Università degli Studi di Roma "Tor Vergata" Facoltà di Economia Corso di laurea in Economia e gestione degli Intermediari Finanziari Tesi in Modelli e Tecniche di gestione dei Rischi Il Value at Risk: metodologie, applicazioni e un caso empirico Anno accademico 2012/13 Il Relatore Chiar.mo Prof. Ugo Pomante Firma Il laureando Giovanni Dalla Casa Firma
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Università degli Studi di Roma "Tor Vergata"
Facoltà di Economia
Corso di laurea in
Economia e gestione degli Intermediari Finanziari
Tesi in Modelli e Tecniche di gestione dei Rischi
Il Value at Risk: metodologie, applicazioni e un caso empirico
Anno accademico 2012/13
Il Relatore
Chiar.mo Prof. Ugo Pomante
Firma
Il laureando
Giovanni Dalla Casa
Firma
“le guerre, si combattono con le armi
ma sono gli uomini a vincerle!”
Generale George Smith Patton, il Generale d‟acciaio.
Tabella 2.4: calcolo del VaR con differenti approcci
VaR 5% Simulazione
Storica
Var-Cov Esponenziale Ibrido
𝜆 = 0,97 𝜆 = 0,99 𝜆 = 0,97 𝜆 = 0,99
Dollaro/Marco 5,32 5,74 5,18 5,25 5,04
Brent 4,96 5,60 5,39 5,18 5,18
S&P500 5,46 4,68 4,18 6,17 5,46
Brady Bond
Index
5,32 4,47 4,40 5,96 5,46
EQW 4,96 5,04 4,26 5,67 5,39
Media 5,21 5,11 4,68 5,65 5,30
VaR 1% Simulazione
Storica
Var-Cov Esponenziale Ibrido
𝜆 = 0,97 𝜆 = 0,99 𝜆 = 0,97 𝜆 = 0,99
Dollaro/Marco 1,06 2,20 1,63 1,84 1,28
Brent 1,13 1,77 1,77 1,70 1,35
S&P500 1,28 2,20 2,13 1,84 1,42
Brady Bond
Index
1,35 2,70 2,41 1,63 1,35
EQW 1,49 1,42 1,42 1,63 1,21
Media 1,26 2,06 1,87 1,73 1,32
Fonte: J. Boudoukh1, M. Richardson, R. Whitelaw; A Hybrid Approach to Calculating Value at Risk; Stern School of
Business, NYU; 1998
Come si può notare, i metodi non parametrici offrono un valore più basso del VaR, questo
potrebbe far pensare che il metodo Varianze-Covarianze risulti maggiormente prudenziale,
in realtà non è così: la Tabella 2.5 presenta l‟errore medio assoluto percentuale per le 5 po-
sizioni, utilizzando una finestra mobile di 100 giorni, come si può notare, sia nel VaR 5%
che nel VaR 1% il metodo ibrido si dimostra più accurato in entrambe le varianti.
74
Quindi il metodo ibrido mostra empiricamente i vantaggi dei due approcci Storico e Var-
Cov, fornendo un valore di perdita più basso, ma più preciso.
Tabella 2.5: errore medio assoluto percentuale
VaR 5% Simulazione
Storica
Var-Cov Esponenziale Ibrido
𝜆 = 0,97 𝜆 = 0,99 𝜆 = 0,97 𝜆 = 0,99
Dollaro/Marco 2,42 1,58 2,11 1,08 1,77
Brent 2,62 2,36 2,67 1,93 2,44
S&P500 1,91 1,52 1,85 1,72 1,68
Brady Broad
Index
3,53 3,01 3,34 2,54 2,97
EQW 2,36 2,48 2,33 1,50 2,20
Media 2,57 2,19 2,46 1,76 2,21
VaR 1% Simulazione
Storica
Var-Cov Esponenziale Ibrido
𝜆 = 0,97 𝜆 = 0,99 𝜆 = 0,97 𝜆 = 0,99
Dollaro/Marco 0,87 1,50 1,12 1,02 0,88
Brent 0,96 1,07 1,39 0,84 0,80
S&P500 1,14 1,40 1,42 0,99 0,82
Brady Broad
Index
1,32 1,98 2,06 1,03 1,12
EQW 1,52 1,25 1,25 0,72 0,87
Media 1,16 1,44 1,45 0,92 0,90
Fonte: J. Boudoukh1, M. Richardson, R. Whitelaw; A Hybrid Approach to Calculating Value at Risk; Stern School of
Business, NYU; 1998
75
2.4 I modelli “alternativi”: il CoVaR, l‟Expected Shortfall, il CAViaR
2.4.1 Il CoVaR
La stretta interconnessione del sistema bancario impone agli intermediari e ai regolatori di
adottare un approccio “collettivistico” al rischio “di interconnessione”, con misure che de-
vono esprimere il contributo al rischio sistemico da parte dei singoli intermediari finanzia-
ri, in modo da dar vita a misure che limitino il cosiddetto effetto domino.
Questo è ancor più vero durante la crisi finanziaria, in quanto la teoria economica insegna
che durante il crollo economico l‟effetto contagio tende ad amplificare la concentrazione
del sistema finanziario, in quanto la crisi spinge le società in salute ad acquistare le altre in
procinto di fallire.
Questo processo porta a un ancor maggior rischio che le singole istituzioni finanziarie fal-
liscano insieme o che addirittura l'intero sistema finanziario collassi (come riportato in Fi-
gura 2.13)
Figura 2.13: fallimenti bancari negli Stati Uniti dal 1934 al 2009
Fonte: F. Mishkin and S. Eakins; Financial Markets and Institutions; Pearson/Prentice Hall; 2012.
76
Innanzitutto, cos‟è il rischio sistemico?
Non è facile dare una definizione di rischio sistemico, Furfine (2003)85
lo definisce distin-
guendo due tipi di rischio:
- Il rischio che uno shock finanziario provochi un rischio di fallimento simultaneo di mer-
cati o istituzioni;
- Il rischio che il fallimento di una o più istituzioni venga trasmesso ad altre a causa dei le-
gami tra le stesse
mentre, Rochet and Tirole (1996)86
definiscono il rischio sistemico come il rischio che la
difficoltà di una banca si propaghi ad altri agenti economici legati a quest‟ultima attraverso
transazioni finanziarie.
Trascendendo dalla definizione, risulta evidente come il rischio sistematico vada oltre la
singola banca, sviluppandosi in fenomeni di codipendenza tra istituzioni finanziarie e come
il fallimento di alcune istituzioni finanziarie può produrre impatti negativi sull'intero siste-
ma.
In questo senso il VaR risulta una misura inadeguata: il calcolo del rischio sistemico va ol-
tre le competenze del valore a rischio che, lo ricordiamo, quantifica il rischio di mercato di
un intermediario finanziario singolarmente preso e soprattutto isolato dal sistema finanzia-
rio.
Considerando quanto detto finora, si possono porre due domande:
- Come identificare le istituzioni finanziarie di rilievo a livello sistemico?
- Come quantificare il contributo di rischio della singola istituzione finanziaria all‟intero
sistema?
Secondo Brunnermeier, Crocket, Goodhart, Perssaud, and Shin (2009)87
, una misura di ri-
schio sistemico deve quantificare il rischio generato da singole istituzioni che sono così in-
terconnesse e grandi da poter causare rischio di spillover su tutto il sistema.
Su questo filone d‟indagine, Adrian e Brunnemeier88
hanno proposto il 𝐶𝑜𝑉𝑎𝑟𝛼 ,𝑡𝑖|𝑗 89
, defini-
to come il VaR dell'istituzione i-esima condizionato all‟istituzione j-esima, che si trova in
una situazione distressed, in cui il rendimento90
è pari proprio al VaR.
85
C. Furfine; Interbank Exposures: Quantifying the Risk of Contagion; Journal of Money, Credit, and Bank-
ing; 2003 86
J.Rochet, J.Tirole; Interbank Lending and Systemic Risk; Journal of money, credit, and banking; 1996 87 M. Brunnermeier, A. Crockett, C. Goodhart, A. Persaud, H. Shin; The Fundamental Principles of Finan-
cial Regulation; Geneva Reports on the World Economy; 2009
77
Il CoVaR rappresenta l‟𝛼-esimo quantile della distribuzione, in formule:
(2.8) Pr 𝑟𝑡𝑖 ≤ 𝐶𝑜𝑉𝑎𝑟𝛼 ,𝑡
𝑖|𝑗 𝑟𝑡𝑗
= 𝑉𝑎𝑅𝑡𝑗 = 𝛼91
Per considerare l‟impatto dell'istituzione j-esima sul mercato, basta sostituire al generico
intermediario i, il sistema finanziario, avremo:
Pr 𝑟𝑡𝑠𝑖𝑠𝑡 ≤ 𝐶𝑜𝑉𝑎𝑟𝛼 ,𝑡
𝑠𝑖𝑠𝑡 |𝑗 𝑟𝑡𝑗
= 𝑉𝑎𝑅𝑡𝑗 = 𝛼
Analogamente, studiare l‟impatto dell'indice o settore sull'istituzione significa sostituire
nella (2.8) al j-esimo operatore l‟indice o il settore.
Quindi il CoVaR è il valore al rischio dell'istituzione condizionato al VaR di un‟altra isti-
tuzione, introducendo così il concetto di “comovimenti” tra il sistema finanziario e
l‟istituzione o tra istituzioni.
In questo senso, non è propriamente corretto parlare di modello “alternativo” al VaR in
quanto il CoVaR agisce su un rischio differente rispetto a quello misurato nel Value at
Risk.
88
T. Adrian, M. Brunnermeier; CoVar; Federal Reserve Bank of New York, Staff Reports; 2009 89
Come specificato dagli stessi autori, il termine Co-VaR con è casuale, esso è stato scelto per enfatizzare la
natura sistemica del misuratore.
Infatti, il prefisso “Co” rimanda a: conditional, comovement, contagion, contributing cioè misura condiziona-
le, comovimenti (tra banche), contagio (dal rischio), contributo (della singola banca al rischio sistemico). 90
Ricordiamo che in questa sede il rendimento rappresenta un valore assoluto.
In parole povere, dire che il rendimento è pari al VaR significa che l‟istituzione ha subito una perdita pari al
valore a rischio. 91
Ricordiamo che il VaR è la massima perdita possibile in un lasso temporale e ad un determinate livello di
confidenza 𝛼
Pr 𝑟𝑡𝑖 ≤ 𝑉𝑎𝑅𝑡
𝑖 = 𝛼
78
Figura 2.14: La relazione di CoVaR tra Bank of America Corp. (BAC) , Goldman Sachs Group Inc (GS), Lehman
Brothers Holdings Inc (LEH), Citigroup Inc. (C), J.P. Morgan Chase & Co. (JPM).
Il numero più in alto rappesenta il CoVaR dell‟istituzione condizionata al fatto che l‟istituzione alla punta è in distress, il
numero in basso il viceversa.
Fonte: T. Adrian, M. Brunnermeier; CoVaR; Federal Reserve Bank of New York, Staff Reports; 2009
È inoltre possibile costruire altri indicatori attinenti al CoVaR, come il ∆𝐶𝑜𝑉𝑎𝑟 che misura
per la singola entità lo scostamento tra VaR e CoVaR:
(2.9) ∆𝐶𝑜𝑉𝑎𝑟𝑖,𝑗 = 𝐶𝑜𝑉𝑎𝑟𝑡𝑖,𝑗− 𝑉𝑎𝑟𝑡
𝑖
∆𝐶𝑜𝑉𝑎𝑟 rappresenta l‟esposizione al rischio sistematico o al rischio di contagio, e ovvia-
mente, la rischiosità dell‟istituzione i-esima è tanto maggiore quando il settore è in una si-
tuazione di crisi.
Se i = sistema, il ∆𝐶𝑜𝑉𝑎𝑟𝑖,𝑗 individua la differenza tra il VaR del sistema finanziario con-
dizionato alla situazione distressed della generica istituzione j-esima, e il VaR incondizio-
nato dell'intero sistema e sostanzialmente misura quanto una istituzione “aggiunge” al ri-
schio sistemico a causa della sua grandezza o della sua forte interconnessione con il merca-
to.
Un altro indicatore è il CoVaR%, dato da:
𝐶𝑜𝑉𝑎𝑅𝑡𝑖% =
𝐶𝑜𝑉𝑎𝑅𝑡𝑖 − 𝑉𝑎𝑅𝑡
𝑖
𝑉𝑎𝑅𝑡𝑖
∙ 100
79
Oppure, è possibile costruire un indicatore percentuale ∆𝐶𝑜𝑉𝑎𝑟%, che indica il valore
(percentuale) del CoVaR del sistema (o dell'‟intermediario) al variare della “situazione”
dell'intermediario j, ed è definito da:
∆𝐶𝑜𝑉𝑎𝑟% =𝐶𝑜𝑉𝑎𝑅𝛼 ,𝑡
𝑠|𝑗− 𝐶𝑜𝑉𝑎𝑅𝛼 ,𝑡
𝑠|𝑏 𝑗
𝐶𝑜𝑉𝑎𝑅𝛼 ,𝑡𝑠|𝑏 𝑗
Dove:
𝐶𝑜𝑉𝑎𝑅𝛼 ,𝑡𝑠|𝑗
= CoVaR del sistema finanziario quando l‟intermediario j è in condizione di-
stressed
𝐶𝑜𝑉𝑎𝑅𝛼 ,𝑡𝑠|𝑏 𝑗
= CoVaR del sistema finanziario quando l‟intermediario j è in una situazione
benchmark, definita come una deviazione standard attorno all‟evento medio
𝜇𝑡𝑗− 𝜍𝑡
𝑗≤ 𝑟𝑡
𝑗≤ 𝜇𝑡
𝑗+ 𝜍𝑡
𝑗
Il CoVaR è una misura piuttosto recente, ma che sta conoscendo una grande diffusione,
dovuta perlopiù al fatto che essa cattura un rischio, il rischio sistemico appunto, che è in
parte all‟origine della crisi attuale. In particolare, il CoVaR è caratterizzato da:
- Causalità: la misura ∆𝐶𝑜𝑉𝑎𝑟 non distingue se il contributo di ogni società al rischio si-
stemico totale è causale o guidato da fattori comuni.
Concretamente se una società entra in crisi, non necessariamente questo comporta una crisi
di sistema ma se la crisi è scaturita da un fattore comune a più società, questo sicuramente
avrà effetti dirompenti su tutto il sistema.
In questo senso, è necessario che ogni società stimi il co-rischio individuale a prescindere
che vi sia o meno rischio di causalità diretto, e che di conseguenza l‟indicatore utilizzato
non compia distinzioni tra questi rischi.
- Direzionalità: il CoVaR del sistema condizionato all‟istituzione j-esima non è uguale al
CoVaR dell'istituzione i-esima condizionato al sistema.
- Endogeneità: il CoVaR di una istituzione, anche se dipendente da quello delle altre istitu-
zioni, è endogeno e questo consente ad ogni istituzione di modificare la propria esposizio-
ne al rischio sistemico
80
Tale vantaggio permette in primo luogo di calcolare gli effetti di spillover sull'intera rete
finanziaria (ad esempio tra sue intermediari, tra un intermediario e il sistema, tra il sistema
ed un intermediario e così via), ma soprattutto consente ulteriori implementazioni del mo-
dello. Una di queste è il Co-ES (Co-Expected Shortfall), che cattura la perdita attesa oltre
l‟𝛼-esimo percentile del CoVaR, così come l‟Expected Shortfall92
cattura la perdita scaturi-
ta oltre l‟𝛼-esimo quantile del VaR.
