Tesis Master Fisica Jefferson Martinez Lopez

8/11/2019 Tesis Master Fisica Jefferson Martinez Lopez

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Mster Modelizacin y Fsica deSistemas Complejos

[DINMICA Y CONTROL POR LA FASE DEL OSCILADOR DE DUFFING]

Autor: JEFFERSON MARTINEZ LOPEZ.

Tutores: Jess Miguel Seoane y Javier Used.

Mayo de 2014


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AGRADECIMIENTOS

Reservo este espacio para agradecer a los Directivos y amigos de la FundacinColombiana Agua y Paz por el apoyo.

Igualmente a los Profesores Dr. Jess Seoane y Dr. Javier Used del Departamentode Fsica de la Universidad Rey Juan Carlos, por la cortesa y amabilidad, ademsde facilitar mi viaje y el Mster en Espaa.

Agradezco a mi amigo el Doctor Edwin Arturo Ramrez por invitarme a Espaa, suestmulo y compaa fue vital durante mis estudios.

Por su puesto que tengo un hondo sentimiento de gratitud para con mi Hija AnaSofa Martnez, su compaa en Europa fue mi mejor motivacin.


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CONTENIDO1. INTRODUCCIN............................................................................................................................. 42. INTRODUCCIN AL OSCILADOR DE DUFFING.......................................................................... 5

2.1. OSCILACIONES MECNICAS ARMNICAS........................................................................ 52.2. OSCILACIONES ARMNICAS AMORTIGUADAS................................................................ 62.3. OSCILACIONES FORZADAS -NO AMORTIGUADAS.......................................................... 72.4. OSCILACIONES FORZADAS AMORTIGUADAS.................................................................. 72.5. OSCILADOR DUFFING - OSCILACIONES CATICAS........................................................ 82.6. CAOS- ATRACTOR EXTRAO............................................................................................. 92.7. ESPACIO DE LAS FASES ................................................................................................... 102.8. ANLISIS CUALITATIVO-PUNTOS FIJOS......................................................................... 112.9. HAMILTONIANO DEL OSCILADOR DE DUFFING............................................................. 15

2.10. MAPA O SECCIN DE POINCAR..................................................................................... 172.11. LINEALIZACIN OSCILADOR DE DUFFING...................................................................... 182.12. PROPIEDADES DEL OSCILADOR DE DUFFING............................................................... 192.13. EXPONENTES DE LYAPUNOV........................................................................................... 202.14. BIFURCACIONES................................................................................................................. 222.15. EL CONTROL DEL CAOS.................................................................................................... 23

3. DESCRIPCIN DEL PROBLEMA................................................................................................ 243.1. IMPLEMENTACIN DEL MODELO..................................................................................... 243.2. OSCILACIONES LIBRES NO AMORTIGUADAS................................................................ 243.3. OSCILACIONES AMORTIGUADAS..................................................................................... 253.4. OSCILACIONES FORZADAS.............................................................................................. 263.5. OSCILACIONES CATICAS................................................................................................ 263.6. CUENCAS DE ATRACCIN Y FRACTALIDAD DEL DUFFING ......................................... 293.7. CONTROL DEL CAOS POR LA FASE................................................................................ 30

4. RESULTADOS DE LA INVESTIGACIN NUMERICA................................................................. 324.1. EXPLORACIN NUMRICA DEL CONTROL POR LA FASE EN EL OSCILADOR DEDUFFING........................................................................................................................................... 344.2. ANLISIS BIFURCACIONAL............................................................................................... 34

4.2.1. DIAGRAMAS DE BIFURCACIN................................................................................. 344.3. CALCULO DE EXPONENTES DE LYAPUNOV................................................................... 37

5. CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES................................................................................ 406. ANEXO.......................................................................................................................................... 427. BIBLIOGRAFIA............................................................................................................................. 47


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1. INTRODUCCIN

Existe el caos por todas partes en el mundo natural, y un vivo ejemplo es el Osciladorde Duffing, el cual recrea un experimento mecnico de un oscilador simple en un mediocon friccin, cuya modelizacin matemtica corresponde a una ecuacin ampliamenteconocida. Pero fue tan solo hasta el ao de 1970, cuando se descubri la existenciadel caos en la ecuacin, dando origen a una exploracin que revel su comportamientoasombrosamente complejo.

El modelo del Oscilador de Duffing obedece leyes universales que guan elcomportamiento catico, y parece curioso que su ecuacin aparezca en lamodelizacin de campos tan diversos como la ingeniera, economa, fsica,demografa, ecologa, epidemiologia, entre otros. Obtener las soluciones a la ecuacinno es tarea fcil, ya que albergan la posibilidad de exhibir extremos propios de lossistemas dinmicos deterministas no lineales, tales como comportamiento irregular eimprevisibilidad caracterizado por rbitas aperiodicas, ciclos lmite, atractoresextraos y sensibilidad a las condiciones iniciales, es decir: Caos.

La presente investigacin efecta una introduccin elemental de la comprensin de sucomplejidad. El oscilador de Duffing es un modelo paradigmtico de la nolinealidad elcual nos brinda una plataforma para su estudio a travs de las tcnicas cualitativas ycuantitativas de la teora, tales como series temporales, espacio de las fases,secciones de Poncar, clculo de exponentes de Lyapunov y diagramas debifurcacin.

El presente trabajo tambin explora la aplicacin de una tcnica de control del Caos,la cual resulta til cuando nos interesa suprimir la dinmica catica, y proporcionaconocimiento sobre cmo se produce el caos, permite observar sus fases previasantes de emerger como fenmeno. Incluso funciona para hacer surgir el Caos cuandose considere til.

La tcnica de control se enmarca dentro de las investigaciones realizadas por el Grupode Dinmica No Lineal, Teora del Caos y Sistemas Complejos del Departamento deFsica de la Universidad Rey Juan Carlos, cuyo grupo efectu trabajos precedentes eninvestigacin de la tcnica de control por fase [1].

El Grupo desarroll la tcnica ampliamente para una de las opciones de control decaos por fase, consistente en la adicin paramtrica, y dejaron planteada la necesidadde avanzar hacia el estudio de una segunda opcin mediante la aplicacin de unaperturbacin aditiva; sta ltima es el desafo que aborda la investigacin numricaefectuada.


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2. INTRODUCCIN AL OSCILADOR DE DUFFING

A continuacin haremos una descripcin de los osciladores lineales y no lineales ascomo de los tipos de oscilaciones que tienen lugar en funcin de los parmetros delsistema y del estmulo externo.

2.1. OSCILACIONES MECNICAS ARMNICAS

En el Universo Mecnico se presenta un fenmeno fsico natural denominadomovimiento armnico. El movimiento se origina como respuesta de un sistema enequilibrio a retornar a su estado original, cuando una fuerza perturbativa, le hadesplazado de su lugar central o de estabilidad. En los sistemas mecnicos tipo masamuelle, el resorte ejerce sobre la masa, una fuerza de magnitud proporcional aldesplazamiento de la masa desde su posicin de equilibrio; la fuerza siempre actahacia la direccin de la posicin de equilibrio de la masa, es decir en direccin contrariaal desplazamiento. La Figura 1 permite observar el fenmeno natural y la Ley que lorige.

