Testimi i hipotezave,mostra e madhe

1/4/2012

1

1

Testimi i hipotezave/Kontrollimi i

hipotezave Mostra e madhe

Ligjërata e tetë

2

Testimi i hipotezave/Mostra e madhe Qëllimet Pas orës së mësimit ju duhet ë jeni në gjendje që të:

Definoni termet: “hipotezë” dhe “testimi i hipotezave”

Përshkruani hapat në procedurën e testimit të hipotezave

Bëni dallimin në mes të testimit të hipotezave të testit një-anësor dhe dy-anësor.

Testoni hipotezën rreth mesatares së populacionit dhe proporcionit të populacionit

Testoni hipotezën rreth dallimeve në mes të dy mesatareve të populacionit dhe dy proporcioneve të populacionit.

Definoni gabimet e Llojit të Parë dhe Llojit të Dytë.

1/4/2012

2

Testimi i hipotezave

Analizojmë një rast jostatistikor:

Ekziston dyshimi se personi i caktuar ka kryer vepër penale dhe për këtë duhet të gjykohet. Në bazë të dhënave dhe dëshmive, gjykatësi do të bjerë një nga vendimet e mundshme:

1. Personi është i pafajshëm

2. Personi është i fajshëm.

Në fillim të gjykimit gjithmonë konsiderohet se personi nuk është fajtor.

3

Testimi i hipotezave

Dy hipoteza:

Në statistikë shprehja:

“Personi është i pafajshëm”, quhet “Hipotezë zero”, derisa shprehja

“Personi është i pafajshëm” quhet

“hipotezë alternative”

Hipoteza zero: H0 Personi është i pafajshëm

Hipoteza alternative: H1 Personi është i fajshëm

4

1/4/2012

3

5

Çka është hipoteza?

Hipoteza: Supozim (pohim)

rreth vlerës së parametrit

të populacionit e zhvilluar

për qëllime të testimit.

Shembuj të parametrave

janë mesatarja e populacionit

ose proporcioni i populacionit

Parametrat duhet

të identifikohen

para analizës

Unë pohoj se nota mesatare e

kësaj klase është µ= 3.5!

6

Çka është testimi i hipotezave?

Testimi i hipotezave: Procedurë, e bazuar në të dhënat e mostrës dhe teorinë e probabilitetit, të përdoruara për të përcaktuar se hipoteza a është një deklarim i arsyeshëm dhe nuk duhet të refuzohet, ose është i paarsyeshëm dhe duhet të refuzohet.

9-4

1/4/2012

4

Hipoteza zero H0

7

Hipoteza zero H0: Pohimi (Supozimi) rreth vlerës së parametrit të populacionit

Fillon me supozimin se hipoteza zero është e vërtetë.

- Ngjashëm me rastin e personit që do të jetë i pafajshëm derisa të vërtetohet fajësia e tij.

Gjithmonë e përmban shenjën e “=”, “≤” ose “”

Mundet ose nuk mund të refuzohet.

Zakonisht formulohet: “Nuk ka dallime signifikante në mes të …..”

Hipoteza alternative H1

Hipoteza alternative H1: Pohimi/supozimi që pranohet nëse të dhënat e mostrës sigurojnë evidencën se hipoteza zero nuk është e vërtetë.

Është e kundërta e hipotezës zero.

Kurrë nuk e përmban shenjën e “=”, “≤” ose “”

Mund ose jo të pranohet.

Në përgjithësi është hipotezë që besohet (ose ka nevojë të

provohet) të jetë e vërtetë nga hulumtuesi.

8

1/4/2012

5

9

Procesi i testimit të hipotezave

Identifikimi i populacionit

Supozojmë se Mosha mesatare e populacionit është 50.

( )

Refuzo

Zgjedhja e mostrës

Hipotezën zero

Jo, nuk është e mundshme!

X 20 a eshte e mundur Nese ?

0 : 50H

20X

10

Distribucioni sampling i X

μ = 50 Nëse H0 është e

vërtetë Nuk ka mundësi që

të fitojmë mesataren

nga mostra në këtë

vlerë ...

