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Benemerita Universidad Autonoma de Puebla
Facultad de Ciencias Fisico-Matematicas
El momento magnetico del neutrino en el modelo con el
boson de Higgs mas ligero
Tesis presentada al
Colegio de Fsica
como requisito parcial para la obtencion del grado de
Licenciado en Fsica
por
Gerardo Hernandez Tome
asesorado por
Dr. Gilberto Tavares Velasco
Puebla Pue.Enero de 2011
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Benemerita Universidad Autonoma de Puebla
Facultad de Ciencias Fisico-Matematicas
El momento magnetico del neutrino en el modelo con el
boson de Higgs mas ligero
Tesis presentada al
Colegio de Fsica
como requisito parcial para la obtencion del grado de
Licenciado en Fsica
por
Gerardo Hernandez Tome
asesorado por
Dr. Gilberto Tavares Velasco
Puebla Pue.Enero de 2011
i
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Ttulo: El momento magnetico del neutrino en el modelo con el
boson de Higgs mas ligeroEstudiante:Gerardo Hernandez Tome
COMITE
Dr. Arturo Fernandez TellezPresidente
Dr. Alfonso Rosado SanchezSecretario
Dr. Javier Miguel Hernandez LopezVocal
Dr. Mario Maya MendietaVocal
Dr. Gilberto Tavares VelascoAsesor
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Indice general
Resumen IX
Introduccion XI
1. El Modelo Estandar 1
1.1. Antecendentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . 11.2. Teoras de campos de norma . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2.1. Electrodinamica Cuantica . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . 41.2.2. Interaccion debil . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.2.3. Interaccion fuerte . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.3. Ruptura espontanea de la simetra . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . 61.4. El modelo estandar de las interacciones
electrodebiles
SU(2)L U(1)Y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . 81.4.1. Construccion del lagrangiano bosonico . . .
. . . . . . . . . . . . . . . 91.4.2. Construccion del lagrangiano
fermionico . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.5. Mas alla del Modelo Estandar . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . 141.6. El problema de la jerarqua . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2. Modelos con un boson de Higgs ligero 17
2.1. El modelo con el boson de Higgs mas ligero . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . 182.1.1. Fenomenologa del MHML . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3. Propiedades electromagneticas de los neutrinos 25
3.1. Factores de Forma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . 253.2. Carga electrica . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303.3. Momento
Anapolar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 303.4. Momentos dipolares magnetico y electrico . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . 30
4. El vertice en el MHML 334.1. El vertice en capa de masa . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
5. Conclusiones 39
iii
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Indice de figuras
3.1. Respresentacion del vertice , que determina las propiedades
electro-magneticas de los neutrinos. El circulo representa
contribuciones a un loopu ordenes mayores. . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.2. Diagramas de Feynman propios que contribuyen a las
propiedades electro-magneticas del neutrino en el ME extendido con
neutrinos derechos. . . . . . 28
3.3. Diagramas de Feynman de auto-energa que contribuyen a las
propiedadeselectromagneticas del neutrino en el ME extendido con
neutrinos derechos. . 29
4.1. Contribucion al vertice debida al escalar en el MHML. Las
flechassenalan la direccion de los 4-momentos. Es facil ver que q1
= k+p, q2 = k+p
,q1 = k p, q2 = k p y q = p p. . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . 33
v
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Indice de cuadros
1.1. Interacciones fundamentales. La interaccion gravitacional
no esta incluida enel ME. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2. Familias de leptones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . 21.3. Familias de quarks. . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
2.1. Las nuevas partculas de MHML. . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . 23
4.1. Reglas de Feynman necesarias para el calculo de los
diagramas de Feynman dela Fig. 4.1. Los 4-momentos de las partculas
salen del vertice, C es la matrizde conjugacion de carga y Yij son
acoplamientos no diagonales. . . . . . . . . 34
vii
-
Resumen
Las propiedades electromagneticas del neutrino estan
determinadas por el vertice .Los factores de forma asociados a
estas propiedades son: la carga, el momento dipolar electri-co, el
momento dipolar magnetico y el anapolo. Estos factores de forma son
de particularimportancia ya que pueden ser usados para distinguir
entre neutrinos de Dirac y Majora-na, ademas de proporcionar la
ruta a seguir en busca de nueva fsica mas alla del modeloestandar
(ME). Por esto es importante conocer las contribuciones al vertice
en teorasde extension. En este trabajo se consideran las
contribuciones debidas al escalar cargado
en el contexto del modelo con el boson de Higgs mas ligero
(MHML).
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Introduccion
La formulacion que introduce la mecanica cuantica a traves de la
ecuacion de onda deSchodinger no toma en cuenta los principios de
la relatividad general y se basa en las ideasnewtonianas del
espacio y del tiempo. Los esfuerzos por construir una teora que
incorporarala teora cuantica y la relatividad especial condujeron a
lo que conocemos hoy como teoracuantica de campos. El modelo
estandar de la Fsica de partculas (ME) es una teora cuanticade
campos que explica satisfactoriamente tres de las cuatro
interacciones fundamentales queconocemos en la naturaleza. Las
predicciones hechas por el ME han sido sorprendentes,destacando la
existencia de los bosones de norma debiles, el lepton , los quarks
top ybottom, entre otras. A pesar de estos logros, el ME deja
abiertas varias interrogantes, poresto se le considera una teora
incompleta. Se ha intentado modificar el ME para tener unateora mas
completa, lo que da lugar a las llamadas extensiones del ME.
Una de las interrogantes que el ME no explica es la referente al
problema de la jerarqua.Tecnicamente la pregunta es por que la masa
del boson de Higgs es mucho menor que laescala y hasta que escala
de energa es valido el ME? Si el ME es valido hasta la escala, la
masa del boson de Higgs recibira correcciones radiativas, debido a
las interacciones delcampo de Higgs con otros campos,
proporcionales a . Estas contribuciones se suman a lamasa desnuda
del boson de Higgs, m0, y se observa que para = 10 TeV y una masa
delboson de Higgs de 200 GeV es necesario tener un ajuste al
parametro m0 de una parte encien. Mientras mas grande sea , se
requiere un ajuste mayor. Existen diversos modelos queofrecen una
solucion al problema de la jerarqua, entre los cuales se encuentran
las teorassupersimetricas, los modelos de dimensiones extra, las
teoras tecnicolor, los modelos conun boson de Higgs ligero (MHML),
etc. Pero solo los resultados experimentales trazaran elcamino a
seguir. El gran colisionador de hadrones (LHC por sus siglas en
ingles) llevara a caboexperimentos a corto plazo a escalas de
energa por encima de 1 TeV, lo que permitira teneralguna clave para
conocer cual es la extension apropiada del ME.
Las propiedades electromagneticas de los neutrinos, son de gran
importancia debido aque su estudio proporcionara evidencias de
nueva fsica, ademas de permitir diferenciarentre neutrinos de Dirac
o Majorana. Estas propiedades estan definidas mediante la
funcionvertice . Los cuatro factores de forma que aparecen en la
expresion mas general de lafuncion vertice se definen como la
carga, el momento magnetico, el momento electrico y elanapolo. En
particular, el ME en su version mnima extendida predice un momento
magneticopara el neutrino masivo, 1020B, que no podra ser medido
por ningun experimentoen la actualidad. Por ello es de gran interes
el estudio de las propiedades electromagneticasdel neutrino en
modelos de extension. El objetivo principal de este trabajo es
calcular lascorrecciones radiativas al vertice debidas al escalar
cargado que aparece en el MHML.
El contenido de esta tesis es el siguiente. En el primer
capitulo se presenta una descripciongeneral del ME y sus
lmitaciones como una teora fundamental, poniendo enfasis en
elproblema de la jerarqua. En el captulo dos se realiza una breve
descripcion del modelo con
xi
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xii Introduccion
el boson de Higgs mas ligero. En el captulo tres se destaca la
importancia de las propiedadeselectromagneticas de los neutrinos y
se presenta la forma mas general de la funcion vertice. En el
captulo cuatro se presenta el calculo de las contribuciones al
vertice debidasal escalar cargado , ademas se presentan las
conclusiones y las perspectivas del trabajo.