Figura 1. Diagrama de la ley de Hooke

En el Movimiento Armnico Simple (MAS) se denomina ciclo, a la trayectoria seguidaal oscilar de un extremo a otro, pasando dos veces por la posicin de equilibrio. Elnmero de ciclos por segundo (Hz), se conoce como frecuencia de la oscilacin. Nosencontramos familiarizados con el movimiento oscilatorio o peridico en el universomecnico, como en el pndulo y resortes, as como en las vibraciones de losinstrumentos musicales de cuerda; ms an fenmenos como las ondaselectromagnticas, tales como la luz visibley ondas de radio, se caracterizan por seroscilantes.

Es la ley descubierta por Robert Hooke, la que gobierna el comportamiento delmovimiento en un muelle o resorte. Hooke encontr que la fuerza ejercida sobre elresorte es proporciona a la elongacin o extensin del estiramiento longitudinal que
http://es.wikipedia.org/wiki/Fuerzahttp://es.wikipedia.org/wiki/Proporcionalidadhttp://es.wikipedia.org/wiki/Luz_visiblehttp://es.wikipedia.org/wiki/Luz_visiblehttp://es.wikipedia.org/wiki/Proporcionalidadhttp://es.wikipedia.org/wiki/Fuerza


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experimental, y a la constante elstica ( k ) del mismo, cuyos valores se correspondencon el tipo de material constitutivo y la longitud del resorte.

En conclusin, en los sistemas dinmicos con movimiento armnico simple, en

ausencia de friccin, la masa o el cuerpo oscilan de un lado al otro de su posicin deequilibrio, pues para todo momento la fuerza recuperadora hace que la masa seaatrada hacia la posicin de equilibrio, en un movimiento peridico de vaivn, paraintervalos iguales de tiempo, de tal manera que su posicin en funcin del tiempoqueda descrita por la trayectoria de una sinusoide. Obsrvese la Figura 2.

Figura 2. Movimiento Armnico Simple (MAS)

2.2. OSCILACIONES ARMNICAS AMORTIGUADAS

En el movimiento armnico simple, la masa oscila con su frecuencia naturalindefinidamente entre dos posiciones sin perder la energa mecnica. En los sistemasreales se presentan fuerzas de resistencia del medio, y a la friccin interna de losmateriales que lo constituyen, por lo que la energa mecnica se transforma en calor,

el cual se disipa fuera del sistema, y la energa del oscilador desciende hasta hacersecero.

En el universo mecnico, las fuerzas disipativas, tales como la friccin, retardan elmovimiento del sistema. De modo que la energa mecnica se pierde mientras seproduce el movimiento en el tiempo. Aunque su carcter oscilatorio se mantiene, laamplitud de las oscilaciones disminuye con el tiempo, hasta que cesa el movimiento.

La magnitud del amortiguamiento determina distintos casos posibles (osciladorsubamortiguado, sobreamortiguado o con amortiguamiento crtico). Si el

amortiguamiento supera el valor umbral o crtico, el sistema no oscila, sino que regresaa la posicin de equilibrio en forma exponencial con el tiempo. De otro lado, para elcaso subamortiguado, con valores menores al crtico, el sistema realiza un movimientosemejante al armnico simple, pero las oscilaciones se producen con un decaimientoen su amplitud de forma exponencial a medida que transcurre el tiempo.


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2.3. OSCILACIONES FORZADAS -NO AMORTIGUADAS

Las fuerzas disipativas son las causantes de la perdida de energa en el osciladoramortiguado, por lo que con el transcurrir del tiempo, en funcin de la condicin del

amortiguamiento, provocan el agotamiento total de la energa, y con ello el cese delmovimiento en su punto de equilibrio espacial o estado de reposo.

No obstante si deseamos conservar el movimiento oscilatorio con su amplitud, nosveremos obligados a agregar la energa que se pierde del sistema, en forma de calor,mediante un agente externo que aporte una fuerza peridica y de magnitud constante,que remplace la disipada por el movimiento del sistema.

Cuando aplicamos una fuerza impulsora que vara con una frecuencia ( w ), el sistemaoscila a la misma frecuencia (w ). Sin embargo, existe una condicin para la cual la

amplitud de las oscilaciones se amplifica a su mximo, la cual se da cuando lafrecuencia de la fuerza externa se aproxima a la frecuencia natural ( w 0 ); dichofenmeno fsico es conocido como resonancia.

2.4. OSCILACIONES FORZADAS AMORTIGUADAS

En la condicin de rgimen estacionario, las oscilaciones conservan su amplitud,gracias a que la energa que ingresa al sistema a travs de la fuerza externa,compensa en magnitud la energa que se pierde por disipacin. En rgimenestacionario las oscilaciones se presentan en la misma frecuencia ( w ) que la fuerzaexterna.

Sin embargo es necesario que la energa mecnica neta en el oscilado sea nula; puesde no ser as cambia la amplitud de las oscilaciones. Sobre el sistema actan 3 fuerzas:la de restitucin del resorte, la fuerza de friccin que amortigua las oscilaciones y lafuerza excitadora, obtenindose:

+ + La anterior ecuacin diferencial es solucionada mediante la tcnica de adiccin de lasolucin homognea y la solucin particular del sistema.

+ Por lo que se requiere encontrar una funcin, de la forma f(t, x, ), que verifique laigualdad de la ecuacin.


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2.5. OSCILADOR DUFFING - OSCILACIONES CATICAS

El oscilador Duffing es un modelo representativo de la complejidad presente cuandoacontece un fenmeno categorizado con dinmica catica, debido a la introduccin deuna reaccin no lineal en la fuerza restauradora del sistema como respuesta a la accingenerada por la fuerza perturbativa peridica.

Figura 3. Dispositivo experimental que puede modelizarse mediante un potencial de doble pozo. Oscilador magneto mecnico, conformado por una estructura excitada de forma

sinusoidal dentro del campo magntico de 2 imanes que funcionan como atractores.

Para valores constantes de , , , y con un trmino de forzamiento (F ), no muygrande se obtienen las oscilaciones descritas en la Figura 4.

Figura 4. Variacin de potencial del oscilador en funcin de parmetros de configuracin.

El Oscilador Duffing corresponde a un modelo de Oscilador forzado, con elasticidadno lineal, el cual es descrito por una ecuacin diferencial de segundo orden, talcomo se presenta a continuacin:

+ x+ cos Donde el trmino:


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Para valores de = w 0 2 , el sistema es denominado Osicilador Duffing

(Doubl Well), y corresponde experimentalmente a una columna que se deflecta haciados imanes dentro de una estructura rgida que es balanceada por una fuerza deforma sinusoidal y para una magnitud determinada de amplitud del forzamiento.

