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PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATLICA DEL PER
ESCUELA DE GRADUADOS
IInnttuuiicciinn yy rriiggoorr eenn llaa rreessoolluucciinn ddee
pprroobblleemmaass ddee ooppttiimmiizzaacciinn..
UUnn aannlliissiiss ddeessddee eell eennffooqquuee
oonnttoosseemmiittiiccoo ddee llaa ccooggnniicciinn ee
iinnssttrruucccciinn mmaatteemmttiiccaa..
Tesis que presenta
Uldarico Vctor Malaspina Jurado
para optar el grado acadmico de
Doctor en Ciencias
Lima, enero del 2008
-
AA llaa mmeemmoorriiaa ddee FFrraanncciissccoo
MMaallaassppiinnaa,, mmii qquueerriiddoo ppaaddrree,,
qquuee mmee iinniiccii eenn eell ccaammiinnoo aa llaa vviiddaa
iinntteelleeccttuuaall..
AA JJuuaannii,, LLuuiiss,, OOssccaarr yy MMaarrttnn,, mmii
qquueerriiddaa eessppoossaa yy mmiiss qquueerriiddooss
hhiijjooss,,
qquuee mmee aaccoommppaaaann ccoonn aammoorr eenn eessttee
ccaammiinnoo..
-
nnddiiccee
Introduccin vii Captulo 1
EL PROBLEMA DE INVESTIGACIN. RELEVANCIA, OBJETIVOS Y METODOLOGA
1 1.1. Relevancia del problema de investigacin 1 1.2. Objetivos y
preguntas de la investigacin 4 1.3. Metodologa 5 1.4. Estructura de
la memoria de investigacin 8
Captulo 2 MARCO TERICO 13 2.1. Revisin histrico-epistemolgica de
la optimizacin
matemtica. 13 2.2. Resolucin de problemas 20 2.3. Problemas de
optimizacin 24
2.3.1. Clasificacin de los problemas de optimizacin. 27 2.3.2.
Ejemplos y comentarios 29
2.4. Investigaciones didcticas sobre problemas de optimizacin 32
2.5. El enfoque ontosemitico de la cognicin e instruccin
Matemtica 34 2.5.1. Resea histrica 34 2.5.2. Conceptos bsicos
36
i
-
2.5.3. Significados personales e institucionales de los objetos
38 2.5.4. Objetos que intervienen y emergen de los sistemas de
prcticas 39 2.5.5. Configuraciones de objetos 41 2.5.6. Facetas
duales 43 2.5.7. Procesos matemticos 45 2.5.8. Comprensin 46 2.5.9.
Idoneidad didctica 47
Captulo 3
INTUICIN Y RIGOR. UNA PERSPECTIVA ONTOSEMITICA 49 Respuesta a la
primera pregunta de investigacin. 3.1. La intuicin en la filosofa
de las matemticas 50
3.1.1. El papel de la intuicin en la teora clsica de la verdad
matemtica 51
3.1.2. El intuicionismo 55 3.1.3. Empirismo e intuicin 58
3.2. La intuicin en la psicologa gentica. 61 3.3. La intuicin en
la didctica de las matemticas 66
3.3.1. La intuicin segn Fischbein 67 3.3.2. La teora de las
reglas intuitivas 70 3.3.3. Otras maneras de entender la intuicin
72 3.3.4. Tipos de intuiciones segn el contenido 72
3.4. Relacin de la intuicin con otros trminos habituales en la
didctica de las matemticas 73
3.5. Existe una intuicin optimizadora? 77 3.5.1. La intuicin
optimizadora comprensiva como
proyeccin metafrica 78 3.6. Una propuesta de encaje de los
procesos intuitivos
en el Enfoque Ontosemitico de la Cognicin e Instruccin Matemtica
86
ii
-
3.7. Problema, rigor, formalizacin e intuicin. Una perspectiva
integrada 92
Captulo 4
INTUICIN Y RIGOR EN LA RESOLUCIN DE PROBLEMAS DE OPTIMIZACIN EN
ALUMNOS UNIVERSITARIOS. 97 Respuesta a la segunda pregunta de
investigacin. 4.1. Planteamiento del estudio de caso 97 4.2.
Problemas propuestos, soluciones y configuraciones
epistmicas 100 4.2.1. Solucin experta del problema 1 (con
variaciones
continuas). 102 4.2.2. Configuracin epistmica del problema 1 103
4.2.3. Solucin experta del problema 2
(con variaciones discretas). 104 4.2.4. Configuracin epistmica
del problema 2 105
4.3. Aspectos metodolgicos 106 4.3.1. Criterios para la seleccin
de los dos problemas
del cuestionario 107 4.4. Anlisis de las soluciones individuales
110
4.4.1. Tipologa de configuraciones cognitivas de los alumnos 125
4.5. Soluciones grupales 127
4.5.1. Anlisis de las diez soluciones grupales 129 4.6.
Conclusiones 133
Captulo 5 LOS PROBLEMAS DE OPTIMIZACIN EN LA EDUCACIN SECUNDARIA
EN EL PER Respuesta a la tercera pregunta de investigacin 136 5.1.
El diseo curricular de matemtica para secundaria en el Per 137 5.2.
Problemas de optimizacin en libros de texto para
secundaria en el Per 141
iii
-
5.2.1. Anlisis de la presencia de problemas de optimizacin en
los textos revisados 142
5.2.1.1. Problemas de optimizacin en primer grado 143 5.2.1.2.
Problemas de optimizacin en segundo grado 146 5.2.1.3. Problemas de
optimizacin en tercer grado 149 5.2.1.4. Problemas de optimizacin
en cuarto grado 152 5.2.1.5. Problemas de optimizacin en quinto
grado 155 5.2.1.6. Comentarios finales 157
5.2.2. Algunos problemas de optimizacin encontrados en los
textos 158
5.3. Anlisis epistmico de algunos temas vinculados con problemas
de optimizacin 160 5.3.1. Funciones 162 5.3.2. Introduccin a la
programacin lineal 167 5.3.3. Mximo comn divisor y mnimo comn
mltiplo 170
5.4. Estudio de algunas percepciones de los ingresantes
universitarios acerca de la enseanza y aprendizaje de las
matemticas en la secundaria 173
5.4.1. Metodologa 174 5.4.2. Resultados 176 5.4.3. Comentarios
183
5.5. Conclusiones 185 Captulo 6
LINEAMIENTOS PARA LA INCLUSIN DE PROBLEMAS DE OPTIMIZACIN EN LA
EDUCACIN BSICA. Respuesta a la cuarta pregunta de investigacin. 186
6.1. Problemas de optimizacin para la educacin bsica 187
6.1.1. De la universidad a la educacin bsica 189 6.1.2. Un
problema de optimizacin para varios niveles
educativos 206 6.1.2.1. Algunas soluciones y configuraciones
iv
-
epistmicas / cognitivas 209 6.1.2.2. Reacciones de alumnas de
secundaria 216
6.2. Lineamientos generales 219 6.2.1. Primer lineamiento
221
6.2.1.1. Propuestas de problemas para primaria 222 6.2.1.2.
Propuestas de problemas para secundaria 232 6.2.1.3. Creacin de
problemas 236 6.2.1.4. Algunos mtodos a tener en cuenta 239
6.2.2. Segundo lineamiento 240 6.2.2.1. Algunas conexiones
intramatemticas 244 6.2.2.2. Construir funciones 248
6.2.3. Tercer lineamiento 250
Captulo 7 CONCLUSIONES E IMPLICACIONES 260 7.1. Conclusiones
relacionadas con la primera pregunta
de investigacin 260 7.2. Conclusiones relacionadas con la
segunda pregunta
de investigacin 262 7.3. Respuesta a la tercera pregunta de
investigacin 263 7.4. Respuesta a la cuarta pregunta de
investigacin 265 7.5. Consideraciones finales e implicaciones
267
Referencias bibliogrficas 269
Anexos 281 Anexos del Captulo 4
4A: Dos problemas de optimizacin para resolverlos en grupos,
propuestos a alumnos universitarios 282
4B: Cuestionario sobre percepciones acerca de los problemas
propuestos y sus soluciones 283
v
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4C: Cuadro sobre soluciones del problema con variaciones
continuas 284
4D: Cuadro sobre soluciones del problema con variaciones
discretas 285
Anexos del Captulo 5 5A: Cuestionario sobre percepciones de
aprendizaje, uso de
materiales y actitudes ante la matemtica, aplicado a ingresantes
a la PUCP en el semestre 2007-1 286
5B: Cuadro sobre percepciones de los ingresantes a la PUCP en el
semestre 2007-1, sobre temas de matemtica en la secundaria 287
Anexos del Captulo 6 6A: Cuestionario a alumnos de secundaria
sobre
un problema de optimizacin geomtrico 288 6B: Un problema de
optimizacin aritmtico (artculo) 292 6C: Solucin de un problema de
optimizacin discreto
y no rutinario (el problema F) 300 6D: Notacin adecuada, rboles
y razonamiento recursivo
al resolver un problema de optimizacin discreto (Artculo sobre
las Torres de Hanoi) 303
6E: Una propuesta adicional de problemas de optimizacin para
secundaria 310
6F: Una introduccin a la teora de juegos (Exposicin en la 2nd
ICTM-Grecia) 313
6G: Problemas de optimizacin y pensamiento matemtico (Artculo en
Actas de RELME 17) 322
vi
-
UUnn mmaatteemmttiiccoo ffrraannccss ddiijjoo UUnnaa tteeoorraa
mmaatteemmttiiccaa nnoo ddeebbee sseerr ccoonnssiiddeerraaddaa
ccoommpplleettaa hhaassttaa qquuee sseeaa ttaann ccllaarraa ddee
eenntteennddeerr qquuee ppuueeddaa
sseerr eexxpplliiccaaddaa aall pprriimmeerr hhoommbbrree qquuee
ppaassee ppoorr llaa ccaallllee..
