TESIS DE MAESTRÍA EN CIENCIAS - CENIDET...TESIS DE MAESTRÍA EN CIENCIAS Control Tolerante a Fallas Basado en Conceptos de Platitud y Análisis de Intervalos presentada por Erik Alfredo

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Centro Nacional de Investigación y Desarrollo Tecnológico

Departamento de Electrónica

TESIS DE MAESTRÍA EN CIENCIAS

Control Tolerante a Fallas Basado en Conceptos de Platitud y Análisis de Intervalos

presentada por

Erik Alfredo Chumacero Polanco Ing. en Electromecánica por el I. T. de Zacatepec

como requisito para la obtención del grado de:

Maestría en Ciencias Electrónicas

Director de tesis: Dr. Carlos Daniel García Beltrán

Co-Director de tesis:

Dr. Gerardo Vicente Guerrero Ramírez

Jurado: Dr. Manuel Adam Medina – Presidente

Dr. Juan Reyes Reyes– Secretario Dr. Carlos Daniel García Beltrán – Vocal

Dr. Gerardo Vicente Guerrero Ramírez – Vocal Suplente

Cuernavaca, Morelos, México. 15 de Octubre de 2010

DEDICATORIA

Dedico este trabajo a Dios por darme la oportunidad de vivir y llenarme de bendiciones y amor.

A mi madre por su apoyo, compresión, amor y por todos los sacrificios que ha hecho pensando en mi bien. Gracias y no tengo con que pagarle y a mi padre que sé que me cuida y observa desde el lugar en el que se encuentre.

A mi familia, empezando con mi hermana que me ha enseñado a luchar por lo que se quiere. A mis tíos y primos, en quien siempre he encontrado amor, cariño y respeto.

A mis directores de tesis, el Dr. Carlos Daniel García Beltrán y el Dr. Gerardo Vicente Guerrero Ramírez, en quienes encontré excelentes profesores y mejores personas. Y a mis revisores, Dr. Manuel Adam Medina y Dr. Juan Reyes Reyes, sin cuya orientación este trabajo no hubiera arribado a buen puerto.

AGRADECIMIENTOS

Agradezco a Dios por todas las bendiciones que tengo, porque me ha puesto en las mejores situaciones y espero que mis acciones agraden a sus ojos.

Agradezco al CONACYT sin cuyo apoyo económico este trabajo no existiría, esperando que futuras generaciones puedan contar con la misma oportunidad que se me ha dado A mi madre, que siempre me ha estado ahí para apoyarme, escucharme y orientarme, porque sus regaños me han encaminado en el camino correcto y nunca me ha dejado caer. A mi hermana, quien me ha enseñado a luchar en la vida. A Alejandro López, quien ha estado siempre, en las buenas, en las malas y en las peores a lado de mi madre y mío. Sé que se ha preocupado por nosotros. No puedo olvidar a mis tios, Rogelio, Patricia y Mary porque me han tratado como un hijo y han demostrado que me aman.

Agradezco a mis compañeros de estudios, quienes se convirtieron en mis amigos, a todos y a cada uno de ellos por acompañarme en este duro camino, gracias a ellos se aligeró la carga. Gracias Julio por siempre apoyarme, gracias Felipe, porque tus regaños de amigo enderezaron mi camino, gracias Alejandro por siempre tener una palabra de aliento, gracias Diego por compartir el secreto de la vida, sólo él y yo lo conocemos, mi querido amigo el shaka, del cual sé que su nombre es Abraham, por soportarme y tolerarme siempre y enseñarme que en esta vida aún hay personas en las que podemos confiar. Todos ustedes se quedarán en mi mente y mi corazón. Gracias a mi amada esposa Yaret, por compartir conmigo este camino e iniciar uno nuevo que espero nos lleve muy lejos. Has iluminado mi vida con tu comprensión, cariño y respeto, pero sobre todo con tu gran amor, le has dado luz a mi vida.

No puedo dejar de agradecer a mis profesores, el Dr. Carlos y el Dr. Gerardo, el Dr. Manuel, el Dr. Juan, el Dr. Alejandro y a los profesores de materia, de quienes aprendí no sólo conocimientos académicos sino lecciones de vida.

En general, gracias a todos los que han estado a mi lado empujándome para terminar esta meta, sin ustedes esto no sería posible

CONTROL TOLERANTE A FALLAS BASADO EN CONCEPTOS DE PLATITUD Y ANÁLISIS DE INTERVALOS

Erik Alfredo Chumacero Polanco

Resumen

La generación eólica se ha convertido en una de las principales áreas de desarrollo a nivel mundial, esto debido a su bajo impacto ecológico y al cada vez mayor interés de la comunidad internacional en fuentes de energía renovable y sustentable.

El componente principal de un sistema de generación eólico es la turbina, y dentro de ésta, el generador eléctrico es el dispositivo más relevante, ya que sin éste, sería imposible transformar la energía mecánica del viento en energía eléctrica utilizable. Sin embargo, como todo dispositivo, el generador es susceptible a fallas en su operación.

Con el fin de hacer frente a estas fallas, se conocen distintas técnicas tales como los esquemas de control tolerante a fallas, que hacen uso de sistemas de detección y estimación de fallas, sin embargo, estos sistemas tienen limitaciones como lo es la imposibilidad, por parte del sistema de diagnóstico, de otorgar una estimación precisa de la magnitud de la falla, esto implica que sólo puede ser conocida con cierta incertidumbre.

Por otra parte, todos los generadores eléctricos utilizados en grandes sistemas de generación eólica presentan una dinámica altamente no lineal, lo que dificulta el control de éstos mediante técnicas convencionales. Así que el controlador diseñado debe considerar la dinámica no lineal del sistema.

Entonces, tenemos inconvenientes con incertidumbre en la estimación de fallas y dinámicas no lineales en el comportamiento del generador. Así como incertidumbre en los propios parámetros del sistema.

Para hacer frente a estos inconvenientes, se propuso utilizar un nuevo enfoque en los sistemas de control, denominado enfoque Algebraico-Diferencial, la metodología se basa en conceptos de álgebra diferencial, lo que permite la manipulación de ecuaciones diferenciales de una manera sistemática. Más específicamente, se propone la utilización de la propiedad de platitud diferencial para el diseño de controladores. Dicha propiedad permite expresar los estados dinámicos y las entradas de un sistema en términos de una variable privilegiada (llamada salida plana) y un número finito de sus derivadas temporales. Además, se utilizan técnicas de aritmética intervalar para establecer una familia de controladores que sean capaces de mantener las prestaciones mínimas del sistema cuando existan fallas y éstas no sean estimadas de manera precisa.

En esta tesis se considera este nuevo enfoque diferencial y se aborda el problema del control tolerante a fallas en el modelo matemático del generador trifásico de inducción doblemente

alimentado. Desde esta perspectiva, se realizó el diseño del controlador del generador basado en platitud diferencial utilizando técnicas de transformación de coordenadas para simplificar el modelo matemático del sistema. Además, aún cuando no se realiza el sistema de detección y estimación de las fallas, se considera que se conoce la magnitud de la falla dentro de un intervalo numérico.

El sistema de control propuesto está formado por un control de tipo prealimentado, basado en platitud diferencial, que realiza la linealización del sistema alrededor de la trayectoria de referencia y un control retroalimentado de tipo proporcional-integral-derivativo (PID) en una primera etapa. Posteriormente se sustituye el control PID por un control retroalimentado de tipo GPI.

En el primer controlador diseñado (GPI), el sistema de acomodo de fallas modifica en línea los parámetros del controlador. En el caso del control por platitud diferencial se supone la falla conocida en un intervalo.

Las pruebas al controlador diseñado se realizaron a nivel de simulación computacional utilizando el software Matlab ®.

FAULT TOLERANT CONTROL BASED ON DIFERENTIAL FLATNESS AND INTERVAL ANALYSIS

Erik Alfredo Chumacero Polanco

Abstract

The electric generation energy from eolic energy is one of the main development areas around the world, this is due to its low ecological impact and to the increasing interest of the international community on renewable a sustainable energy.

The main component of a electric generation system from de wind is the eolic turbine, within this, the electric generator is the most important piece, which is the device which transform the mechanic energy from the wind to suitable electric energy. But, just like everyone machine, the generator is susceptible to fails during its operation.

In order to face this fails, there are different fault tolerant control approaches which use fault diagnosis and detection systems. However, these systems have limitations such as the impossibility of the diagnosis system to proportionate an accurate estimation of the fault’s value, but this value is only known within a numeric interval.

On the other hand, the all of the electric generators used in large eolic systems present a non linear dynamic behavior, which difficult the conventional controller design, so the controller must consider this non linear dynamic.

We resume the above, we have uncertainties at the fault diagnosis and we have non linear generator’s dynamic.

This two are faced with the new approach in the control systems, named Differential-Algebraic approach, this methodology is based on differential algebra which allows the manipulations of the differential equations in a systematic manner. The flatness property is proposed to make the controller design. This property gives us the faculty to express the all of the states and the all of the inputs as dependents of a privileged variable (flat output) and a finite number of temporal derivatives. Furthermore, interval arithmetic techniques are used to assess and controller’s family capable of maintain the minimal behavior of the system in fault-condition operation

This new approach is considered in this thesis and the fault tolerant control problem is studied using the mathematical model of the doubly fed induction generator. With this perspective the stator’s current flatness-based controller is designed and interval analysis is used during the computational simulation. The well known reference frame dq0 is used. In fault case, this is estimated within a numeric interval and then fault accommodation occurs.

The control system has a fedforward control based on differential flatness which linealize the system around de reference trajectory and a GPID feedback controller with a suitable tuning.

The fault accommodation system modifies the GPID gains in order to have a better behavior in fault condition. The suitable gains were precalculated outline and a “look in table” technique is used to online select the appropriate one.

The controller designed was probed trough computational simulation using the software Matlab and Simulink.

ÍNDICE GENERAL

ÍNDICE DE FIGURAS………………………………………………………………………………………….……-i-

ÍNDICE DE TABLAS……………………………………………………………………………………………….-iii-

NOTACIÓN …………………………………………………………………………..……………………………….-iv-

ACRÓNIMOS………………………………………………………………………………………………..………..-vi-

Capítulo 1

INTRODUCCIÓN

1.1. Marco Teórico ........................................................................................................................................................................... - 3 -

1.1.1. Control Tolerante a Fallas ........................................................................................................................................ - 3 -

1.1.2. Platitud Diferencial y Control Basado en Platitud ....................................................................................... - 6 -

1.1.3. Control Proporcional Integral Generalizado ................................................................................................... - 7 -

1.1.4. Análisis Intervalar ........................................................................................................................................................ - 7 -

1.1.5. Generador de Inducción Doblemente Alimentado......................................................................................... - 8 -

1.2. Estado del Arte ......................................................................................................................................................................... - 9 -

1.3. Ubicación del Problema .................................................................................................................................................... - 10 -

1.4. Propuesta de Tesis: “CTF Mediante Análisis Intervalar y Platitud”.............................................................. - 11 -

1.5. Aportaciones del Trabajo de Tesis ............................................................................................................................... - 12 -

1.6. Organización del Trabajo ................................................................................................................................................ - 13 -

Capítulo 2

GENERADOR DE INDUCCIÓN DOBLEMENTE ALIMENTADO

2.1. Modelo Matemático de la Máquina de Inducción ................................................................................................. - 15 -

2.2. Fundamentos Teóricos del Marco de Referencia .................................................................................................. - 17 -

2.3. Representación del Modelo en Variable Compleja ............................................................................................... - 21 -

2.4. Comparación de Modelos en Simulación Computacional ................................................................................. - 23 -

2.5. Adaptación del Modelo para Inclusión de Fallas .................................................................................................. - 25 -

Capítulo 3

CONTROL PROPORCIONAL-INTEGRAL GENERALIZADO

3.1. Ejemplo De Aplicación, Motor Eléctrico De Corriente Directa ....................................................................... - 29 -

3.2. Diseño del Controlador PI Generalizado Aplicado al DFIG ............................................................................. - 33 -

3.2.1 Diseño del Controlador Prealimentado ........................................................................................................... - 34 -

3.2.2 Diseño del Controlador Retroalimentado....................................................................................................... - 35 -

3.3. Pruebas al Controlador GPI Robusto .......................................................................................................................... - 36 -

3.2.3 Referencia de Corriente Eléctrica Trifásica ................................................................................................... - 36 -

3.2.4 Referencia De Potencia Eléctrica Activa ......................................................................................................... - 38 -

3.4. Diseño del Controlador con Acomodo de Fallas..................................................................................................... - 40 -

3.4.1. Búsqueda del parámetro 흀 .................................................................................................................................... - 40 -

3.4.2. Generación de Datos y Búsqueda en Tabla .................................................................................................... - 41 -

3.5. Pruebas Realizadas al Controlador GPI con Acomodo de Fallas ................................................................... - 42 -

3.6. Resumen de Resultados ..................................................................................................................................................... - 46 -

Capítulo 4

CONTROL BASADO EN PLATITUD DIFERENCIAL

4.1. Platitud Diferencial ............................................................................................................................................................. - 47 -

4.2. Métodos de Diseño de Control Basado en Platitud Diferencial....................................................................... - 48 -

4.2.1. Diseño de Controladores con Linealización Exacta por Retro-Alimentación ................................ - 49 -

4.2.2. Linealización Alrededor de La Trayectoria de Referencia ..................................................................... - 49 -

4.3. Ejemplo de Aplicación: Motor de Corriente Directa ............................................................................................ - 52 -

4.4. Diseño del Controlador por Platitud Diferencial Aplicado al DFIG .............................................................. - 54 -

4.4.1. Platitud del Sistema .................................................................................................................................................. - 55 -

4.4.2. Diseño del Controlador de Enlace de Flujo .................................................................................................... - 57 -

4.4.3. Diseño del Controlador de Velocidad Mecánica .......................................................................................... - 58 -

4.4.4. Generación de Señales de Referencia de Enlace de Flujo ........................................................................ - 60 -

4.5. Pruebas de Desempeño del Controlador ................................................................................................................... - 60 -

4.5.1. Resumen de Resultados de Satisfacción de Restricciones Para el Controlador Plano……….- 70 -

4.6. Rediseño Para Acomodo De Fallas ............................................................................................................................... - 70 -

4.7. Pruebas de Desempeño del Controlador con Acomodo de Fallas .................................................................. - 71 -

4.7.1. Resumen de Resultados para el Controlador por Platitud con Acomodo de Falla ...................... - 77 -

4.8. Comparación de las Señales de Control ..................................................................................................................... - 77 -

4.9. Conjunción de Esquemas de Platitud Diferencial y GPI...................................................................................... - 79 -

4.9.1. Diseño del Controlador Robusto ......................................................................................................................... - 79 -

4.9.2. Pruebas de Desempeño al Controlador Diseñado ....................................................................................... - 81 -

Capítulo 5

CONCLUSIONES Y TRABAJOS FUTUROS

5.1. Conclusiones Generales .....................................................................................................................................................- 87 -

5.2. Actividades Realizadas ...................................................................................................................................................... - 89 -

5.3. Pruebas de Desempeño ...................................................................................................................................................... - 90 -

5.4. Aportaciones del Trabajo de Tesis ............................................................................................................................... - 91 -

5.5. Trabajos Futuros .................................................................................................................................................................. - 92 -

BIBLIOGRAFIA ................................................................................................................................................................................................. - 93 -

Anexo A. Generación de Curvas Tipo Bezier ............................................................................................................................. -96-

Anexo B. Manual Para Programas de Simulación ............................................................................................................... - 98 -

Anexo C. Diseño de Controladores por Platitud ................................................................................................................. - 109 -

i

ÍNDICE DE FIGURAS Figura 1.1: Granja Eólica. ........................................................................................................................................................................ - 1 - Figura 1.2: Arquitectura del CTF. ........................................................................................................................................................ - 4 - Figura 1.3: Clasificación de Algoritmos de Control Tolerante a Fallas. ............................................................................. - 6 - Figura 1.4: Diagrama Esquemático de la Turbina Eólica. ....................................................................................................... - 8 - Figura 1.5: Clasificación de Fallas en la Máquina de Inducción............................................................................................ - 9 - Figura 1.6: Esquema Propuesto de Control ................................................................................................................................. - 11 - Figura 2.1: Ejes Magnéticos en la Máquina de Inducción. .................................................................................................... - 17 - Figura 2.2: Comparación de Modelos en Simulación Computacional. ............................................................................ - 24 - Figura 2.3: Comparación de resultados de velocidad. ............................................................................................................ - 24 - Figura 2.4: Comparación de resultados de corrientes. ........................................................................................................... - 24 - Figura 3.1: Resultados de Simulación con Control GPI en el Motor de CD .................................................................... - 32 - Figura 3.2: Esquema General de Control de Corriente. .......................................................................................................... - 33 - Figura 3.3: 푓푟푠푎 = 1; 푓푟푠푏 = 푓푟푠푐 = 1. ...................................................................................................................................... - 37 - Figura 3.4: 푓푟푠푎 = 0.8; 푓푟푠푏 = 푓푟푠푐 = 1. ................................................................................................................................. - 37 - Figura 3.5: 푓푟푠푎 = 푓푟푠푏 = 푓푟푠푐 = 0.85. .................................................................................................................................... - 37 - Figura 3.6: 푓푟푠푎 = 푓푟푠푏 = 푓푟푠푐 = 0.9. ....................................................................................................................................... - 37 - Figura 3.7: 푓푟푠푎 = 0.85; 푓푟푠푏 = 0.95; 푓푟푠푐 = 0.85. ........................................................................................................... - 38 - Figura 3.8: 푓푟푠푎 = 0.95; 푓푟푠푏 = 0.82; 푓푟푠푐 = 0.82............................................................................................................. - 38 - Figura 3.9: Seguimiento de Potencia y Corriente. ..................................................................................................................... - 39 - Figura 3.10: Error en el Seguimiento. ............................................................................................................................................. - 39 - Figura 3.11: Seguimiento de Potencia y Corriente. .................................................................................................................. - 39 - Figura 3.12: Error en el Seguimiento. ............................................................................................................................................. - 39 - Figura 3.13 : Esquema de Control con Acomodo de Falla. ................................................................................................... - 40 - Figura 3.14: Diagrama General de Flujo. ...................................................................................................................................... - 41 - Figura 3.15: Representación de la Tabla Utilizada para el Acomodo. ............................................................................ - 42 - Figura 3.16: Resultados del Acomodo de Falla del 20% con Control GPI. ..................................................................... - 43 - Figura 3.17: Resultados de Control con Acomodo de Falla del 20% en Fases 푎 y 푏. ................................................. - 44 - Figura 3.18: Seguimiento con Falla del 60%. .............................................................................................................................. - 45 - Figura 3.19: Porcentaje de Error de Potencia. ........................................................................................................................... - 45 - Figura 3.20: Corriente dentro de Intervalo de Error. .............................................................................................................. - 45 - Figura 3.21: Satisfacción de Criterio. .............................................................................................................................................. - 45 - Figura 4.1: Resultados de Simulación. ........................................................................................................................................... - 54 - Figura 4.2: Esquema de Control Basado en Platitud Diferencial. ...................................................................................... - 55 - Figura 4.3: Resultados para el Sistema Libre de Falla. ........................................................................................................... - 62 - Figura 4.4: Resultados con Falla en Resistencia Eléctrica. ................................................................................................... - 63 - Figura 4.5: Resultados con Falla Aditiva de 20V en Actuador de Fase b. ....................................................................... - 64 - Figura 4.6: Resultados con Falla Aditiva de 80V en Actuador de Fase b. ....................................................................... - 65 - Figura 4.7: Resultado con Fallas Multiplicativa del 20% en Entrada de Control. ..................................................... - 66 - Figura 4.8: Resultado con Fallas del 40% en Entrada de Control. .................................................................................... - 67 - Figura 4.9: Resultado con Fallas del 90% en Entrada de Control. .................................................................................... - 68 - Figura 4.10: Resultado con Fallas del 95% en Entrada de Control. ................................................................................. - 69 -

ii

Figura 4.11: Esquema de Control con Acomodo de Fallas. ................................................................................................... - 70 - Figura 4.12: Gráficas de Resultados 푓푢푟푏 = [0.05 0.05]. ..................................................................................................... - 72 - Figura 4.13: Gráficas de Resultados 푓푢푟푏 = [0.0495 0.0505]........................................................................................... - 73 - Figura 4.14: Gráficas de Resultados 푓푢푟푏 = [0.049 0.051]. .............................................................................................. - 74 - Figura 4.15: Gráficas de Resultados 푓푢푟푏 = [0.0485 0.0515]. ........................................................................................ - 75 - Figura 4.16: Gráficas de Resultados 푓푢푟푏 = [0.048 0.052]. ............................................................................................... - 75 - Figura 4.17: Gráficas de Resultados 푓푢푟푏 = 0.045 0.055. .................................................................................................. - 76 - Figura 4.18: Gráficas De Resultados 푓푢푟푏 = 0.04 0.06. ....................................................................................................... - 76 - Figura 4.19: Señales de Control de los Esquemas GPI y Platitud Diferencial. .............................................................. - 78 - Figura 4.20: Esquema de Control por Platitud Diferencial con GPI. ................................................................................ - 79 - Figura 4.21: Gráficas de Resultados del Escenario Libre de Falla. .................................................................................... - 81 - Figura 4.22: Gráficas de Resultados con Falla del 20% en Resistencia........................................................................... - 82 - Figura 4.23: Gráficas de Resultados con Falla del 80% en Resistencia........................................................................... - 83 - Figura 4.24: Gráficas de Resultados con Falla del 95% en Entrada de Control. ......................................................... - 84 - Figura 4.25: Gráficas de Resultados con Falla del 99% en Entrada de Control. ......................................................... - 85 - Figura A.1: Gráficas Características de Bezier. ............................................................................................................................ -97- Figura A.2: Derivada Temporal. .......................................................................................................................................................... -97- Figura B.1: Carpetas Incluidas en “Manualusuario”............................................................................................................... - 98 - Figura B.2: Código para Activar la Aritmética Intervalar en Matlab. ............................................................................. - 98 - Figura B.3: Ventana de Bienvenida a Intlab. ............................................................................................................................... - 99 - Figura B.4: Contenido de la Carpeta “LazoAbierto”. ................................................................................................................ - 99 - Figura B.5: Diagrama de Simulación para Comparación de Modelos en Lazo Abierto. ...................................... - 100 - Figura B.6: Contenido de la Carpeta GPI. ................................................................................................................................... - 101 - Figura B.7: Modelo de Simulación de Control en Lazo Cerrado Del DFIG. ................................................................. - 102 - Figura B.8: Contenido de la Carpeta “Platitud”....................................................................................................................... - 103 - Figura B.9: Diagrama de Simulación de CTF Basado en Platitud. ................................................................................. - 104 - Figura B.10: Contenido de la Carpeta “Conjuncion”. ............................................................................................................ - 106 - Figura B.11: Modelo de Simulación del Sistema de Control por GPI y Platitud Diferencial. .............................. - 107 - Figura C.1: Diagrama a Bloques de Controlador Propuesto. ............................................................................................ - 110 - Figura C.2: Seguimiento con Distintas Magnitudes de la Estimación de Falla 푓푎 . ................................................ - 110 - Figura C.3: 푓푎1 = 0.5 ; 푓푎2 = 2. .................................................................................................................................................. - 113 - Figura C.4: 푓푎1 = 1.0 ; 푓푎2 = 8. .................................................................................................................................................. - 113 - Figura C.5: Esquema Propuesto de Control por Platitud Diferencial. ........................................................................... - 114 - Figura C.6: Zonas de Satisfacción de Restricción.................................................................................................................... - 115 - Figura C.7: Seguimiento de Señal de Referencia. .................................................................................................................... - 116 -

iii

ÍNDICE DE TABLAS Tabla 3.1: Resumen de Resultados en el Cumplimiento de Restricciones. ..................................................................... - 46 - Tabla 4.1: Satisfacción de Restricción para el Error de Seguimiento de Corriente. ................................................. - 70 - Tabla 4.2: Intervalos de Estimación de la Magnitud de la Falla. ....................................................................................... - 71 - Tabla 4.3: Resumen de Satisfacción de Restricción de Error de Seguimiento. ............................................................ - 77 - Tabla 4.4: Resumen de Pruebas de Desempeño del Controlador por Conjuncion. ..................................................... - 86 - Tabla C.1: Errores Tolerados en el Seguimiento ..................................................................................................................... - 115 -

iv

NOTACIÓN abcSu Voltaje trifásico del estator en el marco de referencia trifásico (vector renglón) a b cS S Su , u , u Voltajes del estator de las fases 푎, 푏 y 푐 respectivamente abcRu Voltaje trifásico del rotor en el marco de referencia trifásico (vector renglón) a b cR R Ru , u , u Voltajes del rotor de las fases 푎, 푏 y 푐 respectivamente abcSi Corriente trifásica del estator en el marco de referencia trifásico (vector renglón) a b cS S Si i i Corrientes del estator de las fases 푎, 푏 y 푐 respectivamente abcRi Corriente trifásica en el rotor (vector renglón) a b cR R Ri i i Corrientes en el rotor de la fase 푎, 푏 y 푐 respectivamente

abcS

R Matriz de resistencias eléctricas en el estator en el marco de referencia 푎푏푐 ( 3x 3R ) a b cS S SR , R , R Resistencias de los devanados de estator de las fases 푎, 푏 y 푐 respectivamente abcR

R Matriz de resistencias eléctricas en el rotor ( 3x 3R ) a b cR R RR , R , R Resistencias de los devanados de rotor de las fases 푎, 푏 y 푐 respectivamente

abcS Enlace de flujo en el estator (vector renglón) a b cS S S, , Enlaces de flujo en el estator en la fase 푎, 푏 y 푐 respectivamente abcR Enlace de flujo en el rotor (vector renglón) a b cR R R, , Enlaces de flujo en el rotor en la fase 푎, 푏 y 푐 respectivamente

e Torque electromagnético producido por la máquina de inducción

L Torque mecánico aplicado a la máquina de inducción

mB Coeficiente de fricción viscosa

m Velocidad mecánica del rotor

J Constante de inercia del rotor

Pn Número de pares de polos en la máquina de inducción

r Posición del marco de referencia abcSRL Matriz de inductancias mutuas ( 3x 3R ) abcSL Matriz de inductancias propias del estator ( 3x 3R ) abcRL Matriz de inductancias propias del rotor ( 3x 3R )

lrL Inductancia de dispersión del rotor

lsL Inductancia de dispersión del estator

msL Inductancia de magnetización dq0

Sf Variables de estator en el marco de referencia 푑푞0 (vector renglón) abc

Sf Variables de estator en el marco de referencia 푎푏푐 (vector renglón) dq0

Rf Variables de rotor en el marco de referencia 푑푞0 (vector renglón)

v

abcRf Variables de rotor en el marco de referencia 푎푏푐 (vector renglón)

ST Matriz de transformación para las variables de estator (ℝ )

RT Matriz de transformación para las variables de rotor (ℝ ) dq0Su Voltaje en el estator en el marco de referencia 푑푞0 (vector renglón)

qd 0S S Su , u , u Voltajes en el estator de la fase 푑, 푞 y 0 respectivamente dq0Ru Voltaje en el rotor en el marco de referencia 푑푞0 (vector renglón)

qd 0R R Ru , u , u Voltajes en el rotor de la fase 푑, 푞 y 0 respectivamente

dq0S Enlace de flujo en el estator en el marco de referencia 푑푞0 (vector renglón)

qd 0S S S, , Enlaces de flujo en el estator de la fase 푑, 푞 y 0 respectivamente dq0R Enlace de flujo en el rotor en el marco de referencia 푑푞0 (vector renglón)

qd 0R R R, , Enlaces de flujo en el rotor de la fase 푑, 푞 y 0 respectivamente dq0sR Matriz de resistencias eléctricas en el estator en el marco de referencia 푑푞0 ( 3x 3R )

qd 0s s sR , R , R Resistencias de los devanados de estator de las fases 푑, 푞 y 0 respectivamente dq0RR Matriz de resistencias eléctricas en el rotor en el marco de referencia 푑푞0 ( 3x 3R )

qd 0R R RR , R , R Resistencias de los devanados de rotor de las fases 푑, 푞 y 0 respectivamente

3I Matriz identidad ( 3x 3R )

Velocidad del marco de referencia

M Inductancia mutua en el modelo en su representación en variable compleja

SL Inductancia propia del estator para el modelo en su representación en variable compleja

RL Inductancia propia del rotor para el modelo en su representación en variable compleja

SR Resistencia eléctrica de estator para el modelo en su representación en variable compleja

RR Resistencia eléctrica de rotor para el modelo en su representación en variable compleja

Su Voltaje de estator en notación compleja

Ru Voltaje de rotor en notación compleja

Si Corriente eléctrica de estator en notación compleja

Ri Corriente eléctrica de rotor en notación compleja

S Enlace de flujo de estator en notación compleja

R Enlace de flujo de rotor en notación compleja

Conjunto de los números reales

I Conjunto de los intervalos en números reales

vi

ACRÓNIMOS DFIG Generador de Inducción Doblemente Alimentado (por sus siglas en inglés) GPI Control Proporcional Integral Generalizado (por sus siglas en inglés) PID Control Proporcional-Integral-Derivativo CTF Control Tolerante a Fallas FDI Detección y Localización de Fallas (por sus siglas en inglés) FDD Diagnóstico y Detección de Fallas (por sus siglas en inglés) AMCA Asociación de México de Control Automático

- 1 -

Capítulo 1

INTRODUCCIÓN

Una de las principales áreas de desarrollo a nivel mundial en cuanto a producción de energía eléctrica es la generación eólica, debido a su bajo impacto ecológico y al cada vez mayor interés de la comunidad internacional en fuentes de energía renovable y sustentable.

