tesis.ipn.mxtesis.ipn.mx/jspui/bitstream/123456789/15669/1/Aplicacion de la... · INSTITUTO POLITECNICO NACIONAL ESCUELA SUPERIOR DE INGENIERIA MECANICA Y ELECTRICA UNIDAD ZACATENCO

INSTITUTO POLITECNICO NACIONAL

ESCUELA SUPERIOR DE INGENIERIA MECANICA Y ELECTRICA UNIDAD ZACATENCO

SECCION DE ESTUDIOS DE POSGRADO E INVESTIGACION

AAAPPPLLLIIICCCAAACCCIIIÓÓÓNNN DDDEEE LLLAAA MMMEEECCCÁÁÁNNNIIICCCAAA FFFRRRAAACCCTTTAAALLL PPPAAARRRAAA AAANNNÁÁÁLLLIIISSSIIISSS DDDEEE LLLAAA SSSÍÍÍSSSMMMIIICCCIIIDDDAAADDD EEENNN LLLAAA

RRREEEPPPÚÚÚBBBLLLIIICCCAAA MMMEEEXXXIIICCCAAANNNAAA

TESIS

QUE PARA OBTENER EL GRADO DE:

DOCTOR EN CIENCIAS CON ESPECIALIDAD EN INGENIERÍA MECÁNICA

PRESENTA

M. EN C. JULIÁN PATIÑO ORTIZ

DIRECTOR DE TESIS: DR. ALEXANDER S. BALANKIN

MEXICO D. F. FEBRERO DE 2009

Júntate con sabios y obtendrás

sabiduría;júntate con necios y te echaras a

perder.

El inteligente no hace alarde de su saber,

pero el necio hace gala de su estupidez.

-PROVERVIO- -PROVERVIO-

DEDICO ESTE TRABAJO CON CARIÑO…. A DIOS Y A JESUCRISTO: Que con su Divina Gracia me regalan la oportunidad de contar con la vida, gracias por todas las bendiciones recibidas; gracias por permitirme llegar a ésta meta, por darme la oportunidad de aprender que se puede lograr algo de provecho con su dirección. A LA MEMORIA DE MI MÁMA ANA MARIA, MI PÁPA GABRIEL Y DE MI HERMANO GABRIEL: Que con su ejemplo de esfuerzo, humildad y valor nos acompañan guiándonos en el camino recto que nos enseñaron. Gracias por el amor y felicidad que nos dieron, gracias por su preocupación y por el sacrificio que hicieron por nosotros. Les estoy agradecido y los llevo por siempre en mi mente y en mi corazón. AL DR. ALEXANDER BALANKIN: Gracias por la confianza y el apoyo incondicional que me brindó desde la propuesta para la realización de éste proyecto. A MIS FAMILIARES Y A MIS MAESTROS: Gracias por la ayuda que me brindaron durante el camino hacia ésta nueva etapa en mi vida.

FEBRERO DE 2009.

ÍNDICE RESUMEN ABSTRACT INTRODUCCIÓN CAPÍTULO 1. MARCO CONTEXTUAL. 1

1.1 Antecedentes. 21.2 Planteamiento de la problemática. 71.3 Objetivos. 101.4 Justificación. 10

Aportación. 14 CAPÍTULO 2. MÉTODO DE INVESTIGACIÓN Y MARCO TEÓRICO. 15

2.1 Método de Investigación. 16 Tipo de investigación. 18

2.2 Marco Teórico. 19 2.2.1 Sismología. 19 2.2.2 Sismógrafos y Epicentro. 23 2.2.3 Sismogramas y Escalas de Magnitud. 25 Magnitud y Energía. 28 2.2.4 Sismicidad en México. 29 2.2.5 Situación Actual de la Predicción Sísmica. 31 2.2.6 Fractales. 34 Métodos de análisis para fractales Auto – Similares. 38 Métodos de análisis para fractales Auto – Afines. 43 2.2.7 Perspectivas de los fractales en la Predicción Sísmica 47 Escalamiento Dinámico en el Crecimiento de Interfaces Rugosas. 49 Análisis de Fluctoaciones en las series de tiempo. 51

CAPÍTULO 3. ANÁLISIS DE LA INFORMACIÓN Y OBTENCIÓN DE RESULTADOS

53

3.1 Diseño de la metodología para el desarrollo de modelos de predicción sísmica (MPSF).

54

3.1.1 Relación de variables. 55 3.1.2 Formulación de la Hipótesis. 57 3.1.3 Operacionalización de variables. 58 3.1.4 Universo de estudio. 58

3.2 Análisis de la información. 61 3.2.1 Análisis Estadístico. 62 3.2.2 Análisis de Ley de Escalamiento Unificado. 65

3.2.3 Análisis de Leyes de Escala y Universalidad. 70 3.2.4 Análisis Fractal. 74 3.2.5 Análisis de Distribución Espacial. 82

CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES. 88 Conclusiones. 89

Recomendaciones. 94 REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS 96 GLOSARIO 104 RELACIÓN DE FIGURAS Y TABLAS 110 ANEXOS

RESUMEN.

Uno de los fenómenos físicos más impresionantes que ocurren en nuestro

planeta sin duda alguna son los sismos o terremotos, tanto por el proceso (aun no

conocido totalmente) que envuelve su ocurrencia, como por las consecuencias

devastadoras que generalmente dejan a su paso. Razón por la cual, se están

desarrollando una gran cantidad de análisis enfocados a la actividad sísmica en todo el

mundo, ello con el fin de explicar la mecánica de su ocurrencia.

En éste trabajo de investigación se desarrollan varios análisis aplicados a la

actividad sísmica ocurrida en la República Mexicana en el período de 1988 a 2004,

empleando para ello, en el análisis principal, las técnicas y métodos de la Mecánica

Fractal, aplicados a las series de tiempo de la magnitud sísmica registrada, los cuales

se consideran dentro de la estructura del enfoque de escalamiento dinámico.

La investigación se desarrolló bajo la aplicación del Método Científico

propuesto por Bunge, que sirvió también para orientar el rumbo y la dirección de ésta.

Además, se diseñó una metodología auxiliar, la que se puede utilizar en futuros

trabajos para el desarrollo de Modelos de Predicción Sísmica.

Los resultados encontrados en el análisis principal son los parámetros

característicos: exponente de rugosidad ζq = α = 0.96 ± 0.04; exponente de crecimiento

de las fluctuaciones β = 0.66 ± 0.02; y exponente de escalamiento dinámico z = 1.5 ±

0.1, el cual satisface la relación de escalamiento dinámico z = α / β. Estos proveen

evidencia de correlaciones a largo plazo entre eventos sísmicos consecutivos, de

magnitudes relacionadas con el escalamiento dinámico de las fluctuaciones de la

actividad sísmica. Así, podemos decir que se pueden usar las ecuaciones cinéticas de

la teoría de la rugosidad cinética para modelar la dinámica de las fluctuaciones de la

actividad sísmica registrada.

Esto permite el uso de herramientas de la teoría de rugosidad cinética para

modelar las fluctuaciones de la actividad sísmica, las cuales se pueden usar en los

catálogos sísmicos alrededor del mundo, orientados hacia el desarrollo de modelos que

contribuyan en la predicción sísmica basados en estos hallazgos.

ABSTRACT.

One of the most important and impressive physical phenomena that occurs in

our planet are the earthquakes, for the process of their occurrence and for the

devastating consequences that in general causes. For this motive there are many

researchers in the world, performing scientific analysis over the seismic activity, with

the purpose to explain the mechanism of their occurrence.

In this research there are developed several analysis applied to the seismic

activity occurred in Mexico, during 1988 to 2004 using for the main analysis the

methods and techniques of the Fractal Mechanics, applied to the time series of

available data recorded of seismic-magnitude, which are considered into the

framework of dynamic scaling for time series fluctuations.

To assist in the guide and direction of this research is developed following the

application of the Scientific Method proposed by Bunge. Additionally it was designed a

methodology that could be used in future works for the development of Seismic

Prediction Models.

The obtained results in the main analysis are the characteristic parameters:

roughness exponent ζq = α = 0.96 ± 0.04; fluctuations grow exponent β = 0.66 ± 0.02;

and the dynamic scaling exponent z = 1.5 ± 0.1, the last one comply with the dynamic

scaling relation z = α / β. These parameters provide evidence of long time correlations

between consecutive seismic events of related magnitudes with the dynamic scaling of

the seismic activity fluctuations. Therefore, can say that is possible to use the kinetics

equations of the kinetic roughness theory to modeling the dynamic of seismic activity

fluctuations.

This permits the use of tools of kinetic roughening theory to model the

fluctuations of seismic activity, which can be used in the seismic catalogs around the

world, oriented toward the development of models of seismic prediction based in these

findings.

INTRODUCCIÓN.

Ésta investigación se orienta hacia el desarrollo de diversos análisis realizados a

la actividad sísmica ocurrida en la Placa de Cocos en México, dado que es en ésta zona

donde se presenta la más intensa y peligrosa actividad sísmica en nuestro país.

Los análisis realizados, consideran los parámetros que nos proporcionó el

Servicio Sismológico Nacional (SSN) y que son los que se obtienen a través de los

instrumentos sísmicos a su cargo, entre los que se encuentran: el foco, la magnitud y el

tiempo de ocurrencia; y a partir de los cuales se construye el historial sísmico de la

zona contemplada; con lo que se considera a la actividad sísmica como una serie de

ocurrencias en el tiempo, con características especificas por determinarse.

El contenido expuesto en el capitulado expresa aspectos fundamentales que se

corresponden con la metodología de investigación propuesta y los resultados que fueron

obtenidos.

En el Capítulo 1 se analiza la situación histórica y actual de la sismología, sobre

la cual gira la problemática estudiada. Se presentan también los objetivos de la

investigación y la justificación de ésta.

En el Capítulo 2 se presenta el marco teórico que refleja la situación actual que

presentan los análisis sísmicos que se han desarrollado desde diferentes enfoques y

sobre todo, se presentan las teorías sobre las cuales se basan los análisis realizados en

esta investigación.

Posteriormente, en el Capítulo 3 se diseña la metodología para el desarrollo de

modelos de predicción sísmica, y se presentan los 5 análisis realizados en ésta

investigación; se presentan también los resultados que se obtuvieron para cada uno de

los análisis.

Finalmente, se presentan las conclusiones que se obtuvieron en ésta

investigación; así como las recomendaciones para desarrollar trabajos futuros.

CAPITULO 1 MARCO CONTEXTUAL

1 Julián Patiño Ortiz IPN, ESIME-Z / SEPI

MARCO CONTEXTUAL

Este capítulo presenta aspectos introductorios relativos al desarrollo de la

investigación; se presentan en primera instancia los antecedentes y la

problemática, los objetivos de la investigación y, la justificación del desarrollo

de ésta investigación.



1

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Núm

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Magnitud

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Núm

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g.)

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Magnitud

1.1 ANTECEDENTES. Nuestro planeta está en evolución, y es éste proceso, el que ocasiona que se generen una diversidad de fenómenos físicos, los cuales ocurren dentro del planeta y en la atmósfera de éste; entre ellos podemos destacar: cambios de temperatura global, huracanes, inundaciones, y terremotos entre otros. Estos fenómenos, generalmente tienen una gran repercusión económica, política y social. El proceso de evolución, puede ser provocado ó de manera natural, el primero se aprecia, por ejemplo, en el cambio de condiciones climatológicas debidas a la deforestación de grandes extensiones de bosques y selvas que se ha realizado en el planeta; la evolución natural, se debe a procesos físicos en la estructura interna de la tierra, que dan lugar a que en el planeta ocurran terremotos o sismos (Espíndola y Jiménez, 2001, p. 7). Los terremotos constituyen una de las catástrofes naturales más devastadoras y más aterradoras que existen; cuando estos ocurren, en pocos minutos, miles de personas pueden perder bienes, salud, seres queridos y tal vez, la vida. Prueba de ello, es el terremoto ocurrido en Tang-Shan, China, el 27 de julio de 1976, donde hubo 655 200 muertos, o el ocurrido en Michoacán, México, el 19 de septiembre de 1985, que ocasiono 20 000 muertos (Nava, 2002, p. 15-17). En el planeta existen zonas bien definidas donde ocurren la mayoría de los sismos, estas zonas son debidas a la constitución de la capa externa de nuestro planeta (corteza terrestre), la cual, se encuentra formada por diversas placas, y es precisamente en las fronteras entre estas placas donde se desarrolla la mayor y más peligrosa actividad sísmica. Observando la actividad sísmica mundial se puede estimar el número de sismos de cierta magnitud que ocurren en un año (Espíndola y Jiménez, 2001, p. 31); se ha observado que ocurren en promedio, dos grandes terremotos (Tabla 1.1). Por otra parte, ocurren constantemente varios cientos de miles de temblores de magnitud inferior a 3, que pasan desapercibidos o son percibidos solo localmente, o con instrumentos más sensibles y sofisticados.

Tabla 1.1 Promedio Anual de Sismos en el Mundo, de acuerdo a su magnitud, y su distribución.

Fuente: Tabla, Terremotos y Ondas Sísmicas, p. 31. Gráfico, elaboración propia.

Promedio Anual de Temblores en el Mundo

Magnitud Número de Temblores 8 2 7 20 6 100 5 3000 4 15000 3 150000

De la tabla 1.1, se puede observar que el fenómeno de los terremotos presenta una distribución de potencia, esto es, el número promedio de sismos que ocurren decrece exponencialmente con el aumento de un grado respecto de la magnitud (Relación Gutenberg – Richter: Log10 N= a - bM) (Nava, 2002, p. 109).



En el caso de la República Mexicana, por su situación geográfica, ésta, se encuentra ubicada en una de las zonas sísmicas más activas del mundo. El territorio mexicano se encuentra dividido entre cinco placas tectónicas (figura 1.1). El movimiento relativo entre estas placas ocasiona uno de los peligros sísmicos y volcánicos más altos del mundo. Esta peligrosidad sísmica llevó al gobierno de Porfirio Díaz a fundar el Servicio Sismológico Nacional (SSN), el 5 de Septiembre de 1910.

Figura 1.1 Distribución de las placas tectónicas de la República Mexicana.

Fuente: Pagina Web del servicio Sismológico Nacional El Servicio Sismológico Nacional se creó con el objeto de proporcionar información oportuna a las autoridades, a los medios de comunicación y al público en general, sobre los sismos ocurridos dentro de la República Mexicana, con el objeto de determinar los principales parámetros que permitan realizar diversos análisis, entre los que podemos mencionar la magnitud y el epicentro. Los datos a utilizar, se agrupan en catálogos mensuales que permiten a los investigadores evaluar el riesgo sísmico en el país, se cuenta con una amplia base de datos que genera la red sismológica nacional (Instituto de Geofísica, 2003).

Figura 1.2 Sismicidad de México entre 1964 y 1995, con Magnitud > 4.5 Fuente: Pagina Web del servicio Sismológico Nacional

La figura 1.2 muestra los sismos con magnitudes mayores o iguales a 4.5 localizados en la República Mexicana entre 1964 y 1995. Los puntos rojos representan sismos superficiales (profundidades menores a 50 Km), mientras que los puntos azules representan sismos con profundidades mayores a 50 Km (Datos de la red sismológica nacional).



La mayoría de los sismos localizados se concentran a lo largo de las fronteras entre las placas tectónicas, sin embargo, pueden notarse algunos sismos al interior del continente, en regiones alejadas de estas fronteras tectónicas, principalmente a lo largo de la faja volcánica, donde se concentra la mayor población de México. El afán de tener catálogos lo más extensos posible va más allá de la mera curiosidad científica; los grandes terremotos (M > 7.5 – 8), que son los que encierran más interés, tienen tiempos de recurrencia del orden de varias décadas: 27 a 117 años en el caso de sismos M > 8 en las márgenes de subducción del pacifico; y de 33 ± 8 años para los de M > 7.5 en la trinchera mesoamericana, de manera que es imposible determinar si existen periodicidades en su ocurrencia y cuáles son las variaciones si no podemos estudiar varios ciclos completos (Nava, 2002). El mayor peligro sísmico en México, lo presentan los sismos que ocurren a lo largo de las costas del Pacífico, entre las ciudades de Puerto Vallarta y Tapachula. No sólo se producen sismos con mayor frecuencia, sino también los mayores sismos registrados en México, tienen su ocurrencia entre estas dos poblaciones (Figura 1.3). Estos sismos, que por su cercanía a las costas representan un grave peligro a las poblaciones costeras, también afectan al Valle de México, como se ha constatado durante los grandes sismos de 1911(Jalisco, M=7), 1957(Guerrero, M=7.8), 1973 (Colima, M=7.5) y 1985(Michoacán, M=8.1). La influencia de los sismos costeros sobre la ciudad de México, que se encuentra a más de 200 Km de la costa, se debe a las condiciones del suelo sobre el que se desarrolló la ciudad.

Figura 1.3 Los grandes sismos del siglo (M > 6.5).

Fuente: Pagina Web del Servicio Sismológico Nacional En los párrafos anteriores, se ha visto sólo en general el riesgo en el que vivimos expuestos los habitantes de zonas sísmicas, razón por la cual desde hace tiempo, se ha trabajado en el desarrollo de alguna metodología o análisis que permita predecir sismos con la mayor exactitud posible. Esto nos lleva a considerar las siguientes preguntas: ¿Podría alguna vez suceder que, aunado al pronóstico del tiempo, en los noticiarios se incluyeran los pronósticos relativos a la actividad sísmica o volcánica en el país? ¿Cuáles serían las consecuencias sociales de tales hechos? ¿Tenemos la capacidad científica y tecnológica para lograrlo? ¿Estamos preparados para afrontar este tipo de advertencias?



Para tratar de dar respuesta a las preguntas anteriores, una consideración importante por esclarecer, es ¿qué entendemos por predicción en un contexto científico? En general, se considera una predicción sísmica formal a aquélla en la que se indica el tiempo de ocurrencia, el sitio de ocurrencia (con la profundidad) y la dimensión (magnitud) del evento por ocurrir; incluyendo con todos estos parámetros, la incertidumbre y/o la magnitud del error para cada valor estimado. El tiempo de ocurrencia generalmente se proporciona como un intervalo en el que existe una determinada probabilidad de que ocurra el evento, además se deben especificar los métodos empleados y la justificación científica de su empleo (Zúñiga y Dávila, 2004). Si bien lo anterior parece establecer reglas claras, la comunidad sismológica en el mundo se ha encontrado con grandes obstáculos al tratar de poner en marcha un dispositivo que permita la evaluación bajo términos estrictos de las predicciones emitidas por los diferentes grupos de investigación o individuos que para esto se han abocado. En los Estados Unidos, por ejemplo, se ha establecido un Consejo (Earthquake Prediction Evaluation Counsil) formado por académicos del más alto nivel que se encarga de evaluar y emitir dictámenes respecto de las predicciones sísmicas que afectan a ese país y que puedan presentar posibilidades de éxito. Ahora bien, ¿en qué nos podemos basar para emitir una predicción que pueda ser considerada confiable? Los estudios encaminados hacia la posible predicción de un evento pueden concentrarse en el mecanismo físico del evento, tratando de determinar todos y cada uno de los parámetros involucrados en él, de manera que al conocer el fenómeno a fondo se pueda determinar la ocurrencia futura; o bien, pueden enfocar su atención en el comportamiento estadístico y en la probabilidad de ocurrencia de un evento, tratando al fenómeno como una serie de ocurrencias de eventos en el tiempo, con una distribución a determinarse. En muchos casos se hace uso de una combinación de ambas técnicas, siendo esto especialmente importante para aquellos estudios basados en la estadística, ya que el emitir conclusiones sin conocer las causas físicas del proceso de que se trate produciría resultados poco confiables. Cabe destacar, que en diferentes países, sobre todo los más afectados por estos eventos, un número importante de universidades, entre ellas varias de prestigio internacional, se encuentran junto con sus científicos en la tarea de encontrar algún método de predicción sísmica, a través del estudio y análisis de los diversos mecanismos y procesos, tanto físicos como químicos, que tienen lugar antes, durante y después de la ocurrencia de un sismo; es de suma importancia conocer y entender los procesos sísmicos, para basar en ellos los modelos de predicción que se desarrollen. Por tratarse sin duda alguna de un fenómeno complejo, también debe esperarse una respuesta compleja, por lo que se debe tener en cuenta la diversidad de variables que intervienen, es decir, las observaciones sismológicas son a menudo complementadas por otros tipos de observaciones de parámetros físicos, que pueden ser influidos por el régimen de esfuerzos en la tierra (Nava, 2002, p.136). En la Tabla 1.2 se presenta un compendio de los métodos más utilizados para poder analizar, entender y en un futuro predecir los sismos; también se presenta una breve descripción de estos, sin pretender con ello, que sean los lineamientos a los cuales se deben ajustar los trabajos actuales y futuros del análisis y la predicción sísmica.



Tabla 1.2 Principales métodos empleados actualmente para el análisis y la predicción sísmica.

Fuente: Adaptado de Terremotos, pp. 136-138.

Método Descripción Contenido de Radón (Ra). Los esfuerzos que actúan sobre las rocas pueden abrir o cerrar

parcialmente los poros de éstas, a través de los cuales circula el agua subterránea. Una mayor o menor circulación de agua o, mas probablemente, su circulación por caminos nuevos (ya que el radón tiene una vida media de sólo 3.8 días), puede resultar en un cambio de la cantidad de radón disuelta en ella, por lo tanto, cambios en el nivel de radón en el agua o en las rocas, pueden indicar cambios en los esfuerzos (Mogi, 1985).

Cambios en el flujo de temperatura del agua.

Debidos, esencialmente, a los efectos mencionados en el punto anterior, los cambios de flujo o temperatura del agua de manantiales y pozos, así como cambios en el nivel freático (Contadakis, 2001) han sido estudiados también como posibles predictores de sismos (Wakita, 1982).

Cambios en la resistividad eléctrica del terreno.

Actualmente se está experimentando con estudios magnetotelúricos que miden las corrientes inducidas en la tierra por el campo magnético terrestre (Scholz, 2002).

Efectos Geomagnéticos. Observaciones antiguas señalan la aparición de grandes cambios magnéticos, previos a la ocurrencia de terremotos, los cuales pueden ser achacados principalmente a errores instrumentales. Los ruidos electromagnéticos son comparables al tamaño de los campos esperados (Rikitake, 1976).

Cambios Gravimétricos Cambios en la gravedad han sido observados antes y después de terremotos en las zonas epicentrales.

Comportamiento anómalo de algunos animales.

Serpientes que abandonan su madriguera, peces que saltan fuera del agua, animales domésticos que actúan nerviosamente y hacen ruido aparentemente sin razón. Estas conductas han sido estudiadas principalmente en el Oriente, mediante la observación en el laboratorio y en el campo. La respuesta de los animales podría darse ante sismos demasiado pequeños para ser sentidos por los humanos, o en el caso de cambios en el campo electromagnético, en todo caso, son de utilidad solamente a muy corto plazo (Kirschvink, 2000).

Luces, color del cielo, etc. Se pueden mencionar observaciones, ninguna de ellas bien documentada, de efectos asociados (tal vez) con los terremotos que, aunque puede ser que no tengan relación verdadera con éstos, es, sin embargo, necesario investigar. Entre este tipo de observaciones se puede mencionar: forma y color de las nubes (Dajiong, 1983), luces misteriosas en el cielo (Derr, 1973), calor y frío, humedad y sequía, percepción extrasensorial, etc.

Comportamiento Estadístico. Enfocan su atención en el comportamiento estadístico y en la probabilidad de ocurrencia de un evento, tratando al fenómeno como una serie de ocurrencias de eventos en el tiempo, con una distribución a determinarse, Turcotte (1997) introduce en los modelos sísmicos el concepto de Auto Organización Crítica (SOC).

Tecnologías con base en Satélites. Un método es el Radar de Apertura Interferometrica-Sintetica (Interferometric-Synthetic Aperture Radar, InSAR). Básicamente InSAR es un proceso en el cual dos imágenes de radar de un área tectónica se combinan en una operación llamada fusión de datos, con lo cual se puede detectar cualquier cambio en el movimiento de la superficie. Otra técnica, busca fuentes de radiación infrarroja (IR) (NASA, 2007).

Análisis Fractales. Se está comenzando a estudiar las diferentes variables que intervienen en los sismos, con la idea de descubrir propiedades fractales, por ejemplo, en la distribución espacial de fallas activas (Nanjo & Nagahama, 2004). Por supuesto, esta investigación, con la cual, se pretende analizar la situación sísmica basado en análisis fractales, con el objetivo de llegar a un modelo de predicción.



1.2 PLANTEAMIENTO DE LA PROBLEMÁTICA. En el contexto de la investigación científica, Briones (1998) afirma que el planteamiento de un problema es la fase más importante de todo el proceso de investigación. Considerando la observación anterior, podemos mencionar que una preocupación muy importante, común a diferentes fenómenos, es la posibilidad de que se puedan hacer predicciones sobre ellos (Braun, 2003, p. 43). Por ejemplo, si se sabe que hoy está lloviendo y se quisiera predecir si lloverá mañana o si lloverá pasado mañana; es decir, la posibilidad de poder predecir lo que ocurrirá en el futuro si sabemos en que situación nos encontramos ahora. El camino que ha seguido la ciencia, a partir de la observación de diferentes fenómenos, lo podemos resumir en cuatro etapas, que cumplen con los objetivos básicos de ésta. Las cuatro etapas son: 1. Comprensión. 2. Explicación. 3. Predicción. 4. Control. Sin duda alguna, el problema de la predicción de fenómenos naturales en general, se puede abordar desde diversas perspectivas, las cuales finalmente, marcaran el rumbo que debe seguir la investigación. En nuestro caso, el problema central consiste en la poca o nula confiabilidad de las predicciones que hasta ahora se han realizado en el caso de los fenómenos naturales, sin embargo, podemos ver que se están dando grandes pasos en el avance hacia resultados exitosos en la predicción de algunos fenómenos naturales; y en particular, en el caso de los sismos, podemos encontrar una situación más delicada aun, donde los mismos (muy pocos) casos se han considerado como éxitos o fracasos, por parte de la comunidad científica. Uno de los casos es el terremoto de Haicheng, China, en 1975, el cual se ha llegado a considerar un éxito, pues una oportuna evacuación salvó la vida de los habitantes de varias poblaciones cercanas al foco del terremoto. Sin embargo, se ha determinado que la evacuación no fue producto de una predicción acertada per se sino de varias coincidencias afortunadas, incluido el hecho de haberse presentado evento sísmicos precursores de características claras en una zona carente de actividad reciente, hecho que ocasionó una movilización de los habitantes de comunidades cercanas, y del personal del Servicio Sismológico Chino. Por lo anterior este caso no es considerado por muchos un éxito en predicción sísmica (Zúñiga y Dávila, 2004). Obviamente, el recorrido de las etapas hasta la tercera, la predicción, supone que se han cumplido las dos anteriores, es decir, la comprensión y la explicación. Sin embargo, en el caso de los sismos y dada la naturaleza compleja del problema, aun se están desarrollando una gran diversidad de análisis del fenómeno que permitan una mejor comprensión y explicación de él. Un sismo o terremoto, es un fenómeno espacio-temporal muy complicado (Corral, 2007), iniciándose con una ruptura brusca en un punto de la corteza terrestre que se propaga como un pulso a gran velocidad (km/s) por un sistema de fallas, a través de distancias de varios centenares de kilómetros, dando lugar a deslizamientos de hasta varios metros, modificando la estructura de fallas y generando ondas sísmicas que pueden hacer resonar nuestro planeta como una campana durante muchos días. A pesar de esta complejidad, reducimos un terremoto a nada más 5 números: tiempo de inicio de la ruptura, o de ocurrencia, coordenadas del punto de inicio (o hipocentro), y una medida del tamaño del evento, como puede ser la magnitud o la energía radiada.



Pese a esta drástica simplificación en la representación de un terremoto, el proceso puntual resultante retiene un alto grado de complejidad, con una organización jerárquica auto-semejante. El análisis de esta estructura muestra que está caracterizada por una aleatoriedad, y por lo tanto, la sismicidad queda reducida a un proceso puntual estocástico marcado en 5 dimensiones, refiriéndose la marca a un distintivo de cada evento, su tamaño (Corral, 2007). Esencialmente, aunque los eventos grandes tengan poco peso estadístico (10-bM), la energía que radian (103M/2) crece más rápido que este decaimiento, y aunque los terremotos grandes sean eventos muy raros, son los que determinan la disipación de energía en el sistema. No obstante, de la gran diversidad de análisis desarrollados en el fenómeno sísmico, no se ha logrado entender por completo el proceso que los genera y bajo que leyes opera éste proceso, lo que ha llevado a realizar análisis desde diversas perspectivas y enfoques, como los tiempos de recurrencia y las leyes de escala. A la fecha, las técnicas más promisorias con las que se puede atacar el problema de "¿cuándo?" son aquéllas en las que se combina el uso de varias de ellas y se emplean métodos de observación en detalle, ya que otro problema (que puede influir rotundamente en los resultados de los métodos basados en las anomalías precursoras) es el factor de escala, pudiendo presentarse dichas anomalías en zonas muy locales, y perdiendo la resolución cuando se consideran promedios en regiones mayores. El estudio de la fuente sísmica incluye el estudio de las causas, así como el de los procesos que se presentan en ella, y es importante para elaborar modelos realistas que ayuden a la predicción de terremotos (Nava, 2002, p. 23). Como puede observarse, la principal preocupación de la predicción sísmica gira alrededor de poder predecir con la mayor exactitud posible la ocurrencia de un sismo; y no es para menos, porque grandes asentamientos humanos se desarrollaron sobre zonas sísmicas, por lo cual, es necesario explorar otro tipo de técnicas y herramientas que permitan una mayor confiabilidad en la predicción de eventos sísmicos futuros, sobre todo por las desgracias que ello involucra. Sin embargo, estas predicciones deben basarse en un adecuado y preciso conocimiento del fenómeno, por lo que una parte fundamental de ello son los análisis que se desarrollen, los cuales pueden concentrarse en el mecanismo físico del fenómeno, o como ya se ha mencionado, enfocar su atención en el comportamiento estadístico del fenómeno sísmico. Ésta investigación aborda el problema de acuerdo con el último criterio y es en éste sentido que se van a desarrollar los análisis de la actividad sísmica ocurrida en México. Por lo mencionado anteriormente, se propone abordar el problema desde otra perspectiva y desarrollar diversos análisis sísmicos, basados en una metodología de predicción sísmica que también se diseñará, y en la cual se utilizará como herramienta fundamental, la Mecánica Fractal para desarrollar los análisis del historial sísmico de México con que se cuenta y que es el más confiable. Pretendiendo que ello contribuya para tener una mejor confiabilidad en el desarrollo de modelos de predicción sísmica, dado que el fenómeno de los terremotos, tiene un comportamiento espacio-temporal complejo (Bak, 2002). Cabe señalare que para éste tipo de análisis, los parámetros que se obtienen a través de los instrumentos sísmicos y que son los que nos proporcionó el Servicio Sismológico Nacional (SSN) son: el foco, la magnitud y el tiempo de ocurrencia (correspondientes a las 5 dimensiones ya mencionadas); a partir de los cuales, se puede construir un historial sísmico de México; con lo que se considera a la actividad sísmica como una serie de ocurrencias en el tiempo, con características especificas por determinarse.



