esté tratando. En este curso analizaremos fundamentalmente cuatro transformadas, cada una con sus propias particularidades y con sus campos específicos de aplicación, pero todas encaminadas a facilitar los procesos en el mundo de la electric idad y la ingeniería de la electricidad. Las cuatro transformadas serán: la Transformada Fasorial, de Transformada de Laplace, la Transformada de Fourier y la Transformada Z. Una vez que regresamos al dominio del tiempo, podremos entonces ejercer nuestros conocimientos en ingeniería para poder aplicar de manera adecuada las soluciones encontradas a los casos reales y situaciones del hoy y ahora que se nos están presentando. Estos procesos constituyen la vida cotidiana del ingeniero. En este curso, trataremos de desarrollar experticias en el manejo de estas herramientas de Transformación. El proceso es similar al proceso de quien desea, por ejemplo, aflojar una tuerca. Si utiliza un alicate posiblemente lo logre o posiblemente no lo logre, o si lo hace puede que dañe el tornillo y la tuerca. En cambio, si utiliza una llave apropiada, será más fácil aflojar la tuerca, habrá varios tipos de llaves, unas mejores que otras, dependiendo del tipo de tuerca y de tornillo. Así mismo se utilizan las Transformadas, dependiendo su efectividad del caso que tengamos frente a nosotros. Algunos ejemplos. A continuación vamos a ilustrar el método clásico de solución con un ejemplo sencillo, y vamos a dividir el proceso en diferentes pasos, simplemente por claridad y organización.


9

Ejemplo 2

Partiendo (en t = 0) de una cantidad inicial M0 [gr.] de sustancia radiactiva, específicamente de Radio, ¿en cuánto tiempo se habrá descompuesto el 50% de dicha masa inicial? Paso 1: Interpretación de las Leyes físicas y planteamiento matemático. Los experimentos y conocimiento actual, muestran que una sustancia radioactiva se descompone a una rata proporcional a la cantidad presente. Si denominamos la cantidad de sustancia en cualquier momento como g(t), entonces, la descomposición se hará a una rata:

dtdg

ódt

dg(t)

Podemos expresar la rata de descomposición mediante la siguiente ecuación:

gkdtdg

−= Ecuación 1

El signo negativo se coloca por ser descomposición, es decir, la sustancia disminuye. La constante de proporcionalidad k dependerá de la sustancia. Se conoce que para el Radio es k ~ 1,4 x 10-11 [s-1] Paso 2: Solución o desarrollo del sistema matemático. En este caso nuestro sistema matemático es sencillo y consiste en una ecuación diferencial ordinaria de primer grado, vamos a trabajarlo separando las variables, aclarando que el objetivo no es aprender a solucionar esta ecuación, puesto que el alumno debe conocer ya la forma de solucionar este tipo de ecuaciones. Veamos el proceso:

∫∫ −=⇒−=⇒−= dtkg

dgdtkg

dgkgdtdg integrando en ambos lados:

ktktCCkt ceeeetgCktg −−′′+− ===⇒′+−= )()ln( entonces:

ktcetg −=)( Ecuación 2

Sabemos que C es una constante cualquiera, representando esta última expresión la solución general a la ecuación planteada. Paso 3: Compruebe resultados. Hagamos una comprobación: Derivemos la última expresión, para verificar si cumple con la Ecuación 1: )()()()( tkgcekekctg ktkt −=−=−=′ −− cumpliendo efectivamente con la Ecuación 1


10

Paso 4: Introduzca las condiciones específicas. En este caso, la condición inicial para t = 0 es g(0) = M0 reemplazando en la ecuación 2

cMceg k === −0

0)0( encontrando así el valor de c para este caso. De manera que la ecuación final es:

.][)( 0 greMtgtk−

= Ecuación 3

Paso 5: Introduzca los valores numéricos del caso específico

Para conocer en qué tiempo t = t1 la sustancia será el 50% de la cantidad inicial, tenemos k en el caso del Radio:

][105 10 x 1,4

6931,06931,0)50,0ln(

50,050,0)(

10

11-11

00111

stkt

eMeMtgtktk

×≈=⇒−==−⇒

=⇒==−−

Expresando este tiempo en años: t1 ≈ 1.585 años Esto significa que el Radio, una sustancia radioactiva muy conocida, requiere de casi de 1.600 años para descomponerse en un 50% Aplicando este método general con varios ajustes, es posible conocer la edad de algunos compuestos, especialmente por la descomposición del Carbono-14 Paso 6: Presente la solución en forma Gráfica. Este paso aunque no es siempre necesario, es muy recomendable ya que en la Ingeniería las Gráficas siempre son muy representativas

Gráfica 5: Curva de la descomposición del Radio

g(t) [gr] kteMtg −= 0)( (k ~ 1,4 x 10-11 [s-1])

t [sx10-10] 5 2 10 0

1.0M 0

0,75M0

0,50M 0 0,25M0

••

•

•


11

Ejemplo 3

Para el circuito mostrado en la Gráfica, encuentre la corriente i(t) luego de 20 ms de haber cerrado en el interruptor S en t = 0 La condición inicial es: para t = 0 es: i(0

-) = i(0+) = i(0) = 0 Vamos a solucionarlo también siguiendo métodos clásicos.

Gráfica 6: Circuito R-L del Ejemplo 3. Paso 1: Aplique Leyes de circuitos y exprese matemáticamente el sistema Aplicando las leyes de Ohm y de Kirchhoff de circuitos tenemos: ∑ ∑= CaídasFuentes

dtdi

LiRE +=

Tenemos una ecuación diferencial ordinaria de primer grado, con término independiente constante. Este es el modelo matemático que representa la operación real del circuito. La forma de solución difiere un poco de la anterior. Nuevamente insistimos en que el objetivo no es aprender a solucionar ecuaciones diferenciales, sino, conceptualizar el método general clásico de solución. Paso 2: Solucione la Ecuación homogénea La ecuación homogénea se construye haciendo el término independiente igual a cero: (E = 0) ⇒ 0=+

dtdi

LiR La solución es similar a la de la ecuación anterior.

∫∫ −=⇒−=⇒=+ dtLR

idi

dtLR

idi

dtdi

LiR 0

⇒=⇒′+−=′+− ct

L

R

eticti LR

)(

)()()ln(

tL

R

h ecti)(

)(−

= Ecuación 4

ih(t) significa que es la solución de la ecuación homogénea; c es la constante general de integración que se deberá encontrar más adelante. Paso 3: Encuentre una solución Particular. Observando el circuito podemos deducir que la corriente después de un largo tiempo de haber cerrado el interruptor tiende al valor estacionario de i = E/R de manera que ésta es

una solución particular: RE

i p = El estudiante puede comprobar esta solución,

reemplazá ndola directamente en la ecuación.

i(t)

R L

E


12

Paso 4: Encuentre la solución General.

La solución general será: RE

tL

R

ph ceiiti +=+=− )(

)(

RE

cetit

LR

+=− )(

)( Ecuación 5

Paso 5: Aplique las condiciones iniciales. Para determinar el valor de la constante c vamos a aplicar la condición en t = 0: i(0) = 0

En la ecuación 5: R

Ec

R

Eci −=⇒=+= 0)0( de manera que la solución final

es:

( )tt

HtLR

eeV

eRE

ti 200)

5,0100

()(120,11

100120

1)( −Ω

−−−=

−

Ω=

−= Ecuación 6

Esta ecuación general total con los datos numéricos del problema es:

( ) ][120,1)( 200 Aeti t−−= Ecuación 7

Paso 6: Aplique al caso específico solicitado. Es importante anotar que en ingeniería es bueno resolver de manera general (literal) un problema y sólo al final introducir los valores numéricos. En este caso se pide el valor de la corriente cuando t = 20 ms = 0,02 s Aplicando el valor del tiempo específico, 20 ms, en la ecuación 7:

][18,1)1(20,1)1(20,1)20( 4)020,0(200 Aeemsi ≈−=−= −−

][18,1)20( Amsi ≈

Este es el valor instantáneo de la corriente al cabo de 20 ms, y representa la solución requerida.


13

Paso 7: Haga la Gráfica del sistema solucionado.

Gráfica 7: Solución al sistema del ejemplo, circuito R-L

El estudiante puede comprobar la exactitud de la Gráfica, tabulando algunos valores. En la página siguiente mostramos un ejemplo típico y bastante sencillo que nos muestra con claridad el concepto de trabajar con transformadas, aplicado a un elemental caso del álgebra de los logaritmos, que son en sí una transformada conocida por todos y utilizada frecuentemente, sin percatarnos que estamos realizando un trabajo, cambiando de dominio, saliendo del dominio decimal y yéndonos al dominio logarítmico.

( ) ][18,1)20(][120,1)(200

AmsAet ii t=−=

−

1,18

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

1,4

0 10 20 30 40 50

t (ms)

i (A)


14

Gráfica 8: Solución Clásica v.s. Solución por Transformada Caso: Encuentre el valor del producto: 500 x 71

ENCONTRAR: X = 500 x 71

Ln(X) = Ln(500) + Ln(71)

X = 35.500 Método clásico: multiplique

TR

AN

SF

OR

ME

A L

OG

AR

ITM

OS

Consulte en Tablas y Sume Ln(X) = 10,48

AN

TI-T

RA

NF

OR

ME


15

Ejemplo 4

Calcule el valor del producto: 500 x 71 El esquema de solución está mostrado en la gráfica anterior. Este ejemplo aunque es elemental, ilustra muy bien el concepto de la Transformación. Sin embargo en este ejemplo, el sistema clásico es más eficiente y rápido que el sistema con transformación, que es precisamente lo contrario de lo que se busca con mejores herramientas, pero ilustra con exactitud el proceso. Un ejemplo a pesar de sencillo es bastante ilustrativo.

a) Solución clásica: simplemente haga el producto: (500) (71) = 35.500 Es claro que esta multiplicación se puede hacer hasta de memoria.

b) Solución por Transformada: Lo haremos cambiándonos al dominio de los logaritmos.

4772,102626,42146,671ln500lnln71*500 =+=+=⇒= xx Como estamos en el dominio de los logaritmos, debemos regresar al dominio de los números reales, y debemos tomar el anti- logaritmo de esta cantidad.

88,496.35)4772,10(ln71*5001

===−

x Esta es la solución que como vemos, es muy aproximada a la solución clásica y directa. Simplemente la diferencia en este caso, radica en los decimales que hemos llevado en los cálculos. 1.3 Funciones Singulares Una Función Singular es aquella función que tiene un instante en el tiempo donde cambia bruscamente su valor, o el de su derivada. Estas funciones son muy importantes en el mundo de la ingeniería y más aún en la ingeniería de la electricidad. También se denominan funciones generalizadas. Estudiaremos estas funciones por la importancia que tienen en el mundo de la electric idad. A menudo, las matemáticas para estas funciones son especiales, de ahí su nombre de singulares, y por lo tanto, serán de nuestro mayor interés. Seguramente el estudiante ya habrá trabajado con algunas de estas funciones, sin haber percibido que forman una familia bastante importante en el mundo de la ingeniería. Una Función Singular no necesariamente es una función discontinua. Puede ser continua, con discontinuidad en su derivada. Las Funciones Singulares no son simples creaciones matemáticas, entes abstractos que sólo existen en el papel, sino que algunas resultan de manera natural en la realidad, en el devenir


16

del mundo de la electricidad y su utilización es necesaria para explicar múltiples fenómenos. A menudo nos encontramos en nuestra vida cotidiana con casos y efectos físicos que pueden ser representados muy adecuadamente por estas funciones. Esto lo veremos y explicaremos a medida que avancemos en el conocimiento de estas funciones. Las principales Funciones Singulares con utilidad prácticas son:

Vamos a analizar cada una de estas funciones, en su definición, conceptualización, aplicación y representación Gráfica. Algunas son elementales y otras son de análisis más complicado. 1.3.1 La Función Escalón. Una nomenclatura para la función escalón unitaria es )(tu La mayoría de autores utilizan esta nomenclatura1. La definición de esta función y su Gráfica son:

<

>=

00

01)(

t

ttu

Tabla 1: Las principales FUNCIONES SINGULARES

Gráfica 9: Función Escalón unitaria

FUNDAMENTALES :

_ Función Escalón

_ Función Rampa

_ Función Impulso

SECUNDARIAS:

_ Función SGN

_ Función Compuerta

_ Función Escalera

_ Función Diente de Sierra

_ Función Triangular

_ Funciones Rectificadas

1

0 t

u(t)


17

Esta es una función de valor constante a partir de t = 0 y es cero antes de t = 0. Exactamente en cero, la función no está definida, tiene un “salto” y por eso es una función singular. Algunos autores consideran que en t = 0 la función vale 1, otros que vale 0, y otros que vale ½, de todas formas, mientras no se diga otra cosa la función no está definida en t = 0 Esta función es muy utilizada en los campos de la electricidad. Pensemos simplemente en una batería que se conecta con un interruptor en el momento t = 0 Más adelante discutiremos con mas detalle el modelo físico de esta función. A continuación veremos la forma de expresar variaciones de la misma función, como son los desplazamientos a derecha a izquierda, imagen simétrica, etc. Es conveniente que el estudiante analice detenidamente cada una de las siguientes Gráficas y capte exactamente su significado y nomenclatura, porque de manera similar esta forma de desplazamiento de funciones se aplicará en general a todas las funciones y no solamente a la función escalón.

=

<

>−

>at0

at1)a(

0a

tu

at0at1

)a(

0a−<−>

=+

>

tu

(A) (B)

=<

>

>

−at

at

0a

a0

)(K

tuK

=

<

>−

>

−−at

at

0a

a0

)(K

tuK

=>

<−

0t

0t

0

1)( tu

(C) (D) (E)

Gráfica 10: Desplazamientos de l a función escalón. Similarmente se aplica a otras funciones.

1 Esta función también se denomina función de Heaviside y algunos autores la denotan como h(t), en honor al físico y matemático británico Oliver Heaviside (1850– 1925) quien la propuso en 1893

1

0 t

u( - t)

K

0 t

K u(t - a)

a

1

- K

0 t

- K u(t - a)

a

- 1

1

0 t

u(t - a)

a

1

0 t

u(t + a)

- a


18

Ejemplo 5

Muestre una aplicación de la función escalón para representar dos circuitos eléctricos de aplicación rutinaria en la ingeniería. Una batería que se conecta súbitamente al circuito.

Gráfica 11: Aplicación de la Función Escalón a un circuito eléctrico real

El análisis es el siguiente. Queremos tener un circuito que nos proporcione exactamente la función escalón. Al lado izquierdo, vemos una fuente teórica )(0 tuV entre sus terminales. Al lado derecho en la parte superior, vemos un circuito real con una batería de tensión V0 y un interruptor que se cierra en t = 0; aparentemente, entre sus terminales aparece exactamente la función escalón, lo cual efectivamente es cierto para t > 0, ya que la tensión en los terminales es constante, de valor V0. Sin embargo, si profundizamos en el análisis, para t < 0, es decir, con el interruptor abierto, la tensión entre los terminales no es CERO, ya que son terminales abiertos, es decir, la tensión no está definida, de manera que para t < 0, este circuito no representa exactamente la función Escalón, ya que esta función vale CERO para t < 0. Por esto, decimos que este circuito es un circuito pseudo equivalente a la función escalón. El circuito exactamente equivalente, se muestra en la Gráfica 11 en la parte inferior

+

Vo u(t)

FUNCIÓN ESCALÓN

+

+

-

Vo

t = 0

Circuito Pseudo-equivalente

+

+

-

Vo

t = 0

Vo u(t)

Circuito equivalente


19

derecha. El estudiante debe realizar un análisis similar al que hicimos anter iormente, para comprender que en los terminales sí aparece exactamente la función escalón. A pesar de lo analizado, en el mundo de la electricidad poco interesa lo que ocurre antes de t = 0, es decir, no interesa lo que ocurre en t < 0 ya que los fenómenos se inician en un momento dado, por ejemplo al cerrar un interruptor, asumiéndose en sentido general, que antes del cierre todo ha estado relajado, es decir, sin energía en el circuito. Es por esto que para efectos prácticos, el pseudo circuito equivalente se puede considerar como un buen modelo de la onda escalón, ya que efectivamente para t > 0 sí lo es. 1.3.2 La Función Rampa. Esta es otra función muy utilizada en el mundo de la electricidad. La nomenclatura utilizada, aunque no tan generalizada como la que se utiliza para la función escalón, es:

)(tur (La r es por rampa). Esta es la línea recta conocida por todos. La definición de esta función y su Gráfica son:

Gráfica 12: La Función Rampa

Esta función con o

45=α se puede identificar como rampa unitaria, ya que la tangente de la recta es tg (45) = 1 Observemos que esta función es la línea recta que pasa por el origen, pero que se inicia en t = 0. Para t<0, la función vale CERO. Observemos que es una función singular, porque aunque es continua a diferencia de la función escalón, ya que tiene un valor en t = 0 y precisamente CERO, la derivada o la

pendiente de la curva no existe en t = 0 ya que: 1)0(0)0( =′=′ +−rr uyu , por lo tanto,

)0(ru′ no existe. Esta discontinuidad en la derivada en el origen, la hace una función singular. Veamos algunas variaciones a la función original. El estudiante debe analizarlas minuciosamente.

)º45(00

0)( =

<

>= α

t

tttur

45º

0 t

u r (t)

1

1

α Tan 45º =


20

Gráfica 13: Función Rampa de pendiente K (general)

Gráfica 14: Función Rampa desplazada

1.3.3 Relaciones entre las funciones Rampa y Escalón Si analizamos cuidadosamente las Gráficas de la función Escalón comparativamente con la función Rampa, podemos deducir las siguientes relaciones:

Ø )()( tuttur = : Esta relación es evidente ya que u(t) vale 0 para t < 0 y vale 1 para t > 0, es decir, la función rampa es exactamente la recta “t” multiplicada por u(t).

Ø )()()( atuatatur −−=− : Esta relación es significa exactamente lo dicho anteriormente, con corrimiento a la derecha hasta (t – a)

Ø dt

tudtu r )()( = : Esta relación es muy importante. Recuerde que la derivada de

la función rampa es cero para t < 0 y 1 para t > 0 es decir, exactamente es la definición numérica de la función escalón.

α 45º

0 t

K ur (t)

K = tan α )tan(00

0)( α=

<

>= K

t

ttKtuK r

α 0 t

-K u r (t - a)

a t1

-u1

t1 - a

)tan(

a0

a)a()a(

1ua1-

−==

<

>−−=−−

tK

t

ttKtuK r

α


21

Ø ∫∞−

=t

r dutu ττ )()( Es exactamente la versión integral de la relación anterior.

Ejemplo 6

Expresar como combinación de u(t) el siguiente pulso de voltaje, cuya Gráfica se muestra. Este pulso de voltaje es de amplitud –5 V, duración 3 s, y se inicia en t = 2 s

Esta función la podemos expresar analíticamente como:

∀<<

=t

stVtv

otro0525

)(

A pesar de que esta nomenclatura define con exactitud la función v(t) propuesta, no es una expresión que permita trabajar algebraicamente con ella; es casi una forma de expresar con palabras lo que es dicha función. Debemos poder expresarla analíticamente como combinación de u(t) Observemos que es una función negativa, y podemos trabajar como si fuera positiva y luego multiplicar el resultado por –1. Este es un buen procedimiento bastante utilizado analíticamente. A continuación mostramos una secuencia de cómo podemos obtener la función pedida, a partir de una manipulación algebraica de la función escalón. Este ejemplo es muy importante porque muestra un procedimiento muy utilizado en el manejo de pulsos de diferentes formas.

Gráfica 15: Función para el Ejemplo 6

Gráfica 16: Composición de funciones para el Ejemplo 6

t [s] 0 1 2 3 4 5

-5

v(t) [V]

t 0 1 2 3 4 5

-5

u(t – 2)5

-u(t –5)

u(t – 2)

t 0 1 2 3 4 5

-5

5

t 0 1 2 3 4 5

-5

5

u(t – 2) – u(t – 5) - [u(t – 2) – u(t – 5)] = u(t – 5) – u(t – 2)

(A) (B) (C)


22

Partimos de las funciones u(t – 2) y u(t –5) como se muestran dibujadas juntas en la parte (A). Si restamos u(t – 2) - u(t –5), obtenemos la Gráfica (B) que se denomina un pulso rectangular o un escalón rectangular o una ventana o compuerta. Si ahora multiplicamos ese pulso que es positivo, por –1, obtenemos la Gráfica (C), que es finalmente la función pedida.

Ejemplo 7

Expresar el pulso triangular )( xg mostrado en la Gráfica17(A) , en términos de u(t).

v(t) = u(t – 5) – u(t – 2)

Gráfica 17: Funciones del Ejemplo 7

0 x

y

1 2 3 4 5

5 10 15 20 ( 4 , 2 0 )

-20 ( 0 , - 2 0 )

( 0 , 2 )

0 x

y

1 2 3 4 5

1

0 x

g ( x )

1 2 3 4 5

5 10 15 20

g 1 ( x ) (A)

(B)

(C)


23

Vamos a trabajar primero con la recta entera y = g1(x) como se muestra en (B): El estudiante debe poder sacar rápidamente la ecuación de cualquier recta.

xxgm 10)(101020

0 =→==

2010)(

2010)2(10)2()(

1

01

−=

−=−=−=

xxg

xxxgxg

Comprobaciones: Comprobemos los tres puntos mostrados. g1(4) = (10) (4) – 20 = 20 g1(2) = (10) (2) – 20 = 0 g1(0) = (10) (0) – 20 = - 20 Ahora, vamos a multiplicar la función g1(x) por la compuerta unitaria que analizamos en la Gráfica del ejemplo anterior. )(4

2 xG quiere decir una compuerta (Gate, en inglés) de altura 1 y ancho (4 – 2) que existe en el intervalo (2,4) como se muestra en la Gráfica (C).

)4()2()(42 −−−= xuxuxG

Este producto entre la recta entera y la compuerta, será cero para x < 2 y para x > 4, y será g1(x) para el intervalo 2 < x < 4, es decir, este producto desarrollará exactamente la función requerida g(x) tal como se ilustra en la parte (A)

)]4()2()[2010()( −−−−= xuxuxxg

Recta Compuerta


24

1.3.4 La Función Delta [δ (t)] o Impulso de Dirac /2. Esta es una función bastante discutida entre matemáticos y físicos, complicada de captar totalmente y muy importante en el campo de la electricidad. En la actualidad, la interpretación rigurosamente matemática apenas si se ha completado y profundizar en dicha definición rigurosa se sale de los alcances de este libro3. Sin embargo, daremos una aproximación clara e intuitiva, aunque el rigor matemático no es completo. La Función Impulso δ(t) se puede definir a partir de la función Escalón, diciendo simplemente que la función Impulso es la derivada de la función Escalón, expresándolo matemáticamente así:

)()( tdtdt u=δ Ecuación 8

Vamos a analizar el significado de esta definición, la cual, en apariencia es elemental, pero que tiene una particularidad interesante para el punto t = 0. Si observamos la función Escalón y aplicamos la definición anterior, pues diremos que la derivada de la función escalón es siempre CERO excepto en el origen, t = 0, donde no existe ya que hay una discontinuidad y el ángulo es 90°. Precisamente estas son características de la función impulso, que analizaremos en lo que sigue. Interpretación Geométrica de δ(t) Observando la Gráfica de u(t), que repetimos aquí para claridad, podemos decir que: La derivada de u(t) vale CERO cuando t < 0

La derivada de u(t) vale CERO cuando t > 0 La derivada de u(t) en t = 0 no está definida por la discontinuidad de u(t) en t = 0 Por lo tanto, δ(t) debe ser una función que vale CERO en todos los puntos, excepto en t = 0, (parece ser indeterminada), donde la vamos a analizar con mayor detalle mediante un modelo geométrico aproximado. A partir del análisis inmediato que hemos realizado, la función δ(t) tiene la siguiente definición analítica, todavía incompleta:

2 Paul Dirac (1902 -1984), ingeniero Inglés, Premio Nóbel en física (1933) por sus trabajos en física cuántica. La Función Impulso —investigada también por Heaviside—, la denominó como: δ(t) 3 Entidades matemáticas denominadas distribuciones introducidas muy recientemente por matemáticos como el fra ncés Laurent Schwartz proveen bases matemáticas rigurosas a la función impulso.

Gráfica 18: Función Escalón

1

0 t

u(t)


25

Vamos ahora a analizarla en las cercanías del punto t = 0, mediante la utilización –como dijimos-, de un modelo aproximado de u(t) para llegar a mayor noción de δ(t)

Vamos a definir una función v(t) como se muestra en la Gráfica 19, muy parecida a la función unitaria escalón, excepto que en las cercanías de cero, vamos a evitar la discontinuidad aproximando el “salto” de la función escalón por una pequeña rampa diferencial que vá desde -∆ hasta +∆, formando un pequeño triángulo diferencial de base 2∆ y altura unitaria. Esta función la podemos representar de acuerdo con la construcción que hemos efectuado

como: )]()([)( 21 ∆−−∆+= ∆ tututv rr Por construcción es evidente que:

)(lim)(0

tvtu→∆

= Ecuación 9

ya que la línea inclinada tiende a ser perpendicular si ∆→0, convirtiéndose en el proceso del límite en la función escalón. Vamos a derivar a v(t):

Ecuación 10

Analicemos la última expresión. Gráficamente el factor )]()([ ∆−−∆+ tutu representa un rectángulo de altura unitaria y de base ∆2 . Veamos la composición de este factor

Gráfica 20: Composición Gráfica de [u(t + ∆) -- u(t - ∆)]

El estudiante deberá realizar esta composición Gráfica, restando las dos funciones que se

Gráfica 19 : Modelo aproximado de u(t)

=≠∀

=0En

00)(

adaIndetermin t

ttδ

)]()([)]()([)( 21

21 ∆−−∆+=∆−′−∆+′=′ ∆∆ tututututv rr

-∆ +0

1

t

v(t)

2∆

1

0 t +∆

u(t+∆) u(t - ∆)

-∆

1

0 t +∆

u(t + ∆) - u(t -∆)

-∆


26

muestran al lado izquierdo y comprobar que resultará la “ventana” o “compuerta” que se observa en el lado derecho. Seguidamente observemos en la que la compuerta está multiplicada por el factor

∆21 , de

manera que este resultado se puede expresar Gráficamente como un rectángulo de base ∆2 y de altura,

∆21 cuya área siempre valdrá 1, tal como seguidamente se ilustra:

Gráfica 21: Función v'(t) modelo aproximado de δ (t)

Sabemos que )()( tdtd

t u=δ y

también que )(lim)(0

tvtu→∆

= es decir, derivando esta última expresión llegamos a:

)()(lim)(lim)(00

ttvtvdtd

tudtd

δ=′==→∆→∆

Es decir, que la función )(tδ la podemos definir

como el )(lim0

tv′→∆

, y podemos expresar Gráficamente a partir de la Gráfica 22 de la

siguiente manera:

Gráfica 22: Construcción Gráfica del concepto de δ (t)

∆21

0 t +∆

-∆

)]()([21)( ∆−−∆+∆=′ tututv

Área = (2∆) (1/2∆) = 1

v´(t)

0 t

δ (t)

1

Área o intensidad del Impulso. No representa la longitud de la

-∆ +∆ 0 t

v’(t)

2∆

½ ∆

½ ∆

½ ∆

)(lim0

tv→∆

(A) (B)


27

De esta Gráfica y de acuerdo con el análisis que hemos desarrollado, llegamos a la definición ampliamente aceptada de la función Delta de Dirac, expresada en todas sus formas:

1)(;000

)(;)(

)( ∫+∞

∞−

=

=∞≠∀

== dtttt

tdt

tudt δδδ Ecuación 11

La expresión anterior da en tres formas diferentes la definición de )(tδ , pero significan un mismo concepto. La primera expresión ya la podemos comprender ya que la derivada de la función escalón puede representar perfectamente la función Impulso, nombre como comúnmente se le conoce en la electric idad. Debemos observar que aún en t = 0 tiene sentido, si observamos la segunda definición, porque la pendiente de u(t) en t = 0 no existe, pero esta “no existencia” es ∞ ya que la pendiente de 90° precisamente es ∞ La segunda parte de la definición es simplemente una descripción analítica de lo que es la función Impulso, pero, simplemente el decir que vale ∞ en t = 0 no es suficiente y por eso debemos complementar con la interpretación del área bajo la curva Impulso que nos lleva a la integral indicada en la tercera parte de la definición, que se deriva de la representación Gráfica de la función impulso, ya que debemos recordar que el área debajo de la función aproximada mostrada en la Gráfica 22 indica que siempre es 1, es decir, la integral de la función en todo el rango de -∞ a +∞ será 1, pues representa precisamente el área bajo la función. Recordemos que el modelo geométrico nos muestra un rectángulo cuya área es siempre 1, y como su base tiende a cero, su altura crece indefinidamente para que el producto sea 1; este crecer infinitamente es lo que en matemáticas se representa con el símbolo ∞. De esta última observación se vuelve muy importante entrar a analizar el significado del área bajo la curva de la función impulso, es decir, el valor que hemos denominado como intensidad o fortaleza de la función )(tδ . (En inglés, strength) Interpretación de la intensidad o fortaleza de δ(t)

Sabemos que una propiedad de )(tδ es el valor de la

integral AdttA =∫+∞

∞−

)(δ que se deriva de la definición

1)( =∫+∞

∞−

dttδ La representación de la función )(tAδ es

precisamente la mostrada en la Gráfica siguiente. Por lo tanto, el coeficiente de una función impulso que

Gráfica 23: Gráfica de )(tAδ

0 t [s]

Aδ (t)

A Intensidad del Impulso.


28

representa la intensidad o fortaleza del impulso, es decir, el área bajo el impulso, tendrá la magnitud que dicha área representa físicamente. De manera que si estamos representando una señal de corriente por un impulso y un coeficiente, como lo indicamos en la Gráfica 23, el coeficiente A deberá tener la magnitud del área bajo una curva de corriente:

][][][][][Área corriente) de curva (bajo CssC

sA =//

== es decir,

tiene unidades de carga eléctrica o Culo mbios [C], por esto, es usual escribir un impulso de corriente con la letra Q como coeficiente del impulso, cuyo significado es la carga transferida instantáneamente en el instante t = 0.

Por ejemplo, ]A[)(5)( tti δ= representa exactamente un impulso de corriente en t = 0 de

magnitud infinita y de intensidad 5 [C], lo cual significa físicamente, una transferencia de carga instantánea de 5 C.

Ejemplo 8

El interruptor del circuito mostrado se cierra en t = 0. El condensador C1 está cargado previamente con un voltaje de Eo = 200 V, con la polaridad indicada. Analice la distribución de cargas y voltajes inmediatamente después de cerrado el interruptor.

C1 = 1 F C2 = 3 F R = 6 Ω Eo = 200 V

El análisis lo podemos iniciar recordando que los conocimientos de circuidos de D.C. nos han indicado que el voltaje en bornes de un condensador no puede cambiar instantáneamente, y que la corriente en una

inductancia tampoco lo puede hacer. Sin embargo, nos encontramos en este caso con un circuito en que al cerrar el interruptor, forzamos un paralelo entre los dos condensadores, de manera que físicamente estarán conectados y su voltaje tendrá que ajustarse instantáneamente y debe ser el mismo. En t = 0 – (esta nomenclatura significa un instante antes de cero y se lee: “cero menos”) el voltaje en C1 es Vo y por lo tanto, la carga inicial en C1 será: Qo = C1 Vo. En t = 0 + (esta nomenclatura significa un instante después de cero y se lee: “cero más”) el equilibrio de voltaje entre C1 y C2 deberá existir físicamente, lo que significa que:

Gráfica 24: Gráfica de )()( tQti δ=

Gráfica 25: Circuito del Ejemplo 8

0 t [s]

i(t)

Q Intensidad del Impulso.

+ R Eo

t = 0

C1 C2


29

2

2

1

121 C

QCQ

VV =⇒= y además deberá existir el balance de carga: )0()0( +− =

TTQQ

2100 )0()0(QQQQQQ TT +==⇒=

+− Debemos resolver estas dos ecuaciones.

Despejando Q1 de la primera: )(2

211 C

QCQ = reemplazando en la segunda ecuación:

)()()()()(21

210

21

201

21

202

2

2122

2

210 CC

CCV

CCC

VCCC

CQQ

CCC

QQCQ

CQ+

=+

=+

=⇒+

=+=

Esto significa que el condensador C 2 recibirá una carga inmediata Q2 cuyo valor algebraico hemos calculado.

Numéricamente valdrá: ][150)3131

(200)(21

2102 C

xCC

CCVQ =

+=

+= Esto significa que han

sido transferidos 150 C de manera instantánea al condensador C2

La carga en C1 después del cierre será: ][50)3

150(1)(

2

211 C

CQ

CQ ===

La carga en C1 antes del cierre era: ][200200x10101 CVCQQ ==== Esto quiere decir que han sido transferidos (ha perdido) 150 C del condensador C1 al C2 El balance de carga se cumple: ][20015050][200 210

)0()0(CQQQCQQ TT =+=+===

+−

Observemos que los voltajes también serán iguales para t = 0+:

VFC

CQ

VVFC

CQ

V 503

15050

150

2

22

1

11 ===⇒===

Esto significa que el voltaje en C2 ha variado instantáneamente de 0 a 50 V y en C1 ha disminuido también instantáneamente de 200 a 150 V. En este momento no vamos a resolver el circuito en sus mallas de corriente, pero en el Capítulo 2 lo haremos, con ayuda de la Transformada de Laplace. Ahora, nos bastará explicar que para poder transferir de manera inmediata la carga de 150 C se hace necesario un Impulso de corriente en t = 0 con intensidad 150 C, es decir en este circuito aparecerá una corriente dada por:

]A[)(150)( tti δ= Recordemos que el coeficiente del impulso en una onda de corriente representa la carga transferida de manera instantánea. Este resultado de ]A[)(150)( tti δ= lo ampliaremos en el siguiente capítulo. Es importante notar que esta función en apariencia extraña, es la única forma de explicar comportamientos físicos en algunos circuitos eléctricos, dando así un soporte completo desde la visual analítica a la solución y manejo de circuito s.


30

De manera análoga, en circuitos con inductancias, esto es con motores eléctricos, se presentan casos reales en donde la situación compele a producir un cambio repentino en la corriente de una bobina, y la única forma de explicarlo adecuadamente, es mediante la generación de ondas de voltaje que contiene impulsos. Ejemplo de estos temas también serán cubiertos posteriormente, cuando desarrollemos las herramientas necesarias para el análisis y solución de esos circuitos en circunstancias tan especiales de operación.

Ejemplo 9

El interruptor se cierra en t = 0. El circuito está totalmente desenergizado antes del cierre. Encuentre la corriente circulante, para t > 0. Es evidente que en este circuito el condensador C se alimenta bruscamente con un voltaje V0 y el voltaje en sus bornes deberá cambiar repentinamente de cero, -antes del cierre- a V0, después

del cierre. Así, la ecuación que representa el voltaje en el condensador será: )()( 0 tuVtvc = por lo tanto, la corriente en el circuito se calcula derivando la última expresión y será:

)()]([)]([)]([

)( 000 tCV

dttud

CVdt

tuVdC

dttvd

Cti c δ====

De manera que aparee un impulso de corriente en t = 0 para poder cargar instantáneamente el condensador. Recordemos que mostramos que el coeficiente de )(tδ era precisamente la carga instantáneamente transportada:

0000 )()()( QCVtQtCVti =⇒== δδ Lo cual coincide con la observación inicial hecha. 1.3.5 Otras propiedades de la función Impulso: δ (t) En la siguiente Tabla se muestran las principales propiedades matemáticas de la función Impulso. En realidad, la función Impulso se trabaja y conoce matemáticamente es por sus propiedades, más que propiamente por su definición. Estas propiedades constituyen lo que podríamos denominar el álgebra de la función impulso.

Gráfica 26: Circuito del Ejemplo 9

Matemáticas para Ingenieros. Capítulo 1: Análisis Básico. Prof. Fabio Vidal

Tabla 1: Principales propiedades de la función Impulso

N° Propiedad matemática Nombre o identificación

1 AdttA =∫

+∞

∞−

)(δ

Multiplicación por una constante

2

)()()()( 000 tttftttf −=− δδ Propiedad del Producto por una función, o Propiedad de

Muestreo 3A 3B 3C

)()()( 00 tfdttttf =−∫+∞

∞−

δ

)()()( 00 tfdttttf −=−∫+∞

∞−

δ

)()()()( 000

0 ttutfdft

−=−∫−

τττδτ

Propiedad de Integral Filtro

Está expresada de tres formas equivalentes.

4A 4B n

nnnnn

dt

tdttfdttttf

tfdttttf

)]([)(donde )(

0)(

0)(

00

)()1()()(

)()()(

δδδ

δ

=−=−

′−=−′

∫

∫∞+

∞−

+∞

∞−

Propiedad de Integral Filtro con las derivadas de la

función Impulso

5 )()()( tfttf =∗δ

Propiedad de Convolución

(Se verá posteriormente) Vamos a analizar la propiedad de muestreo del impulso. Dibujemos una función regular y continua f(t) junto con una función impulso desplazada como se muestra a continuación:

f(t)

ta

f(a)

1

f(t) δ(t - a)

t a

f(a) f(a) δ(t - a)

y

δ(t - a)

0 0

(A) (B)

Gráfica 1: Ilustración de la Propiedad de Muestreo de )a( −tδ

31


32

Observemos la Gráfica 27 (A) y hagamos mentalmente la multiplicación de las dos funciones f(t) y )a( −tδ ; el producto será cero para todo punto t ≠ a ya que )a( −tδ es cero para todo punto t ≠ a, pero es en t = a donde f(t) valdrá f(a) y el producto no vale cero, sino f(a) )a( −tδ . Esto nos muestra la propiedad: )()()()( atafattf −=− δδ Naturalmente que se cumple para el punto t = 0: )()0()()( tfttf δδ =

Ejemplo 10

Demostrar la Propiedad muestreo para una función )(tδ Vamos a utilizar la función aproximada a )(tδ vista en la Gráfica 22 con alguna variación. Podemos decir que )]()([)( 1 atutut a −−≈δ

o mas exactamente )]()([lim)( 10

atutut aa−−=

→δ

Por lo tanto:

)()0()]()([lim)(lim

)]()([)(lim)]()([lim).()().(

1

11

000

00

tfatututf

atututfatututfttf

a

aa

ata

aa

δ

δ

=−−=

=−−=−−=

→→→

→→

Este resultado es precisamente la propiedad de muestreo, que extracta o muestrea el valor de una función en el punto donde está el impulso. 1.3.6 Funciones Singulares Secundarias Vamos a continuar con el análisis de algunas funciones singulares que se consideran secundarias, comparativamente con las tres principales ya analizadas. 1.3.6.1 Función sgn(t) (Función signo)

)()()sgn(

01

01)sgn(

tutut

tsi

tsit

−−=

<−

>=

Gráfica 28: Función sgn (t)

1

0 t

sgn (t)

-1


33

Observe, desarrolle y compruebe esta Gráfica a partir de la definición de la misma

relacionándola con la función escalón: )()()sgn( tutut −−=

1.3.6.2 Función Compuerta (Gate) ( )baG

Gráfica 29: Función Compuerta (Gate) o Ventana

Observe, desarrolle y compruebe esta Gráfica a partir de la definición de la misma, relacionándola la función escalón: )b()a()( −−−= tututGb

a Esta expresión es muy utilizada para definir funciones denominadas Pulsos. La función compuerta es un pulso de duración (b-a), y en este caso, de altura unitaria, que existe en el intervalo (a, b). Si multiplicamos por una constante A, sería un pulso )(A tGb

a , de altura A y duración (b-a). 1.3.6.3 Otras funciones singulares secundarias Las siguientes funciones pueden considerarse secundarias en el sentido que se derivan de alguna forma de las anteriores y de otras funciones conocidas. Su utilización es usual en la electric idad, y todo ingeniero electricista o electrónico tendrá que manipular a menudo todas estas funciones. La onda escalera, se puede considerar conformada por varios escalones, con alturas diferentes, etc. La onda en diente de sierra podrá considerarse conformada por funciones rampa convenientemente dispuestas para dar una función periódica, como también lo es la anterior. Las ondas sinusoidales rectificadas son ondas derivadas de las sinusoidales puras a las que se les recorta una parte. Estas ondas rectificadas ofrecen un capítulo muy importante para la electricidad y son la base de operación de múltiples instrumentos y dispositivos electrónicos. Existen otras ondas también consideradas singulares, pero, aquí hemos mostrado y

0 t a

1

b

)(tG ba

)b()a()(

valorotro en todo01

)(

−−−= <<

=

tututG

btatG

ba

ba


34

analizado las principales que se manejan en el mundo de la electricidad. Seguidamente presentamos las Gráficas de estas funciones.

(A) Onda en escalera (B) Onda diente de sierra

(C) Onda sinusoidal rectificada media onda (D) Onda sinusoidal rectificada

onda completa

Gráfica 30: Cuatro funciones singulares utilizadas en la electricidad

1.3.7 La Función Gamma La función Gamma, que se denota Γ(x), (Γ es la letra gamma del alfabeto griego), es una función integral utilizada en ingeniería y fue introducida por Euler (1707-1783) para generalizar el concepto de factorial a los números no enteros. Se define como:

)0;()(0

1∫+∞

−− >ℜ∈=Γ xxdtetx tx Ecuación 12

Como se observa es una integral impropia y depende de la potencia que tenga la variable t dentro del integrando. Para cada valor de x habrá un valor para la integral, es decir, un valor para la función Γ(x). Dada esta definición, existen tablas donde se pueden encontrar los valores de la función Gamma en un intervalo definido. Esta función aparentemente rara, aparece de manera frecuente en múltiples análisis matemáticos, de tal forma que se ha identificado como una función especial, cuya Gráfica se muestra más adelante. Si x se cambia por n, un entero positivo o natural, entonces, la función Gamma se

A

2A

3A

0 k 2 3 ...

...etc →

t

f(t)

A

0 T 2T 3T ...

...etc →

t

f(t)

f(t)

Vm

0 π 2π 3π wt 0 π 2π 3π

Vm

f(t)

wt

Matemáticas para Ingenieros. Capítulo 1: Análisis Básico. Prof. Fabio Vidal

denomina función factorial y la integral se convierte en un factorial; se puede demostrar que:

!))(1)...(3).(2).(1()1( nnnn =−=+Γ A partir de la definición podemos llegar a la denominada Fórmula de Recurrencia ya que relaciona el valor de la función en un punto posterior (x + 1) con un punto anterior (x):

)()1( xxx Γ=+Γ Se puede demostrar por integración que: π=)( 2

1Γ Este valor es importante para aplicar la fórmula de recurrencia.

Ejemplo 1

Demuestre que π=)( 21Γ

Vamos a partir de la definición con x = ½ : ∫∫+∞

−−+∞

−− ==Γ00

121 2

121

)( dtetdtet tt cambiando

de variable:

=

=2

21

utut

derivando: dudttdudtt 221

21

21 =→= −− por lo tanto:

∫+∞

−=Γ0

21 2

2)( due u esta integral está tabulada en muchos libros de matemáticas y vale:

[ ] ππ ===Γ ∫+∞

−21

021 22)(

2

due u

Ejemplo 2

Calcule el valor de )4,5(Γ Vamos a aplicar la fórmula de recurrencia )()1( xxx Γ=+Γ restando cada vez 1,0 al valor de la variable. Este sistema debe captarlo bien el estudiante porque es una forma común de trabajar con la función Gamma.

)4,1()4,1)(4,2)(4,3)(4,4()4,2()4,2)(4,3)(4,4()4,3()4,3)(4,4()4,4()4,4()4,5( Γ=Γ=Γ=Γ=Γ

El valor de está tabulado en varios libros. En este capítulo estamos suministrando en la Gráfica 31, la función Gamma tabulada entre x = 1,00 y x = 2,00

)4,1(Γ

88726,0)4,1( =Γ Entonces: 6,44)88726,0)(4,1)(4,2)(4,3)(4,4()4,5( ==Γ

6,44)4,5( =Γ Fórmula aproximada de Stirling. La siguiente expresión es muy útil para cálculos con n

35


36

grande: nnennn −≈ π2!

Ejemplo 13:

(a) Calcule )6(Γ (b) Encuentre el valor de 20! (Valor directo exacto: 2,4326 ×1018)

(a) En este caso aplicamos directamente: 1201.2.3.4.5!5)6( ===Γ (b) 20! Lo vamos a calcular por la fórmula aproximada de Stirling en una calculadora

convencional: n = 20 entonces: 182020 104227,220202!20 ×≈≈ −eπ Compara bastante bien con el valor exacto. La diferencia porcentual es menor al 0.41%. A medida que n sea mas grande, mejora la aproximación.

Ejemplo 14:

Calcule )5,0(−Γ

Vamos a emplear la fórmula de recurrencia escrita así: )()1(

)( −Ζ∈+Γ

=Γ nn

nn

ππ 2)()1()(21

2121

21

21

21 −=

−=

−Γ=

−+−Γ=−Γ

Ejemplo 15:

Calcule )( 25−Γ

25

23

25

25

25 )()1()(

−−Γ=

−+−Γ=−Γ entonces: π

π34

23

23

21

23

23

23 2)()1()( =

−−

=−−Γ

=−

+−Γ=−Γ

Así que: ππ

158

25

34

25

23

25 )()( −=

−=

−−Γ

=−Γ

Constante de Euler. A menudo en matemáticas avanzadas se llega a la integral impropia siguiente, o a integrales que se pueden reducir a la misma. Esta integral se denomina constante de Euler, γ (gamma minúscula) cuyo valor es:

K575215.0ln0

=−= ∫∞

− dxxxεγ

Ecuación 13

Se puede demostrar que existe una correspondencia entre la función Gamma y la constante de Euler a través de la primera derivada de la función gamma )1(Γ′−=γ


37

1.3.8 Derivación de Integrales de varias variables. Queremos recordar las propiedades de derivación de integrales, ya que este procedimiento se utiliza a menudo en la matemática avanzada y por lo general el estudiante no las recuerda fácilmente.

a) Cuando la variable está únicamente en los límites de integración, la derivada es:

dxxdu

ufdx

xduufdttf

dxd xu

xu

)()(

)()()( 0

0

)(

)(

11

1

0

−=∫ Ecuación 14

b) Cuando la variable está en los límites de integración y dentro del integrando, la derivada es:

∫∫ ∂∂+−=

)(

)(

00

)(

)(

11

1

0

1

0

)],([)(),()(),(),(xu

xu

xu

xu

dtxtfxdx

xduxufdx

xduxufdtxtfdxd

Ecuación 15

c) Cuando los límites de integración son constantes y la variable está dentro del integrando, la derivada es:

constantes,)],([),( badtxtfx

dtxtfdxd b

a

b

a∫∫ ∂

∂= Ecuación 16

Deben ser )(0 xu y )(1 xu diferenciables y ),(y),( xtfx

xtf∂∂

ser continuas.

Ejemplo 16

Demuestre que )1(Γ′−=γ

Por definición es ∫+∞

−−=Γ0

1)( dtetx tx y vamos a derivar respecto a x. Estamos en el caso (c)

∫∫∫+∞

−−+∞

−−+∞

−− =∂∂

==Γ=Γ′0

1

0

1

0

1 ][ln][)()( dtettdtetx

dtetdxd

xdxd

x txtxtx Ahora calculemos )1(Γ′

∫ ∫+∞ +∞

−−− ==Γ′0 0

11 ][ln][ln)1( dtetdtett tt por comparación, este resultado es precisamente la

definición de γ con signo cambiado, y por lo tanto, se cumple la identidad para la constante de Euler. En la página siguiente se tabula la función Gamma en el intervalo 1,00 < x < 2,00


38

Tabla 3: Función Gamma ∫+∞

−−=Γ0

1)( dtetx tx para 1,00 < x < 2,00


39

Algunas otras relaciones útiles de la Función Gamma.

)(2

)12(5.3.1)( 2

1 N∈−

=+Γ mm

m m πK

)()12(5.3.1

2)1()( 2

1 N∈−

−=+−Γ m

mm

mm

πK

xxx

ππ

sin)1()( =−ΓΓ

π)()(2

)2( 2112 +ΓΓ

=Γ− xx

xx

A continuación presentamos una Gráfica de la función Gamma. Observe que la tabla anterior tabula el intervalo 1 < x < 2 exclusivamente. Deben observarse las discontinuidades en todos los valores de x cuando sean enteros negativos y cero.

Gráfica 31: Gráfica de la función Gamma


40

1.4 La Transformada Fasorial Dentro de este Capítulo 1° denominado Análisis Básico hemos querido incluir el análisis de una transformada denominada Transformada Fasorial, con el objetivo de introducir al alumno en el mundo de las transformadas a partir de un sistema de transformación sencillo y muy poderoso, que se utiliza exclusivamente en el análisis de circuitos eléctricos. El estudiante deberá tener conocimientos básicos sobre circuitos de corriente alterna C.A., y a medida que nos internemos en los Fasores, tendrá mayores herramientas de trabajo. Asumimos que el estudiante tiene buenos conocimientos sobre números complejos, su representación cartesiana y polar, operaciones, y de no tenerlos deberá ponerse al día por su cuenta para poder comprender esta parte. Además, también asumimos que conoce lo que es una onda sinusoidal, sus componentes y su significado como función tiempo - dependiente. 1.4.1 Introducción Precisamente vamos a partir de una onda sinusoidal típica, por ejemplo de corriente ( o de voltaje, si quisiéramos) como la que se muestra en la Gráfica siguiente.

Gráfica 32: Onda sinusoidal típica )cos()( ϕ+= wtIti m

Im = Amplitud de la onda [A] w = Frecuencia [rad/s]

f = frecuencia [Hz], [ciclos/s] T

fwπ

π2

2 ==

T = Período [s] ϕ = Ángulo de fase [rad], [°]

ϕ

Im

-Im

0


41

La expresión )cos()( ϕ+= wtIti m es la forma más general de escribir una onda sinusoidal; esta forma de escritura es perfectamente equivalente a escribir:

wtIwtIti mm sincos)( 21 += Esta identidad entre las dos formas de expresión se puede confirmar en la Tabla 4 en la página siguiente, en la última propiedad N° 15. Observemos en )cos()( ϕ+= wtIti m que el elemento wt representa un ángulo en radianes:

][]][[]][[][ radss

radtwwt === ; el ángulo de fase (o de desfase) ϕ, es un corrimiento de la

onda hacia la izquierda o derecha según sea el signo de dicho ángulo; Im es la amplitud de la onda. La onda también puede representarse en vez de coseno, como un seno:

)sin()( ϕ+= wtIti m Si la onda fuera por ejemplo de voltaje, la podríamos indicar como:

)cos()(o)sin()( ϕϕ +=+= wtVtvwtVtv mm Entre coseno y seno siempre existirá una equivalencia, como se muestra en las identidades N° 3 y N° 4 de la Tabla 4 El ángulo ϕ se debería expresar también en radianes para poder sumarlo a wt, pero normalmente se expresa en grados, entendiéndose que es por conveniencia de nomenclatura, pero, que para operaciones deberán hacerse en radianes. Bajo estos propósitos, una onda sinusoidal queda perfectamente especificada al definir dos parámetros: La amplitud y el ángulo de fase. La frecuencia es un parámetro que se considera constante para un cierto sistema eléctrico; un sistema es de una frecuencia dada y aunque puede variar de uno a otro, se considera parámetro constante para el sistema. Recordemos algunas identidades básicas en el tratamiento de ondas sinusoidales, presentadas como tabla en la página siguiente.


42

Tabla 4: Algunas identidades trigonomé tricas importantes

)

)

122

122

212

212

2222

21

21

21

21

21

21

tansin(

tancos(sincos)15

sincos)142

cos)13

2sin)12

]2cos1[cos)11

]2cos1[sin)10

sincossin211cos22cos)9

cossin22sin)8

)sin()sin(cossin)7

)cos()cos(sinsin)6

)cos()cos(coscos)5cos)90sin()4sin)90cos()3

sinsincoscos)cos()2sincoscossin)sin()1

BA

AB

j

jj

jj

BA

BABA

j

j

−

−

±

−

−

++

++=+

±=

+=

−=

+=

−=

−=−=−=

=

−++=

+−−=

−++=±=°±

=°±

=±±=±

=

−

α

ααα

αα

α

α

αα

αα

ααααα

ααα

βαβαβα

βαβαβα

βαβαβααααα

βαβαβαβαβαβα

α

αα

αα

ε

εε

εε

m

m


43

La identidad N° 14, es muy utilizada en el mundo de la electricidad. Es una identidad en el plano Complejo denominada identidad de Euler que deduciremos seguidamente. “j” es la unidad imaginaria de los números complejos: 1−=j por lo tanto 12 −=j ; algunas veces se escribe con la letra “i”, pero en electricidad se prefiere la letra j, para no confundirla con la corriente que se escribe universalmente con la letra i.

Ejemplo 17

Deduzca la identidad de Euler a partir de series infinitas conocidas:

Partiremos de la conocida serie LL +++++++== ∑∞

= !!4!3!21

!