EEssttaa ccllaarriiddaadd yy ffaacciilliiddaadd ddee
ccoommpprreennssiinn,, qquuee aaqquu ssee llee eexxiiggee aa uunnaa
tteeoorraa mmaatteemmttiiccaa,, yyoo llaa eexxiiggiirraa,, aann
ccoonn mmss rraazznn,, ppaarraa uunn pprroobblleemmaa
mmaatteemmttiiccoo ppeerrffeeccttoo;; ppoorrqquuee lloo qquuee eess
ccllaarroo yy ffcciill ddee ccoommpprreennddeerr nnooss
aattrraaee,, lloo ccoommpplliiccaaddoo
nnooss rreeppeellee.. DD.. HHiillbbeerrtt11
IInnttrroodduucccciinn
En el presente trabajo se plasma mi inquietud de estudiar
integradamente la formalizacin, el rigor y la intuicin al aprender
y al ensear matemticas, surgida en mi experiencia como docente de
matemticas en el nivel universitario y en numerosos cursos y
talleres ofrecidos a profesores de secundaria, de primaria y de
nivel superior. Es normal en los estudios de matemtica pura poner
el nfasis fundamental en la formalizacin y el rigor, sin embargo la
experiencia docente me fue enseando cuan cierto es que se entiende
mejor un tema cuando se hace todos los esfuerzos por lograr que los
estudiantes lo entiendan y cuan valioso es que para que la enseanza
de un concepto o una demostracin vaya ms all de su repeticin en la
pizarra y de la explicacin de un ejemplo, busquemos una comprensin
intuitiva del concepto o la demostracin. Comprensin
1 Conferencia en el 2 Congreso Internacional de Matemtica, Pars,
Agosto 1900.
vii
-
intuitiva que interacta con el lenguaje formal y el rigor y que
tendra que estar presente en el profesor para que pueda inducirla a
los estudiantes. Las experiencias docentes en clases de pregrado y
de post grado me fueron enseando que una buena opcin es iniciar las
clases proponiendo un problema relacionado con el concepto que se
desea introducir. Con problemas adecuadamente seleccionados o
creados y apropiadamente presentados por ejemplo como punto
importante en una secuencia de problemas de dificultad graduada
tuve algunos resultados sorprendentes, pues algunos alumnos
encontraron respuestas correctas o muy buenos caminos para
resolverlos, sin conocer an los conceptos que se iban a
desarrollar. Esto fue particularmente interesante al trabajar temas
de optimizacin, especialmente los relacionados con teora de juegos,
tanto con los estudiantes de matemtica pura como con los
estudiantes de economa. As empec a conjeturar la existencia de una
intuicin optimizadora y comenzaron a delinearse mis inquietudes por
estudiar interrelacionadamente, con fines didcticos, el rigor, la
intuicin y la resolucin de problemas de optimizacin.
Mis inquietudes didcticas como matemtico se incrementaron al
conocer ms de cerca la realidad educativa en nuestro pas y la
necesidad urgente de mejorar su nivel de calidad en educacin
matemtica. Comprend que la formacin y capacitacin de los docentes
de niveles bsicos requiere de matemticos comprometidos con esta
tarea y se increment mi entusiasmo al conocer las experiencias de
matemticos como Jos Tola y Csar Carranza en el Per, Elon Lima en el
Brasil, y Miguel de Guzmn en Espaa, que ya venan trabajando en esta
lnea, y conversar ampliamente con ellos. Me involucr en muchas ms
actividades relacionadas con la didctica de la matemtica, tanto en
la propia universidad como en la Sociedad Matemtica Peruana, y en
1997 empec a participar en las Reuniones Latinoamericanas de
Matemtica Educativa (RELME), cuando en la RELME 11, que se realiz
en Mxico, se acept mi propuesta de dar un curso corto sobre
Aprendizaje y Formalizacin en Matemticas y luego se public como
artculo en las actas correspondientes.
Mi participacin en seminarios doctorales de Economa Matemtica en
la Universidad de Bonn me hizo ver ms ntidamente
viii
-
la importancia de la optimizacin matemtica; y mi tarea docente
en la Pontificia Universidad Catlica del Per (PUCP), dando cursos
de Matemtica para Economistas, me ayud a comprender la importancia
didctica que tiene la contextualizacin, pues, por ejemplo, el
teorema de la funcin implcita tiene aplicaciones muy concretas en
la esttica comparativa, y los problemas de optimizacin son
fundamentales en la teora microeconmica que se ensea en cursos de
pregrado y post grado. Ms an, se usa intensivamente la visualizacin
y los razonamientos intuitivos para ilustrar el carcter ptimo de
las soluciones de los llamados problemas del consumidor y del
productor. Me convenc entonces de la importancia de investigar, en
una perspectiva didctica y con un marco terico adecuado, las
interrelaciones entre la intuicin, el rigor y la resolucin de
problemas de optimizacin, que ya las haba expresado sin ese marco
terico didctico en el libro Matemticas para el Anlisis Econmico que
publiqu en 1994 en el Fondo Editorial de la PUCP.
Una consecuencia natural de tal convencimiento fue que
intensifiqu mis reflexiones y experiencias didcticas sobre estos
temas y particip como ponente por invitacin o por aceptacin de mis
propuestas de cursos o conferencias en eventos acadmicos
relacionados con la educacin matemtica, como las RELMEs realizadas
anualmente en diversos pases latinoamericanos; las Mediterranean
Conferences on Mathematics Education realizadas en Chipre en el
2000 y en Italia en el 2005; y las International Conferences on the
Teaching of Mathematics, realizadas en Grecia en el 2002 y en
Turqua en el 2006. Estas fueron ocasiones de ir profundizando
reflexiones, tanto al preparar las ponencias, como al escuchar a
distinguidos conferencistas y tener la oportunidad de intercambiar
ideas con ellos. El Institut de Recherche pour lEnseignement des
Mathematiques (IREM) con sede en la PUCP, cuya direccin est a mi
cargo, tiene su origen en conversaciones con el doctor Andr Antib
en la RELME 14, realizada en el 2000 en Panam. El doctor Antib es
Director del IREM de Toulouse y en las conversaciones tenidas
posteriormente en Buenos Aires, Lima y Toulouse estimul en m la
idea de hacer un doctorado en didctica de las matemticas.
ix
-
La creacin del IREM-PUCP con un grupo muy valioso de colegas, y
el dedicarnos a la organizacin de actividades permanentes sobre
enseanza y aprendizaje de las matemticas, enriqueci las
oportunidades de reflexin y de experiencias didcticas, tanto en los
seminarios internos como en los coloquios inicialmente nacionales y
ltimamente internacionales que venimos realizando. Las
conferencias, seminarios y talleres que ofrecieron los doctores
Juan D. Godino y Vicen Font en sus visitas a la PUCP con motivo de
los coloquios internacionales de los veranos del 2006 y del 2007,
respectivamente, me permitieron conocer ms de cerca el Enfoque
Ontosemitico de la Cognicin e Instruccin Matemtica (conocido como
EOS) y encontr en l un valioso marco terico de tipo holstico para
investigar integradamente el rigor, la intuicin y la resolucin de
problemas de optimizacin. Mis lecturas sobre el EOS, mi
participacin en seminarios sobre este enfoque en las universidades
de Granada y de Barcelona y mis amplias conversaciones con los
doctores Godino y Font tuvieron como consecuencia el decidirme a
escribir esta tesis. Un primer paso en esa lnea de trabajo fue
escribir el artculo Intuicin, rigor y resolucin de problemas de
optimizacin con el marco del EOS, que luego del arbitraje
internacional fue publicado en el nmero 3, volumen 10, de la
Revista Latinoamericana de Investigacin en Matemtica Educativa.
El presente trabajo -Intuicin y rigor en la resolucin de
problemas de optimizacin. Un anlisis desde el enfoque ontosemitico
de la cognicin e instruccin matemtica- proporciona un aporte terico
con un estudio de la intuicin, en particular de lo que llamo
intuicin optimizadora, en el marco del enfoque ontosemitico de la
cognicin e instruccin matemtica; y un aporte prctico, con el
propsito de contribuir a mejorar la calidad de la educacin
matemtica, haciendo propuestas concretas con fundamento matemtico y
didctico para la inclusin de problemas de optimizacin en la
educacin bsica, de modo que desde la niez se estimule una intuicin
optimizadora sin descuidar el rigor, como parte de una formacin
cientfica integral. Esta tesis se desarrolla respondiendo a cuatro
preguntas de investigacin, como se explica con detalles en la
seccin 1.4 del captulo 1.
x
-
Este trabajo no habra sido posible sin la influencia y el apoyo
de las personas mencionadas anteriormente, de quienes estoy
profundamente agradecido. He aprendido y estoy aprendiendo mucho de
ellos, por su gran calidad acadmica y humana. Tambin quiero
expresar mi agradecimiento a la PUCP por haber posibilitado mi
participacin en los diversos eventos acadmicos mencionados y
apoyado la realizacin de actividades del IREM y de la Comisin de
Olimpiadas de la Sociedad Matemtica Peruana; a los miembros de
estas dos instituciones, colegas y alumnos, con quienes he
compartido enriquecedoras reflexiones y experiencias didcticas; al
doctor Jorge Bazn Guzmn, por su valiosa asesora; y a todas las
personas que de una u otra forma me brindaron su apoyo y comparten
conmigo actividades cotidianas en la Universidad. No puedo dejar de
mencionar mi agradecimiento a mi esposa e hijos, quienes me
apoyaron no slo con su cario, comprensin y estmulo sino tambin con
diversas tareas concretas que conlleva la edicin final de esta
tesis.
xi
-
CCaappttuulloo 11
EELL PPRROOBBLLEEMMAA DDEE IINNVVEESSTTIIGGAACCIINN..
RREELLEEVVAANNCCIIAA,,
OOBBJJEETTIIVVOOSS YY MMEETTOODDOOLLOOGGAA
Resumen En la seccin 1.1 justificamos la relevancia del problema
de investigacin; en la seccin 1.2 presentamos los objetivos y las
preguntas de la investigacin; en la seccin 1.3 explicamos la
metodologa usada; y finalmente, en la seccin 1.4 explicamos la
estructura de la presente memoria de investigacin. 1.1 RELEVANCIA
DEL PROBLEMA DE INVESTIGACIN
En la vida cotidiana con frecuencia estamos afrontando muchos
problemas de optimizacin; por ejemplo, buscamos el mejor camino
para ir de un lugar a otro, (no necesariamente el ms corto),
tratamos de hacer la mejor eleccin al hacer una compra, buscamos la
mejor ubicacin cuando vamos a un cine o a un teatro, tratamos de
ensear lo mejor posible, escogemos al mejor candidato (o al menos
malo) en una eleccin. Evidentemente, en ninguno de estos casos
usamos matemtica formalizada y rigurosa para encontrar lo que nos
proponemos, pues afrontamos los problemas con los criterios que nos
dan la experiencia y la intuicin, aunque no necesariamente
encontremos la solucin ptima.
-
Captulo 1 El problema de investigacin. Relevancia, objetivos y
metodologa
En una perspectiva ms amplia, observamos que los problemas de
optimizacin son parte fundamental de la matemtica y ya estaban
presentes en los tratados de los griegos de la antigedad. Una
muestra de ello es el libro V de la obra sobre cnicas escrita en
ocho tomos por Apolonio considerado uno de los griegos ms
importantes de la antigedad, que vivi entre los aos 262 y 190 a.C.
en el cual se dedica a estudiar segmentos de longitud mxima y
longitud mnima trazados respecto a una cnica. Ciertamente, un hito
histrico est marcado por el desarrollo del clculo diferencial en el
siglo XVII y el uso de derivadas para resolver problemas de mximos
y mnimos, con lo cual se ampli an ms las aplicaciones de las
matemticas en diversos campos de la ciencia y la tecnologa y
gracias, sobre todo, a Euler se cre el clculo de variaciones,
considerando la obtencin de funciones que optimizan funcionales, lo
cual proporcion valiosas herramientas matemticas para afrontar
problemas ms avanzados. Otro hito importante en la historia de la
optimizacin se marca en la primera mitad del siglo XX al
desarrollarse la programacin lineal. Kantorovich y Koopmans
recibieron el premio Nobel de economa en 1975, como reconocimiento
a sus aportes a la teora de la asignacin ptima de recursos, con la
teora matemtica de la programacin lineal.