... Për këtë ne

refuzojmë

hipotezën zero

μ = 50.

Arsyet për refuzimin e H0

20

... Në se në të vërtetë kjo

do të ishte mesatarja e

popullimit……

X

1/4/2012

6

11

Niveli i signifikancës/rrezikut (α)

Nivelii signifikancës: Probabiliteti i hedhjes së hipotezës zero kur ajo është e vërtetë.

Quhet regjioni i hedhjes së distribucionit të mostrave.

Shënohet me α (niveli i signifikancës)

Vlerat tipike janë 0.01, 0.05, 0.10

Zgjedhet nga hulumtuesi që në fillim

Siguron vlerat kritike të testit.

12

Niveli i signifikancës dhe regjioni i refuzimit

H0: μ ≥ 3

H1: μ < 3

0

H0: μ ≤ 3

H1: μ > 3

a

a

(Vlerat

kritike)

Testi i poshtëm/ i majtë

Niveli i signifikancës = a

0 Testi i epërm/ i djathtë

Testi dyanësor

Regjioni i

refuzimit

është me

hije

/2

0

a /2 a H0: μ = 3

H1: μ ≠ 3

1/4/2012

7

13

Gabimet në marrjen e vendimeve

Gabimi i Llojit të Parë Refuzimi i hipotezës zero kur ajo është e

vërtetë Ka pasoja serioze Probabiliteti për Gabimin e llojit të Parë

është α Quhet niveli i signifikancës Vendoset nga hulumtuesi

Gabimi i Llojit të Dytë Dështimi në refuzimin e hipotezës zero kur ajo

nuk është e vërtetë.

Probabiliteti i Gabimit të llojit të dytë është β Fuqia e testit është (1- β)


Probabiliteti për të mos bërë gabimin e Llojit të Parë është

Quhet koeficienti i besueshmërisë ose konfidencës.

1 a

(vazhdim

1/4/2012

8


H0: I pafajshëm

E vërtetë E vërtetë

Verdikti I pafajshëm I fajshëm Vendimi H 0 E vërtetë H

0 Jo e vërtetë

I pafajshëm Korrekt Gabim

Mos

Refuzo

H 0

1 - a Lloji II

Gabimi ( b )

I fajshëm Gabim Korrekt Refuzo

H 0

Lloji i I i

Gabimit

( a )

Fuqia

(1 - b )

Shembulli i gjyqit Hipotezat Testi

Faktorët që ndikojnë në Llojin e II të gabimit

Vlerat e vërteta të parametrave të popullimit

Rritet kur diferenca në mes parametrit të supozuar dhe vlerës së tij të vërtetë zvogëlohet.

Niveli i signifikancës

rritet kur zvogëlohet

Devijimi standard i populimit

rritet kur rritet

Madhësia e mostrës

rritet kur n zvogëlohet

b

b

a

b

b

a

b

n

b

b

1/4/2012

9

Qasjet në tesitimin e hipotezave

Qasja e vlerës kritike

Qasja e vlerës së probabilitetit/ vlera p

17

Qasja e Vlerës kritike për testim të hipotezave

Konvertimi i statistikave të mostrës (p.sh. : ) në teste statistikore (p.sh. Z, t ose F –testi)

Sigurimi i vlerave kritike) për një vlerë të specifikuar të nga tabela ose kompjutori

Nëse testi statistikor gjindet në regjionin kritik, atëherë refuzohet H0

Në të kundërtën nuk refuzohet H0

X

a

1/4/2012

10

Qasja e probabilitetit- Vlerës p - për testimin e hipotezave

Konvertimi i statistikave të mostrës (p.sh. ) në teste statistikore (p.sh. Z, t ose F –testi)

Sigurimi i vlerave të p nga tabela ose përmes kompjuterit

Nëse vlera e p është më e madhe se niveli i

signifikancës α , H0 nuk refuzohet.

Nëse vlera e p është më e vogël se niveli i signifikancës α , H0 refuzohet.