En virtud de lo expuesto, el presente trabajo de investigación se orienta al análisis de la sismicidad utilizando la mecánica fractal y el enfoque de escalamiento dinámico. Pretendiendo dar respuesta a las siguientes preguntas: 1. ¿Cómo se puede establecer la relación existente entre las diversas variables que intervienen en los eventos sísmicos y su análisis a través de la mecánica fractal? 2. ¿Cómo puede la aplicación de las técnicas y métodos de la mecánica fractal en el análisis de los datos sísmicos contribuir al desarrollo de la predicción sísmica? Sin embargo, adherido a la situación antes mencionada, se encuentra el problema de la calidad de la información con que se cuenta para desarrollar los análisis pertinentes y que se requiere en las técnicas empleadas. Al respecto podemos observar que específicamente en México, se tienen algunas limitantes: el número de estaciones sísmicas (que son las que aportan los datos) con que se cuenta es limitado, los aparatos son de modelos antiguos, sólo registran sismos con magnitudes en la escala Richter mayores que 3, se carece hasta el momento de algunos otros instrumentos sofisticados que permitan detectar algunas otras variables físicas que favorezcan el estudio de los sismos. Como se puede observar, con estas limitantes se desperdicia la oportunidad de tener una base de datos mucho más completa para diferentes parámetros involucrados en la actividad sísmica, entonces, en la investigación se utilizan los datos con que se dispone para desarrollar los análisis adecuados y necesarios en la aplicación de las técnicas y métodos requeridos por la mecánica fractal.



1.3 OBJETIVOS. General: Analizar la actividad sísmica de la República Mexicana con las técnicas y métodos de la Mecánica Fractal aplicados a las series de tiempo de la Magnitud Sísmica registrada. Específicos: 1. Elaborar un marco teórico sobre sismos, fractales y la utilización de diferentes métodos empleados en el análisis para el desarrollo de la predicción sísmica. También, la recopilación de la información necesaria a través del Servicio Sismológico Nacional. 3. Diseñar la metodología que se empleará para el desarrollo de métodos de análisis sísmicos. 4. Determinar las variables de estudio, así como los métodos empleados para su análisis fractal. Considerando los parámetros e intervalos de tiempo adecuados. 5. Hacer un análisis crítico de los resultados de la investigación para saber si es posible modelar la dinámica de las fluctuaciones en las series de tiempo de la actividad sísmica a través de éste enfoque. . 1.4 JUSTIFICACIÓN. Sin duda alguna, la ocurrencia de fenómenos físicos en nuestro planeta es un problema que trae repercusiones de gran importancia, y que sin embargo sólo hasta que se presentan, generalmente de forma “repentina”, se conocen las consecuencias que dejan a su paso. Los fenómenos físicos naturales, están asociados al desarrollo evolutivo de nuestro planeta, razón por la cual es seguro que se van a seguir presentando, es decir, en gran medida no los podemos evitar, pero lo que si podemos evitar de alguna manera, es disminuir las trágicas consecuencias que dejan a su paso. Uno de estos fenómenos físicos naturales con mayores consecuencias económicas y sociales, son, como ya se ha mencionado, los sismos o terremotos, sobre todo, en el marco de la perdida de vidas humanas que se tiene como consecuencia de la ocurrencia de este fenómeno. Las perdidas monetarias que provocan son de gran consideración, lo que generalmente deja a las naciones o zonas problemáticas en una situación de desastre parcial o total. Como se menciona arriba, el objetivo es disminuir o prevenir las indeseables consecuencias de un sismo, es decir, arrancarle de las manos a la naturaleza la posibilidad de ocasionar más desastres de los estrictamente necesarios, como los que se pueden observar en la figura 1.4



Figura 1.4 Desastres ocasionados por terremotos en México, Japón y E. U. Fuente: Páginas de internet.

Algunos países con recursos económicos tienen una gran diversidad de tecnología disponible y dedicada a la comprensión de una gran diversidad de fenómenos, para poder desarrollar análisis eficientes que permitan entender sus mecanismos de ocurrencia con el objetivo de utilizarlo para desarrollar modelos de predicción. Por otro lado, en el aspecto académico y metodológico, sabemos que toda investigación está orientada a la resolución de algún problema; por consiguiente, es necesario justificar, o exponer, los motivos que merecen la investigación. Asimismo, debe determinarse su cubrimiento o dimensión para conocer su viabilidad (Bernal, 2006, p. 103). López Cerezo (1988), afirma también que: toda investigación en alguna medida tiene la doble implicación, teórica y práctica. Se considera que una investigación tiene justificación práctica cuando su desarrollo ayuda a resolver un problema o por lo menos, propone estrategias que al aplicarse contribuirán a resolverlo (Bernal, 2006, p. 104). Entonces, ésta investigación se puede considerar que tiene una justificación teórica y además, eminentemente práctica, ya que está orientada a la contribución y/o resolución de un problema de enormes repercusiones a nivel mundial, la predicción sísmica. La ocurrencia de sismos es un proceso físico provocado por los movimientos de convección en el núcleo de nuestro planeta. Se considera un terremoto como un proceso de relajación de los esfuerzos acumulados en la corteza terrestre, la ocurrencia de un terremoto viene regida por la diferencia esfuerzo–resistencia.



La mecánica es una parte de la física, y es la ciencia que estudia el movimiento de los cuerpos materiales en el espacio, el objetivo primordial de la mecánica es obtener las ecuaciones de las trayectorias para cada cuerpo en el espacio, que se mueve urgido por algún agente físico. De esta manera cumple con su carácter predictivo (Viniegra, 2001). Aunado a lo anterior, en el contexto de nuestro medio científico nacional, y en una entrevista con el Dr. Carlos Valdez Gonzáles (Jefe del SSN) el 27 de marzo de 2007, “no se tiene conocimiento alguno de la realización y aplicación de la mecánica fractal a los datos sísmicos con el fin de obtener un método confiable que contribuya a realizar predicciones”, de hecho, el expreso: “hasta donde yo tengo conocimiento, es la primera vez que nos solicitan un catalogo con estas características para desarrollar un modelo que contribuya a la predicción sísmica”. Por otro lado, el tema es de trascendencia e interés nacional y mundial, esto por las enormes repercusiones que ello implica, basta recordar el sismo del 19 de septiembre de 1985, con el que todo México despertó a la trágica realidad que se enfrentaba, con perdidas principalmente humanas y económicas de incalculable valor. También, sin duda alguna para la comunidad científica es de gran importancia, dado que tendría una gran repercusión y sería un gran avance a la ciencia; prueba de ello es lo que hace y dice la NASA: existe la posibilidad de pronosticar terremotos desde el espacio. Se presenta un plan de 20 años para desplegar una red de satélites -- Sistema Global de Satélites para Terremotos, (Global Earthquake Satellite System, GESS) -- que utilizará InSAR para vigilar las zonas de fallas en todo el mundo. En relación a la importancia, el EPRC (Earthquake Prediction Research Center) define las siguientes:

1. Importancia Científica: es un gran reto para los científicos, que de lograrse, se tendría un gran éxito en esta área de la ciencia.

2. Importancia Socio Económica: innumerables vidas y muchas construcciones se pueden salvar, de la misma manera, también los posibles efectos sociales e industriales pueden ser minimizados (EPRC, 2007).

Limitaciones de la investigación. Limitaciones de tiempo. La investigación se limita al periodo de información con que se dispone y que se obtuvo amablemente a través del Dr. Carlos Valdez Gonzáles, Jefe del Servicio Sismológico Nacional; el cual comprende el periodo de Enero 1988 a Diciembre 2004. Limitaciones de espacio o territorio. La investigación se limita a la actividad sísmica de la República Mexicana y principalmente a los puntos de mayor actividad, que son las costas del suroeste mexicano y a la ubicación de los sismógrafos del Servicio Sismológico Nacional, enfocándose principalmente a la zona del límite entre las placas de cocos y la placa norteamericana. Limitaciones de factibilidad y acervo de datos. La investigación se limitará a la factibilidad acerca del acceso y disponibilidad de la información con que se disponga, a su cantidad y a su calidad, recordando que en el país se requiere de una mayor cobertura de la red sismológica nacional, pero ello sin duda requiere de inversiones monetarias considerables. En este sentido, podemos observar que los sismógrafos con que se cuenta en la actualidad, detectan y registran,



sismos con magnitud superior a 3 en la escala de Richter, lo que deja abierta la posibilidad de una discontinuidad en los datos sísmicos registrados, por que por ejemplo, se podrían presentar varios sismos con magnitudes menores de 3 entre dos sismos consecutivos que se registran.



Aportación. La aportación que este trabajo pretende lograr en el campo de la Ingeniería Mecánica consiste en los siguientes puntos, fundamentalmente: 1. En el marco de una investigación doctoral, se diseña una metodología que permita

desarrollar modelos que contribuyan a la predicción sísmica, basada en un análisis fractal a los datos sísmicos de magnitud y tiempo, la cual conducirá a la construcción de un modelo basado en dicha metodología y que hasta la fecha no existe en estos términos y sobre estas condiciones en el ámbito institucional y nacional. En la cual se puede resaltar que: a) Es creativa e innovadora; b) La magnitud del fenómeno sísmico es de considerable repercusión nacional y mundial, por ello, requiere de una consideración seria y adecuada al desarrollo y avance tecnológico nacional y mundial.

2. Se fundamentará la posibilidad de desarrollar bases sólidas de mejora continua del modelo

(Modelo cibernético) que deberá ir considerando más variables para un análisis más completo, pero que sin duda conducirá a desarrollar un modelo más complejo, para los que se crearan incluso sus propias herramientas (software) de análisis, ya que no se encuentran actualmente en el mercado, por tratarse de aplicaciones especializadas y acorde al análisis requerido. Involucrando para un mejor análisis las diferentes especialidades que deben intervenir y colaborar por la complejidad del fenómeno.

3. El ímpetu y la manera de afrontar este tipo de temas complejos, que en ocasiones parecen

sacados de la ciencia ficción y que dividen las opiniones de la comunidad científica, unas a favor y otras en contra, y, que en ocasiones las opiniones en contra, frustran el animo, la creatividad y el trabajo de los estudiantes de posgrado; sobre todo, al considerar que este tipo de temas son irrealizables, imposibles y en ocasiones absurdos, pero que sin embargo, la historia ha demostrado que en ocasiones es un error desistir de realizar cualquier idea que parezca imposible de realizar, y que en más de una ocasión los resultados pagan con creses la perseverancia.

4. La predicción es uno de los objetivos de las ciencias que estudian los fenómenos físicos y

en el caso de los sismos, todos los análisis que no se hayan realizado y que se encaminen a contribuir en el desarrollo de esta área de la sismología, se consideran como aportaciones. Es en éste sentido, y como uno de los análisis fundamentales de ésta investigación, que se pretende encontrar la posibilidad de usar las ecuaciones cinéticas de la teoría de la rugosidad cinética para saber si es posible modelar la dinámica de las fluctuaciones en las series de tiempo de la actividad sísmica a través de éste enfoque.

CAPITULO 2 MÉTODO DE INVESTIGACIÓN Y MARCO TEÓRICO


MÉTODO DE INVESTIGACIÓN

Y MARCO TEÓRICO

Éste capítulo ilustra la manera en la que se lleva a cabo la investigación, de

acuerdo al método general de investigación científica de Mario Bunge; también

contiene la información teórica de interés para la investigación, la cual ha sido

analizada y extraída de la literatura que se consultó para el desarrollo de esta

investigación.



2.1 MÉTODO DE INVESTIGACIÓN. En investigación, el método científico es el conjunto de etapas y reglas que señalan el procedimiento para desarrollar una investigación, cuyos resultados sean aceptados como válidos para la comunidad científica (Bunge, 1990, p. 12) Dentro del modelo general de investigación científica existen también muchas versiones de métodos o procesos de investigación. Uno de los más utilizados y el cual, empleamos en esta investigación, es el método científico de Mario Bunge, que se consideró adecuado para orientar el rumbo y la dirección de la investigación. Cabe señalar que para la etapa de desarrollo de la metodología de predicción, se empleó la metodología de Checkland, que se ajusta al estudio e investigación de fenómenos complejos, presenta el enfoque de sistemas y brinda la posibilidad de tratar la problemática de una manera integral.

En forma sintética, el método de Mario Bunge abarca los siguientes pasos (Bunge, 1990, p. 63): A. Planteamiento del problema: - Reconocimiento de los hechos. - Descubrimiento del problema. - Formulación del problema. B. Construcción del modelo teórico: - Selección de los factores pertinentes. - Planteamiento de la hipótesis central. - Operacionalización de los indicadores de las variables. C. Deducciones de consecuencias particulares: - Búsqueda de soportes racionales. - Búsqueda de soportes empíricos. D. Aplicación de la prueba: - Diseño de la prueba. - Recopilación de datos. - Inferencia de conclusiones. E. Introducción de las conclusiones en la teoría: - Confrontación de las conclusiones con las predicciones. - Reajuste del modelo. - Sugerencias para trabajos posteriores. Como señalamos, para la construcción de la metodología se emplea la metodología de Checkland; que es muy flexible, puede usarse en cualquier orden y comenzar en cualquier punto, así mismo puede prescindir de algún o algunos pasos, se pueden emplear sólo los necesarios, por lo que la retroalimentación sugerida corresponde a la adaptación para el proyecto. La figura 2.1 presenta las etapas de desarrollo de esta metodología (Wilson, 1994, p. 88).



1

Situación delProblema:

no estructurado

7

Acción pararesolver elproblema omejorar lasituación

6

Definición de los

cambiosdeseablesfactibles

5

Comparaciónde 4 con 2

2

Situación delproblemaexpresado

3

Definición raiz delos sistemas relevantes 4

Modelosconceptuales

4a

Concepto delsistema formal

4b

Consideración de otros sistemas

REALIZACION DE ACCIONES

Mundo realMundo real

Consideración de sistemasConsideración de sistemasdel mundo realdel mundo real

CONSIDERACION DE SISTEMAS

1


no estructurado

7


6

Definición de los


5


2


3


Modelos

4a


4b


1


no estructurado11


no estructurado

7


77


6

Definición de los

cambiosdeseablesfactibles66

Definición de los


5



2

Situación delproblemaexpresado 22


3

Definición raiz delos sistemas relevantes

33

Definición raíz delos sistemas relevantes 4

Modelos

44

Modelos

4a


4a4a


4b

Consideración de otros sistemas4b4b






REALIZACIÓN DE ACCIONES



CONSIDERACIÓN DE SISTEMAS

1


no estructurado

7


6

Definición de los


5


2


3


Modelosconceptuales

4a


4b






1


no estructurado

7


6

Definición de los


5


2


3


Modelos

4a


4b


1


no estructurado11


no estructurado

7


77


6

Definición de los

cambiosdeseablesfactibles66

Definición de los


5



2

Situación delproblemaexpresado 22


3

Definición raiz delos sistemas relevantes

33

Definición raíz delos sistemas relevantes 4

Modelos

44

Modelos

4a


4a4a


4b

Consideración de otros sistemas4b4b






REALIZACIÓN DE ACCIONES



CONSIDERACIÓN DE SISTEMAS

Figura 2.1 Metodología de Checkland Fuente: Checkand & Scholes, Soft Systems Methodology in Action

La metodología de Checkland se infirió en forma experimental y representa la destilación del aprendizaje alcanzado en un gran número de proyectos de “investigación de acción”. Significa un descubrimiento importante que, en retrospectiva, puede verse como un cambio de paradigma. Las metodologías de investigación de sistemas se basan en el paradigma de “optimización” mientras que la metodología de Checkland pretende que el paradigma sea el de mejoramiento por “aprendizaje”. Este cambio ha sido necesario por la preocupación de dar solución a los problemas mal estructurados (“suaves”), para los que no existen respuestas optimizadas o “correctas” (Wilson, 1994, p. 88). En esencia, la metodología se puede describir como un proceso de siete etapas de análisis que emplean el concepto de un sistema de actividad humana como un medio de conseguir tanto “investigar” la situación como “efectuar acciones” para mejorarla. La secuencia lógica ilustrada es una manera útil de describir la metodología pero no necesariamente representa la secuencia en que se usa. Representa un patrón de actividades. El analista puede empezar con una actividad, progresar en alguna dirección y usar iteración significante en cualquier etapa. La línea punteada representa el límite entre la actividad que está en el mundo real y la actividad mental relacionada con el uso de los conceptos de sistemas, para estructurar la consideración acerca del mundo real. La metodología misma es un sistema de aprendizaje cíclico y, por lo tanto, el aprendizaje y el mejoramiento son continuos.



Tipo de Investigación. La investigación que se desarrolla será documental, porque consistirá en un análisis de la información escrita (Bernal, 2006, p. 110). Es correlacional, ya que examina la relación entre variables o resultados de variables. Y también es descriptiva. De acuerdo con Cazares Hernández (2003), la investigación documental depende fundamentalmente de la información que se tiene o se consulta en documentos. Las principales fuentes documentales son: documentos escritos (libros, revistas, etc.), documentos fílmicos (películas, diapositivas, etc.) y documentos grabados (discos, cintas, disquetes, etc.). En investigación documental es importante mencionar las investigaciones denominadas “estado del arte”, que se caracterizan por abordar problemas de carácter teórico y empírico, y que son relevantes de un tema objeto de estudio. Los “estados del arte” son estudios cuyo propósito es mostrar el estado actual del conocimiento en un determinado campo o un tema especifico. En consecuencia tales estudios muestran el conocimiento relevante y actualizado, las tendencias, los núcleos problemáticos, los vacíos, los principales enfoques o escuelas. Los “estados del arte” no son un inventario del conocimiento de un tema objeto de estudio, ya que implican un análisis de la información documental revisada, tomando en cuenta consideraciones epistemológicas y criterios contextualizados en los que se dieron y se dan los conocimientos.



2.2 MARCO TEÓRICO. El marco teórico tiene como función básica servir de fundamento teórico de las investigaciones científicas. El marco teórico que se desarrolla para esta investigación contempla los temas principales que se muestran en la tabla 2.1

Tabla 2.1 Compendio del Marco Teórico

Fuente; Elaboración Propia.

1 SISMOLOGÍA. 2.2.1.- Sismología. 2.2.2.- Sismógrafos y epicentro. 2.2.3.- Sismogramas y magnitud. 2.2.4.- Sismicidad en México. 2.2.5.- Situación actual de la predicción sísmica.

2 FRACTALES. 2.2.6- Fractales 2.2.7- Perspectivas de los Fractales en la predicción sísmica.

2.2.1 SISMOLOGÍA. La sismología es la ciencia que estudia todo lo referente a los sismos: la fuente que los produce (localización, orientación, mecanismo, tamaño, etc.), las ondas elásticas que generan (modo de propagación, dispersión, amplitudes, etc.) y el medio físico que atraviesan dichas ondas (Nava, 2002, p. 23). Esta es una ciencia joven, puesto que gran parte de los métodos e instrumentos de observación fueron desarrollados a lo largo del siglo XX. A pesar de esto, la sismología ha logrado avances notables. Quizá una de sus más valiosas contribuciones al entendimiento de nuestro planeta lo constituya su aportación a la llamada Tectónica de Placas. Los sismos se clasifican de acuerdo a su origen en: artificiales, volcánicos y tectónicos; siendo éste último tipo el que se relaciona con la citada teoría de la Tectónica de Placas. Para esbozar esta teoría consideremos en primer lugar la estructura interna de la Tierra, la cual se muestra en la figura 2.2; donde podemos ver esquemáticamente su constitución.

Figura 2.2 Estructura interna de la Tierra. Fuente: Terremotos y Ondas Sísmicas, Instituto de Geofísica, UNAM.



El núcleo terrestre está compuesto en gran parte por elementos metálicos como el fierro y el níquel. El manto terrestre tiene una composición a base de silicatos abundantes en potasio, sodio y calcio. El cascarón más externo de la Tierra, el cual comprende la corteza y parte del manto con un espesor de aproximadamente 100 Km., parece comportarse como un cuerpo rígido “flotando” en el resto del manto, en donde pueden presentarse movimientos como si se tratara de un fluido. Esta conducta semejante a la de un fluido tiene sentido solamente en tiempos geológicos, es decir, en tiempos del orden de millones de años. El cascarón exterior llamado litosfera no es continuo sobre la superficie de la Tierra, sino que está formado por diferentes “placas”, que hacen contacto unas con otras, como los gajos de una pelota de fútbol, la figura 2.3 nos muestra la distribución geográfica de estas placas, en ella se puede observar los límites entre placas tectónicas (en color azul), volcanes (triángulos rojos) y sismos (puntos amarillos).

Figura 2.3 Placas tectónicas en la Tierra. Fuente: Subduction zones: an introduction to comparative subductology p.133

Como puede observarse, la mayor actividad sísmica se desarrolla sobre las placas tectónicas que se encuentran ubicadas en la zona del océano pacifico, y también, puede apreciarse que es en esta zona donde se ubica la mayor actividad volcánica del planeta. Las placas sufren movimientos relativos debido a fuerzas de origen aún no completamente conocido, aplicadas a lo largo de las mismas. Como la superficie del planeta esta cubierta por las placas, el movimiento relativo entre ellas sólo se logra si en alguno de los márgenes de las mismas se está creando nueva litosfera, mientras que en otros márgenes algunas de ellas “cabalgan” o se enciman sobre otras, es decir, la corteza oceánica se desplaza por debajo de la corteza continental; a este proceso se le conoce actualmente como subducción, el cual se muestra en la figura 2.4 Las zonas de creación de nueva litosfera se presentan como cordilleras submarinas y las zonas de subducción forman a menudo trincheras submarinas de gran profundidad. Podemos también notar que las diferentes placas no coinciden con los continentes y los océanos, sino que pueden tener corteza continental y oceánica.



Convección: el agua calentada por la placa asciende, mientras el agua más fría desciende.

Figura 2.4 Proceso de subducción. Fuente: Servicio Sismológico Nacional, Instituto de Geofísica, UNAM.

No se sabe con certeza qué causa los esfuerzos que producen los movimientos de las placas, pero se cree que éstos son producidos por transferencia convectiva de calor, término que significa que el calor es llevado de un lugar a otro por el movimiento mismo del medio. Un ejemplo de este proceso, más cercano a nuestra experiencia, ocurre cuando se hierve agua o cualquier otro líquido; el fluido más cercano a la fuente de calor se expande, se vuelve menos denso y tiende por lo tanto a subir a la superficie, donde se enfría, y es desplazado hacia el fondo por las nuevas parcelas ascendentes. De esta manera se establece un proceso continuo de ascenso y descenso del líquido en celdas permanentes formadas por las corrientes del fluido (figura 2.5).

Figura 2.5 Movimiento ocasionado por transferencia convectiva de calor. Fuente: Adaptado de: Terremotos y Ondas Sísmicas, Instituto de Geofísica, UNAM.

Aunque el manto terrestre está compuesto por minerales, en su seno pueden presentarse corrientes de convección como en un liquido, pero esto sólo tiene sentido en periodos de tiempo muy largo.



¿Cuál es la relación de este fenómeno con los temblores? En primer lugar, notemos que en una zona de subducción, el movimiento de una placa bajo la otra se realiza venciendo las fuerzas de fricción, generadas en el contacto entre ambas. A lo largo de este contacto, llamado zona de Wadati-Benioff (WB), el movimiento de una placa contra la otra tiene lugar discontinuamente, por “brincos”. Es esto precisamente lo que genera los temblores en estas regiones. En la zona WB se acumula gradualmente la tensión hasta que rebasa un límite, las rocas no soportan los esfuerzos a los que están sometidas y se rompen súbitamente, en ese momento comienza a presentarse una falla en algún punto llamado foco, liberando energía elástica en forma de ondas sísmicas, que se propagan a toda una superficie (figura 2.6); a la proyección del foco sobre la superficie terrestre se le conoce como epicentro. Los sismos se consideran someros si ocurren, a una profundidad menor de 50 km; y profundos, si ocurren a más de 300 km de profundidad y de profundidad intermedia en el resto de los casos (Nava, 2002, p. 36).

Figura 2.6 Localización del foco y del epicentro de un sismo. Fuente: Adaptado de Internet 2005.

Al fallar la roca en la zona de subducción, se produce una liberación repentina de los esfuerzos impuestos al terreno. De esta manera, la tierra es puesta en vibración, la cual se debe a la propagación de ondas. En un sólido, pueden transmitirse dos tipos de ondas. El primer tipo es conocido como ondas de compresión o longitudinales, porque consiste en la transmisión de compresiones y rarefacciones como en el caso de la transmisión del sonido; en este caso las partículas del medio se mueven en el mismo sentido en que se propaga la onda. El segundo tipo es conocido como ondas transversales o de cizallamiento, las partículas se mueven ahora en dirección perpendicular a la dirección de propagación de la onda (figura 2.7).

Figura 2.7 Tipos de ondas sísmicas y sus efectos en las construcciones Fuente: Adaptado de Internet 2005



Las ondas compresionales y transversales han sido llamadas P y S respectivamente. Son también conocidas como ondas internas porque se propagan en el interior de un sólido elástico. Además existen otros dos tipos de ondas sísmicas, las ondas de Raleigh y las ondas de Love, las cuales son ondas superficiales. La velocidad de las diferentes ondas depende de las características del medio (Nava, 2002, p. 54) y de la profundidad: por ejemplo, en rocas ígneas la velocidad de las ondas P es del orden de 6 Km. /seg., mientras que en rocas poco consolidadas es aproximadamente de 2 Km. /seg., o menor. Así, las ondas P de un terremoto originado en la costa de Acapulco serían percibidas en la Ciudad de México, en alrededor de 1 minuto. La velocidad de las ondas S es en una amplia gama de rocas aproximadamente igual a Vp, dividida entre la raíz cuadrada de 3 [Vs=Vp / 31/2], conocido como condición de Poisson. 2.2.2 SISMÓGRAFOS Y EPICENTRO. El instrumento esencial para estudiar los temblores es el sismógrafo. Este es un aparato que registra el movimiento del suelo causado por el paso de una onda sísmica; existen sismógrafos verticales y sismógrafos horizontales. El lugar donde se encuentran ubicados físicamente, se conoce como estación sismológica, y una serie de sismógrafos arreglados para observar la sismicidad de una región es conocida como una red sismológica. En nuestro país el Servicio Sismológico, organismo encargado de la observación sismológica en el territorio Nacional, opera la Red Sismológica Mexicana. Como el movimiento del suelo tiene lugar en tres dimensiones del espacio, los movimientos del suelo tienen dos componentes horizontales y una componente vertical, y es ésta última, la que se registra generalmente en las estaciones sismológicas. Para determinar con precisión el epicentro de un temblor así como otras de sus características, se requiere del auxilio de varias estaciones sismológicas. La ubicación del epicentro de un temblor se hace analizando sus registros e identificando los diferentes tipos de ondas; en particular las ondas o fases P y S permiten el empleo de una técnica muy utilizada para la determinación del epicentro. Para comprender el método recordemos que las ondas P viajan a mayor velocidad que las ondas S, así, en el punto t=0, las ondas P y S parten iguales, pero a medida que se alejen de este punto, la distancia entre ambas será mayor; un observador en el punto t=1, notaría pasar a las ondas P y un momento después a las ondas S; otro observador en el punto t=2, notará pasar a las ondas P y un momento mayor que en t=1 a las ondas S (figura 2.8).

Figura 2.8 Desplazamiento relativo de las ondas P y S en el tiempo. Fuente: Elaboración propia.

t=0 t=1 t=2

PS

P PS S

d1 d2

d2>d1t=0 t=1 t=2

PPSS

PP PPSS SS

d1 d2

d2>d1



dd

dEE

Puesto que a mayor distancia del origen mayor será la separación entre las ondas, puede utilizarse el tiempo transcurrido entre la llegada de ambas ondas a un punto dado para calcular la distancia al origen. Sobre la superficie de la Tierra, una estación puede proporcionar la distancia al epicentro pero no la dirección del mismo, es decir, si en una estación calculamos la distancia al epicentro, este puede estar en cualquier punto de un círculo con un radio igual a la distancia calculada. Como puede verse, son necesarias al menos tres estaciones para determinar el epicentro sin ambigüedad (figura 2.9).

Figura 2.9 Localización experimental del epicentro (E) de un sismo. Fuente: Elaboración propia.

La intersección de los círculos correspondientes a las tres estaciones rara vez coincide en un solo punto; por ser datos experimentales poseen cierto grado de error que hacen que definan una región más o menos grande, dependiente de la calidad de los datos utilizados, en lugar de un solo punto. Actualmente, la determinación de parámetros sísmicos se lleva a cabo de una manera mucho más precisa y sofisticada mediante algoritmos numéricos y gráficos; para ello se emplean computadoras ubicadas en la estación central, las cuales procesan los datos en tiempo real, basadas en algún método, como por ejemplo, el método de Wadati (1933), el método de Riznichenko (1958) o el método de Geiger (1911). Los cuales utilizan como parámetros de entrada los tiempos de llegada de las fases P y S a diferentes estaciones sísmicas, distribuidas alrededor de un epicentro inicial. En México, el Servicio Sismológico Nacional, en el análisis y la determinación de los parámetros sísmicos, emplea el software SEISAN, el cual se compone de varias aplicaciones especificas adaptadas a la situación del país.



2.2.3 SISMOGRAMAS Y ESCALAS DE MAGNITUD. El papel donde se traza el movimiento que sufre el terreno, se conoce como sísmograma (figura 2.10). Actualmente existen sismógrafos que detectan el movimiento electrónicamente y lo digitalizan para ser almacenado en cinta magnética u otros medios de almacenamiento digital.

Figura 2.10 Sismograma típico registrado en una estación sismológica. Fuente: Servicio Sismológico nacional, Instituto de Geofísica, UNAM.

