TESE DE DOUTORADO - UFPArepositorio.ufpa.br/jspui/bitstream/2011/5674/1/Tese... · 2019-08-23 · universidade federal do parÁ instituto de geociÊncias programa de pÓs-graduaÇÃo

UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁINSTITUTO DE GEOCIÊNCIAS

PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM GEOFÍSICA

TESE DE DOUTORADO

MODELAGEM 1D E 2,5D DE DADOS DOMÉTODO CSEM MARINHO EM MEIOS COMANISOTROPIA TRANSVERSAL INCLINADA

WALLESON GOMES DOS SANTOS

BELÉM-PARÁ2014

WALLESON GOMES DOS SANTOS

MODELAGEM 1D E 2,5D DE DADOS DO MÉTODOCSEM MARINHO EM MEIOS COM ANISOTROPIA

TRANSVERSAL INCLINADA

Tese apresentada ao Programa de Pós-Graduação emGeofísica do Instituto de Geociências da UniversidadeFederal do Pará, em cumprimento às exigências paraobtenção do título de Doutor em Geofísica.

Orientador: Cícero Roberto Teixeira Régis

Dados Internacionais de Catalogação de Publicação (CIP) (Biblioteca do Instituto de Geociências/UFPA)

Santos, Walleson Gomes dos, 1981-

Modelagem 1D e 2,5D de dados do método CSEM marinho em meios com anisotropia transversal inclinada / Walleson Gomes dos Santos. – 2014.

Inclui bibliografias

Orientador: Cícero Roberto Teixeira Régis Tese (Doutorado) – Universidade Federal do Pará,

Instituto de Geociências, Programa de Pós-Graduação em Geofísica, Belém, 2014.

1. Eletromagnetismo – Modelos matemáticos. 2.

Anisotropia. 3. Método dos elementos finitos. I. Título.

CDD 22. ed. 530.141

Dedico este trabalho a minha esposa HildaCarolina e aos meus filhos Wallace Gabriel eMaria Eduarda.

AGRADECIMENTOS

A meu pai, Manoel Domingos, e a minha mãe, Maria Ivone, que estão presentesem todos os momentos da minha vida através de seus ensinamentos.

Aos meus irmãos, pelo apoio e torcida pela conclusão deste curso.

Ao professor Dr. Cícero Roberto Teixeira Regis, pelos importantes ensinamentos esugestões ao longo da elaboração deste trabalho.

Aos amigos Edelson Luz e Valdelírio Silva, pela construção e compartilhamentode conhecimentos e esclarecimentos de diversos temas importantes para elaboração destatese.

Aos colegas do laboratório PROEM, Mateus, Anderson, Felipe, Diego, Gildenilson,Julielson, Rosilda e Edna pelos momentos de descontração e construção de conhecimentos.

Ao Conselho Nacional de Desenvolvimento Científico e Tecnológico (CNPq), pelabolsa que financiou este estudo.

Ao Instituto Nacional de Ciência e Tecnologia de Geofísica do Petróleo (INCT-GP),pelo suporte financeiro que proporcionou a participação em eventos de geofísica.

A coordenação do Programa de Pós-Graduação em Geofísica (CPGF/UFPA), peloapoio durante o curso.

RESUMO

Neste trabalho apresentamos a solução do campo eletromagnético gerado por um dipoloelétrico horizontal em meios transversalmente isotrópicos com eixo de simetria vertical(TIV) e com eixo de simetria inclinado (TII). Para modelos unidimensionais, o campoeletromagnético foi obtido por duas metodologias distintas: (1) solução semi-analítica dasequações de Maxwell com auxílio de potenciais vetores no caso TIV e (2) em modeloscom anisotropia transversal inclinada o campo eletromagnético foi separado em primário esecundário, e então, o campo secundário foi calculado pelo método de elementos finitos nodomínio (𝑘𝑥, 𝑘𝑦, 𝑧) da transformada de Fourier. Para estruturas bidimensionais, foi aplicadaa mesma metodologia usado nos modelos TII unidimensionais, onde o campo secundáriofoi calculado pelo método de elementos finitos no domínio (𝑥, 𝑘𝑦, 𝑧), da transformada deFourier, com a utilização de malhas não estruturadas para discretização dos modelos.Estas respostas foram usados para avaliar os efeitos da anisotropia elétrica nos dadosCSEM marinho 1D e 2,5D.

Palavras-chave: Anisotropia elétrica. CSEM marinho. Modelagem eletromagnética.Método de elementos finitos.

ABSTRACT

In this work I present the solution to the electromagnetic field generated by a horizontalelectric dipole in transversally isotropic media with vertical (TIV) as well as inclined (TII)symmetry axis. In one-dimensional models the electromagnetic field was obtained withtwo distinct methods: (1) For the TIV case, I have written a semi-analytical solution tothe Maxwell’s equations, by using a vector potential formulation; (2) For the TII case, thefield was represented as the composition of primary and secondary fields, where primaryfields are those found in an underlying isotropic layered medium, and the secondary fieldis calculated numerically via the finite element method in the spatial Fourier transformdomain (𝑘𝑥, 𝑘𝑦, 𝑧). This last methodology was also used to calculate the fields in two-dimensional structures, including inclined anisotropy in any region of the models. In this2,5D case, I have applied the finite element method in the (𝑥, 𝑘𝑦, 𝑧) domain. Here I haveused unstructured meshes to discretise the media, and parallel programming to solve thelinear systems of equations. The responses were used to study the effects of electricalanisotropy in marine CSEM data.

Keywords: Electrical anisotropy. Marine controlled-source electromagnetic. Electromagne-tic modeling. Finite element method.

LISTA DE ILUSTRAÇÕES

Figura 1 – Representação esquemática de um levantamento CSEM marinho. Umdipolo elétrico horizontal (DEH) é rebocado acima de receptores que sãoimplantados no fundo do mar. O DEH emite um sinal eletromagnéticocontínuo que é registrado pelos receptores. . . . . . . . . . . . . . . . . 13

Figura 2 – Modelo interpretativo de um meio estratificado com anisotropia. . . . . 18Figura 3 – Modelo interpretativo para o método MCSEM sem reservatório. . . . . 24Figura 4 – Resultados para a componente 𝐸𝑥 inline e broadside. . . . . . . . . . . 25Figura 5 – Resultados para a componente 𝐻𝑦 inline e broadside. . . . . . . . . . . 26Figura 6 – Resultados para a componente 𝐸𝑧 (inline) e 𝐻𝑧 (broadside). . . . . . . 27Figura 7 – Modelo interpretativo para o método MCSEM com reservatório. . . . . 28Figura 8 – Resultados da componente 𝐸𝑥 (inline) para os modelos definidos na

Figura (7a). Em (c) o campo foi normalizado pelos valores da curva(𝜌ℎ, 𝜌𝑣) = (1, 1)Ω · 𝑚 - noHC (linha azul). Em (d) o campo foi nor-malizado pelos valores da curva (𝜌ℎ, 𝜌𝑣) = (1, 4)Ω · 𝑚 - noHC (linhapreta). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

Figura 9 – Resultados da componente 𝐸𝑥 (inline) para os modelos definidos naFigura (7b). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

Figura 10 – Componente real do campo elétrico no plano 𝑥𝑧 para o modelo semreservatório. O valor da resistividade do background está demonstradonos gráficos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

Figura 11 – Componente imaginária do campo elétrico no plano 𝑥𝑧 para o mo-delo sem reservatório. O valor da resistividade do background estádemonstrado nos gráficos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

Figura 12 – Componente real do vetor densidade de corrente no plano 𝑥𝑧 para omodelo sem reservatório. O valor da resistividade do background estádemonstrado nos gráficos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

Figura 13 – Componente imaginária do vetor densidade de corrente no plano 𝑥𝑧

para o modelo sem reservatório. O valor da resistividade do backgroundestá demonstrado nos gráficos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

Figura 14 – Componente real do campo elétrico no plano 𝑥𝑧 para os modelos semreservatório e com reservatório. O valor da resistividade do meio encai-xante está demonstrado nos gráficos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

Figura 15 – Componente real do vetor densidade de corrente no plano 𝑥𝑧 para osmodelos sem reservatório e com reservatório. O valor da resistividadedo meio encaixante está demonstrado nos gráficos. . . . . . . . . . . . . 36

Figura 16 – Modelo interpretativo de um meio estratificado com anisotropia inclinada. 38Figura 17 – Parte real da componente 𝐸𝑥 no domínio (𝑘𝑥, 𝑘𝑦, 𝑧). . . . . . . . . . . . 43Figura 18 – Parte imaginária da componente 𝐸𝑥 no domínio (𝑘𝑥, 𝑘𝑦, 𝑧). . . . . . . . 43Figura 19 – Parte real da componente 𝐸𝑦 no domínio (𝑘𝑥, 𝑘𝑦, 𝑧). . . . . . . . . . . . 43Figura 20 – Parte imaginária da componente 𝐸𝑦 no domínio (𝑘𝑥, 𝑘𝑦, 𝑧). . . . . . . . 44Figura 21 – Parte real da componente 𝐸𝑧 no domínio (𝑘𝑥, 𝑘𝑦, 𝑧). . . . . . . . . . . . 44Figura 22 – Parte imaginária da componente 𝐸𝑧 no domínio (𝑘𝑥, 𝑘𝑦, 𝑧). . . . . . . . 44Figura 23 – Parte real da componente 𝐻𝑥 no domínio (𝑘𝑥, 𝑘𝑦, 𝑧). . . . . . . . . . . . 45Figura 24 – Parte imaginária da componente 𝐻𝑥 no domínio (𝑘𝑥, 𝑘𝑦, 𝑧). . . . . . . . 45Figura 25 – Parte real da componente 𝐻𝑦 no domínio (𝑘𝑥, 𝑘𝑦, 𝑧). . . . . . . . . . . . 45Figura 26 – Parte imaginária da componente 𝐻𝑦 no domínio (𝑘𝑥, 𝑘𝑦, 𝑧). . . . . . . . 46Figura 27 – Parte real da componente 𝐻𝑧 no domínio (𝑘𝑥, 𝑘𝑦, 𝑧). . . . . . . . . . . . 46Figura 28 – Parte imaginária da componente 𝐻𝑧 no domínio (𝑘𝑥, 𝑘𝑦, 𝑧). . . . . . . . 46Figura 29 – Modelo interpretativo para o método MCSEM sem reservatório. . . . . 47Figura 30 – Componente 𝐸𝑥 do campo elétrico calculada para o modelo da Figura

29 nas posições de medida com profundidade 𝑧 = 1500m. A camadasedimentar tem resistividades principais (𝜌‖, 𝜌⊥) = (1, 3)Ω · 𝑚 e o valordo ângulo de inclinação está definido nas figuras. . . . . . . . . . . . . 48

Figura 31 – Componente 𝐻𝑦 do campo elétrico calculada para o modelo da Figura29 nas posições de medida com profundidade 𝑧 = 1500m. A camadasedimentar tem resistividades principais (𝜌‖, 𝜌⊥) = (1, 3)Ω · 𝑚 e o valordo ângulo de inclinação está definido nas figuras. . . . . . . . . . . . . 49

Figura 32 – Componente real do campo elétrico no plano 𝑥𝑧 para o modelo semreservatório. A cor de fundo representa a amplitude e as setas indicam aorientação do campo. A camada sedimentar tem resistividades principais(𝜌‖, 𝜌⊥) = (1, 10)Ω · 𝑚 e o valor do ângulo de inclinação está definidonas figuras. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

Figura 33 – Componente imaginária do campo elétrico no plano 𝑥𝑧 para o modelosem reservatório. A cor de fundo representa a amplitude e as setasindicam a orientação do campo. A camada sedimentar tem resistividadesprincipais (𝜌‖, 𝜌⊥) = (1, 10)Ω · 𝑚 e o valor do ângulo de inclinação estádefinido nas figuras. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

Figura 34 – Componente real do vetor densidade de corrente no plano 𝑥𝑧 para omodelo sem reservatório. A cor de fundo representa a amplitude eas setas indicam a orientação da densidade de corrente. A camadasedimentar tem resistividades principais (𝜌‖, 𝜌⊥) = (1, 10)Ω · 𝑚 e o valordo ângulo de inclinação está definido nas figuras. . . . . . . . . . . . . 53

Figura 35 – Componente imaginária do vetor densidade de corrente no plano 𝑥𝑧

para o modelo sem reservatório. A cor de fundo representa a amplitudee as setas indicam a orientação da densidade de corrente. A camadasedimentar tem resistividades principais (𝜌‖, 𝜌⊥) = (1, 10)Ω · 𝑚 e o valordo ângulo de inclinação está definido nas figuras. . . . . . . . . . . . . 54

Figura 36 – Modelo interpretativo para o método MCSEM com reservatório. . . . . 55Figura 37 – Componente 𝐸𝑥 do campo elétrico calculada para o modelo da Figura

36 nas posições de medida com profundidade 𝑧 = 1500m. O sedimento éisotrópico com resistividade de 1Ω ·𝑚 e o reservatório tem resistividadesprincipais (𝜌‖, 𝜌⊥) = (10, 100)Ω · 𝑚 e ângulo de inclinação definido nasfiguras. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

Figura 38 – Componente 𝐸𝑥 do campo elétrico calculada para o modelo da Figura 36nas posições de medida com profundidade 𝑧 = 1500m. O reservatório éisotrópico com resistividade de 50Ω · 𝑚 e o sedimento tem resistividadesprincipais (𝜌‖, 𝜌⊥) = (1, 10)Ω · 𝑚 e ângulo de inclinação definido nasfiguras. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

Figura 39 – Componente real do campo elétrico no plano 𝑥𝑧 para o modelo comreservatório. O reservatório é isotrópico com resistividade de 50Ω · 𝑚.Em (a) (𝜌‖, 𝜌⊥) = (1, 3)Ω · 𝑚 e em (b) (𝜌‖, 𝜌⊥) = (1, 10)Ω · 𝑚, nos doiscasos o ângulo de inclinação 𝛼 = 30𝑜. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

Figura 40 – Componente imaginária do campo elétrico no plano 𝑥𝑧 para o modelocom reservatório. O reservatório é isotrópico com resistividade de 50Ω·𝑚.Em (a) (𝜌‖, 𝜌⊥) = (1, 3)Ω · 𝑚 e em (b) (𝜌‖, 𝜌⊥) = (1, 10)Ω · 𝑚, nos doiscasos o ângulo de inclinação 𝛼 = 30𝑜. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

Figura 41 – Componente real do vetor densidade de corrente no plano 𝑥𝑧 para omodelo com reservatório. O reservatório é isotrópico com resistividadede 50Ω ·𝑚. Em (a) (𝜌‖, 𝜌⊥) = (1, 3)Ω ·𝑚 e em (b) (𝜌‖, 𝜌⊥) = (1, 10)Ω ·𝑚,nos dois casos o ângulo de inclinação 𝛼 = 30𝑜. . . . . . . . . . . . . . . 60

Figura 42 – Componente imaginária do vetor densidade de corrente no plano 𝑥𝑧 parao modelo com reservatório. O reservatório é isotrópico com resistividadede 50Ω ·𝑚. Em (a) (𝜌‖, 𝜌⊥) = (1, 3)Ω ·𝑚 e em (b) (𝜌‖, 𝜌⊥) = (1, 10)Ω ·𝑚,nos dois casos o ângulo de inclinação 𝛼 = 30𝑜. . . . . . . . . . . . . . . 61

Figura 43 – Modelo 1, para análise da influência da anisotropia vertical nos dadosMCSEM 2,5D. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

Figura 44 – Malha gerada para o modelo 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70Figura 45 – Componentes 𝐸𝑥 e 𝐻𝑦 inline para o modelo da Figura (43). O reser-

vatório é isotrópico e tem resistividade igual a 100Ω · 𝑚. O sedimentotem anisotropia vertical com valores de resistividades indicados na figura. 71

Figura 46 – Componentes 𝐸𝑥 e 𝐻𝑦 inline para o modelo da Figura (43). O sedimentoé isotrópico e tem resistividade igual a 1Ω · 𝑚. O reservatório temanisotropia vertical com valores de resistividades indicados na figura. . 72

Figura 47 – Modelo 2, para análise da influência da anisotropia inclinada nos dadosMCSEM 2,5D. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

Figura 48 – Malha gerada para o modelo 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73Figura 49 – Componentes 𝐸𝑥 e 𝐻𝑦 inline para o modelo da Figura (47). O reserva-

tório é isotrópico e tem resistividade igual a 100Ω · 𝑚. O sedimento temanisotropia inclinada com resistividades principais (𝜌‖, 𝜌⊥) = (1, 10)Ω·𝑚e ângulos de inclinação dos planos de isotropia indicados na figura. . . 74

Figura 50 – Componentes 𝐸𝑥 e 𝐻𝑦 inline para o modelo da Figura (47). O sedimentoé isotrópico e tem resistividade igual a 1Ω · 𝑚. O reservatório temanisotropia inclinada com resistividades principais (𝜌‖, 𝜌⊥) = (10, 100)Ω·𝑚 e ângulos de inclinação dos planos de isotropia indicados na figura. . 75

SUMÁRIO

1 INTRODUÇÃO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.1 Apresentação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.2 Trabalhos anteriores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.3 Motivação e objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.4 Descrição da tese . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2 MEIO ESTRATIFICADO COM ANISOTROPIA VERTICAL . . . . 172.1 Cálculo do campo eletromagnético . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.1.1 Meio Homogêneo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.1.2 Meio Estratificado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202.2 Efeitos da anisotropia vertical nos dados MCSEM 1D . . . . . . . . 24

3 MEIO ESTRATIFICADO COM ANISOTROPIA INCLINADA . . . 373.1 Cálculo do campo eletromagnético . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373.1.1 Campo eletromagnético secundário . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373.1.2 Cálculo do campo secundário pelo método de elementos finitos . . . . . . . 403.2 Efeitos da anisotropia inclinada nos dados MCSEM 1D . . . . . . . 47

4 MODELAGEM 2,5D DE DADOS CSEM MARINHO EM MEIOSCOM ANISOTROPIA INCLINADA . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

4.1 Modelagem eletromagnética . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 624.1.1 Equações do campo secundário . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 624.1.2 Aproximação por elementos finitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 654.2 Resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 684.2.1 Modelo 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 684.2.2 Modelo 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

5 CONCLUSÃO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

REFERÊNCIAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

13

1 INTRODUÇÃO

1.1 Apresentação

Nos últimos treze anos, o método eletromagnético de fonte controlada em ambientemarinho (marine controlled-source electromagnetic - MCSEM) tem se firmado como umaimportante técnica de exploração para mapear e caracterizar reservatórios de hidrocarbo-netos em águas profundas. O método CSEM marinho usa um dipolo elétrico horizontal(DEH) como fonte, que é rebocado próximo ao fundo do mar. Esse dipolo emite um sinaleletromagnético a baixa frequência (na faixa de 0, 1 Hz - 10 Hz), que é detectado por umarranjo de receptores posicionados no assoalho marinho. A distribuição de resistividadeabaixo do fundo do mar pode ser determinada pela interpretação dos dados do campo ele-tromagnético medido em função das distâncias fonte-sensor (CONSTABLE; SRNKA, 2007).

Figura 1 – Representação esquemática de um levantamento CSEM marinho. Um dipoloelétrico horizontal (DEH) é rebocado acima de receptores que são implantadosno fundo do mar. O DEH emite um sinal eletromagnético contínuo que éregistrado pelos receptores.

Fonte: Adaptado de Electromagnetic Geoservices (2014).

Capítulo 1. INTRODUÇÃO 14

Na interpretação dos dados CSEM marinho o meio abaixo do assoalho marinhoé usualmente considerado um meio eletricamente isotrópico. Contudo, é comumenteconhecido que sequências de camadas sedimentares, que são frequentemente encontradasna exploração de óleo e gás, apresentam anisotropia elétrica (TOMPKINS, 2005; QUIREINet al., 2012).

Nesta tese serão realizadas simulações numérica do método CSEM marinho paraestruturas unidimensionais e bidimensionais com anisotropia elétrica.

1.2 Trabalhos anteriores

A anisotropia elétrica já foi bastante estudada na perfilagem de indução (ALUM-BAUGH; LU, 2001; KOELMAN et al., 2001; LU; ALUMBAUGH, 2001; HOU; MALLAN;TORRES-VERDíN, 2006; RABINOVICH et al., 2006; MALLAN; TORRES-VERDíN,2007) e recentemente vem sendo estudada em dados marinhos de fonte controlada. Vejamosa seguir os trabalhos mais relevantes nessa área.