Las primeras turbinas de viento para generación de energía eléctrica se desarrollaron a principios del siglo XX. La tecnología se mejoró de manera gradual desde principios de los 70’s. Para finales de los 90’s, la energía eólica había resurgido como una de las principales fuentes sustentables.

Figura 1.1: Granja Eólica.

Durante la última década del siglo XX, la capacidad total de energía eólica se duplicó aproximadamente cada 3 años y el costo de su producción ha caído hasta una sexta parte del que tenia a principios de los 80’s [Ackerman, 2005], el progreso de la energía eólica alrededor del mundo ha excedido las expectativas en los años recientes, con Europa liderando el mercado mundial, la capacidad eléctrica instalada se ha incrementado en promedio en los últimos años a una tasa superior al 30% [EWEA, 2004]. México no es la excepción con una capacidad instalada del alrededor de 90MW [LAWEA, 2009] y con el anuncio de una nueva granja eólica que

Capítulo I Introducción

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arrancara en noviembre de este año, se pretende duplicar la capacidad de generación de energía eléctrica a partir de viento en el país.

El componente principal de un sistema de generación eléctrica a partir de energía eólica, es la turbina de viento. Hoy en día se tiene un amplia variedad de diseños tales como turbinas de velocidad fija, donde la principal desventaja es su incapacidad de controlar potencia reactiva [Ackerman, 2005], así como fluctuaciones en el sistema eléctrico alimentado. Las turbinas de velocidad variable son diseñadas para alcanzar la máxima eficiencia en un amplio rango de velocidad del viento, sin embargo, el sistema eléctrico es más complicado y generalmente es equipado con un generador síncrono o de inducción conectado a la línea a través de convertidores electrónicos de potencia. Se tienen potencia de mejor calidad y capacidad de controlar potencia reactiva, con la desventaja de mayores costos y pérdidas debido a los convertidores electrónicos de potencia [Petersson, 2005]. Básicamente, una turbina puede equiparse con cualquier tipo de generador trifásico [Ackerman, 2005] (inducción de tipo jaula de ardilla o rotor devanado; generador síncrono, etc.). En el presente trabajo se utilizó el modelo del generador de inducción de rotor devanado debido a su habilidad de controlar potencia activa y reactiva mediante el control independiente de la corriente de excitación del rotor [Ackerman, 2005]. Una de las principales desventajas que tiene el generador de rotor devanado es que es más propenso a fallas que el generador de tipo jaula de ardilla.

Debido a las fallas, es necesario contar con un mecanismo que sea capaz de operar la planta de tal manera que se continúe cumpliendo el propósito de asegurar calidad en la producción. Este mecanismo es el llamado Control Tolerante a Fallas (CTF), el cual se encarga de continuar con el buen desempeño del sistema a pesar de las fallas [Zhang, 2007]. Existen distintos enfoques de CTF y la utilización de uno o de otro dependerá del sistema que se desee controlar y de las propias capacidades del controlador.

En el presente trabajo se seleccionó, en una primera etapa, el control GPI [Sira-Ramirez, 2009] [M. Fliess, 2001; Sira-Ramírez, 2009]el cual está basado en la reconstrucción integral de estados, debido a la robustez implícita con la que cuenta y a la posibilidad de reestructurar el controlador de manera sencilla en caso de falla. Posteriormente se utiliza el método de diseño de controladores basados en platitud diferencial [Antritter, 2008] y finalmente se conjuntan los dos esquemas.

Se toman en cuenta fallas en las resistencias eléctricas de los devanados del estator de manera que se disminuye el valor de la resistencia, esto debido a corto circuito de algunas vueltas en el devanado. Mientras que en el control por platitud diferencial se toman en cuenta fallas de tipo aditivas y multiplicativas en la entrada de control.

Se probó el controlador diseñado mediante simulación computacional ante distintas señales de referencia y ante diferentes magnitudes y ubicación de fallas.


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1.1. Marco Teórico

A continuación se presenta una pequeña reseña de los principales temas abordados durante el desarrollo de tesis. Como fueron el control tolerante a fallas y sus distintos esquemas así como principales características, la platitud diferencial y control basado en platitud, el control proporcional-integral generalizado. Los fundamentos del análisis intervalar y del generador de inducción doblemente alimentado.

1.1.1. Control Tolerante a Fallas

Cualquier proceso industrial es vulnerable a fallas o eventos no previstos, tanto en diseño como en ejecución, esto, aunado al inevitable envejecimiento de los componentes que lo integran, pueden provocar que el sistema se comporte anormalmente, o bien, con bajo rendimiento. Los costos económicos, sociales y al medio ambiente pueden ser muy graves e irreversibles si se minimiza la importancia del diagnóstico de fallas. La posibilidad de minimizar los paros de emergencia en las plantas industriales mediante la detección y localización de fallas es imprescindible para cualquier industria que pretende tener un crecimiento sostenido.

Actualmente se tiene una alta dependencia en la disponibilidad y buen funcionamiento de procesos tecnológicos complejos los cuales consisten de distintos tipos de maquinarias que tienen que satisfacer su propósito para asegurar calidad en la producción. Todos estos sistemas son propensos a fallas y es necesario hacer frente a éstas mediante algún mecanismo que minimice su efecto sobre el comportamiento del sistema.

Este mecanismo es el llamado Control Tolerante a Fallos (CTF), el cual se encarga de continuar con el buen desempeño del sistema a pesar de las fallas. El CTF es fuertemente dependiente del sistema de diagnóstico y estimación de fallas ya que sin este, no es posible para el controlador, tomar las decisiones adecuadas para minimizar los efectos de la falla.

El control tolerante a fallas (CTF) es un conjunto de técnicas que involucran la interacción entre una planta y un sistema de control que incluye una capa de decisión y de reconfiguración de tal manera que se modifica la ley de control para mantener el sistema dentro de comportamiento aceptable.

El diseño de control tolerante a fallas prevé la aparición de fallas, un sistema es tolerante a fallas si este puede ser sujeto a fallas pero la falla no es visible ya que se cumple el objetivo de diseño. Se requieren dos pasos para diseñar un sistema de control tolerante a fallas:

Diagnóstico de fallas (Falla detectada e identificada). Rediseño de controlador (El controlador debe adaptarse a la condición de la falla).


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Los pasos anteriores se llevaran a cabo por un sistema de supervisión el cual se encarga de realizar la interacción entre el sistema de detección de fallas y las acciones tomadas por el controlador en cuanto a reconfiguración o acomodo de la falla.

u y

df Figura 1.2: Arquitectura del CTF.

En la Figura 1.2 se presenta un diagrama de la arquitectura del CTF, el sistema de diagnóstico de fallas (FDD) toma información de las entradas y salidas de la planta para detectar y estimar fallas, la información generada por el FDD es enviada al sistema de reconfiguración de fallas el cual es capaz de reconfigurar el controlador o acomodar la falla.

Dentro del esquema de control tolerante a fallas, se puede distinguir dos enfoques que dependen de la manera en que se hace frente a la falla y se obtiene tolerancia:

1. Control Tolerante a Fallas Pasivo: Se obtiene tolerancia a fallas desde el diseño del controlador, así que en caso de falla, el controlador la maneja sin modificar la propia ley de control.

2. Control Tolerante a Fallas Activo: Se adaptan los parámetros del controlador a cambios en los parámetros de la planta, se puede reconfigurar el control o se acomoda la falla.

En cuanto al CTF-Activo, se tienen dos distintos enfoques para el manejo de la falla y en cuanto a las acciones que se llevan a cabo en caso de falla.

Acomodo de falla

Es una estrategia de control tolerante asociada con la habilidad de estimar los objetivos y restricciones en caso de falla y resuelve el problema de encontrar la tripleta ⟨푂,퐶 (휃 ),푈 ⟩ o ⟨푂,훤 (휃 ),푈 ⟩ las cuales están asociadas con el control del sistema en falla.

Donde:

1. 퐶 휃 : Es la estimación de las restricciones actuales provisto por el algoritmo de diagnóstico de fallas.

2. 푈 : Ley de control

3. 푂: Define lo que se espera del sistema cuando es controlado por la ley de control 푈


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Se debe notar que la interpretación del acomodo de fallas consiste en una estrategia con la cual el sistema en falla es controlado en una manera específica para así seguir con la capacidad de alcanzar los objetivos que se tenían antes de la falla [Blanke, 2003].

Reconfiguración de sistema

Es la estrategia de CTF que está asociado con el diagnóstico, detección y aislamiento de la falla pero no se estima el impacto de la falla de tal manera que el sistema con falla es completamente desconocido. Así que el único modo de establecer algún tipo de control es desconectar los componentes en falla los cuales, son conocidos debido al algoritmo de diagnóstico de fallas, y tratar de alcanzar los objetivos del sistema utilizando únicamente los componentes libres de falla. Definimos 퐶 휃 = 퐶 (휃 ) ∪ 퐶 (휃 ) donde 퐶 (휃 ) es el conjunto de condiciones asociadas con el sistema sin fallas y 퐶 (휃 ) es el conjunto de condiciones asociadas con el sistema en falla.

Definición: encontrar un nuevo conjunto de condiciones del sistema 퐶 휃 tal que el problema de control ⟨푂,퐶 (휃 ),푈 ⟩ tenga solución, encontrar y activar dicha solución. La elección de este nuevo conjunto implicara que la relación entrada-salida entre el controlador y la planta cambien. También se tiene que 퐶 (휃 ) es conocido, mientras que 퐶 휃 es desconocido, usando notación similar, 푈 = 푈 ∪ 푈 así, la estrategia de reconfiguración intenta alcanzar los objetivos del sistema controlando únicamente la parte sana del sistema.

Distinción Entre Acomodo y Reconfiguración

La acomodo y la reconfiguración son distinguidas de acuerdo a si las señales entrada-salida (I/O) entre el controlador y la planta cambian. La reconfiguración implica uso de distintas relaciones I/O entre el controlador y el sistema así que la reconfiguración cambia el sistema a una estructura interna distinta, la acomodo no cambia la relación entrada salida [Blanke, 2003].

Sin embargo, ambas estrategias necesitan una nueva ley de control para responder a la falla, así también tienen que manejar comportamiento transitorio lo que resulta en el cambio de la ley de control o en la estructura de las restricciones [Blanke, 2003].

Clasificación De Aproximaciones Existentes En Control Reconfigurable

En general, los métodos de diseño de control reconfigurable basados en modelos caen dentro de alguna de los siguientes enfoques [Zhang, 2003].

Regulador cuadráticos lineal Variación lineal de parámetros Asignación de Eigen-Estructura Modos deslizantes Pseudo-Inversa Control predictivo


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Seguimiento de modelo Linealización por retroalimentación Control adaptativo Inversión dinámica

Figura 1.3: Clasificación de Algoritmos de Control Tolerante a Fallas.

Un método alternativo que se pretende explorar durante el desarrollo de la tesis propuesta es el control basado en platitud diferencial [Mai, 2007] y control basado en reconstrucción integral de estados [M. Fliess, 2001] con aplicación de la teoría de análisis intervalar [Moore, 2009] para hacer frente a incertidumbres tanto en el diagnóstico de fallas como en el modelado dinámico.

1.1.2. Platitud Diferencial y Control Basado en Platitud

A mediados de los 90’s se introdujo una clase especial de sistemas de control no lineal descritos por ecuaciones diferenciales ordinarias, los sistemas diferencialmente planos, los cuales forman una estructura de sistemas para los cuales los métodos de control están disponibles una vez que se conoce explícitamente alguna salida plana.

La platitud diferencial es una propiedad estructural de una clase de sistemas no lineales que permite reconstruir todas las variables de estado y entradas de control en términos de un conjunto de variables especificas (salidas planas) y sus derivadas temporales [Antritter, 2008]. La platitud está relacionada con la linealización por retroalimentación de estado y puede ser vista como una extensión no lineal de controlabilidad de Kalman [Fliess, 1994]. Pero en general, el problema de caracterización por platitud está ampliamente abierto para sistemas MIMO y no hay un algoritmo para obtener una salida plana en sistema descritos por ecuaciones no lineales.

Los controladores basados en platitud diferencial son una herramienta muy importante en el diseño de controladores no lineales. La noción de esta clase de controladores corresponde a lo


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que intuitivamente significa preparar un plan de vuelo, más precisamente consiste en la generación fuera de línea de una trayectoria y las acciones de control asociadas para dicha trayectoria basado únicamente en el conocimiento del modelo del sistema.

Se han propuesto distintos enfoques de diseño de controladores basados en platitud diferencial [Antritter, 2008] tales como linealización exacta por retro alimentación ,linealización alrededor de la trayectoria de referencia basado en representación por operador diferencial y basado en linealización exacta por prealimentación.

1.1.3. Control Proporcional Integral Generalizado

El control proporcional integral generalizado (GPI por sus siglas en inglés) o control basado en reconstructores integrales es un desarrollo reciente en el área de control automático. Su principal línea de desarrollo descansa en los sistemas lineales de dimensión finita con algunas extensiones a sistemas no lineales [Sira-Ramírez, 2009].

El control GPI descansa en la reconstrucción estructural del vector de estados a través de entradas y salidas iterativas con compensación integral del error. Con lo que se obtienen leyes de control basadas en retroalimentación de estados que no necesitan observador ni cálculos basados en muestreos de la salida [Sira-Ramírez, 2009]. Posteriormente abordaremos de manera más detallada este tema.

1.1.4. Análisis Intervalar

En matemáticas elementales, un problema es “resuelto” cuando se escribe una solución exacta. Como ejemplo, resolvemos la ecuación 푥2 + 푥 − 6 = 0; de donde obtenemos las raíces 푥1 = −3 y 푥2 = +2. Pocos aceptarían una respuesta de la forma una raíz está entre −4 y −2, mientras que la otra está entre 1 y 3. Incluso en problemas elementales con respuestas de forma inadecuada, como el caso de la ecuación cuadrática 푥2 − 2 = 0, tiene la solución 푥 = √2. El número anterior no puede ser representado con un número finito de dígitos, lo que hace necesario un redondeo que provoca errores de cálculo [Moore, 2009].

Así como los números irracionales, muchas situaciones involucran cantidades que no son conocidas exactamente. En la utilización de computadoras se requiere de la utilización de fronteras numéricas para escribir rigurosamente una solución. La necesidad de “encerrar” un número también aparece en ciencias físicas debido a que las cantidades medidas experimentalmente son conocidas con cierto grado de error.

Cualquier cálculo que involucre dicha cantidad se realizará con datos iníciales inexactos. La ley de Newton 퐹 = 푚푎 permite conocer exactamente la aceleración 푎 sólo cuando la fuerza 퐹 y la masa 푚 son conocidas exactamente. Si dichas cantidades son conocidas en cierto rango, digamos que e


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conocen 퐹 y 푚 con cierta imprecisión, entonces la aceleración 푎 será de la forma 푎 ≤ 푎 ≤ 푎 . Para relaciones tan simples como la anterior, es fácil determinar la dependencia que tiene el intervalo 푎 = [푎 푎] de 퐹 y de 푚. Para relaciones más complicadas, el algebra ordinaria puede ser rebasada. Las técnicas de análisis intervalar proporcionan las rutinas para cálculo computacional. De hecho, estas técnicas están pensadas para implementación en máquinas numéricas.

Se ha mencionado que los errores de medición pueden resultar en incertidumbres, tal como la fuerza 퐹 y la masa 푚 en la ley de Newton. Es posible suponer a 퐹 y 푚 como parámetros y hacerlos variar intencionalmente para conocer la manera en que varía 푎. Como comentario extra, el hecho de simplemente “encerrar” una solución puede parecer algo débil, sin embargo, el nivel de satisfacción de la solución dada dependerá del “grosor” del intervalo. La solución para la ecuación cuadrática será más convincente si es de la forma: 푥1 ∈ [−3.001, −2.999] y 푥2 ∈ [1.999, 2.001]. Además, algunas veces puede ser mejor saber que 푦 ∈ [59, 62] que tener 푦 ≈ 60 sin idea de qué error puede presentar [Moore, 2009].

1.1.5. Generador De Inducción Doblemente Alimentado

El generador de inducción doblemente alimentado (DFIG por sus siglas en inglés) es un generador asíncrono cuyo devanado de estator está conectado directamente a la red y cuyo devanado de rotor lo está a través de dos convertidores electrónicos de potencia.

Figura 1.4: Diagrama Esquemático de la Turbina Eólica.

Al conectar los convertidores de potencia únicamente al devanado de rotor, estos no deben soportar toda la potencia de la máquina, sino sólo una fracción de ella, resultando de esto un equipo electrónico más sencillo. Con esta estructura, es posible controlar la potencia reactiva entregada por la máquina. En la Figura 1.4 se muestra un esquema del sistema de generación eólica.

Una de las principales desventajas del DFIG es su alta propensión a fallas debido a su arquitectura. Al estar el rotor conectado a los convertidores mediante anillos deslizantes pueden ocurrir fallas, así también el propio convertidor es a su vez propenso a fallas al estar sometido a esfuerzos grandes. Las fallas en las máquinas de inducción se pueden clasificar como [Mirafzal, 2006]:


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Figura 1.5: Clasificación de Fallas en la Máquina de Inducción.

En el presente trabajo de tesis se abordarán las fallas eléctricas en el estator, las cuales se relacionan con fallas en los aislamientos. Las fallas en el estator de una máquina de inducción abarcan del 30% al 40% del total de fallas [Kliman, 1996; Nandi, 1999; Thomson, 2001], estas fallas comienzan como fallas no detectadas con cada vuelta al perderse el aislamiento, corto-circuitando el devanado [Nandi, 1999; Wolbank, 1999; Nandi, 2002] y disminuyendo la resistencia eléctrica del mismo. Lo que se debe principalmente a:

1. Altas temperaturas en el estator 2. Pérdidas en sistema de enfriamiento 3. Descargas eléctricas 4. Laminaciones del núcleo y uniones inestables 5. Partículas contaminantes 6. Vibraciones

Otro tipo de fallas que se pueden presentar son las de circuito abierto; es decir, se abre completamente uno de los devanados de la máquina, lo que provoca aumentos de corriente y calentamiento excesivo en los devanados del estator [Silva, 2008].

1.2. Estado del Arte

El desarrollo y fundamento teórico del análisis intervalar modal aparecen en [Armengol, 1999] y [Vehi, 1999], en [Herrero, 2004] se establecieron las condiciones necesarias y suficientes para estabilidad robusta usando análisis intervalar.

En [Calm, 2005] se presenta un enfoque intervalar de control robusto combinando la teoría de sistemas planos en problemas de restricciones cuantificadas para determinar una familia de controladores que garanticen que la salida del sistema estará dentro de una región de trayectorias admisibles ante incertidumbre paramétrica. En [Vehi, 1999] se aplica el análisis intervalar modal a la simulación del comportamiento dinámico de los sistemas con parámetros, inciertos. En [Herrero, 2004] se aplican por primera vez los intervalos modales al análisis y diseño de controladores robustos para sistemas lineales. En [Sainz, 2008] se presentó un


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algoritmo de inversión de conjuntos cuantificados para resolver problemas de satisfacción de restricciones cuantificadas. En [Lordelo, 2002] se presentó un nuevo enfoque para resolver problemas de máximos y mínimos usando herramientas basadas en intervalos modales.

En cuanto a sistemas planos, podemos mencionar el trabajo que se hace en [P.Mai, 2007] donde se propone un enfoque de diseño de control tolerante a fallas basado en platitud. Se tiene una literatura amplia para métodos lineales en los que se han alcanzado niveles avanzados en este campo de investigación. Podemos destacar las ideas de [White, 1987; Massoumnia, 1989 ] que involucran el diseño de filtros de detección basados en especificaciones geométricas. En [Chen, 1999; Persis, 2001] en el área de control tolerante a fallas, se tiene buenos resultados aplicando técnicas algebraicas en el control de un sistema de tres tanques. En estos enfoques, es común practicar para modificar la ley de control tomando en cuenta los resultados del procedimiento de diagnóstico de falla con la finalidad de reducir los efectos de la falla en la actividad de control. Con frecuencia, esto lleva a una acción de control aditivo tal como se presenta en De cualquier manera, la saturación de la señal de control que siempre se presenta en la práctica puede requerir el cambio en línea de la trayectoria de referencia para tener un esquema exitoso de acomodo de la falla [Garcia, 1997].

En [Mai, 2008] se presenta la optimización de las pérdidas eléctricas de potencia basado en platitud diferencial aplicado al DFIG. En [Antritter, 2007] se muestra el diseño de un controlador basado en platitud diferencial aplicado a un tanque agitado con incertidumbre parámetrica utilizando análisis intervalar y se introduce un criterio de robustez para evaluar el comportamiento del controlador diseñado. En [Delaleau, 2003] se presenta el modelo de la máquina de inducción doblemente alimentada con capacidad de trabajar tanto en modo motor como en modo generador así como el diseño de un controlador basado en platitud diferencial aplicado al modelo linealizado.

1.3. Ubicación del Problema

En las secciones anteriores se dio un breve panorama de las principales áreas de investigación que se tienen en la actualidad, vimos trabajos que consideran incertidumbre en detección de falla, manejo de restricción, garantía de robustez e incertidumbre en parámetros. Diseño de controladores basados en platitud diferencial y modelado dinámico del DFIG. Lo que se pretende con el presente trabajo es conjuntar la incertidumbre paramétrica con técnicas de control tolerante a fallas mediante teoría de análisis intervalar y platitud diferencial.

El control efectivo de sistemas variantes en el tiempo con incertidumbre paramétrica y perturbaciones externas es uno de los principales temas de estudio en el diseño de sistemas de control robusto. El objetivo principal del control robusto es desarrollar leyes de control realimentadas que sean robustas ante incertidumbre en la planta y cambios en las condiciones dinámicas [Calm, 2005]. Este enfoque determinista contrasta con muchos otros esquemas de


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control adaptables, en las que se requiere la identificación en línea de los parámetros y la satisfacción de ciertas propiedades de convergencia global de los parámetros.

Se pretende utilizar el análisis intervalar aplicado a problemas de control tolerante a fallas basado en conceptos de platitud diferencial. El problema de diseño es determinar una familia de controladores robustos 휗 que garanticen la satisfacción de un conjunto de especificaciones 휗 para una familia de plantas 휗 .

p e e p e e| , ' t ,t ' f t , , , t , R (1.1)

donde 퐶 푡,휗 ,휗 , = 푓 푡,휗 ,휗 , ⊆ 훾(푡,휗 ) son las restricciones en términos de inclusión de conjuntos. 푓 푡,휗 ,휗 , representa el conjunto de variables de estado y señales de control y 훾(푡,휗 ), es un conjunto de especificaciones nominales a satisfacer tales como: espacios de trayectorias nominales admisibles de las salidas planas, intervalos de acotamiento de las variables de estado y señales de control.

1.4. Propuesta de Tesis: “CTF Mediante Análisis Intervalar y Platitud”

Durante los estudios de grado, se realizó el diseño de un controlador tolerante a fallas aplicado al generador eléctrico de inducción doblemente alimentado, utilizando la teoría de platitud diferencial para el diseño de controladores y la teoría de análisis intervalar para el manejo de incertidumbre tanto en la detección de fallas como en los parámetros del modelo del sistema.

( )y t* ( )u t* ( )y t

Figura 1.6: Esquema Propuesto de Control .

En la Figura 1.6 se muestra el esquema de CTF basado en platitud, se puede notar un controlador prealimentado en la parte izquierda de la figura al cual se le adiciona un control retroalimentado para hacer frente a perturbaciones. El sistema de acomodo, reestructurará el controlador, en caso de falla, para hacer frente a la misma. El llamado control prealimentado se diseña con base en la parametrización del sistema aprovechando la platitud. El control retroalimentado puede ser un esquema clásico de tipo PID o un control de tipo GPI.

Objetivo General

Se trata del diseño, análisis y la evaluación del desempeño de un CTF aplicado al generador de inducción doblemente alimentado, capaz de hacer frente a incertidumbre paramétrica y en la


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detección de fallas mediante la utilización de la teoría de platitud diferencial, control GPI y análisis intervalar.

Objetivos Particulares

Los objetivos particulares de la investigación de tesis fueron :

1) Comprender y proponer interacción de las técnicas de análisis intervalar y platitud diferencial

2) Mejorar el modelo del generador doblemente alimentado con la finalidad de ser capaz de inducir fallas en el mismo.

3) Diseñar y probar un esquema el esquema de control por platitud diferencial aplicado en el generador de inducción doblemente alimentado

4) Diseñar y probar un control GPI en el generador de inducción doblemente alimentado 5) Conjuntar el esquema de control por platitud diferencial y el control GPI aplicados al

generador de inducción 6) Probar distintos esquemas de control tolerante a fallas (pasivo y activo) con

incertidumbres en estimación de fallas y en parámetros

Alcances y Limitaciones

El estudio de las técnicas de control basado en platitud diferencial y control GPI, así como del análisis intervalar y del DFIG son campos de estudio muy amplios, así que en la presente tesis se tienen los siguientes alcances y limitaciones:

1) Se abarca el diseño de un controlador reconfigurable basado en platitud diferencial y control GPI aplicado al sistema del DFIG.

2) No se considera el diseño del sistema de detección e identificación de fallas, sino que se considera la falla conocida dentro de un intervalo

3) Consideramos parámetros del DFIG reportados en la literatura 4) El controlador diseñado se probará a nivel simulación computacional

1.5. Aportaciones del Trabajo de Tesis

Las aportaciones del presente trabajo de tesis en cuanto al modelo dinámico del DFIG y al diseño de controlador son:

1) Diseño de un controlador de corriente eléctrica trifásica en los devanados del estator del DFIG basado en platitud diferencial capaz de hacer frente a fallas de tipo multiplicativas en el voltaje de control.


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2) Diseño de un controlador de corriente eléctrica trifásica en los devanados del estator del DFIG basado en control GPI capaz de hacer frente a fallas en resistencias eléctricas del estator mediante reconfiguración, a incertidumbre paramétrica y a variaciones en el voltaje de red así como en el par mecánico aplicado.

3) Diseño de un controlador con la unión de los conceptos de platitud diferencial y control GPI aplicado al DFIG.

4) Modelo matemático del DFIG en el marco de referencia fijo al estator con acceso a parámetros físicos del sistema.

Se realizó el diseño del controlador basado en platitud diferencial y el diseño del controlador basado en reconstrucción integral de estados (GPI) para el sistema del generador de inducción doblemente alimentado. Se realizó el sistema de acomodo para el controlador GPI mediante modificación de los polos del sistema de lazo cerrado.