432

0 kxxxx

xkx k

k

kxε

Por lo tanto:

]!7!5!3

[]!66

!4!21[

!)(

!4)(

!3)(

!2)(

)(1!)(

75342

432

0

LL

LL

+−+−++−+−=

=+++++++== ∑∞

=

θθθθ

θθθ

θθθθθ

θθε

j

kjjjj

jk

j k

k

kj

Pero sabemos que:

LL +−+−=++−+−=!7!5!3

siny !66

!4!21cos

75342 θθθθθθθθθ

Así que llegamos finalmente a la identidad de Euler:

θθθε sincos jj += o también mas general:

θθθε sincos jj ±=±

1.4.2 Significado Gráfico de la identidad N° 15 La identidad N° 15 es muy utilizada y merece un análisis adicional para que el estudiante la pueda utilizar de manera eficiente y adecuada.

)tan 1cos(sincos 22ABBABA −−++=+ ααα

Analizaremos el ángulo de fase AB−−= 1tanϕ en cuanto a en qué cuadrante estará el fasor

que se quiere representar, porque la fracción AB− se presta a equivocaciones en el ángulo.

Vamos a trabajar en el análisis mediante un ejemplo numérico que aclarará completamente el procedimiento.


44

Re

Im

0 θ

θcos

θsin1

1.4.3 Significado Gráfico de θε j

y wtjε

La identidad de Euler4: θθε θ sincos jj += tiene representación en el plano complejo. Vamos a analizar su significado gráfico y matemático. En el plano complejo es

fácil llegar a dicha gráfica de la manera siguiente: Calculemos el valor absoluto de θε j partiendo de la igualdad de Euler,

1sincossincos 22 =+=+= θθθθε θ jj

Por lo tanto, θε j

es un vector fijo de longitud 1 y con ángulo θ sobre el eje Real. La proyección sobre el eje imaginario es θsin y sobre el eje real es θcos como se ve en la Gráfica 33 Vale la pena advertir al estudiante que no debe confundir la nomenclatura que hemos utilizado para identificar el eje Imaginario del plano complejo, Im con la nomenclatura que hemos utilizado para indicar el valor máximo o amplitud de una onda de corriente, o en general una onda sinusoidal, que casualmente se escribe lo mismo, Im. En el curso siempre sabremos de cual de las dos estamos hablando de manera que no habrá lugar a confusiones de ninguna clase. ¿Qué ocurre si hacemos que el ángulo θ sea ahora un ángulo variable θ = wt? Recuerde que wt es un ángulo expresado en radianes.

4 Leonhard Euler (1707-1783) Matemático suizo, alumno de Bernoulli, a los 19 años obtuvo el premio de la Academia de París. Avanzó profundamente en el cálculo diferencial e integral y variable compleja.

Gráfica 33: Gráfica del vector θε j

en el plano Complejo (Re = Real; Im = Imaginario)


45

Lo que ocurrirá es que se convierte en el siguiente vector en el plano complejo, de manera similar al caso que ya analizamos en la Gráfica anterior:

wtjwtwtj sincos +=ε Como wt es un ángulo variable, para un cierto tiempo t1 el ángulo será wt1 y para otro tiempo t2 será otro ángulo wt2 Siempre será un vector de valor absoluto 1, es decir, longitud 1 Esto nos lleva si observamos la Gráfica 34, a un vector ROTATORIO, también unitario, con velocidad angular constante w

r

Este vector rotatorio es lo que se conoce en la electricidad con el nombre de Fasor.

Un Fasor es entonces un vector (unitario, o con una amplitud dada), que está rotando con veloc idad angular constante w

r en el plano complejo, con un

punto fijo en el origen.

Gráfica 34: Vector rotatorio

twjε

Conocido con el nombre de Fasor Re

Im

0

wt1 wt2

1

1


46

Así, un fasor de amplitud A será: jwtAA ε=

Normalmente la nomenclatura de los Fasores es similar a la de los vectores, identificándolos con negrita o con una línea horizontal encima de las letras. Observe que el valor absoluto del fasor se encuentra así:

AAA jwt == ε

Como ya lo habíamos deducido Gráficamente

.

Este fasor A es tal que cuando t = 0 entonces:

AAAAA jwjwt ==== 00 εεε , es decir, en ese instante representa un vector sobre el eje Real, ya que el ángulo en ese instante es cero. Se ilustra en la Gráfica 36 Se puede considerar entonces que es un fasor con un ángulo de referencia o de desfase CERO, ya que este ángulo es el ángulo que tendría en el tiempo inicial, en este caso, t = 0

1.4.4 Significado Gráfico del fasor )( ϕε +twj

Como ya conocemos el significado del fasor jwtAA ε= vamos simplemente a explicar el significado del fasor )( ϕε += wtjBB siendo ϕ un ángulo constante paramétrico, comparándolo con el primero. Es evidente que este fasor B es similar al fasor A sólo que el ángulo inicial es diferente, y eventualmente sus valores absolutos también pueden ser distintos. La diferencia radica en que en A el ángulo giratorio comienza (en t = 0) con ángulo inicial 0, y en B el ángulo giratorio comienza (en t = 0) con ángulo inicial ϕ. Evidentemente que si A = B (sus valores absolutos fueran iguales) la única diferencia sería el ángulo de partida o de referencia.

Gráfica 35: Fasor jwtAA ε=

Re

Im

0

wt1 wt2

A

A A

Re

Im

0

wt

A

A

Gráfica 36: Fasor A en t = 0


47

Esto se ilustra perfectamente en la siguiente Gráfica.

Gráfica 37: Comparación entre los fasores A y B en el momento t = 0

Debemos observar que el fasor B se puede escribir también así:

wtjjjwtjwtj BBBB εεεε ϕϕϕ )())( == ++=

O sea que según esta última expresión el fasor B se puede considerar exactamente como

un vector ϕε jB que gira a velocidad angular wr

. Recordemos que el vector ϕε jB es el mismo vector B, pero, desfasado un ángulo inicial ϕ. 1.4.5 Relación entre un fasor y la onda sinusoidal pura. Las dos expresiones matemáticas fundamentales que queremos relacionar son:

)cos()( ϕ+= wtVtv m con )( ϕε += wtj

mVV desarrollemos la expresión fasorial:

)sin()cos(

)]sin()[cos()(

ϕϕϕϕϕε+++=

=+++= =+

wtjVwtV

wtjwtVVV

mm

mwtj

m

Ahora podemos compararla perfectamente con: )cos()( ϕ+= wtVtv m y podemos

entonces decir que: ][)( Vtv Re= donde Re significa “Parte Real de...” Lo anterior significa que una onda sinusoidal general la podemos escribir como un fasor,

Re

Im

0

wt

A

ARe

Im

0

wt

B

B

ϕ

(A) (B)


48

de tal manera que si es cosenoidal será la parte Real y si es senoidal será la parte imaginaria del mismo. Conociendo de esta manera un fasor, vamos a realizar un proceso de transformación de este concepto, hasta llegar al concepto práctico de fasor y su relación con la onda sinusoidal pura como la que hemos analizado antes, mediante la transformada fasorial. Vamos a detallar los pasos que se deben efectuar para realizar la transformada pero, haremos énfasis en que el resultado sorprendentemente es tan sencillo, que no será necesario repetir todo el procedimiento, el cual, sólo haremos una única vez, para fijar conceptualmente el proceso. Luego, la transformada se hará de memoria y de inmediato, cada vez que la necesitemos. Se trata entonces de representar en forma fasorial una onda común general sinusoidal como la que ya vimos. En esto consiste la transformada: no trabajar con las ondas como las conocemos, en el dominio del tiempo, sino expresadas como Fasores, que como veremos, nos lleva al dominio de la frecuencia. 1.4.6 Valor Eficaz de una onda sinusoidal. Es importante el significado del valor eficaz de una onda sinusoidal, en especial en lo que se refiere al tema de la Potencia y la Energía. Una onda sinusoidal se ilustra como sigue.

Si tenemos una resistencia R recorrida por una onda de corriente general i(t) la potencia instantánea disipada en la resistencia es todo momento está dada por: )()( 2 tRitpR = Ahora bien, el valor que se puede utilizar de esta potencia es su valor medio, es decir,

Gráfica 38: Valor eficaz de la onda sinusoidal

-1.00

-0.75

-0.50

-0.25

0.00

0.25

0.50

0.75

1.00

0 15 30 45 60 7 5 90 1 0 5 120 135 1 5 0 165 180 1 9 5 210 2 2 5 240 255 2 7 0 285 300 3 1 5 330 3 4 5 360

Grados

Sen

(x)

707.02

1 =


49

aplicando la definición de Valor Medio de una onda:

=== ∫∫∫ dtti

TRdttRi

Tdttp

Ttp

TTT

RR0

2

0

2

0

)(1

)(1

)(1

)(

Ahora bien, este valor de potencia media deberá ser igual al valor de potencia desarrollado por una corriente denominada corriente eficaz como si fuera de D.C. Si denominamos a esa corriente como feI entonces, podemos plantear la ecuación:

dttiT

IdttiT

RtpRIT

fe

T

Rfe ∫∫ =→

==

0

2

0

22 )(1)(1)(

Esta es la definición de corriente eficaz. En general, el valor eficaz de una onda cualquiera f(t) dependiente del tiempo es:

∫==T

fe dttfT

FF0

2 )(1

Ecuación 17

Este valor también se conoce como valor RMS de la corriente o voltaje. RMS quiere decir en Inglés: Root Mean Square, que quiere decir la “raíz del valor medio del cuadrado”, que es precisamente lo que la fórmula indica. El valor eficaz de una corriente alterna es el valor que efectivamente produce potencia o que efectivamente es utilizable, de aquí su nombre de eficaz, o eficiente o utilizable.

Ejemplo 18

Encontrar -aplicando la definición- el valor eficaz de una onda sinusoidal pura. Asumamos como ejemplo, que es una onda simple de corriente wtIti m sin)( = entonces:

22 0021

0

2

0

2

)2cos1(1

)2cos1(1

sin1

)sin(1

mT

mT

m

T

m

T

mRMS

Idtwt

TI

dtwtT

I

wtdtT

IdtwtIT

II

=−=−=

====

∫∫

∫∫ Ecuación 18

De manera que mm III 707.02

== como se observa en la Gráfica anterior.

1.4.7 Proceso de la Transformada Fasorial.


50

El proceso de la transformada fasorial lo mostraremos en la siguiente tabla, y posteriorme nte haremos el análisis del mismo.

Tabla 5: Pasos en la Transformada Fasorial

1. Expresar la onda sinusoidal pura y general, como un coseno:

)cos()( ϕ+= wtVtv m

2. Expresarla en forma exponencial:

[ ])()( ϕε += wtjmVtv Re

( de..." Real parte" :decir quiereRe )

3. Suprimir la restricción de Re , entonces:

( ) ( )ϕεεεε ϕϕm

wtjjm

wtjwtjm VVVtv === +

43421v

Fasorw Rotación

)()(

4. Prescindir en la escritura del componente de Rotación

( ) ϕϕε mmwtj VVtv =/=)(

5. Se llega a la Transformación Fasorial completa:

4342144 344 21a)(frecuenci w"" Dominio(tiempo) t"" Dominio

)cos( ϕϕ mm VwtV ⇔+

Vamos a realizar un análisis a los pasos de la transformada fasorial.

0

Im ϕmV

Re

ϕ

Vm

-Vm

Fasor


51

Ø El Paso 1 es simplemente la partida y no tiene ningún comentario especial. Quizá

repetimos que se puede trabajar también una expresión con seno en vez de coseno, pero, la mayoría de autores prefieren definir la transformada a partir de la expresión con coseno.

Ø El Paso 2, es la confirmación de la relación existente entre la expresión como onda sinusoidal y la expresión en forma exponencial a través de la identidad de Euler que ya analizamos. En el paso siguiente comienza en firme el proceso de transformación.

Ø El Paso 3, ya tiene un contenido importante de transformada al permitir que se prescinda de utilizar únicamente la parte real de la expresión anterior. Si vemos lo

que hemos analizado, es evidente que la expresión )()( ϕε += wtjmVtv no es exacta,

ya que el lado derecho es un complejo, con parte real e imaginaria, mientras el lado izquierdo es una expresión real. Sin embargo, al hacer la igualdad estamos implícitamente igualando las partes reales, y las partes imaginarias no serán tenidas en cuenta. Estamos dentro del proceso de transformación.

Ø El Paso 4, avanza extraordinariamente en la transformada, ya que, prescinde del

componente de rotación es decir, va a eliminar la parte wtjε , pero, es una eliminación en la escritura solamente, porque siempre esta parte estará presente en la mente y estará implícita. Recordemos que todos los vectores del sistema estarán girando a la misma velocidad angular w, de manera, que si nosotros nos introducimos dentro del sistema rotatorio, veremos todos los vectores quietos, porque también estaremos rotando. Es lo mismo que nos ocurre estando como estamos en la superficie de la tierra, estamos rotando con élla, pero, dentro del sistema estamos quietos. El no considerar este factor de rotación está entonces plenamente justificado matemáticamente y físicamente.

Ø Por último. En el Paso 5, ya hemos logrado la transformación, una onda sinusoidal pura, en el dominio del tiempo, la hemos transformado en un fasor en el dominio de la frecuencia, así por ejemplo, la onda [V])5,37377cos(220)( °+= ttv será

transformada en el fasor ][5,37220 V° La frecuencia que es w = 377 rad/s no aparece en el fasor, pero está implícita en nuestra mente, así como la parte de rotación. Los 377 rad/s corresponden a la frecuencia de nuestros sistemas eléctricos de 60 Hz, así:

srad

sciclos wóHzffw 377120602602 ====⇒= ⇒ πππ

Ejemplo 19

Dibuje la Gráfica fasorial y compárelas, para las cuatro ondas sinusoidales siguientes, expresánd olas en forma fasorial, aplicando la propiedad N° 15 de la Tabla 4.


52

Primero veamos que cada uno de estos fasores tienen la misma magnitud:

210)10()10( 2222 =±+±=+ BA

Vamos ahora a aplicar la propiedad 15° para encontrar el ángulo ϕ; el resultado se da habiéndolo calculado en una calculadora convencional.

N°

Onda Ángulo ϕ calculado ∠ϕ k cierto

Punto (A, -B)

Cuadran

te a) tt 2sin102cos10 + °−=== −−−− 45)(tan)(tan 11

10101

aϕ -45° (10, -10) 4°

b) tt 2sin102cos10 +− °=== −−−− 45)(tan)(tan 11

10101

bϕ 225° (-10, -10) 3°

c) tt 2sin102cos10 − °=== −− 45)(tan)(tan 1110101

cϕ 45° (10, 10) 2°

d) tt 2sin102cos10 −− °−=== −−−− 45)(tan)(tan 1110101

dϕ 135° (-10, 10) 1°

Los cálculos fasoriales y Gráfica en cada caso se desarrollan a continuación:

a) °−∠=

°∠=90102sin10

0102cos10tt

)452cos(210 °−= tAv

b) °−∠=°∠=−

90102sin10180102cos10

tt

)2252cos(210 °+= tBv

c)

9010

18090102sin100102cos10

∠=

=°+−∠=−°∠=

tt

)2252cos(210 °+= tCv

d)

°∠=

°+−∠=−°∠=−

9010

18090102sin10180102cos10

tt

)1352cos(210 °+= tDr

Debemos anotar que dada una función sinusoidal pura, como por ejemplo wtVtv m sin)( = la transformada fasorial puede hacerse utilizando el valor máximo de la onda Vm o

N° Onda a) tt 2sin102cos10 + b) tt 2sin102cos10 +− c) tt 2sin102cos10 − d) tt 2sin102cos10 −−

ϕa

(10,-10)

10

10

102

ϕc

(10,10)

10

10

102

ϕb

(-10, -10)

10

10 102

225°

ϕd

(-10,10)

10

10 102

135°


53

utilizando el valor Eficaz 2mV

Los autores no se han puesto de acuerdo en esto.

Simplemente habrá que especificar si hacemos la transformación como valor máximo o la hacemos como valor eficaz. De todas formas, no se presenta a confusiones mientras se diga y especifique exactamente la modalidad que se está utilizando. En este texto si no se especifica lo contrario, trabajaremos con el Valor Eficaz y no con el valor máximo.

Ejemplo 20

Realice la transformación fasorial para Vttv )1.17377cos(212)( °−= a) Con valor máximo: VV °−∠= 1.17212

b) Con valor eficaz: VVV °−∠=°−∠= 1.171501.172

212

1.4.8 Componentes fasoriales en un circuito. Vamos a desarrollar la aplicación de los fasores a los principales componentes de un circuito eléctrico: a las resistencias, a las capacitancias y a las inductancias, en un sistema eléctrico alimentado por ondas sinusoidales puras. 1.4.8.1 Resistencia.

Si expresamos como fasores el voltaje y la corriente en R:

( ) ( ) IRVI

VI

VRIRVIti

VtvR

Rtwj

twjRtwjtwj

Rtwj

twjRR vv

vv

vv

vv

=→==→=

=

=εεεε

ε

ε

)(

)(

Esta es la Ley de Ohm para fasores, idéntica a la de domin io t. Observe que R no es un fasor porque es el cociente de dos fasores y el factor rotatorio jwtε se ha eliminado y por lo tanto, no se ha mantenido ni mentalmente.

R es un vector ya que tanto RV

v como I

v son vectores. En este caso, R es

un vector con componente Real únicamente.

1.4.8.2 Inductancia.

Gráfica 39: Componente resistivo

vR(t) + -

i(t) R

VR + -

I R

Dominio “t”

Dominio “w” fasorial


54

Sabemos que en una inductancia el voltaje a través de la misma cuando la

recorre una corriente i(t) es: dt

tdiLtvL

)()( =

Cuando jwtIti εv

=)( entonces

jwtL

jwtjwtjwt

L VIjwLIjwLdtId

Ldt

tdiLtv εεε

ε vvvv

===== )()()()(

)(

Por lo tanto: Ljwt

Ljwt VIjwLVIjwL

vvvv=→= )()( εε es decir:

LL Z

IVjwL

vvv

==)( Esta es la impedancia de una inductancia en el dominio

fasorial. Observe que es la misma Ley de OHM pero ampliada al campo fasorial. La impedancia es equivalente al concepto de resistencia, sólo que depende de la frecuencia. La impedancia de una inductancia se denomina impedancia inductiva y es un vector (no es fasor por las mismas razones expuestas para la resistencia), pero este vector está a

90° en el plano complejo. °∠== 90wLjwLZL

v el producto wL se denomina XL y se llama reactancia inductiva.

1.4.8.3 Capacitancia.

Sabemos que en un condensador la corriente a través del mismo cuando

su voltaje en bornes es v(t) es: dt

tdvCti C )(

)( = Cuando jwtCC Vtv ε

v=)(

entonces jwtjwt

Cjwt

C

jwtCC IVjwCVjwICdt

VdC

dttdv

Cti εεεε vvv

v===== )()(

)()()(

Por lo tanto: IVjwCIVjwC Cjwttwj

C

vvvv=→= )()( εε es decir:

IZIjwC

VIVjwC CCC

vvvvvv==→= )

1()(

°−∠=−== 90111

wCwCj

jwCZC

v

Esta es la impedancia de un condensador en el dominio fasorial. La impedancia de un condensador se denomina impedancia capacitiva y es un vector (no es fasor por las mismas razones expuestas anteriormente), pero, este vector está a -90° en el plano complejo. el factor

wC1 se

denomina comúnmente como XC y se llama reactancia capacitiva 1.4.8.4 Resumen de componentes fasoriales de circuitos

Gráfica 40: Componente inductivo

Gráfica 41: Componente capacitivo

vL(t) + -

i(t) L

VL + -

I jwL = ZL

Dominio “t”


vC(t) + -

i(t) C

VC + -

I -jwC = ZC

Dominio “t”



55

ZR

ZL

ZC

Tabla 6: Resumen de componentes fasoriales de circuitos

Componente Ley circuital en t

Ley circuital en w (Fasor)

Circuito en Transformada Fasorial y Gráfica de Z en el plano complejo

R )()( tiRtvR =

IRVR

vv=

°∠= 0RZR

v

L

dttid

LtvL

)()( =

IZV LL

vvv=

°∠= 90wLZL

v

C

dttvd

Cti C )()( =

IZV CC

vvv=

°−∠= 901

wCCZ

v

1.4.9 Limitaciones de la Transformada Fasorial Es básico anotar que la transformada fasorial tiene las siguientes características y limitaciones en su aplicación en el análisis de circuitos eléctricos. Ø Se puede aplicar al análisis de circuitos cuando las excitaciones son ondas

sinusoidales puras y de una sola frecuencia. Ø No se puede aplicar, es decir, no existe la transformada para ondas que no sean

sinusoid ales. (En realidad es posible aplicarla a ondas que se denominan sinusoidales amortiguadas, pero, para nosotros por ahora, sólo se aplicará a ondas sinusoidales)

Ø No se puede aplicar a pulsos, a ondas singulares, a ondas que no sean periódicas, a ondas periódicas no sinusoidales, a ondas sinusoidales de varias frecuencias (existe una aplicación para series de Fourier que veremos luego)

Ø La solución que se obtiene es la solución forzada del circuito, es decir, la solución estacionaria. No da respuesta a los transitorios o sea a la solución natural del circuito. Esta limitación es muy importante de tener en cuenta.

Ø No considera condiciones iniciales. O sea que las condiciones iniciales deben ser que los circuitos están relajados para t < 0 es decir, el circuito está totalmente desenergizado y sin carga alguna para t < 0

1.4.10 Recomendación para Soluciones Forzadas El tema de soluciones forzadas o sea la solución estacionaria, es decir, en el argot de las ecuaciones diferenciales es lo que se conoce como una solución particular, ha aparecido desde ya.


56

Es por esto que queremos recomendar ensayar las siguientes funciones, dependiendo de cual sea la función de excitación o sea, cual sea el término independ iente de la ecuación. En la tabla siguiente se muestran las principales funciones de excitación normales o convencionales, y las soluciones particulares o forzadas que se pueden ensayar en la ecuación diferencial que resulte del circuito.

Tabla 7: Soluciones Forzadas tentativas para excitaciones comunes

Función de excitación )(tf

Solución forzada tentativa )(tf F

1 K A 2 t BAt + 3 2t CBtAt ++2

4 nt QPtBtAt nn ++++ − K1

5 tαε

tA αε 6 tsε

tsAε 7 wtwt cos;sin )cos(cossin ϕ++ wtMówtBwtA *

8 wtwt tt cos;sin αα εε ( )wtBwtAt cossin +αε

9 wttwtt tt cos;sin αα εε ( ) ( )wtDwtCwtBwtAt tt cossincossin +++ αα εε

*: 221 )/(tan BAMBA +== −ϕ

Ejemplo 21

Encuentre la corriente forzada del circuito mostrado. La fuente de voltaje es ][2cos15)( Vttv = . El circuito está relajado inicialmente. (A) Solución clásica. Vamos a plantear la ecuación diferencial y a encontrar la solución resolviéndola por los sistemas matemáticos clásicos y convencionales. La ecuación general es la ley de Ohm que dice:

∑ ∑= tensióndecaídasfuentes Existe una fuente y tres componentes de circuito:

Gráfica 42: Circuido del Ejemplo 21


57

444 3444 21

)(

0)()(

)0()(1)()()()(

tv

C

t

tvtv

CRL

C

RL

vdiC

iRdtdiLtvtvtvtv ++++=++= ∫ ττ

reemplazando los parámetros del circuito:

∫ ++++=t

Cvdiidtdi

t0

)0()(10222cos15 ττ

La condición inicial nos permite decir que: 0)0( =+Cv entonces:

∫++=t

diidtdit

0

)(10222cos15 ττ vamos a derivar esta ecuación integro-diferencial en

ambos lados:

idtdi

dtidt 10222sin302

2

++=− Simplificando:

idtdi

dtid

t 52sin15 2

2

++=−

Esta es la ecuación diferenc ial que representa el circuito y que vamos a resolver. Para encontrar la respuesta forzada ensayaremos: Observemos que w = 2 rad/s

tBtAwtBwtAti 2sin2cossincos)( +=+= tBtAti 2cos22sin2)´( +−= tBtAti 2sin42cos4)( −−=′′ Reemplazando estos resultados

tBABtABAtBtAtBtAtBtAt

2sin)524(2cos)524()2sin2cos(5)2cos22sin2()2sin42cos4(2sin15+−−+++−=++++−+−−=−

Por comparación de coeficiente llegamos a las ecuaciones simultáneas:

−=+−

=+

152

02

BA

BA Resolviendo las dos ecuaciones: A = 6 y B = -3

][2sin32cos6)( Attti −= esta es la solución forzada del circuito.

Vamos a expresar esta respuesta en su forma comprimida )2cos()( ϕ−= tMti donde:

AM 71.653456)3( 22 ===+−= Cálculo del ángulo: °∠= 062cos6 t 9031809039032sin3 ∠=+−∠=−∠−=− t

°==== −−−− 6.26tantantan )21

(1

)63

(1

)(1

ABϕ

Por lo tanto: ][6.2671.6)6.262cos(53)( Atti °∠=°+=

O sea el fasor trabajando con valor máximo es: ][6.2671.6 AI °∠=v

ϕ

(A, -B) = (6, 3)

3

6


58

(B) Solución por transformada fasorial.

El circuito mostrado es el circuito transformado al dominio fasorial. Vamos a trabajar con valor máximo. Vamos a calcular primero los valores de las impedancias de cada componente del circuito. ZL = jwL = j 2 2 =j4 Ω ZC = -j /(wC) = -j /(2)(0.1) = -j /(0.2) = -j 5 Ω ZR = R = 2 Ω El voltaje de entrada lo tomamos como referencia a un ángulo de 0°, y como estamos trabajando con los valores máximos,

°∠= 015Vv

V Ahora simplemente aplicamos la ley de Kirchoff a la bucla sencilla del circuito:

AjjjZ

VI

k

6.2671.66.2624.2

0152

0152)5(4

015∠=

−∠∠

=−∠

=+−+

∠==

∑v

vv

Llegando al mismo resultado que obtuvimos con el procedimiento clásico de solución de la ecuación diferencial, pero ahora, sorprendentemente más fácil y rápido. Realmente los cálculos son de sólo una línea. Es evidente el poder que tiene la transformada fasorial! 1.5 Ejercicios del Capítulo 1 1. Fasores A = 10∠36.9°, B = 6∠120° encuentre C = A + B y haga diagrama fasorial.

2. Fasores A = 40 ε j120°, B = 20∠-40°, C = 26.46 + j 0 encuentre: D = A + B + C

3. Fasores A = 42 ε j200°, B = 20∠-40°, C = 24.25 + j 14 encuentre: D = (A + C) - B

4. Fasores A = 20 + j 20, B = 30∠-120°, C = 5∠0° encuentre: (a) A + B +C (b) (A +B) C (c) ABC

5. Fasores A = 20 + j 20, B = 30∠-120°, C = 5∠0° encuentre: (a) C

BA + (b) A

BC

6. Un circuito serie consiste en R = 12.9 Ω, L = 0.056 H, C = 78 µF y está alimentado por una fuente de A.C. (a) Cuál es la impedancia total si f = 60 Hz? (b) Si la corriente que

Gráfica 43: Circuito fasorial del Ejemplo 21

j4 Ω 2 Ω

-j5 Ω

15 ∠0° V I


59

fluye a 60 Hz es I = 10∠30° A, cuál es la fuente de voltaje que alimenta el circuito? (c) Dibuje el diagrama fasorial completo.

7. Dos impedancias Z1 = 1 – j 3 y Z2 = 3 + j 6 están conectadas en paralelo. La magnitud de la corriente por Z1 es de 10 A. (a) Encuentre el fasor corriente I2 tomando I1 como referencia a 0°. (b) Encuentre la corriente total I1 + I2. (c) Haga el diagrama de fasores completo, tomando I1 como referencia a 0°.

8. Para el circuito que se muestra en la Gráfica encuentre: (a) La corriente I de entrada. Tome como referencia el voltaje de alimentación a 0° (b) Desarrolle el diagrama fasorial de todos los voltajes y corrientes completo.

9. Los parámetros del circuito de la Gráfica son: R1 = 10Ω R2 = 5Ω R3 = 4Ω XL1 = 30Ω XL2 = 10Ω XC3 = 16Ω V = 100∠0° V

a. Encuentre: I1, I2, I3, V1, V23

b. Desarrolle el diagrama fasorial completo.

c. Encuentre la potencia activa y la potencia reactiva total del circuito.

10. Evalúe cada una de las siguientes integrales: (a) ∫+∞

∞−

dttt )(δε (b) ∫+∞

∞−

− dttt )1(2δ

(c) ∫+∞

∞− +−+

dttt

21)2(1 δ

(d) [ ]∫+∞

∞−

−+− dttutu tt )()( εε (e) ∫+∞

∞−

− ′ dttt )(δε

(f) [ ]∫+∞

∞−

−′′+−′ dtttt )2(3)1(22 δδ

11. Demuestre a partir de la definición de la función Gamma que: )0(!)()1( >=Γ=+Γ nnnnn

Gráfica 44: Circuito del ejercicio 8


V

6 Ω

8 Ω 3 Ω

4 Ω

I1

I2

I3


60

12. Evalúe cada una de las siguientes operaciones: (a) )3(20

)6(Γ

Γ (b) )()(3

2521

ΓΓ

(c)

)5.2()3()5.5(4

ΓΓΓ

(d) )(5)(3

3238

ΓΓ

13. Evalúe las integrales siguientes mediante el procedimiento de convertirlas en algún tipo de función Gamma.

∫∫∞

−−∞

0

26

0

3 )b()a( dxxdxx xx εε

14. Encuentre la suma de estos tres voltajes: V)13510sin(4.88);4510cos(6.294);1.9810cos(3.147 321 °+=°−=°+= tvtvtv

15. Una onda de corriente tiene un ángulo de fase de – 0.4538 rad, con un período de 4.19 ms y una magnitud de 1.41 mA cuando t = 0.826 ms. Exprese la función como onda coseno y como fasor.

16. El circuito mostrado es recorrido por una corriente A)30100cos(14.14)( °+= tti

Encuentre (a) El triángulo de potencias, activa, reactiva y total o aparente. (b) El voltaje de entrada v(t).


i(t)

v(t)


61

1.6 Respuestas a los Ejercicios del Capítulo 1 1. (a) C = 12.27∠65.95° (b) Diagrama Fasorial

2. D = 30.8∠45° 3. D = 32.95∠157.7°

4. (a) 11.67∠31° (b) 39.05∠- 50.2° (c) 4.242∠- 75

5. (a) 1.56∠- 50.2° (b) 5.3∠- 165°

6. (a) 18.24∠- 45° (b) 182.4∠- 15°

7. (a) 4.72∠- 135° A (b) 7.45∠-26.6° A

8. (a) I = 22.35∠10.3° A (b) Diagrama Fasorial:⇒ 9. (a) : I1 = 2.25∠-54.4 A, I2 = 3.44∠-96.7 A,

I3 = 2.33∠42.7 A, V1 = 71.1∠17.14 V, V23 = 38.4∠-33.25 V (b) Diagrama vectorial a realizar por el estudiante (c) P = 131.1 W; Q = 183 var.

10. (a) 1 (b) 1 (c) π + 1/5 (d) 2 (e) 1 (f) 2

11. Demostración por el alumno

12. (a) 3 (b) 4 (c) 315/4 (d) 2/3

13. (a) 6 (b) 8

55


62

14. VvT °∠= 0250

15. A262)261500cos(2)( °−∠=°−= tti 16. (a) (b) V13.837.70 °∠=V

v

1.7 Lecturas recomendadas. Bibliografía del Capítulo 1. Ø WILLIAM H. HAYT, JR. y JACK E. KEMMERLY, Análisis de Circuitos en

Ingeniería. Quinta edición, Mc. Graw Hill, 1993, Capítulos, 5, 8, 9 y Apéndice 4. Ø DAVID E. JOHNSON, JOHN L. HILBURN, JOHNNY R. JONSON y PETER D.

SCOTT, Análisis Básico de Circuitos Eléctricos. Quinta Edición, Prentice Hall, 1996, Capítulos 8, 10, 12 y Apéndice B.

Ø JOSEPH A. EDMINISTER, Circuitos Eléctricos. Segunda Edición, Serie de

Compendios Schaum, Mc. Graw Hill, 1994. Capítulos 6, 9 y Apéndices A y B.

S = 500 VA

P = 300 W

Q = 400 var

Cos ϕ = 0.6 ind

ϕ

Matemáticas para Ingenieros. Capítulo 2: Análisis por Laplace Prof. Fabio Vidal

63


2 Capítulo 2 ANÁLISIS POR LAPLACE



64

2.1 Introducción Vamos a iniciar el estudio de una de las herramientas importantes que tiene el ingeniero para el análisis de situaciones modeladas en forma matemática. Como lo hemos indicado al inicio del capítulo anterior mantendremos nuestro criterio de ser rigurosos en el tratamiento matemático de los diversos aspectos, sin llevar a extremos que nos desvíen de nuestro objetivo eminentemente práctico y de aplicación a actividad de la ingeniería. La aplicación de la herramienta Transformada de Laplace la haremos con énfasis hacia el manejo de la electricidad, específicamente hacia el análisis de circuitos eléctricos. 2.1.1 Ventajas del análisis por Laplace (L). La utilización de la Transformada de Laplace, que denotaremos simplificadamente por el símbolo L, ofrece ventajas importantes como herramienta de análisis de circuitos y de ecuaciones integro-diferenciales.

? Simplifica muchas funciones. Transforma funciones exponenciales y trascendentes en funciones algebraicas mas sencillas. Transforma funciones periódicas no sinusoidales, o con discontinuidades, tales como las funciones singulares, en expresiones mucho más simples y manejables.

? Simplifica operaciones.

Transforma las operaciones de diferenciación y de integración en operaciones sencillas de multiplicación y división. Transforma ecuaciones integro-diferenciales en ecuaciones algebraicas.

? Incluye en el análisis las condiciones iniciales.

La determinación de las constantes generales que dependen de las condiciones iniciales, se consideran e incluyen en el análisis desde el comienzo, simplificando de esta manera los procedimientos. Esto significa que de manera automática, la Transformada L nos da la respuesta total, es decir, incluye la respuesta natural y la respuesta forzada, o sea, en un sistema nos da la respuesta transitoria y la respuesta estacionaria de una vez.

? Hace uso efectivo de funciones singulares, como escalón e impulso.

Si se puede conocer la respuesta de un sistema lineal a la función impulso o a la función escalón, se hace más sencillo conocer la respuesta a otras funciones de excitación, aplicando L.


65

Estas ventajas las iremos observando a medida que avancemos en el desarrollo del tema. 2.1.2 Campo de acción de la Transformada de Laplace (L). Podemos considerar que L se puede aplicar para el análisis de todas las funciones que entran en el campo de la electricidad. Es posible el tratamiento de funciones singulares, de funciones sinusoidales, de funciones exponenciales, de funciones periódicas y no periód icas, de pulsos, e inclusive de funciones de variable discreta que analizaremos cuando veamos la Transformada Z. Podemos considerar que contrastando con la Transformada Fasorial, para funciones sinusoidales, es mucho más eficiente y práctica la utilización de ésta a la de Laplace, pero, sabemos ya que la Fasorial no incluye la respuesta natural o transitoria y só lo incluye la respuesta estacionaria o forzada. 2.2 Definición de la Transformada de Laplace. Si tenemos a f(t) como una función de t, defin ida para t > 0, decimos que la Transformada de Laplace de f(t), que se escribe L[f(t)], se define como:

∫∫∞

−−

−−

∞+→→

===0

0)()(lim)()]([ dttfdttfsFtf stst εε

τ

ετε

L Ecuación 19

Observemos que L es un operador que obre sobre f(t) y practica la integral impropia definida en la Ecuación 1, e introduce una nueva variable “s”, de la cual hablaremos luego, y por lo tanto, de existir la integral impropia, será una función de s; por esto, la transformada de Laplace de f(t) se expresa también como F(s). La transformada L transforma la función f(t) en F(s), conformando entonces lo que se denomina “un par de transformada”, y se denota en general dicho par como:

)()( sFtf ⇔ Debe quedar claro que hallar la transformada de una función significa realizar la integral impropia planteada en la Ecuación 1 y que dicha integral, si existe o sea si es convergente, nos entregará una nueva función transformada, y con una nueva variable s.


66

Cuando estamos trabajando con f(t), estamos trabajando en el dominio”t“; cuando estamos trabajando con F(s), estamos trabajando en el dominio “s”. Ir del dominio “t” al dominio “s” se denomina transformar, e ir del dominio “s” al dominio “t” se denomina la transformada inversa o también anti-transformar. Observemos el límite inferior de la integral impropia : es 0-, es decir, comienza infinitesimalmente antes de cero. Esto quiere decir, que el punto t = 0 está incluido en la integral. Este detalle en muchos libros no es tenido en cuenta y la integral se inicia en 0 y no en 0- Esta definición en 0-, se utiliza casi exclusivamente en el campo de la electricidad, para incluir el 0 en la integral, y poder abarcar la función impulso d(t), cuya existencia es precisamente en t = 0. Esto será analizado posteriormente. En la mayoría de textos de matemáticas e inclusive en libros introductorios de circuitos, el límite inferior es 0. En realidad la integral para una función que sea Laplace transformable, es decir para la cual exista la transformada de Laplace, es igual si se inicia en 0- o en 0, por la siguiente reflexión matemática. Para una función f(t) que exista y sea finita en t = 0, se cumple que:

∫∫

∫∫ ∫∫∞

−∞

+

−

∞

+

−

+

−

∞

+

−−∞

−

==

=+=+=−

00

0

0

0 00

)()(

)(0)()()(

dttfdttf

dttfdttfdttfdttf

stst

stststst

εε

εεεε

La definición de L dada en la ecuación 19 en realidad se denomina Transformada de Laplace de un solo lado, o Transformada unilateral de Laplace, porque se inicia en 0. Existe la Transformada bilateral de Laplace, para la cual la integral es impropia con límites de -8 hasta +8. Para el área de la electricidad que es nuestro objetivo, se utiliza la transformada unilateral la que denominaremos simplemente como Transformada de Laplace. Esta última apreciación se soporta de manera sólida, porque en la ingeniería los fenómenos comienzan en t = 0 y lo que ocurrió antes de cero, nos interesa sólo en el instante 0- de tal forma que el sistema haya quedado con unas ciertas condiciones iniciales, que serán en general las mismas para 0 y para 0+ por la razón ya expuesta. Así que lo que haya ocurrido para t < 0 interesa poco. Esto quiere decir, que la mayoría de nuestras funciones y fenómenos estarán implícitamente multiplicados por la función u(t), significando que antes de cero el sistema era nulo, casi equivalente a inexistente. De todas formas, si una función no se inicia en 0 y tiene valores para t < 0, al operarla con L, es como si antes de cero no existiera, porque la transformada L se inicia en t = 0. Otra observación importante es que la transformada introduce una dimensión de tiempo [seg] , en la función f(t). Esto quiere decir que F(s) tiene las dimensiones que origina lmente tiene f(t) multiplicadas por [seg]. Esto lo podemos ver fácilmente a partir de


67

la definición: ∫∞

−

−=0

)()( dttfsF stε , de manera que si f(t) es una onda de corriente i(t) la

transformada de Laplace I(s) tendrá las siguientes dimensiones: ][]][[)]([ segAsegAsI −== . Por esta razón, se prefiere no indicar las dimensiones de las

transformadas de Laplace y se consideran como si fueran adimensionales. 2.2.1 La variable “s” de Laplace. Como variable de transformación vamos a utilizar la letra “s” que es utilizada en la mayoría de textos de electricidad e ingeniería. Sin embargo, no es universal su utilización y hay autores que utilizan otras letras como “p” por ejemplo. El único inconveniente que aparece al utilizar a “s” como variable de L es que también el símbolo para la unidad fundamental de tiempo, el segundo, es [s], de manera que en este texto, se tratará de escribir la unidad segundo como seg y no como s, a pesar de que la norma indica que el segundo se escribe [s]. De todas maneras, no habrá confusión y siempre sabremos sobre qué estamos escribiendo. De manera estricta, s es una variable compleja, es decir: jws += σ siendo σ la parte Real, y jw la parte Imaginaria. Es importante anotar que w representa frecuencia y será fundamental cuando tratemos en el capítulo siguiente el análisis por la Transformada de Fourier. Sin embargo, hay autores que no utilizan la propiedad de s de ser un número complejo, y simplemente consideran a s como un número Real. Nosotros consideraremos a s como un número complejo, pero esta cualidad sólo se utilizará de manera eventual, y por lo general, se podrá considera a s como si fuera un número Real.

Si observamos la forma de L, ∫∞

−

−=0

)()( dttfsF stε , podemos analizar las unidades que

deberá tener s, observando el exponente de e que debe ser adimensional. El exponente es st y como debe ser adimensional, s y t deben tener dimensiones recíprocas. La dimensión de t es: [t] = [seg], por lo tanto ][][][ 11 −== segs t o sea, unidades de frecuencia angular.

Ejemplo 22

Para la función v(t) = 3[u(t + 2) - u(t - 3)] mostrada, y por integración directa aplicando la definición de la transformada de Laplace, (a) Encuentre la transformada L bilateral. (b) Encuentre la transformada L unilateral.

3

v(t)

0 3 -2 t

Gráfica 47: Función del ejemplo 22


68

(a) Por definición de transformada b ilateral: ∫∞

∞−

−== dttvsVtv stε)()()]([L reemplazando

v(t)

∫ ∫

∫∞

∞−

∞

∞−

−−

∞

∞−

−

−+=

=+=

dtt - u dt t u

dtt - - u t usV

stst

st

εε

ε

)]3()2([3

)]3()2([3)(

Pero la primera integral sólo tiene valor a partir de t = -2 y la segunda sólo a partir de t = 3,

de manera que quedará la expresión así: =−

−−

=−

∞−∞

−

−∞

−

∞−−∫ ∫ ss

dt dt stst

stst 32

2 3

(3(33 3

εεεε

=−−−−= −∞−−−∞− ][3][31 )3()2( ssss

sεεεε [ ] ( )ssss

ss3232 3

)0(3)0(31 −− −=−−−

−εεεε ?

Otra forma más sencilla de hacer la integral y quizá más clara, es basarnos precisamente en que la función v(t) vale 3 únicamente en el intervalo (- 2, 3) y por fuera de éste vale 0, de manera que los límites de la integral pueden ser simplemente entre – 2 y 3:

ssdtdtt - - u t usV

ssss

ststst )(3

)(3

s-(3 3 )]3()2([3)(

3223

3

2

3

2

−−

−

−

−

−∞

∞−

− −=−−===+= ∫∫

εεεε

εεε ?

obteniendo el mismo resultado. (b) Por definición de transformada unilateral: Es evidente que ahora, la integral debe hacerse entre 0 y 3 que es el intervalo donde la función v(t) vale 3; en otra parte vale 0.

ssdtdtt - - u t usV

sss

ststst )1(3

)(3

s-(3 3 )]3()2([3)(

220

3

0

3

0

−=−−===+=

−−

∞

∞−

− ∫∫ε

εεε

εε ?

2.3 Existencia de la Transformada de Laplace. La mayoría de las funciones utilizadas rutinariamente en la ingeniería, por no decir todas, poseen transformada de Laplace, de manera que no debemos inquietarnos por el soporte profundo de la existencia de la integral impropia que constituye la definición de la transformada. Existen funciones para las cuales la integral no converge, como ocurre para funciones como tε o tt , pero son funciones que en la práctica de la ingeniería prácticamente no se utilizan. Las dos condiciones que vamos a establecer, son suficientes, -más no necesarias-, para la existencia de la transformada de Laplace. Por ejemplo, hay funciones como 2/1−t que no


69

cumple con una de las condiciones que daremos, y sin embargo sí existe la transformada L[ 2/1−t ], lo cual demuestra que no son condiciones necesarias, sólo suficientes. Continuidad a tramos (o en segmentos). Una función f(t) es continua a tramos en un cierto intervalo, si tiene ninguna o un número finito de discontinuidades finitas en dicho intervalo. Dicho analíticamente, una función f(t) es continua a tramos en un cierto intervalo, si el intervalo se puede dividir en un número finito de sub- intervalos dentro de los cuales la función es continua, y el valor de la función en las discontinuidades en cada extremo de los sub-intervalos es finito. Obviamente una función continua, es también continua a tramos.

Gráfica 48: Función F(t) es continua a tramos en el inte rvalo [ a, ß ]

• Orden exponencial. Una función f(t) es de orden exponencial a partir de un cierto

punto τ>t si existen constantes reales K y a de tal manera que se cumpla que: tKtf αε≤)( para τ>t

En otras palabras, una función f(t) es de orden exponencial si existe una función exponencial que sea mayor que el valor absoluto de dicha función a partir de un cierto valor.

Teniendo los dos conceptos anteriores, fijaremos las condiciones de suficiencia para la existencia de la transformada de Laplace. Condiciones de suficiencia para la existencia de L: Si tenemos una función f(t) tal que cumpla con las condiciones:

(a) Que sea continua a tramos para t > 0 y, (b) Que sea de orden exponencial a partir de τ>t ,

Entonces L[f(t)] existe cuando s > a, de acuerdo con las definiciones inmediatamente vistas.


70

Ejemplo 23

Existe L para las funciones siguientes?: )dcontinuida la cumple no(1;cos;; 52

twtet t

A pesar que para la última funció n no cumple con la condición suficiente de continuidad a tramos, ya que cerca de cero se hace infinita, existe la transformada de Laplace como veremos luego, confirmando que las condiciones e xpuestas son suficientes pero no necesarias.

No existe L para las funciones siguientes: 2

1;;;

1 3

tte

ttt La primera y la última no son

continuas a tramos y las dos del centro no son de orden exponencial. 2.4 Transformada inversa de Laplace. Si tenemos una expresión en el dominio s y deseamos volver al dominio t, es necesario realizar la transformada inversa o anti-transformada de Laplace. El simbolismo general es: Si tenemos una función f(t), el simbolismo en la Transformada de Laplace -como hemos

visto-, se expresa como: )()(Par el ó)()]([ sFtfsFtf ⇔=L Si tenemos una función F(s), la Transformada inversa de Laplace o anti-transformada de

Laplace, se expresa como: )()(Par el ó)()]([1 sFtftfsF ⇔=−L La transformación consiste básicamente en realizar la integral impropia definida anterio rmente en la Ecuación 1, o emplear métodos indirectos apoyados en el álgebra de Laplace, o consultar diversas Tablas en la literatura de Laplace, como veremos mas adela nte. Similarmente, la anti-transformación consiste en realizar la integral de variable compleja que indicamos como Ecuación 2, procedimiento que corrientemente no se emplea por ser tedioso. En cambio, se pueden emplear otros métodos como el desarrollo en Fracciones Parciales, y consultar en diversas Tablas en la literatura de Laplace, y serán los métodos que desarrollaremos en este texto como veremos posteriormente. La integral de anti-transformación de Laplace es la siguiente: Si tenemos el Par de Laplace

)()( sFtf ⇔ , y queremos hallar f(t) a partir de F(s), estará dada por la fórmula de

inversión compleja: )0()(2

1)( >

= ∫

∞+

∞+tdssF

jtf

j

j

tsλ

λε

π Ecuación 20

La forma de ejecutar esta integral puede consultarse en textos de variable compleja, en particular donde tratan la transformada de Laplace. En este curso no trabajaremos con esta


71

integral, sino que emplearemos otros métodos más senc illos. 2.5 Álgebra de la Transformada de Laplace. A continuación se presenta el álgebra de la transformada de Laplace, es decir, las principales propiedades algebraicas que tiene y que nos permiten manipular matemáticamente y trabajar con dicha transfo rmada. Presentamos en la tabla, Tabla 8 las principales propiedades, y luego, basados en la definición de la transformada, se desarrolla la demostración de algunas de éllas, dejando las otras propiedades para que el estudiante trabaje la demostración como ejercicio.


72

2.6 Tabla 8: Principales propiedades de la Transformada de Laplace

Propiedad Dominio “t” Dominio “s” 1. Linealidad )()( 2211 tfctfc + )()( 2211 sFcsFc +

2. Diferenciación )(tf

dtd

)0()( −− fssF

3. Diferenciación n-ésima )(tf

dtd

n

n

)0()0(...

...)0()0()()1()2(

21

−−−−

−−−−

−−

−′−−nn

nnn

ffs

fsfssFs

4. Integración Definida: Indefinida:

∫−

tdf

0

)( ττ

∫ dttf )(

ssF )(

sf

ssF )0()( )1( −−

+ donde )0()1( −−f es la integral

de F(t) cuando t ? 0-

5. Desplazamiento en tiempo

)()( 00 ttuttf −− )()( 0ttutf −

)(0 sFst−ε

[ ])( 00 ttfst +− Lε

6. Desplazamiento en frecuencia

)(tfat−ε )( asF +

7. Cambio de escala 0,)( >cctf )(1csFc

8. t-multiplicación )(tft )(sFdsd−

9. t-multiplicación n-ésima

)(tft n )()1( sF

dsd

n

nn−

10. t-división

ttf )(

∫∞

sdssF )(

11. t-multiplicación n-ésima nt

tf )( ∫ ∫ ∫

∞ ∞ ∞

s s sdsdsdssF

vecesn43421 ...)(...

12. Valor Inicial Valor Final

)0( +f )(+∞f

[ ] )0()(lim +

∞→= fssF

s

[ ] )()(lim0

+∞=→

fssFs

13. Función Periódica ,...)3,2,1,0(

)()(=

+=k

kTtftf Ts

sFsF −−

=ε1

)()( 1 donde )(1 sF es la

transfo rmada de f(t) en el 1er período


73

2.7 Demostración de las propiedades de Laplace. 2.7.1 Propiedad 1: Linealidad de la Transformada:

[ ] )()()()( 22112211 sFcsFctfctfc +=+L

[ ] [ ] [ ]

...)()()()(

)()()()()()(

22110 0

2211

022112211

02211

DEQsFcsFcdttfcdttfc

dttfctfcdttfctfctfctfc

stst

ststst

+=+

=+=+=+

∫ ∫

∫∫∞ ∞

−−

∞−−

∞−

εε

εεεL

2.7.2 Propiedad 2: Transformada de la 1ª Derivada:

)0()()]([ −−= fssFtfdtdL

∫∫∞

−∞

−

−−

==00

)]([)]([)]([ tfddttfdtd

tfdtd stst εεL Integrando por partes:

)]([ tfddvu st == −ε Entonces: )()( tfvsdu st =−= −ε Reemplazando:

)0()()()()()([( 0

00

00

−−∞−∞

−∞−∞

∞ −

−

−

−

− −∞+=−−=− ∫∫ ffssFdttfstfvduuv stst εεεε

Como asumimos que f(t) es Laplace transformable, entonces será una función de Orden exponencial, y por lo tanto: 0)( =∞−∞ fε por lo tanto y finalmente la integral será:

...)0()()]([ DEQfssFtfdtd −−=L

2.7.3 Propiedad 3: Transformada de la Derivada n-ésima:

)0()0()0()0()()]([ )1()2(21 −−−−−−−− −−−′−−= nnnnnn

n

ffsfsfssFstfdtd

KL

Esta propiedad se demuestra por aplicación reiterada de la propiedad anterior y aplicando inducción matemática. 2.7.4 Propiedad 4: Transformada de la integral de f(t):

ssFdf

t )()(0

=

∫

−

ττL


74

Hagamos que ∫−

=t

dftg0

)()( ττ , entonces: ∫−

==′t

tfdfdtd

tg0

)(])([)( ττ y

0)()0(0

0

== ∫−

−

− ττ dfg , entonces podemos aplicar la Propiedad de la Derivada ya vista:

)]([)0()]([)]([ tgsgtgstg LLL =−=′ − , o sea que despejando y reemplazando:

...)()]([)]([])([)]([0

DEQssF

stf

stgdftg

t

==′

== ∫−

LLLL ττ

Propiedad 5: Desplazamiento en tiempo de f(t): [ ] )()()( 0

00 sFttuttf st−=−− εL Un corolario muy útil es: [ ] )]([)()( 00

0 ttfttutf st +=− − LεL Vamos a demostrar la primera propiedad escrita. Aplicamos la definición original:

[ ]

∫∫∫

∫

∞−

∞−−

∞−

−=−+=

=−−=−−

−

−

a

st

a

sta

st

st

dtttfdtttfdt

dtttuttfttuttf

)()(0

)()()()(

00

0

0

0

0000

εεε

ε

48476

L

Ahora vamos a hacer un cambio de variable: v = t – t0, t = v + t0, dt = dv, reemplazando en la última integral:

...)()(

)()()(

00

00

0

00

)(0

DEQsFdvvf

dvvfdvvfdtttf

stsvst

svsttvs

a

st

−∞

−−

∞−−

∞+−

∞−

==

===−

∫

∫∫∫

εεε

εεεε

Se deja al estudiante que realice la demostración para el corolario, así como para las demás propiedades de la Tabla anterior.