Las trayectorias corresponden a rbitas con distintos niveles energticos dentro deparaboloides de revolucin, es decir un nico pozo, para valores positivos dew 0 2 = , o doble pozo para valores negativos , por lo que el signo determina laconfiguracin.

Figura 5. Diagrama de potenciales del oscilador.

La ecuacin Duffing se clasifica de acuerdo al signo y valor de los parmetros and [2].

Tabla 1. Clasificacin de la Ecuacin de Duffing segn el sistema de parmetros.Tipo de Ecuacinde Duffing

w 0 2 =

Muelle Duro > 0 > 0

Muelle Suave > 0 < 0

No-Armonico = 0 > 0

Invertido < 0 > 0

2.6. CAOS- ATRACTOR EXTRAO

Un atractor es un conjunto al que todas las trayectorias vecinas convergen, tales comopuntos fijos estables, ciclos lmites estables [3].


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La Figura 6 elaborada por Ueda, muestra la complejidad del Oscilador de Duffing. Lailustracin presenta la variacin por regiones (peridicas y caticas), de las diversasdinmicas cualitativas exhibidas por un oscilador no lineal, de la forma:

+ +

Figura 6. Diversidad de dinmicas exhibidas por el oscilador de Ueda para las regiones delespacio de parmetros (f, r). Atractores de perodo-uno se encuentran en las regiones I, II, IIIy IV. Respuestas subharmonicas y ultrasubharmonicas existen en las regiones marcadas por

m / n.

2.7. ESPACIO DE LAS FASESEn el espacio de las fases cada punto da cuenta de la configuracin del sistema endependencia del tiempo [4]. Es el conjunto de todas las trayectorias, orbitas o curvas,que describen la evolucin del sistema, y a travs de su construccin se nos revelandetalles sobre sus puntos de equilibrio, separatrices, y regiones de atraccin, por loque se constituye en una herramienta valiosa en el anlisis cualitativo.

Figura 7. Espacio de las fases y nuclina del Oscilador de Duffing.

x ' = yy ' = - (k x + c y + l x 3 )/m

c = 0.13l = 1

k = - 1m = 1

-3 -2 -1 0 1 2 3

-3

-2

-1

0

1

2

3

x

y


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2.8. ANLISIS CUALITATIVO-PUNTOS FIJOS

La descripcin detallada del espacio de las fases de un sistema no-lineal es una tareaengorrosa por la complejidad de su dinmica [4]. Por lo anterior, es necesario buscar

los detalles ms relevantes, tales como los puntos de equilibrio del campo vectorial,las separatrices, que separan las trayectorias cualitativamente diferentes, y lasfronteras de las regiones de atraccin. Tal como se ilustra en la Figura 8.

Figura 8. Espacio de las fases. Cuencas de atraccin.

Finalmente, en el plano, la dinmica del sistema en toda su complejidad quedareducido por el teorema de Poincar-Bendixson, mediante el cual se demuestra queuna trayectoria slo puede alejarse hacia el infinito, hundirse en un punto singular oarrollarse alrededor de un ciclo limite.

A continuacin, efectuaremos por la va del anlisis matemtico una exploracin de laecuacin de Duffing. Aplicaremos elementos de la teora cualitativa, como la bsqueday clasificacin de todos los puntos fijos.

Para la ecuacin Dufffing, sin forzamiento (F = 0), y sin friccin 0, con (w 0 )2 = =1 , el sistema se representa como un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias:

Igualando el anterior sistema a 0, para buscar los puntos singulares, tenemos:

0

0 1 1 1+ De donde se sigue que existen 3 puntos fijos: el origen (0, 0) inestable, y dos focos(1,0), y (-1, 0), ambos estables.

Seguidamente, nos interesa conocer todos los puntos fijos y su clasificacin, para elOscilador de Duffing sin forzamiento, pero introduciendo el parmetro de friccin. Por


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lo que el sistema se representa ahora como un sistema autnomo plano, de lasiguiente manera:

+

Se pueden clasificar los puntos crticos del sistema, pasando a un sistema linealizadoalrededor de los puntos crticos, siendo la matriz Jacobiana:

0 1 3 La naturaleza y estabilidad de los puntos crticos del sistema se pueden describir deconformidad con sus autovalores. Las races del polinomio caracterstico det (J- I) sonlos autovalores de J . Para un sistema de 2 dimensiones, el polinomio caracterstico esde la forma:

+ 0 Donde es la traza y es el determinante de J . Las 2 races son de la forma:

+ 42 ; 42 + Cuando < 0, los autovalores son de signo opuesto y el punto fijo es una silla. A suvez cuando > 0, los autovalores son del mismo signo. Por lo tanto si > 0 ambosson positivos y el punto es inestable. Mientras que si < 0, ambos son negativos y elpunto es estable.

Analizamos el polinomio caracterstico de cada punto fijo, y usando la formageneralizada de la ecuacin caracterstica para clasificar su estabilidad. Para cuando(w 0 )2 = = 1 , tenemos:

PUNTO FIJO (0, 0)

0 1 3 0

1and .

Punto silla inestable


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PUNTOS FIJOS (1, 0)

0 1 3 1 0 1 3 1

2and

Se presentan los siguientes casos:

(i) 0

02

Ambos puntos fijos son estables, dado que 0 0and .

Caso (ii)0

0 2

Son centros neutros estables.

Caso (iii) 0

02

Inestable

Caso (i) = +1 ( > 0 )

Figura 9. Espacio de las fases global. Orbitas y atractores.

NUCLINAS

Es parte integral de la teoria cualitativa para las Ecuaciones Diferenciales Ordinarias.En el campo de soluciones corresponde a la funcin que es solucin con pendientenula.


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Figura 10. Puntos fijos y nuclina del Oscilador de Duffing. Ambos puntos fijos son estables.

RESUMEN DEL ANALISIS CUALITATIVO

La Tabla 2 contiene para el Oscilador de Duffing, la sintesis total de la teoria cualitativa

mediante la determinacin de las tcnicas y elementos de analisis.Tabla 2. Sintesis del analisis cualitativo del Oscilador de Duffing.

Equilibrio Jacobiano Autovalores Dinmica(0,0) J= 0 11 , 2 + 42

Silla

(-1,0) J= 0 12 1 , 1 2 1 82 Foco inestable(0<


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2.9. HAMILTONIANO DEL OSCILADOR DE DUFFING

Una perspectiva fsica de la mecnica del modelo, se describe de la siguientemanera:

+ cos 0 20 +3 202 + 4 ,

2 +

4 +

2

En el Oscilador de Duffing:

Figura 11. Funcin Hamiltoniana del Oscilador de Duffing, y proyecciones de distintascurvas de nivel sobre el espacio de las fases.

Cuando = 0 [5].