Se realizó el diseño del controlador mediante la conjunción del esquema de control por platitud diferencial y el esquema de control Proporcional-Integral Generalizado.

Se aplicaron técnicas de análisis intervalar en la simulación computacional del modelo matemático y del controlador prealimentado, esto debido al conocimiento impreciso de los parámetros físicos del sistema. Así también, se utilizan técnicas de análisis intervalar en el sistema de acomodo del controlador basado en platitud diferencial debido a supuesta incertidumbre en la estimación de fallas.

1.6. Organización del Trabajo

El resultado del presente trabajo de tesis fue el diseño del controlador reconfigurable aplicado al modelo del DFIG basado en platitud diferencial, el controlador basado en reconstrucción integral de estados y el controlador basado en la conjunción de los dos esquemas anteriores. Estos controladores con análisis intervalar.

Con la finalidad de diseñar los controladores anteriores se abordó el estudio de distintos temas, tales como análisis intervalar, platitud diferencial y control basado en platitud, control GPI, Generador de inducción doblemente alimentado. Los cuales se presentan en este documento de tesis.

Los fundamentos teóricos del generador de inducción doblemente alimentado, así como el modelo matemático utilizado, las transformaciones de coordenadas y los tipos de fallas de la máquina se presentan en el Capítulo 2

En el Capítulo 3 se presentan las bases teóricas del control GPI, así como ejemplos de utilización y el diseño del controlador aplicado al generador de inducción.


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En el Capítulo 4 se presentan los fundamentos de la platitud diferencial y del control basado en platitud. Así como el desarrollo del controlador basado en platitud aplicado al modelo dinámico del DFIG. También se presenta la conjunción de los esquemas de control basado en platitud diferencial y del control GPI.

En cada uno de los capítulos anteriores se tienen las distintas pruebas realizadas en simulación computacional. Pruebas de comportamiento en presencia y ausencia de fallas y acomodo de las mismas.

Finalmente, en el Capítulo 5 se tienen las conclusiones del desarrollo de tema de tesis así como los trabajos futuros.

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Capítulo 2

GENERADOR DE INDUCCIÓN DOBLEMENTE ALIMENTADO

Los principios fundamentales del generador de inducción doblemente alimentado se presentaron en el capítulo 1, en este capítulo presentaremos el modelo matemático que describe la dinámica de la máquina de inducción. También presentamos la técnica de transformación de coordenadas que se utiliza para representar el modelo en el marco de referencia fijo al estator, así como su representación en variable compleja.

2.1. Modelo Matemático de la Máquina de Inducción

En la búsqueda bibliográfica se encontraron distintas ideas, como las presentadas en [Lyshevski, 2000; Delaleau, 2003; Mai, 2008], para el desarrollo del modelo apropiado para su utilización en esta tesis. Las consideraciones fundamentales que se hacen en [Delaleau, 2003], respecto al modelado matemático de la máquina de inducción doblemente alimentada son:

C 1. Los devanados del estator son idénticos entre sí y distribuidos senoidalmente cada 120° eléctricos. Lo mismo aplica para los devanados del rotor C 2. Los circuitos magnéticos son lineales

Con las consideraciones anteriores, los voltajes en rotor y estator se relacionan con las corrientes y los enlaces de flujo como:

abcSabc abc abc abc abc abc

R R RS S SabcR

R 0u u i i

0 R

(2.1)

el par electromagnético en función de las corrientes eléctricas y de las inductancias, así como la velocidad mecánica del rotor se pueden escribir como:

T

abcSRabc abc

e P RSr

Ln i i

(2.2)

Capítulo II Generador de Inducción Doblemente Alimentado

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P e L m mm

n ( ) B

J

(2.3)

Por otra parte, los enlaces de flujo 훹 ,훹 se describen como:

T T Tabc abc abc abc

S S S SRabc abcabc abc

RR R SR

i L L

L Li

(2.4)

donde el parámetro ℰ permite distinguir la operación en modo motor con ℰ = 1 y en modo generador con ℰ = −1 [Delaleau, 2003] y se describen las siguientes matrices de parámetros según [Lyshevski, 2000] con algunas modificaciones debido a compatibilidad en la dimensión de matrices. Las matrices de resistencias son:

a aRS

abc b abc bRSS R

c cRS

R 0 0 R 0 0

R 0 R 0 ; R 0 R 0

0 0 R 0 0 R

(2.5)

la matriz de inductancias propias y mutuas del devanado de estator se presentan a continuación

ms msls ms

abc ms msls msS

ms msls ms

L LL L 2 2L LL L L2 2L L L L2 2

(2.6)

y la matriz de inductancias propias de los devanados de rotor es

ms mslr ms

abc ms msR lr ms

ms mslr ms

L LL L 2 2L LL L L2 2L L L L2 2

(2.7)

La matriz de inductancias mutuas entre devanados de estator y rotor se presenta a continuación

r r r

abcr ms r r rSR

r r r

2 2cos cos cos3 32 2L ( ) L cos cos cos3 32 2cos cos cos3 3

(2.8)


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Las corrientes eléctricas de estator y rotor de definen como:

T Tabc a b c abc a b cR R R RS S S Si i i i ; i i i i (2.9)

Y los voltajes de estator y rotor como:

T Tabc a b c abc a b cR R R RS S S Su u u u ; u u u u (2.10)

El par electromagnético generado es 휏 ; el número de pares de polos está denotado por 푛 , 휔 corresponde a la velocidad mecánica del rotor, mientras que 휏 es el par mecánico de entrada al generador y 퐽 la inercia del rotor. El parámetro 퐵 representa el coeficiente de fricción viscosa del aire. Los parámetros del sistema son las resistencias eléctricas en estator y rotor para las fases a, b y c (푅 ,푅 ,푅 ,푅 ,푅 ,푅 ), las inductancias de dispersión en el estator y rotor (퐿 , 퐿 ) y la inductancia mutua 퐿 . Los valores de los parámetros se obtuvieron de [Mai, 2008] a través de las transformaciones de coordenadas presentadas en [Lyshevski, 2000], véase glosario de términos.

2.2. Fundamentos Teóricos del Marco de Referencia

El modelo matemático presentado en la sección anterior define apropiadamente la dinámica de la máquina de inducción, sin embargo, se trata de un modelo de séptimo orden, con un alto grado de complejidad matemática.

tr r r0t0

( )d

r

t0t0

( )d

Figura 2.1: Ejes Magnéticos en la Máquina de Inducción.

Así que se tuvo la necesidad de disminuir el orden del mismo sin perder información del comportamiento de la máquina de inducción. Con este propósito, se aplicó la técnica de


- 18 -

transformación de coordenadas, la cual aprovecha la estructura simétrica de la construcción de la máquina.

En este tenor, se encontraron diferentes técnicas de transformación, tales como el marco de referencia arbitrario, el marco fijo al estator y el marco fijo al rotor, todos estos utilizados como una base general para estudiar tanto las máquinas de inducción como las síncronas en estado estable y transitorio.

La teoría del marco de referencia simplifica el modelo del motor de inducción. Se trata de una transformación de variables que permite expresar las tres fases del motor de inducción en las dos fases equivalente de cuadratura (푞) y directa (푑). Esta transformación elimina la dependencia que tienen las inductancias de la posición del rotor con respecto al estator. En el presente trabajo de tesis se seleccionó el marco de referencia estacionario (fijo al estator) debido a las conveniencias que éste presenta en el diseño del controlador, ya que se disminuye el orden del sistema.

La transformación del sistema de coordenadas naturales (tres fases) al sistema representado en el marco de referencia 푞푑0 (dos fases) que gira a una velocidad arbitraria se expresa, para las variables de estator, como:

dq0 qd abc0

SS S S S S

1dq0abc a b cS S S S S S

f f f f f T

f f f f f T

(2.11)

y para las variables de rotor

dq0 qd abc0

R R R R R R

1dq0abc a b cR R R R R R

f f f f f T

f f f f f T

(2.12)

La matriz de transformación de coordenadas para las variables de estator se define como

S

cos sin 1 22T cos sin 1 23

cos sin 1 2

(2.13)

y para las variables de rotor


- 19 -

r r

R r r

r r

cos sin 1 22T cos sin 1 23

cos sin 1 2

(2.14)

La derivada temporal de la inversa de las matrices 푇 y 푇 se define como

1 1

S S

sin sin sind T T cos cos cosdt

0 0 0

(2.15)

r r r

1 1r r r rR R

sin sin sind T T cos cos cosdt

0 0 0

(2.16)

donde 훾 = 2휋/3, 휃 representa la posición del marco de referencia y 휃 una variable auxiliar que se considera igual a cero. La variable 휔 representa la velocidad de giro del marco de referencia.

Transformación de Coordenadas del Modelo Matemático del Generador

El modelo del generador presentado por las ecuaciones (2.1) y (2.2) a través de las ecuaciones (2.13) y (2.14) se puede reescribir como:

dq0 q dq0 dq0 dq0d 0 1 1 1abcs S S SS S S S S S S S S S

dq0 q dq0 dq0 dq0d 0 1 1 1abcR R R R R R s R R R R R RS

du [u u u ] I T R T T T T Tdt

du [u u u ] I T R T T T T Tdt

(2.17)

Debido la igualdad de las resistencias eléctricas en el estator y en rotor (푅 = 푅 = 푅 = 푅 y 푅 = 푅 = 푅 = 푅 ) tenemos:

dq0 dq0 abc1 1abcs s S S 3 R R R R R 3SR T R T R I y R T R T R I (2.18)

y sabemos que

1

S 3S

1R R 3

T T I

T T I

(2.19)

donde 3I es la matriz identidad de 3x3 . Se observa en (2.17) que requerimos de las operaciones


- 20 -

1 1S R R rS

0 1 0 0 1 0

T T 1 0 0 ; T T 1 0 0

0 0 1 0 0 1

(2.20)

Sustituyendo (2.18), (2.19) y (2.20) en (2.17) y eliminando la fase cero del sistema se tiene

T T T Td d d dS S S SSq q q q

SS S S S

T T T Td d d dR R R RR

rq q q qRR R R R

u i R 0 0 10 R 1 0u i

u i R 0 0 10 R 1 0u i

(2.21)

De la ecuación (2.4) se tiene la descripción de los enlaces de flujo, los cuales son representados en el marco de referencia fijo al estator como

T Tdq0 dq0 Tabc abc1 1

S S S RS S S SRabc abcdq0 dq0 1 1

R S R R RSRR R

i T L T T L T

T L T T L Ti

(2.22)

De la misma manera, se obtiene el par electromagnético como

dq dqTT

p S Se

3Mn i H i

2 (2.23)

agrupando términos en (2.21) obtenemos

qd d dSS S S S

q q q dSS S S S

qd d dR R R R r R

q q q dR R R R r R

e Lm

u R i ;

u R i ;

u R i ;

u R i ;

mJ

(2.24)

Los enlaces de flujo en estator y rotor de la ecuación (2.4) a través de las transformaciones de coordenadas se expresan como:

T Tdq0 dq0 Tabc abc1 1

S S S RS S S SRabc abcdq0 dq0 1 1

R S R R RSRR R

i T L T T L T

T L T T L Ti

(2.25)


- 21 -

donde las matrices de inductancias, a través de la transformación de coordenadas, se definen de la siguiente manera:

abcS

S S

S

1SS S

L 0 0

0 L 0 ;

0 0 L M

T L T

L (2.26)

abcR

R R

R

1R R R

L 0 0

0 L 0 ;

0 0 L M

T L T

L (2.27)

Tabc abc1 1R S RSR S SRT L T T L T

M 0 0

0 M 0

0 0 0

M (2.28)

Sustituyendo las matrices (2.26), (2.27) y (2.28) en las ecuaciones correspondientes al enlace de flujo expresadas en (2.25) se tiene:

Sd d d dR RS S

R

q q q q SR RS S

R

L Mi i

M L

L Mi i

M L

(2.29)

Las ecuaciones anteriores junto con la (2.24) definen el modelo de la máquina de inducción en el marco de referencia fijo al estator (휔 = 0). las técnicas de transformación utilizadas se abordan con mayor detalle en [Lyshevski, 2000].

2.3. Representación del Modelo en Variable Compleja

Con la finalidad de disminuir la complejidad del modelo presentado en la ecuación (2.21), se utiliza la representación compleja del modelo (2.24) y (2.29). Se utiliza la siguiente nomenclatura.

d q f f jf (2.30)

donde 푓 corresponde a la variable de la fase 푑 y 푓 a la variable de la fase 푞 , 푓 puede representar corrientes, voltajes o enlaces de flujo. Para el voltaje, corriente y enlace de flujo de estator y rotor respectivamente se definen las expresiones en variable compleja como para el voltaje de estator y de rotor como:

q qd dS R R RS Su u ju ; u u ju (2.31)


- 22 -

de la misma manera para las corrientes eléctricas en estator y en rotor se tiene:

q qd dS R R RS Si i ji ; i i ji (2.32)

finalmente para el enlace de flujo se tiene:

q qd dS R R RS Sj ; j (2.33)

tomando en cuenta las ecuaciones (2.24)-(2.29) y sustituyéndolas en la ecuación de voltaje en el estator presentada en (2.31), se obtienen las siguientes expresiones:

q q qd d dS S S SS S S S S S

q q qd d dS S S S S S S S

u R i j R i

ju R i ji j j

j

(2.34)

Agrupamos términos

q q qd d dS S S S S S SS

q q qd d dS S S S S S SS

S S SS S

u R i ji j j / j

u R i ji j j j

u R i j

(2.35)

De la misma manera, para las ecuaciones de voltaje aplicado en rotor (entrada de control), se realizan las siguientes operaciones.

q q qd d dR R R R r R R R R r R

q q qd d dR R R R R R r R R



R R RR R r

u R i j R i

ju R i ji j j

j

u R i ji j j / j

u R i ji j j j

u R i j

(2.36)

Para el enlace de flujo en estator se tiene:


- 23 -

q q qd d dS S R S RS S S S

q qd dS S R RS S

S S SS

j i L i M j i L i M

L i ji M i ji

L i Mi ;

(2.37)

y el enlace de flujo en rotor es:

q q qd d dR R R R R R RS S

q qd dR R R RS S

R S RR

j i M i L j i M i L

M i ji L i ji

Mi L i ;

(2.38)

agrupamos términos para obtener el modelo en su representación compleja:

SS

RR

SS S

RR R

Ru

R

0 i 0

0 0uj

i

(2.39)

S

e

cRp3Mn Im i i

2 (2.40)

e Lm

m

J

(2.41)

los enlaces de flujo se definen como

SS

RR

S

R

M i

M L

L

i

(2.42)

Las variables complejas 푖 , 푖 ,푢 푦 푢 denotan las corrientes y voltajes de estator y de rotor, 푅 ,푅 ,퐿 푦 퐿 las resistencias y las inductancias propias de estator y rotor respectivamente. 푀 es la inductancia mutua. Para la parte mecánica, 퐽 es el momento de inercia del rotor, 푚 es el par aplicado, 휔 es la velocidad mecánica del rotor. Las cantidades complejas conjugadas se denotan con el superíndice 퐶 y 푗 = √−1. Como podemos notar, el modelo presentado en (2.39)-(2.42) es mucho más sencillo que aquel presentado en (2.1), con lo que resulta más sencillo trabajar y diseñar el controlador adecuado.

2.4. Comparación de Modelos en Simulación Computacional

Como se ha visto en las secciones anteriores, se tienen tres distintas representaciones del modelo matemático que describe la dinámica del generador de inducción doblemente alimentado, éstos son:


- 24 -

a) Representación en coordenadas naturales (푎푏푐) b) Representación en el marco de referencia (푑푞0) c) Representación compleja

La diferencia fundamental que existe entre estas tres representaciones es la complejidad matemática, siendo la representación compleja la más sencilla. La principal característica de las técnicas de transformación de coordenadas es que se conserva la dinámica del sistema transformado.

abcdq

abcSu

dqIm

abcRu

Lm dqabc

Imabc

Figura 2.2: Comparación de Modelos en Simulación Computacional.

Con la finalidad de comprobar que las transformaciones de coordenadas utilizadas conservan la información de los modelos, se simularon computacionalmente los modelos en coordenadas trifásicas, coordenadas bifásicas y su representación compleja, presentados en (2.1), (2.24) y (2.39) respectivamente. Las excitaciones son iguales para cada modelo (푢 ,푢 푦 푚 ), como se muestra en la Figura 2.2. Se puede observar en la Figura 2.3 y la Figura 2.4 que los resultados de simulación son similares, con lo que concluimos que la transformación de coordenadas funciona correctamente, conservando la información principal del sistema, así que podemos utilizar el modelo del DFIG en su representación compleja para el diseño del controlador.

Estas distintas representaciones son utilizadas para el diseño del controlador basado en platitud diferencial y el diseño del controlador Proporcional-Integral Generalizado (GPI) y para la simulación computacional del DFIG.

Figura 2.3: Comparación de resultados de velocidad. Figura 2.4: Comparación de resultados de corrientes.

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

50

100

150

200

tiempo(s)

corrient

e (A

)

Velocidad mecánica del rotor

ABCdq0Complejo (I)complejo () 0.95 0.96 0.97 0.98 0.99 1-20

0

20 Fase A

Fase B

Fase C

tiempo (s)

corr

ient

e (A

) Corriente en estator fases A,B y C

ABCdq0Complejo (I)complejo ()

0.6 0.7 0.8 0.9 1-20

0

20 Fase A Fase B Fase C

tiempo(s)

corri

ente

(A) Corriente en rotor fases A,B y C

ABCdq0Complejo (I)complejo ()


- 25 -

2.5. Adaptación del Modelo para Inclusión de Fallas

Sabemos que todos los sistemas son susceptibles a fallas en su comportamiento. El generador de inducción no es una excepción. Así que con el objetivo de inducir fallas en simulación computacional, podemos utilizar la estructura del modelo matemático presentado en (2.1) para inducir fallas en las resistencias de los devanados de estator y en la entrada de control.

Fallas en Resistencia Eléctrica

Las fallas en resistencia eléctrica se inducen mediante un factor (푓 ) que modifica el valor de los parámetros, la variable 푥 puede representar cualquier fase de estator, esto es 푥 ∈ ⟨푎, 푏, 푐⟩.

a aass s

abc a bass s s

a cass s

[ R R ] 0 0 R 0 0

R 0 [ R R ] 0 0 R 0

0 0 [ R R ] 0 0 R

(2.43)

Recordando la matriz de resistencias (푅 ) en (2.5) y redefiniendo las resistencias para representarlas mediante un intervalo conocido cuyo amplitud1 estará determinado por el factor anteriormente mencionado. La relación del valor numérico de la resistencia con falla (푅 ) y su valor nominal sin falla 푅 se define como:

xrs

x xSSfR Rf (2.44)

Fallas en la Entrada de Control

De la misma manera, las fallas en actuador pueden ser de tipo aditivas o multiplicativas y se inducen a través del factor (푓 ) mediante las siguientes expresiones.

x x

R xRf uR

x x xRRf uR

u u

u f u

(2.45)

Se utilizan los factores con la finalidad de inducir fallas de distintos tipos en el modelo matemático del generador y así probar el comportamiento de los esquemas de control bajo comportamiento nominal y ante ocurrencia de fallas.

1 Diferencia entre el ínfimo y el supremo en un intervalo


- 26 -

Página Intencionalmente en Blanco

- 27 -

Capítulo 3

CONTROL PROPORCIONAL-INTEGRAL GENERALIZADO

El control Proporcional-Integral Generalizado (GPI) o control basado en reconstructores integrales de estados, es un desarrollo reciente en el área de control automático [M. Fliess, 2001; Sira-Ramirez, 2009]. Su principal línea de desarrollo descansa en los sistemas lineales de dimensión finita con algunas extensiones a sistemas no lineales.

Considere el siguiente sistema dinámico perturbado

( n )nu, x ) )y f ( t , ( t ,u , x (3.1)

donde 푓(푡, 푢,푥) es una función del tiempo (푡 ∈ ℝ), de las entradas (푢 ∈ ℝ ) y de los estados (푥 ∈ ℝ ), elegida convenientemente con la dinámica de interés del sistema. Mientras 휑 (푡, 푢,푥) es una función que agrupara distintos términos entre estados y entradas que se consideran perturbaciones externas o términos inconvenientes para el diseño del controlador. El objetivo de control es regular la salida (푦) a través de una trayectoria deseada (푦∗) mediante acciones suaves de control. Considerando el sistema nominal no perturbado

*( n ) * *y f (t ,u , x ) (3.2)

donde 푢∗ es la ley de control nominal para el sistema libre de perturbaciones, la cual puede ser diseñada mediante platitud diferencial, 푥∗ representa la dinámica del sistema que es de interés en el diseño del controlador. El objetivo de control es realizar el seguimiento de la salida (y) del sistema, así que se define el error de seguimiento como:

*ye y y (3.3)

y el error en la acción de control con respecto al control nominal

*ue u u (3.4)

Capítulo III Control Proporcional-Integral Generalizado

- 28 -

Tomando (3.3) y (3.4), y usando (3.1) se obtiene la ecuación dinámica del error como:

( n )y ue e t )F( (3.5)

La ecuación anterior requiere de componentes desconocidos tales como 푒( ) y 퐹(푡), los cuales se obtienen a través de reconstrucción integral de estados. El error en la acción de control se define como:

*u ye su eu )F( (3.6)

donde 퐹(푡), mediante reconstrucción integral de estados y utilizando la transformada de Laplace se puede representar como:

n p 1 n p 2n p 1 n p 2 1 0

p n 1 n 22n p 2 n p 1 n p

sk s k s k s k

F(s s k s k s k

)

(3.7)

y se diseña para cumplir que el siguiente polinomio

p n 1 n 2cl 2n p 2 n p 1 n pp s s k s k s k

(3.8)

sea Hurwitz, lo anterior con la finalidad de garantizar estabilidad asintótica del error de seguimiento. Finalmente, la ley de control basada en reconstrucción de estados se obtiene de (3.5) y (3.6) y se expresa como.

*yFu eu ( s ) (3.9)

La función de tranferencia F(s) se obtiene a través de resconstruccion integral de estados, puede observarse que el factor 푠 en el denominador de (3.7) es un integrador de orden 푝, esto es

( p )

p

G( s )g(t )

s (3.10)

Donde se entiende la notación

( 1)

( 2 )

( 3 )

f ( t ) f (t )dt

f ( t ) f (t )dt

f ( t ) f (t )dt

(3.11)


- 29 -

Con la ley de control (3.9) y una construcción apropiada de la función de transferencia 퐹(푠) a través de los coeficientes ⟨푘0, … ,푘 ⟩, se garantiza estabilidad en el error de seguimiento 푒 , es decir, mientras la función de transferencia sea estable [Sira-Ramírez, 2009].

3.1. Ejemplo De Aplicación, Motor Eléctrico De Corriente Directa

El motor de corriente directa es una de las máquinas eléctricas más versátiles y de mayor interés en el sector académico y el sector industrial, su fácil control de posición, par y velocidad le han convertido en una de las mejores opciones en aplicaciones de control y automatización de procesos.

En este ejemplo, se reproduce el diseño del controlador de velocidad basándonos en la metodología descrita en la sección anterior. Primeramente presentamos el modelo matemático que describe la dinámica del sistema.

Modelo del sistema

El primer ejemplo que se estudió para el diseño de controladores basados en GPI fue el del motor del corriente directa (CD), cuyo modelo matemático [Sira-Ramírez, 2009] se presenta a continuación

aa a e

diL u R i K

dt (3.12)

m a LdJ B K idt (3.13)

donde 퐿 representa la inductancia del devanando de estator, 푖 es la corriente de rotor, 푅 la resistencia eléctrica del devanado de estator, 퐾 la constante eléctrica, 휔 la velocidad de giro del rotor. Para la parte mecánica, 퐽 es la inercia del rotor, 퐵 el coeficiente de fricción viscosa, 퐾 la constante del par electromagnético y 휏 el par de carga.

Diseño del controlador

De la ecuación (3.13) tenemos la corriente de armadura como:

a Lm

d1i J BK dt

(3.14)

La primera derivada temporal de (3.14) es

2a L2

m

di dd d1 J Bdt K dt dtdt

(3.15)


- 30 -

Se sustituyen (3.14) y (3.15) en (3.12) y resulta

2 aLL e2

m m

Rdd d dL J B u J B KK dt dt K dtdt

(3.16)

Se agrupan términos

2 a a e mL m L2

R J R B K Kd Kd d dJ B udt dt L L dt L L Ldt

(3.17)

2 a a e m am LL2

Desconocido

R R B K K RK dd dB 1uJ L dt LJ JL JL J dtdt

(3.18)

Para simplificar las expresiones anteriores se utilizan 훾0 ,훾1, 훾2de manera que

a e m am0 1 2

R B K K RK B; ;JL LJ J L

(3.19)

Y se obtiene el sistema libre de perturbaciones (휏 = 0, 휏̇ = 0)

2 1 0u (3.20)

La variable controlada es la salida del sistema (푦), en este caso la velocidad mecánica del motor (휔), de la ecuación anterior obtenemos:

2 1 0u (3.21)

Aplicamos la transformada de Laplace a la ecuación (3.20), considerando condiciones iniciales en cero y obtenemos:

22 1 0( s )s ( s )s ( s ) U( s ) (3.22)

Donde la entrada es 푈(푠) y la salida es 훺(푠) así que la función de transferencia del sistema no perturbado será:

02

2 1

( s )U( s ) s s

(3.23)

El orden del sistema (3.23) es 2 y suponiendo que se tiene una perturbación de orden 3, proponemos los valores (푛 = 2 y 푝 = 3). Definimos el error de seguimiento de velocidad


- 31 -

mecánica como 푒 = 휔 −휔∗ y la función de transferencia de compensación de acuerdo con la ecuación (3.7) es

4 3 2

4 3 2 1 03

5

k s k s k s k s kF( s )

s ( s k )

(3.24)

Para el sistema libre de perturbaciones (휔 = 휔̇ = 0), de la ecuación (3.21) obtenemos

( 2 )y u (3.25)

para el sistema nominal se obtiene

* *y u (3.26)

entonces, de acuerdo a las ecuaciones (3.3) y (3.4) se pueden definir las siguientes igualdades

( 2 )y ue e (3.27)

Tomando en cuenta las ecuaciones (3.6) y (3.27), y realizando las operaciones adecuadas obtenemos

5 3 2 1 0u u 4 2 3 4

k k k k ke e k

s s s s s

(3.28)

( 2 ) ( 3 ) ( 4 )*

5 y 4 y 3 y 2 y 1 y 0 yu u k e k e k e k e k e k e (3.29)

Para obtener los valores apropiados de las ganancias de

( 2 ) ( 3 ) ( 4 )y 2 y 1 y

5 y 4 y 3 y 2 y 1 y 0 y0

e e ek e k e k e k e k e k e

(3.30)

derivando 4 veces y multiplicando por 훾0

( 6 ) ( 5 ) ( 4 ) ( 5 ) ( 4 ) ( 3 )y 2 y 1 y 0 5 y 4 y 3 y 2 y 1 y 0 ye e e k e k e k e k e k e k e (3.31)

Agrupando términos semejantes

( 6 ) ( 5 ) ( 4 ) ( 3 )y 2 0 5 y 1 0 4 y 0 3 y 0 2 y 0 1 y 0 0 ye k e k e k e k e k e k e 0 (3.32)

Aplicando nuevamente la transformada de Laplace

6 5 4 3 2y 2 0 5 1 0 4 0 3 0 2 0 1 0 0E ( s ) s k s k s k s k s k s k 0 (3.33)


- 32 -

Para facilitar el diseño del controlador, se supondrán polos complejos repetidos a través de una ecuación característica de segundo orden con frecuencia natural 휔 y coeficiente de amortiguamiento 휉 conocidos tal que

32 2n ns 2 s 0 (3.34)

Igualando las ecuaciones (3.33) con (3.34) y despejando los coeficientes ⟨푘0, … , 푘5⟩ tenemos

6 5 2 4 4n n n n

0 1 20 0 0

3 3 2 2 2 2n n n n 1 n 2

3 4 50 0 0

6 12 3k k k

8 12 12 3 6k k k

(3.35)

Donde finalmente el controlador GPI según la ecuación (3.9) resulta de la forma

*yu u F( s )e (3.36)

Con la ley anterior se controla satisfactoriamente la velocidad mecánica del sistema del motor de CD siempre que se tenga una apropiada selección de la frecuencia natural (휔 ) y del coeficiente de amortiguamiento (휉) del sistema en lazo cerrado.