Una onda sísmica es una parcela de energía elástica de corta duración que se transmite por el interior de la Tierra, la cual, al atravesar los materiales sufre una atenuación geométrica (debido a que pierde intensidad con la distancia) y reológica (que al atravesar los materiales, produce desplazamientos elásticos de las partículas que los forman, perdiendo energía en forma de calor provocado por la fricción al atravesarlos). Es necesario conocer cuatro conceptos que son fundamentales en los sismogramas, los cuales son: • Periodo de una onda sísmica (T): es el intervalo de tiempo en que se repite la amplitud de la

perturbación originada. Se mide en segundos (s). • Frecuencia de una onda sísmica (f): número de veces que se repite la amplitud por segundo,

se mide en Hz (Herzios). [ f = 1 / T ] • Longitud de onda (L): distancia a la que se repite la perturbación a lo largo del medio en un

instante dado. • Amplitud (A): separación máxima respecto al punto de equilibrio en metros. En el caso de

los sismos se utilizan milímetros (mm). Las escalas de magnitud e intensidad se utilizan para cuantificar o medir los temblores. La escala de magnitud esta relacionada con la energía liberada como ondas sísmicas, y la más conocida y ampliamente utilizada, es la de Richter; la intensidad se relaciona con los daños producidos por el sismo. Ambas escalas son necesarias puesto que miden aspectos diferentes de la ocurrencia de un temblor (Espíndola y Jiménez, 2001, p. 24). La medida que se registra en la red sismológica es la magnitud, que representa la energía liberada por el sismo, la tabla 2.2 muestra los efectos típicos de los sismos para diferentes grados de magnitud.



Tabla 2.2 Grados de Magnitud y sus efectos típicos.

Fuente: What is richter magnitude?, citado en pagina Web del Servicio Sismológico Nacional.

Magnitud en escala Richter

Efectos del sismo

Menos de 3.5 Generalmente no se siente pero es registrado. De 3.5 a 5.4 A menudo se siente, pero sólo causa daños menores. De 5.5 a 6.0 Ocasiona daños ligeros en edificios. De 6.1 a 6.9 Daños severos en áreas pobladas. De 7.0 a 7.9 Terremoto mayor, causa graves daños. De 8.0 o mayor Gran terremoto, destrucción total a comunidades cercanas.

Cada terremoto tiene una cantidad única de energía, pero los valores de magnitud dados por los diferentes observatorios sismológicos para un mismo evento pueden variar. Dependiendo del tamaño, la naturaleza y la ubicación de un terremoto, en sismología se utilizan diferentes métodos para estimar la magnitud. En el caso de muchos eventos es difícil estimar la magnitud con una precisión de más de 0.2 unidades, y frecuentemente se verifican las magnitudes estimadas a través de la obtención y análisis de datos adicionales. Existen tres tipos principales de magnitudes que se emplean para medir la cantidad de energía que se libera en un sismo: la magnitud local (MW), la magnitud de ondas superficiales (MS) y la magnitud de ondas de cuerpo (Mb). En los años 30, el Dr. Charles F. Richter desarrolló una escala de magnitud para terremotos, a fin de representar adecuadamente las diferencias entre los terremotos pequeños y medianos que él observó en el sur de California, y los terremotos grandes que registró alrededor del mundo. Él decidió cuál sería la pequeña cantidad de energía a la que se le asignaría la magnitud cero, y escribió una ecuación semejante a la que tenemos abajo. Se utiliza el logaritmo para representar rangos de enorme energía de manera adecuada: Mw = (2/3) [(log10M0(dyne-cm)) - 16.0)] Sabemos, de acuerdo a la teoría física, que la cantidad de energía necesaria para romper o fracturar un pedazo de roca, es igual a la fuerza requerida para romper esa roca por la distancia de separación entre los pedazos triturados de la roca original Trabajo = Fuerza x (Distancia) Energía = (Presión) x (Área) x (Distancia) Momento = (Rigidez) x (Área de la falla) x (Distancia deslizada) Mo (dyne-cm) = u (dyne/cm2) x A (cm2) x d (cm) En la fórmula anterior, el "momento" de un terremoto es fundamental para comprender qué tan peligrosa puede ser una falla de determinado tamaño y para determinar la magnitud. Sin embargo, el encontrar la longitud, profundidad y deslizamiento de una falla puede llevar varios días, semanas o incluso meses después de un gran terremoto. El mapeo de las fallas sísmicas que hacen los geólogos, o el dibujo de la distribución espacial de las réplicas como hacen los sismólogos, puede proporcionar estos parámetros después de un considerable esfuerzo. Pero algunos terremotos grandes y la mayoría de los pequeños, no presentan ni fallas superficiales ni tienen suficientes réplicas para poder estimar su magnitud de acuerdo a la formula anterior.



Una de las contribuciones más valiosas de Charles Richter fue el descubrir que las ondas sísmicas propagadas por todos los terremotos pueden proporcionar buenas estimaciones de sus magnitudes; él consiguió los registros de las ondas sísmicas de un gran número de terremotos, y desarrolló un sistema de calibración para medición de las magnitudes. Richter demostró que entre mayor era la energía intrínseca de un terremoto, mayor era la "amplitud" de movimiento del terreno en una distancia dada, él calibró su escala de magnitud usando la medida de "amplitud" máxima de la onda de cizallamiento (la onda S) en un periodo de 20 segundos, registrando los datos en un sismómetro altamente sensible a este tipo de ondas. Aunque inicialmente su trabajo fue calibrado únicamente por estos sismómetros específicos, y sólo para terremotos en el sur de California, los sismólogos han desarrollado factores de escala para ampliar la escala de magnitud Richter a muchos otros tipos de medición en todo tipo de sismómetros, y alrededor del mundo. De hecho, se han llevado a cabo estimaciones de magnitud para miles de terremotos en la luna y para dos temblores en el planeta "Marte". Existe la posibilidad de calcular la magnitud de un sismo a partir de un sismograma, este método debido a Richter, presenta mayor sencillez para poder determinar la magnitud de un sismo, utilizando un nomograma (figura 2.11), cuya ecuación que lo representa es la siguiente:

Figura 2.11 Nomograma para calcular la magnitud de un sismo a partir de un sismograma.

Fuente: What is richter magnitude?, citado en pagina Web del Servicio Sismológico Nacional.



M = log10A (mm) + 3log10(8 Δt(s)) - 2.92 Donde A es la "amplitud" en milímetros, medida directamente del registro en papel fotográfico del sismómetro Wood-Anderson, que es un instrumento especial. El tiempo S - P en segundos, nos da como resultado Δt. Por supuesto después de haber medido la "amplitud" de onda, se tiene que calcular su logaritmo, y escalarlo por un factor según la distancia que haya entre el sismómetro y el terremoto, luego se calcula la magnitud a través de la diferencia de tiempo de S-P. Las escalas en el diagrama superior forman un nomograma que permite realizar el cálculo matemático rápidamente con sólo dar un vistazo (Louie, 1998). Magnitud y Energía. Independientemente de la escala utilizada, lo importante es que ahora se cuenta con una fórmula que nos proporciona un valor relacionado con el “tamaño”, determinado a partir de observaciones instrumentales. Como la magnitud no es una variable física, los sismólogos han buscado fórmulas de relación entre ésta y otras cantidades físicas, por ejemplo, con la energía liberada como ondas sísmicas. Las fórmulas que las relacionan varían porque la amplitud medida en el sismograma puede ser, la de cualquiera de las distintas fases (P, S, superficiales) que son registradas. En forma general, estas tienen la forma siguiente:

Log E = a + bM Donde a y b dependen de la escala de magnitud utilizada. Para el caso de la magnitud Ms, Richter encontró la siguiente fórmula (Espíndola y Jiménez, 2001, p. 28):

Log E = 11.8 + 1.5Ms Con ésta fórmula podemos ver que un temblor de magnitud de 5.5 libera una energía del orden de magnitud de la de una explosión atómica (como la de Hiroshima – 20 Ktn de TNT), es decir alrededor de 1020 ergs. En la fórmula anterior notemos que la relación entre magnitud y energía es logarítmica, en otras palabras, cuando la magnitud aumenta en una unidad, el logaritmo de la energía también lo hace. El logaritmo es el exponente al que hay que elevar la base 10 para obtener la energía, por esta razón, la energía aumenta aproximadamente 31.6 veces por cada grado. Así se requiere la ocurrencia de alrededor de 32 sismos de una magnitud dada para liberar la misma cantidad que libera el sismo de una magnitud superior en una unidad; se necesitan 31.6 sismos de una magnitud M para hacer un sismo de magnitud M+1.



2.2.4 SISMICIDAD EN MÉXICO. La República Mexicana está situada en una de las regiones sísmicamente más activas del mundo, como se puede apreciar en la figura 2.3. El estudio de la actividad sísmica en México es relativamente reciente, sin embargo, su observación tiene antecedentes remotos. Los primeros pobladores de México sufrieron los efectos de la actividad sísmica y volcánica en estas regiones dejando su testimonio de diversas maneras. Las zonas de mayor sismicidad se concentran en la costa occidental del país, a lo largo del borde de varias placas (figura 2. 12), cuyo contacto tiene expresión en un bajo topográfico conocido como trinchera. Aunque la Ciudad de México no se encuentra sobre la costa, se encuentra lo suficientemente cercana para experimentar los efectos de los sismos; la causa de que estos sean más dañinos en esta que en otros lugares radica entre otras cosas en la naturaleza de su terreno.

Figura 2.12 Distribución de las Placas Tectónicas en México. Los puntos rojos representan sismos superficiales (profundidades menores a 50 Km.) y puntos azules representan sismos más profundos.

Fuente: Servicio Sismológico Nacional, Instituto de Geofísica, UNAM. La mayor sismicidad en todo México se concentra en los estados de Chiapas, Guerrero y Oaxaca. La alta sismicidad en la zona de Chiapas se debe a la interacción de tres placas tectónicas (figura 2.12). La placa oceánica de Cocos se mueve en dirección de convergencia frontal con las placas de Norteamérica (donde se concentra la mayor parte del territorio Mexicano) y del Caribe (sobre la que se encuentran los países Centroamericanos). A pesar de que el movimiento convergente es constante, la fricción a lo largo del contacto entre las placas impide que estas se deslicen, produciéndose una deformación debido a la acumulación de esfuerzos. Este movimiento convergente entre la placa oceánica de Cocos y las continentales de Norteamérica y el Caribe, a lo largo de la Trinchera Mesoamericana (TMA), se produce a una taza de más de 7 cm. /año. Esto es, cada año se acumulan 7 cm. de deslizamiento relativo entre las placas. Una buena parte de este movimiento se acumula en forma de energía elástica, que se libera súbitamente a través de un gran temblor. Al ocurrir un temblor, se produce un



deslizamiento a lo largo de la superficie de contacto y la placa de Cocos se mueve relativa a Norteamérica o al Caribe varios metros. Este proceso se ha repetido a lo largo de millones de años. En todos estos años, la placa de Cocos ha penetrado el manto que se encuentra bajo la corteza terrestre. Para poder ver esta placa subducida, se grafican los sismos en una sección transversal, el patrón que se forma se le denomina la zona de Benioff, la cual es una imagen de la placa en subducción. Por ejemplo, los temblores de enero 2002 y noviembre 2001 ocurridos en Chiapas, no se ubican en la superficie de contacto. Estos sismos se localizan a una profundidad entre 60 y 70 km, dentro de la placa de Cocos que se encuentra en subducción (figura 2.13).

Figura 2.13 Corte transversal desde la Trinchera Mesoamericana hasta el estado de Tabasco. Los temblores profundos (rombos verdes) delimitan la zona de Benioff, que es una imagen de la placa en

subducción. Estrellas muestran la localización de los eventos de Noviembre y Enero. Fuente: Servicio Sismológico Nacional, Instituto de Geofísica, UNAM.

Contrario a la creencia común, los sismos son fenómenos de corta duración. El proceso de ruptura toma unos pocos segundos en llevarse a cabo, por supuesto, este tiempo de ruptura se incrementa con la magnitud. Un sismo de magnitud 6 no toma más de 3 segundos en romper la falla, mientras que un sismo de magnitud 7 puede tardar hasta 10 segundos, y un sismo de magnitud 8 puede durar hasta 40 segundos (Servicio Sismológico nacional, 2002). El movimiento fuerte del terreno se mide por la aceleración del suelo que se registra en los sensores de aceleración de los observatorios sismológicos. La aceleración máxima disminuye con la distancia al epicentro. Algunos de los aspectos más importantes vinculados con la actividad sísmica, cuando ocurren sismos de gran magnitud, son las consecuencias sociales, las perdidas y daños materiales y sobre todo las vidas humanas que esto ocasiona. La tabla 2.2 presenta un resumen de los terremotos más importantes ocurridos en México. Como se puede apreciar en la tabla, los terremotos han tenido gran repercusión en la historia de México, razón por la cual es de gran importancia el estudio y medición de estos. Hoy en día, el Servicio sismológico Nacional opera una red de 40 estaciones para monitorear la actividad sísmica en el país, la mayoría de las cuales envía su información en forma telemétrica a una oficina central ubicada en el Instituto de Geofísica en la Ciudad Universitaria en México D. F. Allí se registran y procesan los datos sísmicos de interés, y son posteriormente publicados en los boletines de información sismológica. La información sismológica, ya sea en forma de sismogramas o datos digitales, se suman al archivo de datos sismológicos del país, que datan desde la fundación del Servicio en 1910.



Se cuenta con un gran acervo de datos sísmicos, los cuales se emplean en una gran diversidad de estudios científicos, encaminados a conocer, comprender y tratar de predecir eventos sísmicos futuros.

Tabla 2.2 Los terremotos más importantes ocurridos en México. Fuente: Adaptado de: Terremotos y Ondas Sísmicas, Instituto de Geofísica, UNAM.

Fecha Magnitud Richter Ciudades afectadas Comentario

Junio de 1911 7.0 Jalisco – Colima 45 muertos, gran destrucción en Cd. Guzmán Jalisco, ha sido uno de los temblores más fuertes que han ocurrido en los últimos 100 años, se reportaron 45 muertos en el Distrito Federal.

Junio de 1932 8.2 Jalisco – Colima Grandes daños en poblaciones de los estados de Colima y el occidente de Jalisco. La ciudad de Colima fue la más dañada.

Julio de 1937 7.0 Oaxaca – Puebla Grandes daños en Esperanza, Puebla.

Julio de 1957 7.8 Guerrero: San Marcos

55 muertos, miles de heridos y daños materiales en varios estados. La población más dañada fue San marcos, Guerrero.

Agosto de 1968 7.1 Oaxaca: Pinotepa Se estima que hubo varios muertos y miles de heridos. Grandes daños materiales en Pinotepa.

Enero de 1973 7.5 Colima 50 muertos, 300 heridos y 30 poblaciones afectadas severamente.

Agosto de 1973 6.8 Oaxaca – Puebla 600 muertos, miles de heridos y damnificados. Cd. Serdán destruida: daños considerables en las ciudades de Puebla, Orizaba, Oaxaca y México, 77 pueblos dañados seriamente.

Noviembre de 1978 6.8 Oaxaca: Miahuatlan Daños en Loxicha, Oaxaca. Es quizá el temblor que más se ha estudiado en México.

Octubre de 1980 6.5 Oaxaca: Huajuapan 50 muertos, fuertes daños en la región fronteriza de los estados de Puebla, Oaxaca y Guerrero. Principalmente en Huajuapan de León, Oaxaca.

Septiembre de 1985 8.1 Michoacán – Colima Más de 20000 muertos, grandes daños en la región oeste de México. Principalmente los estados de: Michoacán, Colima y Jalisco. Este temblor ocasiono la muerte de miles de habitantes de la Ciudad de México y severos daños a obras civiles y particulares. Por la magnitud de este desastre, se resistió la economía del país a la vez que ocasiono un gran impacto emocional a la población.

2.2.5 SITUACIÓN ACTUAL DE LA PREDICCIÓN SÍSMICA. A causa del peligro potencial y las consecuencias que conlleva la ocurrencia de terremotos, se ha puesto un gran interés en su análisis, con la finalidad de poder predecirlos (Ludwin, 2004). En este sentido, predecir significará establecer modelos adecuados que satisfagan la dinámica de nuestro planeta, de este modo, el modelo no tiene que ser “exacto”, sino “perfeccionable”. Existen países con instituciones exclusivas, que cuentan con tecnología muy sofisticada dedicada a la obtención y análisis de datos sísmicos, entre los cuales destacan Estados Unidos, Japón, China y Rusia. Estados Unidos, se enfoca principalmente a la falla de San Andrés (United States Geological Survey, 2007), que se considera es la de mayor potencial y riesgo sísmico de este país. Japón por su lado se encuentra entre los países de mayor riesgo sísmico en el mundo y también tiene tecnología sofisticada y científicos dedicados al estudio y análisis de este fenómeno, a través de una gran diversidad de proyectos, tal es el caso del Earthquake Research Institute de la Universidad de Tokio, que cuenta con un centro dedicado exclusivamente a la predicción



sísmica (ERI, 2007). Por su lado, China también muestra gran interés en la predicción sísmica, y el organismo encargado en este país es China Earthquake Administration (CEA, 2007), aunque en ocasiones desarrollan métodos no muy bien aceptados por los países occidentales, pero sin embargo igual de validos. Finalmente, Rusia cuenta también con un amplio historial de programas científicos de predicción sísmica desde 1949, estas investigaciones se centran en las regiones de Asia central, Garm y Tashkent (Edenes, 2007). El caso de los países en vías de desarrollo que se encuentran en las zonas potencialmente sísmicas, entre los cuales se encuentra México, es diferente en la creación y/o desarrollo de instituciones dedicadas a esta actividad, principalmente por falta de recursos económicos. Lo anterior se puede observar, echando una mirada a la cantidad de sismómetros que se encuentran distribuidos y operando en EU, Japón, China y Rusia; los cuales superan en varias veces a los que se cuenta en los países subdesarrollados, por ejemplo, México cuenta con cerca de 40 (Instituto de Geofísica, 2001); mientras que China cuenta con 373 estaciones sísmicas (CEA, 2007a), en éste sentido, Japón cuenta con 180 sismógrafos de monitoreo continuo (Iisee, 2007), Estados Unidos cuenta con una amplia red, que cubre su territorio, compuesta por 7000 sistemas de sensores para terremotos (USGS, 2007). En el área de la predicción sísmica, se tienen diferentes connotaciones y clasificaciones inherentes al fenómeno complejo, dos de las más importantes son la importancia y el tiempo de predicción. En relación a la importancia, el Earthquake Prediction Research Center (EPRC, 2007) define las siguientes dos áreas. 1. Importancia Científica: es un gran reto para los científicos, que de lograrse, se tendría un gran éxito en esta área de la ciencia, por lo que varios programas de investigación en Japón se orientan en este sentido, a tratar de extender las fronteras de la ciencia y del conocimiento. 2. Importancia Socio Económica: innumerables vidas y muchas construcciones se pueden salvar, de la misma manera, también los posibles efectos sociales e industrial pueden ser minimizados. En Japón, después del terremoto de Kobe, hubo muchas especulaciones de predicciones no realistas (Saegusa, 1999); y en China, varias falsas alarmas ocasionaron grandes perdidas en los negocios (Saegusa, 1999a). En relación al tiempo de predicción, el CEA (2007), sugiere una clasificación de 4 grupos:

1. Predicción a Largo Plazo: esta es una predicción de terremotos que pueden ocurrir en un intervalo de varios años a diez años.

2. Predicción a Mediano Plazo: es una predicción de terremotos que pueden ocurrir en un intervalo de varios meses a varios años.

3. Predicción a Corto Plazo: predicción de terremotos que pueden ocurrir in las próximas dos semanas a varios meses.

4. Predicción Inminente: predicción de terremotos que pueden ocurrir dentro de las próximas dos semanas.

La probabilidad de ocurrencia (predicción) de terremotos puede ser estimada de dos maneras principalmente (USGS, 2007), la primera es estudiando la historia de grandes terremotos en un área especifica, utilizada principalmente para predicciones a largo plazo y la segunda basada en el ritmo de acumulación de tensión en las rocas, que se utiliza principalmente, para predicciones a corto plazo.



En el primer caso, se ha utilizado la estadística para encontrar algún modelo de predicción, sin obtener hasta el momento el éxito deseado, ello, por los grandes márgenes de error y aproximación que presentan los modelos. El segundo caso, ha sido ampliamente estudiado y desarrollado por los países más avanzados en este sentido, entre las investigaciones más recientes de esta área podemos mencionar, entre otras, las siguientes que están siendo desarrolladas principalmente en Japón: a) Deformación de la corteza del arco de Japón. El proyecto está dirigido a determinar los detalles de la estructura de la corteza, con el fin de determinar las estructuras de fallas y los procesos de deformación, integrando datos geofísicos y geológicos (Toh, 1997). El más impresionante descubrimiento que se ha encontrado, es la disminución de velocidad que se presenta del orden de 20% alrededor del punto de ruptura. b) Observaciones Electromagnéticas. EPRC está activamente participando en proyectos de observación y medición de fenómenos de resistividad y electromagnetismo para determinar la estructura en 3D de las propiedades bajo las islas Japonesas (Uyeshima, 1998). Después del terremoto de Kobe en 1995 el cual estuvo acompañado de fenómenos electromagnéticos; se inicio un proyecto enfocado a la posible ocurrencia de mecanismos precursores electromagnéticos de corto plazo, como un programa de predicción de terremotos con el monitoreo de estos fenómenos (Yamaguchi, 1999). c) Dinámica de la Corteza usando GPS y Tecnología Satelital. El proceso durante el cual, la energía elástica es acumulada en las placas tectonicas puede ser observada y descrita como un proceso anterior a una ruptura sísmica, por lo que el monitoreo de este proceso puede ser de utilidad para desarrollar predicciones sísmicas a largo plazo para grandes terremotos (Auki, 1999) (El-Fiky, 1999). El GPS se ha convertido en una poderosa herramienta para monitorear los procesos de deformaciones en una variedad de escala, se puede monitorear desde el espacio las deformaciones de diferentes zonas (tecnologías con base en satélites que están siendo desarrolladas por la NASA y otros lugares, como el Radar de Apertura Interferométrica-Sintética, InSAr), obteniendo con ello un aviso de posibles anomalías. 2.2.6 FRACTALES. Durante muchos años, en el estudio que varias ciencias han hecho de diferentes fenómenos, se han encontrado situaciones que no ha sido posible describir de manera satisfactoria. Una cuestión muy importante, común a diferentes fenómenos, es la posibilidad de que puedan hacerse predicciones. Por ejemplo, si se sabe que hoy está lloviendo y se quisiera predecir si lloverá mañana o si lloverá pasado mañana, es decir, una cuestión es la posibilidad de poder predecir lo que ocurrirá en el futuro si sabemos en que situación nos encontramos ahora (Braun, 2003, pp. 42-43). Muchos fenómenos completamente distintos, como la turbulencia, el clima, etc., tienen comportamientos que, vistos desde perspectivas apropiadas, son muy parecidos. Con el advenimiento de la teoría del caos se han podido entender diferentes aspectos de estos fenómenos, antes incomprensibles.



El objetivo principal de la ciencia es su capacidad de relacionar las causas y los efectos. El estudio de sistemas complejos en el marco de la teoría de fractales se ha reconocido en los años recientes, como una nueva disciplina científica, el último de campos interdisciplinarios. Nunca en la historia de la ciencia ha habido un paradigma tan universal y una disciplina tan multidisciplinaria como la de los fractales (Balankin, 2003). Un objeto que presenta la misma estructura al cambiársele indefinidamente la escala de observación recibe el nombre de fractal. El término “Fractal proviene del latín "fractus" que significa "fragmentado", "fracturado", o simplemente "roto o quebrado"; “Un fractal es por definición, un conjunto cuya dimensión de Hausdorff-Besicovich es estrictamente mayor que su dimensión topológica” (Mandelbrot, 1982, p. 32). Los fractales son figuras que no corresponden a una dimensión entera, debido al hecho de que la geometría euclidiana, con sus dimensiones enteras, no logra alcanzar la esencia de las formas irregulares, por ejemplo, el grado de irregularidad de una línea, como la bahía o la aspereza de una superficie. Mandelbrot propuso la forma de calcular la dimensión de un objeto fractal y demostró que el número que así se obtiene no depende de la escala en que se hacen las observaciones. Por tanto, el grado de irregularidad de un fractal es el mismo a medida que se cambia la escala. Una de las características de un fractal es que conserva la misma forma si se le ve en distintas escalas. Esta característica de los fractales se llama autosimilitud. Debido a la característica anterior, es posible construir figuras fractales siguiendo un procedimiento bien determinado, es decir, un algoritmo. Los procesos matemáticos para crear las estructuras fractales son iteraciones de reglas simples en los objetos de la inicial. Las mutaciones pequeñas de reglas simples crean variedad enorme de modelos macroscópicos. La esencia de los fractales es la "retroalimentación". El punto de partida es una información original, se procesa y se obtiene un resultado. Éste se procesa de nuevo (se itera) y se obtiene otro resultado similar al anterior y se continúa haciendo lo mismo indefinidamente con cada resultado. El enfoque fractal, con el aporte de Mandelbrot, se constituye en un nuevo campo de las matemáticas e interviene en el cambio de los paradigmas de las ciencias. Según Campbell (1991), la geometría fractal permite analizar cuatro puntos principales: 1) Provee dimensiones adicionales y más cercanas a la realidad en comparación con la geometría euclidiana. 2) La mayoría de los sistemas complejos son caóticos, y éstos exhiben conductas extrañas asociadas con límites o campos que no pueden ser representados en dimensiones enteras. 3) Lo sistemas dinámicos pueden ser representados en series de tiempo y sus dimensiones son importantes si se busca estudiarlos. 4) Los fractales son escalables, esto es, se puede reducir o ampliar su análisis para observar detalles, mientras que las formas básicas se conservan en cada escala. Todos los sistemas complejos reales generalmente exhiben invarianza de escala, es decir, su comportamiento no cambia por el reescalado de las variables que gobiernan su dinámica. Esto nos da la posibilidad de emplear el enfoque de escalamiento para obtener los fractales auto–similares y auto–afines. La transformación de similitud o escalamiento consiste en generar una copia similar de un objeto cualquiera en una escala diferente. Esto se logra afectando el objeto original por un factor de proporcionalidad, mismo que se denomina factor de escalamiento (Stanley, 1995 p.35). De este modo, dos objetos son similares si poseen la misma geometría, aunque tengan diferente tamaño. Esto se puede expresar de una manera general, tal que si tenemos un objeto y se elige



una pequeña parte de este objeto y se amplifica con un factor de escalamiento, se observa una geometría idéntica al objeto completo. Si se toma este último objeto y se amplifica nuevamente por el mismo factor de escalamiento, seguramente se obtendrá una geometría similar al objeto original. Esta operación se puede repetir indefinidamente. La propiedad de auto-similitud en un fractal matemático se presenta en todo el intervalo de escalas (Morales, 2004 p.36). Auto-similitud y auto-afinidad. Los fractales son conjuntos matemáticos que permanecen invariantes a los cambios de escala. Los fractales fueron descubiertos como un grupo de estructuras que presenta una paradoja para la teoría de la medición. Esta teoría fue desarrollada a fines del siglo XIX y principios del XX por un grupo de matemáticos como Cantor, Peano, Von Koch, Hausdorff y Besicovitch. La mayoría de ellos dieron su apellido paterno a los fractales que ellos descubrieron (Mandelbrot, 1982). La paradoja consistió en la imposibilidad de medir el tamaño de algunos conjuntos a través de un estándar empleado. Cuando uno desea medir la longitud de una circunferencia, la manera más simple es cubrirla con pequeños segmentos de tamaño “l”. La suma de todos los segmentos puede ser considerada como una aproximación del perímetro del círculo. Entre más pequeños sean los segmentos, mayor será la exactitud de la aproximación. En el límite l → 0, la suma de todas las longitudes de los segmentos debe tender a 2πr, donde r es el radio del círculo. El procedimiento para medir el tamaño de un conjunto es conocido como el método de conteo de cajas. La paradoja surge cuando uno intenta emplear el mismo procedimiento para medir la longitud de la curva de Koch (figura 2.14), la cual tiene una longitud infinita en el límite l → 0. Este hecho no es muy impresionante, pero esta curva de Koch, de dimensión infinita, está encerrada dentro de un área finita.

Figura 2.14 La curva de Koch, después de cuatro iteraciones; un fractal con dimensión de Hausdorff

D = Log (4) / Log (3). Fuente: La Geometría Fractal de la Naturaleza, p. 70-72

La solución a tal paradoja llegó con la modificación del concepto de dimensión. Supóngase que μ es la magnitud a ser medida: longitud, área o volumen de un cierto conjunto. El método usado



para estimar μ es cubriendo la estructura original con pequeños conjuntos del propio μ, es decir μi, y de longitud l. Si μ(l) = ∑iμi es la aproximación de μ en la escala l, la dimensión de Hausdorff está definida como:

D = liml→0 )/1log()(log(

llμ

La dimensión de Hausdorff es un entero para los objetos geométricos clásicos, como puntos (D = 0), líneas (D = 1), cuadrados (D = 2), o cubos (D = 3), y toma valores no enteros (o fraccionarios) para los fractales. Para el caso de la curva de Koch, D = log (4) / log (3) = 1.2618, un valor que se encuentra entre la dimensión de una línea, D = 1, y el de una superficie, D = 2. Se espera que D sea un número finito, por la forma particular de μ(l). Si se considera un segmento de longitud L, la masa, μ(l), es el número de pequeños segmentos de longitud l necesarios para cubrir L. Esta cantidad es μ(l) = L/l. De tal manera que la función μ(l) se comporta como una ley de potencia con l. En este caso, el exponente de la ley de potencia es –1, coincidiendo con –D para un segmento. La característica relevante de las leyes de potencia, es que éstas son las únicas funciones cuya forma es de invarianza de escala. Como previamente se mencionó, esta es la simetría que define la geometría fractal. Por consiguiente, la mayoría de las propiedades de los fractales están expresadas mediante leyes de potencia. Un fractal puede ser construido por dos métodos distintos. En el primer procedimiento el fractal crece, es decir, una figura es seleccionada y copias de esta son agregadas al conjunto, manteniendo algunas geometrías preestablecidas (como por ejemplo el fractal que se presenta en la figura 2.14). Existen muchos sistemas reales en el mundo que emplean una técnica similar de crecimiento, algunos ejemplos son la electro-deposición, las colonias de bacterias o el crecimiento de cristales. Por otro lado, la construcción de un fractal puede iniciar también a partir de una figura con una dimensión d mayor que la del conjunto futuro; la figura inicial es perforada, por lo que en la misma se producen “hoyos” de todos tamaños (figura 2.15). Si la distribución de los hoyos es una ley de potencia, P(s) ∼ s-γ, el conjunto final es un fractal con una dimensión D = d (γ - 1). Este proceso es similar a la erosión en las rocas. Los dos métodos ofrecen diferentes clases de fractales. Aquellos fractales que son producidos mediante hoyos tienen un tamaño finito en el espacio que los alberga (estos pueden ser encerrados dentro de un hiper-volumen finito), por lo que más allá de cierta escala estos fractales pierden su fractalidad. Por el contrario, aquellos fractales que son generados por la adición de piezas pequeñas presentan un tamaño infinito, pero también poseen un rango más bajo en la resolución y en la invarianza de escala (Vicsek, 1989).