75

2.8 Tabla 9: Transformada de Laplace de las funciones más utilizadas

1 1


76

2.9 Transformada de Laplace de funciones principales. En la tabla anterior podemos observar que tiene tras columnas. En la primera está el nombre o la descripción de la función f(t); en la segunda columna está la expresión matemática de dicha función, y en la tercera columna está la transformada de Laplace F(s). Vamos a iniciar la práctica con la transformada, de manera que el estudiante deberá complementar el estudio realizando muchos ejercic ios de transformadas. Como lo dijimos al inicio del texto, nuestro enfoque está hacia la utilización como herramienta de las transformadas, y por lo tanto, hacia la práctica y utilización en solución de diversos ejercicios y aplicaciones. 2.9.1 Función constante: 1)( =tf

sssdtdttfsF

ststst 1

)(1

(1)()( 0

000

=−−=−

=== −∞−

∞−∞−

∞− ∫∫ εε

εεε )0( >s

Es importante anotar que el límite inferior de 0- sólo será utilizado cuando analicemos la función impulso. Para otras funciones será 0 o 0+, a conveniencia. Para cada transformada de Laplace habrá que definir un intervalo de convergencia para la integral, es decir, determinar el intervalo para el cual la integral existe. En este caso, debemos observar que 0== ∞−∞− εε s siempre y cuando s > 0, porque si s < 0 quedaría

+∞ε y la integral diverge o no converge. Aunque este intervalo siempre existe, para fines prácticos no es mucha su importancia y por lo tanto, apenas en un comienzo lo escribiremos. Adicionalmente vale de una vez tratar el tema de s como un número complejo. Si

wjs += σ el hecho de que s > 0 significa realmente que 0>σ y este debe ser el intervalo rigurosamente matemático. Pero, como hemos dicho, nosotros vamos a consid erar a s como un Real, y mantendremos en mente que es un complejo por si lo necesitamos. Se genera un par de transformada de Laplace :

s1

1 ⇔

2.9.2 Función escalón unitario: )()( tutf =

sssdtdttudttfsF

stststst 1

)(1

(1)()()( 0

0000

=−−=−

==== −∞−

∞−∞−

∞−

∞−

++++∫∫∫ εε

εεεε )0( >s


77

Debe observarse que para efectos de la transformada de Laplace la función constante y la función escalón tienen la misma transformada, porque todas las funciones nos interesan a partir de t = 0 y estas dos funciones son iguales en ese intervalo.

stu

1)( ⇔

2.9.3 Función rampa unitaria: )()( tuttf =

∞−∞−

∞−

∞−

++++ −==== ∫∫∫

0000

()()()(s

dttdttutdttfsFst

ststst εεεε

2

1)(

stut ⇔

2.9.4 Función exponencial: )()( tutf ta−= ε

asasasdtdttudttfsF

tastassttast

+=−

+−

=+−

==== −∞−

∞+−∞+−

∞−−

∞−

++++∫∫∫

1)(

1)(

[)()()( 0

0

)(

0

)(

00

εεε

εεεε

)( as −>

astuta

+⇔− 1

)(ε as

tuta

−⇔

1)(ε

2.9.5 Funciones seno y coseno: ( ) ( ) )(cos)()(sin)( tuwttftuwttf == Vamos a realizar ambas transformadas simultáneamente, basándonos en la anterior ya conocida, y en la identidad de Euler siguiente: θθε θ sincos jj += de manera que

wtjwtjwt sincos +=ε y como ya sabemos que: ( )jws

jwt

−=

1εL entonces:

( ) ( )wtjwtws

wj

wss

wsjws

jwsjwsjws

jwsjwt sincos

)()()())((1

222222 +=+

++

=+

+=

+−+

=−

= ΛΛ ε

Igualando los números complejos resulta entonces:

( ) ( )wtws

wywt

wss

sin)(

cos)( 2222 ΛΛ =

+=

+ (s > 0)

)(cos 22 ws

swt

+⇔

)(sin 22 ws

wwt

+⇔


78

2.9.6 Función impulso: )()( ttf δ=

1)()()()( 0

00

==== −∞

−∞

− ∫∫−−

sstst dttdttfsF εεδε

Esto lo podemos concluir recordando una de las propiedades de la función impulso, como

es: )0()()(0

fdtttf∫∞

−

=δ o, en general: )()()( 00

0 tfdttttf∫∞

−

=−δ Debe observarse que en este

caso es definitivo que el límite inferior de la integral sea 0- ya que si fuera 0 o 0+ no podríamos aplicar la propiedad de la función impulso, ya que esta función tiene su singularidad exactamente en t = 0, y este punto debe estar dentro de los límites de integración. Se establece el par de transformada: 1)( ⇔tδ

2.9.7 Primera derivada de la Función impulso: )()( ttf δ ′= Vamos a aplicar la propiedad general N° 2 de Laplace respecto a la transformada de una

derivada: )0()()]([ −−= fssFtfdtdL Apliquémosla a la función )(tδ :

sststdtd

=−=−= − 0)1()0()]([)]([ δδδ LL

st ⇔′ )(δ

2.9.8 Segunda derivada de la Función impulso: )()( ttf δ ′′= Nuevamente aplicamos la propiedad general N° 2 de Laplace respecto a la transformada de

segunda derivada: )0()0()()]([ 2 −− ′−−=′ fsfsFstfdtdL Apliquémos la a la función )(tδ :

22 )0()0()]([)]([)]([ sststtdtd

=′−−=′′=′ −− δδδδδ LLL

2)( st ⇔′′δ

Por aplicación repetida de la propiedad general N° 2 y por inducción, se puede demostrar que para la derivada n-ésima de )(tδ :

nn st ⇔)()(δ


79

2.10 Ejemplos de Transformada de Laplace.

Ejemplo 24

Si )(4)( 3 tutf t−= ε encuentre F(s) • Procedimiento directo. Apliquemos directamente la definición de la transfo rmada

L, ∫∞

−

−=0

)()( dttfsF stε , y realicemos la integral.

)3(4

)3()(4

)3(

(44)4()()(

00

)3(

0

)3(

0

3

0 +=

+−−

=+−

====−∞−

∞+−+−−−− −

−−−∫∫∫∞∞∞

sssdtdtdttfsF

tstssttst εε

εε

εεε

)3( −>s • Aplicando lo conocido: Si aplicamos la linealidad y la transformada general de taε ,

)3(3

4)3(

4][4]4[ 33 −>

+=

−−== −− s

sstt εε LL

Se debe reconocer que la transformada será la misma si en lugar de la función trabajada, fuera ttf 34)( −= ε (no aparece u(t)) porque la transformada de Laplace no tiene en cuenta los valores de la función para t < 0

Ejemplo 25

Dada ( ) )(cossin)( tutttg = encuentre G(s).

• Procedimiento directo. Por conocimiento de propiedades trigonométricas, sabemos que ( ) ( ) )(2sin)(cossin)( 2

1 tuttutttg == entonces, haremos el cambio trigonométrico y desarrollaremos la integral consultando tablas de integrales para este caso específico:

( )

41

)4(22

)4(2]20[0

)4(2]0cos20sin[]cos2sin[

2]2cos22sin[

)integrales de (por tabla2sin)(

2222

0

022

021

21

+=

+=

+−−−

=+

−−−∞−∞−=

=

+−−

===

−∞−

∞−∞−∫

ssss

sss

stts

dttsGst

st

εε

εε

• Aplicando lo conocido. Apliquemos el par ya estudiado: )(

sin 22 wswwt+

⇔

Como ( ) ( ) )(2sin)(cossin)( 21 tuttutttg == entonces

41

22]2sin[ 2222

121

+=

+=

sstΛ


80

Ejemplo 26

Encuentre la transformada de Laplace del pulso de corriente mostrado en la Gráfica.

Procedimiento directo.

<<

=t

tti

otro para05210

)(

sss

dtdtdtdttisF

ssssst

stststst

)(10)(10(10

0100)()(

52255

2

5200

52

−−−−−

−−−−

−=−

−=−

=

=++== ∫∫∫∫∞∞

−−

εεεεε

εεεε

En este procedimiento directo aplicando la definición, lo importante es saber dividir la integral y sólo efectuarla en el período en que la función es diferente de cero. Otro procedimiento. Vamos a most rar otro procedimiento que puede ser más laborioso en este caso, pero que abre posibilidades para otros casos donde quizá sea mejor. Expresemos la función )(ti como combinación de funciones escalón:

)]5()2([10)( −−−= tututi Ahora apliquemos lo conocido, la transformada de la función escalón y las propiedades algebraicas de la misma.

[ ] )]5([)]2([10)]5()2([10)( −−−=−−−= tututututi LLLL Ahora podemos aplicar la propiedad de desplazamiento en tiempo:

[ ] sss

tututitttt )(1010)]5([)]2([10)(

5252 −−−− −=

−=−−−= εεεεLLL

Ejemplo 27

Encuentre la transformada de Laplace de t

tvtatb −− −

=εε

)(

Vamos primero a hacer un análisis previo de esta función. Recordemos que no existe transformada de Laplace para funciones como 1/t o 1/t2, porque existe una discontinuidad infinita para t = 0. Sin embargo para esta función v(t) en este ejemplo, el límite cuando t tiende a cero sí existe, como veremos a continuación. Aplicaremos L’Hospital:

( )( )

baab

tdtd

dtd

ttv

tatb

t

tatb

t

tatb

tt−=

+−=

−=

−=−−

→

−−

→

−−

→→ 1limlimlim)(lim

0000

εεεεεε

Además la función tatb −− −εε es una función continua y de orden exponencial. De manera

i(t) [A]

0 1 2 3 4 5 6

10

t [seg]

Gráfica 49: Onda para el Ejemplo 5


81

que como tenemos una función transitoria tatbtv −− −= εε)(1 que está dividida por t,

podemos ensayar la propiedad N° 10 de Laplace que dice: ∫∞

⇔s

dssFttf

)()(

entonces

encontremos la transformada de )(1 tv : ( )asbs

sV tatb

+−

+=−= −− 11

)(1 εεL entonces

aplicando la propiedad N° 10:

[ ]

++=

+++=

++−=

=

++−

∞+∞+

=

++−

+

+=

++−

++=

=+−+−+−+=+−+=

=

+

−+

=

+

−+

=

=

−=

∞→∞→

∞→∞→

∞→

∞−−

∫∫

bsas

bsas

asbs

asbs

a

b

asbs

Na

Nb

asbs

aNbN

asbsaNbNapbp

dpapbp

dpapbpt

sV

NN

N

N

sN

N

sN

s

tatb

s

p

lnln0ln1ln

ln1

1lnln

1

1lnlimlnlnlim

)]ln()[ln()ln()ln(lim)ln()ln(lim

11lim11)(integral la deinferior límite elen atener

para lprovisiona variableuna es εεL

Ejemplo 28

Encuentre la transformada de Laplace de t

tε

En este caso, vamos a trabajar sobre la transformada de la función auxiliar t

tg1

)( = y

luego, aplicaremos la propiedad N° 6 sobre desplazamiento en frecuencia, según el par: )()( asGtgta +⇔−ε y conociendo la transformada de la función )(xΓ .

ssst

tππ

==Γ

=

=

−

2/12/12

1 )2/1(1LL , entonces aplicando la propiedad anotada, con

1−=a , 1

)1()(−

=−=+=

s

sGasGt

t πεL

Ejemplo 29

Encuentre la transformada de t

ttf

sin)( =

Sabemos que ( )22sin

wsw

wt+

=L entonces: ( )1

1sin 2 +

=s

tL Como la función solicitada

tiene a t como divisor, podemos aplicar la propiedad de t-división llegando a:

dppt

tsFs∫∞

+=

= )

11(sin)(2

L , observando las tablas de integrales: )(1 1

22 ax

tgaax

dx −=+∫


82

Haciendo el reemplazo a = 1,

)1()()1

1(sin)( 111112

2/ stgstgstgtgptgdppt

tsFs

s

−−−−∞−∞

=−=−∞==+

=

= ∫ πL

Ejemplo 30

Encuentre la transformada de Laplace para cada una de las funciones mostradas. Comente las diferencias.

Gráfica 50: Funciones del Ejemplo 30

Es muy importante anotar las diferencias en la representación de cada una de estas funciones. Gráficamente se observa que son todas distintas por la aplicación de corrimientos y producto por la función escalón en diferentes corrimientos también. Claramente las funciones (a) y (b) deberán tener la misma transformada de Laplace porque aunque la (b) está recortada para t < 0, la integral de Laplace automáticamente considera la función únicamente para t > 0 como ya lo hemos indicado en varias oportunidades. Entonces, para las funciones (a) y (b):

[ ] [ ] [ ] 2200

0000

sincossincoscossin)(sin)()(sin

wswtswtw

wtwtwtwtttwtuttw+−

=−=−=− LLL

Para la función (c), aplicamos la segunda forma de la propiedad N° 5 de desplazamiento en tiempo:


83

( )[ ] [ ] [ ]( )

2200

0000

sincos

sincoscossin)(sin)(sin0

00

wswtswtw

wtwtwtwtttwttuwtts

tsts

++

=

=+=+=−−

−−

ε

εε LLL

Para la función (d), es en la única que podemos aplicar la propiedad N° 5 en la primera forma la cual, es la forma original de desplazamiento:

( )[ ] [ ]

+==−− −−

220000 sin)()(sin

wswwtttuttw tsts εε LL

2.11 Transformada de Laplace de una función periódica. Si tenemos una función f(t) periódica, esto es, que cada T > 0 segundos se repite el ciclo en forma idéntica; decimos que tiene un período T, y lo expresamos como )()( kTtftf += con k = 0, 1, 2, 3, …. La función en el primer ciclo la denominaremos f1(t) donde el 1 denota “1er ciclo”. Ejemplo de una función de este tipo se muestra en la Gráfica siguiente.

La escogencia del primer período en realidad puede ser cua lquiera, con tal que se incluya un período completo. Dadas las condiciones anteriores, y asumiendo que la función cumple con las condiciones de transformación de Laplace, podemos decir que la transformada de Laplace de una función periódica es la siguiente:

sTsT

Tts

sT

sFdttf

tftf −−

−

− −=

−=

−=

∫εε

ε

ε 1)(

1

)(

1)]([

)]([ 101

1LL Ecuación 21

Demostración: Vamos a aplicar la definición directa de la transformada de Laplace a f(t):

L+++== ∫∫∫∫ −−−∞

−T

T

tsT

T

tsT

tsts dttfdttfdttfdttftf3

2

2

00

)()()()()]([ εεεεL ,

Ahora, para cada intervalo después del primero, realizamos el cambio de variable:

kTtt +→ Para el segundo intervalo el cambio será: Ttt +→ Límites: 0 y T

t [seg]

T T

T 2T 0

f(t) f1(t)

Gráfica 51: Función periódica


84

Para el tercer intervalo el cambio será: Ttt 2+→ Límites: 0 y T Para el cuarto intervalo el cambio será: Ttt 3+→ Límites: 0 y T Y así sucesivamente:

L+++++= ∫∫∫∫ +−+−−∞

−T

TtsT

TtsT

tsts dtTtfdtTtfdttfdttf0

)2(

0

)(

00

)2()()()( εεεε

Ahora bien, sabemos que: L=+=+= )2()()( TtfTtftf por ser periódica. Por lo tanto,

( )

( ) ( ) ( ) ...1

)()(]1[

)(1

)()()()(

0

0

32

0

32

0

2

000

DEQdttf

dttf

dttf

dttfdttfdttfdttf

sT

Tts

TtssTsTsT

TtsTsTssT

TtsTs

TtssT

Ttsts

−

−

−−−−

−−−−

−−−−−∞

−

−=++++=

=++++=

=+++=

∫∫

∫

∫∫∫∫

ε

εεεεε

εεεε

εεεεεε

K

K

L

E

ste último paso se basa en la progresión geométrica: )1(1

11 32 <

−=++++ r

rrrr L y en

este caso: sTr −= ε

Ejemplo 31

Encuentre la transformada de Laplace para la onda periódica mostrada.

Gráfica 52: Señal periódica sinusoidal rectificada en media onda

En este caso se observa de inmediato que esta onda tiene un período T. La onda la podemos

definir como:

<<<<

=TtT

TtwtEtf

2/02/0sin

)(1 ( )Tw π2=

Vamos a encontrar la transformada de )(1 tf


85

( ) ( )

( )

( ) ( )[ ]

( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]( ) [ ] ( )

( )[ ]11

0cos0sin1cossin

0cos0sincossin

cossin[

sin0sin)()(

2/222

22/

22

2

222/22

222/22

22202

222

22/22

2/

022

2/

00

2/

0 2/11

++

=++

=++

=−−−−−+

=

=−−−−−+

=

=+

−−=

==+==

−−

−−

−−

−

−−−− ∫∫ ∫ ∫

Ts

T

TTsT

TTTs

TTTs

TTTsT

TTT

TTs

Tts

Tts

T T T

T

tststs

s

Ews

Ews

Ess

wsE

ssws

E

wswtwwts

E

dtwtEdtdtwtEdttfsF

εε

εππε

εε

ε

εεεε

π

ππ

ππππ

ππππππ

Por consiguiente, la transformada F(s) será: ( )( )

−

++

= −

−

Ts

Ts

T

T

sE

sFε

επ

π

11

)(2/

222

2

Esta expresión se puede simplificar un poco, pero es conveniente que quede explícito el factor ( )sT−−ε1 para identificar que la transformada es de una función periódica. 2.12 Anti-transformada. Mecanismo de fracciones parciales. El proceso de anti-transformar en Laplace consiste en que luego de haber logrado una solución en el dominio “s”, por ejemplo, V(s), y a partir de esta expresión, podamos volver al dominio “t” o sea “anti-transformar” a V(s), y llegar a v(t). Como dijimos al comienzo del capítulo, existen varias metodologías para lograr este objetivo. Una forma de lograr ésto, es aplicar directamente la integral inversa de variable compleja presentada anteriormente como Ecuación 2. Otra forma es aplicar métodos algebraicos como el Método de Fracciones Parciales, que presentaremos en seguida. En aplicaciones en ingeniería corrientemente se llega a resultados en s escritos por ejemplo

como )(sY , que se pueden expresar como una fracción propia, )()(

)(sHsG

sY = donde )(sG y

)(sH son polinomios en s, de tal forma que el grado del polinomio )(sG sea menor que el grado del polinomio )(sH .

La idea del método es desarrollar la fracción )()(

sHsG en otras fracciones más sencillas, o en

fracciones parciales, de tal forma que se puedan encontrar en Tablas de Transformada de Laplace, y podamos de esta forma encontrar la anti transformada para cada una de las fracciones parciales, concluyendo que la anti- transformada total y(t), será la suma de las transformadas de cada una de las fracciones parciales.


86

Dentro del método global de fracciones parciales, existen varios métodos para hacer este desarrollo. Nosotros veremos algunos de estas metodologías que consideramos los mejores y los más prácticos. El método de fracciones parciales es la inversa de reducir a común denominador, como se observará en los ejemplos. 2.12.1 Condiciones de partida para las fracciones parciales.

Para poder desarrollar en fracciones parciales un resultado )()()(

sHsGsY = deben garantizarse

previamente las siguientes condiciones: (a) )(sG y )(sH son factorizables y no poseen factores comunes. Si los tuvieran, se

deben simplificar previamente. (b) Los coeficientes de los polinomios )(sG y )(sH son cantidades Reales. (c) El grado del polinomio )(sG es menor que el grado del polinomio )(sH , es decir,

la fracción )()(

sHsG

es una fracción propia.

2.12.1.1 Caso 1. Factores no repetidos, de la forma ( s – ai ) Esto significa que el denominador )(sH puede factorizarse en n factores reales diferentes de la forma )( ias − , es decir,

diferentes son,)())()(()()( 3211

iin

n

ii aaasasasasassH ∀ℜ∈∀−−−−=−= ∏

=

L Ecuación 22

Si esto se cumple, es posible desarrollar )(sY en n fracciones parciales de la forma siguiente:

→←= −

++−

+−

+−

=−

== ∑---------------------------- )fracciones ( --------------------------

3

3

2

2

1

1

1

)()()()()(

)()(

)(

nn

naaaan

i i

a

asQ

asQ

asQ

asQ

asQ

sHsG

sYaaaaia

L Ecuación 23

Cada uno de los numeradores de estas fracciones son números reales, que se pueden calcular de varias formas, de las cuales presentamos dos aquí.

−=

→ )()(

)(lim)(sHsG

asQ iaiasia , si el límite no se calcula:

)()()()(

sHsGasQ ia ia −= ,

O también,


87

)()(

)(i

ia aH

aGQ ia

′= , donde )( iaH ′ es la derivada de )(sH respecto a s, evaluada en ias =

Ejemplo 32

Encuentre f(t) si la transformada de Laplace de f(t) es ss

sssF

999

)( 3

2

−−+

= En este caso, )(sF

cumple con las cond iciones previas. )3)(3()9(9)( 23 +−=−=−= ssssssssH , por lo tanto:

33999)( 321

3

2

++

−+=

−−+=

sQ

sQ

sQ

sssssF Vamos a calcular los iQ por los dos métodos.

(a) Primera forma de cálculo .

−=

→ )()()(lim)(

sHsGasQ ia

iasia , ento nces:

1)30)(30(

9)0(90)3)(3(

99)3)(3(

99)(2

0

2

0

2

1 =+−−+=

+−−+=

+−−+=

== ssssss

ssssssQ

23

1827

)33)(3(9)3(93

)3(99

)3)(3(99)3(

2

3

2

3

2

2 ==+

−+=+

−+=+−

−+−=== ss

ssss

ssssssQ

23

1827

)33)(3(9)3(9)3(

)3(99

)3)(3(99

)3(2

3

2

3

2

3 −=−

=−−−

−−+−=

−−+

=+−

−++=

−=−= ssss

sssss

sssQ

En consecuencia: 33

19

99)( 2

32

3

3

2

+−

−+=

−−+

=sssss

sssF A veces es buena costumbre, aunque

se tomo un poco más de tiempo, el reducir nuevamente a común denominador simplemente por chequeo de que todo está bien.

( )( ) ( ) ( )

ssss

sssssss

ssss

ssssF

ssss

999

99

933

331

)(

3

2

3292

23

292

232

3

)3)((23)3)((2

32

32

3

−−+

=−

+−++−=

=−

++−=

+−

−+=

−−+

Comprobando que el desarrollo está bien. Como ya conocemos la anti-transformada de cada una de estas fracciones parciales, vayamos directamente a encontrar f(t).

+=

+=

=

↓

+−

↓

−+

↓

=

−−−−

−−−

)(1)(1

331

)(

3233

233

233

23

23

23

111

tutu

ssstf

tttt εεεε

LLL)(1)( 3

233

23 tutf tt

+= −

− εε

El estudiante puede trabajar este resultado para llegar a: ( ) )()3sinh(31)( tuttf += Cualquiera de las dos respuestas dadas es válida. Observe que estamos adicionando al final la multiplicación por la función u(t); en realidad,


88

esto no se requiere explícitamente y si no se coloca se asume que está implícita. Sin embargo, cuando existen corrimientos en el tiempo, se debe especificar y colocar explícitamente cada una de las funciones u(t).

(b) Segunda forma de cálculo. )()(

)(i

ia aH

aGQ ia

′= Vamos a utilizar esta otra forma de

calcular las constantes de los numeradores en las fracciones parciales. Como sssH 9)( 3 −= entonces, 93)( 2 −=′ ssH , de manera que como

33999

)()(

)( 3213

2

++

−+=

−−+

==sQ

sQ

sQ

ssss

sHsG

sF , entonces:

19)0(3

9)0(9093

99)0()0(

)0( 2

2

02

2

11 =−

−+=

−−+

=′

===s

sss

HG

QQ

23

9)3(39)3(93

9399

)3()3()3(

2

2

32

2

22 =−

−+=−

−+=′

===s

sss

HGQQ

23

9)3(39)3(9)3(

9399

)3()3()3(

2

2

32

2

33 −=−−

−−+−=−

−+=−′−==−

−=ss

ssHGQQ

331

999)( 2

32

3

3

2

+−

−+=

−−+=

ssssssssF , entonces llegamos a: )(1)( 3

233

23 tutf tt

+= −− εε ,

O también simplificando: ( ) )()3sinh(31)( tuttf += Obtenemos iguales resultados y se observa que este segundo procedimiento es más rápido y fácil de efectuar. 2.12.1.2 Caso 2. Factores Reales repetidos: (s – a)m En este segundo caso, puede haber factores reales no repetidos como en el caso anterior, combinados con factores reales repetidos, es decir, que tienen potencias diferentes de 1. Vamos a mostrar como se desarrollan las fracciones, explicando para un factor de grado “m”; igual procedimiento se hará para los demás factores repetidos si existen más de uno. Para cada factor repetido, por ejemplo de grado m, el cual está repetido m veces, es decir, es de la forma mas )( − , la expansión en fracciones parciales especialmente mostrada para dicho factor será:

∑=

−−

−− +

−=+

−++

−+

−+

−==

m

kk

km

mm

mm

m sWas

AsWas

Aas

Aas

Aas

AsHsGsY

1

12

21

1 )()(

)()()()()()(

)()( L

Donde )(sW es el resto de la expansión ya sea que existan otros factores repetidos o


89

existan otros factores no repetidos. Para el cálculo de los diferentes kA se tienen las siguientes fórmulas:

)()()()(

sHsGasQ m

a s −=

)(aam QA = y )1,,3,2,1()!(

1)(

)( )(−=

−=

=−

−

mkds

Qdkm

Aas

skma

km

k K Ecuación 24

Ejemplo 33

Encuentre f(t) si 22

2

)2()1()3(3

)(+−+−

=ssss

sF

El denominador 22 )2()1()( +−= sssH tiene dos ceros dobles: 1=a dos veces, y dos veces, porque ambos son cuadrados. Como no hay otros ceros ni repetidos ni no repetidos, el desarrollo en las fracciones parciales será:

)2()2()1()1()()(

)( 12

212

2

++

++

−+

−==

sB

sB

sA

sA

sHsG

sF Los cálculos serán:

(a) Para los numeradores Ak:

2

2

22

222

)2()3(3

)2()1()3(3

)1()()(

)1()(+

+−=

+−+−

−=−=s

ssssss

ssHsG

ssQa Entonces:

22

2

2

2

2 1)21(

)311(3

1)2()3(3

)1( Ass

ssQA a ==

++−

==+

+−== Ahora para A1:

1

)(

1

)(

)!12(1

1

==

=

−

=s

s

s

s

dsQd

dsQdA aa Tenemos que derivar a )(sQa :

( ) ( )1

14

22

1

2

2

1 31

)2(42)3(336)2(

)2()3(3)1( A

ssssss

sss

dsdQA

ss

a =−=+

++−−−+=

+

+−=′===

(b) Para los numeradores Bk: Es un cálculo similar al anterior.

2

2

22

222

)1()3(3

)2()1()3(3

)2()()(

)2()(−

+−=

+−+−

+=+=s

ssssss

ssHsG

ssQb Entonces:

22

2

2

2

2 3)12(

]3)2()2[(3

2)1()3(3

)2( Bss

ssQB b ==

−−+−−−

=−=−

+−=−= Ahora para B1 :

2

)(

2

)(

)!12(1

1

−=−=

=

−

=s

s

s

s

dsQd

dsQdB bb Tenemos que derivar a )(sQb :


90

( ) ( )14

22

2

2

1 31

)1(22)3(336)1(

)1()3(3

)2(22

Bs

ssssss

ssdsd

QBss

b ==−

−+−−−−=

−

+−=−′=

−=−=

Entonces, el desarrollo será:

)2(31

)2(3

)1(1

)1(1)( 22 +

++

+−

−−

=ssss

sF Es buen ejercicio académico volver a reducir a

común denominador, para comprobar que está todo correcto. En este caso no lo haremos. Ahora vamos a anti- transformar término a término de la anterior expresión, ya que todos los términos tienen una forma conocida.

[ ]

⇐++−=++−=

=

+

++

+−

−−

==

−−−

−−

tttttt tttttf

sssssFtf

231

312

312

31

2211

)3()(3)(

)2(31

)2(3

)1(1

)1(1

)()(

εεεεεε

LL

2.12.1.3 Caso 3. Factores Complejos no repetidos: (s–a)(s–a*) En los casos anteriores aunque fueron desarrollados para factores con ℜ∈a , también se pueden aplicar a factores complejos. Sin embargo, existe una metodología especialmente diseñada para factores complejos, y por lo tanto, se mostrará la forma de acometer el desarrollo en fracciones parciales para estos factores complejos. Sea pues en factor complejo no repetido *))(( asas −− donde C∈a (número Complejo). El asterisco significa conjugado, ya que siempre los factores complejos están en parejas conjugadas. Esto significa que si βαβα jaja −=→+= * , de manera que H(s) tendrá

factores de la forma: (s–a)(s–a*), pero 22)(*))(( βα +−=−− sasas como se puede fácilmente comprobar. Así, podemos desarrollar las siguientes fracciones parciales para cada par de factores complejos conjugados, no repetidos: Si tenemos una F(s) que tenga factores imaginarios conjugados, entonces:

),()()()(

)()( 22 ℜ∈++−

+== BAsWs

BAssGsHsF

βα y:

( )tQtTs

BAssFtf aa

t ββεββα

α sincos1

)()()( 22

11 +=

+−

+== −−− LL Ecuación 25


91

Donde: )()(

*))(()(sHsG

asassRa −−= y aaa jTQaR +=)(

Y se llega a: aa AQB

TA α

β−== y

Haciendo un ejemplo nos daremos cuenta que la utilización de este método es sencillo.

Ejemplo 34

Encuentre v(t) si 1644

)( 2 ++

=s

ssV Vamos a desarrollar todo el cálculo, aunque al

observar la forma que tiene V(s) podemos transformarlo directamente como lo haremos luego. Haremos todo el cálculo a manera de ejemplo ilustrativo. En este caso )4)(4(16)( 2 jsjsssH −+=+= Observemos que: a = 0 + j4 = j4 de donde: 40 == βα

44)16(

44)16(

)()(

)16()( 222 +=

++

+=+= ss

ss

sHsG

ssRa , reemplazando s por el valor de a:

aaaa jTQjjjRaR +=+=+== 1644)4(4)4()( , entonces: 164 == aa TQ , por lo tanto,

podemos encontrar A y B: 44)0(444

16=−=−==== AQB

TA a

a αβ

por

consiguiente: 1644

4)0(44

)()( 22222 +

+=+−

+=+−

+=s

ss

ss

BAssFβα

que es la expresión original,

que como dijimos al comienzo del ejercicio, se puede anti-transformar simplemente

dividiendo en dos quebrados la expresión:

++

+=

++=

164

164

1644)( 222 ss

ss

ssF y

consultando las tablas de Laplace: ( ) )(4sin4cos4)( tutttf += ; O aplicando la fórmula vista:

( ) ( ) tttttQtTtf taa

t 4sin4cos44sin44cos1641

sincos1

)( 0 +=+=+= −− εββεβ

α

Obteniendo el mismo resultado.

Ejemplo 35

Encuentre f(t) si sss

sF424

)( 3 +−

=

Vamos a emplear un método alternativo que siempre es posible aplicar, basándonos en parte de lo visto para los factores complejos.


92

Sabemos que )4(

24424)( 23 +

−=+−=

sss

ssssF , de manera que tenemos un denominador con un

factor real, y un factor complejo conjugado, y por lo tanto, el desarrollo en fracciones parciales adecuado será:

4)4(24

)( 22 ++

+=+

−=

sCBs

sA

sss

sF , y tenemos tres coeficientes por encontrar: A, B y C

Para encontrar A, haremos esto:

As

sss

ssssFA

sss

==+

−=

+−

=+

−==

===

1)40()0(24

)4(24

)4(24

)( 20

20

20

Nos quedan por encontrar B y C. Si reemplazamos a A por su valor obtenemos:

)4(4)1(

)4()(4

41

4)4(24

)( 2

2

2

2

222 ++++

=+

+++=

++

+=++

+=+

−=

sssCBs

ssCBsss

sCBs

ssCBs

sA

sss

sF

De manera que podemos igualar los numeradores porque el denominador es igual, y obtenemos la igualdad: 4)1(24 2 +++=− sCBss Comparando los coeficientes:

+=−=+

42401

sCsB

De donde deducimos que: B = - 1 y C = - 2

El desarrollo en fracciones parciales será: 421

421

4)( 222 +

+−=

+−−

+=++

+=ss

sss

ssCBs

sA

sF

Se puede comprobar reduciendo a común denominador y comparar con la expresión original de F(s). Ahora podemos obtener la anti- transformada de las tablas de Laplace.

42

41

421

)( 222 +−

+−=

++

−==ss

sss

ss

sF , entonces, anti-transformando cada término:

( ) )(2sin2cos1)( tutttf −−= El estudiante puede trabajar este ejemplo aplicando las ecuaciones vistas. Sin embargo, es importante que conozca esta metodología y la del siguiente ejemplo, por ser modalidades generales que siempre se pueden emplear.

Ejemplo 36

Encuentre f(t) si 3

2

)2)(1(11155

)(−+−−

=ssss

sF Tiene un polo simple y uno triple, todos reales:

)2()2()2()1()2)(1(11155

)( 233

2

−+

−+

−+

+=

−+−−

=s

Ds

Cs

Bs

Assss

sF . Tenemos 4 incógnitas.

AssssssFsA

ss

=−=−

=−−

−−−−=

−+−−+=+=

−=−= 3

1279

)2)1((11)1(15)1(5

)2)(1(11155)1()()1(

3

2

13

2

1


93

Bssss

ssFsBs

s=−=

−=

+−−

=

−+−−

−=−==

=7

321

)12(11)2(15)2(5

)2)(1(11155

)2()()2(2

23

23

2

3

Como ya conocemos A y B, planteamos la siguiente igualdad:

)2()2()2(7

)1()2)(1(11155

)( 2331

3

2

−+

−+

−−

++

−=

−+−−

=s

Ds

Cssss

sssF , y en lugar de desarrollar e

igualar coeficientes como hicimos en el ejemplo anterior, le vamos a dar a s valores fáciles, y de cada valor obtenemos una ecuación, en este caso nos hacen falta dos ecuaciones. Por ejemplo, vamos a escoger s = 0 y s = 1.

)20()20()20(7

)10()20)(10(11)0(15)0(5

)0( 2331

3

2

−+

−+

−−

++

−=

−+−−

=DC

F : Esta es una ecuación

)21()21()21(7

)11()21)(11(11)1(15)1(5

)1( 2331

3

2

−+

−+

−−

++

−=

−+−−

=DC

F : Esta es la otra ecuación

De estas dos ecuaciones resulta: 31

4 == DC , entonces, reemplazando:

)2()2(4

)2(7

)1()2)(1(11155

)( 31

2331

3

2

−+

−+

−−

++

−=

−+−−

=ssssss

sssF , y de aquí, viendo tablas y

aplicando algunas propiedades se puede transformar inversamente cada término y se llega a:

( ) ⇐++−−= − )(4)( 231222

27

31 tutttf tttt εεεε

Este método alternativo es aplicable siempre. 2.13 Mecanismo de Convolución en la Transformada de Laplace. Vamos a desarrollar la herramienta llamada de Convolución para la Transformada de Laplace. Es un método importante para encontrar anti-transformadas cuando podemos expresar una transformada R(s) como un producto de dos transformadas )()()( sGsFsR = donde cada factor, F(s) y G(s) es fácilmente anti-transformable en forma independiente. 2.13.1 Definición del Mecanismo de Convolución Sean f(t y g(t) funciones continuas por tramos para t = 0, y de orden exponencial, es decir, que sean Laplace transformables. Se conoce como Convolución de f(t) y g(t) y se denota con el simbolismo gf ∗ que se lee “convo lución de f y g” a la integral:

∫∫ −=−=∗tt

dtfgdtgfgf00

)()()()( ττττττ Ecuación 26


94

2.13.2 Propiedad de Convolución en L aplace Si tenemos una función en s, por ejemplo R(s) de tal manera que sea el producto de otras dos funciones en s, es decir: R(s) = F(s) G(s) entonces se cumple que: 2.13.3 )()()]()([)]([)( 11 tgtfsGsFsRtr ∗=== −− LL Otra forma de ver esta propiedad es:

[ ] )()()()]([)]([)()( sRsGsFtgtftgtf ===∗ LLL Ecuación 27

Demostración:

Partimos de: [ ] ∫∞

−==0

)()()( ττε τ dfsFtf sL y [ ] ∫∞

−==0

)()()( duugsGtg suεL , luego:

∫ ∫∫ ∫

∫ ∫∫∫∞ ∞

+−∞ ∞

+−

∞ ∞−−

∞−

∞−

==

==

=

0 0

)(

0 0

)(

0 000

)()()()(

)()()()()()(

duugdfdudugf

dudugfduugdfsGsF

usus

sussus

ττ

ττ

εττττε

τετεεττε

Si hacemos un cambio de variable: ut +=τ y dejando a τ fija:

∞=∞====

tutududt

si 0 si τ

∫ ∫∞ ∞

− −=0

)()()()(τ

τεττ dttgdfsGsF ts , cambiando el orden de integración:

( ) [ ] ...)()()()(

)()()()()()(

0

0 00 0

)()(

DEQtgtfdttgtf

dtdtgfdtgfdtsGsF

ts

tsts

tgtf

∗=∗=

=

−=−=

∫

∫ ∫∫ ∫

∞−

∞ ∞−

∞ ∞−

∗

Λε

τττετττε444 3444 21

Ejemplo 37

Si tenemos una transformada 43

1)( 2 −+

=ss

sH encuentre h(t)

Vamos a resolverlo por fracciones parciales, como un método directo y también por convolución. La convolución algunas veces simplifica las cosas, otras las complican; verdaderamente depende del caso y hay que tener agudeza para su aplicación.


95

En nuestro caso vemos que: )1)(4(

143

1)( 2 −+

=−+

=ssss

sH

Solución por fracciones parciales.

)1()4()1)(4(1

431

)( 2 −+

+=

−+=

−+=

sB

sA

sssssH

51

411

41

51

141

11

14

=+

=+

=−=−−

=−

==−= ss s

Bs

A , entonces:

[ ] ⇐+−=⇒

−

++−= − )(

51)(

)1(1

)4(1

51)( 4 tuth

sssH tt εε

Solución por convolución:

4342143421)(

)1(1

)(

)4(1

)1)(4(1

431

)( 2

sG

s

sF

ssssssH

−

+

=−+

=−+

= , como es un producto de dos

funciones en s, entonces, aplicamos la propiedad de convolución que dice:

[ ] [ ] )()()()()( tgtfsGsFsH ∗== LL Escogemos tt tgtf εε == − )()( 4

⇐+−=−−=−−=

=−

===−=∗

−−−

−−−− ∫∫∫

)()(51

)(51

)1(5

5()()(

445

0

5

0

5

0

4

0

tu

dddtgfgf

tttttt

t

tt

tt

tt

εεεεεε

εετεετεετττ

ττττ

Obteniéndose el mismo resultado. También hubiéramos obtenido el mismo resultado si hubiéramos escogido: tt tftg εε == − )()( 4 . Se deja al estudiante que lo compruebe. Inclusive en este caso en que no hay mucha diferencia entre los dos procedimientos, puede pensarse que el método por convolución es más efectivo que el de fracciones parciales. 2.14 Aplicación de la Transformada de Laplace a la solución de

ecuaciones diferenciales. Comencemos recordando una de las más importantes propiedades de la Transformada de Laplace, aquella que indica cuál es la transformada de una derivada de grado n:


96

[ ] )0()0(...)0()0()()( )1()2(21 −−−−−−−− −−−′−−= nnnnnn

n

ffsfsfssFstfdtd

Debemos observar que si la función f(t) es continua y sus derivadas también, esta propiedad también se puede escribir para condiciones in iciales en t = 0+:

[ ] )0()0(...)0()0()()( )1()2(21 +−+−+−+− −−−′−−= nnnnnn

n

ffsfsfssFstfdtd

Esta es la base para aplicar la transformada de Laplace a la solución de ecuaciones diferenciales lineales. Veremos algunos ejemplos.

Ejemplo 38

Resolver el voltaje v(t) si cumple con la ecuación: tetvtv 2)(3)( =−′ sujeto a la condición: Vv 1)0( =

• Vamos a aplicar Laplace en ambos lados de la ecuación.

[ ] [ ]tetvtv 2)(3)( ΛΛ =−′ , entonces: 2

1)(3)0()(

−=−−

ssVvssV , como Vv 1)0( = ,

21

)(31)(−

=−−s

sVssV

• Despejando V(s): ( )( )32

13

12

1

)(−−

−=

−

+−=

sss

sssV .

• Vamos a desarrollar en fracciones parciales:

( )( ) 32321)(

−+

−=

−−−=

sB

sA

ssssV Vamos a calcular los dos coeficientes:

212

21

11

131

32

==−−

=−=−

=−−

=== ss s

sB

ss

A , reemplazamos los valores:

32

21

)(−

+−

−=

sssV

• Entonces vamos a anti-transformar a V(s) observando las tablas:

( ) ⇐+−= Vtutv tt )(2)( 32 εε

Ejemplo 39

Resuelva la corriente i(t) bajo la ecuación: Attititi t32)(9)(6)( ε=+′−′′ estando sujeta a las condiciones iniciales, 6)0(2)0( =′= ii


97

• Vamos a transformar toda la ecuación: [ ] [ ] [ ]ttsIissIisisIs 322 )(9)0()(6)0()0()( εL=+−−′−−

• Vamos a trabajarle a la última transformada. Vamos a realizarla por dos métodos, aplicando dos propiedades de Laplace.

a) Vamos a aplicar la propiedad: )(tft n ⇔ )()1( sF

ds

dn

nn−

En este caso ttf 3)( ε= y 3

1)(

−=

ssF , entonces:

[ ] [ ] [ ] [ ]( )

⇐−

=−=−−=−=

−−= −−−

3321

2

2

2

2232

32

323)1(33

1)1(

sss

dsd

sdsd

sdsd

t tεL

b) Vamos a aplicar la propiedad: )(tfat−ε ⇔ )( asF +

En este caso 2)( ttf = entonces 3

2)(

ssF = , entonces: [ ] ⇐

−=

=

−=3

33

32

)3(22

sst

ss

tεL

Este procedimiento es mejor.

• De manera que hasta ahora, reemplazando esta transformada, nuestra ecuación vá en:

[ ] [ ] 32

)3(2

)(9)0()(6)0()0()(−

=+−−′−−s

sIissIisisIs

• Reemplazando las condiciones iniciales y despejando I(s) :

[ ] [ ] 322

)3(262)()96()(92)(662)(−

=+−+−=+−−−−s

ssIsssIssIssIs

( )( ) ( )[ ]

−

+

−

=

=−

−−+=−

−−+=−−

−−+

=+−

−+−=

)3(1

2)3(

12

)3()3(312

)3()3(622

)3()3(

)3(622

)96(

62)3(

2

)(

5

5

3

5

3

2

3

3

2

3

ss

sss

sss

ss

ss

ss

sssI

• Vamos a anti-transformar estos dos sumandos:

Para el primero,

− 5)3(1

2s

miremos la tabla de transformadas y veamos esta:

natn

ast

n )(1

)!1(1 1

+⇔

−−− ε


98

En este caso: tt tts

34345

1

121

!42

)3(2 εε ==

−

−L de manera que el valor final es:

⇐

+=+= )(2121

2121

)( 43334 tuttti ttt εεε

Ejemplo 40

Tenemos el siguiente circuito R-L-C: La fuente de alimentación es la función:

VtutE )]1(1[100)( −−= . La condición inicial es Ai 0)0( = lo que significa circuito relajado. (a) Encuentre la corriente Ati )( (b) ¿Cuál es la corriente para los tiempos: 1,0 ms, 35 ms, 1,0 s, 1,01 s?

Es importante observar la fuente de voltaje de este ejemplo. El estudiante debe analizarla y encontrar que E(t) representa un pulso de 100 V durante 1 seg, como se muestra en la Gráfica 8 El estudiante debe observar que es equivalente tener esta fuente de voltaje VtutE )]1(1[100)( −−= o tener ésta:

VtututE )]1()([100)( −−= ¿Por qué?

(a) Vamos a plantear la ecuación diferencial general del circuito, le introducimos los parámetros específicos, y luego le aplicamos la Transformada de Laplace, para finalmente anti-transformar nuevamente hasta llegar a i(t). Paso 1: Plantear la ecuación diferencial del circuito. Un circuito R-L-C sencillo al que le aplicamos las leyes de Ohm y de Kirchoff: ∑∑ = Fuentes tensiónde Caidas :

∫ =++t

tEdiCdt

tdiLtRi0

)()(1)()( ττ

Paso 2: Introducir los parámetros específicos de resistencia, inductancia, etc.

∫ −−=++Ωt

tudiFdt

tdiHti0

)]1(1[100)(02.01)()005.0()()1( ττ V

Gráfica 53: Circuito R-L-C del Ejemplo 19

100

0 1 t [seg]

v(t) [V]

Gráfica 54: Fuente de voltaje del Ejemplo 19

i(t)


99

∫ −−=++ −t

tudidt

tdixti

0

3 )]1(1[100)(50)(

105)( ττ V

Paso 3: Aplicar la Transformada de Laplace y propiedades a la ecuación y solucionarla.

)]1(1[100])(50)(

105)([0

3 ∫ −−=++ −t

tudidt

tdixti LL ττ Aplicando la transformada y a cada

término: [ ] ]1

[100])(

[50)0()(105)( 3

ssssI

issIxsIs−

− −=+−+ε

como Ai 0)0( = ,

]1[100

]50

1051)[( 3 s

sssxsI −− −=++ ε Reduciendo a común denominador el lado izquierdo:

50105]1[100

)(]1[100

]50105

)[( 23

23

++−

=⇒−/

=/

++−

−−

−

ssxsI

ssssx

sIs

s εε Simplificando,

reduciendo y factorizando:

+

−+

=

+−

=

++

−=

−−−

2222 )100()100(1

20000)100(

120000

100002001

20000)(sssss

sIsss εεε

La solución I(s) es:

⇐

+

−+

=−

22 )100()100(120000)(

sssI

sε

Paso 4: Anti- transformar nuevamente hacia el dominio t. Esta última expresión es anti-transformable por tablas y propiedades; veamos el 1er término de la solución, donde podemos aplicar la pareja de transformadas y propiedades:

)()100(

1)100( )(

1)( 100

22 tuts

sFtuts

sF t−⇔+

=+⇔= ε

Y trabajando con el 2° término:

)1()1()100(

entonces)()100(

1 )1(10012

1002 −−⇔

+⇔

+−−

−→

−− tut

stut

st

tt

st ε

εε

Finalmente llegamos a la respuesta total en t:

⇐−−−= −−− Atuttutti tt )]1()1()([20000)( )1(100100 εε

Debe observarse que en este caso tiene vital importancia la utilización de las diversas u(t) ya que la respuesta tiene componentes que se inician en t = 0 y componentes que se inician en t = 1 seg. Comprobemos algunos valores que conocemos :

• i(0) debe ser cero. Observemos que para t = 0 únicamente es válido el primer término, porque el segundo se inicia en t = 1:

0])0[(20000)0( )0(100 == −εi


100

• También sabemos que para t? 8 la corriente debe ser cero, debido al condensador existente. Para este tiempo estacionario se deben considerar ambos términos:

0])1([20000)( )1(100100 =−∞−∞=∞ −∞−∞− εεi Recordemos ( ) 0lim 100 =−

+∞→

t

ttε por el

orden expone ncial. Hasta aquí tenemos solucionada satisfactoriamente la pregunta (a) del ejemplo y ya encontramos la expresión completa para i(t) como estaba solicitado. Ahora, trabajaremos en la pregunta (b), para encontrar algunos valores de i(t) en algunos momentos exactos. (b) Encontrar valores de i(t): Analice los resultados que se van a desarrollar, observando las Gráficas que seguidamente se presentan.

• En t = 1.0 ms En este tiempo únicamente está vigente el primer término de la solución, ya que el segundo término se inicia en 1.0 s.

⇐≈== −

=

− Atit

t 1.18])001.0[(20000][20000)001.0( )001.0(100

001.0

100 εε

• En t = 35 ms En este tiempo únicamente está vigente el primer término de la solución, ya que el segundo se inicia en 1.0 seg, como hemos dicho.

⇐≈== −

=

− Atit

t 1.21])035.0[(20000][20000)035.0( )035.0(100

035.0

100 εε

• En t = 1.0 s Vamos a analizar lo que ocurre antes de 1 s y después de 1 s ya que exactamente en este punto ocurre la discontinuidad en la fuente de tensión. Para t = 1 – se utiliza únicamente el primer término, por la razón expuesta:

⇐≈== −−

=

−− Axtit

t 40)1(100

0.1

100 1044.7])1[(20000][20000)1( εε este valor es cero para la

mayoría de efectos prácticos, de manera que se podría considerar Ai 0)1( ≈− • En t = 1+ se deben considerar ambos términos, ya que el segundo se ha iniciado

exactamente en 1 s: Axtti tt

t40)11(100)1(100)1(100100

1 1044.7])11(1[20000])1([20000)1( −−−−−−−=

+ ≈−−=−−= εεεε Manteniéndose el mismo resultado del momento anterior, prácticamente cero, siendo consecuentes con la existencia de la inductancia, que evita que la corriente cambie de valor instantáneamente, podemos considerar que Ai 0)1( ≈+ y por lo tanto, basados en los resultados de los dos últimos momentos también que: Ai 0)1( ≈

• En t = 1.01 s se consideran ambos términos, por la razón explicada:

A

tti ttt

6.73])101.1()01.1[(20000

])1([20000)01.1()101.1(100)01.1(100

)1(10010001.1

−≈−−=

=−−=−−−

−−−=

εε

εε

Debe observarse detenidamente que la corriente ha cambiado de signo, es decir, se ha invertido su dirección. Además ha experimentado un incremento importante, de 0 A, a 73.6 A, en tan sólo 0.01 s, de 1.0 a 1.01 s. Esto se observa muy bien en las Gráficas ampliadas siguientes, y se explica físicamente analizando lo que ocurre en el circuito.


101

(a) Gráfica de la corriente vista en el rango 0 < t < 1.5 s

(b) Gráfica ampliada de la corriente, vista en el rango 0 < t < 0.15 s

(c) Gráfica ampliada de la corriente, vista en el rango 0.95 < t < .109 s

Gráfica 55: Corriente i(t) del circuito R-L-C del Ejemplo 19, vista en diferentes rangos

-80

-70

-60

-50

-40

-30

-20

-10

0

10

0,95 0,97 0,99 1,01 1,03 1,05 1,07 1,09

t [seg]i(t) [A]

-73.6

-80

-60

-40

-20

0

20

40

60

80

-0,1 0,1 0,3 0,5 0,7 0,9 1,1 1,3 1,5

t [seg]

i(t) [A]

-10

0

10

20

30

40

50

60

70

80

-0,01 0,01 0,03 0,05 0,07 0,09 0,11 0,13 0,15

t [seg]

i(t) [A]

0.035

21.1

73.6


102

Análisis. Las figuras anteriores son muy representativas de un circuito eléctrico como el del ejemplo. Vamos a realizar un análisis de las mismas para mayor comprensión y claridad.

• Cuando el interruptor se cierra en t = 0, se inicia el flujo de corriente y se comienza a cargar el condensador, el cual, se carga muy rápidamente, aproximadamente en 90 ms, (ver Gráfica 9(b))

• La corriente, luego de alcanzar un valor máximo de aproximadamente 73.6

A exactamente en t = 10 ms, desciende prácticamente a cero, manteniéndose así, hasta que en el tiempo de 1 s. El estudiante debe encontrar el punto máximo de la corriente.

• La fuente de voltaje se vuelve cero V, es decir, un corto circuito, y el

condensador -que ya está cargado- comienza a descargarse, enviando corriente en sentido contrario, partiendo de 0 A y alcanzando un máximo aproximado de 73.6 A en el tiempo 1.01 s, y luego decrece nuevamente, volviéndose prácticamente cero a partir de los 1.09 s (ver Gráfica 9(c)). El estudiante debe encontrar ese punto mínimo de la corriente.

• El fenómeno completo se aprecia en la Gráfica 9(a) que cubre un rango de

tiempo entre 0 s y 1.5 s, pero donde la escala no nos permite ver en detalle la carga y descarga del condensador, y aparentemente lo que apreciamos es la existencia de dos cuasi impulsos de buena amplitud y cortísima duración, que al ampliarlos, muestran la Gráfica típica de carga y descarga de un condensador (ver Gráficas 9(b) y 9(c)).