Na modelagem unidimensional, Everett e Constable (1999) estudaram o efeito daanisotropia horizontal nas medidas do método CSEM marinho considerando um modelocom dois semiespaços homogêneos, um deles representando o mar isotrópico e outro osubstrato com anisotropia horizontal. Tompkins (2005) analisou os efeitos da anisotropiavertical na resposta MCSEM da componente 𝑥 do campo elétrico para um meio estratificado1D considerando o mar um semiespaço infinito. Lu e Xia (2007) estudaram os efeitos daanisotropia vertical nas componentes do campo eletromagnético (EM) para um modelocom dois semiespaços (mar/sedimentos) mostrando a distribuição do campo elétrico nosplanos 𝑥𝑧 e 𝑦𝑧. Løseth e Ursin (2007) descreveram um método que calcula o campoeletromagnético num meio estratificado com anisotropia geral, neste método os autoresresolvem as equações do campo eletromagnético no domínio (𝑘𝑥, 𝑘𝑦, 𝑧) das transformadasde Fourier usando matrizes de propagação para avaliar as condições de contorno.

Na modelagem bidimensional, Kong et al. (2008) mostraram as respostas do métodoCSEM marinho 2,5D com anisotropia vertical. Li e Dai (2011) apresentaram a solução,por elementos finitos adaptativos, do método CSEM marinho em estruturas 2D comanisotropia inclinada, usando como modelo primário um meio isotrópico.

1.3 Motivação e objetivos

As reservas de hidrocarbonetos mais comuns em águas profundas estão contidasem formações laminadas de folhelho e arenito encontradas tipicamente em ambientesde turbiditos. Cerca de 30% a 40% das reservas de hidrocarbonetos do mundo estão


confinadas em formações turbidíticas, portanto, a definição do potencial de produçãodesses reservatórios é importante para exploração de seus recursos minerais. Nos últimosanos várias técnicas foram desenvolvidas pela indústria do petróleo para identificar eestimar o potencial de produção das reservas de turbiditos, o que deu-lhes um papeleconômico importante na exploração e produção de hidrocarbonetos. As principais regiõesde exploração em águas profundas apresentam estes tipos de formações: a costa ocidentalda África, o Mar do Norte, o Golfo do México e as bacias sedimentares marginais da costabrasileira (MILANI et al., 2000; FANINI et al., 2001; LIMA, 2004; THAKUR et al., 2010).

Quando a formação é constituída por uma sequência de camadas finamente lami-nadas que apresentam contrastes de resistividade, tais como as formações laminadas defolhelho e arenito, a mesma pode ser caracterizada como um meio anisotrópico. Nestecaso a anisotropia elétrica é referida como anisotropia macroscópica (COUTINHO, 2005;YIN; KURNIAWAN, 2008).

Na inversão de algumas medidas MCSEM, a resistividade da camada encaixante(background) determinada pelos receptores alinhados com o transmissor (geometria inline)é muito maior do que resistividade obtida pelos receptores alinhados perpendicularmenteao transmissor (geometria broadside). Essa diferença obtida na interpretação dos dadosMCSEM pode ser causada pela anisotropia elétrica (RAMANANJAONA; MACGREGOR;ANDRÉIS, 2011).

Portanto, desconsiderar os efeitos da anisotropia na interpretação de dados MCSEMpode levar a uma imagem geoelétrica distorcida das estruturas do fundo oceânico e, atémesmo, a interpretações erradas dos dados medidos.

Com o intuito de definir as relações existentes entre as medidas MCSEM e aanisotropia elétrica do meio abaixo do assoalho marinho, será realizado um estudo paraavaliar de que maneira a anisotropia afeta estas medidas, para tanto, esta tese tem osseguintes objetivos específicos:

∙ Apresentar de forma detalhada a formulação e a modelagem numérica para o cálculodo campo gerado pela fonte dipolar do método eletromagnético de fonte controladaem ambiente marinho tanto em meios estratificados quanto em meios bidimensionais,incluíndo a presença de zonas com anisotropia transversal com eixo de simetriainclinado em qualquer parte dos modelos e empregando o método dos elementosfinitos como ferramenta numérica na resolução do problema;

∙ Definir a relação entre a geometria transmissor-receptor de medidas e a anisotropia;

∙ Verificar como as componentes do campo eletromagnético são afetadas pela anisotro-pia no método CSEM marinho;


∙ Verificar se a simetria nos dados medidos é afetada pela anisotropia transversal comeixo de simetria inclinado;

1.4 Descrição da tese

No segundo capítulo desta tese apresentamos detalhadamente a solução do campoelétrico gerado por um dipolo elétrico horizontal (DEH) num meio estratificado comanisotropia elétrica vertical e avaliamos o efeito dessa anisotropia nas medidas do métodoCSEM marinho considerando modelos que incluem o ar e o reservatório. Para estesmodelos também avaliamos a distribuição do campo elétrico e da densidade de correnteno plano 𝑥𝑧.

No terceiro capítulo encontramos o campo eletromagnético de um DEH num meioestratificado com anisotropia inclinada, usando a separação do campo EM no domínio(𝑘𝑥, 𝑘𝑦, 𝑧) das transformadas de Fourier, evitando, assim, as singularidades do dipolo. Apartir dessa solução estudamos o efeito da anisotropia inclinada nos dados MCSEM domesmo modo que será feito no capítulo 2. Vale ressalta a importância deste capítulo, poisnão existe na literatura um estudo parecido com este. Løseth e Ursin (2007) apresentaramuma solução para modelos unidimensionais com anisotropia inclinada, entretanto, elesutilizaram uma metodologia, para obtenção do campo eletromagnético, diferente daapresenta neste trabalho e mostraram poucos resultados, apenas, da componente 𝑥 docampo elétrico para modelos nos quais a espessura do mar é de 300 metros.

No quarto capítulo apresentamos a formulação por elementos finitos do campoeletromagnético de um DEH em estruturas bidimensionais com anisotropia inclinada.Diferente de Li e Dai (2011) usamos como modelo primário, na separação dos campos,o meio estratificado anisotrópico, cuja formulação será descrita nos capítulos 2 e 3 destetrabalho. Para modelos em que o meio sedimentar que envolve o reservatório apresentaanisotropia ou mesmo camadas, esta metodologia apresenta a ventagem de não ter quesimular o pacote sedimentar por uma heterogeneidade de grandes dimensões, evitandoassim, uma malha com um grande número de nós e consequentemente um sistema degrande porte na solução de elementos finitos.

O último capítulo trata das conclusões sobre as análises feitas nesta tese e reco-mendações para trabalhos posteriores nesta linha de pesquisa.

17

2 MEIO ESTRATIFICADO COM ANISOTROPIA VERTICAL

Neste capítulo, vamos investigar os efeitos da anisotropia nas medições CSEMefetuadas no fundo do mar, considerando um modelo estratificado transversalmenteisotrópico com eixo de simetria vertical (TIV), e discutir a dependência que o efeitoanisotrópico tem da geometria transmissor-receptor. Mostramos também a distribuiçãodo campo elétrico e do vetor densidade de corrente no plano vertical que contém o dipoloelétrico.

2.1 Cálculo do campo eletromagnético

Esta seção trata do desenvolvimento teórico necessário para obtenção do campoeletromagnético gerado por um dipolo elétrico horizontal num meio estratificado comanisotropia vertical (Figura 2).

2.1.1 Meio Homogêneo

Para se determinar o campo eletromagnético num meio de camadas plano-paralelasanisotrópicas é necessário, primeiramente, determinar a solução do problema para ummeio homogêneo, anisotrópico e ilimitado. Partindo das equações de Maxwell no domínioda frequência:

∇ · E = 𝜚𝑣/𝜖 , (2.1)

∇ × H − (𝜎 + 𝑖𝜔𝜖)E = 𝐼(𝜔) 𝑑s 𝛿(𝑥)𝛿(𝑦)𝛿(𝑧 − 𝑧𝑡) , (2.2)

∇ · H = 0 , (2.3)

∇ × E + 𝑖𝜔𝜇 H = 0 . (2.4)

Onde 𝜚𝑣 é a densidade volumétrica de carga e 𝐼(𝜔) 𝑑s 𝛿(𝑥)𝛿(𝑦)𝛿(𝑧 − 𝑧𝑡) representa o vetordensidade de corrente do dipolo elétrico localizado em (0, 0, 𝑧𝑡), sendo 𝑑s o vetor desloca-mento que fornece o comprimento e a orientação do dipolo. Para meios transversalmenteisotrópicos com eixo de simetria vertical a condutividade é definida pelo tensor:

𝜎 =

⎛⎜⎜⎜⎝𝜎ℎ 0 00 𝜎ℎ 00 0 𝜎𝑣

⎞⎟⎟⎟⎠ .

Capítulo 2. MEIO ESTRATIFICADO COM ANISOTROPIA VERTICAL 18

Figura 2 – Modelo interpretativo de um meio estratificado com anisotropia.

DEH

h1

h2

z

x

y

Fonte: Do autor

Em ambientes sedimentares pode-se adotar para permissividade dielétrica e per-meabilidade magnética os mesmos valores do vácuo, ou seja, 𝜖 = 𝜖0 = 1

36𝜋· 10−9 F/m e

𝜇 = 𝜇0 = 4𝜋 · 10−7 H/m, também é comum se usar a condição quase-estática 𝜎ℎ ≫ 𝜔𝜖 e𝜎𝑣 ≫ 𝜔𝜖, devido a faixa relativamente baixa de frequência utilizada no método MCSEM.Nesta condição, 𝜔 = 2𝜋𝑓 é a frequência angular e, 𝜎ℎ e 𝜎𝑣 são, respectivamente, ascondutividades horizontal e vertical da formação dadas em S/m.

Como consequência da equação (2.3), o campo magnético pode ser escrito como orotacional de um potencial vetor

H = ∇ × A . (2.5)


Substituindo (2.5) em (2.4), segue:

∇ × (E + 𝑖𝜔𝜇 A) = 0 =⇒ E = −𝑖𝜔𝜇 A − ∇𝑈 . (2.6)

Onde 𝑈 é um potencial escalar.

Agora, inserindo esta última expressão e (2.5) em (2.2), obtém-se:

∇ × ∇ × A − 𝜎 (−𝑖𝜔𝜇 A − ∇𝑈) = 𝐼(𝜔) 𝑑s 𝛿(𝑥)𝛿(𝑦)𝛿(𝑧 − 𝑧𝑡) . (2.7)

Aplicando a identidade vetorial ∇ × ∇ × A = −∇2A + ∇(∇ · A) à equação (2.7), tem-se:

−∇2𝐴𝑥 + 𝜕

𝜕𝑥(∇ · A) + 𝜎ℎ

𝜕𝑈

𝜕𝑥+ 𝑖𝜔𝜇𝜎ℎ 𝐴𝑥 = 𝐼(𝜔) 𝑑𝑠𝑥𝛿(𝑥)𝛿(𝑦)𝛿(𝑧 − 𝑧𝑡) ,

−∇2𝐴𝑦 + 𝜕

𝜕𝑦(∇ · A) + 𝜎ℎ

𝜕𝑈

𝜕𝑦+ 𝑖𝜔𝜇𝜎ℎ 𝐴𝑦 = 𝐼(𝜔) 𝑑𝑠𝑦𝛿(𝑥)𝛿(𝑦)𝛿(𝑧 − 𝑧𝑡) ,

−∇2𝐴𝑧 + 𝜕

𝜕𝑧(∇ · A) + 𝜎𝑣

𝜕𝑈

𝜕𝑧+ 𝑖𝜔𝜇𝜎𝑣 𝐴𝑧 = 𝐼(𝜔) 𝑑𝑠𝑧𝛿(𝑥)𝛿(𝑦)𝛿(𝑧 − 𝑧𝑡) .

(2.8)

Seguindo o procedimento descrito por Kaufman e Keller (1989), para um dipoloelétrico orientado na direção 𝑥, uma configuração conveniente para o potencial vetor éA = (𝐴𝑥, 0, 𝐴𝑧), a qual, ainda, garante a completa definição do campo magnético. Umaboa condição de calibre neste caso é

∇ · A = −𝜎ℎ · 𝑈 .

Essas escolhas levam, as equações em (2.8), num sistema de duas equações diferen-ciais acopladas em termos das componentes do potencial vetor A:

∇2𝐴𝑥 + 𝑘2ℎ 𝐴𝑥 = −𝐼(𝜔) 𝑑𝑠𝑥𝛿(𝑥)𝛿(𝑦)𝛿(𝑧) , (2.9)

∇2𝐴𝑧 + 𝑘2𝑣 𝐴𝑧 =

(1 − 1

𝜆2

)𝜕

𝜕𝑧∇ · A , (2.10)

onde 𝑘2ℎ = −𝑖𝜔𝜇𝜎ℎ, 𝑘2

𝑣 = −𝑖𝜔𝜇𝜎𝑣 e 𝜆2 = 𝜎ℎ/𝜎𝑣.

A substituição da condição de calibre na equação (2.6) nos permite escrever ocampo elétrico como

E = −𝑖𝜔𝜇 A + 1𝜎ℎ

∇(∇ · A) . (2.11)

A solução da equação (2.9) no domínio (𝑘𝑥, 𝑘𝑦, 𝑧), da transformada de Fourier, édefinida por Rijo (2004) como:

^𝐴𝑥(𝑘𝑥, 𝑘𝑦, 𝑧) =

⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩𝐼(𝜔) 𝑑𝑠𝑥

𝑒−𝑢(𝑧−𝑧𝑡)

2𝑢, (𝑧 − 𝑧𝑡) > 0,

𝐼(𝜔) 𝑑𝑠𝑥𝑒𝑢(𝑧−𝑧𝑡)

2𝑢, (𝑧 − 𝑧𝑡) < 0,

(2.12)


onde 𝑢2 = 𝑘2𝑥 + 𝑘2

𝑦 − 𝑘2ℎ.

A partir da equação (2.10), obtém-se:

𝜕2𝐴𝑧

𝜕𝑥2 + 𝜕2𝐴𝑧

𝜕𝑦2 + 1𝜆2

𝜕2𝐴𝑧

𝜕𝑧2 + 𝑘2𝑣 𝐴𝑧 =

(1 − 1

𝜆2

)𝜕2𝐴𝑥

𝜕𝑥𝜕𝑧.

Escrevendo esta última equação no domínio (𝑘𝑥, 𝑘𝑦, 𝑧), tem-se:

𝜕2 ^𝐴𝑧

𝜕𝑧2 − 𝜆2𝑣2 ^𝐴𝑧 =

(𝜆2 − 1

)𝑖𝑘𝑥

𝜕^𝐴𝑥

𝜕𝑧, (2.13)

onde 𝑣2 = 𝑘2𝑥 + 𝑘2

𝑦 − 𝑘2𝑣 .

A solução da equação (2.13), considerando (2.12), é dada por:

^𝐴𝑧 =

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩

𝑖𝑘𝑥 𝐼(𝜔) 𝑑𝑠𝑥

2𝑘2𝑟

(𝑒−𝑢(𝑧−𝑧𝑡) − 𝑒−𝜆𝑣(𝑧−𝑧𝑡)

), (𝑧 − 𝑧𝑡) > 0,

−𝑖𝑘𝑥 𝐼(𝜔) 𝑑𝑠𝑥

2𝑘2𝑟

(𝑒𝑢(𝑧−𝑧𝑡) − 𝑒𝜆𝑣(𝑧−𝑧𝑡)

), (𝑧 − 𝑧𝑡) > 0,

(2.14)

onde 𝑘2𝑟 = 𝑘2

𝑥 + 𝑘2𝑦.

De posse da solução do potencial A, podemos obter o campo eletromagnético parao meio homogêneo anisotrópico através das equações (2.5) e (2.11).

2.1.2 Meio Estratificado

Agora, tendo como base os resultados obtidos para o meio homogêneo, podemosobter a solução para o estratificado. Para isso, iremos primeiramente encontrar a soluçãodo potencial A, no domínio (𝑘𝑥, 𝑘𝑦, 𝑧) de Fourier, para uma camada 𝑗 do meio estratificadoque contenha o transmissor (Figura 2). Então, obteremos a solução do potencial A nodomínio espacial através da transformada inversa de Fourier e com o auxílio das equações(2.5) e (2.11) encontramos a solução do campo eletromagnético.

Para regiões que não contenham a fonte, a equação (2.9) torna-se homogênea

∇2𝐴𝑥 + 𝑘2ℎ 𝐴𝑥 = 0,

com solução no domínio (𝑘𝑥, 𝑘𝑦, 𝑧) da forma

𝐶1(𝑘𝑥, 𝑘𝑦)e−𝑢𝑧 + 𝐶2(𝑘𝑥, 𝑘𝑦)e𝑢𝑧 , (2.15)

em que as parcelas da solução correspondem ao decaimento da onda no sentido positivo enegativo do eixo 𝑧.

Numa camada que contenha a fonte, a solução da equação diferencial não homogênea(2.12) deve ser adicionada a solução complementar (2.15) (WARD; HOHMANN, 1988).


Portanto, a componente 𝑥 do potencial A no domínio (𝑘𝑥, 𝑘𝑦, 𝑧) para uma camada𝑗 é dada por

^𝐴(𝑗)

𝑥(−)= 𝐴𝑥𝑗

[𝑒𝑢𝑗(𝑧−𝑧𝑗) + 𝑅(𝑗)

𝑥 𝑒−𝑢𝑗(𝑧−𝑧𝑗) + 𝑅(𝑗+1)𝑥 𝑒𝑢𝑗(𝑧−𝑧𝑗−2ℎ2)

],

^𝐴(𝑗)

𝑥(+)= 𝐴𝑥𝑗

[𝑒−𝑢𝑗(𝑧−𝑧𝑗−2ℎ1) + 𝑅(𝑗)


],

(2.16)

com 𝐴𝑥𝑗 = 𝐼(𝜔) 𝑑𝑠𝑥 𝑒−𝑢𝑗ℎ1

2𝑢𝑗

. Os termos subscritos (−) e (+) significam, respectivamente, opotencial na camada 𝑗 para as posições acima e abaixo da fonte.

Substituindo (2.16) em (2.13) determina-se a componente 𝑧 do potencial A numacamada 𝑗, dada por

^𝐴(𝑗)

𝑧(−)= −𝑖𝑘𝑥 𝐴𝑥𝑗 𝑢𝑗

𝑘2𝑟

[𝑒𝑢𝑗(𝑧−𝑧𝑗) − 𝑅(𝑗)


]+𝐴𝑧𝑗

[𝑒𝜆𝑗𝑣𝑗(𝑧−𝑧𝑗) + 𝑅(𝑗)

𝑧 𝑒−𝜆𝑗𝑣𝑗(𝑧−𝑧𝑗) − 𝑅(𝑗+1)𝑧 𝑒𝜆𝑗𝑣𝑗(𝑧−𝑧𝑗−2ℎ2)

],

^𝐴(𝑗)

𝑧(+)= 𝑖𝑘𝑥 𝐴𝑥𝑗 𝑢𝑗

𝑘2𝑟

[𝑒−𝑢𝑗(𝑧−𝑧𝑗−2ℎ1) + 𝑅(𝑗)

𝑥 𝑒−𝑢𝑗(𝑧−𝑧𝑗) − 𝑅(𝑗+1)𝑥 𝑒𝑢𝑗(𝑧−𝑧𝑗−2ℎ2)

]−𝐴𝑧𝑗

[𝑒−𝜆𝑗𝑣𝑗(𝑧−𝑧𝑗−2ℎ1) − 𝑅(𝑗)

𝑧 𝑒−𝜆𝑗𝑣𝑗(𝑧−𝑧𝑗) + 𝑅(𝑗+1)𝑧 𝑒𝜆𝑗𝑣𝑗(𝑧−𝑧𝑗−2ℎ2)

],

(2.17)

com 𝐴𝑧𝑗 = 𝐼(𝜔) 𝑑𝑠𝑥 𝑒−𝜆𝑗𝑣𝑗ℎ1

𝑘2𝑟

.