Figura 2.15 El triangulo de Sierpinski después de cuatro iteraciones. Fuente: La Geometría Fractal de la Naturaleza, p. 203

Los fractales señalados hasta el momento son auto–similares. En otras palabras, estos permanecen invariantes cuando la escala se cambia uniformemente en todas las direcciones. La invarianza puede ser literal, al realizar un zoom de una parte se observa exactamente la misma



a) b)

A

Bh

k

a) b)

A

Bh

k

estructura, o puede ser estadística: no se ve exactamente lo mismo, pero el resultado del zoom es indistinguible del conjunto original. Cualquier estimador estadístico que se aplique a dicho conjunto, da lugar a los mismos resultados que si se aplica al conjunto incompleto. No obstante, es fácil encontrar situaciones en donde dos o más direcciones no son equivalentes. Por ejemplo, en un fractal construido por adición, una sola dirección puede ser introducida si las partículas llegan al conjunto sólo desde una dirección. El conjunto, de crecimiento en este caso, no es un fractal auto–similar clásico, sino que pertenece a un tipo diferente de fractales, llamados fractales auto–afines. La naturaleza de cualquier transformación de afinidad permite clasificar a ésta dentro de dos grandes grupos: lineales y no lineales. La diferencia fundamental entre ellas reside en que las primeras respetan las líneas rectas que constituyen la forma geométrica sobre la que se aplican, mientras que las segundas no, y por tanto actúan sobre ellas alterando algo más que su posición, orientación y tamaño, como se muestra en la figura 2.16 (Talanquer, 2003). Figura 2.16 Diversas Transformaciones: en a) Transformación de similitud con un factor de escala r=0.5,

y en b) Transformación de afinidad lineal, con rotación y traslación. Fuente: Adaptado de: Fractus, Fracta, Fractal, pp.46-48.

Existen varios métodos para determinar las propiedades de un fractal, estos, los podemos clasificar básicamente en dos, los que se utilizan para determinan características en los fractales autosimilares y los usados para determinar características en los fractales autoafines. A continuación se describen los principales métodos utilizados. Métodos de análisis para fractales autosimilares:

1. Método de Neimark-Kiselev (NK) para determinar la dimensión fractal superficial.

Los materiales porosos son caracterizados por una dimensión fractal superficial DS definida como:

,)()( 2 SDrrS −≈ (1) Donde S(r) es el área superficial medida por una galga de tamaño r. Neimark (1991) propuso un acercamiento termodinámico de la absorción para determinar la DS donde r corresponde al radio medio de la curvatura de la interfase ac del vapor del absorbente dado por la ecuación de Kelvin:



)/ln(2

0 ppRTV

a mc

γ= (2)

S(r) es expresada en términos del área de la cara interna del vapor–adsorbente Slg que, alternadamente, esta dada por la ecuación de Kiselev (1970):

dnppRTS

n

n∫ ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

max 0lg ln

γ (3)

Donde R es la constante de gas universal; T la temperatura de la absorción; γ la tensión de superficie interna del l-g; Vm el volumen molar del adsorbente; p/p0 la presión relativa (donde p0 es la presión de saturación); y finalmente, n y nmax son las cantidades de gas absorbido en p=p0 y en saturación, respectivamente.

2. Método de estimación Dimensión de Cajas (Box Dimension Estimation Method).

La dimensión de la caja está definida como el exponente Db en la relación:

SDddN 1)( ≈ (4)

en donde N(d) es el número de cajas de tamaño lineal d necesarias para cubrir un conjunto de datos distribuidos en un plano bidimensional. La base de este método es que, para objetos que son Euclidianos, la ecuación (4) define su dimensión. Se requiere un número de cajas proporcional a 1/d para cubrir un conjunto de puntos

sobre una línea delgada; proporcional a 2

1d

para cubrir un conjunto de puntos distribuidos

uniformemente en un plano y subsecuentemente. Esta dimensión es llamada algunas veces dimensión de rejilla, porque por conveniencia matemática las cajas usualmente son parte de una rejilla. Se puede definir una dimensión de cajas cuando las cajas están ubicadas en cualquier posición y orientación, para minimizar el número de cajas requeridas para cubrir el conjunto. Esto obviamente es un problema computacional complejo, para encontrar entre todas las posibles maneras de cubrir el conjunto con cajas de tamaño d, la configuración que minimiza N(d). Además, si la sobreestimación de N(d) en una dimensión de rejilla no es una función de escala, por ejemplo, se sobreestima N(d) por 5% en todos los tamaños de cajas d, lo que es una conjetura plausible si el conjunto es autosimilar, así, usando cajas en una rejilla o minimizando N(d) al permitir a las cajas tomar cualquier posición, permitirá dar el mismo resultado. La razón es que una ley de potencia como (4) es tal que el exponente no varía si se multiplica N(d) o d por cualquier constante. En la práctica, para medir Db se cuenta el número de cajas de tamaño lineal d necesarios para cubrir el conjunto de un rango de valores de d, y graficar el logaritmo de N(d) en el eje vertical contra el logaritmo de d en el eje horizontal. Si el conjunto es ciertamente fractal, esta gráfica seguirá una línea recta con un ángulo de inclinación igual a –Db. Para obtener puntos uniformemente espaciados en el espacio log-log, es mejor elegir tamaños de caja d que siguen una progresión geométrica (d = 1, 2, 4, 8, ...) en vez de usar una progresión aritmética (d = 1, 2, 3, 4, ...).



Una elección que debe hacerse en este procedimiento es el rango de valores de d. Se esperan resultados triviales para valores de d muy pequeños y muy grandes. Una elección “conservadora” puede ser utilizar como el d más pequeño, diez veces la distancia más pequeña entre los puntos en el conjunto, y como el valor de d más grande, la distancia máxima entre los puntos del conjunto divididos entre 10. Alternativamente, se puede exceder estos límites y descartar los extremos en la gráfica log-log cuando el ángulo tiende a cero. En teoría, para cada tamaño de caja, la rejilla puede cubrirse de tal manera que el número mínimo de cajas esté ocupado. 3. Método de Estimación de la Dimensión Perímetro-Área (Perimeter-Area Dimension Method). Considere un objeto que está en un ciclo cerrado en un plano bidimensional, por ejemplo, una isla. Suponiendo que esta isla es un objeto Euclidiano, esto es, un círculo. Entonces el área A y el perímetro P de tal isla están relacionados de la manera siguiente:

AArrP ≈== ππ2 (5)

22

2

4PPrA ≈==

ππ (6)

donde r es el radio del círculo; note que la proporcionalidad entre A y P no depende de r. Si la isla tiene un perímetro fractal, entonces la relación es:

( ) 2/PP DDAAP =≈ (7)

PDPA /2= (8) donde DP es la dimensión perímetro-área. Ciertamente, si DP = 1, se obtiene el caso Euclidiano, como en (5); si DP = 2, entonces la figura cubre el espacio por PA. Si DP está entre 1 y 2, la ecuación (6) muestra que el perímetro de la figura fractal es más largo que el perímetro de una figura Euclidiana con la misma área, como se espera. En la práctica, para estimar DP se mide el perímetro P y el área A con cajas de diferente longitud d por lado, y se grafica el logaritmo de A en el eje vertical contra el logaritmo de P en el eje horizontal. Si le relación es verdaderamente fractal, esta gráfica seguirá una línea recta con un ángulo positivo que equivale a 2/DP. La estimación de perímetros y áreas tiene que hacerse en un rango de d. 4. Método de Estimación de la Dimensión de Información. Esta dimensión fractal es distinta a la dimensión de cajas. En ésta, una caja se cuenta como ocupada y entra en el cálculo de N(d) a pesar de que contenga un punto o un número relativamente grande de puntos. La dimensión de la información asigna efectivamente pesos a las cajas de tal manera que las cajas que contienen un número grande de puntos cuenten más que las cajas con menos puntos. La entropía de la información I(d) para un conjunto de N(d) cajas de tamaño lineal d está definido como:



∑=

−=)(

1)log()(

dN

iii mmdI (9)

donde mi es:

MM

m ii = (10)

en donde Mi es el número de puntos en la i-ésima caja y M es el número total de puntos en el conjunto. Considere un conjunto de puntos distribuidos uniformemente en un plano bidimensional. En este caso, se tendrá

2

1)(d

dN ≈ 2dmi ≈ (11)

Entonces (9) puede escribirse como

( )[ ] ( )[ ] ( )dddd

dddNdI log2log21log)()( 22

22 −=−≈−−≈ (12)

Para un grupo de puntos que componen una línea fina, se encuentra que:

( )ddI log)( −≈ (13) Así, se puede definir la dimensión de información Di como:

( )dDdI i log)( −≈ (14) En la práctica, para medir Di se cubre el conjunto con cajas de tamaño lineal d, dejando el trazo de la masa m en cada caja, y calculando la entropía de la información I(d) de la sumatoria en (9). Si el conjunto es fractal, una gráfica de I(d) contra el logaritmo de d producirá una línea recta con un ángulo negativo igual a –Di. La dimensión de información difiere de la dimensión de cajas en que los pesos de las cajas más pesadas contienen más punto, esto se puede ver de la siguiente manera. Con el número de cajas ocupadas N(d) y la entropía de información I(d), en términos de las masas mi contenidas en cada caja:

∑=i

iimdN 0)( (15)

( )∑−=

iii mmdI log)(

La expresión (15) es una manera de escribir N(d) más elaborada, pero muestra que cada caja cuenta por una, si m > 0. La segunda expresión se toma directamente de la definición de entropía de información. El número de cajas ocupadas N(d) y la entropía de información I(d) aparecen en el cálculo de las respectivas dimensiones, en distintas formas. De (15) se observa que:

ib DD ≤ (16)



La condición de igualdad entre las dimensiones (16) se realiza sólo si el conjunto de datos está uniformemente distribuido en un plano. 5. Dimensión de masa. Se dibuja un círculo de radio r en un conjunto de datos distribuidos en un espacio bidimensional, se cuenta el número de puntos en el conjunto que están dentro del círculo como M(r). Si hay M puntos en el conjunto completo, se puede definir la masa m(r) en el círculo de radio r como:

MrMrm )()( = (17)

Considere un conjunto de puntos sobre una línea fina, o distribuidos uniformemente en un plano. En estos dos casos, la masa dentro del círculo de radio r será proporcional a r y r2 respectivamente. Se puede definir la dimensión de masa Dm como el exponente en la siguiente relación:

MDrrm ≈)( (18) En la práctica, se puede medir la masa m(r) en círculos de radio incremental comenzando desde el centro del conjunto y graficando el logaritmo de m(r) contra el logaritmo de r. Si el conjunto es fractal, la gráfica seguirá una línea recta con un ángulo positivo igual a Dm. Como el radio incrementa fuera del punto del conjunto más lejano del centro del círculo, m(r) permanecerá constante y la dimensión será trivialmente cero. Esta aproximación se ajusta mejor a objetos que tienen algún radio simétrico, tal como agregados de difusión limitada. En el caso de puntos en un plano, puede ser mejor calcular m(r) como el promedio de masa en un número de círculos de radio r:

MDrrm ≈)( (19) Puede mostrarse que la dimensión de masa de un conjunto es igual a la dimensión de caja, Esto es cierto globalmente, para el conjunto completo; localmente, esto es en porciones del conjunto, las dos dimensiones pueden diferir. Cubriendo el conjunto con N(d) cajas de tamaño d, y definiendo la masa, o probabilidad, en la caja i-ésima mi como:

MM

m ii = (20)

donde M es el número de puntos en la i-ésima caja y M es el número total de puntos en el conjunto. Se puede definir el promedio de la masa, o probabilidad, en cajas de tamaño d como m(d), el promedio mi en las cajas N(d):

)(1

)(1)(

)(

1 dNm

dNdm

dN

ii == ∑

=

(21)

La suma de todas las masas mi es 1. Como la operación del cálculo de la masa contenida en una caja de tamaño d es la misma que el cálculo de la masa en un círculo de radio r, se puede escribir la definición de masa (10) en términos de d en lugar de r:

MDddm ≈)( (22)



Usando (21) y reordenando los términos, se obtiene:

MDddN 1)( ≈ (23)

que es la definición de la dimensión de caja; consecuentemente la dimensión de masa equivale a la dimensión de caja. 6. Método de la Regla. Considérese el problema de la estimación de la dimensión fractal de una línea rugosa autosimilar, como la forma de una línea de costa. Se define N(d) como el número de pasos caminando una regla de longitud d en la línea, la dimensión de la regla Dr está definida como:

DddN −≈)( (24) La base para este método es la siguiente; si la línea es Euclidiana, Dr = 1, entonces la longitud de la línea será una constante independiente de d. Esto es verdadero para valores de d suficientemente pequeños. Por ejemplo, el perímetro de un círculo medido por una regla de longitud d será constante cuando d sea mucho menor que el radio del círculo. En el otro extremo, si la línea llena completamente el espacio, Dr = 2, la longitud de la línea está linealmente relacionada a la longitud de la regla, lo que puede mostrarse a través de la medida de la longitud de la línea N(d) con el número de cajas que se requieren para cubrir la línea N(d)

veces d: cuando Dr = 2, el número de cajas llenas es proporcional a 2

1d

y la línea llena el

espacio bidimensional. Se puede demostrar la equivalencia formal de la regla y la dimensión de caja. En la práctica, para obtener Dr se cuenta el número de pasos N(d) que se deben dar caminando por una regla de longitud d sobre la línea, y graficando el logaritmo de N(d) contra el logaritmo de d. Si la línea es verdaderamente fractal, esta gráfica seguirá una línea recta con un ángulo negativo que equivale a –Dr. Debe notarse que en general, una regla de longitud d no cubrirá exactamente la línea. Métodos de análisis para fractales auto – afines: Un fractal auto-afín, es un conjunto que permanece invariante bajo una escala (estadística o literalmente) de transformación anisotrópica. A pesar de sus diferencias, en una escala de transformación las direcciones no son completamente independientes. Si al hacer un zoom, uno de los ejes de coordenadas se transforma en un factor b, x → bx, el resto de los ejes coordenados deben ser reescalados en un factor bαi, xi → bαixi, con el objeto de preservar al conjunto invariante. Los exponentes αi son llamados exponentes de Hurst y nos indican cuál es el grado de anisotropía del conjunto. En figura 2.15 se muestra un fractal auto-afín determinístico.



Figura 11.3 Fractal auto-afín determinístico.

Figura 2.17 Fractal auto-afín determinístico. Fuente: Morales O., Tesis doctoral.

En el crecimiento de interfases, la dimensión especial corresponde a la dirección del crecimiento. La existencia de una dirección privilegiada implica que solo existe un exponente de Hurst no trivial, el cual es conocido como exponente de rugosidad α (Barabási, 1995). En algunos casos, los conjuntos fractales pueden ser expresados como funciones de un solo valor que dependen sólo de la posición h(xi, x2, ...). Una de estas funciones representa un fractal auto–afín siempre y cuando se cumpla la siguiente condición:

h(bx1, bα2x2,...) = b-αh(x1, x2,…). (25) Todos los fractales descritos hasta el momento son generados por la repetición, a diferentes escalas, de un arreglo unitario. Es decir, son fractales construidos por la adición de un cierto número de partículas, o la perforación de una figura, manteniendo algunas simetrías preestablecidas. Si el proceso incluye la posibilidad de fallas (el número de partículas agregadas fluctúa ó las direcciones son aleatoriamente elegidas), el conjunto resultante es un fractal muy particular llamado fractal aleatorio. Los fractales aleatorios son conjuntos que no cumplen la condición de invarianza de escala. Si estos fractales son reescalados, el conjunto resultante no es semejante al fractal original. Sin embargo, cuando estos fractales son vistos como variables aleatorias, su función de densidad de probabilidad (PDF) no contiene escalas características aparte de aquellas que comparten todos los fractales. El máximo tamaño L en la construcción de fractales por adición (el tamaño del hoyo más pequeño a en los fractales desarrollados por perforación), es una consecuencia del carácter finito del proceso de construcción de los fractales reales. Esto hace pensar que aquellas PDF, así como sus momentos, se comportan como funciones homogéneas de dos variables: la escala de observación l y la escala característica L, o a, del sistema. Cálculo del exponente de Hurst. En muchos casos, el comportamiento de escalamiento espacial se atribuye a la invarianza estadística de las interfases saturadas bajo la transformación de escala auto-afín ( λx, λαz). La invarianza auto-afín implica que z(λx) ≅ λαz(x), donde “≅” denota la igualdad en el sentido estadístico, y no hay escala de longitud característica en la interfase en comparación al tamaño del sistema. Por lo tanto, en este caso la magnitud de las fluctuaciones de las alturas locales sobre una ventana de tamaño l < L se mantiene saturada en el tiempo ts ~ Lz, independientemente del tamaño del sistema; o sea, h(L, t > ts) ~ ζL , donde ζ = α es el exponente de rugosidad local. Si es así, la morfología de una interfase de una grieta es



caracterizada por el exponente de rugosidad único, 0 < α = ζ ≡ H ≤ 1, el cual se llama comúnmente el exponente de Hurst (Vicsek, 1989)(Mandelbrot, 1986). Este último está relacionado a la dimensión (fractal) local del conteo de cajas de la interfase como DB = 2 – H. El exponente de Hurst es también un indicador para determinar si un fenómeno o una serie de tiempo presentan un comportamiento fractal y mide la intensidad de dependencia a largo plazo de una serie de tiempo. Se dice que el fenómeno analizado es aleatorio cuando H = 0.5 (ruido blanco), que es persistente cuando 0.5 < H < 1 (existe invarianza de escala asociada a correlaciones positivas a largo plazo), y que es antipersistente cuando 0 < H < 0.5 (existe invarianza en la escala asociada a correlaciones negativas a largo plazo) (Chong, 2003). Considerado lo anterior, pasamos a describir brevemente algunos métodos de análisis fractal de trazado auto-afín para determinar el valor de H. 1. Análisis del rango reescalado. El método estadístico del rango reescalado (R/σ), propuesto por Mandelbrot y Wallis (Mandelbrot, 1969) y basado en un previo análisis hidrológico de Hurst (Hurts, 1951), es el más antiguo y conocido método para determinar el valor de H. Este método permite calcular el parámetro de auto-similitud H, para medir la intensidad de dependencia a largo plazo de una serie de tiempo. Para una serie de tiempo de longitud n, { }ntXX t ,...,2,1: == , R/σ está definido como el cociente del rango máximo normalizado de la señal integrada R(n) entre la desviación estándar S(n):

{ } { },

)(,...,2,1:,0min,...,2,1:,0max

)()(

2 nSntrntr

nSnR tt =−=

= (26)

donde ∑ ∑= =−=

k

t

n

t ttk XnkXr

1 1 (27)

y .11)(2/12

1 1 ⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−= ∑ ∑

= =

n

t

n

ttt X

nX

nnS (28)

Una medición confiable de S(n), o σ, requiere de una muestra de datos con un intervalo constante dn, ya que la diferencia esperada entre los valores constantes de X es una función de la distancia que separa a éstas. Si el trazo es auto-afín, el valor esperado de R/σ tiene un escalamiento Hn cuando ∞→n :

HR τσ ∝/ . (29) La exactitud en la determinación de H, en todos los intervalos de tiempo, depende del número de datos que sean utilizados en el cálculo. Si dicho número es razonablemente grande (es decir, cuando el intervalo del tiempo máximo es trazado varias veces), se espera que la curva R/σ proporcione información sobre la auto-similitud de todos los intervalos de tiempo. Si el tiempo registrado posee sólo correlaciones a corto plazo, entonces la gráfica log-log es también una



línea recta con pendiente de 0.5. El mayor inconveniente del análisis R/σ es que la teoría de la distribución asintótica no ha sido derivada para el parámetro H. 2. Método de rugosidad-longitud. Este método es muy parecido al R/σ. En el método de rugosidad-longitud (SD) se toma en cuenta la desviación estándar, o rugosidad de la raíz cuadrada de la media de los datos, en las escalas de tiempo τ , en vez del rango vertical (Benoit, 2005). Para un trazado auto-afín, la rugosidad SD, (donde SD es la desviación estándar) medida en una escala de tiempo τ , está relacionada con H como:

HSD τ∝ . (30) 3. Método del Variograma La distribución del tiempo de Xi puede ser caracterizada por una función de semivarianza, llamada variograma, la cual se define como:

22/

0

)(21)( ni

N

ii XX

NnV +

=

−= ∑ , (31)

donde N es el número de parejas de puntos separados por un intervalo n (el desfasamiento del intervalo). Cuando la semivarianza estimada es graficada contra n, ésta puede aproximarse asintóticamente a un valor constante (umbral) o puede incrementarse sin límites conforme aumente n. Los variogramas sin límites sugieren que la variación está dándose en un rango continuo de escalas de tiempo. Tanto el variograma transitivo, con un umbral finito, y los variogramas sin límites pueden ser analizados en una gráfica log-log. Si el logaritmo de una semivarianza es graficado contra el logaritmo de n, entonces la pendiente es 2H. Por consiguiente:

HV 2τ∝ . (32) Un problema con el método del variograma es que el intervalo de la muestra n y la determinación de la pendiente pueden afectar la estimación de H. 4. Método del espectro de potencia. Otro método que determina la existencia de dependencia a largo plazo en las series de tiempo, se basa en la forma espectral de un proceso dependiente a largo plazo. El método del espectro de potencia, que tiene su origen en el análisis espectral, puede ser aplicado a los datos de las series de tiempo. La función de densidad del análisis espectral para datos aleatorios describe los datos en términos de la densidad espectral del valor de su media elevado al cuadrado para diferentes frecuencias. La función de densidad del espectro de potencia es la transformada de Fourier de la función de autocorrelación:



∑∞

=

+=1

)2cos()(2)0()(n

nnCCS πωω . (33)

Si )(nC obedece a un escalamiento de ley de potencia, entonces

αωω −∝)(S , (34)

donde βα −= 1 para pequeños ω . Para las series auto-afines tenemos que

.211 H+=−= βα (35) Por lo tanto, tenemos:

12 −−∝ HP τ . (36) 5. Método de las ondoletas. Las ondoletas son una extensión del análisis de Fourier, y la transformada de las ondoletas es computacionalmente similar, en principio, a la transformada rápida de Fourier (FFT: fast Fourier transform). La FFT utiliza cosenos, senos y exponentes para representar una señal, y es la más usada para analizar funciones lineales. A partir de que se sabe que muchas series de tiempo despliegan un comportamiento caótico no lineal, el análisis de Fourier es menos apropiado para analizar dichas series. El objetivo de la transformada de las ondoletas es el de expresar una señal de entrada en una serie de coeficientes de “energía” especificada. Los números discretos, asociados con cada coeficiente, contienen toda la información necesaria para describir completamente la serie, en la que uno conoce qué análisis de ondoletas fue empleado para la descomposición. El método del coeficiente promedio de la ondoleta (AWC, the Average Wavelet Coefficient Method) utiliza la transformada de la ondoleta para medir la auto-afinidad temporal de las correlaciones; en otras palabras, es el método para H. Esto se hace mediante la transformación de la serie de tiempo, X(t), al dominio de las ondoletas );]([ baXW , donde a denota un parámetro de escala y b indica trazados. El método AWC consiste, para una escala dada de a , en encontrar una “energía” (ondoleta) representativa o amplitud a una escala especifica. Esto puede ser realizado al tomar el promedio aritmético de );]([ baXW sobre todos los trazados del parámetro b , correspondiente este último a un valor de a en la misma escala. Se puede, por ende, construir, a partir de la transformada de la ondoleta de X(t), el espectro de AWC

)]([ aXW , que sólo depende de la escala a , y que fue definido anteriormente. Si X(t) es un proceso auto-afín, caracterizado por H, este espectro se escalaría como sigue:

[ ] .),()( 2/1+∝= Hb

abaWaXW (37)

Al graficar )]([ aXW , en una escala log-log, la pendiente debería ser H + ½, si la señal es auto-afín (de multi-escala, en el sentido de que el comportamiento a diferentes escalas no tiene influencia de ninguna manera significativa; o sea, el método desacopla escalas). El análisis de ondoletas es una herramienta para analizar cambios de potencia localizadas, mediante la descomposición de una serie de tiempo en el espacio de frecuencia de tiempo, a fin de determinar los modos dominantes de la variación y cómo éstos se alteran con el tiempo. Este método es apropiado para el análisis de series de tiempo no estacionarias; es decir, en donde la



varianza no permanece constante con el tamaño de la muestra de datos analizados. Las propiedades fractales están presentes donde el espectro de potencia de la ondoleta es una función de ley de potencia de la frecuencia. El método de las ondoletas se sustenta en la propiedad de trazado auto-afín de las transformadas de las ondoletas, estas últimas con propiedades de auto-afinidad. 2.2.7 PERSPECTIVAS DE LOS FRACTALES EN LA PREDICCIÓN SISMICA. El relieve terrestre es un fractal escalante (su grado de irregularidad y/o fragmentación es idéntico a todas las escalas) que se puede generar por superposición de fallas en bruto. Los terremotos que son cambios dinámicos del relieve, son autosemejantes (cada trozo de una cierta figura es geométricamente semejante al todo); esto es, que ninguna escala concreta tiene un papel privilegiado en sus patrones de magnitud-distancia-tiempo, y que su geometría es fractal (Mandelbrot, 1982). Omori descubrió la invarianza por cambio de escala en los terremotos hace ya casi cien años, y sin embargo la mayoría del trabajo estadístico sobre terremotos sigue basándose en el postulado de que los sucesos eran poissonianos. Con respecto al entendimiento del proceso último de liberación de energía en un sistema mecánico complejo de esfuerzos y deformaciones, se ha realizando abundante trabajo en los últimos años. Ponomarev (1997) introduce el concepto de fractalidad o caos ordenado en los procesos y modelos de rompimiento, y Turcotte (1997) introduce en los modelos sísmicos el concepto de Auto Organización Critica (SOC) o sistemas que se mantienen en un punto crítico, que aparecen en las transiciones de fase continuas orden/desorden; o sea, la ocurrencia de un terremoto. Este concepto se aplica a un nivel global, como generalmente se aplica el concepto fractal a la naturaleza. Muchos fenómenos en la geofísica satisfacen la estadística fractal, los ejemplos van de las estadísticas de frecuencia-área de terremotos a las series de tiempo del campo magnético de la tierra (Turcotte, 2004). Una gran parte de las investigaciones que se realizan, se enfocan a los fenómenos precursores y/o premonitorios (Enescu, 2001), analizados a través de fractales, los cuales, se busca puedan brindar indicios acerca de la ocurrencia de un sismo futuro, estos se realizan desde diversas perspectivas y métodos posibles, entre los cuales se destacan los siguientes: Análisis de redes de grietas y microgrietas (Kiyashchenko, 2004), análisis de diversos patrones electromagnéticos, como ultra bajas frecuencias y su comportamiento fractal (Gotoh, 2004) (Smirnova, 2004), propiedades fractales en la distribución espacial de la fallas (Nanjo & Nagahama, 2004), leyes de escala universales en la ocurrencia de los terremotos en espacio, tiempo y tamaño (Corral, 2007)(Bak, 2002); así como fenómenos sismoeléctricos (Surkov, 2002). Otra área importante de desarrollo que se ha llevado a cabo durante varios años, es la que tiene que ver con el análisis de procesos químicos y geoquímicos que tienen lugar en las zonas de mayor actividad sísmica, los cuales se analizan también con las herramientas que brindan los análisis a través de la geometría fractal (Wakita, 1996). Un aspecto importante que se ha considerado es la secuencia de eventos sísmicos, conocidos como enjambres, que involucran también actividad microsismica (Mittag, 2003). Esto es importante porque analiza de alguna manera la historia previa antes de un evento importante, el análisis a que hacemos referencia, se puede hacer a través de métodos estadísticos, donde se analizan diversas propiedades que definen e intervienen en los procesos sísmicos que se desarrollan en diversas partes del mundo para modelar las secuencias sísmicas (Telesca, 2001).



El uso de fractales en los eventos sísmicos, sirve en gran medida para analizar su comportamiento y tratar de definir los patrones de conducta de estos, ya sea analizando las series de tiempo de algunas variables que intervienen en el proceso; analizando si las distribuciones espaciales de epicentros y fallas presentan características fractales (Nanjo & Nagahama, 2004), y/o analizando la posibilidad de que estos presenten características fractales como auto similitud (Telesca, 2000). Los sistemas complejos reales generalmente exhiben invarianza de escala, es decir, su comportamiento no cambia por el reescalado de las variables que gobiernan su dinámica, lo que permite emplear el enfoque de escalamiento dinámico, utilizado para estudiar la cinética del crecimiento de interfases rugosas, considerando las fluctuaciones que se presentan en las series de tiempo a analizar, en nuestro caso los sismos (Balankin, 2007). Escalamiento dinámico en el crecimiento de interfases rugosas. Una interfase es una superficie que separa dos fases de la materia. Cada una de los cuales puede ser sólida, líquida o gaseosa. Una interfase no es una superficie geométrica, sino más bien es una capa delgada que contiene propiedades diferentes a las de las fases de la materia que separa (Ramasco, 2002). Algunos trabajos experimentales (Bunde & Avlin, 1996) sugieren que realmente muchos sistemas físicos desarrollan espontáneamente correlaciones con el comportamiento de leyes de potencia en el espacio - tiempo. Estos sistemas, con muchos grados de libertad, generalmente son tan complejos que su comportamiento a escalas macroscópicas no se puede predecir a partir de su comportamiento a escalas microscópicas. Sin embargo, el hallazgo de que el crecimiento estocástico de superficies exhibe un comportamiento en escalamiento no trivial y que evoluciona naturalmente a un estado estacionario, que no tiene una escala de tiempo o espacio característica, ha conducido al desarrollo de un método general de escalamiento (Family & Vicsek, 1985) para describir de manera cuantitativa el crecimiento de interfases. Este formalismo, que se basa en conceptos generales de invarianza de escala y fractales (Mandelbrot, 1982) (Vicsek, 1991), se ha convertido en una herramienta estándar en el estudio del crecimiento de interfases. En particular, el método de escalamiento dinámico se ha aplicado al estudio de una gran variedad de modelos teóricos de crecimiento de interfases. Con el fin de simplificar el trabajo teórico, las interfases son comúnmente representadas por funciones de un solo valor, h (x, t), donde h es la altura de la superficie sobre la posición del substrato x en el tiempo t. El procedimiento para establecer un perfil de h no siempre está bien establecido. Las alturas de los perfiles, h(x, t), son los ingredientes básicos del crecimiento de superficies (interfases) (Stanley, 1971). Cada experimento, realizado en computadora o laboratorio, genera uno de esos perfiles para cada tiempo de medición. Si el experimento se repite, el perfil de altura resultante obviamente será diferente. Este hecho agrega cierta complejidad al proceso de definición de las cantidades promedio. Considérese, por ejemplo, la magnitud más simple, la altura promedio. Para un perfil de altura específico, la altura promedio está definida como:



h(t) = { h x} = { 1/L Σihi(t)} (38)

El símbolo {…} representa el promedio de un conjunto de diferentes alturas de los perfiles de

altura, mientras que … x corresponde a un promedio del espacio para un desorden singular. Las

cantidades básicas que deben ser estudiadas son las fluctuaciones de cada frente, a partir de la altura promedio,

Δh(x, t) = h(x, t) - h x(t) (39)

Se espera que esta magnitud se comporte como la masa o hiper-volumen en los fractales aleatorios. La principal diferencia es que esta magnitud puede tomar valores positivos o

negativos. De hecho, el promedio de Δh en el espacio es siempre cero por definición, Δh(x, t) x

= 0. La primera magnitud a ser analizada es entonces el momento de segundo orden; la anchura global de la interfase:

W(t, L) = { [h(x, t) - h x]2 x}1/2 = { [Δh(x, t)]2 x}1/2 (40)

Se consideran a las interfases como fractales auto-afines aleatorios, pero sólo en su estado final. Típicamente, la condición inicial de estos sistemas está muy lejos de esta situación. Por ejemplo, en muchos casos prácticos, una superficie plana es considerada como un estado inicial h(x, t = 0). Esto significa que la anchura global es cero en t = 0. Después, el sistema evoluciona y la interfase llega a ser más rugosa. La falta de una escala característica hace patente que el crecimiento de la anchura en el tiempo se manifiesta en forma de ley de potencia

W(t, L) tβ (41)

La rugosidad de la interfase continúa hasta que el sistema alcanza un estado estacionario. Asimismo, la anchura de las superficies depende del tamaño del sistema.