Diferenciando y reemplazando, se tiene:

Multiplicando a ambos lados por . + 0 O lo que es igual:

-50

5

-10

0

100

50

100

x

v


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12 2 +4 0 De donde aparece una cantidad conservativa de energa H:

, 122 022 2 +44 Basados en lo anterior, se verifica que ,

x 02 +3

As el Oscilador de Duffing es dado en el sistema Hamiltoniano, de la siguiente

forma:

; Solucionando para tenemos:

()2 2 + 2 ( ) 2 +022

24

De donde sigue:

2 +022 24

De lo anterior se observa la complejidad de soluciones analticas del Oscilador, inclusoen su forma simplificada. La dificultad de obtener expresiones analticas para ladescripcin de la dinmica, llevo a Poincar a desarrollar la tcnica que a continuacinse detalla, para enfocarse ms en las propiedades cualitativas de los sistemas, ms

que su descripcin determinista.


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2.10. MAPA O SECCIN DE POINCAR

En los sistemas dinmicos no lineales el espacio de las fases, presenta una enormecomplejidad geomtrica de las trayectorias. Resulto de gran utilidad la idea dePoincar al estudiar el sistema estratgicamente, mediante la reduccin de unadimensin [4]. Poincar estudi los sistemas dinmicos registrando las huellas de losflujos en un plano transversal al mismo. De modo que pasamos de una geometra delas trayectorias en un espacio de las fases multidimensional; al estudio de lainterseccin con una seccin transversal bidimensional.

El mapa registra un punto que representa cuando una trayectoria completa cada ciclo[3]. Un mapa de Poincar es la traza de todos estos "puntos" los cuales construyenuna imagen, en ocasiones catica acotada, que permite monitorizar loscomportamientos generales y de flujo del sistema.

Cuando la fuerza peridica (F ) que acciona el sistema es grande, el movimiento puedeser catico y en el diagrama del espacio de fases se desarrolla un atractor extrao.La tcnica introducida denominada seccin de Poincar puede representarsemediante la adopcin de un punto del espacio de fases en cada perodo de la fuerzamotriz, su comportamiento catico.

Figura 12. Orbitas en 3D y seccin de Poincar, emergencia de atractor extrao.

En los casos ms simples, cuando el sistema entra en un ciclo lmite, la seccin dePoincar se reduce a un solo punto. En cambio un atractor extrao se asocia

:

i


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generalmente con una curva fractal.

Figura 13. Seccin de Poincar para el Oscilador de Dufffing.

La seccin de Poincar brinda informacin valiosa sobre la complejidad de la dinmicadel Oscilador de Duffing, vase la Figura 13, de donde se puede obtener:

1. Puntos Fijos y estabilidad.2. Puntos atractores estables (2) de periodo 1.3. Puntos inestables (4): de periodo 1.4. Cuencas de atraccin asociadas al espacio de las fases y orbitas.5. Fractalidad de las cuencas de atraccin.6. Ubicacin en la frontera de las cuencas de los puntos inestable.

2.11. LINEALIZACIN OSCILADOR DE DUFFING

El modelo descrito por una ecuacin diferencial no autnoma con forzamientoperidico puede ser representado en trminos de una autnoma fluyendo en un toro,para lo cual se debe introducir una tercera variable =w*t.

Figura 14. Orbitas en toro. Fuente: Lynch S. 2014.

A su vez, las ecuaciones se pueden linealizar una dimensin ms, tomando z==w*t ,hasta convertirse en 3 ecuaciones de primer orden, dado por:

+ +


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Un forzamiento peridico en la ecuacin diferencial no-autnoma, es representadacomo un sistema autnomo girando sobre la superficie de un toro, con periodo 2/w.

2.12. PROPIEDADES DEL OSCILADOR DE DUFFING

El caos es un comportamiento no peridico a largo plazo en un sistema deterministaque exhibe dependencia sensible de las condiciones iniciales [3]. Aunque no existeuna definicin de conjunto del caos, existen tres propiedades que deben existir en unadinmica sistema con el fin de ser clasificado como catica:

1. Debe tener un comportamiento aperidico a largo plazo por lo que la solucin delsistema se asienta en un patrn irregular como t . La solucin no se repite u

oscile de una manera peridica.2. Es sensible a las condiciones iniciales. Esto significa que cualquier pequeocambio en la condicin inicial puede cambiar la trayectoria, lo que puede dar uncomportamiento significativamente diferente a largo plazo.

3. Debe ser " determinista ", que significa que el comportamiento irregular del sistemaes debido a la no linealidad del sistema, en lugar de fuerzas externas.

Efectuando el anlisis elaborado para el sistema Lorenz [4], encontramos lassiguientes propiedades:

HOMOGENEIDAD

Ausencia de trminos libres, por lo que x=0,y=0, z=0 = 0 es un punto fijosingular, el cual adems no depende de los valores de los parmetros. SIMTRICO

El Oscilador de Duffing se transforma y vara bajo la accin de condicionesiniciales simtricas. (x,y,z)( -x,-y,z).

DISIPATIVOEl Oscilador de Duffing es compresible.

, , + + < 0 Div v


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2.13. EXPONENTES DE LYAPUNOV

Los exponentes de Lyapunov consisten en un mtodo de estudio de las propiedadesde estabilidad de los puntos de equilibrios, basados en el cmputo de una funcin lacual mide el acercamiento o alejamiento de las rbitas hacia el equilibrio [6].

Figura 15. Divergencia de trayectorias de la solucin.

El exponente de Lyapunov como nmero proporciona una medida de su imposibilidadde predecir, mediante la cuantificacin de distancias [7]; de all que un exponentemayor que cero (0), indica que las partculas prximas se retiran; mientras quemenores que cero significan que se contraen o acercan, por lo que el atractor es unpunto fijo.

De otro lado, a un atractor peridico le corresponde un exponente de valor cero (0) ylos restantes negativos; mientras que del anlisis de un atractor extrao resulta un

exponente de Lyapunov positivo.

La estabilidad segn Lyapunov se corresponde al conocimiento intuitivo de lossistemas estables, en donde se da una reaccin dbil o limitada a perturbacionespequeas [4]. Pero en los sistemas inestables acontece que una pequeaperturbacin desencadena enormes consecuencias en trminos de crecimientoilimitado o distanciamiento entre partculas con vecindad prxima.

Expresndolo en lenguaje matemtico analtico diramos que un punto z 0 pertenece aun entorno del punto x

0 cuanto t=t

0 , entonces para todo t>t

0 la trayectoria que parte

del punto z 0 se desva respecto de la trayectoria x(t) que parte del punto x 0 , en menosde (dependiente de ).

| | > El anlisis de la estabilidad de un punto fijo de un sistema no lineal segn la tcnicaLyapunov, se efecta mediante la estabilidad en aproximacin lineal, a travs de la


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descomposicin del sistema en series de trminos lineales evaluadas en un entornoelegido.