Para se determinar os coeficientes de reflexão, 𝑅(𝑗)𝑥 , 𝑅(𝑗+1)

𝑥 , 𝑅(𝑗)𝑧 e 𝑅(𝑗+1)

𝑧 , é conveni-ente escrever a equação (2.17) como:

^𝐴(𝑗)

𝑧(−)= −𝑖𝑘𝑥

𝑘2𝑟

𝜕^𝐴(𝑗)

𝑥(−)

𝜕𝑧+ ^

𝐴(𝑗)𝑣(−)

,

^𝐴(𝑗)

𝑧(+)= −𝑖𝑘𝑥

𝑘2𝑟

𝜕^𝐴(𝑗)

𝑥(+)

𝜕𝑧+ ^

𝐴(𝑗)𝑣(+)

,

onde,^𝐴(𝑗)

𝑣(−)= 𝐴𝑧𝑗

[𝑒𝜆𝑗𝑣𝑗(𝑧−𝑧𝑗) + 𝑅(𝑗)

𝑧 𝑒−𝜆𝑗𝑣𝑗(𝑧−𝑧𝑗) − 𝑅(𝑗+1)𝑧 𝑒𝜆𝑗𝑣𝑗(𝑧−𝑧𝑗−2ℎ2)

], e

^𝐴(𝑗)

𝑣(+)= −𝐴𝑧𝑗

[𝑒−𝜆𝑗𝑣𝑗(𝑧−𝑧𝑗−2ℎ1) − 𝑅(𝑗)

𝑧 𝑒−𝜆𝑗𝑣𝑗(𝑧−𝑧𝑗) + 𝑅(𝑗+1)𝑧 𝑒𝜆𝑗𝑣𝑗(𝑧−𝑧𝑗−2ℎ2)

].

Os coeficientes de reflexão são obtidos a partir das definições de impedância desuperfície (𝒵) e admitância de superfície (𝒴) no domínio (𝑘𝑥, 𝑘𝑦, 𝑧) empregadas nasinterfaces de interesse (WARD; HOHMANN, 1988; SANTOS, 2007).

𝒵𝑗−1 = −^𝐸(𝑗)

𝑥,𝑇 𝑀

^𝐻

(𝑗)𝑦,𝑇 𝑀

𝑧=𝑧𝑗

, 𝒵𝑗+1 =^𝐸(𝑗)

𝑥,𝑇 𝑀

^𝐻

(𝑗)𝑦,𝑇 𝑀

𝑧=𝑧𝑗+1

e

𝒴𝑗−1 = −^𝐻(𝑗)

𝑦,𝑇 𝐸

^𝐸

(𝑗)𝑥,𝑇 𝐸

𝑧=𝑧𝑗

, 𝒴𝑗+1 =^𝐻(𝑗)

𝑦,𝑇 𝐸

^𝐸

(𝑗)𝑥,𝑇 𝐸

𝑧=𝑧𝑗+1

,


que, utilizando as equações (2.5) e (2.11), resulta em:

𝒴𝑗−1 =

𝜕^𝐴(𝑗)

𝑥(−)

𝜕𝑧

𝑖𝜔𝜇𝑗^𝐴

(𝑗)𝑥(−)

e 𝒴𝑗+1 = −

𝜕^𝐴(𝑗)

𝑥(+)

𝜕𝑧

𝑖𝜔𝜇𝑗^𝐴

(𝑗)𝑥(+)

.

𝒵𝑗−1 =

1𝜎ℎ𝑗

𝜕^𝐴(𝑗)

𝑣(−)

𝜕𝑧^𝐴

(𝑗)𝑣(−)

e 𝒵𝑗+1 = −

1𝜎ℎ𝑗

𝜕^𝐴(𝑗)

𝑣(+)

𝜕𝑧^𝐴

(𝑗)𝑣(+)

.

Aplicando as equações (2.16) e (2.17) às relações acima, tem-se

𝑅(𝑗)𝑥 = (𝒴𝑗 − 𝒴𝑗−1)(𝒴𝑗 + 𝒴𝑗+1) + (𝒴𝑗 − 𝒴𝑗−1)(𝒴𝑗 − 𝒴𝑗+1)𝑒−2𝑢𝑗ℎ2

(𝒴𝑗 + 𝒴𝑗−1)(𝒴𝑗 + 𝒴𝑗+1) − (𝒴𝑗 − 𝒴𝑗−1)(𝒴𝑗 − 𝒴𝑗+1)𝑒−2𝑢𝑗𝐻𝑗,

𝑅(𝑗+1)𝑥 = (𝒴𝑗 + 𝒴𝑗−1)(𝒴𝑗 − 𝒴𝑗+1) + (𝒴𝑗 − 𝒴𝑗−1)(𝒴𝑗 − 𝒴𝑗+1)𝑒−2𝑢𝑗ℎ1

(𝒴𝑗 + 𝒴𝑗−1)(𝒴𝑗 + 𝒴𝑗+1) − (𝒴𝑗 − 𝒴𝑗−1)(𝒴𝑗 − 𝒴𝑗+1)𝑒−2𝑢𝑗𝐻𝑗,

onde 𝒴𝑗 = 𝑢𝑗

𝑖𝜔𝜇𝑗

e 𝐻𝑗 é a espessura da camada 𝑗.E, também,

𝑅(𝑗)𝑧 = (𝒵𝑗 − 𝒵𝑗−1)(𝒵𝑗 + 𝒵𝑗+1) − (𝒵𝑗 − 𝒵𝑗−1)(𝒵𝑗 − 𝒵𝑗+1)𝑒−2𝑢𝑗ℎ2

(𝒵𝑗 + 𝒵𝑗−1)(𝒵𝑗 + 𝒵𝑗+1) − (𝒵𝑗 − 𝒵𝑗−1)(𝒵𝑗 − 𝒵𝑗+1)𝑒−2𝑢𝑗𝐻𝑗,

𝑅(𝑗+1)𝑧 = (𝒵𝑗 + 𝒵𝑗−1)(𝒵𝑗 − 𝒵𝑗+1) − (𝒵𝑗 − 𝒵𝑗−1)(𝒵𝑗 − 𝒵𝑗+1)𝑒−2𝑢𝑗ℎ1

(𝒵𝑗 + 𝒵𝑗−1)(𝒵𝑗 + 𝒵𝑗+1) − (𝒵𝑗 − 𝒵𝑗−1)(𝒵𝑗 − 𝒵𝑗+1)𝑒−2𝑢𝑗𝐻𝑗,

onde 𝒵𝑗 = 𝜆𝑗𝑣𝑗

𝜎ℎ𝑗

.

Definidos os coeficientes de reflexão pode-se, então, escrever a solução das compo-nentes do potencial A em (𝑥, 𝑦, 𝑧) aplicando a transformada inversa dupla de Fourier.

As componentes do campo elétrico, estando o transmissor acima dos receptoresnuma camada j, são definidas através da substituição da solução do potencial A na equação(2.11):

𝐸(𝑗)𝑥 (𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝐼(𝜔) 𝑑𝑠𝑥

4𝜋 𝜎ℎ𝑗

(2𝑥2

𝑟3 − 1𝑟

)∫ ∞

0𝐾𝑣

𝑥𝑦(𝑘𝑟)𝐽1(𝑘𝑟𝑟)𝑑𝑘𝑟

−𝐼(𝜔) 𝑑𝑠𝑥

4𝜋 𝜎ℎ𝑗

𝑥2

𝑟2

∫ ∞

0𝐾𝑣

𝑥𝑦(𝑘𝑟)𝐽0(𝑘𝑟𝑟)𝑘𝑟 𝑑𝑘𝑟

+𝐼(𝜔) 𝑑𝑠𝑥

4𝜋

(2𝑦2

𝑟3 − 1𝑟

)∫ ∞

0𝐾ℎ



4𝜋

𝑦2

𝑟2

∫ ∞

0𝐾ℎ

𝑥𝑦(𝑘𝑟)𝐽0(𝑘𝑟𝑟)𝑘𝑟 𝑑𝑘𝑟,

(2.18)


𝐸(𝑗)𝑦 (𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝐼(𝜔) 𝑑𝑠𝑥

2𝜋 𝜎ℎ𝑗

𝑥 𝑦

𝑟3

∫ ∞

0𝐾𝑣



4𝜋 𝜎ℎ𝑗

𝑥 𝑦

𝑟2

∫ ∞

0𝐾𝑣



2𝜋

𝑥 𝑦

𝑟3

∫ ∞

0𝐾ℎ



4𝜋

𝑥 𝑦

𝑟2

∫ ∞

0𝐾ℎ


(2.19)

onde,

𝐾ℎ𝑥𝑦(𝑘𝑟) = 1

𝒴(𝑒−𝑢𝑗(𝑧−𝑧𝑗−ℎ1) + 𝑅(𝑗)

𝑥 𝑒−𝑢𝑗(𝑧−𝑧𝑗+ℎ1) + 𝑅(𝑗+1)𝑥 𝑒𝑢𝑗(𝑧−𝑧𝑗−ℎ1−2ℎ2)

)e,

𝐾𝑣𝑥𝑦(𝑘𝑟) = 𝜆𝑗𝑣𝑗

[𝑒−𝜆𝑗𝑣𝑗(𝑧−𝑧𝑗−ℎ1) − 𝑅(𝑗)

𝑧 𝑒−𝜆𝑗𝑣𝑗(𝑧−𝑧𝑗+ℎ1) − 𝑅(𝑗+1)𝑧 𝑒𝜆𝑗𝑣𝑗(𝑧−𝑧𝑗−ℎ1−2ℎ2)

].

𝐸(𝑗)𝑧 (𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝐼(𝜔) 𝑑𝑠𝑥

4𝜋

𝑥

𝑟

∫ ∞

0𝐾𝑣

𝑧 (𝑘𝑟)𝐽1(𝑘𝑟𝑟)𝑘2𝑟 𝑑𝑘𝑟 (2.20)

onde,

𝐾𝑣𝑧 (𝑘𝑟) = 1

𝜎𝑣𝑗


𝑧 𝑒−𝜆𝑗𝑣𝑗(𝑧−𝑧𝑗+ℎ1) + 𝑅(𝑗+1)𝑧 𝑒𝜆𝑗𝑣𝑗(𝑧−𝑧𝑗−ℎ1−2ℎ2)

].

As componentes do campo magnético, estando o transmissor acima dos receptoresnuma camada j, são definidas através substituição da solução do potencial A na equação(2.5):

𝐻(𝑗)𝑥 (𝑥, 𝑦, 𝑧) = −𝐼(𝜔) 𝑑𝑠𝑥

2𝜋

𝑥 𝑦

𝑟3

∫ ∞

0𝐾𝑣



4𝜋

𝑥 𝑦

𝑟2

∫ ∞

0𝐾𝑣



2𝜋

𝑥 𝑦

𝑟3

∫ ∞

0𝐾ℎ



4𝜋

𝑥 𝑦

𝑟2

∫ ∞

0𝐾ℎ


(2.21)

𝐻(𝑗)𝑦 (𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝐼(𝜔) 𝑑𝑠𝑥

4𝜋

(2𝑥2

𝑟3 − 1𝑟

)∫ ∞

0𝐾𝑣



4𝜋

𝑥2

𝑟2

∫ ∞

0𝐾𝑣



4𝜋

(2𝑦2

𝑟3 − 1𝑟

)∫ ∞

0𝐾ℎ



4𝜋

𝑦2

𝑟2

∫ ∞

0𝐾ℎ


(2.22)


onde,𝐾ℎ

𝑥𝑦(𝑘𝑟) =[𝑒−𝑢𝑗(𝑧−𝑧𝑗−ℎ1) + 𝑅(𝑗)

𝑥 𝑒−𝑢𝑗(𝑧−𝑧𝑗+ℎ1) − 𝑅(𝑗+1)𝑥 𝑒𝑢𝑗(𝑧−𝑧𝑗−ℎ1−2ℎ2)

]e,

𝐾𝑣𝑥𝑦(𝑘𝑟) =


𝑧 𝑒−𝜆𝑗𝑣𝑗(𝑧−𝑧𝑗+ℎ1) + 𝑅(𝑗+1)𝑧 𝑒𝜆𝑗𝑣𝑗(𝑧−𝑧𝑗−ℎ1−2ℎ2)

].

𝐻(𝑗)𝑧 (𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝐼(𝜔) 𝑑𝑠𝑥

4𝜋

𝑦

𝑟

∫ ∞

0𝐾ℎ

𝑧 (𝑘𝑟)𝐽1(𝑘𝑟𝑟)𝑘2𝑟 𝑑𝑘𝑟 (2.23)

onde,

𝐾ℎ𝑧 (𝑘𝑟) = 1

𝑢𝑗

[𝑒−𝑢𝑗(𝑧−𝑧𝑗−ℎ1) + 𝑅(𝑗)

𝑥 𝑒−𝑢𝑗(𝑧−𝑧𝑗+ℎ1) + 𝑅(𝑗+1)𝑥 𝑒𝑢𝑗(𝑧−𝑧𝑗−ℎ1−2ℎ2)

].

2.2 Efeitos da anisotropia vertical nos dados MCSEM 1D

Vamos investigar os efeitos da anisotropia nas medições do método CSEM marinhoconsiderando as geometrias inline e broadside para disposição transmissor-receptor. Comdipolo orientado na direção 𝑥, pode-se medir apenas as componentes 𝐸𝑥, 𝐻𝑦 e 𝐸𝑧 nageometria inline (medidas ao longo do eixo 𝑥) o que pode ser verificado assumindo 𝑦 = 0 nasequações do campo eletromagnético definidas na seção (2.1). Analogamente, na geometriabroadside pode-se medir apenas as componentes 𝐸𝑥, 𝐻𝑦 e 𝐻𝑧 do campo eletromagnético.Nessa investigação vamos considerar o transmissor sempre a 30 m do fundo do mar e queele funciona num regime de frequência de 0, 25 Hz.

Figura 3 – Modelo interpretativo para o método MCSEM sem reservatório.

1 2 3 4 5 6 7 8 9

Ar

Mar: 1500m, 0.3Ω⋅m

Semiespaço anisotrópico

Fonte: Do autor

Para analisarmos a dependência que o efeito anisotrópico tem da geometriatransmissor-receptor e verificarmos como as componentes do campo eletromagnético


são afetadas pela anisotropia. Iremos considerar o modelo dado na Figura (3), que éconstituído pelos meios: ar, mar e sedimentos sem a presença do reservatório. O ar ésimulado como um semiespaço homogêneo e isotrópico, o mar é uma camada isotrópicacom espessura de 1500 m e resistividade de 0, 3 Ω · 𝑚 e o meio sedimentar abaixo dofundo do mar é representado por um semiespaço homogêneo com anisotropia vertical.A resistividade do pacote sedimentar é o parâmetro que irá variar para estas primeirassimulações.

Figura 4 – Resultados para a componente 𝐸𝑥 inline e broadside.

0 2 4 6 8 10

10−15

10−13

10−11

10−9

10−7

Am

plitu

de −

Ex (

V/m

)

Geometria inline

0 2 4 6 8 10

10−15

10−13

10−11

10−9

10−7

Geometria broadside

0 2 4 6 8 10−200

−100

0

100

200

Fas

e (g

raus

)

0 2 4 6 8 10−200

−100

0

100

200

0 2 4 6 8 10

1

10

20

30

x (km)

Cam

po n

orm

aliz

ado

0 2 4 6 8 10

1

5

10

y (km)

(ρh,ρ

v)=(1,1)Ω⋅m

(ρh,ρ

v)=(1,2)Ω⋅m

(ρh,ρ

v)=(2,2)Ω⋅m

(ρh,ρ

v)=(1,3)Ω⋅m

(ρh,ρ

v)=(3,3)Ω⋅m

Fonte: Do autor

A Figura (4) mostra que para as medidas de 𝐸𝑥 inline os modelos com o mesmovalor da resistividade vertical apresentam, aproximadamente, a mesma resposta, ainda que,o valor da resistividade horizontal seja diferente. Verifica-se, também, que um aumento daresistividade vertical implica num aumento da amplitude de 𝐸𝑥 inline. Para as medidas


de 𝐸𝑥 broadside os modelos com o mesmo valor da resistividade horizontal apresentam amesma resposta até uma distância de, aproximadamente, 7 km a partir desta distância aresposta começa a sofrer influência da resistividade vertical.

Portanto, podemos concluir que a componente 𝐸𝑥 inline é mais sensível a resistivi-dade vertical, enquanto que, a componente 𝐸𝑥 broadside é mais sensível a resistividadehorizontal para medidas mais próximas do transmissor e passa a sofrer influência daresistividade vertical para posições de medidas mais afastadas do transmissor. As mesmasconclusões obtidas para componente 𝐸𝑥 se aplicam à componente 𝐻𝑦, como mostra aFigura (5).

Figura 5 – Resultados para a componente 𝐻𝑦 inline e broadside.

0 2 4 6 8 1010

−13

10−11

10−9

10−7

10−5

Am

plitu

de −

Hy (

A/m

)

Geometria inline

0 2 4 6 8 1010

−13

10−11

10−9

10−7

10−5

Geometria broadside

0 2 4 6 8 10−200

−100

0

100

200

Fas

e (g

raus

)

0 2 4 6 8 10−200

−100

0

100

200

0 2 4 6 8 10

1

10

20

x (km)

Cam

po n

orm

aliz

ado

0 2 4 6 8 10

1

10

20

y (km)

(ρh,ρ

v)=(1,1)Ω⋅m

(ρh,ρ

v)=(1,2)Ω⋅m

(ρh,ρ

v)=(2,2)Ω⋅m

(ρh,ρ

v)=(1,3)Ω⋅m

(ρh,ρ

v)=(3,3)Ω⋅m

Fonte: Do autor

A Figura (6) mostra que a componente 𝐸𝑧 é mais sensível a resistividade vertical,enquanto que, a componente 𝐻𝑧 é afetada apenas pela resistividade horizontal (veja que a


equação (2.23) da seção (2.1) independe de 𝜎𝑣). Isso ocorre porque, 𝐸𝑧 e 𝐻𝑧 são gerados,respectivamente, por correntes elétricas verticais e correntes elétricas horizontais.

Figura 6 – Resultados para a componente 𝐸𝑧 (inline) e 𝐻𝑧 (broadside).

0 2 4 6 8 10

10−8

10−10

10−12

10−14

10−16

Am

plitu

de −

Ez (

V/m

)

Geometria inline

0 2 4 6 8 1010

−14

10−12

10−10

10−8

10−6

Am

plitu

de −

Hz (

A/m

)

Geometria broadside

0 2 4 6 8 10−200

−100

0

100

200

Fas

e (g

raus

)

0 2 4 6 8 10−200

−100

0

100

200

0 2 4 6 8 10

0

10

20

30

40

x (km)

Cam

po n

orm

aliz

ado

0 2 4 6 8 10

0

10

20

30

40

y (km)

(ρh,ρ

v)=(1,1)Ω⋅m

(ρh,ρ

v)=(1,2)Ω⋅m

(ρh,ρ

v)=(2,2)Ω⋅m

(ρh,ρ

v)=(1,3)Ω⋅m

(ρh,ρ

v)=(3,3)Ω⋅m

(ρh,ρ

v)=(1,1)Ω⋅m

(ρh,ρ

v)=(1,2)Ω⋅m

(ρh,ρ

v)=(2,2)Ω⋅m

(ρh,ρ

v)=(1,3)Ω⋅m

(ρh,ρ

v)=(3,3)Ω⋅m

Fonte: Do autor

Agora, vamos considerar os modelos com reservatório definidos na Figura (7), paraavaliar a influência da anisotropia na “resposta” do reservatório. Com esse propósito,vamos analisar duas situações distintas: (1) meio encaixante com variação de anisotropia ereservatório com hidrocarboneto de resistividade 100 Ω ·𝑚 (Figura 7a); (2) meio encaixantecom anisotropia fixa e reservatório com hidrocarboneto e anisotropia variável (Figura 7b).As anomalias geradas pelo reservatório serão obtidas através da normalização das respostasdos modelos com reservatório (HC) pelas respostas dos modelos sem reservatório (noHC).

A Figura (8) mostra as respostas obtidas para o modelo da Figura (7a) em queocorre variação da resistividade anisotrópica no meio encaixante. Neste caso, um erro na


determinação da anisotropia do meio encaixante pode levar a interpretações erradas sobreos alvos resistivos.

Figura 7 – Modelo interpretativo para o método MCSEM com reservatório.

1 2 3 4 5 6 7 8

Ar

Mar: 1500m, 0.3Ω⋅m

Reservatório isotrópico: 100m

Semiespaço anisotrópico

Camada anisotrópica de sedimentos : 1000m

(a) 1 2 3 4 5 6 7 8(b)

Ar

Semiespaço: (ρh, ρ

v)=(1, 3)Ω⋅m

Resevatório anisotrópico: 100m

Sedimentos: 1000m, (ρh, ρ

v)=(1, 2)Ω⋅m

Mar: 1500m, 0.3Ω⋅m

Fonte: Do autor

As Figuras (8a) e (8c) mostram que um meio sem reservatório pode gerar umaanomalia semelhante a de um meio com reservatório quando a anisotropia do meioencaixante é subestimada. Assim, um meio que não apresenta um alvo resistivo poderiaser interpretado como um meio que contém reservatório.