W(t > tsat) Lα. (42)

Estas dos tendencias asintóticas pueden ser incluidas en una sola expresión:

W(t, L) tβ = tβ ƒ(t / tx) = tβ ƒ(t / Lα / β) (43)

donde α es el exponente de rugosidad (que caracteriza el régimen estacionario), β el exponente de crecimiento (que caracteriza el comportamiento de la superficie en el corto plazo), L el tamaño del sistema y ƒ() una función de escalamiento que se comporta asintóticamente como: constante si u << 1

ƒ(u) (44)

u-β de otra manera Este ansatz para el escalamiento de la anchura es conocido como el escalamiento de Family-Vicsek (Family & Vicsek, 1985). En muchas situaciones prácticas como, por ejemplo, en experimentos, la anchura del frente completo no puede ser estimada. Pero una anchura local puede ser definida si se toma en cuenta solo una fracción del sistema con un tamaño lateral l < L. En este caso, los valores promedios

... x están restringidos a estas áreas pequeñas. Con el objeto de distinguir estas áreas de los

promedios globales, éstas serán denotadas por ... l. La definición de la anchura global es

entonces:

w(t, l) = { [h(x, t) - h l]2 l}1 / 2 = { [ Δlh(x, t)]2 l}1 / 2 (45)

El escalamiento de Family-Vicsek para esta función se asume como el mismo para la anchura global, pero substituyendo L por l: w(t, l) = tβ g(t / l α / β) (46)



La función g() tiene el mismo comportamiento asintótico que ƒ(). El cambio desde una escala global a otra local no es tan sencillo como parece; este cambio es especialmente complicado cuando el escalamiento del sistema no puede ser descrito por el escalamiento de Family-Vicsek ansatz. Otro aspecto importante que debe ser estudiado en todos los sistemas aleatorios es el de la correlación espacial en el caso del crecimiento de superficies. Está función está definida como:

C(t, l) = { Δh(x + l, t)Δh(x, t) x} (47)

Normalmente, para un instante de tiempo específico, la función de correlación toma un valor positivo (grande) en l = 0. Realmente, la función C(t, l) = 0 es igual al cuadrado de la anchura global. Además, cuando se incrementa l las correlaciones decrecen y éstas llegan a ser cero después de haber pasado una distancia ξ. El esquema básico es mantenido en cada momento, pero la distancia a la cual las correlaciones se desvanecen aumenta con el tiempo.

ξ t 1 / z (48)

El exponente z es conocido como el exponente dinámico y nos proporciona información acerca de qué tan rápido las correlaciones se expanden a través del sistema. Este exponente se relaciona con α y β mediante una simple relación de escalamiento: z = α / β (49) Esta expresión se debe a que las correlaciones no pueden expandirse de manera infinita en un

sistema de tamaño finito, L. Por ende, la expansión debe detenerse en un tiempo específico, tx

Lz, para el cual ξ(tx) = L. Después de este tiempo tx, la dinámica del sistema alcanza un estado estacionario, en donde la anchura o las correlaciones ya no cambian. Existe otra función que es la de segundo orden en Δh y que debe ser mencionada. Esta función es la correlación altura-altura en un mismo instante de tiempo,

G(t, l) = { (h(x + l, t) – h(x, t))2x} = { (Δh(x + l, t) – Δh(x, t))2

x} (50)

La función G es un puente entre la anchura global y la función de correlación, G(t, l) = 2W2(t, L) – 2C(t, L) (51)



Este comportamiento de escalamiento es muy similar al escalamiento de la anchura local. De hecho, en algunas ocasiones, para los valores de α cercanos a uno (Buceta, 2000), G puede ser un mejor estimador para los exponentes. Análisis de fluctuaciones en las series de tiempo (Balankin, 2007). La evolución de diversos fenómenos físicos, cuando se presenta en series de tiempo, presenta un patrón aleatorio. Por supuesto que éste comportamiento permite que se puedan realizar análisis de las series de tiempo, como si se tratara de fractales auto-afines, y también, como si se tratara de problemas de superficies de crecimiento. En esta estructura, los valores de las fluctuaciones en los intervalos de tiempo, juegan el papel de variables de tiempo, asumiendo que el tiempo físico, es considerado como su análogo de variable espacial, en este sentido, se ha encontrado que las fluctuaciones de diversas series de tiempo en el mundo real, satisfacen los criterios del escalamiento dinámico de Family-Viscek. Este hallazgo, permite el uso de herramientas poderosas desarrolladas en la teoría de rugosidad cinética para clasificar modelos y pronosticar las fluctuaciones de series de tiempo en el mundo real. La dinámica interna de varios sistemas complejos del mundo real, ha sido estudiada a través del análisis de las fluctuaciones de sus series de tiempo (Kantz & Schreiber, 1997). Estadísticamente, las fluctuaciones z(t) en series de tiempo, son comúnmente caracterizadas por su regresión logarítmica, v(t,τ ) = ln[z(t) / z(t +τ )] (52) Para un intervalo de tiempo τ (Plerou, 1999). Un gran número de estudios se han llevado a cabo para analizar las series de tiempo de variables dinámicas en sistemas físicos, biológicos y financieros (Oleschko, 2002). Investigaciones recientes, se han enfocado en el estudio de las correlaciones en los valores absolutos en las series de tiempo (Ashkenazy, 2001). Se ha encontrado que los valores absolutos de la regresión logarítmica, V (t, τ) = |v| (53) Muchas series de tiempo del mundo real exhiben correlaciones que obedecen a leyes de potencia a largo plazo (Plerou, 1999)(Ashkenazy, 2001), indicando que los sistemas no responden inmediatamente a un aumento en el flujo de información que les llega, pero reaccionan gradualmente en un periodo de tiempo mayor. En consecuencia, el análisis de las propiedades de escalamiento de las fluctuaciones ha mostrado que puede proporcionar información importante respecto al proceso fundamental responsable del comportamiento macroscópico observado en sistemas del mundo real. La idea nuevamente, es determinar los exponentes universales α y β, los cuales no dependen de detalles particulares de un modelo. De esta manera, la obtención de estos exponentes de escalamiento, nos ayuda a identificar la clase de universalidad del proceso de crecimiento (Barabási, 1995). En suma, se analiza la posibilidad de que los patrones sísmicos obedecen a un comportamiento que encaja en la teoría fractal, ello porque sin duda alguna se trata de un fenómeno complejo, el cual, ocasiona que al momento de producirse el evento de mayor magnitud, provoca que la



estabilidad aparente que presentaban las placas tetónicas antes de el, entra en una zona caótica, lo que provoca la desestabilización de la zona donde se presenta la mayor acumulación de tensión, que trae como consecuencia la fractura en esa parte de la placa, lo que finalmente provoca el sismo. Acorde a los párrafos anteriores, se puede observar que los sismos presentan características con las que se les puede catalogar y relacionar como un fenómeno que presenta varios parámetros inherentes a la geometría fractal; desde la distribución de los epicentros, hasta la forma en que se desarrolla la liberación de energía cuando ocurre un evento. En este sentido, se están desarrollando investigaciones que pretendan colaborar en el entendimiento pleno de este fenómeno, lo que contribuirá a desarrollar cada vez mejores modelos que permitan el objetivo común y final de esta área, la predicción.

CAPITULO 3 ANÁLISIS DE LA INFORMACIÓN Y OBTENCIÓN DE RESULTADOS


ANÁLISIS DE LA NFORMACIÓN

Y OBTENCIÓN DE RESULTADOS

Éste capítulo presenta la metodología que se diseño, para el desarrollo de la

investigación. También presenta el tratamiento que se le dio a los datos

sísmicos proporcionados por el Servicio Sismológico Nacional (SSN), con el fin

de realizar los análisis adecuados de los mismos y acorde a las necesidades

de la investigación.



ObtenciónDe DatosSísmicos

Filtradode datos

AnálisisFractal

Tiempo(Plazo) dePredicción

Obtención deParámetrosFractales Definición

de Variables Métodos

Obtención delModelo

(Ecuación)

ValidaciónActualModelo Dinámico (Retroalimentación)

TecnologíaFutura paraObtención de datos

Técnicas

Ocurrencia de Eventos Sísmicos

D B

ETAPA 1

3.1 DISEÑO DE LA METODOLOGÍA PARA EL DESARROLLO DE MODELOS DE PREDICCIÓN SÍSMICA (MPSF). Para poder llevar a cabo el diseño de la metodología que nos ayudará a la elaboración y al desarrollo de modelos de predicción sísmica empleando análisis fractal (MPSF), se debe considerar detalladamente la problemática, ello, en base al desarrollo de la investigación, que se estructura de acuerdo con el método científico, y se apoya con la metodología de Checkland, que se describieron en el capítulo anterior. Esta etapa comprende la descripción detallada de la problemática existente, por lo que se debe revisar algunos factores y variables que inciden en la actividad sísmica relativa a la zona de análisis de la información, así como la descripción adecuada de los datos involucrados para el análisis; recordando que los sistemas dinámicos pueden ser representados en series de tiempo, además si se busca estudiarlos, sus dimensiones son importantes. El problema que se está presentando en el ámbito de los análisis sísmicos que contribuyan a mejorar las predicciones desde el enfoque del comportamiento estadístico, es la falta de un modelo que reproduzca el historial sísmico de manera adecuada y que brinde un margen de confianza aceptable en cuanto a sus resultados; el problema en sí es muy complejo. Diversas investigaciones han afrontado el problema desde diferentes perspectivas en todo el mundo y se han obtenido algunos resultados importantes e interesantes, algunos de los cuales, se describieron en el capítulo 2. El problema de la predicción sísmica es multivariable y es necesario contar y considerar con la información adecuada; en México, se carece de una infraestructura sísmica completa, que brinde la calidad y cantidad necesarias en la obtención de los datos. La razón anterior, aunada a razones de carácter académico, hace necesario delimitar adecuadamente el problema para cumplir con las limitaciones; en nuestro caso, se analiza específicamente la zona sísmica del suroeste del país y con los datos obtenidos a través del Servicio Sismológico Nacional. La metodología para elaborar modelos de predicción sísmica es universal y puede servir para elaborar modelos de predicción dinámicos y perfeccionables. En base a las consideraciones anteriores, la figura 3.1 presenta la metodología diseñada (ésta investigación solo cubre la etapa 1).

Figura 3.1 Metodología para el desarrollo del Modelo de Predicción Sísmica para la República

Mexicana.



Tiempo

Variables

Método

Tiempo

Método

Variables

Corto Medio Largo

FractalesOtros …

FechaMagnitud

Epicentro

Tabla de Especificaciones:De 2 semanas a varios meses

Varios meses a varios añosDe varios a 10 años Inminente

Otras . . .

3.1.1 RELACIÓN DE VARIABLES. A las propiedades que presentan los objetos y/o fenómenos, se les designa en la bibliografía metodológica, con el nombre de variables. De manera más precisa, una variable es una propiedad, una característica o un atributo que puede presentarse en ciertos fenómenos en grados o modalidades diferentes (Briones, 1998, p. 49). En muchos problemas de investigación se presenta en mayor o menor grado la influencia de una o más variables independientes sobre otra variable dependiente. El investigador puede emplear y manipular la o las variables independientes de acuerdo a los objetivos de su investigación. En el caso de los análisis encaminados a la predicción sísmica, como ya se ha mencionado se enfrentan a un problema muy complejo y multivariable, obviamente la consideración de más variables en el método considerado incrementa la complejidad de éste, así como también aumenta la complejidad de los análisis requeridos. El modelo completo tiene variables involucradas en tres dimensiones: 1) Método, 2) Tiempo y 3) Variables; cada una de las cuales presenta a su vez varios indicadores. La figura 3.2 presenta esta relación, la cual se ha llamado “cubo de variables de predicción sísmica”.

Figura 3.2 Cubo de dimensiones y variables para el modelo de predicción sísmica. La figura anterior presenta el cubo de dimensiones y variables consideradas al momento de desarrollar la presente investigación y de acuerdo a los requerimientos y limitaciones consideradas; por ejemplo, en el eje de la dimensión “Método”, se considera solamente el empleado en esta investigación, que es el análisis fractal, pero en esta dimensión, podrían considerarse otros métodos tales como análisis satelitales, u otros. Por otro lado, en el eje de la dimensión “Variables”, aunado a las ya consideradas, podrían tomarse en cuenta, por ejemplo, los desplazamientos, la velocidad de introducción de la placa de cocos, etc. Se puede observar entonces, que el modelo puede considerar una combinación importante de varios métodos y varias variables que pueden aportar datos importantes para el plazo de predicción considerado, esto incrementa la complejidad del modelo; pero quizá se logre un modelo más eficiente en las predicciones realizadas. La consideración de más variables, trae consigo un problema inherente al análisis que se debe efectuar a cada una de esas variables anexadas al modelo; este es el de la obtención de la información. En la actualidad, existe una gran deficiencia de infraestructura y/o tecnología para la obtención de información, sobre todo en los países en vías de desarrollo. Por ejemplo, si se deseara considerar la tecnología satelital para buscar radiaciones infrarrojas o el método InSAR



Variable dependiente Variables independientes

Modelo dePredicción.

Magnitud

Tiempo

Características del suelo.Desplazamiento de placa.Tamaño de fractura.Acumulación de energía.Hipocentro.

Magnitud

1er.Nivel

2do.Nivel

(ParaAnálisisFractal).

(NASA; 2007), nos damos cuenta que la realidad es que existen pocos países con los recursos para la obtención de este tipo de datos. Lo anterior, pone de manifiesto la necesidad de considerar que el modelo debe operar con los datos disponibles y que este se debe basar más en el tipo de análisis, la metodología que se desarrolle y la creatividad de la investigación. Dadas las observaciones anteriores, se puede expresar que en esta investigación, una vez fijada la zona de influencia (Placa de Cocos) se consideran entonces dos variables para desarrollar los análisis sísmicos enfocados al diseño de modelos de predicción:

1. La magnitud. 2. El Tiempo.

Estas variables involucran los datos con que se cuenta, los cuales fueron proporcionados por el Servicio Sismológico Nacional de México. Los datos son obtenidos a través de la infraestructura disponible, la cual consta de una red nacional de sismógrafos que aportan los principales parámetros como son la magnitud, el epicentro y la fecha de ocurrencia. Entonces, el modelo se basará en la consideración de las variables: magnitud y tiempo. La figura 3.3 muestra la relación de variables del modelo.

Figura 3.3 Relación de variables para el modelo de predicción sísmica. Se puede observar en la figura anterior, que a su vez, la Magnitud depende de varios parámetros, entre los cuales se mencionan los principales en la figura, pero como ya se menciono, la dificultad para considerar estos parámetros radica en que hasta el momento, y en el caso de México, no existe actualmente la forma de obtener la información necesaria, por lo que de considerarlos, solo se estarían estimando los valores de esos parámetros, lo que sin duda seria un análisis muy complejo y de no emplear una metodología adecuada y también compleja, se desconocería en gran parte el valor de los resultados obtenidos, por lo que para esta investigación se considera solo la relación de variables de primer nivel que se indica en la figura 3.3, es decir, solo la Magnitud y el Tiempo, con las cuales se construyen las series de tiempo sísmicas requeridas para los análisis.



3.1.2 FORMULACIÓN DE LA HIPÓTESIS. Una hipótesis es una suposición o solución anticipada al problema objeto de la investigación y, por tanto, la tarea del investigador debe estar orientada a probar tal suposición o hipótesis. Ahora, es importante tener claro que al aceptar una hipótesis como cierta no se puede concluir respecto de la veracidad de los resultados obtenidos, sino que sólo se aporta evidencia en su favor (Bernal, 2006). En el mejor de los casos, una suposición de esta naturaleza puede obtenerse deductivamente del cuerpo de una teoría o bien, se apoya en conocimientos ya adquiridos en un área de investigación. Pero cualquiera que sea el origen de las hipótesis son propuestas de solución a determinados problemas o preguntas de investigación. Sin embargo, debemos tener en cuenta que muchas hipótesis toman la forma de relaciones entre dos o más variables. Tomando en cuenta las consideraciones anteriores, los objetivos, el Marco Teórico establecido y el enfoque de escalamiento dinámico de fluctuaciones en series de tiempo (Balankin, 2007), bajo el cual se desarrollan los análisis, las hipótesis que se proponen son: 1. Las fluctuaciones en las series de tiempo de la actividad sísmica ocurrida en la Placa de Cocos en México, se modelan con los métodos desarrollados a través de la Mecánica Fractal y la Teoría de Rugosidad Cinética (Escalamiento Dinámico). 2. Las fluctuaciones de la actividad sísmica que ocurre en la Placa de Cocos en México, están relacionadas con alguna clase de universalidad de crecimiento dinámico.



3.1.3 OPERACIONALIZACIÓN DE VARIABLES. Debido principalmente a la diversidad de significados que pueden tener los términos usados por las ciencias, muchos de los conceptos empleados en la formulación de problemas de investigación deben ser definidos operacionalmente. La definición operacional de un concepto o variable, consiste en definir, ya sea las operaciones que permiten medir ese concepto o bien, sus indicadores observables, por medio de los cuales se manifiesta ese concepto. La Tabla 3.1 muestra la operacionalización de las variables involucradas en el modelo.

Tabla 3.1 Operacionalización de variables

VARIABLE DEFINICIÓN CONCEPTUAL

DEFINICIÓN OPERACIONAL DIMENSIÓN INDICADOR

1 MODELOS DE PREDICCIÓN

Modelo que permitirá realizar predicciones de eventos sísmicos futuros.

Grado de correlación entre el modelo (fórmula obtenida) y la ocurrencia de eventos reales, para los parámetros considerados.

Coeficiente de correlación. Eventos predichos.

2 MAGNITUD

La medida que se registra en la red sismológica es la magnitud, que representa la energía liberada por el sismo.

Grado de medición de la energía liberada en un sismo a través de la amplitud de las ondas sísmicas.

Variables

Fecha. Magnitud. Epicentro.

3 TIEMPO

Magnitud física que mide la duración o separación de los sistemas sujetos a observación. El periodo que transcurre entre el estado del sistema cuando éste aparentaba un estado X y el instante en el que X registra una variación perceptible para un observador.

Espacio temporal que se considera para realizar la predicción.

Tiempo

Corto Plazo. Mediano Plazo. Largo Plazo.

VARIABLE INDICADOR DEFINICIÓN MEDICIÓN

1 MODELOS DE PREDICCIÓN

Coeficiente de correlación. Eventos predichos.

Grado de relación entre el modelo y los eventos reales. Grado de certeza en la predicción de eventos futuros.

Coeficiente de correlación R % de predicciones satisfactorias.

2 MAGNITUD Fecha. Magnitud. Epicentro.

Espacio temporal de ocurrencia del sismo. Cantidad de energía liberada en ondas sísmicas. Proyección del foco sobre la superficie terrestre.

Día – Mes – Año; H: M: S Magnitud > 3.0 Longitud, Latitud

3 TIEMPO

Corto Plazo. Mediano Plazo. Largo Plazo.

Predicción de 2 semanas a varios meses. Predicción de varios meses a varios años. Predicción de varios a 10 años.

Predicción. Predicción. Predicción.

3.1.4 UNIVERSO DE ESTUDIO. Nuestro universo de estudio se obtiene a través de la realización de diversas estratificaciones a los datos sísmicos obtenidos a través de la red sismológica nacional para la zona que comprende la República Mexicana. Las estratificaciones o filtrado de datos obedecen a la necesidad de seleccionar de entre el universo, la población de datos que cumplan los criterios y necesidades adecuados para la realización del análisis fractal y/o algún otro tipo de análisis. La población de datos que nos proporcionó el Servicio Sismológico Nacional contiene los datos de sismos registrados en el territorio Nacional que existe en su base de datos; lo que comprende el periodo del 1° de Enero de 1974 hasta el 31 de Diciembre de 2004, con un total de 37,425 sismos, Sin embargo, esta base de datos no es uniforme en todos los datos requeridos para



considerarla como continua, sobre todo porque no se precisa una variable importante para el análisis fractal, la magnitud. De la observación anterior, se realiza la primera consideración hacia la selección de los datos, que toma como criterio la consistencia de los datos, arrojando como resultado la selección del periodo comprendido del 1° de Enero de 1988 al 31 de Diciembre de 2004, con un subtotal de 17,258 sismos. Los sismos se distribuyen en la totalidad del territorio nacional, por lo que es necesario realizar otra consideración, la referente a los sismos que ocurran en la zona de la placa de cocos. Este nuevo criterio, delimita el área a las siguientes coordenadas geográficas: sismos comprendidos entre las longitudes -89° y -106° (Oeste) y entre las latitudes 13° y 19° (Norte). Este nuevo criterio de selección no arroja finalmente nuestro universo de estudio, el proceso de selección se presenta en la figura 3.4

Figura 3.4 Selección del Universo de estudio para el análisis fractal. Entonces, el primer universo de estudio para el criterio de F1, se constituye como sigue: Periodo: 1° Enero de 1988 – 31 de Diciembre de 2004. Número de sismos: 15,092 (Filtro 1) Limitación Geográfica: Longitudes -89° y -106° (W) y Latitudes 13° y 19° (N). Un análisis más detallado de la integración del universo de estudio (F1) se presenta en la tabla 3.2 El segundo universo de estudio para el criterio de F2, se constituye como sigue: Periodo: 1° Enero de 1988 – 31 de Diciembre de 2004. Número de sismos: 11,043 (Filtro 2) Limitación Geográfica: Longitudes -89° y -106° (W) y Latitudes 13° y 19° (N). Profundidad: Menor de 50 Km. Un análisis más detallado de la integración del universo de estudio (F2) se presenta en la tabla 3.3



Tabla 3.2 Distribución de sismos por año y mes en el área del Filtro 1 (F1).

Año Ene. Feb. Mar. Abr. May. Jun. Jul. Ago. Sep. Oct. Nov. Dic. Total / Año

1988 144 111 149 99 84 81 67 50 55 53 86 69 10481989 55 94 90 89 113 65 78 86 83 67 66 78 9641990 83 84 81 73 52 50 41 62 45 46 57 43 7171991 59 58 48 91 62 64 45 41 32 52 46 50 6481992 30 47 51 48 61 62 33 47 44 39 64 37 5631993 33 38 51 67 52 65 47 53 150 97 48 60 7611994 24 56 56 37 42 42 31 47 34 34 43 59 5051995 52 34 20 35 15 20 21 26 129 102 60 47 5611996 48 97 74 58 78 74 54 35 34 56 37 50 6951997 59 65 70 76 81 51 122 72 63 66 43 52 8201998 79 84 107 46 67 64 76 54 70 67 75 56 8451999 57 66 76 89 78 96 92 67 56 93 77 92 9392000 64 85 96 71 82 70 70 97 59 47 48 67 8562001 48 58 33 55 84 58 97 68 75 218 259 155 12082002 146 134 116 148 141 128 86 163 114 143 108 123 15502003 172 125 148 116 104 96 70 81 66 82 87 61 12082004 110 104 76 87 107 104 102 98 106 90 121 99 1204 15092

Tabla 3.3 Distribución de sismos por año y mes en el área del Filtro 2 (F2).

Año Ene. Feb. Mar. Abr. May. Jun. Jul. Ago. Sep. Oct. Nov. Dic. Total / Año

1988 97 60 80 64 60 41 46 33 46 37 56 44 6641989 42 76 55 71 87 47 44 71 65 52 44 48 7021990 57 75 50 46 37 31 19 42 34 34 38 33 4961991 46 38 27 73 39 49 30 19 24 36 34 33 4481992 19 30 34 29 44 41 18 29 25 30 47 23 3691993 18 22 29 41 28 37 31 34 122 71 40 45 5181994 17 34 35 25 25 26 23 30 21 20 29 38 3231995 33 26 13 24 7 12 20 19 117 80 46 36 4331996 42 90 70 48 71 65 45 23 25 44 25 39 5871997 44 53 61 65 67 40 110 56 51 54 36 40 6771998 56 63 81 35 54 50 68 32 51 47 59 43 6391999 42 47 59 65 50 62 57 44 35 72 55 54 6422000 41 61 68 48 56 52 38 64 32 29 35 50 5742001 29 44 29 38 62 39 62 48 51 197 239 131 9692002 109 109 88 134 112 101 60 136 93 115 89 100 12462003 141 98 104 85 75 76 50 54 49 62 53 44 8912004 80 74 55 58 78 78 68 65 74 64 89 82 865 11043



3.2 ANÁLISIS DE LA INFORMACIÓN. En las tablas 3.2 y 3.3 se presentan los datos de los sismos, por año (desde 01/01/1988 hasta 31/12/2004) y por mes correspondiente a cada año; en la última columna de la derecha se presentan los totales de cada año, finalmente, se presenta el total de eventos ocurridos en este periodo, que es de 15,092 sismos para el filtro 1 (F1), y de 11,043 sismos para el filtro 2 (F2). Como se había mencionado, las variables que se consideran en esta investigación son la magnitud (M) de cada evento ocurrido y el tiempo de ocurrencia, que se integran dentro de cada una de las dos series de tiempo que se muestran en la figura 3.5

Figura 3.5 Evolución de sismos ocurridos desde el 1/01/1988 – 31/12/2004. De acuerdo a lo presentado en el Capítulo 2, las características de estas series de tiempo, se corresponden con las características que presentan los fractales auto – afines. Por lo que sin duda alguna, se puede observar la viabilidad del empleo de los métodos de análisis para este tipo de fractales presentados en ese mismo capítulo.



A continuación se presentan los diversos análisis que se realizaron a la información sísmica; así como los resultados obtenidos. 3.2.1 ANÁLISIS ESTADÍSTICO. Los primeros estudios estadísticos de sismicidad global, fueron hechos por Gutenberg y Richter (1954). Estudiaron los datos disponibles de todas las regiones de la Tierra y encontraron que el número N de sismos mayores de una magnitud M, que ocurren en un tiempo determinado, es función de la magnitud:

Log N = a – bM Donde a es una constante que depende del tiempo de muestreo y b tiene valores característicos para distintas regiones de la Tierra. Esta fórmula, conocida como “Relación de Gutenberg – Richter” o “Relación G-R” nos dice que, si en un tiempo determinado ocurren, digamos 10,000 sismos de magnitud 3, en el mismo tiempo ocurrirán 900 de magnitud 4 y 81 de magnitud 5, de manera que la razón del número de sismos de cualquier magnitud entre la magnitud inmediata, siempre será constante (Nava, 2002). Otra característica de tipo estadístico de la sismicidad global es que la ocurrencia de un sismo de una magnitud dada es constante en el tiempo. La distribución estadística (esto es, el porcentaje de veces que ocurre cada uno de los posibles resultados de un proceso cuando se han observado un número muy grande de realizaciones del mismo) que corresponde a estas características se llama Distribución de Poisson (Gnedenko, 1969). Sin embargo, sabemos que la probabilidad de ocurrencia de un sismo no es igual en todas las regiones de la Tierra. La relación número de sismos contra magnitud es distinta de una región a otra. En México, aparentemente, la relación presenta magnitudes favoritas, esto es, que son más frecuentes de lo que predice una estadística global. Si ahora en vez de estudiar una región tan grande como un país completo nos fijamos en una zona determinada, digamos Michoacán, vemos que ya no se aplican las observaciones estadísticas globales o regionales. La ocurrencia de un sismo grande en un lugar sí cambia las probabilidades de ocurrencia de otros sismos; un caso claro es el de la ocurrencia de réplicas, que son observadas tras un sismo grande. Para un punto particular, sobre todo si se encuentra cercano a una falla o zona sísmica activa, no es apropiado un modelo estadístico como el de Poisson; el proceso que se adopte para modelar la sismicidad del lugar debe “tener memoria”, ser causal (depender de lo que haya pasado antes)(Esteva, 1976)(Hagiwara, 1974). La estadística nos dice que la suma de muchos procesos causales se comporta como un sistema de Poisson (Lomnitz, 1974), es por eso que en la distribución de la sismicidad global de la Tierra, la suma de todas las zonas sísmicas, es la de Poisson (Lee, 1979). Así, el primer paso, es realizar un análisis estadístico de la zona que comprende la placa de cocos y que quedo delimitada con las coordenadas geográficas ya mencionada (Filtro 1), de tal manera, que nos permita determinar la ocurrencia de más características propias del fenómeno; que nos indiquen con mayor certeza si cumple con las propiedades requeridas para saber si se puede analizar como un fenómeno que obedezca a la geometría fractal, más específicamente, si obedece a una ley de potencia.



