1 TESTES DE HIPÓTESES Testes de comparação entre grupos
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Transcript
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TESTES DE HIPÓTESES
Testes de comparação entre grupos
2
Abordagem não paramétrica
Não se faz suposição sobre as medidas da variável de interesse
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Exemplo 1
Com o objetivo de avaliar o efeito de um programa de
treinamento sobre a produtividade dos funcionários de
uma certa empresa, fez-se um estudo em que se observou a
produtividade de uma amostra de funcionários antes e
depois do programa de treinamento.
4
Exemplo 1
ANTES TREINAMENTO DEPOIS
Melhorou
ou piorou?
5
Exemplo 1
Hipóteses:
H0: = 0,5
H1: > 0,5
= probabilidade de melhorar
Resultado do Experimento: dos 10 funcionários submetidos ao treinamento, 7 melhoraram.
6 p = 0,172 ou 17,2%
Uso da distribuição binomial
valor esperado
por H0
x 0.001
0.010
0.044
0.117
0.205
0.246
0.205
0.117
0.044
0.010 0.001
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
7
Exemplo 1
Adotando = 5%
p = 17,2% > ==> O teste aceita H0
Não se pode afirmar que o programa de
treinamento realmente aumenta a produtividade
dos funcionários
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Abordagem paramétrica
Faz-se suposições sobre as medidas da variável de interesse.
Especialmente sobre a distribuição amostral.
Tem-se testes mais poderosos.
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Exemplo 2
Com o objetivo de avaliar o efeito de um programa de
treinamento sobre a produtividade dos funcionários de
uma certa empresa, fez-se um estudo em que se observou
a produtividade de uma amostra de funcionários antes e
depois do programa de treinamento. OBS. Avaliações
quantitativas
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Exemplo 2
ANTES TREINAMENTO DEPOIS
De quanto
foi a
variação?
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Exemplo 2
Hipóteses:
H0: µdepois = µantes
H1: µdepois > µantes
µantes: produtividade esperada antes do programa;
µdepois: produtividade esperada após o programa;
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Exemplo 2 - Amostra
Funcio- Produtividade nário antes depois diferença
1 22 25 3 2 21 28 7 3 28 26 -2 4 30 36 6 5 33 32 -1 6 33 39 6 7 26 28 2 8 24 33 9 9 31 30 -1 10 22 27 5
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-2 0 2 4 6 8 10
Exemplo 2 - Amostra
A análise é feita com a variável diferença: D =
depois - antes
D: 3, 7, -2, 6, -1, 6, 2, 9, -1, 5
valor esperado
de D, D, sob H0
média dos valores
observados de D:
D = 3,4
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Estatística do teste
S
n . D =t
D
onde
n: número de pares (antes, depois) observados;
D: média das diferenças observadas e
SD : desvio padrão das diferenças observadas
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Distribuição de referência
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 0
0,1
0,2
0,3
0,4
t
f(t)
possíveis valores da estatística t
Assumindo que D
tenha distribuição
normal, sob H0, t
tem distribuição
“t” com n – 1 graus
de liberdade.
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Exemplo 2 - Amostra
D = depois - antes
D: 3, 7, -2, 6, -1, 6, 2, 9, -1, 5
3,4 = 10
34 =
n
D = D
3,81. = 1 10
)(10).(3,4 246 =
1 n
D.n D = S
222
D
17
2,82. = 3,81
10 . 3,4 =
S
n . D =t
D
Estatística de teste:
Exemplo 2 - Amostra
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0 t = 2,82
P = 0,010 (tabela t)
Distribuição de referência: t com gl = n - 1 = 9
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Tabela t
área cauda superior
gl 0,25 0,10 0,05 0,025 0,01 0,005
... ... ...
9 0,703 1,383 1,833 2,262 2,821 3,250
... ... ...
Amostra: gl = 9 e t = 2,82
p = 0,01
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Exemplo 2 - conclusão
O teste rejeita H0 ao nível de significância de 5%.
O programa de treinamento aumenta a produtividade dos funcionários
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Exercício 1
Os dados a seguir referem-se a acidentes de trabalho
que ocasionam perda de tempo (média das horas de
trabalho perdidas por mês, durante um ano). Os dados
foram recolhidos antes e depois de um programa de
segurança de trabalho, desenvolvido em 6 indústrias.
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Exercício 1
Horas de trabalho perdidas por mês antes e depois do programa de prevenção
Indústria número
1 2 3 4 5 6
Antes 38 64 42 70 58 30
Depois 31 58 43 65 52 29
Os dados mostram evidência de que o programa de prevenção é efetivo? Use nível de significância de 5%.
