Testes de Comparações de Médias
Feb 22, 2016
Testes de Comparações de
Médias
Exemplo das variedades de milhoNo experimento com variedades de milho (A, B, C e D) instalado segundo um Delineamento Inteiramente Casualizado (DIC) com 5 repetições, vimos:
.:: 43210
sientrediferemvariedadesduasmenospeloHttttH
a
Hipóteses
Exemplo das variedades de milho
ijiji ety Modelo Estatístico (DIC):
com i = 1, 2, 3, 4 e j = 1, 2, 3, 4, 5.
jiy é o valor da produção da variedade i na repetição j; é uma constante inerente a todas as observações;it é o efeito da variedade i;ije é o erro experimental associado à parcela, independente,
identicamente distribuído de uma Normal com média zero e variância constante ;2
Em aula prática vimos que as pressuposições em relação ao modelo foram atendidas e que, para
esse exemplo, não é necessário fazer a transformação dos dados.
Exemplo das variedades de milhoTabela da ANAVAFonte de Variação
Graus de liberdade
Somas de quadrados (SQ)
Quadrados Médios (QM) Fcalc. Ftab.
Variedade 3 163,75 45,58 6,511 > 3,14
Erro 16 112,00 7,00
Total 19 275,75 ---
Como Fcalc > Ftab rejeita-se a hipótese H0, ou seja, pelo menos duas variedades de milho diferem entre si em relação à produção em kg/m².
Pelo menos duas?? Quais diferem??Testes de
comparações múltiplas
Exemplo das variedades de milhoContraste de médias: combinação linear das médias de tratamentos.
II ycycycY ...ˆ2211 em que: 0
1
I
iic
Variância de um contraste de médias
Tratamentos com o mesmo número de repetições:
Tratamentos com diferentes número de repetições:
I
iicr
QMErroYV1
2ˆˆ
I
i i
i
rcQMErroYV
1
2ˆˆ
Teste de TukeyQualquer contraste entre duas médias (todas as combinações)
YVq vtˆˆ
21
,
No exemplo das variedades de milho (r = 5)
rQMErroq vt ,
É a amplitude total estudentizada obtida na tabela de Tukey com t tratamentos e v graus de liberdade do erro (ou resíduo) para um nível alfa de significância.
Teste de TukeyQuais os possíveis contrastes?
Variedades Médias
D 31
B 27
C 26
A 23
Médias ordenadas
32326ˆ42327ˆ12627ˆ82331ˆ52631ˆ42731ˆ
136
125
324
143
342
241
yyY
yyY
yyY
yyY
yyY
yyY
Se o teste é significativo ( ) .
Se o teste é significativo ( ) .
iY ji yy
iY ji yy
Teste de Tukey
32326ˆ42327ˆ12627ˆ*82331ˆ*52631ˆ42731ˆ
136
125
324
143
342
241
yyY
yyY
yyY
yyY
yyY
yyY
Se o teste é significativo ( ) .
Se o teste é significativo ( ) .
iY ji yy
iY ji yy
rQMErroq vt ,
8,4500,705,4%5
Diferença mínima significativa
1,6500,719,5%1
α=5%
α=1%
Teste de Tukey
32326ˆ42327ˆ12627ˆ*82331ˆ*52631ˆ42731ˆ
136
125
324
143
342
241
yyY
yyY
yyY
yyY
yyY
yyY
Variedades Médias*D 31 aB 27 abC 26 bA 23 b
Tabela. Valores médios de produção, kg/m², em função das variedades de milho.
* Médias seguidas de mesma letra minúscula não diferem entre si pelo teste de Tukey para um nível de significância de 5%.
Teste de DuncanContraste entre médias
Tukey: Utiliza o mesmo valor da amplitude estudentizada (q);Duncan: A amplitude estudentizada varia em função do número de médias abrangidas no contraste.
rQMErroZ vt ,'
É a amplitude total estudentizada obtida na tabela de Duncan com t’ tratamentos abrangidos pelo contraste e v graus de liberdade do erro (ou resíduo) para um nível alfa de significância.
Diferença mínima significativa
Teste de DuncanContraste com 4 médias ordenadas
D=31; B=27; C=26; A=23
500,7
16,44 Z
“O teste inicia comparando a maior com a menor média”
4 médias ordenadas
82331ˆ141 yyY
Teste de Duncan
D=31; B=27; C=26; A=23
8,3500,723,3
500,7
16,44 Z
“O teste inicia comparando a maior com a menos média”
4 médias ordenadas
*82331ˆ141 yyY
Como o teste é significativo ( ) .