Quindi, la 𝐶𝑜𝐸𝑆𝛼 ,𝑡𝑖 ,𝑗
è l‟Expected Shortfall condizionata al 𝑉𝑎𝑅𝑡𝑗
= 𝑟𝑡𝑗, ed è calcolata come
il valore atteso oltre l‟𝛼-esimo percentile della distribuzione di probabilità condizionata
𝐸(𝑟𝑡𝑖|𝑟𝑡
𝑖 ≤ 𝐶𝑜𝑉𝑎𝑅𝛼 ,𝑡𝑖,𝑗
)
Mentre, il contributo della generica istituzione j al CoVaR, analogamente a quanto definito
nella (2.9) è definito da:
∆𝐶𝑜𝐸𝑆𝛼𝑖 ,𝑗
= 𝐸 𝑟𝑡𝑖 𝑟𝑡
𝑖 ≤ 𝐶𝑜𝑉𝑎𝑅𝛼𝑖,𝑗 − 𝐸(𝑟𝑡
𝑖|𝑟𝑡𝑖 ≤ 𝑉𝑎𝑅𝛼
𝑖 )
92
L‟Expected shortfall verrà analizzata nel paragrafo successivo
81
2.4.1.1 Il calcolo del CoVaR: quali soluzioni?
Adrian e Brunnermeier hanno proposto una stima basata sulla regressione lineare.
In questo senso, il rendimento dell'intermediario i-esimo 𝑟𝑡𝑖 regresso sul rendimento un in-
termediario j-esimo è93
:
𝑟𝛾 ,𝑡𝑖 ,𝑗
= αj + βj𝑟𝛾 ,𝑡𝑖
Dove
𝑟𝑡𝑖 ,𝑗
= rendimento dell'‟intermediario i-esimo per un quantile 𝛾 condizionato all‟istituzione j
Se consideriamo che il CoVaR è definito come il VaR dell'istituzione i (ad un determinato
quantile 𝛾) quando l‟istituzione j si trova in una condizione di distress tale per cui
𝑟𝛾 ,𝑡𝑗
= 𝑉𝑎𝑅𝛾 ,𝑡𝑗
Allora:
𝐶𝑜𝑉𝑎𝑟𝛼 ,𝑡𝑖|𝑗
= 𝑉𝑎𝑟𝛾 ,𝑡𝑖 |𝑉𝑎𝑅𝛾 ,𝑡
𝑗= αj + βj𝑉𝑎𝑅𝛾 ,𝑡
𝑗
Invece, la variazione nel tempo del CoVaR e del VaR viene ancora stimata attraverso una
regressione lineare subordinata però ad un vettore di variabili ritardate, formalmente:
𝑉𝑎𝑅𝑡𝑗
= 𝑎𝑗 + 𝑏𝑗𝑀𝑡−1
𝑉𝑎𝑅𝑡𝑖 = 𝑎𝑖 + 𝑏𝑖𝑀𝑡−1
successivamente, il calcolo del 𝐶𝑜𝑉𝑎𝑟𝛼 ,𝑡𝑖|𝑗
viene compiuto effettuando una regressione di 𝑟𝑡𝑖
su 𝑟𝑡𝑗sullo stesso insieme di variabili.
𝐶𝑜𝑉𝑎𝑟𝛼 ,𝑡𝑖|𝑗
= 𝑉𝑎𝑅𝑡𝑖 |𝑉𝑎𝑅𝑡
𝑗= 𝑎𝑖 ,𝑗 + 𝑏𝑖 ,𝑗𝑀𝑡−1 + 𝑐𝑉𝑎𝑅𝑡
𝑗
Dove:
𝑀𝑡−1 = vettore di variabili ritardate a t-1
𝑎, 𝑏, 𝑐,= coefficienti stimati dalla regressione
93
Per una dimostrazione più dettagliata, si veda T. Adrian, M. Brunnermeier; CoVar; Federal Reserve Bank
of New York, Staff Reports; 2009
82
In conclusione, la recente crisi finanziaria ha sollevato preoccupazioni sul rischio sistemi-
co, incrementate dalla constatazione che il VaR non riesce a cogliere questa misura di ri-
schio, e che essa si dimostra indipendente dalle principali grandezze bancarie (vedi Figura
2.15), rendendo difficile la sua quantificazione attraverso semplici indici di bilancio.
Ed è proprio la nascita del CoVaR che consente una maggiore gestione del rischio sistemi-
co da parte degli intermediari finanziari da un lato, e il controllo dello stesso da parte delle
autorità di vigilanza dall'altro.
In questo senso, il grande contributo del CoVaR sta proprio nell‟aver spostato l‟attenzione
della vigilanza dal singolo intermediario, al settore finanziario globale; completando il si-
stema di vigilanza con l‟estensione dello stesso anche a quei comportamenti degli interme-
diari che generano esternalità negative per tutto il sistema.
Fonte: G. Girardi, A. Ergün; Systemic Risk Measurement: Multivariate GARCH Estimation of CoVaR; 2012
Figura 2.15: relazione tra la contribuzione al rischio sistemico (misurato come media del ∆𝑪𝒐𝑽𝒂𝒓)e il rischio della so-
cietà “in isolamento”, misurato con il VaR, la dimensione della società (valor totale degli assets in milioni di dollari), il
leverage della società (rapporto tra attivo totale e l‟equity) e il beta della società
83
2.4.2 L‟Expected Shortfall, una misura di rischio coerente
Nel 1999 Artzner94
propose una misura di rischio alternativa al VaR: l‟Expected Shor-
tfall95
.
L‟Expected Shortfall è definito come il valore atteso delle perdite che scaturiscono oltre
una determinata soglia, generalmente il livello di confidenza 𝛼 del VaR. Formalmente:
𝐸𝑆(1−𝛼) = −1
𝛼 𝐹−1(𝑥)
𝛼
0
𝑑𝑥
Dove:
𝑥 = variabile aleatoria che indica i rendimenti del portafoglio
Sapendo che 𝑧𝛼 rappresenta il 100𝛼-esimo percentile della distribuzione di probabilità
F(x), si può scrivere che 𝑧𝛼 = −𝑉𝑎𝑅(1−𝛼), quindi è possibile scrivere che
𝐸𝑆(1−𝛼) = 𝑉𝑎𝑅(1−𝛼) +1
𝛼 𝐹 𝑥 𝑑𝑥 = −
1
𝛼 𝑥𝑓 𝑥 𝑑𝑥 =𝑧𝛼
−∞
𝑧𝛼
−∞
− 𝐸(𝑋|𝑋 < 𝑧𝛼)
O analogamente,
𝐸𝑆𝛼(𝑋) = 𝐸(−𝑋| − 𝑋 ≥ 𝑉𝑎𝑅𝛼(𝑋))
Similmente a quanto visto per le serie storiche filtrate, considerando la volatilità della di-
stribuzione 𝜍𝑡 , è possibile riscrivere la formula in termini di residui standardizzati
𝐸𝑆 = 𝐸(𝑋|𝑋 < 𝑧𝛼) = 𝜍𝑡𝐸𝑡 𝑋
𝜍𝑡|𝑋
𝜍𝑡<𝑧𝛼 ,𝑡
𝜍𝑡
94
P. Artzner, F. Delbaen, J. Eber, D. Carnegie; Coherent Measures Of Risk; Mathematical Finance; 1998 95
L‟expected Shortfall viene definite anche Average Shortfall (AS), Conditional VaR (CVaR) o Extreme
value at risk (EVaR)
84
Figura 2.16: l‟Expected Shortfall
Fonte: Y. Yamai, T. Yoshiba; On the Validity of Value-at-Risk: Comparative Analyses with Expected Shortfall; Mone-
tary And Economic Studies; 2002
Si può quindi affermare che se il VaR rappresenta la massima perdita probabile per un dato
livello di confidenza, l‟ES rappresenta il valore atteso della perdita che va oltre il valore
stimato dal VaR stesso.
Di conseguenza, se ad esempio il VaR può essere anche definita “la minima perdita poten-
ziale che un portafoglio può soffrire nel 5% dei casi peggiori” o, viceversa “la massima
perdita potenziale che un portafoglio può soffrire nel 95% dei casi 𝛼 = 0,95 dei casi”,
l‟ES è la semplice media delle perdite che scaturiscono nel restante 5% .
2.4.2.1 Le misure di rischio coerenti
Ma perché utilizzare una misura che calcoli una perdita per eventi estremi, quando il VaR
può agevolmente calcolare la perdita per rischi plausibili?
La risposta fornita dallo stesso Artzner è immediata: per quanto il VaR risulti il modello
che presenta il migliore trade-off tra precisione ed istantaneità, esso non può essere consi-
derato una misura di rischio coerente.
Formalmente, prima di definire una misura di rischio coerente, è necessario definire cos‟è
essa stessa una misura di rischio.
85
Dato (Ω, F, P) uno spazio di probabilità, e X un insieme non vuoto di valori reali di una va-
riabile casuale, si definisce 𝜌
𝜌:𝑋 → 𝑅 𝑈 ∞
una misura di rischio.
Secondo Artzner e al.(1999)96
una misura di rischio 𝜌:𝑋 → 𝑅 𝑈 ∞ è coerente se mono-
tona, invariante alle traslazioni, subadditiva, omogeneamente positiva.
- Monotonicità: dati 𝑋, 𝑌 ∈ 𝐹 con 𝑋 < 𝑌 si ha:
𝜌(𝑋) ≤ 𝜌(𝑌)
- Invarianza alle traslazioni: per ogni 𝑋 ∈ 𝐹 (dove 𝐹 è l‟insieme dei valori reali funzione di
Ω, se abbiamo
𝜌 𝑋 + 𝛼 ∙ 𝑟 = 𝜌 𝑋 − 𝛼
Dove:
𝑋 = Variabile aleatoria che indica i rendimenti del portafoglio
𝛼 = Ammontare sommato/sottratto al portafoglio
𝑟 = Rendimento dello strumento di riferimento (tasso risk free)
Allora la misura di rischio 𝜌 è invariante alle traslazioni.
In parole più semplici, se si somma o sottrae un ammontare 𝛼 alla posizione iniziale e lo
investiamo in uno strumento di riferimento, la misura di rischio diminuisce (aumenta) dello
stesso ammontare 𝛼.
Di conseguenza, l‟assioma implica che per ogni 𝑋
𝜌 𝑋 + 𝜌(𝑋) ∙ 𝑟 = 0
- Omogeneità positiva: dato 𝛿 > 0 e 𝑋 ∈ 𝐹, allora
𝜌 𝛿𝑋 = 𝛿𝜌 𝑋
96
P. Artzner, F. Delbaen, J. Eber, D. Heath; Coherent measures of risk; Mathematical Finance; 1999
86
Anche questo assioma ha un riscontro finanziario: data una posizione 𝛿𝑋, essa è più grande
e ragionevolmente meno liquida della posizione 𝑋; la rischiosità associata alla illiquidità
dello strumento 𝛿𝑋 deve essere maggiore o tutt‟al più uguale a 𝛿 posizioni di importo 𝑋
- Subadditività: per ogni 𝑋1, 𝑋2 ∈ 𝐹
𝜌 𝑋1 + 𝑋2 ≤ 𝜌 𝑋1 + 𝜌 𝑋2
La subadditività può essere considerata un requisito naturale nel mondo finanziario.
Ad esempio, se la proprietà non fosse soddisfatta, un individuo che voglia caricarsi dei ri-
schi 𝑋1 + 𝑋2 avrebbe interesse a separare i rischi in due conti differenti, piuttosto che unir-
li in un unico conto o, ancora, una impresa che deve soddisfare i requisiti di capitalizzazio-
ne (in cui quindi i rischi sono aggregati 𝜌 𝑋1 + 𝑋2 ), sarebbe incentivato a separarsi in due
entità, così da pagare un requisito minore, in quanto 𝜌 𝑋1 + 𝑋2 ≥ 𝜌 𝑋1 + 𝜌 𝑋2 .
Come si è avuto modo di vedere utilizzando i modelli VaR, le principali difficoltà nella
stima si incontrano dovendo includere nell‟analisi tutti i risk factor che interessano il porta-
fogli.
Questo ostacolo risulta ancor più accentuato dalla mancanza di non-additività, in particola-
re il VaR presenta:
- Non-additività da posizione: dato un portafoglio composto da due subportafogli, il VaR
complessivo non è dato dalla somma dei due parziali VaR con la conseguenza che l'ag-
giunta di un nuovo strumento di un portafoglio obbliga a ricalcolare il VaR per l'intera
portafoglio.
- Non-additività da fattori di rischio: un vantaggio del VaR consiste nella possibilità di di-
saccoppiare i rischi associati a diversi fattori di rischio, “accedendo” al VaR solo per una
classe di fattori di rischio. Si poi parla in questi casi di VaR parziale, come ad esempio
l‟Interest Rate VaR (IRVAR), Forex VaR (FXVaR), VaR Equity (EQVaR), Credit VaR
(CVaR).
Tuttavia questo non supera i problemi di calcolo del VaR in quanto vige la non additività
dei fattori di rischio: per un portafoglio su cui insistono molteplici variabili di rischio, il
VaR non è la somma dei VaR parziali.
87
Nondimeno, l‟ES non può essere considerato un modello superiore al VaR: innanzitutto
stimare la coda della distribuzione può risultare complesso se compiuta utilizzando metodi
tradizionali, in quanto, alcune proprietà dei prezzi delle attività possono modificarsi se os-
servate in condizioni di mercato normali o in condizioni estreme, e ciò rende più difficolto-
so utilizzare un modello di simulazione come il Monte Carlo.
In secondo luogo il backtesting risulta di difficile applicazione, dovendo calcolare la media
tra il valore della Expected Shortfall e le perdite realizzate oltre il VaR, che, essendo in-
frequenti, rendono impossibile una stima accurata.
2.4.3 Il CaViaR
Il VaR è definito come la massima perdita possibile con una probabilità dell'𝛼% per un o-
rizzonte di tempo predefinito, un altro modo di esprimere il VaR è indicarlo come il più
basso quantile delle perdite potenziali che scaturiscono all‟interno di un determinato porta-
foglio durante un periodo specifico.
Di conseguenza, stimare il quantile significa stimare direttamente il valore a rischio della
posizione/portafoglio.
Quindi, sfruttando la teoria del valore estremo (EVT)97
il VaR viene interpretato come un
particolare quantile dei valori futuri del portafoglio, su questa intuizione Engle e Manga-
nelli98
hanno dato vita all‟approccio CAViaR (Conditional, Autoregressive, Value at Risk)
mediante il quale piuttosto che modellare l‟intera distribuzione, si considera direttamente il
quantile mediante un processo autoregressivo.
97
La teorica del valore estremo (Extreme Vlue Theory) si preoccupa di modellare solamente le code estreme
della distribuzione, in quanto queste sono l‟unico obiettivo del risk management.