Relación G‐R (F1)

y = ‐0.9338x + 6.745

R2 = 0.9378

0

1

2

3

4

3 4 5 6 7 8

Magnitud

Logaritm

o de

N

Entonces, se lleva a cabo un análisis de la distribución de los sismos considerados. Cabe recordar que los datos proporcionados solo contienen sismos registrados con magnitud en la escala Richter de M > 3. La figura 3.6 muestra la distribución acumulativa de sismos con una aproximación de 0.1 grados en la escala de Richter, comenzando en M = 3.5; y la figura 3.7 muestra la distribución acumulativa de sismos con una aproximación de 1.0 grados en la escala de Richter, comenzando en 4, ambos, para el filtro F1.

Figura 3.6 Distribución de sismos de acuerdo a su magnitud (aproximación de 0.1 grado) (F1).

Magnitud Eventos

< 4 7796 > 4 y <= 5 6985 > 5 y <= 6 265 > 6 y <= 7 40

> 7 6 Total 15092

Figura 3.7 Distribución de sismos de acuerdo a su magnitud (aproximación de 1 grado) (F1).

La figura 3.8 muestra la distribución acumulativa de sismos con una aproximación de 0.1 grados en la escala de Richter, comenzando en M = 3.5; y la figura 3.9 muestra la distribución acumulativa de sismos con una aproximación de 1.0 grados en la escala de Richter, comenzando en 4, ambos, para el filtro F2.

Mag. No.

3.5 1490 5 118 6.4 63.7 1754 5.1 73 6.5 53.8 1434 5.2 51 6.6 33.9 1545 5.3 47 6.7 2

4 1573 5.4 23 6.8 34.1 1547 5.5 22 6.9 24.2 1356 5.6 13 7 24.3 1029 5.7 7 7.1 04.4 887 5.8 14 7.2 04.5 636 5.9 5 7.3 34.6 547 6 10 7.4 04.7 412 6.1 6 7.5 14.8 242 6.2 7 7.6 24.9 211 6.3 4

Total 15092



Relación G‐R (F2)

y = ‐0.9414x + 6.6371

R2 = 0.9147

0

1

2

3

4

3 4 5 6 7 8

MagnitudLogaritm

o de

N

Figura 3.8 Distribución de sismos de acuerdo a su magnitud (aproximación de 0.1 grado) (F2).

Magnitud Eventos

< 4 5730 > 4 y <= 5 5073 > 5 y <= 6 209 > 6 y <= 7 25

> 7 6 Total 11043

Figura 3.9 Distribución de sismos de acuerdo a su magnitud (aproximación de 1 grado) (F2). De las gráficas anteriores, se puede observar que el fenómeno sísmico presenta en cuanto a su ocurrencia y magnitud una distribución que obedece a un ajuste de leyes de potencia, y recordando que la Relación de Gutenberg – Richter está dada por la siguiente expresión, se tiene: Log10 N= a – bM, entonces, se obtiene el parámetro b para: F1) b = 0.9338 y F2) b = 0.9414 Se observa por un lado que, el fenómeno obedece a leyes de potencia en cuanto a su distribución estadística frecuencia-tamaño (ley de potencia en la energía) y en cuanto a la energía liberada en forma de ondas sísmicas, y por el otro; la evolución de éste, indica que se puede analizar la serie de tiempo correspondiente, como un fractal auto–afín.

Mag. No.

3.5 1216 5 86 6.4 53.7 1297 5.1 53 6.5 43.8 1011 5.2 38 6.6 23.9 1093 5.3 43 6.7 1

4 1113 5.4 19 6.8 14.1 1106 5.5 20 6.9 24.2 951 5.6 12 7 14.3 740 5.7 5 7.1 04.4 667 5.8 10 7.2 04.5 467 5.9 2 7.3 34.6 409 6 7 7.4 04.7 312 6.1 2 7.5 14.8 181 6.2 5 7.6 24.9 154 6.3 2

Total 11043



3.2.2 ANÁLISIS DE LEY DE ESCALAMIENTO UNIFICADO. Los terremotos son un complicado fenómeno espacio–temporal. El número de terremotos con una magnitud M>m esta dado por la ley de Gutenberg–Richter (Gutenberg & Richter, 1944), estos, presentan un comportamiento espacio–temporal complejo. La distribución espacial de los epicentros es fractal y ocurren en una estructura de fallas al parecer también fractal (Marsan, 2000). Las correlaciones temporales de corto plazo entre los terremotos son expresadas por la ley de Omori (Omori, 1895), que establece que inmediatamente siguiendo a un evento principal, se presenta una secuencia de replicas cuya frecuencia decae en el tiempo como T -α, α≈1. El comportamiento temporal complejo observado es obviamente de origen dinámico. Sin embargo, la estadística de los terremotos, además de la estructura de geometría fractal que exhiben las fallas y por la distribución espacial de los epicentros, es también resultado de un proceso dinámico, y se puede especular sobre la posibilidad de unificar estas observaciones. Se propone la ley de escalamiento unificado para los tiempos de recurrencia entre terremotos, expresando una organización jerárquica en tiempo, espacio y magnitud. Esto es un régimen correlacionado donde la distribución de los tiempos de recurrencia entre terremotos es una ley de potencia T -α, α≈1. Sin embargo, el intervalo de tiempo de espera para el cruce entre los dos regímenes para terremotos mayores que una magnitud dada, depende del área y magnitud bajo consideración. El catalogo sísmico empleado comprende el periodo del 1 de Enero de 1988 al 31 de Diciembre de 2004, en una región del suroeste de México, abarcando la latitud entre 13°N – 19°N, y la longitud entre 89°W – 106°W. El total de terremotos considerados es de 15092 El número de terremotos N(M>m) con una magnitud mayor que m esta dado por la ley de Gutenberg–Richter,

bmmMNLog −∝⟩ )(10 (3.1) De la figura 3.6, se obtuvo: F1) b = 0.9338 (3.2) El análisis espacio–temporal se llevo a cabo como sigue: Se cubrió la región considerada con una malla con celdas de tamaño L X L (figura 3.10). Una vez definida la ventana de estudio, se obtienen los tiempos de recurrencia Τ, definidos como los intervalos de tiempo entre terremotos consecutivos,

1−−= ii ttT (3.3) donde ti denota el tiempo de ocurrencia del terremoto i, según su orden temporal. Se obtiene la distribución de tiempos de recurrencia T, entre terremotos ocurridos dentro del rango L cuya magnitud es mayor que m = Log10(S) = 3, 4; la cual está determinada por:

dTdTTTTobTPSL

]´[Pr)( +<≤= (3.4)



1.E-05

1.E-04

1.E-03

1.E-02

1.E-01

1.E+00

1.E+04 1.E+05 1.E+06 1.E+07 1.E+08

T[s]

PSL (

T)[s

-1]

S>=3, L1°S>=3, L2°S>=3, L3°S>=4, L1°S>=4, L2°S>=4, L3°

Figura 3.10 La región de México considerada para el análisis; a la derecha, los tres tamaños considerados

de celdas, para L=1°, L=2° y L=3°, desde arriba, respectivamente. La figura 3.11 muestra las gráficas obtenidas para la distribución PS,L(T), considerando diferentes escalas de tiempo, para varios valores de S y L, graficados en doble escala logarítmica.

Figura 3.11 Distribución PS,L(T) de los tiempos de interrocurrencia T entre terremotos con magnitud m mayor que log10(S) dentro de un área de tamaño lineal L.

Se puede observar en la figura 3.11 que existe parecido entre las curvas obtenidas. Las cuales presentan un régimen lineal, indicando una distribución de ley de potencia. Si las curvas son transformadas en coordenadas reescaladas como sigue:



Alfa 1 0.8004Alfa 2 1.2125Alfa 3 1.5261Alfa 4 0.6406Alfa 5 0.93Alfa 6 1.1156

Promedio: 1.03753333

1.E-03

1.E-02

1.E-01

1.E+00

1.E+04 1.E+05 1.E+06 1.E+07

T[s]

PSL (

T)[s

-1]

El eje x es cambiado por

dfbLTSx −= (3.5) El eje y es cambiado por:

)(TPTy SLα= (3.6)

El reescalado causa un cambio en las curvas de la figura 3.11, las cuales dependen de L y S. sin embargo, aparecen dos nuevos términos que es necesario determinar, el exponente α, y la dimensión fractal de los epicentros df. Observando la figura 3.12, la cual es la parte que decae constantemente en la figura 3.11, podemos determinar el coeficiente α (Ley de Omori), el cual corresponde al promedio de la pendiente de dichas curvas.

Figura 3.12 Distribución PS,L(T) de los tiempos de interrocurrencia T entre terremotos con magnitud m mayor que log10(S) para la parte con pendiente α (Ley de Omori) constante.

Para determinar la dimensión fractal df en 2D, se diseño un software que analiza los datos disponibles, y proporciona los valores necesarios para determinar la dimensión fractal graficando estos, con lo cual se obtuvieron los siguientes valores: df para sismos con M ≥ 3 = 1.66 df para sismos con M ≥ 4 = 1.65 La figura 3.13 muestra los datos reescalados, considerando los demás valores obtenidos con los análisis complementarios para este caso.



1.E+00

1.E+01

1.E+02

1.E+03

1.E+04

1.E+05

1.00E+00 1.00E+01 1.00E+02 1.00E+03 1.00E+04

cTS-bLdf

TαPS

L (T)

S>=3, L1°S>=3, L2°S>=3, L3°S>=4, L1°S>=4, L2°S>=4, L3°

Figura 3.13 Datos reescalados como una función de la variable x = cTS-bLdf, con c = 10-4. El colapso de los datos implica una ley de unificación para terremotos. Con exponente de la ley de Omori α = 1.037, un valor de Gutenberg-Richter b = 0.934 y una dimensión fractal df = 1.66 y df = 1.65 para sismos con

M≥3 y M≥4 respectivamente. Los datos reescalados, colapsan sobre una curva bien definida f(x), dada por la función.

)()( dfbSL LTSfTPT −=α (3.7)

Esta ecuación expresa la ley de unificación de escala para los terremotos (Bak et al, 2002). La función f(x) consiste de un primer segmento constante y un segundo segmento que tiene una pendiente muy pronunciada. La parte constante corresponde a la parte lineal de la ley de potencias, presentada en la figura 3.11, en la cual se multiplico PS,L(T) con T-α. El rápido decaimiento de la segunda parte es consistente con el decaimiento de una función exponencial, implicando un régimen de no correlación para valores grandes de x. Esto nos permite suponer con bases físicas que: los terremotos separados por distancias suficientemente grandes o largos tiempos de recurrencia son no correlacionados. El índice α=1.037 puede ser identificado como el exponente de la ley de Omori para replicas de terremotos, b=0.9338 es el valor b en la ley de Gutemberg – Richter y df=1.66, 1.65 describen la dimensión fractal 2D de la localización de epicentros proyectada sobre la superficie de la tierra para sismos con magnitud M mayor que 3 y mayor que 4 respectivamente. Los datos que colapsan en una curva como lo muestra la figura 3.13 implican que la distribución de los tiempos de recurrencia depende de T, S y L a través de la variable x. Sólo los procesos críticos exhiben este tipo de colapso en los datos, lo cual se conoce como escalamiento en fenómenos críticos (Yeomans, 1992). Este análisis demuestra que los terremotos son un fenómeno de Auto Organización Crítica (SOC) (Bak, 1987) (Bak, 1997). Los tres exponentes α, b y df para caracterizar terremotos, surgen como índices críticos en la ley de unificación.



Las correlaciones a corto tiempo dadas por la ley de Omori es justo el límite a corto tiempo de una jerarquía general de fenómenos de escalamiento que ocurren en cualquier escala de tiempo. Sorprendentemente, la estadística de ocurrencia de replicas después de minutos de ocurrido un terremoto principal pueden ser relacionadas absolutamente como las estadísticas de terremotos separados por decenas de años. Para entender físicamente la ley fundamental que expresa la ecuación (3.7) debemos analizar el significado de la variable de escalamiento x=TS-bLdf. En la expresión anterior, la cantidad S-bLdf es una medida del promedio del número de terremotos por unidad de tiempo con magnitud mayor que m=log10(S) ocurriendo dentro L. Así, x es una medida del número promedio de tales terremotos ocurriendo dentro del intervalo de tiempo T. Estableciendo está ley, que la distribución de los tiempos de recurrencia depende sólo de este número. Cuando este número excede un valor bien definido, los terremotos bruscamente se hacen menos correlacionados. Los terremotos son generados por un “proceso”, cada uno produciendo una secuencia de terremotos correlacionados con una distribución T-α. Este proceso corresponde a una secuencia de avalanchas de auto organización crítica de modelos de fenómenos complejos. Se puede pensar en los procesos como la actividad asociada con cambios dinámicos en los patrones de segmentos de fallas geológicas.



3.2.3 ANÁLISIS DE LEYES DE ESCALA Y UNIVERSALIDAD. No cabe duda de que los terremotos son un interesante campo de estudio para la física (Kanamori, 2004). Es bien sabido que la magnitud de los terremotos, en una región dada y en un intervalo de tiempo razonablemente largo, sigue una distribución exponencial,

bMMD −∝10)( (3.8) Lo que constituye la ley de Gutenberg-Richter, con M la magnitud, D(M) su densidad de probabilidad y el valor de b próximo a 1, en general. Puesto que la ley indica que hay mucho más terremotos pequeños que grandes, podemos concluir que esta ley constituye una buena noticia. Sin embargo, como la magnitud no es una medida física del tamaño de un terremoto (no tiene unidades), se usa la relación entre la magnitud y la energía E radiada por las ondas sísmicas,

2/310 ME ∝ (3.9) Esencialmente, aunque los eventos grandes tengan poco peso estadístico, la energía que radian crece más rápido que este decaimiento y al final, estos son los que determinan la disipación de energía en el sistema. Es interesante ir más allá de la ley de Gutemberg – Richter, preguntándonos si la sencilla proporción contenida en esta ley (unos 100 terremotos con M ≥ 5 por cada 10 con M ≥ 6 y por cada uno con M ≥ 7, etc.) no es un reflejo de una auto–semejanza más profunda en la estructura de la sismicidad. Es decir, en una región dada ¿es equivalente 1 año de terremotos con M ≥ 5 a 10 años con M ≥ 6, o a 100 años con M ≥ 7? La respuesta a esta pregunta tendría importantes implicaciones para los estudios de riesgo sísmico. Para analizar la estructura espacio–temporal de los terremotos conviene especificar cómo se manifiestan estos eventos en el espacio y en el tiempo. El análisis de esta estructura muestra que está caracterizada por una aleatoriedad intrínseca, y por tanto, la sismicidad queda reducida a un proceso puntual estocástico marcado en 5 dimensiones, refiriéndose la marca a un distintivo de cada evento, en este caso, su tamaño. Tiempos de Recurrencia y Leyes de Escala. Siguiendo el punto de vista de Bak (2002), se considera la ocurrencia de terremotos como un único fenómeno a escala global, desde una perspectiva integradora u holística, y en contra de las aproximaciones reduccionistas no se separan réplicas de eventos principales, ni tampoco se aíslan secuencias especificas de replicas. Se considera la sismicidad como un fenómeno físico en sí mismo. Se consideran ventanas de observación en el tiempo, en el espacio y en la magnitud como sigue: Tiempo: Enero de 1988 a Diciembre de 2004. Espacio: Latitud, de 13°N a 19°N; y Longitud de 106°W a 89°W. Magnitud: 1) Sismos ≥ 3 y 2) Sismos ≥ 4. Una vez definida la ventana de estudio, se obtienen los tiempos de recurrencia τi, definidos como los intervalos de tiempo entre terremotos consecutivos,



1−−≅ iii ttτ (3.10)

donde ti denota el tiempo de ocurrencia del terremoto i, según su orden temporal. La densidad de probabilidad (figura 3.13) está determinada por:

ττττττ

ddobDw

]´[Pr)( +<≤= (3.11)

1.E-05

1.E-04

1.E-03

1.E-02

1.E-01

1.E+00

1.E+03 1.E+04 1.E+05 1.E+06

τ (segundos)

Dw

( τ)(

segu

ndos

-1)

M>=3M>=4

M

Figura 3.14 Densidad de probabilidad de los tiempos de recurrencia de los terremotos en la Placa de Cocos, México para diferentes valores de magnitud. Datos del catalogo del SSN, UNAM, México.

En la figura 3.13, se muestra el análisis de los tiempos de recurrencia de la sismicidad en la Placa de Cocos, entre los años 1988 y 2004. Se puede observar como los tiempos de recurrencia presentan un amplio rango de variación, desde algunos minutos hasta varios meses. También se puede observar que las distribuciones para diferentes valores de Mc, parecen muy similares en forma (en escala logarítmica), aunque obviamente el rango es mayor cuanto mayor es Mc, debido a la disminución del número de eventos descrita por la ley de Gutenberg–Richter. Dada la similitud entre las distribuciones de probabilidad, esto sugiere realizar una transformación de escala de los ejes. τ RWτ (3.12) Dw (τ) Dw(τ) / Rw (3.13)



Donde Dw(τ) es la densidad de probabilidad de los tiempos de recurrencia para diferentes ventanas w de observación, en este caso diferentes valores de la magnitud mínima Mc y Rw es la tasa media de ocurrencia de terremotos en w, definida como el número de terremotos por unidad de tiempo y que coincide con el inverso del tiempo de recurrencia medio.

n

Ri

w ∑=

τ1 (3.14)

La figura 3.14 muestra Dw(τ) / Rw frente a Rwτ para los casos analizados en la figura anterior, se ve claramente como las distribuciones reescaladas colapsan en una única curva f.

1.E+00

1.E+01

1.E+02

1.E+03

1.E+04

1.E-02 1.E-01 1.E+00 1.E+01 1.E+02

Rwτ (adimensional)

Dw

( τ) /

Rw

(adi

men

sion

al)

M>=3M>=4

Figura 3.15 Densidades correspondientes a la figura 3.14 reescaladas con la tasa de recurrencia. El colapso de datos es indicativo de escalamiento.

Por lo tanto, se puede establecer una ley de escala en la sismicidad ocurrida en la Placa de Cocos, en el periodo considerado, dada por:

)()( ττ www RfRD = (3.15) El punto clave es que la función f, la función de escala, es independiente de w, esto es, de la magnitud mínima fijada Mc (Corral, 2007). La transformación de escala, que reescala el eje temporal por un factor Rw es análoga al reescalado espacial usual del grupo de renormalización, esencial para comparar el sistema resultante con el sistema original. La figura 3.15 ilustra esta transformación para los terremotos a escala local de la Placa de Cocos. Comienza arriba, con eventos de magnitud mayor o igual a 5, en tres años (1988, 1989 y 1990). El siguiente grafico, muestra el reescalado temporal, pasando de 3 a 17 años (1988-2004) para terremotos con magnitud mayor o igual a 6.



5.5

6.0

6.5

7.0

7.5

8.0

8.5

9.0

1988 1990 1992 1994 1996 1998 2000 2002 2004

Tiempo

Mag

nitu

d4.5

5.0

5.5

6.0

6.5

7.0

7.5

8.0

1988 1989 1990

TiempoM

agni

tud

Figura 3.16 Magnitud de los terremotos en la Placa de Cocos frente a su tiempo de ocurrencia para diferentes ventanas en la magnitud (M≥5 y M≥6).

El parecido entre ambos gráficos es un indicio de la auto–semejanza del proceso, que queda confirmada al estudiar las probabilidades de los tiempos de recurrencia tal como se mostro anteriormente. Esto indica como la sismicidad está organizada jerárquicamente, presentando la misma estructura en diferentes escalas de observación.



3.2.4 ANÁLISIS FRACTAL. La sismicidad es un fenómeno espacio – temporal complejo que obedece a determinadas leyes generales, las cuales gobiernan las estadísticas de su ocurrencia (Kanamori, 2004) (Turcotte, 2005). La correlación en la ocurrencia de terremotos es característica de la dinámica de la sismicidad buscada en diversas investigaciones. Un reto fundamental de estos estudios consiste en determinar el comportamiento de la actividad sísmica de gran escala a partir de el conocimiento de una escala menor (Kotani, 2008). Recientemente se han desarrollado muchas investigaciones sobre el estudio de las correlaciones espacio – temporales de los eventos sísmicos en diferentes partes del mundo. Se han obtenido leyes de escala para la variabilidad temporal y espacial de los terremotos (Bak, 2002) (Corral, 2007), para diferentes regiones sísmicas con diferentes propiedades tectónicas. Sin embargo, a pesar de los esfuerzos que han desarrollado los físicos y los geólogos para entender el fenómeno de los terremotos desde hace varias décadas, la dinámica de la actividad sísmica permanece aun sin esclarecerse y hoy todavía no podemos predecir los terremotos con un grado razonable de precisión (Kagan, 2007). El punto esencial en la discusión de la posibilidad de predecir terremotos, es la dependencia de la magnitud de los terremotos con la sismicidad anterior. No obstante, mientras el agrupamiento en tiempo y espacio es extensamente aceptado, normalmente se asume que no existe correlación a largo plazo en la magnitud de terremotos consecutivos. Esto facilita la percepción de que los terremotos son un fenómeno aleatorio impredecible. Sin embargo, recientemente se ha notado que la ocurrencia de terremotos grandes en California, se correlaciona con intervalos de tiempo donde las fluctuaciones en terremotos pequeños son suprimidas relativamente por el promedio a largo plazo. Por otro lado, Lippiello et. al. (2008) ha sugerido una relación de escalamiento dinámico entre la magnitud, el tiempo y la distancia espacial que reproduce los patrones complejos de las correlaciones de magnitud, espacio y tiempo observadas en catálogos sísmicos experimentales. Podemos apreciar que existen diferentes propuestas en todo el mundo, desarrolladas con enfoques diferentes para los análisis sísmicos; pero como ya mencionamos, esta investigación se centra en la sismicidad que ocurre en la costa del pacifico de la República Mexicana. La mayor sismicidad ocurrida en México es debida a la actividad tectónica entre el límite de la Placa de Norteamérica y la Placa de Cocos. En esta investigación, se analizan las series de tiempo de eventos sísmicos superficiales (profundidad < 50 km) con magnitudes M ≥ 2.3 (figura 3.17 a) ocurridos en México (SSN, 2008); dentro de la estructura del enfoque de escalamiento dinámico de fluctuaciones en series de tiempo (Balankin, 2007). Los grandes terremotos superficiales son comúnmente seguidos por un incremento en la actividad sísmica definida como una secuencia de replicas. Desafortunadamente, algunas de las replicas sobre todo las de menor magnitud, pueden perderse en los catálogos sísmicos, ello debido a la sensibilidad de los instrumentos. Para disminuir los efectos de un catalogo incompleto, en este trabajo se realizó un filtrado de los registros sísmicos M(tn) ≥ M0 para diferentes umbrales de magnitud M0. Específicamente se analizó las series de tiempo con magnitud M0 = 2.3, 2.8, 3.3 y 3.8.



Figura 3.17 (a) Registro de magnitud de eventos sísmicos superficiales (profundidad < 50 km) ocurridos en México desde 01/01/1988 hasta 12/30/2004; (b) Series de tiempo del momento acumulado F(t) para

series de tiempo de magnitud M(tn) ≥ 2.3, la línea recta F*(t) es el mejor ajuste lineal de F(t); (c) Series de tiempo de la actividad sísmica relativa A(t) para las series de tiempo de magnitud M(tn) ≥ 2.3; (d, e)

Registros de An como una función de eventos sísmicos consecutivos n para series de tiempo con magnitudes (d) M0 = 2.3, (e) M0 = 2.8 (1), 3.3 (2), y 3.8 (3); (f – l) Series de tiempo de fluctuaciones de la actividad sísmica (3): para series de tiempo de magnitud M(tn) ≥ 2.3 con diferentes intervalos de prueba: (f) Δn = 10, (g) Δn = 40, (h) Δn = 200, e (i) Δn = 400; y (j – l) con intervalos de prueba Δn = 400 para las series de tiempo de magnitud con diferentes umbrales de magnitud: (j) M0 = 2.8, (k) M0 = 3.3 y (l) M0 =

3.8 Para detectar posibles correlaciones en las secuencias de Mn = M(tn)≥M0 se calculó la autocorrelación, la cual se define como:

( )( )( )∑

∑=

+= +

−

−−= N

n n

N

nn nnn

MM

MMMMnC

1

21)( δ δδ (3.16)

donde M es la media de la secuencia nM de tamaño N . Se encontró que la autocorrelación de los registros de magnitud Mn ≥ M0 (figura 3.18 a) se comporta como ( )knanC /exp1)( δδ −= . Se encontró que para todos los registros con Mn ≥ M0 estudiados en este trabajo a = 0.65 ± 0.05 y k = 2500 ± 500.



Así, la magnitud de la recurrencia de los eventos sísmicos es independiente de la historia sísmica en el área considerada, como se ha observado anteriormente para otras regiones sísmicas. También se encontró que la sismicidad regional obedece a las leyes de Gutenberg – Richter y a la de Omori.

Figura 3.18 (a) Gráfica típica de C* = C(δt) – 1 contra δn para las series de tiempo de magnitud (datos para series de tiempo M(tn) ≥ 3.8); los círculos corresponden a datos experimentales, la línea solida es la curva de mejor ajuste a los datos; (b) Gráfica logarítmica de C* = C(δt) – 1 contra δn para las series de tiempo de la actividad sísmica relativa An con M0 = 2.3 (1) y M0 = 3.8 (2); (c, d) Gráfica logarítmica de: (c) Rango Reescalado (R/S) y (d) Incremento de la varianza (V) contra δn para las series de tiempo de la actividad sísmica relativa An con diferente umbral de magnitud (en (c) y (d), M0 = 2.3, 2.8, 3.2 y 3.8 (de

abajo hacia arriba). Nótese que en las gráficas (c) y (d) se cambia el eje y para mayor claridad. Para llevar a cabo el estudio de las variaciones temporales en la actividad sísmica, se analizaron las series de tiempo con la suma ∑=

n

i in MtF )exp()( (figura 3.17 b); donde 3.0)exp( ii EM ∝ ,

dado que la energía liberada durante el evento-i de magnitud Mi es Ei = 63x103M/2 kJ (Utsu, 2002). Se encontró que la función F(tn) fluctúa alrededor de la línea F*(t) = ct (figura 3.17 b). La pendiente de la línea encontrada es c = 4.6 ± 0.6 para intervalos de tiempo mayor de 3 años (26280 h) y para registros sísmicos con umbral de magnitud dentro del rango de 2.3 ≤ M0 ≤ 3.8. En consecuencia, se define la actividad sísmica relativa como la diferencia,

nnn cttFtA −= )()( (3.17) En la figura 3.17 (c) se muestra un ejemplo, posteriormente se analizan las fluctuaciones en la actividad sísmica, la actividad sísmica relativa es tratada como una función de eventos



consecutivos, An=A(tn), la cual se presenta en la figura 3.17 (d) y (e) para cuatro registros sísmicos con diferente magnitud. Además, junto con el enfoque de escalamiento dinámico (Balankin, 2007), se analizaron las fluctuaciones de la actividad sísmica (figura 3.17 (f-l)) definidas como las series de tiempo de la desviación estándar de An con intervalo Δn,

( )∑Δ−=

−Δ

=Δn

niii

nn

n

AAnh 21),( (3.18)

donde ⟨...⟩ es el promedio sobre Δn eventos consecutivos. En primer lugar se observó la similitud visual entre los registros de la actividad sísmica relativa An con diferente umbral de magnitud (figura 3.17 (d, e)) y entre las fluctuaciones de las series de tiempo h(n, Δn) con los diferentes intervalos probados Δn (figura 3.17 (f-i)) y diferentes umbrales de magnitud M0 (figura 3.17 (i-l). Para encontrar las correlaciones en las series de tiempo de la actividad sísmica relativa mostrada en la figura 3.17 (d, e), se calculó la correspondiente función de autocorrelación dada por la ecuación (3.16); las gráficas resultantes se pueden observan en la figura 3.17 (b). Se puede observar que la función de autocorrelación de las series de tiempo An(M0) se debe a un escalamiento de ley de potencia dado por,

( ) HnmnCnC 201)()(* δδδ =−= (3.19)

Esperado para un fractal auto–afín (Falconer, 1990), donde m0 es una constante que depende de el umbral de magnitud M0 y H es el exponente de rugosidad, también llamado el exponente de Hurst (Peitgen, 1992). Se encontró que H = 0.73 ± 0.03 es independiente de el umbral de magnitud para los registros examinados An(M0). Los mismos valores de H se encontraron también usando los métodos R/S y Variograma (Mandelbrot, 1968) (figura 3.18 (c, d)), desarrollados con la ayuda del software comercial BENOIT 1.3 (Trusoft, 2007). Este hallazgo indica que la actividad sísmica relativa posee memoria persistente de mucho tiempo dentro de un rango de eventos consecutivos de más de cuatro intervalos (en la escala logarítmica). Con el objeto de obtener una caracterización más detallada de las correlaciones a largo plazo de las fluctuaciones en la actividad sísmica, se realizó un análisis multi–afin de las series de tiempo. Específicamente, se examinó el comportamiento del escalamiento de la función de estructura de orden-q (Barabasi, 1991), definido como:

[ ] qqnnnq nhnnhnG

/1),(),(),( Δ−Δ+=Δ δδ (3.20)

donde la barra superior indica el promedio sobre todos los eventos en la serie de tiempo h(n, Δn) de tamaño NΔ= N - Δn (N es el número de eventos sísmicos en la serie de tiempo Mn) y la expresión entre corchetes indica el promedio de diferentes ejecuciones en las ventanas de tamaño δn. De esta forma se encontró que las fluctuaciones de muestras pequeñas (Δn ≤ 100) presentan escalamiento con comportamiento multi–afin,

qnGqζδ )(∝ (3.21)

con un espectro continuo de exponente de escalamiento ζq para 1≤ q ≤ 10 (figura 3.18 (a-c)).