-
Captulo 1
El Modelo Estandar
1.1. Antecendentes
El hombre siempre se ha preguntado de que esta hecho el mundo,
que lo mantiene uni-do?, por que tantas cosas en este mundo tienen
caractersticas similares? Se ha llegado acomprender que la materia
de la que esta hecha el universo es realmente un conglomeradode
unos cuantos bloques fundamentales: objetos que son simples y
carecen de estructura, esdecir, que no estan compuestos por otros
objetos mas pequenos.
En el siglo V a. C. el filosofo griego Empedocles crea que el
mundo estaba compuesto porcuatro elementos: agua, tierra, fuego y
aire. Posteriormente quedo claro que existe algo masfundamental que
estos elementos: el atomo. Alrededor de 1900, aun se pensaba aun
que losatomos eran pequenas bolitas de materia sin estructura. Sin
embargo, el hecho que los atomospuedan ser categorizados de acuerdo
a las similitudes de sus propiedades qumicas (como sehace en una
tabla periodica), sugiere que los atomos no son fundamentales. Los
experimentosde dispersion indicaron que los atomos tienen
estructura. Estos experimentos ayudaron a loscientficos a
determinar que los atomos tienen un nucleo positivo, denso y una
nube deelectrones (e). El nucleo esta formado de neutrones (n) y
protones (p), que en un principiose pensaba que eran partculas
elementales, pero que posteriormente se descubrio que poseenuna
estructura. Entonces cuales son los elementos fundamentales de la
materia?, comoestan caracterizados y como interactuan unos con
otros? Desde el descubrimiento del electronhan existido muchos
esfuerzos teoricos y experimentales para conocer estas respuestas.
ElME representa la culminacion de estos esfuerzos.
El ME es una teora cuantica de campos, desarrollada alrededor de
1970, que es consistentecon la mecanica cuantica y la relatividad
especial. El ME afirma que la materia en el universoesta conformada
por fermiones elementales que interactuan a traves de campos, de
los cualesellos mismos son las fuentes. Las partculas asociadas con
los campos de interaccion sonllamadas bosones. En la actualidad se
cree que existen cuatro interacciones fundamentalesen la
naturaleza, las cuales se muestran en el cuadro 1.1, junto con el
boson mediador decada interaccion.
En la escala de la Fsica de partculas, la intensidad de la
fuerza gravitacional es insig-nificante en comparacion con las
otras interacciones. Por esta razon el ME excluye de
susconsideraciones al campo gravitacional. Los cuantos de la
interaccion electromagnetica, queactua sobre los fermiones
electricamente cargados, son las partculas sin masa llamadas
foto-nes. En cuanto a la interaccion debil, esta es mediada por los
bosones cargados W+ y W,as como por el boson neutro Z, los cuales
fueron descubiertos en el CERN alrededor de
1
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CAPITULO 1. EL MODELO ESTANDAR
1.2. TEORIAS DE CAMPOS DE NORMA
Campo de la interaccion Boson EspnCampo Gravitacional Graviton G
2Campo Debil W+, W y Z 1Campo Electromagnetico Foton 1Campo Fuerte
Gluon 1
Cuadro 1.1: Interacciones fundamentales. La interaccion
gravitacional no esta incluida en elME.
1980. Ya que los bosones debiles tienen masa, la interaccion
debil es de corto alcance: por elprincipio de incertidumbre de
Heisenberg, una partcula de masa m puede existir como unestado
intermedio por un tiempo h/(mc2), y en este tiempo la partcula
puede viajar unadistancia no mayor que h/(mc). Ya que mW 80 GeV/c2
y mZ 90 GeV/c2, la interacciondebil tiene un alcance de
aproximadamente 103 fm. Finalmente, por lo que respecta a
lainteraccion fuerte, esta es mediada por los gluones, que tienen
masa cero, al igual que elfoton. Por ello se pensara que la
interaccion fuerte tiene un alcance infinito. Sin embargo,
adiferencia de los cuantos de la fuerza electromagnetica, los
gluones estan confinados.Existen fermiones de dos tipos: los
leptones y los quarks (vease cuadros 1.2 y 1.3). Todostienen espn
12 en unidades de h y su dinamica puede ser descrita por la
ecuacion de Dirac.Los leptones sufren unicamente la interaccion
electromagnetica (si son cargados electrica-mente) y la interaccion
debil. Los quarks interactuan electromagneticamente, debilmente
yfuertemente.
Masa (MeV/c2) Tiempo de vida (s) Carga electricaElectron e
0.5110 eNeutrino del electron e < 3 106 0muon 105.658 2.197 106
eNeutrino del muon 0tau 1777 (291.0 1.5) 1015 eNeutrino del tau
0
Cuadro 1.2: Familias de leptones.
Quark Carga electrica (e) Masa (c2)up u 2/3 1.5-4 MeVdown d 1/3
4-8 MeVcharmed c 2/3 1.15-1.35 GeVstrange s 1/3 80-130 GeVtop t 2/3
169-174 GeVbottom b 1/3 4.1-4.4 GeV
Cuadro 1.3: Familias de quarks.
1.2. Teoras de campos de norma
La descripcion del ME se basa en el principio de invarianza de
norma. Para entender esto,se introduce el concepto de simetra o
transformacion de norma (en ingles gauge theory), queaparece en los
modelos en donde una funcion de onda es invariante ante cambios de
fase:
2
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CAPITULO 1. EL MODELO ESTANDAR
1.2. TEORIAS DE CAMPOS DE NORMA
= U = ei = ||2 = ||2 . (1.1)
Todas las transformaciones U forman grupos que cumplen las
propiedades de cerradura,existencia del inverso, identidad y
asociatividad. Los elementos U pueden escribirse en
formaexponencial:
U = exp[ik T k] , (1.2)
donde k son parametros de rotacion y T k son los generadores del
grupo, que cumplen lasiguiente relacion:
[T i, T j
]= iF ijkT k, (1.3)
la cual representa un algebra de Lie del grupo.
Las fuerzas fundamentales estan asociadas con grupos de simetra,
de tal modo que paracada generador del algebra de Lie existe un
boson de norma. El ME es descrito por el grupoSU(3)C SU(2)L U(1)Y .
Los generadores de este grupo son los siguientes:
U(1) 1 generador 1 boson de norma B.
SU(2) 3 generadores 3 bosones de norma W, Z
SU(3) 8 generadores 8 bosones de norma Ga gluones
El ME integra dos teoras cuanticas de campo: la cromodinamica
cuantica, que es la teoraque describe las interaccion fuerte, y el
modelo de Weinberg y Salam de las interacciones debily
electromagnetica. El ME pueden explicar, en principio, todo los
fenomenos que observamosen la naturaleza salvo aquellos que son
debidos a la fuerza de gravedad.
La cromodinamica cuantica describe matematicamente como los
quarks se encuentranconfinados en lo que conocemos como hadrones.
Los hadrones se clasifican en mesones ybariones. Los mesones estan
formados por un par quark-antiquark, mientras que los barionesestan
formados por tres quarks. Entre los bariones figuran el proton y el
neutron, que sediferencian de los demas hadrones por su relativa
estabilidad. Los protones y los neutronesse unen para formar todos
los nucleos atomicos. Los nucleos son, en cierto modo, sistemasde
quarks y gluones coloreados.
Por otra parte, el modelo electrodebil unifica la
electrodinamica cuantica, que describela interaccion
electromagnetica, con una teora de Yang y Mills de la interaccion
debil. Estaultima permite explicar la desintegracion de los quarks
y los leptones. Este modelo fue elprimer ejemplo de una teora de
campo en que dos interacciones distintas, en este caso
laelectromagnetica y la debil, se convirtieron en manifestaciones
independientes de la simetrade norma subyacente. El modelo
electrodebil ha inspirado posteriores tentativas de unificacionde
campos.