1Y
ji yy
Contraste com 4 médias ordenadas
Teste de DuncanContraste com 3 médias ordenadas
D=31; B=27; C=26; A=23
500,7
16,33 Z
52631ˆ342 yyY
42327ˆ123 yyY
Teste de DuncanContraste com 3 médias ordenadas
D=31; B=27; C=26; A=23
7,3500,715,3
500,7
16,33 Z
*52631ˆ342 yyY
*42327ˆ123 yyY
Como e o teste é significativo ( ) .2Y 3Y ji yy
Teste de DuncanContraste com 2 médias ordenadas
D=31; B=27; C=26; A=23
500,7
16,22 Z
4Y 5Y 6Y
32326ˆ12627ˆ42731ˆ
136
325
244
yyY
yyY
yyY
Teste de DuncanContraste com 2 médias ordenadas
D=31; B=27; C=26; A=23
4Y 5Y 6Y
ns
ns
yyY
yyY
yyY
32326ˆ12627ˆ*42731ˆ
136
325
244
5,3500,70,3
500,7
16,22 Z
Como o teste é significativo ( ) .4Y ji yy
Como e o teste é NÃO significativo ( ) .
5Y 6Yji yy
Teste de DuncanReunindo as informações
5,332326ˆ
5,312627ˆ
5,3*42731ˆ7,3*42327ˆ7,3*52631ˆ8,3*82331ˆ
2136
2325
2244
3123
3342
4141
ns
ns
yyY
yyY
yyY
yyY
yyY
yyY
Variedades Médias*D 31 aB 27 bC 26 bcA 23 c
Tabela. Valores médios de produção, kg/m², em função das variedades de milho.
* Médias seguidas de mesma letra minúscula não diferem entre si pelo teste de Duncan para um nível de significância de 5%.
Teste de DunnettComparação entre as médias de tratamentos e um tratamento controle específico (Tratamento padrão)
rxQMErroD vt2
,
Valor obtido na tabela de Dunnett com t tratamentos (inclusive o controle) e v graus de liberdade do erro (ou resíduo) para um nível alfa de significância.
Diferença mínima significativa
Teste de DunnettComparação entre as médias de tratamentos e um tratamento controle específico (Tratamento padrão)
3,4500,7259,22
, x
rxQMErroD vt
Diferença mínima significativa
82331ˆ52631ˆ42731ˆ
143
342
241
yyY
yyY
yyY
Considerando a variedade “D” como um controleVariedades Médias*D (controle) 31 a
B 27 aC 26 bA 23 b
Teste de DunnettComparação entre as médias de tratamentos e um tratamento controle específico (Tratamento padrão)
3,4500,7259,22
, x
rxQMErroD vt
Diferença mínima significativa
82331ˆ52631ˆ42731ˆ
143
342
241
yyY
yyY
yyY
Considerando a variedade “D” como um controleVariedades Médias*D (controle) 31 a
B 27 aC 26 bA 23 b
Testes
VariedadesResultados
Tukey Duncan DunnettD 31 a 31 a 31 aB 27 ab 27 b 27 aC 26 b 26 bc 26 bA 23 b 23 c 23 b
Tabela. Valores médios de produção, kg/m², em função das variedades de milho.
Contrastes OrtogonaisRecomendado para comparação de médias de
tratamentos estruturados
Exemplos: Adubação
Tratamento 1: Nitrato de Cálcio – Dose 1;Tratamento 2: Nitrato de Cálcio – Dose 2;Tratamento 3: Sulfato de Amônia;Tratamento 4: Testemunha;
Contrastes OrtogonaisRecomendado para comparação de médias de
tratamentos estruturados
Exemplos: Hormônio
Tratamento 1: Controle;Tratamento 2: 24mg de Dietilestilbestrol;Tratamento 3: 10mg de Estradiol;Tratamento 4: 20mg de Estradiol;
Contrastes OrtogonaisExemplos: Preparo de amostras diagnose foliar em cana
A = folhas limpas com escova;B = folhas lavadas em água corrente;C = folhas lavadas em solução diluída de detergente;D = folhas lavadas com água corrente e enxaguadas com
água destilada, depois com HCl 0,1 N e finalmente com água desmineralizada;
E = folhas lavadas com água corrente e enxaguadas com água destilada, depois com HCl 0,2 N e finalmente com água desmineralizada;
Contrastes Ortogonais
Possíveis Contrastes Testemunha (T5) versus os Demais (T1, T2, T3, T4);
Nitrato de Cálcio (T1 e T2) versus Demais fontes (T3 e T4);Dose 1 de NC (T1) versus Dose 2 de NC (T2);
Sulfato de Amônia (T3) versus Uréia (T4).