En esta breve mirada histrica, es importante mencionar que
Fermat (1601-1665), antes que Newton y Leibinitz publicaran sus
trabajos sobre el clculo diferencial, invent mtodos ingeniosos para
obtener valores mximos y mnimos; que Jean Baptiste-Joseph Fourier
(1768-1830) mostr aproximaciones intuitivas a mtodos de optimizacin
actualmente considerados en la programacin lineal; y que el
tratamiento riguroso de las ideas de Newton y Leibinitz y de muchos
otros anteriores a ellos, que aportaron ideas relevantes al anlisis
matemtico fue desarrollado recin en el siglo XIX, con Cauchy,
Weierstrass y Dedekind.
Tenemos as, en la historia de la matemtica y en particular en
temas vinculados con optimizacin hechos que nos muestran la relacin
estrecha entre intuicin y rigor, y que han llevado a destacados
personajes de la matemtica a tomar posicin respecto a este asunto.
Baste mencionar a Flix Klein (Alemania, 1849 1925), destacado
gemetra, autor del famoso programa de Erlangen, quien afirm que En
cierto sentido, las matemticas han progresado ms gracias a las
personas que se han distinguido por la intuicin, no por los mtodos
rigurosos de demostracin (Perero, 1994, p. 101) y a L.
2
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Captulo 1 El problema de investigacin. Relevancia, objetivos y
metodologa
E. J. Brouwer (Holanda, 1881 1966), matemtico famoso, conocido
ampliamente por su teorema del punto fijo y con significativos
aportes a la topologa, que es considerado creador de la corriente
matemtica del intuicionismo.
Es entonces importante estudiar e investigar sobre la intuicin y
el rigor en las matemticas, y en particular en la resolucin de
problemas de optimizacin, desde la perspectiva de la educacin
matemtica, y ese es el propsito fundamental de la presente
tesis.
Para ubicar la relevancia de esta investigacin en el marco de la
educacin matemtica a nivel internacional, tomamos como referencia
fundamental la conferencia A Theory of Mathematical Growth through
Embodiment, Symbolism and Proof impartida por David Tall destacado
matemtico contemporneo, profesor emrito de la Universidad de
Warwick en el International Colloquium on Mathematical Learning
from Early Childhood to Adulthood, organizado por el Centre de
Recherche sur lEnseignement des Mathmatiques, en Nivelles (Blgica)
en julio de 2005, publicada en el 2006 en la revista Annales de
didactique et de sciences cognitives. Este destacado investigador
plantea como una pregunta de investigacin para la Didctica de las
Matemticas la siguiente cuestin:
What are the respective roles of intuition and rigor? How could
the requirements concerning both aspects be modulated?
(Tall, 2006, p. 205)
La cuestin que propone investigar Tall (2006) ha sido uno de los
temas debatidos en muchos de los congresos que recientemente se han
celebrado en el campo de la educacin matemtica. Para citar un solo
ejemplo, est prevista la conferencia plenaria Intuition and rigor
in mathematics education, en el Symposium on the occasion of the
100th anniversary of ICMI que se celebrar en Roma en marzo del
2008, que estar a cargo de D. Tirosh y P. Tsamir
Desde que Fischbein (1994) nos leg su original enfoque hacia los
problemas educativos centrado en la compleja nocin de intuicin, la
comunidad de investigadores en Didctica de las Matemticas ha
considerado este legado como una herramienta til para la
interpretacin de fenmenos en educacin, que merece ser desarrollado
a la luz de los recientes avances realizados en dicha rea del
conocimiento.
3
-
Captulo 1 El problema de investigacin. Relevancia, objetivos y
metodologa
1.2 OBJETIVOS Y PREGUNTAS DE LA INVESTIGACIN Esta investigacin
se enmarca en la pregunta que propone Tall
(2006), restringida a un cierto tipo de problemas: los problemas
de optimizacin. Investigamos una problemtica compleja en la que
intervienen tres aspectos relevantes de las matemticas y de su
enseanza y aprendizaje. El primer aspecto tiene que ver con lo que
se entiende por intuicin y rigor en matemticas. El segundo tiene
que ver con el proceso de resolucin de problemas y el tercero con
el inters que histricamente ha tenido la matemtica para estudiar
las situaciones en las que hay que optimizar. Dada la importancia
de estos tres aspectos, existen numerosos trabajos de investigacin
sobre cada uno ellos. En la presente investigacin nos proponemos
trabajarlos conjuntamente, y consideramos importante hacerlo
enmarcndolos en alguno de los programas de investigacin que
ltimamente se estn desarrollando en el rea de la didctica de las
matemticas, que permita afrontar la complejidad de los factores
asociados a estos aspectos. En tal sentido, optamos por tener como
uno de los principales marcos tericos de referencia para esta
investigacin el Enfoque Ontosemitico de la Cognicin e Instruccin
Matemtica (en algunas ocasiones referida como EOS) que ha sido
desarrollado, entre otros, por Godino, Font y Batanero y las
investigaciones realizadas en el marco de dicho enfoque han sido
publicadas en prestigiosas revistas de investigacin en didctica de
las matemticas de Amrica y de Europa (Font, V., 2007; Font, V. y
Contreras, A. 2008; Font y Godino, 2007; Godino, J. D., Font, V.,
Contreras, A. y Wilhelmi, M.R. ,2006; Godino, Batanero y Font,
2007; Godino, Font y Wilhelmi, 2006).
Con este marco terico global en el campo de la educacin
matemtica, los objetivos fundamentales de la presente memoria son
responder las siguientes preguntas de investigacin:
1) Existe una intuicin optimizadora?; cmo se encaja el trmino
intuicin en el enfoque ontosemitico de la cognicin e instruccin
matemtica?; permite este enfoque una visin integrada de las
nociones intuicin, rigor, problema y formalizacin?
2) Cul es el papel de la intuicin y el rigor en la resolucin de
problemas de optimizacin en alumnos universitarios?
3) Cmo estn tratados los problemas de optimizacin en los libros
de texto de matemticas de secundaria en el Per?
4
-
Captulo 1 El problema de investigacin. Relevancia, objetivos y
metodologa
4) Es posible proponer problemas de optimizacin en la educacin
bsica del Per, de manera que se estimule una intuicin optimizadora
que permita desarrollar las funciones de conjeturar, anticipar y
concluir y que simultneamente preste atencin a educar en la
formalizacin y el rigor, como una actitud cientfica que complementa
la intuicin?
La primera es una pregunta de carcter terico; la segunda y
tercera son de carcter emprico; y la cuarta es de carcter
propositivo, pretendiendo aportar a la mejora de la enseanza de las
matemticas en la educacin bsica.
Respondiendo a estas preguntas, esperamos contribuir en la
ampliacin del conocimiento sobre la interrelacin entre la intuicin,
el rigor y la resolucin de problemas de optimizacin y presentamos
anlisis y propuestas, con fundamento matemtico y didctico, con el
propsito de contribuir a mejorar la calidad de la educacin
matemtica en general y de manera especial en el Per. Por este
motivo, en la respuesta a la cuarta pregunta de investigacin,
proponemos lineamientos para la enseanza y aprendizaje de los
problemas de optimizacin en la educacin bsica, llegando al nivel
concreto de problemas y actividades especficos, con fundamentos
matemticos y didcticos, que puedan ser de ayuda para los profesores
de este nivel educativo y para todas aquellas personas que tienen
responsabilidad en la planificacin y gestin del currculum. 1.3
METODOLOGA
Para responder a la primera pregunta de investigacin (de carcter
terico), la metodologa consiste, bsicamente, en un anlisis de
fuentes documentales de tipo epistemolgico, histrico, cognitivo,
semitico y didctico, adoptando una posicin propia sobre las
diferentes fuentes.
La investigacin para responder a las preguntas 2 y 3 (de tipo
emprico), tiene en cuenta bsicamente la metodologa de investigacin
propuesta en el enfoque ontosemitico de la cognicin y la instruccin
matemtica. En dicho enfoque (Godino, Batanero y Font, 2006) se
clasifican las cuestiones de investigacin didctica segn cuatro ejes
o dimensiones, que se designan el foco, el fin, la
generalizabilidad y el nivel de la investigacin; cada una con
varias categoras.
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Captulo 1 El problema de investigacin. Relevancia, objetivos y
metodologa
1) Foco: - Epistmico (significados institucionales); - Cognitivo
(significados personales); - Mediacional (recursos temporales y
tecnolgicos) - Emocional (afectos, motivacin, emociones) -
Interaccional (interaccin entre significados institucionales
y personales) - Ecolgico (relaciones intra e interdisciplinares
y sociales)
2) Fin: - Descripcin de significados, procesos y factores (Qu
es
...?; Cmo es, ...?) - Explicacin de los procesos de enseanza y
aprendizaje y los
efectos de los factores intervinientes (Por qu ...?) - Actuacin
o implementacin de acciones para el logro de un
fin (Cmo disear, motivar, ...?) - Valoracin de la idoneidad de
un proceso de estudio o alguno
de sus componentes (En qu medida es adecuado o idneo este
recurso ...?)
3) Generalizabilidad: - Exploratorio (no se pretende generalizar
a otros contextos o
poblaciones) - Inferencial (se pretende generalizar los hechos y
relaciones
observadas) 4) Nivel de anlisis:
- Puntual (hechos y fenmenos ligados al estudio de una cuestin
matemtica especfica en un contexto determinado)
- Temtico (hechos y fenmenos ligados al estudio de una unidad
temtica en un nivel educativo determinado)
- Global (hechos y fenmenos ligados al estudio de un rea temtica
en uno o varios niveles educativos)
Para responder a la pregunta 2, los sujetos investigados han
sido estudiantes universitarios que cursaban segundo o tercer ciclo
universitario, siguiendo estudios generales de diversas
especialidades de ingeniera, en la Pontificia Universidad Catlica
del Per. Se trata,
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Captulo 1 El problema de investigacin. Relevancia, objetivos y
metodologa
por tanto, de un estudio de casos. La informacin de campo se
obtuvo en el lugar de trabajo de los sujetos investigados que
participaron a peticin de su profesor. Los principales instrumentos
de recoleccin de los datos para la segunda pregunta (las
producciones escritas de los alumnos) han sido cuestionarios a
partir de problemas especficamente diseados. Usamos las
herramientas tericas configuraciones epistmicas y configuraciones
cognitivas del enfoque ontosemitico de la cognicin e instruccin
matemtica para examinar las soluciones individuales y grupales de
los estudiantes.
Para responder a la pregunta 3 hacemos un anlisis del
significado institucional pretendido en el currculum y en los
textos. En este caso el foco es epistmico (significados
institucionales); el fin es descriptivo, la generalizabilidad es
exploratoria y el nivel es global ya que estudiamos los problemas
de optimizacin en varios niveles educativos. Adems del currculum,
examinamos ampliamente dos colecciones de libros muy utilizados en
la enseanza secundaria del Per.