En el ME el unico lepton cargado estable es el electron, que
puede combinarse con losnucleos compuestos de protones y neutrones
para formar atomos. Los atomos pueden formarlas estrellas, los
planetas, las moleculas y la vida. El ME es el primer paso de la
receta paraconfeccionar el universo.
3
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CAPITULO 1. EL MODELO ESTANDAR
1.2. TEORIAS DE CAMPOS DE NORMA
1.2.1. Electrodinamica Cuantica
La electrodinamica cuantica (QED, por las siglas en ingles de
Quantum Electrodynamics)es la teora cuantica del campo
electromagnetico. La QED describe los fenomenos relacio-nados con
las partculas de Dirac electricamente cargadas, por ejemplo los
electrones y lospositrones, interactuando con y a traves del campo
electromagnetico. La densidad lagrangia-na que corresponde a un
fermion libre esta dada como sigue:
L = (i m), (1.4)que es invariante bajo la transformacion
(x) (x) = ei(x), (1.5)donde es una fase constante. Este tipo de
transformaciones corresponden al grupo U(1) yse dice que el
lagrangiano tiene una simetra global ante este grupo. Si ahora
permitimos unapequena variacion arbitaria de en el espacio y el
tiempo, (x) = +(x), y tratamosde construir un lagrangiano
invariante ante esta transformacion, debemos reemplazar laderivada
ordinaria por la derivada covariante:
D = ieA, (1.6)donde A, que es el campo de norma asociado al
grupo de norma U(1), se debe transformarde la siguiente manera:
A A = A +1
e. (1.7)
De este modo, se obtiene finalmente el lagrangiano de QED:
L = i eA m 14FF
. (1.8)
1.2.2. Interaccion debil
El descubrimiento y las primeras teoras de la interaccion debil
se basaron en la fenomeno-loga del decaimiento . En experimentos de
dispersion, los efectos de la interaccion debil sondifciles de
observar pues tienen secciones eficaces extremadamente pequenas que
son opaca-dos por las que se originan de las interacciones fuerte y
electromagnetica. Por esta razon, elmejor conocimiento de la
interaccion debil ha sido obtenido del decaimiento de partculas.Una
caracteristica sorprendente de la fuerza debil, la cual fue
establecida experimentalmenteen 1957 por Wu a raz de una sugerencia
de Lee y Yang, es que no conserva paridad. Esdecir, la naturaleza
no es ambidiestra. Debido a que el mundo subatomico distingue
entreconfiguraciones derechas e izquierdas, es necesario estudiar
las partculas en sus distintosestados quirales por separado.
Los campos derechos (R) e izquierdos (L) caracteristicos de las
partculas fermionicasestan definidos por el operador de quiralidad
como sigue:
L =1
2
(1 5), R = 1
2
(1 + 5
), (1.9)
los cuales se transforman como dobletes y singletes de SU(2). La
densidad lagrangiana de lainteraccion debil puede escribirse
como:
L = RiR + LiDL Tr [W W ] . (1.10)
4
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CAPITULO 1. EL MODELO ESTANDAR
1.2. TEORIAS DE CAMPOS DE NORMA
Por construccion L es invariante ante SU(2)L, solo que en este
caso los generadores tambiense dividen en izquierdos y derechos TiL
=
12i, TiR = 0 (con i las matrices de Pauli).
Ademas estos generadores deben estar normalizados: Tr [Ti, Tj ]
=14ij . Esto implica la
existencia de corrientes izquierdas JiL. De acuerdo al teorema
de Noether, esta corriente deisospn debil se conserva:
JiL = L i2. (1.11)
Junto con la carga conservada tenemos a los operadores de isospn
debiles:
Ti =
d3xJ0i (x) =
d3xL
i2. (1.12)
De acuerdo a dicho grupo de simetra, esta es una teora no
abeliana, por tal motivo laderivada covariante toma la siguiente
forma
D = +ig22W i(x)i, (1.13)
donde g2 es la consante de acoplamiento debil. El tensor de
campo no abelianoWi se define
como
W i = W W g2ijkW jW k . (1.14)Los primeros dos terminos de la
expresion anterior reflejan la naturaleza abeliana del sistema,cuya
estructura es similar a QED, mientras el tercer termino representa
la naturaleza noabeliana.
1.2.3. Interaccion fuerte
La teora que estudia la interaccion fuerte es llamada
cromodinamica cuantica, queesta basada en el grupo de simetra de
color SU(3). Se le llama simetra de color porque alos quarks se les
asigna un numero cuantico conocido como color. Sabemos que el
numerode generadores del grupo es igual al numero de bosones de
norma asociados a la interaccion,en este caso 8 gluones, los cuales
estan contenidos en la siguiente derivada covariante
(D)ij = ij +ig
2aijG
a(x), (1.15)
donde a son las matrices de Gell-Mann, g es la constante de
acoplamiento y Ga(x) sonlos campos de norma asociados. Puesto que
existen 8 bosones de norma vectoriales, juntocon tres diferentes
sabores, cada quark se transforma como un triplete en la
representacionfundamental. El espinor que contiene el modelo de los
quarks es el siguiente triplete qfi , dondef = 1, 2, ..., 6 denota
el sabor e i = 1, 2, 3 el color, por ejemplo:
u1u2u3
, (1.16)
y su regla de transformacion es:
5
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CAPITULO 1. EL MODELO ESTANDAR
1.3. RUPTURA ESPONTANEA DE LA SIMETRIA
q(x) = eia(x)aq(x). (1.17)
El lagrangiano que describe la dinamica de los quarks en la
interaccion fuerte es:
L = qaf iDqaf 1
4GaG
a , (1.18)
donde ahora el tensor de campo toma la forma:
Ga = fa q
8a,b
fabcGa(x)G
a (x), (1.19)
y los campos de norma se transforman como siguen
Ga (x) = G
a(x)
8a,b
fabcb(x)Gc(x)
1
q
a. (1.20)
1.3. Ruptura espontanea de la simetra
El concepto de ruptura espontanea de la simetra es uno de los
ingredientes fundamentalesdel ME, dando lugar a excitaciones de
Goldstone que pueden ser asociadas a los terminosde masa para los
bosones de norma. La ruptura de la simetra tiene lugar por medio de
uncampo escalar que adquiere un valor de expectacion no nulo en el
vaco. Como resultadode este proceso tanto los bosones vectoriales
como los fermiones adquieren masa, y ademasaparece un nuevo campo
escalar fsico llamado boson de Higgs.
Ruptura de una simetra global y bosones de Goldstone
La densidad lagrangiana para un campo escalar complejo = (1 +
i2)/2 es
L = m2. (1.21)
En esta expresion(
t
) (t
)corresponde a la densidad de energa cinetica mientras que
+m2 corresponde a la densidad de energa potencial. Si es un
campo inde-pendiente del espacio y del tiempo, la unica
contribucion a la energa potencial esm2. Yaque m2 es positiva, se
tiene un mnimo cuando 1 = 2 = 0. Por lo tanto = 0 correspondeal
estado del vaco, que es el estado de mnima energa. Consideremos
ahora la densidadlagrangiana obtenida cambiando el signo del
termino asociado a m2. La densidad de energapotencial sera
inestable en este caso. La estabilidad puede ser restaurada
introduciendo eltermino (m2/220)(
)2 donde 20 es un parametro real. Conviene sumar el
terminom220/2
y entonces se tiene:
L = V (), (1.22)donde
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CAPITULO 1. EL MODELO ESTANDAR
1.3. RUPTURA ESPONTANEA DE LA SIMETRIA
V () =m2
220
[ 20
]2. (1.23)
Ahora el estado de mnima energa se localiza en = ||2 = 20. Tal
estado no es unicopues esta definido por todos los puntos sobre el
crculo || = 0 en el espacio de estados(1, 2), as que el numero de
estados de vaco es infnito.