Secondo la teoria, per un campione molto ampio, tali code convergono alla distribuzione di Pareto generaliz-
zata, la quale viene poi utilizzata con vari approcci per il calcolo del VaR. 98
Per un‟analisi più approfondita, vedi R. Engle; S. Manganelli; CAViaR: Conditional Autoregressive Value
at Risk by Regression Quantiles; 2002
88
Definito 𝑟 l‟insieme dei rendimenti e 𝛼 il livello di confidenza, cioè la probabilità associata
al VaR (𝛼 è la probabilità che la perdita massima sia pari al VaR), la formulazione genera-
Ipotesi d‟indipendenza: le eccezioni passate non possiedono informazioni sulle ec-
cezioni future, in altre parole le eccezioni osservate in due momenti differenti de-
vono essere indipendenti.
La violazione della condizione di indipendenza implica che le eccezioni tendono ad
addensarsi in un lassi di tempo brevi.
Questo raggruppamento aumenta esponenzialmente l‟esposizione al rischio per
l‟intermediario, in quanto comporta che i requisiti patrimoniali per il rischio di
mercato siano inadeguati in periodi prolungati, ma soprattutto in periodi in cui il
VaR tende ad essere maggiormente volatile, cioè durante gli episodi di maggior ri-
schio.
Un modello che viola l‟ipotesi di indipendenza può risultare maggiormente rischio-
so di un modello che viola l‟ipotesi di copertura incondizionata
Invero, dal punto di vista dell'intermediario fronteggiare periodi prolungati di perdi-
te inattese (cioè superiori a quanto stimato dal VaR) potrebbe essere più problema-
tico della gestione di un numero di perdite maggiori, ma distribuite in un lasso di
tempo più ampio.
Quindi, la proprietà di indipendenza tra le eccezioni pone una forte restrizione al
modo con cui le eccezioni si manifestano: in parole povere, la clusterizzazione si
traduce in una serie di eccezioni prevedibili e questo comporta una violazione delle
proprietà di indipendenza, ma soprattutto segnala una mancanza di reattività del
modello VaR alle condizioni di mercato.
Quindi, un modello di backtesting deve poter misurare non solo l‟entità delle perdite, ma
anche la frequenza delle stesse poiché la proprietà di copertura incondizionata pone una re-
strizione sulla quantità di violazioni del VaR, mentre la proprietà indipendenza limita la
misura con cui tali violazioni possono manifestarsi.
La serie di eccezioni 𝐼𝑡+1 𝑡=1𝑡=𝑇 che soddisfa simultaneamente l‟ipotesi di unconditional co-
verage e l‟ipotesi di indipendenza si dice che presenta una conditional coverage, tale per
cui
𝐸 𝐼𝑡+1 𝛼 |Ω𝑡 = 𝛼
99
E la serie stessa è i.i.d. come è una variabile casuale Bernulliana in cui Pr 𝐼𝑡+1 = 𝛼
𝐼𝑡Errore. Il segnalibro non è definito. 𝛼 ~𝐵(𝛼)
Un modello VaR che presenta una serie di eccezioni a copertura condizionata è un modello
accurato.
In conclusione, il contributo di Christoffersen si è concretizzato nel definire delle proprietà
che rendono o meno accurato un modello VaR, e di conseguenza a questa logica si sono
affiancati una pluralità di test retrospettivi, che si preoccupano di verificare se il modello
possiede uno o entrambi i requisiti, e generalmente basati su test delle ipotesi112
.
In particolare si distingue (Figura 3.2 e 3.3):
Test di unconditional coverage;
Test di indipendenza;
Test della conditional coverage;
Test basato sulla funzione di perdita.
112
Nel test delle ipotesi si individuano due ipotesi: l‟ipotesi nulla 𝐻0 e l‟ipotesi alternativa 𝐻1.
Nel nostro caso, se l‟ipotesi nulla 𝐻0 è rigettata, le previsioni del VaR non sono ottimali, quindi il modello è
inaccurato; viceversa se l‟ipotesi nulla è accettata, è accolto anche il modello. È importante anticipare che il test delle ipotesi comporta 2 tipi d‟errore, legati da relazione inversa:
Errore del primo tipo (α), cioè l‟errore di rifiutare l‟ipotesi 𝐻0 quando è vera (nel nostro caso, rifiutare un
modello VaR quando esso è coerente)
Errore del secondo tipo (β), cioè l‟errore di accettare 𝐻0 quando è falsa (nel nostro caso, accettare un modello
VaR quando questo non compie una buona stima)
Si definisce potenza del test il complemento a 1 dell‟errore del second tipo, cioè la quantità 1-β, ed esprime
quindi la capacità del test di accertare la falsità di H0 quando questa è effettivamente falsa.
Ogni test delle ipotesi comporta sempre il bilanciamento tra i due tipi di errori: rifiutando un modello accura-
to rispetto a accettare un modello impreciso. Essendo più grave commettere errore del secondo tipo piuttosto
che l‟errore del primo tipo, ai nostri fini è importante la potenza del test sia elevata.
Un test statisticamente più potente minimizza efficacemente entrambe queste probabilità.
100
Figura 3.2 modelli di backtesting: struttura
Fonte: KPMG; Financial Risk Management Backtesting Value at Risk Models; 2011
Figura 3.3: test incondizionato e condizionato su un processo GARCH(1,1); considerando un intervallo di confidenza del
95%
Fonte: J. Lopez; Regulatory Evaluation of Value-at-Risk Models; Federal Reserve Bank of New York; 1997
101
3.2.1 I test di Unconditional Coverage: POF (Proportion of Failures) e
TUFF (Time until First Failure)
Il test creato da Kupiec113
nel „95, detto anche Proportion Of Failures test (test sulla pro-
porzione dei fallimenti), si concentra sulla misura della conditional coverage e misura
quante volte la realtà empirica viola la stima del VaR.
Il test di Kupiec si basa sul test di massima verosimiglianza: l‟ipotesi nulla 𝐻0 è che la
probabilità di osservare delle eccezioni, determinata empiricamente coincida con la proba-
bilità definita nel livello di confidenza
𝐻0:𝑝 = 𝛼
La statistica corrispondente è definita dal test di massima verosimiglianza, dato dal rappor-
to tra due funzioni di verosimiglianza114
, una vincolata rispetto all‟ipotesi nulla e una non
vincolata.
𝐿𝑅𝑃𝑂𝐹 = −2ln 𝛼𝐼 𝛼 1 − 𝛼 𝑇−𝐼 𝛼
𝑝 𝐼 𝛼 1 − 𝑝 𝑇−𝐼 𝛼 ~𝜒2(1)
Dove:
𝛼 = Livello di confidenza
T = Numero totale di osservazioni
𝑝 = Frequenza delle eccezioni effettivamente registrate, dato da 𝑝 = 𝐼(𝛼) T dove
𝐼 𝛼 = 𝐼(𝛼)𝑇𝑡=1 è la quantità di eccezioni osservate
Il test è definito sul logaritmo naturale del quoziente: è immediato costatare che se 𝛼 è
molto prossimo a 𝑝 l‟evidenza empirica conferma quanto stimato dal modello, quindi il test
assumerà valori prossimi a zero e si accetterà il modello, viceversa il test assumerà valori
positivi e molto alti.
113
P. Kupiec; Techniques for verifying the accuracy of risk measurement models; 1995 114
È importante ricordare che il test rapporto delle massime verosimiglianze è una statistica-test che calcola il
rapporto tra le massime probabilità di un risultato sotto le due ipotesi alternative. La massima probabilità del
risultato sotto ipotesi nulla è definito al numeratore, mentre la massima probabilità del risultato sotto ipotesi
alternativa è definito al denominatore.
102
Asintoticamente, il test si distribuisce come una chi-quadro con un grado di libertà, è quin-
di possibile definire un valore critico, pari al quantile della chi-quadro115
𝜒2, che costituirà
il valore-soglia sulla possibilità di accettare o rifiutare l‟ipotesi nulla.
Se i test basati sul numero di eccezioni possono contare su semplicità, immediatezza e un
numero limitato di ipotesi forti, presentano fondamentalmente due svantaggi: generalmen-
te questi test presentano difficoltà di misurazione con modelli VaR che sistematicamente
sottostimano il rischio e in campioni di dimensioni coerenti con l'attuale quadro normativo,
(cioè un anno) essi presentano una bassa potenza, come riconosciuto dall'autore stesso.
In secondo luogo questi test ignorano in che misura è soddisfatta la proprietà di indipen-
denza, e di conseguenza, espongono al rischio di eccezioni clusterizzate.
ricordando che violazioni dipendenti segnalano una assenza di sensibilità del modello alle
mutevoli condizioni di mercato, basarsi unicamente sui test di unconditional coverage po-
trebbe risultare aleatorio.
Sulla stessa idea del POF test, Kupiec ha definito il TUFF Time Until First Failure (tempo
fino alla prima eccezione), cioè un test che oltre ad individuare la quantità delle eccezioni
misura il tempo trascorso prima della prima eccezione.
La corrispondente statistica è ancora una volta definita dal rapporto tra due funzioni di
massima verosimiglianza:
𝐿𝑅𝑇𝑈𝐹𝐹 = −2𝑙𝑛 𝛼(1− 𝛼)𝜐−1
𝑝 (1− 𝑝 )𝑣−1 ~𝜒2(1)
Anche il TUFF test si distribuisce come una chi-quadro con un grado di libertà, consenten-
do di accettare o rifiutare l‟ipotesi nulla se il valore del test supera il limite definito dall'a-
nalista.
115
È opportuno chiarire che il quantile stabilito dalla chi-quadro definisce un livello di confidenza che nulla
ha a che fare con il livello di confidenza stabilito nel VaR.
103
3.2.2 Test di indipendenza: il test di Markov
In termini statistici, ogni test di indipendenza è definito sulla base del test delle ipotesi, in
cui l‟ipotesi nulla presuppone che le violazioni siano indipendenti, mentre l‟eventuale a-
nomalia che il test deve analizzare è prevista nell‟ipotesi alternativa.
Quindi tutti tests di indipendenza svolgono una verifica limitata sul modello: ci sono mi-
riadi di modi in cui la proprietà di indipendenza può essere violata, ma ogni modello di ba-
cktest può studiare una sola forma di violazione.
Tra i tests d‟indipendenza, il più utilizzato è senza dubbio il cosiddetto test di Markov rea-
lizzato da Christoffersen116
, che sfrutta lo stesso test di massima verosimiglianza del POF.
Il test verifica se la probabilità di un'eccezione in qualsiasi giorno dipende o meno dal ma-
nifestarsi dell'eccezione il giorno precedente: definito 𝑛𝑖𝑗 in numero di giorni in cui è av-
venuta la condizione j, condizionata all‟avvenimento della condizione i il giorno preceden-
te, le eccezioni possono essere visualizzate in una tabella 2x2 tale per cui:
𝐼𝑡−1 = 0 𝐼𝑡−1 = 1
𝐼𝑡 = 0 𝑛00 𝑛10 𝑛00 + 𝑛10
𝐼𝑡 = 1 𝑛01 𝑛11 𝑛01 + 𝑛11
𝑛00 + 𝑛01 𝑛10 + 𝑛11 N
Dove:
𝑛𝑖𝑗 = numero di giorni in cui un‟eccezione nel giorno j-esimo (𝐼𝑡) è preceduta da
un‟eccezione nel giorno i-esimo (𝐼𝑡−1)
116
In realtà questo test è parte integrante del test di previsione dell'intervallo di Christoffersen.
A fine divulgativo si è preferito scorporarlo dal suo contesto..l‟autore ci perdonerà per questa trasgressione!
104
Si consideri una catena di Markov117
di prim‟ordine, con una matrice di transizione data da
Π1 = π00 π01
π10 π11
Dove:
𝜋𝑖𝑗 = Pr(𝐼𝑡 = 𝑖|𝐼𝑡−1 = 𝑗) cioè la probabilità che il giorno j-esimo (cioè in t) vi sia una
violazione, condizionata a quanto successo in giorno i-esimo (cioè in t-1),
E quindi
π00 = 1 − π01
π10 = 1 − π11
Da cui la matrice di transizione:
Π1 = 1 − π01 π01
1− π11 π11
Tali parametri sono stimati attraverso le frequenze campionarie 𝑛𝑖𝑗 , per cui:
Π 1 =
𝑛00
𝑛00 + 𝑛01
𝑛01
𝑛00 + 𝑛01𝑛10
𝑛10 + 𝑛11
𝑛11
𝑛10 + 𝑛11
117
Una catena di Markov finita è un sistema composto da un numero finito di n stati, in cui la probabilità che
il sistema passi dallo stato i allo stato j al tempo t-1 è pij t .
Dato un tempo t e una catena di Markov, la matrice
𝑝𝑡 =
𝑝11 (𝑡) 𝑝12(𝑡) ⋯
𝑝21 (𝑡) 𝑝22(𝑡) ⋯
⋮ ⋮ ⋱
È detta matrice di transizione stocastica, in cui
0 ≤ 𝑝𝑖𝑗 ≤ 1 e 𝑝𝑖𝑗 = 1𝑛𝑗=1
La riga i-esima della matrice 𝑃𝑡 descrive l‟ evoluzione di i al tempo t; pertanto la somma di tutti i valori deve
essere 1.
Ulteriori approfondimenti esulano dalle competenze di questo lavoro, si consiglia di vedere altrove.
105
Se è verificata l‟ipotesi d‟indipendenza, la probabilità di ottenere un‟eccezione il giorno t è
indipendente dal verificarsi dell'eccezione il giorno t-1 e di conseguenza, la probabilità che
ieri si sia verificata l‟eccezione deve essere uguale alla probabilità che non si sia verificata,
formalmente
(3.1) 𝐻0:𝜋00 = 𝜋10 = 1− 𝜋
E di conseguenza: 𝜋10 = 𝜋11 = 𝜋
Da cui la matrice di transizione nell‟ipotesi nulla è data da
Π 2 = 1− 𝜋 𝜋
1− 𝜋 𝜋
In questo modo possibile costruire una statistica definita ancora una volta dal rapporto di
massima verosimiglianza:
𝐿𝑅𝑖𝑛𝑑 = −2 ln 𝐿 𝑛 𝜋
𝐿(𝑛|𝜋01𝜋00𝜋10𝜋11) = −2𝑙𝑛
1− 𝜋 𝑛00𝜋𝑛01 1− 𝜋 𝑛10𝜋𝑛11
𝜋00𝑛00𝜋01
𝑛01𝜋10𝑛10𝜋11
𝑛11
= −2𝑙𝑛 1− 𝜋 𝑛00 +𝑛10𝜋𝑛01 +𝑛11
𝜋00𝑛00𝜋01
𝑛01𝜋10𝑛10𝜋11
𝑛11 ~𝜒2(1)
Dove:
𝐿 𝑛 𝜋 = 1− 𝜋 𝑛00𝜋𝑛01 1− 𝜋 𝑛10𝜋𝑛11 = definisce attraverso la verosimiglianza la pro-
babilità di ottenere n eccezioni in ipotesi di indipendenza seriale (cioè considerando la
3.1).
𝐿(𝑛|𝜋01𝜋00𝜋10𝜋11) = verosimiglianza non vincolata
Che si distribuisce anch‟essa come una chi-quadro con un grado di libertà.