103

2.15 Aplicación de la Transformada de Laplace al análisis de

circuitos eléctricos. A continuación vamos a desarrollar la Transformada de Laplace para los tres elementos básicos de los circuitos: resistencia, inductancia y capacitancia, con la idea de no tener que plantear la ecuación diferencial de un circuito, sino hacer la transformación en el circuito mismo y plantear las ecuaciones ya en el dominios, directamente del circuito. La idea general es la siguiente:

Si tenemos un elemento de circuito recorrido por una corriente i(t) existirá una caida de tensión, denominada vz(t) que cumplirá con la siguiente Ley de Ohm:

(s) sobreoperación u función una es ))(( donde ))(()()(

)( sobreoperación u función una es ))(( donde ))(()(

IsIGsIGsZsV

titigtigZtv

z

z

=

=

Z es una propiedad que se denomina Impedancia del elemento, que tiene una transformada en s que se denota como Z(s)

2.15.1 Elemento Resistencia

En este caso conocemos la ley que rige este elemento y podemos escribir:

)()( tiRtvR = donde R es un parámetro constante conocido con el nombre de resistencia. Si tomamos la transformada de Laplace:

[ ] [ ] [ ])()(

)()()(

sRIsV

tiRtiRtv

R

R

=

== LLL Ecuación 28

Para la Resistencia, su impedancia es Z = R y e s es lo mismo, ZR(s)=R

2.15.2 Elemento Inductancia Las leyes que rigen las inductancias en el dominio t son las siguientes:

dttdi

LtvL)(

)( = Donde L es un parámetro denominado Inductancia del elemento. Si

+ - i(t) Z

vz(t)

i(t)

Gráfica 56: El emento general de circuito

Gráfica 57: El emento Resistivo de circuito, y

su Transformada £

+ -

i(t)

vR(t)

R

+ -

I(s)

VR(s)

ZR(s)= R


104

tomamos la transformada: [ ] ( )

( )

−=

−=

=

=

)0()()(

)0()()()(

)(

iLsILssV

issILdt

tdiL

dttdi

LLtv

L

LL Ecuación 29

Debe observarse que esta expresión tiene dos componentes. La segunda componente )0(iL es un valor paramétrico constante que depend erá del valor inicial y dirección que tenga la corriente al comienzo. Este elemento se comporta como una fuente electromotriz o fuente de voltaje de polaridad aditiva respecto al sentido inicial de la corriente en L. En la Gráfica siguiente se muestra las dos posibilidades respecto al sentido que tenga la corriente in icial. Y el primer término, ( ) )(sILs es precisamente la componente de Ohm, donde se está multiplicando un valor dependiente de s por la corriente. Denominemos ese valor como la impedancia inductiva sLsZL =)( Así que la ecuación en s quedaría de la siguiente forma:

)0()()()( iLsIsZsV LL −= , o la otra posibilidad, )0()()()( iLsIsZsV LL += donde sLsZL =)( Más adelante se resume en una tabla las diversas posibilidades que existen, tanto para el elemento resistivo, como para el inductivo y capacitivo.

2.15.3 Elemento Capacitancia

Las leyes que rigen los condensadores en el dominio t son las siguientes:

(a) Equivalencia para i(0) hacia la derecha (b) Equivalente para i(0) hacia la izquierda

Gráfica 58: Elemento Inductivo de circuito y sus Transformadas £

+ - i(t) vL(t)

L i(0) + -

I(s)

VL(s)

sL + -

Li(0) + -

i(t) vL(t)

L i(0) + -

I(s)

VL(s)

sL -+

Li(0)

+ - i(t) vc(t)

C vc(0) + -

I(s)

Vc(s)

+ - sC1

svc )0(

- + + -

i(t) vc(t)

C vc(0) + -

I(s)

Vc(s)

+ - sC1

svc )0(

- +

(a) Equivalencia para vc(0) polaridad derecha (b) Equivalente para vc(0) polaridad izquierda

Gráfica 59: Elemento Capacitivo de circuito y sus Transformadas L


105

dttdv

ti cc C

)()( 1= Donde C es un parámetro denominado Capacitancia del elemento.

Si tomamos la transformada:

[ ] ( )

( )

−=

−=

=

=

)0()()(

)0()()()(

)(

CC

CCCC

C

vCsVCssI

vssVCdt

tdvC

dttdv

Cti LLL Despejando:

+=

+=

)0()()()(

)0()()(1

11

CCC

CC

vsIsZsV

vsIsV

s

ssC Ecuación 30

Debe observarse que esta expresión tiene dos componentes. La segunda componente

)0(1

Cvs

es un valor paramétrico constante que dependerá del valor y polaridad que tenga

la carga o voltaje inicial del condensador. Este elemento se comporta como una fuente electromotriz o fuente de voltaje de polaridad aditiva respecto al sentido inicial de la corriente en C si el voltaje inicial es aditivo a dicha corriente, o será inverso, si el voltaje inicial se opone al flujo escogido de la corriente. En la Gráfica siguiente se muestra las dos posibilidades respecto al sentido que tenga la

corriente inicial. Y el primer término, )(1 sIsC es precisamente la componente de Ohm, donde se está multiplicando un valor dependiente de s por la corriente. Denominemos ese

valor como la impedancia capacitiva sC

sZC

1)( =

En la Gráfica siguiente, se resumen las posibilidades de transformación de Laplace con los tres elementos de circuito vistos, resistencia, inductancia y capacitancia. Como se puede observar, para la inductancia y capacitancia, se consideran las dos posibilidades de cond iciones iniciales: para la corriente inicial en un sentido o en el inverso, y para la capacidad, la carga o voltaje inicial en una polaridad o la inversa. Es muy importante que el estudiante entienda con toda profundidad las ecuaciones que constituyen la transformada en cada uno de los casos


106

2.16 Ejemplos ilustrativos de solución de circuitos

Ejemplo 41

El circuito de la Gráfica cierra el interruptor en t = 0 y el condensador tiene una carga inicial Qo = 2.5 mC. Transformando el circuito por Laplace, encuentre (a) la corriente i(t) y realice la Gráfica de la misma. (b) El voltaje en el condensador Paso 1. Encontremos los parámetros del circuito, como las impedancias de los elementos en s, la transformada de la fuente, el valor del vo ltaje inicial en el condensador.

• 10=rZ Recuerde que no se colocan unidades en la transformada

• s

xFxssC

ZC

4

6

102)1050(

11=== −

i(t)

Gráfica 61: Circuito en t del Eje mplo 41

Gráfica 60: Resumen de la transformada de Laplace de elementos básicos de circuitos eléctricos


107

• La transformada de la batería es: s

12]12[ =L

• El voltaje inicial VfxCx

CQ

vc 50][1050][105.2

)0( 6

30 === −

−

con la polaridad indicada.

Paso 2. Dibuje el circuito transformado y plantee las ecuaciones en s:

La ecuación del circuito atendiendo a lo visto de Laplace es:

]50

)(]20000

10[]50

)(20000

[)(1012

ssI

sssI

ssI

s−+=−+=

Despejando I(s):

20002.6

)2000(1062

]20000

10[

5012

)(+

=+

=+

+=

sss

sssI

Paso 3. Encuentre i(t): Ati t20002.6)( −= ε Paso 4. Comprobemos algunos valores que debemos conocer:

• La corriente inicial debe ser según el circuito: AVV

i 2.610

5012)0( =

Ω+

= ya que el

condensador está cargado con 50 V en polaridad aditiva con la batería. Esto chequea muy bien porque de la ecuación final deducimos que: Ai 2.62.6)0( )0(2000 == −ε

• La corriente estacionaria debe ser cero: 02.6)( )(2000 ==∞ ∞−εi Paso 5. Vamos a realizar la Gráfica de la corriente. La tabulamos en un computador y presentamos el resultado. Se recuerda la validez para t > 0.

vC(t)

I(s)

Gráfica 62: Circuito en s del ejemplo 41

Gráfica 63: Curva de la corriente ( ) Atuti t )(2.6)( 2000−= ε

0

1

2

3

4

5

6

7

0 0,0005 0,001 0,0015 0,002 0,0025 0,003

t [s]

i(t) [A]


108

Paso 6. Vamos ahora a trabajarle al voltaje en el condensador. Observando el circuito en s podemos plantear la ecuación:

ssssssssI

ssVc

50)2000(

1240005020002.62000050

)(20000

)( −+

=−

+

=−=

200011

;2000

1)2000(

1)2000()2000(

1

200000

−===+

=→+

+=+ −== ss

sB

sA

sB

sA

ss

2000621250

)200011

(2000

124000)(

+−=−

+−=

ssssssVc Ya podemos anti-transformar.

⇐−=−= −− )()6212()(62)(12)( 20002000 tutututv ttc εε

Otro procedimiento. También podemos plantear la ecuación en el dominio del tiempo a través del condensador.

∫∫

∫∫∫ ∫∫

+=+=

=+=+==∞−∞−∞−

t

c

t

v

t

Q

tt

c

dttiC

vdttiCC

Q

dttiC

dttiC

dttidttiC

dttiC

tv

C

00)0(

0

0

00

0

)(1)0()(1

)(1)(1))()((1)(1)(

0

321

El primer término vale 50 V, pero se debe colocar como – 50 V ya que la polaridad del voltaje o carga inicial del condensador, como se vé en el circuito, está opuesto al sent ido de caída de tensión vc(t), entonces:

⇐−=−−−=−−=

=+−=+−=+−=

−−−

−− ∫∫∫

Vtu

dtxdtxdttiC

tv

tttt

tt

tt

t

c

)()6212()1(6250(6250

1012450)2.6(10250)(1

50)(

20002000

0

2000

0

20004

0

20004

0

εεε

εε=

Obteniéndose el mismo resultado que con el procedimiento anterior. Observemos que el anterior procedimiento es trabajado en el dominio s, y este último, en el dominio t. Paso 7. Hagamos la Gráfica de vc(t). La tabulamos en un computador, por ejemplo con Excel y obtenemos:


109

Miremos algunos valores de este voltaje. ⇐−= − Vtutv t

c )()6212()( 2000ε

• Vvc 526212)0( 0 −=−= ε tal como nos muestra el circuito físicamente, ya que este es el voltaje inicial y sabemos que la polaridad es opuesta a la polaridad de vc escogida como positiva de acuerdo con el sentido escogido de la corriente.

• Vvc 126212)( =−=∞ −∞ε que se muestra en la Gráfica como asíntota estacionaria,

y que coincide con el circuito físicamente, porque después de un tiempo el condens ador quedará cargado con 12 V y así permanecerá, y la corriente irá a cero. Este tiempo como vemos está alrededor de 4 ms

• Puede ser interesante conocer el momento en que el condensador tiene voltaje cero,

o carga cero, que ocurre para t = 0.82 ms Este punto de corte del eje t se observa muy bien en la Gráfica.

Ejemplo 42

El circuito R-L mostrado es alimentado por una fuente de voltaje dada por

Vtuttv )()()( +=δ El interruptor se cierra en t = 0 y el circuito antes de cero está relajado. Encuentre por circuito transformado de Laplace, (a) La corriente total i(t).

vL(t)

i(t) +

Gráfica 64: Curva del voltaje en el condensador Vtutv tc )()6212()( 2000−−= ε

Gráfica 65: Circuito del ejemplo 42

Vc(t)

-55-50-45-40-35-30-25-20-15-10

-505

1015

0 0,001 0,002 0,003 0,004

t [s]


110

(b) El voltaje total en la inductancia )(tvL . Realice las Gráficas de ambas señales. (a) El circuito en Laplace se muestra a continuación. Como no hay energía antes del cierre

del interruptor, no hay fuentes de condiciones iniciales. Primero trabajaremos con la transformada de la función de excitación, que tiene una función impulso.

[ ] [ ]s

tuttvsV1

1)()()()( +=+== δLL

La ecuación del circuito transformado es:

)20()1(5

2.04

11)()(])[()(

++

=+

+=

+=→+=

sss

ss

sLRsV

sIsLRsIsV

Por fracciones parciales:

419)1(5

41

)20()1(5

20)20()1(5

)(200

=+

==+

+=→

++=

++

=−== ss s

sB

ss

As

BsA

sss

sI

→

++=

20191

25.0)(ss

sI ⇐+= − )()191(25.0)( 20 tuti tε

Veamos algunos valores de interés:

Ai 5)191(25.0)0( )0(20 =+= −ε Debe observarse detenidamente cómo la corriente cambia bruscamente de un valor

0)0( =−i a un valor 5)0( =+i a pesar de haber una inductancia. ¿Cómo se explica? Pues la respuesta se orienta porque existe una excitación que es un impulso de voltaje

)(tδ justamente en t = 0 Este impulso logra introducir un “brinco” de corriente aún en la inductancia.

(b) El voltaje en la inductancia lo encontraremos de dos maneras diferentes: Trabajando en el dominio s, y trabajando en el dominio t. En el dominio s. Observando el circuito transformado Laplace, podemos plantear la siguiente ecuación:

( ) ( )20

191)

2020

1(95.005.020

95.005.0

2075.425.0

2.0)(2.0)(+

−=+

−+=+

+=

++==

ssss

ssssIssVL

De manera que podemos encontrar directamente )(tvL : ⇐−= − Vtuttv tL )(19)()( 20εδ

En el dominio t. Sabemos que

VL(s)

I(s) +

-0,5

0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

3,5

4

4,5

5

5,5

-0,05 0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3 0,35t [s]

i(t) [A]


Gráfica 67: Curva de la corriente )()191(25.0)( 20 tuti t−+= ε


111

[ ]

+−=

=+−+=

=+==

−−

−−

−

)(95.0)(19)(05.0

)]()(20)[95.0()(05.0

)](75.4)(25.0[)2.0()(

2020

2020

20

ttut

ttut

tutudtd

dtdi

Ltv

tt

tt

tL

δεεδ

δεεδ

ε

Pero )()()()( 000 tttftttf −=− δδ

Entonces: [ ]

⇐−=

=+−==+−=−

−−−

Vtut

ttuttvttuttvt

tL

ttL

)(19)(

)(95.0)(19)(05.0)()(95.0)(19)(05.0)(20

202020

εδ

δεδδεεδ

Igual resultado que el del procedimiento anterior. Es importante anotar que precisamente por el impulso de voltaje que aparece en la inductancia, ésta puede variar instantáneamente la corriente de 0 a 5 A en t = 0 como ya lo dijimos en el párrafo anterior. La Gráfica del voltaje en la inductancia es:

Veamos algunos puntos de interés: En t = 0 sabemos que está el impulso, pero podemos expresar la parte funcional así:

VvL 19)0(19)0()0( )0(20 −=−= − δεδ que coincide con el valor mostrado en la Gráfica. Este valor de -19 V resulta de observar el circuito en t = 0+ cuando la corriente es 5 A y la ecuación de voltajes es:

Vvv

vRiv

LL

L

19)0()0()5(41

)0()0()0(

−=→+=

+=++

+++

Otro valor de interés es el estacionario:

VvL 019)( )(20 =−=∞ ∞−ε , que coincide con la asíntota Gráfica y con el circuito en ese

Gráfica 68: Curva del voltaje en la inductancia, Vtuttv t

L )(19)()( 20−−= εδ

-20

-17,5

-15

-12,5

-10

-7,5

-5

-2,5

0

2,5

5

-0,05 0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3

t [s]

VL(t) [V]

d(t)


112

tiempo estacionario, ya que la inductancia se comporta para un voltaje de alimentación de DC como un corto, es decir, voltaje cero.

Ejemplo 43

El circuito R-C de la Gráfica está alimentado por una onda periódica no sinusoidal de voltaje, )(tvg , con período T = 0,1 segundos. El interruptor se cierra en t = 0 y el circuito estaba relajado antes de ese momento.

La ecuación del primer período de la excitación es ][5)( 10

1 Vtv tg

−= ε . Los parámetros

eléctricos son: R = 0,5 O; C = 1,0 F Encuentre la expresión )(tvC del voltaje en el condensador, en el 4° período: segt 4,03,0 << Comentarios: Vamos a hacer algunos comentarios antes de entrar a solucionarlo. Este ejemplo es muy importante porque muestra en toda su capacidad la Transformada de Laplace aplicada a circuitos eléctricos. El caso es una fue nte periódica no sinusoidal, la cual es difícil de acometer por los métodos convencionales y que por series de Fourier, -que veremos en posteriores capítulos-, se puede resolver sólo en forma aproximada. El análisis por Laplace que vamos a desarrollar debe estudiarse detenidamente, porque aunque se verá que la solución es completa, los procedimientos no son de rutina, y veremos que constituyen uno de los puntos más avanzados de la transformada de Laplace con relación a los circuitos. Paréntesis. Vamos a hacer un paréntesis a manera de preámbulo a este ejemplo, y presentaremos un problema general no muy bien estudiado en los textos de circuitos, cuando se aplican propiedades de Laplace a funciones periódicas, no perdiendo de vista que este tema tiene sutilezas que pueden conducirnos a resultados equivocados con mucha facilidad. Si bien sabemos que cuando tenemos una función f(t) periódica, con período T, y que denominamos como f1(t) la función en el primer período y que es tal que se repite idéntica

Gráfica 69: Onda de alimentación no sinusoidal y circuito del ejemplo 43


113

en todos los demás períodos, y que la transformada de f1(t) en ese primer período la denominamos F1(s), y que entonces, la transformada de la función periódica f(t) la podemos

expresar como: sT

sFtfsF −−

==ε1

)()]([)( 1L , debemos manejar con mucho cuidado y recelo la

concepción inversa de este teorema. Si tenemos una expresión sT

sMsG −−

=ε1

)()( no se puede

deducir de manera automá tica que )(sM sea la transformada del primer ciclo o período de G(s) es decir, no es cierto que g(t) sea una función periódica con período T, y que g1(t) sea equivalente a m1(t). Miremos un ejemplo bastante relacionado con el circuito que estamos analizando, para aclarar esta problemática.

Si tenemos una expresión en s dada por ejemplo por:

−

+= −sTs

sGε11

11

)( , nos

preguntamos al mirar la forma que tiene la expresión: ¿será válido deducir que )(tg es una

función periódica, con período T, y que es

+=

11

)(1 ssG , y por lo tanto,

t

stg −− =

+= ε]

11

[)( 1L es la función que se repite periódicamente? Estamos bastante tentados a

decir que SI, porque es exactamente el teorema inverso de la propiedad de Laplace de funciones periódicas. Pero, resulta que NO. No es cierto lo afirmado, y la deducción inversa no es válida. Esto lo podremos ver, partiendo de ttg −= ε)( y haciendo que sea una función periódica con período T, de tal manera que t−ε sea la función en el primer período, que se repite sucesivamente en los períodos siguientes, y observando cual es su transformada de Laplace.

Sabemos que : )]()([)(1 Ttututg t −−= −ε y el paréntesis compuerta asegura que existe sólo en el primer ciclo. En tonces en este caso, si es cierto que:

sT

sGsG −−

=ε1

)()( 1 pero, debemos ser muy

cuidadosos en que )(1 sG sea exactamente la transformada de la función para el primer ciclo. Veamos entonces cual es )(1 sG en este caso:

43421T hasta corrida

FunciónOriginalFunción

)(

1

)1(11

][1

1

)]([)]([)()()]()([)(

+−

+=−

+=

=−−=−−=−−=−

+−−

−−−−−

sss

TtutuTtutuTtutusG

T

sTTtsT

ttttt

εε

εε

εεεεε

L

LLLL

Gráfica 70: Función periódica exponencial

1

T−ε

g(t)

T 2T 3T 4T


114

Como se observa ahora claramente esta )(1 sG es bien distinta a la que pretendimos que podría ser, al inicio de esta discusión. Estonces la inversa del teorema de Laplace no es cierta ni se puede aplicar. Entonces, ¿qué significa una expresión como

−

+= −sTs

sGε11

11

)( ? Resolveremos esta

incógnita al analizar el circuito eléctrico de este ejemplo 22, cuyo análisis detuvimos un momento para fijar ideas que son muy importantes. Sigamos con el circuito del ejemplo 22. Vamos primero a trabajar el circuito transformado en Laplace:

La ecuación base es: ssI

sVC

)()( = y la

corriente: s

sVsI 15.0

)()(

+= Vamos a encontrar

)(sV . La fuente en el primer ciclo, tiene la

forma: )]()([5)( 101 Ttututv t −−= −ε V

Entonces vamos a transformar esta fuente:

][10

15)( )(10

1TtsT

ssV +−−−

+= εε Λ , de acuerdo

con las propiedades de Laplace. Seguimos:

]1[10

5

101

101

5][10

15)( 1)(10

1 εε

εεεεsT

sTTtsT

sssssV

−−−+−− −

+=

+−

+=−

+= Λ

Debe observarse que la transformada de Laplace de la fuente en el primer ciclo no es

simplemente 10

1+s

ya que la fuente en el primer ciclo no es simplemente

)(5)( 101 tutv t−= ε sino que es: )]()([5)( 10

1 Ttututv t −−= −ε , porque la primera expresión no termina en el primer ciclo, y la segunda si existe sólo en el primer ciclo. Ahora, aplicando la propiedad de la transformada de una función periódica:

⇐−+

−++

=−+

−+

+=

=+−

−+

=−−

+−

−+

=

=−

−+−+

=−

−+−+

=

=−

−+

=−

−+

=−

−+=

−=

−−

−

−−

−

−

−

−

−

−

−

−

−

−

−

−

−

)1)(10(1

)1(5)10(

5)1)(10(

1)1(5)10(

5

]11

1[

)10(5

]11

11

[)10(

5

]1

1][)1(1)[10

5(]1

1)[11)(10

5(

]1

1)[)(10

5(]1

1)[1)(10

5(1

)]1(10

5[

1)()(

1

1

sTsT

sTsT

sT

sT

sT

sT

sT

sT

sT

sT

sT

sT

sT

sT

sT

ssss

ss

ss

ssssVsV

εε

εεεε

ε

εε

εεε

εε

ε

εεεε

εεεε

εεεε

εεε

εε

ε

ε

I(s)

VC(s) +

-



115

⇐−+

−++

= −−

)1)(10(1

)1(5)10(

5)( 1

sTsssV

εε

ε

ss

sTsssVsI 11 5.0)1)(10(

1)1(5)10(

5

5.0)()(

1

+−+

−++=

+=

−−

εε

ε , reemplazando T = 0.1 seg

⇐−++

−+++

= −− ]

)1(1][

)2)(10()[1(10

)2)(10(10)( 1

sTsss

ssssI

εε

ε

Ahora llegaremos finalmente a:

⇐−++

−+++

=

=−++

−+++

==

−

−−

])1(

1][

)2)(10(1

)[1()2)(10(

1

10

])1(

1][

)2)(10(1

)[1(10)2)(10(

10)()(

1.0

1.01

s

sC

ssss

ssssssI

sV

εε

ε

εε

ε

⇐−++

−+++

= − )1

1](

)2)(10(1

)[1()2)(10(

1

10)(

)(

1.0

)(44444 344444 2144 344 21

sV

s

sV

C

BA

sssssV

εε

ε

Hasta aquí llevamos gran parte del problema solucionado, y a encontramos la expresión

)(sVC . Lo que falta es lo más importante, porque hasta ahora, no habíamos tratado con estas funciones periódicas no sinusoidales. Observamos claramente dos términos que hemos denominado )(sVA y )(sVB . El primer término es fácilmente anti-transformable y representa una función en t que no es periódica y que tendrá validez 0≥∀t .

Vtutuss

sVtv tttt

AA )()(45

)()8

(10

])2)(10(

110[)]([)( 102

10211 −−

−−−− −=

−=

++== εε

εεε

εεLL

Como se observa, esta función es claramente decreciente con el tiempo, y constituye parte de la solución transitoria. Decimos parte de la solución transitoria, porque del segundo término resultará otra parte adicional, como veremos. Ahora analicemos el segundo término que es el de controversia. No es correcto decir que

)(sVB tendrá su correspondiente )]([)( sVtv BB L= y que esta )(tvB es una función periódica con período 0.1 segundos. Esto es cierto parcialmente, porque aunque )(tvB se repetirá cada período, no termina en el período, sino que la que comienza en el primer período continúa para t > 0, la que comienza para el segundo pe ríodo, continúa a partir de t > T, y así sucesivamente, es decir, es acumulat iva y no representa una serie infinita de términos que se repiten. Esto ocurre porque no podemos afirmar definitivamente que la componente

de )(sVB diferente al factor periódico, ])2)(10(

1[++

−ss

ε , sea la componente periódica del

primer período de )(tvB , o lo que hemos llamado )(1 tv B . Esto lo mostraremos


116

seguidamente trabajando con )(sVB y expandiendo el término periódico.

L

L

+++

−+

++−

+++

−+

++−

=

=++++++

−=

−++−

=

−−−−

−−−−−

−−

sTsTsT

sTsTsTsTB

ssssssss

sssssV

321

32111

)2)(10()1(

)2)(10()1(

)2)(10()1(

)2)(10()1(

[

)]1()2)(10(

)1([)]

11

()2)(10(

)1([)]([

10101010

1010

εε

εε

εεε

εεεε

εε

εεεε

εε

L

LLL

Vamos ahora a realizar la transformada inversa término a término:

]

T4t3T intervalo 4

)3(8

)3(10)3(2

T3t2T intervalo 3

)2(8

)2(10)2(2

T2tT intervalo 2

)(8

)(10)(2

Tt0 intervalo er1

)(8

102[

10 )1()(

L444444 3444444 21444444 3444444 21

44444 344444 21444 3444 21

+

<<°

−−−−−−

+

<<°

−−−−−−

+

+

<<°

−−−−−−

+

<<

−−−−=

TtuTtTt

TtuTtTt

TtuTtTt

tutt

tvB

εεεε

εεεεεε

Lo clave ahora es comprender que esta expresión no es una serie infinita, sino una sucesión finita, ya que en el primer intervalo Tt <<0 existe solamente el primer término y todos los demás se vuelven cero por las funciones )(tu desplazadas; en el 2° intervalo TtT 2<< existen sólo los dos primeros términos, en el 3° intervalo TtT 32 << existen sólo los tres primeros términos y así sucesivamente, de manera que en el n° intervalo nTtTn <<− )1( existirán sólo los n primeros términos:

]1[

]1[)1()(])1[(10)3(10)2(10)(1010

])1[(2)3(2)2(2)(2245

TnTTTt

TnTTTtB tv

−−

−−

++++−

−++++

+

+−=

εεεεε

εεεεεεε

L

L

Debemos saber que la suma de una sucesión geométrica finita es: 111

0 −−

=∑−

= xx

xnn

k

k

En nuestro caso, tenemos dos series: Tx 2ε= y Tx 10ε= entonces sumando términos para el

período n, nTtTn <<− )1( : ]11

[]11

[)1(

)( 10

1010

2

224

5−−

−−−= −− − T

Tnt

T

Tnt

B tvεε

εεε

εεε

Reemplazando el valor de T = 0.1 seg: ]11[]

11[)1()( 10

2.0

2.024

5−−

−−−= −− −

εεε

εεεε

ε

nt

nt

B tv

Y llegamos finalmente a la solución general para el intervalo nTtTn <<− )1( :

]11

[]11

[)1()(45

)()()( 102.0

2.02102 4

5−−

−−−+−=+= −−−− −

εε

εεε

εεεεε ε

nt

nttt

BA tvtvtv

⇐−−

−−−+−= −−−− − Vtv t

nt

ntt ])

11()

11()1()(

45)( 102

2.0

2.0102 [ ε

εεε

εεεεε

ε

Como deseamos )(tv para el cuarto intervalo, n = 4:


117

⇐−=+−=

=−−

−−

−+−=

=−−

−−−+−=

−−−−−−

−−−−

−−−−

−

−

−

V

tv

tttttt

tttt

tn

tn

ttC

)1.2087.3(45

51.945

])11

()11

()1()(45

])11()

11()1()(

45)(

102102102

104

22.0

8.0102

1022.0

2.0102

60.53

[

[

εεεεεεε

εεε

εεε

εεεε

εεεε

εεεεε

ε

Vtv ttC )1.2087.3(

45

)( 102 −− −= εε

Es importante entender que esta expresión es sólo válida para un intervalo de tiempo comprendido entre 4.03.0 << t segundos. Así, si deseamos conocer el valor del voltaje en el condensador para el momento t = 0.37 segundos será:

Vtv ttC 69.1)1.2087.3(

45

)1.2087.3(45

)( )37.0(10)37.0(2102 =−=−= −−−− εεεε

La Gráfica de la expresión anterior se muestra a la izquierda. Para poder entender la manera como se comporta toda lo onda debemos ver la siguiente Gráfica, donde se alcanza a ver lo transitorio y la forma como va alcanzando, pulsante los valore estacionarios.

0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

3,5

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 2 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5

Gráfica 73: Curva en el intervalo 0 < t < 2,3 seg

1,35

1,4

1,45

1,5

1,55

1,6

1,65

1,7

1,75

0,25 0,3 0,35 0,4 0,45

t [s]

Vc(t) [V]

Gráfica 72: Curva en el intervalo 4.03.0 << t


118

2.17 Aplicación de la Transformada de Laplace a la respuesta de un Sistema Lineal; Teorema de Borel.

Un Sistema Lineal desde el punto de vista de la ingeniería, es un conjunto de procesos y transformaciones que reciben una excitación o entrada y ofrecen una respuesta o salida. Las entradas las podemos denominar )(tei y las salidas o respuestas como )(tri , como se muestra en la Gráfica adjunta.

Una de las propiedades básicas es que si un sistema Lineal se alimenta individualmente por dos o más excitaciones, le corresponde a cada excitación una respuesta, pero, si se excita por las mismas fuentes ampliadas y mezcladas, la respuesta corresponde a las respuestas individuales ampliadas y mezcladas. Si nos cambiamos al dominio de la frecuencia, aplicando la transformada de Laplace al Sistema, y la entrada en s se denomina )(0 sE , la salida o respuesta )(sR , y el sistema se

representa por )(sH , se cumple que: )()()( 0 sEsHsR = )(sH se denomina la función de transferencia del Sistema. Debe tenerse en cuenta que no existe en el dominio del tiempo una ecuación equivalente a ésta.

)(0 sE = Transformada de la excitación total = )]([ teL Condiciones iniciales )(sH = Función de transferencia )(sR = Respuesta del Sistema en s

Ejemplo 44

Para el circuito mostrado encuentre i(t) Encuentre la función de transferencia. El voltaje inicial en el condensador es V0 = 10 V.

SISTEMA LINEAL

Excitación

e1(t)

e2(t) r2(t)

r1(t)

Respuesta

SISTEMA LINEAL

Excitación

K1e1(t) + K2e2(t)

K1r1(t) + K2r2(t)

Respuesta

H(s)

Excitación

E0(s)

R(s)

Respuesta

Gráfica 74: Diagramas de bloque de un Sistema Lineal


119

Planteamos la ecuación en el circuito transformado:

]1

)[(0

sCRsI

sV

sE

+=− ? 321

321 )(

)(

)(

)1

(1)(

0

0

0

1

sEsH

sCR

sV

sE

sIs

V

s

E

sCR

−+

=+

−= ? )()()( 0 sEsHsI =

En este ejemplo: sC

RsH1

)( += 321

iniciales sCondicione

00

)]([

)(

−+

=

sV

sEsE

teL

Seguimos trabajando el problema: )(2

11)(

212

111 +

=+

=+

=s

sR

sHssC

ssV

sE

sE2

)( 00 =−= ?

21

212

10

1))(()()()( 2+

=+

==ss

ssEsHsI s Por lo tanto:

tti 21

)( −= ε Ai 1)0( 0 == ε Veamos el circuito en t = 0: al cerrar el interruptor el condensador obra como un circuito cerrado y entonces quedará:

AVV

i 12

1012)0( =

Ω−

= a

VivC 10)0(212)0( =−= a

Ai 0)( ==∞ −∞ε a

i(t)

V0

+

I(s)

Gráfica 75: Circuito en t y en s del ejemplo 44

Gráfica 76: Circuito en t = 0


120

2.17.1 Respuesta al Impulso. Convolución Vamos a suponer ahora que la excitación del sistema es la función impulso, )()( tte δ= y queremos saber cuál es la respuesta a dicha excitación. Entonces: 1)]([)( == tsE δΛ Para que lo que sigue sea válido, no debe haber condiciones iniciales, es decir, sólo se puede aplicar a circuitos relajados en el comienzo: En 0≤t deben estar completamente desenergizados. Si en nuestro circuito definimos en consecuencia, que 00 =V entonces el

resultado será, -y el estudiante debe comprobarlo- : Ati t 2/6)( −= ε , y entonces: Ai 6)0( =

Sabemos que )1()()(212

1

212

1 5.0

+−=

+=

sss

sH y como 1)( =sE resulta que la respuesta al

impulso, que podemos denominar )(trδ será: )(1)()( sHsHsR ==δ Y por lo tanto, la respuesta será numéricame nte igual a:

2/41

21

212

111 )()]1([)]([)()(5.0 tt

ssHthtr −−− −=

+−=== εδδ LL

Ahora bien, el Teorema de Borel afirma que si conocemos la respuesta al impulso en un sistema lineal, entonces, la respuesta a cualquier excitación diferente al impulso, como por ejemplo )(te , será: )()()( thteti ∗= Comprobémoslo en nuestro ejemplo:

2/2/41

21 *3)(*6])([*12)()()( tt ttthteti −− −=−=∗= εδεδ Recordando la operación de

Convolución, vamos a hacerlo término a término:

∫∫ −=−=∗tt

dtfgdtgftgtf00

)()()()()()( ττττττ

a) Según las propiedades del impulso: 6)(*6 =tδ

b) 2/*3 t−ε ? Escogemos: 2/)(;3)(3)( ttgtftf −==−→= ετ Así que:

)1(6)1(6(33)()()()( 2/2/

02/1

2/

0

2/

0

tt

ttt

ddtfgtgtf −−−

−− −=−−===−=∗ ∫∫ εε

ετετττ

ττ

Entonces: ⇐=−−=−= −−− Atti ttt 2/2/2/ 6)1(66*3)(*6)( εεεδ Igual resultado al que indicamos anteriormente para la excitación impulso. Vamos ahora a expresar el Teorema de Borel que acabamos de utilizar en el ejemplo.


121

2.17.2 Teorema o Propiedad de Borel. Partimos de un Sistema Lineal relajado, con condiciones iniciales nulas, excitado por una función )(te cuya transformada de Laplace es )(sE . El sistema tiene una función de transferencia que denominaremos )(sH y nos entrega una respuesta que denominaremos

)(sW , cumpliéndose la ecuación del sistema:

)()()( sEsHsW = (Respuesta) = (Transferencia) x (Excitación)

La ecuación anterior sugiere la aplicación de la Convolución debido al producto )()( sEsH de tal forma que podamos encontrar )(tw por la Convolución entre )(sH y )(sE :

∫∫ −=−=== −−tt

dthedtehsEsHsWtw00

11 )()()()()]()([)]([)( ττττττLL

¿Qué significado físico tiene )(th ? Miremos la ecuación del sistema y asumamos que la excitación es la función impulso. Esto quiere decir que )()( tte δ= . Entonces: 1)( =sE y la

ecuación del sistema se puede escribir como: )()1()()()()( sHsHsEsHsW ===δ denominando )(sWδ la respuesta al impulso. Si hacemos la transformada inversa, llegamos a:

)()()()( thtwsHsW =⇒= δδ Ecuación 31

Esta propiedad significa que:

“La respuesta de un sistema que está desenergizado inicia lmente, a una excitación Impulso, es igual a la transformada inversa de la función de transferencia, y se denomina Respuesta al Impulso”

Esta propiedad nos conduce al Teorema de Borel o Propiedad de Borel que dice:

“La respuesta de un sistema lineal inicialmente desenergizado a una función de excitación cualquiera, es la convolución entre la Respuesta al Impulso y la Función de Excitación”

∫∫ −=−=tt

dthedtehtw00

)()()()()( ττττττ Ecuación 32


122

Ejemplo 45

El circuito que se muestra está inicialmente desenergizado. Vtv t

g2)( −= ε . Encuentre la salida

)(tvR a una entrada )(tvg por dos procedimientos. (a) Aplicación de la Transformada de Laplace directa. (b) Aplicación de la Propiedad de Borel. Procedimiento (a): Aplicando directamente Laplace al circuito:

RC

g

sRC

g

sC

gR s

ssVsVR

R

sVsV

111

)(

1

)()()(

+=

+=

+= Reemplazaremos

21

)(+

=s

sVg

)1(1

)2(2

)1()2()1)(2())(2()(

1 +−

+=

++

+=

++=

++=

sssB

sA

sss

sss

sVRC

R . Entonces:

( ) )(2)( 2 tutv ttR

−− −= εε Procedimiento (b): Aplicando Convolución y Borel: De la primera expresión podemos deducir:

)()()(1

sVs

ssV g

RCR +

= , entonces: 1

11

1)(

1 +−=

+=

+=

sss

ss

sHRC

y por lo tanto:

ttth −−= εδδ )()(

Aplicando Borel: ))()())(()()()( 222 tttttgR tttvthtv −−−−− ∗−∗=∗−=∗= εεεδεεδδ

La primera convolución, por las propiedades del impulso es: ttt 22)( −− =∗ εεδ La segunda convolución hay que hacerla: tt 2−− ∗εε

ttttt

tt

ttt dd 2

0

2

0

)(2 )1( −−−−−−−−−−− −=+−===∗ ∫∫ εεεετεετεεεε τττ Entonces sumando las dos

convoluciones: ⇐−=−−= −−−−− tttttR tv εεεεε 222 2)()(

⇐−= −− ttR tv εε 22)(

Igual resultado como era de esperarse. Es de comentar, que el proceso por convolución algunas veces es mejor pero algunas veces no, dependiendo del caso concreto. Lo importante de la propiedad de Borel, es que conociendo la respuesta al impulso, podemos conocer la respuesta a cua lquier excitación, y muchas veces en sistemas complejos esta posibilidad es muy valiosa, sobre todo en sistemas de control y señales.


i(t)

vR(t)

+


123

2.18 Ejercicios del Capítulo 2°. En los numerales del 1 al 8 encuentre la transformada de Laplace para cada función, por ejecución directa de la definición y con la ayuda de tablas o transformadas conocidas.

1. t

2. 132 2 −+ tt

3. senh(2t)

4. 1++− ttε

5.

≥<

=2320

)(tt

tg

6. t−+ ε1

7. btat −− −εε

8. ktcosh1+

9. ¿Es transformable la función ttf tan)( = ? Explique razones.

10. Dibuje la Gráfica de: )1()1()()( −−−= tutttutf y encuentre F(s) En cada uno de los casos del 11 al 13, encuentre la transformada inversa, aplicando diversas propiedades y transformadas conocidas, sin desarrollar en fracciones parciales. Luego, compare resultados, desarrollando en fracciones parciales.

11. 2)2(1

−s

12. 4)1(

12 +−

−s

s

13. 256

42 ++ ss

14. Si )()( sFtf = demuestre que para a > 0: )()]([ /1 1at

a fbasF atb−− =+ εL

15. Dibuje la función

≥<≤−<≤

=30

313102

)(t

ttt

tg y encuentre G(s). Luego realice la

derivada Gráfica )(tg′ y encuentre G(s) aplicando la propiedad de la derivada. En cada uno de los numerales siguientes del 16 al 22 encuentre la transformada inversa de Laplace.


124

16. 134

32 +− ss

17. 34

952 +−

−ss

s

18. )2)(1(

342

2

−+−

ssss

19. ss

s−

+3

2

20. sss

ss++++

23

2

213

21. )54()1( 22 +++ sss

s

22. ssssss

+++−+

35

24

23264

Resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales mediante la transformada de Laplace.

23. 2)0(;1)0(054 =′==+′+′′ yyyyy

24. 6)0(;4)0(2)()(2)( −=′−==+′−′′ xxttxtxtx tε

25. 1)4/(;2)0(4sin24)(4)( −===+′′ πyyttyty (Sugerencia: ky =′ )0( )

26. 1)0(;2)0(;1)0(sin4)()()()( −=′′=′==−′+′′−′′′ uuuttutututu

27. En el circuito mostrado no existe energía antes de t = 0. Encuentre las dos corrientes totales )();( 21 titi .

Los valores son:

VEHL

FC

RR

101.0

105

103

21

==

×=

Ω==−

i1(t) i2(t)



125

28. En el circuito mostrado el condensador tiene una carga inicial de CQ µ250 = y la

fuente es senoidal )1000()( ϕ+= tsentv V. Encuentre la corriente total resultante si el interruptor se cierra en el momento en que °= 30ϕ

29. Encuentre la transformada de Laplace de la función periódica mostrada en la

Gráfica.

i(t) F = 30°

Q0

+


t [seg]

v(t) [V]

0 2 4 6

10

Gráfica 80: Función periódica del ejercicio 29


126

2.19 Respuestas a los Ejercicios del Capítulo 2°.

1. 1/s2

2. 4/s3 + 3/s2 – 1/s

3. 2/(s2 - 4)

4. 1/(s+3) + 1/s2 + 1/s

5. s

s23 −ε

6. 1

11+

+ss

7. bsas −

−−

11

8. )(

222

22

kssks

−−

9. No, porque la integral no converge; es divergente.

10. 2

1s

s−−ε

11. tt 2ε

12. tet 2cos

13. te t 4sin3−

14. Para demostrar.

15. 2

3

22)(

sssG

ss

s

−−

+−= εε

16. tt 3sin2ε


127

17. tt 32 3εε +

18. ttt sincos22 2 ++ε

19. tt −++− εε 21

232

20. tt t −− −+ εε 321

21. ttt tttt sincos 2212

21 −−−− −−+− εεεε

22. tt sin3 −

23. ttty tt sin4cos)( 22 −− += εε

24. ttttx ε)42()( 331 −−=

25. tttty 2cos24sin2sin)( +−−=

26. ttttetu t cossin)( +−=

27. AtttiAttti tt )]20sin320(cos1[21

)(;)]20sin20(cos1[21

)( 602

601 +−=++= −− εε

28. Atsenti t )1061000(0484.01535.0)( 4000 °−+= −ε

29. )2

tanh(10

)( 2

ss

sV =

2.20 Lecturas recomendadas. Bibliografía del Capítulo 2°.

• Conferencias de Clase, Matemáticas para Ingenieros, Fabio Vidal, Capítulo 2

• Circuitos Eléctricos, Schaum, J. Edminister, Capítulo 14

• Análisis de circuitos en Ingeniería, W. Hayt, J. Kemmerly, Capítulo 19

• Análisis básico de circuitos eléctricos, A. Jonson, J. Hilburn, J. Jonson, P Scout, Capítulos 12 y 13

128


3 Capítulo 3 ANÁLISIS POR FOURIER


Matemáticas para Ingenieros. Capítulo 3: Análisis por FOURIER Prof. Fabio Vidal

129

3.1 Introducción. Vamos a iniciar el análisis de dos herramientas denominadas Series de Fourier y Transformada de Fourier.5 Son herramientas con aplicación a las ingenierías y en especial a las ingenierías de la Electr icidad con muchas ventajas y fortalezas. Son herramientas avanzadas que exigen, como fue con la Transformada de Laplace, unos conocimientos importantes del estudiante en cálculo integral y diferencial y manejo total de números complejos. Inicialmente analicemos una visual general de las herramientas relacionadas en el curso. En la Gráfica 1 vemos que para los sistemas sinusoidales puros, o simplemente funciones sinusoidales, la herramienta es la transformada Fasorial, que ya hemos analizado.

Para las funciones no sinusoidales tenemos dos caminos: (a) Si es una función Periódica, lo mejor es utilizar las Series de Fourier, que nos dan resultados aproximados, tanto como queramos. (b) Si son funciones no Periódicas es decir como pulsos u otras funciones que no se repiten periódicamente, la herramienta por excelencia puede ser la Transformada de Fourier. En esta clasificación también puede utilizarse la Transformada de Laplace, prácticamente en todas las partes, pero especialmente en la última, es decir, funciones no sinusoidales y no periódicas. Las funciones sinusoidales ocupan un lugar de importancia en la ingeniería y más en los campos de la electricidad. Los sistemas lineales tienen respuestas estacionarias a entradas sinusoidales, fácilmente 5 Jean Baptiste Joseph Fourier 1768-1830, Matemático francés nacido en Auxèrre. Estuvo en la Escuela Politécnica de París. En 1798 fue nombrado asesor científico de Napoleón y fue 4 años miembro del Institute Egypte. Su campo más sobresaliente es el tratado del calor escrito hacia 1814, que lo condujo a las series matemáticas que llevan su nombre. Justo antes de su muerte, terminó el libro sobre ecuaciones algebraicas que es un gran aporte a las matemáticas modernas.

Impedancia Dominio de la Frecuencia

Gráfica 81: Relación global entre las herramientas fasoriales y de Fourier


130

analizadas a través de los conceptos de impedancia , y el tratamiento por transformada Fasorial, que ya fue analizada en este texto, pero la mayor importancia radica en que una función periódica arbitraria puede representarse como una combinación de ondas sinusoidales de diversas frecuencias, denominadas componentes armónicas o simplemente armónicos, lo cual constituye el campo de la expansión en Series de Fourier; Además, es importante saber que las funciones transitorias no-periódicas, pueden expresarse también a través de las Integrales y Transformada de Fourier. 3.2 Funciones Periódicas Ya hemos tratado parte del tema de las funciones periódicas anteriormente, en el Capítulo 1°. Ahora, vamos a fijar las ideas para entrar directamente al análisis de las Series de Fourier. Si tenemos una función continua a tramos, )(tf , decimos que es una función periódica, si existe un real T > 0 tal que, se cumpla que ),( +∞−∞∈∀t : )()( tfnTtf =+ , con ?∈n El valor T se denomina Período de la función f(t), y normalmente está en segundos.

Si denominamos como )(tfT a la función en un período específico, preferiblemente el primero, se

cumplirá que: ∑+∞

−∞=

+=k

T kTtftf )()( )(tfT también se denomina función generadora de )(tf

simplemente porque con la repetición desplazada de )(tfT se obtiene )(tf . 3.2.1 La onda senoidal (o sinusoidal) y sus parámetros. A continuación mostramos una onda senoidal pura, en varias representaciones según se escojan las unidades del eje “t”. Estudiar cada Gráfica ya que son auto explicativas.

Gráfica 82: Gráfica general de una función periódica con período T

t [s] 0

T T

2T

t1 t1+T

f(t) fT(t)

… …

tk

f(tk)

tk+2T

f(tk+2T )

f(tk ) = f(tk+2T)


131

-1,5

-1

-0,5

0

0,5

1

1,5

-0,6 -0,5 -0,4 -0,3 -0,2 -0,1 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1 1,1 1,2

y = sen(6t)

t [s]

w = 6 rad/s

(a) Función senoidal con el eje “t” en [s]: swT 0472.132 === ππ

-1,5

-1

-0,5

0

0,5

1

1,5

-4 -3,5 -3 -2,5 -2 -1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5 5,5 6 6,5 7 7,5 8wt [rad]

y = sen(6t) w = 6 rad/s

(b) Función senoidal con el eje “t” en [rad]: wt radwTT 2832.6236 ==== ππθ

-1,5

-1

-0,5

0

0,5

1

1,5

-1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2 2,5

y = sen(6t) w = 6 rad/s

wt [rad]

p p p p p p p p

(c) Función senoidal con el eje “t” en unidades de p [rad]: wt radwTT ππθ

236 ===

Gráfica 83: Onda senoidal en varias representacione s dependiendo de las unidades en el eje "t"


132

3.2.2 Simetría de funciones. Las funciones periódicas pueden tener unas cualidades de simetría Gráfica que pueden facilitar su análisis y manejo algebraico, y se utilizan a menudo para simplificar algunas operaciones en las series de Fourier. Las dos simetrías que siguen son las simetrías básicas y las de mayor utilidad y aplicación. 3.2.2.1 Simetría PAR. Decimos que una función )(tf es una función par, si se cumple que: )()( tftf −= .

Ejemplo 46

Las siguientes funciones son PARES: cos(wt), t2, 3 - 5t4. Veamos la prueba: (a) )(cos)cos()](cos[)(cos)( tfwtwttwtfwttf ==−=−=−→=

(b) )()()()( 222 tftttfttf ==−=−→= c) )(53)(53)(53)( 444 tftttfttf =−=−−=→−= Desde el punto de vista gráfico, una función Par posee una simetría de eje, al ser simétrica respecto del eje de ordenadas (en general eje “y”). Esto significa que la función para t > 0 es una imagen de espejo respecto a la función para t < 0. Esto se debe observar en las siguientes funciones cuya Gráfica se muestra.

3.2.2.2 Simetría IMPAR. Decimos que una función )(tf es una función impar, si se cumple que: )()( tftf −=− .

Ejemplo 47

Las siguientes funciones son IMPARES: sen(wt), -3t, t3. Veamos el análisis: (a) )(sin)sin()](sin[)(sin)( tfwtwttwtfwttf −=−=−=−=−→= (b) )(3))(3()(3)( tftttfttf −==−−=−→−=

(c) )()()()( 333 tftttfttf −=−=−=→= Desde el punto de vista gráfico, una función Impar posee una simetría de punto, al ser simétrica respecto del origen punto (0, 0).

Gráfica 84: Funciones pares, muestran la simetría respecto del eje "y"


133

Esto se debe observar en las siguientes funciones cuya Gráfica se muestra.

Existen funciones que no tienen simetría par ni impar, es decir, no son funciones pares y tampoco son funciones impares. En la Gráfica siguiente se muestran dos funciones de este tipo que analizaremos

para comprobar que no tienen ninguna de las simetrías anotadas. Hagamos el análisis en el punto origen. Si tomamos un valor f(t) con t cercano a cero, será diferente al mismo valor con t negativo, y no se cumple ni que )()( tftf −= ni que )()( tftf −=− . Esto lo podemos hacer para ambas funciones (a) y (b); la función (b) comienza en cero, es decir es válida sólo para t > 0, y por lo tanto, no puede tener ninguna simetría.

Ejemplo 48

Las siguientes funciones no son pares ni impares:

)45sin(2),3ln(, °−−+ wtxt Veamos cada una:

(a) ttf =)( está definida sólo para t > 0. Si hacemos ttf −=− )( nos proyecta una función que está definida sólo para t < 0 y por lo

tanto, es otra función. (b) )3ln()( += xxf esta func ión está definida para x > -3 Si ahora hacemos )3ln()( +−=− xxf está definida para x < 3 y por lo tanto es otra función. (c) )45sin(2)45sin(2)()45sin(2)( °++=°−−−=−→°−−= wtwttfwttf que es una función diferente completamente. 3.2.2.3 Simetrías de Media Onda. Existen otras simetrías que se pueden utilizar algunas veces para simplificar cálculos, pero su

Gráfica 85: Funciones IMPARES mostrando la simetría respecto del punto origen

Gráfica 86: Funciones ni pares ni impares


134

aplicación es quizá mas enredada que su efecto. Aquí simplemente las nombramos y mostramos Gráficamente, para que el alumno las analice. Hacemos referencia también a algo que abordaremos con las Series de Fourier que es el análisis de los armónicos, que por el momento quizá no se entienda, pero seguidamente dominaremos el tema.

Simetría de media onda, cuando se cumple que: )()( 2Ttftf +=

Esta simetría se muestra en la Gráfica siguiente, y prácticamente consiste en una onda que se asume con un período T, pero a la mitad del período se repite nuevamente. En realidad es lo mismo que decir que tiene un nuevo período P = T/2 Estas ondas tienen sólo armónicos PARES, los que veremos posteriormente.

Anti-Simetría de media onda, cuando se cumple que: )()( 2Ttftf +=−

Esta simetría se muestra en la Gráfica siguiente, y prácticamente consiste en una onda que se asume con un período T, y a la mitad del período se repite nuevamente, pero simétricamente opuesta respecto al eje “x”. Estas ondas tienen sólo armónicos IMPARES, los que veremos posteriormente

3.2.2.4 Ondas sin simetrías. Ya observamos que no todas las ondas deben tener algún tipo de las simetrías analizadas (ver la Gráfica 86). Es posible tener ondas que no son pares ni impares, y que no tienen alguna simetría de media onda. Algunos autoras las denominan antisimétricas. Antes es bueno anotar que las funciones pares e impares cumplen con unas propiedades fácilmente demostrables, muy similares a las leyes de la aritmética del signo positivo o negativo de los números. Las propiedades citadas son:

• El producto de dos funciones PARES es otra función PAR. • El producto de dos funciones IMPARES es otra función PAR. • El producto de una función PAR y una IMPAR, es una función IMPAR.

Analicemos por ejemplo, la segunda proposición:

-T/2

0

Fm

T/2 T 3T/2

f(t)

t tk tk+T/2

)()( 2T

kk tftf +=

Gráfica 87: Onda con simetría de media onda

-T/2 0

Fm

T/2 T 3T/2

f(t)

t

-Fm

tk tk+T/2

Gráfica 88: Onda con anti-simetría de media onda

)()( 2T

kk tftf +=−


135

Si tenemos dos funciones )(tf y )(tg siendo )(tf PAR, y )(tg IMPAR, hagamos el producto de ambas y resultará una nueva función, )()()( tgtfth = . Entonces, preguntémonos por )( th − :

)()()()]()[()()()( thtgtftgtftgtfth −=−=−=−−=− , o sea que )(th es IMPAR. Q.E.D. El estudiante puede demostrar las otras dos proposiciones. Sin embargo, es importante conocer que toda función arbitraria )(tf puede representarse como la suma de dos funciones provenientes de élla misma, de tal manera que una es PAR, y la otra es IMPAR. Las dos funciones que denominaremos )(tf P y )(tf I por Par e Impar serán:

PAR) (parte2

)()()(

tftftf P

−+= Ecuación 33

IMPAR) (parte2

)()()(

tftftf I

−−= Ecuación 34

Es fácil demostrar que )()( tftf PP −= y que )()( tftf II −−= . Si sumamos:

)(2

)()(2

)()()()( tf

tftftftftftf IP =

−−+

−+=+ Ecuación 35

Ejemplo 49

Encuentre la composición en funciones pares e impares de la onda )30377cos(2)( °−= ttv V. Es obvio que v(t) no es par ni impar; el estudiante debe chequear esta afirmación. Entonces, la componente PAR de v(t) será:

)30377cos()30377cos(2

)30377cos(2)30377cos(22

)()()( °++°−=

°−−+°−=

−+= tt

tttvtvtvP

Utilizando la identidad: BABABA coscos2)cos()cos( =−++ entonces:

tttttvP 377cos330cos377cos2)30377cos()30377cos()( =°=°++°−= . Ahora, la componente IMPAR será:

)30377cos()30377cos(2

)30377cos(2)30377cos(22

)()()( °+−°−=

°−−−°−=

−−= tt

tttvtvtvI

Utilizando la identidad: BABABA sinsin2)cos()cos( =+−− entonces: tttttvI 377sin30sin377sin2)30377cos()30377cos()( =°=°+−°−= . Por lo tanto,

4342143421IMPAR ComponentePAR Componente

377sin377cos3)30377cos(2)( ttttv +=°−= V.