La densidad lagrangiana 1.22 tiene simetra global ante U(1): =
ei, L L = L para cualquier real constante. Esta transformacion rota
un estado alrededor delcrculo ||2 = cte. Si tomamos una direccion
particular de (1, 2), para la cual sea realy elegimos el estado de
vaco (0, 0), rompemos la simetra U(1). Expandiendo alrededor
delestado (0, 0), se tiene que = 0 + (1/
2)( + i). La densidad lagrangiana queda dada
entonces como:
L = 12
+1
2
m2
220
[20+
2
2+2
2
]2. (1.24)
Despues de haber roto la simetra U(1) debemos interpretar los
nuevos campos. Enlugar de un campo escalar complejo, tenemos dos
campos escalares reales acoplados y .Podemos escribir
L = Llibre + Lint, (1.25)donde
Llibre = 12
m22 + 12
. (1.26)
Llibre representa el lagrangiano de dos campos libres, y
contiene todos los terminos cuadrati-cos. En el caso de los campos
clasicos y para pequenas oscilaciones, estos terminos
sondominantes. El resto de la densidad lagrangiana, Lint,
corresponde a los terminos de inter-accion entre los campos libres
y las correciones de orden superior a su movimiento. Puestoque
aparece el termino m22, corresponde a una partcula escalar (con
espn cero) demasa
2m. En el caso del campo , no existe tal termino de masa. Las
partculas sin masa
que surgen como resultado de la ruptura de una simetra global
son llamadas bosones deGoldstone.
Ruptura de la simetra local y el boson de Higgs
Es necesario introducir un campo de norma sin masa A para
obtener una densidadlagrangiana de un campo escalar con simetra de
norma o local ante U(1), i.e. invarianteante la transformacion =
eiq, donde = (x) es dependiente del espacio y deltiempo. Esta
densidad lagrangiana esta dada por:
L = [( iqA)] [( + iqA)] 14FF
V (), (1.27)donde F = A A. El potencial toma nuevamente la forma
de la ecuacion 1.23. Les invariante ante una transformacion de
norma dada por
A A = A + . (1.28)
7
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CAPITULO 1. EL MODELO ESTANDAR
1.4. EL MODELO ESTANDAR DE LAS INTERACCIONES
ELECTRODEBILESSU(2)L U(1)Y
El estado de mnima energa se obtiene cuando el campo A se
desvanece y toma unvalor constante definido por un punto sobre el
crculo || = 0. Cualquier campo obtenidomediante una transformacion
de norma es tambien un mnimo. Nuevamente se tiene que elvaco esta
degenerado. Dado (x), siempre podemos elegir (x) tal que = eiq sea
real.Esto rompe la simetra ya que perderemos la libertad de
efectuar otra transformacion denorma. Si ponemos (x) = 0 +
h(x)/
2, donde h(x) es real, obtenemos
L =[( iqA)(0 + h(x)/
2)] [
( + iqA)(0 + h(x)/
2)] 1
4F F
m2
220
[20h+
1
2h2]2. (1.29)
Para interpretar este lagrangiano con mas claridad, podemos
escribirlo como L = Llibre+Lint,donde
Llibre = 12h
hm2h2 14FF
+ q220AA, (1.30)
Lint = q2AA(
20h+1
2h2) m
2h2
220
(20h+
1
4h2). (1.31)
Antes de romper la simetra, teniamos un campo escalar complejo y
un campo vectorialsin masa A. En Llibre aparece un campo escalar
real h(x) de espn cero y con masa
2m,
ademas de un campo vectorial A con masa2q0. Este mecanismo para
introducir masa
para los bosones de norma fue descubierto por Higgs y otros
autores de manera independiente(1964). La partcula correspondiente
al campo h(x) se conoce como boson de Higgs y deberaobservarse en
el experimento.
1.4. El modelo estandar de las interacciones electrodebi-
les
SU(2)L U(1)YEl modelo electrodebil fue desarrollado en los anos
60 por Glashow, Salam y Weinberg.
La constatacion experimental de las interacciones debiles
mediadas por corrientes cargadas,les llevo a postular la existencia
de corrientes neutras, las cuales fueron descubiertas en1973. En la
formulacion del ME no existe a priori una eleccion unica de la
simetra denorma del lagrangiano de las interacciones
electrodebiles. Esta se deduce, por tanto, de lasobservaciones
experimentales. El grupo de simetra de norma mnimo capaz de
acomodarlas corrientes cargadas es SU(2). La observacion de que la
interaccion electrodebil actua demanera distinta sobre los
fermiones derechos e izquierdos constituye una de las
caractersticasde este modelo. As, las corrientes cargadas incluyen
solamente fermiones izquierdos y no seconocen neutrinos derechos.
Es por ello que los campos fermionicos izquierdos son agrupadosen
dobletes, mientras que los campos derechos son singletes del grupo
SU(2)L con simetrade isospn (donde el subndice L unicamente indica
la asimetra existente entre los fermionesde distinta helicidad).
Los campos fermionicos estan dados entonces como sigue:
leptones :
(eLeL
),
(LL
),
(LL
), eR, R, R,
quarks :
(uLdL
),
(cLsL
),
(tLbL
), uR, dR, cR, sR, tR, bR.
8
-
CAPITULO 1. EL MODELO ESTANDAR
1.4. EL MODELO ESTANDAR DE LAS INTERACCIONES
ELECTRODEBILESSU(2)L U(1)Y
En la representacion anterior no se puede (a menos que se rompa
explcitamente la si-metra de norma) introducir un termino de masa
en el lagrangiano que describe la dinamicade los fermiones. Por
otro lado, las fuerzas electromagnetica y debil actuan sobre los
mismoscampos fermionicos, y por ello no pueden ser descritas por
separado. De aqu se concluyeque el grupo de norma mnimo que
describe la interaccion electrodebil es SU(2)L U(1)Y .La simetra de
norma ante el grupo SU(2)L esta asociada a la conservacion del
isospn debil,T . La cantidad conservada por el grupo U(1)Y es la
hipercarga, Y , que se relaciona con lacarga electrica, Q, y con la
tercera componente del isospn, T3, por medio de la ecuacionQ = T3 +
i
Y2 .
La exigencia de que el lagrangiano que contiene los terminos
dinamicos de los camposfermionicos sea invariante ante
transformaciones de norma definidas por el grupo de simetraSU(2)L
U(1)Y introduce de manera natural cuatro campos bosonicos no
masivos, W k (x)(k = 1, 2, 3) y B(x), asociados a los grupo SU(2)L
y U(1)Y , respectivamente. La densidadlagrangiana electrodebil
puede escribirse entonces en la siguiente forma:
LWS = Lfer + Lboson. (1.32)
1.4.1. Construccion del lagrangiano bosonico
Densidad lagrangiana escalar: La densidad lagrangiana de un
campo escalar, consimetra global ante SU(2)L U(1)Y , esta dada
por
Ls = V (), (1.33)donde
=
(AB
), (1.34)
con A y B campos escalares complejos dados como
A = 1 + i2, B = 3 + i4, (1.35)
Si el potencial es V () = m2, la densidad lagrangiana anterior
corresponde a cuatrocampos escalares libres independientes, todos
con la misma masa m. En el ME la simetrasglobales U(1) y SU(2) son
promovidas a simetras locales. La transformacion del dobleteescalar
ante U(1) puede ser escrita como
= ei = exp(i0), (1.36)donde 0 denota a la matriz identidad. Para
promover la simetra global a una simetra local,debemos introducir
un campo de norma B(x) con la siguiente regla de transformacion
B(x) B(x) = B(x) +(2
g1
), (1.37)
y debemos remplazar la derivada ordinaria por la derivada
covariante:
i i (g12
)B. (1.38)
Aqu g1 se conoce como constante de acoplamiento del grupo U(1) y
es un parametro sindimensiones.