Tambin hemos hecho un estudio acerca de las percepciones de los
alumnos ingresantes a la universidad sobre sus aprendizajes
matemticos en la secundaria, seleccionando cuidadosamente una
muestra entre los ingresantes a la Pontificia Universidad Catlica
en el 2007. En este estudio empleamos un cuestionario para indagar
acerca de las percepciones de los temas de la matemtica en la
educacin secundaria, el uso de materiales para los cursos de
matemtica, y las actitudes frente a la matemtica que tienen los
ingresantes. Para los temas de matemticas presentamos la lista de
los contenidos considerados en el currculo del ao 2005 y
preguntamos acerca de las percepciones de aprendizaje de los
ingresantes usando una escala ad hoc.
Para la cuarta pregunta, que conlleva la propuesta, el enfoque
ontosemitico de la cognicin e instruccin matemtica nos proporciona
los principales instrumentos tericos (configuraciones epistmicas y
configuraciones cognitivas). La metodologa para responder a esta
pregunta es la puesta en funcionamiento de dichos instrumentos
tericos en un escenario de investigacin concreto. Utilizamos el
anlisis del Diseo Curricular Nacional de Educacin Bsica Regular del
Per, los mismos libros de texto usados para la tercera pregunta,
textos de otros pases y problemas de optimizacin especficamente
diseados, que hemos experimentado con profesores y alumnos de
educacin bsica. Sintetizamos nuestras indagaciones
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Captulo 1 El problema de investigacin. Relevancia, objetivos y
metodologa
realizadas en la docencia universitaria en particular en la
maestra en enseanza de las matemticas y como profesor en numerosos
talleres y cursos a profesores de matemticas de diversos niveles
educativos. Varias de ellas expuestas en foros sobre educacin
matemtica y en artculos publicados (Malaspina, 2005 a y b, 2006 a y
b, 2007 a y b).
Para Cohen y Manion (1990, p. 331) puede definirse la
triangulacin como: (...) el uso de dos o ms mtodos de recogida de
datos en el estudio de algn aspecto del comportamiento humano. En
esta investigacin consideramos, de acuerdo con Cerda (2000), que el
objetivo de la tcnica de la triangulacin es impedir que se acepte
con demasiada facilidad la validez de las impresiones iniciales. De
acuerdo con este punto de vista, hemos planteado una triangulacin
de expertos.
Para validar los anlisis hemos planificado un proceso de
triangulacin, segn el cual el primer tipo de anlisis, realizado por
el doctorando asesorado por el director de tesis, se somete al
anlisis de especialistas en la resolucin de problemas y al anlisis
de especialistas en el enfoque ontosemitico de la cognicin e
instruccin matemtica y, en general, de expertos en didctica de las
matemticas interesados tanto en los aspectos semiticos como en la
resolucin de problemas, ya que los anlisis parciales realizados los
hemos presentado como comunicaciones en diferentes congresos y en
el 2007 ha sido publicado un artculo de investigacin en una revista
especializada, indexada, en el rea de Didctica de las Matemticas
(Malaspina, 2007a). 1.4 ESTRUCTURA DE LA MEMORIA DE
INVESTIGACIN
En esta seccin describimos la estructura general de la presente
memoria de investigacin:
En el Captulo 1, mostramos la relevancia del problema de
investigacin, exponemos los objetivos y las preguntas de la
investigacin y explicamos la metodologa usada.
En el Captulo 2 presentamos el marco terico, haciendo en la
primera seccin una revisin histrico-epistemolgica de la optimizacin
matemtica. Mostramos algunos hechos histricos, desde siglos antes
de nuestra era, que nos revelan por una parte la importancia que
han tenido desde la antigedad los problemas de optimizacin y no slo
dentro de la matemtica misma y por otra,
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Captulo 1 El problema de investigacin. Relevancia, objetivos y
metodologa
la presencia en la historia de las matemticas, de aspectos
intuitivos en el desarrollo de esta disciplina al existir
soluciones de problemas importantes de optimizacin, sin la
formalidad y el grado de rigor que ahora tienen. La segunda seccin
la dedicamos a destacar la importancia de la resolucin de problemas
en la matemtica y en la didctica de la matemtica, refirindonos a
hechos histricos y a investigaciones recientes sobre este aspecto,
entre las que destacan los trabajos de Schoenfeld (2006) y el de
Trner, Schoenfeld y Reiss (2007), que nos permiten aclarar lo que
entendemos por problema en la presente investigacin. En la tercera
seccin explicitamos lo que consideramos un problema de optimizacin
en esta investigacin, teniendo en cuenta una perspectiva didctica,
con el propsito de dar pautas para iniciar el estudio de los
problemas de optimizacin desde los niveles ms bsicos de la
educacin; presentamos muy resumidamente una clasificacin de los
problemas de optimizacin y damos ejemplos de estos, con comentarios
didcticos sobre los diversos niveles y contextos en los que se les
puede aplicar. En la cuarta seccin hacemos una sntesis de varios
trabajos de investigacin didctica, relacionados con problemas de
optimizacin, publicados en revistas especializadas internacionales.
Finalmente, siendo el enfoque ontosemitico de la cognicin e
instruccin matemtica (EOS) uno de los principales referentes
tericos de esta investigacin, en la ltima seccin, hacemos una
sntesis de este enfoque, ensamblando o resumiendo prrafos y figuras
tomados de diversos artculos de la amplia literatura desarrollada
principalmente por J. D. Godino, C. Batanero, y V. Font.
En el captulo 3 respondemos las tres partes de la primera
pregunta de investigacin, en las secciones 3.5, 3.6 y 3.7. En la
primera de stas, referida a la existencia de la intuicin
optimizadora, exponemos las razones por las que consideramos que
tal intuicin (de tipo primario en la terminologa de Fischbein) es
de carcter comprensivo y puede entenderse como proyeccin metafrica,
en el marco de la ciencia cognitiva de la matemtica (Lakoff y Nez,
2000; Nez, 2000), segn la cual las estructuras matemticas que
construyen las personas tienen su origen en los procesos cognitivos
cotidianos. En la seccin 3.6 mostramos una manera de encajar el
trmino intuicin en el enfoque ontosemitico de la cognicin e
instruccin matemtica, con una metfora vectorial cuyas componentes
son tres procesos del EOS; y en la seccin 3.7 evidenciamos que las
configuraciones epistmicas y cognitivas permiten una visin que
integra las nociones de intuicin, rigor,
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Captulo 1 El problema de investigacin. Relevancia, objetivos y
metodologa
problema y formalizacin. Las secciones 3.1 a 3.4 estn dedicadas
a una revisin de las diferentes maneras de conceptualizar la
intuicin en la filosofa de las matemticas, en la psicologa gentica
y en la didctica de las matemticas. Referencia particularmente
importante la constituyen los trabajos de Fischbein, a los que le
dedicamos el apartado 3.3.1., como parte de las consideraciones de
la intuicin en la didctica de las matemticas.
En el captulo 4 respondemos a la segunda pregunta de
investigacin. Analizamos cualitativa y cuantitativamente las
soluciones de 38 estudiantes de ingeniera a dos problemas de
optimizacin. Usamos un protocolo ad hoc y las herramientas tericas
"configuracin epistmica" y "configuracin cognitiva", propuestas por
el enfoque ontosemitico de la cognicin y la instruccin matemtica.
Luego de hacer el planteamiento del estudio de caso en la seccin
4.1., en la seccin 4.2 enunciamos los problemas (uno de variaciones
continuas y otro de variaciones discretas), mostramos soluciones
expertas de tales problemas y elaboramos sus correspondientes
configuraciones epistmicas. La seccin 4.3 est dedicada a los
aspectos metodolgicos, y las secciones 4.4 y 4.5 al anlisis de las
soluciones individuales y grupales respectivamente, empleando
configuraciones cognitivas.
En el captulo 5, respondiendo a la tercera pregunta de
investigacin, hacemos un anlisis del significado institucional
pretendido para el objeto problemas de optimizacin. Comenzamos con
una mirada al primer nivel de concrecin del currculum que se halla
en el Diseo Curricular Nacional de Educacin Bsica Regular (Seccin
5.1), y luego analizamos con detalle dos colecciones de libros de
texto para los cinco grados de secundaria que concretan dicho
currculum, dedicando en ambos casos una atencin especial a los
problemas de optimizacin (Seccin 5.2). En la seccin 5.3 focalizamos
la atencin sobre la forma en que son tratados tres temas
particularmente vinculados con la obtencin de valores extremos:
funciones, introduccin a la programacin lineal y mximo comn
divisor/ mnimo comn mltiplo. Hacemos un anlisis epistmico global de
los enfoques predominantes de estos temas y comentarios y
sugerencias para mejorar su tratamiento.
En la seccin 5.4 presentamos un estudio realizado con alumnos
ingresantes a la Pontificia Universidad Catlica del Per, acerca de
las percepciones que ellos tienen sobre la enseanza y el
aprendizaje de las matemticas en secundaria. Dicho estudio es un
indicador indirecto
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Captulo 1 El problema de investigacin. Relevancia, objetivos y
metodologa
que nos da informacin de la brecha que hay entre la enseanza
planificada en los libros de texto (el significado pretendido en la
terminologa del EOS) y la enseanza realmente implementada (el
significado implementado en la terminologa del EOS).
En el captulo 6 respondemos afirmativamente a la cuarta pregunta
de investigacin, sobre la posibilidad de proponer problemas de
optimizacin en la educacin bsica. En la seccin 6.1, usando tanto
argumentos matemticos como configuraciones epistmicas y la dualidad
ejemplar-tipo del EOS, mostramos que algunos problemas que son
caractersticos del nivel universitario, por su resolucin usando
clculo diferencial, tambin podran proponerse en la secundaria, en
el marco de actividades individuales y grupales de dificultad
graduada que estimulen la intuicin y enriquezcan la formacin
matemtica. Tambin proponemos y examinamos un problema de
optimizacin cuyas potencialidades didcticas y matemticas han sido
experimentadas en los niveles bsicos y superior. En la seccin 6.2
damos tres lineamientos para la inclusin de problemas de
optimizacin en la educacin bsica, teniendo en cuenta nuestras
experiencias en la docencia, los criterios de idoneidad del EOS y
algunos principios relacionados con la viabilidad de propuestas de
cambio en el significado pretendido, formuladas por otros
investigadores. Como parte del primer lineamiento, que es incluir
problemas de optimizacin en todos los grados de primaria y
secundaria, en el apartado 6.2.1. proponemos problemas para estos
niveles, damos caractersticas de un buen problema desde el punto de
vista didctico, teniendo en cuenta los criterios de idoneidad del
EOS, y mencionamos algunos mtodos generales que pueden servir de
orientacin al trabajar con problemas de optimizacin. Como parte del
segundo lineamiento, que es modificar los contenidos y la
metodologa de algunas unidades didcticas, en el apartado 6.2.2.
hacemos algunas propuestas especficas para estudiar el concepto de
funcin. Finalmente, en el apartado 6.2.3. exponemos el tercer
lineamiento, que es incluir nuevos temas matemticos en los
currculos de educacin secundaria, vinculados a problemas de
optimizacin.