106
3.2.3 Test di Conditional Coverage: il test di previsione dell'intervallo
e il Mixed-Kupiec test
Un test completo di copertura condizionale, che consideri al contempo il numero di viola-
zioni del VaR e l‟indipendenza delle violazioni stesse è l‟Interval forecasts test di Christof-
fersen118
ottenuto combinando il test d‟indipendenza e il test POF di Kupiec.
Di conseguenza l‟ipotesi nulla sarà definita dalla combinazione delle due ipotesi dei test
precedenti: la probabilità delle eccezioni è pari al livello di confidenza e la probabilità che
si verifichi un‟eccezione al tempo j-esimo è indipendente dal verificarsi dell'eccezione al
tempo i-esimo, formalmente:
𝐻0: 𝜋00 = 𝜋10 = 𝑎
Da cui la statistica corrispondente è data ancora una volta dal rapporto di massima verosi-
miglianza:
𝐿𝑅𝑐𝑐 = −2𝑙𝑛 𝐿(𝑛|𝜋 = 𝛼)
𝐿(𝑛|𝜋01𝜋00𝜋10𝜋11) = −2𝑙𝑛
𝐿(𝑛|𝜋 = 𝛼)
𝐿(𝑛|𝜋)
𝐿(𝑛|𝜋)
𝐿(𝑛|𝜋01𝜋00𝜋10𝜋11)
= −2𝑙𝑛 𝐿(𝑛|𝜋 = 𝛼)
𝐿(𝑛|𝜋) − 2𝑙𝑛
𝐿(𝑛|𝜋)
𝐿(𝑛|𝜋01𝜋00𝜋10𝜋11)
= 𝐿𝑅𝑖𝑛𝑑 + 𝐿𝑅𝑃𝑂𝐹~𝜒2(2)
Dove:
𝐿(𝑛|𝜋 = 𝛼) = verosimiglianza espressa con il vincolo di copertura e di indipendenza
𝐿(𝑛|𝜋01𝜋00𝜋10𝜋11) = verosimiglianza non vincolata
Tale statistica, essendo soggetta a 2 vincoli, si distribuisce come una chi-quadro con due
gradi di libertà.
Alcuni autori119
hanno sottolineato come sia possibile che un modello passi un test di con-
ditional coverage, pur non presentando né il requisito di copertura incondizionata, né quel-
lo di indipendenza, in questo senso è consigliata l‟esecuzione di test separati.
118
P. Christoffersen; Evaluating interval forecast; International Economic Review; 1998 119
S. Campbell; A Review of Backtesting and Backtesting Procedure, Federal Reserve Board; 2005
107
Di converso, la scomposizione del test di conditional coverage in due test separati offre ul-
teriori possibilità di verifica: se il test risulta fallito, è possibile compiere test distinti per
verificare il difetto effettivo del modello.
Nondimeno, il test di previsione dell'intervallo si limita ad esaminare la dipendenza tra due
osservazioni adiacenti, trascurando la verifica su periodi di tempo più ampi.
Per far fronte a tale difetto, Haas120
introduce un test che, analogamente al test di conditio-
nal coverage, è costituito dall'aggregazione di un test di copertura incondizionata e un test
di indipendenza.
Tuttavia, se per il test di copertura incondizionata si fa riferimento ancora al POF-test, per
il test d‟indipendenza Haas introduce un ulteriore test; il quale piuttosto che osservare se
un‟eccezione dipende dal risultato del giorno precedente121
, misura il tempo trascorso tra
due eccezioni, riuscendo a catturare forme più generali di dipendenza tra eccezioni
Sfruttando il TUFF-test di Kupiec, viene definita la statistica test per ciascuna i-esima ec-
cezione. Quindi:
𝐿𝑅𝑖 = −2𝑙𝑛 𝛼(1 − 𝛼)𝜐𝑖−1
𝑝 (1− 𝑝 )𝑣𝑖−1 ~𝜒2(1)
Dove
𝜐𝑖 è il tempo che intercorre tra l‟eccezione i e l‟eccezione i-1122
.
𝐻0 = le eccezioni sono indipendenti
Pertanto calcolando la statistica per ogni eccezione, con n eccezioni, è possibile costruire
un test che verifichi il tempo trascorso tra eccezioni adiacenti, a cui aggiungere il TUFF-
test riguardante la prima eccezione.
120
M. Haas; New Methods in Backtesting; Research center Caesar; 2001 121
Come avviene nel Markov test 122
Se si considera la prima eccezione, 𝜐 diventa il tempo trascorso prima dell'‟avvento della prima eccezione,
cioè un TUFF-test, v. Par 3.2.1
108
La statistica test sarà quindi definita da:
𝐿𝑅𝑖𝑛𝑑 = −2𝑙𝑛 𝛼(1− 𝛼)𝜐𝑖−1
𝑝 (1 − 𝑝 )𝑣𝑖−1
𝑛
𝑖=2
− 𝑙𝑛 𝛼(1− 𝛼)𝑣−1
𝑝 (1− 𝑝 )𝑣−1 123
Che è distribuita come una 𝜒2(𝑛)
Conseguentemente il test di indipendenza può essere combinato con il POF test di Kupiec,
per ottenere insieme un test di indipendenza e copertura condizionata:
𝐿𝑅𝑚𝑖𝑥 = 𝐿𝑅𝑃𝑂𝐹 + 𝐿𝑅𝑖𝑛𝑑
Distribuita come una 𝜒2(𝑛 + 1)
3.2.4 Test basato sulla funzione di perdita
I test visti in precedenza focalizzano l‟attenzione sulla possibilità di perdite (eccezioni) su-
periori al VaR, e/o sulla loro “densità” all‟interno di un determinato lasso di tempo.
Di fatto, questa impostazione è coerente con quanto postulato dal VaR, che implicitamente
definisce la probabilità di subire una perdita superiore rispetto a quanto calcolato, trala-
sciando l‟effettiva entità di questa perdita.
Un‟alternativa a questi modelli di backtesting è fornita da Lopez124
che introduce un test
basato sulla minimizzazione di una funzione di perdita, normalmente decisa dall'analista in
base alle proprie valutazioni, e di conseguenza abbandona in metodo basato sul test delle
ipotesi, rendendo possibile utilizzare test retrospettivi anche con un numero limitato di os-
servazioni
Formalmente la “perdita” al tempo t+1 è dato dalla funzione:
𝐶𝑚𝑡+1 = 𝑓 𝑟𝑡+1,𝑉𝑎𝑅𝑚𝑡 𝑠𝑒 𝑟𝑡+1 < 𝑉𝑎𝑅𝑚𝑡
𝑔 𝑟𝑡+1,𝑉𝑎𝑅𝑚𝑡 𝑠𝑒 𝑟𝑡+1 ≥ 𝑉𝑎𝑅𝑚𝑡
Dove 𝑓 𝑥,𝑦 ≥ 𝑔 𝑥,𝑦
Generalmente l‟utilizzo della funzione di perdita comporta la definizione di uno score,
𝐶𝑚 = 𝐶𝑚𝑡+𝑖250𝑖=1 .
123
Considerando che l‟ipotesi nulla stabilisce che le eccezioni debbano essere indipendenti, anche le statisti-
ca-test risulteranno indipendenti, cosicché è possibile sommarle. 124
J. Lopez; Methods for EvaluatingValue-at-Risk Estimates; 1999
109
Successivamente il modello di backtesting utilizza tale per testare le performance del mo-
dello, confrontando quanto ottenuto empiricamente, cioè 𝐶𝑚 , con un valore benchmark
precedentemente definito.
Su questa base, Lopez fornisce tre tipi di funzioni di perdita:
Funzioni di perdita basate sul metodo binomiale
Analogamente a quanto visto con Kupiec, tale funzione di perdita definisce un valore
ogni qualvolta l‟analisi del modello esibisce una violazione
𝐶𝑚𝑡+1 = 1 𝑠𝑒 𝑟𝑡+1 < 𝑉𝑎𝑅𝑚𝑡
0 𝑠𝑒 𝑠𝑒 𝑟𝑡+1 ≥ 𝑉𝑎𝑅𝑚𝑡
Dunque l‟analisi verte su ogni elemento del set di osservazioni, assegnando il pun-
teggio quando il valore empirico si presenta come eccezione; in questo senso, è facile
capire come il modello abbia un orientamento negativo: minore sarà lo score totale
𝐶𝑚 , tanto più accurato è il metodo.
È importante costatare che analogamente al POF test, il test di Lopez basato sulla bi-
nomiale si concentra solo sul numero di eccezioni avvenute, e non fornisce informa-
zioni addizionali all‟analisi delle performance del modello.
Come per il test di Kupiec, il valore benchmark è fornito imponendo che il numero di
eccezioni all‟interno del campione sia pari al numero di eccezioni ammesse dal mo-
dello125
.
Funzioni di perdita analoghe al “modello del moltiplicatore”
Tale modello si avvicina al metodo di benchmark previsto dal Comitato nell‟ambito
del Market Risk Amendment.
125
Ad esempio, per un VaR (99%) e con 250 osservazioni il valore benchmark è 𝐸 𝐶𝑚 = 2,5
110
In questo caso, il test non verte non più sull‟analisi di ogni valore a rischio all‟interno
dell'holding period, bensì assegna uno score basato sul set totale delle osservazioni,
in particolare
𝐶𝑚𝑡+1(𝑛) =
0 𝑠𝑒 𝑟𝑡+1 ≥ 𝑉𝑎𝑅𝑚𝑡
0 𝑠𝑒 𝑟𝑡+1 ≤ 𝑉𝑎𝑅𝑚𝑡 𝑒 0 ≤ 𝑛 ≤ 4
0,4 5 𝑠𝑒 𝑟𝑡+1 < 𝑉𝑎𝑅𝑚𝑡 𝑒 𝑛 = 5
0,5 6 𝑠𝑒 𝑟𝑡+1 < 𝑉𝑎𝑅𝑚𝑡 𝑒 𝑛 = 6
0,65 7 𝑠𝑒 𝑟𝑡+1 < 𝑉𝑎𝑅𝑚𝑡 𝑒 𝑛 = 7
0,75 8 𝑠𝑒 𝑟𝑡+1 < 𝑉𝑎𝑅𝑚𝑡 𝑒 𝑛 = 8
0,85 9 𝑠𝑒 𝑟𝑡+1 < 𝑉𝑎𝑅𝑚𝑡 𝑒 𝑛 = 9
1 𝑛 𝑠𝑒 𝑟𝑡+1 < 𝑉𝑎𝑅𝑚𝑡 𝑒 𝑛 ≥ 10
Funzioni di perdita che considerano la dimensione delle perdite
In questo metodo l‟obiettivo non è solamente di verificare la presenza di una viola-
zione, bensì anche quello di computare l‟entità della stessa introducendo nella fun-
zione di perdita binomiale una componente che attribuisce importanza alla dimensio-
ne delle eccezioni rispetto al VaR. Formalmente:
𝐶𝑡+1 = 1 + 𝑟𝑡+1 − 𝑉𝑎𝑅𝑚𝑡
2 𝑠𝑒 𝑟𝑡+1 < 𝑉𝑎𝑅𝑚𝑡
0 𝑠𝑒 𝑟𝑡+1 ≥ 𝑉𝑎𝑅𝑚𝑡
È immediato osservare che lo score derivante dal modello sarà tanto maggiore quan-
to maggiore è la differenza tra la violazione e il VaR.
Con questa funzione di perdita il valore benchmark è ottenuto attraverso un metodo
di simulazione simile a quanto già visto per il modello Monte Carlo: definita una
funzione dei rendimenti, si compiono numerosi simulazioni, definendo per ogni si-
mulazione la distribuzione dei rendimenti e il relativo C-value.
111
Ottenuta la funzione di densità dei C-value si specifica un valore benchmark, definito
dal quantile della distribuzione
126.
L‟analisi sviluppata da Lopez sottolinea come l‟utilizzo di una funzione di perdita riesca
meglio dei metodi basati sul test delle ipotesi a giudicare l‟effettiva performance del mo-
dello VaR, bypassando il problema della bassa potenza del test cui sono soggetti i test di
unconditional e conditional coverage.
Il test di Lopez si focalizza su otto modelli quali:
1. Modello simulato distribuito come una Normale standardizzata 휀𝑡+1~𝑁(0,1) defi-
nito true data-generating process (DGP), che viene utilizzato per individuare il nu-
mero di eccezioni nel test delle ipotesi e come benchmark nella funzione di perdita
2. Distribuzione Normale 휀𝑡+1~𝑁(0, 1 2 )
3. Distribuzione Normale 휀𝑡+1~𝑁(0, 3 4 )
4. Distribuzione Normale 휀𝑡+1~𝑁(0,11
4)
5. Distribuzione Normale 휀𝑡+1~𝑁(0,11
2)
6. Modello a media mobile esponenziale con 𝜆 = 0,94
7. Modello a media mobile esponenziale con 𝜆 = 0,99
8. Simulazione Storica127
126
Altri autori suggeriscono di misurare una media del valore dell‟eccezioni, data da:
𝐶 =1
𝑇 𝐶𝑖
𝑇
𝑖=1
E successivamente calcolare il valore benchmark da una distribuzione simulata dei rendimenti di portafoglio 127
Per questo modello sono state prese a riferimento le ultime 500 osservazioni
112
Per quanto riguarda i modelli di backtesting, l‟autore utilizza:
- test POF per l‟unconditional coverage
- test di Christoffensen la conditional coverage
Entrambi considerati utilizzando un valore critico del 5%
- test basato sulla funzione di perdita nelle tre varianti proposte da Lopez.
L‟abilità delle tre varianti nel valutare le performance dei modelli è giudicata verificando
quanto spesso le stime VaR hanno uno score maggiore rispetto a quanto previsto dal DGP,
sostanzialmente quante volte lo score della stima supera lo score-benchmark.
L‟analisi di Lopez in Figura 3.4 dimostra che per i modelli omoschedastici la potenza del
test varia notevolmente, legata soprattutto alla differenza tra la varianza dei modelli stessi e
la varianza del DGP, assunta come distribuzione effettiva dei rendimenti (in parole povere,
essa “costituisce” il denominatore nel rapporto di massima verosimiglianza): l‟analisi svela
come le differenze più grandi portano a maggiore potenza.
Per quanto riguarda i modelli eteroschedastici EWMA, il rapporto di massima verosimi-
glianza non presenta alcuna potenza in quanto le stime VaR sono molto simili a quelle pre-
viste nel DGP, e al contempo è possibile notare che il modello di simulazione storica ha
bassa potenza in entrambi i test.
Fonte: J. Lopez; Methods for EvaluatingValue-at-Risk Estimates; 1999
Figura 3.4: Analisi di Lopez sull'‟efficacia dei modelli di backtest
113
Per quanto riguarda i modelli di Lopez, il valore rappresenta il numero di simulazioni in
cui lo score-benchmark del DGP è risultato inferiore a quello calcolato con il modello. Di
conseguenza valori molto alti rappresentano i casi in cui il modello è rifiutabile poiché i-
naccurato.
In questo senso, è possibile notare che se il modello 2 e il modello 3 manifestano il massi-
mo grado di imprecisione, di converso i modelli 4 e 5 presentano sistematicamente uno
score inferiore rispetto al valore benchmark; al contrario i modelli a volatilità esponenziale
e il modello a simulazione storica presentano livelli di “inaccettabilità” tollerabili.
Come osservato da Campbell128
e dallo stesso Lopez129
il vero vantaggio del metodo della
funzione di perdita sta nella possibilità di costruire la funzione in base alle analisi del valu-
tatore.