9
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CAPITULO 1. EL MODELO ESTANDAR
1.4. EL MODELO ESTANDAR DE LAS INTERACCIONES
ELECTRODEBILESSU(2)L U(1)Y
Por otra parte, cualquier elemento de SU(2) puede ser escrito de
la siguiente forma
U = exp(ikk). (1.39)donde k son tres numeros reales y k son lo
generadores del grupo, por ejemplo, las matricesde Pauli. Para
promover la simetra global a una simetra local debemos introducir
un campode norma por cada generador del grupo. Estos campos sonW k
(x) (k = 1, 2, 3), que se conocencomo los eigenestados de norma.
Por conveniencia introduciremos el siguiente campo
W(x) =Wk (x)
k , (1.40)
que se debe transformar de la siguiente manera
W(x) W(x) = U(x)W(x)U +(2i
g2
)(U(x))U
(x). (1.41)
Aqu g2 es la constante de acoplamiento del grupo SU(2), que no
tiene dimensiones, al igualque g1. Se puede notar que W(x) tiene la
forma
W(x) =
(W 3 W
1 iW 2
W 1 + iW2 W 3
). (1.42)
Esto es, esta es una matriz hermitica con traza cero. Ahora
podemos definir la derivadacovariante de SU(2) U(1):
D =
[ +
(ig12
)B +
(ig22
)W
]. (1.43)
Finalmente, la densidad lagrangiana escalar, con invarianza de
norma ante el grupoSU(2) U(1), puede escribirse como:
LS = DD V (). (1.44)Densidad lagrangiana de los bosones de
norma: en el caso del campo de norma
B, se define el tensor de campo B como
B = B B, (1.45)y tomamos la contribucion dinamica a la densidad
lagrangiana como
LG = 14BB
. (1.46)
Existen complicaciones adicionales al introducir los tensores de
campo para los campos denorma W debido a la naturaleza no abeliana
del grupo SU(2). El tensor de campo debetomar la forma
W =
[ +
(ig22
)W
]W
[ +
(ig22
)W
]W. (1.47)
La contribucion total a la densidad lagrangiana asociada con los
campos de norma no abe-lianos es:
LG = 14BB
12Tr(WW
). (1.48)
10
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CAPITULO 1. EL MODELO ESTANDAR
1.4. EL MODELO ESTANDAR DE LAS INTERACCIONES
ELECTRODEBILESSU(2)L U(1)Y
Si utilizamos el hecho de que
W =Wi
i, (1.49)
donde
W i = W W g2ijkW jW k , (1.50)y empleamos algunas propiedades de
los generadores del grupo y las propiedades de la traza,LG se puede
escribir como
LG = 14BB
14W iW
i . (1.51)
Para pasar de eigenestados de norma a eigenestados de masa
conviene definir los siguientescampos:
W+ = (W1 iW 2)/
2, W = (W
1 + iW
2)/2, (1.52)
junto con el tensor correspondiente:
W+ = (W1 iW 2)/
2. (1.53)
Estas definiciones nos permiten escribir
LG = 14BB
14W 3W
3 12W+W
. (1.54)
Rompimiento de la simetra SU(2)
Para dotar de masa a los bosones mediadores de la interaccion
debil se utiliza el conceptode ruptura espontanea de la simetra.
Consideremos la ecuacion 1.44, donde el potencial tienela forma de
la ecuacion 1.23. El estado del vaco del sistema esta degenerado y
tenemos anuestra disposicion tres parametros reales k(x) que
especifican cualquier elemento de SU(2).Usaremos esta libertad para
elegir el estado base como
base =
(00
), (1.55)
mientras que el estado excitado estara dado por
=
(0
0 + h(x)/2
), (1.56)
donde el campo h(x) es un campo real. Entonces el potencial
tomara la forma
V () = m2h2 +m2h320
+m2h4
820, (1.57)
mientras que la derivada covariante estara dada como
D =
(0
h/2
)+ig12
(0
B(0 + h(x)/2)
)+ig22
( 2W+ (0 + h(x)/
2)
W 3(0 + h(x)/2)
).
(1.58)
11
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CAPITULO 1. EL MODELO ESTANDAR
1.4. EL MODELO ESTANDAR DE LAS INTERACCIONES
ELECTRODEBILESSU(2)L U(1)Y
Una vez rota la simetra, tendremos el siguiente lagrangiano
escalar:
LS = 12h
h+g222W W
+(0 + h(x)/2)2 +
1
4(g21 + g
22)ZZ
(0 + h(x)/2)2 V (h),
(1.59)
donde hemos introducido los siguientes eigenestados de masa:
Z =W3 cos W +B sin W , (1.60)
A =W3 sin W +B cos W , (1.61)
con cos W =g2g21+g2
2
y sin W =g1g21+g2
2
. Aqu W es llamado angulo de Weinberg.
Estas definiciones nos permiten escribir
B = A cos W Z sin W , (1.62)
W 3 = A cos W +B sin W ig2(W W+ W W+ ), (1.63)con A = A A y Z =
Z Z.
Ahora podemos reordenar los terminos de la densidad lagrangiana
bosonica, Lboson =LG + LS , para revelar el contenido fsico.
Podemos escribir Lboson = L1 + L2, donde
L1 = 12h
hm2h2 14ZZ
+1
420(g
21 + g
22)ZZ
14AA
12
[(DW
+ )
(DW+ )] [DW+ DW+]+ 1
2g22
20W
W
+, (1.64)
aqu hemos definido DW+ = ( + ig2 sin WA)W
+ .
Ahora podemos identificar a L1 con la densidad lagrangiana de
los siguientes campos: uncampo escalar masivo neutro, h(x), un
boson vectorial masivo neutro, Z(x), y un par debosones vectoriales
masivos cargados, W+ y W
. Estos ultimos campos interactuan con el
campo electromagnetico A, que carece de masa puesto que
corresponde al foton. Por otraparte, L2, que es la suma de los
terminos de interaccion, puede escribirse como
L2 =(1
4h2 +
12h0
)(g22W
W
+ +1
2(g21 + g
22)ZZ
)+m2h320
m2h4
820
+g224(W W
+ W W+ )(WW+ WW+)
+ig22(A sin W + Z cos W )(W
W+ WW+) g22 cos2 W (ZZW W+ ZZW W+)
+ig22
cos W
[(ZW
ZW )(DW+ DW+)
(ZW+ ZW+ )(DW+) (DW+)]. (1.65)
12
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CAPITULO 1. EL MODELO ESTANDAR
1.4. EL MODELO ESTANDAR DE LAS INTERACCIONES
ELECTRODEBILESSU(2)L U(1)Y
1.4.2. Construccion del lagrangiano fermionico
Ahora construiremos una densidad lagrangiana para los campos
leptonicos que sea inva-riante ante transformaciones de los grupos
U(1) y SU(2). Los espinores izquierdos para elelectron, eL, y el
neutrino del electron, eL, se colocaran en un doblete:
L =
(eLeL
)=
(LALB
). (1.66)
Los datos experimentales permiten concluir que los campos
leptonicos derechos no seacoplan a el campo bosonico W , as que eR
es invariante ante transformaciones de SU(2):eR eR = eR. La
densidad lagrangiana que define la dinamica del electron y del
neutrinodel electron esta dada como sigue
Ledin = LiDL+ eRiDeR. (1.67)Notamos que la derivada covariante
de los leptones izquierdos toma la forma
DL =
( ig2W + ig
2B
)L, (1.68)
donde g es una constante de acoplamiento que se debe elegir de
manera que sea consistentecon el hecho de que el neutrino es neutro
y el electron tiene carga electrica e. Esto implicaque g cos W = g2
sin W = e.
