CAPÍTULO 5 ECUACIONES DE REDES 5.1INTRODUCCIÓN En este capítulo se estudiarán diferentes métodos para determinar las corrientes y voltajes en cada elemento de una red. Se empezará con un análisis sencillo y tradicional de mallas y de nodos en frecuencia compleja y con excitación sinusoidal. Luego se estudiarán otros métodos muy útiles y apropiados para su uso con computadoras, utilizando las técnicas descritas en los capítulos anteriores. 5.2ANÁLISIS DE MALLAS El método de análisis de mallas se basa en la definición de las corrientes de mallas, las cuales se describen como aquellas corrientes que fluyen a lo largo de las fronteras de cada malla y que, en general, no son corrientes que se pueden medir en un elemento. El procedimiento para resolver una red por medio del análisis de mallas es el siguiente: 1.Asigne una dirección a la corriente de malla en cada malla independiente de la red. 2.Escriba las ecuaciones de los voltajes de mallas en cada una de estas mallas. 3. Resuelva las ecuaciones resultantes para obtener las corrientes de mallas. 4.Determine la corriente en cada elemento como la suma o la diferencia de las corrientes de malla. 5.2.1ANÁLISIS DE MALLAS EN FRECUENCIA COMPLEJA El análisis de mallas en frecuencia compleja permite determinar la solución completa de corrientes y voltajes en los elementos de la red. El análisis consiste en escribir las ecuaciones de mallas en el dominio de la frecuencia, resolver por las corrientes de mallas en este dominio, hacer el desarrollo en fracciones parciales y, por último, con la ayuda de la transformada inversa de Laplace, obtener la solución en el dominio del tiempo. Ejemplo 1 En la red de la Fig. 5.1, calcular las corrientes i 1 (t) e i 2 (t). 1 A 1 Ω 0.5 H 20 V 1 F 10 V + 1 V − i 1 i 2 Figura 5.1
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7/23/2019 TEXTO - CAP 5 (LIBRO PROF. MAULIO RODRIGUEZ).pdf
En este capítulo se estudiarán diferentes métodos para determinar las corrientes y voltajes en cada elementode una red. Se empezará con un análisis sencillo y tradicional de mallas y de nodos en frecuencia compleja ycon excitación sinusoidal. Luego se estudiarán otros métodos muy útiles y apropiados para su uso concomputadoras, utilizando las técnicas descritas en los capítulos anteriores.
5.2 ANÁLISIS DE MALLAS
El método de análisis de mallas se basa en la definición de las corrientes de mallas, las cuales se describencomo aquellas corrientes que fluyen a lo largo de las fronteras de cada malla y que, en general, no soncorrientes que se pueden medir en un elemento.
El procedimiento para resolver una red por medio del análisis de mallas es el siguiente:
1. Asigne una dirección a la corriente de malla en cada malla independiente de la red.2. Escriba las ecuaciones de los voltajes de mallas en cada una de estas mallas.3. Resuelva las ecuaciones resultantes para obtener las corrientes de mallas.4. Determine la corriente en cada elemento como la suma o la diferencia de las corrientes de malla.
5.2.1 ANÁLISIS DE MALLAS EN FRECUENCIA COMPLEJA
El análisis de mallas en frecuencia compleja permite determinar la solución completa de corrientes yvoltajes en los elementos de la red. El análisis consiste en escribir las ecuaciones de mallas en el dominio dela frecuencia, resolver por las corrientes de mallas en este dominio, hacer el desarrollo en fracciones parciales y, por último, con la ayuda de la transformada inversa de Laplace, obtener la solución en eldominio del tiempo.
Ejemplo 1
En la red de la Fig. 5.1, calcular las corrientes i1(t ) e i2(t ).
1 A
1 Ω 0.5 H
20 V 1 F10 V +1 V
−
i1 i
2
Figura 5.1
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5.2.2 ANÁLISIS DE MALLAS CON EXCITACIÓN SINUSOIDAL
Si la red está excitada por fuentes sinusoidales y no interesan los transitorios de voltaje o corriente, se puede
resolver la red en la misma forma que en los ejemplos anteriores expresando a las corrientes y voltajes comofasores y a los elementos pasivos de la red por sus impedancias o admitancias respectivas. Básicamente esto
equivale a trabajar en el plano de frecuencia compleja reemplazando la variable s por jω, donde ω es lafrecuencia de la fuente de excitación sinusoidal.