En el captulo 7 resumimos las conclusiones y enunciamos algunas
implicancias de la presente investigacin.
Finalmente, damos las referencias bibliogrficas usadas y
presentamos los anexos correspondientes a los captulos 4, 5 y 6,
que
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Captulo 1 El problema de investigacin. Relevancia, objetivos y
metodologa
los hemos denominado con un nmero que indica el captulo, seguido
de una letra mayscula, que indica el orden en que se estn
presentando los anexos de tal captulo (por ejemplo, Anexo 4A, Anexo
4B, etc.).
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CCaappttuulloo 22
MMAARRCCOO TTEERRIICCOO
Resumen En este captulo presentamos el marco terico de esta
memoria de investigacin. Iniciamos con una reflexin
histrico-epistemolgica de la optimizacin matemtica, luego hacemos
una breve revisin de la investigacin didctica sobre la resolucin de
problemas, una exposicin sobre lo que se entiende por problema de
optimizacin en este trabajo y una breve revisin de algunas
investigaciones didcticas sobre la resolucin de problemas de
optimizacin. Finalmente, presentamos una sntesis del enfoque
ontosemitico de la cognicin e instruccin matemtica, que lo hemos
tomado como uno de los principales referentes tericos de la
presente investigacin. 2.1. REVISIN HISTRICO-EPISTEMOLGICA DE
LA
OPTIMIZACIN MATEMTICA. En la presente seccin exponemos algunos
hechos histricos que
nos revelan la importancia que los problemas de optimizacin han
tenido desde la antigedad, tanto en la matemtica misma como en
otros campos del conocimiento.
Un primer hecho histrico lo constituyen los trabajos de
Apolonio, uno de los griegos destacados de la antigedad, que vivi
entre los aos 262 y 190 a.C. Apolonio dedic el Libro V de su obra
en ocho tomos sobre Secciones Cnicas, a estudiar segmentos de
-
Captulo 2 Marco terico
longitud mxima y longitud mnima trazados respecto a una cnica.
Segn Boyer (1986) Apolonio sostiene en su introduccin, que el tema
es de los que parecen ser dignos de ser estudiados por su propio
inters (p. 203). Kline (1990), nos dice: Apolonio demuestra que si
O es cualquier punto en el interior de una cnica y si OP es el
segmento de recta de longitud mxima o mnima desde el punto O a la
cnica, entonces la recta perpendicular a OP en P es tangente a la
cnica en P; y si O es cualquier punto sobre OP producido fuera de
la cnica, entonces OP es el segmento de longitud mnima de O a la
cnica. Ahora se enuncia esta propiedad como la perpendicularidad
entre la tangente y la normal. (p. 97). Este problema podemos verlo
ahora en un marco ms general, como parte del estudio de las
condiciones de transversalidad en problemas de clculo de
variaciones, que es una teora creada por Euler en el siglo XVIII,
en la cual se optimiza una funcional y el objeto optimizante es una
funcin.
Es pertinente recoger la afirmacin de Boyer (1986) sobre el
trabajo de Apolonio:
Al mismo tiempo que uno no puede por menos de admirar al autor
por su elevada actitud intelectual, parece procedente hacer notar
que lo que en su da fue simplemente una bella teora, sin ninguna
posibilidad en absoluto de ser aplicada a la ciencia o la tecnologa
de la poca, ha llegado a ser un instrumento terico fundamental en
campos tales como la dinmica terrestre o la mecnica celeste. Los
teoremas de Apolonio sobre mximos y mnimos son en realidad teoremas
sobre tangentes y normales a las secciones cnicas. [] Resulta pues
meridianamente claro, dicho en otras palabras, que fue la matemtica
pura de Apolonio la que hizo posible la aparicin , unos 1800 aos ms
tarde, de los Principia de Newton (p. 203)
El siguiente es otro prrafo del libro citado de Boyer, que nos
refiere un hecho histrico de la antigedad vinculado con problemas
de optimizacin y nos recuerda uno de los principios filosficos de
Aristteles, que atribuye a la naturaleza un comportamiento
optimizador:
Hern parece haber sido el primero que demostr por medio de un
sencillo razonamiento geomtrico, en una obra sobre Catptrica o
estudio de la reflexin, que la igualdad de los ngulos de incidencia
y de reflexin es una simple
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Captulo 2 Marco terico
consecuencia del principio filosfico de Aristteles de que la
naturaleza procede siempre de la manera ms sencilla o econmica. Es
decir, si un haz de rayos luminosos parte de un foco S, se refleja
en un espejo MM y se dirige despus hacia el ojo E de un observador,
entonces la luz deber recorrer el camino ms corto posible SPE, que
es exactamente aquel en que los ngulos SPM y EPM sean iguales
(Boyer, 1986, p. 229)
Otro hecho histrico interesante que nos hace ver cmo estaban
presentes las ideas de mximo en una perspectiva correcta, aunque no
necesariamente rigurosa y formal, es la obra de Pappus de
Alejandra, que escribi un libro hacia el ao 320 con el ttulo de
Coleccin matemtica:
Pappus parece haber seguido de cerca una obra Sobre figuras
isomtricas escrita casi medio milenio antes por Zenodoro (ca. 180
a.C), de la que nos han llegado algunos fragmentos a travs de los
comentaristas posteriores. Entre las proposiciones que aparecan en
el tratado de Zenodoro, haba una que afirmaba que de todas las
figuras slidas con la misma superficie, la esfera es la que tiene
un volumen mximo, pero evidentemente slo se daba una justificacin
incompleta (ibid, p.242)
En lo que se refiere a problemas propuestos de optimizacin,
recogemos la informacin que nos proporciona Heinrich Dorrie (1965),
acerca del primer problema sobre extremos, encontrado en la
historia de las matemticas:
At what point of the Earth's surface does a vertically suspended
rod appear longest? (i.e. at what point is the visual angle at a
maximum?). This problem was posed in 1471 by the mathematician
Johannes Muller, called Regiomontanus.... The problem, which in
itself is not difficult, nevertheless deserves special attention as
the first extreme problem encountered in the history of mathematics
since the days of antiquity. (p. 369)
Los problemas isoperimtricos tienen un lugar importante en la
historia de las matemticas y en particular de los problemas de
optimizacin. Cabe hacer mencin a la leyenda segn la cual la
princesa Dido personaje mtico de Fenicia, considerada fundadora de
Cartago cuando lleg en el siglo IX antes de Cristo a lo que
actualmente es Tnez,
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Captulo 2 Marco terico
y quiso comprar tierras para establecerse con su pueblo, slo se
le permiti hacerlo en una extensin tal que pudiera ser encerrada
por una inmensa cuerda. Es claro que la princesa y los fenicios que
la acompaaban, tuvieron que resolver un problema isoperimtrico:
determinar la regin de mayor rea posible, encerrada por la cuerda
(el permetro dado). La solucin intuitiva es una regin circular,
cuya circunferencia es de longitud igual a la de la cuerda; sin
embargo la solucin formal no es simple y fue escrita despus de
varios siglos. El destacado matemtico germano-suizo Jacob Steiner
(1796-1863) resolvi el problema asumiendo la existencia de la
solucin y considerando tres etapas en su demostracin1:
i) La curva debe encerrar una regin convexa. ii) Cualquier recta
que divida por la mitad el permetro
de la regin, tambin divide a la regin en dos partes que tienen
la misma rea.
iii) La semicircunferencia de longitud P/2 cuyos extremos estn
sobre una recta dada, es la curva que encierra una regin de rea
mxima, considerando todas las curvas de permetro P/2 que encierran
regiones convexas a un lado de la recta y con extremos en ella.
El clculo diferencial, con los significativos aportes de
Newton
y Leibinitz en el siglo XVII, trata de manera sistemtica los
problemas de mximos y mnimos de funciones continuas de una y de
varias variables. Es justo recordar las contribuciones con ideas
relevantes (intuitivas?) a lo largo de la historia, de personajes
como Eudoxo y Arqumedes (antes de Cristo), y de Cavalieri, Kepler,
Torricelli y Fermat para la creacin del anlisis infinitesimal.
Destacamos de manera especial los aportes de Fermat (1601- 1665)
por sus mtodos ingeniosos para resolver problemas de mximos y
mnimos, expuestos en su memoria Methodus ad disquirendam maximam et
minimam (Mtodo para investigar mximos y mnimos). En el ao 1637
publica su mtodo basado en las siguientes reglas:
1 Una exposicin detallada de la demostracin puede verse en
Honsberger, R (1977, pp. 67 70)
16
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Captulo 2 Marco terico
I. Sea A un trmino relacionado con el problema.
II. La cantidad mxima o mnima est expresada en trminos que
contienen slo potencias de A;
III. Se sustituye A por A+E , y el mximo o mnimo queda entonces
expresado en trminos de potencias de A y E;
IV. Las dos expresiones del mximo o mnimo se hacen , lo que
significa algo as como >;
V. Los trminos comunes se eliminan; VI. Se dividen todos los
trminos por una misma potencia
de E de manera que al menos uno de los trminos resultantes no
contenga a E;
VII. Se ignoran los trminos que an contienen E; VIII. Los restos
se hacen iguales.
(Andersen, 1984, p. 38)2
Los aportes de Lagrange y de Euler, destacados cientficos del
siglo XVIII, permitieron tratar los problemas de optimizacin con
varias variables y restricciones de igualdad e incursionar en
problemas de optimizacin en los cuales el elemento optimizante no
es ni un nmero real ni un vector n dimensional, sino una funcin.
Nos estamos refiriendo al clculo de variaciones y a la solucin
rigurosa de problemas como el famoso e histrico problema de la
braquistcrona, segn el cual, se debe hallar la curva plana a lo
largo de la cual una partcula se deslizar nicamente por influencia
de la gravedad y sin rozamiento, en un tiempo mnimo, de un punto P
a otro Q, considerando estos puntos en un plano vertical, Q ms
abajo que P pero no ambos en una recta vertical. Ciertamente,
hallar tal curva, es hallar la funcin que la define y hubo
soluciones muy ingeniosas, con criterios especficos para este
problema, como respuesta al reto planteado por quien lo propuso
Johann Bernoulli en 1696 a los matemticos de esa poca; entre ellas,
la solucin del mismo Johann Bernoulli, la de Leibinitz, la de
Jacques Bernoulli (hermano de Johann) y la famosa de Newton. El
clculo de variaciones es una teora que permite resolver
rigurosamente ste y muchos otros problemas de optimizacin, en
los
2 Tambin se puede encontrar una exposicin detallada de tales
mtodos en De la Torre, Suescn y Alarcn, (2005).
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Captulo 2 Marco terico
que el elemento optimizante es una funcin, constituyendo un
valioso aporte para otras ciencias.