Fontes de NRepetições
Totais Médias1 2 3
T1:Nitrato de Cálcio (D1) 70,3 64,3 79,0 213,6 71,2T2:Nitrato de Cálcio (D2) 81,0 75,1 71,3 227,4 75,8T3:Sulfato de Amônia 75,5 63,0 65,4 203,9 68,0T4:Uréia 85,2 80,5 83,6 249,3 83,1T5:Testemunha 35,7 39,6 45,5 120,8 40,3
Produções (kg/100m²) de repolho em função de diferentes fontes de Nitrogênio
Contrastes Ortogonais?Dois contrastes
IIa ycycycY ...ˆ2211 0
1
I
iic
IIb ydydydY ...ˆ2211 0
1
I
iid
são ortogonais se
01
i
I
iidc (mesmo número de repetições)
01
i
I
iii dcr (número de repetições diferentes)
Em um grupo de I tratamentos é possível construir I-1 (graus de liberdade de tratamento) contrastes ortogonais.
Contrastes Ortogonais?Contraste 1: Testemunha (T5) versus os Demais (T1, T2, T3, T4);
54321
1 4ˆ yyyyyY
Contraste 2: Nitrato de Cálcio (T1 e T2) versus Demais fontes (T3 e T4);
2)(
2ˆ 43212
yyyyY
4: 4321
50
H4
: 43215
aH
22: 4321
0
H
22: 4321
aH
Contrastes Ortogonais?
213 yyY
210 : H
Contraste 3: Dose 1 de NC (T1) versus Dose 2 de NC (T2);
21: aH
Contraste 4: Sulfato de Amônia (T3) versus Uréia (T4);
434 yyY
430 : H 43: aH
Contrastes Ortogonais?Contraste 1 Contraste 2
0)x01-(21-x
41
21-x
41
21x
41
21x
41
1
i
I
iidc
Contraste 1
213 yyY
54321
1 4ˆ yyyyyY
54321
1 4ˆ yyyyyY
2)(
2ˆ 43212
yyyyY
Contraste 3
0)x01-(0x410x
411-x
411x
41
1
i
I
iidc
Contrastes Ortogonais?Contraste 1 Contraste 4
0)x01-(0x410x
411-x
411x
41
1
i
I
iidc
Contraste 2
213 yyY
54321
1 4ˆ yyyyyY
Contraste 3
0)x00(0x210x
211-x
211x
21
1
i
I
iidc
434 yyY
2)(
2ˆ 43212
yyyyY
Contrastes Ortogonais?Contraste 2 Contraste 4
0)x00(1-x211x
21x0
210x
21
1
i
I
iidc
Contraste 3
213 yyY
Contraste 4
0)x00(1x01x01x00x11
i
I
iidc
434 yyY 2
)(2
ˆ 43212
yyyyY
434 yyY
Contrastes Ortogonais
Fontes de Variação (FV)
Graus de liberdade
(gl)
Somas de Quadrados
(SQ)
Quadrados Médios(QM)
Fcalc. Ftab. (5%)
Tratamentos 4 3.203,02 800,76 26,24* 3,48Erro 10 305,15 30,52Total 14 3.508,17 ---
Tabela de Análise de Variância
Como são contrastes mutuamente ortogonais, pode-se usar o F da análise de variância para testá-los. Esta técnica é comumente designada como decomposição da Soma de Quadrados de Tratamentos.