Ejemplo 4
En la red de la Fig. 5.7, determinar los voltajes y las corrientes de cada elemento en función del tiempo.
+ _
Ω=101 R Ω= 33 R
h L 4.04 =1i 2it v 10cos202 ×=F C 02.0
2 =
Figura 5.7
Los valores equivalentes de los elementos en el régimen sinusoidal para ω = 10 rad/s son:
Ω=×=ω=Ω−=
×
=
ω
=°∠= 44.010 ,5
2.010
11 voltios,020 4
242
j j L j jX j
jC j
jX LC V
y el circuito equivalente es como se muestra en la Fig. 5.8.
+ _
Ω=101 R Ω= 33 R
V 020 °∠Ω− 5 j
Ω4 j1 I 2
I
Figura 5.8
De este circuito se obtienen las ecuaciones para los voltajes de mallas:
21
21
)543()5(0
)5()510(020
II
II
j j j
j j
−++−−=
−−−=°∠
Escribiendo estas ecuaciones en forma matricial, se obtiene
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ °∠=
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
−
−
0
020
13 5
5 510
2
1
I
I
j j
j j
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En la mayoría de las redes, los voltajes de los nodos constituyen una elección adecuada como variables desolución. Estas variables se definen seleccionando un nodo de la red como referencia, el cual tendrá unvoltaje nominal igual a cero, y luego se determinan los voltajes de los demás nodos con relación al voltajede referencia. Posteriormente se determinan las corrientes en los elementos a partir de los voltajes entre losnodos a los cuales están conectados (incluyendo condiciones iniciales, si las hay) y los valores de esoselementos.
El procedimiento para resolver una red por medio del análisis nodal es el siguiente:
1. Se seleccionan un nodo como referencia entre el número total de n nodos.
2. Se escriben las n− 1 ecuaciones para las corrientes de los nodos en función de los voltajes de losnodos.
3. Se resuelven las ecuaciones resultantes para obtener los voltajes de los nodos.4. Se determinan las corrientes en cada elemento con la ayuda de los voltajes de los nodos entre los
cuales está conectado el elemento, incluyendo las condiciones iniciales, y el valor del elemento.
5.3.1 ANÁLISIS NODAL EN FRECUENCIA COMPLEJA
El análisis nodal en frecuencia compleja permite determinar también la solución completa para lascorrientes y voltajes de los elementos de la red. El análisis consiste en escribir las ecuaciones de los nodosen el dominio de frecuencia compleja, resolver por los voltajes nodales en este dominio, hacer un desarrolloen fracciones parciales de las expresiones obtenidas y, por último, con la ayuda de la transformada de
Laplace inversa, hallar la solución de los voltajes nodales en el dominio del tiempo. Con estos voltajesconocidos se pueden determinar las corrientes en cada uno de los elementos de la red.
Ejemplo 6
En la red de la Fig. 5.11, determinar los voltajes en los nodos y las corrientes en cada elemento.
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Se seleccionan los nodos B y C como independientes y el nodo E como nodo de referencia. Los nodos A y D no seanalizan porque sus voltajes son conocidos.
Dibujando ahora la red en el dominio de frecuencia compleja se obtiene el circuito de la Fig.5.12.
+ _ + _
A B C
D
E
Ω=11 R Ω= 22 R+
s
10
s5.0
s
1
s
1s
20
V 5.0
+ _
_
Figura 5.12
De la Fig. 5.12 obtenemos:
Nodo b:
s
sV sV
s
ssV sV
s C B B B
5.0
5.0)()(
1
1)(
1
)(10
+−+
−=
−
o
ssV
ssV
s
ssC B
91)(
2)(
22
+=−++
En el nodo C :
s
sV sV sV
s BC C
5.0
5.0)()(
2
)(20
−−=
−
o
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5.4 FORMULACIÓN MATRICIAL DE REDES POR EL MÉTODO DE MALLAS
Los conceptos estudiados en la topología de redes pueden utilizarse para escribir las ecuaciones de mallas;este análisis resulta de mucha utilidad en el uso de computadoras para resolver problemas que involucrangrandes redes. Sea V (s) el voltaje entre dos nodos a los cuales está conectada una rama de la red. Si la ramacontiene una fuente de voltaje E (s) y un elemento resistivo, tal como se indica en la Fig.5.17, la relación para el voltaje en la rama usando la convención indicada para la corriente, es la siguiente:
)()()( s IRs E sV += (5.1)
+ _ )(s E
R
)(s I
)(sV
+
_
Figura 5.17
Si el elemento es inductivo, como se indica en la Fig. 5.18, la ecuación que relaciona el voltaje y lascorrientes es
)0()0()()()()( 2121 Mi LissMI ssLI s E sV −−++= (5.2)
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En el modelo para el inductor de la Ec. (5.2) se ha incluido la posibilidad de acoplamiento magnético conotra bobina.