Para el Oscilador de Duffing la parte lineal, tiene una matriz de la forma:

= , ,

Donde:

, ,, , ,, , ,,

Para el Oscilador de DuffingJ tiene la forma:

+ +

De donde se sigue que la matriz tiene la forma:

0 1 01 3 0 0 0

En el entorno del punto fijo O=(0,0,0), los valores propios de la matriz.

det 1 01 0 0 0 De donde sigue:

[ + ] 0

0,2 ,3 0 En suma, en el punto fijo O = (0,0,0), 1 = 0, 2


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2.15. EL CONTROL DEL CAOS

No obstante la condicin catica puede resultar poco deseable para determinadosprocesos, en los que de orquestarse la presencia de condiciones particulares en el

sistema, lo conducira a un tipo de movimiento catico, en ocasiones prcticamenteimpredecible, incontrolable, que podra llegar a ser destructivo.

Las tcnicas del control del caos, se construye sobre la base de un conocimiento cadavez mayor sobre la dinmica catica, que permita detectar el Caos de forma tempranay oportuna, para seguidamente controlarlo o acotarlo.

El control del caos incluye procedimientos para:

1. Suprimir la dinmica catica cuando no es deseada2. Proporciona conocimiento sobre cmo se produce el caos, as como sobre sus

fases previas antes de la aparicin.3. Incluso funciona para hacerlo surgir cuando se considere til.

Los mtodos de non feedback como 2 tipos de excitaciones, relativas a fuerzasexternas y excitaciones paramtricas [1], es decir:

1. Se aplica una perturbacin armnica a alguno de los parmetros del sistema.2. Fuerza adicional.

La primera alternativa ha sido explorada [1]; la presente investigacin opta por explorarel control que se efecta mediante una fuerza externa peridica de baja amplitud perocon una diferencia de fase entre el forzamiento peridico principal y la perturbacinarmnica de control.Cuando se presenta un atractor catico el movimiento presenta una flexibilidadinherente a su dinmica. Usando una pequea perturbacin en el parmetro es posiblecrear una gran variedad de orbitas peridicas y elegir la deseada; por lo que solo bastaaplicar una pequea perturbacin dependiente del tiempo en un parmetro del sistemaaccesible para producir el control [11].


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3. DESCRIPCIN DEL PROBLEMA

3.1. IMPLEMENTACIN DEL MODELO

Para la ecuacin Duffing:

= aceleracin.

= Velocidad. = coeficiente deamortiguacin-friccin; es la frecuencia del forzamiento Peridico; = es la

frecuencia natural del sistema o la parte lineal de la fuerza de restauracin; ,corresponde a la componente no lineal de la fuerza de restauracin; y F es la amplituddel forzamiento peridico. Bajo las siguientes condiciones: F = 0.258; = =1, =1, w = 1, =0.15, el sistema se torna catico.Por razones de simulacin numrica, la ecuacin diferencial no lineal de segundoorden, es expresada en 2 ecuaciones lineales equivalentes:

+ + El cual se trata de un sistema de ecuaciones diferenciales, no autnomo y forzado.3.2. OSCILACIONES LIBRES NO AMORTIGUADAS

Suponiendo que no se aplica fuerza externa y no hay presencia de perdidas en elmedio, en tal caso el sistema es conservativo, por lo que muestra dos orbitashomoclnicas, correspondiente a las dos (2) trayectorias de energa nula que se

ubican en el origen, por un lado en la variedad estable y por el otro en la variedadinestable [9].

Figura 17. Sin prdidas por rozamiento [9] . E0 (color azul) energa por encima del mximo, las oscilaciones encierran ambos puntos fijos.


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25

Naturalmente, variando y en una situacin de especial anlisis, cuando la = 0, sedenomina conservativa.

Figura 18. Espacio de las fases del sistema para diferentes condiciones sinamortiguamiento. Fuente: Wolfram Demostration.

Las trayectorias restantes representan orbitas cerradas en armona con lasoscilaciones peridicas, las cuales pueden orbitar alrededor de un solo centro, paraaquellos eventos con energa E < 0 relativos a un poso de potencial o ambos centros,si la energa E > 0; tal como se muestra en la Figuras 17-18.

3.3. OSCILACIONES AMORTIGUADAS

Una aproximacin un poco ms real del Oscilador se logra mediante la introduccinde la componente disipativa de las perdidas por friccin debidas al rozamiento deloscilador [9]. De donde se tiene que en toda rbita la energa decrecermontonamente y las trayectorias terminarn en uno de los focos, los cuales sonatractores puntuales o nodos, si se presenta sobreamortiguamiento, asintticamenteestables, como se ilustra en la Figura 19.

Figura 19. Espacio de las Fases y solucin para = 0.2 y F=0.


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26

El origen se conserva como punto silla inestable, pero las variedades estable einestable no coinciden. Bajo las condiciones descritas, las trayectorias que salen delorigen y se dirigen hacia uno de los atractores, cuando t -.

As mismo las dos (2) rbitas de la variedad estable que entran en el origen t , novan a ninguno de los atractores, por lo que conforman la frontera entre las cuencasde atraccin.

3.4. OSCILACIONES FORZADAS

Las Figuras 20 - 21 muestran las variaciones de la potencia del espectro,escalograma, y trayectoria de fase espacial con los cambios en el parmetro deamplitud del forzamiento, con valores fijos de los otros parmetros. El espectro de

potencia y el escalograma exponen el contenido de frecuencia de la solucin.

Figura 20. Amplitud de forzamiento mayor. Espacio de las Fases 1-periodo y 2-periodo.

Bajo los efectos de la excitacin ser atrado por uno de los puntos de equilibrio sedificulta. No obstante debido a la naturaleza sinusoidal de la fuerza externa, las curvassolucin son rbitas tpicas de oscilaciones aisladas en concordancia con el periodode la fuerza de excitacin, alrededor de cada punto de equilibrio.

3.5. OSCILACIONES CATICAS

Seguidamente, aumentando la amplitud del forzamiento la dinmica del Sistema

experimenta oscilaciones que no se detienen, las rbitas peridicas desaparecen, yparece no existir ningn patrn, como se observa en la Figura 21.


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27

Figura 21. Sistema Catico.

Ms an, el sistema muestra una extrema sensibilidad a las condiciones iniciales, lacual es una propiedad de los sistemas en rgimen catico. ste aspecto se puededemostrar al variar ligeramente las condiciones iniciales de una de las partculas,de donde se sigue que toman trayectorias diferentes, tal como se grafic en la Figura22.

Figura 22. Serie Temporal de las Soluciones. En verde condicin inicial (3,4), en rojocondicin inicial (3.1,4.1).

La Figura 22 presenta dos (2) series temporales, las cuales difieren en una dcima(0.1) en el par de valores iniciales, y sin embargo a pesar de encontrarse cercanas,y de tratarse de ecuaciones continuas, las trayectorias experimentan un divorcioradical, que indica que una ligera perturbacin en las condiciones iniciales,desemboca en un distanciamiento cada vez mayor entre las rbitas vecinas, ytrayectorias, impredecibles, sin patrn determinado, que hace de las oscilacionesseales caticas.