Figura 3.19 Gráficas logarítmicas de Gq en unidades arbitrarias contra el tamaño de ventana δn para las fluctuaciones de la actividad sísmica (M0 = 2.3) con intervalos de prueba: (a) Δn = 40 y (b) Δn = 400; para q = 1 (1), 2 (2), 5 (3) y 10 (4); (c) Gráfica de ζq contra q para fluctuaciones con intervalos de prueba Δn = 10 (1), 40 (2), 60 (3), y 400 (4); (d) Gráfica de θ contra Δn. La línea recta representa el ajuste de los datos

(nótese que en todas las figuras los símbolos grises son excluidos para el ajuste). Por otro lado, se encontró que el espectro de los exponentes de escalamiento exhiben un comportamiento que se parece al espectro de los multifractales universales asociados con la turbulencia (Schmit, et. al., 1992)(Balankin, 2005), donde el coeficiente θ es el grado de multifractalidad, de tal manera que para fractales auto–afines θ = 0 y también ζq = α para cualquier valor de q (figura 3.19 (b) y (c)). Se encontró también que el grado de multifractalidad de las fluctuaciones de la actividad sísmica depende de la fluctuación del intervalo de prueba Δn (figura 3.19 (d)) como:

)ln(076.038.0 nΔ−=θ (3.22) de tal manera que las fluctuaciones de muestras grandes (Δn > 148) presentan invarianza de escala auto–afín con:

02.096.0 ±=qζ (3.23)



Por lo menos para 1≤ q ≤ 10 (figura 3.19 (b)). Así, las fluctuaciones de muestras grandes de la actividad sísmica pueden ser caracterizadas por la función, G2(Δn, δn). Además la dependencia de las fluctuaciones de la actividad sísmica h(n, Δn), en el intervalo considerado Δn y el número consecutivo n, permiten tratar las fluctuaciones dinámicas como la rugosidad cinética de interfaces de movimiento h(n, Δn), donde el número consecutivo n se considera como la variable espacial, mientras que el intervalo Δn se considera como análogo del tiempo (Balankin, 2007). En consecuencia se observa que el plano medio de la “interface” se mueve como:

γnnn Vnh Δ∝Δ=Δ )(),( (3.24)

donde V(Δn) es la varianza de incrementos de tiempo en las series An y también el exponente de escalamiento γ coincide con el exponente de Hurst de la actividad sísmica, γ = H = 0.73 ± 0.03 (figura 3.18 (d)). Se encontró también que la estructura de la función de las fluctuaciones para muestras (intervalos) grandes de la actividad sísmica (Δn > 148) se comporta como el ansatz del escalamiento dinámico de Family-Vicsek,

( )znnn nfnG /1

2 /),( ΔΔ=Δ δδ β (3.25) donde la función de escalamiento f(x) se comporta como:

,1,1,

{>><

∝xifconstxifx

fα

(3.26)

de tal manera que para el intervalo de prueba Δn << NΔ

z, la función de escala está dada por:

βnn NG Δ∝Δ Δ ),(2 (3.27)

con el exponente de crecimiento de las fluctuaciones β = 0.66 ± 0.02 (figura 3.20 (a)) para ventanas de tamaño δn < δc, donde δc es la correlación auto–afín (figura 3.20 (b, c)), y la función de escala está dada por:

αδδ )(),(2 nnG n ∝Δ (3.28)



Figura 3.20 Gráficas logarítmicas de funciones: (a) G2(Δn, NΔ) en unidades arbitrarias contra: el intervalo de prueba Δn para las series de tiempo de magnitud con diferente umbral de magnitud (M0 = 2.3, 2.8, 3.3, y 3.8, desde abajo. Se ha cambiado el eje y para mayor claridad); (b) G2(Δn, δn) en unidades arbitrarias contra el tamaño de ventana δn para diferentes intervalos de prueba Δn = 40 (1), 200 (2), y 2000 (3); (c) G2(Δn, δn) en unidades arbitrarias contra el tamaño de ventana δn para el intervalo de prueba Δn = 1000 para las series de tiempo de magnitud con diferente umbral de magnitud M0 = 3.8 (1), 3.3 (2), 2.8 (3) y

2.3 (4) (el eje y es cambiado para mayor claridad); (d) Gráfica logarítmica del intervalo de correlación δn contra el intervalo de prueba Δn para las series de tiempo de magnitud con diferente umbral de magnitud

M0 = 2.3 . Los datos colapsan en las coordenadas G2 / Δnβ contra δn / Δn

1/z para fluctuaciones de la actividad sísmica con diferente umbral de magnitud: (e) M0 = 2.3 con intervalos de prueba Δn = 400 (1),

1000 (2), y 2000 (3); y (f) M0 = 3.8 con intervalos de prueba Δn = 400 (1), 800 (2), y 1000 (3). con el exponente de rugosidad ζq = α = 0.96 ± 0.04 para Δn ≥ 200 (figura 3.20 (b, c)). Además la correlación de escala que se encontró en las fluctuaciones para un intervalo de prueba está dada por:

znC/1Δ∝δ (3.29)



En la expresión anterior, el exponente de escalamiento dinámico z = 1.5 ± 0.1 (figura 3.20 (d)) satisface la relación de escalamiento dinámico z = α / β, por lo tanto, la figura 3.19 (e, f) muestra el colapso de los datos de las gráficas de la figura 3.20 (a, c) en coordenadas

βnGf Δ= /2 y z

nn /1/ Δδ . El colapso de los datos presentado en la figura 3.20 (e, f) sugiere que las fluctuaciones en la actividad sísmica satisfacen el ansatz de escalamiento dinámico dado por las ecuaciones (3.25) (3.26) (3.29) con exponente de escalamiento igual para cualquier umbral de magnitud M0. Así, se pueden usar las ecuaciones cinéticas de la teoría de la rugosidad cinética para modelar la dinámica de las fluctuaciones de la actividad sísmica. Los hallazgos encontrados con este análisis proveen evidencia de correlaciones a largo plazo ocultas de eventos consecutivos de magnitudes relacionadas con el escalamiento dinámico de las fluctuaciones de la actividad sísmica, que es robusta en lo que respecta a los catálogos sísmicos incompletos. Esto permite el uso de poderosas herramientas de la teoría de rugosidad cinética para modelar y predecir las fluctuaciones de la actividad sísmica, las cuales se pueden usar en los catálogos sísmicos alrededor del mundo.



3.2.5 ANÁLISIS DE DISTRIBUCIÓN ESPACIAL. En éste análisis, se sigue el enfoque propuesto por Bak et al (2002), y también se omite cualquier clasificación de los sismos, no se separan réplicas de eventos principales, ni tampoco se aíslan secuencias especificas de replicas, es decir, nuevamente se considera a la sismicidad como un fenómeno físico en sí mismo. En el segundo y tercer análisis desarrollados (Ley de Escalamiento Unificado y Leyes de Escala y Universalidad), se consideraron como variables principalmente, los tiempos de recurrencia T, definidos como los intervalos de tiempo entre dos terremotos consecutivos. Lo que permitió desarrollar los análisis espacio-temporales de la sismicidad ocurrida en el área geográfica considerada (placa de Cocos). El catalogo sísmico empleado comprende el periodo del 1 de Enero de 1988 al 31 de Diciembre de 2004, en una región del suroeste de México, abarcando la latitud entre 13°N – 19°N, y la longitud entre 89°W – 106°W. El total de terremotos considerados es de 15092. El número de terremotos N(M>m) con una magnitud mayor que m esta dado por la ley de Gutenberg–Richter,

bmmMNLog −∝⟩ )(10 (3.1) El análisis de distribución espacial se llevo a cabo como sigue: Se cubrió la región considerada con una malla con celdas de tamaño L X L (figura 3.21), para L = 1°, 2°, 3°. Para cada una de estas celdas, se consideraron sólo eventos mayores de el umbral de magnitud m = 3 y m = 4, respectivamente.

Figura 3.21 La región de México considerada para el análisis de distribución espacial; a la derecha, los

tres tamaños de celdas considerados, para L=1°, L=2° y L=3°, desde arriba, respectivamente. Una vez definida la ventana de estudio, se obtienen las coordenadas de los epicentros de cada evento, con las cuales se determinan las distancias espaciales entre epicentros de eventos sucesivos, dadas por:



Distribución Espacial

1.E-04

1.E-03

1.E-02

1.E-01

1.E-02 1.E-01 1.E+00 1.E+01

ΔD (°)

P m,L

( ΔD

) M>=3, L3°M>=3, L2°M>=3, L1°M>=4, L3°M>=4, L2°M>=4, L1°

iii ddD −=Δ +1 (3.30) con di y di+1 en la misma celda de extensión lineal L. Donde,

( ) ( )( )212

212 LatLatLongLongdi −+−= (3.31)

Concatenando la lista de las distancias espaciales obtenidas para cada celda, se determina la distribución de distancias espaciales ΔDi, entre terremotos ocurridos dentro del rango L cuya magnitud es mayor que m = 3, 4; la cual está determinada por:

DDDDDobDP Lm Δ

Δ+<≤=Δ

]´[Pr)(, (3.32)

La figura 3.22 muestra las gráficas obtenidas para la distribución Pm,L(ΔD), considerando diferentes valores para m y L.

Figura 3.22 Distribución Pm,L(ΔD) de las distancias espaciales ΔD entre epicentros de terremotos con magnitud m dentro de un área de tamaño lineal L.

Se puede observar en la figura 3.22 que considerando las distancias espaciales, al igual que en los tiempos de recurrencia, existe parecido en las curvas obtenidas. Las cuales, nuevamente presentan un régimen lineal, indicando una distribución de ley de potencia. El resultado anterior, sugiere que las curvas se pueden transformar nuevamente en coordenadas reescaladas, ahora, como se indica a continuación: El eje x es dividido entre L y el eje y es multiplicado por L, es decir,

LDx /Δ= (3.33)

)(* , DPLy Lm Δ= (3.34)



Distribución Espacial reescalada

1.E-04

1.E-03

1.E-02

1.E-01

1.E+00

1.E-02 1.E-01 1.E+00 1.E+01ΔD / L

L *

Pm,L

( ΔD

) M>=3, L3°M>=3, L2°M>=3, L1°M>=4, L3°

M>=4, L2°M>=4, L1°

El reescalado causa un cambio en las curvas de la figura 3.22, las cuales se presentan en la figura 3.23. Figura 3.23 Datos reescalados para las variables x = ΔD / L y y = L*Pm,L(ΔD). El colapso de los datos es

indicativo de escalamiento. Se puede observar que considerando las variables espaciales, los datos colapsan también cuando son reescalados. Por lo tanto, también se puede establecer una ley de escala en la sismicidad ocurrida en la Placa de Cocos para las distribuciones espaciales en el periodo considerado, la cual esta dada por:

LLDfDP Lm

)/()(,Δ

=Δ (3.35)

El colapso de los datos para las distancias y también para los tiempos como resultado del reescalado de los valores respectivos, sugiere una relación entre distancia y tiempo en la actividad sísmica considerada. Recordando que la formula en que se relacionan las variables anteriores es la velocidad, entonces, ésta se puede expresar como sigue:

i

i

tDv

ΔΔ

= (3.36)

Se considera las velocidades vi entre eventos subsecuentes en cada celda para una magnitud arriba del umbral m, donde ΔDi es la distancia de epicentros de dos eventos consecutivos dentro de la celda considerada y Δti es el tiempo entre dos eventos consecutivos también dentro de la misma celda. Se determina la densidad de probabilidad de vi, la cual esta dada por:

dvdvvvvobvP Lm

]´[Pr)(,+<≤

= (3.37)

La figura 3.24 muestra las gráficas obtenidas para la distribución Pm,L(v), considerando diferentes valores para m y L.



Distribucion de Velocidad para L3°

y = 0.1333x-1.351

R2 = 0.9498y = 0.0932x-1.2801

R2 = 0.9526

1.E-04

1.E-03

1.E-02

1.E-01

1.E+00

1.E-01 1.E+00 1.E+01 1.E+02

v (Km/h)

Pm,L

(v)

M>=3, L3°

M>=4, L3°

Potencial (M>=3, L3°)



y = 0.0858x-1.3021

R2 = 0.9673y = 0.0562x-1.2009

R2 = 0.9639

1.E-04

1.E-03

1.E-02

1.E-01

1.E+00

1.E-01 1.E+00 1.E+01 1.E+02

v (Km/h)

P m,L

(v)

M>=3, L2°

M>=4, L2°




y = 0.0401x-1.2814

R2 = 0.9478y = 0.0361x-1.2821

R2 = 0.9269

1.E-04

1.E-03

1.E-02

1.E-01

1.E+00

1.E-01 1.E+00 1.E+01 1.E+02

v (Km/h)

Pm,L

(v)

M>=3, L1°

M>=4, L1°



Figura 3.24 Distribución Pm,L(v) de las velocidades v entre terremotos con magnitud m dentro de un área de tamaño lineal L.

Nuevamente, se observa la similitud entre las gráficas obtenidas, con lo que se puede reescalar las gráficas obtenidas para la distribución de velocidades, ahora se reescalan los valores de los ejes como sigue: )10/( bmvLogx −= (3.38)

))(*( ; vPvLogy Lmη= (3.39)

El resultado también, causa un cambio en las gráficas, como se puede observar en la figura 3.25



Reescalado de distrib. de velocid. para L=3°

-2

-1

0

0 2 4 6 8

Log (v / 10-bm)

Log

(vη

* Pm

,L(v

))

M>=3, L3°M>=4, L3°


-4

-3

-2

-1

0

0 2 4 6 8

Log (v / 10-bm)

Log

(vη

* Pm

,L(v

))

M>=3, L2°M>=4, L2°


-4

-3

-2

-1

0 2 4 6

Log (v / 10-bm)

Log

(vη *

P m,L

(v))

M>=3, L1°M>=4, L1°

Figura 3.25 Datos reescalados para las variables x = Log (v / 10-bm) y y = Log (vη * Pm,L(v)). En las gráficas de la figura 3.24 se presenta la tendencia de los datos con el valor de la pendiente (η) de la función de potencia, la cual se utiliza para el reescalado de los datos en el eje y; cuando se considera un tamaño lineal L=3°, se obtiene un valor promedio de η = 1.31, si L=2° se obtiene η = 1.25 y si L=1° se obtiene η = 1.28. El valor de b = 0.9338 que se utiliza para el reescalado del eje x, es el que ya se había obtenido en el análisis estadístico (pagina 64). Se puede observar también en las gráficas obtenidas para el reescalado de la distribución de probabilidad de las velocidades que se presentan en la figura 3.25 que el reescalado desfasa las gráficas para los valores considerados, ello obedece a que las gráficas de la distribución de las velocidades (figura 3.24) prácticamente colapsan para los valores considerados, y entonces cuando en el reescalado del eje x se considera el valor de m = 4, esto provoca un incremento



considerable en el termino 10-bm y dado que las distribuciones de probabilidad de las velocidades son muy semejantes, esto provoca el desfasamiento de las gráficas para los diferentes valores de m en un área de tamaño lineal L.

CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES



Éste apartado, presenta las conclusiones que se obtuvieron con el desarrollo

de ésta investigación; así como también las recomendaciones que se sugieren

derivadas del análisis de los resultados obtenidos y de las limitaciones de éste

estudio.



CONCLUSIONES.

1. El desarrollo de ésta investigación cumplió con el objetivo general que se propuso; se

desarrollaron 5 análisis utilizando los datos disponibles para el período considerado de la

actividad sísmica que se presenta en la placa de Cocos en México, los cuales fueron: 1) Análisis

Estadístico, 2) Análisis de la Ley de Escalamiento Unificado, 3) Análisis de Leyes de Escala y

Universalidad, 4) Análisis Fractal y 5) Análisis de Distribución Espacial.

Se pudo observar también, que en el país existe un atraso significativo en la infraestructura

requerida para poder realizar mediciones y observaciones sísmicas más acordes a las

necesidades de las investigaciones realizadas y requeridas. El trabajar con datos incompletos en

el desarrollo de los análisis, necesariamente introduce posibles errores significativos en los

resultados, lo que sin duda alguna, no refleja adecuadamente la eficacia buscada con los

modelos desarrollados y/o sugeridos. El contar y disponer con bases de datos completas y de

buena calidad, necesariamente influirá positivamente en la obtención de mejores resultados.

2. En el análisis estadístico se encontraron los valores de b inferiores a 1, el cual es el valor que

se estima para éste parámetro, considerando una escala mundial para la Ley de Gutenberg –

Richter. Sin embargo, el desarrollo de los análisis a una escala menor, en este caso la zona que

comprende la Placa de Cocos en México, no obedece estrictamente al valor estimado para la

consideración mundial; por lo que podría ser favorable o desfavorable, dependiendo de los

enfoques para realizar los análisis, aunque sin duda este es el valor real que se obtiene para este

parámetro y que consideramos es el adecuado para ser utilizado. Recordando que algunos

análisis desarrollados en otros países utilizan el estimado de b = 1, tal vez por simplicidad.

3. El análisis de la Ley de Escalamiento Unificado muestra que la actividad sísmica es un

fenómeno espacio – temporal que obedece a tres exponentes α, b y df, los cuales surgen como

índices críticos en la ley de unificación. Se encontró que la distribución de los sismos, cuando se

reescala, obedece a una única función que no depende de la magnitud ni del espacio

considerado; pero que sin embargo, está en función de los exponentes mencionados.

Se desarrollo una simulación de la función de escalamiento unificado para valores de la

dimensión fractal en 3D, y se observó que la función ya no cumple como cuando se considera la

dimensión fractal de los epicentros (2D), lo que abre un nuevo panorama de análisis.



4. En el análisis de Leyes de Escala y Universalidad se emplearon funciones más simples para el

desarrollo del reescalado de la distribución espacio – temporal de los tiempos de recurrencia de

la actividad sísmica para diferentes ventanas w de observación, en este caso diferentes valores

de la magnitud mínima Mc en donde se empleó Rw (tasa media de ocurrencia de terremotos en

w), El punto clave es que la función f, la función de escala, es independiente de w, es decir, de

la magnitud mínima fijada Mc.

El resultado obtenido con éste análisis es un indicio de la auto–semejanza del proceso sísmico,

que queda confirmada al estudiar las probabilidades de los tiempos de recurrencia, tal como se

mostro anteriormente con la realización de éste análisis. Esto sin duda, es un indicativo de como

la sismicidad está organizada jerárquicamente, presentando la misma estructura en diferentes

escalas de observación.

5. En el análisis fractal se analizaron las series de tiempo de eventos sísmicos superficiales

(profundidad < 50 km) con magnitudes M ≥ 2.3 ocurridos en México; dentro de la estructura del

enfoque de escalamiento dinámico de fluctuaciones en series de tiempo. En este sentido, se

encontraron los parámetros que determinan las fluctuaciones de la actividad sísmica de la zona

para diferentes umbrales de magnitud M y diferentes intervalos.

Se obtuvieron como parámetros característicos: el exponente de rugosidad ζq = α = 0.96 ± 0.04;

el exponente de crecimiento de las fluctuaciones β = 0.66 ± 0.02; y el exponente de

escalamiento dinámico z = 1.5 ± 0.1, el cual satisface la relación de escalamiento dinámico z =

α / β. Así, se pueden usar las ecuaciones cinéticas de la teoría de la rugosidad cinética para

modelar la dinámica de las fluctuaciones de la actividad sísmica. Esto permite el uso de

poderosas herramientas de la teoría de rugosidad cinética para modelar y predecir las

fluctuaciones de la actividad sísmica, las cuales se pueden usar en los catálogos sísmicos

alrededor del mundo.

6. Se puede observar que considerando las distancias espaciales, al igual que en los tiempos de

recurrencia, existe parecido en las curvas obtenidas, las cuales, nuevamente presentan un

régimen lineal, indicando una distribución de ley de potencia. Se puede observar que

considerando las variables espaciales, los datos colapsan también cuando son reescalados; por lo



tanto, también se puede establecer una ley de escala en la sismicidad ocurrida en la Placa de

Cocos para las distribuciones espaciales en el periodo considerado.

El colapso de los datos para las distancias y también para los tiempos, como resultado del

reescalado de los valores respectivos, sugiere una relación entre distancia y tiempo en la

actividad sísmica considerada. La fórmula que relaciona estas dos variables es la velocidad; y

considerando la distribución de las velocidades, nuevamente se obtiene una similitud entre las

gráficas obtenidas. Lo que permite ver que se necesita desarrollar una mayor cantidad de

análisis con este enfoque, lo que contribuirá para obtener resultados más concluyentes.

7. Con los análisis que se desarrollaron en ésta investigación, podemos dar respuesta a las

preguntas que se formularon dentro de la problemática, las cuales fueron:

1. ¿Cómo se puede establecer la relación existente entre las diversas variables que intervienen

en los eventos sísmicos y su análisis a través de la mecánica fractal?

La relación queda establecida con las series de tiempo de la magnitud de los eventos sísmicos en

el período de tiempo considerado y determinando una ventana de observación espacial, dada por

las longitudes y latitudes que determinan la ubicación geográfica de la Placa de Cocos.

2. ¿Cómo puede la aplicación de las técnicas y métodos de la mecánica fractal en el análisis de

los datos sísmicos contribuir al desarrollo de la predicción sísmica?

Encontrando los parámetros de las fluctuaciones de la actividad sísmica (exponente de

rugosidad, exponente de crecimiento y exponente de escalamiento dinámico), con lo que se

puede modelar la dinámica de dichas fluctuaciones.

8. Por otro lado, recordando que las hipótesis propuestas para el desarrollo de ésta investigación

fueron:

1. Las fluctuaciones en las series de tiempo de la actividad sísmica ocurrida en la Placa de Cocos en México, se modelan con los métodos desarrollados a través de la Mecánica Fractal y la Teoría de Rugosidad Cinética (Escalamiento Dinámico). 2. Las fluctuaciones de la actividad sísmica que ocurre en la Placa de Cocos en México, están relacionadas con alguna clase de universalidad de crecimiento dinámico.

La investigación verifico las hipótesis planteadas; encontrando que la primera es positiva y en

consecuencia, se puede afirmar que se pueden usar las ecuaciones cinéticas de la teoría de la

rugosidad cinética para modelar la dinámica de las fluctuaciones de la actividad sísmica.



Sin embargo, la segunda hipótesis resulto negativa, dado que los parámetros obtenidos, no

obedecen a alguna clase de universalidad como se puede observar en la siguiente tabla.

Serie de Tiempo ζ β z Clase de Universalidad

1/2 1/4 2 EW

1/2 1/3 3/2 KPZ

Sismos 0.96 ± 0.04 0.66 ± 0.02 1.5 ± 0.1 ¿…?

EW (Edwards – Wilkinson)

KPZ (Kardar – Parisi – Zhang)

Lo anterior sugiere seguir desarrollando análisis con éste enfoque para la actividad sísmica en

diferentes partes del mundo para poder determinar en base a los resultados obtenidos si se

podría encontrar alguna clase de universalidad con la cual se pueda caracterizar la dinámica de

las fluctuaciones de la actividad sísmica.

9. La ocurrencia de sismos repetidos, en cuanto a su distribución espacial (hipocentro), apoya la

teoría de la Tectónica de Placas, en lo que respecta a el proceso de subducción, dado que el

hecho de que ocurran sismos con igual hipocentro, sólo podría explicarse si estos ocurrieran en

una nueva superficie de placa tectónica ubicada en las mismas coordenadas, ello para que fuera

posible una nueva fractura, o tal vez podría explicarse si se diera la unión de la primera fractura,

debido a las grandes presiones a que está sometida dicha fractura.

10. El fenómeno sísmico como se ha podido constatar es muy complejo e interesante a nivel

nacional y mundial, por todo lo que ello implica. Se han desarrollado análisis y estudios desde

diversas aristas que contribuyan al entendimiento real del proceso que lo genera, ello con el fin

de poder llegar a predecir los sismos, lo que implica resultados que también satisfagan a la

comunidad científica. En el mundo se están llevando a cabo diversos análisis que obedecen

también a diversos enfoques, desde los más simples que parecerían no tener nada que ver con la

ciencia, hasta los muy sofisticados, como los análisis apoyados por satélites; estos últimos,

reservados en este momento únicamente a los países más desarrollados.

En los análisis sísmicos encaminados a la predicción, se involucran también diversas áreas de la

ciencia con el fin de incrementar las posibilidades de éxito. Al parecer, uno de los enfoque con

más perspectivas dentro de estos, es el de los análisis fractales. Sin embargo, no se pueden



descartar las contribuciones y el posible éxito de las áreas de la ciencia involucradas en los

análisis de éste fenómeno. El descubrimiento de los posibles métodos y/o modelos de

predicción sísmica en éste momento, es como un dado que se encuentra en el aire.

11. Aún encontrando un modelo de predicción sísmica adecuado y satisfactorio, se debe

considerar otro problema inherente a ello, el de las implicaciones sociales que conlleva, es decir,

hasta qué grado se encuentra la población preparada para este tipo de noticias o en qué forma

habría que prepararla; de manera que el anuncio de una predicción, no llegara a generar alguna

desestabilidad social y/o económica en los países involucrados.



RECOMENDACIONES.

1. Zonificar más el área considerada (Placa de Cocos) para obtener los parámetros en 3

secciones más pequeñas que abarquen los estados de Michoacán, Guerrero, Oaxaca y Chiapas,

dado que en la constitución de la placa de cocos que subduce en la parte correspondiente de la

placa norteamericana se ha encontrado que ésta presenta diferente ángulo de buzamiento.

Otra característica importante por la que se debe considerar zonificar el área es porque también

en las secciones mencionadas se presenta diferente velocidad de introducción de la placa

subducida.

2. Encontrar la dimensión fractal de los hipocentros (foco) de manera que se realicen los análisis

en 3D. Sin embrago, dada la importancia de encontrar esté o estos valores, es preciso desarrollar

herramientas propias (Software) que sean de utilidad en la realización de dichos análisis.

3. Construir un modelo con todos los parámetros posibles para simular desplazamientos,

acumulaciones de energía y fracturas (por ejemplo en ANSYS). Cabe retomar aquí lo que se

señalo en el primer punto, donde se resaltó los diferentes ángulos de buzamiento y las diferentes

velocidades de introducción de la placa, lo que tal vez introduciría nuevas variables a considerar

para el análisis; por ejemplo, torsión.

4. Desarrollar un software que permita analizar los datos de las series de tiempo considerando

las variaciones del tiempo entre los eventos y no sólo como evento tal como lo hace el software

BENOIT.

5. Ir perfeccionando el modelo obtenido en ésta investigación, analizando más parámetros que

permitan hacer el modelo cada vez más realista, pero también cada vez más complejo y más

completo.



6. Desarrollar un mapeo de fracturas de la zona en 3D, de manera que se pueda apreciar la

constitución de las fallas antes de un gran evento. Encontrar el tamaño de fractura y dirección en

base a la magnitud y/o energía para poder desarrollar también bajo estas consideraciones, los

correspondientes análisis fractales.

7. Buscar desarrollar los análisis en un ambiente Multidisciplinario y Transdisciplinario

(Gibbons, 1997), ya que a lo largo de ésta investigación se ha podido constatar que la mayor

probabilidad de éxito se podría obtener con la participación de las diversas disciplinas

involucradas en el tema, así como de las disciplinas auxiliares.

REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS


REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS



Aoki, Y. (1999). Imaging magma transport during the 1997 seismic swarm off the Izu Peninsula, Japan, Science, 286. Bak, P et. al. (2002). Unified Scaling Law for Earthquakes, Phys. Rev. Lett., 88, 178501. Bak, P. (1997). How Nature Works: The Science of Self-Organized Criticality. Copernicus NY. Bak, P. et. al. (1987). Phys. Rev. Lett. 59, 381. Balankin, A. (2003). Fractal Behavior of Complex Systems. México, Científica Vol.7 No. 3, Escuela Superior de Ingeniería Mecánica y Eléctrica, IPN. Balankin, A. (2007). Dynamic Scaling approach to study time series fluctuations, Phys. Rev. Lett., E 76, 056120. Balankin, A. (2007). Phys. Rev. E 76, 056120. Balankin, A. and Morales, O. (2005). Phys. Rev. E 71, 065106. Barabási, A. & Stanley, E. (1995). Fractal concepts in surface growth; Cambridge University Press, Cambridge. Barabási, A. and Vicsec, T. (1991). Phys. Rev. A 44, 2730. BENOIT (2005). Benoit 1.2 Documento Html: http://www.scioncorp.com BENOIT 1.3 (2007). W. Seffens, Science 285, Documento Html: http://www.trusoft-international.com/ Bernal, C. A. (2006). Metodología de la investigación, México: Prentice Hall. Braun, E. (2003). Caos, fractales y cosas raras. México: La ciencia para todos No. 150, Fondo de cultura económica. Briones, G. (1998). Métodos y Técnicas de investigación para las Ciencias Sociales, México: Trillas. Buceta, J. et. al. (2000). Phys. Rev. Lett. E 61, pp. 6015. Bunde, A. & Havlin, S. (1996). Fractals and Disordered Systems: Springer, Heildelberg. Bunge, M. (1990). La ciencia, su método y su filosofía, Buenos Aires: Ediciones Siglo Veinte. Campbell, A. & Mackinlay, C. The Econometrics of Financial Markets, Princeton: Princeton University Press. Casares, L. (2003), Técnicas actuales de investigación documental, México: Trillas. Checkland, P. & Scholes Jim. (1990). Soft Systems Methodology in Action, England: Jhon Wiley. Checkland, P. (1981). Systems Thinking, Systems Practice, England: Jhon Wiley. China Earthquake Administration (2007). Earthquake prediction.



Documento Html: www.icce.ac.cn/icce/cea/prediction.htm China Earthquake Administration (2007a). Earthquake prediction. Documento Html: www.icce.ac.cn/icce/cea/monitoring.htm Chong, K. & Choo, K. (2003). “Fractal Analysis on internet traffic time series”. University of Fribourg. Econophysics Forum. arXiv.physics/0206012 v3. 2003. Switzerland. Contadakis, M. (2001). Hydrologic Changes as Possible Earthquake Precursor in Greece. Natural Hazards, 23, 29-47. Corral, A. (2005). Comment on “Do earthquakes exhibit self-organized criticality?”. Phys. Rev. Lett. 95, 159801. Corral, A. (2007). Leyes de escala, universalidad y renormalización en la ocurrencia de los terremotos en espacio, tiempo y tamaño. Física para todos, España, Universidad Autónoma de Barcelona. Correig, A. (2006). Ocurrencia y predicción de terremotos. Bases físicas. Física de la Tierra, No. 18. Dajiong, L. (1983). Las nubes: un sismógrafo en el cielo. China Reconstruye, junio. Derr, J. (1973). Earthquake lights: a review of observations and present theories. Bull. Seism. Soc. Amer., vol. 63, pp. 2177-2187 Domínguez, J. et. al. (2006). Seismic velocity structure of the Guerrero gap, México, Geofísica Internacional, Vol. 45, Num. 2, pp. 129-139. Earthquake Prediction Research Center (2007). Significance of Prediction Studies. Documento Html: www.eprc.eri.u-tokyo.ac.jp Earthquake Research Institute (2007). University of Tokyo. Documento Html: www.eri.u-tokyo.ac.jp Edenex (2007). Predicción de Terremotos. Documento Html: www.edenex.iespana.es/edenex/terremotos.htm El-Fiky, G. (1999). Interplate coupling in the Tahoku district, Japan, deduced from geodetic data inversion, J. Geophys. Res., 104, B9. Enescu, B. (2001). Some premonitory phenomena of the 1995 Hyogo-Ken Nanbu (Kobe) earthquake: seismicity, b-value and fractal dimension Tectonophysics, Volume 338, Issues 3-4, 30 August 2001, Pages 297-314 Espíndola, J. y Jiménez, Z. (2001). Terremotos y ondas sísmicas. México: Cuadernos del Instituto de Geofísica, UNAM. Esteva, L. (1976). Seismicity, en Seismic Risk and Engineering Decisions, Elseiver Sc. Publ. Co. Family, F. & Vicsek, T. (1985). Phys. Rev. Lett. A 18, L75. Geiger, L. (1911). Probability method for the determination of earthquake epicenters from the arrival time only. Bull, St. Louis University.