Finalmente, si el elemento es capacitivo, el modelo es como se indica en la Fig. 5.19. La ecuación para el
voltaje es
)0(11
)()( vssC
s E sV ++= (5.3)
1/sC
E (s)
I (s) +
V (s)
−
Figura 5.19
Observe que en todos los casos la dirección de la corriente va desde el nodo marcado positivo hacia el lado
positivo de la fuente.
5.4.1 FORMULACIÓN MATRICIAL DE REDES EN FRECUENCIA COMPLEJA
Considere la red de la Fig. 5.20. En ella, la orientación de las corrientes se ha hecho de manera que siemprese dirijan del nodo hacia la fuente y hacia el nodo de referencia, igual que en los modelos que acabamos deexplicar.
+ _ )(1 s E
1 I
1 R
2 I
2 L
3 I
3 L
4 I 4C 5 I
5 R
1 2 3
Figura 5.20
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La Ec. (5.4) puede escribirse directamente a partir de la red mediante la ayuda de unas reglas sencillas:
1. El voltaje de la fuente Ee(s) es positivo si la corriente orientada entra por el positivo de la fuente. Encaso contrario, será negativo.
2. Los valores de la diagonal principal de la matriz de impedancia de elemento Ze(s) son los valores de laimpedancia de cada elemento en el dominio de frecuencia compleja y con el orden que le fue asignado.Los valores fuera de la diagonal principal son las impedancias mutuas en el dominio de frecuenciacompleja y se colocan en la matriz en el orden correspondiente a los inductores. Estas impedanciasmutuas serán positivas si las corrientes asignadas a las bobinas entran o salen por los puntos y negativassi una de las corrientes entra por el punto y la otra sale del punto.
3. El vector del voltaje inicial ve(0) será igual a cero si el elemento no es capacitivo o si aún siéndolo nocontiene carga inicial. Sus componentes serán positivos si la corriente asignada al elemento entra por el positivo del voltaje inicial. En caso contrario, será negativo.
4. El vector de la corriente inicial ie(0) será igual a cero si el elemento no es inductivo o si aún siéndolo nocontiene corriente inicial. Sus componentes serán positivos si la corriente inicial del elemento coincidecon la corriente asignada al elemento. En caso contrario serán negativos.
5. Los valores significativos de la matriz de inductancia Le son aquellos de autoinductancias y deinductancias mutuas de las bobinas y están colocados en la misma posición y con el mismo signo con elque están colocados en la matriz Ze.
Premultiplicando la Ec. (5.4) por la matriz de circuitos fundamentales B, se obtiene
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −++= )0()0(1
)()()()( eeeeeees
ssss iLvIZEBBV
Pero de acuerdo con la Ec. (4.5), el producto BVe(s) = 0, por lo que
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −+−= )0()0(1
)()()( eeeeees
sss iLvEBIBZ (5.5)
Se deja para el lector demostrar que las corrientes en los elementos y las corrientes de mallas estánrelacionadas por la ecuación
)()( ssm
T e
IBI = (5.6)
donde Im(s) es el vector de las corrientes de mallas o vector de corriente de circuito fundamental y BT (s) es
la traspuesta de la matriz de circuitos fundamentales.Sustituyendo la Ec. (5.6) en la Ec. (5.5) se obtiene
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −+−= )0()0(1
)`()()( eeeemT
es
sss iLvEBIBBZ (5.7)
o
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −+−= )0()0(1
)()()( eeeemms
sss iLvEBIZ (5.8)
donde
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El lector puede comprobar fácilmente lo correcto de esta última ecuación utilizando los métodosconvencionales para resolver circuitos utilizando análisis de mallas. Por último, se tiene que
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
++
+++−
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
+++
+++=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡
−
)0()0()0(
)0()0()0()(
1
1
1 1
)(
)(
4332
43221
1
4
53
4
44
21
2
1
vi L Mi
v Mii Ls E
sC RsL
sC sM
sC sM
sC sL R
s I
s I
m
m
Ejemplo 9
Determinar las corrientes de mallas en función del tiempo para la red de la Fig. 5.22a.