Pruebas de Comportamiento

El objetivo de control en el motor eléctrico de corriente directa es la velocidad mecánica de giro del rotor. Es decir, ante una velocidad deseada, el controlador debe introducir al sistema el voltaje necesario, aun con perturbaciones desconocidas como carga o fricción. Se presenta a continuación una comparación de la respuesta del controlador tipo GPI y controlador cde tipo PI.

(a): Seguimiento de Velocidad (b): Error de Seguimiento Figura 3.1: Resultados de Simulación con Control GPI en el Motor de CD

0 5 10 15 200

20

40

60

80

Tiempo (seg)

Vel

ocid

ad (r

ad/s

eg)

Velocidad del rotor

ReferenciaSalida GPISalida PI

0 10 20 30 40 50-1

0

1 x 10-3 Error de velocidad

Tiempo (seg)

Vel

. (ra

d/se

g)

Error GPI

0 10 20 30 40 500

5

10

Tiempo (seg)

Vel

. (ra

d/se

g)

Error PI


- 33 -

Se probó el controlador diseñado en simulación computacional y se compara con un controlador clásico de tipo proporcional integral (PI). Con la ley de control de la ecuación (3.36) se controla satisfactoriamente la velocidad mecánica del sistema del motor de CD .

La referencia para la velocidad mecánica deseada es una señal suave obtenida a partir de un polinomio de Bezier2.

La Figura 3.1a muestra los resultados de seguimiento de referencia en simulación computacional. Se probó controlador GPI y se comparó con un controlador clásico de tipo PI, ambos diseñados para el seguimiento de velocidad.

Se puede notar, en la Figura 3.1b, que el error de seguimiento del controlador PI es mucho mayor que el error de seguimiento presentado por el control GPI. El objetivo del presente ejemplo fue familiarizarse con la estrategia de diseño de controladores basado en reconstrucción integral de estados.

3.2. Diseño del Controlador PI Generalizado Aplicado al DFIG

En la presente sección se muestra el diseño del controlador GPI aplicado al generador de inducción doblemente alimentado.

P abc*Si

abcdq

dq*Ru

( s )

abcdq abc

dq

abcSi

e(t )

abcSu Lm

Figura 3.2: Esquema General de Control de Corriente.

Dicho controlador requiere de una referencia de corriente de estator, a partir de esa referencia se calcula la “ley de control prealimentada” basada en platitud diferencial considerando el sistema no perturbado. A esta ley de control prealimentada se le añade la “ley de control retroalimentada” basada en control GPI, la cual considera el error de seguimiento. El esquema general del controlador propuesto se presentó en la figura anterior.

En la Figura 3.2 se muestra el esquema del controlador diseñado, a partir de la potencia de referencia se genera la corriente eléctrica trifásica deseada en los devanados del estator, ésta se transforma al marco de referencia fijo al estator. En 푢 ∗se calcula la ley de control nominal. La 2 Sistema para el trazado de dibujos técnicos a partir de un método de descripción matemática de curvas que se utiliza con éxito en programas de CAD.


- 34 -

ley de control retroalimentada se calcula a partir de la misma referencia de corriente y de la corriente real del generador, tomando en cuenta el error de seguimiento en la función de transferencia 휑(푠) . Finalmente se suma la componente nominal con la componente retroalimentada y se regresan a la representación trifásica en coordenadas naturales para así entrar como acción de control al DFIG.

3.2.1 Diseño del Controlador Prealimentado

Se utilizan las ecuaciones (2.21) y (2.29) del modelo matemático del generador en el marco de referencia fijo al estator (푑푞). Se despeja la primer derivada temporal de la corriente en el estator y se obtiene:

3 4 5 6

dqdq dq dq dq dq dq dq dqS 2R R R R R r R r RS S S S

perturbación

diMu L i R u L i R M i M H i ML H

dt

(3.37)

donde se definen las siguientes expresiones:

dq q dq qd dR R R r P mS S S 2

S R

TdSdq dq q dq dqS Rd

R R R RS SqS RS

0 1 1H ; i i i ; i i i ; n ;L L M1 0

u R 0 R 0u ; u u u ; R R

0 R 0 Ru

(3.38)

Para el diseño del control, se suponen como desconocidos los términos 3 a 6 de (3.37) y se define el sistema no perturbado como

dq

dq dq dqSR R S S

diMu L i R

dt (3.39)

La ley de control nominal se obtiene de (3.39) despejando 푢 , con la corriente eléctrica deseada en los devanados del estator 푖 ∗ y su primera derivada temporal, se puede determinar la ley control nominal 푢 ∗ como:

dq*dq* dqS

R S Sdq*R

diL i R

dtuM

(3.40)

La ecuación anterior corresponde a la ley de control prealimentado, la cual fue diseñada de acuerdo a las necesidades de operación ignorando tanto la dinámica no lineal como las perturbaciones del sistema.


- 35 -

3.2.2 Diseño del Controlador Retroalimentado

El control retroalimentado se adiciona al control prealimentado para formar la ley general de control, a partir de la ecuación (3.37) se tiene la función de perturbación 휑(푡) como:

dq dq dq dq dq2R R R r R r RS S( t ) u L z R M z M H z ML H (3.41)

la cual agrupará los términos que se consideran como perturbaciones al sistema, desconocidas pero acotadas. La función 휑(푠) se denomina “función de rechazo a la perturbación” y se construye con base en la ecuación (3.7), proponiendo de manera heurística 푝 = 5 y 푛 =1 resulta en:

5 4 3 2

5 4 3 2 1 05

k s k s k s k s k s k( s )

s

(3.42)

cumpliéndose que el polinomio característico de la dinámica del error de seguimiento en lazo cerrado, construido a partir de la ecuación (3.8)

6 5 4 3 2cl 5 4 3 2 1 0p s k s k s k s k s k s k (3.43)

sea Hurwitz. Es posible modificar los valores propios del polinomio 푝 a través de la selección apropiada de 휆 y 휉 en:

32 2clp s 2 s (3.44)

Suponiendo que la ecuación (3.43) puede ser llevada a la forma (3.44) encontramos las siguientes relaciones:

2 3 2

0 12 2 3 2

2 3 4 5

a 2 ; b ; k b ; k 3ab

k 3a b b k 2ab b ; k b* a ; k a;

(3.45)

De acuerdo a la ecuación (3.9), la ley de control que minimiza el siguiente error de seguimiento

d dqS

q*S (e( t ) i it ) ( t ) (3.46)

para el sistema perturbado será:

dq dq*R Ru u ( s )e( t ) (3.47)


- 36 -

La ley de control anterior nos permite realizar seguimiento de corriente eléctrica deseada mediante una apropiada selección de los valores de 휆 y de 휉.

3.3. Pruebas al Controlador GPI Robusto

Para las pruebas de comportamiento se utiliza el error de seguimiento de la ecuación (3.46) como parámetro de comportamiento, es decir, se determina si bajo determinadas circunstancias se cumple que:

t ,e( t ) (3.48)

Donde se determina el porcentaje del error a través del parámetro 훿 y es establecido de manera arbitraria por el diseñador, en el presente desarrollo de investigación se utilizó un valor de 5%.

En esta sección se presentan los resultados de las distintas pruebas en simulación computacional que se realizaron al controlador basado en reconstrucción de estados (GPI) para evaluar su comportamiento. Se tienen distintos escenarios de pruebas con seguimiento de potencia eléctrica y corriente.

Las pruebas que se realizaron son:

1. Seguimiento de referencia de potencia y de corriente eléctrico 2. Inducción de fallas en actuador y en parámetros

Fue posible la introducción de la aritmética intervalar dentro del ambiente de diseño y simulación de SIMULINK a través del toolbox especializado llamado Interval Laboratory (INTLAB). Esta herramienta no está naturalmente incluido dentro del software de MATLAB sino que fue adquirido separadamente y agregado al software utilizándola bien conocidas funciones S. Con esta herramienta fue posible realizar cálculos considerando que las resistencias eléctricas de los devanados de estator son valores conocidos en un intervalo (véase sección 2.5).

3.2.3 Referencia de Corriente Eléctrica Trifásica

Se realizó la simulación computacional del controlador compuesto por las ecuaciones (3.40) y (3.47) suponiendo que las resistencias en los devanados nos son conocidas pero se sabe que su valor pertenece a cierto intervalo conocido. El esquema de control corresponde al presentado en la Figura 3.2.

En esta simulación se realiza seguimiento de corriente eléctrica en los devanados del estator. Se probó el controlador diseñado bajo distintos escenarios de operación, esto es, condiciones de trabajo nominal (libre de falla) y con distintas magnitudes de fallas en las resistencias eléctricas.


- 37 -

Los distintos escenarios simulados son:

a) Libre de falla (푓 = 푓 = 푓 = 1) b) Falla del 20% en la resistencia del devanado de la fase 푎 (푓 = 0.8; 푓 = 푓 = 1) c) Falla del 15% en las tres resistencias (푓 = 푓 = 푓 = 0.85) d) Falla del 10% en las tres resistencias (푓 = 푓 = 푓 = 0.9) e) Falla del 15% en fase 푎 y 푐 y del 5 en la fase 푏 (푓 = 0.85; 푓 = 0.95; 푓 = 0.85) f) Falla del 5% en la fase a y del 8% en fase b y c (푓 = 0.95; 푓 = 0.82; 푓 = 0.82)

a) Libre de falla

Figura 3.3: 푓 = 1; 푓 = 푓 = 1.

b) Falla del 20% en resistencia de la fase 풂

Figura 3.4: 푓 = 0.8; 푓 = 푓 = 1.

c) Falla del 15% en las tres resistencias

Figura 3.5: 푓 = 푓 = 푓 = 0.85.

d) Falla del 10% en las tres resistencias

Figura 3.6: 푓 = 푓 = 푓 = 0.9.

e) Falla del 15% en fases 풂 y 풄 y del 5% en 풃 f) Falla del 5% en la fase a y del 8% en 풃 y 풄

0 10 20 30-20

0

20corriente en fase A

(Am

p)

0 10 20 300

0.5

1satisfacción del 5%

0 10 20 30-50

0

50corriente en fase B

(Am

p)

0 10 20 300

0.5


0 10 20 30-20

0

20corriente en fase C

tiempo (ms)

(Am

p)

0 10 20 300

0.5


tiempo (ms)

0 10 20 30-20

0


(Am

p)

0 1000 2000 30000

0.5


0 10 20 30-50

0


(Am

p)0 1000 2000 3000

0

0.5


0 10 20 30-20

0


tiempo (ms)

(Am

p)

0 1000 2000 30000

0.5


tiempo (ms)

0 10 20 30-20

0


(Am

p)

0 10 20 300

0.5


0 10 20 30-50

0


(Am

p)

0 10 20 300

0.5


0 10 20 30-20

0


tiempo (ms)

(Am

p)

0 10 20 300

0.5


tiempo (ms)

0 10 20 30-20

0


(Am

p)

0 10 20 300

0.5


0 10 20 30-50

0


(Am

p)

0 10 20 300

0.5


0 10 20 30-20

0


tiempo (ms)

(Am

p)

0 10 20 300

0.5


tiempo (ms)


- 38 -

Figura 3.7: 푓 = 0.85; 푓 = 0.95; 푓 = 0.85.

Figura 3.8: 푓 = 0.95; 푓 = 0.82; 푓 = 0.82.

El objetivo de estas pruebas en simulación fue el de visualizar el efecto que tienen distintas clases de fallas en el seguimiento de la referencia, así como la evaluación del comportamiento del controlador diseñado. En cada figura, las gráficas de la derecha indican con una línea vertical, los momentos cuando el seguimiento de corriente eléctrica de cada devanado sobrepasa los límites del error del 5% (véase ecuación (3.48)), en caso de sobrepasarlos, se muestran una línea vertical. Podemos observar que el controlador funciona mejor cuando las fallas son simétricas, esto debido a que la matriz 푅 0 de la ecuación (2.18) contiene elementos diferentes de cero fuera de la diagonal principal cuando las resistencias de 푅 son diferentes entre sí. Esto puede explicarse tomando en cuenta que las consideraciones de la transformación de coordenadas no se cumplen.

De la Figura 3.3 a la Figura 3.8 se observa el comportamiento del controlador en seguimiento de corriente y notamos que con fallas de hasta el 10% se tiene buen seguimiento de referencia de corriente. Mientras que cuando la falla en cada resistencia es distinta, se tienen malos seguimientos de corriente con múltiples sobrepasos después del transitorio.

3.2.4 Referencia de Potencia Eléctrica Activa

En esta sección se muestra el seguimiento de potencia activa deseada. La potencia comienza con una magnitud de 1715W y posteriormente se considera un incremento en la demanda hasta los 2050W. Se consideran dos distintos escenarios de prueba para el sistema de control, estos escenarios se resumen a continuación:

a) Comportamiento nominal del sistema (Libre de falla) (푓 = 푓 = 푓 = 1) b) Falla del 40% en la resistencia del devanado de la fase 푎 (푓 = 0.6; 푓 = 푓 = 1)

a) Comportamiento Nominal (Libre de falla)

0 10 20 30-20

0


(Am

p)

0 10 20 300

0.5


0 10 20 30-50

0


(Am

p)

0 10 20 300

0.5


0 10 20 30-20

0


tiempo (ms)

(Am

p)

0 10 20 300

0.5


tiempo (ms)

0 10 20 30-20

0


(Am

p)

0 10 20 300

0.5


0 10 20 30-50

0


(Am

p)

0 10 20 300

0.5


0 10 20 30-20

0


tiempo (ms)

(Am

p)

0 10 20 300

0.5


tiempo (ms)


- 39 -

A continuación se presentan los resultados en simulación del sistema de generación de potencia cuando para el escenario libre de falla. Se muestra que el sistema funciona de manera adecuada con comportamiento de errores aceptables. Se utilizan estos resultados como parámetro para evaluar el comportamiento del sistema en los casos que se presenten fallas.

Figura 3.9: Seguimiento de Potencia y Corriente. Figura 3.10: Error en el Seguimiento.

La gráfica superior de la Figura 3.9 muestra el seguimiento de la referencia de potencia eléctrica generada y la inferior muestra el seguimiento de referencias de corriente trifásica. Se puede notar un buen seguimiento en ambas gráficas. Puede apreciarse con mayor claridad en las gráficas de la Figura 3.10, la superior muestra que el error se seguimiento de potencia no supera el 0.5% del valor máximo de la potencia eléctrica de referencia y la inferior muestra que en ningún momento se superan los límites del 5% en seguimiento de corriente.

b) Falla del 40% en la Resistencia Eléctrica de la Fase 풂

Se muestran los resultado de inducir una falla del 40% en la resistencia 푎 (푓 = 0.6)

Figura 3.11: Seguimiento de Potencia y Corriente. Figura 3.12: Error en el Seguimiento.

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

1.8

2

Pote

ncia

(kW

) Seguimiento de Potencia Activa

ReferenciaGenerada

0.98 0.985 0.99 0.995 1-20

0

20Seguimiento de Corriente Trifásica

tiempo (s)

Cor

rient

e (A

)

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-1

0

1Error de Seguimiento de Potencia

porc

enta

je (%

)

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

0.5

1Satisfaccion de 5% en corriente

tiempo (s)

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

1.8

2

Pote

ncia

(kW


ReferenciaGenerada

0.98 0.985 0.99 0.995 1-20

0


tiempo (s)

Cor

rient

e (A

)

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-1

0


porc

enta

je (%

)

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

0.5


tiempo (s)


- 40 -

En la gráfica inferior de la Figura 3.12 se muestran los instantes cuando el seguimiento de corriente sobrepasa los límites del 5% de error (líneas verticales), sin embargo, debido a que se tiene un sistema trifásico y la potencia activa generada depende de las tres corrientes, el seguimiento de potencia no presenta errores significativos.

3.4. Diseño del Controlador con Acomodo de Fallas

En la sección anterior se probó la robustez y la tolerancia pasiva del sistema de control ante presencia de fallas en resistencia eléctrica. En esta sección se plantea un mecanismo de acomodo ante fallas mediante la modificación del valor de 휆 en la ecuación (3.44), lo que modifica los valores de ⟨푘0, … , 푘5⟩ en (3.42).

P abc*Si

abcdq

dq*Ru

( s )

abcdq abc

dq

abcSi

e(t )

a b crs rs rs

ˆ ˆ ˆf f f

arsf b

rsf crsf

Figura 3.13 : Esquema de Control con Acomodo de Falla.

Suponemos que se presenta una falla en la resistencia 푥, la cual provoca que el valor de la misma disminuya en cierto factor 푓 de manera que

x x xSSf rs

R f R (3.49)

Donde 푅 corresponde al valor de la resistencia eléctrica del devanado de la fase 푥 para todo instante después de la falla y 푅 es la resistencia eléctrica del devanado de la fase 푥 para todo tiempo antes de la falla, es decir, su valor nominal.

3.4.1. Búsqueda del parámetro 흀

De acuerdo con la ecuación (3.44), el valor del parámetro 휆 modifica el controlador basado en GPI, tal como se puede observar en las ecuaciones (3.42) y (3.43), así que es importante seleccionar los valores de 휆 apropiados para cada escenario de falla. Esto se realizó mediante búsqueda iterativa en simulación computacional. Esto es, ante cierto escenario de falla, se determina si se cumple o no el criterio de error de la ecuación (3.48), en caso de cumplirse, se guardan los valores correspondientes. Para automatizar el procedimiento anterior se utilizó el siguiente diagrama de flujo a través del software MatLab y Simulink.


- 41 -

rs3 rs3f f 0.05

rs3f 1 rs2 rs2f f 0.05

rs2f 1

rs3f 0

rs2f 0

rs1f 1

rs1f 0

rs1 rs1f f 0.05

0

16

abcabcabc SSSI [ I I ]

rs1 rs2 rs3f , f , f ,

1

Figura 3.14: Diagrama General de Flujo.

Una vez definido el criterio de error porcentual (훿), se ejecutó el diagrama de la izquierda en la Figura 3.14, éste se encarga de realizar el sistema de simulación modificando automáticamente los valores de los factores de falla [푓 1, 푓 , 푓 ] desde un valor de 0 (falla crítica) hasta un valor de 1 (libre de falla) con incrementos de 0.05. El diagrama de la derecha (Proceso 1) modifica automáticamente el valor del parámetro 휆 desde un valor de 6 hasta un valor de 16 y determina si se cumple la condición que establece que la corriente generada esté dentro de los límites establecidos por el criterio de porcentaje del error de la ecuación (3.48) , en caso de ser así, guarda los valores correspondientes de las fallas, de 휆 y del criterio satisfecho 훿 en una tabla. El diagrama de la Figura 3.14 se ejecuta para distintos criterios de error de seguimiento de corriente que van del 5% al 15%. Esta tabla será posteriormente utilizada para obtener en línea los valores apropiados en caso de falla.

3.4.2. Generación de Datos y Búsqueda en Tabla

Como ya se mencionó anteriormente, con el diagrama de flujo presentado en la Figura 3.14 se generó una tabla con los datos de las magnitudes de las fallas y con los valores de 휆 apropiados para el acomodo de la falla. Si tenemos un sistema de identificación y estimación de fallas que nos otorga el valor de 푓 , entonces es posible seleccionar de la tabla el valor apropiado de 휆. La


- 42 -

modificación del valor de 휆 se realiza de manera suave mediante una función de transferencia de primer orden.

1 2 3rs rs rs

ˆ ˆ ˆf f f

Figura 3.15: Representación de la Tabla Utilizada para el Acomodo.

Para ilustrar de una mejor manera el funcionamiento del sistema de acomodo de fallas, se supone una falla tal que la resistencia del devanado 푎 disminuye hasta el 90% de su valor nominal, por lo tanto los valores correspondientes para los factores 푓 de la ecuación (3.49) son 푓 = 0.9, 푓 =1,푓 = 1.0 , ante esta situación, el sistema de acomodo es suministrado con la información de la magnitud de dichas fallas y realiza una búsqueda en la tabla de la Figura 3.15 para encontrar el valor precalculado de 휆 con el que el sistema controlado continúa presentando buen comportamiento.

3.5. Pruebas Realizadas al Controlador GPI con Acomodo de Fallas

El control GPI con acomodo de fallas surge por la necesidad de controlar el sistema cuando la falla que se presenta es significativa y la robustez del controlador no es suficiente para tolerarla.

En este apartado se presentan los resultados de dos diferentes pruebas que se hicieron al sistema de acomodo de falla. Estas pruebas son:

a) Falla del 40% en la resistencia eléctrica del devanado de la fase 푎 b) Falla múltiple del 40% en las resistencias eléctricas de los devanados de las fases 푎 y 푏 c) Falla del 60% en la resistencia eléctrica del devanado de la fase 푎

A continuación se presentan resultados de las pruebas de simulación para las condiciones mencionadas anteriormente.

a) Falla Del 40% en la Resistencia Eléctrica del Devanado de La Fase 풂

Como se ha presentado en secciones anteriores, se tienen referencia de potencia eléctrica deseada (potencia activa), en esta sección se presenta la respuesta del sistema de acomodo ante


- 43 -

una falla del 40% en la resistencia eléctrica del devanado de la fase 푎 sin que las otras resistencias sufran alteración, lo cual es representado mediante los factores (푓 = 0.6; 푓 = 1; 푓 =1). La falla sucede en el tiempo 푡 = 0.5푠

(a): Modificación del Valor de 휆 (b): Seguimiento de potencia

(c): Error de Seguimiento

Figura 3.16: Resultados del Acomodo de Falla del 20% con Control GPI.

Ante la ocurrencia de la falla, la primera acción del sistema de acomodo es modificar el valor del parámetro 휆. En la Figura 3.16a se muestra la manera en la que se modifica el valor de la frecuencia natural 휆 de 휆 = 6 antes de la falla a 휆 = 14 después de la ocurrencia de falla (푡 = 0.5푠), es importante notar que dicha modificación se realiza de una manera suave para evitar transitorios en el sistema.

En la Figura 3.16b mostramos el seguimiento de potencia eléctrica activa y de la corriente eléctrica trifásica, podemos notar que el seguimiento es mejor que el presentado en la Figura 3.11, ya que en este último caso el sistema de acomodo de falla modifica el controlador. Al comparar las gráficas de la Figura 3.12 con la Figura 3.16c se observa que en esta última no se sobrepasan los límites de error del 5% en ningún momento. Por lo que podemos decir que el sistema de acomodo funciona apropiadamente.

0.45 0.5 0.556

8

10

12

14

tiempo (s)

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

1.8

2

Pote

ncia

(kW


ReferenciaGenerada

0.98 0.985 0.99 0.995 1-20

0


tiempo (s)

Cor

rient

e (A

)0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

0

0.5


Insatisfacción de criterio

Fase A

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

0.5

1 Insatisfacción de criterio

Fase B

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

0.5


tiempo (s)

Fase C


- 44 -

b) Falla Múltiple del 40% en la Resistencia Eléctrica de los Devanados de las Fases 풂 y 풃

En este caso se simulan fallas simultaneas del 40% en los devanados de las fases a y b, la fase c se mantiene sin fallas (푓 = 0.6; 푓 = 0.6; 푓 = 1). El objetivo de esta prueba fue la de observar el comportamiento del controlador ante una falla múltiple y verificar la capacidad del sistema de acomodo de fallas para responder y mantener las restricciones del sistema, las gráficas de resultados se presentan a continuación:

(a): Modificación del Valor de 휆 (b): Seguimiento de Potencia

(c): Error de Seguimiento

Figura 3.17: Resultados de Control con Acomodo de Falla del 20% en Fases 푎 y 푏.

Se observa en la Figura 3.17a la modificación del parámetro 휆, nótese la diferencia con la gráfica de la Figura 3.16a, para el caso correspondiente a la falla múltiple, fue necesario un valor de 휆 = 16 mientras que para la falla sencilla se utilizó un valor para 휆 = 14. La modificación de dicho parámetro se realiza de manera suave a través de una función de transferencia de primer orden.

De la misma manera, se nota la diferencia en la gráfica de satisfacción del criterio del error, para la falla sencilla no existe momentos de insatisfacción (Figura 3.16c) mientras que en el caso de

0.45 0.5 0.556

8

10

12

14

16

tiempo (s)

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

1.8

2

Pote

ncia

(kW


ReferenciaGenerada

0.58 0.585 0.59 0.595 0.6-20

0


tiempo (s)

Cor

rient

e (A

)

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

0.5

1 Satisfaccion de 10% en corriente


Fase A

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

0.5


Fase B

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

0.5


tiempo (s)

Fase C


- 45 -

falla múltiple se presentan insatisfacciones en el criterio mencionado en el tiempo 푡 = 0.5푠, justo después de la ocurrencia de la falla (ver Figura 3.17c). Sin embargo, el controlador se acomoda ante la falla y permite continuar con la satisfacción del criterio.

La gráfica de seguimiento de potencia muestra resultados similares a los presentados para el caso de falla sencilla. Sin embargo, se puede apreciar una ligera diferencia en el porcentaje de error de seguimiento de potencia (Gráfica superior de la Figura 3.17c y la Figura 3.16c)

c) Falla Sencilla del 60% en la Resistencia Eléctrica del Devanado de la Fase 풂

Finalmente se realiza una prueba de comportamiento para una falla grave, es decir, cuando la resistencia eléctrica del devanado de la fase 푎 cae un 60% de su valor nominal. En este caso el sistema de acomodo no solamente modifica el valor del parámetro 휆, sino que también modifica el criterio de error ya que no es posible garantizar un error dentro del 5%. En este caso se establece un nuevo criterio de error del 12.5%, esto es, el sistema comienza a trabajar en modo degradado.

Figura 3.18: Seguimiento con Falla del 60%. Figura 3.19: Porcentaje de Error de Potencia.

En la Figura 3.18 se observa el seguimiento de potencia eléctrica, nótese un apropiado comportamiento, lo cual se muestra con mayor claridad en la Figura 3.19, donde el porcentaje de error disminuye en magnitud una vez que se realiza el acomodo de la falla.

Figura 3.20: Corriente dentro de Intervalo de Error. Figura 3.21: Satisfacción de Criterio.

0 0.2 0.4 0.6 0.8 11.7

1.75

1.8

1.85

1.9

1.95

2

2.05

Pote

ncia

(kW

)

ReferenciaGenerada

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-0.5

-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0

0.1po

rcen

taje

(%)

tiempo (s)

0.49 0.495 0.5 0.505 0.51-20

-10

0

10

20

Cor

rient

e (A

)

tiempo (s)

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

0.51


Fase A

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

0.51


Fase B

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

0.51


tiempo (s)

Fase C


- 46 -

En la gráfica anterior se muestra la corriente eléctrica trifásica antes y después de la ocurrencia de la falla (푡 = 0.5푠), así como los límites del error (línea punteada). Nótese la ampliación del criterio una vez que ha ocurrido la falla. El sistema de acomodo no es capaz de garantizar un error menor del 5% para la falla probada, así que se modifican las restricciones de control (el valor del parámetro 훿) haciendo al sistema más flexible y estableciendo un nuevo criterio para el error, el cual tiene que ser menor del 12.5%, nuevamente se trabaja en modo degradado.

3.6. Resumen de Resultados

Las pruebas realizadas al controlador nos presentan distintos resultados de comportamiento ante las diferentes clases de falla. En la siguiente tabla se presenta un resumen de los resultados de la satisfacción de la restricción del error de seguimiento de corriente y de potencia.

Controlador Escenario Corriente Potencia GPI Robusto Libre de falla Cumple 5% Cumple 5%

Falla en resistencia a del 40% No Cumple Cumple 5% GPI con acomodo de falla

Falla en resistencia a del 40% Cumple 5% Cumple 5% Falla en resistencias a y b del 40% Cumple 8% Cumple 5% Falla en resistencias a del 60% Cumple 12.5% Cumple 5%

Tabla 3.1: Resumen de Resultados en el Cumplimiento de Restricciones.