Por otra parte, la derivada covariante de los leptones derechos
debe tener la forma
DeR =
( + i
g
2B
)eR. (1.69)
Ya que el electron tiene carga e, debemos tomar g = 2e/ cosW =
2g1.Finalmente debemos dotar de masa a los leptones cargados. La
densidad lagrangiana
invariante de norma y covariante de Lorentz, que permite generar
masa para el electron,mientras que deja al neutrino sin masa, esta
dada como sigue:
Lemasa = ce[(L)eR + e
R(
L)]
= ce[(LA + e
LB)eR + e
R(AL +
BeL)
],
(1.70)
donde es el doblete de Higgs y ce es una constante de
acoplamiento sin dimensiones.Despues del rompimiento espontaneo de
la simetra se tiene que
Lemasa = ce0(eLeR + eReL)ceh2(eLeR + e
ReL). (1.71)
Aqu podemos identificar a ce0 con la masa del electron me. La
introduccion de masasiguiendo el principio de invarianza de norma
no ha dejado otra opcion que introducir unainteraccion entre el
campo del electron y el campo de Higss. La constante de
acoplamientodel electron al campo de Higgs es ce
2= me
20= 2.01 106.
La densidad lagrangiana completa para el electron y su neutrino
viene dada por:
Le = Ledin + Lemasa. (1.72)Las densidades lagrangianas para los
leptones muon y tau, junto con sus neutrinos res-
pectivos, L y L , difieren de la expresion anterior unicamente
en sus parametros de masa ypor lo tanto en sus acoplamientos al
campo de Higgs. Estos acoplamientos estan dados como:
13
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CAPITULO 1. EL MODELO ESTANDAR
1.5. MAS ALLA DEL MODELO ESTANDAR
c2=
m20
= 4.15 104 c2=
m20
= 6.98 103. (1.73)
Es interesante notar que la constante de acoplamiento g2, que
corresponde al grupo denorma SU(2) y que determina los
acoplamientos de los leptones a los campos W y Z,debe ser la misma
para todos los leptones. Esta caracterstica se conoce como
universalidadleptonica.
Finalmente podemos escribir la densidad lagrangiana completa de
la teora de Weinbergy Salam. Esta es simplemente la suma de las
contribuciones leptonicas y las contribucionesbosonicas:
LWS = Le + L + L + Lboson. (1.74)Cabe senalar que en esta tesis
no hemos incluido la construccion de la densidad lagran-
giana para los quarks debido a que no es de interes para nuestra
discusion. Para cubrir esteaspecto se recomienda revisar la Ref.
[1].
1.5. Mas alla del Modelo Estandar
A pesar de un escrutinio experimental profundo, el ME no ha dado
signos de inconsis-tencia hasta ahora. La lista de las predicciones
del ME que han sido probadas de maneraexperimental es
impresionante, particularmente la existencia de los bosones de
norma debi-les, el lepton , los quarks charm, bottom y top, etc.
Sin embargo, se cree que es necesarioexplorar algunas
modificaciones a esta teora para poder comprender mas a fondo las
inter-acciones entre las partculas elementales. La razon de esta
insatisfaccion se debe a que el MEcarece de solucion a algunos
problemas fundamentales. Mientras no se pueda plantear unasolucion
a estos problemas, los fsicos infieren que aun no se cuenta con una
teora final delas interacciones.
El lagrangiano del ME contiene diecinueve parametros que deben
determinarse experi-mentalmente: las masas de los quarks y los
leptones, las constantes de acoplamiento, etc.Una vez determinados
estos parametros, es posible describir todos los fenomenos que se
ob-servan en los laboratorios y que se deben a las interacciones
fuerte, debil y electromagnetica.Este es un gran triunfo, pero la
mayora de los fsicos creen que una teora final no deberatener
parametros libres, ni constantes fundamentales sin dimensiones.
Tanto las masas delas partculas elementales como todas las
constantes de acoplamiento deberan de predecirsemediante la
teora.
Otro motivo que causa insatisfaccion a los fsicos se debe a que
el ME es una teora in-completa en dos aspectos. En primer lugar, el
ME no incluye la gravedad ni a los principiosde la teora general de
la relatividad; en segundo lugar, la unificacion de los campos
queaparecen en el ME es aun incompleta. Aunque los campos debil y
electromagnetico estanunificados, como lo expusimos cundo
estudiamos la interaccion electrodebil, el campo fuerteno esta
unificado con ninguno de estos. Ademas de estas caracteristicas
poco deseables po-demos considerar las siguientes interogantes: por
que existen tres familias de fermiones?, aque se debe la jerarqua
en las masas de los fermiones?, como se origina la violacion de
CP?
Dado este panorama, se cree que existe fsica mas alla del ME. En
esta lnea, se han con-siderado varias propuestas, tales como la
teora de supersimetra y las teoras de technicolor.Sin embargo, aun
no existe una teora que de respuesta a todas las preguntas que el
ME dejaabiertas.
14
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CAPITULO 1. EL MODELO ESTANDAR
1.6. EL PROBLEMA DE LA JERARQUIA
1.6. El problema de la jerarqua
Como expusimos anteriormente, el ME deja varias cuestiones
abiertas. Una de estas es elllamado problema de la jerarqua, el
cual expondremos a continuacion.
Experimentalmente se ha encontrado que la masa del boson de
Higgs, mH , debe encon-trarse cerca de la escala debil:mH mW 100
GeV. Sin embargo, en el ME las correccionesa nivel de un loop a la
masa de esta partcula sufren de divergencias cudraticas. Si se
asu-me que el ME es valido hasta una cierta escala de energa , las
correcciones radiativas am2H seran del orden de
2. Esto implica que mH sera inevitablemente enorme si la
escaladonde aparece la nueva fsica es mucho mayor que la escala de
Fermi, a menos que hubierauna cancelacion increble (ajuste fino)
entre las correcciones radiactivas y la masa desnuda.En el peor
escenario, la escala hasta donde el ME podra ser valido es la
escala de PlankMP 1019 GeV. As surge la pregunta de porque existe
esta jerarqua tan grande, de 17 or-denes de magnitud, entre mW y mP
. Este es el problema de la jerarqua, que a continuacionsera
abordado de manera mas detallada.
El parametro de masa en el potencial de Higss tiene la siguiente
forma:
m2H = m20 +m
2rad, (1.75)
donde m0 es el parametro de masa a nivel arbol (masa desnuda) y
mrad es la correcioninducida por las interacciones del boson de
Higgs con otras partculas del ME y consigomismo. Las contribuciones
mas signicativas a mrad se deben a diagramas a un loop mediadospor
el top quark, los bosones de norma y el boson de Higgs. Si el ME es
una teora valida hastala escala de Plank, entonces se espera que
m2rad M2P . Por lo que para obtener m2H m2W ,se requerira que m20
+M
2P m2W . Esto significa que el parametro m0 tiene que ser
muy
cercano a la escala de Plank. Esto es evidente si dividimos por
M2P ambos lados de la Ec.1.75:
m2HM2P
=m20M2P
+m2radM2P
m20
M2P+ 1. (1.76)
El lado izquierdo de la expresion anterior es del orden de
(100/1019)2 = 1034 con lo que
se obtiene quem20M2
P
= 1 + 1034. Por lo que estos dos terminos tienen que
cancelarsecon una precision extraordinaria. Si uno vara m20
unicamente, hay necesidad de ajustar losparametros en sus 30
primeros dgitos. En principio no hay nada malo con este ajuste
enterminos de consistencia de la teora. Sin embargo, esto es poco
natural y por lo tanto pocoatractivo. Existen diversas soluciones a
este problema, pero solo mencionaremos dos de lassoluciones mas
conocidas.
Las teoras supersimetricas se han considerado como el mejor
ejemplo de una teora en lacual ocurre la cancelacion de
correcciones divergentes a la masa del boson de Higgs. La
super-simetra es una teora que introduce una simetra entre bosones
y fermiones. Cada partculatiene asociada un supercompanero con
estadstica opuesta. En la teora supersimetrica lasconstantes de
acoplamiento de una partcula y su supercompanero son identicas
exceptopor un signo negativo, de esta forma las divergencias
cuadraticas se cancelan entre s. Laspartculas supersimetricas no
han sido observadas en los experimentos hasta ahora, lo
quesignifica que si en verdad existen, estas deben ser mas pesadas
que las escalas de energaactualmente exploradas.