Krahasohen vlerat e p me α

Nëse vlera e p , Mos refuzo H0 Nëse vlera e p Refuzo H0

X

a

a

Hapat e përgjithshëm në testimin e hipotezave

P.sh. Testimi i supozimit se numri mesatar i televizorëve për familje ne Kosovë është me pak se tre ( dihet)

1. Formulimi i H0

2. Formulimi i H1

3. Zgjedhja

4. Zgjedhja e n

5. Zgjedhja e testit

0

1

: 3

: 3

=.05

100

Z

H

H

n

test

a

a

1/4/2012

11

© 2002 Prentice-Hall, Inc.

100 Familje janë anketuar

Testi statistikor i llogaritur =-2,

Vlera e p- = 0.0228

Refuzo hipotezën zero

Numri mesatar i televizorëve për

familje është më i vogël se tre

(3)

(vazhdim)

Refuzo H0

a

-1.645 Z

6. Vendosja e vlerës kritike)

7. Mbledhja e të dhënave

8. Llogaritja e testit statistikor dhe vlerës së p

9. Marrja e vendimit statistikor

10. Dhënja e konkluzioneve

Hapat e përgjithshëm në testimin e hipotezave

Testi njëanësor Z për mesatare

( dihet )

Supozimet

Populacioni ka shpërndarje normale

Nëse nuk është normal kërkohen mostra më të mëdha

Vetëm Hipoteza zero ka shenjën ose

Z Testi statistikor

/

X

X

X XZ

n

1/4/2012

12

Regjioni i refuzimit/Testet njëanësore

Z 0

Refuzo H0

Z 0

Refuzo H0

H0: 0

H1: < 0

H0: 0

H1: > 0

Z duhet të jetë në mënyrë signikative nën 0

për të refuzuar H0

Vlerat e vogla të Z nuk kundërshtojnë H0

Mos refuzo H0 !

aa

Shembull : Testi njëanësor

Kutia me drithëra në

mesatare a përmban më

shumë se 368 gram

drithëra? Një mostër e

rastësishme prej 25

kutive ka treguar peshën

= 372.5. Kompania ka

specifikuar që të jetë

15 gram. Testoni në

nivelin e signifikanës a

0.05

368 gm.

H0: 368

H1: > 368

X

1/4/2012

13

Gjetja e Vlerës kritike: Njëra anë

Z .04 .06

1.6 .9495 .9505 .9515

1.7 .9591 .9599 .9608

1.8 .9671 .9678 .9686

.9738 .9750

Z 0 1.645

.05

1.9 .9744

Tabela r distribucionit standard normal kumulativ (Pjesë )

a = 0.05?

a = .05

Vlera kritike =

1.645

.95

1Z

Zgjedhja e shembullit : Testi një

anësor

a = 0.5

n = 25

Vlera kritike: 1.645

Test Statistic:

Vendimi:

Konkluzion:

Mos refuzo në nivelin a = .05

Nuk ka evidencë se mesatarja e vërtetë është më e madhe se 368

Z 0 1.645

.05

Refuzo

H0: 368

H1: > 368

1.50X

Z

n

1.50

1/4/2012

14

Zgjedhja përmes vlerës së P

Z 0 1.50

Vlera eP =0.0668

Vlera e Z për statistikën e

mostrës

Nga tabela Z: shiko te

1.50 për të gjetur 0.9332

Përdorë

hipotezën

alternative për

të gjetur

drejtimin e

regjionit të

refuzimit.

1.0000

- .9332

.0668

Vlera e p është P(Z 1.50) = 0.0668

© 2002 Prentice-Hall, Inc.

Zgjedhja përmes vlerës së P (vazhdim)

0 1.50

Z

Refuzo

(Vlera e P = 0.0668) (a = 0.05)

Mos refuzo.

Vlera e p = 0.0668

a = 0.05

Testi statistikor 1.50 është në “Regjionin Mos refuzo”

1.645

1/4/2012

15

Shembull : Testi dyanësor Kutia me drithëra në

mesatare a përmban 368

gram drithëra? Një

mostër e rastësishme prej

25 kutive ka treguar

peshën = 372.5.

Kompania ka specifikuar

që të jetë 15 gram.

Testoni në nivelin e

signifikanës a 0.05.

368 gm.