Podemos observar que el controlador GPI Robusto no cumple la restricción del error menor al 5% para la falla del 40%, el sistema de control con acomodo de fallas mantiene el seguimiento de corriente para las fallas probadas, por lo que se concluye que el acomodo de fallas funciona apropiadamente.

- 47 -

Capítulo 4

CONTROL BASADO EN PLATITUD DIFERENCIAL

En el Capítulo 1 se presentaron las generalidades del concepto de platitud diferencial y su utilización para el diseño de controladores. En el presente capítulo se abordan las distintas técnicas de diseño de controladores basados en platitud diferencial [Antritter, 2008]. Un ejemplo de diseño aplicado al motor de CD y el diseño del controlador aplicado al DFIG. Así como las pruebas en simulación computacional del controlador diseñado ante ocurrencia de fallas en parámetros y fallas en la entrada de control de tipo aditiva y multiplicativa.

4.1. Platitud Diferencial

Como ya se mencionó anteriormente, el concepto de Platitud Diferencial establece la posibilidad de expresar los estados de un sistema dinámico y sus salidas en función de una o varias salidas privilegiadas y sus derivadas temporales. Podemos definir la propiedad de platitud de un sistema a través de lo siguiente. Para un sistema no lineal dado por la siguiente expresión

x f ( x ,u) (4.1)

Con 푥 ∈ ℝ y 푢 ∈ ℝ, la propiedad de platitud implica la existencia de una salida plana 푦 ∈ ℝ tal que las funciones:

f f

( n 1)x f f f

( n )u f f f

y h ( x )

x ( y , y , ..., y )

u ( y , y , ..., y )

(4.2)

existen. Donde ℎ ,휓 ,휓 son funciones suaves en al menos un subconjunto abierto de ℝ , ℝ y ℝ 1 respectivamente, se introduce el nuevo sistema de coordenadas

( n 1)1 n f f f, ..., y , y , ... y (4.3)

Capítulo IV ControlBasado en Platitud Diferencial

- 48 -

el sistema se transforma mediante el difeomorfismo

( x ) (4.4)

en la forma controlable

i i 1

n ( ,u)

(4.5)

Se define la entrada auxiliar 푣 = 푦( ) y resulta, según lo presentado en [Hagenmayer, 2003]:

uv ( , ( ,v )) (4.6)

mediante la aplicación de (4.6), el sistema (4.3) es transformado a la ecuación normal de Brunovsky

i i 1

n v

(4.7)

Es posible, para sistemas planos, deducir de manera natural un controlador prealimentado con base en la parametrización diferencial. Cuando se asigna una trayectoria de referencia suficientemente suave 푦∗ para la salida plana, se obtiene un controlador prealimentado insertando ésta en la parametrización.

*( n )* * *u f f fu (t ) ( y , y , .., y ) (4.8)

En el caso de condiciones iniciales consistentes, esto es

*( n )* *f f0 x 0 0 f 0x(t ) ( ( t ) (t ) ( t ))y , y , , y (4.9)

y en ausencia de perturbaciones, el controlador prealimentado (4.8) realiza un seguimiento exacto de la trayectoria de referencia [Antritter, 2008].

4.2. Métodos de Diseño de Control Basado en Platitud Diferencial

Durante la búsqueda bibliográfica acerca de diseño de controladores basados en platitud diferencial, se encontraron distintas metodologías, tales como aquellas presentadas en [Mai, 2006; Kleeting, 2007; P.Mai, 2007] en estas publicaciones se presentan metodologías especificas de diseño para cada sistema.


- 49 -

Una metodología general basada en distintos enfoques de linealización se presenta en [Antritter, 2008] y los detalles de construcción se presentan a continuación.

4.2.1. Diseño de Controladores con Linealización Exacta por Retro-Alimentación

Para estabilizar el seguimiento de la trayectoria de referencia 푦∗, se introduce el error de seguimiento (푒) como:

n 1 * n 1* *1 2 n f f f f f f

* * *1 1 2 2 n n

e e ,e , ..,e y y , y y , , y y

e , , ,

. (4.10)

En vista de (4.7), la dinámica del error de seguimiento está dada por:

i i 1

*n n

e ,i 1, 2 , ,n 1

e ,u

e

(4.11)

Si se sustituye el v v en (4.6) con

n 1

( i )*el n i 1

i 0v a e

(4.12)

Se utiliza (4.11) y (4.6) y se obtienes el error de seguimiento da la ecuación diferencial

n 1

( n ) ( i )1 i 1

i 00 e a e

(4.13)

Donde 푎 son los coeficientes de menor orden de un polinomio Hurwitz mónico para asegurar estabilidad.

4.2.2. Linealización Alrededor de La Trayectoria de Referencia

Otras metodologías de diseño no alcanzan una linealización de la dinámica del error sino que utilizan una linealización alrededor de la trayectoria de referencia. La linealización de la dinámica del sistema (4.11) en 푒 = 0 en vista de (4.10) y de 푢 = 푢∗ resulta en:

c c c c c0 1 2 n 1

0 1 0 0 00 0 1 0 0

e e u0 0 0 1 0

a (t ) a (t ) a (t ) a (t ) b (t )

(4.14)


- 50 -

Donde los coeficientes 푎 y 푏 son calculados de la manera siguiente

c ci 1 * *i

* *u u u u

,u ,ua t ; b t i 0 ,1, ,

u; n 1

(4.15)

Y debido a la platitud del sistema (4.3), se asegura que [Hagenmayer, 2003]

c 0 fb ( t ) 0 t t ,t (4.16)

De la estructura de (4.14) se tiene que

( n 1)1 2 n 1 1 1

e e , e , ..., e e , e , ..., e , (4.17)

Las ecuaciones anteriores permiten el diseño del controlador mediante linealización alrededor de la trayectoria de referencia, y se tienen dos enfoques distintos, los cuales son:

a) Diseño de Controlador Basado en Representación de Operador Diferencial b) Diseño De Controlador Basado En Linealización Exacta Por Prealimentacion

Estos dos enfoques se detallan en [Antritter, 2008] de la siguiente manera :

a) Diseño de Controlador Basado en Representación en Operador Diferencial

Esta metodología de diseño fue introducida en [Hagenmayer, 2003] y utiliza una representación de operador diferencial. La representación de operador diferencial de la dinámica de error de seguimiento se obtiene de (4.14) resolviendo el último renglón para 훥푢 y tomando en cuenta (4.17) con lo que resulta:

n 1

n ic 1i

i 0c

n( D ,t )

1 D a ( t )D e ub ( t )

(4.18)

donde se utiliza el operador diferencial 퐷 = , la relación (4.18) puede ser reescrita utilizando el

operador diferencial 푛(퐷, 푡).

1n( D,t ) e u (4.19)

Para el diseño del controlador, el operador diferencial es descompuesto usando la columna de más alto orden de la matriz 훤 [푛(퐷, 푡)] [Hagenmayer, 2003] en la siguiente manera:

nc Rn( D ,t ) [ n( D ,t )]D n ( D ,t ) (4.20)


- 51 -

Donde, en vista de (4.18), se tiene según [Antritter, 2008]:

cc

1[ n( D,t )]b (t )

(4.21)

n 1

iR ci

i 0c

1n ( D,t ) a (t )Db (t )

(4.22)

Si tomamos en cuenta (4.18), la acción de control adicional se escribe como

Rdor c 1 R 1u [n( D,t )]n ( D ) e n ( D,t ) e (4.23)

Logra la dinámica lineal invariante en el tiempo.

n 1

n i1 i 1

i 0n( D) e ( D a D ) e 0

(4.24)

Para el error de seguimiento linealizado, cuando 푛 (퐷, 푡) es elegido de acuerdo a:

n 1

iR i

i 0n ( D) a D

(4.25)

Los coeficientes 푎 se eligen tales que 푛(퐷) sea un polinomio de Hurwitz mónico. El controlador de seguimiento se puede resumir como:

*dor doru u u (4.26)

Donde 푢∗ es la ley de control establecida en (4.8).

Diseño de Controlador Basado en Linealización Exacta por Prealimentacion

En esta metodología de diseño se utiliza la ley de control retroalimentada

*fl u flu ( ,v ) (4.27)

donde se propone, para 푣

n

*fl n i i

i 1v e

(4.28)


- 52 -

para el diseño de los parámetros 휆 , se linealiza la dinámica del error del sistema controlado en 푒 = 0

i i 1

n* * * *

n u n i 1 i ni 1

e ,

i 1, 2 , ,n 1e e , ( , e )

e

.

(4.29)

En contraste con [Hagenmayer, 2003], esto se realiza al mostrar que, cuando la ley de control de las ecuaciones (4.27) y (4.28) se aplica, 훥푢 en (4.14) está dada por:

n nfl fl

i i ii 1 i 1i c

u v 1u e ev e b (t )

(4.30)

Así, cuando se asigna

i c i 1i 1a (t ) a , i 1, 2, ...n

(4.31)

en (4.28), el error linealizado de seguimiento 훥푒1 satisface la ecuación diferencia lineal (4.24) tal como se lo menciona en [Hagenmayer, 2003].

Para mayor detalle del diseño y ejemplos de aplicación de diseño de controladores para distintos sistemas con los esquemas presentados, se puede consultar [Antritter, 2008].

4.3. Ejemplo de Aplicación: Motor de Corriente Directa

En esta sección se utiliza la estrategia de diseño de control llamada “Diseño de Controlador Basado en Linealización Exacta por Retroalimentación”. Se utiliza el modelo matemático del motor de corriente directa y la parametrización de la salida plana para diseñar un controlador de velocidad mecánica tomando en cuenta el par de carga como perturbación.

Modelo Matemático

Las ecuaciones diferenciales que describen en comportamiento dinámico del motor de corriente directa (CD) están dadas en [Sira-Ramírez, 2009] como:

e

1 1

m2 2

kR 1x xI L L Lkx xB 0

J J

(4.32)


- 53 -

Donde (퐼) representa la corriente de armadura, (휈) el voltaje eléctrico aplicado, (휔) la velocidad angular. ( 퐿,푅, 푘 ) la inductancia, la resistencia y la constante contraelectromotriz respectivamente. (퐽,퐵,푘 ) representan la inercia, la fricción viscosa y la constante de torque respectivamente.

Platitud del Sistema

Se observa el modelo de la ecuación (4.32) y se encuentra que la salida plana es la velocidad de giro del rotor (휔), con la cual se puede parametrizar la corriente eléctrica como:

m

m

1I J Bk

1I J Bk

(4.33)

De la misma manera, se parametriza la entrada de control y tenemos

em m m

LJ LB RJ RBu kk k k

(4.34)

Control Retroalimentado

En la parametrización del control (4.34), la derivada de mayor orden de la salida plana es (휔̈), así que se define el controlador auxiliar como

* * *0 1v k k (4.35)

El error de seguimiento se define como:

*e (4.36)

Por lo tanto, la ecuación del error se escribe como:

0 1e k e k e 0 (4.37)

Mediante la transformada de Laplace, aplicada a la ecuación (4.37), se obtiene el siguiente polinomio característico de la dinámica del error.

20 1s k s k 0 (4.38)


- 54 -

donde, con una apropiada selección de las ganancias ⟨푘0, 푘1⟩ se garantiza estabilidad asintótica en el error de seguimiento.

Pruebas de Control de Velocidad Mecánica en el Motor de CD

Se prueba el controlador diseñado en seguimiento de velocidad mecánica, la señal de referencia es la misma que aquella presentada en la sección 3.1. En la Figura 4.1b se muestra un error de seguimiento mayor que el presentado en gráfica inferior la Figura 3.1b.

(a) Seguimiento de Velocidad.

(b): Error de Seguimiento.

Figura 4.1: Resultados de Simulación.

En la Figura 4.1a se presentan los resultados del sistema de control en el seguimiento de referencia de velocidad mecánica, podemos observar en la Figura 4.1b que se tiene un error pequeño, así que se puede concluir que el controlador basado en platitud diferencial funciona correctamente para la referencia dada.

El objetivo del presente ejemplo fue el de familiarizarse con el método de diseño de controladores basado en platitud diferencial para posteriormente utilizarlo en el diseño del controlador del DFIG.

4.4. Diseño del Controlador por Platitud Diferencial Aplicado al DFIG

Para realizar el diseño del controlador basado en platitud diferencial se requieren señales de referencia tales como enlace de flujo deseado en el estator (훹∗) y velocidad mecánica deseada en el rotor (휔∗ ). El controlador se diseña con seguimiento de enlace de flujo, sin embargo, la referencias de enlace de flujo se obtiene a partir de las referencias de corrientes eléctrica en el estator (푖∗).

0 5 10 15 200

20

40

60

80

Tiempo (seg)

Vel

ocid

ad (r

ad/s

eg)

Velocidad del rotor

ReferenciaSalida PD

0 5 10 15 20-0.025

-0.02

-0.015

-0.01

-0.005

0

0.005

Tiempo (seg)

Vel.

(rad/

seg)


- 55 -

Se observa en la Figura 4.2, que se tienen cuatro entradas en el DFIG , además del voltaje en el estator, el cual se considera como perturbación. Estas entradas son las acciones de control aplicadas al generador. Las primeras tres entradas de control son las correspondientes al voltaje de alimentación inyectado en el bobinado del rotor. La cuarta entrada corresponde al par mecánico producido por las aspas de la turbina, en un sistema físico, este par es controlado modificando el ángulo de las aspas de la turbina o aplicando frenos mecánicos para evitar que el par generado por el viento a través de la turbina sea demasiado grande. A través de estas cuatro entradas se controla la velocidad mecánica del generador y la corriente eléctrica en los devanados del estator.

En cuanto a fallas, es posible inducir fallas de tipo multiplicativas en cada una de las tres resistencias eléctricas de los devanados del estator. Así como inducir fallas aditivas y multiplicativas en cada una de las tres fases del voltaje del rotor (fallas en actuador).

*abcSi

abcSu

Lm

aRu

cRu

bRuabc

Im*SaP

abc

Im

aurf

burf

curf

abcSiabcRi

abcIm

abcIm

S Rf ( i , i )

*m b

RsfaRsf c

Rsf

Figura 4.2: Esquema de Control Basado en Platitud Diferencial.

Como se muestra en la Figura 4.2, a partir de una referencia de potencia activa se obtiene la referencia de corriente trifásica eléctrica deseada en el estator, utilizandolas técnicas de transformación de coordenadas en el modelo matemático del DFIG se obtiene la referencia de enlace de flujo deseado. La referencia de velocidad es más sencilla y se obtiene a partir de un polinomio de Bezier. El bloque “Control P.d. Flujo” nos entrega la señal de control en representación compleja a partir de la referencia de enlace, de velocidad y de la retroalimentación de enlace del sistema, dicha señal de control se transforma nuevamente a coordenadas naturales para realizar control sobre el generador. El bloque “control P.d. Velocidad” genera la señal de control de par a partir de referencia de flujo, de velocidad y de la retroalimentación de la velocidad del sistema. Se muestra en la figura que es posible inducir fallas en actuador y en parámetros.

4.4.1. Platitud del Sistema

El modelo matemático del DFIG en su representación compleja se presenta en las ecuaciones (2.39) a la (2.41), este modelo se encuentra en términos de las corrientes y de los enlaces, así que


- 56 -

es necesario utilizar únicamente variables de flujo. Con este objetivo, utilizamos la ecuación (2.42) y se obtiene:

S S

R R

1S

R

Mi

M Li

L

(4.39)

dado que se está trabajando la máquina de inducción en modo generador, se asigna 휀 = −1, por lo tanto:

S2

RR R

S R

S S

L Mi 1M ML LLi

(4.40)

simplificando la expresión, se introduce la variable 휎 y se reescribe la expresión como:

S R

R S

S

R

L

L

Mi

Mi

(4.41)

Ahora, se utiliza la ecuación (4.41) y se sustituye en las ecuaciones (2.39)-(2.41), se realizan las operaciones matriciales, se resuelve el sistema para el voltaje en el estator y se obtiene:

1 1SS S R SS R SL MR ju R (4.42)

despejando el enlace de flujo en el rotor

SR S SS R

S

LRu

Rj

M

(4.43)

R S SSud b (4.44)

Para la entrada de control tenemos que

R R1 1

S R R SR S rM Lu R jR (4.45)

De la ecuación (4.44) se sabe que 훹 es función de 훹 , así que se sustituye la expresión de la ecuación (4.44) en (4.45), se obtiene la parametrización de la entrada de control en función de la salida plana 훹 .

Con la señal de flujo en el estator 훹 como salida plana, podemos parametrizar los estados y la entrada de control del generador, esto último es lo que utilizamos para diseñar el controlador


- 57 -

basado en platitud diferencial mediante la técnica de linealización por prealimentacion. La segunda salida plana del sistema corresponde a la velocidad mecánica del generador.

4.4.2. Diseño del Controlador de Enlace de Flujo

Ya que la salida plana del sistema es el enlace de flujo en el estator se realiza control de éste a través del voltaje en el rotor. Se utiliza la ecuación (4.44) del enlace de flujo en el rotor y sustituyéndola en la parametrización de la entrada de control de la ecuación (4.45) se obtiene:

SRS S S S SR r

S S S S SR p

RS S

mS S

LMu d j d

u c d a j

RRu b u b

u b u bn d

(4.46)

Finalmente, se escribe la parametrización de la entrada de control 푢 en función del enlace de flujo en el estator 훹 y sus derivadas temporales como:

S S S S SS S SR p m p m p mu dab c (da db) jdbn da d jdn d jdnu u u (4.47)

S S S SS S SSR 1 2 3 m 4 5 6 m 5 6 mu a a a a au u ua a a (4.48)

Donde ⟨푎,푏, 푐,푑,푎1, … , 푎6⟩ son funciones de los parámetros del sistema y se definen como

R S 2

1 2

S R RR S

3 p 4 5 6 p

Sa c d M

M

a dab c; a d(a b); a jdbn ; a da; a d ;

R L

a jd

R L R Mj ; b j ; ; ; L L

R

n

(4.49)

Se observa en la parametrización de la entrada de control (4.48), que la derivada temporal de mayor orden de la salida plana es 훹̈ , así que se define el control auxiliar 휈∗ como

* * * **S S S S S S S SR 0 1 2v k k k (4.50)

Se puede observar en la ecuación anterior, que se tiene un control de tipo proporcional-integral-derivativo, el cual hace uso del error de seguimiento (훹∗ −훹 ). A partir de (4.50) se escribe la ecuación dinámica del error como:

* * * *S S S S S S S S0 1 2

0 1 2

k k k 0

e k e k e k e 0

(4.51)

Mediante la transformada de Laplace


- 58 -

3 20 1 2s k s k s k 0 (4.52)

Se ubican los polos del polinomio anterior mediante la apropiada selección de la frecuencia natural (휔 ), el coeficiente de amortiguamiento (휉) y el polo ( 푚) en la siguiente igualdad

2 2 3 20 1 2( s 2 s )( s m ) s k s k s k (4.53)

así, la ley de control con referencias de enlace de flujo en estator (훹∗) y velocidad de rotor (휔∗ ) será

* ** ** * * *R 1 2 3 4 5 6 m 5 R 6 mS S S SS S Sm

u u uu a a a a a a a v a (4.54)

Donde 휈∗ corresponde a la ley de control retroalimentada.

4.4.3. Diseño del Controlador de Velocidad Mecánica

Como se vio anteriormente, la segunda salida plana del sistema es la velocidad de giro del rotor (휔∗ ), lo que significa que es necesario diseñar un control por platitud para la parte mecánica del generador y así garantizar que la velocidad del mismo sea la deseada.

El modelo matemático para la parte mecánica del sistema se presenta en la ecuación (2.41), utilizando la definición del par electromagnético de la ecuación (2.40) se define la siguiente ecuación

m p R Lc

SJ 1.5Mn Im i i m (4.55)

Se sabe que las corrientes eléctricas y los enlaces de flujo se relacionan, según (4.41), como

S R

c ccR

R

RSS

SL M

i

Li

M

(4.56)

Donde el superíndice (c) indica el complejo conjugado. Con la ecuación (4.56) y algunas operaciones algebraicas se define

c c cS S R

2RR R SS2

1Im i i L L Im M Im (4.57)


- 59 -

ahora se sustituye (4.57) en la ecuación (4.55), se despeja 푚 de la misma y se obtiene la siguiente expresión para el par mecánico aplicado

p 2L m R S

c cS RR S2

3Mnm J L L Im M Im

2

(4.58)

ahora, se utiliza la ecuación (4.44) y se obtiene la parametrización de la entrada mecánica de control en función de la salida plana y sus derivadas. En este controlador es necesario conocer el voltaje aplicado en el estator.

p 2SL R S

c c c cS S SS S mS

SS2

3nm L L Im Im u M Im Im u J

2R

(4.59)

La derivada temporal de mayor orden de la salida plana en (4.59) es 휔̇ , así que se define el control auxiliar 푀 como

* * *L m m m m I m mM k k (4.60)

La ecuación dinámica del error se escribe como

Im m me k e k e 0 (4.61)

y a partir de la transformada de Laplace se representa como:

2Is k s k 0 (4.62)

para controlar la dinámica del error de seguimiento, se ubican los polos de la ecuación anterior a través de un polinomio de segundo orden de dinámica conocida:

22 2Is k s k s 2 s

(4.63)

con lo que se tiene que las ganancias del controlador retroalimentado son:

2Ik 2 ; k

(4.64)

Así, el controlador de velocidad del DFIG será

*p * **c c * c * cSS S S S S SS

* 2R S L2L

S

3nm L L Im Im u M Im Im u JM

2R

(4.65)


- 60 -

Como se puede notar en la ecuación anterior, el controlador requiere información acerca de la magnitud de los parámetros. Como se ha mencionado anteriormente, estos parámetros no son conocidos de manera precisa así que se hace necesaria su representación a través intervalos numéricos.

4.4.4. Generación de Señales de Referencia de Enlace de Flujo

Los controladores (4.54) y (4.65) requieren señales de referencia de enlace de flujo, estos controladores funcionan de manera apropiada, sin embargo, es complicado generar señales de referencia de enlace de flujo magnético en estator que sean acordes con la naturaleza propia de la máquina de inducción, así que se diseño un generador de referencias de enlace de flujo a partir de la corriente eléctrica deseada en el estator.

Si se observa el modelo presentado por la ecuación (2.39) y se recuerda que se seleccionó el marco de referencia fijo al estator (휔 = 0). Con lo que podemos resolver el sistema para el enlace de flujo en el estator de la siguiente manera:

SS S

SS

* *S

* *S S

u R i

u R i dt

(4.66)

Con las ecuaciones anteriores se obtienen las señales de referencia de flujo a partir de señales conocidas tales como la corriente eléctrica deseada 푖∗ y el voltaje en el estator 푢 .

4.5. Pruebas de Desempeño del Controlador

En esta sección se presentan los resultados en simulación computacional de las pruebas realizadas al controlador diseñado en la sección anterior y expuesto por las ecuaciones (4.54) y (4.65).

Como se muestra en el esquema de la Figura 4.2, se tiene referencia de potencia activa, a partir de esa información se genera la referencia de corriente eléctrica necesaria para dicha potencia para finalmente tener referencia de enlace de flujo en estator.

Se presentan distintos escenarios de pruebas del controlador diseñado, que corresponde a los casos libre de fallas, fallas en resistencias eléctricas y fallas en la entrada de control.

a) Escenario libre de fallas

b) Con falla en una resistencia eléctrica


- 61 -

Falla del 20 % en la resistencia eléctrica del devanado de la fase b (푓 = 0.8)

c) Con fallas de tipo aditiva en una de las fases del voltaje de control 푢 . Falla de 40V en la fase b de la entrada de control Falla de 80V en la fase b de la entrada de control

d) Con fallas de tipo multiplicativa en la fase b del voltaje de control 푢 las cuales corresponden al:

Falla del 20% en el voltaje de entrada de control Falla del 40% en el voltaje de entrada de control Falla del 90% en el voltaje de entrada de control Falla del 95% en el voltaje de entrada de control

El primer escenario corresponde a la operación normal del sistema, es decir, cuando no existe ninguna clase de fallas. Esta prueba es el criterio de base para evaluar el comportamiento de todos los posibles escenarios de falla. Cualquier comportamiento que sea más deficiente que el presentado en esta prueba será inaceptable.

El segundo escenario corresponde a las fallas paramétricas de tipo multiplicativas en la resistencia eléctrica de los devanados de estator, ésta se realiza para observar el efecto de una disminución pequeña en el valor de una o varias de las resistencias en el comportamiento del sistema y del controlador. Este tipo de fallas es muy común en las máquinas eléctricas y por lo tanto de interés en el desarrollo del presente tema de tesis. Se espera que en este caso, se tenga un fuerte impacto en el comportamiento del sistema y en el desempeño del controlador debido a la dependencia que éste tiene del modelo matemático.

Otra clase de fallas son las de actuador, las cuales pueden ser fallas de tipo aditivas y fallas de tipo multiplicativas. Las fallas aditivas se provocan sumando un valor de magnitud constante a alguna de las fases del rotor (entradas de control).

Las fallas de tipo multiplicativas se realizan al multiplicar por un factor menor que la unidad el valor de alguna de las fases. En el caso de fallas multiplicativas, se provoca una disminución del voltaje de entrada que se tiene en alguna de las fases.


- 62 -

a) Escenario Libre De Falla

En controlador fue diseñado para trabajar en condiciones favorables, es decir, libre de fallas. Es por esta razón que en las gráficas anteriores se muestra el seguimiento de potencia activa cuando no existe falla.

(a) (b)

(c)

Figura 4.3: Resultados para el Sistema Libre de Falla.

Se realiza el seguimiento de las señales de referencia de potencia activa y de corriente eléctrica en estator. Se muestran el error de seguimiento de potencia y los instantes cuando el error de seguimiento de corriente sobrepasa los límites establecidos del 5%. En la Figura 4.3a notamos un buen seguimiento de potencia y de corriente eléctrica mientras que la Figura 4.3b muestra el error de seguimiento de potencia, donde se muestran errores menores al 1%. En la Figura 4.3c se muestra el seguimiento de la velocidad mecánica de referencia, se observan errores de seguimiento pequeños de alrededor de 0.3% de su referencia.

0 0.2 0.4 0.6 0.8 11.5

2

tiempo (s)

Pote

ncia

(kW


GeneradaReferencia

0.98 0.985 0.99 0.995 1-20

0


tiempo (s)

Cor

rient

e (A

)

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-1012

Error de Seguimiento de Potencia

tiempo (s)

porc

enta

je (%

)

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

0.5


tiempo (s)

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-200

0200400

Seguimiento de Velocidad

tiempo (s)Velo

cida

d (r

ad/s

)

GeneradaReferencia

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-0.1

0

0.1Error de Seguimiento de Velocidad

tiempo (s)

Porc

enta

je (%

)


- 63 -

En las figuras anteriores se muestran los resultados del controlador de velocidad y de corriente, de donde concluimos que el controlador diseñado funciona correctamente cuando se tienen valores nominales de los parámetros.

b) Con Falla de Resistencia Eléctrica

Falla del 20 % que ocurre en el tiempo 푡 = 0.5푠 en la resistencia eléctrica del devanado de la fase b que disminuye su valor al 80% del nominal (푓 = 0.8).

(a) (b)

(c)

Figura 4.4: Resultados con Falla en Resistencia Eléctrica.

La Figura 4.4a nos muestra el seguimiento de la referencia de potencia eléctrica generada, obsérvese que ésta presenta una elevada amplitud de oscilación alrededor de la trayectoria de referencia después de la ocurrencia de la falla. En esta figura también se muestra el seguimiento de las referencias de corriente eléctrica en estator, se puede observar que se salen de los límites establecidos por la línea discontinua. Lo anterior se nota con mayor claridad en la Figura 4.4b, donde el error de seguimiento de potencia se acerca a valores del 20% y el error de seguimiento de potencia sobrepasa el 5%.