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Exercício 1
Hipóteses:
H0: depois = antes
H1: depois < antes
depois: valor médio de horas perdidas
por mês após o programa de prevenção
antes: valor médio de horas perdidas
por mês antes do programa de prevenção
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Exercício 1
Cálculo da estatística do teste:
Indústria número
1 2 3 4 5 6
Antes 38 64 42 70 58 30
Depois 31 58 43 65 52 29
Diferença (D): -7 -6 +1 -5 -6 -1
= -4,000 SD = 3,225 D
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04,3 = 225,3
6 . 4 =
S
n . D =t
D
Cálculo da estatística do teste:
Exercício 1
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Tabela t
área cauda superior
gl 0,25 0,10 0,05 0,025 0,01 0,005
... ... ...
5 0,727 1,476 2,015 2,571 3,365 4,032
... ... ...
Amostra: gl = 5 e t = -3,04
0,01 < p < 0,025
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Exercício 1 - conclusão
O teste rejeita H0 ao nível de significância de 5%.
O programa de prevenção de acidentes reduz, em média, o número de acidentes.
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Projeto do experimento ou do levantamento de dados
DADOS PAREADOS AMOSTRAS
INDEPENDENTES
X11 X21
X12 X22
X1n X2n
...
X11
X12
...
X1n
X21
X22
...
X2m
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Dados pareados
Projetos do tipo antes-e-depois, como nos exemplos
anteriores.
Comparação de dois tipos de argamassas (A e B). Ambas
aplicadas em n tipos de paredes.
Análise: teste t para dados pareados (já visto!)
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Amostras independentes
Comparação de dois medicamentos (A e B), cada
um aplicado a um grupo de pacientes.
Comparação de dois tipos de argamassas (A e B).
Cada argamassa aplicada num conjunto diferente
de paredes.
Importante: aleatorização
Análise: teste t para amostras independentes
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Exemplo 3
H0: Em média, os dois métodos produzem os mesmos resultados;
H1: Em média, os dois métodos produzem resultados diferentes.
Problema: comparação de dois métodos de ensino.
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H0: 1 = 2 e H1: 1 2
1: nota média de indivíduos
submetidos ao método A de ensino;
2: nota média de indivíduos submetidos ao método B de ensino.
Exemplo 3
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Exemplo 3
Amostras: notas numa avaliação, por grupo
método A método B
45 51 50 62 43 45 35 43 59 48
42 53 50 48 55 45 41 43 49 39
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Exemplo 3
30 35 40 45 50 55 60 65
nota
método A
método B
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A importância da análise da variabilidade
a) evidência de grupos diferentes
b) não evidência de grupos diferentes
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A estatística do teste (admitindo n1 = n2 = n)
onde
2
2
2
2
12 SSSa
221
2 aS
nXX t =
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Exemplo 3 - continuação
Amostra 1 Amostra 2
n1 = 10 n2 = 10
X1 = 49,90 X2 = 44,70
S1 = 5,97 S2 = 6,50
95,382
)50,6()97,5(
2
222
2
2
12
SS
Sa
86,1)95,38(2
1070,4490,49
2 221
aS
nXX t =
38
Exemplo 3 - continuação
Uso da tabela t
Amostras ==> gl = 2(n-1) = 18 e t = 1,86
área cauda superior
gl 0,25 0,10 0,05 0,025 0,01 0,005
... ... ...
18 0,688 1,330 1,734 2,101 2,552 2,878
... ... ...
0,05 < p < 0,10 p = 0,0794
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Exemplo 3 - conclusão
O teste aceita H0 ao nível de significância de 5%.
Os dados não comprovam diferença entre os dois métodos de ensino.
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Exercício 2
Para verificar o grau de adesão de uma nova cola para vidros, prepararam-se dois tipos de montagem: cruzado, onde a cola é posta em forma de X, e quadrado, onde a cola é posta apenas nas 4 bordas. Os resultados da resistência para duas amostras de 10 ensaios cada estão a seguir. Os tipos de montagem são diferentes em termos de resistência média?
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Resultados das resistência nos 20 ensaios Método cruzado Método quadrado
16 14 19 18 19 13 19 14 17 21
20 15 18 17 18 24 10 14 13 15 Média = 17,4 16,0
Desvio padrão = 1,897 4,243
Exercício 2
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Exercício 2 - resolução
H0: Em média, o grau de adesão é o mesmo para os dois métodos.
H1: Em média, o grau de adesão é diferente para os dois métodos.
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n1 = 10 n2 = 10
X1 = 17,4 X2 = 16,0
S1 = 1,897 S2 = 4,243
Exercício 2 - resolução
801,102
2
2
2
12
SS
Sa
95,02 221
aS
nXX t =
44
Amostra gl = 18
t = 0,95
Tabela 0,20 < p < 0,50 p = 0,3546
aceita H0 ao nível de significância de 5%
não há evidência de diferença entre os dois
métodos.
Exercício 2 - resolução
45
A estatística do teste (admitindo n1 ≠ n2)
onde 2
)1()1(
21
2
22
2
112
nn
SnSnSa
21
21
11
nnS
xx t =
a
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