+ _
A B C
E
V 10
1 i A 2 A 3
2 i 1
2
3
4
5
(a) b
1 Ω
1 Ω 1 H 2 H M = 1 H
1 Ω
Figura 5.22
El gráfico y el árbol seleccionados se muestran en la Fig. 5.22b. De esta figura tenemos:
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
−=
1 0 0 0 0
0 2 0 0
0 0 1 0 0
0 0 0
0 0 0 0 1
)( 11100
00111
ss
ss
seZB
Por lo tanto,
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡++
++=
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
−=
22 1
1 2
10
10
11
01
01
1 0 0 0 0
0 2 0 0
0 0 1 0 0
0 0 0
0 0 0 0 1
11100
00111)(
ss
ss
ss
ss
s T
e BBZ
También
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5.4.2 FORMULACIÓN MATRICIAL DEL ANÁLISIS DE MALLAS CON EXCITACIÓN
SINUSOIDALSi la excitación es sinusoidal, el análisis sigue los mismos pasos que el anterior con la diferencia de que losvoltajes y corrientes se representan como fasores y las impedancias como vectores complejos.Adicionalmente, las condiciones iniciales son iguales a cero.
EJEMPLO 11
En la red de la Fig. 5.24a, determine la corriente en cada elemento.
+ _ V 050 °∠
Ω5 j
Ω− 4 j
Ω10 j
Ω5
Ω3
Ω= 6 j jX M
1
2 3
41
2
3
4
5
2 3
(a) (b)
Figura 5.24
El gráfico orientado y el árbol seleccionado se muestran en la Fig. 5.24b. De la figura obtenemos
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
=
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−
−−
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−−
−−=
40000
03000
00500
000106
00065
)(
11
11
10
10
01
11110
11001
j
j j
j j
seT ZBB
y
11
11
10
10
01
4 0 0 0 0
0 3 0 0 0
0 0 5 0 0
0 0 0 10 6
0 0 0 6 5
1-1-110
1-1-001)()(
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−
−−⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=ω=ω
j
j j
j j
j j T em BBZZ
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
++
++=
68 23
23 13
j j
j j
También
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5.5 FORMULACIÓN MATRICIAL DEL ANÁLISIS DE REDES POR EL MÉTODO NODAL
En una forma similar al análisis de mallas mediante el uso de matrices, se pueden derivar fórmulasmatriciales para el análisis nodal de redes eléctricas.
5.5.1 FORMULACIÓN MATRICIAL EN FRECUENCIA COMPLEJA
En la Ec. (5.4) se obtuvo que
)0()0(1)()()()( eeeeeees
ssss iLvIZEV −++= (5.9)
Despejando a I e(s), se obtiene
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −+−= − )0(1
)0()()()()( 1eeeeeee
sssss viLEVZI (5.10)
Premultiplicando ambos lados de esta ecuación por la matriz de incidencia A, se obtiene
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ −+−= − )0(
1)0()()()()( 1
eeeeeees
ssss viLEVAZAI (5.11)
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Pero de acuerdo con la Ec. (4.24), 0)( =seAI , por lo que
⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
+−=
−−
)0(
1
)0()()()()(
11
eeeeeee sssss viLEAZVAZ
(5.12)
Ahora bien, los voltajes de los elementos están relacionados con los voltajes de los nodos por la relación
)()( ss nT
e VAV = (5.13)
donde Vn(s) es el vector correspondiente a los voltajes nodales. Sustituyendo la relación (5.13) en la Ec.(5.14), se obtiene
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ +−= −− )0(1
)0()()()()( 11eeeeen
T e
sssss viLEAZVAAZ (5.14)
Definiendo
T en ss AAZY )()( 1−= (5.15)
se obtiene
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ +−= − )0(1
)0()()()()( 1eeeeenn
sssss viLEAZVY (5.16)
o
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ +−= −− )0(1
)0()()()()( 11eeeeenn
sssss viLEAZYV (5.17)
o también
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ +−= − )0(1
)0()()()()( 1eeeeenn
sssss viLEAZZV (5.18)
donde
Yn(s) es la admitancia de nodo, admitancia de barra o admitancia de BUS .