H0: 368

H1: 368

X

372.5 3681.50

1525

XZ

n

a = 0.05

n = 25

Vlera kritike: ±1.96

Zgjedhja e shembullit: Testi

dyanësor/Qasja e vlerës kritike

Testi statistikor:

Vendimi:

Konkluzion:

Mos refuzo në nivelin a = .05

Nuk ka të dhëna që mesatarja e vërtetë nuk është 368 Z 0 1.96

.025

Refuzo

-1.96

.025

H0: 368

H1: 368

1.50

1/4/2012

16

Zgjedhja përmes vlerës së P

(Vlera e p = 0.1336) (a = 0.05)

Mos refuzo.

0 1.50

Z

Refuzo

a = 0.05

1.96

Vlera e p = 2 x 0.0668

Testi statistikor 1.50 është në “regjionin Mos refuzo “

Refuzo

32

Fazat e Testimit të hipotezave

Hapi I. Formulimi i Hipotezës Zero (H0) dhe Hipotezës Alternative (H1)

Hapi 2. Zgjedhja e nivelit të signifikancës/rrezikut

Hapi 3. Identifikimi i Testit statistikor ( Z, t, F, Testi hi në katror)

Hapi 4. Formulimi i Rregullës së vendosjes

Hapi 5. Zgjedhja e mostrës dhe marrja e vendimit

Mos e refuzo hipotezën zero H0 Refuzo H0 dhe prano H1

1/4/2012

17

33

Testimi për mesataren aritmetike: Mostra e madhe , Devijimi standard i populacionit është i njohur

Kur bëjmë testimin për mesataren e populacionit nga mostra e madhe dhe kur dihet devijimi standard i populacionit testi statistikor jepet me këtë formulë:

( , .334)( )/ n

mX XX

z ose T si ne liber fqg X

34

Shembull 1

Procesori i firmës për prodhimin e keçapit tregon shenjën se një shishe keçap ka 16 ons (28,35gr) keçap. Një mostër prej 36 shisheve është matur dhe ka dalë se pesha mesatare është 16.12 ons keçap me devijim standard 0.5 ons. Me nivel të signifikancës 0.05 a është procesi jashtë kontrollit?

9-13

1/4/2012

18

35

Shembull 1 vazhdim

Hapi 1: Formulimi i hipotezës zero dhe hipotezës alternative

Hapi 2: Niveli i signifikancës 0.05, kurse probabiliteti është 0,95, testi është dyanësor, ɑ/2=0.05/2=0.0025, vlera kritike është 1.96

Hapi 3: Vendosja e rregullës së marrjes së vendimit:

Hapi 4: Llogaritja e testit statistikor Z:

Hapi 5: Vendimi për H0 : H0 nuk refuzohet sepse vlera e Z=+ 1.44 është më e vogël se vlera kritike 1.96

0 1: 16 : 16H H

0 1.96H refuzohet nese z

[16.12 16] / [0.5 / 36] 1.44z

9-14

36

Testimi i hipotezave: Dy mesatare të populacionit

9-20

Supozojmë parametrat për dy populacione janë :

Për mostra të mëdha testi statistikor është:

1 2 1 2, , , dhe

1 2

2 2

1 2

1 2

X Xz

n n

1/4/2012

19

37

Testimi i hipotezave: Dy mesatare të populacionit

Kur nuk dihen mirëpo madhësia e mostrës janë më të mëdha ose të babrabarta me 30, testi statistikor është:

1 2 dhe

1 2 dhe n n

1 2

2 2

1 2

1 2

X Xz

n n

9-21

38

Shembull

Është bërë një hulumtim për të krahasuar numrin mesatar të vjetëve të punës për ata që janë pensionuar në vitin 1989 me numrin mesatar të vjetëve të atyre që janë pensionuar në vitin e kaluar në firmën “X” Me nivel të signifikancës 0.01 a mund të përfundojmë se punëtorët e pensionuar vitin e kaluar kanë dhënë më shumë shërbime duke u bazuar në këto të

dhëna nga mostra? Karakteristikat 1989 Vitin e

kaluar

Mesatarja e mostrës 25.6 30.4

Devijimi standard i

mostrës

2.9 3.6

Madhësia e mostrës 40 45

9-22

1/4/2012

20

39

shembull vazhdim

Hapi 1:

Hapi 2 Niveli i signifikancës 0,01, testi njëanësor, vlera akritike 2.33

Hapi 3: Refuzo H0 nëse Z>2.33

Hapi 4:

Hapi 5: Meqenëse Z = 6.80>2.33, H0 refuzohet. Punëtorët e pensionuar vitin e kaluar kanë më shumë vjet në shërbim.