150 200 250 300 350-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1SERIE TEMPORAL

Tiempo

Solucin X

Condicion inicial=0 0Condicion inicial=0.1 0.1


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28

Figura 23. Figura. Espacio de las Fases.

En la Figura 23 se grafic el espacio de las fases. La tcnica confirma el estado caticovisible en las orbitas distantes, las cuales no coinciden para un tiempo de simulacinamplio, donde se nota que las partculas tendran caminos y hasta destinos espaciales

muy diferentes, con tan solo variar un pequeo psilon en la continuidad de lascondiciones iniciales espaciales y de velocidad, se obtendra un delta enorme contrarioa lo establecido por la mecnica de los medios continuos.

Figura 24. Diagrama de Poincar. Atractor Extrao

Ms an, en la Figura 24 se presenta el atractor extrao del Oscilador. Los atractorescoincide para las 2 condiciones iniciales cercanas, pues ambos tienen sus sistemasde parmetros en valores umbrales que producen caos.

Los errores de clculo se incrementan progresivamente y sin lmites. A medida que eltiempo avanza, por lo que una mayor precisin en la indicacin de las condicionesiniciales no es suficiente, ya que la tasa de error es exponencial, puesto que ladistancia entre las soluciones crece de la manera ( e t ), para el cual , es el mximoexponente de Lyapunov.

Es sabido que valores del exponente de Lyapunov positivos hace que el atractor seacatico, tal es el comportamiento del Oscilador de Duffing el cual presenta no solo un

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1ESPACIO DE LAS FASES

x

dx

/dt


-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1SECCIN DE PONCAR

x

.



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29

atractor catico sino tambin extrao, el cual a simple vista no es posible de visualizaren el sistema. No obstante, si observamos lo ilustrado en la Figura 25, y tomamos 16secciones para periodos de tiempo +2 , con n en la serie de los naturales(1,2,) aparece el atractor.

Figura 25. Secuencia de 16 tomas de secciones de Poincar del Oscilador de Duffing,dinmica del atractor extrao.

3.6. CUENCAS DE ATRACCIN Y FRACTALIDAD DEL DUFFING

El atractor es un conjunto invariante que sufre la transformacin del panadero, lacual consiste de acciones de estiramiento y pliegues sobre s mismo; lo cual producela estructura fractal de atractor y la divergencia exponencial entre soluciones concondiciones iniciales muy prximas [9], tal como se ilustra en la Figura 26.

Figura 26. Cuenca Fractal en el atractor extrao del Oscilador de Duffing.

El doble proceso de estirar para separar exponencialmente las orbitas y plegar paraque el espacio de las fases se mantenga acotado es el mecanismo de latransformacin del panadero, que de alguna manera alude al aspecto del proceso deelaboracin del pan, en donde la masa es transformada de tan manera que, es


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30

posible que partculas de harina cercanas terminen distantes, luego de seramasadas.

Por tratarse de un conjunto invariante, se forma por infinitas capas de espesor nulo,

pues el atractor tiene volumen cero (0), debido a su componente disipativa y laperdida de volumen en el espacio de las fases [9].

Una tcnica complementaria del anlisis cualitativo consiste en representar en elespacio de las fases en negro los estados con condiciones iniciales que terminan enel atractor de la derecha, mientras que se dejan en blanco aquellas condicionesiniciales, cuyos valores se ubican en la cuenca de atraccin del punto fijo de laizquierda. En la Figura 27 se presenta una ilustracin de la tcnica.

Figura 27. Cuencas de atraccin

Las Figuras 26 y 27 permiten observar la complejidad del Oscilador de Duffing, paraniveles de forzamiento que conducen al Caos. Los puntos negros y los puntosblancos parecen estar muy juntos y mezclados en las fronteras.

3.7. CONTROL DEL CAOS POR LA FASE

Seguidamente se introduce un trmino de control, para detener la dinmica catica,tal como se muestra en la siguiente ecuacin:

+ + cos+ cosrwt+ Las figuras 28 - 30 muestran, para 2 condiciones iniciales cercanas, las trayectorias,el espacio de las fases y el plano de Poincar. La curva que representa la trayectoriacon traza de color rojo corresponde al modelo que se le ha incluido un parmetro decontrol aditivo, obtenindose lo siguiente:


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31

Figura 28. Serie temporal controlada

En la Figura 28 se observa (color rojo) que la trayectoria se encuentra absolutamenteacotada, por causa del parmetro de control aditivo que se incluy en el modelomatemtico que describe la dinmica oscilatoria del sistema oscilador Duffing.

Figura 29. Espacio de las fases con control y sin l.

Al igual que en la Figura 29, la cual muestra en el espacio de las fases una rbitaperidica o cerrada alrededor de uno de los atractores, correspondiente a lacondicin controlada. Lo anterior contrasta en gran medida, con la rbita catica nocontrolada (verde), la cual circula ampliamente con gran intensidad por muchospuntos del plano que describe la dinmica potencial total, llegando casi a abarcargrandes fracciones del plano.

Figura 30. Seccin de Poincar. Atractor extrao y orbita peridica.

150 200 250 300 350-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1SERIE TEMPORAL

Tiempo

Solucin X

Sin Control-C Ini=0 0Controlado-C Ini=0 0

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1SECCIN DE PONCAR

x

velocidad


-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1SECCIN DE PONCAR

x

.



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32

El Plano de Poincar presentado en la Figura 30, constituye una garanta ms de laeficiencia del control, pues tan solo 2 puntos aparecen representados en todo ungran plano posible, representando entonces, lo (que se tipificara como unmovimiento peridico perpetuo.

El Oscilador de Duffing controlado tiene la forma:

+ + + cos +

De donde se sigue que la matriz Jacobina controlada tiene la forma:

0 1 01 3 + 0 0 0 En el entorno del punto fijoO = (0,0,0), el determinante del Jacobiano es:

det 0 1 01 00 0 0 0 4. RESULTADOS DE LA INVESTIGACIN NUMERICA

A continuacin se presentan en las Figuras 31 (a)-31(c), los resultados obtenidos paradiferentes simulaciones en las cuales se variaron los valores de los parmetros decontrol ( , ). Seguidamente realizamos simulaciones para diferentes valores de fase

, conservando fijo el valor , situado a un cierto umbral mnimo que haga eficienteen trminos energticos la aplicacin del control.El objetivo es obtener una rbita peridica estable partiendo de una catica, con tan

solo aplicar una leve perturbacin armnica.


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34

4.1. EXPLORACIN NUMRICA DEL CONTROL POR LA FASE EN ELOSCILADOR DE DUFFING

Se hizo evidente que la tcnica de control por la fase, resulta ser muy efectiva paracontrolar la dinmica catica de los sistemas dinmicos.

Igualmente se vio ostensiblemente la sensibilidad a la fase del control ( ),constatndose que su valor ptimo es pi.