Zn(s) = )(sn1Y− es la impedancia de nodo, impedancia de barra o de BUS .
El problema consiste entonces en encontrar la matriz de incidencia A, la inversa de la matriz de impedancia
primitiva y los vectores correspondientes a las excitaciones y las condiciones iniciales presentes en la Ec.(5.16). De la Ec. (5.15) se obtiene la matriz admitancia de nodo y de la Ec. (5.18) se obtienen los voltajes delos nodos. De la Ec. (5.13) se obtienen los voltajes de los elementos y con la Ec. (5.10) se obtienen lascorrientes en los elementos. También, con la Ec. (5.6) se pueden obtener las corrientes de mallas.
Ejemplo 12
En la red de la Fig. 5.25a, calcular las corrientes en cada elemento.
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Del gráfico correspondiente al circuito en la Fig. 5.25b, se obtiene
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡−−
=
2 0 0 0
0 1
0 0
0 0 5.0
0 0 5.0 5.0
)(
10
01
11
01
1010
0111
s
ss
ss
seT ZAA
Para facilitar la inversión de la matriz Ze(s) es conveniente enumerar las bobinas acopladas magnéticamente con los primeros o con los últimos números, de manera que la matriz Ze(s) quede llena alrededor de la esquina superiorizquierda o alrededor de la esquina inferior derecha. Haciendo la partición de la matriz Ze(s) alrededor de la partecorrespondiente a las bobinas acopladas magnéticamente, se tiene
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡=
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=22
11
2221
1211
2000
02
100
005.0
005.05.0
)(A0
0A
AA
AAZ
ss
ss
se
Invirtiendo,
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡==⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
2221
1211
2221
1211
22
11
II
III
XX
XX
A0
0A
De donde
0
2112
12222
11111
==
== −−
XX
AXAX
I es la matriz identidad igual que las particiones I11 e I22. I12 = I21 = 0.
El problema se reduce entonces a invertir dos matrices: una matriz diagonal y una matriz completamente llena. Lainversa de la matriz diagonal se consigue invirtiendo cada uno de los valores de la diagonal. Es relativamente fácilinvertir la matriz completamente llena puesto que su dimensión será la del número de bobinas acopladasmagnéticamente.
De esta manera,
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FORMULACIÓN MATRICIAL DEL ANÁLISIS NODAL CON EXCITACIÓNSINUSOIDAL
En el régimen sinusoidal permanente, el análisis es similar al realizado con la variable de frecuenciacompleja s, excepto que ahora se trabaja con fasores para los voltajes y corrientes y con vectores complejos para las impedancias y admitancias. También se simplifican las ecuaciones en que las condiciones inicialesen los elementos que almacenan energía son todas iguales a cero.
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La última formulación de las ecuaciones de redes propuesta al comienzo de este capítulo se basa en el usode las variables de estado. Las variables de estado que se seleccionan en este análisis son las quecorresponden a los elementos que almacenan energía, esto es, las corrientes en los inductores y los voltajesen los capacitores. Estas variables sustituyen a las corrientes de mallas en el análisis de mallas y a los
voltajes de los nodos en el análisis nodal. Al determinar las variables de estado correspondientes a losvoltajes en los capacitores y las corrientes en los inductores, se pueden determinar todos los demás voltajesy corrientes de la red bajo estudio.
Ejemplo 15
Determinar la ecuación de estado para la red de la Fig. 5.28.