As Figuras (8b) e (8d) mostram que uma sobrestimação da anisotropia do meioencaixante minimiza a anomalia gerada pelo reservatório resistivo. Neste caso, a anisotropialeva a uma subestimação do reservatório.

A Figura (9) mostra a resposta para segunda simulação (Figura 7b), onde aanisotropia do reservatório está variando. Nesta situação, um aumento na resistividadevertical do hidrocarboneto produz um aumento na amplitude de 𝐸𝑥.

Uma análise da distribuição do campo elétrico e do vetor densidade de corrente, noplano 𝑥𝑧 que contém o dipolo elétrico horizontal, reafirma a observação de que as medidasinline sofrem maior influência da resistividade vertical. Esse fato pode ser observado nasFiguras (10), (11), (12) e (13), pois uma variação na resistividade vertical causa umamudança considerável da distribuição do campo e da densidade de corrente, enquantoque, se a resistividade vertical é mantida constante, tal distribuição sofre pouca alteraçãoquando a resistividade horizontal varia.

Essa mudança na distribuição do campo elétrico e do vetor densidade de correnterefere-se, principalmente, ao decaimento do campo, uma vez que um aumento na resisti-vidade vertical diminui a taxa de decaimento do campo elétrico. O fato do decaimentodo campo ter uma dependência maior da resistividade vertical pode ser justificado pela


Figura 8 – Resultados da componente 𝐸𝑥 (inline) para os modelos definidos na Figura (7a).Em (c) o campo foi normalizado pelos valores da curva (𝜌ℎ, 𝜌𝑣) = (1, 1)Ω · 𝑚- noHC (linha azul). Em (d) o campo foi normalizado pelos valores da curva(𝜌ℎ, 𝜌𝑣) = (1, 4)Ω · 𝑚 - noHC (linha preta).

0 5 10 15 20 2510

−18

10−16

10−14

10−12

10−10

10−8

Variação na resistividade do meio sedimentar encaixante

Am

plitu

de −

Ex (

V/m

)

0 5 10 15 20 2510

−18

10−16

10−14

10−12

10−10

10−8

0 5 10 15 20 25

0

10

20

30

40

50

60

x (km)

Cam

po n

orm

aliz

ado

0 5 10 15 20 25

0

5

10

15

20

25

30

x (km)

(ρh,ρ

v)=(1,1)Ω⋅m − noHC

(ρh,ρ

v)=(1,4)Ω⋅m − noHC

(ρh,ρ

v)=(1,1)Ω⋅m − HC

(ρh,ρ

v)=(1,4)Ω⋅m − noHC

(ρh,ρ

v)=(1,1)Ω⋅m − HC

(ρh,ρ

v)=(1,4)Ω⋅m − HC

(a) (b)

(c) (d)

Fonte: Do autor

orientação próxima da vertical que as linhas de campo e linhas de corrente assumem.Segundo Constable e Weiss (2006) o efeito galvânico resultante do acúmulo de carga nasinterfaces da formação produz perturbações detectáveis nas medidas do campos EM reali-zadas no fundo do mar. Um e Alumbaugh (2007) mostraram que este efeito é diretamenteproporcional ao contraste de resistividade dos meios e a componente normal do vetordensidade de corrente para meios isotrópicos.

Aplicando a lei de Gauss à interface entre dois meios transversalmente isotrópicoscom eixo de simetria vertical, temos:

𝜚𝑠 = 𝜖2𝐸𝑛2 − 𝜖1𝐸

𝑛1 ,

onde 𝜚𝑠 é a densidade superficial de carga e a letra n sobrescrita indica que a componenteé normal à interface que separa os dois meios. Fazendo uso da lei de Ohm, nesta equação,


Figura 9 – Resultados da componente 𝐸𝑥 (inline) para os modelos definidos na Figura(7b).

0 5 10 15 20 2510

−18

10−16

10−14

10−12

10−10

10−8

x (km)

Am

plitu

de −

Ex (

V/m

)

Variação na resistividade do reservatório

0 5 10 15 20 25

0

50

100

150

x (km)

Cam

po n

orm

aliz

ado

(ρh,ρ

v)=(1,1)Ω⋅m

(ρh,ρ

v)=(50,50)Ω⋅m

(ρh,ρ

v)=(50,100)Ω⋅m

(ρh,ρ

v)=(50,200)Ω⋅m

Fonte: Do autor

obtemos𝜚𝑠 = 𝜖2

𝐽𝑛2

𝜎𝑣2

− 𝜖1𝐽𝑛

1𝜎𝑣1

.

Pela continuidade da componente 𝑧 do vetor densidade de corrente 𝐽𝑛 = 𝐽𝑛2 = 𝐽𝑛

1 , logo

𝜚𝑠 = 𝐽𝑛

(𝜖2

𝜎𝑣2

− 𝜖1

𝜎𝑣1

).

Esta equação justifica o fato já evidenciado de que as configurações em que aslinhas de corrente assumem orientações próximas a vertical contribuem para um aumentodo efeito galvânico. Esse tipo de configuração das linhas de corrente não ocorre na regiãoabaixo da fonte, como podemos observar nos resultados.

O campo elétrico e o vetor densidade de corrente no plano 𝑥𝑧 são mostrados,respectivamente, nas Figuras (14) e (15) para os modelos com e sem reservatório. Napresença do reservatório o campo apresenta um menor decaimento se comparado ao modelosem reservatório. Entretanto, essa diferença diminui se a resistividade vertical do meioencaixante aumenta. Isso mostra, como foi dito antes, que a anisotropia pode mascarar apresença do reservatório.


Figura 10 – Componente real do campo elétrico no plano 𝑥𝑧 para o modelo sem reservatório.O valor da resistividade do background está demonstrado nos gráficos.

Componente real do campo elétrico no plano xz

z (k

m)

(ρh,ρ

v)=(1,1)Ω⋅m Lo

g 10(a

mpl

itude

− V

/m)

−10 −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 10

0

1

2

3

4 −18

−16

−14

−12

−10

−8

z (k

m)

(ρh,ρ

v)=(1,3)Ω⋅m

Log 10

(am

plitu

de −

V/m

)

−10 −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 10

0

1

2

3

4 −18

−16

−14

−12

−10

−8

x (km)

z (k

m)

(ρh,ρ

v)=(3,3)Ω⋅m

Log 10

(am

plitu

de −

V/m

)

−10 −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 10

0

1

2

3

4 −18

−16

−14

−12

−10

−8

Fonte: Do autor


Figura 11 – Componente imaginária do campo elétrico no plano 𝑥𝑧 para o modelo semreservatório. O valor da resistividade do background está demonstrado nosgráficos.

Componente imaginária do campo elétrico no plano xz

z (k

m)

(ρh,ρ

v)=(1,1)Ω⋅m

Log 10

(am

plitu

de −

V/m

)

−10 −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 10

0

1

2

3

4 −18

−16

−14

−12

−10

−8

z (k

m)

(ρh,ρ

v)=(1,3)Ω⋅m Lo

g 10(a

mpl

itude

− V

/m)

−10 −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 10

0

1

2

3

4 −18

−16

−14

−12

−10

−8

x (km)

z (k

m)

(ρh,ρ

v)=(3,3)Ω⋅m

Log 10

(am

plitu

de −

V/m

)

−10 −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 10

0

1

2

3

4 −18

−16

−14

−12

−10

−8

Fonte: Do autor


Figura 12 – Componente real do vetor densidade de corrente no plano 𝑥𝑧 para o modelosem reservatório. O valor da resistividade do background está demonstradonos gráficos.

Componente real do vetor densidade de corrente no plano xz

z (k

m)

(ρh,ρ

v)=(1,1)Ω⋅m

Log 10

(am

plitu

de −

A/m

2 )

−10 −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 10

0

1

2

3

4 −18

−16

−14

−12

−10

−8

z (k

m)

(ρh,ρ

v)=(1,3)Ω⋅m

Log 10

(am

plitu

de −

A/m

2 )

−10 −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 10

0

1

2

3

4 −18

−16

−14

−12

−10

−8

x (km)

z (k

m)

(ρh,ρ

v)=(3,3)Ω⋅m

Log 10

(am

plitu

de −

A/m

2 )

−10 −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 10

0

1

2

3

4 −18

−16

−14

−12

−10

−8

Fonte: Do autor


Figura 13 – Componente imaginária do vetor densidade de corrente no plano 𝑥𝑧 parao modelo sem reservatório. O valor da resistividade do background estádemonstrado nos gráficos.

Componente imaginária do vetor densidade de corrente no plano xz

z (k

m)

(ρh,ρ

v)=(1,1)Ω⋅m

Log 10

(am

plitu

de −

A/m

2 )

−10 −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 10

0

1

2

3

4 −18

−16

−14

−12

−10

−8

z (k

m)

(ρh,ρ

v)=(1,3)Ω⋅m

Log 10

(am

plitu

de −

A/m

2 )

−10 −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 10

0

1

2

3

4 −18

−16

−14

−12

−10

−8

x (km)

z (k

m)

(ρh,ρ

v)=(3,3)Ω⋅m

Log 10

(am

plitu

de −

A/m

2 )

−10 −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 10

0

1

2

3

4 −18

−16

−14

−12

−10

−8

Fonte: Do autor


Figura 14 – Componente real do campo elétrico no plano 𝑥𝑧 para os modelos sem reser-vatório e com reservatório. O valor da resistividade do meio encaixante estádemonstrado nos gráficos.

Modelo sem reservatório

z (k

m)

(ρh,ρ

v)=(1,1)Ω⋅m Lo

g 10(a

mpl

itude

− V

/m)

−10 −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 10

0

1

2

3

4 −18

−16

−14

−12

−10

−8

Modelo com reservatório

z (k

m)

(ρh,ρ

v)=(1,1)Ω⋅m Lo

g 10(a

mpl

itude

− V

/m)

−10 −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 10

0

1

2

3

4 −18

−16

−14

−12

−10

−8


z (k

m)

(ρh,ρ

v)=(1,3)Ω⋅m Lo

g 10(a

mpl

itude

− V

/m)

−10 −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 10

0

1

2

3

4 −18

−16

−14

−12

−10

−8


x (km)

z (k

m)

(ρh,ρ

v)=(1,3)Ω⋅m Lo

g 10(a

mpl

itude

− V

/m)

−10 −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 10

0

1

2

3

4 −18

−16

−14

−12

−10

−8

Fonte: Do autor


Figura 15 – Componente real do vetor densidade de corrente no plano 𝑥𝑧 para os mo-delos sem reservatório e com reservatório. O valor da resistividade do meioencaixante está demonstrado nos gráficos.


z (k

m)

(ρh,ρ

v)=(1,1)Ω⋅m

Log 10

(am

plitu

de −

A/m

2 )

−10 −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 10

0

1

2

3

4 −18

−16

−14

−12

−10

−8


z (k

m)

(ρh,ρ

v)=(1,1)Ω⋅m

Log 10

(am

plitu

de −

A/m

2 )

−10 −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 10

0

1

2

3

4 −18

−16

−14

−12

−10

−8


z (k

m)

(ρh,ρ

v)=(1,3)Ω⋅m

Log 10

(am

plitu

de −

A/m

2 )

−10 −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 10

0

1

2

3

4 −18

−16

−14

−12

−10

−8


x (km)

z (k

m)

(ρh,ρ

v)=(1,3)Ω⋅m

Log 10

(am

plitu

de −

A/m

2 )

−10 −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 10

0

1

2

3

4 −18

−16

−14

−12

−10

−8

Fonte: Do autor

37

3 MEIO ESTRATIFICADO COM ANISOTROPIA INCLINADA

Neste capítulo vamos calcular o campo eletromagnético gerado por um dipoloelétrico horizontal num meio estratificado transversalmente isotrópico com eixo de simetriainclinado - TII (Figura 16). A partir da solução desse campo, será avaliada a influência daanisotropia inclinada nos dados MCSEM. As respostas apresentadas aqui, irão variar entreas respostas de meios TIV, vistas no capítulo (2), e as respostas de um meio estratificadotransversalmente isotrópico com o eixo de simetria horizontal (TIH), pois estes doiscasos são casos particulares do meio TII, em que os ângulos de inclinação são 0𝑜 e 90𝑜,respectivamente.

3.1 Cálculo do campo eletromagnético

Para evitarmos as singularidades geradas pelo dipolo elétrico horizontal (DEH),separamos o campo eletromagnético (EM) em campo primário e campo secundário. Ocampo primário é o campo EM induzido pelo DEH num meio estratificado transversalmenteisotrópico com eixo de simetria vertical (TIV), que foi definido no capitulo (2). Vejamosagora como calcular o campo secundário.

3.1.1 Campo eletromagnético secundário

Consideremos a lei de Ampère-Maxwell no regime quase-estático e a lei de Faraday

∇ × H − 𝜎 E = 𝐼(𝜔) 𝑑s 𝛿(𝑥)𝛿(𝑦)𝛿(𝑧) , (3.1)

∇ × E + 𝑖𝜔𝜇 H = 0 . (3.2)

Onde 𝐼(𝜔) 𝑑s 𝛿(𝑥)𝛿(𝑦)𝛿(𝑧) representa a distribuição de corrente do dipolo elétrico, 𝜇0 é ovalor da permeabilidade magnética no vácuo e 𝜎 é o tensor condutividade elétrica do meiocom anisotropia inclinada para uma rotação em torno do eixo 𝑦

𝜎 =

⎛⎜⎜⎜⎝𝜎𝑥𝑥 0 𝜎𝑥𝑧

0 𝜎𝑦𝑦 0𝜎𝑧𝑥 0 𝜎𝑧𝑧

⎞⎟⎟⎟⎠ =

⎛⎜⎜⎜⎝𝜎‖ cos2 𝛼 + 𝜎⊥ sen2 𝛼 0 (𝜎⊥ − 𝜎‖) sen 𝛼 cos 𝛼

0 𝜎‖ 0(𝜎⊥ − 𝜎‖) sen 𝛼 cos 𝛼 0 𝜎‖ sen2 𝛼 + 𝜎⊥ cos2 𝛼

⎞⎟⎟⎟⎠ .

O campo secundário é o campo induzido pelas heterogeneidades presentes no meioestratificado e portanto

E = E𝑝 + E𝑠

Capítulo 3. MEIO ESTRATIFICADO COM ANISOTROPIA INCLINADA 38

Figura 16 – Modelo interpretativo de um meio estratificado com anisotropia inclinada.

Fonte: Do autor

H = H𝑝 + H𝑠

𝜎 = 𝜎𝑝 + Δ𝜎 .

Substituindo estas três últimas igualdades em (3.1) e (3.2) temos,

∇ × (H𝑝 + H𝑠) − (𝜎𝑝 + Δ𝜎) (E𝑝 + E𝑠) = 𝐼(𝜔) 𝑑s 𝛿(𝑥)𝛿(𝑦)𝛿(𝑧) , (3.3)

∇ × (E𝑝 + E𝑠) + 𝑖𝜔𝜇 (H𝑝 + H𝑠) = 0 . (3.4)

Usando as equações de Ampère-Maxwell e Faraday para o modelo primário,

∇ × H𝑝 − 𝜎𝑝 E𝑝 = 𝐼(𝜔) 𝑑s 𝛿(𝑥)𝛿(𝑦)𝛿(𝑧),

∇ × E𝑝 + 𝑖𝜔𝜇 H𝑝 = 0,


nas equações (3.3) e (3.4) obtemos,

∇ × H𝑠 − 𝜎 E𝑠 = Δ𝜎 E𝑝 , (3.5)

∇ × E𝑠 + 𝑖𝜔𝜇 H𝑠 = 0 . (3.6)

A solução do campo primário é conhecida e, portanto, para obtermos o campoEM no meio estratificado com anisotropia inclinada precisamos resolver as equações (3.5)e (3.6) e somar o campo secundário encontrado com o campo primário nas posições demedida.

Passemos, então, à solução das equações (3.5) e (3.6). A partir destas equaçõesvamos obter, no domínio (𝑘𝑥, 𝑘𝑦, 𝑧) das transformadas de Fourier, um sistema de equaçõesdiferenciais de primeira ordem para as componentes 𝑥 e 𝑦 do campo eletromagnético.Dessa forma, da equação (3.6), temos

𝜕𝐸𝑠𝑧

𝜕𝑦−

𝜕𝐸𝑠𝑦

𝜕𝑧+ 𝑖𝜔𝜇𝐻𝑠

𝑥 = 0 ,

𝜕𝐸𝑠𝑥

𝜕𝑧− 𝜕𝐸𝑠

𝑧

𝜕𝑥+ 𝑖𝜔𝜇𝐻𝑠

𝑦 = 0 ,

𝜕𝐸𝑠𝑦

𝜕𝑥− 𝜕𝐸𝑠

𝑥

𝜕𝑦+ 𝑖𝜔𝜇𝐻𝑠

𝑧 = 0 .

Aplicando a estas equações a transformada dupla de Fourier em relação as variáveis 𝑥 e 𝑦,obtemos

𝜕^𝐸𝑠

𝑦

𝜕𝑧= 𝑖𝑘𝑦

^𝐸𝑠

𝑧 + 𝑖𝜔𝜇^𝐻𝑠

𝑥 , (3.7)

𝜕^𝐸𝑠

𝑥

𝜕𝑧= 𝑖𝑘𝑥

^𝐸𝑠

𝑧 − 𝑖𝜔𝜇^𝐻𝑠

𝑦 , (3.8)

^𝐻𝑠

𝑧 = 1𝑖𝜔𝜇

(𝑖𝑘𝑦

^𝐸𝑠

𝑥 − 𝑖𝑘𝑥^𝐸𝑠

𝑦

). (3.9)

Para equação (3.5) temos,

𝜕𝐻𝑠𝑧

𝜕𝑦−

𝜕𝐻𝑠𝑦

𝜕𝑧− 𝜎𝑥𝑥𝐸𝑠

𝑥 − 𝜎𝑥𝑧𝐸𝑠𝑧 = 𝐽𝑠

𝑥 ,

𝜕𝐻𝑠𝑥

𝜕𝑧− 𝜕𝐻𝑠

𝑧

𝜕𝑥− 𝜎𝑦𝑦𝐸𝑠

𝑦 = 𝐽𝑠𝑦 ,

𝜕𝐻𝑠𝑦

𝜕𝑥− 𝜕𝐻𝑠

𝑥

𝜕𝑦− 𝜎𝑧𝑥𝐸𝑠

𝑥 − 𝜎𝑧𝑧𝐸𝑠𝑧 = 𝐽𝑠

𝑧 .