Per quanto riguarda i metodi proposti da Lopez, se i primi due ricalcano rispettivamente
quanto visto nel metodo POF e nel Framework di Basilea, è il terzo metodo a richiedere
una più attenta analisi.
Innanzitutto, l‟approccio della funzione di perdita è in contrasto con le proprietà stocasti-
che della funzione 𝐼𝛼 che, come già precisato, si distribuisce come una variabile casuale
Bernulliana, trascurando la forma della distribuzione dei rendimenti.
In secondo luogo, e anche in virtù di quanto già visto nei modelli VaR, la possibilità di ipo-
tizzare a priori la forma della distribuzione può portare a distorsioni nella valutazione.
In parole povere, nel caso la distribuzione è definita in modo errato, i risultati del backtest
sono distorti. Di conseguenza uno score che supera il valore di riferimento può comportare
che il modello VaR sia a priori sbagliato, ma può anche implicare ipotesi sbagliate circa la
funzione di backtest utilizzata.
Questo macroscopico difetto ha spinto lo stesso Lopez a suggerire l‟utilizzo del metodo per
confrontare le perfomance del modello VaR nel tempo o per confrontare modelli diversi tra
loro, mentre se l‟obiettivo è quello di validare un modello VaR, l‟autore consiglia di
l‟utilizzo della la funzione di perdita in tandem con altri metodi.
128
S. Campbell; A Review of Backtesting and Backtesting Procedures; Finance and Economics Discussion
Series; Divisions of Research & Statistics and Monetary Affairs; Federal Reserve Board; 2005 129
J. Lopez; Methods for EvaluatingValue-at-Risk Estimates; 1999
114
3.3 Il backtesting secondo Basilea
La possibilità di utilizzare modelli interni, ha imposto l‟utilizzo di un modello di backtest
che verificasse le effettive performance del modello VaR.
A tal fine il Comitato premette che “The essence of all backtesting efforts is the compari-
son of actual trading results with model-generated risk measures. If this comparison is
close enough, the backtest raises no issues regarding the quality of the risk measurement
model. In some cases, however, the comparison uncovers sufficient differences that prob-
lems almost certainly must exist, either with the model or with the assumptions of the back-
test. In between these two cases is a grey area where the test results are, on their own, in
conclusive”130
.
Per il prosieguo della trattazione, è utile ricordare che se il VaR è la massima perdita otte-
nibile all‟interno di un holding period e con un intervallo di confidenza 𝛼, di converso la
probabilità giornaliera che si verifichi un‟eccezione131
(se le stesse sono indipendenti) è di
100- 𝛼%.
Il test retrospettivo elaborato da Basilea consiste in un confronto tra le perdite teoriche pre-
viste dal modello VaR utilizzato e le perdite giornaliere effettivamente realizzate, contando
il numero di eccezioni, cioè di casi in cui la perdita teorica supera il valore a rischio misu-
rato dal modello interno.
Formalmente, il backtest previsto da Basilea è basato su una mera computazione del nume-
ro di volte in cui si verificano le eccezioni, su un livello di confidenza del 99%, in linea
con quanto previsto per la definizione dei modelli VaR.
Il trade off tra numero di osservazioni e “stabilità” del test ha fatto sì che il Comitato defi-
nisse un test basato su un computo su base trimestrale delle eccezioni, utilizzando i dati
degli ultimi dodici mesi, cioè 250 giorni borsa, considerando un periodo di detenzione di
130
“Ogni test retrospettivo consiste essenzialmente nel raffrontare gli effettivi risultati di negoziazione con le
misure del rischio prodotte dai modelli. Se i valori comparati sono sufficientemente prossimi, il test retrospet-
tivo non evidenzia alcun problema in ordine alla qualità del modello. In alcuni casi, per contro, gli scosta-
menti sono tali da far ritenere quasi certa l‟esistenza di problemi, a livello di modello oppure dei criteri pre-
suntivi su cui è basato il test. Fra queste due situazioni estreme vi è un‟”area intermedia” in cui i risultati del
test non sono, di per sé, conclusivi”.
Tratto da: Basle Committee on Banking Supervision; Supervisory framework for the use of "backtesting" in
conjunction with the internal models approach to market risk capital requirements; 1996 131
Cioè il numero di volte in cui la perdita, empiricamente verificatasi superava quanto calcolato dal VaR
115
un giorno e avendo a riferimento un portafoglio composto da posizioni immutate in un arco
di tempo giornaliero132
.
Il risultato fornito dal test retrospettivo è valutato attraverso l‟approccio a zone o semaforo
di Basilea: in base al numero di eccezioni e considerando l‟errore del Errore del 1˚ tipo e
del 2˚ tipo a cui il test è soggetto, sono definite tre zone distinte, che indicano il grado di
inaccuratezza del modello, e di conseguenza il rischio di perdite superiori al VaR che insi-
ste sull'‟intermediario. (Tabella 3.1).
132
A questo proposito, lo stesso Comitato ammette che l‟elevato tourn-over che caratterizza i portafogli ban-
cari rende di difficile applicazione il backtest Basilea: per ridurre la contaminazione derivante dalla difficoltà
di valutare le performance di un modello VaR in un contesto così mutevole, il Comitato di Basilea impone di
calcolare il VaR e il relativo backtest riferendosi ad un portafoglio costante
116
Tabella 3.1: definizione di un modello accurato per T=250 (ipotesi nulla: 𝜶 = 𝟏%) e di modelli inaccurati (ipotesi alter-
nativa 𝜶 = 𝟐%,𝟑%,𝟒%,𝟓%). Il numero esatto indica la probabilità di ottenere quel numero di eccezioni.
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11
12
13
14
15
Fonte: Basle Committee on Banking Supervision; Supervisory framework for the use of "backtesting" in conjunction
with the internal models approach to market risk capital requirements; 1996
117
In particolare, si distingue:
Zona Verde: non più di quattro eccezioni.
Tale risultato è sintomo di un modello VaR corretto comporta una probabilità molto
bassa di errore del 2˚ tipo.
Zona Gialla: dai cinque ai nove errori.
I modelli inseriti nella zona gialla si presentano non perfettamente accurati.
Per questi tipi di modelli e per quelli presenti nella zona rossa, il Comitato ha previ-
sto un sistema di rivalutazione del rescaling factor K, al fine di aumentare il requisito
prudenziale e tener conto delle difficoltà del modello stesso133
.
Tuttavia lo stesso Comitato assicura che “[...] al fine di non distorcere la struttura
d‟incentivi, si dovrebbe generalmente presumere che i risultati rientranti nella zona
gialla comportino una maggiorazione del fattore di moltiplicazione, a meno che la
banca possa dimostrare che tale maggiorazione non è giustificata”134
.
Quindi, lo stesso Comitato permette di non maggiorare lo scaling factor, a patto che
la banca dimostri che tale defaillance del modello sia giustificata da motivi validi ed
esterni al modello VaR135
.
In questo senso, il Comitato sollecita le banche a compiere anche test differenti da
quanto prescritto dal Market Risk Amendment, utilizzando ad esempio altri modelli,
differenti intervalli di confidenza o sottoinsiemi dell'intero portafoglio col solo scopo
di motivare un alto numero di eccezioni nel modello.
In quest‟ambito il Comitato lascia a discrezione delle Autorità di Vigilanza la possi-
bilità di non applicare la maggiorazione se l‟“ingresso” nella zona gialla è saltuario o
dipendente da eventi esterni al modello, tenendo conto di altri fattori quali lo scosta-
mento tra la perdita teorica e quella effettiva, l‟osservanza da parte della banca dei
criteri qualitativi previsti dal MRA
133
Dei differenti valori del rescaling factor si parlerà più avanti 134
Basle Committee on Banking Supervision; Supervisory framework for the use of "backtesting" in conjunc-
tion with the internal models approach to market risk capital requirements; 1996 135
In particolare il Comitato distingue performance scadenti causate:
Malfunzionamenti o imprecisioni del modello: tali difetti distorcono la valutazione del requisito pa-
trimoniale, e in quanto tali comportano il proporzionale aumento del rescaling factor
Casualità e evoluzione imprevista dei mercati: tali mancanze non sono sintomo di difficoltà del mo-
dello del prevedere il valore a rischio ma dipendono da cause che esulano in parte dalle responsabilità
della banca
Negoziazione infragiornaliera: è intervenuta una perdita rilevante tra una giornata e la giornata suc-
cessiva
118
Zona rossa: dieci eccezioni o più
Salvo non si operi in un ambito di improvvisa e imprevedibile turbolenza dei merca-
ti, i modelli presenti nella zona rossa possono essere additati senza dubbio come i-
naccurati.
In considerazione di ciò il Comitato impone l‟aumento del rescaling factor e sollecita
l‟Autorità di Vigilanza a compiere indagini e pressioni sull'intermediario affinché
compia azioni correttive.
Partendo dal numero di eccezioni, il Comitato ha quindi definito lo scaling factor K, cioè
quel valore, proporzionale al numero di violazioni, che deve essere moltiplicato per il VaR
al fine di ottenere l‟effettivo requisito patrimoniale. La (3.4) e la Tabella 3.2 mostrano la
relazione esistente tra le zone e il valore del fattore scalare.
Tabella 3.2: l‟approccio a zone o semaforo di Basilea, in un campione T=250 e con un livello di copertura del 99%. Co-
me è noto la probabilità cumulativa è la probabilità di ottenere un numero di eccezioni pari o inferiore a quanto specifica-
to. Va inoltre specificato che la zona gialla e la zona rossa sono delimitate rispettivamente alla probabilità del 95% e del
99,99%
Zone Number of excep-
tions
Increase of scaling
factor K
Cumulative proba-
bility
(in %)
Green Zone
0 0 8,11
1 0 28,58
2 0 54,32
3 0 75,81
4 0 89,22
Yellow Zone
5 0,40 95,88
6 0,50 98,63
7 0,65 99,60
8 0,75 99,89
9 0,85 99,97
Red Zone 10 or more 1 99,99
Fonte: Basle Committee on Banking Supervision; Supervisory framework for the use of "backtesting" in conjunction
with the internal models approach to market risk capital requirements; 1996
119
O, più formalmente
(3.4) 𝐾 =
3,0 𝑠𝑒 𝑁 ≤ 4 (𝐺𝑟𝑒𝑒𝑛 𝑧𝑜𝑛𝑒)
3,0 + 0,2 𝑁 − 4 𝑠𝑒 5 ≤ 𝑁 ≤
4,0 𝑠𝑒 10 ≤ 𝑁 (𝑅𝑒𝑑 𝑧𝑜𝑛𝑒)
9 (𝑌𝑒𝑙𝑙𝑜𝑤 𝑧𝑜𝑛𝑒)
Nondimeno è facile immaginare come l‟approccio del semaforo di Basilea sia troppo sem-
plicistico per una valutazione piena del modello.
Infatti oltre ad ignorare totalmente la possibile dipendenza tra le eccezioni, le prove empi-
riche dimostrano che il test di Basilea presenta difficoltà nel distinguere un modello accu-
rato. Il Comitato stesso, pienamente cosciente delle lacune, ha preferito comunque optare
per un test formale piuttosto che basarsi su un approccio discrezionale, suggerendo tuttavia
di utilizzare il test in tandem con test uniformemente più potenti.
120
3.4 Basilea II
Il nuovo Accordo di Basilea, o Basilea II, emanato nel 2004 e orientato a banche e gruppi
bancari a livello internazionale, è stato realizzato per sopperire ai difetti e alle distorsioni136
prodotti dal precedente accordo e per ampliare gli obiettivi della Vigilanza bancaria:
all‟intenzione di stabilire un level playing field e garantire la solvibilità del sistema banca-
rio definiti da Basilea I, si aggiunge l‟obbiettivo di accrescere la sensibilità al rischio degli
intermediari finanziari.
Infatti il nuovo framework è volto a conferire maggiore importanza alla gestione del ri-
schio, a creare un più stretto legame tra rischio e adeguatezza patrimoniale e a promuovere
il costante potenziamento delle capacità di valutazione dell'esposizione da parte delle stes-
se banche.
In questo senso, il Comitato non ha compiuto un‟operazione di miglioramento del prece-
dente accordo, bensì ha definito ex novo un complesso sistema di Vigilanza composto da
tre pilastri (Figura 3.5):
Figura 3.5: i tre pilastri di Basilea II
Fonte: <www.borsaitaliana.it>
136
Il primo Accordo di Basilea classificava la totalità di controparti in quattro categorie, incentivando le ban-
che a dar vita a sistemi distorsivi per ridurre il costo della regolamentazione.
Per maggiori dettagli si veda l‟Appendice D
121
Primo pilastro: definisce il nuovo set di requisiti patrimoniali e coefficienti a fronte
del rischio di credito, del rischio di mercato e del rischio operativo.
Come per l‟Accordo dell'‟88, il Patrimonio di Vigilanza rimane superiore o uguale
all‟8% degli attivi ponderati per il rischio ma, se la composizione e le caratteristiche
del Patrimonio di Vigilanza rimangono invariate, un sensibile rinnovo avviene nel
calcolo degli attivi ponderati per il rischio.
L‟Attivo ponderato totale è definito ora dalla somma tra gli RWA per rischio di
credito, rischio di mercato e rischio operativo, Basilea II definisce:
Rischio di credito
I nuovi metodi per la ponderazione degli assets sono orientati alla convinzio-
ne che ad una stima più precisa comporta un vantaggio per gli intermediari
più efficienti.
In questo senso è consentito agli intermediari di sviluppare propri metodi di
stima, delineati sulla base dei business e del profilo di rischio
dell‟intermediario
In questo senso, il Comitato ha previsto due metodi di calcolo dell'RWA: una
metodologia Standard ed un approccio, invece, basato sui rating interni (In-
ternal Rating Based, IRB).
Il metodo Standard rimane simile a quanto previsto nel primo Accordo: viene
assegnata per ogni esposizione un coefficiente di ponderazione, che dipende
dalla natura della controparte, della esposizione e della presenza di rating e-
sterni.
In particolare, per le controparti “retate” le ponderazioni sono fornite da isti-
tuzioni esterne, mentre per le esposizioni prive di rating il metodo in pone
perlopiù una ponderazione del 100%
Nel metodo IRB invece, le banche utilizzano proprie stime per i calcolo delle
tre componenti di rischio: Probability of Default, Loss Given Default, Exposi-
tion at Default.
In particolare, nell‟approccio IRB Foundation (approccio di base), la PD è
stimata dalla banca, mentre l‟Autorità di Vigilanza fornisce quadri di stima
122
della LGD e della EAD; al contrario nell‟IRB Advanced137
(approccio avan-
zato) tutti i fattori sono generati autonomamente dall‟intermediario; di conse-
guenza la gamma delle ponderazioni risulterà maggiormente diversificata
consentendo maggiore sensibilità al rischio
Rischio di mercato: Basilea II, segue in larga parte la disciplina del Market
Risk Amendment del 1996, focalizzandosi sul trading book e mantenendo le
categorie titoli azionati, titoli di debito, posizioni in cambi e posizioni in
commodities.
Rischio operativo: è definito come “il rischio di perdite derivanti dalla ina-
deguatezza o dalla disfunzione di procedure, risorse umane e sistemi interni,
oppure da eventi esogeni”138
.