L2
R4
R1
C 3v(t )
i1
i L
iC
+
vC
−
Figura 5.28
La ecuación de estado debe quedar en la forma BuAxx +=& ; por tanto, se deben determinar las matrices A y B. Las
variables de estado para el circuito de la figura son la corriente en el inductor, i L, y el voltaje en el capacitor, vC , por loque la ecuación de estado será
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Tomando ahora la transformada inversa, se obtienen las corrientes en función del tiempo:
t t eet i
41 1)( −− ++=
t t eet i4
2 1)( −− −+=
t et it it i
4213 2)()()( −=−=
5.6.1 ANÁLISIS DE REDES DEGENERADAS USANDO ECUACIONES DE ESTADO
En la sección anterior se afirmó que el número de variables independientes en las ecuaciones de estado es
igual al número de inductores más el número de capacitores. Si la red es degenerada, el número de variablesde estado α es
icic K C N N −−+=α
donde
N c es el número total de capacitores en la red, N i es el número total de inductores en la red,C c es el número de circuitos que contienen sólo capacitores, yK i es el número de conjuntos cortados que contienen inductores solamente.
Ejemplo 24
Determinar la ecuación de estado para la red de la Fig. 5.37
B
+
v4
− 1 Ωi R3 C 4
R5
C 2
C 6
A
+
v6
−
+ v2 −
.
Figura 5.37
De la figura se observa que hay un circuito degenerado con tres capacitores; la red no contiene inductores; por lo tanto,
20103 0 0 0 3 =−−+=⇒==== α icic K C N N
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Las variables de estado seleccionadas son v4 y v6, pudiendo ser también v2 y v4 o v2 y v6 (¿por qué?).
En el nodo A:
5
64642
444
3
1
R
vv
dt
dv
dt
dvC
dt
dvC v
Ri −+⎟⎟
⎠ ⎞⎜⎜
⎝ ⎛ −++=
o
( ) iv R
v R Rdt
dvC
dt
dvC C ++⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ +−=−+ 6
54
53
62
442
111
En el nodo B:
⎟⎟ ⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −+
−++=
dt
dv
dt
dvC
R
vv
dt
dvC v
R
462
5
46666
7
10
o
( ) 6
75
4
5
662
42
111v
R Rv
Rdt
dvC C
dt
dvC ⎟
⎟ ⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ +−=++−
Matricialmente,
i
v
v
R R R
R R R
dt
dv
dt
dv
C C C
C C C
0
1
11
1
1
11
6
4
755
553
6
4
622
242
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
+
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎟⎟ ⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ +−
⎟⎟ ⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ +−
=
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
+−
−+
y despejando las incógnitas dt dv4 y dt dv6 se obtiene la ecuación de estado correspondiente.
5.7 ALGORITMO PARA FORMULAR LAS ECUACIONES DE ESTADO
En la sección anterior se estudió la forma de determinar las ecuaciones de estado para una red dada. Entodos los ejemplos, las ecuaciones se obtuvieron mediante ciertas combinaciones de las leyes de Kirchhoff.En redes sencillas es muy fácil escoger las combinaciones de las ecuaciones de mallas y de nodos que permitan determinar las ecuaciones de estado. Sin embargo, cuando la red se hace más complicada alaumentar el número de inductores y capacitores, el problema se torna bastante difícil y resulta muyengorroso obtener el resultado buscado. Es por ello que resulta conveniente establecer un procedimientosistemático que permita encontrar las ecuaciones de estado paso a paso y que al mismo tiempo pueda programarse para ser asistido por computadoras. Para desarrollar las ecuaciones de estado usando losvoltajes en los capacitores y las corrientes en los inductores, debemos colocar todas las fuentes de voltaje ytantos capacitores como sea posible en un árbol y todas las fuentes de corriente y tantos inductores como sea posible en un coárbol. Esto conduce a la siguiente definición: En el grafo conexo y dirigido asociado conuna red, un árbol normal es aquél que contiene todos los bordes con fuentes de voltaje independientes, elmáximo número de bordes capacitivos, el mínimo numero de bordes inductivos y ninguno de los bordes confuentes de corriente independientes. Se usa el nombre árbol normal porque es el árbol que nos permitiráobtener la ecuación de estados en la forma normal. El árbol normal puede ser único o no.