Debemos observar que al mismo resultado podríamos llegar desarrollando directamente la suma de ángulos: ttttv 377sin377cos3]30sin377sin30cos377[cos2)30377cos(2)( +=°+°=°−=


136

Ejemplo 50

Encuentre las componentes PAR e IMPAR para la función 4)( 321 −= xxg

Es fácil demostrar que esta función no es par ni impar. La Gráfica de la función se muestra en la s iguiente Gráfica. La componente par es:

42

)4)4

2)()(

)(33

21(2

1(−=

−+−=

−+=

− xxxgxgxgP

La componente impar es:

333

212

1(21(

2

)4)4

2)()(

)( xxxxgxg

xg I =−−−

=−−

=−

Observe que en este caso, desde el comienzo estaban definidas las componentes en la misma función. 3.3 Otras funciones periódicas no sinusoidales. En la Gráfica siguiente mostraremos algunas de las funciones que se utilizan cotidianamente en la electricidad y que constituyen ondas periódicas no sinusoidales.

-20

-15

-10

-5

0

5

10

15

20

25

30

-4 -2 0 2 4 6

Gráfica 89: Gráfica de la función del ejemplo 50

Diente de Sierra: Onda de barrido en tubo de rayos catódicos

para generación de imagen

Seno rectificada (onda completa): Común en fuentes de Poder y equipos de

telecomunicaciones

Seno semi-rectificada (media o nda): Común en fuentes de Poder y equipos de

telecomunicaciones

Onda Cuadrada: Común en circuitos de reloj de computadores y

en UPS’s

Gráfica 90: Tipos de ondas periódicas no sinusoidales de uso común en la ingeniería de la electricidad


137

3.4 El significado de las Series de Fourier La idea de Fourier, -de explicación muy intuitiva y sencilla-, declara que una función periódica no sinusoidal, que debe cumplir con ciertas condiciones sencillas, se puede representar por una serie de términos sinusoidales de varias frecuencias, denominados armónicos de la frecuencia fundamental.

Ejemplo 51

Si tenemos la onda fundamental tti 20cos)( = la frecuencia fundamental es sradw /200 = Algunos armónicos serán: 1° armónico: t20cos (es el mismo fundamental) 0ww = 2° armónico: t40cos 02ww = 3° armónico: t60cos 03ww = …………… n° armónico: tnw0cos 0nww = 3.4.1 Formación en Series de Fourier de una onda típica cuadrada Vamos a captar la idea de las Series de Fourier, a través de ejemplos de Gráficas hechas por computador, que la ilustran de manera excelente y clara el concepto del desarrollo de Fourier. Tomemos como base, -y a manera de ejemplo-, una onda periódica no sinusoidal muy conocida en el mundo de la electricidad, cual es la onda cuadrada que se muestra en la Gráfica que sigue.

1 0 -1

1

-1

x

y

Gráfica 91 : Onda cuadrada para aproximar por Series de Fourier


138

Ahora, vamos a ver el desarrollo de la serie y la forma como va aproximándose a la Gráfica original:

Onda aproximada con dos armónicos. Se muestran los dos armónicos y la onda resultante. Observe que dos armónicos no quiere decir, armónico fundamental y segundo armónico, sino que hay presentes dos armónicos. En el caso de esta onda cuadrada, sólo existirán armónicos impares, y en esta onda están el fundamental (observe una onda entre -1 y +1) y el tercer armónico (observe tres ondas entre -1 y +1), como se indica en la ecuación de computador que se alcanza a ver en la esquina superior derecha de la Gráfica.

Gráfica 92: Sucesivas aproximaciones de la Onda Cuadr ada, mediante armónicos de Fourier. El número de

picos indican el número de armónicos presentes


139

Onda aproximada con tres armónicos. Se muestra la onda anterior (dos picos), el quinto armónico (observe cinco ondas entre -1 y +1) y la onda resultante (tres picos). Los armónicos presentes son: Fundamental, tercero y quinto armónico.

Onda aproximada con cinco armónicos Se muestra sólo la onda resultante. Observe que tiene cinco picos, que indican los cinco armónicos presentes. A medida que aumentan los armónicos, la onda se aproxima más a la onda cuadrada original. La onda resultante tiene incluidos el fundamental, el tercero, el quinto, el séptimo y el noveno armónico, como se muestra en la ecuación.


140

En la siguiente Gráfica se puede observar una composición mas amplia de la onda, desde la fundamental hasta la que posee en total 10 armónicos: Fundamental (1°)+3°+5°+7°+11°+13°+15°+17°+19°

Gráfica 93: Composición de la Onda Cuadrada mediante la adición de armónico en una Serie de Fourier. El número pe “picos” indica el número de armónicos presentes.


141

3.4.2 Representación Gráfica en Series de Fourier de varias ondas típicas

Gráfica 94: Varias ondas típicas no -sinusoidales de uso frecuente y su aproximación por series de Fourier

Onda Cuadrada

Pulso Rectangular


142

Es importante observar cómo algunas ondas como la Triangular, ofrecen una aproximación bastante buena, en donde casi no se ven las ondulaciones, pero en cambio, algunas como el pulso rectangular no es tan buena, al menos con los pocos armónicos incluidos en estas Gráficas. De todas maneras también debe ser claro que mediante las Series de Fourier, y desde el punto de vista eminentemente matemático, la aproximación podrá hacerse tan buena como se quiera, mediante la serie infinita de armónicos, que en una Gráfica deben ser finitos para poder dibujarlos. En cada caso se alcanza a ver, y se puede analizar la ecuación de la onda dibujada por computador. 3.5 Condiciones para poder desarrollar una función en Series de Fourier Las siguientes proposiciones se denominan condiciones de Dirichlet6, y expresan las condiciones que una función debe cumplir para ser desarrollada en Series de Fourier. Una función f(t) periódica puede expresarse en Series de Fourier si cumple con:

(a) Siendo discontinua, tiene un número finito de discontinuidades en un período. Es decir es continua a tramos.

(b) Tiene un número finito de máximos y mínimos en un período.

(c) Tiene un valor medio finito en un período

Si se cumplen estas condiciones, se puede demostrar que en los puntos de discontinuidad de f(t), como por ejemplo en t = τ la serie converge al valor

promedio : )]()([21 +− + ττ ff

6 Peter Gustav Lejeune Dirichlet, (1805-1859), matemático alemán, alumno de Gauss y Jacobi, hizo con Riemann, el planteamiento riguroso de muchos problemas de análisis matemático, como la convergencia de las series de Fourier.

Onda Triangular “Diente de Sierra”


143

Por fortuna estas condiciones son muy sencillas y todas las funciones u ondas periódicas que se utilizan cotidianamente en el mundo de la electricidad pueden desarrollarse en series de Fourier, lo cual no ocurre con las series de Taylor que exigen que para la función existan todas las derivadas. 3.6 Serie trigonométrica de Fourier La idea fundamental de Fourier es que una función periódica se puede representar por dos series infinitas, una de términos coseno y otra de términos seno, que contienen ambas todos los armónicos de una onda fundamental. Las incógnitas serán los coeficientes de cada término y en esto básicamente consiste el trabajo en las Series de Fourier: Poder encontrar el valor de los coeficientes de los términos en coseno y de los términos en seno. Vamos a presentar en lo que sigue, las fórmulas que nos dan la forma de calcular estos coeficientes, expresándolos en función de integrales propias en general fác iles de realizar, con límites de integración que dependen de los períodos de las ondas fundamentales. Las propiedades de simetría y ortogonalidad de las integrales de las series de Fourier ayudan a simplificar en algo los cálculos, que de por sí, aunque no complejos, son largos y a veces bastante propensos para cometer errores algebraicos y numéricos. La Serie de Fourier puede tomar dos formas: una denominada Serie Trigonométrica que es la primera que analizaremos, y la otra, la Serie Exponencial, que analizaremos luego. 3.6.1 Serie trigonométrica de Fourier para una función tiempo-dependiente. Si tenemos una función periódica tiempo-dependiente )(tf con período T [s], que cumple con las condiciones de Dirichlet citadas, el desarrollo en Serie Trigonométrica de Fourier de )(tf , es la expresión s iguiente:

]lFundamenta Frecuencia12

]lFundamenta Frecuencia22

s

srad

ciclos

1

[

[

)sincos(2

)(

===

== =

++= ∑∞

=

Tof

ofTow

o

onon

no

w

tnwbtnwaa

tf

π

ππ

Ecuación 36


144

En este caso, los coeficientes ii ba y , es decir, nn baa ,,0 son las incógnitas a encontrar. Estos coeficientes se pueden calcular mediante las siguientes integrales:

),3,2,1()sin()(2

),3,2,1()cos()(2

)()(

0

0

0

)( deD.C. ó MedioValor1

2

∫

∫

∫

==

==

≡==

T

on

T

on

To

ndttnwtfT

b

ndttnwtfT

a

tfdttf tfT

a

K

K

Ecuación 37

La ecuación 1 la podemos compactar al aplicarle una propiedad trigonométrica muy conocida y analizada anteriormente, que convierte una suma de términos seno y coseno, en un término compacto sólo en coseno con un ángulo de fase específico:

)/(tan

)cos(sincos122 ABBAC

xCxBxA−=+=

−=+

ϕ

ϕ

Ecuación 38

Aplicando esta propiedad convertimos la ecuación 2 en la siguiente, con igual significado, que muchas veces recibe el nombre de Serie Compacta de Fourier, pero que representa simplemente otra forma de escribir la serie trigonométrica:

00

122

01

0

22

cuadrante) (Verifique)(tan

)cos(2

)(

fT

w

n

nnnnn

nn

n

ab

bac

tnwcatf

ππ

==

−

∞

=

=Φ+=

Φ−+= ∑

Ecuación 39


145

Observaciones:

• Es muy importante notar que los límites de las integrales de la ecuación 2 se han escogido de 0 a T, pero pudieron ser de –T/2 a T/2, o en general, cua lquier par de límites a y b de tal forma que a – b = T, o sea, que se integre la función en un período completo, partiendo de cualquier valor.

• Tenemos hasta ahora, que para desarrollar una función en serie de Fourier (trigonométrica)

debemos realizar tres integrales, -dadas en la ecuación 2-, para encontrar los coeficientes de la serie presentada en la ecuación 1.

• Las ecuaciones presentadas se aplican a una función )(tf dependiente del tiempo, con variable

independiente t. El período T está dado en segundos. Si la función es )(θf o )( xf con variable independiente en radianes, es decir, representando un ángulo, las fórmulas cambian un poco como vamos a mostrar en seguida.

• El coeficiente 2oa , -primer término de la Serie-, representa el Valor Medio de la función f(t), de

manera que, se puede hallar por medio de la integral indicada, que es la definición de Valor Medio de una onda periódica cualquiera, o más fácilmente cuando se conoce la curva y su representación geométrica, mediante observación, apoyándose en la siguiente expresión también general:

Tperíodoun en curva la bajo neta Área

)( 2 == oatf

Ecuación 40

• La relación entre oa y na es simplemente: )(0

nn

o alíma→

=

Ecuación 41

De manera que ya tenemos tres formas de encontrar oa , por las ecuaciones 37, ó 40 ó 41. Esta última forma, la del límite de an, es quizá la más complicada y no se recomienda utilizarla, aunque es perfectamente válida como veremos en algunos ejemplos.

3.6.2 Serie trigonométrica de Fourier para una función que sea dependiente del

ángulo. Observemos las ecuaciones 1 y 2 que definen la Serie de Fourier para una función tiempo-dependiente y hagamos el siguiente cambio de variable: ][radtwo θ= De manera que la nueva variable es θ , un ángulo expresado en radianes, y la función )(tf cambia a )(θf . También es posible hacer el cambio

de variable ][radxtwo = pero también x representará un ángulo, ya que el producto two es un ángulo en radianes. En este último caso, la función )(tf cambiaría a )( xf . Si θ=two entonces: θπ

θ ddt Tow

d2== y como la variable independiente cambia: )()( θftf →


146

Además, los límites de integración serán: πθθ π 2;00 2 ===== TTtt T De manera que:

)sincos(2

)()sincos(2

)(11

θθ nbnaa

tftnwbtnwaa

tf nn

no

onon

no ++=→++= ∑∑

∞

=

∞

=

Ó también: )sincos(2

)(1

nxbnxaa

xf nn

no ++= ∑

∞

=

Las integrales de los coeficientes cambiarán a:

∫∫ ===→ππ

θθπ

θθθ π

2

0

2

0

)(2

)()()( 11

22 dfdfftf Ta

T

o

∫∫∫ ===ππ

θθθπ

θθθ π

2

0

2

00

)cos()(1)cos()(2)cos()(22 dnfdnf

Tdttnwtf

Ta T

T

on

∫∫∫ ===ππ

θθθπ

θθθ π

2

0

2

00

)sin()(1

)sin()(2

)sin()(2

2 dnfdnfT

dttnwtfT

b TT

on

Ecuación 42

Resumiendo: Las ecuaciones de la Serie de Fourier para una función )(θg dependiente de un ángulo θ o )( xg dependiente en general de un ángulo x son:

][

][

),3,2,1(

),3,2,1(

)sincos(2

)(

)sincos(2

)(

1

1

radxtow

radtow

n

n

nxbnxaa

xf

nbnaa

f

nn

no

nn

no

=

=

=

=

++=

++=

∑

∑

∞

=

∞

=

K

K

θ

θθθ

∫

∫

∫

=

=

≡==

π

π

π

θθθ

θθθ

θθθ

π

π

π θ

2

0

2

0

2

0

sin)(

cos)(

)()(

1

1

21 )( deD.C. ó MedioValor2

0

dnfb

dnfa

fdf

n

n

fa

Ecuación 43 Ecuación 44

3.6.3 Serie trigonométrica de Fourier para una función periódica general. Si tenemos una función periódica )(xf con un período P, (P>0), y cumple con las condiciones Dirichlet para ser desarrollada en Serie de Fourier, su expansión estará dada por:

Pwo

nn

no n

Pxnb

Pxna

axf

π

ππ

2

),3,2,1()2sin2cos(2

)(1

=

++= =∑∞

=

K


147

Ecuación 45

∫

∫

∫

=

=

≡==

P

n

P

n

P

P

dxP

xnxfb

dxP

xnxfa

xfdxxf

P

P

xfa

0

0

0

2sin)(

2cos)(

)()(

2

2

1 )( deD.C. ó MedioValor20

π

π

Ecuación 46

El estudiante puede comprobar que si el período es π2=P obtenemos las ecuaciones 44 y 45 anteriores. 3.6.4 Análisis de las fórmulas de los coeficientes de Fourier. Vamos a proceder a la demostración de las integrales de los coeficientes de la serie.

3.6.4.1 Análisis y demostración de la fórmula ∫=T

o dttfT

a

0

)(1

2

Partamos de la definición )sincos(2

)(1

tnwbtnwaa

tf onon

no ++= ∑

∞

=

e integremos en ambos lados en un

período completo:

∫∑∫∫ ∑∫ ++=++=∞

=

∞

=

T

onon

n

To

T

onon

no

T

dttnwbtnwadta

dttnwbtnwaa

dttf0 100 10

)]sincos(2

)]sincos(2

[)(

La segunda integral vale cero, porque es la suma de integrales de una función sinusoidal pura en un período, es decir, el valor medio de cada onda armónica, lo cual es cero. Entonces quedará viva la

primera integral: ...)(1

222)(

000

DEQdttfT

aT

adt

adttf

Too

To

T

∫∫∫ =→==


on dttnwtfT

a0

)cos()(2

Partamos también de la definición )sincos(2

)(1

tnwbtnwaa

tf onon

no ++= ∑

∞

=

multipliquemos en ambos

lados por el factor )cos( tnwo , e integremos en ambos lados en un período completo:


148

4444 34444 214444 34444 2144 344 21321

1 01 00

0 10

sincoscoscoscos2

)]sincos(2

[coscos)(

I

n

T

oon

I

n

T

oon

I

T

oo

T

onon

no

o

T

o

dttnwtkwbdttnwtkwadttkwa

dttnwbtnwaa

tkwdttkwtf

∑ ∫∑ ∫∫

∫ ∑∫∞

=

∞

=

∞

=

++=

=++=

Vamos a analizar cada una de estas tres integrales.

a) 0cos2

cos2 00

1 === ∫∫T

oo

T

oo dttkwadttkwaI . Por el valor medio cero, de la onda sinusoidal pura.

b) ∑ ∫∞

=

=1 0

2 coscosn

T

oon dttnwtkwaI Vamos a desarrollar el producto de los cosenos.

Nos basamos en la propiedad: )]cos()[cos(21coscos βαβαβα ++−= entonces:

==+=→=

=→≠

=

=++−==

∑ ∫

∑ ∫∑ ∫

∞

=

∞

=

∞

=

1 0

1 01 02

) para sólo valor,(único2

]2cos[12

Si

0 Si

])cos[(])cos[(2

coscos

n

T

kon

n

T

oon

n

T

oon

knaTdttkwa

nk

nk

dttwnktwnkadttnwtkwaI

c) Para 3I nos bastará desarrollar el producto de seno por coseno, basados en la propiedad:

)]sin()[sin(21cossin βαβαβα ++−=

])sin()[sin(21cossin twkntwkntkwtnw oooo ++−= Por lo tanto, la integral 3I en un período

será 0: 03 =I Retornando al comienzo:

kk

T

o aT

aT

IIIdttkwtf2

02

0cos)( 3210

=++=++=∫ ? ∫=T

ok dttkwtfT

a0

cos)(2

Q.E.D.


on dttnwtfT

b0

)sin()(2

Se deja al estudiante desarrollar esta demostración, con un proceso similar al que desarrollamos para la fórmula de na . 3.6.5 Espectro de frecuencia en la Serie trigonométrica de Fourier.


149

Volvamos en este momento al desarrollo de la serie compacta de Fourier, expresado por la ecuación 39 descrita atrás.

00122

01

0 22)(tan)cos(

2)( f

Tw

n

nnnnnn

nn a

bbactnwcatf ππ

==−

∞

=

=Φ+=Φ−+= ∑

Podemos decir que 22nnn bac += representa la amplitud relativa de los armónicos, y también, que

)(tan 1

n

nn a

b−=Φ representa la fase relativa de dichos armónicos.

La magnitud de nc , es decir, nc se grafica contra los valores de frecuencia de los armónicos, nw, obteniéndose una Gráfica que recibe el nombre de espectro discreto de frecuencia, o espectro de frecuencia de la respectiva función f(t). La Gráfica luce como la siguiente:

Podemos observar que el valor para w = 0 corresponde al valor medio de la función

2oa y que su magnitud, aunque se indica en

la Gráfica, no debe tener una correlación con los valores de las magnitudes de los armónicos. Dado que el espectro consiste en líneas verticales a determinados valores de frecuencia, recibe el nombre de espectro discreto. Es posible también que para algunos o muchos de los armónicos, su amplitud sea cero y esto se vería reflejado en la Gráfica.

Esta Gráfica no nos da información sobre la fase relativa de los armónicos, nΦ , de manera que existe otra Gráfica denominada espectro de fase, que grafica el ángulo de fase contra nw, pero, esta Gráfica puede considerarse de menor importancia aunque tiene plena validez. En el apartado siguiente avanzaremos hacia la Serie Exponencial de Fourier y posteriormente, iniciaremos el desarrollo de varios de ejemplos, para abordar el análisis y las aplicaciones en circuitos. 3.7 Serie Exponencial o Compleja de Fourier Hemos analizado la serie trigonométrica de Fourier, como el desarrollo de una función general f(t) en términos coseno y seno de varias frecuencias o armónicos, donde necesitamos hacer tres integrales o cálculos para determinar los tres componentes básicos, nn byaa ,0 . Existe otra forma muy conveniente de expresar la Serie de Fourier, como una serie de exponenciales complejos, que no es simplemente un cambio de expresión algebraico, sino que representa un cambio fundamental y nos acerca de manera expedita a la Transformada de Fourier. Este es el análisis que iniciaremos seguidamente, para luego comenzar a dar los ejemplos prácticos de las series de Fourier.

Gráfica 95: Espectro tí pico de frecuencias de una función f(t)


150

Vamos a partir de las expresiones desarrolladas para una función periódica f(t), con período T, y vamos a repetir las fórmulas dadas anteriormente. Las expresiones completas para la Serie de Fourier Trigonométrica de )(tf son:

T

wπ2

0 = Ecuación 47

∫=T

o dttfT

a

0

)(1

2 Ecuación 48

∫=T

on dttnwtfT

a0

)cos()(2 Ecuación 49

∫=T

on dttnwtfT

b0

)sin()(2

Ecuación 50

Recordemos las fórmulas de Euler, que nos dan la representación exponencial del seno y el coseno:

)(21

sin 000

tjnwtjnw

jtnw −−= εε Ecuación 51

)(21

cos 000

tjnwtjnwtnw −+= εε Ecuación 52

Sustituyendo (51) y (52)

)(

2]

22[

2

)](21

)(21

[2

)(

0000

0000

11

1

tjnwn

tjnwn

n

otjnwnntjnwnn

n

o

tjnwtjnwn

tjnwtjnw

nn

o

ajbajbaa

jba

atf

−−

∞

=

−∞

=

−−∞

=

++=+

+−

+=

=−+++=

∑∑

∑

εαεαεε

εεεε

)(2

)( 00

1

tjnwn

tjnwn

n

oatf −

−

∞

=

++= ∑ εαεα Ecuación 53

Habiendo definido dos coeficientes complejos conjugados, y un coeficiente real, de la siguiente forma:

2nn

njba −

=α Ecuación 54

2nn

njba +

=−α Ecuación 55

20

0a

=α Ecuación 56

Observemos que podemos hacer un cambio algebraico en la (53) aprovechando propiedades de la sumatoria y las definiciones de los nuevos coeficientes (54), (55) y (56):


151

∑∑∑

∑∑∑∞+

−∞=

∞

=

∞−

−=

∞

=

−−

∞

=

−−

∞

=

=++=

=++=++=

n

tjnwn

n

tjnwn

n

tjnwn

n

tjnwn

n

tjnwn

tjnwn

tjnwn

n

tf

000

0000

110

110

10 )()(

εαεαεαα

εαεααεαεαα

O sea que finalmente, podemos desarrollar la función en una única sumatoria de términos complejos:

∑+∞

−∞=

=n

twnjntf 0)( εα Ecuación 57

3.7.1 Cálculo del coeficiente de Fourier nα El coeficiente nα se encuentra reemplazando en (54) los valores (49) y (50):

dttfT

dttnwjtnwtfT

dttnwtfjdttnwtfT

dttnwtfT

jdttnwtfTjba

tjnwT

o

T

o

T

o

T

o

T

o

T

onn

n

0

0000

00

)(1

)]sin()[cos()(1

])sin()()cos()([1

2

)sin()(2

)cos()(2

2

−∫∫∫∫

∫∫

=−=−=

=−

=−=

ε

α

dttfT

twnjT

n0

0

)(1 −∫= εα Ecuación 58

3.7.2 Significado Real de los coeficientes

complejos Si observamos el desarrollo en Serie Exponencial (57) podemos expresar que cada término de la serie, excepto 0α , está compuesto por dos expresiones conjugadas:

tjnwn

tjnwn

00 εαεα +−− , y cada sumando conjugado representa

un fasor rotando en dirección opuesta con igual velocidad angular, de tal forma que los componentes imaginarios se eliminan y los componentes reales se suman, dando como resultado un término Real. Esto lo podemos ver ilustrado en la Gráfica 96 adjunta. Otra observación muy importante, es que en el desarrollo exponencial, (57) aparecen términos con frecuencia negativa, lo cual no tiene un significado físico, y sólo es una manipulación matemática que presenta términos conjugado, que unidos, como hemos dicho, anulan la parte imaginaria. El valor de frecuencia negativa, no se puede concebir aislado, sino en conjunto con su pareja conjugada. Una tercera observación es que el espectro de frecuencias se hace ahora con 0wnvsnα . Sin

embargo, algunos autores representan no el valor absoluto de nα , sino 0wnvsnα , apareciendo

Gráfica 96: Representación Fasorial del

término: tjnw

ntjnw

n00 εαεα +−

−


152

las frecuencias negativas, que como hemos indicado no tienen validez física. Sin embargo, con la explicación que hemos dado, se puede aceptar un espectro de frecuencias de dicha forma. 3.7.3 Relación entre los coeficiente de las Series Trigonométrica y Exponencial

de Fourier. Las relaciones bilaterales entre las dos series son las siguientes, que el alumno puede comprobar con un análisis directo de las ecuaciones vistas. Conociendo la trigonométrica encontrar la exponencial: Conociendo la exponencial encontrar la trigonométrica:

20

0a=α

2nn

njba −=α

2nn

njba +=−α

00

2α=a )Re(2 nna α= )Im(2 nnb α−=

Simetrías: Si )(tf es PAR o IMPAR, el cálculo del coeficiente exponencial nα sufre un pequeño cambio, si es que queremos hacerlo; también podemos aplicar la ecuación general para encontrarlo.

dttnwtfTj

dttnwtfT

dttnwjtnwtfT

dttfT

TTTtwnj

T

n 00

00

0000

sin)(cos)(1

]sin[cos)(1

)(1

0 ∫∫∫∫ −=−== −εα

Entonces:

(a) Si )(tf es PAR: la segunda integral es cero y queda: dttnwtfT

T

n 0

2/

0

cos)(2∫=α Ecuación 59

(b) Si )(tf es IMPAR : la primera integral es cero y queda: dttnwtfTj T

n 0

2/

0

sin)(2

∫−

=α

3.7.4 Series seno o coseno de funciones definidas en un intervalo. Cuando una función está definida únicamente para un intervalo inicial (0, L) y queremos ampliar la definición para convertirla en una función periódica, existen tres opciones de ampliación, las cuales se ilustran de manera perfecta en la Gráfica 17.

a) Puede replicar la función mediante un reflejo respecto del eje “y”, utilizando una definición par, para la cual existirá la serie de cosenos únicamente.

b) Puede replicar la función mediante un reflejo respecto del origen, utilizando una definición impar, para la cual existirá la serie de senos únicamente.

c) Puede replicar la función mediante el desplazamiento a (-L, 0) mediante la opción )()( Lxfxf += , obteniendo una serie general de Fourier que puede tener términos en

coseno y en seno.

Gráfica 97: Funciones definidas para series en seno, o coseno o general.


153

Más adelante desarrollaremos un ejemplo que visualiza la generalidad aquí presentada. 3.7.5 Ejemplos de desarrollo en Series de Fourier. Vamos a desarrollar algunos ejemplos de las Series de Fourier, que nos proporcionarán las bases para la aplicación posterior del análisis por series de Fourier.

Ejemplo 52

Con la serie de Fourier para la onda cuadrada periódica que se muestra en la Gráfica, encuentre:

a) Serie trigonométrica b) Espectro de amplitudes c) Espectro de fase d) Serie exponencial e) Espectro de amplitudes

a) Vamos a trabajar con la serie trigonométrica en primera instancia.

La función la vamos a definir:

<<

<<−=

43

4

44

0)(

TT

TT

t

tIti periódica, con período T.

Observando la Gráfica sabemos que es una función PAR, de manera que los términos bn serán cero, cosa que comprobaremos por ejercicio. El período de integración que escogemos es de –T/4 a 3T/4 por facilidad matemática; siendo así, sólo integraremos entre –T/4 y T/4 ya que entre T/4 t 3T/4 la función vale cero.

El valor medio de la función es: 2)2/(períodoun en curva la bajo neta Área

2I

TIT

Toa

===

22Ioa

= ?

Comprobemos por la fórmula integral: 2)()]([ 244

4/

4/

1

2I

TI

TI

dtITTTT

T

o

T

a ==−−

== ∫−

Igual valor

)(sin2

]sin[sin

)](sin[sin22

][sin2

)cos(2

)cos(2

222

42

424/

4/

4/

4/

4/

4/

πππππ

πππ

nnnn

InI

nnn

Itnw

TnwI

dttnwTI

dttnwIT

a TT

TT

T

Too

T

To

T

Ton

==

=−====

+

−−

−−∫∫

T/4 0

I

t

i(t)

-T/4 3T/4 T -3T/4

Gráfica 98: Onda cuadrada periódica de corriente del ejemplo 7


154

)(sin2

2π

πn

nI

an = ?

Observe que si n = 0, ao se vuelve indeterminado )(00 , entonces, podemos calcular también ao a partir

de an así: IIIn

In

Iaa

nnn

nnnnn======

→→→→ ππππ

πππππ 22cos222 2][lim2]

sin[lim2)](sin

2[limlim

00000 ? 22Ioa

=

Aunque ya sabemos que bn = 0, los vamos a calcular:

0]cos[cos2

)](cos[cos2

)]cos([2)sin(2)sin(2)sin()(2

22242

42

0

4/

4/

4/

4/

4/

4/0

=−−=−−−=

=−====−

−−∫∫∫

πππ

ππ nnTn

Inn

TnwI

tnwTIdttnw

TIdttnwI

Tdttnwtf

Tb

T

TT

TT

T

To

T

To

T

To

T

on

0=nb ?

Entonces,

)]sin0cos)sin2

[(2

)sincos(2

)(11

2 tnwtnwn

IItnwbtnwa

ati oo

nono

nn

o n ++=++= ∑∑∞

=

∞

=

ππ

]cos)sin

[(2

2)(

1

2 tnwn

IIti o

n

n

∑∞

=

+=π

π ?

Esta expresión puede trabajarse y/o simplificarse, si queremos, pero, también es válida como respuesta final. Si queremos desarrollar unos términos dándole a n los valores n = 1, 2, 3, 4, …, tendríamos:

)7cos71

6cos05cos51

4cos03cos31

2cos0(cos2

2)( K+−+++−++= twtwtwtwtwtwtw

IIti oooooooπ

)7cos71

5cos51

3cos31

(cos2

2)( K+−+−+= twtwtwtw

IIti ooooπ

? Ecuación 60

Observe que sólo tiene armónicos impares, cosa que resulta del análisis general de an. Vamos a trabajar con el término general:

=−=→−=

==→=

==→=

==

)3,7,11,...(n22

)(sin2

:3,7,11,... es Si

1,5,9,...)(n22

)(sin2

:1,5,9,... es Si

2,4,6,...)(n00)(sin2

:PAR es Si

)(sin2

2

2

2

2

,..11,7,3

,..9,5,1

πππ

πππ

π

π

π

π

π

π

nI

an

In

nI

n

nI

an

In

nI

n

ann

In

nI

a

n

n

nPAR

nn

Entonces, para n IMPAR, lo que cambia es el signo. Esto lo podemos expresar genéricamente de


155

la siguiente forma: ),,71,5

1,31

2 ,1(2

)12()1(2

)(sin2 1

L+−+−⇒−

−==

−

ππππ I

nI

nI

an

nn

Por lo tanto, ])12cos(12

)1([

22

)(1

1

twkk

IIti o

k

k

−−

−+= ∑

∞

=

−

π? Ecuación 61

b) Vamos a dibujar el espectro de frecuencias o de amplitudes, colocando en una Gráfica el valor

absoluto de 22nnn bac += vs. nw. A veces se omite escribir w0, y se escribe simplemente w,

entendiéndose que es la frecuencia fundamental del sistema, es decir, un parámetro constante y no una variable. En el ejemplo,

nnnnn aabac =+=+= 0222 En la Gráfica 99 se observa el espectro de frecuencias para este ejemplo, representando las amplitudes de la serie expresada por (60), o (61). Puede observarse que los armónicos son decrecientes proporcionalmente a 1/n. Además se observa que el término de DC o promedio, no guarda relación con las amplitudes de los armónicos, y por eso, ni siquiera es acogido por la curva envolvente que se muestra en líneas punteadas. Debe observarse que los valores para los cuales no existe el armónico, en este caso, los armónicos pares n = 2, 4, 6. … no se considera el valor CERO para la amplitud del armónico. Esta es una forma de representar el espectro de amplitudes, pero, existe otra forma en que si incluye estos valores. Miremos la Gráfica 19. Para nosotros esta es la representación más correcta y representa exactamente la distribución de las amplitudes de los armónicos, incluyendo aquéllos que no existen porque su amplitud es cero.

c) Espectro de fases : El ángulo de fase está dado por: )(tan 1

n

nn a

b−=Φ Pero como 0=nb , el

Gráfica 100: Espectro de frecuencias del ejemplo 52

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

I

I

I

I

I

I

I

w w w w w w w w w w w w

nc

nw

-0,1

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

I

I

I

I

I

I

I

w w w w w w w w w

nc

nw

Gráfica 99: Espectro del ejemplo 52 considerando armónicos nulos


156

ángulo de fase sería: °±°=°===Φ −−− 1800)0(tan)0

(tan)(tan 111 óaa

b

nn

nn Esto significa precisamente

que todos los términos son en coseno puro, porque debemos recordar el desarrollo de la serie compacta

(Ver ecuación 4): )(tan)cos(2

)( 1220

1

0

n

nnnnnn

nn a

bbactnwcatf −∞

=

=Φ+=Φ−+= ∑

Tratemos de ampliar el concepto en este caso: )sin20

(tan)(tan2

11

π

π

nIa

bn

n

nn

−− ==Φ sabemos que el

denominador puede ser positivo o negativo dependiendo de n: Para N = 1, 5, 9, … el denominador será positivo y el ángulo será cero; para n = 3, 7, 11, … el denominador será negativo y el ángulo será ±180°. Esto lo podemos ver en el desarrollo de la serie dado en la ecuación 23:

)7cos71

5cos51

3cos31

(cos2

2)( K+−+−+= twtwtwtw

IIti ooooπ

Recordando que

AA cos)180cos( −=°± y por lo tanto, podemos re-escribir la serie así:

))1807cos(71

5cos51

)1803cos(31

(cos2

2)( K+°−++°−++= twtwtwtw

IIti ooooπ

, de manera que los

ángulos de fase serán los que se muestran en la Gráfica

d) La Serie Exponencial será la siguiente: ∑+∞

−∞=

=n

twnjntf 0)( εα y el coeficiente nα se calculará como:

2

2/2/

4/4/4/

4/0

4/

4/0

sin)2

(

)(2

[1

)(1

00000

πππ

πεε

π

εεπ

εεεα

nnjnj

TwnjTwnjT

T

twnjtwnjT

T

twnjT

n

nI

jnI

jnI

TjnwI

dtIT

dttfT

=−

=

=−−

=−

===

−

−

−

−−

−

− ∫∫

2sin π

πα n

nI

n = Ecuación 62

Observemos que nα ha resultado en este ejemplo una cantidad Real, como era de esperarse por

nw w 0 2w 3w 4w 5w 6w 7w

-180°

Fn

Gráfica 101: Espectro de fases ejemplo 52


157

nuestros conocimientos anteriores en que nb es cero (por función PAR), y ya que 2

nnn

jba −=α . Esta

es otra forma de haber encontrado este coeficiente, (pero porque partimos de la Serie Trigonométrica):

)(sin2

)(sin2

22 22 ππ

ππα n

n

nIn

Iajba nnn

n ===−

= , igual resultado que (62)

Ya que )(sin 2π

πα n

nI

n = , esta expresión es válida 0≠∀n , porque par n = 0, es una expresión

indeterminada: 21

coslim

sinlim 22 2

000

IIn

I nn

nn===

→→

ππ π

ππα siendo efectivamente:

220

0Ia

==α ?

twnj

n

ntwnj

nnn

twnjn n

IIn

Iti

nI000 )12(

1

)0()12()1(

2

sin

2)( 2 −

+∞

−∞=

−+∞

≠−∞=

+∞

−∞=∑∑∑ −

−+=+== ε

πε

πεα

π

Entonces finalmente:

][2

)( 00000051

313

315

51 KL −+−++−++= −−− twnjtwnjtwjtwjtwjtwjIIti εεεεεε

π ?

Vamos a reorganizar esta expresión, para formar las expresiones Reales de coseno:

]5cos3cos[cos2

2

])5cos2()3cos2()cos2[(2

])()()([2

)(

051

031

0

051

031

0

5cos2

551

3cos2

331

cos2 0

00

0

00

0

00

K

K

K44 344 2144 344 214434421

−+−+=

=−+−+=

=−+++−+++= −−−

twtwtwII

twtwtwII

IIti

tw

twnjtwj

tw

twnjtwj

tw

twjtwj

π

π

εεεεεεπ

Este resultado es exactamente igual al resultado expresado en la ecuación 23 de la serie trigonométrica. e) Si graficamos ahora el espectro de frecuencias, debemos dibujar para la serie exponencial el valor de

nwvsnα2 para poder comparar con el espectro de la serie trigonométrica, ya que recordemos que

2n

n

c=α . En la Gráfica 102 se muestra el espectro de amplitudes para la serie exponencial, escogiendo

como ya dijimos el espectro completo, marcando las frecuencias para las cuales no existe el armónico correspondiente.


158

Ejemplo 53

Encuentre la serie trigonométrica de Fourier para la función )(xf siendo una función periódica cuya

definición damos para el primer intervalo

<≤<<−

=10011

)(xx

xxf Vamos primero a hacer la Gráfica de

la función: Como podemos observar, es una función periódica con período P = 2 Observemos que no hemos definido el período como T, porque la variable independiente es x, y no necesariamente el tiempo. Esto es importante para la escogencia de las ecuaciones de las series de Fourier. De todas formas, será válido que

rad/u2

220 π

ππ===

Pw siendo u unas

unidades arbitrarias que tenga x, que bien pueden ser segundos. Vamos a trabajar por facilidad con w en vez de wo. Las

ecuaciones con las cuales trabajaremos son:

o

nn

no

wP

Pxn

bP

xna

axf

=

++= ∑∞

=

π

ππ

2

)2

sin2

cos(2

)(1

∫=P

P dxxfa

0

)(120

∫=P

n dxP

xnxfa P0

2cos)(2 π

-0,1

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6

I

I

I

I

I

I

w w w w w w

nα2

nw w w w w w w

Gráfica 102: Espectro de amplitudes para la serie Exponencial del ejemplo 52

0 1 2 3 -2-3

1

-1

f(x)

x

Gráfica 103: Función periódica del ejemplo 53


159

∫=P

n dxP

xnxfb P

0

2sin)(2 π

De la Gráfica, deducimos que no tiene simetrías y que si tiene un valor medio. Nuestro período de integración va a ser (-1, 1) aunque parece atractivo escoger (0, 2)

a) Cálculo de 20a

: 43

22

)1)(1()1)(1(20 =

+==

PNetaÁreaa

?

b) Cálculo de na :

∫ ∫∫∫−−

=+===0

1

1

0

1

12

0

coscos12

2cos)(2cos)( 22 dxxnxdxxndxxnxfdxP

xnxfaP

n P ππππ

=−

+−

++

=++=− π

ππ

ππ

ππ

ππ

ππ

πn

nn

nn

nn

xnxn

xnn

xn 0sin0sin0coscossin0sinsincos(

sin(

22

1

022

0

1

2222

1)1(1cosππ

πnn

n n −−=−= 2222

1)1(1cosππ

πnn

nan

n−−=−= Ecuación 63 ?

Otra forma de analizar (26) es observando que:

Para n Par: 0111)1(2222 =

−=

−−=

ππ nna

n

n ?

Para n impar: 222222

2111)1(πππ nnn

an

n −=−−=−−= ?

Lo anterior quiere decir, que los términos en coseno sólo tendrán armónicos impares. c) Cálculo de bn :

πππ

ππ

ππ

ππ

ππ

ππ

ππ

ππ

πππ

nnn

nn

nn

nn

nn

nxnx

nxn

nxn

dxxnxdxxndxP

xnxfb

P

n P

1coscos1

)0cos0cos0sinsin

(cos0coscossin

(cos

(

sinsin2

sin)(

22

1

022

0

1

1

0

0

10

2

−=−+−=

=−−−++−=−+−=

=+==

−

−∫∫∫

πnbn

1−= Ecuación 64 ?

d) Desarrollo de la Serie: )2

sin2

cos(2

)(1 P

xnb

Pxn

aa

xf nn

no ππ

++= ∑∞

=

∑−∑−=∞

=

∞

= 1122

sin1cos243

)(n

imparn n

xnn

xnxf

ππ

ππ

Ecuación 65 ?

La expresión anterior se puede desarrollar en sus términos de la siguiente forma:


160

)44sin

33sin

22sin

1sin

(1

)5

5cos33cos

1cos

(2

43

)( 2222 KL ++++−+++−=xxxxxxx

xfππππ

ππππ

π

e) Cálculo de ao a partir de an Como ejercicio adicional vamos a calcular ao a partir de an: Si partimos de (63):

21

1cos

lim2

12

sinlim

1coslim

0202200 =

−=

−=

−=

→→→

ππππ

ππππ n

nn

nn

annn

Entonces 41

20 =

a lo cual no es

correcto, con el valor de 43

encontrado por áreas, lo cual es un procedimiento infalible.

Sin embargo, miremos la expresión de donde se deduce (63) y antes de simplificar:

222222

1cossin2sin1cossin0sin0sin0coscossin0sinππ

ππ

ππ

ππ

ππ

ππ

ππ

ππ

nn

nn

nn

nn

nn

nn

nn

nn

an

−+=+

−+=

−+

−+

+=

Debemos observar que el primer término de la última expresión es cero, pero para n = 0 se vuelve indeterminado, de manera que:

23

21

2)2

sin(lim2)

2sin

1cos2

(lim)1cossin2

(lim002200 =−=−=−=

−+=

→→→ ππ

πππ

ππ

ππ

nn

nnn

nn

nn

annn

Por consiguiente: 43

20 =

a que es el valor correcto, y ya calculado. Este cálculo nos ilustra la dificultad

que a veces tiene encontrar 0a a partir de na , siendo mejor el cálculo por áreas cuando sea posible.

)1(cos1cos

11

22

11 tantan)(tan −−

−

−−−− ===Φ π

π

πππ

nn

nn

nnanb

n

)1(cos1tan −

−−=Φ ππ

nn

n

Cuando n es par, el denominador se hace cero y se sugiere un ángulo de ±90°

Cuando n es impar, el denominador es -2 y )2

12

1 (tantan ππ nnn

−−

− =−=Φ Vamos a tabular algunos

valores impares. Debemos recordar también que el cuadrante estará dado por el punto: ),( nn ab− en

nuestro caso y para impares: ),( 2221ππ nn

− es decir, como n es positivo, el cuadrante será el 2° siempre.

De manera que el ángulo correcto será: )2

1(tan180 πnn−−°=Φ La tabulación para unos valores de n

impar es: n ? 1 3 5 7

)2

1(tan180 πnn−−°=Φ ? 122.5° 102.0° 97.3° 95.2

Miremos algunos de estos valores, en el desarrollo específicos de los términos de la serie, para cada armónico: )

55sin

44sin

33sin

22sin

1sin

(1

)55cos

33cos

1cos

(2

43

)(2222

KL +++++−+++−=xxxxxxxx

xfπππππ

ππππ

π El

análisis de cada armónico es: )5.122cos(3773.05.1223773.0903183.01802026.0sin3183.0cos2026.0)(1 °+=°∠=°∠+°∠=−−= xxxxf πππ

)902cos(1592.0901592.0)18090(1592.02sin1592.0)(2 °+=°∠=+−∠=−= xxxf ππ


161

)0.102cos(1084.00.1021084.0901061.01800225.03sin1061.03cos0225.0)(3 °+=°∠=°∠+°∠=−−= xxxxf πππ )904cos(0796.0900796.04sin0796.0)(4 °+=°∠=−= xxxf ππ

)3.975cos(0642.03.970642.0900637.01800081.05sin0637.05cos0081.0)(5 °+=°∠=°∠+°∠=−−= xxxxf πππ Valores que confirman los calculados anteriormente. El siguiente es el espectro de fases completo para los primeros ocho armónicos, pares e impares. Se muestra en la Gráfica contigua. Finalmente para este ejemplo, hemos preparado la Gráfica hecha en computador de la serie de Fourier con nueve armónicos completos:

)99sin

88sin

77sin

66sin

55sin

44sin

33sin

22sin

1sin

(1

)99cos

77cos

55cos

33cos

1cos

(2

43

)(222222

xxxxxxxxxxxxxxxf

ππππππππππ

ππππππ

++++++++−++++−=

Debe observar que a pesar de que la Gráfica original es bastante caprichosa, la serie de Fourier sigue con gran cercanía dicha Gráfica.

0

30

60

90

120

150

0 1 2 3 4 5 6 7 8

Gráfica 104: Espectro de fases para el eje mplo 53

-0,2

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

0 1 2 3 4 5

Gráfica 105: Gráfica del ejemplo 53 con nueve armónicos.


162

Ejemplo 54

Encuentre la serie de Fourier para la onda de voltaje sinusoidal rectificada de media onda que se muestra.

a) Serie Trigonométrica b) Espectro de amplitudes c) Serie Exponencial a partir de los

coeficientes de la trigonométrica y compare con la integración directa.

<<=<<

==02

sin)sin(0)()(

ππθπ

θwt

VwtVwtfwtf

a) Serie trigonométrica.

De acuerdo con la Gráfica el período es rad2πθ =P El valor promedio lo debemos calcular por la

integral. π

ππππ

θθπ

πππ VVV

wtdwtVdf wtoa=−

−=== =−∫∫ )]0cos()cos(

22)()sin(

2)(

2[

0)cos([

11

0

2

02

? No es ni PAR ni IMPAR, de manera que hay que calcular an y bn. Vamos a calcular primero a an.

)1()cos1(

1coscossinsin

[

)cos()0(1

)cos(sin1

)cos()(1

20

2

0

22

0

nnV

nnnnV

dndnVdnfan

−+

=−

−−=

=+== ∫ ∫∫

ππθθθθ

π

θθπ

θθθπ

θθθπ

π

π π

π

π

Ahora vamos a calcular a bn.

10)1sin

()]0sin0cos0cos0sin()sincoscossin[()1(

]1

sincoscossin[)sin(sin

1)sin()(

1

22

02

0

2

0

≠∀=−

=−−−−

=

=−

−=== ∫∫

nnnV

nnnnnnn

V

nnnnV

dnVdnfbn

ππ

πππππ

θθθθπ

θθθπ

θθθπ

πππ

Ambos resultados tenemos que analizarlos detenidamente.

Primero analicemos detenidamente a: )1(

)cos1(2nnVan −

+=π

π

• ππππ

π VaVVn

nVa

n=→=

−+

=−

+=

→ 22

)01()11(

])1(

)cos1([lim 0

200 ? En este caso no existe

indeterminación al calcular el límite y el resultado se obtiene de inmediato. • Se vuelve indeterminado para n = 1. Entonces vamos a calculas por L’Hospital a1 :

02

)sin(lim

)1()cos1(

lim1211 =

−−

=−

+=

→→ nnV

nnV

ann

ππππ

π ?

• )1(

)cos1(2nnVan −

+=π

π es CERO para n IMPAR ?

Gráfica 106: Onda de voltaje del ejemplo 54


163

• )1(

22n

Van −

=π

para n PAR ?

Ahora analicemos a: )1sin

( 2nnV

bn −=

ππ

• Vale CERO para todo n, excepto para n = 1 donde se vuelve indeterminada ?

• Vamos a calcular por L´Hospital: 2

)2

cos(lim)

1sin

(lim121

1V

nnnV

nnV

bnn

=−

=−

=→→

ππ

ππ

?

Vamos a resumir todos los valores encontrados para los coeficientes de Fourier:

πVoa

=2

01 =a 0=na Para n IMPAR

)1(2

2nV

an −=

π Para n PAR

21V

b =

0=nb 1≠∀n

Con estos resultados la Serie de Fourier es: ∑∞

= −−+=

Parnn n

nwtwt

Vtv

22 1

cos2sin

21[)(

ππ ?

En la Gráfica adjunta hecha por computador y que incluye nueve armónicos, se puede apreciar la fuerte convergencia hacia la Gráfica original. El eje “x” está en radianes y el eje “y” es unitario, asumiendo que V = 1. Si desarrollamos la serie de Fourier, nos damos cuenta que los armónicos decrecen muy rápido, con el cuadrado de n, lo cual explica la rápida convergencia de la serie. El desarrollo de los cinco primeros armónicos es:

)]488cos

356cos

154cos

32cos

(2sin2

1[)( L++++−+=wtwtwtwt

wtV

tvπ

π

b) Espectro de amplitudes.

-0,2

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Gráfica 107: Gráfica con nueve armónicos de la serie del ejemplo 54


164

El espectro de amplitudes, sin considerar los armónicos inexistentes o sean los armónicos impares 3, 5, 7,… se muestra en la siguiente Gráfica.

Puede decirse que la mayor influencia está en los dos primeros armónicos, para w y 3w; de aquí en adelante, la influencia es muy baja como se desprende de las amplitudes fuertemente decrecientes.

c) Serie exponencial. Vamos a desarrollar la serie exponencial a partir de los coeficientes encontrados en la serie trigonométrica. Las relaciones que rigen estos coeficientes son:

20

0a

=α 2

nnn

jba −=α )Re(2 nna α=

00

2α=

a 2

nnn

jba +=−α )Im(2 nnb α−=

πα

Va==

20

0 42

20

211

1V

j

Vjjba

−=−

=−

=α

)(0 imparnn =α )()1(2

0)1(

2

2 2

2

parnn

Vj

nV

jba nnn −

=−

−=−

=π

πα

LL ++++−−=+−== −−+∞

≡−∞=

−

+∞

−∞=∑∑ twjVtwjVVtwjVtwjV

parnn

twnj

n

VV

n

twnjn jtf 000000 4

152

32

34

15)21(4)( εεεεεεα ππππππ

Si no conociéramos los coeficientes previamente, haríamos la siguiente integral:

]1cos1

[2

]1

)sin(cos1[

2

]1

1[

2]

1]0cos0sin[]cossin[

[2

1

]cossin[

2sin

21

)(21

22

22

0

02

0

2

0

nnV

nnjnV

nV

njnjnV

njnV

dVdf

njnjnj

njnjnj

n

−+

=−

−+=

=−

+=

+−−−−−−

=

=+−

−−===

−−−

−−− ∫∫

ππ

πππ

επ

εππεπ

θθεπ

θεθπ

θεθπ

α

ππ

πθθ

πθ

π

2V/35p

V/2

2V/3p

2V/15p

V/p

Gráfica 108: Espectro de amplitudes del ejemplo 54


165

1]1cos1

[2 2 ≠

−+

= nn

nVn

ππ

α Ecuación 66

a) ππ

αVV

=+

= ]1

11[

20

b) Para encontrar 1α no podemos utilizar la última expresión para nα tomando el límite, porque aunque es indeterminada, no nos conduce al valor adecuado, debemos volver a la expresión que

traíamos un paso antes: 4

]2

)cossin[lim

2]

1)sin(cos1

[2

lim121

Vj

nnjnV

nnjnV

nnn −=−−−

=−

−+=

→→

πππππ

πππ

α

? c) Analizando la expresión (66): imparnn 0=α ?

parnn

Vn )1( 2−

=π

α ?