Esso può essere calcolato secondo tre diversi metodi dagli istituti finanziari:
un metodo base (BIA, basic indicator approach), un metodo standard (TSA,
traditional standardised approach) ed un metodo avanzato (AMA, advanced
measurement approach)139
.
Nel metodo base, il requisito è dato da un coefficiente fisso 𝛼 pari al
15%,applicato al valore medio del Margine di Intermediazione degli ultimi
tre anni, considerando quest‟ultimo come rappresentativo dell‟attività globale
dell'intermediario.
Nella metodologia standard, invece, si richiede alle banche di suddividere
l‟attività in unità operative e linee, applicando per ognuna di esse un indicato-
re 𝛽 differente per ogni business line. Infine, con approccio avanzato, le valu-
tazioni si basano sulla suddivisione dell‟attività in aree e sull‟utilizzo di mo-
delli interni per la stima del capitale richiesto.
137
L‟utilizzo dell'‟IRB Advanced è destinato solo ad intermediari che rispettano particolari requisiti 138
Comitato di Basilea per la Vigilanza Bancaria; Convergenza internazionale della misurazione del
capitale e dei coefficienti patrimoniali; 2004 139
L‟approccio standardizzato e L‟approccio avanzato possono essere adottati a condizione che la banca ri-
spetti alcuni requisiti, per i dettagli si veda Comitato di Basilea per la Vigilanza Bancaria; Convergenza in-
ternazionale della misurazione del capitale e dei coefficienti patrimoniali; 2004
123
Tabella 3.2: evoluzione del calcolo del requisito patrimoniale a fronte dei tre rischi
Secondo Pilastro
Riguarda la supervisione degli intermediari da parte delle Autorità di Vigilanza e
improntato ad una duplice esigenza: in primo luogo le banche hanno l‟obbligo di
valutare la coerenza tra capitale e profilo di rischio, e la propria adeguatezza patri-
moniale, eventualmente tenendo conto dei rischi esterni, e dell'impatto di situazioni
congiunturali avverse.
In secondo luogo le Autorità di Vigilanza devono al contempo verificare il processo
di determinazione dell‟adeguatezza patrimoniale, le strategie poste in essere e la
struttura organizzativa ed assumere eventuali azioni correttive.
Per adempiere a tali obblighi, le banche devono dotarsi di sistemi di misura che
permettano di verificare l‟adeguatezza patrimoniale e alle autorità di Vigilanza
spetta il compito di supervisionare tale processo ed eventualmente denunciare ano-
malie.
In questo senso, le istituzioni finanziarie effettuano una valutazione autonoma dei
propri requisiti patrimoniali attraverso l‟ICAAP (Internal Capital Adequacy Asses-
sment Process), mentre parallelamente le Autorità valutano il processo svolto dalla
Rischio di Credito
Rischio di Merca-
to Rischio Operativo
Basilea I
(1988) Approccio Standard - -
Market
Risk A-
mendment
(1996)
Approccio Standard
Approc-
cio Stan-
dard
Model-
li In-
terni
-
Basilea II
(2004)
Approc-
cio Stan-
dard
IRB
Founda-
tion
IRB
Advan-
ced
Approc-
cio Stan-
dard
Model-
li In-
terni
Approc-
cio Base
Approc-
cio Stan-
dard
Approc-
cio A-
vanzato
124
banca con una procedura denominata SREP (Supervisory Review and Evaluation
Process).
I rischi che devono essere ivi valutati sono in particolare il rischio di concentrazio-
ne, il rischio commerciale, i rischi di tasso sul banking book ed il rischio di liquidi-
tà, ma esistono molte altre fattispecie che devono essere analizzate e valutate in tal
senso.
In secondo luogo è previsto che le Autorità di Vigilanza possano richiedere un li-
vello superiore di patrimonializzazione o possano intervenire se viene constatata
una copertura insufficiente dei requisiti.
Terzo Pilastro
Lo scopo del terzo pilastro è quello di completare i requisiti patrimoniali minimi
stabiliti nel primo pilastro e il processo di controllo prudenziale affrontato dal se-
condo.
In particolare il Comitato si è adoperato per incoraggiare la disciplina di mercato
mediante l‟elaborazione di una serie di obblighi di trasparenza e di pubblicità ri-
guardanti anche i modelli con cui la banca calcola la propria adeguatezza patrimo-
niale e valuta il rischio.
Il nuovo Accordo di Basilea individua nella disciplina di mercato uno strumento
complementare agli strumenti di Vigilanza del primo e del secondo pilastro: se agli
investitori si offre la possibilità di misurare in maniera efficace il profilo di rischio e
l'adeguatezza patrimoniale delle banche, essi avranno più strumenti per valutare la
società e, implicitamente, il mercato è incentivato a fornire un giudizio sull'adegua-
tezza patrimoniale dell'intermediario
125
CAPITOLO 4.
Il VaR e gli shock di mercato: il caso empirico
4.1 L‟analisi empirica: premessa
Il caso empirico è orientato a verificare se e in che misura il VaR sia in grado di incorpora-
re eventuali shock di mercato.
A tal proposito, l‟analisi si sviluppa nella stima della massima perdita probabile mediante
l‟utilizzo di differenti modelli VaR.
Per enfatizzare l‟obiettivo proposto, la stima si concentra intorno a periodi sensibili del
mercato finanziario europeo, optando dunque per i principali momenti di shock nel periodo
2001-2013.
Infine, è opportuno specificare che l‟elaborazione matematico-statistica è stata svolta uti-
lizzando il foglio elettronico Excel e il programma Gretl.
4.1.1 I modelli selezionati
La selezione dei modelli è tesa a considerare sia modelli maggiormente “tradizionali” che
modelli più innovativi, con un occhio di riguardo a metodi che conferiscono maggior peso
alle osservazioni più recenti rispetto a quelle passate.
In particolare si è optato per:
Modello Delta-Normal; holding period annuale (261 osservazioni); livello di confi-
denza 99%;
Modello Asset-Normal; holding period annuale (261 osservazioni); livello di confi-
denza 99%;
Modello Delta-Normal; holding period annuale (261 osservazioni); livello di confi-
denza 99%; volatilità esponenziale (EWMA) con fattore di decadimento 0,99;
Modello Delta-Normal; holding period annuale (261 osservazioni); livello di confi-
denza 99%; volatilità esponenziale (EWMA) con fattore di decadimento 0,97;
Modello Delta-Normal; holding period annuale (261 osservazioni); livello di confi-
denza 99%; volatilità stimata con modello GARCH(1;1);
126
Modello Asset-Normal; holding period annuale (261 osservazioni); livello di confi-
denza 99%; volatilità esponenziale (EWMA) con fattore di decadimento 0,99;
Modello Asset-Normal; holding period annuale (261 osservazioni); livello di confi-
denza 99%; volatilità esponenziale (EWMA) con fattore di decadimento 0,97;
Al fine di considerare la vera forma della distribuzione, questi modelli sono stati calcolati
utilizzando un percentile 𝑧𝛼 “modificato” (da ora definito 𝑧𝛼∗ ), in grado di incorporare cur-
tosi e asimmetria della distribuzione dei rendimenti per ogni titolo e per l‟indice di merca-
to.
Modello delle Simulazioni Storiche; holding period annuale (261 osservazioni), li-
vello di confidenza 99%;
Modello ibrido; holding period annuale (261 osservazioni), livello di confidenza
99%, 𝜆 = 0,99;
4.1.2 Il campione adoperato
Le turbolenze avvenute nell‟ultimo ventennio, quali l‟esplosione della bolla informatica, lo
shock dei mutui subprime, e il crack della banca Lehman Brothers hanno impattato note-
volmente sui mercati Europei, causando da almeno 5 anni una crisi finanziaria e, in alcuni
casi come Italia, Spagna, Grecia e Irlanda anche un fenomeno di grave recessione.
In questo senso, lo studio empirico non poteva non focalizzarsi proprio su mercato europe-
o, ed in particolare su tre market exchange: il mercato italiano, il mercato tedesco e il mer-
cato francese.
Al fine di non rendere l‟analisi troppo generalizzata, per ognuno di essi sono state scelte le
società più rappresentative dei rispettivi mercati di riferimento.
In questo senso, si è ritenuto opportuno considerare le società più rappresentative come
quelle maggiormente capitalizzate all‟interno dei rispettivi mercati.
A tal fine, si è optato per otto tra le prime dieci società a maggiore capitalizzazione
all‟interno degli indici FTSE MIB, DAX30 e CAC40, generalmente considerati gli indici
di riferimento rispettivamente per la Borsa di Milano, di Francoforte e di Parigi.
La scelta compiuta ha definito un portafoglio complessivo che, seppure di dimensione mo-
desta, risulta piuttosto diversificato a livello di settore industriale.
127
Difatti, ricorrendo la differenziazione in settori del GICS®140
, è possibile constatare come
siano state toccate in misura più o meno amplia tutti i settori, nonostante appaia preponde-
rante la presenza di società finanziarie e di società di beni di “lusso” (consumer discretio-
nary).
Grafico 4.1: ripartizione del campione per GICS® Sector
Analogamente, la suddivisione in gruppi industriali rivela più in dettaglio una presenza
preponderante di società automobilistiche, banche e assicurazioni
140
Gli standards GICS® (Global Industry Classification Standard) sono stati introdotti nel 1999 da MSCI e
S&P al fine di definire una classificazione settoriale delle società in tutto il mondo.
Il GICS® è costituito da 10 settori, 24 gruppi industriali, 68 industrie e 154 sotto-industrie. Ogni impresa
viene catalogata in base al core business ((misurato sulle voci contabili di ricavo).
I settori individuate dal GICS® sono:
• Energy Sector (settore energetico);
• Materials Sector (settore manifatturiero);
• Industrials Sector (settore industriale);
• Consumer Discretionary Sector (imprese che si rivelano maggiormente sensibili ai cicli economici);
• Consumer Staples Sector (imprese meno sensibili ai cicli economici);
• Health Care Sector (settore farmaceutico e biotecnologico);
INTESA SANPAOLOGeography Code - IT Industry Group - BANKS
Local Code - M007261 Exchange - Milan
Mnemonic - I:ISP
Sector - BANKS
Current Price 1.7650 11:45
12 Mth Range High 1.7820 10/10/13
Low 1.1240 26/ 3/13
Price Change 1mth 3mth 12mth
(E) 8.0% 37.0% 38.1%
Relative to FTSEMIB
0.6% 14.0% 14.6%
Market Value (E) 27360.15M
Fin.Yr LocStd I/B/E/S
12/12 06/13 12/13 12/14
EPS 0.10 0.050 0.083 0.14
PE 17.6 35.3 21.3 12.3
PE Rel. 172.5%
P/Cash 6.07 (%=Rel to DS Index)
Dividend Rate (E) 0.05
Dividend Yield 2.83
Dividend Cover 1.0Div Last Fin Year 0.05
Last Div Paid YR (E) 0.05 Tax-G
Pay Date 23/05/13 XD Date 20/05/13
(E) 12/10 12/11 12/12
Total sales 35105M 36728M 36139M
Pre-Tax Prof. 3237M -9542M 2967M
Publ. EPS 0.20 -0.56 0.10
Cash EPS 0.83 0.56 0.29
Mkt to Bk Val 0.48 0.45 0.43
ROE (%) 5.09 -16.29 3.32
No. Shares in Issue 15501510(000s)
Volume 288937.1(000s)
Percentage of free float 90%
Volatility 5
Beta 1.636
Correlation 0.894
Price and Index (rebased)
94959697989900010203040506070809101112
0
2
4
6
8
INTESA SANPAOLO
FTSE MIB INDEX (PI)
Source: Thomson Datastream
DATASTREAM EQUITIES 11/10/13 10.57
ASSICURAZIONI GENERALIGeography Code - IT Industry Group - FLINS
Local Code - M006207 Exchange - Milan
Mnemonic - I:G
Sector - NLINS
Current Price 16.2600 11:41
12 Mth Range High 16.2600 11/10/13
Low 11.7000 11/10/12
Price Change 1mth 3mth 12mth
(E) 8.7% 16.6% 39.0%
Relative to FTSEMIB
1.3% -2.9% 15.3%
Market Value (E) 25314.74M
Fin.Yr LocStd I/B/E/S
12/12 06/13 12/13 12/14
EPS 0.060 0.21 1.39 1.45
PE 271.0 77.4 11.7 11.2
PE Rel. 378.5%
P/Cash 2.34 (%=Rel to DS Index)
Dividend Rate (E) 0.20
Dividend Yield 1.23
Dividend Cover 1.0Div Last Fin Year 0.20
Last Div Paid YR (E) 0.20 Tax-G
Pay Date 23/05/13 XD Date 20/05/13
(E) 12/10 12/11 12/12
Total sales 87156M 70952M 84657M
Pre-Tax Prof. 2837M 1805M 1638M
Publ. EPS 1.10 0.56 0.06
Cash EPS 16.08 8.34 6.94
Mkt to Bk Val 1.25 1.03 1.24
ROE (%) 10.13 4.85 0.52
No. Shares in Issue 1556872(000s)
Volume 12109.5(000s)
Percentage of free float 87%
Volatility 4
Beta 1.250
Correlation 0.905
Price and Index (rebased)
94959697989900010203040506070809101112
0
10
20
30
40
50
ASSICURAZIONI GENERALI
FTSE MIB INDEX (PI)
Source: Thomson Datastream
Figura 4.1 e 4.2: andamento del prezzo dei titoli italiani in realazione all‟indice FTSE MIB e serie storica dei rendimenti
133
DATASTREAM EQUITIES 11/10/13 11.05
UNICREDITGeography Code - IT Industry Group - BANKS
Local Code - M478141 Exchange - Milan
Mnemonic - I:UCG
Sector - BANKS
Current Price 5.4100 11:49
12 Mth Range High 5.4600 10/10/13
Low 3.2380 4/ 4/13
Price Change 1mth 3mth 12mth
(E) 14.4% 50.5% 54.5%
Relative to FTSEMIB
6.6% 25.3% 28.2%
Market Value (E) 31319.61M
Fin.Yr LocStd I/B/E/S
12/12 06/13 12/13 12/14
EPS 0.15 0.080 0.20 0.37
PE 36.1 67.6 27.2 14.7
PE Rel. 330.5%
P/Cash 2.03 (%=Rel to DS Index)
Dividend Rate (E) 0.09
Dividend Yield 1.66
Dividend Cover 0.9Div Last Fin Year 0.09
Last Div Paid YR (E) 0.09 Tax-G
Pay Date 23/05/13 XD Date 20/05/13
(E) 12/10 12/11 12/12
Total sales 42032M 42749M 42775M
Pre-Tax Prof. 2175M -7727M -327M
Publ. EPS 0.42 -3.37 0.15
Cash EPS 4.18 4.97 2.66
Mkt to Bk Val 0.47 0.24 0.34
ROE (%) 1.88 -16.21 1.43
No. Shares in Issue 5789207(000s)
Volume 97801.5(000s)
Percentage of free float 94%
Volatility 6
Beta 1.912
Correlation 0.894
Price and Index (rebased)
94959697989900010203040506070809101112
0
20
40
60
UNICREDIT
FTSE MIB INDEX (PI)
Source: Thomson Datastream
DATASTREAM EQUITIES 15/10/13 11.05
ATLANTIAGeography Code - IT Industry Group - TRNSV
Local Code - M350619 Exchange - Milan
Mnemonic - I:ATL
Sector - INDTR
Current Price 15.6800 11:46
12 Mth Range High 15.7800 9/10/13
Low 11.9200 21/ 6/13
Price Change 1mth 3mth 12mth
(E) 4.5% 25.7% 29.7%
Relative to FTSEMIB
-3.0% 3.7% 6.9%
Market Value (E) 10377.45M
Fin.Yr LocStd I/B/E/S
12/12 06/13 12/13 12/14
EPS 1.25 0.94 0.94 1.03
PE 12.5 16.7 16.8 15.2
PE Rel. 80.9%
P/Cash 6.72 (%=Rel to DS Index)
Dividend Rate (E) 0.75
Dividend Yield 4.76
Dividend Cover 1.3Div Last Fin Year 0.75
Last Div Paid FIN (E) 0.391 Tax-G
Pay Date 23/05/13 XD Date 20/05/13
(E) 12/10 12/11 12/12
Total sales 4521M 4941M 5101M
Pre-Tax Prof. 1108M 1127M 1146M
Publ. EPS 1.05 1.28 1.25
Cash EPS 2.18 2.68 2.33
Mkt to Bk Val 2.88 2.22 2.38
ROE (%) 22.79 24.81 21.94
No. Shares in Issue 661828(000s)
Volume 1777.2(000s)
Percentage of free float 49%
Volatility 4
Beta 0.875
Correlation 0.823
Price and Index (rebased)
94959697989900010203040506070809101112
0
10
20
30
ATLANTIA
FTSE MIB INDEX (PI)
Source: Thomson Datastream
DATASTREAM EQUITIES 15/10/13 11.02
FIATGeography Code - IT Industry Group - AUTOS
Local Code - M197640 Exchange - Milan
Mnemonic - I:F
Sector - AUTMB
Current Price 6.3950 11:42
12 Mth Range High 6.4500 16/ 8/13
Low 3.3140 20/11/12
Price Change 1mth 3mth 12mth
(E) 4.0% 7.7% 50.5%
Relative to FTSEMIB
-3.5% -11.2% 24.1%
Market Value (E) 7997.98M
Fin.Yr LocStd I/B/E/S
12/12 06/13 12/13 12/14
EPS 0.29 0.16 0.30 0.53
PE 22.4 38.8 21.5 12.1
PE Rel. 188.0%
P/Cash 1.36 (%=Rel to DS Index)
Dividend Rate (E) 0.00
Dividend Yield -
Dividend Cover -Div Last Fin Year 0.00
Last Div Paid YR (E) 0.09 Tax-G
Pay Date 21/04/11 XD Date 18/04/11
(E) 12/10 12/11 12/12
Total sales 35880M 59559M 83957M
Pre-Tax Prof. 706M 2185M 2036M
Publ. EPS 0.18 1.08 0.29
Cash EPS 1.81 3.06 4.71
Mkt to Bk Val 1.64 0.52 0.52
ROE (%) 4.76 13.16 3.91
No. Shares in Issue 1250662(000s)
Volume 10696.4(000s)
Percentage of free float 70%
Volatility 9
Beta 1.331
Correlation 0.688
Price and Index (rebased)
94959697989900010203040506070809101112
0
5
10
15
20
FIAT
FTSE MIB INDEX (PI)
Source: Thomson Datastream
DATASTREAM EQUITIES 15/10/13 11.04
TELECOM ITALIAGeography Code - IT Industry Group - TELFL
Local Code - M349716 Exchange - Milan
Mnemonic - I:TIT
Sector - TELFL
Current Price 0.6925 11:47
12 Mth Range High 0.7700 17/10/12
Low 0.4710 6/ 8/13
Price Change 1mth 3mth 12mth
(E) 14.1% 37.5% -8.6%
Relative to FTSEMIB
5.8% 13.4% -24.7%
Market Value (E) 9291.30M
Fin.Yr LocStd I/B/E/S
12/12 06/13 12/13 12/14
EPS -0.08 0.00 0.089 0.097
PE -8.7 7.8 7.1
PE Rel.