0 0.2 0.4 0.6 0.8 11.5

2

2.5

tiempo (s)

Pote

ncia

(kW


GeneradaReferencia

0.98 0.985 0.99 0.995 1-20

0


tiempo (s)

Cor

rient

e (A

)

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-15-10

-505


tiempo (s)

porc

enta

je (%

)

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

0.5


tiempo (s)

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-200

0200400


tiempo (s)Velo

cida

d (r

ad/s

)

GeneradaReferencia

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-0.1

0


tiempo (s)

Porc

enta

je (%

)


- 64 -

En la Figura 4.4c se muestra el seguimiento de la referencia de velocidad mecánica y nuevamente el error de seguimiento en este caso es menor del 0.1%, de donde podemos concluir que las fallas eléctricas no influyen en el seguimiento de la velocidad mecánica.

c) Fallas De Tipo Aditivas En Actuador

Se realizaron simulaciones con diferentes tipos de fallas en la entrada de control, es posible inducir fallas en cualquier fase, pero sólo se reportan fallas de tipo aditivas en el actuador de la fase 푏.

Se induce una falla de tipo aditiva al aumentar el voltaje de rotor en la fase 푏 en 40 volts

(a) (b)

(c) (d) Figura 4.5: Resultados con Falla Aditiva de 20V en Actuador de Fase b.

En la Figura 4.5a se muestran las tres fases del voltaje de rotor en instantes antes y después de la ocurrencia de la falla, se puede notar una desviación en la fase b, lo cual indica una falla abrupta en esta fase. Se puede observar en la Figura 4.5c que dicha falla afecta el seguimiento de

0.48 0.49 0.5 0.51 0.52-2000200

Entrada de control uRa

volta

je (V

)

0.48 0.49 0.5 0.51 0.52-200

0200

Entrada de control uRb

volta

je (V

)

0.48 0.49 0.5 0.51 0.52-200

0200

Entrada de control uRc

volta

je (V

)

tiempo (s)

0 0.2 0.4 0.6 0.8 11.5

2

tiempo (s)

Pote

ncia

(kW


GeneradaReferencia

0.98 0.985 0.99 0.995 1-20

0


tiempo (s)

Cor

rient

e (A

)

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-200

0200400


tiempo (s)Velo

cida

d (r

ad/s

)

GeneradaReferencia

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-0.1

0


tiempo (s)

Porc

enta

je (%

)

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

2


tiempo (s)

porc

enta

je (%

)

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

0.5


tiempo (s)


- 65 -

velocidad ya que el error de seguimiento aumenta comparado con aquel presentado en la Figura 4.3c.

El seguimiento de potencia se muestra en la Figura 4.5b, se puede notar un retraso de la potencia generada con respecto a la referencia, el porcentaje de error de seguimiento de potencia presenta únicamente un ligero transitorio en el momento de la ocurrencia de la falla, sin embargo, su magnitud no aumenta con respecto a la magnitud anterior a la falla. En la gráfica inferior de la Figura 4.5d se muestran cumplimiento de restricción de error de seguimiento de corriente.

Falla de tipo aditiva al aumentar el valor del voltaje de rotor en la fase 푏 en 80 volts

(a) (b)

(c)

Figura 4.6: Resultados con Falla Aditiva de 80V en Actuador de Fase b.

En la Figura 4.6a se muestran las tres fases de la entrada de control y se observa, después del tiempo t=0.5s, una desviación de la media aritmética del voltaje en la fase b, esto debido a la ocurrencia de la falla.

El seguimiento de la señal de referencia de potencia activa se muestra en la gráfica superior de la Figura 4.6b, nuevamente se observa un retraso de la señal de potencia eléctrica generada con respecto a la señal de referencia, en la misma figura, en la parte inferior se observa el

0.48 0.49 0.5 0.51 0.52-2000200


volta

je (V

)

0.48 0.49 0.5 0.51 0.52-200

0200


volta

je (V

)

0.48 0.49 0.5 0.51 0.52-2000200


volta

je (V

)

tiempo (s)

0 0.2 0.4 0.6 0.8 11.5

2

tiempo (s)

Pote

ncia

(kW


GeneradaReferencia

0.98 0.985 0.99 0.995 1-20

0


tiempo (s)

Cor

rient

e (A

)

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

2


tiempo (s)

porc

enta

je (%

)

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

0.5


tiempo (s)


- 66 -

seguimiento de las referencias de corriente eléctrica, se puede observar un buen seguimiento con los valores dentro de los márgenes establecidos.

El error de seguimiento de potencia se muestra en la gráfica superior de la Figura 4.6c, donde se observa un transitorio en el momento de la ocurrencia de la falla (푡 = 0.5푠), con un ligero aumento en el porcentaje del error. Es importante notar que, a pesar de la ocurrencia de la falla, se continúa satisfaciendo el criterio presentado por la ecuación (3.48) respecto del error de seguimiento de referencia de corriente trifásica

d) Fallas De Tipo Multiplicativas En Actuador

Se inducen fallas multiplicativas en la fase 푏 del voltaje de control del 20%, 40%, 90% y 95% de su valor libre de falla, las fallas se presentan en el tiempo 푡 = 0.5푠.

Se induce una falla de tipo multiplicativa del 20% en el actuador de la fase 푏 (푓 = 0.8)

(a) (b)

(c)

Figura 4.7: Resultado con Fallas Multiplicativa del 20% en Entrada de Control. El efecto de la falla de tipo multiplicativa en la fase 푏 del voltaje de rotor se muestra con mayor detalle en la Figura 4.7a. En la Figura 4.7b se presenta el seguimiento de la referencia de potencia,

0.48 0.49 0.5 0.51 0.52-2000200


volta

je (V

)

0.48 0.49 0.5 0.51 0.52-200

0200


volta

je (V

)

0.48 0.49 0.5 0.51 0.52-2000200


volta

je (V

)

tiempo (s)

0 0.2 0.4 0.6 0.8 11.5

2

tiempo (s)

Pote

ncia

(kW


GeneradaReferencia

0.98 0.985 0.99 0.995 1-20

0


tiempo (s)

Cor

rient

e (A

)

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

2


tiempo (s)

porc

enta

je (%

)

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

0.5


tiempo (s)


- 67 -

en el cual existe un ligero retraso. Sin embargo, podemos notar en la misma figura, un apropiado seguimiento de corriente trifásica. En la Figura 4.7c se nota que el error de seguimiento de potencia se torna oscilatorio después de la aparición de la falla, muy diferente al efecto mostrado en la Figura 4.5d para fallas aditivas, sin embargo, se muestra en la gráfica inferior que aún se cumple el criterio del 5% en el seguimiento de la corriente.

Se induce una falla de tipo multiplicativa del 40% en el actuador de la fase 푏,esto es 푓 = 0.6

(a) (b)

(c)

Figura 4.8: Resultado con Fallas del 40% en Entrada de Control.

La entrada de control se muestra en la Figura 4.8a, se puede observar una disminución en el voltaje de la fase b, esto debido a la falla. El efecto de la falla se observa con mayor claridad en la Figura 4.8b, donde el seguimiento muestra oscilaciones alrededor de la potencia de referencia después de la ocurrencia de la falla en el tiempo t=0.5s. Se muestra en la Figura 4.8c que el porcentaje de error de seguimiento para este caso tiene una mayor oscilación que la presentada en la Figura 4.7c. Sin embargo, en ninguno de los casos se supera el 5% de error de seguimiento en corriente.Bajo las simulaciones realizadas es posible suponer que mientras más grande sea la falla en el voltaje de control, el seguimiento de potencia

0.48 0.49 0.5 0.51 0.52-200

0200


volta

je (V

)

0.48 0.49 0.5 0.51 0.52-200

0200


volta

je (V

)

0.48 0.49 0.5 0.51 0.52-2000200


volta

je (V

)

tiempo (s)

0 0.2 0.4 0.6 0.8 11.5

2

tiempo (s)

Pote

ncia

(kW


GeneradaReferencia

0.98 0.985 0.99 0.995 1-20

0


tiempo (s)C

orrie

nte

(A)

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

2


tiempo (s)

porc

enta

je (%

)

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

0.5


tiempo (s)


- 68 -

se realiza con menor precisión. Nótese que este sistema no cuenta con sistema de acomodo de falla, sin embargo, el controlador intenta compensar la falla en la fase b a través de los voltajes en las otras dos fases.

Se induce una falla de tipo multiplicativa del 90% en el actuador de la fase 푏,esto es 푓 = 0.1

(a) (b)

(c)


El voltaje de control antes y después de la falla se muestra en la Figura 4.9a, nuevamente se observa que la falla ocurre en la fase b mientras que las fases a y c aumentan su magnitud para compensar la falla. En la Figura 4.9b se tienen los resultados del seguimiento de potencia, en dicha Figura se observan nuevamente oscilaciones de la potencia generada alrededor de la trayectoria de referencia, esto debido a la falla. En la misma figura se observa el seguimiento de las tres corrientes eléctricas en los devanados de estator, donde éstas se salen de los límites establecidos, únicamente se muestra una escala de tiempo cerca del final de la simulación, omitiendo los resultados de seguimiento antes de la ocurrencia de la falla. La Figura 4.9c muestra los resultados en el error de seguimiento de potencia, nótese que aún cuando se tiene una falla grave (se pierde el 90% de la magnitud de una fase), el error de seguimiento de la potencia

0.48 0.49 0.5 0.51 0.52-200

0200


volta

je (V

)

0.48 0.49 0.5 0.51 0.52-200

0200


volta

je (V

)

0.48 0.49 0.5 0.51 0.52-2000200


volta

je (V

)

tiempo (s)

0 0.2 0.4 0.6 0.8 11.5

2

tiempo (s)

Pote

ncia

(kW


GeneradaReferencia

0.98 0.985 0.99 0.995 1-20

0


tiempo (s)C

orrie

nte

(A)

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-5

0


tiempo (s)

porc

enta

je (%

)

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

0.5


tiempo (s)


- 69 -

deseada no sobrepasa el 5%. A diferencia de los resultados para el seguimiento de la referencia de corriente trifásica, en la que se observa que ya no se cumple el criterio del 5% de error.

Se induce una falla de tipo multiplicativa del 95% en el actuador de la fase 푏, esto es 푓 = 0.05

(a) (b)

(c)


En la gráfica de la Figura 4.10a se muestra la entrada de control para el DFIG antes y después de la ocurrencia de la falla, se observa que la magnitud de la fase b disminuye en el momento de la ocurrencia de la falla (t=0.5s). En la gráfica superior de la Figura 4.10b se muestra el seguimiento de señal de referencia de potencia activa, se observan oscilaciones sostenidas en la potencia generada, las cuales son debidas a la falla. En la gráfica inferior de esta misma figura se observa el seguimiento de las referencias de corriente trifásica, obsérvese la forma en la que la corriente eléctrica generada sobrepasa los límites de error.

Finalmente, en la gráfica superior de la Figura 4.10c podemos notar que se sobrepasa el límite del 5% de error en el seguimiento de la potencia. De la misma manera, el límite del error de

0.48 0.49 0.5 0.51 0.52-2000200


volta

je (V

)

0.48 0.49 0.5 0.51 0.52-200

0200


volta

je (V

)

0.48 0.49 0.5 0.51 0.52-2000200


volta

je (V

)

tiempo (s)

0 0.2 0.4 0.6 0.8 11.5

2

tiempo (s)

Pote

ncia

(kW


GeneradaReferencia

0.98 0.985 0.99 0.995 1-20

0


tiempo (s)

Cor

rient

e (A

)

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-5

0


tiempo (s)

porc

enta

je (%

)

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

0.5


tiempo (s)


- 70 -

seguimiento de la corriente eléctrica sobrepasa el 5% después de la ocurrencia de la falla. Como el objetivo del sistema es controlar la potencia eléctrica y es en este caso cuando su error sobrepasa el 5%, se etiqueta esta falla como falla crítica.

4.5.1. Resultados de Satisfacción de Restricciones Para el Controlador por Platitud

En la siguiente tabla se muestra un resumen correspondiente al comportamiento del sistema de control para el caso de tener incertidumbres cada vez mayores en la estimación de la magnitud de la falla

Controlador Escenario Corriente Potencia

Platitud diferencial robusto*

Libre de falla Cumple 5% Cumple 5% Falla en resistencia del 20% No Cumple 5% No Cumple 5% Falla aditiva en actuador de 80V Cumple 5% Cumple 5% Falla multiplicativa en actuador del 20% Cumple 5% Cumple 5% Falla multiplicativa en actuador del 40% Cumple 5% Cumple 5% Falla multiplicativa en actuador del 90% No Cumple 5% Cumple 5%

Falla multiplicativa en actuador del 95% No Cumple 5% No Cumple 5% Tabla 4.1: Satisfacción de Restricción para el Error de Seguimiento de Corriente.

4.6. Rediseño Para Acomodo De Fallas

Se utiliza el esquema de control presentado en la Figura 4.2, a este esquema se le añade un sistema de acomodo de fallas. Este nuevo sistema otorga información de la magnitud de la falla, dicha magnitud sólo es conocida en un intervalo numérico. Es decir, ante una falla de tipo multiplicativa, inducida mediante el factor (푓 ) en cualquier fase del voltaje de rotor (entrada de control), se tiene que este factor es un número real (푓 ∈ ℝ) y la estimación de la misma es un intervalo numérico (푓 ∈ 퐼(ℝ)).

*abcSi

abcSu

Lm

aRu

cRu

bRu

a b cu u ur r r

f f fˆ ˆ ˆ

abcIm

*SaP

abc

Im

aurf

burf

curf

abcSiabcRi

abcIm

abcIm

S Rf ( i ,i )

*m b

RsfaRsf c

Rsf

Figura 4.11: Esquema de Control con Acomodo de Fallas.

El bloque que se agrega en este diseño es el llamado “Sistema de Acomodo de Fallas”, este bloque se encarga de otorgar la información acerca de la magnitud de la falla, dicha información es


- 71 -

proporcionada en forma de un intervalo al controlador para que éste realice las acciones correspondientes y compense la falla. Las fallas que se inducen en el sistema son de tipo multiplicativas o aditivas en el actuador y fallas de tipo multiplicativas en las resistencias eléctricas de los devanados de estator.

Existen diferentes esquemas que permiten la estimación de la falla, ver por ejemplo [Silva, 2008], que pueden ser adaptados para realizar cálculos intervalares a partir de incertidumbres en los parámetros y en la estimación de fallas.

4.7. Pruebas de Desempeño del Controlador con Acomodo de Fallas

Como vemos en las simulaciones anteriores, el controlador por platitud diferencial es robusto ante cierta clase de fallas en actuador. Es decir, fallas simples de magnitud relativamente pequeña.

Para el caso de fallas graves, en donde se sobrepasan los límites del error de seguimiento (véase Figura 4.10c), se hace necesaria la utilización de un sistema activo de control tolerante a fallas. Este sistema debe ser capaz de proveer información al controlador acerca de la magnitud de la falla.

En las pruebas realizadas al controlador por platitud diferencial, se observó que ante una falla del 95% en la fase b, el sistema dejó de presentar resultados aceptables, así que se seleccionó esta magnitud de falla para probar la respuesta del sistema controlado con platitud diferencial el cual tiene anexado el esquema de acomodo de fallas.

Escenario de Prueba

Intervalo de 풇풖풓

풃 (풙ퟏퟎ ퟐ)

Amplitud 3 de 풇풖풓풃

1.-Estimación precisa 푓 = [5 5] 0 2.- Porcentaje4 de estimación del 2% 푓 = [4.95 5.05] 1푥10 3 3.- Porcentaje de estimación del 4% 푓 = [4.9 5.1] 2푥10 3 4.- Porcentaje de estimación del 6% 푓 = [4.85 5.15] 3푥10 3 5.- Porcentaje de estimación del 8% 푓 = [4.8 5.2] 4푥10 3 6.- Porcentaje de estimación del 20% 푓 = [4.5 5.5] 10푥10 3 7.- Porcentaje de estimación del 40% 푓 = [4 6] 20푥10 3

Tabla 4.2: Intervalos de Estimación de la Magnitud de la Falla.

No se encuentra dentro de los objetivos del presente trabajo de tesis desarrollar el sistema de detección y estimación de fallas, sino que se induce una falla y la misma se supone conocida con

3 Es la diferencia entre el valor mínimo y el valor máximo de un intervalo 4 Con respecto a la magnitud real de la falla 푓


- 72 -

cierta incertidumbre, dicha incertidumbre se representa mediante un intervalo numérico.

En la Tabla 4.2 se resumen las pruebas realizadas al sistema, ante una falla especifica del 95% en el actuador de la fase b, el sistema de diagnóstico entrega información acerca de la estimación de la misma en distintos intervalos numéricos, es decir, intervalos con distintas amplitudes

El objetivo de la presente prueba es observar el efecto que tiene la incertidumbre en la estimación de la falla en el comportamiento del sistema controlado. Es decir, ante intervalos cada vez mayores, cuando el sistema se torna inestable.

Gráficas de Resultados

Escenario 1) La magnitud de la falla es 푓 = 0.05 con una estimación exacta

(a) (b)

(c)

Figura 4.12: Gráficas de Resultados 푓 = [0.05 0.05].

En las gráficas anteriores se observan los resultados del controlador cuando la falla se estima perfectamente. En la Figura 4.12a se observa un buen seguimiento de potencia con ligero retraso en el seguimiento de corriente trifásica también se observan buenos resultados.

0 0.05 0.1 0.15 0.21.5

2

tiempo (s)

Pote

ncia

(kW


GeneradaReferencia

0.16 0.17 0.18 0.19 0.2-20

0


tiempo (s)

Cor

rient

e (A

)

0 0.05 0.1 0.15 0.2-5

0


tiempo (s)

porc

enta

je (%

)

0 0.05 0.1 0.15 0.20

0.5


tiempo (s)

0 0.05 0.1 0.15 0.20

100200300


tiempo (s)Velo

cida

d (rad

/s)

GeneradaReferencia

0 0.05 0.1 0.15 0.2-0.1

0


tiempo (s)

Porc

enta

je (%

)


- 73 -

En la Figura 4.12b se observa que el error de seguimiento de potencia eléctrica es inferior al 1%, así mismo también se muestra que no se sobrepasan los límites de error establecidos para las corrientes eléctricas.

El control de velocidad se realiza correctamente, tal como se muestra en la Figura 4.12c, con un error menor a 0.1%. Obsérvese que en esta simulación se tienen resultados similares a aquella sin fallas.

Escenario 2) La magnitud de falla es 푓 = 0.05 y el porcentaje de la amplitud es del 2%

(a) (b)

(c)


En esta simulación computacional, el intervalo de estimación de falla se comienza a hacer más amplio, es decir, existe un mayor error en la estimación. Vemos en la Figura 4.13a la gráfica de las señales de control, obsérvese que no es posible notar la falla en la entrada de control debido al efecto de la estimación y acomodo de la misma. Sin embargo, en la Figura 4.13b se observa que el seguimiento de potencia comienza a tener pequeñas oscilaciones apenas perceptibles en dicha gráfica.

0.08 0.09 0.1 0.11 0.12-200

-100

0

100

200

300

400

500Entrada de control uR

abc

tiempo (s)

volta

je (V

)

uRa

uRb

uRc 0 0.05 0.1 0.15 0.2

1.5

2

tiempo (s)

Pote

ncia

(kW


GeneradaReferencia

0.16 0.17 0.18 0.19 0.2-20

0


tiempo (s)

Cor

rient

e (A

)

0 0.05 0.1 0.15 0.2-5

0


tiempo (s)

porc

enta

je (%

)

0 0.05 0.1 0.15 0.20

0.5


tiempo (s)


- 74 -

Es importante hacer notar que el error de seguimiento de potencia en la Figura 4.13c comienza a incrementarse con respecto al presentado en la Figura 4.12b. la gráfica inferior de la Figura 4.13c.

Escenario 3) La magnitud de falla es 푓 = 0.05 y el porcentaje de la amplitud es del 4%

(a) (b)

(c)


La Figura 4.14a muestra el voltaje de rotor correspondiente a la señal de entrada de control, podemos notar que se comienzan a distorsionar la forma de onda debido a la incertidumbre que se presenta en la estimación de la falla. La gráfica superior de la Figura 4.14b muestra el seguimiento de la referencia de potencia eléctrica activa mientras que en la gráfica inferior de la misma figura se muestra el seguimiento de las referencias de corriente eléctrica de cada una de las tres fases del estator.

En la gráfica superior de la Figura 4.14c se muestran el porcentaje de error de seguimiento de potencia eléctrica, notamos que el error se incrementa en el momento de la ocurrencia de la falla (푡 = 0.1푠). Obsérvese en la grafica inferior de la misma figura, que se continúa satisfaciendo el criterio del error de seguimiento menor al 5% después de la ocurrencia de la falla.

0.08 0.09 0.1 0.11 0.12-200

-100

0

100

200

300

400


abc

tiempo (s)

volta

je (V

)

uR

a

uRb

uRc

0 0.05 0.1 0.15 0.21.5

2

tiempo (s)

Pote

ncia

(kW


GeneradaReferencia

0.16 0.17 0.18 0.19 0.2-20

0


tiempo (s)

Cor

rient

e (A

)

0 0.05 0.1 0.15 0.2-5

0


tiempo (s)

porc

enta

je (%

)

0 0.05 0.1 0.15 0.20

0.5


tiempo (s)


- 75 -

Escenario 4) La magnitud de la falla es 푓 = 0.05 y la amplitud del intervalo es del 6%




0.08 0.09 0.1 0.11 0.12-200

-100

0

100

200

300

400


abc

tiempo (s)

volta

je (V

)

uRa

uRb

uRc

0 0.05 0.1 0.15 0.21.5

2

tiempo (s)

Pote

ncia (k

W) Seguimiento de Potencia Activa

GeneradaReferencia

0.16 0.17 0.18 0.19 0.2-20

0


tiempo (s)

Cor

rient

e (A

)

0 0.05 0.1 0.15 0.2-5

0


tiempo (s)

porc

enta

je (%

)

0 0.05 0.1 0.15 0.20

0.5


tiempo (s)

0.08 0.09 0.1 0.11 0.12-200

-100

0

100

200

300

400


abc

tiempo (s)

volta

je (V

)

uRa

uRb

uRc

0 0.05 0.1 0.15 0.21.5

2

tiempo (s)

Pote

ncia (k

W) Seguimiento de Potencia Activa

GeneradaReferencia

0.16 0.17 0.18 0.19 0.2-20

0


tiempo (s)

Cor

rient

e (A

)

0 0.05 0.1 0.15 0.2-5

0


tiempo (s)

porc

enta

je (%

)

0 0.05 0.1 0.15 0.20

0.5


tiempo (s)


- 76 -



Escenario 7) La magnitud de la falla es 푓 = 0.05 y la amplitud del intervalo es 40%

Figura 4.18: Gráficas De Resultados 푓 = [0.04 0.06].

0.08 0.09 0.1 0.11 0.12-200

-100

0

100

200

300

400


abc

tiempo (s)

volta

je (V

)

uRa

uRb

uRc

0 0.05 0.1 0.15 0.21.5

2

tiempo (s)

Pote

ncia

(kW


GeneradaReferencia

0.16 0.17 0.18 0.19 0.2-20

0


tiempo (s)

Cor

rient

e (A

)

0 0.05 0.1 0.15 0.2-5

0


tiempo (s)

porc

enta

je (%

)

0 0.05 0.1 0.15 0.20

0.5


tiempo (s)

0.08 0.09 0.1 0.11 0.12

-100

0

100

200

300

400

500

Entrada de control uRabc

tiempo (s)

volta

je (V

)

uRa

uRb

uRc

0 0.05 0.1 0.15 0.2

2

3

tiempo (s)

Pote

ncia

(kW


GeneradaReferencia

0.16 0.17 0.18 0.19 0.2-50

0


tiempo (s)

Cor

rient

e (A

)

0 0.05 0.1 0.15 0.2

-200

20


tiempo (s)

porc

enta

je (%

)

0 0.05 0.1 0.15 0.20

0.5


tiempo (s)


- 77 -

Se muestra de la Figura 4.12 a la Figura 4.18 el efecto que tiene, en el seguimiento de referencia de potencia y de corriente, el incremento de la amplitud del intervalo de estimación de falla 푓 . Se observa que cuando la amplitud del intervalo es de aproximadamente el 6% de la magnitud real de la falla, es decir 푓 = [0.97 푓 1.03 푓 ], se tienen errores de seguimiento de potencia menor del 5%, de la misma manera para el seguimiento de corriente. Cuando la amplitud de 푓 es mayor al 20% de la magnitud de la falla 푓 , el sistema se inestabiliza (Figura 4.18a).

Nótese la evolución de las señales de control a través de las graficas “a” en las Figura 4.14-Figura 4.18, conforme se amplía el intervalo de estimación, las señales de control se vuelve más errante hasta llegar a la inestabilidad del sistema. Lo mismo se observa en el seguimiento de potencia y en el seguimiento de corriente. Entonces, debido a la estructura del controlador, es importante contar con un sistema de identificación de falla que sea capaz de dar información precisa de la misma.

4.7.1. Resumen de Resultados para el Controlador por Platitud con Acomodo de Falla

En la Tabla 4.3 se presenta el resumen de los resultados de simulación computacional en cuanto a la satisfacción de la restricción de error de seguimiento de las referencias de corriente y potencia eléctrica. Se puede observar que el intervalo de estimación de falla se hace cada vez más amplio.

Controlador Escenario de Simulación Corriente Potencia

Platitud diferencial con acomodo*

falla en actuador del 95%

Escenario 1, estimación precisa Cumple 5% Cumple 5%

Escenario 2, amplitud del 2% Cumple 5% Cumple 5% Escenario 3, amplitud del 4% Cumple 5% Cumple 5% Escenario 4, amplitud del 6% Cumple 5% Cumple 5% Escenario 5, amplitud del 8% No cumple 5% No cumple 5% Escenario 6, amplitud del 20% No cumple 5% No cumple 5% Escenario 7, amplitud del 40% No cumple 5% No cumple 5%

Tabla 4.3: Resumen de Satisfacción de Restricción de Error de Seguimiento.

Conforme se amplía el intervalo de estimación, se dejan de satisfacer los criterios de error de seguimiento de corriente y de potencia menor al 5%. Con lo anterior podemos ver la importancia de contar con un buen sistema de detección e identificación de fallas.

4.8. Comparación de las Señales de Control

Es de interés conocer las señales de control en cada uno de los controladores diseñados (GPI y Platitud Diferencial), en la siguiente gráfica se presenta una comparación visual de dichas señales en los diferentes escenarios que se probaron anteriormente, es decir, el control GPI bajo condiciones nominales (libre de falla) y bajo condiciones de falla, de la misma manera para el


- 78 -

control por Platitud Diferencial en comportamiento nominal y bajo condiciones de falla en resistencia eléctrica y falla en Entrada de control, así como falla en entrada de control con acomodo. Esto con la finalidad de observar y comparar cualitativamente la señales de control.

(A): Comparación de Señales de Control

(B): Señales de Control para PI Generalizado (C) Señales de Control para Platitud Diferencial Figura 4.19: Señales de Control de los Esquemas GPI y Platitud Diferencial.

En las tres gráficas de la izquierda de la Figura 4.19a se presentan las señales que aplica el controlador GPI mientras que las graficas de la derecha de la misma figura muestras las señales de control aplicadas por el controlador basado en Platitud Diferencial. Se muestra en la Figura 4.19b y la Figura 4.19c una ampliación de estas señales para la fase 푎. Obsérvese que para el controlador basado en GPI, la señal de control no es afectada por las fallas en el actuador. El controlador basado en Platitud Diferencial es mucho más sensible a fallas en actuador, lo que se muestra en la gráfica de la Figura 4.19c. Nótese que ambas señales de control tienen magnitudes de orden similar, pero la frecuencia de la señal del controlador por Platitud es mayor que la de la señal del controlador por GPI.