Gibbons, M. (1997). The new production of knowledge, Washington, Sage Publications Ltd. Gnedenko, B. (1969). The Theory of Probability. Mir Publ. URSS. Gotoh, K. (2004) Fractal analysis of seismogenic ULF emissions. Physics and Chemistry of the Earth, Volume 29, Issues 4-9, 2004, Pages 419-424 Gutenberg, B. & Richter, C. (1954). Seismicity of the Earth and Associated Phenomena. Princeton Univ. Press. Gutenberg, B. & Richter, C. F. (1944). Bull. Seismol. Soc. Am. 34, 185. Hagiwara, Y. (1974). Probability of earthquake occurrence as obtained from a Weibull distribution analysis of crustal strain. Tectonophysics, vol. 23, pp. 313-318. Haynes, J. (1970). in: D.H. Everett, R.H. Ottewill (Eds.), Surface Area Determination, Butterworths, London, p. 97. Herrman F. & Bernabe Y. (2004). Seismic singularities at upper-mantle phase transitions: a site percolation model. Geophys. 159, 946-960. Hurst, H. E. (1951). Long-term Storage of Reservoirs; Transactions of the American Society of Civil Engineers 116. Iisee. (2007). Resent Strong Motion Networks in Japan. Documento Html: www.iisee.kenken.go.jp/kashima/ Instituto de Geofísica (2001). Servicio Sismológico Nacional. Red Sismológica Nacional. México, Serie: Infraestructura Científica y desarrollo Tecnológico, UNAM. Instituto de Geofísica. (2003). Red Sismológica Nacional. México: Serie infraestructura científica y desarrollo tecnológico, UNAM. K. J. Falconer, K. (1990). Fractal geometry: mathematical foundations and applications, Wiley, New York. Kagan Y. (2006). Why does theoretical physics fail to explain and predict earthquake occurrence? University of California PostPrints, University of California, California USA, paper 1808. Kagan, Y. (2007).Lect. Notes Phys. 705, 303. Kanamori, H and Brodsky, E. (2004). Rep. Prog. Phys. 67, 1429; A. Corral, Lect. Notes Phys. 705, 191 (2007). Kantz, H. & Schreiber, T. (1997). Nonlinear Time Series Analysis, Cambridge University Press, Cambridge. Kirschvink, J. (2000). Earthquake prediction by animals: Evolution and sensory perception. Bull. Seis. Soc. Am. 90, No. 2,312-323. Kiyashchenko, D. (2004). Seismic hazard precursory evolution: fractal and multifractal aspects. Physics and Chemistry of the Earth,Volume 29, Issues 4-9, 2004, Pages 367-378.



Kotani, T. and Kawamura, H. (2008). Phys. Rev. E 77, 010102. Lee, W. & D. Brillinger (1979). On Chinese earthquake history- An attemp to modela n incomplete data set by point process analysis, Pageoph, vol. 117, pp. 1229-1257. Lippiello, E. L. and Godano, C. (2008). Phys. Rev. Lett. 100, 038501. Lomnitz, C. (1974). Global Tectonics and Earthquake Risk. Elseiver Publish. Co. López Cerezo, J. (1988). Filosofía crítica de la ciencia. Barcelona: Antropos. Louie, J. (1998). What is Richter magnitude?, México: citado en la página Web del Servicio Sismológico Nacional. Ludwin, R.(2004). Earthquake Prediction. The Pacific Northwest Seismograph Network. US. Documento Html: www.pnsn/info_general/eq_prediction Mandelbrot, B. & Wallis, J. (1969). Robustness of the Rescaled Range R/S in the Measurement of Noncyclic Long Run Statistical Dependence; Water Resources Research 5. Mandelbrot, B. (1982). The Fractal Geometry of Nature, N. York: W. H. Freeman. Mandelbrot, B. (1986). Fractals in Physics; Holland, Amsterdam, pp. 3. Mandelbrot, B. and Wallis, J. (1997). Water Resources Res. 5, 967 (1968); A. R. Mehrabi, H. Rassamdana, and M. Sahimi, Phys. Rev. E 56, 712 (1997). Marsan, D. et. al. (2000). J. Geophys. Res. 105, B12, 28081. Mirko, S. (2003). Power Law Time Distribution of Large Earthquakes, Phys. Rev. Lett., Vol. 90, Num. 18, 188501. Mittag R. (2003). Fractal analysis of earthquake swarms of Vogtland/NW-Bohemia intraplate seismicity. Journal of Geodynamics, Volume 35, Issues 1-2, January-March 2003, Pages173-189 Mogi, K (1985). Earthquake prediction. EUA, Academia Press Inc. Montagne R. & Vasconcelos G. (2004). Complex Dynamics in a one-block model for earthquakes. Physica A, 342, 178-185. Morales, O. (2004). Dinámica de la mecánica fractal de precios del petróleo, México: Instituto Politécnico Nacional, Tesis Doctoral. Nanjo K. & Nagahama H. (2004). Fractal properties of spatial distributions of aftershocks and active faults. Chaos Solitons & Fractals, 19, 387-397. NASA (2007). Pronóstico de Terremotos, Ciencia@NASA. Documento Html: www.nasa/Pronostico de Terremotos Nava, A. (2002). Terremotos. México: La ciencia para todos No. 34, Fondo de cultura económica. Neimark, A. (1991). Ads. Sci. Technol. 7 - 210.



Nieto F. et. al. (2005). Spatial Distribution, Scaling and Self-similar Behavior of Fracture Arrays in the Los Planes Fault, Baja California Sur, Mexico, Pure appl. Geophys., 162, 805-826. Oleschko, K. (2002). Phys. Rev. Lett. 89, 188501. Omori, F. (1895). J. Coll. Sci. Imper. Univ. Tokyo 7, 111. Peitgen, H. and Saupe, D. (1992). in Chaos and Fractals: New Frontiers of Science, Springer-Verlag, New York. Plerou, V. (1999). Phys. Rev. Lett. 83, 158701. Ponomarev, A. (1997). Physical modeling of the formation and evolution of seismically active fault zones. Tectonophisics, 227, 57-81. Ramasco, J. (2002). Invariancia de escala en el crecimiento de superficies e interfases; Tesis Doctoral, Departamento de Física, Universidad de Cantabria, España. Rikitake, T. (1976). Earthquake prediction. Elsevier Scientif. Publish. Co., Países Bajos. Riznichenko, V. (1958). Standardization of magnitude scales. Akad. Naux SSSR Izv. Ser. Geofis. No. 2. p. 153. Saegusa A. (1999a). China clamps down on inaccurate warnings, Nature 397, 284. Saegusa, A. (1999). Japan tries to understand quakes, not predict them, Nature 397, 284. Schmitt, F. and Lovejoy, S. (1992). Phys. Rev. Lett. 68, 305. Scholz, C. (2002). The mechanics of Earthquake and Faulting. Second ed. Cambridge University Press, p. 470. SEISAN 8.1.3 (2006). Seisan earthquake analysis software. Documento Html: http://www.geo.uib.no/seismo/software/seisan/seisan.html Servicio Sismológico Nacional (2002). Reporte de sismos, sismo de Chiapas del 16 de enero de 2002, México: Instituto de Geofísica, UNAM. Documento Html: www.ssn.unam.mx Servicio Sismológico Nacional (2008). SSN, UNAM, México. Smirnova, N. (2004). Precursory behavior of fractal characteristics of the ULF electromagnetic fields in seismic active zones before strong earthquakes. Physics and Chemistry of the Earth, Parts A/B/C, Volume 29, Issues 4-9, 2004, Pages 445-451. Stanley, H. (1971). Introduction to phase transitions and critical phenomena, Oxford, Science Publications. Stanley, H. (1995). Scaling behavior in the dynamics of an economic index, Nature 376. Surkov, V. (2003). Fractal properties of medium and seismoelectric phenomena, Journal of Geodynamics, Volume 33, Issues 4-5, May-July 2002, Pages 477-487. T. Utsu, T. (2002). in Relationship between magnitude scales, In International Handbook of Earthquake and Engineering Seismology, edited by W. H. K. Lee, H. Kanamori, P. C. Jennings, and



C. Kisslinger (Academic Press, Amsterdam, 2002), Vol. Part A, p.733. Talanquer, V. (2003). Fractus, Fracta, Fractal: Fractales, de laberintos y espejos. México: La ciencia para todos No. 147, Fondo de cultura económica. Telesca, L. (2000). Self-similarity properties of seismicity in the Southern Aegean area. Tectonophysics, Volume 321, Issue 1, 25 May 2000, Pages 179-188 Telesca, L. (2001). Statistical analysis of fractal properties of point processes modeling seismic sequences. Physics of The Earth and Planetary Interiors, Volume 125, Issues 1-4, October 2001, Pages 65-83 Toh, H. and Uyeshima, M. One – dimensional model study of the PNG data set using site-independent Groom-Bailey decompositions. J. Geomag. Geoelectr., 49. Turcotte, D. (1997). Fractals and Chaos in Geology and Geophysics. Second. ed. Cambridge University Press, p. 398. Turcotte, D. (2004). The relationship of fractals in geophysics to "the new science". Chaos, Solitons & Fractals, Volume 19, Issue 2, January 2004, Pages 255-258 United States Geological Survey (2007). Advanced Nacional seismic System. Documento Html: www.earthquake.usgs.gov/monitoring/anss/ United States Geological Survey (2007). U. S. Department of the Interior. Documento Html: www.earthquake.usgs.gov/research/monitoring/anss/ Uyeda, S. (1982). Subduction zones: an introduction to comparative subductology. London England: Tectonophysics, V.81, pp.133-159. Uyeshima, M. (1998). Directional properties of VAN´s SES and ULF MT signals at Iaoannina, Greece, Phys. Earth Planet. Int., 105. Valdés, C. (1986). Crustal structure of Oaxaca, Mexico, from seismic refraction measurements. Bulletin of the Seismological Society of America; V. 76, No. 2, Seismological Society of America. Van Gigch, J. (1995). Teoría General de Sistemas, México. Vicsek, T. (1989). Fractal growth phenomena; World Scientific. Vicsek, T. (1991). Fractal Growth Phenomena, World Scientific, Singapore. Viniegra, F. (2001). Una mecánica sin talachas. México: La ciencia para todos No. 7, Fondo de cultura económica. Wadati, H. (1933). Introduction of Seismology. Birkhauser Verlag Vasel. p. 395 Wakita, H. (1982). Changes in groundwater level and chemical composition, en earthquake prediction techniques, Tokyo, Editorial de la Universidad. Wakita, H. (1996). Geochemical challenge to earthquake prediction. Proc. Natl. Acad. Sci. USA. Vol. 93, 3781-3786. Wilson, B. (1994). Systems: Concepts, Methodology and Application, England: Jhon Wiley.



Yamaguchi, S. (1999). Preliminary report on regional resistivity variation inferred from the Network MT investigation in the Shikoku district, southwestern Japan, Earth Planets Space, 51. Yeomans, J. (1992). Statistical Mechanics of Phase Transitions. Claredon Press Oxford. Zúñiga, R. y Dávila, M. Predicción Sísmica, México: Instituto de Geofísica, UNAM Documento Html: www. ssn.unam.mx

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GLOSARIO

La descripción de los términos que se proporciona en este glosario,

corresponde al significado dado en esta investigación. Esta explicación puede

no concordar con las definiciones encontradas en un diccionario de uso común.

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Algoritmo. Un procedimiento por pasos, que en un determinado número de ellos produce el óptimo. Amplificación. Fenómeno por el que se incrementan los efectos de un terremoto en una determinada localización debido a una focalización de las ondas sísmicas. Ésta puede ser debida a la topografía terrestre, a la topografía del basamento o a la estructura de los sedimentos. Análisis, método analítico. El método de investigación reduccionista por el cual se desintegra un sistema complejo en sus componentes y se estudia por separado. Anzats. Es una solución estimada a las ecuaciones iníciales que describen un problema físico o matemático. Una vez sea establecido un anzats, las ecuaciones son resueltas teniendo en consideración las condiciones de frontera. Si un anzats es un acierto luego será legitimado por lo resultados obtenidos. Algunas veces el anzats contiene parámetros que pueden ser actualizados luego de la evaluación de calidad del resultado, este proceso de prueba y ajuste puede realizarse iterativamente hasta alcanzar el nivel de precisión deseado. Buzamiento. Angulo de inclinación que presenta la placa subducida. Complejidad. La intrincación de intra e interrelaciones entre componentes de sistemas. Convección. Es una de las tres formas de transferencia de calor y se caracteriza porque se produce por intermedio de un fluido (aire, agua) que transporta el calor entre zonas con diferentes temperaturas. La convección se produce únicamente por medio de materiales fluidos. Éstos, al calentarse, aumentan de volumen y, por lo tanto, disminuyen su densidad y ascienden desplazando el fluido que se encuentra en la parte superior y que está a menor temperatura. Lo que se llama convección en sí, es el transporte de calor por medio de las corrientes ascendente y descendente del fluido. Energía. La energía es la capacidad de los cuerpos o conjunto de éstos para efectuar un trabajo. Todo cuerpo material que pasa de un estado a otro produce fenómenos físicos que no son otra cosa que manifestaciones de alguna transformación de la energía. Entropía. Un término de termodinámica, que mide el estado de desorden de un sistema. Epicentro. Proyección del foco sobre la superficie terrestre. Epistemología. Los procesos de pensamiento y razonamiento por los cuales se logra, se comprende y se garantiza la verdad. Exponente (Factor) de crecimiento (β). Caracteriza la dependencia dinámica en el tiempo de el proceso de rugosidad. Exponente (Factor) dinámico (z). Proporciona información acerca de qué tan rápido las correlaciones se expanden a través del sistema. Este exponente se relaciona con α y β mediante una simple relación de escalamiento: z = α / β Exponente (Factor) de rugosidad (ζq=α). También llamado exponente de Hurst y nos indica cuál es el grado de anisotropía del conjunto fractal. Es también un indicador para determinar si un fenómeno o una serie de tiempo presentan un comportamiento fractal y mide la intensidad de dependencia a largo plazo de una serie de tiempo. Está relacionado con la dimensión (fractal) local del conteo de cajas de la interface como DB = 2 – H. Falla. Fractura o zona de fractura en el terreno a lo largo de la cual los dos bloques que la

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forman se han desplazado, el uno con relación al otro. Foco. Punto en el cual comienza a presentarse la falla, liberando después, energía elástica en forma de ondas sísmicas, que se propagan a toda una superficie. Fractal. Un objeto que presenta la misma estructura al cambiársele indefinidamente la escala de observación recibe el nombre de fractal. Un fractal es por definición, un conjunto cuya dimensión de Hausdorff – Besicovich es estrictamente mayor que su dimensión topológica. Los fractales son conjuntos matemáticos que permanecen invariantes a los cambios de escala. Fractales Auto – Afines. Son fractales en donde dos o más direcciones no son equivalentes. Por ejemplo, en un fractal construido por adición, una sola dirección puede ser introducida si las partículas llegan al conjunto sólo desde una dirección. Un fractal auto-afín, es un conjunto que permanece invariante bajo una escala (estadística o literalmente) de transformación anisotrópica. Fractales Auto – Similares. Estos permanecen invariantes cuando la escala se cambia uniformemente en todas las direcciones. La invarianza puede ser literal, al realizar un zoom de una parte se observa exactamente la misma estructura, o puede ser estadística: no se ve exactamente lo mismo, pero el resultado del zoom es indistinguible del conjunto original. Gap Sísmico. Sección de una falla que ha producido terremotos en el pasado, pero que en la actualidad es inactiva. Geofísica. Disciplina que estudia la Tierra utilizando métodos físicos. Intensidad. La escala de Intensidad o Mercalli está asociada a un lugar determinado y se asigna en función a los daños o efectos causados al hombre y sus construcciones. Intensidad epicentral. Intensidad sentida en el epicentro. Generalmente es la máxima intensidad sentida. Interfase. Superficie que separa dos fases de la materia. Cada una de los cuales puede ser sólida, líquida o gaseosa. Una interfase no es una superficie geométrica, sino más bien es una capa delgada que contiene propiedades diferentes a las de las fases de la materia que separa. Intervalo de recurrencia. Tiempo medio que transcurre entre eventos en un determinado lugar. Magnitud. La escala de Magnitud o Richter esta relacionada con la energía que se libera durante un temblor y se obtiene en forma numérica a partir de los registros obtenidos con los sismógrafos. Mecánica. La mecánica es una parte de la física, y es la ciencia que estudia el movimiento de los cuerpos materiales en el espacio, el objetivo primordial de la mecánica es obtener las ecuaciones de las trayectorias para cada cuerpo en el espacio, que se mueve urgido por algún agente físico. De esta manera cumple con su carácter predictivo. El conjunto de disciplinas que abarca la mecánica convencional es muy amplio y es posible agruparlas en cuatro bloques principales: Mecánica clásica, Mecánica relativista, Mecánica cuántica y Teoría cuántica de campos. Método científico. El enfoque permitido en las ciencias físicas y otras relacionadas, por el cual se postulan, validan y generalizan hipótesis en leyes. El método científico y el paradigma de ciencia deben modificarse, para acomodarlos a las necesidades especiales del dominio de las ciencias sociales.

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Método. Conjunto de procedimiento que valiéndose de los instrumentos o las técnicas necesarias, examina y soluciona un problema o conjunto de problemas de investigación. Metodología. a) La metodología como parte de la lógica que se ocupa del estudio de los métodos, es el “estudio (descripción, explicación y justificación) de los métodos de investigación en sí”. b) La metodología entendida como el conjunto de aspectos operativos del proceso investigativos. Microzonificación. Delineación geográfica a escala local de áreas con diferente riesgo sísmico potencial. Modelo de control cibernético. Un sistema de control en donde las desviaciones de los estándares se miden de manera tal que se tomen medidas correctivas para mantener el sistema en equilibrio. Modelos. “Subrogados” del mundo real, que nos ayudan a comprender cómo funcionan. Los modelos de decisión se utilizan para convertir entradas en salidas y elegir las alternativas que satisfacen los objetivos del autor de decisiones. Momento sísmico (Mo). Medida del tamaño de un terremoto basada en el área de ruptura y el desplazamiento medio de la ruptura que ha generado el terreno. Puede calcularse a partir de la amplitud del espectro de las ondas sísmicas. Morfología. Forma y estructura de un organismo o sistema. Objetivos alcanzables. Objetivos que pueden cumplirse en el futuro previsible. Técnica de creatividad de libre asociación diseñada para maximizar el flujo de ideas dentro de un grupo, mediante la eliminación de apreciación crítica por parte de las sugerencias de los miembros. Objetivos inmediatos. Aquellos objetivos que la organización puede llevar a cabo en el presente sin obtener más recursos o desarrollar investigación adicional. Ondas internas. Es el conjunto de las ondas P y S. Ondas P. Ondas de tipo longitudinal consistentes en una serie de compresiones y dilataciones del material que atraviesan. Son las que se propagan a mayor velocidad. Ondas S (onda secundaria). Ondas de tipo transversal consistentes en vibraciones elásticas perpendiculares a la dirección de propagación. Se propagan a menor velocidad que las ondas P. Ondas sísmicas. (U ondas elásticas), son la propagación de perturbaciones temporales del campo de esfuerzos que generan pequeños movimientos en un medio. Las ondas sísmicas pueden ser generadas por movimientos telúricos naturales y también artificialmente mediante el empleo de explosivos o camiones vibradores. La sísmica es la rama de la sismología que estudia estas ondas artificiales para por ejemplo la exploración del petróleo. Optimización. El valor máximo de la función objetivo, que puede lograrse en un sistema cerrado –claramente un subóptimo, cuando el sistema que se evalúa es un subsistema abierto, colocado en el contexto de un sistema mayor. Paradigma de ciencia. El proceso metodológico o procedimiento por el cual, se aplica el método científico a los dominios de las ciencias exactas. Paradigma. Un proceso, un procedimiento (no definido necesariamente en forma de pasos

GLOSARIO


secuenciales), que puede utilizarse en forma repetida para abordar un tipo especifico de problema. Ejemplos: el paradigma de ciencia, que se deriva del método científico; el paradigma de sistemas, o proceso de diseño de sistemas, que abarca el enfoque de sistemas Predicción sísmica. Establecer modelos adecuados que satisfagan la dinámica de nuestro planeta, de este modo, el modelo no tiene que ser “exacto”, sino “perfeccionable”. Predicción. Análisis racional de lo que va a suceder. Premonitorios. Relativamente pequeños terremotos que pueden preceder al principal en una serie sísmica. Prospectiva. La actitud de la mente hacia la problemática del porvenir, es un acto imaginativo y de creación, luego una toma de conciencia y una reflexión sobre el contexto actual; y por último un proceso de articulación y convergencias de las expectativas. Es imprescindible destacar su carácter creativo. Réplicas. Terremotos que siguen al más importante en una secuencia de sacudidas. En general, cuanto mayor es el terremoto principal, más numerosas, más importantes y durante más tiempo se estarán produciendo dichas réplicas. Retroalimentación. La característica de regulación por la cual se recicla una porción de la salida – generalmente la diferencia entre los resultados real y deseado – a la entrada, a fin de mantener el sistema entre los umbrales del equilibrio. Riesgo sísmico. Probabilidad de consecuencias económicas o sociales debidas a terremotos. Series de tiempo. Se llama Series de Tiempo a un conjunto de observaciones y mediciones sobre valores que toma una variable (cuantitativa) de cierto fenómeno o experimento registrado secuencialmente en el tiempo. Sismicidad. Distribución histórica y geográfica de terremotos en una zona. Sismo. Un sismo es un rompimiento repentino de las rocas en el interior de la Tierra. Esta liberación repentina de energía se propaga en forma de ondas que provocan el movimiento del terreno. Sismograma. Es un registro del movimiento del suelo llevado a cabo por un sismógrafo. La energía medida en un sismograma puede resultar de fuentes naturales como son los sismos (o terremotos), o de fuentes artificiales como son los explosivos (sismos inducidos). Sismómetro. Es un instrumento para medir terremotos para la sismología o pequeños temblores provocados, en el caso de la Sismología de exploración. Este aparato, en sus versiones iniciales, consistía en un péndulo que por su masa permanecía inmóvil debido a la inercia, mientras todo a su alrededor se movía; dicho péndulo llevaba un punzón que iba escribiendo sobre un rodillo de papel pautado en tiempo, de modo que al empezar la vibración se registraba el movimiento en el papel, constituyendo esta representación gráfica el denominado sismograma.

Sistema “rígido”. Opuesto a sistema “flexible”. Un sistema generalmente desprovisto de propiedades biológicas, y relacionado al dominio de las ciencias físicas. Sistemas. Ensambles real o ideado o conjuntos de elementos relacionados “que se han identificado como de interés especial”.

GLOSARIO


Subducción. Es un proceso de hundimiento de una placa litosférica bajo otra en un límite de placas convergente, según la teoría de tectónica de placas. Generalmente, es la litosfera oceánica, de mayor peso específico, la que subduce bajo la litosfera continental, de menor peso específico debido a su mayor grosor cortical. Suboptimización. En el caso de sistemas abiertos complejos, suboptimización concertada (casi óptima), puede ser decididamente mejor que optimizaciones totales. Telesísmico. Relativo a terremotos que se producen a más de 1000 km de distancia del lugar donde se realiza la medición o registro. Teoría del caos. Es la denominación popular de la rama de las matemáticas y la física que trata ciertos tipos de comportamientos impredecibles de los sistemas dinámicos. Los sistemas dinámicos se pueden clasificar básicamente en: Estables, Inestables y Caóticos. Un sistema estable tiende a lo largo del tiempo a un punto, u órbita, según su dimensión (atractor o sumidero). Un sistema inestable se escapa de los atractores. Y un sistema caótico manifiesta los dos comportamientos. Terremoto. (ó Sismo), ver. Transdisciplinariedad. Conocimiento que surge de un contexto de aplicación concreto, con sus propias estructuras teóricas características, método de investigación y modos de práctica, pero que puede no estar localizable en el mapa disciplinar prevaleciente. Transferencia de tecnología. La transmisión de conocimiento desde las universidades a la industria. El término transferencia de tecnología también se utiliza para reflejar la naturaleza interactiva de este proceso. Transformación de Afinidad. Reglas para escalar, rotar, desplazar y en ocasiones distorsionar un objeto geométricamente. La naturaleza de cualquier transformación de afinidad permite clasificar a ésta dentro de dos grandes grupos: lineales y no lineales. La diferencia fundamental entre ellas reside en que las primeras respetan las líneas rectas que constituyen la forma geométrica sobre la que se aplican, mientras que las segundas no, y por tanto actúan sobre ellas alterando algo más que su posición, orientación y tamaño.

INDICE DE FIGURAS Y TABLAS


ÍNDICE DE FIGURAS Y TABLAS



Índice de Figuras.

Cap. Fig. Nombre Pág.

1.1 Distribución de las placas tectónicas de la República Mexicana. 31.2 Sismicidad de México entre 1964 y 1995, con Magnitud > 4.5 31.3 Los grandes sismos del siglo (M > 6.5). 41 1.4 Desastres ocasionados por terremotos en México, Japón y E. U. 11

2.1 Metodología de Checkland. 172.2 Estructura interna de la Tierra. 192.3 Placas tectónicas en la Tierra. 202.4 Proceso de subducción. 212.5 Movimiento ocasionado por transferencia convectiva de calor. 212.6 Localización del foco y del epicentro de un sismo. 222.7 Tipos de ondas sísmicas y sus efectos en las construcciones 222.8 Desplazamiento relativo de las ondas P y S en el tiempo. 232.9 Localización experimental del epicentro (E) de un sismo. 242.10 Sismograma típico registrado en una estación sismológica. 252.11 Nomograma para calcular la magnitud de un sismo a partir de un sismograma. 272.12 Distribución de las Placas Tectónicas en México. 292.13 Corte transversal desde la Trinchera Mesoamericana hasta el estado de Tabasco. 302.14 La curva de Koch, después de cuatro iteraciones. 362.15 El triangulo de Sierpinski después de cuatro iteraciones. 372.16 Diversas Transformaciones. 37

2

2.17 Fractal auto-afín determinístico. 43

3.1 Metodología para el desarrollo del Modelo de Predicción Sísmica para la República Mexicana.

54

3.2 Cubo de dimensiones y variables para el modelo de predicción sísmica. 553.3 Relación de variables para el modelo de predicción sísmica. 563.4 Selección del Universo de estudio para el análisis fractal. 593.5 Evolución de sismos ocurridos desde el 1/01/1988 – 31/12/2004. 613.6 Distribución de sismos de acuerdo a su magnitud (aproximación de 0.1 grado)

(F1). 63

3.7 Distribución de sismos de acuerdo a su magnitud (aproximación de 1 grado) (F1).

63

3.8 Distribución de sismos de acuerdo a su magnitud (aproximación de 0.1 grado) (F2).

64

3.9 Distribución de sismos de acuerdo a su magnitud (aproximación de 1 grado) (F2).

64

3.10 La región de México considerada para el análisis; a la derecha, los tres tamaños considerados de celdas, para L=1°, L=2° y L=3°, desde arriba, respectivamente.

66

3.11 Distribución PS,L(T) de los tiempos de interrocurrencia T entre terremotos con magnitud m mayor que log10(S) dentro de un área de tamaño lineal L.

66

3.12 Distribución PS,L(T) de los tiempos de interrocurrencia T entre terremotos con magnitud m mayor que log10(S) para la parte con pendiente α (Ley de Omori) constante.

67

3

3.13 Datos reescalados como una función de la variable x = cTS-bLdf. 68



3.14 Densidad de probabilidad de los tiempos de recurrencia de los terremotos en la Placa de Cocos, México para diferentes valores de magnitud.

71

3.15 Densidades correspondientes a la figura 3.14 reescaladas con la tasa de recurrencia.

72

3.16 Magnitud de los terremotos en la Placa de Cocos frente a su tiempo de ocurrencia para diferentes ventanas en la magnitud (M≥5 y M≥6).

73

3.17 Registro de magnitud de eventos sísmicos superficiales (profundidad < 50 km) ocurridos en México desde 01/01/1998 hasta 12/30/2004; (b) Series de tiempo del momento acumulado F(t) para series de tiempo de magnitud M(tn) ≥ 2.3,

75

3.18 Gráfica típica de C* = C(δt) – 1 contra δn para las series de tiempo de magnitud (datos para series de tiempo M(tn) ≥ 3.8)

76

3.19 Gráficas logarítmicas de Gq en unidades arbitrarias contra el tamaño de ventana δn para las fluctuaciones de la actividad sísmica (M0 = 2.3) para diferentes intervalos de prueba.

78

3.20 Gráficas logarítmicas de funciones: (a) G2(Δn, NΔ) en unidades arbitrarias contra: el intervalo de prueba Δn para las series de tiempo de magnitud con diferente umbral de magnitud.

80

3.21 La región de México considerada para el análisis de distribución espacial. 823.22 Distribución Pm,L(ΔD) de las distancias espaciales ΔD entre epicentros de

terremotos. 83

3,23 Datos reescalados para las distribuciones de las distancias espaciales. 843.24 Distribución Pm,L(v) de las velocidades v entre terremotos. 853.25 Datos reescalados para las distribuciones de velocidades. 86



Índice de Tablas.

Cap. Tab. Nombre Pág.

1.1 Promedio Anual de Sismos en el Mundo, de acuerdo a su magnitud, y su

distribución. 2

1 1.2 Principales métodos empleados actualmente para el análisis y la predicción sísmica.

6

2.1 Compendio del Marco Teórico 192.2 Grados de Magnitud y sus efectos típicos. 262 2.3 Los terremotos más importantes ocurridos en México. 31

3.1 Operacionalización de variables 583.2 Distribución de sismos por año y mes en el área del Filtro 1 (F1). 603 3.3 Distribución de sismos por año y mes en el área del Filtro 2 (F2). 60

ANEXO A

DIVULGACIÓN ACADÉMICA Y CIENTÍFICA

tesis.ipn.mxtesis.ipn.mx/jspui/bitstream/123456789/15669/1/Aplicacion de la... · INSTITUTO POLITECNICO NACIONAL ESCUELA SUPERIOR DE INGENIERIA MECANICA Y ELECTRICA UNIDAD ZACATENCO

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