P/Cash 1.61
Dividend Rate (E) 0.02
Dividend Yield 2.89
Dividend Cover 0.0Div Last Fin Year 0.02
Last Div Paid YR (E) 0.02 Tax-G
Pay Date 25/04/13 XD Date 22/04/13
(E) 12/10 12/11 12/12
Total sales 27571M 29957M 29503M
Pre-Tax Prof. 4127M -2624M -44M
Publ. EPS 0.16 -0.24 -0.08
Cash EPS 0.43 0.44 0.43
Mkt to Bk Val 0.66 0.71 0.69
ROE (%) 11.40 -18.31 -7.72
No. Shares in Issue 13417040(000s)
Volume 160090.4(000s)
Percentage of free float 78%
Volatility 6
Beta 0.738
Correlation 0.547
Price and Index (rebased)
94959697989900010203040506070809101112
0
5
10
TELECOM ITALIA
FTSE MIB INDEX (PI)
Source: Thomson Datastream
134
Figura 4.3: serie storica dei rendimenti dal 01/01/2000 al 31/12/2012
-0,1
-0,05
0
0,05
0,1
0,15
2001
ASSICURAZIONI_G
-0,15
-0,1
-0,05
0
0,05
0,1
0,15
0,2
2001
ENEL
-0,1
-0,05
0
0,05
0,1
0,15
0,2
2001
ENI
-0,2
-0,15
-0,1
-0,05
0
0,05
0,1
0,15
0,2
2001
INTESA_SP
-0,15
-0,1
-0,05
0
0,05
0,1
0,15
0,2
2001
ATLANTIA
-0,15
-0,1
-0,05
0
0,05
0,1
0,15
0,2
0,25
0,3
2001
FIAT
-0,2
-0,15
-0,1
-0,05
0
0,05
0,1
0,15
2001
TELECOM
-0,15
-0,1
-0,05
0
0,05
0,1
0,15
0,2
0,25
2001
UNICREDIT
135
Tabella 4.2: titoli italiani, statistiche descrittive dell‟intera serie storica
ASSICURAZIONI GENERALI ENEL ENI INTESA SP Media - 0,0001 Media - 0,0001 Media 0,0003 Media 0,0000
Errore standard 0,0003 Errore standard 0,0003 Errore standard 0,0003 Errore standard 0,0005 Deviazione standard 1,7% Deviazione standard 1,7% Deviazione standard 1,8% Deviazione standard 2,6%
mer Fuels 182.000 23.907 2.376.734 8.7 5.01 105.265
146
DATASTREAM EQUITIES 11/10/13 11.41
AXAGeography Code - FR Industry Group - FLINS
Local Code - G012062 Exchange - Euronext Paris
Mnemonic - F:MIDI
Sector - NLINS
Current Price 18.2700 12:24
12 Mth Range High 18.2700 10/10/13
Low 11.5000 16/11/12
Price Change 1mth 3mth 12mth
(E) 1.5% 13.5% 56.6%
Relative to FRCAC40
-0.9% 4.1% 26.8%
Market Value (E) 43715.01M
Fin.Yr LocStd I/B/E/S
12/12 06/13 12/13 12/14
EPS 1.77 1.65 2.02 2.14
PE 10.3 11.1 9.1 8.5
PE Rel. 61.6%
P/Cash 4.46 (%=Rel to DS Index)
Dividend Rate (E) 0.72
Dividend Yield 3.94
Dividend Cover 2.3Div Last Fin Year 0.72
Last Div Paid YR (E) 0.72 Tax-N
Pay Date 14/05/13 XD Date 09/05/13
(E) 12/10 12/11 12/12
Total sales 104B 104B 103B
Pre-Tax Prof. 4051M 4589M 5417M
Publ. EPS 1.21 1.49 1.77
Cash EPS 7.94 7.16 4.10
Mkt to Bk Val 0.66 0.54 0.75
ROE (%) 6.46 9.90 9.84
No. Shares in Issue 2392722(000s)
Volume 10535.0(000s)
Percentage of free float 78%
Volatility 6
Beta 2.068
Correlation 0.865
Price and Index (rebased)
94959697989900010203040506070809101112
0
10
20
30
40
AXA
FRANCE CAC 40 (PI)
Source: Thomson Datastream
DATASTREAM EQUITIES 11/10/13 11.39
BNP PARIBASGeography Code - FR Industry Group - BANKS
Local Code - G013110 Exchange - Euronext Paris
Mnemonic - F:BNP
Sector - BANKS
Current Price 53.3700 12:21
12 Mth Range High 53.3900 10/10/13
Low 38.2900 18/ 4/13
Price Change 1mth 3mth 12mth
(E) 5.2% 21.0% 37.6%
Relative to FRCAC40
2.7% 10.9% 11.3%
Market Value (E) 66416.94M
Fin.Yr LocStd I/B/E/S
12/12 06/13 12/13 12/14
EPS 5.16 3.91 4.67 5.29
PE 10.3 13.6 11.4 10.1
PE Rel. 76.0%
P/Cash 3.83 (%=Rel to DS Index)
Dividend Rate (E) 1.50
Dividend Yield 2.81
Dividend Cover 2.6Div Last Fin Year 1.50
Last Div Paid YR (E) 1.50 Tax-N
Pay Date 24/05/13 XD Date 21/05/13
(E) 12/10 12/11 12/12
Total sales 87432M 82085M 86635M
Pre-Tax Prof. 13020M 9651M 10372M
Publ. EPS 6.33 4.82 5.16
Cash EPS 24.16 21.95 13.94
Mkt to Bk Val 0.76 0.49 0.62
ROE (%) 10.45 7.69 7.78
No. Shares in Issue 1244462(000s)
Volume 5270.7(000s)
Percentage of free float 84%
Volatility 4
Beta 1.689
Correlation 0.823
Price and Index (rebased)
94959697989900010203040506070809101112
0
20
40
60
80
100
BNP PARIBAS
FRANCE CAC 40 (PI)
Source: Thomson Datastream
DATASTREAM EQUITIES 15/10/13 11.07
SCHNEIDER ELECTRICGeography Code - FR Industry Group - ELEQP
Local Code - G012197 Exchange - Euronext Paris
Mnemonic - F:QT@F
Sector - ELTNC
Current Price 62.3700 11:52
12 Mth Range High 65.9900 18/ 9/13
Low 47.5400 15/10/12
Price Change 1mth 3mth 12mth
(E) -0.5% 13.4% 31.2%
Relative to FTSEMIB
-7.7% -6.5% 8.1%
Market Value (E) 34948.66M
Fin.Yr LocStd I/B/E/S
12/12 12/12 12/13 12/14
EPS 3.39 3.39 4.06 4.57
PE 18.4 18.4 15.3 13.6
PE Rel. 102.4%
P/Cash 12.09 (%=Rel to DS Index)
Dividend Rate (E) 1.87
Dividend Yield 3.00
Dividend Cover 1.8Div Last Fin Year 1.87
Last Div Paid YR (E) 1.87 Tax-N
Pay Date 07/05/13 XD Date 02/05/13
(E) 12/10 12/11 12/12
Total sales 19580M 22387M 23946M
Pre-Tax Prof. 2356M 2438M 2461M
Publ. EPS 3.29 3.39 3.39
Cash EPS 4.73 4.80 5.16
Mkt to Bk Val 2.05 1.40 1.82
ROE (%) 12.97 11.86 11.32
No. Shares in Issue 560344(000s)
Volume 1002.9(000s)
Percentage of free float 95%
Volatility 4
Beta 1.092
Correlation 0.790
Price and Index (rebased)
94959697989900010203040506070809101112
0
20
40
60
80
SCHNEIDER ELECTRIC
FTSE MIB INDEX (PI)
Source: Thomson Datastream
DATASTREAM EQUITIES 15/10/13 11.06
SOCIETE GENERALEGeography Code - FR Industry Group - BANKS
Local Code - G013080 Exchange - Euronext Paris
Mnemonic - F:SGE
Sector - BANKS
Current Price 41.3900 11:50
12 Mth Range High 41.3900 15/10/13
Low 24.3000 18/ 4/13
Price Change 1mth 3mth 12mth
(E) 12.5% 46.3% 70.0%
Relative to FTSEMIB
4.3% 20.6% 40.1%
Market Value (E) 33056.38M
Fin.Yr LocStd I/B/E/S
12/12 06/13 12/13 12/14
EPS 0.64 0.81 3.42 4.40
PE 64.7 51.1 12.1 9.4
PE Rel. 284.5%
P/Cash 3.31 (%=Rel to DS Index)
Dividend Rate (E) 0.45
Dividend Yield 1.09
Dividend Cover 1.8Div Last Fin Year 0.45
Last Div Paid YR (E) 0.45 Tax-N
Pay Date 24/06/13 XD Date 29/05/13
(E) 12/10 12/11 12/12
Total sales 52704M 58473M 71506M
Pre-Tax Prof. 5844M 4111M 1542M
Publ. EPS 4.96 3.20 0.64
Cash EPS 21.22 10.99 12.51
Mkt to Bk Val 0.65 0.28 0.44
ROE (%) 8.08 5.06 1.00
No. Shares in Issue 798656(000s)
Volume 2469.2(000s)
Percentage of free float 93%
Volatility 6
Beta 2.370
Correlation 0.912
Price and Index (rebased)
94959697989900010203040506070809101112
0
50
100
150
SOCIETE GENERALE
FTSE MIB INDEX (PI)
Source: Thomson Datastream
Figura 4.7 e 4.8: serie storica dei prezzi titoli francesi in relazione all‟indice di riferimento e dei rendimenti di tali titoli
147
DATASTREAM EQUITIES 11/10/13 11.36
L'OREALGeography Code - FR Industry Group - PRSNL
Local Code - G012032 Exchange - Euronext Paris
Mnemonic - F:OR@F
Sector - PERSG
Current Price 125.8000 12:20
12 Mth Range High 136.6500 16/ 5/13
Low 96.0000 7/11/12
Price Change 1mth 3mth 12mth
(E) 0.9% -2.8% 30.0%
Relative to FRCAC40
-1.5% -10.9% 5.1%
Market Value (E) 76052.50M
Fin.Yr LocStd I/B/E/S
12/12 06/13 12/13 12/14
EPS 4.79 4.92 5.13 5.52
PE 26.3 25.6 24.5 22.8
PE Rel. 142.4%
P/Cash 20.56 (%=Rel to DS Index)
Dividend Rate (E) 2.30
Dividend Yield 1.83
Dividend Cover 2.1Div Last Fin Year 2.30
Last Div Paid YR (E) 2.30 Tax-N
Pay Date 10/05/13 XD Date 07/05/13
(E) 12/10 12/11 12/12
Total sales 19496M 20343M 22463M
Pre-Tax Prof. 3152M 3467M 3876M
Publ. EPS 3.82 4.11 4.79
Cash EPS 5.41 5.44 6.12
Mkt to Bk Val 3.35 2.75 3.05
ROE (%) 15.74 15.01 14.87
No. Shares in Issue 604551(000s)
Volume 524.7(000s)
Percentage of free float 39%
Volatility 5
Beta 0.597
Correlation 0.642
Price and Index (rebased)
94959697989900010203040506070809101112
0
50
100
150
L'OREAL
FRANCE CAC 40 (PI)
Source: Thomson Datastream
DATASTREAM EQUITIES 11/10/13 11.37
LVMHGeography Code - FR Industry Group - CLTHG
Local Code - G012101 Exchange - Euronext Paris
Mnemonic - F:LVMH
Sector - PERSG
Current Price 146.4500 12:18
12 Mth Range High 149.2500 19/ 9/13
Low 119.2500 24/ 6/13
Price Change 1mth 3mth 12mth
(E) 3.5% 9.6% 19.1%
Relative to FRCAC40
1.0% 0.5% -3.7%
Market Value (E) 74401.81M
Fin.Yr LocStd I/B/E/S
12/12 06/13 12/13 12/14
EPS 6.86 6.64 7.30 8.30
PE 21.3 22.1 20.1 17.6
PE Rel. 122.8%
P/Cash 14.65 (%=Rel to DS Index)
Dividend Rate (E) 3.00
Dividend Yield 2.05
Dividend Cover 2.2Div Last Fin Year 2.90
Last Div Paid FIN (E) 1.80 Tax-N
Pay Date 25/04/13 XD Date 22/04/13
(E) 12/10 12/11 12/12
Total sales 20320M 23659M 28103M
Pre-Tax Prof. 4781M 4912M 5725M
Publ. EPS 6.36 6.27 6.86
Cash EPS 7.97 9.09 10.00
Mkt to Bk Val 3.51 2.47 2.87
ROE (%) 19.57 15.46 14.57
No. Shares in Issue 508036(000s)
Volume 660.8(000s)
Percentage of free float 54%
Volatility 3
Beta 1.052
Correlation 0.779
Price and Index (rebased)
94959697989900010203040506070809101112
0
50
100
150
LVMH
FRANCE CAC 40 (PI)
Source: Thomson Datastream
DATASTREAM EQUITIES 11/10/13 11.34
SANOFIGeography Code - FR Industry Group - PHRMC
Local Code - G012057 Exchange - Euronext Paris
Mnemonic - F:SQ@F
Sector - PHARM
Current Price 73.1200 12:18
12 Mth Range High 86.6700 28/ 5/13
Low 66.0700 23/10/12
Price Change 1mth 3mth 12mth
(E) -1.6% -8.4% 9.6%
Relative to FRCAC40
-4.0% -16.1% -11.4%
Market Value (E) 97022.94M
Fin.Yr LocStd I/B/E/S
12/12 06/13 12/13 12/14
EPS 3.76 2.55 5.38 6.05
PE 19.4 28.7 13.6 12.1
PE Rel. 159.6%
P/Cash 11.35 (%=Rel to DS Index)
Dividend Rate (E) 2.77
Dividend Yield 3.79
Dividend Cover 0.9Div Last Fin Year 2.77
Last Div Paid YR (E) 2.77 Tax-N
Pay Date 14/05/13 XD Date 09/05/13
(E) 12/10 12/11 12/12
Total sales 30384M 33389M 34947M
Pre-Tax Prof. 5599M 5319M 5877M
Publ. EPS 4.19 4.31 3.76
Cash EPS 7.69 7.55 6.44
Mkt to Bk Val 1.18 1.35 1.65
ROE (%) 10.78 10.42 8.75
No. Shares in Issue 1326900(000s)
Volume 3036.4(000s)