Los principios de variacin de Euler en fsica, redescubiertos y
difundidos por el matemtico irlands W.R. Hamilton (1805 1865), han
demostrado ser una de las herramientas ms poderosas en mecnica,
ptica y electrodinmica, con muchas aplicaciones a la ingeniera. Los
avances recientes en fsica relatividad y teora cuntica estn llenos
de ejemplos que revelan el poder del clculo de variaciones.
(Courant y Robins, 2002, p. 421-422)
Se tienen as modelos de optimizacin dinmica, que en el siglo XX
son utilizados en modelos de la teora econmica. Ms an, con los
aportes de Pontryagin, Hestenes, y otros distinguidos matemticos,
se consolida en el siglo XX la teora del control ptimo, que puede
verse como un planteamiento ms general que el del clculo de
variaciones, pues introduce una variable adicional a estos
problemas (la variable de control) y considera entre las
restricciones una ecuacin diferencial que vincula la variable de
estado con la de control. Los aportes de Bellman llevan a la
formulacin de la programacin dinmica que incluye los problemas de
control ptimo en una familia de problemas de control y presta
especial atencin al valor ptimo de la funcional, a diferencia del
clculo de variaciones y el control ptimo, que focalizan su atencin
en las trayectorias ptimas de las variables de estado y de control.
Con este enfoque, se tratan rigurosamente problemas de optimizacin
dinmica, de variacin continua y de variacin discreta.
Otro gran captulo de los problemas de optimizacin est en la
programacin lineal, desarrollada a partir de la cuarta dcada del
siglo XX. La expresin programacin lineal ya est generalizada,
aunque ms convendra usar la expresin optimizacin lineal, para
evitar confusiones con la acepcin de programacin muy vinculada
ahora a la informtica. Los mtodos desarrollados permiten tratar
geomtrica y computacionalmente problemas de asignacin ptima de
recursos, y en los ms diversos campos, como la economa, las
finanzas, el transporte y los juegos competitivos. En estos
problemas, la funcin cuyo valor ptimo se busca y las funciones que
definen las restricciones de las variables, son todas lineales. En
muy corto tiempo la programacin lineal ha sido aplicada en
diversos
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Captulo 2 Marco terico
campos y al mismo tiempo ha desarrollado y perfeccionado mtodos
de solucin de problemas. Cabe mencionar que ya en 1826, Fourier
descubri un mtodo para manipular desigualdades lineales, que est
muy relacionado con la solucin de problemas de programacin lineal,
como se expone en Williams (1986). A continuacin transcribimos un
prrafo del artculo, que da idea de la estrecha interrelacin, a
pesar de la gran diferencia en el tiempo.
The theoretical insight given by this method is demonstrated as
well as its clear geometrical interpretation. By considering the
dual of a linear programming model it is shown how the method gives
rise to a dual method. This dual method generates all extreme
solutions (including the optimal solution) to a linear programme.
Therefore if a polytope is defined in terms of its facets the dual
of Fourier's method provides a method of obtaining all vertices (p.
681)
Las valiosas contribuciones de George Dantzig, L.V. Kantorovich
y T.C. Koopmans3 al desarrollo de la programacin lineal, pronto
devinieron tambin en la programacin no lineal. Son histricos los
trabajos de Kuhn y Tucker (1950) estableciendo condiciones
necesarias y suficientes para la existencia de soluciones ptimas de
problemas de programacin no lineal. Se encontraron relaciones
importantes entre la dualidad en la programacin lineal, la teora de
juegos de Von Neumann y las condiciones de Kuhn-Tucker. Estas
condiciones, que consideran funciones diferenciables de n variables
no negativas y m restricciones dadas por desigualdades, pueden
aplicarse tambin a los problemas de programacin lineal y hacer
evidentes las relaciones entre los resultados de los teoremas de
dualidad y anlisis de sensibilidad con los multiplicadores de
Lagrange. En Malaspina 2004, pp. 243-250, se exponen detalles
ilustrativos y con aplicaciones en la teora econmica. Un anlisis
histrico y matemtico sobre los orgenes y la evolucin de la
programacin lineal y la no lineal hace Hoff Kjeldsen en su tesis
doctoral (1999).
3 Koopmans y Kantorovich recibieron el Premio Nobel en Economa
en 1975 por sus contribuciones a la teora de la asignacin ptima de
recursos.
19
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Captulo 2 Marco terico
La riqueza terica en el tratamiento de los problemas de
programacin no lineal y las mltiples aplicaciones en diversos
campos de la ciencia y la tecnologa aceleraron tremendamente el
desarrollo de la optimizacin en general y en la actualidad es un
campo muy amplio de las matemticas y con numerosas publicaciones de
alto nivel matemtico sobre temas como monotona generalizada,
convexidad generalizada, problemas de equilibrio incluyendo
optimizacin multiobjetivo y teora de juegos desigualdades
variacionales, puntos fijos, Lagrangianos aumentados, tcnicas de
regularizaciones, optimizacin discreta, optimizacin estocstica,
etc.
2.2. RESOLUCIN DE PROBLEMAS
Es natural que los investigadores en educacin matemtica en
diversos lugares del mundo hayan dedicado y sigan dedicando mucho
tiempo a investigar sobre la resolucin de problemas en la enseanza
y en el aprendizaje de las matemticas, pues la resolucin de
problemas es esencial en el desarrollo de las matemticas. La
inicial y principal fuente de problemas es la realidad, que
permanentemente plantea desafos al hombre y ste responde con su
inteligencia, su capacidad de abstraccin y su intuicin. Courant y
Robins en su famoso libro Qu son las matemticas? , nos dicen
Sin duda, todos los avances matemticos tienen sus races
psicolgicas en requerimientos ms o menos prcticos; pero una vez que
algn avance ha comenzado bajo la presin de aplicaciones necesarias,
inevitablemente gana impulso por s mismo y trasciende los confines
de la utilidad inmediata. (Courant y Robins, 2002, p. 17)
El trascender los confines de la utilidad inmediata es
plantearse y resolver nuevos problemas, ya dentro de un modelo, que
se desarrolla o se modifica en interaccin con la realidad o con
otros modelos originados en otros enfoques de la realidad. As
surgen nuevos problemas y formas de resolverlos y en esta
interaccin permanente se va desarrollando la matemtica. Es
pertinente recordar lo que al respecto nos dice Dieudonne:
20
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Captulo 2 Marco terico
La historia de las matemticas muestra que los avances matemticos
casi siempre se originan en un esfuerzo por resolver un problema
especfico. (citado en Kleiner, 1986, p. 31)
A manera de ilustracin podemos citar algunos problemas famosos
en la historia de las matemticas y algunos hechos vinculados con
ellos. Papiro de Rhind: Este papiro fue encontrado a mediados del
siglo XIX y lleva el nombre de su descubridor A. H. Rhind. Consta
de 110 problemas matemticos que tienen que ver con la vida diaria;
y el copista, tal y como aparece en el propio papiro, parece
llamarse Ahmose. Est escrito en torno al 1900 a.C. (Foto de Oronoz.
Revista MUY ESPECIAL, n33 ene/feb 98) Fuente:
http://centros5.pntic.mec.es/ies.ortega.y.rubio/Mathis/Egipto/papiros.htm
Los 3 famosos problemas griegos: La duplicacin del cubo, la
triseccin del ngulo y la cuadratura del crculo, que datan
aproximadamente del siglo V antes de Cristo, que estimul la
actividad matemtica entre matemticos griegos y cuyos tratamientos
rigurosos demostrando la imposibilidad de resolverlos tienen
valiosas vinculaciones con el lgebra moderna. Hallar la tangente a
una curva y el rea de una regin limitada por una curva. Problemas
que en el siglo XVII dieron lugar al clculo diferencial e integral
El problema de la braquistcrona, al que ya nos hemos referido
antes, planteado por Johann Bernoulli en 1696, que dio origen al
clculo de variaciones. El problema de Fermat, conocido en el siglo
XVII y resuelto despus de muchos intentos y avances tericos, a
finales del siglo XX , por A. Wiles.
21
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Captulo 2 Marco terico
Los 23 problemas de Hilbert, planteados en 1900 en el Congreso
Internacional de Matemticas en Pars, que estimularon grandemente el
desarrollo de la matemtica en el siglo XX.
Hechos como estos y muchos otros en la historia de las
matemticas y de la humanidad nos hacen afirmar que la matemtica es
una construccin social dinmica; un conjunto estructurado de
conocimientos no acabado, ms bien en permanente extensin, no slo
con nuevos resultados sino con nuevos mtodos.
Siendo evidente la importancia de los problemas y de su solucin
en el desarrollo de las matemticas, es natural que tambin ocupe un
lugar importante en el campo de la educacin matemtica. Destacados
matemticos e investigadores en educacin matemtica entre los cuales
George Polya es un pionero, por su famosa obra How to solve it, de
1945 han hecho numerosas e importantes publicaciones, sobre todo a
partir de 1980 con exhortaciones a dar nfasis especial a la
resolucin de problemas en la enseanza de las matemticas. La primera
recomendacin del Consejo Nacional de Profesores de Matemticas de
Estados Unidos de Norteamrica, en 1980, en su Agenda for action
fue: El Consejo Nacional de Profesores de Matemticas
recomienda que la solucin de problemas sea el principal objetivo
de la enseanza de las matemticas en las escuelas en los ochenta
(NCTM, 1980, p. 2)
Y recientes publicaciones confirman la importancia que sigue
teniendo en los diversos sistemas educativos a nivel mundial:
Mathematical problem solving is a focus of school mathematics
internationally (Yeap et al., 2006, p. 213). Sin embargo, el gran
consenso sobre la importancia de la resolucin de problemas, no
conlleva un consenso sobre lo que significa problema y resolucin de
problemas. Recientemente se ha publicado un amplio trabajo Problem
solving around the world: summing up the state of the art editado
por Trner, Schoenfeld y Reiss (2007) con la colaboracin de
distinguidos investigadores de ms de diez pases, en el que esto se
hace evidente: The very term problem solving has very different
meanings in different countries. Indeed, as the essays in this
volume demonstrate, the meaning of the term has often changed
dramatically in the same country. For some time, problem solving
has been a major theme in research and
22
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Captulo 2 Marco terico
in curricula around the worldsometimes labeled as such,
sometimes with an emphasis on applications, sometimes through
different pedagogies that emphasize making sense, individually or
collectively, of mathematical situations. As a result, it has been
difficult to develop a sense what problem solving means around the
worlda sense of what is being studied and what is being implemented
in classrooms. (ibid, p. 353)
Ya Schoenfeld (1992, p. 334) haca notar que se tenan diversos
significados de solucin de problemas, variando desde trabajo
memorstico de ejercicios hasta hacer matemticas como un
profesional, incluyendo objetivos tan diversos para la solucin de
problemas, como
formar estudiantes para pensar creativamente preparar
estudiantes para las competencias sobre problemas aprender tcnicas
estandarizadas en determinados dominios proveer de un nuevo enfoque
a las matemticas remediales (habilidades bsicas)
En la presente investigacin, trabajaremos con un criterio muy
amplio de lo que es problema, y en consecuencia de lo que es
solucin de problemas. Seguiremos la lnea de Schoenfeld (2006) en su
artculo Problem solving from cradle to grave, que lo considera un
manifiesto terico en el cual hace una revisin crtica de sus
artculos anteriores acerca de estos temas, en particular sobre el
libro Mathematical problem solving que escribi en 1985. As,
un problema para un individuo en cualquier punto del tiempo es
algo que el individuo quiere lograr. Puesto de otra manera,
resolver problemas se interpretar como trabajar hacia el logro de
un objetivo personal de alta prioridad. (Schoenfeld, 2006, p. 44.