En los ultimos anos ha surgido otra alternativa para resolver el
problema de la jerarqua.Se trata de los modelos con un boson de
Higgs ligero (MHL). Este tipo de modelos incorporan
15
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CAPITULO 1. EL MODELO ESTANDAR
1.6. EL PROBLEMA DE LA JERARQUIA
un boson de Higgs ligero compuesto, es decir, un estado ligado
de constituyentes mas funda-mentales mantenidos juntos por una
nueva interaccion fuerte. Para implementar un bosonde Higgs
compuesto sin ajuste fino se requiere un mecanismo adicional para
estabilizar lapequena jerarqua entre la masa del boson de Higgs y
la escala de la nueva interaccion fuerte.Un boson de Higgs ligero
podra explicarse si se interpreta a esta partcula como un boson
deGoldstone correspondiente al rompimiento espontaneo de la simetra
global del nuevo sectorde la interaccion fuerte. Sin embargo, los
acoplamientos de norma y de Yukawa del boson deHiggs, as como sus
autoacoplamientos, deben violar la simetra global explicitamente.
Losefectos cuanticos de las interacciones inducidas por la simetra
rota generan un potencial,incluyendo un termino de masa para el
boson de Higgs. Usualmente este termino de masaes de la misma
magnitud que la escala de rompimiento de la simetra, como en los
modelosdonde no existe la simetra global para proteger a la masa.
Lo que signica que la naturalezacomo boson de Goldstone del boson
de Higgs queda eliminada completamente por los efectoscuanticos, lo
que a su vez conlleva a que la pequena jerarqua no pueda ser
estabilizada.Los MHL dan una solucion a esta dicultad. En este tipo
de modelos se argumenta que lasinteracciones de norma y de Yukawa
del boson de Higgs pueden ser incorporadas de tal formaque la
contribucion divergente a orden de un loop a la masa del boson de
Higgs se cancela.Esto ocurre como consecuencia del patron colectivo
especial en el cual los acoplamientos deYukawa y de norma rompen
las simetras global y local. Las contribuciones cuanticas
rema-nentes a un loop son mucho mas pequenas y no se requiere de un
ajuste fino para mantenerla masa del boson de Higgs suficientemente
ligera si la escala del acoplamiento fuerte es tangrande como 10
TeV, logrando as que la pequena jerarqua se estabilice.
16
-
Captulo 2
Modelos con un boson de Higgs
ligero
La interpretacion del boson de Higgs como un pseudo-boson de
Goldstone fue una ideamuy atractiva durante mucho tiempo pero su
implementacion se encontro con numerosasdificultades. El interes en
esta idea resurgio recientemente al postularse los llamados
modeloscon un boson de Higgs ligero (MHL) [10], que se han
desarrollado para generar dinamicamenteel rompimiento de la simetra
electrodebil por medio de nuevas interacciones fuertes. Los
MHLestan basados en un complejo sistema de simetras y mecanismos de
rompimiento de estas.Para consultar una revision reciente sobre el
tema ver la Ref. [19]. Los siguientes puntos sonescenciales para
lograr realizar la idea sobre la que se fundamentan los MHL:
El campo de Higgs es uno de los bosones de Goldstone asociados
con el rompimientode una simetra global G a una escala de energa
del orden de s 4f 10-30 TeV,con f caracterizando la escala del
parametro de rompimiento de la simetra.
El modelo tambien tiene una simetra de normaG0 G, que se rompe
espontaneamenteal grupo de norma del ME a la escala s, generandose
las masas para los nuevos bosonesde norma asociados al grupo
G0.
Las interacciones generadas por los nuevos bosones de norma
inducen un potencialradiativo que permite el rompimiento de la
simetra electrodebil a la escala de Fermi.En este proceso uno de
los bosones de Goldstone que surgen del rompimiento de lasimetria
global queda como remanente y adquiere masa a la escala de Fermi.
Estepseudo-boson de Goldstone esta asociado con el boson de
Higgs.
Los nuevos bosones de norma cancelan las divergencias
cuadraticas de la masa delboson de Higgs debidas a los bosones de
norma del ME. Como las masas de estasnuevas partculas son generadas
por el rompimiento de la simetra de norma G0, sumagnitud es del
orden de f 1-3 TeV. Para cancelar las divergencias cuadraticas de
lamasa del boson de Higgs debidas al quark top se requiere la
introduccion de un nuevoquark pesado.
Este modelo se caracteriza por tres escalas de energa: la escala
de la nueva interaccionfuerte, s, la escala de las masas de las
nuevas partculas, f , y la escala de rompimientoelectrodebil, v,
que obedecen la jerarqua s f v. La masa del boson de Higgs esta
pro-tegida por el rompimiento colectivo de las simetras global y
local. En contraste a la simetra
17
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CAPITULO 2. MODELOS CON UN BOSON DE HIGGS LIGERO
2.1. EL MODELO CON EL BOSON DE HIGGS MAS LIGERO
boson-fermion que cancela las divergencias cuadraticas en
supersimetra, en los MHL dichacancelacion opera individualmente en
los sectores bosonico y fermionico, siendo aseguradapor las
simetras entre los acoplamientos del boson de Higgs con los campos
del ME y losnuevos campos.
2.1. El modelo con el boson de Higgs mas ligero
La version mas economica que implementa las ideas de los MHL
esta dada por el modelocon el boson de Higgs mas ligero (MHML) [11,
12]. En este modelo el lagrangiano de la teoratiene una simetra
global ante el grupo SU(5) y una simetra local ante el subgrupo
[SU(2)1U(1)1] [SU(2)2 U(1)2]. Para parametrizar la dinamica de los
bosones de Goldstone quesurgen del rompimiento de la simetra global
se recurre a un modelo sigma no lineal. Se debenintroducir 8
bosones de norma asociados a los generadores del grupo de norma.
Cuatro deestos bosones de norma son los predichos por el ME y
ademas hay cuatro nuevos bosones denorma pesados. El esquema de
rompimiento de la simetras global y local se lleva a cabo endos
etapas:
El rompimiento espontaneo de la simetra global SU(5) al grupo
S0(5) se lleva a cabopor medio del valor de expectacion del vaco
(VEV) del campo , que es del orden dela escala f . Este VEV tambien
induce el rompimiento del grupo de norma [SU(2)1
U(1)1][SU(2)2U(1)2] al grupo de norma electrodebil. El rompimiento
de la simetraglobal genera 24-10 = 14 bosones de Goldstone, los
cuales se transforman bajo el grupode norma electrodebil como un
singlete real 10, un triplete real 30, un doblete complejocomplejo
21/2 y un triplete complejo 31. El singlete y el triplete reales
son absorbidospor los bosones de norma pesados, que de este modo
adquieren una masa del orden def , mientras que el doblete y el
triplete complejos permanecen sin masa.
La presencia de los acoplamientos de Yukawa y de norma que
rompen la simetraglobal SO(5), inducira radiativamente un potencial
de tipo Coleman-Weinberg paralos bosones de Goldstone restantes.
Este potencial dara al triplete complejo una masadel orden f ,
mientras que el doblete complejo desarrollara un VEV, v, el cual
inducira elrompimiento de la simetra electrodebil SU(2)LU(1)Y
U(1)em como es usual. Enesta etapa de rompimiento de la simetra
local, los bosones de norma pesados adquierenterminos adicionales
de masa.