Percentage of free float 91%
Volatility 4
Beta 0.503
Correlation 0.570
Price and Index (rebased)
94959697989900010203040506070809101112
0
20
40
60
80
100
SANOFI
FRANCE CAC 40 (PI)
Source: Thomson Datastream
DATASTREAM EQUITIES 11/10/13 11.35
TOTALGeography Code - FR Industry Group - OILIN
Local Code - G012027 Exchange - Euronext Paris
Mnemonic - F:TAL
Sector - OILGP
Current Price 43.6500 12:20
12 Mth Range High 43.6750 27/ 9/13
Low 35.2500 17/ 4/13
Price Change 1mth 3mth 12mth
(E) 2.5% 13.4% 12.6%
Relative to FRCAC40
0.0% 3.9% -8.9%
Market Value (E) 103744.4M
Fin.Yr LocStd I/B/E/S
12/12 06/13 12/13 12/14
EPS 4.74 4.21 5.01 5.23
PE 9.2 10.4 8.7 8.3
PE Rel. 57.7%
P/Cash 4.61 (%=Rel to DS Index)
Dividend Rate (E) 2.36
Dividend Yield 5.41
Dividend Cover 1.8Div Last Fin Year 2.34
Last Div Paid INT (E) 0.59 Tax-N
Pay Date 27/09/13 XD Date 24/09/13
(E) 12/10 12/11 12/12
Total sales 140B 167B 182B
Pre-Tax Prof. 21035M 26654M 23907M
Publ. EPS 4.73 5.46 4.74
Cash EPS 8.50 9.47 9.48
Mkt to Bk Val 1.54 1.37 1.27
ROE (%) 18.72 19.11 15.17
No. Shares in Issue 2376734(000s)
Volume 4664.3(000s)
Percentage of free float 100%
Volatility 3
Beta 0.705
Correlation 0.738
Price and Index (rebased)
94959697989900010203040506070809101112
0
20
40
60
80
TOTAL
FRANCE CAC 40 (PI)
Source: Thomson Datastream
148
Figura 4.9: serie storica dei rendimenti dei titoli francesi dal 01/01/2000 al 31/12/2012
-0,2
-0,15
-0,1
-0,05
0
0,05
0,1
0,15
0,2
0,25
2001
AXA
-0,2
-0,15
-0,1
-0,05
0
0,05
0,1
0,15
0,2
0,25
2001
BNPPARIBAS
-0,25
-0,2
-0,15
-0,1
-0,05
0
0,05
0,1
0,15
0,2
2001
SHNEIDER
-0,2
-0,15
-0,1
-0,05
0
0,05
0,1
0,15
0,2
0,25
2001
SOCIETE_GENERAL
-0,15
-0,1
-0,05
0
0,05
0,1
0,15
2001
L_OREAL
-0,15
-0,1
-0,05
0
0,05
0,1
0,15
0,2
2001
LVMH
-0,15
-0,1
-0,05
0
0,05
0,1
0,15
2001
SANOFI
-0,1
-0,05
0
0,05
0,1
0,15
2001
TOTAL
149
Tabella 4.6: statistiche descrittive dei titoli francesi
AXA BNPPARIBAS SHNEIDER SOCIETÉ GÉNÉRALE Media 0,0001 Media 0,0002 Media 0,0003 Media 0,0001
Errore standard 0,0005 Errore standard 0,0005 Errore standard 0,0004 Errore standard 0,0005 Deviazione standard 2,9% Deviazione standard 2,6% Deviazione standard 2,3% Deviazione standard 2,8%
Grafici 4.12-4.14: grafico di dispersione e retta di regressione della relazione tra volatilità dell‟indice e valore di perdita stimato da
differenti modelli.I grafici concernono il portafoglio italiano (Grafico 4.10) il portafoglio Tedesco (Grafico 4.11) e il portafoglio
Francese (grafico 4.12)
174
y = 4,141x - 0,016R² = 0,871
y = 3,813x - 0,003R² = 0,797
y = 10,14x - 0,091R² = 0,514
y = 10,18x - 0,091R² = 0,515
y = 4,013x - 0,014R² = 0,856
0,00%
5,00%
10,00%
15,00%
20,00%
25,00%
30,00%
0,0% 0,5% 1,0% 1,5% 2,0% 2,5% 3,0%
VaR
mo
de
llo
σ_DAX30
VaR Delta Normal EWMA(0,99) DE VaR Delta Normal EWMA(0,97) DEVaR Asset-Normal EWMA(0,99) DE VaR Asset-Normal EWMA(0,97) DEVaR Delta-Normal GARCH DE Lineare (VaR Delta Normal EWMA(0,99) DE)Lineare (VaR Delta Normal EWMA(0,97) DE) Lineare (VaR Asset-Normal EWMA(0,99) DE)Lineare (VaR Asset-Normal EWMA(0,97) DE) Lineare (VaR Delta-Normal GARCH DE)
y = 4,363x - 0,017R² = 0,843
y = 3,496x + 0,004R² = 0,672
y = 4,953x - 0,016R² = 0,860
y = 4,937x - 0,015R² = 0,865
y = 3,568x - 0,002R² = 0,683
0,0%
5,0%
10,0%
15,0%
0,0% 0,5% 1,0% 1,5% 2,0% 2,5% 3,0%
VaR
re
lati
vo
σ_CAC40
VaR Delta Normal EWMA(0,99) FR VaR Delta Normal EWMA(0,97) FRVaR Asset-Normal EWMA(0,99) FR VaR Asset-Normal EWMA(0,97) FRVaR Delta-Normal GARCH FR Lineare (VaR Delta Normal EWMA(0,99) FR)Lineare (VaR Delta Normal EWMA(0,97) FR) Lineare (VaR Asset-Normal EWMA(0,99) FR)Lineare (VaR Asset-Normal EWMA(0,97) FR) Lineare (VaR Delta-Normal GARCH FR)
175
Focalizzando l‟attenzione su questo particolare, è possibile compiere alcune osservazioni.
Innanzitutto è importante verificare il comportamento di un modello che utilizza la volatili-
tà stimata con modelli GARCH.
Infatti, l‟utilizzo del GARCH dovrebbe portare a stime che meglio riflettono l‟aumento di
volatilità rispetto ad approcci che stimano la volatilità in maniera più approssimativa, come
i modelli EWMA.
Tuttavia, come precedenti prove empiriche hanno già dimostrato, è possibile osservare che
la stima non porta vantaggi significativi rispetto alla volatilità esponenziale, anzi, in alcuni
casi, la perdita stimata per mezzo del GARCH risulta inferiore alla corrispettiva misurata
con modelli EWMA.
Al contrario, focalizzando l‟attenzione sui modelli Asset-Normal, è evidente che essi pre-
sentino generalmente valori più alti di perdita all‟aumentare della volatilità dell‟indice,
come dimostra la maggiore pendenza della retta di regressione.
La spiegazione, come visto a titolo di esempio nei Grafici 4.9-4.11, sta nell‟elevata volati-
lità dei titoli del portafoglio, che in periodi di shock manifestano comportamenti che non
sempre si avvicinano al comportamento dell‟indice.
In questo senso, un caso emblematico, ma anche eccezionale174
è rappresentato dai diversi
portafogli durante lo shock Lehman Brothers.
Nei tre intervalli di analisi, il modello Asset-Normal EWMA calcola valori di perdita di-
scordanti per i portafogli, nonostante i tre mercati175
si muovano pressoché sempre
all‟unisono.
Più precisamente, i grafici 4.15-4.17 mostrano come il modello Asset-Normal EWMA pre-
senti stime incredibilmente elevate, nell‟ordine del 25%, e fortemente disuguali rispetto al-
le stime calcolate con altri approcci.
174
Il caso si presenta eccezionale in quanto i titoli raggiungono livelli di deviazione standard importanti, dal
4% fino all‟11% per tutti i portafogli 175
Ancora una volta si è assunto che l‟andamento del mercato sia ben approssimato dall‟andamento
dell‟indice
176
0,00%
10,00%
20,00%
30,00%VaR Delta-Normal EWMA(0,99)
VaR Delta-Normal EWMA(0,97)
VaR Asset-Normal EWMA(0,99) VaR Asset-Normal EWMA(0,97)
VaR Delta-Normal GARCH
S4 06/03/2009 -1M
Portafoglio Italiano
Portafoglio Tedesco
Portafoglio Francese
0,00%
5,00%
10,00%
15,00%
20,00%
VaR Delta-Normal EWMA(0,99)
VaR Delta-Normal EWMA(0,97)
VaR Asset-Normal EWMA(0,99)
VaR Asset-Normal EWMA(0,97)
VaR Delta-Normal GARCH
S4 06/03/2009 +2M
Portafoglio Italiano
Portafoglio Tedesco
Portafoglio Francese
Grafici 4.15-4.17: stima della perdita per i modelli “a volatilità aggiornata” e per i tre portafogli durante lo Shock Lehman .
177
La spiegazione, come accennato precedentemente, è da attribuirsi al comportamento dei
titoli durante le turbolenza di mercato.
Come dimostra il grafico 4.18, e più in dettaglio il grafico 4.19, l‟indice riesce a esprimere
la volatilità del mercato solo in parte, posto che i titoli in portafoglio presentano volatilità
molto maggiori dell‟indice stesso.
0,00%
5,00%
10,00%
15,00%
20,00%
25,00%
VaR Delta-Normal EWMA(0,99)
VaR Delta-Normal EWMA(0,97)
VaR Asset-Normal EWMA(0,99)
VaR Asset-Normal EWMA(0,97)
VaR Delta-Normal GARCH
S4 06/03/2009 +1M
Portafoglio Italiano
Portafoglio Tedesco
Portafoglio Francese
178
Grafico 4.18: serie storica annuale dei rendimenti dei titoli tedeschi dal maggio ‟08 al maggio ‟09 (shock Lehman)
Grafico 4.17: dettaglio dello shock Lehman, come si può notare la volatilità dell‟indice spiega solo in parte la volatilità
dei titoli
179
In questi casi, il modello Delta-Normal EWMA può fornire stime che sottovalutino il ri-
schio effettivo del portafogli.
Si consideri ora il modello Delta-Normal EWMA nelle sue due versioni: il modello E-
WMA con velocità di decadimento pari a 0,01 e il modello con velocità di decadimento pa-
ri a 0,03.
In virtù di quanto visto, il fattore di decadimento pesa in misura più o meno maggiore i
rendimenti più recenti a fronte di quelli meno recenti.
In sostanza, il modello EWMA (0,97) dovrebbe offrire stime superiori se i rendimenti si
dimostrano particolarmente volatili nel breve periodo, mentre al contrario il modello E-
WMA (0,99) restituisce stime maggiori se la volatilità si è manifestata in misura maggiore
in periodi meno recenti.
La prova di questa teoria è fornita dall‟interessante caso fornito dal portafogli francese, du-
rante lo shock dei mutui subprime.
Nel periodo tra il 17 gennaio 2008 e i primi di febbraio dello stesso anno, l‟indice CAC40
manifesta livelli di volatilità rilevanti, che non si verificheranno nei periodi successivi.
Considerare la stima in periodi prossimi allo shock (un mese prima, un mese dopo e due
mesi dopo) consente di osservare questo shock di volatilità su un holding period annuale,
ma in intervalli di tempo differenti e di conseguenza la stima attribuirà maggiore o minore
peso a tale shock.
Come‟è possibile notare nella prima stima lo shock si manifesta recentemente, e questo fa
si che il modello EWMA (0,97) presenti un risultato maggiore rispetto all‟EWMA(0,99).
Nondimeno, l‟analisi delle stime successive comporta lo spostamento di questo shock ver-
so periodi più lontani.
Il modello EWMA(0,99) pone maggior peso a queste osservazioni rispetto al modello
EWMA (0,97) non a caso la forbice tra i due modelli si assottiglia nella seconda stima,
mentre nell‟ultima il primo genera risultati maggiori del secondo (Grafici 4.18- 4.21).
180
Grafici 4.18-4.20: volatilità dei rendimenti del CAC40 misurata su orizzonte annuale un mese prima dello shock (Grafi-
co 4.13) un mese dopo (Grafico 4.14) e due mesi dopo (Grafico 4.15)