Onde 𝐽𝑠𝑥 = Δ𝜎𝑥𝑥𝐸𝑝

𝑥 + Δ𝜎𝑥𝑧𝐸𝑝𝑧 , 𝐽𝑠

𝑦 = Δ𝜎𝑦𝑦𝐸𝑝𝑦 e 𝐽𝑠

𝑧 = Δ𝜎𝑧𝑥𝐸𝑝𝑥 + Δ𝜎𝑧𝑧𝐸𝑝

𝑧 . Aplicando a estasequações a transformada dupla de Fourier em relação as variáveis 𝑥 e 𝑦, obtemos

𝜕^𝐻𝑠

𝑦

𝜕𝑧= 𝑖𝑘𝑦

^𝐻𝑠

𝑧 − (𝜎𝑥𝑥^𝐸𝑠

𝑥 + 𝜎𝑥𝑧^𝐸𝑠

𝑧) − ^𝐽𝑠

𝑥 , (3.10)


𝜕^𝐻𝑠

𝑥

𝜕𝑧= 𝑖𝑘𝑥

^𝐻𝑠

𝑧 + 𝜎𝑦𝑦^𝐸𝑠

𝑦 + ^𝐽𝑠

𝑦 , (3.11)

^𝐸𝑠

𝑧 = 1𝜎𝑧𝑧

(𝑖𝑘𝑥

^𝐻𝑠

𝑦 − 𝑖𝑘𝑦^𝐻𝑠

𝑥 − 𝜎𝑧𝑥^𝐸𝑠

𝑥 − ^𝐽𝑠

𝑧

). (3.12)

Substituindo (3.12) em (3.8), obtemos

𝜕^𝐸𝑠

𝑥

𝜕𝑧= −𝑖𝑘𝑥

𝜎𝑧𝑥

𝜎𝑧𝑧

^𝐸𝑠

𝑥 + 𝑘𝑥𝑘𝑦

𝜎𝑧𝑧

^𝐻𝑠

𝑥 −(

𝑘2𝑥

𝜎𝑧𝑧

+ 𝑖𝜔𝜇

)^𝐻𝑠

𝑦 − 𝑖𝑘𝑥

𝜎𝑧𝑧

^𝐽𝑠

𝑧 . (3.13)


𝜕^𝐸𝑠

𝑦

𝜕𝑧= −𝑖𝑘𝑦

𝜎𝑧𝑥

𝜎𝑧𝑧

^𝐸𝑠

𝑥 +(

𝑘2𝑦

𝜎𝑧𝑧

+ 𝑖𝜔𝜇

)^𝐻𝑠

𝑥 − 𝑘𝑥𝑘𝑦

𝜎𝑧𝑧

^𝐻𝑠

𝑦 − 𝑖𝑘𝑦

𝜎𝑧𝑧

^𝐽𝑠

𝑧 . (3.14)


𝜕^𝐻𝑠

𝑥

𝜕𝑧= 𝑖𝑘𝑥𝑘𝑦

𝜔𝜇^𝐸𝑠

𝑥 +(

𝜎𝑦𝑦 − 𝑖𝑘2𝑥

𝜔𝜇

)^𝐸𝑠

𝑦 + ^𝐽𝑠

𝑦 . (3.15)

Substituindo (3.9) e (3.12) em (3.10), obtemos

𝜕^𝐻𝑠

𝑦

𝜕𝑧=(

𝑖𝑘2𝑦

𝜔𝜇− 𝜎𝑥𝑥 + 𝜎𝑥𝑧𝜎𝑧𝑥

𝜎𝑧𝑧

)^𝐸𝑠

𝑥− 𝑖𝑘𝑥𝑘𝑦

𝜔𝜇^𝐸𝑠

𝑦 +𝑖𝑘𝑦𝜎𝑥𝑧

𝜎𝑧𝑧

^𝐻𝑠

𝑥−𝑖𝑘𝑥𝜎𝑥𝑧

𝜎𝑧𝑧

^𝐻𝑠

𝑦 + 𝜎𝑥𝑧

𝜎𝑧𝑧

^𝐽𝑠

𝑧 − ^𝐽𝑠

𝑥 . (3.16)

3.1.2 Cálculo do campo secundário pelo método de elementos finitos

As equações (3.13), (3.14), (3.15) e (3.16) formam um sistema de equações diferen-ciais de primeira ordem,

𝜕u𝜕𝑧

= A · u + s (3.17)

onde

A =

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

−𝑖𝑘𝑥𝜎𝑧𝑥

𝜎𝑧𝑧

0 𝑘𝑥𝑘𝑦

𝜎𝑧𝑧

−(

𝑘2𝑥

𝜎𝑧𝑧

+ 𝑖𝜔𝜇

)

−𝑖𝑘𝑦𝜎𝑧𝑥

𝜎𝑧𝑧

0(

𝑘2𝑦

𝜎𝑧𝑧

+ 𝑖𝜔𝜇

)−𝑘𝑥𝑘𝑦

𝜎𝑧𝑧

𝑖𝑘𝑥𝑘𝑦

𝜔𝜇

(𝜎𝑦𝑦 − 𝑖𝑘2

𝑥

𝜔𝜇

)0 0(

𝑖𝑘2𝑦

𝜔𝜇− 𝜎𝑥𝑥 + 𝜎𝑥𝑧𝜎𝑧𝑥

𝜎𝑧𝑧

)−𝑖𝑘𝑥𝑘𝑦

𝜔𝜇𝑖𝑘𝑦

𝜎𝑥𝑧

𝜎𝑧𝑧

−𝑖𝑘𝑥𝜎𝑥𝑧

𝜎𝑧𝑧

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠,

u =

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

^𝐸𝑠

𝑥

^𝐸𝑠

𝑦

^𝐻𝑠

𝑥

^𝐻𝑠

𝑦

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠ e s =

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

− 𝑖𝑘𝑥

𝜎𝑧𝑧

^𝐽𝑠

𝑧

− 𝑖𝑘𝑦

𝜎𝑧𝑧

^𝐽𝑠

𝑧

^𝐽𝑠

𝑦𝜎𝑥𝑧

𝜎𝑧𝑧

^𝐽𝑠

𝑧 − ^𝐽𝑠

𝑥

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠


A equação (3.17) será solucionada pelo método de elementos finitos, seguindo osmesmos procedimentos descritos por Reddy (1985), utilizando as funções base lineares

𝜙𝑘−1(𝑧) = 1 − 𝑧 − 𝑧𝑘−1

𝑧𝑘 − 𝑧𝑘−1,

𝜙𝑘(𝑧) = 𝑧 − 𝑧𝑘−1

𝑧𝑘 − 𝑧𝑘−1,

para um subintervalo 𝑘 da partição do domínio em 𝑧. Para simplificar a representaçãodas funções base, usaremos os índices locais 1 e 2 para cada subintervalo ou elemento.Definindo as componentes 𝑥 e 𝑦 do campo EM secundário, no subintervalo 𝑘, comocombinação linear destas funções base

^𝐸𝑠

𝑥 = ^𝐸𝑠

𝑥(1)𝜙1 + ^𝐸𝑠

𝑥(2)𝜙2 ,

^𝐸𝑠

𝑦 = ^𝐸𝑠

𝑦(1)𝜙1 + ^𝐸𝑠

𝑦(2)𝜙2 ,

^𝐻𝑠

𝑥 = ^𝐻𝑠

𝑥(1)𝜙1 + ^𝐻𝑠

𝑥(2)𝜙2 ,

^𝐻𝑠

𝑦 = ^𝐻𝑠

𝑦(1)𝜙1 + ^𝐻𝑠

𝑦(2)𝜙2 ,

e para o campo elétrico primário em s

^𝐸𝑝

𝑥 = ^𝐸𝑝

𝑥(1)𝜙1 + ^𝐸𝑝

𝑥(2)𝜙2 ,

^𝐸𝑝

𝑦 = ^𝐸𝑝

𝑦(1)𝜙1 + ^𝐸𝑝

𝑦(2)𝜙2 ,

^𝐸𝑝

𝑧 = ^𝐸𝑝

𝑧(1)𝜙1 + ^𝐸𝑝

𝑧(2)𝜙2 .

Agora, aplicando o método de Galerkin à equação (3.17) obtemos,∫ 𝑧2

𝑧1𝜙𝑖

(𝜕u𝜕𝑧

− A · u)

𝑑𝑧 =∫ 𝑧2

𝑧1𝜙𝑖 s 𝑑𝑧 𝑖 = 1, 2. (3.18)

Substituindo

u =

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

^𝐸𝑠

𝑥(1)𝜙1 + ^𝐸𝑠

𝑥(2)𝜙2^𝐸𝑠

𝑦(1)𝜙1 + ^𝐸𝑠

𝑦(2)𝜙2^𝐻𝑠

𝑥(1)𝜙1 + ^𝐻𝑠

𝑥(2)𝜙2^𝐻𝑠

𝑦(1)𝜙1 + ^𝐻𝑠

𝑦(2)𝜙2

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠ = u1𝜙1 + u2𝜙2,

e

s =

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

− 𝑖𝑘𝑥

𝜎𝑧𝑧

( ^𝐽𝑠

𝑧(1)𝜙1 + ^𝐽𝑠

𝑧(2)𝜙2

)− 𝑖𝑘𝑦

𝜎𝑧𝑧

( ^𝐽𝑠

𝑧(1)𝜙1 + ^𝐽𝑠

𝑧(2)𝜙2

)^𝐽𝑠

𝑦(1)𝜙1 + ^𝐽𝑠

𝑦(2)𝜙2𝜎𝑥𝑧

𝜎𝑧𝑧

( ^𝐽𝑠

𝑧(1)𝜙1 + ^𝐽𝑠

𝑧(2)𝜙2

)−( ^

𝐽𝑠𝑥(1)𝜙1 + ^

𝐽𝑠𝑥(2)𝜙2

)

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠= s1𝜙1 + s2𝜙2,


em (3.18) temos,

2∑𝑗=1

(u𝑗

∫ 𝑧2

𝑧1𝜙𝑖

𝜕𝜙𝑗

𝜕𝑧𝑑𝑧 − A · u𝑗

∫ 𝑧2

𝑧1𝜙𝑖 𝜙𝑗 𝑑𝑧

)=

2∑𝑗=1

s𝑗

∫ 𝑧2

𝑧1𝜙𝑖 𝜙𝑗 𝑑𝑧 𝑖 = 1, 2 (3.19)

onde ∫ 𝑧2

𝑧1𝜙𝑖

𝜕𝜙𝑗

𝜕𝑧𝑑𝑧 =

⎡⎣ −0.5 0.5−0.5 0.5

⎤⎦ 𝑖, 𝑗 = 1, 2

e ∫ 𝑧2

𝑧1𝜙𝑖 𝜙𝑗 𝑑𝑧 = 𝑧2 − 𝑧1

6

⎡⎣ 2 11 2

⎤⎦ 𝑖, 𝑗 = 1, 2.

A discretização em elementos finitos da equação (3.19) resulta num sistema linearde ordem 4 · 𝑛 em que 𝑛 é o número de nós da partição. Tal sistema será solucionado pelométodo da decomposição LU e fornecerá as componentes ^

𝐸𝑠𝑥, ^

𝐸𝑠𝑦, ^

𝐻𝑠𝑥 e ^

𝐻𝑠𝑦 no domínio

(𝑘𝑥, 𝑘𝑦, 𝑧) da transformada de Fourier. As componentes ^𝐸𝑠

𝑧 e ^𝐻𝑠

𝑧 podem, então, ser obtidasatravés das equações (3.12) e (3.9). Aplicando a transformada inversa dupla de Fouriera estas componentes chegamos a solução do campo secundário no domínio espacial. Astransformadas inversas são realizadas com o uso dos filtros digitais de 81 pontos seno ecosseno.

Antes de partirmos para a análise dos resultados, vamos avaliar a solução do camposecundário no domínio (𝑘𝑥, 𝑘𝑦, 𝑧) da transformada de Fourier. Para tanto, vamos consideraro modelo da Figura (29) onde o semiespaço, que representa a camada sedimentar, é ummeio com anisotropia transversal inclinada. O meio sedimentar tem (𝜌‖, 𝜌⊥) = (1, 10)Ω · 𝑚

e ângulo de inclinação do eixo de simetria 𝛼 = 30𝑜. Para estas respostas considerou-se queo transmissor funciona num regime de frequência de 0.25Hz.

As Figuras (17) a (28) mostram as componentes do campo secundário em funçãode 𝑘𝑥 e 𝑘𝑦 para 𝑧 = 1600 m. Essa análise é importante para sabermos qual filtro utilizarnas transformadas inversas. Se a função for par usaremos o filtro cosseno, se for imparo filtro usado será o filtro seno. Nestas figuras verificamos, com o auxílio das curvas denível, que as componentes ^

𝐸𝑠𝑥, ^

𝐸𝑠𝑧 e ^

𝐻𝑠𝑦 são funções pares e as componentes ^

𝐸𝑠𝑦, ^

𝐻𝑠𝑥 e ^

𝐻𝑠𝑧

são ímpares, em relação a 𝑘𝑦. Em relação a 𝑘𝑥, as componentes do campo secundárionão são funções par ou impar, então, neste caso, usaremos os filtros seno e cosseno paratransformada inversa em 𝑘𝑥.


Figura 17 – Parte real da componente 𝐸𝑥 no domínio (𝑘𝑥, 𝑘𝑦, 𝑧).

−20

2

x 10−3

−20

2

x 10−3

−2

−1

0

1

x 10−5

kxky

Rea

l(Exs )

kx

ky

−3 −2 −1 0 1 2 3

x 10−3

−3

−2

−1

0

1

2

3x 10

−3

−15

−10

−5

0x 10

−6

Fonte: Do autor

Figura 18 – Parte imaginária da componente 𝐸𝑥 no domínio (𝑘𝑥, 𝑘𝑦, 𝑧).

−20

2

x 10−3

−20

2

x 10−3

−1

0

1

2

3

x 10−5

kxky

Imag

(Exs )

kx

ky

−3 −2 −1 0 1 2 3

x 10−3

−3

−2

−1

0

1

2

3x 10

−3

−5

0

5

10

15

20x 10

−6

Fonte: Do autor

Figura 19 – Parte real da componente 𝐸𝑦 no domínio (𝑘𝑥, 𝑘𝑦, 𝑧).

−20

2

x 10−3

−20

2

x 10−3

−2

−1

0

1

2

x 10−5

kxky

Rea

l(Eys )

kx

ky

−3 −2 −1 0 1 2 3

x 10−3

−3

−2

−1

0

1

2

3x 10

−3

−1

−0.5

0

0.5

1x 10

−5

Fonte: Do autor


Figura 20 – Parte imaginária da componente 𝐸𝑦 no domínio (𝑘𝑥, 𝑘𝑦, 𝑧).

−20

2

x 10−3

−20

2

x 10−3

−2

−1

0

1

2

x 10−5

kxky

Imag

(Eys )

kx

ky

−3 −2 −1 0 1 2 3

x 10−3

−3

−2

−1

0

1

2

3x 10

−3

−1

−0.5

0

0.5

1x 10

−5

Fonte: Do autor

Figura 21 – Parte real da componente 𝐸𝑧 no domínio (𝑘𝑥, 𝑘𝑦, 𝑧).

−20

2

x 10−3

−20

2

x 10−3

−1

0

1

2

x 10−6

kxky

Rea

l(Ezs )

kx

ky

−3 −2 −1 0 1 2 3

x 10−3

−3

−2

−1

0

1

2

3x 10

−3

0

5

10

15x 10

−7

Fonte: Do autor

Figura 22 – Parte imaginária da componente 𝐸𝑧 no domínio (𝑘𝑥, 𝑘𝑦, 𝑧).

−20

2

x 10−3

−20

2

x 10−3

−2

−1

0

1

x 10−6

kxky

Imag

(Ezs )

kx

ky

−3 −2 −1 0 1 2 3

x 10−3

−3

−2

−1

0

1

2

3x 10

−3

−10

−5

0

5

x 10−7

Fonte: Do autor


Figura 23 – Parte real da componente 𝐻𝑥 no domínio (𝑘𝑥, 𝑘𝑦, 𝑧).

−20

2

x 10−3

−20

2

x 10−3

−0.01

−0.005

0

0.005

0.01

kxky

Rea

l(Hxs )

kx

ky

−3 −2 −1 0 1 2 3

x 10−3

−3

−2

−1

0

1

2

3x 10

−3

−5

0

5x 10

−3

Fonte: Do autor

Figura 24 – Parte imaginária da componente 𝐻𝑥 no domínio (𝑘𝑥, 𝑘𝑦, 𝑧).

−20

2

x 10−3

−20

2

x 10−3

−0.01

−0.005

0

0.005

0.01

kxky

Imag

(Hxs )

kx

ky

−3 −2 −1 0 1 2 3

x 10−3

−3

−2

−1

0

1

2

3x 10

−3

−5

0

5x 10

−3

Fonte: Do autor

Figura 25 – Parte real da componente 𝐻𝑦 no domínio (𝑘𝑥, 𝑘𝑦, 𝑧).

−20

2

x 10−3

−20

2

x 10−3

−5

0

5

10

x 10−3

kxky

Rea

l(Hys )

kx

ky

−3 −2 −1 0 1 2 3

x 10−3

−3

−2

−1

0

1

2

3x 10

−3

0

1

2

3

4

5

6x 10

−3

Fonte: Do autor


Figura 26 – Parte imaginária da componente 𝐻𝑦 no domínio (𝑘𝑥, 𝑘𝑦, 𝑧).

−20

2

x 10−3

−20

2

x 10−3

−10

−5

0

5

x 10−3

kxky

Imag

(Hys )

kx

ky

−3 −2 −1 0 1 2 3

x 10−3

−3

−2

−1

0

1

2

3x 10

−3

−8

−6

−4

−2

0

x 10−3

Fonte: Do autor

Figura 27 – Parte real da componente 𝐻𝑧 no domínio (𝑘𝑥, 𝑘𝑦, 𝑧).

−20

2

x 10−3

−20

2

x 10−3

−0.01

−0.005

0

0.005

0.01

kxky

Rea

l(Hzs )

kx

ky

−3 −2 −1 0 1 2 3

x 10−3

−3

−2

−1

0

1

2

3x 10

−3

−6

−4

−2

0

2

4

6x 10

−3

Fonte: Do autor

Figura 28 – Parte imaginária da componente 𝐻𝑧 no domínio (𝑘𝑥, 𝑘𝑦, 𝑧).

−20

2

x 10−3

−20

2

x 10−3

−5

0

5

x 10−3

kxky

Imag

(Hzs )

kx

ky

−3 −2 −1 0 1 2 3

x 10−3

−3

−2

−1

0

1

2

3x 10

−3

−4

−2

0

2

4x 10

−3

Fonte: Do autor


3.2 Efeitos da anisotropia inclinada nos dados MCSEM 1D

Vamos investigar os efeitos da anisotropia inclinada nas medições do método CSEMmarinho considerando as geometrias inline e broadside para disposição transmissor-receptor.Faremos, também, uma análise da distribuição do campo elétrico e do vetor densidade decorrente no plano 𝑥𝑧 que contém o DEH. Nessa investigação vamos considerar o transmissorsempre a 30 m do fundo do mar e que ele funciona num regime de frequência de 0, 25 Hz.

Iremos considerar dois modelos nesse estudo, o primeiro representa o pacotesedimentar como um semiespaço anisotrópico, simulando um meio sem reservatório,ilustrado na Figura (29). O segundo modelo representa um pacote sedimentar comreservatório (Figura 36), para o qual vamos avaliar a influência da anisotropia do meioencaixante nas medidas CSEM considerando um reservatório isotrópico; e a influência daanisotropia do reservatório considerando as camadas de sedimentos, acima e abaixo doreservatório, isotrópicas.

Figura 29 – Modelo interpretativo para o método MCSEM sem reservatório.

Fonte: Do autor

A Figura (30) mostra, para geometria inline, uma redução na amplitude dacomponente 𝐸𝑥 a medida que a inclinação aumenta e, para geometria broadside, ocorre oinverso. Como vimos no capitulo 2 as medidas inline são mais sensíveis à resistividade


Figura 30 – Componente 𝐸𝑥 do campo elétrico calculada para o modelo da Figura 29 nasposições de medida com profundidade 𝑧 = 1500m. A camada sedimentar temresistividades principais (𝜌‖, 𝜌⊥) = (1, 3)Ω ·𝑚 e o valor do ângulo de inclinaçãoestá definido nas figuras.

−10 −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 10−250

−200

−150

−100

−50

0

Fas

e(gr

aus)

−10 −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 10−100

−50

0

50

100

150

200

−10 −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 100

2

4

6

8

10

x(km)

Cam

po n

orm

aliz

ado

−10 −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 100

1

2

3

4

5

y(km)

−10 −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 10

10−15

10−13

10−11

10−9

10−7

Am

plitu

de −

Ex(V

/m)

Geometria inline

Semiespaço isotrópico − 1Ω⋅m− − −

α=0o

α=30o

α=45o

α=90o

−10 −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 10

10−15

10−13

10−11

10−9

10−7

Geometria broadside


α=0o

α=30o

α=45o

α=90o

Fonte: Do autor

vertical e as medidas broadside mais sensível à resistividade horizontal para medidas não tãolonge da fonte onde a resistividade vertical passa a influenciar. Considerando que em nossosmodelos a resistividade na direção do eixo de anisotropia é maior do que a resistividade nosplanos de isotropia (𝜌⊥ > 𝜌‖), podemos concluir que a medida que a inclinação aumenta aresistividade na vertical diminui e consequentemente a amplitude da componente 𝐸𝑥 inlinetambém diminui. Na direção horizontal ocorre o inverso, um aumento na resistividadehorizontal implica num aumento da amplitude de 𝐸𝑥 broadside para pequenas distânciasfonte-sensor. A mesma conclusão pode ser obtida para componente 𝐻𝑦 do campo magnético


ilustrada na Figura (31).