La densidad lagrangiana efectiva no linealizada del MHML, que es
invariante ante elgrupo de norma [SU(2)1 U(1)1] [SU(2)2 U(1)2],
puede ser escrita como
Lefec = LG + LF + L + LY VCW (), (2.1)donde LG consiste solo de
terminos de norma; LF contiene los terminos fermionicos;
Lcorresponde a la densidad lagrangiana del campo , y VCW () es el
potencial de Coleman-Weinberg, generado radiativamente a partir de
L y del lagrangiano de Yukawa LY . A laescala S , el VEV asociado
con la ruptura espontanea de la simetra global es proporcionala f y
esta parametrizado por la siguiente matriz simetrica de 5 5:
0 =
1221
122
. (2.2)
Este VEV rompe la simetra global SU(5) a el subgrupo SO(5). A
esta escala tambien serompe la simetra local [SU(2)1 U(1)1] [SU(2)2
U(1)2] al subgrupo SU(2)L U(1)Y ,
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CAPITULO 2. MODELOS CON UN BOSON DE HIGGS LIGERO
2.1. EL MODELO CON EL BOSON DE HIGGS MAS LIGERO
que es el grupo del ME. Los campos escalares son parametrizados
como
= ei/f0eiT /f , (2.3)
que se transforma bajo el grupo de norma como
= UUT , (2.4)donde U = L1Y1L2Y2 es un elemento del grupo de
norma. El rompimiento de la simetraglobal genera 24-10 = 14 bosones
de Goldstone, cuatro de los cuales son absorbidos porlos bosones de
norma asociados con el grupo de norma roto. Los 10 bosones de
Goldstonerestantes, incorporados en la matriz pionica
=
h/
2
h/2 h/
2
hT /2
, (2.5)
estan contenidos en un doblete complejo h =(h+, h0
), que se identifica con el doblete del
ME, y un triplete de Higgs:
=
(++
+
2
+2
0
). (2.6)
Este triplete adquirira de manera radiativa una masa de orden de
f . Los principios de cons-truccion fundamentales del modelo se
pueden indentificar al analizar cualitativamente lossectores de
norma y de Higgs.
Para llevar a cabo el estudio de la fenomenologa del modelo, es
importante linealizar ladensidad lagrangiana y escribirla en
terminos de los acoplamientos de los bosones de normay de los
multipletes escalares h y . Esto se puede lograr expandiendo el
campo alrededorde su VEV en potencias de 1/f :
= 0 +2i
f
h2
022h2
0 h2
022 hT2
1
f2
hh
2hT hh+ 2
2h 2hh2h
hTh + 22h hTh
+ O(
1
f3
). (2.7)
Para efectos practicos, el termino relevante en el modelo no
lineal es el de orden cuadraticoen f , que puede ser escrito
como
L = 12
f2
4Tr |D|2 , (2.8)
donde la derivada covariante se define como
D = i2
j=1
(gj(Wj + W
Tj ) + g
j(Bj+ B
Tj
), (2.9)
con los campos de norma de SU(2) dados por Wj =3
a=1WajQ
aj (j = 1, 2), donde
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CAPITULO 2. MODELOS CON UN BOSON DE HIGGS LIGERO
2.1. EL MODELO CON EL BOSON DE HIGGS MAS LIGERO
Qa1 =
a
2 0 00 0 00 0 0
, Qa2 =
0 0 00 0 0
0 0 a
2
. (2.10)
Similarmente, los campos de norma de U(1) son Bj = BjYj (j = 1,
2), con
Y1 =1
10diag(3,3, 2, 2, 2), Y2 = 1
10diag(2,2,2, 3, 3), (2.11)
mientras que gj y gj son los acoplamientos de norma respectivos.
La dinamica de los campos
de norma esta dada por la densidad lagrangiana usual:
LG = 14
2j=1
(Wja Waj +B
ja B
aj). (2.12)
El VEV 0 tambien induce la ruptura de la simetra local, con lo
cual se genera una masapara los bosones de norma pesados del orden
de f , y tambien se generan mezclas entre ellos.Los eigenestados de
masa pesados estan dados por
W = cW1 + sW2,B = cB + sB2.
(2.13)
cuyas masas son mW =f2
g21 + g
22 y mB =
f20
g21 + g
22 .
Las combinaciones ortogonales de los bosones de norma Wi se
identifican con los bosones denorma del ME
W = sW1 + cW2,
B = sB1 + cB2,(2.14)
Estos bosones de norma permanecen sin masa en esta etapa. Los
acoplamientos de SU(2)y U(1) estan dados por g = g1s = g2c y g
= g1 = g2c, donde s = g2/
g21 + g
22 y s
=g2/
g21 + g
22 son parametros de mezcla (debe notarse que c =
1 s2 y c = 1 s2).
En esta etapa, los acoplamientos de norma y de Yukawa generan
radiativamente unpotencial de Coleman-Weinberg, VCW , a nivel de un
loop, que puede escribirse como:
VCW = 2f2Tr() + ihhf(hhT hh) 2hh + h4(hh)2, (2.15)
donde 2 , hh y h4 dependen de los parametros fundamentales del
modelo, mientras que2, que recibe contribuciones logartmica y
cuadraticamente divergentes a uno y dos loops,respectivamente, se
trata como un parametro libre del orden de f2/162.
Cuando 2 > 0, se genera un VEV para los multipletes escalares
h y :h0= v/
2 y
i0= v, con
v2 =2
h4 2hh/2, v =
hh22
v2
f. (2.16)
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CAPITULO 2. MODELOS CON UN BOSON DE HIGGS LIGERO
2.1. EL MODELO CON EL BOSON DE HIGGS MAS LIGERO
Los eigenestados de norma de los campos h y pueden ser escritos
en terminos de loseigenestados de masa como sigue:
h0 = (c0H s00 + v)/2 + i(cpG
0 sPP )/2,
0 = (sPG0 + cP
P )/2 i(s0H + c00 +
2v)/
2,
h = c+G+ s++, + = (s+G+ + c++)/i++ = ++/i.
(2.17)
Hemos usado la siguiente notacion para los eigenestados de masa:
H y 0 son escalaresneutros, P es un psuedoescalar neutro, + y ++
son los escalares cargado y doblementecargado, y G+ y G0 son los
bosones de Goldstone que son absorbidos por los bosones denorma
debiles, dotandolos de masa. Los angulos de mezcla sP , s+, cp, y
c+ pueden serexpresados facilmente en terminos de los VEV v y v.
Tras diagonalizar los terminos de masade los escalares neutros se
obtienen los angulos de mezcla escalar s0, c0.
El potencial VCM rompe la simetra global SO(5) y genera masa del
orden de f para eltriplete complejo mientras que el VEV v, que es
del orden de la escala de Fermi, induce elrompimiento espontaneo de
la simetra electrodebil (RESED). Despues de este rompimiento,hay
una mezcla adicional entre los campos de norma ligeros y los campos
de norma pesados.En esta etapa los bosones de norma del ME
adquieren masa mientras que los bosones denorma pesados adquieren
terminos adicionales de masa del orden de v/f . Las masas de
losbosones de norma pesados estan dadas como:
m2ZH m2WH = m2W(
f2
s2c2v2 1
) 4m2W
f2
v2, (2.18)
m2AH = m2Zs
2W
(f2
5s2c2v2 1 + xHc
2W
4s2c2s2W
) 4m2W t2W
f2
5v2, (2.19)
donde tW = sW /cW , con sW (cW ) el seno (coseno) del angulo de
Weinberg W , mientras
que xH =52gg
scsc(c2s2+s2c
2)
5g2s2c2g2s2c2 .Por lo que respecta al sector escalar, despues de
diagonalizar la matriz de masas de
Higgs, se obtiene la masa del boson de Higgs ligero
m2H = 22 = 2
(h4
2hh2
)v2. (2.20)
Note que se requiere que h4 > 2hh/2 para obtener el VEV
requerido para llevar a cabo
el RESED con m2H > 0. Las masas del triplete de Higgs son
degeneradas a este orden dev/f y se pueden escribir como:
m2 =2m2Hf
2
v2(1 16v2f2v4
) . (2.21)Para tener un valor positivo definido de m2 se
requiere que
v2
v2