Traduccin propia)
En nuestra perspectiva, consideramos que, en trminos generales,
ese trabajo hacia el logro de un objetivo personal de alta
prioridad se realiza analizando la informacin que se tiene,
estableciendo relaciones lgicas y buscando el mejor camino (la
solucin ptima), segn las circunstancias especficas. En esta bsqueda
de lo ptimo y en la certeza implcita de haberlo conseguido est
presente lo que denominamos intuicin optimizadora y que
desarrollaremos en el siguiente captulo.
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Captulo 2 Marco terico
Ciertamente, podra no seguirse el mejor camino como consecuencia
de las distorsiones que producen los mtodos rutinarios de resolver
problemas, y esto puede percibirse ms ntidamente al resolver
problemas matemticos, incluyendo los ejercicios de clculo
aritmtico. As, al tener que obtener el producto de 52 por 98 el
camino natural puede ser efectuar la multiplicacin estndar,
desarrollando el algoritmo, sin seguir un camino mejor, que sera
multiplicar 52 por 100 y luego restar 104. Puede considerarse mejor
porque es ms rpido, no necesita lpiz y papel, y porque, en palabras
de Artigue (2006) es una pequea muestra de la belleza de este mundo
del clculo, de los tesoros de inteligencia que las prcticas de
clculo contienen (p. 7).
Estimular el desarrollo de la intuicin optimizadora, en la
resolucin de problemas matemticos contribuira a que se encuentre un
equilibrio en la enseanza y el aprendizaje del clculo entre la
automatizacin y la razn, como lo reclama Artigue en el citado
artculo; y a que, en general, se siga buscando otras soluciones,
cada vez mejores, ante un problema planteado, de modo que la tarea
de resolverlo no concluya con encontrar una respuesta correcta,
sino que se pase a actividades de matematizacin, entre las que se
consideran la generalizacin; el establecimiento de conexiones con
otros campos de la matemtica, con otros campos del conocimiento o
con la realidad; y el planteamiento de nuevos problemas a partir
del problema resuelto.4
2.3. PROBLEMAS DE OPTIMIZACIN
Referirse a problemas de optimizacin en general, es referirse a
un mbito muy amplio de las matemticas, y que est avanzando cada vez
ms. En diversos campos de las ciencias naturales y sociales se
encuentran, se formulan y se resuelven problemas de optimizacin.
Los problemas de programacin lineal quizs son los ms conocidos o
difundidos, pero existen problemas de programacin no lineal, de
programacin dinmica, de optimizacin discreta, de optimizacin
combinatoria, optimizacin cncava, optimizacin estocstica, etc.
4 Estas ideas estn relacionadas con las de matematizar , en
Freudenthal (1991)
24
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Captulo 2 Marco terico
En la presente seccin explicitamos lo que consideramos un
problema de optimizacin en esta investigacin, teniendo en cuenta
una perspectiva didctica, con el propsito de dar pautas para
iniciar el estudio de los problemas de optimizacin desde los
niveles ms bsicos de la educacin. Damos una clasificacin y algunos
ejemplos con comentarios. Llamaremos problema de optimizacin a todo
problema en el cual el objetivo fundamental es obtener un valor
mximo o un valor mnimo de alguna variable.
Observaciones: 1. Esta perspectiva es consistente con la
definicin intuitiva que se
expone en Pinto Carvalho et al (2003): Intuitively, optimization
refers to the class of problems that consists in choosing the best
among a set of alternatives. Even in this simple, imprecise
statement, one can identify the two fundamental elements of an
optimization problem: best, that conveys a choice of criterium used
to choose the solution; this is usually expressed by means of a
function, that should be minimized or maximized; alternatives, that
refers to the set of possible solutions that must be satisfied by
any candidate solution (p. 17)
2. En el enunciado de un problema de optimizacin generalmente se
usan palabras o expresiones como mximo, mnimo, el ms (o la ms, lo
ms), el menos (o la menos, lo menos), el mejor (o la mejor, lo
mejor), el peor (o la peor, lo peor), a lo ms, por lo menos, el
mayor (o la mayor), el menor (o la menor).
3. Al referirnos a valores mximos o mnimos de una variable,
debemos precisar que se requiere un conjunto C en el cual se
consideren los valores de la variable.
En trminos formales, un primer nivel de problema de optimizacin
es la obtencin de un elemento mximo o de un elemento mnimo en un
conjunto C en el que se ha definido una relacin de preorden
completo; es decir una relacin binaria, que la representamos por ,
reflexiva y transitiva, que puede establecerse entre cualquier par
de elementos de C. Entonces, el problema de optimizacin es:
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Captulo 2 Marco terico
Dado el par ordenado (C; ), donde C es un conjunto en el que se
ha definido la relacin de preorden completo representada por ,
determinar cm C tal que c C, cm c (cm el elemento mnimo); o: Dado
el par ordenado (C; ), donde C es un conjunto en el que se ha
definido la relacin de preorden completo representada por ,
determinar cM C tal que c C, c cM (cM el elemento mximo).
Generalmente, tal conjunto es un subconjunto de los nmeros
reales y la relacin de preorden es la relacin de orden cannico. As,
y* es un valor mximo de la variable y, en el conjunto C, si y* es
mayor o igual que y para todo y que pertenece al conjunto C. Si en
lugar de mayor o igual se cumple menor o igual, entonces y* es un
valor mnimo de y.
4. Las condiciones del problema permiten establecer el conjunto
C en el cual se debe buscar el valor mximo o mnimo de la variable.
En muchos casos esta variable es la variable dependiente de una
funcin explcita f (la funcin objetivo del problema), digamos y = f
(x), cuyo dominio incluye un conjunto factible F que es un
subconjunto del dominio de la funcin f y queda determinado por las
restricciones que se deducen de la informacin dada en el problema.
Ciertamente, el problema queda resuelto si se determina x* en F tal
que y* = f(x*) es mximo o mnimo, segn sea el caso. En el grfico se
ilustra un caso posible. F puede considerarse un subconjunto del
plano (IR2). En tal caso, x es una variable de dos componentes: x =
(x1 , x2).
IRfF
C
. y = f(x) . x= (x1 , x2)
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Captulo 2 Marco terico
5. Puede ocurrir que sea imposible que se alcance un valor mximo
o mnimo en el conjunto C. En tales casos, el problema queda
resuelto al demostrar que el valor pedido no existe.
6. Tambin puede ocurrir que en F haya ms de un elemento
maximizante o minimizante; aun casos de infinitos puntos
optimizantes.
7. Otra aclaracin importante es que segn como se considere el
subconjunto de F en el cual se analiza el carcter optimizante de un
elemento de F, se puede tener un ptimo relativo (en un subconjunto
propio de F) o un ptimo absoluto (en todo F).
2.3.1. Clasificacin de los problemas de optimizacin. Hay varias
maneras de clasificar los problemas de optimizacin,
teniendo en cuenta las caractersticas de la funcin objetivo y
las del conjunto factible. Para los fines de esta investigacin,
tomaremos como criterio de tipificacin de un problema de
optimizacin la naturaleza del conjunto factible, y como referencia
el libro de Pinto Carvalho et al (2003). As, desde este punto de
vista, hay cuatro clases de problemas de optimizacin: continua,
discreta, combinatoria y variacional, que pasamos a describirlos
brevemente:
Problema de optimizacin continua: cuando su conjunto factible es
un subconjunto continuo de Rn; es decir, cuando todos los elementos
del conjunto factible son puntos de acumulacin. Problema de
optimizacin discreta: cuando su conjunto factible es un conjunto
discreto; es decir, cuando el conjunto factible no tiene puntos de
acumulacin.
Lo ms frecuente es que tal conjunto discreto sea un subconjunto
de Z o de Zn . Problema de optimizacin combinatoria: cuando su
conjunto factible es finito.
Cabe aclarar que en estos problemas los elementos del conjunto
factible no estn explcitamente determinados, sino indirectamente
especificados mediante relaciones combinatorias. Un problema
conocido de este tipo es el del agente viajero, que desea encontrar
el camino de mnima longitud que comience en un determinado pueblo,
recorra los n pueblos que debe visitar y regrese al pueblo de
partida. El estudio de este tipo de problemas
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Captulo 2 Marco terico
y de mtodos eficientes de solucin est muy relacionado con los
avances en computacin. Problema de optimizacin variacional: cuando
su conjunto factible es un subconjunto de dimensin infinita de un
espacio de funciones. El problema de la braquistcrona, los del
clculo de variaciones y los de la teora de control ptimo son
ejemplos de problemas de optimizacin variacional. Un ejemplo
sencillo de formular y examinar es la determinacin del camino ms
corto sobre una determinada superficie, que una dos puntos dados de
tal superficie.
Otros criterios de clasificacin de los problemas de optimizacin
son: Teniendo en cuenta el tipo de restricciones en las
variables
Con restricciones dadas por igualdades Con restricciones dadas
por desigualdades
Teniendo en cuenta las propiedades de la funcin objetivo y de
las que definen las restricciones
lineales no lineales convexas, etc.
Para trabajar con problemas de optimizacin en la primaria y la
secundaria, y teniendo en cuenta los recursos matemticos a usarse
en la solucin, podemos considerar
problemas aritmticos problemas algebraicos problemas geomtricos
problemas de geometra analtica problemas de anlisis matemtico
problemas mixtos.
Tambin consideraremos problemas de carcter ldico, que pueden
estar en cualquiera de los casos anotados. Los problemas de
programacin lineal, podemos considerarlos como problemas de
geometra analtica, ya que es en ese marco en el que se tratan en la
secundaria.
28
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Captulo 2 Marco terico
2.3.2. Ejemplos y comentarios
PPrroobblleemmaa 11
Encontrar dos nmeros cuya suma sea 15 y cuyo producto sea
mximo.
Tal como est planteado, sin restricciones explcitas para los
nmeros, es un problema de optimizacin continua; sin embargo, si se
plantea en primaria o cuando slo se conocen los nmeros enteros, es
un problema de optimizacin discreta.
Formalizacin Presentado formalmente, este problema es el de
maximizar la funcin f(x1 , x2) = x1 x2, sabiendo que x1 + x2 = 15.