Figura 31 – Componente 𝐻𝑦 do campo elétrico calculada para o modelo da Figura 29 nasposições de medida com profundidade 𝑧 = 1500m. A camada sedimentar temresistividades principais (𝜌‖, 𝜌⊥) = (1, 3)Ω ·𝑚 e o valor do ângulo de inclinaçãoestá definido nas figuras.

−10 −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 10

10−11

10−9

10−7

10−5

Am

plitu

de −

Hy(A

/m)

Gometria inline


α=0o

α=30o

α=45o

α=90o

−10 −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 1010

−13

10−11

10−9

10−7

10−5

Geometria broadside


α=0o

α=30o

α=45o

α=90o

−10 −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 10−300

−200

−100

0

100

200

Fas

e(gr

aus)

−10 −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 10−100

0

100

200

300

400

−10 −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 100

2

4

6

8

10

x(km)

Cam

po n

orm

aliz

ado

−10 −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 100

2

4

6

8

10

y(km)

Fonte: Do autor

A distribuição do campo elétrico no plano 𝑥𝑧 para um modelo sem reservatórioé ilustrada nas Figuras (32) e (33). Verificamos que a amplitude do campo no planodiminui com um aumento da inclinação dos planos de isotropia. Isso ocorre porque odipolo elétrico horizontal gera linha de campo preferencialmente na direção vertical e comofoi dito antes um aumento na inclinação implica numa diminuição da resistividade nadireção vertical, portanto, com um incremento no ângulo de inclinação o campo elétricodecai mais rapidamente. Nas Figuras (34) e (35), que mostra a distribuição de corrente no


plano 𝑥𝑧, vemos que as linhas de corrente assumem uma direção próxima à direção dosplanos de isotropia que são mais condutivos.

Para os modelos com reservatório (Figuras 37 e 38) verificamos nas medidas inlineque com o aumento da inclinação a amplitude do campo diminui, reduzindo, assim, aanomalia gerada em relação ao modelo de referência. Isto indica que ambientes comanisotropia elétrica inclinada pode ocorrer uma subestimação do reservatório. Esteproblema pode ser minimizado com a análise das respostas broadside, que mostra paramedidas próximas ao transmissor anomalias maiores com o aumento da inclinação.

As Figuras (39), (40), (41) e (42) mostram a distribuição de campo e correnteelétrica para o modelo com reservatório. Nessas figuras verificamos que os efeitos daanisotropia inclinada são maiores para o modelo em que a resistividade do meio encaixanteé de (𝜌‖, 𝜌⊥) = (1, 10)Ω · 𝑚, quando comparado com o modelo em que a resistividadedo meio referido é de (𝜌‖, 𝜌⊥) = (1, 3)Ω · 𝑚. Isto é coerente, pois quanto maior for ocontraste entre as resitividades nas direções principais de anisotropia maior será o efeitoda anisotropia para uma mesma inclinação.


Figura 32 – Componente real do campo elétrico no plano 𝑥𝑧 para o modelo sem reservatório.A cor de fundo representa a amplitude e as setas indicam a orientação do campo.A camada sedimentar tem resistividades principais (𝜌‖, 𝜌⊥) = (1, 10)Ω · 𝑚 e ovalor do ângulo de inclinação está definido nas figuras.


z (k

m)

α = − 30o

Log 10

(am

plitu

de −

V/m

)

−10 −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 10

0

1

2

3

4 −18

−16

−14

−12

−10

−8

z (k

m)

α = 0o

Log 10

(am

plitu

de −

V/m

)

−10 −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 10

0

1

2

3

4 −18

−16

−14

−12

−10

−8

z (k

m)

α = 30o

Log 10

(am

plitu

de −

V/m

)

−10 −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 10

0

1

2

3

4 −18

−16

−14

−12

−10

−8

z (k

m)

α = 60o

Log 10

(am

plitu

de −

V/m

)

−10 −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 10

0

1

2

3

4 −18

−16

−14

−12

−10

−8

x (km)

z (k

m)

α = 90o

Log 10

(am

plitu

de −

V/m

)

−10 −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 10

0

1

2

3

4 −18

−16

−14

−12

−10

−8

Fonte: Do autor


Figura 33 – Componente imaginária do campo elétrico no plano 𝑥𝑧 para o modelo semreservatório. A cor de fundo representa a amplitude e as setas indicam aorientação do campo. A camada sedimentar tem resistividades principais(𝜌‖, 𝜌⊥) = (1, 10)Ω · 𝑚 e o valor do ângulo de inclinação está definido nasfiguras.


z (k

m)

α = − 30o

Log 10

(am

plitu

de −

V/m

)

−10 −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 10

0

1

2

3

4 −18

−16

−14

−12

−10

−8

z (k

m)

α = 0o

Log 10

(am

plitu

de −

V/m

)

−10 −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 10

0

1

2

3

4 −18

−16

−14

−12

−10

−8

z (k

m)

α = 30o

Log 10

(am

plitu

de −

V/m

)−10 −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 10

0

1

2

3

4 −18

−16

−14

−12

−10

−8

z (k

m)

α = 60o

Log 10

(am

plitu

de −

V/m

)

−10 −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 10

0

1

2

3

4 −18

−16

−14

−12

−10

−8

x (km)

z (k

m)

α = 90o

Log 10

(am

plitu

de −

V/m

)

−10 −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 10

0

1

2

3

4 −18

−16

−14

−12

−10

−8

Fonte: Do autor


Figura 34 – Componente real do vetor densidade de corrente no plano 𝑥𝑧 para o modelosem reservatório. A cor de fundo representa a amplitude e as setas indicam aorientação da densidade de corrente. A camada sedimentar tem resistividadesprincipais (𝜌‖, 𝜌⊥) = (1, 10)Ω ·𝑚 e o valor do ângulo de inclinação está definidonas figuras.


z (k

m)

α = − 30o

Log 10

(am

plitu

de −

A/m

2 )

−10 −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 10

0

1

2

3

4 −18

−16

−14

−12

−10

−8

z (k

m)

α = 0o

Log 10

(am

plitu

de −

A/m

2 )

−10 −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 10

0

1

2

3

4 −18

−16

−14

−12

−10

−8

z (k

m)

α = 30o

Log 10

(am

plitu

de −

A/m

2 )−10 −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 10

0

1

2

3

4 −18

−16

−14

−12

−10

−8

z (k

m)

α = 60o

Log 10

(am

plitu

de −

A/m

2 )

−10 −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 10

0

1

2

3

4 −18

−16

−14

−12

−10

−8

x (km)

z (k

m)

α = 90o

Log 10

(am

plitu

de −

A/m

2 )

−10 −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 10

0

1

2

3

4 −18

−16

−14

−12

−10

−8

Fonte: Do autor


Figura 35 – Componente imaginária do vetor densidade de corrente no plano 𝑥𝑧 parao modelo sem reservatório. A cor de fundo representa a amplitude e assetas indicam a orientação da densidade de corrente. A camada sedimentartem resistividades principais (𝜌‖, 𝜌⊥) = (1, 10)Ω · 𝑚 e o valor do ângulo deinclinação está definido nas figuras.


z (k

m)

α = − 30o

Log 10

(am

plitu

de −

A/m

2 )

−10 −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 10

0

1

2

3

4 −18

−16

−14

−12

−10

−8

z (k

m)

α = 0o

Log 10

(am

plitu

de −

A/m

2 )

−10 −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 10

0

1

2

3

4 −18

−16

−14

−12

−10

−8

z (k

m)

α = 30o

Log 10

(am

plitu

de −

A/m

2 )−10 −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 10

0

1

2

3

4 −18

−16

−14

−12

−10

−8

z (k

m)

α = 60o

Log 10

(am

plitu

de −

A/m

2 )

−10 −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 10

0

1

2

3

4 −18

−16

−14

−12

−10

−8

x (km)

z (k

m)

α = 90o

Log 10

(am

plitu

de −

A/m

2 )

−10 −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 10

0

1

2

3

4 −18

−16

−14

−12

−10

−8

Fonte: Do autor


Figura 36 – Modelo interpretativo para o método MCSEM com reservatório.

Fonte: Do autor


Figura 37 – Componente 𝐸𝑥 do campo elétrico calculada para o modelo da Figura 36 nasposições de medida com profundidade 𝑧 = 1500m. O sedimento é isotrópicocom resistividade de 1Ω · 𝑚 e o reservatório tem resistividades principais(𝜌‖, 𝜌⊥) = (10, 100)Ω · 𝑚 e ângulo de inclinação definido nas figuras.

−10 −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 10

10−15

10−13

10−11

10−9

10−7

Am

plitu

de −

Ex(V

/m)

Geometria inline


−10 −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 10

10−15

10−13

10−11

10−9

10−7

Geometria broadside


−10 −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 10−250

−200

−150

−100

−50

0

Fas

e(gr

aus)

−10 −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 10−100

−50

0

50

100

150

200

−10 −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 100

2

4

6

8

10

12

x(km)

Cam

po n

orm

aliz

ado

−10 −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 10

1

1.5

2

2.5

y(km)

α=0o

α=30o

α=90o

α=0o

α=30o

α=90o

Fonte: Do autor


Figura 38 – Componente 𝐸𝑥 do campo elétrico calculada para o modelo da Figura 36 nasposições de medida com profundidade 𝑧 = 1500m. O reservatório é isotrópicocom resistividade de 50Ω · 𝑚 e o sedimento tem resistividades principais(𝜌‖, 𝜌⊥) = (1, 10)Ω · 𝑚 e ângulo de inclinação definido nas figuras.

−10 −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 10

10−15

10−13

10−11

10−9

10−7

Am

plitu

de −

Ex(V

/m)

Geometria inline


α=0o

α=30o

α=90o

−10 −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 10

10−15

10−13

10−11

10−9

10−7

Geometria broadside


α=0o

α=30o

α=90o

−10 −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 10−250

−200

−150

−100

−50

0

50

Fas

e(gr

aus)

−10 −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 10−100

−50

0

50

100

150

200

−10 −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 100

10

20

30

40

x(km)

Cam

po n

orm

aliz

ado

−10 −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 100

1

2

3

4

5

6

y(km)

Fonte: Do autor


Figura 39 – Componente real do campo elétrico no plano 𝑥𝑧 para o modelo com reservatório.O reservatório é isotrópico com resistividade de 50Ω · 𝑚. Em (a) (𝜌‖, 𝜌⊥) =(1, 3)Ω·𝑚 e em (b) (𝜌‖, 𝜌⊥) = (1, 10)Ω·𝑚, nos dois casos o ângulo de inclinação𝛼 = 30𝑜.


z (k

m)

(a)

Log 10

(am

plitu

de −

V/m

)

−10 −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 10

0

1

2

3

4 −18

−16

−14

−12

−10

−8

x (km)

z (k

m)

(b)

Log 10

(am

plitu

de −

V/m

)

−10 −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 10

0

1

2

3

4 −18

−16

−14

−12

−10

−8

Fonte: Do autor


Figura 40 – Componente imaginária do campo elétrico no plano 𝑥𝑧 para o modelo comreservatório. O reservatório é isotrópico com resistividade de 50Ω · 𝑚. Em (a)(𝜌‖, 𝜌⊥) = (1, 3)Ω · 𝑚 e em (b) (𝜌‖, 𝜌⊥) = (1, 10)Ω · 𝑚, nos dois casos o ângulode inclinação 𝛼 = 30𝑜.


z (k

m)

(a)

Log 10

(am

plitu

de −

V/m

)

−10 −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 10

0

1

2

3

4 −18

−16

−14

−12

−10

−8

x (km)

z (k

m)

(b)

Log 10

(am

plitu

de −

V/m

)

−10 −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 10

0

1

2

3

4 −18

−16

−14

−12

−10

−8

Fonte: Do autor


Figura 41 – Componente real do vetor densidade de corrente no plano 𝑥𝑧 para o modelocom reservatório. O reservatório é isotrópico com resistividade de 50Ω · 𝑚.Em (a) (𝜌‖, 𝜌⊥) = (1, 3)Ω · 𝑚 e em (b) (𝜌‖, 𝜌⊥) = (1, 10)Ω · 𝑚, nos dois casoso ângulo de inclinação 𝛼 = 30𝑜.


z (k

m)

(a)

Log 10

(am

plitu

de −

A/m

2 )

−10 −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 10

0

1

2

3

4 −18

−16

−14

−12

−10

−8

x (km)

z (k

m)

(b)

Log 10

(am

plitu

de −

A/m

2 )

−10 −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 10

0

1

2

3

4 −18

−16

−14

−12

−10

−8

Fonte: Do autor


Figura 42 – Componente imaginária do vetor densidade de corrente no plano 𝑥𝑧 para omodelo com reservatório. O reservatório é isotrópico com resistividade de50Ω · 𝑚. Em (a) (𝜌‖, 𝜌⊥) = (1, 3)Ω · 𝑚 e em (b) (𝜌‖, 𝜌⊥) = (1, 10)Ω · 𝑚, nosdois casos o ângulo de inclinação 𝛼 = 30𝑜.


z (k

m)

(a)

Log 10

(am

plitu

de −

A/m

2 )

−10 −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 10

0

1

2

3

4 −18

−16

−14

−12

−10

−8

x (km)

z (k

m)

(b)

Log 10

(am

plitu

de −

A/m

2 )

−10 −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 10

0

1

2

3

4 −18

−16

−14

−12

−10

−8

Fonte: Do autor

62

4 MODELAGEM 2,5D DE DADOS CSEM MARINHO EMMEIOS COM ANISOTROPIA INCLINADA

4.1 Modelagem eletromagnética

4.1.1 Equações do campo secundário

Seguindo a mesma metodologia empregada na seção (3.1) separamos o campo EMem campo primário e campo secundário. Chamamos campo primário aquele gerado nomeio com ausência de heterogeneidades, ou seja, apenas com o modelo 1D, sujeito aomesmo transmissor. O campo secundário é dado pela diferença entre o campo total nomeio 2D e o campo primário. Aplicando a separação dos campos primário e secundário àsequações de Maxwell, obtemos

∇ × H𝑠 − 𝜎E𝑠 = Δ𝜎E𝑝, (4.1)

∇ × E𝑠 − 𝑖𝜔𝜇H𝑠 = 0, (4.2)

onde

𝜎 =

⎛⎜⎜⎜⎝𝜎𝑥𝑥 0 𝜎𝑥𝑧

0 𝜎𝑦𝑦 0𝜎𝑧𝑥 0 𝜎𝑧𝑧

⎞⎟⎟⎟⎠ =

⎛⎜⎜⎜⎝𝜎‖ cos2 𝛼 + 𝜎⊥ sen2 𝛼 0 (𝜎⊥ − 𝜎‖) sen 𝛼 cos 𝛼

0 𝜎‖ 0(𝜎⊥ − 𝜎‖) sen 𝛼 cos 𝛼 0 𝜎‖ sen2 𝛼 + 𝜎⊥ cos2 𝛼

⎞⎟⎟⎟⎠ .

Da equação (4.1), temos

𝜕𝐻𝑠𝑧

𝜕𝑦−

𝜕𝐻𝑠𝑦

𝜕𝑧− 𝜎𝑥𝑥𝐸𝑠

𝑥 − 𝜎𝑥𝑧𝐸𝑠𝑧 = Δ𝜎𝑥𝑥𝐸𝑝

𝑥 + Δ𝜎𝑥𝑧𝐸𝑝𝑧 ,

𝜕𝐻𝑠𝑥

𝜕𝑧− 𝜕𝐻𝑠

𝑧

𝜕𝑥− 𝜎𝑦𝑦𝐸𝑠

𝑦 = Δ𝜎𝑦𝑦𝐸𝑝𝑦 ,

𝜕𝐻𝑠𝑦

𝜕𝑥− 𝜕𝐻𝑠

𝑥

𝜕𝑦− 𝜎𝑧𝑥𝐸𝑠

𝑥 − 𝜎𝑧𝑧𝐸𝑠𝑧 = Δ𝜎𝑧𝑥𝐸𝑝

𝑥 + Δ𝜎𝑧𝑧𝐸𝑝𝑧 .

Escrevendo essas três últimas equações no domínio (𝑥, 𝑘𝑦, 𝑧), temos

𝑖𝑘𝑦𝑠𝑧 −

𝜕𝑠𝑦

𝜕𝑧− 𝜎𝑥𝑥𝑠

𝑥 − 𝜎𝑥𝑧𝑠𝑧 = Δ𝜎𝑥𝑥𝑝

𝑥 + Δ𝜎𝑥𝑧𝑝𝑧 , (4.3)

𝜕𝑠𝑥

𝜕𝑧− 𝜕𝑠

𝑧

𝜕𝑥− 𝜎𝑦𝑦𝑠

𝑦 = Δ𝜎𝑦𝑦𝑝𝑦 , (4.4)

𝜕𝑠𝑦

𝜕𝑥− 𝑖𝑘𝑦𝑠

𝑥 − 𝜎𝑧𝑥𝑠𝑥 − 𝜎𝑧𝑧𝑠

𝑧 = Δ𝜎𝑧𝑥𝑝𝑥 + Δ𝜎𝑧𝑧𝑝

𝑧 . (4.5)

Capítulo 4. MODELAGEM 2,5D DE DADOS CSEM MARINHO EM MEIOS COM ANISOTROPIAINCLINADA 63

Da equação (4.2), temos

𝜕𝐸𝑠𝑧

𝜕𝑦−

𝜕𝐸𝑠𝑦

𝜕𝑧+ 𝑖𝜔𝜇𝐻𝑠

𝑥 = 0,

𝜕𝐸𝑠𝑥

𝜕𝑧− 𝜕𝐸𝑠

𝑧

𝜕𝑥+ 𝑖𝜔𝜇𝐻𝑠

𝑦 = 0,

𝜕𝐸𝑠𝑦

𝜕𝑥− 𝜕𝐸𝑠

𝑥

𝜕𝑦+ 𝑖𝜔𝜇𝐻𝑠

𝑧 = 0 .

Escrevendo essas três últimas equações no domínio (𝑥, 𝑘𝑦, 𝑧), temos

𝑖𝑘𝑦𝑠𝑧 −

𝜕𝑠𝑦

𝜕𝑧+ 𝑖𝜔𝜇𝑠

𝑥 = 0, (4.6)

𝜕𝑠𝑥

𝜕𝑧− 𝜕𝑠

𝑧

𝜕𝑥+ 𝑖𝜔𝜇𝑠

𝑦 = 0, (4.7)

𝜕𝑠𝑦


𝑥 + 𝑖𝜔𝜇𝑠𝑧 = 0. (4.8)

De (4.3) e (4.5), obtemos, respectivamente,

𝑠𝑥 = 1

𝜎𝑥𝑥

⎛⎝𝑖𝑘𝑦𝑠𝑧 −

𝜕𝑠𝑦

𝜕𝑧− 𝜎𝑥𝑧𝑠

𝑧 − Δ𝜎𝑥𝑥𝑝𝑥 − Δ𝜎𝑥𝑧𝑝

𝑧

⎞⎠ , (4.9)

𝑠𝑧 = 1

𝜎𝑧𝑧

⎛⎝𝜕𝑠𝑦


𝑥 − 𝜎𝑧𝑥𝑠𝑥 − Δ𝜎𝑧𝑥𝑝

𝑥 − Δ𝜎𝑧𝑧𝑝𝑧

⎞⎠ . (4.10)

Substituindo (4.10) em (4.9), temos

𝑠𝑥 = − 1

𝛾2

⎡⎣𝜎𝑥𝑧

𝜕𝑠𝑦

𝜕𝑥+ 𝜎𝑧𝑧

𝜕𝑠𝑦

𝜕𝑧− 𝑖𝑘𝑦(𝜎𝑥𝑧𝑠

𝑥 + 𝜎𝑧𝑧𝑠𝑧 ) + 𝐶1

𝑝𝑥 + 𝐶2

𝑝𝑧

⎤⎦ , (4.11)

onde 𝛾2 = 𝜎𝑥𝑥𝜎𝑧𝑧 − 𝜎2𝑥𝑧, 𝐶1 = 𝜎𝑧𝑧Δ𝜎𝑥𝑥 − 𝜎𝑥𝑧Δ𝜎𝑧𝑥 e 𝐶2 = 𝜎𝑧𝑧Δ𝜎𝑥𝑧 − 𝜎𝑥𝑧Δ𝜎𝑧𝑧.