H H0 2 1 2 1: : 1

2 2

30.4 25.66.80

3.6 2.9

45 40

Z

9-23

40

Testet në lidhje me proporcionin

Proporcioni: Pjesa ose përqindja që tregon pjesën e populacionit ose mostrës që është me interes të veçantë për të trajtuar.

Proporcioni i mostrës

numri i rasteve te volitshme

numri i elementeve te mostresmp

9-24

1/4/2012

21

41

Testi statistikor për testimin e një proporcioni të populacionit

9-25

-

m

m

p pz

p q

n

p proporcioni i populacionit

p proporcioni i mostres

42

Shembull

Në të kaluarën , 15% e kërkesave të rregullta për ndihma bamirësie ka rezultuar në kontribute financiare. Një letër e re e kërkesave është përpiluar dhe është dërguar te 200 njerëz dhe 45 prej tyre janë përgjigjur duke ofruar ndihmë financiare. Me nivel të signifikancës 0.05, gjegjësisht me probabilitet 0,95 a mund të përfundohet se letra e re është më efektive?

9-26

1/4/2012

22

43

Shembull vazhdim

Hapi 1:

Hapi 2: Niveli i signifikancës 0,05,

Hapi 3: H0 refuzohet kur z>1.645

Hapi 4:

Hapi 5: Meqë z = 2.97 >1.645, H0 Refuzohet. Letra

e re ka qenë më efektive

0 1: 0.15 : 0.15H p H p

450.15

200 2.97(0.15)(0.85)

200

z

9-27

44

Testi që përfshin dallimet në mes të

proporcioneve e dy populacioneve

9-28

Testi statistikor në këtë rast është :

1 2

1 1 2 2

1 2

p pz

p q p q

n n

1/4/2012

23

45

Shembull

Shembulli nga libri , fq. 340

Një ndërmarrje ka blerë bateri elektrike prej dy prodhuesve. Nga prodhuesi i parë janë zgjedhur 220 bateri dhe është konstatuar se 35 janë defekte. Nga prodhuesi i dytë janë zgjedhur 260 bateri dhe 26 prej tyre janë me defekt. Me probabilitet 90% ose nivel të signifikancës 10% të vërtetohet se a ekziston dallim i rëndësishëm në cilësinë e baterive në mes të këtyre dy prodhuesve.

9-30

46

shembull 5 vazhdim

Hapi 1:

Hapi 2: Niveli i signifikances 0,10, probabiliteti 90%

Hapi 3: H0 refuzohet nëse z >1.645

Hapi 4:

0 1 2 1 1 2: :H p p H p p

0,159 0.101,916

0.159 0,841 0,10 0,90

220 260

z

9-31

1/4/2012

24

47

Shembull 5 vazhdim

Hapi 5: H0 nuk pranohet dhe hidhet poshtë, dmth. pranohet hipoteza alternative se dallimi në mes të kualitetit të baterive në mes të dy prodhuesve është signifikant.

Meqenëse vlera e llogaritur e testit është më e madhe se vlera kritike tabelore hedhet poshtë hipoteza zero. 1,916>1,645.

9-32

Shënim

48

Testi dyanësor Nëse Z<-z ɑ/2 ose Z>-z ɑ/2 refuzo hipotezën zero dhe prano hipotezën alternative….

Testi njëanësor i majtë Nëse Z<-z ɑ refuzo hipotezën zero…..

Testi njëanësor i djathtë Nëse Z>zɑ refuzo hipotezën zero…

Testimi i hipotezave,mostra e madhe

Documents