El algoritmo desarrollado para escribir las ecuaciones de estado para las redes, es el siguiente:
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1. Obtenga el grafo dirigido del circuito representando cada elemento y cada fuente separadamente por un borde. Oriente el grafo de manera que la corriente que circula por las fuentes de voltaje entre por el positivo de la fuente; ahora, seleccione un árbol normal, asignándole un símbolo de voltaje a cada rama
y un símbolo de corriente a cada enlace del árbol, que contenga:a) Todas las fuentes de voltaje. b) Ninguna fuente de corriente.c) Todos los capacitores posibles.d) El menor número de inductores posible.
2. Escriba las ecuaciones que relacionan el voltaje y la corriente de los elementos pasivos (ecuacionesVCR) y sepárelas en dos grupos:
a) Las ecuaciones de los capacitores en las ramas y los inductores en las uniones. b) Las ecuaciones de los otros elementos pasivos presentes.
3. Escriba las ecuaciones para los circuitos fundamentales y para los conjuntos cortados fundamentales,excluyendo a los conjuntos cortados originados por las fuentes de voltaje y sepárelas en la misma forma
indicada en el paso 2.
4. Elimine en las ecuaciones VCR las variables que no sean variables de estado sustituyendo lasecuaciones del paso 3 en las del paso 2, trabajando con las ecuaciones de los grupos b) solamente. Lasvariables que no son de estado se defines como aquellas variables que no son ni variables de estado nifuentes conocidas. Ellas son simplemente las corrientes las ramas y los voltajes de las uniones del árbolseleccionado.
A continuación se ilustrará el procedimiento mediante algunos ejemplos.
Ejemplo 25
Determinar la ecuación de estado para la red de la Fig. 5.38 (Este ejemplo se corresponde con el Ejemplo 15).
i3
e1
R1
L2
C 3
R4
i1
i2
Figura 5.38
PASO 1: El gráfico correspondiente y el árbol seleccionado se muestran en la Fig. 5.39.
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PASO 1: Se dibujan el gráfico con el árbol seleccionado (Fig. 5.42)
1
2
3
4
5 6
1 e 2 e
Figura 5.42
PASO 2:
Grupo a:dt
dvi
dt
div
dt
div 3
34
42
2 4 2 ===
Grupo b: 556611 2 2 iviviv ===
PASO 3:
Grupo a: 453611341162 iiivevvvvevv −=+−−=++−=
Grupo b: 0 0 0 542124631125 =+−+=−+=+−−+ iiiiiiivveev
PASO 4:
1162
2 2 vevdt
div ++−==
En esta ecuación, e1 es fuente y debe permanecer en la ecuación de estado, pero v1 y v6 no son fuentes ni variables deestado, por lo que tendrán que ser sustituidas. Comenzando por sustituir a v6 con las ecuaciones de los grupos bsolamente y poniéndolo en función de i2, i4, v3, e1 y e2, se obtiene
( ) 424266 2222 iiiiiv −=−==
Continuando ahora de la misma manera con v1:
52411 iiiiv −−==
En esta última ecuación, i5 no es variable de estado y debe reemplazarse usando las relaciones de los grupos b hastaque en el lado derecho de la ecuación aparezca la variable que se está buscando, en este caso v1. Si esta variable no estácompletamente definida en función de las variables de estado y las fuentes, se continúa el proceso con las otrasvariables dentro de esta ecuación. Entonces,
( )32112452412
1
2
1veveiiviiv −−+−−=−−=
Resolviendo ahora por v1, se obtiene
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Las demás corrientes y voltajes en el circuito se obtienen a partir de estos valores:
i1(t ) =t
et i2
2 75)( −−=
t t eet it it it i
35243 5.95.2)()()()( −− −=−==
t et it v
211 2820)(4)( −−==
t t t eee
dt
di
dt
dit v
32522 5.28285.23)( −−− ++−=−=
t t eet it v
333 3810)(4)( −− −==
t t ee
dt
di
dt
dit v
3255 5.285.2)( −− −=−=
5.8 SOLUCIÓN DE REDES MEDIANTE EL GRÁFICO DE TRANSICIÓN DE ESTADOS
Las redes también pueden resolverse mediante el gráfico de transición de estados. Es cuestión de construirel gráfico correspondiente a la red e incluir en él todas las variables de estado de interés; luego se aplica lafórmula de la ganancia de Mason para obtener las variables deseadas.
Ejemplo 28
En la red de la Fig. 5.43, determine las corrientes I 1, I 2 e I 3 usando un gráfico de transición de estados.
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