Substituindo (4.9) em (4.10), temos

𝑠𝑧 = 1

𝛾2

⎡⎣𝜎𝑥𝑥

𝜕𝑠𝑦

𝜕𝑥+ 𝜎𝑧𝑥

𝜕𝑠𝑦

𝜕𝑧− 𝑖𝑘𝑦(𝜎𝑥𝑥𝑠

𝑥 + 𝜎𝑧𝑥𝑠𝑧 ) + 𝐶3

𝑝𝑥 + 𝐶4

𝑝𝑧

⎤⎦ , (4.12)

onde 𝐶3 = 𝜎𝑧𝑥Δ𝜎𝑥𝑥 − 𝜎𝑥𝑥Δ𝜎𝑧𝑥 e 𝐶4 = 𝜎𝑧𝑥Δ𝜎𝑥𝑧 − 𝜎𝑥𝑥Δ𝜎𝑧𝑧.

Substituindo (4.12) em (4.6) e (4.11) em (4.8), obtemos, respectivamente,

𝑠𝑥 = 𝛾2

𝑣2𝑥

𝜕𝑠𝑦

𝜕𝑧− 1

𝑣2𝑥

⎡⎣𝑖𝑘𝑦

⎛⎝𝜎𝑥𝑥

𝜕𝑠𝑦

𝜕𝑥+ 𝜎𝑧𝑥

𝜕𝑠𝑦

𝜕𝑧

⎞⎠+ 𝑘2𝑦𝜎𝑧𝑥𝑠

𝑧 + 𝑖𝑘𝑦𝑃1

⎤⎦ , (4.13)

𝑠𝑧 = −𝛾2

𝑣2𝑧

𝜕𝑠𝑦

𝜕𝑥− 1

𝑣2𝑧

⎡⎣𝑖𝑘𝑦

⎛⎝𝜎𝑥𝑧

𝜕𝑠𝑦

𝜕𝑥+ 𝜎𝑧𝑧

𝜕𝑠𝑦

𝜕𝑧

⎞⎠+ 𝑘2𝑦𝜎𝑥𝑧𝑠

𝑥 + 𝑖𝑘𝑦𝑃2

⎤⎦ , (4.14)


onde 𝑣2𝑥 = 𝑘2

𝑦𝜎𝑥𝑥 + 𝑖𝜔𝜇𝛾2, 𝑣2𝑧 = 𝑘2

𝑦𝜎𝑧𝑧 + 𝑖𝜔𝜇𝛾2, 𝑃1 = 𝐶3𝑝𝑥 + 𝐶4

𝑝𝑧 e 𝑃2 = 𝐶1

𝑝𝑥 + 𝐶2

𝑝𝑧 .

Substituindo (4.14) em (4.13) e (4.13) em (4.14), obtemos

𝑠𝑥 =

𝑘2𝑦𝜎𝑧𝑥

𝑢2𝑥𝑧

𝜕𝑠𝑦

𝜕𝑥+ 𝜎𝑧𝑧𝑢2

𝑥𝑥 − 𝑖𝜔𝜇𝜎2𝑧𝑥

𝑢2𝑥𝑧

𝜕𝑠𝑦

𝜕𝑧

−𝑖𝑘𝑦

⎛⎝𝑢2𝑥𝑥

𝑢2𝑥𝑧

𝜕𝑠𝑦

𝜕𝑥+ 𝑖𝜔𝜇𝜎𝑥𝑧

𝑢2𝑥𝑧

𝜕𝑠𝑦

𝜕𝑧

⎞⎠+ 𝑖𝑘𝑦

𝑢2𝑥𝑧

(𝑢2

𝑥𝑥𝑞𝑧 − 𝑖𝜔𝜇𝜎𝑧𝑥𝑞𝑥

),

(4.15)

𝑠𝑧 = −𝜎𝑥𝑥𝑢2

𝑧𝑧 − 𝑖𝜔𝜇𝜎2𝑥𝑧

𝑢2𝑥𝑧

𝜕𝑠𝑦

𝜕𝑥−

𝑘2𝑦𝜎𝑧𝑥

𝑢2𝑥𝑧

𝜕𝑠𝑦

𝜕𝑧

−𝑖𝑘𝑦

⎛⎝𝑖𝜔𝜇𝜎𝑥𝑧

𝑢2𝑥𝑧

𝜕𝑠𝑦

𝜕𝑥+ 𝑢2

𝑧𝑧

𝑢2𝑥𝑧

𝜕𝑠𝑦

𝜕𝑧

⎞⎠− 𝑖𝑘𝑦

𝑢2𝑥𝑧

(𝑢2

𝑧𝑧𝑞𝑥 − 𝑖𝜔𝜇𝜎𝑥𝑧𝑞𝑧

),

(4.16)

onde 𝑢2𝑥𝑥 = 𝑘2

𝑦 +𝑖𝜔𝜇𝜎𝑥𝑥, 𝑢2𝑧𝑧 = 𝑘2

𝑦 +𝑖𝜔𝜇𝜎𝑧𝑧, 𝑢2𝑥𝑧 = 𝑢2

𝑥𝑥 𝑢2𝑧𝑧+𝜔2𝜇2𝜎2

𝑥𝑧, 𝑞𝑥 = Δ𝜎𝑥𝑥𝑝𝑥+Δ𝜎𝑥𝑧𝑝

𝑧

e 𝑞𝑧 = Δ𝜎𝑧𝑥𝑝𝑥 + Δ𝜎𝑧𝑧𝑝

𝑧 .

Por um procedimento análogo, definimos 𝑠𝑥 e 𝑠

𝑧 em termos de 𝑠𝑦 e 𝑠

𝑦 como

𝑠𝑥 = 𝜔2𝜇2𝜎𝑥𝑧

𝑢2𝑥𝑧

𝜕𝑠𝑦

𝜕𝑥− 𝑖𝜔𝜇𝑢2

𝑧𝑧

𝑢2𝑥𝑧

𝜕𝑠𝑦

𝜕𝑧

−𝑖𝑘𝑦

⎛⎝𝑢2𝑧𝑧

𝑢2𝑥𝑧

𝜕𝑠𝑦

𝜕𝑥− 𝑖𝜔𝜇𝜎𝑥𝑧

𝑢2𝑥𝑧

𝜕𝑠𝑦

𝜕𝑧

⎞⎠− 𝑖𝜔𝜇

𝑢2𝑥𝑧

(𝑢2

𝑧𝑧𝑞𝑥 − 𝑖𝜔𝜇𝜎𝑥𝑧𝑞𝑧

),

(4.17)

𝑠𝑧 = 𝑖𝜔𝜇𝑢2

𝑥𝑥

𝑢2𝑥𝑧

𝜕𝑠𝑦

𝜕𝑥− 𝜔2𝜇2𝜎𝑥𝑧

𝑢2𝑥𝑧

𝜕𝑠𝑦

𝜕𝑧

+𝑖𝑘𝑦


𝑢2𝑥𝑧

𝜕𝑠𝑦

𝜕𝑥− 𝑢2

𝑥𝑥

𝑢2𝑥𝑧

𝜕𝑠𝑦

𝜕𝑧

⎞⎠+ 𝑖𝜔𝜇

𝑢2𝑥𝑧

(𝑖𝜔𝜇𝜎𝑥𝑧𝑞𝑥 − 𝑢2

𝑥𝑥𝑞𝑧

).

(4.18)

Finalmente, substituindo (4.15) e (4.16) em (4.4), obtemos

𝜕

𝜕𝑥

⎛⎝𝜎𝑥𝑥𝑢2𝑧𝑧 − 𝑖𝜔𝜇𝜎2

𝑥𝑧

𝑢2𝑥𝑧

𝜕𝑠𝑦

𝜕𝑥+

𝑘2𝑦𝜎𝑥𝑧

𝑢2𝑥𝑧

𝜕𝑠𝑦

𝜕𝑧

⎞⎠+ 𝜕

𝜕𝑧

⎛⎝𝑘2𝑦𝜎𝑥𝑧

𝑢2𝑥𝑧

𝜕𝑠𝑦

𝜕𝑥+ 𝜎𝑧𝑧𝑢2

𝑥𝑥 − 𝑖𝜔𝜇𝜎2𝑥𝑧

𝑢2𝑥𝑧

𝜕𝑠𝑦

𝜕𝑧

⎞⎠+𝑖𝑘𝑦

𝜕

𝜕𝑥


𝑢2𝑥𝑧

𝜕𝑠𝑦

𝜕𝑥+ 𝑢2

𝑧𝑧

𝑢2𝑥𝑧

𝜕𝑠𝑦

𝜕𝑧

⎞⎠− 𝑖𝑘𝑦𝜕

𝜕𝑧

⎛⎝𝑢2𝑥𝑥

𝑢2𝑥𝑧

𝜕𝑠𝑦

𝜕𝑥+ 𝑖𝜔𝜇𝜎𝑥𝑧

𝑢2𝑥𝑧

𝜕𝑠𝑦

𝜕𝑧

⎞⎠− 𝜎𝑦𝑦𝑠𝑦 =

Δ𝜎𝑦𝑦𝑝𝑦 − 𝑖𝑘𝑦

𝜕

𝜕𝑥

(𝑢2

𝑧𝑧

𝑢2𝑥𝑧

𝑞𝑥 − 𝑖𝜔𝜇𝜎𝑥𝑧

𝑢2𝑥𝑧

𝑞𝑧

)− 𝑖𝑘𝑦

𝜕

𝜕𝑧

(𝑢2

𝑥𝑥

𝑢2𝑥𝑧

𝑞𝑧 − 𝑖𝜔𝜇𝜎𝑥𝑧

𝑢2𝑥𝑧

𝑞𝑥

).

(4.19)


e substituindo (4.17) e (4.18) em (4.7), temos

𝜕

𝜕𝑥

⎛⎝𝑖𝜔𝜇𝑢2𝑥𝑥

𝑢2𝑥𝑧

𝜕𝑠𝑦

𝜕𝑥− 𝜔2𝜇2𝜎𝑥𝑧

𝑢2𝑥𝑧

𝜕𝑠𝑦

𝜕𝑧

⎞⎠− 𝜕

𝜕𝑧

⎛⎝𝜔2𝜇2𝜎𝑥𝑧

𝑢2𝑥𝑧

𝜕𝑠𝑦


𝑧𝑧

𝑢2𝑥𝑧

𝜕𝑠𝑦

𝜕𝑧

⎞⎠+𝑖𝑘𝑦

𝜕

𝜕𝑥


𝑢2𝑥𝑧

𝜕𝑠𝑦

𝜕𝑥− 𝑢2

𝑥𝑥

𝑢2𝑥𝑧

𝜕𝑠𝑦

𝜕𝑧

⎞⎠+ 𝑖𝑘𝑦𝜕

𝜕𝑧

⎛⎝𝑢2𝑧𝑧

𝑢2𝑥𝑧

𝜕𝑠𝑦

𝜕𝑥− 𝑖𝜔𝜇𝜎𝑥𝑧

𝑢2𝑥𝑧

𝜕𝑠𝑦

𝜕𝑧

⎞⎠− 𝑖𝜔𝜇𝑠𝑦 =

−𝑖𝜔𝜇𝜕

𝜕𝑥

(𝑖𝜔𝜇𝜎𝑥𝑧

𝑢2𝑥𝑧

𝑞𝑥 − 𝑢2𝑥𝑥

𝑢2𝑥𝑧

𝑞𝑧

)− 𝑖𝜔𝜇

𝜕

𝜕𝑧

(𝑢2

𝑧𝑧

𝑢2𝑥𝑧

𝑞𝑥 − 𝑖𝜔𝜇𝜎𝑥𝑧

𝑢2𝑥𝑧

𝑞𝑧

).

(4.20)

4.1.2 Aproximação por elementos finitos

O sistema formado pelas equações (4.19) e (4.20) será resolvido pelo método deelementos finitos. De posse da solução do campo eletromagnético secundário no domínio(𝑥, 𝑘𝑦, 𝑧), aplicaremos a transformada inversa de Fourier em 𝑘𝑦 para obtermos a soluçãodo campo secundário no domínio (𝑥, 𝑦, 𝑧), que será somada com o campo primário paraobtermos a solução do problema.

Discretizando o domínio de aplicação das equações (4.19) e (4.20) em elementosfinitos triangulares e aplicando o método de Galerkin a estas equações, obteremos:

∫Ω𝑒

𝜙𝑖𝜕

𝜕𝑥

⎛⎝𝜎𝑥𝑥,𝑒𝑢2𝑧𝑧,𝑒 − 𝑖𝜔𝜇𝜎2

𝑥𝑧,𝑒

𝑢2𝑥𝑧,𝑒

𝜕𝑠𝑦

𝜕𝑥+

𝑘2𝑦𝜎𝑥𝑧,𝑒

𝑢2𝑥𝑧,𝑒

𝜕𝑠𝑦

𝜕𝑧

⎞⎠ 𝑑𝑥𝑑𝑧

+∫

Ω𝑒

𝜙𝑖𝜕

𝜕𝑧

⎛⎝𝑘2𝑦𝜎𝑥𝑧,𝑒

𝑢2𝑥𝑧,𝑒

𝜕𝑠𝑦

𝜕𝑥+

𝜎𝑧𝑧,𝑒𝑢2𝑥𝑥,𝑒 − 𝑖𝜔𝜇𝜎2

𝑥𝑧,𝑒

𝑢2𝑥𝑧,𝑒

𝜕𝑠𝑦

𝜕𝑧


+∫

Ω𝑒

𝜙𝑖 𝑖𝑘𝑦𝜕

𝜕𝑥

⎛⎝𝑖𝜔𝜇𝜎𝑥𝑧,𝑒

𝑢2𝑥𝑧,𝑒

𝜕𝑠𝑦

𝜕𝑥+

𝑢2𝑧𝑧,𝑒

𝑢2𝑥𝑧,𝑒

𝜕𝑠𝑦

𝜕𝑧


−∫

Ω𝑒


𝜕𝑧

⎛⎝𝑢2𝑥𝑥,𝑒

𝑢2𝑥𝑧,𝑒

𝜕𝑠𝑦

𝜕𝑥+ 𝑖𝜔𝜇𝜎𝑥𝑧,𝑒

𝑢2𝑥𝑧,𝑒

𝜕𝑠𝑦

𝜕𝑧

⎞⎠ 𝑑𝑥𝑑𝑧 −∫

Ω𝑒

𝜙𝑖 𝜎𝑦𝑦,𝑒𝑠𝑦𝑑𝑥𝑑𝑧 =

∫Ω𝑒

𝜙𝑖 Δ𝜎𝑦𝑦,𝑒𝑝𝑦𝑑𝑥𝑑𝑧 −

∫Ω𝑒


𝜕𝑥

(𝑢2

𝑧𝑧,𝑒

𝑢2𝑥𝑧,𝑒

𝑞𝑥 − 𝑖𝜔𝜇𝜎𝑥𝑧,𝑒

𝑢2𝑥𝑧,𝑒

𝑞𝑧

)𝑑𝑥𝑑𝑧

−∫

Ω𝑒


𝜕𝑧

(𝑢2

𝑥𝑥,𝑒

𝑢2𝑥𝑧,𝑒

𝑞𝑧 − 𝑖𝜔𝜇𝜎𝑥𝑧,𝑒

𝑢2𝑥𝑧,𝑒

𝑞𝑥

)𝑑𝑥𝑑𝑧.

(4.21)


e ∫Ω𝑒

𝜙𝑖𝜕

𝜕𝑥

⎛⎝𝑖𝜔𝜇𝑢2𝑥𝑥,𝑒

𝑢2𝑥𝑧,𝑒

𝜕𝑠𝑦

𝜕𝑥− 𝜔2𝜇2𝜎𝑥𝑧,𝑒

𝑢2𝑥𝑧,𝑒

𝜕𝑠𝑦

𝜕𝑧


−∫

Ω𝑒

𝜙𝑖𝜕

𝜕𝑧


𝑢2𝑥𝑧

𝜕𝑠𝑦


𝑧𝑧

𝑢2𝑥𝑧

𝜕𝑠𝑦

𝜕𝑧


+∫

Ω𝑒


𝜕𝑥


𝑢2𝑥𝑧,𝑒

𝜕𝑠𝑦

𝜕𝑥−

𝑢2𝑥𝑥,𝑒

𝑢2𝑥𝑧,𝑒

𝜕𝑠𝑦

𝜕𝑧


+∫

Ω𝑒


𝜕𝑧

⎛⎝𝑢2𝑧𝑧,𝑒

𝑢2𝑥𝑧,𝑒

𝜕𝑠𝑦

𝜕𝑥− 𝑖𝜔𝜇𝜎𝑥𝑧,𝑒

𝑢2𝑥𝑧,𝑒

𝜕𝑠𝑦

𝜕𝑧

⎞⎠ 𝑑𝑥𝑑𝑧 −∫

Ω𝑒

𝜙𝑖 𝑖𝜔𝜇𝑠𝑦𝑑𝑥𝑑𝑧 =

−∫

Ω𝑒

𝜙𝑖 𝑖𝜔𝜇𝜕

𝜕𝑥

(𝑖𝜔𝜇𝜎𝑥𝑧,𝑒

𝑢2𝑥𝑧,𝑒

𝑞𝑥 −𝑢2

𝑥𝑥,𝑒

𝑢2𝑥𝑧,𝑒

𝑞𝑧

)𝑑𝑥𝑑𝑧

−∫

Ω𝑒

𝜙𝑖 𝑖𝜔𝜇𝜕

𝜕𝑧

(𝑢2

𝑧𝑧,𝑒

𝑢2𝑥𝑧,𝑒


𝑢2𝑥𝑧,𝑒

𝑞𝑧

)𝑑𝑥𝑑𝑧.

(4.22)

Estas duas últimas equações podem ser escritas de forma mais compacta como∫Ω𝑒

𝜙𝑖

(𝜕𝑠

𝑥

𝜕𝑧− 𝜕𝑠

𝑧

𝜕𝑥− 𝜎𝑦𝑦,𝑒

𝑠𝑦

)𝑑𝑥𝑑𝑧 =

∫Ω𝑒

𝜙𝑖Δ𝜎𝑦𝑦,𝑒𝑝𝑦𝑑𝑥𝑑𝑧, (4.23)

∫Ω𝑒

𝜙𝑖

(𝜕𝑠

𝑥

𝜕𝑧− 𝜕𝑠

𝑧

𝜕𝑥+ 𝑖𝜔𝜇𝑠

𝑦

)𝑑𝑥𝑑𝑧 = 0. (4.24)

Nestas equações, usando a regra da derivada do produto de duas funções, os termoscom derivadas parciais podem ser substituídos por

𝜙𝑖𝜕𝑠

𝑥

𝜕𝑧= 𝜕(𝜙𝑖

𝑠𝑥)

𝜕𝑧− 𝜕𝜙𝑖

𝜕𝑧𝑠

𝑥,

𝜙𝑖𝜕𝑠

𝑧

𝜕𝑥= 𝜕(𝜙𝑖

𝑠𝑧 )

𝜕𝑥− 𝜕𝜙𝑖

𝜕𝑥𝑠

𝑧 ,

𝜙𝑖𝜕𝑠

𝑥

𝜕𝑧= 𝜕(𝜙𝑖

𝑠𝑥)

𝜕𝑧− 𝜕𝜙𝑖

𝜕𝑧𝑠

𝑥,

𝜙𝑖𝜕𝑠

𝑧

𝜕𝑥= 𝜕(𝜙𝑖

𝑠𝑧)

𝜕𝑥− 𝜕𝜙𝑖

𝜕𝑥𝑠

𝑧 .

Realizando estas substituições nas equações (4.23) e (4.24), temos∫Ω𝑒

𝜕𝜙𝑖

𝜕𝑧𝑠

𝑥 𝑑𝑥𝑑𝑧 −∫

Ω𝑒

𝜕𝜙𝑖

𝜕𝑥𝑠

𝑧 𝑑𝑥𝑑𝑧 +∫

Ω𝑒

[𝜕(𝜙𝑖

𝑠𝑧 )

𝜕𝑥− 𝜕(𝜙𝑖

𝑠𝑥)

𝜕𝑧

]𝑑𝑥𝑑𝑧

+∫

Ω𝑒

𝜙𝑖 𝜎𝑦𝑦,𝑒 𝑠𝑦 𝑑𝑥𝑑𝑧 = −

∫Ω𝑒

𝜙𝑖 Δ 𝜎𝑦𝑦,𝑒 𝑝𝑦 𝑑𝑥𝑑𝑧

e ∫Ω𝑒

𝜕𝜙𝑖

𝜕𝑧𝑠


Ω𝑒

𝜕𝜙𝑖

𝜕𝑥𝑠

𝑧 𝑑𝑥𝑑𝑧 +∫

Ω𝑒

[𝜕(𝜙𝑖

𝑠𝑧)

𝜕𝑥− 𝜕(𝜙𝑖

𝑠𝑥)

𝜕𝑧

]𝑑𝑥𝑑𝑧

−∫

Ω𝑒

𝑖𝜔𝜇 𝜙𝑖 𝑠𝑦 𝑑𝑥𝑑𝑧 = 0.