Estos son exactamente los mismos resultados obtenidos a partir de los coeficientes de la serie trigonométrica. Con esto se completa el ejemplo. 3.7.6 Desarrollo de Fourier en serie no infinita. Aunque el desarrollo de Fourier que hemos analizado hasta ahora ha considerado siempre una serie de infinitos términos que se reúnen mediante una sumatoria, es válido también un desarrollo finito dependiendo de la función en cada caso. El ejemplo más elemental y claro consiste en desarrollar una función como ttf 10cos)( = en serie de Fourier. Efectivamente, es desarrollo en serie de Fourier es la misma función ya que sólo tiene un armónico, en este caso el fundamental, ella misma. Observemos que la generalidad se mantiene. En este caso, como es una función par, sólo tendrá

términos en coseno. El término general na será: sradw /100 = sT510

2 ππ==

10])1(

)2sin([

51

])1(

2[

10)2sin(

])1(

1)1(

1[

10)2sin(

])1(

)2sin()1(

)2sin([

101

])1(

)22sin()1(

)22sin([

101

])1(

)1(2sin)1(2)1sin(

[10

1)1(

0)1(sin)1(sin)1(

0)1(sin)1(sin[

202

])1(20

)1(sin)1(20)1(sin

[2

)cos(cos2

)cos()(2

22

2222

0

22

0

22

0

≠∀=−

=−

=

=+

+−

=+

+−

=+

++

−−

=

=+

++

−−

=+

+−++

−−−−

=

=++

+−−

=== ∫∫

nn

nnTn

nT

nnnT

nn

nn

nTn

nn

nT

nn

nn

TnnTn

nnTn

T

ntn

ntn

Tdttnt

Tdttnwtf

Ta

TTTT

T

TTT

TT

T

on

ππ

πππππππ

ππππππ

ππππ

Esta expresión sólo podrá tener valor cuando n = 1, cuando se vuelve indeterminada:

1552

2051

]2

2cos2)2sin([lim

51

])1(

)2sin([lim

51

51211 ===

+=

+=

−=

→→ ππππππππ

TTnnnn

Tnnn

Ta

nn

Es decir, el único término de Fourier es el primer armónico, o fundamental, de manera que el desarrollo de Fourier será: ttf 10cos)( = demostrando de esta manera que esta serie de Fourier es


166

de un solo término, como era de esperar.

Ejemplo 55

Encuentre el desarrollo de Fourier de ttv 377sin)( 2= Una forma sería encontrando los coeficientes para esta función aplicando las ecuaciones conocidas, pero, otra es desarrollar el seno cuadrado apoyándonos en la propiedad trigonométrica :

)2cos1(sin 212 AA −= De manera que: )]377(2cos1[377sin 2

12 tt −= de tal forma, que la serie de Fourier en esta función tiene dos términos: El valor DC que vale ½ y el segundo armónico en coseno con coeficiente -½. 3.8 La Serie de Fourier y los circuitos. El principio de aplicación de una serie de Fourier a un circuito es simple: se basa en la superposición de fuentes. Si tenemos una fuente compuesta por varias fuentes, una para cada armónico y una para el término de DC, la respuesta del circuito, contendrá una corriente para cada fuente y una para el término de DC. Sumando estas corrientes por el principio de superposición en sistemas lineales, obtenemos la respuesta total estacionaria. Este principio se ilustra perfectamente en la Gráfica adjunta. Para cada frecuencia habrá un circuito con sus correspondientes impedancias, puesto que las impedancias dependen de la frecuencia. Entonces, cada circuito se puede resolver aplicando la transformada Fasorial. En la práctica, lo que se hace es ampliar el concepto de fasor de una única frecue ncia, a fasor para una frecuencia generalizada nw, lográndose la superposición de manera relativamente senc illa. 3.8.1 Valor Efectivo y Potencia. Relación de Parseval. Vamos a trabajar con la serie exponencial ya que con ésta, es más sencillo el desarrollo matemático que nos interesa exponer en cuanto a valor eficaz y potencia en ondas desarrolladas en Series de Fourier. Si tenemos una función general periódica )(tf con período T, expresada en una serie exponencial,

entonces: ∑+∞

−∞=

=n

twnjntf 0)( εα siendo: dttf

Ttwnj

T

n0

0

)(1 −∫= εα

Vamos a multiplicar la expresión de )(tf por su conjugado )(tf ∗ en ambos lados de la ecuación:

∑ ∑∑ ∑∑∑+∞

−∞=

+∞

−∞=

−+∞

−∞=

+∞

−∞=

−∗+∞

−∞=

−∗+∞

−∞=

∗ ====n m

twmnjn

n m

twmnjmn

m

twmjm

n

twnjntftftf 0000 )(2)(2 )()()()()( εαεααεαεα

Gráfica 109: Principio de superposición para una serie de Fourier en un circuito


167

Ahora integramos en ambos lados en un período T:

∫ ∑ ∑∫+∞

−∞=

+∞

−∞=

−=T

n m

twmnjn

T

dtdttf0

)(2

0

2)()( 0εα Integrando el lado derecho término a término de la doble

sumatoria, tendremos términos de los exponenciales twmnjtwmntwmnj00

)( )sin()cos(0 −+−=−ε que integrados sobre un período completo darán CERO siempre que mn ≠ porque su valor promedio es cero. Sólo quedarán vivos los términos para los cuales mn = o sea: 100 =twjε . De manera que la

igualdad quedará: ∑∫ ∑ ∑∫+∞

−∞=

+∞

−∞=

+∞

−∞=

− ==n

n

T

n m

twmnjn

T

Tdtdttf2

0

)(2

0

2)()( 0 αεα Organizando:

∑∫+∞

−∞=

=n

n

T

dttfT

2

0

2)(

1 α Ecuación 67

Esta ecuación se conoce con el nombre de relación de Parseval. La parte izquierda se identifica como la potencia promedio al cuadrado de una función periódica, y también como el valor eficaz al cuadrado o valor RMS al cuadrado (por Root mean square) de la onda f(t), y será igual a la suma de todas las

potencias n de cada armónico 2

nα . Refiriéndonos al valor eficaz de una onda de corriente o de voltaje, tendremos a partir de (67):

∑∫∞+

−∞=

=====n

n

T

RMSefectivoeficaz dttiT

IIII 2

0

2)(1 α Ecuación 68

Si ahora queremos relacionar el valor eficaz con los coeficientes de Fourier de la serie trigonométrica, recordemos las relaciones siguientes, y reemplacemos en (68):

2

nnn

jba −=α )Re(2 nna α=

20

0a

=α

2

nnn

jba +=−α )Im(2 nnb α−= 0

0

2α=

a

∑∑ ∑

∑ ∑∑ ∑

∑ ∑∑ ∑∑ ∑∑

∞

=

∞

=

∞

=

∞=

∞+

=∞=

∞+

=

∞=

∞+

=−

∞=

∞+

=−

−

−∞=

∞+

=

∞+

−∞=

++=

++++=

=

+−++=

+

−+

+=

=

++=++=++==

1

2022

1 1

202222

1

1

2022

1

1

20

22

1

1

2022

1

1

20

221

1

20

222

2)(

21

2)(

41)(

41

241

41

222

2

nnn

n nnnnn

n nnnnn

n n

nnnn

n nnn

n nnn

n nnn

nnRMS

abaababa

ajbajba

ajbajba

aI ααααααααα

Entonces el valor eficaz de una onda en función de los coeficientes de la serie de Fourier trigonométrica, es decir, en función de los valores máximos de sus componentes armónicos es:

∑∞

=

++

=

1

2220

2)(

2 n

nnRMS

baaI Ecuación 69

Si consideramos la expresión de la serie de Fourier en armónicos referidos a cada uno de sus


168

valores eficaces y no de sus valores máximos, podemos trabajar con la ecuación 32 de la siguiente forma:

[ ]∑∑∑∞

=

∞

=

∞

=

++=

+

+=

++

=

1

2220

1

2220

1

2220

222)(

2 nbnan

n

nn

n

nnRMS III

baI

baaI

[ ]∑∞

=

++=1

2220

nbnanRMS IIII Ecuación 70

Se demuestra que el valor eficaz de una onda expresada en términos de Fourier, es la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de los valores eficaces de sus a rmónicos. 3.8.2 Análisis de un circuito por Serie de Fourier. Para analizar un circuito alimentado por una onda no sinusoidal, periódica, f(t), pueden seguirse las siguientes recomendaciones generales, dadas para el desarrollo en serie trigonométrica de Fourier:

1. Determine el Período y la Frecuencia Fundamental de f(t) 2. Investigue el tipo de simetría de f(t) si la tiene. Esto puede simplificar un poco

el cálculo de los coeficientes de la Serie de Fourier 3. Determine el mejor interva lo de integración en un período completo. Esto

facilita la integración para encontrar los coeficientes 4. Defina analíticamente a f(t) en el intervalo de integración escogido 5. Calcule los coeficientes de Fourier: ao, an, bn Analice por lo general

para n par y para n impar, o para valores de n que indeterminan el coeficiente. 6. Desarrolle la serie de f(t) con los coeficientes encontrados 7. Analice el circuito por superposición de armónicos en el dominio w , es decir,

fasorialmente, trabajando con el faso nwo. 8. Encuentre la respuesta forzada o estacionaria. 9. Si se requiere, encuentre la respuesta natural del circuito, por procedimientos

convencionales de cálculo 10. Conjugue en una, la respuesta total: forzada + natural

A continuación vamos a presentar dos ejemplos típ icos de desarrollo en series de Fourier y solución de circuitos.

Ejemplo 56

El circuito mostrado pertenece a la red industrial de 60 Hz y es alimentado por la siguiente fuente de voltaje, desarrollo de Fourier con tres términos armónicos: fundamental, tercero y quinto.

Vwtwtwtte )205sin(8.28)303sin(7.70sin4.141)( °−−°++= Analice el circuito y encuentre: (a) La expresión de la onda

i(t)



169

total de corriente i(t), (b) La potencia disipada por la resistencia, (c) El voltaje eficaz en la inductancia. Solución.

a) Este es un circuito de corriente alterna, RLC, alimentado por una fuente no sinusoidal periódica, expresada en desarrollo de Fourier con frecuencia fundamental, y 3° y 5° armónicos.

Vamos a analizar el circuito basándonos en la superposición, encontrando la respuesta de corriente para cada componente armónico de la entrada. En cada caso, lo haremos por fasores, trabajaremos con valores eficaces y representación coseno.

Fundamental, 1° Armónico: sradfw /3776022 === ππ

• Alimentación: VE °−∠=°−∠= 90100902

4.1411

• Impedancias: Ω= 6R Ω=== 85.18)05.0)(377( jjjwLZL

Ω−=×

−=

−= − 85.26

)108.98)(377( 6 jj

wCj

ZC

• Cálculos: El circuito de frecuencia fundamental, 377 rad/s se muestra a la derecha

Ω°−∠=−=−+= 13.53108685.2685.1861 jjjZ

AZE

I °−∠=−∠

−∠== 87.3610

12.531090100

1

11 ?

Attti )13.53377sin(210)87.36377cos(210)(1 °+=°−= 3° Armónico: sradw /11313 =

• Alimentación: VE °−∠=°+−∠= 6050309027.70

3


Ω−=×

−=−= − 95.8)108.98)(1131( 6 jj

wCjZC

• Cálculos: El circuito de frecuencia 3w se muestra a la derecha

Ω°∠=+=−+= 81.8298.476.47695.855.5663 jjjZ

AZE

I °−∠=∠−∠

== 81.14204.181.8298.47

6050

3

33 ?

Attti )81.521131sin(204.1)81.1421131cos(204.1)(3 °−=°−=

I1

Gráfica 111: Circuito de frecuencia fundamental

Gráfica 112: Circuito de 3° armónico

I3

Gráfica 113: Circuito de 5° armónico

I3


170

5° Armónico: sradw /18855 = • Alimentación: VE °∠=°−+−∠= 7036.20)2018090(

28.28

5


Ω−=×

−=

−= − 37.5

)108.98)(1885( 6 jj

wCj

ZC

• Cálculos: El circuito de frecuencia 5w se muestra a la derecha

Ω°∠=+=−+= 14.861.8988.88637.525.9465 jjjZ

AZE

I °−∠=∠

∠== 14.1623.0

14.861.897036.20

5

55 ?

Attti )86.731885sin(223.0)14.161885cos(223.0)(5 °+=°−= Ahora podemos superponer las tres respuestas en el tiempo, sumando las corrientes, para encontrar la corriente total estacionaria del sistema: )()()()( 531 titititi ++=

Atttti )86.731885sin(223.0)81.521131sin(204.1)13.53377sin(210)( °++°−+°+= Atttti )86.731885sin(33.0)81.521131sin(47.1)13.53377sin(14.14)( °++°−+°+= ?

Tabulemos resultados:

Tabla 10

Armónico w [rad/s] Zi [O] Ei [V] ii(t) IiRMS [A] Pi=RI2i [W]

1 377 °−∠ 13.5310 °−∠ 90100 )13.53377sin(210 °+t 10 600 3 1131 °∠ 81.8298.47 °−∠ 6050 )81.521131sin(204.1 °−t 1.04 6.49 5 1885 °∠ 14.861.89 °∠7036.20 )86.731885sin(223.0 °+t 0.23 0.32

b) Vamos a calcular la potencia disipada en la resistencia. Primero, lo haremos a partir de los datos

de potencia para cada armónico calculados en la tabla anterior. Si sumamos las tres potencias de cada armónico: WPi 81.60632.049.6600 =++=∑ ? Ahora, comparemos con el cálculo por corriente global en valor eficaz. De la ecuación 33:

[ ] AIIIIn

bnanRMS 06.1023.004.110 222

1

2220 =++=++= ∑

∞

=

Entonces: WRIP 81.606)06.10)(6( 22 === ?

Debemos observar algo muy importante y es que cuando existen ondas de diferente frecuencia, es posible utilizar la superposición de Potencias, lo que no es cierto con ondas de igual frecuencia.

c) Ahora vamos a encontrar el voltaje en la inductancia: Tenemos dos caminos, el primero trabajando en el dominio del tiempo, es aplicar la ecuación

)()( tidtd

LtvL = para la onda de corriente total ya encontrada, y el otro, trabajando en el dominio


171

de la frecuencia, es encontrar el voltaje Fasorial para cada armónico. Haremos ambos procedimientos.

• Trabajando en el dominio del tiempo:

Vtttttt

tttdtd

tidtd

LtvL

)86.731885cos(2.30)81.521131cos(13.83)13.53377cos(5.266)]86.731885cos()1885(32.0)81.521131cos()1131(47.1)13.53377cos()377(14.14[05.0

)]86.731885sin(33.0)81.521131sin(47.1)13.53377sin(14.14[05.0)()(

°++°−+°+==°++°−+°+=

=°++°−+°+==

• Trabajando en el dominio de la frecuencia:

LL IZV = , entonces de la tabla anterior podemos extraer los valores adecuados:

Tabla 11

Armónico ZiL [O] Ii [A] ViL= ( ZiL )( Ii ) [V] RMS

)(tviL [V]

1 9085.1885.18 ∠=j 87.3610 −∠ °∠ 13.535.188 )13.53377cos(5.266 °+t 3 9055.5655.56 ∠=j 81.14204.1 −∠ °−∠ 81.5281.58 )81.52754cos(17.83 °−t 5 9025.9425.94 ∠=j 14.1623.0 −∠ °∠ 86.736.21 )86.731885cos(5.30 °+t

Por consiguiente:

VttttvL )86.731885cos(5.30)81.52754cos(17.83)13.53377cos(5.266)( °++°−+°+= Coincidiendo con el valor trabajado directamente en el dominio del tiempo. El valor eficaz del voltaje en la inductancia por la ecuación 33 será:

VVVVVL 6.1986.2181.588.188 22225

23

21 =++=++= ?

Ejemplo 57

Para el circuito mostrado, alimentado en t = 0 por la onda cuadrada indicada, encuentre: (a) La respuesta vc(t) forzada (estacionaria) (b) La respuesta vc(t) natural (transitoria) (c) La respuesta vc(t) total.

v(t) (V)

t (s)

0,4π 0,2π 0,6π 0 -0,2π

+ v(t)

i(t)

R = 2 Ω

C = 2F

10

vc(t) +

-

Gráfica 114: Circuito y onda para el ejemplo 57


172

Hay que tener especial cuidado al hacer el siguiente análisis, el cual no es válido

Ω====→==→=Ω= 10,0)2)(5(

1511;/5

4.024.0;2

00 CCw

XsradwTR Cπππ

Ω−∠=−= o9,2210,02 jZT Ahora calcularemos el valor RMS de la onda de entrada:

[ ] [ ] RMS

T

TRMS VdtdttvV 07,750)2,0(4,01000104,0

1)(2,0

0

2

0

21)( ===

+== ∫∫ πππ

π

Entonces, podríamos decir que la corriente será:

AZ

VI

T

RMS 9,22

259,22050

∠=−∠

∠== Entonces: VZIV cc °−∠=−∠∠== 1.8737.09010,0)(9.2

225

(

Es evidente que esto es inválido porque estamos aplicando una transformada Fasorial a un sistema alimentado por una onda NO sinusoidal, lo cual no es correcto. Este análisis sería válido si la onda fuera una onda sinusoidal de frecuencia w0. Debe observarse que en efecto, el valor eficaz de la onda de entrada es 7.07 V, pero, no podemos decir que se puede representar como un fasor porque esta transformada es sólo válida para ondas sinusoidales. Además, tampoco es válido que la impedancia sea

calculada como se hizo, porque aunque la frecuencia de la onda de entrada si es s

radwo 5= no es cierto

que se pueda utilizar para representar la impedancia como fasor, porque esta transformada nuevamente sólo se puede utilizar en sistemas sinusoidales. El análisis correcto es por medio del desarrollo en serie de Fourier, el cual iniciaremos en este momento. Lo haremos por pasos, simplemente por ser ordenados, aunque estos pasos no siempre serán los mismos, y dependerán del caso específico. Pasos en el desarrollo de una Serie de Fourier:

1. Frecuencia: Para la onda cuadrada se cumple: T = 0.40π entonces s

radT

wo 540,022

===π

ππ

2. Simetría : no tiene ninguna. No es función par ni impar. 3. Intervalo de integración: Por la Gráfica, el más conveniente es [0, T] que se convertirá en [0, T/2]

porque entre T/2 y T la función vale cero.

4. Definición analítica: f(t): ?

<<≤≤

=segt

segtVtv

πππ

40.020,0020.0010

)(


173

5. Coeficientes de la Serie:

>∀=−π

π=

ππ

=π

π== ∫∫

)0n(0)n

0sennsen(

10nt5sen)[

n51

(4,0

20

dt)nt5cos(104,02

dt)tnwcos()t(fT2

a

2,0

0

20,0

0

T

0on

) de medioValor (52

10)cos

(lim10)(lim1000

v(t)an

nsenn

a o

nno =⇒=

//=

=

→→ πππ

ππ

π=

==π−

π=

π−

π=

π

π= ∫ )imparn(

n20

b

)parn(0b)ncos1(

n10

n5nt5cos

(50

dt)nt5sen(104,02

bn

n2,0

0

2,0

0n

6. Desarrollo de v(t): Vamos a desarrollar en Serie Fourier la función v(t):

++++=+= ∑

∞

=L

525

315

15

)20

(55

)20

(5)(

)(1

tsentsentsenn

ntsentv

imparn ππ V Ecuación 71

7. Análisis del circuito: Debe observarse que la onda de entrada que es una onda cuadrada NO

sinusoidal, la hemos transformado mediante la Serie de Fourier en una suma de ondas sinusoidales, de frecuencias armónicas.

Esto nos permite ampliar el concepto de fasor que lo teníamos restringido a una onda pura de única frecuencia, a una onda genérica de frecuencia nwo. Eso es lo que haremos en este momento. A partir de (71) podemos observar que la onda de excitación tiene una componente de D.C. que vale 5V, la cual mantendremos separada del análisis Fasorial y la consideraremos luego por superposición. El segundo término es una suma infinita de términos sinusoidales. El término n-ésimo, lo podemos

escribir: ntsenn

tvn 5)20()(π

= y por lo tanto, expresado fasorialmente es: °−∠= 9020πn

Vn utilizando

la nomenclatura de valor máximo y con referencia de coseno. En este fasor, la frecuencia es sradnnww /50 == . Bajo estas consideraciones, el circuito n-fasor es:

La impedancia n del condensador es:

°−∠=−

==== 9010

11010

1511

nnj

njnCjjwCZnC

Ahora podemos encontrar la impedancia total n.

njZn 10

12 += Ahora podemos encontrar la expresión sistémica

para el voltaje de salida requerido en el condensador, vo ltaje también n-fasor.

+ Vn

In

2 Ω

ZnC O VnC

+

-

Gráfica 115: Circuito n-fasor


174

( )

+

=

+==

=

njV

nj

njVjwHVZZ

VV nnnnn

nCnnC 201

1

101

2

101

)( Podemos expresar la función de

transferencia del sistema como:

)20(1400

1

)]20([1400

1201

1)( 1

212nTg

nnTgnnjjwHn

−

−−∠

+=

∠+=

+=

Ahora vamos a reemplazar la excitación por su valor específico en este ejemplo:

VnTgnn

nTgnn

jwHVV nnnC )]20(90[1400

20)]20(1400

1)[9020()( 1

2

1

2

−− −−∠+

=−∠+

−∠==ππ

)]20(90[1400

20 1

2nTg

nnVnC

−−°−∠+

=π

Ecuación 72

Esta es la expresión n-fasorial para el voltaje en el condensador, de manera que si regresamos al dominio del tiempo, podemos expresar el voltaje en el condensador como:

)205sin(1400

20)]2090(5cos[

1400

20)( 1

2

1

2nTgnt

nnnTgnt

nntvnC

−− −+

=−°−++

=ππ

Este ángulo compuesto se puede representar con el siguiente triángulo:

Desarrollemos la expresión sinoidal de la ecuación anterior:

)5cos205(sin1400

11400

205cos1400

15sin

)20sin(5cos)20cos(5sin)205sin(

2

22

111

ntnntn

n

nntn

nt

nTgntnTgntnTgnt

−+

=

=+

−+

=

=−=− −−−

De manera que si reemplazamos en la expresión vc(t):

)5cos205sin()1400(

20

)5cos205(sin1400

1

1400

20)205sin(

1400

20)(

12

22

1

2

ntntn

ntnntnnn

nTgntnn

tv

n

nC

−+

=

=−++

=−+

= −

π

ππ

Ahora nos resta sumar por superposición el voltaje D.C. en el condensador que será idéntico al voltaje D.C. de la fuente: 5 V, para llegar a la expresión final del voltaje estacionario en el condensador:

∑∞

=

−+

+=

imparn

nC Vntntn

tv n1

2 )5cos205sin)(1400

1(

205)( 1

π Ecuación 73

20n

a

1

1400 2 +n

Gráfica 116: Triángulo de fase del ejemplo


175

Observaciones:

• Debemos recordar que esta es la respuesta forzada o estacionaria del circuito. No incluye ningún transitorio ya que hemos trabajado con fasores y sabemos que con esta transformada solo se obtienen respuestas estacionarias.

• Observemos que la respuesta tiene armónicos en seno y coseno, a pesar que la fuente de voltaje sólo tiene términos en seno.

• Los armónicos son los mismos, por lógica ante la metodología de superposición, como respuesta a cada uno de los armónicos de entrada.

• Vamos a representar esta función de respuesta con ayuda de un computador, antes de acometer el cálculo de la respuesta natural o transitoria y antes de proceder a encontrar la respuesta total, que será la suma de la respuesta estacionaria y la transitoria. La siguiente es la Gráfica expresada por (36) con cuatro armónicos con el eje x en radianes, y el eje y en voltios. Es una onda triangular, a pesar que la entrada es rectangular, y converge rápidamente lo que se observa por la casi ausencia de picos en la onda.

8. Respuesta natural: Un circuito RC tiene una respuesta natural exponencial decreciente de la forma

ktA −ε con RCk /1= constante de tiempo del sistema. En nuestro ejemplo: ][4)2)(2( segFRC =Ω= de manera que se ensayará una respuesta transitoria de la forma: 4/)( t

tc Atv −= ε La constante A se deberá encontrar a partir de la respuesta total, y no ahora

9. Respuesta total: La respuesta total será la suma de las dos respuestas, transitoria, más estacionaria.

∑∞

=

− −+

++=+=impar

n

ttccnc Vntnt

nAvvtv n

12

4/ )5cos205sin)(1400

1(

205)( 1

πε

De aquí podemos intentar el cálculo de la constante A. Si observamos el circuito, sabemos que 0)0( =cv porque el condensador está descargado en t = 0 y al momento de cierre del interruptor

4,4

4,6

4,8

5

5,2

5,4

5,6

-1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5 5,5 6 6,5 7 7,5

Gráfica 117: Gráfica de la respuesta vc(t)


176

el condensador se cortocircuita. Entonces:

0)1400

1(

4005)0cos200sin)(

14001

(20

5)0(1 1

220 1∑ ∑

∞

=

∞

=

=+

−+=−+

++=impar

nimpar

nc n

An

Av n ππε

Despejando a A: ∑∑∞

=

∞

= ++−=

++−=

imparn

imparn nn

A1 21

2 )

4001

1(

15)

14001

(400

5ππ

El término de la sumatoria tiene

un cuadrado de n más 1/400 que se puede despreciar frente a n2, de manera que si aceptamos que: 22

4001

nn ≈+ para n impar, entonces, consultando tablas para encontrar la suma de los inversos

impares al cuadrado: 61.4588

15)

1(

15

2

12 −=−=+−=+−≈ ∑

∞

=

ππππ

imparn n

A Llegando a la respuesta total:

Vntntn

tv

ioEstacionar

imparnoTransitori

tc n

44444444 344444444 21

43421 ∑∞

=

− −+

++−=1

24/ )5cos205sin)(

14001

(20

561.4)( 1π

ε Ecuación 74

En la Gráfica tenemos el eje x en radianes, y el eje y en voltios. Es muy interesante observar la manera como desde un comienzo aparece la onda triangular, pero, se vá acercando exponencialmente al valor medio 5, tal como lo indica la ecuación general.

-1

0

1

2

3

4

5

6

-3 -1 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25

Gráfica 118: Respuesta total con el transitorio y el estacionario.


177

3.9 Transformada de Fourier 3.9.1 Proceso de concepto y definición de la Transformada de Fourier Vamos a iniciar el análisis a partir de la Serie Exponencial de Fourier:

dttftf twnjtwnjT

T

Tnn

n−∫∑

−

∞+

−∞=

== εεα α2

2

)()( 1

Vamos a encontrar el desarrollo en serie exponencial para la secuencia de pulsos periódicos mostrados, donde la definición para el primer período es

<<<<

=TtT

TtAtf

P

PP 0

0)( Donde: f

Tw ππ

22

0 ==

La relación de duraciones TTP tendrá un

protagonismo importante. Iniciaremos el análisis encontrando el coeficiente nα :

)1()2

)()2

)()(

1)(

1 2222 0

0200

−−

=−−

=−

=== −−−−− ∫∫ TPTn

PTP

T

P

To jTjnT

tjn

T

Ttjn

Ttjnw

n jnA

jnA

jnTA

dtAT

dttfT

ππππ

επ

εεπ

εεεαπ

)1()2

2

−−

= − TPTn

jn jn

A π

επ

α Conocemos las siguientes identidades:

=+

−=−−−

−−

)cos(1

)sin(21

22/

22/

wjwjw

wjwjw

j

j

εε

εε

Reemplazando: )]sin([)]sin(2[2 2

222

TTnj

TTnj

nPP T

PTnT

PTn

nA

jjn

A ππππ

επ

επ

α −− =−−

=

La serie exponencial para el pulso mostrado es:

tT

njtwnj

nn

o

nntf

)2

()(

π

εαεα ∑∑∞+

−∞=

∞+

−∞=

== )(PTTnsene PT

T

njn

nA πππα −=

La relación PT

T es la razón de la duración del pulso a la duración de todo el período; Para efectos de dar

una escala al caso específico, asumamos como ejemp lo que esta razón es: 6=PT

T entonces:

)sin()]sin([ 66 ππππ

επ

επ

α njTTnj

n

nT

PTn

nA

nA

P −− == ? n

A n

n

)sin( 6π

πα =

167.060 ≈=== A

TAT

PeríodoÁrea Pα También se puede hallar como nn

αα00 lim

→= ; se deja al estudiante

encontrarlo por este camino. Entonces, 333.02 0 ≈α

Gráfica 119: Tren de pulsos periódicos


178

Sabemos también que: 222 nnnn baC +==α y vamos a dibujar e l espectro de frecuencias, que se

muestra en la próxima Gráfica, tabulando 0..2 nwsvnα :

Tabla 12 TABULACIÓN DE 0..2 nwsvnα

n = 0 ±1 ±2 ±3 ±4 ±5 ±6 ±7 ±8 ±9 ±10 ±11

nA n

n)sin(2

2 6π

πα =

0.333 0,3183 0,2756 0,2122 0,1378 0,0636 0 0,0454 0,0689 0,0707 0,0551 0,0289

En la Gráfica de frecuencias se observa claramente la línea punteada que tiende a la función x

x )sin( 6π

como una envolvente continua. Observe que la distancia entre dos valores de w, que es wo, y que

diminuiría si T aumenta porque: T

wπ2

0 = , y a mayor T, será menor wo, acercándose las líneas

verticales unas a otras y tendiendo a fo rmar un área densa, casi continua. Este proceso de límite, se muestra gráficamente en la siguiente Gráfica, donde se parte de un tren de pulsos con un cierto valor de período T, y luego se incrementa T a un valor mayor, T1, mostrándose la forma como las líneas discretas de frecuencia se acercan unas a otras, tornándose más densa la Gráfica, y tendiendo la envolvente punteada a una curva continua. Es importante anotar que en la Gráfica 120 anterior, hemos tabulado el valor absoluto de nα , en cambio, en la próxima Gráfica, se han dibujado valores de nα sin valor absoluto, y por eso se observan períodos de valores negativos en las ordenadas. Ambas Gráficas, con valor absoluto, o sin valor absoluto, representan adecuadamente el espectro de frecue ncias.

0,0000,019

0,0340,0420,0390,024

0,000

0,029

0,0550,0710,069

0,045

0,000

0,064

0,138

0,212

0,276

0,3180,333

0,318

0,276

0,212

0,138

0,064

0,000

0,045

0,0690,0710,055

0,029

0,000

0,0240,0390,0420,034

0,0190,0000

0,05

0,1

0,15

0,2

0,25

0,3

0,35

-18 -17 -16 -15 -14 -13 -12 -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18

nwo wo

nα2

Gráfica 120: Espectro de frecuencias del tren de pulsos periódico


179

Luego, en la tercera figura de la Gráfica 120, se hace que el período tienda a infinito, y por lo tanto, el tren de pulsos periódico se convierte en un solo pulso no periódico, y la Gráfica de espectro de frecue ncias se convierte en un área densa total y la envolvente punteada se vuelve una función continua. Este proceso que se explica claramente y se entiende perfectamente, es el camino que nos lleva a la transformada de Fourier de una función f(t). El proceso de llevar a T al infinito, tiene los pasos analíticos siguientes:

a) Hacemos que ∞→T , esto nos lleva a: b) Los pulsos periódicos separados T, se vuelven un solo pulso, no periódico c) continua) variable()discreta variable(0 wnw →

d) 02

0 →=T

wπ lo que matemáticamente significa que l)diferencia(0 dwww →∆→

e) Entonces, durante el proceso: π2

1 wT

∆→

Vamos a introducir paso a paso, todos estos cambios en la serie exponencial del tren de pulsos; el estudiante debe analizar con mucho detenimiento los pasos y la forma como se van introduciendo los cambios:

Gráfica 121: Proceso de incremento del período en un tren de pulsos


180

dwtwjtwj

twjtwjtwnjtwnjtwnj

dttf

dttfwdttfT

tfw

T

T

o

n

T

T

oo

nn

n

εε

εεπ

εεεα

π

α

∫ ∫

∑ ∫∑ ∫∑

∞

∞−

∞

∞−

+∞

−∞= −

+∞

−∞= −

+∞

−∞=

−=

=−

=−

=∆=

])([

])(2

[])(1[)(

2

1

2/

2/

2/

2/ 444 3444 21

De manera que la función ha quedado expresada como: dwtwjtwj dttftf εε

π ∫ ∫∞

∞−

∞

∞−

−= ])([)(

2

1 y si

ahora hacemos el siguiente paso, observando que el integrando que está entre paréntesis cuadrado en la

primera integral es una función de w : dwtwjtwj

wF

dttftf εεπ ∫ ∫

∞

∞−

∞

∞−

−=

44 344 21)(

])([)(2

1 de manera que:

∫∞

∞−

−= dttfwF twjε)()( Esta expresión es la Transformada de Fourier de f(t).

Entonces: dwwFtf twjεπ ∫

∞

∞−

= )()(21

Esta expresión es la Anti-Transformada de Fourier de G(w).

El espectro continuo de frecuencias será entonces: wsvwF ..)( La nomenclatura general utilizada para la transformada de Fourier (F ), es similar a la de Laplace:

∫∞

∞−

−== dttfwFtf twjε)()()]([F Ecuación 75

dwwFtfwF twjεπ ∫

∞

∞−

== )()()]([211-F Ecuación 76

3.9.2 Observaciones a la definición de la Transformada de Fourier

• Como vemos en las ecuaciones (75) y (76), son integrales impropias cuyo cálculo lleva implícito un proceso de límite. Si dichos límites convergen, la integral converge en sentido amplio y existirá la correspondiente transformada o anti transformada de Fourier. Si el límite no existe, la transformada no existe, o al menos, no es posible encontrarla por el camino de la definición directa, como ocurre con la transformada de las funciones singulares que analizaremos luego.


181

• Si miramos en retrospectiva de donde salen las definiciones de la transformada y anti

transformada de Fourier, llegamos a la expresión dwtwjtwj

wF

dttftf εεπ ∫ ∫

∞

∞−

∞

∞−

−=

44 344 21)(

])([)(2

1 de donde

extrajimos una parte que definimos como )(wF , y dejamos el factor π21 junto a la definición de

la anti transformada. Sin embargo, es posible articular dicho factor con la transformada y nó con la anti transformada, e inclusive, acoplar a cada una el factor

π21 por efectos de simetría.

Esto no es una posición universal, y algunos autores se acogen a una u otra posibilidad. Lo importante es que el producto de los dos factores acoplados a cada una de las transformadas sea

π21 .

• Es significativo notar que en el caso de Fourier, y a diferencia de lo que ocurre con Laplace, la

integral de anti transformada es muy similar a la de la transformada y sí es posible trabajar con élla sin complicaciones matemáticas, es decir, se puede perfectamente utilizar la definición de anti transformada sin mucho esfuerzo adicional. Recordemos que en Laplace, la integral de anti transformación era una integral en el campo Complejo, y bastante difícil de tratar.

• Por la forma que tiene la integral de la transformada de Fourier, podemos anticipar que puede

tener una relación con la de Laplace ∫∞

−=0

)()( dttfsF stε , lo que será tratado posteriormente.

• Una última observación es que la transformada de Fourier se define en general para funciones

existentes en todo el dominio real t, (-8, +8), mientras que Laplace (de un solo lado) sólo se definía para funciones cuyo dominio estaba en los reales positivos (0, +8), haciéndose la salvedad que se asumía f(t) = 0 para t < 0. Naturalmente que Fourier también se puede aplicar a funciones a partir de 0 y la integral se hará en ese intervalo, o en el intervalo que sea adecuado.

Ejemplo 58

Encuentre la Transformada de Fourier y la distribución de frecue ncias de un pulso de amplitud A y duración To, como se muestra en la Gráfica.

<<

=totroen0

Tt0A)t(f o

Vamos a aplicar directamente la definición de la transformada de Fourier dada en (75):

To

f(t)

t

0

A

Gráfica 122: Pulso del ejemplo 58


182

2)2/(2)()2/(2

2)(2

)()1()1()(

2/2/2/

2/

2/2/2/

00

oTo

oo

o

ooooooo

wjTwjo

TwjTwjTwj

TwjTwjTwjTwjTwjTtwjT

twj

esenwAwFewTsen

wA

jeee

wA

eeewjA

ewjA

ewj

Ae

wjA

dteAwF

owT−−

−−

−−−−−−

=→=−=

=−=−=−−

=−

== ∫

El espectro continuo de frecuencias será entonces: 2

22

)()(

2)(owT

owT

oowT senATsen

wAwF == cuya

representación Gráfica se nuestra a continuación. Debemos notar que ahora w es una variable continua y no es

0

2Tπ . Si hacemos un cambio de variable

llamando 2

0wT=θ , la expresión 2

2 )(

owT

owTsen se convierte en una función conocida:

θθ

θsen

g =)(

denominada función muestreo cuya representación general y en valor absoluto esta dada en la Gráfica anterior. Una de las principales aplicaciones de la transformada de Fourier está encaminada hacia el análisis del contenido de frecuencias de un pulso, y en este ejemplo, podemos ver que existe una preponderancia bastante definida para las frecuencias comprendidas entre 0 y

0

2Tπ . Este rango, se

denomina ancho de banda principal, y puede caracterizar una onda desde la visual de frecuencias. Debemos insistir en que aunque se han tomado datos para valores negativos de frecuencia, se hace sólo por un manejo matemático y gráfico, pero, las frecuencias en el mundo real son sólo positivas.

ATo

2π/To 6π/To 4π/To -2π/To -4π/To -6π/To

Gráfica 123: Espectro continuo de frecuencias del ejemplo 13

Este rango de frecuencias se denomina “Ancho de banda Principal”


183

3.9.3 Transformada de Fourier para funciones Pares e Impares Se puede lograr alguna simplificación en el cálculo de la transformada de Fourier, si reconocemos al inicio cuando la función que queremos transformar sea par o impar. Sin embargo, debemos pensar que este tipo de simplificaciones no significan que hay varias transformadas de Fourier, sino que son simples atajos algebraicos para simplificar un poco el trabajo matemático. Si tenemos una función )(tf que sea par, significa que )()( tftf −= . Si )(tf es impar, significa que

)()( tftf −−= . Sabemos además que el producto de dos funciones pares es par y que el producto de una función par y otra impar es impar. Además debemos recordar las identidades de Euler:

θθε θ sincos jj ±=± Con este conocimiento, desarrollemos la expresión de la definición de la transformada de Fourier de la forma siguiente:

∫ ∫∫∫∞

∞−

∞

∞−

∞

∞−

∞

∞−

−=−== − dtwttfjdtwttfdtwtjwttfdttfwF twj sin)(cos)(]sin)[cos()()( ε

Entonces:

a) Si )(tf es PAR, 0sin)( =∫∞

∞−

dtwttf porque el producto wttf sin)( es IMPAR. De manera que

la transformada de Fourier de )(tf será: ∫∫∞∞

∞−

==0

cos)(2cos)()( dtwttfdtwttfwF ?

b) Si )(tf es IMPAR, 0cos)( =∫∞

∞−

dtwttf porque el producto wttf cos)( es IMPAR. De manera

que la transformada de Fourier de )(tf será: ∫∫∞∞

∞−

−=−=0

sin)(2sin)()( dtwttfjdtwttfjwF ?

Estas integrales pueden ser más sencillas que la integral de la definición de la transformada de Fourier, y sólo en ese caso, se logrará alguna simplificación de los procedimientos. 3.9.4 Existencia de la Transformada de Fourier Si tenemos una función )(tf decimos que son condiciones suficientes pero no necesarias para la existencia de la transformada de Fourier de )(tf , F(w), las siguientes: i) Que )(tf sea una función continua a trazos o a tramos en ),( ∞+−∞

ii) Que la integral dttf∫+∞

∞−

)( sea convergente o finita

La mayoría de funciones utilizadas en la ingeniería de la electricidad tienen transformada de Fourier. Sin embargo, las funciones denominadas especiales o singulares, aunque tienen transformada, su cálculo no puede hacerse mediante la aplicación de rutina de la definición integral de la transformada de Fourier, sino que envuelven procedimientos más complicados como veremos


184

posteriormente.

Ejemplo 59

Sea 111)( <<−= ttf ; 21)1()1( ==− ff ; 0)( =tf para

otro t. Encuentre F(w).

=−

−=

−−

−−−

−=

=−

===−−

∞

∞−∫∫

))2

(2(1

(1)()(1

1

1

1

jwjw

jwdtdttfwF

wjwjwjwj

twjtwjtwj

εεεε

εεε

ww

wFsin2

)( = ?

Vamos a desarrollar otro procedimiento. Como vemos )(tf es una función par, entonces, podemos intentar aplicar la fórmula resumida para funciones pares:

ww

ww

ww

wwt

dtwtdtwttfdtwttfwF

sin2)0sinsin(2

)sin

(2cos12cos)(2cos)()(1

0

1

00

=−=

===== ∫∫∫∞∞

∞−

Logrando el mismo resultado.

Ejemplo 60

Si tenemos una función ttg 3cos3)( =

en ],[ 66ππ− y 0)( =tg para otro t,

encuentre la transformada de Fourier )(wG

La Gráfica de la función la tenemos dibujada. Observamos que es una función par. Vamos a aplicar la definición de transformada de Fourier general:

=−

=

=

+−===

−+−−−+−−

+−−

−−

−−

∞

∞−∫∫

]6

3sin36

3cos)[(]6

3sin36

3cos)[(

]3sin33cos)[(

662

6/

6/

22

6/

6/

)9

3(

3)(3)3cos3()()(

ππππππ

π

π

π

π

εε

εεε

jwwj

jwwj

ttjwtwj

twjtwj

w

jwdttdttgwG

1

-1 1

f(t)

t


0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

3,5

-1 -0,9 -0,8 -0,7 -0,6 -0,5 -0,4 -0,3 -0,2 -0,1 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1

Gráfica 125 Función del ejemplo 60


185

62

66

266

2 cos)9

18(

2)

918

(33)9

3()( π

ππππ εε

εε w

wwww

wwwwG

jjjj

−=

−=

−=

+−

+−

62 cos)9

18()( πw

wwG

−= ?

Como es una función par vamos a aplicar la fórmula correspondiente de la transformada de Fourier, para buscar alguna simplificación del procedimiento:

==== ∫∫∫∞ 6/

0

6/

00

cos3cos6cos)3cos3(2cos)(2)(ππ

dtwttdtwttdtwttfwF

Conocemos que: )]cos()[cos(coscos 21 bababa ++−= entonces:

<2

626

66

666666

6/

0

6/

0

6/

0

9)cos(18

]9

33)[cos(3]

3)cos(

3)cos(

[3

]3

)3sin(3

)3sin([3]

30)3sin(

30)3sin(

[3

]3

)3sin(3

)3sin([3])3cos()3[cos(3cos3cos6)(

ww

www

ww

ww

ww

ww

ww

ww

w

wtw

wtw

dttwtwdtwttwF

−=

−−++=

++

−=

=+

++

−−

=+

−++

−−−

=

=+++

−−=++−== ∫∫

ππ

ππ

ππππππ

πππ

Con igual resultado. Como se observa, en realidad no se disminuye el trabajo al utilizar esta propiedad, sino que talvez aumenta en este caso. Sin embargo, podrá haber situaciones en que sea mejor este procedimiento; es simplemente un recurso o herramienta adicio nal.

Ejemplo 61

Encuentre la transformada de Fourier de la función ttf sin)( =

En este caso, dttdttf ∫∫∞

∞−

∞

∞−

= sin)( no existe y por lo tanto, la integral de la definición no es aplicable.

Lo mismo ocurrirá para func iones tales como: )0()()(1)( >=== atfttftf atε La transformada de Fourier de algunas de estas funciones puede definirse a partir de las funciones singulares que analizaremos luego. 3.9.5 Propiedades principales de la Transformada de Fourier Como hicimos en el tratamiento de la transformada de Laplace, vamos a entrar a estudiar el álgebra de la Transformada de Fourier, es decir, las propiedades que nos permiten la manipulación matemática adecuada de la transformada. En general, la manipulación matemática con la transformada de Fourier es un poco mas complicada que con Laplace, porque, debemos recordar que aunque la variable de Laplace, la s, era un número complejo, jws += σ su carácter de complejo no se requirió normalmente, tanto que muchos autores ni siquiera hacen notar dicho carácter de número complejo. Pero, en Fourier, el exponente es jwt− decididamente complejo y además imaginario puro. En la tabla que sigue, se muestran las principales propiedades que posee la transformada de Fourier. Vamos a demostrar algunas de éllas, basándonos en la definición (75) y (76), dejando al


186

estudiante para que demuestre las demás. 3.9.5.1 Propiedad Lineal La transformada de Fourier es una operación lineal, es decir: si tenemos una función compuesta por

otras dos funciones )()()( 2211 tfctfctf += la transformada será )()()( 2211 wFcwFcwF += Demostración. Partimos de la definición (75) y la aplicamos a f(t).

...)()()()(

)]()([)()(

22112211

2211

DEQwFcwFcdttfcdttfc

dttfctfcdttfwF

twjtwj

twjtwj

+=+=

=+==

∫∫

∫∫∞

∞−

∞

∞−

∞

∞−

∞

∞−

−−

−−

εε

εε

3.9.5.2 Propiedad de Escalamiento

Si tenemos una función de la forma )(atf siendo a en número Real, la transformada será )(1aw

aF

Demostración. Partimos de la definición (38) y la aplicamos a )(atf : ∫∞

∞−

−= dtatfatf twjε)()]([F

ahora, hacemos el cambio de variable: duadtauat =→>= )0( y los límites de integración se mantienen:

)(1

)(1

))()]([

)(

)(( a

w

F

uaw

au

Fa

ufa

ufatf

aw

duj

aduwj

=== ∫∫∞

∞−

∞

∞−

−−

44 344 21εεF

Ahora veamos para a < 0, entonces el punto de partida será invertido negativo de la demostración anterior, f(-at). Haremos el cambio –at = u de manera que los límites de integración se invierten:

)(1)(1))()]([

)(

)) ((

(a

w

F

ua

wau

Fa

ufa

ufatf

aw

duj

a

duwj−

∞

∞−

−−∞

∞+

===−

−

∫∫−

−−−

44 344 21εεF

De manera que se demuestra la fórmula con el valor absoluto multiplicando la integral. Q.E.D.

3.9.5.3 Propiedad de Dualidad

Esta propiedad dice que: )(2)]([ wftF −= πF Obsérvese que se han cambiado F(w) por F(t) y f(t) por f(-w).


187

De manera que wttwtfwfwFtF

−===−= )()()()(

Partimos de la definición pura de la anti transformada: dwwFtf twjεπ ∫

∞

∞−

= )()(2

1 Vamos a realizar

los dos cambios de variable previstos: wttw −→→ y a multiplicar por π2

)]([)()()()(2

)]([

)( tFdttFdttFdwwFwf

tF

ww tjtjtwj F

F

===− −= ∫∫∫

∞

∞−

−∞

∞−

∞

∞− 44 344 21εεεπ Q.E.D.

3.9.5.4 Propiedad de desplazamiento en t

La transformada de )( 0ttf − es )(wFe otwj− Partimos de la definición y hacemos el cambio de

variable utt →− 0 los límites cambian correspondientemente, pero permanecen en infinito:

... )()(

)()()()]([

00

0

0

0

0

)(

)(00

DEQwFduuf

duufduufdtttfttf

tjw

wF

uwjtjw

uwjtjwt

t

tuwjtwj

−∞

∞−

−−

∞

∞−

−−−∞

−∞−

+−∞

∞−

−

==

===−=−

∫

∫∫∫

εεε

εεεε

44 344 21

F

Las demás propiedades se dejan como ejercicios para que sean trabajadas y demostradas por el estudiante. En la próxima página se presentan en una tabla las principales propiedades algebraicas de la transformada de Fourier. Seguidamente se presenta otra tabla con algunas transformadas de Fourier de las funciones más utilizadas en la electricidad. Algunas de estas transformadas las vamos a comenzar a desarrollar a manera de ejemplos.


188

Tabla 13 PRINCIPALES PROPIEDADES DE F [f(t)] Propiedad Función f(t) Transformada de Fourier

F [f(t)]

1. Linealidad )()( 2211 tfctfc + )()( 2211 wFcwFc +

2. Escalamiento )(atf )( R∈a )(1aw

a F

3. Dualidad )(tF )(2 wf −π

4. Desplazamiento en “t” )( 0ttf − )(wFe otwj−

5. Desplazamiento en “w” )(tfe twj o− )( 0wwF −

6. Inversión en “t” y/o en “w”

)( tf − )( wF −

7. Derivada n-ésima n

n

dttfd )(

)()( wFjw n n = 1, 2,...

8. Multiplicación por nt )(tft n

n

nn

jwdwFd)(

)()1(− n = 1, 2,...

9. Integral ∫t

dttf0

)( jwwF )(

10. Convolución )()( tgtf ∗ )()( wGwF

11. Producto )()( tgtf )()( wGwF ∗

12. Conjugada (para f(t) compleja)

)(tf ∗ )( wF −∗

13. Teorema de la Energía (Propiedad de Parseval) dwwFdttf ∫∫

∞+

∞−

∞+

∞−

= )()( 22

21π


189

3.9.6 Transformada de Fourier de funciones usuales en la electricidad

Tabla 14 ALGUNOS PARES DE TRANSFORMADAS DE FOURIER


190

3.9.6.1 Cálculo de la Transformada de Fourier de algunas funciones. Vamos a desarrollar a través de ejemplos, la transformada de Fourier de las siguientes funciones:

• )()( tutf at−= ε Con 0>ℜ∈ aa (Función exponencial real) • )()( ttf δ= (Función impulso)

• tjwetf 0)( −= (Función exponenc ial compleja) • )()( )( ttf nδ= (Derivadas de la función impulso) • twtf 0cos)( = (Función cosenoidal) • Atf =)( (Función constante, ℜ∈A ) • )sgn()( ttf = (Función signo) • )()( tutf = (Función escalón)

Ejemplo 62

Encuentre la transformada de Fourier de la función )()( tutf at−= ε con 0>ℜ∈ aa para que sea

decreciente. Esta es la función exponencial, una de las funciones de amplia utilización. Aplicando la definición directamente:

)(1[

)(1

)([)()(

]0)()(

0

)(

0

)(

0

wjawja

wjadtdtdttfwF

wjawja

twjatwjatwjattwj

++−=

=+−

====

=− +−∞+−

∞+−∞+−

∞−−

∞

∞−

− ∫∫∫

εε

εεεεε

Obtenemos el par: )(1)(

wjatuat

+⇔−ε ?

Ejemplo 63

Encuentre F(w) para )()( ttf δ= Esta es la primera función singular a la que encontraremos la transformada de Fourier. La función impulso. Nos basaremos en las propiedades de la función impulso, ya estudiada en capítulos anteriores.


1 f(t)

t 0


191

1()()()(0

=====

∞

∞−

∞

∞−

−−−∫∫ t

twjtwjtwj dttdttfwF εεδε

Obtenemos el par: 1)( ⇔tδ ?

Ejemplo 64

Encuentre F(w) para )()( 0tttf −= δ Esta es función impulso desplazada. Podemos hacerla aplicando directamente la definición:

0

0

()()()( 0twj

tt

twjtwjtwj dtttdttfwF −

=

−∞

∞−

−∞

∞−

− ==−== ∫∫ εεεδε

Nos produce el par: 0)( 0jwttt −⇔− εδ ?

Otra forma de hacerlo es apoyándonos en el par anterior del ejemplo 18 y en la propiedad N°4 de Desplazamiento: )()( 0

0 wFttf jwt−⇔− ε de manera que:

)()( 00 ttttf −=− δ Entonces, 00 )]([)]([ 0jwtjwt ttt −− ==− εδεδ FF Este procedimiento es

más sencillo.

Ejemplo 65

Encuentre F(w) para tjwetf 0)( −= Esta es una función exponencial con exponente imaginario. No podemos reemplazar el exponencial real encontrado en el ejemplo 62 porque el desarrollo allí efectuado se hizo con base en un exponente real. Pero, podemos aplicar la propiedad N°3 de dualidad: )(2)( wftF −⇔ π

Observemos el par inmediatamente anterior: 32143421)()(

00)(

wF

jwt

tf

tt −⇔− εδ de manera que podemos

cambiar en )(wF w por t y la constante arbitraria to la llamaremos mejor wo : tjw

wttw

jwttF 0

00

0)( −

→→

− == εε Entonces: )()()()( 000

00

wwwwttwfwtwt

+=−−=−=−→

−→δδδ

)()( 00 wwww +=−− δδ porque la función impulso se considera una función PAR. La primera derivada del impulso se considera IMPAR y así sucesivamente. De manera que hemos llegado a los pares de transformadas:

)(2

)(2

0

0

0

0

ww

wwtjw

tjw

+⇔

−⇔− δπε

δπε ?


192

Es importante comprender que las funciones tjw0±ε son funciones Complejas, no existentes en el campo real; son entes matemáticos no reproducibles. Sin embargo combinaciones de estas funciones nos llevan a funciones reales como el caso del coseno y seno.

Ejemplo 66

Encuentre la transformada de )()( )( ttf nδ= o sea, la derivada enésima del impulso.

Aplicamos la propiedad 7° de derivada enésima, con el par: )()()( wFjwdt

tfd nn

n

⇔ de

manera que nnn jwtjwt )()]([)()]([ )( == δδ FF lo cual nos presenta el par:

nn jwt )()()( ⇔δ ?

Ejemplo 67

Encuentre la transformada de Fourier de twtf 0cos)( = . Existe una forma de representar el coseno a partir de exponentes complejos, mediante la identidad de Euler: )(cos 00

31

0tjwtjwtw −+= εε entonces, por la propiedad lineal:

)()()](2)(2[)()(cos 000021

21

000 wwwwwwwwtw tjwtjw ++−=++−=+= − πδπδπδπδεεFF

Lo que produce el par: )]()([cos 000 wwwwtw ++−⇔ δδπ ? El estudiante puede desarrollar para la función senoidal twtf 0sin)( = Es importante notar que no estamos trabajando con la función )(cos)( 0 tutwtf = que sólo es válida para t > 0, sino con la función coseno o seno cuyo dominio es todo el campo Real.