5.6 5.8 6-200

0200

Control GPIFase A

Volta

je (V

) 5.8 5.9 6

-2000

200

Control PDFase A

5.6 5.8 6-200

0200

Fase B

Volta

je (V

)

5.8 5.9 6-200

0200

Fase B

5.6 5.8 6-200

0200

Fase B

Volta

je (V

)

Tiempo (s) 5.8 5.9 6

-2000

200Fase B

Tiempo (s)

5.8 5.85 5.9 5.95 6-200

-150

-100

-50

0

50

100

150

200

250Control por PI Generalizado Fase A

Vol

taje

(V)

Tiempo (s)

frs1=0.9

fur1=0.6

sin falla

5.93 5.94 5.95 5.96 5.97 5.98 5.99 6

-400

-300

-200

-100

0

100

200

Control por Platitud Diferencial Fase AVol

taje

(V)

Tiempo (s)

frs1=0.9

fur1=0.6

sin falla


- 79 -

4.9. Conjunción de Esquemas de Platitud Diferencial y GPI

En el Capítulo 3 se muestra el diseño del controlador basado en reconstrucción integral de estados (GPI), el cual demostró ser robusto ante variaciones importantes en los parámetros y en las perturbaciones. De manera similar, en el presente capítulo se muestra el diseño del controlador basado en Platitud Diferencial, el cual presenta una mayor sensibilidad a cambios en los parámetros del sistema. Ambos esquemas fueron aplicados al generador de inducción doblemente alimentado (DFIG). Es importante recordar que en el esquema de Platitud Diferencial se utiliza un controlador auxiliar de tipo Proporcional-Integral Derivativo (PID), tal como se muestra en la ecuación (4.50). Ahora se propone un control auxiliar de tipo Proporcional-Integral Generalizado, el cual es adicionado a la parametrización de la entrada de control con la finalidad de aumentar la robustez del sistema controlado. El esquema de control se presenta en la siguiente figura

*abcSi

abcSu

Lm

aRu

cRu

bRuabc

Im*SaP

aurf

burf

curf

abcSiabcRi

abcIm

abcIm

S Rf ( i , i )

*m b

RsfaRsf c

Rsf

Imabc

Figura 4.20: Esquema de Control por Platitud Diferencial con GPI.

Podemos notar que, a diferencia de los mostrado en la Figura 4.2, el control por platitud diferencial no está retroalimentado, sino que se obtiene directamente de la señal de referencia y sus derivadas temporales, el control GPI tiene información de la misma señal de referencia, pero además se le da la retroalimentación del sistema, generando el error de seguimiento y la ley de control de compensación para garantizar el seguimiento de la referencia.

4.9.1. Diseño del Controlador Robusto

En el presente esquema de control se requieren de dos controladores. El primer controlador es un control de tipo prealimentado que está basado en la parametrización por platitud diferencial, el cual linealiza el sistema alrededor de la trayectoria de referencia [Antritter, 2008]. El segundo controladora es un control retroalimentado de tipo GPI con el que se pretende hacer frente a perturbaciones externas del sistema.

Diseño del Controlador Prealimentado

Utilizamos nuevamente el modelo matemático del generador de inducción en su representación compleja, el cual se presenta en la ecuación (2.39). Recordando la parametrización de la entrada


- 80 -

de control en función del enlace de flujo en el estator, la cual es presentada en (4.48), se puede expresar la ley de control nominal como:

* * ** * ** * *1 2 3 4 5 6 m 5 6 mS S S S Sm S SR Su a a a a a a uau au (4.67)

Obsérvese que la ley de control de la ecuación anterior requiere únicamente información acerca del enlace de flujo deseado en el estator así como de información acerca de la velocidad mecánica deseada en el rotor. Nótese que esta ley no está retroalimentada y se representa en la Figura 4.20 mediante el bloque llamado “Control p.d. Flujo”. La diferencia fundamental con la ley de control presentada en la ecuación (4.54) es que en esta se utiliza la segunda derivada temporal del enlace de flujo en el estator (훹̈∗).

Diseño del Control Retroalimentado

El control retroalimentado se representa en el esquema de la Figura 4.20 mediante el bloque llamado “GPI” y corresponde al controlador diseñado y presentado en la sección 3.2.2 de este documento de tesis. A partir del enlace de flujo deseado (훹∗) y del enlace de flujo real del sistema (훹 ), se obtiene el error de seguimiento de flujo. Debido a la transformación de variables que se ha realizado, se puede calcular el enlace de flujo deseado en el estator a partir únicamente de la corriente eléctrica deseada en el estator.

Una vez obtenido el error de seguimiento de flujos, y a través de una función de transferencia se calcula una ley de control retroalimentada que es capaz de compensar las perturbaciones externas y la dinámica inapropiada del sistema. Dicha ley se adiciona a la ley de control prealimentada obtenida a través de la parametrización del sistema (platitud diferencial) obteniendo así la ley general de control que minimiza el error de seguimiento de enlace de flujo. Finalmente, la ley general de control obtenida es transformada nuevamente al marco de referencia en coordenadas naturales del sistema (푎푏푐) y es utilizada como voltaje de entrada en los devanados trifásicos del rotor.

Simulación de Fallas en el Sistema

La simulación computacional de la ocurrencia de fallas se realiza de tal manera que éstas afectan al voltaje trifásico de rotor (entrada de control). Lo anterior se justifica ya que, en un sistema real, los convertidores electrónicos de potencia presentan la mayor tasa de fallas.

Por otra parte es posible inducir fallas en los parámetros del sistema, en especial en las resistencias eléctricas de los devanados del estator. Las fallas son tales que disminuyen el valor numérico del parámetro en cuestión.


- 81 -

4.9.2. Pruebas de Desempeño al Controlador Diseñado

Se realizan pruebas de seguimiento de potencia generada para evaluar el comportamiento del controlador diseñado en el caso libre de falla y con distintos escenarios de fallas, tales como fallas en la resistencia eléctrica de los devanados del estator o en el voltaje del rotor inducidas en el tiempo 푡 = 0.5푠. Los distintos escenarios de pruebas en simulación son:

1) Comportamiento nominal del sistema (Libre de fallas)

2) Fallas Multiplicativas en Resistencia Eléctrica de estator Falla del 20% en la resistencia del devanado de la fase b del estator (푓 = 0.8) Falla del 80% en la resistencia del devanado de la fase b del estator (푓 = 0.2)

3) Fallas Multiplicativas en la Entrada de Control Falla del 95% en la fase 푏 de la entrada de control (푓 = 0.05) Falla del 99% en la fase 푏 de la entrada de control (푓 = 0.01)

Escenario 1) Comportamiento Nominal (Libre De Fallas)

(A) (B)

(C)

Figura 4.21: Gráficas de Resultados del Escenario Libre de Falla.

0.95 0.96 0.97 0.98 0.99 1

-200

0

200

400

600


tiempo (s)

volta

je (V

)

uR

a

uRb

uRc

0 0.2 0.4 0.6 0.8 11600

1800

2000

tiempo (s)

Pote

ncia

(W) Seguimiento de Potencia Activa

ReferenciaGenerada

0.95 0.96 0.97 0.98 0.99 1-20

0


tiempo (s)

Cor

rient

e (A

)

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-0.01

0

0.01Error de Seguimiento de Potencia

tiempo (s)

porc

enta

je (%

)

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

0.5


tiempo (s)


- 82 -

La prueba de comportamiento del sistema en el comportamiento nominal nos presenta resultados aceptables, como podemos observar en la Figura 4.21a, la entrada de control que se aplica al sistema es una señal de tipo suave y balanceada.

En la Figura 4.21b se muestra un buen seguimiento de potencia activa de referencia. Lo mismo se presenta para el seguimiento de la corriente eléctrica trifásica. así también, en la misma figura, se presenta un buen seguimiento de corriente eléctrica trifásica.

Figura 4.21c se observa con mayor claridad que el error de seguimiento es muy pequeño comparado con el presentado en la Figura 4.3b, en este caso se tiene un error de seguimiento de potencia que no supera el 0.01%, esto es, un seguimiento adecuado de la señal de referencia.

Así también, se muestra que la corriente eléctrica no sobrepasa los límites establecidos del 5% en ningún momento, ni antes ni después de la falla.

Escenario 2) Fallas Multiplicativas en Resistencia De Estator

Falla del 20% en la resistencia eléctrica del devanado de la fase b del estator (푓 = 0.8).

(A) (B)

(C)

Figura 4.22: Gráficas de Resultados con Falla del 20% en Resistencia.

Se muestra en la Figura 4.22a los voltajes de las entradas de control de las tres fases, de la misma

0.95 0.96 0.97 0.98 0.99 1

-200

0

200

400

600


tiempo (s)

volta

je (V

)

uRa

uRb

uRc 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

1600

1800

2000

tiempo (s)

Pote

ncia


ReferenciaGenerada

0.95 0.96 0.97 0.98 0.99 1-20

0


tiempo (s)

Cor

rient

e (A

)

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-0.02

0


tiempo (s)

porc

enta

je (%

)

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

0.5


tiempo (s)


- 83 -

Manera que en al caso anterior, son señales de voltaje trifásicas balanceadas. Nótese en la Figura 4.22b que se tiene un buen seguimiento de potencia eléctrica deseada, esto a pesar de la falla, podemos comparar estos resultados con los presentados en la Figura 4.4b en donde el error de seguimiento de potencia es mucho mayor, lo que se observa con mayor claridad al comparar las grafica Figura 4.4b con la gráfica de la Figura 4.22c. Sin embargo, se muestra también que no se cumple el criterio de satisfacción de error en el seguimiento de corriente.

De las comparaciones realizadas, se puede observar que, al menos para el caso de fallas paramétricas, el control GPI ayuda al control por platitud diferencial para darle una mayor robustez.

Falla del 80% en la resistencia eléctrica del devanado de la fase b del estator (푓 = 0.2)

Ahora presentamos los resultados en simulación del comportamiento del sistema y del controlador cuando existe una falla en la resistencia eléctrica tal que ésta disminuye su valor en un 80%.

(A) (B)

(C)

Figura 4.23: Gráficas de Resultados con Falla del 80% en Resistencia.

La Figura 4.23a muestra la señal de control, se observa una señal suave, sin sobre-picos ni desempeño desfavorable. Nuevamente en la Figura 4.23b se observa un buen seguimiento de potencia eléctrica, sin embargo, el seguimiento de corriente no se nota apropiado.

0.95 0.96 0.97 0.98 0.99 1

-200

0

200

400

600


tiempo (s)

volta

je (V

)

uR

a

uRb

uRc

0 0.2 0.4 0.6 0.8 11600

1800

2000

tiempo (s)

Pote

ncia


ReferenciaGenerada

0.95 0.96 0.97 0.98 0.99 1-20

0


tiempo (s)

Cor

rient

e (A

)

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-0.05

0


tiempo (s)

porc

enta

je (%

)

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

0.5


tiempo (s)


- 84 -

La Figura 4.23c muestra el error de seguimiento de potencia eléctrica; el cual se incrementa comparado con el presentado en la Figura 4.22c, la gráfica inferior de la Figura 4.23c muestra los instantes cuando se sobrepasan los límites fijados para la corriente eléctrica en el estator.

Las Figuras Figura 4.22c y Figura 4.23c muestran que después de la ocurrencia de la falla, el seguimiento de corriente sobrepasa los límites establecidos del 5%. Debemos notar en la Figura 4.23c que el error de seguimiento de potencia presenta un pequeño transitorio en 푡 = 1푠 para después regresar a su valor previo.

Escenario 3) Fallas Multiplicativas En La Entrada De Control

Falla del 95% en la fase 푏 del voltaje de rotor de la entrada de control (푓 = 0.05)

(A) (B)

(C)

Figura 4.24: Gráficas de Resultados con Falla del 95% en Entrada de Control.

En la Figura 4.24a se observa las señales de control del sistema (voltaje de rotor), obsérvese que la fase 푏 sufre una disminución considerable en su magnitud debido a la falla, mientras que las fases a y c aumentan su magnitud para compensar el efecto de la falla.

0.48 0.49 0.5 0.51 0.52-500

0

500


abc

tiempo (s)

volta

je (V

)

uRa

uRb

uRc 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

1600

1800

2000

tiempo (s)

Pote

ncia


ReferenciaGenerada

0.95 0.96 0.97 0.98 0.99 1-20

0


tiempo (s)

Cor

rient

e (A

)

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-0.05

0


tiempo (s)

porc

enta

je (%

)

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

0.5


tiempo (s)


- 85 -

La Figura 4.24b muestra el seguimiento de potencia eléctrica y de corriente trifásica, en ambos casos se observan comportamientos aceptables, esto a pesar de la falla grave que existe en una de las fases del voltaje del rotor.

Finalmente, en la Figura 4.24c se observa el error de seguimiento de potencia, el cual no sobrepasa el 0.5%, muy inferior al presentado en la Figura 4.10c donde se sobrepasan valores del 5%.

Nótese también, que el control GPI evita que se sobrepasen los límites establecidos para la corriente eléctrica en el estator, lo cual se observa en la gráfica inferior de la Figura 4.24c.

Falla del 99% en la fase b del voltaje de rotor de la entrada de control (푓 = 0.01)

(A) (B)

(C)

Figura 4.25: Gráficas de Resultados con Falla del 99% en Entrada de Control.

En esta simulación se presentan los resultados del sistema cuando ocurre una falla crítica, esto es, uno de los voltajes de control disminuye su valor al 1% de su valor libre de falla Figura 4.25a.

En la Figura 4.25b se muestra un buen seguimiento de la potencia eléctrica de referencia, así también se observa un buen seguimiento de corriente trifásica. Se pueden comparar estos

0.48 0.49 0.5 0.51 0.52-500

0

500


abc

tiempo (s)

volta

je (V

)

uRa

uRb

uRc 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

1600

1800

2000

tiempo (s)Po

tenc

ia (W


ReferenciaGenerada

0.95 0.96 0.97 0.98 0.99 1-20

0


tiempo (s)

Cor

rient

e (A

)

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-0.05

0


tiempo (s)

porc

enta

je (%

)

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

0.5


tiempo (s)


- 86 -

resultados con aquellos presentados en la Figura 4.10b y notamos que el control GPI ayuda al control por platitud diferencial dándole una mayor tolerancia a fallas en la entrada de control, esto debido a que el GPI se adiciona directamente a la ley nominal y trata a la falla como si fuera una perturbación al sistema.

De la misma manera comparamos la Figura 4.10c con la Figura 4.25c y observamos que en esta última el error de seguimiento de potencia no supera el 1% y el error de seguimiento de corriente nunca sobrepasa los límites establecidos del 5%.Sin embargo, el control compuesto por GPI y platitud diferencial continua siendo sensible a fallas de tipo multiplicativas en las resistencias eléctricas, tal como se muestra en la Figura 4.22c y la Figura 4.23c. A continuación se presenta un resumen de las pruebas que se hicieron al controlador por conjunción.

Escenario Condiciones

Satisfacción de Criterio de Corriente

Satisfacción de Criterio de

Potencia 1) Nominal Libre de falla Sí Sí 2) Falla Multiplicativa en resistencia eléctrica

Falla del 20% en resistencia eléctrica de la fase b

No Sí

Falla del 80% en resistencia eléctrica de la fase b

No Sí

3) Falla Multiplicativa en entrada de control

Falla del 95% en el voltaje de la fase b del rotor

Sí Sí

Falla del 99% en el voltaje de la fase b del rotor

Sí Sí

Tabla 4.4: Resumen de Pruebas de Desempeño del Controlador por Conjuncion.

- 87 -

Capítulo 5

CONCLUSIONES Y TRABAJOS FUTUROS

5.1. Conclusiones Generales

Los sistemas de generación de energía renovable y sustentable están teniendo un importante crecimiento en las últimas décadas, particularmente, la energía eólica es la que mas crecimiento ha tenido debido a su bajo impacto y fácil manejo. Un sistema de generación eólica requiere de dispositivos tales como turbinas, mástiles, sistemas de conversión de potencia y equipos generadores. Son estos generadores los dispositivos principales del sistema, el corazón del equipo, y los dispositivos más propensos a fallas debido a los requerimientos de servicio.

El generador eléctrico, como todos los sistemas, es propenso a la ocurrencia de fallas. Estas fallas pueden ser debidas a una gran variedad de factores tales como uso inapropiado, envejecimiento de los equipos, mal diseño y construcción, materiales de mala calidad, entre otros muchos factores. Con la finalidad de hacer frente a estas fallas, se sabe que las técnicas de control tolerante a fallas han presentado buenos resultados.

Estos esquemas de control tolerante a fallas pueden ser clasificados, a groso modo, como técnicas activas y técnicas pasivas. Ambas técnicas tienen sus ventajas e inconvenientes. Las técnicas pasivas son mucho más sencillas y de fácil aplicación, pero sólo son útiles ante una limitada clase de fallas. Las técnicas activas son más poderosas, sin embargo, son altamente dependientes de un nuevo subsistema llamado “sistema de detección e identificación de fallas (FDI)”, y es ahí donde radica la principal desventaja de este esquema. El FDI es un dispositivo complejo que se encarga de localizar y estimar la falla ocurrente en el sistema, sin embargo, esta estimación nunca se realiza de manera precisa, sino que siempre existirá un cierto error.

Por otro lado, el diseño de controladores basados en modelos matemáticos requieren información precisa de los valores paramétricos del sistema a controlar. Estos parámetros no son conocidos de manera precisa, de donde se genera una nueva fuente de incertidumbre.

Capítulo V Análisis de Resultados y Conclusiones

- 88 -

Para hacer frente a estos problemas, en el presente trabajo de tesis se realizó el diseño de controladores basados en platitud diferencial y análisis intervalar aplicado el modelo matemático del generador de inducción doblemente alimentado, considerando incertidumbre en el modelado y en la detección de fallas.

La platitud diferencial es una propiedad matemática de una clase de sistemas lineales y no lineales que permite parametrizar todos los estados y todas las entradas de un sistema en función de una o varias salidas (salida plana5) y un número finito de sus derivadas temporales. A través de esto último podemos obviar el diseño del controlador una vez que se ha definido un comportamiento deseado para esta salida plana.

El diseño de controladores basados en platitud diferencial es un tema amplio de estudio y su comprensión requiere de habilidades matemáticas importantes. En el presente tema de tesis se utilizó un enfoque de control basado en platitud que hace uso de linealización por prealimentación alrededor de la trayectoria de referencia, una vez realizada está linealización, es posible adjuntar al control por platitud un controlador retroalimentado de tipo Proporcional-Integral-Derivativo (PID) o un controlador de tipo Proporcional-Integral Generalizado (GPI).

Las principales conclusiones que se tienen para el presente trabajo de tesis se resumen en la siguiente lista

1) Se logró el objetivo de la propuesta de tesis, que fue el diseño, análisis y evaluación de un CTF aplicado al DFIG capaz de hacer frente a incertidumbre paramétrica y a incertidumbre en el diagnóstico de fallas utilizando la teoría de Platitud Diferencial, control GPI y Análisis Intervalar.

2) De las pruebas realizadas a los esquemas desarrollados, se observa que el control retroalimentado es más eficiente que el prealimentado en relación a la tolerancia de fallas.

3) Se observó la posibilidad de hacer uso de técnicas de Análisis Intervalar para el diseño de controladores tolerantes a fallas, tanto en esquemas activos como pasivos.

4) La prealimentacion puede influir de manera negativa en la tolerancia a fallas si existe un alto grado de incertidumbre en la estimación de fallas.

5) Debido a la propia estructura del modelo matemático del DFIG, es más fácil tolerar fallas múltiples de naturaleza simétrica que fallas no simétricas.

5 Se llama a la salida natural a aquella que permite parametrizar los estados y entradas de un sistema dinámico representado mediante un modelo matemático


- 89 -

5.2. Actividades Realizadas

Durante el desarrollo del tema de tesis se abordaron distintos temas para alcanzar el objetivo de diseñar un controlador basado en platitud diferencial utilizando técnicas de análisis intervalar. En resumen, los temas abordados fueron:

1) Se estudiaron las características de los sistemas planos y los distintos métodos de obtención de salidas plana para sistemas de tipo MIMO Y SISO lineales y para sistemas de tipo MIMO no lineal [Sira-Ramirez, 2004].

2) Se reprodujo el controlador presentado en [Mai, 2006] donde se aborda el diseño de un controlador basado en platitud aplicado a un sistema SISO lineal con fallas de tipo aditivas en la entrada de control. De la misma manera, se reprodujo el controlador presentado en [P.Mai, 2007], donde se utiliza un sistema de tipo MIMO no lineal con fallas aditivas en entrada de control. Así también se reprodujo el controlador presentado en [Kleeting, 2007], donde se presenta un sistema MIMO no lineal con la novedad que utiliza un intervalo numérico para representar uno de los parámetros del sistema.

3) En cuanto al control GPI, se reprodujo el controlador diseñado para el motor de corriente directa presentado en [Sira-Ramírez, 2009].

4) Se realizó el estudio del modelo matemático de la máquina trifásica de inducción presentado en [Lyshevski, 2000] y el modelo en representación compleja presentado en [Mai, 2008] así como la estructura del modelo matemático presentado en [Delaleau, 2003]. Una vez comprendida la estructura de estos modelos, se estudiaron las técnicas de transformación de coordenadas para representar el modelo presentado en [Delaleau, 2003] en el marco de referencia fijo al estator y en su representación compleja.

5) Esta representación compleja fue utilizada para realizar el diseño del controlador basado en platitud diferencial, el controlador tipo GPI y la conjunción de ambos esquemas. Además, a partir de este modelo complejo, se encontró la equivalencia para realizar seguimiento de enlace de flujo en estator a partir de seguimiento de corriente eléctrica en estator.

Un punto importante en el diseño de controladores basados en platitud diferencial es la utilización de derivadas temporales de orden mayor. En las pruebas realizadas a los controladores diseñados, se utilizaron distintos enfoques para obtener derivadas a partir de señales medidas, tales como el filtro de variables de estados, derivador algebraico, bloque derivador de Matlab, además de obtener analíticamente las funciones que describen la derivada temporal de las señales, esto último aprovechando que contamos con el modelo matemático del


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sistema. Encontramos que estas derivadas analíticas fueron las que mejores resultados proporcionaron al realizar las simulaciones computacionales.

5.3. Pruebas de Desempeño

Para cada uno de los tres esquemas de CTF se tiene una referencia de potencia eléctrica deseada, la cual se obtiene a partir de corriente eléctrica trifásica en los devanados de estator.

Los controladores se probaron en simulación computacional ante distintos escenarios, estos escenarios fueron:

1) Libre de fallas

2) Fallas de tipo multiplicativas en la resistencia eléctrica de los devanados de rotor

3) Fallas de tipo aditivas en el voltaje de control (falla de actuador)

4) Fallas de tipo multiplicativas en el voltaje de control (falla de actuador)

El primer esquema que se probó fue el control GPI -se presenta en la sección 3.2- este controlador tiene buenos resultados ante presencia de fallas en actuador, se puede decir que es insensible a éstas, debido a su propia construcción, sin embargo, su comportamiento se degrada ante fallas en los parámetros del sistema, esto debido a que la falla provoca que se pierda simetría en el modelo, así que dejan de ser validas algunas suposiciones que se realizan en la transformación de coordenadas y en la representación compleja.

Se probó el controlador basado en platitud diferencial (sección 4.4), los resultados de este controlador no son tan buenos como los presentados por el GPI, éste es más sensible a fallas en actuador, sin embargo, se observó que este controlador compensa una falla en alguna de las fases a través de las dos fases restantes. Así también, este controlador es más sensible a fallas paramétricas. Lo anterior es debido a que el diseño del controlador está fuertemente ligado al propio modelo del sistema controlado.

Finalmente se probó el controlador que resulta de unir los dos esquemas anteriores (sección 5.1), es decir, se sustituye el control de tipo Proporcional-integral-derivativo por un control de tipo GPI conservando la parametrización de la entrada de control. Esto se realiza con la intención de aumentar lo robustez del control por platitud diferencial mediante el control GPI. Se puede notar que los resultados de este esquema son mejores que los proporcionados por el control puramente plano. Sin embargo, no es tan bueno como el control GPI debido a que éste es más dependiente del modelo del sistema.


- 91 -

5.4. Aportaciones del Trabajo de Tesis

Como resultado de los trabajos realizados durante el desarrollo de tesis, se tienen tres distintos esquemas de control tolerante a fallas (CTF)para el generador de inducción doblemente alimentado:

1) Un esquema es el llamado control proporcional-integral generalizado (GPI) fundamentado en las ideas presentadas en [Sira-Ramírez, 2009]. Este esquema realiza tolerancia activa a fallas a través la reubicación de los polos del sistema en lazo cerrado.

2) El segundo esquema es el control basado en platitud diferencial con linealización a través de prealimentación [Antritter, 2008]. En este esquema, se inducen fallas en el sistema y se proporciona al controlador información de la misma dentro de un intervalo conocido

3) Un tercer esquema que hace uso del control GPI y de la parametrización utilizada en el control por platitud diferencial.

4) Se modificaron los modelos matemáticos del DFIG presentados en [Lyshevski, 2000; Mai, 2008], esto con la finalidad de adaptarlo a la estructura requerida para el diseño del controlador

5) En el controlador de tipo GPI, el esquema de modificación de polos no se encontró en la literatura estudiada y consiste básicamente en buscar en tablas el valor de la ubicación del polo dominante del controlador, calculado previamente, apropiado para cada falla (vea Figura 3.15).

En el diseño del controlador basado en platitud diferencial, se propuso una nueva salida plana para el modelo del generador de inducción, la cual nos permite parametrizar los estados y las entradas y diseñar el controlador, esta salida plana fue el enlace de flujo en el estator, a diferencia de las salidas planas presentadas en [Mai, 2008], donde se presenta 4 salidas planas para el sistema.

Así también, en este mismo controlador se presenta el esquema de CTF con fallas estimadas en un intervalo numérico a través de la utilización del “toolbox” de Matlab llamado “IntVal”.

El diseño y los resultados de simulación del controlador basado en GPI se utilizaron para la redacción de un artículo acerca del diseño de controlador GPI robusto en el generador de inducción doblemente alimentado, el cual se envió a revisión por parte del congreso de la AMCA 2010.


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5.5. Trabajos Futuros

Los estudios realizados para lograr la comprensión de las técnicas de diseño de controladores basados en platitud diferencial fueron cada vez más complejos, desde sistema SISO lineales hasta sistemas MIMO no lineales. Para cada clase de sistemas se realizaron ejemplos de diseño y simulaciones computacionales.

Entre otros trabajos futuros que pueden realizarse para incrementar el entendimiento del diseño de controladores basados en platitud diferencial y en GPI están los siguietes:

1) Evaluar el modelo matemático del generador y validarlo, lo anterior para realizar implementación física del controlador

2) Evaluar el desempeño del control tipo GPI con distintas ubicaciones de los polos del sistema para definir los rangos en los cuales se conserva la estabilidad del sistema

3) Realizar el diseño del sistema de diagnóstico y detección de fallas aprovechando que ya se cuenta con las parametrizaciones

4) Implementar la utilización de distintas técnicas de obtención de derivadas a través de mediciones para evitar la necesidad de conocer el sistema para obtenerlas analíticamente.

.

- 93 -

BIBLIOGRAFIA

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Libros

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Bibliografía

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Notas de Curso

Sira-Ramírez (2009). GPI Control of Linear and Nonlinear Systems.

96

Anexo A. Generación de Curvas Tipo Bezier

Se denomina curva de Bezier6 a un sistema que se desarrolló hacia los años 1960, para el trazado de dibujos técnicos, en el diseño aeronáutico y de automóviles. Su denominación es en honor a Pierre Bézier, quien ideó un método de descripción matemática de las curvas que se comenzó a utilizar con éxito en los programas de CAD

La idea de definir geométricamente las formas no es demasiado compleja: un punto del plano puede definirse por coordenadas. Por ejemplo, un punto A tiene unas coordenadas (푥1, 푦1) y a un punto B le corresponde (푥2, 푦2). Para trazar una recta entre ambos basta con conocer la ecuación general de la recta y así definimos una trayectoria entre estos dos puntos cualesquiera.

Si en lugar de unir dos puntos con una línea recta se unen con una curva, surgen los elementos esenciales de una curva Bézier. Las curvas de Bézier tienen la propiedad de ser suaves y continuamente diferenciables. Característica necesaria en el control basado en platitud ya que es necesario utilizar las señales de referencia y un numero finito de derivadas temporales en el cálculo de la señal de control.