Pelo teorema de Green∫Ω𝑒

[𝜕(𝜙𝑖

𝑠𝑧 )

𝜕𝑥− 𝜕(𝜙𝑖

𝑠𝑥)

𝜕𝑧

]𝑑𝑥𝑑𝑧 =

∮𝜕Ω𝑒

𝜙𝑖(𝑠𝑥, 𝑠

𝑧 ) · 𝑑ℓ,

∫Ω𝑒

[𝜕(𝜙𝑖

𝑠𝑧)

𝜕𝑥− 𝜕(𝜙𝑖

𝑠𝑥)

𝜕𝑧

]𝑑𝑥𝑑𝑧 =

∮𝜕Ω𝑒

𝜙𝑖(𝑠𝑥, 𝑠

𝑧) · 𝑑ℓ,

então, ∫Ω𝑒

𝜕𝜙𝑖

𝜕𝑧𝑠


Ω𝑒

𝜕𝜙𝑖

𝜕𝑥𝑠

𝑧 𝑑𝑥𝑑𝑧 +∮

𝜕Ω𝑒

𝜙𝑖 H𝑠

· 𝑑ℓ

+∫

Ω𝑒

𝜙𝑖 𝜎𝑦𝑦,𝑒 𝑠𝑦 𝑑𝑥𝑑𝑧 = −

∫Ω𝑒

𝜙𝑖 Δ 𝜎𝑦𝑦,𝑒 𝑝𝑦 𝑑𝑥𝑑𝑧

e ∫Ω𝑒

𝜕𝜙𝑖

𝜕𝑧𝑠


Ω𝑒

𝜕𝜙𝑖

𝜕𝑥𝑠

𝑧 𝑑𝑥𝑑𝑧 +∮

𝜕Ω𝑒

𝜙𝑖 E𝑠

· 𝑑ℓ

−∫

Ω𝑒

𝑖𝜔𝜇 𝜙𝑖 𝑠𝑦 𝑑𝑥𝑑𝑧 = 0.

Pela continuidade tangenciais dos campos E𝑠 e H

𝑠 as integrais de linha na fronteirade cada elemento se anularão quando computadas com as contribuições dos elementosadjacentes, sobrando apenas aquelas das bordas da malha, na qual se considera as condiçõesde Dirichlet homogêneas. Portanto, desprezando estas integrais nas duas últimas equaçõesobtemos,

∫Ω𝑒

𝜕𝜙𝑖

𝜕𝑥

⎛⎝𝜎𝑥𝑥,𝑒𝑢2𝑧𝑧,𝑒 − 𝑖𝜔𝜇𝜎2

𝑥𝑧,𝑒

𝑢2𝑥𝑧,𝑒

𝜕𝑠𝑦

𝜕𝑥+

𝑘2𝑦𝜎𝑥𝑧,𝑒

𝑢2𝑥𝑧,𝑒

𝜕𝑠𝑦

𝜕𝑧


+∫

Ω𝑒

𝜕𝜙𝑖

𝜕𝑧

⎛⎝𝑘2𝑦𝜎𝑥𝑧,𝑒

𝑢2𝑥𝑧,𝑒

𝜕𝑠𝑦

𝜕𝑥+

𝜎𝑧𝑧,𝑒𝑢2𝑥𝑥,𝑒 − 𝑖𝜔𝜇𝜎2

𝑥𝑧,𝑒

𝑢2𝑥𝑧,𝑒

𝜕𝑠𝑦

𝜕𝑧


+∫

Ω𝑒

𝑖𝑘𝑦𝜕𝜙𝑖

𝜕𝑥


𝑢2𝑥𝑧,𝑒

𝜕𝑠𝑦

𝜕𝑥+

𝑢2𝑧𝑧,𝑒

𝑢2𝑥𝑧,𝑒

𝜕𝑠𝑦

𝜕𝑧


−∫

Ω𝑒


𝜕𝑧

⎛⎝𝑢2𝑥𝑥,𝑒

𝑢2𝑥𝑧,𝑒

𝜕𝑠𝑦

𝜕𝑥+ 𝑖𝜔𝜇𝜎𝑥𝑧,𝑒

𝑢2𝑥𝑧,𝑒

𝜕𝑠𝑦

𝜕𝑧


+∫

Ω𝑒

𝜙𝑖 𝜎𝑦𝑦,𝑒𝑠𝑦𝑑𝑥𝑑𝑧 = −

∫Ω𝑒


𝜕𝑥

(𝑢2

𝑧𝑧,𝑒

𝑢2𝑥𝑧,𝑒


𝑢2𝑥𝑧,𝑒

𝑞𝑧

)𝑑𝑥𝑑𝑧

−∫

Ω𝑒


𝜕𝑧

(𝑢2

𝑥𝑥,𝑒

𝑢2𝑥𝑧,𝑒

𝑞𝑧 − 𝑖𝜔𝜇𝜎𝑥𝑧,𝑒

𝑢2𝑥𝑧,𝑒

𝑞𝑥

)𝑑𝑥𝑑𝑧 −

∫Ω𝑒

𝜙𝑖 Δ𝜎𝑦𝑦,𝑒𝑝𝑦𝑑𝑥𝑑𝑧

(4.25)


e ∫Ω𝑒

𝜕𝜙𝑖

𝜕𝑥

⎛⎝𝑖𝜔𝜇𝑢2𝑥𝑥,𝑒

𝑢2𝑥𝑧,𝑒

𝜕𝑠𝑦

𝜕𝑥− 𝜔2𝜇2𝜎𝑥𝑧,𝑒

𝑢2𝑥𝑧,𝑒

𝜕𝑠𝑦

𝜕𝑧


−∫

Ω𝑒

𝜕𝜙𝑖

𝜕𝑧


𝑢2𝑥𝑧

𝜕𝑠𝑦


𝑧𝑧

𝑢2𝑥𝑧

𝜕𝑠𝑦

𝜕𝑧


+∫

Ω𝑒


𝜕𝑥


𝑢2𝑥𝑧,𝑒

𝜕𝑠𝑦

𝜕𝑥−

𝑢2𝑥𝑥,𝑒

𝑢2𝑥𝑧,𝑒

𝜕𝑠𝑦

𝜕𝑧


+∫

Ω𝑒


𝜕𝑧

⎛⎝𝑢2𝑧𝑧,𝑒

𝑢2𝑥𝑧,𝑒

𝜕𝑠𝑦

𝜕𝑥− 𝑖𝜔𝜇𝜎𝑥𝑧,𝑒

𝑢2𝑥𝑧,𝑒

𝜕𝑠𝑦

𝜕𝑧

⎞⎠ 𝑑𝑥𝑑𝑧 +∫

Ω𝑒

𝜙𝑖 𝑖𝜔𝜇𝑠𝑦𝑑𝑥𝑑𝑧 =

−∫

Ω𝑒

𝑖𝜔𝜇𝜕𝜙𝑖

𝜕𝑥

(𝑖𝜔𝜇𝜎𝑥𝑧,𝑒

𝑢2𝑥𝑧,𝑒

𝑞𝑥 −𝑢2

𝑥𝑥,𝑒

𝑢2𝑥𝑧,𝑒

𝑞𝑧

)𝑑𝑥𝑑𝑧

−∫

Ω𝑒

𝑖𝜔𝜇𝜕𝜙𝑖

𝜕𝑧

(𝑢2

𝑧𝑧,𝑒

𝑢2𝑥𝑧,𝑒


𝑢2𝑥𝑧,𝑒

𝑞𝑧

)𝑑𝑥𝑑𝑧.

(4.26)

Estas equações resultam num sistema linear de ordem 2 · 𝑛 em que 𝑛 é o númerode nós da malha de elementos finitos. Tal sistema será solucionado pelo método dadecomposição LU e fornecerá as componentes 𝑠

𝑦 e 𝑠𝑦 no domínio (𝑥, 𝑘𝑦, 𝑧) da transformada

de Fourier. Com estas componentes encontramos as demais componentes do campo EMsecundário. Aplicando a transformada inversa de Fourier a estas componentes chegamos asolução do campo secundário no domínio espacial. As transformadas inversas são realizadascom o uso dos filtros digitais de 81 pontos seno e cosseno.

4.2 Resultados

Nesta seção iremos avaliar as respostas do método CSEM marinho para estruturasbidimensionais com anisotropia vertical (TIV) e anisotropia inclinada (TII). Para tanto,vamos considerar dois modelos, um para a anisotropia TIV e outro para a anisotropia TII,avaliando separadamente a influência da anisotropia do sedimento e do reservatório nasmedidas CSEM.

4.2.1 Modelo 1

A Figura (43) mostra o modelo para o qual analisaremos a influência da anisotropiavertical nos dados MCSEM. Este modelo é o mesmo modelo proposto por Orange, Keye Constable (2009) para análise de dados MCSEM de estruturas 2D isotrópicas. Vamosconsiderar que o transmissor funciona num regime de frequência igual 0.1Hz.

Na Figura (45) consideramos o reservatório isotrópico e o sedimento com anisotropia.Verificamos, como era de se esperar, que um aumento na resistividade vertical do sedimento


produz um aumento na amplitude do campo. A resposta para o caso isotrópico (linhaazul) é igual ao resultado apresentado no trabalho de Orange, Key e Constable (2009).

Na Figura (46) consideramos o sedimento isotrópico e o reservatório com anisotropia.Também, verificamos que um aumento na resistividade vertical do reservatório produzum aumento na amplitude do campo. Entretanto, as variações no campo normalizado,neste caso, são bem menores que as variações geradas no campo normalizado pela variaçãona resistividade vertical do sedimento. Isto, ocorre devido as dimensões do corpo que élimitado em 𝑥, é evidente que a amplitude do campo aumenta quando o comprimento docorpo aumenta na direção 𝑥. Aumentando a largura 𝑥 do corpo indefinidamente o modelo2D tende ao modelo canônico 1D, ou seja, a curva em azul irá tender para a curva pretapontilhada.

Figura 43 – Modelo 1, para análise da influência da anisotropia vertical nos dados MCSEM2,5D.

−4 −2 0 2 4 6

−2

−1

0

1

2

3

4

x (km)

z (k

m)

AR

RESERVATÓRIO (TIV)

SEDIMENTOS (TIV)

DEH(x, z)=(−2000,950)m

MAR: 0.33Ω⋅m

Fonte: Do autor

4.2.2 Modelo 2

A Figura (47) mostra o modelo para o qual analisaremos a influência da anisotropiainclinada nos dados MCSEM. Vamos considerar que o transmissor funciona num regimede frequência igual 0.25Hz.

Na Figura (49) consideramos o reservatório isotrópico e o sedimento com anisotropia.Como no caso unidimensional, verificamos que a amplitude do campo inline reduz com a


Figura 44 – Malha gerada para o modelo 1.

−5 0 5 10 15

−4

−2

0

2

4

6

8

x (km)

z (k

m)

Fonte: Do autor

inclinação do eixo de anisotropia. Verifica-se ainda uma quebra na simetria em 𝑥 para asrespostas TII, exceto nos casos TIV e TIH. Essa ausência de simetria na direção 𝑥 tambémocorre nos modelos 1D como pode ser visto na figura (32), entretanto, para medidas noassoalho marinho essa falta de simetria é imperceptível graficamente. Li e Dai (2011)também observou essa assimetria considerando o meio sedimentar encaixante como umaheterogeneidade num semiespaço isotrópico. Para este modelo consideramos como modeloprimário o modelo com anisotropia inclinada evitando, assim, uma malha muito refinada,entretanto, o cálculo do campo primário é mais complexo.

Na Figura (50) consideramos o sedimento isotrópico e o reservatório com anisotropia.Também, verificamos que a amplitude do campo reduz com um aumento na inclinação doeixo de anisotropia. Neste caso, observamos uma pequena assimetria das respostas emrelação ao eixo 𝑥 para 𝛼 = 30 e 𝛼 = 45.


Figura 45 – Componentes 𝐸𝑥 e 𝐻𝑦 inline para o modelo da Figura (43). O reservatório éisotrópico e tem resistividade igual a 100Ω · 𝑚. O sedimento tem anisotropiavertical com valores de resistividades indicados na figura.

−5 0 5 10 1510

−17

10−15

10−13

10−11

10−9

10−7

Am

plitu

de (

V/m

)

Componente Ex do campo elétrico

1D canônico . . .


−5 0 5 10 1510

−13

10−11

10−9

10−7

10−5

Am

plitu

de (

A/m

)

Componente Hy do campo magnético

1D canônico . . .


−5 0 5 10 15−250

−200

−150

−100

−50

0

50

Fas

e(gr

aus)

−5 0 5 10 15−300

−200

−100

0

100

200

−5 0 5 10 150

2

4

6

8

10

x(km)

Cam

po n

orm

aliz

ado

−5 0 5 10 150

5

10

15

x(km)

(ρh,ρ

v)=(1, 1)Ω⋅ m

(ρh,ρ

v)=(1, 2)Ω⋅ m

(ρh,ρ

v)=(1, 3)Ω⋅ m

(ρh,ρ

v)=(1, 1)Ω⋅ m

(ρh,ρ

v)=(1, 2)Ω⋅ m

(ρh,ρ

v)=(1, 3)Ω⋅ m

Fonte: Do autor


Figura 46 – Componentes 𝐸𝑥 e 𝐻𝑦 inline para o modelo da Figura (43). O sedimento éisotrópico e tem resistividade igual a 1Ω · 𝑚. O reservatório tem anisotropiavertical com valores de resistividades indicados na figura.

−5 0 5 10 1510

−17

10−15

10−13

10−11

10−9

10−7

Am

plitu

de (

V/m

)


1D canônico . . .


(ρh,ρ

v)=(100, 100)Ω⋅ m

(ρh,ρ

v)=(100, 200)Ω⋅ m

(ρh,ρ

v)=(100, 400)Ω⋅ m

−5 0 5 10 1510

−13

10−11

10−9

10−7

10−5

Am

plitu

de (

A/m

)


1D canônico . . .


(ρh,ρ

v)=(100, 100)Ω⋅ m

(ρh,ρ

v)=(100, 200)Ω⋅ m

(ρh,ρ

v)=(100, 400)Ω⋅ m

−5 0 5 10 15−300

−200

−100

0

100

Fas

e(gr

aus)

−5 0 5 10 15−300

−200

−100

0

100

200

−5 0 5 10 150

1

2

3

4

x(km)

Cam

po n

orm

aliz

ado

−5 0 5 10 150

2

4

6

8

x(km)

Fonte: Do autor


Figura 47 – Modelo 2, para análise da influência da anisotropia inclinada nos dadosMCSEM 2,5D.

−5 −3 0 3 5

−2

−1

0

1

2

3

4

x (km)

z (k

m)

SEDIMENTOS COM ANISOTROPIA

RESERVATÓRIO COM ANISOTROPIA

(x,z)=(0,950)mDEHMAR: 0.3Ω⋅m

AR

Fonte: Do autor

Figura 48 – Malha gerada para o modelo 2.

−10 −5 0 5 10

−4

−2

0

2

4

6

x (km)

z (k

m)

Fonte: Do autor


Figura 49 – Componentes 𝐸𝑥 e 𝐻𝑦 inline para o modelo da Figura (47). O reservatório éisotrópico e tem resistividade igual a 100Ω · 𝑚. O sedimento tem anisotropiainclinada com resistividades principais (𝜌‖, 𝜌⊥) = (1, 10)Ω · 𝑚 e ângulos deinclinação dos planos de isotropia indicados na figura.

−10 −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 1010

−13

10−11

10−9

10−7

10−5

Am

plitu

de (

A/m

)



−10 −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 10−300

−200

−100

0

100

Fas

e(gr

aus)

−10 −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 10−300

−200

−100

0

100

200

−10 −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 100

10

20

30

40

x(km)

Cam

po n

orm

aliz

ado

−10 −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 100

10

20

30

40

50

x(km)

−10 −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 10

10−15

10−13

10−11

10−9

10−7

Am

plitu

de (

V/m

)



α=0o

α=30o

α=45o

α=90o

α=0o

α=30o

α=45o

α=90o

Fonte: Do autor


Figura 50 – Componentes 𝐸𝑥 e 𝐻𝑦 inline para o modelo da Figura (47). O sedimento éisotrópico e tem resistividade igual a 1Ω · 𝑚. O reservatório tem anisotropiainclinada com resistividades principais (𝜌‖, 𝜌⊥) = (10, 100)Ω · 𝑚 e ângulos deinclinação dos planos de isotropia indicados na figura.

−10 −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 10−250

−200

−150

−100

−50

0

Fas

e(gr

aus)

−10 −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 10−300

−200

−100

0

100

200

−10 −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 100.5

1

1.5

2

2.5

x(km)

Cam

po n

orm

aliz

ado

−10 −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 100.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

x(km)

−10 −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 10

10−15

10−13

10−11

10−9

10−7

Am

plitu

de (

V/m

)


1D canônico . . .Semiespaço isotrópico − 1Ω⋅m− − −

α=0o

α=30o

α=45o

α=90o

−10 −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 10

10−11

10−9

10−7

10−5

Am

plitu

de (

A/m

)


1D canônico . . .Semiespaço isotrópico − 1Ω⋅m− − −

α=0o

α=30o

α=45o

α=90o

Fonte: Do autor

76

5 CONCLUSÃO

Este trabalho apresentou de forma detalhada a formulação e a modelagem numéricaunidimensional e bidimensional necessária para o estudo numérico dos efeitos da anisotropiatransversal nos dados marinhos de fonte controlada (MCSEM).

Neste estudo verificamos que as medidas MCSEM, inline e broadside, são afetadasde maneira diferente pela anisotropia. Como mostramos no capítulo 2, as respostas inlinesão mais afetadas pela resistividade vertical enquanto que as medidas broadside sofremuma influência maior da resistividade horizontal. Tal conclusão foi obtida considerando omeio estratificado com anisotropia do tipo TIV nas camadas.

Esta relação entre as geometrias de medidas e a anisotropia se estende para omeio estratificado com anisotropia transversal inclinada, visto no capitulo 3. Contudo,neste caso, os valores de resistividade na vertical e na horizontal dependem do ângulo deinclinação dos planos de isotropia, o que proporciona um variação das medidas MCSEMentre as respostas dos meios transversalmente isotrópicos com eixo de simetria na vertical(𝛼 = 0𝑜) e com o eixo de simetria na horizontal (𝛼 = 90𝑜).

As anomalias geradas nas investigações MCSEM são obtidas a partir da normaliza-ção das medidas pela resposta de um modelo ou ambiente de referência. Seguindo esteprocedimento, mostramos que uma definição errada da anisotropia elétrica do modelo dereferência, pode levar a falsas interpretações do modelo geoelétrico investigado.

As situações observadas a cima também são verificadas na modelagem MCSEMde estruturas bidimensionais, entretanto, o que mais chamou a atenção foi a constataçãode que a anisotropia transversal inclinada das heterogeneidades provoca uma quebra nasimetria nas respostas MCSEM em relação ao transmissor.

Com base nos resultados apresentados e nas observações obtidas concluímos que aanisotropia afeta de forma distinta as componentes do campo eletromagnético conformea disposição transmissor-receptor. Concluímos, também, que a anisotropia dificulta ainterpretação dos dados MCSEM, podendo levar até a interpretações erradas desses dadosquando os efeitos da anisotropia são mal avaliados. Portanto, o conhecimento de como aanisotropia afeta as medidas MCSEM contribui significativamente na interpretação dessasmedidas.

Seguindo a metodologia apresenta neste trabalho, é possível avaliar o efeito daanisotropia inclinada em formações bidimensionais mais complexas, como por exemplo,modelos que incluam a batimetria do meio. Outro tema que pode ser estudado, a partir doque foi apresentado aqui, são as respostas MCSEM de meios com anisotropia transversalpara diferentes orientações do transmissor em relação ao plano de isotropia.

77

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TESE DE DOUTORADO - UFPArepositorio.ufpa.br/jspui/bitstream/2011/5674/1/Tese... · 2019-08-23 · universidade federal do parÁ instituto de geociÊncias programa de pÓs-graduaÇÃo

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