Ejemplo 68

Encuentre la transformada de Fourier de una función constante, Atf =)( Observe que no es: )()( tuAtf = Es claro que si reemplazamos esta función en la definición integral de la Transformada de Fourier, la integral no converge, y esto es

porque dtA∫∞

∞−

es divergente, de manera, que

debemos emplear métodos indirectos.


A

f(t)

t 0


193

Contamos con el par )(2 00 wwtjw −⇔ δπε y si lo multiplicamos por una constante A, y

damos el valor wo = 0 obtenemos la solución:

)(2 wAA δπ⇔ ?

Observe que la misma solución se obtiene si empleamos la transformada del coseno vista antes: )(2)]0()0([0cos wAwwAAtA δπδδπ =++−⇔= ?

Ejemplo 69

Encuentre la transformada de Fourier de la función )sgn()( ttf = (función signo). La Gráfica de esta función signo se muestra. Vamos a tomar la derivada Gráfica de esta

función: )(2)][sgn(

tdt

tdδ= entonces

podemos hacer la transformada en ambos lados:

2)][sgn(

=

dttdF Pero por la propiedad de

la derivada: )()()]([ wFjwtf =′F Entonces:

)][sgn()(2)][sgn( ' tjwt FF == De donde:

jwt

2)][sgn( =F Obtenemos el par:

jwt

2)sgn( ⇔ ?

Con este resultado, podemos encontrar la transformada de Fourier de la función más utilizada: la función escalón )(tu

Ejemplo 70

Encuentre la transformada de Fourier de la función )()( tutf = Si observamos la Gráfica anterior, podemos expresar Gráficamente la función escalón como: )]sgn(1[)( 2

1 ttu += Por lo tanto:

jww

jwwtu

1)(]

2)(2[)]([ 2

1 +=+= πδπδF y nos

lleva al par:

Gráfica 128: Función sgn(t) del ejemplo 69

1 sgn(t)

t 0

-1

Gráfica 129: Función sgn(t) del ejemplo 70

1 u(t)

t 0


194

jwwtu

1)()( +⇔ πδ ?

Con los resultados obtenidos, podemos hacer una tabla de las transformadas de Fourier de las principales funciones especiales:

Tabla 15

Pares de trasformadas de funciones especiales

)(1

)(wja

tuat

+⇔−ε

1)( ⇔tδ

0)( 0jwttt −⇔− εδ

)(2 00 wwtjw mδπε ⇔±

nn jwt )()()( ⇔δ

)]()([cos 000 wwwwtw −++⇔ δδπ

)]()([sin 000 wwwwjtw −−+⇔ δδπ

)(2 wAA δπ⇔

jwt

2)sgn( ⇔

jwwtu 1)()( +⇔ πδ

3.10 Relación entre Transformada de Fourier y Laplace Vamos a encontrar la relación que existe entre las transformadas de Fourier y de Laplace, dada la similitud de sus definiciones, las cuales reproducimos nuevamente:

∫∞

−==0

)()()]([ dttfsFtf stεL Transformada de Laplace


195

∫+∞

∞−

−== dttfwFtf tjwε)()()]([F Transformada de Fourier

3.10.1 Funciones definidas para t>0 (Funciones causales) Si tenemos una función )(tf que es continua a tramos para 0≥t , y que vale cero para

0<t , la transformada de Laplace de )(tf , denominada F(s), la conocemos definida por:

∫∞

−==0

)()()]([ dttfsFtf stεL Donde: ωσ js +=

Reemplazando el valor general de s:

∫∫∫∞

−−∞

+−∞

− ===00

)(

0

)()()()( dttfdttfdttfsF tjwttjwst εεεε σσ

43421

Observando la última integral y sabiendo que )(tf vale 0 para t < 0 podemos decir que la última integral es la transformada de Fourier de ttf σε −)( , o sea:

])([)()]([0

ttjwt tfdttftf σσ εεε −∞

−− == ∫ FL

Vamos a generalizar este resultado diciendo que si tenemos una función )(tf que vale 0

para t < 0 y además que cumple con ∞<∫∞

0

)( dttf , podemos demostrar que :

jwstftf

→= )]([)]([ LF

Esto significa que 0=σ , es decir, jwjs =+= ωσ En conclusión, para funciones que existen para t > 0 y son cero para t < 0, y su valor medio del valor absoluto es acotado, la transformada de Fourier se puede obtener de la de Laplace haciendo el cambio jws = Esta relación puede ser útil para trabajar cierto tipo de funciones. Sin embargo, se debe tener en cuenta que se aplicará a funciones f(t) que sean Fourier transformables por método directo de aplicación de la definición integral, y difícilmente se podrá aplicar a funciones especiales y singulares, sin consideraciones muy particulares.

Ejemplo 71

Analice la relación entre Laplace y Fourier en el caso de 0)( >= − atf atε


196

En este caso, la función es continua y transformable por Fourier y sabemos que cumple con

∞<∫∞

−

0

dtatε De manera que: as

sF+

=1

)( y por lo tanto, ajwas

wFjws +

=+

==

11)(

Ejemplo 72

Analice la relación entre Laplace y Fourier en el caso de la función escalón )()( tutf = En este caso, sabemos que u(t) es una función singular, a la cual no se le puede aplicar la definición de transformada de Fourier porque no converge, y que la trasformada de Fourier hubo que encontrarla por otros caminos a través de las funciones singulares. Además

sabemos que ∞== ∫∫∞∞

00

1)( dtdttu y por lo tanto no se cumple la condición de convergencia.

Si tratamos de hacerlo por la relación entre Laplace y Fourier, llegaremos a resultados

erróneos. Veamos: Sabemos que para u(t): s

sF1

)( = y que jw

wwF1

)()( += πδ de manera

que el reemplazo: jws

wFjws

11)( ==

=

no es correcto, y sólo nos ofrece una parte de la

transformada correcta.

3.10.2 Funciones definidas para todo t, ),( ∞+−∞

Si )(tf es continua a tramos en ),( ∞+−∞ y cumple que ∞<∫+∞

∞−

dttf )( vamos a demostrar

que la relación entre las transformadas de Laplace y Fourier es:

a) Si )(tf es función PAR: jwsjws tftftf −== += )]([)]([)]([ LLF

b) Si )(tf es función IMPAR: jwsjws tftftf −== −= )]([)]([)]([ LLF

Por definición: 44344214434421

21

0

0

)()()()]([

I

tjw

I

tjwtjw dttfdttfdttftf ∫∫∫∞

−

∞−

−∞

∞−

− +== εεεF

Vamos a trabajar con la primera integral, cambiando de variable: dudtut −=−= y

cambian los límites: ∫∫∫+∞

∞+∞−

− −=−−==0

00

1 )()()()( duufduufdttfI ujwujwtjw εεε entonces:


197

a) Si )(tf es PAR, jwsujwujw tfduufduufI −=

+∞+∞

==−= ∫∫ )]([)()(00

1 Lεε

b) Si )(tf es IMPAR, jwsujwujw tfduufduufI −=

+∞+∞

−=−=−= ∫∫ )]([)()(00

1 Lεε

Y como jwstjw tfdttfI =

+∞− == ∫ )]([)(

02 Lε llegamos a:

jwsjws tftftf −== −= )]([)]([)]([ LLF Con )(tf es IMPAR Ecuación 77

jwsjws tftftf −== += )]([)]([)]([ LLF Con )(tf es PAR Ecuación 78

Q.E.D. Es importante saber que si la función no es PAR ni es IMPAR, y su dominio incluye valores positivos y negativos de t, no existe una relación unívoca entre Laplace y Fourier.

Ejemplo 73

Encuentre la transformada de Fourier para la onda: taktf −= ε)( con a > 0

La Gráfica de esta función se muestra: Procedimiento 1: Vamos a trabajar la transformada de Fourier en dos pasos: en el primer cuadrante y luego, en el segundo cuadrante. La ecuación de la curva en el primer

cuadrante donde t > 0 es atktf −= ε)(1 de manera que la transformada para esta parte es:

jwak

wF+

=)(1

Ahora en el segundo cuadrante: La función en el segundo cuadrante )(2 tf es la imagen de la función o sea: )()( 12 tftf −= de manera que aplicando la propiedad de inversió n en “t”:

jwakwFtftf

−=−=−= )()]([)]([ 112 FF Ahora vamos a unir las dos transformadas:

2221

2)()()(

waak

jwak

jwak

wFwFwF+

=−

++

=+= ?

Este es el resultado buscado.


k

f(t)

t 0


198

Procedimiento 2: Ahora vamos a realizar otro procedimiento que ilustra la forma de trabajar haciendo

referencia a Laplace. La función taktf −= ε)( es PAR como lo muestra su Gráfica. De

manera que podemos utilizar la ecuación 78: jwsjws tftftf −== += )]([)]([)]([ 11 LLF

ajwastf

jwsjws +

=+

==

=11

)]([ 1L ajwas

tfjws

jws +−=

+=

−=−=

11)]([ 1L entonces:

22112

)]([)]([)]([aw

kaajw

kajw

ktkftkftkf jwsjws +

=+−

++

=+= −== LLF ?

Ejemplo 74

Hallar la transformada de Fourier del pulso mostrado.

=== ∫+∞

∞−

− dttgwGtg tjwε)()()]([F

=−

−−

=

=−+=

−

−

−

−

−

− ∫∫

]([(0

0

0

0

Ttjw

T

tjw

Ttjw

T

tjw

jwjwC

dtCdtC

εε

εε

=−−−−

= −−− )]([ 00 jwTjwTjwjw

jwC εεεε

⇐−=−−=−−=

=+

−−

=+−−

=+−−−

=−

−−

)2

(sin4]cos11[2]cos22[

]2

)(22[)](2[)11(

2 wTjw

CwTjw

CwTjwC

jwC

jwC

jwC TjwTjw

TjwTjwTjwTjw εεεεεε

3.11 Transformada de Fourier de una función periódica Debemos comenzar por observar que si tenemos una función )(tf periódica, con período T, es válida la siguiente expresión, basándose en el concepto mismo de función periódica:

∞=∫∞

∞−

dttf )( es decir, no cumple con la condición para encontrar la transformada de

Fourier de manera convencional; sin embargo, sabemos que esta condición es suficiente pero nó necesaria, y que ya hemos encontrado la transformada de Fourier para el coseno y

Gráfica 131: Pulso del ejemplo 74

g(t)

t 0 -T T

-C

C


199

el seno, siendo funciones periódicas. Sabemos también que la transformada de Fourier será una función singular, por no cumplir con la condición de convergencia anterior. Vamos a apoyarnos en el desarrollo en serie de Fourier exponencial de una función

periód ica: tjnw

nntf 0)( εα∑

+∞

−∞=

= con T

wπ2

0 = Ahora, vamos a tomar la transformada de

Fourier en ambos lados: )](2[][)]([)( 00 nwwtfwF

nn

tjnw

nn −=== ∑∑

+∞

−∞=

+∞

−∞=

πδαεα FF por

lo tanto:

)(2)( 0nwwwFn

n −= ∑+∞

−∞=

δαπ Ecuación 79

La fórmula anterior nos indica que la transformada de Fourier de una función periódica

)(tf es una sucesión infinita de impulsos localizados en todos los armónicos de la función, multiplicados por π2 veces el coeficiente respectivo de la serie exponencial de Fourier.

Ejemplo 75

Encuentre la transformada de Fourier de la función cosenoidal: twtf 0cos)( =

Ya hemos encontrado la transformada del coseno: )]()([cos 000 wwwwtw −++⇔ δδπ Ahora vamos a hacerlo nuevamente pero aplicando las condiciones para una onda

periód ica: )(2)( 0nwwwFn

n −= ∑+∞

−∞=

δαπ y sabemos que dttfT

twnjT

n0

0

)(1 −∫= εα Vamos a

calcular este coeficiente. Partimos de xjxjx sincos ±=±ε entonces reemplazando en la expresión general del coeficiente:

dttnwtwT

jdttnwtwT

dttnwjtnwtwT

TTT

n 00

000

0000

0 sincos1

coscos1

)sin(coscos1

∫∫∫ −=−=α

La segunda integral es cero para todo valor de n, por la ortogonalidad de funciones y porque el producto de coseno por seno es impar y estamos integrando en un período completo. La primera integral es cero para todo valor de n, excepto para aquel que hace los dos cosenos iguales, es decir, excepto para n = ±1, caso en el cual, la integral se convierte en:

21

)2

(1

cos1

])1cos[(cos1

00

20

001 ===±= ∫∫±

TT

dttwT

dttwtwT

TT

α

De manera que la transformada de Fourier del coseno sólo tendrá dos términos, para n = ±1


200

))()(())()()(21

(2

)(2)(2)(

0000

01

0

wwwwwwww

nwwnwwwFn

nn

n

−++=++−=

=−=−= ∑∑±=

+∞

−∞=

δδπδδπ

δαπδαπ

Comprobando el resultado anteriormente obtenido. Debe observarse el concepto de transformada de Fourier de una función periódica, como la suma de una secuencia de impulsos, en este caso sólo existen dos, simétricamente colocados en el plano complejo. El espectro de amplitudes para la función

twtf 0cos)( = se muestra en la Gráfica, viendo el tren de pulsos, en este caso sólo dos. 3.12 Convolución y la Transformada de Fourier 3.12.1 La Convolución general Recordemos las relaciones que presenta la Convolución, ya vista cuando estudiamos la transformada de Laplace. Si tenemos dos funciones )(tf y )(tg que sean continuas a tramos, la Convolución entre f y g, que se escribe con la simbología )()( tgtf ∗ o gf ∗ y que se lee: “f convolución g”, se define como la operación matemática indicada en la integral impropia, que dará origen a una nueva función q(t):

=−=−=∗= ∫∫∞

∞−

∞

∞−

dxxtfxgdxxtgxftgtftq )()()()()()()( Ecuación 80

Si las funciones f(t) y g(t) son funciones causales, es decir, aquéllas que se utilizan generalmente en el mundo real de la electricidad y que valen cero cuando t < 0, podemos definir con un pequeño cambio la convolución dejando la salvedad que la definición general (43) es siempre aplicable para una función general: Si )()()( tutftf = y )()()( tutgtg = entonces:

∫∫∞

∞−

∞

∞−

−−=−−=∗= dxxtuxuxtgxfdxxtuxtgxuxftgtftq )]()()[()()]()()][()([)()()(

Vamos a interpretar el factor adicional )]()([ xtuxu − . Recordemos que la variable de integración es x, y que t obra paramétricamente como constante.

)(wF

w -wo wo 0

p p

Gráfica 132: Espectro del ejemplo 75


201

><

=0100

)(xx

xu

<→>−>→<−

=−txxttxxt

xtu0100

)( ?

<<<>

=−txxtx

xtuxu01

0ó0)()(

Por lo tanto, la integración solo tiene sentido en el intervalo (0, t) ya que por fuera de éste, valdrá cero. En el caso entonces de funciones causales , la convolución se puede escribir:

∫∫ −=−=∗tt

dxxtfxgdxxtgxftgtf00

)()()()()()( Ecuación 81

Algunas propiedades interesantes de la convolución con la función impulso son las siguientes, las cuales, puede el estudiante demostrar.

• )()()( tfttf =∗δ • )()()( 00 ttftttf −=∗− δ • )()()( 00 TtfTttf −=−∗δ

• )()()( )()( tfttf nn =∗δ 3.12.2 Teorema de Convolución en el tiempo Si tenemos dos funciones )(tf y )(tg que tienen transformada de Fourier, de tal forma que

)()]([ wFtf =F y )()]([ wGtg =F entonces:

)()()]()([ wGwFtgtf =∗F Ecuación 82

)()()]()([ tgtfwGwF ∗=-1F Ecuación 83

Esta es una propiedad importante y una herramienta para encontrar la anti-transformada cuando la transformada se puede escribir como producto de dos funciones De todas maneras, se hace la advertencia que la herramienta convolución para utilizarla en la anti-transformación no necesariamente es un procedimiento que simplifica sino que muchas veces complica la operación y es mejor utilizar desarrollo en fracciones parciales, de forma completamente similar a lo que se empleó en la transformada de Laplace, pero ahora trabajando con números complejos. Demostración: Vamos a demostrar la ecuación 82 y vamos a utilizar la definición general de convolución ecuación 80. No utilizamos la definición de convolución para funciones a partir de t > 0 porque éste es simplemente un caso particular del caso general, que es el que nos interesa. Aplicando la definición de convolución:

∫ ∫+∞

∞−

+∞

∞−

−−=∗ dtdxxtgxftgtf jwtε])()([)]()([F Reorganizando y cambiando el orden de

integración: dxdtxtgxftgtf jwt∫ ∫+∞

∞−

+∞

∞−

−−=∗ ])()[()]()([ εF


202

Por la propiedad de desplazamiento en el tiempo en la transformada de Fourier se tiene:

∫+∞

∞−

−− =− )()( wGdtxtg jwxjwt εε

...)()()()(

)()()()()]()([

DEQwFwGdttfwG

dxxfwGdxwGxftgtf

jwt

jwxjwx

==

===∗

∫

∫∫∞+

∞−

−

+∞

∞−

−+∞

∞−

−

ε

εεF

Ejemplo 76

Encontrar f(t) si )2)(1(

1)(jwjw

wF++

=

Procedimiento 1. Vamos a utilizar la herramienta de convolución, ya que F(w) puede escribirse como el producto de dos funciones en w. Vamos a utilizar la ecuación (44) ya que se asume, como de hecho lo es, que las transformadas han sido efectuadas para funciones causales.

)()())2(

1)(

)1(1

()2)(1(

1)( 21

)()( 21

wFwFjwjwjwjw

wF

wFwF

=++

=++

=4342143421

De manera que aplicando (46) podemos decir que: )()()]()([)( 2121 tftfwFwFtf ∗== -1F Las anti-tranformadas de las funciones intermedias son inmediatas:

)()(1 tutf t−= ε y )()( 22 tutf t−= ε de manera que:

⇐−=−=−−=−

=

===−=∗=

−−−−−−−−

−

−−−−− ∫∫∫

)()()1()(1

[

)()()()()(

20

0

00

)(2

01221

tu

dxdxdxxtfxftftftf

tttttt

txt

txt

txtx

t

εεεεεεεε

ε

εεεε

Si tratamos de utilizar la ecuación 43 aplicable a las funciones no causales, el resultado diverge, resultado que el estudiante puede comprobar haciéndolo, ya que cuando afirmamos

que la anti-transformada de jw+1

1 es t−ε estamos afirmando que es )(tut−ε , y similar para

el otro factor. Procedimiento 2. Vamos a utilizar fracciones parciales:

)2()1()2)(1(1

)(jw

Bjw

Ajwjw

wF+

++

=++

=


203

1)12(

1)2(

1

1

=−

=+

=−=jwjw

A y 1))2(1(

1)1(

1

2

−=−+

=+

=−=jwjw

B entonces:

)2(1

)1(1

)2)(1(1

)(jwjwjwjw

wF+

−+

=++

= Entonces: ⇐−= −− )()()( 2 tutf tt εε

Con igual resultado que en el procedimiento 1. En este caso no es muy claro cual de los procedimientos es más fácil o rápido. 3.12.3 Teorema de Convolución en la frecuencia Esta propiedad es análoga a la anterior, pero se hace la convolución en el dominio de la frecuencia y no en el dominio del tiempo. Si tenemos dos funciones )(tf y )(tg que tienen transformada de Fourier, de tal forma que )()]([ wFtf =F y )()]([ wGtg =F entonces:

)]()([21

)]()([ wGwFtgtf ∗=π

F Ecuación 84

O también: )]()([2)]()([ tgtfwGwF π=∗-1F Ecuación 85

Se deja al estudiante para que realice la demostración de este teorema. 3.12.4 Aplicación a un sistema Lineal Asumamos un sistema lineal, por ejemplo un circuito lineal, inicialmente relajado, es decir, sin energía inicial en el circuito, excitado por funciones causales, es decir, que para t < 0 valen cero, entonces se puede representar con un diagrama de bloques como sigue, trabajando en el dominio de la frecuencia:

)(tei es la función de entrada al circuito en “t” )]([)( tewE ii F= en “w” )(0 te es la función de salida del circuito en “t” )]([)( 00 tewE F= en “w”

M: es el circuito o sistema lineal )]([)( thwH F= en “w”: Función del Sistema )()( tth δ= Excitación con el impulso )()( wHt ⇔δ

El sistema lineal en el dominio de la frecuencia se comporta respondiendo a la siguiente ecuación, considerando que inicialmente está relajado:

Gráfica 133: Sistema lineal: (a) en “t” y (b) en “w”

M

)(tei )(0 te )(wH

)(wEi )(0 wE

(a) (b)


204

)()()(0 wHwEwE i= o también: SISTEMA) DEL FUNCIÓN(ENTRADA)(SALIDA ×= De manera que la función del sistema es la relación de la salida a la entrada:

)()(

)( 0

wEwE

wHi

=

Vamos a suponer que el sistema es excitado por un impulso, es decir que: )()( ttei δ= En este caso la transformada de Fourier será: 1)]([)( == twEi δF de manera que:

)()()()(0 wHwHwEwE i == es decir, la salida del sistema es precisamente la

anti-transformada de )(wH es decir, h(t). Ahora bien, volvamos a la ecuación del sistema: )()()(0 wHwEwE i= y si aplicamos la

propiedad de la ecuación 46, )()()]()([ tgtfwGwF ∗=-1F tenemos entonces que para

una excitación general )(tei la salida la podemos expresar como la convolución siguiente:

)()()(0 thtete i ∗= Ecuación 86

Esta es una de las aplicaciones poderosas que tiene la transformada de Fourier y nos dice que si conozco la respuesta al impulso, o sea, si conozco la función del sistema, puedo conocer la respuesta a cualquier entrada, haciendo la convolución entre esa entrada y la función del sistema expresada en el dominio “t”


205

Ejemplo 77

Si el circuito mostrado se excita con una onda de entrada )()( tutv t

i−= ε V, encuentre la salida )(tvo ,

siendo R = 0,5 O y C = 1 F. Si trabajamos en el dominio”w”, podemos plantear la ecuación:

)(1

1

)(1

1

)( wV

RCjw

RCwV

jwCR

jwCwV ooi

+=

+=

De donde:

RCjw

RCwH1

1

)(+

= y por lo tanto, podemos

encontrar h(t) la respuesta al impulso de entrada, anti-transformando H(w):

)()(1

1

1

)( 1 tuRC

RCjw

RCth RCt−

=

+= − εF

La Gráfica de esta respuesta al impulso se muestra en la Gráfica 134 (b) Con esta respuesta ya podemos encontrar la respuesta a cualquier entrada por medio de la

convolución. En el ejemplo, colocando los valores: )()(2)()(1

)( 2 tutuRC

th tRCt

−−== εε

Y si tenemos que: )()( tutv ti

−= ε , entonces, aplicando la ecuación 49 para un sistema lineal,

)()(22)2()()()( 2

0

2)(2

0

tudxdxthtvtv ttt

xtxtt

xio

−−−−−− −===∗= ∫∫ εεεεεε V

)()(2)( 2 tutv tt

o−− −= εε V

Debe observarse la gran utilidad de esta propiedad, tanto que si ahora queremos la respuesta a otra entrada, es suficiente hacer la convolución de h(t) con dicha excitación.

Gráfica 134: Ejemplo 77


206

3.13 Ejercicios del Capítulo 3° En los ejercicios 1° al 7°, cuyas ondas periódicas se muestran en las Gráficas (1) a (7) respectivamente, desarrolle la Serie trigonométrica de Fourier y grafique el espectro discreto de amplitudes. Para el 6° compare y utilice el desplazamiento de la onda (6) respecto a la (5). Observe y analice con especial interés el espectro del pulso periódico del ejercicio 7°

(1) (2)

(3) (4)

(5) (6)

(7)


207

En los ejercicios 8° a 10° cuyas ondas se muestran en las Gráficas 8 a 10, desarrolle la Serie exponencial de Fourier y grafique el espectro de frecuencias. Obtenga los coeficientes de la serie trigonométrica a partir de la serie exponencial y compare los resultados con los obtenidos en los ejercicios 1°, 2° y 5°.

(8)

(9) (10) 11. La corriente que circula a través de una inductancia de 10 mH es la forma mo strada en

la Gráfica. Encuentre la serie trigonométrica de Fourier para el voltaje a través de la inductancia. La frecuencia fundamental es w = 500 rad/s (a) Encuentre en forma directa la serie exponencial de Fourier para el voltaje y

(b) A partir de la anterior, desarrolle la serie trigonométrica; compare resultados.

wt wt


208

Para los ejercicios 12° a 15°, cuyas Gráficas de pulsos respectivos se indican con los números (12) a (15), encuentre la Transformada de Fourier F(w) en cada caso.

(12) Un pulso triangular (13) Un solo ciclo de onda seno

(14) Un par de pulsos rectangulares (15) Un trapecio simple 16. Para los pulsos mostrados se tiene que: F [f1(t)] = G1(w) (Transformada de Fourier de

f1(t)), ¿Cuál será: F [f2(t)]?

17. La función de corriente mostrada consiste en picos periódicos de la parte superior de

una onda coseno pura. Esta corriente )(ti alimenta, como se muestra, al circuito filtro conocido como tanque.


209

4/2π

Determine la amplitud de la onda estacionaria de salida )(tv en el tanque, (a) Para la frecuencia fundamental, (b) Para la componente de segundo armónico. En los ejercicios de 18° al 21° encuentre el desarrollo en serie trigonométrica de Fourier para la función cuya ecuación en un período, y Gráfica periódica se indican. 18. ππ <<−= xxxxf 0)()(

19.

<<−−<<+

=01

01)(

xx

xfπ

π

20. xxf =)(

21. π20)( <<= xxxf


210

22. Encuentre la transformada de Fourier de twtf 0sin)( =

23. Demuestre la propiedad de desplazamiento en “w”: )()( 0wwFtfe twj o −⇔−

24. Demuestre la propiedad de Inversión en “t” y/o en “w”: )()( wFtf −⇔−

25. Demuestre la propiedad para 1ª derivada: )()()(

wFjwdt

tfd⇔

26. Demuestre la propiedad Multiplicación por “t”: )()(

)(jwdwFd

tft −⇔

27. La función periódica rectificada en media onda mostrada alimenta el circuito RL

indicado. La resistencia es de 2 kO y la inductancia de 10 H. La frecuencia fundamental es sradw /3770 = . Por desarrollo en serie trigonométrica de Fourier encuentre: (a) La corriente estacionaria )(ti (b) El voltaje estacionario )(tvR en R (c) Dibuje el espectro de amplitudes de )(tvR (d) La potencia disipada en R

28. Demuestre basándose en propiedades que

220

0020 )]()([)]([cosww

wjwwwwtutw

−+++−= δδπF

Es muy importante observar que no es posible utilizar la relación entre Fourier y Laplace en este caso. Por qué?

300

V)(tv

2π− 0 2

π2

3π π2π wt

i(t)

R L

)(tv

Gráfica 135: Onda y circuito del ejercicio 27


211

3.14 Respuesta a los Ejercicios del Capítulo 3°

1. ∑∞

=π=

)imparn(1n n

nwtsenV4)t(v 2. ∑

∞

=π+=

)imparn(1n

22 nnwtcosV4

2V

)t(v

(Converge rápidamente)

3. )nnwtsen

()1(V2

)t(v1n

1n∑∞

=

+−π

= 4.)

nnwtsen

()1(V

)nnwtcos

(V2

4V

)t(v1n

)imparn(1n

1n22 ∑∑

∞

=

∞

=

+−π

+π

−=

5.

−+π+

π= ∑

∞

=)parn(

2n )n1(nwtcos2wtsen

21V)t(v

2 6.

−+

π−

π= ∑

∞

=)parn(

2n )n1(nwtcos

2wtsen2

1V

)t(v2

Esta onda es igual a la 5ª corrida π, es decir, )( π+wtv El espectro obviamente es el mismo

(converge rápidamente) n par (converge rápidamente) n par


212

7.

∑∞

=

ππ

+=1n n

nwtcos)6/nsen(V26V

)t(v

Converge muy lentamente El 6º armónico es nulo, pero los armónicos 8º, 9º

y 10º exceden al 7º. En esta función se basa el concepto de

Transformada de Fourier.

8. ∑+∞

∞−π−=

imparn

twnj

neVj2

)t(v

9. ∑+∞

∞−

+=

imparn

twnj

neV

tv 22

2)(

π

ao = 0 V an =

2)n(V4π

(n impar)

bn = 0 El espectro de amplitudes es el mismo del

ejercicio 2° Coeficientes trigonométricos: an = 2Re(An) = 0 bn = -2Im(An) = 4V/nπ (n impar) Como en 1°

10. )n1(2)1e(V

A 2

nj

n −π+

=π−

An = 0 para n impar; )n1(

VA 2n −π

= para n par

A1 = - j(V/4) por L’Hospital; Ao = V/π El espectro es el mismo del problema 5°

11. ∑∞

=

−=

)(1

2

400)(

imparn

L nsennwt

tvπ

∑∞

∞−π=

)impar(

twnj

2L nej200)t(v

12. ( ) ( )[ ]wTsenwTjwTTw

AwF −+−= cos1)( 2 13. 2/)()

2(

)/2(/4

)( 22

wTjewTsen

wTTA

wF −

−= π

ππ

14. ( )( )otwjotwj ee

jwAwF 211)( −− +−= 15. ( )( ))(11)( 2

otTwjotwj eeotw

AwF −−− −−

−=

Gráfica 136: Espectro del ejercicio 9


213

16. F[f2(t)] = G1(-w) otwje− 17. (a) 40,5 V (b) 1.280 V

18. ∑∞

=

−=1

2

2 2cos6

)(n n

nxtf

π 19. ∑∞

=

=

imparn n

nxtf

1

sin4)(

π

20. ∑∞

=

−=

imparn n

nxtf

12

cos42

)(π

π 21. ∑∞

=

=1

sin2)(

n nnx

tf

22. )]()([sin 000 wwwwjtw +−−−⇔ δδπ 23. a 26. Son demostraciones.

27. (a) mA)9.846cos(24.0

)4.824cos(832.0)2.752cos(1.8)62cos(1.357.47)(L−°−+

+−−°−+°−+=wt

wtwtwtti

A][)]8.3(tan2cos[)1.62cos(101.35)( 10

124.141)124(

)1(3103000

315.0 ntnwtwtin nn

n −+∞

= ++

−−×− −+°−×+= ∑ππ

(b) V)9.846cos(48.0

)4.824cos(66.1)2.752cos(2.16)62cos(2.704.95)(

L−°−+

+−−°−+°−+=

wt

wtwtwttvR

V][)]8.3(tan2cos[)1.62cos(2.70)( 10

124.141)124(

)1(6000

300 ntnwtwtvn nn

n

R−

+∞

= ++

− −+°−+= ∑ππ

(c) Espectro de amplitudes: El efecto de la inductancia es disminuir los armónicos de manera eficaz

(d) Para el cálculo de la potencia en R debemos observar que la corriente, al igual que el voltaje en R, posee tres componentes importantes, el componente de DC, y el primero y segundo término de armónicos. Ya el tercer término de armónicos tiene una amplitud de sólo el 2% del fundamental, lo cual elevado al cuadrado es mucho menor su contribución. De tal manera, calcularemos la corriente eficaz teniendo en cuenta los tres primeros términos exclusivamente.

20

40

60

80

100

0 w w2 w3 w4 w5 w6 w7

%)100(2.70

%)23(2.16

%)2(66.1 48.00 0 0

5.95

nw

[V]

Gráfica 137: Espectro de amplitudes del ejercicio 27


214

623

23

232 101.2924)2101.8

()2101.35

()107.47( −−−

− ×=×

+×

+×=RMSI ? mA1.54=RMSI

⇐=×== − W85.5)101.2924)(2000( 62

RMSRIPR 3.15 Lecturas recomendadas. Bibliografía del Capítulo 3°

• Conferencias de Clase, Matemáticas para Ingenieros, Fabio Vidal, Capítulo 3°

• Circuitos Eléctricos, Schaum, J. Edminister, Capítulo 12

• Análisis de circuitos en Ingeniería, W. Hayt, J. Kemmerly, Capítulos 17 y 18

• Análisis básico de circuitos eléctricos, A. Jonson, J. Hilburn, J. Jonson, P Scout, Capítulo 16

• Matemáticas Avanzadas para Ingeniería Eléctrica y Electrónica. E. Villamarín L., Facultad de Ingeniería, Universidad del Valle, febrero de 2000. Capítulo 2

• Operational Methods for Linear Systems, W.K., Addison-Wesley, 1961, Chapters 4° and 5°

• Análisis de Fourier, H. P. Hsu, Adsison – Wesley Iberoamericana, 1987, Capítulos 1 al 6 inclusive.

Matemáticas para Ingenieros. Capítulo 4: Introducción a la Transformada Z Prof. Fabio Vidal

215


4 Capítulo 4 INTRODUCCIÓN A LA TRANSFORMADA Z



216

4.1 Contexto de Transformada Laplace y Z

t-continuo v.s. t-discreto

L Z

Sistemas de Tiempo Cont inuo

Sistemas de Tiempo Discreto

Transformada de

Laplace L

Transformada

Z

ECUACIONES DIFERENCIALES

Las transforma en ECUACIONES ALGEBRAICAS

Las transforma en ECUACIONES ALGEBRAICAS

ECUACIONES DE DIFERENCIA


217

4.2 Introducción. En los capítulos anteriores hemos analizado y aplicado cuatro transformadas o procesos de transformación, habiendo indicado que para nosotros constituyen herramientas para los procesos de la ingeniería, en especial a los aplicados a la electricidad. Las transformadas que hemos analizado son: Transformada Fasorial, Transformada de Laplace, la Serie de Fourier y la Transformada de Fourier. Estas cuatro transformadas tienen sus aplicaciones específicas, cada una en un campo principal, como pueden ser: la Fasorial para el análisis de ondas sinusoidales puras en circuitos, trabajando exclusivamente con respuestas estacionarias; la de Laplace para el análisis de ondas no periódicas casi de cualquier tipo, obteniendo la respuesta total; las Series de Fourier (que no es propiamente una transformada) para el análisis de ondas periódicas, casi de cualquier tipo, obteniendo la respuesta estacionaria; y la transformada de Fourier para el análisis de ondas nó periódicas (y también periódicas, pero con menos trascendencia) en donde interese el comportamiento y efectos o aplicaciones en el dominio de la frecuencia. Todas las anteriores transformadas, tienen un denominador común y es que se emplean para ondas o funciones análogas o sea de tiempo continuo. Sin embargo, en la cotidianeidad de la ingeniería y más de las ingenierías de la electricidad, las ondas tienen su dominio en tiempos no continuos o tiempos discretos, enfrentándonos con el campo de las señales discretas en el mundo digital, lo que nos obliga a introducir herramientas que puedan emplearse con funciones de tiempo discreto. En este campo, no tienen una aplicación directa las transformadas analizadas, y debemos en consecuencia, encontrar otras herramientas. Existen varias, y nuestro objetivo es el análisis introductorio y no exhaus tivo de una herramienta poderosa y relativamente sencilla para el tratamiento de señales discretas o señales digitales denominada Transformada Z. No pretendemos cubrir toda la profundidad del tema de la Transformada Z, sino dar una visual suficiente para incentivar al alumno en el tema de las transformadas discretas o digitales, que necesitará en cursos más avanzados en su estudio de la ingeniería. 4.3 Señales Discretas y Señales Continuas Señal: Signo, marca imagen. Se puede entender como un mecanismo empleado para transmitir información. Sistema: Se puede entender como un conjunto de objetos o elementos diseñados para realizar una tarea específica. Una definición un poco más precisa puede ser: Un Sistema es un conjunto de operaciones que se efectúan sobre una señal de entrada x(t) y se produce una señal de salida y(t). Un Sistema opera sobre una señal de entrada x(t) y la transforma o


218

transluce en una salida y(t). Esta misma definición conceptual se puede aplicar a señales de diversa índole y tipo. Señal continua: Si tenemos una señal cualquiera e(x), que depende de la variable x, y x puede tomar un valor cualquiera en un intervalo dado, decimos que e(x) es una señal de variable continua. Normalmente en el campo de la electricidad, la variable independiente es el tiempo t, y por lo general, trabajamos con funciones causales, es decir, válidas sólo para t>0, y que para t<0 valen cero. De manera que para señales causales el intervalo sería

),0( ∞+∈t , y t podría tomar cualquier valor dentro de este intervalo. Es importante notar desde ahora que el carácter de continua de una función se refiere a los valores que puede tomar en su dominio, es decir la variable principal, y no en su recorrido o a valores propios de la señal. Señal discreta: Si por el contrario la señal e(x) es tal que su variable independiente x sólo puede tomar algunos valores muy definidos y específicos dentro de un intervalo, es decir, sólo toma valores discretos, diremos que e(x) es una señal discreta.

En la Gráfica 1, debe observarse que aunque las señales u(s), f(t) y x(t), son funciones discontinuas o nó continuas desde el punto de vista funcional, son señales continuas desde el punto de vista del campo de las señales, porque tienen valores continuos en del dominio de cada una. Aunque el dominio no sea todo el campo real, la variable independiente de todas puede tomar cualquier valor dentro de cada intervalo donde la función está definida.

e(x) f(t)

u(s) x(t)

x t

t s

Gráfica 138: Desde la visual del campo de las señales, todas las señales de esta figura son señales continuas por ser su dominio continuo en un cierto intervalo.


219

Estas son también denominadas señales análogas o analógicas en contraposición a discretas o dig itales, que vuelven discreto el dominio y que definiremos seguidamente. Es posible volver discretos ambos: el valor de la función o de la señal y el valor de su dominio, o uno de los dos. Encontramos entonces cuatro posibles conceptos en cuanto a lo que tiene que ver con señales discretizadas o cuantizadas, que se aprecian en la Gráfica siguiente.

Se puede observar la nomenclatura utilizada, la cual, es diferente para cada una:

)(tx : Es una señal analógica convencional, con el tiempo continuo y con el valor de la señal continuo.

][nx : Es una señal muestreada para la cual se ha discretizado el tiempo, dándole valores definidos y enteros, y por eso la variable t se puede reemplazar por n, siendo ,...4,3,2,1=n El valor que puede tomar la función (su recorrido) es continuo y no está discretizado.

)(txQ : Es una señal cuantizada, para la cual, se han discretizado los valores que puede tomar la señal (su Recorrido), pero el tiempo (su Dominio), sigue siendo una variable continua.

][nxQ : Es una señal digital, para la cual se han discretizado ambos, el tiempo y el valor que puede tomar la función. Tanto su Dominio como su Recorrido sólo pueden tomar valores definidos, es decir, valores discretos. De manera pues, que podemos diferencial cuatro tipos generales de señales: señales analógicas, señales muestreadas, señales cuantizadas y señales digitales. Aunque vemos que existen diferencias entre una señal digital y una señal discreta o señal muestreada, en el argot común interesa fundamentalmente la discretización del Dominio.

Gráfica 139 Cuatro formas diferentes de definir una señal en general.


220

4.3.1 Señales Muestreadas Un muestreador es un dispositivo de sistema al cual le entra una señal análoga y la salida es la misma señal, pero discretizada o muestreada. La señal discretizada consiste en pulsos de muy corta duración (o impulsos) con peso o amplitud igual al valor de la señal análoga de entrada, la cual, aparece como envolvente de los pulsos o del tren de impulsos de salida. Estos pulsos ocurren convencionalmente a intervalos iguales de tiempo T que se denomina tiempo de muestreado. Este tiempo T en el cual ocurren los pulsos, no necesariamente debe ser de igual duración, pero en nuestro análisis consideraremos sólo señales muestreadas a intervalos regulares. En la siguiente Gráfica se muestra el concepto global de generación de una señal muestreada a partir de una señal análoga.

Es importante notar como un muestreador se puede pensar como un interruptor sencillo que se cierra momentáne amente cada T segundos, de manera que deja pasar (salir) sólo impulsos de valor igual a la amplitud que tenga la señal de entrada en cada uno de esos instantes. Es un concepto sencillo y fácil de imaginar. En la realidad, lo que existen son circuitos electrónicos que hacen físicamente la misma función, denominados transductores o convertidores análogo-digital. La nomenclatura utilizada puede ser escribir a una función análoga como x(t) o f(t) y a la función discretizada como x*(t) o f*(t) donde el asterisco * significa discretizada, muestreada o digital, pero también podemos utilizar x[n] o f[k] con paréntesis cuadrado y cambiando t por n o por k para significar variables discretas. El impulso unitario )(tδ tiene una connotación un poco diferente en el campo de las señales digitales. El impulso unitario en el dominio del tiempo continuo y de las señales análogas, vale cero siempre, excepto en t = 0 donde tiene un área unidad. Sin embargo, en el dominio del tiempo discreto, el impulso tiene un significado diferente y sólo interesa es su valor y nó su área; el impulso discreto se define como sigue:

Muestreador

nT

0 T 2T 3T nT 0 1 2 3

Señal análoga Señal muestreada

Gráfica 140: Concepto de formación de una señal muestreada


221

≠=

=0 para00 para1

)(nn

nδ

Vamos a definir un tren de impulsos discretos unitarios con la notación )(nTδ :

LL )2()()()()2()()( TtTttTtTtkTtnk

T −+−++++++=−= ∑+∞

−∞=

δδδδδδδ Ecuación 87

Si partimos a una función análoga causal, es decir, que vale cero para t<0, entonces, para convertir la función en discreta haremos el producto )()( ttx Tδ :

LL )2()()()()()()()()2()()()()()( TttxTttxttxTttxTttxkTttxttxk

T −+−++++++=−= ∑+∞

−∞=

δδδδδδδ

y aplicando propiedades generales del impulso:

)(][)()()2()2()()()()0()()( *

0

txkxkTtkTxTtTxTtTxtTxttxk

T ==−=−+−+= ∑+∞

=

δδδδδ L

)(][)()( *

0

txkxkTtkTxk

==−∑+∞

=

δ Ecuación 88

Esta expresión se puede considerar como la definición de una señal discreta. Debe observarse que partimos de una función análoga )(tx y mediante la aplicación del producto con el tren de impulsos, la hemos convertido en una señal discreta )(ó][ * txkx

Ejemplo 78

A partir de la función análoga )()( tuttg = , analice la función discretizada, para T = 2s

1

)(nTδ

T T2 T30T−T2−T3− nT

L

L

L

L

)3( Tn −δ)2( Tn +δ

Gráfica 141: Tren de impulsos unitarios discretos )(nTδ definidos en la Ecuación 87


222

El proceso de discretización es el siguiente:

• )()( tuttg = Esta es una función análoga causal, con valores para t>0, y que vale cero para t < 0. Observemos la Gráfica de la izquierda de la Gráfica 5, y es simplemente la función rampa causal, conocida desde los primeros capítulos.

• Reemplazamos el tiempo continuo t por una variable discreta kT

kTkTg =)( (k = 0, 1, 2, 3, …)

• La función discretizada - luego de hacer el reemplazo indicado-, y que se muestra en la Gráfica del lado derecho, será:

...))4()2(0(2)2(2)()()(][)(000

* +−+−+=−=−=−== ∑∑∑∞

=

∞

=

∞

=

ttktkkTtkTkTtkTgkgtgkkk

δδδδδ

Debe observarse que si tenemos una función en general f(t), podemos -por el método visto-

llegar a la función discretizada f[k] , pero, la inversa no es cierta: Si tenemos una función discretizada, f[k], no podemos encontrar una única función f(t) de donde supuestamente ha surgido. Esto se entiende de inmediato observando la Gráfica 6, donde f[k] es la misma señal discreta que acabamos de ver en la Gráfica 142, pero hemos dibujado otra función cualquiera g(t) que también pudo haber dado origen a la citada función discretizada, en lugar de la línea recta f(t) anterior. Resumamos entonces, que tenemos

0 2 4 6

2

4

6

kT

Gráfica 143: La misma función discretizada con otra envolvente cualquiera

g(t)

)2(2 −tδ

)4(4 −tδ

)6(6 −tδ

0 2 4 6

2

4

6

0 2 4 6

2

4

6

t (s)

g*(t)

kT

g[k]

k 0 1 2 3

Gráfica 142: Función análoga y señal discretizada del ejemplo 78


223

exactamente la misma función discretizada del ejemplo 1, pero, la “envolvente” que se dibujó es otra, que también da origen a la misma función discretizada g[k] del ejemplo. 4.3.2 Representación de señales discretas Hay varias formas de representar una señal discreta, algunas de las cuales ya las hemos utilizado. Vamos a describir de manera más precisa las diferentes formas de representarlas.

• Representación Gráfica. La cual es muy conocida y consiste en colocar en un plano cartesiano los diferentes puntos de la señal. Veamos las diferentes formas con el siguiente ejemplo. Tenemos una señal discreta x(n) expresada Gráficamente:

• Se deben detallar los puntos suspensivos que siempre nos indican que la secue ncia o

notación continúa indefinidamente hacia el lado que están escritos.

• Representación funcional o analítica. Consiste en expresar la señal algebraicamente con la simbología convencional matemática. En este caso y para el mismo ejemplo sería:

==

=caso otroen 0

2 para43,1 para1

)( nn

nx

• Representación tabular. Consiste en presentar los valores de n y de x(n) en forma

de tabla, en filas o columnas. Siguiendo con nue stra misma señal:

n … -2 -1 0 1 2 3 4 5 … x(n) … 0 0 0 1 4 1 0 0 …

• Representación secuencial. Consiste en escribir una secuencia finita o infinita con

los valores de la señal. El valor para n = 0 se debe señalar. Algunas veces se identifica con una flecha, otras se subraya, o con otra señal que lo identifique de manera clara. En el ejemplo, la representación secuencial puede ser:

1

4

1

0 nK K

)(nx

1 2 3 41−2−

Gráfica 144: Representación gráfica de )(nx


224

,0,0,1,4,1,0,0,,0,0,1,4,1,0,0,)( KLKL ==↑

nx

• Secuencias de duración finita e infinita. El anterior ejemplo es una señal o

secuencia de duración infinita ya que su dominio se extiende a derecha e izquierda hasta el infin ito, ),( +∞−∞∈n . Por el contrario, si una señal tiene una secuencia en que n sólo toma un número finito de valores, se dice que es finita. Puede haber finitas en un lado y finitas en el otro. El carácter de infinito siempre se puede representar por los puntos suspensivos, …, ya detallados. Ejemplos:

0,1,2,1,0,3)( −=

↑nx Secuencia finita. Tiene 6 puntos

1,7,1,5,7,3,)( −−=↑

Knx Secuencia infinita por la izquierda

4.4 Definición de la Transformada Z unilateral Para el análisis de sistemas de tiempo discreto es posible utilizar la transformada de Laplace, aplicándola al tren de impulsos visto. Sin embargo, existe una transformada

específica para estos sistemas discretos denominada transformada Z que entraremos a desarrollar y a analizar. Partiremos de una señal x[k], discretizada en impulsos tal como hemos visto,

∑+∞

=

−=0

)()(][k

kTtkTxkx δ Vamos a aplicarle la transformada de Laplace en ambos lados:

[ ] [ ]++−+−+=

−= ∑

+∞

=

...)2()2()()()()0()()(][0

TtTxTtTxtxkTtkTxkxk

δδδδ LLL

Recordemos de Laplace, que en general podemos expresar la siguiente propiedad:

kTskTgkTtkTgkTtkTg −=−=− εδδ )()]([)()]()([ LL Entonces, si denominamos la transformada [ ] ][][ * sXkx =L tendremos que:

[ ]

∑∞

=

−−−−− =+++++=

=++−+−+=

0

)(320

*

)(...)3()2()()0(

...)2()2()()()()0(][

k

skTTsTsTsTs kTxTxTxTxx

TtTxTtTxtxsX

εεεεε

δδδL

Resumiendo:


225

∑∞

=

−=0

)(* )(][k

skTkTxsX ε Ecuación 89

La anterior expresión es la transformada de Laplace de una función o señal discretizada. Observemos que la variable compleja s aparece únicamente en el exponente. Vamos a hacer

un cambio importante de variable en la ecuación 3, introduciendo la variable z: sTz ε=

Entonces: ∑∑

∞

=

−∞

=

− ==00

)(* )()(][k

k

k

skT zkTxkTxsX ε llegando de manera muy

sencilla y directa a la definición de la transformada Z unilateral:

∑∞

=

−==0

)()()]([k

kzxzXtxZ kT Ecuación 90

(Transformada Z unilateral) La transformada inversa se puede escribir como:

)()()]([ *1 txtxzXZ ≠=−

La expresión anterior nos indica que dada una transformada X(z), podemos anti-transformar y obtendremos la función discretizada x*(t) o x[k], pero no obtendremos la función de tiempo continuo x(t), por las razones que ya observamos en el análisis de la Gráfica 6 Existe una expresión integral para la anti-transformada pero sobrepasa los objetivos de este libro. Para encontrar anti-transformadas utilizaremos algunos métodos algebraicos como los de fracciones parciales, división sintética, y utilización de tablas de transformada Z, de igual forma a como hicimos con las transformadas que hemos analizado en capítulos anteriores. Es importante anotar que existe una ampliación de la definición dada en la ecuación 4 para la transformada Z unilateral y consiste en ampliar la sumatoria para valores negativos de n o de k y llegar a la definición de la transformada Z bilateral. Presentamos esta definición con fines informativos, pero, nosotros siempre trataremos con la Transformada Z unilateral dada en la ecuación 4.

∑+∞

−∞=

−==k

kzkTxzXtxZ )()()]([ Ecuación 91

(Transformada Z bilateral )


226

En realidad la transformada Z unilateral es un caso particular de la transformada Z bilateral. En la bibliografía específica de este capítulo podrá el estudiante ampliar los conocimientos a su conveniencia. En el mundo de la ingeniería de la electricidad, las funciones y señales en su mayoría son señales causales y por lo tanto, la transformada que necesitamos y que utilizaremos es la unilateral.

Ejemplo 79

Teniendo la transformada Z dada por: 2)1()(

−=

zTzzF encuentre la anti-transformada )(* tf

Una estrategia que mostraremos como uno de los métodos de trabajo en Transformada Z, consiste en expresar la transformada dada en términos polinómicos de nz− (no de nz ). Para ésto, debemos primero expresar F(z) en función de 1−z , (nó de z). Trabajemos algebraicamente con F(z), dividiendo primero numerador y denominador por la mayor potencia de z que se tenga en la expresión, en este caso debemos dividir por z2 y luego simplificaremos algebraicamente:

21

1

21

1

2

1

22

2

21)1()/1/(/)1(/

)( −−

−

−

−−

+−=

−=

−=

−=

zzTz

zTz

zzzTz

zzzTz

zF

Ahora vamos a desarrollar por división sintética el quebrado al que hemos llegado. Similar a la división de de polinomios (con exponentes positivos), sólo que ahora es para un “polinomio” con exponentes negativos. El estudiante debe analizar cuidadosamente la siguiente división para recordar la forma como se trabaja; la división se ha dejado inconclusa, habiendo encontrado los primeros seis términos, simplemente porque el resultado es una serie de infinitos términos en nz− y por esto aparecen los puntos suspensivos:


227

LLL

65

654

54

543

43

432

32

654321

45

484

34

363

23

242

2

3221

...65432

211 21

−−

−−−

−−

−−−

−−

−−−

−−

−−−−−−

−

−+−

−

−+−

−

−+−

−−

−−−+−−

+++++++

−−− +−

zz

zzz

zz

zzz

zz

zzz

zz

zzz

zzzzzz

zzz

Podemos entonces decir que:

∑∑∑∞

=

−∞

=

−∞

=

−

−−−−−−−−−

−

===

=++++++++=+−

=

000

65432121

1

)()(

...)...65432(21

)(

k

k

k

k

k

k

k

znTfzkTkzT

kzzzzzzzTzz

TzzF

O sea que: ∑∞

=

−===0

* )()()()(n

nTtnTtfnTnTf δ

Ejemplo 80: Ejemplo de una señal discreta y su Gráfica.

0 T 2T 3T

T

2T

3T

f*(t)

t

4T

4T

Gráfica 145: Función digitalizada del ejemplo 79

L


228

La señal cuya Gráfica a manera de ejemplo insertamos es: )()(cos)9,0()( 10 nunx nn π= , es una señal causal, infinita a la derecha.

Ejemplo 81

Ejemplo de otra señal discreta y su Gráfica, en este caso, una señal anti-causal, infinita en ambos lados.