Contrastes Ortogonais
Fontes de Variação (FV)
Graus de liberdade
(gl)
Somas de Quadrados
(SQ)
Quadrados Médios(QM)
Fcalc. Ftab. (5%)
Tratamentos (4) (3.203,02) 800,76 26,24* 3,48Contraste 1 1 SQC1 QMC1 Fcalc.C1
Ft(1,10)Contraste 2 1 SQC2 QMC2 Fcalc.C2Contraste 3 1 SQC3 QMC3 Fcalc.C3Contraste 4 1 SQC4 QMC4 Fcalc.C4
Erro 10 305,15 30,52Total 14 3.508,17 ---
Tabela de Análise de Variância
Contrastes Ortogonais
Soma de quadrado do Contraste 1
3500,815.2151015
38,120
123,2499,2034,2276,2131
222
SQC
Fontes de NRepetições
Totais Médias1 2 3
T1:Nitrato de Cálcio (D1) 70,3 64,3 79,0 213,6 71,2T2:Nitrato de Cálcio (D2) 81,0 75,1 71,3 227,4 75,8T3:Sulfato de Amônia 75,5 63,0 65,4 203,9 68,0T4:Uréia 85,2 80,5 83,6 249,3 83,1T5:Testemunha 35,7 39,6 45,5 120,8 40,3
Produções (kg/100m²) de repolho em função de diferentes fontes de Nitrogênio
54321
1 4ˆ yyyyyY
Contrastes Ortogonais
Soma de quadrado do Contraste 2
4033,12122,894
63,2499,203
64,2276,2132
222
SQC
Fontes de NRepetições
Totais Médias1 2 3
T1:Nitrato de Cálcio (D1) 70,3 64,3 79,0 213,6 71,2T2:Nitrato de Cálcio (D2) 81,0 75,1 71,3 227,4 75,8T3:Sulfato de Amônia 75,5 63,0 65,4 203,9 68,0T4:Uréia 85,2 80,5 83,6 249,3 83,1T5:Testemunha 35,7 39,6 45,5 120,8 40,3
Produções (kg/100m²) de repolho em função de diferentes fontes de Nitrogênio
2)(
2ˆ 43212
yyyyY
Contrastes Ortogonais
Soma de quadrado do Contraste 3
7400,3160,441
34,227
36,2133
222
SQC
Fontes de NRepetições
Totais Médias1 2 3
T1:Nitrato de Cálcio (D1) 70,3 64,3 79,0 213,6 71,2T2:Nitrato de Cálcio (D2) 81,0 75,1 71,3 227,4 75,8T3:Sulfato de Amônia 75,5 63,0 65,4 203,9 68,0T4:Uréia 85,2 80,5 83,6 249,3 83,1T5:Testemunha 35,7 39,6 45,5 120,8 40,3
Produções (kg/100m²) de repolho em função de diferentes fontes de Nitrogênio
213 yyY
Contrastes Ortogonais
Soma de quadrado do Contraste 4
5267,34362,453
33,249
39,2034
222
SQC
Fontes de NRepetições
Totais Médias1 2 3
T1:Nitrato de Cálcio (D1) 70,3 64,3 79,0 213,6 71,2T2:Nitrato de Cálcio (D2) 81,0 75,1 71,3 227,4 75,8T3:Sulfato de Amônia 75,5 63,0 65,4 203,9 68,0T4:Uréia 85,2 80,5 83,6 249,3 83,1T5:Testemunha 35,7 39,6 45,5 120,8 40,3
Produções (kg/100m²) de repolho em função de diferentes fontes de Nitrogênio
434 yyY
Contrastes Ortogonais
Fontes de Variação (FV)
Graus de liberdade
(gl)
Somas de Quadrados
(SQ)
Quadrados Médios(QM)
Fcalc. Ftab. (5%)
Tratamentos (4) (3.203,02) 800,76 26,24* 3,48Contraste 1 1 2.815,35 2.815,35 92,25*
4,96Contraste 2 1 12,40 12,40 0,40Contraste 3 1 31,74 31,74 1,04Contraste 4 1 343,53 343,53 11,26*
Erro 10 305,15 30,52Total 14 3.508,17 ---
Tabela de Análise de Variância
Contrastes OrtogonaisContraste 1:
225,343,404
1,830,688,752,714
ˆ5
43211
yyyyyY
As parcelas que receberam algum tipo de fonte de Nitrogênio (T1, T2, T3 e T4) produziram em média 34,23 kg/100m² de repolho a mais (estimativa do contraste positiva) do que as parcelas que não receberam nenhuma fonte de Nitrogênio (T5).
Contrastes OrtogonaisContraste 2:
As parcelas que receberam Nitrato de Cálcio como fonte de Nitrogênio (T1 e T2) produziram em média a mesma quantidade (o contraste foi não significativo) de repolho que as parcelas que receberam alguma outra fonte de Nitrogênio (T3 e T4).
05,22
)1,830,68(2
8,752,712
)(2
ˆ 43212
yyyyY
Contrastes OrtogonaisContraste 3:
As parcelas que receberam a Dose 1 de Nitrato de Cálcio (T1) produziram em média a mesma quantidade (o contraste foi não significativo) de repolho que as parcelas que receberam a Dose 2 de Nitrato de Cálcio (T2).
6,48,752,71ˆ213 yyY
Contrastes OrtogonaisContraste 4:
1,151,830,68ˆ434 yyY
As parcelas que receberam Sulfato de Amônia como fonte de Nitrogênio (T3) produziram em média 15,1 kg/100m² de repolho a menos (estimativa do contraste negativa) do que as parcelas que receberam Uréia como fonte de Nitrogênio (T4).
Contrastes Ortogonais
No exemplo das variedades de milho (aula prática)
4 tratamentos (A, B, C e D) –> 3 contrastes ortogonais entre si
Contraste 1: A+B versus C+DContraste 2: A versus BContraste 3: C versus D