4.2. ANLISIS BIFURCACIONAL

La Figura 32 da muestra del espacio final de la partcula frente a la amplitud de laoscilacin armnica que se aplica, all se observa la biestabilidad del sistema. Luego

de superar cierto umbral, la funcin da cuenta del comportamiento catico, seguido deventanas peridicas, intercaladas nuevamente por franjas caticas.

Figura 32. Diagrama de Bifurcacin del Oscilador de Duffing. Trayectorias v.s. Amplitud delforzamiento.

La Figura 32 fue obtenida a travs del anlisis numrico [10], brinda informacin sobrela estratificacin espacial del Oscilador de Duffing, para el parmetro del forzamientoexterno, junto con los retratos de fase representativos de cada estrato.

4.2.1. DIAGRAMAS DE BIFURCACIN

La Figura 33 presenta el diagrama de bifurcacin modulando el parmetro delforzamiento del modelo de oscilador Duffing con las siguientes condiciones en elsistema de parmetros; y w 0 2 = =1, =1, w=1 , r=1, =0.15, =pi .

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.40

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

r

Bifurcation Diagram of the Duffing System. Bistable Region.


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35

Figura 33. Diagrama de Bifurcacin posicin (x) v.s. amplitud del forzamiento.

En la Figura 34 se construy un diagrama de Bifurcacin haciendo variar el parmetrode amplitud de la excitacin de control ( ), y conservando fijo en su valor optimo elangulo de desfase =pi . Naturalmente se observa que valores altos del controlconllevan a la estabilizacin de la dinmica del Oscilador hacia los atractores, aunquevalores superiores tambin contienen la posibilidad de dinmica catica. Mientrasque para valores de la excitacin de control ( ) menores son por lo generaldemasiado dbiles para inducir a una situacin de dinmica peridica, aunquevalores inferiores tambin incluyen la opcin de control.

Figura 34. Diagrama de Bifurcacin posicin v.s. amplitud del control.

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

Solucin

Diagrama de Bifurcacin del s istema Duffing. Regiones:Estable-Bistable -Caotica.


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36

Figura 35. Diagrama de Bifurcacin para el ngulo de desfase en el Control.

Los diagramas de bifurcacin obtenidos se muestran en Figura 35(a)-35(c), en lascuales se hacen visibles diferentes tipos de atractores del sistema, cuando elparmetro de bifurcacin es variado. Igualmente ensea que en la dinmica caticapara cierta configuracin del sistema, modulado por sus parmetros, coexisten

ambos regmenes de movimiento: catico y regular.

Figura 35 (a). Diagrama de Bifurcacin para el ngulo de desfase en el Control, y=0.005.

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

Phi

x

Diagrama de Bifurcacin del Duffing Controlado variando la fase del control aditivo


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37

Figura 35 (b). Diagrama de Bifurcacin para el ngulo de desfase en el Control, y=0.003.

Figura 35 (c). Diagrama de Bifurcacin para el ngulo de desfase en el Control, y =0.3.y parmetro de modulacin r=2.

En las Figuras 35 (a)- 35 (c) se observa la mezcla de ngulos continuos queconducen a estados caticos o estados peridicos. As mismo se hace patente el

hecho que una mayor amplitud en la excitacin armnica del control, no garantizanecesariamente que el sistema se comporte peridicamente. De donde se sigue queel control es una eleccin apropiada de ambos parmetros tanto el ngulo como laamplitud del control , es decir la dupla ( , ) se debe establecer de formasincronizada para hacer el control eficiente.

4.3. CALCULO DE EXPONENTES DE LYAPUNOV

Se efectuaron cmputos de los exponentes de Lyapunov basados en cdigo Matlab;para la condicin para un valor de la amplitud del forzamiento externo de F = 0.258;y w 0 2 = =1, =1,w =1, r =1, =0.15, se obtiene:Rgimen Catico, pues el exponente de Lyapunov arrojo un valor de = 0.11, esdecir > 0.


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38

Figura 31. Computo de los exponentes de Lyapunov Oscilador de Duffing forzado.Exponente v.s. tiempo.

CONTROLADO

Para la condicin para un valor de la amplitud del forzamiento externo de F =0.258;y w 0 2 = =1, =1, =0.15, y =0.05 y =0, se obtiene:

Rgimen Catico el exponente de Lyapunov arrojo un valor de = 0.1854, es decir>0.

Figura 32. Computo de los exponentes de Lyapunov controlado para = 0 . Exponente v.s.

tiempo.Lo anterior contrasta con la condicin para = pi , con los mismos valores de laamplitud del forzamiento externo de F =0.258; w 0 2 = =1, =1 , =0.15, y =0.05.La dinmica es Peridica, de all que el exponente de Lyapunov sea = -0.0442, esdecir


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39

Figura 33. Computo de los exponentes de Lyapunov controlado para = pi . Exponente v.s.tiempo.

Es as como se constat el efecto y la sensibilidad de los parmetros sobre la dinmicadel oscilador controlado. El valor del control usado en el escenario simulado fue

=0.05, el cual es lo bastante dbil como para producir 2 dinmicas diametralmenteopuestas en el oscilador, como lo son la dinmica peridica y la catica, todo ellodebido a tan solo la modulacin del parmetro de fase en un valor de pi.

El efecto del parmetro de modulacin de la frecuencia (r ) en el control no contribuya producir el control. De hecho se simularon escenarios con dinmica controlada, lacual una vez se aumentaba el valor de r, se transforma la dinmica del Oscilador decontrolada a catica. (r =1 =-0.04, r =2 =0.15, r =3 =0.17).

Mientras que para el parmetro de la frecuencia ( w) se observ un efecto positivo enel control pues para la condicin en la cual = 0 y por lo tanto el Oscilador se situabaen una dinmica catica ( =0.18), ahora aumentando la frecuencia w =2 =-0.05 elOscilador cambia su dinmica hacia lo peridico, haciendo efectivo el control.

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8Dinamica de Exponentes de Lyapunov

Tiempo

ExponentedeLyapunov


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40

5. CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES

El Oscilador de Duffing presenta una naturaleza no lineal que permite observar

el fenmeno de la complejidad y la emergencia del Caos, propio de la dinmicano lineal, como sensibilidad a las condiciones iniciales, ciclos lmite, atractoresextraos y comportamiento catico.

Una aproximacin a la comprensin del Oscilado de Duffing es posible mediantelas tcnicas de la propia teora cualitativa de ecuaciones diferenciales, comoespacio de las fases, secciones de Poincar, clculo de exponentes deLyapunov y diagramas de bifurcacin.

Es posible implementar una aplicacin experimental electrnica del sistemacontrolado, que permita garantizar la versatilidad y robustez de la tcnica.

A travs del control es posible anular o hacer aparecer la dinmica catica, aligual que la peridica. Los diagramas de bifurcacin mostraron diferentes tiposde atractores para el sistema cuando el parmetro de bifurcacin es variado.