4.5 Transformada Z de algunas funciones usuales

)(nx

Gráfica 146: Señal digitalizada )(nx del ejemplo 80

Gráfica 147: Gráfica de la señal: nnA )9,0()( =


229

Un resumen de lo avanzado hasta ahora es el siguiente: Una función de tiempo continuo o función analógica f(t) se puede discretizar en impulsos, o también en pulsos de corta duración a intervalos igualmente espaciados. El intervalo en el surge cada pulso se denomina T y por lo general, se puede escoger T = 1. Nos podemos referir a una función discreta f(nT) o simplemente f(n) o f(k), denotando con la variable k o n el valor de la variable discreta que tomará secuencialmente valores enteros 0, 1, 2, … Otras notaciones son x[n], Y(k), etc. Vamos ahora a avanzar y a desarrollar la Transformada Z para algunas funciones de uso frecuente en la electricidad. Siempre estaremos considerando que el intervalo periódico de ocurrencia de cada pulso es constante y más aún que es simplemente T = 1 y siempre nos referiremos a la transformada unilateral, y a señales causales. Las funciones que trabajaremos en este punto son:

• Impulso unitario: )(nδ • Escalón unitario: )(nu • Impulso desplazado: )( 0nn −δ

• Exponencial ε : )(nunαε −

• Exponencial a: )(nua n • Sinusoidales: nwnw cos,sin

4.5.1 Función Impulso unitario: )(nδ ó )(kδ Recordemos que el impulso unitario digitalizado lo definimos anteriormente así:

=

=n

nn

otra001

)(δ

De acuerdo con la ecuación 4, hemos definido la transformada Z como:

∑∞

=

−==0

)()()]([k

kzkTxzXtxZ

Ahora )()()( nnxnTx δ== de manera que:

1)1()()]([ 0

0

=== −∞

=

−∑ zznnZk

kδδ

Gráfica 148: Función Impulso unitario

0

1

2 3 n -1

)(nδ

1


230

Encontramos el Par de transformada:

1)( →←Znδ Ecuación 92 4.5.2 Función Escalón unitario: )(nu ó )(ku Podemos definir la función escalón unitario digitalizado de la siguiente forma:

<=

=00

,2,1,01)(

nn

nuL

Debe observarse que u(0) está definida perfectamente: 1)0( =u lo que no ocurría necesariamente con la función escalón análoga u(t). La Gráfica la vemos en la Gráfica siguiente:

Aplicando la definición de la transformada Z tenemos:

+++++=== −−−∞

=

−∞

=

− ∑∑ L321

00

11)()]([ zzzzznunuZk

k

k

k Recordemos la serie geométrica:

11

210

0

<−

=++++=∑∞

=

rr

arararara

k

k L

Por ejemplo: 22/111

21

161

81

41

21

11 ==+++++++ −LL k

Entonces si hacemos Z

r1

= en la expresión lograda para )]([ nuZ :

1/111

1 321

−=

−=+++++ −−−

zz

zzzz L

Gráfica 149: Señal escalón unitario digitalizado

0 1 2 3

1

n 4

)(nu

K


231

Debe cumplirse que: 111 >→< zz Hemos obtenido el Par:

zzz

nu11

11

)(−

=−

→←Z ( 111 >→< zz ) Ecuación 93

La condición 1>z define lo que se conoce como Región de Convergencia – R.O.C. (Del Ingles “Region of Convergence”) y consiste en el rango de valores de z para los cuales, la transformada X(z) es finita, esto es, el rango de z para el cual X(z) converge. Es importante entender el significado de la expresión 1>z Debemos considerar que z es una variable compleja, es decir, su Gráfica debe dib ujarse en el plano complejo. Al indicar que su valor absoluto sea mayor que 1 significa que el vector jwtrz ε=

r deberá estar por

fuera de un círculo de radio unitario, es decir r > 1 tal como se indica en la Gráfica 150.

El analizar y conocer la región de convergencia para las transformadas Z es de importancia fundamental en análisis de mayor profundidad. El análisis que presentamos en este capítulo como lo hemos indicado es introductorio y no necesitaremos analizar esta propiedad de las transformadas, es decir, conocer los rangos donde son convergentes ya que estamos trabajando con señales causales y con la transformada unilateral, para la cual, el rango de convergencia siempre está por fuera del círculo de radio r. A este respecto, sólo si se trabaja con funciones generales y la transformada bilateral es indispensable definir el rango de convergencia. Bajo estas condiciones es claro que para la transformada vista en la primera función

1)( →←Znδ la R.O.C. es todo el campo complejo, )( C∈∀z ya que no tiene restricciones para z puesto que la transformada Z es la constante unitaria.

1

Gráfica 150: Región de convergencia para la función u(k)


232

En la siguiente Gráfica presentamos de manera informativa una clasificación general del tipo de señales en cuanto a sus posibles R.O.C.


233

4.5.3 Tabla 16 Señales digitales de diferente clase y su ROC


234

4.5.4 Función Impulso desplazado: )( 0kk −δ

Definimos el impulso desplazado como:

≠=

=−0

00 0

1)(

kkkk

kkδ

Vamos a aplicar la definición de la transformada Z:

000 1

000 )1()()]([ kz

kk

k

k zzzkkkkZ ===−=− −−∞

=

−∑δδ

Hemos obtenido el Par:

0)( 0kzkk −→←− Zδ Ecuación 94

4.5.5 Función Exponencial:

)()()()()()( )(* nununftftutf nnTt ααα εεε −−− ===→=

En la Gráfica vemos la función muestreada

ttf αε −=)( que se convierte en la envolvente de los pulsos o impulsos para los instantes n = 0, 1, 2, 3, … Aplicando directamente la definición de transformada Z y habiendo muestreado la función exponencial asumiendo T = 1,

Gráfica 151: Función Impulso unitario despl azado

0

1

k

)( 0kk −δ

k0

Gráfica 152: Función Exponencial discretizada

0

1

n

nαε −

1 4 3 2 -1

αε−

αε 2− αε 3−αε 4−

0ε


235

TTT

TTTn

n

T

n

nnTnT

zz

zz

zzzzznTuZ

ααα

αααααα

εεε

εεεεεε

−−−−

−−−−−−∞

=

−−∞

=

−−−

>−

=−

=

=++++=== ∑∑

1

33221

0

1

0

11

1][)]([ L

Se llega de esta manera al Par:

αα

αα

εε

εε

−→←

−−

→←−

−− zzu

zzu ZZ

nn

TnT

nT)()( Ecuación 95

4.5.6 Función Constante Exponencial: )(* )()( n

nuanftf == Si hacemos en la ecuación N° 8 del Par Ta αε −= y trabajamos un poco algebraicamente, de manera inmediata obtenemos el Par:

azaz

zua Z

nn >

−→←)( Ecuación 96

4.5.7 Función Sinusoidales discretizadas: )cos()()sin()(

nTwnxnTwnx

==

Ya conocemos por desarrollo anterior que TnTnT

zz

u Z

αα

εε −→←

−

−)( de manera que si

hacemos que jw=α podemos escribir que: [ ]jwT

nTuz

znwTj

−=

−−

εε )(Z pero sabemos que:

θθε θ sincos jj ±=± entonces, podemos reemplazar en la expresión anterior y obtenemos:

[ ]wTjwTz

zwTjwTz

zz

zjwT

nTunwTj

sin)cos()sin(cos)(

+−=

−−=

− −=−

εεZ

y ahora multiplicando denominador y numerador por el conjugado del denominador:


236

)1cos2

sin(

1cos2)cos(

sincoscos2sin)cos(

sin)cos(]sin)cos[(

22

1

22222)(

+−−

+−−

=

=++−

−−=

+−−−

=

−

wTzzwTz

jwTzzwTzz

wTwTwTzzwTjzwTzz

wTwTzwTjwTzz

u nTnwTj

444 3444 21εZ

Pero el lado izquierdo de la igualdad es:

− −= nwTjnwTu nTnwTj sincos)( ZZ ε y

por lo tanto, igualando partes reales y partes imaginarias respectivamente:

1cos2)cos(

cos 2)(+−

−=

wTzzwTzz

unwT nZ Ecuación 97

1cos2sin

sin 2)(+−

=

wTzzwTz

unwT nZ Ecuación 98

4.6 Tablas de Transformada Z: En las siguientes páginas presentamos dos tablas: Tabla N° 2 con transformadas de las

principales funciones, y Tabla N° 3 con las principales propiedades de la transformada Z.

Gráfica 153: Gráfica de la señal sinusoidal discretizada: )(sin)9,0()( 10 nunx nn π=


237

4.6.1 Tabla 17: Transformada Z de algunas funciones importantes

/1

N°

Función en “t” x(t)

Función causal discretizada en “n” T: Período de muestreo.

En general: T = 1 x(n) ≡ x(nT)

Transformada unilateral Z :

Z [x(t)] ≡ Z [x(n)] = X(z) = ∑∞

=

−

0

)(n

nznx

1 )(tδ )(nδ 1

2 )( mt −δ )( mn −δ mz

1

3 )(tu )(nu )1( −z

z

4 )( mtu − )( mnu − )1(

1−− zz

z m

5 )(tutαε − )(nunTαε − Tz

zαε −−

6 )(tut tαε − )()( nunT nTαε −

( )2T

T

z

zTα

α

ε

ε−

−

−

7 )()sin( tuwt )()sin( nuwnT 1)cos(2

)sin(2 +− wTzz

wTz

8 )()cos( tuwt )()cos( nuwnT 1)cos(2

))cos((2 +−

−wTzzwTzz

9 )(tut )()( nunT 2)1( −z

Tz

10 )(2 tut )()( 2 nunT 3

2

)1()1(

−+

zzzT

11 )(tutm )()( nunT m

−∂∂

− −→ Tvm

m

v

m

vz

v ε0lim)1(

12 )(tuat )(nuan az

z−

13 )()cos( nunan π az

z+


238

(Continuación) … Tabla 17: Transformada Z de algunas funciones importantes

N°

Función en “t” x(t)

Función causal discretizada en “n” T: Período de muestreo. En general:

T=1

x(n) ≡ x(nT)

Transformada unilateral Z :

Z [x(t)] ≡ Z [x(n)] = X(z) = ∑∞

=

−

0

)(n

nznx

14 wtat sin−ε wnTanT sin−ε aTaT

aT

wtzzwTz

22 cos2sin

−−

−

+− εεε

15 wtat cos−ε wnTanT cos−ε aTaT

aT

wtzzwTzz

22

2

cos2cos

−−

−

+−−

εεε

16 na az

z−

17 1−na n = 1, 2, 3, … az −

1

18 1−nna 2)( az

z−

19 12 −nan 3)()(

azazz

−+

20 13 −nan 4

222

)()4(

azaazzz

−++

21 nnn ana )1(cos −=π az

z+

22 btsinh bnTsinh 1cosh2

sinh2 +− bTzz

bTz

23 btcosh bnTcosh 1cosh2

)cosh(2 +−

−bTzzbTzz

/1 Notas:

• Tratamos con señales causales: x(t) = 0 para t < 0 x(nT) = x(n) = 0 para n < 0

• Si no se indica otra cosa, debemos considerar que: n = 0, 1, 2, 3, …


239

4.6.2 Tabla 18: Principales propiedades algebraicas

de la Transformada Z unilateral con señales causales

N°

x(t) ó x(k)

(Nombre de la Propiedad)

Transformada Z unilateral

1 A x(t) (Multiplicación por constante)

A X(z)

2 A x1(t)+B x2(t) (Propiedad Lineal)

A X1(z) + B X2(z)

3 t x(t) (Diferenciación Compleja) [ ])(zX

dzd

zT−

4 k x(k) (Diferenciac ión Compleja) [ ])(zX

dzd

z−

5 )(txat−ε (Traslación Compleja)

)( aTzX ε

6 )(kxak−ε (Traslación Compleja)

)( azX ε

7 )(kxa k (Multiplicación por ak)

)( azX

8 )(kxkak [ ])( azX

dzd

z−

9 )( knx + (Traslación a la izquierda)

)1(...)2(

)1()0()(2

1

−−−

−−−−

−

kxzxz

xzxzzXzk

kkk

10 )( kTtx + (Traslación a la izquierda)

])1[(...)2(

)1()0()(2

1

TkxzTxz

TxzTxzzXzk

kkk

−−−

−−−−

−

11 )( knx − (Traslación a la derecha)

)(zXz k−

12 )( kTtx − (Traslación a la derecha)

)(zXz k−

( continúa … ) â (Continuación …) Tabla 18: Principales propiedades algebraicas

de la Transformada Z unilateral con señales causales


240

N°

x(t) ó x(k)

(Nombre de la Propiedad)

Transformada Z unilateral

13 x(0) (Teorema del Valor Inicial)

)(lim)0( zXxz ∞→

=

14 )()(lim ∞≡∞→

xkxk

(Teorema del Valor Final)

)()1(lim)(lim)(1

zXzkxxzk

−=≡∞→∞→

15 )()( kukxp

( )(kpx es una señal periódica

con período P)

)(1 1 zX

zzP

P

−

(X1(z) es la transformada en el 1er período de )(kpx )

16 ∑=

−=∗n

k

kTnTxkTxkxkx0

2121 )()()()(

(Convolución Real)

)()( 21 zXzX

4.7 Propiedades de la transformada Z En la Tabla 18 hemos incluido las principales propiedades de la transformada Z, es decir, el álgebra de la transformada Z. A continuación vamos a demostrar algunas de dichas propiedades para familiarizar al alumno con el manejo de la definición de la transformada y la forma de trabajar con sumatorias. Quedarán como ejercicios algunas propiedades, para que sean demostradas por el estudiante. Nos iremos refiriendo a cada propiedad en el mismo orden en que se presentan en la Tabla N° 18. Para todas las demostraciones que presentaremos, se puede partir de la definición de la transformada Z dada en la ecuación 4, para señales causales y asumiendo T = 1.

∑∞

=

−==0

)()()]([n

nznxzXnxZ ?

Además, utilizaremos las propiedades algebraicas del campo de las sumatorias, que asumimos son conocidas por el estudiante. 4.7.1 Multiplicación por una constante

1 A x(t) A X(z)


241

∑∑∑∞

=

−∞

=

−∞

=

− ===→=000

)()()()]([)()]([n

n

n

n

n

n zXAznxAznAxnAxznxnx ZZ ?

4.7.2 Propiedad Lineal

2 A x1(t)+B x2(t) A X1(z) + B X2(z)

∑ ∑∑∞

=

∞

=

−−∞

=

− +=+=+=+0

20

1210

2121 )()()()()]()([)]()([n n

nn

n

n zXBzXAznxBznxAznBxnAxnBxnAxZ ?

4.7.3 Propiedad de Diferenciación Compleja

3 t x(t) ó n x(n) [ ])(zXdzd

zT−

4 k x(k) [ ])(zXdzd

z−

∑∞

=

−=0

)()(n

nznxzX Derivando en ambos lados respecto a z:

∑∑∑∞

=

−∞

=

−∞

=

−−

−=−=−=

000

1 )(1

)()()()()(

n

n

n

n

n

n znnxzz

znxnznxn

dzzXd

Entonces:

)]([)()(

0

nnxznnxdz

zXdz

n

n Z==− ∑∞

=

− ? O también:

)]([)()(

0

nnTxznnTxdz

zXdzT

n

n Z==− ∑∞

=

− ?

4.7.4 Propiedad de Traslación Compleja

5 )(txat−ε )( aTzX ε

6 )(kxak−ε )( azX ε


242

)()()()()]([)]([000

zXzkxzkxzkxkx a

k

ka

k

kak

k

kakak εεεεε ∑∑∑∞

=

−∞

=

−−∞

=

−−− ====Z ?

Esta propiedad significa que si la transformada de x(k) es X(z) entonces, la transformada de

)(kxak−ε se obtiene de la transformada X(z), cambiando z por azε

Ejemplo 82

Aplique la propiedad anterior para encontrar la transformada Z de atttf −= ε)( discretizada.

De la Tabla N° 2 transformada 9 sabemos que 2)1()(

−⇔

zTz

tut

Aplicando la propiedad vista:

22 )1()1()(][

−=

−==

→

−a

a

zz

aat

zTz

zTz

zFta ε

εεε

ε

Z

4.7.5 Multiplicación por ka

7 )(kxa k )( a

zX

)()()()()()()]([00

1

0azX

az

kxzakxzkxakxak

k

k

k

k

kkk ==== ∑∑∑∞

=

−∞

=

−−∞

=

−Z ?

La propiedad siguiente de la Tabla N° 3, la 8, está dada como ejercicio al final del capítulo para que el estudiante la demuestre. 4.7.6 Traslación a la izquierda

9 )( knx +

)1(...)2(

)1()0()(2

1

−−−

−−−−

−

kxzxz

xzxzzXzk

kkk

10 )( kTtx +

])1[(...)2(

)1()0()(2

1

TkxzTxz

TxzTxzzXzk

kkk

−−−

−−−−

−


243

Para demostrar en forma general esta propiedad hay que desarrollar consecutivamente varias demostraciones, por inducción; vamos a demostrar con )1( +nx para conocer el procedimiento.

Si tenemos que ∑∞

=

−==0

)()()]([n

nznxzXnxZ entonces: ∑∞

=

−+=+0

)1()]1([n

nznxnxZ

Vamos a cambiar de variable: n + 1 = k entonces: Si n = 0, k = 1

)]0()()]0()(

])0()([)()()()]1([

0

0

0111

)1(

xzzXzxzzkxz

zxzkxzzkxzzzkxzkxnx

k

k

k

k

k

k

k

k

k

k

−=−=

=−====+

∑

∑∑∑∑∞

=

−

−∞

=

−∞

=

−∞

=

−∞

=

−−Z

Esto nos lleva al Par: )0()()1( XzzXznx −⇔+ ? Si volvemos a aplicar el mismo procedimiento reiteradamente, podremos llegar a la expresión general requerida. Estas propiedades de corrimientos a la derecha y a la izquierda se han tabulado de manera específica para aplicación en las Ecuaciones de Diferencias en la Tabla N° 4 más adelante.

4.8 Transformación inversa Z -1 Aunque existe, -como lo indicamos-, una integral de circunvolución en el campo Complejo para encontrar la señal discretizada x[n] a partir de la transformada X(z), el manejo de dicha integral se aparta de nuestro alcance. Así que miraremos metodologías prácticas, como la comparación con Tablas de Transformadas y emplearemos métodos algebraicos como las fracciones parciales y la división sintética. En general, lo que queremos encontrar es: x[n] a partir de X(z). La nomenclatura para esta transformación inversa es similar a la empleada en las transformadas de Laplace y de Fourier vistas en capítulos anteriores:

[ ] [ ]nxzXZ =− )(1

4.8.1 Utilización de Tablas de Transformada Z La metodolo gía es simple y ya conocida en las transformadas de Laplace y de Fourier, y consiste sencillamente en expresar la señal X(z) en una forma algebraica apropiada, para


244

compararla con transformadas convencionales existentes en las Tablas, de manera que podamos llegar la señal discreta de donde proviene. Como estamos trabajando con señales causales las señales encontradas son unívocas, es decir, no es posible que dos funciones tengan la misma transformada; esto no es así para funciones no causales donde se utiliza la transformada Z bilateral. Vamos a desarrollar la metodología de consultar Tablas, a través de algunos ejemplos.

Ejemplo 83

Si tenemos la transformada 210122100

)(zz

zzX

+−= encuentre la anti-transformada o

función discretizada en el tiempo [ ]nx : [ ] [ ]nxzXZ =− )(1 Vamos a factorizar el denominador: )1)(2.0(10)2.02.1(1010122 22 −−=+−=+− zzzzzz

De manera que: )1)(2.0(

10)1)(2.0(10

10010122

100)( 2 −−=

−−=

+−=

zzz

zzz

zzzzX

Aquí, aparece una recomendación metodológica importante:

En lugar de trabajar directamente sobre X(z) debemos trabajar, muy convenientemente, sobre

zzX )(

En nuestro caso y dividiendo por z, llegamos a: )1)(2.0(

10)(−−

=zzz

zX y es

sobre esta expresión que vamos a trabajar. Al final, debemos retornar a la expresión original, volviendo a multiplicar por z, y anti- transformar X(z). Vamos a expandir en fracciones parciales el quebrado del lado derecho de esta expresión; los métodos algebraicos son los convencionales de las fracciones parciales ya vistos en este curso y utilizados ampliamente en capítulos anteriores, por lo cual, no detallaremos siempre dichos procedimientos algebraicas.

12.0)1)(2.0(10)(

−+

−=

−−=

zB

zA

zzzzX

5.12)12.0(

10)1(

10

2.0

−=−

=−

==z

zA

5.12)2.01(

10)2.0(

10

1

=−

=−

==z

zB De manera que: )

11

2.01

(5.12)(

−+

−−

=zzz

zX


245

Ahora, volvemos y pasamos la z al lado derecho y obtenemos la expresión requerida:

)2.01

(5.12)(−

−−

=z

zz

zzX ?

Ya tenemos expresada la transformada de una forma que compara con las que existen en las Tablas usuales. Si consultamos nuestra Tabla 2 y observamos la transformadas N° 3 y N° 12 podemos anti- transformar cada término:

[ ] [ ] [ ] )()2.01(5.12)(2.0)(5.12)2.01

(5.12)( 111 nununuz

zz

znxzX nn −=−=

−−

−== −−− ZZZ

Resumiendo el resultado: [ ] ,...2,1,0)()2.01(5.12 =−= nnunx n ? Ecuación 99

Esta señal expresada en forma de secuencia es:

),48.12,40.12,12,10,0(

48.12)2.01(5.12)4(

40.12)2.01(5.12)3(

12)2.01(5.12)2(

10)2.01(5.12)1(

0)2.01(5.12)0(

4

3

2

1

0

K

LLL

⇓

=−=

=−=

=−=

=−=

=−=

x

x

x

x

x

Recordemos que cuando definimos una señal como una secuencia numérica de valores discretos, se debe colocar una marca en el valor para k = 0 o para n = 0. En este ejemplo, el valor para n = 0 es cero, el primer valor, y por esto se ha colocado una flechita encima del cero. Sin embargo, si estamos trabajando con señales causales (aquéllas que sólo tienen valores para k = 0 ) no hace falta esta marquita, porque es obvia en el primer elemento. Debe observarse también que pasar de una señal expresada algebraicamente como aparece en la ecuación 13, a su secuencia, es muy fácil, porque es sólo darle valores sucesivos a la variable discreta. Pero, para pasar de la secuencia numérica a la expresión algebraica es por lo general difícil, y a veces prácticamente imposible, por la dificultad de encontrar una ley de formación de la secuencia.

Así por ejemplo, si nos dan la secuenc ia ),48.12,40.12,12,10,0( K⇓

y queremos llegar

a la expresión compacta algebraica de esta secuencia, )2.01(5.12 k− pues es en la práctica imposible lograr llegar a la misma sin conocerla anteriormente.

Ejemplo 84

Encuentre f [k] si 2)2(2

)(zz

zzF

−+

=


246

Procedimiento 1.

Como hemos dicho, lo más conveniente es trabajar con zzF )( y no con )(zF , de manera

que vamos a dividir por z y a desarrollar en fracciones parciales:

zD

zC

zB

zA

zzz

zzF

+++−

=−+

= 233 2)2(2)( el estudiante debe trabajar este desarrollo en

fracciones parciales, hasta llegar a: 2/1112/1 −=−=−== DCBA de manera que:

zzzzzzz

zzF 2

1

2321

3

112)2(

2)(−−−

−=

−+

= Ahora, volvemos a multiplicar por z y quedará:

2111

2)2(2)( 2

21

2 −−−−

=−+=

zzzz

zzzzF ?

A cada uno de estos términos le podemos aplicar alguna de las anti-transformadas de la Tabla 2 y obtener la función f(k):

)()1()2()(2)()1()2()(2)( 211

21

21 kkkkukkkkukf kk δδδδδδ −−−−−=−−−−−= − ?

Veamos la secuencia de valores, que debe ser cuidadosamente seguida, calculada y estudiada por el alumno para que se familiarice con estos procedimientos que algunas veces no son tan simples como aparentan ser:

k f(k) 0 000)0()10()20()0(2)0( 2

121

211 =−−−=−−−−−= − δδδuf

1 00101)1()11()21()1(2)1( 2111 =−−−=−−−−−= − δδδuf

2 10012)2()12()22()2(2)2( 2112 =−−−=−−−−−= − δδδuf

3 420004)3()13()23()3(2)3( 22113 ==−−−=−−−−−= − δδδuf

4 820008)4()14()24()4(2)4( 32114 ==−−−=−−−−−= − δδδuf

… … Por lo tanto, podemos también expresar el resultado en forma de secuencia, como:

),2,2,1,0,0()( 32 L=kf ? Hemos omitido la marca en el primer término. Procedimiento 2. Vamos a trabajar con F(z) para que el estudiante aprecie la mayor dificultad que existe comparativamente a trabajar con

zzF )(

zC

zB

zA

zzzzF ++

−=

−+= 22 2)2(

2)( Desarrollando por fracciones parciales se llega a:


247

111 −=−== CBA De manera que: zzzzz

zzF 112

1)2(2)( 22 −−

−=

−+= Cada uno de los

tres términos los trataremos en forma separada.

)2

(1

21

)(1 −=

−=

zz

zzzF Podemos aplicar la propiedad de corrimiento en k:

)1(2)1()()(1)2

(1)( :Entonces

)(2)(2

)(

111 −=−=→=

−=

=→−

=

− kukykfzYzz

zz

zF

kukyz

zzY

k

k

)1()(1

)()2()(1

)( 33222 −=→=−=→= kkfz

zFkkfz

zF δδ

De manera que el resultado buscado en este segundo procedimiento es:

L,2,1,0)()1()2()1(2)( 211 =−−−−−−= − kkkkkukf k δδδ ?

Observemos que la función es aparentemente diferente a la encontrada por el procedimiento 1, pero es sólo la forma de escribirla que es diferente. Veamos una tabulación de valores de la última función encontrada, que debe ser cuidadosamente estudiada por el alumno:

k f(k) 0 0000)10()20()10(2)0( 1 =−−=−−−−−= − δδuf

1 0101)11()21()11(2)1( 11 =−−=−−−−−= − δδuf

2 1022)12()22()12(2)2( 12 =−−=−−−−−= − δδuf 3 2213 2002)13()23()13(2)3( =−−=−−−−−= − δδuf 4 3314 2002)14()24()14(2)4( =−−=−−−−−= − δδuf

… … Lo cual muestra que reproduce todos y cada uno de los valores encontrados en el procedimiento anterior, es decir, las dos secuencias y señales son iguales:

),2,2,1,0,0()( 32 L=kf ? Procedimiento 3. Además de los dos procedimientos anteriores, vamos a ilustrar el método por división larga o división sintética.

Partimos de la función original 2)2(

2)(

zzz

zF−

+= pero, la debemos expresar no con

potencias positivas polinómicas, sino con potencias negativas; para esto dividimos numerador y denominador por la mayor potencia que tenga z, en este caso es 3z :


248

1

32

32

3

2 212

/)2(/)2(

)2(2

)( −

−−

−+

=−

+=

−+

=zzz

zzzzz

zzz

zF y ahora hacemos la división sintética entre

numerador y denominador, procedimiento que asumimos ya conoce el estudiante:

LLL

6

65

5

54

4

43

3

5432

32

3216

16

168

8

84

4

322

...1684

132 212

−

−−

−

−−

−

−−

−

−−−−

+−

+−

+−

−+−−

+++++

−−− −+

z

zz

z

zz

z

zz

z

zz

zzzz

zzz

De manera que:

+++++=+++++=−−−−−−−−

...222...1684)(54433225432

zzzzzzzzzF Vamos a confrontar estos valores con la variable k = 0, 1, 2, 3, …

kz

k

zzzzzzzF

−

−−−−−

=

=

↓↓↓↓↓↓

+++++++=

de esCoeficient,2 ,2 ,2 1, 0, ,0f(k)

5 4 3 2 1 0

...222100)(

432

544332210

L

L

Es bueno observar que este método es un poco confuso, sobre todo para encontrar los primeros términos, que sin tener la referencia de los dos procedimientos ya ejecutados, parece que sería arduo hallarlos. Sin embargo, es siempre aplicable.


249

4.9 Aplicación de la Transformada Z a la solución de ECUACIONES DE DIFERENCIAS

Esta es una de las aplicaciones más útiles de la transformada Z. Sabemos que en el dominio de tiempo continuo se utilizan las conocidas “ecuaciones diferenciales”; en el dominio de tiempo discreto, no se utilizan las ecuaciones diferenciales sino que se utilizan las “ecuaciones de diferencias”. Si tenemos por ejemplo, una variable discreta x(n), entonces:

x(k) es la señal en el instante k: n = k x(k -1) es la señal en un momento o período antes el instante k, en n = k – 1 x(k +1) es la señal en un momento o período después el instante k, en n = k + 1

Recordemos que en general x(n) es una serie de pulsos que normalmente van desde 0=n hasta ∞=n . De manera que:

posterior ahora aquí, anterior

0

11

)2()1()()1()2()1()0()()(

+−↓↓↓

++++++−+++== ∑+∞

=

kkk

kxkxkxkxxxxkxnxk

LL

La forma de utilizar la transformada Z para esta nomenclatura de desplazamientos en el tiempo, se puede extractar de la Tabla N° 3 de propiedades generales, pero es más conveniente preparar una tabla específica y muy útil, como es la Tabla N° 4 en la siguiente página. La metodología es simplemente transformar en Z cada miembro de la ecuación de diferencias y resolver la nueva ecuación algebraica que resulta en z, encontrando X(z), y luego, anti-transformar con alguna de las metodología vistas, para llegar finalmente a x(k).Vamos a exponer este método mediante ejemplos.

Matemáticas para Ingenieros. Capítulo 4: Introducción a la Transformada Z. Prof. Fabio Vidal

4.9.1. Tabla 19: Transformada Z para desplazamientos

x(k + m) y x(k – m) aplicada a solución de ECUACIONES DE DIFERENCIAS

Función Discreta

Transformada Z Condiciones Iniciales

• •

x(k+4)

x(k+3)

x(k+2)

x(k+1)

x(k)

x(k-1)

x(k-2)

x(k-3)

x(k-4) • •

• •

)3()2()1()0()( 2344 xzxzxzxzzXz −−−−

)2()1()0()( 233 xzxzxzzXz −−−

)1()0()( 22 xzxzzXz −−

)0()( xzzXz −

)(zX

)(1 zXz−

)(2 zXz−

)(3 zXz−

)(4 zXz− • •

• •

)3(),2(),1(),0( xxxx

)2(),1(),0( xxx

)1(),0( xx

)0(x • •

Ejemplo 1

Resuelva la ecuación de diferencias siguiente, mediante la transformada Z

1)1(;0)0(0)(2)1(3)2( ===++++ xxkxkxkx

Vamos a aplicar las propiedades dadas en la Tabla N° 19 a cada miembro de la ecuación:

250


251

0)(2)]0()([3)]1()0()([ 22 =+−+−− zXzxzzXzxxzzXz Ahora reemplazamos las condiciones iniciales dadas:

0)(2]0)([3]10)([ 22 =+−+−− zXzzzXzzzXz

0)(2)(3)(2 =++− zXzzXzzXz Como se observa, la transformada Z ha transformado la ecuación de diferencias en una ecuación simple algebraica. Por lo tanto:

23)( 2 ++

=zz

zzX ?

Vamos a anti-transformar por fracciones parciales. Factorizando el denominador:

)2)(1(23)( 2 ++

=++

=zz

zzz

zzX Vamos a trabajar con:

)2)(1(1)(

++=

zzzzX

)2()1()2)(1(1)(

++

+=

++=

zB

zA

zzzzX El estudiante debe llegar a: 11 −== BA

Entonces: )2(

1)1(

1)(+

−+

=zzz

zX Y volviendo a )(zX : )2()1(

)(+

−+

=z

zz

zzX

Ahora, aplicamos las tablas de anti-transformadas a cada término:

]21)[()1()()2()()1()]([)( 1 kkkk kukukuzXkx −−=−−−== −Z Finalmente llegamos a:

...),3,2,1,0()(]21[)1()( =−−= kkukx kk ? Comprobación: Comprobemos las condiciones iniciales dadas, para ver si se cumplen:

011)0(]21[)1()0( 00 =−=−−= ux ü 1]1)[1()1(]21[)1()1( 11 =−−=−−= ux ü

El alumno puede reemplazar la solución en la ecuación original para comprobar su cumplimiento.

Ejemplo 86

Encuentre la solución de la ecuación de diferencias siguiente, con condiciones iniciales:

4)1(1)0( =−= xx 0)(6)1()2( =−+−+ kxkxkx Vamos a aplicar la transformada Z a cada miembro de la ecuación:

)1()0()()]2([ 22 zxxzzXzkxz −−=+ )0()()]1([ zxzzXkxz −=+


252

)()]([ zXkxz =

Reemplazando en la ecuación: 0)(6)]0()([)]1()0()([ 22 =−−−−− zXzxzzXzxxzzXz Reemplazando los valores iniciales y simplificando se llega a:

65)(

2

2

−−−−=zz

zzzX El denominador se puede factorizar: )2)(3(62 +−=−− zzzz , de

manera que: 236

5)(2 +

+−

=−−

−−=

zB

zA

zzz

zzX Desarrollando algebraicamente

encontramos: 57

52

−== BA de forma que: 23

)( 57

52

+−

−=

zzzzX

y por lo tanto,

volviendo a multiplicar por z: 23

)( 57

52

+−

−=

zz

zz

zX ?

Ahora, aplicamos las tablas de transformada Z para anti-transformar:

)(])2(57

)3(52

[)( kukx kk −−= ?

4.10 Aplicaciones y ejemplos Vamos a desarrollar varios ejemplos de aplicación de la Transformada Z. Recomendamos al estudiante tratar de resolverlos por sí mismo, y luego, comparar su desarrollo con el dado en el texto. Si se hace el procedimiento contrario, no se conseguirá el buen efecto deseado de aprendizaje. Es importante insistir en que la herramienta de Transformada Z tiene su principal utilidad aplicada a sistemas digitales en general, como sistemas de control, en comunicaciones, análisis de filtros, en procesamiento de señales; todos estos temas constituyen áreas del conocimiento de estudios superiores en ingeniería y superan el alcance del estudiante de nivel medio en el pregrado, para el cual está d irigido el texto. Lo importante es que el estudiante conozca esta herramienta, la aplique en algunos casos sencillos y la tenga presente para su posterior y necesaria profundización a medida que avance en la formación en su pregrado. Es bueno recordar o conocer algunas identidades algebraicas relativas a series finitas e infinitas, que nos podrán servir para la solución de casos donde se aplica la Transformada Z, así que en la próxima página presentamos una tabla con varias de las más comunes e importantes identidades de esta área.


253

4.11 Tabla 20: Algunas fórmulas algebraicas para aplicación en

Series

110

32 <−

==++++ ∑+∞

=

rr

aararararak

kL

1)1(1

)()2()( 20

2 <−

+−

=+=+++++ ∑+∞

=

rr

rdr

arkdardardaa

k

kL

2)1(

3211

+==++++ ∑

=

nnkn

n

k

L

6)12)(1(

3211

22222 ++==++++ ∑

=

nnnkn

n

k

L

4)1(

)321(32122

2

1

33333 +=++++==++++ ∑

=

nnnkn

n

k

LL

30)133)(12)(1(

3212

1

44444 −+++==++++ ∑

=

nnnnnkn

n

k

L

nnnnnnn xnaxxannn

xann

xnaaxa +++−−

+−

++=+ −−−− 133221

!3)2)(1(

!2)1(

)( L

11)1( 4321 <−+−+−=+ − xxxxxx L

154321)1( 4322 <−+−+−=+ − xxxxxx L

11510631)1( 4323 <−+−+−=+ − xxxxxx L

11)1( 443322111 >+++++=− −−−−−− zzazazaazaz L

154321)1( 443322121 >+++++=− −−−−−− zzazazaazaz L

1211510631)1( 55443322131 >++++++=− −−−−−−− zzazazazaazaz L

1845635201041)1( 6655443322141 >+++++++=− −−−−−−−− zzazazazazaazaz L


254

Ejemplo 87

En el circuito de la Gráfica 18 se han conectado 21 resistencias iguales de 1O en la forma como se muestra. Los once nodos se han denominado consecutivamente v0, v1, v 2, …, v10, y v11. Plantear una ecuación de diferencias para las corrientes nodales, y resolver por Transformada Z para encontrar la corriente en la última rama, i21. La fuente de alimentación está conectada al nodo 0 y consiste en una batería convencional D.C. de 10 V.

Solución. Para este circuito sencillo pero con un gran número de mallas, resultaría muy dispendioso tratar de solucionarlo por métodos convencionales de ecuaciones de circuito. Afortunadamente tenemos una herramienta poderosa, establecida por la posibilidad de plantear una ecuación de diferencias en un nodo k, y luego aplicar la transformada Z para encontrar la solución en cualquier punto, aplicándola al nodo 10, donde está la corriente pedida. Si observamos el circuito, y denominamos v(k) al voltaje en el nodo k, (también podría ser denominado vk pero la nomenclatura que hemos venido utilizando es similar a la funcional, en lugar de utilizar la nomenclatura de subíndices), podemos deducir que una condición dada en el mismo circuito es: 10)0( =v V, ya que la batería está conectada al nodo k = 0. También podemos pensar que debemos encontrar el valor del voltaje del nodo 10, v(10), ya que entonces, como todas las resistencias son de 1O, encontraremos el valor de la corriente

así: )10(1

)10(21 v

vi =

Ω= A

Como primera acción, vamos a plantear la ecuación de diferencias que no es otra cosa que relacionar un nodo con sus inmediatos anterior y posterior. Nos vamos a situar en el nodo k, de tal forma que la ecuación nodal de corrientes es: ∑ = 0)( nodoen Corrientes k

Gráfica 154: Circuito de 21 resistencias del Eje mplo 10

1 OR 1 = 2R kR 21R


255

01

)1()(1

)1()(1

)(Corrientes =

Ω+−

+Ω

−−+

Ω=∑ kvkvkvkvkv Simplificando y organizando

obtenemos la ecuación de diferencias siguiente:

0)1()1()(3 =+−−− kvkvkv Ecuación 100

Como el primer nodo debe ser v(0) y el último debe ser v(11), los valores de k en la ecuación 14 resultan ser: k = 1, 2, 3, …, 10 Es me jor trabajar con la variable discreta come nzando desde 0 en vez de que comience en 1, de manera que haremos el siguiente cambio de variable en la ecuación 14: 1−= kn , entonces, reemplazando este cambio de variable llegamos a:

0)2()()1(3 =+−−+ nvnvnv (n = 0, 1, 2, …, 9) Ecuación 101

Esta es la ecuación que vamos a resolver. Vamos a aplicar la transformada Z a cada miembro y término de la ecuación.

0)]1()0()([)()]0()([3 22 =−−−−− zvvzzVzzVzvzzV Reagrupando, simplificando y reemplazando el valor v(0) = 10 llegamos a la ecuación y solución en z:

13)1(3010)(

2

2

+−+−=

zzvzzzzV Ecuación 102

Debemos observar que no conocemos por ahora el valor del voltaje en el nodo 1, v(1), de manera que debemos seguir trabajando con este valor desconocido. Por simplicidad vamos a denominar el valor v(1) como una constante K, entonces: v(1) = K

De esta manera que la ecuación 16 será: 13

3010)(2

2

+−+−=

zzKzzzzV Ecuación 103

El denominador se factoriza así: )2

53)(

253

(132 −−

+−=+− zzzz Vamos a trabajar

algebraicamente con las constantes: .0,381966..2

53;.2,618034..

253

=−

==+

= ba

bzB

azA

zzKz

zzV

−+

−=

+−+−

=13

3010)(2 Trabajando estas fracciones llegamos a:


256

53010

;5

3010 KbB

KaA

+−=

+−= Así, manteniendo los valores literales, finalmente

llegamos a la expresión para anti-transformar: bz

Bzaz

AzzV

−+

−=)( Aplicando las

tablas de anti-transformadas, llegamos a la solución en el dominio t-discreto:

)()()( nuBbAanv nn += Ecuación 104

Esta es la ecuación solución del sistema, pero, todavía tenemos un valor sin conocer, v(1). Si reemplazamos los valores encontrados para A, a, B, b, podemos llegar luego de simplificar y reacomodar a la expresión siguiente: (Es muy conveniente que el estudiante haga completo este desarrollo)

[ ]nnn

KKnv )53)(1555()53)(1555(52

1)( −+−−−++−= ? Ecuación 105

Sabemos que en el nodo 11 el voltaje es cero, ya que este nodo coincide con el nodo común de referencia: v(11) = 0 Introduciremos esta condición en la ecuación 18:

0)11( 1111 =+= BbAav Entonces:

2211

2

211

2

11

2

1111

11

11

532

)53(2

)53(4

)53()53)(53(

5353

+=

+=

+=

++−

=

+−

=

==

−ab

ab

BA

Ahora reemplazaremos a A y a B y simplificaremos:

22

532

30103010

+

=+−+−

=−KbKa

BA Vamos a denominar: d=

+

22

532 Entonces:

dK

KKK

K

K=

+−−+−

=+−−+−+

=+−−

+−+

15551555

30)53(530)53(5

30)2

53(10

30)2

53(10

Desarrollando y simplificando se llega a: (El estudiante debe desarrollar detalladamente)

)5515(1510

1511

55)1( ++−

=+

−+

==dd

dvK Ecuación 106

La razón por la cual hemos llevado los radicales completos y no hemos aproximado a valores numéricos, es porque estamos manejando cantidades muy pequeñas y si hacemos aproximaciones o llevamos pocas cifras decimales, los resultados serían erróneos.


257

Observemos por ejemplo que el valor de d: 10-22

)76,37593423(53

2 εK=

+

=d es un

valor que perfectamente podríamos decir que es cero!, pero, cuando todos los valores que se manejan son pequeños, pues no se pueden despreciar porque cometemos errores que nos llevan a resultados erróneos. El valor de v(1) al reemplazar d en la ecuación 20 y calcular, es:

K3,8196601)5515(

153

2

510)5515(1510)1( 22 =++

−

+

=++−

==d

vK V

Vamos a introducir el valor de K en la ecuación 19, pero en su forma exacta con radicales:

[ ]

[ ]nnn

nnn

nnn

nnn

dddd

dd

KKnv

)53()53()1(2

10)53)(

1510

()53)(1510

510(52

1

)53)()5515(1510

1555()53)()5515(1510

1555(52

1

)53)(1555()53)(1555(52

1)(

−−+−

=

−

−−+

−+=

=

−

++

−+−−−+

++

−+−=

=−+−−−++−=

En resumen:

[ ]nnn d

dnv )53()53(

)1(210

)( −−+−

= V ? Ecuación 107

22

532

+

=d ?

La ecuación 21 constituye la solución general al circuito. Veamos algunos puntos para comprobar su va lidez:

• Sabemos que v(0) = 10 V. Si hacemos n = 0 en la ecuación 21:

[ ] [ ] 101)1(

10)53()53(

)1(210

)0( 000 =−

−=−−+

−= d

dd

dv V ü

• Comprobemos v(1) = K3,8196601 , reemplazando n = 1 :


258

[ ]

K3,8196601)53)53(53

2

)153

2(

5

)53()53()1(2

10)1(

22

22 =

+−+

+

−

+

=

=−−+−

= dd

v

ü

• Ahora, encontremos el valor que necesitamos: v(10):

[ ]

mV5646,0)53()53(53

2

)153

2(2

10

)53()53()1(2

10)10(

101022

2210

101010

K=

−−+

+

−

+

=

=−−+−

= dd

v

Con este valor podemos encontrar la corriente i21:

mA5646,01

mV5646,01

)10(21 =

Ω=

Ω=

vi ?

Este es el resultado finalmente requerido. Es importante que el estudiante capte la dificultad del anterior desarrollo, no propiamente por la base teórica que conlleva, sino por la forma como se debe trabajar con cantidades pequeñas.

Ejemplo 88

Los números de Fibonacci son una secuencia que comienza con el número 1 y los siguientes se obtienen sumando los dos números anteriores. Para el segundo término, se suma el primer término, 1, y se asume que el anterior es cero: 1 + 0 = 1 Encuentre la expresión general de los números de Fibonacci. Solución: Este es un problema para el que debemos plantear la ecuación de diferencias de acuerdo con la ley de formación de la secuencia de los números de Fibonacci. Los primeros términos de la secuencia son: x(n) = 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, … Así por ejemplo, el 13 se obtiene de sumar los dos anteriores: 5 + 8 y así sucesivamente. Conocemos pues la ley de formación de la secuencia, y vamos a escribirla a manera de ecuación de diferencias que es precisamente la expresión algebraica de una secuencia para la cual se conoce su ley de formación.


259

La ecuación de diferencias es: )1()2()( −+−= kxkxkx (k = 2, 3, 4, …) Para esta ecuación la k comienza en k = 2 porque el primer término debe ser x(0) y en la ecuación tenemos un término escrito como x(k-2). Es conveniente que la variable discreta comience en k = 0, de manera que haremos un cambio de variable: n = k – 2 , de manera que la ecuación en n nos quedará:

)1()()2( ++=+ nxnxnx Ecuación 108

Esta es la ecuación que vamos a resolver, con las condiciones iniciales: 1)1(;1)0( == xx Vamos a aplicar la transformada Z a la ecuación 22:

)]0()([)()]1()0()([ 22 zxzzXzXzxxzzXz −+=−− Reemplazando los valores iniciales, simplificando y organizando, llegamos a:

1)( 2

2

−−=

zzz

zX Ecuación 109

La factorización del denominador es: ))((12 bzazzz −−=−− 2

51;

251 −

=+

= ba

Entonces: bz

Baz

Azz

zzzX

−+

−=

−−=

1)(

2 Desarrollando esta fracción nos conduce a:

bab

Bba

aA

−−

=−

= ; Reemplazando estos valores y dividiendo nuevamente por z:

)()()(bz

zba

baz

zba

azX

−−−

−−= Esta ecuación se puede anti-transformar con las Tablas:

)(][1

)(][1

)( 11 nubaba

nubbaaba

nx nnnn ++ −−

=−−

= ? Ecuación 110

Si reemplazamos los valore de a y b y simplificamos llegamos a:

)(])51()51[(52

1)( 11

1nunx nn

n++

+−−+= ? Ecuación 111

Esta es la ecuación discreta que representa la serie de números de Fibonacci. El estudiante puede comprobar algunos valores, como: x(0); x(1); x(2) etc. Se hace evidente que es imposible llegar a la expresión general simplemente observando la secuencia de números, ya que la ecuación algebraica general es muy compleja.


260

Ejemplo 89

Dada la transformada 21

1

5,011

)( −−

−

+−+

=zz

zzX encuentre la señal digital x(k).

Solución: Vamos a convertir la transformada dada, en potencias polinómicas (positivas). Para lograrlo, vamos a multiplicar numerador y denominador por la mayor potencia de z, en este caso por z2

5,0)5,01()1(

)( 2

2

212

12

+−+

=+−

+= −−

−

zzzz

zzzzz

zX Ahora, vamos a escribir zzX )( :

5,01)(

2 +−+=zz

zzzX

El denominador tiene raíces complejas: )1())((5,0 21*2 jaazazzz +=−−=+−

Vamos a trabajar por fracciones parciales con facto res complejos, lo cual, se trabaja en forma similar a los factores reales.

*

*

2 5,01)(

azA

azA

zzz

zzX

−+

−=

+−+

= Calculando resulta: )31(21 jA −=

Vamos a expresar todos los factores en su forma polar y veremos la conveniencia de hacerlo así:

)4/(22

22

21 45)1( πε jja =°∠=+=

)4/(22

22

21* 45)1( πε jja −=°−∠=−=

)57,71(210

210

21 57,71)31( °−=°−∠=−= jjA ε

)57,71(210

210

21* 57,71)31( °=°∠=+= jjA ε

Siguiendo con la transformada:

*

*

)(azzA

azAz

zX−

+−

= de manera que es posible anti- transformar comparando con tablas:

[ ] )()()( ** kuaAAakx kk += ? Ecuación 112

Esta es la solución a nuestro problema, pero debemos introducir los valores de los parámetros complejos, expresados en su forma polar:


261

[ ]( ) [ ]( ) [ ] )()()(

)())(())((

)())(())(()(

)57,714/()57,714/(22

210

)4/()57,71()4/()57,71(22

210

)4/(22)57,71(

210)4/(

22)57,71(

210

ku

ku

kukx

kjkjk

kjjkjjk

kjjkjj

°−−°−

−°°−

−°°−

+=

=+=

=+=

ππ

ππ

ππ

εε

εεεε

εεεε

Ahora podemos aplicar las identidades de Euler para convertir la suma de las dos exponenciales complejas en sinusoidales reales:

( ) [ ] ( ) [ ])57,71cos()()()( 422

210)57,714/()57,714/(

22

210 2 °−=+= °−−°− πππ εε kkkjkjk

kx Simplificando, finalmente llegamos a la expresión definitiva:

( ) [ ] )()57,71cos()( 42210 kukx k

k°−= π

?

Ejemplo 90

Encuentre la transformada Z de la señal kkx =)( Procedimiento 1: Aplicando la definición directamente.

)321(3210)]([ 211321

0

LL +++=++++== −−−−−−∞

=

−∑ zzzzzzkzkxk

kZ

Comparando con una de las fórmulas de la Tabla 20 podemos observar que

21321

)1(1

4321 −−−−

−=++++

zzzz L Entonces:

221

1

)1()1()(

−=

−= −

−

zz

zz

zX ?

Procedimiento 2: Aplicando la propiedad N°3 de diferenciación compleja.

[ ])()( zXdzd

zkxk −⇔


262

Para aplicarla debemos observar que )()( kukkkx == de manera que como conocemos la

transformada de u(k), 1

)()]([−

==z

zzUkuZ de manera que la transformada de ku(k) sería:

22 )1(]

)1()(1[]

1[)]([)[([

−=

−−−−=

−−=−=

zz

zzzz

zz

dzdzzU

dzdzkkuZ ?


263

4.12 Ejercicios

1. Encuentre la transformada X(z) si )3(2)2(4)( −+−= nnnx δδ

2. Si 21322

)( −− +−=

zzzY encuentre la señal discreta y(k)

3. Encuentre la transformada Z de la señal )(21)( nunx

n

=

4. Encuentre la transformada Z de la señal )()sin(21)( 2 kukky

k

π

=

5. Encuentre x(k) para cada una de las transformadas siguientes:

a) )1)(1(

6)(

21

41

zzzX

++= b) 41 623)( −− ++= zzzX

c) 4

32)(

−−=

zz

zX d) 12

)1()( 2 +−

+=

zzzz

zX

6. Resuelva la siguiente ecuación de diferencias para y(n) con y(0) = 1

)()1()( nunayny =−−

7. Resuelva la siguiente ecuación de diferencias para x(n) con x(0) = -1 kkxkx 5)(2)1( =++

8. Si )1()2(

2)( 2

3

−−+

=zzzz

zX encuentre x(k).

9. Basándose en propiedades de Z y sin aplicar la definición de la misma,

demuestre la propiedad 8 de la Tabla N° 3: [ ])()( azX

dzd

zkxkak −⇔

10. Demuestre las propiedades 11 a la 16 de la Tabla N° 3, aplicando otras

propiedades o aplicando la definición de Transformada Z


264

4.13 Respuesta a los Ejercicios

1. 32 24)( −− += zzzX

2. )(])(2[)( 21 kuky k−=

3. 12

2)(

−=

zz

zX

4. 2

1

)25.0(15.0

)( −

−

+=

zz

zX

5. a) ( ) ( )[ ] )(126)( 2

141 kukx kk −+−−=

b) )4(6)1(2)(3)( −+−+= kkkkx δδδ

c) )()4(3)(2)( kukkx k−= δ d) )(2)()( kukkukx +=

6. ( ) )(11

1)( 1 kuaa

ky k+−

−=

7. ( )

−+−−= 132

54

95)( kkx k

8. ( )

=+−

==

− K,4,3,2,1 Si 3229

0 Si 2)(

1 kk

kkx

kk


265

4.14 Lecturas recomendadas. Bibliografía del Capítulo 4° Este tema de Transformada Z no está tratado en textos de circuitos, ni en textos de matemáticas tradicionales. Los textos propios del tema son los de sistemas Digitales, Análisis de Señales, Sistemas Lineales, Comunicaciones. Damos algunas referencias de textos de fácil consecución en nuestro mercado, y direcciones de consulta en Internet, específicamente para la Transformada Z..

1. http://mathworld.wolfram.com/z-Transform.html

2. Cheng K. David, “Analysis of Linear Systems” Addison-Wesley Pub. Co. inc., 1961, chapter 19

3. University of Stratchclyde (UK), Dep. of Electrical & Electronic Engineering, Signal Processing Division, http://www.spd.eee.stratch.ac.uk/~interact/ztransform/page1.html

4. Ogata Katsuhiko, “Discrete-Time Control Systems”, Chapter 1 and 2.

5. Ashok Ambardar, “Procesamiento de Señales Analógicas y Digitales”, Thomson Learning, 2002, capítulos 2, 3, 17 y 18

6. Pedro Irarrázabal, “Análisis de Señales”, McGraw Hill, 1999, Capítulos 1 y 7

7. Proakis J.G., Manolakis D.G., “Tratamiento digital de señales”, Prentice Hall, 1997, Capítulos 2° y 3°.

Matemáticas para Ingenieros. Capítulo 5: Apéndices Prof. Fabio Vidal

266


5 APÉNDICES



267

5.1 Apéndice 1: Transformada de Fourier de funciones especiales Entregamos una tabla de transformada de Fourier de las principales funciones especiales.


268


269

5.2 Apéndice 2: Tabla adicional de Transformada Z


270

Texto Matematicas Para Ingenieros All

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