En el presente documento de tesis, utilizamos las llamadas curvas de Bézier para generar una señal de referencia que lleve el estado controlado de la posición inicial 푥(푡0) a una posición final 푥(푡푓) de una manera suave. El objetivo es encontrar los puntos intermedios entre dichos estados inicial y final y así formar la curva deseada. Lo anterior se realiza mediante la fórmula recursiva

n i in1 0

i1 0 1 0i 0

n i in1 0

i1 0 1 0i 0

t t t tnP t P

t t t ti

t t t tn!P(t ) Pt t t ti ! n i !

(A.1)

De esta manera, la generación de la curva de Bezier se puede definir como

0 0n i in

1 0i 0 f

1 0 1 0i 0

f f

P t t

t t t tn!B t P t t tt t t ti ! n i !

P t t

(A.2)

6 Ingeniero francés creador de las llamadas curvas y superficies de Bezier. En la actualidad se usan de manera corriente en la mayoría de los programas de diseño gráfico y de diseño CAD.

Anexo A: Curvas de Bezier

97

Donde se conocen los parámetros 푃 ,푃 , 푡 , 푡 ,푛 que corresponden al valor inicial, final, tiempo inicial y final y el orden de la curva respectivamente. Mediante la ecuación (A.2) se generan polinomios de Bezier de la forma

Figura A.1: Gráficas Características de Bezier. Figura A.2: Derivada Temporal.

En las figuras anteriores podemos observar las graficas de Bézier y sus primeras derivadas temporales obtenidas mediante el software Matlab.

Se utilizaron señales similares a las anteriores para establecer la velocidad deseada del generador de inducción doblemente alimentado, desde el estado de reposo hasta la velocidad nominal de operación (vea Figura 4.3c). También para establecer cambio gradual en la potencia eléctrica demanda (vea Figura 4.8b).

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

4

5

6

7

8

9

10

Polinomios de Bezier

Mag

nitu

d

t(s)0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

Derivadas de Polinomios de Bezier

Mag

nitu

d

t(s)

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Anexo B. Manual Para Programas de Simulación

En el presente anexo presentaremos la ubicación y manera de trabajar con los archivos de simulación de los controladores diseñados, tanto para el control GPI, el control por platitud diferencial y la conjunción de los dos esquemas.

En la carpeta llamada “ManualUsuario” se encuentran todos los programas necesarios para reproducir los resultados presentados en este documento de tesis. Los archivos se dividen en cinco diferentes sub-carpetas, y estas son :

Figura B.1: Carpetas Incluidas en “Manualusuario”.

Cada una de las carpetas anteriores contiene todos los archivos necesarios para realizar las simulaciones de control correspondientes.

INTLAB

En esta carpeta se encuentran todas las rutinas necesarias para poder realizar operación de aritmética intervalar dentro del ambiente de Matlab. Estas rutinas no fueron desarrolladas en el presente trabajo de tesis sino que se obtuvieron de manera externa y se añaden al software de Matlab.

Para ejecutar las rutinas mencionadas anteriormente basta con ubicar el archivo llamado ArrancaINT.m dentro de la carpeta Intlab_V5_5, el cual es un archivo de ejecución de Matlab, el código se presenta a continuación

Figura B.2: Código para Activar la Aritmética Intervalar en Matlab.

Anexo B: Manual Para Programas de Simulación

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Si se crea un respaldo de la carpeta “ManualUsuario” en el disco duro, es necesario modificar la ruta de ubicación en el código del programa. Se ejecuta el mismo mediante el botón de ejecución mostrado en la Figura B.2. Una vez que se ha ejecutado correctamente el programa, se muestra una imagen como la siguiente, lo que indica que Matlab ya esta listo para realizar operaciones intervalares.

Figura B.3: Ventana de Bienvenida a Intlab.

LAZO ABIERTO

En esta carpeta se tienen los programas necesarios para realizar las simulaciones en lazo abierto del DFIG y las comparaciones de los resultados del modelo matemático en las representaciones utilizadas (coordenadas naturales, marco de referencia dq0 y representación compleja).

Se excitan los modelos con las mismas señales de entrada de voltaje y de par mecánico y se observan las salidas del sistema como son las corrientes eléctricas y la velocidad mecánica.

Figura B.4: Contenido de la Carpeta “LazoAbierto”.

El procedimiento de ejecución de los archivos en la carpeta anterior es el siguiente

a) Abrir y ejecutar el archivo “Param_LA”, el cual contiene los valores paramétricos del DFIG. b) Abrir el archivo “LazoAbierto_123_dq0_complex” que contiene la simulación general de

los modelos dinámicos, se presenta en la siguiente figura el diagrama de simulación utilizado


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Figura B.5: Diagrama de Simulación para Comparación de Modelos en Lazo Abierto.

En la siguiente lista se describe cada uno de los componentes del diagrama de simulación presentado en la Figura anterior

1. Voltaje de entrada para estator y rotor 2. Transformación de coordenadas naturales a marco dq0 3. Transformación del marco de coordenadas del marco dq0 a representación compleja 4. Modelo dinámico del sistema en coordenadas naturales 5. Modelo dinámico en el marco de referencia dq0 6. Modelo dinámico en su representación compleja con solución de ecuaciones de corriente

eléctrica 7. Modelo dinámico en su representación compleja con solución de ecuaciones de enlace de

flujo 8. Transformación de coordenadas del marco dq0 a naturales 9. Transformación de representación compleja a marco dq0

10. Generación de gráficas de resultados 11. Bloques para guardar en memoria los datos generados

c) Una vez que se ha ejecutado el modelo de la figura anterior, se generan las gráficas de resultados ejecutando el código del archivo “graficas”.

Los modelos dinámicos que representan el comportamiento del sistema se resuelven a través de las llamadas funciones S de Matlab. Es posible modificar algunos parámetros del sistema directamente desde el modelo de Simulink.


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CONTROL GPI

Corresponden a las simulaciones computacionales realizadas durante el desarrollo del diseño y pruebas al controlador basado en GPI y presentado en el capítulo Capítulo 3.

Se realizó una depuración de los programas menos relevantes y se presentan únicamente los de mayor interés, en la siguiente figura se muestran los distintos archivos.

Figura B.6: Contenido de la Carpeta GPI.

El procedimiento de ejecución es el siguiente

a) Abrir el archivo “param_GPI” y ejecutar el código, éste ejecutará internamente el modelo “Ref_Potencia” con las indicaciones que contiene el mismo código. Es en este programa donde se establecen los parámetros físicos del sistema, los parámetros del controlador GPI y las magnitudes de las fallas inducidas.

b) Abrir el modelo “DFIG_controlGPI” el cual corresponde a la simulación general del sistema, el modelo se presenta en la siguiente figura y cada una de sus partes se detallan posteriormente


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Figura B.7: Modelo de Simulación de Control en Lazo Cerrado Del DFIG.

En la siguiente lista se describen cada uno de los componentes del diagrama de simulación, estos componentes están identificados numéricamente.

1. Generación de señal de referencia de potencia eléctrica y de factor de potencia deseado, a partir de estos dos se determinan las tres señales de corriente eléctrica deseada. La señal de referencia de potencia se genera fuera de línea a partir de un polinomio Bezier.

2. Matriz de transformación de coordenadas que recibe las señales trifásicas de corriente y entrega las señales en el marco de referencia fijo al estator

3. Bloque que se encarga de calcular la señal de control para estabilizar el error de seguimiento, es este bloque la parte principal del control GPI.

4. Matriz de transformación que recibe las señales de control en el marco dq0 y entrega las señales de control en coordenadas naturales

5. Bloque que se encarga de la simulación computacional de la dinámica del DFIG, recibe 10 entradas (6 voltajes, 1 par mecánico y tres fallas) y tiene 8 salidas (6 corrientes, el par electromagnético y la velocidad mecánica)

6. En este se calcula la potencia eléctrica generada a partir de mediciones de corrientes y voltajes

7. Este bloque es el sistema de acomodo de fallas, el cual obtiene información acerca de la magnitud de las mismas y determina los valores apropiados de ganancias del controlador para hacer frente a dicha falla.


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8. Se encarga de asegurar que la velocidad del sistema no se inestabilice al conectar y desconectar el par de entrada una vez que se ha superado cierto umbral

9. Nos permite inducir fallas en las resistencias eléctricas de los devanados de estator a través de funciones de tipo escalón

10. Genera las gráficas de seguimiento de corriente trifásica y guarda en el espacio de trabajo de Matlab dichos datos para posteriores procesamientos

11. Nos permite visualizar de una manera sencilla los instantes cuando la corriente generada sobrepasa los límites establecidos

12. Genera los límites inferiores y superiores que la corriente eléctrica generada no debe superar.

c) Una vez que se ha ejecutado el modelo de la figura anterior, se generan los datos y éstos están disponibles en el espacio de trabajo de Matlab. Las gráficas mas representativas se crean al ejecutar el programa “graficas”

CONTROL POR PLATITUD DIFERENCIAL

El control por platitud diferencial aplicado al DFIG se desarrollo en el Capítulo 4 y los programas de simulación computacional se encuentran en la carpeta “Platitud” de la Figura B.1. el contenido de esta última carpeta se presenta en la siguiente figura

Figura B.8: Contenido de la Carpeta “Platitud”.

La simulación corresponde al sistema de control por platitud diferencial con acomodo de falla cuya estimación es un intervalo numérico (C_pd_DFIG_multi_Int.mdl). la metodología a seguir para la obtención de datos de resultados y gráficas es la siguiente

a) Abrir y ejecutar el archivo “param_PD.m” , el cual realiza la activación de la aritmética intervalar, la generación de las señales utilizadas de referencia y especifica los parámetros físicos del sistema.

b) Abrir el modelo “C_pd_DFIG_multi.mdl” mostrado en la siguiente figura que simula el sistema controlado en lazo cerrado


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Figura B.9: Diagrama de Simulación de CTF Basado en Platitud.

En la siguiente lista se describen cada uno de los componentes del diagrama de simulación

1. Este bloque realiza la generación de las señales de referencia del sistema, las cuales corresponden al enlace de flujo en el estator y sus derivadas temporales de hasta segundo orden

2. Con este bloque se obtiene el voltaje de estator y su primer derivada temporal, estas señales se consideran como perturbación para el sistema, de naturaleza acotadas y medibles

3. Señales retroalimentadas del sistema correspondientes al enlace de flujo y su primer derivada temporal

4. Bloque que realiza el cálculo de la señal de control (voltaje de rotor) en el marco de referencia fijo al estator

5. Transformación de coordenadas para las variable del rotor que va del marco de referencia 푑푞0 a coordenadas naturales 푎푏푐

6. Bloque que nos permite inducir fallas de tipo multiplicativas en la entrada de control a través de los factores de falla


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7. Sistema de acomodo de fallas, el cual toma los valores de la estimación de la falla en un intervalo numérico7

8. Voltaje trifásico en estator de entrada al generador de inducción doblemente alimentado 9. Modelo dinámico del generador de inducción doblemente alimentado cuyas entradas son

voltajes de estator, de rotor y par mecánico y las salidas corresponden a las corrientes eléctricas en rotor y estator en el marco de referencia 푑푞0

10. Estos bloques nos permiten calcular los enlaces de flujo en el estator a partir de las corrientes de estator y rotor obtenidas del modelo

11. Estos bloques nos permiten calcular los enlaces de flujo en el rotor a partir de las corrientes de estator y rotor obtenidas del modelo

12. Señales de referencia de enlace de flujo dy de velocidad mecánica para el controlador de velocidad

13. Retroalimentación de velocidad mecánica correspondiente al rotor del DFIG 14. Nos permite obtener la posición y velocidad del marco de referencia, estos valores son de

utilidad para las matrices de transformación 15. Genera las señales de corriente de referencia a partir de la señal de potencia eléctrica

deseada y del factor de potencia deseado 16. Genera las referencias de enlace de flujo en el estator y sus derivadas temporales con

base en las corrientes calculadas en el punto 15 17. Permite calcular la potencia eléctrica generada a partir de la medición de la corriente

eléctrica trifásica y del voltaje trifásico (ambos del estator) 18. Estos bloques se encargan de calcular la derivada temporal del voltaje de estator 19. Permite visualizar el seguimiento de velocidad mecánica deseada 20. Permite visualizar el seguimiento de la corriente eléctrica trifásica deseada 21. Genera los límites mínimos y máximos para la corriente eléctrica trifásica que no deben

ser superados en base al error del 5% 22. Permite visualizar mediante gráficas cuando se cumple el criterio de error (con un 0) y

cuando no se cumple el criterio (con un 1) 23. Bloque que genera el voltaje trifásico en el estator, la transformación al marco 푑푞0 y la

representación compleja

c) Una vez finalizada la simulación del inciso anterior, se ejecuta el programa “graficaPD.m” el cual se encarga de generar las gráficas de resultados que se presentan en este documento de tesis

CONJUNCION DE ESQUEMAS

7 La simulación con aritmética intervalar toma demasiado tiempo, así que es posible evitar el cálculo intervalar al correr el diagrama de simulación C_pd_DFIG_multi.mdl, éste último permite simulaciones más rápidas pero no es posible introducir la falla como un intervalo numérico


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La Conjuncion de los esquemas de control basados en platitud diferencial y en GPI aplicado al DFIG se desarrolló en el Capítulo 5 y los programas de simulación computacional se encuentran en la carpeta “Conjuncion” de la Figura B.1. El contenido de esta carpeta se presenta en la siguiente figura.

Figura B.10: Contenido de la Carpeta “Conjuncion”.

En la figura anterior se muestran los arhivos que son utilizados para la simulación computacional del sistema de control basado en la unión de los dos esquemas estudiados en el presente desarrollo de tesis. La metodología a seguir para la obtención de datos de resultados y gráficas es la siguiente:

a) Abrir y ejecutar el archivo “param_PDplusGPI.m” , el cual inicializa el sistema, declara las condiciones paramétricas, genera las señales utilizadas de referencia y se pueden especificar las condiciones de falla.

b) Abrir el modelo “DFIG_GPI_plus_PD.mdl” que simula el sistema controlado en lazo cerrado y se muestra en la siguiente figura


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Figura B.11: Modelo de Simulación del Sistema de Control por GPI y Platitud Diferencial.

En el modelo anterior, cada una de las partes mostradas realiza una acción específica, a continuación se presenta una lista donde se describen estas acciones.

1. En estos bloques se generan las señales de referencia de enlace de flujo en el estator a partir de la referencia de potencia eléctrica deseada.

2. Este bloque realiza el cálculo del control prealimentado con base en la parametrización de la entrada de control en función del enlace de flujo mostrado en la ecuación (4.67)

3. Se realiza la transformación de coordenadas del marco de referencia fijo al estator (dqo) a las coordenadas naturales del sistema (trifásicas)

4. En este bloque se tiene el modelo matemático en coordenadas naturales, el cual describe la dinámica del generador de inducción doblemente alimentado

5. Se realiza la transformación de coordenadas del sistema de las coordenadas naturales al marco de referencia fijo al estator

6. Se calculan los enlaces de flujo en estator y en rotor a partir de las corrientes eléctricas en estator y en rotor

7. A través de estos bloques se inducen fallas en la entrada de control y en las resistencias eléctricas de los devanados de estator

8. Se calcula la potencia eléctrica generada a partir de la corriente eléctrica trifásica en los devanados del estator

9. Calcula las resistencias eléctricas en el marco de referencia fijo al estator tomando en cuenta que alguna de dichas resistencias a sufrido fallas

10. Calcula la señal de referencia de corriente eléctrica a partir de la corriente eléctrica en el marco de referencia trifásico


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11. Genera los límites de la corriente eléctrica trifásica en función del porcentaje de error tolerado

12. Mediante este bloque se guarda en el espacio de trabajo de MatLab los datos de la corriente eléctrica generada

13. A través de estos bloques se determina si se cumple o no el criterio de error en el seguimiento de la corriente eléctrica trifásica

c) Una vez que se ha ejecutado el modelo de la Figura B.11, se ejecuta el programa “Grafica_PDplusGPI”, el cual genera las gráficas de resultados.

- 109 -

Anexo C. Diseño de Controladores por Platitud

Durante el desarrollo del presente tema de tesis se reprodujeron parcialmente los trabajos de distintos artículos que se encontraron durante la búsqueda bibliográfica Esto con la finalidad de comprender las ideas y técnicas presentadas para su posterior utilización y adecuación al diseño del controlador para el DFIG.

Los artículos que se reprodujeron fueron los siguientes

1. “An Example of Flatness Based Fault Tolerant Control Using Algebraic Derivative Estimation”; [Mai, 2006]

2. “Flatness-Based Fault Tolerant Control of a Nonlinear MIMO System Using Algebraic Derivative Estimation”; [P.Mai, 2007].

3. “Robust Flatness Based Controller Design Using Interval Methods”; [Kleeting, 2007]

A continuación se presentan los resultados obtenidos en estas reproducciones:

1. “An Example of Flatness Based Fault Tolerant Control Using Algebraic Derivative Estimation”; [Mai, 2006]

En este artículo se presenta un método de CTF basado en platitud diferencial para un sistema SISO. Se tiene un control prealimentado y un control retroalimentado de tipo Proporcional-Integral. Se supone una falla de tipo aditiva en la entrada del controlador.

1.a. Modelo Matemático, Platitud del Sistema y Diseño del Controlador

El sistema es descrito mediante la función de transferencia del sistema

1G1 Ts

(C.1)

con 푇 > 0 . Debido al polo en 푠 = 1/푇 , el sistema es inestable. La ecuación diferencial correspondiente con entrada 푢(푡) y salida 푦(푡) es:

ay(t ) u(t ) fy(t )

T

(C.2)

La salida plana es la propia salida natural del sistema 푦(푡). La parametrización de la entrada de control se expresa en la siguiente ecuación

* * *u (t ) y (t ) Ty (t ) (C.3)

Definimos el error de seguimiento como:

Anexo C: Diseño de Controladores por Platitud

- 110 -

*e(t ) y(t ) y (t ) (C.4) y la ley de control será

t*

p i a0ˆu( t ) u (t ) k e(t ) k e( )d f (C.5)

Representamos el controlador anterior y el sistema mediante el siguiente diagrama esquemático:

*y

af̂

*y

pk

ik

e

u y*u

Figura C.1: Diagrama a Bloques de Controlador Propuesto.

Puede observarse en la figura anterior el control prealimentado basado en platitud diferencial y el control de tipo proporcional integral el cual hace frente a perturbaciones. Una característica importante en este ejemplo es la utilización de la estimación de la falla 푓 en la ley de control, tal como se muestra en la ecuación (C.5).

1.b. Simulación Computacional y Resultados de Simulación

Las ecuaciones del sistema y del controlador se simularon mediante computacionalmente con distintas magnitudes de la falla estimada 푓 (al 90%, 100% y 110% de la magnitud real de la falla). se genera la gráfica siguiente.

Figura C.2: Seguimiento con Distintas Magnitudes de la Estimación de Falla 푓 .

Podemos observar que en el caso de estimación exacta de la falla (100%), el seguimiento de la referencia es perfecto. Pero, cuando se tiene error en la estimación de la falla, el seguimiento no es apropiado teniendo oscilaciones en la salida. El objetivo de la reproducción del articulo fue


- 111 -

estudiar el control tolerante a fallas y la manera de hacer frente a las fallas de actuador de tipo aditivas. Podemos decir que el controlador funciona de manera aceptable siempre que se tenga un buen sistema de diagnóstico de falla.

2. “Flatness-Based Fault Tolerant Control Of A Nonlinear MIMO System Using Algebraic Derivative Estimation”; [P.Mai, 2007].

En este artículo se propone un enfoque de CTF basado en Platitud Diferencial. En el artículo se hace uso de un estimador algebraico de derivadas el cual no utilizaremos debido a que no es de interés para el tema de tesis.


El modelo matemático del sistema en cuestión se presenta a continuación

1 2 3 1 a1

2 1 3 2 a2

3 1 2

ax x bu f

x cx x du f

ex x

x

x

(C.6)

el cual corresponde al sistema de cuerpo rígido sub-actuado con velocidades angulares (푥 ,푥 ,푥 ) y entradas de control (푢 , 푢 ). Las cantidades (푓 1,푓 ) son fallas desconocidas de tipo aditivas en el actuador. El sistema libre de fallas es diferencialmente plano con las salidas planas 퐹 = 푥 y 퐹2 = 푥3. Así las entradas de control se parametrizan como:

2 21 1

1

1 2 2 12 1 22

1

Fa1ub be F

F F c1u F Fed

F

F

d

F

F

F

(C.7)

A partir de la parametrización de la entrada de control 푢1 y de 푢2 se proponen los siguientes controladores auxiliares

* *

1 1 1 0 1 1

* * *2 2 2 1 2 2 2 2 2

F F k ( F F )

F F k (F F ) k ( F F )

(C.8)

Sustituimos 휐 y 휐 de (C.8) en 푢 y de 푢 de (C.7) para obtener el controlador del sistema. este sistema tiene las dos salidas planas 퐹 y 퐹 por lo que se definen los errores de seguimiento como

*1 1*2

1

2 2

e F F

F Fe

(C.9)

Considerando la ecuación anterior se escribe la ecuación dinámica del error como


- 112 -

1 0 1

2 1 2 2 2

e k e 0

e k e k e 0

(C.10)

A través de la Transformada de Laplace obtenemos

0

21 2

s k 0

s k s k 0

(C.11)

Para garantizar estabilidad del sistema, se ubican lo polos de los polinomios anteriores como:

20 1 2k 0 ; m 0 ; k 2m; k m (C.12)

El objetivo es eliminar el efecto de dichas fallas al utilizar las estimaciones de las fallas

a1 a2ˆ ˆf y f (C.13)

De manera que el controlador considerando (C.7) y (C.8) se reescribe como

f f1 1 a1 2 2 a2

ˆ ˆu u f y u u f (C.14)

2.b. Simulación Computacional y Resultados

Se elaboró la simulación computacional para verificar el comportamiento del controlador diseñado en el seguimiento de las señales de referencia. Se tienen fallas aditivas en el actuador de magnitud 푓 = 0.5 y de 푓 = 2 ocurridas en 푡 = 3푠 y se suponen conocidas estas fallas con una presición del 90% y del 85% respectivamente, es decir 푓 = 0.9 ∗ 푓 y 푓 = .85 ∗ 푓 . en las siguiente gráfica se muestra el seguimiento de las señales de referencia


- 113 -

Figura C.3: 푓 = 0.5 ; 푓 = 2.

Figura C.4: 푓 = 1.0 ; 푓 = 8.

Como se observa en las gráficas anteriores, el controlador propuesto es tolerante a fallas teniendo buen comportamiento aun cuando se tienen fallas de magnitud considerable.

3. “Robust Flatness Based Controller Design Using Interval Methods”; [Kleeting, 2007]

La principal idea al estudiar la teoría de análisis intervalar es poder aplicarla al control tolerante a fallas teniendo herramientas matemáticas que nos permitan determinar el grado de tolerancia que tendrá un controlador específico al presentarse incertidumbre en la magnitud de la falla estimada.

Se trabajó con el artículo [Kleeting, 2007] en el cual se describe una rutina para el diseño de controladores basados en Platitud con tolerancia a fallas, la principal aportación al tema de tesis de estos trabajos es la determinación de un criterio que debe ser satisfecho (criterio de robustez), con el fin de saber si un controlador especificó podrá o no ser utilizado bajo incertidumbres en los parámetros del sistema


El modelo matemático corresponde al llamado Tanque Reactor Continuamente Agitado (CSTR por sus siglas en inglés), las ecuaciones que describen la dinámica del sistema son:

21 1 3 1 A0 11

2 1 1 2 2 2

k x k x C x u

k x k x x

x

ux

(C.15)

El estado 푥 es la concentración del producto en el flujo de salida, el estado 푥 es la concentración del reactante en el tanque reactor. 푢 es la razón de dilución y el parámetro 퐶 es la concentración constante del reactante en el flujo de entrada del reactor. El sistema (C.15) es

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5

1

1.5

2

t(s)

Mag

nitu

d

Seguimiento de F1*

F1*

F1

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 52

2.5

3

3.5

4

t(s)

Mag

nitu

d

Seguimiento de F2*

F2*

F2

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5

1

1.5

2

t(s)

Mag

nitu

d

Seguimiento de F1*

F1*

F1

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 52

2.5

3

3.5

4

t(s)

Mag

nitu

d

Seguimiento de F2*

F2*

F2


- 114 -

plano con la posible salida plana dada por 푦 = (퐶 −푥 ) 푥⁄ . Las entradas parametrizada en función de 푦 y sus derivadas sucesivas son:

2

A0 b b 1 f fA0 b 2f 1 1 3 12

fA0

2

f

f

b

2aC k y2aC1u y k x k x2ay 2ay

C2a

y y

(C.16)

El esquema de control propuesto es:

fdyfdy

fdy u fyfy

Figura C.5: Esquema Propuesto de Control por Platitud Diferencial.

Considerando (C.16) se propone el siguiente control auxiliar

f fd 1 fd f 0 fd fy y ( y ) (y y y ) +λ λ (C.17)

Aplicamos la Transformada de Laplace a (C.17) con el error de seguimiento 푒 = 푦 − 푦 y obtenemos el polinomio del error

21 0s s 0 λ λ+ (C.18)

Las ganancias λ y λ deben ser tales que el sistema sea estable, expresamos la ecuación anterior de la forma

21 0

2 2( s s) s2 s s λ+ λ+ (C.19)

Se ubican los polos de (C.18) considerando (C.19) de la siguiente manera

1 022 y λ λ (C.20)

El objetivo de diseño es determinar, para una trayectoria de referencia dada

nd 0 0x (t ) : t ,t T (C.21)

El valor para 휆 ∈ [휆, 휆] y para 퐶 ∈ [퐶 ,퐶 ] tal que para el sistema controlado se cumple


- 115 -

0 0 d it [ t ,t T ], x(t ) x t , i 1, ,n (C.22)

La ecuación anterior nos da un criterio que nos permite rechazar o aceptar cada uno de los controladores en estudio. En este artículo se establecen los límites de error siguientes

Salida controlada Límite de error de seguimiento Valor para 훿 푥1 10% 훿 = 0.1 푥2 3% 훿 = 0.03

Tabla C.1: Errores Tolerados en el Seguimiento

3.b. Simulación Computacional y Resultados

En la Figura C.6 se muestran las zonas que corresponde a los valores de λ y de C que cumplen con la restricción de (C.22). Las zonas en rojo satisfacen el criterio, lo que significa que cualquier combinación de valores de λ y de 퐶 dentro de esta zona será satisfactorio. Por el contrario, las zonas en azul no satisfacen el criterio así que son valores no permitidos de λ y de 퐶 .

Figura C.6: Zonas de Satisfacción de Restricción.

La siguiente figura presenta el seguimiento de la referencia (en rojo), la zona sombreada corresponde al seguimiento cuando el error del mismo nunca es superior al establecido por 훿 y por 훿

9 9.5 10 10.5 11

4

4.5

5

5.5

6Zonas de Cumplimiento de Criterio

Valor del Parámetro CA

Val

or d

el P

olo

del C

ontro

lado

r


- 116 -

Figura C.7: Seguimiento de Señal de Referencia.

La utilidad del presente artículo se basó en la definición de un criterio de selección para determinar qué controlador cumple los requisitos establecidos. Con la satisfacción del criterio se garantiza estabilidad del sistema y robustez.

El criterio es básicamente que no se supere un error durante la operación del controlador. La magnitud del error fue de entre el 3% y el 6% de los valores máximos y mínimos de la función de referencia tanto para 푥1 como para 푥2.

0 5 10 150.85

0.9

0.95

1

1.05

1.1

Seguimiento de Referencia x2d

Mag

nitu

d de

x2

tiempo (s)0 5 10 15

2

2.2

2.4

2.6

2.8

3

Seguimiento de Referencia x1d

Mag

nitu

d de

x1

tiempo (s)

TESIS DE MAESTRÍA EN CIENCIAS - CENIDET...TESIS DE MAESTRÍA EN CIENCIAS Control Tolerante a Fallas Basado en Conceptos de Platitud y Análisis de Intervalos presentada por Erik Alfredo

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