As, la funcin objetivo est claramente identificada y la variable x
tiene dos componentes. Segn el nivel en el que se use el problema,
o los objetivos que se busquen, x1 y x2 pueden variar en los nmeros
enteros, en los nmeros racionales o en los nmeros reales. En el
caso ms amplio, f est definida en el conjunto Rx R ( el plano R 2)
, el conjunto factible F es el conjunto de puntos (x1 , x2) del
plano, que cumple la ecuacin x1 + x2 = 15 (una recta) y el conjunto
C es todo el conjunto R.
Distintos niveles Segn el nivel en el que se explote
didcticamente este problema, puede ser aritmtico, algebraico o de
geometra analtica. Como problema aritmtico se usan las operaciones
de adicin y multiplicacin y el ensayo y error; como problema
algebraico se usan ecuaciones y un sistema de ecuaciones con dos
variables que no es lineal; y como problema de geometra analtica,
se usan las grficas de una recta y de una familia de hiprbolas
equilteras. En el marco ms amplio de la optimizacin matemtica, es
un problema de programacin no lineal.
Contextos Geomtrico o mixto
Podemos tener un problema de optimizacin continua, geomtrico o
mixto:
Determinar las dimensiones de un rectngulo cuyo permetro sea 30
cm y cuya rea sea mxima.
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Captulo 2 Marco terico
Ciertamente, las ecuaciones que hay que usar para resolver este
problema, son las mismas que las del Problema 1.
Ldico Si para la solucin de este problema se propone el uso de
una cuerda que anudada por sus extremos tenga longitud 30 cm, el
problema adquiere un carcter ldico, se puede percibir las diversas
posibilidades con variaciones continuas de las variables (ancho y
largo del rectngulo) jugando con cuatro dedos en la cuerda, y puede
encontrarse una solucin intuitiva. Microeconmico Si se tienen
conocimientos de microeconoma, este problema puede plantearse como
sigue:
Considerando slo dos tipos de bienes de un consumidor,
determinar las cantidades de estos que maximizan su funcin de
utilidad. Los precios unitarios de los bienes son de una unidad
monetaria cada uno, el consumidor debe gastar 15 unidades
monetarias, y su funcin de utilidad est dada por el producto de las
cantidades de bienes.
Usualmente, problemas de este tipo son examinados por mtodos
grficos, como puede verse en los libros de nivel introductorio e
intermedio de microeconoma. PPrroobblleemmaa 22
Se tiene dos lminas rectangulares: una de 9 cm de largo por 7 cm
de ancho y otra de 6 cm de largo por 2 cm de ancho. Moviendo
libremente las lminas en el plano y juntndolas de modo que uno de
los lados de una lmina est completamente unido a uno de los lados
de la otra lmina, se forman nuevas figuras planas. Dibuja una de
esas figuras: la que t consideras que tiene el mayor permetro.
Escribe cul es ese permetro y explica por qu consideras que es el
mayor.
2 cm
6 cm
9 cm
7 cm
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Captulo 2 Marco terico
Es un problema geomtrico, de optimizacin discreta, pues el
conjunto C en el que debe buscarse el valor mximo, es un conjunto
finito. Usando material didctico manipulable, es un problema con
caractersticas ldicas.
Formalizacin El conjunto F est formado por las infinitas figuras
planas que resultan de juntar las dos lminas, segn lo indicado en
el problema. A cada figura corresponde un permetro y as queda
definida la funcin objetivo, con valores numricos. Esta definicin
no necesariamente es algebraica. Lo importante es que a cada figura
formada juntando las lminas, le corresponde un nmero, que es su
permetro. Al resolver el problema se van a encontrar situaciones
equivalentes, que formalmente determinan dos clases de equivalencia
en el conjunto F, en las que se cumple la relacin tener el mismo
permetro que.
Distintos niveles Tal como est planteado, es un problema que se
puede usar en clases de primaria. Basta conocer el concepto de
permetro de una figura plana y efectuar operaciones aritmticas. Si
al problema se le hace la ligera modificacin de permitir que al
unir las lminas por sus lados, la parte comn no necesariamente sea
de la longitud de uno de los lados, ya tenemos un problema de
optimizacin continua. El conjunto C ya no es finito, aunque es
acotado superior e inferiormente. Ciertamente este nuevo problema
requiere el conocimiento de los nmeros reales. Puede usarse en
clases de secundaria. Si ya se conocen funciones, se puede expresar
algebraicamente la funcin objetivo:
f(x) = 48 2x , donde x es la longitud de la parte comn al unir
las lminas. 48 es la suma de los permetros de ambas lminas.
Si a la modificacin explicada en el prrafo anterior se le aade
que la parte comn al unir las lminas no puede reducirse a un solo
punto, el problema brinda la oportunidad de relacionar conceptos de
intervalos semiabiertos, funciones lineales afines, el mximo de
funciones lineales afines, etc. y de trabajar con un problema de
optimizacin que
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Captulo 2 Marco terico
queda resuelto cuando se justifica que no es posible encontrar
un valor mximo. Est en juego el concepto de supremo.
2.4. INVESTIGACIONES DIDCTICAS SOBRE PROBLEMAS
DE OPTIMIZACIN A continuacin presentamos una relacin de
investigaciones
didcticas relacionadas con problemas de optimizacin, publicadas
como libros o como artculos en revistas especializadas, que muestra
que este campo ha despertado inters de investigadores en didctica
de la matemtica por estudiarlo y hacer propuestas, en diversos
lugares y pocas. Ciertamente la lista no es exhaustiva, pero
podemos afirmar que en trminos relativos, son pocas las
investigaciones en este campo. Cabe mencionar que no hemos
encontrado investigacin alguna con el enfoque presentado en esta
memoria; es decir, usando una perspectiva holstica como el enfoque
ontosemitico de la cognicin e instruccin matemtica, para hacer un
estudio integrado de la resolucin de problemas de optimizacin con
la intuicin y el rigor. Tampoco hemos encontrado investigaciones ni
propuestas de problemas de optimizacin para el nivel primario.
A continuacin, la relacin numerada, en orden cronolgico, de una
parte de los artculos encontrados, relacionados con problemas de
optimizacin.
1. Guenther, K. (1977) Welche Optimierungsprobleme sind fuer die
Hauptschule geeignet. Alternativvorschlaege zum Sachrechnen bzw.
linearen Optimieren. Proceedings. Beitraege zum
Mathematikunterricht. (pp. 102-105). Hannover, Germany, F.R.:
Schroedel. (Alemania)
2. Geister, D. (1978) Optimierungsaufgaben in der Sekundarstufe
I. 12th Federal meeting for didactics of mathematics. Papers. 12.
p. 81. Hannover, Germany, F.R.: Schroedel. (Alemania)
3. Wurz, L. (1982). Kennst du deinen kuerzesten Schulweg. Ein
Optimierungsproblem fuer die Mathematik der oberen Hauptschulstufe.
Schule. v. 50(10) (pp. 646-651) . (Revista, Alemania)
4. Schupp, H. (1991) Optimieren als Leitlinie im
Mathematikunterricht Mathematik in der Schule, v. 29(2/3) pp.
148-162 (Revista, Alemania)
32
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Captulo 2 Marco terico
5. Villers, C. (1997) Optimisation des les premieres annees du
secondaire. Mathematique et Pedagogie. (no.112) pp. 31-43. (Revista
de publicacin bimestral, Blgica)
6. Humenberger, H. (1998). Optimieren im Mathematikunterricht.
Praxis der Mathematik. v. 40(3) pp. 101-108 (Revista, Alemania)
7. Lowther, M. (1999) Optimization: A Project in Mathematics and
Communication. The Mathematics Teacher. v. 92(9) pp. 764-67, 812.
(Revista oficial del National Council of Teachers of Mathematics.
Estados Unidos de Norte Amrica)
8. Maass, K. (2000). Optimierung und Funktionen in Klasse 6.
Flaecheninhalt und Umfang als Thema zur Behandlung von
fundamentalen Ideen. Mathematica Didactica. v. 23(1) pp. 83-95.
(Revista para didctica de la matemtica, Alemania)
9. Camacho, M., et al (2001). Una aproximacin a los problemas de
optimizacin en libros de Bachillerato y su resolucin con la TI-92.
Aula. (no.10) pp. 137-152. (Revista, Espaa)
10. Driscoll, P. and Kobylski, G. (2002). A method for
developing student intuition in nonlinear optimization. PRIMUS.
12(3) p. 277-286. (Revista, Estados Unidos de Norte Amrica)
11. Crama, Y. (2005). Trente ans de recherche operationnelle et
d'optimisation mathematique. Mathematique et Pedagogie, (no.153)
pp. 23-39 (Revista de publicacin bimestral, Blgica)
12. Schuster, A. (2005) Kombinatorische Optimierung als
Gegenstand der Gymnasialdidaktik im Umfeld von Mathematik- und
Informatikunterricht. Journal fuer Mathematik-Didaktik, v. 26(1)
pp. 92-93 (Revista, Alemania)
La mayora de trabajos encontrados, centran su atencin en el
nivel de la secundaria (1, 2, 3, 4, 5, 7, 8 y 9) y los otros en el
nivel superior.
Nueve de los doce trabajos citados, se basan en problemas
especficos (1, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9 y 10), y en algunos de ellos hay
propuestas especficas de mtodos a emplear para resolver problemas
de optimizacin (en el 9, el uso de la calculadora cientfica TI 92 y
en el 10, el uso del software MAPLE. En el 2 el uso del mtodo de
completar cuadrados; en el 3, un mtodo especfico para examinar el
problema cotidiano de encontrar el camino ms corto de la casa a
la
33
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Captulo 2 Marco terico
escuela; y en el 5, se dan mtodos algebraicos para resolver
problemas de valores extremos en la geometra.).
Los que consideramos que brindan ms elementos para reflexiones
didcticas son el 4 (modelizacin), el 6 (teora de juegos), el 7
(comunicacin), el 8 (aproximacin), el 10 (intuicin y optimizacin no
lineal, para nivel universitario) y el 12 (optimizacin
combinatoria). En el 1, 3, 6 y 12 predominan los problemas de
optimizacin discreta; en el 2, 4, 5, 8, 9 y 10, predominan los
problemas de optimizacin continua; y el 11 tiene una perspectiva
histrica.
2.5. EL ENFOQUE ONTOSEMITICO DE LA COGNICIN E
INSTRUCCIN MATEMTICA En esta seccin presentamos una sntesis de
las herramientas
bsicas del Enfoque Ontosemitico del Conocimiento e Instruccin
Matemtica (EOS), ensamblando o resumiendo prrafos y figuras tomados
de diversos artculos de la amplia literatura desarrollada
principalmente por J. D. Godino, C. Batanero, y V. Font. Nuestras
referencias fundamentales sern Godino (2003); Godino Batanero y
Font (2007); Font (2007); Godino, Font, Contreras y Wilhelmi
(2006); y DAmore y Godino (2007).
2.5.1. Resea histrica
Podra decirse que el artculo de Godino y Batanero (1994)
Significado institucional y personal de los objetos matemticos,
publicado en la revista francesa Recherches en Didactique des
Mathmatiques, marca el inicio del EOS en la comunidad internacional
de investigadores en didctica de las matemticas, mostrando la
intencin de construir un enfoque unificado de