En dinmica catica, para una configuracin determinada del sistema,modulado a travs de sus parmetros, se observa que coexisten ambosregmenes de movimiento: Catico y regular. Luego de superar cierto umbral,el comportamiento es catico, seguido de ventanas peridicas, intercaladasnuevamente por franjas caticas.

Naturalmente, una mayor amplitud en la excitacin armnica del control , nogarantiza necesariamente que el sistema se comporte peridicamente, o sedirija hacia alguno de sus atractores. Por lo que el control es una eleccin

apropiada de ambos parmetros: tanto el ngulo ( ), como la amplitud delcontrol ( ), es decir de la dupla ( , ). Adems se hizo evidente que el nguloms eficiente de control es = .


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41

El efecto del parmetro de modulacin de la frecuencia (r ) en el control, noresult ser positivo para lograr el control, incluso produce el efecto contrario, esdecir, el Oscilador ingresa en dinmica catica.

El parmetro de la frecuencia (w ), puede tener un efecto positivo en el control,lo cual resulta interesante porque se encuentra tambin en la fuerza deexcitacin causante del Caos; pues las simulaciones mostraron que es posiblevariar una condicin de dinmica catica ( >0) a peridica, aumentando lafrecuencia del oscilador, para as ingresar en dinmica controlada ( < 0).


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43

hold on [t x]=ode45(@duffing,0:2*pi/OMEG/100:4000,[a+0.1 b+0.1]); plot(t(2000:6000),x(2000:6000,1), 'y' ) grid on title( 'SERIE TEMPORAL' ) xlabel( 'Tiempo' ) ylabel( 'Solucin X' ) legend([ 'Condicion inicial=' ,num2str([a b])],[ 'Condicioninicial=' ,num2str([a+0.1 b+0.1])]); hold off

[t x]=ode45(@duffing,0:2*pi/OMEG/100:4000,[a b]);

figure(2) plot(x(2000:10000,2),x(2000:10000,1), 'g.' ) hold on [t x]=ode45(@duffing,0:2*pi/OMEG/100:4000,[a+0.1 b+0.1]); plot(x(2000:10000,2),x(2000:10000,1), 'y.' ) title( 'ESPACIO DE LAS FASES' ) xlabel( 'x' ) ylabel( 'dx/dt' ) legend([ 'Condicion inicial=' ,num2str([a b])],[ 'Condicioninicial=' ,num2str([a+0.1 b+0.1])]); hold off

[t x]=ode45(@duffing,0:pi/OMEG/100:4000,[a b]); figure(3) for i=5000:100:127300

n=(i-4900)/100;

x1(n)=x(i,2); x2(n)=x(i,1); end plot(x1(:),x2(:), 'g.' )

[t x]=ode45(@duffing,0:pi/OMEG/100:4000,[a+0.1 b+0.1]); hold on for i=5000:100:127300

n=(i-4900)/100; x1(n)=x(i,2); x2(n)=x(i,1);

end plot(x1(:),x2(:), 'y.' )

title( 'SECCIN DE PONCAR' ) xlabel( 'x' ) ylabel( '.' ) legend([ 'Condicion inicial=' ,num2str([a b])],[ 'Condicioninicial=' ,num2str([a+0.1 b+0.1])]); hold off

% Controlado


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45

legend([ 'Sin Control-C Ini=' ,num2str([a b])],[ 'Controlado-CIni=' ,num2str([a b])]); hold off

global delta beta alfa OMEG epsilon omega phi GAM delta=0.15; beta=1; alfa=1; OMEG=1; omega=1; phi=pi; GAM=0.258; a=1; %Condicin inicial. b=0;

for k=1:1000,

hold on

epsilon=k*0.001;

[t x]=ode45(@duffingcontrol,0:2*pi/OMEG:400,[a b]);

plot(epsilon,x(end-50:end), 'r.-' , 'MarkerSize' ,2),

end

hold off axis([0 1 -2 2])

xlabel( '\Epsilon' ) ylabel( 'x' ) title( 'Diagrama de Bifurcacin del Duffing Controlado' )

close all clear clc

global delta beta alfa GAM OMEG epsilon w phi

delta=0.15; beta=1; alfa=1; OMEG=1; GAM=0.258; epsilon=0.1; w=1; a=1; b=0;


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7. BIBLIOGRAFIA

[1] Samuel Zambrano, Stefano Brugioni, Enrico Allaria, Inmaculada Leyva,

Riccardo Meucci, Miguel A. F. Sanjun, and Fortunato Tito Arecchi. Numericaland Experimental Exploration of Phase Control of Chaos. Chaos , 16:013111,2006.

[2] Zhang, W.B. (2005). Differential Equations, Bifurcations, and Chaos inEconomics . World Scientific Publishing: Hackensack, NJ.

[3] Strogatz, S. H. (1994). Nonlinear Dynamics and Chaos . Perseus BooksPublishing: Cambridge, MA.

[4] Lu. A. Danlov; 2006. Lecciones de dinmica no lineal: una introduccinelemental. Editorial URSS, Mosc.

[5] Wiggins, S. "Application to the Dynamics of the Damped, Forced DuffingOscillator." 1.2E in Introduction to Applied Nonlinear Dynamical Systems andChaos. New York: Springer-Verlag, pp. 5-6, 10, 23, 26-32, 44-45, 50-51, and153-175, 1990.

[6] Prez C.F,Vzquez F.J,Vegas J.M; 2003. Sistemas Dinmicos-Ecuacionesdiferenciales y en diferencias. Thomson. Madrid.

[7] J.Gleick; 1994. Caos: la creacin de una ciencia, Seix -Barral, Barcelona.

[8] Jess M. Seoane, Samuel Zambrano, Stefano Euzzor, R. Meucci, F.T. Arecchi,and Miguel A. F. Sanjun. Avoiding escapes in open dynamical systems usingphase control. Phys. Rev. E , 78:016205, 2008.

[9] J.M.Aguirregabiria; 2000. Introduccin al Caos determinista.Universidad delPas Vasco.

[10] Lynch S; Dynamical Systems with Applications using MATLAB 2 nd Ed.,Birkhuser, Boston (2014). In press.

[11] Edward Ott, Celso Grebogi, and James A. Yorke.Phys.Lett. 64,1196 (1990).
http://www.amazon.com/exec/obidos/ASIN/0387970037/ref=nosim/weisstein-20http://www.amazon.com/exec/obidos/ASIN/0387970037/ref=nosim/weisstein-20http://www.amazon.com/exec/obidos/ASIN/0387970037/ref=nosim/weisstein-20http://www.amazon.com/exec/obidos/ASIN/0387970037/ref=nosim/weisstein-20http://www.amazon.com/exec/obidos/ASIN/0387970037/ref=nosim/weisstein-20http://www.amazon.com/exec/obidos/ASIN/0387970037/ref=nosim/weisstein-20

Tesis Master Fisica Jefferson Martinez Lopez

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